Școala Gimnazială Nr.3 Oțelu-Roșu [304835]

[anonimizat] I

Conducător științific:

Lector Dr. Chiș Mihai

Candidat: [anonimizat].3 Oțelu-Roșu

Timișoara

2018

UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIȘOARA

DEPARTAMENTUL PENTRU PREGĂTIREA PERSONALULUI DIDACTIC

TRADIȚIONAL ȘI MODERN ÎN

REZOLVAREA PROBLEMELOR DE GEOMETRIE ÎN GIMNAZIU

Conducător științific:

Lector Dr. Chiș Mihai

Candidat: [anonimizat].3 Oțelu-Roșu

Timișoara

2018

CUPRINS

Introducere……………………………………………………………………………………………………….. 4

Capitolul 1: Predarea geometriei la gimnaziu între tradiție și modernitate……………6

1.1. Predarea-comunicare pedagogică…………………………………………………………………….. 6

1.2. Predarea matematicii……………………………………………………………………………………… 6

1.2.1. Importanța matematicii în procesul de învățământ…………………………………………. 6

1.2.2. Predarea geometriei la gimnaziu………………………………………………………………….. 8

1.3. Tradițional/clasic și modern/alternativ în predarea literaturii…………………………….. 10

1.3.1. Metode tardiționale de predare………………………………………………………………….. 12

1.3.2. Metode moderne/[anonimizat]…………………………. 29 1.3.3. Virtuți și limite ale metodelor alternative/moderne……………………………………….. 61

Capitolul 2: Elemente de didactica matematicii. Particularități ale studierii geometriei în gimnaziu…………………………………………………………………………………….. 62

2.1. Forme de desfășurare a lecției de geometrie……………………………………………………. 62

2.1.1. Lecția mixtă sau combinată……………………………………………………………………….. 66

2.1.2. Lecția de achiziționare de cunoștințe…………………………………………………………… 66

2.1.3. [anonimizat] a cunoștintelor……………….. 67

2.1.4. Lecția de formare de priceperi și deprinderi………………………………………………… 67

2.1.5. Lecția de verificare si apreciere a rezultatelor școlare (de evaluare) ……………..68

Capitolul 3: Aplicațiile GeoGebra și Maple……………………………………………………….. 69

3.1. Aplicația GeoGebra……………………………………………………………………………………….69

3.2. Aplicația Maple………………………………………………………………………………………..70

3.3. Probleme rezolvate………………………………………………………………………………………..72

Concluzii………………………………………………………………………………………………………….. 88

Anexe………………………………………………………………………………………………………………. 89

Bibliografie………………………………………………………………………………………………………109

INTRODUCERE

Societatea modernă, aflată în plină expansiune, are nevoie de o educație dinamică bazată pe modelul interactiv.

Învățătura care se bazează pe interactivitate și comunicare a câștigat mulți adepți, aducând numeroase satisfacții și beneficii participanților la actul educativ.

În viziune proprie, metodele moderne nu sunt nici mai bune, nici mai rele decât cele tradiționale, ci reprezintă o altă metodă de predare-învațare, separate de cea consacrată, dar aflată în raport de coeziune și complementarietate cu modalitatea clasică.

În cadrul procesului educativ la disciplina matematică pot fi folosite cu succes toate metodele, atât strategiile moderne cât și cele tradiționale.

Profesorii încearcă tot mai mult găsirea unor metode și strategii adecvate care să contribuie la îmbunătățirea calitativă a procesului educativ precum și la eliminarea stării de monotonie.

În propria lucrare doresc să demonstrez fiabilitatea metodelor alternative în cadrul procesului educativ și să prezint exemple precise de aplicabilitate și eficacitate a actului instructiv-educativ.

Geometria conține multe și variate probleme, la care oricât am insista nu o să putem să găsim un raționament tip care să rezolve toate problemele.

Stăpânirea metodelor de raționament în studiul geometriei este esențială deoarece pe de o parte ele favorizează capacitatea de înțelegere a demonstrațiilor și pe de altă parte sunt mijloace de cercetare în cadrul rezolvării problemelor.

Geometria conține așadar probleme diverse, așa încât nu se pot stabili tipare pentru rezolvarea lor. Principalele dificultăți pe care le conțin problemele de geometrie constau în faptul că nu se bazează pe un model standard. Problemele de geometrie necesită o modalitate specifică de studiu, de la caz la caz în care trebuie să fie prezente pe lângă cunoștințele acumulate în școală și o anumită rutină în a rezolva probleme, o gândire logică precum și multă creativitate.

Prezenta lucrare este structurată pe trei capitole, conține o introducere care prezintă și dezvoltă scopul și ipoteza temei, o parte finală unde sunt prezentate cele mai importante idei sub aspectul unor concluzii și desigur anexele și bibliografia.

Capitolul de început prezintă probleme referitoare la aspecte generale ale predării, precum și modalități de îmbunătățire a predării geometriei de gimnaziu prin variația metodelor utilizate. Totodată am încercat să prezint principalele metode clasice și moderne precum și anumite aspecte care conțin modul de utilizare a acestora în practica școlară, precum și situații concrete de folosire a metodelor ilustrate în predarea geometriei.

Calitațile și limitele metodelor alternative sunt prezentate tot în acest capitol, evidențiind faptul că elevul beneficiază de un mare atu dacă dispune de metode de predare moderne.

Capitolul al doilea conține o prezentare a formelor de desfășurare a lecției de geometrie.

Ultima parte a lucrării conține probleme de geometrie diverse, cu multiple soluții de rezolvare, probleme care să conducă la consolidarea, aprofundarea și întregirea cunoștințelor asimilate la clasă. În cadrul acestei lucrări pot fi descoperite, așadar, mai multe probleme de geometrie care se rezolvă prin metode generale, particulare, prin metode tradiționale sau prin unele metode moderne .

PREDAREA GEOMETRIEI LA GIMNAZIU ÎNTRE TRADIȚIE ȘI MODERNITATE

Predarea – comunicarea pedagogică

Termenul “comunicare” provine din latinescul “communis”, de unde verbul “communico”, care înseamnă a face ceva împreună. În zilele noastre a comunica înseamnă a vorbi, a da de știre, a informa, a înștiința.

Comunicarea pedagogică reprezintă o formă specifică a comunicării umane prin intermediul căreia se realizează activitatea de educație și instruire.

Procesul de predare-învățare este promovat de cadrul didactic în diferite contexte specifice instruirii școlare, fiind un proces de comunicare didactică proiectată și valorificată de cadrul didactic.

Predarea ca modalitate de comunicare pedagogică, este proiectată de profesor în cadrul unui proces creativ amplu.

Ca activitate specifică profesorului , presupune un tip de comunicare pedagogică care constă în :

stabilirea conceptelor fundamentale și operaționale,

prezentarea conținutului în mod articulat și coherent,

explicarea conținutului prin diferite analogii și aplicații.

Cheia schimbărilor în didactica matematicii constă în diversificarea metodelor de predare-învățare, a modalitaților și formelor de organizare a lecției, a situațiilor de învățare.

Matematica conține diferite tipuri de lecții și acest lucru presupune o combinare a metodelor tradiționale cu cele moderne și se recomandă alternarea lor cu metodele active de învățare și cu metodele de promovare a creativității elevilor.

Predarea matematicii

1.2.1. Importanța matematicii în procesul de învățământ

“Matematica este investigarea structurilor abstarcte definite în mod axiomatic folosind logica formală.“

“ Matematica folosește nu numai în viața de zi cu zi, dar este știința care se află la baza tuturor descoperirilor științifice și contribuie la dezvoltarea societății omenești.“

Matematica oferă “material de cea mai bună calitate” pentru ilustrarea logicii formale. În această situație găsim relații și noțiuni clar delimitate și propozițiile (corect construite) sunt adevărate sau false, hotărârea noastră fiind protejată de aprecieri, de nuanțe, interpretări și excluderi de excepții.

Aprecierea făcută de Polya în remarcabila sa carte “Matematica și raționamentele“ este deosebit de sugestivă :

“Ne întărim cunoștințele matematice prin raționamente demonstrative, însă ne sprijinim ipotezele prin raționamente plauzibile. O demonstrație matematică este un raționament demonstrativ pe când probele inductive ale fizicianului, probele indirecte ale juristului, argumentele documentate ale istoricului și probele statistice ale economistului fac parte din raționamentele plauzibile.

Deosebirea dintre aceste două tipuri de raționamente este mare și variată. Raționamentul demonstartiv este cert, incontestabil și definitiv. Raționamentul plauzibil este hazardat, discutabil și provizoriu.

Raționamentele demonstrative pătrund știința în aceeași măsură ca matematica însă, ca atare, ele nu sunt capabile (ca matematica însăși) să ne furnizeze cunoștințe esențialmente noi despre lumea înconjurătoare. Tot ce aflăm nou despre lume este legat de raționamente plauzibile, unicul tip de raționament care ne interesează în treburile de toate zilele.

Raționamentul demonstrativ are standarde rigide, codificate și stabilite de logică (de logica formală sau demonstrativă), care este teoria raționamentelor demonstrative.

Standardele raționamentelor plauzibile sunt fluente și nu există niciun fel de teorie a acestui mod de a raționa care să se poată compara sub aspectul clarității, cu logică demonstrativă sau să se bucure de un consens comparabil cu al acesteia.“

Rolul deosebit al matematicii și al activităților cu conținut matematic rezidă în faptul că ele stimulează foarte mult dezvoltarea intelectuală. Trecerea de la gândirea concret-intuitivă la gândirea abstractă se realizează prin activitațile matematice. Ele inițiaza elevul în “procesul de matematizare”, această situație conducând la o mai bună înțelegere a realității.

Procesele gândirii: analiza, comparația, sinteza, abstractizarea, cât și însușirile ei: rapiditatea, flexibilitatea, independent conduc spre o exersare intensă și sistematică.

Cunoștințele cu conținut matematic antrenează memoria copiilor pentru că îi determină să rețină, să păstreze și să reproducă conștient cunoștințele acumulate, să memoreze regulile unui joc didactic sau logic, să-și formeze deprinderi de lucru, pricepere în a rezolva diferite situații în contexte diverse. Aceste deprinderi îl pot influența în plan atitudinal și social devenind utile în activitatea practică. Datorită activităților matematice copilul devine conștient de propria gândire, știe “ce face” și “pentru ce face”, de a se exprima precis și corect.

Gândirea copilului înregistrează progrese calitative datorită activității matematice și sistematice complicate.

Matematica stă la baza gândirii și a progresului și constituie impulsul dinamicii sociale. Înțelegerea conceptelor matematicii duce la formarea unei gândiri logice și creatoare, matematica învățându-se din viață și pentru viață.

1.2.2. Predarea geometriei la gimnaziu

Predarea geometriei trebuie să țină cont de etapele mentale de dezvoltare ale copilului, fiind o materie riguroasă bazată pe demonstrații, care necesită formarea conceptelor geometrice și realizarea unor operații logice.

O primă etapă o constituie predarea pregeometrică caracterizată de introducerea formelor geometrice, desenarea unor figuri, măsurarea concretă a unor distanțe, a unor arii și volume, folosind unități de masură nonstandard. În această etapă elevul începe să-și formeze convingeri despre conservarea distanțelor, a ariei, a volumelor, a greutăților, atunci cand forma unora suferă modificări. Intuiția are un rol major și proprietățile geometrice sunt treptat “simțite” de către elevi. Elevii de gimnaziu au ca fond de reprezentări geometrice : segmentul, linia frântă, linia curbă, unghiurile, care sunt introduse ca denumire a unor imagini ce prezintă anumite particularități percepute exclusiv vizual de către elevi.

Figurile geometrice de la segmente, linii frânte și curbe, la poligoane, paralelogram, dreptunghi, romb, pătrat, trapez; se recunosc, desenează și realizează concentric.

Majoritatea figurilor geometrice prezentate sunt plane, dar elevii primesc și acționează asupra unor corpuri geometrice spațiale chiar din timpul învățământului primar. Sub îndrumarea profesorului ei deprind unele particularități ale acestora, le denumesc și învață să le deseneze : paralelipiped, prismă, piramidă, cilindru, con, sferă.

În clasele VI-VII, studiindu-se doar geometria plană este absolut necesar ca la începutul clasei a VIII-a să se recapituleze introducerea concretă, cu ajutorul modelelor, a principalelor corpuri geometrice întâlnite de elevi inclusiv în clasa a V-a.

Elevul poate trece la operații cu propoziții matematice începând din clasa a VI-a, într-o manieră ipotetico-deductivă, fără a se mai baza pe obiecte concrete. Acum se pot forma raționamente de tipul “dacă-atunci”, se pot sesiza incompatibilități, disjuncții, conjuncții.

Acum copilul începe să simtă necesitatea unor demonstrații matematice, poate efectua operații asupra unor propoziții admise ipotetic adevărate, fără a valorifica veridicitatea lor printr-o operație concretă. Aceste operații deductive acționează asupra conceptelor din realitate și este esențial să nu se grăbească introducerea demonstrației. Cel mai frumos exprimă această convingere matematicianul H. Freudenthal: “ Într-o zi copilul va întreba “de ce ?”, și nu este de folos să începem geometria sistematică înainte ca acel moment să fi venit”, deoarece i-ar putea dăuna cu adevărat.

Predarea geometriei ca un mijloc de a-i face pe copii să simtă forța spiritului omenesc a propriului lor spirit nu trebuie lipsiți de dreptul de a face ei însuși descoperiri.

Cheia geometriei este expresia “de ce”. “Numai ucigașii de bucurii vor înmâna cheia mai devreme”. (Gazeta Matematica, seria A nr. 2,3,1958).

Dezvoltarea progresivă a inteligenței face posibil studiul geometriei bazate pe demonstrații. O valoare didactică de necontestat îl are principiul intuiției. Pe parcursul demonstrațiilor geometrice nu putem renunța la figură, o utilizăm pentru a reprezenta simplificat unele operații mentale.

De exemplu, pentru o problemă referitoare la triunghi, ne imaginăm și desenăm un triunghi. Triunghiul desenat este unul oarecare reprezentând o întreagă clasă de triunghiuri cu o anumită proprietate specificată în enunțul problemei, deservind un triunghi particular cu dimensiuni fixate. Demonstrația făcută este adevarată pentru orice triunghi cu proprietatea dată. Așadar elevul trebuie să facă distincția între desenul geometric, căruia îi atașează atribute materiale și figura geometrică, entitate mentală.

Figurile abstracte sunt supuse unor operații logico-deductive, nu aplică aceste operații unor desene. Modurile și gesturile prin care desenăm pe diferite suporturi, sugerează operațiile mentale pe care le facem asupra figurii geometrice.

Desenarea unei figuri geometrice în spațiu are un rol major, acesta realizându-se ținând cont de câteva convenții de desen.

Predarea geometriei în gimnaziu are următoarele obiective:

clarificarea conceptelor geometrice, a relațiilor intuitiv – abstract; intuitiv – conceptual,

demonstrarea unor propoziții pornind de la altele, despre care se știe că sunt adevărate,

întărirea deprinderilor de calcul aritmetic și algebric,

dezvoltarea capacității de a realiza construcții geometrice corecte,

înțelegerea și stăpânirea pozițiilor relative ale dreptelor, punctelor și planelor în spațiu,

folosirea cunoștințelor privind pozițiile relative în studiul unor corpuri geometrice.

Prin contribuția pe care o aduce la formarea personalității și a raționamentului, geometria se bucură de o înaltă apreciere. Stilul sistematic al geometriei are în vedere înarmarea elevilor cu un bagaj de cunoștințe clare despre formele obiectivelor lumii reale, formarea și dezvoltarea la elevi a reprezentărilor spațiale a deprinderilor, aplicarea în practică a cunoștințelor geometrice, efectuarea măsurătorilor, calcularea ariilor sau a volumelor.

1.3. Tradițional/clasic și modern/alternativ în predarea geometriei

Metode de învățare:

– traditionale: conversația, prelegerea, explicația, povestirea, demonstrația, exercițiul, munca cu manualul.

– moderne: problematizarea, învățarea prin descoperire, învățarea pe grupe, prin cooperare, modelarea matematică, algoritmizarea, instruirea programată.

– de actualitate:

de învățare activă: brainstorming, mozaicului, investigația, proiectul, experimentul, jocul de rol.

de dezvoltare a creativității: brainstorming, cubului, turul galeriei, ciorchinelui, insert, KWL, MAPLE, GEOGEBRA.

Îmbinarea tradiționalului cu modernul, duce la realizarea unei lecții eficiente.

Originea termenului metodă provine din limba greacă, “methodos” însemnând “drum spre”.

Tradițional sau modern în predare?

Noile tendințe în didactica modernă nu corespund modelului tradițional de predare care se bazează pe un model de învățare pasiv (învațare frontală, studiul manualului și chestionarea). Cadrului didactic îi revine un rol foarte important în cadrul procesului didactic (cel de emițător), acela de a prezenta cunoștințele spre un receptor aproape pasiv, motivat să memoreze și să reproducă informația.

Implicarea directă a elevului este esența noului model de învățare, care este un model activ, ce presupune asimilarea cunoștințelor și dobândirea gândirii critice.

În cadrul activității la clasă noul model impune un nou tip de comunicare pe mai multe direcții: profesor-elev; elev-elev; elev-profesor; aflată în contradicție cu tipul unidirecțional profesor-elev, care este esența modelului standard. Întrepătrunderea rolurilor și schimbarea lor o demonstrează Kathee Terry. (1996)

Profesorul a fost:

– coordonator al activității grupurilor de elevi și sursă de informație,

– creator de reguli pe care le impune și actor principal,

– educator solitar.

Profesorul devine:

– intermediar al procesului de învățare,

– manager al situațiilor de învățare bazat pe realitate și pe cele mai noi surse de informare,

– component al unei comunități alcătuite din elevi, manageri, profesori, parinți, etc.

Elevul a fost:

– un executant supus al sarcinilor primite de la profesor,

– dependent al unui curriculum prestabilit,

– o persoană pasivă, forțată să-și însușească un anumit tip de manual.

Elevul trebuie să fie:

– profesor al colegilor săi,

– să contribuie activ la actul învățării,

– să ia parte la decizia privind curriculum-ul școlar,

– un căutător continuu de informații noi din surse variate.

Modelul tradițional de predare este unul informativ, pe când cel modern este catalogat ca un proces activ.

Activitatea didactică prezintă raportul dintre procesul de învățare activă și procesul de învățare pasiv.

Activitatea individuală și competiția între elevi sunt promovate în învățământul de tip tradițional în scopul ierarhizării acestora.

Efortul și productivitatea individului sunt stimulate în cadrul competiției, pregătește elevii pentru viață, dar totodată poate genera comportamente agresive, lipsa de comunicare între elevi, marginalizarea unora dintre ei, amplifică anxietatea și cultivă egoismul. Pe de altă parte învățământul modern se referă la experiența elevului, promovează învățarea prin colaborare și pune accent pe dezvoltarea gândirii în competiția cu alții. Munca în grup duce la interacțiunea dintre elevi, diminuează anxietatea față de școală și intensifică punctele de vedere pozitive față de cadrele didactice.

Munca prin colaborare, metodele active aplicate în activitatea pe grupe sunt mari consumatoare de timp, iar elevilor le trebuie perioade mai îndelungate de timp să se familiarizeze cu acest tip de învățare. Realizarea obiectivelor unei lecții presupune alegerea metodelor de învățământ optime.

Nicolae Iorga aprecia că: “Metoda cea mai bună are valoarea pe care i-o dă omul care o întrebuințează. Ea nu are valoare generală democratică, prin care orice minte omenească ajunge a nimeri pe același la aceeași siguranță în țintă. Iar valoarea omului care întrebuințează metoda atârnă, desigur, și de o anume inteligență, care nu e apanajul oricui, dar atârnă și de mijloacele pe care i le pune la îndemână numai cultura generală, multilaterală, dând trei virtuți fără care nici știința în cel mai înalt sens al cuvântului nu se poate. Aceste trei virtuți sunt: orizont, disciplină și omenie”.

Motodele tradiționale se practică în școlile din România în proporție mult mai mare față de cele moderne, tendința fiind spre implementarea celor din urmă, dar fără anularea primelor, se dorește realizarea unei simbioze între cele două tipuri.

Supraviețuirea modelului modern nu se poate face fără fundamentul celui tradițional. Profesorului îi revine sarcina de a implementa, de a combina și de a demonstra eficiența acestor metode.

1.3.1. Metode tradiționale de predare

PRELEGEREA

Prelegerea ca metodă tradițională este centrată pe conținutul învățării și pe profesor. Prelegerea rezidă în prezentarea de către profesor în mod neîntrerupt a unui conținut matematic. În cadrul acestei metode se prezintă demonstrații, teoreme, definiții, algoritmi, definiții, cantități foarte mari de informație. Această metodă este recomandată la clasele mai mari când elevii au o putere mai mare de concentrare și de păstrare a atenției. Profesorul poate avea succes în utilizarea prelegerii doar utilizând un plan didactic pregătit anterior și permițând participarea activă a elevilor.

Avantaje:

– metoda poate fi adaptată elevului,

– poate fi de inspirație,

– profesorul trebuie să facă o pregătire prealabilă, presupunând resurse minime,

– este o metodă rapidă și totodată mai personală decât cele scrise,

– pentru a transmite explicații este o metodă convenabilă.

Dezavantaje:

profesorul merge în pas cu toată clasa,

profesorii fără experiență au tendința de a prezenta materialul prea repede,

este plictisitoare,

nu există implicarea directă a elevului,

concentrarea este mai slabă față de alte metode de învățare,

elevii nu pot utiliza ideile care li se predau.

Cel mai mare dezavantaj al discursului este viteza mare a vorbirii, cei mai mulți oameni vorbind cu 100-200 cuvinte pe minut, deci o prelegere de o oră ar putea fi cât o carte de dimensiuni mai mici. Un profesor cu un ritm moderat poate citi o anumită cantitate de informații de 20 de ori mai repede decat o pot învăța elevii. De asemenea alt factor important este perioada de concentrare a elevilor care diferă de la 5 la 20 de minute. Pe termen scurt memoria se umple repede, iar materialul nou îi ia locul celui vechi. Profesorul chiar și în situația unei prezentări moderate nu poate garanta concentrarea tuturor elevilor din clasă pe toată durata orei. În vederea îmbunătățirii prelegerii vom prezenta câteva sugestii:

vorbiți suficient de tare,

faceți o pauză mai mare înainte de punctarea unei idei de bază,

dacă un elev vorbește în timpul prezentării nu vă întrerupeți, ci apropiați-vă de el privindu-l în ochi,

păstrați contactul vizual cu elevii,

faceți materialul prezentat ușor de înțeles utilizând termeni uzuali,

folosiți materialul vizual, videoproiectorul, tabla,

nu încercați să transmiteți toate cunoștințele dumneavoastră,

folosiți întrebările solicitând elevul, bazați-vă și pe învățarea independentă, dați elevilor un rezumat înainte de lecție.

Prelegerea este de sinteză când profesorul face un rezumat asupra unui material ce a fost deja transmis, sau este introductivă, atunci când profesorul comunică anticipat conținutul ce urmează a fi predat în clasă. Prin combinarea prelegerii cu dezbaterea se obține varianta de prelegere-dezbatere. Dezbaterile trebuie pregătite din timp, ele având la bază cunoștințe deja expuse de către profesor.

Pentru evitarea unei prelegeri ineficiente sau monotone profesorul trebuie să introducă în timpul acesteia următoarele elemente caracteristice:

– diversificarea activităților,

– explicarea,

– pregătirea de materiale ajutătoare,

– exemplificarea,

– concluzionarea.

Activitatea didactică bazată doar pe prestația profesorului poate duce la o lipsă de inițiativă, de interes din partea elevilor și la o inhibiție intelectuală a acestora. Datorită acestor motive prelegerea este folosită mai puțin în clasele de gimnaziu.

Cu ajutorul prelegerii se poate prezenta un conținut care implică următoarele reguli:

– anunțarea planului temei,

– conținutul trebuie să fie adaptat vârstei școlare,

– stabilirea clară a obiectivelor,

– succesiunea logică a conținutului,

– folosirea tehnicii informaționale,

– interacțiunea cu alte metode,

– folosirea întrebărilor retorice.

EXPLICAȚIA

Explicația este centrată pe profesor și pe conținutul învățării. Explicația constă în comunicarea unor cunoștințe într-un interval de timp scurt de către profesor în cazul în care elevul pe baza cunoștințelor anterior însușite nu le poate reține singur. În predarea matematicii este o metodă foarte des utilizată. Modul de gândire al profesorului este expus logic și argumentat iar elevii îl urmăresc căutând să-l înțeleagă. Eficiența explicației poate fi mărită de către profesor care trebuie să controleze dacă este urmărit de elevi, observând mimica lor, să uzeze de întrebări, repetiții și explicații suplimentare, de asemenea profesorul trebuie să prezinte conținutul la nivelul de înțelegere al elevilor. Explicația trebuie să fie clară și convingătoare, să dezvolte la elevi imaginația. Ca metodă se poate utiliza la:

– descrierea unor algoritmi,

– raționamente (metoda triunghiurilor congruente, metoda reducerii la absurd),

– introducerea noțiunilor,

– metode de construcții grafice, efectuarea de desene la geometrie (cum se utilizează instrumentele geometrice).

Instrucția în matematică este dominată de elemente explicative. Profesorul expune argumentat și logic modul lui de gândire, în scopul de a învăța elevul cum trebuie să gândească rezolvarea problemei respective. Pentru a combate pasivitatea elevilor profesorul trebuie să-i motiveze să gândească în același timp cu el. Esențial este ca profesorul să gândească din punctul de vedere al cunoștintelor elevilor și a mijloacelor lor de gândire. Modul de gândire și argumentele sunt esențiale, dar trebuie să se menționeze și cum nu e bine să se gândească.

Introducerea unei noțiuni prin mai multe căi este posibilă, dar este recomandabil să se indice aceste căi, să se compare, promovând-o pe cea rațională. Recurgerea la explicație este necesară pentru înțelegerea anumitor noțiuni matematice ori a unor raționamente matematice. În continuare o să ne oprim și asupra artei de a explica.

Talentul de a explica este considerat de către elevi cel mai important lucru la un profesor. În situația în care elevii nu înțeleg nu este vina lor, profesorul trebuie să-și dezvolte capacitatea de a explica. O explicație de calitate trebuie:

– să se întemeieze exclusiv pe cunoștințe pe care elevul le are deja,

– să fie adaptată grupului,

– să conțină doar informații care să ducă la o descriere bine gândită,

– să fie prezentată cu răbdare, convingător,

– să fie axată pe expresii cheie,

– să fie stabilită pe un lanț de raționamente logice,

– să fie bine structurată, e bine să înceapă explicația anunțând ce vrem să explicăm și de ce,

– noțiunile abstracte să fie introduse prin exemple și contraexemple concrete, elevii își formează concepte noi, definițiile sunt explicații abstracte, care utilizează concepte abstracte, esențial este să se plece de la exemple să fie întrebați elevii care sunt asemănările dintre ele (inducție incompletă),

– să conțină reprezentări vizuale ale conceptelor expuse, diagrame grafice, tot ce poate ajuta înțelegerea,

– sintetizarea conceptelor explicate.

După ce le arată elevilor cum trebuie să gândească pentru a rezolva o problemă, profesorul e bine să mai rezolve o problemă asemanatoare cu ajutorul elevilor, deci elevii sunt ghidați și au mai multă încredere astfel în reușita lor. După aceea sunt lăsați să rezolve singuri exerciții asemănătoare. Ca metodă de învățământ explicația trebuie să aibă următoarele caracteristici:

– să respecte rigurozitatea logică a cunoștintelor adoptate pe nivel de vârstă,

– să motiveze o idee pe bază de argumente,

– să înlesnească înțelegerea unor aspecte din realitate,

– să intermedieze dobândirea de cunoștințe a unor tehnici de acțiune,

– să aibă un rol de anticipare, dar și de concluzionare,

– să influențeze eficient resursele emoționale ale copiilor.

Pentru o utilizare eficace a acestei metode trebuie avute în vedere urmatoarele cerințe:

– să fie concisă,

– să fie precisă,

– să fie exactă din punct de vedere matematic,

– să fie adaptată nivelului de înțelegere al copiilor.

Copiii găsesc în explicație, dacă este corect aplicată un model de raționament matematic, de vorbire, un model de abordare a unei situații problemă și prin intermediul ei înțeleg mai bine ideile ce li se comunică. Explicația în cadrul activităților matematice este folosită atât de profesor, cât și de elevi. Profesorul explică procedeul de utilizare a mijloacelor didactice, explică regulile jocului, sarcinile de lucru. La rândul său elevul explică soluțiile la care a ajuns în rezolvarea sarcinii didactice, utilizând limbajul matematic. Explicația este în strânsă legătură cu demonstrația pe care o însoțește și o susține. În cadrul susținerii explicației pot să se facă întreruperi ce au ca scop adresarea de întrebări copiilor, prin care se verifică gradul de captare și înțelegere, dar acestea trebuie să fie de scurtă durată, pentru a nu întrerupe logica demersului prezentat.

Exemple:

Cum se folosesc instrumentele geometrice la construcția perpendicularei dintr-un punct și într-un punct pe o dreaptă.

Realizarea desenelor la geometrie în spațiu.

Descrierea unor raționamente, de exemplu – metoda triunghiurilor congruente, metoda reducerii la absurd.

POVESTIREA

Organizarea unor lecții centrate pe această metodă presupune atât imaginație cât și inițiativă din partea profesorului, dar și a elevilor. Rutina orelor care se desfășoară la fel poate fi combătută prin folosirea unor metode specifice altor discipline.

Povestirea ca metodă de studiu prezintă urmatoarele caracteristici:

– metodă centrată pe profesor și pe conținutul învățării,

– se folosește cu prioritate la clasele mici,

– metodă de comunicare orală,

– metodă specifică altor discipline.

Povestirea apare doar pentru prezentarea unor elemente de istoria matematicii. Aceste incursiuni istorice sunt bine venite pentru marirea motivației învățării unor capitole (se pot prezenta întâmplări amuzante care au dus la descoperirea unor noțiuni).

Prin metoda povestirii se pot introduce teoreme celebre cum ar fi Teorema lui Pitagora cât și datele biografice ale matematicienilor care s-au ocupat de studiul lor.

Exemple:

Numărul Φ a fost cunoscut încă din antichitate, iar din secolul
XIX a primit numele de "Secțiunea de Aur", "Numărul de Aur"
sau "Raportul de Aur". Prima definiție clară a numărului a fost
datată prin jurul anului 300 î.Hr. de către Euclid din Alexandria,
părintele geometriei ca sistem deductiv formalizat.

Cum putem regăsi valoarea raportului de aur folosind configurații geometrice?

Să redescoperim valoarea lui ∮ făcând raportul lungimilor laturilor celui mai „frumos” triunghi, „triunghiul de aur”!

Este vorba despre un triunghi isoscel ABC, [AB][AC], cu măsura unghiului din vârf egală cu .

Sarcini de lucru:

– realizați o figură reprezentativă folosind instrumentele geometrice;

– folosiți notațiile ;

– trasați bisectoarea unghiului ABC

Ne propunem să demonstrăm că .

Desigur, . Ideea rezolvării problemei constă în trasarea bisectoarei unghiului ABC, fie ea [BK], unde . Astfel se formează triunghiurile isoscele ABK și CKB. (De ce?)

(De ce?) obținem:

Rezultă .

Notăm și obținem ecuația de gradul al II-lea .

Vom rezolva această ecuație prin decompunere în factori. Formăm pătratul unui binom: sau . Deoarece t este un număr pozitiv, soluția care convine este =∮

Observație:

Triunghiul de aur este un bun model matematic pentru a recalcula cos:

Aplicăm teorema cosinusului în triunghiul ABC și avem:

La fel de interesant este „dreptunghiul de aur”, respectiv acel dreptunghi în care raportul dintre lungime și lățime este egal cu ∮.

Sarcini de lucru:

– realizați o figură reprezentativă folosind instrumentele geometrice;

Este remarcabil faptul că decupând un pătrat dintr-un dreptunghi de aur, se obține un nou dreptunghi de aur, procedeul putând continua la infinit!Am obținut astfel „o fabrică” de dreptunghiuri de aur.

demonstrați că dacă ABCD este un dreptunghi în care ∮, iar AMND este un pătrat, atunci dreptunghiul MBCN are proprietatea că ∮.

Steaua cu 5 colțuri, simbolul adepților lui Pitagora (pitagoreicienilor), se obține astfel:

trasăm un cerc pe care îl împărțim în 5 arce congruente, construind unghiuri la centru congruente, fiecare având măsura egală cu: ;

unim punctele de diviziune de pe cerc și obținem pentagonul regulat ABCDE;

trasăm diagonalele acestui pentagon regulat, care prin intersecție vor forma steaua cu 5 colțuri.

Sarcini de lucru:

– folosind notațiile din figură, calculați măsurile unghiurilor care s-au format în interiorul acestui pentagon și distingeți triunghiurile de aur.

– folosind notațiile din figură și proprietatea triunghiului de aur, redescoperiți numărul ∮, calculând valoarea rapoartelor: .

Thales din Milet (624 i.Hr. – 546 i.Hr.)

Primul filozof grec și primul matematician al Greciei Antice a fost Thales din Milet. Acesta s-a născut în 624 i.Hr., în Milet.

Thales din Milet a devenit celebru pentru că a prezis cu multă exactitate eclipsa de Soare din 8 mai 585 i.Hr., folosindu-se de cunoștințele pe care și le-a însușit de la babilonieni. A descoperit “Carul Mic”.

Marele filozof grec Thales din Milet a folosit teorema care îi poartă numele la calcularea înălțimii piramidelor din Egipt, măsurând umbra acestora când umbra unui om este egală cu înălțimea sa. Deci s-a folosit de relația dintre umbră și dimensiunea corpului care o proiectează. Tot cu ajutorul teoremelor sale, Thales a calculat și distanța unei nave de țărmul mării.

DEMONSTRAȚIA

Demonstrația este o metodă de predare-învățare de bază, specifică matematicii, valorificând varietatea cunoștințelor și a situațiilor de învățare. Fiind o metodă intuitivă este dominantă în activitațiile de dobândire de cunoștințe, valorificând caracterul activ, senzorial al percepției copilului. Demonstrația este o metodă tradițională centrată pe elev și pe conținutul învățării. Raportul optim dintre demonstrație și explicație este dat de particularitățile de vârsta ale copiilor și de nivelul lor de cunoștințe. O situație matematică nouă va fi demonstrată și explicată de profesor. Demonstrația este mai eficientă dacă sunt respectate unele cerințe de ordin psihopedagogic. Demonstrația trebuie să favorizeze învățarea prin crearea motivației specifice (trezirea interesului), trebuie să respecte proporția corectă în raport cu explicația. Ca metodă specifică de justificare a teoremelor demonstrația matematică constă în a arăta că dacă ceea ce afirmă ipoteza are loc, atunci concluzia rezultă din ea în mod logic. În fiecare demonstrație ne putem baza numai pe axiome și teoreme demonstrate anterior. Nu pot fi utilizate propoziții, proprietăți care încă nu au fost demonstrate, acestea putându-se baza la rândul lor pe teorema de demonstrat. Ca și semn distinctiv al matematicii demonstrația este o parte esențială a contribuției matematicii la cultura generală. Elevul care nu a fost impresionat niciodată de o demonstrație matematică a fost lipsit de una dintre trăirile intelectuale de bază. În cadrul unei lecții prezentate la clasă nu trebuie să se exagereze cu demonstrarea riguroasă, fără a se ține cont de nivelul clasei, poate conduce din partea elevilor la o îndepărtare de matematică. În acest sens prezentăm următorul exemplu:

“Dintre trei puncte pe o dreapta unul și numai unul este situat între cele două”. Propoziția precedentă afirmă un lucru esențial despre natura unei drepte. În situația în care trei puncte se găsesc pe un cerc, de exemplu fiecare dintre ele se găsește între celelalte două. Această propoziție ar trebui demonstrată la liceu sau la gimnaziu. Demonstrația acestei propoziții pornește de la axiome, dar această demonstrație facută în fața unor elevi de gimnaziu sau de liceu ar putea fi considerată stupidă de aceștia. În cadrul predării-învățării teoremelor esențial este să se aibă în vedere următoarele aspecte:

– transcrierea în simboluri matematice ipoteza și concluzia,

– să se desprindă ipoteza de concluzie,

– să se aibă în vedere însușirea faptului matematic exprimat în teoreme,

– demonstrația să se facă folosind formele de scriere specifice cu precizarea efectuării dublei implicații pentru teoreme cu formulările: ”condiția necesară și suficientă sau dacă și numai dacă”.

Demonstrația poate fi:

inducție matematică (se realizează trecerea de la propoziții particulare la generale)

sintetică (se pleacă de la propoziții particulare spre propoziții generale)

analitică (se pornește de la propoziții generale spre propoziții particulare)

Pentru dezvoltarea diferitelor propoziții matematice cele două metode analitică și sintetică se folosesc combinat.

Întreaga activitate matematică este dominată de demonstrație, care implică diverse procedee și tehnici de învățare.

Exemplu:

Fie n pătrate arbitrare, unde n este un număr natural oarecare. Să se demonstreze că ele pot fi tăiate în părți astfel încât din ele să se poată construe un nou pătrat.

Soluție :

fig.1 fig.2

Pentru n=1 afirmația nu necesită demonstrație.

Pentru n=2, considerăm pătratele ABCD și A’B’C’D’ de laturi a, respectiv b.

Presupunem a ≥ b. Fie M, N, P, Q pe laturile pătratului ABCD astfel încât:

AM = BN = CP = DQ =

Triunghiurile AQM, BMN, CNP, DPQ sunt congruente.

=>MQPN = pătrat (în particular, MP ┴ QN).

Tăiem pătratul ABCD după dreptele MP și NQ, obținând 4 părți egale (figura 1).

Aceste părți se pot aplica pe laturile celuilalt pătrat, rezultând tot un pătrat (figura 2).

Presupunem afirmația adevărată dacă avem n pătrate și vom considera acum n+1 pătrate. Alegem două pătrate oarecare și, procedând ca la pasul n=2, obținem din aceste un nou pătrat. Astfel, numărul pătratelor se reduce la n și aplicăm ipoteza de inducție.

EXERCIȚIUL

Metoda exercițiului este o metodă tradițională centrată pe profesor și pe activitate în care predomină activitatea practică, reală. Automatizarea acțiunii didactice prin această metodă constă în consolidarea și perfecționarea operațiilor de bază care asigură realizarea unei sarcini didactice la niveluri de performantă. Fiind considerate acțiuni efectuate repetat în mod conștient de către elev exercițiile duc la dobândirea de noi deprinderi, priceperi și cunoștințe.

Cadrul didactic trebuie să analizeze toate căile de rezolvare acolo unde exercițiul permite mai multe variante de rezolvare și le alege pe cele mai importante, rezolvându-le pe grupe, comparând rezultatele, avantajele și dezavantajele fiecărei metode. În mod obligatoriu se va propune cea mai bună soluție.

Metoda exercițiului este utilizată pentru a preveni interferența regulilor, principiilor, formulelor, teoriilor în cadrul fiecărei discipline de învățământ.

Tipuri de exerciții:

de aplicare a unor formule sau algoritmi cunoscuți,

de recunoaștere a unor noțiuni, formule, metode,

care permit însușirea unor noțiuni.

Metoda exercițiului are următoarele avantaje: munca independentă activează simțul critic și autocritic, îi învață pe elevi să-și aprecieze rezultatele, are posibilitatea depistării și eliminării erorilor, aduce un avantaj substanțial la dezvoltarea unui raționament flexibil.

Exercițiile pot fi:

– de calcul mintal,

– de autoinstruire,

– de recunoaștere,

– exerciții comentate,

– exerciții grafice,

– de aplicare imediată.

Un exercițiu are în vedere un set de acțiuni care se reiau, având un caracter algoritmic.

Învățarea matematicii se află în strânsă legătură și depinde de rezolvarea de probleme și exerciții.

Metoda exercițiului presupune îndeplinirea mai multor condiții:

enunțul este înțeles mai ușor de elevi, deoarece analiza enunțului este mai sumară decât la rezolvarea problemelor,

se aleg mai multe exerciții asemănătoare,

rezolvarea exercițiului nu trbuie să fie mecanică,

se asigură precizie în rezolvare,

cunoștințele utilizate în cadrul rezolvării sunt la îndemână.

În studiul matematicii aproape nu există lecție în care să nu se aplice metoda exercițiului.

Exemplu:

Exerciții de construcții grafice.

MUNCA CU MANUALUL

Metoda muncii cu manualul este utilizată pentru a studia și asimila cunoștinte noi, fiind o formă de muncă independentă. În acest sens se utilizează metode auxiliare matematice (culegeri de probleme), monografii, reviste de matematică.

Dacă pentru elev documentul operațional este manualul școlar, profesorul utilizează ca principal document programa școlară. Pentru profesor manualul școlar este considerat ca un suport de predare în timp ce pentru elev acesta constituie un suport de învățare. Programa școlară trebuie să se regăsească în manualele alternative, în timp ce auxiliarele curriculare reprezintă materialele didactice aflate la îndemâna profesorului și a elevilor.

Elevii de liceu și gimnaziu utilizează în proporție de 80% manualul pentru probleme și exerciții, nu pentru studierea teoriei. Profesorul trebuie să încurajeze studiul individual al muncii cu manualul.

Manualul trebuie să corespundă și să fie strict adaptat treptei de învățământ căruia i se adresează. În predarea matematicii nu trebuie să se facă abuz de această metodă, dar se recomandă a fi utilizată de către profesori.

Unul dintre obiectivele principale și fundamentale ale studierii matematicii se poate realize prin această metodă și anume de ”a-l învăța pe elev cum să învețe”.

Utilizarea acestei metode se poate realiza în mai multe forme ca de exemplu:

O demonstrație a unei teoreme poate fi realizată de către profesor printr-o metodă care nu este prevăzută în manual, apoi le solicită elevilor să studieze demonstrația prin altă metodă din manual, apoi să se compare metodele folosite, punându-se accent pe demonstrația prevăzută în manual. Prezentarea unei teoreme la clasă prin altă metodă și apoi studiul acesteia prin muncă individuală cu manualul.

Exemplu:

Profesorul face la tablă demonstrația teoremei: “Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este de 180°”, apoi le cere elevilor de clasa a VI- a să studieze prin muncă independentă cu manualul consecințele acestei teoreme:

“Unghiurile ascuțite al unui triunghi dreptunghic sunt complementare.”

“Dacă un unghi al unui triunghi dreptunghic are măsura de 45°, atunci triunghiul este isoscel.”

“Dacă un triunghi este dreptunghic și isoscel, atunci fiecare unghi ascuțit al triunghiului are măsura de 45°.”

“Unghiurile unui triunghi echilateral au măsurile de 60°.”

“În orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz.”

Diversificarea ofertei educaționale prin intermediul manualelor alternative se realizează printr-un principiu pedagocic ce urmărește trecerea de la ”învățământul pentru toți” la ”învățământul pentru fiecare”. Ele pot să propună variante de cunoaștere, să disciplineze gândirea, să-i motiveze pe elevi să parcurgă învățarea într-un mod personalizat. Pentru ca manualele să fie utilizate cât mai eficient la clasă trebuie ca predarea unei lecții să fie înlocuită de către profesor cu propunerea făcută elevilor de a citi lecția din manual, urmată de prelucrarea de către aceștia a informațiilor esențiale din lecție și de realizarea unui rezumat.

Prin aceasta se realizează o excelentă modalitate de lucru în grup și se exersează comunicarea specifică matematicii.

Foarte important este și minimizarea notițelor elevilor.

La clasele mici, pentru a evita scrierea după dictare, care poate fi mare consumatoare de timp, mai util este să se folosească manualul pentru a citi împreună cu elevii definiții, precizări, recomandări și a le comenta împreună cu elevii. Datorită acestui fapt elevii se concentrează asupra esențialului, stresul datorat necesității scrierii rapide fiind înlăturat. După citirea definiției cereți elevilor să gândească și să găsească legături cu alte noțiuni studiate anterior, exemple și contraexemple.

Integrarea în predare a sarcinilor de lucru din manual conduce la o dinamizare a învățării.

Pentru a eficientiza învățarea profesorul trebuie să faciliteze incertitudinea, nesiguranța în răspunsuri tocmai pentru a promova învățarea.

CONVERSAȚIA

Este o metodă centrată pe elev și pe conținutul învățării. Ca metodă tradițională este foarte utilizată în matematică și constă în dialogul dintre profesori și elevi unde profesorul este un partener pentru aceștia. Aceasta presupune o participare activă a elevilor. Când nu înțeleg ceva elevii trebuie să adreseze întrebări profesorului, astfel fiind atrași și elevii neatenți sau mai puțin disciplinați.

Clasificarea formelor de conversație poate fi făcută astfel:

1. După numărul de personae cărora li se adresează întrebarea:

frontală (întrebările se adresează clasei în totalitate și răspunsurile vin de la elevi diferiți),

individuală (profesor și elev)

2. După obiectivele urmărite:

introductive (pentru reîmprospătarea cunoștințelor anterioare și pentru captarea atenției),

în cadrul prezentării materialului nou,

pentru recapitulare,

pentru consolidarea noilor cunoștințe,

în procesul de evaluare a cunoștințelor,

finală.

3. După adresabilitatea întrebării:

a) catehetică (când întrebările se adresează memoriei),

b) euristică (când întrebările se adresează raționamentului).

Profesorul trebuie să conducă conversația așa încât să se contureze o idee înainte să se treacă la altele, totodată înfăptuindu-se și unitatea lecției.

Conversația este esențială pentru însușirea și dezvoltarea limbajului matematic. Elevul întâmpină mai multe dificultăți în cadrul acestui proces, care sunt examinate pe mai multe planuri.

– limbajul scris și oral – în matematică există cuvinte al căror înțeles diferă de la cel uzual astfel profesorul trebuie să explice ambele înțelesuri. Există și cuvinte care nu apar în limbajul uzual și sunt proprii matematicii, acestea trebuie introduse ca și cuvintele unei limbi străine în mai multe etape:

– prezentarea cuvântului,

– exerciții care permit trecerea de la cuvânt la proprietate și invers,

– exerciții care utilizează cuvântul într-un context,

– fixarea lui prin aplicații concrete,

– între realități vecine pot să apară confuzii (înălțime, mediană) sau denumiri asemănătoare (mediană, mediatoare), profesorul trebuie să precizeze noțiunea pe care o folosește.

Reprezentări schematice.

Utilizarea simbolismului matematic.

Introducerea simbolurilor matematice se face din clasele mici (geometrie) deoarece acestea sunt ușor asimilate de elevi. Un instrument extrem de important considerat de profesorii cu experientă sunt întrebările. Predarea prin intermediul întrebărilor îi ajută pe elevi să gândească. Prin întrebări se stimulează curiozitatea elevilor fiind încurajați să gândească în stilul lecției. Elevii sunt motivați să folosească logica disciplinei. Lecția bazată pe întrebări se bazează pe înțelegerea fenomenului și nu pe simpla cunoaștere a acestuia. Prin predarea frontală elevilor li se comunică ceea ce ar trebui să știe, dar nu se pune accent pe remiterea celor predate sau pe înțelegerea acestora. Corectarea presupunerilor greșite se numește dezmăț. Prin intermediul întrebărilor își însușesc proprile lor presupuneri, iar cunoștințele anterioare sunt corectate.

O parte vitală a procesului de învățare o constituie corectarea.

În timpul lecției profesorul care folosește întrebări primește feed-back pe loc despre nivelul de înțelegere al elevilor. Orice elev este bine să știe că învățarea lui este un succes. Cea mai mare motivație a unui elev este lauda primită de la profesor imediat dupa un răspuns corect. Recompensa imediată încurajează învățarea. Avantajele întrebărilor (conversației) ca metodă de predare sunt:

– asigură că învățarea se întemeiază pe învățarea anterioară într-o manieră constructivă,

– oferă feed-back imediat dacă învățarea s-a produs, atât elevului cât și profesorului,

– încurajează înțelegerea și nu memorarea mecanică,

– produce învățarea transferabilă,

– este o activitate interesantă pentru elevi,

– favorizează dezmățul, descoperă ideile și presupunerile greșite,

– este motivantă dând șansă elevilor de a-și demonstra rezultatele la învățătură,

– profesorul are șansa de a cunoaște problema vreunui elev,

– se poate disciplina un elev,

– încurajează dezvoltarea capacităților de gândire de rang înalt,

– permite profesorului să evalueze învățarea.

Dezavantajele conversației:

– consumă foarte mult timp,

– nu se pot implica toți elevii,

– este o tehnică complex.

Pentru a fi eficientă metoda conversației, profesorul trebuie să-și însușească tehnica de a pune întrebări. Întrebările nu trebuie să aibă mai multe posibile răspunsuri, nu trebuie să fie vagi, ci exacte cu un singur răspuns. Profesorul trebuie să aștepte după formularea întrebării, suficient timp ca elevii să gândească. Cu cât așteptarea este mai mare, cu atât elevii au posibilitatea să gândească mai mult și vor avea un răspuns mai amplu. Răspunsurile se încurajează cu formularea de întrebări simple. Profesorul trebuie să laude răspunsurile corecte. Dacă un răspuns nu se aude bine el trebuie repetat de profesor astfel încât toți elevii să-l audă. Răspunsurile incorecte nu trebuie ridiculizate, ci trebuie arătate raționamentele care ar conduce la răspunsul corect. Formularea de întrebări unei clase se face pe cât de larg posibil (ce-ar fi să răspundă cineva din ultima bancă). Tu ce părere ai? Ce-ar fi să răspundă cineva care nu a mai răspuns până acum? Trebuie incluși cât mai mulți elevi în conversație fără a-i ignora pe cei mai tăcuți sau timizi. Conversația dintre un elev și profesor trebuie să folosească contactul visual și poziția trupului pentru a-i face și pe ceilalți elevi din clasă să participe. Trebuie evitate întrebările la care se răspunde cu da sau nu, deoarece elevii pot ghici ușor răspunsurile după mimica profesorului. În situația în care elevii nu sunt prompți cu răspunsurile, profesorul trebuie să se asigure că întrebările sunt simple și că a lăsat suficient timp la dispoziție elevilor, și a lăudat răspunsurile corecte. Dacă nici în aceste condiții răspunsurile nu vin, se recomandă lucrul pe perechi. Întrebarea este scrisă pe tablă de către profesor, apoi elevii o discută pe perechi într-un interval de timp de 1, 2 minute apoi se laudă răspunsurile corecte. Prin această metodă se dă timp de gândire elevilor, li se permite să-și compare răspunsul cu cel al colegului crescându-le încrederea în posibilitățile lor.

Să revenim la conversația catehetică și cea euristică. Întrebările care solicită memoria elevilor ajută la fixarea învățării anterioare. Învățarea este mai mult decât memorare. Întrebările ce vizează raționamentul sunt cele de rang înalt.

Capacitățile de gândire de rang înalt sunt reținute în timp ce faptele sunt deseori uitate deoarece primele au o aplicabilitate generală și sunt mai des folosite. Conversația, ținând cont de obiectivele urmărite și de activitățile în care este integrată, are următoarele funcții:

de aprofundare a cunoștințelor,

de clarificare,

euristică de valorificare a cunoștințelor pe o nouă treaptă de cunoaștere,

de sistematizare și consolidare,

de control și verificare.

Conversația (dialogul) profesor-elevi este considerată ca cea mai eficientă modalitate de educație și una dintre cele mai active metode. Această metodă se dorește a fi îmbunătățită de pedagogii contemporani prin perfecționarea întrebărilor. Diversele tipuri de întrebări sub raportul formării și al conținutului îndrumă diferențiat și solicită nivelele activității mintale.

Exemplu:

Instrumentul de lucru al metodei este întrebarea. Întrebările adresate memoriei, dacă nu pot fi evitate, trebuie completate de întrebări care solicită gândirea și care pot lămuri calitatea răspunsului respectiv. La matematică trebuie să predomine întrebările care încep prin „de ce?” cu rol de incitare la gândirea productivă.

Trebuie avută atenție mare la întrebările puse la rezolvarea problemelor. Mai întâi elevii vor fi obișnuiți să încadreze problema într-un sistem de rezolvare, apoi să facă corect analiza problemei prin întrebări corecte, directe, simple, clare și concise (Care este întrebarea? Ce se dă? Ce trebuie să aflăm?).

1.3.2. Metode moderne/alternative de predare

Metodele moderne se află în antiteză cu cele tradiționale de învățare, punând accent pe învățarea prin cooperare. Implicarea elevilor în actul didactic și formarea capacității acestora de a emite opinii și aprecieri îl reprezintă principalul avantaj al metodelor activ-participative/moderne alternative. Pentru ca elevii să fie dispuși să lucreze în echipă este necesar respectarea a două condiții:

formularea unor explicații complete și corecte asupra sarcinii de lucru, astfel încât aceasta să fie înțeleasă de toți elevii,

asigurarea unui climat pozitiv în clasă.

Metodele moderne se caracterizează prin:

sunt centrate pe activitatea de învățare a elevului,

sunt orientate spre proces,

prioritizează dezvoltarea personalității elevilor,

sunt flexibile, încurajează învățarea prin cooperare,

relația profesor-elev se bazează pe respect și colaborare,

stimulează motivația intrinsecă.

Creșterea eficienței procesului educațional are la bază metodele moderne care încurajează inițiativa, creativitatea, participarea elevilor.

Problematizarea. Rolul problemelor în învățarea matematicii.

Ca și metodă modernă problematizarea este bazată pe elev și activitate. Profesorul de matematică în cadrul activității sale didactice utilizează tehnici diverse prin care elevul nu trebuie doar să rețină cunoștințe gata sistematizate, ci îl motivează să lucreze, să gândească prin eforturi personale. Scopul principal al profesorului în predare-învățarea matematicii prin problematizare este să-i determine pe elevi să gândească și să rezolve probleme care au un anumit grad de creație. Situațiile prin care elevul prin activitate proprie trebuie să descopere enunțul unei propoziții matematice,un altgoritm de calcul, definiția unei noțiuni, o nouă metodă de demonstrație se numesc situații- problemă.

Problemele, din punct de vedere pedagogic trebuie să îndeplinească următoarele condiții esențiale:

să fie adresate în cel mai potrivit moment din punctual de vedere al elevului,

să trezească interesul și să solicite efort din partea elevului,

să țină seama de cunoștințele anterioare ale elevului, adică să aibă sens.

Factorul decisiv în învățarea matematicii în învățământul preuniversitar îl constituie rezolvarea de exerciții și probleme.

Importanța acestora reiese și din următoarele aspecte:

– timpul destinat studierii teoriei este mai mic decât cel rezervat problemelor și exercițiilor,

– subiectele lucrărilor de verificare a cunoștințelor din cadrul testelor naționale, examen de bacalaureat și admitere la facultate, în marea lor majoritate presupun rezolvarea de probleme și exerciții,

– manualele conțin foarte multe exerciții și problem,

– aproape exclusiv temele pentru acasă constau din rezolvarea de probleme și exerciții,

– sursele problemelor pentru toate nivelurile sunt foarte bogate și inepuizabile,

– rezolvarea de exerciții și probleme au la bază și olimpiadele județene și naționale, cât și cele internaționale.

Învățarea matematicii se bazează în modul cel mai activ și eficace pe rezolvarea de probleme și exerciții. Cunoașterea rezultatului final de către profesor și metoda de rezolvare, face ca acesta să poată conduce și stimula căutările elevilor îndrumându-le raționamentul și gândirea.

Reformularea enunțului constituie un pas decisiv în rezolvarea problemelor de matematică.

George Polya spunea: “A găsi soluția unei probleme este o performanță specifică inteligenței, iar inteligența este apanajul distinctiv al specie umane…”

Exemplu :

Problemă de numărare:

Se consideră un triunghi echilateral de latură 4. Se duc paralele echidistante la fiecare din laturile sale obținându-se astfel triunghiuri de latură 1. Câte triunghiuri s-au format?

Soluție:

Se procedează într-un mod algorithmic, astfel:

sunt 16 triunghiuri de latură 1,

sunt 7 triunghiuri de latură 2 (3 cu baza pe prima linie, 2 cu baza pe a doua linie, 1 cu baza pe a treia linie – cu vârful în sus ; 1 triunghi cu vârful în jos),

sunt 3 triunghiuri de latură 3 (2 cu baza pe prima linie, 1 cu baza pe a doua linie – cu vârful în sus),

1 triunghi de latură 4.

În total sunt 27 de triunghiuri.

Ca metodă didactică problematizarea constă în prezentarea în fața elevului a unor dificultăți create intenționat, pentru ca prin depășirea lor elevul învață ceva nou. Există mai multe tipuri de situații problemă:

– elevul trebuie să aleagă dintr-un sistem de cunoștințe,

– observarea de către elev că soluția teoretică a problemei nu poate fi aplicată în practică,

– există un dezacord între cunoștințele elevului și cerințele impuse în rezolvarea problemei.

Problematizarea și metoda conversației euristice coexistă. Întrebările individuale utilizate în pregătirea introducerii unei noțiuni noi sau în predarea de noi cunoștințe pot determina situații conflictuale. Profesorul trebuie să facă astfel încât întrebările să se nască în mintea elevului înainte ca ele să fie formulate.

Exemplu:

Pentru descoperirea de către elevi a formulelor de calcul a ariilor pentru patrulatere se poate formula o problem concretă.

Peretele unei sere trebuie făcut dintr-un material rezistent vântului. Există mai multe materiale cu prețuri diferite: 20 lei, 30 lei și 50 lei pentru fiecare . Suma maximă care poate fi cheltuită este 1800 lei. Ce material trebuie cumpărat pentru a allege unul cât mai rezistent și să ne încadrăm în această sumă? Peretele are forma unui trapez isoscel cu un triunghi isoscel deasupra. Dimensiunile acestora sunt date.

Elevii vor observa că nu cunosc formula ariei pentru trapez și profesorul le cere să încerce să calculeze aria trapezului cu ceea ce cunosc până atunci. Se permite colaborarea între elevi. După ce găsesc soluția, se scrie calea de rezolvare pe tablă, elevii o transcriu. Apoi profesorul discută procedeul și pentru un dreptunghi și două triunghiuri dreptunghice congruente. Acest procedeu merge la un dreptunghi oarecare de laturi l și L? Elevii rezolvă ducând o diagonală. Dar dacă am fi dus cealaltă diagonal? (deoarece nu toți elevii au făcut aceeași alegere). Se obține același rezultat. Se scrie formula pe tablă. La fel se procedează cu un trapez oarecare, formula ariei obținându-se în moduri diferite. Analog pentru parallelogram.

Programa școlară conține multe capitole care se pot preda astfel, dar pentru aplicarea cu succes a metodei sunt necesare următoarele condiții:

– să existe în colectiv un spirit de întrecere pozitivă,

– să gândească nota ca o rasplată, pe plan secund fiind înțelegerea, descoperirea, creația,

– să fie obișnuiți să lucreze individual, dar și în echipă,

– elevii să fie activi la orele de matematică,

– să aibă deprinderi cognitive de nivel înalt,

– profesorul să fie atent să corecteze răspunsurile greșite,

– metoda necesită mult timp, astfel profesorul trebuie să fie conștient și să aplice metoda când își permite o predare mai lentă.

Exemplu:

Se consideră un cub ABCDMNPQ cu muchiile egale cu 1. Vom numi drum pe muchii o linie poligonală care unește două vârfuri ale cubului, constituită din muchii successive ale acestuia. Să se determine numărul drumurilor pe muchii ale cubului care unesc vârfurile A și P și lungimile lor știind că niciun astfel de drum nu trece de două ori prin același vârf.

Soluție:

Folosim următoarea schemă:

AB → BC → CP

AB → BC → CD → DQ → QP

AB → BC → CD → DQ → QM → MN → NP

AB → BN → NP

AB → BN → NM → MQ → QP

AB → BN → NM → MQ → QD → DC → CP

Se constată ușor, folosind schema de mai sus, că avem:

2 drumuri de lungime 3

2 drumuri de lungime 5

2 drumuri de lungime 7

Aceste drumuri pornesc cu muchia AB.

În total avem 6 drumuri de lungime 3, 6 drumuri de lungime 5 și 6 drumuri de lungime 7.

Aparent profesorul trebuie să arate faptul că el caută soluția împreună cu elevii arătând și ideea pe care se bazează când parcurge o anumită pistă de rezolvare.

Când recurge la o soluție ”constructivă” elevii trebuie să înțeleagă scopul realizării ei și să poată rezolva probleme similar singuri pe căi analoage.

Exemple:

Se consideră un semicerc de diametru AC de lungime a + b și înscriem în acesta un triunghi dreptunghic APC astfel ca înălțimea din P pe AC să determine segmente de lungimi a, b. Atunci înălțimea din P are lungimea

PB = h = și mediana PO are lungimea m = .

Evident că h ≤ m, deci ≤ .

Egalitatea are loc dacă și numai dacă PB este rază a semicercului, adică

B = O și deci a = b.

Se dau patru dreptunghiuri de dimensiuni a x b, a ≤ b, ca în figura:

Pătratul din interior are dimensiunile (b – a) x (b – a), deci are aria

. Obținem următoarea egalitate între arii:

= 4ab + .

=> ≥ 4ab, adică a + b ≥ 2.

Fie , două cercuri de centre A, B și de raze a, b tangente exterior în C.

Tangenta exterioară comună cercurilor este ST. Lungimea segmentului ST este ST = DB = = 2 .

Deoarece ST este catetă în triunghiul dreptunghic ADB, avem BD ≤ AB.

Deci 2 ≤ a + b.

Învățarea prin descoperire.

Este o metodă modernă având la bază elevul și activitatea. Elevul este în cadrul atenției, dar trebuie să dețină și o pregătire anterioară solidă, să poată exersa rezolvari de probleme. Profesorul regizează activitatea de descoperire eficiența metodei fiind dependența de ajutorul dat de profesor elevului. Din această cauză profesorul trebuie să cunoască bine problema, inclusiv situațiile unde elevii nu s-ar putea descurca. În clipele de dezorientare ale elevilor profesorul trebuie să intervină cu anumite sugestii. Eventualele raționamente eronate vor trebui corectate. Învățarea prin descoperire (redescoperire) poate fi independentă sau dirijată.

Această metodă evidențiază căile prin care se ajunge la dobândirea informațiilor, ajutând elevii la cunoașterea științei ca proces. Valoarea formativă a acestei metode dezvoltă capacitatea de cunoaștere a elevilor (pasiunea, interesul), dar și importante trăsături ale personalității (disciplina, originalitatea, ordinea, tenacitatea). În funcție de relația ce se stabilește între cunoștințele dobândite și cele care urmează a fi descoperite se disting următoarele tipuri de descoperire:

Descoperirea inductivă, în situația în care elevii analizează mai multe cazuri particulare, de unde reiese o regulă generală. În clasele mai mici se folosește intuiția și evitarea demonstrațiilor.

Descoperirea prin analogie are la bază transpunerea unor relații la contexte diferite, dar analoage. Analogiile pot fi de două feluri:

– de raționament,

– de conținut.

De exemplu analogiile dintre geometria plană și cea în spațiu, dintre algebră și aritmetică. Învățarea prin descoperire va putea fi aplicată doar când colectivul o va permite. Această metodă necesită timp, datorită faptului că unii elevi mai puțin pregătiți să nu se implice. Un mare avantaj îl constituie faptul că nu poți uita ceea ce ai descoperit singur. Interesul elevilor cu abilități superioare este stârnit de această metodă, sporindu-le încrederea în forțele proprii.

Exemplu:

Să se afle patrulaterul de arie maximă dintre toate patrulaterele cu perimetru dat.

Soluție:

Încă de la început, elevul trebuie să-și pună întrebări de genul:

Un patrulater este necunoscuta problemei?

Perimetrul patrulaterului este cunoscut?

Orice alt patrulater cu același perimetru trebuie să aibă aria mai mică decât patrulaterul căutat?

Această problemă este atipică, diferită față de problemele de geometrie elementară. Elevul trebuie să încerce să “ghicească”, să intuiască răspunsul, care va constitui o ipoteză de lucru.

Dintre toate figurile care au același perimetru, cercul are aria cea mai mare. Elevul se gândește că cel mai apropiat de cerc este pătratul. Deci ipoteza de lucru este: pătratul. Va rămâne de demonstrat acest lucru. Cum pătratul este privilegiat printre patrulatere, trebuie, în virtutea aceluiași fapt, să fie privilegiat și printre dreptunghiuri.

Așadar, această problemă, deși mai slabă decât cea inițială, poate fi reformulată astfel: “Pătratul are aria maximă dintre toate dreptunghiurile de perimetru dat.”

Se trece la rezolvarea propriu-zisă: fie laturile dreptunghiului a și b,atunci aria sa va fi ab. Latura pătratului cu același perimetru ca și dreptunghiul de mai sus, este ; iar aria sa este

Rămâne de arătat că ceea ce ne implică (a-b)2 > 0, propoziția fiind adevărată dacă a b.

Așadar dreptunghiul căutat este pătrat.

Observație:

Puteam proceda și astfel:

P = 2a + 2b = 2(a + b) = constant a + b= constant.

Dar cum A = ab, atunci produsul ab este maxim numai dacă a = b, adică atunci când dreptunghiul este pătrat.

Problema inițială nu este încă rezolvată, dar elevul a făcut anumite progrese .

Prin aplicarea problematizării în predare, rezultatul final constă întotdeauna în descoperirea soluției problemei propuse. Această metodă solicită elevul să gândească, îi pune voința la încercare, îi dezvoltă imaginația și-i îmbogățește experiența rezolvării problemelor diverse.

Modelarea matematică

Ca și metodă pedagogică, modelarea matematică conduce gândirea elevului la descoperirea adevărului cu ajutorul modelului având la bază raționamentul prin analogie. Modelarea matematică este tot mai des utilizată fiind de două categorii: analogică și similară.

Modelarea similară este mai puțin folosită în matematică și constă în realizarea unui sistem de aceeași natură cu originalul care să permită evidențierea trăsăturilor esențiale ale originalului.

Modelarea analogică are la bază o asemanare analogică cu originalul.

Trecerea de la original la model, nu trebuie să fie exagerată, nu trebuie omis esențialul, făcându-se prin simplificare.

Pentru a rezolva o problemă prin modelare, se ține cont de următoarea schemă:

Înțelegerea problemei:

Care este ipoteza? Care este concluzia?

Sunt suficiente datele problemei pentru a determina cerința?

Întocmirea planului (construirea modelului matematic):

Știm vreo teoremă care ar putea fi aplicată aici?

Am întâlnit vreo problemă asemănătoare?

Se poate reformula?

Ne putem imagina o problemă mai generală sau una particulară?

Au fost utilizate toate datele problemei?

Rezolvarea modelului mathematic:

Se transformă elementele care se dau și cele necunoscute

Aplicăm analogii

Verificarea soluției găsite:

Se interpretează datele obținute

Se aleg soluțiile practice

Se pune întrebarea dacă nu există cumva o cale mai direct care să conducă la rezultat

Prin utilizarea ei se dezvoltă spiritual de observație, capacitatea de sinteză, creativitatea și flexibilitatea raționamentului. În matematică modelarea are o valoare euristică. Profesorul este cel care construiește modelul, în prima etapă analizându-se trăsăturile, comparându-se cu originalul, se dau contraexemple cât mai potrivite. Elevii în cea de-a două etapă vor trebui să-și construiască singuri modelele. Modelele se clasifică în: modele ideale și modele materiale. Modelele materiale se folosesc sub formă de machete, au suport material, dar pot fi folosite și în softuri pentru computer sau în film. Modelele ideale sunt matematice, logice și grafice. Prin trecerea de la un model la altul de către elevi se dezvoltă mobilitatea și flexibilitatea gândirii.

Exemplu:

Teorema lui Pitagora poate fi modelată ideal sub forma a x a = b x b + c x c și prin suma ariilor pătratelor construite pe laturi.

Metoda învățării pe grupe

Prin această metodă sarcinile de lucru sunt îndeplinite de grupe de elevi, ceea ce presupune o activitate comună. Pe lângă educarea elevului prin munca în grup se urmărește dezvoltarea responsabilităților individuale ale acestuia cu efect asupra grupului. Tot mai mulți profesori folosesc această metodă, recunoscandu-i utilitatea și o integrează în ansamblul metodelor folosite. Grupele se pot autoalege sau se pot forma de către profesor. Criteriile de formare a grupelor sunt: eterogenitatea, criteriul afectiv, omogenitatea.

Grupele omogene sunt formate din elevi de același nivel de pregatire, cele eterogene sunt alcătuite din elevi de toate categoriile, iar cele formate pe criteriul afectiv sunt bazate pe vecinătatea de bancă sau de domiciliu, pe prietenie.

Grupurile pot varia într-un număr de la 2 la 10 elevi, dar randamentul maxim este dat de grupurile de 4-6 elevi. Această activitate presupune urmatoarele etape:

împărțirea materialului de lucru,

munca independentă a grupului,

discuția în comun a rezultatelor obținute.

Elevii trebuie să se organizeze singuri, pe grupe, profesorului revenindu-i sarcina de trecere de la un grup la altul.

Activitatea profesorului constă în:

o etapă prospectivă în care se repartizează materialul pe grupe și cel suplimentar pentru elevii mai buni,

o etapă de îndrumare și animare a muncii în fiecare grup. Ajutorul se acordă la cerere sau când se apreciază o depășire a timpului pentru realizarea scopului propus. Profesorul va întrerupe activitatea în situația muncii greșite. La finalul activității rezolvarea se prezintă la tablă și se poartă discuții cu privire la variantele de rezolvare în procedeu comparativ.

Profesorul are menirea de a purta discuțiile în scopul dezvoltării de raționamente, dar și de a trage concluziile de încheiere. Pentru a spori interesul este necesară crearea unui mediu competițional. Această formă de activitate presupune rezolvarea unui număr mic de exerciții, deficiența care se poate rezolva dacă profesorul dă sarcini diferite grupelor, separate elevilor foarte buni, buni, mijlocii sau slabi pregătiți.

Grupele formate după criteriul afectiv și grupele eterogene vor avea probleme sensibil egale, sarcinile împărțindu-se pe membrii grupului sub coordonarea unui responsabil de grup ales. Grupele care termină mai repede vor primi sarcini suplimentare. Formarea grupurilor trebuie să fie variată căci este dăunător să se lucreze cu grupuri eterogene în care vor fi solicitați elevii buni ai grupului, dar și cu grupuri omogene care să ducă la o împărțire a clasei în grupuri “intelectuale“ care să-i descurajeze pe cei slabi sau mijlocii.

Metoda învățării prin cooperare

Această metodă presupune utilizaraea ca metodă instrucțională a grupului mic de elevi, așa încât aceștia să poată lucra împreună fiecare membru urmând să-și înmbunătățească performanțele proprii, contribuind și la îmbunătățirea performanțelor celorlalți membrii. Învățarea prin cooperare presupune munca în grupuri care dețin cunoștințe eterogene, recompensa făcându-se pe baza performanțelor grupului. Învățarea prin cooperare presupune următoarele elemente:

– responsabilitatea individuală – fiecare membru este răspunzător de propria contribuție la îndeplinirea scopului propus,

– interdependența pozitivă – presupune lucrul împreună pentru a atinge scopul propus,

– interacțiunea promotorie – elevii sunt așezați astfel încât să interacționeze direct față în față la nivelul grupului,

– analiza activității grupului – colaborarea în cadrul grupurilor de elevi duce la îmbunătățirea eficienței acestui tip de activitate,

– dezvoltarea deprinderilor interpersonale în cadrul grupului.

Învățarea prin cooperare are următoarele avantaje:

Discuțiile în cadrul grupului îi ajută pe membrii acestuia să-și extindă cunoștințele. Membrii grupului pun întrebări și oferă explicații, sunt obligați să realizeze conexiuni logice, să-și organizeze cunoștințele.

Interacțiunile la nivel de grupuri îl pot ajuta pe elev să emită idei noi.

Metodele de învățare prin cooperare:

– metodele de studiu în grup ajută elevii să stăpânească informații sau deprinderi bine definite.

– învățarea prin proiecte instrucționale de grup sau învățarea activă se referă la implicarea elevilor în timpul orelor la realizarea unor proiecte comune.

În cadrul acestei metode grupurile de studiu sunt:

grupuri de studiu formale – pot funcționa câteva săptămâni și se alcătuiesc într-o ora. Elevii sunt implicați activ în activități intelectuale cum ar fi organizarea materialului, explicarea lui. Motorul procesului de învățare în cadrul acestui tip de organizare sunt elevii.

grupurile de studiu spontane – pot dura de la câteva minute până la întreaga oră de curs. Acest mod este utilizat în timpul predării propriu-zise pentru a-i îndruma pe elevi spre noțiuni noi.

grupurile bază – sunt grupuri eterogene, cu membrii permanenți, se constituie pe termen lung, cel puțin un an. Scopul principal al acestui grup este de încurajare și ajutor reciproc.

Metoda Jigsaw sau Metoda Mozaicului sau ”metoda grupurilor independente”

Jigsaw puzzle înseamnă mozaic. Rolul profesorului în cadrul acestei metode este diminuat, el intervine la începutul lecției, când împarte grupurile și sarcinile și la finalul activității când se comunică concluziile. Metoda mozaic are mai multe variante și prezintă următoarele avantaje:

– dezvoltarea abilităților de comunicare,

– dezvoltarea gândirii logice și critice,

– optimizarea învățării,

– stimularea încrederii în sine a elevilor,

– dezvoltarea răspunderii individuale.

În cadrul învățării prin cooperare este considerată metodă de bază. Metoda presupune:

se formează grupe 5×5,

membrii grupului sintetizează cunoștințele despre tema dată efectuând scheme, desene grafice,

se alcătuiesc alte grupe așa încât într-o grupă nouă să fie câte un membru din grupele inițiale,

fiecare grupă se face expert într-o temă dată, ex. dreptunghi, romb, pătrat, trapez,

în cadrul grupelor fiecare membru prezintă tema lui la care este “expert”,

membrii grupului caută conexiuni, diferențe, asemănări,

câte un membru din cadrul fiecărui grup prezintă observațiile grupului,

sintetizarea generală se face sub supravegherea profesorului care se notează pe caiet și pe tablă.

Prin această metodă se implică toți elevii în activitate și fiecare devine responsabil atât pentru învățarea proprie cât și a celorlalți. Metoda mozaicului este utilă în încurajarea elevilor, faptul că aceștia se transformă pentru scurt timp în profesori.

Exemplu: Relații metrice în triunghiul dreptunghic.

Clasa este împărțită în patru grupe și se folosesc cartonașe colorate.Cartonașele cu numere, de la 1 la 4,se vor așeza pe fiecare masă de lucru și vor indica grupele de lucru. Fiecare elev va extrage un număr de la unu la patru, ei trebuind să se ridice și să se reașeze la masa corespunzătoare numărului ales de ei. Astfel se formează 4 grupe de experți. Elevilor li se explică că vor deveni experți în grupă, ei vor primi câte o fișă de lucru pe care, după 15 minute, vor trebui să o explice colegilor din grupele inițiale. Se distribuie fișele de experți, ele sunt discutate în grup, iar profesorul este cel care monitorizează activitatea fiecărei grupe.

După ce au trecut cele 15 minute, se revine în grupele inițiale și astfel vor exista experți în fiecare teoremă. Fiecare expert va explica colegilor teorema învățată, aceștia notând pe caiete. După alte 15 minute, fiecare elev, va avea astfel toate teoremele explicate. Profesorul poate interveni ori de câte ori simte că este nevoie.

Urmează rezolvarea fișelor de lucru unde elevii vor trebui să aplice pe rând, teoremele învățate, în rezolvarea de probleme. Se lucrează în grupe. Câte un raportor din fiecare grupă, după 10 minute, prezintă soluțiile obținute.

Fișă de experți 1

Teorema lui Pitagora

Să se deseneze un triunghi dreptunghic ABC, m(∢ A)=90°.

Teorema lui Pitagora:

Într-un triunghi dreptunghic, pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimilor catetelor.

BC² = AB² + AC²

Obs.: Teorema lui Pitagora se va demonstra scriind teorema catetei pentru fiecare catetă în parte și adunând cele două relații.

Aplicație:

Fie triunghiul dreptunghic MNP, m(∢ M)= 90°, MN = 4 cm și MP = 3 cm. Să se afle lungimea ipotenuzei.

Obs.: Tripletele de numere, care verifică relația lui Pitagora se numesc numere pitagorice sau pitagoreice. Câteva exemple de astfel de triplete, sunt:

( 3; 4; 5): ,

(6; 8; 10):

(5, 12, 13):

Fișă de experți 2

Teorema înălțimii

Să se deseneze un triunghi dreptunghic ABC și să se construiască înălțimea corespunzătoare ipotenuzei.

Care sunt proiecțiile catetelor pe ipotenuză?

Teorema înălțimii:

Într-un triunghi dreptunghic, lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este media geometrică a lungimilor proiecților catetelor pe ipotenuză (sau pătratul lungimii înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este egal cu produsul lungimilor segmentelor determinate de ea pe ipotenuză).

Obs.: Teorema se demonstrează cu ajutorul asemănării triunghiurilor ABD și CAD.

Aplicație: În triunghiul MNP, m(∢ M)=90°, MDNP, DNP, cunoaștem: DP=63 cm. și PN = 70 cm. Calculați lungimile segmentelor ND și MD.

Fișă de experți 3

Teorema a doua a înălțimii

Să se deseneze un triunghi dreptunghic și să se construiască înălțimea corespunzătoare ipotenuzei.

Teoremă:

Într-un triunghi dreptunghic, lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este egală cu raportul dintre produsul lungimilor catetelor și lungimea ipotenuzei.

Obs.: Demonstrația teoremei se face scriind aria triunghiului ABC în două moduri.

Aplicație: Fie triunghiul dreptunghic MNP, m(∢ M)=90°, m(∢ N)=30°, construim MDNP, DNP. Dacă MP = 5 cm, MN = 6 cm , să se calculeze lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei.

Fișă de experți 4

Teorema catetei

Să se deseneze un triunghi dreptunghic ABC, m(∢ A)=90° și ADBC, DBC ( AD = înălțime) .

Teoremă:

Într-un triunghi dreptunghic, lungimea unei catete este media geometrică dintre lungimea ipotenuzei și lungimea proiecției catetei pe ipotenuză ( sau lungimea unei catete la pătrat este egală cu produsul dintre lungimea ipotenuzei și lungimea proiecției catetei pe ipotenuză).

Obs.: Teorema se va demonstra cu ajutorul asemănării triunghiurilor.

Aplicație: În triunghiul dreptunghic MNP, m(∢ M)= 90°, MN = 4 cm și MD=3 cm, MDNP. Aflați lungimea ipotenuzei și lungimea celeilalte catete.

Algoritmizarea

Este o metodă modernă bazată pe activitate și profesor. În cadrul activității didactice, algoritmizarea presupune existența unor scheme logice care să facă posibilă rezolvarea unor sarcini de lucru. Metoda algoritmizării utilizează algoritmii de învățare. Prin algoritm se înțelege un sistem de operații și raționamente care conduc la rezolvarea problemelor de același tip. Algoritmii este necesar să nu fie dați, ci sa-i punem pe elevi în situația de a trece prin toate etapele elaborării lor. Metoda algoritmizării ajută la înzestrarea elevilor cu modalități de acțiune și gândire. Elevul își însușește o serie de operații pe care le aplică în rezolvarea problemelor ce se încadrează în acest tip. Din clasele mici sunt obișnuiți să rezolve probleme folosindu-se de formule. Algoritmul este un șir finit, o grupare de operații structurate într-o anumită succesiune care duc spre același rezultat.

Algoritmii se prezintă astfel:

algoritmi de rezolvare,

algoritmi de identificare,

algoritmi de creație,

algoritmi de programare a materiei,

algoritmi de optimizare a unor capacități,

algoritmi de consolidare a cunoștințelor dobândite,

algoritmi de sistematizare a materiei.

În orice moment al lecției se poate folosi metoda algoritmizării. Metoda algoritmizării are la bază două nivele complementare:

– aplicarea algoritmilor în vederea rezolvării de situații tipice,

– elaborarea algoritmilor.

Construcția unui algoritm didactic presupune realizarea unor anumiți pași:

se definesc obiectivele, sarcinile de lucru și interacțiunea subiecților cu sarcina de lucru,

se pun în valoare capacitățile intelectuale individuale ale clasei,

se definesc controlul și autocontrolul.

Prezentarea algoritmului poate fi:

– operații,

– grafică algoritmică,

– metasimboluri,

– simbolică.

Având în vedere învățarea și predarea, algoritmii pot fi de două feluri:

algoritmi didactici,

algoritmi ai învățării.

Algoritmii didactici sunt realizați în mai multe etape și caracterizează activitatea profesorului la ore.

Algoritmii învățării sunt imagini ale ordonării cunoștințelor după criterii logice. Formarea capacității elevului de a elabora propriile sale scheme de instruire aplicabile în diferite circumstanțe didactice este un efect al algoritmizării. Rezolvarea problemelor asemănătoare se poate face prin folosirea algoritmilor. Învățarea de tip algoritmic se poate contopi cu învățarea euristică. Metoda algoritmizării este apropiată de metoda exercițiului având utilitate la lecțiile de formare a deprinderilor sau de consolidare a acestora.

Instruirea programată sau instruire asistată de calculator (pe scurt I.A.C.)

Este o metodă modernă, centrată pe activitate și pe profesor. Instruirea programată cu manualul sau asistată de calculator are la bază un algoritm prestabilit de învățare. Un astfel de program are la bază mai multe principii:

principiul participării active – elevul propune soluții în mod independent, răspunde și rezolvă întrebări,

principiul pașilor mici și al progresului gradat presupune împărțirea dificultăților în unități gradate care să ducă la soluționarea integrală,

principiul verificării imediate a răspunsului constă în verificarea imediată a soluțiilor date de elev netrecându-se mai departe înainte ca răspunsurile să fie confirmate,

principiul reușitei – este astfel structurat încât elevul să parcurgă programa integral și satisfăcător,

principiul respectării ritmului individual de studiu în baza căruia fiecare elev parcurge programul în funcție de posibilități.

Se concepe o programare liniară ce presupune următoarea structură de proiectare a secvențelor de instruire:

– prezentarea sarcinii didactice, întrebare, problemă, exercițiu,

– informarea elevului,

– rezervarea spațiului și timpului util pentru îndeplinirea sarcinii,

– răspunsul corect pentru evaluarea fiecărui pas.

Parcurgerea unui “pas“ necesită depășirea mai multor secvențe de instruire. Succesul elevului are la bază întărirea pozitivă a răspunsului.

Programarea ramificată (varianta N.A. CROWDER) solicită elevului un efort intelectual mare pentru recunoașterea răspunsului corect, din mai multe răspunsuri.

Acest tip de programare urmărește tratarea greșelilor în diferite modalități de întărire negativă care reorientează activitatea în direcția reaplicării informației necesare pentru parcurgerea “pasului “ respectiv.

Programarea ramificată are următoarea structură organizatorică:

informarea elevului,

comunicarea sarcinii didactice: întrebare, tema, problema , exercițiu,

rezervarea timpului necesar pentru rezolvare,

întărirea pozitivă în cazul răspunsului corect asigură trecerea spre secvența următoare “pasului“ următor,

întărirea negativă în situația răspunsului incorect care îndrumă elevul spre corectarea răspunsului pentru parcurgerea secvenței următoare “pasului“ următor,

confirmarea răspunsului pozitiv sau negativ,

informarea din secvența următoare.

Calitatea mijloacelor didactice necesare pentru proiectarea și realizarea activității de predare învățare-evaluare duce la reușita acestei metode. Rolul profesorului este esențial, el elaborează și conduce programul de instruire în interiorul metodei, valorificând la maximum resursele acesteia. Combinarea instruirii programate cu mijloace și forme tradiționale are la bază următoarele direcții:

– îmbinarea lecțiilor programate cu cele neprogramate,

– volumul informației este mai mare,

– programul să permită manifestarea creativității,

– folosirea fișelor ca material ajutător al instruirii programate.

Instruirea programată este cea care are la bază folosirea calculatorului. Prin intermediul calculatorului se transmit mai ușor mesaje informaționale, dar se pot mijlocii formarea și consolidarea metodelor de lucru. Desfășurarea metodei este sarcina profesorului, care poate interveni și cu alte metode în atingerea obiectivelor. Tot profesorului îi revine sarcina de a perfecționa stilul pentru că de fapt cea mai bună ”mașină de învățat” rămâne el, profesorul.

Instruirea asistată de calculator este o instruire individualizată care are la bază învățarea fragmentată. Avansarea elevilor are la bază un răspuns corect la o întrebare în timp ce un răspuns incorect duce la repetiție. Instruirea asistată de calculator este o aplicație a sistemelor de calcul în care comunicarea interactivă este esențială. I.A.C. este considerată și o disciplină de independentă prin care se pot asimila noi cunoștințe, care pot fi evaluate în baza unor sisteme de programe. Această metodă poate stimula elevii la dezvoltarea imaginației, la receptarea noului, să gândească logic, și să învețe rapid și eficient. Sistemul I.A.C. este un mediu integrat de hardware-software destinat învățării active, dar și de formarea de deprinderi practice. Calculatorul are nevoie de un soft educațional, care poate fi utilizat în procesul de instruire. La matematică în cadrul instruirii asistate de calculator sunt implicați următorii factori:

– profesorul coordonează elevii,

– în urma procesului de instruire, elevul dobândește competențe de utilizare a calculatorului,

– calculatorul este folosit ca mijloc didactic de instruire,

– lecțiile ca formă de bază în organizarea instruirii.

Calculatorul are la bază următoarele caracteristici:

este un obiect interactiv,

este un obiect cultural,

oferă reprezentări dinamice și multiple,

contribuie la valorificarea potențialului intelectual al elevilor,

softurile complexe asigură contexte,

modificarea rolului profesorului în procesul de educare.

Calculatorul îl ajută pe profesor în procesul de instruire,de predare, iar pe elev în procesul de învățare, de cunoaștere, dar nu poate înlocui în totalitate efortul acestora. Ca metodă modernă I.A.C. valorifică tehnicile moderne, asigurând organizarea și documentarea în procesul de cunoaștere. Metoda presupune următoarele avantaje și dezavantaje:

realizarea obiectivelor de tip cognitiv în defavoarea celor de tip practic,

avantajul unei mari economii de timp,

realizarea unei relații calculator -utilizator față de colegi, profesori.

În procesul de instruire cu ajutorul calculatorului se recomandă următoarele:

– locul de desfășurare trebuie să fie în cadrul unui laborator dotat,

– numărul de calculatoare să fie egal cu numărul elevilor din clasă,

– calculatoarele să fie conectate la internet și la rețea,

– utilizarea video-proiectorului în analiza unor lucrări,

– folosirea de metode de învățare activ-participative la predarea noilor cunoștințe.

Brainstorming-ul – metoda asaltului de idei

Este o metodă bazată pe creativitate, modernă, de actualitate, de învățare activă. Brainstorming-ul este o metodă care ajută la crearea de concepte creative și inovatoare, durează 30 minute și participă în medie 10 elevi. Fiecare elev își spune părerea despre cele expuse, inclusiv idei inaplicabile. Brainstorming-ul dă ocazia de a participa la dezbateri și se poate dovedi o acțiune constructivă. Brainstorming-ul presupune următoarele etape:

– deschiderea sesiunii – se prezintă regulile de bază, scopul și tehnicile,

-introducerea grupului în atmosfera brainstormingului, în jur de 5-10 minute,

– partea creativă care are o durată de 25-30 minute unde participanții își spun părerile,

– prelucrarea ideilor, unde se clarifică ideile și se verifică dacă toată lumea a înțeles cele dezbătute.

Se evaluează contribuția fiecărui participant și a sesiunii în ansamblul său. Participanții la sesiunea de brainstorming vor stabili ideile care s-au dovedit cele mai bune pe conceptul dezbătut. Principiul funcționării brainstorming-ului este asigurarea calității prin cantitate.

Elevii trebuie să respecte 7 reguli în scopul unei ședințe de calitate:

încurajarea ideilor de calitate,

nejudecarea ideilor altora,

în acest punct se urmărește cantitatea, nu calitatea,

se notează aproape tot,

elevii sunt la fel de importanți,

se urmărește apariția de idei noi din alte idei,

exprimarea să fie liberă fără teamă.

Exemplu : Rezolvarea unei probleme de geometrie la clasa a VII-a

1. Se scrie din caiet.

2. Ideile legate de rezolvarea problemei se fac cât mai repede.

3. Elevii trebuie să propună strategiile de rezolvare a problemei.

4. Se pot ivi sugestii legate de realizarea unei figuri, de verificare pe desen.

5. Nu se admit referiri critice, elevii pot propune indiferent ce metodă de lucru.

6. Toate ideile vor fi menționate în scris pe tablă, se poate lua o pauză de la 15 minute la o zi pentru menționarea ideilor.

7. Se menționează toate propunerile elevilor și la sfârșitul orei se transcriu toate acestea. Se vor grupa ideile pe categorii.

8. Evaluarea, argumentarea, contraargumentarea ideilor emise. Alegerea celor mai apropiate idei pentru problemă supusă atenției. Puneți întrebări de tipul: Problema s-ar putea rezolva folosind măsurători pe o figură cât mai corectă? Întrebările problemei au legătură între ele? Ce trebuie demonstrat?

9. Ideile rezultate se prezintă în forme cât mai originale: propoziții, colaje, imagini, desene.

Din discuțiile purtate cu elevii urmează să rezulte strategia de rezolvare a problemei, sub forma următoarelor tipuri:

se construiește figura,

se aplică un criteriu de asemănare,

folosirea teoremei bisectoarei.

Exprimarea liberă a opinilor este obiectivul principal al metodei brainstorming-ului, de aceea trebuie acceptate toate ideile, chiar cele mai puțin obișnuite, chiar dacă conduc sau nu la rezolvarea problemei. Elevii trebuie motivați să-și exprime toți ideile pentru a determina progresul în învățare.

Investigația este o metodă de actualitate, de învățare activă, care implică rezolvarea unor probleme comune sau în alte domenii, folosind tehnici și metode cunoscute. Investigația presupune găsirea unui rol pentru fiecare elev, punând toți elevii să acționeze. Sarcinile de lucru nu presupun doar sfera cognitivă, de aceea elevii conștientizează propria importanță în desfășurarea activității. Pe parcursul orelor sau a mai multor ore de curs, investigația oferă posibilitatea de a aplica în mod creativ cunoștințele însușite în situații diverse și noi. În cadrul investigației se urmăresc următoarele elemente:

organizarea și colectarea datelor sau informațiilor necesare,

schimbarea planului de lucru,

înțelegerea și clarificarea sarcinii de lucru,

găsirea metodelor pentru obținerea informațiilor necesare,

motivarea opțiunii pentru anumite metode folosite în investigație,

prezentarea unui scurt raport privind rezultatele investigației.

Investigația se poate rezuma la trei etape:

alegerea metodei,

definirea problemei,

identificarea soluțiilor.

Sarcinile de lucru adresate elevilor pot fi diverse ca nivel de complexitate a cunoștințelor. Profesorul poate adapta acest demers pentru diferite categorii de elevi. În cadrul realizării unei investigații trebuie să se reflecteze asupra răspunsului la următoarele întrebări:

Ce cunoștințe, ce deprinderi și abilități își exersează și la ce nivel de înțelegere se va plasa demersul investigației?

Ce așteptări are de la elevii săi?

Investigația oferă un nivel de înțelegere profund, încurajează inițiativa și motivează elevii în realizarea activităților propuse.

Investigația implică atât rezolvarea de probleme, dar și crearea unora noi.

Proiectul

Proiectul este o metodă de învățare activă, de actualitate, centrată pe elevi.

Metoda presupune prelucrarea unor date referitoare la o temă anterioară. Proiectul are la bază imaginația elevilor, permițând folosirea cunoștințelor însușite, în cadrul unui context nou.

Elevii pot decide asupra conținutului metodei, dar și a formei de prezentare, au o implicare activă care se finalizează cu o carte scrisă de elevi, un ghid, realizarea unei expoziții.

În clasă se află începutul proiectului, prin stabilirea obiectivelor, a sarcinilor de lucru și formarea echipei. Încheierea lui are loc tot în clasă după colectarea datelor și organizarea materialului și prin prezentarea rezultatelor obținute.

Proiectele au următoarele avantaje:

dezvoltă capacitatea de investigare a informațiilor,

sporesc motivația pentru învățare,

facilitează învățarea prin cooperare,

oferă bune oportunități pentru abordări interdisciplinare,

valorifică surse diverse de informare, de documentare,

pot stimula autonomia elevilor și creativitatea acestora,

dau posibilitatea elevilor de a contribui la realizarea produsului final.

Acest tip de învățare are la bază selectarea informațiilor, sintetizarea lor, formularea de întrebări, comunicarea rezultatelor, corelarea lor, stabilirea unui produs final.

Proiectele pot realiza pliante, broșuri, pagini de revistă sau ziar.

În realizarea unui proiect se întâlnesc următoarele etape:

alegerea temei,

stabilirea obiectivelor,

planificarea activităților:

împărțirea responsabilităților în cadrul grupului,

identificarea surselor de informare,

stabilirea resurselor materiale,

fixarea unui calendar al desfășurării activităților,

identificarea metodelor ce vor fi folosite.

investigarea propriu-zisă,

realizarea produselor finale,

comunicarea rezultatelor,

evaluarea activităților derulate (individual sau în grup)

Etape în derularea/conducerea unui proiect, după B. Campbell:

se stabilește scopul,

se formulează scopul sub forma unor întrebări,

stabilirea a trei surse de informare care se vor utiliza,

descrierea pașilor ce urmează a fi parcurși,

stabilirea a cinci concepte pe care să le investigheze,

prezentarea a cel puțin trei metode pe care să le folosești pentru prezentarea proiectului,

planificarea proiectului în timp: saptămâna I – documentare, saptămâna II – interpretarea materialelor, discuții,

evaluarea proiectului – autoevaluarea.

EXPERIMENTUL

Experimentul este o metodă care are la bază activitatea și elevul.

Ca metodă modernă, experimental are o pronunțată valoare formativă, deoarece se dezvoltă spiritual de observare, interesul în a cunoaște.

Cadrul didactic îndrumă și supraveghează realizarea experimentului. Prin această metodă elevii sunt aduși în fața realității, fiind determinate să învețe prin descoperire.

Metodele didactice prin care realizează descoperirea sunt: observarea independentă, observarea dirijată, învățarea prin încercări, studiul individual, studiul de caz.

Pentru realizarea acestei metode este necesară existența unui spațiu școlar adecvat (laboratorul sau cabinetul școlar), dar și a aparaturii necesare.

Experimentele, din punct de vedere organizatoric, pot fi:

– frontale – elevii efectuează sub îndrumarea cadrului didactic, în același timp și pe același subiect,

– pe grupe (2-3 elevi) – se intenționează îndeletnicirea cu munca în echipă a elevilor sau nu se dispune de mijloace didactice suficiente.

Experimentele pe aceeași temă se pot efectua pe grupe de elevi sau fiecărei grupe i se încredințează sarcini diferite.

Individuale – când fiecare elev îndeplinește o anumită sarcină sau fiecare dintre elevi efectuează experimental în același timp sub supravegherea profesorului.

Experimentele se pot clasifica în funcție de finalitatea lor astfel:

Experimente demonstrative – profesorul le realizează în fața clasei.

Etape :

Cunoașterea aparaturii de către elevi. Se descrie montajul, aparatul, instalația astfel încât elevii să le identifice și recunoască.

Asigurarea unei pregătiri teoretice – în cadrul acestei etape se reamintesc elevilor formulele care vor fi folosite pe durata experimentului.

Executarea lucrării experimentale – profesorul oreintează atenția elevului pe aspectele ce urmează să fie demonstrate.

Prezentarea concluziilor – în această etapă se realizează conexiunea inversă, unde profesorul încurajează elevii să tragă concluziile.

Experimentele de cercetare – această metodă urmează etapele unei investigații experimentale autentice:

Emiterea de ipoteze.

Organizarea în situații experimentale.

Delimitarea unei probleme.

Desfășurarea propriu-zisă a experimentului.

Interpretarea datelor.

Confirmarea ipotezei.

Experimentul aplicativ confirmă în practică cunoștințele științifice anterioare.

Se parcurg următoarele etape:

Prezentarea cunoștințelor teoretice.

Stabilirea sarcinilor de lucru.

Organizarea pe grupe sau individual, repartizarea truselor.

Realizarea activității experimentale de către elevi sub îndrumarea profesorului.

Stabilirea rezultatelor.

Stabilirea concluziilor și comentarea rezultatelor.

Desfășurarea experimentului presupune anumite cerințe metodice:

Are la bază pregătirea inițială a profesorului.

Experimentul se realizează când conținutul o cere.

Masa de lucru trebuie să fie vizibilă pentru toți elevii.

Profesorul explică toate acțiunile pe care le întreprinde, demonstrația făcându-se cu voce tare.

Concluziile trebuie trase în mod logic ca o consecință firească a celor observate.

Demonstrațiile “pur matematice“ pot fi înlocuite prin experimente.

Exemplu : Ce legatură există între volumul unei prisme și volumul unei piramide care au baza și înălțimi respectiv congruente?

Compararea maselor a două corpuri geometrice realizate din lemn reprezintă o posibilă argumentare. La nivelul gimnaziului demonstrația matematică a relației cerute este nerealistă.

Jocul de rol

Jocul de rol este o metodă de învățare activă, centrată pe elev și pe activitate.

Prin această metodă se poate învăța, nu doar din prelegerile susținute de profesor, ci și din interpretarea unei sitauții reale. Această metodă presupune interpretarea unei situații reale sau imaginare, care poate fi rezolvată prin mai multe modalități. Soluțiile la problemele ridicate trebuie găsite de elevi. Jocul de rol este o metodă de învățare activă, în care fiecare persoană are un anumit rol de jucat. Aceasta presupune învățarea din propria experiență și din a celorlalți.

Jocul de rol pune participanții în situații ce nu le sunt cunoscute pentru a-i ajuta să înțeleagă situația respectivă și să înțeleagă și alte personae care au opinii diferite.

Metoda jocului de rol are la bază următoarele etape:

stabilirea obiectivelor care sunt urmărite,

pregătirea fișelor cu descrierile de rol,

luarea unei decizii împreună cu elevii,

alegerea modului în care se va desfășura jocul de rol (scenetă, proces)

“încălzirea“ grupului în vederea acceptării jocului,

acordarea unui timp elevilor pentru a pregăti rolurile,

interpretarea rolurilor,

interpretarea poate fi oprită pentru ca elevii să poată reflecta la ceea ce se întâmplă.

Activitatea se va evalua împreună cu “actorii“ și “spectatorii“.

Exemple:

Înălțimea unui triunghi și bisectoarea discută: Ce își spun?

De exemplu (concurența, măsuri de unghiuri, distanța):

“Noi înălțimile suntem mai importante pentru că … “ și să ajungă la asemănări “de fapt în triunghiul isoscel suntem surori gemene“

În cadrul acestei metode este necesară realizarea unei analize împreună cu participanții.

Trebuie puse anumite întrebări:

Ce sentimente aveți în legătură cu rolurile? A fost rezolvată problema? Dacă da, cum? Dacă nu, de ce?

Ce ați reținut din această experiență?

A fost o interpretare conform cu realitatea?

Elevii trebuie să completeze afirmația următoare: „ Dacă într-un triunghi dreptunghic aș fi o teoremă, mi-ar plăcea să fiu teorema………………. deoarece………………………..”.

Jocul de rol poate fi îmbunătățit împreună cu elevii. În cadrul acestei metode se pot pune întrebări despre comportamentul personajelor, dar nu trebuie să vă impuneți punctul de vedere asupra unei probleme controversate. Elevii trebuie să ia în calcul puncte de vedere diferite, dar se pot rezuma punctele în care s-a ajuns la o înțelegere și se pot lăsa în discuție cele care sunt discutabile.

Metoda cubului

Metoda cubului este o metodă de explorare a unui subiect din mai multe perspective, totodată este o metodă de dezvoltare a creativității, de actualitate. Metoda presupune dezvoltarea competențelor necesare unor abordări complexe.

Metoda cubului presupune următoarele etape:

se realizează și colorează un cub și se colorează fiecare față diferit, iar fiecărei fețe i se asociază un verb astfel:

Fata 1 – ALBASTRU – verbul descrie mărimile, formele, culorile,

Fata 2 – ROȘU – se compară ce este asemănator și ce este diferit,

Fata 3 – VERDE – la ce te îndeamnă să te gândești

Fata 4 – PORTOCALIU – verbul spune din ce este făcut?

Fata 5 – GALBEN – se argumentează pro și contra

Fata 6 – MOV – la ce poate fi folosită? ce poți face cu aceasta?

se prezintă tema,

se împarte clasa în 6 grupe care examinează tema din punctul de vedere al cerinței de pe una din fețele cubului,

redactarea finală,

prezentarea formei finale pe tablă.

Exemplu:

Recapitulare – Corpuri rotunde

Se prezintă cubul.

Elevii sunt împărțiți în 6 grupe, fiecare primește o coală colorată cu nuanțele prezentate mai sus. Fiecare grup are un lider, care va extrage un bilet corespunzător verbului definitoriu.

Se comunică tema și timpul afectat fiecărei grupe și se stabilesc obiectivele.

Elevii lucrează în echipă timp de 20-25 de minute.

Profesorul supraveghează întreaga activitate.

Descrierea activității elevilor:

Cei care primesc fișa cu verbul DESCRIE vor avea:

Enumerarea corpurilor rotunde studiate, reprezentarea plană a corpurilor studiate, schematizarea etapelor generării unui cilindru drept și a unui corp circular, de identificat elementele acestora, de sistematizat într-un tabel datele, descrierea corpurilor de rotație care se obțin.

Fișa cu verbul COMPARĂ va stabili asemănări și deosebiri între poliedrele regulate și corpurile rotunde.

Cei care vor avea verbul ASOCIAZĂ vor asocia fiecărui corp formulele de calcul pentru V, Al și At, după care vor căuta obiecte cunoscute de forma obiectului respectiv.

Grupa care va avea verbul ANALIZEAZĂ presupune analiza diferitelor secțiuni din cadrul corpurilor studiate, realizându-se desene corespunzătoare.

Datele rezultate se vor prezenta într-un tabel:

Fișa cu verbul ARGUMENTEAZĂ – vor analiza în scris valoarea de adevăr a unor propoziții.

Elevii care au în studiu verbul APLICĂ vor avea mai multe întrebări grilă în care se vor aplica calculul ariei sau volumul unor corpuri rotunde.

Turul galeriei

Turul galeriei este o metodă de actualitate bazată pe colaborarea între elevi care vor trebui să găsească soluții de rezolvare a unor probleme. Metoda presupune evaluarea interactivă, având la bază următoarele:

împărțirea elevilor pe grupuri de 4-5 membri,

prezentarea sarcinilor și a temei de lucru,

se va realiza un produs pe baza temei stabilite,

expunerea rezultatelor,

prezentarea în fața grupului a produsului realizat,

analizarea lucrărilor.

Grupurile își compară produsele prin comparație cu celelalte. Elevii vor învăța să înțeleagă și să asculte ideile celorlalți. Metoda dezvoltă gândirea colectivă și dezvoltă capacitățile sociale ale participanților.

Metoda prezintă următoarele avantaje:

stimulează efortul,

promovează interacțiunea între mințile participanților,

stârnește interesul elevilor,

dezvoltă priceperile sociale ale elevilor,

se reduce fenomenul blocajului emoțional.

Metoda ciorchinelui

Metoda ciorchinelui este o metodă de dezvoltare a creativității, de actualitate, o metodă mai simplă a brainstormingului.

Metoda ciorchinelui poate fi folosită cu succes atât la începutul unei lecții pentru reactualizarea cunoștințelor, de recapitulare, de sistematizare a cunoștințelor, presupune identificarea unor conexiuni logice între idei. Această metodă încurajează participarea întregii clase, fiind o tehnică eficientă de predare și învățare.

Metoda presupune următoarele etape:

în mijlocul tablei sau al foii de hârtie elevii vor scrie un cuvânt, o temă

elevii trebuie să-și noteze toate ideile pe care le au în minte,

elevii vor face conexiuni între toate ideile care vor fi conectate,

activitatea se stopează când s-a ajuns la limita de timp acordată,

finalul metodei presupune comutarea cu explicațiile de rigoare.

Tehnica are în vedere următoarele avantaje:

“Ciorchinele revizuit“ unde elevii vor fi îndrumați prin întrebări în funcție de anumite criteria,

structurarea informațiilor și fixarea ideilor, facilitându-se înțelegerea.

Exemplu: Rapoarte constant în triunghiul dreptunghic – clasa a VII- a

Metoda știu/vreau să știu/am învățat – KWL

Este o metodă de dezvoltare a creativității de actualitate.

K= know, W=want to know, L=learned

Învățarea este optimă când are la bază experiența elevilor care le permite să facă o conexiune între ceea ce știu de noile informații (ROTH 1990). Această metodă are în vedere ceea ce elevii știu despre o anumită temă, și formulează întrebări care urmează să primească răspunsuri.

Metoda conține următoarele etape:

Elevii trebuie să alcătuiască perechi și o listă cu tot ce cunosc despre tema abordată.

Profesorul trebuie să alcătuiască un tabel cu următoarele coloane:

ca cel de mai jos:

Se notează informațiile cu care grupul este de acord

Elevii trebuie să alcătuiască o listă de întrebări.

Elevii trebuie să stabilească întrebările pe care le are despre subiect, în timp ce profesorul le va scrie în a doua coloană a tabelului.

Textul este citit de elevi individual sau îl citește profesorul

Se citește textul, se constată răspunsurile greșite și se scriu în coloană “Am învățat“

Elevii vor compara tema abordată și ceea ce am învățat prin citirea textelor.

Se compară ceea ce se cunoștea înainte de lecturare cu ceea ce s-a învățat.

De asemenea se va discuta ce întrebări au găsit răspuns și care necesită răspuns. Unele întrebări s-ar putea să rămână fără răspuns și ar putea apărea întrebări noi. În această situație întrebările vor fi folosite ca început pentru investigațiile viitoare.

Coloana a treia “Am învățat“ poate fi structurată în diferite categorii.

Această metodă îi face conștienți pe elevi de procesul învățării și le dă șansa de a-și verifica cunoștințele.

Participarea elevilor este motivată prin acest exercițiu, se stimulează gândirea și atenția și se dă ocazia elevilor să-și dezvolte competențele.

Avantaje :

este o metodă interactivă,

o modalitate pragmatică de studiere a textului,

interdisciplinaritate,

participarea tuturor elevilor.

Dezavantaje:

nu poate fi aplicată la orice lecție,

durează prea mult.

Exemplu: Unități de măsură pentru lungime – cls. a V- a

ȘTIU

– metrul este unitatea principală pentru lungime,

– multiplii,

– submultiplii,

– cu ce se măsoară lungimea.

VREAU SĂ ȘTIU

Cum se măsoară anumite lungimi

Cum să rezolve o problemă

Rezolvarea unei probleme utilizând diferite unități de măsură

Cum se trece de la o unitate de măsură la alta

AM ÎNVĂȚAT

Exemple practice de măsurare cu ruleta, cu rigla, cu metrul

Ce însemnă măsurare

Varianta utilă pentru a măsura lungimea

Relațiile dintre multiplii și submultiplii metrului

Metoda INSERT sau SINELG

Sistemul Interactiv de Notare pentru Eficientizarea Lecturii și Gândirii.

Este o metodă de dezvoltare a creativității, de actualitate, este o tehnică de predare-învățare. Prin această metodă se pot obține informații despre ce pot elevii să afle, este o tehnică de urmărire a înțelegerii. Elevii vor trebui să utilizeze astfel textul:

confirmarea a ce nu știe

ceea ce diferă de ceea ce se știe sau se credea că se știe

+ informațiile noi

? pasajele care presupun întrebări

Metoda presupune următoarele etape:

Fiecare elev citește textul

Elevii primesc o fișă cu textul ce urmează să fie dezbătut pe care trebuie să-l citească

Completarea sub supravegherea profesorului a unui tabel

Comentarea exercițiului cu explicațiile necesare

Prin această metodă elevii dobândesc următoarele:

Introducerea de noi informații în schemele de cunoaștere

Își urmăresc înțelegerea proprie

Construirea de punți între cunoscut și nou

Îmbinarea noului cu ceea ce se știe

Avantajele metodei :

se stimulează gândirea critică,

asocierea de idei noi,

dezvoltă vocabularul,

schimbul de idei între elevi,

citirea de către elevi a unui text literar sintetizând ceea ce credeau că știu, ceea ce știau,

se poate aplica la orice disciplină didactică,

colegii de bancă fac un schimb de idei, ceea ce are un efect pozitiv,

sporește atenția elevilor,

recapitularea vechilor cunoștințe, dar și dobândirea de noi cunoștințe.

Sistem iconic:

“cred că știu“

“nu știu“

+ “informația este nouă“

? “ideile sunt neclare“

Exemplu:

Grupa trebuie să rezolve testul, după care se completează fișa SINELG.

Fiecare grupă își prezintă rezultatul, rezultatele fiind comparate între grupe.

La finalul orei FIȘA SINELG se predă profesorului și se rezolvă problemele întâmpinate.

1.3.3. Virtuți și limite ale metodelor moderne/alternative

Procesul de învățământ este dinamizat de metodele prezentate care au evoluat astăzi, fiind utilizate cele participative, interactive, centrate pe elev, în detrimentul celor bazate pe profesor.

Profesorul trebuie să aplice și să cunoască un număr cât mai mare de metode didactice.

Metodele participative sunt mai obositoare spre deosebire de cele clasice care sunt mai relaxante. În activitățile participative, în echipe, participanții se relaxează după comunicarea rezultatelor ca răspuns la efortul depus.

Metodele moderne presupun un număr mare de ore de pregătire din partea profesorului de aceea trebuie să dețină mai multe metode de abordare a lecției.

Alt dezavantaj este faptul că se pot pierde informații din cauza imposibilității de a le integra în lecție. Totodată timpul de gândire la lucrul în echipă este redus la 3-4 minute ceea ce va duce la rezultate incomplete. Se pot observa efectele pozitive ale învățării prin cooperare. Strategiile didactice oferă elevilor ocazia de a lucra în echipă într-un climat colegial, de sprijin reciproc.

Activitatea în echipă acordă o importanță mare dimensiunii sociale, asigură o relație deschisă între parteneri, favorizând formarea atitudinii pozitive față de studiu și față de școală.

Personalitatea elevilor este dezvoltată de munca în echipă, prezența partenerilor constituie un stimulent intelectual, o modalitate de a obține informații. În cadrul grupului soluțiile pot suferi îmbunătățiri și ajustări.

Învățarea prin cooperare se bazează pe o logică a învățării care ține seama de opiniile celorlalți. Elevul este avantajat dacă dispune de metode moderne de predare având în vedere faptul că școala îl pregătește pentru viață.

2.ELEMENTE DE DIDACTICA MATEMATICII. PARTICULARITĂȚI ALE STUDIERII GEOMETRIEI DE GIMNAZIU.

2.1. Forme de desfășurare a lecției de geometrie

Într-un cadru adecvat lecția este cea mai potrivită formă de organizare a învățării unei teme.

În cadrul lecției rolul cadrului didactic este preponderent , lecția fiind o formă de desfășurare a activității didactice într-o perioadă de timp determinată.

Lecția conține următoarele evenimente:

Organizarea clasei

Această activitate este prima prin care profesorul asigură condițiile psihologice și materiale necesare (existența mijloacelor materiale, starea de atenție, ordinea în clasă).

Aprecierea cunoștințelor și verificarea capacității elevilor

Verificarea cunoștințelor are loc prin diferite metode de evaluare. În același timp cu verificarea se poate face și recapitularea cunoștințelor. Profesorul verifică acele cunoștințe de care depind înțelegerea noilor cunoștințe.

Predarea noilor cunoștințe

În economia lecției este etapa de predare mai mare. Metodele care se folosesc în această etapă asigură învățarea conștientă și temeinică.

Captarea atenției

Profesorul organizează special această etapă. Această etapă are la bază sensibilizarea elevilor față de ceea ce se învață, stârnirea interesului acestora. Captarea atenției se poate face la începutul activității de predare după transmiterea obiectivelor. Starea de atenție în timpul lecției se poate face prin organizarea cunoștințelor și prin nivelul de implicare al elevilor.

Comunicarea obiectivelor

Obiectivele urmărite sunt comunicate de profesor pentru a canaliza eforturile elevilor în activitatea de învățare și de pregătire în studiul individual.

Cunoașterea obiectivelor duce la conștientizarea elevilor față de cerințele profesorului și formează capacitatea de a se autoaprecia.

Elevii sunt informați despre rezultatele la care trebuie să ajungă.

Reactualizarea cunoștințelor

Se realizează prin rememorarea cunoștințelor anterioare de care depinde înțelegerea celor noi.

Metodele folosite sunt rezolvarea problemelor, exercițiul, conversația.

Dirijarea învățării

Prin aceasta se ocupă predarea cea mai mare în etapa comunicării cunoștințelor. Aceasta constă în învățarea elevilor cum să gândească și să combine cunoștințele dobândite și să le relaționeze cu cele noi. Dirijarea învățării utilizează strategii potrivite pentru realizarea obiectivelor.

Asigurarea feed-back-ului învățării

Informația circulă de la elev la profesor pentru ca acesta să cunoască modul în care elevii au înțeles, punând întrebări și dând exerciții pentru a fi rezolvate. Profesorul continuă expunerea pentru a face ca elevii să înțeleagă frecvența cu care se realizează acest eveniment depinde de nivelul de pregătire al elevilor, de nivelul motivației. Prin această metodă se reiau cunoștințele în aceeași formă în care au fost predate.

Sistematizarea și consolidarea cunoștințelor

Prin sistematizare se are în vedere reținerea și transferul cunoștintelor deja înțelese.

Lecția îmbracă forme diverse prin care se întărește convingerea în profesor și managementul educației, este o modalitate sigură care dă continuitate procesului.

Tipurile de lecții care sunt prevăzute în literatura de specialitate:

Lecția mixtă sau combinată

Lecția de achiziționare/comunicare/însușire de noi cunoștinte (predare-învățare)

Lecția de recapitulare, sistematizare și consolidare a cunoștințelor (lecție de fixare și sistematizare; lecție de consolidare-sistematizare)

Lecția de formare de priceperi și deprinderi

Lecția de verificare și apreciere a rezultatelor școlare (de evaluare).

Geometria are rolul de câmp de antrenare a logicii, obiectivele de studiu sunt familiare și naturale, definițiile nefiind complicate, demonstrațiile fiind simple și pot fi înțelese vizual. Gândirea este antrenată de problemele de geometrie. Geometria se ocupă cu studiul formelor spațiale și a relațiilor lor de mărime. S-a născut din nevoile oamenilor și s-a dezvoltat în strânsă legătură cu acestea.

Geometria continuă să se bucure de o înaltă apreciere prin contribuția pe care o aduc la formarea personalității și a raționamentului.

Prin geometrie se dezvoltă la elevi spiritul de observație, este stimulată plăcerea de a cerceta.

Geometria oferă mari posibilități cunoașterii și generării de idei, având în vedere și rolul ei în dezvoltare, trebuie să acordăm studiului geometriei mare importanță.

Matematica este o disciplină complexă care are în vedere gândirea logică, abstractă și analitică, astfel unii elevi având de la început dificultăți în învățarea matematicii. Acestea pot fi diverse, surprinzătoare.

Copilul în limbajul geometriei învață noile noțiuni la fel cum învață o limbă straină. Înțelegerea matematicii duce la înțelegerea mai ușoară a problemelor la maturitate. Copiii care înțeleg geometria vor putea să creeze o anumită schemă de gândire, să gândească strategii.

Multe domenii tehnice depind de cunoașterea geometriei. Pentru a înțelege geometria trebuie înțelese figurile geometrice.

În stuidul geometriei ‘vederea în spațiu’ este cea mai importantă abilitate.

Mulți elevi consideră geometria ca fiind o materie dificilă, dar prin răbdare și perseverență ea poate fi înțeleasă foarte bine.

Sfaturi și trucuri pentru a învăța geometria:

Pentru a înțelege și stăpâni geometria trebuie învățate foarte bine postulatele și axiomele.

Cunoașterea terminologiei este esențială pentru studierea geometriei. Necunoașterea unui termen nu trebuie ignorată, este esențial să fie înțelese toate figurile. Figurile geometrice nu pot fi înțelese doar privindu-le, ci trebuie desenate. De asemenea trebuie învățate formulele și trebuie o atenție sporită în clasă. Totodată trebuie acordată o atenție sporită și temelor. Doar rezolvând multe probleme și ținând pasul se poate învăța matematica, de altfel este și cazul geometriei.

Secretul înțelegerii unei materii ca geometria îl deținea Euclid pentru că el este părintele geometriei.

STRUCTURA TIPURILOR DE LECȚIE

Lecția este o formă de desfășurare a activității didactice sub îndrumarea unui profesor.

Evenimentele lecției:

Organizarea clasei pentru lectie

Profesorul asigură condițiile psihologice și materiale pentru desfășurarea lecției.

Verificarea și aprecierea cunoștințelor și a capacităților lecției

Verificarea cunoștințelor se face prin diferite metode de evaluare, în această etapă putându-se face și recapitularea cunoștințelor. Profesorul verifică cunoștințele de care depind înțelegerea celor noi.

Transmiterea noilor cunoștințe

În economia lecției, această etapă are importanța cea mai mare, profesorul folosind metode prin care se asigură învățarea activă și temeinică.

CAPTAREA ATENȚIEI

Constă în trezirea atenției, stârnirea interesului elevilor față de ceea ce se anunță în lecția respectivă. Captarea atenției se poate realiza folosind conversația, făcându-se la începutul lecției după comunicarea obiectivelor. Starea de atenție se poate asigura prin metodele folosite și nivelul de implicare al elevilor.

COMUNICAREA OBIECTIVELOR

Obiectivele urmărite vor fi comunicate de profesor pentru a determina elevii în activitatea de învățare și de studiu individual. Prin această metodă se conștientizează cerințele profesorului. Această comunicare nu presupune doar prezentarea titlului lecției, profesorul va comunica elevilor rezultatele la care trebuie să ajungă.

REACTUALIZAREA CUNOȘTINȚELOR

Se realizează prin rememorarea cunoștințelor însușite anterior de care depind înțelegerea celor noi. Se utilizează metode diverse: rezolvarea de probleme, exerciții, fișe de lucru.

DIRIJAREA ÎNVĂȚĂRII

Ocupă cel mai mult timp în etapa transmiterii cunoștințelor, constând în a comunica elevilor cum să combine cunoștințele, cum să gândească.

În această etapă se utilizează strategii adecvate și întreaga gamă de metode și mijloace de învățământ.

ASIGURAREA FEED-BACK-ului ÎNVĂȚĂRII

Informația circulă de la elev la profesor, acesta urmând să se convingă asupra modului în care elevii au înțeles, el putând pune întrebări și să dea spre rezolvare exerciții. Profesorul în baza informațiilor primite de la elevi continuă explicațiile sau își regândește demersul explicativ pentru a determina elevii să înțeleagă. Prin această metodă sunt cunoștințele în forma în care au fost explicate.

Sistematizarea și consolidarea cunoștințelor

Profesorul prin metoda feed-back-ului se convinge că elevii au înțeles în timp că prin consolidare se asigură interiorizarea cunoștințelor învățate.

2.1.1. Lecția mixtă sau combinată

Este cel mai folosit tip de lecție, presupunând urmărirea evenimentelor instruirii. Cunoștințele transmise prin aceasta este mic.

Organizarea în vederea susținerii lecției a clasei (2-3 min)

Verificarea cunoștințelor (10 min)

Reținerea de noi cunoștințe (30 min)

Captarea atenției

Prezentarea titlului lecției și a obiectivelor

Recapitularea cunoștințelor anterioare

Obținerea performanței

Asigurarea feed-back-ului

Consolidarea cunoștințelor (7-8 min)

Tema pentru acasă

Exemple:

Anexa 1

Anexa 2

Anexa 3

2.1.2.Lecția de achiziționare de cunoștințe (lecția de însușire de noi cunoștințe)

(predare-învățare) (lecția de comunicare)

Prin aceasta se realizează verificarea și aprecierea cunoștințelor.

Se recomandă la început de capitol, la teme mai dificile în care se urmărește învățarea în clasă.

Exemple:

Anexa 4

Anexa 5

Anexa 6

Anexa 7

Anexa 8

Anexa 9

Anexa 10

Anexa 11

Anexa 12

2.1.3. Lecția de recapitulare, sistematizare și consolidare a cunoștințelor

Se programează la finalul anumitor capitole ale semestrului sau anului școlar.

Această lecție presupune:

stabilirea de legături între cunoștințe

alcătuirea unor generalizări mai largi

reluarea structurii logice a cunoștințelor

Această activitate presupune o recapitulare ce se face înaintea lecției prin următoarele metode: rezolvarea de probleme, exerciții, studiu de caz

Organizarea clasei pentru lecție – 3 min

Recapitularea cunoștințelor

Tragerea concluzilor – 12 min

Exemplu:

Anexa 13

Anexa 14

Anexa 15

Anexa 16

Anexa 17

Anexa 18

Anexa 19

Anexa 20

Anexa 21

2.1.4.Lecția de formare de priceperi și deprinderi

Această lecție are la bază formarea automatismelor, formarea de priceperi. Desfășurarea lecției are loc în laborator pe durata a 2-3 ore.

Organizarea clasei pentru lecție (7 min)

Desfășurarea activităților independente (15 min)

Comunicarea obiectivelor și captarea atenției

Recapitularea cunoștințelor teoretice necesare pentru formarea priceperilor și deprinderilor

Modalitatea în care elevii trebuie să procedeze în activitatea independentă (prezentarea algoritmului) (15 minute)

Activitatea independentă a elevilor se desfășoară prin lucrări practice pe baza fișelor de lucru. Activitatea se desfașoară individual sau pe grupe. (50 minute)

Elaborarea concluziilor, analiza rezultatelor activității desfășurate (13 min)

Exemple:

Anexa 22

Anexa 23

Anexa 24

Anexa 25

2.1.5.Lecția de verificare și apreciere a rezultatelor școlare (de evaluare)

Aceste tipuri de lecții se programează la începutul anului școlar și au la bază activitatea de evaluare.

Profesorul prezintă tematica și în final se trag concluziile asupra nivelului de pregătire și propune elevilor sarcini pentru activitatea de învățare ulterioară.

Lecțiile pot fi de verificare scrisă, orală, prin probe practice și teste.

Lecțiile de analiză a lucrărilor scrise au o mare importanță. Acestea presupun următoarele etape:

Pregătirea clasei pentru lecție (3 min)

Evaluarea (35 min)

Prezentarea rezultatelor și elaborarea concluziilor (10 – 12 min)

Această lecție urmărește verificarea nivelului de pregătire al elevilor în scopul învățării și creșterii performanțelor școlare. Prin aceasta trebuie să se formuleze judecăți de valoare în legătură cu performanța.

Exemple:

Anexa 26

APLICAȚIILE MAPLE ȘI GEOGEBRA

Aplicația GeoGebra

GeoGebra prezintă o mare utilitate în învățarea matematicii de la nivel elementar la nivel universitar. Aplicația GeoGebra este uzuală în folosirea graficelor, tabelelor, a desenelor geometrice.

Ce este Geogebra ?

Este un program de calculator ce permite utilizatorilor să studieze matematica, fiind un program ce se poate descărca gratuit și este conceput pentru a studia geometria și algebra online, dar și offline.

GeoGebra are la bază o grafică interactivă și foi de calcul, este bine structurat și dispune de de o bară de instrumente simplă. Este un program ușor de instalat și de utilizat, nu consumă multe resurse.

Aceste programe oferă alternative la metodele clasice de predare. Noile tehnologii în activitatea didactică contribuie în mod decisiv la modificarea predării. Procesul de învățare-predare se adaptează dupa elev care trebuie să caute singuri noi resurse de cunoaștere.

Scopul pentru care a fost concepută aplicația GeoGebra este de a mijlocii posibilitățile de mișcare a reprezentării grafice în mediul virtual. În domeniul educației schimbările depind de cum gândesc profesorii și de faptul cum acționează.

‘‘E așa de simplu și totodată atât de complex’’ – Michael Fullan

Softurile pentru matematică oferă idei la căutările de organizare a metodelor tradiționale de învățare. Studiul noțiunilor matematice solicită mult efort, dar este necesară și pasiunea.

Softurile GeoGebra și Maple eficientizează în mod decisiv instruirea matematică a elevilor de gimnaziu și liceu, cu ajutorul lor se poate identifica și pasiunea elevilor pentru I.T. Matematicianul Markus Hohenwarter (2001) este creatorul softului GeoGebra, fiind conceput ca instrument didactic informatic destinat procesului de învățare a geometriei. GeoGebra încurajează predarea și înțelegerea noțiunilor cu grad ridicat de abstractizare din geometrie.

Folosirea softului în cadrul instruirii reduce timpul necesar elevilor pentru înțelegerea conceptelor în favoarea predării necesare aprofundării cunoștințelor.

Profesorul este ajutat să își formeze materialul educațional și să organizeze activitățile de învățare centrate pe elev, oferind instrumente caracteristice învățării asistate de calculator.

GeoGebra este un program dinamic, un gratuit-auxiliar didactic care răspunde nevoilor și așteptărilor actualelor generații de elevi.

În societatea cunoașterii învățarea devine continuă atât pentru cel care predă cât și pentru cel care asimilează informația.

G.Polya a comparat profesorul cu un comerciant care trebuie să-și vândă marfa folosind toate mijloacele posibile:

‘‘Tânărul care refuză să învețe matematica poate să aibă dreptate, este posibil ca el să nu fie nici leneș, nici nepriceput, ci doar să-l intereseze mai mult altceva – există atât de multe lucruri interesante în jurul nostru. Este datoria dumneavoastră ca profesori, ca vânzători de cunoștințe, să-l convingeți pe elev că matematica este interesantă, că această problemă la care lucrează merită efortul‘‘.

Exemple:

Să se determine mijlocul unui segment.

Să se construiască o dreaptă, o semidreaptă, un segment și un segment de lungime dată.

Să se construiască o paralelă și o perpendiculară la o dreaptă dată.

Să se traseze mediatoarea unui segment.

Să se deseneze un unghi ascuțit, să se traseze bisectoarea și să se determine măsura acestuia.

Să se deseneze două tangente la un cerc.

Să se deseneze cercul circumscris unui triunghi și să se evidențieze un sector de cerc.

Să se deseneze trei poligoane și să se determine perimetrele și ariile acestora.

Să se deseneze un octagon regulat, un decagon regulat și un dodecagon regulat.

Să se construiască simetricul unui treiunghi față de un punct și față de o dreaptă.

Exemplu:

Patrulaterul se modifică trăgând de vârfurile sale, obținându-se patrulatere, dreptunghiuri, paralelograme, romburi, pătrate. Proprietățile patrulaterului construit apare în dreapta acestuia. Apar 4 căsuțe de validare având următoarele semnificații:

Aria – se afișează aria patrulaterului

Unghiuri – se afișează măsurile celor 4 unghiuri

Diagonalele – apar desenate diagonalele și lungimile segmentelor

Laturi – se afișează lungimile laturilor patrulaterului

În acest mod elevii pot fi verificați dacă au calculat corect aria patrulaterului desenat.

La clasă programul poate fi rulat prin intermediul unui laptop, proiectând imaginile aferente pe un ecran.

Obs.: lecția a fost atractivă datorită caracterului interactiv, elevii pot relua aplicațiile și parcurge etapele în ritmul lor personal.

Aplicația Maple

Într-o societate aflată în plină evoluție este necesară o educație dinamică.

Trebuie găsite cele mai potrivite modalități care să contribuie la calitatea actului educativ.

Organizarea activității didactice prin metodele ciberneticii la nivelul activității de predare este instruirea programată.

Instruirea programată este o formă superioară prin utilizarea calculatorului, prin intermediul căruia se transmit mesaje informaționale.

O alternativă pentru profesori și elevii interesați de matematică o reprezintă aplicația Maple deoarece prin intermediul ei se propun instrumente asistate de calculator.

Prin utilizarea software-ului Maple se obțin următoarele avantaje:

facilitarea procesului de învățare,

utilizarea în cadrul procesului de învățare de mijloace informatice moderne.

Această metodă pune la dispoziția utilizatorilor un mediu de calcul matematic ușor de utilizat.

Maple conține un număr mare de funcții predefinite. De asemenea conține mai multe capabilități prin grafice 2D și 3D.

Metoda conține un limbaj de programare complet, prin care utilizatorul poate crea programe proprii. Tehnologia Maple este utilizată de profesori, ingineri, studenți, elevi din întreaga lume. În domeniul predării matematicii se pot obține importante rezultate în special în geometrie.

Exemple:

Să se afișeze valoarea numărului irațional cu 45 de zecimale.

>

Să se definească un punct M(1,7).

Să se definească segmental MN, unde M(2,3) și N(4,6)

>

Să se definească dreapta PQ, unde P(1,3), Q(-1,-3) și dreapta ST, unde S(2,1), T(-2,3)

>

>

Să se afle coordonatele punctului de intersecție al dreptelor d1: y = -2x + 3 și d2: y = x + 2.

>

Să se calculeze lungimea segmentului determinat de punctele M(2,-3) și N(1,5), iar apoi să se determine coordonatele mijlocului P al segmentului [MN].

>

Să se definească triunghiul determinat de punctele M(1,2), N(-1.-3),P(-2,1).

>

Să se definească triunghiul determinat de dreptele dr1: x – 2y = 5, dr2: x + y = 1, dr3: 2x – 3y = 4.

>

Să se calculeze aria triunghiului determinat de punctele M(1,-3), N(-2,2),

P(-1,-3).

>

Să se definească pătratul determinat de punctele M(1,2), N(-1,2), P(-1,4), Q(1,4) și să se calculeze diagonal acestuia.

>

Să se determine înălțimea,bisectoarea și mediana corespunzătoare laturii NP a triunghiului MNP, unde M(1,4), N(-2,3) și P(-1,0).

>

>

Să se definească centrul de greutate al triunghiului MNP și să se determine coordonatele acestuia, având M(2,3), N(-1,0), P(0,3).

>

Verificați dacă punctele M(1,1), N(2,2) și P(3,3) sunt coliniare.

>

Verificați dacă dreptele d1: y = 2x + 1 și d2: y = 4x + 2 sunt paralele. Dacă nu sunt paralele să se determine ecuația paralelei d3 la dreapta d1 ce trece prin punctul de coordonate M(0,2).

>

Să se verifice dacă dreptele d1: y = 3 și d2: x = -5 sunt perpendicular.

>

Fie d1: y = 2x – 3. Determinați dreapta d2 ce trece prin punctual M(1,-2) și este perpendiculară pe d1.

>

Verificați dacă dreptele d1, d2 și d3 sunt concurente, unde d1: y = -2x + 4, d2: y = 3x – 1, d3: y = 5x – 3.

>

Stabiliți ce fel de triunghi este triunghiul MNP, unde M(1,0), N(3,0), P(1,5).

>

Fie cercul Să se determine tangentele în M(1,5) și în N(4,0).

>

>

>

Să se determine ecuația cercului circumscris triunghiului ABC :

A(1,2); B(3,2); C(2,7). Să se determine aria triunghiului ABC și aria cercului.

>

assume that the names of the horizontal and vertical axes are _x and _y, respectively

assume that the names of the horizontal and vertical axes are _x and _y, respectively

assume that the names of the horizontal and vertical axes are _x and _y, respectively

Să se verifice dacă punctele M(-1,6,0); N(-2,5,4); R(-1,3,2); S(-4,2,-1) sunt coplanare.

>

>

Să se verifice dacă planele x + 2y – z + 1 = 0 si 3x – 2y + z + 1 = 0 sunt paralele.

>

Să se reprezinte grafic paralelipipedul determinat de punctele M(-1,6,0), N(-1,2,-2), R(2,3,4), S(-2,3,1) și să se calculeze volumul paralelipipedului.

>

>

>

Punctele A(1,-5,4), B(0,-3,1),C(-2,-4,3), E(4,4,-2) sunt vârfurile unui tetraedru. Să se reprezinte grafic tetraedrul.

>

>

CONCLUZII

Metodele interactive contribuie la formarea unei păreri pozitive față de MATEMATICĂ.

Metodele moderne nu trebuie să înlocuiască în totalitate pe cele clasice.

Utilizarea metodelor moderne duce la creșterea interesului elevilor față de matematică.

Se impune folosirea unei game cât mai complexe de metode de predare care să valorifice potențialul elevilor.

Responsabilitatea instruirii trebuie să revină atât profesorului, dar și elevului, profesorul trebuie să identifice resursele și strategiile de învățare, iar elevii trebuie să intuiască responsabilitatea și finalitatea acestui proces complex.

Interesul elevilor pentru lecțiile de matematică (geometrie) crește de fiecare dată când sunt folosite metode moderne de predare.

Nu trebuie însă să absolutizăm utilizarea metodelor moderne în detrimentul celor clasice. Profesorul va trebui să aplice un demers didactic bazat pe folosirea unui complex de metode de predare.

Elevii prezintă particularități psihoindividuale, astfel încât se impune folosirea unei game cât mai ample de metode de predare care să le valorifice potențialul.

Atât profesorii, cât și elevii trebuie să găsească vectorii de convergență cu privire la responsabilitatea instruirii; profesorii trebuie să întrevadă resursele și strategiile de învățare, iar elevii trebuie să intuiască scopurile, responsabilitatea și finalitatea acestui proces complex, menit să îi ajute ca pe viitor să se integreze în societate.

DECLARAȚIE DE AUTENTICITATE PE PROPRIE RĂSPUNDERE

Subsemnata DRAGHICI LILIANA, înscrisă la examenul pentru obținerea Gradului didactic I, seria 2017-2019, specializarea MATEMATICA, prin prezenta, declar că lucrarea metodico-științifică cu titlul TRADIȚIONAL ȘI MODERN ÎN REZOLVAREA PROBLEMELOR DE GEOMETRIE ÎN GIMNAZIU, conducător științific lector univ. Chiș Mihai, este rezultatul propriilor mele activități de investigare teoretică și aplicativă și prezintă rezultatele personale obținute în activitatea mea didactică.

În realizarea lucrării am studiat doar surse bibliografice consemnate în lista bibliografică.

Prezenta lucrare nu a mai fost utilizată în alte contexte evaluative – examene sau concursuri.

Data,

_______________________

Semnătura,

________________________