Școala Gimnazială Nr.3 Oțelu-Roșu [304834]

[anonimizat] I

CONDUCĂTOR ȘTIINȚIFIC: CANDIDAT: [anonimizat]3 Oțelu-Roșu

TIMIȘOARA

2018

UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIȘOARA

DEPARTAMENTUL PENTRU PREGĂTIREA PERSONALULUI DIDACTIC

TRADIȚIONAL ȘI MODERN ÎN

REZOLVAREA PROBLEMELOR DE GEOMETRIE ÎN GIMNAZIU

CONDUCĂTOR ȘTIINȚIFIC: CANDIDAT: [anonimizat]3 Oțelu-Roșu

TIMIȘOARA

2018

CUPRINS

Introducere. 2

Capitolul 1: Predarea geometriei la gimnaziu între tradiție și modernitate 3

1.1. Predarea-comunicare pedagogică 3

1.2. Predarea matematicii 3

1.2.1. Importanța matematicii în procesul de învățământ 3

1.2.2. Predarea geometriei la gimnaziu 4

1.3. Tradițional/clasic și modern/alternativ în predarea literaturii 6

1.3.1. Metode tardiționale de predare 8

1.3.2. Metode moderne/[anonimizat] 19

1.3.3. Virtuți și limite ale metodelor alternative/moderne 41

Capitolul 2: Elemente de didactica matematicii. Particularități ale studierii geometriei în gimnaziu 42

2.1. Forme de desfășurare a lecției de geometrie 42

2.1.1. Lecția mixtă sau combinată 44

2.1.2. Lecția de achiziționare de cunoștințe 49

2.1.3. [anonimizat] a cunoștintelor 56

2.1.4. Lecția de formare de priceperi și deprinderi 70

2.1.5. Lecția de verificare si apreciere a rezultatelor școlare (de evaluare) 76

Capitolul 3: Aplicații 80

3.1. Aplicația GeoGebra 80

3.2. Aplicația Maple 86

3.3. Curiozități matematice și diverse demonstrații 104

Concluzii 134

Anexe 135

Bibliografie 140

[anonimizat], are nevoie de o educație dinamică bazată pe modelul interactiv.

Învățătura care se bazează pe interactivitate și comunicare a [anonimizat].

[anonimizat], [anonimizat] o [anonimizat], [anonimizat].

[anonimizat], [anonimizat].

[anonimizat] a [anonimizat].

În propria lucrare doresc să demonstrez fiabilitatea metodelor alternative în cadrul procesului educativ și să prezint exemple precise de aplicabilitate și eficacitate a [anonimizat].

[anonimizat], nu o să putem găsi un raționament tip care să rezolve toate problemele.

[anonimizat] o parte ele favorizează capacitatea de înțelegere a demonstrațiilor și pe de altă parte sunt mijloace de cercetare în cadrul rezolvării problemelor.

[anonimizat]. Principalele dificultăți pe care le conțin problemele de geometrie constau în faptul că nu se bazează pe un model standard. Problemele de geometrie necesită o modalitate specifică de studiu, de la caz la caz, în care trebuie să fie prezente pe lângă cunoștințele acumulate în școală și o anumită rutină în a rezolva probleme, o gândire logică, precum și multă creativitate.

Prezenta lucrare este structurată pe trei capitole, conține o introducere care prezintă și dezvoltă scopul și ipoteza temei, o parte finală unde sunt prezentate cele mai importante idei sub aspectul unor concluzii și desigur, anexele și bibliografia.

Capitolul de început prezintă probleme referitoare la aspecte generale ale predării, precum și modalități de îmbunătățire a predării geometriei de gimnaziu prin variația metodelor utilizate. Totodată am încercat să prezint principalele metode clasice și modern, precum și anumite aspecte care conțin modul de utilizare a acestora în practica școlară, precum și situații concrete de folosire a metodelor ilustrate în predarea geometriei.

Calitațile și limitele metodelor alternative sunt prezentate tot în acest capitol, evidențiind faptul că elevul beneficiază de un mare atu dacă dispune de metode de predare moderne.

Capitolul al doilea conține o prezentare a formelor de desfășurare a lecției de geometrie.

Ultima parte a lucrării conține probleme de geometrie diverse, cu multiple soluții de rezolvare, probleme care să conducă la consolidarea, aprofundarea și întregirea cunoștințelor asimilate la clasă. În cadrul acestei lucrări pot fi descoperite, așadar, mai multe probleme de geometrie care se rezolvă prin metode generale, particulare, prin metode tradiționale sau prin unele metode moderne .

PREDAREA GEOMETRIEI LA GIMNAZIU ÎNTRE TRADIȚIE ȘI MODERNITATE

PREDAREA – COMUNICAREA PEDAGOGICĂ

Termenul “comunicare” provine din latinescul “communis”, de unde verbul “communico”, care înseamnă a face ceva împreună. În zilele noastre a comunica înseamnă a vorbi, a da de știre, a informa, a înștiința.

Comunicarea pedagogică reprezintă o formă specifică a comunicării umane prin intermediul căreia se realizează activitatea de educație și instruire.

Procesul de predare-învățare este promovat de cadrul didactic în diferite contexte specifice instruirii școlare, fiind un proces de comunicare didactică proiectată și valorificată de cadrul didactic.

Predarea ca modalitate de comunicare pedagogică este proiectată de profesor în cadrul unui proces creativ amplu. Ca activitate specifică profesorului , presupune un tip de comunicare pedagogică care constă în :

stabilirea conceptelor fundamentale și operaționale;

prezentarea conținutului în mod articulat și coherent;

explicarea conținutului prin diferite analogii și aplicații.

Cheia schimbărilor în didactica matematicii constă în diversificarea metodelor de predare-învățare, a modalitaților și formelor de organizare a lecției, a situațiilor de învățare.

Matematica conține diferite tipuri de lecții și acest lucru presupune o combinare a metodelor tradiționale cu cele moderne și se recomandă alternarea lor cu metodele active de învățare și cu metodele de promovare a creativității elevilor.

PREDAREA MATEMATICII

1.2.1. Importanta matematicii in procesul de invatamant

“Matematica este investigarea structurilor abstracte definite în mod axiomatic folosind logica formală.“

“Matematica folosește nu numai în viața de zi cu zi, dar este știința care se află la baza tuturor descoperirilor științifice și contribuie la dezvoltarea societății omenești.“

Matematica oferă “material de cea mai bună calitate” pentru ilustrarea logicii formale. În această situație găsim relații și noțiuni clar delimitate și propozițiile (corect construite) sunt adevărate sau false, hotărârea noastră fiind protejată de aprecieri, de nuanțe, interpretări și excluderi de excepții.

Aprecierea făcută de Polya, în remarcabila sa carte “Matematica și raționamentele“, este deosebit de sugestivă :

“Ne întărim cunoștințele matematice prin raționamente demonstrative, însă ne sprijinim ipotezele prin raționamente plauzibile. O demonstrație matematică este un raționament demonstrativ, pe când probele inductive ale fizicianului, probele indirecte ale juristului, argumentele documentate ale istoricului și probele statistice ale economistului fac parte din raționamentele plauzibile.

Deosebirea dintre aceste două tipuri de raționamente este mare și variată. Raționamentul demonstrativ este cert, incontestabil și definitiv. Raționamentul plauzibil este hazardat, discutabil și provizoriu.

Raționamentele demonstrative pătrund știința în aceeași măsură ca matematica însă, ca atare, ele nu sunt capabile (ca matematica însăși) să ne furnizeze cunoștințe esențialmente noi despre lumea înconjurătoare. Tot ce aflăm nou despre lume este legat de raționamente plauzibile, unicul tip de raționament care ne interesează în treburile de toate zilele.

Raționamentul demonstrativ are standarde rigide, codificate și stabilite de logică (de logica formală sau demonstrativă), care este teoria raționamentelor demonstrative.

Standardele raționamentelor plauzibile sunt fluente și nu există niciun fel de teorie a acestui mod de a raționa care să se poată compara, sub aspectul clarității, cu logică demonstrativă sau să se bucure de un consens comparabil cu al acesteia.“

Rolul deosebit al matematicii și al activităților cu conținut matematic rezidă în faptul că ele stimulează foarte mult dezvoltarea intelectuală. Trecerea de la gândirea concret-intuitivă la gândirea abstractă se realizează prin activitațile matematice. Ele inițiază elevul în “procesul de matematizare”, această situație conducând la o mai bună înțelegere a realității.

Procesele gândirii: analiza, comparația, sinteza, abstractizarea, cât și însușirile ei: rapiditatea, flexibilitatea, independent conduc spre o exersare intensă și sistematică.

Cunoștințele cu conținut matematic antrenează memoria copiilor pentru că îi determină să rețină, să păstreze și să reproducă conștient cunoștințele acumulate, să memoreze regulile unui joc didactic sau logic, să-și formeze deprinderi de lucru, pricepere în a rezolva diferite situații în contexte diverse. Aceste deprinderi îl pot influența în plan atitudinal și social, devenind utile în activitatea practică. Datorită activităților matematice, copilul devine conștient de propria gândire, știe “ce face” și “pentru ce face”, se poate exprima precis și corect.

Gândirea copilului înregistrează progrese calitative datorită activității matematice și sistematice complicate.

Matematica stă la baza gândirii și a progresului și constituie impulsul dinamicii sociale. Înțelegerea conceptelor matematicii duce la formarea unei gândiri logice și creatoare, matematica învățându-se din viață și pentru viață.

Predarea geometriei la gimnaziu

Geometria are rolul de câmp de antrenare a logicii, obiectivele de studiu sunt familiare și naturale, definițiile nefiind complicate, demonstrațiile fiind simple și putând fi înțelese vizual. Gândirea este antrenată de problemele de geometrie. Geometria se ocupă cu studiul formelor spațiale și a relațiilor lor de mărime. S-a născut din nevoile oamenilor și s-a dezvoltat în strânsă legătură cu acestea.

Geometria continuă să se bucure de o înaltă apreciere prin contribuția pe care o aduc la formarea personalității și a raționamentului.

Prin geometrie se dezvoltă la elevi spiritul de observație, este stimulată plăcerea de a cerceta.

Geometria oferă mari posibilități cunoașterii și generării de idei, având în vedere și rolul ei în dezvoltare; trebuie să acordăm studiului geometriei mare importanță.

Matematica este o disciplină complexă care are în vedere gândirea logică, abstractă și analitică, astfel unii elevi având de la început dificultăți în învățarea matematicii. Acestea pot fi diverse, surprinzătoare.

Copilul în limbajul geometriei învață noile noțiuni la fel cum învață o limbă straină. Înțelegerea matematicii duce la înțelegerea mai ușoară a problemelor la maturitate. Copiii care înțeleg geometria vor putea să creeze o anumită schemă de gândire, să gândească strategii.

Multe domenii tehnice depind de cunoașterea geometriei. Pentru a înțelege geometria trebuie înțelese figurile geometrice.

În studiul geometriei, ‘vederea în spațiu’ este cea mai importantă abilitate.

Mulți elevi consideră geometria ca fiind o materie dificilă, dar prin răbdare și perseverență ea poate fi înțeleasă foarte bine.

Sfaturi și trucuri pentru a învăța geometria:

Pentru a înțelege și stăpâni geometria trebuie învățate foarte bine postulatele și axiomele.

Cunoașterea terminologiei este esențială pentru studierea geometriei. Necunoașterea unui termen nu trebuie ignorată, este esențial să fie înțelese toate figurile. Figurile geometrice nu pot fi înțelese doar privindu-le, ci trebuie desenate. De asemenea, trebuie învățate formulele și trebuie o atenție sporită în clasă. Totodată trebuie acordată o atenție sporită și temelor. Doar rezolvând multe probleme și ținând pasul se poate învăța matematica, de altfel este și cazul geometriei.

Secretul înțelegerii unei materii ca geometria îl deținea Euclid, pentru că el este părintele geometriei.

Predarea geometriei trebuie să țină cont de etapele mentale de dezvoltare ale copilului, fiind o materie riguroasă bazată pe demonstrații, care necesită formarea conceptelor geometrice și realizarea unor operații logice.

O primă etapă o constituie predarea pregeometrică, caracterizată de introducerea formelor geometrice, desenarea unor figuri, măsurarea concretă a unor distanțe, a unor arii și volume, folosind unități de masură nonstandard. În această etapă, elevul începe să-și formeze convingeri despre conservarea distanțelor, a ariei, a volumelor, a greutăților, atunci când forma unora suferă modificări. Intuiția are un rol major și proprietățile geometrice sunt treptat “simțite” de către elevi. Elevii de gimnaziu au ca fond de reprezentări geometrice : segmentul, linia frântă, linia curbă, unghiurile, care sunt introduse ca denumire a unor imagini ce prezintă anumite particularități percepute exclusiv vizual de către elevi.

Figurile geometrice de la segmente, linii frânte și curbe, la poligoane, paralelogram, dreptunghi, romb, pătrat, trapez, se recunosc, se desenează și se realizează concentric.

Majoritatea figurilor geometrice prezentate sunt plane, dar elevii primesc și acționează asupra unor corpuri geometrice spațiale chiar din timpul învățământului primar. Sub îndrumarea profesorului, ei deprind unele particularități ale acestora, le denumesc și învață să le deseneze : paralelipiped, prismă, piramidă, cilindru, con, sferă.

În clasele VI-VII, studiindu-se doar geometria plană, este absolut necesar ca la începutul clasei a VIII-a să se recapituleze introducerea concretă, cu ajutorul modelelor, a principalelor corpuri geometrice întâlnite de elevi inclusiv în clasa a V-a.

Elevul poate trece la operații cu propoziții matematice începând din clasa a VI-a, într-o manieră ipotetico-deductivă, fără a se mai baza pe obiecte concrete. Acum se pot forma raționamente de tipul “dacă-atunci”, se pot sesiza incompatibilități, disjuncții, conjuncții.

Acum copilul începe să simtă necesitatea unor demonstrații matematice, poate efectua operații asupra unor propoziții admise ipotetic adevărate, fără a valorifica veridicitatea lor printr-o operație concretă. Aceste operații deductive acționează asupra conceptelor din realitate și este esențial să nu se grăbească introducerea demonstrației. Cel mai frumos exprimă această convingere matematicianul H. Freudenthal: “ Într-o zi copilul va întreba “de ce ?” și nu este de folos să începem geometria sistematică înainte ca acel moment să fi venit”, deoarece i-ar putea dăuna cu adevărat.

Predarea geometriei, ca un mijloc de a-i face pe copii să simtă forța spiritului omenesc, a propriului lor spirit, nu trebuie să-i lipsească de dreptul de a face ei însuși descoperiri.

Cheia geometriei este expresia “de ce”. “Numai ucigașii de bucurii vor înmâna cheia mai devreme”. (Gazeta Matematica, seria A nr. 2,3,1958).

Dezvoltarea progresivă a inteligenței face posibil studiul geometriei bazate pe demonstrații. O valoare didactică de necontestat îl are principiul intuiției. Pe parcursul demonstrațiilor geometrice nu putem renunța la figură, o utilizăm pentru a reprezenta simplificat unele operații mentale.

De exemplu, pentru o problemă referitoare la triunghi, ne imaginăm și desenăm un triunghi. Triunghiul desenat este unul oarecare reprezentând o întreagă clasă de triunghiuri cu o anumită proprietate specificată în enunțul problemei, deservind un triunghi particular cu dimensiuni fixate. Demonstrația făcută este adevărată pentru orice triunghi cu proprietatea dată. Așadar, elevul trebuie să facă distincția între desenul geometric, căruia îi atașează atribute materiale, și figura geometrică, entitate mentală.

Figurile abstracte sunt supuse unor operații logico-deductive, nu aplică aceste operații unor desene. Modurile și gesturile prin care desenăm pe diferite suporturi sugerează operațiile mentale pe care le facem asupra figurii geometrice.

Desenarea unei figuri geometrice în spațiu are un rol major, aceasta realizându-se ținând cont de câteva convenții de desen.

Predarea geometriei în gimnaziu are următoarele obiective:

clarificarea conceptelor geometrice, a relațiilor intuitiv-abstracte, intuitiv-conceptual;

demonstrarea unor propoziții pornind de la altele, despre care se știe că sunt adevărate;

întărirea deprinderilor de calcul aritmetic și algebric;

dezvoltarea capacității de a realiza construcții geometrice corecte;

înțelegerea și stăpânirea pozițiilor relative ale dreptelor, punctelor și planelor în spațiu;

folosirea cunoștințelor privind pozițiile relative în studiul unor corpuri geometrice.

Prin contribuția pe care o aduce la formarea personalității și a raționamentului, geometria se bucură de o înaltă apreciere. Stilul sistematic al geometriei are în vedere înarmarea elevilor cu un bagaj de cunoștințe clare despre formele obiectivelor lumii reale, formarea și dezvoltarea la elevi a reprezentărilor spațiale a deprinderilor, aplicarea în practică a cunoștințelor geometrice, efectuarea măsurătorilor, calcularea ariilor sau a volumelor.

TRADIȚIONAL / CLASIC ȘI MODERN / ALTERNATIV ÎN PREDAREA GEOMETRIEI

Metode de învățare:

traditionale: conversația, prelegerea, explicația, povestirea, demonstrația, exercițiul, munca cu manualul;

moderne: problematizarea, învățarea prin descoperire, învățarea pe grupe, prin cooperare, modelarea matematică, algoritmizarea, instruirea programată;

de actualitate:

de învățare activă: brainstorming, mozaicului, investigația, proiectul, experimentul, jocul de rol.

de dezvoltare a creativității: brainstorming, cubului, turul galeriei, ciorchinelui, insert, KWL, MAPLE, GEOGEBRA.

Îmbinarea tradiționalului cu modernul duce la realizarea unei lecții eficiente.

Originea termenului metodă provine din limba greacă, “methodos” însemnând “drum spre”.

Tradițional sau modern în predare?

Noile tendințe în didactica modernă nu corespund modelului tradițional de predare, care se bazează pe un model de învățare pasiv (învațare frontală, studiul manualului și chestionarea). Cadrului didactic îi revine un rol foarte important în cadrul procesului didactic (cel de emițător), acela de a prezenta cunoștințele spre un receptor aproape pasiv, motivat să memoreze și să reproducă informația.

Implicarea directă a elevului este esența noului model de învățare, care este un model activ, ce presupune asimilarea cunoștințelor și dobândirea gândirii critice.

În cadrul activității la clasă, noul model impune un nou tip de comunicare pe mai multe direcții: profesor-elev; elev-elev; elev-profesor, aflată în contradicție cu tipul unidirecțional profesor-elev, care este esența modelului standard. Întrepătrunderea rolurilor și schimbarea lor o demonstrează Kathee Terry. (1996)

Profesorul a fost:

coordonator al activității grupurilor de elevi și sursă de informație;

creator de reguli pe care le impune și actor principal;

educator solitar.

Profesorul devine:

intermediar al procesului de învățare;

manager al situațiilor de învățare bazat pe realitate și pe cele mai noi surse de informare;

component al unei comunități alcătuite din elevi, manageri, profesori, parinți, etc.

Elevul a fost:

un executant supus al sarcinilor primite de la profesor;

dependent al unui curriculum prestabilit;

o persoană pasivă, forțată să-și însușească un anumit tip de manual.

Elevul trebuie să fie:

profesor al colegilor săi;

să contribuie activ la actul învățării;

să ia parte la decizia privind curriculum-ul școlar;

un căutător continuu de informații noi din surse variate.

Modelul tradițional de predare este unul informativ, pe când cel modern este catalogat ca un proces activ.

Activitatea didactică prezintă raportul dintre procesul de învățare activă și procesul de învățare pasivă.

Activitatea individuală și competiția între elevi sunt promovate în învățământul de tip tradițional în scopul ierarhizării acestora.

Efortul și productivitatea individului sunt stimulate în cadrul competiției, pregătește elevii pentru viață, dar totodată poate genera comportamente agresive, lipsa de comunicare între elevi, marginalizarea unora dintre ei, amplifică anxietatea și cultivă egoismul. Pe de altă parte, învățământul modern se referă la experiența elevului, promovează învățarea prin colaborare și pune accent pe dezvoltarea gândirii în competiția cu alții. Munca în grup duce la interacțiunea dintre elevi, diminuează anxietatea față de școală și intensifică punctele de vedere pozitive față de cadrele didactice.

Munca prin colaborare, metodele active aplicate în activitatea pe grupe sunt mari consumatoare de timp, iar elevilor le trebuie perioade mai îndelungate de timp să se familiarizeze cu acest tip de învățare. Realizarea obiectivelor unei lecții presupune alegerea metodelor de învățământ optime.

Nicolae Iorga aprecia că: “Metoda cea mai bună are valoarea pe care i-o dă omul care o întrebuințează. Ea nu are valoare generală democratică, prin care orice minte omenească ajunge a nimeri pe același la aceeași siguranță în țintă. Iar valoarea omului care întrebuințează metoda atârnă, desigur, și de o anume inteligență, care nu e apanajul oricui, dar atârnă și de mijloacele pe care i le pune la îndemână numai cultura generală, multilaterală, dând trei virtuți fără care nici știința în cel mai înalt sens al cuvântului nu se poate. Aceste trei virtuți sunt: orizont, disciplină și omenie”.

Motodele tradiționale se practică în școlile din România în proporție mult mai mare față de cele moderne, tendința fiind spre implementarea celor din urmă, dar fără anularea primelor; se dorește realizarea unei simbioze între cele două tipuri.

Supraviețuirea modelului modern nu se poate face fără fundamentul celui tradițional. Profesorului îi revine sarcina de a implementa, de a combina și de a demonstra eficiența acestor metode.

Metode tradiționale de predare

PRELEGEREA

Prelegerea, ca metodă tradițională, este centrată pe conținutul învățării și pe profesor. Prelegerea rezidă în prezentarea de către profesor în mod neîntrerupt a unui conținut matematic. În cadrul acestei metode se prezintă demonstrații, teoreme, definiții, algoritmi, definiții, cantități foarte mari de informație. Această metodă este recomandată la clasele mai mari, când elevii au o putere mai mare de concentrare și de păstrare a atenției. Profesorul poate avea succes în utilizarea prelegerii doar utilizând un plan didactic pregătit anterior și permițând participarea activă a elevilor.

Avantaje:

metoda poate fi adaptată elevului;

poate fi de inspirație;

profesorul trebuie să facă o pregătire prealabilă, presupunând resurse minime;

este o metodă rapidă și totodată mai personală decât cele scrise;

pentru a transmite explicații este o metodă convenabilă.

Dezavantaje:

profesorul merge în pas cu toată clasa;

profesorii fără experiență au tendința de a prezenta materialul prea repede;

este plictisitoare;

nu există implicarea directă a elevului;

concentrarea este mai slabă față de alte metode de învățare;

elevii nu pot utiliza ideile care li se predau.

Cel mai mare dezavantaj al discursului este viteza mare a vorbirii, cei mai mulți oameni vorbind cu 100-200 cuvinte pe minut, deci o prelegere de o oră ar putea fi cât o carte de dimensiuni mai mici. Un profesor cu un ritm moderat poate citi o anumită cantitate de informații de 20 de ori mai repede decat o pot învăța elevii. De asemenea, alt factor important este perioada de concentrare a elevilor care diferă de la 5 la 20 de minute. Pe termen scurt, memoria se umple repede, iar materialul nou îi ia locul celui vechi. Profesorul chiar și în situația unei prezentări moderate nu poate garanta concentrarea tuturor elevilor din clasă pe toată durata orei. În vederea îmbunătățirii prelegerii vom prezenta câteva sugestii:

vorbiți suficient de tare;

faceți o pauză mai mare înainte de punctarea unei idei de bază;

dacă un elev vorbește în timpul prezentării nu vă întrerupeți, ci apropiați-vă de el privindu-l în ochi;

păstrați contactul vizual cu elevii;

faceți materialul prezentat ușor de înțeles utilizând termeni uzuali;

folosiți materialul vizual, videoproiectorul, table;

nu încercați să transmiteți toate cunoștințele dumneavoastră;

folosiți întrebările solicitând elevul, bazați-vă și pe învățarea independentă, dați elevilor un rezumat înainte de lecție.

Prelegerea este de sinteză, când profesorul face un rezumat asupra unui material ce a fost deja transmis, sau este introductivă, atunci când profesorul comunică anticipat conținutul ce urmează a fi predat în clasă. Prin combinarea prelegerii cu dezbaterea se obține varianta de prelegere-dezbatere. Dezbaterile trebuie pregătite din timp, ele având la bază cunoștințe deja expuse de către profesor.

Pentru evitarea unei prelegeri ineficiente sau monotone profesorul trebuie să introducă în timpul acesteia următoarele elemente caracteristice:

diversificarea activităților;

explicarea;

pregătirea de materiale ajutătoare;

exemplificarea;

concluzionarea.

Activitatea didactică bazată doar pe prestația profesorului poate duce la o lipsă de inițiativă, de interes din partea elevilor și la o inhibiție intelectuală a acestora. Datorită acestor motive, prelegerea este folosită mai puțin în clasele de gimnaziu.

Cu ajutorul prelegerii se poate prezenta un conținut care implică următoarele reguli:

anunțarea planului temei;

conținutul trebuie să fie adaptat vârstei școlare;

stabilirea clară a obiectivelor;

succesiunea logică a conținutului;

folosirea tehnicii informaționale;

interacțiunea cu alte metode;

folosirea întrebărilor retorice.

EXPLICAȚIA

Explicația este centrată pe profesor și pe conținutul învățării. Explicația constă în comunicarea unor cunoștințe într-un interval de timp scurt de către profesor, în cazul în care elevul, pe baza cunoștințelor anterior însușite, nu le poate reține singur. În predarea matematicii este o metodă foarte des utilizată. Modul de gândire al profesorului este expus logic și argumentat, iar elevii îl urmăresc căutând să-l înțeleagă. Eficiența explicației poate fi mărită de către profesor, care trebuie să controleze dacă este urmărit de elevi, observând mimica lor, să uzeze de întrebări, repetiții și explicații suplimentare; de asemenea, profesorul trebuie să prezinte conținutul la nivelul de înțelegere al elevilor. Explicația trebuie să fie clară și convingătoare, să dezvolte la elevi imaginația. Ca metodă se poate utiliza la:

descrierea unor algoritmi;

raționamente (metoda triunghiurilor congruente, metoda reducerii la absurd);

introducerea noțiunilor;

metode de construcții grafice, efectuarea de desene la geometrie (cum se utilizează instrumentele geometrice).

Instrucția în matematică este dominată de elemente explicative. Profesorul expune argumentat și logic modul lui de gândire, în scopul de a învăța elevul cum trebuie să gândească rezolvarea problemei respective. Pentru a combate pasivitatea elevilor, profesorul trebuie să-i motiveze să gândească în același timp cu el. Esențial este ca profesorul să gândească din punctul de vedere al cunoștintelor elevilor și a mijloacelor lor de gândire. Modul de gândire și argumentele sunt esențiale, dar trebuie să se menționeze și cum nu e bine să se gândească.

Introducerea unei noțiuni prin mai multe căi este posibilă, dar este recomandabil să se indice aceste căi, să se compare, promovând-o pe cea rațională. Recurgerea la explicație este necesară pentru înțelegerea anumitor noțiuni matematice ori a unor raționamente matematice. În continuare, o să ne oprim și asupra artei de a explica.

Talentul de a explica este considerat de către elevi cel mai important lucru la un profesor. În situația în care elevii nu înțeleg nu este vina lor, profesorul trebuie să-și dezvolte capacitatea de a explica. O explicație de calitate trebuie:

să se întemeieze exclusiv pe cunoștințe pe care elevul le are deja;

să fie adaptată grupului;

să conțină doar informații care să ducă la o descriere bine gândită;

să fie prezentată cu răbdare, convingător;

să fie axată pe expresii cheie;

să fie stabilită pe un lanț de raționamente logice;

să fie bine structurată, e bine să înceapă explicația anunțând ce vrem să explicăm și de ce;

noțiunile abstracte să fie introduse prin exemple și contraexemple concrete; elevii își formează concepte noi, definițiile sunt explicații abstracte, care utilizează concepte abstracte, esențial este să se plece de la exemple, să fie întrebați elevii care sunt asemănările dintre ele (inducție incompletă);

să conțină reprezentări vizuale ale conceptelor expuse, diagrame grafice, tot ce poate ajuta înțelegerea;

sintetizarea conceptelor explicate.

După ce le arată elevilor cum trebuie să gândească pentru a rezolva o problemă, profesorul e bine să mai rezolve o problemă asemănătoare cu ajutorul elevilor, deci elevii sunt ghidați și au mai multă încredere astfel în reușita lor. După aceea, sunt lăsați să rezolve singuri exerciții asemănătoare. Ca metodă de învățământ, explicația trebuie să aibă următoarele caracteristici:

să respecte rigurozitatea logică a cunoștintelor adoptate pe nivel de vârstă;

să motiveze o idee pe bază de argumente;

să înlesnească înțelegerea unor aspecte din realitate;

să intermedieze dobândirea de cunoștințe a unor tehnici de acțiune;

să aibă un rol de anticipare, dar și de concluzionare;

să influențeze eficient resursele emoționale ale copiilor.

Pentru o utilizare eficace a acestei metode trebuie avute în vedere următoarele cerințe:

să fie concisă;

să fie precisă;

să fie exactă din punct de vedere matematic;

să fie adaptată nivelului de înțelegere al copiilor.

Copiii găsesc în explicație, dacă este corect aplicată, un model de raționament matematic, de vorbire, un model de abordare a unei situații problemă și prin intermediul ei înțeleg mai bine ideile ce li se comunică. Explicația în cadrul activităților matematice este folosită atât de profesor, cât și de elevi. Profesorul explică procedeul de utilizare a mijloacelor didactice, explică regulile jocului, sarcinile de lucru. La rândul său, elevul explică soluțiile la care a ajuns în rezolvarea sarcinii didactice, utilizând limbajul matematic. Explicația este în strânsă legătură cu demonstrația, pe care o însoțește și o susține. În cadrul susținerii explicației, se pot face întreruperi, ce au ca scop adresarea de întrebări copiilor, prin care se verifică gradul de captare și înțelegere, dar acestea trebuie să fie de scurtă durată, pentru a nu întrerupe logica demersului prezentat.

Exemple:

Cum se folosesc instrumentele geometrice la construcția perpendicularei dintr-un punct și într-un punct pe o dreaptă.

Realizarea desenelor la geometrie în spațiu.

Descrierea unor raționamente, de exemplu – metoda triunghiurilor congruente, metoda reducerii la absurd.

POVESTIREA

Organizarea unor lecții centrate pe această metodă presupune atât imaginație, cât și inițiativă din partea profesorului, dar și a elevilor. Rutina orelor care se desfășoară la fel poate fi combătută prin folosirea unor metode specifice altor discipline.

Povestirea ca metodă de studiu prezintă următoarele caracteristici:

metodă centrată pe profesor și pe conținutul învățării;

se folosește cu prioritate la clasele mici;

metodă de comunicare orală;

metodă specifică altor discipline.

Povestirea apare doar pentru prezentarea unor elemente de istoria matematicii. Aceste incursiuni istorice sunt oportune pentru mărirea motivației învățării unor capitole (se pot prezenta întâmplări amuzante, care au dus la descoperirea unor noțiuni).

Prin metoda povestirii se pot introduce teoreme celebre, cum ar fi Teorema lui Pitagora, cât și datele biografice ale matematicienilor care s-au ocupat de studiul lor.

Exemple:

Numărul Φ a fost cunoscut încă din antichitate, iar din secolul XIX a primit numele de "Secțiunea de Aur", "Numărul de Aur" sau "Raportul de Aur". Prima definiție clară a numărului a fost datată prin jurul anului 300 î.Hr. de către Euclid din Alexandria, părintele geometriei ca sistem deductiv formalizat.

Cum putem regăsi valoarea raportului de aur folosind configurații geometrice?

Să redescoperim valoarea lui Φ făcând raportul lungimilor laturilor celui mai „frumos” triunghi, „triunghiul de aur”!

Este vorba despre un triunghi isoscel ABC, [AB][AC], cu măsura unghiului din vârf egală cu .

Sarcini de lucru:

realizați o figură reprezentativă folosind instrumentele geometrice;

folosiți notațiile ;

trasați bisectoarea unghiului ABC.

Ne propunem să demonstrăm că .

Desigur, . Ideea rezolvării problemei constă în trasarea bisectoarei unghiului ABC, fie ea [BK], unde . Astfel se formează triunghiurile isoscele ABK și CKB. (De ce?)

(De ce?) obținem:

Rezultă .

Notăm și obținem ecuația de gradul al II-lea .

Vom rezolva această ecuație prin decompunere în factori. Formăm pătratul unui binom:

sau . Deoarece t este un număr pozitiv, soluția care convine este =φ

Observație:

Triunghiul de aur este un bun model matematic pentru a recalcula cos:

Aplicăm teorema cosinusului în triunghiul ABC și avem:

La fel de interesant este „dreptunghiul de aur”, respectiv acel dreptunghi în care raportul dintre lungime și lățime este egal cu φ.

Sarcini de lucru:

– realizați o figură reprezentativă folosind instrumentele geometrice.

Este remarcabil faptul că, decupând un pătrat dintr-un dreptunghi de aur, se obține un nou dreptunghi de aur, procedeul putând continua la infinit!Am obținut astfel „o fabrică” de dreptunghiuri de aur.

demonstrați că dacă ABCD este un dreptunghi în care φ, iar AMND este un pătrat, atunci dreptunghiul MBCN are proprietatea că φ.

Steaua cu 5 colțuri, simbolul adepților lui Pitagora (pitagoreicienilor), se obține astfel:

trasăm un cerc pe care îl împărțim în 5 arce congruente, construind unghiuri la centru congruente, fiecare având măsura egală cu: ;

unim punctele de diviziune de pe cerc și obținem pentagonul regulat ABCDE;

trasăm diagonalele acestui pentagon regulat, care prin intersecție vor forma steaua cu 5 colțuri.

Sarcini de lucru:

– folosind notațiile din figură, calculați măsurile unghiurilor care s-au format în interiorul acestui pentagon și distingeți triunghiurile de aur.

– folosind notațiile din figură și proprietatea triunghiului de aur, redescoperiți numărul φ, calculând valoarea rapoartelor: .

Thales din Milet (624 i.Hr. – 546 i.Hr.)

Primul filozof grec și primul matematician al Greciei Antice a fost Thales din Milet. Acesta s-a născut în 624 i.Hr., în Milet.

Thales din Milet a devenit celebru pentru că a prezis cu multă exactitate eclipsa de Soare din 8 mai 585 i.Hr., folosindu-se de cunoștințele pe care și le-a însușit de la babilonieni. A descoperit “Carul Mic”.

Marele filozof grec Thales din Milet a folosit teorema care îi poartă numele la calcularea înălțimii piramidelor din Egipt, măsurând umbra acestora când umbra unui om este egală cu înălțimea sa. Deci s-a folosit de relația dintre umbră și dimensiunea corpului care o proiectează. Tot cu ajutorul teoremelor sale, Thales a calculat și distanța unei nave de țărmul mării.

DEMONSTRAȚIA

Demonstrația este o metodă de predare-învățare de bază, specifică matematicii, valorificând varietatea cunoștințelor și a situațiilor de învățare. Fiind o metodă intuitivă, este dominantă în activitațiile de dobândire de cunoștințe, valorificând caracterul activ, senzorial al percepției copilului. Demonstrația este o metodă tradițională centrată pe elev și pe conținutul învățării. Raportul optim dintre demonstrație și explicație este dat de particularitățile de vârstă ale copiilor și de nivelul lor de cunoștințe. O situație matematică nouă va fi demonstrată și explicată de profesor. Demonstrația este mai eficientă dacă sunt respectate unele cerințe de ordin psihopedagogic. Demonstrația trebuie să favorizeze învățarea prin crearea motivației specifice (trezirea interesului), trebuie să respecte proporția corectă în raport cu explicația. Ca metodă specifică de justificare a teoremelor, demonstrația matematică constă în a arăta că, dacă ceea ce afirmă ipoteza are loc, atunci concluzia rezultă din ea în mod logic. În fiecare demonstrație ne putem baza numai pe axiome și teoreme demonstrate anterior. Nu pot fi utilizate propoziții, proprietăți care încă nu au fost demonstrate, acestea putându-se baza la rândul lor pe teorema de demonstrat. Ca și semn distinctiv al matematicii, demonstrația este o parte esențială a contribuției matematicii la cultura generală. Elevul care nu a fost impresionat niciodată de o demonstrație matematică a fost lipsit de una dintre trăirile intelectuale de bază. În cadrul unei lecții prezentate la clasă, nu trebuie să se exagereze cu demonstrarea riguroasă, fără a se ține cont de nivelul clasei, poate conduce din partea elevilor la o îndepărtare de matematică. În acest sens, prezentăm următorul exemplu:

“Dintre trei puncte pe o dreapta unul și numai unul este situat între cele două”. Propoziția precedentă afirmă un lucru esențial despre natura unei drepte. În situația în care trei puncte se găsesc pe un cerc, de exemplu fiecare dintre ele se găsește între celelalte două. Această propoziție ar trebui demonstrată la liceu sau la gimnaziu. Demonstrația acestei propoziții pornește de la axiome, dar această demonstrație facută în fața unor elevi de gimnaziu sau de liceu ar putea fi considerată stupidă de aceștia. În cadrul predării-învățării teoremelor, esențial este să se aibă în vedere următoarele aspecte:

transcrierea în simboluri matematice a ipotezei și concluziei;

să se desprindă ipoteza de concluzie;

să se aibă în vedere însușirea faptului matematic exprimat în teoreme;

demonstrația să se facă folosind formele de scriere specific, cu precizarea efectuării dublei implicații pentru teoreme cu formulările: ”condiția necesară și suficientă sau dacă și numai dacă”.

Demonstrația poate fi:

inducție matematică (se realizează trecerea de la propoziții particulare la generale);

sintetică (se pleacă de la propoziții particulare spre propoziții generale);

analitică (se pornește de la propoziții generale spre propoziții particulare).

Pentru dezvoltarea diferitelor propoziții matematice, cele două metode, analitică și sintetică, se folosesc combinat.

Întreaga activitate matematică este dominată de demonstrație, care implică diverse procedee și tehnici de învățare.

Exemplu:

Fie n pătrate arbitrare, unde n este un număr natural oarecare. Să se demonstreze că ele pot fi tăiate în părți astfel încât din ele să se poată construi un nou pătrat.

Soluție :

fig.1 fig.2

Pentru n=1 afirmația nu necesită demonstrație.

Pentru n=2, considerăm pătratele ABCD și A’B’C’D’ de laturi a, respectiv b.

Presupunem a ≥ b. Fie M, N, P, Q pe laturile pătratului ABCD astfel încât:

AM = BN = CP = DQ =

Triunghiurile AQM, BMN, CNP, DPQ sunt congruente.

=>MQPN = pătrat (în particular, MP QN).

Tăiem pătratul ABCD după dreptele MP și NQ, obținând 4 părți egale (figura 1).

Aceste părți se pot aplica pe laturile celuilalt pătrat, rezultând tot un pătrat (figura 2).

Presupunem afirmația adevărată dacă avem n pătrate și vom considera acum n+1 pătrate. Alegem două pătrate oarecare și, procedând ca la pasul n=2, obținem din acestea un nou pătrat. Astfel, numărul pătratelor se reduce la n și aplicăm ipoteza de inducție.

EXERCIȚIUL

Metoda exercițiului este o metodă tradițională, centrată pe profesor și pe activitate, în care predomină activitatea practică, reală. Automatizarea acțiunii didactice prin această metodă constă în consolidarea și perfecționarea operațiilor de bază, care asigură realizarea unei sarcini didactice la niveluri de performanță. Fiind considerate acțiuni efectuate repetat, în mod conștient de către elev, exercițiile duc la dobândirea de noi deprinderi, priceperi și cunoștințe.

Cadrul didactic trebuie să analizeze toate căile de rezolvare acolo unde exercițiul permite mai multe variante de rezolvare și le alege pe cele mai importante, rezolvându-le pe grupe, comparând rezultatele, avantajele și dezavantajele fiecărei metode. În mod obligatoriu, se va propune cea mai bună soluție.

Metoda exercițiului este utilizată pentru a preveni interferența regulilor, principiilor, formulelor, teoriilor în cadrul fiecărei discipline de învățământ.

Tipuri de exerciții:

de aplicare a unor formule sau algoritmi cunoscuți;

de recunoaștere a unor noțiuni, formule, metode;

care permit însușirea unor noțiuni.

Metoda exercițiului are următoarele avantaje: munca independentă activează simțul critic și autocritic, îi învață pe elevi să-și aprecieze rezultatele, are posibilitatea depistării și eliminării erorilor, aduce un avantaj substanțial la dezvoltarea unui raționament flexibil.

Exercițiile pot fi:

de calcul mintal;

de autoinstruire;

de recunoaștere;

exerciții commentate;

exerciții grafice;

de aplicare imediată.

Un exercițiu are în vedere un set de acțiuni care se reiau, având un caracter algoritmic.

Învățarea matematicii se află în strânsă legătură și depinde de rezolvarea de probleme și exerciții.

Metoda exercițiului presupune îndeplinirea mai multor condiții:

enunțul este înțeles mai ușor de elevi, deoarece analiza enunțului este mai sumară decât la rezolvarea problemelor;

se aleg mai multe exerciții asemănătoare;

rezolvarea exercițiului nu trbuie să fie mecanică;

se asigură precizie în rezolvare;

cunoștințele utilizate în cadrul rezolvării sunt la îndemână.

În studiul matematicii aproape nu există lecție în care să nu se aplice metoda exercițiului.

Exemplu:

Exerciții de construcții grafice.

MUNCA CU MANUALUL

Metoda muncii cu manualul este utilizată pentru a studia și asimila cunoștinte noi, fiind o formă de muncă independentă. În acest sens, se utilizează metode auxiliare matematice (culegeri de probleme), monografii, reviste de matematică.

Dacă pentru elev documentul operațional este manualul școlar, profesorul utilizează ca principal document programa școlară. Pentru profesor, manualul școlar este considerat ca un suport de predare, în timp ce pentru elev acesta constituie un suport de învățare. Programa școlară trebuie să se regăsească în manualele alternative, în timp ce auxiliarele curriculare reprezintă materialele didactice aflate la îndemâna profesorului și a elevilor.

Elevii de liceu și gimnaziu utilizează în proporție de 80% manualul pentru probleme și exerciții, nu pentru studierea teoriei. Profesorul trebuie să încurajeze studiul individual al muncii cu manualul.

Manualul trebuie să corespundă și să fie strict adaptat treptei de învățământ căruia i se adresează. În predarea matematicii nu trebuie să se facă abuz de această metodă, dar se recomandă a fi utilizată de către profesori.

Unul dintre obiectivele principale și fundamentale ale studierii matematicii se poate realiza prin această metodă și anume de ”a-l învăța pe elev cum să învețe”.

Utilizarea acestei metode se poate realiza în mai multe forme, ca de exemplu:

O demonstrație a unei teoreme poate fi realizată de către profesor printr-o metodă care nu este prevăzută în manual, apoi le solicită elevilor să studieze demonstrația prin altă metodă din manual și să se compare metodele folosite, punându-se accent pe demonstrația prevăzută în manual. Prezentarea unei teoreme la clasă prin altă metodă și studiul acesteia prin muncă individuală cu manualul:

Exemplu:

Profesorul face la tablă demonstrația teoremei: “Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este de 180°”, apoi le cere elevilor de clasa a VI-a să studieze prin muncă independentă cu manualul consecințele acestei teoreme:

“Unghiurile ascuțite al unui triunghi dreptunghic sunt complementare.”

“Dacă un unghi al unui triunghi dreptunghic are măsura de 45°, atunci triunghiul este isoscel.”

“Dacă un triunghi este dreptunghic și isoscel, atunci fiecare unghi ascuțit al triunghiului are măsura de 45°.”

“Unghiurile unui triunghi echilateral au măsurile de 60°.”

“În orice triunghi poate exista cel mult un unghi drept sau obtuz.”

Diversificarea ofertei educaționale prin intermediul manualelor alternative se realizează printr-un principiu pedagogic ce urmărește trecerea de la ”învățământul pentru toți” la ”învățământul pentru fiecare”. Ele pot să propună variante de cunoaștere, să disciplineze gândirea, să-i motiveze pe elevi să parcurgă învățarea într-un mod personalizat. Pentru ca manualele să fie utilizate cât mai efficient, la clasă trebuie ca predarea unei lecții să fie înlocuită de către profesor cu propunerea făcută elevilor de a citi lecția din manual, urmată de prelucrarea de către aceștia a informațiilor esențiale din lecție și de realizarea unui rezumat.

Prin aceasta se realizează o excelentă modalitate de lucru în grup și se exersează comunicarea specifică matematicii.

Foarte important este și minimizarea notițelor elevilor.

La clasele mici, pentru a evita scrierea după dictare, care poate fi mare consumatoare de timp, mai util este să se folosească manualul pentru a citi împreună cu elevii definiții, precizări, recomandări și a le comenta împreună cu elevii. Datorită acestui fapt, elevii se concentrează asupra esențialului, stresul datorat necesității scrierii rapide fiind înlăturat. După citirea definiției, cereți elevilor să gândească și să găsească legături cu alte noțiuni studiate anterior, exemple și contraexemple.

Integrarea în predare a sarcinilor de lucru din manual conduce la o dinamizare a învățării.

Pentru a eficientiza învățarea, profesorul trebuie să faciliteze incertitudinea, nesiguranța în răspunsuri, tocmai pentru a promova învățarea.

CONVERSAȚIA

Este o metodă centrată pe elev și pe conținutul învățării. Ca metodă tradițională, este foarte utilizată în matematică și constă în dialogul dintre profesori și elevi, unde profesorul este un partener pentru aceștia. Aceasta presupune o participare activă a elevilor. Când nu înțeleg ceva, elevii trebuie să adreseze întrebări profesorului, astfel fiind atrași și elevii neatenți sau mai puțin disciplinați.

Clasificarea formelor de conversație poate fi făcută astfel:

1. După numărul de personae cărora li se adresează întrebarea:

frontală (întrebările se adresează clasei în totalitate și răspunsurile vin de la elevi diferiți);

individuală (profesor și elev).

2. După obiectivele urmărite:

introductive (pentru reîmprospătarea cunoștințelor anterioare și pentru captarea atenției);

în cadrul prezentării materialului nou;

pentru recapitulare;

pentru consolidarea noilor cunoștințe;

în procesul de evaluare a cunoștințelor;

finală.

3. După adresabilitatea întrebării:

a) catehetică (când întrebările se adresează memoriei);

b) euristică (când întrebările se adresează raționamentului).

Profesorul trebuie să conducă conversația așa încât să se contureze o idee înainte să se treacă la altele, totodată înfăptuindu-se și unitatea lecției.

Conversația este esențială pentru însușirea și dezvoltarea limbajului matematic. Elevul întâmpină mai multe dificultăți în cadrul acestui proces, care sunt examinate pe mai multe planuri.

Limbajul scris și oral – în matematică există cuvinte al căror înțeles diferă de la cel usual, astfel profesorul trebuie să explice ambele înțelesuri. Există și cuvinte care nu apar în limbajul uzual și sunt proprii matematicii, acestea trebuie introduse ca și cuvintele unei limbi străine în mai multe etape:

prezentarea cuvântului;

exerciții care permit trecerea de la cuvânt la proprietate și invers;

exerciții care utilizează cuvântul într-un context;

fixarea lui prin aplicații concrete;

între realități vecine pot să apară confuzii (înălțime, mediană) sau denumiri asemănătoare (mediană, mediatoare), profesorul trebuie să precizeze noțiunea pe care o folosește.

Reprezentări schematice;

Utilizarea simbolismului matematic.

Introducerea simbolurilor matematice se face din clasele mici (geometrie), deoarece acestea sunt ușor asimilate de elevi. Un instrument extrem de important considerat de profesorii cu experiență sunt întrebările. Predarea prin intermediul întrebărilor îi ajută pe elevi să gândească. Prin întrebări se stimulează curiozitatea elevilor, fiind încurajați să gândească în stilul lecției. Elevii sunt motivați să folosească logica disciplinei. Lecția bazată pe întrebări se bazează pe înțelegerea fenomenului și nu pe simpla cunoaștere a acestuia. Prin predarea frontală, elevilor li se comunică ceea ce ar trebui să știe, dar nu se pune accent pe remiterea celor predate sau pe înțelegerea acestora. Corectarea presupunerilor greșite se numește dezvăț. Prin intermediul întrebărilor, își însușesc propriile lor presupuneri, iar cunoștințele anterioare sunt corectate.

O parte vitală a procesului de învățare o constituie corectarea.

În timpul lecției, profesorul care folosește întrebări primește feed-back pe loc despre nivelul de înțelegere al elevilor. Orice elev este bine să știe că învățarea lui este un succes. Cea mai mare motivație a unui elev este lauda primită de la profesor imediat dupa un răspuns corect. Recompensa imediată încurajează învățarea. Avantajele conversației ca metodă de predare sunt:

asigură că învățarea se întemeiază pe învățarea anterioară într-o manieră constructivă;

oferă feed-back imediat dacă învățarea s-a produs, atât elevului cât și profesorului;

încurajează înțelegerea și nu memorarea mecanică;

produce învățarea transferabilă;

este o activitate interesantă pentru elevi;

favorizează dezvățul, descoperă ideile și presupunerile greșite;

este motivantă, dând șansă elevilor de a-și demonstra rezultatele la învățătură;

profesorul are șansa de a cunoaște problema vreunui elev;

se poate disciplina un elev;

încurajează dezvoltarea capacităților de gândire de rang înalt;

permite profesorului să evalueze învățarea.

Dezavantajele conversației:

consumă foarte mult timp;

nu se pot implica toți elevii;

este o tehnică complexă.

Pentru a fi eficientă metoda conversației, profesorul trebuie să-și însușească tehnica de a pune întrebări. Întrebările nu trebuie să aibă mai multe posibile răspunsuri, nu trebuie să fie vagi, ci exacte, cu un singur răspuns. Profesorul trebuie să aștepte, după formularea întrebării, suficient timp ca elevii să gândească. Cu cât așteptarea este mai mare, cu atât elevii au posibilitatea să gândească mai mult și vor avea un răspuns mai amplu. Răspunsurile se încurajează cu formularea de întrebări simple. Profesorul trebuie să laude răspunsurile corecte. Dacă un răspuns nu se aude bine, el trebuie repetat de profesor, astfel încât toți elevii să-l audă. Răspunsurile incorecte nu trebuie ridiculizate, ci trebuie arătate raționamentele care ar conduce la răspunsul corect. Formularea de întrebări unei clase se face pe cât de larg posibil (Ce-ar fi să răspundă cineva din ultima bancă? Tu ce părere ai? Ce-ar fi să răspundă cineva care nu a mai răspuns până acum?). Trebuie incluși cât mai mulți elevi în conversație, fără a-i ignora pe cei mai tăcuți sau timizi. Conversația dintre un elev și profesor trebuie să folosească contactul vizual și poziția trupului pentru a-i face și pe ceilalți elevi din clasă să participe. Trebuie evitate întrebările la care se răspunde cu da sau nu, deoarece elevii pot ghici ușor răspunsurile după mimica profesorului. În situația în care elevii nu sunt prompți cu răspunsurile, profesorul trebuie să se asigure că întrebările sunt simple, că a lăsat suficient timp la dispoziție elevilor și va lăuda răspunsurile corecte. Dacă nici în aceste condiții răspunsurile nu vin, se recomandă lucrul pe perechi. Întrebarea este scrisă pe tablă de către profesor, apoi elevii o discută pe perechi într-un interval de timp de 1-2 minute, apoi se laudă răspunsurile corecte. Prin această metodă se dă timp de gândire elevilor, li se permite să-și compare răspunsul cu cel al colegului, crescându-le încrederea în posibilitățile lor.

Revenind la conversația catehetică și euristică, întrebările care solicită memoria elevilor ajută la fixarea învățării anterioare. Învățarea este mai mult decât memorare. Întrebările ce vizează raționamentul sunt cele de rang înalt.

Capacitățile de gândire de rang înalt sunt reținute în timp ce faptele sunt deseori uitate, deoarece primele au o aplicabilitate generală și sunt mai des folosite. Conversația, ținând cont de obiectivele urmărite și de activitățile în care este integrată, are următoarele funcții:

de aprofundare a cunoștințelor;

de clarificare;

euristică, de valorificare a cunoștințelor pe o nouă treaptă de cunoaștere;

de sistematizare și consolidare;

de control și verificare.

Conversația (dialogul) profesor-elevi este considerată ca cea mai eficientă modalitate de educație și una dintre cele mai active metode. Această metodă se dorește a fi îmbunătățită de pedagogii contemporani prin perfecționarea întrebărilor. Diversele tipuri de întrebări sub raportul formării și al conținutului îndrumă diferențiat și solicită nivelele activității mintale.

Exemplu:

Instrumentul de lucru al metodei este întrebarea. Întrebările adresate memoriei, dacă nu pot fi evitate, trebuie completate de întrebări care solicită gândirea și care pot lămuri calitatea răspunsului respectiv. La matematică trebuie să predomine întrebările care încep prin „de ce?”, cu rol de incitare la gândirea productivă.

Trebuie avută atenție mare la întrebările puse la rezolvarea problemelor. Mai întâi, elevii vor fi obișnuiți să încadreze problema într-un sistem de rezolvare, apoi să facă corect analiza problemei prin întrebări corecte, directe, simple, clare și concise (Care este întrebarea? Ce se dă? Ce trebuie să aflăm?).

Metode moderne/alternative de predare

Metodele moderne se află în antiteză cu cele tradiționale de învățare, punând accent pe învățarea prin cooperare. Implicarea elevilor în actul didactic și formarea capacității acestora de a emite opinii și aprecieri reprezintă principalul avantaj al metodelor activ-participative/moderne/alternative. Pentru ca elevii să fie dispuși să lucreze în echipă, este necesară respectarea a două condiții:

formularea unor explicații complete și corecte asupra sarcinii de lucru, astfel încât aceasta să fie înțeleasă de toți elevii;

asigurarea unui climat pozitiv în clasă.

Metodele moderne se caracterizează prin:

sunt centrate pe activitatea de învățare a elevului;

sunt orientate spre proces;

prioritizează dezvoltarea personalității elevilor;

sunt flexibile, încurajează învățarea prin cooperare;

relația profesor-elev se bazează pe respect și colaborare;

stimulează motivația intrinsecă.

Creșterea eficienței procesului educațional are la bază metodele moderne care încurajează inițiativa, creativitatea, participarea elevilor.

Problematizarea. Rolul problemelor în învățarea matematicii.

Ca și metodă modern, problematizarea este bazată pe elev și activitate. Profesorul de matematică, în cadrul activității sale didactice, utilizează tehnici diverse prin care elevul nu trebuie doar să rețină cunoștințe gata sistematizate, ci îl motivează să lucreze, să gândească prin eforturi personale. Scopul principal al profesorului în predare-învățarea matematicii prin problematizare este să-i determine pe elevi să gândească și să rezolve probleme care au un anumit grad de creație. Situațiile prin care elevul prin activitate proprie trebuie să descopere enunțul unei propoziții matematice,un altgoritm de calcul, definiția unei noțiuni, o nouă metodă de demonstrație, se numesc situații- problemă.

Problemele, din punct de vedere pedagogic, trebuie să îndeplinească următoarele condiții esențiale:

să fie adresate în cel mai potrivit moment din punctul de vedere al elevului;

să trezească interesul și să solicite efort din partea elevului;

să țină seama de cunoștințele anterioare ale elevului, adică să aibă sens.

Factorul decisiv în învățarea matematicii, în învățământul preuniversitar, îl constituie rezolvarea de exerciții și probleme.

Importanța acestora reiese și din următoarele aspecte:

timpul destinat studierii teoriei este mai mic decât cel rezervat problemelor și exercițiilor;

subiectele lucrărilor de verificare a cunoștințelor din cadrul testelor naționale, examen de bacalaureat și admitere la facultate, în marea lor majoritate, presupun rezolvarea de probleme și exerciții;

manualele conțin foarte multe exerciții și problem;

aproape exclusive, temele pentru acasă constau din rezolvarea de probleme și exerciții;

sursele problemelor pentru toate nivelurile sunt foarte bogate și inepuizabile;

rezolvarea de exerciții și probleme au la bază și olimpiadele județene și naționale, cât și cele internaționale.

Învățarea matematicii se bazează în modul cel mai activ și eficace pe rezolvarea de probleme și exerciții. Cunoașterea rezultatului final de către profesor și metoda de rezolvare face ca acesta să poată conduce și stimula căutările elevilor, îndrumându-le raționamentul și gândirea.

Reformularea enunțului constituie un pas decisiv în rezolvarea problemelor de matematică.

George Polya spunea: “A găsi soluția unei probleme este o performanță specifică inteligenței, iar inteligența este apanajul distinctiv al specie umane…”

Exemplu :

Problemă de numărare:

Se consideră un triunghi echilateral de latură 4. Se duc paralele echidistante la fiecare din laturile sale obținându-se astfel triunghiuri de latură 1. Câte triunghiuri s-au format?

Soluție:

Se procedează într-un mod algoritmic, astfel:

sunt 16 triunghiuri de latură 1;

sunt 7 triunghiuri de latură 2 (3 cu baza pe prima linie, 2 cu baza pe a doua linie, 1 cu baza pe a treia linie – cu vârful în sus ; 1 triunghi cu vârful în jos);

sunt 3 triunghiuri de latură 3 (2 cu baza pe prima linie, 1 cu baza pe a doua linie – cu vârful în sus);

1 triunghi de latură 4.

În total sunt 27 de triunghiuri.

Ca metodă didactică, problematizarea constă în prezentarea în fața elevului a unor dificultăți create intenționat, pentru ca prin depășirea lor elevul învață ceva nou. Există mai multe tipuri de situații problemă:

elevul trebuie să aleagă dintr-un sistem de cunoștințe;

observarea de către elev că soluția teoretică a problemei nu poate fi aplicată în practică;

există un dezacord între cunoștințele elevului și cerințele impuse în rezolvarea problemei.

Problematizarea și metoda conversației euristice coexistă. Întrebările individuale utilizate în pregătirea introducerii unei noțiuni noi sau în predarea de noi cunoștințe pot determina situații conflictuale. Profesorul trebuie să facă astfel încât întrebările să se nască în mintea elevului înainte ca ele să fie formulate.

Exemplu:

Pentru descoperirea de către elevi a formulelor de calcul a ariilor pentru patrulatere se poate formula o problemă concretă.

Peretele unei sere trebuie făcut dintr-un material rezistent vântului. Există mai multe materiale cu prețuri diferite: 20 lei, 30 lei și 50 lei pentru fiecare . Suma maximă care poate fi cheltuită este 1800 lei. Ce material trebuie cumpărat pentru a alege unul cât mai rezistent și să ne încadrăm în această sumă? Peretele are forma unui trapez isoscel cu un triunghi isoscel deasupra. Dimensiunile acestora sunt date.

Elevii vor observa că nu cunosc formula ariei pentru trapez și profesorul le cere să încerce să calculeze aria trapezului cu ceea ce cunosc până atunci. Se permite colaborarea între elevi. După ce găsesc soluția, se scrie calea de rezolvare pe tablă, elevii o transcriu. Apoi profesorul discută procedeul și pentru un dreptunghi și două triunghiuri dreptunghice congruente. Acest procedeu merge la un dreptunghi oarecare de laturi l și L? Elevii rezolvă ducând o diagonală. Dar dacă am fi dus cealaltă diagonal? (deoarece nu toți elevii au făcut aceeași alegere). Se obține același rezultat. Se scrie formula pe tablă. La fel se procedează cu un trapez oarecare, formula ariei obținându-se în moduri diferite. Analog pentru paralelogram.

Programa școlară conține multe capitole care se pot preda astfel, dar pentru aplicarea cu succes a metodei sunt necesare următoarele condiții:

să existe în colectiv un spirit de întrecere pozitivă;

să gândească nota ca o rasplată, pe plan secund fiind înțelegerea, descoperirea, creația;

să fie obișnuiți să lucreze individual, dar și în echipă;

elevii să fie activi la orele de matematică;

să aibă deprinderi cognitive de nivel înalt;

profesorul să fie atent să corecteze răspunsurile greșite;

metoda necesită mult timp, astfel profesorul trebuie să fie conștient și să aplice metoda când își permite o predare mai lentă.

Exemplu:

Se consideră un cub ABCDMNPQ cu muchiile egale cu 1. Vom numi drum pe muchii o linie poligonală care unește două vârfuri ale cubului, constituită din muchii successive ale acestuia. Să se determine numărul drumurilor pe muchii ale cubului care unesc vârfurile A și P și lungimile lor știind că niciun astfel de drum nu trece de două ori prin același vârf.

Soluție:

Folosim următoarea schemă:

AB → BC → CP

AB → BC → CD → DQ → QP

AB → BC → CD → DQ → QM → MN → NP

AB → BN → NP

AB → BN → NM → MQ → QP

AB → BN → NM → MQ → QD → DC → CP

Se constată ușor, folosind schema de mai sus, că avem:

2 drumuri de lungime 3

2 drumuri de lungime 5

2 drumuri de lungime 7

Aceste drumuri pornesc cu muchia AB.

În total avem 6 drumuri de lungime 3, 6 drumuri de lungime 5 și 6 drumuri de lungime 7.

Aparent, profesorul trebuie să arate faptul că el caută soluția împreună cu elevii, arătând și ideea pe care se bazează când parcurge o anumită pistă de rezolvare.

Când recurge la o soluție ”constructivă”, elevii trebuie să înțeleagă scopul realizării ei și să poată rezolva probleme similare singuri pe căi analoage.

Exemple:

Se consideră un semicerc de diametru AC de lungime a + b și înscriem în acesta un triunghi dreptunghic APC astfel ca înălțimea din P pe AC să determine segmente de lungimi a, b. Atunci înălțimea din P are lungimea

PB = h = și mediana PO are lungimea m = .

Evident că h ≤ m, deci ≤ .

Egalitatea are loc dacă și numai dacă PB este rază a semicercului, adică

B = O și deci a = b.

Se dau patru dreptunghiuri de dimensiuni a x b, a ≤ b, ca în figura:

Pătratul din interior are dimensiunile (b – a) x (b – a), deci are aria

. Obținem următoarea egalitate între arii:

= 4ab + .

=> ≥ 4ab, adică a + b ≥ 2.

Fie , două cercuri de centre A, B și de raze a, b tangente exterior în C.

Tangenta exterioară comună cercurilor este ST. Lungimea segmentului ST este ST = DB = = 2 .

Deoarece ST este catetă în triunghiul dreptunghic ADB, avem BD ≤ AB.

Deci 2 ≤ a + b.

Învățarea prin descoperire.

Este o metodă modern, având la bază elevul și activitatea. Elevul este în centrul atenției, dar trebuie să dețină și o pregătire anterioară solidă, să poată exersa rezolvări de probleme. Profesorul regizează activitatea de descoperire, eficiența metodei fiind dependența de ajutorul dat de profesor elevului. Din această cauză, profesorul trebuie să cunoască bine problema, inclusiv situațiile unde elevii nu s-ar putea descurca. În clipele de dezorientare ale elevilor, profesorul trebuie să intervină cu anumite sugestii. Eventualele raționamente eronate vor trebui corectate. Învățarea prin descoperire (redescoperire) poate fi independentă sau dirijată.

Această metodă evidențiază căile prin care se ajunge la dobândirea informațiilor, ajutând elevii la cunoașterea științei ca proces. Valoarea formativă a acestei metode dezvoltă capacitatea de cunoaștere a elevilor (pasiunea, interesul), dar și importante trăsături ale personalității (disciplina, originalitatea, ordinea, tenacitatea). În funcție de relația ce se stabilește între cunoștințele dobândite și cele care urmează a fi descoperite, se disting următoarele tipuri de descoperire:

Descoperirea inductivă, în situația în care elevii analizează mai multe cazuri particulare, de unde reiese o regulă generală. În clasele mai mici se folosește intuiția și evitarea demonstrațiilor.

Descoperirea prin analogie, care are la bază transpunerea unor relații la contexte diferite, dar analoage. Analogiile pot fi de două feluri:

de raționament;

de conținut.

De exemplu, analogiile dintre geometria plană și cea în spațiu, dintre algebră și aritmetică. Învățarea prin descoperire va putea fi aplicată doar când colectivul o va permite. Această metodă necesită timp, datorită faptului că unii elevi mai puțin pregătiți nu se implică. Un mare avantaj îl constituie faptul că nu poți uita ceea ce ai descoperit singur. Interesul elevilor cu abilități superioare este stârnit de această metodă, sporindu-le încrederea în forțele proprii.

Exemplu:

Să se afle patrulaterul de arie maximă dintre toate patrulaterele cu perimetru dat.

Soluție:

Încă de la început, elevul trebuie să-și pună întrebări de genul:

Un patrulater este necunoscuta problemei?

Perimetrul patrulaterului este cunoscut?

Orice alt patrulater cu același perimetru trebuie să aibă aria mai mică decât patrulaterul căutat?

Această problemă este atipică, diferită de problemele de geometrie elementară. Elevul trebuie să încerce să “ghicească”, să intuiască răspunsul, care va constitui o ipoteză de lucru.

Dintre toate figurile care au același perimetru, cercul are aria cea mai mare. Elevul se gândește că cel mai apropiat de cerc este pătratul. Deci, ipoteza de lucru este: pătratul. Va rămâne de demonstrat acest lucru. Cum pătratul este privilegiat printre patrulatere, trebuie, în virtutea aceluiași fapt, să fie privilegiat și printre dreptunghiuri.

Așadar, această problemă, deși mai slabă decât cea inițială, poate fi reformulată astfel: “Pătratul are aria maximă dintre toate dreptunghiurile de perimetru dat.”

Se trece la rezolvarea propriu-zisă: fie laturile dreptunghiului a și b, atunci aria sa va fi ab. Latura pătratului cu același perimetru ca și dreptunghiul de mai sus, este ; iar aria sa este

Rămâne de arătat că ceea ce ne implică (a-b)2 > 0, propoziția fiind adevărată dacă a b.

Așadar, dreptunghiul căutat este pătrat.

Observație:

Puteam proceda și astfel:

P = 2a + 2b = 2(a + b) = constant a + b= constant.

Dar cum A = ab, atunci produsul ab este maxim numai dacă a = b, adică atunci când dreptunghiul este pătrat.

Problema inițială nu este încă rezolvată, dar elevul a făcut anumite progrese .

Prin aplicarea problematizării în predare, rezultatul final constă întotdeauna în descoperirea soluției problemei propuse. Această metodă solicită elevul să gândească, îi pune voința la încercare, îi dezvoltă imaginația și-i îmbogățește experiența rezolvării problemelor diverse.

Modelarea matematică

Ca și metodă pedagogică, modelarea matematică conduce gândirea elevului la descoperirea adevărului cu ajutorul modelului, având la bază raționamentul prin analogie. Modelarea matematică este tot mai des utilizată, fiind de două categorii: analogică și similară.

Modelarea similară este mai puțin folosită în matematică și constă în realizarea unui sistem de aceeași natură cu originalul, care să permită evidențierea trăsăturilor esențiale ale originalului.

Modelarea analogică are la bază o asemanare analogică cu originalul.

Trecerea de la original la model nu trebuie să fie exagerată, nu trebuie omis esențialul, făcându-se prin simplificare.

Pentru a rezolva o problemă prin modelare, se ține cont de următoarea schemă:

Înțelegerea problemei:

Care este ipoteza? Care este concluzia?

Sunt suficiente datele problemei pentru a determina cerința?

Întocmirea planului (construirea modelului matematic):

Știm vreo teoremă care ar putea fi aplicată aici?

Am întâlnit vreo problemă asemănătoare?

Se poate reformula?

Ne putem imagina o problemă mai generală sau una particulară?

Au fost utilizate toate datele problemei?

Rezolvarea modelului matematic:

Se transformă elementele care se dau și cele necunoscute;

Aplicăm analogii.

Verificarea soluției găsite:

Se interpretează datele obținute;

Se aleg soluțiile practice;

Se pune întrebarea dacă nu există cumva o cale mai direct care să conducă la rezultat.

Prin utilizarea ei se dezvoltă spiritual de observație, capacitatea de sinteză, creativitatea și flexibilitatea raționamentului. În matematică, modelarea are o valoare euristică. Profesorul este cel care construiește modelul, în prima etapă analizându-se trăsăturile, comparându-se cu originalul, se dau contraexemple cât mai potrivite. Elevii în cea de-a doua etapă vor trebui să-și construiască singuri modelele. Modelele se clasifică în: modele ideale și modele materiale. Modelele materiale se folosesc sub formă de machete, au suport material, dar pot fi folosite și în softuri pentru computer sau în film. Modelele ideale sunt matematice, logice și grafice. Prin trecerea de la un model la altul de către elevi, se dezvoltă mobilitatea și flexibilitatea gândirii.

Exemplu:

Teorema lui Pitagora poate fi modelată ideal sub forma a x a = b x b + c x c și prin suma ariilor pătratelor construite pe laturi.

Metoda învățării pe grupe

Prin această metodă, sarcinile de lucru sunt îndeplinite de grupe de elevi, ceea ce presupune o activitate comună. Pe lângă educarea elevului, prin munca în grup se urmărește dezvoltarea responsabilităților individuale ale acestuia cu efect asupra grupului. Tot mai mulți profesori folosesc această metodă, recunoscandu-i utilitatea și o integrează în ansamblul metodelor folosite. Grupele se pot autoalege sau se pot forma de către profesor. Criteriile de formare a grupelor sunt: eterogenitatea, criteriul afectiv, omogenitatea.

Grupele omogene sunt formate din elevi de același nivel de pregatire, cele eterogene sunt alcătuite din elevi de toate categoriile, iar cele formate pe criteriul afectiv sunt bazate pe vecinătatea de bancă sau de domiciliu, pe prietenie.

Grupurile pot varia într-un număr de la 2 la 10 elevi, dar randamentul maxim este dat de grupurile de 4-6 elevi. Această activitate presupune urmatoarele etape:

împărțirea materialului de lucru;

munca independentă a grupului;

discuția în comun a rezultatelor obținute.

Elevii trebuie să se organizeze singuri, pe grupe, profesorului revenindu-i sarcina de trecere de la un grup la altul.

Activitatea profesorului constă în:

o etapă prospectivă în care se repartizează materialul pe grupe și cel suplimentar pentru elevii mai buni;

o etapă de îndrumare și animare a muncii în fiecare grup. Ajutorul se acordă la cerere sau când se apreciază o depășire a timpului pentru realizarea scopului propus. Profesorul va întrerupe activitatea în situația muncii greșite. La finalul activității rezolvarea se prezintă la tablă și se poartă discuții cu privire la variantele de rezolvare în procedeu comparativ.

Profesorul are menirea de a purta discuțiile în scopul dezvoltării de raționamente, dar și de a trage concluziile de încheiere. Pentru a spori interesul este necesară crearea unui mediu competițional. Această formă de activitate presupune rezolvarea unui număr mic de exerciții, deficiența care se poate rezolva dacă profesorul dă sarcini diferite grupelor, separate elevilor foarte buni, buni, mijlocii sau slabi pregătiți.

Grupele formate după criteriul afectiv și grupele eterogene vor avea probleme sensibil egale, sarcinile împărțindu-se pe membrii grupului sub coordonarea unui responsabil de grup ales. Grupele care termină mai repede vor primi sarcini suplimentare. Formarea grupurilor trebuie să fie variată, căci este dăunător să se lucreze cu grupuri eterogene în care vor fi solicitați elevii buni ai grupului, dar și cu grupuri omogene care să ducă la o împărțire a clasei în grupuri “intelectuale“, care să-i descurajeze pe cei slabi sau mijlocii.

Metoda învățării prin cooperare

Această metodă presupune utilizaraea ca metodă instrucțională a grupului mic de elevi, așa încât aceștia să poată lucra împreună, fiecare membru urmând să-și înmbunătățească performanțele proprii, contribuind și la îmbunătățirea performanțelor celorlalți membrii. Învățarea prin cooperare presupune munca în grupuri care dețin cunoștințe eterogene, recompensa făcându-se pe baza performanțelor grupului. Învățarea prin cooperare presupune următoarele elemente:

responsabilitatea individuală – fiecare membru este răspunzător de propria contribuție la îndeplinirea scopului propus;

interdependența pozitivă – presupune lucrul împreună pentru a atinge scopul propus;

interacțiunea promotorie – elevii sunt așezați astfel încât să interacționeze direct față în față la nivelul grupului;

analiza activității grupului – colaborarea în cadrul grupurilor de elevi duce la îmbunătățirea eficienței acestui tip de activitate;

dezvoltarea deprinderilor interpersonale în cadrul grupului.

Învățarea prin cooperare are următoarele avantaje:

Discuțiile în cadrul grupului îi ajută pe membrii acestuia să-și extindă cunoștințele. Membrii grupului pun întrebări și oferă explicații, sunt obligați să realizeze conexiuni logice, să-și organizeze cunoștințele.

Interacțiunile la nivel de grupuri îl pot ajuta pe elev să emită idei noi.

Metodele de învățare prin cooperare:

metodele de studiu în grup ajută elevii să stăpânească informații sau deprinderi bine definite;

învățarea prin proiecte instrucționale de grup sau învățarea activă se referă la implicarea elevilor în timpul orelor la realizarea unor proiecte comune.

În cadrul acestei metode, grupurile de studiu sunt:

grupuri de studiu formale – pot funcționa câteva săptămâni și se alcătuiesc într-o ora. Elevii sunt implicați activ în activități intelectuale cum ar fi organizarea materialului, explicarea lui. Motorul procesului de învățare în cadrul acestui tip de organizare sunt elevii.

grupurile de studiu spontane – pot dura de la câteva minute până la întreaga oră de curs. Acest mod este utilizat în timpul predării propriu-zise pentru a-i îndruma pe elevi spre noțiuni noi.

grupurile bază – sunt grupuri eterogene, cu membrii permanenți, se constituie pe termen lung, cel puțin un an. Scopul principal al acestui grup este de încurajare și ajutor reciproc.

Metoda Jigsaw sau Metoda Mozaicului sau ”metoda grupurilor independente”

Jigsaw puzzle înseamnă mozaic. Rolul profesorului, în cadrul acestei metode, este diminuat, el intervine la începutul lecției, când împarte grupurile și sarcinile și la finalul activității, când se comunică concluziile. Metoda mozaicului are mai multe variante și prezintă următoarele avantaje:

dezvoltarea abilităților de comunicare;

dezvoltarea gândirii logice și critice;

optimizarea învățării;

stimularea încrederii în sine a elevilor;

dezvoltarea răspunderii individuale.

În cadrul învățării prin cooperare este considerată metodă de bază. Metoda presupune:

se formează grupe 5×5;

membrii grupului sintetizează cunoștințele despre tema dată efectuând scheme, desene grafice;

se alcătuiesc alte grupe așa încât într-o grupă nouă să fie câte un membru din grupele inițiale;

fiecare grupă se face expert într-o temă dată, ex. dreptunghi, romb, pătrat, trapez;

în cadrul grupelor fiecare membru prezintă tema lui la care este “expert”;

membrii grupului caută conexiuni, diferențe, asemănări;

câte un membru din cadrul fiecărui grup prezintă observațiile grupului;

sintetizarea generală se face sub supravegherea profesorului care se notează pe caiet și pe tablă.

Prin această metodă se implică toți elevii în activitate și fiecare devine responsabil atât pentru învățarea proprie, cât și a celorlalți. Metoda mozaicului este utilă în încurajarea elevilor, faptul că aceștia se transformă pentru scurt timp în profesori.

Exemplu: Relații metrice în triunghiul dreptunghic.

Clasa este împărțită în patru grupe și se folosesc cartonașe colorate.Cartonașele cu numere, de la 1 la 4,se vor așeza pe fiecare masă de lucru și vor indica grupele de lucru. Fiecare elev va extrage un număr de la unu la patru, ei trebuind să se ridice și să se reașeze la masa corespunzătoare numărului ales de ei. Astfel se formează 4 grupe de experți. Elevilor li se explică că vor deveni experți în grupă, ei vor primi câte o fișă de lucru pe care, după 15 minute, vor trebui să o explice colegilor din grupele inițiale. Se distribuie fișele de experți, ele sunt discutate în grup, iar profesorul este cel care monitorizează activitatea fiecărei grupe.

După ce au trecut cele 15 minute, se revine în grupele inițiale și astfel vor exista experți în fiecare teoremă. Fiecare expert va explica colegilor teorema învățată, aceștia notând pe caiete. După alte 15 minute, fiecare elev, va avea astfel toate teoremele explicate. Profesorul poate interveni ori de câte ori simte că este nevoie.

Urmează rezolvarea fișelor de lucru unde elevii vor trebui să aplice pe rând, teoremele învățate, în rezolvarea de probleme. Se lucrează în grupe. Câte un raportor din fiecare grupă, după 10 minute, prezintă soluțiile obținute.

Fișă de experți 1

Teorema lui Pitagora

Să se deseneze un triunghi dreptunghic ABC, m(∢ A)=90°.

Teorema lui Pitagora:

Într-un triunghi dreptunghic, pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimilor catetelor.

BC² = AB² + AC²

Obs.: Teorema lui Pitagora se va demonstra scriind teorema catetei pentru fiecare catetă în parte și adunând cele două relații.

Aplicație:

Fie triunghiul dreptunghic MNP, m(∢ M)= 90°, MN = 4 cm și MP = 3 cm. Să se afle lungimea ipotenuzei.

Obs.: Tripletele de numere, care verifică relația lui Pitagora se numesc numere pitagorice sau pitagoreice. Câteva exemple de astfel de triplete, sunt:

( 3; 4; 5): ,

(6; 8; 10):

(5, 12, 13):

Fișă de experți 2

Teorema înălțimii

Să se deseneze un triunghi dreptunghic ABC și să se construiască înălțimea corespunzătoare ipotenuzei.

Care sunt proiecțiile catetelor pe ipotenuză?

Teorema înălțimii:

Într-un triunghi dreptunghic, lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este media geometrică a lungimilor proiecților catetelor pe ipotenuză (sau pătratul lungimii înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este egal cu produsul lungimilor segmentelor determinate de ea pe ipotenuză).

Obs.: Teorema se demonstrează cu ajutorul asemănării triunghiurilor ABD și CAD.

Aplicație: În triunghiul MNP, m(∢ M)=90°, MDNP, DNP, cunoaștem: DP=63 cm. și PN = 70 cm. Calculați lungimile segmentelor ND și MD.

Fișă de experți 3

Teorema a doua a înălțimii

Să se deseneze un triunghi dreptunghic și să se construiască înălțimea corespunzătoare ipotenuzei.

Teoremă:

Într-un triunghi dreptunghic, lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este egală cu raportul dintre produsul lungimilor catetelor și lungimea ipotenuzei.

Obs.: Demonstrația teoremei se face scriind aria triunghiului ABC în două moduri.

Aplicație: Fie triunghiul dreptunghic MNP, m(∢ M)=90°, m(∢ N)=30°, construim MDNP, DNP. Dacă MP = 5 cm, MN = 6 cm , să se calculeze lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei.

Fișă de experți 4

Teorema catetei

Să se deseneze un triunghi dreptunghic ABC, m(∢ A)=90° și ADBC, DBC ( AD = înălțime) .

Teoremă:

Într-un triunghi dreptunghic, lungimea unei catete este media geometrică dintre lungimea ipotenuzei și lungimea proiecției catetei pe ipotenuză ( sau lungimea unei catete la pătrat este egală cu produsul dintre lungimea ipotenuzei și lungimea proiecției catetei pe ipotenuză).

Obs.: Teorema se va demonstra cu ajutorul asemănării triunghiurilor.

Aplicație: În triunghiul dreptunghic MNP, m(∢ M)= 90°, MN = 4 cm și MD=3 cm, MDNP. Aflați lungimea ipotenuzei și lungimea celeilalte catete.

Algoritmizarea

Este o metodă modernă, bazată pe activitate și profesor. În cadrul activității didactice, algoritmizarea presupune existența unor scheme logice, care să facă posibilă rezolvarea unor sarcini de lucru. Metoda algoritmizării utilizează algoritmii de învățare. Prin algoritm se înțelege un sistem de operații și raționamente care conduc la rezolvarea problemelor de același tip. Algoritmii este necesar să nu fie dați, ci sa-i punem pe elevi în situația de a trece prin toate etapele elaborării lor. Metoda algoritmizării ajută la înzestrarea elevilor cu modalități de acțiune și gândire. Elevul își însușește o serie de operații pe care le aplică în rezolvarea problemelor ce se încadrează în acest tip. Din clasele mici sunt obișnuiți să rezolve probleme, folosindu-se de formule. Algoritmul este un șir finit, o grupare de operații structurate într-o anumită succesiune, care duc spre același rezultat.

Algoritmii se prezintă astfel:

algoritmi de rezolvare;

algoritmi de identificare;

algoritmi de creație;

algoritmi de programare a materiei;

algoritmi de optimizare a unor capacități;

algoritmi de consolidare a cunoștințelor dobândite;

algoritmi de sistematizare a materiei.

În orice moment al lecției se poate folosi metoda algoritmizării. Metoda algoritmizării are la bază două nivele complementare:

aplicarea algoritmilor în vederea rezolvării de situații tipice;

elaborarea algoritmilor.

Construcția unui algoritm didactic presupune realizarea unor anumiți pași:

se definesc obiectivele, sarcinile de lucru și interacțiunea subiecților cu sarcina de lucru;

se pun în valoare capacitățile intelectuale individuale ale clasei;

se definesc controlul și autocontrolul.

Prezentarea algoritmului poate fi:

operații;

grafică algoritmică;

metasimboluri;

simbolică.

Având în vedere învățarea și predarea, algoritmii pot fi de două feluri:

algoritmi didactici;

algoritmi ai învățării.

Algoritmii didactici sunt realizați în mai multe etape și caracterizează activitatea profesorului la ore.

Algoritmii învățării sunt imagini ale ordonării cunoștințelor după criterii logice. Formarea capacității elevului de a elabora propriile sale scheme de instruire, aplicabile în diferite circumstanțe didactice, este un efect al algoritmizării. Rezolvarea problemelor asemănătoare se poate face prin folosirea algoritmilor. Învățarea de tip algoritmic se poate contopi cu învățarea euristică. Metoda algoritmizării este apropiată de metoda exercițiului, având utilitate la lecțiile de formare a deprinderilor sau de consolidare a acestora.

Instruirea programată sau instruire asistată de calculator (pe scurt I.A.C.)

Este o metodă modernă, centrată pe activitate și pe profesor. Instruirea programată cu manualul sau asistată de calculator are la bază un algoritm prestabilit de învățare. Un astfel de program are la bază mai multe principii:

principiul participării active – elevul propune soluții în mod independent, răspunde și rezolvă întrebări;

principiul pașilor mici și al progresului gradat presupune împărțirea dificultăților în unități gradate care să ducă la soluționarea integral;

principiul verificării imediate a răspunsului constă în verificarea imediată a soluțiilor date de elev netrecându-se mai departe înainte ca răspunsurile să fie confirmate;

principiul reușitei – este astfel structurat încât elevul să parcurgă programa integral și satisfăcător;

principiul respectării ritmului individual de studiu în baza căruia fiecare elev parcurge programul în funcție de posibilități.

Se concepe o programare liniară, ce presupune următoarea structură de proiectare a secvențelor de instruire:

prezentarea sarcinii didactice, întrebare, problemă, exercițiu;

informarea elevului;

rezervarea spațiului și timpului util pentru îndeplinirea sarcinii;

răspunsul corect pentru evaluarea fiecărui pas.

Parcurgerea unui “pas“ necesită depășirea mai multor secvențe de instruire. Succesul elevului are la bază întărirea pozitivă a răspunsului.

Programarea ramificată (varianta N.A. CROWDER) solicită elevului un efort intelectual mare pentru recunoașterea răspunsului corect, din mai multe răspunsuri.

Acest tip de programare urmărește tratarea greșelilor în diferite modalități de întărire negativă, care reorientează activitatea în direcția reaplicării informației necesare pentru parcurgerea “pasului “ respectiv.

Programarea ramificată are următoarea structură organizatorică:

informarea elevului;

comunicarea sarcinii didactice: întrebare, tema, problema , exercițiu;

rezervarea timpului necesar pentru rezolvare;

întărirea pozitivă în cazul răspunsului corect asigură trecerea spre secvența următoare “pasului“ următor;

întărirea negativă în situația răspunsului incorect care îndrumă elevul spre corectarea răspunsului pentru parcurgerea secvenței următoare “pasului“ următor;

confirmarea răspunsului pozitiv sau negative;

informarea din secvența următoare.

Calitatea mijloacelor didactice necesare pentru proiectarea și realizarea activității de predare învățare-evaluare duce la reușita acestei metode. Rolul profesorului este esențial, el elaborează și conduce programul de instruire în interiorul metodei, valorificând la maximum resursele acesteia. Combinarea instruirii programate cu mijloace și forme tradiționale are la bază următoarele direcții:

îmbinarea lecțiilor programate cu cele neprogramate;

volumul informației este mai mare;

programul să permită manifestarea creativității;

folosirea fișelor ca material ajutător al instruirii programate.

Instruirea programată este cea care are la bază folosirea calculatorului. Prin intermediul calculatorului se transmit mai ușor mesaje informaționale, dar se pot mijloci formarea și consolidarea metodelor de lucru. Desfășurarea metodei este sarcina profesorului, care poate interveni și cu alte metode în atingerea obiectivelor. Tot profesorului îi revine sarcina de a perfecționa stilul, pentru că, de fapt, cea mai bună ”mașină de învățat” rămâne el, profesorul.

Instruirea asistată de calculator este o instruire individualizată, care are la bază învățarea fragmentată. Avansarea elevilor are la bază un răspuns corect la o întrebare, în timp ce un răspuns incorect duce la repetiție. Instruirea asistată de calculator este o aplicație a sistemelor de calcul, în care comunicarea interactivă este esențială. I.A.C. este considerată și o disciplină independentă, prin care se pot asimila noi cunoștințe, care pot fi evaluate în baza unor sisteme de programe. Această metodă poate stimula elevii la dezvoltarea imaginației, la receptarea noului, să gândească logic și să învețe rapid și eficient. Sistemul I.A.C. este un mediu integrat de hardware-software, destinat învățării active, dar și de formarea de deprinderi practice. Calculatorul are nevoie de un soft educațional, care poate fi utilizat în procesul de instruire. La matematică, în cadrul instruirii asistate de calculator, sunt implicați următorii factori:

profesorul coordonează elevii;

în urma procesului de instruire, elevul dobândește competențe de utilizare a calculatorului;

calculatorul este folosit ca mijloc didactic de instruire;

lecțiile ca formă de bază în organizarea instruirii.

Calculatorul are la bază următoarele caracteristici:

este un obiect interactiv;

este un obiect cultural;

oferă reprezentări dinamice și multiple;

contribuie la valorificarea potențialului intelectual al elevilor;

softurile complexe asigură context;

modificarea rolului profesorului în procesul de educare.

Calculatorul îl ajută pe profesor în procesul de instruire, de predare, iar pe elev în procesul de învățare, de cunoaștere, dar nu poate înlocui în totalitate efortul acestora. Ca metodă modernă, I.A.C. valorifică tehnicile moderne, asigurând organizarea și documentarea în procesul de cunoaștere. Metoda presupune următoarele avantaje și dezavantaje:

realizarea obiectivelor de tip cognitiv în defavoarea celor de tip practic;

avantajul unei mari economii de timp;

realizarea unei relații calculator – utilizator față de colegi, profesori.

În procesul de instruire cu ajutorul calculatorului se recomandă următoarele:

locul de desfășurare trebuie să fie în cadrul unui laborator dotat;

numărul de calculatoare să fie egal cu numărul elevilor din clasă;

calculatoarele să fie conectate la internet și la rețea;

utilizarea video-proiectorului în analiza unor lucrări;

folosirea de metode de învățare activ-participative la predarea noilor cunoștințe.

Brainstorming-ul – metoda asaltului de idei

Este o metodă bazată pe creativitate, modernă, de actualitate, de învățare activă. Brainstorming-ul este o metodă care ajută la crearea de concepte creative și inovatoare, durează 30 minute și participă în medie 10 elevi. Fiecare elev își spune părerea despre cele expuse, inclusiv idei inaplicabile. Brainstorming-ul dă ocazia de a participa la dezbateri și se poate dovedi o acțiune constructivă. Brainstorming-ul presupune următoarele etape:

deschiderea sesiunii – se prezintă regulile de bază, scopul și tehnicile;

introducerea grupului în atmosfera brainstormingului, în jur de 5-10 minute;

partea creativă care are o durată de 25-30 minute unde participanții își spun părerile;

prelucrarea ideilor, unde se clarifică ideile și se verifică dacă toată lumea a înțeles cele dezbătute.

Se evaluează contribuția fiecărui participant și a sesiunii în ansamblul său. Participanții la sesiunea de brainstorming vor stabili ideile care s-au dovedit cele mai bune pe conceptul dezbătut. Principiul funcționării brainstorming-ului este asigurarea calității prin cantitate.

Elevii trebuie să respecte 7 reguli în scopul unei ședințe de calitate:

încurajarea ideilor de calitate;

nejudecarea ideilor altora;

în acest punct se urmărește cantitatea, nu calitatea;

se notează aproape tot;

elevii sunt la fel de importanți;

se urmărește apariția de idei noi din alte idei;

exprimarea să fie liberă fără teamă.

Exemplu : Rezolvarea unei probleme de geometrie la clasa a VII-a

1. Se scrie din caiet.

2. Ideile legate de rezolvarea problemei se fac cât mai repede.

3. Elevii trebuie să propună strategiile de rezolvare a problemei.

4. Se pot ivi sugestii legate de realizarea unei figuri, de verificare pe desen.

5. Nu se admit referiri critice, elevii pot propune indiferent ce metodă de lucru.

6. Toate ideile vor fi menționate în scris pe tablă, se poate lua o pauză de la 15 minute la o zi pentru menționarea ideilor.

7. Se menționează toate propunerile elevilor și la sfârșitul orei se transcriu toate acestea. Se vor grupa ideile pe categorii.

8. Evaluarea, argumentarea, contraargumentarea ideilor emise. Alegerea celor mai apropiate idei pentru problemă supusă atenției. Puneți întrebări de tipul: Problema s-ar putea rezolva folosind măsurători pe o figură cât mai corectă? Întrebările problemei au legătură între ele? Ce trebuie demonstrat?

9. Ideile rezultate se prezintă în forme cât mai originale: propoziții, colaje, imagini, desene.

Din discuțiile purtate cu elevii, urmează să rezulte strategia de rezolvare a problemei, sub forma următoarelor tipuri:

se construiește figura;

se aplică un criteriu de asemănare;

folosirea teoremei bisectoarei.

Exprimarea liberă a opinilor este obiectivul principal al metodei brainstorming-ului, de aceea trebuie acceptate toate ideile, chiar cele mai puțin obișnuite, chiar dacă conduc sau nu la rezolvarea problemei. Elevii trebuie motivați să-și exprime toți ideile pentru a determina progresul în învățare.

Investigația este o metodă de actualitate, de învățare activă, care implică rezolvarea unor probleme comune sau în alte domenii, folosind tehnici și metode cunoscute. Investigația presupune găsirea unui rol pentru fiecare elev, punând toți elevii să acționeze. Sarcinile de lucru nu presupun doar sfera cognitivă, de aceea elevii conștientizează propria importanță în desfășurarea activității. Pe parcursul orelor sau a mai multor ore de curs, investigația oferă posibilitatea de a aplica în mod creativ cunoștințele însușite în situații diverse și noi. În cadrul investigației se urmăresc următoarele elemente:

organizarea și colectarea datelor sau informațiilor necesare;

schimbarea planului de lucru;

înțelegerea și clarificarea sarcinii de lucru;

găsirea metodelor pentru obținerea informațiilor necesare;

motivarea opțiunii pentru anumite metode folosite în investigație;

prezentarea unui scurt raport privind rezultatele investigației.

Investigația se poate rezuma la trei etape:

alegerea metodei;

definirea problemei;

identificarea soluțiilor.

Sarcinile de lucru adresate elevilor pot fi diverse, ca nivel de complexitate a cunoștințelor. Profesorul poate adapta acest demers pentru diferite categorii de elevi. În cadrul realizării unei investigații, trebuie să se reflecteze asupra răspunsului la următoarele întrebări:

Ce cunoștințe, ce deprinderi și abilități își exersează și la ce nivel de înțelegere se va plasa demersul investigației?

Ce așteptări are de la elevii săi?

Investigația oferă un nivel de înțelegere profund, încurajează inițiativa și motivează elevii în realizarea activităților propuse.

Investigația implică atât rezolvarea de probleme, dar și crearea unora noi.

Proiectul

Proiectul este o metodă de învățare activă, de actualitate, centrată pe elev.

Metoda presupune prelucrarea unor date referitoare la o temă anterioară. Proiectul are la bază imaginația elevilor, permițând folosirea cunoștințelor însușite, în cadrul unui context nou.

Elevii pot decide asupra conținutului metodei, dar și a formei de prezentare, au o implicare activă, care se finalizează cu o carte scrisă de elevi, un ghid, realizarea unei expoziții.

În clasă se află începutul proiectului, prin stabilirea obiectivelor, a sarcinilor de lucru și formarea echipei. Încheierea lui are loc tot în clasă, după colectarea datelor și organizarea materialului și prin prezentarea rezultatelor obținute.

Proiectele au următoarele avantaje:

dezvoltă capacitatea de investigare a informațiilor;

sporesc motivația pentru învățare;

facilitează învățarea prin cooperare;

oferă bune oportunități pentru abordări interdisciplinare;

valorifică surse diverse de informare, de documentare;

pot stimula autonomia elevilor și creativitatea acestora;

dau posibilitatea elevilor de a contribui la realizarea produsului final.

Acest tip de învățare are la bază selectarea informațiilor, sintetizarea lor, formularea de întrebări, comunicarea rezultatelor, corelarea lor, stabilirea unui produs final.

Proiectele pot realiza pliante, broșuri, pagini de revistă sau ziar.

În realizarea unui proiect se întâlnesc următoarele etape:

alegerea temei;

stabilirea obiectivelor;

planificarea activităților:

împărțirea responsabilităților în cadrul grupului;

identificarea surselor de informare;

stabilirea resurselor material;

fixarea unui calendar al desfășurării activităților;

identificarea metodelor ce vor fi folosite.

investigarea propriu-zisă;

realizarea produselor finale;

comunicarea rezultatelor;

evaluarea activităților derulate (individual sau în grup).

Etape în derularea/conducerea unui proiect, după B. Campbell:

se stabilește scopul;

se formulează scopul sub forma unor întrebări;

stabilirea a trei surse de informare care se vor utilize;

descrierea pașilor ce urmează a fi parcurși;

stabilirea a cinci concepte pe care să le investigheze;

prezentarea a cel puțin trei metode pe care să le folosești pentru prezentarea proiectului;

planificarea proiectului în timp: saptămâna I – documentare, saptămâna II – interpretarea materialelor, discuții;

evaluarea proiectului – autoevaluarea.

EXPERIMENTUL

Experimentul este o metodă care are la bază activitatea și elevul.

Ca metodă modernă, experimentul are o pronunțată valoare formativă, deoarece se dezvoltă spiritul de observare, interesul în a cunoaște.

Cadrul didactic îndrumă și supraveghează realizarea experimentului. Prin această metodă, elevii sunt aduși în fața realității, fiind determinați să învețe prin descoperire.

Metodele didactice prin care realizează descoperirea sunt: observarea independentă, observarea dirijată, învățarea prin încercări, studiul individual, studiul de caz.

Pentru realizarea acestei metode este necesară existența unui spațiu școlar adecvat (laboratorul sau cabinetul școlar), dar și a aparaturii necesare.

Experimentele, din punct de vedere organizatoric, pot fi:

frontale – elevii efectuează sub îndrumarea cadrului didactic, în același timp și pe același subiect

pe grupe (2-3 elevi) – se intenționează îndeletnicirea cu munca în echipă a elevilor sau nu se dispune de mijloace didactice suficiente.

Experimentele pe aceeași temă se pot efectua pe grupe de elevi sau fiecărei grupe i se încredințează sarcini diferite.

individuale – când fiecare elev îndeplinește o anumită sarcină sau fiecare dintre elevi efectuează experimental în același timp sub supravegherea profesorului.

Experimentele se pot clasifica în funcție de finalitatea lor astfel:

Experimente demonstrative – profesorul le realizează în fața clasei.

Etape :

Cunoașterea aparaturii de către elevi. Se descrie montajul, aparatul, instalația astfel încât elevii să le identifice și recunoască.

Asigurarea unei pregătiri teoretice – în cadrul acestei etape se reamintesc elevilor formulele care vor fi folosite pe durata experimentului.

Executarea lucrării experimentale – profesorul oreintează atenția elevului pe aspectele ce urmează să fie demonstrate.

Prezentarea concluziilor – în această etapă se realizează conexiunea inversă, unde profesorul încurajează elevii să tragă concluziile.

Experimentele de cercetare – această metodă urmează etapele unei investigații experimentale autentice:

Emiterea de ipoteze.

Organizarea în situații experimentale.

Delimitarea unei probleme.

Desfășurarea propriu-zisă a experimentului.

Interpretarea datelor.

Confirmarea ipotezei.

Experimentul aplicativ confirmă în practică cunoștințele științifice anterioare.

Se parcurg următoarele etape:

Prezentarea cunoștințelor teoretice.

Stabilirea sarcinilor de lucru.

Organizarea pe grupe sau individual, repartizarea truselor.

Realizarea activității experimentale de către elevi sub îndrumarea profesorului.

Stabilirea rezultatelor.

Stabilirea concluziilor și comentarea rezultatelor.

Desfășurarea experimentului presupune anumite cerințe metodice:

Are la bază pregătirea inițială a profesorului.

Experimentul se realizează când conținutul o cere.

Masa de lucru trebuie să fie vizibilă pentru toți elevii.

Profesorul explică toate acțiunile pe care le întreprinde, demonstrația făcându-se cu voce tare.

Concluziile trebuie trase în mod logic, ca o consecință firească a celor observate.

Demonstrațiile “pur matematice“ pot fi înlocuite prin experimente.

Exemplu : Ce legatură există între volumul unei prisme și volumul unei piramide care au baza și înălțimi respectiv congruente?

Compararea maselor a două corpuri geometrice realizate din lemn reprezintă o posibilă argumentare. La nivelul gimnaziului demonstrația matematică a relației cerute este nerealistă.

Jocul de rol

Jocul de rol este o metodă de învățare activă, centrată pe elev și pe activitate.

Prin această metodă se poate învăța, nu doar din prelegerile susținute de profesor, ci și din interpretarea unei situații reale. Această metodă presupune interpretarea unei situații reale sau imaginare, care poate fi rezolvată prin mai multe modalități. Soluțiile la problemele ridicate trebuie găsite de elevi. Jocul de rol este o metodă de învățare activă, în care fiecare persoană are un anumit rol de jucat. Aceasta presupune învățarea din propria experiență și din a celorlalți.

Jocul de rol pune participanții în situații ce nu le sunt cunoscute, pentru a-i ajuta să înțeleagă situația respectivă și să înțeleagă și alte persoane care au opinii diferite.

Metoda jocului de rol are la bază următoarele etape:

stabilirea obiectivelor care sunt urmărite;

pregătirea fișelor cu descrierile de rol;

luarea unei decizii împreună cu elevii;

alegerea modului în care se va desfășura jocul de rol (scenetă, proces);

“încălzirea“ grupului în vederea acceptării jocului;

acordarea unui timp elevilor pentru a pregăti rolurile;

interpretarea rolurilor;

interpretarea poate fi oprită pentru ca elevii să poată reflecta la ceea ce se întâmplă.

Activitatea se va evalua împreună cu “actorii“ și “spectatorii“.

Exemple:

Înălțimea unui triunghi și bisectoarea discută: Ce își spun?

De exemplu (concurența, măsuri de unghiuri, distanța):

“Noi înălțimile suntem mai importante pentru că … “ și să ajungă la asemănări “de fapt în triunghiul isoscel suntem surori gemene“.

În cadrul acestei metode, este necesară realizarea unei analize împreună cu participanții.

Trebuie puse anumite întrebări:

Ce sentimente aveți în legătură cu rolurile? A fost rezolvată problema? Dacă da, cum? Dacă nu, de ce?

Ce ați reținut din această experiență?

A fost o interpretare conform cu realitatea?

Elevii trebuie să completeze afirmația următoare: „ Dacă într-un triunghi dreptunghic aș fi o teoremă, mi-ar plăcea să fiu teorema………………. deoarece………………………..”.

Jocul de rol poate fi îmbunătățit împreună cu elevii. În cadrul acestei metode, se pot pune întrebări despre comportamentul personajelor, dar nu trebuie să vă impuneți punctul de vedere asupra unei probleme controversate. Elevii trebuie să ia în calcul puncte de vedere diferite, dar se pot rezuma punctele în care s-a ajuns la o înțelegere și se pot lăsa în discuție cele care sunt discutabile.

Metoda cubului

Metoda cubului este o metodă de explorare a unui subiect din mai multe perspective, totodată este o metodă de dezvoltare a creativității, de actualitate. Metoda presupune dezvoltarea competențelor necesare unor abordări complexe.

Metoda cubului presupune următoarele etape:

se realizează și colorează un cub și se colorează fiecare față diferit, iar fiecărei fețe i se asociază un verb astfel:

Fata 1 – ALBASTRU – verbul descrie mărimile, formele, culorile;

Fata 2 – ROȘU – se compară ce este asemănator și ce este diferit;

Fata 3 – VERDE – la ce te îndeamnă să te gândești;

Fata 4 – PORTOCALIU – verbul spune din ce este făcut?

Fata 5 – GALBEN – se argumentează pro și contra;

Fata 6 – MOV – la ce poate fi folosită? ce poți face cu aceasta?

se prezintă tema;

se împarte clasa în 6 grupe care examinează tema din punctul de vedere al cerinței de pe una din fețele cubului;

redactarea finală;

prezentarea formei finale pe tablă.

Exemplu:

Recapitulare – Corpuri rotunde

Se prezintă cubul.

Elevii sunt împărțiți în 6 grupe, fiecare primește o coală colorată cu nuanțele prezentate mai sus. Fiecare grup are un lider, care va extrage un bilet corespunzător verbului definitoriu.

Se comunică tema și timpul alocat fiecărei grupe și se stabilesc obiectivele.

Elevii lucrează în echipă timp de 20-25 de minute.

Profesorul supraveghează întreaga activitate.

Descrierea activității elevilor:

Cei care primesc fișa cu verbul DESCRIE vor avea:

Enumerarea corpurilor rotunde studiate, reprezentarea plană a corpurilor studiate, schematizarea etapelor generării unui cilindru drept și a unui corp circular, de identificat elementele acestora, de sistematizat într-un tabel datele, descrierea corpurilor de rotație care se obțin.

Fișa cu verbul COMPARĂ va stabili asemănări și deosebiri între poliedrele regulate și corpurile rotunde.

Cei care vor avea verbul ASOCIAZĂ vor asocia fiecărui corp formulele de calcul pentru V, Al și At, după care vor căuta obiecte cunoscute de forma obiectului respectiv.

Grupa care va avea verbul ANALIZEAZĂ presupune analiza diferitelor secțiuni din cadrul corpurilor studiate, realizându-se desene corespunzătoare.

Datele rezultate se vor prezenta într-un tabel:

Fișa cu verbul ARGUMENTEAZĂ – vor analiza în scris valoarea de adevăr a unor propoziții.

Elevii care au în studiu verbul APLICĂ vor avea mai multe întrebări grilă în care se vor aplica calculul ariei sau volumul unor corpuri rotunde.

Turul galeriei

Turul galeriei este o metodă de actualitate bazată pe colaborarea între elevi, care vor trebui să găsească soluții de rezolvare a unor probleme. Metoda presupune evaluarea interactivă, având la bază următoarele:

împărțirea elevilor pe grupuri de 4-5 membri;

prezentarea sarcinilor și a temei de lucru;

se va realiza un produs pe baza temei stabilite;

expunerea rezultatelor;

prezentarea în fața grupului a produsului realizat;

analizarea lucrărilor.

Grupurile își compară produsele prin comparație cu celelalte. Elevii vor învăța să înțeleagă și să asculte ideile celorlalți. Metoda dezvoltă gândirea colectivă și capacitățile sociale ale participanților.

Metoda prezintă următoarele avantaje:

stimulează efortul;

promovează interacțiunea între mințile participanților;

stârnește interesul elevilor;

dezvoltă priceperile sociale ale elevilor;

se reduce fenomenul blocajului emoțional.

Metoda ciorchinelui

Metoda ciorchinelui este o metodă de dezvoltare a creativității, de actualitate, o metodă mai simplă a brainstormingului.

Metoda ciorchinelui poate fi folosită cu succes la începutul unei lecții pentru reactualizarea cunoștințelor, de recapitulare, de sistematizare a cunoștințelor, presupune identificarea unor conexiuni logice între idei. Această metodă încurajează participarea întregii clase, fiind o tehnică eficientă de predare și învățare.

Metoda presupune următoarele etape:

în mijlocul tablei sau al foii de hârtie elevii vor scrie un cuvânt, o temă;

elevii trebuie să-și noteze toate ideile pe care le au în minte;

elevii vor face conexiuni între toate ideile care vor fi conectate;

activitatea se stopează când s-a ajuns la limita de timp acordată;

finalul metodei presupune comutarea cu explicațiile de rigoare.

Tehnica are în vedere următoarele avantaje:

“Ciorchinele revizuit“ unde elevii vor fi îndrumați prin întrebări în funcție de anumite criteria;

structurarea informațiilor și fixarea ideilor, facilitându-se înțelegerea.

Exemplu: Rapoarte constante în triunghiul dreptunghic – clasa a VII- a

Metoda știu/vreau să știu/am învățat – KWL

Este o metodă de dezvoltare a creativității de actualitate.

K= know, W=want to know, L=learned

Învățarea este optimă când are la bază experiența elevilor, care le permite să facă o conexiune între ceea ce știu de noile informații (ROTH 1990). Această metodă are în vedere ceea ce elevii știu despre o anumită temă și formulează întrebări care urmează să primească răspunsuri.

Metoda conține următoarele etape:

Elevii trebuie să alcătuiască perechi și o listă cu tot ce cunosc despre tema abordată.

Profesorul trebuie să alcătuiască un tabel cu următoarele coloane:

ca cel de mai jos:

Se notează informațiile cu care grupul este de acord

Elevii trebuie să alcătuiască o listă de întrebări.

Elevii trebuie să stabilească întrebările pe care le au despre subiect, în timp ce profesorul le va scrie în a doua coloană a tabelului.

Textul este citit de elevi individual sau îl citește profesorul.

Se citește textul, se constată răspunsurile greșite și se scriu în coloană “Am învățat“.

Elevii vor compara tema abordată și ceea ce am învățat prin citirea textelor.

Se compară ceea ce se cunoștea înainte de lecturare cu ceea ce s-a învățat.

De asemenea, se va discuta ce întrebări au găsit răspuns și care necesită răspuns. Unele întrebări s-ar putea să rămână fără răspuns și ar putea apărea întrebări noi. În această situație, întrebările vor fi folosite ca început pentru investigațiile viitoare.

Coloana a treia “Am învățat“ poate fi structurată în diferite categorii.

Această metodă îi face conștienți pe elevi de procesul învățării și le dă șansa de a-și verifica cunoștințele.

Participarea elevilor este motivată prin acest exercițiu, se stimulează gândirea și atenția și se dă ocazia elevilor să-și dezvolte competențele.

Avantaje :

este o metodă interactivă;

o modalitate pragmatică de studiere a textului;

interdisciplinaritate;

participarea tuturor elevilor.

Dezavantaje:

nu poate fi aplicată la orice lecție;

durează prea mult.

Exemplu: Unități de măsură pentru lungime – cls. a V- a

ȘTIU

metrul este unitatea principală pentru lungime;

multiplii;

submultiplii;

cu ce se măsoară lungimea.

VREAU SĂ ȘTIU

cum se măsoară anumite lungimi;

cum să rezolve o problemă;

rezolvarea unei probleme utilizând diferite unități de măsură;

cum se trece de la o unitate de măsură la alta.

AM ÎNVĂȚAT

exemple practice de măsurare cu ruleta, cu rigla, cu metrul;

ce însemnă măsurare;

varianta utilă pentru a măsura lungimea;

relațiile dintre multiplii și submultiplii metrului.

Metoda INSERT sau SINELG

Sistemul Interactiv de Notare pentru Eficientizarea Lecturii și Gândirii.

Este o metodă de dezvoltare a creativității, de actualitate, este o tehnică de predare-învățare. Prin această metodă se pot obține informații despre ce pot elevii să afle, este o tehnică de urmărire a înțelegerii. Elevii vor trebui să utilizeze astfel textul:

confirmarea a ce nu știe;

ceea ce diferă de ceea ce se știe sau se credea că se știe;

+ informațiile noi;

? pasajele care presupun întrebări;

Metoda presupune următoarele etape:

Fiecare elev citește textul;

Elevii primesc o fișă cu textul ce urmează să fie dezbătut, pe care trebuie să-l citească;

Completarea sub supravegherea profesorului a unui tabel;

Comentarea exercițiului cu explicațiile necesare.

Prin această metodă elevii dobândesc următoarele:

introducerea de noi informații în schemele de cunoaștere;

își urmăresc înțelegerea proprie;

construirea de punți între cunoscut și nou;

îmbinarea noului cu ceea ce se știe.

Avantajele metodei :

se stimulează gândirea critică;

asocierea de idei noi;

dezvoltă vocabularul;

schimbul de idei între elevi;

citirea de către elevi a unui text, sintetizând ceea ce credeau că știu, ceea ce știau;

se poate aplica la orice disciplină didactică;

colegii de bancă fac un schimb de idei, ceea ce are un efect pozitiv;

sporește atenția elevilor;

recapitularea vechilor cunoștințe, dar și dobândirea de noi cunoștințe.

Sistem iconic:

“cred că știu“;

“nu știu“;

+ “informația este nouă“;

? “ideile sunt neclare“.

Exemplu:

Grupa trebuie să rezolve testul, după care se completează fișa SINELG.

Fiecare grupă își prezintă rezultatul, rezultatele fiind comparate între grupe.

La finalul orei, FIȘA SINELG se predă profesorului și se rezolvă problemele întâmpinate.

Virtuți și limite ale metodelor moderne/ alternative

Procesul de învățământ este dinamizat de metodele prezentate, care au evoluat astăzi, fiind utilizate cele participative, interactive, centrate pe elev, în detrimentul celor bazate pe profesor.

Profesorul trebuie să aplice și să cunoască un număr cât mai mare de metode didactice.

Metodele participative sunt mai obositoare spre deosebire de cele clasice, care sunt mai relaxante. În activitățile participative, în echipe, participanții se relaxează după comunicarea rezultatelor ca răspuns la efortul depus.

Metodele moderne presupun un număr mare de ore de pregătire din partea profesorului, de aceea trebuie să dețină mai multe metode de abordare a lecției.

Alt dezavantaj este faptul că se pot pierde informații din cauza imposibilității de a le integra în lecție. Totodată, timpul de gândire la lucrul în echipă este redus la 3-4 minute, ceea ce va duce la rezultate incomplete. Se pot observa efectele pozitive ale învățării prin cooperare. Strategiile didactice oferă elevilor ocazia de a lucra în echipă într-un climat colegial, de sprijin reciproc.

Activitatea în echipă acordă o importanță mare dimensiunii sociale, asigură o relație deschisă între parteneri, favorizând formarea atitudinii pozitive față de studiu și față de școală.

Personalitatea elevilor este dezvoltată de munca în echipă, prezența partenerilor constituie un stimulent intelectual, o modalitate de a obține informații. În cadrul grupului, soluțiile pot suferi îmbunătățiri și ajustări.

Învățarea prin cooperare se bazează pe o logică a învățării, care ține seama de opiniile celorlalți. Elevul este avantajat dacă dispune de metode moderne de predare, având în vedere faptul că școala îl pregătește pentru viață.

ELEMENTE DE DIDACTICA MATEMATICII. PARTICULARITĂȚI ALE STUDIERII GEOMETRIEI DE GIMNAZIU.

FORME DE DESFASURARE A LECTIEI DE GEOMETRIE

Într-un cadru adecvat, lecția este cea mai potrivită formă de organizare a învățării unei teme.

În cadrul lecției, rolul cadrului didactic este preponderent, lecția fiind o formă de desfășurare a activității didactice într-o perioadă de timp determinată.

Lecția conține următoarele evenimente:

Organizarea clasei

Această activitate este prima prin care profesorul asigură condițiile psihologice și materiale necesare (existența mijloacelor materiale, starea de atenție, ordinea în clasă).

Aprecierea cunoștințelor și verificarea capacității elevilor

Verificarea cunoștințelor are loc prin diferite metode de evaluare. În același timp, cu verificarea se poate face și recapitularea cunoștințelor. Profesorul verifică acele cunoștințe de care depind înțelegerea noilor cunoștințe.

Predarea noilor cunoștințe

În economia lecției, este etapa de predare mai mare. Metodele care se folosesc în această etapă asigură învățarea conștientă și temeinică.

Captarea atenției

Profesorul organizează special această etapă. Această etapă are la bază sensibilizarea elevilor față de ceea ce se învață, stârnirea interesului acestora. Captarea atenției se poate face la începutul activității de predare după transmiterea obiectivelor. Starea de atenție în timpul lecției se poate face prin organizarea cunoștințelor și prin nivelul de implicare al elevilor.

Comunicarea obiectivelor

Obiectivele urmărite sunt comunicate de profesor pentru a canaliza eforturile elevilor în activitatea de învățare și de pregătire în studiul individual.

Cunoașterea obiectivelor duce la conștientizarea elevilor față de cerințele profesorului și formează capacitatea de a se autoaprecia.

Elevii sunt informați despre rezultatele la care trebuie să ajungă.

Reactualizarea cunoștințelor

Se realizează prin rememorarea cunoștințelor anterioare de care depinde înțelegerea celor noi.

Metodele folosite sunt: rezolvarea problemelor, exercițiul, conversația.

Dirijarea învățării

Prin aceasta se ocupă predarea cea mai mare în etapa comunicării cunoștințelor. Aceasta constă în învățarea elevilor cum să gândească și să combine cunoștințele dobândite și să le relaționeze cu cele noi. Dirijarea învățării utilizează strategii potrivite pentru realizarea obiectivelor.

Asigurarea feed-back-ului învățării

Informația circulă de la elev la profesor, pentru ca acesta să cunoască modul în care elevii au înțeles, punând întrebări și dând exerciții pentru a fi rezolvate. Profesorul continuă expunerea pentru a face ca elevii să înțeleagă, frecvența cu care se realizează acest eveniment depinde de nivelul de pregătire al elevilor, de nivelul motivației. Prin această metodă se reiau cunoștințele în aceeași formă în care au fost predate.

Sistematizarea și consolidarea cunoștințelor

Prin sistematizare se are în vedere reținerea și transferul cunoștintelor deja înțelese.

Lecția îmbracă forme diverse prin care se întărește convingerea în profesor și managementul educației, este o modalitate sigură care dă continuitate procesului.

Tipurile de lecții care sunt prevăzute în literatura de specialitate:

Lecția mixtă sau combinată;

Lecția de achiziționare/comunicare/însușire de noi cunoștinte (predare-învățare);

Lecția de recapitulare, sistematizare și consolidare a cunoștințelor (lecție de fixare și sistematizare; lecție de consolidare-sistematizare);

Lecția de formare de priceperi și deprinderi;

Lecția de verificare și apreciere a rezultatelor școlare (de evaluare).

STRUCTURA TIPURILOR DE LECȚIE

Lecția este o formă de desfășurare a activității didactice sub îndrumarea unui profesor.

Evenimentele lecției:

Organizarea clasei pentru lectie

Profesorul asigură condițiile psihologice și materiale pentru desfășurarea lecției.

Verificarea și aprecierea cunoștințelor și a capacităților lecției

Verificarea cunoștințelor se face prin diferite metode de evaluare, în această etapă putându-se face și recapitularea cunoștințelor. Profesorul verifică cunoștințele de care depind înțelegerea celor noi.

Transmiterea noilor cunoștințe

În economia lecției, această etapă are importanța cea mai mare, profesorul folosind metode prin care se asigură învățarea activă și temeinică.

CAPTAREA ATENȚIEI

Constă în trezirea atenției, stârnirea interesului elevilor față de ceea ce se anunță în lecția respectivă. Captarea atenției se poate realiza folosind conversația, făcându-se la începutul lecției după comunicarea obiectivelor. Starea de atenție se poate asigura prin metodele folosite și nivelul de implicare al elevilor.

COMUNICAREA OBIECTIVELOR

Obiectivele urmărite vor fi comunicate de profesor pentru a determina elevii în activitatea de învățare și de studiu individual. Prin această metodă se conștientizează cerințele profesorului. Această comunicare nu presupune doar prezentarea titlului lecției, profesorul va comunica elevilor rezultatele la care trebuie să ajungă.

REACTUALIZAREA CUNOȘTINȚELOR

Se realizează prin rememorarea cunoștințelor însușite anterior, de care depind înțelegerea celor noi. Se utilizează metode diverse: rezolvarea de probleme, exerciții, fișe de lucru.

DIRIJAREA ÎNVĂȚĂRII

Ocupă cel mai mult timp în etapa transmiterii cunoștințelor, constând în a comunica elevilor cum să combine cunoștințele, cum să gândească.

În această etapă se utilizează strategii adecvate și întreaga gamă de metode și mijloace de învățământ.

ASIGURAREA FEED-BACK-ului ÎNVĂȚĂRII

Informația circulă de la elev la profesor, acesta urmând să se convingă asupra modului în care elevii au înțeles, el putând pune întrebări și să dea spre rezolvare exerciții. Profesorul, în baza informațiilor primite de la elevi, continuă explicațiile sau își regândește demersul explicativ pentru a determina elevii să înțeleagă. Prin această metodă sunt cunoștințele în forma în care au fost explicate.

Sistematizarea și consolidarea cunoștințelor

Profesorul, prin metoda feed-back-ului, se convinge că elevii au înțeles în timp, că prin consolidare se asigură interiorizarea cunoștințelor învățate.

2.1.1. Lecția mixtă sau combinată

Este cel mai folosit tip de lecție, presupunând urmărirea evenimentelor instruirii. Cunoștințele transmise prin aceasta sunt puține.

Organizarea în vederea susținerii lecției a clasei (2-3 min)

Verificarea cunoștințelor (10 min)

Reținerea de noi cunoștințe (30 min)

Captarea atenției;

Prezentarea titlului lecției și a obiectivelor;

Recapitularea cunoștințelor anterioare;

Obținerea performanței;

Asigurarea feed-back-ului.

Consolidarea cunoștințelor (7-8 min)

Tema pentru acasă.

EXEMPLUL 1:

Clasa: a VI-a

Disciplina: Matematică – Geometrie

Unitatea de învățare: PROPRIETĂȚI ALE TRIUNGHIURILOR

Tema lecției: SUMA MĂSURILOR UNGHIURILOR UNUI TRIUNGHI

Tipul lecției: mixtă

OBIECTIVE OPERAȚIONALE:

Să afle într-un triunghi măsura celui de-al treilea unghi, cunoscându-se celelalte două;

Să folosească definițiile triunghiului echilateral și triunghiului dreptunghic pentru determinarea de proprietăți ale unghiurilor;

Să utilizeze instrumentele geometrice ( echer, raportor);

Să efectueze scăderi și adunări cu măsuri de unghiuri exprimate în grade, minute și secunde;

Să enunțe corect teorema ce face referire la suma măsurilor unghiurilor unui triunghi;

Să folosească această teoremă și consecințele ei în rezolvarea unor probleme.

STRATEGII DIDACTICE:

METODE ȘI PROCEDEE: problematizarea, demonstrația, explicația, exercițiul, observația sistematică, conversația, învățarea prin descoperire.

MIJLOACE DE REALIZARE: fișe de lucru, fișe de sistematizare, videoproiector, laptop, cretă colorată, triunghiuri din hârtie, instrumente geometrice.

FORME DE ORGANIZARE: individual , pe grupe, frontal.

DESFĂȘURAREA LECȚIEI:

MOMENT ORGANIZATORIC

profesorul notează absenții;

profesorul le cere elevilor, pentru buna desfășurare a activității, să-și pregătească materialele necesare;

(conversația)

VERIFICAREA TEMEI

Profesorul verifică tema și eventualele greșeli sunt corectate.

Le cere elevilor să răspundă la următoarele întrebări:

Ce sunt dreptele paralele?

Ce este o secantă?

Ce fel de unghiuri formează două drepte paralele tăiate de o secantă?

(conversația)

ACTUALIZAREA CUNȘTINȚELOR

Ce sunt unghiurile alterne interne?

(conversația)

CAPTAREA ATENȚIEI

cu ajutorul proiectorului și prin intermediul lecției AEL, profesorul propune elevilor să încerce să „deseneze”, folosind mouse-ul, un triunghi în care suma măsurilor unghiurilor să fie diferită de 180o.

(conversația, problematizarea)

ANUNȚAREA TEMEI ȘI A OBIECTIVELOR

Profesorul anunță titlul lectiei: „Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi” și obiectivele propuse spre realizare în această lecție.

(conversația)

PREZENTAREA CONȚINUTULUI NOII LECȚII ȘI DIRIJAREA ÎNVĂȚĂRII

se împarte clasa în grupe. Fiecare grupă va primi triunghiuri de hârtie.

se cere grupelor să măsoare unghiurile triunghiurilor și să noteze pe unghiuri măsura, apoi să le taie și să le așeze conform animației proiectate pe tablă.

Profesorul enunță teorema:

Teoremă: În orice triunghi suma măsurilor unghiurilor este 180o.

m(A) + m(B) + m(C) = 180o

– un elev iese la tablă și împreună cu profesorul demonstrează teorema;

MABC

AB – secantă MAB ABC (1)

NABC

AC – secantă NAC ACB (2)

m(MAB) + m(BAC) + m(CAN) = 180 (3) din (1)+(2)+(3)

m(ABC) + m(BAC) + m(ACB) = 180

se propune elevilor rezolvarea problemei 1 din fișa de lucru;

împreună cu profesorul elevii vor descoperi consecințele următoare:

Unghiurile alăturate ipotenuzei unui triunghi dreptunghic sunt ascuțite și complementare.

Orice triunghi poate avea cel mult un unghi drept sau cel mult un unghi obtuz.

se propune elevilor rezolvarea problemei 2 din fișa de lucru;

(conversația, învățarea prin descoperire, explicația, demonstrația)

OBȚINEREA PERFORMANȚEI ȘI ASIGURAREA FEED-BACK-ULUI

elevii vor rezolva din fișa de lucru problemele 3,4 și 5.

(exercițiul, individual, frontal, fișe de lucru)

EVALUAREA ACTIVITĂȚII

se fac aprecieri verbale pe parcursul întregii ore, clarificându-se totodată și neclaritățile întâlnite;

elevii vor completa fișa de sistematizare.

(exercițiul, fișă de sistematizare)

EVALUAREA

se apreciază activitatea elevilor de pe parcursul lecției, iar elevii care s-au remarcat sunt notați.

(conversația)

TEMA PENTRU ACASĂ

elevii primesc următoarele sarcini pentru acasă: culegere, pag. 104, ex. 1 si 2, pag. 105, ex. 5;

profesorul dă eventual câteva indicații.

(conversația, explicația)

EXEMPLUL 2:

Clasa: a VII-a

Disciplina: Matematică – Geometrie

Unitatea de învățare: CERCUL

Tema lecției: POZIȚIILE RELATIVE ALE UNEI DREPTE FAȚĂ DE UN CERC

Tipul lecției: mixtă

OBIECTIVE OPERAȚIONALE:

Să recunoască și să poată descrie elementele unui cerc, într-o configurație geometrică dată;

Să utilizeze informațiile oferite de o configurație geometrică pentru identificarea unor proprietăți ale cercului;

Să deducă unele proprietăți ale cercului și ale poligoanelor regulate, folosind reprezentări geometrice și noțiuni studiate;

Să identifice poziția unei drepte față de un cerc;

Să rezolve probleme, folosind proprietățile tangentelor duse dintr-un punct exterior la un cerc;

Să stabilească poziția unei drepte față de un cerc în raport cu numărul de puncte de intersecție dintre dreaptă și cerc.

STRATEGII DIDACTICE:

METODE ȘI PROCEDEE: explicația, exercițiul, problematizarea, conversația, jocul, activitate pe grupe, turul galeriei, învățarea prin descoperire.

MIJLOACE DE REALIZARE: culegere de probleme, fișe de lucru.

FORME DE ORGANIZARE: individual , pe grupe, frontal.

DESFĂȘURAREA LECȚIEI:

MOMENT ORGANIZATORIC

Se asigură condițiile optime pentru desfășurarea lecției.

Se verifică prezența elevilor.

(conversația)

VERIFICAREA TEMEI PENTRU ACASĂ

Elevii au pe bănci caietele de teme. Tema se verifică cantitativ, dar și calitativ.

Se discută neclaritățile din temă, iar exercițiile care nu au fost rezolvate de mai mulți elevi vor fi efectuate la tablă.

(conversația, aprecieri verbale)

VERIFICAREA CUNȘTINȚELOR ANTERIOARE

Elevii sunt împărțiti în trei gupe eterogene, fiecare grupă va primi un plic în care vor avea o cariocă, fișe (plicurile, cariocele și fișele sunt pe culori specifice grupei: mov, albastru și portocaliu). În plic vor avea și un joculeț, 6 bilete cu definiții și 6 săgetuțe colorate pe care vor scrie cuvântul specific definției.

Profesorul le cere elevilor să-și reamintească noțiunile învățate ora trecută.

* Reactualizarea noțiunilor teoretice se face cu ajutorul unui joc: fiecare grupă, timp de 3 min., trebuie să caute cele 6 cuvinte scrise de profesor pe tablă: CERC, RAZĂ, DIAMETRU, SECANTĂ, EXTERIOARĂ, TANGENTĂ.

În ordinea în care termină primesc: 5p, 3p, 2p.

Elevii vor da definițiile pentru cuvintele pe care le-au întâlnit în lecțiile anterioare și vor descoperi cuvintele noi.

(conversația, aprecieri verbale, metoda Ciorchinelui, observarea sistematică)

ANUNȚAREA TEMEI ȘI A OBIECTIVELOR

Profesorul le spune elevilor că astăzi vor descoperi semnificația acestor cuvinte noi, întâlnite în joc, fiind, de fapt, pozițiile unei drepte față de un cerc și aceste noțiuni le vor folosi în rezolvarea unor probleme .

Profesorul scrie pe tablă titlul lecției, iar elevii scriu în caiete:

„Pozițiile relative ale unei drepte față de un cerc°”.

(conversația, observarea sistematică)

DIRIJAREA ÎNVĂȚĂRII

– Se cere fiecărei grupe să-și delege un coechipier și să reprezinte, la tablă, prin desen, una din pozițiile unei drepte față de un cerc.

Grupa I

Grupa II

Grupa III

(activitate pe grupe, conversația, problematizarea, explicația, învățare prin descoperire, exercițiul)

FIXAREA CUNOȘTINȚELOR ȘI ASIGURAREA TRANSFERULUI

Se propune fiecărei grupe să stabilească poziția dreptei față de C(O,6cm), în condițiile date în prima problemă din fișă (timp de lucru 3min). Fiecare reprezentant iese la tablă și expune problema.

Stabiliți poziția unei dreptei d față de C(O,r), r = 6cm, dacă:

(I) d(O,d) = 2cm; (II) d(O,d) = 4cm; (III) d(O,d) = 5cm .

Se va propune grupelor spre rezolvare problema 2 din fișă (se va aplica proprietatea tangentei la cerc duse dintr-un punct exterior).

Fie , r = 4cm și TA tangenta la cerc.Dacă

(I) ; (II) ; (III) , aflați lungimea segmentului [AT].

(evaluarea activității pe grupe, observarea modului de implicare a fiecărui elev în cadrul grupului, aprecieri verbale)

OBȚINEREA PERFORMANȚEI ȘI ASIGURAREA FEED-BACK-ULUI

Profesorul îi întreabă pe elevi ce au învățat astăzi?

– Se propune grupelor să utilizeze biletele cu definițiile pe care le au în plic și să utilizeze cartonul format A3 pentru a expune definițiile și răspunsurile aferente.

– Pentru fiecare răspuns corect echipa primește 5p, 3p sau 2p, în ordinea în care termină.

(expunerea, observarea modului în care se implică fiecare elev în grup)

EVALUAREA ACTIVITĂȚII

– Se realizează un clasament al grupelor și în funcție de implicarea fiecărui elev în rezolvarea sarcinilor se vor face și aprecierile.

(conversația, turul galeriei, aprecieri verbale)

TEMA PENTRU ACASĂ

– din culegerea MATE 2000+ : problemele 14,15,17,18, pag. 84 și se dau indicațiile necesare.

(conversația)

2.1.2.Lecția de achiziționare de cunoștințe (lecția de însușire de noi cunoștințe)

(predare-învățare) (lecția de comunicare)

Prin aceasta se realizează verificarea și aprecierea cunoștințelor.

Se recomandă la început de capitol, la teme mai dificile în care se urmărește învățarea în clasă.

Exemple:

EXEMPLUL 3:

Clasa: aVI-a

Disciplina: Matematică – Geometrie

Unitatea de învățare: Proprietăți ale triunghiurilor

Tema lecției: Proprietăți ale triunghiului dreptunghic

Tipul lecției: lecție de predare – învățare

OBIECTIVE OPERAȚIONALE:

Să recunoască și să aplice proprietăți ale triunghiurilor în configurații geometrice date;

Să efectueze calcule cu lungimi de segmente și cu măsuri de unghiuri, utilizând metode adecvate;

Să utilizeze unele concepte matematice în triunghiul dreptunghic, în triunghiul echilateral sau în triunghiul isoscel;

Să exprime caracteristici matematice ale triunghiurilor și ale liniilor importante în triunghi cu ajutorul definițiilor, notațiilor și desenelor;

Să se deducă unele proprietăți ale triunghiurilor, folosind noțiunile învățate;

Să interpreteze informațiile extrase din probleme;

Să cunoască definiția și proprietățile triunghiului dreptunghic;

Să utilizeze corect proprietățile triunghiului dreptunghic.

STRATEGII DIDACTICE:

METODE ȘI PROCEDEE: explicația, conversația euristică, exercițiul, demonstrația, învățarea prin descoperire, problematizarea.

MIJLOACE DE REALIZARE: caietele, tabla, manualul, cretă colorată, fișe de lucru, instrumentele geometrice, planșe.

FORME DE ORGANIZARE: frontal și individual.

DESFĂȘURAREA LECȚIEI:

MOMENT ORGANIZATORIC

Se asigură ordinea și liniștea în clasă.

Se notează în catalog absențele.

Elevii pregătesc cele necesare pentru oră.

(observația, conversația)

CAPTAREA ATENȚIEI

Se verifică tema de casă, prin sondaj (frontal – individual, cantitativ – calitativ), iar exercițiile nerezolvate acasă se vor discuta și rezolva în clasă.

Elevii verifică tema cu atenție și corectează greșelile sau completează.

(conversația, explicația, aprecieri verbale – frontal)

VERIFICAREA CUNOȘTINȚELOR DIN LECȚIA ANTERIOARĂ

Se verifică cunoștințele referitoare la proprietățile triunghiului isoscel și echilateral dobândite în lecția anterioară, astfel: elevii sunt grupați în perechi, fiecare pereche fiind numerotată cu A sau B. Elevii din perechile A realizează un ciorchine ce are ca nucleu cuvintele triunghiul isoscel, iar perechile B realizează un ciorchine având ca nucleu cuvintele triunghiul echilateral. În acest timp, profesorul verifică prin sondaj tema pentru acasă.

Fiecare grupă va prezenta ciorchinele realizat.

(conversația și aprecierea răspunsurilor primite)

ANUNȚAREA TEMEI ȘI A OBIECTIVELOR LECȚIEI

Profesorul anunță tema lecției, scrie pe tablă titlul „Proprietățile triunghiului dreptunghic” și desenează următorul tabel:

ȘTIU / VREAU SĂ ȘTIU /AM ÎNVĂȚAT

Elevii notează titlul lecției în caiete.

(conversația)

COMUNICAREA NOILOR CUNOȘTINȚE

Profesorul le cere elevilor să scrie în coloana ȘTIU ceea ce știu despre triunghiul dreptunghic, iar coloana VREAU SĂ ȘTIU  o vor completa cu ce vor să știe despre triunghiul dreptunghic.

Se dă, cu ajutorul elevilor, definiția triunghiului dreptunghic isoscel ca fiind triunghiul dreptunghic cu catetele congruente.

Proprietatea 1. Unghiurile ascuțite ale unui triunghi dreptunghic isoscel au fiecare măsura de 45.

Proprietatea 2. (Teorema medianei în triunghiul dreptunghic) În orice triunghi dreptunghic mediana corespunzătoare ipotenuzei are lungimea egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei.

Demonstrație:

Fie D = mijlocul ipotenuzei [BC]

Construim DE = AD, D[AE]

(L.U.L.)

;

(C.C.) AE = CB

AD =

Proprietatea 3. (Reciproca Teoremei medianei în triunghiul dreptunghic) Dacă mediana unui triunghi are lungimea egală cu jumătate din lungimea laturii corespunzătoare, atunci triunghiul este dreptunghic și are ca ipotenuză latura corespunzătoare medianei.

Demonstrație:

Fie AD = mediana corespunzătoare laturii [BC]

Construim AD = DE AD = DE = BD = DC

= triunghi isoscel

x = 2(unghi exterior )

Proprietatea 4. (Teorema unghiului de 30 sau Teorema 30- 60- 90) În triunghiul dreptunghic cateta care se opune unghiului de 30este jumătate din ipotenuză).

Demonstrație:

Fie

Construim AD = AB, A(BD)

CA = mediană, înălțime CDB = isoscel

Dar

CDB = echilateral și AB =

Proprietatea 5 (Reciproca Teoremei unghiului de 30) Dacă o catetă a unui triunghi dreptunghic are lungimea egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei, atunci unghiul ce se opune catetei are măsura de 30.

Demonstrație:

Fie ABC(),

Construim D simetricul lui B față de AC

AC = mediatoarea segmentului [ BD]

CBD = triunghi isoscel (BC = CD)

Dar AB = AD = BD = BC = CD

CBD = triunghi echilateral,

Elevii vor da definiția triunghiului dreptunghic și o vor nota în caiete.

Profesorul explică modul de demonstrare al proprietăților, iar elevii răspund la întrebările adresate de acesta.

Un elev rezolvă la tablă, iar ceilalți își notează în caiete.

(explicația, aprecierea răspunsurilor primite, explicația euristică, , exercițiul, observarea sistematică a elevilor).

FIXAREA NOILOR CUNOȘTINȚE ȘI ASIGURAREA FEED-BACK-ului

Să se afle x știind că triunghiul ABC este dreptunghic ().

2. Fie ABC () și punctul M = mijlocul segmentului [BC], iar BC = 10dm. Calculați lungimea segmentului [AM].

3. Fie ABC ().

Știind că BC = 15 cm și m(C) = 30, calculați AB.

Știind că AB = 7 cm și m(C) = 30, calculați BC.

4. Fie ABC () și m(B) > m(C). Știind că [AD] = înălțime, [AM] = mediană,

m(MAD) = 30 și MD = 12 cm, să se arate că = triunghi echilateral și să se afle lungimea segmentului [BC].

Mai mulți elevi rezolvă pe rând problemele la tablă, iar ceilalți notează în caiete și verifică modul de rezolvare al acestora.

(exercițiul, problematizarea, exercițiul, observarea sistematică a elevilor, munca independentă, aprecierea răspunsurilor primate, aprecieri verbale).

EVALUAREA

Coloana AM ÎNVĂȚAT se va completa cu proprietățile învățate.

Elevii primesc aprecieri în funcție de modul în care au participat la lecție.

TEMA PENTRU ACASĂ

Problemele.: 1, 2, 3, 4, 5 din manual.

(activitate independentă)

EXEMPLUL 4:

Clasa: aVI-a

Disciplina: Matematică – Geometrie

Unitatea de învățare: UNGHIURI

Tema lecției: UNGHIUL

Tipul lecției: lecție de predare-învățare

OBIECTIVE OPERAȚIONALE:

Să poată defini și desena unghiuri, să poată identifica elementele unui unghi;

Să poată identifica interiorul și exteriorul unui unghi;

Să poată identifica tipurile de unghiuri (proprii, improprii);

Să noteze corect un unghi desenat;

Să poată aplica noțiunile teoretice învățate în rezolvarea exercițiilor simple.

STRATEGII DIDACTICE:

METODE ȘI PROCEDEE: explicația, conversația, învățarea prin descoperire, exercițiul, observația.

MIJLOACE DE REALIZARE: tabla, cretă colorată, caietele, instrumentele geometrice, manualul, fișe de lucru, planșe.

FORME DE ORGANIZARE: individual , pe grupe, frontal.

DESFĂȘURAREA LECȚIEI:

MOMENT ORGANIZATORIC

Se asigură condițiile optime pentru desfășurarea lecției. (conversația)

VERIFICAREA TEMEI

Profesorul verifică tema pentru acasă, iar eventualele exerciții nerezolvate de către elevi vor fi discutate oral sau la tablă. (conversația – frontal)

PREGĂTIREA LECȚIEI NOI

Profesorul pune clasei următoarele întrebări:

Cum definim o semidreaptă?

Elevii sunt distribuiți pe grupe, li se dă câte o coală de hârtie și li se cere să deseneze două semidrepte cu originea comună! Ce se obține?

(conversația, învățarea prin descoperire – pe grupe)

PREDAREA NOILOR CUNOȘTINȚE

Se anunță tema lecției și obiectivele.

Se explică etimologia cuvântului „unghi” – acesta înseamnă „colț” și provine de la latinescul „angulus”.

Se vor căuta câteva exemple de obiecte care descriu unghiuri.

Predarea noilor cunoștințe:

Def.: Se numește unghi reuniunea a două semidrepte închise care au aceeași origine.

Desen. Elemente.

Notații:

.

Observații:

1. vârful unghiului este marcat de litera din mijloc;

2. laturile unui unghi sunt două semidrepte.

Clasificare:

1.Unghi impropriu:

Unghiul nul: Se numește unghi nul unghiul ale cărui laturi coincide (laturile sunt semidrepte identice).

Unghi alungit sau unghi cu laturile în prelungire: Se numește unghi alungit unghiul ale cărui laturi sunt două semidrepte opuse (A, O și B sunt coliniare).

2.Unghi propriu: Un unghi care nu este nici nul și nici alungit se numește unghi propriu.

Exemple:

(frontal – conversația, explicația)

ÎNSUȘIREA NOILOR CUNOȘTINȚE

Elevii primesc fișe cu cerințe de lucru diferite – pe grupe – (Fișa 1), le rezolvă și le prezintă celorlalți (elevii pun întrebări, se corectează și completează reciproc, sub supravegherea profesorului).

(metoda exercițiului – pe grupe)

INTENSIFICAREA RETENȚIEI ȘI ASIGURAREA TRANSFERULUI

Se recapitulează, pe scurt, noțiunile teoretice învățate, apoi elevii vor primi spre rezolvare o nouă fișă de lucru (Fișa 2)

(individual – metoda exercițiului)

TEMA DE CASĂ ȘI NOTAREA ELEVILOR

Se notează elevii care s-au făcut remarcați.

Tema pentru acasă, CULEGERE , FIȘA.

Fișa 1

(de lucrat pe grupe)

1. Desenați și notați un unghi propriu (folosiți literele M, N, P).

2. Printr-un punct T trasați două drepte diferite, MN și PQ. Scrieți apoi ce unghiuri proprii s-au format.

3. Desenați un punct A și patru unghiuri proprii cu vârful în A.

4.Desanați un punct B și patru unghiuri alungite cu vârful în P.

Fișa 2

(de lucrat individual)

1.Se dă figura:

a) Scrieți punctele situate în Int :

…………………………………………

b) Scrieți punctele situate în Int :

………………………………………….

c) Scrieți punctele situate în Ext :

…………………………………………….

d) Punctele situate în Ext sunt:

……………………………………………….

2.Scrieți toate unghiurile proprii din figura alăturată:

………………………………………………

2.1.3. Lecția de recapitulare, sistematizare și consolidare a cunoștințelor

Se programează la finalul anumitor capitole ale semestrului sau anului școlar.

Această lecție presupune:

stabilirea de legături între cunoștințe;

alcătuirea unor generalizări mai largi;

reluarea structurii logice a cunoștințelor.

Această activitate presupune o recapitulare, ce se face înaintea lecției, prin următoarele metode: rezolvarea de probleme, exerciții, studiu de caz.

Organizarea clasei pentru lecție – 3 min

Recapitularea cunoștințelor

Tragerea concluzilor – 12 min

EXEMPLUL 5:

Clasa: aVII-a

Disciplina: Matematică – Geometrie

Unitatea de învățare: CERCUL

Tema lecției: PATRULATER INSCRIPTIBIL

Tipul lecției: lecție de fixare de cunoștințe

OBIECTIVE OPERAȚIONALE:

Cunoașterea de către elevi a noțiunii de patrulater inscriptibil;

Cunoașterea de către elevi a condițiilor necesare și suficiente ca un patrulater convex să fie inscriptibil.

STRATEGII DIDACTICE:

METODE ȘI PROCEDEE: conversația euristică, problematizarea.

MIJLOACE DE REALIZARE: tabla, cretă colorată, caietele, instrumentele geometrice, manualul, fișe de lucru, planșe.

FORME DE ORGANIZARE: individual, frontal.

DESFĂȘURAREA LECȚIEI:

Organizarea clasei pentru lecție .

Reactualizarea cunoștințelor anterioare; verificarea temei.

Definiția punctelor conciclice; definiția patrulaterului inscriptibil; măsura unghiului înscris în cerc; condițiile necesare și suficiente ca un patrulater convex să fie inscriptibil; ce patrulatere particulare studiate sunt inscriptibile?

Prezentarea conținutului temei:

Prezentarea fișei de lucru;

DESFĂȘURAREA LECȚIEI:

Fie ABC triunghi oarecare, MA, MB, MC sunt mijloacele laturilor BC, AC, respectiv AB , iar HA, HB, HC picioarele înălțimilor din A, B respectiv C. Să se demonstreze că HBMBMAMC este trapez isoscel.

Este trapezul HBMBMAMC inscriptibil?

Sunt punctele HB, MB, MA, HA, MC, HC conciclice?

Elevii analizează figura și observă că:

[MAMC] = linie mijlocie în ABC, deci,

MAMBMCHB = trapez

[MAMB] = linie mijlocie în ABC MAMB =

[HBMC] = mediană în BHBA, din Teorema medianei într-un triunghi dreptunghic: HBMC =

MAMBMCHB = trapez isoscel

Se justifică de ce este inscriptibil un trapez isoscel.

Se justifică că picioarele înălțimilor din A și C sunt situate pe cercul determinat de mijloacele laturilor ABC.

Punctul O = centrul cercului circumscris ABC, iar segmental [BA] = diametrul cercului.

Fie punctele EA, EB, EC mijloacele segmentelor [AH], [BH], respectiv [CH].

Se demonstrează că MCMBECEB = dreptunghi.

Se stabilește natura patrulaterului MCEAECMA și se justifică că punctele HA, MC, HC, EA, EB, EC, HB, MB, MA sunt conciclice.

Se stabilesc și alte puncte diametral opuse în cercul celor 9 puncte!

Notăm N = centrul cercului celor 9 puncte

Cercul care trece prin cele 9 puncte se numește Cercul lui Euler.

Elevii analizează figura și observă că:

[MCEB] este linie mijlocie în triunghiul BAH, deci și MCEB = .

Analog .și ECMB = .

MCMBECEB = paralelogram

[MCEB] = linie mijlocie în ABC .

și secanta AC (corespondente).

3. (1) și secanta AC (corespondente).

4. Din (2) și (3) și cu observația că în triunghiul dreptunghic AHAC unghiurile HAAC și HACA sunt complementare m(MCMBEC ) = 900, deci MCMBECEB este dreptunghi.

5. Elevii justifică analog că și patrulaterul MCEAECMA este dreptunghi.

6. Elevii observă că diagonala MCEC a dreptunghiului MCEAECMA este aceeași în dreptunghiul MCMBECEB, deci toate aceste puncte aparțin cercului de diametru MCEC.

7. Elevii observă perechile de puncte: MB și EB ; MA și EA

8. Elevii construiesc diagonalele dreptunghiului MCMBECEB și, cum orice dreptunghi este inscriptibil, aceste diagonale sunt diametre pentru cercul celor 9 puncte; deci punctul lor de intersecție reprezintă centrul acestui cerc.

Punctele H, G, O sunt coliniare și HG = 2GO ( DREAPTA LUI EULER ).

Elevii completează spațiile punctate:

BCA”A este patrulater……………….

m(BCA”) = ……..; m(BAA”) = ……..

și …………….

și A”ABA…………….

și patrulaterul AHCA” este ………

AC HA” = {….}, deci H, MB și A” sunt puncte …………….

O mijlocul lui BA” și MB mijlocul lui A”H, atunci OMB este ……………..în triunghiul BHA” OMB =……….

Fie G punctul de intersecție al lui AMB cu HO.

Triunghiurile BHG cu MBOG sunt triunghiuri…………….………..=……..

G este………………………………

Deci punctele H, G, O sunt ……………….……….. și GH=……………………….….

TEMĂ:

Arătați că N este mijlocul segmentului HO

(H ortocentrul triunghiului și O centrul cercului circumscris triunghiului ABC)

FIȘĂ DE LUCRU:

Clasa a VII-a

Fie ABC = triunghi oarecare, MA, MB, MC = mijloacele laturilor [BC], [AC], respectiv [AB], iar HA, HB, HC = picioarele înălțimilor din A, B respectiv C.

Să se demonstreze că HBMBMAMC = trapez isoscel.

Să se stabilească dacă HBMBMAMC este inscriptibil.

Să se verifice dacă HB, MB, MA, HA, MC, HC sunt puncte conciclice.

Se dau punctele EA, EB, EC = mijloacele segmentelor [AH], [BH], respectiv [CH]. Să se demonstreze că MCMBECEB = dreptunghi.

Să se verifice dacă HB, MB, MA, HA, MC, HC, EA, EB, EC sunt puncte conciclice.

Notăm N = centrul cercului celor 9 puncte. Să se stabilească cum a fost determinat punctul N!

Cercul lui Euler este cercul care trece prin cele 9 puncte.

Fie O = centrul cercului circumscris ABC, iar [BA”] = diametrul acestui cerc.

Completați spațiile punctate:

BCA”A este patrulater ………………….

m(BCA”) = ……..; m(BAA”) = …….

și …………….

și …………….

și patrulaterul AHCA” este …………………

AC HA” = {….}, deci H, MB și A” sunt puncte …………….

O mijlocul lui BA” și MB mijlocul lui A”H, atunci OMB este ……………..în BHA” OMB = …………….…….

Fie G punctul de intersecție al lui AMB cu HO.

h)Triunghiurile BHG și MBOG sunt triunghiuri……………….……..=……..

i) G este………………….…………

j) Deci punctele H, G, O sunt …………….. și GH=………..….

Punctele H, G, O sunt coliniare și HG = 2GO (DREAPTA LUI EULER).

8. Arătați că N este mijlocul segmentului HO

(H ortocentrul triunghiului și O centrul cercului circumscris triunghiului ABC).

EXEMPLUL 6:

Clasa: aVII-a

Disciplina: Matematică – Geometrie

Unitatea de învățare: PATRULATERE

Tema lecției: PATRULATERE

Tipul lecției: lecție de recapitulare și sistematizare

OBIECTIVE OPERAȚIONALE:

Cognitive:

1. să definească diferitele patrulatere și desenele corespunzătoare fiecăruia;

2. să cunoască proprietățile specifice patrulaterelor;

3. să obișnuiască să folosească limbajul matematic;

4. să prezinte clar si concis etapele de rezolvare a unei probleme.

Afective:

1. să se stimuleze curiozitatea și imaginația elevului;

2. să se dezvolte spiritul de observație și atenția concentrată.

Psihomotorii:

1. să utilizeze calculatorul;

2. să estimeze distante în figuri geometrice.

COMPETENȚE SPECIFICE

Să recunoască și să descrie patrulaterele în configurații geometrice date;

Să identifice patrulaterele particulare, utilizând proprietățile învățate;

Să utilizeze proprietățile patrulaterelor în rezolvarea problememelor;

Să exprime prin reprezentări geometrice noțiunile legate de patrulatere;

Să interpreteze informațiile deduse din reprezentări geometrice în raport cu anumite situații practice.

STRATEGII DIDACTICE:

METODE ȘI PROCEDEE: explicația, conversația, exercițiul, problematizarea.

MIJLOACE DE REALIZARE: calculator, videoproiector, program Ael.

FORME DE ORGANIZARE: frontală, individuală.

DESFĂȘURAREA LECȚIEI:

MOMENT ORGANIZATORIC

Se pornesc calculatoarele și se pornește aplicația Ael. (conversația)

CAPTAREA ATENȚIEI. ANUNȚAREA TEMEI ȘI A OBIECTIVELOR

Profesorul anunță titlul lecției, anunță obiectivele urmărite pe parcursul lecției și cere elevilor să pornească pachetul „Patrulatere – sinteză și aplicații”.

(explicația)

REACTUALIZAREA CUNOȘTINȚELOR

Profesorul cere elevilor să completeze tabelul de la „1.1 Proprietățile paralelogramului” (anexa 1). În timp ce elevii lucrează individual pe calculator, se dau explicații celor care nu se descurcă.

(conversația, explicația)

CONSOLIDAREA CUNOȘTINȚELOR PRIN REZOLVAREA DE EXERCIȚII ȘI PROBLEME

Profesorul cere elevilor să rezolve exercițiile care apar la paragraful „4. Aplicații”.

Pe parcursul rezolvării de exerciții, vor apărea exerciții ce se rezolvă „pas cu pas”, un exercițiu de construcție de problemă (se va face pe un singur calculator, cel care se proiectează) și un set de 10 exerciții sub formă de test. La finalul testului apar numărul de exerciții corecte rezolvate. (anexe 2 – 4)

În funcție de timpul necesar rezolvării exercițiilor, se pot rezolva și exercițiile de la capitolul 3. Aplicații teoretice și 2. Trapez.

(conversația, explicația, exercițiul)

TEMA PENTRU ACASĂ

Profesorul face aprecieri asupra activității desfășurate.

Tema pentru acasă, CULEGERE.

ANEXA 1

ANEXA 2

ANEXA 3

ANEXA 4

EXEMPLUL 7:

Clasa: aVII-a

Disciplina: Matematică – Geometrie

Unitatea de învățare: CALCUL DE ARII ȘI VOLUME

Tema lecției: PRISME

Tipul lecției: lecție de consolidare și recapitulare

OBIECTIVE OPERAȚIONALE:

1. Obiective cognitive:

Folosirea corectă a instrumentelor geometrice;

Utilizarea corectă în exprimare a terminologiei aferente;

Descrierea și desenarea corpurilor, identifiarea elementelor acestora;

|Calcularea ariei și volumului unei prisme;

Argumentarea orală a demersului de rezolvare al unei probleme de geometrie;

Utilizarea noțiunilor teoretice învățate în rezolvarea de probleme.

2. Obiective afective:

Participarea activă la lecție;

Dezvoltarea interesului pentru studiul geometriei;

Dezvoltarea spiritului de observație;

Dezvoltarea spiritului de echipă.

STRATEGII DIDACTICE:

METODE ȘI PROCEDEE: conversația, exercițiul, învățarea prin descoperire, metoda cubului, lucrul pe grupe, turul galeriei.

MIJLOACE DE REALIZARE: tabla, creta albă și colorată, coli flipchart, markere, cubul, corpuri geometrice, planșe, fișe de lucru.

FORME DE ORGANIZARE: frontal, individual, pe grupe.

DESFĂȘURAREA LECȚIEI:

MOMENT ORGANIZATORIC

Se pun absențele, elevii își pregătesc materialele. (conversația)

VERIFICAREA TEMEI PENTRU ACASĂ

Tema pentru acasă a fost realizarea unui proiect și anume: confecționarea din carton a trei corpuri geimetrice. (conversația)

CAPTAREA ATENȚIEI

Este prezentată pe scurt de către profesor metoda cubului. Cubul are cele 6 fețe colorate diferit și pe fiecare față este scris un „verb”. Clasa este împărțită în 6 grupe și fiecare grupă va primi, prin tragere la sorți, una din cele 6 sarcini corespunzătoare fețelor cubului. (conversația)

RECAPITULAREA ȘI CONSOLIDAREA CUNOȘTINȚELOR

Se utilizează metoda cubului:

Fața 1 (Albastru) = verbul descrie

Fața 2 (Roșu) = verbul compară

Fața 3 (Verde) = verbul asociază

Fața 4 (Galben) = verbul analizează

Fața 5 (Portocaliu) = verbul argumentează

Fata 6 (Violet) = verbul aplică

Elevii se împart în 6 grupe eterogene, nu neapărat egale numeric.

Liderul fiecărei grupe trage la sorți sarcina de lucru.

Este anunțată tema, obiectivele și timpul de lucru.

Sunt împărțite fișele cu sarcinile de lucru (Fișele 1-6).

Elevii lucrează în echipă la sarcina de lucru primită timp de 10 – 15 minute.

Activitatea se desfășoară sub atenta supraveghere a profesorului, care dă indicații acolo unde este nevoie. Acesta intervine și în cazul în care un elev monopolizează toate activitățile sau atunci când nu toți elevii se implică în cadrul activității de grup.

Elevii fiecărei grupe prezintă, pe rând, sarcina de lucru și modul ei de realizare, apoi vor trece, pe rând, pe la fiecare poster al colegilor de la celelalte grupe și vor acorda o notă acestora. După ce a fost vizitată „galeria” de toate grupele și notate corespunzător producțiile colegilor, se discută notele și obiectivitatea acestora, se fac aprecieri și se corectează eventualele greșeli.

În funcție de timpul rămas, se va trece la rezolvarea aplicațiilor din fișa de lucru (Fișa 7). De data aceasta, elevii vor lucra în perechi, cu colegul de bancă, și comunică rezultatele la cererea profesorului. Dacă este cazul, se rezolvă neclaritățile la tablă.

(exercițiul, metoda cubului)

TEMA PENTRU ACASĂ ȘI NOTAREA ELEVILOR

Fișa de lucru (Fișa 7).

Elevii care s-au remarcat sunt răsplătiți.

(conversația)

FIȘA 1

VERBUL „DESCRIE”

Sarcini de lucru:

Să se enumere prismele studiate.

Să se deseneze: un cub, un cuboid și o prismă triunghiulară regulată, punând în evidență elementele acestora.

FIȘA 2

VERBUL „COMPARĂ”

Sarcini de lucru:

Să se evidențieze deosebirile și asemănările dintre o prismă patrulateră regulată și un cub.

Să se evidențieze deosebirile și asemănările dintre un cub și un cuboid.

Să se compare lungimea diagonalei unui cuboid cu dimensiunile de 3 cm, 6 cm, 12cm cu lungimea diagonalei unui cub cu măsura laturii de 3 cm.

FIȘA 3

VERBUL „ASOCIAZĂ”

Sarcini de lucru:

Să se scrie formulele pentru perimetrul bazei și aria bazei:

a) prisma patrulateră regulată;

b) prisma hexagonală regulată.

Să se asocieze (să se dea exemple) prismele studiate cu obiecte din viața cotidiană.

Să se precizeze formulele pentru aria totală și volumul cubului, paralelipipedului dreptunghic și prismei regulate.

FIȘA 4

VERBUL „ANALIZEAZĂ”

Sarcini de lucru:

Să se precizeze care este prisma cu numărul minim de vârfuri?

Ce paritate are numărul de vârfuri al unei prisme? De ce?

Să se deseneze o prismă patrulateră regulată și să se evidențieze, folosind diferite culori, o diagonală a prismei, o diagonală a bazei și o diagonală a unei fețe laterale.

FIȘA 5

VERBUL “ARGUMENTEAZĂ”

Sarcini de lucru:

Pentru a construi un cub cu muchia de 2 cm de câte cuburi cu muchia de 1 cm este nevoie?

Se dă un cub cu muchia de 5 cm format din cubulețe cu muchia de 1 cm. Se vopsește cubul mare și după aceea se desface în cuburi mici. Câte cubulețe au o față, două sau trei fețe vopsite?

FIȘA 6

VERBUL “APLICĂ”

Sarcini de lucru:

Să se calculeze volumul cubului din fig.1.

Să se calculeze aria laterală, aria totală și volumul prismei regulate din fig.2.

FIȘA 7

PRISME – RECAPITULARE

Încap 6 l de apă într-un vas în formă de cub cu lungimea muchiei de 20 cm? Dacă da, care este nivelul (înălțimea) la care se ridică apa?

O piscină are 5 m lungime, 4 m lățime și 2 m adâncime.

Care este volumul piscinei?

Care este capacitatea piscinei?

3. Un vas de forma unui paralelipiped dreptunghic are dimensiunile: L = 24 cm, l = 12 cm, h = 40 cm . După ce se umple cu apă vasul până la jumătate din înălțime și se pune o piatră în vas nivelul apei se ridică cu 6 cm.

a) Care este volumul de apă din vas?

b) Care este volumul pietrei?

c) De câți centimetri pătrați de sticlă este nevoie pentru a confecționa un astfel de vas fără capac?

4. Să se calculeze aria laterală, aria totală și volumul prismelor drepte cu baza triunghi echilateral din figurile următoare:

5. Fie ABCDEFA'B'C'D'E'F' = prismă hexagonală regulată. Secțiunea ADD'A' = pătrat, AD = 3 cm. Să se calculeze aria laterală și volumul.

EXEMPLUL 8:

Clasa: aVII-a

Disciplina: Matematică – Geometrie

Unitatea de învățare: ASEMĂNAREA TRIUNGHIURILOR

Tema lecției: Asemănarea triunghiurilor – recapitulare și consolidare

Tipul lecției: lecție de recapitulare

OBIECTIVE OPERAȚIONALE:

1. Obiective cognitive:

Utilizarea corectă a terminologiei aferente capitolului;

Aplicarea modalităților de calcul a liniilor mijlocii;

Aplicarea proprietăților centrului de greutate al triunghiului;

Aplicarea teoremele \nvățate în rezolvarea de probleme;

Aplicarea proprietăților triunghiurilor asemenea.

2. Obiective afective:

Participarea activă la lecție;

Dezvoltarea interesului pentru studiul geometriei;

Dezvoltarea spiritului de observație.

STRATEGII DIDACTICE:

METODE ȘI PROCEDEE: chestionarea orală, conversația, exercițiul, fișa de evaluare reciprocă, lucrul pe grupe.

MIJLOACE DE REALIZARE: caiete, tabla, creta albă și colorată,fișe de lucru, planșe.

FORME DE ORGANIZARE: individual, frontal, în perechi.

DESFĂȘURAREA LECȚIEI:

MOMENT ORGANIZATORIC

Profesorul pune absențele, iar elevii își pregătesc cele necesare pentru lecție. (conversația)

CAPTAREA ATENȚIEI.

Obiectivele lecției sunt anunțate de către profesor.

( profesorul corectează tema pentru acasă, în timp ce elevii rezolvă sarcinile primite)

(conversația)

RECAPITULARE ȘI EVALUARE

Elevii primesc o fișă de evaluare (Fișa 1), ce conține 8 itemi cu alegere multiplă. Rezolvarea se face în perechi, iar timpul de lucru este de 15 minute. După parcurgerea timpului, elevii fac schimb de lucrări și profesorul scrie pe tablă răspunsurile corecte.

Se va face corectarea lucrarilor și dacă este cazul, profesorul acordă sprijin elevilor.

Răspunsurile corecte sunt: 1 – C, 2 – A, 3 – C, 4 – D, 5 – A, 6 – A, 7 – B, 8 – C.

Perechile care au răspuns la toate întrebările corect primesc bulină roșie.

(corectare reciprocă)

CONSOLIDAREA CUNOȘTINȚELOR

Elevii primesc o fișă de lucru cu probleme recapitulative (Fișa 2), ei lucrează tot în perechi (timpul alocat este de 10 minute).

După parcurgerea timpului se discută rezultatele.

(exercițiul)

TEMA PENTRU ACASĂ

De finalizat Fișa 2.

(conversația)

Fișa 1

Cls. A VII-a / Nume: ……………………………………………………

Nota …………………………………………

FIȘĂ DE EVALUARE ÎN PERECHI

Cap. Asemănarea triunghiurilor

Alegeți răspunsul corect. Doar un răspuns este corect.

1. În figura alăturată, raportul segmentelor AM și AB este egal cu:

A. B. C. D.

2. Se dă ABC și D(AB), E(AC) astfel încât DEBC. Știind că AD=9 cm, DB=3 cm, AE= 6 cm, să se afle EC:

A. 2 cm B. 4 cm C. 12 cm D. 6 cm

3. Se dă un triunghi cu perimetrul de 24 cm. Să se afle perimetrul triunghiului determinat de liniile sale mijlocii.

A. 32 cm B. 26 cm C. 12 cm D. 8 cm

4. În ABC, AD = mediană și G = centrul de greutate. Știind că GD=6 cm, să se calculeze AD.

A. 24 cm B. 18 cm C. 16 cm D. 18 cm

5. Se dă un trapez cu lungimile bazelor de 12 cm și respectiv 6 cm. Să se calculeze lungimea segmentului determinat de linia mijlocie pe diagonale.

A. 3 cm B. 9 cm C. 8 cm D. 12 cm

6. Care din următoarele afirmații este adevărată, știind că ABCMNP:

A. CP B. AN C. AB D. BP

7. Știind că ABCMNP și AB = 2 cm, BC = 3 cm, MN = 6 cm, să se calculeze NP.

A. 6 cm B. 9 cm C. 18 cm D. 7 cm

8. Fie două triunghiuri asemenea, având raportul de asemănare . Atunci raportul ariilor lor este egal cu:

A. B. C. D.3

Notă:

Timpul de lucru este de15 minute.

Din oficiu se acordă 2 puncte.

Calcularea notei: număr răspunsuri corecte ………………+ 2p = ………………..

Fișa 2

Clasa a VII-a

Asemănarea triunghiurilor – aplicații recapitulative

1. Să se determine distanța de la copac până la punctul P, care este situat pe celălalt mal al râului, fără a traversa râul, cunoscând dimensiunile din figură.

2. Se dă segmentul [AB]. Să se construiască un punct M(AB) astfel încât:

b) c)

3. Se dă ABC și AB = 12 cm, AC = 20 cm. Fie M un punct pe [AB] astfel încât AM = 7 cm ,iar MNBC, N ∈ (AC).

Să se calculeze lungimile segmentelor [AN] și [BM];

Să se determine valoarea raportului segmentelor [MN] și [BC].

4. Fie ABCMNP. Știind că AB = 8 cm, AC = 6 cm, NP = 5 cm și valoarea raportului de asemănare este de determinați:

lungimile laturilor [MN] și [MP];

perimetrul ABC;

raportul ariilor celor două triunghiuri.

2.1.4.Lecția de formare de priceperi și deprinderi

Această lecție are la bază formarea automatismelor, formarea de priceperi. Desfășurarea lecției are loc în laborator, pe durata a 2-3 ore.

Organizarea clasei pentru lecție (7 min)

Desfășurarea activităților independente (15 min)

Comunicarea obiectivelor și captarea atenției;

Recapitularea cunoștințelor teoretice necesare pentru formarea priceperilor și deprinderilor.

Modalitatea în care elevii trebuie să procedeze în activitatea independentă (prezentarea algoritmului) (15 minute)

Activitatea independentă a elevilor se desfășoară prin lucrări practice, pe baza fișelor de lucru. Activitatea se desfașoară individual sau pe grupe. (50 minute)

Elaborarea concluziilor, analiza rezultatelor activității desfășurate (13 min)

Exemple:

EXEMPLUL 9:

Clasa: aVI-a

Disciplina: Matematică – Geometrie

Unitatea de învățare: PROPRIETĂȚI ALE TRIUNGHIURILOR

Tema lecției: PROPRIETĂȚILE TRIUNGHIULUI DREPTUNGHIC

Tipul lecției: lecție de dobândire de noi cunoștințe

OBIECTIVE OPERAȚIONALE:

cognitive:

să definească triunghiul dreptunghic;

să construiască triunghiul dreptunghic;

să enunțe proprietățile triunghiului dreptunghic;

să aplice proprietățile triunghiului dreptunghic în rezolvarea problemelor.

afective:

să fie atenți;

să participe activ la lecție;

să-și dezvolte interesul pentru studiul matematicii.

c) psihomotrii:

să utilizeze corect instrumentele geometrice.

STRATEGII DIDACTICE:

METODE ȘI PROCEDEE: explicația, conversația, mozaicul, observarea sistematică.

MIJLOACE DE REALIZARE: fișe de lucru, fișe de experți, instrumente geometrice.

FORME DE ORGANIZARE: individual, frontal, pe grupe.

DESFĂȘURAREA LECȚIEI:

MOMENT ORGANIZATORIC

Profesorul asigură condițiile pentru buna desfășurare a lecției și împarte elevii în două grupe.

(conversația)

CAPTAREA ATENȚIEI

Se verifică tema pentru acasă și se discută eventualele neclarități.

Profesorul propune elevilor să rezolve exercițiul de pe Fișa 1.

(conversația)

ANUNȚAREA TEMEI LECȚIEI ȘI A OBIECTIVELOR

Proprietățile triunghiului dreptunghic.

(conversația)

PREZENTAREA CONȚINUTULUI ȘI DIRIJAREA ÎNVĂȚĂRII

Profesorul împarte elevii în două grupe de ‘‘experți’’- grupe eterogene (grupa A – 4 elevi, grupa B – 5 elevi). Ei vor citi, discuta și vor învăța bine proprietățile de pe fișa de experți. După aceea, fiecare grupă va explica și preda celorlalți elevi proprietățile studiate. Important este ca fiecare grupă să conștientizeze că este responsabilă de predarea noțiunilor învățate. Profesorul monitorizează modul în care se implică fiecare elev și lămurește eventualele neclarități.

(conversația, observația, munca în echipă)

OBȚINEREA PERFORMANȚEI

Cele două grupe de experți vor preda clasei noțiunile învățate și realizează un organizator grafic ce va fi folosit și pentru fixare.

(observația, conversația)

INTENSIFICAREA RETENȚIEI ȘI ASIGURAREA TRANSFERULUI

Cunoștințele teoretice se vor repeta cu ajutorul organizatorului grafic realizat de elevi în timpul predării.

Elevii vor rezolva problemele de pe fișa de lucru, la tablă.

(observația, conversația)

EVALUAREA

Elevii vor fi apreciați pentru participarea la lecție.

(conversația)

TEMA PENTRU ACASĂ

Manual : pagina 185/ problemele 4,5,6.

(conversația)

Fișa de lucru 1

Realizați cu ajutorul chibritelor configurația alăturată și apoi mutați 2 chibrituri astfel încât să obțineți 5 triunghiuri.

Realizați cu ajutorul chibritelor configurația alăturată și apoi mutați 2 chibrituri astfel încât să obțineți 5 triunghiuri.

Realizați cu ajutorul chibritelor configurația alăturată și apoi mutați 2 chibrituri astfel încât să obțineți 5 triunghiuri.

FIȘA DE EXPERȚI A

Definiții:

Triunghiul cu un unghi drept se numește triunghi dreptunghic.

Catetele sunt laturile ce formează unghiul drept.

Ipotenuza este latura opusă unghiului drept.

Triunghiul dreptunghic cu catetele congruente se numește triunghi dreptunghic isoscel.

Proprietăți:

T1: Unghiurile ascuțite ale unui triunghi dreptunghic isoscel au fiecare măsura de 45.

RT1 : Un triunghi dreptunghic cu măsura unui unghi de 45este triunghi isoscel.

FIȘA DE EXPERȚI B

T2 (Teorema medianei într-un triunghi dreptunghic): Într-un triunghi dreptunghic lungimea medianei corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din lungimea ipotenuzei.

RT2 (Reciproca Teoremei medianei într-un triunghi dreptunghic): Dacă într-un triunghi o mediană are lungimea cât jumătate din lungimea laturii corespunzătoare, atunci triunghiul este dreptunghic, având ca ipotenuză latura corespunzătoare.

T3 (Teorema unghiului de 30): Într-un triunghi dreptunghic cateta care se opune unui unghi de 30 are lungimea egala cu jumătate din lungimea ipotenuzei.

RT3 (Reciproca Teoremei unghiului de 30): Dacă într-un triunghi dreptunghic o catetă are lungimea egala cu jumătate din lungimea ipotenuzei, atunci unghiul opus catetei respective are măsura de 30.

Fișa de lucru 2

Se dă ABC = triunghi dreptunghic (, iar este egală cu trei cincimi din . Să se afle măsurile unghiurilor B și C.

Se dă ABC cu m(ABC) = 90, m(BAC) = 30 și AC = 20 cm. Să se calculeze lungimea laturii [BC].

În ABC se dă m(B) = 45, m(A) = 105. Se construiește înălțimea [AD]. Dacă BD = 3,5 cm, să se determine AC.

În ABC măsurile unghiurilor BAC, ACB, ABC sunt direct proporționale cu numerele 2, 4, 8. Știind că M = mijlocul [AC] și BM = 3 cm, să se calculeze lungimile BC și AC.

Fie ABC = triunghi dreptunghic . Se construiește înălțimea [BD] și mediana [BM]. Dacă m(BMC) = 120 și BC = 8 cm, să se calculeze BD și d(A, BM).

Se dă ABC = triunghi dreptunghic (. Mediatoarea corespunzătoare catetei [AC] intersectează ipotenuza [BC] în punctul O. Dacă [AD] = înălțime, AD = 6 cm și AO = AC, atunci să se determine lungimea catetei AB.

EXEMPLUL 10:

Clasa: aVII-a

Disciplina: Matematică – Geometrie

Unitatea de învățare: CERCUL

Tema lecției: REZOLVARE DE PROBLEME

Tipul lecției: de formare de priceperi și deprinderi

OBIECTIVE OPERAȚIONALE:

Să recunoască și să descrie elementele unui cerc, într-o configurație geometrică dată;

Să calculeze lungimi de segmente și măsuri de unghiuri, utilizând metode adecvate în configurații geometrice care conțin un cerc;

Să utilizeze informațiile deduse dintr-o configurație geometrică pentru obținerea unor proprietăți ale cercului;

Să exprime proprietățile elementelor unui cerc în limbaj matematic.

STRATEGII DIDACTICE:

METODE ȘI PROCEDEE: conversația, exercițiul, concurs, modelarea logică, munca pe grupe, observația, problematizarea.

MIJLOACE DE REALIZARE: trusa geometrică, rebus, culegere, fișe de lucru, tabla.

FORME DE ORGANIZARE: pe grupe de elevi.

DESFĂȘURAREA LECȚIEI:

MOMENT ORGANIZATORIC

Salutul. Prezența elevilor. Asigurarea condițiilor optime. Verificarea materialelor necesare la elevi. (conversația)

CAPTAREA ATENȚIEI.

Corectarea temei.

Elevii anunță dacă și-au făcut tema, se ia un caiet, prin sondaj, la verificat.

(observația)

ANUNȚAREA TEMEI ȘI A OBIECTIVELOR

Profesorul notează titlul lecției pe tablă și anunță obiectivele.

Elevii notează în caiete.

(conversația)

DESFĂȘURAREA ACTIVITĂȚII

Elevii sunt împărțiți în 4 grupe.

Anunță că se va face o scurtă verificare a noțiunilor învățate în orele anterioare.

Elevii primesc Fișa de lucru 1.

Rebusul se desenează la tablă.

Citesc cu atenție cerințele și rezolvă rebusul.

Completează rebusul.

(modelare logică, muncă pe grupe)

ASIGURAREA FEED-BACK-ului

Elevii primesc Fișa de lucru 2.

Se va organiza un concurs. Ce grupă va termina prima, va prezenta la tablă problema și va fi recompensată.

Elevii lucrează prima problemă.

Un elev va prezenta la tablă rezolvarea.

Se lucrează a doua problemă, un elev va prezenta la tablă rezolvarea.

(concurs, metoda exercițiului, problematizarea)

EVALUAREA

Profesorul notează elevii care s-au remarcat și îi încurajează pe cei mai timizi.

(notarea elevilor)

TEMA PENTRU ACASĂ

Profesorul spune care e tema pe care o vor avea de pregătit pentru ora următoare.

Fișa de lucru 1

Completați rebusul de mai jos, scriind pe orizontală cuvintele corespunzătoare fiecărei definiții.

Pe verticală ați obținut cuvântul ………………………………………………………

Orizontală:

Segmentul care unește două puncte de pe cerc se numește … .

Coarda care trece prin centrul cercului se numește … .

Porțiunea de cerc cuprinsă între două puncte distincte de pe cerc se numește…

Dacă două cercuri au raze egale atunci ele se numesc cercuri … .

Un unghi cu vârful în centrul unui cerc se numește … .

Segmentul care unește centrul cercului cu un punct de pe cercse numește ….

Un arc de cerc cu măsura de se numește … .

Verticală: ……………………………………………………………………….

Fișa de lucru 2

Pe cercul se consideră punctele și astfel încât . Să se afle:

măsura unghiului ;

distanța de la centrul la coarda ;

lungimea coardei ;

diametrul cercului;

perimetrul triunghiului .

Pe unul din semicercurile determinate de diametrul în cercul de centru și rază se consideră punctele și astfel încât . Determinați:

natura și perimetrul triunghiului ;

natura și perimetrul patrulaterului ;

natura, perimetrul și aria patrulaterului .

Fie un diametru în cercul de centru și rază . Coarda , perpendiculară pe , se află la distanța de de centrul cercului. Determinați aria și perimetrul patrulaterului cu vârfurile în și .

Fie diametrele și în cercul de . Demonstrați că și determinați natura patrulaterului .

2.1.5.Lecția de verificare și apreciere a rezultatelor școlare (de evaluare)

Aceste tipuri de lecții se programează la începutul anului școlar și au la bază activitatea de evaluare.

Profesorul prezintă tematica și, în final, se trag concluziile asupra nivelului de pregătire și propune elevilor sarcini pentru activitatea de învățare ulterioară.

Lecțiile pot fi de verificare scrisă, orală, prin probe practice și teste.

Lecțiile de analiză a lucrărilor scrise au o mare importanță. Acestea presupun următoarele etape:

Pregătirea clasei pentru lecție (3 min)

Evaluarea (35 min)

Prezentarea rezultatelor și elaborarea concluziilor (10 – 12 min)

Această lecție urmărește verificarea nivelului de pregătire al elevilor, în scopul învățării și creșterii performanțelor școlare. Prin aceasta, trebuie să se formuleze judecăți de valoare în legătură cu performanța.

Exemple:

EXEMPLUL 11:

Clasa: aVII-a

Disciplina: Matematică – Geometrie

Unitatea de învățare: RELAȚII METRICE ÎN TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC

Tema lecției: EVALUARE

Tipul lecției: lecție de verificare și apreciere

OBIECTIVE OPERAȚIONALE:

STRATEGII DIDACTICE:

Să utilizeze teoremele triunghiului dreptunghic pentru a calcula lungimile unor segmente

Să recunoască elementele triunghiului dreptunghic în diverse problem

Să mânuiască corect instrumentele geometrice

Să reprezinte corect desenul conform cerinței problemei

METODE ȘI PROCEDEE: conversația, explicația, demonstrația, exercițiul, problematizarea;

MIJLOACE DE REALIZARE: fișe de evaluare

FORME DE ORGANIZARE: frontala, individuală

DESFĂȘURAREA LECȚIEI:

MOMENT ORGANIZATORIC

Se asigură un climat de ordine și disciplină necesar desfășurării în bune condiții a lecției:

Pregătirea celor necesare pentru oră;

Notarea absențelor.

(conversația)

VERIFICAREA TEMEI

Elevii vor avea pe bănci caietele de teme și maculatoarele.

Se verifică teme pentru acasă cantitativ, dar și calitativ.

Exercițiile din temă, care nu au fost efectuate de mai mulți elevi, vor fi făcute la tablă.

STABILIREA CONȚINUTULUI TEMATIC CE URMEAZĂ A FI VERIFICAT

Profesorul anunță obiectivele urmărite pe parcursul evaluării și cere elevilor să se pregătească pentru test.

(explicația)

VERIFICAREA PREGĂTIRII ELEVILOR

Se realizează printr-o fișă de evaluare.

(problematizarea – individual)

APRECIEREA REZULTATELOR

Se evidențiază greșelile observate la elevi în timpul rezolvării sarcinilor date.

(conversația, explicația – frontal)

EXPLICAȚII SUPLIMENTARE

După evidențierea greșelilor făcute de elevi, se oferă explicații suplimentare referitoare la rezolvarea anumitor exerciții, probleme.

(conversația, explicația – frontal)

TEMA PENTRU ACASĂ

Tema pentru acasă va conține exerciții asemănătoare cu cele greșite în proba scrisă.

„Precum apa inima ți-o răcorește, așa și învățătura mintea ți-o înveselește.” (Proverb)

Nume și prenume ………………………………………..Clasa a VII-a

TEST DE EVALUARE

Teorema catetei, înălțimii, teorema lui Pitagora

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se obține prin împărțirea la 10.Timpul efectiv de lucru este de 40 minute.

Barem de corectare și notare

TEST DE EVALUARE

Teorema catetei, înălțimii, teorema lui Pitagora

Se acordă 10 puncte din oficiu.

Nota finală se obține prin împărțirea la 10.

Subiectul I (*Se punctează doar rezultatul, astfel :pentru fiecare raspuns corect se acorda punctajul maxim prevăzut în dreptul fiecarei cerințe și zero puncte în orice altă situație. Nu se acordă punctaje intermediare.) (50 puncte)

Subiectul II (40 puncte)

*Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător.

*Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.

3. APLICAȚII

APLICATIA GEOGEBRA

GeoGebra prezintă o mare utilitate în învățarea matematicii de la nivel elementar la nivel universitar. Aplicația GeoGebra este uzuală în folosirea graficelor, tabelelor, a desenelor geometrice.

Ce este Geogebra ?

Este un program de calculator ce permite utilizatorilor să studieze matematica, fiind un program ce se poate descărca gratuit și este conceput pentru a studia geometria și algebra online, dar și offline.

GeoGebra are la bază o grafică interactivă și foi de calcul, este bine structurat și dispune de o bară de instrumente simplă. Este un program ușor de instalat și de utilizat, nu consumă multe resurse.

Aceste programe oferă alternative la metodele clasice de predare. Noile tehnologii în activitatea didactică contribuie în mod decisiv la modificarea predării. Procesul de învățare-predare se adaptează dupa elev, care trebuie să caute singur noi resurse de cunoaștere.

Scopul pentru care a fost concepută aplicația GeoGebra este de a mijloci posibilitățile de mișcare a reprezentării grafice în mediul virtual. În domeniul educației, schimbările depind de cum gândesc profesorii și de faptul cum acționează.

‘‘E așa de simplu și totodată atât de complex’’ – Michael Fullan

Softurile pentru matematică oferă idei la căutările de organizare a metodelor tradiționale de învățare. Studiul noțiunilor matematice solicită mult efort, dar este necesară și pasiunea.

Softurile GeoGebra și Maple eficientizează în mod decisiv instruirea matematică a elevilor de gimnaziu și liceu, cu ajutorul lor se poate identifica și pasiunea elevilor pentru I.T. Matematicianul Markus Hohenwarter (2001) este creatorul softului GeoGebra, fiind conceput ca instrument didactic informatic, destinat procesului de învățare a geometriei. GeoGebra încurajează predarea și înțelegerea noțiunilor cu grad ridicat de abstractizare din geometrie.

Folosirea softului în cadrul instruirii reduce timpul necesar elevilor pentru înțelegerea conceptelor în favoarea predării necesare aprofundării cunoștințelor.

Profesorul este ajutat să își formeze materialul educațional și să organizeze activitățile de învățare centrate pe elev, oferind instrumente caracteristice învățării asistate de calculator.

GeoGebra este un program dinamic, un gratuit-auxiliar didactic, care răspunde nevoilor și așteptărilor actualelor generații de elevi.

În societatea cunoașterii, învățarea devine continuă atât pentru cel care predă, cât și pentru cel care asimilează informația.

G.Polya a comparat profesorul cu un comerciant care trebuie să-și vândă marfa, folosind toate mijloacele posibile:

‘‘Tânărul care refuză să învețe matematica poate să aibă dreptate, este posibil ca el să nu fie nici leneș, nici nepriceput, ci doar să-l intereseze mai mult altceva – există atât de multe lucruri interesante în jurul nostru. Este datoria dumneavoastră ca profesori, ca vânzători de cunoștințe, să-l convingeți pe elev că matematica este interesantă, că această problemă la care lucrează merită efortul‘‘.

Exemple:

Să se determine mijlocul unui segment.

Să se construiască o dreaptă, o semidreaptă, un segment și un segment de lungime dată.

Să se construiască o paralelă și o perpendiculară la o dreaptă dată.

Să se traseze mediatoarea unui segment.

Să se deseneze un unghi ascuțit, să se traseze bisectoarea și să se determine măsura acestuia.

Să se deseneze două tangente la un cerc.

Să se deseneze cercul circumscris unui triunghi și să se evidențieze un sector de cerc.

Să se deseneze trei poligoane și să se determine perimetrele și ariile acestora.

Să se deseneze un octagon regulat, un decagon regulat și un dodecagon regulat.

Să se construiască simetricul unui triunghi față de un punct și față de o dreaptă.

Exemplu:

Patrulaterul se modifică, trăgând de vârfurile sale, obținându-se patrulatere, dreptunghiuri, paralelograme, romburi, pătrate. Proprietățile patrulaterului construit apar în dreapta acestuia. Apar 4 căsuțe de validare având următoarele semnificații:

Aria – se afișează aria patrulaterului;

Unghiuri – se afișează măsurile celor 4 unghiuri;

Diagonalele – apar desenate diagonalele și lungimile segmentelor;

Laturi – se afișează lungimile laturilor patrulaterului.

În acest mod, elevii pot fi verificați dacă au calculat corect aria patrulaterului desenat.

La clasă, programul poate fi rulat prin intermediul unui laptop, proiectând imaginile aferente pe un ecran.

Obs.: lecția a fost atractivă datorită caracterului interactiv; elevii pot relua aplicațiile și parcurge etapele în ritmul lor personal.

APLICATIA MAPLE

Într-o societate aflată în plină evoluție este necesară o educație dinamică.

Trebuie găsite cele mai potrivite modalități, care să contribuie la calitatea actului educativ.

Organizarea activității didactice prin metodele ciberneticii, la nivelul activității de predare, este instruirea programată.

Instruirea programată este o formă superioară prin utilizarea calculatorului, prin intermediul căruia se transmit mesaje informaționale.

O alternativă pentru profesori și elevii interesați de matematică o reprezintă aplicația Maple, deoarece prin intermediul ei se propun instrumente asistate de calculator.

Prin utilizarea software-ului Maple, se obțin următoarele avantaje:

facilitarea procesului de învățare;

utilizarea în cadrul procesului de învățare de mijloace informatice moderne.

Această metodă pune la dispoziția utilizatorilor un mediu de calcul matematic ușor de utilizat.

Maple conține un număr mare de funcții predefinite. De asemenea, conține mai multe capabilități prin grafice 2D și 3D.

Metoda conține un limbaj de programare complet, prin care utilizatorul poate crea programe proprii. Tehnologia Maple este utilizată de profesori, ingineri, studenți, elevi din întreaga lume. În domeniul predării matematicii se pot obține importante rezultate în special în geometrie.

Exemple:

Să se afișeze valoarea numărului irațional cu 45 de zecimale.

>

Să se definească un punct M(1,5).

Să se definească segmental MN, unde M(2,3) și N(4,6)

>

Să se definească dreapta PQ, unde P(1,3), Q(-1,-3) și dreapta ST, unde S(2,1), T(-2,3)

>

>

Să se afle coordonatele punctului de intersecție al dreptelor d1: y = -2x + 3 și d2: y = x + 2.

>

Să se calculeze lungimea segmentului determinat de punctele M(2,-3) și N(1,5), iar apoi să se determine coordonatele mijlocului P al segmentului [MN].

>

Să se definească triunghiul determinat de punctele M(1,2), N(-1.-3),P(-2,1).

>

Să se definească triunghiul determinat de dreptele dr1: x – 2y = 5, dr2: x + y = 1, dr3: 2x – 3y = 4.

>

Să se calculeze aria triunghiului determinat de punctele M(1,-3), N(-2,2),

P(-1,-3).

>

Să se definească pătratul determinat de punctele M(1,2), N(-1,2), P(-1,4), Q(1,4) și să se calculeze diagonala acestuia.

>

>

>

Să se determine înălțimea, bisectoarea și mediana corespunzătoare laturii NP a triunghiului MNP, unde M(1,4), N(-2,3) și P(-1,0).

>

>

>

>

Să se definească centrul de greutate al triunghiului MNP și să se determine coordonatele acestuia, având M(2,3), N(-1,0), P(0,3).

>

Verificați dacă punctele M(1,1), N(2,2) și P(3,3) sunt coliniare.

>

Verificați dacă dreptele d1: y = 2x + 1 și d2: y = 4x + 2 sunt paralele. Dacă nu sunt paralele, să se determine ecuația paralelei d3 la dreapta d1 ce trece prin punctul de coordonate M(0,2).

>

>

>

Să se verifice dacă dreptele d1: y = 3 și d2: x = -5 sunt perpendiculare.

>

Fie d1: y = 2x – 3. Determinați dreapta d2 ce trece prin punctual M(1,-2) și este perpendiculară pe d1.

>

Verificați dacă dreptele d1, d2 și d3 sunt concurente, unde d1: y = -2x + 4, d2: y = 3x – 1, d3: y = 5x – 3.

>

Stabiliți ce fel de triunghi este triunghiul MNP, unde M(1,0), N(3,0), P(1,5).

>

Fie cercul Să se determine tangentele în M(1,5) și în N(4,0).

>

>

>

Să se determine ecuația cercului circumscris triunghiului ABC :

A(1,2); B(3,2); C(2,7). Să se determine aria triunghiului ABC și aria cercului.

>

assume that the names of the horizontal and vertical axes are _x and _y, respectively

assume that the names of the horizontal and vertical axes are _x and _y, respectively

assume that the names of the horizontal and vertical axes are _x and _y, respectively

Să se verifice dacă punctele M(-1,6,0); N(-2,5,4); R(-1,3,2); S(-4,2,-1) sunt coplanare.

>

>

Să se verifice dacă planele x + 2y – z + 1 = 0 si 3x – 2y + z + 1 = 0 sunt paralele.

>

Să se reprezinte grafic paralelipipedul determinat de punctele M(-1,6,0), N(-1,2,-2), R(2,3,4), S(-2,3,1) și să se calculeze volumul paralelipipedului.

>

>

>

Punctele A(1,-5,4), B(0,-3,1),C(-2,-4,3), E(4,4,-2) sunt vârfurile unui tetraedru. Să se reprezinte grafic tetraedrul.

>

>

CURIOZITĂȚI MATEMATICE ȘI DIVERSE DEMONSTRAȚII

Pitagora

(aproximativ 569 (584) î.Hr. 475 (497) î.Hr.)

Matematicianul și filozoful grec, Pythagora din Samos, s-a stabilit în Cretona. Aici a înființat o școală filozofică cu peste 300 de adepți, numiți pitagorieni. Emblema lor era pentagonul stelat. Pitagora afirma că: “Matematica este calea de intelegere a Universului. Numărul este măsura tuturor lucrurilor.”

Sunt greu de delimitat contibuțiiile filozofice și științifice ale pitagorienilor, deoarece nu au lăsat nimic scris.

Pitagora a rămas în mod special cunoscut datorită teoremei sale, ce putea să se numească teorema ipotenuzei. Se presupune că această teoremă a fost descoperită cu mult timp înainte de către babilonieni, dar Pitagora a aplicat-o în triunghiuri dreptunghice ce aveau lungimile laturilor exprimate prin orice număr pozitiv, la început fiind numai numere naturale (numerele raționale nu erau acceptate).

Importanța și cunoașterea ei de către mulți oameni de pretutindeni și din toate timpurile au făcut ca enunțul ei să fie transpus și în versuri.

Iată versurile, în limbile română și franceză:

Ipotenuza la pătrat,

De vei dori oricât a ridica,

Peste catete la pătrat,

A căror sumă să o faci vei da.

La caree de l’hypotenuse

Est egal si je n’abuse

A la somme des carres

Des deux austres cotes.

Prin simplitatea ei și gradul mare de aplicabilitate, Teorema lui Pitagora e fascinantă. Se presupune că Teorema lui Pitagora a înregistrat de-a lungul timpului un record de demonstrații (aproximativ 500). Câteva din aceste demonstrații sunt următoarele:

I.

(1)

(2)

Din relațiile (1) și (2)

Deci

(Demonstrație dată de Pitagora)

II. ;

HEBA, BFGC, IACJ = pătrate

;

(1)

(BF- bază comună ; BD – înălțime comună)

(2)

(EB- bază comună ; BA – înălțime comună)

(3)

Din relațiile (1), (2) și (3)

Analog,

(Demonstrație dată de Euclid)

III. – dreptunghic; EFGD – pătrat

deoarece DHK si IHE sunt suplementare; analog se demonstrează că:

HIJK – pătrat

.

IV BC = , AC = b, AB = c

;

(Demonstrație dată de Leonardo da Vinci)

V. ABDE – trapez dreptunghic ; m(;

AB = CE = c; DE = AC = b; AE = AC + CE = b + c

.

(Demonstrație dată de Abraham Garfield, fost președinte S.U.A.)

VI. ;

(1)

(2)

(;)

( )

FI=FG-GI=b-c ; FH=EI=BC=a (3)

(1), (2) si (3)

(Demonstrație dată de Ion Ionescu în “Gazeta Matematică” din 1985)

VII.

(1)

(teorema asupra puterii unui punct față de cerc)

(raze în cerc) (2)

Din relațiile (1) și (2)

VIII.

T.catetei:

Curiozități – Pitagora

Numere triunghiulare sau triangulare

Un număr triunghiular este numărul de puncte dintr-un triunghi echilateral umplut uniform cu puncte. De exemplu, trei puncte pot forma un triunghi și deci 3 este un număr triunghiular. Al n-lea număr triunghiular este numărul de puncte dintr-un triunghi cu n puncte pe latură.

Șirul numerelor triunghiulare este: 1 = primul număr triunghiular, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ….

Numere piramidale sau tetraedre

Un număr se numește piramidal dacă poate fi scris ca sumă de numere triangulare consecutive:

1

1 + 3 = 4

1 + 3 + 6 = 10

…

Numere pătratice

Un număr se numește pătratic dacă există un număr natural n, astfel încât numărul dat să fie egal cu suma primelor n numere naturale impare:

Numere pentagonale

Șirul numerelor pentagonale: 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, …

Triunghiul lui Pascal

Șirul lui Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …

Teorema lui Menelaus

Fie în ABC punctele coliniare A BC, B CA și C AB. Să se arate că :

Demonstrație:

sau

Construim CD AB, unde D CA.

ABC ACD

BCD BAC

Să se demonstreze că cele trei bimediane ale unui tetraedru oarecare sunt concurente.

Demonstrație:

Bimediana este segmentul care unește mijloacele a două muchii opuse într-un tetraedru.

În orice tetradru există trei bimediane .

Fie bimedianele [KL], [QP], [MN] în tetraedrul ABCD.

În triunghiurile BAC și DAC avem:

[KQ] și [LP] – linii mijlocii, corespunzătoare laturii comune [AC].

KQLP și KQ = LP

Analog: KNLM și KN = LM

MPNQ și MP = NQ

KQLP, KNLM, MPNQ = paralelograme, iar bimedianele tetraedrului [KL], [QP], [MN] = diagonale ale acestor paralelograme :

[KL] și [QP] KQLP

[KL] și [MN] KNLM

[MN] și [PQ] MPNQ.

bimedianele tetraedrului sunt concurente, iar mijlocul fiecărei bimediane este punctul de concurență, notat cu G.

Reciproca Teoremei lui Menelaus

În triunghiul ABC se dau punctele A BC, B CA și C AB.

Dacă A’, B’, C’ sunt situate două pe laturile triunghiului și cel de al treilea punct pe prelungirea unei laturi( ce-a de a treia latură) (sau sunt situate toate trei pe prelungirile laturilor triunghiului), iar (1),

atunci A’, B’, C’ sunt coliniare.

Demonstrație:

Presupunem prin reducere la absurd că A’, B’, C’ nu sunt puncte coliniare.

A’B’ ∩ AB = { C”} , C”≠ C’.

Din Teorema lui Menelaus, A’, B’, C” = coliniare

(2)

Din (1) și (2)

Contradicție cu faptul că punctele interioare C’ și C” împart în același raport segmentul [AB].

A’, B’, C’ sunt puncte coliniare.

Fie cercurile și intersectate în A și B. Punctele , și A sunt situate de aceeași parte a dreaptei OO’ astfel încât OMO’A și O’M’OA. Să se demonstreze coliniaritatea punctelelor A, M, M’.

Demonstrație:

Presupunem prin reducere la absurd că M’, M| și A nu sunt puncte coliniare.

Fie

(1)

( corespondente).

MOA ≡ AO’M’ ( cu laturile paralele)

MOA ~ AO’M’

AMO M’AO’ (2)

Din relațiile (1) și (2) EAO’ M’AO’ (3)

Din (3) contradicție cu faptul că cele două unghiuri sunt congruente, având vârful comun în A, latura [AO’] latură comună și interioarele de aceeași parte a laturii comune, dar celelalte două laturi [AE, [AM’ nu coincid.

A, M, M’ sunt coliniare.

Fie B’ mijlocul segmentului (AC) și C’ mijlocul segmentului (AB). Punctul , iar . Să se arate că punctele D, A, E sunt coliniare.

Demonstrație:

AEBC = paralelogram (diagonalele sunt înjumătățite) (1) AEBC

ABCD = paralelogram (diagonalele sunt înjumătățite) (2) ADBC

Din (1), (2) și Axioma paralelei D, A, E = puncte coliniare.

Fie trapezul isoscel ABCD (BCAD) circumscris unui cerc de centru O. Intersecția dintre laturile (AB), (BC), (CD), (DA) și cercul înscris în trapez sunt respectiv punctele E, F, G, H. Intersecția diagonalelor trapezului este punctul O. Demonstrați că punctele E, O, G = coliniare și H, O, F = coliniare.

Demonstrație:

Dacă ABCD = trapez isoscel, circumscris cercului cu centrul în punctul O

BF = CG = EB = FC

AH = HD = DG = EA

Din triunghiurile asemenea formate

În triunghiul BAD din reciproca teoremei lui Thales : EOAD (1)

În triunghiul DAC din reciproca teoremei lui Thales : OGAD (2)

Din (1), (2), și Axioma paralelei E, O, G = puncte coliniare.

Cum OH AD, OF BC și ADBC H. O, F = puncte coliniare.

Dreapta lui Simson

Dacă M este un punct situat pe cercul circumscris unui triunghi, atunci proiecțiile ortogonale ale lui M pe laturile triunghiului sunt puncte coliniare.

Demonstrație:

Notăm , ,

ABCM, A’CMB’, AB’MC’ = patrulatere inscriptibile.

m(A’B’C) = m(A’MC) = 90- m(A’CM) = 90- m(C’AM) = m(C’MA) = m(C’B’A)

A’B’C ≡ C’B’A

A’, B’, C’ = coliniare.

Fie triunghiul ABC, unde H = ortocentrul, A’ = piciorul înălțimii din A, D = simetricul lui H față de A’, E = prABD și F = prACD.

Să se demonstreze coliniaritatea punctelor E, A’ și F.

Demonstrație:

Fie proiecțiile punctului D, de pe cercul circumscris ABC pe laturi, punctele A’, E și F.

Din Teorema lui Simson A’, F și E dreaptei lui Simson (proiecțiile punctului D în raport cu ABC).

A’, F și E = coliniare.

Teorema lui Pithot.

Un patrulaterul convex este circumscriptibil, dacă și numai dacă este adevărată oricare dintre propozițiile:

a).bisectoarele unghiurilor patrulaterului sunt concurente;

b).suma lungimilor a două laturi opuse este egală cu suma celorlalte două.

Demonstrație:

b)Fie patrulaterul circumscriptibil CDEF unde punctele de tangență cu cercul înscris sunt notate M, N, P, Q. Folosind proprietatea tangentelor dintr-un punct exterior la cerc putem scrie: CQ = CM = x, DQ = DP = t, EP = EN = z, FN = FM = y.

Folosind aceste notații avem:

CF + DE = x + y + z + t și EF + CD = x + y + z + t,

CF+DE=EF+CD.

Fie într-un cerc două coarde perpendiculare. Tangentele la cerc în punctele se Intersecțiile tangentelor la cerc în punctele E, F, G și H sunt A, B, C și D. Să se demonstreze că patrulaterul circumscriptibil ABCD este și inscriptibil.

Demonstrație:

Notăm m(AEF) = m(DFE) = x (subîntind același arc),

m(AHG) = m(BGH).

În patrulaterul AEIH avem:

m(A) = 360 – 90 -x – y = 270 – x – y (1)

În patrulaterul CFIG avem:

m(C) = 360 – (180 – x) – 90 – (180 – y) = x + y – 90 (2)

Din relațiile (1)și (2) m(A) + m(C) = 180

ABCD = patrulater inscriptibil.

Demonstrați că în orice trapez cele patru bisectoare formează un patrulater inscriptibil.

Demonstrație:

Notăm intersecțiile bisectoarelor unghiurilor ca în fig. Unghiurile A și D ale trapezului sunt suplementare, la fel B și C.

m(DAF) + m(ADF) = ( m(DAB) + m(ADC)) = 90

În triunghiul AFD: m(AFD) = 90.

Demonstrați că un deltoid inscriptibil este dreptunghic. În ce condiții un deltoid dreptunghic este inscriptibil?

Demonstrație:

Fie deltoidul în care AB = BC și AD = DC.

ABCD = inscriptibil m(A) + m(C) = 180.

și sunt isoscele

A1≡C1 și A2≡C2

A ≡C , dar și suplementare A șiC = drepte

ABCD este deltoid dreptunghic.

Reciproc, un deltoid care are două unghiuri drepte este inscriptibil; iar un deltoid cu un singur unghi drept nu este inscriptibil.

Dreapta lui Euler: Se numește dreapta lui Euler, dreapta determinată de centrul cercului circumscris unui triunghi și de ortocentrul acestuia.

Teoremă: Dacă puctul H este ortocentrul triunghiului ABC, O este centrul cercului circumscris triunghiului, iar G centrul de greutate, atunci H, G și O se găsesc pe o aceeași dreaptă (Dreapta lui Euler) și HG = 2GO.

Demonstrație:

GA’=GA (punctul A se transformă în punctual A’ – utilizând omotetia).

Deoarece o dreaptă se transformă într-o dreaptă paralelă cu ea dacă nu trece prin centrul omotetiei înălțimea BH se transformă în mediatoarea laturii AC, înălțimea AH se transformă în mediatoarea segmentului BC.

punctul H se transformă în punctul O.

(H = înălțimilor, O = mediatoarelor)

H, G și O sunt coliniare (definiția omotetiei)

GO = GH HG = 2 GO

Punctele lui Euler: Se numesc punctele lui Euler, mijloacele segmentelor determinate de ortocentrul unui triunghi și vârfurile triunghiului (notație: E1, E2, E3).

Cercul celor 9 puncte (Cercul lui Euler):

Cercul care trece prin punctele lui Euler (E1, E2, E3), prin picioarele înălțimilor (H1,H2, H3) și prin mijloacele laturilor unui triunghi (A′,B′,C′), se numește cercul lui Euler sau cercul celor nouă puncte.

Fie r = raza cercului lui Euler, R = raza cercului circumscris triunghiului.

O = central cercului circumscris triunghiului,

O = central cercului lui Euler.

r = și O∈ dreptei lui Euler, O = mijlocul [OH].

Demonstrație:

Punctele H A’, B’, C’ sunt conciclice.

(HA’B’C’ = trapez isoscel; HA’ = B’C’ =).

Analog H, H, H, A ,B și C sunt conciclice. (1)

EC’BH; BHAC; ACC’A’

m(EC’A’) = 90

EB’CH; CHAB; ABB’A’

m(EB’A’) = 90

punctele E,A’,B’ și C’ = conciclice.

Analog punctele E,E,E,A’,B’ și C’ = conciclice. (2)

punctele H, H, H, E,E,E, A’, B’, C ’= conciclice.

(m(EC’A’) = 90 E și A’ sunt diametral opuse)

Cum O = mijl.[OH] și R = raza cercului circumscris

O E = linie mijlocie în E O= OA =

Analog O E = OE= OE=

O= central cercului circumscris

O= central cercului lui Euler, cu r =

Observatie: Triunghiul ABC și triunghiul median al acestuia au aceeași dreapta a lui Euler.

Observatie: Simetricul lui H față de BC se află pe cercul circumscris triunghiului ABC.

Observatie: Simetricul lui H (ortocentrul triunghiului ABC) față de mijlocul A al segmentului [BC] se află pe cercul circumscris triunghiului ABC și este chiar punctul diametral opus al lui A în acest cerc.

TEOREMA LUI MENELAUS ÎN SPAȚIU

Fie M ∈ [VA], N ∈ [AB], P ∈ [BC] și Q ∈ [VC], unde VABC = tetraedru. Aceste puncte sunt coplanare dacă și numai dacă are loc relația:

.

Demonstrație:

Dacă MQ NP AC, atunci aplicând teorema lui Thales în VAC și ABC

și . Înmulțind cele două relații .

Dacă MQ NP , atunci MQ NP = {R}, R ∈ AC

aplicând Teorema lui Menelaus pentru VAC și ABC

și . Înmulțind cele două relații

Reciproc: DAcă punctele M, N, P și Q aparțin laturilor tetraedrului VABC astfel încât are loc relația , atunci punctele sunt coplanare.

Fie (MNQ) BC ={P′}. și

P′=P (deoarcele P și P′ sunt simultan în interiorul său în exteriorul segmentului [BC]).

Teorema bețelor chinezești

Dacă 2 drepte concurente incluse într-un plan sunt paralele cu un plan , atunci cele două plane sunt paralele.

Demonstrație:

Demonstrăm că dacă aα aβ

Fie C’ ∈ d a. î. A’C’ = AC;

B’ ∈ d a. î. A’B’ = AB

ACA’C’; AC = A’C’ ACA’C’ = paralelogram CC’AA’; CC’ = AA’ (1)

Analog ABB’A’ = parallelogram AA’BB’; AA’ = BB’ (2)

Din (1) și (2) BCC’B’ = parallelogram

BCB’C’ aβ

Teorema lui Stewart

Fie a, b și c laturile unui triunghi și p un segment din punctul A în punctul de pe latura a care divide această latură în segmentele x and y. Atunci: a(p+ xy) = bx + cy

Demonstrație:

Din T. Cosinusului pentru APB și APC

b= p+ y- 2py| ∙ x xb= xp+ xy- 2pxy

c= p+ x- 2px| ∙ y yc= yp+ yx- 2pxy

xb+ yc= (x+y) p+ xy(x+y)

a(p+ xy) = xb+ yc

Problemă de colorare 1:

Pe un cerc sunt plasate n puncte albastre și un punct roșu și considerăm poligoanele cu vârfurile în aceste puncte. Care poligoane sunt mai multe: cele cu vârfuri albastre, sau cele care au și un vârf roșu, și cu cât?

Soluție:

Numărul poligoanelor cu un vârf roșu este mai mare, pentru că oricărui poligon cu m vârfuri albastre îi corespunde un poligon cu m+1 vârfuri, unul roșu și cele m vârfuri albastre luate anterior, dar triunghiurile cu un vârf roșu nu se obțin din poligoane numai cu vârfuri albastre. Diferența dintre cele două numere este dată de numărul triunghiurilor cu un vârf roșu, care este egal cu numărul segmentelor cu ambele capete albastre, deci: .

Problemă de colorare 2:

Se colorează cu roșu n din vârfurile unui octagon regulat. Să se determine numărul minim n, astfel încât să existe un triunghi isoscel cu toate vârfurile roșii, oricum s-ar face colorarea.

Soluție:

Demonstrăm că numărul minim este n = 5, deoarece pentru n = 4 există o colorare care nu convine:

iar pentru n = 5 împărțind octagonul astfel:

Conform Principiului lui Dirichlet, din cele 5 vârfuri roșii cel puțin 3 sunt de tip A sau de tip B, ce determină un triunghi isoscel.

Problemă de colorare 3:

Fiecare punct al planului este colorat în roșu sau albastru, astfel încât să nu existe triunghiuri echilaterale cu vârfurile de aceeași culoare și lungimea laturilor 1 sau 2. Să se arate că nu există în plan un segment de lungime 2, având capetele și mijlocul de aceeași culoare.

Soluție:

Demonstrăm prin reducere la absurd.

Presupunem că există un segment [AB] pentru care punctul A, punctul B și mijlocul C sunt toate de aceeași culoare, să zicem roșie. Construim triunghiul echilateral ABD și, folosind ipoteza, D este de culoare albastră. Construim E și F mijloacele segmentelor [AD], respectiv [BD]. Cum triunghiurile ACE și CBF sunt echilaterale de latură 1, conform ipotezei, ele nu pot avea vârfurile de aceeași culoare, deci E și F sunt albastre. Obținem că echilateral de latură 1, cu toate vârfurile albastre, deci contradicție.

Problemă de colorare 4:

Putem împacheta 249 de cărămizi de dimensiuni 1x1x4 într-o cutie 10x10x10, fețele cărămizilor fiind paralele cu fețele cutiei?

Soluție:

Cubul 10x10x10 este format din 125 cuburi 2x2x2. Colorăm alternativ negru și alb aceste cuburi, ca pe o tablă de șah, obținând 63 de subcuburi negre și 62 de subcuburi albe. Împărțind aceste subcuburi în cuburi unitate, obținem 504 cuburi unitate negre și 496 albe. Orice cărămidă 1x1x4 folosește 2 cuburi unitate albe și 2 negre, adică pentrucele 249 de cărămizi avem nevoie de 498 de cuburi unitate albe, dar noi avem doar 496. Deci, răspunsul este nu.

Formula succesului

Albert Einstein este considerat unul din cei mai mari și populari savanți ai tuturor timpurilor, el a elaborat formula succesului.

x = a + b + c , unde:

x = succesul

a = odihna și munca

b = jocul

c = a ști să ții limba după dinți la timp

Tangram – pătratul fermecat

Cel mai vechi joc de decupări este Tangram.

Jocul constă dintr-un pătrat din care au fost decupate, intr-un anume fel, șapte figuri geometrice numite „tanuri”(cinci triunghiuri, un pătrat și un paralelogram). Tanurile pot fi așezate în diferite combinații pentru a obține figuri ce reprezintă siluete de oameni, plante, animale sau diferite modele decorative.

Tangram provine din China Antică, fiind îndrăgit atât de copii cât și de adulți. Se spunea despre el că dezvoltă spiritul și mintea.

Figurile obținute au câteva caracteristici comune, chiar dacă pot fi foarte diferite, și anume:

au aceeași arie;

unghiurile lor au măsurile de 45, 90 și 135.

Reguli:

trebuie folosite toate cele șapte figuri ce alcătuiesc pătratul inițial (și numai ele);

figurile se așează, fără suprapunere, una lângă alta,;

toate figurile se așează într-un singur plan.

Legendă:

„În vremurile vechi, un împărat a chemat la palatul său mulți meșteri învățați, pentru a-i făuri fiului său cea mai minunată jucărie. Meșterii au confecționat multe jucării frumoase, dar copilul se plictisea foarte repede de fiecare dintre ele. În cele din urmă, la curtea împărătească a sosit un învățător, spunând că și el are pentru fiul împăratului o jucărie și a scos din traista sa un simplu pătrat de hârtie. Crezând că își bate joc de el, împăratul a poruncit ca omul să fie biciuit. Însă, învățătorul a tăiat repede pătratul în mai multe bucățele și l-a chemat pe copil să se joace. În cele din urmă, atât copilul, cât și împăratul, împreună cu toți curtenii săi, au fost vrăjiți de această jucărie simplă, dar interesantă.”

Exemple:

Turnurile din Hanoi

Legendă:

Atunci când a fost creată lumea, preoților dintr-un templu din Benares (India), le-au fost dăruite 3 ace de diamant și un număr de 64 discuri de aur.

Preoții au primit poruncă să așeze în ordine descrescătoare toate discurile, pe un singur ac, urmând apoi să mute turnul format pe alt ac din cele două rămase; nu puteau muta mai mult de un disc odată și nu aveau voie să așeze un disc mai mare peste unul mai mic.

Se spune că și în prezent preoții mută discurile de aur de pe un ac pe altul.

Conform legendei, Dumnezeu le-a zis oamenilor:

„Când veți termina de mutat turnul, atunci lumea se va sfârși!”

Jocul „Turnurile din Hanoi”

Jocul „Turnurile din Hanoi” (cunoscut și sub denumirea „Turnurile din Brahma”) a fost creat de matematicianul francez Edouard Lucas, în anul 1883. Acesta s-a inspirat dintr-o legendă hindusă, în acele timpuri jocul fiind folosit în vederea disciplinării mentale a călugărilor tineri.

Toate discurile de pe primul ax se vor muta pe ultimul ax. Jucătorul va trebui să mute turnul de discuri din cât mai puține mutări.

Exemplu pentru un disc format din 4 discuri:

Poziția inițială:

Poziția finală:

Regulile jocului:

La fiecare pas se poate muta doar un singur disc:

Un disc mai mare nu se poate așeza pe unul mai mic:

Exemple:

Un disc: o singură mutare

Două discuri: 3 mutări

Trei discuri: 7 mutări

Patru discuri: 15 mutări

Pentru 5 discuri, care este numărul minim de mutări?

pentru eliberarea discului de bază : 15 mutări

mutarea discului de bază: o singură mutare

acoperirea discului de bază: 15 mutări

Total: 31 mutări

Această problemă se rezolvă, pentru orice număr de discuri, folosind un algoritm foarte simplu:

Chiar dacă preoții ar lucra zi și noapte, făcând o mutare în fiecare secundă, tot le-ar lua mai mult de 580 miliarde de ani pentru a reuși să termine mutarea turnului format din cele 64 discuri.

Fractalii

Fractalul se poate defini intuitiv astfel: „Un fractal este o figură geometrică fragmentată (frântă), ce poate fi împărțită astfel încât fiecare dintre părți să fie o copie miniaturală a întregului (cel puțin aproximativ)”.

Matematicianul Benoit Mandelbrot a fost cel care a introdus în 1975 cuvântul “fractal”. Acesta provine din latinescul “fractus” și înseamnă „fracturat” sau „spart”.

Exemple celebre de fractali:

Triunghiul lui Sierpinski – se obține pornind de la un triunghi și decupând recursiv triunghiul (central) format de mijloacele fiecărei laturi.

Pătratul/covorul lui Sierpinski

Fulgul de zăpadă al lui Koch –

Fulgul de zăpadă sau Curba lui Koch se obține dintr-un triunghi echilateral. Se înlocuiește a treia parte din mijlocul fiecărei laturi cu două segmente, astfel încât să se obțină un nou triunghi echilateral în exterior. După aceea, se fac, la infinit, aceiași pași pe fiecare segment de linie a figurii rezultate. La fiecare modificare, perimetrul acestei figuri se mărește cu patru treimi. Rezultatul unui număr infinit de execuții de acest fel este Fulgul Koch și are lungime infinită, în timp ce aria sa rămâne finită. De aceea, Fulgul Koch și alte construcții asemănătoare sunt numite “curbe monstru”.

Alte exemple cunoscute de fractali sunt:

Fractali – aplicații în diverse domenii

Complexitatea fractalilor și proprietățile uimitoare ale acestora permit modelarea diverselor lucruri din domenii variate, cum ar fi: medicină, psihologie, biologie, geografie, geologie, hidrologie, meteorologie, economie, astronomie (modelează structura Universului, distribuția galaxiilor și distribuția craterelor pe lună).

Cu ajutorul fractalilor pot fi modelate în corpul uman ramificațiile arterelor și venelor, structura rinichiului și a scheletului, inima și sistemul nervos.

Fractalii naturali sunt arborii și ferigile care pot fi modelați ușor cu ajutorul calculatorului, folosind un algoritm recursiv. O ramură a unui copac sau o frunză de ferigă este o copie în miniatură a întregului, nu sunt identice, dar sunt similare. Conopida (sau broccoli) este o altă plantă la care se poate observa ușor auto-similitudinea.

Numărul Pi

Numărul este un număr fascinant. Valoarea lui π este egală cu raportul dintre lungimea unui cerc și diametrul său.

π este un număr irațional și are o valoare constantă indiferent de mărimea cercului. S-a încercat încă din antichitate calcularea exactă a valorii acestui număr foarte util, dar și foarte greu de înțeles.

Printre cei care au dat diverse aproximări acestui număr au fost: babilonienii, Ptolemeu, Arhimede, Fibonacci, Viete, Leibnitz.

În prezent, cu ajutorul calculatorului, numărul π a ajuns să fie calculat chiar și cu miliarde de zecimale.

Numărul π este prezent în foarte multe formule din diverse domenii: probabilități, fizică, electronică, în inginerie aplicată, proiectări de structure, navigație și altele.

Numărul de aur

Numărul de aur (notat cu Φ sau φ)(numit și Secțiunea de aur sau Raportul de aur sau Proporția de aur) a fost cunoscut încă din antichitate. Euclid, părintele geometriei, a fost cel care a dat prima definiție clară a numărului, prin jurul anului 300 î.Hr.

Este primul număr irațional descoperit și definit în istorie. Valoarea aproximativă a numărului este 1,618033 și poate fi întâlnit în cele mai surprinzătoare împrejurări.

Într-o anecdotă, se povestește că regele Ptolemeu I l-ar fi rugat pe Euclid să-i arate o cale mai ușoară ca să înțeleagă geometria, iar Euclid i-ar fi răspuns: „În geometrie nu există drumuri speciale pentru regi”.

Euclid a inițiat tradiția de a marca sfârșitul unei demonstrații prin expresia latină: “Quod erat demonstrandum”, abreviat Q.E.D.,iar în traducere: “Ceea ce era de demonstrat”.

Euclid l-a denumit pe Φ ca fiind “simpla împărțire” a unui segment în ceea ce el a numit “medie” și “extremă rație”.

Dacă , atunci spunem că segmental de lungime a + b a fost împărțit într-o secțiune de aur.

a = “extremă rație”

b = “medie”

Numărul Φ poate fi calculat din ecuația: Φ- Φ – 1 = 0

Φ = = 1,6180339887……

Numărul de aur a avut un rol semnificativ în dezvoltarea geometriei, a matematicii și a științei în general, iar odată cu el omenirea a conștientizat că matematica naturii este încă departe de a fi înțeleasă.

Numărul de aur reprezintă cea mai armonioasă proporționare a figurilor geometrice pe care omul a descoperit-o până în prezent.

„Triunghiul de aur” este triunghiul isoscel (al lui Pitagora) cu măsura unghiului din vârf egală cu .

„Dreptunghiul de aur” este dreptunghiul în care raportul dintre lungime și lățime este egal cu 𝛗

Este remarcabil faptul că, decupând un pătrat dintr-un dreptunghi de aur, se obține un nou dreptunghi de aur, procedeul putând continua așa la infinit! Se obține astfel „o fabrică” de dreptunghiuri de aur.

„Steaua cu 5 colțuri”, simbolul adepților lui Pitagora (pitagoreicienilor), se obține astfel:

se trasează un cerc și se împarte în 5 arce congruente, construind 5 unghiuri la centru congruente, fiecare având măsura egală cu: ;

unind punctele de diviziune de pe cerc, se obține pentagonul regulat ABCDE;

se trasează diagonalele acestui pentagon regulat, care prin intersecție vor forma steaua cu 5 colțuri.

“Spirala de aur”, care arată prin șirul lui Fibonacci creșterea naturală a plantelor, are aceeași proporție.

“Piramida lui Kheops” respectă și ea regula de aur. Dacă împărțim înălțimea sa la jumătatea bazei sale, obținem 1,618…

Celebre catedrale europene sau minunatul Taj Mahal se înscriu în aceeași regulă. Putem vorbi despre o geometrie sacră, care a devenit arta de a comunica înțelepciune divină, prin intermediul figurilor geometrice și a simbolurilor.

„Raportul de aur” se regăsește și în artele plastice, fiind, de asemenea, surprinsă și în operele de artă cele mai importante ale țării noastre. Printre cei care au folosit „raportul de aur” îl putem menționa pe Constantin Brâncuși (1876 –1957), cu câteva dintre lucrările sale excepționale : „Coloana Infinitului” și „Poarta Sărutului”.

Exemple din natură ale Proporției de aur: raportul dintre numărul albinelor și bondarilor dintr-o colonie (de exemplu, la 1000 de albine sunt întotdeauna 618 bondari), furnica are corpul împărțit în trei segmente (după diviziunea de aur), cochilia melcului (spirala de aur).

În matematică, numărul φ poate fi exprimat și ca:

CONCLUZII

Metodele interactive contribuie la formarea unei păreri pozitive față de MATEMATICĂ.

Metodele moderne nu trebuie să înlocuiască în totalitate pe cele clasice.

Utilizarea metodelor moderne duce la creșterea interesului elevilor față de matematică.

Se impune folosirea unei game cât mai complexe de metode de predare care să valorifice potențialul elevilor.

Responsabilitatea instruirii trebuie să revină atât profesorului, dar și elevului, profesorul trebuie să identifice resursele și strategiile de învățare, iar elevii trebuie să intuiască responsabilitatea și finalitatea acestui proces complex.

Interesul elevilor pentru lecțiile de matematică (geometrie) crește de fiecare dată când sunt folosite metode moderne de predare.

Nu trebuie însă să absolutizăm utilizarea metodelor moderne în detrimentul celor clasice. Profesorul va trebui să aplice un demers didactic bazat pe folosirea unui complex de metode de predare.

Elevii prezintă particularități psihoindividuale, astfel încât se impune folosirea unei game cât mai ample de metode de predare care să le valorifice potențialul.

Atât profesorii, cât și elevii trebuie să găsească vectorii de convergență cu privire la responsabilitatea instruirii; profesorii trebuie să întrevadă resursele și strategiile de învățare, iar elevii trebuie să intuiască scopurile, responsabilitatea și finalitatea acestui proces complex, menit să îi ajute ca pe viitor să se integreze în societate.

ANEXE

Anexa 1 – Fișă de lucru

Unități de măsură

Orizontal:

1. se măsoară în secunde

2. unitate de măsură pentru volumul lichidelor

3. unitate de măsură pentru lungime

4. se măsoară în grame.

5. multiplu al gramului egal cu .

6. multiplu al kilogramului egal cu .

7. unitate de măsură pentru arie folosită în agricultură egală cu

8. secol.

Vertical ………………………………………………..……………

Anexa 2 – Fișă de lucru

Triunghiul și linii importante în triunghi

Orizontal:

1. triunghi oarecare.

2. triughi cu două laturi congruente

3. segment determinat de vârful unui triunghi și piciorul perpendicularei duse din acel vârf pe latura opusă.

4. triughi cu un unghi drept.

5. pentru triunghi se calculează cu formula .

6. suma lungimilor laturilor unui triunghi.

7. segmentul care unește un vârf al triunghiului cu mijlocul laturii opuse.

8. triunghi cu toate unghiurile ascuțite

9. semidreapta cu originea în vârful unghiului, situată în interiorul acestuia care formează cu laturile unghiului două unghiuri congruente.

10. dreapta perpendiculară pe un segment care conține mijlocul acestuia.

Vertical:…………………………….

Anexa 3 – Fișă de lucru

Asemănarea triunghiurilor

Orizontal:

1. triunghiurile asemenea au unghiurile respectiv …………………………

2. matematician grec din antichitate autor al unei celebre teoreme referitoare la segmente proporționale.

3. dacă triunghiul ABC este asemenea cu triunghiul isoscel MNP atunci acesta este ……….

4. dacă ABC MNP atunci A …….

5. două triunghiuri care au laturile respectiv proporționale sunt triunghiuri …………………

6. câtul neefectuat al numerelor reale nenule a și b.

7. două semidrepte cu originea comună (plural)

8. dacă MIA NOE, atunci .

9. dacă în triunghiul ABC avem D(AB) și E(AC) astfel încât , atunci DE și BC sunt ……………………..

Vertical: ……………………………….

Anexa 4 – Fișă de lucru

Drepte

Orizontal:

1. o infinitate de puncte coliniare formează o …………………..

2. propoziție matematică adevărată acceptată fără demonstrație.

3. două drepte care au un punct comun.

4. proprietate a relației de paralelism care spune că “dacă ab și bc, atunci ac.

5. două drepte situate în același plan.

6. două drepte concurente care formează un unghi drept.

7. matematician grec din antichitate considerat părintele geometriei.

8. instrument geometric pe care îl folosim când construim două drepte perpendiculare.

Vertical: ………………………………

Anexa 5

BIBLIOGRAFIE

Ardelean Liviu, Secelean Nicolae, Didactica Matematicii, Editura Universității “Lucian Blaga”, Sibiu, 2007

Chiș Vasile, Lobonț Gheorghe, Serdean Vasile, Chiorean Mihail, Ghidul profesorului de matematică, Editura Dacia, Cluj-Napoca, 2001

Ionescu Miron, Chiș Vasile, Strategii de predare-învățare, Editura Stiințifică, București, 1992

Ionescu Miron, Chis Vasile, Pedagogie. Suporturi pentru pregătirea profesorilor, Editura Presa Universitară Clujeană, Cluj-Napoca, 2001

Ionescu Miron, Demersuri creative în predare-învățare, Presa Universitară Clujeană, 2000

Cocoș Constantin, Pedagogie, Editura Polirom, Iași, 1996

Stretcu Daniel, Probleme de colorare, Editura paralela 45, 2010

http://www.didactic.ro/resurse-educationale/invatamant-gimnazial/matematică.

DECLARAȚIE DE AUTENTICITATE PE PROPRIE RĂSPUNDERE

Subsemnata DRAGHICI LILIANA, înscrisă la examenul pentru obținerea Gradului didactic I, seria 2017-2019, specializarea MATEMATICA, prin prezenta, declar că lucrarea metodico-științifică cu titlul TRADIȚIONAL ȘI MODERN ÎN REZOLVAREA PROBLEMELOR DE GEOMETRIE ÎN GIMNAZIU, conducător științific lector univ. Chiș Mihai, este rezultatul propriilor mele activități de investigare teoretică și aplicativă și prezintă rezultatele personale obținute în activitatea mea didactică.

În realizarea lucrării am studiat doar surse bibliografice consemnate în lista bibliografică.

Prezenta lucrare nu a mai fost utilizată în alte contexte evaluative – examene sau concursuri.

Data,

_______________________

Semnătura,

________________________