Școala Gimnazială , comuna Filipeștii de Tîrg, Prahova [621518]

UNIVERSITATEA PETROL – GAZE DIN PLOIEȘ TI
DEPARTAMENTUL PENTRU PREGĂTIREA
PERSONALULUI DIDACTIC

Eficiența rezolvării problemelor de
concurența ș i coliniaritate prin metode
activ -participative

Coordonator:
Conf. Univ. Dr. Mat. Vîlcu Alina
Candidat: [anonimizat] ,
Școala Gimnazială , comuna Filipeștii de Tîrg, Prahova

PLOIEȘTI
2017

CUPRINS

INTRODUCERE
CAPITOLUL I – NOȚ IUNI TEORETICE
1.1 Noțiuni teoretice de concurență . Puncte celebre
1.1.1 Demonstrarea concurenței folosind unicitatea mijlocului unui segment
1.1.2 Demonstrarea concurenț ei prin ide ntificarea liniilor importante în triunghi
1.1.3 Demonstrarea concurenț ei folosind reciproca teoremei lui Ceva
1.1.4 Puncte celebre
1.1.5 Rezolvarea problemelor de concurența î n spatiu
1.1.6 Demonstrarea concurenț ei folosind metoda geometriei analitice
1.1.7 Demonstrarea concurenței folosind metoda vectorială
1.1.8 Demonstrarea concurenț ei folosind metoda numerelor complexe
1.2 Notiuni teoretice de coliniaritate. Drepte celebre
1.2.1 Demonstrarea coliniarității cu ajutorul unghiului alungit
1.2.2 Demonstrarea coliniarității folosind postulatul lui Euclid
1.2.3 Demonstrarea coliniarității folosind reciproca teoremei unghiurilor opuse la vârf
1.2.4 Demonstrarea coliniarității prin identificarea unei drepte ce conține punctele
respective
1.2.5 Demonstrarea coliniarității folosind proprietățile proporțiilor
1.2.6 Demonstrarea colini arității folosind teorema reciprocă a lui Menelaus
1.2.7 Drepte celebre
1.2.8 Demonstrarea coliniarității cu ajutorul metodelor geometriei analitica
1.2.9 Demonstrarea coliniarității folosind metoda vectorială
1.2.10 Demonstrarea coliniarității folosind metoda numerelor complexe
CAPITOLUL II – ASPECTE METODICE ȘI METODOLOGICE ASUPRA REZOLVĂRII
PROBLEMELOR DE CONCURENȚĂ Ș I COLINIARITATE
2.1 Metode generale ș i particulare de rezolvare a problemelor de concuren ță și
coliniaritate. Exemplificări
2.1.1 Metoda sintezei
2.1.2 Metoda analizei

2.1.3. Metoda reducerii la absurd
2.1.4 Metoda constructiilor geometrice
2.2 Metode specifice de rezolvare a problemelor de concurență și coliniaritate.
Exemplifică ri
2.2.1 Metoda analitico- sintetică
2.2.2 Metode activ- participative
CAPITOLU L III – CURRICULUM LA DECIZIA Ș COLII L A NIVELUL
DISCIPLINEI MATEMATICĂ –CERCETARE PEDAGOGICĂ
3.1
3.2

CONCLUZII
ANEXE
BIBLIOGRAFIE

INTRODUCERE

Matematica cerută de actualitate impune un învățământ în care materia să fie predată
printr -o concepție nouă. Problema nu este de a transmite o știință gata făcută, ci de a face pe
elev să dobândească un mod de gândire. De o extraordinară prospețime și actualitate se
dovedesc a fi cuvintele despre matematică ale lui Gheorghe Asachi: "deosebit de î ntrebuințarea
ei cea de obște, cuprinde precum toate celelalte științe exacte, folosul de a deprinde cugetarea
și pătrunderea la înțelegere și de a da plăcere pentru deslușirea ideilor ".
Rezolvarea de probleme înseamnă " asumarea sarcinii de depășire și de eliminare a
dificultății teoretice sau practice prin demersuri cognitiv -operaționale și strategii rezolutive
specifice cerințelor acesteia" (Dumitriu, Gh., 2004, p.85); ea trebuie să decurgă ca o necesitate
firească, solicitată de situații concrete din viață.
"Procesul rezolutiv presupune acoperirea lacunei cognitive din gândirea și experiența
subiectului, înțelegerea conflictului din datele și cerințele problemei, efectuarea operațiilor de
transformare a necunoscutului în cunoscut." (Dumitriu, Gh., 2004, p. 85) .
Dintre toate discipline le matematice geometria prezintă caracterul cel mai concret.
Rezolvarea problemelor de geometrie sunt at ât de variate, încât nu se pot da indicații
generale pentru rezolvarea lor. Principalele dificultăți ale acestor probleme de geometrie plană,
constau in caracterul lor nonstandard. Fiecare problemă presupune un studiu spec ific in care sunt
implicate, cunoașterea unor scheme de raționament care să inlesnească înțelegerea
demon strațiilor, tehnici metode de rezolvare.
Alegerea prezentei teme s -a bazat pe constatările făcute în timp în privința dificultăților
întâmpinate de elevi în procesul de rezolvare de probleme, cum ar fi: analiza insuficientă a
enunțului problemei; necorelar ea datelor cu întrebarea problemei; neacordarea atenției
suficiente întocmirii planului de rezolvare; neverificarea rezultatului obținut prin rezolvarea
problemei; imposibilitatea găsirii căii de rezolvare a unei probleme, fără sprijinul învățătorului;
concentrarea asupra efectuării calculelor în detrimentul raționamentului problemei, aplicarea
mecanică a algoritmilor de calcul, care poate conduce la rezolvare incorectă.
Problemele de coliniaritate a unor puncte sau de concurență a unor drepte reprezintă un
tip deosebit de probleme de geometrie, ele fiind probleme de demonstrație prin rezolvarea
cărora se urmărește stabilirea sau verificarea unei relații, găsirea unor proprietăți no i ale

figurilor date, justificarea unor afirmații formulate. Rezolvarea lor se realizează folos ind
metode de raționament, deoarece acestea inlesnesc ințelegerea demonstrațiilor si constituie
mijloace de cercetare în rezolvarea problemelor.
Ultimele decenii au dus la creșterea interesului pentru utilizarea metodelor activ –
participative. De aceea este necesar ca învățătorul să fie preocupat în permanență de
perfecționarea metodelor și procedeelor de predare .
Pe baza bibliografiei de specialitate, precum și a experienței practice, acumulată în
munca instructiv -educativă cu elevii, în această lucrare îmi propun să demonstrez că utilizarea
unor metode moderne, interactive in geometrie accelerează însușirea cunoștințelor, formarea
priceperilor și deprinderilor, a capacităților, contrinuind la dezvoltarea proceselor psihice.
Tema aleasă vizează demersurile desfășurate de către cadrul didactic pentru inovarea și
modernizarea strategiilor de predare- învățare, în vederea creșterii motivației și interesului
elevilor p entru învățarea școlară, pentru valorificarea potențialului creativ și intelectual al
fiecărui copil și posibilitățile de aplicare eficientă a metodelor activ -participative în cadrul
orelor de geometrie.
Lucrarea de față este structurată în patru capitole după cum urmează:
Atât capitolul I cât și capitolul II, susțin partea teoretică a lucrării, prin definirea noțiunii
de concurență si coliniaritate, prezentarea criteriilor de concurență si coliniaritate cu
aplicabilitate în tr-o serie de probleme deosebite.
Iar capitolul II cuprinde definirea conceptelor de metodă, nevoia învățământului modern
de metode activ -participative, clasificare, descriere, funcții, importanță, specific, valențe
formative ale acestora, precum și personalitatea profesorului modern etc.
Microcercetarea propriu -zisă este prezentată în capitolul III și are ca scop confirmarea
ipotezei și a obiectivelor propuse prin identificarea unor metode și procedee care să faciliteze
stimularea creativității și găsirea uno r căi de activizar e a învățării, interpretarea datele obținute
în urma microcercetării, cele două loturi, cel experimental și de control, pornind cu șanse relativ
egale în derularea experimentului, diferențele nefiind semnificative.
Lucrarea se încheie cu capitolul I V, baza t pe concluzii și recomandări metodice .

CAPITOLUL I
NOTIUNI TEORETICE
1.1 Notiuni teoretice de concurenta. Puncte celebre

Problemele privind concurența unor drepte reprezintă unele adevăruri ușor de intuit, dar
în a căror demonstrație riguroasă includ raționamente exacte și o gamă variată de tehnici specifice,
solicitând rezolvitorului perspicacitate și cultură matematică.

Definiția 1
Două drepte coplanare 2 1,dd se numesc drepte concurente dacă au un singur punct
comun. Notăm 𝑑𝑑1 ∩𝑑𝑑2={}A sau, 𝑑𝑑1 ∩𝑑𝑑2≠∅ unde punctul A se numește punct de concurență
sau punct comun al celor două drepte .

O

d1 d2 Fig.1.1

Observație: Dacă cele două drepte coplanare nu sunt concurente, atunci ele fie coincid (au o
infinitate de puncte comune), fie sunt paralele (nu au nici un punct comun).
Defin iția 2
Trei sau mai multe drepte coplanare sau nu, care au un singur punct comun se numesc
drepte concurente ( O – punctul de concurență).

O
d1
d2
d3 d4 Fig.1.2

1.1.1 Demonstrarea concurenț ei folosind unicitatea mijlocului unui segment

Pe dreapta 1d se identifică punctele A si B, iar pe dreapta 2d se identifică punctele C
și D, astfel încat segmentele AB ș i CD să aibă același mijloc.

Observație: Această metodă funcționează și în situația in care trebuie demonstrată concurența
mai multor drepte.

Demonstrație : Dacă M ∈[AB], [AM] ≡[MB], M ∈[CD], [CM] ≡[MD] , atunci rezult ă că
AB∩CD={M} , adic ă dreptele AB ș i CD sunt concurente.

1.1.2 Demonstrarea concurenței prin identificarea liniilor importante în triunghi

In unele probleme de geometrie plană, demonstrarea concurenței unor drepte se reduce
la a găsi un triu nghi in care acele drepte sunt î nălțimi, sau mediane, sau bisectoare sau mediatoare.
Medianele unui triunghi sunt concurente într -un punct numit centrul de greutate al
triunghiului, notat de regula cu G .
Demonstrație : Fie medianele triunghiului ABC . Atunci sunt mijloacele laturilor [ BC],
[CA], respectiv [ AB].
Aplicăm reciproca teoremei lui Ceva și obținem: 1''
''
''=⋅⋅BCAC
ABCB
CABA, adică medianele sun t
concurente.

A
BC
DM

A

C’ G B’

B C Fig. 1.3
A’
Bisectoarele interioare ale unghiurilor unui triunghi sunt concurente în tr-un punct
numit centrul cercului inscris in triunghi, notat de regulă cu I.
Demonstrație : Cu teorema bisectoarei interioare obținem :
ACAB
CABA='', BABC
ABCB='',
CBCA
BCAC=''.
Prin înmulțirea relațiilor de mai sus membru cu membru obținem:
1''
''
''====⋅⋅CBCA
BABC
ACAB
BCAC
ABCB
CABA,
de unde conform reciprocei teoremei lui Ceva obtinem că bisectoarele interioare ale unghiurilor
unui triunghi sunt concurente.
Fig.1.4
Bisectoarele exterioare a două unghiuri a unui triunghi sunt concurente cu bisectoarea interioară
a celui de- al treilea unghi într -un punct , notat Ia , numit centrul cercului exînscris .

Demonstrație : Cu teorema bisectoarei interioare pentru AA’ obținem:
ACAB
CABA=''.
Cu teorema bisectoarei exterioare pentru BB' si CC’ și obținem:
BABC
ABCB='' și
CBCA
BCAC=''.

Fig.1.5
Înmulțind membru cu membru cele trei relații de mai sus obținem:
1''
''
''====⋅⋅CBCA
BABC
ACAB
BCAC
ABCB
CABA,
de unde conform reciprocei teoremei lui Ceva obtinem că cele două bisectoare exterioare și
bisectoarea interioară ale unghiurilor unui triunghi sunt concurente intr -un punct Ia.
Inăltimile unui triunghi sunt concurente intr -un punct numit ortocentrul triunghiului,
notat, de regulă, cu H .
A

C’ H B’

B A’ C Fig.1.6

Demonstrație: Fie AA', BB',CC' înălțimile triunghiului ABC .
Din asemăna rea triunghiurilor A’AB ș i C’CB obținem:
BCAB
BCBA='' (1)
Din asemăna rea triunghiurilor B B’C și AA’C obținem:
ACBC
CACB='' (2)
Din asemăna rea triunghiurilor C’CA ș i B’BA obținem:
ABAC
ABAC='' (3)
Din relațiile (1), (2) și (3) prin înmulțire membru cu membru obținem:
1''
''
''====⋅⋅ABCA
ACBC
BCAB
ABAC
CACB
BCBA,
De unde rezult ă:
1''
''
''=⋅⋅ABAC
CACB
BCBA
și conform reciprocei teoremei lui Ceva, înălțimile AA', BB', CC' sunt concurente.

Mediatoarele unui triunghi sunt concurente intr -un punct numit centrul cercului
circumscris triunghiului, notat de regulă cu O .
A

O N

C M B

Fig.1.7
Demonstrație: Not ăm cu M și N mijloacele laturilor [ BC] și [AB] ale triunghiului
ABC . Punctul de intersecție al perpendicularelor î n M și N pe laturile respective (mediatoarele

acestor laturi) va fi notat cu O . Cele două mediatoare s unt concurente, altfel punctele A, B, C ar
fi coliniare, ceea ce este imposibil.
Folosind proprietatea punctelor de pe m ediatoare de a fi la egală distanță față de capetele
segmentului, putem scrie OA = OB, ON fiind mediatoarea lui [ AB] și OB = OC, OM fiind
mediatoarea lui [ BC].
Rezultă din tranzitivitatea relației de egalitate că OA = OC, deci punctul O se află ș i pe
mediatoarea laturii [ AC].

1.1.3 Demonstrarea concurentei folosind reciproca teoremei lui Ceva

Teorema lui Ceva. Se consideră un triunghi ABC și trei drepte concurente AM, BM,
CM care mai intersectează suporturile laturilor triunghiului in punctele A’, B’, C’ . Dacă dreptele
AM, BM, CM sunt concurente atunci :
1''
''
''=⋅⋅BCAC
ABCB
CABA
Demonstrație: Aplic ăm teorema lui Menelaus, pentru triunghiul BB’C și punctele A,
M, A’ (transversal a AMA’) și obținem :
A

B B’
M
C A’
C’
Fig. 1.8

1'
' ''=⋅⋅MBMB
ABCA
CABA, (1)

Aplica ăm aceeași teoremă triunghiului ABB’ și punctele C ’CM (transversala C’CM ) și obținem:

1' '' '=⋅⋅MBBM
BCAC
CACB, (2)
Înmulțind (1) cu (2), rezultă: 1''
''
''=⋅⋅BCAC
ABCB
CABA.

Reciproca teoremei lui Ceva . Fie A’, B’, C’ trei puncte situate pe laturile BC, AC, AB ale
triunghiului ABC. Dacă se verifică relația 1''
''
''=⋅⋅BCAC
ABCB
CABA, atunci dreptele AA’, BB’ CC’
sunt concurente.
Demonstrație: Deoarece A’, C’ aparțin, respectiv , segmentelor BC, AC și cum BC și AC nu
sunt paralele, rezultă că dreptele AA’ și CC’ se intersecteaz ă într -un punct , M.
Presupunem că M nu ar aparține lui BB’ și fie, atunci, B ”dreapta care trece prin M , cu
B”aparținand laturii AC.
Aplicăm teorema lui Ceva in triunghiul ABC si pentru dreptele AA’ , BB’ , CC’ concurente in M
și obținem:
1''
''
""=⋅⋅ACBC
BACA
CBAB,
care, înmulțită cu relația din ipoteză, dă
'""
''
ABCB
ABCB= , de unde avem "'BB≡ și, de unde
rezultă, dreptele AA’, BB’, CC’ sunt concurente .
A

C” B”
M”
C’ B’
M
B A’ A” C Fig.1.9

1.1.4 Puncte celebre

Punctul lui Lemoine al unui triunghi. Intr -un triunghi ABC simedianele AD, BE,
CF sunt concurente intr -un punct L, numit punctul lui Lemoine al triunghiului.
Observație: Simediana este simetr ica medianei fata de bisectoare.
P unctul lui Lemoine mai este cunoscut sub denumirea de Punctul lui Grebe .

Punctul lui Gergone al unui triunghi. Î ntr-un triunghiul ABC notăm cu
M,N,P punctele de contact ale cercului înscris cu laturile AB, AC, BC atunci dreptele AM,
BN, CP sunt concurente într -un punct numit punctul lui Gergonne și notat Γ.
Demonstrație : Notăm punctele de contact cu M, N și P, unde , 𝑀𝑀 ∈𝐵𝐵𝐵𝐵, 𝑁𝑁∈𝐴𝐴𝐵𝐵 și 𝑃𝑃∈𝐴𝐴𝐵𝐵 .
Vom folosi reciproca teoremei lui Ceva pentru a arăta că are loc relația:
1=⋅⋅PBAP
NACN
MCMD (*)
Dar CM CNBP BM ≡ ≡ , și AP AN≡ (tangentele duse dintr -un punct exterior la un cerc sunt
congruente). Deci relația (*) este adevărată, iar AM, BN ș i CP sunt concurente î ntr-un punct.

Punctul lui Nigel al unui triunghi. Într-un triunghiul ABC , dacă A’, B’ și C’ sunt
punctele de contact ale cercurilor exînscrise cu laturile triunghiului ABC (A’∈(𝐵𝐵𝐵𝐵), B’∈(𝐴𝐴𝐵𝐵),
𝐵𝐵′∈(𝐴𝐴𝐵𝐵)) atunci dreptele AA’, BB’ și CC’ sunt concurente într -un punct, N numit punctul lui
Nagel .

Demonstrație : Fie a, b, c lungimile laturilor triunghiului și ( BC= a, AC= b , AB=c ) și fie p
semiperimetrul triunghiului. Notăm x =BA’, y =A’C și avem: x + y = a, si x + c = y + b,
2x + c = a + b adică x = p – c si y= p – b.
Prin urmare obtinem: cpbp
CABA
−−=''.

Punctul lui Newton al unui triunghi .

Fie ABCD un patrulater circumscriptibil și fie A ’, B’, C’ și D’ punctele de tangență
ale cercului înscris cu laturile patrulaterului. Atunci dreptele AC, BD, A’C’ și B’D’ trec prin
același punct N (numit punctul lui Newton).

Demonstrație : Notăm ,'' }{ DB AC N∩= )' ( NADma∠= și )' (ANDmb∠= .
Observăm că +∠ )' ( NADm )' (ANDm∠ = 1800. Aplicăm teorema sinusurilor in triunghiurile
NAD’ și NB’C. Obținem că
aAN
bAD
sin sin'= (1) ș i
aNC
bCB
sin sin'= (2).
Din (1) și (2) vom avea că
CBAD
NCAN
''= (3).
Notăm '.' }'{ CA AC N∩= Similar ca mai sus, obținem :
''
''
CCAA
CNAN= (4). Deoarece
' ',' ' CB CC AD AA ≡ ≡ , din relațiile (3) și (4) vom avea ceea ce dovedește că N = N’, adică AC
este concurentă cu segmentele A’C’ ș i B’D’.
Analog se demonstrează că BDN∈ .

1.1.5 Demonstrarea concurenței folosind metoda geometriei analitice

Fiind date dreptele: d 1: 01 1 1 =++ zcybxa , d2: 02 2 2 =++ zcybxa , daca ele sunt
concurente , coordonatele punctului de intersectie trebuie sa verifice ambele ecuatii fiindca
punctul se gaseste pe fiecare din ele. Prin urmare, cele doua coordinate reprezinta solutia
sistemului de ecuatii liniare

=++=++
0 :0 :
2 2 2 21 1 1 1
zcb adzcybxad si anume:
12 2112 21
bababcbcx−−= ;
12 2112 21
babacacay−−= ; (1)
cu conditia 012 21≠−baba .
Discutie: 1) Daca
2 21 1
b ab a0≠ sistemul are solutie unica, dreptele sunt concurente
in punctele de coordinate (1).
2) ) Daca
2 21 1
b ab a0=, aceasta inseamna ca 012 21=−baba , adica
21
21
bb
aa= si regasim urmatoarele cazuri:

2a) Daca
21
21
21
cc
bb
aa≠= dreptele sunt paralele
2b) Daca
21
21
21
cc
bb
aa== dreptele sunt confundate.
Demonstratie. Intr -adevar, daca consideram matricea sistemului 


=
2 21 1
b ab aA , atunci in
cazul 2a) rang A = 1 si rang A=2, deci sistemul este incompatibil (dreptele nu au nici un
punct comun).
In cazul 2b ) rang A = rang A=1, sistemul are o infinitate de solutii (dreptele au o infinitate
de puncta co mune.)

Fiind date dreptele: d 1: 01 1 1 =++ zcybxa , d2: 02 2 2 =++ zcybxa ,
d3: 03 3 3 =++ zcybxa concurente dou ă cate două. Dreptele sunt toate trei concurente
d1, d2, d3 ⇔ {}

∈=∩
dAA d d
32 1 , 0
33 32 2 21 1 1
=
cb acb acb a
sau rang 0
321
321
=




bbb
aaa
.

1.1.6 Demonstrarea concurenței folosind metoda vectorială

1.1.7 Demonstrarea concurenței folosind metoda numerelor complexe

1.3 Notiuni teoretice de coliniaritate. Drepte celebre

Noțiunea de coliniaritate

Definiție: Două sau mai multe figuri (puncte, bipuncte, segmente, semidrepte) se numesc
figuri coliniare , dacă există o dreaptă care le conține. În caz contrar, ele se numesc necoliniare.
Observație: Cum două puncte distincte determină o dreaptă, înseamnă că, dacă figurile sunt
puncte, atunci problema coliniarității se pune pentru trei sau mai multe puncte .

A B C D

Puncte coliniare

Fie punctele A, B, C aparținând planului euclidian. Dacă A, B, C sunt coliniare, atunci unul și
numai unul dintre ele se află între celelalte două.
Dacă C este între A și B, adică AC+CB= AB atunci se notează A -C-B sau B -C-A.

C

A B

Puncte necoliniare

1.3.1 Demonstrarea coliniarității cu ajutorul unghiului alungit

Dacă A și C sunt situate de o parte și de alta a dreptei BD și =∠+∠ ) ( ) ( DBCm ADBm
1800 , atunci punctele A, B, C sunt coliniare.

D

A B C

Exemplu:

1.3.2 Demonstrarea coliniarității folosind postulatul lui Euclid

Dacă dreptele AB și BC sunt paralele cu o dreaptă d, atunci, în baza postulatului lui
Euclid, punctele A, B și C sunt coliniare.

1.3.3 Demonstrarea coliniarității folosind reciproca teoremei unghiurilor opuse la vârf

Dacă punctul B este situate pe dreapta DE , iar A ș i C sunt de o parte și alte a dreptei
DE și ∠ CBE ABD∠≡ , atunci punctele A, B, C sunt coliniare.

D C

A B E

1.3.4 Demonstrarea coliniarității prin identificarea unei drepte ce conține punctele
respective

Pentru a arăta că punctele A,B,C sunt coliniare se identifică o dreaptă căreia ele îi
aparțin.

1.3.5 Demonstrarea coliniarității folosind proprietățile proporțiilor

1.3.6 Demonstrarea coliniarității fol osind teorema reciprocă a lui Menelaus

Teorema lui Menelaus. Fie ABC un triunghi și fie punctele M, N,P pe dreptele BC , CA,
AB, insă fără ca vreunul dintre aceste puncte să coincidă cu vreun varf al triunghiului.
Punctele M, N, P sunt coliniare, dacă și numai dacă, are loc relația:
1=⋅⋅PBPA
NANC
MCBM

Demonstrație : Ducem prin C paralelă la AB, care intersectează pe MN in Q. Atunci, din
asemănările triunghiurilor MQC cu MPB și NQC cu NPA, rezulta: QCPB
MCMB= ,
PAQC
NANC= , care
înmulțite membru cu membru, conduc la: 1=⋅⋅PBPA
NANC
MCBM.
Reciproca teoremei lui Menelaus . Dacă punctele M, N, P sunt situate pe laturile unui
triunghi ABC , astfel încat are loc relația 1=⋅⋅PBPA
NANC
MCBM, atunci punctele M,N, P sunt coliniare.
Demonstrație : Presupunem , prin absurd, că punctele M, N, P nu sunt coliniare.
Unim atunci M și P printr -o dreaptă ce taie pe AC intr-un punct N ’ diferit de N și,
conform teoremei directe, are loc relația: 1''=⋅⋅PBPA
ANCN
MCBM. Cum, prin ipotez ă , avem
că 1=⋅⋅PBPA
NANC
MCBM, rezultă că
ANCN
NANC
''= și, deci, N N≡' . Prin urmare, punctele M,
N, P sunt coliniare. (Virtopeanu, I., 1994, p. 89-90)

1.3.7 Drepte celebre

Dreapta lui Simson – Wallace
Enunț: Proiecțiile ortogonale ale unui punct pe cercul circumscris triunghiului ABC pe laturile
acestuia sunt coliniare.
Demonstrație : Fie D proiecția lui M pe BC, E proiecția lui M pe AC și F proiecția lui M pe AB.
Vom uni separat E cu F și E cu D . Patrulaterele AEMF , MEDC, FBDM sunt inscriptibile.
Avem: FEA FMA FAM DMC DMC DEC ∠=∠=∠−=∠−=∠=∠0 090 90 Deci,
DEC FEA∠≡∠ (unghiuri opuse la varf) ș i deci D, E, F sunt coliniare.

Dreapta lui Euler

Enunț : În orice triunghi ortocentrul ( H), centrul de greutate ( G) și centrul cercului circumscris
triunghiului ( O), sunt coliniare. Dreapta determinată de aceste puncte se numește dreapta lui
Euler.
Demonstrație : 1) Dacă triunghiul ABC este isoscel sau dreptunghic, atunci cele trei puncte se
găsesc pe o mediană.

2) Fie triunghiul ABC ascuțitunghic. În cazul în care ABC este obtuzunghic,
considerațiile de mai jos rămân valabile. HAB∆ ~ ''BOA∆ (au laturile paralele). Din teorema
fundamentală a asemănării avem:
21
'' ' '===BAAB
OBHB
OAHA resultă
21
'=OAHA.
Dar și ' OGA∆ ~ HGA∆ conform cazului al doilea de asemă nare, de unde AGH GOA∠≡∠ ' .
Conform metodei 3, va rezulta că punctele O, G și H sunt coliniare.

Dreapta lui Newton -Gauss
Mijloacele diagonalelor unui patrulater complet sunt coliniare .

Demonstrație : Vom folosi teorema lui Menelaus. Fie ABCDEF un patrulater complet
si L, M, N mijloacele diagonalelor ( AC), (BD), (EF). Notam cu G, H, K mijloacele segmentelor
(BE), (EC), (CB).
Deoarece M, K, G sunt mijloacele segmentelor [BD], [BC], [BE], iar punctele D,C si E
sunt coliniare, va rezulta ca M, K,G sunt coliniare si segmentele [MK], [MG], [KG] sunt
jumatati din segmentele [DC], [DE], respectiv [CE]. Analog rezulta L, K, H si respectiv N, H,
G coliniare, precum si relatiile similare intre lungimile segmentelor. Va trebui sa aratam ca este
adevarata relatia 1=⋅⋅NGPA
LHLK
MKMG (1)

Se observa ca segmentele care intra in relatia (1) sunt jumatatile segmentelor
determinate de dreapta AD pe laturile triunghiului BCE. Din teorema lui Menelau pentru ΔBCE
si secanta AD, impreuna cu relatiile intre lungimi deduse anterior rezulta ca are loc (1). Din
reciproca teoremei lui Menelau in ΔGKH rezulta afirmatia din enunt.

Dreapta lui Lemoine ( Teorema lui Carnot)
Tangentele la cercul circumscris triunghiului ABC în punctele A, B, C întâlnesc laturile opuse
în punctele colini are T 1, T2, T3.
Observație: Problema lui Carnot este un caz particular al problemei lui Pascal. Dreapta care
conține punctele T1, T2, T3 se numește dreapta lui Lemoine a triunghiului ABC .

Demonstrație: ACT1∆ ~ BAT1∆ (conform cazului de asemanare U.U) . De aici rezulta
ATCT
BAAC
BTAT
11
11== , obținem că : 22
11
ABAC
ATCT= (1)
Analog se obțin relațiile: 22
22
CBAB
CTAT= (2) și 22
33
ACCB
CTAT= (3)
Înmulțind membru cu membru relațiile (1), (2) și (3) se obține:

conform reciprocii teoremei lui Menelaus, punctele T 1, T2, T3 sunt coliniare.

1.2.8 Demonstrarea coliniarității cu ajutorul metodelor geometriei analitica

Consideram in planul P punctele distincte ()1 1,yxA , ()2 2,yxB , ()3 3,yxC . Punctele A,
B, C sunt coliniare daca sunt situate pe aceeasi dreapta. Pentru a exprima coliniaritatea punctelor
()1 1,yxA , ()2 2,yxB , ()3 3,yxC cu ajutorul coordonatelor se va scrie ecuatia dreptei AB sub
forma de determinant :
(AB) : 0
111
2 21 1=
y xy xy x

Si apoi se va pune conditia ca punctul ()3 3,yxC sa apartina dreptei AB , adica
coordonatele punctului C sa verifice ecuatia dreptei AB.
Se obtine relatia:
0
111
2 21 13 3
=
y xy xy x

Asadar, punctele distincte ()1 1,yxA , ()2 2,yxB , ()3 3,yxC sunt trei puncta coliniare daca
verifica relatia:
0
111
3 32 21 1
=
y xy xy x

1.2.9 Demonstrarea coliniarității folosind metoda vectorială

Enunt: Doi vectori sunt coliniari dacă cel putin unul este nul sau daca amandoi sunt
nenuli sau au aceeași direcție. În caz contrar vectorii se numesc necoliniari.
Observatie: Din definitie rezulta ca vectorul nul este coliniar cu orice vector.
Doi vectori necoliniari sunt doi vectori nenuli care au directii diferite.

Vectori coliniari

Vectori ne coliniari
Exemplu: Daca ABCD este trapez cu AB||

Fie ecuatia generala dreptei in plan 0 ,0 : ≠=++ a cz by axd sau 0≠b .
Ecuatia dreptei determinate de punctele ()1 1,yxA , ()2 2,yxB :
1 21
1 21
y yyy
x xxx
−−=−−
Raportul mx xy y=−−
1 21 2, unde m este panta dreptei AB.
Doua drepte s
mAB = m AC ⇔
A BA B
x xy y
−−
=
A CA C
x xy y
−−

1.2.10 Demonstrarea coliniarității folosind metoda numerelor complexe

Considerăm în reperul cartezian xOy, punctele: A(xA,yA), B(xB,yB), C(xC, yC).
Notăm cu zA = xA +yAi , zB = xB+yBi , zC = xC+ yCi , afixele acestor puncte în plan.
Punctele A , B ,C sunt coliniare daca:
A CA B
z zz z
−−∈ R*.

CAPITOLUL II
ASPECTE METODICE ȘI METODOLOGICE ASUPRA REZOLVĂRII
PROBLEMELOR DE CONCURENȚĂ ȘI COLINIARITATE

2.1 Metode generale și particulare de rezolvare a problemelor de concurență și
coliniaritate. Exemplificări

2.2 Metode specifice de rezolvare a problemelor de concurență și coliniaritate.
Exemplificări