Școala doctorală „Ingineria sistemelor de apărare și securitate” Raport de cercetare științifică nr. 1 ANALIZA FUNCȚIONĂRII MOTORULUI CU INJECȚIE DE… [306699]

ACADEMIA TEHNICĂ MILITARĂ

”Ferdinand I”

FACULTATEA DE MECATRONICĂ ȘI SISTEME INTEGRATE DE ARMAMENT

DEPARTAMENTUL DE AUTOVEHICULE MILITARE ȘI TRANSPORTURI

Școala doctorală „Ingineria sistemelor de apărare și securitate”

Raport de cercetare științifică nr. 1

ANALIZA FUNCȚIONĂRII MOTORULUI

CU INJECȚIE DE BENZINĂ

Autor:

Slt. ing. Laszlo BAROTHI

Conducător de doctorat:

Gl. bg. (r.) prof. dr. ing. Ion COPAE

București

2018

CUPRINS

Introducere ………………………………….……………..…….. 2

1. ANALIZA ÎN TIMP A FUNCȚIONĂRII MOTORULUI …………. 3

1.1. Particularități funcționale ……………………………………. 3

1.2. Analiza statistică a datelor …………………………………… 9

1.2.1. Caracteristici statistice de ordinul I ……………………. 9

1.2.2. Analiza în timp comparativă …………………………….. 9

1.2.3. Verificarea ipotezelor statistice …………………………. 9

2. ANALIZA SPECTRALĂ A FUNCȚIONĂRII MOTORULUI 27

2.1. Analiza în frecvență monospectrală ……………………. 27

2.2. Analiza de coerență ………………………………………….. 37

2.3. Analiza în frecvență polispectrală ………………………. 41

2.4. [anonimizat] ………………………………….. 47

INTRODUCERE

Testerele specializate permit înregistrarea respectiv salvarea datelor experimentale pentru prelucrarea ulterioară a acestora.

În vederea analizării și a perfecționării ulterioare a controlului electronic a motorului cu injecție directă de benzină se urmărește variația mărimilor funcționale de interes. [anonimizat], tip K7J cu o cilindree de 1390 cm3, cu o putere de 55 kw la 5500 rot/min și moment motor de 112 Nm la 3000 rot/min.

În primul capitol intitulat ”Analiza în timp a funcționării motorului” este realizat o analiză comparativă a unor mărimi funcționale ale motorului. [anonimizat]. Se prezintă modul de variație a mărimilor de interes și tendințele de evoluție a acestora. Tot în cadrul acestui capitol se prezintă caracteristicile statice de ordin I, exemplificând cu grafice bazate pe datele experimentale salvate. Analiza în timp comparativă are rolul de a trage concluzii referitoare la funcționarea motorului cu injecție de benzină.

Capitolul doi ”Analiza spectrală a funcționării motorului” se referă la analiza motorului cu injecție de benzină prin prisma analizei spectrale comparative. [anonimizat], [anonimizat], cu particularitățile și limitările fiecăreia. Analiza spectrală a datelor a arătat caracterul neliniar al funcționării motorului cu injecție de benzină. Utilizării analizei spectrale a datelor mai are și următoarele avantaje; dă informații utile referitoare la structura internă a semnalelor; stabilirea spectrului de frecvență a datelor; stabilirea componentelor armonice și determinarea intensității acesteia; scoate în evidență componentele cu aport energetic ridicat din seriile dinamice experimentale. [anonimizat] a seriilor dinamice cu aport energetic ridicat.

Capitolul 1

ANALIZA ÎN TIMP A FUNCȚIONĂRII MOTORULUI

Particularități funcționale

Particularitățile funcționale permit compararea între ele a șirurilor de date de valori obținute prin cale experimentală. Se pot face comparări pe baza datelor experimentale a diferitelor mărimi de funcționare a motorului și a diferitelor tipuri de mișcare a autovehiculului. Astfel se pot trage concluzii privind modul de funcționare a motorului și la modul de conducere, de către șofer a autovehiculului.

În acest capitol se vor prezenta câteva mărimi funcționale ale motorului. Se face o comparație între probe și între ordinul de mărime a parametrilor de interes. În acest sens se utilizează grafice specifice obținute din datele experimentale obținute din cele 100 de încercări, înregistrate cu autovehiculul Logan Laureate, cu injecție de benzină. La toate cele 100 de probe timpul de înregistrare a probei este 100 de secunde.

Fig. 1.1.

Din figura 1.1. se poate observa reprezentările grafice pentru cele 100 probe consumul orar de combustibil, debitul ciclic de combustibil, consumul la 100 km și consumul specific efectiv de combustibil. Consumul orar de combustibil variază în plaja 0,83 și 7,45 kg/h, iar media pe probe este 4.57 kg/h.

Consumul orar se poate exprima și matematic nu numai experimental. Relația de calcul a consumului de combustibil la 100 km în funcție de combustibilul orar este:

(1.1)

Spre exemplu în următorul grafic se prezintă din nou consumul de combustibil la 100 km dar de data mai este prezentat și viteza autovehiculului, permițând o analiză de interdependență între cele două mărimi de interese.

Fig. 1.2.

Fig. 1.3.

Graficul arată faptul că există o tendință de creșterea a consumului de combustibil la 100 km la vitezele ridicate ale automobilului.

În ceea ce privește viteza autovehiculului acesta, de-a lungul a 100 de probe a cunoscut o variație intensă. În figura 1.2 se observă că la probele cu o viteză medie mai scăzută consumul de combustibil la 100 km este mai ridicat și viceversa. Spre exemplu la probele 8 și 9 consumurile sunt mai mari de 9 litrii/100 km și vitezele medii tot în aceste probe sunt aproape 40 km/h. La probe cu numărul 79 viteza medie este aproape 95 km/h, iar în acest caz consumul mediu la 100 km este mai scăzut față de restul consumurilor pe probe. Consumul de combustibil la proba 79 este 5 litrii/100 km, ceea ce este și mai mic față de consumul de combustibil la 100 km indicat de constructor. Iar vitezele medii de probe au variat în gama 40-100 km/h.

În continuare în figura de mai jos se poate vedea vitezele minime și vitezele maxime pe probe la 100 de probe experimentale.

Fig. 1.4.

Se observă din figură că vitezele maxime pe probe sunt cuprinse între 60 și 130 km/h. Viteza maximă atinsă la toate cele 100 de probe experimentale, se poate citi de pe grafic, este 126,1 km/h. Este de menționat faptul că viteza maximă a autovehiculului conform specificației tehnice este 162 km/h.

Vitezele minime pe probe au variat în gama 10 km/h și 67,6 km/h. Viteza minimă stabilă absolută la toate cele 100 de probe experimentale este 11,5 km/h.

În continuare se prezintă variația de viteze la 4 probe experimentale fiecare ales aleatoriu din totalul de probe (din sferturile de probe).

Astfel în figura 1.5 sunt prezentate variațiile de viteze ale probelor: L23, L44, L67 și L90.

La proba L23 viteza autovehiculului variază între 13 km/h și 94,4 km/h iar viteza medie este 61,7 km/h. Înregistrarea probei a fost oprită după frânarea autovehiculului până la viteza de 13 km/h.

La proba L44 în primele 60 de secunde autovehiculul tinde să se deplaseze pe palier la o viteză de 65 km. Viteza minimă este 13,5 km/h la sfârșitul probei. Viteza maximă pe probe este 81,3 km/h, iar viteza medie pe ansamblul probei este 64,3 km/h.

Variația de viteze la proba L67 este între 18,4 și 89,02 km/h, iar viteza medie pe probă este 52,5 km/h. Iar la proba L90 viteza are o tendință continuă de creștere (cu variații) de la 37,1 km/h, până la 95,9 km/h.

Fig. 1.5.

Se observă din cele patru grafice că vitezele sunt aleatorii, ceea ce ne demonstrează faptul că probele au fost făcute aleatorii. Nu există probe de demaraj sau de non-demaraj. Nu a fost respectat nici un ciclu de încercare a autovehiculului.

În continuare se prezintă pentru variațiile date ale vitezei automobilului, puterea efectivă maximă și momentul efectiv maxim al motorului

Fig. 1.6.

Puterea maximă atinsă de-a lungul a 100 de probe experimentale este 46,1 kW, iar puterea medie din totalul de puteri maxime este 35,8 kW. De aici se demonstrează foarte ușor faptul că nici un motor nu funcționează pe tot ciclul lui de viață aproape de puterea maximă. Pe ansamblul de probe în medie motorul a funcționat la 64,7% din puterea maximă.

La momentul motor concluzia este similară, adică motorul nu a atins nici o data valoarea maximă a cuplului maxim dat de constructor în specificația tehnică. Valoarea maximă a cuplului în ansamblul de probe este 106,4 Nm, care a fost realizat la proba L79. Valoarea acestui cuplu este 95% din valoarea cuplului maxim dat de producător, adică 112 Nm.

În concluzie referitor la figura 1.6. motorul de-a lungul a 100 de probe nici o data nu a funcționat la puterea sau momentul maxim dat de producător în specificație tehnică.

În figura de mai jos se prezintă, de data asta, valorile medii pe probe ale puterii respectiv al cuplului motor. Prin urmare valoarea medie pe ansamblu a puterii motorului este 20,2 kW iar valoarea medie a momentului motor este 79,2 Nm.

Fig. 1.7.

În continuare, se compară variația puterii motorului la patru probe experimentale diferite. Pe cele patru grafice se pot vedea căderi ale valorii puterii motorului, ceea ce se poate pune pe seama schimbării treptelor de viteză.

La probe L23 puterea motorului a variat între 1,3 și 38,6 kW. Puterea medie situându-se la 17,1 kW. La proba L44 puterea medie utilizată pentru propulsarea autovehiculului Logan Laureate s-au utilizat doar în medie 14,2 kW. Și gama de variație a turației este mai mică, adică de la 3,13 kW la 30,8 kW. La graficul c) care ilustrează variația puterii motorului la proba L67 puterea maximă este cea mai mare dintre toate cele patru probe comparate, și anume 40,39 kW. Iar la proba L90 puterea minimă este 0,709 kW,cea mai mică dintre toate cele patru probe menționate. Puterea medie a probei este 24,6 kW.

Fig. 1.8.

În figura 1.9 sunt redate turația motorului atât în reprezentarea continuă cât și în cea discretă. Se observă cu ușurință că din numărul total de valori, 66.85% se găsesc în plaja 2000-3000 rot/min. Reprezentarea discretă a datelor, care este reală, permite evidențierea existenței majorității valorilor în intervalul de turații menționat. Reprezentarea continuă a datelor nu este o reprezentare în întregime reală deoarece datele sunt interpolate.

Fig. 1.9.

În figura imediat următoare sunt reprezentate, de data asta, turațiile medii pe probe. Iar pe acest grafic este demonstrat faptul că turația medie pe tot ansamblul probelor este 2326.6 rot/min, ceea ce confirmă că afirmația de sus este adevărată, adică marea majoritate a turațiilor se găsesc între 2000-3000 rot/min.

Fig. 1.10.

În vederea determinării regimului de sarcină de funcționare a motorului pe tot ansamblul de probe, pe figura următoare sunt prezentate valorile continue și discreta ale clapetei obturatoare a motorului , ce constituie în același timp și sarcina motorului; așa cum se cunoaște, turația și sarcina motorului reprezintă cele două variabile independente (factori de influență) folosite în literatura de specialitate.

Din figura se constată că 62,76% din totalul datelor se găsesc în intervalul 50-100%; așadar, majoritatea valorilor se găsesc în gama sarcinilor mijlocii și mari.

Graficul din fig.1.11. reliefează un adevăr foarte important, și anume că în exploatarea reală a autovehiculelor, majoritatea cazurilor, sarcinile motorului se găsesc în intervalul sarcinilor parțiale și foarte puține în cazul sarcinilor totale (=100%).

Fig. 1.11.

Un alt exemplu de reprezentare discretă și continuă este pentru poziția pedalei de accelerație.

Fig.1.12.

Din graficul de variație a pedalei de accelerație se vede că la poziția minimă a clapetei obturatoare (0%) îi corespunde poziția pedalei de accelerație de 2% (minima pozițiilor pedalei de accelerație). Iar valoarea maximă a poziției pedalei de accelerație este 98,6%, corespunzător 100% clapetei obturatoare. În practică poziția clapetei obturatoare pe de o parte este dată de poziția pedalei de accelerației. Așadar poziția pedalei de accelerație este direct proporțional cu poziția clapetei obturatoare.

Analiza statistică a datelor

Caracteristici statistice de ordinul I

Se pot distinge mai multe caracteristici statice de diferite ordine. Caracteristica statică de ordinul I include următorii indicatori statistici: media, dispersia, mediana, abaterea standard, valoarea maximă, valoarea minimă, coeficientul de variație, norma 1, norma 2, norma infinit etc.

Pe baza datelor experimentale și a relațiilor de calcul din literatura de specialitate [11,12] se pot determina valorile indicatorilor statistici menționați mai sus.

Astfel pentru media (M) unui șir de date oarecare x(t), dinamice finite discrete valoarea medie se va calcula cu relația [11]:

(1.1)

unde n este numărul de valori ale seriei analizate.

Relația dispersiei, este (estimator nedeplasat):

(1.2)

Iar abaterea medie pătratică este rădăcina din dispersia și este egal cu:

(1.3)

Similar pentru dispersie și pentru abaterea medie pătratică se pot determina estimatorul deplasat, adică la numitor în loc de n-1 avem n, astfel relația dispersiei va deveni:

(1.4)

În afara de mărimile prezentate anterior pentru o serie dinamică oarecare se pot determina următoarele:

Valoarea minimă este:

(1.5)

Valoarea maximă este:

(1.6)

Mediana se definește ca fiind acea valoare dintr-un șir de valori pentru care exact jumătate din ele sunt mai mici, iar jumătate mai mari. În literatura de specialitate mai este definit și ca valoare centrală.

Media geometrică este determinat cu relația:

(1.7)

Media armonică se calculează pe baza relației:

(1.8)

În statistică se mai poate utiliza și normele semnalelor sau a mărimilor care se notează cu L (în spațiu Lebesgue). Aceste norme se pot utiliza, de asemenea, și la controlul electronic.

Astfel, se definește norma p pentru o mărime continuă și este exprimat cu următoarea relație:

(1.9)

Pentru relația de mai sus se prezintă cazuri particulare des utilizate atât în inginerie cât și în cadrul lucrării de față.

Norma 1 (p=1) mai este denumit și suma valorilor absolute este:

(1.10)

Norma 2, sau norma euclidiană și al cărei pătrat reprezintă energia totală a mărimii:

(1.11)

Norma infinit, care mai este definit și ca valoarea de vârf, sau valoarea supremă:

(1.12)

Norma 2 va fi des utilizată deoarece pătratul ei reprezintă energia unui sistem, fapt ce demonstrează de ce i se acordă o importanță majora în continuare. În plus și norma infinit va fi utilizată cu preponderență, deoarece în domeniul ingineriei autovehiculelor poate să reprezinte accelerația sau decelerația maximă (reprezintă cea mai mare valoare a mărimii de interes).

În primul rând se prezintă pentru cele 100 de probe, în figura de mai jos, viteza de deplasare și distanțele parcurse pe probe. Pe fig.1.13.a. se poate observa că vitezele variază între 11,5 km/h și 126,1 km/h iar distanțele parcurse între 1079,6 și 2720,1 m.

Pe baza datelor experimentale obținute prin încercarea autovehiculului Logan Laureate, se prezintă câteva exemple reprezentative ce surprind modul în care variază viteza autovehiculului.

Fig. 1.13.

Astfel în figura 1.14 se redau caracteristicile statice de ordinul I pentru proba L23 și L83 ale vitezei de deplasare ale autovehiculului. Se mai redau pe grafic valorile minime și cele maxime pentru viteza autovehiculului pentru probele date.

Fig. 1.14.

Media probei L23 la viteze este mai mare de cât în cazul probei L83 (59,3 km/h). Viteza autovehiculului prezentat și pe grafice variază mai mult la proba L83 ceea ce este demonstrat și prin coeficientul de variație. Coeficientul de variație la proba L23 este 0,31 iar la probe L83 este 1,32.

Verificarea ipotezelor statistice

Din punct de vedere statistic acceptarea sau respingerea unei ipoteze statistice se face pe baza unui eșantion. Cercetătorul în funcție de proprietățile eșantionului poate să accepte o ipoteză sau nu. Din această cauză se introduc greșeli subiective care sunt de genul I sau de genul II. Eroarea de genul I înseamnă că se respinge o ipoteză adevărată iar eroarea de genul II, înseamnă că se acceptă o ipoteză falsă. În statistică întotdeauna se pleacă de la o ipoteză inițială, care se numește ipoteza zero și de cele mai multe ori este notat cu H0. Se consideră că întotdeauna ipoteza zero este adevărată. Dar după calcule efectuate se demonstrează că există o diferență mare între datele statistice și datele considerate a fi corecte, ipoteza zero se respinge și se va construi o altă ipoteză, notat de cele mai multe ori cu H1. Iar dacă diferența între datele așteptate și cele afirmate la ipoteza zero au o diferență nesemnificativă, atunci ipoteza zero totuși se acceptă. Aceste teste au următoarele avantaje: permite încadrarea datelor statistice într-o lege de distribuție cum ar fi legea lui Gauss (Normală), Weibull, Rayleigh etc. [11]. În plus testele mai pot fi folosite și pentru stabilirea intervalelor de încredere.

În continuare se vor prezenta câteva exemple de verificare a unor legi de distribuție pentru momentul motor și puterea motorului pentru toate cele 100 de probe experimentale.

Se pornește de la ipoteza că datele obținute, care semnifică mărimile funcționale ale motorului se încadrează în legea de distribuție Normală.

Fig. 1.15.

Așadar din figura de verificare a încadrării legii de distribuție normală a valorilor momentului motor se ajunge la concluzie că ipoteza zero se respinge cu un nivel de semnificație α=0,05.

Fig. 1.16.

Similar cu cazul anterior, nici valorile puterii motorului nu se încadrează în legea de distribuție normală, adică în ipoteza zero.

Momentul motor a mai fost verificat și pentru legea de distribuție Rayleigh și în legea de distribuție Weibull. În niciuna dintre aceste distribuții nu se încadrează momentul motor cu un nivel de semnificație impus, α=0,05.

Fig. 1.17.

Se observă din figura 1.17 că probabilitatea momentului motor crește, dar nu liniar constant cum ar fi trebuit să fie pentru încadrare perfectă în legea de distribuție Rayleigh. În figura 1.18 se verifică încadrarea momentului motor în legea de distribuție Weibull. S-a constatat că nici în această lege nu se încadrează.

Fig. 1.18.

În continuare se prezintă un alt exemplu pentru verificarea legii de distribuție a turației motorului pentru toate cele 100 de probe experimentale. Se observă că pentru turațiile cuprinse între 2000 și 3000 rot/min repartiția experimentală se încadrează în legea de distribuție normă. Dar pentru tot intervalul de turații cuprinse între 800 și 4200 rot/min, aceasta nu se mai încadrează în legea de distribuție normală cu nivel de semnificație impus (α=0,05).

Fig.1.19.

Fig.1.20.

Se observă că în legea de distribuție Weibull viteza autovehiculului se încadrează destul de bine. Dar nici acest parametru nu poate fi caracterizat în întregime prin această lege de distribuție.

în vederea evidențierii faptului că nici un parametru nu se încadrează perfect în nici o lege de distribuție, se prezintă câteva exemple aleatorii de diferiți parametrii pentru diferite probe experimentale.

Fig.1.21.

Fig.1.22.

Fig.1.23.

În concluzie nici o serie dinamică nu se încadrează în legile de distribuție cunoscută din statistica matematică ceea ce confirmă că dinamica autovehiculelor are un caracter aleatoriu.

În plus ipotezele statistice mai permit și stabilirea intervalelor de încredere pentru momentul motor, puterea motorului și consumului orar de combustibil.

În cele trei figuri (Fig. 1.24., Fig. 1.25., Fig. 1.26.) sunt prezentate valorile pe probe cu probabilitatea cea mai mare de apariție la autovehiculul Logan Laureate. Sunt prezentate valorile tuturor probelor (cu albastru deschis) și valorile cu probabilitatea cea mai mare pe probe pentru mărimea de interes, măsurat.

Fig. 1.24.

Din figura 1.24 se observă că probabilitatea cea mai mare de apariție în cazul parametrii, puterii motorului este situat între 10,7 și 37,6 kW.

Fig. 1.25.

Probabilitatea cea mai mare de apariție a momentului motor este cuprinsă între valorile 15 și 107 Nm.

Spre exemplu probabilitatea cea mai mare de apariție în cazul consumului orar de combustibil sunt cuprinse între 3,7 și 6,5 kg/h.

Fig. 1.26.

Histogramele au rolul de a evidenția repartiția valorilor parametrilor. Astfel se poate vede, în cazul de față, din totalul de 99900 de valori pentru fiecare parametru în parte, câte valori sunt cu o anumită valoare. Din figura 1.26 a se poate observa că 51453 de valori au 106 Nm. În cazul puterii motorului, de exemplu, cele mai multe valori, adică 25765, au valoarea de 26 kW. Similar se poate vedea că la consumul la 100 km că aproape 100% dintre valori au 6 litrii/100km. Avansul la aprindere preponderent are valori maxime între 11 și 22 de grade.

Fig. 1.27.

În continuare se prezintă dendogramele. Aceste grafice au rolul de a scoate în evidență importanța și influența parametrilor asupra dinamicii autovehiculelor. Ele sunt rezultatele analizei după un algoritm de clasificare. Procesul de clasificare are la bază distanța euclidiană.

Fig. 1.28.

Dendogramele prezentate în figura 1.28 permit evidențierea a celor 6 parametri funcționali asupra dinamicitatea autovehiculului. Acești șase parametrii sunt: calitatea amestecului aerului, avansul la scânteie, presiunea aerului admis, durata injecției, turația motorului și poziția clapetei de accelerație. În figura a) sunt prezentate influența acestor șase parametri asupra vitezei de deplasare a autovehiculului. Se observă că în cazul fiecărui parametru distanța euclidiana diferă. Influențele cele mai mari asupra vitezei automobilului au turația motorului și calitatea amestecului, deoarece au distanța euclidiana cea mai mică. Similar pentru figura b turația motorului și avansul la scânteie au influență majoră asupra accelerației autovehiculului.

Fig. 1.29.

În figura 1.29. sunt prezentate influențele acelor șase parametrii enumerați mai sus asupra consumului orar de combustibil (figura 1.29a) și asupra consumului de combustibil la 100 km (figura 1.29b). Se observă că la ambele tipuri de consumuri parametrii cei mai influenți sunt durata injecției și poziția clapetei obturatoare.

Fig. 1.30.

Se mai prezintă în figura 1.30. influența parametrilor asupra momentului motor (figura a) și asupra puterii motorului (figura b). În ambele cazuri influențe majore au turația motorului și avansul la aprindere.

În continuare din dendograma de la figura 1.30 iese în evidență care dintre cele 100 de probe au influență majora asupra consumului de combustibil la 100 km respect asupra vitezei automobilului.

Fig. 1.31.

ANALIZA SPECTRALĂ A FUNCȚIONĂRII MOTORULUI

Conform literaturii de specialitate din ingineria autovehiculelor se utiliza în mod cel mai frecvent analiza monospectrală. Analiza bispectrală a datelor este utilizat în mod cel mai uzual pentru analiza dinamici neliniare ale autovehiculului. [11]

Analiza în frecvență monospectrală

Pe baza analizelor în frecvență monospectrală stă transformata Fourier clasic. Astfel se adoptă două ipoteze simplificatoare pentru ingineria autovehiculelor; se presupune că autovehiculul constituie un sistem liniar și se fac analizele dinamice considerând că autovehiculul se află în staționare. Spectrul de frecvență devine invariabil în timp. Analiza monospectrală înseamnă că transformata Fourier alocă părții liniare întreg spectrul de frecvențe.

Pentru o mărime oarecare y(t), care este continuă, imaginea Fourier este obținut prin aplicarea transformatei directe Fourier [11,12].

(2.1)

Unde reprezintă frecvența (se utilizează și notația f), , iar pulsația se calculează cu relația .

Funcția complexă are partea reală și o parte imaginară. Partea reală este notată cu , iar partea imaginară este notată cu .

Funcția complexă este:

(2.2)

Unde:

(2.3)

De asemenea, fiind o funcție complexă, Y(j) posedă modulul sau amplitudinea A()și argumentul sau faza :

(2.4)

La analiza în frecvență se mai utilizează densitatea spectrală de energie, care reprezintă funcția:

(2.5)

în care:

(2.6)

Spectrul conjugat este de unde rezultă :

(2.7)

Luând în calcul relația (2.4) rezultă:

(2.8)

Aplicând teorema lui Parseval:

(2.9)

din relațiile (2.8) și (2.9) se obține:

(2.10)

În plus la analiză în frecvență se mai utilizează și densitatea spectrală de putere, care reprezintă transformata inversă Fourier a funcției de autocorelație :

(2.11)

Relațiile de calcul cu integrale, sunt valabile pentru o funcție continuă y(t), deci la care argumentul este timpul continuu . Din experimentări rezultă însă valori discrete și deci calculele trebuie efectuate în timp discret (număr de valori), caz în care se utilizează transformata Fourier discretă (DFT- Discrete Fourier Transform) pentru seria dinamică experimentală y(n). Dacă numărul de valori N al seriei experimentale este un multiplu de 2n, atunci se aplică transformata Fourier rapidă (FFT- Fast Fourier Transform), care se calculează cu relația [11; 12]:

(2.12)

Transformata inversă Fourier discretă denumit în engleză Invers Discrete Fourier Transform (IDFT) permite stabilirea seriei dinamice originale, care are forma:

(2.13)

în care termenul liber reprezintă media seriei dinamice discrete y(n), iar k ordinul armonicii Fourier.

Relația de legătură dintre transformata și coeficientul Fourier este exprimat cu relațiile de mai jos.

(2.14)

În continuare în figura de mai jos se prezintă variația amplitudinii relative Fourier atât pentru momentul motor cât și pentru puterea motorului, pentru toate cele 100 de probe experimentale. De fapt graficele prezintă armonicele Fourier a căror amplitudine depășește 2%.

Fig. 2.1.

Se observă din grafic că sunt prezentate frecvențele până la 70 Hz în cazul momentului motor și 80 Hz, în cazul puterii motorului. Pentru a obține o precizie ridicată frecvență de eșantionare se alege ca fiind dublul frecvenței relative maxime (teorema lui Shannon [11]):

(2.15)

Din figura 2.1.a. se mai observă și faptul că frecvențele maxime ajung până la 70 Hz, toate celelalte frecvențe mai mari nu sunt prezentate, deoarece nu prezintă interes, sunt mai mici decât 2%. În cazul puterii motorului frecvența maximă este 80 Hz, după cum se vede și pe grafic, iar frecvența de eșantionare este 160 Hz. În cazul puterii motorului vibrațiile până la 80 Hz au amplitudini relative mai mari, momentul motor are amplitudini mai mici dar sunt prezente mai multe vibrații.

Se prezintă amplitudinile relative și absolute pentru momentul motor în cazul probei de încercări L23. Altfel zis pe figura a) este prezentată densitatea spectrală de putere a seriei dinamice, iar pe figura b) monospectrul filtrului trece jos.

Fig.2.2.

Se observă din cele două grafice că atât amplitudinea absolută Fourier cât și amplitudinea relativă Fourier pentru momentul motor respectiv puterea motorului au alură asemănătoare. Amplitudinea absolută la momentul motor este mai mare decât la puterea motorului. Frecvența de eșantionare în cazul amplitudinii relative în ambele cazuri au valori identice, adică 100 Hz.

Fig.2.3.

În continuare se mai prezintă amplitudinile relative și absolute pentru momentul motor în cazul probei de încercări L69.

Fig.2.4.

Se observă că și în cazul probei cu numărul L69 amplitudinile relative Fourier sunt asemănătoare. Acest aspect se demonstrează prin prisma faptului că matematic puterea este produsul momentului și a turației.

Fig.2.5.

În figurile următoare sunt prezentate pe rând valorile experimentale și cu serii Fourier ale momentului motor și a puterii motorului pentru probele L23 și L69.

De menționat este că aceste reprezentări au rolul de a demonstra corectitudinea cu care s-au adaptat frecvențele de eșantionare. Pe baza ridicării acestor grafice stă relația (2.13) unde s-au utilizat conținuturile armonicilor seriilor Fourier. Pentru demonstrație se adoptă un număr din ce în ce mai mare de armonici, 20,30,40,50 armonici ale seriei Fourier.

Fig.2.6.

Fig.2.7.

Fig.2.8.

Se observă din toate cele patru grafice (Fig. 2.5, Fig. 2.6, Fig. 2.7, Fig. 2.8), cu cât este mai mare numărul armonicelor cu atât eroarea scade. Eroarea este eroare de reprezentare adică cât de bine aproximează cu relațiile lui Fourier datele înregistrate. Pentru a obține eroarea maximă impusă (adică 2%), pentru o precizie satisfăcătoare la reconstruirea seriei dinamice, este necesar ca să se ia în calcul un număr de 50 de armonici.

Din graficele Fig.2.8 și Fig.2.9. se observă că pentru înregistrările L23 și L69, atât în cazul momentului motor cât și în cazul puterii motorului, dacă numărul de armonici impus este 50 atunci eroarea de sinteză este sub 2%, frecvența de eșantionare aleasă este corectă pentru aceste probe.

Fig.2.9.

În figura de mai jos sunt prezentate erorile de sinteză (la momentul motor 2.10. și puterea motorului 2.11.) pentru toate cele 100 de probe experimentale și astfel se demonstrează faptul că dacă se alege 50 de armonici Fourier, în urma discuțiilor anterioare, atunci nu la toate cele 100 de probe experimentale eroarea de sinteză va fi sub 2%.

Fig.2.10.

Se observă că valoarea erorii maxime în cazul momentului motor este 5,8%, în plus și media erorilor pe cele 100 de probe este 2,5%, care depășește valoarea impusă. Este evident că multe valori dintre erori sunt inacceptabile. Acest aspect se explică prin prisma faptului că un ciclul motor are perioada de funcționare foarte mică, în ordinul milisecundelor. Prin urmare trebuie crescut frecvența de eșantionare în vederea micșorării erorii de sinteză până la valoarea acceptată. Fapt ce e demonstra și în figura 2.10.

Fig.2.11.

Din figura 2.11 reiese același concluzie ca în cazul momentului motor.

Fig.2.12.

Prin urmare dacă se crește frecvența de eșantionare la 180 Hz valoare maximă din cele 100 probe al momentului motor va fi în cazul probei L99 și este exact 2%. Se observă că la eșantionarea cu 180 Hz a puterii motorului valoarea maximă a erorii dintre toate probele experimentale este 1,9%. Se mai observă că în ambele cazuri media erorilor este 0,6%. Erorile sintetice așa de mici duc la dezavantajul că va crește mult volumul de calcul.

Fig.2.13.

Pentru demonstrație, că s-a ales o frecvență de eșantionare corectă, se prezintă valorile experimentale și cu serii Fourier pentru proba L99 (proba care are cea mai mare eroare de sinteză) pentru putere respectiv momentul motor.

Fig.2.14

În continuare, începând cu figura 2.36 se prezintă erorile de sinteză obținute pentru alți parametrii reprezentativi din ingineria autovehiculelor

Fig.2.15

Fig.2.16

Se observă din figurile 2.16., 2.17., 2.18. că dacă parametrul reprezentat are o frecvență mare de variație atunci numărul armonicilor trebuie crescut ca eroarea de sinteză să nu depășească valoarea impusă. Spre exemplu consumul de combustibil la 100 km variază mult, fiind dependent de sarcina și turația motorului care la rândul lor au o frecvența de variație ridicată. Numărul de armonici adaptat în acest caz este 90. Se mai observă că sunt 5 valori care depășesc 2%, la aceste este posibil că au fost prinse și erorile de măsurare și zgomotele electrice. Valoarea maximă a erorii de sinteză este 3,9%, iar media se situează la valoare de 0,9%.

Fig.2.17

În figura de mai sus se prezintă erorile de sinteză pentru viteza autovehiculului. Cum în cazul acestui parametru variațiile sunt mici, numărul de armonici adaptat este 50 (frecvența de eșantionare 100 Hz), deci în calculele următoare se va utiliza valoarea frecvenței de eșantionare adaptată. Se observă că toate valorile sunt sub 2%, valoarea maximă este la proba 65 și este 1,9%.

Fig.2.18

Din figura 2.38. reiese că dacă se adoptă numărul de armonici 50, la turația motorului 98 din 100 de probe experimentale au erori de sinteză sub 2%. Ceea ce este admisibil. Probele L3 și L4 sunt cele două probe care nu se încadrează în eroarea de sinteză impusă. Valoarea maximă pe cele 100 de probe este 3,2% și media pe probe este 0,8%.

Prin urmare frecvența de eșantionare judicios ales (pentru calcule ulterioare) în cazul puterii motorului este 160 Hz iar al momentului motor este 140 Hz.

Analiza de coerență

Pentru analiza unui sistem cu o monovariabilă la intrare și cu o monovariabilă la ieșire, prescurtat din engleză și ca SISO se utilizează analiza de coerență, definită cu relația de mai jos pentru două serii dinamice x(t), care este mărimea de intrare și y(t), mărimea de ieșire:

(2.15)

Unde S este densitatea spectrală de putere bilaterală, care are limite simetrice, adică și se stabilesc pe baza datelor experimentale cu relația de mai jos.

(2.16)

Așadar se demonstrează că funcția de coerență are valori în plaja:

(2.17)

Dacă sistemul este liniar, se obține:

(2.18)

în care Wxy() reprezintă funcția de transfer a sistemului.

Prin urmare funcția de coerență are valoare unitară ().Dacă sistemul este neliniar, atunci este o relație de dependență neliniară, și atunci funcția de coerență are valoare subunitară (). Deci în acest caz, există și alte mărimi la intrare care nu sunt luate în considerare sau că sistemul este neliniar.

În figura 2.19 se prezintă valorile instantanee ale funcției de coerență pe fiecare probe pentru poziția clapetei obturatoare și momentul motor, și pentru poziția clapetei obturatoare și puterea motorului.

Fig.2.19

Se observă că valorile instantanee pe probe ale funcției de coerență dintre poziția clapetei obturatoare și momentul motor și puterea motorului sun foarte asemănătoare. Ambele serii de grafice se abat foarte mult de la dependență liniară perfectă. Pe baza funcției de coerență se poate stabili zgomotul Z care este cu atât mai mare cu cât funcția de coerență este mai mică. prin funcția de coerență se poate anula efectele negative ale zgomotului.

în figura de mai jos se prezintă valorile medii pe probe pentru toate cele 100 de probe experimentale Valorile medii ale funcției de coerență pentru momentul motor , iar în cazul puterii motor este . deci există o corelare mai slabă la puterea motorului decât la moment. Acest lucru înseamnă că în corelarea puterii au fost omise mai mulți parametri funcționali importanți.

Fig.2.20

Analiza în frecvență polispectrală

Dacă până acum s-au făcut analize monospectrale ale datelor experimentală, pentru sisteme liniare, acest capitol este menit să analizeze sistemul real cu neliniaritățile sale. Seriile dinamice experimentale reprezintă suma a mai multor date experimentale, care nu pot fi depistate cu analiză monospectrală a datelor. Pentru analiza polispectrală a datelor este necesar utilizarea momentelor statice de ordin superior. Acest lucru se bazează pe generalizarea autocorelației seriilor dinamice, prin folosirea cumulanților. Cumulanții sunt combinații neliniare ale momentelor statice. În continuare se definesc cumulanți de ordin I, II și III [11].

Cumulantul de ordin I este definit ca:

(2.19)

unde y[n] este media seriei dinamice discret. M{.} reprezintă operatorul de mediere statistică (media aritmetică).

Cumulantul de ordinul II este:

(2.20)

Care esre funcția de autocorelație, folosită și în analiza monospectrală Fourier.

cumulantul de ordinul III:

(2.21)

Care reprezintă o extensie a funcției de autocorelație clasică.

cumulantul de ordinul IV:

(2.22)

în mod similar adoptându-se și alți cumulanți, de ordin mai mare.

Cu acești cumulați se poate utiliza la următoarele:

Analiza monospectrală (cumulantu de ordinul II), la funcția de autocorelație din relația 2,20. Așadar se obține densitatea spectrală exprimată cu relația de mai jos:

(2.23)

La analiza bispectrală, la care se utilizează cumulantul de ordin III (2,21), rezultă că bispectrul seriei are forma:

(2.24)

Unde k,), r,).

analiza trispectrală și se obține trspectrul sriei dinamice:

(2.25)

în care k,), r,), m,).

Prin urmare rezultă următoarele observații:

ordinul "j " al polispectrului este dat de numărul argumentelor care se referă la frecvențe; de exemplu, trispectrul conține trei argumente: 2, 3 (notate și cu f1, f2, f3).

ordinul "j" al polispectrului este dat de ordinul "j+1" al cumulantului; de exemplu, bispectrul se determină cu ajutorul cumulantului de ordinul III.

relațiile prezentate sunt exprimate în timp discret și se referă la seria dinamică aferentă y[n]; în mod similar, se pot reda expresiile și în timp continuu, prin integrale și nu prin sume, caz în care se fac referiri la seria dinamică y(t).

analiza în frecvență bispectrală se utilizează pentru evidențierea și separarea părții neliniare din răspunsul dinamic al unui sistem (din seriile experimentale), iar analiza trispectrală se folosește pentru separarea zgomotului ce însoțește orice proces dinamic real [11].

În continuare se prezintă exemple pentru bispectrul puterii motorului pentru diferite probe experimentale, în cazul autoturismului Logan Laureate.

Așadar pentru fiecare poză în parte sunt prezentate astfel:

în figurile a) sunt redate seriile dinamice experimentale a puterii motorului;

în figurile b) sunt ilustrate cumulanții de ordinul 3;

în figurile c) sunt reprezentate amplitudinile bispectrului;

în figurile d) sunt prezentate faza bispectrului.

În figura de mai jos sunt sunt redate bispectrul puterii motorului pentru proba L23.

Fig.2.21.

În continuare se redă bispectrul puterii motorului pentru proba L69.

Fig.2.22.

În figura 2.40 se prezintă spre exemplu bispectrul momentului motor pentru proba L99.

Este important de menționat că pe figurile pentru reprezentarea bispectrală, componenta liniară este reprezentată prin banda de frecvențe iar componenta neliniară este reprezentată prin banda de frecvențe

Se observă pentru cele trei probe experimentale reprezentate în figuri (L23, L69 și L99) că există componentă neliniară că altfel graficele ar fi fost goale. Se mai observă că există diferite tablouri bispectrale în funcție de numărul probei. Rezultă că același autovehicul, pe același traseu parcurs are comportamente diferite neliniare, rezultând modele matematice statistice pentru prelucrarea acestor date experimentale.

Amplitudinea bispectrală este cea mai mare la proba L23. Cumulantul de ordinul 3 în cazul probelor L69 și L99 sunt asemănătoare. În toate cele 3 cazuri faza bispectrului are valori maxime până la 40 Hz. La probele L23 și L69 mai având valori ridicate pe axa primei bisectoare.

Fig.2.23.

În ceea ce urmează se prezintă bispectrul momentului motor pentru aceleiași trei probe experimentale în vederea comparării acestora cu bispectrul puterii motorului, prezentate anterior.

Fig.2.24.

Fig.2.25.

Momentul motor în comparație de puterea motorului are un grad de populare mai scăzut în reprezentarea bidimensională. Statistic momentul motor are componente neliniare mai mici în comparație cu bispectrului puterii motorului. Se mai observă cu ușurință că amplitudinea bispectrală al momentului motor este mult mai scăzut față de amplitudinea bispectrală a motorului. În cazul momentului motor amplitudinea bispectrală cunoaște câteva valori ridicate sub 10 Hz și izolat peste 40 Hz.

Fig.2.26.

În vederea concluzionării importanței utilizării reprezentării bispectrale se mai prezintă al treilea rând de grafice bispectrale cu consumul de combustibil la 100 km, pentru cele trei probe alese.

Fig.2.27.

Fig.2.28.

Consumul de combustibil la 100 km cunoaște mai puține valori pentru amplitudinea bispectrului în comparație de ceilalți doi parametrii. Faza bispectrului are, pentru toate cele trei probe experimentale, valori mai scăzute față de puterea motorului și momentul motor, tot pentru aceleiași probe experimentale.

În concluzie s-a demonstrat cu ajutorul reprezentărilor bispectrale că în ingineria autovehiculelor există întotdeauna o componentă neliniară în toate mărimile funcționale ale autovehiculului.

Analiza în timp-frecvență

Având în vedere că autovehiculul este un sistem real, conform literaturii de specialitate, deci este nestaționar, trebuie aplicat și analiza în timp-frecvență.

Analiza în timp-frecvență este utilizat, în principiu, pentru următoarele sale proprietăți:

permite poziționarea în funcție de timp a diferitelor componente armonice mai ales a celor cu aport energetic ridicat din seriile dinamice experimentale;

scoaterea în evidență a altor proprietăți pe care analiza în frecvență nu poate;

compararea comportării în domeniul timp-frecvență pentru diferite mărimi funcționale și în diverse situații de deplasare ale autovehiculului;

evidențierea caracterului nestaționar al comportării în regim dinamic a autovehiculului și elementelor sale componente.

În general în literatura de specialitate din domeniul ingineriei autovehiculelor se utilizează analiza frecvență a datelor doar la dinamica verticală a autovehiculului. Având cele zise mai sus se utilizează analiza în timp-frecvență a datelor.

Cele mai utilizate tehnici de analiză în timp-frecvență sunt următoarele:

reprezentări non-transformate: spectrograma, sonograma (sau fonograma), vibrograma, scalograma, periodograma;

transformate liniare: transformata Fourier pe termen scurt (STFT – Short Time Fourier Transform);

transformate biliniare din clasa Cohen: Wigner-Ville, Gabor, Zak, Choi-Williams, Zao-Atlas-Mark, Born-Jordan, Page-Levin, Bertrand, Flandrin, Rihaczek, Unterberger, Margenau-Hill, Bud etc.;

transformate wavelet: Haar, Morlet, Gabor etc.

metode de analiză multirezoluție: Daubechies, Symmlet, Vaidyanathan, Haar, Coillet etc;

transformata S, propusă de Stockwell.

În continuare voi prezenta câteva exemple grafice de analiză în timp-frecvență a datelor experimentale pentru variație în timp a spectrului unor semnale. pe următoarele grafice sunt prezentate spectre de frecvență realizată cu transformata lui Bon-Jordan, definită cu relația [11; 12]:

(2.26)

în care y reprezintă un semnal complex oarecare, y* complex-conjugatul acestuia,  reprezintă frecvența, iar t și  timpul. se poate observa din relația dată că transformata Bon-Jordan oferă informații de frecvență pentru fiecare moment de timp bine definit. În schimb transformata Fourier furniza informații foarte clare despre frecvență, dar nu se știa la ce moment de timp se întâmpla.

Fig.2.29.

Fig.2.30.

Se observă cu ușurință din figurile 2.47.a, 2.48.a și 2.49.b că variații a frecvenței se întâmplă în momentul în care parametrul principal, adică momentul motor la rândul său variază. și se mai observă că valoarea frecvenței după transformata Bon-Jordan este direct proporțional cu valoarea momentului motor. Astfel din figura 2,48 se reiese că în momentul de timp 50-60 de secunde momentul motor este zero deoarece frecvența are, la rândul său, valori apropiate de zero.

Fig.2.31.

Trebuie menționat faptul că în transformata Bon-Jordan semantica culorii este reprezentată pe scara din stânga graficului. Astfel culorii albastru i se asociază valoarea zero, iar culoarea roșie semnifică valoarea maximă.

Se observă din cele trei grafice anterioare că momentul motor în cele trei probe experimentale de interes au aport energetic ridicat. la o frecvență de eșantionare de 140 Hz.

În continuare se prezintă analiza în frecvență a puterii motorului pentru probele L23, L69 și L99. Se observă și la aceste grafice că frecvența relativă este direct proporțional cu variația mărimii de interes, adică a puterii motorului. se observă și din aceste reprezentări că puterea motorului (similar cu momentul motor) are un aport energetic ridicat. Astfel din figura 2.50.c se remarcă un aport energetic ridicat pentru frecvențe relative de până la 0,2 Hz. În cazul puterii motorului frecvența de eșantionare este 160 Hz. Ținând cont de faptul că frecvența absolută este definită ca produsul dintre frecvența relativă și frecvența de eșantionare , rezultă că frecvența absolută este de 32 Hz.

Fig.2.32.

Din figura 2.51 se remarcă că la proba L69 frecvența relativă este mai scăzută în comparație cu proba L23, valoarea acesteia ajungându-se la 0,12 Hz. Se mai observă că în momentele de timp 10-15 respectiv 50-60 de secunde motorul nu a dezvoltat putere pentru tracțiunea autovehiculul.

Fig.2.33.

În concluzie din aceste reprezentări se poate observa momentele de timp când motorul a dezvoltat puterea respectiv moment motor maxim.

Un alt exemplu de reprezentare grafică folosind analiza în timp frecvență este transformata Stockwell a momentului motor și a poziției clapetei obturatoare.

Fig.2.34.

Această transformată este o varietate de transformată wavelet cu corecție de fază și este deosebit de utilă atunci când se dorește scoaterea în evidență a componentelor neliniare ale unei serii dinamice experimentale.

Transformata S este definită prin relația [11; 12]:

(2.27)

în care expresia ce marchează inclusiv extensia wavelet este:

(2.28)

În figura 2.53 se prezintă analiza spectrală Stockwell a momentului motor respectiv a puterii motorului pentru proba L69. se observă că valoarea maximă a amplitudinii relative Fourier, în cazul momentului motor, se atinge la t=65 s. Similar se observă că în cazul puterii motorului valoarea maxima a amplitudinii relative se atinge exact în același moment de timp. Ceea ce este și de așteptat deoarece puterea reprezintă produsul dintre turație și momentul motor.

Se mai observă că valoarea frecvenței relative local mai atinge valori maxime. de exemplu la t=20s frecvența relativă este 3 Hz.

Similar în figura figura 2.54 sunt prezentate aceleași doi parametri pentru proba experimentală L99

Fig.2.35.

Fig.2.36.

De data asta din figura 2.54 se observă cu ușurință zonelor unde aportul energetic al componentelor armonice este mare, adică în intervalul t=60…70 s. Valoarea frecvenței relative ajunge la 6 Hz.

În continuare se prezintă analiza spectrale Stockwell ale consumul de combustibil la 100 km și turația motorului. analiza graficelor se face după raționamentul de mai sus.

Fig.2.37.

Densitatea spectrală cea mai mare a consumului la proba L69 este în intervalul t=50…70 s. În schimb turația nu prezintă concentrații energetice mari.

Fig.2.38.

Similar din figura 2.56 se observa că valoarea maximă a frecvenței relative este la t=30 s și are valoarea de 400 Hz.

În continuare se prezintă un alt exemplu de reprezentare grafică a analizei în timp-frecvență, transformata Choi-Williams. Se prezintă un exemplu pentru momentul motor, proba experimentală L35 și analiza în frecvență- timp pentru puterea motorul

Fig.2.39

Fig.2.40.

În concluzie analiza în timp-frecvență demonstrează faptul că toate datele experimentale constituie serii dinamice nestaționare, cu spectrul de frecvențe variabil în timp. Cea mai importantă concluzie a caracterului nestaționar al comportării autovehiculelor este că este necesar stabilirea unor modele matematice cu coeficienți variabili ale dinamicii acestora.

CONCLUZII

În urma analizelor funcționale comparative a motorului realizate în această lucrare s-au tras câteva concluzii la performanțele motorului al autovehiculului Logan Laureate:

alura de variație a mărimilor funcționale este diferită de la probă la alta;

există probe care abat de la regulă, adică valoarea medie a seriei diferă mult față de valoarea medie a tuturor seriilor dinamice. Acest lucru se explică prin înregistrare defectuoasă și prin zgomotele electrice existente înregistrate;

caracteristicile statice ale măriilor funcționale ale motorului nu se încadrează în nici o lege de distribuție cunoscută. Acest fapt demonstrează caracterul dinamic al autovehiculului;

Motorul autovehiculului în majoritatea situațiilor se afla în gama sarcinilor mijlocii și mari, adică 62,76% din totalul datelor se găsesc în intervalul 50-100%;

banda de frecvențe a armonicilor cu aport energetic ridicat este de regulă mai îngustă la accelerări bruște ale autovehiculului, conducerea agresivă a acestuia;

frecvențele de eșantionare la parametrii direct legați de ciclul motor sunt mai mari decât la cele la care variația mărimilor se face lent;

analiza de coerență și analiza în frecvență bispectrală scoate în evidență

permite poziționarea în timp a seriilor dinamice cu aport energetic ridicat

BIBLIOGRAFIE

1. Anderson, T.W. The statistical analysis of time series. Wiley, New York, 2001

2. Andrei T., Stancu S. Statistica. Teorie și aplicații. Editura ALL, București, 1995

3. Auger F. Time-frequency Toolbox for Use with Matlab, Rice, 1996

4. Bătinețu-Giurgiu, M.; Lambadarie, D. Sisteme dinamice. Editura Academiei Tehnice Militare, București, 1993

5. Brandon K. Internal Combustion Engine Power, Efficiency and Emissions, Brisbane, 2001

6. Chassande M. Methodes de reallocation dans le plan temp-frequence pour l’analyse et le traitement de signeaux non stationnaires, These, Universite de Chegy-Pontoise, 1998

7. Ciobotaru, T. Încercarea blindatelor, automobilelor și tractoarelor. Editura Academiei Tehnice Militare, București, 1996

8. Clarke B. Analysis of Multivariate and Time Series Data. Colorado State University, 2003

9. Copae I. Tendințe moderne în calculul, construcția și controlul electronic al funcționării motoarelor. Editura Academiei Tehnice Militare, București, 1998

10. Copae I. Dinamica automobilelor. Teorie și experimentări. Editura Academiei Tehnice Militare, București, 2003

11. Copae I., Lespezeanu I., Cazacu C. Dinamica autovehiculelor. Editura ERICOM, București, 2006

12. Daubechies I. The Wavelet Transform. A Method for Time-Frequency Localisation, Prentice Hall, New-Jersey, 1991

13. Delanette M. Les Moteurs a Injection. ETAI, 1989

14. Fackerell J.W.A. Detecting Nonlinearities Using the Bicoherence, University of Edinburg, 1997

15. Faida C.F. Contribuții privind studiul performanțelor dinamice ale automobilelor echipate cu motoare cu injecție de benzină, Teză de doctorat, Academia Tehnică Militară, București, 2003

16. Gaiginschi R. Calcule, indicatori și indici economici pentru motoare cu pistoane. Institutul Politehnic, Iași, 1983

17. Gârlașu S. Introducere în analiza spectrală și de corelație. Editura Facla,Timișoara, 1982

18. Iancu Șt., Copae I. Controlul electronic al funcționării motoarelor cu ardere internă. Procese funcționale și principii de reglare. Editura Academiei Tehnice Militare, București, 2000

19. Iancu Șt., Copae I. Controlul electronic al funcționării motoarelor cu ardere internă. Soluții constructive și de reglaj. Editura Academiei Tehnice Militare, București, 2000

20. Ilie C.O. Contribuții la studiul dinamicii statistice a autovehiculelor. Teză de doctorat, Academia Tehnică Militară, București, 2005

21. Laughlin M. Introducing Higher Order Statistics (HOS) for the Detection of Nonlinearities, University of Edinburgh, UK Nonlinear News, Sept. 1995

22. Ljung L., Gastafsson F., Gunnarsson S. One time-frequency resolution of signal proprties using parametric techniques. Department of Electrical Engineering, Linkoping University, Sweden, 1995

23. Quinquis A. Representations temps-frequence, Ensieta, Brest, 1995

24. Rădulescu M.-E. Studiul comparativ al demarajului autovehiculelor echipate cu calculator la bord, Teză de doctorat, Academia Tehnică Militară, București, 2016

25. Stoica R.-M. Studiul comparativ al funcționării motorului de automobil cu benzină și cu gaz petrolier lichefiat, Teză de doctorat, Academia Tehnică Militară, București, 2017

26. Strauss R. Effects of small sample sizes on the symmetry and reability of dendrograms. Texas Tech University, 2002

27. Swami A. ș.a. Higher-Order Spectral Analysis Toolbox for Use with Matlab, 1998, http://mathworks.com

28. Tax D. Data description toolbox, for use with Matlab. Delft University of Technology, 2005

29. Tipping M. A Matlab Toolbox for Hierarchical Data Visualization. Aston University, 1998

30. Țarcă M. Tratat de statistică aplicată. Editura Didactică și Pedagogică, București, 1998

31. Trefethen L.N. Spectral Methods in Matlab. http://www.comlab .ox.ac.uk/oucl/work/

32. Voinea, R.; Stroe, I. Sisteme dinamice. Editura Universității Politehnica București, 1994

33. Voinea, R. Stroe, I. Introducere în teoria sistemelor dinamice. Editura Academiei Române, București, 2000

34. Yaffee R.A., McGee M. Introduction to time series analysis and prediction. Academic Press, San Diego, 2000

35. *** Statistic Toolbox for Use with Matlab, http://mathworks.com, 2018

36. *** Signal Processing Toolbox for Use with Matlab, , 2018