Școala Doctorală de Matematică [626314]

Doctorat

Școala Doctorală de Matematică [626314]

Byadmin ianuarie 1, 2024

Universitatea din Pite ști
Facultatea de Matematică – Informatică
Școala Doctorală de Matematică

Spații normate de funcții măsurabile vectoriale
Teză de doctorat
Rezumat

Conducător științific, Doctorand: [anonimizat].univ.dr. Ion Chițescu Cojocaru (Constandache)
Oana Magdalena

2

Cuprins

Capitolul 1. Introducere ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………………… 3
Capitolul 2. Noțiuni preliminare ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………….. 5
Capitolul 3. Spații K 𝒐the-Bochner. Proprietăți fundamentale ………………………….. ………………………….. 8
3.1. Introducere ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. .. 8
3.2. Noțiuni preliminare ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………………. 8
3.3. Rezultate ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. …. 10
3.3.1. Complet itudinea. Funcții ale căror mulțimi de valori sunt incluse în subspații închise. ….. 10
3.3.2. Topologia convergenței în 𝝆-măsură. Re lația cu topologia canonică. ………………………….. 11
3.3.3. Convergența șirurilor ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………. 13
4.1 Dualul spațiilor K 𝒐the-Bochner și proprietatea Radon -Nikod𝒚m ………………………….. ………….. 18
4.2 Spații K 𝒐the-Bochner cu bază Schauder. Proprietăți de a proximare ………………………….. ……… 21
4.3 Spații K 𝒐the-Bochner care sunt spații Hilbert sau hilbertabile ………………………….. ………………. 23
4.3.1. Noțiuni preliminare ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………. 23
4.3.2. Spații K 𝒐the-Bochner care sunt spații Hilbert ………………………….. ………………………….. ….. 23
4.3.3. Spații K 𝒐the-Bochner hilbertabile ………………………….. ………………………….. ………………….. 24
4.4 Spații K 𝒐the-Bochner care sunt algebre Banach cu unitate ………………………….. ………………….. 25
Bibliografie ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………… 27

3
Capitolul 1. Introducere
În această teză de doctorat ne ocupam de diverse aspecte ale teoriei spațiilor Köthe- Bochner. Credem că un scurt istoric al
acestei teorii se impune.
Totul începe în 1934, cu articolul seminal [23], semnat de matematicienii germani Gottfriend Köthe și Ot to Toeplitz. G. Köthe
(1905 -1989) fusese asistentul lui O. Toeplitz (1881 -1940) la Bonn. De altfel, întâlnirea cu Toeplitz i -a schimbat decisiv orientarea lui Köthe
(inițial algebrist – are o faimoasă conjectură privind idealele ) care a devenit un nume mar e în Analiza Funcțională – teoria spațiilor vectoriale
topologice. În articolul [23] se introduceau și se studiau așa numitele „Stufenr äume” – spații de șiruri care pot fi considerate ca “strămo șii”
spațiilor Köthe de astăzi și au avut o influență importantă în dezvoltarea ideilor de dualitate în Analiza Funcțională. De notat că G. Köthe a
revenit asupra acestor spații într -un singur articol, anume [22 ].
Punerea în cadrul natural a spațiilor Köthe avea să urmeze, prin lucrările matematicienilor olandezi Wilhelmus Anthonius
Josephus Luxemburg (n. 1929) și Adriaan Cornelis Zaanen (1913 -2003). Mai precis, în 1955 apare teza de doctorat [26] a lui W.A.J.
Luxemburg, sub conducerea lui A.C .Zaanen, viitor membru al Academ iei Olandeze. În această teză se introduc spațiile Köthe în forma
actuală, ca spații (de clase) de funcții măsurabile – generalizare a spa țiilor Lebesgue 𝐿𝑝. Ulterior, cei doi matematicieni olandezi pun la punct
teoria spațiilor Köthe într-o serie de art icole [27]. Teoria acestor spa ții Köthe s-a de zvoltat în continuare, prin eforturile celor doi
matematicieni olandezi și ale elevilor lor (în special școala condusă de A. C. Zaanen), precum și prin contribuțiile altor ma tematicieni. De
notat că denumirea d e “spa ții Köthe” a fost propusă de J. Dieudonn é (v. [14 ]). Anumite erori din articolul [14 ] au fost corectate în [30]. O
prezentare sistematic ă a rezultatelor de bază privind spațiile Köthe se găsește în monografia [33] a lui A.C.Zaanen, precum și, în monografia
[8] a lui I.Chi țescu. Pentru o prezentare mult mai dezvoltată se poate consulta monografia [28].
De foarte multe ori, în teoria spațiilor de funcții apare următoarea idee naturală de generalizare : se consideră, spații de funcții
scalare și, apoi, pe cât posibil, se consideră „aceleași spații de funcții ” dar de data aceasta, cu valori într-un spațiu mai general decât spațiul
scalarilor (de obicei se consideră drept spațiu mai general un spațiu Banach). Când spunem “acelea și spații de func ții” înțelegem că noul
spațiu de funcții (cu valori într-un spațiu mai general ) este definit printr -o schem ă asemănătoare (aproape identică) cu cea folosită la
definirea spațiului inițial.
Să considerăm, în acest sens, spațiile lui Lebesgue 𝐿𝑝, urmând s chema din [15]. Pentru un spațiu cu măsură ( 𝑇,𝒯,𝜇) și un număr
1≤𝑝<∞, spațiul 𝐿𝑝(𝜇) se definește după cum urmează. Întâi se definește spațiul ℒ𝑝(𝜇), format cu toate funcțiile 𝜇-măsurabile 𝑓:𝑇→𝐾
(K=ℝ sau ℂ, corpul scalarilor) pentru care ∫|𝑓|𝑝𝑑𝜇<∞, care este seminormat cu seminorma 𝑓⟼(∫|𝑓|𝑝𝑑𝜇)1𝑝⁄ = 𝑁𝑝(𝑓). Spa țiul nul al
acestei seminorme este 𝑀(𝜇) = {𝑓∈ℒ𝑝(𝜇)|𝑁𝑝(𝑓)=0} și este format cu acele funcții 𝑓:𝑇→𝐾 care sunt nule 𝜇-aproape peste tot. Atunci
spațiul cât 𝐿𝑝(𝜇)=ℒ𝑝(𝜇)|𝑀(𝜇) devine spațiu normat cu norma 𝑓̃⟼𝑁𝑝(𝑓) (pentru orice reprezentant 𝑓∈𝑓̃, definiție coerentă).
Trecerea la cazul vectorial se face conform celor discutate anterior. Fie 𝑋 un spațiu Banach. Întâi se consideră spațiul vectorial
ℳ𝑋(𝜇) = {𝑓:𝑇→𝑋|𝑓 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝜇−𝑚ă𝑠𝑢𝑟𝑎𝑏𝑖𝑙ă} (definiția 𝜇-măsurabilității în cazul vectorial este mai delicată și caracterizarea funcțiilor
vectoriale 𝜇-măsurabile a fost definitivată de B.J.Pettis). Pentru orice 𝑓∈ℳ𝑋(𝜇) definim funcția (scalară 𝜇-măsurabilă) |𝑓|: 𝑇→ℝ+, dată
prin |𝑓|(𝑡) = ‖𝑓(𝑡)‖. Acum putem defini analogul spa țiului ℒ𝑝(𝜇), anume ℒ𝑋𝑝(𝜇) = {𝑓∈ ℳ𝑋(𝜇)|𝑁𝑝(𝑓)<∞} unde 𝑁𝑝(𝑓) = (∫|𝑓|𝑝𝑑𝜇)1𝑝⁄
(remarc ăm că notația 𝑁𝑝(𝑓) este aceeași ca în cazul scalar, deoarece în cazul particular scalar reobținem vechiul rezultat). Se vede că ℒ𝑋𝑝(𝜇)
este seminormat cu seminorma 𝑓⟼𝑁𝑝(𝑓) și că spațiul nul al acestei seminorme este 𝑀𝑋(𝜇) = {𝑓∈ ℒ𝑋𝑝(𝜇)|𝑁𝑝(𝑓)=0} = {𝑓:𝑇→𝑋|f este
nulă 𝜇 -aproape peste tot }. Atunci, spațiul cât 𝐿𝑋𝑝(𝜇)≝ℒ𝑋𝑝(𝜇)|𝑀𝑋(𝜇) se normează cu norma 𝑓̃⟼𝑁𝑝(𝑓) (pentru orice reprezentant 𝑓∈𝑓̃,
definiție coerentă).
După cum se vede, spațiile 𝐿𝑋𝑝(𝜇), “generalizarea vectorial ă” a spațiilor 𝐿𝑝(𝜇), au fost obțin ute prin “translatarea” schemei care
generează spațiile 𝐿𝑝(𝜇).
Urmând exact același mod de gândire, putem generaliza spațiile Köthe 𝐿𝜌 (clase de funcții măsurabile scalare – analogul spa țiilor
𝐿𝑝(𝜇)) ajungând la spațiile Köthe – Bochner 𝐿𝑋(𝜌) (clase de func ții măsurabile vectoriale – analogul spa țiilor 𝐿𝑋𝑝(𝜇)). Amănuntele de
construcție apar în corpul principal al lucrării. Denumirea (standard) de spații Köthe – Bochner este justificată, pe de -o parte de faptul că
aceste spații sunt generali zarea vectorială a spațiilor Köthe scalare (în sensul discutat anterior) și, pe de altă parte, de faptul că
matematicianul american Salomon Bochner (1899 -1982) a extins integrala (scalară abstractă) a lui Lebesgue la integrala vectorială care îi
poartă num ele.
Teoria spațiilor Köthe – Bochner este foarte recentă (cu începutul în anii 1970). Cu toate acestea, literatura dedicată acestei teorii
este deja foarte mare și putem spune că spațiile Köthe – Bochner constituie un capitol cu o identitate bine stabili tă în cadrul Analizei
Funcțional e. În acest sens, monografia [24 ] cuprinde multe re zultate și o bibliografie extrem de bogată.
Teoria spațiilor Köthe – Bochner are probleme specifice. Semnalăm câteva tipuri de astfel de probleme:
1. Probleme legate de propri etăți valabile în cadrul spațiilor Köthe (scalare) care se păstrează în cadrul mai general al
spațiilor Köthe – Bochner. De exemplu, completitudinea spațiului este echivalentă în ambele cazuri cu faptul că norma funcțională
generatoare are proprietatea Rie sz-Fischer (v. Teorema 3.3.1.8).
2. Probleme de tipul urm ător: ce leg ătură este între faptul că spațiul Köthe – Bochner 𝐿𝑋(𝜌) are proprietatea (P) și faptul
că, separat, spațiile 𝐿𝜌 și 𝑋 au proprietatea (P)? Avem vreo implica ție? Avem echivalență ? Sau, poate nu avem nicio leg ătură.
De exemplu : nu avem niciun r ăspuns la întrebare, în cazul când (P) este proprietatea Dunford – Pettis. Pe de alt ă parte, dacă (P)
este proprietatea Radon – Nikod𝑦̀m avem echivalen ță între faptul că 𝐿𝑋(𝜌) are proprietatea (P ) și, separat, 𝐿𝜌 și 𝑋 au proprietatea ( P) (v.
Teorema 3.6.17 din [24 ]). La fel, dac ă (P) este proprietatea de reflexivitate (v. Teorema 4.1.11).
În ceea ce privește chestiunea generală de mai sus, o “regul ă de urmat ” ar fi următoarea.

4
– Spunem c ă o proprietate (P) este ereditară dacă, pentru orice spațiu Banach Y cu proprietatea (P) rezultă că orice subspațiu
închis al lui Y are proprietatea (P). De exemplu, reflexivitatea este ereditară.
– Dacă 𝐿𝑋(𝜌) are proprietatea ereditară (P), atunci 𝐿𝜌 și 𝑋, separat,au proprietatea (P).
Menționăm că, în demonstrarea Teoremei 4.1.11 privind reflexivitatea lui 𝐿𝑋(𝜌) nu am făcut uz de această regulă, preferând
demonstrația directă (implicată de rezultatul anterior).
În legătură cu această chestiune, rezult ate impo rtante pot fi găsite în [1], [12 ] și [18] (succesiune de rezultate privind convexitatea
uniform ă a lui 𝐿𝑋(𝜌)).
3. Probleme legate de geometria spațiilor Köthe – Bochner. Am menționat, deja, în acest sens, artic olele [1], [12], [18 ]
în care este rezolvată succesiv problema convexității uniforme a spațiilor 𝐿𝑋(𝜌). În același sens, avem următorul rezultat din [24 ] (Teorema
3.4.2). Spa țiul 𝐿𝑋(𝜌) (lucrăm cu un spațiu cu măsură finită) este strict convex dacă și numai dacă, separat, 𝐿𝜌 și 𝑋 sunt strict convexe.
Rezultate interesante în acest sens pot fi găs ite în [4], [5], [19], [20], [25 ].
Consider ând proprietatea Radon – Nikod𝑦̀m (așa cum este în general acceptat) ca o proprietate geometrică, ne -am referit la ea
în Capitolul 4., Teor emele 4.1.7 și 4.1.9. Alte probleme legate de geometria spațiilor Köthe – Bochner nu au fost abordate în prezenta teză.
4. Probleme legate de teoria produselor tensoriale. În mod specific, este clar că avem o scufundare naturală a produsului
tensorial 𝐿𝜌⊗𝑋 în 𝐿𝑋(𝜌). Normând produsul tensorial 𝐿𝜌⊗𝑋 cu o cross -norm ă (normă tensorială) și trecând la completatul 𝐿𝜌⊗̃𝑋 putem
discuta despre probleme legate de relații de tipul: 𝐿𝜌⊗̃𝑋⊂𝐿𝑋(𝜌), 𝐿𝜌⊗̃𝑋⊃𝐿𝑋(𝜌). Problematica este inspirat ă de relația clasică 𝐿𝑋1(𝜇) =
𝐿1(𝜇)⊗̂𝑋 (adică 𝐿𝑋1(𝜇) este completatul lui 𝐿1(𝜇)⊗𝑋 pentru norma proiectivă). Putem cita următorul rezultat din [24] (Teorema 6.4.10).
Se presupune c ă 𝐿𝜌 este separabil și reflexiv (pe un spa țiu cu măsură finită) și spațiul Banach 𝑋 are proprietatea Radon – Nikod𝑦̀m. Atunci
𝐿𝜌⊗̂𝑋 are proprietatea Radon – Nikod𝑦̀m.
Menționăm că nu ne -am ocupat în teză de problemele de acest tip. Intenționăm ca, pe viitor, să abordăm probleme legate de
legătura dintre produsele tensoriale și spațiil e Köthe – Bochner.
5. O problemă deosebit de importantă și naturală este problema studiului operatorilor liniari și continui pe spații Köthe
– Bochner. În prezenta teză ne ocupăm de dualul spațiilor Köthe – Bochner (v. Capitolul 4, Teoremele 4.1.7, 4.1.9, 4.1 .10).
Cu mențiunea că nu am găsit material bibliografic referitor la teoria generală a operatorilor liniari și continui pe spații Köthe –
Bochner, ne propunem ca, pe viitor, să ne ocupăm de această problemă.
În cele ce urmează, prezentăm, pe scurt, conținutul prezentei teze de doctorat, punând în evidență părțile originale. Subliniem
faptul că toate rezultatele din teză au fost obținute în colaborare cu colegul Răzvan -Cornel Sfetcu, sub îndrumarea conducătorului științific
prof. univ. dr. Ion Chițesc u.
Capitolul 2 este intitulat “ Noțiuni preliminare ”. Se prezintă noțiunile și notațiile standard folosite în lucrare, cu accent pe teoria
spațiilor K öthe clasice (scalare).
Capitolul 3 este intitulat “ Spații 𝑲𝒐̈𝒕𝒉𝒆- Bochner. Proprietăți fundamentale ”. Acest capitol este bazat pe un articol pe care
intenționăm sa îl publicăm și la a cărei definitivare lucrăm. Se începe cu o introducere (formată din paragrafele 3.1 și 3.2) în care se prezintă
spațiile Köthe- Bochner care sunt extinderea vectorială a sp ațiilor Köthe clasice (scalare). Subliniem, în legătură cu noțiunile preliminare din
paragraful 3.2 următoarele două fapte:
a) Definiția adoptată pentru spațiile Köthe- Bochner este ușor diferită de definiția folosită de Pei -Kee Lin în monografia (acum
clasic ă) [24]. Anume, defini ția folosită de noi este mai generală, eliminând anumite condiții din [24] (vezi pag. 149 pentru
defini ția folosită de Pei -Kee Lin).
b) Exemplul cu care se încheie paragraful 3.2 este original.
Paragraful 3.3 este intitulat “Rezultate ”.
Primul subparagraf (numerotat cu 3.3.1) este dedicat completitudinii spațiilor Köthe- Bochner și descrierii spațiilor de funcții cu
valori în subspații închise. În esență demonstrăm faptul că spațiile Köthe- Bochner sunt complete atunci și numai atunci când norma
funcțională generatoare are proprietatea Riesz -Fischer. De asemenea, ar ătăm că spațiul în care iau valori funcțiile poate fi nuanțat.
Subparagraful 3.3.1 este în întregime original.
Subparagraful 3.3.2 este dedicat topologiei convergenței în 𝜌-măsură și relației acestei topologii cu topologia canonică a spațiilor
Köthe- Bochner. Acest subparagraf folosește ca idee de bază introducerea topologiei în 𝜌-măsură (care generalizează topologia în măsură
și este mai slabă decât topologia canonică) a șa cum a fost introdusă în monografia [8] a prof. Ion Chi țescu. Dezvoltările ulterioare din
subparagraf apar în acest sens. Putem considera ca originală trecerea de la scalar la vectorial în cadrul acestui subparagraf .
Subparagraful 3.3.3 este dedicat co nvergenței șirurilor în spațiile Köthe- Bochner și este în întregime original. Se prezintă
rezultate care generalizează teoremele clasice ale teoriei măsurii privind șirurile de funcții măsurabile. În acest scop, se introduce și
generalizarea convergenței asimptotice (aproape uniforme). Folosind în asociere convergența în topologia canonică, convergența în 𝜌-
măsură și convergența 𝜌-aproape uniformă, se obțin rezultate de tip Egorov, Slutsky și legături între diversele tipuri de convergență.
Subliniem ca f apt important ideea de a folosi norma funcțională introdusă de Dan Tomescu în [32], fapt care a permis obținerea de rezultate
fine în absența proprietății Riesz -Fischer (v. Corolarul 3.3.3.12, Propoziția 3.3.3.13 și Corolarul 3.3.3.14). Am ilustrat rezulta tele obținute cu
numeroase exemple și contraexemple.
Ultimul capitol, anume capitolul 4, este intitulat “Spații 𝑲𝒐̈𝒕𝒉𝒆- Bochner, proprietăți speciale ”. Anumite părți din acest capitol
au fost deja publicate (paragraful 4.2 și 4.3 ) iar celelalte părți vor fi înaintate spre publicare în mai multe articole.
Primul paragraf, numerotat 4.1, este dedicat dualului spațiilor Köthe- Bochner, în conjuncție cu proprietatea Radon – Nikod𝑦̀m.
La început se prezintă câteva noțiuni standard privind Radon – Nikod𝑦̀m. Am considerat necesar să prezint o versiune care poate fi
considerată ca originală a teoremei de localizare 4.1.3, cu demonstrație amănunțită. În continuare, restul paragrafului este intitulat
“Rezultate ” și este în întregime original. Dupa o pregătire tehnică, însumând mai multe rezultate, dintre care menționăm Teorema 4.1.5
(Calculul normei în spațiul asociat), se ajunge la rezultatele principale ale paragrafului : Teorema 4.1.7 (Dac ă spațiul valorilor X are
proprietatea că X ’ are proprietatea Radon – Nikod𝑦̀m, atunci dualul spațiului Köthe- Bochner 𝐿𝑋(𝜌) este exact spațiul Köthe- Bochner asociat
𝐿𝑋′(𝜌′) ) și “reciproca” ei, anume Teorema 4.1.9 ( Dacă dualul unui 𝐿𝑝(𝑋,𝜆) este exact 𝐿𝑞(𝑋′,𝜆) , 𝜆 fiind măsura Lebesgue pe [0,1] și q fiind
conjugatul lui p, atunci X ’ are proprietatea Radon – Nikod𝑦̀m). Ca o consecin ță se obține un rezultat similar ca ideatică cu rezultatele din
paragrafele următoare 4.3 și 4.4, anume Teorema 4.1.11 ( 𝐿𝑋(𝜌) este reflexiv dacă și numai dacă 𝐿𝜌 și X sunt simultan reflexive). În Teorema

5
4.1.14, arătăm că rezultatul din Teorema 4.1.7, obținut în cazul când atât norma funcțională 𝜌, cât și norma funcțională asociată 𝜌’, sunt de
tip absolut continuu, rămâne valabil în unele cazuri când 𝜌’ nu este de tip absolut continuu.
Paragraful 4.2 este dedicat spațiilor Köthe- Bochner cu bază Schauder și unor calcule de aproximare în astfel de spații. Și acest
paragraf este în întregime original. El se bazează pe articolul [9]. Se arată (Teorema 4.2.2) că, dacă X are bază Schauder și norma funcțională
𝜌 este de tip absolut continuu, atunci orice element din spațiul Köthe- Bochner de funcții ℒ𝑋(𝜌) poate fi aproximat cu funcțiile canonice
“finit dimensionale”. Exemplifi căm apoi c u un exemplu concret privind spațiile Lorentz de șiruri acest rezultat, ocazie cu care prezentăm
niște calcule de aproximare amănunțite, în două versiuni.
Paragrafele care urmează (i.e. paragrafele 4.3 și 4.4) sunt bazate pe idei fundamentale privind spa țiile Köthe clasice (scalare)
provenind din articolele [6] și [7], ele f ăcând trecerea la spațiile Köthe- Bochner. Cu această precizare, considerăm că paragrafel e 4.3 și 4.4
pot fi considerate ca fiind în întregime originale.
Paragraful 4.3 este dedicat s pațiilor Köthe- Bochner care sunt în același timp și spații Hilbert sau hilbertabile și este bazat pe
articolul [10]. În [6] au fost complet caracterizate spațiile Köthe clasice (scalare) 𝐿𝜌 care sunt și spații Hilbert, ca fiind spații 𝐿2 cu pondere.
Folosind acest rezultat, demonstrăm (Teorema 4.3.2.1) că 𝐿𝑋(𝜌) este spațiu Hilbert dacă și numai dacă, simultan, X și 𝐿𝜌 sunt spații Hilbert.
Se prezintă și contraexemple aferente. Similar, în Teorema 4.3.3.3 arătăm că 𝐿𝑋(𝜌) este hilbertab il dacă și numai dacă, simultan, X și 𝐿𝜌 sunt
hilbertabile (în anumite condiții).
Paragraful 4.4 este dedicat spațiilor Köthe- Bochner care sunt în același timp și algebre Banach cu unitate. În [7] au fost complet
caracterizate spațiile Köthe clasice (s calare) 𝐿𝜌 care sunt și algebre Banach (comutative) cu unitate ca fiind spații echivalente cu spații 𝐿∞.
Demonstrăm (Teorema 4.4.4) că, în condițiile în care X este algebră Banach cu unitate, 𝐿𝑋(𝜌) este algebră Banach cu unitate dacă și numai
dacă 𝐿𝜌 este echivalent cu un spațiu 𝐿∞ (sau, echivalent, dacă și numai dacă 𝐿𝑋(𝜌) și 𝐿∞(𝑋,𝜇) sunt spații Banach echivalente.

În încheierea acestei introduceri, mulțumesc conducătorului meu științific, prof. univ. dr. Ion Chițescu pentru îndrumarea
continu ă și ideile pe care mi le -a oferit în timpul elaborării prezentei teze de doctorat.

Capitolul 2. Noțiuni preliminare

Vom considera urm ătoarele notații : ℝ+=[0,∞), ℝ̅+=[0,∞)∪{ ∞}, K= ℝ sau ℂ, ℕ ={0,1,2,…}.
Dacă 𝑓:𝑋→𝑌 este o funcție și ɸ≠A⊂X, notăm cu 𝑓|𝐴 restricția lui f la A. Similar, dacă (X, 𝜏) este un spațiu topologic și, ɸ≠A⊂X,
notăm cu 𝜏|𝐴 topologia indusă de 𝜏 pe A.
Fie T≠ɸ și 𝒫(T) mulțimea parților lui T. Pentru orice A ∈ 𝒫(T) considerăm funcția 𝜑𝐴:T→ℝ, funcția caracteristică a lui A, dată
prin 𝜑𝐴(t)=1, dac ă t∈A și 𝜑𝐴(t)=0, dacă t ∉A. Dacă 𝜑:𝑇→𝐾 și X este spa țiu normat, vom defini, pentru orice x ∈X, funcția 𝜑x:T→X prin
𝜑x(t)= 𝜑(t)x. Pentru orice f:T →X definim |𝑓|:T→ℝ+, prin |𝑓|(t)=‖𝑓(𝑡)‖. Dacă A este nevidă vom scrie (𝑥𝑖)𝑖𝜖𝐼⊂A pentru o familie de
elemente din A, adică 𝑥𝑖∈𝐴, oricare ar fi i ∈𝐼 . În particular, dacă 𝐼= ℕ, avem un șir (𝑥𝑖)𝑖𝜖ℕ. Dacă (∆,≤) este o mulțime preordonată, avem
un șir generalizat (𝑥𝛿)𝛿∈∆. De multe ori vom sc rie numai (𝑥𝑖)𝑖 în loc de (𝑥𝑖)𝑖𝜖𝐼.
Un spațiu cu măsură este un triplet (T, 𝒯,µ), unde T≠ɸ (T oarecare), 𝒯⊂ 𝒫(T), 𝒯 este o σ-algebra, µ: 𝒯→𝑅̅+ este măsură (adică
µ(ɸ)=0 și µ(⋃𝐴𝑛∞
𝑛=1)=∑𝜇(𝐴𝑛)∞
𝑛=1 pentru orice șir (𝐴𝑛)𝑛⊂ 𝒯 disjunct) și µ nu este identic nulă (µ(T)>0).
În plus, vom presupune că µ este completă , adică: dacă notăm 𝒩 (µ) = {A ∈ 𝒯 | µ (A)=0} avem B ⊂A∈ 𝒩 (µ)⇒B∈ 𝒩 (µ). Vom
mai presupune că µ este σ-finită (adică există o familie cel mult numărabilă (𝐴𝑛)𝑛⊂𝒯 astfel încât ⋃𝐴𝑛𝑛 =T și 𝜇(𝐴𝑛)<∞, oricare ar fi n).
În particular, în cazul când T =ℕ, 𝒯= 𝒫(ℕ) și 𝜇(A)=card(A) (dacă A este finit ă) și 𝜇(A)= ∞ (dacă A este infinit ă), vom spune c ă 𝜇
este măsura de numărare .
Pentru funcția scalară f :𝑇→𝐾, noțiunile de µ -măsurabilitate și µ-integrabilitate sunt cele clasice.
Fie M( µ)={𝑓:𝑇→𝐾|𝑓 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝜇−𝑚ă𝑠𝑢𝑟𝑎𝑏𝑖𝑙ă}care este spațiu vectorial. Un subspațiu vectorial al lui M( µ) este N( µ)={f:T→K|f(t)=0
µ-apt} (adică f(t)=0 µ -aproape peste tot ⇔{t∈T|f(t)≠0}∈ 𝒩 (µ)).
Putem factoriza:
Introducem relația de echivalență pe M(µ): f~g𝑑𝑒𝑓⇔ f(t)=g(t) µ-apt (adică {t ∈T|f(t)≠g(t)}∈ 𝒩 (µ)).
Se vede că f ~g⇔f-g∈ N(µ).
Mulțimea cât a claselor de echivalență este 𝑀(µ)|𝑁(µ)≝L(µ)=L. Deci scriem 𝑓̃∈L și f∈𝑓̃ (f∈ M(µ)).
Notăm cu 𝑀+(µ)={u:T→𝑅̅+|u este µ-măsurabilă} (adică ∀A⊂𝑅̅+, A boreliană, 𝑢−1(A) ∈ 𝒯).
Definiția 2.1 . Se numește µ-norm ă funcțională sau, pe scurt normă func țională o funcție 𝜌: 𝑀+(µ) →𝑅̅+ cu proprietățile:
a) 𝜌(u)=0 ⇔u(t)=0 µ-apt;
b) 𝜌(u+v)≤ 𝜌(u)+ 𝜌(v) pentru orice u, v în 𝑀+(µ) (𝜌 este subaditivă);
c) 𝜌(𝛼u)= 𝛼𝜌(u) pentru orice 𝛼∈[0,∞) și orice u ∈𝑀+(µ) (𝜌 este pozitiv omogenă); ( 𝛼u∈𝑀+(µ) se definește prin ( 𝛼u)(t)= 𝛼u(t)
pentru orice t ∈T și folosim convenția 0u ≝0);
d) Dacă u≤v în 𝑀+(µ), avem 𝜌(u)≤𝜌(v) (𝜌 este crescătoare).

6
Rezultă că: u=v µ-apt ⇒𝜌(u)= 𝜌(v).
Reținem implicația importantă ( 𝜌(u)< ∞⇒u(t) < ∞ µ-apt).
Nota ție: Pentru orice A ∈ 𝒯, notăm 𝜌(A) ≝𝜌(𝜑𝐴). Prin urmare 𝜌(T)>0.
Rezultă : 𝜌(A∪B) ≤ 𝜌(A) + 𝜌(B), pentru ori ce A, B din 𝒯.
Definiția 2.2. Fie 𝜌 o normă funcțională .
1. Spunem că 𝜌 are proprietatea Riesz -Fischer (și scriem 𝜌 R-F) dacă pentru orice șir (𝑢𝑛)𝑛⊂𝑀+(µ) cu ∑𝜌(𝑢𝑛)∞
𝑛=1 <∞ avem
𝜌(∑𝑢𝑛∞
𝑛=1) <∞.
2. Spunem că 𝜌 are proprietatea slabă a lui Fatou (și scriem 𝜌 w F) dacă pentru orice șir crescător (𝑢𝑛)𝑛⊂𝑀+(µ) cu sup
𝑛𝜌(𝑢𝑛)<∞,
avem 𝜌( sup
𝑛𝑢𝑛)< ∞.
3. Spunem că 𝜌 are proprietatea lui Fatou ( și scriem 𝜌 F) dacă pentru orice șir crescător (𝑢𝑛)𝑛⊂𝑀+(µ) avem 𝜌(
sup
𝑛𝑢𝑛)= sup
𝑛𝜌(𝑢𝑛).
Observație importantă . Se poate arăta (v. [8] sau [33 ]) că avem următoarea echivalență :
𝜌 R-F ⇔ Pentru orice șir (𝑢𝑛)𝑛⊂𝑀+(µ) avem 𝜌(∑𝑢𝑛∞
𝑛=1) ≤∑𝜌(𝑢𝑛)∞
𝑛=1 .
Teorema 2.3 . 𝜌 F⇒ 𝜌 w F⇒ 𝜌 R-F.
Teorema 2.4 . a) 𝜌 w F⇔ există un număr k ≥1 (numit constanta lui Amemyia a lui 𝜌) cu proprietatea că pentru orice șir (𝑢𝑛)𝑛⊂𝑀+(µ) avem
𝜌(lim inf 𝑢𝑛) ≤k lim inf 𝜌(𝑢𝑛)
b) 𝜌 F ⇔ pentru orice șir (𝑢𝑛)𝑛⊂𝑀+(µ) avem
𝜌(lim inf 𝑢𝑛) ≤ lim inf 𝜌(𝑢𝑛)
(constanta lui Amemyia a lui 𝜌 este egal ă cu 1 )
Definiția 2.5 . (Norma funcțională a lui Tomescu ).
Fie 𝜌 o normă funcțională. Definim 𝜌𝑇:𝑀+(𝜇)→ℝ̅+ prin 𝜌𝑇(u) = inf{∑𝜌∞
𝑛=1(𝑢𝑛)|𝑢𝑛∈𝑀+(𝜇),∑𝑢𝑛∞
𝑛=1=𝑢}.

Teorema 2.6 .
1. 𝜌𝑇 este normă funcțională;
2. 𝜌𝑇 R-F;
3. 𝜌𝑇≤𝜌;
4. 𝜌=𝜌𝑇⇔ 𝜌 R-F;
5. Dacă r este o normă funcțională cu proprietățile r ≤ 𝜌 și r R-F atunci 𝜌𝑇≥r (adică 𝜌𝑇 este cea mai mare normă funcțională cu
proprietatea R -F care este mai mică decât 𝜌).

Un exemplu util este prezentat în cele ce urmează :
Dacă 𝜇 este măsura de numărare și 𝜌:𝑀+(𝜇)→ℝ̅+ este definită prin 𝜌(u)={∑𝑢(𝑛)
𝑛2∞
𝑛=1,𝑑𝑎𝑐ă {𝑛∈ℕ|𝑢(𝑛)≠0} 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡ă
∞,𝑑𝑎𝑐ă {𝑛∈ℕ|𝑢(𝑛)≠0} 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡ă
avem 𝜌𝑇(u)= ∑𝑢(𝑛)
𝑛2∞
𝑛=1 , oricare ar fi u ∈𝑀+(𝜇).
Definiția 2.7 . Norma funcțională 𝜌 se numește de tip absolut continuu (în scris 𝜌ac) dacă are următoarea proprietate: Pentru orice șir
(𝑢𝑛)𝑛⊂𝑀+(𝜇) descrescător cu lim
𝑛𝑢𝑛=inf
𝑛𝑢𝑛=0 și astfel încât 𝜌(𝑢1)<∞, ave m lim
𝑛𝜌(𝑢𝑛)=0.

Definiția 2.8 . Dacă (T,𝒯,µ) este un spațiu cu măsură și 1 ≤p≤∞, vom reaminti definițiile normelor funcționale ‖‖𝑝.
1) Presupunem 1 ≤p < ∞. Definim, pentru u∈𝑀+(𝜇):
‖𝑢‖𝑝=(∫𝑢𝑝𝑑𝜇)1
𝑝.
2) Presupunem că p= ∞. Definim, pentru u ∈𝑀+(𝜇):
‖𝑢‖∞=𝑖𝑛𝑓{{𝑠𝑢𝑝𝑢(𝑡)|𝑡∈𝑇\𝑁}|𝑁 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝜇−𝑛𝑒𝑔𝑙𝑖𝑗𝑎𝑏𝑖𝑙 ă}

Se știe că : dac ă 1≤p < ∞, avem ‖‖𝑝 F și ‖‖𝑝 ac, iar dacă p= ∞, avem ‖‖∞ F.

7
Observație : În general, ‖‖∞ ac este falsă. De exemplu, dacă T =[0,1], 𝒯=mul țimile măsurabile Lebesgue pe [0,1] și 𝜇 este măsura Lebesgue
pe [0,1], putem lua șirul (𝑢𝑛)𝑛⊂𝑀+(𝜇) dat prin 𝑢𝑛=𝜑𝐴𝑛, unde 𝐴𝑛=(0,1
𝑛), n≥1. Atunci 𝑢𝑛↓ 0 și ‖𝑢𝑛‖∞=1 pentru orice n ≥1.
Discutând despre eventuala continuitate absolută a normei funcționale ‖‖∞, reamintim că o mulțime A ∈ 𝒯 se numește atom
al lui 𝜇 dacă 0 < 𝜇(𝐴) < ∞ și pentru orice 𝒯∋B⊂A avem : sau 𝜇(𝐵)=0 sau 𝜇(𝐵)= 𝜇(𝐴). Atunci, se arată că, dacă 𝜇(𝑇) < ∞, avem echivalența:
‖‖∞ este ac ⟺ T este o reuniune finită de atomi.
Definiția 2.9 (norma lui Orlicz) .
Se numește N-funcție o funcție M: ℝ+→ℝ+ cu proprietățile: M este continuă, convexă și, în plus, lim
𝑡→0𝑀(𝑡)
𝑡=0, lim
𝑡→∞𝑀(𝑡)
𝑡=∞. O N -funcție se
poate reprezenta sub forma M(u)= ∫𝑝(𝑡)𝑑𝑡𝑢
0, unde p: ℝ+→ℝ+ este o funcție crescătoare, continuă la dreapta, cu p(0)=0 și lim
𝑡→∞𝑝(𝑡)=∞
și astfel încât p(t) >0, oricare ar fi t >0. Rezultă că M este strict crescătoare, bijectivă de la ℝ+ la ℝ+. Punem q: ℝ+→ℝ+,
q(s)=sup{𝑡≥0|𝑝(𝑡)≤𝑠} și definim N: ℝ+→ℝ+, N(v)= ∫𝑞(𝑠)𝑑𝑠𝑣
0. Observăm că q și p au aceleași proprietăți (q se numește inversa la
dreapta a lui p), p este inversa la dreapta a lui q și N este o N -funcție.
Funcțiile M și N se numesc N-funcții complementare în sensul lui Young . Norma funcțională (norma lui Orli cz) este norma funcțională
𝜌𝑀: 𝑀+(𝜇) →ℝ̅+, definită prin
𝜌𝑀(u)=𝑠𝑢𝑝{∫𝑢𝑣𝑑𝜇|𝑣∈𝑀+(𝜇)ș𝑖 𝑣 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡ă,𝑁𝑁(𝑣)≤1},
unde NN(v)= ∫𝑁(𝑣)𝑑𝜇≝∫𝑁(𝑣(𝑥))𝑑𝜇(𝑥). Norma 𝜌𝑀 este o normă funcțională cu proprietatea lui Fatou. Cu ajutorul lui 𝜌𝑀 se construiesc
spațiile K𝑜̈the asociate 𝐿𝜌𝑀, notate 𝐿𝑀 și numite spații Orlicz . Ele sunt spații Banach (a se vedea construcția imediat următoare).
𝐿𝑀={𝑓̃|𝑓:𝑇→ℂ 𝑚ă𝑠𝑢𝑟𝑎𝑏𝑖𝑙ă ș𝑖 𝜌𝑀(|𝑓|)<∞}
înzestrat cu norma 𝑓̃⟼‖𝑓̃‖𝑀=𝜌𝑀(|𝑓|). Aici 𝑓̃ este clasa de egalitate 𝜇-apt a lui f.
În continuare, definim spațiile K 𝑜̈the (scalare). Considerăm un spațiu cu măsură (T,𝒯,µ), o normă funcțională 𝜌 pe (T,𝒯,µ) și
notațiile anterioare. Pentru orice f ∈M(µ) am introdus funcția |𝑓|:T→ℝ+, definit ă prin |𝑓|(t)= |𝑓(𝑡)|. Evident, |𝑓|∈𝑀+(𝜇). Vom scrie 𝜌|𝑓|
în loc de 𝜌(|𝑓|).
Notăm ℒ𝜌(µ)= ℒ𝜌={f∈M(µ)|𝜌|𝑓|<∞} și numim pe ℒ𝜌 spațiu K𝑜̈the de funcții . Acest spațiu ℒ𝜌 este seminormat cu seminorma
𝑓⟼ 𝜌|𝑓|.
Spațiul nul al acestei seminorme este N( µ), adică
{𝑓∈ℒ𝜌|𝜌|𝑓|=0} = {𝑓:𝑇→𝐾|𝑓(𝑡)=0 µ−apt}.
Factoriz ăm și obținem:
𝐿𝜌(µ)= 𝐿𝜌=ℒ𝜌(µ)|N(µ).
Spațiul 𝐿𝜌 se numește spațiu K𝑜̈the. Elementele lui 𝐿𝜌 sunt clase de echivalență pentru relația de echivalență (pe ℒ𝜌) dată prin
f~g ⟺ f(t) = g(t) µ−apt.
Prin urmare, putem scrie ℒ𝜌∋ f ∈ 𝑓̃ ∈ 𝐿𝜌.
Spațiul 𝐿𝜌 devine spațiu normat cu ajutorul normei asociate seminormei descrise anterior:
𝑓̃ ⟼ ‖𝑓̃‖ = 𝜌|𝑓|
pentru orice reprezentant f ∈ 𝑓̃.
Teorema 2.10 . 𝐿𝜌 este Banach ⟺ 𝜌 R-F.
Vom demonstra aceast ă teoremă într -un cadru mai general (Teorema 3.3.1).
În cazul particular când 𝜌=‖‖𝑝 pentru un anumit 1 ≤p≤∞, obținem spațiile Lebesgue clasice :
ℒ𝜌= ℒ𝑝(𝜇) și 𝐿𝜌 = 𝐿𝑝(𝜇).
În cazul când 𝜌 = 𝜌𝑀, obținem spațiile Orlicz : ℒ𝜌𝑀 și 𝐿𝜌𝑀.

8
Alte cazuri particulare importante de spații Köthe sunt spațiile Lorentz și spațiile Marcinkiewicz.
Pentru noțiunile și rezultatele prezentate pâna acum, se pot consulta următoarele materiale:
– Pentru Topologie Generală : [24 ] și [29 ].
– Pentru Teoria măsurii și Integralei : [13], [15], [17], [33 ].
– Pentru Anali ză Funcțională : [11], [16], [31 ].
– Pentru Teoria Spa țiilor Köthe 𝐿𝜌: [8], [26], [27], [28], [33 ].

Capitolul 3. Spații K 𝒐̈the-Bochner. Proprietăți fundamentale
3.1. Introducere

Istoria spațiilor K 𝑜̈the-Bochner (varianta vectorială a spațiilor 𝐿𝜌) incepe, desigur, cu clasicele spații Lebesgue 𝐿𝑝. Multe generalizări
ale acestui spațiu au apărut ulterior, printre care bine -cunoscutele spații Orlicz. Matematicienii olandezi W.A.J. Luxemburg și A.C.Zaane n au
studiat spațiile 𝐿𝜌 într-o serie de articole (v. [6]). Re zultatele obținute de ei și de alți matematicieni s -au adunat în monografiile [8] și [33]. Se
pare că numele de “spații K𝑜̈the” dat spațiilor 𝐿𝜌 a fost sugerat de J. Dieudonn é. Menționăm că definiția spațiilor 𝐿𝜌 de aici nu este universală,
alte definiții ușor modificate fiind în uz.
Următorul pas important este considerarea spațiilor K𝑜̈the-Bochner, care sunt generalizarea spa țiilor K𝑜̈the 𝐿𝜌, înlocuind spațiul
scalarilo r K în definirea spațiilor ℒ𝜌 printr -un spațiu Banach nenul oarecare X.

3.2. Noțiuni preliminare
Fie X spațiu Banach.
Dualul lui X este X ’ ={𝐹:𝑋→𝐾| 𝐹 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑙𝑖𝑛𝑖𝑎𝑟ă ș𝑖 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢ă}. Se știe că X’ devine spațiu Banach cu norma
‖𝐹‖0=𝑠𝑢𝑝{|𝐹(𝑥)||𝑥∈𝑋,‖𝑥‖≤1}.
Fie (T,𝒯,𝜇) un spațiu cu măsură completă, și fie 𝜌:𝑀+(𝜇)→ℝ̅+ o normă funcțională pe (T, 𝒯,𝜇).
Notăm: 𝐸𝑋(𝜇)= funcțiile 𝒯-etajate cu valori în X, adică
𝐸𝑋(𝜇)={𝑓:𝑇→𝑋|𝑓 𝑎𝑟𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑓=∑𝜑𝐴𝑖𝑥𝑖 𝑐𝑢 𝐴𝑖∈𝒯 𝑑𝑖𝑠𝑗𝑢𝑛𝑐𝑡𝑒 ș𝑖 𝑛
𝑖=1 𝑥𝑖∈𝑋}
și 𝑀𝑋(𝜇)= funcțiile 𝜇-măsurabile cu valori în X, adică
𝑀𝑋(𝜇)= { 𝑓:𝑇→𝑋 | 𝑓 are propriet ățile : a) Pentru orice mul țime boreliană 𝐵⊂𝑋 , 𝑓−1(𝐵)∈𝒯, b) Pentru orice 𝐴 ∈𝒯 cu 𝜇(𝐴)<∞ există
𝒯∋𝑀⊂𝐴 cu 𝜇(𝑀)=0 și există 𝐻 ⊂𝑋, 𝐻 cel mult numărabilă așa ca 𝑓(𝐴\𝑀)⊂𝐻̅ }.
Dacă 𝑋=𝐾, scriem 𝐸(𝜇) în loc de 𝐸𝐾(𝜇) și (evident) 𝑀(𝜇) în loc de 𝑀𝐾(𝜇).

Propoziția 3.2.1 . Fie 𝑓:𝑇→𝑋. Atunci f∈𝑀𝑋(𝜇) ⇔(∃) (𝑓𝑛)𝑛⊂𝐸𝑋(𝜇), 𝑓𝑛𝑛→𝑓 𝜇-apt (teorema lui B.J.P ettis)

Dacă f∈𝑀𝑋(𝜇), atunci |𝑓|∈𝑀+(µ), unde |𝑓|:𝑇→ℝ+ este definită prin |𝑓|(t)=‖𝑓(𝑡)‖.
Introducem spațiile K 𝑜̈the de funcții vectoriale .
Fie 𝜌 o normă funcțională pe (T,𝒯,𝜇) și X un spațiu Banach. Definim
ℒ𝑋(𝜌)={𝑓∈𝑀𝑋(𝜇)|𝜌|𝑓|<∞}, unde 𝜌|𝑓|≝𝜌(|𝑓|).
Atunci ℒ𝑋(𝜌) este seminormat cu seminorma f ⟼p(f) ≝ 𝜌|𝑓|.

9
În cazul 𝜌=‖‖𝑝, 1≤p≤∞, avem ℒ𝑋(𝜌)=ℒ𝑝(X)= ℒ𝑝(X, 𝜇).
În cazul 𝜌 = 𝜌𝑀, avem ℒ𝑋(𝜌) = ℒ𝑋(𝜌𝑀), numit spațiu Orlicz de funcții vectoriale .
Spațiul normat asociat lui ℒ𝑋(𝜌) se obține factorizând ℒ𝑋(𝜌) prin relația de echivalență:
f~g ⇔ p(f-g)=0 ⇔ f=g 𝜇-apt.
Spațiul normat asociat este, de fapt, ℒ𝑋(𝜌)/𝒩𝑋(𝜇) unde 𝒩𝑋(𝜇)= {𝑓:𝑇→𝑋|𝑓=0 𝜇−apt} ).
Notăm ℒ𝑋(𝜌)/~=ℒ𝑋(𝜌)/𝒩𝑋(𝜇)≝𝐿𝑋(𝜌),
care este normat cu norma
𝑓̃⟼‖𝑓̃‖≝p(f)= 𝜌|𝑓|
pentru orice reprezentant f ∈𝑓̃.
În cazul 𝜌=‖‖𝑝, 1≤p≤∞, avem 𝐿𝑋(𝜌)=𝐿𝑝(X)= 𝐿𝑝(X, 𝜇).
În cazul 𝜌 = 𝜌𝑀, avem 𝐿𝑋(𝜌) = 𝐿𝑋(𝜌𝑀), numit spațiu Orlicz vectorial .
Dacă X=K scriem (cum am făcut deja) ℒ𝐾(𝜌)= ℒ(𝜌) =ℒ𝜌 și 𝐿𝐾(𝜌)=L(𝜌)= 𝐿𝜌. Este cunoscut faptul că 𝐿𝜌 este Banach dacă și numai dacă 𝜌 este
R-F. Acesta este cazul spa țiului 𝐿𝑝, 1≤p≤∞ și spațiului Orlicz.
Pentru X =ℝ, spațiul 𝐿𝑝 este spațiu normat reticulat (spațiu Riesz), cu ordinea canonică 𝑓̃≤𝑔̃ 𝑑𝑒𝑓⇔ f(t) ≤g(t) 𝜇−apt pentru orice reprezentant
f∈𝑓̃ și g∈𝑔̃.
Denumiri
Numim pe ℒ𝑋(𝜌) spațiu K𝑜̈the de funcții vectoriale . Numim pe 𝐿𝑋(𝜌) spațiu K𝑜̈the vectorial sau spațiu K𝑜̈the-Bochner (practic,
folosim aceleași denumiri, atât pentru spațiul de funcții, cât și pentru spațiul de clase de echivalență atașat, dar credem că nu există
posibilitate de confuzie, deoarece totul rezultă din context).
Este util să prezentăm un exemplu de spațiu K 𝒐̈the-Bochner :
Consider ăm spațiul cu măsură ( ℕ,𝒫(ℕ),𝜇) cu măsura de numărare 𝜇. Să luăm un număr 1 ≤𝑝<∞ și spațiul Banach X =𝑙𝑝
const ând din șirurile de scalari x =(𝑥𝑛)𝑛 cu proprietatea c ă ∑|𝑥𝑛|𝑝 ∞
𝑛=1<∞, normat cu norma x ⟼‖𝑥‖𝑝=(∑|𝑥𝑛|𝑝 ∞
𝑛=1)1
𝑝. Vom considera 𝜇-
norma funcțională 𝜌:𝑀+(𝜇)→ℝ̅+, definită pri n 𝜌(u)= (∑𝑢(𝑚)𝑝 ∞
𝑚=1)1
𝑝. Avem ℒ𝑋(𝜌)= 𝐿𝑋(𝜌) (singura mulțime neglijabilă este ∅). Și anume,
dacă f∈ℒ𝑋(𝜌), scriem, pentru orice m natural : f(m)= (𝑥𝑚𝑛)𝑛, prin urmare ‖𝑓(𝑚)‖𝑝=(∑|𝑥𝑚𝑛|𝑝 ∞
𝑛=1)1
𝑝. Atunci
‖𝑓‖= 𝜌|𝑓|=(∑‖𝑓(𝑚)‖𝑝𝑝)1
𝑝=(∑∑|𝑥𝑚𝑛|𝑝 ∞
𝑛=1∞
𝑚=1 )1
𝑝 și ℒ𝑋(𝜌) constă în toate matricele infinite (𝑥𝑚𝑛)𝑚,𝑛 astfel încât ∑|𝑥𝑚𝑛|𝑝
𝑚,𝑛<∞.

În contextul de mai sus se definește spațiul vectorial
𝐸𝑋(𝜌)={𝑓∈𝐸𝑋(𝜇)|𝜌|𝑓|<∞}, adică 𝐸𝑋(𝜌)= 𝐸𝑋(𝜇)∩ℒ𝑋(𝜌).
Se vede că, dacă 𝑓=∑𝜑𝐴𝑖𝑥𝑖 𝑛
𝑖=1∈𝐸𝑋(𝜌) (cu 𝐴𝑖 disjuncte), atunci 𝜌(𝐴𝑖) <∞, i=1,2,…,n (și reciproc).
Atunci putem defini
𝐸𝑋̃(𝜌)= {𝑓̃|𝑓∈𝐸𝑋(𝜇)}⊂𝐿𝑋(𝜌),
adică 𝐸𝑋̃(𝜌)=𝜋𝑋(𝐸𝑋(𝜌)), unde 𝜋𝑋: ℒ𝑋(𝜌) →𝐿𝑋(𝜌) este aplicația canonică dată prin formula 𝜋𝑋(f)= 𝑓̃.
În cazul când 𝑋=𝐾, scriem 𝐸(𝜌)̃ în loc de 𝐸𝐾(𝜌)̃ .
Propoziția 3.2.2 . Fie f∈𝑀𝑋(𝜇). Atunci există un șir (𝑓𝑛)𝑛⊂𝐸𝑋(𝜇) astfel încât |𝑓𝑛|≤|𝑓| pentru orice n și 𝑓𝑛𝑛→𝑓 𝜇-apt (v. [15 ]).
Din această propoziție rezultă (v. [8])
Teorema 3.2.3 . Se presupune că 𝜌 R-F și 𝜌 ac. Atunci 𝐸𝑋̃(𝜌) este dens în 𝐿𝑋(𝜌).
Monografia standard dedicată spațiilor K öthe-Bochner este [24 ]. Men ționăm că teoria prezentată în [24] este pu țin mai
particulară decât teoria din prezenta teză, deoarece în [24] se presupune că funcțiile caracteristice ale mulțim ilor de măsură finită sunt în
ℒ𝜌.

10

3.3. Rezultate .
3.3.1. Completitudinea. Funcții ale căror mulțimi de valori sunt incluse în subspații închise.
Lema 3.3.1.1 . Spațiul 𝐿𝜌 este Banach dacă și numai dacă pentru orice șir Cauchy (𝑢𝑛̃)𝑛⊂𝐿𝜌 astfel încât 𝑢𝑛̃≥0, pentru orice n, există 𝑢̃∈𝐿𝜌
astfel încât 𝑢𝑛̃
𝑛→𝑢̃ în 𝐿𝜌.
Lema 3.3.1.2 . Presupunem 𝜌 𝑅−𝐹. Fie (𝑓𝑛̃)𝑛⊂ℒ𝑋(𝜌) un șir astfel încât ∑𝜌|𝑓𝑛|∞
𝑛=1<∞. Atunci :
1. Avem convergență 𝜇-apt, adic ă există A ∈𝒯 cu 𝜇(A)=0 astfel încât seria ∑‖𝑓𝑛(𝑡)‖∞
𝑛=1 converg e pentru orice t ∈T\A.
2. Definim f:T →X prin f(t)= ∑𝑓𝑛(𝑡)∞
𝑛=1 oricare ar fi t ∈T\A și f(t) = arbitrar în X dacă t ∈A. Atunci avem f ∈ℒ𝑋(𝜌) și, pentru orice n
natural,
𝜌|𝑓−∑𝑓𝑘𝑛
𝑘=1|≤∑𝜌|𝑓𝑘|∞
𝑘=𝑛+1𝑛→0.

Teorema 3.3.1.3 . Următoarele afirmații sunt echivalente :
1. 𝜌 𝑅−𝐹;
2. Pentru orice spa țiu Banach X, ℒ𝑋(𝜌) este complet, adică 𝐿𝑋(𝜌) este Banach (în particular, 𝐿𝜌 este Banach );
3. Exist ă un spațiu Banach X nenul astfel încât ℒ𝑋(𝜌) este complet, adică 𝐿𝑋(𝜌) este Banach.
Remarcă . Mai târziu, vom da exemplul 3.3.2.11 care va arăta că, în cazul când condiția 𝜌 R-F este încălcată, este posibil ca spațiul 𝐿𝑋(𝜌) să
nu fie complet. 
Vom continua introducând câteva considerații în ceea ce privește măsurabilitatea.
Fie X un spațiu Banach și fie Y⊂ X un subspațiu vectorial închis. Scriem ℱ(𝑇,𝑋) = {𝑓:𝑇→𝑋} și ℱ(𝑇,𝑌) = {𝑓:𝑇 →𝑌} și putem
defini H(𝑋,𝑌) : ℱ(𝑇,𝑌)→ ℱ(𝑇,𝑋) prin H(𝑋,𝑌)(𝑓)=F ,unde F (𝑡)=f(𝑡) pentru orice t ∈T (H este liniară și injectivă ) .
Lema 3.3.1.4.
Avem egalitatea
H(𝑋,𝑌)(𝑀𝑌(𝜇))={𝑓∈𝑀𝑋(𝜇)|𝑓(𝑇)⊂𝑌}
Corolar 3.3.1.5.
Avem H(𝑋,𝑌)(ℒ𝑌(𝜌))= {𝑓∈ℒ𝑋(𝜌)) |𝑓(𝑇)⊂𝑌}.
Deci, obținem o izometrie P (𝑋,𝑌): 𝐿𝑌(𝜌) →𝐿𝑋(𝜌), P(𝑋,𝑌)(𝑓̃)=𝐹̃, unde F= H (𝑋,𝑌)(f). Aici, pe 𝐿𝑌(𝜌), considerăm norma indusă
pe 𝐿𝑋(𝜌).
În ceea ce urmează considerăm un caz special de subspațiu Y al lui X, unde X este spațiu Banach nenul. Fie un element 0 ≠x∈X și
luăm Y=Sp(x)= {𝛼𝑥|𝛼∈𝐾} subspa țiul generat de x. Pentru acest Y definim spațiul
ℒ𝜌(𝑥)≝ {𝑓∈ℒ𝑋(𝜌)|𝑓(𝑇)⊂Sp(x)},
𝐿𝜌(𝑥) ≝{𝑓̃∈𝐿𝑋(𝜌)|𝑓∈ℒ𝜌(𝑥)}.
În același timp, definim spațiile ℒ𝜌𝑥≝{𝜑𝑥|𝜑∈ℒ𝜌} și 𝐿𝜌𝑥 ≝{𝑓̃|𝑓∈ℒ𝜌𝑥}.
Evident, ℒ𝜌𝑥⊂ℒ𝜌(𝑥) și 𝐿𝜌𝑥⊂𝐿𝜌(𝑥).
Teorema 3.3.1.6. Pentru orice x ∈X, avem ℒ𝜌(𝑥)= ℒ𝜌𝑥 și 𝐿𝜌(𝑥)= 𝐿𝜌𝑥.

Folosind acest rezultat, putem completa Teorema 3.3.1.3 cu următoarea :
Teorema 3.3.1.7. Urm ătoarele afirmații sunt echivalente :
1) 𝜌 R-F;
2) Există un spațiu Banach nenul X și 0≠x∈X astfel încât 𝐿𝜌(𝑥)= 𝐿𝜌𝑥 este Banach ;
3) Există un spațiu Banach nenul X și un subspațiu vectorial nenul închis Y ⊂X astfel încât 𝐿𝑌(𝜌) este Banach.

11
Cu teoremele 3.3.1.3 și 3.3.1.7 obținem următoarea teoremă de sinteză
Teorema 3.3.1.8. Următoarele afirmații sunt echivalente:
1. 𝜌 R-F;
2. 𝐿𝜌 este Banach;
3. Pentru orice spa țiu Banach X, spațiul 𝐿𝑋(𝜌) este Banach;
4. Exist ă un spațiu Banach X nenul astfel încât 𝐿𝑋(𝜌) este Banach ;
5. Există un spațiu Banach nenul X și 0≠x∈X astfel încât 𝐿𝜌(𝑥)= 𝐿𝜌𝑥 este Banach ;
6. Există un spațiu Banach nenul X și un subspațiu vectorial nenul închis Y ⊂X astfel încât 𝐿𝑌(𝜌) este Banach.
Remarcă . Putem citi echivalența 1. ⟺3. din Teorema 3.3.1.8 după cum urmează: 𝐿𝜌 are proprietatea (C) dacă și numai dacă 𝐿𝑋(𝜌) are
proprietatea (C) pentru orice spațiu Banach X (aici (C) înseamnă completitudinea). Acest tip de echivalență nu este valid întotdeauna.
De exemplu, vom considera drept proprietate (C) reflexivitatea. Este adevărată implicația 𝐿𝑋(𝜌) este reflexiv pentru orice spațiu
Banach X ⟹𝐿𝜌 este reflexiv (deoarece luăm X=K). Implicația inversă nu este în general adevărată, ceea ce s e vede după cum urmează.
Presupunem că 0< 𝜌(T)< ∞ și X nu este spațiu Banach reflexiv. Acceptăm că 𝐿𝜌 este reflexiv. Vom vedea că 𝐿𝑋(𝜌) nu este reflexiv. Într –
adev ăr, luăm izometria liniară H :X→𝐿𝑋(𝜌), dată prin H(x) =1
𝜌(𝑇)𝜑𝑇𝑥̃. Atunci H(X) este s ubspa țiu închis în 𝐿𝑋(𝜌). Dacă 𝐿𝑋(𝜌) va fi reflexiv, va
rezulta că H(X) (și X) va fi reflexiv (fals).
Remarcă : De multe ori, are loc echivalența :
𝐿𝑋(𝜌) are proprietatea (C) ⟺𝐿𝜌 și X au proprietatea (C). Un exemplu în acest sens este dat de Teorema 4.1.11.

3.3.2. Topologia convergenței în 𝝆-măsură. Relația cu topologia canonică.

Fie (T,𝒯,𝜇) un spa țiu cu măsură, 𝜌 o 𝜇-norm ă funcțională și 𝑋 un spațiu Banach.
Definiția 3.3.2.1 . O funcție 𝜑:[0, ∞]→[0, ∞) se nume ște S-funcție dacă îndeplinește următoarele proprietăți :
(i) Exist ă 0<𝑎<∞ astfel încât 𝜑([0,∞])=[0,a] și 𝜑 este strict crescătoare.
(ii) 𝜑(s+t)≤ 𝜑(s)+ 𝜑(t), (∀)s,t∈[0,∞].
Func ția 𝜑:[0, ∞]→[0, ∞), data prin 𝜑(t)=𝑡
1+𝑡, dac ă 0≤t<∞ și 𝜑(∞)=1 este o S -funcție (a =1).
Orice S -func ție 𝜑 și “inversa” sa (definit ă pe [0,a]) 𝜑−1 sunt continue.
Pentru orice 0 <a<∞ și orice f∈𝑀𝑋(𝜇), definim :
(|𝑓|>𝑎)≝{𝑡∈𝑇||𝑓|(𝑡)>𝑎} și 𝜌(|𝑓|>𝑎)≝𝜌((|𝑓|>𝑎))
(|𝑓|≥𝑎)≝{𝑡∈𝑇||𝑓|(𝑡)≥𝑎} și 𝜌(|𝑓|≥𝑎)≝𝜌((|𝑓|≥𝑎))
(𝑎,𝑓)=a+𝜌(|𝑓|>𝑎).
Pentru orice S -funcție 𝜑 și orice 0<𝑎<∞, scriem 𝜑(𝑎,𝑓)≝ 𝜑((𝑎,𝑓)) și definim
‖|𝑓|‖𝜑≝𝑖𝑛𝑓{𝜑(𝑎,𝑓)|𝑎>0}<∞.

Lema 3.3.2.2 . Pentru orice S -funcție 𝜑 și orice f,g ∈𝑀𝑋(𝜇):
1. ‖|0|‖𝜑=0;
2. ‖|𝑓|‖𝜑=‖|−𝑓|‖𝜑;
3. ‖|𝑓+𝑔|‖𝜑≤‖|𝑓|‖𝜑+‖|𝑔|‖𝜑.

Teorema 3.3.2.3 . I. Considerăm un șir generalizat (𝑓𝛿)𝛿∈∆ ⊂ 𝑀𝑋(𝜇), f∈𝑀𝑋(𝜇) și 𝜑 o S-funcție. Următoarele afirmații sunt echivalente :
1. 𝑓𝛿𝛿→f în 𝜏𝜑.

12
2. 𝜌(|𝑓−𝑓𝛿|>𝑎)
𝛿→0 pentru orice 0<𝑎<∞;
3. 𝜌(|𝑓𝛿−𝑓|≥𝑎)
𝛿→0 pentru orice 0<𝑎<∞.
II. Avem 𝜏𝜑1=𝜏𝜑2 pentru orice dou ă S-funcții 𝜑1 și 𝜑2 .
Rezultatul teoremei 3.3.2.3,II. poate fi interpretat după cum urmează: toate func țiile 𝜑 generează o unică topologie 𝜏=𝜏𝜑 de
grup abelian semimetrizabil pe 𝑀𝑋(𝜇). Notăm 𝜏 =𝜏𝜑 pentru orice S -func ție 𝜑. Deoarece 𝜏 depinde de 𝜌, vom scrie 𝜏𝑚(𝜌) în loc de 𝜏.

Definiția 3.3.2.4 . Vom numi 𝜏𝑚(𝜌) topologia convergenței în 𝜌-măsură .
Când 𝑓𝛿𝛿→f în (𝑀𝑋(𝜇), 𝜏𝑚(𝜌)), vom spune că (𝑓𝛿)𝛿 converge la f în 𝜌-măsură și vom scrie 𝑓𝛿

 𝑓 (în particular 𝑓𝑛
n 𝑓
în cazul șirurilor).

În general, grupul topologic semimetrizabil ( 𝑀𝑋(𝜇), 𝜏𝑚(𝜌)) nu este separat. Mai precis, avem următorul rezultat :
Teorema 3.3.2.5 . Închiderea lui {0} în (𝑀𝑋(𝜇), 𝜏𝑚(𝜌)) este spațiul vectorial 𝒩𝑋(𝜇)={𝑓:𝑇⟶𝑋|𝑓(𝑡)=0 𝜇−𝑎𝑝𝑡}.

În general, ( 𝑀𝑋(𝜇), 𝜏𝑚(𝜌)) nu este spațiu vectorial topologic, după cum rezultă din exemplul următor.
Exemplul 3.3.2.6 . Luăm (T, 𝒯,𝜇)=(ℕ,𝒫(ℕ),𝜇), unde 𝜇 este măsura de numărare (toate funcțiile sunt 𝜇-măsurabile). Vom lucra c u X=K.
Definim norma funcțională 𝜌: 𝑀+(𝜇)⟶ℝ̅+ prin 𝜌(u)=𝑠𝑢𝑝{𝑢(𝑛)|𝑛∈ℕ}.
Consider ăm funcția f ∈M(𝜇) dată prin f(n)=n pentru orice n ∈ℕ. Urmează că (|1
𝑛𝑓|>1)={𝑛+1,𝑛+2,…}, prin urmare
𝜌(|1
𝑛𝑓|>1)=1 pentru orice n ∈ℕ. Rezultă că, șirul (1
𝑛𝑓)
𝑛 nu converge la 0. 
În scopul de a studia structura de spațiu vectorial topologic a lui ( 𝑀𝑋(𝜇), 𝜏𝑚(𝜌)), vom introduce spațiul vectorial
𝑀𝑚𝑎𝑥={𝑓∈𝑀𝑋(𝜇)|𝜌(|𝑓|>𝑛)
𝑛→0}. Aici n∈ℕ.
Faptul că 𝑀𝑚𝑎𝑥 este spațiu vectorial rezultă din (|𝑓+𝑔|>𝑛)⊂(|𝑓|>𝑛
2)∪(|𝑔|>𝑛
2).
Observ ăm că
𝑀𝑚𝑎𝑥={𝑓∈𝑀𝑋(𝜇)|𝜌(|𝑓|>𝑎)
𝑎→∞→ 0}, unde a>0.
Teorema 3.3.2.7 . 1. Grupul topologic (𝑀𝑋(𝜇), 𝜏𝑚(𝜌)) are proprietatea că, pentru orice a ∈K și orice subspațiu vectorial M ⊂𝑀𝑋(𝜇), funcția
𝑇𝑎:M→M, 𝑇𝑎(f)=af, este continuă.
2.Subspațiul vectorial 𝑀𝑚𝑎𝑥, echipat cu topologia indusă de 𝜏𝑚(𝜌), este un subspațiu vectorial topologic. Dacă M ⊂𝑀𝑋(𝜇) este subspațiu
vectorial, atunci M echipat cu topologia indusă de 𝜏𝑚 este un subspațiu vectorial topologic dacă și numai dacă M ⊂𝑀𝑚𝑎𝑥.
Remarci :
1. În exemplul 3.3.2.6, avem f ∉𝑀𝑚𝑎𝑥.
2. Considerând spațiul măsurabil (T, 𝒯,𝜇) cu 𝜇(T) <∞, un spațiu Banach arbitrar X și norma funcțională 𝜌=‖‖1, 𝜌(u)=∫𝑢𝑑𝜇 , u∈
𝑀+(𝜇), avem 𝑀𝑚𝑎𝑥 =𝑀𝑋(𝜇), deoarece ⋂(|𝑓|>𝑛)∞
𝑛=1 =∅ pentru orice f ∈𝑀𝑋(𝜇), deci 𝜇(|𝑓|>𝑛) = 𝜌(|𝑓|>𝑛)
𝑛→0. Așadar,
𝑀𝑋(𝜇) cu topologia (uzuală) a convergenței în măsură este spațiu vectorial topologic.

În general, grupul topologic semimetrizabil ( 𝑀𝑋(𝜇), 𝜏𝑚(𝜌)) nu este complet, așa cum arată exemplul următor.
Exemplul 3.3.2.8 . Luă m (T,𝒯,𝜇), unde T = ℕ, 𝒯= 𝒫(ℕ), 𝜇=măsură de numărare, X =K și norma funcțională 𝜌: 𝑀+(𝜇)⟶ℝ̅+ dată prin
𝜌(u)={∑𝑢(𝑛)
𝑛2 𝑑𝑎𝑐ă {𝑛∈ℕ|𝑢(𝑛)≠0} 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡ă∞
𝑛=1
∞ 𝑑𝑎𝑐ă {𝑛∈ℕ|𝑢(𝑛)≠0} 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡ă
Pentru orice 𝑛∈ℕ scriem 𝐴𝑛={1,2,3,…,𝑛} și luăm șirul (𝑓𝑛)𝑛⊂M(𝜇), dat prin 𝑓𝑛=𝜑𝐴𝑛. Dac ă m>𝑛 avem 𝑓𝑚-𝑓𝑛=𝜑{𝑛+1,𝑛+2,…,m},
deci 𝜌(|𝑓𝑚−𝑓𝑛|>𝑎)≤∑1
𝑖2𝑚
𝑖=𝑛+1 și ‖|𝑓𝑚−𝑓𝑛|‖𝜑≤ 𝜑(𝑎+∑1
𝑖2𝑚
𝑖=𝑛+1) pentru orice a >0, deci ‖|𝑓𝑚−𝑓𝑛|‖𝜑≤ 𝜑(∑1
𝑖2𝑚
𝑖=𝑛+1).

13
Șirul (𝑓𝑛)𝑛 este Cauchy (aici 𝜑 este o S -funcție arbitrară) deoarece 𝜑 este continua în 0.
Nu putem găsi nicio f ∈M(𝜇) astfel încât 𝑓𝑛
n 𝑓.

Remarcă . Incompletitudinea din acest exemplu este din cauza faptului că 𝜌 nu este Riesz -Fischer. (Teorema 3.3.3.11).
Vom trece la studiul rela ției între topologia 𝜏(𝜌) a spațiului K 𝑜̈the-Bochner ℒ𝑋(𝜌) și topologia 𝜏𝑚𝑖(𝜌) indusă pe ℒ𝑋(𝜌) de
topologia 𝜏𝑚(𝜌) (adică 𝜏𝑚𝑖(𝜌) =𝜏𝑚(𝜌)/ℒ𝑋(𝜌)).

Primul rezultat este :
Teorema 3.3.2.9 . Avem ℒ𝑋(𝜌)⊂𝑀𝑚𝑎𝑥. Deci, ℒ𝑋(𝜌) cu topologia 𝜏𝑚𝑖(𝜌) este un spațiu vectorial topologic.
Rezultatul precedent spune că pe spațiul vectorial ℒ𝑋(𝜌) avem două topologii liniare: 𝜏(𝜌)=topologia spațiului K 𝑜̈the-Bochner și
𝜏𝑚𝑖(𝜌)=topologia convergen ței în 𝜌-măsură.

Relația dintre aceste topologii este dată de :
Teorema 3.3.2.10 . Avem 𝜏𝑚𝑖(𝜌)⊂ 𝜏(𝜌), adică topologia convergenței în 𝜌-măsură este mai slabă decât topologia spațiului K 𝑜̈the-Bochner.

Remarcă . În general, topologia 𝜏(𝜌) a spațiului K 𝑜̈the-Bochner este strict mai fină decât topologia 𝜏𝑚𝑖(𝜌) a convergenței în măsură pe ℒ𝑋(𝜌).
(Remarca 1 din Exemplul 3.3.3.19 din paragraful următor).

Exemplul 3.3.2.11 . Considerăm din nou scenariul din Exemplul 3.3.2.8. Șirul (𝑓𝑛)𝑛 este Cauchy în topologia K 𝑜̈the-Bochner pe ℒ𝜌. Într-adev ăr,
dacă m >n, avem 𝜌|𝑓𝑚−𝑓𝑛|=∑1
𝑖2𝑚,𝑛→ 𝑚
𝑖=𝑛+1 0. Nu există f∈ℒ𝜌 astfel încât 𝑓𝑛𝑛→f în topologia K 𝑜̈the-Bochner. Într -adevăr, pentru un astfel de f
vom avea 𝑓𝑛
n f (în vederea teoremei 3.3.2.10) ceea ce nu este posibi l, după cum am văzut în Exemplul 3.3.2.8. Atunci ℒ𝜌 și 𝐿𝜌 nu sunt
complete (datorită faptului că 𝜌 nu are proprietatea Riesz -Fischer). 

Remarc ă. De fapt, proprietatea Riesz -Fischer a lui 𝜌 este o condiție necesară și suficientă pentru completitudinea lui ℒ𝑋(𝜌).
Închiderile spațiilor nule ale spațiilor vectoriale topologice (ℒ𝑋(𝜌), 𝜏(𝜌)) și (ℒ𝑋(𝜌), 𝜏𝑚𝑖(𝜌) ) sunt egale, și anume
{0}̅̅̅̅=𝒩𝑋(𝜇)={𝑓:𝑇→𝑋|𝑓(𝑡)=0 𝜇−𝑎𝑝𝑡}.
(închiderile în ambele t opologii ). Putem considera 𝐿𝑋(𝜌)=ℒ𝑋(𝜌)/𝒩𝑋(𝜇) cu cele două topologii.
Presupunem 𝜌 R-F. Am v ăzut că spațiul vectorial seminormat (ℒ𝑋(𝜌), 𝜏(𝜌)) este complet, deci spațiul normat ( 𝐿𝑋(𝜌), ‖‖), adică
spațiul K𝑜̈the-Bochner este Banach. Pe de altă parte, pute m considera spațiul vectorial topologic semimetrizabil ( ℒ𝑋(𝜌), 𝜏𝑚𝑖(𝜌)) (vezi
Teorema 3.3.2.9) a cărui topologie 𝜏𝑚𝑖(𝜌) este mai slabă decât topologia 𝜏(𝜌) (vezi Teorema 3.3.2.10). Spațiul 𝐿𝑋(𝜌)=ℒ𝑋(𝜌)/𝒩𝑋(𝜇), echipat
cu 𝑞𝜏𝑚𝑖(𝜌)=topologia c ât a lui 𝜏𝑚𝑖(𝜌), este un spațiu vectorial metrizabil, topologia fiind mai slabă decât topologia K 𝑜̈the-Bochner. Vom
vedea (Teorema 3.3.3.11) că spațiul semimetrizabil ( 𝑀𝑋(𝜇), 𝜏𝑚(𝜌)) este complet. În același timp, spațiile (ℒ𝑋(𝜌), 𝜏𝑚𝑖(𝜌)) și (𝐿𝑋(𝜌), 𝑞𝜏𝑚𝑖(𝜌))
nu sunt complete, deoarece ℒ𝑋(𝜌) nu este închis în 𝑀𝑋(𝜇), folosind Exemplul 3.3.3.20.

3.3.3. Convergența șirurilor

În acest paragraf vom studia următoarele tipuri de convergențe pentru șirurile de funcții vectoriale măsurabile : 𝜇-apt
convergența, converge nța în topologia spațiului K 𝑜̈the-Bochner, convergența în 𝜌-măsură și 𝜌-aproape uniform convergența.

14
Fie (T,𝒯,𝜇) spațiu cu măsură, X spațiu Banach și 𝜌: 𝑀+(𝜇)⟶ℝ̅+ o normă funcțională.
Multe dintre faptele prezentate aici sunt generalizări ale faptelor corespunzătoare din teoria măsurii obișnuită. Cititorul este
invitat să compare cu cazul particular al normei funcționale 𝜌(𝑢)=‖𝑢‖1.
Înainte de a trece mai departe, observăm următoarele fapte pe care le vom folosi în acest paragraf :
a) Dacă A,𝐴1 sunt în 𝒯 și 𝜇(A\𝐴1)=0, avem 𝜌(𝐴)= 𝜌(𝐴⋂𝐴1).
b) Dacă 𝐴1, 𝐴2, …,𝐴𝑛 sunt în 𝒯, avem 𝜌(⋃𝐴𝑖𝑛
𝑖=1) ≤∑𝜌(𝐴𝑖)𝑛
𝑖=1 .
c) Dacă (𝐴𝑛)𝑛⊂ 𝒯 este un șir și 𝜌 R-F, avem 𝜌(⋃𝐴𝑛∞
𝑛=1) ≤∑𝜌(𝐴𝑛)∞
𝑛=1 .

Defini ția 3.3.3.1 . Considerăm șirul (𝑓𝑛)𝑛⊂𝑀𝑋(𝜇) și f∈𝑀𝑋(𝜇).
Spunem că (𝑓𝑛)𝑛 converge la f în 𝜌-măsură (adică, 𝑓𝑛
n 𝑓) dacă 𝜌(|𝑓𝑛−𝑓|>𝑎)
𝑛→0 pentru orice 0<a< ∞. A se compara cu Teorema
3.3.1.3 și Definiția 3.3.2.4.
În plus :
a) Vom spune că șirul (𝑓𝑛)𝑛⊂𝑀𝑋(𝜇) este convergent în 𝜌-măsură dacă există f ∈𝑀𝑋(𝜇) astfel încât 𝑓𝑛
n 𝑓.
b)Vom spune că șirul (𝑓𝑛)𝑛 este Cauchy în 𝜌-măsură dacă pentru orice 𝜀>0 și orice 𝑎>0 există n(𝜀) astfel încât, pentru orice m ≥
n(𝜀), n≥ n(𝜀), avem 𝜌(|𝑓𝑚−𝑓𝑛|>𝑎)<𝜀.

Propoziția 3.3.3.2 . Dacă (𝑓𝑛)𝑛 este convergent în 𝜌-măsură, rezultă că (𝑓𝑛)𝑛 este Cauchy în 𝜌-măsură.
Reciproca acestei propoziții este adevărată în cazul 𝜌 R-F, așa cum vom vedea în Teorema 3.3.3.11.

Propoziția 3.3.3.3 . 1. Presupunem 𝑓𝑛
n 𝑓 și f=g 𝜇-apt. Atunci 𝑓𝑛
n 𝑔.
2.Dacă 𝑓𝑛
n 𝑓 și 𝑓𝑛
n 𝑔, atunci f =g 𝜇-apt.
Am văzut că, în cazul 𝑓𝑛 și f ∈ℒ𝑋(𝜌), avem implicația 𝑓𝑛𝑛→𝑓 în ℒ𝑋(𝜌) ⟹ 𝑓𝑛
n 𝑓. Folosind Propoziția 3.3.3.3(2) obținem :
Propoziția 3.3.3.4 . Presupunem 𝑓𝑛𝑛→𝑓 și 𝑓𝑛𝑛→𝑔 în topologia K 𝑜̈the-Bochner a lui ℒ𝑋(𝜌). Atunci f=g 𝜇-apt.

Vom introduce acum o nou ă convergență pentru șirurile din 𝑀𝑋(𝜇). Spre deosebire de convergențele an terioare (convergența
în 𝜌-măsură și convergența în ℒ𝑋(𝜌)) acest nou tip de convergență (care generalizează convergența asimptotică) nu este în general
convergență topologică (adică într-o anumit ă topologie).
Definiția 3.3.3.5 .
1. Fie (𝑓𝑛)𝑛⊂𝑀𝑋(𝜇) și f∈𝑀𝑋(𝜇).
Spunem că (𝑓𝑛)𝑛 converge către f 𝜌-aproape uniform (sau (𝑓𝑛)𝑛 converge 𝜌-asimptotic la f ) și scriem 𝑓𝑛
u
n  f dacă:
pentru orice 𝜀>0, există 𝐴𝜀∈ ℑ cu 𝜌(𝐴𝜀)<𝜀 și astfel încât (𝑓𝑛)𝑛 converge uniform către f pe T ∖𝐴𝜀 (∀𝛿>0,∃𝑛(𝛿),∀𝑛≥
𝑛(𝛿),∀𝑡∈T∖𝐴𝜀,‖𝑓𝑛(𝑡)−𝑓(𝑡)‖<𝛿).
2. Fie (𝑓𝑛)𝑛⊂𝑀𝑋(𝜇).
Spunem că (𝑓𝑛)𝑛 este 𝜌-aproape uniform Cauchy (sau (𝑓𝑛)𝑛 este 𝜌-asimptotic Cauchy ) dacă: pentru orice 𝜀>0, există 𝐴𝜀∈
ℑ cu 𝜌(𝐴𝜀)<𝜀 și astfel încât (𝑓𝑛)𝑛 este Cauchy uniform pe T∖𝐴𝜀, adică: pentru orice 𝛿>0, există 𝑛(𝛿)∈ℕ cu
proprietatea că m,n ≥ 𝑛(𝛿)⇒‖𝑓𝑚(𝑡)−𝑓𝑛(𝑡)‖<𝛿 pentru orice t ∈T∖𝐴𝜀.

15
3. Vom spune că (𝑓𝑛)𝑛 este 𝜌-aproape uniform convergent (sau (𝑓𝑛)𝑛 este 𝜌-asimptotic convergent ) dacă există f ∈𝑀𝑋(𝜇)
astfel încât 𝑓𝑛
u
n  f.

Propoziția 3.3.3.6 . (Completitudinea 𝜌-aproape uniform convergenței ). Șirul (𝑓𝑛)𝑛⊂𝑀𝑋(𝜇) este 𝜌-aproape uniform convergent dacă și
numai dacă el este 𝜌-aproape uniform Cauchy.
Vom vedea că 𝜌-aproape uniform convergența implică 𝜇-apt convergența și convergența în 𝜌-măsură (nu există nicio legătură
între 𝜌-aproape uniform convergen ță și convergența în topologia spațiului K 𝑜̈the-Bochner, ca în Exemplul 3.3.3.19).

Propoziția 3.3.3.7 . Dacă șirul (𝑓𝑛)𝑛⊂𝑀𝑋(𝜇) și f∈𝑀𝑋(𝜇) sunt astfel încât 𝑓𝑛
u
n  f, atunci 𝑓𝑛𝑛→𝑓 𝜇-apt și 𝑓𝑛
n 𝑓.

Remarcă . Inversele implicațiilor din Propoziția 3.3.3.7, în general, nu sunt adevărate. Implicația ( 𝑓𝑛𝑛→𝑓 𝜇-apt) ⟹(𝑓𝑛
u
n  f) în general
nu este adevărată. Într -adevăr, în exemplele 3.3.2.8 și 3.3.2.11 șirul (𝑓𝑛)𝑛 converge peste tot la funcția constantă egală cu 1, dar nu converge
𝜌-aproape uniform, deoarece aici 𝜌-aproape uniform convergența înseamnă uniform convergență. Implicația ( 𝑓𝑛
n 𝑓) ⟹(𝑓𝑛
u
n 
f) în general nu este adevărată după cum vom vedea în remarca 3.a) din exemplul 3.3.3.19.

Corolar 3.3.3.8 . Fie un șir (𝑓𝑛)𝑛⊂𝑀𝑋(𝜇) și f∈𝑀𝑋(𝜇).
1. Dacă 𝑓𝑛
u
n  f și f=g 𝜇-apt, atunci 𝑓𝑛
u
n  g.
2. Dacă 𝑓𝑛
u
n  f și 𝑓𝑛
u
n  g, atunci f=g 𝜇-apt.

Corolar 3.3.3.9 . Fie un șir (𝑓𝑛)𝑛⊂𝑀𝑋(𝜇) și f∈𝑀𝑋(𝜇). Următoarele afirmații sunt echivalente:
1. 𝑓𝑛
u
n  f;
2. (𝑓𝑛)𝑛 este 𝜌-aproape uniform Cauchy și 𝑓𝑛𝑛→𝑓 𝜇-apt.

Următorul rezultat este foarte important.
Teorema 3.3.3.10 . Se presupune că 𝜌 R-F.
Fie (𝑓𝑛)𝑛⊂𝑀𝑋(𝜇) un șir Cauchy în 𝜌-măsură. Atunci, există un subșir (𝑓𝑛𝑘)𝑘⊂(𝑓𝑛)𝑛 și o funcție f ∈𝑀𝑋(𝜇) cu proprietatea că
𝑓𝑛𝑘
u
n 𝑓 (deci 𝑓𝑛𝑘𝑛→𝑓 𝜇-apt și 𝑓𝑛𝑘
k𝑓).
Următoarea consecință este completitudinea spațiului semimetrizabil ( 𝑀𝑋(𝜇), 𝜏𝑚(𝜌)) în cazul 𝜌 R-F.

Teorema 3.3.3.11 . (Analoaga teoremei lui Slutsky )

16
Se presupune 𝜌 R-F. Atunci spațiul semimetrizabil ( 𝑀𝑋(𝜇), 𝜏𝑚(𝜌)) este complet (adică, un șir (𝑓𝑛)𝑛 de funcții din 𝑀𝑋(𝜇) este Cauchy în 𝜌-
măsură dacă și numai dacă (𝑓𝑛)𝑛 este convergent în 𝜌-măsură, ceea ce înseamnă că există f ∈𝑀𝑋(𝜇), 𝑓𝑛
n f).

Folosind funcția 𝜌𝑇 va fi posibil să obținem, conform Teoremei 3.3.3.10, rezultate aferente funcției 𝜌 neavând pr oprietatea Riesz –
Fischer.
Corolar 3.3.3.12 . Pentru orice șir (𝑓𝑛)𝑛 de funcții din 𝑀𝑋(𝜇) care este Cauchy în 𝜌-măsură, putem găsi f ∈𝑀𝑋(𝜇) și un subșir (𝑓𝑛𝑘)𝑘⊂(𝑓𝑛)𝑛
astfel încât 𝑓𝑛𝑘𝑘→f 𝜇-apt.
Propoziția 3.3.3.13 . Presupunem 𝜌 R-F. Fie șirul (𝑓𝑛)𝑛⊂𝑀𝑋(𝜇) și f∈𝑀𝑋(𝜇).
1. Dacă 𝑓𝑛
n f, există un subșir (𝑓𝑛𝑘)𝑘⊂(𝑓𝑛)𝑛 astfel încât 𝑓𝑛𝑘
u
n f (deci 𝑓𝑛𝑘𝑘→f 𝜇-apt).
2. Presupunem că (𝑓𝑛)𝑛⊂ℒ𝑋(𝜌), f∈ℒ𝑋(𝜌) și 𝑓𝑛𝑛→f în topologia spațiului K 𝑜̈the-Bochner al lui ℒ𝑋(𝜌). Atunci există un subșir
(𝑓𝑛𝑘)𝑘⊂(𝑓𝑛)𝑛 astfel încât 𝑓𝑛𝑘
u
n f (deci 𝑓𝑛𝑘𝑘→f 𝜇-apt și 𝑓𝑛𝑘
kf ).

Corolar 3.3.3.14 . Fie (𝑓𝑛)𝑛⊂𝑀𝑋(𝜇) un șir și f∈𝑀𝑋(𝜇).
1. Dacă 𝑓𝑛
n f, există un subșir (𝑓𝑛𝑘)𝑘⊂(𝑓𝑛)𝑛 astfel încât 𝑓𝑛𝑘𝑘→f 𝜇-apt.
2. Presupunem că (𝑓𝑛)𝑛⊂ℒ𝑋(𝜌), f∈ℒ𝑋(𝜌) și 𝑓𝑛𝑛→f în topologia spațiului K 𝑜̈the-Bochner ℒ𝑋(𝜌). Atunci există un subșir (𝑓𝑛𝑘)𝑘⊂
(𝑓𝑛)𝑛 astfel încât 𝑓𝑛𝑘𝑘→f 𝜇-apt.
3. Pentru orice subspațiu vectorial închis nenul 𝑌⊂𝑋, ℒ𝑌(𝜌) este închis în ℒ𝑋(𝜌) și 𝐿𝑌(𝜌) este închis în 𝐿𝑋(𝜌) (a se vedea Corolarul
3.3.1.5).

În cele ce urmează, vom prezenta o analoagă a teoremei lui Egorov. Sunt necesare astfel unele noțiuni preliminare. Începem cu
reamintirea unei noțiuni.
Definiția 3.3.3.15 . Norma funcțională 𝜌 este de tip absolut continuu (𝜌 𝑎𝑐) dacă pentru orice 𝑢∈𝑀+(𝜇) cu 𝜌(𝑢)<∞ și orice șir descrescător
(𝑢𝑛)𝑛⊂𝑀+(𝜇) astfel încât 𝑢𝑛≤𝑢 pentru orice n și lim
𝑛→∞𝑢𝑛(𝑡)=0 𝜇-apt avem lim
𝑛→∞𝜌(𝑢𝑛)=0.

Lema 3.3.3.16 . Presupunem 𝜌 de tip absolut continuu. Atunci pentru orice 𝑢∈𝑀+(𝜇) cu 𝜌(𝑢)<∞ și pentru orice 𝜀>0, putem găsi 𝛿>0
astfel încât 𝜌(𝑢𝜑𝐴)<𝜀, pentru orice 𝐴∈𝒯 au proprietatea 𝜇(𝐴)<𝛿.

Teorema 3.3.3.17 . (Analoaga teoremei lui Egorov ).
Presupunem că spațiul măsurabil (T, 𝒯, 𝜇) are proprietatea 𝜇(T) <∞, norma funcțională 𝜌: 𝑀+(𝜇)→ℝ̅+ este de tip absolut continuu și
𝜌(𝑇)<∞. Atunci, pentru orice șir (𝑓𝑛)𝑛⊂𝑀𝑋(𝜇), avem echival ența:
𝑓𝑛𝑛→f 𝜇-apt ⟺𝑓𝑛
u
n  f.

Remarcă importantă . În general, 𝜌-aproape uniform convergența nu este o convergență topologică (adică, nu există o topologie 𝜏 pe 𝑀𝑋(𝜇)
astfel încât 𝜌-aproape uniform convergența de șiruri este exact convergența în 𝜏). Aceasta se poate vedea astfel:
a) Folclorul matematic spune că 𝜇-aproape peste tot convergența șirurilor 𝜇-măsurabile de funcții nu este topologică, dacă 𝜇 este
măsura Lebesgue pe [0,1].
b) Dar ac eastă convergență este exact 𝜌-aproape uniform convergență, pentru 𝜌=‖‖1 (teorema clasică a lui Egorov).
După cum arată următorul exemplu, condiția 𝜌(𝑇)<∞ în Teorema 3.3.3.17 nu poate fi eliminată.

17
Același exemplu spune că implicația ( 𝑓𝑛𝑛→f 𝜇-apt) ⟹(𝑓𝑛
n f) este, în general, falsă.

Exemplul 3.3.3.18 . Luăm (T, 𝒯, 𝜇)=( ℕ, 𝒫(ℕ), 𝜇) unde 𝜇(∅)=0 și, pentru ∅≠𝐴⊂ ℕ, 𝜇(𝐴)=∑2−𝑛𝑐𝑎𝑟𝑑(𝐴⋂{𝑛})∞
𝑛=1 . Lucrăm pentru X=K. Avem
𝜇(ℕ)=1 și 𝜇(𝐴)=0 dacă și numai dacă A= ∅, deci 𝑀+(𝜇)={𝑢:ℕ→ℝ̅+} și 𝑀(𝜇)={𝑓:ℕ→𝐾}.
Norma funcțională 𝜌: 𝑀+(𝜇)→ℝ̅+ este dată de 𝜌(u)=∑𝑢(𝑛)∞
𝑛=1 (𝜌=‖‖1). Desigur 𝜌 este de tip absolut continuu, dar 𝜌(ℕ)= ∞.
Considerăm șirul (𝑓𝑛)𝑛⊂𝑀(𝜇) dat prin 𝑓𝑛=𝜑𝐴𝑛, unde 𝐴𝑛={1,2,3,…,n} pentru orice n. Evident 𝑓𝑛𝑛→f=𝜑ℕ= funcția constantă egală
cu 1 peste tot. Se poate arăta că afirmația 𝑓𝑛
n f este falsă.
Prima concluzie : deși 𝑓𝑛𝑛→f peste tot, nu avem 𝑓𝑛
n f (convergența 𝜇-apt nu implică convergența în 𝜌-măsură).
A doua concluzie : Teorema 3.3.3.17 nu rămâne adevărată dacă 𝜌(𝑇)= ∞. Și anume, aici 𝑓𝑛𝑛→f 𝜇-apt, dar afirmația 𝑓𝑛
u
n  f
este falsă (deoarece 𝑓𝑛
u
n  f ⟹𝑓𝑛
n f). 
Următorul exemplu, unde condițiile Teoremei 3.3.3.17 sunt îndeplinite și 𝜌 R-F arată că nu există nicio legătură între 𝜌-aproape
uniform convergența și convergența în ℒ𝜌.
Exemplul 3.3.3.19 . Vom lucra pentru X=K. Luăm T= [0,1], 𝒯=mulțimile măsurabile Lebesgue pe [0,1] și 𝜇=măsura Lebesgue pe [0,1] . Norma
funcțională 𝜌: 𝑀+(𝜇)→ℝ̅+ dată prin 𝜌(u)=∫𝑢 𝑑𝜇, adică 𝜌=‖‖1, deci ℒ𝜌=ℒ1(𝜇).
a) Convergența în ℒ𝜌 nu implică 𝜌-aproape uniform convergența (se construiesc șiruri din ℒ𝜌 în acea stă situație).
b) Invers, 𝜌-aproape uniform convergența nu implică convergența în ℒ𝜌 (adică în topologia spațiului K 𝑜̈the-Bochner). La fel, se
construiesc șiruri din ℒ𝜌 care sunt în această situație.

Remarci . 1. Punctul b) din ultimul exemplu arată că, în general, topologia convergenței în 𝜌-măsură 𝜏𝑚𝑖(𝜌) pe ℒ𝑋(𝜌) este strict mai slabă
decât topologia K 𝑜̈the-Bochner 𝜏(𝜌) pe ℒ𝑋(𝜌). Într -adevăr, deoarece 𝑓𝑛
u
n  f, rezultă că 𝑓𝑛
n f (Propoziția 3.3.3.7). Dar afirmația
“𝑓𝑛𝑛→𝑓 în 𝜏(𝜌)” este falsă. Exprimare alternativă: implicația “( 𝑓𝑛
n f)⟹( 𝑓𝑛𝑛→𝑓 în ℒ𝑋(𝜌))” în general, este falsă.
2. Punctul b) al exemplului arată că implicația “( 𝑓𝑛𝑛→𝑓 𝜇-apt)⟹( 𝑓𝑛𝑛→𝑓 în ℒ𝑋(𝜌))” în general, este falsă.
3. La punctul a) al ultimului exemplu, avem șirul (𝑓𝑛)𝑛 care converge în topologia spațiului K 𝑜̈the-Bochner a lui ℒ𝜌 și nu converge 𝜇-apt. Deci:
3a) (𝑓𝑛)𝑛 converge în 𝜌-măsur ă (Teorema 3.3.2.10) și nu converge 𝜌-aproape uniform. Deci implicația “(𝑓𝑛
n f)⟹( 𝑓𝑛
u
n  f)” (inversa
uneia dintre implicațiile Propoziției 3.3.3.7) în general este falsă.
3b) Desigur, aceasta arată că implicațiile “(𝑓𝑛𝑛→𝑓 în ℒ𝜌) ⟹(𝑓𝑛𝑛→𝑓 𝜇-apt)” și “(𝑓𝑛
n f)⟹( 𝑓𝑛𝑛→𝑓 𝜇-apt)” în general sunt false (folosim
teorema lui Egorov).
Exemplul 3.3.3.20 . Lucrăm în cadrul exemplului 3.3.3.19. Un punc t de acumulare al lui ℒ𝜌 în (𝑀(𝜇),𝜏𝑚(𝜌)) este f: [0,1]→K data prin f(0)=0
și f(t)=1
𝑡, dacă 0<t ≤1. Și anume, 𝑓𝑛
n f, unde, pentru orice 𝑛∈ℕ, 𝑓𝑛(𝑡)=0, dacă 0≤𝑡<1
𝑛 și 𝑓𝑛(𝑡)= 1
𝑡, dacă 1
𝑛≤𝑡≤1 (evident, 𝑓𝑛∈ℒ𝜌).
Într-adevăr, deoarece 𝑓𝑛𝑛→𝑓 punctual, rezultă (teorema Egorov) că 𝑓𝑛
u
n  f, deci 𝑓𝑛
n f. Deoarece 𝜌(f)=∞, rezultă că f ∉ℒ𝜌 și ℒ𝜌
nu este închis în (𝑀(𝜇),𝜏𝑚(𝜌)). 
Credem că este util să încheiem acest paragraf cu două scheme arătând implicațiile între diferite tipuri de convergențe studi ate.
Săgețile simple continue desemnează implicații obișnuite, în timp ce, săgețile întrerupte desemnează implicații de forma: “(𝑓𝑛𝑛→𝑓 conform
procedurii (P)) ⟹(există un subșir (𝑓𝑛𝑘)𝑘⊂(𝑓𝑛)𝑛 astfel încât 𝑓𝑛𝑘
𝑘→𝑓 conform procedurii(Q)) ”.

18
Prima schem ă este adevărată pentru orice normă funcțională 𝜌 (cu condiția suplimentară 𝜌 R-F pentru 𝑓𝑛
n f ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≻
𝑓𝑛
u
n  f). Schema a doua este adevărată adăugând condițiile 𝜌(𝑇)<∞, 𝜇(𝑇)<∞, 𝜌 de tip absolut continuu.

în ( )X nnf f    L

-aptnnf f  

𝑓𝑛
n 𝑓 𝑓𝑛
u
n  𝑓

în ( )X nnf f    L

-aptnnf f  

𝑓𝑛
n 𝑓 𝑓𝑛
u
n  𝑓

Capitolul 4. Spații K 𝒐̈the-Bochner, proprietăți speciale
4.1 Dualul spațiilor K 𝒐̈the-Bochner și proprietatea Radon -Nikod𝒚̀m

Pornim cu câteva noțiuni preliminare.
Considerăm spațiul cu măsură (T, 𝒯,𝜇). Pentru funcțiile scalare 𝑓:𝑇→𝐾, folosim no țiunile de 𝜇-măsurabilitate și 𝜇-integrabilitate
obișnuite. Presupunem că X este spațiu Banach. Notăm 𝑆(𝑋,𝜇) spațiul vectorial al tuturor funcțiilor simple cu valori în X. Elementele lui
𝑆(𝑋,𝜇) sunt funcții 𝑓:𝑇→𝑋 de forma 𝑓=∑𝜑𝐴𝑖𝑥𝑖𝑛
𝑖=1 , unde 𝐴𝑖∈ 𝒯 sunt mulțimi mutual disjuncte cu ⋃ 𝐴𝑖𝑛
𝑖=1 = T și 𝑥𝑖∈𝑋. O funcție 𝑓:𝑇→
𝑋 se numește 𝜇-măsurabilă dacă există un șir (𝑓𝑛)𝑛⊂ 𝑆(𝑋,𝜇) astfel încât 𝑓𝑛𝑛→𝑓 𝜇-apt. Putem lua |𝑓𝑛|≤|𝑓| pentru orice n. Spațiul vectorial
al tuturor funcțiilor 𝜇-măsurabile 𝑓:𝑇→𝑋 va fi notat cu 𝑀𝑋(𝜇). Evident că 𝑆(𝑋,𝜇) ⊂𝑀𝑋(𝜇). Notăm cu ℒ1(X,𝜇) spațiul vectorial al tuturor
funcțiilor (Bochner) 𝜇-integrabile 𝑓:𝑇→𝑋, adică ℒ1(X,𝜇) = {𝑓∈𝑀𝑋(𝜇).||𝑓| 𝜇−integrabilă }. În cazul 𝑋=𝐾, scriem ℒ1(𝜇) în loc de ℒ1(K,𝜇).
Dacă 𝑓=∑𝜑𝐴𝑖𝑥𝑖𝑛
𝑖=1∈ 𝑆(𝑋,𝜇) este 𝜇-integrab ilă (adică 𝜇(𝐴𝑖)<∞ pentru orice 𝑥𝑖≠0) și 𝐴∈ 𝒯, integrala lui 𝑓 în raport cu 𝜇 pe 𝐴 este
∫𝑓𝑑𝜇𝐴 = ∑𝜇(𝐴∩𝐴𝑖)𝑥𝑖𝑛
𝑖=1 . Pentru orice 𝑓∈ℒ1(X,𝜇) există un șir de funcții 𝜇-integrabile (𝑓𝑛)𝑛⊂ 𝑆(𝑋,𝜇) care este Cauchy (adică
lim
𝑚,𝑛∫|𝑓𝑚−𝑓𝑛|𝑑𝜇 = 0) și astfel încât 𝑓𝑛𝑛→𝑓 punctual. Atunci, pentru orice 𝐴∈ 𝒯, integrala lui 𝑓 în raport cu 𝜇 pe 𝐴 este limita (care există)
lim
𝑛∫𝑓𝑛𝑑𝜇𝐴≝∫𝑓𝑑𝜇𝐴.
Pentru orice măsură aditivă 𝑚:𝒯→𝑋, variația lui 𝑚 pe 𝐴∈ 𝒯 este definită prin |𝑚|(𝐴) = sup{∑‖𝑚(𝐴𝑖)‖𝑖∈𝐼 }, supremumul fiind
considerat în raport cu toate familiile finite (𝐴𝑖)𝑖∈𝐼⊂𝒯 cu 𝐴𝑖 mutual disjuncte și astfel încât ⋃ 𝐴𝑖𝑖∈𝐼 = A. În cazul |𝑚|(𝑇)<∞, spunem că
𝑚 este cu variație mărginită . Pentru orice măsură aditivă 𝑚:𝒯→𝑋, spunem că 𝑚 este absolut continuă în raport cu 𝜇 (și scriem 𝑚<<𝜇)
dacă pentru orice 𝜀>0, există 𝛿>0 astfel încât, pentru orice 𝐴∈ 𝒯 cu 𝜇(𝐴) < 𝛿, avem ‖𝑚(𝐴)‖< 𝜀. În cazul 𝑚<<𝜇, rezultă că 𝑚
este 𝜎-aditivă. Notăm că pentru 𝑚:𝒯→𝑋, 𝑚 𝜎-aditivă, avem echivalența : (𝑚<<𝜇) ⟺ (pentru orice 𝐴∈ 𝒯 cu 𝜇(𝐴) =0, avem 𝑚(𝐴) =0).
Pentru orice 𝑓∈ℒ1(X,𝜇) putem defini măsura (cu baza 𝜇 și densitatea 𝑓) 𝑓𝜇:𝒯→𝑋, prin 𝑓𝜇(𝐴)= ∫𝑓𝑑𝜇𝐴. Atunci 𝑓𝜇 este 𝜎-
aditivă, cu variație mărginită ( |𝑓𝜇|(𝐴) =∫|𝑓|𝑑𝜇𝐴 pentru orice 𝐴∈ 𝒯) și 𝑓𝜇<<𝜇. Pentru orice măsură
𝜎-aditivă 𝑚:𝒯→𝑋 și orice ∅≠ 𝐴∈ 𝒯, scriem 𝑚𝐴≝𝑚|𝒯∩𝐴, unde 𝒯∩𝐴={𝐵∈𝒯|𝐵⊂𝐴}. Pentru 𝑓∈ℒ1(X,𝜇), ∅≠ 𝐴∈ 𝒯, folosim
notațiile precedente pentru a nota că 𝑓|𝐴 = 𝑓𝐴∈ℒ1(X,𝜇𝐴) (în cazul 𝜇(𝐴)=0, avem funcția 𝑓𝐴:𝐴→𝑋, 𝑓𝐴 = 0 𝜇-apt, vezi explica țiile care
urmează). Considerând măsura 𝑚=𝑓𝜇, avem, pentru orice 𝐴,𝐵∈ 𝒯, 𝐴⊂𝐵: 𝑚(𝐴) = ∫𝑓𝑑𝜇𝐴 = 𝑚𝐵(𝐴) = ∫𝑓𝐵 𝑑𝐴𝜇𝐵 (în particular 𝑚(𝐴)
=∫𝑓𝐴 𝑑𝐴𝜇𝐴 ).
Subliniem că, dacă 𝐴∈ 𝒯 și 𝜇(𝐴)>0, avem spațiul cu măsură (A, 𝒯∩𝐴,𝜇𝐴), ceea ce permite notații de tipul ℒ1(Y,𝜇𝐴), unde Y
este un spațiu Banach. Dacă 𝜇(𝐴)=0, în ℒ1(Y,𝜇𝐴) avem numai funcții 𝑓:𝐴→𝑌, nule 𝜇-apt. R-F
R-F

19

În Definiția 4.1.1 și Teorema 4.1.3 care urmează, se consideră numai spații cu măsură (T, 𝒯,𝜇) finite, adică 𝜇(T)<∞.
Definiția 4.1.1 . Fie Y un spațiu Banach.
1. Fie (T,𝒯,𝜇) un spațiu cu măsură și fie ∅≠A∈𝒯. Spunem că Y are proprietatea Radon -Nikod𝑦̀m (R -N-P) în raport cu 𝜇
pe A dacă , pentru orice măsură 𝜎-aditivă m : 𝒯→Y, cu variație mărginită astfel încât m << 𝜇, există f∈ℒ1(Y,𝜇𝐴) astfel încât 𝑚𝐴 = 𝑓𝜇𝐴 (cu
convenția că, dacă 𝜇(𝐴)=0, avem 𝑚𝐴=0 și 𝑓:𝐴→𝑌 este arbitrară) . În cazul particular când A =T, spunem că Y are R-N-P în raport cu 𝜇.
2. Fie 𝒯⊂𝒫(T) o 𝜎-algebră și ∅≠A∈𝒯. Spunem că Y are R -N-P pe A dacă, pentru orice spațiu cu măsură (T, 𝒯,𝜇), este
adevărat că Y are R -N-P în raport cu 𝜇 pe A. În cazul particular când A =T , spunem că Y are R-N-P (defini ția principală ).
Remarci . 1. Dacă Y are R -N-P în raport cu 𝜇, rezultă că Y are R-N-P în raport cu 𝜇 pe orice A ∈𝒯 (deoarece m=f 𝜇 ⟹𝑚𝐴 = 𝑓𝐴𝜇𝐴 pentru orice
A).
2. Dacă Y are R -N-P, re zultă că :
a) Y are R -N-P în raport cu orice 𝜇.
b) Y are R -N-P pe orice A∈𝒯.
3. Dacă X este reflexiv, atunci X are R -N-P.
Urmează un rezultat important ce spune că, în scopul de a verifica validitatea R -N-P, este suficient să o verificăm pe spațiul cu
măsură Lebesgue ( [0,1],Σ,𝜆), unde Σ=mul țimile măsura bile Lebesgue pe [0,1] și 𝜆: Σ→ℝ+ este măsura Lebesgue.

Teorema 4.1.2 . Fie Y un spațiu Banach. Atunci Y are R-N-P dacă și numai dacă Y are R-N-P în raport cu 𝜆.

Teorema 4.1.3 (Teorema de localizare ). Fie (T,𝒯,𝜇) un spațiu cu măsură și fie Y un spațiu Banach. Următoarele afirmații sunt echivalente :
1. Spațiul Y are R-N-P în raport cu 𝜇.
2. Pentru orice A ∈𝒯 cu 𝜇(A)>0, există 𝒯∋B⊂A cu 𝜇(B)>0 astfel încât Y are R-N-P în raport cu 𝜇 pe B.

Rezultate

De acum înainte, vom considera în acest capitol, ca de obicei, un spațiu cu măsură 𝜎-finită (T,𝒯,𝜇), o normă funcțională saturată
𝜌 pe (T,𝒯,𝜇) și un spațiu Banach X. Reamintim că 𝜌 este saturată dacă are proprietatea că există un șir (𝑇𝑛)𝑛⊂ 𝒯(care poate fi luat crescător
sau disjunct) cu ⋃𝑇𝑛=𝑇𝑛 , astfel încât 𝜇(𝑇𝑛)<∞ și 𝜌(𝑇𝑛) <∞ pentru orice 𝑛. Pentru orice normă funcțională 𝜌, construim 𝜌′:𝑀+(𝜇)→
ℝ̅+ prin 𝜌′(𝑢)= sup{∫𝑢𝑣𝑑𝜇|𝑣∈𝑀+(𝜇),𝜌(𝑣)≤1 }. În cazul când 𝜌 este saturată, rezultă că 𝜌′ este normă funcțională saturată și 𝜌′F.
Numim pe 𝜌′ norma funcțională asociată lui 𝜌. Fie 𝜌 normă funcțională saturată. Atunci 𝐿𝜌 este reflexiv dacă și numai dacă 𝜌 F, 𝜌 a.c. și 𝜌′
a.c. (v. [8] și [33]).
Pentru orice două funcții 𝜇-măsurabile f :T→X, g:T→X’, definim funcția (f,g) :T→K, prin (f,g)(t) =g(t)(f(t)). Putem vedea că (f,g)
este 𝜇-măsurabilă. Într -adevăr, pentru două funcții simple f =∑𝜑𝐴𝑖𝑥𝑖𝑚
𝑖=1 :T→X și g =∑𝜑𝐵𝑗𝑥′𝑗𝑛
𝑗=1 :T→X’, putem „amesteca” mulțimile suport prin
𝐴𝑖∩𝐵𝑗 și este posibil să se ia în considerare f =∑𝜑𝐷𝑖𝑢𝑖𝑝
𝑖=1 , g=∑𝜑𝐷𝑖𝑢′𝑖𝑝
𝑖=1 , prin urmare (f,g) = ∑𝜑𝐷𝑖𝑢′
𝑖𝑝
𝑖=1(𝑢𝑖). Prin urmare, dac ă 𝑓=lim
𝑛𝑓𝑛,
𝑔=lim
𝑛𝑔𝑛 𝜇 –apt, avem (f,g)= lim (
𝑛𝑓𝑛,𝑔𝑛) (𝜇-apt).
Se observ ă, de asemenea, că în cazul 𝑓∈ℒ𝑋(𝜌) și 𝑔∈ℒ𝑋′(𝜌′), funcția (f,g) este 𝜇-integrabilă, deoarece ∫|(𝑓,𝑔)|𝑑𝜇≤
∫|𝑓||𝑔|𝑑𝜇≤𝜌|𝑓|𝜌′|𝑔|<∞, conform teoremei care urmează.

Teorema 4.1.4 . Fie f :T→X, g:T→X’ funcții 𝜇-măsurabile.
1. Avem ∫|(𝑓,𝑔)|𝑑𝜇≤∫|𝑓||𝑔|𝑑𝜇≤𝜌|𝑓|𝜌′|𝑔|.
2. Dacă (f,g) este 𝜇-integrabil ă, avem |∫(𝑓,𝑔)𝑑𝜇|≤∫|(𝑓,𝑔)|𝑑𝜇≤∫|𝑓||𝑔|𝑑𝜇≤𝜌|𝑓|𝜌′|𝑔|.
3. Dacă (f,g) este 𝜇-integrabil ă pentru orice 𝑓∈ℒ𝑋(𝜌)(acesta este cazul când 𝑔∈ℒ𝑋′(𝜌′)):
sup{|∫(𝑓,𝑔)𝑑𝜇||𝑓∈ℒ𝑋(𝜌),𝜌|𝑓|≤1} =sup{∫|(𝑓,𝑔)|𝑑𝜇|𝑓∈ℒ𝑋(𝜌),𝜌|𝑓|≤1}≤ 𝜌′|𝑔|.
4. Presupunem că 𝑔∈ℒ𝑋′(𝜌′). Atunci funcția 𝑇𝑔:𝐿𝑋( 𝜌)→𝐾, definit ă coerent prin 𝑇𝑔(𝑓̃)=∫(𝑓,𝑔)𝑑𝜇, pentru orice 𝑓∈𝑓̃, este
liniar ă, continuă și avem ‖𝑇𝑔‖0≤ 𝜌′|𝑔|.
În unele cazuri, inegalitatea de la punctul 3. este de fapt o egalitate.

Teorema 4.1.5 (Calculul normei lui 𝐿𝑋′(𝜌′)). Presupunem 𝜌′ a.c. Atunci, pentru orice 𝑔∈ℒ𝑋′(𝜌′), putem calcula norma ‖𝑔̃‖ a lui 𝐿𝑋′(𝜌′)
astfel:
‖𝑔̃‖= 𝜌′|𝑔|=sup{|∫(𝑓,𝑔)𝑑𝜇||𝑓∈ℒ𝑋(𝜌),𝜌|𝑓|≤1} = sup{∫|(𝑓,𝑔)|𝑑𝜇|𝑓∈ℒ𝑋(𝜌),𝜌|𝑓|≤1}.

Remarcă . În unele cazuri, condiția 𝜌′ a.c. care apare în enunțul Teoremei 4.1.5 nu este necesară. De exemplu, luăm 𝜌 = ‖‖1, deci 𝜌′ =
‖‖∞ și ‖‖∞ nu este în general a.c. (a se vedea cazul măsurii Lebesgue pe [0,1] ). În acest caz, lucrând pentru X =K, avem pentru orice 𝑔∈
ℒ∞(𝜇):
‖𝑔‖∞=sup{|∫𝑓𝑔𝑑𝜇||𝑓∈ℒ1(𝜇),‖𝑓‖1≤1} = sup{∫|𝑓𝑔|𝑑𝜇|𝑓∈ℒ1(𝜇),‖𝑓‖1≤1} .
Folosind teoremele 4.1.4 și 4.1.5 putem scufunda 𝐿𝑋′( 𝜌′) în 𝐿𝑋( 𝜌).
Teorema 4.1.6 (Scufundarea lui 𝐿𝑋′(𝜌′) în (𝐿𝑋(𝜌))′).

20
1. Pentru orice 𝑔̃∈𝐿𝑋′(𝜌′), avem funcționala liniară și continuă 𝐻𝑔̃: 𝐿𝑋(𝜌) →K dat ă prin
𝐻𝑔̃(𝑓̃)=∫(𝑓,𝑔)𝑑𝜇
(pentru orice reprezentan ți 𝑓∈𝑓̃, 𝑔∈𝑔̃ ) și ‖𝐻𝑔̃‖0≤‖𝑔̃‖.
2. Presupunem că 𝜌′ a.c. Atunci, pentru orice 𝑔̃∈𝐿𝑋′(𝜌′), avem
‖𝐻𝑔̃‖0=‖𝑔̃‖.
Prin urmare, func ția liniară Ω: 𝐿𝑋′(𝜌′)→(𝐿𝑋(𝜌))′, dat ă prin Ω(𝑔̃)= 𝐻𝑔̃, este o izometrie. Vom spune că 𝐿𝑋′(𝜌′) este scufundat în
(𝐿𝑋(𝜌))′ (prin Ω).

Rezultatul precedent arată că, în cazul 𝜌′ a.c., spațiul 𝐿𝑋′(𝜌′) se scufundă în dualul (𝐿𝑋(𝜌))′ prin izometria liniară Ω. Este normal
să ne întrebăm dacă scufundarea Ω este o surjecție (adică o bijecție), devenind astfel un izomorfism liniar și izometric (identificăm pe 𝐿𝑋′(𝜌′)
și (𝐿𝑋(𝜌))′ ).
În general, răspunsul la această întrebare este “nu”. Spre exemplu, lu ăm X =K, 𝜌=‖‖∞, prin urmare 𝜌′=‖‖1, care este a.c.
Atunci 𝐿𝜌′=𝐿1(𝜇) nu se poate identifica cu ( 𝐿∞(𝜇))’. (dualul lui 𝐿∞(𝜇) este strict mai mare dec ât 𝐿1(𝜇) , în cazul când 𝜇 nu este pur atomică).
Totuși, în multe cazuri, răspunsul este “da”. Spre exempl u, dac ă X =K, 𝜌=‖‖𝑝, 1<p<∞, prin urmare 𝜌′=‖‖𝑞, unde
1
𝑝+1
𝑞=1, dualul lui 𝐿𝑝(𝜇) se identific ă cu 𝐿𝑞(𝜇).

Notație . Vom scrie (𝐿𝑋(𝜌))′ ≡𝐿𝑋′(𝜌′)
pentru a identifica faptul că Ω este o bijecție. În acest caz, spațiile (𝐿𝑋(𝜌))′ și 𝐿𝑋′(𝜌′) sunt “identice”.
Urm ătorul rezultat prezintă o situație în care (𝐿𝑋(𝜌))′ ≡𝐿𝑋′(𝜌′).

Teorema 4.1.7 . Fie X un spațiu Banach astfel încât X’ are R -N-P.
Atunci pentru orice spa țiu cu măsură 𝜎-finită (T,𝒯,𝜇) și orice normă funcțională saturată 𝜌 pe (T,𝒯,𝜇) astfel încât 𝜌 a.c., 𝜌′ a.c.,
avem
(𝐿𝑋(𝜌))′ ≡𝐿𝑋′(𝜌′).

Lema complementară . Fie 𝜌 o normă funcțională cu proprietățile 𝜌(𝑇)<∞ și 𝜌 a.c. Atunci 𝜌 <<𝜇, în sensul că, pentru orice 𝜀>0, există
𝛿>0 așa ca, dacă 𝐴∈𝒯 și 𝜇(𝐴)<𝛿, rezultă 𝜌(𝐴)<𝜀.

Un caz particular când rezultatul precedent poate fi aplicat este următorul. Fie 1 <𝑝<∞ și fie 1<𝑞<∞ conjugatul lui 𝑝, adică
1
𝑝 + 1
𝑞 = 1. Atunci 𝜌=‖‖𝑝 și 𝜌′=‖‖𝑞 sunt norme funcționale saturate, 𝜌 a.c. și 𝜌′ a.c. Am obținut:
Corolar 4.1.8 . Fie X un spa țiu Banach astfel Încât X ’ are R -N-P. Fie 1<𝑝<∞ și fie 1<𝑞<∞, conjugatul lui 𝑝. Atunci (𝐿𝑝(𝑋,𝜇))′ ≡ 𝐿𝑞(𝑋′,𝜇)
pentru orice spațiu cu măsură 𝜎-finită (𝑇,𝒯,𝜇).

În continuare, vom da un rezultat care este un fel de reciprocă a Teoremei 4.1.7, mai precis a Corolarului 4.1.8. Acest rezul tat dă
o caracterizare alternativă a R-N-P pentru dualul spa țiului X ’.
Vom folosi spa țiul special cu măsură ([0,1],Σ,𝜆) unde Σ = mu lțimile măsurabile Lebesgue pe [0,1] și 𝜆: Σ→ℝ+ este măsura
Lebesgue pe [0,1].

Teorema 4.1.9 . Presupunem că X este un spațiu Banach având următoarea proprietate : exist ă 1≤𝑝<∞ astfel încât (𝐿𝑝(𝑋,𝜆))′ ≡ 𝐿𝑞(𝑋′,𝜆),
unde 1
𝑝 + 1
𝑞 = 1. Atunci X ’ are R -N-P.
Luând în considerare Teorema 4.1.7, Corolarul 4.1.8 și Teorema 4.1.9 obținem
Teorema 4.1.10 (Teorema de sinteză ). Fie 𝑋 un spațiu Banach. Următoarele afirmații sunt echivalente :
1. 𝑋′ are R -N-P.
2. Pentru orice spațiu cu măsură 𝜎-finită (𝑇,𝒯,𝜇) și orice normă funcțională saturată 𝜌 pe (𝑇,𝒯,𝜇) astfel încât 𝜌 a.c. și 𝜌′
a.c., avem
(𝐿𝑋(𝜌))′≡𝐿𝑋′(𝜌′)

Folosind rezultatele precedente, suntem în măsură să dăm următoarea caracterizare a reflexivității lui 𝐿𝑋(𝜌):

Teorema 4.1.11 . Fie 𝑋 un spațiu Banach, (𝑇,𝒯,𝜇) un spațiu cu măsură 𝜎-finită și 𝜌 o normă funcțională saturată pe (𝑇,𝒯,𝜇). Următoarele
afirmații sunt echivalente :
1. 𝐿𝑋(𝜌) este reflexiv.
2. 𝐿𝜌 și 𝑋 sunt reflexive.

21
Condiția 𝜌′ ac din Teorema 4.1.7 poate fi uneori omisă (rămâne condiția 𝜌 ac), după cum arată următorul rezultat :
Teorema 4.1.12. Fie (𝑇,𝒯,𝜇) un spațiu cu măsură 𝜎-finită și 𝑋 un spațiu Banach cu proprietatea că 𝑋′ are R -N-P.
Atunci 𝐿1(𝑋,𝜇)′≡𝐿∞(𝑋′,𝜇).

4.2 Sp ații K𝒐̈the-Bochner cu bază Schauder. Proprietăți de aproximare

În acest paragraf presupunem că X este spațiu Banach având bază Schauder (𝑒𝑛)𝑛≥1. Funcționalele biortogonale corespunzătoare
sunt (𝑥𝑖′)𝑖≥1⊂𝑋′. Pentru orice n, 𝑃𝑛:X→X este proiecția canonică definită prin 𝑃𝑛(∑𝛼𝑖𝑥𝑖∞
𝑖=1 )=∑𝛼𝑖𝑥𝑖𝑛
𝑖=1 . Știm că (𝑃𝑛)𝑛≥1 este un șir mărginit,
adică sup
𝑛‖𝑃𝑛‖0=M<∞, unde ‖𝑃𝑛‖0 este norma obișnuită operatorială. Vom numi M constanta de bază Schauder pentru (𝑒𝑛)𝑛. În cazul
M=1, spunem că baza Schauder este monotonă . Pentru orice funcție f:T →X, 𝑓𝑛:T→X, 𝑓𝑛(t)=( 𝑃𝑛∘𝑓)(t) care sunt foarte importante în cele ce
urmează.
Dacă X este un spațiu Banach constând din șiruri numerice (adică, un element al lui X este de forma 𝑥=(𝑥𝑛)𝑛≥1 cu 𝑥𝑛∈K), în
multe cazuri avem:
a) 𝑒𝑛∈X pentru orice n, unde 𝑒𝑛=(0,0,…,0,1,0,….), cu 1 pe poziția n;
b) (𝑒𝑛)𝑛≥1 este bază Scahuder pentru X.
În acest caz, vom spune că (𝑒𝑛)𝑛≥1 este bază Schauder canonică pentru X .
Aceasta se întâmplă dacă X= 𝑙𝑝, 1≤𝑝<∞. În acest caz, se vede că (𝑒𝑛)𝑛≥1 este o bază Schauder monotonă.
Fie, în continuare, un spațiu cu măsură (𝑇,𝒯,𝜇) și o 𝜇-normă funcțională 𝜌.
Teorema 4.2.1 . Orice f∈ℒ𝑋(𝜌) poate fi scris în mod unic după cum urmează (convergența este punctuală):
f=∑𝑎𝑖𝑒𝑖∞
𝑖=1 ,
unde 𝑎𝑖∈ℒ𝜌, oricare ar fi i.
Principalul rezultat este următorul:
Teorema 4.2.2 . (Teorema de aproximare ) Presupunem că 𝜌 a.c. Atunci, pentru orice f ∈ℒ𝑋(𝜌), avem 𝑓𝑛𝑛→𝑓 în ℒ𝑋(𝜌).
Remarcă . Nu este posibil să eliminăm condiția 𝜌 a.c., după cum vom vedea în contraexemplul următor:
Contraexemplu .
Luăm (T, 𝒯, 𝜇)=( ℕ, 𝒫(ℕ), 𝜇), unde 𝜇 este măsura de numărare. Luăm 𝜌 dată prin 𝜌(𝑢)=sup
𝑛𝑢(𝑛). Putem vedea că 𝜌 nu este
a.c., deoarece 𝜌(𝑢𝑛)=1, oricare ar fi 𝑛∈ℕ, unde 𝑢𝑛(m)=0, dacă m ≤n și 𝑢𝑛(m)=1, dacă m >n (evident 𝑢𝑛↓0). Aici clasele și funcțiile coincid
(ℒ𝑋(𝜌)=𝐿𝑋(𝜌)), deoarece singura mulțime neglijabilă este 𝜙.
Luăm X =𝑙2 cu baza Schauder canonică. Luăm 𝑓∈ℒ𝑋(𝜌), dată prin f(m) = 𝑒𝑚.
Atunci f=∑𝑎𝑖𝑒𝑖∞
𝑖=1 , 𝑎𝑖=𝜑{𝑖}, 𝑓𝑛=∑𝑎𝑖𝑒𝑖𝑛
𝑖=1 și 𝜌|𝑓−𝑓𝑛|=1, pentru orice n.
Prin urmare “ 𝑓𝑛𝑛→𝑓 în ℒ𝑋(𝜌)” este fals ă. 

Exemplu concret .
Din nou (T, 𝒯, 𝜇)=( ℕ, 𝒫(ℕ), 𝜇), unde 𝜇 este măsura de numărare (toate funcțiile sunt 𝜇-măsurabile).
Vom considera nor ma funcțională 𝜌=‖‖1, adic ă
𝜌(𝑢)= ∑𝑢(𝑛)∞
𝑛=1 , pentru orice 𝑢: ℕ→ℝ̅+.
Desigur, 𝜌 este a.c.
Spațiul Banach X va fi spațiul Lorentz de șiruri definit astfel (v. [8]):
Luăm un șir numeric 𝑤=(𝑤𝑛)𝑛 astfel încât 𝑤𝑛↓0 și ∑𝑤𝑛∞
𝑛=1=∞ (de exemplu, 𝑤𝑛=1
𝑛).

22
Luăm 1≤𝑝<∞ și definim norma funcțională 𝜌1:𝑀+(𝜇)→ℝ̅+ (având proprietatea Riesz -Fischer) dată prin
𝜌1(𝑢)=𝑠𝑢𝑝(∑𝑢(𝜋(𝑛))𝑝𝑤𝑛∞
𝑛=1 )1
𝑝.
(supremumul fiind luat după toate bijecțiile 𝜋:ℕ→ ℕ). Ea generează
ℒ𝜌1=𝐿𝜌1=d(w,p) (notație).
Anume d(w,p) ={𝑢: ℕ→𝐾|𝜌1|𝑢|<∞} care este spațiu Banach, numit spațiu Lorentz de șiruri .
Acest spațiu admite baza canonică (𝑒𝑛)𝑛 ca bază Schauder monotonă și ‖𝑒𝑛‖ =𝑤11
𝑝, pentru orice n.
Deoarece d(w,p) ⊂𝑐0= spațiul șirurilor care au limita zero, putem calcula norma în d(w,p) cu
‖𝑢‖=𝜌1(𝑢)=(∑(|𝑢(𝑛)|∗)𝑝𝑤𝑛∞
𝑛=1 )1
𝑝;
unde (|𝑢(𝑛)|∗)𝑛 este rearanjarea descrescătoare a lui (|𝑢(𝑛)|)𝑛.
Cum am anunțat, vom lua X=d(w,p), cu 1 ≤𝑝<∞ arbitrar și 𝑤=(𝑤𝑛)𝑛, 𝑤𝑛=1
𝑛, deci suntem in teresați de ℒ𝑑(𝑤,𝑝)(𝜌).
Vom considera un exemplu particular de funcție 𝑓∈ℒ𝑑(𝑤,𝑝)(𝜌) în scopul de a studia un exemplu numeric.
Fie t∈K cu |𝑡|<1.
Vom defini funcția 𝑓:ℕ→ d(w,p) (se va vedea că definiția este bună), prin
f(m)=𝑎𝑚=(𝑎𝑚,𝑛)𝑛≥1.
Aici, pentru orice m ∈ ℕ, avem 𝑎𝑚,𝑛=0, dacă 1 ≤n≤m și 𝑎𝑚,𝑛=𝑡𝑛, dacă n>m.
După unele calcule obținem următoarea evaluare, adevărată pentru orice n ∈ ℕ:
𝜌|𝑓−𝑓𝑛|≤𝑛|𝑡|𝑛+11
(1−|𝑡|𝑝)1
𝑝(1−|𝑡|). (4.2.2)
Desigur, 𝜌|𝑓−𝑓𝑛|
𝑛→0.
Luăm 𝜀>0 arbitrar. Vrem să evaluăm n pentru a avea
𝜌|𝑓−𝑓𝑛|< 𝜀. (4.2.5)
Va fi suficient să avem
𝑛|𝑡|𝑛+11
(1−|𝑡|𝑝)1
𝑝(1−|𝑡|)< 𝜀. (4.2.6)
Cu un extra efort, putem demonstra că este suficient să avem
n>2|𝑡|2
(1−|𝑡|𝑝)1
𝑝(1−|𝑡|)3∙1
𝜀−1. (4.2.7)
(dependență inversă de 𝜀).
Exemplu concret numeric .
Luăm t =1
2, p=2 și 𝜀=0,01=1
100.
Avem
2|𝑡|2
(1−|𝑡|𝑝)1
𝑝(1−|𝑡|)3∙1
𝜀−1=800
√3 -1≈460,88021.
Deci, pentru n ≥461, avem 𝜌|𝑓−𝑓𝑛|<1
100.
Remarc ă finală .

23
Condiția (4.2.7), care este foarte confortabil de aplicat, s -a obținut din (4.2.6), scriind |𝑡|=1
1+𝑎, cu a>0 și majorând
𝑛|𝑡|𝑛+1=𝑛
(1+𝑎)𝑛+1<𝑛
(𝑛+1)𝑛
2𝑎2=2
(𝑛+1)𝑎2=2
𝑛+1∙|𝑡|2
(1−|𝑡|)2.
Această procedură induce (din păcate) un nivel critic prea ridicat pentru n, deoarece calculul nu este foarte exact.
Prin procedeu direct, se poate arăta că, în acest caz, pentru 𝑛≥70, avem 𝜌|𝑓−𝑓𝑛|<1
100.
Men ționăm că materialul prezentat în acest paragraf a apărut în articolul [9].

4.3 Spații K 𝒐̈the-Bochner care sunt spații Hilbert sau hilbertabile

Suntem interesați de spațiile K𝑜̈the-Bochner care sunt spații Hilbert (respectiv, spații hilbertabile). Se arată că acest lucru este
echivalent cu faptul că, separat, 𝐿𝜌 și 𝑋 sunt spații Hilbert (respectiv, hilbertabile).

4.3.1. Noțiuni preliminare

Dacă X este spațiu vectorial (pest e K), vom spune că două norme ‖‖1 și ‖‖2 pe X sunt echivalente dacă există două numere
0<a≤b astfel încât a ‖‖1≤‖‖2≤b‖‖1. Acest lucru este echivalent cu faptul că ‖‖1 și ‖‖2 generează aceeași topologie pe X.
Vom spune că norma ‖‖ pe X satisface identitatea paralelogramulu i dacă, pentru orice x,y în X, avem
‖𝒙+𝒚‖𝟐+‖𝒙−𝒚‖𝟐=𝟐(‖𝒙‖𝟐+‖𝒚‖𝟐).
Acest lucru este echivalent cu faptul că ‖‖ este generată de un produs scalar ( ∙,∙) pe X astfel încât ‖𝑥‖=(x,x) pentru orice x ∈X, i.e. (X, ‖‖)
este prehilbertian.
Spațiile 𝑙2 și 𝑙∞, ale căror elemente sunt șiruri (𝑥𝑛)𝑛⊂K, sunt definite după cum urmează:
𝑙2={𝑥=(𝑥𝑛)𝑛|∑|𝑥𝑛|2<∞∞
𝑛=1 }
(este un spațiu Hilbert cu produsul scalar (x,y)= ∑𝑥𝑛𝑦𝑛̅̅̅∞
𝑛=1 , dacă x=(𝑥𝑛)𝑛 și y=(𝑦𝑛)𝑛);
𝑙∞={𝑥=(𝑥𝑛)𝑛|sup
𝑛|𝑥𝑛|<∞}
(care este spațiu Banach cu norma ‖𝑥‖=sup
𝑛|𝑥𝑛|).
Fie (𝑇,𝒯,𝜇) un spa țiu cu măsură 𝜎-finită.
O funcție pondere este o funcție w ∈𝑀+(𝜇) astfel încât 𝜇({𝑡∈𝑇|𝑤(𝑡)=0}) = 𝜇({𝑡∈𝑇|𝑤(𝑡)=∞}) = 0. Astfel, putem considera
că o funcție pondere w ia valori în (0, ∞), identificând 𝜇-apt funcțiile egale. Orice funcție pondere w definește norma funcțională hilbertiană
𝜌2(𝜇,w): 𝑀+(𝜇)⟶ℝ+̅̅̅̅, definit ă prin 𝜌2(𝜇,w)(u)=(∫𝑢2𝑤𝑑𝜇)12⁄, care este saturată.

Studiem spațiile K 𝑜̈the 𝐿𝜌 care sunt spații Hilbert (i.e. 𝐿𝜌 este complet și există un produs scalar ( ∙,∙) pe 𝐿𝜌 astfel încât ‖𝑓̃‖=
√(𝑓̃,𝑓̃) pentru orice 𝑓̃∈𝐿𝜌), pe care le vom numi spații K 𝑜̈the-Hilbert. Putem demonstra (v. [6] ) că 𝐿𝜌 este K𝑜̈the – Hilbert dacă și numai
dacă există o funcție pondere w:T ⟶(0, ∞) astfel încât 𝐿𝜌=𝐿2(𝜇,𝑤), i.e. 𝜌=𝜌2(𝜇,𝑤), ceea ce înseamnă că ‖𝑓̃‖= 𝜌|𝑓|=(∫|𝑓|2𝑤𝑑𝜇)12⁄ pentru
orice f∈𝑓̃∈𝐿𝜌. Produsul scalar este dat de (𝑓̃,𝑔̃) = ∫𝑓𝑔̃𝑤𝑑𝜇 . Funcția pondere w este unic 𝜇-apt determinat ă de spațiul K 𝑜̈the – Hilbert 𝐿𝜌.
În final, considerăm câteva notații speciale. Fie 𝑋 un spațiu Banach. Dacă 𝜌 este o 𝜇- normă func țională , x∈X și f∈ℒ𝜌, am definit
fx∈ℒ𝑋(𝜌) și 𝑓𝑥̃∈𝐿𝑋(𝜌) astfel: fx:T ⟶X definită prin (fx)(t)=f(t)x și 𝑓̃𝑥=𝑓𝑥̃. Pentru exemple, vom lucra cu cazul pa rticular de spațiu cu măsură
discretă ( ℕ,𝒫(ℕ),𝑐𝑎𝑟𝑑 ), unde card: 𝒫(ℕ)⟶ℝ+̅̅̅̅ este măsura de numărare. Singura mulțime neglijabilă este ∅. O funcție f: ℕ⟶H este
definită ca un șir: f ≡(𝑥𝑛)𝑛⊂H, unde 𝑥𝑛=f(n) pentru orice n. Dacă X este un spațiu Banach, orice funcție f: ℕ⟶X este card -măsurabilă. O
funcție f: ℕ⟶K, f≡(𝑥𝑛)𝑛 este card -integrabilă dacă și numai dacă ∑|𝑥𝑛|<∞∞
𝑛=1 (și avem ∫𝑓𝑑𝑐𝑎𝑟𝑑 =∑𝑥𝑛∞
𝑛=1). Pentru orice card -normă
funcțională 𝜌 și orice spațiu Banach X avem 𝐿𝑋(𝜌) ≡ℒ𝑋(𝜌) (clasa de echival ență în 𝐿𝜌 conține doar un element). Presupunând că X el însuși
este spațiu K 𝑜̈the, X=𝐿𝑟, pentru o card -normă funcțională r, avem pentru orice f ∈𝐿𝜌(𝐿𝑟): f≡(𝑓(𝑚))𝑚, unde f(m) ∈𝐿𝑟≡ℒ𝑟, deci putem
identifica f(m) ≡(𝑥𝑚𝑛)𝑛⊂K. Prin urmare, orice f ∈𝐿𝜌(𝐿𝑟) poate fi identificată cu o matrice scalară infinită:
f≡(𝑥𝑚𝑛)𝑚,𝑛. Pentru simplificarea notației, aici scriem ℕ în loc de ℕ∗.

4.3.2. Spații K 𝒐̈the-Bochner care sunt spații Hilbert

Teorema 4.3.2.1 . Presupunem că (T, 𝒯,𝜇) un spațiu cu măsură 𝜎-finită, 𝜌 este o 𝜇-normă funcțională care este saturată și X este un spațiu
Banach nenul. Următoarele afirmații sunt echivalente:
1. Spațiul 𝐿𝑋(𝜌) este un spațiu Hilbert.

24
2. Spațiile 𝐿𝜌 și X sunt spații Hilbert.

Remarcă . Poate este instructiv să se i nsiste asupra interconectării structurilor Hilbert pe 𝐿𝑋(𝜌) și 𝐿𝜌. Deci, presupunem 𝐿𝑋(𝜌) că este un
spațiu Hilbert. Pe parcursul demonstrației Teoremei 4.3.2.1 (partea A.a) am folosit produsul scalar (∙|∙) al lui 𝐿𝑋(𝜌) pentru a construi un
produs scalar (∙,∙) pe 𝐿𝜌 care generează norma lui 𝐿𝜌. Acest ultim produs scalar este unic, fiind generat de o unică funcție pondere.
Într-adevăr, am construit ( ∙,∙) luând un x ∈X arbitrar și fixat cu ‖𝑥‖=1, prin (𝑓̃,𝑔̃)= (𝑓𝑥̃|𝑔𝑥̃). Punând în evidență dependența de x,
este mai bine să scriem (∙,∙)𝑥 în loc de ( ∙,∙), prin urmare (𝑓̃,𝑔̃)𝑥=(𝑓𝑥̃|𝑔𝑥̃) pentru 𝑓̃,𝑔̃ în 𝐿𝜌. Deoarece (∙,∙)𝑥 generează norma lui 𝐿𝜌, găsim o
funcție pondere unică w𝑥:T→ℝ+ astfel încât (𝑓̃,𝑔̃)𝑥=∫𝑓𝑔̅𝑤𝑥𝑑𝜇 pentru orice 𝑓̃,𝑔̃ în 𝐿𝜌, prin urmare ‖𝑓̃‖2=(𝜌|𝑓|)2=∫|𝑓|2𝑤𝑥𝑑𝜇 pentru
orice 𝑓̃∈𝐿𝜌. Acest lucru arată că toate 𝑤𝑥 coincid 𝜇-apt, și anume ele coincid 𝜇-apt cu “unica” funcție pondere care generează produsul
scalar (deci, norma) pe 𝐿𝜌.
În cele din urmă, este util să notăm această funcție pondere cu w și să observăm că, pentru orice ℎ̃∈𝐿𝑋(𝜌), avem |ℎ|∈ℒ𝜌.
Atunci norma lui ℎ̃ în 𝐿𝑋(𝜌) este calculată prin ‖|ℎ̃|‖= 𝜌|ℎ|=∫|ℎ|2𝑤𝑑𝜇 .

Exemplul 4.3.2.2 . (Forma 𝐿𝜌(𝐿𝑟) a spațiilor de șiruri care sunt spații Hi lbert).
Să considerăm două card -norme funcționale 𝜌 și r (vezi notiunile preliminare) astfel încât 𝐿𝜌(𝐿𝑟) este un spațiu Hilbert. Potrivit
Teoremei 4.3.2.1, aceasta este echivalentă cu faptul că 𝐿𝜌 și 𝐿𝑟 sunt spații Hilbert. Aceasta înseamnă că 𝐿𝜌=𝐿2(card,u) și 𝐿𝑟=𝐿2(card,v) pentru
niște funcții pondere u,v: ℕ→ℝ+. Astfel, u ≡(𝑎𝑛)𝑛 și v≡(𝑏𝑛)𝑛, unde 0< 𝑎𝑛<∞, 0<𝑏𝑛<∞ pentru orice n. Rezultă că
𝐿2(card,u)={(𝑥𝑛)𝑛⊂𝐾|∑|𝑥𝑛|2𝑎𝑛<∞∞
𝑛=1 } echipat cu norma 𝑥⟼ ‖𝑥‖=(∑|𝑥𝑛|2𝑎𝑛∞
𝑛=1)12⁄ și produsul scalar ( x,y)= ∑𝑥𝑛𝑦𝑛̅̅̅𝑎𝑛∞
𝑛=1 , unde 𝑥≡
(𝑥𝑛)𝑛 și 𝑦≡(𝑦𝑛)𝑛. Pentru 𝐿2(card,v), înlocuim (𝑎𝑛)𝑛 cu (𝑏𝑛)𝑛.
Un element f ≡(𝑥𝑚,𝑛)𝑚,𝑛∈𝐿𝜌(𝐿𝑟) are forma f(m) ≡(𝑥𝑚,𝑛)𝑛 pentru orice m, prin urmare |𝑓|(m) = (∑|𝑥𝑚𝑛|2𝑏𝑛∞
𝑛=1 )12⁄. Atunci
𝜌|𝑓|=(∑(|𝑓|(𝑚))2𝑎𝑚∞
𝑚=1 )12⁄=(∑∑|𝑥𝑚𝑛|2𝑎𝑚𝑏𝑛∞
𝑛=1∞
𝑚=1 )12⁄.
În consecință:
𝐿𝜌(𝐿𝑟) ≡{(𝑥𝑚𝑛)𝑚,𝑛⊂𝐾|∑𝑎𝑚𝑏𝑛|𝑥𝑚𝑛|2<∞𝑚,𝑛 }
echipat cu norma
‖(𝑥𝑚𝑛)𝑚,𝑛‖=(∑𝑎𝑚𝑏𝑛|𝑥𝑚𝑛|2
𝑚,𝑛 )12⁄
și produsul scalar
((𝑥𝑚𝑛)𝑚,𝑛,(𝑦𝑚𝑛)𝑚,𝑛)=∑𝑎𝑚𝑏𝑛𝑥𝑚𝑛𝑦𝑚𝑛̅̅̅̅̅𝑚,𝑛 .

Exemplul 4.3.2.3 . Vom prezenta două exemple de spații 𝐿𝜌(𝐿𝑟), unde 𝜌 și r sunt card -norme funcționale astfel încât 𝐿𝜌 sau 𝐿𝑟 nu sunt Hilbert
și identitatea paralelogramului este încălcată.
A. Luăm 𝜌(u)=sup
𝑛𝑢(𝑛) și r(u)=(∑𝑢(𝑛)2 ∞
𝑛=1)12⁄ pentru orice u ∈𝑀+(𝑐𝑎𝑟𝑑). Prin urmare 𝐿𝜌=𝑙∞, 𝐿𝑟=𝑙2 și 𝑙∞ nu este “bun”
(nu este Hilbert). De asemenea, luăm f: ℕ⟶𝑙2,
𝑓(𝑚)=(1
1,1
2,…,1
𝑚,0,0,…)
(𝑓≡(𝑥𝑚𝑛)𝑚,𝑛, unde 𝑥𝑚𝑛=1
𝑛, dacă n≤m și 𝑥𝑚𝑛=0, dacă n>m).
Fie și g: ℕ⟶𝑙2,
g(m)=(0,0,…,0,1
𝑚+1,1
𝑚+2,…)
(g≡(𝑦𝑚𝑛)𝑚,𝑛 unde 𝑦𝑚𝑛=0, dacă n ≤m și 𝑦𝑚𝑛=1
𝑛, dacă n>m).
În cele din urmă: ‖𝑓+𝑔‖2+‖𝑓−𝑔‖2 =𝜋2
6 + 𝜋2
6 = 𝜋2
3, în timp ce
‖𝑓‖2+‖𝑔‖2=𝜋2
6 + 𝜋2
6 -1=𝜋2
3 -1 și:
2(‖𝑓‖2+‖𝑔‖2) = 2𝜋2
3 – 2 ≠ 𝜋2
3 = ‖𝑓+𝑔‖2+‖𝑓−𝑔‖2.
B. Luăm 𝜌(u)= (∑𝑢(𝑛)2 ∞
𝑛=1)12⁄ și r(u)= sup
𝑛𝑢(𝑛), pentru orice u ∈𝑀+(𝑐𝑎𝑟𝑑). Prin urmare 𝐿𝜌=𝑙2 și 𝐿𝑟=𝑙∞ și, din nou, 𝑙∞
nu este “bun”.
De asemenea, luăm f: ℕ⟶𝑙∞,
f(m) = (1
𝑚+1,1
𝑚+2,…,1
2𝑚,0,0,… )
(f≡(𝑥𝑚𝑛)𝑚,𝑛,unde 𝑥𝑚𝑛=1
𝑚+𝑛, dacă n≤m și 𝑥𝑚𝑛=0, da că n>m).
Fie, de asemenea g: ℕ⟶𝑙∞
g(m)=(0,0,…,0,1
2𝑚+1,1
2𝑚+2,…)
(g≡(𝑦𝑚𝑛)𝑚,𝑛 unde 𝑦𝑚𝑛=0, dacă n ≤m și 𝑦𝑚𝑛=1
𝑚+𝑛, dacă n>m).
În cele din urmă: ‖𝑓+𝑔‖2+‖𝑓−𝑔‖2=𝜋2
6 – 1 + 𝜋2
6 – 1 = 𝜋2
3 – 2, în timp ce ‖𝑓‖2+‖𝑔‖2 = 𝜋2
6 – 1 + 𝜋2
8 – 1 = 7𝜋2
24 – 2 și:
2(‖𝑓‖2+‖𝑔‖2) = 7𝜋2
12 – 4 ≠ 𝜋2
3 – 2 = ‖𝑓+𝑔‖2+‖𝑓−𝑔‖2. 

4.3.3. Spații K 𝒐̈the-Bochner hilbertabile

În acest paragraf, vom trece de la nivelul izometric, descris în paragraful precedent, la nivelul izomorfic. Începem cu câtev a noțiuni
preliminare.

25
Ne amintim că, dacă X este un spațiu Banach și Y ⊂X este un subspațiu închis, spunem că Y este complementat dacă există un alt
subspațiu închis Z ⊂X astfel încât X=Y ⊕Z (i.e. orice x ∈X admite o unică descompunere x=y+z, cu y ∈Y și z∈Z).
Pentru comoditate, vom adopta următoarea definiție.

Definiția 4.3.3.1 . Fie X un spațiu Banach.
1. Spunem că X este complementabil dacă orice subspațiu închis Y ⊂X este complementat.
2. Spunem că X este ereditar complementabil dacă orice subspațiu închis Y ⊂X este comple mentabil.

Proprietatea 2. înseamnă: spațiul Banach Y (cu norma indusă de norma lui X) are proprietatea că, pentru orice subspațiu H ⊂Y
închis în Y (i.e. H este închis), există un subspațiu închis G ⊂Y astfel încât Y = H ⊕G.

Propoziția 4.3.3.2 . Un spațiu Ba nach X este complementabil dacă și numai dacă este ereditar complementabil.
Ne reamintim că un spațiu Banach (X, ‖‖) se numește hilbertabil dacă există o normă ‖||‖ pe X care este echivalentă cu ‖‖
și astfel încât (X, ‖||‖) este un spațiu Hilbert. Deoarece orice spați u Hilbert este complementabil, rezultă că orice spațiu hilbertabil este
complementabil. Un rezultat remarcabil al lui J. Lindenstrauss și L. Tzafriri spune că, invers, orice spațiu complementabil e ste hilbertabil (J.
Lindenstrauss, L. Tzafriri. On the comp lemented subspace problem. Israel J. Math. 9 (1971), 213 -269).

Acum, putem prezenta următorul rezultat.

Teorema 4.3.3.3 . Presupunem (T, 𝒯,𝜇) este un spațiu cu măsură 𝜎-finită , 𝜌 este o 𝜇-normă funcțională care este saturată și X este un spațiu
Banach nenul. Să considerăm următoarele afirmații :
1. Spațiul 𝐿𝑋(𝜌) este hilbertabil.
2. Spațiile 𝐿𝜌 și X sunt hilbertabile.
Atunci 1.⟹2. Implicația 2. ⟹1. este adevărată în cazul când 𝐿𝜌 este tare hilbertabil , adică există o 𝜇-normă funcțională 𝜌1 astfel încât
normele din 𝐿𝜌 și 𝐿𝜌1 sunt echivalente și 𝐿𝜌1 este un spațiu K 𝑜̈the – Hilbert.
Menționăm că materialul din acest paragraf a apărut în articolul [10].

4.4 Spații K 𝒐̈the-Bochner care sunt algebre Banach cu unitate

Pornim cu câteva noțiuni preliminare.
Pentru două mulțimi nevide 𝑇 și 𝑋 și orice element 𝑥∈ 𝑋, putem considera funcția constantă 𝑥:𝑇→𝑋, definită prin 𝑥(𝑡) = 𝑥
pentru orice 𝑡∈ 𝑇.
Presupunem (𝑋,‖‖) spațiu normat. Dacă norma ‖‖ se subînțelege, scriem simplu 𝑋. Dacă 𝑓,𝑔:𝑇→𝑋, 𝛼∈𝐾, definim
punctual 𝑓+𝑔:𝑇→𝑋, 𝛼𝑓:𝑇→𝑋 și în cazul când 𝑋 este o algebră, de asemenea 𝑓𝑔:𝑇→𝑋.
Spunem că spațiile normate (𝑋1,‖‖1) și (𝑋2,‖‖2) sunt echivalente dacă 𝑋1= 𝑋2 și ‖‖1, ‖‖2 sunt norme echivalente.
Pentru alte scopuri, vom spune că un spațiu normat (respectiv Banach) (𝑋,‖‖) este algebră cu unitate normată (respectiv
Banach ) dacă 𝑋 este o algebră nenulă cu unitate 𝑒 (prin urmare 𝑒≠0) și înmulțirea în 𝑋, notată prin (𝑥,𝑦)→𝑥𝑦 este continuă (i.e. exis tă
un număr 𝐴>0 astfel încât ‖𝑥𝑦‖≤𝐴‖𝑥‖‖𝑦‖ pentru orice 𝑥,𝑦∈𝑋). Această definiție, puțin mai generală, este aproape echivalentă cu cea
standard, deoarece, în condițiile anterioare, putem defini pe 𝑋 o nouă normă ‖||‖ având proprietățile ‖|𝑒|‖ = 1, ‖|𝑥𝑦|‖≤ ‖|𝑥|‖∙‖|𝑦|‖,
pentru orice 𝑥,𝑦∈𝑋 și astfel încât ‖‖ și ‖||‖ sunt norme echivalente. Într -adev ăr, ℒ(𝑋) = {𝑉:𝑋→𝑋|𝑉 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑙𝑖𝑛𝑖𝑎𝑟ă ș𝑖 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢ă} este
o algebră normată (respectiv Banach) cu unitate, cu norma ‖𝑉‖0=sup{‖𝑉(𝑥)‖|𝑥∈𝑋,‖𝑥‖≤1}, înmulțirea (𝑈,𝑉)→𝑈∘𝑉 și unitatea
𝑒:𝑋→𝑋, data prin 𝑒(𝑥) = 𝑥 pentru orice 𝑥∈𝑋. Folosind morfismul injectiv de algebre (scufundarea) Ω:𝑋→ ℒ(𝑋) dată prin Ω(x) =𝑉𝑥 unde
𝑉𝑥(𝑦) = 𝑥𝑦 pentru orice 𝑦∈𝑋, definim ‖|𝑥|‖ = ‖𝑉𝑥‖0 pentru orice 𝑥∈𝑋.
Presupunem că 𝑋 este o algebră și ‖‖1, ‖‖2 sunt norme echivalente pe 𝑋. Dacă (𝑋,‖‖1) este o algebră normată (respectiv
Banach) cu unitate 𝑒, atunci (𝑋,‖‖2) este o algebră normată (respectiv Banach) cu aceeași unitate 𝑒 și aceeași înmulțire (dacă 𝑎‖𝑥‖1≤
‖𝑥‖2≤𝑏‖𝑥‖1 și ‖𝑥𝑦‖1≤𝐴‖𝑥‖1‖𝑦‖1, atunci ‖𝑥𝑦‖2≤𝑏𝐴
𝑎2‖𝑥‖2‖𝑦‖2).
De aici încolo, vom presupune că (𝑇,𝒯,𝜇), un spațiu cu măsură Presupunem, de asemenea că 𝜌:𝑀+(𝜇)→ ℝ̅+ este o 𝜇-normă
funcțională. Vom presupune și aici că măsura 𝜇 este 𝜎-finită pentru a nu avea probleme cu definirea funcțiilor 𝜇-măsurabile vectoriale.
În spiritul definiției acceptate pentru algebra Banach cu unitate, vom considera o 𝜇-normă funcțională 𝜌, corespunzând spațiului
K𝑜̈the 𝐿𝜌 și vom spune că 𝐿𝜌 este algebră K𝑜̈the Banach cu unitate dacă următoarele condiții îndeplinite :
a) 𝐿𝜌 este un spațiu Banach.
b) 1∈ℒ𝜌.
c) Pentru orice 𝑓,𝑔∈ℒ𝜌, avem 𝑓𝑔∈ℒ𝜌.
d) Există un număr 𝐴>0 astfel încât 𝜌|𝑓𝑔|≤𝐴𝜌|𝑓|𝜌|𝑔| pentru orice 𝑓,𝑔∈ℒ𝜌.

26
Se poate observa imediat că, în aceste condiții, 𝐿𝜌 devine o algebră comutativă Banach cu unitate 1̃ și înmulțirea definită pe reprezentanți
astfel : 𝑓̃𝑔̃≝𝑓𝑔̃ pentru orice 𝑓,̃𝑔 ̃ în 𝐿𝜌. Aceasta justifică numele de algebră K 𝑜̈the Banach cu unitate. Evide nt, 𝐿∞(𝜇) este o algebră K 𝑜̈the
Banach cu unitate.
Prezentăm o teoremă care arată de fapt că 𝐿∞(𝜇) este singura algebră K 𝑜̈the Banach cu unitate (a se vedea [7]).

Teorema A . Fie 𝜌 o 𝜇-normă funcțională. Următoarele afirmații sunt echivalente :
1. 𝐿𝜌 este o algebră K 𝑜̈the Banach cu unitate.
2. Spațiile Banach 𝐿𝜌 și 𝐿∞(𝜇) sunt echivalente.
Referitor la implicația 2. ⟹1. ne simțim obligați să observăm că, datorită echivalenței, avem 𝐿𝜌 = 𝐿∞(𝜇) ca mulțimi, în consecință
pe 𝐿𝜌 considerăm înmulțirea dată de 𝐿∞(𝜇).

Pentru exemplificare, la sfârșitul paragrafului ne vom ocupa de spațiile cu măsură discretă (ℕ,𝒫(ℕ),𝑐𝑎𝑟𝑑)(și, aici, scriem ℕ în
loc de ℕ∗), unde 𝑐𝑎𝑟𝑑: 𝒫(ℕ)⟶ℝ̅+, este măsura de numărare, dată prin 𝑐𝑎𝑟𝑑(𝐴) = numărul elementelor lui A, dacă A este finită și 𝑐𝑎𝑟𝑑(𝐴)
= ∞, dacă A este infinită. Singura mulțime neglijabilă este 𝜙. O funcție 𝑓:ℕ→𝐻 se identific ă cu un șir 𝑓≡(𝑥𝑛)𝑛⊂𝐻, unde 𝑥𝑛 = 𝑓(𝑛)
pentru orice 𝑛. Dacă 𝑋 este spațiu Banach, orice f uncție 𝑓: ℕ⟶𝑋 este 𝑐𝑎𝑟𝑑 -măsurabilă. Pentru orice 𝑐𝑎𝑟𝑑 -normă funcțională 𝜌 și orice
spațiu Banach 𝑋, avem 𝐿𝑋(𝜌)≡ℒ𝑋(𝜌) (clasele de echivalență în 𝐿𝑋(𝜌) conțin doar un element). Este evident că, în acest caz, dacă 𝑢≡
(𝑢𝑛)𝑛∈𝑀+(𝑐𝑎𝑟𝑑), avem ‖𝑢‖∞ = sup
𝑛𝑢𝑛. Prin urmare, introducând spațiul Banach clasic
𝑙∞= {𝑥=(𝑥𝑛)𝑛|𝑥𝑛∈𝐾,sup
𝑛𝑥𝑛<∞}
cu norma ‖𝑥‖ = sup
𝑛|𝑥𝑛| ca mai sus, avem 𝐿∞(𝑐𝑎𝑟𝑑) = 𝑙∞.
Presupunând 𝑋= 𝐿𝑟, 𝐿𝑟 spațiu K𝑜̈the (Banach) pentru o anumită card -normă funcțională 𝑟, avem pentru orice 𝑓∈𝐿𝜌(𝐿𝑟):
𝑓≡(𝑓(𝑚))𝑚, unde 𝑓(𝑚)∈𝐿𝑟 = ℒ𝑟, prin urmare putem identifica 𝑓(𝑚)≡(𝑥𝑚𝑛)𝑛⊂𝐾. În consecință, orice 𝑓∈𝐿𝜌(𝐿𝑟) poate fi identificată
cu o matrice scalară infinită: 𝑓≡(𝑥𝑚𝑛)𝑚,𝑛. Aceste cons iderații au mai fost făcute. Le repetăm pentru ușurarea citirii.
Cu privire la spațiile K𝑜̈the-Bochner, avem întâi un rezultat preliminar.

Defini ția 4.4.1 . Două 𝜇-norme funcționale 𝜌1 și 𝜌2 se numesc echivalente dacă există două numere 0 <𝑎≤𝑏 astfel încât 𝑎𝜌1(𝑢)≤ 𝜌2(𝑢)≤
𝑏𝜌1(𝑢) pentru orice 𝑢∈𝑀+(𝜇).

Lema 4.4.2 . Fie 𝜌1 și 𝜌2 două 𝜇-norme funcționale. Următoarele afirmații sunt echivalente :
1. 𝜌1 și 𝜌2 sunt echivalente.
2. Pentru orice spațiu Banach nenul 𝑋, spațiile normate 𝐿𝑋(𝜌1) și 𝐿𝑋(𝜌2) sunt echivalente.
3. Există un spațiu Banach nenul 𝑋 astfel încât spațiile normate 𝐿𝑋(𝜌1) și 𝐿𝑋(𝜌2) sunt echivalente.
Dacă 1. (sau 2. sau 3.) este valabil, avem ℒ𝑋(𝜌1) = ℒ𝑋(𝜌2).

După acest rezultat preliminar, vom considera fixată o algebră Banach (𝑋,‖‖) cu unitate 𝑒 (și un număr 𝐴>0 astfel încât
‖𝑥𝑦‖≤𝐴‖𝑥‖‖𝑦‖ pentru orice 𝑥,𝑦 în 𝑋). Norma spațiului 𝐿𝜌 va fi notată cu ‖||‖ și norma spațiului 𝐿𝑋(𝜌) va fi notată cu ‖||‖𝑋.

Definiția 4 .4.3. Vom spune că 𝐿𝑋(𝜌) este algebră K𝑜̈the-Bochner Banach cu unitate dacă următoarele condiții sunt îndeplinite :
1. (𝐿𝑋(𝜌),‖||‖𝑋) este un spa țiu Banach.
2. Avem 𝑒∈ℒ𝑋(𝜌).
3. Pentru orice 𝑓,𝑔 în ℒ𝑋(𝜌), avem 𝑓𝑔∈ℒ𝑋(𝜌).
4. Există un număr 𝐵>0 astfel încât 𝜌|𝑓𝑔|≤𝐵𝜌|𝑓|𝜌|𝑔|, pentru orice 𝑓,𝑔 în ℒ𝑋(𝜌).

Remarcă . Din 3. rezultă că, dacă 𝑓̃, 𝑔̃ sunt în 𝐿𝑋(𝜌), putem defini produsul 𝑓̃𝑔̃ ∈𝐿𝑋(𝜌) prin 𝑓̃𝑔̃≝𝑓𝑔̃ (pe reprezentanți) și, având în vedere
4., acest produs este continuu:
‖|𝑓̃𝑔̃|‖𝑋 = 𝜌|𝑓𝑔|≤𝐵𝜌|𝑓|𝜌|𝑔| = 𝐵‖|𝑓̃|‖𝑋‖|𝑔̃|‖𝑋.
Prin urmare, algebra normat ă (𝐿𝑋(𝜌),‖||‖𝑋) are unitate 𝑒 (din 2.) și este Banach (din 1.). Aceasta conduce la faptul că
(𝐿𝑋(𝜌),‖||‖𝑋) este algebră Banach cu unitate (care este comutativă dacă 𝑋 este comutativă). Prin urmare, numele de algebră K𝑜̈the-
Bochner Banach este adecvat.
Evident, 𝐿∞(𝑋,𝜇) este o algebră K 𝑜̈the-Bochner Banach cu unitate.

Teorema 4.4.4 . Următoarele afirmații sunt echivalente :
1. (𝐿𝑋(𝜌),‖||‖𝑋) este o algebr ă K𝑜̈the-Bochner Banach cu unitate.
2. (𝐿𝜌,‖||‖) este o algebra K𝑜̈the Banach cu unitate.
3. Spațiile Banach 𝐿𝑋(𝜌) și 𝐿∞(𝑋,𝜇) sunt echivalente.
4. Spațiile Banach 𝐿𝜌 și 𝐿∞(𝜇) sunt echivalente.

Exemplul 4.4.5 . (Forma spațiilor 𝐿𝜌(𝐿𝑟) care sunt algebre K𝑜̈the-Bochner Banach cu unitate).
În cazul spațiului cu măsură discretă (ℕ,𝒫(ℕ),𝑐𝑎𝑟𝑑), putem vedea că 𝐿∞(𝜇) = ℒ∞(𝜇) = 𝑙∞. Prin urmare, o algebră K 𝑜̈the Banach
cu unitate 𝐿𝑟 în acest caz trebuie să fie echivalentă cu 𝑙∞, i.e. 𝐿𝑟= 𝑙∞ cu norme echivalente.
Folosind teorema precedentă, pentru acest 𝐿𝑟= 𝑙∞, un spațiu 𝐿𝜌(𝐿𝑟) este o algebră K𝑜̈the-Bochner Banach cu unitate dacă și
numai dacă 𝐿𝜌 și 𝑙∞ sunt spații Banach echivalente, i.e. 𝐿𝜌 = 𝑙∞ cu norme echivalente.
Un element 𝑓≡(𝑥𝑚𝑛)𝑚,𝑛∈𝐿𝜌(𝐿𝑟) are forma 𝑓(𝑚) = (𝑥𝑚𝑛)𝑛∈𝑙∞ pentru orice 𝑚. Avem, pentru orice 𝑚:
𝑎sup
𝑛|𝑥𝑚𝑛|≤|𝑓|(𝑚)≤𝑏sup
𝑛|𝑥𝑚𝑛|

27
pentru ni ște numere fixate 0<𝑎≤𝑏 care nu sunt dependente de 𝑚. Atunci, exist ă 0<𝐴≤𝐵 astfel încât
𝐴sup
𝑚|𝑓(𝑚)|≤𝜌|𝑓|≤𝐵sup
𝑚|𝑓(𝑚)|
i.e.
𝐴𝑎sup
𝑚,𝑛|𝑥𝑚𝑛|≤‖𝑓‖≤𝐵𝑏sup
𝑚,𝑛|𝑥𝑚𝑛|
(norma calculată în 𝐿𝜌(𝐿𝑟)).
În cele din urmă, se vede că
𝐿𝜌(𝐿𝑟))≡{(𝑥𝑚𝑛)𝑚,𝑛⊂𝐾|sup
𝑚,𝑛|𝑥𝑚𝑛|<∞}
echipat cu o normă ‖‖ având proprietatea că există numerele 0<𝐿≤𝑀 astfel încât
𝐿sup
𝑚,𝑛|𝑥𝑚𝑛|≤‖(𝑥𝑚𝑛)𝑚,𝑛‖≤𝑀sup
𝑚,𝑛|𝑥𝑚𝑛|.

Bibliografie

1. R P. Boas, Jr. Some uniforml y conve x spa ces. Bull. Amer. Math. Soc. 46 (1940), 304 -311.
2. R.D.Bourgin. Geometric Aspects of Convex Sets with the Ra don-Nikod𝑦̀m Property. Lecture Notes in Math 993 Springer -Verlag , N
Y, 1983.
3. A.V. Buhvalov. Radon-Nikod𝑦̀m prop erty in Banach spaces of measurable vector functions. Math. Notes, 26 (1979), 939 -944.
4. Ch. Castaing, R. Pluciennik. Denting Points in K𝑜̈the-Bochner spaces. Set – valued Analysis 2 (1994), 439 -458.
5. J. Cerda, H. Hudzik, M.Mastylo. Geometric properties in K𝑜̈the-Bochner spaces. Proc. Camb. Phil. Soc. 120 (1996), 521 -533.
6. I. Chi țescu. K𝑜̈the spaces that are Hilbert spaces. Bull. Math. Soc. Sci. Math. R.S.R . 18 (66) (1976), 25 -29.
7. I. Chi țescu. K𝑜̈the spaces that are Banach algebras with unit. Bull. Math. Soc. Sci. Math. R.S.R. 18 (66) (1976), 269 -271.
8. I. Chi țescu. Spații de funcții . Ed. Șt. Encicl. București, 1983.
9. I. Chi țescu, R. -C. Sfetcu, O. Cojocaru. Approximation of K𝑜̈the-Bochner Spaces 𝐿𝜌(𝑋) in case 𝑋 Has a Schauder Basis. Roum. J.
Information Sci. Techn. 18(1) (2015), 69 -78.
10. I. Chi țescu, R. -C. Sfetcu, O. Cojocaru. K𝑜̈the-Bochner Spaces that Are Hilbert Spaces. Apare în Carpathian Journal of Mathematics.
Online version available at http ://carpathian.ubm.ro . Print Edition: ISSN 1584 -2851. Online Edition: ISSN 1843 -4401.
11. R. Cristescu. Analiză funcțională (ed III). Ed. Did. Ped., București, 1979.
12. M.M.Day. Some more uniformly convex spaces. Bull. Amer. Math. Soc. 47 (1941), 504 -507.
13. J. Diestel, J.J.Uhl, Jr. Vector Measures. American Mathematical Society. Providence, Rhode Island, 1977.
14. J. Dieudonn é. Sur les espaces de K𝑜̈the. Journal d’Analyse Math ématique. 1(1951), 81 -115.
15. N. Dinculeanu. Vector Measures. Veb Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1966.
16. N. Dunford, J.T.Schwartz. Linear Operators. Part I. Interscience Publishers, New York, 1957.
17. P.R. Halmos. Measure Theory. D. Van Nostrand Company, Inc. Princeton (eleventh printing), 1966.
18. H. Hudzik, R. Landes. Characteristic of convexity of K 𝑜̈the function spaces. Math. Ann. 294 (1992), 117 -124.
19. H. Hudzik, M. Mastylo. Strongly extreme points in K 𝑜̈the – Bochner spaces. Rocky Mountain J. Math. 23 (1993), 899 -909.
20. A. Kaminska, B. Turett. Rotundity in K 𝑜̈the spaces of vector -valued functions. Can. J. Math. 41 (1989), 659 -675.
21. J.L.Kelley. General Topology. D. Van Nostrand Company. Toronto – New York – London, 1955.
22. G. Köthe. Neubergr 𝑢̈ndung der Theorie der vollkommenen R 𝑎̈ume. Math. Nachr. 4(1951), 70 -80.
23. G. Köthe, O. Toeplitz. Lineare R 𝑎̈ume mit unendlichvielen Koordinaten und Ringe unendlicher Matrizen. Journal de Crelle
171(1934), 193 -226.
24. P.- K. Lin. K𝑜̈the-Bochner Function Spaces. Springer – Science + Business Media, LLC, 2004.
25. P.-K. Lin. Stability of some properties in K 𝑜̈the-Bochner function spaces. In Function Spaces, the fifth conference. Pure and Applied
Math. Vol. 213, Marcel Dekker, Inc. (2000), 347 -357.
26. W.A.J. Luxemburg. Banach function spaces. Thesis. Delft Institute of Te chnology. 1971.
27. W.A.J. Luxemburg, A.C. Zaanen. Notes on Banach function spaces. Indag. Math. Note I, A 66 (1963), 135 -147 – Note XVI, A 68
(1965), 646 -667.
28. W.A.J. Luxemburg, A.C. Zaanen. Riesz Spaces , vol.I. North Holland, Amsterdam, 1971.
29. M. Nicolescu. Funcții reale și elemente de topologie . Ed. Did. Ped., București, 1968.
30. Phuong C ác. On Dieudonn 𝑒́’s paper ≪Sur les espaces de K𝑜̈the≫. Proc. Cambridge Phil. Soc. 62 (1966), 29 -32.
31. H.H. Schaeffer. Topological Vector Spaces (third printing corrected). Springer, 1970.
32. D. Tomescu. Construction of a function seminorm having the Riesz -Fischer property. Bull. Math. Soc. Sci. R.S.R. 27(72), (1980),
209-213.
33. A.C. Zaanen. Integration. North Holland, Amsterdam, 1967.

Copyright Notice

© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.

Acest articol: Școala Doctorală de Matematică [626314] (ID: 626314)

Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.

Școala Doctorală de Matematică [626314]

Copyright Notice

DREPTUL LA UN PROCES CIVIL ECHITABIL ÎN LUMINA CONVEN ȚIEI EUROPENE A DREPTURILOR OMULUI ȘI A JURISPRUDEN ȚEI ÎN MATERIE Conduc ător știin țific… [608374]

ASUPRA CULTURILOR DE TRITICOSECALE ÎNFIINȚATE PE SOLURILE PODZOLICE DE LA ALBOTA – ARGE Ș ECOLOGICAL RESEARCH ON THE TRITICOSECALE CROPS FOUNDED ON… [600359]

POSIBILITĂȚI DE INHIBARE A PROCESELOR DE ARDERE ȘI UTILIZAREA LOR ÎN LIMITAREA DEZASTRELOR [310441]

Optimizarea traficului rutier urban în Sistemele Inteligente de Transport [309457]

CERCETĂRI PRIVIND STABILIREA TEHNOLOGIILOR DE CULTIVARE A PEPENILOR VERZI PRIN FERTIRIGARE PE SOLURILE NISIPOASE DIN SUDUL OLTENIEI PROPUNERE… [308198]

ACADEMIA DE POLIȚIE „ALEXANDRU IOAN CUZA” ȘCOALA DOCTORALĂ „ORDINE PUBLICĂ ȘI SIGURANȚĂ NAȚIONALĂ” Doctorand: POPESCU LAURENȚIU TEMĂ: RISCURI ȘI… [607061]

Copyright Notice

Similar Posts