Școala: Colegiul Tehnic Ștefan BănulescuC ălărași [625914]

0 UNIVERSITATEA DIN BUCURE ȘTI

DEPARTAMENTUL PENTRU PREGĂTIREA
PERSONALULUI DIDACTIC

LUCRARE METODICO –
ȘTIINȚIFICĂ PENTRU OBȚINEREA
GRADULUI DIDACTIC I ÎN
ÎNVĂȚĂMÂNT

COORDONATOR ȘTIINȚIFIC:
Lector universitar doctor Daniel St ănică

CANDIDAT: [anonimizat]: Dedu Paula Monica
Școala: Colegiul Tehnic „Ștefan Bănulescu”C ălărași

București
2012

1 UNIVERSITATEA DIN BUCURE ȘTI

DEPARTAMENTUL PENTRU PREGĂTIREA
PERSONALULUI DIDA CTIC

Metode directe de rezolvare a
sistemelor de ecuații liniare

COORDONATOR ȘTIINȚIFIC:
Lector universitar doctor Daniel St ănică

CANDIDAT: [anonimizat]:Dedu Paula Monica
Școala: Colegiul Tehnic „Ștefan Bănulescu”C ălărași

București
2012

2

CUPRINS

Introducere ………………………………………………………… ……… ..………… ….3

Capitolul 1. Elemente de analiza matriceala ……………………………… ……… …..…..5

1.1 Norme de vectori si norme de matrice ……………………………… …………. ……… 5
1.2 Stabilitatea solutiei unui sistem de ecuatii liniare …………………………………. ………… ….12

Capitolul 2. Metode directe de rezolvare a sistemelor de ecuatii liniare ……….. ………… …17

2.1 Metoda lui Gauss ………………………………………………………………………… …………. …….17
2.2 Metoda Gauss -Jordan ……………………………………………………………………… ………. ……24
2.3 Descompunerea LU ……….. ………………………………………………………………. ………. …….28
2.4 Descompunerea Cholesky ………………………………………………………………. ………. …….31
2.5 Descompunerea QR ………………….. ……………………………………………………… ………. …..34

Capitolul 3. Sisteme de ecuatii liniare …………………………………………………….. ………. …….37

3.1 Exemple rezolvate …………………………. ………………………………………………… …………. ..37
3.2 Exemple propuse spre rezolvare ………………………………………………………… ………….. ..52
3.3 Aplicatie practica…………………………………. …………………………………………… ………. ….56
3.4 Exercitii practice propuse spre rezolvare………………………………………………. ………… ..58

Capitolul 4. Abordarea metodica a sistemelor de ecuatii liniare in cad rul orelor de
liceu ………………………………………………………………………………………. ………………… ………..60

4.1 Proiect de curs optional “ Complemente de algebra” …………….. ………………….. ……….61
4.2 Precizări metodologice cu privire la testul de evaluare finala al unitatii de invatare
Sisteme de ecuatii liniare ………………………………………………….. ……………………………….. ..66
4.3 Proiect didactic “ Metode de rezo lvare a sistemelor de ecuații liniare. Metoda lui
Cramer” …………………………………………………………………………………… …………………………71

Anexa
Proiectul unitatii de invatare “ Sisteme de ecuatii liniare ……………………….. ……………79

Bibliografie……………………………………………………………………………. ………………………. … 94

3

INTRODUCERE

Ca urmare a gradului înalt de abstracție atins de matematică în secolul nostru,
există o tendință în fiecare dintre noi de a căuta să abordăm cu predilecție noțiunile cele
mai subtile cu metodele cele mai formalizate. Este o consecință a revoluției structurale
suferită de matematică, revoluție ce a pus pe baze axiomatice structurile fundamentale, pe
care le numim astăzi algebrice, de ordine și topologice și a formalizat într -o mare măsură
metodele și instrumentele matematicii moderne. Un lucru este clar: nu ne putem întoarce
la formele anterioare și nu put em nega necesitatea definițiilor și demonstrațiilor
riguroase. În același timp apare necesitatea de a nu elimina intuiția din raționamentele
folosite în demonstrarea unor teoreme stabilite și încorporate în disciplinele matematice,
cât și în cele destinate învățământului de toate gradele.
De ce sisteme de ecuații?
În primul rând sistemele de ecuații sunt o piatră de încercare pentru elevi la orele
de curs, la olimpiadele școlare, la examenul de testare nationala, la bacalaureat, admiterea
în facultate și nu în ultimul rând la problemele apărute în viața de zi cu zi. Dacă vorbim
de ponderea sistemelor de ecuații în alte discipline din învățămâtul gimnazial și liceal,
atunci ne referim la aplicațiile matematicii în fizică, chimie, biologie, economie,
informa tică. Este vorba de sisteme de ecuații elementare, dar și de probleme complexe
care se rezolvă cu ajutorul sistemelor de ecuații. Analiza erorilor apărute în rezolvarea
acestor probleme a dus la necesitatea prezentării unor strategii de lucru eficiente ada ptate
diferitelor tipuri de elevi, la rezolvarea unor probleme prin mai multe metode, la
transmiterea unui mesaj optimist în abordarea de către elevi a sistemelor de ecuații.
În al doilea rănd, în rezolvarea multor probleme de natura economică, tehnică,
socială, a diverselor probleme de optimizare, precum și în modelarea unor procese
industriale și tehnologice este necesar să se determine modelul matematic care descrie
funcționarea procesului respectiv. Descrierea acestor sisteme fizice conduce la obținere a
unor modele matematice care fie în mod direct, prin modelare, fie prin metoda de
rezolvare implică sisteme de ecuații algebrice liniare.
Metodele de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare se pot grupa, în principal, în
trei mari clase:
 metode directe
 metode iterative

4 Din punct de vedere numeric, metodele directe care utilizează calcul de
determinanți sunt improprii procesării automate, fapt care face ca algoritmii numerici să
ocolească acest tip de abordare . Din acest motiv se impun metodele in care sistemul
inițial este adus la unul echivalent, cu matricea caracteristică mult mai simplă, de regulă
de formă triunghiulară. Într-o astfel de situație, rezolvarea sistemului este imediată.
Metodele directe furnizează soluția exactă a sistemului în cazurile (ideale) în care
erorile de rotunjire sunt absente și necesită, în acest scop, efectuarea unui număr de
operații aritmetice elementare de ordinul n3. Din acest motiv, metodele directe se
utilizează pentru rezolvarea sistemelor „uzuale“, de dimensiune n ≤ 100.
În cadrul metodelor directe, care se considera a fi metode exacte, s -au impus
metodele care au la baza algoritmul de eliminare Gauss, cu variantele Gauss -Jordan,
Doolitle, Crout si Cholesky.
Metodele iterative se caracterizează prin faptul ca soluți a sistemului considerat se
obține ca limită a unui șir de valori ce reprezintă soluții pentru diverse iterații succesive.
În cadrul acestor metode, se pune problema de a alege acea metoda, care asigur ă
cea mai mare vitez ă de convergent ă a solu țiilor pentr u o aproximare initial ă adecvat
aleas ă.
În capitolul 1, Elemente de analiză matriceală , am prezentat norme de vectori si
norme de matrice demonstr ând c âteva inegalit ăți ce au loc între ele și am discutat
stabilitatea solu ției unui sistem de ecua ții liniare la mici varia ții ale vectorului termenilor
liberi sau ale matricei coeficien ților, calcul ând condi țonarea relativ ă la norme a
matricelor.
În capitolul 2, Metode directe de rezolvare a sistemelor de ecua ții liniare, am ales
spre prezentare metoda lui Gauss , metoda Gauss -Jordan, descompunerea LU,
descompunerea Cholesky, descompunerea QR.
Capitolul 3 este dedicat exemplelor. Am ales a rezolva exemple de sisteme de
ecuații liniare întâlnite la admiterea în institutiile de învătământ superior. Am selectat
exemp le din anii 1980 – 1990 dar și din anii 2000 -2010, mai vechi dar și de actualitate.
Am propus spre rezolvare un set de exerciții ce se pliaza foarte bine unei pregătiri
suplimentare a elevilor din anii terminali și un set de exemple practic -aplicative.
Abor darea metodică a temei am descris -o în capitolul 4. Am propus un proiect de
curs opțional de extindere “ Complemente de algebră”, care se adreseaza elevilor de clasa
a XI -a, pasionați de matematică și/sau se pregătesc pentru admiterea în facultate. Am
adaptat conținuturile prezentate în lucrare la specificul clasei de elevi. Pentru a face o
corelație cu programa școlară în vigoare am anexat proiectul unității de învățare “Sisteme
de ecuații liniare”, un plan de lecție și un model de test de evaluare, folos ite la clasele de
liceu tehnologic unde predau.

5

Capitolul 1

Elemente de analiză matriceală

1.1 Norme de vectori și norme de matrice

Fie m, n N. Pe spa țiul Rm se consider ă normele vectoriale uzuale 1, 2și
definite prin

m
iix x
11 , 
m
iix x
12
2si imix x

1max , n
mii R xx ,1
Fie Mm,n(R) spațiul matricelor cu m linii și n coloane cu elemente din R. Pe Mm,n(R)
se pot considera norme definite ca norme de operator liniar
A := )( , sup,
1R MA Axnm
x


unde  este o norma pe Rn și  este o norma pe Rm. În cazul în care α = β, notăm
A := A și o numim norma α a matricei A (subordonata normei vectoriale).
Dacă α = 1 sau α = ∞ obținem:
ijm
inja A

111max si ijn
jmia A

11max ,
 nj miija A1, 1)(,R Mnm .
Tot pe Mm,n(R) se pot considera și norme vectoriale, de exemplu norma Frobenius
FA . Avem
FA:=
m
in
jija
1 12, nj mi ija A1, 1)(,R Mnm .

Exemplu : Să se calculeze normele vectoriale:
n1 = 1x ; n2 = 2x ; n3 = x

6 și normele matriceale:
n4 = 1A ; n5 = A ; n6 = FA
pentru
m = 3, n = 4; .x = (3, -12,4);




   

12 1110 98 76 54 32 1
A

Răspuns : n 1 = 19 ; n2 = 13 ; n3 = 12 ; n4 = 24 ; n5 = 42 ; n6 = 25.495097568 .

Exerci țiul 1.1 Pentru m = n ≥ 2, norma Frobenius poate fi privit ă ca norm ă de operator
liniar subordonata unei norme vect oriale?

Solu ție. Nu. Daca I Mm(R) este matricea unitate și  este o norm ă vectorial ă pe Rm
atunci
I ,1 sup
1

Ix
x iar m IF .

Exerci țiul 1.2 Fie nj mi ija A1, 1)(,R Mnm . Să se determine1A. Ce observa ți?

Solu ție. Fie m
mjj R xx  ,1 cu 11x , adic ă 
m
jjx x
11 ≤ 1. Atunci
 
n
ijijmixa Ax
11max 
jn
jijmixa
11max
mi1max ( 
) max
11jn
jijnjx aijnj mia
 1, 1max .
Cum x  Rn cu 1x≤ 1 a fost ales arbitrar, rezult ă că
1A:= Ax
x 1max
ijnj mia
 1, 1max . (1.1)
Fie i 0  {1, . . . ,m }, j0  {1, . . . , n } astfel încât |ai0j0| = ijnj mia
 1, 1max și
x0 = ( x0j)1≤j≤n Rn cu x 0j = 1 pentru j = j0 si x0j = 0 altfel. Atunci 1 01x si

   
  00
1 110 0 max 0jin
jj iojn
jj ijmia xa xa Axijnj mia
 1, 1max
Deci 1A:=Ax
x 1max
0Ax =ijnj mia
 1, 1max . (1.2)
Din (1.1) si (1.2) rezultă că 1A=ijnj mia
 1, 1max .
În conc luzie, norma matricial ă 1 a spa țiului Mm,n(R) este echivalent ă cu norma
vectorial ă  a spa țiului Rmn.

7 Propozi ția 1.1 Fie nj miija A1, 1)(,R Mnm . Atunci ijm
inja A

111max .

Demonstra ție Fie n
njj R xx ,1 cu 11x adica
m
jjx
1 ≤ 1
Atunci
jm
in
jijm
in
jjij xa xa Ax  
  
1 1 1 11) (
1 1 1 1
   m
iijn
jj jn
jm
iij a x xa 

  n
jj ijm
injx a
1 11(maxijm
inja

11max .
Cum n
njj R xx ,1 cu 11x a fost ales arbitrar, rezult ă că
1A:= 
111max Ax
xijm
inja
11,max . (1.3)
Fie j 0  {1, . . . , n } astfel încât |aij0| = ijm
inja
11,max si x0 = ( x0j)1≤j≤n Rn cu x 0j = 1
pentru j = j0 si x0j = 0 altfel. Atunci 1 01 x si
  
 n
jijn
jj ijm
ia xa Ax
10
1 110 0ijm
inja
11max
Deci
1A:= 
111max Ax
x10Ax =ijm
inja
11max (1.4)
Din (1.3) si (1.4) rezulta ca
ijm
inja A

111max .

Propozi ția 1.2 Fie nj mi ija A1, 1)(,R Mnm . Atunci ijn
jmia A

11max .

Demonstra ție Fie n
njj R xx ,1 cu 1x adica 1 max
1
jmjx . Atunci
 
n
ijijmixa Ax
11max 
jn
jijmixa
11max
jnjx
1max

) (max
11ijn
jmiaijn
jmia
11max

Cumn
njj R xx ,1 cu 11x a fost ales arbitrar, rezulta ca
A:= . max max
11 1
n
jijmi xa Ax
 (1.5)

8 Pentru i 0  {1, . . . ,m } astfel incat 
n
jjimia
101max
n
jija
1 si x 0 = ( x0j)1≤j≤n Rn cu
x0j =
jiji
aa
00 pentru 00jia si x0j = 0 altfel. Atunci 1 0x si
    
   jin
jn
jj iojn
jj ijmia xa xa Ax0
1 1 110 0 max 0ijn
jmia
11max
(1.6)
Din (1.5) si (1.6) rezulta ca ijn
jmia A

11max .

Propozi ția 1.3 Fie nj miija A1, 1)(,R Mnm . Atunci ). (2AA At .

Demonstra ție. Matricea AtA este simetrica si semipozitiv definita (deci are toate valorile
proprii reale pozitive). Într-adevar,
(AtA)t = At(At)t = AtA si <AtAx, x > = <Ax,Ax> = 2
2Ax≥ 0, x  Rn.
Notam cu λ1, λ2, . . . , λn valorile proprii ale matricei AtA. Fie U = (u1, u2, . . . , u n)
o baza ortonormata în Rn formata cu vectorii pro prii (atasati valorilor proprii λ1, λ2, . . . ,
λn) ai matricei AtA. Avem atunci (AtA)ui = λiui, <ui, uj > = 1 pentru i = j si <ui, uj > = 0
altfel, pentru orice i, j n,1.
Fie x  Rn cu 2x≤ 1. Consideram reprezentarea lui x în baza U: 
n
iiiuy x
1.
Atunci:
1 , , ,
12
1 1 1 12
2     
   n
iin
in
jj i jin
in
jjj ii y uuyy uy uy xx x si
 
    

  n
in
jjj iitn
jjjn
iiit tuy uAyA uy uy AA xAxA AxAx Ax
1 1 1 12
2, , , , =
=j it
jn
in
ji uAuAyy ,
1 1
=j ii jn
in
ji uu yy ,
1 1
= AA yAA yt
in
it
in
ii     
 2
12
1.
In concluzie, ) (2AA At pentru orice x  Rn cu 2x≤ 1. Cum
212
2supAx A
x , trecând la supremum dupa2x≤ 1 în inegalitatea anterioara, rezulta ca
) (2AA At .
Fie k n,1 astfel încât λk = ρ(AtA), deci acel indice care corespunde celei mai
mari valori proprii a matricei AtA si x′ = uk vectorul propriu unitar corespunzator. Atunci
AA uu u AuA xAxA xAt
k k kk k kt     , , ,2
2.

9 Rezulta ca
212
2supAx A
x ) (AAt .
In concluzie ). (2AA At

Exerci țiul 1.3 Fie nj miija A1, 1)(,R Mnm . Sa se demonstreze inegalitatile:
a)   An A An11,
b) 2 2An A AF .
Determinati matrice nenule pentru care inega litatile devin egalitati.

Solu ție. a) Fie n
njj R xx ,1. Atunci n x xn
ii imi
11maximix
1max , adica
  xn x x1.
De aici rezulta ca 

    AnxAxn
xAx
A
n nRx Rxsup sup
11
1 si


    An xnAx
xAx
A
n nRx Rx1sup sup
11
1.
Fie B = (bij ) Mn(R) cu b i1 = 1,  i  n,1 și cu restul elementelor nule. Atunci
11B si n B Deci 11B Bn
.
Fie B = (bij ) Mn(R) cu b1j = 1,  j  n,1 si cu restul elementelor nule. Atunci
n B1 si 1B Deci 1B Bn
.
b) Din defini ția normei 2 avem:
21
2
1 11212
2 2max max






  
 n
jjijn
ix xxa Ax A . (1.7)

Cu inegalitatea Cauchy -Schwarz, daca 12x , se ob ține:











  n
jjn
jijn
jjij x a xa
12
122
1, i  n,1
Înlocuind în (1.7) se obtine
Fn
jijn
iA a A 







21
12
12.
În egalitatea (1.7) lu ăm
nxj1 xj = 1  j  n,1. Atunci 12x si:

102AFn
in
jijn
jijn
iA
na
na
n1 1 121
1 1221
2
1 1









 
 .
Evident, pentru A = In avem 12A si n AF . Daca B = (bij ) Mn(R) cu
bij = 1,  i,j  n,1 atunci n BF si din egalitatea (1 .7), luând
nxj1 ,  j  n,1,
rezult ă că
22
1 112
2
2max n x Bn
jjn
ix







.
Deci n B2 și cum n B BF2 rezultă că n B2 .

Exerci țiul 1.4 Fie nj miija A1, 1)(,R Mnm . Să se demonstreze inegalit ățile:
a) 1 2 11An A A
m ,
b)   Am A A
n21.
Determina ți matrice nenule pentru care inegalit ățile devin egalit ăți.

Solu ție. a) Fie j  n,1 . În egalitatea (1.7) lu ăm x = ej . Ob ținem:
21
12
2


m
iija A .
Cu inegali tatea Cauchy -Schwarz se ob ține:

 

m
iijm
iij a a m
121
12.

Deci 1
1 ,121max1A
ma
mAm
iij
n j 
.
Fie k
kji R x x ,1. Atunci:
2
1 12


 k
iik
ii x x ,
Iar cu inegalitatea Cauchy -Schwarz:
2
1 12
12
 

k
iik
ix x k .
Deci 1 2 11x x x
k .

11Atunci
1
11
22
2sup sup AnxAxn
xAxA
n nRx Rx  
 .
b) Fie k
kji R x x ,1, k N*. Atunci:
k x xk
ii iki
12 2
1max2
1maxikix

Deci
  xk x x2

Atunci


    AmxAxm
xAxA
n nRx Rxsup sup
22
2.
Fie m i,1 . In egalitatea ( 1.7) luam
ijij
jana
x daca 0ija si
nxj1 daca
n j aij ,1 0 . Atunci:
22
111 12 2
21max1 1







   AnananAn
jijmim
in
jij.
Fie B = (bij ) Mm,n(R) cu b 1j = 1,  j  n,1 și cu restul elemntelor nule.
Atunci 11B si n B. Din egalitatea (1 .7), luând
nxj1 ,  j  n,1, rezult ă că
n x Bn
jjx







2
112
2
2max .
Deci n B
2 si cum n Bn B 1 2 rezult ă că n B
2. Astfel
  B
nBm B1
1 2.
Fie B = (bij ) Mm,n(R) cu b i1 = 1,  i  m,1 si cu restul elementelor nule.
Atunci m B1 si 1B Din egalitatea (1 .7), luând x1 = 1 si x j = 0, 1j, rezulta ca
m x Bm
ix


12
112
2
2max . Deci m B
2 si cum m Bm B  1 2 rezult ă că
m B
2. Astfel 1 21B
mBm B  .

12

1.2 Stabilitatea solu ției unui sistem de ecua ții liniare

Fie m  N, A Mm(R) inversabil ă, b  Rm și o norm ă pe Rm (notăm tot cu
norma matricial ă asociat ă). Consider ăm sistemul de ecua ții liniare Ax = b.
Fie A o matrice nesingular ă și  o norm ă a matricei A. Numarul
cond (A) := A 1A se nume ște indice de condi ționare al matricei A relativ la norma .
Un indice de condi ționare mare al unei matrice arat ă instabilitatea acesteia, după cum
rezultă din propozi țiile urm ătoare:

Propozi ția 1. Fie sistemul de ecuatii liniare Ax = b și sistemul perturbat
A(x + δx) = b + δb. Presupunem b  0. Atunci
bbA condxx    )( . (1.8)
În plus, exista b 0 si δb  0, astf el încât inegalitatea (1.8) sa devina egalitate.

Propozitia 2 . Fie sistemul de ecuatii liniare Ax = b si sistemul perturbat
(A + ΔA)(x + Δx) = b. Atunci
AAA condx xx  )( . (1.9)
In plus, exista b 0 si ΔA  0, astfel încât inegalitatea (1.9) sa devina egalitate.

Propozitia 3 . Fie sistemul de ecuatii liniare Ax = b si sistemul perturbat
(A + ΔA)(x + Δx) = b + Δb. Daca A A1 < 1, atunci





AA
bb
A AA cond
xx
11)(. (1.10)
Formulele (1.8), (1.9), (1.10) ne arata ca numarul cond( A) este o masura a instabilitatii
sistemului de ecuatii liniare Ax = b (cu cât cond( A) este mai mare, cu atât sistemul poate
fi mai instabil).

Exemplu: Fie sistemul de ecua ții Ax = b, unde






109579 10685657787 10
A ,





31332332
b , cu solutia





1111
x (1.11)
Consider ăm sistemul perturbat A(x + δx) = b + δb, unde

13




109579 10685657787 10
A și b + δb =




9.301.339.221.32
cu solu ția x + δx =





1.15.46.122.9
(1.12)
Consid erăm si sistemul perturbat (A + ΔA)(x + Δx) = b, unde





98.9 9 99.4 99.69 89.9 98.5 85 6 04.5 08.72.71.8 7 10
A A ,





30332332
b cu solutia x + Δx =





223413781

Sistemul (1.12) difera de cel initial printr -o "mic ă" varia ție a coloanei termenilor
liberi, iar sistemul (1 .13) printr -o "mic ă" varia ție a elementelor matricei. Dupa cum se
observ ă, aceste "mici" varia ții antreneaz ă după sine varia ții "mari" ale solu ției ini țiale.

Exerci țiul 1.5 Pentru matricea A din exemplul anterior s ă se calculeze condi ționarea
cond( A) relativă la normele matriceale 1 , 2si .

Solu ție. Deoarece matricea A este simetric ă, rezult ă ca indicele de condi ționare relativ la
norma 1 ( cond 1(A)) este egal cu cel relativ la norma ∞ (cond∞(A)). În aceasta situa ție se
va folosi o procedur ă de inversare de matrice (pentru calculul lui A−1) și o procedura
pentru calculul normei matriciale (1 sau ∞).
Avem




    

2 3 10 63 5 17 1010 17 68 416 10 41 25
1A .
 )10957,9 1068,5657,787 10 max( A
= max 31,33,23,32 = 33
1A = max ,10 17 68 41,6 10 41 25 
 )23 106,3 5 17 10,
max(82,136,35,21)=136
Rezulta ca cond (A) := A
1A =33 136= 4488.
În cazul indicelui de conditionare relativ la norma 2 ( cond 2(A)) nu se va mai
calcula A−1, ci conditionara va fi radicalul raportului dintre cea mai mare valoare proprie
în modul a matricei AtA si cea mai mica valoare proprie în modul a aceleiasi matrice (am
notat cu At transpusa matricei A). În aceasta situatie se va folosi o procedura de c alcul al
valorilor proprii ale unei matrice simetrice.

Raspuns : cond 1(A) = cond ∞(A) = 4488 si cond 2(A) = 2984 .09270167

14Exercitiul 1.6 Sa se demonstreze inegalitatea (1.8), aratând ca este posibila si egalitatea.

Solutie . Din A (x + δx) = b + δb rezulta ca Ax + Aδx = b + δb si cum Ax = b atunci
Aδx = δb. Deci δx = A−1δb si
b A bA x      1 1. (1.14)
Din Ax = b rezulta x A Ax b  ,
deci bA
x1. (1.15)
Din (1.14) si (1.15), prin înmultire, rezulta ca

bbA condbAb Axx  )(1

Exist a δb  0 astfel încât 1 1  A bA b si exista x 0 astfel încât
x A Ax  . Luam b = Ax. Atunci b  0 si inegalitatea (1.8) devine egalitate.

Exerci tiul 1 .7 Sa se probeze inegalitatea ( 1.8) (relativa la norma ∞) pentru sistemul de
ecuatii (1.11).

Solutie . Avem:  xxx x   (9.2 − 1;−12.6 − 1; 4.5 − 1;−1.1 − 1)=
= (8.2;−13.6; 3.5;−2.1)= max( |8.2| ; |−13.6| ; |3.5| ; |−2.1|) = 13 .6.
  1;1;1;1 x = max( |1| ; |1| ; |1| ; |1|) = 1 .
Atunci
6.1316.13

xx
Avem
 bb b b   (32.1 − 32; 22 .9 − 23; 33 .1 − 33; 30 .9 − 31)=
= (0.1;−0.1; 0.1;−0.1) = max( |0.1| ; |−0.1| ; |0.1| ; |−0.1|) = 0 .1.
b= (32; 23; 33; 31) = max( |32| ; |23| ; |33| ; |31|) = 33 .
Atunci
3301
331.0

bb si
.6.1333014488 )( 

bb
A cond

Deci

 bb
A condxx  
)( .

15Exerci tiul 1 .8 Sa se demonstreze inegalitatea (1.9), aratând ca este posibila si egalitatea.

Solutie . Din (A + ΔA)(x + Δx) = b + δb rezulta ca Ax + AΔx + ΔAx +ΔAΔx = b si cum
Ax = b, atunci A Δx + ΔAx + ΔAΔx = 0  AΔx = −ΔA(x+Δx)  Δx =−A−1ΔA(x+Δx)
 Δx = A−1ΔA(x+Δx) ≤A−1ΔA x + Δx. Rezulta ca
AAA condAAAA A Ax xx   )(1 1.
Fie un vector w  0 astfel încât w A wA   1 1 si β  R∗. Luam
x + Δx := w, ΔA := βI, b := (A + βI)w, Δx := −βA−1w. Avem
Ax = A(w − Δx) = A(w + βA−1w) = Aw + βw = (A + βI)w = b si
(A + ΔA)(x + Δx) = (A + βI)w = b ,
deci sunt verificate ipotezele problemei. Alegem β  0 astfel încât matricea A +βI sa fie
nesingulara. Atunci b  0 si
.1 1 1x x A w A wA x     
Rezulta ca
AAA condAAAA A Ax xx   )(1 1.

Exerci tiul 1 .9 Să se demon streze inegalitatea (1 .10).

Solutie . Din ecuatiile Ax = b si (A + ΔA)(x + Δx) = b + Δb rezulta ca
AΔx + ΔAx + ΔAΔx = Δb .
Atunci
Δx = A−1Δb − A−1ΔAx − A−1ΔAΔx ,
deci
(I + A−1ΔA)Δx = A−1Δb − A−1ΔAΔx.
Din ipoteza A A1< 1 rezulta ca exis ta (I + A−1ΔA)−1 si
A AA AI

11 1
11) ( .
Atunci

xx
xAx bA
A A

1
111
xAAx b
A AA cond
11)(




AA
bb
A AA cond
11)(.
Exercitiul 1.10 Să se calculeze conditionarea relativa la norma 1 si norma 2 a matricei
Hilbert H = (hij )1≤i,j≤m cu h ij := 1/(i + j − 1),  1 ≤ i, j ≤ m, pentru 2 ≤ m ≤ 4. Ce
observati?

Solutie. Pentru m = 2 avem cond 1(H) = 27 si cond 2(H) = 19 , 28147 . Pentru m = 3 avem
cond 1(H) = 748 si cond 2(H) = 524 .056777586 . Pentru m = 4 avem cond 1(H) = 28375 si

16cond 2(H) = 15513 .738738 . Observam ca matricea H are un indice de conditionare foarte
mare, chiar pentru valori mici ale lui m.

Exerci tiul 1 .11 a) Fie N , ),(2MA 


dcbaA cu a,b,c,d {0,1,2,…,N -1,N} .
Notam cu
Ad c b a
det22 2 2 2

Stiind ca cond 2(A) = 12 , sa se determine a, b, c, d (matricea A) astfel incat
cond 2(A) sa fie maxim posibil. Test pentru N = 100 .
b) Aceeasi problema pentru cond 1(A) si cond∞(A).

Solutie. O matrice A cu elemente din multimea {0, 1, 2, . . . ,N −1,N}, cu indicele de
conditionare cel mai mare este 



2 11
N NN NA
Pentru aceasta matrice avem cond 1(A) =cond∞(A) = (2 N − 1)2.

Exercitiul 1.12 Fie NM a pAn njip
ij ,1, cu  1
1
i
jpp
ij C a , n ji ,1,
Notam cu 1
,1,
  pA b pBnjip
ij inversa matricei A (p).
Stiind ca 1
1
01 1

i
jkjn
kk
kpji p
ij C C b n ji ,1,
(cu conventia 10
1C si 0s
rC pentru r < s sau s < 0), sa se determine cond 1(A(p)).
Test p = 20, n = 10.
Pentru n = 10 este cond 1(A(20)) >cond 1(H10), unde H 10 este matricea Hilbert de ordinul
10?
Solutie . Pentru n = 10 cond 1(A(20)) ≃ 4.5216 ?1016 >cond 1(H10).

17

Capitolul 2

Metode directe de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare

2.1 Metoda lui Gauss

Metoda lui Gauss este una dintre cele mai vechi metode de rezolvare a unui
sistem de ecua ții liniare și const ă în transformarea matricei sistemului într-o matrice
triunghiular ă, pentru care noul sistem ob ținut are o rezolvare rapid ă. Metoda era
cunoscut ă în China înca din antichitate, iar ın Europa apare în scrierile lui Isaac Newton
(1670). Aceast ă metod ă poart ă numele matematicianului german Carl Friedrich Gauss,
care, în 1810, nu a introdus dec ât anumite noțatii referitoare la ea.
Fie sistemul de ecua ții liniare (compatibil determinat) b Ax cu matricea
coeficien ților RM aAnnjiij ,1, și vectorul termenilor liberi n
nii R b b ,1)( .

Definiție 2.1 Fie n
nii R x x ,1)( si n k,1 cu 0kx . O matrice )(RM Ln k se
numeste matrice Gauss pentru vectorul x dacă





001

kkxx
xL .

Propoziti e 2.1 Fie





0010

ke (valoarea 1 pe pozitia k) si






nk
kk
xxxl

100
1. Atunci matricea
t
kk n k elI L este o matrice Gauss pentru vectorul x.

Demonstratie. Se verifică imediat printr -un calcul elementar .

18Fie  na aa A 2 1 (unde na aa ,…,,2 1 sunt coloanele matricei A).
Presupunem ca 011a . Fie 1L matricea Gauss pentru vectorul 1a. Atunci avem
 




 
)1( )1(
2)1(
2)1(
221 12 11
1 21 11 1
00
nn nnn
n
a aa aa a a
aL aLaL AL

 .

In continuare, d aca 0)1(
22a , fie 2Lmatricea Gauss pentru vectorul 





1
21
2212
1
2
naaa
a.
Atunci
 
 
 




2 2
32
32
331
21
231
221 13 12 11
12
0 00 00
nn nnnn
a aa aa a aa a a a
ALL

.
Continuand ın acelasi mod, daca la fiecare pas k ( 1,2n k ) avem01k
kka , construind
matricele Gauss asociate vectorilor 






11
21
1
k
nkkk
k
k
aaa
a, (notatekL), obtinem
 






11
21
221 12 11
12 2 1
0 00…
n
nnnn
n n
aa aa a a
ALL LL

.
Sistemul de e cuatii liniare b Ax este echivalent cu
bLL LL AxLL LLn n n n 12 2 1 12 2 1 … …   , unde

. …
11
21
12 2 1






n
nn n
bbb
bLL LL
Deci rezolvarea sistemului initial este redusa la rezolvarea sistemului triunghiular

19 









nn
nnnn
xxx
aa aa a a


21
11
21
221 12 11
0 00
,
11
21





n
nbbb
 a carui s olutie (daca 01n
nna ) este

11

n
nnn
n
nabx si  
1,1 ,111 1

 
n k
ax a b
xk
kkn
kiik
kik
k
k ,
unde 
i ia a10
1 n i,1 si 
10
1 b b.

Observatie . Transformarile care se efectueaza asupra matricei A nu necesita mem orarea
matricelor auxiliare Li, (toate elementele noi calculate se retin tot ın matricea initiala),
dupa cum se poate vedea din urmatorul algoritm:
Construim matricea, notata tot cu A, avand n linii si n + 1 coloane, primele n
coloane fiind cele ale matric ei initiale, iar ultima fiind coloana termenilor liberi b.
Pentru k ıntre 1 si n − 1 se efectueaza urmatoarele:
– Daca 0kka , atunci metoda nu se aplica, altfel se trece la pasul urmator;
– Pentru orice n ki ,1 se elimin akx din ec uatia i astfel:
kkkj
ik ij ijaaa a a  ,
k nj ,1 .
Observatie . Elementele )1( )1(
22 11 ,…,,n
nna aa se numesc pivoti. Alegerea ın acest mod a
pivotilor (actiune numita pivotare) nu este posibila ıntotdeauna. De ac eea se propun ¸si
alte strategii de alegere a pivotilor. De asemenea alte modalitati de alegere a pivotilor
conduc la diminuarea erorilor de aproximare ın calcule, dupa cum se va vedea ıntr -un
exemplu ulterior. Astfel prezentam ın continuare metoda lui Gauss cu pivotare partiala si
metoda lui Gauss cu pivotare totala.

2.1.1 Metoda lui Gauss cu pivotare partiala

In aceasta metoda primul pivot ıl alegem ca fiind elementul maxim ın modul din
coloana 1aa matricei A (adica 1pa, astfel ı ncat |1pa| =
n,11max
 | 1ia|). Daca 1p permutam
linia p a matricei A cu prima linie a aceleiasi matrice si, ın coloana termenilor liberi,
elementul 1b cu pb (schimbam ıntre ele prima ecuat ie si a p-a ecuatie din sistem). Avand
pivotul pe prima linie si prima coloana se aplica prima transformare de la metoda lui
Gauss. Pentru un pas k ≤ n−1 se procedeaza analog determ inand pivotul ca element
maxim ın modul ın coloana k a matricei formate din matricea de la pasul anterior ın care
am eliminat primele k − 1 linii si coloane, permutand eventual linia pivotului cu linia k
¸si aplicand transform arile de la metoda lui Gauss. O abordare matriceala a acestor
transformari este descrisa ın continuare.
Fie matricea (numita matrice de permutare)

20




1 0 000 0 010 0 100 1 00
1

P
avand pe prima linie 1 pe coloana p si pe prima coloana 1 pe linia p (ın rest 1 pe
diagonala principala si celelal te elemente nule). Matricea P1A este matricea obtinuta din
matricea A prin permutarea primei linii cu linia p. Notam cu )1(
1a prima coloana a
matricei P1A si fie L1 matricea Gauss pentru vectorul )1(
1a. Atunci






)1()1(
2)1(
22)1(
1)1(
12)1(
11
11
0 00
nnnn
aa aa a a
APL

.
In continuare, la fiecare pas k ( 1,2n k ) alegem elementul pivot ca fiind elementul
maxim ın modul din coloana k, mai put in primele k − 1 elemente, al matricei Lk−1Pk−1 . .
.L1P1A. Presupunem ca acest element se afla pe linia pk. Formam matricea permutare Pk
(din matricea unitate, ın care pe linia k elementul 1 se gaseste ın coloana pk, iar pe linia pk
elementul 1 se g aseste ın coloana k). Notam cu )(k
ka coloana k a matricei PkLk−1Pk−1 . .
.L1P1A si fie Lk matricea Gauss pentru vectorul )(k
ka. Atunci






)()2(
2)2(
22)1(
1)1(
12)1(
11
11 1 1
0 00…
n
nnnn
n n
aa aa a a
APL PL

.
Sistemul de ecuatii liniare Ax = b este astfel echivalent cu
Ln−1Pn−1 . . .L 1P1Ax = Ln−1Pn−1 . . .L1P1b, unde

. …2
2)1(
1
12 2 1





n
nn n
bbb
bLL LL

Deci rezolvarea sistemului init ial este redusa la rezolvarea sistemului triunghiular





)()2(
2)2(
22)1(
1)1(
12)1(
11
0 00
n
nnnn
aa aa a a





nxxx
21
.2
2)1(
1





n
nbbb


21a carui solutie este 
n
nnn
n
nabx si  
1,1 ,1

n k
axa b
xk
kkn
kiik
kik
k
k .
Alegerea pivotului ca cel mai mare element ın modul de pe coloana se face pentru
a minimiza erorile care apar daca pivotul are valori mici, dupa cum se poate vedea ın
urmatorul ex emplu.
Vom considera sistemul de ecuatii liniare


2251 4308 592437 592
y xy x
si daca consideram ca lucram numai cu 4 cifre exacte, atunci prin alegerea pivotului
elementul 1, prin metoda lui Gauss se obtine solutia
x = −1.6128 , y = 0.7409 ,
iar prin alegerea pivotului elementul 592, prin metoda lui Gauss cu pivotare partiala se
obtine solutia
x = −1.5891 , y = 0.7409 .
Solutia exacta a sistemului este
x = −1.58889055801431 , y = 0.74085961242908 ,
deci se observa o mai buna acuratete a solutie i sistemului ın cadrul strategiei de pivotare
partiala.

Observatie. Ca si la metoda Gauss (fara pivotare), toate transformarile pot fi retinute ın
matricea initiala, dupa cum se observa din urmatorul algoritm:
Construim matricea, notata tot cu A, avand n linii si n + 1 coloane, primele n
coloane fiind cele ale matricei initiale, iar ultima fiind coloana termenilor liberi b.
Pentru k ıntre 1 si n − 1 se efectueaza urmatoarele:
– Se determina max = |ask| = iknika
max ( nks , reprezinta pozitia pe care s -a gasit
maximul);
– Se ia piv = ask (elementul ask este pivot);
– Daca piv = 0, atunci metoda nu se aplica, altfel se trece la pasul urmator;
– Daca s k, atunci se permut a ecuat ia s cu ecuatia k (linia s din matrice cu linia k);
– Coeficientii ecuatiei k se ımpart la piv.
– Pentru orice n ki ,1 se elimina xk din ecuatia i astfel k nj aa a akj ik ij ij ,1 , .

2.1.2 Metoda lui Gauss cu pivotare totală

În aceasta metod ă primul pivot îl alegem ca fiind elementul maxim în modul din
matricea A (adica apq astfel ıncat |apq| = ijnjia
,1,max
). Daca p  1 permutam linia p a
matricei A cu prima linie a aceleiasi matrice si, ın coloana termenilor liberi, elementul b1
cu bp (schimbam ıntre ele prima ecuatie si a p-a ecuatie di n sistem). Daca q 1 permutam
coloana q a matricei A cu prima coloana (aceasta permutare afecteaza ordinea
componentelor solutiei). Avand pivotul pe prima linie si prima coloana se aplica prima
transformare de la metoda lui Gauss. Pen tru un pas k ≤ n−1se procedeaza analog,
determinand pivotul ca element maxim ın modul ın matricea formata din matricea de la

22pasul anterior, ın care am eliminat primele k − 1 linii si coloane, permutand eventual linia
(sau coloana) pivotului cu linia (sau coloana) k si aplicand tranformarile de la metoda lui
Gauss. O abordare matriceala a acestor transformari este descrisa ın continuare.
Fie matricele de permutare





1 0 000 0 010 0 100 1 00
1

P si





1 0 000 0 010 0 100 1 00
1

Q
P1 avand pe prima linie 1 pe coloana p si pe prima col oana 1 pe linia p, iar Q 1 avand pe
prima linie 1 pe coloana q si pe prima coloana 1 pe linia q. Matricea P1AQ 1 este matricea
obtinuta din matricea A prin permutarea primei linii cu linia p si a primei coloane cu
coloana q. Notam cu )1(
1a prima coloana a matricei P 1AQ 1 si fie L 1 matricea Gauss pentru
vectorul )1(
1a. Atunci





)( )1(
2)1(
2)1(
22)1(
1)1(
12)1(
11
1 11
00.
n
nn nnn
a aa aa a a
AQPL


In continuare la fiecare pas k ( 1,2n k ), alegem elementul pivot ca fiind
elementul
maxim ın modul din matricea formata din Lk−1Pk−1 . . .L 1P1AQ 1 . . .Q k−1 ın care eliminam
primele k − 1 linii si coloane. Presupunem ca acest element se afla pe linia pk si pe
coloana qk. Formam matricele de permutare Pk ¸si Qk (Pk: din matricea unitate, ın care pe
linia k elementul 1 se gaseste ın coloana pk, iar pe linia pk elementul 1 se g aseste ın
coloana k si analog pentru Qk). Notam cu )(k
ka coloana k a matricei PkLk−1Pk−1 . .
.L1P1AQ 1 . . .Q k ¸si fie Lk matricea Gauss pentru vectorul )(k
ka. Atunci





 
)1()2(
2)2(
22)1(
1)1(
12)1(
11
1 1 11 1 1
0 00… …
nnnn
n n n
aa aa a a
Q AQPL PL


Notam cu y = (Q1 . . .Q n−1)−1x = Q−1
n−1 . . .Q−1
1 x = Qn−1 . . .Q 1x (se verifica imediat ca
inversa unei matrice de permutare coincide cu matricea de permutare).
Sistemul de ecuatii liniare Ax = b este astfel echivalent cu
Ln−1Pn−1 . . .L 1P1AQ 1 . . .Q n−1y = Ln−1Pn−1 . . .L1P1b, unde

23
. …2
2)1(
1
11 1 1





n
nn n
bbb
bPL PL

Deci rezolvarea sistemului initial este redusa la rezolvarea sistemului triunghiular




)()2(
2)2(
22)1(
1)1(
12)1(
11
0 00
n
nnnn
aa aa a a





nyyy
21
.2
2)1(
1





n
nbbb

a carui solutie este 
n
nnn
n
naby si  
1,1 ,1

n kaya b
yk
kkn
kiik
kik
k
k .
Solutia sistemului initial este atunci x = Qn−1 . . .Q1y.
Este usor de observat ca daca matricea A este nesingulara, atunci pivotii
determinati cu aceasta metoda sunt nenul i. Deci metoda se aplica pentru rezolvarea
oricarui sistem de ecuatii liniare cu matrice inversabila.
Observatie . Ca si la metodele (Gauss) prezentate anterior, toate transformarile efectuate
asupra matricei A pot fi retinute ın matricea initiala. In plus, trebuie retinute si matricele
de permutare Qn−1, . . . ,Q 1, al caror produs poate fi pastrat ıntr-o singura matrice.

Exemplu 2.1 Vom rezolva sistemul de ecuatii liniare




351
41
31241
31
21131
21
z y xz y xz y x

cu metoda lui Gauss (la acest exemplu nu sunt diferente ıntr e metoda directa si metodele
de pivotare ).
Alegem ca pivot elementul 1. Eliminam x din ecuatiile a doua si a treia. Obtinem
urmatorul sistem de ecuat ii




38
454
12123
121
121131
21
z yz yz y x
:

In continuare pivotul are valoarea 1/12. Eliminam y din ecuatia a treia. Obtin em
urmatorul sistem de ecuatii:

24



67
180123
121
121131
21
zz yz y x
.
Rezolvand sistemul triunghiular obtinem z = 210, y = −192, x = 27 .

2.2 Metoda Gauss -Jordan

Metoda Gauss -Jordan poate fi privita ca o continuare a metodei Gauss si consta ın
transformarea matricei sistemului ıntr -o matrice diagonala. Metoda a fost descrisa ın
1887 de geodezul german Wilhelm Jordan.
Fie sist emul de ecuatii liniare (compatibil determinat) Ax = b cu matricea
)( )(,1,RM a An njiij si n t
nii R b b ,1)( .
Definitia 2.2 Fie n k,1 si x = (xk) n k,1 nR cu xk 0. O mat rice Gk Mn(R) se
numeste matrice Gauss -Jordan pentru vectorul x daca





00

k kx xG (valoa rea xk pe pozitia
k).

Propozitia 2.2. Luam






nkk
kk
xxxx
xg

111
01. Atunci matricea t
kk n k egI G este o matrice
Gauss -Jordan pentru vectorul x.

Demonstratie. Se verifica imediat printr -un calcul elementar .
Observatie. Fie n jk ,1, cu jk. Atunci . ) (j jt
kk n jk e eeg I eG  
Fie A = (a1 a2 . . . a n) (unde a1, a2, . . . , a n sunt coloanele matri cei A). Presupunem
ca a11  0. Fie G1 matricea Gauss -Jordan pentru vectorul a1. Atunci avem

25G1A = (G 1a1 G1a2 . . . G 1an) =




)1( )1(
2)1(
2)1(
221 12 11
00.
nn nnn
a aa aa a a


In continuare, daca 0)1(
22a , fie G2 matricea Gauss -Jordan pentr u vectorul





)1(
2)1(
2212
)1(
2
naaa
a.
Atunci, cu observatia anterioara, avem 
 




2 2
32
3)2(
33)1(
2)1(
23)1(
221 13 11
12
0 00 000
nn nnnn
a aa aa a aa a a
AGG

.
Continuand ın acelasi mod, daca la fiecare pas k ( n k ,2 ) avem 01k
kka , construind
matricele Gauss -Jordan asociate vectoril or






)1()1(
21
)1(
k
nkkk
k
k
aaa
a(notate Gk), obtinem
GnGn−1 . . .G 2G1A =




)1()1(
2211
0 00 00 0
.
n
nnaaa

.
Sistemul de ecuatii liniare Ax = b este echivalent cu GnGn−1 . . .G 2G1Ax = GnGn−1 . .
.G2G1b, unde
GnGn−1 . . .G 2G1b 
.2)(
1





n
nnn
bbb

Deci solutia sistemul ui initial este 
1i
iin
i
iabx n i,1 cu 
110
11 a a .
Pentru a nu verifica la fiecare pas daca pivotii (1i
iia , i = n,1) sunt nenuli, putem
folosi o tehnica de pivotare partiala sa u totala ca la metoda lui Gauss. Astfel, pentru
pivotarea partiala, fie a1p elementul maxim ın modul din prima coloana a matricei A si P1
matricea de permutare avand pe prima linie 1 pe coloana p si pe prima coloana 1 pe linia

26p (ın rest 1 pe diagonala principala si celelalte elemente nule). Notam cu )1(
1a prima
coloana a matricei P1A si fie G1 matricea Gauss -Jordan pentru vectorul )1(
1a . Atunci
 





)1( )1(
2)1(
2)1(
221
11
121
11
11
00
nn nnn
a aa aa a a
APG

.
In continuare la fiecare pas k (k = n,2), alegem elementul pivot ca fiind
elementul maxim ın modul din colo ana k a matricei Gk−1Pk−1 . . .G1P1A. Presupunem ca
acest element se afla pe linia pk. Formam matricea permutare Pk (din matricea unitate, ın
care pe linia k elementul 1 se gaseste ın coloana pk, iar pe linia pk elementul 1 se gaseste
ın coloana k). Notam cu k
ka coloana k a matricei PkGk−1Pk−1 . . .G 1P1A si fie Gk matricea
Gauss -Jordan pentru vectorul k
ka . Atunci
GnPn . . .G 1P1A =




)()2(
221
11
0 00 00 0
.
n
nnaaa

.
Sistemul de ecuatii liniare Ax = b este astfel echivalent cu GnPn . . .G 1P1Ax = GnPn . .
.G1P1b, unde
GnPn . . .G 1P1b 
.2)(
1





n
nnn
bbb

Deci solutia sistemului initial este
i
iin
i
iabx n i,1 .
Pentru pivotarea totala, fie apq elementul maxim ın modul al matricei A si
matricele de permutare P1, Q1 ca ın metoda Gauss cu pivotare totala. Notam cu )1(
1a prima
coloana a matricei P1AQ 1 si fie G1 matricea Gauss -Jordan pentru vectorul )1(
1a . Atunci
 





)1( )1(
2)1(
2)1(
221
11
121
11
1 11
00
nn nnn
a aa aa a a
AQPG

.
In continuare la fiecare pa s k (k = n,2), alegem elementul pivot ca fiind
elementul maxim ın modul din matricea formata din Gk−1Pk−1 . . .G1P1AQ 1 . . .Q k−1 ın care
eliminam primele k−1 linii si coloane. Presupunem ca acest element se afla pe linia pk ¸si
pe coloa na qk. Formam matricele de permutare Pk si Qk ca ın metoda Gauss cu pivotare

27totala. Notam cu k
ka coloana k a matricei PkGk−1Pk−1 . . .G 1P1AQ 1 . . .Q k si fie Gk
matricea Gauss -Jordan pentru vectorul k
ka. Atunci
GnPn . . .G 1P1AQ1…Q n =




)()2(
221
11
0 00 00 0
.
n
nnaaa

.

Notam cu y = (Q1 . . .Q n)−1x = Q−1
n . . .Q−1
1 x = Qn . . .Q 1x. Sistemul de ecuatii liniare Ax
= b este astfel echivalent cu GnPn . . .G 1P1AQ 1 . . .Q ny = GnPn . . .G1P1b, unde

. …2)(
1
11





n
nnn
nn
bbb
bPGPG

Rezulta ca 
i
iin
i
iaby n i,1 , iar solutia sistemului initial este x = Q1 . . .Q ny.
Observatie . Toate transformarile facute asupra matricei initiale pot fi memorate ın
aceeasi matrice, eventual (pentru pivotarea totala) retinand si prod usul matricelor de
permutare.

Exemplu 2.2 Vom rezolva sistemul de ecuatii liniare




351
41
31241
31
21131
21
z y xz y xz y x

cu metoda lui Gauss -Jordan (la acest exemplu nu sunt diferente ıntre metoda directa si
metodele de p ivotare).
Alegem ca pivot elementul 1. Eliminam x din ecuatiile a doua si a treia. Obtinem
urmatorul sistem de ecuat ii




38
454
12123
121
121131
21
z yz yz y x
:

In continuare pivotul are valoarea 1/12. Eliminam y din prima si a treia ecuatie . Obtinem
urmatorul sistem de ecuatii:

28



67
180123
121
121861
zz yz x
.
In fine, al egem pivotul cu valoarea 1 /180. Eliminam z din prima si a doua ecuatie.
Obtinem urm atorul sistem de ecuat ii:




67
18011612127
zyx

Rezulta ca z = 210, y = −192, x = 27 .

2.3 Descompunerea LU

Definiti a 2.3 Se numeste descompunere LU a unei matrice )( )(,1,RM a An njiij 
scrierea matricei ca produs de doua matrice, una inferior triunghiulara (notata L) si alta
superior triunghiulara (notata U), adica A = LU.
Intre descompunerea LU si metoda Gauss de rezolvare a unui sistem de ecuatii liniare
este o legatura stransa. Presupunem ca ın metoda lui Gauss (fara pivotare), aplicata
matricei A, pivotii )1( )1(
22 11 ,…,,n
nna aa sunt nenuli. Notam cu U matricea
 




11
21
221 12 11
0 00
n
nnnn
aa aa a a


obtinuta prin aplicarea metodei lui Gauss. Avem deci Ln−1Ln−2 . . .L2L1A = U.
Notam cu L~ := Ln−1Ln−2 . . .L2L1. Din propozit ia 2.1 se observa ca fiecare din matricele
Lk (k = 1,1n ) sunt infer ior triunghiulare. Cum un produs de matrice triunghiulare
este tot o matrice triunghiulara, rezulta ca L~ este inferior triunghiulara. Avem det L k = 1,
 k = 1,1n , deci L~ este inversabila. Notam cu L = L~−1. Cum inversa unei matrice
triunghiulare este tot o matrice triunghiulara, rezulta ca L este inferior triunghiulara.
Obtinem astfel A = LU, cu L inferior triunghiulara si U superior triunghiulara. Deci, ın
acest caz, matricea A admite o descompunere LU.
Observatie . Din propozitia anterioara observam ca ın descompunerea determinata
matricea L este inferior triunghiulara cu 1 pe diagonala si U superior triunghiulara. Vom
arata ca, daca exista o descompunere LU cu L avand valoarea 1 pe diagonala, aceasta
descompunere este unica.

29
Propozitia 2.3 Fie o matrice )( )(,1,RM a An njiij  care admite o descompunere LU cu
njiijlL,1, inferior triunghiulara, lii = 1,  i = 1, n si njiiju U,1, superior
triunghiulara. Atunci




  
n i pentru auln j pentru a u
i ij j
,2 ,1,1 ,
1
1111 1
’
Iar pentru n k ,2 avem:



  




.,1 ), (1, ,
1
11
1
n ki pentru ul aulnkj pentru ul a u
k
ppk ip ik
kkikk
ppj kp kj kj

Demonstratie. Matricea L fiind inferior triunghiulara avem lij = 0 pentru orice i < j 
n,1 iar matricea U fiind sup erior triunghiulara avem uij = 0 pentru orice i > j  n,1.
Avem A = LU daca si numai daca n ji ul an
ppj ip ij ,1,,
1 
.
Luand i = 1 in egalitatea anterioara obtinem n j u ul ajn
ppjp j ,1 ,1
11 1  
. Apoi
pentru j =1 obtinem n i aul deci ul ul an
pi i i p ip i ,2 ,1,
11
111 11 1 1 1   
 .
Fie acum n k ,2 . Atunci
n j ul u ul ul an
pk
pk
ppj kp kj pj kp pj kp kj ,1 ,
1 11
1    
 
 si

 
 
  n
pk
pk
ppk ip kkik pk ip pk ip ik ul ul ul ul a
1 11
1 de unde

1
1) (1k
ppk ip ik
kkik ul aul , n ki ,1 .
Observatie . Se poate demonstra analog ca daca matricea A admite o descompunere LU
aceasta descompunere este unica daca matricea U are valoarea 1 pe diagonala.
In cele ce urmeaza vom da o conditie de existenta a descompunerii LU ce nu
impune determinarea pivotilor.

Propozitie 2.4 Fie k n,1 si Ak matricea formata cu primele k linii si coloane ale
matricei A (kjiij ka A,1,)( ). Presupunem ca det Ak 0. Atunci A admite o descompunere
LU.

30Demonstratie . Evident, daca a11 0, atunci det A1  0. Ca ın metoda lui Gauss, fie L1
matricea Gauss atasata primei coloane a matricei A. Folosim aceeasi notatie pentru
matricea formata din primele doua linii si primele doua coloane ale matricei L1. Atunci
detA2 = det L1A2. Dar det L1A2 = 1
22 11aa , de unde rezulta ca 01
22a . Astfel, putem defini
matricea L2 (ca ın metoda lui Gauss) si folosim aceeasi notatie pentru matricea formata
din primele trei linii si primele trei coloane ale matricelor L2 ¸si L1. Atunci det A3 =
detL2L1A3 =2
331
22 11 aaa . Deci 02
33a . Continuand rationamentul deducem ca toti pivotii
)1( )1(
22 11 ,…,,n
nna aa sunt nenuli, ceea
ce ınseamna ca matricea A admite o descompunere LU.

Teorema 2.1 Fie A o matrice nesingulara. Atunci exista o matrice nesingulara P
(obtinuta ca produs de matrice de permutare), astfel ıncat PA admite o descompunere
LU.

Demonstratie . Ca ın m etoda lui Gauss cu pivotare part iala, determinam matricele de
permutare P1, P2, . . . , P n−1. Fie P = Pn−1Pn−2 . . . P1. Atunci PA este o matrice pentru care se
poate aplica metoda de descompunere descrisa la ınceputul sectiunii (pivotii determinati
sunt nenuli). Deci exista matricele L inferior triunghiulara si U superior triunghiulara,
astfel ıncat PA = LU.

Observatie. Folosirea matricelor de permutare (echivalenta cu folosirea unei strategii de
pivotare) este importanta si pentru diminuarea erorilor. Vom proba acest aspect ın
exemplul urmator.
Fie ε un numar real pozitiv apropiat de valoarea 0 (de exemplu ε = 10−15) si
matricea 


111A . Cum determinantii de colt ai matricei A sunt nenuli, putem
obtine o descompunere LU a matricei A (fara pivotare) cu 


101
1L si




1101
U . Deoarece valoarea 1 + ε−1 poate fi aproximata ın calculat or (tinand
cont ca ε−1 este un numar foarte mare) ca ε−1, descompuner ea matricei A ar aparea de
forma A ≃ LU~ cu U~=



101
, pentru care avem A -LU~=



1000. Mai mult matricea
A nu are numar de conditionare mare, intrucat avem 




 111
11 1A , deci
 

 14 1AA A cond . Alegand in schimb strategia de pivotare partiala obtinem
UL PA cu P = 



0110, 



101
L si 




1 01 1U care admit ın calculator o
reprezentare exacta (daca se lucreaza cu o anumita precizie).

31Fie sistemul de ecuatii liniare Ax = b cu bnR . Presupunem ca matricea A
admite o descompunere LU. Atunci
Ax = b  LUx = b.
Rezolvarea sistemului initial se reduce astfel la rezolvarea a doua sisteme cu matrice
triunghiulara, anume Ly = b si Ux = y. Daca njiija A,1,)( , njiijl L,1,)( ,njiiju U,1,)( ,
niib b,1)( , niiy y,1)( , niix x,1)( atunci solutia y a sistemului Ly = b se determina
astfel:
n i yl byi
kk ik i i ,1 ,1
1 
,
iar solutia x a sistemului initial se determina astfel:
1, ,1niuxu y
x
iim
ikkik i
i 

.
Fie acum sistemul de ecuatii liniare Ax = b cu A inversabila. Dete rminam P ca ın
Teorema 2.1. Atunci matricea PA admite descompunere LU si
PAx = Pb  PLUx = b  LUx = Ptb,
deoarece se observa imediat ca inversa matricei P este transpusa sa. Deci rezolvarea
sistemului se reduc e la rezolvarea a doua sisteme cu matrice triunghiulara, anume Ly =
Ptb si Ux = y.

Exemplu 2.3 Pentru a factoriza sub forma LU matricea







4 3 1 09 2 5 43 21 102 4 2
A
se verifica mai ıntai ca determinantii de colt ai matricei A sunt nenuli .
Cu formulele din Propozitia 2.2.3 se obtine:





121 0053 40011000 2
L si





10000100311001 21
U .

2.4 Descompunerea Cholesky

Definitia 2.4 Fie A Mn(R) o matrice simetrica si pozitiv definita.Numim descompunere
Cholesky a matricei A scrierea aces teia ca produsul unei matrice inferior triunghiulare
M si al transpusei sale Mt, adica A = MMt.

32Numele metodei provine de la numele ofiterului si matematicianul francez Andre –
Louis Cholesky, care a folosit ın munca sa topografica aceasta metoda, dar care a fost
publicata postum.

Teorema 2.2 Pentru o matrice A Mn(R) simetrica si pozitiv definita descompunerea
Cholesky exista.

Demonstratie. Fie k n,1 si Ak Mk(R) matricea formata cu primele k linii si coloane
ale matricei A. A fiind simetrica si pozitiv definita, din criteriul lui Sylvester (vezi
Propozitia 1.2) rezulta ca det Ak > 0, deci det Ak 0. Atunci, cu Propozitia 2.4, rezulta ca
A admite o descompunere LU cu L inferior triunghiulara avand valoarea 1 pe diagonala
si U superior triunghiulara de forma
U= 




11
21
221 12 11
0 00
n
nnnn
aa aa a a

.
Pentru k  n,1 notam cu Lk matricea formata cu primele k linii si coloane ale matricei L
si analog cu Uk matricea formata cu primele k linii si coloane ale matricei U. Observam
ca Ak = LkUk si det Ak = det Uk = 1 1
22 11k
kka aa > 0. Deducem as tfel ca a11 > 0, 1
22a > 0, .
. . , 1n
nna > 0. Fie D matricea diagonala
D = diag( ) ,, ,1 1
22 11n
nna a a  .
Notam cu M = LD si cu N = D−1U. Atunci A = LU = MN cu M inferior triunghiulara si N
superior triunghiulara, ambele avand pe diagonala principala elementele
 ) ,, ,1 1
22 11n
nna a a  . Cum matricea A este simetrica rezulta ca MN = A = At = NtMt,
de unde N(Mt)−1 = M−1Nt. Dar N(Mt)−1 este o matrice superior triunghiulara avand
valoarea 1 pe diagonala principala, iar M−1Nt este o matrice inferior triunghiulara avand
valoarea 1 pe diagonala. Rezulta ca N(Mt)−1 = M−1Nt = In, deci N = Mt. Astfel, obtinem A
= MMt cu MMn(R) inferior triunghiulara, deci A admite descompunere Cholesky.
Observatie. In demonstratia teoremei anterioare am obtinut o matrice M care are pe
diagonala toate elementele pozitive. Vom arata ın propozitia urmatoare ca, ın acest caz,
descompunerea Choles ky este unica.

Propozitia 2.5 Fie )( )(,1,RM a An njiij  o matrice simetrica si pozitiv definita. Daca
ın descompunerea Cholesky A = MMt cu )( )(,1,RM m Mn njiij avem mii > 0,
n i,1 , atunci elementele matricei M se determina unic cu fo rmulele
11 11 a m , n imami
i ,2 ,
111
1  si pentru n j,2

33
1
12j
kjk jj jj m a m ,
jjj
kkj ik ij
ijmmm a
m

1
1, n ji ,1 .

Demonstratie . Matricea M fiind inferior triunghiulara avem mij = 0 pentru orice i < j
n,1 . Avem A = MMt daca si numai daca

n
kjk ik ij mm a
1, n ji ,1,
Luand i = j = 1 ın egalitatea anterioara, obtinem 2
11
11 1 11 m mm an
kk k 
, deci, cum
m11 > 0, rezulta ca m11 = 11a.
Luand apoi j = 1, obtinem ,111
11 1 mm mm ain
kk ik i  
 deci n imami
i ,2 ,
111
1 
Fie acum j n,2 . Atunci 
   1
12 2
12
1j
kjk jjn
kjkn
kjk jk jj m m m mm a , deci, cum
mjj>0, rezulta ca 
1
12j
kjk jj jj m a m . Avem si
jkj
kik jj ijj
kjk ikn
kjk ik jj um mm mm mm a  
    1
1 1 1, de unde
n ji mm ammj
kjk ij ij
jjij ,1 ,11
1


 
.
Fie sistemul de ecuatii liniare Ax = b cu bnR . Presupunem ca matricea A este
simetrica si poziti v definita si fie A = MMt o descompunere Cholesky a matricei A.
Atunci
Ax = b  MMtx = b.
Rezolvarea sistemului initial se reduce astfel la rezolvarea a doua sisteme cu matrice
triunghiulara, anume My = b si Mtx = y. Daca njiija A,1,)( , njiijm M,1,)( , ,
niib b,1)( , niiy y,1)( , niix x,1)( , atunci solutia y a sistemului My = b se determina
astfel:
,1
1
i
kk ik i i ym by n i,1 ,
iar solutia x a sistemului initia l se determina astfel :
1, ,1nimxm y
x
iin
ikkki i
i 

.
Daca consideram sistemul liniar Ax = b cu A inversabila, atunci matricea AtA
este simetrica si pozitiv definita. Intr -adevar avem ( AtA) t = At(At)t = AtA si <AtAx, x> =
<Ax, Ax> = 2Ax > 0,  x  Rn \ {0}. Atunci sistemul Ax = b este echivalent cu

34sistemul AtAx = Atb, sistem a carui matrice admite descompunere Cholesky. Deci
metoda se poate aplica (cu aceasta transformare) si ın acest caz. In une le cazuri, aceasta
transformare nu se recomanda, dupa cum rezulta din exemplul urmator:
Fie ε > 0 un numar real mic (de exemplu ε = 10−10) si matricea A cu





0 000111
 A Atunci






1 1 11 1 11 1 1
22

AAt si daca ignoram ε2 (de exemplu daca
este mai mic decat o anumita toleranta de calcul) observam ca AtA devine singulara (deci
metoda Cholesky nu se mai aplica).

Exemplul 2.4 Folosind metoda descompunerii Cholesky, vom rezolva sistemul de ecuatii
liniare Ax = b cu





6424 102224
A si





12168
b
Se verifica imediat ca matricea A este simetrica si pozitiv definita. Cu formulele din
Propozitia 2.5 rezulta ca





211031002
M .
Sistemul My = b are solutia
y1 = 4, y2 = 4, y3 = 2,
iar sistemul Mtx = y are solutia
x1 = 1, x2 = 1, x3 = 1.

2.5 Descompunerea QR

Definitia 2.5 Fie m, n Ncu m ≥ n si A Mm,n(R). Numim descompunere QR a matricei
A scrierea acestei matrice ca un produs de doua matrice A = QR, unde matricea Q
Mm(R) este ortogonala, iar matricea R Mm,n(R) este superior triunghiulara.

Observatie. Fie A  Mm,n(R) care admite o descompunere QR. Atunci AtA =RtQtQR =
RtR, deci matricea Rt (deci si R) poate fi determin ata din descompunerea Cholesky a
matricei AtA. Matricea Q se poate determina atunci cu formula Q = AR−1, ceea ce
presupune determinarea inversei unei matrice triunghiulare.
Matricea Q poate fi determinata si prin diferite procedee de ortogonalizare.

Teorema 2.3 (Descompunerea QR pentru matrice patratice) Fie m Nsi
)( )(,1,R M a Am mjiij  inversabila. Atunci exista si sunt unice matricele
)( )(,1,R M q Qm mjiij  si )( )(,1,R M r Rm mjiij  cu Q ortogonala si R superior
triunghiulara avand elementele diagonale strict pozitive astfel ıncat A = QR.
Elementele matricelor Q si R se determin a cu formulele:

35

 
m i pentruraqa a r
i
im
,1 ,,
111
12
12
11 11 

si pentru m k ,2 :







 




m i pentru qr arqr a rk j pentru qa r
k
jijjk ik
kkikm
ik
iik ik kkm
iijik jk
,1 ,1,1,1 ,
1
111
12 21
.

Demonstratie. O matrice Q ortogonala verifica egalitatea QtQ = QQt = Im, adica
m ji qqijm
kjk ik ,1,
1
 si m ji qqijm
kkjki ,1,
1

Avem A = QR daca si numai daca
m jirq am
kkjik ij ,1,
1

Atunci, pentru i m,1 , avem
111
11 1 rq rq aim
kkik i  
 si 1
12
1
m
iiq de unde,
folosind si faptul ca rang( A) = m, rezulta ca r11 0 si se obtin egalit atile


 
m i pentruraqa a r
i
im
,1 ,,
111
12
12
11 11 

Fie k  {2, . . . ,m }. Avem m ia rqk
jik jkij ,1
1

Inmultim consecutiv aceste m egalitati cu qi1, qi2, . . . , q ik−1, m i,1 . Tinand seama
de m ji qqijm
kjk ik ,1,
1
 si m ji qqijm
kkjki ,1,
1
 obtinem
1,1 ,
1 
k j qa rm
iijik jk .
Deducem ca m irrq a
q
kkk
jjkij ik
ik ,1 ,1
1

, iar din 1
12
m
iikq rezulta ca
    

   
  







1
121
1 12
12
11
1 12 2 22
11
12k
jjkk
jm
iikm
iijik jkm
ik
jm
iij jk ikm
ik
jjkij ik kk r a qa r q r a rq a r .
Astfel, din faptul ca rang( A) = m rezulta ca rkk  0, si egalitatile sunt verificate.

36Fie A  Mn(R) o matrice nesingulara, b  Rn si sistemul de ecuatii liniare Ax =
b. Daca A = QR este o descompunere QR a matricei A atunci
Ax = b  QRx = b  Rx = Qtb,
deci rezolvarea sistemului initial se reduce la rezolvarea unui sistem cu matrice
triunghiular a. Practic rezolvarea sistemului Ax = b (niibb,1)( , niix x,1)( dupa
descompunerea QR) cu njiijq Q,1,)( si njiijr R,1,)( a matricei A se face astfel:
– Rezolvam ıntai sistemul Qy = b (niiy y,1)( ) a carui solutie este y = Qtb, sau pe
componente

 n
jjij i n i bq y
1,1 , .
– Rezolvam sistemul Rx = y si obtinem

nnn
nryx si 1,1 ,1
1



ni xr yrxn
ijjij i
iii .

Exemplul 2.5 Fie matricea A =





1 0 03 2 15 4 0
si vectorul b =





31423
.

Vom rezolva Ax = b folosind o descompunere QR.
Folosind formulele din Teorema 2.3 obtinem





100001010
Q si





100540321
R .

37

Capitolul 3
Sisteme de ecua tii liniare

3.1 Exemple rezolvate

Exemplul 1 . Să se rezolve, în mul țimea numerelor reale, sistemul:
.
3 23 23 2


czccyxbzb byxaza ayx

Solu ție Determinantul matrice i sistemului este:
bcacab
ccbbaa

222
111

Cazul 1 . acba
Sistemul este compatibil determinat, rezolvabil cu r egula lui Cramer. Avem:
bcacababc
c cb ba a
abc
cc cbb baa a
x   
111
222
2 32 32 3

 

 
ca c ac aba b ab aacab
a c aca b a ba a
c cb ba a
llll
y 2 22 2
2 2 3 32 2 3 32 3
2 32 32 3
001
111
1312

 ac bc abcbacab 
.
111
333
cbabcacab
ccbbaa
z  
Deci abc xx ;  ac bc ab yy ; cba zz .
Cazul 2. cba . Matricea coeficienților are rangul 2 deoarece avem minorul:
011 bccb. Singurul minor caracteristic este 0
111
333

ccbbaa

38Asadar sistemul este compatilbil simplu nedeterminat cu necunoscute principale x si y ;
necunoscuta secundara z.
Se rezolvă


zcc cyxzb b byx
2 32 3
.

De unde soluția este


R zcb c bc bycb bcx

,) () (
2 2
Analog bca si acb .
Cazul 3 . a = b = c in care sistemul se reduce la o ecuatie, este deci compatibil dublu
nedereminat cu solutiile



R zya a ax

,;2 3
.

Exemplul 2 Sa se discute, dupa parametrii reali a,b si c compatibilitatea
sistemului si sa se rezolve.
.
.3 )2()1(3 )2()1(
3 2 

czccyxbz by b bxaz ay a ax

Solu ție: Matricea sistemului fiind






212 12 1
c cb bba aa
A , Obtinem
 2
2
2 2 211 12 1
1 1 12 10 0
1 1 12 12 1
12 12 1




 cbac cba
c cbba
c cba
c cb bba aa
DetA
Distingem trei cazuri:
Cazul 1 . Dac a ba si 1c , atunci det A 0, deci sistemul este compatibil determinat.
ba ccc cbba
c
c cba
c
c cb b ba a a
c
c c cb b ba a a
x







22 2 2 2 3
11 111 20 0
1 111 211 2
12 1 32 1 3
2 1 32 1 3

121
1 1 12 30 0
12 3
12 32 3
2
2 3 2 3 2 3



 c cab
c cbba
c cb b bbababa
c cb bba aa
y

392 1
1 1 13 10 0
13 1
13 13 1
2
2 3 3 3



 c cba
c cbba
c cb b bbababa
c cb bba aa
z

prin urmare: x = c; y = – (2c+1); z = c+2 sunt sol utiile sistemului.
Cazul 2. Daca a = b, atunci oricare ar fi Rc, rangul matricei A este egal cu 2.
Presupunand ca rangul lui A ar fi mai mic decat 2, atunci ar trebui ca ac -a-1=0 de
unde aac1 ; dar si 022a ac , cu a0, ceea ce ne conduce la 1=0, fals.
Analog, rangul matricei extinse este tot 2. Asadar sistemul este compatilbil simplu
nedeterminat . Daca consideram necunoscute principale x si y ; necunoscuta secundara z ;
solutia est e:
ac azc a cac a c ax1])1()2([)3( )1(2 3

ac az ac a ac ay1) 2( 32 3
, cu Rz.
Cazul 3. Daca ba si c=1, atunci det A = 0 si rang A = 2, deoarece 01 11bb.
Minorul caracteristic este nul, deci sistemul este compatibil nedeterminat, solutiile putand
avea forma: x = t -2; y = 3 -2t; z = t, cu Rt.

Exemplul 3 Sa se discute, dupa parametrii reali a,b si c compatibilitatea
sistemului si sa se rezolve.
.
. ) () (1
2 2 2 2 2

czb aybxaczba by axzyx

Solutie Determinantul matr icii sistemului este:
.0 0 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2baab
b a b ab ab a
b a b aba b a 


Distingem mai multe cazuri:
Cazul 1 . Daca ba si 0ab , atunci det A 0, deci sistemul este compatibil determinat
ale carui solutii sunt date de reg ula lui Cramer.
.0 0 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2cbcbaa
c b a c b ccba cb c
b a b cba b cx 
 
 

40.0 0 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2acacbb
b a c ab ac a
b a c aba c ay 

 

.0 0 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2accbba
a c a b aac ab a
c b ac b az 
 
) () )( (
) () )( (
babcbacb
baabcbacbaxx

) () )( (
) () )( (
baaacacb
baabacacbbyy


) () )( (
) () )( (
baabaccb
baabbacbaczz
 .
Cazul 2. 0ba . Matricea coeficientilor necunoscutelor este:





2 2 2221 1 1
a a aa a a A .
Avem minorul 021aa aa si rang A=2. Minorul caracteristic este:
 acacacaaca
a c a aac a a
c a ac a a 
 1 10 0 1
221 1 1
2 2 2 2 2 2 2
Daca 0c si ac sistemul este incompatibil. Pentru c = 0 sistemul devine:


0 20 21
2 2 2za yaxaaz ay axzyx
R
zyx
z yxz yxzyx






 
;
12
0 20 21

Pentru c = a sistemul devine:


2 2 2 2221
aza yaxaa az ay axzyx
R
zyx
z yxz yxzyx






 
;
01
1 21 21
.
Cazul 3. Daca a = b = 0 avem rang A = 1 . Pentru 0c sistemul este incompatibil. Daca
c = 0 sistemul este compatibil dublu nedeterminat si avem R
zyx





,
;1
.
Cazul 4 . a = 0 0b . Rangul matricei coeficientilor necunoscutelor este 2 deoarece avem
minorul 0011bb. Minorul caracteristic este:

41
2 2001 11
c bc b bcbcc bc b 2 2.
Daca 0c si bc sistemul este incompatibil. Pentru c = 0 sistemul este compatibil
simplu nedeterminat avand solutia R
zbcybcbx






;,

Pentru c = b rezulta un sistem compatibil simplu nedeterminat
Cazul 5 . 0a si b = 0, discutia este analoaga cazului 4.

Exemplul 4 Sa se discute sistemul


000
mzyxz myxzy mx
in functie de valorile
parametrului real m.

Solutie. Se calculeaza determinantul sistemului si se determina valorile lui m pentru care
acesta este nul.
 
.1 21 0 10 1 10 0 1
2
111 1111
2
1 11 12 2 2
111 111
det
2
 
 
m mmm m
mm m
mmm m m
mmm
A
Cazul 1 Daca 2,1\Rm atunci sistemul este compatibil determinat si admite doar
solutia banala x = y = z = 0
Cazul 2 Daca m = 1 atunci sistemul este compatibil dublu nedeterminat si solutia este
R
zyx





,;
Cazul 3 Daca m = -2 atunci sistemul este compatibil simplu nedeterminat
R
zyx
R zzyzyx
zyzyzyx
z yxzy xzyx














;
,00 2
000 2
0 20 20 2
.

42Exemplul 5. Determinati valorile parametrului Ra astfel incat sistemul




0 2)1( 20033 20 2
atz y axtzyxtz yxtzy x
sa aiba solutii diferite de cea banala si sa se
determine toate solutiile sistemului in acest caz.
Solutie . O conditie necesara si suficienta pentru ca sistemul omogen dat sa admita si
solutii diferita de cea banala este ca determinantul sistemului sa fie nul, adica:
0
21 211 1 13 31 21 12 1


a a
Insa a
a aa a a a
 

 

2 032 0 31 1 3
2 03 22 0 3 11 1 3 20 0 0 1
21 211 1 13 31 21 12 1
.
In concluzie a = 0. Cum
03
11131 212 1


Putem alege drept minor principal al sistemului pe si deci putem considera pe x, y, z
necunoscute principale. Sistemul se scrie:



t zyxt z yxtzy x
3 3 22
si t = , R


10
1131 312


x , 

2
1 13 3 21 1

y , 

9
113 1 22 1


z
si solutia este R
tzyx







;
332310

43Exemplul 6. Fie m un parametru real . Rezolvati sistemul




0 2 2)1 (0 )1 (00
tz y x mtzy mxt mzyxtzyx

Solutie. Fie  determinantul sistemului,
)2 )(1 (
1 1 121 0 011 0 01 0 0 0
12 2 1111 11 1 111 1 1


 m mm
mmm
mmm.
Daca 2,1,0\Rm atunci sistemul admite numai solutia nula, altfel admite si solutii
diferite de cea banala.
Daca m = 0, sistemul dev ine




0 2 2000
tz y xtzyxt yxtzyx



02 3 300
t z yztzyx




00 2 30
zt ytzyx
Fara dificultate solutia se determina ca fiind R
tzyx







;
0323

Daca m = 1, sistemul devine




0 2 20 200
tz ytzy xtzyxtzyx




00 2 20
ytz ytzyx
avand solutia
R
tzyx







;
202

44Daca m = 2, sistemul devine




0 2 20 30 20
tz y xtzy xtz yxtzyx



000
zyzytzyx
avand solutia
R
tzyx







;00

Exemplul 7. Sa se rezolve sistemul





0 3 20 3 20 3 20 3 2
2 11 14 3 23 2 1
xx xx x xx x xx x x
nn n

Solutie . Ecuatiile sistemului ne sugereaza sa consideram recurenta
;0 2 32 1  k k k x x x n k ,3
Formam ecuatia caracteristica 0232r r , care are solutiile r 1 = -1 si r 2 = -2 de unde
rezulta solutia generala a recurentei k k
k c c x 1 22 1  si din conditiile initiale


2 1 22 1 1
42
cc xcc x


1 22 1
1
22
x cxxc si astfel aflam ca formula termenului general este
 n k xxxxk k
k ,1,1 2 2212 1 .
Din ultimele doua ecuatii ale sistemului se gasesc relatiile
  0 2 121 221
1  n n nx x
  0]1 2[ 3)1(4 22 1 n n nx x iar de aici x 1, x2 si apoi din celelalte
ecuatii se determina x 3, x4,…,x n.

Exemplul 8. Fie C a aan ,…,,2 1 cu 0 …2 1 na aa si Cb. Rezolvati
sistemul




n nn
a bx xxa x bxxa x x bx
………
2 12 2 11 3 2 1
 .

45Solutie. Matricea sistemului este





bbb
A

111 11 1
si

.1 1
1 0 11 1 10 0 1111 11 11
1
1 11 11 1 1
1 111 11 1
det
1
  
 
nb nb
bbbbnb
bbnb nb nb
bb
A

 


Cazul 1 Daca 1,1\ n Cb sistemul este compatibil nedeterminat si obtinem





    

2 1 11 2 11 1 2
1 11 1
nbnbnb
nb bA
 
, deci

n inb ba a nb
xn
kk i
i ,1 ;1 11
1


Cazul 2. Daca b = 1, avem rang A = 1.
Pentru a 1 = …= a n sistemul e ste compatibil nedeterminat si avem
n iR xi i ,1, si 
n
kk ax
21 1 .
Daca exista ji cu j ia a sistemul este incompatibil.
Cazul 3. Daca b = 1 -n. Adunam ecuatiile si obtinem 
n
kka
10, fals. Deci in acest caz
sistemul este incompatibil.

Exemplul 9. Se considera sistemul de ecuatii: Rpnm
p ntzyxt mzyxtzyx



,,,11 2
si
 / ,,3Rpnm A   sistemul este compatibil si rangul matricei sistemului este egal cu 2}
Daca   
 
Apnmp n m Q
),,(2 2 2, atunc i:
a) Q=5; b) Q=30; c) Q=12 ; d) Q=3 ; e) Q=16;

Solutie. Anuland determinantii de ordin 3 obtinem :

461 1 211 2
11 11111 2
1 

 m m m m
01m 1m

3 3
1 11 111 1 2
2 

 n
n
3n+3 = 0 atunci n = -1
Se verifica 0
1 1 11 111 1 2
3 

 si 0
1 1 11 1 11 1 1
4 

 .
Luam dereminatul principal 3111 2p si anulan determinantul caracteristic
3 3
1 11 1111 2


 p
pcar
3p-3 = 0, p = 1.
Asadar A = {( -1,-1,1)}, Q = ( -1)2+(-1)2+12 = 3.( raspuns d).

Exemplul 10 . Se considera s istemul


4 234
z py xz pyxzyx
. Daca
 /Rp P sistemul este compatibil} si 

Ppp S , atunci:
a) S=2; b) S=1; c) S=94; d) S=25; e) S=21.

Solutie . Inmultind prima ecuatie cu -1 si adunand -o la cea de a doua si respectiv a treia
ecuatie obtinem (p -1)y = 1 si (2p -1)y = 0.
Daca y = 0 nu este satisfacuta ecuatia (p-1)y = 1, deci in mod necesar 2p -1 = 0 si
p = 21. Astfel rezulta y = 2 si x+z = 2, s olutia sistemului fiind orice triplet de forma
 R , 2,2, . Asadar pentru p = 21 sistemul este compatibil.
S = 21
21( raspuns e).

47Exemplul 11 Fie zyx~,~,~ solutia sistemului:


1 22
zyxpzy xmzyx
, unde m,p R.
Daca zyx~,~,~ sunt in progresie aritmetica in aceasta ordine, atunci:
a) m+2p = 1 ; b) 2m+3p = 2 ; c) m-p = 5; d)m+p = 0 ; e) 2m+p2 = 3.

Solutie. Stim ca 2~~~ zxy . Inlocuind in prima ecuatie pe y zx~2~~ deducem ca
3~my . Din a doua ecuatie rezulta pmxz 32~~ si inlocuind in cea de a treia ecuatie
pe y~ si z~ gasim 3132
31~ mp pm mx  si deci z~=1-2p-m.
Conditia 2~~~ zxy se rescrie 322131mmpmp 2 – 3p – 2m = 0
 2m + 3p = 2 (raspuns b).

Exemplul 12 . Se considera sistemul de ecuatii:
Rnm
nzy x mz yxz y mx



,,
2 1 21 3 22 2

Daca A= / ),{(2R nm sistemul este compatibil nedeterminat} si ) (
),(2 2
 
Anmn m a
atunci:
a) a = 18; b) a = 26; c) a = 32; d) a = 13; e) a = 25;

Solutie . Notam B =





121 231 22 1
mm
matricea sistemului si






n mm
B 12
121 231 22 1

matricea extinsa a sistemului.
Sistemul este compatibil nedeterminat  3 B rang rangB (numarul
necunoscutelor) .
Daca RangB<3 atunci detB = 0. Dar detB= m -8+6m -3+4m -2-6m-2 = 5m -15,
5m-15 = 0, m = 3.
Cum  05 611231 rangB = 2.
Atunci 
 0 155
1213122 1
n
ncar n=3.
Pentru m = n = 3 sistemul este simplu nedeterminat. Atunci A = {(3,3)} si
a = 32+32=18 (raspuns b).

48Exemplul 1 3. Se considera sistemul de ecuatii:
Rm
mzy xmz y m mxz myx



,
1 2 32 3)1 (1 2 3

Daca M = {m R / sistemul este incompatibil} si 

Mmm S2, atunci:
a) S = 5; b) S = 9; c) S = 13 ; d) S = 16; e) S = 25.

Solutie. Determinantul matricei sistemului este:
4 3 12 4 3
2 33 12 3
2 2 3

m m m m m
mm mm

Daca 3,2,2\Rm sistemul este compatibi l determinat.
Daca m = 3, cum 034 33 3p si 0 90
1 2 35 4 313 3


car sistemul
este incompatibil.
Pentru m = 2, cum 053 22 3p si 0 74
1 2 34 3 212 3


car sistemul
este incompatibil.

Pentru m = – 2, cum 011 223p si 0
1 2 301 21 23


car sistemul este
compatibil simplu nedeterminat. Asadar },3;2{M S = 22+32 = 13 (raspunsul c).

Exemplul 14 . Se considera sistemul 2001,1,2001
1
ib xai
jjij de unde
 2001,1,;,,, min   jijiji ai j
ij . Fie D determinatul sistemului, iar daca solutia
sistemului este  2001 2 1,…,, x xx unde x 1 = x 2 = … = x 1000 = 3 si x 1001 = x 1002 = … = x2001 = 2,
fie E = b 1001 si T = b 2001, atunci:
i) a) D = 1; b) D = 1001; c) D = 2000; d) D = 2001; e) D = 2001!
ii) a) E = 1001001; b) E = 2003001; c) E = 3505502; d) E = 4101202;
e) E = 5403301
iii) a) T=2001102; b) T=2505403; c) T=3101202; d) T= 4506502; e) T= 5408603

49Solutie. Evident 




 
ji pentrujji pentrui
ji aij,,
, min . Deci
1
10 00011 00011 10011 11011 111
2001 2000 2212000 2000 3213 3 3212 2 2211 1 111
  


D
Triangularizarea lui D s -a facut s cazand din ultima linie penultima, …, din linia a treia
linia a doua si din linia a doua prima linie. Avem
E = b 1001 = 3(1+2+3+…+1000)+2(1001+1001+…+1001) =
321001221001 1000= 3505502
T=b 2001=3(1+2+3+…+1000)+2(1001+1002+…+2001)=
3 

 
21001 1000
22002 2001221001 1000= 4506502.
i)( raspuns a)); ii) (raspuns c)); iii) (raspuns d))

Exemplul 15 . Se considera sistemul: 99,11,1 19699
1
jjijxa unde





jijii
aij,2,
. Fie D determinatul sistemului,  99 2 1~,…,~,~x xx solutia sistemului,

99
1~
iix S si 
99
1~
iixi T . Atunci:
i) a) D = 1; b) D = 99; c) D = -2 ∙ 97!; d) D = 2 ∙ 98!; e) D = -2 ∙ 99!
ii) a) S = 1; b) S = 99; c) S = 198 d) S = 201 e) S = 16502.
iii) a) T = 4950; b) T = -14652; c) T = 199; d) T = 17863; e) T = 29458.

Solutie. Sistemul este 99 ,
1 2 … 2 2 212 2… 3 2 22 2… 2 2 212 2… 2 2
3 2 13 2 13 2 13 2 1





n unde
nn nx x x xn x x x xn x x x xn x x x x
nnnn


50Avem
 
nn

22222 42222 23222 22222 2221
 
n
22222 42222 23222 22211 1111
2 

2 00000 20000 01001 11101 1111
2
n

!2 2 n

Daca D = !97299 (Raspuns c) la intrebarea i)
Din ecuatia a doua avem ,~…~~
2 1 n x xxn deci S = ,99~…~~
99 2 1  x xx
( raspuns b) la intrebarea ii)
Adunand membru cu membru toate ecuatiile sistemului obtinem:
  ),2(…211 2~2 2 …~)12(~2~122
3 2 1  n n x nn x n xn x nn
2n(nx xx~…~~
2 1 )- ,21 21 2~2 …~2~~ 2
4 3 1n nn x n x xxn
rezulta –  ,23 ~2 …~2~~2
4 3 1n nx n x xxn dar n x x xn2~2…~2~22 1  si prin
adunarea celor doua relatii obtinem: .2~…~2~2
2 1n nxn x xn
Deci T = . 4950~99…~2~
99 2 1  x x x
(raspuns a) la intrebarea iii).

Exemplul 16. Se considera sistemul Rm
m mzaycxbz ay axcz
by
ax





,
1 164 3 4 28
unde coeficientii
a,b,c verifica r elatiile ,51baab 71cbbc, 61caac. Daca T = a+b+c si
/ { Rm M sistemul este incompatibil}, atunci:
i) a) T=43; b) T=76; c) T=57; d) T=1213; e) T=1415.
ii) a) 1,1M ; b) 18,15M ; c)8,5M ; d)7,3M ; e) .49,20M

51Solutie. Relatiile date se mai scriu:




611711511
accbba
 18)111(2 cba, 9111cba
Obtinem 41c41c , 2121 aa, 3131 bb si 1213T .
(raspuns d) la intrebarea i).
Avem sistemul ;
1 2 44 28 4 3 2


m mzy xzy xz y x
16
24121432
  m
m.
Pentru 16m sistemul este compatibil determinat. Pentru m = 16, luand
determinant principal ,12132p avem determinantul caracteristic
.01
1724421832
 c
Deci M = {16}, 18,15M . (raspuns b) la intrebarea ii).

523.2 Exemple propuse spre rezolvare
1) Să se rezolve sistemele de ecuații prin metoda lui Cramer :
а)


8 2 39 23 5
3 2 13 2 12 1
xx xxxxx x
; b)


5 6 27 8 44 2 3
3 2 13 2 13 2 1
x x xx x xx x x
;
c)


8 2 34 3 21 2
3 2 13 2 13 2 1
x x xx x xx xx
; d)




0 4 32 2 2123 8 24 5 11 3 2
4 3 2 14 34 3 24 3 2 1
x x xxx xx xx x x x
;
e)




3 37 2 21 25 2
4 3 24 3 13 2 14 2 1
xxxx x xxxxxx x
; f)




6 2 53 32 3 21 2
4 3 2 14 3 14 2 14 3 2 1
x xxxxxxx xxxxxx
.

2) Să se studieze compatibilitate a sistemele lor în functie de valorile parametrului real t:
а)


1 3 311
3 2 13 2 13 2 1
x x txtxxxt txx tx
; b)


2
3 2 13 2 13 2 1
1
t tx txxx x txt x txx
;
c)


2
3 22
13 2 13 2 1
11
t x xt txx txxx xx
.

3) Să se determine valorile reale ale parametrilor k și r, pentru care sistemul următor de
ecuații este compatibil:


12 )3(1 3 )12(1 2
3 2 13 23 2 1
r x r rx kxx x r kx rx kx
.

4) Să se rezolve sistemele prin metoda matriceală:
а)


7 4 3 32 24 2 2
3 2 13 2 13 2 1
x x xx xxx x x
; b)


4 3 2 43 4 35
3 2 13 2 13 2 1
x x xx xxx xx
;
c) .
8 5 38 3 24 2 4 3
3 2 13 2 13 2 1


xx xxx xx x x

53 5) Să se rezolve sistemele prin metoda lui Gauss :
а)




10 4 2 70 3 3 30 2 34 2 2
4 2 14 3 2 14 2 14 3 2 1
x x xx x x xxx xx xxx
; b)




0 6 4 5 53 4 219 14 3 4 36 4 6
4 3 2 14 2 14 3 2 14 3 2 1
x x x xx x xx x x xx x xx
;
c)


20 22 28
4 3 2 14 3 2 14 3 2 1
xx x xxx xxx x xx
; d)


2 9 612 3 29 6 5
4 3 2 14 3 2 13 2 1
xx x xx x xxx x x
;
e)




4 26 36 33 2 2
3 2 13 2 13 2 13 2 1
xx xx xxxx xx xx
; f)




2 3 23 36 5 2 2 21 2
4 2 14 3 14 3 2 14 3 2 1
x xxxxxx x x xxxxx
;
g)




1 2 2 22 2 5 51 2 31 3 21 3 2
4 3 2 13 2 14 3 2 14 3 2 14 3 2 1
xx x xx x xxxx xxxx xxx x x
; h)




11 10 9 49 8 7 3 67 6 5 2 45 4 3 2
4 3 2 14 3 2 14 3 2 14 3 2 1
x x x txx x x xx x x xx x xx
, t  R.

6) Să se afle sol uțiile generale ale sistemelor de ecuații omogene, să se determine un
sistem fundamental de soluții pentru fiecare sistem și să se exprime soluția generală prin
soluțiile sistemului fundamental:
а)




0 3 2 400 2 2 3 30 3 4 2
4 3 2 14 3 2 14 3 2 14 3 2 1
x xx xxxxxx x x xxx x x
; b)




0 4 3 3 20 20 3 2 20
4 3 2 14 3 24 3 2 14 3 2 1
x x x xx xxx x x xxxxx
;
c)




0 4 3 40 5 2 30 3 20 2 2
4 3 2 14 3 2 14 3 2 14 3 2 1
x xx xx x x xx xx xx xxx
; d)




0 3 7 3 30 4 4 20 2 3 20 2 2
5 4 3 2 15 4 3 2 15 4 3 2 15 4 3 2 1
x x x x xxx x x xx x xxxxx x xx

7) Să se discute după Rm soluțiile sistemului:
1
1
1mx y z
x my z
x y mz  
  
  

548) Se dă sistemul:



Rm
z y xz myxzy x
,
3 2 22 21 2
.

a) Să se determine m pentru ca sistemul să aibă soluție unică.
b) Pentru m = 10, rezolvați sistemul.

9) Să se rezolve și să se discute sistemul de ecuații:



Rdcba dupa
dzcybxad czbyaxzyx
,,, ,1
2 2 2 2
10) Fie sistemul:


321
zyxzyxzyx

, R

Să se determine α astfel încat să aibă o singură soluție. Să se rezolve, în acest caz.

11) Să se discute și să se rezolve, dup ă parametrii reali m si n, sistemul de ecuatii:


4 234
z my xz myxzy nx

12) Se considera sistemul liniar13
14
i
jjijxa, 3,2,1i , unde 1j aij . Sa
se calculeze determinantul si suma R= 3 2 1 x xx , unde 3 2 1,,xxx este solutia
sistemului.

13) Sa se rezolve si sa se discute sistemul de ecuatii liniare:


21
m mzyxmz myxzy mx
.

14) Sa se rezolve si sa se discute sistemul:

55

R
z yxzy xzyx




 
,
111 1
2

15) Sa se discute dupa Ra sistemul de ecuatii:


1 3 311
z y axa azy axazyx

16) Să se determine  și, astfel încât sistemele următoare să fie compatibile, iar
matricea sistemului să aibă rangul 2:


.11 2
4 3 2 14 3 2 14 3 2 1

x x xxx x xxxx xx

17) Rezolvați sistemul următor, discutați după parametrii reali  și, :

 . ,, 2 2 13 2 1
3 2R
z yxz y xz y x




    

56
3.3 Aplicație practică

În figura de mai jos este indicat traficul dintr -o anumită zonă a unui oraș.

b-dul C b-dul D
300 500
x1 800
b-dul A
1200
x4 x2
1300 1400
b-dul B
x3
700 400

Săgețile indică d irecția de deplasare a mașinilor. Numerele ind icate pe
figură reprezintă numărul de mașini care intră sau ies din intersecție. La fiecare
din cele patru intersecții se află semafoare care dirijează circulația. Pentru a
evita blocajele , toate mașinile car e intră într -o intersecție trebuie să o părăsea
scă.
a) Să se determine x1 , x2 , x3 , x4
b) Pentru x4 =300, determinați x1 , x2 , x3 .

Soluție:
a) Deoarece toate mașinile care intră într -o intersecție trebuie să o și
părăsească , pentru fiecare intersecț ie obținem următoarele ecuații:
b-dul A  b-dul C : 300+1200= x1 + x4
b-dul A  b-dul D : x1 + x2 =500+800
b-dul B  b-dul C : x3 + x4 =1300+700
b-dul B  b-dul D : 1400+400= x2 + x3

57 Sistemul pe care îl avem de rezolvat este



   
1800200013001500 x
3 24 32 14 1
x xx xx xx
,un
sistem de patru ecuații liniare cu patru necunoscute.
Matricea sistemului și matricea extinsă a sistemului sunt:
A=




0110110000111001
și A=




18000110200011001300001115001001

Cum =
0110110000111001
=
011011001 0110001
 =0, rang(A)=3.
Fie determinantul principal p=
100011001
=1, deoarece deteminantul caracteristic
c=
1800110200010013000111500001
=
18001102000100200 0101500001
=0, inseamnă că sistemul este compatibil
simplu determinat cu necunoscuta secundară x 4.(Teorema lui Rouche)
Luând sistemul format din ecuațiile principale avem:
, , ,
200013001500
4
32 11





x unde
xx xx

Soluția sistemului este: S={(1500 - , -200,2000 - ), }.
b) x4 =300, obținem soluția S={(1200, 100,1700,300)}.

58

3.4 Aplicatii practice propuse spre rezolvare

1) La o întreprindere se confecționează trei tipuri de produse – Р1, Р2 , Р3 din trei tipuri
de materie primă – S1, S2, S3. Pentru a confecționa 1 unitate de Р1 se iau 2 unități de S1,
3 un. de S2 și 3 un . de S3; pentru a confecționa 1 un. de Р2 se iau 3 un. de S1, 4 un. de
S2 și 2 un . de S3; pentru a confecționa 1 un. de Р3 se iau 2 un. de S1, 1 un. de S2 și 3 un .
de S3. În decursul unei săptămîni la întreprindere s -au utilizat 270 un. de materie primă
1S, 290 un. de 2S și 330 un. de 3S. Cîte unități de fiecare produs au fost confecționate în
decursul aces tei săptămîni?

2) La o întreprindere se confecționează trei tipuri de produse – Р1, Р2 , Р3 din trei tipuri
de materie primă – S1, S2, S3. Pentru a confecționa 1 unitate de Р1 se iau 5 unități de S1,
2 un. de S2 și 3 un . de S3; pentru a confecționa 1 un. de Р2 se iau 3 un. de S1, 1 un. de
S2 și 2 un . de S3; pentru a confecționa 1 un. de Р3 se iau 4 un. de S1, 1 un. de S2 și 2 un .
de S3. În decursul unei luni la întreprindere s -au utilizat 2700 un. de materie primă 1S,
800 un. de 2S și 1600 un. De 3S. Cîte unități de fiecare produs au fost confecționate în
decursul acestei luni?

3) Rația alimentară trebuie să conțină trei tipuri de substanțe nutritive – 3 2 1,,VVV în
următoarele cantități: 10, 9 și 13 unități. Aceste substanțe nutritive se află în cele trei
produse alimentare disponibile – 2 1,PP ,3P. În 1 кg. De 1P se conțin 1 un. de1V, 2 un.
de2V și 1 un. de3V; în 1 кg. de2P – 2 un. de1V, 1 un. de2V și 1 un. de3V; în 1 кg. de3P –
2 un. de1V, 2 un. de 2V și 4 un. de3V. Cîte kilograme de fiecare produs trebuie p rocurate,
pentru ca să fie asigurată această rație alimentară?

4) Rația alimentară trebuie să conțină trei tipuri de substanțe nutritive – 3 2 1,,VVV în
următoarele cantități: 9, 11 și 12 unități. Aceste substanțe nutritive se află în cele t rei
produse alimentare disponibile – 2 1,PP ,3P. În 1 кg. de 1P se conțin 1 un. de1V, 1 un.
de2V și 2 un. de3V; în 1 кg. de2P – 2 un. de1V, 3 un. de2V și 1 un. de3V; în 1 кg. de3P –
2 un. de1V, 2 un. de 2V și 3 un. de3V. Cîte kilograme de fiecare produs trebuie procurate,
pentru ca să fie asigurată această rație alimentară?

5) La o întreprindere se confecționează produsele 4 3 2 1 ,,, PPPP din patru feluri de materie
primă – 4 3 2 1 ,,, SSSS . La confecționa rea unei unități de 1P se utilizează 2 un. de 1S, 1 un.
de 2S, 3 un. de 3S și 3 un. de 4S; la confecționarea unei unități de 2P – 4 un. de 1S, 2
un. de 2S, 3 un. de 3S și 1 un. de 4S; la confecționarea unei unități de 3P – 1 un. de 1S, 2

59un. de 2S, 1 un. de 3S și 4 un. de 4S; la confecționarea unei unități de 4P – 3 un. de 1S, 4
un. de 2S, 2 un. de 3S și 1 un. de 4S. Pe parcursul zilei au fost utilizate 31 un. de 1S, 29
un. de 2S, 31 un. de 3S și 36 un. de 4S. Să se determine, cîte unități de fiecare produs au
fost confecționate pe parcursul zilei .

6) La o întreprindere se confecționează produsele 4 3 2 1 ,,, PPPP din patru feluri de
materie primă – 4 3 2 1 ,,, SSSS . La confecționarea unei unități de 1P se utilizează 4 un. de
1S, 3 un. de 2S, 7 un. de 3S și 5 un. de 4S; la confecționarea unei unități de 2P – 8 un.
de 1S, 4 un. de 2S, 5 un. de 3S și 3 un. de 4S; la confecționarea unei unități de 3P – 1 un.
de 1S, 4 un. de 2S, 3 un. de 3S și 8 un. de 4S; la confecționarea unei unități de 4P – 5 un.
de 1S, 6 un. de 2S, 4 un. de 3S și 3 un. de 4S. Pe parcursul zilei au fost utilizate 62 un.
de 1S, 78 un. de 2S, 64 un. de 3S și 74 un. de 4S. Să se determine, cîte unități de fiecare
produs au fost confecționate pe parcursul zilei .

7) La două uzine ale unei întreprinderi se fabrică automobile de același tip. La
comandă au fost fabricate 350 de automobile la uzina № 1 și 150 de automobile la uzina
№ 2. Aceste automobile trebuie transportate la dou ă magazine – 200 automobile la
magazinul A și 300 automobile la magazinul B. Cheltuielile de transport a unui automobil
de la uzina № 1 p înă la magazinul A constituie 150 lei, iar pînă la magazinul B – 200 lei.
Cheltuielile de transport a unui automobil de la uzina № 2 p înă la magazinul A constituie
80 lei, iar pînă l a magazinul B – 250 lei. Să se alcătuiască un plan de transport astfel, încît
cheltuielile totale să fie egale cu 7950 lei.

Răspunsuri și indicații

1) 40 un. Р1, 30 un. Р2 și 50 un. Р3
2) 200 un. Р1, 300 un. Р2 , 200 un. Р3.
3) 1 kg. Р1, 2 kg. Р2 și 2 kg. Р3.
4) 1 kg. Р1, 2 kg. Р2 și 2 kg. Р3.
5) 5 un. 1P, 2 un. 2P, 4 un. 3P, 3 un. 4P.
6) 2 un. 1P, 3 un. 2P, 5 un. 3P, 5 un. 4P.
7) Fie ikx – numărul automobilelor, care trebuie transportate de la uzina i pînă la
magazinul k . Folosind condițiile problemei, alcătuim un sistem de ecuații liniare și
rezolvîndu -l, obținem soluția: 0 ,150 ,300 ,5022 21 12 11  x x x x .

60

Capitolul 4
Consideratii metodice

4.1 Impementarea continuturilor prezentate printr -un optional de
extindere
Curriculumul la decizia scolii a devenit , prin dreptul de a lua decizii conferit
scolii emb lema puterii reale a acesteia, ce da posibilitatea definirii unor trasee particulare
de invatare ale elevilor.
Anual, prin oferta scolii, elevului de liceu i se da posibilitatea sa aleaga discipline
optionale pe care doreste sa le studieze. Numarul total d e ore pe saptamana in care se
studiaza aceste optionale este alocat prin Planurile – cadru.
Optionalul de extindere, este acel tip de CDS derivat dintr -o disciplina studiata in
trunchiul comun, care urmareste extinderea obiectivelor -cadru/ competentelor g enerale
din curriculumul – nucleu prin noi obiective de referinta/competente specifice si noi
continuturi.
Pentru a propune programa de optional parcurgem un demers didactic constructiv prin
care identificam obiectivele de referinta si continuturile, adi ca nucleul unei programe.

Pasi de parcurs Comentarii
De ce ar fi util pentru elevi un optional de
matematica? Pentru a pregati studiul unor concepte
matematice.
Ce vrem sa stie elevul la sfarsitul anului? Alegem continuturile.
De ce vrem ca elevul sa i nvete despre
aceste teme? Formulam competentele.

Dupa construirea nucleului, propunem un titlu sugestiv pentru elevi, formulam
argumentul de propunere a optionalului, exemple de activitati de invatare, precizam
cateva dintre metodele si instrumentele d e evaluare si identificam posibile surse
bibliografice.

61APROB
INSPECTORUL ȘCOLAR GENERAL AL
INSPECTORATULUI ȘCOLAR JUDEȚEAN CALARASI
Profesor,

CURS OPȚIONAL
COMPLEMENTE DE ALGEBRĂ
– MATEMATICĂ –

Propunător :
prof. DEDU PAULA MONICA

62FIȘĂ DE AVIZARE
A PROIECTULUI DE PROGRAMĂ PENTRU OPȚIONAL

AVIZAT,
Inspector de specialitate

Denumirea opț ionalului: COMPLEMENTE DE ALGEBRĂ
Tipul: DE EXTINDERE
Clasa: a XI -a M1,M2
Durata: 1 AN ȘCOLAR
Număr de ore pe săptămână: 1 ORA / SĂPTĂMÂNĂ

Autor : DEDU PAULA MONICA
Instituția de învățământ:

CRITERII ȘI INDICATORI DE EVALUARE

DA NU DA, cu recomandar e
I. Respectarea structurii standard a programei
Argument
Obiective de referință
Activități de învățare (cel puțin una pentru
fiecare obiectiv)
Conținuturi
Modalități de evaluare
II. Existența unei bibliografii
III. Elemente de calitate
Respectarea particularităților de vârstă ale
elevilor
Concordanța cu etosul școlii, cu interesele
elevilor și cu nevoile comunității
Conținutul argumentului:
* oportunitatea opționalului
* realismul în raport cu resursele dispon ibile
Corelarea obiectivelor cu activitățile de învățare
Corelarea obiectivelor cu unitățile de conținut
Adecvarea modalităților de evaluare la demersul
didactic propus

Avizul conducerii școlii:
DIRECTOR,

63

ARGUMENT

1. Profilul matematică – informatică al tuturor claselor din colegiu este principalul
argument pentru susținerea acestui curs.
2. Nevoia unei pregătiri mai solide la matematică pentru elevii noștri care doresc urmarea
cursurilor în instituțiile de învățământ superior .
3. Cursul se doreste a fi nu doar o recapitulare eficientă a materiei predate până acum în
liceu, repetând doar noțiuni și concepte, metode, ci introducerea unor elemente noi,
probleme care pot fi soluționate prin prelucrarea creatoare a cunoștințelor a nterioare si
studiul unor conținuturi noi, diversitatea temelor permițând aceasta.
4. Opționalul este conceput astfel încât să acopere atât explicația noțiunilor de baza, cât și
înțelegerea și fixarea lor prin exerciții și probleme adecvate, cu grade difer ite de
dificultate (de la ușor la mediu, spre maxim), eliminându -se elementele monotone și care
nu aduc nimic nou, prezentându -le astfel încât să antreneze interesul și fantezia elevilor.
5. Dezvoltă și încurajează elevii care doresc să studieze mai mult l a acest obiect Pe
parcursul opționalului se urmărește extinderea unor cunoștințe matematice, rezolvarea
unor situații problemă noi.
6. Datorita continuturilor, asimilarea acestor cunostinte va determina la elev formarea
unor competente de transfer, indepen denta in actiune si gandire, obisnuinta de a recurge
la concepte si metode matematice in abordarea unor situatii diverse .

COMPETENȚE SPECIFICE

1. Să efectueze transformări elementare în matrice.
2. Să – și însușească definițiile normelor de vectori si de matrice.
3. Să cunoască unele metode numerice de determinarea a rangului unei matrice .
4. Să rezolve sisteme de ecuații liniare prin metode directe.
5. Să discute metoda optimă aleasă și să explice necesitatea folosirii procedurilor de
calcul numeric in fiecare caz.

VALORI ȘI ATITUDINI

1. Familiariza rea și stăpini rea unor noțiuni și concepte de bază ale metodelor și
algoritmilor numerici
2. Manifestarea curiozității și a imaginației în crearea și rezolvarea de probleme .
3. Dezvoltarea unei gândiri desch ise, creative și a unui spirit de obiectivitate și
imparțialitate
4. Dezvoltarea independenței în gândire și acțiune

64

COMPLEMENTE DE ALGEBRĂ – CONTINUTURI

1. Matrice elem entare. Transformări elementare . Matrice eșalon.
Matrice triunghiulare –6 ore .
2.. Metode numerice pentru determinarea rangului unei matrice, matrice inversă – 5 ore .
3. Norme de vectori si norme de matrice – 4 ore.
4. Stabilitatea solutiei unui sistem de ecuatii liniare la variatia matricei sistemului si la
variatia coloanei termeni lor liberi – 4 ore.
5. Rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare prin metode directe – 12 ore
5.1. Metoda lui Gauss
5.1.1 Metoda lui Gauss cu pivotare partiala
5.1.2 Metoda lui Gauss cu pivotare totala
5.2 Metoda Gauss -Jordan
5.3 Descompunerea LU
5.4 Desc ompunerea Cholesky
5.5 Descompunerea QR
6. Studiul comparativ al metodetor de rezolvare a sistemelor de ecuatii liniare – 3 ore .

ACTIVITATI DE INVATARE

Exerciții de aprofundare a metodelor prezentate ;
Abordări de situații problemă , situații practice , descrierea lor , încercarea de formulare
în limbaj matematic , modelare matematică cât mai completă ;
Prezentări de mai multe soluții pentru o aceeași problemă ;
Discutarea unor soluții greșite ale unor probleme ;
Reformularea unor probleme prin modifica rea ipotezei sau a concluziei , analiza noii
probleme ;
Identificarea unor dependențe funcționale ;
Extragerea unor informații semnificative dintr -un grup de date ;
Consultarea mai multor materiale bibliografice pentru întocmirea unui proiect ;
Căutări pe Internet pentru realizarea unor materiale integratoare ;
Tehnoredactare computerizată a unui text matematic ;
Crearea unor probleme originale cu condiții inițiale date .

EVALUARE

1. Răspunsurile la orele de curs
2. Evaluare scrisa la finalul fiecarei unitati de invatare
3. Portofoliul individual care cuprinde
 notini teoretice
 fise de lucru cu exemple de aplicatii practice
 temele pentru casa

654. Proiecte rezolvabile prin activitate de grup .

STANDARDE DE PERFORMANTA

Minimale
– operare corectă cu transform ari in calcul matriceal , cu ecuații ale unui sistem ;
– redactare logică și corectă a soluției unei probleme ;
– cunoaștere a tuturor definițiilor și teoremelor puse în evidență în cadrul temelor
parcurse , recunoscând conceptele respective și cu date inițial e modificate ;
– cunoaștere a unor exemple relevante pentru fiecare temă prezentată .

Optime ( în plus față de cele anterioare)

– modelare matematică prin transpunere adecvată în limbaj propriu disciplinei a
unor situații și probleme din alte domenii ;
– discu tare, analizare , alegere între diverse soluții ale unei probleme ;
– rezolvare a unor probleme asemănătoare celor discutate .

De performanță (în plus față de toate cele precedente)

– generalizarea de probleme , studiu al valorii de adevăr a rezultatelor pr opuse ;
– creeare a unor probleme originale ;

BIBLIOGRAFIE

[1] I. Munteanu, D. Stanica – Analiza numerica – Exercitii si teme de laborator – Editura
Universitatii din Bucuresti, 2008.
[2] I. Rosca – Analiza numerica – Editura Universitatii din Bucure sti, 1999.
Gh. Grigore – Lectii de analiza numerica – Editura Universitatii din Bucuresti, 1991.
[3] D. Stanica – Analiza Numerica – in curs de publicare la Editura Didactica si
Pedagogica, Bucuresti.
[4] Ion D. Ion și altii – Complemente de algebră – Editura U niversitatii din Bucuresti,
1985.
[5] Mircea Ganga –Teme si probleme de matematica – Editura Tehnica, Bucuresti, 1991
[6] Gh Cenusa, Raischi C. si altii – Admitere A.S.E. Matematica – Editura Cison,
Bucuresti, Editiile 2008, 2009, 2010.
[7] C. Na stasescu, C. Nita – Exercitii si probleme de algebra – Editura Did actica si
Pedagogica, Bucuresti 1983.
[8] C. Ionescu – Tiu, M. Popescu – Probleme alese de matematica pentru licee – Editura
Tehnica, Bucuresti, 2003.
[9] O. Stanasila si altii – Culegere de probleme pentru admiterea in invatamantul
superior – Editura Stiintifica si Enciclopedica, Bucuresti 1989.

664.2 Precizări metodologice cu privire la testul de evaluare finala al
unitatii de invatare “ Sisteme de ecuatii liniare”

Modelul propus pentru te stare este structurat în două părti. Partea I cuprinde
itemi obiectivi de tip alegere multiplă (cu un singur răspuns corect), problemele 1 -V si
itemi semiobiectivi de tip răspuns scurt/ de completare, problema VI, iar Partea a II -a
cuprinde itemi semiobiec tivi de tip întrebări structurate si/ sau itemi subiectivi de tip
rezolvare de probleme, problemele VII -XV.
Timpul de lucru efectiv pentru testul propus este de 100 de minute, iar punctajul
maxim acordat este de 90 de puncte, la care se adaugă 10 puncte d in oficiu.
Instrumentul care conferă validitate testului este matricea de specificatii . Aceasta
realizează corespondenta dintre competentele de evaluat (corespunzătoare nivelurilor
taxonomice) si continuturile/ temele specifice programei scolare de matema tică pentru
clasa căreia i se adresează testul. Competentele de evaluat se stabilesc prin derivare din
competentele specifice ale programei scolare. Matricea de specificatii este un instrument
care certifică faptul că testul măsoară competentele de evaluat propuse si că testul are
validitate de continut:
 liniile matricei precizează continuturile abordate;
 coloanele matricei contin competentele de evaluat corespunzătoare nivelurilor
cognitive.
Competen tele specifice de evaluat :
C1. Identificarea unor situați i practice concrete, care necesită asocierea unui tabel de
date cu reprezentarea matricială a unui proces specific domeniului economic sau tehnic;
C2. Asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matricială a unui proces;
C3. Aplicarea algoritmilor de cal cul cu matrice în situații practice;
C4. Rezolvarea unor sisteme utilizând algoritmi specifici;
C5. Stabilirea unor condiții de existență și/sau compatibilitate a unor sisteme și
identificarea unor metode adecvate de rezolvare a acestora;
C6. Optimizarea rezolvării unor probleme sau situații -problemă prin alegerea unor
strategii și metode adecvate (de tip algebric, vectorial, analitic, sintetic).

MATRICEA DE SPECIFICAłII – TEST DE EVALUARE FINALA AL UNITATII DE
INVATARE
“SISTEME DE ECUATII LINIARE” CL ASA a XI -a M2

Competen te
de
evaluat

Continuturi

C1

C2

C3

C4

C5

C6

Total
-Sisteme
liniare cu cel
mult 3
necunoscute
-clasificare ;

10a
(10p) 1 (4p)
2 (4p)
3 (4p)
4 (4p)
5 (4p)

30p
Forma
matricială a
unui sistem
liniar
6 (10p)

10b
(10p)

20p
Metode de
rezolvare a
sistemelor
liniare:•
metoda lui
Cramer

11
(10p)

12
(10p)

7 (5p)

25p
Metode de
rezolvare a
sistemelor
liniare:•
metoda lui
Gauss

9(10p)

8 (5p)

15p

Total
10p
20p
10p
20p
20p
10p
90p

FIȘĂ DE EXERCIȚII
propusă pentru elaborarea testului de evaluare scrisă
Sisteme de ecuații liniare.

Partea I
Încercuiți răspunsul corect:
1. Din punct de vedere al existenței și al numărului de soluții, sistemele de
ecuații liniare care au o s ingură soluție se numesc:
a) sisteme compatibile determinate;
b) sisteme incompatibile;
c) sisteme compatibile nedeterminate.

2. Din punct de vedere al existenței și al numărului de soluții, sistemele de
ecuații liniare care au o infinitate de soluții se numesc:
a) sisteme compatibile determinate;
b) sisteme incompatibile;
c) sisteme compatibile nedeterminate.
3. Din punct de vedere al existenței și al numărului de soluții, sistemele de ecuații
liniare care nu au nici o soluție se numesc:
a) sisteme compatibile determinate;
b) sisteme incompatibile;
c) sisteme compatibile nedeterminate.
4. Unica soluție a sistemului de ecua ții


7 43
yxyxeste perechea:
a) x=1 și y=2 b) x=2 și y=1 c) x=0 și y=3.
5. Dintre următoarele sisteme de ecuații liniare, cel incompatibil este:

a)


7 25
yxyx b)


5 20 2
yxyx

Completati spatiile punctate
6. Fie sistemul de ecuații liniare:


.4 2 4 37 2 36 2
z y xz y xzyx

a) Scrieți matricea sistemului (matricea coeficienților
necunoscutelor) A=




;
b) Scrieți matricea termenilor liberi ai ecuațiilor sistemului
B=




;
c) Scrieți matricea necunoscutelor sistemului X=




;
d) Det A=…
e) Scrieti matricea transpusa




tA

f)





AAdet11
g) Solutia sistemului este…
7. Fie sistemul de ecuații liniare:


.4 2 4 37 2 36 2
z y xz y xzyx

a) det(A)=…
b) dx= , dy= , dz= .

c) Solutia sistemului este….

8. Se considera sistemul de ecuatii liniare


.42 2102 2
zyxzyxz y x

a) Matricea extinsa a sistemului este




A
b) Prin transformarea L 2-2L1 matricea extinsa este echivalenta cu ….
c) Prin transformarea L 3-L1 matricea extinsa este echivalenta cu ….
d) Forma triunghiulara sistemului este….
e) Solutia sistemului este ….

Partea a II -a
9. La o întreprindere se confecționează trei tipuri de produse – Р1, Р2 , Р3 din trei tipuri
de materie primă – S1, S2, S3. Pentru a confecționa 1 unitate de Р1 se iau 5 unități de S1,
2 un. de S2 și 3 un. de S3; pentru a confecționa 1 un. de Р2 se iau 3 un. de S1, 1 un. de
S2 și 2 un. de S3; pent ru a confecționa 1 un. de Р3 se iau 4 un. de S1, 1 un. de S2 și 2
un. de S3. În decursul unei luni la întreprindere s -au utilizat 2700 un. de materie primă
1S, 800 un. de 2S și 1600 un. De 3S. Cîte unități de fiecare produs au fost confecționate
în decursul acestei luni?

10. Se consideră sistemul de ecuații A ‧X=B, unde A=





3 2 521 412 3
, X=




zyx
și B=




884
.

a) Să se scrie ecuațiile sistemului.
b) Rezolvati sistemul prin cele trei metode invatate.
11. Se consideră sistemul de ecuații:


4 26 2 28
zy mxz yxz myx

a) Să se determine m ∈IR astfel încât sistemul să aiba solutie unica .
b) Sa se rezolve sistemul pentru m = 0.

12. Se consideră sistemul de ecuații:


0 )1 (3 4 50 )1 (0 )1 ( 2
z m y xmzy mxz myx
.

a) Pentru ce valori ale parametrului m ∈R sistemul admite doar solutia
banala?
b) Să se rezolve sistemul, di scutie dupa valoarea parametrului real m.

Barem de notare: 1 -4p; 2 -4p; 3-4p; 4-4p; 5-4p; 6-10p; 7-5p; 8-5p; 9-10p; 10-20p; 11-10p;
12-10p
oficiu 10p

71
4.3 P ROIECT DIDACTIC
Data:
Clasa:
Obiectul : Matematică
Profesor: Dedu Paula Monica
Unitatea de învățare: Sisteme de ecuații lini are.
Tema lecției: Metode de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare. Metoda lui Cramer
Tipul lecției: Lecție de transmitere de noi cunoștințe.
Obiective operaționale: la sfârșitul orei elevii vor fi capabili:
A. Cognitive:
OC 1: să definească noțiunea „sis tem de tip Cramer”;
OC 2: să stabilească dacă un sistem este de tip Cramer;
OC 3: să rezolve sisteme de ecuații liniare prin metoda lui Cramer pentru n=2;
OC 4: să rezolve sisteme de ecuații liniare prin metoda lui Cramer pentru n=3;
B: Psiho -motorii:
OP 1: Să manifeste interes pentru lecție.
OP 2: Să scrie lizibil pe caiete și la tablă.
C: Afective:
OA 1: Să participe activ la lecție.
OA 2: Să-și dezvolte interesul pentru studiul matematicii.

72Metode și procedee didactice: conversația euristică ( M1), rezolvar ea de exerciții ( M2), explicația ( M3) , exemplul( M4).
Mijloace de învățământ: manual ( m1), creta ( m2), tabla ( m3).
Metode de evaluare: evaluare individuală ( E1), aprecieri orale ( E2).

DESFĂȘUR AREA LECȚIEI:
Conținu tul lecției Strategii didactice Etapele
lecției Obiective
operaționa –
le Activitatea
profesorului Activitatea
elevilor Metode și
mijloace Evaluare
1. Moment
organizatoric

OP 1 Asigur condițiile optime pentru
desfășurarea lecției.
Verificarea prezenței. Se conformează cerințelor
profesorului . M1

2. Anunțarea temei
și a obiectivelor

OP 1
OP 2

OA 2

Se anunță și se scrie titlul
lecției pe tablă:
Metode de rezolvare a
sistemelor de ecuații liniare.
Metoda lui Cramer
Se anunță obiectivele operațio –
nale: „ Vom studia astăzi o nouă
metodă de rezolvare a sistemelor
de ecuații liniare, metoda lui

Notează în caiete titlul lecției.

Sunt atenți la explicațiile
profesorului.

M1
M3
m2
m3

73

3. Transmitere de
noi cunoștințe

OC 1

OA 1
OC 2

Cramer, numită astfel după
numele unui matematician și
fizician elvețian, Gabriel Cramer
(1704 -1752) care este considerat
creatorul determinanților.”

Definiție: Un sistem de n ecuații
cu n necunoscute se numește de
tip Cramer dacă determinantul
sistemului este nenul.
Exemplu:


10 7 85 6 7
y xy x
Observăm că sistemul are două
ecuații și două necunoscute așa
cum definiția cere. Să verificăm
dacă acest sistem este de tip
Cramer.

Notează definiția în caiete.

Ies la tablă și calculează
determinantul sistemului:
01 48 49)48( 497 86 7


Sistemul este de tip Cramer.

M1
M3
m2
m3
M4

M3

E1

74

Metoda lui Cramer pentru n=2
Fie sistemul de două ecuații cu
două necunoscute:


2 2 21 1 1
cybxacybxa
.
Scrieți matricele atașate acestui
sistem.

Se calculează determinantul
matricei sistemului
det(A) = d =
2 21 1
b ab a și acesta
trebuie să fie nenul.
Dacă sistemul este de tip Cramer,
atunci el este compatibil
determinat și soluția sa se
calculează cu formulele:
ddxx ; ddyy unde





2 21 1
b ab aA ;


yxX ;



21
ccB .

Notează pe caiete și sunt atenți la
explicațiile profesorului.

M2

M1
M3
m2
m3

E1

75

OC 3

xd
2 21 1
b cbc și yd
2 21 1
c ac a
Exemplu: Să găsim soluțiile
sistemului anterior.
9560 357 106 5
xd
11040 7010 85 7
yd
Deci
95195x și .1101110y
Soluția sistemului este :
S=)110;95(
Metoda lui Cramer pentru n=3
Fie sistemul de trei ecuații cu trei
necunoscute:



3 3 3 32 2 2 21 1 1 1
dzcybxadzcybxadzcybxa
.

M4
M2

M1
M3
m2
m3
M4

76

Scrieți matricele atașate acestui
sistem.

Se calculează determinantul
matricei sistemului
det(A) = d =
3 3 32 2 21 1 1
c b ac b ac b a
și
acesta trebuie să fie nenul.
Dacă sistemul este de tip Cramer,
atunci el este compatibil
determinat și sol uția sa se
calculează cu formulele:
ddxx ; ddyy ; ddzz
unde: 




3 3 32 2 21 1 1
c b ac b ac b a
A ;





zyx
X ;





321
ddd
B .

Note ază pe caiete și sunt atenți la
explicațiile profesorului.

M1
M3
m2
m3
M4 E1
E2

77

xd
3 3 32 2 21 1 1
c b dcb dcb d
;
yd
3 3 32 2 21 1 1
c d ac d ac d a
;
yd
3 3 32 2 21 1 1
d b ad b ad b a
.

4. Realizarea feed –
back -ului

OC 2

OC 4 Exemplu:


9 3 213 4 32 4 2
z yxzy xz y x

Numește un elev care iese la
tablă și rezolvă sistemul propus.

Profesorul supraveghează rezol –
varea aplicației propuse .

0 55
3 1 21 4 34 2 1


d , prin
urmare sistemul este de tip Cramer,
deci este compatibil determinat.
M2
M3
m2
m3
M4

M2
M3

E1

78

În limita timpului disponibil, se
mai rezolvă un sistem din
manual. 110
3 1 91 4 134 2 2

 
xd ;
220
3 9 21 13 34 2 1
 
yd ;
,165
9 1 213 4 32 2 1


zd deci
355165,455220,255110 z y x
iar soluția este S= )3,4,2( m2
m3
M4
5. Tema de casă și
încheiere activității Temă: pag.91 E5 și E6 (manual)
Profesorul mulțumește elevilor
pentru participare și, eventual
notează elevii care a u avut o
activitate deosebită. Notează tema în caiete.
E1
E2

79ANEXA
Clasa a XI –a,
Liceu tehnologic
Profesor: Dedu Paula Monica
Disciplina: Matematică – Elemente de calcul matricial și sisteme liniare
Nr. Ore alocate: 8

Proiectul unității de înv ățare:
SISTEME DE ECUAȚII LINIARE

Competențe specifice(C.S.)
c) Identificarea unor situații practice concrete, care necesită asocierea unui tabel de date cu repreze ntrea matriceală a unui proces
specific domeniului economic sau tehnic.
d) Asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces.
e) Aplicarea algoritmilor de calcul în situații practice.
f) Rezolvarea unor ecuații și sisteme utilizând algoritmi specifici.
g) Stabilirea unor condiții de existență și/sau compatibilitate a unor sisteme ș i identificarea unor metode adecvate de rezolvare a
acestora.
h) Optimizarea rezolvării unor probleme sau situații­problemă, prin alegerea unor strategii și metode a decvate(de tip algebric,
vectorial, analitic, sintetic)

CONȚINUTURI – detaliate
ale unită ții de învățare
CS
Activități de învățare
RESURSE
EVALUARE
Ce? De
Ce?
Cum?
Cu ce?
Cât?
1.
Forma generală a unui sistem de
ecuații liniare 1
Aplicații.
1) Să se precizeze tipul sistemului de ecuații
liniare: Manual,
culegeri.
Metode:

80- Identificarea unei ecuații liniare, cu n
necunoscute, a soluției.
– Identificarea unui sistem de m ecuaț ii
liniare, cu n necunoscute(necunoscute,
coeficienți, termeni liberi):




m n mn m mnnnn
b xa xaxab xa xaxab xa xaxa
………
22 112 2 2 22 2 211 1 2 12 111
(1) sau
condensat: in
jjij b xa
1, m i,1 (2)
– Identificarea unui sistem de m ecuații
liniare și omogene, cu n necunoscute:




0 …0 …0 …
22 112 2 22 2 211 2 12 111
n mn m mnnnn
xa xaxaxa xaxaxa xaxa
, (3) sau
condensat: 0
1
n
jjijxa , m i,1 (4).
– Scrierea matriceală a unui sistem liniar :
AX = B, (5 )
Unde





mn m mnn
a a aa a aa a a
A

2 12 22 211 12 11
este 2

3

4 a)


3 42 5 3
y xy x ;
b)


0 5 34 25 2
3 12 13 2 1
x xxxx x x
;
c)


0 20 3 5 20 3
3 2 13 2 13 2 1
x xxx x xx x x
.
Raspuns:
a) sistem de două ecuații liniare, cu două
necunoscute: x, y ;
b) sistem de trei ecuații liniare, cu trei
necunoscute: x 1, x2, x3 ;
c) sistem de trei ecuații liniare și omogene, cu
trei necunoscute: x 1, x2, x3.
2) Scrieți sub formă matriceală, sist emele:
a)


3 42 5 3
y xy x; b)


0 5 34 25 2
3 12 13 2 1
x xxxx x x
;
Raspuns:
a) AX = B, unde: A = 



4 153, 


yxX si



32B . expunerea,
explicația,
conversația,
conversația
euristică,
exercițiul
problematizarea,
descoperirea,
activități
frontale și
individuale.
Tema,
Pag. 157,
ex.1(1,… ,6)
2(1,…,8) ;
3. Observarea
sistematică
a elevilor,
aprecierea
verbală,
evaluare în
ora următoare
prin tema
pentru acasă.

81matricea sistemului,





mbbb
B21
este
matricea termenilor liberi





mxxx
X21

matricea necunoscutelor ;
)/(21
2 12 22 211 12 11
BA
bbb
a a aa a aa a a
A
m mn m mnn








este matricea extinsă a sistemului.
– Identificarea unui sistem: incompatibil,
compatibil, compatibil determina t.
– Identificarea a două sisteme
echivalente.
– Identificarea transformărilor
elementare, asupra ecuațiilor unui sistem.
– Exemple, aplicații.
– Tema. b) AX = B, unde:






5 0 30 1212 1
A ,





321
xxx
X si





045
B
3) Exemple/aplicații de/la transformări
elementare ( schimbarea ordinii în sistem,
înmulțirea oricărei ecuații cu o constantă
nenulă, înlocuirea unei ecuații a sistemul ui,
prin suma dintre ea și produsul dintre o
constantă și o altă ecuație a sistemului).
2.
Metode de rezol vare a sistemelor
liniare: metoda matriceală
Fie un sistem de n ecuații liniare cu n
necuno scute

1. Aplicații.
Utilizând metoda matriceală, rezolvați
sistemele:

Manual,

Verificarea
temei,

82



n n nn n nnnnn
b xa xaxab xa xaxab xa xaxa
………
22 112 2 2 22 2 211 1 2 12 111
(1) sau
condensat: in
jjij b xa
1, n i,1 (2)
Procedeu practic, de rezolvare a unui
sistem liniar, de n ecuații cu n
necunoscute, prin metoda matriceală:
– rescriem sistemul, sub formă
matriceală:
AX = B (3) ș i se calculează det(A) ;
– dacă det(A)  0, se calculează A-1;
– Soluția sistemului este: X = A -1B (4).
Observație :
1) Această metodă, precizează în ce
condiții sistemul este compatibil și cum i
se determină soluția.
2) Dacă B = O sistemul este liniar
omogen și admite numai soluția banală:
X = O.
– Aplicații.
– Tema.

2.

3.

4.

5.

6 1)


1 33 2
yxyx; matricele care definesc
sistemul, sunt: A = 



1 312, 


yxX si



13B .
AX = B, det A = -5 rezulta ca exista A-1
X = A -1B =













5754
13
52
5351
51






5754
yx

2)


0 21 30 4 5 2
zxzyxz y x
; AX = B,






1 0 21 1345 2
A ,





010
B det A = -5
rezulta ca exista A-1. culegeri.
Metode:
expunerea,
explicația,
conversația,
conversația
euristică,
exercițiul
problematizarea,
descoperirea,
activități
frontale
și
individuale.
Tema,
pag.158,
ex.4; 5 (1). prin
sondaj,
rezolvarea
exercițiilor
care nau
putut fi
abordate
de elevi,
aprecierea
răspunsurilor
primite,
observarea
sistematică
a elevilor,
aprecierea
verbală.

83X = A -1B =





321




321
xxx
.
3)


0 4 30 2 30 3 2
z y xz yxz y x
;





000
X .

3.
Metode de rezolva re a sistemelor
liniare: metoda lui Cramer
Fie un sistem de n ecuații liniare cu n
necunoscute




n n nn n nnnnn
b xa xaxab xa xaxab xa xaxa
………
22 112 2 2 22 2 211 1 2 12 111
(1) sau
condensat: in
jjij b xa
1, n i,1 (2)
Teoremă. Orice sistem liniar (1), pentru
care determinantul sistemului: de t(A)
este nenul, este compatibil determinat, cu
soluția: ix
ix (3), unde:  = det(A),
iar
ix, se obține din , înlocuind
coloana coeficienților lui x i , cu coloana
termenilo r liberi, i = n,1

1.

2.

3.

4.

5.

Aplicatii:
Utilizand metoda lui Cramer rezolvati
urmatoarele sisteme de ecuatii liniare
1)


2 4 44 4 21 2
z yxz yxz yx

Rezolvare:  =12 0 sistemul est e compatibil
detrminat (sistem Cramer), cu soluția:
ix
ix 3,1i ;
41441 2211
 =12,
41241 4211

x =4
8
42 444 221 1


y
Manual
culegeri.
Metode:
expunerea,
explicația,
conversația,
conversația
euristică,
exercițiul
problematizarea,
descoperirea,
activități
frontale
și
individu ale.
Tema,
pag. 158,
ex. 6.1) I.și II
Verificare
temei,
prin
sondaj,
rezolvarea
exercițiilor
care nau
putut fi
abordate
de elevi,
aprecierea
răspunsurilor
primite,
observarea
sistematică
a elevilor,
aprecierea
verbală.

84- Definiții: formulele (3), se numesc:
formulele lui Cramer ; un sistem liniar, de
forma (1), cu det(A)  0,
se numește sistem Cramer .
– Procedeu practic, pentru rezolvarea
unui sistem Cramer:
1) Se calculează  , se observă, că:
0;
2) Se calculează determinanții:
ix, din
teoremă ;
3) Soluția sistemului este dată, de
formulel lui Cramer:
ix
ix i = n,1
– Aplicații.
– Tema.

6. 12
2 144 1 21 11


z
solutia este x =1/3 ; y = 2/3 ; z = 1.
2)




0 6 45 2 29 6 38 5 2
tzy xtzyt y xtz yx

 =27 0 istemul este compatibil determinat
(sistem Cramer), cu soluția:
ix
ix i = 4,1
81x ; 108y ; 27z ; 27t
x = 3, y = 4,z = 1,t = 1.
3)


0 2 50 5 4 30 2 3 2
z yxz y xz y x
;  = -14 0 sistemul este
compatibil determinat (sistem Cramer), cu
soluția:
ix
ix i = 3,1 0x ; 0y ;
0z si deci solutia este x=y=z=0
4.
Sisteme liniare cu cel mult 4
necunoscute
Rezolvarea unor sisteme de ecuații
liniare, cu grad mai mare de
dificultate(cu parametri), prin cele 1

2

Sa se rezolve si sa se discute prin metoda
matricea la sistemele:
1)


00 )1 (0 )1 (
z myxzy mxz myx

85două metode: metoda matriceală,
respectiv metoda/regula lui Cramer. 3

4

5

6 după valorile parametrului real m.
Rezolvare: sistemul este liniar și omogen, deci
este compatibil, având cel puțin o soluție,
soluția banală:
x = y = z = 0.
Determinantul sistemului este:
1 11 1 1)1 ( 1 1
mmm

 = m – 2; discuție:
a) dacă 2 0 m
sistemul are numai soluția banală, deci este
compatibil determinat:
x = y = z = 0.
b) dacă 2 0 m , sistemul devine:


0 200
zy xzyxzyx
; primele două ecuații coincid,
sistemul este ech ivalent cu sistemul format
din/de ultimile două
ecuații. Notăm: z = , R ,
Ry xyx

 ;2  ;23



yx
Soluția primului sistem/inițial este:
x =3 , y = -2, z = , R (sistemul este
compatibil,
simplu nedeterminat:depind de un parametru)
2) Să se rezolve și discute, prin metoda Cramer,
sistemul liniar:

86.1
2 

m mzyxmz myxzy mx
Rm
Determinantul sistemului este:
2 1
111 111
2 m m
mmm
.
Daca 2,1\ 0  Rm atunci sistemul
este compatibil determinat cu solutia





212121
2
mmzmymmx
zyx

Daca 2,1 0  m
Pentru m = -2  .
4 22 21 2


z yxzy xzyx
. Adunand
ecuatiile membru cu membru obtinem 0=3,
imposibil, sistemul este incompatibil.
Pentru m=1 cele trei ecuatii coincid cu
x + y + z =1. Notam R y, si
R z,  x = 1 , sitemul este
compatibil dublu nedeterminat cu solutia
  R   ,;,, 1

875.
Metode de rezolvare a sistemelor
liniare: metoda lui Gauss
Sisteme liniare cu cel mult 4
necunoscute.
Metoda lui Gauss, sau metoda eliminării
parțiale, este o meto dă de rezolvare a
sistemelor liniare, de m ecuații cu n
necunoscute, fără a face apel la
determinanți, constă în transformarea
echivalentă a sistemului , prin
transformări elementare.
Definiție. Un sistem liniar, de n ec. cu n
nec. are forma triunghiulară , dacă în
ecuația cu nr -ul k, coeficienții primelor k
– 1 necunoscute sunt zero, iar al lui x k,
este nenul:




n n nnnnnn
b xab xa xab xa xaxa
2 2 2 221 1 2 12 111
……

,sau echivalent matricea extinsă, are
forma triunghiulară:




n nnnn
b ab a ab a a a
 
0 002 2 221 1 12 11
1

2

3

4

5

6 Aplicatii: Utilizand metoda lui Gauss
rezolvati sistemele:
1)


2 2 33 25 2
3 2 13 2 13 2 1
x x xx xxx x x

Rezolvare:









 
17 6 5 07 1 5 05 1 21
235
3 1311 21 21
1 2
1 32
3l l
llA





10 5 007 1 5 05 1 21
2 3ll
;
rescriem sistemul asociat matr icei
triunghiulare


10 57 55 2
33 23 2 1
xx xx x x



211
321
xxx
sistem
compatibil determinat
2)


0 6 4 20 4 20 3
z y xz yxz yx

Aplicand metoda eleminarii partiale avem
solutia banala x = y = z = 0. Manual,
culegeri.
Metode:
expunerea,
explicația,
conversația,
conversația
euristică,
exercițiul
problematizarea
descoperirea,
studiu de caz,
activități
frontale
și
individuale.
Tema,
Pag.160,
Ex.
16(a,…,g) ;
Ex.18(c, d, g) Verificarea
temei,
prin
sondaj,
rezolvarea
exercițiilor
care nau
putut fi
abordate
de elevi,
aprecierea
răspunsurilor
primite,
observarea
sistematică
a elevilor,
aprecierea
verbală.

88Observații:
1) Orice sistem liniar, se poate aduce la
forma trapezoidală( pt. m n), respectiv,
la forma triunghiulară, dacă m = n.
2) Transformările elementare, ce se pot
faceasupra elementelor sistemului,
generând sisteme echivalente, sunt:
E1) schimbarea ordinii ecuațiilor
în sistem.
E2) înmulțirea oricărei ecuații a
sistemului, prin factori nenuli.
E3) adunarea la o ecuație, a altei
ecuații înmulțită cu un număr.
Notații:
1) LiLj: schimbarea liniilor între ele.
2) a L i: înlocuirea liniei Li, cu a Li ;
3) Li + a Lj: înlocuirea liniei Li, cu Li +
a Lj .
Comentarii.
1) În urma transformărilor elementare,
rezultă sisteme echivalente, cărora le
corespund matrice extinse echivalente.
2)Transformările elementare ce se fac
asupra ecuațiilor unui sistem, se trans feră
asupra liniilor matricei extinse. Repetarea
acestor operații, asupra matricei extinse,
ne dă soluția sistemului.
Teoremă.
1) Orice sistem liniar este echivalent cu
un sistem de forma trapezoidală.
2) Orice matrice se poate reduce cu 3)


0 6 4 20 4 20 3 2
z y xz yxz y x
; matricea extinsa a
sistemului este










 
00 000 105 003 21
000
6 4241 23 21
1 2
1 32
2l l
l lA
251l





00 00021 003 21






 R
zyx
z yz y x

;20 20 3 2sistem
compatibil simplu nedeterminat cu solutia
banala daca =0.
4)


4 5 37 9 5 26 12 6 3
y y xz y xz y x





  





  
 
4 5 317 9 522 42 1
476
5 319 52126 3121l
A

89ajutorul transform ărilor elementare, la
forma trapezoidală.
Aplicații ; tema. 









  
1000311 0242 1
2 1 103 11 02 42 1
2 3 1 2
132 ll l l
ll
sistem incompatibil

6
Rangul unei matrice. Aplicații
Identificarea rangului unei matrice
nenule.
Metode de determinare a rangului
unei matrice:
– utilizând transformările
elementare ;
– utilizând calculul cu minori.
Comentarii:
1)Ținând seama de definiția rangului
unei matrice și de proprietățile
determinanților, deducem că matricele
obținute din mat ricea nenulă A, prin
transformările elementare cunoscute, au
același rang ca și matricea A.
În plus, det(B) = det( t B ), unde B este o
matrice nenulă, transformările elementare
se referă și la coloane.
2) Prezentarea algoritmului pentru
calcularea
rangul ui unei matrice nenule.
Aplicații. 1

2

3

4

5

6

Determinati rangurile matricelor
1)





21333411 2121
A
 33,4   rangA R MA , mat ricea fiind
nenula ,011d 051 221
2 d ,
0
33411 2121
3 d , deci rangA=2.

2)






3 20311 21
A
 33,3   rangA R MA
det A= 9+ +6+6=+21
Daca -21 atunci rang A=3

Manual,
culegeri.
Metode:
expunerea,
explicația,
conversația,
conversația
euristică,
exercițiul
problematizarea,
descoperirea,
studiu de caz,
activități
frontale
și
individuale.
Tema,
Pag. 160,
ex.19(a, b, c) ;
ex. 20(a, b,
c, d)

Verificarea
temei,
prin
sondaj,
rezolvarea
exercițiilor
care nau
putut fi
abordate
de elevi,
aprecierea
răspunsurilor
primite,
observarea
sistematică
a elevilor,
aprecierea
verbală

90Studiul compatibilității și rezolvarea
sistemelor ;
prorietatea lui Kronecker –Kapelli ;
prorietatea lui Rouch é.
Teorema( propr. KroneckerCapelli).
Un sistem de m ecuații liniare cu n
necunoscute:x i , i = n,1 , este compatibil
rang(A) = rang( A ).
Teorema( propr. Rouch é)
Un sistem de m ecuații liniare cu n
necunoscute este compatibil  toți
determinanții carcteristici sunt nuli.
Comentarii.
1) Minorul care dă rangul, se numește
minor principal.
2) Necunoscute principale : sunt
necunoscute le ale căror coeficienți sunt
în determinatul principal ; necunoscute le
secundare (dacă există) sunt celelalte
necunoscute ale sistemului.
3) Ecuații principale sunt ce le
ale căr or coeficienți sunt în
determinantul/minorul principal ; ecuații
secundare (dacă există) sunt celelalte
ecuații ale sistemului.
4) Determinant caracteristic =
determinantul care se obține prin
bordarea minorului principal, pe linie cu
coeficienții necunoscu telor principale din
ecuațiile secundare, iar pe coloană cu Daca =-21 atunci rang A=2 deoarece
053121.
Rezolvati sistemele:
1)


2 4 3 3 3 30 21 2
5 4 3 2 15 4 3 2 15 4 3 2 1
x x x x xx x x xxx x x xx

Rezolvare:




 

43 3 332 1 11 111 1 12
A
Rang A = 2, minorul principal
031 112d
Verificăm compatibilitate sistemului, cu th.
lui Rouché: sistemul are d oar un
minor/determinant caract eristic (având o
singură ecuație secundară):
0
4 332 1 11 12
cd deci sistemul este
compatibil; ecuatii principale primele doua si
secundara ultim a, necunoscute principale
2 1,xx si secundare
R x x x    ,,; , ,5 4 3 .

91termenii liberi cor espunzători.
Nr-ul determinatilor caracteristici este
egal cu nr -ul necunoscutelor secundare.
Procedeu practic pentru determinarea
soluțiilor sistemelor liniare:
– Compatibilita tea sistemului: calculez
rang(A)= r ; stabilim ecuații/necunoscute
principale/ secundare. Stabilim dacă
sistemul este compatibil, cu una din cele
două teoreme de mai sus.
~ Determinarea soluțiilor sistemului
compatibil: Dacă rang(A) = r = n atunci
sistemul e ste compatibil determinat.
Dacă r < n, se formează un nou sistem,
format din ecuațiile principale, care are
în primul membru termenii care
corespund nec -lor principale, ceilalți
termeni se trec în membrul 2, după ce
nec-lor secundare li s -au atribuit valor i
arbitrare, iar noul sistem se rezolvă prin
regula lui Cramer.
În acest caz sistemul inițial, este
compatibil nedeterminat.
Aplicații ; tema. Formam noul sistem:



22
2 12 1
xxxx, cu solutiile
31
1x , 35 3 31
2x
R x x x    ,,; , ,5 4 3 , sistem
triplu nedeterminat.
2)


5 4 5 33 34 2
z y xzyxz yx

rang (A) = 2, 0card sistem incompatibil
(teorema lui Rouch é),

927.
Sisteme de ecuații liniare
și omogene
Identificarea unui sistem liniar,
omogen, de m ecuații cu n necunoscute:
xk, k= n,1.
Comentarii:
1)Un sistem liniar omogen este totdeauna
compatibil, deoarece admite cel puțin
soluția ban ală: x k = 0 , k = n,1.
2) La astfel de sisteme, se pune problema
de a vedea, dacă admit și alte soluții, deci
dacă este compatibil determinat, sau
compatibil nedeterminat.
3) Dacă rang(A) = n , sistemul este
compatibil determinat ; dacă r ang(A) < n
sistemul este compatibil nedeterminat.
4) Condiția ca un sistem liniar omogen,
de n ecuații cu n necunoscute, să aibă
numai soluția banală este: det(A)  0
(sistem Cramer).
5) Condiția ca un sistem liniar omogen,
de necuați i cu n necunoscute, să admită și
soluții nebanale, este det(A) = 0 (sistem
compatibil nedeterminat).
Discuția unui sistem de ecuații
liniare.
Rezolvă ri de sisteme, cu parametrii,
aplicând pașii de rezolvare, ai unui
sistem liniar/omogen, prezentați în
lecțiile anterioare.
Aplicații, tema. 1

2

3

4

5

6 Rezolvati sistemul liniar si omogen in
cazurile:


0 2 305 203 4 2
z yxtyxtz y x

Sistem liniar, cu 3 ecuații și 4 nec.: x, y, z, t.




 

0 21 35 0 1234 2 1
A R M4,3
3rangA Rang A = 3, notez
2
21 30 124 2 1


pd , toate ecuatiile
sunt principale, necunoscute principale x,y,z
si secundara t= R, , rezolvam noul
sistem prin Cramer:
R
z yxyxz y x




,
0 2 35 23 4 2

solutia sistemului initial este
R t z y x    , ,11,29 ,17
2)


0 200 3 2
zy xzyxzy x

Det A = 3 0  sistem compatibil
determinat, admite doar solutia banala.
x = y = z = 0. Manual,
culegeri.
Metode:
explicația,
conversația,
conversația
euristică,
exercițiul
problemati zarea,
descoperirea,
studiu de caz,
activități
frontale
și
individuale.
Tema,
pag. 161, ex.
22(c,d) ;
24;
25;
27. Verificarea
temei,
prin
sondaj,
rezolvarea
exercițiilor
care nau
putut fi
abordate
de elevi,
aprecierea
răspunsurilor
primite,
observarea
sistematică
a elevilor,
aprecierea
verbală.

938.
Sisteme liniare cu cel mult 4
necunoscute
Test de evaluare sumativă. Evaluare sumativă a unității de învățare. Activitate
individuală.
Test de
evaluare
sumativă, pe
numere.

94BIBLIOGRA FIE

[1] I. Munteanu, D. Stanica – Analiza numerica – Exercitii si teme de laborator – Editura
Universitatii din Bucuresti, 2008.
[2] I. Rosca – Analiza numerica – Editura Universitatii din Bucuresti, 1999.
Gh. Grigore – Lectii de analiza numerica – Editura Universitatii din Bucuresti, 1991.
[3] D. Stanica – Analiza Numerica – in curs de publicare la Editura Didactica si
Pedagogica, Bucuresti.
[4] Ion D. Ion și altii – Complemente de algebră – Editura U niversitatii din Bucuresti,
1985.
[5] Mirce a Ganga –Teme si probleme de matematica – Editura Tehnica, Bucuresti, 1991
[6] Gh Cenusa, Raischi C. si altii – Admitere A.S.E. Matematica – Editura Cison,
Bucuresti, Editiile 2008, 2009, 2010.
[7] C. Nastasescu, C. Nita – Exercitii si probleme de algebra – Editura Did actica si
Pedagogica, Bucuresti 1983.
[8] C. Ionescu – Tiu, M. Popescu – Probleme alese de matematica pentru licee – Editura
Tehnica, Bucuresti, 2003.
[9] O. Stanasila si altii – Culegere de probleme pentru admiterea in invatamantul
superior – Editura Stiintifica si Enciclopedica, Bucuresti 1989.
[10] Ghid metodologic aria curriculara matematica si stiinte ale naturii – editura Aramis
Print, Bucuresti, 2002

95
Declarație de autenticitate,

Subsemnat a Oprea Paula Monica , căsătorită Dedu , cadru
didactic la Colegiul Tehnic „Stefan Banulescu” din localitatea Calarasi ,
județul Calarasi , înscris ă la examenul de acordare a gradului didactic I,
seria 2011 / 2013 , cunoscând dispozițiile articolului 292 Cod penal cu
privire la f alsul in declarații, declar pe propria răspundere următoarele:

a) lucrarea a fost elaborată personal și îmi a parține în întregime;
b) nu am folosit alte surse decât cele menționate în bibliografie;
c) nu am pre luat texte, date sau elemente de grafică din alte lucrări sau
din alte surse fără a fi citate și fără a fi precizată sursa preluării;
d) lucrarea nu a mai fost folosită în alte contexte de examen sau de
concurs.

Dau prezenta declaratie fiindu -mi necesară la predarea lucrării
metodico -științifice cu titlul „Metode directe de rezolvare a sistemelor
de ecuatii liniare” în vederea avizării de către conducătorul științific,
domnul Lect. univ. dr Daniel Stanica .
Declarant ,
Oprea (Dedu) Paula Monica

27 august 2012