S iruri si serii de funct ii [624001]

Capitolul 1
S iruri  si serii de funct ii
Pentru prezentarea materialului din acest capitol s-a folosit monograa [3].
1.1 Convergent a punctual a vs convergent a
uniform a
Se consideraDo submult ime nevid a a lui R.
Notat ie: Se noteaz a cuF(D;R) =ffjf:D! Rgmult imea tuturor
funct iilor denite pe mult imea Dcu valori ^ n mult imea numerelor reale.
Denit ie 1.1.1 ( sir de functii) FieD  R;D 6=?. Orice funct ie f:
N!F (D;R)se nume ste  sir de funct ii din F(D;R).
Denit ie 1.1.2 (convergent a punctual a) FieDR;D6=?; x02D  si
e(fn)un  sir de funct ii din F(D;R). S irulfnconverge ^ n punctul x0( sau
x0este punct de convergent  a a  sirului de funct ii (fn)) ,dac a  sirul de numere
reale (fn(x0))este convergent.
Mult imea de convergent  a a  sirului (fn) este mult imea tuturor punc-
telorx02D^ n care  sirul de funct ii ( fn) converge.
C:=fx02D: (fn)converge ^ nx0g:
Observat ia 1.1.3
1. FieD0D .Dac a  sirul de funct ii (fn)converge ^ n orice punct x02
D0,atunci spunem c a  sirul (fn)converge punctual pe D0.
1

2. Dac a  sirul (fn)converge peDatunci spunem c a  sirul (fn)converge
punctual .
Denit ie 1.1.4 (limita punctual a) Fie(fn)un  sir de funct ii din F(D;R)
convergent punctual. Atunci funct ia f:D! Rdenit a prin
f(x) = lim
n!1fn(x);8x2D
se nume ste limita punctual a a  sirului fn(x).
Notat ie: Limita punctual a fa  sirului (fn) se noteaz a cu lim
n!1fn, adic a:
f= lim
n!1fn:
^In loc de a spune c a  sirul ( fn) converge punctual c atre funct ia f, se poate
folosi simplu notat ia ( fn)!f:
Observat ia 1.1.5 .Dac af:D! Reste limita punctual a a  sirului (fn)
de funct ii dinF(D;R),atunci spuncem c a  sirul de funct ii (fn)converge
punctual c atre fpeD.
Teorema 1.1.6 (convergent a punctual a) FieDR;D6=? si(fn) sir
de funct ii dinF(D;R).Atunci  sirul (fn).Atunci  sirul (fn)este convergent
punctual peD0D dac a  si numai dac a 9f:D0!Rcu proprietatea c a
8x2D 0 si"2R;"> 0exist an";x2Nastfel ^ nc^ at8n2N;n>n";xavem
jfn(x)f(x)j<":
Exemplul 1.1.7 Fie  sirulfn:R!R;fn(x) =xn)fn2F(R;R);
n2N:Consider am x2R,atunci:
lim
n!1fn(x) = lim
n!1xn=8
>>><
>>>:0 pentrujxj<1
1 pentrux= 1
+1 pentrux>1
@ pentrux1:
Astfel rezult a c a  sirul (fn)converge punctual c atre funct ia
f: (1;1]!Rdenit a prin
f(x) = lim
n!1fn(x) =(
0;jxj<1
1;x= 1:
2

Denit ie 1.1.8 (convergent a uniform a) FieDR;(fn) sir de funct ii
dinF(D;R) siD0D . Se spune c a  sirul (fn)este convergent uniform pe
D0dac a9f:D0!Rcu proprietatea c a 8"2R;" > 0;9n"2Nastfel
^ nc^ at8n2N;nn";8x2D 0avem:
jfn(x)f(x)j<":
Observat ia 1.1.9 Fie  sirul de funct ii (fn)dinF(D;R)convergent uniform
 sif:D! Rastfel ^ nc^ at fn!f, atunci  sirul (fn)converge uniform c atre
funct iafpeD, iar acest lucru se noteaz a astfel:
fnf:
Denit ie 1.1.10 (serie de funct ii) FieDR;D6=?.
Se nume ste serie de funct ii din F(D;R)orice pereche ordonat a ((fn);(sn)),
unde (fn)este un  sir de funct ii din F(D;R), iar
sn=f1+f2+


+fn;8n2N:
Notat ie
seria de funct ii (( fn);(sn)) se noteaz a cu1P
n=1fn;sauP
n2Nfn;
sauP
n>1fn, sauP
nfn:
Observat ia 1.1.11
Se nume ste termen general al seriei1P
n=1fn;funct iafn, unden2N:
(fn)dinF(D;R)este  sirul termenilor seriei1P
n=1fn:
snse nume ste suma part ial a de rang na serei1P
n=1fn;unde:
sn=f1+f2+


+fn; n2N:
(sn)este  sirul sumelor part iale ale seriei1P
n=1fn:
3

^In cazul ^ n care ^ l x am pe x2 D , putem forma seria de numere
1P
n=1fn(x);iar ^ n acest caz seria1P
n=1fn(x)se nume ste seria valorilor
determinat a de seria de funct ii1P
n=1fn:
Denit ie 1.1.12 (convergent a punctual a) FieDR;D6=?;
x02D  si e1P
n=1fno serie de funct ii din F(D;R). Se spune c a seria de
funct ii1P
n=1fnconverge in punctul x0(saux0este punct de convergent  a a
seriei1P
n=1fn) , dac a seria de numere1P
n=1fn(x0)este convergent a.
Observat ia 1.1.13 Punctulx02 D este punct de convergent  a al seriei
1P
n=1fndac a  sirul de numere (sn(x0))este convergent.
Mult imea de convergent  a (CD) a seriei de funct ii1P
n=1fneste for-
mat a din toate punctele x2D^ n care seria de funct ii1P
n=1fnconverge.
Observat ia 1.1.14 FieCD mult imea de convergent  a a seriei de funct ii
1P
n=1fn.^In acest caz funct ia f:C!Rcare se dene ste prin
f(x) =1X
n=1fn(x)oricare ar fi x2C;
se nume ste suma seriei1P
n=1fnpe mult imea Csi vom scrie f=1P
n=1fn:
4

Denit ie 1.1.15 (absolut convergent a) FieDR;D6=?;
x02 D  si e1P
n=1fnserie de funct ii din F(D;R). Seria de funct ii1P
n=1fn
se nume ste absolut convergent a ^ n punctul x02D , dac a seria de numere
1P
n=1fn(x0)este absolut convergent a.
Exemplul 1.1.16 Pentru ecare num ar ^ ntreg n0, se consider a funct ia
fndenit a pe Rprin egalitatea fn=x2
(1+x2)n si se consider a seria de funct ii
f=1P
n=1fn. Pentru a determina mult imea de convergent  a a acestei serii, se
alegex2Run punct oarecare  si se consider a seria de numere
1X
n=1fn(x) =x2+x2
1 +x2+x2
(1 +x2)2+


+x2
(1 +x2)n+


:
Astfel se obt ine o serie geometric a cu rat ia1
1+x2<1pentrux6= 0, deci se
obt ine c a seria este convergent a. ^In cazul ^ n care x= 0, suma seriei este 0.
Dac ax6= 0 suma seriei este
x21
11
1+x2=x2
x2
1+x2= 1 +x2:
^In continuare se consider a funct ia f:R!Rdenit a prin
f(x) =(
1 +x2pentrux6= 0
0 pentrux= 0:
Astfel ^ n nal se deduce c a seria de funct ii f=1P
n=1fnconverge punctual pe
mult imea numerelor reale c atre funct ia f.
^In plus, seria1P
n=1fneste absolut convergent a pe R, deoarece
oricare ar  x2R, seria1P
n=1fn(x)este cu termeni pozitivi.
5

Denit ie 1.1.17 (uniform convergent a) FieD0D R;D6=?; si e
1P
n=1fno serie de funct ii din F(D;R). Seria de funct ii1P
n=1fnse nume ste uni-
form convergent a pe mult imea D0dac a  sirul (sn)al sumelor part iale denit
prinsn=f1+f2+


+fn;unden2N, este convergent uniform pe mult imea
D0:
1.2 Criterii de convergent  a uniform a
^In acest capitol vom ment iona c ateva rezultate importante ^ n ceea ce
prive ste stabilirea convergent ei uniforme a  sirurilor si seriilor de funct ii.
Teorema 1.2.1 (Criteriul lui Cauchy de convergent  a
uniform a a unui  sir de funct ii) .
FieDR;D6=? si(fn) sir de funct ii dinF(D;R). Urm atoarele armat ii
sunt echivalente:
1. S irul de funct ii (fn)converge uniform pe D:
2.8">0;9n"2Ncu proprietatea c a 8n;p2Ncu
nn si8x2D avem
jfn+p(x)fn(x)j<":
Teorema 1.2.2 (Criteriul lui Cauchy de convergent  a
uniform a a seriilor de funct ii) .FieDR;D6=? si e1P
n=1fnserie de
funct ii dinF(D;R). Urm atoarele armat ii sunt echivalente:
1. Seria1P
n=1fneste convergent a pe D:
2.8">0;9n"2Ncu proprietatea c a 8n;p2Ncu
nn si8x2D avem
jfn+1(x) +fn+2(x) +


+fn+p(x)j<":
Teorema 1.2.3 (Criteriul majorantei pentru  sirurile de funct ii)
FieD R;D6=?;(fn) si(gn)dou a  siruri de funct ii din F(D;R) si
f:D ! Ro funct ie. Presupunem c a sunt ^ ndeplinite urm atoarele pro-
priet at i:
6

(i) exist a un num ar natural n0astfel ^ nc^ at
jfn(x)f(x)jgn(x);8x2D  sin2N;nn0;
(ii)  sirul (gn)converge uniform c atre funct ia nul a pe D:
Atunci  sirul (fn)converge uniform c atre funct ia fpeD:
Teorema 1.2.4 (Criteriul majorantei pentru seriile de funct ii)
FieDR;D6=?;(fn) si(gn)dou a  siruri de funct ii din F(D;R):Pre-
supunem c a sunt ^ ndeplinite urm atoarele propriet at i:
(i) exist a un num ar natural n0astfel ^ nc^ at
jfn(x)jgn(x);8n2N;nn0 si8x2D;
(ii) seria1P
n=1gneste convergent a uniform pe D:
Atunci seria1P
n=1fneste convergent a uniform si absolut pe D:
Teorema 1.2.5 (Criteriul lui Weierstrass de convergent  a
uniform a a unui  sir de funct ii) .
FieDR;D6=? si(fn) sir de funct ii dinF(D;R);f2F(D;R) si(an)
un  sir de numere reale care satisfac urm atoarele propriet at i:
(i) exist a un num ar natural n0astfel ^ nc^ at
jfn(x)f(x)jan;8n2N;nn0 si8x2D;
(ii)lim
n!1an= 0:
Atunci  sirul (fn)converge uniform c atre funct ia fpeD:
Teorema 1.2.6 (Criteriul lui Weierstrass de convergent  a
uniform a a seriilor de funct ii) .
7

FieDR;D6=? si(fn) sir de funct ii dinF(D;R);f2F(D;R) si(an)
un  sir de numere reale care satisfac urm atoarele propriet at i:
(i) exist a un num ar natural n0astfel ^ nc^ at
jfn(x)jan;8n2N;nn0 si8x2D;
(ii) seria1P
n=1aneste convergent a.
Atunci seria1P
n=1fneste convergent a uniform  si absolut pe D:
1.3 Propriet at i de intervertire a ordinii pentru
 siruri  si serii de funct ii
^In aceast a sect iune vom vedea ^ n ce context propriet at ile de continui-
tate,derivabilitate  si integrabilitate ale termenilor unui  sir  si respectiv serii
de funct ii se transmit funct iei limit a  si respectiv funct iei sum a.
8

S iruri de funct ii Serii de funct ii
Teorema 7.3.1. Teorema de existent  a a
limitei ^ ntr-un punct a funct iei limit a a
unui  sir de funct iiTeorema 7.3.2. Teorema de existent  a a
limitei ^ ntr-un punct a sumei unei serii de
funct ii
FieDR;D6=?;x02Run punct
de acumulare al mult imii D si  sirul de
funct ii (fn) dinF(D;R) ce ^ ndepline ste
urm atoarele propriet at i:FieDR;D6=?;x02Run punct
de acumulare al mult imii D si seria de
funct ii1P
n=1fndinF(D;R). Dac a sunt
^ ndeplinite urm atoarele propriet at i:
(i) Pentru ecare n2N, funct iafnare
limit a nit a ^ n x0;(i) Pentru ecare n2N, funct iafnare
limit a nit a ^ n x0;
(ii) S irul (fn) converge uniform pe D: (ii) Seria1P
n=1fnconverge uniform pe D:
Atunci au loc urm atoarele: Atunci au loc urm atoarele:
1. S irul
lim
x!x0fn(x)
n2Neste conver-
gent.1. Seria de numere1P
n=1
lim
x!x0fn(x)
este convergent a.
2. Funct ia limit a f= lim
n!1fnare limit a
nit a ^ nx0 si
lim
x!x0f(x) = lim
n!1
lim
x!x0fn(x)2. Funct iaf=1P
n=1fnare limit a nit a ^ n
x0 si
lim
x!x0f(x) =1X
n=1
lim
x!x0fn(x)
:
9

Teorema 7.3.3. Teorema de continuitate
^ ntr-un punct a limitei unui  sir de funct ii
FieDR;D6=?;x02D  si  sirul de
funct ii (fn) dinF(D;R) ce ^ ndepline ste
urm atoarele propriet at i:
(i) Pentru ecare n2N, funct iafneste
continu a ^ n x0;
(ii) S irul (fn) converge uniform pe D:
Atunci funct ia limit a f= lim
n!1fneste con-
vergent a ^ n punctul x0:Teorema 7.3.4. Teorema de continuitate
^ ntr-un punct a sumei unei serii de funct ii
FieD R;D6=?;x02D  si seria
de funct ii1P
n=1fndinF(D;R). Dac a sunt
^ ndeplinite urm atoarele propriet at i:
(i) Pentru ecare n2N, funct iafneste
continu a ^ n x0;
(ii) Seria1P
n=1fnconverge uniform pe D;
atunci funct ia f=1P
n=1fneste continu a ^ n
punctualx0:
Teorema 7.3.5. Teorema de continuitate
global a a limitei unui  sir de funct ii
FieD  R;D6=? si  sirul de funct ii
(fn) dinF(D;R). Dac a sunt ^ ndeplinite
urm atoarele propriet at i:
(i) Pentru ecare n2N, funct iafneste
continu a ^ n x0;
(ii) S irul (fn) este convergent uniform
peD;
atunci funct ia limit a f= lim
n!1fneste
continu a peD:Teorema 7.3.6. Teorema de continuitate
global a a sumei unei serii de funct ii
FieD  R;D6=? si seria de funct ii
1P
n=1fndinF(D;R). Dac a sunt ^ ndeplinite
urm atoarele propriet at i:
(i) Pentru ecare n2N, funct iafneste
continu a peD;
(ii) Seria1P
n=1fneste convergent a uni-
form peD;
atunci funct ia f=1P
n=1fneste continu a
peD:
10

Teorema 7.3.7. Teorema de derivabili-
tate a limitei unui  sir de funct ii
FieIRun interval nedegenerat  si
e  sirul de funct ii ( fn) dinF(I;R) care
^ ndepline ste urm atoarele propriet at i:
(i) Pentru ecare n2N, funct iafneste
derivabil a pe I;
(ii) S irul (fn) este convergent punctual
peI;
(iii) S irul
f0
n

este convergent uniform
peI:
Atunci funct ia limit a f= lim
n!1fneste de-
rivabil a pe I si are loc relat ia
f0=
lim
n!1fn0
= lim
n!1f0
n:
Teorema 7.3.9. Teorema de integrabili-
tate Riemann a limitei unui  sir de funct ii
Fiea;b2Rcu proprietatea c a a < b
 si e  sirul de funct ii ( fn) dinF([a;b];R)
care ^ ndepline ste urm atoarele propriet at i:
(i) Pentru ecare n2N, funct iafneste
integrabil a Riemann pe [ a;b];Teorema 7.3.8. Teorema de derivabili-
tate a sumei unei serii de funct ii
FieIRun interval nedegenerat  si e
seria de funct ii1P
n=1fndinF(I;R). Dac a
sunt ^ ndeplinite urm atoarele propriet at i:
(i) Pentru ecare n2N, funct iafneste
derivabil a pe I;
(ii) Seria1P
n=1fneste convergent a punc-
tual peI;
(iii) Seria1P
n=1f0
neste convergent a uni-
form peI:
Atunci funct ia f=1P
n=1fneste derivabil a
peI si are loc relat ia
f0= 1X
n=1fn! 0
=1X
n=1f0
n:
Teorema 7.3.10. Teorema de integrabili-
tate Riemann a sumei unei serii de funct ii
Fiea;b2Rcu proprietatea c a a<b  si
e seria de funct ii1P
n=1fndinF([a;b];R).
Dac a sunt ^ ndeplinite urm atoarele pro-
priet at i:
(i) Pentru ecare n2N, funct iafneste
integrabil a Riemann pe [ a;b];
11

(ii) S irul (fn) este convergent uniform
pe [a;b]:
Atunci au loc urm atoarele:
1. S irul de numere realeRb
afn(x)dx
este convergent.
2. Funct ia limit a f= lim
n!1fneste inte-
grabil a Riemann pe [ a;b]  si are loc egali-
tatea:
Zb
af(x)dx=Zb
a
lim
n!1fn(x)
dx=
= lim
n!1Rb
afn(x)dx:(ii) Seria1P
n=1fneste convergent a uni-
form pe [a;b];
atunci au loc urm atoarele:
1. Seria de numere1P
n=1Rb
afn(x)dx
este convergent a.
2. Funct ia f=1P
n=1fneste integrabil a
Riemann pe [ a;b]  si are loc egalitatea
Zb
af(x)dx=Zb
a 1X
n=1fn(x)!
dx=
=1P
n=1Rb
afn(x)dx
:
1.4 Teorema convergent ei uniforme
Acest rezultat a fost ment ionat ^ n sect iunea anterioar a ^ n teorema 7.3.9
(pentru  sirurile de funct ii)  si ^ n teorema 7.3.10 (pentru seriile de funct ii),
dar ^ l vom reda ^ n aceast a sect iune  si ne vom referi la el sub denumirea de
teorema convergent ei uniforme . Aceast a teorem a ne arat a c a ^ n anumite
ipoteze,  si anume cele ment ionate ^ n cadrul teoremei convergent ei uniforme,
se poate trece la limit a sub semnul integralei.
Teorema 1.4.1 (teorema convergent ei uniforme)
Fiea;b2Rcu proprietatea c a a<b  si  sirul de funct ii (fn)dinF([a;b];R)
care ^ ndepline ste urm atoarele propriet at i:
(i) Pentru ecare n2N, funct iafneste integrabil a Riemann
pe[a;b];
(ii) S irul (fn)este convergent uniform pe [a;b]c atre o funct ie
12

f: [a;b]!R.
Atunci au loc urm atoarele:
1. S irul de numere realeRb
afn(x)dx
este convergent.
2. f este integrabil a Riemann, exist a limita
lim
n!1Zb
afn(x)dx
 si are loc egalitatea
lim
n!1Zb
afn(x)dx=Zb
af(x)dx:
Demonstrat ie:
Not amIn:=Rb
afn(x)dxunden1:Pentru ^ nceput vom demonstra
armat ia (1) a teoremei 7.4.1  si anume c a  sirul ( In) este fundamental. ^In
acest scop, e " >0 arbitrar ales. Din ipoteza (ii) a teoremei  stim c a  sirul
(fn) este convergent uniform pe [ a;b]  si astfel putem aplica teorema 7.2.1(
criteriul de convergent  a uniform a a lui Cauchy), de unde rezult a c a exist a
n02Ncu proprietatea c a:
jfn+p(x)fn(x)j<"
2(ba)pentru orice nn0;oricep1  si orice
x2[a;b]:
Prin urmare pentru orice nn0 si oricep1 avem
jIn+pInj=Zb
a(fn+p(x)fn(x))dxZb
ajfn+p(x)fn(x)jdx
"
2(ba)Zb
adx="
2<": (1:7:1)
Din (1.7.1) rezult a c a  sirul ( In) este fundamental  si cum orice  sir fundamental
este convergent, am demonstrat ceea ce ne-am
13

propus  si anume c a  sirul (In)este convergent. De aici rezult a c a
exist a lim
n!1In:Not amI:= lim
n!1In:^In continuare ram^ ane s a demonstr am
din armat ia (2) a teoremei c a funct ia limit a fa  sirului de funct ii ( fn) este
integrabil a Riemann  si c a are loc egalitatea
Zb
af(x)dx=I:
Pentru aceasta, e " >0 oarecare. Din denit ia limitei rezult a c a exist a un
num ar natural n12Ncu proprietatea c a
jInIj<"
3oricare ar fi nn1:
S irul (fn) este uniform convergent (conform ipotezei (ii)), deci exist a un
n22Nastfel ^ nc^ at
jfn(x)f(x)j<"
3(ba)pentru orice nn2 si orice x2[a;b]:
Alegemn2Nastfel ^ nc^ at nmaxfn1;n2g:
Pe baza ipotezei (i), rezult a(conform denit iei integralei ^ n sens Riemann) c a
exist a un >0 astfel ^ nc^ at pentru orice diviziune
2Div[a;b]cuk
k<
 si orice sistem de puncte intermediare 2P(
) s a avem
j(fn;
;)Inj<"
3:
Fie deci
:= ( x0;x1;:::;xk) o diviziune oarecare a intervalului [ a;b] cu
k
k< . Fie:= (c1;c2;:::;ck) un sistem de puncte intermediare asociat
diviziunii
2Div[a;b]. Atunci avem
j(f;
;)Ij=j(f;
;)(fn;
;) +(fn;
;)In+InIj
j(f;
;)(fn;
;)j+j(fn;
;)Inj+jInIj
14

<kX
j=1(f(cj)fn(cj))(xjxj1)+2"
3
kX
j=1jf(cj)fn(cj)j
(xjxj1) +2"
3
<"
3(ba)kX
j=1(xjxj1) +2"
3="
Deci am ar atat c a j(f;
;)Ij<", de unde rezult a c a
Zb
af(x)dx=I:
^In concluzie, am ar atat c a feste integrabil a Riemann  si c a are loc egalitatea
din concluzia teoremei:
lim
n!1Zb
afn(x)dx=Zb
alim
n!1fn(x)
|{z}
f(x)dx: (7:4:2)

15

Capitolul 2
Teoreme de convergent  a pentru
integrala Riemann
Pentru prezentarea materialului din acest capitol s-au folosit lucr arile [5], [6],
[7].
2.1 Teorema convergent ei m arginite a lui Arzel a
A sa cum s-a v azut ^ n sect iunea anterioar a, teorema convergent ei uniforme
impune o condit ie foarte restrictiv a asupra  sirului de funct ii ( fn)  si anume
convergent a uniform a a  sirului pentru ca egalitatea (7.4.2) s a aib a loc, iar ^ n
numeroase cazuri aceast a condit ie nu este ^ ndeplinit a. De asemenea dac a se
^ ncearc a sl abirea ipotezei (ii) din cadrul teoremei 7.4.1, cer^ and ca  sirul ( fn)
s a convearg a doar punctual spre o funct ie fpe un interval [ a;b], se ajunge la
concluzia c a doar ^ n prezent a acestei convergent e se poate ^ nt^ ampla ca ega-
litatea (7.4.2) s a nu aib a loc. Pentru a dovedi acest lucru, se va prezenta ^ n
acest capitol  si un exemplu care s a pun a ^ n evident  a acest fapt ( Exemplul
8.1.1 ).
^In acest capitol scopul principal este acela de a prezenta rezultate care pre-
supun condit ii mai put in restrictive asupra  sirului de funct ii ( fn) ^ n ceea ce
prive ste convergent a integralelor Riemann, dar care s a asigure ^ n continuare
^ ndeplinirea egalit at ii (7.4.2).
16

Exemplul 2.1.1 Fiefn: [0;1]!R(n1);fn(x) = 2nxenx2:
Atunci avem: lim
n!1fn(x) = lim
n!12nx
enx2= 0;8×2[0;1], deci
Zb
alim
n!1fn(x)dx= 0:
Pe de alt a parte
lim
n!1Zb
afn(x)dx= lim
n!1enx21
0= lim
n!1(1en) = 1:
Exemplul 2.1.2 Pentru ecare num ar natural n1se consider a urm atoarea
mult ime
An:=n
0;1
n!;2
n!;:::;n!1
n!;1o
pentru care denim  sirul de funct ii fn: [0;1]!Rprin
fn(x) =(
1dac ax2An
0dac ax62An:
Imediat se observ a c a pentru orice n1ecare funct ie fneste integrabil a
Riemann pe intervalul [0;1]:
S irul de funct ii (fn)converge punctual c atre funct ia lui Dirichlet
f(x) =(
1dac ax2[0;1]\Q
0dac ax2[0;1]nQ;
care, se  stie, nu este integrabil a Riemann.
Exemplul 8.1.2 ilustreaz a faptul c a e posibil ca limita punctual a a  sirului
de funct ii (fn) s a nu e integrabil a Riemann.
Pentru a obt ine un rezultat similar teoremei 7.4.1, f ar a ^ ns a a mai cere
convergent a uniform a a  sirului de funct ii ( fn) ci doar convergent a punctual a a
acestuia, integrabilitatea Riemann a limitei punctuale trebuie precizat a^ n ca-
drul ipotezelor. Acest rezultat poart a denumirea de teorema convergent ei
m arginite a lui Arzel a  si scopul acestei sect iuni este de a demonstra acest
rezultat.
17

Pentru aceasta se vor preciza^ n continuare c^ ateva denit ii ale unor not iuni,
dar  si o gam a de propozit ii si consecint e, necesare pentru a putea expune
demonstrat ia teoremei convergent ei m arginite.
Fiep2N, iarA;A 1;:::;Apsubmult imi ale lui R. Mult imea Ase scrie
ca reuniune disjunct a a mult imilor A1;:::;Ap si se va nota A=pS
i=1Ai;dac a
 si numai dac a A=pS
i=1Ai si mult imile A1;:::;Apsunt disjuncte dou a c^ ate
dou a, adic a pentru orice i;j2f1;:::;pgcui6=javemAi\Aj=?:
Fiea;b2R, astfel ^ nc^ at ab:Se va numi interval m arginit  si vom
notaha;bi, orice interval de forma [ a;b];[a;b);(a;b]sau(a;b):
Denit ie 2.1.3 (mult ime elementar a)
FieEo submult ime a lui R.Ese nume ste mult ime elementar a dac a aceasta
poate  reprezentat a sub forma E=pS
i=1hai;bii, undehai;biisunt intervale
m arginite,i2f1;:::;pg:
Denit ie 2.1.4 (lungimea unei mult imi elementare)
FieEo submult ime a lui Rcu proprietatea c a Eeste o mult ime elementar a.
Num arul real nenegativ, care se dene ste prin
`(E) :=pX
i=1(biai);
se nume ste lungimea mult imii elementare E.
Orice interval m arginit I=ha;bidinReste o mult ime elementar a  si are
lungimeal(I) =ba:^In particular l(?) = 0:Familia tuturor submult imilor
elementare ale lui Rse noteaz a cuE:
Propozit ia 2.1.5 Fie mult imile E;F dinE. Urm atoarele armat ii sunt adev arate:
1.E[F;E\F;EnF2E:
2. Dac aEF;atunci`(E)`(F) si`(FnE) =`(F)`(E):
18

3.`(E[F) =`(E) +`(F)`(E\F):
4.`(E[F)`(E) +`(F):
5. Dac aE\F=?;atunci`(E[F) =`(E) +`(F):
Ca  si o consecint  a a acestei propozit ii, pentru orice num ar natural q si
orice mult imi elementare E1;:::;EqdinEavem c aE1[


[Eqapart ine lui
E si
`(E1[


[Eq)`(E1) +


+`(Eq):
Denit ie 2.1.6 (m asura interioar a Jordan)
FieAo submult ime m arginit a a lui R. Atunci exist a mult imi elementare E
astfel ^ nc^ at EA:Drept urmare, mult imea
EA:=fE2EjEAg
este nevid a, iar num arul real denit astfel
mi(A) := sup
E2EA`(E);
se nume ste m asura interioar a Jordan a mult imii A.
Propozit ia 2.1.7 Fie mult imile A;A 1;A2Rcu proprietatea c a sunt m arginite
ecare dintre ele. Urm atoarele armat ii sunt adev arate:
1. Are loc egalitatea mi(A) = sup
E2EA`(E), unde
EA:=fE2EjclEAg:
2. Dac aA1A2;atuncimi(A1)mi(A2):
Propozit ia 2.1.8 Fie(An)un  sir descendent de submult imi m arginite ale
luiR;care are proprietatea c a1T
n=1An=?:Atunci lim
n!1mi(An) = 0:
19

Lema 2.1.9 Fiegn: [0;1]![0;1];unden1;un  sir de funct ii integrabile
Riemann, cu proprietatea c a lim
n!1gn(t) = 0 oricare ar  t2[0;1]:Atunci are
loc egalitatea
lim
n!1Z1
0gn(t)dt= 0:
Demonstrat ie:
Se folose ste metoda reducerii la absurd  si se presupune contrariul, adic a
exist a un num ar real >0,  si exist a de asemenea  si un  sir de numere naturale
1n1<n 2<:::<n k<::: astfel ^ nc^ at
Z1
0gnk(t)dt> 2
oricare ar  k1:
^Inlocuind eventual  sirul init ial ( gn) cu sub sirul ( gnk);se poate presupune f ar a
a restr^ ange generalitatea c a
Z1
0gn(t)dt> 2
oricare ar  n1:
Se xeaz an1  si se utilizeaz a denit ia integralei Riemann.
Fie atunci ":=1
2R1
0gn(t)dt2
>0;rezult a c a exist a o diviziune
a
intervalului [0 ;1], cu proprietatea c a:
(gn;
;)>Z1
0gn(t)dt"
oricare ar  2P(
) un sistem de puncte intermediare a diviziunii
:Se
cunoa ste c a
s(gn;
) = inf
2P(
)(gn;
;)
(leg atura dintre sumele Darboux  si sumele Riemann asociate funct iei f, di-
viziunii
 si sistemului de puncte intermediare ).
A sadar exist a un sistem de puncte intermediare ale diviziunii
;2P(
)
astfel ^ nc^ at
s(gn;
)>(gn;
;)">Z1
0gn(t)dt2"= 2:
20

Deci s-a obt inut c a pentru orice n1 exist a o diviziune
a intervalului
[0;1] pentru care s(gn;
)>2:Altfel spus pentru orice n1, sub gra-
culgnse pot a seza un num ar nit de dreptunghiuri, unele ind mai mici cu
^ n alt imile;iar altele ind mai ^ nalte,cu ^ n alt imi >: Toate aceste drept-
unghiuri au suma ariilor mai mare dec^ at 2 :Suma ariilor dreptunghiurilor
mici este, deoarece suma lungimilor bazelor acestor dreptunghiuri este
cel mult 1. Prin urmare suma ariilor dreptunghiurilor ^ nalte este mai mare
dec^ at si cum ^ n alt imea ec arui dreptunghi ^ nalt este cel mult 1, atunci
suma lungimilor bazelor dreptunghiurilor ^ nalte este mai mare dec^ at .
Se noteaz a cu Bnreuniunea tuturor intervalelor ^ nchise care corespund ba-
zelor dreptunghiurilor ^ nalte.
Prin urmare se obt ine un  sir de mult imi ( Bn) care pentru orice n1
^ ndeplinesc condit iile de mai jos:
Bn2E;
`(Bn)>;
gn(t)>pentru orice t2Bn:
Oricare ar  n1 se noteaz a
An:=1[
k=nBk:
Atunci  sirul ( An)n1este un  sir descendent de submult imi ale lui [0 ;1] astfel
^ nc^ at:
mi(An)mi(Bn) =`(Bn); oricare ar fi n 1
Pe baza propozit iei 8.1.8 trebuie s a aib a loc1T
k=nAn6=?:
Fiet21T
k=nAn:Din cauz a c a t2A1=1S
k=nBk;rezult a c a exist a n11 astfel
^ nc^ att2Bn1:
Cumtapart ine mult imii An1+1=1S
k=n1+1Bk, rezult a c a exist a n2n1astfel
^ nc^ att2Bn2:
21

Se continu a inductiv  si astfel se construie ste un  sir de numere naturale
1n1< n 2< ::: < n k< ::: astfel ^ nc^ at t2Bnkpentru orice k1:Deci
gnk(t)>oricare ar  k1:
Dar aceast a inegalitate este^ n contradict ie cu ipoteza lim
k!1gnk(t) = lim
n!1gn(t) =
0, deci s-a demostrat ceea ce trebuia ar atat.

Teorema 2.1.10 (teorema convergent ei m arginite a lui Arzel a) Fie
funct iaf: [a;b]!R si efn: [a;b]!Run  sir de funct ii, n1;astfel
^ nc^ at s a e ^ ndeplinite urm atoarele condit ii:
(i)fneste integrabil a Riemann pe [a;b]oricare ar  n2N;
(ii)lim
n!1fn(x) =f(x)oricare ar  x2[a;b];
(iii)feste integrabil a Riemann pe [a;b];
(iv) exist a o constant a M > 0astfel ^ nc^ atjfn(x)jM
pentru orice n2N si oricex2[a;b]:
Atunci are loc egalitatea
lim
n!1Zb
afn(x)dx=Zb
af(x)dx:
Demonstrat ie:
Fie  sirul de funct ii gn: [0;1]!Rcun1 denit prin:
gn(t) :=1
2Mjfn(a+t(ba))f(a+t(ba))j:
Atunci are loc lim
n!1gn(t) = 0 oricare at  t2[0;1]  si
0gn(t)jfn(a+t(ba))j+jf(a+t(ba))j
2MM+M
2M= 1
pentru ecare n1  si oricet2[0;1]. Aplic^ and lema 8.1.9, se obt ine
22

lim
n!1Z1
0gn(t)dt= 0: ()
De asemenea
0Z1
0fn(x)dxZ1
0f(x)dxZ1
0jfn(x)f(x)jdx
= (ba)Z1
0jfn(a+t(ba))f(a+t(ba))jdt
= 2M(ba)R1
0gn(t)dt: ()
Din ()  si () rezult a ceea ce trebuia s a demonstr am  si anume c a
lim
n!1Zb
afn(x)dx=Zb
af(x)dx:

2.2 Teorema convergent ei dominate pentru
integrale improprii
^In aceast a sect iune se va prezenta un rezultat pentru cazul integralelor
improprii, care poart a denumirea de Teorema convergent ei dominate , cu aju-
torul c aruia se va putea vedea ^ n ce condit ii limita integralelor improprii a
unui  sir de funct ii este egal a cu integrala improprie a funct iei limit a a  sirului
de funct ii respectiv. De asemenea^ nainte de a enunt a teorema, se vor reaminti
 si c ateva lucruri legate de integrale improprii,  si anume, ce este o integral a
improprie, tipurile de integrale, local integrabilitatea Riemann pe un interval
nedegenerat al axei reale, iar teorema convergent ei dominate va  enunt at a
pentru primul tip de integrale improprii, dar pentru celelalte tipuri teorema
este similar a, cu observat ia c a funct ia limit a a  sirului, c^ at  si  sirul de funct ii
vor  denite pe alte tipuri de intervale precum se va vedea.
23

Denit ie 2.2.1 (funct ie local integrabil a Riemann)
FieIun interval nedegenerat al axei reale. O funct ie f:I!Rse nume ste
local integrabil a Riemann pe intervalul I, dac a funct ia feste integrabil a pe
orice subinterval compact [u;v]al luiI.
Denit ie 2.2.2 (integrala improprie de tipul I)
Fie1<a<b1; sif: [a;b)!Ro funct ie local integrabil a Riemann
pe[a;b):
Limita lim
v%bRv
af(x)dx;care se noteaz aRb
af(x)dx;se nume ste integrala im-
proprie a funct iei fpe intervalul [a;b):
Zb
af(x)dx= lim
v%bZv
af(x)dx:
Denit ie 2.2.3 (integrala improprie de tipul II)
Fie1a<b<1; sif: (a;b]!Ro funct ie local integrabil a Riemann
pe(a;b]:
Limita lim
u&aRb
uf(x)dx;care se noteaz aRb
a+f(x)dx;se nume ste integrala im-
proprie a funct iei fpe intervalul (a;b]:
Zb
a+f(x)dx= lim
u&aZb
uf(x)dx:
Observat ia 2.2.4 Dac a valoarea unei integrale exist a  si este un num ar nit
(cu alte cuvinte dac a limita integralelor din membrul drept din denit iile 8.2.2
 si 8.2.3 exist a  si este nit a) atunci integralele denite mai sus se numesc
convergente, iar ^ n caz contrar se numesc divergente.
Denit ie 2.2.5 (integrala improprie de tipul III)
Fie1a<b+1; sif: (a;b)!Ro funct ie local integrabil a Riemann
pe(a;b):
Dac a exist a un num ar real c2(a;b)astfel ^ nc^ at integralele impropriiRc
a+f(x)dx
 siRb
cf(x)dxexist a, iarRc
a+f(x)dx+Rb
cf(x)dx, suma lor, care se noteaz a
cuRb
a+f(x)dx, este bine denit a, atunci aceast a sum a nu depinde de alegerea
luic si se nume ste integrala improprie a lui fpe(a;b):
Zb
a+f(x)dx=Zc
a+f(x)dx+Zb
cf(x)dx:
Observat ia 2.2.6 Se cunoa ste c a studiul integralelor improprii poate  re-
dus la studiul integralelor improprii de tipul I(denit ia 8.2.2), prin urmare
24

restul rezultatelor le vom enunt a pentru cazul integralelor improprii de tipul
I.
Teorema 2.2.7 (leg atura dintre integrala Riemann  si
integrala improprie).
Fiea sibdou a numere reale cu proprietatea c a a < b  si e o funct ie f:
[a;b]!Rintegrabil a Riemann. AtunciRb
af(x)dxeste convergent a  si are
loc egalitateaZb
af(x)dx=Zb
af(x)dx:
Demonstrat ie:
Dac afeste integrabil a Riemann pe intervalul compact [ a;b] atunci re-
zult a c a admite primitive deci avem o funct ie F: [a;b]!Rastfel ^ nc^ at
F(v) =Rv
af(x)dx:De aici rezult a mai departe c a Feste continu a ^ n punctul
b, de unde avem c a
lim
v%bF(v) =F(b) =Zb
af(x)dx=Zb
af(x)dx:

25

Teorema 2.2.8 (teorema convergent ei dominate)
Fie1< a < b1;ef: [a;b)!Ro funct ie  si un  sir de funct ii
fn: [a;b)!Rcun1;astfel ^ nc^ at s a e ^ ndeplinite urm atoarele condit ii:
(i)fneste local integrabil a Riemann pe [a;b)oricare ar
n2N;
(ii)lim
n!1fn(x) =f(x)oricare ar  x2[a;b);
(iii)feste local integrabil a Riemann pe [a;b);
(iv) exist a o funct ie g: [a;b)![0;1);care este local
integrabil a Riemann pe intervalul [a;b), astfel ^ nc^ at
integrala improprieRb
ag(x)dxeste convergent a  si
jfn(x)jg(x)pentru orice n2N si oricex2[a;b):
Atunci integralele impropriiRb
af(x)dx siRb
afn(x)dxcu
n2Nsunt toate convergente  si are loc egalitatea
lim
n!1Zb
afn(x)dx=Zb
af(x)dx:
Demonstrat ie:
Conform condit iei (ii), limita  sirului fnestef. Din (iv) se cunoa ste c a
jfn(x)jg(x)pentru orice n2N si oricex2[a;b):
Astfel, f ac^ and pe ns a tind a la1^ n inegalitatea de mai sus, se obt ine
jlim
n!1fn(x)jg(x)decijf(x)jg(x)oricare ar  x[a;b):
26

Conform criteriului major arii, integralele impropriiRb
af(x)dx siRb
afn(x)dx
unden2N, sunt toate absolut convergente, deci sunt convergente.
Se noteaz a
I:=Zb
af(x)dx
 si respectiv
In:=Zb
afn(x)dxunden2N:
Singurul lucru care r am^ ane s a se arate pentru a demonstra teorema, este c a
 sirul (In) converge c atre I.
Pentru aceasta se alege un " > 0 arbitrar  si de asemenea mai alegem un
punctb0care apart ine intervalului ( a;b) astfel ^ nc^ at
Zb
b0g(x)dx<"
3: ()
Cum funct ia geste local integrabil a Riemann pe [ a;b) (conform ipotezei (iv)),
iarb0se a
 a ^ n intervalul ( a;b), rezult a pe baza denit iei 8.2.1 c a funct ia g
este integrabil a Riemann pe intervalul [ a;b0]:De aici rezult a c a funct ia geste
m arginit a pe intervalul [ a;b0]:Se noteaz a
M:= sup
x2[a;b0]g(x):
De aici se obt ine c a
jfn(x)jM pentru orice n 2N si oricex2[a;b0]:
Aplic^ and teorema convergent ei m arginite demonstrat a ^ n sect iunea 8.1 (teo-
rema 8.1.10), rezult a c a
lim
n!1Zb0
afn(x)dx=Zb0
af(x)dx:
Prin urmare exist a un num ar natural n02Nastfel c a
Zb0
afn(x)dxZb0
af(x)dx<"
3oricare ar  nn0:
27

Atunci pentru orice nn0avem
jInIj=Zb0
afn(x)dx+Zb
b0fn(x)dxZb0
af(x)dxZb
b0f(x)dx
Zb0
afn(x)dxZb0
af(x)dx+Zb
b0jfn(x)jdx+Zb
b0jf(x)jdx
<"
3+ 2Zb
b0g(x)dx <
()"
3+ 2"
3<":
Deci s-a ar atat c a pentru orice " >0 exist a un num ar natural n02N;
astfel ^ nc^ at oricare ar  n2Ncunn0are loc
jInIj<":
Prin urmare s-a demonstrat c a  sirul ( In) converge c atre I.

Variante similare ale teoremei 8.2.8 au loc  si pentru funct ii f;fn: (a;b]!
Runde1a<b<1;(integrale improprii de tipul II, a se vedea denit ia
8.2.3), dar  si pentru f;fn: (a;b)!Runde1a < b+1;(integrale
improprii de tipul III, a se vedea denit ia 8.2.5).
28

Capitolul 3
Probleme rezolvate
1.S a se calculeze lim
n!11R
0exndx:
Olimpiada judet ean a, 2013/1 Solut ie:
Consider am  sirul de funct ii
fn: [0;1]!R;(n1); fn(x) =exn:
Evident,toate funct iile sunt continue,deci integrabile Riemann pe [0 ;1]:Avem
lim
n!1fn(x) = lim
n!1exn=(
1 dac ax2[0;1)
edac ax= 1
:=f(x):
Funct ia f este integrabil a Riemann pe [0 ;1]. Deoarece
0fn(x) =exne
pentru orice n2N si oricex2[0;1], ^ n baza teoremei 8.1.10 (a lui Arzel a ),
avem
lim
n!11Z
0exndx= lim
n!11Z
0fn(x)dx=1Z
0f(x)dx=1Z
0dx= 1:
29

2.Fiind data>0, s a se demonstreze c a
lim
n!1n1Z
0xn
a+xndx= lna+ 1
a:
Olimpiada judet ean a, 2001/4 Solut ie:
Fien2Nxat. F ac^ and schimbarea de variabil a
xn=t;
obt inem
n1Z
0xn
a+xndx=1Z
0t1=n
a+tdt:
Consider am  sirul de funct ii
fn: [0;1]!R(n1); fn(t) =t1=n
a+t:
Toate funct iile fnsunt continue, deci integrabile Riemann pe [0 ;1]. Pentru
t2[0;1] arbitrar, avem
lim
n!1fn(t) = lim
n!1t1=n
a+t=(
1
a+tdac at2(0;1]
0 dac at= 0
:=f(t):
Funct iafeste integrabil a Riemann pe [0 ;1]  si
0fn(t) =t1=n
a+t1
a;oricare ar  n2N sit2[0;1]:
Aplic^ and teorema 8.1.10 (a lui Arzel a ), se obt ine:
30

lim
n!11Z
0t1=n
a+tdt= lim
n!11Z
0fn(t)dt=1Z
0f(t)dt=1Z
01
a+tdt
=1Z
0(a+t)0
a+tdt= ln(a+t)1
0= ln(a+ 1)ln(a) = lna+ 1
a:
Prin urmare
lim
n!1n1Z
0xn
a+xndx= lim
n!11Z
0t1=n
a+tdt= lna+ 1
a:
3.Fief: [0;1]!Rfunct ia denit a prin f(x) = (x2+1)ex:S a se calculeze
lim
n!1n1Z
0
fx2
n
1
dx:
Olimpiada local a,Bucure sti, 2003/3 Solut ie:
Conform denit iei funct iei f,
fx2
n
=x4
n2+ 1
ex2=n;
deci
nfx2
n
1 =nx4
n2+ 1
ex2=n1
:
Consider am  sirul de funct ii
fn: [0;1]!R(n1); fn(x) =nx4
n2+ 1
ex2=n1
:
31

Toate funct iile fnsunt continue, deci integrabile Riemann pe [0 ;1]:Pentru
x2[0;1] arbitrar, avem
lim
n!1fn(t) = lim
n!1nx4
n2+ 1
ex2=n1
:
Se face substitut ia
x2
n=y
 si se obt ine
lim
n!1fn(t) = lim
y!0x2[(y2+ 1)ey1]
y= lim
y!0x2yey+ lim
y!0x2(ey1)
y
l0H= lim
y!0x2yey=x2:=f(x):
Funct iafeste integrabi a Riemann pe [0 ;1]  si
0fn(x)<2e;oricare ar  n2N six2[0;1]:
Aplic^ and teorema 8.1.10 (a lui Arzel a ), se obt ine:
lim
n!11Z
0nx4
n2+ 1
ex2=n1
dx= lim
n!11Z
0fn(x)dx
=1Z
0f(x)dx=1Z
0x2dx=x3
31
0=1
3:
Prin urmare
lim
n!1n1Z
0
fx2
n
1
dx=1
3:
32

4.Pentrun2Nse consider a funct ia fn: [0;n]!R;denit a prin
fn(x) =arctg ([x]), unde [x] reprezint a partea ^ ntreag a a num arului real x.
S a se arate c a fneste integrabil a  si s a se determine lim
n!11
nnR
0fn(x)dx:
Olimpiada judet ean a, 2014/1 Solut ie:
Fien2Nxat. F ac^ and schimbarea de variabil a
x=nt;
g asim
1
nnZ
0fn(x)dx=1Z
0fn(nt)dt=1Z
0arctg ([nt])dt:
Consider am  sirul de funct ii
fn: [0;1]!R(n1); fn(t) =arctg ([nt]):
Funct iafneste m arginit a  si mult imea punctelor sale de discontinuitate este
disc(fn) =n1
n;2
n;


;1o
;
deci ea este integrabil a Riemann. Avem
lim
n!1fn(t) = lim
n!1arctg ([nt]) =(

2dac at2(0;1]
0 dac at= 0
:=f(t):
Evident,feste integrabil a Riemann  si
0fn(t)<
2;oricare ar  n2N sit2[0;1]:
Aplic^ and teorema 8.1.10 (a lui Arzel a ), se obt ine
33

lim
n!11Z
0arctg ([nt])dt= lim
n!11Z
0fn(t)dt=1Z
0f(t)dt=1Z
0
2dt=
2:
Prin urmare
lim
n!11
nnZ
0fn(x)dx= lim
n!11Z
0arctg ([nt])dt=
2:
5.S a se arate c a:
lim
n!1n0
@
4n1Z
0xn
1 +x2dx1
A=1Z
0f(x)dx; unde
f(x) =arctgx
xdac ax2(0;1] sif(0) = 1:
Solut ie:
Not am cu`limita din membrul st^ ang, iar pe
4^ l scriem sub form a de
integral a ca ind

4=1Z
01
1 +x2dx:
Se face substitut ia
xn=t:
Astfel se obt ine:
`=n1Z
0dx
1 +x2n1Z
0x
1 +x2nnxn1dx=n1Z
0dx
1 +x2n1Z
0t1=n
1 +t2dt
=1Z
0+0n(1x1=n)
1 +x2dx:
34

S irul de funct ii
gn: (0;1]!R(n1); gn(x) :=n(1x1=n)
1 +x2;
converge punctual pe (0 ;1] c atre funct ia
g(x) :=ln(x)
1 +x2:
^In plus avem
gn(x)g(x)
pentru orice n2N si oricex2(0;1];deoarece
n(1x1=n)ln(x);
ceea ce este echivalent cu a scrie c a
ln(x1=n)x1=n1;
de unde rezult a c a
yey1:
Integrala improprie1R
0+0ln(x)dxeste convergent a, prin urmare rezult a c a  si
integrala improprie1R
0+0g(x)dxeste convergent a.
^In baza teoremei convergent ei dominate pentru integrale improprii 8.2.8 re-
zult a:
`= lim
n!11Z
0+0gn(x)dx=1Z
0+0g(x)dx=1Z
0+0lnx(arctgx )0dx
=ln(x)
arctg (x)1
0+0+1Z
0+0arctg x
x:
^In nal se obt ine ceea ce se cerea  si anume
`=1Z
0f(x)dx:
35

6.Fiea>0  sib>1 numere reale  si e f: [0;1]!Ro funct ie continu a.
S a se calculeze:
lim
n!1na=b1Z
0f(x)
1 +naxbdx:
Solut ie:
Se noteaz a cantitatea de sub limita din enunt  cu
In:=na=b1Z
0f(x)
1 +naxbdx(n2N):
Se face schimbarea de variabil a
naxb=t
 si se obt ine
In=1
bnaZ
0f(t1=b=na=b)t1
b1
t+ 1dt:
Se consider a  sirul de funct ii
fn: (0;1)!R(n1); fn(t) :=f(t1=b=na=b)t1
b1
t+ 1(0;na](t): (1)
S irul de funct ii denit mai sus ^ n relat ia (1), converge punctual pe (0 ;1)
c atre funct ia
f(t) :=f(0)
t1
b1
t+ 1:
36

^In plus are loc
jfn(t)jM
t1
b1
t+ 1;
pentru orice n2N si oricet2(0;1);unde
M:=max
0x1jf(x)j:
Datorit a faptului c a
1Z
0t1
b1
t+ 1dt=B1
b;11
b
= 1
b

11
b
=
sin
b;
rezult a folosind teorema convergent ei dominate 8.2.8 c a
lim
n!1In=f(0) sin
b:
7.Fiind datk2N, s a se calculeze lim
n!1kpnR
0
1xk
nn
dx:
Solut ie:
Not am cu
In:=kpnZ
0
1xk
nn
dx:
S irul de funct ii fn: [0;1)!R(n1);denit prin
fn(x) :=
1xk
nn
[0;kpn](x);
converge punctual pe [0 ;1) la funct ia f(x) :=exk:
37

Mai mult,din inegalitatea
et1 +t
valabil a oricare ar  t2R, rezult a c a 0fn(x)f(x) pentru orice n2N
 si oricex2[0;1):
F ac^ and schimbarea de variabil a
xk=t;
g asim c a:
1Z
0f(x)dx=1Z
0et1
kt1
k1dt=1
k1
k
= 
1 +1
k
:
Aplic^ and teorema 8.2.8, conchidem c a
lim
n!1In= 
1 +1
k
:
38