S iruri si serii de funct ii [624000]

Capitolul 1
S iruri  si serii de funct ii
1.1 Convergent a punctual a vs convergent a
uniform a
Se consideraDo submult ime nevid a a lui R.
Notat ie: Se noteaz a cuF(D;R) =ffjf:D! Rgmult imea tuturor
funct iilor denite pe mult imea Dcu valori ^ n mult imea numerelor reale.
Denit ie 1.1.1 ( sir de functii) FieDR;D6=?. Orice funct ie
f:N!F (D;R)se nume ste  sir de funct ii din F(D;R).
Denit ie 1.1.2 (convergent a punctual a) FieDR;D6=?; x02D  si
e(fn)un  sir de funct ii din F(D;R). S irulfnconverge ^ n punctul x0( sau
x0este punct de convergent  a a  sirului de funct ii (fn)) ,dac a  sirul de numere
reale (fn(x0))este convergent.
Mult imea de convergent  a a  sirului (fn) este mult imea tuturor punc-
telorx02D^ n care  sirul de funct ii ( fn) converge.
C:=fx02D: (fn)converge ^ nx 0g:
Observat ia 1.1.3
1. FieD0D .Dac a  sirul de funct ii (fn)converge ^ n orice punct x02
D0,atunci spunem c a  sirul (fn)converge punctual pe D0.
1

2. Dac a  sirul (fn)converge peDatunci spunem c a  sirul (fn)converge
punctual .
Denit ie 1.1.4 (limita punctual a) Fie(fn)un  sir de funct ii din F(D;R)
convergent punctual. Atunci funct ia f:D! Rdenit a prin
f(x) = lim
n!1fn(x);8x2D
se nume ste limita punctual a a  sirului fn(x).
Notat ie: Limita punctual a fa  sirului (fn) se noteaz a cu lim
n!1fn, adic a:
f= lim
n!1fn:
^In loc de a spune c a  sirul ( fn) converge punctual c atre funct ia f, se poate
folosi simplu notat ia ( fn)!f:
Observat ia 1.1.5 .Dac af:D! Reste limita punctual a a  sirului (fn)
de funct ii dinF(D;R),atunci spuncem c a  sirul de funct ii (fn)converge
punctual c atre fpeD.
Teorema 1.1.6 (convergent a punctual a) FieDR;D6=? si(fn) sir
de funct ii dinF(D;R).Atunci  sirul (fn).Atunci  sirul (fn)este convergent
punctual peD0D dac a  si numai dac a 9f:D0!Rcu proprietatea c a
8x2D 0 si"2R;"> 0exist an";x2Nastfel ^ nc^ at8n2N;n>n";xavem
jfn(x)f(x)j<":
Exemplul 1.1.7 Fie  sirulfn:R!R;fn(x) =xn)fn2F(R;R);
n2N:Consider am x2R,atunci:
lim
n!1fn(x) = lim
n!1xn=8
>>><
>>>:0 pentrujxj<1
1 pentrux= 1
+1 pentrux>1
@ pentrux1:
Astfel rezult a c a  sirul (fn)converge punctual c atre funct ia
f: (1;1]!Rdenit a prin
f(x) = lim
n!1fn(x) =(
0;jxj<1
1;x= 1:
2

Denit ie 1.1.8 (convergent a uniform a) FieDR;(fn) sir de funct ii
dinF(D;R) siD0D . Se spune c a  sirul (fn)este convergent uniform pe
D0dac a9f:D0!Rcu proprietatea c a 8"2R;" > 0;9n"2Nastfel
^ nc^ at8n2N;nn";8x2D 0avem:
jfn(x)f(x)j<":
Observat ia 1.1.9 Fie  sirul de funct ii (fn)dinF(D;R)convergent uniform
 sif:D! Rastfel ^ nc^ at fn!f, atunci  sirul (fn)converge uniform c atre
funct iafpeD, iar acest lucru se noteaz a astfel:
fnf:
Denit ie 1.1.10 (serie de funct ii) FieDR;D6=?.
Se nume ste serie de funct ii din F(D;R)orice pereche ordonat a ((fn);(sn)),
unde (fn)este un  sir de funct ii din F(D;R), iar
sn=f1+f2+


+fn;8n2N:
Notat ie
seria de funct ii (( fn);(sn)) se noteaz a cu1P
n=1fn;sauP
n2Nfn;
sauP
n>1fn, sauP
nfn:
Observat ia 1.1.11
Se nume ste termen general al seriei1P
n=1fn;funct iafn, unden2N:
(fn)dinF(D;R)este  sirul termenilor seriei1P
n=1fn:
snse nume ste suma part ial a de rang na serei1P
n=1fn;unde:
sn=f1+f2+


+fn; n2N:
(sn)este  sirul sumelor part iale ale seriei1P
n=1fn:
3

^In cazul ^ n care ^ l x am pe x2 D , putem forma seria de numere
1P
n=1fn(x);iar ^ n acest caz seria1P
n=1fn(x)se nume ste seria valorilor
determinat a de seria de funct ii1P
n=1fn:
Denit ie 1.1.12 (convergent a punctual a) FieDR;D6=?;
x02D  si e1P
n=1fno serie de funct ii din F(D;R). Se spune c a seria de
funct ii1P
n=1fnconverge in punctul x0(saux0este punct de convergent  a a
seriei1P
n=1fn) , dac a seria de numere1P
n=1fn(x0)este convergent a.
Observat ia 1.1.13 Punctulx02 D este punct de convergent  a al seriei
1P
n=1fndac a  sirul de numere (sn(x0))este convergent.
Mult imea de convergent  a (CD) a seriei de funct ii1P
n=1fneste for-
mat a din toate punctele x2D^ n care seria de funct ii1P
n=1fnconverge.
Observat ia 1.1.14 FieCD mult imea de convergent  a a seriei de funct ii
1P
n=1fn.^In acest caz funct ia f:C!Rcare se dene ste prin
f(x) =1X
n=1fn(x)oricare ar fi x2C;
se nume ste suma seriei1P
n=1fnpe mult imea Csi vom scrie f=1P
n=1fn:
4

Denit ie 1.1.15 (absolut convergent a) FieDR;D6=?;
x02 D  si e1P
n=1fnserie de funct ii din F(D;R). Seria de funct ii1P
n=1fn
se nume ste absolut convergent a ^ n punctul x02D , dac a seria de numere
1P
n=1fn(x0)este absolut convergent a.
Exemplul 1.1.16 Pentru ecare num ar ^ ntreg n0, se consider a funct ia
fndenit a pe Rprin egalitatea fn=x2
(1+x2)n si se consider a seria de funct ii
f=1P
n=1fn. Pentru a determina mult imea de convergent  a a acestei serii, se
alegex2Run punct oarecare  si se consider a seria de numere
1X
n=1fn(x) =x2+x2
1 +x2+x2
(1 +x2)2+


+x2
(1 +x2)n+


:
Astfel se obt ine o serie geometric a cu rat ia1
1+x2<1pentrux6= 0, deci se
obt ine c a seria este convergent a. ^In cazul ^ n care x= 0, suma seriei este 0.
Dac ax6= 0 suma seriei este
x21
11
1+x2=x2
x2
1+x2= 1 +x2:
^In continuare se consider a funct ia f:R!Rdenit a prin
f(x) =(
1 +x2pentrux6= 0
0 pentrux= 0:
Astfel ^ n nal se deduce c a seria de funct ii f=1P
n=1fnconverge punctual pe
mult imea numerelor reale c atre funct ia f.
^In plus, seria1P
n=1fneste absolut convergent a pe R, deoarece
oricare ar  x2R, seria1P
n=1fn(x)este cu termeni pozitivi.
5

Denit ie 1.1.17 (uniform convergent a) FieD0D R;D6=?; si e
1P
n=1fno serie de funct ii din F(D;R). Seria de funct ii1P
n=1fnse nume ste uni-
form convergent a pe mult imea D0dac a  sirul (sn)al sumelor part iale denit
prinsn=f1+f2+


+fn;unden2N, este convergent uniform pe mult imea
D0:
1.2 Criterii de convergent  a uniform a
^In acest capitol vom ment iona c ateva rezultate importante ^ n ceea ce
prive ste stabilirea convergent ei uniforme a  sirurilor si seriilor de funct ii.
Teorema 1.2.1 (Criteriul lui Cauchy de convergent  a
uniform a a unui  sir de funct ii) .
FieDR;D6=? si(fn) sir de funct ii dinF(D;R). Urm atoarele armat ii
sunt echivalente:
1. S irul de funct ii (fn)converge uniform pe D:
2.8">0;9n"2Ncu proprietatea c a 8n;p2Ncu
nn si8x2D avem
jfn+p(x)fn(x)j<":
Teorema 1.2.2 (Criteriul lui Cauchy de convergent  a
uniform a a seriilor de funct ii) .FieDR;D6=? si e1P
n=1fnserie de
funct ii dinF(D;R). Urm atoarele armat ii sunt echivalente:
1. Seria1P
n=1fneste convergent a pe D:
2.8">0;9n"2Ncu proprietatea c a 8n;p2Ncu
nn si8x2D avem
jfn+1(x) +fn+2(x) +


+fn+p(x)j<":
Teorema 1.2.3 (Criteriul majorantei pentru  sirurile de funct ii)
FieD R;D6=?;(fn) si(gn)dou a  siruri de funct ii din F(D;R) si
f:D ! Ro funct ie. Presupunem c a sunt ^ ndeplinite urm atoarele pro-
priet at i:
6

(i) exist a un num ar natural n0astfel ^ nc^ at
jfn(x)f(x)jgn(x);8x2D  sin2N;nn0;
(ii)  sirul (gn)converge uniform c atre funct ia nul a pe D:
Atunci  sirul (fn)converge uniform c atre funct ia fpeD:
Teorema 1.2.4 (Criteriul majorantei pentru seriile de funct ii)
FieDR;D6=?;(fn) si(gn)dou a  siruri de funct ii din F(D;R):Pre-
supunem c a sunt ^ ndeplinite urm atoarele propriet at i:
(i) exist a un num ar natural n0astfel ^ nc^ at
jfn(x)jgn(x);8n2N;nn0 si8x2D;
(ii) seria1P
n=1gneste convergent a uniform pe D:
Atunci seria1P
n=1fneste convergent a uniform si absolut pe D:
Teorema 1.2.5 (Criteriul lui Weierstrass de convergent  a
uniform a a unui  sir de funct ii) .
FieDR;D6=? si(fn) sir de funct ii dinF(D;R);f2F(D;R) si(an)
un  sir de numere reale care satisfac urm atoarele propriet at i:
(i) exist a un num ar natural n0astfel ^ nc^ at
jfn(x)f(x)jan;8n2N;nn0 si8x2D;
(ii)lim
n!1an= 0:
Atunci  sirul (fn)converge uniform c atre funct ia fpeD:
Teorema 1.2.6 (Criteriul lui Weierstrass de convergent  a
uniform a a seriilor de funct ii) .
7

FieDR;D6=? si(fn) sir de funct ii dinF(D;R);f2F(D;R) si(an)
un  sir de numere reale care satisfac urm atoarele propriet at i:
(i) exist a un num ar natural n0astfel ^ nc^ at
jfn(x)jan;8n2N;nn0 si8x2D;
(ii) seria1P
n=1aneste convergent a.
Atunci seria1P
n=1fneste convergent a uniform  si absolut pe D:
1.3 Propriet at i de intervertire a ordinii pentru
 siruri  si serii de funct ii
^In aceast a sect iune vom vedea ^ n ce context propriet at ile de continui-
tate,derivabilitate  si integrabilitate ale termenilor unui  sir  si respectiv serii
de funct ii se transmit funct iei limit a  si respectiv funct iei sum a.
8

S iruri de funct ii Serii de funct ii
Teorema 7.3.1. Teorema de existent  a a
limitei ^ ntr-un punct a funct iei limit a a
unui  sir de funct iiTeorema 7.3.2. Teorema de existent  a a
limitei ^ ntr-un punct a sumei unei serii de
funct ii
FieDR;D6=?;x02Run punct
de acumulare al mult imii D si  sirul de
funct ii (fn) dinF(D;R) ce ^ ndepline ste
urm atoarele propriet at i:FieDR;D6=?;x02Run punct
de acumulare al mult imii D si seria de
funct ii1P
n=1fndinF(D;R). Dac a sunt
^ ndeplinite urm atoarele propriet at i:
(i) Pentru ecare n2N, funct iafnare
limit a nit a ^ n x0;(i) Pentru ecare n2N, funct iafnare
limit a nit a ^ n x0;
(ii) S irul (fn) converge uniform pe D: (ii) Seria1P
n=1fnconverge uniform pe D:
Atunci au loc urm atoarele: Atunci au loc urm atoarele:
1. S irul
lim
x!x0fn(x)
n2Neste conver-
gent.1. Seria de numere1P
n=1
lim
x!x0fn(x)
este convergent a.
2. Funct ia limit a f= lim
n!1fnare limit a
nit a ^ nx0 si
lim
x!x0f(x) = lim
n!1
lim
x!x0fn(x)2. Funct iaf=1P
n=1fnare limit a nit a ^ n
x0 si
lim
x!x0f(x) =1X
n=1
lim
x!x0fn(x)
:
9

Teorema 7.3.3. Teorema de continuitate
^ ntr-un punct a limitei unui  sir de funct ii
FieDR;D6=?;x02D  si  sirul de
funct ii (fn) dinF(D;R) ce ^ ndepline ste
urm atoarele propriet at i:
(i) Pentru ecare n2N, funct iafneste
continu a ^ n x0;
(ii) S irul (fn) converge uniform pe D:
Atunci funct ia limit a f= lim
n!1fneste con-
vergent a ^ n punctul x0:Teorema 7.3.4. Teorema de continuitate
^ ntr-un punct a sumei unei serii de funct ii
FieD R;D6=?;x02D  si seria
de funct ii1P
n=1fndinF(D;R). Dac a sunt
^ ndeplinite urm atoarele propriet at i:
(i) Pentru ecare n2N, funct iafneste
continu a ^ n x0;
(ii) Seria1P
n=1fnconverge uniform pe D;
atunci funct ia f=1P
n=1fneste continu a ^ n
punctualx0:
Teorema 7.3.5. Teorema de continuitate
global a a limitei unui  sir de funct ii
FieD  R;D6=? si  sirul de funct ii
(fn) dinF(D;R). Dac a sunt ^ ndeplinite
urm atoarele propriet at i:
(i) Pentru ecare n2N, funct iafneste
continu a ^ n x0;
(ii) S irul (fn) este convergent uniform
peD;
atunci funct ia limit a f= lim
n!1fneste
continu a peD:Teorema 7.3.6. Teorema de continuitate
global a a sumei unei serii de funct ii
FieD  R;D6=? si seria de funct ii
1P
n=1fndinF(D;R). Dac a sunt ^ ndeplinite
urm atoarele propriet at i:
(i) Pentru ecare n2N, funct iafneste
continu a peD;
(ii) Seria1P
n=1fneste convergent a uni-
form peD;
atunci funct ia f=1P
n=1fneste continu a
peD:
10

Teorema 7.3.7. Teorema de derivabili-
tate a limitei unui  sir de funct ii
FieIRun interval nedegenerat  si
e  sirul de funct ii ( fn) dinF(I;R) care
^ ndepline ste urm atoarele propriet at i:
(i) Pentru ecare n2N, funct iafneste
derivabil a pe I;
(ii) S irul (fn) este convergent punctual
peI;
(iii) S irul
f0
n

este convergent uniform
peI:
Atunci funct ia limit a f= lim
n!1fneste de-
rivabil a pe I si are loc relat ia
f0=
lim
n!1fn0
= lim
n!1f0
n:
Teorema 7.3.9. Teorema de integrabili-
tate Riemann a limitei unui  sir de funct ii
Fiea;b2Rcu proprietatea c a a < b
 si e  sirul de funct ii ( fn) dinF([a;b];R)
care ^ ndepline ste urm atoarele propriet at i:
(i) Pentru ecare n2N, funct iafneste
integrabil a Riemann pe [ a;b];Teorema 7.3.8. Teorema de derivabili-
tate a sumei unei serii de funct ii
FieIRun interval nedegenerat  si e
seria de funct ii1P
n=1fndinF(I;R). Dac a
sunt ^ ndeplinite urm atoarele propriet at i:
(i) Pentru ecare n2N, funct iafneste
derivabil a pe I;
(ii) Seria1P
n=1fneste convergent a punc-
tual peI;
(iii) Seria1P
n=1f0
neste convergent a uni-
form peI:
Atunci funct ia f=1P
n=1fneste derivabil a
peI si are loc relat ia
f0= 1X
n=1fn! 0
=1X
n=1f0
n:
Teorema 7.3.10. Teorema de integrabili-
tate Riemann a sumei unei serii de funct ii
Fiea;b2Rcu proprietatea c a a<b  si
e seria de funct ii1P
n=1fndinF([a;b];R).
Dac a sunt ^ ndeplinite urm atoarele pro-
priet at i:
(i) Pentru ecare n2N, funct iafneste
integrabil a Riemann pe [ a;b];
11

(ii) S irul (fn) este convergent uniform
pe [a;b]:
Atunci au loc urm atoarele:
1. S irul de numere realeRb
afn(x)dx
este convergent.
2. Funct ia limit a f= lim
n!1fneste inte-
grabil a Riemann pe [ a;b]  si are loc egali-
tatea:
Zb
af(x)dx=Zb
a
lim
n!1fn(x)
dx=
= lim
n!1Rb
afn(x)dx:(ii) Seria1P
n=1fneste convergent a uni-
form pe [a;b];
atunci au loc urm atoarele:
1. Seria de numere1P
n=1Rb
afn(x)dx
este convergent a.
2. Funct ia f=1P
n=1fneste integrabil a
Riemann pe [ a;b]  si are loc egalitatea
Zb
af(x)dx=Zb
a 1X
n=1fn(x)!
dx=
=1P
n=1Rb
afn(x)dx
:
1.4 Teorema convergent ei uniforme
Teorema 1.4.1 (teorema convergent ei uniforme)
Fiea;b2Rcu proprietatea c a a<b  si  sirul de funct ii (fn)dinF([a;b];R)
care ^ ndepline ste urm atoarele propriet at i:
(i) Pentru ecare n2N, funct iafneste integrabil a Riemann
pe[a;b];
(ii) S irul (fn)este convergent uniform pe [a;b]c atre o funct ie
f: [a;b]!R.
Atunci au loc urm atoarele:
1. S irul de numere realeRb
afn(x)dx
este convergent.
12

2. f este integrabil a Riemann, exist a limita
lim
n!1Zb
afn(x)dx
 si are loc egalitatea
lim
n!1Zb
afn(x)dx=Zb
af(x)dx:
Demonstrat ie:
Not amIn:=Rb
afn(x)dxunden1:Pentru ^ nceput vom demonstra
armat ia (1) a teoremei 1.4.1  si anume c a  sirul ( In) este fundamental. ^In
acest scop, e " >0 arbitrar ales. Din ipoteza (ii) a teoremei  stim c a  sirul
(fn) este convergent uniform pe [ a;b]  si astfel putem aplica teorema 1.2.1(
criteriul de convergent  a uniform a a lui Cauchy), de unde rezult a c a exist a
n02Ncu proprietatea c a:
jfn+p(x)fn(x)j<"
2(ba)pentru orice nn0;oricep1  si orice
x2[a;b]:
Prin urmare pentru orice nn0 si oricep1 avem
jIn+pInj=Zb
a(fn+p(x)fn(x))dxZb
ajfn+p(x)fn(x)jdx
"
2(ba)Zb
adx="
2<": (1:4:1)
Din (1.4.1) rezult a c a  sirul ( In) este fundamental  si cum orice  sir fundamental
este convergent, am demonstrat ceea ce ne-am
13

propus  si anume c a  sirul (In)este convergent. De aici rezult a c a
exist a lim
n!1In:Not amI:= lim
n!1In:^In continuare ram^ ane s a demonstr am
din armat ia (2) a teoremei c a funct ia limit a fa  sirului de funct ii ( fn) este
integrabil a Riemann  si c a are loc egalitatea
Zb
af(x)dx=I:
Pentru aceasta, e " >0 oarecare. Din denit ia limitei rezult a c a exist a un
num ar natural n12Ncu proprietatea c a
jInIj<"
3oricare ar fi nn1:
S irul (fn) este uniform convergent (conform ipotezei (ii)), deci exist a un
n22Nastfel ^ nc^ at
jfn(x)f(x)j<"
3(ba)pentru orice nn2 si orice x2[a;b]:
Alegemn2Nastfel ^ nc^ at nmaxfn1;n2g:
Pe baza ipotezei (i), rezult a(conform denit iei integralei ^ n sens Riemann) c a
exist a un >0 astfel ^ nc^ at pentru orice diviziune
2Div[a;b]cuk
k<
 si orice sistem de puncte intermediare 2P(
) s a avem
j(fn;
;)Inj<"
3:
Fie deci
:= ( x0;x1;:::;xk) o diviziune oarecare a intervalului [ a;b] cu
k
k< . Fie:= (c1;c2;:::;ck) un sistem de puncte intermediare asociat
diviziunii
2Div[a;b]. Atunci avem
j(f;
;)Ij=j(f;
;)(fn;
;) +(fn;
;)In+InIj
j(f;
;)(fn;
;)j+j(fn;
;)Inj+jInIj
14

<kX
j=1(f(cj)fn(cj))(xjxj1)+2"
3
kX
j=1jf(cj)fn(cj)j
(xjxj1) +2"
3
<"
3(ba)kX
j=1(xjxj1) +2"
3="
Deci am ar atat c a j(f;
;)Ij<", de unde rezult a c a
Zb
af(x)dx=I:
^In concluzie, am ar atat c a feste integrabil a Riemann  si c a are loc egalitatea
din concluzia teoremei:
lim
n!1Zb
afn(x)dx=Zb
alim
n!1fn(x)
|{z}
f(x)dx: (1:4:2)

15

Capitolul 2
Teoreme de convergent  a pentru
integrala Riemann
2.1 Teorema convergent ei m arginite a lui Arzel a
Teorema 2.1.1 (teorema convergent ei m arginite a lui Arzel a) Fie funct ia
f: [a;b]!R si efn: [a;b]!Run  sir de funct ii, n1;astfel ^ nc^ at s a e
^ ndeplinite urm atoarele condit ii:
(i)fneste integrabil a Riemann pe [a;b]oricare ar  n2N;
(ii)lim
n!1fn(x) =f(x)oricare ar  x2[a;b];
(iii)feste integrabil a Riemann pe [a;b];
(iv) exist a o constant a M > 0astfel ^ nc^ atjfn(x)jM
pentru orice n2N si oricex2[a;b]:
Atunci are loc egalitatea
lim
n!1Zb
afn(x)dx=Zb
af(x)dx:
16

2.2 Teorema convergent ei dominate pentru
integrale improprii
Denit ie 2.2.1 (funct ie local integrabil a Riemann)
FieIun interval nedegenerat al axei reale. O funct ie f:I!Rse nume ste
local integrabil a Riemann pe intervalul I, dac a funct ia feste integrabil a pe
orice subinterval compact [u;v]al luiI.
Denit ie 2.2.2 (integrala improprie de tipul I)
Fie1<a<b1; sif: [a;b)!Ro funct ie local integrabil a Riemann
pe[a;b):
Limita lim
v%bRv
af(x)dx;care se noteaz aRb
af(x)dx;se nume ste integrala im-
proprie a funct iei fpe intervalul [a;b):
Zb
af(x)dx= lim
v%bZv
af(x)dx:
Denit ie 2.2.3 (integrala improprie de tipul II)
Fie1a<b<1; sif: (a;b]!Ro funct ie local integrabil a Riemann
pe(a;b]:
Limita lim
u&aRb
uf(x)dx;care se noteaz aRb
a+f(x)dx;se nume ste integrala im-
proprie a funct iei fpe intervalul (a;b]:
Zb
a+f(x)dx= lim
u&aZb
uf(x)dx:
Observat ia 2.2.4 Dac a valoarea unei integrale exist a  si este un num ar nit
(cu alte cuvinte dac a limita integralelor din membrul drept din denit iile 8.2.2
 si 8.2.3 exist a  si este nit a) atunci integralele denite mai sus se numesc
convergente, iar ^ n caz contrar se numesc divergente.
Denit ie 2.2.5 (integrala improprie de tipul III)
Fie1a<b+1; sif: (a;b)!Ro funct ie local integrabil a Riemann
pe(a;b):
Dac a exist a un num ar real c2(a;b)astfel ^ nc^ at integralele impropriiRc
a+f(x)dx
 siRb
cf(x)dxexist a, iarRc
a+f(x)dx+Rb
cf(x)dx, suma lor, care se noteaz a
cuRb
a+f(x)dx, este bine denit a, atunci aceast a sum a nu depinde de alegerea
luic si se nume ste integrala improprie a lui fpe(a;b):
Zb
a+f(x)dx=Zc
a+f(x)dx+Zb
cf(x)dx:
17

Observat ia 2.2.6 Se cunoa ste c a studiul integralelor improprii poate  re-
dus la studiul integralelor improprii de tipul I(denit ia 8.2.2), prin urmare
restul rezultatelor le vom enunt a pentru cazul integralelor improprii de tipul
I.
Teorema 2.2.7 (leg atura dintre integrala Riemann  si
integrala improprie).
Fiea sibdou a numere reale cu proprietatea c a a < b  si e o funct ie f:
[a;b]!Rintegrabil a Riemann. AtunciRb
af(x)dxeste convergent a  si are
loc egalitateaZb
af(x)dx=Zb
af(x)dx:
Demonstrat ie:
Dac afeste integrabil a Riemann pe intervalul compact [ a;b] atunci re-
zult a c a admite primitive deci avem o funct ie F: [a;b]!Rastfel ^ nc^ at
F(v) =Rv
af(x)dx:De aici rezult a mai departe c a Feste continu a ^ n punctul
b, de unde avem c a
lim
v%bF(v) =F(b) =Zb
af(x)dx=Zb
af(x)dx:

18

Teorema 2.2.8 (teorema convergent ei dominate)
Fie1< a < b1;ef: [a;b)!Ro funct ie  si un  sir de funct ii
fn: [a;b)!Rcun1;astfel ^ nc^ at s a e ^ ndeplinite urm atoarele condit ii:
(i)fneste local integrabil a Riemann pe [a;b)oricare ar
n2N;
(ii)lim
n!1fn(x) =f(x)oricare ar  x2[a;b);
(iii)feste local integrabil a Riemann pe [a;b);
(iv) exist a o funct ie g: [a;b)![0;1);care este local
integrabil a Riemann pe intervalul [a;b), astfel ^ nc^ at
integrala improprieRb
ag(x)dxeste convergent a  si
jfn(x)jg(x)pentru orice n2N si oricex2[a;b):
Atunci integralele impropriiRb
af(x)dx siRb
afn(x)dxcu
n2Nsunt toate convergente  si are loc egalitatea
lim
n!1Zb
afn(x)dx=Zb
af(x)dx:
Variante similare ale teoremei 2.2.8 au loc  si pentru funct ii f;fn: (a;b]!
Runde1a<b<1;(integrale improprii de tipul II, a se vedea denit ia
2.2.3), dar  si pentru f;fn: (a;b)!Runde1a < b+1;(integrale
improprii de tipul III, a se vedea denit ia 2.2.5).
19

Capitolul 3
Probleme rezolvate
1.S a se calculeze lim
n!11R
0exndx:
Olimpiada judet ean a, 2013/1
2.Fiind data>0, s a se demonstreze c a
lim
n!1n1Z
0xn
a+xndx= lna+ 1
a:
Olimpiada judet ean a, 2001/4
20

Bibliograe
[1] ***, Analiz a Matematic a. Vol. I , Editura Didactic a  si Pedagogic a, Bu-
cure sti, (1980).
[2] ***, Analiz a Matematic a. Vol. II , Editura Didactic a  si Pedagogic a, Bu-
cure sti, (1980).
[3] D. Andrica, D.I.Duca, I.Purdea, I.Pop, Matematica de baz a , Editura
Studium, Cluj-Napoca, (2001).
[4] R.A.Gordon, A convergence theorem for the Riemann integral , Math.
Mag, 2(2000), 141-147.
21