S COALA DOCTORAL A DE S TIINT E APLICATE [607586]

UNIVERSITATEA "OVIDIUS" CONSTANT A
S COALA DOCTORAL A DE S TIINT E APLICATE
DOMENIUL DE DOCTORAT MATEMATIC A
TEZ A DE DOCTORAT
EVALU ARI ASIMPTOTICE ^IN TEORIA
ANALITIC A A NUMERELOR
Conduc ator  stiint ic
Prof. univ. dr. Dumitru Popa
Student-doctorand: [anonimizat] anescu)
CONSTANT  A
2014

EVALU ARI ASIMPTOTICE ^IN
TEORIA ANALITIC A A
NUMERELOR

Mult umiri
Mult umesc ^ ntr-un mod cu totul special ^ ndrumatorului meu de doctorat,
domnului profesor universitar doctor Dumitru Popa pentru deosebitul efort
de a m a sprijini pe tot parcursul doctoratului. ^Ii sunt recunosc atoare, de
asemenea, pentru r abdarea  si pasiunea cu care mi-a transmis not iunile de
care aveam nevoie.
Mult umesc familiei mele pentru ^ ncuraj arile  si sust inerea pe care mi-au
acordat-o. Le mult umesc p arint ilor mei pentru sprijinul f ar a de care nu ar
fost posibil a terminarea acestei teze.
Le mult umesc, de asemenea, tuturor celor care au avut ^ ncredere ^ n mine
 si m-au sust inut.
1

Cuprins
Prefat  a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1 Rezultate clasice ^ n teoria analitic a a numerelor 5
2 Extinderi pentru anumite teoreme clasice din teoria numerelor 6
2.1 Rezultate preliminare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Rezultatele principale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Aplicat ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Evalu ari asimptotice pentru unele sume duble din teoria nu-
merelor 18
3.1 Introducere  si context . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 Rezultate principale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.1 Rezultate de tip dublu P olya-Riemann . . . . . . . . . 21
3.2.2 Rezultate de tip dublu Riemann-Radoux . . . . . . . . 25
Bibliograe 26
2

Prefat  a
Lucrarea de fat  a conceput a drept tez a ^ n vederea obt inerii titlului de doctor
^ n matematic a, trateaza problematica evaluarilor asimptotice in teoria ana-
litica a numerelor.
Prezenta tez a de doctorat este structurat a ^ n trei capitole pe care le vom
prezenta pe scurt ^ n continuare.
Primul capitol cuprinde denit ii, not iuni introductive  si rezultate nece-
sare dezvolt arilor ulterioare. Unele rezultate  si demonstrat ii sunt inspirate
 si detaliate din bibliograa precizat a, altele apart in autoarei. Tot ^ n acest
capitol sunt generalizate o serie de rezultate binecunoscute ^ n literatura de
specialitate.
^In al doilea capitol sunt prezentate rezultatele centrale ale acestei teze de
doctorat. Majoritatea rezultatelor din acest capitol apar ^ n articolul: "New
extensions of some classical theorems in number theory", publicat de autor
^ mpreun a cu domnul profesor universitar doctor D. Popa^ n "Journal of Num-
ber Theory" (vezi [4]). Rezultatele din acest capitol generalizeaz a o serie de
teoreme celebre din teoria analitic a a numerelor, cum ar  faimoasa teorem a
a lui P olya bazat a pe teorema numerelor prime, ca  si un rezultat surprinz ator
a lui Radoux publicat ^ n 1977. Ment ion am c a un rezultat din acest capitol,
enunt at f ar a demonstrat ie ^ n articolul din J.N.T. este demonstrat ^ n aceast a
tez a. Deoarece ^ n articolul din J.N.T. am prezentat ca aplicat ii numai pe
acelea referitoare la numerele prime, l as^ and cititorului s a formuleze posibile
aplicat ii la rezultatul lui Radoux, ^ n prezenta tez a am prezentat  si o serie de
generaliz ari ale acestui rezultat.
Cel de al treilea capitol cuprinde rezultate trimise spre posibila publicare
la "International Journal of Number Theory" de c atre autoare ^ mpreun a cu
conduc atorul de doctorat Dumitru Popa. ^In acest capitol indic am o metod a
de a obt ine evalu ari asimptotice pentru sume duble plec^ and de la evalu ari
3

asimptotice pentru sume simple. Folosind procedeul indicat ^ n tez a ar at am
c a toate rezultatele din articolul [4] pot  utilizate pentru a obt ine evalu ari
asimptotice pentru sume duble. ^In acest sens prezent am o serie de rezultate
de tip dublu P olya-Riemann, respectiv de tip dublu Riemann-Radoux.
4

Capitolul 1
Rezultate clasice ^ n teoria
analitic a a numerelor
Urm atorul rezultat a ap arut ca urmare a discut iei cu conduc atorul de doc-
torat, D. Popa. Din c^ ate cunoa stem el nu apare ^ n literatura de specialitate.
Lema 1.0.1 Fief: [2;1)!Ro funct ie arbitrar a. Denim R: [2;1)!R
prin
R(x) =X
pxf(p):
Atunci pentru orice x2[2;1)are loc egalitatea
X
pxf(p)
lnp=xX
k=2R(k)R(k1)
lnk:
Urm atorul rezultat este util ^ n ^ nt elegerea demonstrat iilor unor teoreme  si
mi-a fost sugerat de conduc atorul de doctorat, D. Popa. Din c^ ate cunoa stem,
el nu apare ^ n literatura de specialitate.
Propozit ia 1.0.1 Fieh:NN!Ro funct ie arbitrar a. Pentru orice
x1este adev arat a urm atoarea egalitate
X
nxX
djnh
d;n
d
=X
ijxh(i;j):
5

Capitolul 2
Extinderi pentru anumite
teoreme clasice din teoria
numerelor
2.1 Rezultate preliminare
Reamintim binecunoscuta teorem a a lui Riemann.
Fief: [0;1]!Ro funct ie integrabil a Riemann. Atunci:
lim
n!11
nnX
k=1fk
n
=Z1
0f(x)dx:
^Intr-un articol clasic din 1917, vezi [24], bazat pe teorema numerelor prime,
P olya a ar atat c a dac a f: [0;1]!Reste o funct ie integrabil a Riemann pe
[0;1], atunci
lim
x!1lnx
xX
px,pprimefp
x
=Z1
0f(x)dx:
^In 1977, vezi[27], Radoux a ar atat c a
lim
n!11
n2nX
k=1fk
n
'(k) =6
2Z1
0xf(x)dx;
pentru orice funct ie f: [0;1]!Rastfel ^ nc^ at xf(x) este continu a pe [0 ;1],
'este funct ia indicator a lui Euler, vezi de asemenea [16]  si [22].
^In acest capitol vom da generalizarea acestor rezultate  si vom ar ata c a, de si
aparent sunt rezultate diferite, acestea spun acela si lucru, vezi Theorem 2.2.1,
Theorem 2.2.5, Theorem 2.2.6, Corollary 2.2.7  si Theorem 2.2.8. Abordarea
6

noastr a este urm atoarea: ^ n primul r^ and, vom demonstra rezultatele pentru
polinoame, apoi pentru funct ii continue  si la sf^ ar sit pentru funct ii integrabile
Riemann.
Rezultatele au fost publicate ^ n articolul din J.N.T., vezi [4].
^In scopul de a simplica prezentarea, vom introduce urm atoarea denit ie.
Denit ia 2.1.1 Vom spune c a funct ia h: (0;1)!Rare proprietatea P,
cu2R, dac a exist a x0>0cuh(x)>0pentru orice xx0,heste
derivabila pe (x0;1) silim
x!1xh0(x)
h(x)=.
Denit ia 2.1.2 Fieg:N![0;1)o funct ie. Funct ia G: (0;1)![0;1)
denit a prin G(x) =P
nxg(n), se nume ste funct ia sumatorie a lui g, vezi [3,
page 39].
Urm atorul rezultat apare ^ n articolul publicat ^ n "Journal of Number
Theory", vezi [4] (Proposition 1).
Propozit ia 2.1.3 Fief: (0;1)!Rde dou a ori derivabil a pe (0;1) si de
asemenea exist a x1>0cuf(x)>0 sif0(x)6= 0 pentru orice xx1 si
lim
x!1xf0(x)
f(x)=C12R,lim
x!1xf00(x)
f0(x)=C22R:
Fieh: (0;1)!Ro funct ie cu proprietatea P sig:N![0;1)astfel ^ nc^ at
funct ia sa sumatorie este echivalent a cu h. Dac aC1+>0 siC2+>1,
atunci lim
x!11
h(x)f(x)P
nxf(n)g(n) = 1C1
C2++1:
Urm atorul rezultat apare ^ n articolul publicat ^ n J.N.T., vezi [4] (Corol-
lary 1).
Corolar 2.1.4 Fieh: (0;1)!Ro funct ie cu proprietatea P si
g:N![0;1)astfel ^ nc^ at funct ia sumatorie este echivalent a cu h. De
asemenea e k2N[f0g. Atunci pentru orice 1;:::;k2R si orice
0>, avem
lim
x!11
x0(ln1x)1


(lnkx)kh(x)X
nxn0(ln1n)1


(lnkn)kg(n) =
0+:
Urm atorul rezultat, care este independent, arat a c a, ^ n ipoteze naturale,
^ n scopul de a demonstra o evaluare asimptotic a pentru funct ii continue, este
sucient a dovedi aceea si evaluare asimptotic a ^ ntr-o mult ime dens a. Acest
rezultat apare ^ n articolul publicat ^ n J.N.T. vezi [4], (Theorem 1).
7

Teorema 2.1.5 Fiekun num ar natural, a>0 siT:C
[0;1]k
!F [a;1)
o funct ional a liniar a cu proprietatea c a exist a x0a siL>0astfel ^ nc^ at
j(T(f)) (x)jLkfkupentru orice f2C
[0;1]k
 si oricexx0
 siV:C
[0;1]k
!Ro funct ional a liniar a  si m arginit a. ^In plus, pre-
supunem c a exist a AC
[0;1]k
,Adens a ^ nC
[0;1]k
, astfel ^ nc^ at
lim
x!1(T(f)) (x) =V(f)pentru orice f2A.
Atunci
lim
x!1(T(f)) (x) =V(f)pentru orice f2C
[0;1]k
.
Urm atorul rezultat apare ^ n articolul publicat ^ n J.N.T., vezi [4], (Lemma
1), la data public arii articolului autorii neg asind rezultatul ^ n mod explicit.
Ulterior, ei au g asit c a rezultatul este folosit, tot f ar a demonstrat ie, ^ n [23]
(Theorem 1, pag.4)  si ^ n [18] (Theorem 1.1, pag.2-3).
Lema 2.1.1 Fief: [0;1]!Ro funct ie integrabil a Riemann. Atunci pentru
orice">0exist a dou a funct ii continue '; : [0;1]!Rastfel ^ nc^ at
'(x)f(x) (x);8×2[0;1] siZ1
0( (x)'(x))dx":
2.2 Rezultatele principale
Vom ^ ncepe cu un rezultat care poate  considerat ca o versiune multidimen-
sionala a teoremei funct iilor continue a lui P olya, vezi Theorem 2.2.5, Theo-
rem 2.2.6, Corollary 2.2.7. Rezultatul apare ^ n lucrarea publicat a de autoare
^ mpreun a cu conduc atorul de doctorat, D.Popa, vezi [4], ca [4], (Theorem 2).
Teorema 2.2.1 Fieh: (0;1)!Ro funct ie cu proprietatea P1 si
g:N![0;1)astfel ^ nc^ at funct ia sa sumatorie este echivalent a cu h. De
asemenea e k2N[f0g.
Atunci pentru orice funct ie continu a f: [0;1]k+1!R;avem
lim
x!11
h(x)X
nxfn
x;ln1n
ln1x;:::;lnkn
lnkx
g(n) =Z1
0f(x;1;:::;1|{z}
k-ori)dx.
8

Theorem 2.2.1 ne sugereaza urm atoarea denitie.
Denit ia 2.2.2 Fieh: (0;1)!Ro funct ie cu proprietatea P1 si
g:N![0;1)astfel ^ nc^ at funct ia sumatorie este echivalent a cu h. Pentru
oricek2N[f0g;vom nota cuFk
[0;1]k+1;g;h

clasa tuturor funct iilor
integrabile Riemann f: [0;1]k+1!Rcu proprietatea c a
lim
x!11
h(x)X
nxfn
x;ln1n
ln1x;:::;lnkn
lnkx
g(n) =Z1
0f(x;1;:::;1|{z}
k-ori)dx.
Din Theorem 2.2.1 obt inem urm atorul rezultat care apare ^ n articolul
publicat ^ n J.N.T., vezi [4], (Corollary 2).
Corolar 2.2.3 Fieh: (0;1)!Ro funct ie cu proprietatea P1 sig:N!
[0;1)astfel ^ nc^ at funct ia sa sumatorie este echivalent a cu h. Atunci pentru
oricek2N[f0g;avem
C
[0;1]k+1

Fk
[0;1]k+1;g;h

R
[0;1]k+1

:
Urm atorul exemplu arat a c a pentru k2Nincluziunea
Fk
[0;1]k+1;g;h

R
[0;1]k+1

este, ^ n general, stricta, vezi [4].
Urm atorul rezultat apare ^ n articolul publicat ^ n J.N.T., vezi [4], (Propo-
sition 2).
Propozit ia 2.2.4 Fieh: (0;1)!Ro funct ie cu proprietatea P1 si
g:N![0;1)astfel ^ nc^ at funct ia sa sumatorie este echivalent a cu h. Mai
departe presupunem c a lim
n!1g(n)
h(n)= 0. De exemplu g(n) = 1 ,8n2N si
h(x) =x,8x>0. Fiek2N. Atuncif: [0;1]k+1!Rdenit a c a
f(x0;x1;:::;xk) =f1g(x1)
este integrabil a Riemann pe [0;1]k+1 si
lim
x!11
h(x)X
nxfn
x;ln1n
ln1x;:::;lnkn
lnkx
g(n) = 0 ;Z1
0f(x;1;:::;1|{z}
k-ori)dx= 1:
^In continuare, vom da unele exemple netriviale de funct ii care apart in
claselorFk
[0;1]k+1;g;h

. Acest rezultat apare^ n articolul publicat^ n J.N.T.,
vezi [4], (Theorem 3).
9

Teorema 2.2.5 Fieh: (0;1)!Ro funct ie cu proprietatea P1 si eg:
N![0;1)astfel ^ nc^ at funct ia sa sumatorie este echivalent a cu h. De
asemenea e k2N[f0g. Atunci pentru orice funct ie integrabil a Riemann
!: [0;1]!R, orice funct ii continue v1: [0;1]![0;1], …,vk: [0;1]![0;1]
cuv1(1)


vk(1)6= 0, funct iaf: [0;1]k+1!Rdenit a ca
f(x0;x1;:::;xk) =!(x0v1(x1)


vk(xk))
apart ine claseiFk
[0;1]k+1;g;h

.
Urm atorul rezultat apare ^ n articolul publicat ^ n J.N.T., vezi [4], (Theo-
rem 4).
Teorema 2.2.6 Fieh: (0;1)!Ro funct ie cu proprietatea P1 si e
g:N![0;1)astfel ^ nc^ at funct ia sa sumatorie este echivalent a cu h. De
asemenea e k2N[f0g. Dac av0: [0;1]!Reste integrabil a Riemann,
v1: [0;1]!R, …,vk: [0;1]!Rpentru orice funct ii continue, atunci
funct iaf: [0;1]k+1!Rdenit a prin
f(x0;x1;:::;xk) =v0(x0)v1(x1)


vk(xk)
apart ine claseiFk
[0;1]k+1;g;h

.
Din Teorema 2.2.5  si Teorema 2.2.6 avem, ^ n particular urm atorul rezultat
care apare ^ n articolul publicat ^ n J.N.T., vezi [4], (Corollary 3).
Corolar 2.2.7 Fieh: (0;1)!Ro funct ie cu proprietatea P1 si e
g:N![0;1)astfel ^ nc^ at funct ia sa sumatorie este echivalent a cu h. Fie
k2N[f0g. Atunci:
(i)F0([0;1];g;h) =R([0;1])i.e. pentru orice funct ie integrabil a Riemann
f: [0;1]!Ravem
lim
x!11
h(x)X
nxfn
x
g(n) =Z1
0f(x)dx:
(ii) Dac a!: [0;1]!Reste integrabil a Riemann, v1: [0;1]!R, …,
vk: [0;1]!Rsunt funct ii continue cu v1(1)


vk(1)6= 0 avem
lim
x!11
h(x)X
nx!n
x
v1ln1n
ln1x



vklnkn
lnkx
g(n) =
Z1
0!(x
v1(1)


vk(1))dx:
10

(iii) Dac a v0: [0;1]!Reste integrabil a Riemann, v1: [0;1]!R, …,
vk: [0;1]!Rsunt funct ii continue avem
lim
x!11
h(x)X
nxv0n
x
v1ln1n
ln1x



vklnkn
lnkx
g(n) =v1(1)


vk(1)Z1
0v0(x)dx:
Urm atorul rezultat este o noua extindere a teoremei lui Radoux. El apare
^ n articolul publicat ^ n J.N.T., vezi [4], (Theorem 5).
Teorema 2.2.8 Fieh: (0;1)!Ro funct ie cu proprietatea P, cu2
Rf0g si eg:N![0;1)astfel ^ nc^ at funct ia sa sumatorie este echivalent a
cuh. De asemenea e k2N[f0g. Atunci:
(i) pentru orice 1;:::;k2R,  si orice funct ie continu a ': [0;1]k+1!R
avem
lim
x!1P
nx'
n
x;ln1n
ln1x;:::;lnkn
lnkx
n1(ln1n)1


(lnkn)kg(n)
x1(ln1x)1


(lnkx)kh(x)
=Z1
0'(x;1;:::;1|{z}
k-ori)dx.
(ii) Dac a2(1;1), pentru orice funct ie f: [0;1]k+1!Rcu proprietatea
c a(x0;x1;:::;xk)!x1
0f(x0;x1;:::;xk)este continu a pe [0;1]k+1 si oricare
ar
1;:::;k2Ravem
lim
x!1P
nxf
n
x;ln1n
ln1x;:::;lnkn
lnkx
(ln1n)1


(lnkn)kg(n)
(ln1x)1


(lnkx)kh(x)
=Z1
0x1f(x;1;:::;1|{z}
k-ori)dx.
(iii) Dac a2(1;1), pentru orice funct ie f: [0;1]k+1!Rcu proprietatea
c a(x0;x1;:::;xk)!x1
1f(x0;x1;:::;xk)este continu a pe [0;1]k+1 si oricare
ar 1;:::;k2Ravem
lim
x!1P
nxf
n
x;ln1n
ln1x;:::;lnkn
lnkx
n1(ln1n)1(ln1n)1


(lnkn)kg(n)
x1(ln1x)1(ln1x)1


(lnkx)kh(x)
=Z1
0f(x;1;:::;1|{z}
k-ori)dx.
11

(iv) pentru orice funct ie integrabil a Riemann !: [0;1]!R, oricare ar
funct iile continue v1: [0;1]![0;1], …,vk: [0;1]![0;1]cuv1(1)


vk(1)6=
0avem
lim
x!1P
nx!
n
x
v1
ln1n
ln1x



vk
lnkn
lnkx
n1(ln1n)1


(lnkn)kg(n)
x1(ln1x)1


(lnkx)kh(x)
=Z1
0!(x
v1(1)


vk(1))dx:
(v) pentru orice funct ie integrabil a Riemann v0: [0;1]!R, oricare ar
funct iile continue v1: [0;1]!R, …,vk: [0;1]!R
lim
x!1P
nxn1v0n
x

(ln1n)1v1
ln1n
ln1x



(lnkn)kvk
lnkn
lnkx
g(n)
x1(ln1x)1


(lnkx)kh(x)
=v1(1)


vk(1)Z1
0v0(x)dx:
(vi) Dac a2(1;1), pentru orice funct ie u0: [0;1]!Rastfel ^ nc^ at
x!x1u0(x)este integrabil a Riemann, oricare ar  funct iile continue
v1: [0;1]!R, …,vk: [0;1]!R
lim
x!1P
nxu0n
x

(ln1n)1v1
ln1n
ln1x



(lnkn)kvk
lnkn
lnkx
g(n)
(ln1x)1


(lnkx)kh(x)
=v1(1)


vk(1)Z1
0x1u0(x)dx:
Vom da ^ n continuare c^ ateva exemple, ca aplicat ii la Teorema 2.2.8. Din
c^ ate cunoa stem rezultatele nu apar ^ n literatura de specialitate.
Pentru':N![0;1), funct ia indicator a lui Euler, avem:
X
nx'(n)v3
2x2c^ andx!1:
Propozit ia 2.2.9 Fiek2N[f0g. Atunci:
(i) pentru orice funct ie f: [0;1]k+1!Rcu proprietatea c a
(x0;x1;:::;xk)!x0f(x0;x1;:::;xk)este continu a pe [0;1]k+1 si oricare ar
12

1;:::;k2Ravem
lim
x!1P
nxf
n
x;ln1n
ln1x;:::;lnkn
lnkx
(ln1n)1


(lnkn)k'(n)
(ln1x)1


(lnkx)kx2
=6
2Z1
0xf(x;1;:::;1|{z}
k-ori)dx.
(ii) pentru orice funct ie f: [0;1]k+1!Rcu proprietatea c a
(x0;x1;:::;xk)!x1f(x0;x1;:::;xk)este continu a pe [0;1]k+1 si oricare ar
1;:::;k2Ravem
lim
x!1P
nxf
n
x;ln1n
ln1x;:::;lnkn
lnkx
n1(ln1n) (ln 1n)1


(lnkn)k'(n)
x(ln1x) (ln 1x)1


(lnkx)k
=6
2Z1
0f(x;1;:::;1|{z}
k-ori)dx.
(iii) pentru orice funct ie u0: [0;1]!Rastfel ^ nc^ at x!xu0(x)este
integrabil a Riemann, oricare ar  funct iile continue v1: [0;1]!R, …,
vk: [0;1]!R si oricare ar  1;:::;k2Ravem
lim
x!1P
nxu0n
x

(ln1n)1v1
ln1n
ln1x



(lnkn)kvk
lnkn
lnkx
'(n)
(ln1x)1


(lnkx)kx2
=6
2v1(1)


vk(1)Z1
0xu0(x)dx:
Pentru':N![0;1), funct ia indicator a lui Euler, avem:
X
nx'(n)
n6×2
2(2)c^ andx!1  si<1:
Propozit ia 2.2.10 Fiek2N[f0g. Atunci:
(i) pentru orice funct ie f: [0;1]k+1!Rcu proprietatea c a
(x0;x1;:::;xk)!x1
0f(x0;x1;:::;xk)este continu a pe [0;1]k+1 si oricare ar
1;:::;k2R si<1avem
lim
x!1P
nxf
n
x;ln1n
ln1x;:::;lnkn
lnkx
(ln1n)1


(lnkn)k'(n)
n
(ln1x)1


(lnkx)kx2
=6
2Z1
0x1f(x;1;:::;1|{z}
k-ori)dx.
13

(ii) pentru orice funct ie f: [0;1]k+1!Rcu proprietatea c a
(x0;x1;:::;xk)!x1
1f(x0;x1;:::;xk)este continu a pe [0;1]k+1 si oricare ar
1;:::;k2R si<1avem
lim
x!1P
nxf
n
x;ln1n
ln1x;:::;lnkn
lnkx
n1(ln1n)1(ln1n)1


(lnkn)k'(n)
x(ln1x)1(ln1x)1


(lnkx)k
=6
2Z1
0f(x;1;:::;1|{z}
k-ori)dx.
(iii) pentru orice funct ie integrabil a Riemann v0: [0;1]!R, oricare
ar  funct iile continue v1: [0;1]!R, …,vk: [0;1]!R si oricare ar
1;:::;k2Ravem
lim
x!1P
nxn1v0n
x

(ln1n)1v1
ln1n
ln1x



(lnkn)kvk
lnkn
lnkx
'(n)
x(ln1x)1


(lnkx)k
=6
2v1(1)


vk(1)Z1
0v0(x)dx:
^In continuare reamintim, vezi [6, 28]:
(i) o funct ie l: (0;1)!Rse nume ste funct ie cu variat ie lent a (^ n sens
Karamata) dac a este m asurabil a, exist a x0>0 cul(x)>0 pentru orice
xx0 si lim
x!1l(ax)
l(x)= 1,8a>0.
(ii) Fie2R. funct iah: (0;1)!Rse nume ste cu variat ie regulat a cu
indexdac a este m asurabil a  si exist a l: (0;1)!Ro funct ie cu variat ie
lent a astfel ^ nc^ at h(x) =xl(x),8x>0.
^In primul s au raport asupra lucr arii [4] referentul ne-a sugerat s a studiem
leg atura cu funct iile cu variat ie lent a. Acest rezultat apare ^ n articolul pub-
licat ^ n J.N.T., vezi [4], (Lemma 2)  si este r aspunsul pe care autorii l-au dat
referentului.
Lema 2.2.1 Fieh: (0;1)!Ro funct ie cu proprietatea P, cu2Rf0g
 si eg:N![0;1)astfel ^ nc^ at funct ia sa sumatorie este echivalent a cu h.
Atuncihcu variat ie regulat a cu index .
2.3 Aplicat ii
^In acest subcapitol, vom aplica rezultatele demonstrate mai sus i.e. Teo-
rema 2.2.1, Teorema 2.2.5, Teorema 2.2.6  si Corolarul 2.2.7, pentru c^ ateva
14

funct ii aritmetice, binecunoscute ^ n teoria numerelor, vezi [1, 3, 17, 20]. Ne
vom concentra numai asupra cazului corespunz ator funct iilor sumatorii peste
numerele prime.
^In continuare vom nota cu Pmult imea tuturor numerelor prime  si cuP
px


pentruP
px,pprime


.
Denit ia 2.3.1 Fieh: (0;1)!Ro funct ie cu proprietatea P. Vom
spune c av:P![0;1)funct ia sa sumatorie peste numerele prime este
echivalent a cu hdac a  si numai dac aP
pxv(p)h(x)c^ andx!1 .
Urm atorul rezultat, care stabile ste o leg atur a ^ ntre funct ia sumatorie
peste mult imea numerelor naturale  si funct ia sumatorie peste mult imea nu-
merelor prime, este probabil cunoscut, dar nu l-am g asit explicit ^ n literatura
de specialitate. El apare ^ n articolul publicat de autoare ^ mpreun a cu con-
duc atorul de doctorat D. Popa, vezi [4], f ar a demonstrat ie. Demonstrat ia
dat a aici este inspirata din Landau, vezi [20, pag. 25].
Lema 2.3.1 Fief: (0;1)!(0;1)astfel ^ nc^ at
f(n)
lnn
n2este un  sir
descresc ator  si seria1P
n=2f(n)
lnneste divergent a. Atunci
P
pxf(p)vP
nxf(n)
lnnc^ andx!1:
Denit ia 2.3.2 Fieh: (0;1)!Ro funct ie cu proprietatea P si
v:P![0;1)astfel ^ nc^ at funct ia sa sumatorie peste numerele prime este
echivalent a cu h. De asemenea e k2N[f0g. Notam cuFprime
k
[0;1]k+1;v;h

clasa tuturor funct iilor integrabile Riemann f: [0;1]k+1!Rcu proprietatea
c a
lim
x!11
h(x)X
pxfp
x;ln1p
ln1x;:::;lnkp
lnkx
v(p) =Z1
0f(x;1;:::;1|{z}
k-ori)dx.
Rezultatul urm ator spune c a dac a  stim un rezultat pentru ecare funct ie
sumatorie peste mult imea tuturor numerelor naturale, atunci putem obt ine
un rezultat similar pentru ecare funct ie sumatorie peste numerele prime.
Rezultatul a fost publicat ^ n J.N.T., vezi [4], (proposition 3).
Propozit ia 2.3.3 Fieh: (0;1)!Ro funct ie cu proprietatea P. Fiek2
N[f0g. Dac af2Fk
[0;1]k+1;g;h

pentru orice g:N![0;1)astfel ^ nc^ at
funct ia sa sumatorie este echivalent a cu h, atuncif2Fprime
k
[0;1]k+1;v;h

pentru orice v:P![0;1)astfel ^ nc^ at funct ia sa sumatorie peste mult imea
numerelor prime este echivalent a cu h.
15

Urm atorul rezultat este o generalizare a clasicei teoreme a lui P olya.
Demonstrat ia rezult a din Corolarul 2.2.7  si Propozit ia 2.3.3. Rezultatul apare
^ n articolul din J.N.T., vezi [4], (Corollary 4).
Corolar 2.3.4 Fieh: (0;1)!Ro funct ie cu proprietatea P1 si
v:P![0;1)astfel ^ nc^ at funct ia sa sumatorie peste numerele prime este
echivalent a cu h. De asemenea e k2N[f0g. Atunci:
(i)Fprime
0 ([0;1];g;h) =R([0;1])i.e. pentru orice funct ie integrabil a Rie-
mannf: [0;1]!Ravem
lim
x!11
h(x)X
pxfp
x
v(p) =Z1
0f(x)dx:
(ii) pentru orice funct ii continue f: [0;1]k+1!R
lim
x!11
h(x)X
pxfp
x;ln1p
ln1x;:::;lnkp
lnkx
v(p) =Z1
0f(x;1;:::;1|{z}
k-ori)dx.
(iii) pentru orice funct ie integrabil a Riemann !: [0;1]!R, orice funct ii
continuev1: [0;1]![0;1], …,vk: [0;1]![0;1]cuv1(1)


vk(1)6= 0
lim
x!11
h(x)X
px!p
x
v1ln1p
ln1x



vklnkp
lnkx
v(p) =
Z1
0!(x
v1(1)


vk(1))dx:
(iv) pentru orice funct ie integrabil a Riemann v0: [0;1]!R, orice funct ii
continuev1: [0;1]![0;1], …,vk: [0;1]![0;1]
lim
x!11
h(x)X
pxv0p
x
v1ln1p
ln1x



vklnkp
lnkx
v(p) =v1(1)


vk(1)Z1
0v0(x)dx:
^In continuare, d am c^ ateva cazuri particulare pentru Corolarul 2.3.4. Ream-
intim c a pentru v:P![0;1),v(p) = 1, funct ia sa sumatorie peste numerele
prime este: (0;1)![0;1),(x) =P
px1  si din teorema numerelor prime,
(x)x
lnxasx!1 , vezi [17, 20].
De asemenea, pentru v:P![0;1),v(p) = lnp, funct ia sa sumatorie
peste numerele prime este #: (0;1)![0;1),#(x) =P
pxlnp, prima funct ie
16

a lui Chebyshev  si din teorema numerelor prime, #(x)xc^ andx!1 ,
vezi [17, 20].
Aplic^ and Corolarul2.3.4 pentru aceast a funct ie obt inem urm atorul rezul-
tat care a fost publicat de c atre autoare ^ mpreun a cu conduc atorul de doc-
torat D. Popa, `^ n J.N.T. vezi [4], (corollary 5):
Corolar 2.3.5 Fiek2N[f0g. Atunci:
(i) pentru orice funct ie continu a f: [0;1]k+1!R;
lim
x!1lnx
xX
pxfp
x;ln1p
ln1x;:::;lnkp
lnkx
=Z1
0f(x;1;:::;1|{z}
k-ori)dx;
lim
x!11
xX
pxfp
x;ln1p
ln1x;:::;lnkp
lnkx
lnp=Z1
0f(x;1;:::;1|{z}
k-ori)dx:
(ii) pentru orice funct ie integrabil a Riemann !: [0;1]!R si orice funct ii
continuev1: [0;1]![0;1], …,vk: [0;1]![0;1]cuv1(1)


vk(1)6= 0;avem
lim
x!1lnx
xX
px!p
x
v1ln1p
ln1x



vklnkp
lnkx
=Z1
0!(x
v1(1)


vk(1))dx;
lim
x!11
xX
px!p
x
v1ln1p
ln1x



vklnkp
lnkx
lnp
=Z1
0!(x
v1(1)


vk(1))dx:
(iii) pentru orice funct ie integrabil a Riemann v0: [0;1]!R si orice
funct ii continue v1: [0;1]![0;1], …,vk: [0;1]![0;1];
lim
x!1lnx
xX
pxv0p
x
v1ln1p
ln1x



vklnkp
lnkx
=v1(1)


vk(1)Z1
0v0(x)dx;
lim
x!11
xX
pxv0p
x
v1ln1p
ln1x



vklnkp
lnkx
lnp
=v1(1)


vk(1)Z1
0v0(x)dx:
17

Capitolul 3
Evalu ari asimptotice pentru
unele sume duble din teoria
numerelor
3.1 Introducere  si context
Comportamentul asimptotic pentru diferite sume este una dintre problemele
fundamentale ^ n analiza matematic a, teoria numerelor  si nu numai . Rezul-
tate diferite  si profunde de acest tip pot  g asite , de exemplu, ^ n c art ile
lui Bateman-Diamond [3], Landau [20]  si Tenenbaum [31]. ^In continuare
vom indica o metod a de a obt ine evalu ari asimptotice pentru sume duble din
evalu arile asimptotice pentru sume simple , Teorema 3.2.1, Propozit ia 3.2.2  si
Corolarul 3.2.3. Ca aplicat ii ar at am c a toate rezultatele din articolul scris de
autoare ^ mpreun a cu conduc atorul de doctorat, Dumitru Popa, vezi [4] pot
 folosite pentru a obt ine unele evalu ari asimptotice pentru sume duble, vezi
Corolarul 3.2.5. Folosind un rezultat vechi a lui Landau din 1900, am obt inut
un nou rezultat de tipul P olya – Riemann pentru sume duble, vezi Corolarul
3.2.8, Corolarul 3.2.9. De asemenea, ca aplicat ie concret a prezent am o serie
de rezultate care implic a funct ia num arul divizorilor  si funct ia indicatorul
lui Euler, vezi Corolarul 3.2.10  si Corolarul 3.2.12. O alt a aplicat ie a rezul-
tatelor generale obt inute se refer a la versiuni duble pentru rezultate de tip
Riemann-Radoux. Dac a h: (0;1)!Reste o funct ie pentru care exis a
x0>0 astfel ^ nc^ at h(x)6= 0 oricare ar  xx0vom spune c a heste nenul a.
De asemenea dac a h: (0;1)!Reste nenul a  si g:N!R, vom spune c a
funct ia sumatorie a lui geste echivalent a cu hdac aP
nxg(n)vh(x).
Denit ia 3.1.1 Fieu:NN!Ro funct ie arbitrar a. Funct ia
18

G: (0;1)!Rdenit a ca G(x) =P
ijxu(i;j)se nume ste funct ia dubl a
sumatorie asociat a lui u.
^In mod similar, dac a A;BN siv:AB!Reste o funct ie arbitrar a,
funct ia sumatorie dubl a GA;B: (0;1)!RcaGA;B(x) =P
ijx,(i;j)2ABv(i;j).
Dac ah: (0;1)!Reste nenul a, A;BN siv:AB!R, vom spune
c a funct ia dubl a sumatorie a lui veste echivalent a hdac aP
ijx, (i;j)2ABv(i;j)vh(x).
Propozit ia 3.1.2 Fieu:NN!Ro funct ie arbitrar a. Oricare ar
x1avem urm atoarea egalitate:
X
ijxu(i;j) =X
nxX
djnu
d;n
d
:
Cu alte cuvinte, dac a g:N!Rdenit a ca g(n) =P
djnu
d;n
d

, atunci
funct ia sumatorie dubl a a lui ueste egal a cu funct ia sumatorie a lui g.
Corolar 3.1.3 (a) Fief:N!Ro funct ie arbitrar a. Oricare ar  x1
avem urm atoarea egalitateP
nxf(n)d(n) =P
ijxf(ij).
(b) Fief;g:N!Rdou a funct ii arbitrare. Atunci, oricare ar  x1
avem urm atoarea egalitateP
nxP
djnf(d)gn
d

=P
ijxf(i)g(j); cu alte cuvinte,
dac afgeste convolut ia Dirichlet dintre f sig, atunciP
nx(fg) (n) =
P
ijxf(i)g(j).
^In continuare vom a
a unele evalu ari asimptotice pentru funct ia num arul
divizorilor  si funct ia indicatorul lui Euler.
Propozit ia 3.1.4 Avem urm atoarea evaluare asimptotic a pentru funct ia num arul
divizorilor:
X
nxd(n) lnn
n=1
3ln3x+Cln2x+O(lnx);
undeCeste constanta lui Euler.
19

Propozit ia 3.1.5 Avem urm atoarele evalu ari asimptotice:
(i)
X
ijx'(i)'(j) =18x2lnx
4+(36C6A29)x2
4+O(xpxlnx);
undeCeste constanta lui Euler  si A=1P
n=1(n) lnn
n2.
(ii)
X
ijxd(i)d(j) =xln3x
6+(4C1)xln2x
2+O(xlnx);
undeCeste constanta lui Euler.
(iii)
X
ijxd(i)'(j) =2×2
12+O
xpxlnx

.
3.2 Rezultate principale
Urm atorul rezultat arat a c a, dac a  stim o evaluare asimptotic a pentru o sum a
de o "singur a variabil a " putem obt ine o evaluare asimptotic a pentru o sum a
de "dou a variabile ".
Teorema 3.2.1 Fieh: (0;1)!Ro funct ie, eventual nenul a,  si e k2
N[f0g. Dac af: [0;1]k+1!Reste o funct ie cu proprietatea c a exist a
lim
x!11
h(x)X
nxfn
x;ln1n
ln1x;:::;lnkn
lnkx
g(n) =L(f)2R
oricare ar  g:N!Rastfel ^ nc^ at funct ia sa sumatorie este echivalent a cu
h, undeL(f)depinde doar de f, atunci
lim
x!11
h(x)X
ijxfij
x;ln1(ij)
ln1x;:::;lnk(ij)
lnkx
u(i;j) =L(f)
oricare ar  u:NN!Rastfel ^ nc^ at funct ia sa sumatorie dubl a este
echivalent a cu h.
Rezultatul urm ator, euristic vorbind, spune c a dac a  stim un rezultat pen-
tru orice funct ie summatorie dubl a pe NN, atunci putem deduce un rezul-
tat similar pentru orice funct ie summatorie dubl a peste produsul cartezian a
dou a submult imi de numere naturale.
20

Propozit ia 3.2.2 Fieh: (0;1)!Ro funct ie care este eventual nenul a
 si ek2N[f0g. Dac af: [0;1]k+1!Reste o funct ie cu proprietatea c a
exist a
lim
x!11
h(x)X
ijxfij
x;ln1(ij)
ln1x;:::;lnk(ij)
lnkx
u(i;j) =L(f)2R
pentru orice u:NN!Rpentru care funct ia sa sumatorie dubl a este
echivalent a cu h, undeL(f)depinde doar de f, atunci
lim
x!11
h(x)X
ijx,(i;j)2ABfij
x;ln1(ij)
ln1x;:::;lnk(ij)
lnkx
v(i;j) =L(f)
pentru orice A;BN si oricev:AB!Rpentru care funct ia sa
sumatorie dubl a este echivalent a cu h.
Din Teorema 3.2.1  si Propozit ia 3.2.2 avem urm atorul corolar.
Corolar 3.2.3 Fieh: (0;1)!Ro funct ie eventual nenul a  si e k2
N[f0g. Dac af: [0;1]k+1!Reste o funct ie cu proprietatea c a exist a
lim
x!11
h(x)X
nxfn
x;ln1n
ln1x;:::;lnkn
lnkx
g(n) =L(f)2R
pentru orice g:N!Ra c arei funct ie sumatorie dubl a este echivalent a cu
h, undeL(f)depinde doar de f, atunci
lim
x!11
h(x)X
ijx,(i;j)2ABfij
x;ln1(ij)
ln1x;:::;lnk(ij)
lnkx
v(i;j) =L(f)
pentru orice A;BN si oricev:AB!Rpentru care funct ia sa
sumatorie dubl a este echivalent a cu h.
3.2.1 Rezultate de tip dublu P olya-Riemann
^In continuare, vom demonstra unele rezultate care, din motive evidente le
vom numi rezultate duble de tip P olya-Riemann, a se vedea [4, 24]. Pentru
aceasta reamintesc urm atoarea denit ie, a se vedea [4] [Denitie 1].
Denit ia 3.2.4 Vom spune c a funct ia h: (0;1)!Rare proprietatea P,
unde2R, dac a exist a x0>0astfel ^ nc^ at h(x)>0pentru orice xx0,h
este diferent iabil a pe (x0;1) silim
x!1xh0(x)
h(x)=.
21

Corolar 3.2.5 Fieh: (0;1)!Ro funct ie cu proprietatea P1. Fie de
asemeneak2N[f0g,A;BN siv:AB![0;1)astfel ^ nc^ at funct ia
sa sumatorie dubl a este echivalent a cu h. Atunci:
(i)pentru orice funct ie integrabil a Riemann f: [0;1]!Ravem urm atoarea
egalitate
lim
x!11
h(x)X
ijx,(i;j)2ABfij
x
v(i;j) =Z1
0f(x)dx:
(ii) Dac a!: [0;1]!Reste integrabil a Riemann, v1: [0;1]![0;1], …,
vk: [0;1]![0;1]sunt funct ii continue cu v1(1)


vk(1)6= 0avem urm atoarea
egalitate
lim
x!11
h(x)X
ijx,(i;j)2AB!ij
x
v1ln1(ij)
ln1x



vklnk(ij)
lnkx
v(i;j)
=Z1
0!(x
v1(1)


vk(1))dx:
(iii) Dac a v0: [0;1]!Reste integrabil a Riemann, v1: [0;1]!R, …,
vk: [0;1]!Rsunt funct ii continue atunci avem urm atoarea egalitate
lim
x!11
h(x)X
ijx,(i;j)2ABv0ij
x
v1ln1(ij)
ln1x



vklnk(ij)
lnkx
v(i;j)
=v1(1)


vk(1)Z1
0v0(x)dx:
^In continuare vom da exemple non-triviale de funct ii pentru care g asim
evalu ari asimptotice ale funct iilor lor sumatorii duble. Pentru aceasta avem
nevoie de urm atorul rezultat a lui E. Landau din 1900, a se vedea [19, p. 28]
sau [20, paginile 203-205].
Teorema 3.2.6 FieF: (0;1)(0;1)!Rastfel ^ nc^ at F(;x)0
pentru 1x;F(;x)
lnF(0;x)
ln0pentru 20x siF(2;x) =
oRx
2F(u;x)
lnudu
.
AtunciP
pxF(p;x)vRx
2F(u;x)
lnudu.
Propozit ia 3.2.7 Avem urm atoarele evalu ari asimptotice:
(i) card (f(i;j)2NNjijxg)vxlnx.
(ii) cardf(p;j)2NNjpjx,pprimgvxln (lnx).
(iii) cardf(p;q)2NNjpqx,pprim,qprimgv2xln(lnx)
lnx.
22

Din Corolarul 3.2.5  si Propozit ia 3.2.7 avem
Corolar 3.2.8 Pentru orice funct ie integrabil a Riemann f: [0;1]!Ravem
urm atoarele egalit at i
lim
x!11
xlnxX
ijx,inatural,jnaturalfij
x
=Z1
0f(x)dx;
lim
x!11
xln (lnx)X
pjx,pprim,jnaturalfpj
x
=Z1
0f(x)dx;
lim
x!1lnx
xln (lnx)X
pqx,pprim,qprimfpq
x
= 2Z1
0f(x)dx.
Corolar 3.2.9 Fiek2N[f0g.
(i) Dac a!: [0;1]!Reste integrabil a Riemann, v1: [0;1]![0;1], …,
vk: [0;1]![0;1]sunt funct ii continue cu v1(1)


vk(1)6= 0, atunci avem
urm atoarele egalit at i
lim
x!11
xlnxX
ijx,inatural,jnatural!ij
x
v1ln1(ij)
ln1x



vklnk(ij)
lnkx
=Z1
0!(x
v1(1)


vk(1))dx;
lim
x!11
xln (lnx)X
pjx,pprim,jnatural!pj
x
v1ln1(pj)
ln1x



vklnk(pj)
lnkx
=Z1
0!(x
v1(1)


vk(1))dx;
lim
x!1lnx
xln (lnx)X
pqx,pprim,qprim!pq
x
v1ln1(pq)
ln1x



vklnk(pq)
lnkx
= 2Z1
0!(x
v1(1)


vk(1))dx:
(ii) Dac av0: [0;1]!Reste integrabil a Riemann, v1: [0;1]!R, …,
23

vk: [0;1]!Rsunt funct ii continue, atunci avem urm atoarele egalit at i
lim
x!11
xlnxX
ijx,inatural,jnaturalv0ij
x
v1ln1(ij)
ln1x



vklnk(ij)
lnkx
=v1(1)


vk(1)Z1
0v0(x)dx;
lim
x!11
xln (lnx)X
pjx,pprim,jnaturalv0pj
x
v1ln1(pj)
ln1x



vklnk(pj)
lnkx
=v1(1)


vk(1)Z1
0v0(x)dx;
lim
x!1lnx
xln (lnx)X
pqx,pprim,qprimv0pq
x
v1ln1(pq)
ln1x



vklnk(pq)
lnkx
= 2v1(1)


vk(1)Z1
0v0(x)dx:
Rezultatul urm ator este de alt tip dec^ at cele demonstrate mai sus.
Corolar 3.2.10 Fiek2N[f0g. Atunci:
(i) pentru orice funct ie integrabil a Riemann f: [0;1]!Ravem urm atoarea
egalitate
lim
x!11
xln3xX
ijxfij
x
d(i)d(j) =1
6Z1
0f(x)dx:
(ii) Dac a!: [0;1]!Reste integrabil a Riemann, v1: [0;1]![0;1], …,
vk: [0;1]![0;1]sunt funct ii continue cu v1(1)


vk(1)6= 0avem urm atoarea
egalitate
lim
x!11
xln3xX
ijx!ij
x
v1ln1(ij)
ln1x



vklnk(ij)
lnkx
d(i)d(j)
=1
6Z1
0!(x
v1(1)


vk(1))dx:
(iii) Dac a v0: [0;1]!Reste integrabil a Riemann, v1: [0;1]!R, …,
vk: [0;1]!Rsunt funct ii continue avem urm atoarea egalitate
lim
x!11
xln3xX
ijxv0ij
x
v1ln1(ij)
ln1x



vklnk(ij)
lnkx
d(i)d(j)
=1
6v1(1)


vk(1)Z1
0v0(x)dx:
24

3.2.2 Rezultate de tip dublu Riemann-Radoux
^In continuare vom demonstra ceea ce noi numim rezultate duble de tip
Riemann-Radoux, a se vedea [4, 27]. De data aceasta, ne concentr am ^ n
principal pe unele cazuri particulare. Din Teorema 5 din [4] deducem
Corolar 3.2.11 Fieh: (0;1)!Ro funct ie cu proprietatea P,2
Rf0g,A;BN siv:AB![0;1)astfel ^ nc^ at funct ia sa sumatorie
dubl a este echivalent a cu h. Atunci:
(i) pentru orice funct ie integrabil a Riemann f: [0;1]!Ravem urm atoarea
egalitate
lim
x!1P
ijx,(i;j)2ABfij
x

(ij)1v(i;j)
x1h(x)=Z1
0f(x)dx:
(ii) Dac a2(1;1), pentru orice funct ie f: [0;1]!Rastfel ^ nc^ at x!
x1f(x)este integrabil a Riemann avem urm atoarea egalitate
lim
x!1P
ijx,(i;j)2ABfij
x

v(i;j)
h(x)=Z1
0x1f(x)dx:
^In continuare vom demonstra c^ ateva exemple concrete ale Corolarului
3.2.11.
Corolar 3.2.12 Pentru orice funct ie f: [0;1]!Rastfel ^ nc^ at x!xf(x)
este integrabil a Riemann, avem urm atoarea egalitate
lim
x!1P
ijxfij
x

'(i)'(j)
x2lnx=36
4Z1
0xf(x)dx:
lim
x!1P
ijxfij
x

d(i)'(j)
x2=2
6Z1
0xf(x)dx:
25

Bibliograe
[1]T. Apostol ,Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag,
1976.
[2] U. Balakrishnan, Y.-F. S. Petermann, Asymptotic Estimates for a Class
of Summatory Functions , Journal of Number Theory, 70, No. 1, 1-36
(1998).
[3]P.T. Bateman, H.G. Diamonds, Analytic number theory. An in-
troductory course, Monographs in Number Theory 1. River Edge, NJ:
World Scientic, 2004.
[4]M. B anescu, D. Popa ,New extensions of some classical theorems in
number theory, Journal of Number Theory, 133, No 11, 3771-3795, 2013.
[5]M. B anescu, D. Popa ,Asymptotic evaluations for some double sums
in number theory, trimis spre posibila publicare la International Journal
of Number Theory ^ n 2014.
[6]N. H. Bingham, C. M. Goldie, J. L. Teugels, Regular varia-
tion, Encyclopedia of Mathematics and its applications, 27, Cambridge
University Press. XIX, 1987, 2nd ed., p/b, 1989.
[7]N. H. Bingham, A. Inoue, Abelian, Tauberian, and Mercerian the-
orems for arithmetic sums, J. Math. Anal. Appl. 250, No. 2, 465-493,
2000.
[8]A. Blanchard ,Initiation a la theorie analytique des nombres pre-
miers, Dunod Paris, 1969.
[9]R. Bojanic, E. Seneta ,A Unied Theory of Regularly Varying Se-
quences, Math. Zeit. , 134, 91-106, 1973.
[10]N. Bourbaki, Functions of a Real Variable: Elementary Theory, Trans.
din the 1976 French original by Philip Spain. Berlin: Springer, 2004.
26

[11]R. Cristescu, Notiuni de analiza funct ional a liniar a, Editura
Academiei Rom^ ane, Bucuresti 1998.
[12]T.H. Gronwall, Some asymptotic expressions in the theory of num-
bers, Trans. Amer. Math. 14, 113-122, 1913.
[13]J. Hadamard, Sur la distribution des z eros de la fonction (s)et ses
cons equences arithm etiques, Bull. S. M. F. 24, 199-220, 1896.
[14]G.H. Hardy, E.M. Wright ,An introduction to the theory of num-
bers, Oxford at the Clarendon Press, 1960.
[15] P. Halmos, Measure theory , Van Nostrand and Co., 1950.
[16]E. Hlawka, Uber einen Satz von C. Radoux, Mathematical structures,
computational mathematics, mathematical modelling 2, Pap. dedic. L.
Iliev 70th Anniv., 208-215, 1984.
[17]A.E. Ingham ,The distribution of prime numbers, Cambridge Mathe-
matical Library, 1964.
[18]L. Kuipers, H. Niederreiter ,Uniform distribution of sequences, A
Wiley-Interscience publication, 1974.
[19]E. Landau, Sur quelques probl emes relat ifs  a la distribution des nom-
bres premiers, Bull. S. M. F. 28, 25-38, 1900.
[20]E. Landau, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen,
Leipzig und Berlin, B. G. Teubner, 1909.
[21]B.M. Makarov, M.G. Goluzina, A.A. Lodkin, A.N. Podko-
ryotov, Selected problems in real analysis, Transl. Math.Monographs,
107, A.M.S., 1992.
[22]J.L. Mauclaire, Deux r esultats sur les suites limite-p eriodiques, Proc.
Japan Acad., Ser. A, 63, 90-93, 1987.
[23]C.P. Niculescu, Young Gauss meets dynamical systems, The Mathe-
matical Intelligencer, Springer Science+Business Media, LLC, 33, no.1
2011.
[24]G. Polya, Uber eine neue Weise bestimmte Integrale in der analytis-
chen Zahlentheorie zu gebrauchen, G ottingen Nachr. 149-159, 1917.
[25]D. Popa ,Exercitii de analiz a matematic a, Biblioteca Societ atii de
Matematic a din Romania, 2007.
27

[26]D. Popa ,A double Mertens type evaluation, Journal of Mathematical
Analysis and Applications, 409, No 2, 1159-1163, 2014.
[27]Ch. Radoux, Note sur le comportement asymptotique de l'indicateur
d'Euler, Ann. Soc. Sci. Bruxelles, S er. I, 91, 13-18, 1977.
[28]E. Seneta ,Regularly varying functions, Lecture Notes in Mathematics,
No. 508. Berlin-Heidelberg-New York, Springer-Verlag, 1976.
[29]D. Suryanarayana, The Number of k-ary Divisors of an Integer,
Monatshefte f ur Mathematik, 72, 445-450, 1968.
[30]D. Suryanarayana, R. Sita Rama Chandra Rao ,On an asymp-
totic formula of Ramanujan, Math. Scand, 32, 258-264, 1973.
[31]G. Tenembaum ,Introduction to analytic and probabilistic number the-
ory,Cambridge University Press, 1995.
[32]Jack P. Tull ,Average order of arithmetic functions, Illinois Journal
of Mathematics 5, 175-181, 1961.
28