s Cioar a Rahela-Angela [606665]

UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIS OARA
FACULTATEA DE MATEMATIC A S I INFORMATIC A
PROGRAMUL DE STUDII DE LICENT  A: MATEMATIC A
– INFORMATIC A
LUCRARE DE LICENT  A
COORDONATOR: ABSOLVENT: [anonimizat] s Cioar a Rahela-Angela
TIMIS OARA
2019

UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIS OARA
FACULTATEA DE MATEMATIC A S I INFORMATIC A
PROGRAMUL DE STUDII DE LICENT  A: MATEMATIC A
– INFORMATIC A
DEFINIREA NUM ARULUI 
COORDONATOR: ABSOLVENT: [anonimizat] s Cioar a Rahela-Angela
TIMIS OARA
2018

Abstract
abstractul in limba engleza
3

Cuprins
Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1 Istoria faimosului num ar  6
1.1 Istoria timpurie a lui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Istoria modern a a lui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Calculul lui ^ n era calculatoarelor 11
4

Introducere
introducere
5

Capitolul 1
Istoria faimosului num ar 
1.1 Istoria timpurie a lui 
Denit ia 1.1.1. Constanta matematic a reprezint a raportul dintre lungimea orc arui
cerc  si diametrul s au, ^ ntr-un spat iu euclidian.
Dorint a de a ^ nt elege num arul  si nevoia de a calcula valori tot mai precise ale
acestei constante au provocat matematicienii de-a lungul mai multor secole.
Primele ^ nregistr ari despre num arul dateaz a din vremea babilonienilor  si a egipteni-
lor.Babilonienii pretindeau c a valoarea lui este25
8= 3:125, iar egiptenii au folosit
valoarea=256
81. Ceilalt i din Antichitate s-au mult umit s a foloseasc a simpla aproximare
=3, acest lucru este evident iat ^ n urm atorul pasaj biblic din Vechiul Testament :
" A f acut marea turnat a din aram a. Avea zece cot i de la o margine p^ an a la cealalt a,
era rotund a de tot, ^ nalt de cinci cot i  si, de jur ^ mprejur, se putea m asura cu un r de
treizeci de cot i" .
Primul calcul matematic riguros pentru determinarea valorii lui a fost realizat de
cel mai mare matematician al Antichit at ii, Arhimede din Siracuza ( 287-212 ^ . Hr.),
care a folosit o metod a geometric a bazat a pe poligoane regulate ^ nscrise  si circumscrise
unui cerc. El a demonstrat dou a relat ii fundamentale despre perimetrele  si ariile
poligoanelor regulate, astfel pentru un cerc de raz a ravem:
b1=un hexagon inscris cu p1perimetru  si a1arie;
B1=un hexagon circumscris cu P1perimetru  si A1arie;
^In continuare, e b2,…,bn, care desemneaz a poligoane regulate ^ nscrise cu 6
2;:::;6

2nlaturi.
Analog, e B2,…,Bnpentru poligoane circumscrise.
Urm atoarele formule dau relat iile dintre perimetrele  si ariile acestor 6
2npoligoane:
Pn+1=2
pn
Pn
pn+Pnpn+1=ppn
Pn
an+1=pan
An An+1=2
an+1
An
an+1+An.
Atunci pentru un cerc cu diametrul d si un poligon regulat circumscris acestui cerc,
cu perimetrul Pnrezult a c a= lim
n!1Pn
d. Deci cu c^ at poligonul are mai multe laturi cu
at^ at aproximarea lui este mai exact a.
Folosind un poligon regulat cu 96 de laturi Arhimede a demonstrat:
310
71< < 31
7.
Nimeni nu a fost capabil s a ^ mbun at at iasc a metoda lui Arhimede multe secole la r^ and,
de si un num ar de persoane au folosit aceast a metod a general a pentru a obt ine apro-
xim ari mai exacte pentru .
6

Spre exemplu, astronomul Ptolemeu (100-178 d. Hr.) a folosit pentru valoarea
317
120=3:141666:::. De asemenea romanii au calculat suprafet e circulare utiliz^ and
armat ia:
"O roat a cu diametrul de 4 picioare are un perimetru de 121
2picioare."
Aceasta ofer a aproximarea : 31
8.
Iarchinezii , chiar ^ nainte de anul 100 d.Hr. au utilizat 3, dar au folosit  si apro-
ximareap
10(3:16). Matematicianul chinez Tsu Chung-Chin a folosit metode
ale lui Arhimede pentru a calcula cu  sapte cifre corecte. El a oferit dou a seturi de
aproxim ari:
=22
7 si=355
113.
De asemenea el a ar atat c a :
3:1415926<< 3:1415927.
Un alt rezultat nu s-a obt inut ^ n Europa p^ an a ^ n anul 1500.
Cea mai bun a aproximare a lui a fost dat a ^ n anul 500 d.Hr. de c atre matematicianul
indian Aryabatha utiliz^ and urm atoarea descriere:
"Adunat i 4 la 100, ^ nmult it i totul cu 8  si ad augat i 62000. Rezultatul este aproxi-
mativ circumferint a unui cerc al c arui diametru este 20000."
Desigur acest lucru implic a:
(100+4)
8+62000
20000=3177
1250=3:1416.
Totu si, aproximarea folosit a deobicei de indieni a fostp
10.
^In jurul anului 263 d.Hr. Liu Hui a descoperit o metod a riguroa a pentru a calcula
valorile lui . Acest matematician a utilizat un poligon cu 3072 laturi  si a obt inut
pentruvaloarea aproximativ a 3 :1416. Metoda folosit a de el a fost:
=A3072=3
28
vuuuuut2vuuuut2 +vuuut2 +vuut2 +s
2 +r
2 +q
2 +p
2 +p2 + 13:1416.
Cu ajutorul metodei lui Liu Hui folosind un poligon regulat de 12288, matematicianul
Zu Chongzhi a obt inut ^ n anul 480 d. Hr. faptul c a =355
113 si de asemenea a demon-
strat c a 3:1415926<< 3:1415927.
^In anul 833 d.Hr. matematicianul Al-Khwarizmi , considerat p arintele algebrei, a
utilizat dou a aproxim ari pentru num arul  si anume:
=31
7 si=62832
20000=3:1416.
Iar ^ n anul 1436 Al-Kashi ofer a pentru valoarea:
26:2831853071795865.
Acest fapt este unul extrem de impresionant pentru vremea respectiv a.
7

Nume An Zecimale corecte
Babilonieni 2000 ^ .Hr. 1
Egipteni 2000 ^ .Hr. 1
Chinezi 1200 ^ .Hr 1
Vechiul Testament 550 ^ .Hr. 1
Arhimede 250 ^ .Hr. 3
Ptolemeu 150 d.Hr. 3
Liu Hui 263 d.Hr. 5
Tsu Chung-Chin 480 d.Hr. 7
Aryabatha 500 d.Hr 4
Al-Khwarizmi 833 d.Hr. 4
Al-Khasi 1436 d.Hr. 14
Tab.1 Istoria timpurie a calculului lui 
1.2 Istoria modern a a lui 
Matematicianul francez Fran cois Vi ete (1540-1603), a descoperit prima formul a
direct a pentru calculul num arului :
2
=p
2
2
p
2+p
2
2
q
2+p
2+p
2
2


.
Aceast a este o formul a u sor de obt inut dintr-un p atrat inscriptibil  si succesiv dubl^ and
num arul de laturi obt inem un octagon, un hexadecagon. Utiliz^ and notat ia anpentru
aria unui poligon inscriptibil cu n laturi si aplic^ and formula:
a2n=an
sec
2
recursiv, ^ ncep^ and cu n= 4. ^In urma acestor calcule Vi ete a obt inut 10 zecimale
exacte pentru (El a aplicat principiul lui Arhimede).
Ludolph van Ceulen , un alt matematician care a calculat cu 20 de zecimale
exacte. Ulterior a ajuns s a calculeze cu 31 de zecimale, acest lucru i-a adus o enorm a
satisfact ie, ind at^ at de m^ andru de realizarea sa ^ nc^ at a dorit s a-i e gravate pe piatra
funerar a zecimalele lui descoperite ce el. Datorit a acestei descoperiri num arul era
numit uneori constanta lui Ludolph, av^ and ^ n vedere c a la vremea respectiv a nu era
^ nc a cunoscut sub numele de .
Alte descoperiri f acute ^ n leg atur a cu acest num ar provin de la clericul, cripto-
graful  si matematicianul englez John Wallis (1616-1703) care a descoperit formula
produsului innit de numere naturale pentru :
2
=1
3
3
5
5
7



2
2
4
4
6
6


()1Q
k=14k21
4k2=2

Acest produs a condus ulterior la descoperirea funct iei gamma.
Matematicianul  si primul pre sedinte al Societ at ii Regale din Londra, lord William
Brouncher (1620-1684) a dat prima fract ie continu a  si innit a pentru , care s-a bazat
pe produsul innit descoperit de Wallis.
2
=1
1+9
2+25
2+49
2+


.
Matematicianul scot ian James Gregory (1637-1675) a descoperitbine cunoscuta
formul a:xR
0dt
1+t2=arctg (x)=xx3
3+x5
5x7
7+



^Inlocuindx= 1 ^ n relat ia de mai sus se obt ine:
8


4=11
3+1
51
7+



Aceast a serie ^ ns a converge extrem de ^ ncet deoarece e devoie de peste 600 de termeni
pentru a calcula cu dou a zecimale exacte. Matematicianul german Gottfried Lei-
bniz a descoperit independent ^ n anul 1674 aceea si ecuat ie ca  si cea descoperit a de
Gregory.
Seria dat a de Gregory  si Leibniz a fost utilizat a de Abraham Sharp (1651-1742)
pentru a calcula cu 72 de zecimale exacte.
John Machin (1680-1751), un profesor de astronomie de la Colegiul Gresham a
obt inut 100 de zecimale exacte pentru calculul lui , utiliz^ and formula :

4=4arctg1
5arctg1
239.
^Intre anii 1665-1666, Issac Newton a calculatcu ajutorul formulei particulare:
=3p
3
4+ 24(1
121
5
251
28
27+


)=3p
3
4+ 241
4R
0p
xx2dx
 si a obt inut 15 zecimale. Newton a pornit de la o serie descoperit a de el pentru funct ia
arcsin :
arcsin (x)=x+1
x3
2
3+1
3
x5
2
4
5+1
3
5
x7
2
4
6
7+1
3
5
7
x9
2
4
6
8
9+


.
Din aceast a formul a num arul poate  calculat not^ and arcsin (1
2)=
6:
Englezul William Shanks (1812-1882), un matematician amator a calculat ^ n anul
1874, folosind formula lui Machin 707 zecimale pentru , dar mai t^ arziu a constatat
c a ^ ncep^ and de la cea de a 527 zecimal a calculul a fost eronat. Pentru a obt ine aceste
zecimale exacte sunt necesari 510 termeni obt inut i din formula lui Machin.
Leonhard Euler (1707-1783), considerat cel mai mare matematician din toate tim-
purile, n ascut la BaseL^ n Elvet ia  si studiind matematica sub conducerea  si^ ndrumatrea
lui Johann Bernoulli. Euler a descoperit noi formule pentru , spre exemplu ^ n anul
1779 a determinat formula:
=20arctg1
78arctg3
79
poate  calculat din aceast a formul a utiliz^ and seria lui Gregory.
El a mai descoperit  si urm aroarele formule pentru :
2
6=1P
n=11
n2
4
90=1P
n=11
n4
6
945=1P
n=11
n6
8
9450=1P
n=11
n8
10
93955=1P
n=11
n10
…
Aceast a list a se continu a cu sume de numere ^ ntregi p^ an^ a la 26. Euler a atribuit
simbolul modern pentru pi, "", av^ and ^ n vedere faptul c a John Wallis a folosit prima
dat a
pentrupi. De asemenea, ^ n 1801 Euler a folosit simbolul modern pentru e si
i=p1. El a mai demonstrat  si cea mai important a relat ie matematic a:
9

ei+ 1=0.
Natura num arului 
Motivat ia pentru calculul lui , de-a lungul timpului a fost aceea de a vedea dac a ^ n
toate zecimalele lui apar repet ari care ar  permis s a se arme faptul c a reprezint a
raportul dintre dou a numere. ^Ins a aceast a problem a a fost stabilit a ^ n secolul 18 de
c atre matematicianul Johann Lambert, care a ar atat pentru prima dat a c a este
irat ional.
Johann Lambert (1728-1777), n ascut ^ n Frant a, ul unui croitor s arac, a fost
totu si capabil s a se bucure de compania celor mai mari matematicieni din acea vreme,
matematicieni precum Lagrange  si Euler.
^In anul 1761 el a demonstrat c a dac a xeste un num ar rat ional nenul, atunci nici
num arulex, nicitg(x) nu pot  rat ionali, a ar atat acest lucru utiliz^ and fract ia continu a
dat a de Euler pentru e^ n 1737.
O alt a problem a legat a de natura lui a fost urm atoarea ^ ntrebare : dac a se a
 a
printre solut iile unei ecuat ii algebrice cu coecient i rat ionali.
R aspunsul a venit ^ n 1882, c^ and Lindemman (1852-1939) a demonstrat c a este un
num ar transcendent. Lindemann a ar atat c a dac a a;b;c;


 sim;n;r;


sunt numere
algebrice atunci ecuat ia:
aem+ben+cer+


=0
nu are solut ii rat ionale. Deci ecuat ia:
eix+ 1=0
nu poate s a existe dac a xeste un num ar algebric.Utiliz^ and celebra formul a a lui Euler:
ei+ 1=0.
rezult a, deci, c a nu poate  algebric, el ind un num ar transcendent.
Demonstrat ia lui Lindemann r aspunde la ^ ntrebarea grecilor antici, dac a se poate con-
strui un p atrat cu aria egal a cu cea a unui cerc de raz a dat a, folosind compasul  si rigla.
R aspunsul este negativ, deoarece numerele constructibile sunt numere algebrice.
Numerele transcendente au fost descoperite ^ n anul 1844 de c atre Joseph Liou-
ville (1809-1882). Iar ^ n anul 1873, Charles Hermite (1822-1901) a demonstrat ca e
este transcendent, ar at^ and c a acesta nu poate  solut ie a unei ecuat ii polinomiale cu
coecient ii rat ionali.
Nume An Zecimale
Fran cois Vi ete 1593 9
Ludolph van Ceulen 1596 20
Ludolph van Ceulen 1615 31
Newton 1665 16
Sharp 1699 72
Machin 1706 100
Shanks 1874 527
Tab.2 Istoria modern a a calculului lui 
10

Capitolul 2
Calculul lui ^ n era calculatoarelor
Datorit a dezvolt arii tehnologiei calculatoarelor din anii 1950, a fost calculat cu
mii si mai apoi cu milioane de zecimale. Aceste calcule au fost facilitate de desco-
perirea unor algoritmi avansat i pentru efectuarea cu precizie a unor operat ii aritme-
tice pe calculator. Spre exemplu, ^ n 1965 s-a constatat c a noua formul a descoperit a
FFT(Transformarea rapid a Fourier) poate  folosit a pentru a efectua multiplic ari cu
o precizie mult mai mare fat  a de metodele convent ionale.
Aceste metode au oferit o reducere dramatic a a timpului de calcul necesar pentru
determinarea valorii lui  si, bine^ nt eles, a altor constante.
Cu toate acestea, p^ an a ^ n anii 1970, toate calculele computerizate pentru au
folosit formulele clasice, de obicei formule derivate din cea a lui Machin.
Unele din noile formule ale seriilor innite au fost descoperite de c atre matematicianul
indian Ramanujan ^ n jurul anului 1910. Una dintre acestea este remarcabila formul a:
1
=2p
2
98011P
k=0(4k)!(1103+26390 k)
(k!)4
(394)4k.
Fiecare termen al acestei serii genereaz a opt cifre corecte ^ n rezultat, deci aceast a
formul a este mai ecient a dec^ at cele clasice, totu si are aceea si proprietate referitoare
la faptul c a num arul de termeni care trebuie calculat i cre ste proport ional cu num arul
de cifre dorite pentru .
Gosper a folosit aceast a formul a a lui Ramanujan pentru a calcula 17 milioane de
cifre ale lui ^ n anul 1985.
^In 1976 Eugene Salamin  siRichard Brent au descoperit ^ n mod independent
un nou algoritm pentru , algoritm care se bazeaz a pe media aritmetic a  si geometric a
 si pe unele idei preluate de la Gauss din 1800.
11

Bibliograe
[1] David H. Bailey, Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein, Simon Ploue, The
Quest for Pi NAS-96-015 , 1996, 1- 18.
[2] G. Donald Allen, A BRIEF HISTORY, 1-16.
12