Rolul Tehnicilor de Comanda Si Reglare Automata

Cuprins

Contents

1. Rolul tehnicilor de comandă și reglare automată

Procesele industriale automatizate sunt caracterizate de prezența mașinilor și aparatelor cu funcționare automată, care alcătuiesc de cele mai multe ori instalații foarte complexe. La baza acestor procese automatizate sau a mijloacelor de automatizare moderne, se află în mare parte tehnicile de reglare și de comandă automată.

O caracteristică specifică sistemelor de reglare și de comandă automată, o constituie faptul că în ele are loc modificarea cu un anumit scop a unor anumite mărimi (semnale) însoțite de o prelucrare a informației. Întrucât tehnicile de reglare și de comandă automată sunt în mare măsură independente de aparatura cu care se realizează, trebuie ca aceste domenii să fie subordonate științei sistemelor, motiv pentru care în cele ce urmează vor fi prezentate considerații de bază din teoria sistemelor automate.

2 Noțiuni generale privind sistemele automate. Definiție și structură

Sistemul automat este un automat cuprinzând procesul automatizat P sau instalația tehnologică și dispozitivul de automatizare DA (fig. 1).

Procesul automatizat P este ansamblul transformărilor, caracterizat prin una sau mai multe mărimi măsurabile pentru care se realizează automatizarea.

Dispozitivul de automatizare DA este ansamblul de aparate și legături care se conectează cu procesul în scopul realizării operațiilor de comandă și de reglare dorite.

Comandă este un ansamblu de operații, care se efectuează în circuit deschis (fig. 1.) și care au ca efect stabilirea unei mărimi de ieșire (e) în raport cu mărimea de intrare (i), independente de proces.

Reglarea este un ansamblu de operații ce se efectuează în circuit închis (fig. 2.), formând o buclă închisă și care au ca efect:

Fie stabilirea unei dependențe după o lege prestabilită, e=f (i);

Fie reducerea influenței mărimilor perturbatoare asupra mărimilor din proces, e=f (z).

Fig. 1. Sistem automat

Fig. 2: Sistem automat în circuit închis

În primul caz, sistemul automat se poate numi sistem de programare sau urmărire automată, iar în cel de-al doilea caz, sistemul automat se poate numi sistem de reglare sau supraveghere automată. Semnificația notațiilor din figura 2. În conformitate cu STAS 6019-74 este următoarea:

D – element de comparație care realizează diferența a = i- r;

R – regulator care emite mărimea de comandă “c” în funcție de mărimea de eroare sau de acționare “a”;

E – element de execuție;

P – procesul automatizat (instalația automatizată);

M – element de măsurare;

N – element prin care perturbația “z” produce mărimea “ez”;

I – mărime de intrare;

A = i–r – mărime de acționare, se mai numește și eroare sau abatere;

C – mărime de comandă;

M – mărime de execuție;

E – mărime de ieșire;

Ep – componenta mărimii de ieșire în absența perturbației “z”;

Ez – componenta mărimii de ieșire datorate perturbației “z”;

R – mărime de reacție;

Z – mărime de perturbație.

Sistemul de comandă automată (fig.1.) este comandat numai de către mărimea de intrare “i” și, pentru acest motiv, acest sistem nu poate funcționa cu precizie ridicată în toate regimurile de funcționare.

Sistemul de reglare automată (fig.2.) este comandat de către diferența dintre mărimea de intrare “i” și mărimea de reacție “r”. Dacă eroarea a = i – r are o valoare, aceasta este prelucrată corespunzător și sistemul este comandat în sensul anulării acestei abateri, astfel încât mărimea de ieșire să urmărească mărimea de intrare cu abateri minime.

Controlul prin intermediul căii de reacție presupune un element funcțional suplimentar propriu sistemelor de reglare automată – elementul de comparație D. Dacă intensitatea mărimii de acționare este slabă, ea se amplifică prin intermediul regulatorului R, rezultând un semnal de conducere “c”, care se aplică elementului de execuție, generând mărimea de execuție “m”, care acționează la rândul ei asupra procesului P.

În unele cazuri, pentru a reduce întârzierea transmiterii informației spre intrare, se poate transmite la comparator direct mărimea de ieșire; lipsind traductorul M, rezultă că mărimea de reacție este însăși mărimea de ieșire (r = e), iar sistemul poartă numele de sistem cu legătură de reacție rigidă.

Orice mărime, care se aplică din exteriorul unui element din sistemul automat, alta decât mărimea de intrare i, și care tinde să influențeze mărimea de ieșire din proces, poartă numele de perturbație și se notează cu z. Cele mai importante perturbații sunt cele aplicate direct procesului P.

2.1. Funcțiunile regulatorului în sisteme de reglare automată

În ansamblul elementelor prevăzute pentru automatizarea funcționării unei instalații tehnologice proces automatizat (P), regulatorul automat (R) ocupă un loc central. În varianta cea mai simplă a unui sistem de reglare automată (SRA), reprezentată în figura 2, blocul R are rolul de a prelucra eroarea a, rezultată din elementul de comparație D, mărimea de comandă c rezultată fiind aplicată elementului de execuție E.

Compensarea efectelor perturbațiilor asupra mărimii reglate constituie rolul fundamental al regulatorului automat. Prin realizarea buclei de reglare automată variațiile necontrolate ale mărimii reglate e sunt eliminate, gradul de automatizare sporește sensibil pentru procesul tehnologic desfășurat în instalația tehnologică și calitatea produselor obținute se îmbunătățește considerabil.

2.2. Principalele probleme ale sistemelor automate

Principalele probleme ale sistemelor automate sunt legate de analiză și sinteza acestora, de identificarea proceselor tehnologice supuse automatizării, de optimizarea funcționării lor.

Analiza sistemelor automate reprezintă etapa în care se determină performanțele în regim tranzitoriu și staționar realizate de sistem. Aceste performanțe pot fi determinate dacă se cunoaște răspunsul sistemului la diferite tipuri de mărimi de intrare și mărimi perturbatoare. Analiza evidențiază gradul de precizie cu care se realizează relația dorită între mărimea de ieșire și mărimea de intrare, precum și influența anumitor parametri fizici ai sistemului asupra performanțelor acestuia.

2.3. Aspecte privind analiza și sinteza sistemelor automate

O condiție necesară – dar nu și suficientă – pentru ca un sistem automat să poată fi utilizat în practică este stabilitatea sistemului, respectiv proprietatea sistemului de a restabili, prin acțiunea sa, un nou regim staționar, atunci când – datorită variației mărimii de intrare sau a unei perturbări – a fost scos dintr-un regim staționar anterior. La un sistem stabil, regimul tranzitoriu are astfel o durată limitată.

Un sistem instabil nu este utilizabil, deoarece nu poate îndeplini scopul pentru care este creat, de a realiza pe cale automată o anumită lege de dependență între mărimea de ieșire și cea de intrare. La sistemele instabile, mărimea de ieșire are variații necontrolate, întrucât un nou regim staționar nu mai este restabilit după ieșirea dintr-un regim staționar anterior.

Determinarea performanțelor unui sistem are deci sens numai în cazul când sistemul este stabil și de aceea, analiza comportării sistemelor cuprinde o verificare prealabilă a stabilității.

Sinteza sistemelor automate presupune următoarele etape;

impunerea anumitor performanțe pentru sistem pornind de la considerațiile și restricțiile impuse de instalația tehnologică;

întocmirea schemei structurale a sistemului automat cu evidențierea tuturor elementelor componente;

alegerea și acordarea optimă a regulatorului automat în vederea satisfacerii performanțelor cerute prin tema de proiectare;

verificarea prin analiză a performanțelor realizate de sistemul proiectat;

În cazul în care sistemul nu îndeplinește anumite performanțe se trece la reproiectarea sau la corecția sistemului.

Realizarea unei proiectări cât mai riguroase a unui sistem automat presupune cunoașterea cu o precizie cât mai ridicată a instalației tehnologice pe care o automatizează.

3. Reprezentarea sub formă de schemă bloc

Într-un sistem de reglare sau de comandă automată are loc o prelucrare și o transmitere automată a semnalelor. De aceea, asemenea sisteme sunt alcătuite din subsisteme sau elemente de transfer. Ele posedă un sens de acțiune bine definit, unidirecțional, indicat prin săgeți atașate semnalelor de ieșire sau intrare. La un subsistem mono variabil există un singur semnal de intrare x (t) și respectiv, un singur semnal de ieșire y (t).

La subsistemele multivariabile vor acționa mai multe mărimi de intrare și de ieșire. Un element de transfer individual se va reprezenta printr-un bloc, ce se poate lega de alte blocuri, prin intermediul semnalelor, rezultând unități mai mari (sistemul în ansamblu). Noțiunea de sistem cuprinde atât sistemele monovariabile simple cât și sistemele multivariabile, ajungând până la sistemele organizate în mai multe trepte ierarhice.

În schemele bloc (fig. 1. și 2.) se folosesc simboluri și semne convenționale a căror semnificație și reprezentare rezultă din tabelul 1.

4. Funcția de transfer

Comportarea unui sistem automat este descrisă de un ansamblu de ecuații algebrice și diferențiale care exprimă dependența mărimii de ieșire de cea de intrare. Pentru realizarea unui studiu analitic este necesară liniarizarea acestor relații prin diverse metode. Prin eliminarea variabilelor intermediare se determină ecuația diferențială a sistemului global, care, în cazul când toate ecuațiile componente ale sistemului sunt liniare sau liniarizate, are următoarea formă:

(1)

unde coeficienții ai și bi sunt considerați constanți, iar pentru sisteme fizic realizabile n>m.

Tabelul 1

Rezolvarea ecuației diferențiale de mai sus este laborioasă și utilizarea ei în practică este complicată. Sunt de preferat exprimări mai simple care permit o exprimare mai rapidă a calităților dinamice ale sistemului. În acest sens se adoptă ipoteze simplificatoare cum ar fi:

– condiții inițiale nule;

– intrări standard (treaptă, impuls, rampă, sinus).

O modalitate simplă de rezolvare a ecuațiilor diferențiale de tipul celei de mai sus este dată de utilizarea transformatei Laplace.

Pentru:

(2)

Se definește transformata Laplace:

(3)

Unde este o variabilă complexă.

Transformata Laplace face trecerea de la domeniul real având ca variabilă independentă timpul, la domeniul complex având ca variabilă s. Prin aplicarea transformatei Laplace transformăm o ecuație diferențială într-o ecuație polinomială (operația de diferențiere se reduce la o simplă operație de înmulțire):

(4)

Revenirea la domeniul real (după rezolvarea ecuației polinomiale) se realizează prin aplicarea transformatei Laplace inverse:

(5)

Aplicând transformata Laplace ecuației diferențiale inițiale obținem:

(6)

Definim funcția de transfer că raportul dintre transformata Laplace a mărimii de ieșire și transformată Laplace a mărimii de intrare, pentru condiții inițiale nule:

(7)

Alte forme uzuale de exprimare ale funcției de transfer sunt:

(8)

Care scoate în evidență factorul de proporționalitate:

(9)

Care corespunde raportului dintre semnalele de ieșire și de intrare în regim staționar.

Pentru acest regim, K > 1 corespunde unui efect de amplificare, iar K < 1 corespunde unui efect de atenuare.

(10)

Unde soluțiile zj, (j = 1,2,…, m) și sj, (j = 1,2,…, n-p) se numesc zerourile, respectiv polii funcției de transfer și pot avea forme reale, imaginare, complexe, distincte sau multiple.

Cu s-a notat polul sq, cu ordinul de multiplicitate p, iar cu s-a notat un coeficient fără semnificație deosebită.,

(1.11)

Unde, reprezintă una din cele mai răspândite forme de scriere a funcției de transfer, deoarece scoate în evidență factorul de proporționalitate K, polii de origine multiplă de ordinul p, constantele de timp Tj, factorii de amortizare j, și pulsațiile naturale j, parametri care contribuie la interpretarea fenomenologică mai completă a funcției de transfer.

Utilitatea funcției de transfer derivă din simplitatea operațiilor matematice bazate pe această funcție și a interpretărilor fenomenologice directe și simple care rezultă.

Astfel, din punct de vedere al analizei, se consideră cunoscut semnalul de intrare i (t) și funcția de transfer H (s), pentru care interesează determinarea semnalului de ieșire e (t), respectiv:

(1.12)

De unde, aplicând transformata Laplace inversă rezultă:

(1.13)

Pentru sinteză, fiind cunoscute semnalele de intrare i (t) și de ieșire e (t), se urmărește stabilirea structurii elementului care este capabil a efectua această transformare. Se poate determina astfel funcția de transfer sub formă:

(1.14)

5. Algebra schemelor funcționale cu funcții de transfer

Algebra schemelor funcționale cu funcții de transfer cuprinde un grup de reguli care permit determinarea funcției de transfer a unui sistem în condițiile în care sunt cunoscute funcțiile de transfer ale elementelor componente, iar sistemul este reprezentat sub formă de schemă bloc.

Schema bloc sau schema funcțională, respectă legea suprapunerii (superpoziției) efectelor, datorită comportării liniare a fiecărui element component și poate fi simplificată sau restructurată pe baza unor reguli simple.

În figură 1.3 se prezintă cele trei conexiuni de bază ale elementelor, respectiv în serie (fig. 1.3 a), în paralel (fig. 1.3 b) și cu reacție (fig. 1.3 c).

Conexiunea în serie constă în legarea ieșirii unui element la intrarea elementului următor.

Fig. 1.3: Conexiunile serie (a), paralel (b) și cu reacție (c)

Vom avea astfel:

(1.15)

Și

(1.16)

Funcția de transfer a elementului echivalent va fi:

(1.17)

Generalizând, pentru n elemente conectate în serie, se obține relația:

(1.18)

Conexiunea în paralel constă în legarea aceleiași intrări la toate elementele și însumarea algebrică a ieșirilor. Vom avea:

(1.19)

Și

(1.20)

Funcția de transfer a elementului echivalent va fi:

(1.21)

Generalizând, pentru n elemente conectate în paralel, se obține relația:

(1.22)

În cazul conexiunii în paralel însumarea se consideră algebrică.

Conexiunea cu reacție constă în introducerea la intrarea I (s), a unui semnal dependent de semnalul de ieșire, R (s), care se numește semnal de reacție.

Dacă A (s) =I (s)+R (s), reacția se numește pozitivă, iar dacă A (s) =I (s)-R (s), reacția se numește negativă.

Funcția de transfer a elementului de pe circuitul direct este:

(1.23)

Funcția de transfer de pe circuitul de reacție:

(1.24)

Funcția de transfer a elementului echivalent va fi:

(1.25)

Semnele (+) și (-) de la numitor în cazul conexiunii cu reacție corespund reacției negative respectiv reacției pozitive. Dacă pe circuitul de reacție nu există element de reacție, atunci se consideră H r(s) =1, iar reacția se numește unitară.

6. Performanțele sistemelor automate liniare continue. Indici de performanță

Atât în sinteza cât și în analiza sistemelor automate este necesar să se cunoască modul în care răspunde sistemul la semnalele de intrare sau semnale perturbatoare. Performanța unui sistem se apreciază prin intermediul unor indici de calitate (de performanță) așa cum este ilustrat în figură 1.4, după aspectul regimului tranzitoriu și staționar al răspunsului indicial (răspuns obținut prin aplicarea la intrare a unui semnal de tip treaptă).

Fig. 1.4: Indici de performanță ai sistemelor automate liniare continue

– Eroarea staționară εst=yst-yp reprezintă diferența dintre valoarea prescrisă yp și valoarea staționară yst, considerată la sfârșitul regimului tranzitoriu, pentru care toate derivatele acestui semnal în raport cu timpul se anulează;

– Suprareglajul σ1 = ymax – yst, reprezintă diferența între valoarea maximă a ieșirii ymax și valoarea staționară sau procentual:

(1.26)

Pentru sistemele de ordinul doi, valoarea lui σ este o funcție de factorul de amortizare ζ și relația dintre ele are formă:

(1.27)

– Amortizarea este diminuarea progresivă a componenței tranzitorii a semnalului de ieșire. Se poate aprecia cantitativ prin gradul de amortizare δ definit că diferența dintre două abateri succesive de același sens, raportată la prima dintre ele:

(1.28)

– Durata procesului tranzitoriu sau timpul de stabilizare ts reprezintă intervalul de timp cuprins între momentul aplicării semnalului treaptă unitară până când mărimea de ieșire este cuprinsă în domeniul Δ = 0.05 yst;

– Timpul de întârziere ti este definit ca fiind timpul necesar că mărimea de ieșire să crească de la 0 la 0.5 yst;

– Timpul de creștere tc reprezintă intervalul de timp în care mărimea de ieșire evoluează între 0.1 yst și 0.90 yst.

În afară de mărimile caracteristice prezentate, exprimate în funcție de timp, există posibilitatea aprecierii performanțelor unui sistem și în domeniul frecvențelor.

7. Stabilitatea sistemelor liniare continue

Stabilitatea sistemelor liniare continue este o condiție necesară – dar nu suficientă – care asigură funcționarea practică a acestor sisteme. O definiție suficient de completă și intuitivă a acestei noțiuni este: stabilitatea este proprietatea unui sistem de a poseda un regim staționar al funcției pondere (funcția pondere reprezintă răspunsul sistemului la semnalul de intrare de tip impuls unitar).

Un sistem instabil nu este utilizabil deoarece nu poate realiza o anumită lege de dependență între semnalul de intrare și ieșire, ultima prezentând variații necontrolate în raport cu timpul. În figură 1.5 sunt prezentate patru situații de variație a unor funcții pondere.

Fig. 1.5: Forme de variație ale funcțiilor pondere

Curbele 1 și 2 respectă condiția de stabilitate, după un regim tranzitoriu de durată finită urmând regimul staționar, curbele 3 și 4, nerespectând această condiție corespund unui fenomen nestabil.

Pentru un sistem definit prin funcția de transfer H (s) avem răspunsul pondere e (t), calculat cu formula dezvoltării:

(1.29)

Unde Ck este reziduul corespondent polului sk, n reprezintă numărul total al polilor iar pentru baza logaritmilor naturali s-a folosit notația en. Fiecare pol contribuie cu o componentă e k(t) asupra funcției pondere, după cum urmează:

– Unui pol real, nemultiplu, sk=α, îi corespunde

(1.30)

– Unui pol real, multiplu de m-ori, sk=αm îi corespunde

(1.31)

– Unei perechi nemultiple de poli complecși conjugați sk= αjβ îi corespunde

(1.32)

– Unei perechi multiple de m-ori de poli complecși conjugați sk= (αjβ)m îi corespunde

(1.33)

Din relațiile de mai sus se constată că funcția pondere posedă un regim staționar, respectiv se amortizează în raport cu timpul la sfârșitul unui regim tranzitoriu, numai dacă toți polii lui H (s) au partea reală negativă, respectiv α<0. În cazul particular când una sau mai multe componente reale sunt nule, se spune că sistemul se găsește la limita de stabilitate.

Reprezentând acești poli în planul complex (fig. 1.6), rezultă într-o formă intuitivă criteriul de stabilitate în planul s și anume: un sistem este stabil, dacă toți polii sunt situați în semiplanul stâng al planului (s) și este la limita de stabilitate, dacă unul sau mai mulți poli se găsesc pe axa imaginară jω.

Fig. 1.6: Criteriul de stabilitate în planul s

În figură 1.6, polul s1 introduce o componentă aperiodică amortizată () iar perechea de poli complecși conjugați s2 introduce o componentă periodică amortizată în raport cu timpul.

Toți polii reali situați în stânga dreptei I vor introduce componente aperiodice amortizate mai puternic decât (), iar toți polii complecși conjugați situați în interiorul dreptelor ÎI, vor introduce componente periodice cu amortizare mai mare decât ζ = cos θ. Polul s3 introduce o comportare asimptotică aperiodică, iar perechea de poli complecși conjugați s4 condiționează o comportare periodică întreținută în raport cu timpul. Aceste cazuri corespund limitei de stabilitate, polii fiind situați pe axa imaginară. Toți polii situați la dreapta acestei axe introduc instabilitate. Astfel s5 conduce la o componentă aperiodică neamortizată în raport cu timpul, iar perechea de poli complecși conjugați s6 introduce o comportare periodică, neamortizată în raport cu timpul.

O funcție de transfer H (s) poate fi reprezentată în domeniul frecvențelor prin înlocuirea lui s cu jω în expresia lui H (s) obținându-se o funcție complexă de variabilă ω:

(1.34)

Relația de mai sus exprimă dependența funcției răspuns la frecvență H (jω) de raportul amplitudinilor și defazajul semnalelor de intrare și ieșire. Raportul amplitudinilor este însă dependent de frecvență:

(1.35)

Iar defazajul (ω) de asemenea, astfel încât:

(1.36)

Modulul M (ω) al funcției răspuns la frecvență este așadar raportul dintre amplitudinea mărimii de ieșire și amplitudinea celei de intrare, funcție de frecvență. Reprezentarea acestui modul – de obicei în coordonate logaritmice – este caracteristica amplitudine-frecvență a sistemului.

Argumentul (ω) este diferența dintre faza mărimii de ieșire și faza mărimii de intrare. Reprezentarea argumentului – de obicei în coordonate semilogaritmice – este așa numita caracteristică fază-frecvență.

Pe baza reprezentării în domeniul frecvențelor a funcției de transfer putem defini un alt criteriu de stabilitate pentru un sistem închis, prezentat în fig. 1.7, cere se enunță astfel:

– Un sistem este stabil dacă locul de transfer (diagrama Nyquist) a funcției H 0(jω) =H d(jω) ·H r(jω) înconjoară punctul critic (-1, j0) pentru ω crescător, în sens trigonometric pozitiv și de un număr N de ori, egal cu numărul P al polilor lui H d(jω) ·H r(jω), existenți în semiplanul drept.

În cazul particular P=0 și N=0, des întâlnit în practică, acest criteriu prezintă forma simplificată: un sistem este stabil, dacă răspunsul la frecvență H d(jω) ·H r(jω), parcurs în sensul ω crescător (de la ω=0 spre ω=) situează punctul critic (-1, j0) în stânga acestei curbe și este nestabil dacă acest punct este la dreapta curbei. În cazul când punctul critic este pe această curbă, sistemul echivalent este la limita de stabilitate.

Un alt criteriu de stabilitate, criteriul Bode, bazat pe diagrama Bode prezintă următoarea formă:

– Un sistem este stabil dacă la frecvența pentru care unghiul de fază =180º, amplitudinea modulului funcției de transfer este mai mică decât 1.

Fig. 1.7: Criteriile de stabilitate Nyquist și Bode

Se definește marginea de câștig (de modul) astfel:

(1.37)

Criteriul Bode poate fi astfel reformulat: un sistem este stabil dacă marginea de câștig (de modul) este mai mare decât 1.

Sintetizând, sistemul este stabil dacă:

– Modulul M este mai mic decât 1

– Marginea de câștig mk este mai mare decât 1

În coordonate logaritmice, fig. 1.7

(1.38)

Și n consecință stabilitatea este satisfăcută dacă:

(1.39)

Se definește marginea de fază (1 și 3 în figură 6.3) că unghiul format de răspunsul la frecvență cu semiaxa reală negativă, considerând sensul trigonometric pozitiv. Criteriul de stabilitate se poate exprima prin marginea de fază care trebuie să fie întotdeauna pozitivă.

Uzual, pentru o stabilitatea satisfăcătoare, marginea de câștig se încadrează în limitele (10…20) dB, iar marginea de fază are valori între (20…40) .

Bibliografie