Rolul Problemelor de Aritmetica In Stimularea Potentialului Creativ al Elevilor

1.MOTIVAREA ALEGERII TEMEI.

În școala contemporană accentul nu se mai pune pe memorarea unui volum de cunoștințe, ci pe dezvoltarea gândirii creatoare, pe însușirea metodelor și tehnicilor muncii intelectuale, pe dobândirea deprinderilor de muncă independentă, elevul devenind participant activ la propria formare, iar învățătorul se situează pe poziția de îndrumător a elevului.

Învățarea participativ-creativă a devenit problema centrală a didacticii moderne. Astfel au luat naștere numeroase modalități eficiente de educare a elevilor, de antrenare a efortului mintal susținut al acestora. Efortul pe care îl face elevul în rezolvarea conștientă a unei probleme de aritmetică presupune mobilizarea a mai multor procese psihice de cunoaștere și motivațional-afective: gândirea, memoria, imaginația, limbajul, voința, motivația și atenția. Prin rezolvarea problemelor de aritmetică formăm la elevi priceperi și deprinderi de analiză, de intuiție si de descoperire a căilor prin care se obține un rezultat: “rezolvarea problemelor contribuie la cultivarea și dezvoltarea capacităților creatoare ale gândirii, la sporirea flexibilității ei, a capacităților anticipativ-imaginative, la educarea perspicacității și spiritului de inițiativă, la dezvoltarea încrederii în forțele proprii”.

Modernizarea învățământului matematic face parte din modernizarea totală a învățământului românesc. Sarcina principală a învățătorului devine aceea de a-i înarma pe elevii de școală primară cu procedee de investigație prin care își exersează gândirea, creativitatea și inventivitatea. O problemă de aritmetică va dezvolta la un copil o atitudine creatoare. Creativitatea implică găsirea unei soluții noi, originale, dar implică și situația problematizantă.

Prin rezolvarea problemelor de aritmetica, care prin însuși enunțul lor de viață și de practică, generează la elevi un simț al realității de tip matematic, formând deprinderi de rezolvare și a altor probleme practice cu care se confruntă în fiecare zi. Se formează seturi de deprinderi și atitudini pozitive care dau posibilitatea de rezolvare independentă a problemelor și chiar de compunere de probleme. Prin conținut, prin tehnica de abordare și de soluționare a unei probleme de aritmetică se cultivă și se educă o atitudine nouă față de muncă, de prietenie, de disciplină conștientă, de competiție cu sine, dar și cu ceilalți.

Prin alegerea acestei teme nu încerc altceva decât să demonstrez că rolul problemelor de aritmetică în formarea personalității elevului din ciclul primar este foarte mare. Prin procesul de rezolvare și compunere a problemelor de aritmetică, creativitatea elevilor este din plin folosită.

Lucrarea de față încearcă să pună în evidență – prin structura sa – rolul creativității în rezolvarea și compunerea problemelor de aritmetică, să arate metodologia rezolvării și compunerii problemelor de aritmetică. Această parte teoretică apare în capitolul I și II, fiind urmată de partea de cercetare a lucrării – capitolul III și IV – parte de cercetare care pune în evidența cel mai bine rolul problemelor de aritmetică în stimularea potențialului creativ al elevilor din ciclul primar. La sfârșitul lucrării am constituit o secțiune destinată anexelor: fișe de lucru, teste de evaluare, etc., după care am adăugat lista cu sursele bibliografice utilizate.

2.COORDONATE ALE REFORMEI ÎNVǍȚȂMȂNTULUI ROMȂNESC

Reforma presupune un ansamblu de schimbari inovative la nivel macroeducațional care asigură interdependențele necesare între conținuturi, strategiile de predare și strategiile de evaluare.

Reforma curriculum-ului are ca și obiective majore următoarele:

urmărirea idealului educațional al școlii românesti formulat în legea educației naționale;

urmărirea obiectivelor educaționale prevăzute în programele școlare;

alcătuirea conținuturilor flexibile care să corespundă societății actuale;

structurarea și ordonarea interdisciplinară a conținuturilor pentru integrarea pe verticală a acestora;

descoperirea, valorificarea și stimularea disponibilităților și potențialului elevilor;

stimularea motivației pentru studiu;

stimularea receptivității elevilor, dezvoltarea motivației și a disponibilității de a reacționa față de schimbări;

asigurarea operaționalității și funcționalității cunoștințelor și abilităților (priceperilor și deprinderilor) elevilor;

evitarea supraîncărcării informaționale și realizarea decongestionării conținuturilor învățământului prin transferarea unor arii de conținut dinspre perioada școlarității spre postșcolaritate;

asigurarea echilibrului între curriculumul nucleu și curriculum la decizia scolii prin creșterea ponderii celui din urmă;

respectarea particularităților de vârstă și individuale ale elevilor și a principiilor psihologice ale învățării;

Reforma învățământului românesc nu poate fi aplicată fără a respecta niște principii: principiul descongestionării și esențializării conținuturilor programelor școlare, principiul egalității șanselor, principiul descentralizării, principiul selecției și ierarhizării culturale, principiul funcționalității, principiul coerenței și principiul racordării la social.

Reformarea învățământului românesc este acum o necesitate derivată din cerințele dezvoltării societății contemporane, din experiența practică și din posibilitățile oferite de științele educației. Ciclul primar este segmentul cel mai stabil dar și cel mai longeviv al școlii românești. Se prezintă ca un sistem unitar care dispune de tehnologii didactice care pot face trecerea la programele moderne și oferă fiecărui învățător posibilitatea să-și elaboreze propria tehnologie, ținând seama de experiența proprie și de posibilitațile intelectuale ale copiilor. Accentul se pune pe folosirea metodelor activ-participative, pe tehnici de învățare eficientă, pe folosirea unui stil didactic integrat, pe creșterea efortului de învățare a elevilor și pe formarea capacității de autoevaluare.

Referindu-mă strict la aria curriculară Științe, pot spune ca reforma în învățămantul românesc are rezultate vizibile. Numărul de ore permite învățătorului să folosească toate metodele moderne în predare, învățare și evaluare.

Toate programele de reforma care au apărut de-a lungul anilor în învățământul românesc se pare că nu au reusit să creeze încă acel învățământ modern, actual, contemporan. Toate încercările de până în anul 2011 au avut ca și efect doar o încercare de modernizare a învățământului, dar odată cu intrarea în UE, coordonatele învățământului românesc au trebuit regândite în aproape toată totalitatea lui.

Ciclul primar al învățământului românesc a fost pentru prima dată introdus de Al.I. Cuza odată cu prima reformă a învățământului. De atunci, a rămas practic baza învățământului românesc, iar reformele ulterioare au fost gândite pe scheletul acelei împărțiri a învățământului.

CAPITOLUL I: CREATIVITATEA-OBIECTIV MAJOR AL ÎNVǍȚǍMȂNTULUI PRIMAR

I.1.Delimitări conceptuale

“Creativitatea este un fenomen foarte complex, cu multiple aspecte, fațete, laturi sau dimensiuni”. Definită în acest mod de Al. Roșca, creativitatea are două sensuri: sensul restrâns unde este activitatea sau procesul care conduce la un procedeu caracterizat prin noutate sau originalitate, iar în sens larg, creativitatea se referă la găsirea de soluții, idei, probleme, metode, procedee care sunt noi pentru societate, dar la care se ajunge prin căi independente.

“Creativitatea este o dispozțtie spontană de a crea și inventa, care există la toate persoanele, la toate vârstele”.

“Creativitatea este o aptitudine complexă, distinctă de inteligență și de funcționarea cognitivă și existentă în funcție de fluiditatea ideilor, de raționamentul inductiv, de anumite calități perceptive și de personalitate…….. Indivizii creativi dau dovadă de imagințtie, de spirit inventiv și de originalitate……Procesul creativ este favorizat de o atitudine pozitivă față de ideile noi și neașteptate și de dispersarea atenției, mai degrabă, decât de concentrarea ei asupra problemelor puse…….”.

Conceptul de creativitate admite contribuția majoră a influențelor de mediu și a educației în formarea ceativă a fiecărui individ. Pentru psihologi, fiecare dintre activitățile desfășurate de un individ se pot realiza la un nivel înalt de creativitate.

Strict în domeniul psihologic, conceptul de creativitate are trei accepțiuni:

de comportament si activitate psihica creativă.

de structură a personalității

de creativitate de grup, unde interacțiunea și comunicarea au ca rezultat generarea de idei noi, de efecte creative.

Orice om poate fi creativ, dar sunt necesare o serie de condiții pentru acest lucru. Ca și termen, a fost introdus în psihologie de G.W.Allport, atunci când acesta se pare că avea nevoie de un termen pentru a desemna o formațiune de personalitate, dar nu apare până în 1950 în dicționarele de specialitate. Până în acest an, noțiunea este consemnată sub alte denumiri: talent, inspirație, geniu, imaginație, etc.

II.2 Nivelurile creativității.

Fiecare psiholog a găsit o altfel de definiție a creativității, iar Taylor spunea ca a întâlnit mai mult de o sută de definiții ale creativității. Fiecare dintre noi putem da o definiție creativității și astfel gama definirii s-ar întinde de la întelegerea ei ca atitudine, până la identificare ei cu o producție creatoare de nivel înalt și cu realizări din cele mai neobișnuite în diverse domenii.

Pornind de la idea lui Taylor că fiecare individ are un potențial creator, A. Munteanu clasifică creativitatea în cinci niveluri:

creativitatea expresivă.

creativitatea productivă.

creativitatea inventivă.

creativitatea inovativă

creativitatea emergentivă.

Toate aceste niveluri nu fac decât să îmbine și să implice punerea în funcțiune a talentelor, să surprindă relații noi și să folosească experiența dobândită până într-un moment, iar spontaneitatea și libertatea copiilor au ca rezultat expresivitatea creativității. Explicate pe larg, cele cinci niveluri ar fi foarte usor de regăsit în realitate:

creativitatea expresivă este caracteristică vârstelor mici, important fiind comportamentul și nu abilitatea sau calitatea produsului.

creativitatea productivă sau dobândirea unor abilități utile pentru anumite domenii, pentru crearea de obiecte, material sau spiritual, în anumite domenii.

creativitatea inventivă – este capacitatea de a realiza legaturi noi intre elemente deja existente.

creativitatea inovativă există doar la un număr restrâns de persoane și implică găsirea unor soluții noi.

creativitatea emergentivă este specifică geniilor care duc la revoluționarea tuturor domeniilor.

Gardner este cel care se declară în favoarea abordării creativității dintr-o perspectivă holistă, care va permite întrega complexitate a fenomenului creativ. Astfel face și el o clasificare pe niveluri a creativității:

Nivelul subpersonal – stratul biologic al creativității (înzestrarea genetică, factorii hormonali și metabolismul)

Nivelul personal – factorii individuali ai personalității creatoare (factori cognitivi și factori care țin de personalitate și motivație).

Nivelul intrapersonal – domeniul în care lucrează și creează un individ, caracteristicile sale.

Nivelul multipersonal – contextul social în care trăieste un individ creativ.

Pentru a face această clasificare pe niveluri a creativității, Gardner s-a oprit asupra stadiului vieții și activității unor personalități ca: Freud, Einstein, Eliot, Ghandi.

I.3. Factorii creativității

Ca și încercarea de a stabili niveluri clare ale creativității, și stabilirea factorilor creativității trece prin mai multe încercări. M. Zlate vorbeste de patru categorii:

Factori interiori – structurali, care includ și ei alte trei categorii: intelectuali, afectiv – emoțiopiilor au ca rezultat expresivitatea creativității. Explicate pe larg, cele cinci niveluri ar fi foarte usor de regăsit în realitate:

creativitatea expresivă este caracteristică vârstelor mici, important fiind comportamentul și nu abilitatea sau calitatea produsului.

creativitatea productivă sau dobândirea unor abilități utile pentru anumite domenii, pentru crearea de obiecte, material sau spiritual, în anumite domenii.

creativitatea inventivă – este capacitatea de a realiza legaturi noi intre elemente deja existente.

creativitatea inovativă există doar la un număr restrâns de persoane și implică găsirea unor soluții noi.

creativitatea emergentivă este specifică geniilor care duc la revoluționarea tuturor domeniilor.

Gardner este cel care se declară în favoarea abordării creativității dintr-o perspectivă holistă, care va permite întrega complexitate a fenomenului creativ. Astfel face și el o clasificare pe niveluri a creativității:

Nivelul subpersonal – stratul biologic al creativității (înzestrarea genetică, factorii hormonali și metabolismul)

Nivelul personal – factorii individuali ai personalității creatoare (factori cognitivi și factori care țin de personalitate și motivație).

Nivelul intrapersonal – domeniul în care lucrează și creează un individ, caracteristicile sale.

Nivelul multipersonal – contextul social în care trăieste un individ creativ.

Pentru a face această clasificare pe niveluri a creativității, Gardner s-a oprit asupra stadiului vieții și activității unor personalități ca: Freud, Einstein, Eliot, Ghandi.

I.3. Factorii creativității

Ca și încercarea de a stabili niveluri clare ale creativității, și stabilirea factorilor creativității trece prin mai multe încercări. M. Zlate vorbeste de patru categorii:

Factori interiori – structurali, care includ și ei alte trei categorii: intelectuali, afectiv – emoționali, de personalitate.

Factori exterior – conjucturali: particularități sociale, istorice, clasa socială.

Factori socio – educaționali: nivelul educațional, influențe din familie, din școală, de la locul de muncă.

Factori psiho-sociali: ambianța relațională.

Aceasta clasificare poate fi reformulată. Un alt psiholog, Maria Moldoveanu, oferă o altă clasificare în doar două categorii principale:

Factori interni: intelectuali, aptitudinali, motivaționali;

Factori externi: de grup, de societate.

“Al. Roșca realizează o clasificare generală a factorilor de creativitate în factori subiectivi sau însușiri ale personalității creatoare (intelectuali, aptitudini speciale, motivație, temperament, caracter) și factori obiectivi reprezentați de condițiile socio-educative”.Astfel se pare ca cea mai completă și care vorbește de cele trei categorii de factori este cea stabilită de A. Munteanu in 1994:

factori psihologici – intelectuali (gândirea divergentă fluidă, originală, flexibilă), nonintelectuali (motivația, caracterul, temperamentul), aptitudinile speciale (acuitatea vizuală, dexteritatea manuală, inteligența, forța fizică).

factori biologici – ereditatea, vârsta, sexul, sănatatea mentală.

factori sociali – condițiile socio-economice și culturale, conditiile educative (familia, scoala).

I.4. Etapele creativității.

Complexitatea fenomenului creativității a dus la formularea diverselor modele care își propun să surprindă etapele ce se derulează în timpul demersului creativ. Mulți autori contestă desfașurarea creativității pe etape, dar unii au realizat mai multe modele de etapizare a creativității. Wallas a realizat cel mai cunoscut model, realizând patru etape ale creativității:

Prepararea – acum se definește problema de studiat și analizat.

Incubația – problema se lasă deoparte pentru o anumită perioadă.

Iluminarea – momentul în care apare idea, solutia creatoare.

Verificarea – se materializează această idee creatoare.

Aceasta clasificare nu lasă loc hazardului sau întamplării, dar un alt autor, Barron, are o altă clasificare:

Conceperea.

Gestația, incubația.

Parturația.

Dezvoltarea ideii creatoare.

Rossman propune o extindere de la patru etape la șapte etape:

Constatarea unei nevoi sau dificultăți;

Analiza nevoii respective;

Analiza tuturor informațiilor posibile;

Formularea tuturor soluțiilor posibile;

Analiza critică a soluțiilor posibile;

Apariția noii idei;

Experimentarea și perfecționarea soluției găsite.

Sunt foarte mulți autori care au găsit diferite etape, ca număr, dar și ca desfașurare a lor. Cum spuneam, etapizarea realizată de Wallas este cea mai cunoscută în literatura de specialitate și a stat și la baza altor clasificări ale creativității. Aceste patru faze, etape, sunt cele care stau la baza oricărui proces creator, indiferent de domeniu, fiind diferite doar ponderile și conținuturile fiecărei etape.

I.5. Importanța creativității în învățământul primar

Prin invatarea creativa fiecare dintre copiii care trec la un moment dat prin ciclul primar va fi un participant activ al redescoperirii adevărurilor despre lucruri și fenomene. Știm că învățarea este o latură a procesului de învățămant intenționată, programată și organizată. Învățarea școlară este evoluția ființei umane în procesul de învățământ, cu două componente de interacțiune: învățarea interna si invatarea externa. Creativitatea duce la progresul theoretic sau practic. Invatatorul trebuie să depisteze elevii cu potențial creativ superior, cărora e firesc să li se asigure posibilități speciale de dezvoltare a capacității lor. În același timp trebuie să lase elevilor inițiative de a gândi independent, deoarece doar prin exercițiu, elevul va putea să învețe să gândească creativ. Corelarea diferitelor discipline, educația interdisciplinară, asigură dezvoltarea personalității creative a elevilor. Elevul trebuie să folosescă în rezolvarea problemelor de aritmetică date, asociații stabilite la alte discipline sau să coreleze problema cu cunoștiințele însușite anterior.

Astăzi, în metodele de predare – învățare – evaluare folosite, sunt implicate momentele de incubație cu asociațiile salvatoare care vin din memorie cu iluminarea condiționată cu libera manifestare a asociațiilor spontane, nestânjenite de rigorile rațiunii.

Creativitatea era socotită în școala românească un privilegiu dobândit ereditar de o minoritate. Acum, pe lângă efortul tradițional de educare a gândirii critice, stimularea fanteziei apare și ea ca un obiectiv major.

Oamenii conformiști, cu stereotipii numeroase și marcante sunt rezultatul educației care nu a dezvoltat o gândire originală, creativă. La copilul din ciclul primar, gândirea creatoare, originală îl aduce mai aproape de școală, de materiile care erau greu de învățat doar prin repetarea unor noțiuni, fără a face apel și la imaginație, la motivație.

Spuneam în momentul în care am vorbit de conceptul de creativitate, că aceasta este de fapt o formațiune de personalitate, dar a fost consemnată și sub denumirea de inspirație, talent, supradotare, geniu, imaginație sau fantezie creatoare. Programele școlare sunt cele care stimuleaza poetntele creative ale elevilor si au cea mai mare importanta in dezvoltarea creativității în ciclul primar. Învățătorul trebuie să țină cont de faptul că elevii au tendința de a fi creativi la nivel personal, fiind mai puțin interesați de lucrul in echipă. Pentru a încuraja procesul creativ al elevilor este indicat să se promoveze o atmosferă școlară favorabilă creativității, în care să fie înlăturate inhibițiile, criticismul exagerat, să mărească încrederea în sine a elevilor. Dacă în ciclul primar prin creativitate se construiește o întreagă oră de predare-învățare-evaluare, atunci ora devine mai ușoară, iar creativitatea își primește locul important in ciclul primar.

I.6.Factori care perturbă manifestările creative ale elevilor

Până acum am amintit factori care pot să stimuleze creativitatea, dar există și factori care pot să blocheze, să perturbe manifestările creative ale elevilor. Factorii culturali, factorii emoționali, factorii metodologici, factorii perceptivi, factorii legați de relația individ-grup.

Neîncrederea în imagințtie, în fantezie, conformismul, dorința de a se conforma modelelor sociale, teama de a nu greși, de a fi minoritar, graba de acceptare a primei idei descoperite, descurajarea rapidă, folosirea obiectelor potrivit funcției lor obișnuite, fără a încerca utilizarea lor și în alt mod, dificultatea de a distinge între faptă și problemă, marginalizarea individului creativ, lipsa de autenticitate, dependența față de un anume grup, toți acești factori duc către perturbarea manifestărilor creative ale elevilor și chiar către blocarea creativitătii.

“Factorii inhibanți pentru creativitate pot fi diferențiati pentru toate cele patru fațete de fond ale creativității: personalitate, proces, produs, climat creativ”

I.Blocajele culturale:

Conformismul- toți oamenii să se poarte și să gândească la fel.

Influența prejudecăților

Atitudinea descurajatoare a cadrelor didactice la adresa spiritului interogativ al elevilor.

Obsesia activităților contracronomentru.

Supraestimarea aparențelor.

II. Blocajele intelectuale și motivaționale:

Fixitatea functional – folosirea obiectelor și uneltelor potrivit funcției obișnuite.

Critica prematură – blocarea unor idei în conștiința.

Imaginația deficitară.

Lipsa motivației pentru profesiune.

Carențe la nivel atitudinal.

III. Blocaje emotive:

Neîncrederea în fantezie- încrederea doar în logica.

Teama de a nu greși.

Graba acceptării primei idei.

Autodescurajarea sau descurajarea practicată de altcineva .

Lipsa de încredere în forțele proprii.

I.7. Modalități de dezvoltare a creativității

Toti autorii consideră că folosind mijloacele adecvate, orice ființă umană poate să își dezvolte măcar un minim de creativitate. Un singur criteriu stă de fapt la baza folosirii metodelor de dezvoltare a creativității: destinatarul căruia i se adresează. La nivelul ciclului primar orice metodă de antrenament creativ și implicit de dezvoltare a creativității este ușor de aplicat și cu rezultate imediate în activitatea la clasă.

Modalitățile frecvent folosite sunt metodele activ – participative, interactive. Orice copil participă cu usurință la activități care implică libertatea în gândire, în raționament, care implică jocul în tot ceea ce are de facut.

Modalitatea de dezvoltare a creativității este strâns legată de metodele folosite in activitatea didactica.. Daca ar fi să amintesc câteva, m-aș opri la: jocul didactic, brainstorming-ul, brainwriting-ul sau tehnica 6/3/5, metoda Philips 6/6, tehnica viselor.

Jocul didactic: definiție: – "un mijloc de facilitare a trecerii copilului de la activitatea dominantă de joc la cea de învățare".

Scopul: finalitatea generală spre care tinde jocul respectiv.

Dupa scopul urmărit se clasifică astfel:

Jocuri de mișcare.

Jocuri care vizează dezvoltarea psihică – clasificate la rândul lor în jocuri senzoriale și jocuri intelectuale. În cadrul jocurilor intelectuale găsim jocurile pentru dezvoltarea imaginației și creativității.

Folosit în predarea matematicii și în rezolvarea problemelor de aritmetică, jocul didactic are numeroase avantaje pedagogice:

Este o tehnică atractivă de explicare a unor noțiuni abstracte.

Angajează în rezolvarea de probleme și copiii timizi și cei slabi,

Dezvoltă spiritul de cooperare.

Modalitate eficientă de determinare a copiilor să participe activ la lectie.

Cea mai cunoscută modalitate de dezvoltare a creativității.

Jocul didactic este o punte de legătură între joc ca activitate dominantă și activitatea specifică școli i- învățarea. Jocurile didactice sunt realizate pentru a deservi procesul instructiv-educativ și considerarea lui ca metodă de stimulare a creativității se argumentează prin capacitățile de antrenare în joc a factorilor intelectuali și non-intelectuali. La rândul lui, învățătorul trebuie să manifeste creativitate pentru a obține creativitate, realizând echilibrul între preocupările pentru formarea gândirii logice, raționale, creatoare va crea libertate de manifestare și creație copiilor.

Brainstorming-ul se bazează pe două principii materializate în patru reguli.

Principii:

Amânarea judecății, care dă posibilitatea de a emite orice idee.

Cantitatea creste calitatea – aduci idei cât mai multe pentru a putea ajunge la idei viabile și inedite.

Reguli:

Suspendarea oricărui gen de criticism.

Manifestarea impetuoasă a imaginației.

Stimularea unui debit ideativ cât mai mare.

Preluarea ideilor emise, fructificarea lor prin ajustări successive.

Beneficiile metodei:

Stimulează creativitatea în grup, spiritul competitiv;

Creează multe idei noi și originale;

Permite reacții în lanț;

Are efecte psihologice remarcabile: reduce frustrația, sporește încrederea în sine, crește spiritul de inițiativă.

Stimulează participarea activă, spiritul competitiv.

Dezvoltă un climat pozitiv de lucru;

Oferă posibilitatea manifestării libere, spontane;

Dezvoltă abilități pentru munca în grup;

Stimulează competențele.

De reținut!

Învățătorul nu are voie să emită idei, să comenteze.

Intervine doar când nu se respectă regulile.

Învățătorul elimină factorii care blochează manifestarea creativă a elevilor.

Autoritatea, relațiile reci ale învățătorului produc blocaje.

Tehnica 6/3/5:

Definitie: reprezintă o modalitate de lucru bazată pe construcția de idei pe idei.

Obiectiv: modalitate de stimulare a creativității de grup a copiilor prin solicitarea de a găsi cât mai multe idei având la bază o temă dată.

Descrierea metodei:

Este o metodă simplă de stimulare a creativității care presupune:

6 membrii în grupul de lucru.

3 soluții date de fiecare membru al grupului la problema dată.

5 minute – timp de lucru pentru cele 3 soluții.

Verbe specifice metodei 6/3/5:

să formuleze idei.

să analizeze probleme.

să aprecieze corect.

să adauge.

Să modifice creativ.

să evalueze.

să clasifice.

să modifice creativ.

Metoda6/6:

Definiție: este o metodă de stimulare a creativității care constă în implicarea a 6 participanți la rezolvarea unei sarcini, timp de 6 minute.

Obiectiv: stimulează creativitatea individuală și de grup prin emiterea de idei.

Beneficii:

Metoda Philips permite realizarea obiectivelor,învățătorul respectă principiul instruirii diferențiate și tipul de inteligență dominant; se obțin soluții multiple în 6 minute pe căi variate; implica individul în grup și grupul în colectiv; stimulează creativitatea individuală și de grup.

Am prezentat doar câteva modalități de dezvoltare a creativității prin câteva metode, modalitati care ajută învățătorul să dezvolte potențialul creativ al elevilor.

CAPITOLUL II : Metodologia rezolvării și compunerii problemelor de aritmetică

II.1. Noțiunea generală de problemă.

Rezolvarea problemelor este o activitate care îmbină efortul mintal de înțelegere și de aplicare a celor învățate. Rezolvarea de probleme încearcă capacitățile intelectuale și creative ale elevilor, solicită toate disponibilitățile psihice ale acestora. Noțiunea de problemă cuprinde o gamă largă de preocupări și acțiuni din domenii diferite.

În sens psihologic o problemă este o situație, o dificultate sau un obstacol al gândirii în activitatea practică pentru care nu există un răspuns gata format.

În sens general, orice situație de natură practică sau teoretică care reclamă o soluționare poartă numele de problemă.

Vorbind despre problemă în domeniul matematicii înțelegem o situație a cărei soluționare se obține prin procesul de gândire și calcul: “Problema de matematică reprezintă transpunerea unei situații practice sau a unui complex de situații practice în relații calitative și în care, pe baza valorilor numerice date și aflate într-o anumită dependență unele față de altele și față de una sau mai multe valori numerice necunoscute, se cere determinarea acestor valori necunoscute”.

În teorie și în practică ne întâlnim atât cu situații identice – când aplicăm metode și procedee standardizate de tip algoritmic – dar și cu situații noi pentru care nu întâlnim soluții existente.

Între un exercițiu și o problem, distincția se face în funcție de prezența sau absența textului prin care primim date sau facem corelații între ele, iar pe baza acestora se cere găsirea unei necunoscute. Problema impune rezolvarea ei printr-o activitate de descoperire, iar exercițiul constă în efectuarea calculelor după tehnici și metode cunoscute. Textul unei probleme ne indică datele, ne indică relațiile dintre acestea și necunoscute și ne indică întrebarea problemei, întrebare care se referă întotdeauna la valoarea necunoscutei. Înțelegând datele și condițiile problemei, elevul trebuie să construiască un șir de judecăți care duce la rezolvarea problemei, la găsirea soluției. În măsura în care elevul învață mai multe modalități de rezolvare de probleme, mai generale și mai unitare, enunțurile care erau până atunci probleme devin simple exerciții.

“Rezolvarea unei probleme de matematică înseamnă elaborarea rațională a soluției construind un șir de judecăți logice prin raportarea valorilor numerice dată la una sau mai multe valori numerice necunoscute”. Rezolvând sistematic probleme se formează la elevi un set de deprinderi și priceperi, care dau posibilitatea de a rezolva în mod independent probleme, de a compune chiar aceste probleme.

II.2. Clasificarea problemelor de aritmetică

Dupa o analiză criterială, problemele de aritmetică din ciclul primar se pot clasifica astfel:

după finalitate și sfera de aplicabilitate.

după conținutul lor.

după numărul operațiilor.

după gradul de generalitate al metodei folosite.

probleme de perspicacitate.

Această clasificare are la rândul ei o subclasificare. Astfel, problemele clasificate după finalitatea și sfera de aplicabilitate se structurează în probleme teoretice și aplicații practice ale noțiunilor învățate. Se mai numesc și probleme “de aflat” sau “de demonstrat”.

Apoi, problemele clasificate după conținutul lor pot fi geometrice, de mișcare, de aflare a densității unui amestec, sau cum le numea Maria-Georgeta-Jurca „probleme practice“.

Problemele simple și problemele compuse sunt cele care sunt clasificate după numarul operațiilor.

În lucrarea “Cum rezolvăm probleme de aritmetică” apare încă un criteriu de clasificare a problemelor, criteriu care ne ajută să distingem următorea clasificare:

1.Exercițiul: “Exercițiile sunt probleme ușoare formulate, de obicei cu date mici, care servesc pentru aplicarea unei reguli, a unei teoreme dezvoltate la ora de curs sau pentru a pune în evidență unele proprietăți ale numerelor și operațiilor”.

2. Probleme teoretice “probleme care sunt mai grele decât exercițiile și care urmăresc prin rezolvarea lor dezvoltarea puterii de judecată, asimilarea temeinică a cunoștințelor teoretice din aritmetică, aflarea diferitelor proprietăți ale numerelor și formarea gustului pentru studiul matematicii”.

3.Probleme practice.

4.Probleme artificiale : “O vulpe urmărită de un ogar are un avans de 49 sărituri înaintea lui. După câte sărituri ogarul va ajunge vulpea, știind că el face 6 sărituri în timp ce vulpea face 7 sărituri, iar 3 sărituri ale ogarului fac cât 4 ale vulpii?”

5.Probleme recreative: “probleme care conțin chestiuni distractive, cu toate că în rezolvarea lor cer rationamente riguroase din punct de vedere mathematic”.

O clasificare mai amplă a problemelor ar fi următoarea:

Probleme cu operații relative evidente: probleme simple și probleme compuse, care au două metode de rezolvare: metoda sinetică și cea analitică.

Probleme care se rezolvă prin metoda figurativă: probleme de aflare a două numere cunoscând suma și diferența lor sau cele de aflare a două numere cunoscând diferența și raportul lor.

Probleme de egalare a datelor (metoda de reducere la același termen).

Probleme de presupunere (sau a falsei ipoteze).

Probleme de amestec de aliaj.

Probleme gen rest din rest (metoda mersului invers).

Probleme de mișcare (în același sens sau în sensuri contrare).

Probleme cu mărimi proporționale (împărțirea unui număr în părti direct proporționale sau împărțirea unui număr în părti invers proporționale).

Probleme cu continut specific (cu conținut geometric, cu conținut de fizică, asupra acțiunii și muncii în comun).

Probleme nonstandard (recreative, rebusiste, de perspicacitate. etc).

Aceste clasificari ale problemelor nu fac din din probleme un obiect de sine stătător care nu poate să interacționeze cu altceva.

II.3. Etapele rezolvării problemelor

Știm că în învățământul modern nu doar înmagazinarea unor cunoștinte este vitală, ci priceperea de a mânui informația, de a rezolva probleme. Introducerea elevilor în rezolvarea de probleme se face succesiv, eforturile fiind mărite pe măsură ce se înaintează în studiu și pe măsură ce experiența lor se îmbogățeste. Începând cu primele operații – adunare și scădere – se începe rezolvarea pe cale orală și pe baza intuiției, a primelor probleme simple. După un timp în care și partea de scris este exersată, se trece la rezolvarea de probleme scrise.

Primele probleme pe care le rezolvă scolarii mici , sunt problemele ilustrate (mulțimile concrete de obiecte). Un exemplu îl gasim în manualul de clasa I elaborat de Aurel Maior și Elena Maior, din capitolul “Adunarea și scăderea numerelor naturale de la 0 la 10” p.32.

Faza intuitivă.

După ce au văzut imaginea, elevilor li se cere să spună ce văd în imagine. Simplificând răspunsul oferit de elevi – “noi vedem în imagine trei rațe care înoata pe un lac, lângă care mai vin două rațe” – învățătorul le cere să nu mai folosească “noi vedem în imagine” și se obține enunțul unei probleme simple : “Pe un lac înoată trei rațe. Pe acel lac mai vin încă două rațe”

Faza semiabstractă.

Dialogul continuă în acest mod:

-Ce semn matematic putem folosi să arătam că au fost trei rațuște și au mai venit încă două?

(+) Se pune semnul plus.

-Câte rățuște sunt acum pe lac?

Și astfel, acum am formulat întrebarea problemei și s-a dat și răspunsul, s-a găsit soluția și ajungem astfel la faza abstract, scrisa ca în exemplul de mai jos:

3+2=5

Faza abstractă.

Aceeași autori de manual, Aurel Maior și Elena Maior, ne prezintă în Caietul elevului clasa I – auxiliar al manualului de matematică – la pagina 40 o altă situație premergătoare rezolvării propriu- zise de probleme. Cerința este următoarea: “ Privește imaginea, numără, apoi completează! Formulează întrebări asemănătoare!” Completarea pătratelelor se face cu ajutorul întrebărilor astfel:

-Câte mașinuțe albastre sunt? mașinute albastre.

-Câte mașinuțe roșii sunt? mașinuțe rosii.

Situația pare identică cu cea anterioară, dar învățătorul intervine și le cere elevilor să formuleze întrebarea unei probleme: “Știind că sunt 4 mașinuțe albastre și 5 roșii, ce putem afla?” (Câte mașinuțe sunt în total?). Elevii exprimă numărul total de mașinuțe printr-o relație matematică, prin operația de adunare: 4+5=9.

Am prezentat până acum fazele prin care se prezintă și se rezolvă o problemă de aritmetică.

Etapele de rezolvare a unei probleme sunt:

A) Cunoașterea enunțului problemei. Este etapa de început. Elevul trebuie să știe care sunt datele problemei. Se citește problema, se găsesc valorile cunoscute. Se citește întrebarea problemei. Elevii reproduc conținutul și întrebarea problemei cu cuvintele lor și astfel ajungem la a doua etapă a problemei.

B) Înțelegerea enunțului problemei. Enunțul unei probleme conține un minim de informații. Elevii și învățătorul stabilesc ce știu și ce nu știu în problema. În acest moment se trece la scrierea rezolvării problemei. Acum se face trecerea și la etapa a treia de rezolvare a unei probleme.

C) Analiza problemei și întocmirea planului logic. Se analizează problema din punct de vedere al operațiilor folosite: Ce operație folosim? De ce folosim această operație?

D) Alegerea și efectuarea operațiilor corespunzătoare succesiunii din planul logic. Se trece la rezolvarea concretă a problemei.

E) Activități suplimentare după rezolvarea problemei. Se face verificarea răspunsului găsit.

Îndrumarea elevilor spre însușirea tehnicilor de rezolvare a problemelor de aritmetică, presupune din partea învățătorului multă, foarte multă răbdare, iar gândirea elevilor trebuie să fie astfel dirijată încât aspectele esențiale ale unei probleme să fie depistate rapid. Etapele de rezolvare ale unei probleme sunt repectate în fiecare lecției de aritmetică pentru că altfel nu s-ar putea dezvolta la elevul de ciclul primar dorința de a rezolva cât mai multe și mai dificile.

II.4: Rezolvarea principalelor categorii de probleme

Rezolvarea principalelor categorii de probleme se fundamentează pe cele cinci etape principale pe acre le parcurg elevii, și anume:

Cunoașterea enunțului problemei;

Înțelegerea enunțului problemei;

Analiza și schematizarea problemei;

Rezolvarea propriu-zisă a problemei;

Verificarea rezolvării problemei și punerea rezolvării sub formă de exercițiu. Aceasta se face în funcție de dificultațile pe care le ridică problema respectivă, de posibilitățile pe care le oferă vârsta școlară respectivă, experiența elevilor în rezolvarea de probleme și de calitațile invățătorului.

În toate situațiile teoretice și practice, omul întâlnește situații in care aplică algoritmii matematici sau mettodele si procedeele standardizate, dar și situatii noi pentru care nu găsește soluții existente în experiența câștigată.

Activitatea de rezolvare a problemelor de aritmeticăse înscrie atât în zona unor rezolvări stereotipe(aplicare a aceleiași metode de rezolvare de situații identice), cât si euristice(metode cu ajutorul cărora se descoperă mijloace noi de rezolvare). În cele ce urmează abordăm procesul complex al rezolvării de probleme de aritmetică in ciclul primar.

Rezolvarea problemelor simple.

In familie, in timpul jocului, zilnic la școală, apar primele probleme simple pe care elevii le rezolvă. Pentru ca micii școlari de clasa I să vadă utilitatea activității de rezolvare de probleme de aritmetică este necesar ca aceștia sa înțeleagă faptul că în viața de zi cu zi sunt situații când trebuie găsite răspunsuri la diferite întrebări. Pentru elevii din clasa întâi , primele probleme pe care aceștia le rezolvă sunt cele cu o singură operație, rezolvate concret, sub formă de acțiune practică: „În curte erau trei copii. Au mai venit 2 copii să se joace. Câți copii sunt cu toții?” Învățătorul scoate în fața clasei mai întâi 3 copii, apoi 2copii și se rezolvă problema. Astfel de probleme „acțiune” sau probleme „puse în scenă” antrenează pe copii și le dau posibilitatea să se familiarizeze cu noțiunile de „problemă”, „condiția problemei” (în limbajul lor „ce cunoaștem în problemă”), „întrebarea problemei” – pe care învățătorul trebuie să le introducă și să le explice treptat pe măsură ce copiii rezolvă probleme simple.

Rezolvarea problemelor „acțiune”, ca și rezolvarea problemelor ilustrate cu material didactic, însoțite de explicția învățatorului dau elevilor posibilitatea să transpună situația concretă prezentată de textul problemei în relații numerice. Acum apare efortul gândirii, procesul de abstractizare și de generalizare, care constituie punctul de plecare în educarea unei atitudini conștiente a elevilor in rezolvarea problemelor de aritmetică.

Dacă de la început elevul capătă priceperea și mai apoi deprinderea de a analiza valorile numerice, datele problemei, de a înțelege semnificația lor și relația logică în care se gasesc unele fată de altele și față de întrebarea problemei, va putea descoperi operația aritmetică justă prin care se rezolvă problema. Atunci când elevii indică la întâmplare operația aritmetică prin care se rezolvă problema, înseamnă că nu a gândit suficient. Dacă învățătorul îi lasă sa increce rezolvarea problemei prin operații întâmplătoare, atunci deprinderile nu se vor mai dezvolta corect si rămâne loc pentru sădirea neâncrederii în forțele proprii și nesiguranța. Analiza temeinică a problemei, a condiției și a întrebării ei, atitudinea conștientă în rezolvarea problemelor prin efortul gândirii, toate acestea se fac prin rezolvarea problemelor simple.

Gândirea elevilor trebuie stimulată la o participare activă în rezolvarea de problemelor de aritmetică. Astfel, mai întâi se cunoaște problema, apoi se analizează ce cunoaștem și ce nu cunoaștem, se descoperă calea de rezolvare a problemei și la final se explică întregul mers al rezolvării problemei. Etapele metodice în predarea unei probleme simple au fost prezentate in subcapitolul anterior și constituie pașii mărunți pe care îi face elevul atunci când rezolvă o problemă simplă sub îndrumarea și sprijinul învățătorului. Există moduri variate de îndrumare a elevilor așa cum există moduri variate de rezolvare a problemelor de aritmetică. În prima perioadă a rezolvării problemelor simple de aritmetică, scopul este de a-i invăța pe elevi cum să rezolve problemele, de formare de priceperi și deprinderi în acest sens. In cadrul orelor de matematică apar acum și lecțiile speciale de predare a problemelor simple. Odată ce aceste elemente de bază ale deprinderii de a rezolva probleme sunt fixate, problemele simple se constituie în puncte de plecare în aplicarea noțiunilor matematice, fie ca mijloc de fixare a acestora.

2. Rezolvarea problemelor compuse.

Rezolvarea problemelor compuse nu înseamnă în esență doar rezolvarea succesivă a problemelor simple.Nu rezolvarea problemelor simple la care se reduce problema compusă constituie dificultatea principală într-o problemă cu mai multe operații, ci legătura dintre operații, dintre verigii, construirea raționamentului. Datorită acestui lucru este necesară o perioadă de tranziție de la rezolvare aproblemelor simple(cu o operație) la rezolvarea problemeor compuse)cu două sau mai multe operații).

Cunoașterea elementelor și a tehnicii rezolvării problemelor simple, dezvoltarea gândirii , a atenției sunt experiențe căpătate de elevi in rezolvarea problemelor, constituie baza pe care învățătorul se sprijină atunci când predâ problemele compuse. Rezolvarea problemelor compuse are nevoie de un efort mai mare decât rezolvarea problemelor simple și de aici rezultă mai multe greutăți in rezolvare.In problema simplă sunt date două valori numerice între care există o anumită relație. Elevul descoperă această relație și astfel rezolvă problema.

Problema compusă este alcătuită din mai multe probleme simple care se succed într-o înlănțuire logică. Conținutul problemei compuse are nu numai două valori numerice, ci mai multe. Elevul trebuie să aleagă din toate valorile numerice, perechi de valori care alcatuiesc relația corectă. La problema simplă, elevul găsește totul in enuntul problemei:valorile numerice, întrebarea problemei. In problema compusă elevul nu găsește în textul problemei formularea integrala a problemelor simple din care este formată problema compusă.

Problema compusă cuprinde mai multe date și o singură întrebare, care de fapt este întrebarea ultimei probleme simple. Întrebările celorlalte probleme simple trebuie să fie descoperite, formulate de către elevi.

Din aceste motive trecerea la problemele compuse se face în mod gradat, nu dintr-odată. Învățătorul este cel care îi poate ajuta și învăța pe elevi cum se pot rezolva aceste probleme. Elevii trebuie să rezolve întăi două probleme succesive din care apoi să alcătuiască o problemă compusă sau din problema compusă sa facă două probleme simple, să le formuleze si sa le rezolve independent.

Prezint mai jos cateva exemple de probleme compuse, probleme care sunt adresate elevilor din clasele primare:

La diferența numerelor 89 și 63 adaugă suma numerelor 41 și 32. Ce rezultat obții?

Care este numărul cu 243 mai mic decât suma numerelor 257 și 231?

Află suma dintre produsul lui 5 cu 8 și triplul lui 9.

Din cel mai mare număr de trei cifre scade diferența numerelor 436 și 147. Ce număr obții?

Care este numărul cu 243 mai mic decât suma numerelor 257 și 231?

Află suma a două numere știind că primul este 221, al doilea este cu 202 mai mare decât primul.

Din suma numerelor 32, 20 și 46 scade diferența numerelor 97 și 25. Ce număr obții?

De câte ori se cuprinde 8 în suma numerelor 28 și 4? Dar diferența acestora?

Aceste gen de probleme se rezumă la rezolvarea a două sau mai multe exercitii si ulterior la scriere rezolvării într-un singue exercițiu.

Exemplu:

Află suma dintre diferența numerelor 400 și 389 și produsul numerelor 23 și 16.

Rezolvare

I. 1. Aflăm diferența numerelor 400 și 389:

400 – 389 = 11

2. Aflăm produsul numerelor 23 și 16:

23 x 16 = 368 23 x

16

138

23

368

3. Aflăm suma dintre diferența și produsul numerelor date:

11 + 386 = 379

Răspuns: 379

II. Scriem rezolvarea într-un singur exercițiu:

(400 – 398) + (23 x 16) = 11 + 368 =

= 379

Răspuns: 379

Pentru a rezolva o problemă compusă se folosesc două metode: analitică și sintetică. Sunt doua metode care se pot folosi și simultan și constau în descompunerea problemei date în probleme simple, care pin rezolvarea succesivă ajung să găsească soluția finală.

Să urmărim rezolvarea propusă drept model a unei probleme compuse din manualul de clasa a III-a

„Pe o farfurie sunt 13 portocale, iar

banane cu 3 mai puțin.

Câte portocale și banane sunt în total?

1. Câte banane sunt pe farfurie?

13 – 3 = 10 (banane)

2. Câte portocale și banane sunt în total?

13 + 10 = 23 (portocale și banane)

23 – 10= 13 (portocale)

23 – 13 = 10 (banane)

Pe farfurie sunt, în total 23 portocale și banane.

Știm că in clasa I, planul unei probleme se întocmește oral (elevii nu au depriderea de a scrie formată pe deplin) și se continua și în clasa a II-a. În exemplul de mai sus avem un plan scris al unei rezovări de problemă, dar manualul nu oferă modul de gandire a acestei probleme.

Rezolvarea problemelor tip.

Problema tip este problema a cărei rezolvare se realizează pe baza unui algoritm specific fiecărui tip. O astfel de problema se consideră rezolvată atunci când tipul de problemă este stabilit.

Rezolvarea problemelor cu conținut geometric.

Predarea cunoștintelor de geometrie în clasele primare are ca scop dezvoltarea reprezentarilor spațiale necesar in clasele urmartoare pentru însușirea sistematica și logică a geometriei, deci este baza reala si sigură pentru dezvoltarea raționamentului privind formele spatiale. Cunoștințele de geometrie impun un tip de învățare dominant intuitiv. Elevii nu vor ramane doar la nivelul imginilor vizuale, ci trebuie să fie conduși spre realizarea operatiilor de abstractizare necesar înțelegerii proprietăților și relațiilor exostente și specifice figurilor studiate.

Prin studiul geometriei se dezvolta gândirea, creativitatea, inteligența. Are o contribuție valoroasa la formarea spiritului de observație, la rafinarea operatiilor de analiza si sinteză, la formarea conduitei de rezolvare. Legaturile dintre proprietățile figurilor duc către căile de rezolvare a problemelor sau către verificarea adevărurilor matematice. In clasa a III-a apar primele probleme de geometrie, acum consolidându-se notiunile de lungime, lățime, înălțime.

Aceste probleme pun bazele formării deprinderilor de a afla lungime sau lățimea, în general dimensiunile figurilor geometrice învățate (pătrat, dreptunghi, triunghi).Ținând cont de vârsta celor care învață aceste teorii, cel care îi poate îndrepta spre succesul deplin este învățătorul, cel care conduce procesul învățării –predarii si pe cel al evaluării. Cu ajutorul acestuia, elevii conștientizează, descoperă și aplică (prin transfer) aceste cunoștințe, priceperi și deprinderi.

Problemele de geometrie au o contribuție importantă în dezvoltarea gâdirii creatoare și a gândirii logice a elevilor din ciclul primar. Iată câteva exemple:

„Perimetrul unui triunghi este de 18 cm și are toate laturile egale. Care este lungimea unei laturi?”

Se trece la examinarea problemei și elaborarea orală a planului logic de rezolvare:

– Pentru că datele problemei se referă la o figură geometrică, ce vom face mai întâi? ( posibil răspuns: vom desena un triunghi).

B

A C

– Ce știm din enunțul problemei? (posibil răspuns: Că acest triunghi are laturile egale și perimetrul este de 18 cm).

– Cunoscând aceste date, putem găsi soluția problemei? (posibil răspuns: Da).

– Cum gândim? (posibil răspuns: Știm că dacă perimetrul este de 18 cm și cum perimetrul este suma celor trei laturi ale triunghiului (laturi egale), atunci o latură are o lungime de trei ori mai mică).

– Prin ce operație vom afla lungimea unei laturi? (posibil răspuns: Prin operația de împărțire).

.

Rezolvare

1. Care este lungimea unei laturi a triunghiului?

P∆ = AB + AC + BC = 3 x AB

P∆ = 18 cm

18 cm : 3 = 6 cm

Răspuns: 6 cm

Verificare: 6 cm + 6 cm + 6 cm = 18 cm

„Bunicul meu are un teren care are forma unui dreptunghi. Lungimea terenului este de 32 m, iar lățimea este de 2/8 din lungime. Vrem să-l împrejmuim: Află lungimea gardului.”

Explicația învățătorului: Pentru a facilita înțelegerea și rezolvarea problemei ne folosim de desen – desenăm terenul care are forma unui dreptunghi și notăm dimensiunile cunoscute. Cu o linie punctată reprezentăm gardul ce înconjoară curtea.

D 32 m C

2/8

din 2/8 din 32 m(8m)

32 m

(8m) 32m

Elevii vor realiza că pentru a afla lungimea gardului ce înconjoară terenul trebuie să cunoască dimensiunile terenului: lungimea și lățimea.

Examinând problema, constatăm că nu cunoaștem mărimea concretă decât a unei dimensiuni – lungimea, pe cealaltă trebuie să o aflăm.

Rezolvare

1. Aflăm lățimea terenului:

2/8 din 32 m =(32 : 8) x 2 = 4 x 2 = 8 (m) – se completează pe figură

2. Aflăm lungimea gardului ce înconjoară terenul:

32 m + 8 m + 32 m + 8 m = 80 m

Răspuns: 80 m

Dacă nivelul clasei permite se pot prezenta si alte moduri de rezolvare:

(32 x 2) + (8 x 2) = 64 + 16 = 80 (m)

sau

(32 + 8) x 2 = 40 x 2 = 80 (m) – modalități care reprezintă tot atâtea modalități de aflarea a perimetrului dreptunghiului:

P = (L x 2) + (l x 2)

sau

P = (L x l) x 2

Aceste doua exemple de moduri de rezolvare a problemelor de geometrie vor fi reluate pe

larg in subcapitolul urmator, alaturi de tema care trateaza diferitele căi de rezolvare a problemelor de aritmetică.

Rezolvarea problemelor de mișcare.

Problemele de mișcare sunt cele în care se afla: distanța, viteza sau timpul, dar atunci când cunoaștem douș dintre ele sau diferite relații între acestea. Să vedem ce sunt aceste mărimi: distanța, viteza, timpul.

Distanța este lungimea drumului parcurs de un mobil(tren, autoturism, om) exprimată în unități de lungime(metri, centimetri, etc). Simbol=d.

Viteza este numarul de unități de lungime, pe unităti de timp(m/s; km/h). Simbol=v.

Timpul este un numar de unităti de timp (secunde, minute, ore, zile, etc) în care se parcurge un spatiu. Simbol=t.

In problemele de mișcare se va vorbi de mișcarea uniforma a unui mobil dupa urmatoarea relatie:

d = v x t

Din aceasta relație se poate deduce :

v = d : t și t = d : v

Un exemplu de problemă:

„Andrei parcurge dus – întors, un drum cu lungimea de 420 m și altul cu 19 m mai

scurt.

Câți metri a parcurs Andrei?”

Rezolvare

În urma examinării problemei se ajunge la următoarea rezolvare:

420 + (420 – 19) = 420 + 411 = 831 (m)

Răspuns: 831 m

Rezolvarea problemelor nonstandard.

Aceste probleme nonstandard sunt acelke probleme care nu se supun exigențelor vreunui criteriu de clasificare discutat pana acum sau pe care îl vom discuta de acum. În situația în care nu putem sa gasim rapid algoritmul d erezolvare dupa metode binecunoscute, gandirea si imaginația lucreaza din plin, creativitatea este pusă în valoare, iar cel acre reușeste să rezolve problema, devine un creator. Conduita este creativă deoarece nicio problemă nu seamană cu cealaltă, iar rezolvările în sine sunt proprii si unice fiecarei porobleme.

Această activitate vizeaza cultivarea creativității elevilor din ciclul primar, care, reușind să rezolve aceste probleme își vor educa tenacitatea, concentrarea, voința de a învinge, dorința de autodepașire controlată didactic. Aceste probleme se regăsesc in manuale și culegeri sub diferite titluri: „Probleme mai dificile, dar frumoase”, „Probleme distractive”, „Probleme de perspicacitate”, „Probleme recreative”, „Probleme diverse”, „Probleme pentru copii isteți și … atenți”, etc.

Exemple:

„O gospodină venea de la piață ducând în coșuri 3 rațe, 2 iepuri și 4 găini. Puteți preciza câte picioare veneau de la piață?”

– Ce cunoaștem în problemă? (știm că gospodina aducea de la piață 3 rațe, 4 găini și 2

iepuri).

-Cum le aducea? (în coșuri)

– Deci, câte picioare veneau de la piață? (Veneau doar două, cele ale gospodinei).

Răspuns: două picioare

„Nelu are un frate și trei surori. Câți frați și câte surori are Ionela, sora lui?”

băiat

Nelu (băiat) fată (Ionela)

fată

fată

Încercăm să schimbăm locurile celor doi: Ionela în locul lui Nelu și invers.

băiat

Ionela (fată) băiat (Nelu)

fată

fată

Deci, se observă că Ionela are 2 frați și două surori.

Răspuns: Ionela are 2 frați

și două surori

„Într-o cameră sunt două mame, două fiice, o bunică și o nepoată. Câte persoane sunt în acea cameră?”

Continuând un raționament logic adecvat, conchidem că în cameră sunt 3 persoane:

bunica, care este una din mame,

cea de-a doua mamă este fiica bunicii și mama nepoatei bunicii,

nepoata este fiica celei de-a doua persoane (mame).

Răspuns: 3 persoane

Toate aceste aceste categorii de probleme au prezentate câte un model de rezolvare, au fost dezbătute în acest subcapitol, iar capitolul care urmează va dezbate pe rândrezolvarea acestor categorii de probleme prin mai multe căi.

II.5: Rezolvarea problemelor prin mai multe căi

În subcapitolul anterior am prezentat rezovarea urmatoarelor categorii de probleme:

Problemele simple.

Problemele compuse.

Problemele tip.

Probleme cu continut geometric.

Probleme de miscare

Probleme nonstandard.

Acum vom arăta căile prin care sepot rezolva aceste proble, căi arătate prin demonstrații clare.

Aceste probleme și exerciții sunt selectate din manualele pentru clasa a II-a, a III-a si a IV-a, editate la editura Sigma si din culegeri de probleme si exerciții pentru clasle I-IV, cărți trecute în bibliografia acestei lucrări.

1.Căi de rezolvare a problemelor simple.

a) Probleme simple bazate pe adunare.

Exemple:

„Care este suma numerelor din fiecare pereche: 36 și 3; 72 și 4; 23 și 6; 59 și 0?”

(probleme de aflare a sumei a doi termeni)

„Află numerele cu 4 mai mari decât: 7, 8, 9.”

(probleme de aflare a unui număr care să aibă un număr de unități mai mare decât un număr dat)

„Care este numărul necunoscut:

b – 14 = 79, c – 15 = 67, 51 = n – 36 (probleme de aflare a unui termen necunoscut).

b) Probleme simple bazate pe scădere

Exemple:

„Află diferența numerelor: 38 și 9, 36 și 8, 31 și 5, 34 și 7.” (probleme de aflare a restului)

„Pentru pomul de Crăciun s-au cumpărat 73 globuri roșii, iar galbene cu 3 mai puțin. Câte globuri galbene s-au cumpărat?” (probleme de genul „cu atât mai puțin” decât un număr dat)

„Diferența a două numere este 382. Dacă descăzutul este 934, cât este scăzătorul?”(probleme de aflare a unui termen al scăderii, când se cunoaște descăzutul și diferența)

„Un număr estre 52, iar altul cu 32 mai mic. Care este al doilea număr? Dar diferența lor?” (probleme de aflare a unui număr care să aibă un număr mai mic de unități decât un număr dat; probleme de aflare a diferenței).

c) Probleme simple bazate pe inmultire.

Exemple:

„Scrie sub formă de înmulțire”:

a) 9 + 9;

9 + 9 + 9

b) 9 + 9 + 9 + 9;

9 + 9 + 9 + 9 + 9

(probleme de repetare de un număr de ori a unui număr dat)

„Află numerele de 7 ori mai mari decât: 3, 7, 4, 1, 5, 2, 6.”

(probleme de aflare a unui număr care să fie de un număr de ori mai mare decât un număr dat)

„Află numerele necunoscute”:

: 2 = 9 : 6 = 8

: 5 = 8 : 1= 7

(probleme de aflare a unui termen al împărțirii)

d) Probleme simple bazate pe împărțiri.

Exemple:

„Rita s-a gândit să împartă cele 20 de ghinde dând câte 5 la fiecare pui. Câți pui

vor primi ghinde?” (probleme de aflare a câtului utilizând procedeul prin „cuprindere”)

„Într-o cutie sunt 15 bomboane care se împart în mod egal la 5 copii. Câte bomboane primește fiecare copil?” (probleme de aflare a câtului utilizând procedeul „în părți”)

„Lina îngrijește 18 ghivece cu flori, iar Gelu de 3 ori mai puține. Câte ghivece cu

flori îngrijește Gelu?” (probleme de aflare a unui număr care să fie de un număr de ori mai mic decât un număr dat)

„De câte ori se cuprinde 9 în fiecare dintre numerele: 18, 36, 9, 45, 27? (probleme de împărțire prin cuprindere a unui număr prin altul)

„Află numărul necunoscut”:

x 7 = 63 9 x 0 = 36

x 9 = 9 8 x 0 = 48

„Dana a desenat 12 flori. Jumătate sunt roșii, iar restul sunt galbene. Câte flori a

desenat cu roșu? Dar cu galben?” (probleme de aflare a unei părți dintr-un întreg)

e) Probleme simple bazate pe una din cele patru operații.

Exemple:

I. „Care numere sunt:

– de 6 ori mai mici decât: 12, 34, 1842;

– de 7 ori mai mari decât: 1, 3, 5, 9?”

II. „Se dau numerele 8 și 24:

De câte ori se poate lua 8 din 24?

De câte ori este mai mare 24 decât 8?

De câte ori se cuprinde 8 în 24?

De câte ori este mai mic 8 decât 24?

Cu cât este mai mare 24 decât 8?

Cu cât este mai mic 8 decât 24?”

Problemele simple sunt ușor de înteles si de rezolvat.Sunt întâlnite și dificultăți, cele mai frecvente fiind: neglijarea întrebării, includerea răspunsului în enunț, confundarea operației ce trebuie efectuată. Pentru ca aceste dificultăți să fie trecute sunt recomandateȘ rezolvarea cât mai multor probleme, analiza temeinică a fiecărei probleme, enunțuri cât mai variate, rezolvarea unor probleme cu date incomplete, prezentarea doar a datelor unei probleme, rezolvarea de probleme în care operația nu apare la prima vedere, compunerea de probleme dupa scheme date, alcătuirea unor probleme în mod liber de către elevi, etc.

Prin aceste procedee se urmarește nu doar învățarea problemelor, ci formarea capacităților de a domina varietatea lor. Odată cu rezolvarea problemelor simple, elevii operează cu numere, fac operații de compunere și descompunere, folosesc strategii și modele mintale anticipative.

Căi de rezolvare a problemelor compuse.

Rezolvarea problemelor compuse se face prin două metode: metoda analitică si metoda sintetică. Să exemplificăm pe rând cele două metode.

Metoda analitică: privim problema în ansamblu, apoi, pornind de la întrebarea ei o descompunem în probleme simple și astfel formularea răspunsului duce la rezovarea ei. Astfel se construiește raționamentul următor:

Exemplu:

”Pe o farfurie sunt 13 portocale, iar banane cu 3 mai puțin. Câte banane sunt pe farfurie?”

– Care este întrebarea problemei? (Câte portocale și banane sunt în total?)

– Pentru a afla numărul total de fructe, ce ar trebui să cunoaștem? (Numărul de portocale și numărul de banane).

– Cunoaștem aceste date? (Parțial: știm câte portocale sunt pe farfurie, dar nu știm câte banane sunt).

– Pentru a găsi răspunsul la întrebarea problemei, mai avem nevoie de o dată concretă (noi avem o relație). Putem afla numărul bananelor? (da, folosind relația dată „cu 3 mai puțin”).

– Cum aflăm acest număr? (prin operația de scădere).

– De ce scădere? (ne ,,șoptește” exprimarea „cu 3 mai puțin”).

– Având și numărul bananelor, vom putea afla numărul total al fructelor? (da).

– Cum vom proceda? (adunând numărul portocalelor cu numărul bananelor).

Se trece apoi la consemnarea planului de rezolvare:

1. Câte banane sunt pe farfurie?

13 – 3 = 10 (banane)

2. Câte portocale și banane sunt în total?

13 + 10 = 23 (portocale și banane)

Răspuns: 23 portocale și banane

Învățătorul încearcă acum și rezolvarea problemei prin metoda sintetică.

Metoda sintetică: prin această metodă se orientează gândirea elevilor asupra datelor problemei, se grupează relațiile in așa fel încât să se formuleze toate problemel simple posibile, să se așeze într-o succesiune logică astfel alcătuită încât întrebarea formulată la aceasta problemă simplă finală să coincidă cu întrebarea problemei compuse.

Exemplu:

” Dacă știm că pe o farfurie sunt 13 portocale, iar banane cu 3 mai puțin, putem afla câte banane sunt pe farfurie. Cum?” Printr-o operație de scădere (răspunsul elevilor).

1. 13 – 3 = 10 (banane)

– Știind câte portocale și câte banane sunt pe farfurie, putem afla câte fructe sunt în total pe farfurie. Cum? Printr-o operație de adunare.

2. 13 + 10 = 23 (portocale și banane)

Aceste două metode se regăsesc intr-una singură: metoda analitico-sintetică.

Exemplu:

„La un magazin s-au adus 325 cămăși cu prețul de 37 625 lei bucata și 2 975 tricouri cu 14 650 lei bucata.

Cât valorează marfa adusă? (/ 16/ pr.5 / pag. 42)

Schema examinării problemei prin metoda analitică este următoarea:

Planul de rezolvare ar putea fi următorul:

– Ca să putem afla cât valorează marfa adusă e necesar să cunoaștem care este valoarea cămășilor și a tricourilor; ca să putem avea aceste date e necesar să știu ce cantitate de cămăși și tricouri s-au adus și care este prețul de cost al unei cămăși și al unui tricou. Întrucât avem aceste date, putem trece la elaborarea planului și rezolvarea problemei:

Rezolvare

1. Cât valorează cămășile?

325 x 37 625 lei = 12 228 125 lei 37625 x

325

118125 +

72550

112875

12228125

2. Cât valorează tricourile?

2 975 x 14 650 lei = 43 583 750 lei 2975 x

14650

14875 +

17850

11900

2975

43583750

3. Cât valorează marfa adusă?

12 228 125 lei + 43 583 750 lei = 55 811 875 lei

Soluționarea ultimei probleme simple ne conduce la soluționarea problemei:

Răspuns: 55 811 875 lei

Schema soluționării problemei prin metoda sintetică se prezintă astfel:

Schema înto

Rezolvare:

– Știind că s-au adus 325 cămăși cu prețul de 37 625 lei bucata, valoarea totală a cămășilor este:

325 x 37 625 lei = 12 228 125 lei

– Știind că s-au mai adus 2 975 tricouri a 14 650 lei bucata, valoarea totală a tricourilor este:

2 975 x 14 650 lei = 43 583 750 lei

– Știind cât costă cămășile și tricourile putem afla valoarea totală a mărfii adusă la magazin:

12 228 125 lei + 43 583 750 lei = 55 811 875 lei

Planul de rezolvare este identic cu cel elaborat la examinarea prin metoda analitică.

Răspuns: 55 811 875 lei.

Problemele admit mai multe căi de rezolvare ajută la dezvoltarea creativității elevilor. Sarcina de a arăta acest lucru, revine învățatorului, care trebuie să-i învețe pe copii aceste căi sau să-i ajute să găsească ei aceste noi metode. Avem ca exemplu urmatoarea problemă:

„În rezervația „Cerbul” erau 1 273 de mierle și 829 de privighetori. Au fost trimise 590 de mierle și 175 de privighetori pentru a înfrumuseța Grădina botanică. Câte mierle și privighetori au rămas în rezervație?”

Elevii sunt solicitați să rezolve problema în două moduri. Pentru a le ușura munca și pentru a le sugera gândirea, în acest caz este dată și scrierea rezolvării problemei printr-un singur exercițiu:

(1 273 + 829) – (590 + 175) = ?

sau

(1 273 – 590) + (829 – 175) = ?

Învățătorul își îndreaptă atenția asupra primei scrieri și se adresează elevilor:

– Cum gândim problema (pornind de la întrebare) pentru ca scrierea dată să reprezinte rezolvarea problemei? (pentru aceasta se analizează pe rând ce reprezintă fiecare valoare numerică și apoi ce reprezintă fiecare scriere din paranteze). Se ajunge astfel la următorul raționament:

„Pentru a afla câte mierle și privighetori au rămas în rezervație scădem din numărul total al mierlelor și privighetorilor numărul păsărilor trimise la Grădina botanică.”

Planul de rezolvare pentru acest mod de gândire este următorul:

Rezolvare

I. 1. Câte mierle și privighetori erau în rezervație?

1 273 + 829 = 2 102 (păsări) 1273 +

829

2102

2. Câte mierle și privighetori au fost trimise?

590 + 175= 765 (păsări) 590 +

175

765

3. Câte mierle și privighetori au rămas în rezervație?

2 120 – 765 = 1 337 (păsări)

Răspuns: 1 337 mierle și privighetori

Un alt exemplu de problema:

”Am 15 baloane roșii și 12 albastre. Se sparg 10. Câte baloane sparte pot fi roșii și câte pot fi albastre?”

Examinarea problemei prin metoda analitică (analitico-sintetică) – pe care o utilizez la clasă – se derulează astfel: pentru a putea afla câte baloane sparte sunt roșii și câte albastre, trebuie să știu câte baloane s-au spart în total. Știind că în total s-au spart 10 baloane, putem găsi și răspunsurile (pentru găsirea tuturor soluțiilor, elevii trebuie să facă apel la exercițiile de compunere și descompunere a numerelor naturale; facem apel la acest exercițiu pentru a ordona răspunsurile posibile; elevii vor găsi însă soluțiile și fără această ordonare).

Acceptăm că s-ar putea ca baloanele sparte să fie toate de aceeași culoare, avem următoarele soluții:

pentru că 0 + 10 = 10

pentru că 1 + 9 = 10

pentru că 2 + 8 = 10

pentru că 3 + 7 = 10

pentru că 4 + 6 = 10

pentru că 5 + 5 = 10

pentru că 6 + 4 = 10

pentru că 7 + 3 = 10

pentru că 8 + 2 = 10

pentru că 9 + 1 = 10

pentru că 10 + 0 = 10

Problema admite deci: 11 soluții (problema care admite mai multe răspunsuri).

Încă un exemplu de problemă din manualul de matematică:

„Scrie pe caiet toate numerele naturale alcătuite din sute, zeci și unități, folosind o

singură dată cifrele 2, 0 și 7.” (/ 4 / Ex. 4 a / 52)

Raționamentul „construit” prin metoda analitică (raționament care este sugerat de învățător) este următorul:

Pentru a obține toate numerele formate din sute, zeci și unități, ar trebui ca fiecare din cele trei cifre să reprezinte (să indice), de câte ori este posibil, numărul unităților din fiecare ordin. Dat fiind faptul că „0” este cifra nesemnificativă, el nu va putea reprezenta ordinul sutelor.

Soluțiile problemelor sunt:

Această problemă poate fi transformată în joc; elevii vor lua din trusa magnetică jetoanele cu cele trei cifre și vor descoperi prin joc toate posibilitățile de schimbare a locului cifrelor.

Problema admite deci 4 soluții.

Căi de rezolvare a problemelor tip.

Problemele tip sunt cele care au cele mai multe căi de rezolvare.

Probleme care se rezolvă prin metoda figurativă.

„ Metoda care pentru reprezentarea mărimilor din problemă și a relațiilor dintre ele utilizează elemente grafice și scheme se numește metoda grafică” O astfel de metodă are următoarele avantaje: are caracter general, adică se aplică la orice categorie de probleme, are caracter intuitiv, înțelegerea datelor problemei facându-se pe baza imaginilor vizuale, se reușeste prin stabilirea mărimilor realizarea schemei problemei.

Exemplu:

„Ana are 6 caise. Elena are cu 4 caise mai mult. Câte caise are Elena?”

Rezolvare

Reprezentăm printr-un segment numărul de caise pe care-l are Ana (el reprezintă valoric 6). Expresia matematică „cu atât mai mult” conduce la următorul raționament: în prelungirea segmentului egal cu segmentul ce reprezintă numărul de caise al Anei, desenăm arbitrar, punctat, un alt segment care indică surplusul de caise (+ 4), adică numărul de caise al Elenei.

Graficul va arata astfel:

numărul de caise al Anei

4 numărul de caise al Elenei

Se observă cu multă ușurință că desenul ne sugerează rezolvarea, soluția problemei:

(6 + 4) = 10 (caise)

Răspuns: Elena are 10 caise.

Exemplu de problemă în care se folosește expresia „cu atât mai puțin” :

„Carmen are 9 creioane. Nicu are cu 3 mai puțin. Câte creioane are Nicu?” .

Rezolvare

1. Reprezentam grafic numărul creioanelor pe care le are Carmen și Nicu:

9

numărul de creioane ale lui Carmen

3

numărul creioanelor lui Nicu

2. Câte creioane are Nicu?

9 – 3 = 6 (creioane)

Răspuns: Nicu are 6 creioane

Reprezentarea grafică nu este rezolvarea problemei, ci este doar notarea datelor acesteia. Pentru a nu se pierde timp ăn desenarea acestor date se folosesc segmentele de dreaptă și nu se desenează exact aceleași obiecte de care se face vorbire în problemă. Aceeași metodă grafică se foloște și în rezovarea unor probleme compuse. Esențial în problema grafică este reprezentarea corectă a mărimilor și relațiilor dintre ele.

Exemplu:

„La o serbare școlară participă 32 de băieți și cu 15 mai multe fete.Câți elevi participă la serbare?”

Rezolvare

1. Reprezentăm grafic numărul băieților și, în relația cu acesta, numărul fetelor:

32 numărul băieților

15 numărul fetelor

2. Câte fete participă la serbare?

32 + 15 = 47 (fete)

3. Câți elevi participă la serbare?

32 + 47 = 79 (elevi)

Răspuns: 79 elevi

În acest exemplu, citirea reprezentării grafice ar putea fi următoarea:

1. Reprezentăm grafic mărimile și relațiile dintre ele:

32 numărul băieților

15 numărul fetelor

2. Reprezentăm grafic numărul elevilor (considerăm un segment de lungime egală cu lungimea celor două segmente):

32 32 15

numărul numărul

băieților fetelor

3. „Citim” reprezentarea grafică pentru a găsi soluția problemei.

Observăm că în segmentul prin care am reprezentat numărul total al elevilor apar două segmente de aceeași lungime (deci valoric, reprezintă același număr) și un segment punctat, care reprezintă valoric, numărul 15.

Deci valoric, mărimea segmentului este:

32 + (32 + 15) = 32 + 47 = 79

Numărul 79, reprezintă de fapt, numărul total al elevilor.

„Citirea” reprezantărilor grafice ajută elevul să înțeleagă rezolvarea problemei și să găsească soluția corectă. Pentru precizările metodice cu privire la rezolvarea problemelor se află și cea potrivit căreia, „în clasa I, planul se întocmește la început oral, maniera care se continuă în c1asa a II-a, în unele situații. Se recomandă ca la clasa a II-a, planul de rezolvare să se facă oral și în scris în egală măsură”. Reprezentările grafice se pot folosi și în rezolvarea problemelor cu mai multe operații. Să vedem următorul exemplu:

„Ionel are 12 lei. Mihai are cu 4 lei mai mult, iar Mircea cu 10 lei mai puțin decât Mihai. Câți lei au în total, cei trei copii?”

Dat fiind faptul că intervin trei mărimi în problemă, dintre care două sunt necunoscute, elevii ar putea întâmpina greutăți în reprezentarea grafică. Să urmărim rezolvarea:

1. Câți lei are Mihai?

12 lei + 4 lei = 16 lei

2. Câți lei are Mircea?

16 lei – 10lei = 6 lei

3. Câți lei au în total, cei trei copii?

12 lei + 16 lei + 6 lei = 34 lei

Răspuns: 34 lei

Odată întocmit planul de rezolvare, elevii vor reda cu mai multă ușurință reprezentarea grafică și rezolvarea problemei:

12

Ionel

+ 4

Mihai

– 10

Mircea

Privind graficul putem scrie rezolvarea problemei într-un singur exercițiu:

12 lei + (12 + 4 lei) + [(12 + 4) – 10] lei =

= 12 lei + 16 lei + (16 – 10) lei =

= 12 lei + 16 lei + 6 lei =

= 34 lei

Răspuns: 34 lei

Sunt câteva probleme în care utilizarea metodei grafice este indispensabilă. Prima categorie de probleme cu care elevii se întâlnesc sunt cele de aflare a numerelor știind suma și diferența lor.

Exemplu:

„O asociație agricolă a semănat 1 340 ha cu grâu și porumb. Porumb a semănat cu 450 ha mai puțin decât grâu. Câte ha a semănat cu porumb și câte cu grâu?”

Să reprezentăm grafic mărimile ce intervin în problemă (numărul hectarelor semănate cu porumb și grâu) și a relației dintre ele:

ha cu porumb

1340 ha cu grâu și porumb

ha cu grâu și porumb 450

Învățătorul dirijează gândirea elevilor în vederea soluționării acestor situații matematice noi; analizând datele problemei elevii sunt îndrumați să sesizeze că numărul hectarelor semănate cu grâu și porumb reprezintă, de fapt, o sumă (1 340), iar surplusul de hectare semănate cu grâu, este de fapt, o diferență (450).

Elevii sunt întrebați:

– Am mai întâlnit astfel de probleme? (în manual, nu)

– Să vedem cum vom proceda în astfel de situații:

Elevii sunt dirijați să observe că dacă nu s-ar fi semănat cele 450 ha cu grâu, atunci, numărul hectarelor semănate cu porumb ar fi egal cu numărul hectarelor semănate cu grâu și problema s-ar rezolva cu foarte multă ușurință.

– Să încercăm deci să egalăm părțile! Cum putem face acest lucru?

Elevii sunt ajutați să descopere că există două posibilități de „egalare a părților”:

a) să considerăm că nu s-au semănat în plus cele 450 ha cu grâu, deci numărul hectarelor semănate cu porumb este egal cu numărul hectarelor semănate cu grâu (ceea ce nu este adevărat);

b) să considerăm că s-au mai semănat în plus și 450 ha cu porumb; și în acest caz numărul hectarelor semănate cu porumb este egal cu numărul hectarelor semănate cu grâu.

Să luăm pe rând cele două situații de „egalare” și să urmărim la ce soluție ne conduce rezolvarea problemei:

Rezolvare

a) 1. Considerăm că nu s-ar fi semănat în plus cele 450 ha cu grâu; atunci numărul de ha semănate cu grâu ar fi egal cu numărul de ha semănate cu porumb. Numărul total de ha semănate cu grâu și porumb nu ar mai fi însă 1340, ci:

1340 ha – 450 ha = 890 ha cu grâu și porumb

Sub îndrumarea învățătorului, elevii vor descoperi că de fapt, am scăzut diferența dată din sumă, obținând astfel un alt număr care reprezintă acum suma a două numere egale. În realitate cele două numere nu sunt egale, sunt doar considerate egale. Noi am considerat al doilea număr mai mic cu 450 unități, decât este el cu adevărat. În acest caz putem afla valoarea reală a primului număr, care reprezintă numărul de ha semănate cu porumb (numărul mai mic de ha semănate).

2. Aflăm numărul de ha semănate cu porumb? (Câte ha a semănat cu porumb?)

890 ha : 2 = 445 ha (porumb)

Elevii vor fi îndrumați de asemenea să rețină că atunci când scădem diferența din sumă pentru a „egala” părțile, aflăm mai întâi valoarea numărului mai mic, respectiv a părții (cantității) mai mici.

Știind că asociația agricolă a semănat grâu cu 450 ha mai mult decât porumb, putem afla numărul ha semănate cu grâu.

3. Câte ha cu grâu a semănat?

445 ha + 450 ha =895 ha (grâu)

Am aflat numărul de ha semănate cu grâu și porumb, deci am găsit răspunsul:

Răspuns: 445 ha porumb

895 ha grâu

Verificare:

445 ha + 895 ha = 1340 ha (porumb și grâu)

895 ha – 445 ha = 450 ha

Învățătorul revine pe rând asupra celor două moduri de rezolvare și discută cu elevii următorul aspect: Dacă se află (prin egalarea parților) una din mărimi, cea de-a doua mărime poate fi aflată și scăzând din sumă, valoarea mărimii aflate. În problema noastră concret: potrivit primului procedeu de egalare (primul mod de rezolvare) am aflat mai întâi numărul de ha semănate cu porumb (partea mai mică) – 445 ha porumb.Numărul de ha semănate cu grâu se poate afla în două moduri:

adunând diferența dintre cele două numere la numărul de ha semănate cu porumb:

445 ha + 450 ha = 895 ha

scăzând din numărul total de ha semănate cu porumb și grâu numărul de ha semănate cu porumb:

1340 ha – 445 = 895 ha

Potrivit celui de-al doilea mod de rezolvare, după ce am aflat numărul de ha semănate cu grâu (partea mai mare) – 895 ha – numărul de ha semănate cu porumb poate fi aflat în două moduri:

895 ha – 450 ha = 445 ha, sau

1340 ha – 895 ha = 445 ha.

Se pot utiliza în paralel cele două procedee de egalare în rezolvarea problemelor.

Același fel de aplicație îl găsim în manualul de clasa a IV-a, în rezolvarea unei probleme, în exemplul următor:

„Într-un borcan și o cană sunt, în total 6 litri de lapte. În borcan sunt cu 2 litri mai mult decât în cană. Câți litri de lapte sunt în borcan și câți în cană?”

În această problemă datele pot fi redate printr-un desen.

2 litri

6 litri

Rezolvare

1. Egalăm părți1e:

a) b)

sau

6 l – 2 l = 4 l 6 l + 2 l = 8 l

2. Aflăm cantitatea de lapte din fiecare vas:

a) Aflăm cantitatea de lapte din cană : b) Aflam cantitatea de lapte din borcan:

4 l : 2 = 2 l 8 l : 2 = 4 l

Aflăm cantitatea de lapte din borcan: Aflăm cantitatea de lapte din cană:

2 l + 2 l = 4 l 4 l – 2 l = 2 l

sau sau

6 l – 2 l = 4 l 6 l – 4 l = 2 l

Răspuns: în borcan sunt 4 l Răspuns: în borcan sunt 4 l

în cană sunt 2 l în cană sunt 2 l

Verificare:

4 l + 2 l = 62

4 l – 2 l = 2 l

În rezolvarea primelor probleme de acest fel, învățătorul va pretinde elevilor să rezolve probleme propuse în ambele moduri, pentru că abia mai târziu vor putea să rezolve problema într-un singur mod.

Exemplu:

„Doi frați au împreună 15 ani. Unul este mai mare decât celălalt cu 3 ani. Câți ani are fiecare frate?”

Rezolvare

1. Reprezentăm cele două numere prin segmente:

I

3 15 ani

II

2. Aflăm vârsta fratelui mai mic:

(15 ani – 3 ani) : 2 = 12 ani : 2 = 6 ani

3. Aflăm vârsta fratelui mai mare:

15 ani – 6 ani = 9 ani

Verificare:

6 ani + 9 ani = 15 ani

9 ani – 6 ani = 3 ani

Răspuns: Cei doi frați au 6, respectiv, 9 ani.

Să luăm acum ca de exemplu probleme care se rezolvă prin metoda grafică, dar în care intervin trei mărimi (trei numere):

”Suma a trei numere este 23. Al doilea număr este cu 3 mai mic decât primul și cu 1 mai mare decât al treilea. Află numerele.”

Rezolvare

1. Reprezentăm prin segmente de dreaptă cele trei numere:

I

II 3 23

III 1

Rezolvăm problema prin cele două procedee:

a) Dacă toate numerele ar fi fost egale (cu al treilea – cel mai mic) suma ar fi fost mai mică cu: 3 + 1 + 1 = 5

1. În acest caz, suma a trei numere egale (cu al treilea) este:

23 – 5 = 18

2. Aflăm care este numărul al treilea:

18 : 3 = 6

3. Aflăm numărul al doilea:

6 + 1 = 7

4. Aflăm primul număr:

7 + 3 = 10

Verificare:

10 + 7 + 6 = 23 (suma celor trei numere)

Primul număr este mai mare decât al doilea cu: 10 – 7 = 3

Al treilea număr este mai mic decât al doilea cu: 7 – 6 = 1

Răspuns:

I nr. 10

al II-lea nr. 7

al III-lea nr. 6

b) Dacă toate cele trei numere ar fi fost egale eu primul (cel mai mare), atunci suma ar fi fost mai mare cu:

3 + 3 + 1 = 7

1. Suma a trei numere egale cu primul (cel mai mare) este:

23 + 7 = 30

2. Aflăm primul număr:

30 : 3 = 10

3. Aflăm al doilea număr:

10 – 3 = 7

4. Aflăm al treilea număr:

7 – 1 = 6

Verificare:

10 + 7 + 6 = 23

Răspuns:

I nr. 10

al II-lea nr. 7

al III-lea nr. 6

Încă un exemplu:

„Suma a trei numere este 130 048. Primul număr este 20 048, iar al doilea este cu 8 234 mai mic decât al treilea. Care sunt numerele?” (/ 3 / 8 / 119)

Reprezentarea grafică este dată în culegere.

primul număr 20 048

130 048 al doilea număr

8 234 130 048 – 20 048

al treilea număr

Reprezentarea grafică (ca și anunțul problemei de altfel) sugerează primul pas în rezolvarea problemei.

Rezolvare

1. Aflăm suma ultimelor două numere:

130 048 – 20 048 = 110 000

2. Reprezentăm grafic datele problemei nou obținute: (Suma a două numere este 110 000; al doilea număr este cu 8 234 mai mic decât al treilea. Care sunt cele două numere?)

al doilea număr

110 000

8234

al treilea număr

3. Egalăm părțile

a) b)

100000–8234 100000+ 8234

8234 8 234

4. Aflăm cele două numere:

a) Aflăm al doilea număr: b) Aflăm al treilea număr:

(110000 – 8234) : 2 = (110000 + 8234) : 2 =

= 101766: 2 = = 118234 : 2 =

= 50883 = 59117

Aflăm al treilea număr: Aflăm al doilea număr:

50883 + 8234 = 59117 59117 – 8234 = 50883

sau sau

110000 – 50883 = 59117 110000 – 59117 = 50883

Răspuns:

I nr. 20048 Răspuns:

I nr. 20048

al II-lea nr. 50883 al II-lea nr. 50883

al III-lea nr. 59117 al III-lea nr. 59117

Alte exemple de probleme care se pot folosi la clasă:

„Suma a trei numere consecutive este 33. Să se afle numerele.”

După ce s-a revenit asupra noțiunii de „numere consecutive” (numere care în șirul

numerelor naturale se succed, urmează imediat unul după altul), se poate trece la explicarea și rezolvarea problemei:

Rezolvare

1. Reprezentăm grafic cele trei numere:

primul număr

1

al doilea număr 33

1 1

al treilea număr

Se observă că ne aflăm, de fapt, în fața aceluiași tip de probleme, în care cunoaștem suma și diferența, cu deosebire că aici intervin trei numere și diferența este dată de proprietatea numerelor de a fi consecutive. Ca și în cazul problemelor precedente, pentru a putea afla numerele, trebuie să recurgem la „egalarea părților”. Se pot folosi și în acest caz două procedee: sau considerăm că toate cele trei numere sunt la fel de mari (valoric) ca primul (cel mai mic), sau le considerăm pe toate egale cu cel mai mare (cu al treilea). În general, se optează pentru prima variantă.

2. Egalăm părțile:

primul număr

1

al doilea număr 33 – 3

1 1

al treilea număr

3. Aflăm cele trei numere: (deoarece am scăzut diferența din sumă, vom afla mai întâi numărul cel mai mic)

(33 – 3) : 3 = 30: 3 =

= 10 (primul număr)

Dată fiind proprietatea lor de a fi consecutive, celelalte două numere, se deduc ușor: 10 + 1 = 11 (al doilea număr)

11 + 1 = 12 (al treilea număr)

Răspuns: I nr. 10

al II-lea nr. 11

al III-lea nr. 12

„Soțul și soția câștigă împreună 4640 lei lunar, primul contribuie la cheltuielile comune cu 1600 lei, iar soția cu 1040 lei, rămânând cu sume egale. Ce retribuție are fiecare?”

Rezolvare

În această problemă suma retribuțiilor se stabilește ușor datorită cuvântului „împreună”, deci suma este 4640 lei. Diferența retribuțiilor nu se dă explicit în enunț ci ea trebuie calculată având în vedere contribuțiile fiecărui la cheltuielile comune și faptul că rămân cu sume egale. Dacă rămân cu sume egale în urma contribuțiilor la cheltuieli, înseamnă că diferența dintre contribuțiile lor reprezintă chiar diferența dintre retribuții. Deci, află diferența dinte retribuții.

1600 – 1040 = 560 (lei)

Acum problema s-a redus la o problema tipică de aflare a două numere când se cunosc suma (4640 lei) și diferența (560 lei). Noua problema este: „Soțul și soția câștigă împreună 4640 lei lunar. Soțul câștigă cu 560 lei mai mult decât soția. Ce retribuție are fiecare?”

1. Reprezentăm grafic cele două numere:

retribuția soției

4640 lei

retribuția soțului 560

2. Egalăm părțile:

retribuția soției

4640 – 560

retribuția soțului 560

3. Aflăm cele două numere:

(Care este retribuția soției?)

(4640 – 560) : 2 = 4080 : 2 = 2040 (lei)

Care este retribuția soțului?

2040 + 560 = 2600 (lei)

Răspuns: Cei doi au retribuțiile de 2600 lei și,

respectiv, de 2040 lei (soția).

Pe măsură ce rezolvă tot mai multe probleme prin metoda figurativă, elevii vor înțelege că pentru a rezolva cu ușurință această categorie de probleme, esențial este să facă reprezentarea grafică cât mai sugestiv posibil, să sesizeze corect relațiile dintre mărimi. O altă categorie de probleme – tip, întâlnite frecvent în manualele școlare sunt cele în care se cunosc suma și raportul.

Exemple:

„Să se afle două numere știind că suma lor este 60 și că unul este de 3 ori mai mare decât celălalt.” (/13 / pr. 1 /223)

Pentru a facilita înțelegerea și rezolvarea problemei se prezintă reprezentarea grafică:

primul număr

60

al doilea număr

Citirea și interpretarea graficului conduce la următoarea concluzie: ne aflăm în fața unei probleme în care cunoaștem suma (60) și de câte ori un număr este mai mare decât celalalt, sau invers.

Din sumă (60) primul număr reprezintă o singură parte, iar cel de-al doilea număr

reprezintă 3 părți, deci în total putem considera că avem patru părți de mărimi egale care

reprezintă întregul (în cazul nostru – 60).

Concluziile desprinse conduc la următoarea rezolvare:

Rezolvare:

1. Care este primul număr?

60 : 4 = 15

2. Care este al doilea număr?

15 x 3 = 45

Răspuns:

I nr. 11

al II-lea nr. 45

Verificare:

15 + 45 = 60

45 : 15 =3 (al doilea număr este de 3 ori mai mare decât primul număr)

„Doi prieteni au împreună 1890 timbre. Unul are de 4 ori mai puține decât celalalt.

Câte timbre are fiecare?”

Rezolvare:

Reprezentăm prin segmente de dreaptă numărul de timbre pe care îl are fiecare frate și suma lor:

I

1860 timbre

II

Se observă că suma (1860 timbre) este de cinci ori mai mare decât primul număr.

2. Aflăm numărul timbrelor pe care le are primul prieten:

1860 : 5 = 373 (timbre)

3. Aflăm numărul de timbre pe care le are celălalt copil:

372 x 4 = 1488 (timbre)

Răspuns:

I copil – 372 timbre

al II-lea copil – 1488 timbre

Verificare:

Numărul total de timbre: 372 + 1488 = 1860 (timbre)

Câtul este: 1488 : 372 = 4

Pentru a verifica gradul de însușire și înțelegere a acestei tehnici, învățătorul poate

propune spre rezolvare probleme care să includă și acest tip de probleme.

„La o librărie se aflau 1230 caiete de matematica și dictando. După ce s-au vândut 78 caiete de matematica și 42 de dictando, au rămas de 4 ori mai multe caiete de matematică decât dictando.

Câte caiete din fiecare fel au fost la început în librărie?”

Elevii vor înțelege că pentru a putea aplica tehnica însușită în rezolvarea acestei probleme e necesar să cunoaștem suma, care în cazul de față reprezintă numărul caietelor care au rămas nevândute.

Pentru a afla acest număr trebuie să cunoaștem numărul caietelor de matematică vândute și numărul caietelor de dictando vândute și apoi să scădem aceste numere din numărul inițial al caietelor aduse. Se trece apoi, la rezolvarea problemei:

Rezolvare:

1. Aflăm numărul caietelor rămase nevândute:

1230 – (78 + 42) = 1230 – 120 = 1110 (caiete)

2. Reprezentăm grafic datele problemei nou obținute.

(La o librărie au rămas nevândute 1110 caiete de matematica și dictando.

Cate caiete sunt de fiecare fel, dacă caiete de matematica sunt de 4 ori mai multe decât cele de dictando?)

Numărul caietelor rămase nevândute:

caiete de matematică

1 110 caiete

caiete de dictando

Se observă că suma (1 110) este compusă din 5 părți la fel de mari, din care o parte este reprezentata de numărul caietelor de dictando.

3. Aflăm câte caiete de dictando au rămas nevândute:

1110 : 5 = 222 (caiete dictando)

4. Aflăm câte caiete de matematică au rămas nevândute:

222 x 4 = 888 (caiete de matematică)

5. Aflăm câte caiete de dictando au fost la început în librărie:

222 + 42 = 264 (caiete de dictando)

6. Aflăm câte caiete de matematică au fost la început în librărie:

888 + 78 = 966 (caiet de matematică)

sau

1230 – 264 = 966 (caiete de matematică)

numărul numărul

total de caietelor

caiete dictando

Răspuns:

966 caiete matematică

264 caiete dictando

Verificare:

966 + 264 = 1230 (caiete)

Elevii vor fi dirijați să descopere că în această problemă a fost inclusă și o problemă – tip în care se cunosc suma și raportul. Sunt propuse spre rezolvare apoi același gen de probleme, în care intervin însă, mai mult de două mărimi.

„Din școala noastră a plecat un grup de elevi la mare, iar de două ori mai mulți elevi au plecat la munte. În excursie au plecat de 3 ori mai mulți elevi decât la munte. În total au plecat 27 de elevi. Câți elevi au plecat la mare? Dar la munte? Dar în excursie?”

Reprezentarea grafică a datelor problemei și a relației dintre ele este:

numărul elevilor plecați la mare

numărul elevilor plecați la munte 27 e1evi

numărul elevilor plecați în excursie

Citirea și interpretarea graficului face posibilă înțelegerea și rezolvarea problemei:

Rezolvare:

1. Câți elevi au plecat la mare?

27 : 9 = 3 (elevi)- (deoarece numărul elevilor plecați la mare reprezintă o singură parte din cele 9 părți care formează întregul- suma).

2. Câți elevi au plecat la munte?

3 x 2 = 6 (elevi)

3. Câți elevi au plecat în excursie?

6 x 3 = 18 (elevi)

Răspuns:

La mare au plecat 3 elevi

La munte au plecat 6 elevi

În excursie au plecat 18 elevi

Verificare:

3 + 6 + 18 = 27 elevi

6 : 3 = 2

18 : 6 = 3

„Trei elevi au împreună 22 500 lei. Primul are 2/3 din cât are al doilea, iar al doilea are ¾ din cât are al treilea. Elevii fac o excursie care costă în total 12000 lei, fiecare contribuind cu aceeași sumă. Cum trebuie împărțita celor trei elevi suma rămasă necheltuită?”

Reprezentarea grafică a datelor problemelor și a relației dintre ele este:

I

al II-lea

22 500 lei

al III-lea

Rezolvare:

Cunoscând suma (22 500 lei) și numărul părților putem afla o parte care ne ajută să aflăm sumele pe care le-au avut inițial cei trei elevi:

22 500 : 9 = 2 500 (lei)

1. Care este suma pe care o are primul elev?

2 500 x 2 = 5 000 (lei)

2. Care este suma pe care o are al II-lea elev?

2 500 x 3 = 7 500 (lei)

3. Care este suma pe care o are al III-lea elev?

2 500 x 4 = 10 000 (lei)

– Am încheiat rezolvare?

– Nu, pentru că trebuie să aflăm suma rămasă necheltuită pentru fiecare.

Știind că la cei 12 000 lei plătiți pentru excursie fiecare a contribuit în mod egal, putem afla suma achitată de fiecare elev:

120 00 : 3 = 4 000 (lei)

Având această sumă putem să aflăm:

4. Care este suma rămasă necheltuită de primul elev?

5 000 – 4 000 = 1 000 (lei)

5. Care este suma rămasă necheltuită de al II-lea elev?

7 500 – 4 000 = 3 500 (elev)

6. Care este suma rămasă necheltuită de al III-lea elev?

10 000 – 4 000 = 6 000 (lei)

Răspuns:

I elev 1 000lei

al II-lea elev 3 500 lei

al III-lea elev 6 000 lei

Verificare:

1 000 + 3 500 + 6 000 = 10 500 (lei) A

10 500 lei + 12 000 lei = 22 500 (lei) A

Elevii își dau seama că în problemele – tip în care se cunoaște suma și raportul, numărul mărimilor ce intervin în problemă nu constituie un inconvenient în ceea ce privește rezolvarea problemei.

O oarecare dificultate pot crea eventual problemele în care având mai multe mărimi, o mărime este prezentată în raport cu alta și în același timp în relație de „cu atât mai mic (mai puțin)” sau „cu atât mai mare (mai mult)” cu o altă mărime.

„Pe trei rafturi ale unei biblioteci sunt așezate 546 cărți. Pe raftul al doilea sunt cu 50 cărți mai puține decât pe primul și de două ori mai puține decât pe al treilea raft. Câte cărți se află pe fiecare raft?”

Acest gen de probleme solicită într-un grad mai mare gândirea elevilor, decât cele în care se dă suma și raportul, dar tocmai acest aspect le face mai interesante și poate chiar mai plăcute. Elevii vor înțelege, de altfel, că reprezentând corect mărimile și relațiile dintre ele, problema se rezolvă rapid și ușor.

Reprezentam grafic:

primul raft 50

al II-lea raft 546 cărți

al III-lea raft

Se vede clar că pentru a simplifica problema e necesar să „eliminăm” surplusul de 50, considerând că numărul cărților de pe primul raft este egal cu numărul cărților de pe al II-lea raft (egalare parțială a cărților). În acest caz suma cărților de pe cele trei rafturi nu mai este 546, ci 496 și este compusă din trei părți la fel de mari.

Făcând acest „artificiu”, rezolvarea decurge firesc în continuare:

Reprezentăm grafic datele problemei nou obținute și a relației dintre ele:

primul raft

al II-lea raft 496 cărți

al III-lea raft

Putem afla acum, fără probleme, cât reprezintă o singură parte, care corespunde

numărului de cărți de pe raftul al II-lea:

496 : 4 = 124 (cărți)

Revenind la datele inițiale ale problemei, sau la graficul inițial, aflăm câte cărți sunt pe primul respectiv pe al treilea raft:

124 + 50 = 174 (cărți)

124 x 2 = 248 (cărți)

Răspuns:

Pe primul raft sunt 174 cărți

Pe al II-lea raft sunt 124 cărți

Pe al III-lea raft sunt 248 cărți

Verificare:

174 + 124 + 248 = 546 (cărți)

174 – 124= 50 (cărți)

248 : 124= 2

Acum exemplific și a treia categorie de probleme –tip care se rezolvă prin metoda grafică, problemele în care se cunoaște diferența și raportul mărimilor care intervin în problemă. Ca si la celelalte probleme prezentate până acum învățătorul începe activitatea de învățare cu probleme mai simple, mai ușor de înțeles.

Exemple:

Un număr este de 5 ori mai mare decât altul. Care sunt numerele dacă diferența dintre ele este 32?”

1. Reprezentăm grafic cele două numere și relația dintre ele:

I

II 32

Elevii intuiesc că diferența dintre cele două numere (32) reprezintă patru părți de mărimi egale cu al II-lea număr știind cât reprezintă 4 părți, putem afla cât reprezintă o singură parte, parte care valoric este egală cu numărul mai mic.

2. Care este al doilea număr?

32 : 4 = 8

3. Care este primul număr?

8 x 5 = 40

Răspuns:

I nr. 40

al II-lea nr. 8

Verificare:

40 > 8 de 40 : 8 = 5 ori

40 > 8 cu 40 – 8 = 32

„Diferența de preț dintre o carte și un caiet este 3570 lei. Cât costă fiecare, dacă cu prețul cărții se pot cumpăra 6 caiete?”.

Rezolvare

1. Reprezentăm grafic cele două numere (costul cărții și al caietului) și relațiile dintre ele:

caietul 3570 lei

cartea

Citind graficul, elevii observă că diferența de preț dinte o carte și un caiet este de 3570 lei și reprezintă 5 părți de mărimi egale cu prețul caietului. Putem afla:

2. Cât costă caietul?

3570 : 5 = 714 (lei)

3. Cât costă cartea?

714 x 6 = 4284 (lei)

Răspuns:

Caietul costă 714 lei

Cartea costă 4 284 lei

Verificare:

4284 lei – 714 lei = 3570 lei

4284 : 714 = 6

O problemă care se încadrează în aceeași categorie este și următoarea:

„Diferența a două numere este 100; dacă le împărțim obținem câtul 3 și restul 20. Care sunt numerele?” .

Faptul că în enunțarea problemei nu apare exprimat raportul într-o formă clară, lipsind exprimarea „de atâtea ori mai mare” sau „de atâtea ori mai mic”, ar putea deruta elevii creându-le impresia că au în față o problemă dificilă. Analizând cu atenție datele problemei, vor descoperi însă că acest raport este exprimat sub o altă formulă: „Dacă le împărțim, obținem câtul 3 și restul 20.”

Elevii sunt nevoiți să facă apel la cunoștințele referitoare la împărțire și la relațiile ce există între numere cu care operăm la împărțire. Își vor aminti astfel că într-o împărțire, câtul ne arată de câte ori deîmpărțitul este mai mare decât împărțitorul sau de câte ori împărțitorul este mai mi decât deîmpărțitul și, în același timp, de câte ori împărțitorul se cuprinde în deîmpărțit. Se face apel și la relația ce există între termenii unei împărțiri cu rest:

(D – r) : Î = C

Aceste discuții îi vor ajuta pe elevi să reprezinte grafic datele problemei:

deîmpărțitul 20

împărțitorul 100

Elevii vor observa că dacă scădem restul de 20 din deîmpărțit, diferența obținută reprezintă două părți de mărimi egale.

Aflăm cât reprezintă o parte:

(100 – 20) : 2 = 80 : 2 = 40, parte echivalentă cu valoarea împărțitorului.

Aflăm deîmpărțitul:

40 x 3 + 20 = 120 + 20 = 140

Răspuns:

D = 140

Î = 40

Verificare: 140 : 40 = 3 rest 20 sau (140 – 20) : 40 = 3

120 140- 40 = 100

=20

O problemă gen – problemă în care cunoaștem diferența și raportul – stă și la baza

următoarei probleme:

„La o florărie sunt garoafe și trandafiri. Garoafe sunt de 3 ori mai puține decât trandafiri, iar aceștia sunt cu 8 mai mulți decât garoafele. Câte flori sunt din fiecare fel și câte au rămas în total, dacă până la ora închiderii s-au vândut jumătate din ele?”

Rezolvare

1. Reprezentăm grafic numărul garoafelor și cel al trandafirilor și relația dintre ele:

numărul garoafelor

numărul trandafirilor

8

2. Câte garoafe sunt?

(numărul garoafelor este echivalent cu o parte din cele două părți de mărimi egale care alcătuiesc diferența):

8 : 2 = 4 (garoafe)

3. Câți trandafiri sunt?

4 x 3 = 12 (trandafiri)

În continuare problema se rezolvă urmând calea metodei analitico-sintetice:

4. Câte flori sunt la florărie?

12 + 4 = 16 (flori)

5. Câte flori au rămas nevândute?

16: 2 =8 (flori)

Răspuns:

4 garoafe

12 trandafiri

8 flori au rămas nevândute

Probleme care se rezolva prin egalarea datelor.

Aceste probleme sunt usor de de recunoscut din modul de redactare, anunțul fiind alcătuit din două situații distincte. După recunoașterea problemei datele se scriu unele sub altele conform celor două situații din enunț. Procedeul aritmetic de rezolvare este prin scadere sau adunare. Dacă din enunț nu rezultă valori egale, atunci este necesară aducerea datelor la același termen de comparație. Una dintre mărimi devine etalon iar datele se agaleaza la această mărime. Pe parcursul ciclului primar elevii vor rezolva astfel de probleme prin metoda comparațieiȘ

Probleme rezolvabile prin eliminarea unei necunoscute prin scădere (reducere);

Probleme rezolvabile prin eliminarea unei necunoscute prin înlocuirea ei în funcție de cealaltă necunoscută.

Exemple de probleme rezolvate prin eliminarea unei necunoscute (reducere):

„De la o cofetărie un elev a cumpărat 4 prăjituri și 6 sucuri plătind 28 lei. Altădată, la aceleași prețuri, a cumpărat 4 prăjituri și 8 sucuri plătind 32 lei. Câți lei costă o prăjitură și câți lei costă un suc?"”

Notăm datele problemei pe două șiruri corespunzătoare celor două situații:

4 prăjituri ……………. 6 sucuri ……………..28 lei

4 prăjituri ……………. 8 sucuri ……………. 32 lei

– Observăm că și prima dată și a doua dată elevul a cumpărat un același număr de

prăjituri.

– De ce nu a plătit aceeași sumă de bani? (Pentru că nu a cumpărat un același număr de sucuri).

– De ce a doua oară a plătit mai mult? (A cumpărat cu 2 sticle de suc mai mult).

Sticlele de suc cumpărate în plus a doua oară a făcut să crească costul de la 28 lei la 32 lei.

Planul de rezolvare este:

1. Câte sticle cu suc a cumpărat mai mult a doua oară?

8 – 6 = 2 (sticle)

2. Cât costă două sticle de suc (cu cât a plătit mai mult a doua oară)?

32 – 28 = 4 (lei)

3. Cât costă o sticlă de suc?

4 : 2 = 2 (lei)

4. Cât costă 6 sucuri?

2 x 6 = 12 (lei)

5. Cât costă 4 prăjituri?

28 – 12 = 16 (lei)

6. Cât costă o prăjitură?

16 : 4 = 4 (lei)

Răspuns:

o prăjitură costă 4 lei

un suc costă 2 lei

Verificare:

4 x 4 + 6 x 2 = 16 + 12 = 28 (lei)

Un alt exemplu este și problema propusă spre rezolvare în manualul de clasa a IV-a, pag. 139:

„Într-un depozit sunt 2 tone de grâu și 3 tone de porumb, în valoare de 8100000 lei. În alt depozit sunt 2 tone de grâu și 7 tone de porumb, în valoare de 14900000 lei. Cât costă o tonă de grâu și cât costă o tonă de porumb?”

Rezolvare

2 tone grâu ………… 3 tone porumb …………….. 8100000 lei

2 tone grâu ………… 7 tone porumb …………… 14900000 lei

Spunem că una din cele două mărimi „se reduce”, întrucât are aceeași valoare în ambele situații. Elevii vor fi dirijați „să sesizeze” că este vorba de aceeași cantitate de grâu în ambele depozite, deci putem „elimina” pentru început această mărime, și că diferența de bani provenea de la faptul că existau cantități diferite de porumb. Practic are loc o „scădere” a celor două relații (de unde și numele metodei). După ce am așezat datele problemei, am comparat, de la dreapta la stânga: valorile totale, cantitățile de porumb din cele două depozite și cantitățile de grâu.

În cel de-al doilea caz valoarea cerealelor este mai mare cu:

14900000 – 8100000 = 6800000 (lei)

Cantitatea de porumb din al doilea siloz este mai mare cu:

7 – 3 = 4 (tone)

Surplusul de 6800000 lei se datorează faptului că în a doua situație avem 4 tone de porumb mai mult, ceea ce ne permite să aflăm cât costă o tonă de porumb:

6800000 : 4 = 1700000 (lei)

Cunoscând cât costă o tonă de porumb putem afla cât costă 3 tone de porumb:

1700000 x 3 = 5100000 (lei)

Dacă 3 tone de porumb costă 5100000 lei, rezultă că 2 tone de grâu costă:

8100000 – 5100000 = 3000000 (lei)

Dacă 2 tone de grâu costă 3000000 lei, atunci o tonă de grâu costă:

3000000 : 2 = 1500000 (lei)

Răspuns:

1500000 1 tonă grâu

1700000 1 tonă porumb

Se observă că în această metodă se face apel la reducere la unitate, cele două metode de rezolvare se aseamănă.

Verificare:

(se înlocuiesc valorile aflate)

I. 2 x 1500000 + 3 x 1700000 = 3000000 + 5100000 = 8100000 (lei) A

II. 2 x 1500000 + 7 x 1700000 = 3000000 + 11900000 = 14900000 (lei) A

Să prezentăm mai schematic rezolvarea unei alte probleme:

„Pentru 5 creioane și 2 pixuri s-au plătit 3600 lei, iar pentru 5 creioane și 4 pixuri, 5200 lei. Cât costă un creion și cât costă un pix?”

Rezolvare

5 creioane ……….. 2 pixuri ………….. 3600 lei

5 creioane …………4 pixuri ………….. 5200 lei

Scăzând relația obținem:

0 creioane ……….. 2 pixuri ………….. 1600 lei

1 pix ………………1600: 2 = 800 lei

Scăzând valoarea celor două pixuri din prima sumă obținem:

3600 – 1600= 2000 (lei), ceea ce reprezintă costul a 5 creioane.

Costul unui creion este:

2000 : 5 = 400 (lei)

Răspuns:

1 creion costă 400 lei

1 pix costă 800 lei

Așezând datele astfel, elevii vor putea elabora fără dificultate planul logic de rezolvare:

Exemplu: 5 creioane ……………. 2 pixuri …………… 3600 lei

5 creioane …………….. 4 pixuri …………… 5200 lei

Rezolvare

1. Cât costă 2 pixuri?

5200 – 3600 = 1600 (lei)

2. Cât costă un pix?

1600 : 2 = 800 (lei)

3. Cât costă 5 creioane?

3600- 1600 =2000 (lei)

sau

5200 – (4 x 800) = 5200 – 3200 = 2000 (lei)

4. Cât costă un creion?

2000 : 5 = 400 (lei)

Răspuns:

1 creion costă 400 lei

1 pix costă 800 lei

„Pentru 5 kg de mere și 7 kg de pere s-au plătit 12200 lei, iar pentru 15 kg de mere și 3 kg de pere s-au plătit 18600 lei. Cât costă 1 kg de mere și 1 kg de pere?”

Rezolvare

1. Așezăm datele problemei astfel:

5 kg mere …………….7 kg pere…………12200 lei

15 kg mere…………… 3 kg pere …………18600 lei

Se observă că nu avem nici o mărime care se reduce (se poate elimina). Pentru aceasta e nevoie să aducem la același termen de comparație. Acest lucru se poate realiza utilizând operația de înmulțire sau împărțire (se poate alege oricare din cele două mărimi). Cel mai convenabil, în cazul nostru, este să eliminăm mărimea „mere”.

Cum putem obține acest lucru? (sau mărim de 3 ori cantitatea de mere din primul șir, sau micșorăm cea de-a treia cantitate de 3 ori). Alegem prima posibilitate:

2. Aducem la același termen de comparație, înmulțind prima relație cu 3:

5 kg mere ………….. 7 kg pere …………12200 lei / x 3

15 kg mere…………. 3 kg pere …………18600 lei

Relațiile obținute astfel, sunt:

15 kg mere …………21 kg pere …………36600 lei

15 kg mere …………. 3 kg pere ………… 18600 lei

Și cu aceasta problema s-a redus la una asemănătoare cu cele prezentate anterior:

3. Cât costă 18 kg de pere?

36600 – 18600 = 18000 (lei)

4. Cât costă un kg de pere?

18000 : 18 = 1000 (lei)

5. Cât costă 7 kg de pere?

1000 x 7 = 7000 (lei)

6. Cât costă 5 kg de mere?

12200 – 7000 = 5200 (lei)

7. Cât costă un kg de mere?

5200 : 5 = 1040 (lei)

Răspuns:

1 kg mere costă 1040 lei

1 kg pere costă 1000 lei

Verificare:

5 x 1040 + 7 x 1000 = 5200 + 7000 = 12200 (lei) A

15 x 1040 + 3 x 1000 = 15600 + 3000 = 18600(lei) A

Putem elimina și mărimea „pere”.

Această a doua metodă, poate fi folosită și în scop verificator, dacă vrem. Este indicat ca în rezolvarea primelor probleme în care intervine aducerea la același termen de comparație, elevii să „probeze” ambele procedee, chiar dacă nu rezolvăm integral în ambele moduri problema, deoarece, la un moment dat planul se repetă.

Pentru a elimina mărimea „pere:, înmulțim prima relație cu 3, iar pe a doua cu 7:

5 kg mere ………….. 7 kg pere ……………… 12200 lei / x 3

15 kg mere ………… 3 kg pere ……………… 18600 lei / x 7

Relațiile obținute astfel, sunt:

15 kg mere ……….21 kg pere ………..36600 lei

105 kg mere ………21 kg pere ………130200 lei

Problema se reduce astfel la unul din tipurile precedente.

„12 pahare și 10 farfurii au costat 106 lei, 15 pahare și 25 farfurii au costat 220 lei.

Cât costă un pahar și cât costa o farfurie?”

Rezolvare

1. Așezăm datele problemei astfel:

12 pahare ………… 10 farfurii ………106 lei

15 pahare ………… 25 farfurii ………220 lei

2. Egalăm, de exemplu, numărul de farfurii. Acest lucru se poate face împărțind datele de pe primul șir la 2, iar datele de pe al doilea șir la 5.

12pahare ………….10 farfurii ……… 106 lei / : 2

15pahare ………… 25 farfurii ……… 220 lei / : 5

Obținem:

6 pahare ……………5 farfurii …………53 lei

3 pahare ……………5 farfurii ………… 44 lei

3. Cu câte pahare a luat mai mult prima dată decât a doua oară?

6 – 3 = 3 (pahare)

4. Câți lei au costat 3 pahare?

53 – 44 = 9 (lei)

5. Câți lei costă un pahar?

9 : 3 = 3 (lei)

6. Câți lei costă 5 farfurii? (știm că 3 pahare și 5 farfurii au costat 44 lei, iar 3 pahare au costat 9 lei)

44 – 9 = 35 (lei)

7. Câți lei costă o farfurie?

35 : 5 = 7 (lei)

Răspuns:

un pahar costă 3 lei

o farfurie costă 7 lei

Verificare:

12 x 3 + 10 x 7 = 36 + 70 = 106 (lei)

15 x 3 + 25 x 7 = 45 + 175 = 220 (lei) A

Exemple de probleme rezolvabile prin eliminarea unei necunoscute prin înlocuirea ei în funcție de cealaltă necunoscută.

Dacă într-o problemă figurează două necunoscute și se cunoaște o relație între ele, atunci problema poate fi redusă la una cu o singură necunoscută. Eventual, dificultatea constă în a observa cum se poate face această operație. Înlocuirea se poate face printr-un raționament, ajutat uneori de un desen sau reprezentare grafică adecvată, ceea ce înseamnă că, pentru rezolvarea acestui tip de probleme, putem recurge și la utilizarea metodei grafice.

„Andreea a cumpărat 3 pixuri și două creioane, plătind în total 2200 lei. Un pix costă de 3 ori mai mult decât un creion. Află cât costă un creion și cât costă un pix.”

Rezolvare

Știind că prețul unui pix este de 3 ori mai mare decât prețul unui creion, ne permite să raportăm întreaga cantitate de pixuri la creioane. Deci, 3 pixuri costă cât 3 x 3 = 9 (creioane).

. Câte creioane putea să cumpere Andreea cu suma de 2200 lei?

9 + 2 = 11 (creioane)

echivalentul a 3 pixuri

Am eliminat, deci, o mărime, înlocuind-o cu alta, care, valoric, reprezintă aceeași sumă.

2. Cât costă un creion?

2200 : 11 = 200 (lei)

Se revine asupra datelor inițiale ale problemei și se continuă planul:

3. Cât costă un pix?

3 x 200 = 600 (lei)

Răspuns: 1 pix costă 600 lei

1 creion costă 200 lei

Verificare: 3 x 600 + 2 x 200 = 1800 + 400 = 2200 (lei)

600 : 200 = 3 (un pix costă de 3 ori mai mult decât un creion)

Utilizând și reprezentarea grafică în rezolvarea problemei, am fi procedat astfel:

1. Reprezentam grafic mărimile și relația dintre ele:

3 pixuri

2200 lei

2 creioane

2. Înlocuind prima mărime, s-ar obține următoarea reprezentare:

9 creioane

2200 lei

2 creioane

Din această reprezentare decurge rezolvarea problemei și găsirea aceleași soluții:

3. Aflăm cât costă un creion:

2200 : 11= 200 (lei)

4. Aflăm cât costă un pix:

200 x 3 = 600 (lei)

Răspuns:

un pix costă 600 lei

un creion costă 200 lei

Metoda figurativă poate servi ca „alt mod de rezolvare” și, în același timp „o altă modalitate de verificare”. Problemele de eliminare a unei necunoscute prin înlocuirea ei prezintă multe asemănări cu problemele-tip în care se cunoaște suma și raportul, de aici și posibilitatea de a le rezolva prin metoda figurativă.

Utilizarea metodei figurative devine însă incomodă, atunci când mărimile ce intervin în problemă sunt exprimate prin numere mari.

„S-au cumpărat 236 kg mere și 132 kg struguri cu 80000 lei; 1 kg de struguri a costat de 2 ori mai mult decât 1 kg de mere. Cât a costat un kg de mere și unul de struguri?”

Rezolvare

Reprezentarea grafică ar fi incomodă în acest caz (deoarece ar trebui să reprezentăm 236 kg mere și 132 kg struguri).

Vom folosi deci, metoda comparației, eliminând o necunoscută prin înlocuirea ei.

236 kg mere ………… 132 kg struguri ………..80000 lei

236 kg mere ………….. 2 x 132 kg mere ……… 80000 lei

Astfel, avem:

236 kg mere…………… 264 kg mere ………… 80000 lei

1. Câte kg de mere se pot cumpăra în locul a 132 kg de struguri:

132 x 2 = 264 (kg mere)

2. Câte kg de mere se pot cumpăra de 80000 lei?

236 + 264 = 500 (kg)

3. Cât costă un kg de mere?

80000 : 500 = 160 (lei)

4. Cât costă un kg de struguri?

160 x 2 = 320 (lei)

Răspuns:

1 kg mere costă 160 lei

1 kg struguri costă 320 lei

Verificare:

236 x 160 + 132 x 320 = 37760 + 42240 = 80000 (lei)

320 : 160 = 2 (1 kg de struguri costă de 2 ori mai mult decât 1 kg de mere)

Probleme care se rezolvă prin presupunere.

Probabil că in matematică sunt cele mai numeroase probleme În ce constă această metodă? Se pleacă de la întrebarea problemei, se reface problema pe baza presupunerii făcute, se constaă o nepotivire cu enunțul, se ajunge la un rezultat care nu concordă cu cel real din problemă. Corectăm propunerea făcută în sensul că o corectăm sau o micșorăm de un numaăr de ori. Aceste probleme au multe variante de aplicare, dar principiul este cel pe care l-am descris.

Exemple:

„Pe un vapor s-au vândut 124 de bilete pentru clasele I și a II-a: biletul de clasa I costă 56 lei, iar cel de clasa a II-a 36 lei, încasându-se în total suma de 4944 lei. Câte bilete de fiecare clasă s-au vândut?” (/ 13 / 2 / 230)

Rezolvare

Presupunem că toate cele 124 de bilete ar fi de clasa I. Evident că această ipoteză este falsă, deoarece în numărul total de bilete (124) intrau și cele de clasa I și cele de clasa a II-a.

1. Aflăm cât costă cele 124 de bilete de clasa I:

124 x 56 = 6944 (lei) F

În realitate biletele au costat 4944 lei.

2. Aflăm cu câți lei am obținut mai mult pe baza presupunerii făcute:

6944 – 4944 = 2000 (lei)

– De unde aceasta diferență? (Această diferență provine din faptul că au existat și bilete de clasa a II-a și pentru fiecare bilet de clasa a II-a am socotit cu 56 – 36 = 20 (lei) mai mult presupunându-l de clasa I).

3. Cu câți lei am socotit mai scump un bilet de clasa a II-a?

56 – 36 = 20 (lei)

– Pentru câte asemenea bilete de clasa a II-a am socotit în plus câte 20 lei? (Pentru atâtea bilete, de câte ori 20 lei se cuprinde în diferența totală de 2000 lei).

4. Aflăm câte bilete de clasa a II-a s-au vândut:

2000 : 20 = 100 (bilete de clasa a II-a)

5. Aflăm câte bilete de clasa I s-au vândut:

124 – 100 = 24 (bilete de clasa I)

Răspuns:

24 bilete de clasa I

100 bilete de clasa a II-a

Verificare:

24 x 56 + 100 x 36 = 1344 + 3600 = 4944 (lei)

100 + 24 = 124 (bilete de clasa I și clasa a II-a)

Alt exemplu:

„Într-o ogradă sunt 45 de păsări și vite, care au în total 94 de picioare.

Câte păsări și câte vite sunt în ogradă?”

Rezolvare

1. Considerăm că în ogradă ar fi numai păsări. Ar trebui atunci să avem un număr de:

45 x 2 = 90 (picioare), ceea ce nu concordă cu realitatea

2. Avem o diferență de:

94 – 90 = 4 (picioare), datorată faptului că în ogradă sunt și animale cu 4 picioare, deci cu 2 picioare în plus față de păsări.

3. Aflăm câte vite sunt în ogradă?

4 : 2 = 2 (vite)

4. Aflăm câte păsări sunt în ogradă?

45 – 2 = 43 (păsări)

Răspuns:

43 păsări

2 vite

Verificare:

43 x 2 + 2 x 4 = 86 + 8 = 94 (picioare)

43 + 2 = 45 (păsări și vite)

Să considerăm alt exemplu:

„Un tren este format din vagoane cu 2, 3 și 4 osii. Numărul vagoanelor cu 4 osii față de numărul celor cu 2 osii este în raport de 3 : 1. Numărul total al vagoanelor este 31, iar numărul total de osii este 105. Să de determine numărul de vagoane de fiecare gen în parte.”.

Rezolvare

Să presupunem că toate cele 31 de vagoane ar avea fiecare câte 3 osii.

1. Aflăm câte osii au vagoanele pe baza presupunerii:

31 x 3 = 93 (osii)

2. Cu câte osii am obținut mai puțin decât în realitate?

105 – 93 = 12 (osii)

– De unde provin aceste 12 osii în minus?

Deoarece în problemele obișnuite de acest tip apăreau 2 mărimi ce trebuiau comparate, în această problemă suntem nedumeriți deocamdată, deoarece avem vagoane de 3 tipuri. Trebuie să comparăm vagoanele cu 3 osii cu grupe de vagoane cu 2 osii și 4 osii. La fiecare vagon cu 2 osii corespund 3 vagoane cu 3 osii (raport 3 : 1), deci ele formează un grup de patru vagoane. Să comparăm acest grup de patru vagoane cu un grup de 4 vagoane cu trei osii. Primul grup de patru vagoane are:

1 x 2 + 3 x 4 = 14 (osii)

Un grup de 4 vagoane cu câte 3 osii are: 4 x 3 = 12 (osii)

Deci când am presupus că toate vagoanele ar avea 3 osii, am obținut cu 12 osii mai puțin decât în realitate. De ce? Deoarece la un grup de 4 vagoane, format dintr-un vagon cu 2 osii și 3 vagoane cu câte 4 osii fiecare, grup care are 14 osii, am socotit că ar fi un grup de 4 vagoane cu câte 3 osii fiecare, grup ce are 12 osii. Deci cu 14 – 12 = 2 osii mai puțin.

La câte asemenea grupuri (un vagon 2 osii și 3 vagoane cu câte 4 osii fiecare) am socotit cu 2 osii mai puțin?

La 12 : 2 = 6 grupuri

Dar un asemenea grup conține doar un vagon cu 2 osii și 3 vagoane cu câte 4 osii. Deci cele 6 grupuri vor avea 6 vagoane cu câte 2 osii și 6 x 3 = 18 vagoane cu câte 4 osii fiecare. Înseamnă că numărul vagoanelor cu 3 osii va fi:

31 – (6 + 18) = 7 (vagoane cu câte3 osii)

Răspuns:

6 vagoane cu câte 2 osii

7 vagoane cu câte 3 osii

18 vagoane cu câte 4 osii

Verificare:

6 + 7 + 18 = 31 (vagoane)

6 x 2 + 7 x 3 + 18 x 4 = 12+ 21 + 72 = 105 (osii)

Probleme care se rezolvă prin metoda restului în rest.

Aceste probleme se rezolvă prin metoda mersului invers, pentru că aplicînd ordinea dată a calculelor raționamentul devine greoi sau chiar imposibil. „A rezolva un exercițiu sau o problemă prin metoda „mersului invers” înseamnă a reface calculele în sens invers celor indicate de text, până se ajunge la elementul de bază pe care s-a construit exercițiul sau problema. Se numește „a mersului invers” deoarece operațiile se reconstituie în sens invers acțiunii problemei, adică de la sfârșit spre început, fiecărei operații corespunzându-i inversa ei.” Această metodă se aplică și în rezolvarea exercițiiolr numerice dar și în rezolvarea problemelor. Ele nu sunt altceva decît ecuații de gradulI cu o necunoscută, dar ele se rezolvă prin raționament aritmetic.

Exemplu:

„Mă gândesc la un număr a, pe care-l adun cu 5. Rezultatul îl înmulțesc cu 8. Am obținut 64. La ce număr m-am gândit?”

Intrebări:

– ce număr înmulțit cu 8 ne dă 64? (8);

– ce număr este cu 5 mai mic decât 8? (8 – 5 = 3).

Se constată că s-a gândit exercițiul pornind de la rezultat, ajungând în final să descoperim numărul inițial. Pentru rezolvare, se folosesc 2 metode:

Metoda I

– scriu datele problemei sub forma unui exercițiu:

(a + 5) x 8 = 64

Din egalitățile de mai sus trebuie să aflu numărul la care m-am gândit.

– Aflu mai întâi pe a + 5 (ca fiind factor 1)

a + 5 = 64 : 8, adică a + 5 = 8

– Aflu apoi pe a (ca fiind termen 1)

a = 8 – 5

a = 3

Numărul 3 este numărul la care m-am gândit.

Verificare:

(3 + 5) x 8 = 8 x 8 = 64

Metoda II

– corespunzător enunțului problemei alcătuiesc o schemă de calcul:

+ 5 x 8

Urmărind drumul invers (deci și operațiile inverse), putem alcătui o nouă schemă de calcul care ne conduce la soluționarea problemei.

+ 5 x 8

– 5 : 8

Cum am gândit?

? x 8 = 64, deci ? = 64 : 8 = 8

a + 5 = 8

a = 8 – 5

a = 3

„a” este numărul la care m-am gândit.

Răspuns: 3

Un alt exemplu:

„Cu ce număr natural trebuie să-l înlocuiești pe x, astfel încât să existe relația: (x : 5 + 6) x 3 + 4 = 25?”

Rezolvare

Metoda I

(x : 5 + 6) x 3 + 4 = 25

(x : 5 + 6) x 3 = 25 – 4

(x : 5 + 6) x 3 = 21

x: 5 + 6 = 21 : 3

x : 5 + 6 = 7

x : 5 = 7 – 6

x: 5 = 1

x =1 x 5

x = 5

Verificare:

(5 : 5 + 6) x 3 + 4 = (1 + 6) x 3 + 4 = 7 x 3 + 4 = 21 + 4 = 25

Metoda II

Corespunzător exercițiului alcătuiesc schema grafică:

: 5 + 6 x 3 + 4

Completez schema de mai sus astfel:

: 5 + 6 x 3 + 4

x 5 – 6 : 3 – 4

Răspuns: x = 5

Probleme care se rezolvă prin metoda reducerii la unitate.

Asemănătoare oarecum metodei comparației, metoda reducerii la unitate rezolvă probleme în care datele depind unele de altele succesiv. Datele problemei sunt așezate pe două șiruri care ușurează procesul de gîndire, dar și procesul de creativitate în examinarea problemei. Este foarte accesibilă elevilor și poate fi utilizată într-o gamă variată de procedee. Pentru a ști valoarea mai multor unități, trebuie să determinăm valoarea unei singure părți sau invers. Foarte importanta este stabilirea felului de dependență dintre mărimi-direct sau invers proporțional. Definitii: „a)Două mărimi care depind una de alta se numesc diect proporîionale daca indeplinesc urmatoarele conditii: dacă una crește și cealaltă crește sau daca una crește de n ori atunci cealaltă crește de același număr de ori. b)Două mărimi care depind una de alta se numesc invers proporționale dacă: una crește, cealaltă descrește sau dacă una crește de n ori atunci cealaltă descrește de n ori.”

De fapt în utilizarea acestei metode se aplică o regulă – de trei simplă sau compusă – și se utilizează un procedeu – reducerea la unitate sau a proporțiilor. Metoda reducerii la unitate este aplicabilă calsei a IV-a, iar cea a proporțiilor abia în gimnaziu.

Exemple:

„O cantitate de 250 kg cartofi a fost ambalată în 10 lăzi. Dar 375 kg cartofi în câte lăzi se vor ambala?”

Rezolvare

Așezăm datele problemei pe două șiruri, în mod corespunzător:

250 kg ……………… 10 lăzi

375 kg ………………..x lăzi

Raționamentul este foarte simplu în probleme de acest gen care se pot introduce din clasa a III-a, după ce elevii au învățat împărțirea.

În cazul nostru, raționamentul este următorul:

– Dacă 250 kg se ambalează în 10 lăzi, atunci pentru a ambala 1 kg, de câte lăzi avem nevoie? De mai multe, sau mai puține? (Evident mai puține).

– De câte ori mai puține? (De 250 ori mai puține). De 250 ori mai puține, deoarece cele două mărimi sunt direct proporționale, și dacă una din ele (cantitatea de cartofi) s-a micșorat de 250 de ori, atunci și cealaltă, (numărul de lăzi) se va micșora tot de 250 de ori.

– Deci, pentru ambalarea unui kg de cartofi vor fi necesare 10/250 lăzi. Se cheamă că am redus la unitate (în cazul nostru 1 kg) mărimea reprezentată prin cantitatea de cartofi. Acum introducem datele de pe al doilea șir (rând). Pe noi ne interesează câte lăzi sunt necesare pentru ambalarea a 375 kg de cartofi.

– Dacă pentru 1 kg mere ne trebuie 10/ 250 lăzi, pentru 375 kg cartofi ne trebuie mai multe sau mai puține lăzi (mai multe – mărimi direct proporționale).

– Cât de multe? (de 375 ori mai multe lăzi).

– Cum aflăm această cantitate (prin înmulțire).

– Deci pentru 375 kg de cartofi ne trebuie 10/ 250 x 375 = 15 (lăzi)

Raționamentul de mai sus se scrie astfel:

250 kg …………… 10 lăzi

1 kg ………………..10/ 250 (lăzi)

375 kg ………………10/ 250 x 375 = 15 (lăzi)

Aceasta este etapa reducerii la unitate.

Răspuns: 10 lăzi

„Executăm lucrări de întreținere într-o livada. 7 lucrători agricoli sapă într-o zi 357 de pomi. Știind că mai sunt de săpat 816 pomi și au mai rămas doar 4 lucrători, să se afle în cât timp se va termina lucrarea. (Lucrătorii au aceeași productivitate).” (/ 16/ B / 125)

Rezolvare

Mărimile cunoscute sunt: numărul lucrătorilor agricoli și numărul de pomi.

Mărimea care se cere este timpul în care vor termina lucrarea.

Pentru a înțelege mai bine problema așez datele astfel:

7 lucrători …………… 357 pomi …………… o zi

4 lucrători …………… 816 pomi …………… ? zile

Dacă 7 lucrători sapă într-o zi 357 pomi, atunci

11ucrător sapă într-o zi 357 : 7 = 51 (pomi).

4 lucrători sapă într-o zi 51 x 4 = 204 (pomi).

Pentru cei 816 de pomi le trebuie:

816 : 204 = 4 (zile)

Răspuns: 4 zile

„Cinci camioane transportă într-o zi 250 tone de porumb. Câte tone de porumb pot transporta într-o zi 8 camioane de aceeași capacitate?”

„Trei agricultori culeg într-o zi 624 kg mere. Câte kg de mere vor culege într-o zi 7 agricultori?”

Examinând toate cele două probleme propuse și elaborând planul logic de rezolvare, oral, se constată că mărimile ce intervin în probleme sunt direct proporționale (traductibil în limbajul micilor școlari: dacă o mărime crește (se micșorează) de un număr de ori și cealaltă crește (se micșorează) de același număr de ori) și că în rezolvarea fiecăreia în parte trebuie să facem apel la „reducerea la unitate”.

Iată și rezolvările la care se ajunge (schema rezolvărilor):

a) 5 camioane ……………250 t de porumb …………o zi

1 camion ………………250 t : 5 = 50 t

8 camioane ……………. 50 t x 8 = 400 t (porumb)

Răspuns: 400 t de porumb

b) 3 agricultori …………. 624 kg mere

1 agricultor ……………624 : 3 = 208 (kg mere)

7 agricultori ………….. 208 x 7 = 1456 (kg mere)

Răspuns: 1456 kg mere

Să ne oprim asupra unei probleme în care mărimile date sunt invers proporționale:

„Un număr de 26 lucrători sapă un șanț în 17 zile. În câte zile vor săpa același șanț 34 lucrători?”

Analizând problema se constată că mărimile care intervin nu se află în același raport ca și cele întâlnite în problemele anterioare.

Dacă 26 lucrători sapă un șanț în 17 zile, unui singur lucrător (aplicăm metoda reducerii la unitate) i-ar trebui un număr de zile de 26 ori mai mare, adică:

26 x 17 = 442 (zile)

(o mărime s-a micșorat de un număr de ori – nr. lucrătorilor- și cealaltă s-a mărit de același număr de ori – nr. zilelor).

Mergând mai departe, observăm același lucru:

Dacă unui lucrător i-ar trebuie 442 zile să sape șanțul, ca lucrarea să fie gata într-un număr mai mic de zile (s-a micșorat o mărime) e nevoie de mai mulți sau mai puțini lucrători? (de mai mulți).

– De câți lucrători ar fi nevoie? (de atâția lucrători de câte ori 34 se cuprinde în 442).

Deci:

26 lucrători …………….17 zile

1 lucrător ……………… 26 x 17 = 442 (zile)

34 lucrători ……………. (26 x 17) / 34 =13 (zile)

Răspuns: 13 zile

Alte exemple:

:

„Școala noastră poate să fie zugrăvită de 4 zugravi în 9 zile. Câți zugravi trebuie să lucreze pentru a termina lucrul în 6 zile?”

Rezolvare

Se observă că dacă mărimea „numărul de zugravi” se micșorează de a ori, atunci mărimea „număr de zile” crește de a ori. Spunem că cele două mărimi sunt invers proporționale.

9 zile ………….. 4 zugravi

9 x 4 = 36 zile ……………1 zugrav

6 zile ………….. 36 : 6 = 6 (zugravi)

Răspuns: 6 zugravi

„Pentru golire, o cisternă în care se găsesc 8000 litri de benzină este prevăzută cu 5 robinete identice. Dacă se deschid 2 robinete, cisterna se golește în 40 minute. In câte minute se va goli cisterna dacă se deschid toate cele 5 robinete?”

Rezolvare

Prin 2 robinete curg ………… 8000 l în ………….. 40 minute

Printr-un robinet curg ………..8000 l în ………….. 40 x 2 = 80 (minute)

Prin 5 robinete curg ………….8000 l în ………….. 80 : 5 = 16 (minute)

Răspuns: 16 minute

Toate aceste probleme sunt din culegeri de exrectii pentru clasele I-IV, culegeri trecute în bibliografia lucrării.

Căi de rezolvare a problemelor cu conținut geometric.

Spuneam în subcapitolul anterior că prin natura lor, problemele de geometrie impun un tip de învățare intuitiv, creativ. Geometria contribuie la formarea spiritului de observație a elevilor, la dezvoltarea creativității acestora. Prezint un exemplu de problemă de geometrie care apare în manualul de clasa a III-a:

„Perimetrul unui triunghi este de 90 cm. Lungimile laturilor sunt exprimate prin trei numere consecutive. Află lungimea celor trei laturi ale triunghiului.”

În urma examinării problemei, elevii vor constata că rezolvarea ei se încadrează în sfera problemelor tipice, în care se cunoaște suma și diferența, deci prin metoda figurativă.

Rezolvare

Reprezentăm grafic lungimea laturilor triunghiului:

A l1

l2 1 90 cm

l3 1 1

B C

2. Aflăm laturile triunghiului:

l1 = (90 – 3) : 3 =

= 87 : 3 =

= 29 (cm)

l2 = 29 + 1= 30 (cm)

l3 =30 + 1 =31 (cm)

Răspuns: 29 cm, 30 cm, 31 cm

Verificare:

29 cm + 30 cm + 31 cm = 90 cm

Un alt exemplu de problemă rezolvată prin altă metodă:

„Perimetrul unui pătrat este de 36 dm. Să se afle perimetrul unui dreptunghi care are lungimea de 5 ori mai mare decât latura pătratului, iar lățimea de 3 ori mai mică decât latura pătratului.”

Examinând conținutul problemei, elevii cu ajutorul învățătorului vor ajunge la concluzia că pentru a putea afla perimetrul dreptunghiului e necesar să cunoască dimensiunile laturilor (lungimea și lățimea) a căror mărime este corelată cu laturile pătratului. În urma examinării problemei, rezolvarea nu ridică probleme.

Rezolvare

1. Aflăm latura pătratului:

1 = P : 4 = 36 dm : 4 = 9 dm

2. Aflăm lungimea dreptunghiului:

L = 1 x 5 = 9 dm x 5 = 45 dm

3. Aflăm lățimea dreptunghiului:

l = l : 3 = 9 dm : 3 = 3 dm

4. Aflăm perimetrul dreptunghiului (după una din formulele învățate):

P = (L + 1) x 2 = (45 + 3) x 2 = 48 x 2 = 96 (dm)

Răspuns: P = 96 (dm)

Observăm apariția unui salt de la rezolvarea problemelor simple, în care facem apel și la desen, la rezolvarea problemelor compuse, în rezolvarea cărora, utilizarea desenului este facultativă. „Saltul” cel mai important se produce, în fapt, în planul proceselor psihice.

Să urmărim în continuare rezolvarea unei probleme cu conținut geometric, nivel de clasa a IV-a când se introduce și noțiunea de „arie”.

„Un dreptunghi are lungimea de 6 cm și aria de 24 cm2. Calculează perimetrul dreptunghiului.”

Pentru a afla perimetrul dreptunghiului, e necesar să cunoaștem dimensiunile dreptunghiului: lungimea – care este cunoscută – și lățimea; pentru a afla lățimea, facem apel la formula de aflare a ariei dreptunghiului: A = L x l. În baza acestui raționament se elaborează următorul plan de rezolvare:

Rezolvare

1. Aflăm lățimea dreptunghiului:

A =L x l l =A : L

L = 24 cm2 : 6 cm = 4 cm

2. Aflăm perimetrul dreptunghiului:

P = (L + l) x 2 =

= (6 cm + 4 cm) x 2 = 10 cm x 2 = 20 cm

Răspuns: 20 cm

In rezolvarea problemelor de geometrie se folosesc toate priceperile și deprinderile învățate până în momentul acela.

Căi de rezolvare a problemelor de mișcare.

Spuneam ca problemele de mișcare sunt cele în care se află una din următoarele mărimi: distanța, viteza sau timpul. În ciclul primar diferențiem trei tipuri de probleme de mișcare, fiecare tip avînd calea lui de rezolvare:

a)Probleme simple de mișcare care duc la rezolvări simple de aflare a spațiului, vitezei sau timpului.

Exemple:

„Andrei parcurge dus – întors, un drum cu lungimea de 420 m și altul cu 19 m mai

scurt. Câți metri a parcurs Andrei?”

Rezolvare

În urma examinării problemei se ajunge la următoarea rezolvare:

420 + (420 – 19) = 420 + 411 = 831 (m)

Răspuns: 831 m

„Un biciclist s-a deplasat cu o viteză medie de 18 km pe oră timp de 6 ore. Ce distanță a parcurs?”

Rezolvare

Dacă într-o oră biciclistul parcurge 18 km, în 6 ore va parcurge o distanță de 6 ori mai mare, deci:

18 x 6 = 108 (km)

Răspuns: 108 km

b)probleme de întâlnire a mobilelor, când deplasarea se face în sensuri opuse.

Exemple:

Din orașul A a plecat la ora 11 dimineața un biciclist îndreptându-se spre orașul

B. El parcurge 16 km/h. După 3 ore a plecat un al doilea biciclist din orașul B spre orașul A cu o viteză de 12 km/h. Când și unde se vor întâlni ei, dacă distanța între A și B este de 328 km?”

Rezolvare

Cunoaștem vitezele celor două mobile (în cazul nostru, vitezele bicicliștilor) si trebuie să stabilim la ce distanță se află unul de celalalt în momentul când începem să considerăm mișcarea unuia către celalalt.

Facem următorul grafic:

328 km

48 km 280 km

A B

C

16 km/h 16 km/h 12 km/h

1. Ce distanță a parcurs biciclistul din A în 3 ore, adică până în momentul plecării celui din B (distanța AC)?

16 x 3 = 48 (km)

2. La ce distanță se află cei doi bicicliști, unul de celălalt în momentul plecării celui din B (distanța CB)?

328 – 48 = 280 (km)

3. Cu cât se apropie cele două mobile într-o oră?

v1 + v2 = 16 + 12= 28 (km/h)

4. După cât timp se întâlnesc?

T = D / (v1 + v2) = 280 / 28 = 10 (ore)

Deci, cei doi bicicliști se întâlnesc după 10 ore de la plecarea celui din B sau la:

10 + 3 = 13 (ore) după plecarea celui din A.

5. Când se întâlnesc (la ce oră)?

11 + 13 = 24 (h)

6. Unde se întâlnesc (la ce distanță de orașul A)?

16 x 13 = 208 (km)

Răspuns: La 208 km de orașul A

„Distanța dintre orașele București și Pitești este de 105 km. Doi bicicliști pornesc unul spre celălalt în același moment. Cel care pornește din București spre Pitești are viteza de deplasare de 10 km/h, iar celălalt care pornește din Pitești spre București are viteza de 11 km/h. a) După cât timp se întâlnesc cei doi bicicliști? b) La ce distanță de București are loc întâlnirea?”

Rezolvare

Mai întâi mă folosesc de un desen:

105 km

B P

10 km/h 11 km/h

Inițial distanța dintre cei doi bicicliști a fost de 105 km.

După o oră primul biciclist a parcurs 10 km, al doilea 11 km, deci distanța s-a micșorat cu 21 km.

1. După cât timp se întâlnesc cei doi bicicliști?

105 : 21 = 5 (ore)

2. Aflăm cât a parcurs biciclistul care pleacă din București în timp de 5 ore:

d = v x t = 10 x 5 = 50 (km)

Întâlnirea are loc la 50 km de București.

Răspuns: 5 ore; 50 km de București

c)probleme de întâlnire a mobilelor, când deplasarea se face în același sens.

Exemple:

„Din Cluj pornește la ora 8 spre Constanța un autocamion cu viteza de 45 km/h.

Constatându-se că șoferul a uitat actele de însoțire a mărfii transportate, pleacă la ora 10

în urmărirea sa un automobil cu viteza de 60 km/h. a) La ce oră automobilistul ajunge camionul? b) La ce distanță de Cluj are loc întâlnirea celor două automobile?”

Rezolvare

Din enunț reiese că problema este de mișcare, și anume de urmărire. Automobilistul urmărește autocamionul. Trebuie însă să stabilim în ce moment începe urmărirea și la ce distanță de Cluj se află autocamionul în momentul plecării automobilului.

1. Cât timp merge autocamionul până la plecarea automobilului?

10 – 8 = 2 (ore)

2. Ce distanță parcurge autocamionul până în momentul plecării automobilului?

2 ore x 45 km/h = 90 km

Grafic din acest moment, lucrurile se prezintă astfel:

60 km/h 45km/h

Cluj Constanța

90

3. Cu cât se apropie automobilul de autocamion în fiecare oră?

60 – 45 = 15 (km)

4. După câte ore se întâlnesc?

t = 90 : 15 = 6 (ore)

Plecând la ora 10, înseamnă că întâlnirea are loc la ora 16.

5. La ce distanță de orașul Cluj se face întâlnirea?

D = v x t = 60 x 6 = 360 (km)

Răspuns: a) Autocamionul este ajuns de automobil la ora 16

Întâlnirea are loc la 360 km

„Un tren mergând cu aceeași viteză , parcurge în 7 ore distanța de la stația A la stația B, de 238 km. După două ore de la plecarea trenului din A pleacă după el un alt tren. Cu ce viteză merge trenul al doilea, știind că îl ajunge pe primul într-o stație intermediară care se află la o distanță de 136 km de stația A?”

Rezolvare

Din examinarea enunțului desprindem ideea că este vorba despre o problema de mișcare în același sens (de urmărire). Observăm că din prima parte a enunțului putem determina viteza primului tren, cunoscând distanța pe care o parcurge într-un anumit interval de timp. Să gândim mai departe pentru a ne forma o imagine globală asupra rezolvării. Deoarece al doilea tren începe – urmărirea după două ore de la plecarea primului tren, am putea afla:

a) ce distanță a parcurs primul tren în două ore, sau –

b) la ce distanță se află primul tren de al doilea, când acesta din urmă pleacă, sau

c) care este decalajul dintre cele două trenuri în momentul când pleacă.

1.Cu ce viteză merge primul tren?

238 : 7 = 34 (km/h)

2. La ce distanță se află primul tren în momentul plecării celui de-al doilea tren? (cât parcurge primul tren în 2 ore)

34 x 2 = 68 (km)

3. În cât timp parcurge al doilea tren distanța de 136 km până la punctul de întâlnire?

t = 136 : v2

4. În cât timp al doilea tren recuperează decalajul de 68 km?

t = 68: (V2 – 34)

Cele două timpuri sunt egale, deci avem:

136 / v2 = 68 / (v2 – 34) ; 2 / v2 = 1 / (v2 – 34)

2v2 – 68 = v2

v2 = 68 (km/h)

Răspuns: 68 km/h

„Un călăreț pleacă din orașul A îndreptându-se către orașul B cu viteza de 12 km/h. După 3 ore pleacă din A, în aceeași direcție un biciclist având viteze de 18km/h. În cât timp îl va ajunge biciclistul pe călăreț? La ce distanță de orașul A?”

Rezolvare

1. La ce distanță de orașul A se află călărețul în momentul plecării biciclistului?

12 x 3 = 36 (km)

2. Cu câți km se micșorează distanța între ei în fiecare oră?

18 – 12 = 6 (km)

3. Câte ore îi sunt necesare biciclistului pentru a recupera distanța de 36 km?

36 : 6 = 6 (ore)

4. La ce distanță de orașul A se întâlnesc?

18 x 6 = 108 (km)

Răspuns: în 6 ore

la km 108

Verificare:

Distanța parcursă de biciclist în 6 ore trebuie să fie aceeași cu cea străbătută de călăreț în 9 ore, deci:

18 x 6 = 12 x 9

108 (km) = 108 (km) A

6.Căi de rezolvare a problemelor nonstandard

Problemele nonstandard sunt cele care se rezolvă în marea lor parte cu ajutorul creativității. Problemele care intră în această categorie sunt probleme și exerciții de perspicacitate, probleme care prin rezolvarea lor nu fac altceva decât să cultive la elevi îndrăzneala, spiritul inovator, flexibilitatea gândirii.

Exemple:

„Am două vase de 3 litri unul și de 7 litri al doilea. Noi avem nevoie de 4 litri de apă.

Cum măsurăm exact cei 4 litri de apă?”

– Ca să putem măsura apa, ce vom face cu ea? (o vom turna în vase)

– Care din cele două vase ar trebui umplut primul? (Vasul cel mare, din el vom turna apoi în vasul mic până îl vom umple). Dacă umplem vasul mic care are 3 l, vor rămâne în vasul mare exact 4 l, cât doream noi să măsurăm.

„Într-o cameră goală intră câteva pisici și se așează în colțurile camerei. Câte pisici au intrat în acea cameră, dacă fiecare pisică vede câte 3 pisici?”

În acest caz gândirea logică ne conduce rapid la soluția problemei: în cameră sunt 4 pisici; o posibilă verificare fiind dată de faptul că o cameră are 4 colțuri și fiecare pisică nu se vede pe sine, ci pe celelalte din cele 3 colțuri.

Răspuns: 4 pisici

„Niște purceluși au pornit în șir, la vale.

Unu-n frunte, doi în spate,

Între ei unu-i desparte.

Unu-n coada șirului

Și doi înaintea lui.

Câți purcei sunt în șir?”

Vom încerca reprezentarea grafică a problemei.

– Cu ce vom începe? (Schițăm primul purceluș).

– Ce urmează apoi? (Urmează ceilalți doi care sunt din expresiile: „unu-n frunte”, „doi în spate”).

– Mai schițăm un purceluș amintit în expresia: „unu-n coada șirului”? (Nu, pentru că în continuare, ne spune problema, are doi înaintea lui).

Prin urmare el va fi ultimul din cei deja desenați.

Deci, au pornit la vale 3 purceluși.

Răspuns: 3 purceluși

Probleme preluate din manualul de clasa a II-a , de la „Zece probleme pentru copii isteți și … atenți”, manualul care apare în lista bibliografică la finalul lucrării.

În manualul de clasa a III-a apar probleme mai dificile dar frumoase.

Exemple:

„Într-o urnă sunt 10 bile numerotate de la 1 până la 10. Ioana, Silvia, Maria, Ana și Elena au scos pe rând câte două bile având suma numerelor de pe bile respectiv: 4, 7, 11, 16, 17. Află ce numere erau extrase de fiecare fetiță.”

Învățătorul va atenționa elevii că fiecare număr poate fi extras o singură dată.

Ținând cont de această indicație, elevii vor găsi soluția problemei, apelând la descompunerea unui număr într-o sumă de doi termeni.

4 7 11 16 17

1 3 2 5 7 4 10 6 8 9

Schema de descompunere conduce la soluția problemei:

Răspuns: Ioana a extras bilele cu nr. 1 și 3;

Silvia a extras bilele cu nr. 2 și 5;

Maria a extras bilele cu nr. 7 și 4;

Ana a extras bilele cu nr. 10 și 6;

Elena a extras bilele cu nr. 8 și 9;

Verificarea se poate face urmărind dacă șirul numerelor de la 1 la 10 este complet (toate numerele apar o singură dată).

„Completează pătratul magic astfel încât efectuând suma numerelor de pe fiecare rând și fiecare coloană să fie 14.”

– De unde vom începe completarea tabelului? (Vom începe cu prima linie, avem deja completate două căsuțe și găsim cu ușurință numărul ce lipsește, adică 0).

– Odată completată prima linie, cum vom continua? (Vom completa ultima linie, găsim numărul 3).

Se va continua astfel și cu coloanele, tabelul va arăta astfel:

„Un pescar amator – isteț la matematică – se înapoia odată de la pescuit. Văzându-l cam posomorât, fetita sa Mirela, i-a ieșit nerăbdătoare în cale și l-a întrebat:

– De ce ești supărat, tată?

– De ce să nu fiu, răspunse el, când nu știu câți pești am prins de astă dată: 6 fără cap, 9 fără coadă și 8 pe jumătate!

Câți pești a prins acest șugubăț pescar?”

Răspuns:

Nici un pește, (eliminând din grafica cifrei 6 „capul”, din a cifrei 9 „coada” și din a cifrei 8 „o jumătate” se obține grafica cifrei 0).

„În trei coșuri mama are

Ouă aduse din cuibare.

Primul are 10 ouă,

Iar al doilea cinci ori nouă;

În al treilea jumătate

Cât în coșurile toate.

Ei copile, știi tu oare

Câte ouă mama are?”

Utilizând tehnica „mersului invers” deducem că numărul de ouă din primele două coșuri, reprezintă de fapt, jumătate din numărul total de ouă, adică:

10 + (9 x 5) = 10 + 45 = 55 (ouă), ceea ce înseamnă că în cele trei coșuri se află:

55 x 2 = 110 (ouă)

Răspuns: 110 ouă

„Pe un câmp, bietul Păcală

Și cu vărul său Tândală

Păzesc șaptezeci de vite

De căldură toropite.

Deodată unul zice:

– Să le numărăm, amice!

Și se-apucă-n gând, apoi,

Să se numere-amândoi.

– Nouăzeci sunt, mai Tândală!

– Ba nu, doar optzeci, Păcală!

Câte vaci, vite și boi,

Are turma celor doi,

Dacă știm că au numărat

Din păcate, eronat:

Primul, o dată-n plus, boii,

Al doilea, la fel, vițeii?”

Logica conduce la următorul raționament:

– numărul boilor este reprezentat de diferența dintre numărul total de capete găsite de Păcală la numărătoare și numărul real de capete, adică:

90 – 70 = 20 (capete boi)

– numărul vițeilor este reprezentat de diferența apărută între numărul găsit de Tândală la numărătoare și numărul 70, adică:

80 – 70 = 10 (capete viței)

-diferența de:

70 – (20 + 10) = 70 – 30 = 40 (capete), reprezintă numărul vacilor.

Răspuns: 40 vaci

20 boi

10 viței

Toate aceste căi de rezolvare a acestor categorii de probleme ajută elevii să înteleagă modul de rezolvare al problemelor de aritmetică. Creativitatea este procesul care stă la baza acestor rezolvări de probleme, iar pe măsură ce rezolvările de probleme devin mai ușor de realizat elevii pot trece la compunerea d eprobleme de aritmetică.

II.6: Compunerea problemelor de către elevi. Metode generale. Metode particulare.

Compunerea problemelor de către elevi este momentul cel mai bun pentru cultivarea și educarea creativității și inventivității. Astfel, activitatea de rezolvare a exercițiilor și problemelor de aritmetică se întrepătrunde cu compunerea acestora de către elevi. Pentru a rezolva probleme și exerciții avem mai puțină nevoie de creativitate decât atunci când sunt compuse. .Creativitatea în gândire, mișcarea ei liberă se obține atunci cînd deprinderilede bază sunt foarte bine formate, deci, putem spune că primii pași în compunerea problemelor sunt cei de rezolvare a lor. În rezolvarea problemelor, deprinderile și abilitățile se concentrează asupra analizării datelor, asupra capacității de înțelegere a întrebării problemei, asupra desfășurării raționamentului în găsirea soluției problemei. Avînd în minte planul de rezolvare al unei probleme, elevii sesizează legatura dintre exercițiu și problemă. Acum compunerea de probleme are terenul fertil pentru a se desfășura.

Activitatea de compunere a problemelor prin muncă independentă, în clasă și acasă, este mijlocul cel mai eficace, cel mai eficient de dezvoltare a creativității și al spiritului de independența. Este o activitate complexă în care elevul este obligat să respecte cerința propusă și în raport cu aceasta să elaboreze textul care să conducă la realizarea planului de rezolvare al problemei.

Criteriile care determină complexitatea acestui gen de activitate sunt aceleași ca la activitatea de rezolvare: elevul trebuie să stăpânească tehnica d ecalcul, să aibă formate deprinderile de realizare a raționamentelor logice, să aibă un vocabular bogat, să aibă capacitatea de a selecta din mulțimea de cunoștiințe dobândite.

Gândirea creatoare se dezvoltă așa cum am stabilit până acum prinr ezolvări de probleme atipice, inventate, dar și prin compuneri de probleme. În gândirea creatoare, compunerea de probleme este o treaptă superioară, o treaptă de legare a teoriei cu practica. În activitatea de învățare a compunerii de probleme se pot folosi mai multe procedee sau metode:

Compunerea de probleme după obiecte concrete, imagini si tablouri.

Se folosesc obiecte diferite (creioane, cărți, caiete, bănci, etc). Se trece apoi la faza semiconcretă, atunci când reprezentăm acele obiecte, folosindu-se jetoane în locul obiectelor. Odată compuse intuitiv, elevilor li se cere să le alcătuiască pe baza datelor scrise pe tablă. Astfel elevii înțeleg interdependența dintre enunț și întrebare.

Compunerea unei probleme după modelul prezentat anterior.

Acest procedeu solicită elevii să compună probleme prin schimbarea datelor si a enunțului, iar întrebarea să rămână aceeași.

Completarea întrebării unei probleme.

Pentru a se forma și dezvolta deprinderea de a înțelege cele două părți ale problemei: enunțul și întrebarea, se insistă asupra separării întrebării de conținut. În acest fel se cere compunerea de probleme din enunțul dat fie când acestuia âi lipsea întrebarea, fie având ăntrebarea și lipsind conținutul. La același enunț pot fi puse două sau mai multe întrebari. Secvența cea mai importantă în compunerea unei probleme este aceea în care se separa întrebarea de enunț și reținerea ei cu claritate. Finalitatea firească este aflarea răspunsului la întrebare. Se poate da și o problemă a cărei întrebare este greșită, iar după rezolvarea problemei se schimbă enunțul acesteia astfel ăncât întrebarea să fie corectă.

Exemplu: „Un vânător a vânat 3 fazani, iar iepuri cu 3 mai mulți.” Puneți întrebarea și rezolvați problema.

Compunerea problemelor după scheme sau după desene.

Schemele mai simple sau mai complicate formeză la elevi deprinderi solide de formulare a problemelor.

a) Scheme simple ce pornesc de la relațiile dintre datele problemei, ajungându-se la întrebarea problemei (metoda sintetică):

b) Scheme alcătuite pe calea metodei analitice (pornind de la întrebarea problemei):

10 +6  ?             20 – 5  ?                                                                                       

c) Scheme fără indicarea operațiilor:

Variante posibile: a + b =              ; a – b =

d) Scheme grafice:

19

____________________

______________ _____4

Probleme de completare a datelor când se cunoaște întrebarea.

Exemple: „Într-o livadă s-au plantat 30 de pomi fructiferi. Meri….,peri….,și restul pruni.Câți pruni s-au plantat?”

„ Pe un lac erau…..bărci dintre care 5 erau galbene, 3 roșii, restul albastre.Câte bărci albastre erau?”

Compunerea problemelor cu indicarea operațiilor matematice efectuate.

Se compun probleme pornind de la exerciții simple, formulate sub îndrumarea învățatorului și apoi independent. După ce stăpânesc problemele cu o singură operație, li se cere apoi să compună probleme indiferent de numărul operațiilor.

Exemplu: „Compune o problemă sub forma: 32+28 -16= R”

Compunerea de probleme după un plan stabilit.

Înainte de formularea problemelor, se analizează problema, despre ce se vorbește în ea, ce conțin întrebările, ce date numerice se folosesc.

Compunerea problemelor cu început dat.

Compunerea problemelor cu mărimi date.

Exemplu: „Compuneți o problemă cu următoarele numere: 8,9,10”.

Probleme cu date incomplete.

Probleme cu date suplimentare.

Acestea ajută pe învățător să depisteze eleviicare nu analizează suficient datele problemei.

Compunerea de probleme cu corectarea conținutului și modificarea datelor

Probleme cu mai multe soluții și probleme fără soluție.

Compunerea de probleme după formulă literară.

Elevii sunt puși în situația de a înlocui literele cu numere adecvate. În calasa I se alcătuiesc probleme de genul: a+b=c; a+(a+b)=c. În clase mai mari formulele literale se vor complica:

a=3

b=ax6

c=axb

a+b+c=?

Compunerea problemelor, dar și rezolvarea acestora este indicat să se facă prin joc didactic. Competiția astfel obținută contribuie în mai mare măsură la activizarea elevilor, dar și la formarea personalității lor. Se pot găsi, crea și forma o mulțime de forme de joc, ca:

-care echipă compune prima, corect, o problemă după anumite cerimțe.

-o echipă formulează conținutul problemei, cealaltă întrebarea, iar rezolvarea se face simultan.

-găsirea, de către fiecare echipă, a mai multor întrebări la un conținut dat.

-eliminarea datelor de prisos sintr-un enunț sau corectarea unui enunț formulat greșit.

CAPITOLUL III: Coordonate metodologice ale cercetării privind rolul problemelor de aritmetică în dezvoltarea creativității elevilor

Subcapitolul III.1: Obiectivele și ipoteza lucrării

Obiectivele propuse în realizarea acestei lucrări sunt de fundamentare psihopedagogică, științifică și metodologică:

să demonstrez că, indiferent de domeniu, rezolvarea creativă de probleme trebuie să fie atributul ce caracterizează omul în orice ipostază s-ar afla: școală, familie, mediu, societate;

să realizez o cercetare psihopedagogică privind rezolvarea problemelor de aritmetică îmbinând metode tradiționale cu metode și procedee active și de cooperare;

să promovez ideea că prin rezolvarea problemelor de aritmetică se dezvoltă gândirea și operațiile ei, creativitatea, tăria de caracter, sentimentele și atitudinile pozitive, spiritul de competiție intelectuală.

Cercetarea a pornit de la următoarea ipoteză: dacă se utilizează metode activ-participative în activitatea de rezolvare a problemelor de aritmetică, atunci se contribuie la optimizarea învățării, la eficientizarea acesteia, la creșterea randamentului școlar al elevilor la matematică.

Subcapitolul III.2: Metodica cercetării. Eșantionul experimental. Etape de desfășurare.

Metode și tehnici de cercetare psihopedagogică.

Cercetarea pedagogică este definită ca fiind „o strategie proiectată și realizată în scopul de a surprinde relații și fapte noi între componentele acțiunii educaționale și de a elabora, pe această bază, soluții optime pentru problemele procesului educațional. Este un demers rațional, organizat în vederea surprinderii relațiilor funcționale și cauzale dintre variabilele acțiunii educaționale practice.

Metodica este definită ca „un sistem de prescripții, procedee, tehnici, mijloace prin care se concretizează aplicarea unei metode sau unui grup de metode; modelul concret de lucru în cercetare”.

În vederea testării ipotezei formulate mi-am propus mai multe direcții de acțiune care pot fi considerate totodată etape în derularea cercetării:

– stabilirea eșantionului experimental;

– administrarea factorului experimental;

– înregistrarea, prelucrarea, analiza și interpretarea rezultatelor;

– stabilirea diferențelor între cele două faze (finală și esențială) în cadrul eșantionului.

Eșantionul experimental.

Eșantionul este alcătuit din 21 de elevi ai clasei a III-a, din care 12 fete și 9 băieți, cu vârsta cuprinsă între 9 și 10 ani. 4 fete (D.M.L., G.I., M.A., Z.I.) se află în plasament la Casa de Copii două din ele având ambii părinți decedați, iar celelalte două provenind din familii cu condiții foarte precare de trai. Conform chestionarului de culegere a datelor, completat de părinții elevilor la începutul anului școlar, am înregistrat următoarele date despre familiile din care provin copiii:

– din toți părinții (33, 1 fiind decedat), 31 au studii medii (5 – 8 clase, 20 – 10 clase, 3 – 12

clase, 3 – liceu) și 2 studii universitare;

– 16 lucrează în diverse meserii, 2 sunt pensionari de boală, 3 lucrează în străinătate, 3 mămici sunt în concediu de creștere a copilului până la 2 ani, 9 sunt casnice

– doar 2 copii sunt singuri la părinți, 11 mai au un frate, iar 4 mai au doi frați.

Doar 6 copii (B.D., C.R., C.A., L.E., R.R., T.O.) proveniți din familii organizate și cele 4 fete de la Casa de Copii beneficiază de sprijin permanent în învățare, 5 copii (A.B., B.I., P.E, P.P., T.A.) – doar sporadic, iar 6 (A.R., B.P., C.G., D.C., F.B., L.A.) – deloc.

Colectivul clasei este relativ omogen, majoritatea copiilor fiind normal dezvoltați atât fizic,cât și intelectual. Elevii sunt disciplinați, nu creează probleme în timpul orelor, sunt comunicativi și sociabili, cu un nivel normal de dezvoltare intelectuală. Eleva M. A. de la Casa de Copii înregistrează rămâneri în urmă la învățătură, explicabile datorită faptului că a frecventat sporadic grădinița, cât și cursurile clasei I si a II-a semestrul I, fiind integrată în colectivul nostru în semestrul II al clasei a II-a. A făcut progrese la învățătură foarte mari, având în vedere că s-a lucrat diferențiat și am avut o colaborare foarte bună cu învățătorul de sprijin al acesteia.

Etape de desfășurare

Cercetarea a cuprins trei etape:

1. Etapa constatativă, desfășurată în perioada 15.09.2011-1.10.2011 a constat în utilizarea mai multor metode și procedee de cunoaștere a particularităților psihice ale elevilor clasei. La disciplina matematică am aplicat test de evaluare inițială pentru a cunoaște nivelul de cunoștințe al elevilor, condițiile în care aceștia se pot integra în activitatea care urmează. Cunoașterea capacităților de învățare ale elevilor, a nivelului de pregătire de la care pornesc și gradului în care stăpânesc cunoștințele și abilitățile necesare asimilării conținutului etapei care urmează, reprezintă o condiție hotărâtoare pentru reușita activității didactice.

Subliniind rolul și însemnătatea acestui tip de evaluare pentru integrarea elevilor în activitatea care începe, R. Ausubel conchide: „Dacă aș vrea să reduc toată psihopedagogia la un singur principiu, eu spun: ceea ce influențează cel mai mult învățarea sunt cunoștințele pe care elevul le posedă la plecare. Asigurați-vă de ceea ce el știe și instruiți-l în consecință.”

Prelucrarea și analiza rezultatelor mi-au dat posibilitatea formulării concluziilor cu privire la colectivul de elevi, la fiecare elev în parte, cât și a adoptării unor măsuri de sprijinire și recuperare a unor elevi.

2. Etapa formativ – ameliorativă, desfășurată în perioada1.10.2011- 31.05.2012 a cuprins proiectarea, organizarea și desfășurarea demersului didactic la disciplina matematică, introducerea „factorului de progres” (folosirea metodelor active și de cooperare în rezolvarea problemelor de aritmetică), urmărindu-se antrenarea tuturor elevilor în procesul propriei lor formări. În această etapă am parcurs la clasă conținutul următoarelor unități de învățare și am urmărit atingerea obiectivelor de referință aferente acestora, astfel:

Rezultatele obținute m-au dus către adoptarea deciziilor potrivite de organizare a activitătii, activități diferențiate sau frontale, cu toți elevii.

3. Etapa finală, evaluativă, s-a desfășurat în perioada 1. 06. 2012 – 15. 06. 2012, în cadrul acesteia aplicându-se probe de evaluare pentru a se stabili nivelul de pregătire al elevilor și modul în care au evoluat de la testele inițiale.

3.2.3. Metode și tehnici de cercetare psihopedagogică.

Metoda de cercetare științifică este “un ansamblu de operații intelectuale prin care o disciplină sau o ramură a cunoașterii caută să ajungă la adevăruri pe care să le demonstreze, să le verifice. Ele sunt ghidate de concepția generală a cercetătorului, de principiile teoretico-științifice de la care acesta pornește, respectiv, de metodologia cercetării”

Tehnica de cercetare e subordonată metodei și este definită, în general, ca „un ansamblu de

prescripții metodologice (reguli, procedee) pentru o acțiune eficientă”. Procedeul este „maniera de acțiune, de utilizare a instrumentelor de investigare”, iar instrumentele sunt „uneltele materiale” de care se folosește cercetătorul în cunoașterea științifică a fenomenului cercetat. Într-o cercetare psihopedagogică sunt utilizate mai multe metode pentru a strânge informații complementare, limitele unei metode fiind completate de către altă metodă.

În cadrul cercetării am plecat de la obiectivele cadru și de referință ale programei școlare, pe baza cărora am redactat o listă a obiectivelor operaționale pe capitole. În funcție de acestea am fixat itemii în vederea realizării unuia din scopurile de bază ale învățării eficiente, acela de a asigura tuturor elevilor cel puțin performanța minimă acceptabilă care, odată atinsă, permite elevului să treacă la activitatea imediat superioară.

Am folosit următoarele metode de cercetare psihopedagogică:

1. Metoda observației este utilizată frecvent în școală deoarece, atât observația spontană (pasivă), cât și cea științifică (provocată), oferă acumularea unui material faptic bogat, fiind în

măsură să furnizeze date care privesc comportarea elevilor la lecții, în recreații, în cadrul activităților extracurriculare și în familie. Interesul cadrului didactic este de a vedea conduita elevilor în timpul unor teme impuse, modul de lucru, îndemânarea, conștiinciozitatea, perseverența, inițiativa.

Această metodă a furnizat date referitoare la unele particularități psihice implicate în activitatea de de învățare școlară, capacitatea de percepere, spiritul de observație, posibilitatea de reactualizare a cunoștințelor, reprezentărilor, reacția elevului la întrebările adresate, gradul de concentrare a atenției, rapiditatea și spontaneitatea răspunsurilor, caracteristici ale limbajului, nivelul formării unor deprinderi, prezența sau absența unor înclinații, aptitudini, reacții față de succes sau de eșec. Observația s-a derulat în situații cât mai variate, datele obținute fiind consemnate fără a atrage atenția elevilor și fiind corelate cu cele furnizate de alte metode.

Am observat la elevi fapte de conduită ce aparțin unui anumit tip de temperament :

– coleric – L. E. – precipitată în acțiune, reacții motorii abundente, devine nervoasă când greșește ;

– sangvinic – echilibrat afectiv, egal în manifestări, stăpân pe sine, răbdător, comunicativ, cu inițiativă, vesel, optimist, ușor adaptabil în situații noi – B. I., C. G., D.L., F.B., L.A., P.P., Z.I. ;

– flegmatic – echilibrat afectiv, egal în manifestări, stăpân pe sine, răbdător, calm, greu adaptabil în situații noi, tenace, meticulos, execută activitatea / proba în tăcere, gesturile și cuvintele sunt aproape absente, nu se manifestă zgomotos la reușită – A.B., B.D., C.R., M.A., P. E., R.R.,T.A. ;

– melancolic – se decide greu pentru acțiune, are gesturi șovăielnice, e vădit emoționat înainte de probe, tendința de supraestimare a sarcinii, dar de subapreciere personală, se pierde în caz de eșec, are nevoie de încurajare pentru a relua lucrul, se închide uneori în sine și „se blochează” total – A.R., B.P., T.O.

M-am orientat asupra temperamentelor elevilor pentru că pe terenul fiecărui temperament formarea unui sistem de lucru sau trăsături de caracter se produc diferit. În activitățile realizate în grup am observat, spre exemplu, că elevul T.O. devine comunicativ, sociabil, iar aprecierile pozitive din partea învățătorului au un efect benefic asupra acestuia. Folosirea metodelor active și de cooperare în cadrul lecțiilor de matematică și nu numai, a avut un impact benefic asupra elevilor, în sensul că au contribuit la dezvoltarea abilităților de comunicare și de lucru în echipă. Am remarcat, de asemenea, consecvența cu care elevii R.R., T.A. și P.P. au lucrat suplimentar exerciții și probleme de aritmetică, în vederea participării la concursul național « Micul matematician ». Ca urmare a strădaniei acestora, elevii R.R. și P.P. au obținut un punctaj maxim de 100 de puncte, aferent premiului I, iar elevul T.A. – 90 de puncte, premiul III.

2. Metoda convorbirii a fost folosită atât pentru obținerea unor informații de la elevi, cât și de la tutorii acestora. Astfel, am făcut constatări referitoare la interesele și aspirațiile copiilor, la climatul familial, condițiile materiale, regimul zilnic al elevului, starea sănătății, pasiuni. Totodată, am cules date despre motivele pentru care s-au pregătit/nu s-au pregătit pentru lecții, preferințele/repulsia față de unele activități, posibilități de pregătire a temelor. La ședințele cu părinții, dar și în cadrul consultațiilor, am oferit părinților elevilor informații despre diverse activități de învățare efectuate la clasă, despre obiectivele urmărite la unitățile de învățare parcurse, despre modalități de îndeplinire a acestora. Am insistat să le ofere sprijin copiilor la efectuarea temelor pentru acasă. Am prezentat permanent părinților sau tutorilor situația la învățătură a elevilor, reflectată în calificativele obținute la testele de evaluare sau la examinările orale și am discutat cu aceștia în privința adoptării unor măsuri de sprijin, de recuperare sau, dimpotrivă, de dezvoltare a deprinderilor de muncă intelectuală. Am purtat discuții cu mama elevei L.E. în privința comportamentului uneori agitat la ore și în timpul pauzelor și am aflat că acesta se datora problemelor existente în familie (tatăl violent, locuiesc în aceeași casă cu părinții acestuia, bunicul fetei alcoolic). Elevul T.A., foarte bun la învățătură, sociabil, comunicativ a avut în ultima perioadă momente dese de tristețe, de apatie, acestea datorându-se suferinței mamei sale, foarte bolnavă, motiv pentru care am purtat discuții încurajatoare cu familia acestuia. Confruntând materialul obținut cu datele furnizate de celelalte metode, convorbirea contribuie la întregirea portretului psihologic al personalității elevului, ajută la luarea unor măsuri eficiente de înlăturare sau prevenire a unui eșec, favorizând obținerea performanțelor școlare

3. Metoda analizei produselor activității mi-a furnizat informații despre procesele psihice și unele trăsături de personalitate ale elevilor prin prisma obiectivării lor în produsele activității: desene, lucrări scrise, portofoliu, caiete de teme, creații literare, compuneri etc. Aceste produse ale activității școlare ale elevilor poartă amprenta, pe de o parte a cerințelor speciale ale disciplinelor de învățământ, iar pe de altă parte , a caracteristicilor lor individuale. Folosirea acestei metode mi-a permis depistarea copiilor cu potențial creativ remarcabil (B.D., L.A., R.R., Z.I.), a elevilor ce au întocmit un portofoliu exemplar (B.D, D.M.L., R.R., Z.I.).

Din corectarea caietelor de teme la matematică sau chiar a fișelor de lucru, am remarcat nivelul de corectitudine al rezolvării sarcinilor, aspectul estetic, progresul / regresul înregistrat de la o etapă la alta, capacitatea de punere în practică a cunoștințelor teoretice, capacitatea de reprezentare, bogăția vocabularului și precizia lui, nivelul și calitatea cunoștințelor și a deprinderilor.

4. Metoda biografică ne pune la îndemână o serie de date privind evoluția psihologică a elevului, în interdependență cu influența factorilor externi ai dezvoltării. Această metodă „se bazează pe cercetarea vieții și activității individului în vederea cunoașterii istoriei personale necesare în stabilirea profilului personalității sale, precum și pentru explicarea comportamentului actual al persoanei.” . Datele au fost furnizate de discuțiile cu părinții. Mulți dintre părinții elevilor care au frecventat regulat grădinița, au precizat că aceștia au făcut progrese mai ales în ceea ce privește trăsăturile temperamentale, de la un temperament interiorizat, evoluând spre unul echilibrat sau chiar exteriorizat (elevii A.B., B.I., C.R., D.C., C.A., P. E.).

5.Testele docimologice oferă informații cantitative asupra fenomenului investigat, reprezentând „un set de probe sau întrebări cu ajutorul căruia se verifică și se evaluează nivelul asimilării cunoștințelor și al capacităților de a opera cu ele, prin raportarea răspunsurilor la o scară de apreciere etalon, elaborată în prealabil”.

Aplicate periodic în procesul instructiv – educativ în cadrul orelor de matematică, dar și laalte obiecte, au ajutat la determinarea nivelului de cunoștințe, priceperi, deprinderi, dar și a gradului de dezvoltare a capacităților intelectuale. Ele (anexele 2 – 12) au fost concepute în corelație cu obiectivele operaționale stabilite, cuprinzând seturi de itemi prin care am urmărit înregistrarea și evaluarea performanțelor școlare, iar rezultatele obținute au fost interpretate, consemnate, apoi sistematizate în tabele centralizate, grafice, histograme, diagrame areolare, ajutând la interpretarea datelor, în capitolul nr. 4 al acestei lucrări.

6. Experimentul psihopedagogic este apreciat ca „cea mai importantă metodă de cercetare, deoarece furnizează date precise și obiective”.

Este o formă particulară a experimentului natural și poate fi de două feluri: constatativ și formativ. Spre deosebire de experimentul constatativ ce vizează măsurarea și consemnarea unei situații, experimentul formativ presupune intervenția în grupul școlar în vederea determinării anumitor schimbări prin introducerea unor factori de progres. Astfel, în cadrul experimentului psihopedagogic de tip formativ, am verificat influența folosirii metodelor active și de cooperare în activitatea de rezolvare a problemelor de aritmetică la clasa a III-a asupra rezultatelor școlare ale elevilor la această disciplină.

Am parcurs următoarele etape:

testarea inițială a grupului experimental în vederea evaluării cunoștințelor la matematică, la începutul anului școlar 2008 / 2009 – prin examinări orale, test predictiv;

introducerea „factorului de progres”, respectiv a noii strategii de predare – învățare (învățarea bazată pe cooperare) în grupul experimental; ca instrumente am folosit fișe de lucru, prezentări în Power Point, teste docimologice la sfârșitul fiecărei unități de învățare;

retestarea (testarea finală) pentru evidențierea rolului „factorului de progres” în stimularea randamentului școlar.

Experimentul a furnizat date de ordin cantitativ și calitativ, cu mai mare grad de precizie; datele au fost concludente, prelucrate și interpretate cu ajutorul metodelor și tehnicilor statistico – matematice. În ordonarea și gruparea datelor am apelat la următoarele tehnici statistico-matematice: tabele centralizatoare de rezultate – analitice (consemnarea rezultatelor individuale ale subiecților investigați) și sintetice (gruparea datelor măsurate); forme de reprezentare grafică: histograma, poligonul frecvențelor și diagrama areolară; indici pentru determinarea „tendinței centrale”: media aritmetică, mediana, modul (categoria modală, dominanta). În cadrul cercetării, metodele utilizate nu au fost aplicate izolat, ci s-au completat unele pe altele, obținând astfel informații corecte, obiective, concrete.

În activitatea de rezolvare a problemelor de aritmetică la clasa a III-a, an școlar 2011 / 2012, am avut în vedere plasarea elevului în centrul acțiunii didactice, înlocuirea momentelor de predare centrate pe învățător cu cele de învățare autentică centrate pe elev, comutarea accentului pe selectarea și aplicarea, în demersul predării – învățării, a strategiilor didactice incluzive care fac din spațiul clasei școlare un mediu securizant și prietenos nu doar pentru elevii capabili de performanțe superioare, ci și pentru cei timizi, retrași, neîncrezători, cu dificultăți de adaptare la cerințele învățării școlare.

Conversația a fost folosită în predarea noilor cunoștințe, în verificarea cunoștințelor asimilate, în pregătirea lecției noi, în sistematizarea lecției și fixarea cunoștințelor predate, în activitatea de rezolvare a problemelor. Mecanismul conversației a constat într-o succesiune logică de întrebări cu pondere adecvată între întrebări de tip reproductiv – cognitiv („care este?”, „ce este?”, „cum?” etc.) și productiv – cognitive („în ce scop?”, „ce s-ar întâmpla dacă?”, „din ce cauză?” etc.). Întrebările au fost precise, în contextul conținutului, au fost exprimate concis, simplu și clar : „care este întrebarea?”, „ce se dă?”, „ce trebuie să aflăm?”, „cum aflăm?”, „ce operație sugerează expresia de 7 ori mai mult?” etc. Ele au respectat succesiunea logică a sarcinilor de învățare, au stimulat gândirea copilului, au fost în acord cu capacitatea de explorare a copiilor, nu au sugerat răspunsurile așteptate. În analiza sau explicarea metodei de lucru în rezolvarea unei probleme s-au formulat întrebări și răspunsuri prin intermediul cărora elevii au fost dirijați să valorifice experiența cognitivă de care dispun și să facă asociații care să faciliteze dezvăluirea de aspecte noi. Am acordat importanță formulării întrebărilor cât și a răspunsurilor, având în vedere faptul că această metodă are o mare valoare formativă prin tipul de gândire pe care îl antrenează (convergent sau divergent), dar și prin introducerea și exersarea limbajului specializat al matematicii, contribuind astfel la dezvoltarea personalitații elevului.

Observația este „o activitate perceptivă, intenționată, orientată spre un scop, reglată prin cunoștințe, organizată și condusă sistematic, conștient și voluntar” . A fost însoțită de explicație, demonstrație, exercițiu și lucrul cu manualul (culegerea de matematică) și a vizat asigurarea saltului de la observația sistematică dirijată la observația sistematică realizată independent de elev.

Demonstrația, „metodă intuitivă care exploatează caracterul activ, concret – senzorial al percepției copilului” s-a realizat folosind diverse materiale:

– obiecte concrete (bețișoare, creioane) la rezolvarea unor probleme simple prin operație de înmulțire sau împărțire;

– imagini, planșe, reprezentări grafice (demonstrație figurativă);

– desene la tablă;

– imagini audio –vizuale;

– fișe de lucru.

În rezolvarea problemelor simple bazate pe înmulțire și împărțire am avut în vedere faptul că sunt activități intelectuale noi, motiv pentru care trebuie să asigur o bază perceptivă corespunzătoare pentru înțelegerea, însușirea și aplicarea acestor noțiuni / concepte, în contexte variate. Imaginile din manual, observate de către elevi cu ajutorul învățătorului, au facilitat transmiterea noilor informații, însușirea conștientă a noului conținut, au asigurat evoluția în planul intelectual al elevilor de la intuitiv la logic, de la concret la abstract. Limbajul matematic s-a îmbogățit continuu și treptat cu noile noțiuni: „factori”, „produs”, „deîmpărțit”, „împărțitor”, „cât”, „de … ori mai mare / mic”, „de atâtea ori mai mult / puțin”. Am urmărit permanent dezvoltarea gândirii – condiționată și strâns legată de dezvoltarea limbajului, dar și de dezvoltarea experienței cognitive directe(senzații, percepții, reprezentări).

Înțelegerea sensului operației de înmulțire solicită valorificarea deprinderilor de adunare exersate în cazul particular al adunării cu termeni egali. S-au efectuat probleme simple de tipul:

Percepția elevilor a devenit intenționată, sistematică și susținută prin efort voluntar, transformându-se în observație. Convenția de scriere 4 × 2 pentru adunarea cu termeni egali pune în evidență pe 2 ca termen care se repetă și pe 4 ca numărul termenilor egali. Convenția de notație acordă primului număr din înmulțire rolul de a număra „de câte ori se repetă termenul adunării”, în timp ce al doilea număr din înmulțire numește „termenul care se repetă în adunare”, semnul înmulțirii indicând „repetarea unui termen prin adunare”. În acest fel, înmulțirea se prezintă ca o modalitate de scriere „prescurtată” a adunării cu termeni egali și al identificării unui procedeu de numărare prin grupare, urmată de utilizarea unei convenții de scriere. Demersul didactic a urmărit formarea deprinderilor de verbalizare în limbaj matematic specifice operației de înmulțire cu folosirea repetată a unor exprimări de tipul „de …. ori câte …” sau „… repetat de … ori”, pentru a exprima verbal scrierea sub formă de înmulțire a unei adunări cu termeni egali.

Problemele simple bazate pe înmulțire au constat în:

– repetarea de un număr de ori a unui număr dat ;

– aflarea produsului ;

– aflarea unui număr care să fie de un număr de ori mai mare decât un număr dat.

Semnificative în acest sens au fost și problemele din fișele de lucru efectuate de către elevi în

clasă, individual:

Demersul didactic a urmărit formarea deprinderilor de verbalizare în limbaj matematic specifice operației de înmulțire cu folosirea repetată a unor exprimări de tipul „de …. ori câte …” sau „… repetat de … ori”, pentru a exprima verbal scrierea sub formă de înmulțire a unei adunări cu termeni egali.

Problemele simple bazate pe înmulțire au constat în:

– repetarea de un număr de ori a unui număr dat ;

– aflarea produsului ;

– aflarea unui număr care să fie de un număr de ori mai mare decât un număr dat.

Semnificative în acest sens au fost și problemele din fișele de lucru efectuate de către elevi în clasă, individual sau în perechi:

Câte ouă sunt în cele 7 cuiburi?

____ + ____ + ____ + ____ + ____ + ____ + ____ = ____

____ x ____ = _____

R: _______ ouă

Elevii au completat astfel:

5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 35

7 x 5 = 35

R: 35 ouă

Am urmărit, de asemenea, formarea deprinderilor de calcul utilizând operația de înmulțire și tabla înmulțirii prin învățare conștientă, cu utilizarea unor procedee variate. Unul dintre acestea este folosind materiale realizate în PowerPoint și proiectate cu ajutorul laptop-ului și al videoproiectorului :

– „Învățăm înmulțirea cu 2 împreună cu Bambi”

– „Învățăm înmulțirea cu 3 împreună cu Donald și familia lui”;

– „Învățăm înmulțirea cu 4 împreună cu Cenușăreasa”;

– „Învățăm înmulțirea cu 5 împreună cu Pinocchio”;

– „Învățăm înmulțirea cu 6 împreună cu Mickey și Minnie Mouse”;

Înțelegerea sensului operației de împărțire s-a bazat pe semnificația matematică a unor situații practice care se transcriu matematic printr-o scădere repetată. S-au efectuat probleme simple folosind, pentru început, scăderea repetată, de tipul:

Exemplu:

Sunt 12 ghinde. Fiecare veveriță primește câte ____ ghinde.

Pentru câte veverițe ajung ghindele?

12 – ____ – ____ – ____ – ____ = ____

12 : ____ = ____

R: ____ veverițe

Elevii au atribuit, prin încercuire, câte 3 ghinde pentru fiecare veveriță, conform modelului, au scris numărul 3 ca număr ce se scade repetat din 12 (12 – 3 – 3 – 3 – 3 = 4) , 3 ca împărțitor în împărțirea „12 : 3 = 4” și au constatat că cifra 4, rezultatul împărțirii, reprezintă numărul de veverițe pentru care ajung ghindele, întrucât 3 se cuprinde în 12 de 4 ori.

Pe fișele de lucru în clasă, în lecțiile de predare a noilor cunoștințe, elevii au efectuat,

conform traseului metodic, probleme asemănătoare cum ar fi:

„Repartizează mărgelele, în mod egal, pe cele 7 șiraguri.Câte mărgele va avea fiecare șirag?”

Rezolvare: 42 : 7 = 6 (mărgele)

„Pune la fiecare rochiță același număr de nasturi.Câți nasturi va avea fiecare rochiță?”

____ : ___ = ___

R: ____ nasturi

Rezolvare:

36 : 6 = 7 (nasturi)

Unitatea de învățare „Rezolvare de probleme”, parcursă în perioada 9.03 – 20.03.2012, a inclus și conținuturi și obiective de referință care vizează formarea unor deprinderi de organizare a datelor în tabele și diagrame. Aceste competențe sunt necesare pentru a apropia și pregăti elevul de realitatea practică, pentru a da aplicabilitate cunoștințelor, pentru a-l deprinde să înțeleagă și să interpreteze corect diversele informații cu care se confruntă și care îi sunt prezentate sub forme variate. Prezentarea datelor problemelor sub formă de tabel a înlesnit procesul rezolutiv al acestora, întrucât a asigurat suportul intuitiv. A fost solicitată observația, atenția voluntară, limbajul (prin folosirea expresiilor „cu … mai mare / mic”), voința și mai ales gândirea elevilor. La prima problemă prezentată în anexa 14 au efectuat operații de analiză (identificând numărul fiecărui tip de floare la care se referă întrebarea: 234 de lalele, 228 de trandafiri, 126 de garoafe și 36 de crini) și sinteză (aflând totalul lalelelor și garoafelor, cerut la ultima întrebare, prin operația de adunare 234 + 126 = 360). Prin aflarea diferențelor dintre numărul de flori s-a solicitat gândirea comparativă, dar și capacitatea de a aplica algoritmul de calcul al scăderii cu trecere peste ordin:

a) 234 – 228 = 6; 234 – 126 =8; b) 228 – 36 =192; 126 – 36 = 90

Răspuns:

a) cu 6 lalele mai multe decât trandafiri; cu 8 lalele mai multe decât garoafe;

b) numărul crinilor este cu 192 mai mic decât al trandafirilor și cu 90 mai mic dacât al garoafelor;c)360 lalele și garoafe.

Acest algoritm a fost aplicat cu greutate de către elevii T.O., L.E., M.A., C.A., cărora li s-a asigurat sprijin fie de învățătorul clasei, fie de elevii R.R., P.P., T.A., L.A. care efectuaseră foarte rapid calculele.

Sarcini asemănătoare a avut și cea de-a doua problemă. Conform cerințelor, elevii au calculat următoarele:

numărul total al fetelor: 22 + 18 + 14 +12 + 10 = 76;

numărul total al băieților: 20 + 22 + 24 + 18 + 16 = 100;

numărul copiilor veniți din fiecare țară: 22 + 20 = 42 (copii din România)

18 + 22 = 40 (copii din Franța)

14 + 24 = 38 (copii din Italia)

12 + 18 = 30 (copii din Germania)

+ 16 = 26 (copii din Spania)

numărul total de copii veniți în tabără – fie însumând numărul total al fetelor cu numărul total al băieților (76 + 100 = 176), fie aflând totalul numărului de copii din fiecare țară (42 + 40 + 28 + 30 + 26 = 176); elevii R.R., P.P., L.A., F.B., T.A., D.C.și Z.I. au observat ambele moduri de rezolvare a sarcinii, dovedind faptul că dispun de o gândire divergentă;

cu cât este mai mare numărul copiilor din România decât celor din Germania: 42 – 30 = 12, solicitând analiza și comparația ca operații fundamentale ale gândirii;

În cadrul unității de învățare „Adunarea și scăderea numerelor naturale în concentrul 0 – 1000”, parcursă în perioada 6.10. – 24.10.2011, am abordat o gamă variată de exerciții și probleme a căror rezolvare am efectuat-o parcurgând etapele problematizării , solicitând în permanență soluții de la elevi, dinamizând astfel și mai mult orele de matematică.

Exemplu:

„Dintr-o livadă s-au cules în total 800 kg de fructe, din care 220 kg de cireșe, 250 kg de vișine, 180 kg de mere, iar restul perei. Câte kg de pere s-au cules?”

Pentru început am propus elevilor o rezolvare sintetică a problemei, ceea ce înseamnă că am plecat de la datele inițiale către întrebarea finală a problemei. Elevii s-au gândit să calculeze cantitatea totală de cireșe, vișine și caise, sumă pe care să o scadă din cantitatea totală de fructe.

a) 220 kg + 250 kg + 180 kg = 650 kg (cireșe, vișine și mere)

b) 800 kg – 650 kg = 150 kg (pere)

Rezolvarea analitică, deși mai dificilă, având în vedere că se pornește de la întrebarea finală, a creat o stare conflictuală în gândirea elevilor, între metoda clasică cu care s-au obișnuit și care este mai ușor de aplicat și această cale, mai abstractă, care îi determină pe elevi să analizeze problema în ansamblul ei și să studieze toate informațiile date care îi pot ajuta în rezolvarea finală. Cu ajutorul învățătorului, elevii au propus să se afle, pe rând, câte kg de fructe rămân de fiecare dată după ce este eliminată cantitatea de cireșe, vișine, respectiv mere.

Exercițiul problemei a fost redat astfel:

800 kg – 220 kg – 250 kg – 180 kg = 150 kg

După aceste două metode de rezolvare am solicitat elevii să conceapă alte întrebări care să pună în alte realții datele problemei. 3 elevi (P.P., T.A., F.B.) au sugerat următoarele întrebări, precum și rezolvările aferente:

1) Câte kg de cireșe și mere s-au cules în total?

220 kg + 180 kg = 400 kg

2) Cu câte kg de vișine s-au cules mai mult dacât kg de mere?

250 kg – 180 kg = 70 kg

3) Cu câte kg de cireșe s-au cules mai puțin decât kg de vișine?

250 kg – 220 kg = 30 kg

Pornind de la această problemă, împreună cu elevii am conceput alte variante, modificând parțial datele inițiale.

Exemple:

„Știind că dintr-o livadă s-au cules 220 kg de cireșe, 250 kg de vișine, 180 kg de mere și 150

kg de pere, să se afle cantitatea totală de fructe.” (eleva R.R.)

Problema se poate rezolva printr-o operație de adunare cu mai mulți termeni:

220 kg + 250 kg + 180 kg + 150 kg = 800 kg

„ Din 800 kg de fructe culese dintr-o livadă, 470 kg au fost cireșe și vișine, 650 kg au fost cireșe, vișine, și mere, iar 580 kg au fost vișine, mere și pere. Câte kg de fructe de fiecare fel s-au cules din livadă?” (elevii P.P. și L.A.)

Analizând datele acestei probleme se poate observa că a fost mult modificată problema – sursă, grupându-se câte două, respectiv câte trei, cele 4 categorii de fructe despre care se vorbește în problemă. Elementul de noutate care provoacă stare de confuzie, situația – problemă, constă tocmai în această nouă perspectivă prin care este prezentată vechea problemă. Elevii au observat că de această dată sunt puși în situația de a descoperi cantitatea de fructe de fiecare dată la cantitatea totală de 800 kg de fructe.

Simbolic, datele problemei au fost redate astfel:

cantitatea de cireșe = C C + V + M + P = 800 kg

cantitatea de vișine = V C + V = 470 kg

cantitatea de mere = M C + V + M = 650 kg

cantitatea de pere = P V + M + P = 580 kg

C = ? V = ? M = ? P = ?

După cum se poate observa, din fiecare relație lipsește o anumită cantitate de fructe, dar cantitatea de vișine este comună. În această situație, s-a rezolvat problema astfel:

a) 650 kg – 470 kg = 180 kg (M) a) 800 kg – 470 kg = 330 kg (M + P)

b) 800 kg – 650 kg = 150 kg (P) b) 580 kg – 330 kg = 250 kg (V)

c) 800 kg – 580 kg = 220 kg (C) c) 470 kg – 250 kg = 220 kg (C)

d) 470 kg – 220 kg = 250 kg (V) d) 650 kg – 470 kg = 180 kg (M)

e) 330 kg – 180 kg = 150 kg (P)

Această variantă a avut rolul de a-i familiariza pe elevi cu un nou tip de problemă – gruparea celor patru elemente, câte două, respectiv trei. Aplicarea metodei presupune însă o serie de condiții care nu pot fi ignorate:

toți elevii să fie obișnuiți a fi activi la lecțiile de matematică;

elevii să fie obișnuiți a lucra individual în timpul orei sau în colaborare în grupe mici;

să fi fost folosită metoda descoperirii de mai multe ori;

majoritatea elevilor să fie buni rezolvatori de probleme, să manifeste și să fie lăsați să-și manifeste creativitatea;

să existe în colectivul de elevi un spirit de întrecere și cei talentați să fie apreciați corespunzător de elevi;

să fie obișnuiți a gândi calificativul ca recompensă pe plan secund, satisfacția principală fiind înțelegerea, descoperirea, creația.

Prin folosirea frecventă a problematizării, se constată o perfecționare in activitatea de rezolvare de probleme.

Algoritmizarea, metodă bazată pe utilizarea și valorificarea algoritmilor în învățare, a fost folosită atât ca metodă de sine stătătoare, cât și ca procedeu în cadrul altor metode, fiind eficientă datorită faptului că oferă elevului un instrument de lucru operativ, iar folosirea repetată a algoritmilor disciplinează gândirea elevilor.

Unul dintre exercițiile de la clasă este următorul exercițiu de compunere de probleme:

Am dirijat atenția elevilor către desenul dat și au observat că în problemă este vorba despre mere și farfurii. Este cunoscut numărul total al merelor și faptul că se așază câte două mere pe o singură farfurie. Aceste observații au fost de un real folos elevilor, întrucât au facilitat foarte mult compunerea textului problemei astfel:

„Pe o farfurie sunt 12 mere. Se pun câte 2 mere pe câte o farfurie. Câte farfurii sunt necesare?” sau „Maria are 12 mere. Ea pune câte 2 mere pe câte o farfurie. De câte farfurii are nevoie?”.

Un alt exercițiu este următorul:

„Într-o grădină sunt 8 rânduri a câte 7 lalele și 3 rânduri a câte 4 zambile. Cu câte lalele sunt mai multe decât zambile?” (elevul P.P.)

„Aflați diferența dintre produsul numerelor 8 și 7 și produsul numerelor 3 și 4.” (eleva R.R.)

Un alt exercițiu:

„Mihai a cumpărat 5 kg de struguri a 7 lei kg și 8 kg de mere a 4 lei kg. Ce rest a primit de la 94 de lei?” (elevul L.A.)

„Andrei are 94 de nuci. El dă la 5 fete câte 7 nuci, iar la 8 băieți câte 4 nuci. Cu câte nuci mai rămâne Andrei?” (elevul T.A.)

Faptul că la dispoziția elevilor a fost doar exercițiul problemei, fără desene aferente, a constituit o dificultate pentru unii elevi (C.R., B.D., D.L., P.E., G.I., B.P.) care reușiseră înainte să compună probleme după desene date, ceea ce mi-a întărit convingerea că gândirea elevilor la această vârstă încă mai este concretă, iar saltul de la senzorial la logic, de la concret la abstract se realizează diferit, în funcție de particularitățile psihice individuale ale fiecărui copil.

Probleme după o formulă literală:

a = 295

b = a+46

c = (a+b) + 103

a+b+c =?

a = 7

b = a x 5

c = a + b

a + b + c = ?

Am observat că le-a fost destul de ușor elevilor să alcătuiască probleme după aceste formule literale, datorită faptului că datele problemei sunt prezentate mult mai explicit, elevul vizualizând clar ce se cunoaște în problemă și ce trebuie să afle. Au alcătuit o astfel de problemă:

„Paul are 295 de lei, Ovidiu cu 46 lei mai mult decât Paul, iar Cornel cu 103 lei mai mult decât Paul și Ovidiu la un loc. Câți lei au împreună cei 3 copii?”.

Probleme compuse după o simplă schemă:

Ultimele 3 reprezentări grafice au pus în dificultate elevii, întrucât erau probleme tipice care solicitau un raționament de tip convergent, problemele rezolvându-se prin metoda figurativă, conținut al programei școlare a clasei a IV-a. Doar 3 copii (P.P, R.R și T.A.) au reușit să compună problemele, datorită faptului că au lucrat mult suplimentar exerciții și probleme pentru concursul național „Micul matematician”, dar dispun și de capacitate intelectuală foarte bună:

„Într-o fermă sunt 690 de găini și rațe. Numărul rațelor este cu 280 mai mare decât numărul găinilor. Să se afle câte găini și câte rațe sunt în acea fermă.” (elevul P.P)

„Suma a două numere este 35. Să se afle care sunt numerele, știind că al doilea număr este de 4 ori mai mare decât primul.” (elevul T.A.)

„Într-o clasă sunt 28 de elevi, din care fetele sunt de 3 ori mai multe decât băieții. Câte fete și câți băieți sunt în acea clasă?” (eleva R.R.)

Prin urmare, în orice activitate intelectuală, inclusiv rezolvarea și compunerea de probleme, procedeele algoritmice și cele euristice se îmbină în proporțiile cerute de natura sarcinii, mobilizând la elevi procesele psihice cognitive, volitive și motivațional – afective, în funcție de particularitățile psihice ale fiecăruia.

Metoda cadranelor este o metodă a gândirii critice, o modalitate d erezumare și sintetizare a unui conținut informațional și solicită participarea și implicarea elevilor; presupune trasarea a două axe principale perpendiculare, apărând astfel 4 cadrane în care elevii notează: datele problemei, planul de rezolvare al problemei, formula numerică și compun o problemă asemănătoare după exercițiul problemei date.

În această situație elevii au avut de rezolvat o problemă asemănătoare cu cele rezolvate anterior, cu deosebirea că este încadrată diferit în pagina caietului. Am „citit” de pe fețele lor mirarea și, în același timp, teama, întrucât aparent li s-a părut foarte complicat. Însă, după citirea problemei cu glas tare de către toți elevii, au realizat că de fapt rezolvaseră anterior destul de multeprobleme de acest gen, cu deosebirea că încadrarea în pagină era diferită. S-a construit raționamentul de rezolvare pe baza înțelegerii datelor și a condiției problemei, raportând datele cunoscute la valoarea necunoscută. Analiza profundă a datelor problemei i-a condus pe elevi la desprinderea de concret, la transpunerea situației concrete pe care o prezintă problema în situații matematice. Astfel, ei au aplicat schema mintală de rezolvare, fixată ca un algoritm de lucru, care se transferă și se aplică la fel ca și regulile de calcul. Renunțarea la elementele concrete și înlocuirea acestora cu expresiile matematice potrivite au făcut posibilă schematizarea problemei – deci pasul necesar spre generalizare.

Exemplu:

Metoda cadranelor poate fi considerată și metodă de recapitulare și sistematizare a cunoștințelor și se poate utiliza în cadrul conexiunii inverse, evaluării, retenției. Informația este rezumată, sintetizată, esențializată, prelucrată în cuvinte cât mai puține, pe baza celor 4 criterii (câte unul pentru fiecare cadran), pentru a intra în spațiul cadranului. Tehnica are mai multe etape :

comunicarea sarcinii de lucru ;

activitatea individuală / în perechi / pe grupe ;

activitatea frontală / evaluarea muncii pe grupe.

Așezarea în cadrane a problemei, a planului de rezolvare etc. impune elevului o ordine logică în rezolvarea și compunerea de probleme. Rezolvarea problemelor sub această formă a constituit un cadru optim de afirmare a potențialului individualității fiecărui copil, iar prin modalitatea de lucru pe perechi a creat posibilitatea cooperării între elevi, a stimulat sentimentul de eficiență personală, iar elevii cu posibilități intelectuale mai reduse (L.E., A.R., M.A., T.O., C.A.) au fost înțeleși și ajutați de elevii buni rezolvitori de probleme (P.P., R.R., T.A., Z.I., F.B.).

Știu / Vreau să știu / Am învățat este o metodă de învățare prin descoperire prin care elevii realizează un inventar a ceea ce știu deja despre o temă, pentru ca mai apoi să formuleze întrebări despre o temă nouă. Schematic.

Această metodă este folosită astfel:

Elevilor li s-a părut accesibilă și această modalitate de rezolvare a problemelor, mai ales că fusese folosită încă din clasa a II-a, la lecțiile de cunoaștere a mediului, respectiv de științe ale

naturii în clasa a III-a. Rezolvarea problemelor a fost efectuată atât sintetic (de la date spre întrebare), cât mai ales analitic (de la întrebare spre date), pentru a solicita mai mult gândirea elevilor, pentru a nu aplica mecanic algoritmul de rezolvare, pentru a mă asigura că elevii au înțeles foarte bine datele și condiția fiecărei probleme, că au raportat datele cunoscute la cerințe și condiții, ceea ce îi ajută să construiască șirul de judecăți ce conduce la găsirea soluției.

Exemple:

Metoda a oferit feedback continuu și eficient, a antrenat toți elevii, individual, frontal și în perechi, elevii și-au sistematizat cunoștințele, și-au clarificat pe loc ceea ce se cunoaște în problemă și ceea ce se cere. Lucrând în perechi sau în grup (anexa 16), a contribuit la cultivarea și educarea unei noi atitudini față de muncă (simțul responsabilității față de grup), a prieteniei, a cooperării între elevi, a toleranței, ceea ce a stimulat, încurajat și motivat mai ales pe elevii mai timizi, mai neîncrezători în forțele proprii.

CAPITOLUL IV: Prezentarea, analiza și interpretarea rezultatelor cercetării aplicative
Subcapitolul IV.1: Rezultatele obținute la evaluarea inițială

Evaluarea inițială s-a efectuat la începutul programului de instruire, respectiv la începutul anului școlar 2008 / 2009 (perioada 15 septembrie – 1 octombrie 2008) și a stabilit nivelul de pregătire al elevilor, în acel moment, condițiile în care aceștia s-au putut integra în activitatea ce a urmat, îndeplinind astfel o funcție pedagogică prioritar predictivă. Examinările orale și proba scrisă de evaluare au vizat verificarea gradului în care elevii stăpânesc cunoștințele de matematică învățate în clasa a II-a, necesare activității didactice viitoare.

Obiectivele evaluate în cadrul testului predictiv (anexa 2) au fost următoarele:

– să completeze șiruri date cu numere până la 1000, respectând pasul de numărare;

– să completeze relații date cu numere corespunzătoare, astfel încât acestea să fie adevărate;

– să efectueze operații de adunare și de scădere cu numere naturale de la 0 la 1000, fără și cu trecere peste ordin;

– să afle numărul necunoscut dintr-o operație de adunare, respectiv de scădere;

– să rezolve corect problema dată.

Interpretarea rezultatelor testului predictiv:

În urma analizei rezultatelor obținute de elevii grupului experimental am constatat următoarele:

– itemii exercițiilor 1, 2 și 3 se refereau la utilizarea sistemului pozițional de formare a numerelor naturale mai mici decât 1 000 (formarea, scrierea, compararea numerelor); cele mai mari dificultăți au fost la identificarea acelor numere naturale mai mici decât 1000 care îndeplineau anumite criterii, ceea ce m-a determinat să înțeleg că elevii fie nu stăpânesc limbajul matematic (numere pare / impare), fie nu dispun de o gândire convergentă, capabilă să identifice soluția de la diversitate la unitate, de la analiză la sinteză. (niciun elev nu a identificat toate cele 3 numere naturale, 1 elev a identificat două numere din cele 3, 14 elevi au identificat doar un singur număr din cele 3, iar 6 nu au identificat corect niciun număr );

– doar 2 elevi au descoperit pasul de numărare la șirurile de numere de la ex. 1 și le-au completat corect, 10 elevi au completat doar două șiruri din cele 3, iar 9 elevi au completat doar un singur șir ;

– 11 elevi au completat corect toate cele 6 numere care lipsesc din relațiile date, 8 elevi au completat 4 numere, iar 2 copii – două numere ;

– 10 elevi au efectuat corect toate operațiile de adunare și scădere de la exercițiul nr. 4, 7 elevi au efectuat corect 4 operații din cele 6, iar 4 elevi două operații din cele 6, ceea ce înseamnă că marea majoritate și-a însușit algoritmul de calcul specific acestor operații ;

– sarcinile itemului 5 s-au dovedit a fi dificile pentru majoritatea elevilor, doar 2 elevi au rezolvat corect cele 3 subpuncte ale exercițiului, 7 elevi nu au rezolvat deloc exercițiul, demonstrând încă o dată că nu stăpânesc bine limbajul matematic, nu asociază conceptul de sumă cu operația de adunare, diferența cu operația de scădere, unii chiar le confundă între ele;

– cele 4 numere necunoscute au fost aflate doar de 4 elevi, 4 elevi au aflat doar 3 numere, 8 elevi – două numere, iar 5 elevi niciun număr, ceea ce demonstrează că nu au suficient de dezvoltată gândirea deductivă, nu analizează suficient relația dată, nu conștientizează, spre exemplu, că scăzătorul este mai mare decât descăzutul sau diferența, pentru că a fost aflat prin adunare și nu prin scădere, cum ar fi trebuit

– problema a fost efectuată cu plan de rezolvare doar de 5 elevi, fără plan de rezolvare de 4 elevi, 7 elevi au scris doar prima întrebare a problemei și operația corespunzătoare, iar 5 elevi nu au rezolvat deloc problema .

Am coroborat informațiile obținute în urma acestui test cu gradul de implicare al elevilor în efectuarea temei dată pentru perioada vacanței de vară. Verificarea efectuării acestei teme, din punct de vedere cantitativ și mai ales calitativ, a reliefat faptul că majoritatea elevilor nu a acordat atenția cuvenită temei, unii neefectuând-o deloc, iar alții lucrând superficial. În situația de față era de așteptat ca elevii să obțină rezultate mai puțin bune, după o perioadă în care nu au lucrat sistematic sau nu au lucrat deloc.

Aceste informații mi-au fost de un real folos, m-au ajutat să-mi proiectez activitatea următoare ținând cont de particularitățile fiecărui elev în parte.

Subcapitolul IV.2: Rezultatele obținute la evaluări formative

Evaluările formative au realizat verificări sistematice pe parcursul programului (perioada 1. 10. 2011 – 31. 05. 2012), pe unități de învățare. Cunoașterea nivelului atins de elevi m-a ajutat să determin aspectele pozitive și lacunele procesului de instruire, prin raportarea la obiectivele avute în vedere. Astfel, am urmărit îndeosebi cum a rezolvat fiecare elev problemele de aritmetică, ce dificultăți a întâmpinat în rezolvarea acestora, în vederea ameliorării sau chiar a înlăturării acestora prin intermediul situațiilor de instruire organizate la clasă au implicat și folosirea metodelor active și de cooperare.

„Unitatea de învățare „Adunarea și scăderea numerelor naturale în concentrul 0-1000” (perioada 6.10. – 24.10.2011)

Obiective evaluate în cadrul testului docimologic din 21.10.2008 (anexa 3):

– să calculeze sume și diferențe cu numere până la 1000, fără și cu trecere peste ordin;

– să stabilească legătura dintre adunare și scădere pentru aflarea numărului necunoscut;

După corectarea testelor, am concluzionat următoarele:

– elevii stăpânesc mai bine algoritmul de efectuare a operațiilor de adunare și scădere fără trecere peste ordin și mai ales cu trecere peste ordin;

– cele 4 numere necunoscute au fost aflate de 8 elevi, tot 8 au aflat 3 numere din 4, 4 elevi au aflat doar 2 numere, iar un singur copil a aflat un singur număr, ceea ce a însemnat un progres destul de vizibil în ceea ce privește înțelegerea de către elevi a legăturii dintre adunare și scădere pentru aflarea numărului necunoscut;

– la exercițiul nr. 6, faptul că 5 elevi au obținut FB și doar unul I, demonstrează că limbajul matematic a fost mai bine înțeles, elevii au asociat suma și diferența cu operația corespunzătoare;

– problema a fost rezolvată corect de 7 elevi, 8 elevi au scris doar două operații din 3, 5 elevi au scris doar o operație din 3, iar un singur elev a scris corect operația, dar a greșit la calculul acesteia.

Îmbunătățirea rezultatelor s-a datorat lucrului sistematic, organizat, efectuarea unui număr considerabil de exerciții și mai ales de probleme care se rezolvau prin două sau 3 operații. Am reprezentat grafic rezultatele centralizate în tabele, prin comparație cu cele obținute la testul predictiv.

„Unitatea de învățare „Înmulțirea numerelor naturale mai mici ca 100” (perioada 3.11.2011 – 12.12.2011)

Obiective evaluate:

– să calculeze produsul a două numere naturale scrise cu o singură cifră folosind adunarea repetată de termeni egali sau tabla înmulțirii;

– să completeze cu numere potrivite, astfel încât să fie adevărate egalitățile date;

– să respecte ordinea efectuării operațiilor în exerciții;

– să rezolve corect problemele date, cu plan de rezolvare;

– să scrie rezolvarea problemelor sub formă de exercițiu, folosind paranteze rotunde;

– să completeze datele problemei cu numere corespunzătoare;

– să compună o problemă după un exercițiu dat;

Interpretarea rezultatelor testelor de evaluare formativă 1, 2 și 3 de la unitatea de învățare „Înmulțirea numerelor naturale mai mici ca 100”:

– elevii au obținut rezultate destul de bune la testul nr. 1 la toți itemii, ceea ce înseamnă că au înțeles terminologia specifică înmulțirii, au perceput înmulțirea ca o adunare repetată de termeni egali, au rezolvat majoritatea dintre ei problema prin două operații, dovedindu-se astfel eficiența activității frontale îmbinată cu cea individuală, pe perechi și pe grupe, dar mai ales eficiența fișelor de lucru și a materialelor interactive de pe CD, proiectate cu ajutorul laptop-ului și al video proiectorului;

– la testul nr. 2 se constată o mică scădere a rezultatelor elevilor, având în vedere 3 situații neexistente în testul nr. 1: faptul că înmulțirile conțin ambii factori mai mari decât 5, exercițiul nr. 3 conține sarcini cu grad mai mare de dificultate, elevii trebuind să facă legătura și cu operațiile de ordinul II și, la sfârșitul testului au avut de compus o problemă ce presupunea 3 operații matematicepentru rezolvare;

– doar 8 copii din clasă au rezolvat problema 5 de la testul nr. 2 (problemă foarte asemănătoare cu problema nr. 6 de la testul nr. 1) și 5 copii au compus problema după exercițiul dat, ceea ce m-a determinat să insist mai mult la clasă pe scrierea rezolvării unei probleme sub formă de exercițiu, dar și realizarea schemei de rezolvare a unei probleme.

– la testul nr. 3, cu grad de dificultate medie, am constatat că toți elevii au știut să scrie adunările repetate ca înmulțiri, dar și înmulțirile corespunzătoare desenelor, au rezolvat problemele mai mulți copii, chiar și cei mai slabi la învățătură au reușit să scrie prima operație din rezolvarea problemelor, ceea ce m-a bucurat foarte mult, dovadă că fișele de lucru și metodele folosite în rezolvarea problemelor au antrenat gândirea elevilor și au îmbunătățit rezultatele școlare la matematică.

„Unitatea de învățare „Împărțirea numerelor naturale mai mici ca 100” (perioada 15.12.2011 – 20.02.2012)

Obiective evaluate:

– să scrie scăderi repetate ca împărțiri;

– să efectueze corect împărțiri folosind scăderea repetată sau legătura dintre înmulțire și

împărțire;

– să verifice prin probă rezultatul obținut;

– să aplice proba împărțirii sau a înmulțirii aflând numărul necunoscut;

– să respecte ordinea efectuării operațiilor în exerciții;

– să recunoască în probleme situații concrete sau expresii ce presupun efectuarea operației de împărțire;

– să rezolve corect probleme cu conținut practic;

– să scrie rezolvarea problemei sub formă de exercițiu;

– să alcătuiască schema de rezolvare a problemei;

– să compună o problemă după un exercițiu dat.

Interpretarea rezultatelor testului:

– toți elevii clasei au scris scăderile repetate sub formă de înmulțire și au efectuat împărțiri , folosind legătura cu înmulțirea, aspect la care mă așteptam având în vedere că majoritatea stăpânesc destul de bine tabla înmulțirii;

– 10 copii au efectuat foarte bine operațiile corespunzătoare ale problemelor, iar 3 dintre ei (P.P., R.R., T.A.), datorită faptului că au lucrat suplimentar sistematic în vederea pregătirii concursului național “Micul matematician”, au rezolvat ultima problemă a testului în două moduri, au scris rezolvarea problemei sub formă de exercițiu sau sub formă de schemă, dovedind că dispun de o gândire divergentă, dar și productiv – creatoare.

Unitatea de învățare „Înmulțirea și împărțirea în intervalul de numere naturale de la 0

la 1000” (perioada 23.02. – 6.03.2012)

Obiective evaluate:

– să înmulțească un număr cu o sumă sau o diferență;

– să efectueze înmulțiri cu 10 sau 100;

– să înmulțească un număr natural de două cifre, respectiv de 3 cifre cu un număr de o cifră, prin adunare repetată sau folosind diverse modalități (adunare repetată, grupări de termeni, reprezentări);

– să împartă o sumă sau o diferență la un număr de o cifră;

– să calculeze câtul împărțirii unui număr natural la 10 sau 100;

– să împartă un număr natural mai mic decât 100, respectiv decât 1000, la un număr de o cifră, folosind diverse modalități (scăderea repetată, grupări de termeni, reprezentări).

– să aplice proba împărțirii sau a înmulțirii aflând numărul necunoscut;

– să respecte ordinea efectuării operațiilor în exerciții;

– să dovedească gândire logică în rezolvarea problemei date.

Interpretarea rezultatelor testului:

– cu toate că nu s-au mai înregistrat decât 7 calificative de „FB”, e de apreciat faptul că 15 elevi din cei 21 ai clasei au obținut rezultate bune și foarte bune la test, ținând cont de faptul că și cunoștințele evaluate au avut un grad de dificultate mai ridicat; gândirea algoritmică și cea euristică s-au completat una pe cealaltă, întrucât pentru efectuarea înmulțirilor și a împărțirilor elevii au trebuit să exploreze modalități variate de a compune și descompune numere naturale mai mici ca 1000, și nu utilizând algoritmul propriu-zis de efectuare a înmulțirii și împărțirii, care este specificclasei a IV-a;

– problema nr. 6 din test a fost rezolvată în întregime de cei 15 elevi, 7 dintre ei au scris și întrebările aferente operațiilor matematice, 5 au alcătuit suplimentar și schema problemei;

– cei 6 copii cu rezultate mai slabe nu au suficiente deprinderi de muncă intelectuală, motiv pentru care au alocat mai mult timp decât ar fi fost necesar pentru efectuarea calculelor.

Unitatea de învățare „Rezolvarea de probleme” (perioada 9.03. – 20.03.2012)

Obiective evaluate:

– să recunoască situații concrete sau expresii ce presupun efectuarea unei anumite operații matematice;

– să rezolve probleme prin cel mult două operații (de acealași ordin, de ordine diferite) sau prin mai mult de două operații;

– să răspundă la întrebările problemei, folosind date organizate în tabele;

– să compună o problemă după un exercițiu dat.

– rezultatele testului au fost foarte bune, niciun elev nu a obținut calificativul “insuficient”, iar 17 elevi au obținut rezultate bune și foarte bune ; aceste rezultate confirmă faptul că elevii s-au mobilizat în identificarea datelor și a necunoscutelor din probleme, au recunoscut situațiile concrete sau expresiile ce presupuneau efectuarea unor operații de adunare, scădere, înmulțire sau împărțire,au identificat tipul problemei, au ales demersul de rezolvare al acesteia;

– elevii au observat cu atenție datele din tabel și au fost capabili să raporteze fiecare întrebare a problemei la acestea, dovedind un real simț practic;

– 7 elevi au compus corect problema după exercițiul dat, dovedind creativitate, inventivitate, capacitate de a imagina un context problematic pornind de la exercițiul dat, dar și capacitate de a transpune enunțuri simple din limbaj cotidian în limbaj matematic;

– faptul că elevii au efectuat operații matematice cu numere naturale în concentrul 0-100 a constituit un avantaj, motiv pentru care atenția a fost concentrată mai mult asupra demersului de rezolvare a problemelor și mai puțin spre efectuarea calculelor, deci elevii au realizat un real progres în privința construirii raționamentului de rezolvare a problemelor.

Astfel, “factorul de progres" cu care s-a intervenit în activitatea propriu-zisă de rezolvare a problemelor de aritmetică a contribuit considerabil la formarea deprinderilor eficiente de muncă intelectuală și, implicit, la îmbunătățirea performanțelor școlare ale elevilor la matematică

„Unitatea de învățare: „Adunarea și scăderea numerelor naturale în intervalul de la 0

la 10 000” (perioada 6.04. – 30.04. 2012)

Obiective evaluate:

– să efectueze operații de adunare și de scădere cu numere mai mici decât 10 000, fără și cu

trecere peste ordin;

– să afle numărul necunoscut prin efectuarea probei;

– să rezolve corect o problemă prin două operații;

– să compună o problemă după o schemă grafică dată.

Interpretarea rezultatelor testului:

– rezultatele testului au fost pe măsura așteptărilor mele, întrucât exercițiile și problemele au cuprins doar operații de ordinul I, elevii întâmpinând unele dificultăți mai mult la adunările și scăderile cu trecere peste ordin;

– tipul problemei a fost identificat de către toți elevii, majoritatea au explicat clar și concis în

planul de rezolvare al problemei semnificația calculelor utilizate;

– am observat, de asemenea, la punctul nr. 6 al testului, că cei mai mulți dintre elevii care au compus problema mai întâi au scris operațiile pe care le presupunea schema dată și apoi au formulat textul problemei; aceasta demonstrează că au manifestat inițiativă în a transpune situația dată într-un context matematic, obiectiv de referință ce se regăsește în programa școlară pentru clasa a III-a, la disciplina matematică.

Subcapitolul IV.3: Rezultate obținute la evaluarea finală

Unitatea de învățare: „Recapitulare finală” (perioada 1.06. – 12.06.2012)

Obiective evaluate:

– să utilizeze sistemul pozițional de formare a numerelor naturale mai mici decât 1 000 000;

– să compare numere naturale mai mici decât 1 000 000, utilizând semnele de comparație potrivite;

– să efectueze operații de adunare și de scădere cu numere mai mici decât 10 000, fără și cu trecere peste ordin;

– să efectueze operații de înmulțire și împărțire cu numere naturale mai mici decât 100;

– să afle numărul necunoscut dintr-o operație de adunare, de scădere, de înmulțire respectiv de

împărțire;

– să rezolve corect problema dată.

Comparate, rezultatele obținute la testul predictiv și cel final, au demonstrat că pe tot parcursul anului școlar, prin aplicarea sistematică a metodelor active și a instruirii diferențiate în cadrul lecțiilor, progresul înregistrat de elevi a fost atât calitativ cât și cantitativ. Acest lucru a fost constatat din ușurința și plăcerea cu care elevii și-au însușit un volum mare de cunoștințe cu care au operat în rezolvarea problemelor și a situațiilor – problemă (cunoștințe dobândite în special prin eforturi proprii), din plăcerea de a lucra pe tot parcursul anului școlar. Testul de evaluare finală a fost conceput în manieră asemănătoare cu cea a testului inițial, pentru ca rezultatele obținute să poată fi comparate, cunoștințele prevăzute de programă fiind definite sub forma obiectivelor operaționale codificate în itemi.

.

Sintetizând rezultatele obținute la cele două teste de evaluare și corelându-le cu rezultatele obținute la testele formative am constatat că elevii clasei a III-a au înregistrat progrese vizibile privind cunoașterea și utilizarea conceptelor specifice matematicii, capacitatea de a rezolva probleme de aritmetică, capacitatea de a comunica utilizând limbajul matematic. Elevii cu capacitate de învățare mai scăzută (L.E., T.O., A.R., C.A., C.G., M.A), datorită faptului că au fost cuprinși în activități frontale, dar tratați individual, au reușit să obțină calificative mai bune la evaluările din a doua parte a anului școlar decât la început, devenind astfel mai motivați, mai încrezători în forțele proprii, mai ambițioși.

În rezolvarea problemelor, deprinderile și abilitățile se referă în special la analiza datelor, a condiției, la capacitatea de a înțelege întrebarea problemei și a orienta întreaga desfășurare a raționamentului în direcția descoperirii soluției problemei. Faptul că, la testul de evaluare finală, 10 elevi din clasă au obținut calificativul „FB”, 9 elevi – calificativul „B” și 2 elevi – calificativul „S”, denotă că toți elevii (100%) au atins performanțele minime prevăzute de programa școlară a clasei aIII-a, 43 % – performanțele medii și 47 % – performanțele maxime. Deci, elevii și-au însușit conștient cunoștințele matematice și le-au conferit aplicabilitate în cadrul exercițiilor și, mai ales, al problemelor. În procesul aplicării practice a cunoștințelor învățate pe parcursul anului școlar s-a îmbogățit experiența de cunoaștere și de viață a elevilor; ei au reușit să-și formeze și consolideze deprinderi de muncă independentă, deprinderi practice, s-au obișnuit să muncească sistematic. Dezvoltarea intelectuală s-a realizat treptat, progresiv, concomitent cu particularitățile de vârstă și individuale ale fiecărui elev. Cunoștințele au fost accesibile, corespunzătoare nivelului de înțelegere al elevilor.

Raportând rezultatele obținute de către fiecare elev la posibilitățile sale intelectuale, la capacitatea sa de învățare, concluzionez că nivelul dezvoltării psihointelectuale, capacitatea de învățare, nivelul cunoștințelor, priceperilor și deprinderilor le vor permite asimilarea în mod diferențiat a noilor cunoștințe prevăzute în curriculum-ul școlar al clasei a IV-a.

Concluzii.

„Educația autentică trebuie să plece întotdeauna în opera de modelare a naturii umane de la cunoașterea diversității caracteristicilor și forțelor pe care le posedă fiecare copil, elev sau individualitate în parte. Cunoașterea structurii și dinamicii caracteristicilor personalității, a nivelului de dezvoltare intelectuală, emoțională, atitudinală constituie, de fapt, piatra unghiulară a oricărui proces educațional care își propune formarea dirijată a omului, influențarea modului său de comportare, adaptare și integrare în viața socială. ”

În această lucrare am realizat o cercetare asupra dezvoltării creativității elevilor prin rezolvarea de probleme. Am reușit să demonstrez că rezolvarea de probleme este un pas important către dezvoltarea personalității copilului, către formarea lui ca viitor matematician. Condițiile optime de afirmare a potențialului elevilor au fost cele care au dus la rezultatele cercetării din această lucrare.

Am folosit în activitatea didactică diverse metode și procedee activ-participative în rezolvarea d eprobleme, am creat situații de învățare bazate pe autonomia intelectuală și acțională a elevilor,, am stimulat imaginația creatoare,, am stimulat potențialul creator, am stimulat gândirea critică dar și gândirea divergentă.

Ca și cadru didactic am intenționat:

să nu fiu doar un transmițător de informații, ci bun organizator al activităților;

să facilitez învățarea și să stimulez lucrul în echipă;

să stimulez efortul intelectual, să formez și să educ calitățile moral-civice;

să stimulez efortul intelectual;

să dezvolt receptivitatea pentru a rezolva problemele de aitmetică;

să stimulez colaborarea, interesul și motivația pentru aplicarea matematicii în contexte variate;

să formez la elevi deprinderi de rezolvare a problemelor de aritmetică prin transpunerea unor enunțuri simple din limbaj matematic simbolic în limbaj cotidian și invers;

Elevii si-au format:

deprinderi de justificare a alegerii demersului de rezolvare al unei probleme;

deprinderi de utilizare a unor scheme simple pentru a figura pe scurt datele și pasii de rezolvare a unei probleme.

Elevii au depășit blocaje în rezolvarea de probleme, au căutat prin încercare sau eroare noi căi de rezolvare. Au manifestat un comportament adecvat cu colegii din grupul de lucru, au creeat posibilități variate de rezolvare a problemelor de aritmetică. Având în vedere că elevii diferă între ei din punct de vedere al aptitudinilor, al ritmului de învățare, al gradului de înțelegere a fenomenelor, al capacității de învățare și a rezultatelor obținute, am putut realiza acest studiu, această cercetare doar prin tratarea individuală și diferențiată a acestora prin mai multe procedee:

-acțiuni individualizate desfășurate în activitățile frontale;

-teme diferențiate pentru acasă;

-activități pe grupe de nivel, cu repartizarea de sarcini diferite;

-stimularea pe parcursul lecțiilor a tuturor elevilor din clasă, prin distribuția solicitărilor în raport cu posibilitățile lor;

Utilizarea metodelor active a determinat o mai bună colaborare între copii, iar ceea ce este mai interesant este că s-au împrietenit, au învățat că pentru realizarea unor sarcini de grup au nevoie unii de alții.

Rezultatele obținute la evaluări și aprecierile pozitive i-au motivat pe elevi, Efortul pe care l-a făcut fiecare elev în rezolvarea conștientă a unei probleme a presupus o mare mobilizare a proceselor psihice de cunoaștere, volitive și motivațional – afective: gândirea, memoria, imaginația, limbajul, voința, motivația și atenția.

Prin organizarea unor activități de învățare variate, adaptate nevoilor individuale ale fiecărui elev, învățătorul stimulează colaborarea, interesul și motivația elevilor pentru rezolvarea problemelor de aritmetică, pentru aplicarea matematicii în contexte variate.

„Este dovedit faptul că se produce o dezvoltare optimă a aptitudinilor, capacităților și competențelor persoanei acolo unde condițiile de mediu și educație sunt favorabile, în consonanță cu structura și dinamica personalității individuale. Deci, cu atât mai justificat este un act pedagogic cu cât educația săvârșită de adult se realizează în serviciul formării abilităților intelectuale, dezvoltării competențelor cognitive, psihomotorii și împlinirii personalității copilului / elevului.”

Rezultatele obținute de elevi la evaluări au confirmat faptul că rezolvarea de probleme de aritmetică dezvoltă creativitatea copiilor. În cadrul exercițiilor de compunere de probleme și nu numai, copiii au demonstrat că interesul, motivația și creativitatea au format un tot unitar. Ceea ce mi-am propus să demonstrez în această lucrare- rolul problemeor de aritmetică in dezvoltarea creativității elevilor- a fost pe deplin demonstrat de rezultatele cerecetarii: toți copii au reușit să rezolve probleme de aritmetică.

ANEXA 1.

Tabel nominal cu elevii clasei a III-a participanti la cercetare

1.Anghel Mariana

2.Aurel Ioana

3.Badoiu Poliana

4.Badoiu Marian

5.Bîrloiu Ioana

6.Cîrstoiu Robert

7.Cănuță George

8.Cârstea Andreea

9.Duță Cosmin

10.Deleanu Lorena

11.Folea Maria

12.Ghiță Ion

13.Leahu Elena

14.Lazăr Ana Maria

15.Marta Aurica

16. Pepenel Eugen

17.Popa Petre

18.Radulescu Ramon

19.Tuța Ana

20. Toader Oana

21. Zinga Ioan.

ANEXA 2

TEST DE EVALUARE INIȚIALĂ

1. Completează șirurile cu încă 3 numere:

a) 784; 786; 788; _____; _____; _____;

b) 690; 686; 682; _____; _____; _____;

c) 150; 250; 350; _____; _____; _____.

2. Scrie:

a) cel mai mare număr par format din două cifre diferite: _____;

b) cel mai mic număr impar format din trei cifre diferite: _____;

c) cel mai mare număr par format din trei cifre diferite: _____.

3. Completează cu numerele care lipsesc pentru ca relațiile să fie adevărate:

27 < ____ < 29 577 > ____ 660 = ____

567 > ____ > 565 ___ < 678 990 < ____

4. Calculează:

385 + 511 – 427 + 565 – 654 – 457 +

543 299 177 187 122 299

5. Rezolvă următoarele cerințe:

a) La numărul 230 adaugă diferența numerelor 600 și 263.

b) La suma numerelor 543 și 298 adaugă numărul 177.

c) Din diferența numerelor 409 și 214 scade cel mai mic număr de două cifre.

6. Află numărul necunoscut:

a – 245 = 595 b + 458 = 693 716 – b = 428 539 – a = 405

7. La o fermă sunt 183 de oi, vaci cu 79 mai puține decât oi.

Câte animale sunt în total la fermă?

Descriptori de performanță

ANEXA 3

TEST DE EVALUARE:„Adunarea și scăderea numerelor naturale în concentrul 0-1000”

Completează tabelele următoare cu numerele potrivite:

a)

b)

Unește cu o linie operația cu rezultatul potrivit:

106 – 102 873

318 + 105 415

526 – 111 423

747 + 126 4

3. Află numărul:

a) cu 255 mai mare decât 327;

b)cu 189 mai mic decât 291;

c) cu 543 mai mare decât 167.

4. Notează cu A relațiile adevărate și cu F pe cale false:

915 – 360 = 455 237 + 408 < 654 512 – 228 > 280

5. Află numărul necunoscut:

a + 146 = 300 a – 216 = 395 437 + a = 654 854 – a = 428

6. Ce număr obții dacă:

a) la suma numerelor 434 și 219 adaugi 32;

b) din suma numerelor 519 și 116 scazi 208;

c) la diferența numerelor 693 și 237 adaugi 148.

7. Suma a 3 numere naturale este 991. primul număr este 157, iar al doilea număr este cu 187 mai mare decât primul număr. Care este al treilea număr?”

ANEXA 4

TEST DE EVALUARE: „Înmulțirea când unul din factori este 2, 3, 4 sau 5”

„1. Completează enunțurile cu noțiunile corespunzătoare:

a) ………………… sunt numerele care se înmulțesc.

b) Rezultatul înmulțirii se numește …………………. .

c) „×” se citește ………………………….. .

2. Calculează:

a) 3 × 2 = b) 8 × 3 = c) 4 × 9 =

7 × 5 = 6 × 2 = 6 × 3 =

2 × 2 × 9 = 8 × 2 × 2 = 7 × 2 × 2 =

Completează tabelul

4. Rezolvă sarcinile:

a) află dublul numărului 5: ………………………………………;

b) află triplul numărului 8: ………………………………………;

c) mărește produsul numerelor 2 și 3 de 2 ori: …………………………………. .

5. Completează casetele cu numerele potrivite:

6 ×? = 30 4 ×? = 16 9 + 3 ×? = 18

?× 4 = 28 ?× 3 = 21 30 -? × 9 = 12

6. Marius are 5 cutii cu câte 9 bomboane fiecare. Își servește cu câte o bomboană cei 29 de colegi. Cu câte bomboane mai rămâne Marius?

7. Completează datele problemei cu numerele corespunzătoare:

Anca are …….. portocale. Dan are dublu față de Anca. În total, cei doi copii au …….portocale.”

Descriptori de performanță:

ANEXA 5

TEST DE EVALUARE: „Înmulțirea când unul dintre factori este 6, 7, 8, 9, 0, 1 sau 10”

Descriptori de performanță:

ANEXA 6

TEST DE EVALUARE: „Înmulțirea numerelor naturale”

ANEXA 8

TEST DE EVALUARE: „Ordinea efectuării operațiilor”

Descriptori de performanță:

ANEXA 9

TEST DE EVALUARE „Înmulțirea și împărțirea în intervalul de numere naturale de la 0 la 1000”

ANEXA 10

Test de evaluare: „Rezolvare de probleme”

ANEXA 11

TEST DE EVALUARE „Adunarea și scăderea numerelor naturale în intervalul de la 0 la 10 000”

ANEXA 12

TEST DE EVALUARE FINALĂ

Bibliografie

Cerghit, I., Radu, I.T., Popescu, E., Vlăsceanu, L, 1991, Didactica, Editura Didactică și Pedagogică, București

Crețu, T., 2005, Psihologia copilului, Ministerul Educației și Cercetării, Proiectul pentru Învățământul Rural

Cucoș, C. (coord.), 1998, Psihopedagogie pentru examenele de definitivare și grade didactice,

Editura Polirom, Iași

Cucoș, C., 2000, Pedagogie, Editura Polirom, Iași

Dumitriu, C., 2004, Introducere în cercetarea psihopedagogică, Editura Didactică și Pedagogică, București

Dumitriu, Gh., 2004, Sistemul cognitiv și dezvoltarea competențelor, Editura Didactică și Pedagogică, București

Dumitriu, Gh., Dumitriu, C., 2004, Psihopedagogie, Editura Didactică și Pedagogică, București

Leonte, R., Botezatu, M., Lăzărică, R., 2008, Evaluarea elevilor la clasa a III-a, Editura Casei Corpului Didactic, Bacău

Leonte, R., Stanciu, M., 2004, Strategii activ – participative de predare – învățare în ciclul

primar: ghid metodico – științific în vederea utilizării metodelor active în învățământul primar, Editura Casei Corpului Didactic Bacău

Lupu, C., 2006, Didactica matematicii, Editura Caba, București

Ministerul Educației, Cercetării și Tineretului, Consiliul Național pentru Curriculum, 2004,

Matematică – programa școlară, clasa a III-a, București

Ministerul Educației, Cercetării și Tineretului, Consiliul Național pentru Curriculum, 2005,

Matematică – programa școlară, clasa a IV-a, București

Neacșu, I. (coord.), 1988, Metodica predării matematicii la clasele I-IV, Editura Didactică și

Pedagogică, București

Neagu, M., Mocanu, M., 2007, Metodica predării matematicii în ciclul primar, Editura Polirom, Iași

Nicola, I., 1994, Pedagogie, Editura Didactică și Pedagogică, București

Pacearcă, Ș., Mogoș, M., 2005, Matematică, manual pentru clasa a III-a, Editura Aramis, București

Săvulescu, D. (coord.), 2006, Metodica predării matematicii în ciclul primar, Editura “Gheorghe Alexandru”, Craiova.

Barcan Carmen- Mihaela, Bazele psihopedagogice ale rezolvării problemelor de aritmetică, Editura Sfântul Ierarh Nicolae, 2010, Galați