Rolul Evaluarii Abilitatilor Numerice la Copiii de 10 11 Ani

Rolul evaluării abilitaților numerice la copiii de 10-11 ani

CUPRINS

REZUMAT

CAPITOLUL I. Introducere

CAPITOLUL II. Cadrul teoretic

2.1 Formarea abilitații numerice

2.2 Definirea aptitudinilor matematice

2.3 Componentele aptitudinii matematice

2.4 Importanța evaluării abilității numerice

2.5 Competențele matematice

2.6 Manifestarea aptitudinilor matematice la elevii de vârstă școlară mică (7-11 ani)

2.7 Analiza tipurilor de teste de evaluare

CAPITOLUL III. Obiectivele si ipotezele cercetării

CAPITOLUL IV. Metodologia cercetării

4.1 Designul cercetării

4.2 Subiecții

4.3 Instrumentele utilizate

4.4 Procedura de lucru

CAPITOLUL V. Prezentarea rezultatelor obținute în urma cercetării

CAPITOLUL VI. Interpretarea rezultatelor.Concluzii.

BIBLIOGRAFIE

ANEXE

REZUMAT

Aptitudinea reprezintă potențialul unei persoane de a învăța și obține performanță într-un anumit domeniu. Dezvoltată prin învățare și exersare, aptitudinea devine abilitate. Evaluarea reprezintă o modalitate eficientă de a cunoaste performanțele școlare ale elevilor, urmărind măsurarea cantitații cunoștințelor dobândite și eficiența acestora la un moment dat.

Scopul acestui studiu a fost de a investiga relația care există intre abilitatea numerică (operaționalizată prin patru probe psihologice), performanța școlară (operaționalizată prin media la matematică si evaluarea initială) și inteligența elevilor (Matrici Progresive Raven -standard). Rezultatele cercetărilor au confirmat toate cele trei ipoteze, rezultatele arătând o corelație ridicată, pozitivă, puternic semnificativă. Studiul de față își aduce aportul prin realizarea unor precizări conceptuale, susținând necesitatea evaluărilor numerice.

CAPITOLUL I.

INTRODUCERE

Vârsta școlară mică sau copilaria de mijloc (6/7 -; 11/12 ani) este o perioadă marcată în primul rând de modificarea statutului social, și mai putin de modificări fundamentale de ordin cognitiv . Din foarte multe puncte de vedere schimbarea de statut este dramatică, reprezentând un pas hotarator in viată.

Piaget susține că între 7-11 ani copilul se află în perioada operațiilor concrete. Aceasta înseamnă că el începe să înțeleagă principiile logicii atâta timp cât ele se referă la concretul obiectelor și fenomenelor.

Încă de la primele contacte cu formele sau cu numerele, copiii încep să-si formeze o conceptie despre matematică. În mod implicit, profesorii furnizează informații si experiențe care vor fundamenta concepțiile elevilor fată de matematică. Aceste concepții exercită o influență puternică asupra formării capacității de autoapreciere a elevilor privind propriile aptitudini, privind dorința de implicare în sarcinile de învațare a matematicii si asupra formării atitudinii lor față de matematică. În articolul "Definițiile matematice si învațământul" (apud , p. 21), matematicianul H. Poincare arată că întelegerea noțiunilor matematice reprezintă un fapt subiectiv: în timp ce unii vor căuta corectitudinea înlănțuirii raționamentelor si logica argumentării, altii vor încerca să înteleagă modul de combinare, de înlănțuire a raționamentelor folosite iar o altă parte va căuta să găsească utilitățile practice ale noțiunilor matematice întâlnite.

Așa se face că, în procesul de învățare a acestor noțiuni, pot să apară dificultați legate de incapacitatea definițiilor de a răspunde, simultan, ambelor cerinte: acelea de a fi atât logice cât si intuitive. Acolo unde una dintre cerințe este supraîncarcată, cealaltă are de suferit. O definire saturată din punct de vedere logic va fi puțin sau deloc înțeleasă de un copil a carui gândire este mai mult intuitivă iar încarcarea aspectului intuitiv va nemultumi un elev a cărui gândire este de tip logic/ analitic. În mod normal, cele două "tipuri" de gândire sunt exersate prin utilizarea noțiunilor de aritmetică si de algebră elementară (unde se solicita mai mult gândirea de tip logic) si a celor de geometrie (cu apel în primul rând la gândirea intuitivă); desigur că nu este vorba despre o delimitare strictă între cele două categorii ci doar de o anume pondere implicată. "Prin logică demonstrezi, prin intuitie inventezi", spune Poincare. Aceasta ar putea constitui o primă

explicatie privind respingerea geometriei de către majoritatea elevilor, ei "exersând" gândirea de tip logic prin aritmetică pâna în clasa a VI-a, ramura geometriei urmând a fi introdusă abia la acest nivel (adică în jur de 12-13ani).
Formarea conceptelor matematice (număr, mulțime, funcție, etc.) este în strânsă conexiune cu dezvoltarea operatiilor gândirii; conceptele matematice (considerate ca o categorie particulară a multimii conceptelor) sunt operații mintale concentrate (cf. J. Piaget, I. Radu) iar eficiența acestora este dată de gradul lor de funcționalitate. Noțiunile matematice exprimă esențialul si generalul obiectelor si fenomenelor din realitate si sistematizează informațiile necesare, distanțându-se de aspectele secundare.

Până la o anumită vârstă copilul evoluează oarecum natural, spontan, după o „programă” proprie de nimeni impusă sau controlată, cu excepția doar a „presiunii” exercitate asupra sa de modelele de conduită ale adulților, modele pe care de altfel cu ușurință le imită și involuntar le urmează. Odată cu începerea școlarizării se produc schimbări importante în relațiile cu cei din preajmă. Dacă înainte „înțelepciunea și iubirea sa” era jocul, acum pe prim planul preocupărilor intră învățarea școlară, activitate mult mai complexă care, fără a exclude în totalitate componenta ludică, înseamnă sarcini și acțiuni organizate, desfășurate după programe dinainte stabilite, cu statusuri și roluri bine precizate. Elevul participă la activități care duc la îmbogățirea cunoștințelor sale, la formarea de deprinderi și priceperi fundamentale (scris, citit, socotit, modelat etc.), la stimularea intereselor de cunoaștere și evaluare, la dezvoltarea capacității de efort voluntar și, desigur, la stimularea și structurarea unor componente aptitudinale, așa cum sunt cele muzicale, grafice, matematice, tehnice etc. (Crețu, 1999; Roșca și Zörgö, 1972; Verza, 1993; Vîgotski, 1971 ș. a.).

Aptitudinea matematică, asemenea altor însușiri diferențiale ale persoanei, nu poate fi cu adevărat cunoscută și valorificată fără a reliefa caracteristicile pe care aceasta le prezintă în evoluția ei la copil. Sarcina nu este deloc ușoară, având în vedere: diversitatea de opinii cu privire la caracteristicile aptitudinale ale elevilor, în general; proprietatea ca atare a oricărei aptitudini de a evolua (în timp) nu după o traiectorie prestabilită, ci după un model cibernetic complex și greu de descifrat; eterogenitatea metodelor și instrumentelor de lucru utilizate în cercetare ș. a.

Pentru cunoașterea aptitudinilor generale și speciale ale elevilor, în practica școlară se

folosesc diferite metode și instrumente de lucru, unele uzuale (cum sunt: analiza notelor obținute la diferite obiecte de studiu și concursuri școlare, convorbirile cu elevii și persoanele care îi cunosc, chestionarele de interese școlare și profesionale, fișele de observare etc.), altele ocazionale, mai puțin cunoscute și mai dificil de aplicat și interpretat, dar indiscutabil mai valoroase din punct de vedere diagnostic și prognostic. Din această ultimă categorie fac parte testele de aptitudini generale și speciale, testele de cunoștințe, studiul de caz și probele diagnostice formative. Despre avantajele și limitele metodei testelor, despre calitățile psihometrice ale unor teste (de inteligență, atenție, memorie etc.) și chestionare de personalitate s-a scris destul de mult în literatura de specialitate, inclusiv în lucrările apărute la noi în țară, în ultimii 15 – 20 de ani (Albu, 2000; Chelcea, 1997; Mitrofan, 1997; Radu și colab., 1993 ș. a.).

 Lucrarea de față este structurată pe șase capitole. Capitolul 1 cuprinde introducerea în lucrarea de față, capitolul 2, cuprinde o trecere în revistă a literaturii de specialitate, literatură care să susțină pe deplin demersul experimental. Tot în acest capitol voi prezenta importanța evaluarii abilității numerice, formarea abilitații numerice la copii de 10-11 ani, analiza componentelor abilității numerice, calculul matematic si raționamentul matematic. În capitolul 3 sunt prezentate obiectivele si ipotezele cercetarii, care reprezinta premisele de baza ale acestui studiu. Capitolul 4 cuprinde metodologia de cercetare. În acest capitol sunt descrise date demografice despre subiecți, instrumentele de lucru folosite, designul experimental utilizat, și procedura de lucru utilizată.Capitolul 5, cuprinde prezentarea rezultatele obținute în urma cercetarii, analiza și interpretarea acestora. Lucrarea se încheie cu prezentarea concluziilor și a direcțiilor viitoare de cercetare ținând cont de intregul demers stiințific de la care am pornit.

Asistând la câteva ore de matematică la ciclul primar am observat modul de constituire și de implementare a noțiunii de matematică. Având și un copil în clasa a IV m-a interesat în mod deosebit modul cum operează elevii cu aceste noțiuni matematice. Angajamentul teoretic de la care pornesc îl reprezinta abilitatea numeric.

Pornesc astfel în motivarea lucrării mele de la ideea potrivit căreia evaluarea performanțelor la matematică, respectiv evaluarea abilitații numerice din perspectiva componentelor sale, reprezintă o modalitate eficientă de-a cunoaște performanțele școlare ale elevilor și modul în care nota la evaluările inițiale corelează cu performanțele la matematică ale elevului, dar poate fi și un rezultat în măsura în care elevii sunt conștientizați asupra acestora și sunt deprinși cu criteriile de autoapreciere , autoevaluare.

CAPITOLUL II.

CADRU TEORETIC

Formarea abilității numerice

Pentru ca un copil să aibă abilitați matematice, el trebuie să posede cunoștințe din toate cele trei cate de aplicat și interpretat, dar indiscutabil mai valoroase din punct de vedere diagnostic și prognostic. Din această ultimă categorie fac parte testele de aptitudini generale și speciale, testele de cunoștințe, studiul de caz și probele diagnostice formative. Despre avantajele și limitele metodei testelor, despre calitățile psihometrice ale unor teste (de inteligență, atenție, memorie etc.) și chestionare de personalitate s-a scris destul de mult în literatura de specialitate, inclusiv în lucrările apărute la noi în țară, în ultimii 15 – 20 de ani (Albu, 2000; Chelcea, 1997; Mitrofan, 1997; Radu și colab., 1993 ș. a.).

 Lucrarea de față este structurată pe șase capitole. Capitolul 1 cuprinde introducerea în lucrarea de față, capitolul 2, cuprinde o trecere în revistă a literaturii de specialitate, literatură care să susțină pe deplin demersul experimental. Tot în acest capitol voi prezenta importanța evaluarii abilității numerice, formarea abilitații numerice la copii de 10-11 ani, analiza componentelor abilității numerice, calculul matematic si raționamentul matematic. În capitolul 3 sunt prezentate obiectivele si ipotezele cercetarii, care reprezinta premisele de baza ale acestui studiu. Capitolul 4 cuprinde metodologia de cercetare. În acest capitol sunt descrise date demografice despre subiecți, instrumentele de lucru folosite, designul experimental utilizat, și procedura de lucru utilizată.Capitolul 5, cuprinde prezentarea rezultatele obținute în urma cercetarii, analiza și interpretarea acestora. Lucrarea se încheie cu prezentarea concluziilor și a direcțiilor viitoare de cercetare ținând cont de intregul demers stiințific de la care am pornit.

Asistând la câteva ore de matematică la ciclul primar am observat modul de constituire și de implementare a noțiunii de matematică. Având și un copil în clasa a IV m-a interesat în mod deosebit modul cum operează elevii cu aceste noțiuni matematice. Angajamentul teoretic de la care pornesc îl reprezinta abilitatea numeric.

Pornesc astfel în motivarea lucrării mele de la ideea potrivit căreia evaluarea performanțelor la matematică, respectiv evaluarea abilitații numerice din perspectiva componentelor sale, reprezintă o modalitate eficientă de-a cunoaște performanțele școlare ale elevilor și modul în care nota la evaluările inițiale corelează cu performanțele la matematică ale elevului, dar poate fi și un rezultat în măsura în care elevii sunt conștientizați asupra acestora și sunt deprinși cu criteriile de autoapreciere , autoevaluare.

CAPITOLUL II.

CADRU TEORETIC

Formarea abilității numerice

Pentru ca un copil să aibă abilitați matematice, el trebuie să posede cunoștințe din toate cele trei categorii: concept de număr, cunoștințe simbolice, cunoștințe algoritmice. Cele simbolice (vizează reprezentarea numerelor și a operațiilor aritmetice, în principal cu ajutorul diferitelor sisteme de numerație sau notație numeric: roman, arab, chinezesc, etc. Aceasta simbolistică este externă : 3, XV etc.) sunt furnizate de mediu, dar in cazul celor algoritmice (care se referă la procedurile de calcul sau abilitațile de raționament numeric, procedurile aritmetice, de măsurare, de rezolvare de probleme) si cele conceptuale (se referă la cunoștințe foarte abstracte de tipul întelegerii echivalenței numerice sau a comutativitații) exista păreri împărțite: unii spun că cele conceptuale sunt determinate de cele algoritmice, alții invers.

Primele încercări de abordare a problemei aptitudinilor matematice se leagă de numele unor cunoscuți psihologi și matematicieni, care au trăit și și-au făcut cunoscute ideile în prima jumătate a secolului trecut: A. Binet, E.L. Thorndike, A. Ruthe, A.L. Rogers, A.F. Lazurski, respectiv, H. Poincaré, D.M. Boltovski, J. Hadamard s.a. Date interesante au fost obținute în cadrul cercetărilor bazate pe analiza factorială a rezultatelor la testele de inteligență și la cele cu conținut matematic: C. Spearman, L.L. Thurstone, J.P. Guilford, M. Bejat și A. Perju etc. În spiritul teoriei promovate de S.R. Rubinstein cu privire la natura proceselor cognitive, rețin atenția prin originalitatea ipotezelor de lucru adoptate și prin metodele de verificare utilizate cercetările efectuate de autori ca: R. Gullasch, G. Pippig, N.A. Mencinskaia și M.I. Moro. Teoria formării operațiilor mintale ca rezultat al interiorizării acțiunilor externe a constituit fundamentul unor ample și rodnice cercetări privitoare la structura și dinamica aptitudinilor matematice la școlari: K. Lowell, V.V. Davâdov, Z.P. Dienes, B. Zörgö ș.a.

            Abordând problema structurilor psihice dintr-o perspectivă fondată pe principii și metode proprii teoriei sistemelor și ciberneticii, V.A. Krutețkii reliefează câțiva factori cu rol esențial în configurarea aptitudinilor matematice la școlari. Primul dintre aceștia a fost denumit capacitate de percepere formalizată a materialului matematic, o însușire complexă care se manifestă prin:

recunoașterea imediată a datelor și condițiilor problemei, înțelegerea relativ rapidă a structurii formale a acesteia, conștientizarea relațiilor esențiale dintre indicatori și nerecurgerea la date puțin semnificative sau de prisos. Urmează, apoi, o serie de factori implicați în activitatea de procesare a informațiilor matematice: capacitatea de generalizare imediată și de amploare a datelor, ( fără comparații, adesea pe baza unui singur caz); contragerea raționamentelor matematice și a sistemelor de acțiune corespunzătoare, flexibilitatea proceselor gândirii, exprimată în lipsa inerției, găsirea de soluții alternative absena interferențelor); străduința spre claritate și economicitate și, în fine, reversibilitatea proceselor gândirii trecerea la rezolvări inverse, fără efort vizibil și fără o învățare prealabilă).. Ultimul factor evidențiat se referă la păstrarea informației matematice și constă în: reținerea esențialului (scheme de acțiune, structuri de bază, principii generale de rezolvare) și uitarea datelor concrete, a informației de prisos din problema dată.( V.A. Krutețkii, 1968).

În vorbirea curentă se afirmă despre cineva că posedă aptitudini matematice dacă rezolvă corect, cu rapiditate, ușurință și, eventual, originalitate diferite probleme, jocuri sau sarcini cu conținut matematic. În planul cercetării științifice, la aspectul de succes (randament, performanță) se asociază și cel de specificitate, adică se caută caracteristicile proprii doar acestui tip de dotare. Coroborând datele existente în literatura de specialitate (Dienes, 1973; Dixon și Moore, 1996; Krutețkii, 1968; Lowell, 1971) cu cele rezultate din unele cercetări (Berar, 1979 și 1991) I.Berar susține cu suficiente dovezi că de la o anumită vârstă, mai exact de la 14–15 ani, se conturează la elevi – cel puțin la unii dintre ei – o structură psihică complexă care imprimă o notă specifică și o eficiență sporită activității de învățare și utilizare a matematicii școlare.

Un alt autor care a efectuat cercetări asupra gândirii matematice la elevii de vârstă școlară mică, mijlocie este R. Gullash. Plecând de la ideea că la baza oricăriu proces de gândire stau operațiile de analiză și sinteză, acestea își asumă sarcina de a investiga diferențele individuale (cognitive) care apar în procesul de rezolvare a problemelor matematice. Sarcinile experimentale au fost astfel alese încât să poată fi puse în evidență nivelurile la care se desfășoară operațiile de abstractizare, reversibilitate și contragere în procesul de analiză și sinteză a datelor prezentate. Rezultatele obținute sunt redate sub forma unei scheme cu șase niveluri, fiecare reprezentând un anumit grad de dezvoltare a indicatorului urmărit. Subiecții cu aptitudini matematice superior dezvoltate realizează operațiile mai sus menționate la nivelurile unu și doi, adică cele mai înalte, în timp ce elevii cu aptitudini matematice slab dezvoltate nu depășesc nivelurile medii (3 și 4). Concluzia este că diferențele dintre grupele de subiecți comparate sunt date de nivelul la care se desfășoară operațiile de abstractizare, generalizare, reversibilitate și reducție/condensare, atât în cazul sarcinilor cu conținut aritmetic sau algebric, cât și a celor de geometrie (R. Gullasch, 1971).

     Formându-se și dezvoltându-se în activitatea de învățare a matematicii, aptitudinea la care ne referim acum are darul de a facilita însușirea unui anumit volum de cunoștințe, priceperi și deprinderi specifice și, totodată, de a orienta într-o anumită direcție curiozitatea epistemică firească a copilului, de a-l face să îndrăgească lumea aparent rece și abstractă a obiectelor și relațiilor cantitative și spațiale. Ajunsă la un nivel superior de dezvoltare, aptitudinea matematică conferă o înaltă eficacitate întregii activități de învățare și utilizare a matematicii.

Procesele numerice acoperă o gamă largă de abilități (Dehaene. 1992). Ariile de cercetare includ o serie de investigații în mai multe categorii cum ar fi: reprezentările numerelor la adulți, procesele de calcul formal, precum și rolul notației în aceste două arii. Dezvoltarea proceselor care se leagă de sistemul operațiilor numerice generale a fost de asemenea cercetat în extenso. În această linie de cercetare apar o serie de controverse. Una dintre acestea se referă la (cât de mult) cum sunt influențate procesele numerice de cogniția generală sau dacă sunt doar modulate discret (Shipley & Shepperson. 1990; GallisteI & Gelman, 1990). O dezbatere importantă există de asemenea și în ceea ce privește natura abilității cognitive generale și relațiile acesteia cu abilitățile specifice (, 1992). Gelman și Gallistel (1978) au considerat că dezvoltarea procesului de a număra la copii este ghidat de principiile unui domeniu specific, pe când Shipley si Shepperson (1990) au arătat că abilitatea generală de a procesa discret obiectele fizice le oferă posibilitatea de a identifica ce să socotească și de asemenea alte operații importante implicate în diverse aspecte ale achiziției limbajului. Această muncă a fost realizată pe baza studiilor la pacienții cu leziuni cerebrale (McCloskey, 1992), în mod particular considerându-se abilitatea numerică ca fiind un set de procese modulare mai degrabă decât ca și un concept unic. Modele variate au fost dezvoltate pentru a descrie cum interacționează aceste abilități (Dehaene, 1992).
În mod intuitiv, operațiile de calcul par a fi legate de procesele de limbaj, deoarece se pare că acestea fac posibilă utilizarea abilității de a manipula mental secvențe de simboluri. Consecvent, abilitatea numerică este văzută ca făcând parte din domeniul limbajului, și nu ar trebui să fie analizată ca fiind ceva separat de acesta (Hurford, 1987). Cu toate acestea sunt studii care arată că există abilități numerice care nu utilizează reprezentări mentale bazate pe limbaj sau notații numerice (Dehaene, 1992). Această abordare nu ar trebui să ne ducă la ideea cum că procesele lingvistice în mod categoric nu ar trebui luate în considerare, așa cum arată modele descrise de Dehaene, abilitatea numerică implică un set complex de abilități, unele dintre acestea fiind bazate pe manipulări mentale ale simbolurilor (ex. aritmetica mentală), iar altele nu (ex. reprezentarea numerologiei). Abordarea autoarei este considerată și astăzi ca fiind un punct de referință în înțelegerea abilității numerice (Giaquinto, 2001).
Această dezbatere duce la o controversă mai generală referitoare la ideea că limbajul este un sistem distinct, un produs al învățării generale sau un proces cognitiv. În acest sens există dovezi cum că limbajul este modular și mai mult poate fi divizat in sub-module (Clibbens, 1990). Unul dintre elementele esențiale ale abilității numerice este abilitatea de a cuantifica seturi de date. În această abilitate sunt implicate trei procese principale: numărarea, enumerarea rapidă a unui număr mic de obiecte și estimarea (Klahr & Wallace, 1973).
Procesul de numărare este unul dintre conceptele mult studiate în literatură, fiind definit prin cele cinci principii ale lui Gelman și Gallistel (1978), (Principiul I – corespondența de unul la unul- Fiecărui item numărat i se poate atașa o singură etichetă lingvistică, nu poți sări un număr si nu poți continua numărătoarea dacă se termină sirul; Principiul II – ordinea stabilă- Numele numerelor trebuie să fie întotdeauna spuse în aceeași ordine, chiar si la numărătoarea inversă(ordinea inversă); Principiul III – cardinalitatea- Numele numărului final, spus la sfârșitul secvenței de numărare, dă valoarea numerică a setului; Principiul IV – abstractizarea- Putem număra orice entitate; Principiul V – irelevanța ordinii- Nu contează în ce ordine (spațială) sunt enumarate obiectele de numărat, contează doar numele numerelor). Existența acestor principii este bine argumentată și un număr mare de cercetări s-au centrat pe analiza și dezvoltarea lor. În ciuda acestor date rămâne încă întrebarea dacă setul scheletic al acestor principii este înnăscut (Gelman & Gallistel, 1978) și ghidează achiziția comportamentelor de a număra sau dacă aceste principii se dezvoltă progresiv după practici repetate cu proceduri de învățare (Fuson, 1988; Siegler & Shipley, 1987). Enumerarea rapidă a unui număr mic de obiecte (Subitization) este procesul prin care figuri foarte mici (între 3 și 4) sunt cunatificate imediat. Cel de-al treilea proces estimarea se referă la cuantificarea unui număr mai mare de itemi. Cele trei procese specificate mai sus nu sunt precis definite (Dehaene, 1992) în literatură, și se pune problema dacă ele există separat de procesul de numărare așa cum a fost el definit de Gallistel și Gelman (1992).
Un punct esențial în înțelegerea deprinderilor numerice îl reprezintă teoria propusă de Piaget (1952). Autorul argumentează că, copiii își vor dezvolta conceptele numerice la momentul potrivit (fiecare copil parcurge în dezvoltarea sa mai multe stadii). În înțelegerea abilității numerice din perspectiva teoriei lui Piaget, punctul central îl reprezintă conceptul de conservare a numărului, care conform autorului precede toate operațiile aritmetice. Această teorie deși are un rol esențial în înțelegerea dezvoltării proceselor psihice la copii și influențează procesul educațional, este mult criticată de o serie de cercetători cum ar fi Donaldson (1978) și Gelman & Gallistel (1978). Critica principală, din perspectiva înțelegerii abilității numerice, se referă la faptul că, copiii sunt capabili să demonstreze înțelegerea conservării la o vârstă mai timpurie decât afirma Piaget dacă se utilizează o metodologie adecvată. Metodologiile alternative (e.g. 'Magic' paradigma utilizată de Gelman și Gallistel, 1978) dar și cercetarea realizată de Hughes (1981), oferă evidențe indirecte cum că, copiii de 3 sau 4 ani pot să înțeleagă adunarea și scăderea, pe când Piaget considera că un copil este capabil de acest lucru doar în jurul vârstei de 6, 7 ani.). Conform clasificarii lui Piaget, școlarul mic se află în stadiul concret operațional al dezvoltării cognitive, caracterizat de transformarea fanteziei infantile in gândire logică și capacitatea de a întelege relațiile cauză – efect.

În conceptia lui J. Piaget, dezvoltarea gândirii în stadiul operațiilor concrete prezintă următoarele caracterisitici:

-mobilitatea crescută a structurilor mentale permite copilului luarea în considerare a diversitătii punctelor de vedere; faptul se datorează cristalizării operațiilor mentale care au la bază achiziția reversibilității: copilul poate concepe că fiecărei acțiuni îi corespunde o acțiune inversă care permite revenirea la starea anterioară.

-în baza operationalității crescânde a gândirii, pasul spre logicitate este făcut si prin extinderea capacității de conservare a invariantilor.

-această achiziție permite saltul de la gândirea de tip functional la cea de tip categorical.

-se dezvoltă operatiile de clasificare, incluziune, subordonare, seriere, cauzalitate.

-se dezvoltă rationamentul cauzal, copiii încearcă să înteleagă, să examineze lucrurile în termeni cauzali.

-ceea ce diferentiază acest prim stadiu logic de următorul este faptul că operațiile mentale rămân dependente si limitate de conținutul pe care îl pot prelucra: materialul concret.

-astfel se explică si caracterul categorial-concret (noțional) al gândirii școlarului mic; în stadiul următor se va completa si desăvârsi procesualitatea cognitivă prin aparitia formelor categorial-abstracte (conceptele).

În urma studiilor s-a constatat că pornind de la vârsta preșcolară sunt anumite manifestări matematice specifice care nu pot fi ignorate, apoi la vârsta școlară mică se observă în procesul de percepere și generalizare a informației matematice ,capacitatea de întelegere și rezolvare a problemelor neuzuale și cotele de progres realizate prin trecerea de la o etapă la alta a învațarii. Din punct de vedere al dezvoltării intelectuale, vârsta scolară mijlocie corespunde stadiului operațiilor formale, cand copilul devine capabil de a se desprinde de concret și de a situa realul într-un ansamblu de transformari posibile. În structura aptitudinilor matematice un rol esențial îl reprezintă capacitatea de percepere formalizată a materialului matematic, însușire care se manifestă în procesul perceperii datelor și condițiilor problemei și constă în înțelegerea rapidă și corectă a structurii sale formale.(V.A.Krutetkii).

În final, la vârsta școlară mare generalizarea materialului matematic se produce imediat și pe planuri multiple, reversibilitatea se manifestă cu egală ușurință atât în operațiile directe, cât și în cele inverse, contragerea raționamentelor devine tot mai profund controlată conștient, reprezentarea spațială se adâncește, reușind să rețină un volum sporit de relații ascunse vederii, iar memoria păstrează cu prioritate schemele generale de acțiune, rezolvările tipice și datele esențiale.

Definirea aptitudinii matematice

APTITUDINILE: Utilizăm deseori expresii precum "apt pentru" sau "inapt pentru…" atunci când ne referim la performanțele pe care cineva le-a obținut în efectuarea unei activitați. De aceea, majoritatea definițiilor date aptitudinilor consideră performanță un criteriu principal în diagnosticarea acestora. Totusi, mulți dintre noi știu că succesul într-o activitate se afla într-o relație directă cu gradul de implicare, cu cantitatea de efort cheltuită, cu calitatea organizării și îndrumării muncii etc. Apare astfel una dintre problemele fundamentale în definirea aptitudinilor, și anume, relația dintre aptitudini si capacităti. Capacitatea psihică se referă la performanțele pe care cineva le obține aici si acum, într-o anumită activitate. Prin urmare, ea este legată de momentul prezent și este influențata de experiența persoanei în domeniul respectiv. De exemplu, când un profesor examinează un elev la ora de matamatică, el evaluează capacitatea acestuia de a opera cu informațiile acumulate. Sub aspect procesual, deprinderile care sunt acțiuni automatizate comportă o simplificare, o reductie treptată a proceselor psihice implicate în componența lor. În același timp, structura aptitudinilor pe masura dezvoltarii lor devine din ce în ce mai complexă, intrucât ea implică un număr crescând de procese psihice, înglobând ca momente chiar si unele deprinderi.

Sub aspect funcțional, în timp ce deprinderile se limitează de obicei la o acțiune sau la o operație, la un algoritm, în componența aptitudinilor se cuprinde, de obicei, o întreagă familie de actiuni variate, susceptibile de a fi înglobate în ansamblul unei activități (tehnice, sportiv matematice, literare, muzicale, etc.).

Aptitudinile sunt subsisteme operaționale ale personalitații care mijlocesc performanțele supramedii in activitate ; ele explică diferentele dintre oameni referitoare la posibilitațile acestora de a-și însusi anumite cunostințe, priceperi si deprinderi.

Din această perspectivă orice funcție sau proces psihic privit din prisma performanței poate fi considerat aptitudine (de exemplu, memoria, spiritul de observatie, etc.).

Aptitudinile se clasifică in doua mari categorii : aptitudinile simple si aptitudinile complexe.

Aptitudinile simple intervin în desfasurarea unor activitati diverse. Ele sunt «  simple » în sensul că au o structură relativ omogenă. La rândul lor aptitudinile simple pot fi împărțite în : aptitudini generale (influentează reușita in aproape orice domeniu –inteligența) ; aptitudini de grup (prezente într-un număr limitat de activități) ; aptitudini specifice (caracteristice unui domeniu restrâns de activitate, asa cum este, de exemplu, « auzul absolut »).

Aptitudinile complexe sunt acele aptitudini care asigura reușita într-un comportament complex, de regulă într-o profesie sau specialitate (aptitudini de lider etc.).

Complexitatea lor rezultă din faptul că sunt structurări variate ale unor aptitudini simple.

Aptitudinea matematică presupune capacitatea de a intui, de a înțelege imediat sau după o perioadă scurtă de timp de tatonare structura de ansamblu a unei probleme, un tip sintetic, global de orientare în problemă, putere de abstracție, imaginație spațială, simțul corelațiilor spațiale și aritmetice (Ruthe, Krutetki, Skemp, Beraru etc. ) .

Aptitudinile matematice, asemenea altor însușiri diferențiale ale persoanei, nu pot fi cu adevărat cunoscute și eficient valorificate fără a reliefa caracteristicile pe care acestea le prezintă în evoluția lor la copil. Experiența logico-matematică își face simțită prezența în formarea și manifestarea aptitudinilor matematice la școlari, este un puternic stimulent pentru dezvoltarea componentelor: orientarea adecvată în sarcină, flexibilitatea proceselor cognitive și capacitatea de a generaliza.

Asimilarea și utilizarea cunoștințelor matematice se bazează pe experiența anterioară a copilului, pe transferul unor priceperi și scheme de acțiune de care acesta dispune. Cu alte cuvinte, un rol important în învățarea matematicii școlare și, implicit, în dezvoltarea aptitudinilor matematice îl au calitățile mnezice. Ca însușire diferențială a persoanei, memoria trebuie abordată cel puțin sub următoarele două aspecte: a) ca orientare mnezică generală a persoanei și b) ca particularitate tipologică, manifestată în fazele de percepere, păstrare și valorificare a informației matematice. În planul orientării mnezice se constată că elevii cu aptitudini matematice superior dezvoltate se deosebesc de colegii lor mai puțin dotați pentru această disciplină prin:atenția sporită pe care o acordă aspectelor cantitative și spațiale ale realității, interesul și plăcerea față de problematic, amploarea și rapiditatea cu care rețin informațiile vehiculate prin numere, imagini și formule, ușurința cu care stabilesc relații logice între datele unei probleme etc.

Elevii cu aptitudini matematice superior dezvoltate caută și de cele mai multe ori găsesc

soluția corectă, în timp ce colegii lor mai puțin dotați persistă în eroare, repetă aceleași greșeli. Valorificarea experienței anterioare este puternic marcată de complexitatea sarcinii. În cazul probelor relativ simple, aproape toți subiecții trec fără ezitări la acțiune, folosind scheme și modalități de rezolvare rutiniere. Cu totul alta este situația în cazul sarcinilor complexe, când elevii cu aptitudini matematice slab dezvoltate nu reușesc să le rezolve decât cu ajutor mediu sau maxim din partea examinatorului, încep să manifeste nesiguranță, apatie, nemulțumire și chiar abandon. În schimb, subiecții cu aptitudini matematice superior dezvoltate învață masiv din propriile greșeli și nu au nevoie decât rareori de ajutor extern,devin mai hotărâți, dornici de a se confrunta cu necunoscutul, cu problematicul.

Niciunul dintre aceștia din urmă nu se declară dezamăgit sau „învins”, nu devine sceptic în privința posibilităților sale de a găsi soluția corectă. În strânsă legătură cu memoria este factorul experiență logico-matematică. Acumulată treptat în diverse activități anterioare (joc, comunicare, învățare școlară și extrașcolară), acest tip de experiență joacă un rol important în formularea și rezolvarea de probleme cu conținut matematic.Ideea de mai sus apare în lucrările multor autori. Aptitudinea matematică – notează Al. Roșca și B. Zörgö – depinde nu numai de contactul activ cu modelul extern al activității matematice, ci și de anumite condiții interne. Sunt necesare anumite potențialități active primare formate în experiența de toate zilele pe baza modelelor genetice, cum ar fi de exemplu anumite procese ale gândirii, ale memoriei, atenției etc.. Cu alte cuvinte, nu activitățile în sine, nu experiența ca volum de cunoștințe, priceperi și deprinderi intră aici pe prim plan.

Ceea ce contează este efectul acestora asupra proceselor psihice implicate în activitatea matematică. Experiența logico-matematică își face simțită prezența în formarea și manifestarea aptitudinilor matematice la școlari, este un puternic stimulent pentru dezvoltarea componentelor: orientarea adecvată în sarcină, flexibilitatea proceselor cognitive și capacitatea de a generaliza. Un anumit rol în structura aptitudinilor matematice la școlari îl au și alte componente psihice cum sunt: capacitatea de a memora și opera cu simboluri; mecanismele de autocontrol și autoreglare; concentrarea atenției; fluiditatea verbală ș.a. Fără a avea valori și ponderi la fel de ridicate ca primele prezentate (orientarea în problemă, generalizarea, flexibilitate, reprezentarea spațială și atracția pentru problematic), acestea din urmă conferă, totuși, structurii psihice un plus de originalitate și eficiența.Aptitudinile matematice, asemenea altor însușiri diferențiale ale persoanei, nu pot fi cu adevărat cunoscute și eficient valorificate fără a reliefa caracteristicile pe care acestea le prezintă în evoluția lor la copil. „Sarcina psihologiei nu constă în a descoperi eternul infantil, ci istoricul infantil sau, folosind expresia poetică a lui Goethe, am putea spune efemerul infantile. A pune în evidență formele succesive sub care se manifestă aptitudinea matematică la școlari este o operație extrem de dificilă. Există mai multe cauze care generează o astfel de dificultate: diversitatea de opinii cu privire la caracteristicile aptitudinale ale elevilor, în general; dezvoltarea componentelor aptitudinale în funcție de metodele și strategiile utilizate în procesul de învățare a matematicii; proprietatea ca atare a aptitudinii de a evolua în timp nu după o traiectorie prestabilită, ci după un model cibernetic complex și greu de descifrat; eterogenitatea metodelor și instrumentelor de lucru utilizate în cercetare s.a.

2.3.Componentele aptitudinii matematice

Aptitudinea matematică este o substructură a personalității, relativ independentă, care are componente cognitive, afectiv-motivaționale și volitive și care, pe măsura constituirii sale, facilitează obținerea de performanțe școlare și profesionale în domeniul matematicii, superioare mediei celor realizate de elevii de aceeași vârstă sau de persoanele cu pregătire școlară similară (Berar, 1991).

Asemănător celorlalte aptitudini, aptitudinea matematică reprezintă o structură care se realizează în timp, pe baza potențialităților determinate ereditar, dar numai în cursul și în urma contactului activ al copilului cu matematica.

Eficiența procesului de stucturare a aptitudinii matematice depinde de (Roșca, Zörgö, 1972):

gradul de dezvoltare a funcțiilor mentale (analiză, sinteză, generalizare, abstractizare, capacitate de concentrare);

felul contactului persoanei cu matematica (activ sau pasiv) și metodele învățământului matematic;

factori motivaționali, precum interesul, aspirațiile, perseverența persoanei;

factori emoționali (de pildă, este cunoscut faptul că stările de anxietate create de profesor pot inhiba structurarea aptitudinii matematice).

Aptitudinea matematică este un construct multidimensional. Specialiștii care s-au ocupat cu investigarea ei nu au ajuns la un consens cu privire la componentele sale. Părerile lor sunt diferite, fiind influențate de probele psihologice utilizate în cercetare și de metodele cu care au fost prelucrate datele.

Factorii care acoperă cele mai mari părți din varianța totală corespund următoarelor componente:

Gândirea matematică: reprezintă capacitatea de a opera cu informații matematice și de a formula judecăți pertinente în sfera datelor și a relațiilor matematice.

Capacitatea de a generaliza în sfera obiectelor și a relațiilor matematice reprezintă capacitatea de a sesiza, reține și valorifica în mod adecvat date, aspecte, relații cu caracter matematic care sunt comune și esențiale pentru mai multe situații ori pentru mai multe categorii de probleme. Această capacitate facilitează rezolvarea unor sarcini care necesită deducerea unui algoritm sau a unei reguli.

Capacitatea de orientare adecvată în sarcina dată reprezintă capacitatea de a intui, de a sesiza rapid (imediat sau după o anumită perioadă de tatonare) sensul exact și structura de ansamblu a problemei. Ea poate fi înțeleasă ca „intuiție matematică”, „sensibilitate matematică” sau „simț matematic”.

Capacitatea de percepere, reprezentare și operare cu figuri și relații spațiale reprezintă capacitatea de a construi mental imaginea unui obiect absent, cu respectarea formei și a mărimii sale, a poziției, distanței și direcției acestuia.

Flexibilitatea proceselor cognitive reprezintă capacitatea de a opera cu ușurință transferul din planul perceptiv în cel figural și în cel conceptual. Această componentă permite restructurarea eficientă a mersului gândirii și găsirea unui număr cât mai mare de relații între elementele unei probleme.

Experiența logico-matematică reprezintă o calitate psihică ce permite să se realizeze perceperea, prelucrarea și utilizarea informației matematice. Ea se dezvoltă ca urmare a achiziției de cunoștințe, priceperi și deprinderi matematice.

Alte componente ale aptitudinii matematice, evidențiate în aceeași cercetare, care au o pondere mai redusă decât cele enumerate mai sus, sunt:

un grupaj de calități ale atenției: modul de orientare în sarcina dată, volumul informației achiziționate și utilizate, capacitatea de concentrare asupra activității desfășurate;

capacitatea de memorare a datelor, relațiilor și operațiilor matematice, care ajută la perceperea și înțelegerea condițiilor și a cerințelor din problemele matematice;

atracția către problematic, care cuprinde mobilurile interne ale conduitei, formată și dezvoltată pe baza curiozității epistemice a copilului și a trăirilor afectiv-emotive derivate din satisfacerea acesteia.

Componentele inteligentei matematice sunt:
– gândirea matematica (ce imprima o receptivitate fata de acest domeniu si presupune întelegerea rapida a sensului si a structurii formale a problemei)
– capacitatea de a abstractiza, formaliza si generaliza materialul matematic
– capacitatea de a releva regula si tipul de solutii transferabile în rezolvarea problemelor similare
– capacitatea de a întelege limbajul matematic, de a opera cu simboluri
– capacitatea de a rationa logic si ordonat
– capacitatea de a condensa rationamentele
– gândire operatorie si flexibila (prezenta prin capacitatea de restructurare permanenta a experientei anterioare, de a descoperi solutii multiple)
– flexibilitate si plasticitate a gândirii matematice; aceasta provine din caracterul reversibil si structurat al operatiilor intelectuale. (Plasticitatea se refera la posibilitatea ca o aceeasi problema sa poata fi rezolvata tot atât de corect atât intuitiv cât si printr-un demers logic, abstract)
– capacitate de reprezentare spatiala
– memorie matematica
– cunostinte, priceperi, deprinderi matematice
– atitudinea pozitiva fata de activitatea matematica
Desi se presupune ca, în general, la o populație oarecare de dimensiuni normale, distribuția aptitudinilor pentru matematică se apropie de distribuția normală și că elevii cu aptitudini scăzute pentru matematică nu pot învata tot atâta sau nu tot atât de profund ca cei cu aptitudini înalte, unele studii arată că performanțele pot fi la fel de ridicate atunci când pentru elevii cu aptitudini scăzute beneficiaza de un volum mai mare de instruire asupra materialului de învatat. J. Piaget (în [38], p. 40) spune că "există o anumită categorie de elevi, de altfel foarte inteligenti și care în alte domenii pot chiar să dea dovadă de o inteligență superioară, dar care eșuează mai mult sau mai putin sistematic la matematică[…] La această problemă se da de obicei un răspuns puțin cam facil, vorbindu-se de «aptitudini» pentru matematică. Dar dacă ceea ce am presupus privind raporturile dintre această formă de cunoaștere si structurile operatorii fundamentale ale gândirii este exact, atunci fie că această aptitudine se confundă cu inteligența însasi, ceea ce se consideră că nu este exact, fie că ea se referă în întregime nu la matematică ci la maniera în care ea este predata." Piaget arata că în procesul predării cunostințelor de matematică se face apel la un limbaj specific, marcat de un simbolism accentuat și care solicita din partea celui care încearca să și-l însușească un anumit nivel de abstractizare. În acest caz, este foarte posibil ca ceea ce se întelege în mod uzual prin "aptitudine matematică" să se refere la întelegerea acestui limbaj sau la viteza de procesare a limbajului de tip matematic si nu la întelegerea structurilor matematice specifice.
Indici ai aptitudinii matematice:
– însușirea rapidă si temeinică a noțiunilor de matematică,
– efectuarea rapidă și prescurtată a lanțului de raționamente și operații necesare rezolvării de problem,
– trecerea rapidă și ușoară de la raționamentul direct la raționamentul invers în procesul de studiere a materialului mathematic,
– transformarea ușoară si originală a principiului rezolvării de probleme de acelasi tip.
Procesul de dezvoltare a aptitudinilor în general –și a aptitudinii pentru matematică în special- trebuie studiat alături de diferențele individuale si de procesul de învațare a elevului. Determinând aptitudinea pentru matematică si favorizând atitudinea pozitiva față de aceasta în cadrul procesului de învațare, vom putea prevedea mai usor posibilitațile lor de dezvoltare. Procesul dezvoltarii aptitudinii față de matematică este în strânsa legatură cu cel al dezvoltării intereselor elevului pentru acest domeniu. Interesul se concretizează cel mai adesea într-un randament pozitiv, acesta fiind un indicator al existenței unei aptitudini.

2.4.Importanța evaluării abilității numerice

Evaluarea este actul didactic complex, integrat întregului proces de învățămînt, care asigură evidențierea cantității cunoștințelor dobândite și valoarea (nivelul, performanțele și eficiența) acestora la un moment dat, oferind soluții de perfecționare a actului de predare-învățare.

Dintre multiplele aspecte ale evaluării, evaluarea școlară reprezintă un ansamblu de activități în funcție de anumite intenții, care transpun datele imediate, raportîndu-le la o serie de funcții și scopuri bine determinate. Scopul evaluării nu este de a obține anumite date, ci de a perfecționa procesul educativ.. Fiind un proces multidimensional, se pot identifica, în funcție de criteriile alese, mai multe tipuri de evaluare. Cele mai importante dintre acestea sunt:

După domeniu:

evaluarea în domeniul psihomotor (capacități, aptitudini, deprinderi);

evaluarea în domeniul socio-afectiv (atitudini);

evaluarea în domeniul cognitiv (cunoștințe).

După obiectul evaluării:

evaluarea procesului de învățare (atît a achizițiilor, cît și a procesului în sine);

evaluarea performanțelor (realizate individual, în grup sau de către grup);

evaluarea a ceea ce s-a învățat în școală sau a ceea ce s-a întîmplat în afara școlii.

După accentul pus pe proces sau pe sistem:

evaluarea de proces – se referă la performanțele elevilor;

evaluarea de sistem – accentul se pune pe sistemul în care se desfășoară procesul (participanții la proces, instituții, organizarea sistemului).

Evaluarea reprezintă un proces de obținere a informațiilor despre elev, profesor, program sau sistem educațional în ansamblu, cu ajutorul unor instrumente de evaluare, în scopul elaborării unor judecăți de valoare care sunt raportate la criteriile propuse asupra acestor informații în vederea elaborării unor aprecieri pe baza cărora se vor lua o serie de decizii (privind conținutul, metodele, strategiile, demersul sau produsul etc.). Pe scurt, prin procesul de evaluare ne pronunțăm asupra stării unui fapt sau proces la un anumit moment, din perspectiva informațiilor pe care le selectăm cu ajutorul unui instrument, ce ne permite să măsurăm în raport cu o anumită normă.

Evaluarea implică trei componente interdependente: controlul, aprecierea și notarea.

Controlul (verificarea) este componenta evaluării de constatare de către profesor sau de

calculator a volumului și a calității cunoștințelor teoretice și practice dobîndite de elev;

Aprecierea este componenta evaluării care asigură estimarea (evidențierea) valorii, a nivelului și a performanțelor cunoștințelor dobîndite de elev;

Notarea este componenta evaluării care realizează măsurarea și validarea rezultatelor pregătirii elevului în urma controlului și aprecierii, care se obiectivează prin anumite semne (coduri și simboluri) convenționale, denumite note.

Evaluarea aptitudinii numerice este o componentă importantă atât a bateriilor de evaluare a aptitudinilor, cât și a evaluării inteligenței. Probe de evaluare a abilităților numerice sunt incluse in testele complexe de inteligență (WISC-R, WAIS-R, Wechsler, 1981), iar modelele "multidimensionale ale inteligenței consideră aptitudinea numerică o manifestare specifică a acesteia(partea inteligenței logico-matematice Gardner, 1983).

În ultimii ani, studiul empiric privind întelegerea abilității numerice a devenit un domeniu major de cercetare în științele cognitive. Rezultatele obținute au permis, astăzi, realizarea unei imagini comprehensive a ceea ce înseamnă această abilitate (Giaquinto, 2001).

Aptitudinea numerică reprezintă capacitatea de a înțelege și opera cu conținuturi matematice.

Studiile de metaanaliză au identificat în componența aptitudinii numerice două aspecte

importante:
a).Abilitatea de calcul matematic – capacitatea de a realiza rapid și corect calcule matematice

simple, utilizând cele patru operații aritmetice: adunare, scădere, înmulțire, împărțire.
. b).Capacitatea de raționament matematic – abilitatea de a analiza o problemă matematică și a utiliza metoda potrivită pentru rezolvarea ei.(Snow & Swanson , 1992).

Evaluarea cu acuratețe a aptitudinii numerice presupune cu necesitate evaluarea acestor doua componente.

Testele de evaluare a abilității numerice apar în cele mai multe baterii de teste de evaluare a aptitudinilor generale, deoarece angajatorii doresc de cele mai multe ori câteva informații despre abilitatea persoanei de a utiliza numere, chiar dacă aceasta nu este o condiție absolut necesară pentru un job. În literatura de specialitate nu există o distincție clară între conceptul de "abilitate numerică" sau "aptitudine numerică". Bateriile de teste de evaluare a aptitudinilor cognitive consacrate acestor evaluari sunt: The Armed Services Vocational Battery (ASV AB) – bateria pentru aptitudini vocaționale pentru serviciile armatei, (Bayroff și Fuchs (1970) ) Computer Programator Aptitude Batery (CPAB) – bateria de aptitudini pentru operatorul pe computer, (M. Palormo ),The Differential Aptitude test(DAT)- (Bennett, Seashore, Wesman,1966,1974. 1982. 1984) The Employee Aptitude Survey (EAS) – măsurarea aptitudinilor angajatului. ( F.L.Ruch & W.W. Ruch , Flanagan Aptitude Classification Tests (FACT) – testele Flanagan de clasificare a aptitudinilor, FACT a fost creat în 1959, de către Flanagan , General Aptitude Test Battery (GATB) – Bateria de aptitudini generale, Mental Primary Abilities (PMA) – Aptitudini mentale primare, (Thurstone& Thurstone).

După cantitatea de informații incorporabile de către elevi se intalnesc două tipuri de evaluări: evaluarea parțială – când se verifică elementele cognitive sau comportamente secvențiale (se foloseste ascultarea curenta, extemporale, probe practice) și evaluarea globală – atunci cand cantitatea de cunoștinte este mare, datorita acumularii acestora ( sunt folosite pentru evaluare examenele si concursurile).

Prin imbinarea celor doua criterii, se ajunge la o clasificare mai complexă, care a devenit deja clasică, si anume:

a).Evaluarea cumulativă (sumativă) – este cea care se realizează prin verificari partiale de sondaj, pe parcursul programului, ce se incheie cu aprecieri de bilant asupra rezultatelor. Aceasta are efecte reduse asupra îmbunatațirii procesului de învațare, si exercita funcția de clasificare a elevilor. Dezavantaje sunt mai multe: crează o situație de stres si neliniste la elevi și ocupă o mare parte din timpul instruirii.

b).Evaluarea continuă (formativă) – are loc pe tot parcursul procesului didactic realizandu-se pe secvențe mai mici, prin verificarea performanțelor tuturor elevilor și al conținutului esențial al materiei parcurse. Această metodă are drept scop ameliorarea procesului de învatare, permitând găsirea neajunsurilor, lipsurilor si greutătilor ajungându-se astfel la perfecționarea activitații didactice. Acest tip de evaluare creează relații de cooperare între profesori si elevi, dezvoltând atât capacitatea de evaluare cât si cea de autoevaluare în rândul elevilor.

Evaluarea sau examinarea, reprezintă actul didactic complex, integrat întregului proces de învatamânt, care urmărește măsurarea cantitații cunoștințelor dobândite, ca și valoarea, nivelul, performanțele și eficiența acestora la un moment dat, oferind soluții de perfecționare a actului didactic. A evalua rezultatele școlare înseamnă a determina măsura în care obiectivele programului de instruire au fost atinse, precum si eficiența metodelor de predare-învațare. Aceasta este punctul de final dintr-o succesiune de actiuni cum sunt: stabilirea scopurilor pedagogice, proiectarea si executarea programului de realizare a scopurilor sau măsurarea rezultatelor aplicarii programului.

Esența evaluării este cunoașterea efectelor acțiunii desfășurate, pentru ca pe baza informațiilor obținute, această activitate să poată fi ameliorată în timp. Evaluarea înseamnă deci: măsurarea, interpretarea, apresierea rezultatelor si adoptarea deciziei. Există trei tipuri de evaluare:

evaluarea initială – se face la începutul unei etape de instruire si stabilește nivelul de pregătire anterior al elevilor.

evaluarea continuă – se realizează în timpul instruirii si cercetează masura în care elevii încorporează informațiile transmise.

evaluarea finală – se realizează la sfarșitul perioadei de formare si analizează cunoștințele pe care elevii și le-au însusit în acea perioadă.

Metode tradiționale de evaluare folosite la școală sunt următoarele:

a. Probe orale – sunt cele mai utilizate metode la clasă și prezintă avantajul că favorizează dialogul, elevii având posibilitatea de a-și argumenta răspunsul. Profesorul poate interveni și el corectând sau completând raspunsul celor chestionați. În folosirea acestei metode trebuie să se țină seama de o serie de limite precum: gradul diferit de dificultate al întrebărilor, emotivitatea elevilor, starea afectivă a cadrului didactic, indulgența sau exigența exagerată si altele.

b. Probe scrise – se concretizează prin lucrări de control sau teze și sunt preferate celor orale pentru că prezintă unele avantaje: posibilitatea verificarii unui numar mare de elevi în același timp, raportarea rezultatelor la un criteriu unic de validare (înlaturând subiectivismul profesorului) si avantajarea unor elevi timizi. Prezintă și dezavantaje: eventualele erori efectuate de elevi în formularea raspunsurilor nu pot fi lămurite si corectate pe loc de către cadrul didactic iar elevii nu mai pot fi direcționați utilizând întrebări ajutătoare.

c. Probele practice – se folosesc la unele discipline specifice si evaluează capacitatea elevilor de a aplica în practică unele cunostințe si gradul de stapânire a priceperilor formate. Ca forme de realizare amintim: experiențele de laborator, lucrările experimentale, desene, schițe, grafice.

Metode alternative de evaluare:

Investigația – este o posibilitate pentru elev de a aplica în mod creator cunoștințele ; este limitată la o ora de curs; solicită elevul la indeplinirea unei sarcini de lucru precise în care iși poate demonstra un întreg complex de cunostințe si capacitați; urmăreste formarea unor tehnici de lucru în grup și individual.

Proiectul este o activitate mai amplă ce permite o apreciere complexă a învațării, ajutând la identificarea unor calitați individuale ale elevului. Desi implică și o parte de studiu individual în afara clasei, această activitate este foarte motivanta pentru elevi.

Portofoliul este un instrument de evaluare complex ce include experiența si rezultatele obținute prin celelalte metode de evaluare, urmărind progresul global efectuat de elev. Reprezintă un mijloc de a valoriza munca individuală a elevului si acționează ca un factor de dezvoltare a personalitații.

Autoevaluarea este o metodă care ajută elevii să-și dezvolte capacitațile de autocunoaștere, să-și valorizeze atat cunoștințe cât și atitudini și comportamente.

Examenele – sunt modalitați de evaluare externă, care certifică la sfarșitul ciclului școlar cunostințele si competențele elevilor sau le permit acestora să avanseze într-o nouă formă de învatamânt (examenele de admitere).

Evaluarea trebuie asociată cu posibilitatea de reflectare asupra rezultatelor, cu formarea unei imagini cât mai corecte despre sine, nu numai cu lipsurile pe care le are elevul, dar mai ales cu calitățile pe care le poate valorifica și dezvolta de aici încolo.

2.5. Competențele matematice

Punctul de vedere clasic (competențe matematice cantitative) al lui Piaget este acela că nu putem vorbi despre abilitați matematice până la dezvoltarea conceptului de număr și apariția conservării numărului, care se înregistrează abia în jurul vârstei de 5-6 ani. Acest concept de număr este înteles pe baza clasificării și serierii.

O idee centrală a teoriei piagetiene cu privire la conceptul de numar este înțelegerea echivalenței numerice: adică, stabilirea corespondenței unu la unu între elementele a două șiruri, chiar atunci când lungimea unui șir se modifică, fără a modifica însă numărul de elemente.

Aceeași teorie afirma că nu putem vorbi despre adunare și scădere pâna la aparitia conceptului de număr; și de asemenea nu putem echivala apariția acestui concept cu faptul că cei mici știu să „numere” de la 1 până la 10 sau chiar mai mult.

• Există însă două categorii de date ale cercetarilor recente care contrazic teoria piagetiana, aratând că:

1) există abilitați numerice pe care copiii le au cu mult înainte de a dobândi conceptul abstract de număr; copiii înteleg invarianta cantitativă înainte de a demonstra capacitatea de conservare a numărului;

2) dacă sarcinile tradiționale piagetiene se modifică, chiar și copiii mai mari, care înainte demonstrau că au conceptul de număr, esuează.

Un astfel de experiment este cel în care se pun în corespondentă două șiruri cu 5 bomboane, dar pe unul din șiruri ultima bomboană e tăiată în două, iar o jumătate e pusă la o anumită distanță pentru a “lungi” acel șir.

Dacă sunt întrebați de pe ce șir ar putea mânca mai mult, 88% dintre cei de 5 ani dar si 31% dintre cei de 8 ani răspunde că de pe șirul al doilea (cel cu bomboana tăiată).

Dacă pe al doilea șir se pun tot 5 bomboane, dar mai mari, și copiii sunt întrebați din nou din care șir ar putea mânca mai mult, 81% dintre cei de 5 ani si 56% dintre cei de 8 ani răspund că cele două șiruri sunt egale (ca cantitate de dulciuri).

Deci identitatea numerică devine pentru ei identitate cantitativă.

Este important de reținut faptul că inclusiv adultii, în foarte multe cazuri, nu reusesc să detașeze numărul de cantitate(de exemplu, când trebuie să estimeze valoarea numerică a unui set de monede).

Înca de la primele contacte cu formele sau cu numerele, copiii încep sa-și formeze o concepție despre matematică. În mod implicit, profesorii furnizeaza informații si experiențe care vor fundamenta concepțiile elevilor față de matematică. Aceste concepții exercită o influență puternică asupra formării capacității de autoapreciere a elevilor privind propriile aptitudini, privind dorința de implicare în sarcinile de învațare a matematicii si asupra formării atitudinii lor fată de matematică.
În urma prelucrării rezultatelor la un test de aptitudini scolare, Benbow si Stanley (1980, cf. 31) au afirmat ca băieții au avut performanțe mai bune decât fetele si aceasta concluzie a fost pusa pe seama unor diferențe de ordin biologic. Imediat ziarele (“Newsweek” din 15.12.1980) au preluat informația și au anunțat că “bărbații posedă o genă a matematicii”! În ciuda reacțiilor critice imediate si ale protestelor vehemente privind modul de elaborare a experimentului (în cadrul caruia nu s-au efectuat nici un fel de măsuratori privind componentele de ordin biologic însa concluziile i-au invocat), presa nu s-a mai deranjat să efectueze corecțiile necesare și în acest mod stereotipul “fetele nu se pricep la matematica” a fost întarit.

În 1991, Keller si Sutton (apud ) au conceput o “hartă” a ariilor corticale care țin de aptitudinile pre-matematice. Cu toate că cercetările efectuate au relevat o dotare naturală a creierului cu resurse pentru a face fată cerințelor domeniului matematicii, se pare ca emisfera dreapta (în întregime) este responsabilă cu organizarea vizual- spațială iar ariile de asociere ale emisferei stângi de lectura și întelegerea problemelor verbale, de întelegerea conceptelor matematice și a procedeelor matematice. Lobii frontali (din ambele emisfere) raspund de efectuarea calculelor mentale simple, de conceptualizarea abstracta ca și de rezolvarea problemelor scrise și orale. Lobul parietal stâng ține de abilitațile de secvenționalizare, lobii occipitali (ai ambelor emisfere) de discriminarea vizuală a simbolurilor matematice scrise iar lobul temporal stâng de memoria faptelor matematice bazale, subvocalizate în timpul rezolvării de probleme.
Observând dispersarea acestor zone pe toată suprafata creierului putem deduce că, spre deosebire de limbaj (care dispune de arii privilegiate pe cortex), în cazul competenței si conduitei matematice nu exista zone corticale privilegiate, “matematice”. De aceea, competența matematică a elevilor în școală presupune intrarea în funcție a tuturor mecanismelor ce țin de contactul direct cu realul (senzații, percepții, reprezentări), de medierea simbolică a realului (prin notiuni, concepte, judecăți, raționamente), de mecanismele psihice complexe ( memorie, gândire, imaginatie) si a celor de energizare și de sustinere a activitatii (atenție, voință si cele afectiv- motivaționale). Competența matematică presupune activarea capacitaților și mecanismelor psihice relevate mai sus iar conduita matematică presupune implicare (bazata pe interes, pe înclinatia către acest domeniu), autovalorizare (deci încredere în sine) si apelul la experiența anterioară în domeniul matematic, pe baza competenței potențiale.

2.6. Manifestarea aptitudinilor matematice la elevii de vârstă școlară mică (7-11 ani)

Este cunoscut faptul că învățătoarele sunt adesea frapate de ușurința și rapiditatea cu care unii dintre elevii lor înțeleg, rețin și operează cu numere și relații cantitative, de rigurozitatea logică a gândirii lor. Mai în glumă, mai în serios aceștia sunt etichetați drept „matematicienii” clasei.

V.A. Krutețkii prezintă mai multe cazuri de copii superior dotați în domeniul matematicii. Așa de exemplu, Sonia L. la vârsta de 3 ani știa să numere până la 100, la 4 ani explica fratelui său mai mare cum se scade 14 din 27 (la început se scade 10, se obține 17 și apoi 4 și se obține 13), la 5 ani ajunge la noțiunea de fracție, iar la 5-6 ani avea o anumită intuiție a numerelor negative. La 8 ani avea nivelul unui elev de clasa a VI-a, reușea să rezolve probleme de tipul: Care este lungimea și viteza trenului, dacă el trece pe lângă un stâlp în 1/4 minute, iar un tren lung de 540 metri îl străbate în 45 secunde?”

Datele cele mai convingătoare sunt, fără îndoială, cele rezultate din cercetări experimentale. Utilizând metoda analizei procesului de rezolvare a unor probe matematice experimentale, I.V. Dubrovina găsește că superioritatea elevilor cu aptitudini reale pentru matematică comparativ cu colegii lor mai puțin dotați constă în:

        Perceperea imediată a datelor și relațiilor dintre acestea, formularea corectă a întrebării.

        Rezolvarea problemelor în formă generalizată, ca tipologie și nu doar ca un caz concret.

        Găsirea imediată a principiului (-iile) de organizare a unor serii de numere.

        Manifestarea tendinței de condensare/contragere a raționamentelor în rezolvarea problemelor de matematică.

        Aflarea mai multor soluții la o problemă dată; trecerea cu ușurință de la un mod de rezolvare la altul (la unul diferit).

        Tendința spre simplitate și economicitate.

        Reținerea/memorarea cu precădere a principiilor de rezolvare și mai puțin a datelor concrete

Datele obținute în cadrul unor cercetări, având ca scop problema cunoașterii și dezvoltării abilității de simbolizare, respectiv de percepere și reprezentare spațială, indică același fenomen: conturarea / „schițarea” la elevi încă din primii ani ai contactului sistematic cu matematica, a unor însușiri psihice specifice, asemănătoare ca funcționalitate cu viitoarele componente structurale ale aptitudinilor matematice.

            S-a constatat, astfel, că mai mult de jumătate din elevii claselor mici (7-11 ani), deși nu utilizaseră mai înainte alte semne decât numerele arabe, reușesc , după 1-2 exerciții de învățare, să rezolve destul de repede și corect probleme în care sarcina era de a stabili relații și de a efectua operații aritmetice simple cu date simbolice de tipul: numere grupate (de fapt, puncte în număr de 3, marcate pe un suport material), desene cu obiecte și ființe, având caracteristici cantitative și spațiale diferite și, în fine, semne algebrice (litere), reprezentând unul sau mai multe numere.

Ținând seama de faptul că în învățarea matematicii fiecare nouă etapă începe, de regulă, cu rezultatele etapei anterioare și se termină cu elaborarea unor modele noi de acțiune, avem toate motivele să presupunem că ascendența dobândită la un moment dat va deveni suport pentru dezvoltarea unor componente aptitudinale specifice. În strânsă legătură cu memoria este experiența logico-matematică. Acumulată treptat în diverse activități anterioare (joc, comunicare, învățare școlară și extrașcolară), acest tip de experiență joacă un rol important în formularea și rezolvarea de probleme cu conținut matematic.

Ideea de mai sus apare în lucrările multor autori. „Aptitudinea matematică – notează Al. Roșca și B. Zörgö – depinde nu numai de contactul activ cu modelul extern al activității matematice, ci și de anumite condiții interne. Sunt necesare anumite potențialități active primare formate în experiența de toate zilele pe baza modelelor genetice, cum ar fi de exemplu anumite procese ale gândirii, ale memoriei, atenției etc.”[23]. Cu alte cuvinte, nu activitățile în sine, nu experiența ca volum de cunoștințe, priceperi și deprinderi intră aici pe prim plan. Ceea ce contează este efectul acestora asupra proceselor psihice implicate în activitatea matematică.

Interesantă este și evoluția capacității de percepere și reprezentare spațială la școlarii mici. Aceasta apare ca fiind relativ bine dezvoltată în cazul sarcinilor simple (de exemplu, perceperea figurilor plane, bidimensionale) și slab dezvoltată, în sarcinile complexe (perceperea figuri tridimensionale). Cele două aspecte ale capacității de percepere și reprezentare urmează în evoluția lor traiectorii relativ distincte: diferența dintre cotele obținute la probele „figuri plane” și respectiv „figuri în spațiu” este maximă la nivelul clasei a II-a (8 ani), devine moderată / medie la nivelul clasei a V-a (12 ani) și minimă la vârsta adolescenței.

            În concluzie, se poate afirma că la școlarii mici (8-11/12 ani), deși nu apare o structură aptitudinală propriu-zisă, anumite manifestări specifice nu pot fi ignorate. Avem în vedere în acest sens diferențele observate în procesul de percepere și generalizare a informației matematice, capacitatea de înțelegere și rezolvare a problemelor neuzuale și cotele de progres realizate prin trecerea de la o etapă la alta a învățării.

2.7. Analiza tipurilor de teste de evaluare:

Testele de evaluare a aptitunii numerice sunt utilizate în special pentru a măsura abilitatea unei persoane de a realiza o serie de sarcini care implică numere. P. , realizat o clasificare a testelor de evaluare a aptitudinii numerice, după cum urmează:

-teste de evaluare: – Aritmetică
– Fracții
– Centile
– Raționalizări
– Estimări
– Serii de numere
-Raționament numeric
-Interpretarea datelor
Studiile de metaanaliză au identificat în componența aptitudinii numerice două aspecte importante (Snow & Swanson, 1992):
– Abilitatea de calcul matematic – capacitatea de a realiza rapid și corect calcule matematice simple, utilizând cele patru operații aritmetice: adunare, scădere, înmulțire, împărțire.
– Capacitatea de raționament matematic – abilitatea de a analiza o problemă matematică și a utiliza metoda potrivită pentru rezolvarea ei. Evaluarea cu acuratețe a aptitudinii numerice presupune cu necesitate evaluarea acestor două componente.

Abilitatea de Calcul Matematic:
Calculul matematic este un aspect important al cogniției, reprezentând în mare măsură capacitatea de prelucrare a cunoștințelor matematice achiziționate (Mandele, Knoefel & Albert, 1994).
Componentele majore implicate în realizarea calculelor matematice sunt: cunoștințele de calcul matematic și procesarea informațiilor numerice. O performanță superioară de calcul este dependentă de cantitatea și calitatea cunoștințelor subiectului, precum și de rapiditatea de accesare și operare asupra acestora.
Studiile de specialitate au identificat trei tipuri de cunoștințe de calcul matematic (Giaquinto, 2001; English & Halford, 1995):
a) cunoștințe declarative, ce cuprind cunoștințe referitoare la rezultatul unor operații (spre exemplu, a ști că 12 este rezultatul sumei dintre 8 și 4 sau că 25 este radicalul lui 625);
b) cunoștințe procedurale, respectiv algoritmi și strategii de calcul (spre exemplu, cunoștințe referitoare la modul de realizare a operațiilor de adunare, scădere. înmulțire, împărțire și cunoștințe legate de ordinea operațiilor);
c) cunoștințe conceptuale sau strategice, respectiv concepte și teorii care facilitează activarea cunoștințelor declarative și procedurale potrivite contextului. Acestea implică reprezentarea corectă a conținuturilor numerice.
Informațiile numerice sunt codate în mintea noastră sub forma a trei tipuri de reprezentări: a) reprezentarea vizuală (notația arabă, notația romană), b) reprezentarea auditivă/verbală, c) reprezentarea cantitativă a numerelor (cantitatea analogă) (Dehaene & Cohen, 1997). Reprezentarea vizuală mediază procesarea inputului și outputului operațiilor cu numere, evaluarea parității numerelor și realizarea operațiilor cu trecere peste ordin; reprezentarea auditivă mediază procesarea inputului și outputului verbal (scris sau vorbit), procesele de numărare și stocarea rezultatelor operațiilor matematice memorate; reprezentarea cantitativă oferă o bază pentru compararea numerelor, aproximarea rezultatelor și estimările numerice, contribuind în special la scurtcircuitarea calculelor. Diferențele individuale în performanța de calcul pot fi atribuite facilității cu care subiectul face trecerea dintr-un sistem de codare în altul, proces care poartă denumirea de transcodare a informațiilor numerice.
Principalele metode de evaluare a abilității de calcul matematic sunt:
a) Calculul matematic exact (GATB) – unde sarcina subiectului este de a efectua diverse operații matematice simple și de a alege răspunsul exact dintre mai multe variante date. Studiile de psihologie au evidențiat faptul că aceste sarcini sunt o măsură bună a celor două componente implicate în calculul matematic: cunoștințele de calcul și rapiditatea procesării informațiilor

numerice (Giaquinto, 2001).
b )Estimările (SAT) – sarcina subiectului este de a realiza un calcul estimativ și a alege dintre mai multe variante de răspuns cea mai bună aproximare a răspunsului corect. Aceste sarcini pot fi realizate fără a apela la cunoștințe de calcul foarte exacte (Giaquinto, 2001).
c)Adunările succesive (WMS-R, Wechsler, 1986) – probă în care subiectul are sarcina de a

realiza adunări succesive cu același număr. Aceste probe sunt utilizate în special pentru a pune în evidență nivelul deteriorării cognitive la diverse categorii de persoane, abilitatea de calcul fiind una din componentele importante ale cogniției (spre exemplu, la persoane cu Alzheimer- Roselli, 1998).

Raționamentul matematic.
În literatura de specialitate există numeroase interpretări a ceea ce inseamnă raționament matematic, și cum se dezvoltă acesta la copii. În mod tradițional raționamentul matematic era văzut ca fiind o deprindere analitică și computațională superioară (Stenberg, 1999), insă recent este văzut ca un proces care implică adunare de date, analiza datelor, realizări de conjuncturi, construirea de argumente, realizarea și validarea unor concluzii logice, precum și oferirea de aserțiuni (Malloy, 1999; NCTM, 2000; Peressini & Webb, 1999). Aceste tipuri de procese permit de asemenea și anumite modele specifice de gândire (gândire de tip condițional, proporțional, gândire spațială, critică și creativă), dar și raționamente inductive și deductive (Baroody, 1998; English & Halford, 1995; Krulik & Rudnick, 1999). De exemplu, deducția implică raționamente logice in care pornind de la niște premise se elaborează o concluzie pentru un caz particular (Greenes, 1996). De asemenea gândirea critică implică extragerea unei concluzii potrivite dintr-un set dat de date și capacitatea de a detecta orice inconsistențe sau contradicții în acestea.
Noua abordare a conceptului de raționament matematic implică și partea de formarea a generalizărilor referitoare la idei abstracte și relații multiple (NCTM, 2000; Peressini & Webb, 1999; Russell, 1999; Stiff & Curcio, 1999). Definiția data de Russell (1999) ilustrează această perspectivă: specific, raționamentul matematic "este esențial pentru dezvoltarea, justificarea și utilizarea generalizărilor matematice", și "duce la o interconectare web (web interconectat) a cunoștințelor matematice in cadrul domeniului matematic". Atunci când elevii progresează de la cazuri particulare (specifice), spre cele generale (de exemplu, raționamente asupra unei clase intregi de obiecte matematice), se consideră că aceștia au efectiv capacitatea de raționament matematic (English, 2004). Identificarea, extinderea și generalizarea paternurilor de exemple, este o componetă importantă a raționamentului inductiv. Mai mult, matematica în sine este văzută ca fiind "un patern de științe" (Schoenfeld, 1992), iar "a face matematică înseamnă a alege dintre aceste paternuri" (National Research Council, 1989). In momentul de față se recunoaște general, că raționamentul este fundamental pentru înțelegerea și aplicarea matematicii, (Baroody, 1998; Clements, Sarama, & DiBiase, 2003; NCTM, 2000; Russell, 1999; Stiff, 1999). Copiii realizează raționamente matematice într-o varietate de situații. Natura raționamentului matematic la copii, a fost descrisă în diverse feluri în literatura de specialitate. Frecvent, acest concept este văzut ca fiind abilitatea de a percepe atribute de bază ale obiectelor sau simbolurilor, sau asociate sau inrudite cu acestea; dar și abilitatea de a recunoaște și utiliza paternuri și conexiuni între diverse obiecte, simboluri sau concepte (Baroody, 1998; English & Halford, 1995; Fuson, 1992; Resnick, 1991; Sophian, 1999; Wynn, 1992). De asemenea în definiția dată raționamentului matematic la copii este inclusă și capacitatea de a înțelepe diverse tipuri de paternuri și relații funcționale (NCTM, 2000). Mai exact se referă la abilitatea lor de a sorta și clasifica itemi, de a descrie și prezice schimbări, de a recunoaște, și construi diverse tipuri de paternuri. Mai puțin studiată în literatura de specialitate este argumentarea, parte componentă, de altfeI, a raționamentului matematic la copii (Perry & Dockett,2002).
Copiii utilizează procesele de argumentare pentru a învăța despre lumea lor, a pune la îndoială fapte și opinii, a lua decizii, sau in procesul de a-i convinge pe alții. Probabil acest aspect ar trebui mai mult investigat deoarece implicarea elevilor în a face argumentări duce la dezvoltarea abilităților de descriere, explicare și justificare a gândirii lor matematice.

Tipuri de sarcini de evaluare a raționamentului matematic.
Raționamentul matematic este conceptualizat ca abilitatea de a ințelege și organiza datele unei probleme matematice și de a selecta metoda/formula matematică adecvată pentru rezolvarea ei (Fleishman, Quaintance & Broedling, 1984).
Pe lângă cunoștințe declarative, procedurale și conceptuale specifice, raționamentul matematic implică operații logice asupra conținuturilor matematice: analiză, sinteză, generalizare, abstractizare (Berar, 1991).
Pentru evaluarea raționamentului matematic, în literatura de specialitate se utilizează mai frecvent două tipuri de sarcini: -rezolvarea de probleme (GATB, United States Department of Labor, WAIS-R, Wechsler, 1981) – această sarcină implică atât operații specifice raționamentului matematic (analiză, sinteză, selecția metodelor matematice potrivite contextului etc.) cât și operații legate de comprehensiunea textelor (formarea modelului situațional al problemei – Kintsch & Greeno, 1985). Performanța în rezolvarea problemelor de matematică este dependentă, prin urmare, atât de capacitatea de raționament matematic, cât și de capacitatea de comprehensiune a textelor scrise(Kail&.Hall,1999). -completarea șirurilor de numere (Bateria Aptitudinală Morrisby) – este o sarcină care necesită identificarea regulilor de formare a șirurilor ordonate de numere și completarea spațiilor libere din șiruri cu numerele corespunzătoare. Această sarcină este saturată în raționament matematic (operații logice având la bază cunoștințe matematice – cunoștințe declarative, procedurale și conceptuale), fără însă a implica factori verbali (comprehensiunea textelor). Acest tip de probă a fost utilizată în evaluarea caracterului logic al gândirii (Krutețki, 1968), investigarea abilităților mentale primare (Thurstone, 1938) sau ca probă de flexibilitate adaptativă (Bejat, 1970).
Cele mai multe teste din literatura de specialitate cuprind subteste de evaluare a calculului matematic si a rationamentului matematic. Astfel , “The Armed Services Vocational Battery”(ASV AB) – bateria pentru aptitudini vocaționale pentru serviciile armate,. a fost creată de către Bayroff și Fuchs (1970) și ulterior îmbunătățit de către Massey și Valentine (1977).
Scopul sau îl reprezinta -identitificarea potențialului aptitudinal al elevilor din clasele terminale pentru repartizarea lor către diferite tipuri de programe de pregătire și formare militar,.vârsta (16-23 ani) .In ceea ce priveste continutul cuprinde 10 subteste printre care și:
raționament aritmetic – cuprinde 30 de itemi ce oferă ca sarcini subiecților probleme bazate pe calcul aritmetic simplu (36 de minute), cunoștințe de matematică – cuprinde 25 de itemi ce vizează cunoștințe de algebră, geometrie, fracții, zecimale și exponenți (24 de minute),operații numerice – cuprinde 50 de itemi, vizează abilitatea de a aduna, scădea, înmulții și împărții (7 minute).

Consultând literatura de specialitate și enumerând o serie de teorii dorim să operaționalizăm aceste teorii și să răspundem la câteva întrebări:

Există oare o legătură între nivelul evaluat la matematică și probele psihologice de evaluare a aptitudinilor matematice, specific școlarului mic?

Există oare o legătură între nivelul de inteligență al elevilor și rezultatele obtinute de aceștia la matematică?

CAPITOLUL III.

OBIECTIVELE ȘI IPOTEZELE CERCETĂRII

Scopul cercetării:

Scopul acestui studiu a fost de a investiga relația care există intre abilitatea numerică (operaționalizată prin cele patru probe), performanța școlara (operaționalizată prin media la matematică si evaluarea initiala) si inteligenta elevilor (Matrici Progresive Raven -standard).

Obiectivele cercetării:

O1- Cunoașterea aprofundată a aptitudinilor matematice(componentele acestora) la școlarii de 10-11 ani;

O2- Cunoașterea metodelor de evaluare a abilităților matematice;

O3- Cunoasterea importanței evaluării aptitudinilor matematice la școlari.

O4-Surprinderea relatiei care exista între succesul școlar și nivelul de inteligență al elevilor.

Ipotezele de la care am plecat în acest studiu sunt :

Ipoteza 1: Presupunem că scorurile obținute la cele 4 probe corelează cu performanța obținută de elev la evaluarea inițială.

Ipoteza 2: Presupunem că scorurile obținute la cele 4 probe corelează cu performanța obținută de elev la matematică (media semestrială-sem.I.).

Ipoteza 3 : Presupunem că rezultatele obținute de elev la matematică (media semestrială la matematică) corelează cu nivelul de inteligență al acestuia (Matrici Progresive Raven Standard).

Metodele utilizate: testarea psihologică și prelucrarea statistică a datelor.

CAPITOLUL IV

METODOLOGIA CERCETĂRII

4.1 . Designul cercetării
Studiul de față este un studiu corelațional. Studiul corelațional are 2 variabile :

Variabilele independente:

V.i 1. cele 4 probe

V.i 2. testul de evaluare inițiala si cerințele disciplinei matematică

Variabilele dependente:

V d. 1. performanța la evaluarea initială

V d.2 performanța la matematică ( operationalizata in studiul de fata prin media semestrială).

4.2.Subiecții

Acest studiu a fost realizat cu ajutorul a doua clase a IV de elevi impreuna cu dascalii lor. Au fost luati in studiu 50 de elevi din doua clase a IV (10-11 ani) de la Scoala “Silvania” din orasul Simleul-Silvaniei, judetul Salaj.

Nici unul dintre copiii nu a repetat clasa și nu are media scăzută la purtare. Cadrele didactice nu i-a considerat pe nici unul dintre ei ca având probleme de natură comportamentală (pentru fiecare copil s-a discutat pe baza unui interviu nestructurat cu invatatoarea acestuia)

4.3 Instrumentele utilizate

S-au utilizat patru probe psihologice: Serii de numere, Numărare figuri geometrice, Percepție spațială și Probleme. Acestea au fost construite de I. Berar, în scopul evaluării aptitudinii matematice la școlarii mici (8-11 ani). (Berar, Albu, 2004).

Componentele aptitudinii matematice și probele utilizate pentru evaluarea lor sunt trecute în tabelul de mai jos.

Prezentarea celor 4 probe

Proba Serii de numere evaluează capacitatea de generalizare. Conține 10 serii de numere. Fiecare dintre ele a fost generată pe baza unei reguli. Subiectul trebuie să descopere regula și să o aplice pentru a identifica cele două numere care lipsesc din serie. Se acordă câte un punct pentru fiecare număr completat corect și zero puncte pentru răspunsurile greșite sau omise. Scorul probei este egal cu numărul de răspunsuri corecte. Această probă conține cinci perechi de serii cu proprietatea că pentru seriile fiecărei perechi formarea șirului de numere urmează aceeași regulă (de exemplu, fiecare număr se obține adunând aceeași cantitate la numărul precedent), doar că pentru o serie se aplică de la primul număr spre ultimul, iar la cealaltă serie, de la ultimul număr spre primul.

Proba Numărare figuri geometrice evaluează flexibilitatea gândirii. Conține 5 figuri geometrice compuse din segmente care se intersectează. Subiectul trebuie să identifice triunghiurile și patrulaterele din fiecare figură și să noteze literele din vârfurile acestora. Fiecare figură constituie suport pentru doi itemi: cota primului item este egală cu numărul de triunghiuri indicate corect, iar cota celui de-al doilea este egală cu numărul patrulaterelor „descoperite” în figura geometrică. Scorul probei este egal cu suma cotelor itemilor. Pentru a se putea face distincție între persoanele care nu reușesc să „descopere” decât puține figuri geometrice și cele care le identifică aproape pe toate: cota fiecărui item este egală cu numărul de figuri geometrice identificate corect.

Dificultatea probei este dată de faptul că unele dintre segmentele interioare figurilor fac parte din mai multe triunghiuri sau patrulatere și, pentru a răspunde corect și complet, subiectul trebuie să schimbe mereu obiectul percepției. Proba necesită și o mare concentrare a atenției.

Proba Percepție spațială evaluează capacitatea de reprezentare spațială. Conține 8 desene care reprezintă, fiecare, câte o grămadă de cuburi așezate unele peste altele. Un cub are notată pe o față semnul „?”. Subiectul trebuie să indice numărul de cuburi din grămadă cu care respectivul cub are fețe comune. Se acordă câte un punct pentru fiecare răspuns corect. Răspunsurile greșite și cele omise primesc zero puncte. Scorul probei este egal cu numărul de răspunsuri corecte.

Proba Probleme evaluează aspecte ale gândirii matematice (analiza și sinteza, caracterul logic al judecății etc.) și capacitatea de orientare adecvată în sarcina dată. Ea cuprinde două categorii de sarcini:

nouă probleme mai puțin obișnuite pentru elevii din clasa a IV-a, dintre care unele conțin date superflue, iar altele conțin date insuficiente pentru a putea fi rezolvate;

două probleme care îi solicită subiectului să formuleze câte două probleme rezolvabile, cât mai interesante și mai deosebite între ele, având datele fixate. Astfel, primele două probleme trebuie să conțină ca date numerele 3, 5 și 8, iar celelalte două probleme trebuie să se refere la o figură geometrică – un triunghi și, respectiv, un dreptunghi – ale cărei laturi au lungimile date.

Pentru prima categorie de sarcini, întrebările fiecărei probleme sunt cotate separat. Punctele se cumulează și se obține scorul problemei. Răspunsurile greșite și cele omise primesc zero puncte. Cota maximă a fiecărei probleme este egală cu 1. Suma cotelor celor 9 probleme se notează cu Scor1.

La a doua categorie de sarcini se numără problemele propuse care sunt corecte, adică utilizează datele impuse și sunt rezolvabile. Acest număr se notează cu Scor2. Am constatat că multe dintre problemele propuse care păreau „deosebite” de restul aveau drept model probleme din culegeri.

Fiecare probă conține exemple și exerciții pe care subiecții le rezolvă înainte de a răspunde la itemii care se cotează.

Pentru ca administrarea probelor să fie standardizată au fost redactate instrucțiuni de administrare. Acestea conțin toate informațiile pe care trebuie să le primească subiecții în legătură cu sarcinile care vor fi efectuate și cu modul de răspuns la itemi, precum și comentariile care însoțesc exemplele și exercițiile. Instrucțiunile de administrare nu au fost notate pe foile care conțin itemii, ci pe foi separate, fiind citite de persoana care administrează probele.

Pe lângă aceste patru probe s-a utilizat testul Matrici Progresive Raven Standard și un Test de cunoștințe matematice.

Matrici Progresive Standard este un test folosit foarte frecvent pentru măsurarea inteligenței neverbale. Se compune din 60 de itemi. Fiecare dintre ei este cotat cu un punct în cazul răspunsului corect și cu zero puncte pentru răspunsul greșit sau omis. Scorul probei este egal cu suma cotelor itemilor.

În această cercetare s-a utilizat testul Matrici Progresive Standard datorită faptului că itemii săi evaluează aspecte care intră în componența aptitudinii matematice: înțelegerea structurii de ansamblu a unei probleme, capacitatea de abstragere și generalizare a unor reguli, corectitudinea judecății logice, capacitatea de reprezentare spațială, concentrarea și distribuția atenției.

Testul de cunoștințe matematice a fost elaborat pe baza programei școlare pentru clasa a IV-a, de învățătorii și profesorii de matematică de la o școala « Silvania », acesta fiind un test de evaluare initiala.

Fiecărui elev i s-a luat în calcul media la matematică și calificativul obtinut la evaluarea inițială.

4.4 Procedura de lucru

Cercetarea vizează un studiu comparativ si corelațional.

Cele patru probe prin care se evaluează componente ale aptitudinii matematice au fost administrate tuturor elevilor, în cadrul a două ore de matematică, in luna martie 2010. Timpul de lucru nu a fost limitat, elevii fiind lăsați să parcurgă integral fiecare probă. Probele au fost aplicate cu acordul subiectilor. Inainte de administrarea fiecarei probe li s-a explicat subiectilor sarcina pe care o aveau de realizat. Fiecare subiect a lucrat individual pe fisa de lucru.

Testul Matrici Progresive Standard a fost administrat o săptămână mai târziu,01.04.2010 dar numai elevilor care nu cunoșteau această probă. Acest test a fost aplicat pentru a investiga relatia existenta intre performantele scolare si nivelul de inteligenta al acestora.

Testul de cunoștințe matematice (evaluare inițială) a fost administrat în fiecare din cele două clase a IV. la inceputul anului școlar 2009-2010.

CAPITOLUL V

PREZENTAREA REZULTATELOR OBȚINUTE ÎN URMA CERCETĂRII

Pentru a realiza analiza rezultatelor obținute am studiat “Metodologie psihologică și analiza datelor” , Prof.Dr. Ioan Radu, Editura Sincron 1993.

Prelucrarea tuturor datelor s-a realizat în SPSS (forma 13).

Tabel nr.1-Date statistice descriptive ale tuturor probelor.

Tabel nr.2 Corelațiile între probe.

Tabel nr.3-Date statistice descriptive ale evaluarilor inițiale si mediilor obtinute la matematică.

Din tabelul nr.3 se observă că media de la matematică este foarte aproape de media obținută de elevi la evaluarea inițială. Diferența dintre acestea este foarte mică.

Tabel nr. 4.Coeficientul de corelație obținut.

În tabelul 4 se observă existența unui coeficient de corelație 0,95. Acest coeficient găsit indică o corelație ridicată între media la matematică și media la evaluarea inițială. Această corelație este pozitivă, puternic semnificativă la un prag p<0,05.

Proba 1 „Serii de numere”

Conform așteptărilor, cele mai ușoare s-au dovedit a fi seriile în care fiecare număr se obține din precedentul aplicând o aceeași regulă (adunând numărul 4, ca în seria P1, sau scăzând numărul 3, ca în seria P2), iar cele mai dificile, seriile în care numerele aflate pe pozițiile impare, începând cu poziția a treia, se obțin cu ajutorul unei reguli, iar numerele de pe pozițiile pare, aplicând o altă regulă (de exemplu, în seria P9, numerele de pe pozițiile 3, 5, 7 ș.a.m.d. se obțin

scăzând 3 din numărul precedent, iar numerele de pe pozițiile 2, 4, 6 ș.a.m.d., înmulțind cu 3 numărul precedent).

Tabel nr. 5. – Date statistice descriptive pentru Proba 1 „Serii de numere”.

În eșantionul format din 49 de subiecți au fost obținute urmatoarele scoruri: de la 4 la 20 de puncte (20 puncte fiind maxim). Cea mai mică frecvență s-a înregistrat pentru scorul de 4 puncte 8,16% (două persoane), iar cea mai mare, pentru scorul maxim posibil 26,53% (13 de persoane).

La fiecare serie, majoritatea elevilor care au indicat corect unul dintre numere, l-au indicat corect și pe al doilea, ceea ce înseamnă că au identificat regula de formare a seriei.

Primele două serii sunt foarte ușoare pentru ambele clase: aproape toți subiecții au indicat corect ambele numere. 95,92% (47 elevi) au rezolvat corect aceste serii de numere. Doar 2 elevi au gresit, unul lipsind mai tot timpul de la școală.

În cazul mai multor serii s-a constatat că, mai mulți elevi nu au utilizat pentru identificarea unui număr absent decât numărul care îl precede și cel care îl urmează sau cele două numere care îl preced.

De exemplu, la seria: P6:

Pentru primul număr, mai multi elevi au dat răspunsul 24, făcând diferența 32-8. Dintre acești au fost care au aplicat același algoritm și pentru identificarea celui de-al doilea număr, făcând diferența dintre numărul care îl precede (4) și cel care îl urmează (1): 4-1=3.

Cauza o poate constitui faptul că cele trei exemple din probă nu sunt însoțite de explicații, care să le atragă atenția subiecților că pentru a identifica numerele absente trebuie să descopere regula pe baza căreia sunt generate numerele seriei, iar în acest scop trebuie să analizeze mai multe elemente ale seriei.

În general, elevii care au răspuns corect la una dintre seriile perechii au răspuns corect și la cealaltă, ceea ce sugerează că ei nu au răspuns la întâmplare, ci au identificat regula de formare a seriei de numere.

Au fost 2 elevi din cei 49 care au trecut pe foaie toate operatiile efectuate (x3 -3 x3 -3) incepand de la seria P3 si pana la seria P10. Acestia au obtinut punctaj maxim.

Tabel nr.6 .Calcularea abaterii standard și a medinei.

În tabelul nr.6 am realizat o distribuție statistică care formează baza prelucrării statistice a materialului.

X-reprezintă gruparea datelor in clase, aceasta facându-se pe baza unui interval de grupare i. În cazul nostru i=3. (determinarea lui i se face astfel: Xmax.-Xmin.+1= un numar care reprezintă valorile diferite existente ; acest numar se împarte la 3-5 pentru a putea stabilii clasele) Xk-reprezintă valoarea cetrală; f-reprezintă frecvanța (determinarea efectivelor corespunzătoare).

Abaterea standard:

δ²= δ²=21,75 δ=4,66

Figura 1. Histograma ne arată că este o distribuție asimetrică.

Tabel nr.7-Valorile obținute la Proba 1.

Tabel nr.8-Coeficientul de corelație obținut.

În tabelul nr.8 s-a obținut un coeficient de corelație 0,97 între media la matematică și proba nr.1 (Serii de numere) ceea ce indică o corelație ridicată. Coeficientul de corelație între proba nr.1 (Serii de numere) și evaluarea inițială este de 0,95 ceea ce indică o corelație ridicată. Această corelație este pozitivă, puternic semnificativă la un prag p<0,05.

Proba 2. „Numărare figuri geometrice”

În această probă am întâlnit două tipuri de erori. Mai frecvent au apărut următoarele:

au fost indicate toate vârfurile unei figuri geometrice, dar nu în ordine (de exemplu, la Proba 2, patrulaterul EFCB a fost notat EBFC);

Răspuns

Triunghiuri:

Patrulatere:

au fost notate și punctele aflate pe segmentele care unesc vârfurile unei figuri geometrice (de exemplu, la Proba 3, triunghiul DAC a fost notat DEAFGCH).

În general, numărarea triunghiurilor nu a ridicat dificultăți, frecvența relativă, exprimată procentual, a elevilor care au reușit să indice toate triunghiurile din desen variind între 54,8% (la Proba 5) și 84,5% (la Proba 2). La prima proba 87,76% de elevi au rezolvat corect cerinta probei. În schimb, cu excepția Probei 1, unde 97,96% dintre elevi au notat unicul patrulater existent (trapezul DECB), (un singur elev din cei 49 nu a notat unicul patrulater) trapezele nu au fost observate. La proba 4 foarte putini elevi au depistat cele 8 patrulatere existente. Triunghiurile au fost descoperite de mulți elevi, in totalitate, dar nu si patrulaterele. Au fost notate doar romburile si dreptunghiurile. De aceea se explica si faptul că in intervalul 23-35 puncte se afla 40 elevi (81,63%) . Chiar și subiecții care au identificat trapeze, nu le-au notat pe toate, ignorând faptul că desenele sunt simetrice (de exemplu, la Proba 2 a fost notat trapezul OFCB, dar nu și EOCB.

Scorul total a fost cuprins între 5 și 43 de puncte. Cota maximă posibilă, 44, nu a fost obținută de nici un elev. Frecvențele cele mai mari s-au înregistrat între 25 și 34 de puncte (câte 3-8 elevi).

Numărarea patrulaterelor este o sarcină destul de dificilă, pentru ambele clase a IV.

Unii elevii au notat figurile geometrice dar alții nu le-au notat.

Tabel nr.9-Date statistice descriptive pentru Proba 2 “Numărare de figuri geometrice”.

Fiind un grupaj de itemi cu dificultăți diferite, proba Numărare figuri geometrice eu cred că este potrivită atât pentru persoanele cu aptitudine matematică mai slab dezvoltată, cât și pentru cele cu aptitudine matematică bine dezvoltată.

Tabel nr.10 Calcularea mediei aritmetice si a abaterii standard.

Media aritmetica m= m=1358:50 m=27,16

Abaterea standard

δ²= δ=5,74

Tabel nr.11 Valorile obținute la Proba 2.

Tabel nr.12-Coeficientul de corelatie obținut.(Proba 2)

Din tabelul 12 reiese că există corelație atât între media la matematică și proba nr.2, cât și între evaluarea inițială și proba nr.2. Această corelație este pozitivă, puternic semnificativă la un prag p<0,05.

Figura 2.

Proba 3 „Percepție spațială”

Scorul total este cuprins între 0 (3 elevi) și 8 (20 de elevi). Frecvența scorurilor crește pe măsură ce cresc scorurile. Faptul că mai mult de jumătate dintre subiecți (61,22%) au obținut 7 si 8 puncte denotă că proba nu este atat de dificila pentru elevii clasei a IV. Ea este potrivită pentru evaluarea și ierarhizarea elevilor cu aptitudine matematica. Au fost trei elevi care au numarat toate cuburile existente in figura, ceea ce denota ca nu au inteles ce au de facut.

Itemii cei mai ușori sunt cei în care cuburile se află în același plan, orizontal (ca în itemul 1, sau vertical (ca în itemii 6 și 7). Itemii sunt mai dificili atunci când cuburile sunt așezate în mai multe straturi (ca în itemul 4).

Tabel nr.13- Date statistice descriptive .Proba 3.”Percepție spațială”.

Tabel nr.14- Calcularea medianei și abaterii standard.

Abaterea standard δ²= δ=2

Tabel nr.15-Valorile obținute la Proba 3 ”Percepție spațială”.

Figura 3. Histograma pentru Proba:“Percepție Spațială” este asimetrică.

În urma rezultatelor obținute am hotărât să mai aplic o probă unui subeșantion,(23 elevi-o clasă a IV.) tot din eșantionul original. Am mărit dificultatea probei și rezultatele au fost asemănătoare cu cele de la prima probă. De aici rezultă că acești elevi sunt foarte buni.

Tabel nr.16-Coeficientul de corelație obținut.(Proba 3-)”Percepție spațială”.

Din tabelul 16 reiese că există corelație atât între media la matematică și proba nr.3, cât și între evaluarea inițială și proba nr.3. Această corelație este pozitivă, puternic semnificativă la un prag p<0,05.

Proba 4 „Probleme” Scor 1.

Proba” probleme” este impartita in doua categorii de sarcini: Rezolvare de probleme si Formulare de probleme. Fiecare categorie are scorul ei-Rezolvarea de probleme o vom nota cu scor 1.iar formularea de probleme cu scor 2 .

Prima data voi face referiri la SCOR 1.- rezolvari de probleme

Tabel nr.17-Date statistice descriptive-Proba 4. Scor 1.

Cu excepția primei probleme, pe care au rezolvat-o corect 96% dintre elevi, (doi elevi au gresit) la problemele care solicitau rezolvări SCOR 1.( nu formulări de probleme )– au răspuns corect 74% (la problema 5), iar cea mai dificilă a fost problema 8, la care elevii nu și-au dat seama că nu dispun de suficiente date pentru a o putea rezolva. Unii au măsurat cu rigla segmentele din desen și au notat lungimile lor. Se pare că elevii nu sunt familiarizați cu probleme care nu conțin toate datele necesare. O eleva nu a rezolvat problema fiinca a spus ca nu se poate rezolva, iar alta eleva a rezolvat-o pe jumatate mentionand si ea ca nu se poate rezolva..

La Problema 2 („Care sunt perechile de numere naturale care adunate sau înmulțite dau același rezultat?”) singurul rezultat corect este perechea (2, 0). La această problemă au răspuns corect 36,73% dintre elevi.

Problema 3 („Într-un autobuz sunt 20 de persoane. Dintre acestea, 5 coboară la prima stație și 7 la a doua. Câte persoane vor coborî la a treia stație? Dar la a patra?”) este nerezolvabilă, întrucât nu se menționează vreo legătură între numărul de persoane care coboară la fiecare stație. În plus, nici nu se indică dacă „ultima stație” este stația a patra.

Toți elevii au răspuns greșit, cei mai mulți făcând presupunerea că la fiecare stație coboară un anumit număr de persoane (5,3; 6,2; 8,0.). Ei au presupus ca toți pasagerii coboară din autobuz la a patra stație.

La Problema 4 („Dacă 20 de oameni execută o lucrare în 5 zile, câți oameni vor fi necesari pentru a executa aceeași lucrare în 4 zile?”) sunt posibile două răspunsuri corecte: „25 de oameni”, dacă se presupune că toți oamenii execută același tip de sarcini și au aceeași productivitate, și „N” (problemă nerezolvabilă), dacă nu se face această presupunere.

Răspunsul corect a fost dat de 1 elev din clasa a IV-a .

La Problema 7 : „Găsește un număr astfel încât dacă îl aduni cu 24 sau dacă îl înmulțești cu 4 să obții același rezultat.” 80% au raspuns corect.

Problema 9 „Câte păsări și câți pomi se găsesc într-o grădină, cunoscând că dacă se așează câte două păsări pe fiecare pom rămâne un pom pe care nu este nici o pasăre, iar dacă se așează câte o pasăre pe fiecare pom, una nu mai are loc?”.

O mențiune specială trebuie făcută în legătură cu problemele 9 și 10, care au fost rezolvate corect de 44% dintre elevi. Cercetări anterioare ne-au relevat faptul că aceste probleme sunt foarte dificile pentru elevii din clasele primare, care nu știu să transpună problemele în ecuații. Totuși, în acest eșantion de subiecți au fost destul de mulți elevi, proveniți din două clase, care au rezolvat ambele probleme corect, deși au greșit la alte probleme, mai simple. Am dedus de aici că scorurile probei Probleme sunt influențate de ceea ce elevii învață la școală, de tipurile de probleme rezolvate în clasă. Înseamnă că această probă evaluează și experiența logico-matematică a subiecților.

Tabel următor contine rezultatele de la SCOR 1- si anume “Rezolvare de probleme”.

Tabel nr.18- Calcularea mediei aritmetice și abaterii standard.SCOR 1.

Media aritmetica: m= m= 240:50 m=4,90

Abaterea standard δ²= δ=1,94

Tabel nr.19-Valorile obținute la Proba 4. SCOR 1.

Figura 4. Histograma Proba 4. Scor 1.

Tabel nr.20 –Coeficientul de corelație obținut.(Proba 4 Scor 1)

Din tabelul 20 reiese că există corelație atât între media la matematică și proba nr.4, Scor 1. cât și între evaluarea inițială și proba nr.4.Scor 1. Această corelație este pozitivă, puternic semnificativă la un prag p<0,05.

Proba 4.” Probleme” Scor 2.

La această probă elevii au avut de formulat probleme pe baza unor date sau a unor figuri geometrice.

Tabel nr.21 – Date statistice descriptive-Proba 4. Scor 2.

Testul a fost dat la doua clase a IV. din aceași școală. Elevii din prima clasa a IV au încercat sa formuleze probleme la ambele cerinte: “PROBLEMA 6. Compune două probleme rezolvabile, folosind numerele: 3, 5 și 8. Străduiește-te să formulezi probleme cât mai interesante, care să fie diferite între ele și diferite de cele din exemplul D.”

Problema 11. Compune două probleme rezolvabile, cât mai diferite între ele, folosind figurile de mai jos, cu dimensiunile notate în dreptul laturilor.

Din cea de-a doua clasa doar o singură elevă a formulat probleme cu figuri geometrice si a obtinut scor maxim ,restul au formulat nici o problema pe baza desenelor. 40,82% nici nu au încercat să formuleza probleme, lasând spațiile goale.

Răspunsurile date de elevi la problemele 6 și 11 au arătat că sunt copii care nu știu ce este o „problemă”. Ei au prezentat datele, dar nu au formulat nici o întrebare sau au pus întrebări la care nu se putea răspunde pe baza acestor date. Câteva exemple de asemenea probleme sunt următoarele:

“Intr-o livada sunt 5 peri. Câți meri si cireși sunt dacă in total sunt 8 pomi?”

“Andrei are 5 bomboane iar Rares are 8 bomboane si Mihai 3.”

Tabel nr.22 Calcularea mediei aritmetice și abaterii standard.SCOR 2.

Media aritmetica :

m= m= 92:50 m=1,84

Abaterea standard:

δ²= δ=1,36

Tabel nr.23-Valorile obținute la Proba 4 Scor 2.

Tabel nr.24- Coeficientul de corelație obținut.(Proba 4 Scor 2)

Din tabelul 24 reiese că există corelație atât între media la matematică și proba nr.4, Scor 2. cât și între evaluarea inițială și proba nr.4.Scor 2. Această corelație este pozitivă, puternic semnificativă la un prag p<0,05.

În urma acestor rezultate obținute la cele patru probe reiese că primele două ipoteze se confirmă.

Pentru a investiga cea de-a treia ipoteză, și anume că există corelație între media obținută la matematică și nivelul de inteligență al elevilor am aplicat Matrici pregresive Raven. Această probă a fost dată doar elevilor care nu o cunoșteau și care nu au mai rezolvat-o în ultimul an.

Proba Raven ne oferă indicii asupra capacității intelectuale ale elevilor iar mediile școlare exprimă gradul de reușită la matematică.

Tabel nr.25 Cotele obținute de elevi la testul Matrici progresive Raven.

În tabelul nr.25 se observă o creștere concomitentă atât a notelor cât și a cotelor Raven.

Cu cât notele cresc, cresc și cotele Raven ceea ce ne face să credem că performanța la matematică (operaționalizată aici prin media obținută de elev la matematică pe semestrul I.) depinde și de nivelul de inteligență al acestuia.

CAPITOLUL VI

INTERPRETAREA REZULTATELOR.CONCLUZII

Așa cum am precizat la începutul studiului, acesta a fost motivat de obținerea unor date referitoare la performanțele școlare, mai precis la performanțele matematice la copiii de 10-11 ani, respectiv s-a investigat relatia care există între abilitatea numerică și performanța școlară.

În lucrarea de față am optat pentru studiu corelațional, urmărind investigarea relațiilor care există între performanța școlară (operaționalizată prin nota obținută la matematică și la evaluarea inițială) și abilitățile matematice ale elevilor (operaționalizată prin cele 4 probe).

În urma studiului și a cercetării proprii am ajuns la formularea următoarelor concluzii:

Așa cum s-a putut vedea cele 4 probe aplicate:

Proba Serii de numere care evaluează capacitatea de generalizare

Proba Numărare figuri geometrice care evaluează flexibilitatea gândirii

Proba Percepție spațială care evaluează capacitatea de reprezentare spațială

Proba Probleme care evaluează aspecte ale gândirii matematice (analiza și sinteza, caracterul logic al judecății etc.) și capacitatea de orientare adecvată în sarcina dată ,

au o bună valoarea de predicție asupra performanței la matematică fie ea operationalizată prin nota la matematică (pe semestru I), fie operationalizată prin nota la evaluarea inițială.

Toți coeficienții de corelație obținuți sunt cuprinși între 0,85-0,97. Acești coeficienți găsiți indică o corelație ridicată între media la matematică , media la evaluarea inițială și cele 4 probe. Această corelație este pozitivă, puternic semnificativă la un prag p<0,05, fapt care ne conduce la concluzia că atât prima cât și a doua ipoteză se confirmă. Rezultatele obținute de elevi sunt foarte bune ceea ce ne face să credem că aceștia sunt buni, chiar foarte buni.

Pe parcursul cercetării am observat că la unele probe histograma a fost asimetrică, ceea ce m-a determinat să măresc dificultatea probei respective, dar rezultatele au fost aceleași. În urma acestor rezultate putem afirma faptul că elevii sunt buni la matematică.

Conform ultimei ipoteze am deprins concluzia că există o relație directă între performanțele școlare ale elevilor și nivelul de inteligență al acestora. De asemenea putem afirma că cele 4 probe pot fi utilizate ca o măsură fidelă și validă a abilității numerice a unui elev de cls.IV, fiind variabile principale pe baza carora se pot estima performantele la matematica operationalizate in acest studiu atat prin evaluarea initială (test de cunoștințe matematice) cât si prin media semestrială la matematică.

La nivel teoretic studiul de față își aduce aportul prin realizarea unor precizări conceptuale, susținând necesitatea evaluării abilitațilornumerice.

Studiul empiric privind înțelegerea abilității numerice a devenit, în ultimii ani, un domeniu major de cercetare în științele cognitive. Rezultatele obținute au permis, astăzi, realizarea unei imagini comprehensive a ceea ce înseamnă această abilitate (Giaquinto, 2001).

Ca structură / complex de însușiri relativ stabile și totodată dinamice, aptitudinea matematică se bazează pe toate procesele și calitățile psihice solicitate de activitatea matematică. În construirea și manifestarea sa intră nu numai componente cognitive, ci și afective, motivaționale și atitudinale. Specificul structurii depinde atât de calitățile fiecărei componente, cât și de tipul interacțiunilor dintre acestea, interacțiuni care se produc după formule mai mult sau mai puțin strict personalizate.

       La elevii matematicieni aptitudinea matematică are o pondere însemnată în structura de ansamblu a personalității; îndeplinește roluri centrale și coordonatoare în procesul de receptare, stocare și utilizare a informației; imprimă o notă specifică modului de funcționare a celorlalte substructuri ale personalitătii și, în fine, imprimă întregii personalități un profil predominant matematic.

Aptitudinile matematice sunt rezultate ale dezvoltării, ale interacțiunii dintre premisele ereditare și condițiile de mediu socio-cultural. Caracterul lor, mai mult sau mai puțin eficient, depinde de modul în care se realizează modelarea potențialităților ereditare (inclusiv cele prenatale) de către factorii ambientali și, mai ales, de măsura în care subiectul se implică în propria sa devenire.

      Între conținutul învățării și abilitățile intelective ale copilului există strânse raporturi de condiționare reciprocă. Acumularea de cunoștințe, priceperi și deprinderi duce la dezvoltarea și transformarea calitativă a schemelor de cunoaștere și acțiune matematică, iar acestea, la rândul lor, reglează cantitatea și calitatea achizițiilor școlare.

Aptitudinea numerică reprezintă capacitatea de a întelege si opera cu continuturi matematice iar, evaluarea aptitudinii numerice este o componenta importanta atat a bateriilor de evaluare a aptitudinilor, cât si a evaluarii inteligenței.

Evaluarea aptitudinilor este importantă deoarece trebuie să înregistrăm mereu progresele pe care le fac elevii în procesul de învățare. Ea este menită să ne sprijine pentru a îmbunătăți învățarea, nu să probeze că elevii au învățat ceva anume (și cât anume) ca și informație. Evaluarea nu trebuie asociată cu eșecul, sancțiunea sau controlul, ci cu posibilitatea de reflectare asupra rezultatelor, cu formarea unei imagini cât mai corecte despre sine, nu numai cu lipsurile pe care le are, dar mai ales cu calitățile pe care le poate valorifica și dezvolta de aici încolo.

Nivelul aptitudinii numerice se obține pe baza nivelurilor obținute la cele patru probe care evaluează capacitatea de generalizare, flexibilitatea gândirii, capacitatea de reprezentare spațială,

aspecte ale gândirii matematice (analiza și sinteza, caracterul logic al judecății etc.) și capacitatea de orientare adecvată în sarcina dată.

În urma aspectelor prezentate mai sus, precum și din discuțiile cu mai multe învățătoare și profesori de matematică aș propune o eventuală continuare a studiului. Ar fi interesant un studiu de investigare în ceea ce priveste relatia între abilitatea matematică, rapiditatea în reacții, interesele personale(motivația pentru matematică), respectiv inteligența generală și factori care ar putea influența randamentul școlar al copilului.De asemenea s-ar putea realize un studiu luând în considerare vârsta elevilor de clasa IV separate: elevi de 10 ani și elevi de 11 ani, dar care provin din medii diferite. O eventuala continuare a studiului, pe durate mai mari de timp poate reprezenta realizarea unor studii de predicție în ceea ce priveste performantele studenților la matematică, informatică și realizarea unor corelații cu nota de la bacalaureat, precum și cu rezultatele obținute la testele de evaluare a abilității functionarești sau eventual studii de predictie pentru evaluarea abilitatilor speciale in cazul matematicienilor, inginerilor, operatorilor pe calculator.

Matematica creează o disciplină a muncii, dezvoltă logica și flexibilitatea în gândire, îndrumă elevul să aibă așteptări realiste de la viațã. Cunoștințele matematice au o mare importanță pentru viață în general, fiind o piatră de temelie în sistemul de cunoștințe generale al fiecărui om și totodată constituie o cerință de bază pentru finalizarea studiilor gimnaziale.

BIBLIOGRAFIE

Albu, M. (2000), Metode și instrumente de evaluare în psihologie, Cluj-Napoca, Editura Argonaut.

Berar, I. (1979), Cunoașterea și cultivarea aptitudinilor matematice la elevii de vârstă școlară mică și mijlocie. În: B. Zörgö și I. Radu (coord.), Studii de psihologie școlară (p. 208-244), București, Editura Didactică și Pedagogică.

Berar, I. (1991), Aptitudinea matematică la școlari, București, Editura Academiei Române.

Crețu, E. (1999), Psihopedagogia școlară pentru învățământul primar, București, Editura Aramis.

Dienes, Z. P. (1973), Un studiu experimental asupra învățării matematicii, București, Editura Didactică și Pedagogică.

Dixon, J. A., Moore, C. F. (1996), The Developmental Role of Intuitive Principles in Choosing Mathematical Strategies, „Developmental Psychology”, 32, 2, p. 241-253.

Mitrofan, N. (1997), Testarea psihologică a copilului mic, București, Editura Press Mihaela SRL.

Radu, I. (coord.), Miclea, M., Albu, M., Moldovan, O., Nemeș, S., Szamosközy, Ș. (1993), Metodologie psihologică și analiza datelor, Cluj-Napoca, Editura Sincron.

Roșca, Al., Zörgö, B. (1972), Aptitudinile, București, Editura Științifică.

Verza, E. (1993), Psihologia vârstelor, București, Editura Hyperion.

Vîgotski, L. S. (1971), Opere psihologice alese, vol. I-II, București, Editura Didactică și Pedagogică.

Ion Dafinoiu, Minel Marcu, Tiberiu Rudica, Psihologie, manual pentru clasa a X-a, Institutul European, Iasi, 2000, pag. 94, 95, 96, 97, 98.

Dr.Pauline Morand de Jouffrey (2007), Psihologia copilului, București, Editura Teora.

Eva Bocșa, (2002), Psihologia educației , Editura Genesis, Petroșani.

Andrei Cosmovici, (2004), Psihologie generala, București, Editura Polirom.

Albu, M., Nicoară, C., Voinea-Popescu, A. (2004), Investigarea aptitudinilor matematice la școlarii mici (8-11 ani) (II. Analiza unor probe pentru evaluarea aptitudinii matematice). În: M. Albu, C. Țăran (coord.), Cercetări și aplicații în psihologie, Vol. 2, Timișoara, Editura Augusta și Artpress, pag. 46-75.

:

ANEXA 1.

NUMĂRARE FIGURI GEOMETRICE

(Probe elaborate de I. Berar și M. Albu)

Descoperă toate triunghiurile și patrulaterele din figurile următoare.

EXEMPLU

Răspuns

Triunghiuri: ABC și ADE

Patrulatere: DBCE, DBFO și FCEO

Observă triunghiurile:

Triunghiul ABC

Patrulaterul DBCE Patrulaterul DBFO Patrulaterul FCEO

PROBE

Proba 1

Răspuns

Triunghiuri:

Patrulatere:

Proba 2

Răspuns

Triunghiuri:

Patrulatere:

Proba 3

Răspuns

Triunghiuri:

Patrulatere:

Proba 4

Răspuns

Triunghiuri:

Patrulatere:

Proba 5

Răspuns

Triunghiuri:

Patrulatere:

ANEXA 2.

PERCEPȚIE SPAȚIALĂ

(Probe elaborate de I. Berar și M. Albu)

Pentru fiecare cub notat cu semnul numără câte fețe comune are cu cuburile vecine.

EXEMPLE :

EXERCIȚII :

PROBE :

ANEXA 3.

serii de numere

(Probe elaborate de I. Berar și M. Albu)

PROBE

Descoperă regula din fiecare serie de numere, găsește cele două numere care lipsesc din rând și notează-le în căsuțele goale.

ANEXA 4.

PROBLEME

(Probe elaborate de I. Berar și M. Albu)

1. Ce număr adunat cu el însuși și apoi înmulțit cu 5 dă produsul 30?

2. Găsește două numere care adunate să dea același rezultat ca și în cazul înmulțirii lor. Încearcă să găsești două soluții.

3. Într-un autobuz sunt 20 de persoane. Dintre acestea, 5 coboară la prima stație și 7 la a doua. Câte persoane vor coborî la a treia stație? Dar la ultima?

4. Dacă 20 de oameni sapă un șanț în 5 zile, câți oameni vor fi necesari pentru a executa aceeași lucrare în 4 zile, știind că toate persoanele lucrează la fel de mult (adică, lucrează același număr de ore și la fel de repede)?

5. Din 60 de piese metalice, 10 albe și 50 galbene, un sfert sunt prea mari, iar 15 bucăți sunt prea mici. Câte piese au mărimea potrivită?

6. Compune două probleme rezolvabile, folosind numerele: 3, 5 și 8. Străduiește-te să formulezi probleme cât mai interesante, care să fie diferite între ele și diferite de cele din exemplul D.

P1

P2

7. Găsește un număr astfel încât dacă îl aduni cu 24 sau dacă îl înmulțești cu 4 să obții același rezultat.

8. În figura de mai jos sunt notate lungimile segmentelor AC (10 cm) și AB (30 cm).

Calculează lungimile segmentelor CB, CD și DB.

Notează lungimea fiecărui segment în căsuța din dreapta numelui său.

9. Câte păsări și câți pomi se găsesc într-o grădină, cunoscând că dacă se așază câte două păsări pe fiecare pom rămâne un pom pe care nu este nici o pasăre, iar dacă se așază câte o pasăre pe fiecare pom, una nu mai are loc?

10. În gospodăria unui țăran se găsesc găini, iepuri și vite. Cunoscând că acestea au împreună 30 de picioare, 10 capete și 6 coarne, calculează câți iepuri are gospodarul?

11. Compune două probleme rezolvabile, cât mai diferite între ele, folosind figurile de mai jos, cu dimensiunile notate în dreptul laturilor.

P1

P2

BIBLIOGRAFIE

Albu, M. (2000), Metode și instrumente de evaluare în psihologie, Cluj-Napoca, Editura Argonaut.

Berar, I. (1979), Cunoașterea și cultivarea aptitudinilor matematice la elevii de vârstă școlară mică și mijlocie. În: B. Zörgö și I. Radu (coord.), Studii de psihologie școlară (p. 208-244), București, Editura Didactică și Pedagogică.

Berar, I. (1991), Aptitudinea matematică la școlari, București, Editura Academiei Române.

Crețu, E. (1999), Psihopedagogia școlară pentru învățământul primar, București, Editura Aramis.

Dienes, Z. P. (1973), Un studiu experimental asupra învățării matematicii, București, Editura Didactică și Pedagogică.

Dixon, J. A., Moore, C. F. (1996), The Developmental Role of Intuitive Principles in Choosing Mathematical Strategies, „Developmental Psychology”, 32, 2, p. 241-253.

Mitrofan, N. (1997), Testarea psihologică a copilului mic, București, Editura Press Mihaela SRL.

Radu, I. (coord.), Miclea, M., Albu, M., Moldovan, O., Nemeș, S., Szamosközy, Ș. (1993), Metodologie psihologică și analiza datelor, Cluj-Napoca, Editura Sincron.

Roșca, Al., Zörgö, B. (1972), Aptitudinile, București, Editura Științifică.

Verza, E. (1993), Psihologia vârstelor, București, Editura Hyperion.

Vîgotski, L. S. (1971), Opere psihologice alese, vol. I-II, București, Editura Didactică și Pedagogică.

Ion Dafinoiu, Minel Marcu, Tiberiu Rudica, Psihologie, manual pentru clasa a X-a, Institutul European, Iasi, 2000, pag. 94, 95, 96, 97, 98.

Dr.Pauline Morand de Jouffrey (2007), Psihologia copilului, București, Editura Teora.

Eva Bocșa, (2002), Psihologia educației , Editura Genesis, Petroșani.

Andrei Cosmovici, (2004), Psihologie generala, București, Editura Polirom.

Albu, M., Nicoară, C., Voinea-Popescu, A. (2004), Investigarea aptitudinilor matematice la școlarii mici (8-11 ani) (II. Analiza unor probe pentru evaluarea aptitudinii matematice). În: M. Albu, C. Țăran (coord.), Cercetări și aplicații în psihologie, Vol. 2, Timișoara, Editura Augusta și Artpress, pag. 46-75.

:

ANEXA 1.

NUMĂRARE FIGURI GEOMETRICE

(Probe elaborate de I. Berar și M. Albu)

Descoperă toate triunghiurile și patrulaterele din figurile următoare.

EXEMPLU

Răspuns

Triunghiuri: ABC și ADE

Patrulatere: DBCE, DBFO și FCEO

Observă triunghiurile:

Triunghiul ABC

Patrulaterul DBCE Patrulaterul DBFO Patrulaterul FCEO

PROBE

Proba 1

Răspuns

Triunghiuri:

Patrulatere:

Proba 2

Răspuns

Triunghiuri:

Patrulatere:

Proba 3

Răspuns

Triunghiuri:

Patrulatere:

Proba 4

Răspuns

Triunghiuri:

Patrulatere:

Proba 5

Răspuns

Triunghiuri:

Patrulatere:

ANEXA 2.

PERCEPȚIE SPAȚIALĂ

(Probe elaborate de I. Berar și M. Albu)

Pentru fiecare cub notat cu semnul numără câte fețe comune are cu cuburile vecine.

EXEMPLE :

EXERCIȚII :

PROBE :

ANEXA 3.

serii de numere

(Probe elaborate de I. Berar și M. Albu)

PROBE

Descoperă regula din fiecare serie de numere, găsește cele două numere care lipsesc din rând și notează-le în căsuțele goale.

ANEXA 4.

PROBLEME

(Probe elaborate de I. Berar și M. Albu)

1. Ce număr adunat cu el însuși și apoi înmulțit cu 5 dă produsul 30?

2. Găsește două numere care adunate să dea același rezultat ca și în cazul înmulțirii lor. Încearcă să găsești două soluții.

3. Într-un autobuz sunt 20 de persoane. Dintre acestea, 5 coboară la prima stație și 7 la a doua. Câte persoane vor coborî la a treia stație? Dar la ultima?

4. Dacă 20 de oameni sapă un șanț în 5 zile, câți oameni vor fi necesari pentru a executa aceeași lucrare în 4 zile, știind că toate persoanele lucrează la fel de mult (adică, lucrează același număr de ore și la fel de repede)?

5. Din 60 de piese metalice, 10 albe și 50 galbene, un sfert sunt prea mari, iar 15 bucăți sunt prea mici. Câte piese au mărimea potrivită?

6. Compune două probleme rezolvabile, folosind numerele: 3, 5 și 8. Străduiește-te să formulezi probleme cât mai interesante, care să fie diferite între ele și diferite de cele din exemplul D.

P1

P2

7. Găsește un număr astfel încât dacă îl aduni cu 24 sau dacă îl înmulțești cu 4 să obții același rezultat.

8. În figura de mai jos sunt notate lungimile segmentelor AC (10 cm) și AB (30 cm).

Calculează lungimile segmentelor CB, CD și DB.

Notează lungimea fiecărui segment în căsuța din dreapta numelui său.

9. Câte păsări și câți pomi se găsesc într-o grădină, cunoscând că dacă se așază câte două păsări pe fiecare pom rămâne un pom pe care nu este nici o pasăre, iar dacă se așază câte o pasăre pe fiecare pom, una nu mai are loc?

10. În gospodăria unui țăran se găsesc găini, iepuri și vite. Cunoscând că acestea au împreună 30 de picioare, 10 capete și 6 coarne, calculează câți iepuri are gospodarul?

11. Compune două probleme rezolvabile, cât mai diferite între ele, folosind figurile de mai jos, cu dimensiunile notate în dreptul laturilor.

P1

P2