Rolul Elementelor de Geometrie In Procesul Instructiv Educativ din Ciclul Primar

Cuprins

INTRODUCERE

Originea cuvântului geometrie este una grecească ( geo – pământ, metron – măsură), iar definiția geometriei ne arată că este o ramură a matematicii care se ocupă cu formele spațiale și relațiile lor de mărime.

Geometria nu este nu numai cea mai veche ramură a matematicii, ci aparține nucleului matematicii:

pentru că ea trăiește din și prin figuri;

pentru că ea apelează la intuiții nemijlocite;

pentru că ea ascute raținamentul;

pentru că ea este un nesecat izvor de idei.

Lumea înconjurătoare este grăitoare în exemple de corpuri care evidențiază elemente de geometrie. Obiectele din mediul apropiat au de regulă o formă concretă, ce poate fi exprimată în cuvinte, folosindu-se de obicei exprimări de genul: formă pătrată, rotundă, dreptunghiulară, sferică, cubică etc. Arhitectura, arta decorativă, pictura, sculptura sunt doar câteva domenii care folosesc cu precădere elementele de geometrie.

Prin învățarea elementelor de geometrie se dezvoltă la elevi spiritul de observație, sunt angajate operațiile gândirii, formând un tip specific de raționament, raționamentul geometric, este stimulată plăcerea de a cerceta și de a descoperi prin forțe proprii. Prin activități de construcție, desen, pliere și măsurare, învățătorul asigură implicarea mai multor organe de simț în perceperea corpurilor și figurilor geometrice plane, în vederea creării bazei intuitive necesare cunoașterii științifice. Abordarea noțiunilor de geometrie în clasele primare are drept scop principal formareala elevi a reprezentărilor spațiale, necesare în clasele următoare pentru însușirea sistematică și logică a geometriei, precum și a capacității de a esențializa și abstractiza realitatea înconjurătoare.

Preocuparea pentru studiul geometriei, la acest nivel, este justificat de faptul că acesta costituie într-o modalitate inedită de a aplica matematica în viață și de a matematiza elementele realității.

Consider importantă acestă temă deoarece pune în evidență în mod clar cum evoluează gândirea elevului de vârstă școlară mică, modul cum trece de la intuitiv spre concret, apoi spre abstract. Activitatea de învățare a noțiunilor de geometrie are multiple valențe formative, deoarece elevului, ca participant activ, i se cere să observe, să descrie, să costruiască, să facă măsurători, să facă calcule și să rezolve probleme.

Importanța studierii geometriei de către școlari o găsim foarte sugestiv exprimată în

lucrarea ,,Aurul cenușiu” a lui Mircea Malița:

,,Dacă elevul nu-și însușește organic o dată cu și prin însăși cultura generală, conceptul de linie dreaptă și de exactitate, tot ce va produce ulterior: artizanat, industrie, fabrică, viață casnică, gospodărie, totul va ieși strâmb.”

Pornind de la acest considerent doresc, ca prin tema ce am ales-o să găsesc cele mai eficiente metode de a-i îndruma pe elevi să descopere o mică parte din farmecul ce a învăluit geometria de-a lungul secolelor, să le sădesc în suflet plăcerea de a lucra cu figuri și corpuri geometrice.

În contextul actual al școlii moderne, elevilor li se cere să facă conexiuni între cunoștințe, să aplice diferite noțiuni de la un obiect de învățământ la altul. Elementele de geometrie au în acest sens o largă aplicabilitate, astfel le putem folosi ca suport în activitățile de Limbă și literatură română, Științe ale naturii, Educație plastică, Educație tehnologică, Geografie, Istorie.

În capitulul IV am încercat să demonstrez larga aplicabilitate a noțiunilor de geometrie din cilul primar.

Capitolul I

Caracteristici psiho-pedagogice ale copiilor de vârstă școlară mică cu implicații în învățarea matematicii

Matematica a cunoscut o dezvoltare uimitoare în epoca contemporană, reușind să pătrundă aproape în toate domeniile de cercetare și contribuind la dezvoltarea tuturor științelor.

Nicolae Oprescu în lucrarea sa remarcă “Matematica nu este o simplă tehnică de folosit într-un domeniu limitat, ci unul dintre modurile fundamentale ale gândirii umane și prin aceasta este un element indispensabil oricărei culturi demne de acest nume.” (1)

Matematica înseamnă gândire, mai precis gândire organizată, fiind o știință care nu se adresează doar specialiștilor, ci ea trebuie măcar până la un anumit nivel să facă parte din cultura fiecărui individ.

I.1. Aspecte ale dezvoltării intelectuale ale școlarilor mici

Învățământul primar are o importanță deosebită în punerea bazelor pregătirii și formării copiilor cu o judecată matematică ridicată. Încă din clasa pregătitoare până în clasa a IV-a se formează competențe matematice elementare, de bază, cu care elevul va opera pe tot parcursul vieții și pe baza cărora se vor forma (clădi) competențe matematice ulterioare. Privind din acest punct de vedere, învățătorul trebuie să cunoască profilul psihologic al copilului de vârstă școalară mică.

Profilul psihologic este o “expresie cantitativ- calitativă a totalității componentelor, proceselor și însușirilor psihice precum și a relațiilor interfuncționale dintre aceste caracteristici unei anumite etape din dezvoltarea ontogenetică a copiilor și diferențiate de la un individ la altul”.(2) Din acest punct de vedere, în caracterizarea vârstei școlare mici, 6 ani, trebuie să ținem seama că în viața copilului se petrece un eveniment deosebit, acela al intrării în școală, întreaga sa dezvoltare fizică și psihică fiind influențată de un nou factor.

“Vârsta școlară se constituie ca un nou stadiu, calitativ superior, bazat pe achizițiile anterioare, pe o experiență cognitivă a copilului pe care o valorifică, o restructurează, în funcție de noile dominante psiho-fizice și noile solicitări ale mediului”. (3)

La vârsta de 6 ani a intrării copilului în școală învățatea devine tipul fundamental de activitate. Acest tip de activitate va solicita intens intelectul prin procesul de însușire gradată de cunoștințe cuprinse în programele școlare și prin urmare, copilului i se vor organiza și dezvolta strategii de învățare. Primele schimbări se observă în planul percepției și observației ca instrumente ale cogniției.

“Percepția este cunoașterea obiectelor și fenomenelor în integritatea lor și momentul când ele acționează asupra organelor senzoriale”.(4) Percepția este procesul prin care se extrage informația utilă și cu sens din lumea înconjurătoare. Antrenate și exercitate, capacitățille senzoriale- perceptive și interpretative ale percepției devin mai acute și mai eficiente. Importante aspecte discriminative se dezvoltă la copii în legătură cu spațiul mic. Orientarea spațială pe foaia de hârtie, percepția de spațiu, orientarea stânga-dreapta, sus-jos, constituie punctul de plecare pentru o activitate intelectuală intensă.

Studiul elementelor de geometrie contribuie într-o măsură foarte mare la dezvoltarea percepției spațiale, prin contactul cu mărimi, forme, dimensiuni și distanțe. Activitățile de construcție, desen, pliere și măsurare asigură implicarea tuturor organelor de simț.

Orientarea stânga-dreapta, sus-jos, în rândurile orizontale ale scrierii constituie punctul de start pentru o activitate intelectuală complicată și multilaterală – activitatea de alfabetizare, activitate ce cuprinde antrenarea memoriei, a inteligenței, a atenției, a reprezentărilor, pornind de la percepția care se constituie la rândul său pe suportul micilor semne scrise pe foaia de hârtie. Scrierea și cititul pun probleme de logică spațială, de percepere a mărimii, a proporției literelor și cifrelor. Procesul se realizează treptat și angajează pe lângă percepții vizuale, auditive și kinestezice și modificări ale expectanței. Citirea cifrelor solicită însușirea unui sistem de decodificare a sistemului zecimal, reprezentat de cifre. Scrierea numerelor ridică, de cele mai multe ori, dificultăți de ordin psihologic, copilul trebuie să înțeleagă că cifra reprezintă semnul grafic, așa cum litera este semnul sunetului. Dificultățile sporesc fiindcă el trebuie să înțeleagă și să realizeze strânsa legătură reversibilă între trei elemente: conceptul numeric, exprimarea sa verbală și semnul grafic.

Raporturile de mărime – “egalitate”, “mai mare”, “mai mic”, “tot atât de”, proporțiile, “jumătate”, “sfert”, identificarea întregului, metrului, centimetrului, identificarea liniilor verticale, orizontale, ale poziției în rotație, devin indicii după ce li se decodifică sensul.

Raporturile spațiale legate de ceea ce se înțelege prin “aproape”, “pe”, “lângă”, “deasupra”, “sub”, devin raporturi ce includ și forme și distanțe. Evaluarea mărimii este încă deficitară pentru copilul de 6 ani care intră în clasa pregătitoare, de regulă supraestimează mărimile, iar copiii de 8-9 ani subestimează mărimile și distanțele.

În perioada micii școlarități, spațiul capătă și alte dimensiuni. De exemplu la clasa a IV-a în cadrul lecțiilor de geografie elevul învață să reprezinte planul clasei, folosind pentru obiectele de mobilier din sala de clasă pe care trebuie să le reprezinte în schița sa figuri geometrice plane. În urma măsurătorilor efectuate se observă că o sală de clasă are o lungime de aproximativ 8-9 m, lățimea fiind de 5-6 m. Pentru a realiza un astfel de plan elevii, sub îndrumarea cadrului didactic, observă că trebuie să micșoreze de un număr de ori dimensiunile respective. Băncile, scaunele, eventualele dulapuri din respectiva încăpere se vor reprezenta grafic folosindu-se dreptunghiuri. Semnificativă în această lecție este înțelegerea ideii de micșorare “la scară”, de comprimare a spațiului în vederea redării lui printr-un desen și de citire ulterioară a simbolurilor respective. Pentru consolidarea noțiunii de spațiu care se redă printr-un desen elevii vor fi îndrumați să-și realizeze planul camerei proprii, aplicând noțiunile învățate.

În procesul învățării copilul trebuie să manipuleze cu o cantitate enormă de informații asimilate sau care se cer a fi asimilate. Acest fapt nu este posibil fără să transforme cunoștințele în reprezentări. Încă de la intrarea în școală copilul posedă anumite reprezentări, acestea nu sunt altceva decât “reflectarea în formă de imagini concrete a obiectelor și fenomenelor percepute anterior”. (5) Ele se consideră a fi activități cognitive de două feluri: scheme și imagini.

Schemele sunt imagini integrale ale percepțiilor. Rareori o persoană posedă scheme complete, astfel încât să poată descrie în amănunt un obiect, chiar foarte cunoscut, văzut cu câteva minute înainte. Procentual vorbind 5-10 % din copii au imagini integrale ce se consumă după 45 de secunde de percepere. În general schemele sunt mai puțin elaborate decât imaginile.

Schemele și imaginile spațiale sub multiple ipoteze evocate contribuie la modificarea opticii esențiale, la anularea egocentrismului infantil.

Modificări evidente au loc în ceea ce privește reprezentările de timp și de durată a evenimentelor. “Timpul subiectiv are tendința să se relaționeze și raporteze la timpul cronometrabil care începe să capete consistență”.(6) Alături de scheme și imagini, la unitățile cognitive se adaugă marea categorie a simbolurilor și aceea a conceptelor. Cele patru unități de cunoaștere se modifică ontogenetic în ceea ce privește proporțiile.

Ca fenomen mai expresiv se semnalizează creșterea volumului simbolurilor și apoi a conceptelor în perioada micii școlarități. Ca și imaginile și schemele sunt căi de exprimare a evenimentelor concrete și evidențiază caracteristicile obiectelor și ale acțiunilor. În procesul învățării școlare înțelegerea numeroaselor probleme de geometrie sau geografie implică masiv scheme, imagini, simboluri.

În planul instrumental al inteligenței se conturează și conținutul conceptelor care constituie a patra unitate a activității cognitive. Conceptele reprezintă “setul comun de atribute ce se pot acorda unui grup de scheme, imagini, simboluri”.(7) Ceea ce deosebește conceptele de simboluri este faptul că simbolurile se referă la evenimente specifice, singulare, iar conceptul reprezintă ceea ce este comun în mai multe evenimente. Conceptele se caracterizează prin: validitate, statut și accesibilitate, atribute care se manifestă odată cu vârsta.

Validitatea conceptelor se referă la gradul în care înțelesul ce este acordat unui concept de către un copil este acceptat ca adevărat. La 8-10 ani, înțelesul acestor cuvinte este relativ asemănător la toți copiii și acceptabil din punct de vedere social ca empiric. La sfârșitul micii școlarități copilul dispune de aproximativ 300 de concepte relativ stabile.

Statutul conceptelor se referă la claritatea, exactitatea și stabilitatea de folosire a planului gândirii conceptului. Conceptele de “număr”, “mulțime” capătă statut de folosire conceptuală, doar la școlarul mic. În această perioadă se constituie rețele de concepte empirice prin care se constituie și organizează piramida cunoștințelor.

Accesibilitatea conceptelor se referă la “disponibilitatea satisfacerii de informații a gândirii în a înțelege ansamblul atributelor conceptului, conform statutului lor real”.(8)

Accesibilitatea conceptelor se referă la capacitatea de înțelegere și comunicare a conceptelor. Modul în care un elev operează cu un concept pune în evidență obstacole și dificultăți în înțelegerea și folosirea efectivă a acestuia.

La vârstă școlară mică au loc numeroase achiziții fundamentale în diferite domenii ale cunoașterii. Se sesizează și înțelesul unor concepte operaționale cum ar fi “cauzalitate simplă/ cauzalitate complexă”. Tot în această perioadă se dezvoltă și conturează cunoașterea directă, ordonată, conștientizată prin lecții, dar crește și învățarea indirectă, dedusă, suplimentară, latent implicată în cunoașterea școlară de ansamblu.

În gândire încep să se manifeste independența, suplețea și devine mai întemeiat spiritul critic întemeiat logic. Gândirea operează cu cunoștințe (scheme, imagini, concepte, simboluri) dar și cu operații și reguli de operații. De exemplu la clasa pregătitoare elevii de regulă vor contura figurile geometrice studiate, vor identifica un dreptunghi dintr-o mulțime de figuri gemetrice bazându-se pe proprietățile simple studiate, iar la clasa a IV-a datorită experienței acumulate, a relaționării efectuate de gândire, dreptunghiul este definit ca paralelogramul cu un unghi drept.

Adesea în încercările de a defini ființa umană se afirmă că este unică deoarece este dotată cu gândire și limbaj. Cele două fenomene psihice puse în discuție, dar nu numai ele, constituie emblematica omului deosebindu-l radical de celelalte viețuitoare. Intelectul desemnează un sistem de relații, activități și procese psihice superioare (inteligență,gândire, memorie, imaginație, limbaj) sistem ce se constituie și funcționează complex la nivel uman, realizându-se doar prin modelare culturală și integrare socio-culturală, deci intelectul are la bază factori biologici și socio – culturali specifici.

În perioada școlară elementară, gândirea sesizează ordinea în succesiuni spațiale, incluzând intervalele sau distanțele, structurarea de perspective și de secțiuni. Totuși, grupările logico- matematice și spațio – temporale ce se constituie – sunt legate de concret, deși uneori „concretul încurcă în operațiile de grupare". Jean Piaget a considerat întreaga evoluție a gândirii ca tinzând spre „gândirea logică formală”. (9)

La fiecare nivel al dezvoltării psihice a copilului există o vastă tipologie a gândirii și o plajă de nivel operativ foarte diversă. Se poate vorbi de un nivel de dezvoltare a inteligenței și o tipologie a gândirii ce este evidentă la nivelul de dezvoltare dintre 6-11 ani. În acest sens se poate vorbi de variante de gândire concret – intuitivă (practică), variante de gândire teoretică, variante de gândire socială.

Reprezentantul cel mai remarcabil al acestei optici de variabilitate a gândirii este J. P. Guilford. Modelul intelectului expus de J. P. Guilford cuprinde un bloc de 120 celule factoriale în care acționează cinci structuri factoriale de grup:

C = abilități cognitive;

M = factorii memoriei;

D = factorii producției divergente;

N = factorii producției convergente;

E = factorii abilității de evaluare.

Structurile factoriale sunt privite în concepția lui J. P. Guilford din punct de vedere figural, simbolic, semantic, comportamental și pun în evidență pregnanța acestor planuri de antrenare operativă a inteligenței.

În perioada școlară mică, operativitatea gândirii avansează pe planurile figural, simbolic, semantic și acțional la nivelul unităților claselor, relațiilor și sistemelor și ceva mai lent la nivelul transformărilor și implicațiilor. În cadrul dezvoltării operativității gândirii se constituie și alte mijloace operative, este vorba de folosirea activă de către elevi a unor reguli operative, cum ar fi: regula de aflare a termenului necunoscut, regula de aflare a perimetrului unei figuri geometrice etc.

Aceste „modele" operative însușite în procesul învățării, constituie sisteme operative complexe numite algoritmi ai activității intelectuale. În situația în care gândirea trebuie să opereze cu ajutorul unor algoritmi ai activității intelectuale, cum sunt regulile, definițiile, schemele, se manifestă „operativitatea nespecifică a gândirii". (10)

Algoritmii activității intelectuale se pot grupa în:

algoritmi de lucru sau de aplicare rezolvare – ca cei ai operațiilor aritmetice de bază: adunare, scădere, înmulțire, împărțire;

algoritmi de identificare sau de recunoaștere a unor structuri, relații, tip de probleme;

algoritmi de control, ca acei ai probelor de control al operațiilor aritmetice.

Orice algoritm al activității intelectuale este compus din pași și strategii. Pașii, ca expresii ale celor mai elementare componente ale gândirii, pot fi puțini (algoritmi simpli), numeroși, variați sau de același tip, ca în adunările sau scăderile cu numere mari.

Algoritmii compuși conțin pași numeroși și variați. În funcție de strategiile implicate în algoritmi, acestea pot fi lineare, ca în adunare și scădere, sau ciclice ca în înmulțire și împărțire cu numere mari. Algoritmii de lucru, cum ar fi cei de adunare, scădere, înmulțire și împărțire, ai reguli de trei simplă și regulii de trei compuse, a aflării suprafeței dreptunghiului, triunghiului, sunt implicați în rezolvarea de probleme și exerciții aritmetice, geometrice.

Algoritmii de recunoaștere sunt specifici pentru sistemul de identificare a datelor cunoscute și necunoscute ale unei probleme aritmetice, a identificării proprietății unei figuri sau corp geometric.

Algoritmii de control se utilizează în calcule aritmetice, în activități intelectuale, care se supun unor reguli implicite și ale căror rezultate duc la relații controlabile.

Algoritmii activității specifice pentru domeniul aritmeticii se însușesc prin învățare și exercițiu și condensează cunoștințele și operațiile valide pentru un domeniu, ceea ce înseamnă că odată însușiți algoritmii permit rezolvarea prin raționarea efortului intelectual a foarte numeroase situații problemă.

Învățarea algoritmilor permite aplicarea lor cu ușurință în rezolvarea de probleme pe care aceștia o generează prin utilizare. Prin intermediul algoritmilor activității intelectuale se realizează o permanentă analiză și un continuu liaj în structura cunoștințelor și se dezvoltă competența de domeniu. Algoritmii însușiți în perioada micii școlarități în timpul alfabetizării și al consolidării acesteia, spre deosebire de algoritmii ce se vor însuși în perioadele ulterioare de dezvoltare intelectuală,

au proprietatea de a fi foarte stabili. Majoritatea acestor algoritmi nu se sting în decursul vieții, pentru că sunt implicați în formele de bază ale instruirii contemporane și sunt întreținuți de ansamblul vieții socio-culturale. La vârsta școlară mică algoritmii de lucru sunt foarte bine consolidați, mai puțin algoritmii de identificare. Ca urmare, ei nu reușesc să se descurce în cazul problemelor, deoarece nu identifică ușor structurile operative solicitate.

La elevii care posedă algoritmi de identificare bine dezvoltați și algoritmi de lucru încă slab dezvoltați, se observă determinarea corectă a modului de rezolvare a problemei, dar și greșeli de calcul pe parcurs, greșeli care alterează rezultatele și care greșeli, de cele mai multe ori, sunt puse pe seama neatenției. La 9-11 ani, operativitatea specifică a gândirii cu structurile disponibile de algoritmi creează un mare grad de libertate gândirii nespecifice a copilului în situații problemă, fapt ce intensifică activismul clasificărilor de operații (întâi de colecții figurate, elementare, cu grad ridicat de asimilare), apoi se intensifică organizarea de subcolecții figurale și nonfigurale pentru ca în continuare să aibă loc clasificări ierarhice de combinări mobile de procedee, de incluziune, descendente sau ascendente.

Operativitatea nespecifică se dezvoltă nu numai pe seama operativității algoritmice specifice, ci și în alte situații. Există probleme care nu pot fi rezolvate la un moment dat prin mijloacele cunoscute, (algoritmii disponibili la nivelul de școlarizare a învățământului primar). Sesizarea acestora creează un fel de interes și o stare de incertitudine intelectuală specifică ce face ca aceste situații problematice să devină de mare stimulație a dezvoltării intelectuale.

Un rol deosebit de important al rezolvării problemelor de aritmetică constă în dezvoltarea intelectuală a elevului, în dezvoltarea unei gândiri consecvente, clare și precise. Folosirea raționamentului aritmetic conduce la formarea la elevi a deprinderii de concentrare a atenției asupra datelor și relațiilor existente în textul problemei, precum și dezvoltarea abilității de comparare a lor.

Rezolvarea problemelor de aritmetică are scopul de a forma o gândire investigatoare, de a stimula imaginația și de a-l duce pe elev la găsirea independentă a strategiei de rezolvare a problemei, situației.

Un aspect similar se manifestă în situațiile în care sunt contrariate cele cunoscute. Astfel de situații se numesc de „disonanță cognitivă". La copilul de 9-11 ani disonanța cognitivă devine o situație de problematizare. Dezvoltarea intelectuală nu se consumă numai prin rigorile lecțiilor școlare, în contextul lecțiilor de fiecare zi, există o creștere a aptitudinilor intelectuale în genere și o creștere a tensiunilor cunoștințelor acumulate – cerințe de coeziune între ele. Mai mult decât atât, ca și in cazul limbajului și în cel al planului mintal se manifestă racordări ce dau structuri matriceale complexe ce exprimă funcții generative.

Toate acestea creează o complexă antrenare a capacităților psihice multilaterale, dar cu condiții diverse de antrenare a numeroase abilități ale inventivității, ale antrenării de stategii și tehnici creative și de

inteligență care suplimentează activ dezvoltarea psihică.

I.2. Modele ale învățării și implicațiile lor în actul educațional

Pentru a ajunge la idealul educațional trebuie ca educatorul (subiectul acțiunii educaționale) să vadă pe elev nu numai ca obiect al acțiunii educaționale, ci ca o ființă care nu din întâmplare la această vârstă este copil. Din acest punct de vedere cadrul didactic trebuie să cunoască la rândul său teorii ale învățării dezvoltate de-a lungul timpului de psihologi, după un studiu îndelungat.

Învățarea are două forme:

învățarea spontană, neorganizată, care are loc în familie, în grupurile de joacă, în timpul exersării profesiei, fiind denumită și învățare socială;

învățarea sistematică realizată în școli, ori în cadrul diferitelor strategii de instruire, calificare.

Aceasta din urmă este cea mai eficientă formă de învățare, cu randamentul cel mai mare, este o formă de activitate instructiv – educativă planificată, organizată pe baza unei experiențe acumulate timp de mai multe secole.

Învățarea școlară, realizată în cadrul procesului instructiv-educativ și acoperind limitele vârstei școlare, capătă o serie de particularități dintre care cele mai importante sunt:

se realizează în cadre și cu mijloace instituționalizate, fiind reglementată de norme, legi, regulamente, structuri de organizare și funcționare (planuri, programe de învățământ);

este un proces dirijat din exterior (de către profesori, părinți, în general adulți) care tinde, spre etapele finale ale școlarității, să devină un proces autodirijat;

proces strict controlat, prin mijloace specifice (calificative, teze, teme pentru acasă), dar care cu timpul tinde să devină autocontrolat;

este un demers conștient, presupune stabilirea anticipată a scopului, mobilizarea voluntară a efortului, raționalizarea conduitelor alternative sau substitutive;

are un pronunțat caracter secvențial exprimat prin treceri de la starea de relativă neinstruire la cea de instruire, parcurgerea mai multor secvențe (de învățare, de verificare, de refacere a celor insuficient sau eronat învățate);

dispune de un caracter gradual, adică stabilirea unor sarcini didactice cu grade progresive de dificultate (trecerea de la simplu la complex, de la neesențial la esențial, de la senzorio – motor la abstract, de la recunoaștere la reproducere);

este un proces relațional mijlocit, presupunând un ansamblu de relații perceptive, comunicaționale, afectiv – simpatetice, de influență, între profesor și elev;

are un pronunțat caracter informativ- formativ.

Elaborarea strategiilor de învățare, clasice sau moderne, a depins și depinde de concepția psihologică asupra funcțiilor (proceselor) implicate în învățare.

Încercările psihologilor de a da o explicație adecvată modului în care se produce învățarea sunt extrem de numeroase și diverse. Cercetarea psihologică evidențiază conturarea mai multor rmodele intrepretative. Dintre acestea amintim:

„Modelul operațional și dinamic:

Teoria formării mentale (P. Galperin);

Teoria psihogenezei cunoștințelor și operațiilor mentale (J. Piaget);

Teoria constructivismului social (L. S. Vîgostski);

Teoria anticipării operaționale (P. Popescu);

Modelul cognitivist:

Teoria structurală genetic – cognitivă (G. Bruner);

Teoria organizării învățării verbale cognitive (D. Ausubel, Robinson);

Teoria învățării cumulativ ierarhice (R. Gagné);

Modelul matematic, informațional și cibernetic:

Teoria matematică a învățării (R. Bush, F. Mosltler);

Teoria modelelor de tip Markov ( Onicescu, Teodorescu, Iosifescu);

Teorii sistematice, algoritmice și informaționale (G. Haus, Helson, Landa).” (11)

Constructivismul piagetian – Modelul piagetian al dezvoltării inteligenței umane este cunoscut în toată lumea și rămâne un element de referință pentru toți cei interesați din domeniu. Piaget ne spune că inteligența înseamnă în primul rând adaptare, respectiv un echilibru între organism și mediu, care este rezultatul interdependenței a două procese complementare: asimilarea și acomodarea.

Asimilarea este un proces de integrare prin care un individ încorporează noi informații în schemele operatorii și în experiența cognitivă pe care deja o are.

Acomodarea presupune modificarea schemelor existente în funcție de noile situații. O conduită adaptată la un moment dat al dezvoltării și într-un anume mediu presupune existența unei stări de echilibru între cele două procese.

În cadrul lecțiilor de matematică, bineînțeles și în cadrul lecțiilor de geometrie elevul trece prin aceste stări, procese complementare de asimilare de noi cunoștințe și acomodare la acestea, dobândind permanent noi competențe.

Constructivismul social al lui L. S. Vîgotski – În timp ce Piaget descrie dezvoltarea ca pe o construcție internă a subiectului născută din interacțiunea cu obiectele, Vîgotski insistă asupra rolul interacțiunii sociale în această dezvoltare. Construcția cognitivă a persoanei se realizează în contexte interactive în cadrul cărora copilul și adultul se angajează într-o activitate comună. Vîgotski precizează: „ceea ce copilul este capabil să facă astăzi cu ajutorul adulților va putea mâine să realizeze singur”.(12) Această teză este de interes major pentru educația școlară. Profesorul este un agent al dezvoltării, în măsura în care el mediază relația copilului cu lumea obiectelor, ghidând, planificând, reglând și perfecționând acțiunile acestuia. Intervenția profesorului este esențială în procesul de învățare al elevului. Vîgotski acordă un rol important dezvoltării limbajului ca mediator semiotic al activității psihice. Prin limbaj, individul își organizează percepțiile și procesele de gândire. De aceea, în școală, copiilor trebuie să li se asigure nu doar condiții de a asculta, observa și acționa, ci și posibilitatea interacțiunii comunicaționale atât cu profesorii, cât și cu colegii.

Constructivismul socio-cultural: J. S. Bruner – Psihologul american Jerome S. Bruner, puternic influențat de cercetările lui Vîgotski, dezvoltă și aplică ideile acestuia în educație. Conform concepției acestuia, dezvoltarea personalității copilului nu poate fi concepută în afara unei ambianțe culturale. Cultura unei societăți este determinantă atât pentru conținutul dezvoltării stadiale, cât și pentru rapiditatea cu care aceasta are loc.

Bruner distinge trei modalități de reprezentare a unui domeniu de cunoaștere:

modalitatea activă, realizată printr-un ansamblu de acțiuni adecvate obținerii unui anumit rezultat;

modalitatea iconică, bazată pe folosirea unui ansamblu de imagini sau grafice, fără manipulare efectivă;

modalitatea simbolică, în care locul imaginilor este luat de simbolurile lor (cuvinte sau alte forme de limbaj) ale căror reguli de formare sau transformare depășesc nivelul acțiunii sau al imaginii. Simbolurile permit o comprimare a realității.

Bruner consideră că trebuie să așteptăm pasivi momentul apariției capacității de asimilare a anumitor cunoștințe. Procesul de instruire poate influența activ, poate grăbi apariția acestui moment dacă se creaeză condiții favorabile și se folosesc cele mai potrivite metode. Psihologul american consideră că rolul principal este jucat de descoperire, prin care se realizează punerea elementului în situația de a participa efectiv la formularea de probleme și la soluționarea lor.

Acestor teorii ale învățării li se adaugă multe altele dezvoltate mai ales în secolul XX.

Din experiența proprie consider că învățarea nu se rezumă doar la una din cele trei teorii expuse, ci cuprinde părți din fiecare teorie în parte.

La ora actuală copilul este integrat în școală la vârsta de 6 ani, în clasa pregătitoare. Conform teorie lui Piaget la această vârstă copilul se află în stadiul preoperator. Acestui stadiu îi urmează stadiul operațiilor concrete 7/8 – 11/12 ani. Perioada din viață pe care copilul o petrece în învățământul primar corespunde unei dezvoltări treptate a inteligenței care se manifestă printr-o proprietate esențială: concret –intuitivă. Copilul din clasa pregătitoare, clasa I, gândește mai mult operând cu mulțimi de obiecte concrete, iar operațiile cer o interiorizare, o funcționare pe plan mental. Dintre principalele caracteristici ale dezvoltării cognitive la această vârstă reținem:

gândirea este dominată de concret;

perceperea lucrurilor este încă globală;

este perceput întregul încă nedescompus;

lipsește dubla acțiune de disociere – recompunere;

domină operațiile concrete, legate de acțiuni obiectuale;

apare ideea de invarianță, de conservare a cantității, a masei, a volumului;

apare reversibilitatea sub forma inversiunii și compensării.

Formarea noțiunilor matematice se realizează prin ridicarea treptată către general și abstract, la niveluri succesive, unde relația dintre concret și logic se manifestă în direcția esențializării realității. În acest sens trebuie valorificate diverse surse intuitive: experiența empirică a copiilor, matematizarea realității înconjurătoare, limbaj grafic.

Capitolul II

Elemente de geometrie în ciclul primar

II.1. Importanța studierii noținilor de geometrie în ciclul primar

Astăzi, ca și în trecut, geometria se bucură de o mare apreciere atât prin caracterul ei practic cât și prin contribuția pe care o aduce la formarea și dezvoltarea personalității școlarului mic și mai ales prin caracterul ei deductiv.

Din punct de vedere instructiv, studiul sistematic al geometriei în clasele primare urmărește ca elevii să-și însușească un sistem de cunoștințe coerente, bine structurat, despre forma obiectelor, a lumii reale, despre mărimea obiectelor și proprietățile acestora. Noțiunile de geometrie conduc la formarea și dezvoltarea la elevi a reprezentărilor spațiale, a deprinderilor de a aplica practic cunoștințele de geometrie în efectuarea măsurătorilor, stabilirea unor mărimi sau distanțe, calcularea perimetrului, a suprafeței, a volumului.

Caracteristic pentru învățământul primar este faptul că prin predarea geometriei se urmărește îndeosebi ca elevii să-și formeze competențe generale pornind de la observarea obiectelor din realitatea înconjurătoare, care le este accesibilă lor, să-și formeze imagini clare și bine conturate despre formele geometrice plane, spațiale și completarea acestor imagini cu noțiuni elementare, care să constituie un suport pentru predarea geometriei în clasele următoare și totodată o bază pentru dezvoltarea raționamentului matematic (geoetric).

Prin activități de observare, construcție, desen, pliere sau măsurare se asigură implicarea multor organe de simț în perceperea figurilor și crearea bazelor intuitive necesare cunoașterii lor științifice. Prin caracterul însușirii lor active, manipulative și iconice aceste cunoștințe promovează intuiția ca bază de predare – învățare. Elevii nu vor rămâne numai la nivelul unor imagini vizuale, ci treptat, ei vor fi conduși să se ridice la unele abstractizări (schematizări) ale figurilor și corpurilor geometrice. Abstractizarea trebuie împinsă dincolo de desen, până la imaginarea formelor plane și spațiale desprinse complet de suportul lor material. Elevii vor fi îndrumați să-și imagineze figura independent de desen și să opereze cu astfel de figuri imaginate.

De exemplu: se va solicita elevilor să-și imagineze linia dreaptă prin prelungirea unei anumite muchii, fie a unui cub, fie a unui dulap din sala de clasă. La operații cu unghiuri, învățătorul va urmări ca elevii să alăture sau să așeze unul peste altul unghiurile și „în minte” nu

numai cu ajutorul materialului didactic sau prin desen.

Cel mai bun mijloc de înțelegere a noțiunilor de geometrie, de formare corectă a acestor noțiuni este descoperirea (găsirea) de către elevi a proprietăților figurilor și formelor geometrice. Dacă elevii „descoperă” prin observarea figurilor geometrice proprietatea, atunci desigur ei au înțeles-o. Ținând seama de caracterul concret al gândirii elevilor, descoperirea proprietăților se va realiza cel mai ușor prin observarea unor exemple tipice. În mod treptat, elevii se vor desprinde de contactul cu realitatea obiectivă și vor putea studia figurile/formele fără ca ele să fie întotdeauna legate nemijlocit de exemple concrete. Cu alte cuvinte, observația simplă cu care elevii sunt deprinși încă de la grădiniță, va continua în clasele pregătitoare, I și a II-a și treptat trebuie transformată într-o observare critică, astfel încât să se deschidă calea spre raționamentul geometric, specific geometriei moderne.

Geometria ca știință a parcurs o cale lungă de dezvoltare de la primele reguli practice de calculare a ariilor și volumelor deduse din experiență (care aparțin antichității) până la forma de știință bine structurată într-un sistem strict logic.

În dezvoltarea istorică a geometriei se disting următoarele etape:

Geometria empirică a popoarelor antice;

Geometria preeuclidiană;

Geometria lui Euclid;

Geometria modernă.

Cele mai vechi urme ale geometriei se găsesc în Egiptul antic și Babilon, în jurul anului 3000 î. Hr. și începuturile acestei științe au fost marcate de o colecție de principii empirice în legătură cu lungimea, unghiul, aria și volumul, care au fost dezvoltate pentru a fi puse în practică în construcții, astronomie și alte științe.

Prin lucrarea sa „Elemente”, Euclid (325- 265 î. Hr.) realizează o revoluție în gândirea geometrică și științifică în general: abordarea logică și riguroasă.

În Renaștere, în locul „Elementelor” lui Euclid, au fost publicate lucrări mai accesibile pentru învățământ, datorate diverșilor pedagogi ai vremii.

Primul sistem axiomatic complet al geometriei a fost elaborat de D. Hilbert, în 1899.

Pentru a înțelege o astfel de construcție logică se cere o gândire matură, bine structurată și atent exersată. Tocmai de aceea este limpede că un curs de geometrie pur deductiv sau axiomatic nu poate fi predat în școala primară. De aceea la nivelul învățământului primar geometria are un caracter apropiat de cel empiric și este împletită cu probleme de calcul, fiind încorporată în aritmetică.

II.2. Scopul învățării noțiunilor de geometrie în clasele primare

Predarea-învățarea noțiunilor de geometrie în ciclul primar are drept scop principal dezvoltarea reprezentărilor spațiale la copii, necesare în clasele următoare pentru însușirea sistematică și logică a geometriei, deci o bază reală și sigură pentru dezvoltarea raționamentului privind formele spațiale ale materiei.

Prin natura și caracterul lor, cunoștințele de geometrie impun un tip de învățare inițială dominant intuitivă. Aceasta nu înseamnă că elevii nu vor rămâne numai la nivelul unor imagini vizuale, ci treptat, trebuie conduși să realizeze operații de abstractizare și generalizare necesare înțelegerii proprietăților și relațiilor existente, specifice formelor geometrice plane și spațiale studiate.

Studiul geometriei în clasele primare implică asimilarea de competențe generale de către elevi, bine structurate, despre formele obiectelor lumii reale, mărimea și proprietățile acestora de a efectua măsurători, de a stabili mărimi și distanțe, de a calcula, a defini corect noțiunile și elementele care să constituie apoi fundament pentru învățarea în clasele următoare a cursului sistematic și logic al geometriei.

Geometria are pentru elevii claselor primare un pronunțat caracter educativ prin aportul ei la dezvoltarea facilităților mintale și prin valențe formative. Ea are o contribuție valoroasă la formarea spiritului de observație, la rafinarea operațiilor de analiză și sinteză vizând legăturile dintre proprietățile formelor geometrice plane și spațiale, orientate progresiv spre redescoperirea relațiilor din structura figurilor precum și formarea conduitei de rezolvare vizând construcția de noi căi de soluționare a problemelor sau de verificare a adevărurilor matematice (geometrice).

II.3. Structura Programei școlare la matematică în învățământul primar

Trecerea sistematică de la învățământul instructiv la cel de modelare a capacităților intelectului a impus elaborarea prezentului curriculum de matematică pentru învățământul primar, ca o continuitate a curriculum-ului pentru învățământul preșcolar și ca o bază pentru învățământul gimnazial.

Proiectarea Curriculum-ului de matematică s-a realizat conform următoarelor principii:

asigurarea continuității la nivelul claselor și ciclurilor de învățământ;

actualitatea informațiilor predate și adaptarea lor la nivelul de vârstă al elevilor;

diferențierea și individualizarea predării-învățării;

corelarea transdisciplinară și interdisciplinară (eșalonarea optimă a conținuturilor matematice corelate cu disciplinele reale pe arii curriculare, asigurând-se coerența pe verticală și orizontală);

delimitatea unui nivel obligatoriu de pregătire matematică a tuturor copiilor și profilarea

posibilităților de avansare în învățare și obținerea de noi performanțe.

Acest curriculum are drept obiectiv crearea de condiții favorabile fiecărui elev de a asimila materialul într-un ritm propriu, individual, de a-și transfera cunoștințele/competențele acumulate dintr-o zonă în alta. Astfel, accentele induse de finalitățile învățământului primar vizează următoarele:

schimbări în abordarea conținuturilor: trecerea de la o aritmetică teoretică la o varietate de contexte problematice care generează aritmetică, în care activitatea pentru rezolvarea de probleme prin tatonări, încercări, implicare activă în situații practice și căutarea de soluții dincolo de cadrul strict al celor învățate capătă o importanță deosebită;

schimbări în ceea ce privește ceea ce se așteaptă de la elevi: aplicarea mecanică a unor algoritmi se va înlocui cu elaborarea și folosirea de strategii în rezolvarea de probleme;

schimbări la nivelul tipurilor de învățare solicitate: transferarea accentului de pe activități de memorare și repetare la activități de explorare – investigare, stimularea atitudinii de cooperare;

schimbarea perspectivei de predare: schimbarea rolului cadrului didactic de la transmițător de informații la cel de creeare de activități variate de învățare pentru toți copiii, în funcție de nivelul și ritmul propriu de dezvoltare al fiecăruia;

schimbări în evaluare: trecerea de la subiectivismul și rigurozitatea notei la transformarea evaluării într-un mijloc de autoapreciere și stimulare a copilului.

Ținând cont de cele prezentate anterior, rămâne valabilă o maximă de acum 2000 de ani a lui Plutarh: „Capul copilului nu este un vas pe care să-l umpli, ci o făclie pe care să o aprinzi, astfel încât, mai târziu să lumineze cu lumina proprie”.

Începând cu anul școlar 2012- 2013 ciclul primar este format din cinci clase, împărțite pe două cicluri de învățământ: ciclul achizițiilor fundamentale care cuprinde clasa pregătitoare, clasa I și clasa a II-a și ciclul de dezvoltare care cuprinde clasa a III-a și clasa a IV-a și două clase din învățământul gimnazial (clasele a V-a și aVI-a).

O dată cu integrarea clasei pregătitoare în școală pentru Programa școlară pentru ciclul primar s-a modificat. Astfel pentru clasa pregătitoare, clasa I și clasa a II-a avem disciplina școlară numită Matematică și explorarea mediului, programa pentru această disciplină a fost elaborată având la bază un nou model de proiectare curriculară, centrat pe competențe. Construcția programei este realizată astfel încât să contribuie la dezvoltarea profilului de formare al elevului din ciclul primar. „Din perspectiva disciplinei de studiu, orientarea demersului didactic pornind de la competențe, permite accentuarea scopului pentru care se învață

și a dimensiunii acționale în formarea personalității elevului.” (13).

Structura Programei școlare pentru disciplina Matematică și explorarea mediului cuprinde: notă de prezentare, competențe generale, competențe specifice și exemple de activități de învățare, conținuturi, sugestii metodologice.

„Competențele generale sunt ansambluri structurate de cunoștințe, abilități și atitudini dezvoltate prin învățare, care permit rezolvarea de probleme specifice unui domeniu sau a unor probleme generale în contexte particulare, diverse.

Competențele specifice sunt derivate din competențele generale, reprezintă etape în dobândirea acestora și se formează pe parcursul unui an școlar.”(14)

Conținuturile învățării se constituie din inventarul achizițiilor necesare elevului pentru alfabetizarea cu elemente de bază ale celor două domenii integrate: matematică și explorarea mediului. Astfel ele sunt grupate pe următoarele domenii:

Numere;

Figuri și corpuri geometrice;

Măsuri;

Date;

Științele vieții;

Științele Pământului;

Științe fizice.

Disciplina Matematică și explorarea mediului are un caracter de noutate în raport cu disciplinele studiate până acum în clasele I și a II-a din învățământul primar. „Principalele motive care au determinat abordarea integrată a matematicii și a unor elemente de științe ale naturii în cadrul aceleiași discipline sunt următoarele:

o învățare holistică la această vârstă are mai multe șanse să fie interesantă pentru elevi, fiind mai apropiată de universul lor de cunoaștere;

contextualizarea învățării prin referirea la realitatea înconjurătoare sporește profunzimea înțelegerii conceptelor și a procedurilor utilizate;

armonizarea celor două domenii: matematică și științe ale naturii permite folosirea mai eficientă a timpului didactic și mărește flexibilitatea interacțiunilor.” (15)

Noua programă școlară pentru clasele a III-a și a IV-a are un rol important în dezvoltarea abilităților și dorinței elevilor de a utiliza moduri matematice de gândire logică și spațială, corespunzătoare nivelurilor de vârstă pentru rezolvarea unor probleme din mediul apropiat, astfel: – realizarea unor calcule elementare cu ajutorul numerelor;

– identificarea unor relații / regularități;

explorarea caracteristicilor geometrice ale unor obiecte;

utilizarea unor etaloane pentru măsurări și estimări.

II.3.1. Competențe generale / competențe specifice privind elementele de geometrie în ciclul achizițiilor fundamentale

Sintetizând într-o viziune pedagogică competențele generale prevăzute în programa în vigoare pentru predarea-învățarea elementelor de geometrie în ciclul achizițiilor fundamentale, se poate afirma că acestea au în vedere următoarele:

Evidențierea caracteristicilor geometrice ale unor obiecte localizate în spațiul înconjurător;

Identificarea unor fenomene / relații / regularități / structuri din mediul apropiat;

Generarea unor explicații simple prin folosirea unor elemente de logică;

Rezolvarea de probleme pornind de la sortarea și reprezentarea unor date.

Din competențele generale derivă competențele specifice, acestea din urmă reprezintă etape în dobândirea primelor și se formează pe parcursul unui an școlar. Astfel pentru ciclul achizițiilor fundamentale, în vederea formării competențelor generale sunt propuse următoarele competențe specifice:

clasa pregătitoare:

clasa I

clasa a II-a

II.3.2. Competențe generale / competențe specifice privind elementele de geometrie în ciclul de dezvoltare

Ciclul de dezvoltare cuprinde clasele a III-a și a IV-a. Noua Programă școlară, sub aspect tematic, prevede că elevii vor intra în contact cu noi elemente de geometrie și reprezentări grafice diverse. Această programă școlară va intra în vigoare începând cu anul școlar 2015-2016.

Competențele generale prevăzute de aceasta sunt:

1. Identificarea unor relații/ regularități din mediul apropiat

2. Utilizarea numerelor în calcule elementare

3. Explorarea caracteristicilor geometrice ale unor obiecte localizate în mediul apropiat

4. Utilizarea unor etaloane convenționale pentru măsurări și estimări

5. Rezolvarea de probleme pornind de la situații familiare.

Competențele specifice prevăzute sunt:

clasa a III-a

clasa a IV-a

Din lecturarea acestor competențe specifice se desprind câteva cerințe metodice fundamentale în predarea- învățarea elementelor de geometrie:

noțiunile de geometrie vor fi învățate prioritar prin procese intuitive și formate inițial pe cale inductivă;

cunoștințele de geometrie vor fi predate și învățate în spiritul rigorii științifice;

corectitudinea limbajului specific geometriei și consecvența utilizării lui în toate împrejurările;

cunoștințele de geometrie trebuie să fie funcționale adică să poată fi aplicate și transferate eficient în orice situație de mediu, teoretică sau practică.

În acest sens, funcționalitatea competențelor privind noțiunile de geometrice trebuie să determine elevului comportamente corespunzătoare, generate de:

necesitatea cunoașterii spațiale din mediul înconjurător din punct de vedere al formei și mărimii;

orintarea în mediul ambiant și reprezentarea lui (de exemplu drumul casă-școală);

rezolvarea corectă a problemelor de geometrie în fața cărora ar putea fi pus elevul, în multiple cazuri din viața de zi ci zi (efectuarea de măsurători, calcule de lungimi, perimetre, arii).

Elementele intuitive de geometrie din ciclul primar vor fi predate prin procese intuitive și formate inițial pe cale inductivă. Aceasta este o cerință care impune ca studiul noțiunilor de geometrie să înceapă prin cercetarea directă (văz, pipăit, manipulare) a mai multor obiecte din lumea reală, situate în diferite poziții în spațiul înconjurător, cu maretial didactic atractiv și sugestiv, conform cu realitatea, cu figuri geometrice plane, toate realizate ca machete ce reprezintă corpul geometric în realitate, în vederea descoperirii (găsirii) acelor caracteristici comune care conturează imaginea geometrică materializată.

Treptat acea figură geometrică va fi reprezentată de cître elevi prin bețișoare, vergele metalice, cu ajutorul cărora se vor pune în evidență laturile, unghiurile, diagonalele, și relațiile dintre acestea, după aceste etape se va trece la desenul propiu-zis al fugurii/formei geometrice.

Desenul reprezintă o detașare a imaginii geometrice de obiectele materiale care o generează. Concretizarea prin desen a imaginii geometrice se realizează la tablă cu instrumente de geometrie (rigla și echerul), iar elevii o execută pe caiete tot cu ajutorul instrumentelor.

Este foarte important ca această concretizare prin desen să se facă în cât mai multe poziții (veticală, orizontală, oblică) pentru a nu crea limite în recunoașterea ei. Aceste concretizări pot fi completate cu prezentarea unor planșe întocmite special pentru aceasta. Imaginea geometrică concretizată prin desen este apoi proiectată în limbajul geometriei și apare astfel noțiunea geometrică.

Noțiunile primare de geometrie învățate în ciclul primar nu pot fi gândite de elevi ca abstracții depline, deoarece ei nu le pot concepe desubstanțializate.

Pe baza limbajului geometric, și prin apel la experiența perceptivă a elevilor, cadrul didactic va contura imaginea geometrică a noțiunii considerate și în alte situații din realitatea exterioară clasei, altele decât cele cercetate de elevi.

Se va observa, de asemenea, că, pe măsură ce sunt dobândite elementele fundamentale de bază ale geometriei (punctul, dreapta, planul) elevul va urca spre stadiul înțelegerii și asimilării unor figuri geometrice mai complicate, poligoanele: dreptunghiul, pătratul, triunghiul, paralelogramul, trapezul, rombul. Alături de procesele intuitive, predarea-învățarea presupune și acțiuni de măsurare efectivă a acestora, de comparare a rezultatelor, decupări de figuri, descompuneri ale figurii. Astfel, înainte de a preda noțiunile de geometrie propriu-zise, se vor preda unitățile de măsură cu multiplii și submultiplii corespunzători, insistând asupra transformărilor ce se pot efectua (la clasele a III-a și a IV-a), deoarece acestea le vor fi necesare în rezolvarea exercițiilor și problemelor de geometrie. Micile inexactități care apar în procesul de măsurare și relativitatea unora dintre rezultatele obținute pot fi puse pe seama lipsei îndemânării copiilor sau chiar al imperfecțiunea instrumentelor de măsurare. Explicațiile date de învățător cu privire la așezarea instrumentelor și la poziția din care trebuie făcută citirea rezultatului măsurării și eventualele reluări ale procesului de măsurare, cu admiterea unor aproximări (la mm, în foaia de caiet), vor convinge elevii asupra valorii concluziilor scoase de ei în lecție pe baza figurilor studiate.

Cu privire la instrumentele de geometrie (rigla și echerul), este necesar ca elevii să-și formeze deprinderi de folosire corectă și rapidă a acestora. Trasarea de drepte, segmente, unghiuri, drepte perpendiculare, drepte paralele, dreptunghiuri, pătrate, romburi, în diverse poziții în plan fie pe caiet sau la tablă și realizarea de măsurători ce trebuie executate cu precizie și rapiditate.

Referitor la desen, este necesar efectuarea lui numai cu instrumentele, atât la tablă cât și

în caiete. Acuratețea desenului este o cerință importantă, la care se adaugă elementele de expresivitate, adică folosirea cretei colorate, trasări discontinui, pentru a pune în evidență anumite părți ale figurii care prezintă interes în planul înțelegerii noțiunii geometrice.

În utilizarea materialului didactic se impun atenției câteva condiții pe care trebuie să le îndeplinească atât modelul confecționat, cât și modul în care este folosit de învățător și elevi:

Materialul confecționat va avea dimensiuni suficient de mari pentru a fi văzute cu claritate din orice punct al clasei precum și o construcție clară, satisfăcând condițiile estetice.

De exemplu: un material confecționat din vergele rigide sau elemente de carton care în timpul folosirii s-ar dezmembra (fără a intenționa acest lucru), ar crea perturbări și ar distrage atenția elevilor de la conținutul obiectivului urmărit.

Materialul didactic trebuie să fie expresia fidelă a ceea ce trebuie să reprezinte, să contribuie la ușurarea transpunerii în desen a figurii geometrice studiate, a elementelor sale și a relațiilor ce există între ele (de mărime, de paralelism, de perpendicularitate).

Materialul didactic trebuie să se adreseze elevilor respectând însă particularitățile lor de vârstă; cu cât aceștia sunt mai mici se impune ca el să fie mai atractiv, dar simplu, amănuntele fără interes științific să nu intre în câmpul atenției elevilor, rămânând elemente ale fondului perceptiv.

O insuficientă valorificare a materialului didactic duce la însușirea formală a cunoștințelor, influiențând negativ procesul formării reprezentărilor spațiale.

O folosire în exces a materialului didactic duce la o saturație perceptivă, la repetare de observații cu amplificări nefirești, uneori chiar la observații inutile, ceea ce ar abate atenția elevilor de la scopul observațiilor și intuițiilor, afectând modul de utilizare a timpului, producând greutăți în realizarea generalizărilor, a însăși imaginii geometrice.

Aceste atenționări conduc la sublinierea faptului că nu abundența de material didactic determină succesul lecției, ci competența învățătorului în alegerea unui material didactic reprezentativ, de natură să asigure cercetarea inductivă și asimilarea cunoștințelor geometrice propuse.

Noțiunile intuitive de geometrie din clasele primare vor fi predate și învățate în spiritul rigurozității acestei științe, a geometriei.

Deși suportul de bază al predării și învățării elementelor de geometrie în clasele pregătitoare -IV este cel intuitiv, sistemul cunoștințelor de geometrie însușite de elevi trebuie să corespundă rigurozității geometriei. În primul rând pentru că ele trebuie să reprezinte elemente corecte ale cunoașterii matematice, servind elevului în orientarea și rezolvarea problemelor de adaptare în spațiul înconjurător. În al doilea rând, pentru că toate aceste cunoștințe geometrice vor sta la baza continuității studiului acestei discipline în clasele următoare, servind treptat la formarea temeinică a conceptelor geometriei în sistematica conduitei matematice a elevilor.

De exemplu formarea noțiunii de dreaptă se pornește de la observarea unor modele mărginite, dar învățătorul trebuie să coordoneze formarea acestei noțiuni astfel încât treptat elevul s-o imagineze cu atributul său, nemărginirea. Începând cu clasa a III-a prin revenirea asupra unor întrebări de felul: ,,Se poate prelungi porțiunea de dreaptă desenată cu rigla pe tablă, dacă am gândi tabla tot mai mare?” ,,Dacă la desenul trasat cu ajutorul riglei am fixa capete, ce am obține?” ,,Dreapta are capete?” ,,Putem desena toate punctele unei drepte?” ele ne pot servi eficient scopului inițial propus.

Unele dintre întrebările considerate presupun formată noțiunea de punct, care se formează în paralel cu noțiunea de dreaptă, în ordinea dreaptă, punct. Intuirea ,,punctului” poate începe cu faza de materializată prin desen, ca fiind urma lăsată pe hârtie de vârful creionului bine ascuțit sau de cretă pe tablă.

De aici, elevul va înțelege că dreapta materializată prin desen, este formată din punctele pe care vârful creionului, cretei, sprijinit pe riglă și aflat în mișcare, le lasă pe hârtie, tablă. El va mai înțelege că segmentul concretizat prin desen este format din puncte, iar extremitățile sunt primul și ultimul punct al concretizării.

Este necesar de adăugat două cerințe importante referitor la limbajul geometric, definit prin două proprietăți simple: corectitudinea și consecvența folosirii lui.

În acest sens, învățătorul trebuie să utilizeze corect limbajul simbolic:

-,,punctele se notează cu litere mari ale alfabetului”;

Fig. 1

x A -citim: punctul A . B -citim: punctul B

-,,dreptele se notează cu litere mici ale alfabetului” sau ,,AB”, unde A și B sunt două puncte distincte ale dreptei:

Fig. 2

-citim: dreapta d -citim: dreapta AB

d A B

-,,unghiul determinat de semidreptele OA, OB se notează ,,AOB” sau ,,BOA”, iar citirea se face prin verbalizarea literelor respective, de la stânga la dreapta”:

Fig. 3 A

-citim: unghiul AOB

O

B

-,,notarea unui poligon se face cu ajutorul literelor mari atribuite vârfurilor, într-o succesiune rezultată din parcurgerea vârfurilor ca și când acestea ar fi pe un cerc, iar cercul este parcurs în sens invers acelor de ceasornic; citirea se face tot de la stânga la dreapta”:

Fig. 4 A E B -citim poligonul ABCDE

C D

O atenție deosebită trebuie să se acorde și exprimărilor nesimbolice din limbajul geometric, deoarece nivelul corectitudinii lor evidențiază nivelul conștientizării cunoștințelor de geometrie. De exemplu vor fi corectate exprimările de felul: ,,aceasta este o linie”, în loc de ,,aceasta este o linie dreaptă” AB; sau ,,acesta este un segment” în loc de ,,acesta este un segment de dreaptă MN”.

Cunoștințele de geometrie trebuie să fie funcționale. Pornind de la obiectivele predării și învățării elementelor de geometrie în ciclul primar se va observa că, în mod firesc, acestea au în vedere ca, în ansamblul ei, pregătirea geometrică a elevilor să vizeze asimilarea de cunoștințe, formarea de capacități, deprinderi și priceperi, precum și înzestrarea cu instrumente științifice, în baza cărora elevul să poată înțelege și acționa eficient asupra mediului înconjurător, atât sub raportul organizării, cât și al cunoașterii lui tot mai profunde.

O altă cerință de bază a activității didactice în predarea-învățarea elementelor intuitive de geometrie o constituie necesitatea de a sensibiliza gândirea elevilor spre acele cunoștințe și abilități geometrice care sunt funcționale, adică spre acele cunoștințe ce pot fi aplicate și transferate eficient în orice situație de mediu (teoretică sau practică). În acest sens, rolul cunoștințelor, deprinderilor și priceperilor geometrice trebuie să determine la școlarul din ciclul primar comportamente corespunzătoare, generate de: necesitatea cunoașterii spațialității proxime sub raportul formei și mărimii; orientarea în spațiul ambiant și reprezentarea acestui spațiu, de exemplu orientarea și reprezentarea relative la drumul casă-școală; alegerea drumului celui mai convenabil în deplasarea reală; rezolvarea corectă a problemelor date de învățător, manual, culegeri sau de multiplele situații reale: efectuarea de măsurători, calcule de lungimi, perimetre.

În această ordine de idei trebuie reținut că:

abilitatea practică de a ști, a putea să rezolvi probleme se dobândește prin exercițiu, prin studiu pe modele reale sau create, printr-o activitate îndrumată, printr-o activitate de grup și în mod obligatoriu printr-o activitate personală;

activitatea de rezolvare de probleme asigură și consolidarea cunoștințelor de geometrie, realizând deschideri în plan motivațional, favorabile continuării studiului, dezvoltării pe mai departe a rafinamentului gândirii geometrice.

II.4. Predarea –învățarea elementelor de geometrie în clasele P- IV

II.4.1. Intuitiv și logic în predarea – învățarea elementelor de geometrie

Geometria, spre deosebire de celelalte discipline matematice, oferă elevilor posibilitatea de a percepe direct obiectele lumii reale sau a imaginilor care reprezintă aceste obiecte.

În afară de metoda deductivă, care constă în descoperirea adevărurilor pe baza raționamentului logic ipotetico-deductiv, unele proprietăți (caracteristici) ale figurilor geometrice sunt puse în evidență și conștientizate de elevi prin intuiție. În clasele P- IV, programa prevede introducerea noțiunilor de geometrie, segment, linie, câteva din figurile geometrice, prin intuiție. Prin această cerință se înțelege că elevul trebuie coordonat să conștientizeze ( să înțeleagă) și să asimileze noțiunile de bază, cum sunt: ce este perimetrul unei figuri, care sunt proprietățile specifice ce se pot stabili între elementele unei figuri geometrice, prin intuiție, adică prin participarea nemijlocită a elevului la descoperirea (prin deducere) și stabilirea definițiilor și proprietăților figurilor cu care fac cunoștință. Dar, așa cum se simte nevoia exprimării și transpunerii în scris a ,,cuvintelor”, a ,,numerelor”, a anumitor operații și în geometrie această exprimare devine la fel de necesară.

Desenul, în geometrie, este de o importanță deoasebit de mare, rațiune pentru care încă de la primele clase construcția figurilor trebuie să constituie o secvență importantă a structurii lecțiilor cu conținut geometric. Construcția unei figuri geometrice are avantajul că prezintă prin câteva linii forma figurilor, sugerează relații între elementele lor, pe baza cărora elevii sunt puși să descopere alte proprietăți, care apoi, se pot verifica prin raționament.

Dacă pentru o persoană adultă desenul pare a fi explicit și i se pare normal să reprezinte prin desen o anumită figură, pentru elevi, de multe ori, desenul realizat apare ca fiind fără o legătură directă cu modelul pe care-l reprezintă, adică nu le spune nimic. De aceea se impune ca începând cu primele clase, lecțiile cu conținut geometric să se realizeze pe baza lucrului cu obiecte concrete, cu material didactic, cu figuri geometrice plane, toate realizate ca machete (materiale didactice). Treptat aceeași figură va fi reprezentată prin tije metalice (vergele), în care se evidențiază laturile, diagonalele, unghiurile și relații dintre ele și numai de la această formă se va trece la desenul propriu-zis al figurii (corpului geometric). Desenul trebuie mai întâi să fie explicat, pentru ca fiecare segment trasat să-și găsească corespondentul în modelul real alăturat. Elevii nu trebuie să rămână la faza imaginilor vizuale, ci, pe măsura dezvoltării gândirii, să ajungă la abstractizări și generalizări, continuându-se procesul cu utilizarea raționamentului deductiv.

Predarea-învățarea noțiunilor intuitive de geometrie în clasele primare impune ca necesare câteva precizări:

Elevii nu trebuie să învețe definițiile pe de rost. Definițiile și proprietățile figurilor se vor deduce din analiza modelelor. În multe cazuri nici nu se poate da o definiție strict logică și aceasta deoarece elevii fac cunoștință cu noțiunea specie mai înainte de noțiunea gen.

De exemplu: dreptunghiul se studiază încă de la clasa I, înaintea paralelogramului și se vor pune în evidență următoarele proprietăți: congruența laturilor opuse, apoi după studiul paralelogramului, în clasa a IV-a elevii vor putea defini dreptunghiul ca paralelogramul cu un unghi drept.

La studierea figurilor geometrice cadrul didactic va folosi cu precădere activitatea individuală a elevilor, sugestiile și ideile acestora.

Elevii vor construi figura, vor examina și descompune imaginea acesteia. Învățătorul le va prezenta cazuri variate și poziții variate în care se pot afla aceste figuri și nu se va limita numai la studierea unui caz particular. Folositoare sunt modelele mobile, care permit elevilor să înțeleagă și să rețină proprietățile figurilor.

Toate observațiile și concluziile vor avea la bază intuiția și experiența elevilor, raționamentul de tip analogic și inductiv, dar și elemente de deducție atât de necesare dezvoltării gândirii elevilor. Ca bază pentru concluzii nu trebuie să se folosească o singură experiență. Pentru aceasta, copiii trebuie orientați să observe, să compare și să generalizeze cu atenție, știut fiind faptul că, de regulă, concluzia care rezultă dintr-un caz particular poate fi eronată.

Primul element strict logic pe care îl întâlnesc elevii este definiția. Cadrul didactic va trebui să confere foarte multă atenție necesară pregătirii și înțelegerii noțiunii de definiție. Pentru ca elevii să atingă stadiul înțelegerii și formulării definițiilor vor fi îndrumați să distingă tocmai acele proprietăți esențiale ale obiectelor care constituie elemente structurale ale definiției noțiunii. Se vor avea în vedere acele elemente care-i aparțin, care exprimă genul proxim și apoi elementele care precizează diferența specifică.

Prin lecțiile de geometrie se va urmări ca un număr cât mai mare de cunoștințe să poată fi utilizate în viitoarea lecție de geometrie, dar și la alte discipline de învățământ.

Se impune ca unele cunoștințe cu conținut geometric să fie descoperite de elevi prin activitatea lor practică. Se va avea în vedere ca elevii: să cunoască să definească o figură; să formuleze corect proprietățile unei figuri; să deosebească figurile între ele după proprietățile caracteristice fiecăruia; să stabilească asemănările și deosebirile dintre figurile geometrice prin activități proprii conduse de învățător.

Unul din principiile învățării geometriei, conform căruia, ,,atunci când avem de predat o ramură a științei (sau o teorie sau un concept), trebuie procedat în așa fel încât, în procesul de învățare, copilul să parcurgă în mintea lui etapele principale ale evoluției intelectuale ale speciei umane.

Nu este vorba, desigur, să-l facem să repete în detaliu o mie și una de erori ale trecutului,

ci numai etapele principale ale evoluției”. (18)

Pentru a sublinia și mai mult corelația care trebuie să existe între planul intuiției și planul logic în predarea și învățarea elementelor de geometrie trebuie amintite și unele concluzii ale psihologiei, epistemologiei și didacticii moderne.

Cercetările psihologice moderne asupra dezvoltării și învățării au ajuns la ideea-cadru conform căreia evoluția psihomentală a copilului se realizează stadial, fiecare perioadă cuprinzând un interval variabil de câțiva ani, fiecărui stadiu fiindu-i specifice anumite particularități, deci și anumite strategii formative. În cadrul stadialității psihologice, școlarii claselor P-IV parcurg de fapt două stadii:- unul de la 4 la 7 ani și cel de la 7 la 11 ani pentru care există câteva trăsături caracteristice. Astfel, în stadiul preoperațional, de la 4 la 7 ani, crește capacitatea actelor de percepție asupra realității mediului ambiant și sferei acțiunilor proprii, prezența intuiției fiind logică și având statut de factor al gândirii cu sprijin efectiv pe imagini. În a doua jumătate a acestui studiu, percepția dirijată poate conduce la generalizări, la apariția incipientă a unor elemente de logică, precum și la operații logice eficiente.

Stadiul ,,operațiilor concrete”, 7-11 ani, este caracterizat de faptul că acum copilul ajunge la coordonarea mobilă și reversibilă a activității mentale, deși funcționarea acestei activități continuă să aibă ca suport intuiția. În această perioadă devin posibile unele clasificări, ierarhizări, sintetizări, generalizări și abstractizări matematice, se dobândește conceptul de număr natural, se formează operațiile fundamentale în mulțimea numerelor naturale dar, cu toate acestea, operațiile mentale încă au nevoie de suportul acțiunilor directe cu obiecte reale.

Ținând seama de natura concretă a operațiilor mentale rezultă că pentru a determina asimilarea temeinică a cunoștințelor de geometrie prevăzute de programă trebuie să se pornească de la manipularea și cercetarea obiectelor materiale corespunzătoare și nu la enunțuri verbale.

Încă din secolul trecut, un dialectician afirma: ,,ca și noțiunea de număr, noțiunea de figură este luată exclusiv din lumea exterioară și nu s-a născut în cap din gândire pură. Trebuie să fi existat obiecte care să aibă anumite forme, pe care omul să le compare între ele înainte de a se fi putut ajunge la noțiunea de figură”. (19)

Pornind de la faptul că activitatea de învățare este preponderent o activitate de cunoaștere, iar cunoașterea științifică urmează o dialectică specifică, didactica generală a asimilat și promovează o nouă viziune asupra legităților instruirii școlare, inclusiv asupra celor aplicate geometriei.

Astfel, în domeniul principiilor didactice, principiul intuiției, stabilit de I.A. Comenius ca ,,regula de aur” a didacticii, și care exprimă cerința ca ,,însușirea cunoștințelor de către elevi să se bazeze pe contactul nemijlocit cu obiectele (fenomenele lumii reale sau imaginile acestora) este în prezent formulat ca principiul interdependenței dintre senzorial și rațional, dintre concret și abstract. Percepțiile, imaginile intuitive nu sunt simple impresii senzoriale care se nasc în contact cu realitatea, ci rezultatul unui proces complex și unitar la care își aduc contribuția atât formele cunoașterii senzoriale, cât și formele cunoașterii raționale.

Acest principiu al didacticii, a cărei bază științifică este justificată atât de ,,calea dialectică a cunoașterii”, cât și de ,,caracterul intuitiv-concret al gândirii școlarului”, cere ca predarea și învățarea elementelor de geometrie la clasele I-IV să se realizeze în conformitate cu însăși baza sa științifică și logică.

De aceea, cunoașterea și dobândirea elementelor de geometrie trebuie să înceapă cu procese de intuire, adică cu perceperea nemijlocită a mai multor cazuri particulare de obiecte care evidențiază materializat noțiunea de figură geometrică ce urmează să fie detașată. Apoi, cu ajutorul cuvântului, printr-o dirijare atentă a observației, se va ajunge la ceea ce este esențial în actul percepției. Noțiunea geometrică se convertește în limbaj matematic. Apoi, de la suportul material al noțiunilor de geometrie se trece la concretizarea acestora prin desen, ceea ce reprezintă un prim pas pe drumul către abstractizarea acestor noțiuni.

Intuiția geometrică și calea inductivă (calea observării și cercetării mai multor cazuri particulare), folosite în predarea și învățarea elementelor de geometrie, nu sunt și nu trebuie să devină scopuri în sine, ci mijloace pentru atingerea scopului propus. În prima etapă se are în vedere asimilarea conștientă sub raport concret a noțiunilor geometrice, iar în etapa următoare deplasarea acestora prin procese semiconcrete (adică reprezentări prin desen) spre zona operațiilor și gândirii logice.

Practica educațională arată că după ce elevii au asimilat activ primele noțiuni de geometrie, spre exemplu dreapta, sfera logică a gândirii facilitează învățarea altor noțiuni geometrice implicate logic de prima noțiune, semidreapta, segmentul, unghiul. Punctul de pornire este tot intuiția, dar care, progresiv, se ridică la planul imaginilor, al reprezentării noțiunii care implică și realizează apoi descoperirea noilor noțiuni prin reprezentarea materializată în natura înconjurătoare. Evident că pentru descoperirea noțiunilor ,,implicate” se poate urma și calea de descoperire a noțiunilor, dar dificultățile cresc.

Noțiunile de geometrie aflate prin procese de intuiție și raționament inductiv trebuie să parcurgă la școlarul mic drumul care duce de la imaginea materializată a noțiunii la imaginea concretizată prin desen a noțiunii și apoi la imaginea fixată prin limbaj.

Nu se poate aștepta însă ca, la această vârstă, elevii din clasele P- IV să poată abstractiza deplin noțiunile de geometrie, deoarece ei sunt la vârsta la care nu pot gândi fără corespondentul lor real. Elevii trebuie să ajungă treptat, pe măsura gândirii lor operative și a dobândirii cunoștințelor de geometrie, la stadiul utilizării raționamentului deductiv.

Chiar din clasele II-IV, elevii pot fi pregătiți pentru a putea înțelege un element logic important cum este definiția. Pentru aceasta ei vor fi îndrumați să distingă notele esențiale ale obiectelor, să conștientizeze definiția, clasele de figuri geometrice și, de aici, să sesizeze anumite operații logice. Relația intuitiv-logic în predarea și învățarea elementelor de geometrie în ciclul primar determină și necesitatea folosirii în lecții a unor materiale didactice sau mijloace de învățământ adecvate. Materialele prezente în mediul clasei și nu numai din acest mediu, planșe reflectând materializarea prin desen a noțiunilor, desenele executate pe tablă, modelele confecționate din materiale rigide care concretizează noțiunea, instrumente de geometrie și altele, dozate și folosite rațional, vor contribui la învățarea temeinică a noțiunilor intuitive de geometrie.

II.4.2. Formarea conceptelor geometrice

Cerințele metodice prezentate sunt de natură să sintetizeze și să sugereze, pe de o parte anumite faze ale procesului de formare a noțiunilor geometrice iar, pe de alta, nevoia unui ansamblu de metode și procedee ale procesului predării și învățării geometriei.

Sistemica procesului de formare și mai ales de învățare, a noțiunilor de geometrie s-ar putea configura astfel:

Intuirea obiectelor care evidențiază materializat noțiunea (figura/forma), cu dirijarea atenției elevilor către ceea ce interesează să fie observat.

Observarea proprietăților caracteristice evidențiate de obiectele intuitive.

Compararea și analizarea proprietăților pe un material didactic care concretizează noțiunea.

Reprezentarea prin desen a noțiunii materializate de obiecte și materialul didactic: se indică elementele componente stabilite prin observare directă, se fac notații, se evidențiază din nou proprietățile caracteristice.

Formularea definiției (prin analiza genului proxim și a diferenței specifice) sau stabilirea proprietăților caracteristice care intră în conținutul noțiunii (figurii) și proiectarea acesteia în limbajul geometriei.

Identificarea noțiunii (figurii) și în alte situații corespondente din mediul înconjurător.

Construirea noțiunii (figurii) folosind carton, hârtie, bețisoare sau alte materiale.

Clasificarea figurilor care fac parte din aceeași categorie, de exemplu: unghiuri, patrulatere.

Utilizarea noțiunii (figurii) în rezolvarea problemelor specifice și transferul ei în situații geometrice noi.

Trebuie specificat faptul că unele noțiuni geometrice (figuri) impun parcurgerea tuturor acestor faze menționate mai sus, pe când alte noțiuni nu, unele noțiuni pot fi studiate într-o lecție, altele într-un șir de lecții sau capitole.

Adevăratul proces de formare a noțiunilor de geometrie este unul de durată și nu trebuie confundat cu procesul învățării de noțiuni.

II.5. Elemente de geometrie în ciclul primar

În Programa școlară pentru clasa pregătitoare, clasa I și clasa a II-a sunt prevăzute următoarele conținturi ale învățării în ceea ce privește noțiunile de geometrie:

Figuri și corpuri geometrice

La clasele a III-a și a IV-a conținuturile învățării prevăzute în Programa școlară sunt:

II.6. Metode, mijloace și procedee de lucru specifice în predarea- învățarea elementelor de geometrie

În predarea- învățarea elementelor de geometrie din ciclul primar se utilizează:

metode tradiționale – care fac apel la comunicarea directă;

metode moderne – expresie a celor mai recente inovații pedagogice, cu accent pe dezvoltarea

personalității.

„Ținând cont că acțiunea cu obiectele declanșează actul intelectual, metodele se pot clasifica în:

metode intuitive (concret-senzoriale) – elevul observă obiectele, recepționează și acumulează percepții și reprezentări, realizând o cunoaștere intuitivă;

metode active – copilul acționează cu obiectele însușindu-și treptat și nuanțat reprezentări;

metode verbale – copilul ajunge la cunoaștere prin intermediul cuvântului.” (20)

Metodele verbale devin procedee de realizare a metodelor intuitive și active, iar cele intuitive devin procedee pentru metodele active.

În predarea-învățarea elementelor de geometrie din ciclul primar, se folosesc un număr mare de metode și procedee care contribuie în foarte mare măsură la dezvoltarea spiritului de investigare, de dezvoltare a imaginației și a creativității elevilor. Prin folosirea lor corectă și eficientă de către cadrul didactic, elevii dobândesc cunoștințe și își formează competențe specifice, învață să gândească logic, devin participanți activi la propria lor formare matematică.

„Explicația este o metodă verbală de asimilare a cunoștințelor prin care se progresează în cunoaștere, oferind un model descriptiv la nivelul relațiilor. Pentru o eficiență crescută în utilizarea acestei metode în cadrul lecțiilor cu conținut geometric se impun a fi respectate câteva cerințe:

– să fie precisă, centrând atenția asupra unui aspect;

– să fie corectă, adică adaptată nivelului experienței lingvistice și cognitive a copiilor;

– să fie concisă.” (21)

De exemplu la clasa pregătitoare cu ajutorul acestei metode, dar folosind și demonstrația se poate arăta foarte simplu cum un dreptunghi are laturile egale două câte două. Astfel utilizându-se un dreptunghi confecționat din carton și a cărui laturi opuse au fost colorate cu culori diferite, atât pe față cât și pe verso, se suprapun lungimile pentru a observa că au aceeași dimensiune, se procedează identic și cu lățimile dreptunghiului..

Fig. 5

Explicația este metoda folosită atât de cadrul didactic cât și de elevi.

“Demonstrația este metoda învățării pe baza contactului cu materialul intuitiv, contact prin care se obține reflectarea obiectului învățării la nivelul percepției și reprezentării.” (20) Așa cum se precizează în definiția de mai sus, putem spune că această metodă se utilitează cu precădere în lecțiile cu conținut geometric deoarece în clasele primare pentru formarea competențelor specifice în domeniul geometrie se face apel la intuiție.

Conversația este metoda didactică de instruire cu ajutorul întrebărilor și răspunsurilor în scopul realizării unor sarcini și situații de învățare. Conversația este utilizată atât ca metodă cât și ca procedeu. Ca metodă aceasta ajută la stimularea gândirii elevilor, orientând atenția spre elementele importante, dar neglijate ale unei situații problemă, ajută elevii spre a-și valorifica și reorganiza propiile cunoștințe pentru a ajunge la noi structuri cognitive prin întrebări ajutătoare.

Problematizarea reprezintă una dintre metodele cele mai utile metode, prin potențialul ei euristic și activitazor.

„Problematizarea are o deosebită valoare formativă:

se consolidează structuri cognitive;

se stimulează spiritul de explorare;

se formează un stil activ de muncă;

se cultivă autonomia și curajul în afișarea unor poziții proprii.

Utilizarea acestei metode presupune o antrenare plenară a personalității elevilor, a componentelor intelectuale, afective și voliționale.” (22)

De exemplu: elevilor li se solicită elevilor să precizeze dacă două dreptunghuri ABCD și MNPQ au aceeași arie, prezentându-se următorul desen:

Fig. 6

A D M Q

N P

B C

Învățătorul întrebă: Pot avea cele două dreptunghiuri aceeași arie? Elevii vor fi conduși să observe că, chiar dacă nu li se oferă date numerice pentru lățimile, respectiv lungimile celor două dreptunghiuri. Ele sunt alcătuite fiecare din câte 12 pătrate identice, ceea ce arată că cele două dreptunghiuri au aceeași arie, chiar dacă cele două dreptunghiuri au lățimi, respectiv lungimi cu dimensiuni diferite. De fapt se ajunge la următoarea relație numerică: 3 x 4 = 2 x 6.

Această situație problemă simplă se poate generaliza și extinde chiar la figuri geometrice

plane diferite.

Învățarea pe bază de probleme – presupune ca învățătorul să le relateze și să le folosească, în clasă, fie ca punct de plecare în trezirea interesului pentru dobândirea cunoștințelor, fie ca punct de punere în valoare a informației elevilor pentru noi combinări sau restructurări în vederea elaborării de noi concepte.

1. Situație problemă în predarea rombului

Identificați poligonul pe care nu-l cunoașteți sau identificați forma geometrică plană care nu este triunghi, nu este nici pătrat, nici dreptunghi.

Fig. 7

Ghidați de întrebările învățătorului, elevii vor afla prin măsurare că figura geometrică care s-a cerut a fi descoperită are toate laturile egale (congruente) între ele. Spre deosebire de pătrat unghiurile nu sunt unghiuri drepte. Se va denumi respectivul patrulater: romb. În completare, elevii pot desena pe foaia de hârtie diagonalele rombului și astfel pot fi puse în evidență și alte proprietăți ale acestui patrulater regulat.

2. Situație-problemă:

La lecția ,,Perimetrul dreptunghiului”- clasele a III-a, a IV-a, folosind strategia predării-învățării prin descoperire, elevii cunoscând deja noțiunile de dreptunghi și perimetrul unui poligon, se poate proceda la lansarea următoarelor sarcini operaționale:

Se cere elevilor să calculeze prin mai multe căi perimetrul unui dreptunghi care are care are dimensiunile L și l (L fiind măsura lungimii, l fiind măsura lățimii).

Se cere elevilor să aprecieze și să argumenteze care este cea mai rapidă formulă de calcul.

Demersul metodic și operațional poate fi :

•Elevii vor stabili inițial formula: L+l+L+l, apoi vor ajunge la: 2 x L+2 x l;

•În continuare, dacă elevii s-au oprit, vor fi ajutați să-și aducă aminte de proprietatea de distributivitate a înmulțirii față de adunare:

a x (b+c) = a x b + a x c, care va fi scrisă pe tablă astfel:

a x b + a x c = a x ( b +c ), subliniind cum se mai poate scrie o adunare în care termenii sunt produse și conțin un factor comun.

•După aceea elevii vor observa și vor stabili că: 2 x (L+l) reprezintă perimetrul dreptunghiului exprimat prin cea mai rapidă formulă (cu cel mai mic număr de operații).

Tot în acest fel se poate proceda și pentru calculul perimetrelor altor figuri geometrice învățate.

În predarea-învățarea elementelor de geometrie totdeauna se va pleca de la realitatea înconjurătoare, de la obiectele noastre uzuale și care seamănă cu diferite figuri geometrice. Astfel elevii vor recunoaște că în sala lor de clasă, tabla are formă dreptunghiulară, la fel și ușa, dulapurile se aseamănă cu un cuboid, fețele unui cub au forma pătrată, tubul de neon are forma unui cilindru, mingea este ca o sferă.

O altă metodă didactică aplicată în lecțiile de geometrie este exercițiul. Această metodă se poate folosi cu scopul de a consolida cât mai bine cunoștințele însușite, de a forma priceperi și deprinderi, de a dezvolta capacități creatoare.

„Exercițiile trebuie să respecte câteva cerințe:

modelul de imitat să fie accesibil;

la baza exercițiului să stea idei clare;

să fie variate, gradate progresiv, eșalonate;

cantitatea și durata exercițiilor să asigure formarea de priceperi și deprinderi.” (22)

Multe dintre exerciții pot fi prezentate sub formă de joc, cu rolul de a-i atrage pe elevi să cunoască foarte bine figurile geometrice și mai ales să nu le confunde.

Încă de la clasa pregătitoare exercițiile variate vin să consolideze cunoștințele elevilor în lecțiile de geometrie. Un exemplu de exercițiu care poate dezvolta capacități creatoare poate fi următorul: „Construiți cu ajutorul figurilor geometrice cunoscute un roboțel.”. Acest tip de exercițiu se poate extinde la toate clasele învățământului primar, gradul de dificultate sporind de la un an de studiu la altul.

Metoda cubului este utilizată în cazul în care se dorește explorarea unui subiect, a unei situații din mai multe perspective. Se dezvoltă astfel la elevi posibilitatea de a-și dezvolta competențele necesare unei abordări complexe și creatoare. Etapele metodei sunt: se confecționează un cub pe care se notează cuvintele: descrie, compară, analizează, asociază, aplică, argmentează.

De exemplu la clasa a IV-a această metodă poate fi aplicată în cadrul lecțiilor de recapitulare a formelor geometrice plane și spațiale. Elevii vor fi împărțiți pe grupe, iar fiecărei grupe îi corespunde unul din cuvintele notate pe cub. Pe o foaie de hârtie fiecare grupă va avea notat cuvântul de pe cub corespunzător și sarcina ce trebuie pusă în discuție:

Descrie: Cubul / Trapezul;

Compară: Ce e asemănător și ce e diferit între dreptunghi și paralelogram? / Ce e asemănător și ce e diferit între cub și paralelipiped?

Asociază: Dreptunghiul cu alte obiecte din mediul înconjurător. / Cilindrul cu alte obiecte din mediul înconjurător.

Analizează: Ce devine un dreptunghi care are lungimea egală cu lățimea? / Ce devine un pătrat care are unghiurile ascuțite și obtuze?

Aplică: Care e perimetrul unui pătrat cu latura de 4 cm? / Care e latura unui triunghi echilateral cu perimetrul de 27 cm?

Argumentează: De ce trapezul nu este un paralelogram? / De ce cuboidul nu e un cub?

Metoda Știu / Vreau să știu / Am învățat – această metodă trece în revistă foarte clar noțiunile pe care elevii le au deja, apoi formulează întrebări și se așteaptă să găsească răspunsuri în lecție.

De exemplu la clasa a IV-a în lecția „Dreptunghiul” se face apel la cunoștițele pe care elevii le au deja din clasa a III-a.

Organizatorul grafic ca metodă de învățare activă ușurează esențializarea unui material informativ care urmează să fie exprimat în scris, schematizând ideea sau ideile. Atât pentru cadrul didactic cât și pentru elevi organizatorul grafic este o grilă de sistematizare a noțiuilor studiate, o gândire vizuală prin reprezentarea grafică a unui material.

Noua programă școlară prevede dezvoltarea de competențe specifice la elevi în ceea ce privește organizarea datelor în tabele, completarea de tabele utilizând calculatorul, stabilirea coordonatelor unui obiect dintr-o reprezentare tip rețea, vizualizarea pe internet a unor planuri, hărți, reprezentarea de planuri sub formă de desen, a unor trasee reale sau imaginare.

Organizatorul grafic se poate utiliza cu succes pentru formarea unor astfel de competențe specifice. Există mai multe moduri:

Organizatorul grafic pentru monitorizarea construcțiilor de tip comparativ: prin această metodă li se poate solicita elevilor să găsească asemănări și deosebiri între figurile geometrice sau formele geometrice.

Fig. 8

2. Organizatorul grafic de tip descriere (ciorchinele)

Elevilor li se solicită ca plecând de la o noțiune de geometrie să noteze caracterisicile, proprietățile acesteia.

Fig. 9

sau

3. Organizatorul grafic pentru structuri de tip secvențial

Într-un magazin de jucării se află: 12 mașinuțe, 14 mingi, 17 păpuși, 15 ursuleți, 10 roboți și 16 cuburi. Reprezentați grafic numărul de jucării de fiecare fel.

Elevii, încă de la clasa a III-a vor putea reprezenta grafic astfel:

Fig. 10

Elevii pot ordona mai întâi crescător numărul de obiecte, apoi se le reprezinte grafic, reprezentarea grafică fiind una crescătoare.

Acest tip de probleme se abordează mai întâi plecând de la citirea unor astfel de grafice, precizându-se numărul de obiecte de fiecare fel, apoi ajungându-se la reprezentarea grafică.

4. Organizatorul grafic de tip cauză-efect

Prin această metodă, elevii sunt solicitați să descopere legătura dintre cauză și efectul rezultatului unei acțiuni. De exemplu: Lungimea unui teren în formă de dreptunghi este de 30 metri, iar lățimea este 20 metri. Dacă lungimea se mărește cu 10 m atunci câți metri de sârmă sunt necesari pentru împrejmuirea terenului cu câte 3 rânduri de sârmă.

Fig. 11

Jocul didactic matematic – reprezintă una dintre formele de învățare cu cele mai bogate valențe formativ–educative, un foarte bun mijloc de activizare și stimulare a resurselor intelectuale ale elevilor.

Folosirea jocului didactic în lecțiile de geometrie ajută la formarea capacității de observare o proprietăților figurilor geometrice, la dobândirea de cunoștințe specifice, la dezvoltarea capacității de a aplica cunoștințele de geometrie. În plus, elevii sunt angajați într-o activitate intensă, în care li se solicită să folosească instrumentele de geometrie, să facă măsurători, calcule.

Jocul didactic matematic este utilizat la toate clasele din învățământul primar, dar cu precădere la clasa pregătitoare, clasa I și a II-a. Organizarea unui joc didactic presupune rigurozitate științifică din punct de vedere al cunoașterii componentelor și pregătire metodologică, avându-se în vedere următoarele:

scopul didactic, care se formulează în conformitate cu cerințele programei;

sarcina didactică a jocului matematic este conținutul jocului, făcând referiri la ceea ce trebuie să facă copilul în mod concret;

elementele de joc se stabilesc în raport cu cerințele și sarcina didactică;

conținutul matematic care trebuie să fie corespunzător sarcinii didactice și particularităților de vârstă, trebuie să fie accesibil, recreativ și atractiv prin forma și mijloacele de învățământ utilizate;

materialul didactic contribuie efectiv la succesul unui joc didactic. Acesta trebuie să fie atractiv și adecvat jocului, trebuie să fie mobil și ușor de mânuit de elevi și să conțină o problemă didactică de rezolvat.

Jocul „Ce numere v-au rămas?”

Scopul didactic: recunoașterea figurilor geometrice

Sarcina didactică: -identificarea figurilor geometrice;

-găsirea numerelor pare sau impare din interiorul lor;

Material didactic: planșă, fișe.

Desfășurarea jocului: Elevii împărțiți în două grupe vor trebui să rezolve rapid si atent următoarele cerințe:

– Tăiați cu o linie verticală numerele pare care sunt în triunghi sau pătrat;

-Tăiați cu o linie orizontală numerele impare care se află în interiorul unui cerc sau al unui pătrat;

– Tăiați cu un X numerele impare care sunt în cercuri sau în triunghiuri.

Fig. 12

Ce numere v-au rămas?

Câștigă echipa care a tăiat figurile geometrice după cerințe și a obținut corect numerele cerute.

Jocul ,,Cine a găsit mai multe pătrate, dreptunghiuri, triunghiuri?”

Fig. 13

Scopul didactic: recunoașterea figurilor geometrice;

Sarcina didactică: identificarea tuturor figurilor geometrice formate;

Desfășurarea jocului: Elevii vor fi împărțiți în trei grupe: G1- va număra pătratele; G2- va număra triunghiurile; G3- va număra dreptunghiurile.

Câștigă echipa care a găsit toate figurile formate în desene.

Jocul „Reconstituire" (din 6 triunghiuri dreptunghice formați un paralelogram, luați 2 triunghiuri și spuneți ce-ați descoperit).

Fig. 14

1 2 3 4 5 6

Joc cu bețișoare:

Scopul: fixarea reprezentărilor despre figurile geometrice, dezvoltarea atenției.

Sarcina didactică: să construiască pătrate, dreptunghiuri, triunghiuri.

Elemente de joc: manipularea materialelor, întrecerea, recompensa.

Material didactic folosit: 20 bețișoare pentru fiecare elev.

Regula jocului: elevii construiesc individual figurile geometrice pe bancă, într-un timp stabilit în prealabil.

Desfășurarea jocului: Fiecare elev a primit câte 20 de bețișoare, din care să construiască cât mai repede figuri geometrice cunoscute: triunghi, pătrat, dreptunghi.

Jocul va începe la o bătaie din palme a învățătorului și va înceta la două bătăi.

Câștigătorul jocului va fi cel care va termina primul, clasificarea făcându-se în continuare în funcție de durata și corectitudinea execuției.

Pe tot parcursul învățării geometriei, învățătorul va arăta elevilor la tablă, cu creta în mână, cum se utilizează corect rigla, echerul, compasul, raportorul. Creta colorată nu va lipsi de la nici o oră de geometrie.

Când se va constata că toți elevii știu să mânuiască instrumentele de geometrie, li se va cere să deseneze pe caietele lor drepte, segmente, semidrepte, în diferite poziții și să le noteze corespunzător, lucrând singuri, fără ajutor.

Dacă la clasele pregătitoare, I și a II-a elevii au folosit doar rigla, începând cu clasa a III-a ei vor învăța să folosească și echerul, ținând cont de faptul că vor avea de desenat drepte paralele, drepte perpendiculare, triunghiuri dreptunghice.

O atenție deosebită se va acorda ,,unghiului”, pornind de la construcția corectă, notarea și citirea lui, până la compararea unghiurilor.

Deoarece în clasa a III-a, nu se folosește raportorul pentru a măsura un unghi, se poate folosi o foiță (folie) transparentă, pentru a face compararea unghiurilor prin suprapunere directă. În acest timp se vor lucra în clasă cât mai multe exerciții de construcție, pentru ca elevii să folosească bine și corect instrumentele de geometrie.

O figură bine realizată devine aproape concludentă în ceea ce privește rezolvarea problemei, adică ,,te conduce” aproape sigur pe ,,calea cea bună”.

II.7. 1. Noțiuni elementare de geometrie: punct, dreaptă, semidreaptă, segment de dreaptă, unghiuri

Punctul, dreapta, planul nu există ca atare, ci doar ca entități asociate unor obiecte materiale reflectate în conștiința umană. Obiectele materiale independente fără nici o dimensiune, cum este punctul, cu o dimensiune, dreapta, sau cu două dimensiuni, planul, nu pot exista.

Referitor la figura geometrică aceasta reflectă proprietățile obiective în mod pur și anume proprietăți spațiale pure. Nimic altceva nu este luat în considerare când ne referim la figura geometrică, decât spațiul pur, forma și dimensiunile. Figura geometrică nu reproduce direct aspectul spațial al obiectelor, ci îl reproduce idealizându-l. Dreapta și cercul posedă o perfecțiune ce n-o găsim la obiectele concrete. Figura geometrică, deși particulară în raport cu clasa de figuri din care face parte, este totuși generală în raport cu varietatea obiectelor materiale care posedă forma și dimensiunile respective.

Figura geometrică este pe de o parte o entitate abstractă întrucât reflectă o proprietate pură, idealizată și pe de altă parte o entitate mentală, intuitivă. Astfel, în timp ce se caută soluția unei probleme nu ne putem dispensa de aportul figurii care sugerează căi de rezolvare și soluții posibile.

La clasele a II-a și a III-a este necesar să se pună accentul pe activitatea practică a elevilor în legătură cu unele figuri geometrice simple, construite din lemn sau carton, plastilină, bețișoare și în legătură cu activitățile de măsurare a distanțelor și lungimilor. Pe această bază ei își pot forma primele reprezentări geometrice, reprezentări legate de formele și dimensiunile unor obiecte reale, concrete.

În predarea geometriei este bine să se înceapă cu studiul corpurilor geometrice pentru că este justificată de următoarele aspecte:

proprietățile figurilor plane sunt fie prea simple, fie prea complicate pentru nivelul inițial;

corpurile solide sunt mai puțin abstracte decât figurile plane, copilul putându-le manipula. În acest sens trusa stereometrică favorizează mult înțelegerea proprietăților respective;

copiii fac cunoștință cu spațiul încă de la cea mai fragedă vârstă.

Practica din alte țări a demonstrat că cei care au început studiul geometriei cu obiecte tridimensionale nu a întâmpinat greutăți când au trecut la planimetrie.

În clasa a IV-a este indicat să se pună accent pe desen, bineînțeles pornind tot de la figuri reale. Figura geometrică este încă, în această etapă, o figură desenată sau imaginea mentală a acesteia. Proprietățile geometrice simple și calculul perimetrelor se raportează la aceste figuri grafice fără a se vorbi de figura ideală.

Punctul este o noțiune care nu se definește; îl putem imagina ca urma lăsată pe foaia de caiet de vârful unui creion bine ascuțit sau de vârful cretei pe tablă. El nu are nici o dimensiune. Îl notăm cu literele mari ale alfabetului.

De exemplu:

• A – citim punctul A; x B – citim punctul B. ●Punctul este cunoscut de elev ca semn de punctuație.

●În matematică, punctul se mai redă și ,,x”, ceea ce sugerează faptul că el este rezultat al intersecției a două drepte.

Linia dreaptă

Pentru ca elevul să se familiarizeze cu noțiunea de linie dreaptă o vom concretiza prin:

urma lăsată de un creion în mișcare de-a lungul riglei pe care se sprijină;

un fir de ață bine întins;

urma obținută prin îndoirea unei foi de hârtie.

Linia dreaptă se construiește și se desenează cu ajutorul riglei; ea are o singură dimensiune numită lungime. Se atrage atenția elevilor asupra faptului că linia dreaptă este nesfârșită, că poate fi prelungită oricât de mult. Se notează cu două litere mari ale alfabetului sau cu o singură literă mică, ca în figurile de mai jos:

Fig. 15 Fig. 2

A B sau d

citim: dreapta AB sau dreapta d.

Se precizează și se arată prin desen că două puncte determină o singură dreaptă sau că prin două puncte se desenează o linie dreaptă și numai una singură. Se poate explica procedeul utilizat de zugravi în obținerea liniilor drepte pe pereți. Aceștia își fixează două cuie pe pereți, la unesc printr-o ață bine întinsă care a fost în prealabil trecută prin vopsea. Se trage puțin sfoara spre exterior și i se dă imediat drumul. La atingerea cu peretele, sfoara astfel vopsită lasă o urmă de forma unei linii drepte ce trece prin punctele fixate, cele două cuie.

Semidreapta. Se prezintă elevilor o dreaptă pe care se fixează un punct, de exemplu A:

Fig. 16

A

Elevii vor sesiza cele două părți în care a fost împărțită dreapta. Dirijați, vor constata că semidreapta nu este altceva decât una din părțile dreptei determinată de punctul A; punctul A poartă numele de originea semidreptei.

Pe tablă poate apărea următoarea configurație:

Fig. 17

Ideea (intuitivă) de semidreaptă poate fi sugerată elevilor înnodând un fir de ață și urmărind cele două părți de pe firul întins de o parte și de alta a nodului.

Pentru a citi semidreapta se folosește punctul ales (originea) și încă un punct arbitrar de pe semidreaptă.

Fig. 18

…………..

A B

citim: semidreapta AB.

În continuarea lecției, pentru mai buna înțelegere a noțiunii se propune elevilor să deseneze semidrepte cu originea în diferite puncte ale planului și cu direcții diferite. Se va insista asupra notației și asupra citirii începând cu originea.

Segmentul de dreaptă. Pentru a explica elevilor ce este segmentul de dreaptă se desenează o dreaptă pe tablă și se fixează două puncte pe dreaptă.

Fig. 19

A B D

……………. ………….

C

Se citește: segmentul de dreaptă AB; segmentul de dreaptă CD. Punctele A și B, respectiv C și D se numesc capetele (extremitățile) celor două segmente. De asemenea se va insista și pe notarea corectă a unui segment (AB), orice segment are o lungime [AB] sau simplu AB.

La început elevii identifică segmentul cu urma pe care o lasă creionul pe hârtie atunci când se unesc cu ajutorul riglei două puncte. Segmentul de dreaptă este o porțiune a unei drepte cuprinsă între două puncte ale ei. De aici reiese că drumul cel mai scurt dintre două puncte date este segmentul de dreaptă.

Învățătorul va avea grijă să evite ,,definiția” falsă a segmentului ca fiind ,,o dreaptă mărginită la ambele capete”. Astfel s-ar contrazice ideea de nemărginire a dreptei.

În etapele următoare ale lecției elevii vor construi segmente de dreaptă, le vor măsura, le vor compara în raport cu rezultatul măsurătorilor, precum și după pozițiile lor (orizontale, verticale, oblice).

Cu măsurile a două segmente elevii pot efectua operații de adunare și scădere. În cazul în care cele două segmente notate AB și BC sunt situate pe aceeași dreaptă, prin suma lor se înțelege un al treilea segment notat AC și numit segment sumă:

A B C

Fig. 20

A C

Prin diferența segmentelor AB și CB reprezentate pe aceeași dreaptă se înțelege segmentul AC, numit segment diferență:

A C B

Fig. 21

A C

Linia frântă și linia curbă

Învățarea acestor noțiuni poate începe apelând la experiența de viață a copiilor. Aceștia pot recunoaște ușor linia frântă închisă sau deschisă sau linia curbă închisă sau deschisă asemănându-le cu dinții unui fierăstrău, partea superioară a unui gard, conturul unei scânduri, drumul șerpuit, marginea unui platou oval. Dirijați, ei pot sesiza și pune în evidență exteriorul și interiorul unei figuri geometrice.

Dacă în primele clase, elevii desenează numai segmente, linii frânte și linii curbe, în clasele următoare vor forma și vor desena linii frânte închise numite poligoane și vor soluționa unele probleme legate de acestea, clasificări, proprietăți, perimetre, arii.

În clasa pregătitoare elevii învață liniile drepte, verticale, orizontale, oblice, linii frânte, linii curbe ca elemente pregătitoare pentru învățarea scrierii cifrelor, a semnelor grafice, a literelor, dar sunt familiarizați și cu figurile și corpurile geometrice în special la formarea mulțimilor de elemente în vederea înțelegerii noțiunii de număr natural. Astfel aceste tipuri de linii sunt utilizate în exerciții de tipul următor, cerința fiind de a continua modelul, precizându-se tipul de linii orizontale, verticale respectiv oblice sau după caz:

Fig. 22

Atunci când elevii învață despre segmentul de dreaptă, în clasa a III-a, ei vor desena segmente în poziții diferite:

Fig. 23 D E M

A B

C F N

segmente în poziție oblică segment în poziție segment în poziție

orizontală verticală

Dacă așezăm segmentele de mai sus astfel încât al doilea capăt de la primul segment să coincidă cu primul capăt al celui de-al doilea segment și apoi al treilea segment să înceapă unde se termină al doilea segment și tot așa în continuare desenăm mai multe segmente în diferite poziții, vom obține o linie frântă.

B

Fig. 24 E

A

C D F

Linia frântă care are două extremități (capete) A și F se numește linie frântă deschisă.

Dacă segmentele sunt desenate astfel încât primul capăt al primului segment să coincidă cu al doilea capăt al ultimului segment, atunci obținem o linie frântă închisă care se numește poligon. E

Fig. 25

A D

B C

Folosind metrul de tâmplărie sau alte segmente articulate (de lungimi diferite), se poate arăta practic cum ajungem de la o linie frântă deschisă la o linie frântă închisă și invers. De asemenea se va arăta că nu putem obține o linie frântă închisă cu doar două segmente. Considerând cel puțin trei segmente se poate forma o linie frântă închisă, numită triunghi.

A

Fig. 26

B C

Măsurând lungimile segmentelor componente ale liniei frânte prin însumarea lor se obține lungimea liniei frânte sau perimetrul ei.

Linia curbă

Prezentând elevilor imagini preluate din mediul înconjurător cu anumite particularități pe care elevul le percepe exclusiv vizual, se poate introduce linia curbă. El va trebui să o denumească, să o deosebească de o linie frântă sau de un segment și să realizeze singur în desen cele văzute.

Fig. 27 B

A

A≡ B

Linie curbă deschisă Linii curbe închise

Acestea se pot concretiza prin: marginile unui lac, șerpuirea unui râu, roata de la căruță sau volanul de la mașină. Liniile curbe pot fi deschise, dacă A și B sunt puncte distincte, sau linii curbe închise dacă A și B coincid. Aceste noțiuni sunt prevăzute în programa școlară a clasei a III-a. Atât linia curbă închisă cât și linia frântă închisă separă o regiune din plan (foaia de caiet sau tabla) numită interiorul figurii geometrice, iar ce rămâne în afara figurii se numește exteriorul figurii geometrice.

Fig. 28 A F

B E

C D

interiorul liniei frânte interiorul liniei curbe

Elevii trebuie obișnuiți să identifice apartenența sau neapartenența unui punct la interiorul sau exteriorul unei figuri geometrice. Sub îndrumarea învățătorului elevii vor executa următoarele sarcini:

construiesc pe bănci, din diferite materiale linii frânte și linii curbe;

scriu litere mari de tipar, pe coli A4, formate numai din linii frânte, cum ar fi N, M, H sau numai din linii curbe, O, apoi pe cele care conțin segmente și linii curbe D, G, R;

determină lungimea liniei frânte folosind măsurile segmentelor componente;

stabilesc măsura liniei curbe așezând de-a lungul ei o sfoară pe care o măsoară după ce au luat-o de lângă contur;

colorează (hașurează) interiorul sau exteriorul unei figuri geometrice;

scriu numere în interiorul și în exteriorul figurilor geometrice, cu care apoi pot rezolva diferite operații. Astfel putem propune spre rezolvare următoarele tipuri de exerciții:

1. Află suma numerelor care se află în interiorul dreptunghiului.

Fig. 29 32

888

754

2. Află diferența dintre sumanumerelor din exteriorul cercului și sma celor din exterior.

Fig. 30 86

31 24

99

După ce elevii au deprins competențele specifice acestor noțiuni, sarcinile exercițiilor se pot extinde. De exemplu:

Cu cât este mai mare suma numerelor din interiorul dreptunghiulul decât suma numerelor din exteriorul dreptunghiului? Scrie sub forma unui exercițiu;

Află diferența dintre cel mai mare număr din exteriorul dreptunghiului și cel mai mic număr din exteriorul acestuia.

Sarcinile se pot extinde introducând în exerciții chiar cele patru operații cunoscute de elevii claselor a III-a.

Unghiul

Unghiul este figura geometrică care se studiază începând cu clasa a III-a. La începutul lecției în care se studiază unghiul, învățătorul va prezenta în fața clasei unele materiale: două șipci subțiri unite la un capăt, două tije cu articulație mobilă, planșe cu diferite figuri geometrice. Din discuțiile purtate elevii vor desprinde ideea că unghiul este tot o figură geometrică formată din două ,,segmente” de dreaptă ce pornesc din același punct.

Pentru a respecta rigoarea științifică, învățătorul va completa constatările elevilor, generate de materialul concret prezentat, precizând că unghiul este figura geometrică formată din două semidrepte care pornesc din același punct. Acest punct se numește vârful unghiului, iar semidreptele se numesc laturile unghiului. După înțelegerea definiției se va concretiza unghiul apelând la suprafețele și corpurile din clasă sau din trusa de geometrie: două margini vecine ale băncii, două muchii vecine ale unui cub, două margini ale echerului. Acum elevii vor recunoaște mai ușor unghiurile de pe planșa cu diferite figuri geometrice.

La tablă și pe caietele elevilor vor fi desenate unghiuri diferite:

Fig. 31 A E M P R

O

B C D O N Q

În toate desenele se va insista pe faptul că unghiul este format din două semidrepte și că acestea pot fi prelungite oricât vrem.

O atenție deosebită se va da notării și citirii unghiurilor. Astfel dacă laturile sunt notate, de exemplu OA și OB, atunci unghiul se citește AOB sau BOA și se notează: AOB sau AOB. Totdeauna litera din mijloc desemnează vârful unghiului. Unghiul poate fi notat și cu ajutorul unei singure litere, care este obligatoriu să desemneze vârful unghiului. De exemplu C și citim unghiul C.

Având la bază informațiile despre interiorul și exteriorul unei linii frânte închise, elevii pot evidenția cu ușurință interiorul și exteriorul unui unghi:

A

Fig. 32 O interior

B

Din exemplele anterioare elevii vor constata că nu toate unghiurile sunt la fel de mari, ele deosebindu-se prin mărimea deschiderii dintre laturi, prin care o punem în evidență prin desenarea unui arc în interiorul lui:

Fig. 33 A M P

O

B

O N Q R

Referitor la mărimea unghiurilor se poate demonstra cu ajutorul unui unghi format din două tije metalice subțiri, cu articulație mobilă care va permite apropierea sau depărtarea tijelor, obținându-se unghiuri de diferite mărimi. Păstrând fixă o tijă și rotind-o pe cealaltă în jurul vârfului se pot evidenția unghiuri mai mici sau mai mari. Această acțiune realizată în fața elevilor conduce la conștientizarea de către elevi a dependenței dintre deschiderea dintre laturi și mărimea unui unghi. În funcție de nivelul clasei se pot face unele generalizări despre unghi, unghi cu laturi în prelungire, unghiuri mai mari de 180°.

În continuare se poate propune elevilor să deseneze unghiuri după notații date și în diferite poziții, să recunoască elementele, laturi, vârfuri și să le citească.

În ciclul primar nu se utilizează raportorul sau compasul pentru determinarea măsurii unui unghi. Pentru compararea unghiurilor se recomandă metoda suprapunerii, pe cale inductivă. Astfel, se desenează pe o foaie transparentă un unghi, de exemplu CED, iar pe caiet se desenează AOB. Se suprapune foaia transparentă pe caiet, astfel încât vârful E să coincidă cu vârful O și latura ED să se suprapună peste OB, iar EC și OA să fie de aceeași parte a lui OB. Se pot ivi următoarele situații:

Latura EC să coincidă cu OA și se va spune că unghiurile sunt egale. Se va scrie: AOB=CED;

Latura EC poate fi situată în interiorul unghiului AOB și se va spune că CED este mai mic decât AOB;

Latura EC este în exteriorul unghiului AOB și se va spune că CED este mai mare decât AOB.

Dacă avem desenate două în unghiuri ca figura de mai jos spunem că cele două unghiuri au o latură comună și vârful este comun.

A

Fig. 34

O C

B

Deci latura OC este comună pentru AOC și COB sau BOC. Dacă nivelul clasei ne permite putem preciza că cele două unghiuri sunt adiacente, de unde rezulă și definiția: două unghiuri care au o latură comună și vârf comun se numesc adiacente. Unghiurile adiacente pot fie egale sau nu, unul poate fi mai mare decât celălalt. De asemenea se poate face următoarea precizare: un unghi este mai mare cu cât deschizătura dintre laturile sale este mai mare. Există mai multe situații când unghiurile pot avea vârf comun, nu doar cea prezentată anterior, ca în exemplu de mai jos:

Fig. 35 A D

E

B C

Vârful E este comun pentru cele două perechi de unghiuri opuse la vârf care s-au format: AEB care are aceeași măsură cu unghiul DEC, respectiv unghiurile AED și BEC tot egale.

Familiarizarea copiiilor cu unghiul drept se va face folosind echerul. Învățătorul va prezenta echerul orientând observațiile copiilor asupra mărimilor unghiurilor lui. Prin dirijare, ei trebuie să constate că unul dintre ele este mai mare. Acesta se va numi unghi drept. Se impune, în acest caz, ca învățătorul să ceară elevilor să recunoască unghiuri drepte din mediul ambiant: unghiurile formate de două margini vecine ale tablei, ale caietului, ale tocului de la ușă, ale riglei. Suprapunând echerul peste obiectele la care s-a făcut referire în exemplele date, elevii vor ajunge la concluzia că toate unghiurile drepte sunt la fel de mari. Fiind familiarizați cu echerul, elevii vor înțelege ușor tehnica de construcție a unghiului drept, cu ajutorul echerului.

C

Fig. 36

A B

O

Foarte practic în predarea unghiului drept este să ne folosim de rețeaua caietului de matematică. Sub îndrumarea cadrului didactic, elevii pot desena un segment de dreaptă pe orizontală care să aibă 6 pătrățele lungime, se marcheză capetele A, respectiv B, mijocul după 4 pătrățele care se notează cu C, apoi din punctul C pe verticală de ridică un alt segment care are lungimea de 4 pătrățele, capătul notându-se cu D, formându-se unghiurile drepte ACD și BCD.

Fig. 37

După însușirea unghiului drept, elevii pot să compare celelalte unghiuri cu acesta și vor găsi unghiuri mai mici sau mai mari decât unghiul drept. Se vor numi unghiuri ascuțite, respectiv unghiuri obtuze.

La clasa a IV-a toate noțiunile învățate despre unghi se actualizează și consolidează, pentru că intervin noțiuni noi: drepte paralele, drepte perpendiculare.

Poziția relativă a două drepte

În activitatea pregătitoare elevii vor avea fiecare pe bănci câte două vergele metalice sau două bețisoare de bambus. La cererea învățătorului, elevii le vor așeza pe bancă în diferite poziții una față de alta. Învățătorul va concretiza diferitele situații realizate de elevi folosind de asemenea două vergele mai mari. Pentru fiecare situație, învățătorul va executa desenul la tablă, iar elevii pe caiete. Aceste noțiuni se pot preda la clasa a III-a sub formă de exercițiu, fără a denumi poziția celor două drepte. Denumirea poziției în care se află dreptele se va face la clasa a IV-a.

Fig. 38 Drepte concurente sau secante – au un punct comun

A D A A

C B

B C B C D

Fig. 39 Drepte confundate

A ………………………….. B A B D

C D C

Fig. 40 Drepte paralele

A B

C D

Dreptele paralele – nu vor avea niciodată un punct comun, nu se vor întâlni oricât le-am prelungi. În acest caz li se cere elevilor să traseze pe caiete o dreaptă. La o distanță de doi centimetri mai jos să se traseze o dreaptă identică cu prima. Observația va fi că oricât s-ar prelungi cele două nu se vor intersecta niciodată. Notația pentru drepte paralele: AB ║CD. Folosind rigla și echerul vom reuși să trasăm împreună cu elevii drepte paralele. Mai întâi se va trasa o dreaptă orizontală, apoi se fixează echerul cu unghiul drept pe dreapta orizontală, iar rigla pe ipotenuza echerului și prin translare se vor construi drepte paralele la diferite distanțe între ele.

Fig. 41 B D F

A C E

Din exemplele date la ,,drepte concurente”, se distinge o situație aparte, cea a dreptelor perpendiculare. Li se cere elevilor să specifice tipurile de unghiuri formate și numărul lor. Folosind echerul, elevii vor observa că toate cele patru unghiuri sunt drepte. În acest caz se va afirma că dreptele AB și CD sunt perpendiculare și se notează AB ┴ CD sau CD ┴ AB. Elevii vor înțelege faptul că două drepte sunt perpendiculare dacă unul din unghiurile formate de ele este drept, iar cu ajutorul echerului vor constata că toate unghiurile sunt drepte.

Fig. 42 A D

A

C O D

B C B

Activitatea va continua cu exerciții de construcție a dreptelor perpendiculare în diferite poziții din plan, atât cu ajutorul instrumentelor cât și cu mâna liberă folosindu-se de liniatura caietului de matematică.

Exercițiu: Din perechile de drepte mai jos desenate recunoașteți dreptele perpendiculare.

Fig. 43

a) b) c) d)

Drepte (segmente) paralele

Pentru identificarea dreptelor paralele se recomandă a se porni de la modelele concrete din clasă: cele două margini, orizontale sau verticale, ale tablei, ale tablourilor, ale cărților, ale penarului. Folosind o planșă cu figuri geometrice plane, elevii vor reuși să evidențieze și în alte situații exemple de drepte paralele. Atenția elevilor trebuie orientată asupra perechilor de drepte (segmente) paralele, enumerându-le două câte două:

Fig. 44

A B E H P J L

S R

D C F G M K

Q

AB ║ CD ; AD ║ BC ; EH ║ FG ; PR ║ QS ; PS ║ RQ ; JM ║ KL ; JL ║ KM .

Se reamintește elevilor faptul că segmentele aparțin unor drepte, deci și perechile de segmente evidențiate anterior sunt situate pe drepte paralele. Se va arăta aceasta prin desenul:

Fig. 45 A B

D C

II.7.2. Figuri geometrice: dreptunghiul, pătratul, triunghiul, paralelogramul, rombul, trapezul, cercul

Dreptunghiul

Elevii din clasa pregătitoare dețin cunoștințe despre figurile geometrice încă din grădiniță. Ei știu să identifice un pătrat, un dreptunghi, un cerc. La acest nivel lecțiile cu conținut geometric vin să completeze aceste competențe specifice pe care elevii le dețin. Astfel, la clasa pregătitoare, sub îndrumarea cadrului didactic, elevii descoperă anumite proprietăți ale acestor figuri geometrice. Mai întâi elevii vor trasa după contur dreptunghiul.

Fig. 46

Se vor descoperi în sala de clasă forme dreptunghiulare. Materialul didactic trebuie să fie prezent obligatoriu în aceste lecții. Astfel învățătorul are la dispoziție dreptunghiuri confecționate din carton, foi de hârtie. Se poate demonstra că laturile opuse ale dreptunghiului au aceeași lungime.

Fig. 47

Elevii vor număra laturile și vârfurile figurii geometrice respective.

Dacă la clasa pregătitoare ne rezumăm doar la conturarea figurilor geometrice la clasa I elevii vor reprezenta grafic dreptunghiul, recapitulând totodată noțiunile anterioare.

La clasa a II-a ca elemente de noutate apar:

notarea figurii geometrice specificând că în geometrie se folosesc de regulă doar litere mari de tipar, notându-se vârfurile dreptunghiului;

axa de simetrie a unei figuri geometrice;

marcarea jumătății/sfertului de suprafață a unei figuri geometrice cu fracția corespunzătoare:, respectiv

Fig. 48 A B M N

D C Q P

E F J K

H G M L

După însușirea conștientă a proprietăților dreptunghiului se va face o secvență de activitate practică ce va consta în îndoirea unei coli de hârtie dreptunghiulară în două părți egale. Se va marca printr-o culoare linia după care s-a făcut îndoirea. Elevii vor descoperi, prin suprapunere, că cele două părți coincid. Prin această acțiune se va sugera elevilor ideea a ceea ce înseamnă axă de simetrie. Se explică elevilor că linia colorată se numește axă de simetrie și este linia care împarte o figură geometrică în două părți egale care coincid prin suprapunere. Existența celeilalte axe de simetrie a dreptunghiului va fi pusă în evidență prin metoda descoperirii și a problematizării.

La clasa a III-a după familiarizarea copiilor cu dreptunghiul se explică procedeul de a desena un dreptunghi cu ajutorul instrumentelor. Urmează notarea și citirea unghiurilor, desprinderea definiției și a proprietăților dreptunghiului folosind desenele realizate de elevi. Prin reactualizarea cunoștințelor despre tipuri de linii, elevii vor desprinde ,,o primă definiție” a dreptunghiului:

– o linie frântă închisă, care se numește poligon;

– poligonul cu patru laturi se numește patrulater.

În concluzie, elevii vor reține că dreptunghiul este un patrulater care are laturile două câte două egale, două laturi mai lungi numite lungimi (L), două laturi mai scurte numite lățimi (l), și toate unghiurile sunt drepte. Diagonalele (segmente ce unesc două vârfuri opuse ale unui patrulater), sunt egale între ele și se întâlnesc într-un punct care le împarte în părți egale.

Tot la clasa a III-a elevii se vor întâlni pentru prima dată cu noțiunea de perimetru al unei figuri geometrice. Pentru ca elevii să înțeleagă cum se află perimetrul unui poligon li se va aminti despre perimetrul unei linii frânte. Măsurând segmentele componente ale unei linii frânte, prin însumarea lor se obține lungimea liniei frânte sau perimetrul ei. Poligonul fiind o linie frântă închisă, se poate calcula perimetrul unui poligon, măsurând lungimile laturilor și calculând suma lor. Se va putea da o definiție a perimetrului: Perimetrul unui poligon este egal cu suma lungimilor tuturor laturilor.

În funcție de nivelul clasei în determinarea perimetrului dreptunghiului se mai poate apela la o activitate practică, înainte de a folosi definiția perimetrului. Se confecționează un dreptunghi din sârmă, se colorează diferit dimensiunile (lungimea și lățimea), se taie dreptunghiul într-un vârf al său și se întinde sârma. Lungimea acestei sârme reprezintă perimetrul dreptunghiului. Astfel elevii vor observa mai ușor că perimetrul este format din două lungimi și două lățimi. După această demonstrație, se va desena un dreptunghi, se vor stabili dimensiunile, apoi se va scrie:

Fig. 49 A D PABCD = AB+BC+CD+DA=

L l = L+l +L+l = 2xL+ 2xl.

B C

La clasa a IV-a anterior studiului figurilor geometrice se învață noțiunile de drepte paralele, drepte perpendiculare, paralelogramul. După ce vom studia paralelogramul, vom defini dreptunghiul respectând rigorile unei definiții (gen proxim și diferență specifică) conform căreia ,,dreptunghiul este un paralelogram cu un unghi drept”. Elevii vor fi tentați să spună că și diagonala poate fi axă de simetrie, dar prin activitate practică vor constata că deși împarte dreptunghiul în părți egale, acestea nu se suprapun. Ca urmare elevii vor reține că dreptunghiul are doar două axe de simetrie. Se vor evidenția proprietățile dreptunghiului:

AB║CD, AD║BC: laturile opuse sunt paralele;

unghiurile dreptunghiului sunt drepte: A=B=C=D=90⁰;

diagonalele au lungimi egale și se înjumătățesc AC= BD, AO= OB= CO= DO;

dreptunghiul este paralelogramul care are laturile consecutive perpendiculare.

Pentru a demonstra că diagonalele au lungimi egale și se înjumătățesc, la nivelul de înțelegere al elevilor de clasa a IV-a, se folosește din nou noțiunea de axă de simetrie, îndoind un dreptunghi decupat după una din axele sale de simetrie, după ce au fost trasate diagonalele dreptunghiului și fiecare parte a diagonalei colorată diferit (de exemplu: AO roșu, BO galben, CO albastru și DO verde).

La acest nivel apare în programa școlară și studiul noțiunii de arie a unei suprafețe, prin reprezentări, estimând-o cu ajutorul unei rețele de pătrate cu latura de 1cm. Implicit se va afla și aria dreptunghiului, căutându-se pentru început să se construiască dreptunghiuri care să se poată împărți în mod egal într-un număr întreg de pătrate cu latura de 1cm.

Fig. 50 A B A ABCD= L x l= 6 x AMDNP.

D C

Pătratul

Încă de la vârste fragede copiii manipulează în jocurile lor de construcție cuburi, fie ele din lemn sau plastic. La clasa pregătitoare calea intuitivă de a prezenta elevilor pătratul este acela de a-l ,,desprinde” dintr-un cub. El este recunoscut ca fiind o față a cubului. Una din fețele cubului poate fi acoperită cu hârtie colorată pentru a evidenția mai bine pătratul.

Tot pe cale intuitivă se poate obține un pătrat folosind două benzi de hârtie de aceeași lățime așezate una peste cealaltă:

Fig. 51

La clasa pregătitoare și clasa I elevii trebuie să recunoască pătratul în diferite tipuri de reprezentări grafice, să-l deseneze după contur, să decoreze diferite obiecte cu figuri geometrice studiate, să reproducă prin desen pătratul cu ajutorul unor șabloane sau mâna liberă pe foaia cu pătrățele a caietului de matematică.

La clasa a II-a, li se poate solicita elevilor să deseneze pe caiete o figură geometrică respectând indicațiile: o linie orizontală cu o lungime de 5 pătrățele ale caietului, apoi din capătul din stânga, respectiv din dreapta al liniei desenate, să traseze câte o linie verticală cu lungimea de 5 pătrățele, la final să unească pe orizontală capetele celor două linii verticale. Folosind problematizarea, învățătorul poate adresa întrebări elevilor: Ce figură geometrică ați construit? De unde știm că este pătrat? Astfel elevii vor observa că pătratul are patru laturi egale între ele, are patru vârfuri. Ca și în cazul dreptunghiului elevii vor învăța să noteze corect figura și anume vârfurile cu litere mari de tipar.

Tot la clasa a II-a elevii fac cunoștință cu noțiunea de axă de simestrie. Având la dispoziție pătrate confecționate din hârtie sau carton, învățătorul poate plia pătratul pe orizontală, pe verticală sau după diagonale observând că se obțin noi figuri geometrice identice una cu cealaltă.

Fig. 52 A D

B C

La clasa a III-a după studiul unghiului, elevii vor observa că pătratul are toate unghiurile drepte. Studiind anterior dreptunghiul, elevii vor descoperi că pătratul este un dreptunghi a cărui lungime este egală cu lățimea și făcând analogiile corespunzătoare perimetrul pătratului este PABCD= l+ l + l + l= 4x l, unde l= latura pătratului.

La clasa a IV-a elevii vor defini pătratul ca dreptunghiul cu laturile alăturate egale. Într-un pătrat diagonalele sunt perpendiculare și au lungimi egale. Cunoscând deja aria dreptunghiului și plecând de la definiție elevii vor trage concluzia că aria pătratului este egală cu produsul dintre două laturi.

Fig. 53 A D AABCD = AB x BC= l x l.

B C

Pentru compararea pătratului cu dreptunghiul, elevii vor desena un pătrat și un dreptunghi stabilind:

Triunghiul

Ca și în cazul pătratului și al dreptunghiului, triunghiul este o figură geometrică pe care elevii o cunosc din perioada preșcolară. În clasa pregătitoare și clasa I elevii vor recunoaște triunghiul în mediul înconjurător, în materiale tipărite, vor reproduce prin desen cu ajutorul șabloanelor sau cu mâna liberă pe foaia caietului de matematică.

La clasa a II-a noțiunile despre triunghi se consolidează. Ca și în cazul celorlalte figuri geometrice studiate se va învăța modalitatea de notare a triunghiului, identificarea numărului de triunghiuri dintr-un desen, dintr-o figură geometrică „fragmentară”.

La clasa a III-a prezentarea triunghiului ca figură geometrică se realizează prin ,,desprinderea” lui dintr-o piramidă. Urmărind o față laterală a piramidei, pe care eventual se poate lipi hârtie colorată pentru a ieși în evidență, elevii pot desprinde elementele triunghiului: trei laturi, trei vârfuri, trei unghiuri. Triunghiul este un poligon cu trei laturi.

Reprezentarea în desen a triunghiului se va face cu ușurință deoarece deprinderile de realizare a unui desen cu ajutorul instrumentelor au fost exersate anterior. Se vor face convenții de notare. Vârfurile se notează cu litere mari, urmând ca laturile să fie citite ca și segmentele de dreaptă.Se vor crea intenționat situații de învățare din care elevii să constate că există triunghiuri cu unele particularități. Aceasta se va putea realiza urmărind o planșă pe care sunt desenate diferite triunghiuri. Analizându-le, elevii vor descoperi că sunt triunghiuri cu toate laturile egale (echilaterale), cu două laturi egale (isoscele) și că există triunghiuri fără laturi egale (triunghiuri oarecare).

Fig. 54 A M D

B C N O E F

triunghi oarecare triunghi isoscel triunghi echilateral

ABAC BC MN MO DE = EF = DF

MNO= MON D= E = F

Copiii vor avea pe bănci câte un triunghi din fiecare fel, confecționate din carton, dacă se poate, de culori diferite. Mai întâi vor măsura laturile fiecărui triunghi și vor raporta culoarea la felul triunghiului. Apoi vor trasa pe caiete conturul fiecărui triunghi, vor nota cu litere mari, după care le vor citi. Se poate sugera modul de construcție corectă a triunghiului isoscel folosind rețeaua cu pătrățele și proprietatea acestuia de a avea înălțimea coborâtă pe bază ca axă de simetrie.

Fig. 55 A

B D C B C B C

În clasa a III-a elevii învață noțiunea de unghi, dar abia în clasa a IV-a după studiul dreptelor paralele, perpendiculare se poate face clasificarea triunghiurilor după unghiuri: triunghi obtuzunghic, triunghi dreptunghic și triunghi ascuțitunghic.

Fig. 56

Se notează formula perimetrului triunghiului P∆= suma lungimilor celor trei laturi, în cazul triunghiului echilateral P∆= 3 x l deoarece laturile au aceeași lungime.

Paralelogramul

Această figură geometrică se studiază în clasa a IV-a. Deoarece paralelogramul nu poate fi desprins din corpurile geometrice cunoscute până acum de copii, o primă imagine intuitivă pe care și-o vor forma elevii despre paralelogram ar putea fi aceea obținută prin ,,deformarea” unui dreptunghi construit din tije metalice articulate. Această operație păstrează lungimile laturilor, dar modifică toate unghiurile.

Fig. 57

inițial după deformare

Figura obținută după deformare este un paralelogram. O altă cale intuitivă de obținere a paralelogramului poate fi utilizarea a două benzi de hârtie de lățimi diferite așezate astfel:

Fig. 58

paralelogram dreptunghi

Marcând marginile porțiunii comune se obține pe fiecare bandă un paralelogram sau un dreptunghi. Se va formula un nou demers metodic pentru introducerea și definirea riguroasă a noțiunii de paralelogram evidențiind genul proxim și diferența specifică. În acest sens se impune o reactualizare a cunoștințelor referitoare la linia frântă. Se va propune elevilor să deseneze o linie frântă închisă cu patru laturi, numind această figură patrulater. Copiii vor desena apoi pe caiete 2-3 patrulatere. Intenționat, învățătorul va desena pe tablă un patrulater special.

Va urma o succesiune de întrebări ajutătoare:

– Această figură este un patrulater? (da);

– Prin ce se deosebește de celelalte patrulatere?;

– Priviți o pereche de laturi opuse! Ce poziție au una față de cealaltă? (paralele) Dar celelalte două laturi opuse?

– Cum ne putem convinge că sunt paralele? (folosind mișcarea de translație sau măsurând distanțele dintre ele);

Încercați să definiți paralelogramul!

Paralelogramul este un patrulater care are laturile două câte două paralele. Sub îndrumarea învățătorului elevii vor desena un paralelogram, mai întâi se vor desena laturile orizontale, apoi laturile în poziție oblică.

Fig. 59 A D

B C

Se vor da ca sarcini pentru elevi să identifice perechile de laturi paralele și să consemneze în scris folosind notația ,,║”: (AB ║ CD ; AD ║ BC). În continuare se va cere elevilor să măsoare laturile paralele și să scrie cum sunt dimensiunile lor. După măsurare elevii vor constata că laturile paralele sunt și egale două câte două. Adică AB = CD și AD = BC. Referitor la unghiuri se poate face măsurarea, comparând unghiurile, folosind o foaie de hârtie transparentă pe care este desenat un unghi drept și prin suprapunere elevii vor vedea că la paralelogram unghiurile opuse sunt egale între ele, dar două sunt mai mici și două sunt mai mari decât un unghi drept. În concluzie, paralelogramul nu are nici un unghi drept, ci două sunt obtuze și două sunt ascuțite.

Se poate continua cu o activitate de depistare a asemănărilor și deosebirilor dintre un paralelogram și un dreptunghi.

Cunoscând asemănările și deosebirile dintre paralelogram și dreptunghi, copiii vor putea înțelege definiția conform căreia ,,dreptunghiul este un paralelogram cu un unghi drept”.

Rombul

Cel mai autentic exemplu pentru obținerea unui romb îl constituie ,,deformarea” unui pătrat construit din vergele cu articulații mobile. Prin această acțiune lungimile laturilor se

păstrează, dar se modifică unghiurile. Figura nou obținută reprezintă un romb.

Fig. 60 D C D

inițial după deformare

A C

A B B

Evidențierea rombului se mai poate realiza folosind două benzi de hârtie de aceeași lățime așezate oblic una față de cealaltă. Marcând marginile comune, se obține câte un romb pe fiecare bandă. Se decupează rombul astfel obținut, se așază pe planul caietului și se trasează conturul figurii obținute. Schimbând poziția rombului model elevii vor desena încă 2-3 romburi, apoi vor fi întrebați cu ce figură geometrică seamănă rombul (paralelogramul) și ce pot spune despre laturi (sunt egale).

În acest moment elevii pot ,,defini” rombul ca fiind un paralelogram cu toate laturile egale. Învățătorul va interveni subliniind că paralelogramul care are două laturi alăturate egale se numește romb.

Se vor face notații ce permit citirea laturilor, a vârfurilor, a diagonalelor și a unghiurilor. Pe un model care permite îndoirea, elevii pot descoperi faptul că diagonalele rombului sunt axe de simetrie. Această proprietate poate fi folosită în desenarea rombului: se desenează două drepte perpendiculare. Pe fiecare din ele se aleg câte două segmente egale situate de o parte și de alta față de punctul lor de intersecție. Unind capetele segmentelor se obține un romb.

Fig. 61 A

B D

C

Dacă se deformează un romb articulat încât să formeze un unghi drept (verificat cu echerul) vom obține un pătrat. Folosind această trecere de la pătrat la romb și de la romb la pătrat elevii vor fi conduși către o altă definiție a pătratului, pornind de la romb.

Se pot adresa întrebările:

– Pătratul este romb? (da).

– Rombul este un pătrat? (nu). Ce condiție trebuie să îndeplinească rombul pentru a fi pătrat? (să aibă un unghi drept). Deci, pătratul este rombul cu un unghi drept.

Tot în cadrul acestei lecții se vor evidenția proprietățile specifice rombului:

– diagonalele sunt perpendiculare;

– diagonalele sunt axe de simetrie.

Trapezul

În predarea-învățarea cunoștințelor despre trapez se poate începe cu o activitate practică. Pentru fiecare elev se va pregăti ca material didactic: un paralelogram roșu, foarfecă, creion, riglă, echer. Se va cere elevilor să ia paralelogramul, să traseze cu ajutorul riglei o linie dreaptă care să intersecteze două laturi opuse, dar să nu fie paralelă cu celelalte două. Se taie cu foarfeca paralelogramul în lungul liniei trasate și elevii vor analiza cu atenție părțile obținute. Se va obține o figură necunoscută de elevi, care va fi numită de învățător, trapez.

Elevii vor analiza această figură geometrică și vor descoperi:

– are câte patru laturi, deci este patrulater;

– două laturi opuse sunt paralele între ele;

– celelalte două laturi sunt neparalele;

– unele dintre ele au și unghiuri drepte.

În continuare se va cere elevilor să traseze pe caiete conturul trapezului obținut. Plecând de la figura conturată se pot desena mai multe tipuri de trapeze. Învățătorul va numi figurile desenate trapeze și dă definiția : Trapezul este patrulaterul cu două laturi opuse paralele și două laturi neparalele. Se va preciza și că laturile paralele se numesc baze (baza mică și baza mare) și așa cum se observă cele două baze au dimensiuni diferite.

D C P O H G

Fig. 62

A B M N E F trapez isoscel trapez dreptunghic trapez oarecare

AB║DC; PMN= OPM= 90⁰ EF║HG

AB baza mare OP ║ MN

CD baza mică PM ┴ MN

AD= BC

În continuare se va cere elevilor să deseneze, cu ajutorul instrumentelor geometrice, un trapez, să îl noteze și să recunoască elementele: baze, laturi neparalele, unghiuri.

Intuitiv se va da elevilor noțiunea de ,,înălțime” a unui trapez, pornind de la trapezul dreptunghic în care latura comună celor două unghiuri drepte reprezintă o înălțime a trapezului (drumul cel mai scurt dintre baze).

Fig. 63

D baza mică C

înălțime î latură oblică

A baza mare B

E

Pentru un trapez oarecare înălțimea se desenează, de regulă, dintr-un vârf al bazei mici.

Fig. 64 Q P

Î î

M N

Perimetrul trapezului este egal cu suma lungimilor tuturor laturilor,

PMNPQ = MN+ NP+ PQ+ QM.

Cercul

Pentru ajuta elevii să-și însușească noțiunea de cerc, li se va aminti că cilindrul are două baze (discuri sau cercuri), și conul are o singură bază în formă de disc sau cerc. Plimbând arătătorul pe marginea acestor discuri, se descrie de fapt un cerc. Pentru reprezentarea în desen a cercului se așează cilindrul sau conul pe tablă și se marchează cu creta conturul bazei. Urma lăsată pe tablă, observabilă după înlăturarea corpului, este un cerc.

Reprezentarea cercului se mai poate realiza cu ajutorul unui cui sau țăruș înfipt în pământ de care este legată o sfoară de lungime dată. La capătul celălalt al sforii se leagă un alt cui. Menținând sfoara perfect întinsă și plimbând al doilea cui pe pământ, acesta va trasa un contur sub formă de cerc. Acest procedeu favorizează înțelegerea faptului că orice punct de pe cercul descris este la aceeași depărtare de cuiul fixat. Acestuia i se atribuie rolul de centrul cercului, iar lungimea sforii reprezintă raza cercului.

Fig. 65

Elevii vor realiza pe caiete o acțiune similară obținând cercuri de diferite mărimi, conturând monede sau alte corpuri. După caz se poate folosi și compasul. Pentru înlăturarea confuziei dintre cer și disc se va arăta elevilor un pahar cilindric, explicând că fundul paharului este un disc, iar gura paharului este un cerc.

II.7.3. Formarea noțiunilor de suprafață și arie

Noțiunea de suprafață se introduce prin observarea și cercetarea figurilor geometrice și a corpurilor din mediul înconjurător, luându-se în considerare atât suprafețe plane, cât și suprafețe curbe, pentru ca această noțiune să nu fie asimilată incomplet. Suprafețele se arată prin mișcarea palmei cu degetele desfăcute pe întreaga suprafață, în special în sensul lungimii, întărind gestul prin cuvinte „aceasta este suprafața mesei” etc.

Se desprind următoarele concluzii:

a) ceea ce desparte un corp de mediul înconjurător reprezintă suprafața sa;

b) suprafețele pot fi curbe sau plane;

c) figurile geometrice plane delimitează porțiuni de suprafață plană.

Se insistă pe desfășurarea corpurilor (cub, cilindru) unde suprafețele sunt mult mai evidente.

Noțiunea de arie se introduce prin constatarea pe care elevii, sub îndrumarea cadrului didactic, o pot face în legătură cu întinderile diferitelor suprafețe mărginite. Pentru aceasta se poate proceda în mai multe moduri:

a) Se compară între ele două figuri plane identice (confecționate din materiale și culori diferite) folosind metoda suprapunerii. Se cuncluzionează:

figurile geometrice identice delimitează porțiuni de suprafață la fel de mari;

cele două figuri geometrice au aceeași arie.

b) Se compară între ele figuri de aceeași formă (omotetice) dar de mărimi diferite. Se concluzionează:

figurile geometrice plane care delimitează suprafețe plane omotetice inegale au arii inegale;

figura geometrică care delimitează o suprafață plană mai mare are aria mai mare.

c) Se prezintă elevilor două figuri geometrice diferite: un dreptunghi și un pătrat, dar cu arii egale (fără ca elevii să cunoască acest lucru) și li se va cere să compare cele două arii. Pentru a putea compara ariile celor două suprafețe este necasară o unitate de măsură.

Unitatea de măsură pentru suprafață este metrul pătrat. Se prezintă elevilor un pătrat confecționat din carton cu latura de 1 m, a cărui arie este un metru pătrat cu următoarea notație – 1 m². Se precizează că așa cum metru, ca unitate de măsură pentru lungime, are submultipli și multipli și metrul pătrat ca unitate de măsură pentru suprafață are la rândul lui submultipli și multipli, se numesc aceste unități de măsură, arătându-se și raportul care există între aceste unități de măsură pentru arie.

Pentru a consolida aceste noțiuni se vor face aplicații practice, chiar și măsurarea suprafeței sălii de clasă, a terenului de sport etc.

II.7.4. Corpuri geometrice introduse intuitiv la clasele primare: paralelipipedul dreptunghic, cubul, piramida, cilindrul, conul, sfera

Studiul corpurilor geometrice nu deține o pondere prea mare în clasele primare, rolul lor constând în aceea că prin mijlocirea lor elevii înțeleg mai bine figurile plane care le mărginesc. Astfel, privind un paralelipiped, jucându-se cu el, va desprinde forma plană de dreptunghi; din piramidă va desprinde triunghiul; din con va observa cercul. Este un mod nou, eficient de a familiariza elevii cu figurile plane.

Pentru a transmite informații despre corpurile geometrice pe măsura înțelegerii copiilor din ciclul primar, se poate provoca o discuție cu elevii din care să rezulte că orice lucru sau ființă ocupă un loc în spațiu, loc ce nu poate fi ocupat în același timp de un alt lucru sau ființă și că acest obiect sau ființă se numește corp. Masa, catedra, banca, copiii sunt exemple de corpuri. Din mulțimea corpurilor existente desprindem o categorie aparte pe care o numim corpuri geometrice (figuri spațiale) care vor fi prezentate pe rând în fața elevilor și le vor denumi: cub, cuboid (paralelipiped), cilindrul, conul, piramida, sfera.

În prima parte vom orienta atenția copiilor asupra poliedrelor- corpuri mărginite de suprafețe plane.

Se va cere copiilor să urmărească, să observe și să arate formele plane cunoscute de ei în diferite ocazii dar mai ales cu ocazia jocurilor de construcții din grădiniță. Aceste forme vor fi numite fețe ale corpului respectiv. În acest moment elevii pot evidenția prin plimbarea palmei pe corpul studiat o formă de dreptunghi, pătrat, triunghi. În continuare se vor arăta copiilor corpurile rotunde: cilindrul, conul, sfera. Copiii vor urmări forma de cerc (disc), evidențiind-o prin același gest al mișcării palmei pe el.

În concluzie, în predarea-învățarea corpurilor geometrice se respectă drumul care începe cu intuirea, observarea corpului respectiv prin utilizarea tuturor analizatorilor, se continuă cu prezentarea imaginii corpului în desen și se termină cu fixarea imaginii prin limbaj. Din acest moment școlarul este capabil să reconstituie drumul invers. Se impune o observație de ordin metodic care obligă învățătorul să orienteze atenția copiilor asupra figurilor plane ce mărginesc corpul și nu asupra altor însușiri ca forma, mărimea, înălțimea, culoarea sau a materialului din care este construit. Realizarea acestor sarcini ar favoriza mai mult dezvoltarea capacității copilului de abstractizare minimalizând gândirea intuitivă.

Paralelipipedul dreptunghic (cuboidul)

Pentru a economisi timp, în lecțiile de abilități practice se pot confecționa din carton sau din alte materiale, pe bază de model, unele ,,cutii” ale căror elemente și proprietăți vor constitui subiecte de predare-învățare în lecțiile referitoare la paralelipiped și cub.

Se va începe prin observarea de către elevi a ,,cutiei” pe care au confecționat-o anterior lecției. Învățătorul va cere elevilor să-și orienteze atenția asupra unei părți a acestui corp de-a lungul căreia alunecă palma și care se numește față a corpului. Copiii vor recunoaște această față ca fiind dreptunghi.

Continuându-se observațiile asupra corpului, elevii vor constata că toate fețele acestuia sunt dreptunghiuri. Pentru întrebarea ,,Câte fețe în formă de dreptunghi sunt?”, elevii vor găsi răspunsul prin numărare.

Revenind la observațiile asupra unei fețe a corpului se va cere elevilor să urmărească marginile acestei fețe. Odată cu învățătorul, elevii plimbă degetul arătător în direcția sus-jos sau dreapta-stânga, evidențiind aceste margini cărora li se dă denumirea de muchii. Copiii vor constata că orice muchie separă două fețe alăturate. Fiind îndemnați să numere, vor afla câte muchii are corpul. Vor fi conduși să observe că unele muchii sunt egale, altele nu. Deasemeni vor observa că unele muchii sunt paralele, altele sunt perpendiculare.

Demersul metodic va continua cu observarea, intuirea și denumirea vârfurilor corpului geometric studiat. Copiii vor număra aceste vârfuri pe modelul propriu și vor fi îndrumați să observe că din orice vârf pornesc trei muchii, iar ca element suplimentar, orice vârf este parte comună pentru trei fețe vecine (alăturate).

După această prezentare intuitivă a corpului geometric-model, învățătorul îl va denumi ca fiind un paralelipiped dreptunghic (cuboid).

Se continuă cu activități de recunoaștere a corpului învățat printre obiectele lumii reale (dulapuri, cărți, sală de clasă, unele penare). Pe exemplele găsite, elevii vor fi puși în situația de a recunoaște fețele, muchiile, vârfurile, ocazie ce realizează fixarea cunoștințelor.

O etapă importantă, distinctă, o constituie prezentarea în fața elevilor a unui paralelipiped construit din sârmă. Acest model va da posibilitatea copilului să înțeleagă mai bine redarea în desen a unui paralelipiped. Se poate afirma că acesta este momentul în care se pun bazele reprezentărilor spațiale și ale gândirii ,,în spațiu” ale elevilor în clasele gimnaziale.

Elevii vor desena paralelipipedul numai pe baza unor elemente de sprijin care constau în indicarea unor puncte esențiale ale acestuia (vârfurile corpului).

Pe tablă, elevii vor observa următoarea configurație:

Fig. 66

Modelul confecționat din sârmă

Unirea acestor puncte o vor face elevii dirijați de învățător, care va lucra la tablă, urmărind în același timp muchiile paralelipipedului din sârmă. Mai dificilă ar fi redarea în desen a unui paralelipiped din carton, tablă, lemn sau alte materiale opace, care nu permit vizualizarea tuturor muchiilor, indiferent din ce poziție le-am privi.

Convenim cu elevii ca muchiile care nu se văd să fie redate prin linii punctate, ca în figura următoare:

Fig. 67

Exersarea operațiilor gândirii, în special analiza și sinteza, se realizează eficient prin acțiunile de desfășurare și asamblare a paralelipipedului. Acestea pot constitui subiectele unor activități practic-aplicative care pun în valoare cunoștințele învățate.

Desfășurarea corpului reprezintă o acțiune practică de tăiere a corpului de-a lungul unui număr minim de muchii care să permită ca toate fețele să poată fi așezate pe o suprafață plană sub forma unui poligon.

Model de desfășurare a unui paralelipiped respectând secvențele:

Numerotarea muchiilor:

Fig. 68

Se desprinde fața laterală din dreapta prin tăierea muchiilor 2, 6, 10:

Fig. 69

Se desprinde fața laterală din stânga prin tăierea de-a lungul muchiilor 5, 4, 12:

Fig. 70

Tăind în lungul uneia din muchiile 1, 3, 11 sau 9 obținem desfășurarea completă a paralelipipedului:

Fig. 71

Asamblarea presupune parcurgerea inversă a secvențelor anterioare.

Cubul

Pentru cunoașterea de către elevi a cubului se va face apel la etapele parcurse în predarea-învățarea paralelipipedului dreptunghic. Învățătorul va avea pe masă un cub și un paralelipiped din carton sau plastic și altele din sârmă. Comparând cele două corpuri, elevii vor descoperi:

Asemănări:

au fețe, muchii, vârfuri;

numărul acestora este același pentru fiecare din cele două corpuri.

Deosebiri:

– cubul are toate fețele pătrate egale între ele;

– paralelipipedul nu are toate fețele egale între ele, ci numai două câte două.

Cubul confecționat din sârmă va ajuta la reprezentarea lui în desen. Folosind punctele de sprijin și urmărind modelul din sârmă, elevii împreună cu învățătorul vor trasa muchiile cubului: AB, BC, CD, AD, AE, EH, HG, GF, EF, HD, GC ȘI FB.

Fig. 72 H ̊ ̊G

E ̊ ̊F

D ̊ ̊C

A ̊ ̊ B

Copiii vor fi puși în situația de a recunoaște pe desen vârfurile, muchiile și fețele cubului. Ca și la paralelipiped se va realiza o activitate suplimentară pentru fixarea cunoștințelor despre cub concretizată în confecționarea și desfășurarea cubului.

Piramida

Pentru predarea-învățarea cunoștințelor despre piramidă, învățătorul va pregăti pe catedră poliedre și corpuri rotunde, le prezintă elevilor, după care va alege doar piramidele. Va orienta atenția elevilor asupra unei singure piramide, luând-o în mână și încercând să o descrie.

Amintind elevilor despre corpurile învățate, cubul și paralelipipedul, va evidenția fețele, muchiile, vârfurile.

Se va preciza că fața pe care se sprijină piramida se numește bază și poate avea formă de triunghi, dreptunghi, pătrat sau alt poligon. Celelalte fețe diferite de bază se numesc fețe laterale. Toate fețele laterale ale piramidei sunt numai triunghiuri.

Vârful opus bazei se numește vârful piramidei. Elevii vor fi solicitați să observe deosebirile dintre piramidă și celelalte corpuri studiate.

Fig. 73

A B

piramida paralelipipedul

are o singură bază; – are două baze;

are un singur vârf; – are mai multe vârfuri;

fețele laterale sunt triunghiuri. – fețele laterale sunt dreptunghiuri.

Corpuri rotunde

Predarea-învățarea cunoștințelor despre corpurile geometrice rotunde poate începe prezentând elevilor mai multe corpuri geometrice, din care se vor alege numai corpurile rotunde, câte unul din fiecare. Elevii vor fi întrebați dacă le sunt cunoscute aceste corpuri și prin ce se deosebesc ele de celelalte corpuri. Învățătorul, după ce ascultă răspunsurile copiilor, le va spune că aceste corpuri se numesc corpuri rotunde.

Vor fi prezentate pe rând cilindrul, conul și sfera, în vederea unei prime familiarizări cu ele.

Cilindrul

Se poate concretiza prin prezentarea unor obiecte care au forma unui cilindru: cutii de conserve, bucăți de țeavă, imagini cu alte obiecte în formă de cilindru. Elementele cilindrului se intuiesc pe model. Suprafața pe care sprijină se numește bază, care are formă de disc (cerc). Orice cilindru are două baze egale. Partea cuprinsă între cele două baze și care îl mărginește se numește suprafață laterală.

Este bine ca elevii să aibă pe bănci cilindri confecționați într-o activitate anterioară, din carton (la orele de abilități practice) și vor fi cilindri cu bazele cercuri și nu discuri. Cu modelele în față elevii vor realiza desenul pe caiete urmărind indicațiile învățătorului. De asemenea pot realiza desfășurarea cilindrului identificând suprafața laterală cu un dreptunghi.

Fig. 74

Conul

Din mulțimea corpurilor geometrice pregătite de învățător pe masă, se va alege un con care va fi prezentat elevilor și se vor descrie elementele:

suprafața pe care se sprijină conul se numește bază;

suprafața care mărginește corpul se numește suprafață laterală;

orice con are un vârf.

Elevii vor arăta elementele conului pe modelele ce le au pe bănci.

Executarea desenului de către învățător la tablă va fi urmărită de elevi în vederea realizării desenului pe caiete.

Fig. 75 vârf

suprafață laterală

disc (cerc)

Sfera

Aceasă lecție poate începe cu prezentarea în fața elevilor a mai multe corpuri sferice: mingi de diferite mărimi, bile, globul pământesc. Copiii sunt încurajați să le pipăie, să le observe, să caute deosebiri și asemănări și să le compare cu celelalte corpuri învățate. Vor ajunge la concluzia că un corp sferic nu are nici baze, nici vârfuri și are o singură suprafață care nu este plană. Din trusa de corpuri geometrice se alege o sferă secționată. Se va arăta elevilor prin gestul de alunecare a palmei pe una din cele două secțiuni că are formă de disc. Plimbând arătătorul numai pe marginea discului se indică forma geometrică numită cerc.

Fig. 76

sferă

II.7. 5. Tipuri de probleme cu conținut geometric

Problemele cu conținut geometric pot fi probleme simple sau probleme compuse, dar pot fi și probleme care se pot rezolvă printr-o metodă specifică (metoda grafică), cu deosebirea că este esențial a realiza un desen al unei figuri geometrice sugerate de textul problemei. În general problemele cu conținut geometric se rezolvă respectând etapele rezolvării problemelor:

Cunoașterea enunțului problemei;

Înțelegerea enunțului problemei;

Analiza problemei și întocmirea planului logic;

Alegerea și efectuarea operațiilor corespunzătoare succesiunii judecăților din planul logic;

Activități suplimentare:

verificarea rezultatului;

scrierea sub formă de exercițiu;

găsirea altei căi sau metode de rezolvare;

generalizare;

compunere de probleme după o schemă asemănătoare.

Tipuri de probleme:

Probleme simple

●De reprezentare prin desen a noțiunilor de geometrie învățate ce presupun activități de măsurare;

Exemple:

Desenați o linie frântă deschisă formată din 3 segmente: AB= 3 cm, BC= 4 cm, CD= 5 cm.

Fig. 77 Rezolvare:

A C

B D

2. Desenați un unghi drept, un unghi obtuz și un unghi ascuțit.

Fig. 78 Rezolvare:

A M E

F

B C N P G

unghi drept unghi obtuz unghi ascuțit

3. Desenați un segment AB= 4 cm în poziție orizontală, un segment CD= 3 cm în poziție verticală și un segment MN= 5 cm în poziție oblică.

Fig. 79 Rezolvare: M

A B C

poziție orizontală

D N

poziție verticală poziție oblică

●De reprezentare prin desen a unor figuri geometrice studiate, având măsurile laturilor cunoscute sau necunoscute;

6. Desenați un trapez care are baza mică de 3 cm și baza mare de 5 cm. Atenție: trapezul să aibă un unghi drept.

Rezolvare:

A 3 cm D

Fig. 82

B 5 cm C

●De aflare a perimetrului unui poligon;

Exemple:

Aflați perimetrul unui romb care are latura de 4 cm.

Plan și rezolvare: Fig. 83

A

4 cm 4 cm

B D

4cm 4cm

C

Aflați perimetrul unui teren în formă de dreptunghi care are lungimea de 50 m, iar lățimea de 35 m.

Plan și rezolvare:

Fig. 84

A D

B C

●De aflare a măsurilor laturilor când este dat perimetrul;

Exemple:

Să se afle cât măsoară latura unui pătrat, știind că perimetrul este de 52 cm.

Rezolvare:

Fig. 85 A D

•Știind că: AB = BC = CD = DA

P = 4 x l => 52 cm = 4 x l =>

l = 52 : 4 = 13 cm. B C

Verificare: P = 4 x l = 4 x 13 cm =52 cm.

Răspuns: Latura pătratului este de 13 cm.

Probleme compuse:

Exemple:

●Care presupun efectuarea mai multor operații matematice înainte de a cunoaște dimensiunile unei figuri geometrice;

10. Latura unui romb este egală cu sfertul celui mai mic număr natural de două cifre diferite de 0, (măsura estimată în cm). Aflați perimetrul rombului.

Plan și rezolvare:

•Cel mai mic număr natural de două cifre diferite de 0 este 12.

•Aflăm latura rombului.

12 : 4 = 3 cm.

•Reprezentarea rombului prin desen:

Fig. 86 A

3 cm 3 cm

B D

3 cm 3 cm

C

11. Suma lungimilor unui dreptunghi este de 24 cm, iar suma lățimilor este de 16 cm. Să se afle perimetrul dreptunghiului.

Plan și rezolvare:

•Vom reprezenta prin desen un dreptunghi respectând proprietățile acestuia.

Fig. 87 A D

B C

●Care fac legătura cu realitatea în care trăim;

Exemple:

12. Un teren în formă de dreptunghi are lățimea de 80 m, iar lungimea este egală cu dublul lățimii. Aflați lungimea gardului ce împrejmuiește acest teren.

Plan și rezolvare:

•Reprezentarea prin desen a terenului în formă de dreptunghi ținând seama de datele problemei:

•Dublul lățimii = 2 x 80m.

Fig. 88 A D

80 m 80 m

B C

•Aflăm măsura lungimii.

2 x 80 m = 160 m.

•Lungimea gardului ce împrejmuiește terenul este egală cu perimetrul terenului.

P = 2 x ( L + l ) => P = 2 x ( 80 m + 160 m) = 2 x 240 m = 480 m.

Răspuns: Lungimea gardului ce împrejmuiește terenul este de 480 m.

13. Pentru împrejmuirea unui teren în formă de dreptunghi s-au adus 400 m plasă de sârmă. Lungimea este de 100 m, iar lățimea cu 20 m mai scurtă.

a. Cât măsoară perimetrul terenului?

b. Ajunge plasa de sârmă pentru împrejmuirea terenului?

c. Pentru a atașa 3 rânduri de sârmă ghimpată, câți m trebuie să cumpere proprietarul?

Plan și rezolvare:

•Se va reprezenta prin desen un dreptunghi, respectând datele problemei:

A 100 m D

Fig. 89

B C

•Aflăm cât măsoară lățimea terenului:

100 m – 20 m = 80 m.

•Aflăm perimetrul terenului.

P = 2 x ( L + l ) => P = 2 x ( 100 m + 80 m ) = 2 x 180 m = 360 m.

•Aflăm dacă ajung cei 400 m de plasă de sârmă.

360 < 400

400 m – 360 m = 40 m.

•Câți m de sârmă ghimpată trebuie să cumpere proprietarul?

3 x 360 m = 1 080 m.

Răspuns: •Perimetrul terenului este de 360 m.

•Plasa ajunge pentru împrejmuirea terenului și mai rămân 40 m.

•Proprietarul trebuie să cumpere 1 080 m sârmă ghimpată.

C. Probleme care se rezolvă prin metoda grafică:

●De aflare a două numere când se cunosc suma și diferența dintre ele;

Perimetrul unui dreptunghi este de 96 cm. Lungimea este cu 8 cm mai mare decât lățimea. Aflați cât măsoară lungimea și cât măsoară lățimea dreptunghiului.

Plan și rezolvare

După analiza enunțului problemei, elevii vor observa că această problemă se poate rezolva prin metoda grafică cu ajutorul segmentelor.

Se va reprezenta astfel:

Fig. 90 L

l 8 cm 96 cm

L

l 8 cm

•Eliminăm diferența dintre lungimi și lățimi.

96 cm – 16 cm = 80 cm.

După eliminarea diferenței, au rămas 4 segmente egale.

80 cm

•Ce măsură are lățimea?

80 cm : 4 = 20 cm.

•Ce măsură are lungimea?.

20 cm + 8 cm = 28 cm.

În acest moment se cunosc măsurile laturilor și se poate reprezenta prin desen dreptunghiul. A D

Fig. 91

B C

Verificare:

PABCD = 2 x ( L+ l ) =˃ P = 2 x ( 28 cm + 20 cm ) == 2 x 48 cm = 96 cm.

●De aflare a două numere când se cunosc suma și raportul dintre ele;

15. Lățimea unui dreptunghi este un sfert din lungime, iar perimetrul este de 40 cm. Află cât măsoară lungimea și cât măsoară lățimea dreptunghiului.

După analiza enunțului problemei se stabilește că această problemă se poate rezolva ținând cont de suma laturilor și raportul dintre ele. Lățimea este un sfert din lungime înseamnă de 4 ori mai mică. Vom reprezenta lungimea printr-un segment. Apoi lățimea prin alt segment care este un sfert din primul.

Fig. 92

Observând cu atenție schema, vom constata că s-au format 10 segmente egale, care împreună au 40 cm. Cum putem afla cât măsoară unul dintre cele 10 segmente? (împărțind 40 cm la 10). Împărțind cei 40 cm la 10 vom afla cât măsoară un segment. De fapt aflăm cât măsoară lățimea dreptunghiului. Știind ca lungimea este cât 4 lățimi vom afla cât măsoară lungimea.

Plan și rezolvare:

Cât măsoară lățimea?

40 cm : 10 = 4 cm.

Cât măsoară lungimea?

4 cm x 4 = 16 cm.

Acum se poate reprezenta prin desen dreptunghiul:

Fig. 93 A 16 cm D

4 cm

B 16 cm C

Verificare P = 2x (L+l) => P= 2 x ( 16 + 4) => P = 2x 20 = 40 cm.

Răspuns: L = 16 cm; l = 4 cm.

Metoda cubului aplicată într-o problemă cu elemente de geometrie

Un teren în formǎ dreptunghiularǎ va fi împrejmuit cu gard. Ce lungime va avea gardul știind cǎ lǎțimea este jumǎtate din lungime, iar suma lǎțimilor este de 60m?

Grupa I: Descrie! – Desenați forma geometricǎ a terenului. Descrieți proprietǎțile figurii geometrice desenate.

Grupa a II-a: Comparǎ! – mǎrimea a douǎ laturi opuse;

– mǎrimea a douǎ laturi alǎturate.

Grupa a III-a: Asociazǎ! – Desenați un pǎtrat cu perimetrul egal cu al dreptunghiului dat.

Grupa a IV-a: Analizeazǎ! – Un țǎran vrea sǎ împartǎ terenul său în douǎ pǎrți egale. Ce forme geometrice pot avea cele douǎ terenuri obținute? (Prezentați toate variantele posibile.

Grupa a V-a: Aplicǎ! – Scrieți planul de rezolvare al problemei.

Grupa a VI-a: Argumenteazǎ! – Terenul trebuie împrejmuit cu trei rânduri de sârmǎ. De câți metri de sârmǎ are nevoie țǎranul? Câte asemenea terenuri pot fi împrejmuite doar cu un singur rând de sârmǎ?

Probleme- joc.

Ionuț, Marius și Andrei participă la un concurs de tragere cu arcul la țintă. Observați desenul și spuneți a cui săgeată va nimeri centrul țintei. (Ionuț- roșu, Marius- verde, Andrei- albastru)

Fig. 94

Problema se poate rezolva prelungind fiecare săgeată cu linie punctată.

Un pitic mai…. special

Observați desenul apoi aflați:

Fig. 96

342 123

471 96 6

jumătatea numărului aflat doar în interiorul cercului și nu al triunghiului;

dublul numărului aflat și în interiorul cercului și în al triunghiului;

sfertul numărului aflat în interiorul triunghiului dar în exteriorul cercului;

produsul numerelor aflate în interiorul dreptunghiului dar în exteriorul triunghiului.

Completează tabelul cu datele necesare:

Observați corpurile geometrice, apoi completați tabelul:

Fig. 97

Ghicitori … geometrice

Descoperiți numele corpului sau figurii geometrice din ghicitorile de mai jos; apoi realizați un desen reprezentativ pe verso-ul paginii.

•Am muchii egale și 8 vârfuri. ( …………………….. )

•Par un sul de hârtie. ( ……………………… )

•Am 6 fețe pătrate. ( …………………….. )

•Mi-am găsit două fețe pătrate și 4 dreptunghiuri. ( ………………………………. )

•Distanța din centru până la fața mea este aceeași, oricare drum îl alegi. ( …………………)

•Sunt cornetul de înghețată. ( ………………….. )

•Am un singur vârf și o față cer. ( ………………… )

•Nu am vârfuri și mă rostogolesc ca o minge. ( ………..)

•Am 2 fețe cercuri , dar vârfuri nu. ( …………….. )

•Par un pachet de unt. ( …………….. )

•Am chipul unei conserve. ( ………………… )

•Copiii mă aseamănă cu un coif. ( …………….. )

•Pot avea 6 fețe dreptunghiulare. ( …………………….. ).

Ghicitori în versuri:

1

2

3

4

5

6

7

8

II.8. Forme de organizare a activității de învățare

Lecția ca formă de organizare a învățării

Lecția constituie forma prin care se stabilesc relațiile între învățător și elev în procesul învățării. Elevul asimilează cunoștințe și își formează deprinderi prevăzute în programa școlară sub îndrumarea cadrului didactic.

În lucrările de specialitate se înregistrează numeroase definiții: „formă de organizare a procesului de învățământ”, „formă dominantă”, „formă de bază”. Orice denumire ar purta, lecția este forma de bază a activității de învățare prin care se urmărește realizarea unor obiective proiectate riguros, într-un timp delimitat prin intermediul unor metode de învățare adecvate. Datorită numeroaselor sale calități lecția ocupă un loc central în ansamblul formelor de organizare a procesului de învățământ.

Caracterul procesual, secvențial al învățării face ca lecția să fie structurată ca o succesiune de evenimente, secvențe de instruire care au un anumit conținut, fiecărei secvențe îi corespund anumite obiective didactice, anumite sarcini didactice, respectiv metode și procedee de învățământ. Pentru a fi eficientă lecția trebuie corelată cu lecțiile anterioare și bineînțeles lecțiile viitoare, lecția trebuie să facă parte dintr-un sistem, corespunzătoare unei unități de învățare.

Formele de organizare ale procesului de învățământ sunt asociate tot mai frecvent cu un anumit mod de abordare și concepere a învățării – trecerea de la organizare frontală a activității la o organizare care să accentueze valențe de lucru în grup: pe grupe de interes, de activități, de aptitudini, de dificultăți, valorice, de control, funcționale. În funcție de situație și prin raportare la anumite criterii, grupul poate fi format doar din doi elevi, pereche, sau grupuri mai mari formate din cinci-șase elevi.

Pe parcursul unei lecții putem combina mai multe forme de organizare:

activitate frontală – caracterizată prin o sarcină frontală unică, elevii rezolvă sarcina colectiv, iar cadrul didactic sintetizează răspunsul colectiv;

activitate individuală – caracterizată prin o sarcină frontală unică, elevii rezolvă sarcina individual, iar cadrul didactic sintetizează răspunsul fiecărui elev;

activitate independentă în grupuri eterogene – caracterizată printr-o sarcină unică, frontală, nediferențiată, elevii rezolvă sarcina în cadrul grupului, cooperând, învățătorul sintetizează răspunsurile primite de la fiecare grupă în parte;

activitate independentă în grupuri omogene – caracterizată print-o sarcină frontală, unică, diferențiată, echivalentă, elevii rezolvă individual în cadrul grupului, răspund independent, învățătorul sintetizează răspunsurile primite de la fiecare grup în parte;

activitate independentă individualizată – caracterizată prin sarcini individualizate, conținut, realizare, elevii rezolvă independent sarcina, învățătorul urmărește modul de rezolvare a sarcinii, eventual îndrumă elevii acolo unde este cazul și apreciază activitatea fiecărui elev.

Aceste forme de organizare trebuie îmbinate pe parcursul unei ore.

Învățătorul are un rol fundamental în stabilirea obiectivelor, a sarcinilor de lucru, în cunoașterea nivelului de dezvoltare a fiecărui elev, în îndrumare și finalizare, deci cadrul didactic are rol de dirijare, realizând mai multe aspecte formative, educative.

A lucra în grup sau în echipă presupune rezolvarea sarcinii didactice de către toți membrii echipei, fiecare contribuind cu puterile sale. Fiecare echipă își poate stabili câte un lider pentru fiecare sarcină în parte, astfel fiecare își asumă responsabilitatea în rezolvarea unor probleme.

Prin munca în echipă, elevul își exersează și dobândește capacități de cooperare, de sprijin, de primire și asumare de sarcini, de coordonare, de subordonare, de respectare de reguli, de asumare de reguli, de asumare a răspunderii, de manifestare a inițiativei.

Activitatea diferențiată în cadrul lecțiilor de matematică este una din căile menite să realizeze o tratare adecvată a copiilor. Strategia diferențierii conduce la o gamă foarte variată de forme de lucru și modalități de organizare a activității pentru a îmbina cele trei forme de activitate: frontală, pe grupe și individuală.

Învățătorul trebuie să urmărească aplicarea întregului sistem diferențiat. De exemplu pe o fișă de lucru sarcinile didactice trebuie să pornească de la un grad scăzut de dificultate, sporind treptat, dând astfel tuturor elevilor posibilitatea de a rezolva un număr de sarcini.

În cazul muncii independente pe care elevii o rezolvă pe caiete, pentru început învățătorul propune spre rezolvare un număr de exerciții și probleme pentru toți elevii din clasă, sunt de regulă sarcini de dificultate medie. Aceste sarcini trebuie rezolvate de tot colectivul într-un timp determinat, dar sunt elevi care își termină corect sarcinile într-un timp foarte scurt. În acest caz, învățătorul trebuie să fie pregătit pentru a propune spre rezolvare sarcini din ce în ce mai dificile pentru elevii capabili de performanță.

Munca independentă se poate regăsi în diferite secvențe ale lecției, dar cel mai des este utilizată în partea de fixare a cunoștințelor unei lecții. Aceast procedeu poate constitui o imagine clară asupra modului în care elevii au înțeles și și-au însușit noile cunoștințe. Totodată această etapă oferă posibilitatea pregătirii prealabile a elevilor pentru tema de acasă.

Tratarea diferențiată a elevilor promovează principiile toleranței și echității, răspunzând unei game largi de calități, stiluri de învățare, nevoi și personalități ale elevilor din clasă. Prin tratarea diferențiată a elevului se creează motivația de învățare, deoarece elevul este apreciat pentru ceea ce a realizat.

De regulă, elevii răspund pozitiv comportamental și motivațional atunci când sunt apreciați atât verbal cât și prin calificative. Tratarea diferențiată induce astfel de comportamente, îi ajută pe copiii cu dificultăți de învățare să progreseze, să obțină rezultate superioare. De asemenea, tratarea diferențiată îi stimulează și pe elevii cu un potențial intelectual crescut să fie mai creativi, să găsească soluții rapide de rezolvare a unor probleme, să-și dorească sarcini din ce în ce mai dificile, care să constituie o permanentă provocare.

Pe parcursul lecțiilor cele trei forme de organizare a activității (frontală, individuală, pe grupe) trebuie îmbinate cât mai eficient, având menirea să conducă la dezvoltarea competențelor generale pentru fiecare elev.

II.9. Strategii de evaluare utilizate în formarea noțiunilor intuitive de geometrie

În procesul educației se disting trei componente: predarea, învățarea și evaluarea. Tot acest proces depinde foarte mult de modul în care este proiectată, aplicată și interpretată evaluarea.

Există mai multe tipuri de evaluare:

evaluare inițială sau predictivă – care se aplică la începutul unui an școlar sau la începutul unui semestru școlar sau poate fi aplicată chiar înaintea începerii unei noi unități de învățare, prin care cadrul didactic depistează nivelul cunoștințelor în momentul respectiv;

evaluarea continuă sau formativă – are loc pe tot parcursul desfășurării procesului instructiv- educativ, are un caracter permanent și poate îmbrăca diferite forme;

evaluarea sumativă sau cumulativă – care se aplică la intervale mai mari de timp, de regulă după terminarea unei unități de învățare, la sfârșitul unui semestru sau la sfârșitul anului școlar.

Așa cum am precizat anterior, evaluarea continuă poate îmbrăca diferite forme:

observarea și aprecierea verbală;

chestionarea orală;

probe scrise;

verificarea prin lucrări practice.

Observarea și aprecierea verbală se utilizează zilnic în fiecare moment al lecției și are rolul de a aprecia verbal răspunsurile elevilor, de a-i stimula.

Chestionarea orală este o formă de conversație prin care se verifică cantitatea și calitatea cunoștințelor, priceperilor și deprinderilor elevilor.

Probele scrise permit verificarea tuturor elevilor dintr-o clasă într-un timp foare scurt. De exemplu după predarea unei noi noțiuni, învățătorul poate aplica o evaluare scurtă elevilor, rezolvarea unui exercițiu, unei probleme care să cuprindă aspecte esențiale ale noii lecții. Această formă de evaluare oferă o imagine foarte clară învățătorului asupra modului în care au fost însușite noile noțiuni. Astfel cadrul didactic poate interveni cu noi explicații dacă este cazul.

Verificarea prin lucrări practice se utilizează cu precădere în lecțiile cu conținut geometric. Încă de la clasa pregătitoare sau clasa I se poate aplica această modalitate de evalare: „Decupează după contur figurile geometrice. Constuiește cu ele o casă.”

Acestă lucrare practică se poate aplica și la clasa a IV-a, cerința exercițiului fiind mult mai complexă: Construiește un dreptunghi cu lățimea de 10 cm, lungimea de 12 cm, un triunghi isoscel cu baza de 12 cm, două pătrate cu latura de 3 cm și un alt dreptunghi cu lățimea de 4 cm și lungimea de 6 cm. Pentru fiecare figură geometrică alege hârtie glasse de altă culoare, doar pătratele să aibă aceeași culoare. După ce ai desenat figurile corespunzătoare, decupează-le și construiește o casă.

Testul docimologic este cel mai important instrument de evaluare. Pentru elaborarea unui test învățătorul trebuie să redacteze itemi în funcție de obiectivele urmărite, de materia ce urmează a fi evaluată și de capacitățile subiecților evaluați.

Itemii pot fi:

– obiectivi, care constituie baza în realizarea testelor standardizate și pot fi:

cu răspuns unic:

cu alegere duală:

Completează cu DA sau NU:

Dreptele paralele se intersectează.

Dreptele perpendiculare formează un unghi drept.

Pătratul este un romb.

Laturile paralele ale unui trapez se numesc baze.

Oricare două drepte sunt paralele.

de tip pereche:

cu alegere multiplă:

Colorează răspunsul corect:

Perimetrul unui pătrat cu latura de 4 cm este

Doi copii au identificat în figura de mai jos:

Numără și tu și colorează caseta cu răspunsul corect.

Fig. 99

semiobiectivi, care pun elevul în situația de a construi răspunsul. Acești itemi pot fi:

cu răspuns scurt:

Semiperimetrul unui dreptunghi cu lungimea de 3 m și lățimea de 2 m este ………. .

Rombul cu un unghi drept se numește ……………………. .

de completare:

Măsura unui unghi este dată de …………………….., nu de ………………………. laturilor.

Pătratul are ……… de simetrie.

întrebări structurate:

Cum se numesc două drepte care se află la aceeași distanță una de alta?

Câte vârfuri are un cub?

cu răspuns deschis:

Un dreptunghi are perimetrul 320 m, lungimea fiind de trei ori mai mare decât lățimea. Află dimensiunile dreptunghiului, apoi suprafața acestuia.

Un triunghi echilateral are perimetrul egal cu perimetrul unui pătrat, fiind egal cu 60 m. Află latura pătratului. Doi elevi înconjoară fiecare de câte 5 ori triunghiul, respectiv pătratul.

Ce distanță parcurge fiecare? Cum sunt cele două distanțe? De ce?

Evaluarea inițială- se efectuează la începutul unei etape de instruire pentru a cunoaște nivelul de pregătire și a capacității de învățare a elevilor. Această formă de evaluare are o funcție predictivă, descoperirea unor lacune în cunoștințele elevilor obligând la reproiectarea programelor de învățare, la conceperea unor programe compensatorii.

Evaluarea formativă (diagnosticul) – presupune verificarea rezultatelor pe secvențe mici, pe parcursul activității de instruire, permițând luarea imediată a unor măsuri corective. Acest tip de evaluare furnizează un feed-back despre gradul de însușire al cunoștințelor, dificultățile întâmpinate, având ca rol ameliorarea procesului de învățare și stimularea dezvoltării elevilor.

Evaluare formativă

Elemente intuitive de geometrie – clasa a IV-a

Obiective operaționale

O1. Să identifice corect formele geometrice plane;

O2. Să identifice corect formele geometrice spațiale;

O3. Să scrie corect denumirile formelor geometrice plane și spațiale;

O4. Să calculeze perimetrul unei figuri geometrice;

O5. Să calculeze exercițiile problemă propuse.

Itemi (Model de test de evaluare- Elemente intuitive de geometrie)

a) Scrie în tabel litera corespunzătoare fiecărei forme geometrice plane:

Fig. 100

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

b) Continuă fiecare din desenele următoare pentru a obține :

a) un triunghi b) dreptunghi c) un romb

Fig. 101

Observă, apoi completează: Fig. 102 A D

AB este paralelă cu ….; AD este paralelă cu ……;

AC și DB sunt ………………………………;

AB = BC = …….. = ……… . B C

3. Completează enunțurile :

a) Cubul are ….. fețe în formă de …………….., are ….. unghiuri și …. muchii.

b) Piramida poate avea baza …………… sau …………… .

c) Fețele paralelipipedului sunt ………………………… .

Denumește figurile geometrice de mai jos

Fig. 103

Realizează, prin săgeți, corespondența între desen, definiție și denumire:

Fig. 104

4. Află lungimea laturii unui pătrat cu perimetrul de 16 cm.

5. Aflați perimetrul unui dreptunghi care are lungimea egală cu suma numerelor 23 și 25, iar lățimea de două ori mai mică.

6. La un concurs de alergare concurenții trebuie să parcurgă de 5 ori traseul în formă de pătrat cu latura de 75 m.

Care va fi distanța parcursă de concurenți ?

7. Perimetrul unui triunghi este de 32 cm.Lungimea unei laturi este 3/8 din lungimea perimetrului. Celelalte doua laturi sunt egale. Află lungimea laturilor triunghiului.

8. O grădină în formă de triunghi are dimensiunile de: 240m, din 240m și din 240m. Aflați lungimea gardului ce înconjoară terenul.

Descriptori de performanță

După aplicarea testului, analizând rezultatele, am stabilit cauzele care au determinat nerezolvarea în totalitate a obiectivelor de către toți copiii și m-am preocupat în mod special de recuperarea lor prin muncă individuală și în grupuri mici, rezolvând fișe de lucru de recuperare. Pentru elevii care au efectuat corect sarcinile didactice am pregătit fișe de lucru de dezvoltare cu sarcini care să le dezvolte potențialul creativ.

Pentru a putea gestiona eficient tehnicile și instrumentele de evaluare pot fi întocmite matrice de evaluare:

Metode alternative de evaluare

Portofoliul reprezintă o colecție de produse ale activității elevului. Acesta poate cuprinde: fișe de muncă independentă, teste de evaluare inițială, formativă și finale, proiecte sau alte produse realizate de elevi. Portofoliul are o funcție importantă, aceea de investigare a majorității „produselor” elevului/ elevilor, totodată prin această metodă se poate observa progresul elevului de la un semestru la altul sau de la un an la altul.

Exemplu de sarcină de lucru:

Clasa a IV-a

Tema: Forme geometrice

Desenați pe o foaie de hârtie un cub desfășurat. Decupează după contur figura respectivă, apoi îndoaie după fiecare muchie bine.

Această sarcină poate fi aplicată și într-o lecție de educație tehnologică.

Investigația oferă posibilitatea elevului de a aplica în mod creativ cunoștințele însușite, în situații noi și variate, pe parcursul unei ore sau a unei succesiuni de ore de curs.

Activitatea didactică desfășurată prin intermediul acestei practici evaluative poate fi organizată individual sau pe grupuri de elevi, iar aprecierea modului de realizare a investigației este de obicei de tip holistic. Aportul acestui tip de activitate asupra dezvoltării capacităților de ordin aplicativ al elevilor este considerabil.

Proiectul reprezintă o activitate mai amplă de evaluare decât investigația.

Proiectul începe în sala de clasă prin definirea și înțelegerea sarcinii de lucru și se continuă acasă pe parcursul mai multor zile sau chiar săptămâni, timp în care elevii se consultă permanent cu învățătorul, se cer anumite lămuriri sau prin noile cunoștințe dobândite se dezvoltă și conturează proiectul. Ca și investigația, proiectul are mai multe etape și se poate realiza individual sau pe grupe.

Printre capacitățile elevilor posibil de evaluat prin intermediul acestei metode enumerăm:

adecvarea metodei de lucru și a instrumentului ales la obiectivele propuse prin proiect;

folosirea corespunzătoare a materialelor din dotare;

oferirea unei soluții corecte;

realizarea cu acuratețe a produsului;

posibilitatea generalizării problemei;

prezentarea proiectului;

modul de colaborare între membrii echipei (dacă este cazul).

Exemplu:

Aplicații practice cu figuri geometrice/ corpuri geometrice. (Elevii clasei împărțiți pe grupe pot realiza macheta școlii lor.)

Autoevaluare, prin informațiile pe care le furnizează, are un rol deosebit de important în ceea ce privește întregirea imaginii elevului din perspectiva judecății de valoare a învățătorului.

Pentru ca evaluarea să fie resimțită de elev ca având efect formativ, raportându-se la diferite capacități ale sale în funcție de progresul realizat și de dificultățile pe care le are de depășit, este foarte utilă formarea capacității de autoevaluare. Elevii au nevoie să se cunoască, acest lucru are implicații în plan motivațional și atitudinal.

Elevul aflat în situația de învățare are nevoie de anumite puncte de refetință care să-i definească rolul, natura și direcțiile activității sale, prin autoevaluare elevul își poate conștientiza progresul și achizițiile făcute, să-și elaboreze stilul propriu de lucru în clasă, să se poată situa în raport cu exigențele de învățare.

Modalități de autoevaluare utilizate sunt:

autocorectarea sau corectarea reciprocă, evaluare;

autonotarea controlată- elevul își acordă un calificativ, care va fi definitivat de învățător;

notarea reciprocă pune elevii în situația de a-și nota colegii prin reciprocitate în lucrările scrise.

În toate aceste modalități de autoevaluare elevii trebuie să cunoască și să folosească criteriile de notare, pentru a ști exact ceea ce este corect sau greșit.

Tema pentru acasă vine să consolideze noținile pe care elevii și le însușesc în clasă, totodată tema pentru acasă dezvoltă deprinderile de muncă individuală.

Evaluarea ritmică a temelor de acasă poate oferi învățătorului, dar și elevului soluții pentru eficientizarea și optimizarea demersului didactic. Tema de acasă trebuie să îndeplinească câteva cerințe: sarcinile de lucru să fie diferențiate, să consolideze noțiunile studiate în clasă, pentru elevii foarte buni se pot da teme de perfecționare, pentru elevii care întâmpină dificultăți de învățare se pot da teme de recuperare.

Utilizarea metodelor alternative de evaluare în cadrul activităților didactice este importantă pentru accentuarea dimensiunii formative ale procesului instructiv-educativ în ansamblul său.

Capitolul III

Rolul elementelor de geometrie în

procesul instructiv- educativ din ciclul primar

În învățământul primar elementele intuitive de geometrie se studiază încă din clasa pregătitoare, în fiecare an de studiu adăugându-se noi cunoștințe elementelor de geometrie pe care elevii le cunosc deja sau noțiuni de geometrie noi.

Noțiunile intuitive de geometrie sunt cuprinse, în fiecare an școlar, în câte un capitol distinct ca și celelalte noțiuni matematice. Ele se utilizează în procesul instructiv-educativ în predarea, învățarea și evaluarea altor noțiuni matematice datorită faptului că sunt ușor de desenat, de manipulat, totodată reflecă în mare măsură realitarea înconjurătoare.

III. 1. Elementele de geometrie în predarea – învățarea numerelor naturale

Numărul natural reprezintă cea mai cunoscută și utilizată entitate matematică, pe care copilul o întâlnește încă din perioada preșcolarității. Cunoștințele empirice, particulare, dobândite la această vârstă, se vor lărgi treptat, generalizator, în sensul formării conceptului de număr natural, în clasele P-IV. Introducerea numărului natural se realizează pe baza corespondenței între mulțimi finite. Suportul științific este dat de noțiunea de mulțimi echipotente: două mulțimi sunt echipotente dacă există o bijecție de la una la cealaltă. Relația de echipotență împarte mulțimile în clase disjuncte, într-o clasă aflându-se toate mulțimile echipotente între ele. O astfel de clasă poartă numele de cardinal. Orice număr natural estecardinalul unei mulțimi finite. De exemplu, numărul 3 este clasa de echipotență a tuturor mulțimilor ce au 3 elemente.

Este evident că problema nu poate fi abordată astfel la școlarii mici. Calea cea mai utilizată pentru introducerea unui număr natural oarecare n (de exemplu, 3) trece prin următoarele etape:

se construiește o mulțime de obiecte având atâtea elemente cât este ultimul număr cunoscut (în exemplul menționat, 2);

se construiește o altă mulțime, echipotentă cu prima;

se adaugă în cea de a doua mulțime încă un obiect;

se face constatarea că noua mulțime are cu un obiect mai mult decât prima mulțime;

se afirmă că noua mulțime, formată din n-1 obiecte și încă un obiect are n obiecte (deci, 2 obiecte și încă un obiect înseamnă 3 obiecte);

se construiesc și alte mulțimi, echipotente cu noua mulțime, formate din alte obiecte, pentru a sublinia independența de alegerea reprezentanților;

se prezintă cifra corespunzătoare noului număr introdus.

Astfel în predarea unui nou număr se pot folosi mulțimi ale căror elemente pot fi figuri geometrice cunoscute de elevi, deoarece figurile geometrice sunt ușor de desenat de către elevi față de ale obiecte. Totodată trusa Dienes este alcătuită din 48 de figuri geometrice și poate fi utilizată cu succes ca material didactic în predarea numerației în clasa pregătitoare sau clasa I. Trusa Dienes conține piese cu atribute pe care copiii la pot sesiza ușor și se disting prin patru variabile, fiecare având o serie de valori distincte:

mărime cu două valori: mare, mic;

culoare cu trei valori: roșu, galben, albastru;

formă cu patru valori: pătrat, triunghi, dreptunghi, cerc.

Cu ajutorul pieselor trusei se poate forma o mulțime de elemente cât ultimul număr cunoscut de către elevi, apoi fofolsind alte piese se poate construi o nouă mulțime care are cu un element mai mult decât prima mulțime.

Exemplu: Formați o mulțime din două triunghiuri mari galbene. Apoi sarcina exercițiului se continuă, solicitând elevilor să construiască o altă mulțime care să aibă cu un element mai mult decât prima mulțime, fiind formată din pătrate mari roșii.

Fig. 105

Asest lucru se poate realiza și prin desen, pe fișe de lucru realizând corespondența dintre cele două mulțimi se observă că cea de-a doua mulțime are cu un element mai mult decât prima mulțime, astfel se introduce noul număr și cifra corespunzătoare acestuia, numărul și cifra 3.

De asemenea cu piesele trusei Dienes se pot organiza jocuri cu scopul de a-i ajuta pe copii să intuiască unele noțiuni de logică (conjuncția, disjuncția, echivalența) și de teoria mulțimilor.

În organizarea jocurilor se pot folosi o parte din piese: piese mici sau mari, piese groase sau subțiri, piese roșii, galbene sau albastre etc. Exemple de jocuri logico-matematice:

Jocuri pentru construcție de mulțimi

Se observă o piesă și atributele ei: triunghi, mare, galben.

Selectarea unor piese și așezarea lor în submulțimi după un atribut sau mai multe: toate piesele mari și albastre.

Deducții asupra culorii unei piese extrase dintr-un săculeț cu trei piese de culori diferite.

Ghicirea unei piese ascunse după un număr de întrebări pe care elevul la poate pune: Este roșie? Este triunghi?

Jocuri de aranjare a pieselor pe linii și coloane astfel încât pe aceeași linie sau coloană piesele să aibă cel puțin o însușire comună: piesele mici și mari, piesele albastre, galbene și roșii etc.

Fig. 106

Jocuri de așezare a pieselor astfel încât fiecare să difere de cele care este așezată.

Jocuri de aranjare a pieselor în două cercuri, pentru intuirea operațiilor cu mulțimi (toate piesele în cercul roșu și toate pătratele în cercul verde).

Jocuri în care se așează piesele în perechi după atribute comune și unul deosebit: mare-mic, triunghi-pătrat.

Trusa Logi I cuprinde un număr de 24 de figuri geometrice (cerc, pătrat, triunghi, dreptunghi), în trei culori diferite și două dimensiuni. Spre deosebire de trusa Dienes, piesele din trusa Logi I nu au atrbutul grosime.

Trusa Logi II are în plus față de trusa Logi I forma de oval.

Compunerea și descompunerea numerelor naturale se poate face pe baza reuniunii a două mulțimi disjuncte, utilizând piesele trusei Dienes. Prin manipularea directă a pieselor din această trusă elevii pot așeza pe bancă un număr de piese de același fel cerut de cadrul didactic. Elevii pot împărți în câte două mulțimi disjuncte piesele astfel încât piesele din cele două mulțimi reunite să formeze numărul cerut.

De exemplu pentru compunerea și descompunerea numărului 4 se pot forma mulțimile:

Fig. 107

Elevii formează o mulțime de 4 elemente, din două mulțimi disjuncte în toate modurile posibile cu ajutorul figurilor geometrice din trusa Dienes. În final soluțiile găsite se reprezintă la tablă și pe caiete:

Fig. 108

Compunerea și descompunerea numerelor naturale trebuie să aibă ca punct de plecare procesul de formare a numărului natural prin adăugarea unei unități la numărul anterior.

Figurile geometrice pot fi utilizate ca material didactic în cadrul lecțiilor de predare-învățare a noțiunii de număr natural, dar nu trebuie să monopolizeze lecțiile cu un astfel de conținut ci trebuie folosite și bețișoare, jetoane cu diferite tipuri de obiecte, riglete etc.

Figurile geomtrice sunt utilizate cu precădere și în reprezentarea numerelor până la 1000, cu ajutorul numărătorii poziționale. Astfel reprezentăm numerele alcătuite din sute, zeci și unități insistând pe poziția în care se află fiecare cifră și pe semnificația fiecărei cifre.

Pentru formarea numărului 345 la numărătoarea cu discuri (cercuri) am luat 3 discuri pe sârma a treia, adică cifra sutelor, 4 discuri pe sârma a doua, pentru cifra zecilor și 5 discuri pe prima sârmă, reprezentând cifra unităților.

Fig. 109

În concluzie figurile geometrice nu constituie un capitol oarecare în matematica din ciclul primar, elementele de geometrie pot fi utilizate ca suport, ca material didactic în lecțiile de matematică al căror conținut este altul.

III. 2. Elementele de geometrie în predarea – învățarea operațiilor aritmetice

Operația aritmetică decurge din situațiile matematice din viață și este expresia unei operații mentale ce corespunde unei acțiuni reale, caracterizată prin realizarea transformării matematice, deci simbolice a acțiunilor.

Orice operație aritmetică pornește de la o situație matematică, întâmplătoare sau provocată, care prin observație, descoperire, acțiune ce declanșează un act rațional, de gândire.

Capacitatea de efectuare a operației aritmetice ce corespunde unei acțiuni reale presupune, după J. Piaget, dobândirea conservării cantității, indiferent de natură, formă și poziție spațială, și a reversibilității. Fără reversibilitate nu se pot învăța operațiile directe (adunarea) și inverse (scăderea).

Operațiile de adunare și scădere efectuate cu obiecte sunt accesibile cipiilor de 6 ani, dar corectitudinea lor depinde de numărul de obiecte folosit. În aceste condiții încă de la clasa pregătitoare, elevii învață adunarea și scăderea numerelor naturale în concentrul 0 -31 cu și fără trecere peste ordin cu cinci unități. Pentru început ei pot manipula figurile geometrice din trusa Dienes ca material didactic, jetoane care reprezintă tot figuri geometrice dar și alte tipuri de materiale didactice. Pe fișele de lucru ale elevilor pot fi reprezentate figuri geometrice care să-i ajute pe elevi să înțeleagă, să-și însușească corect cele două operații aritmetice.

Exemplu: Cu ajutorul dreptunghiurilor se demonstrează legătura dintre adunare și scădere.

Fig. 110 5 + 3 = 8

3 + 5 = 8

8 – 5 = 3

8 -3 = 5

Pentru a consiloda cele învățate se reiau cele patru relații cu alte numere, demonstrațiile fiind făcute de către elevi. Pe tabla magnetică se pot așeza diferite figuri geometrice, ca în exemplul de mai sus, apoi operațiile corespunzătoare vor fi scrise pe tablă și notate de elevi în caiete. Pentru o folosire eficientă a timpului didactic se aleg numere mici care să nu necesite mult timp în utilizarea materialului didactic, dar cu ajutorul cărora se pot însuși corect operațiile de adunare și scădere, plecând de la intuitiv la concret.

Figurile geometrice pot fi folosite ca suport și în fișele de lucru prin care se învață operațiile aritmetice încă de la clasa pregătitoare. Astfel de fișe sunt mult mai atractive pentru elevi decât dacă ar fi formate coloane cu operațiile de adunare sau scădere.

Exemple:

1. Adaugă elemente pentru a obține numărul cerut. Completează și operația corespunzătoare fiecărei mulțimi.

Fig. 111

2 + = 6 3 + = 7 1 + = 4

2. Taie elemente pentru a obține numărul cerut. Completează și operația corespunzătoare fiecărei mulțimi.

Fig. 112

6 – = 3 8 – = 2 5 – = 4

3. Unește fiecare casă cu acoperișul ei, apoi coloreaz-o.

Fig. 113

Utile în orele de matematică, în timpul cărora se studiază adunarea și scăderea dar și înmulțirea și împărțirea, sunt exercițiile de următorul tip.

4. Completează următorul tabel.

Fig. 114

Astfel de exerciții verifică într-un timp relativ scurt modul în care elevii și-au însușit adunarea și scăderea, aflarea unui termen când se cunoaște suma, aflarea descăzutului sau a scăzătorului. În același timp elevul trebuie să se orienteze în tabel, pe coloană și pe rând.

III. 3. Elementele de geometrie în predarea-învățarea noțiunii de fracție

Noțiunea de fracție este introdusă spre studiu, după noua programă școlară, încă din clasa a II-a. Anterior se studiază elementele intuitive de geometrie și noțiunea de axă de simetrie, noțiuni foarte utile pentru predarea-învățarea noțiunii de fracție.

Prin studiul numerelor raționale, elevii își lărgesc considerabil orizontul matematic, își îmbogățesc conoștințele, își formează noi priceperi și deprinderi de calcul, se înarmează cu noi metode și procedee pentru efectuarea calculelor aritmetice. Foearte importantă este însușirea de către elevi a noțiunii de unitate fracționară (o parte luată din părțile mai mari în care am împărțit un număr întreg – obiect, imagine).

Având în vedere că la ciclul primar capacitățile elevilor de abstractizare și generalizare sunt încă nematurizate se recomandă ca acest studiu să fie realizat în mai multe etape sau faze cu momente prograsive și nuanțate din punct de vedere a metodicii și a materialului didactic folosit:

etapa de fracționare o unor obiecte concrete;

etapa de fracționare prin îndoire și dezdoire;

etapa de fracționare prin trasare;

etapa de fracționare a numerelor – etapă de generalizare și abstractizare.

Astfel, pentru a obține un sfert dintr-un măr împărțim (prin tăiere) mărul în patru părți de aceeaași mărime, pentru a obține un sfert dintr-un pătrat îndoim acest pătrat pentru a obține patru pătrate mai mici de aceeași mărime sau putem împărți pătratul în patru triunghiuri de aceeași mărime, în funcție de cerință. Acest lucru se poate derula practic în fața elevilor, după care fiecare elev din clasă poate poate aplica practic același procedeu.

Fig. 114

Încă din clasa a II-a elevii învață împărțirea la 2, respectiv la 4, programa prevede și însușirea noțiunilor de jumătate și sfert. Prin împărțirea prin 2 se înțelege micșorarea de două ori. Învățătorul poate proceda astfel: taie un măr în jumătate, pliază o figură geometrică cunoscută de către elevi după axa de simetrie (pătrat, dreptunghi), adresând întrebările: Câte părți am obținut?, Cum sunt cele două părți?. Elevii vor avea pe bănci figuri geometrice și vor proceda identic ca învățătorul.

Din aceste secvențe, elevii vor înțelege că pentru a obține o jumătate dintr-un întreg trebuie să-l împărțim în două părți egale. Activitatea continua și cu alte tipuri de obiecte (împărțirea unei mulțimi de 8 bețișoare în două submulțimi de câte 4 bețișoare). Simultan se introduce și noțiunea de jumătate, doime, noțiunea de unitate fracționară, cu simbolurile grafice corespunzătoare ½ . La fel se procedează și în cazul introducerii de sfert (pătrime).

De fiecare dată se evidențiază că:

o unitate fracționară este o parte din numărul de părți egale în care s-a împărțit un obiect, un număr;

o unitate fracționară este egală sau nu cu o altă unitate fracționară (prin comparare la început)dacă numărul de părți egale în care am împărțit întregul este același sau nu.

După clarificarea acestor elemenete se ca analiza simbolul grafic al unității fracționare – format din două numere suprapuse despărțite print-o linie – numărul de sub linie se numește numitor și arată în câte părți a fost împărțit întregul, linia poartă numele de linie de fracție, iar numărul de deasupra liniei de fracție se numește numărător și arată câte părți egale s-au luat din întreg.

Tot la clasa a II-a se compară cu . Cea mai simplă modalitate de predare a acestei noțiuni este folosirea ca suport material a două pătrate de aceeași dimensiune, de preferat să fie din hârtie de culori diferite. Unul dintre pătrate se va plia în două în două după axa de simatrie, pe verticală, iar celălalt pătrat se va plia în patru după cele două axe de simetrie verticală și orinzontală. Din primul pătrat se decupează o doime, se scrie pe tablă fracția corespunzătoare, iar din al doilea pătrat se vor decupa două pătrimi și se va suprapune peste doimea primului pătrat. Elevii vor observa că = .

Fig. 115

La clasa a II-a, în manuale, găsim exerciții de tipul:

1. Scrie fracția corespunzătoare fiecărei reprezentări. Fragmentul galben arată câte părți egale am luat dintr-un întreg.

Fig. 116

2. Notează fracția potrivită pe partea hașurată. Scrie apoi perechi de fracții egale.

Fig. 117

Începând cu clasa a III-a se vor efectua adunări și scăderi cu fracții cu același numitor. Introducerea operației de adunare se poate face în mai multe moduri, fiecare având obligatoriu un suport intuitiv. Figurile geometrice pot fi utilizate ca suport material în predarea adunării și scăderii fracțiilor cu același numitor. Elevii, sub îndrumarea cadrului didactic, pot mânui cu ușurință figuri geometrice confecționate din hârtie. De exemplu elevii pot avea pe bancă trei pătrate cu latura de 10 cm, din hârtie de diferite culori, le pliază după axa de simetrie pe orizontală, apoi pe verticală, astfel vor obține patru pătrate mai mici pe fiecare pătrat mare, pătratul mic reprezentând din pătratul inițial (dintr-un pătrat mare se obțin patru unități fracționare). Cu al doilea pătrat mare se procedează la fel. Decupează pătratele mici obținute din cele două pătrate mari. Prin suprapunere peste cel de-al treilea pătrat mare, elevii observă că + = . Exercițiile pot continua adunând diferite unități fracționare. La tablă cadrul didactic exemplifică ceea ce elevii realizează practic. De asemenea se pot lua da ca exemple și alte figuri geometrice, dreptunghi, cerc, care pot fi împărțite într-un număr egal de părți.

Fig. 118

+ =

Se concluzionează: se adună numărătorii celor doi termenii, iar suma este tot o fracție în care numărătorul reprezintă suma numărătorilor, iar numitorul rămâne același.

Figurile geometrice se folosesc în timpul acestor ore de matematică ca material didactic, deoarece sunt ușor de desenat pe tablă de către cadrul didactic, dar sunt ușor de desenat de către elevi pe caiete de matematică, reprezentând un suport intuitiv la îndemână.

În cazul operației de scădere se pot pargurge aproximativ aceleași etape prezentate anterior, utilizând un singur pătrat, care pentru început poate fi împărțit, pentru început, în 4 sau 8 părți egale. Din cele patru pătrimi se pot scădea trei pătrimi, elevii observă că vor rămâne cu o pătrime, insistându-se pe etapa concretizării și pe cea a generalizării.

Exercițiile cu ajutorul cărora se tratează aceste operații sunt de două categorii:

1. exerciții de adunare și de scădere a unutăților fracționare în care suma, diferența este formată dintr-o fracție subunitară;

2. exerciții de adunare și scădere a unităților fracționare în care suma, diferența este formată dintr-o fracție supraunitară.

III. 4. Elementele de geometrie în rezolvarea de probleme

Cu toată varietatea lor, problemele de matematică nu sunt independente, izolate, ci fiecare se încadreză intr-o anumită categorie, având același mod de organizare a judecăților, deci același raționament, în mintea copiilor se conturază schema de rezolvare, ce se fixează ca un algoritm sau semialgoritm de lucru, care se transferă și se aplică la fel ca regulile de calcul. Aflarea căii de rezolvare a unui probleme este mult ușurată în cazul în care elevul poate subsuma problema nouă unei categorii, unui tip determinant de probleme deja cunoscute. Această subsumare se face corect numai dacă elevul a înțeles particularitățile tipice ale categoriei respective, raționamentul rezolvării ei, dacă o poate descoperi și recunoaște în orice condiții concrete s-ar prezenta problema.

În cazul unor tipuri de probleme se folosesc elemente de geometrie pentru a reprezenta datele problemei, astfel desenul ajută în rezolvarea corectă a problemei. În această categorie se încadrează problemele care se rezolvă prin metoda figurativă (grafică). Pentru rezolvarea acestui tip de probleme elevii trebuie să realizeze un desen prin care sunt reprezentate daatele problemei și relațiile dintre acestea. Desenul este compus din segmente de diferite mărimi sau figuri geometrice care simbolizează obiectele din problemă. Rolul desenului (reprezentării grafice) este acela de a-l ajuta pe elev la ordonarea relațiilor și stabilirea operațiilor aritmetice corespunzătoare problemei.

Problemele care se rezolvă prin metoda figurativă pot fi împărțite astfel:

a) Cu date sau mărimi măsurabile câte una care pot pune în corespondență după anumite criterii. În acest caz mărimile la figurăm prin simboluri.

Exemplu: Dacă așezăm câte un elev în bancă ramân 6 elevi în picioare. Dacă așezăm câte doi elevi într-o bancă rămân 2 bănci libere.

Câți elevi și câte bănci sunt?

Pentru rezolvarea acestei probleme se vor reprezenta grafic: elevul printr-un cerculeț, banca – printr-un pătrat.

Fig. 119

6 elevi fără bancă

Se distribuie cei 6 elevi rămași în picioare, completând în fiecare bancă cu câte încă un elev și apoi se distribuie și cei 2 elevi pentru a rămâne două bănci libere.

Fig. 120

Rezolvare:

1. Câte bănci erau în clasă?

6 (completate inițial) + 2 ( completate prin redistribuire) + 2 (bănci libere)= 10 bănci

2. Câți elevi erau în clasă?

10 (bănci cu câte un elev) + 6 (elevi în picioare)= 16 elevi.

În acest caz s-au putut reprezenta grafic toate băncile și toți elevii, datele problemei fiind numere mici. Sunt situații în care datele problemei sunt reprezentate de numere mari, de ordinul zecilor, sutelor sau a miilor, în aceste cazuri desenul va fi mai schematic.

b) Cu date sau mărimi continui, caz în care figurăm prin segmente.

Exemplu: Două bucăți de sfofă au inițial aceeași lungime. Din prima bucată se vând 10 m, iar din a doua bucată se vând 23 m, în prima bucată a rămas de două ori mai multă stofă decât în a doua.

Câți metri de stofă erau inițial în fiecare bucată de stofă?

Pentru a rezolva corect această problemă elevii trebuie să cunoască noțiunile: de segment, segmente de aceeași lungime.

Rezolvare:

Fig. 121

10 m

23 m

13 m 13 m

Prima bucată de sfofă a avut: 13 x 2 + 10 = 36 (m).

A doua bucată de stofă a avut : 13 + 23 = 36 (m).

Tot în această categorie de probleme, probleme care se rezolvă prin metoda figurativă, intră problemele de aflare a două numere (mărimi) cunoscând suma sau diferența lor și raportul acestora, probleme de aflare a două numere cunoscând suma și diferența lor. De fiecare dată se reprezintă segmente conform datelor problemei, aceste elemente de geometrie ajută la rezolvarea problemei.

Grafice formate din segmente se folosesc și la problemele care se rezolvă prin metoda mersului invers (probleme de rest din rest).

III. 5. Elementele de geometrie la Limba și literatura română

Chiar de la clasa pregătitoare începe familiarizarea elevilor cu noțiunile de propoziție, cuvânt, silabă și sunet. Separarea propoziției din vorbire precum și a cuvintelor, silabelor, sunetelor are o mare importanță pentru însușirea conștientă a citirii și a scrierii.

Separarea propoziției din vorbire se poate realiza pornind de la o imagine ce poate fi intuită cu ajutorul întrebărilor adesate de învățător. După separarea propoziției și identificarea ei aceasta se reprezintă în scris printr-un segment. În această perioadă elevii nu cunosc noțiunea de segment, exprimarea va fi „Reprezentăm propoziția printr-o linie.”, un segment suficient de mare, deoarece următoarea etapă este aceea de numărare a cuvintelor din propoziția selectată, fiecare cuvânt la rândul lui se reprezinta printr-un segment mai mic care nu trebuie să depășească în lungime segmentul care reprezintă propoziția. Fiind în perioadă de început la clasa pregătitoare se aleg propoziții formare din două, trei cuvinte. După aceste etape urmează etapa despărțirii cuvintelor în silabe, care la rândul lor se reprezintă prin segmente, iar ultima etapă este aceea de identificare a sunetului din silabă. Sunetele se reprezintă în scris în această perioadă prin cerculețe. Etapele descrise mai sus se derulează pe parcursul mai multor ore.

Fig. 122

Elmentele de geometrie la Limba și literatura română se utilizeată în diferite tipuri de scheme, exerciții, de regulă se folosește dreptunghiul, numit de cele mai multe ori careu.

Exemple:

1. Găsește însușiri pentru cuvintele de mai jos.

Fig. 123

2. Completează cu silabele care lipsesc, pentru a obține cuvinte.

Fig. 124

ce ce ge

3. Descoperă cuvintele. Scrie-le.

Fig. 125

4. Scrie, în pătrate, semnele de punctuație potrivite.

Ieri m-am întâlnit cu un vechi prieten

Nu ne-am văzut de mult mi-a spus el

De ce nu m-ai căutat am întrebat eu nerăbdător

Învățătura și examenele mi-au ocupat tot timpul De acum voi fi mai liber

Oare câți ani au trecut de când nu ne-am mai văzut am insistat eu

Cred că mai bine de unsprezece ani amice

5. Completează cu sa ori s-a.

Alexandra dus la colega . După ce uitat fiecare pe cartea , s-au jucat în grădină. Corina jucat cu pisica , iar Alexandra îndreptat spre casa . Mama bucurat când a văzut-o.

Astfel de exerciții se găsesc cu precădere în auxiliare după care se lucrează la clasă, pe fișele de lucru sau fișele de evaluare. Aceste exerciții sunt atractive pentru elevii claselor primare, sunt explicite și îi ajută să-și însușească corect noțiunile de ortografie, punctuație.

Tabelele sunt foarte utile în lecțiile de la clasele a III-a și a IV-a când începe studiul noțiunilor de gramatică, adică a părților de vorbire și a părților de propoziție. Cu ajutorul aceestor exerciții se folosește la maxim timpul didactic, se consolidează noțiunile de gramatică.

Exemple:

1. Identificați substantivele comune din textul de mai jos, apoi analizează-le, completând tabelul.

„Căsuța se afla la marginea pădurii. Noaptea, în lumina lunii, totul era minunat. Jivinele dumbrăvii ajungeau uneori până la gardul căsuței.”

(Dumbrava minunată, Mihail Sadoveanu)

Fig. 126

2. Analizați, cu ajutorul tabelului, cuvintele subliniate:

Ele nu se hotărau asupra florilor. Carmen ar fi cumpărat cinci trandafiri înfocați. Diana voia trei crini argintii sau un buchețel de mărgăritare. Noi le-am recomandat zambile albe și garoafe. În final s-a optat pentru orhidee.

Fig. 127

Astfel de exerciții se aplică și în cazul celorlalte părți de vorbise care se studiază în ciclul primar: adjectiv, pronume, numeral, verb.

Studiul limbii române ne trebuie conceput numai ca știință de reguli, forme, construcții sau categorii de cuvinte, ci ca o artă a folosirii lor.

În clasele primare un accent deosebit în timpul orelor de literatură se pune pe creație, pe scrierea după imaginație, alcătuirea unui text, a unei compuneri. În volumul de povestiri „Recreația mare” al lui Mircea Sântimbreanu găsim și povestirea „Ce grea e geometria”, care poate fi abordată ca lectură suplimentară la clasele a III-a sau a IV-a. Scrierea este una amuzantă, cu o morală bine conturată. Plecând de la această lectură și nu numai, elevii pot creea compuneri cu temă dată: Lumea figurilor geometrice, Lumea fără forme, Cercul și poligoanele și alte titluri. Tot aici se încadrează compunerile după o ilustrație sau un șir de ilustrații, compunerea după un plan de idei, compunerea pe baza unor cuvinte de sprijin, compunerea cu început dat. Bineînțeles în toate cazurile se pleacă de la tema de bază- figuri și corpuri geometrice. Ca în cazul tuturor temelor abordate în scrierea creativă se urmăresc mai multe obiective: exprimarea în scris, redactarea corectă a unor texte, realizarea acordurilor gramaticale, așezarea corectă a textului în pagina caietului.

III.6. Elementele de geometrie în cadrul ariei curriculare Arte și tehnologii

Elevii claselor P-IV trebuie să-și însușească cunoștințe fundamentale pornind de la observarea obiectelor din realitatea cunoscută și accesibilă lor, să-și formeze imagini clare și bine conturate asupra figurilor geometrice și completarea acestor imagini cu noțiuni elementare, care să constituie un suport pentru predarea în clasele următoare a cursului sistematic de geometrie și o bază pentru dezvoltarea raționamentului.

Geometria vine să răspundă nevoilor de dezvoltare a personalității elevilor prin formarea de capacități, competențe și atitudini bazate pe gândirea critică, logică, divergentă și creativă.

Geometria nu este doar o ramură a matematicii, sau reguli sau capcane care trebuie rezolvate și învățate pentru că așa prevede programa școlară, ci poate fi și o disciplină atractivă. Elevii trebuie convinși că geometria nu este grea. Vom reuși acest lucru dacă acele cunoștințe, deprinderi, pricepeperi pe care elevii și le-au însușit în cadrul orelor de matematică sunt aplicate și la celelalte disciplice, chiar sub formă de joc. Astfel în timpul orelor de Arte vizuale și lucru manual din clasele pregătitoare, I și a II-a se pot modela din plastilină corpurile geometrice studiate, se pot costrui din hârtie diferite figurine sau colaje. De asemenea se pot utiliza și alte materiale, fie materiale naturale sau sintetice.

Exemple:

●Să ne jucăm cu figurile geometrice învățate: Căsuța este un dreptunghi mare peste care așez un triunghi pentru acoperiș, fixez două pătrate pentru gemulețe și un dreptunghi în picioare pentru ușă și e gata.

Căsuța se poate realiza din hârtie glasse la ora de Arte vizuale și lucru manual (clasa pregătioare, clasa I) sau figurile geometrice pot fi imprimate pe hârtie colorată, elevii doar le decupează pentru a realiza colajul. Lucrarea poate fi completat cu un brăduț alcătuit din triunghiuri de diferite mărimi și un dreptunghi. Colajul poate fi completat și cu alte elemente decorative.

Fig. 128

Acesta este un model foarte simplu care se poate realiza cu ajutorul figurilor geometrice.

Jucăriile din hârtie au reprezentat mereu o atracție pentru copii și au o satisfacție deosebită în a le realiza. Meteriale necesare sunt câteva coli de hârtie diferit colorată și o monetă de cincizeci de bani. Pe hârtie copiii conturează moneda de mai multe ori, decupează apoi construiesc jucăriile respectând indicațiile cadrului didactic. Aceste jucării se pot realiza și din alte materiale. Pot fi și obiecte decorative pentru sala de clasă sau camera lor.

Fig. 129

Vaza cu flori din cercuri pliate este o lucrare care se poate realiza cu elevii din clasele primare mici. Fig. 130

Pătratul magic sau Jocul celor șapte figuri este o tehnică de lucru de origine japoneză, cu ajutorul căreia pot fi realizate imagini stilizate ale unor obiecte reale, prin combinarea celor șapte figuri numite și tanuri. Tangram este una dintre modalitățile cele mai atractive de antrenare a operațiilor gândirii de ordin superior. Cu cele 7 piese ale tangramului se pot construi peste 1600 de imagini. Regulile ce stau la baza acestei tehnici sunt următoarele: se folosesc toate figurile geometrice ale pătratului din figura creată, acestea au voie să se atingă, dar nu să se suprapună. Această tehnică poate fi aplicată la toate clasele primare, cu mențiunea că la clasele a III-a și a IV-a figurile care alcătuiesc pătratul Tangram poate fi construit de elevi sub îndrumarea cadrului didactic.

Fig. 131

Tehnica Origami este tehnica împăturirii hârtiei. Există multe stiluri de origami, acestea pornind de la cele mai simple compoziții până la compoziții extraordinar de complexe, alcătuite din mai multe unități origami pentru a forma un poliedru, precum și reprezentări formate din două sau mai multe coli de hârtie. Cu toate aceste multe forme de abordare, cele mai simple forme de origami sunt modelele formate dintr-un pătrat de hârtie, fără a utiliza lipiciul. Se pot folosi diferite feluri de hârtie, de la cea subțire la cea groasă, precum și hârtia velină a revistelor sau hârtia de împachetat. Practica artei origami stimulează gândirea și fantezia, dezvoltă simțul tactil, adâncește intuiția despre forma esențială conținută într-un obiect, obiectele fiind simplificate până la câteva trăsături definitorii.

Arta origami a fost introdusă în Europa în secolul al XII-lea, primind cu timpul o formă distinctă de cea tradițională japoneză. Dar, la început, această artă nu a fost primită cu același entuziasm cu care au îmbrățișat-o japonezii.

Și în Spania a existat o formă a artei plierii hârtiei. În timpul invaziei arabe din secolul al VIII-lea, maurii au adus secretul fabricării hârtiei în Spania. Musulmani fiind, religia le interzicea maurilor crearea de simboluri religioase. Dar, aceștia au folosit plierea hârtiei în studierea geometriei și astronomiei. După ce maurii au fost alungați din Spania, în anul 1492, tradiția plierii hârtiei a supraviețuit. În timpul Inchiziției, spaniolii au realizat mai mult decât forme geometrice din hârtie, ei punând bazele unei arte numite papiroflexia, artă populară în Spania și Argentina chiar și în zilele noastre. De exemplu, poetul și filosoful Miguel de Unamuno (1864-1936) a creat modele din hârtie originale, incluzând o gorilă, un ceainic și un vultur. În anul 1902, el a scris un eseu comic intitulat “Amor y pedagogia” (“Iubire și pedagogie”) care includea și o prezentare a modului de a plia hârtia.

Partea pedagogică a artei origami a fost influențată, în anul 1850, de concepțiile învățatului Friederich Wilhelm August Fröbel (1782-1852), care a dezvoltat noi metode de folosirea a artei origami ca produs educațional. Arta plierii hârtiei făcea parte, în grădinițe, din programul de învățare prin joacă. Fröbel credea că scopul educației era să demonstreze unitatea universului printr-un set de activități simbolice care să promoveze cooperarea și nu competiția, studiul naturii, lucrul manual. În origami el a văzut una din căile de a-și pune în practică teoria.

În clasele primare această tehnică se poate aplica începând cu confecționarea obiectelor simple: barca, avionul, coiful etc.

Exemplu:

Punctul ca element de limbaj plastic

Punctul este un semn grafic, cunoscut drept cea mai mică urmă lăsată pe hârtie , carton, pânză de diverse instrumente. El este definit ca formă plană sau spațială cu dimensiuni mult reduse în raport cu mărimea suportului. Poate fi semn de punctuație, o notă muzicală, un punct cardinal, punct tipografic, punnct de plecare, un loc de intersecție.

Punctele pot fi și figurile geometrice de bază, cu dimensiuni foarte mici, cum sunt cercul, triunghiul, pătratului.

În artele vizuale, cu ajutorul punctului elaborat se poate desena și construi, deoarece capătă diverse ipostaze când este folosit în scopuri bine definite.

a) Ca semn plastic, punctul este o imagine elaborată, care exprimă ceva concret, în concordanță cu ideile șo sentimentele de care este animat autorul în momentul creației. Poate reprezenta elemente figurative cum ar fi: flori, frunze, stele pe cer, albine în jurul florilor, luminile orașului, fulgi de zăpadă, nasturii hainelor etc.

Totodată, punctele pot anima o suprafață și atunci când sunt redate ca elemente abstracte sub diverse forme oarecare sau a celor geometrice cunoscute.

b) Ca mijloc de exprimare, punctul și grupările de puncte devin elemente constructive care redau volumul, efectul de spațiu, textura, umbra și lumina etc. Toate aceste expresivități por fi evidențiate prin: mărimea și densitatea punctelor (efectul mare-mic, aerat-agromerat), valoare și culoare (efectul închis-deschis, lumină-umbră), sensuri ale aranjării pe suport (orizontal, verical, obilc, frânt, curb, circular, ascendent, descendent, paralel, concentric). Drept exemple pot fi: Spicele de grâu, Buburuzele, Aripile de fluture, Picăturile de ploaie pe geam, Cârduri de cocori, Luminile orașului, Pomi înfloriți.

c) Ca ornament decorativ, punctul și grupurile de puncte au rolul de a înfrumuseța, de a ornamenta vestimentația, vasele de caramică, imprimeurile textile.

Linia ca element de limbaj artistico-plastic

Linia este urma lăsată de un punct de mișcare. În arte plastice ea oferă posibilități de exprimare grafică, fiind semn și simbol, cu expresivități și semnificații distincte. Linia-semn servește comunicării, sugerează idei, redă elemente din natură, indică un lucru sau poate reprezenta ceva, are darul de a accentua caracteristicile obiectelor desenate.

În desen, linia deține triplu rol:

constructiv, deeoarece sugerează forma, volumul, materialitatea și chiar culoarea;

figurativ, pentru că devine semn plastic sau formp cu diverse semnificații;

expresiv, datorat conținutul semantic al desenului obținut prin mișcare, ritm, contrast.

În desenul copiilor, linia de contur povestește și ia în stăpânire spațiul. De la linia orizontului, care separă net cerul de pământ, până la case, oameni, pomi, nori, păsări, animale, soare, totul este conturat cu o linie neagră sau o culoare preferată. Cele mai utile teme sunt: Familia mea, Vacanța, Prietenii, La bunici, Jucăriile preferate, Un animal îndrăgit.

III.7. Elementele de geometrie în cadrul ariei curriculare Om și societate

În cadrul ariei curriculare Om și societate se studiază începând cu clasa a IV-a două discipline de învățământ: Geografie și Istorie.

Dintre conținuturile învățării menționăm: elemente de geografie a orizontului apropiat și local. În cadrul acestor conținuturi se studiază orizontul apropiat, sala de clasă, școala, cartierul, localitatea, orientarea în orizontul apropiat, planul clasei, al școlii, planul locuinței, al cartierului și al localității. (Aplicarea unor elemente și operații matematice minime în înțelegerea unor situații reale observate

– măsurarea distanțelor în clasă, în școală, în orizontul local și apropiat cu instrumente de măsură adecvate (riglă, ruletă, compas etc., exprimate în unități standard și nonstandard);

– utilizarea scării de proporție;

– realizarea unor planuri simple ale clasei și ale școlii, utilizând forme geometrice simple;

– calcularea unor arii ale figurilor geometrice care au corespondent în realitate;

– calcularea unor distanțe pe hărți la scări diferite.)

Pentru a putea desena planul clasei sunt necesare cunoștințe despre elemente de geometrie, deoarece se face apel la aceste noțiuni care reprezintă simboluri pentru obiectele din sala de clasă, de fapt elementele de geometrie reprezintă simboluri pentru reprezentarea obiectelor necesare oricăriu tip de plan.

Planul este un desen prin care se reprezintă obiectele din natură mult micșorate. Pentru realizarea planului clasei este necesar să se stabilească cele patru puncte cardinale, locul ușii, al ferestrelor, al băncilor, al catedrei și al altor obiecte de mobilier din sala de clasă. Se măsoară toate aceste obiecte, se notează. Se măsoară și lungimea, respectiv lățimea clasei. Pentru ușurarea muncii șe folosește foaia caietului de matematică, stabilind că 1 metru din realitate va fi cât latura unui pătrat.

Fig. 133

Învățătorul desenează planul clasei la tablă, iar elevii pe caiete, respectând întocmai indicațiiile. Pornind de la acest model, elevii pot desena și planul școlii, a propriei camere, al cartierului.

Istoria, ca disciplină de învățământ, se studiază începând cu clasa a IV-a. Forma actuală a programei își propune să contribuie la recâștigarea interesului elevilor față de cunoașterea trecutului prin:

propunerea unui traseu de învățare în care elevii fac cunoștință cu trecutul pornind de la situații familiare (aspecte care țin de istoria locală sau de teme privitoare la copilăria în trecut și astăzi) urmate de cele care se află la mai mare distanță în timp și spațiu;

adecvarea obiectivelor cadru la etapa de școlaritate pe care o reprezintă învățământul primar;

o diversificare a activităților de învățare și o creștere a ponderii acestora în programă.

O situație familiară cunoscută elevilor este familia și structura acestei. În acest sens la această disciplină se întocmește a arborele genealogic al familieie din care elevul face peate. În acest sens se apelează la scheme construite din dreptunghiuri, ăn care sunt trecuți cronilogic membrii familiei.

Schemele compuse din figuri geometrice (dreptunghiuri, pătrate) ajută elevii să înțeleagă mai ușor timpul istoric, evenimentele dintr-o anumită perioadă istorică.

Elementele intuitive de geometrie sunt utilizate și în celelalte discipline de învățământ, ele ajută elevii și cadrele didactce să-și organizeze mai bine informațiile, conținuturile sau pot fi îmbinate pentru a construi obiecte decorative.

Capitolul IV

Elemente intuitive de geometrie-auxiliar pentru clasele a III-a și a IV-a

IV.1. Elemente intuitive de geometrie – clasa a III-a

A. Localizarea unor obiecte

Precizează câte linii și câte coloane are tabelul.

Fig. 134

Colorează:

cu roșu spațiul din coloana a treia, linia a doua;

cu albastru spațiul din coloana a cincea, linia a cincea.

Poziționează figurile geometrice de mai jos în rețeaua dată:

Fig. 135

Se dă următoarea rețea de formă pătrată:

Fig. 136

Patru copii au colecționat scoici: Paula 20, Aurelian 100, Cosmin 60, Mihai 40. Reprezintă în tabel, sub formă de dreptunghi, numărul de scoici colecționat de fiecare copil. Colorează diferit spațiul corespunzător numărului de scoici colecționat de fiecare copil.

Fig. 137

Unde se află fiecare desen?

Fig. 138

Poziționează bulinele colorate pe jocul țintar astfel:

B. Punct, dreaptă, linie frântă, linie curbă, segment, unghi

7. Notează corespunzător:

Fig. 139

8. Ce formează o linie frântă închisă? ………………………………………

9. Desenează, în spațiul, de mai jos o linie frântă închisă formată din 6 segmente, apoi noteaz-o corespunzător figura obținută.

10. Se dă pătratul ABCD. Desenează o dreaptă care să treacă prin vârful D.

Fig. 140 A D

B C

11. Se dă următorul desen. Scrie toate segmentele care se formează.

Fig. 141 A C D B

Dacă segmentele au AB= 12 cm, AC=5 cm, atunci segmentul CB are …………………. cm.

12. Un biciclist parcurge următorul traseu, prezentat în figura de mai jos.

Câți km pargurge biciclistul dacă: AB= 7 km, BC= 9 km, CD= 17 km și DE= 2 km?

Fig. 142

.

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

13. Desenați o linie curbă închisă. În interiorul ei desenați o linie frântă închisă formată din trei segmente, iar în exteriorul liniei curbe închise desenați la dreapta un segment și la stânga un punct.

14. Care este cel mai scurt drum între punctele A și B? Argumentați.

Fig. 143

A B

15. Notează corespunzător unghiurile, apoi numește-le.

Fig. 144

16. Câte unghiuri se formează în figura de mai jos?

Fig. 145 A F E

O

B C D

17. Observă cu atenție figurile geometrice de mai jos.

Fig. 146

Prin ce se aseamănă aceste figuri geometrice?

……………………………………………………………………………………………………………………………………

18. Analizează unghiurile din figura de mai jos.

a) Identifică, folosind echerul, unghiurile drepte. Notează-le pe spațiul de mai jos.

…………………………………………………………………………………………………………………………

b) Precizeză care sunt unghiurile ascuțite, folosind modelul de unghi ascuțit confecționat din folie transparentă.

Fig. 147 A D G P Z

M

B N X Y

C E F H I

19. Folosiți două creioane pentru:

a) a forma un unghi drept;

b) a forma un unghi ascuțit;

c) a forma un unghi obtuz.

20. Desenați între punctele marcate un unghi ascuțit cu vârful în punctul A, numiți unghiul format.

Fig. 148 B

A Răspuns:…………………………………………………….

C

21. Se consideră o dreaptă, ca în figura de mai jos, pe care s-au marcat punctele A, B, C și punctul O în afara dreptei.

Câte unghiuri puteți construi? Numiți-le!

Fig. 149

A B C

O

C. Poligoane: pătrat, dreptunghi, triunghi

Se dau următoarele figuri geometrice:

Fig. 150

Grupați figurile după următoarele criterii:

numărul de unghiuri ………………………………………………………………………………………….

numărul de laturi. …………………………………………………………………………………………….

Continuați șirul cu încă 5 figuri geometrice.

Fig. 151

………………………………………………………

Folosește rigla și măsoară laturile triunghiului. Ce concluzie tragi?

Fig. 152 A

B C

Ai la dispoziție 5 bețișoare. Construiește cu ele două triunghiuri. Poți construi 8 triunghiuri din 16 bețițoare?

Află perimetrul pentru:

un triunghi echilateral cu latura de 3 cm;

un triunghi isoscel cu AB=AC=10 cm și BC= 12 cm;

un tringhi oarecare cu DE=6 cm, EF=7 cm, DF=8 cm.

Perimetrul unui triunghi echilateral este cu 8 cm mai mare decât latura.

Cât este latura triunghiului? Dar perimetrul?

Câte triunghiuri sunt în fiecare din figurile de mai jos? Identifică-le și notează-le pe fiecare. A

Fig. 153

B D E F C

8. Perimetrul unui triunghi oarecare este de 21 cm. Află dimensiunea fiecărei laturi știind că lungimile laturilor sunt numere naturale consecutive. (Rezolvați problema în două moduri.)

10. Construiți simetricele figurilor de mai jos.

Fig. 155

11. Câte pătrate sunt în figura alăturată?

Fig. 156

12. Desenează un pătrat cu latura de 1 cm, la exteriotul acestuia, dar încadrându-l în mijoc, desenează un pătrat cu latura de 2 cm. Repetă operația până la un pătrat cu latura de 4 cm. Folosește-te de rețeaua caietului de matematică.

13. Află perimetrul unui pătrat cu latura de 5 cm.

14. Perimetrul unui pătrat este de 28 cm. Cât este latura?

15. Câte pătrate lipsesc din desenul de mai jos?

Fig. 157

Răspuns:……………………………….

16. Trasează axa de simetrie:

pe orizontală b) pe verticală c) oblic

Fig. 158 Fig. 159 Fig. 160

Precizează ce figuri geometrice noi se formează de fiecare dată. Câte axe de simetrie are pătratul?

17. Perimetrul unui pătrat este cu 15 cm mai mare decât latura.

Ce dimensiune are latura? Cât este perimetrul pătratului?

18. Construiește patru pătrate folosind 12 bețișoare (segmente). Repetă operația utilizând 13 bețișoare, apoi 14 bețișoare.

19. Grădina bunicului are formă de pătrat, având latura de 20 m.

Câți metri de sârmă sunt necesari pentru a înconjura grădina cu patru rânduri de sârmă?

20.Unchiul lui Matei are o grădină în formă de pătrat cu latura de 30 m. El plantează pe fiecare latură pomi din 3 în 3 metri.

De câți pomi are nevoie Matei?

21. Dacă mărrim cu 6 m latura unui pătrat, atunci obținem un număr cu 4 mai mic decât semiperimetrul pătratului. Aflați latura și perimetrul pătratului.

22. Patru frați împart o ciocolattă și fiecare primește câte 9 pătrățele. Știind că la început ciocolata avea formă de pătrat, află câte pătrățele mici avea latura ciocolatei.

23. Pătratul SUDOKU. Completează pătrățelele libere, astfel încât fiecare rând, coloană sau regiune să conțină o singură dată cifrele de la 1 la 9.

Fig. 161

24. Din câte bețișoare care au lungimi egale poți construi un dreptunghi? Argumentează.

4 b) 6 c) 8

25. Câte dreptunghiuri s-au format în interriorul dreptunghiului mare?

Fig. 162 Răspuns: ………………..

26. Desenați un dreptunghi cu următoarele dimensiuni: L= 10 cm și l= 6 cm. Trasează axa de simetrie a dreptunghiului. Ce ai obținut?

27. Enumerați dreptunghiurile care pot fi puse în evidență în figura de mai jos.

Fig. 163 A J I H D

K L M N G

B O P C

28. Lungimea camerei Mariei este de 4 m, iar lățimea este de 3 m. Care este perimetrul camerei?

29. Semiperimetrul unui dreptunghi este 100 m. Aflați dimensiunile laturilor dreptunghiului, știind că lungimea este de 4 ori mai mare decât lățimea.

30. Perimetrul unui dreptunghi este 240 m. Află măsura laturilor, știind că jumătatea lățimii este egală cu sfertul lungimii.

31. Suma dintre măsurile lățimii și lungimii unui dreptunghi este 28 cm, iar diferența celor două măsuri este de 14 cm.

Cât este perimetrul?

32. Laturile unui dreptunghi au măsura egală cu două numere consecutive impare mai mici decât 10, dar mai mari decât 6. Perimetrul este ………………………………………………………. .

33. Dintr-o bucată de pânză roșie dreptunghiulară cu lungimea de 72 cm și lățimea de 64 cm s-au tăiat eșarfe cu lățimea de 8 cm.

Cum trebuie tăiată pânza pentru a avea cel mai mare număr de eșarfe și ce lungime vor avea ele?

34. Dintr-o bucată dreptunghiulară de pânză albastră cu lungimea de 40 cm și lățimea de 15 cm se taie un triunghi de pânză cu laturile de lungimi egale cu lățimea dreptunghiului, așa cum se arată în desenul de mai jos, pentru a confecționa un fanion. Pe marginea bucății rămase se prinde o bentință subțire pentru a nu se destrăma materialul.

Ce lungime are bentița?

Fig. 164

15 cm

15 cm

40 cm

35. În desenul alăturat sunt reprezentate schematic două terenuri. Suma perimetrelor celor două terenuri este 2880 m. Fig. 165

Știind că perimetrul terenului triunghiular E D

Este jumătate față de cel dreptunghiular, iar lungimea

Terenului dreptunghiular este egală cu dublul laturii BD,

Află dimensiunile dreptunghiului ABDE. A B C

Rezolvare:

D. Cercul

1. Calculați produsul numerelor care se găsesc la intersecția dintre două cercuri.

Fig. 166

2. Uniți cu ajutorul segmentelor punctele înscrise pe cerc.

Fig. 167

3. Continuă șirul de mărgele cu încă 12 elemente.

Fig. 168

4. Se dă desenul: Fig. 169

Diametrul cercului este 4 cm. A O D

Află perimetrul pătratului.

B C

5. Construiește cu ajutorul a trei cercuri, de mărimi diferite, un om de zăpadă. Căciula să fie un dreptunghi, ochii două cercuri foarte mici, nasul un triunghi, iar gura un arc de cerc.

6. Adevărat sau fals?

Fig. 170

* desenul are 2 cercuri și 4 triunghiuri adevărat / fals

* desenul are 3 cercuri și 2 pătrate adevărat / fals

* desenul are 4 cercuri și 1 dreptunghi adevărat / fals

* desenul are 2 triunghiuri și 9 cercuri adevărat / fals

* desenul are 1 părtat și 6 cercuri adevărat / fals.

E. Forme spațiale

1. Scrie cu ce corp geometric seamănă fiecare imagine.

Fig. 171

2. Completează tabelul:

Fig. 172

3. Cubul are: ……………. fețe în formă de …………..;

……………. vârfuri;

……………. muchii egale.

4. Câte cuburi lipsesc din construcția de mai jos?

Fig. 173 Răspuns: ……………………………

5. De câte cuburi cu latura de 2 cm sunt necesare pentru a compune un cub mai mare cu latura de 6 cm?

6. Se dă figura următoare. Poți construi cu ea un cub? Motivează.

Fig. 174

7. Clopoței în formă de con!

Desenează un cerc cu diametru de 10 cm. Decupează cercul și pliază-l pe jumătate, apoi răsucește și lipește marginile diametrului.

Fig. 175

8. Completează:

Baza unui con este întotdeauna în formă de …………….. .

Conul are ……………. vârf, baza un ………….. .

9. Ce nu se potrivește? De ce?

Fig. 176 a) b) c) d)

10. Un zid construit din cărămizi în formă de cub s-a spart. Precizează câte cărămizi lipsesc.

Fig. 177

11. Camelia a așezat pe nisip un cub, un cilindru și un cuboid.

Ce urmă a lăsat în nisip fiecare corp geometric?

12. Pentru carnaval s-au pregătit 380 cuburi de gheață. Dacă 135 de cuburi s-au topit, iar restul s-au folosit, află câte cuburi de gheață au răcorit sucurile.

Rezolvare:

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

IV.2. Elemente intuitive de geometrie – clasa a IV-a

A. Localizări ale obiectelor

1. Victor se pregătește pentru un concurs de matemetică rezolvând săptămânal minim 30 de probleme, după cum urmează:

Fig. 178

Utilizând datele din tabel, răspunde următoarelor cerințe:

a) Câte probleme a rezolvat în total? ……………………………………………………………………………….

b) Care au fost cele mai productive săptămâni? ………………………………………………………………..

c) În ce săptămâni a efectuat un număr „rotund” de probleme? ………………………………………….

2. În diagrama următoare sunt reprezentate calificativele obținute de elevii din învățământul primar. Analizează graficul și calculează câte calificative de BINE au primit în total elevii claselor primare. (Pe verticală sunt reprezentați numărul de elevi.)

Fig. 179

3. Observă desenul de mai jos.

Fig. 180 1 2 4 5 6 7

3

Care din figurile de mai jos sunt patrulatere? Încercuiește litera corespunzătoare:

a) 1, 2, 3, 5; b) 2, 6, 4, 7; c) 2, 5, 6, 7 d) 1, 4, 5, 6.

4. Încercuiește din steluțe.

Fig. 181

5. În graficul de mai jos sunt prezentate temperaturile înregistrate pe parcursul unui săptămâni din luna iulie, 2015.

Fig. 182

a) În ce s-a înregistrat cea mai ridicată temperatură?

b) Care este temperatura medie a săptămânii?

6. Poziționează o floare la B5, un norișor la F4, un triunghi la E1 și un pătrat le C2.

Fig. 183

B. Punctul. Dreapta. Semidreapta. Segmentul. Linia frântă. Linia curbă

1. Care din afirmațiile de mai jos sunt adevărate și care sunt false:

a) dreptele a și b se intersectează într-un punct;

b) dreptele a și b sunt paralele.

Fig. 184

a b

2. Să se afle lungimile segmentelor AB, BC și CD știind că:

a) suma celor trei segmente este 385 cm;

b) BC este triplul segmentului AB;

c) CD este cu 25 cm mai mic decât suma lungimilor celorlalte segmente.

3. Precizează perechile de drepte paralele din figura de mai jos.

Fig. 185 a c d f m

b e

g

4. Matei desenează o dreaptă și fixează pe ea patru puncte M, N, P și Q.

a) Câte semidrepte a obținut?

b) Câte segmente a obținut?

5. O albină zboară din floare în floare parcurgând traseul AG. Știind că unui centimetru de desen îi corespunde un metru din natură, calculează câți metri a parcurs albina.

Fig. 186

B C E

G

6. Desenează o linie frântă deschisă formată din următoarele segmente:

AB = 3 cm (poziție verticală); BC = 5 cm (poziție orizontală);

CD = 4 cm (poziție oblică); DE = 2 cm (poziție orizontală).

7. Să se determine ce lungime au segmentele AB, BC și CD, știind că dacă mărim cu 10 cm segmentul AB și cu 7 cm segmentul BC obținem trei segmente care au aceeași lungime (trei segmente congruente), a căror sumă este 144 cm.

Ce sumă au lungimile segmentelor inițiale?

8. O linie frântă închisă MNOPR are suma mărimilor segmentelor de 35 cm. Calculează dimensiunea fiecărui segment știind că ele reprezintă numere consecutive.

9. Ce instrumente utilizezi pentru a trasa drepte paralele?

10. Trasează drepte perpendiculare din punctele exterioare dreptei d pe aceasta.

Fig. 187 x A

x B

x C

d

x D

10. Notați trei puncte discincte A, B și C necoliniare (care nu se află pe aceeași dreaptă). Trasați segmente între cele trei puncte.

Câte segmente ați obținut? Notați-le.

C. Unghiul

1. Dați exemple de unghiuri ale căror laturi se află pe obiecte concrete.

2. Care dintre afirmațiile următoare sunt adevărate și care sunt false:

a) laturile unui unghi sunt segmente;

b) mărimea unui unghi depinde de lungimea segmentelor;

c) mărimea unui unghi depinde de deschiderea dintre laturile sale;

d) laturile unui unghi sunt două semidrepte.

3. Desenați două drepte concurente într-un punct O și apoi notați unghiurile care se formează.

4. Notați cu numere unghiurile care se formează în figura de mai jos.

Câte unghiuri ascuțite și câte unghiuri obtuze ai găsit?

Răspuns: …………………………………….

Fig. 188

5. Dintr-un punct A se duc patru segmente. Câte unghiuri se formează?

6. Scrie AOB ca sumă de alte unghiuri.

Fig. 189 D

E B

O

A C

D. Poligoane

Triunghiul

1. Privește cu atenție următorul desen și identifică triunghiurile desenate, apoi notează-le. A E D Răspuns:

Fig. 190

B C

2. Folosind trei bețișoare de aceeași lungime, ce triunghi poți forma?

3. Perimetrul unui triunghi oarecare este 369 m. Știind că toate laturile triunghiului au măsura egală cu numere impare consecutive, aflați dimensiunea fiecărei laturi. (Aflați în două moduri.)

4. Dacă ABC este un triunghi isoscel cu perimetrul de 64 m, cu AB=AC și BC este cu 4 m mai mare decât AB, calculează măsura fiecărei laturi.

5. Într-un triunghi isoscel, baza este jumătate din măsura laturii MN. Știind că MN=MP și perimetrul triunghiului MNP este cel mai mic număr de trei cifre, aflați dimensiunea fiecărei laturi.

6. Dacă laturii unui triunghi echlateral i-am adăuga 36 m și apoi încă o doime din ea am obține din perimetru.

Câți metri are latura triunghiului, dar perimetrul?

7. Rezolvă următoarele exerciții pentru a afla măsurile laturilor unui triunghi oarecare.

2 + 5 x 7 – 3x 10 : 10 + 6 = (cm)

48 + 56 – 12 x 6 = (cm)

75: 5 + 225 : 15 = (cm).

8. Într-un triunghi dreptunghic laturile care formează unghiul drept sunt congruente, iar latura opusă unghiului drept este de 4 ori mai mare decât una din celelalte laturi.

Ce dimensiuni au laturile, dacă perimetrul triunghiului este 120 cm?

9. Perimetrul unui triunghi oarecare este 32 m. Știind că latura AB este cu 5 m mai mare decât latura BC, care este la rândul ei cu 3 m mai mică AC, află mărimea fiecărei laturi.

10. Câte triunghiuri sunt în figura de mai jos?

Fig. 191

Paralelogramul. Dreptunghiul

11. Decupați din hârtie două triunghiuri ca în desenul de mai jos și lipiți-le pentru a obține un paralelogram.

Fig. 192

12. Construiește din 6 bețe de chibrit un paralelogram.

13. Un teren agricol are perimetrul de 100 dam. Între laturile consecutive există următoarea relație, una este triplul celeilalte.

Ce dimensiune are în metri fiecare latură? (Poți calcula în două moduri.)

14. Paralelogramul ABCD are laturile AB= 3 x p și BC= 5 x p. Știind că o parte are 3 cm, află laturile apoi perimetrul paralelogramului.

15. Care dintre următoarele enunțuri sunt adevărate și care sunt false?

a) Dreptunghiul este un patrulater regulat.

b) Dreptunghiul are toate laturile egale.

c) Dreptunghiul are două axe de simetrie.

d) Diagonalele dreptunghiului sunt axa de simetrie.

e) dreptunghiul este patrulaterul cu un unghi drept.

16. Privește cu atenție figura următoare:

Fig. 193 A E H D

B F G C

Perimetrul PABCD = 180 m, lățimea dreptunghiului este o trieme din lungime, iar punctele E și H, respectiv F și G împart laturile AD, respectiv BC în trei segmente egale. Aflați perimetrul patrulaterului ABFE și a dreptunghiului ABGH.

17. Bunicul lui Florin își împrejmuiește terenul în formă dreptunghiulară cu trei rânduri de sârmă, lungimea dreptunghiului fiind 360 m, iar lățimea un sfert din lungime.

De câți metri de sârmă are nevoie bunicul lui Florin?

18. Poate exista un dreptunghi cu lungimea egală cu 300 dm și lățimea egală cu 30000 mm.

19. Într-o livadă în formă dreptunghiulară se plantează cireși din 4 în 4 metri, în rânduri paralele cu lungimea.

Câți pomi s-au plantat dacă lungimea este de 100 m și lățimea are 60 m?

20. Află perimetrul unui dreptunghi, știind că lungimea reprezintă din 160 m, iar lățimea este din 20 m.

21. Într-un dreptunghi lungimea este cu 40 cm mai mare decât lățimea care măsoară din 100 cm. Află semiperimetrul dreptunghiului.

22. Dimensiunile unui dreptunghi sunt numere pare consecutive. Află aceste dimensiuni dacă P= 308 cm.

23. Mă gândesc la un număr, din el scad 5, rezultatul îl înmulțesc cu 7, noul rezultat îl împart cu 2 și obțin 56. Lungimea unui dreptunghi are valoarea numărului necunoscut exprimat în centimetri.

Cât este perimetrul dreptunghiului dacă lățimea este din măsura lungimii.

24. Lățimea unui dreptunghi reprezintă din perimetrul. Alfă lungimea și perimetrul știind că lungimea este 90 cm.

25. Perimetrul unui dreptunghi este 286 cm, având lățimea 45 cm. Află perimetrul unui paralelogram, știind că are latura mai mică egală cu lungimea dreptunghiului, iar cealaltă latură fiind de 3 ori mai mare.

26. se dau următoarele relații: L + l = 1400 dm, L – l = 200 dm. Află perimetrul și apoi aria (suprafața) dreptunghiului.

27. Despre un dreptunghi se știe: L + l = 131 m, L – l = 49 m.

Ce relație, din cele două, nu este necesară pentru calcularea perimetrului unui dreptunghi?

28. Dintre toate dreptunghiurile care au perimetrul egal cu 20 cm, care poate fi cea mai mare arie. Poți enunța condiția necesară în orice altă situație?

29. Suma dintre succesorul și predecesorul unui număr este 54, aceste numere reprezintă dimensiunile unui dreptunghi.

a) Câți metri de plasă sunt necesari pentru a împrejmui terenul?

b) Este adevărată relația l+L = 54 m sau relația Sp = 54 m?

c) Este necesar să calculezi lățimea și lungimea dreptunghiului?

30. Perimetrul unui teren dreptunghiular este de 48 m. Lungimea lui este de trei ori mai mare decât lățimea. Calculați aria dreptunghiului.

31. Câte dreptunghiuri vezi în imaginea de mai jos?

Fig. 194

32*. Dacă împărțim lungimea unui teren dreptunghiular la lățimea sa obținem câtul 2 și restul 20. Lungimea gardului care împrejmuiește acest teren este de 340 m. din toată suprafața se cultivă cu cartofi, obținându-se 5 kg pe metrul pătat, din rest se cultivă porumb, obținându-se 10 kg pe metru pătrat, iar restul suprafeței se cultivă cu ceapă, obținându-se 2 kg pe metrul pătrat.

Câte kg de produse s-au obținut de pe acel teren?

Rombul. Pătratul

33. Privește cu atenție romburile de mai jos și completează!

a) AB║CD, …….║……, MN║PQ, …….║…….;

b) AB=BC=………=………, MN=NP=……..=……… .

Fig. 195 A M

B D N Q

C P

34. În curte unei școli s-au plantat flori pe o parcelă în forma unui romb cu latura de 20 m. Calculați perimetrul rombului.

35. Pe marginea unei fețe de masă în formă de romb cu latura de 2 m se prind ciucuri la distamță de 10 cm unul de altul.

Câți ciucuri sunt necesari pentru această față de masă?

36. Două laturi consecutive ale unui romb însumează 24 m. Alfați perimetrul rombului.

37. Există un romb care să aibă perimetrul 241 cm, iar latura să fie exprimată printr-un număr natural? Exprimați o condiție necesară pe care trebuie să o îndeplinească numărul natural prin care este exprimat perimetrul unui romb.

38. Dacă adunăm 476 dm la latura unui romb obținem dublul perimetrului. Află latura și perimetrul rombului.

39. Continuă desenul.

Fig. 196

40. Desenează un pătrat cu latura de 20 cm. Exprimă în mm latura pătratului.

41. Curtea unei școli are latura de 105 m. Perimetrul este …………………………………….. .

42. O parcelă în formă de triunghi echilateral are perimetrul 177 m, se prelungește cu o parcelă în formă de pătrat, cu lungimea laturii egală cu lungimea laturii triunghiului. Terenurile unite sunt înconjurate cu o plasă de gard care a costat 4130 lei.

Cât costă metru liniar de plasă de gard?

Fig. 197

43. În figura alăturată sunt prezentate mai multe Fig. 198

pătrate.Notează-le!

Scrie-le în ordinea mărimii lor.

…………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………….

44. Dacă mărim lungimile laturilor unui pătrat cu 4 cm, perimetrul său se mărește de 3 ori. Află lungimea laturii pătatului inițial.

45. Câte pătrate cu latura de 5 cm conține un dreptunghi al cărui perimetru este de 180 cm, știind că lungimea acestuia este de 5 ori mai mare decât lățimea?

46. Perimetrul unui pătrat mic, din figura alăturată, este de 12 cm. Calculați:

a) latura pătratului mic; Fig. 199

b) latura pătratului mare;

c) perimetrul pătratului mare;

d) aria pătratului mare.

e) Un melc străbate traseul marcat.

Ce distanță parcurge?

47. Completați următorul tabel, cu date referitoare la pătrat, ținând cont de: P = 4 x l, A= l x l.

Fig. 200

48. O familie achiziționează un teren în formă de pătrat cu latura de 25 m, pe care construiește o casă cu baza în formă de pătrat cu latura de 10 m.

Ce suprafață de teren rămâne pentru grădină?

49. Perimetrul unei grădini în formă de pătrat este de 400 m. În continuarea acestei grădini se află o altă grădină în formă dreptunghiulară cu lățimea egală cu latura pătratului, iar lungimea egală cu dublul lățimii.

Compară perimetrele celor două grădini și apoi ariile lor.

50. Se dă pătratul ABCD cu laturile AB║CD. În ce figură se transformă acest pătrat dacă cele două laturi paralele, scrise mai sus, se măresc de trei ori?

51. Compune o problemă cu următoarele date: Latura unui pătrat este …… m, perimetrul este …….., dacă latura se mărește de 7 ori, atunci perimetrul noului pătrat se mărește de …….. .

52. Creați o problemă cu conținut geometric în care să folosiți numerele: 918 m² și 9 m.

53. Desenați un segment cu lungimea de 6 cm. Construiți o figură geometricp formată numai din segmente de aceeași dimensiune și compuneți o problemă calculând:

a) perimetrul figurii geometrice exprimat în milimetri;

b) aria pătratului exprimată în cm².

54. Pentru completarea trusei cu figuri geometrice, elevii clasei a IV-a au cumpărat o bucată de placaj în formă de pătrat cu latura de 1 m. Ei au decupat următoarele figuri geometrice: 10 pătrate cu latura de 3 cm, 9 pătrate cu latura de 7 cm, 8 pătrate cu latura de 9 cm, 5 pătrate cu latura de 10 cm, 4 dreptunghiuri cu lungimea de 10 cm și lățimea de 9 cm și 10 dreptunghiuri cu lungimea de 9 cm și lățimea de 7 cm.

Câți cm² de placaj au rămas?

Este exercițiul de mai jos corespunzător problemei?

100 x 100 – ( 10 x 3 x 3 + 9 x 7 x7 + 8 x 9 x 9 +5 x 10 x 10 + 4 x 10 x 9 + 10 x 9 x 7) =

55. Pe un teren agricol în formă de pătrat cu latura de 1800 m s-a cultivat grâu.

Cât grâu este necesar pentru însămânțare, dacă pentru 100 m² sunt necesare 2 kg de grâu?

Aria dreptunghiului și aria pătratului folosind elente neconvenționale

56. Calculați ariile figurilor de mai jos, luând ca unitate de măsură un pătrat mic.

Fig. 201

57. Ordonați figurile geometrice de mai jos în ordine crescătoare suprafeței hașurate, considerând cu unitate de măsură pentru arie un pătrat mic.

a) b) c)

Fig. 202

d) e) f)

58. Câte figuri de forma celei hașurate poți obține din figura mare?

Fig. 203

Trapezul

59. Camera lui Ionuț este în formă de trapez isoscel cu următoarele dimensiuni: baza mare 5 m, baza mică 3 m, laturile neparalele având fiecare 4 m. Perimetrul camerei este …….. .

60. Un trapez isoscel are perimetrul 1080 m, avămd baza mică egală cu 105 m, baza mare cu 105 m mai mare decât baza mică.

Câți m are lungiemea fiecărei laturi neparalele?

61. Se dă un trapez dreptunghic ABCD, cu CD ┴ BC, având următoarele dimensiuni: AB= 5 cm, BC= 7 cm, CD= 4 cm și AD= 3 cm. Desenați acest traprez respectând dimensiunile date, cu unghiul drept în partea dreaptă. Aflați perimetrul trapezului, apoi desenați în oglindă acest trapez ( CD axă de simetrie), notați noul trapez obținut, aflați petimetrul acestui trapez.

Ce fel de trapez ai obținut?

62. Perimetrul unui trapez isoscel este de 500 cm. Știind că baza mică are aceeași dimensiune cu laturile neparalele și baza mare este dublul bazei mici, calculați dimensiiunea fiecărei laturi.

63. Calculează, respectând ordinea efectuării operațiilor:

a = (5 + 5: 5 +2 – 2 : 2) x 2;

b = [ 36 – 16 : (25: 5 – 12 : 3)] : 5 – 4;

c = 7 + 3 x [2 – 27 : (5 x 5 + 2: 1)];

d = 6 + 0 x {6 + 0 x [ 6 + 0 x (6 + 0 x 6)]}.

Pot fi acestea dimensiunile laturilor unui trapez? Aflați perimetrul.

64. Perimetrul unui trapez isoscel este 504 m. Află măsura laturilor trapezului, știind că baza mare reprezintă din baza mică, fiecare latură neparalelă este cu mai mică decât suma dintre baza mică și baza mare.

65. Identificați trapezele din figura de mai jos.

Fig. 204 A J I H

B G

C D E F

E. Cercul

1. Construiește un cerc, trasează diametrul orizontal, împarte semicercul din partea de sus în două părți egale, apoi construiește un triunghi.

Ai obținut un triunghi isoscel?

2. Observă desenul de mai jos și calculează apoi raza cercului știind că BC= 10 cm.

Fig. 205 A D

M O O

B C

3. Utilizați compasul și desenați un cerc cu raza de 1 cm (pentru a desena cât mai corect folosiți-vă de rețeaua cu pătrățele a caietului de matematică, 2 pătrățele = 1 cm). Desenați încă 5 cercuri concentrice cu primul, mărind de fiecare dată raza cu 1 cm față de cercul anterior.

4. Concurs – Construiți fiecare câte un roboțel folosind cât mai multe din poligoanele regulate învățate și cercuri. Câștigă elevul care are desenate corect figurile geometrice cerute și cel mai mare număr de figuri.

5. Construiți trei cercuri de aceeași mărime, marcați pe circumferința fiecărui cerc patru puncte astfel încât să obțineți un dreptunghi, un pătrat, un romb.

F. Forme spațiale

1. Completează tabelul.

Fig. 206

2. Fiecărui corp geometric notat cu literă îi corespunde „o desfășurare” notată cu numere de la 1 la 5. Completează tabelul corespunzător.

Fig. 207 A 1 2

B

C 3

D 4 5

3. Studiați cu atenție figura de mai jos, notați muchiile cubului ABCDEFGH, apoi notați mughiile pe suprafața desfășurată.

Fig. 208

4. Dintr-o coală de hârtie A4 confecționați in cilindru răsucind-o. Pe o altă foaie așezați construcția obținută și desenați baza cilindrului. Atenție sunt necesare două cercuri. Lipiți-le și astfel ați obținut un cilindru.

5. află vulumul unui cub cu măsura muchiei de 5 cm.

6. Un cub cu latura de 10 cm are fețele la exterior voptite cu roșu. Fiecare muchie a cubului se împarte în segmente de 1 cm, iar cubul se taie conform acestei divizări.

a) Câte cuburi cu latura de un centimetru e vor obține?

b) Din cuburile mici obținute, câte nu au nicio față vopsită? (În rezolvarea problemei folosește-te de volumul cubului.)

Fig. 209

7. Ioana are un cutie cu lungimea muchiei de 12 cm.

a) Câte cuburi cu latura de 1 cm încap în cutie?

b) Fetița desface cutia. Ce perimetru are figura geometrică obținută?

8. Care din corpurile geometrice studiate au:

a) doar un vârf ………………………………………………………………………………………………..;

b) 6 fețe plane ………………………………………………………………………………………………….;

c) 12 muchii ……………………………………………………………………………………………………..;

d) nicio față plană ……………………………………………………………………………………………. .

9. Care din desfășurările de mai jos reprezintă un con?

Fig. 210

G. Geometrie cu chibrituri

Așezați 23 de bețe de chibrituri ca în desenul de mai jos.

Fig. 211

2. Din 24 de bețe se pot obține un pătrat mare și mai multe pătrate mici și mijlocii.

Câte sunt de fiecare? Fig. 212

Ridicând patru bețe rămân doar patru pătrate

mici în cadrul celui mare.

Care sunt acelea?

5. 6 pătrate. Cu 31 de chibrituri construiești un dreptunghi care are 12 pătrate. Scoate 8 chibrituri, ca să rămână numai 6 pătrate.

Fig. 215

6. Adaugă. Dacă ai 24 chibrituri, care formează 2 pătrate mici și unul mare, adaugă încă o 8 chibrituri, ca să formeze, în total, 10 pătrate în interiorul pătratului mare.

Fig. 216

7. E mai complicat! Cu 40 de chibrituri construiești un teren pătrat, în care sunt 16 parcele pătrate egale. Pe teren sunt 8 copaci și 4 fântâni. Scoate 12 chibrituri ca să rămână 4 parcele de teren și pe fiecare parcelă să se afle câte 2 copaci și câte o fântănă.

Fiecare segment se reprezintă cu un chibrit.

Fig. 218

8. Construiți 14 pătrate cu 24 de chibrituri, astfel încît 9 pătrate să aibă latura de un băț. Nu rupeți bețele!

9. Încercați să desenați figura de mai jos pornind de la unul din vârfuri (capăt de segment), fără a ridica vârful creionului de pe foaia de hârtie și fără a trece de două ori peste aceeași linie. Ce traseu veți urma? Găsiți mai multe soluții!

Fig. 219

10. a) Mutați 3 chibrituri astfel încât să obțineți Fig. 220

exact 3 paralelograme.

b) Mutați 4 chibrituri astfel încât să obțineți

exact 3 romburi.

11. Poate fi construit un pătrat din douăzeci și șapte de chibrituri? (Da/Nu, Cum?/ De ce nu?)

12. Realizați o construcție în care saă apară opt triunghiuri cu ajutorul a șase chibrituri.

Jocul PENTAMINO

Pentonimo este un joc de logică pentru copii tip puzzle sau tetris pentru copii mai mari de 7 ani. Pentomino este un joc de puzzle geometric cu 12 piese formate fiecare din 5 pătrate dispuse diferit. Un joc de logică, inteligență și gândire spațială captivant într-o formă de buzunar, numai bun pentru călătorii, vacanțe sau pentru recreațiile școlare. Acest joc poate fi achiziționat din comerț,dar poate fi confecționat cu ușurință chiar de către copii. Pentomino a fost creat în 1956 de un matematician american SW Golomb. Simplitatea sa însă l-a facut atât de celebru și îndrăgit încât în anumite țări se organizează turnee de Pentomino. 

Regulile pentru jocul Pentomino sunt foarte simple. Jocul poate fi jucat de unul singur, caz în care se încearcă construirea cât mai multor figuri geometrice. În cazul în care la joc participă doi jucători, aceștia pun alternativ pe tablă câte o piesă, câștigator fiind cele care reușește să pună ultima piesa pe tabla de joc, blocând adversarul, împiedicându-l să facă orice mișcare cu piesele de care acesta dispune.

În joc se folosesc 12 piese, fiecare fiind compusă din cinci pătrate identice însă dispuse diferit. Oricare două astfel de piese conectate formează o formă complet diferită.

Confecționați câte două seturi de piese colorate diferit și o tablă cu 8 x 8 careuri. Fiecare set este format din 12 pentaminouri ca în figurile de mai jos.

Fig. 221

Tabla pentru jocul Pentamino

Competiția: Fiecae jucător dintre cei doi participanți așază câte o piesă pe tabla de 8 x 8 careuri, fără a depăși marginile tablei și fără a suprapune piesa peste alte piese așezate anterior.

Se continuă jocul alternativ de către cei doi participanți, până când unul dintre competitori nu mai găsește să adauge încă o piesă pe tablă dintre piesele rămase. Câștigă cel care a plasat cele mai multe piese.

Piesele jocului Pentamino se pot folosi și în alte tipuri de jocuri de construcție.

Varianta I

Realizați cu piese de o singură culoare dreptunghiuri cu dimensiunile:

a) 3 și 20; b) 4 și 15; c) 5 și 12; d) 6 și 10.

Varianta II

Compuneți din 9 piese reproduceri ale altei piese, triplând-o (de trei ori mai mare pe fiecare direcție).

Jocul FLEX

Confecționați câte două seturi de jetoane sub forma unui cerc, compuse fiecare din câte 10 piese de două culor diferite și o tablă de 8 x 8 careuri.

Fig. 222

Varianta I – Piramida

Se așează jetoanele ca în figura de mai sus. Se mută pe rând, astfel încât piesa se poate deplasa înainte sau pe diagonală câte o căsuță sau prin săritură peste câte o piesă proprie sau adversă, tot înainte sau în diagonală spre înainte. Săritura se face dincolo de piesa sărită, deci acel spațiu trebuie să fie liber. Dacă săriturile se pot înlînțui se pot face mai multe sărituri dintr-o singură mutare. Singura condiție este să nu se facă sărituri înapoi.

Dacă un jucător nu mai poate face nicio mutare înainte, atunci îi este permis să se mute înapoi sau spre diagonală înapoi, dar fără sărituri, doar câte o căsuță la o mutare.

Obiectivul fiecărui jocător este să-și mute propriile piese în câmpul din care a pornit adversarul. Primul care reușește acest lucru este câștigător. Astfel pot exista mai multe opțiuni de aranjare a pieselor inițial nu doar modelul prezentat.

Varianta a II-a – Triplet

Se pornește jocul cu tabla fără piese pe ea. La fiecare mutare, jucătorii plasează câte o piesă într-un câmp liber al tablei de joc, încercând să nu plaseze trei piese pe aceeași linie orizontală, verticală sau diagonală.

Cel care realizează un triplet de piese aliniate este penalizat.

Știați că….

Forma cifrelor arabe nu a fost aleasă întâmplător! Au fost concepute după o anumită logică, dar mai ales s-a ținut cont de ușurința scrierii lor și de faptul că trebuie să fie ținute minte și recunoscute ușor.

Vă prezentăm o ipoteză interesantă: cifrele arabe au legatură cu numărul de unghiuri din forma lor. Priviți mai jos!

Fig. 223

CONCLUZII

Alegerea acestei teme se înscrie în gama de preocupări permanente pentru perfecționarea stilului de muncă, pentru găsirea și utilizarea celor mai adecvate strategii și modalități de lucru cu elevii cu scopul de a asigura o maximă eficiență a procesului instructiv-educativ.

Prezenta lucrare este structurată în patru capitole și își propune să evidențieze importamța temei și modalități de realizare. În primul capitol am prezentat dezvoltarea sub aspect intelectul a școlarului mic. În al doilea capitol prezintă noțiunile intuitive de geometrie care se studiază în clasele primare. Al treilea capitol arată funcționalitatea elementelor de geometrie în alte discipline de învățământ din ciclul primar. Cel de-al patrulea capitol este o este un auxiliar care conține exerciții și probleme cu noțiuni de geometrie în conformitate cu noua programă școlară. În aceast auxiliar am conceput exerciții și probleme cu diferite grade de dificultate, de logică și perspicacitate, itemi cu răspuns elaborat, itemi de completare, itemi cu răspuns la alegere. Prin această culegere am încecat să demonstrez că problemele cu conținut geometric pot fi aplicate spre rezolvare și în alte capitole de matematică, în special la clasa a IV-a. Se știe că rezolvarea unui număr cât mai mare de probleme de elevii claselor a IV-a, și nu numai, nu face altceva decât să dirijeze gândirea acestora în a observa, a descoperi, a deduce și a interpreta datelor problemelor, în a găsi soluția/soluțiile problemei, contribuind la dezvoltarea gândirii independente și creatoare a acestora.

Analizând rezultatele demersului teoretic și practic întreprins am, am formulat următoarele concluzii:

Elementele intuitive de geometrie din ciclul primar constituie elemente de bază necesare dezvoltării competențelor ulterioare ale elevilor în domeniul geometriei.

În cadrul orelor de geometrie pot fi utilizate atât metode tradiționale cât și metode activ-participative, care activizează toți elevii pe parcursul acestor ore.

Învățătorul are rolul de a facilita învățarea, de a stimula elevii să lucreze activ, să facă transferul de cunoștințe de la o disciplină de învățământ la alta.

Lecțiile cu conținut geometric au un caracter practic-aplicativ, noțiunile de geometrie: de lungime, perimetru, arie, formă dreptunghiulară, formă pătrată sunt întâlnite în viața de zi cu zi.

Învățătorul are obligația de a crea situații optime de învățare, de a folosi cele mai bune, adecvate metode conținutului, obiectivelor propuse și particularităților de vârstă.

Învățătorul are obligația de a propune spre rezolvare exerciții și probleme cu conținut variat, de a stimula elevii cu capacități intelectuale ridicate pentru performanță și totodată de a stimula și lucra suplimentar cu elevii cu dificultăți de învățare.

Matematica nu se învață pentru a ști, ci pentru a fi aplicată în viața de zi cu zi mai ales geometria. Matematica este știința cea mai operativă, cu legături multiple în viață.