Rolul Distributiilor. Propunerea Unei Noi Metode de Decizie

Cuprins

Introducere …………………………………………………………………………………………………………………. 1

I. Partea teoretică. Inferența mediată deductivă. Silogismul categoric

1. Generalități …………………………………………………………………………………………………………….. 3

1.1. Critici aduse silogismului ……………………………………………………………………………………. 4

1.2. Atitudini favorabile silogismului ………………………………………………………………………….. 5

1.3. Poziția logicienilor români ………………………………………………………………………………….. 7

2. Legile silogismului

2.1. Legi de structură ……………………………………………………………………………………………….. 9

2.2. Legi generale ale silogismului ……………………………………………………………………………. 10

2.3. Demonstrațiile legilor ……………………………………………………………………………………….. 11

3. Figurile și modurile silogistice ………………………………………………………………………………….. 13

3.1. Legile figurilor …………………………………………………………………………………………………. 15

4. Metode care utilizează distribuția termenilor ………………………………………………………………. 16

II. Partea practică. Rolul distribuțiilor. Propunerea unei noi metode de decizie

1. Rolul distribuțiilor …………………………………………………………………………………………………… 19

2. Metoda săgeților distribuției ……………………………………………………………………………………… 22

2.1. Algoritm …………………………………………………………………………………………………………… 24

2.2. Exemple de aplicare a metodei pentru combinația premiselor …………………………………. 25

2.2.1. Figura I ……………………………………………………………………………………………………. 25

2.2.2. Figura II ………………………………………………………………………………………………….. 31

2.2.3. Figura III …………………………………………………………………………………………………. 37

2.2.4. Figura IV …………………………………………………………………………………………………. 43

2.3. Exemple de aplicare a metodei în prezența concluziei ……………………………………………. 48

Concluzii …………………………………………………………………………………………………………………….. 49

Bibliografie citată ………………………………………………………………………………………………………… 50

Bibliografie consultată ………………………………………………………………………………………………….. 53

Introducere

Această lucrare are ca subiecte principale silogismul categoric și metodele de decizie care pun în valoare rolul semnelor distribuției. Nivelul problematizării nu va depăși gradul de complexitate propus la cursurile de logică din primii doi ani din cadrul Facultății de Filosofie, în ciclul de licență.

Partea teoretică cuprinde o privire de ansamblu asupra silogismului categoric, cu menționarea celor mai importante contribuții și critici. A fost rezervat un subcapitol pentru a contura rolul pe care îl au distribuțiile în teoria silogismului categoric. La finalul părții teoretice sunt prezentate cele mai cunoscute metode care utilizează semnele distribuției în procesul de validare.

Partea practică aduce în discuție o nouă metodă de decizie asupra validității modurilor silogistice, o reîntoarcere la forma geometrică. Se dorește corelarea ideii de ”formă” cu repartiția semnelor distribuției termenilor, în funcție de tipul de propoziție categorică. Metoda a fost publicată într-o revistă studențească (cu ISSN) din Iași și a fost supusă analizei câtorva profesori cu preocupări și competențe în logica formalizată. Din cauza complicațiilor aparatului birocratic din sistemul peer-review, nu a fost posibil ca această metodă să fie publicată până la data susținerii examenului de licență, într-o revistă cotată academic. În ultimele luni, autorul și profesorul îndrumător au depus un efort consistent pentru a verifica stadiul cunoașterii pe acest subiect. Nu s-au descoperit asemănări cu alte metode. Au mai fost logicieni (Freytag, Odobleja), care au propus diverse utilizări pentru săgeți, dar nu au folosit linia, cercul și semnificațiile prezentei metode. Algoritmul este ușor de învățat, a fost prezentat unor subiecți voluntari, care au reușit să rezolve cu succes silogismele propuse. Metoda este rapidă, verifică toate cele 256 moduri posibile, și indică termenul condiționat în structura modului de analizat, fără a face operații suplimentare. Interesează în calcul doar premisele, concluzia rezultând în mod constrângător din suprapunerea săgeților și din poziția semnelor. Spre exemplu, doar desenând săgețile, se observă cum din premise ”a” și ”i” va rezulta doar concluzie ”i”, sau din premise ordonate ”e” și ”i” va rezulta doar concluzie ”o”. În algoritm, la modurile condiționate, termenul diferit de 0 nu participă cu toată extensiunea, așadar, va avea întotdeauna semnul – (minus), din cauza liniei condiției, care are rolul de a constitui existență prin însăși prezența sa, fiind elementul simbolic minim al mulțimii termenului condiționat.

Alegerea temei a survenit în mod natural, ca efect al preocupărilor constante în domeniul logicii formalizate, în vederea găsirii de noi soluții mai simple și mai sigure, adecvate legilor silogismului clasic, dar în același timp, adaptate la provocările cu care se confruntă gândirea omului actual.

I. Partea teoretică

Inferența mediată deductivă. Silogismul categoric

1. Generalități

Aristotel (384-322) este creatorul logicii sistematizate, prin lucrarea ”Organon”. Stagiritul nu a utilizat noțiunea de ”logică” pentru știința sa, ci a folosit termenul de ”analitică”. De abia după 500 de ani, Alexandru din Afrodisia folosește cuvântul ”logică”.

Anterior ”Analiticelor”, Socrate și Platon au cercetat unele probleme de logică, au pus bazele analizei noțiunilor, de asemenea au exersat forme simple de raționament deductiv, iar sofiștii au creat variate tipuri de sofisme.

Față de eforturile înaintașilor în a construi și a respinge argumente, Aristotel a adus contribuții însemnate în logică, prin inventarea silogismului și a teoriei metodei deductive. În ”Analiticile prime”, ”syllogismos” (raționamentul) este descris ca fiind o structură în care anumite lucruri fiind date, altceva decât datul, decurge cu necesitate. În ”Metafizicele”, Aristotel denumește silogismul ca fiind ”instrument al științelor”. Aristotel spune că premisa este ”o enunțare care afirmă sau neagă ceva despre ceva". Prin urmare, ceea ce este dat într-un silogism sunt premisele. Premisele demonstrației trebuie să aparțină aceluiași gen ca și concluzia. Aristotel, după cum reiese din Analiticele secunde, pare a fi interesat și de concluzie, chiar dedică un capitol demonstrațiilor multiple pentru aceeași concluzie.

Inferența mediată, presupune în cazul silogismului, să existe o a doua premisă care să intermedieze obținerea concluziei. Silogismul categoric, ca o logică a termenilor, este construit din elemente care reprezintă categorii sau clase. Silogismul categoric este un raționament deductiv format din trei propoziții categorice, cu trei termeni diferiți, fiecare participând de două ori în propoziții diferite. O propoziție categorică are una din cele patru forme: toți sunt (a), toți nu sunt (e), unii sunt (i), unii nu sunt (o). Sunt 24 de moduri valide (19 tari și 5 slabe) din 256 posibile.

Aristotel a considerat utile doar primele trei figuri și manifesta interes deosebit față de figura 1, singura perfectă prin structura ei, întemeiată pe ”dictum de omni”. Celelalte figuri sunt numite imperfecte, deoarece nu mai pot tranzita de la gen la specie. A patra figură a fost adăugată de Galen, și putea fi obținută din prima, de aceea se numește figură indirectă, dar nu a captat atenția Stagiritului. Aristotel a construit primul sistem axiomatic din logică, în momentul în care a arătat că modurile figurilor imperfecte corespund și se pot translata către moduri valide ale primei figuri, proces numit reducție. Această operație este de două tipuri: directă și indirectă. Aristotel a impus trei metode pentru verificarea validității modurilor silogistice: reducția directă, reducția indirectă și metoda ectezei. Metodele care au urmat după Aristotel sunt numite metode nearistotelice (diagramele Venn, antilogismul, etc). Metoda reducerii directe presupune reducerea tuturor modurilor silogistice din figurile imperfecte la modurile figurii întâi. Metoda reducerii indirecte este o demonstrație prin reducere la absurd și se aplică doar modurilor invalide Bocardo II și Baroca II care nu pot fi reduse direct la modurile figurii întâi (în componența lor intră propoziții particular negative neconvertibile). Metoda ectezei presupune transformarea modurilor particulare în moduri universale.

1.1. Critici aduse silogismului

Unii exegeți nu sunt de acord cu reducerea figurilor imperfecte, argumentând că ar fi redundantă, de vreme ce modurile din figura a doua și a treia sunt funcționale.

Pe această direcție Kant crede că împărțirea figurilor este un demers fals, deoarece doar prima figură are întemeiere, celelalte fiind simplificabile la întâia figură, el chiar propune eliminarea din logică a figurilor imperfecte, fiind convins (în mod eronat) că logica nu a înregistrat vreun progres sau regres de la Aristotel până în zilele noastre.

Scepticii resping din reflex silogismul, îi pun la îndoială posibilitatea de a conduce către cunoaștere, această atitudine fiind numită scepticism gnoseologic.

Sextus Empiricus impută silogismului două probleme:

1. concluzia este susținută de premise, la rândul lor întemeiate infinit în cascadă pe alte forme silogistice, așadar chiar dacă ne-am opri în mod natural, stoicii atrag atenția că oprirea este pur întâmplătoare;

2. silogismul este în esența sa un petitio principii (cerc vicios); ceea ce se găsește în concluzie este deja prezent în premise.

Descartes nu creditează logica și silogismul, le mărginește rolul la a lămuri chestiuni cunoscute, nimic altceva decât vorbire irațională despre necunoscut. În același registru, Russell nu pare impresionat de opera Stagiritului și declară silogismul ca fiind o înșelătorie solemnă, asemenea vede și Carnap, care indică o slăbiciune a sistemului logic tradițional. Spencer este mai nuanțat, de pe o poziție sceptică criticând silogismul și negăsindu-i nici un merit, nu înțelege efectiv cum se obține concluzia, ci doar modul în care ea este justificată. Thomasius denunță și el neputința metodei silogistice, iar Bacon reproșează silogisticii lipsa capacității creatoare, mărginind-o în mare parte la inducție, iar în puținele cazuri când intersectează deducția, nu poate descoperi proprietățile naturii, nu exercită efect asupra lucrurilor, ci doar ne obligă consimțământul.

O situație interesantă ridică o aparentă confuzie de termeni în opera lui Aristotel. Acesta nu separă mereu paralogismul (eroarea logică fără intenție) de sofism (eroarea plănuită dinainte) și de construcția eristică (eroarea intenționată cu scop de a câstiga în dezbateri), acești termeni în opera sa fiind sinonimi.

1.2. Atitudini favorabile silogismului

Entuziasmul marilor gânditori față de silogism se traduce prin contribuțiile lor la dezvoltarea moștenirii lăsate de Aristotel.

Unul dintre cele mai mari progrese a fost înregistrat de Boole, care revoluționează logica prin impunerea lui 1 și 0, iar De Morgan propune teoria relațiilor, reproșându-i lui Aristotel că a neglijat negațiile; cei doi britanici lărgesc orizontul de cunoaștere al logicii cu termenii negativi și noțiunea ”univers de discurs”.

Hobbes are o abordare tradițională orientată spre reprezentare și percepe logica în ansamblu ca o teorie a semnelor. Hilbert, în același registru crede că menirea logicii este să combine simboluri, iar un adevărat logician trebuie să raționeze în legătură cu ele, fără a fi interesat de semnificația lor. O abordare nesigură are Lukasiewicz când ignorând ”semnificația”, încerca să demonstreze că logica lui Aristotel este formală doar pentru că utilizează semne sau litere. Aristotel a explicat că nici o operație logică nu se reduce la operația cu semne, raportul desfășurându-se între semnificațiile lor. Alexandru din Aphrodisia susține că "esența silogismului depinde nu de cuvinte, ci de semnificația lor". Aristotel a folosit doar variabile pentru ca să semnifice termeni utlilizați ca predicații generale, nu și-a propus să identifice individualități specifice. De asemenea, Boethius lămurește această chestiune: ”punem litere în locul termenilor, pentru abreviere și economie de timp”. Așadar, logica aristotelică nu aparține semnului în sensul logico-matematic, iar silogistica poate fi descrisă ca relație a părții cu întregul pentru a deduce ceva despre acea parte, în concordanță cu ceea ce spunea Aristotel când numea termenul mediu o definiție.

Schopenhauer crede că prin silogism putem cunoaște deplin, dar nu este preocupat de proporția în care apare noutatea, spre deosebire de Mill, care definește teoria silogistică în special ca pe un mijloc de siguranță a cunoașterii. Poincare, de asemenea, nu refuză calitatea creatoare a silogismului, întrucât se oferă posibilitatea de a genera mai mult decât datele inițiale. Euler declara silogismul aristotelic drept singura metodă pentru a descoperi adevăruri necunoscute. Alături de Venn, Euler impune cercul în calculul silogistic.

Hegel manifestă o atitudine radicală identificând silogismul cu raționalul însuși, un ”tot”. Leibniz proclamă omnipotența legilor logice în oricare dintre lumile posibile, afirmând că silogismul reprezintă una dintre cele mai mari creații ale spiritului; contribuie masiv la silogistică fiind considerat întemeietorul logicii simbolice.

Lukasiewicz afirmă că în virtutea principiului noncontradicției, „două răspunsuri opuse la o întrebare sunt contradictorii“, adică instrumentul contradicției este singura posibilitate împotriva falsității.

Înțelegerea teoriei silogismului lămurește întrucâtva ideea de validitate, chiar dacă ar fi dificil să aplicăm aceste mecanisme în cotidian. Pot exista formule de judecată care au aparență de silogism, dar a căror concluzie nu derivă în mod necesar din relația premiselor. Rezumând, opinia majorității susținătorilor teoriei silogistice este că silogismul are calitatea să verifice orice argument dat.

1.3. Poziția logicienilor români

Logicienii români au avut o atitudine favorabilă față de silogism. Anton Dumitriu afirmă că silogismul nu ar fi o simplă demonstrație, ci algoritmul unei demonstrații. Maiorescu susține necesitatea silogismului din cauza unei insuficiențe de ordin mental: conștiința umană este incapabilă să absoarbă ”articulațiile conceptelor” în mod desăvârșit. Ion Petrovici (continuator al lui Maiorescu) crede că a respinge silogismul echivalează cu negarea cunoștințelor indirecte, implicit anularea șanselor de a părăsi intuiția ca unică posibilitate, aducând știința pe terenul îndoielii. Sorin Vieru atrage atenția că logica modernă pornește din inferența deductivă, iar adecvarea sa la Organon se aliniază acestui început.

Botezatu spune că orice demers științific consistă în analiza termenului mediu și atrage atenția că silogismul avea altă semnificație pentru Aristotel decât cea cu care suntem astăzi obișnuiți; omul modern este preocupat de algoritm (detașat de adevăr), concluzie (dacă premisa majoră o poate susține) și de raportul judecăților, pe când Aristotel era preocupat de adevăr, premise, cauză și de raportul termenilor (dacă termenul mediu are calitatea de a mijloci). Petre Botezatu vede silogismul ca fiind o migrație a proprietăților între clase. Ștefan Lupașcu crede că la Aristotel premisa majoră cuprinde tot ce ar rezulta în concluzie și declară silogismul ca tautologie. Didilescu și Botezatu afirmă că proprietatea fundamentală a silogismului o reprezintă apariția necesară a concluziei. Sorin Vieru spune că silogistica aristotelică depășește cu mult o simplă structură formală. Drăgan Stoianovici semnalează frecvența cu care este prezent silogismul în argumentarea teoriilor științifice. Rădulescu Motru susține că valoarea silogismului se reduce la funcția de clarificare. Petru Ioan crede că dacă una sau amândouă premisele sunt false, nu este posibilă o concluzie validă. Petru Ioan si Albrecht susțin că silogismele sunt implicații adevărate de comun acord cu adevărul componentelor acestora". Țuțugan încearcă să depășească barierele legilor silogismului atunci când proiectează silogistica termenilor negativi și silogistica propozițiilor compuse, situații în care din premise negative se obține o concluzie validă, după cum se observă în figura 1:

e Nici un P nu este M

o Unii M nu sunt S

____________________

i' Unii non S sunt non P

Fig. 1 Silogism de tip Țuțugan

2. Legile silogismului

2.1. Legi de structură:

A. Silogismul are trei termeni, denumiți după mărimea sferei lor: major P, mediu M și minor S;

S și P se numesc extremi.

Una dintre cele mai importante reguli este păstrarea semnificației termenilor. Nerespectarea acestei cerințe conduce la două efecte nedorite: adăugarea unui nou termen pe lângă cei trei deja existenți (a doua semnificație) și compromiterea valorii de adevăr a concluziei. În exemplul următor se observă efectul schimbării înțelesului termenului mediu în modul aiiI:

a Toate cheile sunt bogăția țării

i Unele obiecte de acces în camerele de hotel sunt chei

Ar rezulta o concluzie total greșită ca înțeles, dar corectă ca posibilitate de aranjare a extremilor:

i Unele obiecte de acces în camerele de hotel sunt bogăția țării

B. Termenul mediu M apare doar în ambele premise, cu rol de a media legătura dintre extremi.

În momentul în care termenul mediu se găsește în raport de exclusivitate cu extremii din premise, nu are posibilitatea să mijlocească, astfel se ajunge la situația de a nu putea formula o concluzie corectă. Iată un exemplu în acest sens:

Pasărea nu este patruped

Elefantul nu este pasăre

Prin urmare

Elefantul nu este patruped nu reprezintă o concluzie validă deoarece termenul mediu nu oferă date clare despre raportul care s-ar putea stabili între premise.

C. extremii apar fiecare în câte o premisă și amândoi în concluzie.

Regula cere ca pe lângă dispunerea corectă a extremilor în premise, extinderea proprietăților să se facă în mod corect. Un exemplu care nu ține seama de această regulă:

Toate țurcanele au lâna foarte calitativă

Toate țurcanele sunt oi

Concluzia Toate oile au lâna foarte calitativă este în mod evident eronată atât din punct de vedere logic cât și din punct de vedere practic.

D. silogismul are trei propoziții: două premise (numite după termenul pe care îl conțin) și o

concluzie.

În mod normal, silogismul clasic are ordinea premisă majoră, premisă minoră și concluzie. În unele lucrări de specialitate (Al. Valeriu – Logica) se găsește recomandarea discutabilă de a rearanja premisele în funcție de poziția extremilor din concluzie.

2.2. Legile generale ale silogismului:

A. silogismul are trei termeni;

B. concluzia nu conține termenul mediu;

C. un termen nu poate fi distribuit în concluzie, dacă nu a fost distribuit în premisă;

D. termenul mediu să fie distribuit în cel puțin una din premise;

E. din două premise afirmative nu poate rezulta o concluzie negativă;

F. din două premise negative nu poate deriva o concluzie;

G. concluzia urmează ”partea cea mai slabă”; dacă una din premise este negativă, concluzia este

negativă; dacă una din premise este particulară, concluzia este particulară;

H. din două premise particulare nu se poate deriva o concluzie.

Forma clasică a silogismului:

Toți M sunt P MaP

Toți S sunt M SaM

Toți S sunt P SaP

Apuleus este cel care în sec. II e.n. propune pătratul logic:

2.3. Demonstrațiile legilor silogismului

Există două căi prin care se pot demonstra legile silogismului: demonstrația indirectă (prin reducere la absurd) și demonstrația directă (prin metoda axiomatică).

Reducerea la absurd presupune în cazul de față să considerăm falsă legea de demonstrat și să se alcătuiască un silogism care încalcă acea lege. Dacă se constată invaliditatea acelui silogism nou construit, din cauza posibilelor concluzii contradictorii, se declară că ipoteza falsității legii este eronată, așadar legea de demonstrat este adevărată. Iată un exemplu care încalcă regula distribuirii termenului mediu cel puțin într-una dintre premise:

Unii pomi sunt vișini

Toți prunii sunt pomi

Se observă că nu decurge o concluzie validă, ci două concluzii contradictorii după cum se arată în figura 3.

Fig. 3 Termenul mediu nedistribuit

Nu se poate preciza în ce relație se află extremii. Acesta este motivul pentru care nu se pot construi entități silogistice valide atunci când termenul mediu este nedistribuit, așadar legea distribuției termenului mediu este validă.

Metoda axiomatică implică acceptarea unor legi ca axiome, pentru ca mai apoi cu sprijinul lor să fie demonstrate celelalte. Se acceptă în cadrul demonstrației ca axiome legile distribuției termenilor și legile calității premiselor, pentru a proba legile cantității premiselor.

Axiome:

A1. Termenul mediu trebuie să fie distribuit cel puțin o dată.

A2. Un temen nu poate fi distribuit în concluzie, dacă nu este distribuit în premise.

A3. Dacă ambele premise sunt negative, nu se poate deriva o concluzie.

A4. Dacă o premisă este negativă, concluzia este negativă.

A5. Dacă nici o premisă nu este negativă, concluzia este afirmativă.

Teoreme:

T1: Concluzia conține cu cel puțin un termen distribuit mai puțin decât premisele.

Demonstrația. Din (A2) rezultă că în concluzie nu pot sta mai mulți termeni distribuiți decât în premise. Conform (A1), termenul mediu este distribuit în cel puțin una din premise. Dacă el nu figurează în concluzie (lege de structură), numărul termenilor distribuiți este cu cel puțin unul mai mic decât în premise.

T2: Dacă ambele premise sunt particulare, nu se poate deriva o concluzie.

Demonstrația. Dacă ambele premise sunt negative, conform (A3), nu există concluzie. Dacă ambele sunt afirmative, fiind judecăți particular-afirmative, nu au nici un termen distribuit (legile distribuției termenilor în judecată), deci nici termenul mediu, și atunci, după (A1), nu există concluzie. Dacă o premisă este afirmativă și una negativă, premisele conțin numai un termen distribuit, iar concluzia, conform (T1), nici unul. Pe de altă parte, concluzia este negativă – după (A4), fiindcă o premisă este negativă. Prin urmare, nu există concluzie.

T3: Dacă o premisă este particulară, concluzia este particulară.

Demonstrația. Dacă ambele premise sunt negative, nu există concluzie (A3). Dacă ambele sunt afirmative, una fiind universală și cealaltă particulară, ele conțin un singur termen distribuit, iar concluzia nici unul (T1). Concluzia fiind afirmativă (A5), trebuie să fie particulară pentru a nu avea nici un termen distribuit. Dacă premisele sunt de calitate opusă, fie că universala este negativă și particulara afirmativă, fie că universala este afirmativă și particulara negativă, ele conțin doi termeni distribuiți, iar concluzia numai unul. Dar concluzia trebuie să fie negativă (A4), deci cu predicatul distribuit. Subiectul nu poate fi distribuit și astfel concluzia este particulară.

T4: Dacă premisa majoră este particular-afirmativă, iar premisa minoră universal-negativă, nu se poate deriva o concluzie.

Demonstrația. Concluzia va fi negativă (A4), predicatul ei va fi distribuit. Acesta este termenul major, care va trebui să fie distribuit și în premisa majoră (A2). Aceasta însă, fiind particular-afirmativă, nu distribuie nici un termen. Deci concluzia nu poate exista.

T5: Dacă concluzia este negativă, premisa majoră nu poate fi particular-afirmativă.

Demonstrația. Dacă concluzia este negativă, termenul major (predicatul concluzie) este distribuit. El trebuie să fie distribuit și în premisa majoră (A2). Aceasta nu poate fi particular-afirmativă, fiindcă în acest caz nici un termen nu este distribuit.

3. Figurile și modurile silogistice

Figurile reprezintă construcții silogistice a căror structură este determinată de poziția termenului mediu în premise.

În interiorul fiecărei figuri sunt posibile doar șase moduri valide, din cauza restricțiilor impuse de legile silogisticii. Din cele 24 de moduri valide, 19 sunt moduri tari și 5 sunt moduri slabe. Cele nouă moduri care dau concluzie particulară din premise universale au nevoie de o premisă suplimentară, care să asigure că mulțimea termenului condiționat este nevidă.

Moduri necondiționate valide

Moduri condiționate valide

Se poate scrie:

Fig Pr1 Pr2 Concluzie

I a a a, iS

i i

e a e, oS

i o

II a e e, oS

o o

e a e, oS

i o

III a a iM

i i

e a oM

i o

i a i

o a o

IV a a iP

e e, oS

e a oM

i o

i a i

3.1. Legile figurilor

I. a. Premisa minoră trebuie să fie afirmativă.

b. Premisa majoră trebuie să fie universală.

II. a. Una din premise să fie negativă;

b. Premisa majoră trebuie să fie universală.

III. a. Premisa minoră trebuie să fie afirmativă;

b. Concluzia trebuie să fie particulară.

IV. a. Dacă premisa majoră este afirmativă, minora este universală;

b. Dacă una din premise este negativă, majora trebuie să fie universală;

c. Dacă minora este afirmativă, concluzia este particulară.

4. Metode care utilizează distribuția termenilor

S-a preferat exemplificarea cu metode care folosesc semnele distribuției întrucât la partea practică va fi prezentată o nouă metodă de decizie, care conține în algoritm reguli privind distributivitatea termenilor.

Procedurile de decizie propuse cuprind două metode reductive și o metodă nereductivă. Unele metode răspund doar modurilor necondiționate.

Metodele prezentate în partea teoretică au fost studiate la cursul de Logică formalizată în anul II. La fiecare metodă se va aduce câte un exemplu concludent.

A. Testul aritmetico-algebric de tip Hacker: [pentru moduri necondiționate]

Algoritm: se asociază cu plus termenii distribuiți, și cu minus termenii nedistribuiți. Se acordă valori constante termenilor: majorul 1, mediul 4, minorul 2. Validitatea apare dacă suma premiselor exprimă valoarea concluziei.

Exemplu:

MeP (MeP) + (SiM) = + M + P – S – M = + 4 + 1 – 2 – 4 = – 1

SiM

––

SoP SoP = – 2 + 1 = – 1

Silogismul este valid deoarece corespund cele două valori.

B. Sommers:

Echivalența dintre suma premiselor și valoarea concluziei, în cazul în care silogismul este valid în modurile necondiționate. Sunt considerați termeni negativi și termeni pozitivi invers decât distribuțiile.

La modurile condiționate validitatea se verifică prin adăugarea unei premise suplimentare pentru termenul care nu se reduce sau pentru cel cu semn schimbat.

Exemplu:

MeP MeP + SaM = – M – P – S + M = – P – S

SaM

––

SeP SeP = – S – P

Silogism valid.

C. Metoda înstelării:

Algoritm: se înstelează termenii distribuiți din premise și termenii nedistribuiți din concluzie.

1. Un mod silogistic necondiționat este valid dacă fiecare termen este înstelat o singură dată și un singur termen este pe post de predicat.

Exemplu:

*MeP*

SiM

*SoP

Silogism valid.

2. Un silogism condiționat (sau un mod slab) este valid dacă fiecare termen este înstelat măcar o dată și un singur termen să fie pe post de predicat.

Exemplu:

*MeP*

*SaM

*SoP

Silogism valid.

II. Partea practică

Rolul distribuțiilor. Propunerea unei noi metode de decizie

1. Rolul distribuțiilor

Spunem că un termen este distribuit atunci când acesta se implică în relație cu toată extensiunea sa. Se notează cu + termenul distribuit și cu – cel nedistribuit (nu îi putem constata întregimea extensiunii).

În figura 4 se prezintă schema de distribuție:

Fig. 4 Semnele distribuției

Orice noțiune are două aspecte: intensiunea (proprietățile elementelor care alcătuiesc mulțimea cu care relaționează noțiunea respectivă) și extensiunea (mulțimea elementelor care au în comun atributele intensiunii), iar între cele două există raport de inversă proporționalitate. Se poate spune că doi termeni se pot include reciproc prin intensiune, respectiv extensiune. ”Genul” cuprinde ”specia” în extensiune, iar ”specia” deține calitățile ”genului” în intensiunea sa.

Exemplu:

Fig. 5 Raport gen-specie

Distribuțiile se constituie în funcții logice în cadrul mecanismului silogistic, având rolul de filtre în procesul de decizie. Termenului participant i se aplică o ”etichetă” operațională suficientă și necesară în procesul de decizie.

Dacă un termen a fost distribuit (are semnul +) în concluzie este obligatoriu ca acesta să fie distribuit și în premisă, adică nu poate depăși extensiunea din premisă, altfel modul este invalid. Subiectul și predicatul au garanția judecății sigure prin unicitatea dispunerii semnelor distribuției.

Spre exemplu, în modul eaeI (condiționat în oS), subalternarea concluziei spre condiționare ne indică prin intermediul semnelor validitatea atât în modul eaeI cât și în modul condiționat eaoI, după adăugarea condiției.

+MeP+

+SaM –

+SeP+

Condiționat devine din aceleași premise:

+MeP+

+SaM –

– SoP+

Se observă că termenul condiționat S și-a schimbat în concluzie semnul în minus. Acest fenomen este descris limpede în ”metoda săgeților distribuției”, prezentată detaliat ca subiect secund al părții practice din această lucrare.

Spre deosebire de prima figură unde premisele ”ea” generau validitate pe modul condiționat și necondiționat, în modul eaeIV se observă că distribuțiile nu indică validitatea. Dar în eaoIV, condiționat pe M, semnele permit existența unei concluzii adevărate și valide, chiar dacă premisele își păstrează structura ”ea”.

+PeM+

+MaS –

– SeP+

Invalid

Condiționat devine din aceleași premise:

+MeP+

+SaM –

– SoP+

Valid

După cum s-a observat în exemplele de mai sus, semnele distribuției influențează decisiv rezultatul obținut din premise, oferind variantele posibile de existență ale concluziei. Regula generală a semnelor impune ca subiectul să fie distribuit în universale, iar predicatul în negative. Predicatul exprimă ceva despre subiect. Seamănă cu raportul dintre intensiune și extensiune. Distribuțiile limitează cât de mult poate spune predicatul, și despre ce tip de subiect.

O manieră facilă de a reține corect distribuțiile:

Fig. 6 Schema mnemotehnică a distribuțiilor

Rolul distribuțiilor poate fi extins și în alte sfere de cunoaștere unde se regăsește teoria silogistică, cum ar fi informatica, electronica, etc.

Spre exemplu, în electronică semnele distribuției sunt necesare în construcția porților logice (Logic Gates), dar mai ales în sistemele de calcul algoritmic, deoarece reglementează ”direcția”.

Nu este greu de imaginat cum variantele de cuplare serială a două diode (fiecare dipol având anod + și catod -) compun tocmai propozițiile categorice, sub regulile impuse de semnele distribuției din silogism.

Fig. 7 Reprezentarea propozițiilor

cu ajutorul diodelor semiconductoare

În cele de mai sus, s-a arătat că rolul distribuțiilor în silogistica aplicată se rezumă la a constitui o garanție pentru obținerea validității, prin constrângerea curgerii operației de judecare înspre direcția posibilă și necesară.

2. Metoda săgeților distribuției

Această metodă a fost creată în anul II de facultate din ambiția de a găsi o posibilitate mai facilă de a rezolva silogisme la seminariile de logică formalizată.

Din verificările efectuate, nu a reieșit că ar mai fi o metodă asemănătoare. Pretenția de prioritate se întinde asupra algoritmului, suprapunerii săgeților, schimbării semnului termenului condiționat dacă e necesar, și asupra semnificației atribuite celor două elemente grafice, respectiv linia care intersectează segmentul de dreaptă orientat (la propozițiile particulare și condiție) și cercul (la propozițiile negative). Săgețile au o aplicabilitate variată și frecventă în logică, însă în cazul acestei metode pot fi menționați doar doi logicieni care au acordat o importanță deosebită săgeților. Este vorba despre Freytag și Odobleja. Primul utilizează săgețile în procesul de decizie a validității silogismelor, fără vreo similitudine cu metoda de față. Odobleja nu folosește săgețile pentru ca să rezolve silogisme, ci doar pentru ca să reprezinte grafic poziția extremilor în raport cu termenul mediu în primele trei figuri; se poate constata o oarecare similitudine în acest sens, dar nu mai mult decât acest aspect. Diferă scopul întrebuințării, întrucât Odobleja prin săgeți propune o reprezentare geometrică a gândirii. Se poate observa că lipsesc elementele din metoda de față, care permit efectuarea operațiilor de validare.

Fig. 8 Modelul geometriei logicii la Odobleja

Metoda săgeților distribuției verifică toate cele 256 moduri posibile, este rapidă și indică fără a fi nevoie de calcule suplimentare termenul condiționat.

În această metodă atenția se îndreaptă doar asupra premiselor, în manieră aristotelică. Modurile valide generează în mod constrângător concluzia doar din desenul premiselor. Se poate lucra și în stilul modern, adică să se verifice dacă o concluzie este validă pentru o anume dispunere a termenilor din premise.

Din acest procedeu, au rezultat trei dispozitive brevetabile (mecanic, analogic și digital), construite în scop didactic, care alături de celelalte aparate (proprii altor metode de decizie aparținând aceluiași autor) vor constitui în viitorul apropiat componentele unei strategii de asimilare a teoriei logicii prin învățare ludică.

Simbolurile specifice utilizate în metodă:

Fig. 9 Simbolurile metodei

Cercul, ideea de lipsă, apare la negative. Linia, ideea de a separa, iar la condiționate elementul minim, apare la particulare și la condiție. Simbolurile au fost gândite în acord cu legile silogismului.

Reluând o parte din legile generale ale silogismului, se dorește verificarea corectitudinii metodei. S-au ales câteva legi care se pot exemplifica prin intermediul metodei, fără a recurge la complicații.

1. din două premise afirmative nu poate rezulta o concluzie negativă; adică în limbajul metodei nu poate fi vorba de concluzie negativă din cauza absenței cercului;

rezultă prin suprapunere a

rezultă prin suprapunere i

Fig. 10 Combinații premise afirmative

2. din două premise negative nu poate deriva o concluzie;

3. din două premise particulare nu se poate deriva o concluzie

Cele două legi sunt conținute în algoritm, astfel încât la constatarea prezenței a două linii sau două cercuri, calculul se oprește și se declară invaliditatea. Linia împarte săgeata (implicit mulțimea în două). Cercul arată lipsa, dacă este repetat se ajunge ca în premise să nu existe sens din cauza raportului de excludere dintre termenul mediu și extremi.

4. concluzia urmează ”partea cea mai slabă”; dacă una din premise este negativă, concluzia este negativă; dacă una din premise este particulară, concluzia este particulară;

Și de această dată algoritmul respectă legile silogistice. Cele două propoziții (negativă și particulară) sunt purtătoare de cerc respectiv linie, care dacă apar cel mult o singură dată, obligă prin suprapunere concluzia să le conțină, adică să fie negativă respectiv particulară.

În subcapitolele cu exemple, metoda va fi aplicată la toate combinațiile posibile pe care le pot realiza premisele și câteva exemple în prezența concluziei. Se va insista cu explicații atunci când situația o impune. Modurile care au două premise negative sau particulare nu prezintă interes, prin urmare, nu vor beneficia de o atenție deosebită.

2.1. Algoritm:

Se desenează săgețile cu distribuțiile aferente, în funcție de figură și de tipul de propoziție, orientate corespunzător; se începe cu desenarea majorei, apoi minora se desenează astfel încât termenul

Dacă apar două cercuri sau două linii oblice, conținute în săgeți, se declară invaliditatea;

Termenul mediu M trebuie să fie însoțit de cel puțin un semn +;

În caz că se ajunge la această etapă, se suprapun săgețile, apoi se verifică validitatea rezultatului, cercetând semnele distribuțiilor SP;

Pentru modurile condiționate, va apărea concluzie i, din premise care conțin doi termeni cu -; termenul rămas în afara termenilor cu -, este cel diferit de 0; o excepție este modul aaiIII, unde condiția M se află între termenii cu -; spre exemplu, modul aaaII invalid nu poate primi condiție pentru ca să devină aaiII (invalid) deoarece cele două semne – (minus) aparțin doar lui M;

Pentru modurile condiționate cu concluzia o, condiția este termenul care nu are – (minus) dintre S și M; rezultă așadar că modurile care au două universale din care una este e, nu primesc condiție dacă P are semnul – (minus);

Condiția se desenează ca o linie oblică peste săgeata lui S; se va modifica sau se va menține semnul – în dreptul termenului condiționat, exclusiv M, unde nu ar avea sens; rezultatul condiționatelor este valid după suprapunere doar dacă semnele distribuției corespund, consecutiv departajării termenului diferit de 0, și schimbării semnului dacă a fost necesar.

2.2. Exemple de aplicare a metodei pentru combinația premiselor

Pentru acest subcapitol se vor analiza aparițiile posibile ale concluziei din premisele date, atât în stare necondiționată cât și în stare condiționată.

2.2.1. Figura I

1. aa

S M P Fig. 11 Premise aaI

+ ± –

În opinia lui Aristotel acest mod este perfect. Termenul mediu fiind distribuit se poate trece la suprapunerea săgeților. Va rezulta săgeată de tip a. Copiem semnele lui S și lui P. Semnele corespund săgeții a rezultate, astfel se constată validitatea.

S P

+ – Fig. 12 Concluzie aI

Cele două premise conțin propoziții universale. Primul pas către modul condiționat îl reprezintă cercetarea termenului diferit de 0, adică pentru concluzie în i termenul care nu are minus (pentru acest mod este S). Algoritmul impune ca la condiție să se adauge linia cu rol de element minim, care face posibil ca termenul condiționat să fie diferit de 0. După suprapunere, se observă că a rezultat concluzie i. O altă regulă precizează ca termenului condiționat i se schimbă semnul în minus, sau i se menține. Se verifică semnele distribuției și se observă că sunt corecte pentru i. Deci silogismul aaiI este valid.

S P

+ – Fig. 13 Modul i condiționat I

(-)

2. ae

S M P

+ + – Fig. 14 Premise aeI

+

Pentru figura I această combinație de premise nu generează concluzie validă nici pentru modul necondiționat, nici pentru modul condiționat, deoarece încalcă prima lege a figurii I, care spune că premisa minoră trebuie să fie universală. Supunem verificării premisele ae și după suprapunerea săgeților va rezulta:

S P

+ – Fig. 15 Concluzie falsă eI

Copiind în concluzie semnele din premise, se observă invaliditatea.

De asemenea, în modul condiționat nu rezultă concluzie validă. Dacă în mod ipotetic se adaugă linia de condiție, rezultatul ar fi o cu semne greșite, implicit concluzie falsă.

S P

+ – Fig. 16 Concluzie falsă o I

3. ai

S M P

– ± – Fig. 17 Premise aiI

Fără efort se observă că această combinație de premise generează o concluzie validă. Termenul mediu e distribuit, se poate efectua suprapunerea săgeților. Va rezulta săgeată i, iar copiind în săgeata concluziei semnele corespunzătoare din premise se poate declara validitatea.

S P

– – Fig. 18 Concluzie validă iI

4. ao

S M P

– + –

+ Fig. 19 Premise aoI

Chiar dacă termenul mediu este distribuit, acest mod nu poate avea o concluzie validă deoarece din legile silogismului se știe că premisa minoră nu trebuie să fie negativă. Mai mult decât atât, se observă că dintr-o eventuală suprapunere, nu ar rezulta semne corecte pentru o.

S P

– – Fig. 20 Concluzie falsă oI

5. ea

S M P

+ ± + Fig. 21 Premise eaI

Termenul mediu este distribuit și din suprapunere rezultă o concluzie corectă. Semnele din premise corespund cu semnele din concluzie. Silogism valid.

S P

+ + Fig.22 Concluzie corectă eI

Fiind două universale și termenul mediu distribuit, putem pune linia de condiție. Termenul condiționat pentru concluzie în o este acela care nu are minus dintre S și M. În acest caz este S. Schimbăm semnul termenului condiționat în minus, deoarece linia de condiție a ”diminuat” numărul elementelor din mulțimea termenului condiționat. Rezultă o concluzie validă.

S P

(-) + Fig. 23 Concluzie corectă oI

6. ee

S M P

+ + +

+ Fig. 24 Premise eeI

Din legile silogismului se cunoaște faptul că din două premise negative nu rezultă o concluzie validă. De asemenea și algoritmul oprește calculul atunci când apar două cercuri sau două linii. Algoritmul nu permite generarea unei concluzii chiar dacă în aparență ar fi fost corecte semnele pentru e. Nici modul condiționat nu poate fi generat din cauza opririi calculului.

7. ei

S M P

– ± + Fig. 25 Premise eiI

Modul eio este valid în orice figură. Termenul mediu este distribuit iar din suprapunere rezultă o cu semne corecte.

S P

– + Fig. 26 Concluzie corectă oI

8. eo

S M P

– + +

+ Fig. 27 Premise eoI

În acest mod invalid, se încalcă prima lege a figurii I, care spune că premisa minoră trebuie să fie afirmativă. Și algoritmul semnalează acest mod ca fiind invalid din cauza prezenței a două cercuri și oprește calculul.

9. ia

S M P

+ = – Fig. 28 Premise iaI

Aici se încalcă a doua lege a figurii întâi care spune că premisa majoră trebuie să fie universală. Mai mult, se încalcă regula care spune că termenul mediu trebuie să fie distribuit cel puțin o dată. În figura I premisa majoră ar trebui să fie universală, încă un motiv de invaliditate. Algoritmul spune că se oprește calculul pentru termenul mediu fară minimum un semn plus. Dacă prin absurd s-ar încerca să se imagineze o concluzie, semnele nu corespund propoziției i. Concluzie invalidă.

S P

+ – Fig. 29 Concluzie invalidă iI

10. ie

S M P

+ ± – Fig. 30 Premise ieI

În figura I prima premisă trebuie să fie universală. Algoritmul permite calculul deoarece termenul mediu este distribuit. Din suprapunere rezultă o. Semnele nu corespund. Mod invalid.

S P

+ – Fig. 31 Concluzie invalidă oI

11. ii

S M P

– = – Fig. 32 Premise iiI

Se încalcă a doua lege a primei figuri. Algoritmul oprește calculul din cauza termenului mediu nedistribuit și prezenței a două linii.

12. io

S M P

– ± – Fig. 33 Premise ioI

Calcul oprit din cauza prezenței a două linii. De asemenea este încălcată a doua lege a primei figuri.

13. oa

S M P

+ = + Fig. 34 Premise oaI

Nu se respectă a doua lege a primei figuri. Termenul mediu nedistribuit. Calculul se întrerupe. Mod invalid.

14. oe

S M P

+ ± + Fig. 35 Premise oeI

Două cercuri în premise întrerup calculul. Mod invalid.

15. oi

S M P

– = + Fig. 36 Premise oiI

Se constată prezența a două linii în premise. De asemenea, termenul mediu este nedistribuit. Mod invalid.

16. oo

S M P

– ± + Fig. 37 Premise ooI

Mod invalid deoarece în premise se află două cercuri și două linii.

2.2.2. Figura II

17. aa

+ =

P M

S Fig. 38 Premise aaII

+

Termenul mediu nedistribuit. Mod invalid.

18. ae

+ ±

P M

S Fig. 39 Premise aeII

+

Termenul mediu este distribuit. După suprapunere rezultă e cu semne corecte. Mod valid.

S P

+ + Fig. 40 Concluzie validă eII

Predicatul nu are semnul minus, așadar este permisă linia de condiție. După schimbarea semnului la termenul condiționat S, va rezulta o concluzie validă.

S P

(-) + Fig. 41 Concluzie validă oII

19. ai

+ =

P M

S Fig. 42 Premise aiII

–

Termen mediu nedistribuit. Mod invalid.

20. ao

+ ±

P M

S Fig. 43 Premise aoII

–

Termen mediu distribuit. Semne corecte. Concluzie validă.

S P

– + Fig. 44 Concluzie validă oII

21. ea

+ ±

P M

S Fig. 45 Premise eaII

+

Termenul mediu este distribuit. Săgețile suprapuse dau concluzie e. Semnele sunt corecte. Mod valid.

S P

+ + Fig. 46 Concluzie corectă eII

Predicatul este distribuit deci se poate pune linia de condiție. Rezultă concluzie o cu semnele corecte. Mod condiționat valid.

S P Fig. 47 Concluzie validă oII

(-) +

22. ee

+ ++

P M

Fig. 48 Premise eeII

S

+

Două cercuri în premise. Mod invalid.

23. ei

+ ±

P M

Fig. 49 Premise eiII

S

–

Termenul mediu este distribuit. Din suprapunere rezultă o cu semnele corecte. Mod valid.

S P

– + Fig. 50 Concluzie corectă oII

24. eo

+ ++

P M

Fig. 51 Premise eoII

S

–

Două cercuri în premise. Mod invalid.

25. ia

– =

P M

Fig. 52 Premise iaII

S

+

Termenul mediu nedistribuit. Mod invalid.

26. ie

– ±

P M

Fig. 53 Premise ieII

S

+

Termenul mediu este distribuit. După suprapunere semnele nu sunt corecte pentru o. Mod invalid.

S P

+ – Fig. 54 Concluzie invalidă pentru oII

27. ii

– =

P M

Fig. 55 Premise iiII

S

–

Două linii. Mod invalid.

28. io

– ±

P M

Fig. 56 Premise ioII

S

–

Două linii. Mod invalid.

29. oa

– ±

P M

Fig. 57 Premise oaII

S

+

Termenul mediu este distribuit. În urma suprapunerii săgeților a rezultat o cu semne greșite. Mod invalid.

S P

+ – Fig. 58 Concluzie invalidă oII

30. oe

– ++

P M

Fig. 59 Premise oeII

S

+

Acest mod are două cercuri. Mod invalid.

31. oi

– ±

P M

Fig. 60 Premise oiII

S

–

Prezența celor două linii cauzează invaliditate pentru acest mod.

32. oo

– ++

P M

Fig. 61 Premise ooII

S

–

Două linii și două cercuri. Mod invalid.

2.2.3. Figura III

33. aa

+ + –

M P

Fig. 62 Premise aaIII

S

–

Acesta este un mod interesant. Termenul mediu este distribuit, dar semnele nu corespund lui a. Așadar, modul necondiționat este invalid.

S P

– – Fig. 63 Concluzie invalidă aIII

În schimb, situația premiselor permite condiția. Termenul condiționat este cel fără minus, adică M. Punem linia de condiție și apare concluzie i. Aici rezultă concluzie validă.

S P

– – Fig. 64 Concluzie validă iIII

34. ae

++ –

M P

Fig. 65 Premise aeIII

S

+

Termenul mediu este distribuit. Suprapunerea săgeților nu conduce la concluzie validă. Modul condiționat nu este posibil din cauza nedistribuirii predicatului.

S P

+ – Fig. 66 Concluzie invalidă eIII

35. ai

± –

M P

Fig. 67 Premise aiIII

S

–

Termenul mediu este distribuit. Suprapunerea săgeților conduce la concluzie validă.

S P

– – Fig. 68 Concluzie validă iIII

36. ao

± –

M P

Fig. 69 Premise aoIII

S

+

După suprapunerea săgeților rezultă o. Semnele nu sunt corecte. Mod invalid.

S P

+ – Fig. 70 Concluzie invalidă oIII

37. ea

++ +

M P

Fig. 71 Premise eaIII

S

–

Modul necondiționat nu este valid deoarece semnele nu corespund după suprapunerea săgeților.

S P

– + Fig. 72 Concluzie invalidă eIII

Predicatul are plus, este distribuit, se poate pune linia de condiție. Rezultă o cu semnele corecte. Modul condiționat este valid.

S P

– + Fig. 73 Concluzie validă oIII

38. ee

++ +

M P

Fig. 74 Premise eeIII

S

+

Două cercuri. Mod invalid.

39. ei

± +

M P

Fig. 75 Premise eiIII

S

–

Termenul mediu distribuit permite suprapunerea săgeților. Concluzia o are semnele corecte. Mod valid.

S P

– + Fig. 76 Concluzie oIII corectă

40. eo

± +

M P

Fig. 77 Premise eoIII

S

+

Două cercuri. Mod invalid.

41. ia

± –

M P

Fig. 78 Premise iaIII

S

–

Mod valid deoarece termenul mediu este distribuit și după suprapunerea săgeților, semnele sunt corecte pentru i.

S P

– – Fig. 79 Concluzie validă iIII

42. ie

± –

M P

Fig. 80 Premise ieIII

S

+

Mod invalid deoarece după suprapunerea săgeților nu corespund semnele.

S P

+ – Fig. 81 Concluzie oIII invalidă

43. ii

= –

M P

Fig. 82 Premise iiIII

S

–

Mod invalid din cauza termenului mediu nedistribuit și a prezenței a două linii.

44. io

= –

M P

Fig. 83 Premise ioIII

S

+

Mod invalid din cauza termenului mediu nedistribuit și a prezenței a două linii.

45. oa

± +

M P

Fig. 84 Premise oaIII

S

–

Mod valid. Semne corecte după suprapunere.

S P

– + Fig. 85 Concluzie validă oIII

46. oe

± +

M P

Fig. 86 Premise oeIII

S

+

Mod invalid pentru faptul că apar două cercuri.

47. oi

= +

M P

Fig. 87 Premise oiIII

S

–

Termenul mediu nu este distribuit. Mod invalid.

48. oo

= +

M P

Fig. 88 Premise ooIII

S

+

Termenul mediu nu este distribuit. Mod invalid.

2.2.4. Figura IV

49. aa

+ ± –

P M S Fig. 89 Premise aaIV

Mod necondiționat invalid deoarece nu corespund semnele.

S P

– + Fig. 90 Concluzie invalidă aIV

La modul condiționat datorită schimbării semnului termenului condiționat P, rezultă concluzie validă.

S P

– (-) Fig. 91 Concluzie validă iIV

50. ae

P M S

+ ± + Fig. 92 Premise aeIV

Mod valid. Semnele corespund.

S P

+ + Fig. 93 Concluzie eIV validă

Predicatul e distribuit, se poate pune condiție. Mod valid deoarece semnele distribuției corespund propoziției o după ce termenul condiționat S și-a schimbat semnul în minus.

S P

(-) + Fig. 94 Concluzie validă oIV

51. ai

+ = –

P M S Fig. 95 Premise aiIV

Mod invalid. Termenul mediu este nedistribuit.

52. ao

+ = +

P M S Fig. 96 Premise aoIV

Mod invalid. Termenul mediu este nedistribuit.

53. ea

+ ++ –

P M S Fig. 97 Premise eaIV

Mod necondiționat invalid deoarece nu corespund semnele.

S P

– + Fig. 98 Concluzie invalidă eIV

Predicatul e distribuit, se pune condiția pe termenul M. Nu are sens să se mai schimbe semnul lui M, deoarece vor fi folosiți doar extremii. Semnele corespund. Mod condiționat valid.

S P

– + Fig. 99 Concluzie validă oIV

54. ee

+ ++ +

P M S Fig. 100 Premise eeIV

Două cercuri. Mod invalid.

55. ei

+ ± –

P M S Fig. 101 Premise eiIV

Mod valid. Semnele corespund.

S P

– + Fig. 102 Concluzie validă oIV

56. eo

+ ± +

P M S Fig. 103 Premise eoIV

Mod invalid. Semnele nu corespund lui o.

S P

+ + Fig. 104 Concluzie invalidă oIV

57. ia

– ± –

P M S Fig. 105 Premise iaIV

Mod valid. După suprapunere rezultă i cu semnele corecte.

S P

– – Fig. 106 Concluzie validă iIV

58. ie

– ± +

P M S Fig. 107 Premise ieIV

Mod invalid. Semnele nu corespund.

S P

+ – Fig. 108 Concluzie invalidă oIV

59. ii

– = –

P M S Fig. 109 Premise iiIV

Mod invalid. Mediul nedistribuit. Două linii.

60. io

– = +

P M S Fig. 110 Premise ioIV

Mod invalid. Mediul nedistribuit. Două linii.

61. oa

– ++ –

P M S Fig. 111 Premise oaIV

Mod invalid. Semnele nu corespund.

S P

– – Fig. 112 Concluzie invalidă oIV

62. oe

– ++ +

P M S Fig. 113 Premise oeIV

Mod invalid. Două cercuri.

63. oi

– ± –

P M S Fig. 114 Premise oiIV

Mod invalid. Două linii.

64. oo

– ± +

P M S Fig. 115 Premise ooIV

Mod invalid. Două linii și două cercuri.

2.3. Exemple de aplicare a metodei în prezența concluziei

oaoI invalid, deoarece semnele regăsite în dreptul concluziei SP nu sunt corecte pentru o

S M P S P

+ ± + + +

oaoIII valid

M P S P

± + – +

S –

aaiII invalid, deoarece nu există din start doi termeni cu -, iar M are doi de -, adică nu este distribuit; nu are sens să trecem la pasul următor cu linia de condiție

P M

+ =

S +

eaoI valid, termenul M este distribuit, semnul + de la S ne indică condiția, se pune linia pe săgeata lui S, se schimbă + cu – la termenul condiționat, rezultă o distribuție corectă în concluzie după suprapunere

S M P S P

(-) + ± + (-) +

aaaII invalid, deoarece M nu este distribuit

P M

+ =

S +

Concluzii

Pe cât posibil s-a încercat găsirea răspunsurilor la temele propuse.

S-a căutat în prezenta lucrare dacă rolul distribuțiilor în silogistică reprezintă un temei pentru obținerea concluziilor valide, prin orientarea gândirii înspre posibil și necesar. Cum posibilitățile de cunoaștere în ciclul de licență sunt reduse, se consideră că s-a depus tot efortul pentru a căuta un răspuns, fără pretenția de a fi găsit.

Metoda săgeților distribuției este nouă, rapidă, și ușor de operat. A fost supusă confruntării cu legile de bază ale silogismului și a rezistat. De asemenea, a fost utilizată pentru a verifica în manieră aristotelică (scrierea premiselor și constatarea calității concluziei dacă ea apare) toate combinațiile posibile de premise din cele patru figuri.

Logica încă permite deschiderea de noi orizonturi, suntem expuși în permanență posibilității a asista la răsturnări și reconfigurări ale teoriilor clasice.

Pe termen scurt este planificată o metodă didactică bazată pe dispozitive de învățare a teoriilor logicii formalizate, pentru elevi și studenți.

Pe termen mediu va fi terminat un manual de logică adresat studenților la psihologie.

Pe termen lung, adică în următorii zece ani, vor fi depuse eforturi pentru a scrie un tratat de logică muzicală, care să lămurească raporturile care se stabilesc între sunete (echivalente noțiunilor logice) și între acorduri (echivalente propozițiilor logice). De asemenea se va avea în vedere necesitatea și constrângerea în rezolvarea momentelor culminante și de conflict din discursul muzical, prin perspectiva fenomenologiei muzicale.

Gândurile de viitor se îndreaptă către o posibilă carieră în cercetare pe domeniul logicii formalizate combinată cu muzicologia.

Bibliografie citată

Aristotel, Organon I, București: Editura Iri, traducere Mircea Florian, 1997.

Barnes, Jonathan, Truth, etc., Six Lectures on Ancient Logic, Oxford: University Press, 2007.

Bennett, Deborah, Logic made easy, New York: W. W. Norton & Company, 2004.

Bergmann, Merrie; Moor, James; Nelson, Jack, The Logic Book, New York: Mc Graw-Hill, sixth edition, 2014.

Botezatu, Petre et al., Direcții în logica contemporană, București: Editura Științifică, 1974.

Botezatu, Petre, Introducere în logică, Iași: Polirom, 1997.

Botezatu, Petre, Silogismul aristotelic și actualitatea sa, Iași: Analele științifice ale Universității ”Al. I. Cuza” din Iași, secțiunea III b. Științe filosofice, economice și juridice, tomul XII, extras, 1996.

Buzduga, Vicențiu, Metodă pentru validarea modurilor silogistice în cadrul logicii aristotelice, Iași: Junimea studențească nr. 6, 2015.

Cantemir, Dimitrie, Mic compendiu asupra întregii învățături a logicii, București: Editura Științifică, 1995.

Copi, M. Irving; Cohen, Carl, Introduction to logic, Edinburgh Gate (Harlow, UK): Pearson, fourteenth edition, 2014.

Crăciun, Dumitru, Logică și teoria argumentării, București: Editura Tehnică, 2000.

Da Costa, Newton, Logici clasice și neclasice, București: Editura Tehnică, traducere Ilie Gyurcsic, 2004.

Didilescu, Ion; Botezatu, Petre, Silogistica, Teoria clasică și interpretările moderne, București: Editura didactică și pedagogică, 1976.

Drăghici, Virgil, Logica tradițională, clasică, modală, Cluj: Editura Fundației Studiilor Europene, 2007.

Dumitriu, Anton, Istoria logicii, București: Editura didactică și pedagogică, ediția a doua, 1975.

Dumitriu, Anton, Soluția paradoxelor logico-matematice, București: Editura Științifică, 1966.

Dumitriu, Anton, Teoria logicii, București: Editura Academiei, 1973.

Enescu, Gheorghe, Logică și adevăr, București: Editura Politică, 1967.

Enescu, Gheorghe, Logica simbolică, București: Editura Științifică, 1971.

Enescu, Gheorghe, Filosofie și logică, București: Editura Științifică, 1973.

Enescu, Gheorghe, Teoria sistemelor logice, București: Editura Științifică și Enciclopedică, 1976.

Enescu, Gheorghe, Tratat de logică, București: Editura Lider, 1997.

Enescu, Gheorghe, Paradoxuri, sofisme, aporii, București: Editura Tehnică, 2003.

Frege, Gottlob, Scrieri logico-filosofice I, București: Editura Științifică și Enciclopedică, traducere Sorin Vieru, 1977.

Gheorghiu, Dumitru, Logică generală I, București: Editura Fundației ”România de Mâine”, 2004.

Grecu, Constantin; Iancu, Lucica, Logică și ontologie, București: Editura Trei, 1999.

Harrison, John, Handbook of Practical Logic and Automated Reasoning, New York: Cambridge University Press, 2009.

Hașiu, Cecilia, J. St. Mill – Despre rolul și valoarea silogismului, București: Printech, 2011.

Hurley, J. Patrick, A concise introduction to logic, Stanford (CT, USA): Cengage Learning, twelfth edition, 2015.

Iancu, Lucica, Logica formală: scurtă introducere, București: Editura Tehnică, 2004.

Iancu, Lucica, Logica, București: Editura Tehnică, vol. I, 2008.

Ioan, Petru, Logică și metalogică, Iași: Junimea, 1983.

Ioan, Petru, Logică formalizată, Iași: Editura "Ștefan Lupașcu", 2005.

Ioan, Petru, Structura silogismului, Iași: Analele științifice ale Universității ”Al. I. Cuza” din Iași, secțiunea III b. Științe filosofice, tomul XIX, pagina 47, 1973.

Kneale, W., Kneale, M., Dezvoltarea logicii, Cluj: Dacia, vol. I, traducere Popa Cornel, 1974.

Lupasco, Stephane, Logica dinamică a contradictoriului, București: Editura Politică, 1982.

Maiorescu, Titu, Logica, București: Editura Librăriei Socec & Co., Societate Anonimă, ediția a șasea, 1913.

McInerny, Q. D., Being Logical, A Guide to Good Thinking, New York: Random House, 2004.

Narița, Ionel, Analiza logică: Frege și Wittgenstein, Caransebeș: Editura Delabistra, 1997.

Narița, Ionel, Logica simbolică, Timișoara: Editura de Vest, 2010.

Petreu, Marta, Jocurile manierismului logic, Iași: Polirom, ediția a doua, 2013.

Popa, Cornel, Logică și metalogică I, București: Editura Fundației "România de Mâine", 2000.

Popelard, Marie-Dominique; Vernant, Denis, Elemente de logică, Iași: Institutul European, traducere Ion Vezeanu, 2003.

Rădulescu-Motru, C., Valoarea silogismului, București: Librăria Socec & CTE, 1897.

Sinnott-Armstrong, Walter; Fogelin, Robert, Understanding Arguments, Wadsworth (Boston, MA, USA): Cengage Learning, eighth edition, 2010.

Stoianovici, Drăgan, Silogismul în opera extra-logică a lui Aristotel, București: Revista de filosofie, nr. 1, tomul XLI, 1994.

Stuart Mill, John, A system of logic, ratiocinative and inductive, New York: Harper & Brothers, Publishers, Franklin Square, 1882.

Surdu, Alexandru, Logică clasică și logică matematică, București: Editura Științifică, 1971.

Surdu, Alexandru, Istoria logicii românești, București: Editura Tehnică, 2006.

Țuțugan, Florea, Silogistica judecăților de predicație, București: Editura Academiei, 1957.

Valeriu, Al., Logica, București: Editura Garamont, ediția a XXIV-a, 2001.

Vieru, Sorin, Axiomatizări și modele ale sistemelor silogistice, București: Editura Academiei, 1975.

Vieru, Sorin, Încercări de logică, București: Editura Paideea, vol. I, 1997.

Bibliografie consultată

Agler, David, Symbolic logic, Lanham (MD, USA): Rowman & Littlefield Publishers, 2013.

Bărnuțiu, Simeone, Psicologia empirică și logica, Iași: Tipariulu Tribunei Române, 1871.

Bassler, Bradley O., Leibniz on Intension, Extension, and the Representation of Syllogistic Inference, Synthese, Volume 116, Issue 2, page 117, revised version, 2006.

Cavender, Nancy; Kahane, Howard, Logic & Contemporary Rhetoric, Wadsworth (Boston, MA, USA): Cengage Learning, twelfth edition, 2014.

Clement, Elisabeth; Demonque, Chantal, Filosofia de la A la Z, Dicționar enciclopedic de filosofie, București : All Educational, traducere Magdalena Cojocea-Mărculescu; Aurelian Cojocea, 1999.

Cook, T., Roy, A dictionary of philosophical logic, Edinburgh: Edinburgh University Press, 2009.

Dima, Teodor, Metode inductive, București: Editura Științifică, 1975.

Djuvara, Marcel, Metoda inductivă și rolul ei în științele explicative, București: Noua Tipografie Profesională “Dimitrie C. Ionescu”, 1910.

Dumitriu, Anton, Logica polivalentă, București: Editura enciclopedică română, 1971.

Enescu, Gheorghe, Filozofie și logică, București: Editura Științifică, 1973.

Enescu, Gheorghe, Fundamentele logice ale gândirii, București: Editura Științifică și Enciclopedică, 1980.

Enescu, Gheorghe, Dicționar de logică, București: Editura Științifică și Enciclopedică, 1985.

Flew, Antony, Dicționar de filosofie și logică, București: Humanitas, ediția a doua, traducere D. Stoianovici, 1999.

Gheorghiu, Dumitru, Logică generală II, București: Editura Fundației ”România de Mâine”, 2004.

Hart, W., D., The Evolution of Logic, New York: Cambridge University Press, 2010.

Kant, I., Logica generală, București: Editura Științifică și Enciclopedică, traducere Al. Surdu, 1985.

Leszl, Walter, Aristotle’s Logical Works and His Conception of Logic, Topoi, No. 23, 2004.

Ollongren, Alexander, Aristotelian syllogisms, Acta Astronautica, No. 68, 2011.

Petrovici, I., Curs de logică, Iași: Institutul European, 2000.

Petrovici, I., Teoria noțiunilor, București: Tipografia «Jockey-Club» Ion C. Văcărescu, editia a doua, 1925.

Sălăvăstru, Constantin, Silogismul retoric și argumentarea discursivă (I), Iași: Analele științifice ale Universității ”Al. I. Cuza” din Iași, tomul XXXIX, 1-2, 1993.

Tennant, Neil, Aristotle's Syllogistic and Core Logic, History and Philosophy of Logic, vol. 35, No. 2, 2014.

Tomassi, Paul, Logic, London: Routledge, 1999.

Vander Nat, Arnold, Simple formal logic, Abingdon (UK): Taylor & Francis, 2010.