REZOLVAREA UNOR PROBLEME DE FIZICA FOLOSIND ECUATIILE DIFERENTIALE Coordonator: Sustinator: Lector univ.dr. Raluca -Mihaela GEORGESCU Cosmina –… [603999]

1

MINISTERUL EDUCAȚIEI NAȚIONALE
UNIVERSITATEA DIN PITESTI
FACULTATEA DE STIINTE, EDUCATIE FIZICA SI INFORMATICA
SPECIALIZAREA – MATEMATICA

LUCRARE DE LICENTA
REZOLVAREA UNOR PROBLEME DE FIZICA FOLOSIND
ECUATIILE DIFERENTIALE

Coordonator: Sustinator:
Lector univ.dr. Raluca -Mihaela GEORGESCU Cosmina – Alexandra IONITA

PITESTI, 2017

2

CUPRINS

Capitolul 1 – Ecuatii diferentionalre ordinare de ordinul I……… 3
1.1. Notiuni generale ………………………………………………………………………….. 4
1.2. Tipuri de ecuații diferențiale de ordinul i intalnite in fizica ………………. 7
1.2.1 Ecuatii direct integrabile …………………………………………………………. 7
1.2.2 Ecuatii cu variabile separate ……………………………………………………. 7
1.2.3 Ecuatii diferentiale cu variabile separabile ……………………………….. 8
1.2.4 Ecuatii diferentiale liniare scalare ……………………………………………. 8
1.2.5 Ecuatii diferentiale afine ……………………………….. ……………………….. 9
1.2.6 Ecuatii diferentiale omogene ……………………………………………………. 10
Capitolul 2 – Ecuatii diferentiale ordinare de ordin superior……… 12
2.1.1 Ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti constanti ………………………………. 12
2.1.2 Ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti neconstanti sau variabili ………… 14
Capitolul 3 – Sisteme de ecuatii difereniale de ordinul I…………….. 17
3.1 Sisteme de ecuatii di ferentiale ordinare de ordinul i, liniare si omogene cu coeficienti
constanti …………………………………………………………………………………………………. 17
3.2 Sisteme de ecuatii diferentiale or dinare, liniare si neomog ene cu coeficienti neconstanti
(variabili) ………………………………………………………………………………………………… 18
Capitolul 4: Aplicatii practice ale ecuatiilor diferentiale……………. 21
4.1. Ecuatii dir ect integrabile ………………………………………….. 21
4.1.1 Suprafata de echilibru a unui lichid in rotatie ………………………….. 21
4.2. Ecuatii liniare…………………………………………………………… 22
4.2.1. Descarcarea unui condensator intr -o rezistenta…………………… ……….. 22
4.3. Ecuatii cu variabile separabile …………………………………………….. 23
4.3.1 Variatia presiunii atmosferice in raport cu presiunea.. ……………. ……….. 23
4.3.2 Caderea libera………………………………………………………………….. ……….. 27
4.3.3 Miscarea corpurilor pe verticala……………………………………………. …….. 33

3
4.4 Ecuatii diferentiale afine ………………………………………………………. 33
4.4.1 Incarcarea unui condensator printr -o rezistenta in prezenta unei surse de curent
continuu……………………………………………………………………………. ………………. 33
4.4.2 Formula fundamentala a curentului alter nativ…………………………… … 35
4.4.3 Transformarea energiei electrice in caldura…………………………… ….. 37
4.5 Ecuatii omogene………………………………………………………………. ……… 38
4.5.1 Oglinda parabolica …………………………………………………………………… 38
Ecuatii diferentiale de ordinul II
4.6 Ecuatii diferentiale de ordinul II neomogene cu coeficienti constanti.. .. 40
4.6.1 Miscarea unui pendul ……… ………………………………………………………….. 40
4.7 Ecuatii diferentiale de ordinul II omogene cu coeficienti constanti… ….. 43
4.7.1 Calculul perioadei unui circuit oscilant ………………………………………… 43
4.7.2 Propagarea caldurii intr -o bara …………………………………………………… 47
Bibliografie………………………………………………………………………………………. 50

4

CAPITOLUL 1: ECU ATII DIFERENTIALE ORDINARE DE OR DINUL INTAI
Fenomenele fizice guverneaza o serie de procese, care se petrec in natura. Aceste procese
pot avea loc atat in organisme vii, cat si in cele nevii.
In scopul de a intelege si de a controla in propriul interes fenomenele naturale, omul isi
imagineaza diferite modele. In esenta, modelul reprezinta o abstractizare in care, din
fenomenele fizice generale, se retin numai anumite aspecte , care intereseaza la un moment
dat.
Sub aspectul formal, modelul reprezinta un set de relatii matematice in care se evidentiaza
parametrii de intrare (x) si parametrii d eiesire (y). Ingenuozitatea modelului consta in a
imagina o astfel de relatie intre parametrii de intrare , care sa conduca la anumite valori de
iesire.
Formal, para metrii de intrare (t, D(t ) – domeniu multidimensional ) sunt dati sub forma unui
vector definit intr -un spatiu multidimensional ( D(t )). In acelas i spatiu sau in alt spatiu ( D(x ) )
se obtin parametrii de iesire ( x ). Matematic, rezulta:
̅ ( ) ̅
In ca zul urmaririi unor procese fizice, paramatrii de iesire depind ( liniar sau neliniar ) de parametrii
de intrare, precum si de variatiile acestora in spatiul definit anterior.
In cazul cel mai simplu, vectorul ̅ este monodimensional si domeniul lui de defi nitie D(x) este
monodimensional real.
In aplicatiile fizice, cel mai adesea, acest parametru de intrare este timpul,notat cu t.
Parametrul de iesire, in acceptiunea ca depinde de variatiile parametrului de intrare t,
condulce la urmatoarea situatie: se co nsidera doua momente de timp t 1 si t 2, t1 < t2 pentru
care se cunosc din masuratori practice, valorile paramatrului de iesire ( x(t 1 )si x(t 2)). Functia
care ar trebui gasita, trebuie sa tina cont de aceste variatii. Ea trebuie sa satisfaca evaluarea
lui ̅ si la alte momente de timp.
Observatie: In fizica, cel mai adesea, spre deosebire de matematica, timpul e definit pe IR +.
De exemplu, daca t 1 si t 2 sunt momente de timp si x1 si x 2 sunt doua pozitii ale unui obiect,
atunci se poate determina viteza ( fun ctia necunoscuta ), care depinde de timp si
( ) ( )

Formal, ecuatia de mai sus se poate scrie:

5
Daca trecem la variatii infinit mici, atunci si

Operator care se numeste derivata .
1.1 NOTIUNI GENERALE
Definita 1.1.1: O ecuatie diferentiala este o ecuatie in care necunoscuta este functie, nu o
variabila, si folosim o relatie de dependenta matematica cu derivatele acesteia.
In functie de relatia de dependenta cu deriv atele, ecuatiile diferentiale s e clasifica in doua
cate gorii:
 Ecuatii diferentiale oridinare , in care functia necunoscuta depinde de o singura
variabila;
 Ecuatii cu derivate partiale , in care necunoscuta depinde de mai multe variabile.
O ecuatie diferentiala ordinara se poate scrie sub forma :
( ( ))
Definitia 1.1.2 : Se numeste ordin al ecuatiei diferentiale, ordinul cel mai mare al derivatelor.
Oricare dintre primitivele functei f poate fi numita solutie a ecuatiei initiale, chiar solutie
generala. Solutii particulare se obtin, dandu -i diferite valori constantei C.
Observatia 1.1.3 : Solutia generala a unei ecuatii diferentiale depinde intotdeauna de un
numar de constante egal cu ordinul maxim al derivatei functiei cunoscute de noi.
Definitia 1.1.3: Se numeste problema Cauchy pentru ecuatia diferentiala
( ) ( )
si punctul ( ) , problema care inseamna determinarea unei solutii de forma
( ) ( )
care verifica conditia initiala:
( ) ( )
Lema 1.1: Rezolvarea problemei Cauchy
{ ( )
( ) ( )
e acelasi lucru cu cu rezolvarea urmatoarei ecuatii:

6
( ) ∫ ( ( ))
( )
Demonst ratie:
Daca ( ) este solutie a problemei Cauchy (1.1.4) , atunci
( ) ( ( )) ( )
Integram relatia (1.1.6):
∫ ( )
∫ ( ( )) ( ) ( )
( )
( )
si este solutie a ecuatiei (1.1.4).
Definitia 1.1.4: O functie se numeste lipschitziana in raport cu x ϵ D daca exista
L > 0, L – constanta, astfel incat pentru oricare ar fi (t,x) ϵ D, (t,z) ϵ D are loc urmatoarea
inegalitate:
| ( ) ( )| | | ( )
Teorema 1.1.1 ( Teorema de unicitate si existenta)
Fie , f continua pe domeniul D, f(t,x), ( ) este lipschitziana in
raport xu x si continua pe D in raport cu toate componentele lui x.

FORME ALE ECUATIILOR DIFERENTIALE ORDINA RE DE ORDINU L I
Definitia 1.1.5: O ecuatie diferentiala ordinara de ordinul I e o relatie intre o functie ,
derivata aceste ia si variabila independenta .
Forma generala arata in felul urmator:
( )
( )
Aceasta forma generala se mai numeste si forma implicita , datorita faptului ca i l contine
implicit pe x ’.
Teorema 1.1.2 ( a functiilor implicite): Fie o multime deschisa, functia F : D → R si
punctul (a,b) ϵ D. Daca sunt indeplinite conditiile:
i) F(a,b)=0;

7
ii) F ϵ C1(D);
iii)
( )
Atunci exista o vecinatate U a lui a si o vecinatate V a lui b si o unica functie y : U → V
astfel incat:
I) F(x, y(x))=0, oricare ar fi x ϵ U;
II) y e diferentiabila pe U;
III) y(a)=b.
 In cazul in care
, y’ poate fi explicitat din Teorema functiilor implicite si
obtinem astfel forma canon ica sau forma explicita a ecuatiilor de ordinul I:
( ) ( )
 In cazul in care ( ) atunc i putem scrie forma inversa :

( ) ( )
 Regasim si forma diferentiala:
( ) ( )
echivalenta cu forma diferentiala generala:
( ) ( ) ( )
Forma diferentiala general a se mai poate scrie:

( )
( )

( )
( ) ( )

Observatia 1.1.: Ecuatiile de la (1.1 .6) si (1.1.7 ) nu sunt definitie in punctele (x 0,y0) in care
P si Q se anuleaza.
 Putem regasi si forma simetrica a ecuatiilor diferentiale ordinare:

( )
( ) ( )

Definitia 1.1.6 : Numim soluti e a ecuatiei diferentiale (1.2.4 ) intr-un interval real [a,b] o
functie de clasa C1([a,b]), y=y(x), care verifica ecuatia (1. 2.4):

8
( ) ( ( )) [ ] ( )
Observatie 1.1.2: Daca gasim o c onstanta reala c pentru care f(t,c)=0, atunci x =c este solutie
a ecuatiei (1.2.4) si poarta numele de solutie stationara.
Ecuatiile diferent iale ordinare pot avea solutii date astfel:
 sub forma explicita : x=x(t );
 sub forma implicita ( )
 sub forma parametrica { ( )
( )

1.2 TIPURI DE ECUAȚII DIFERENȚIALE DE ORDINUL I INTALNITE IN FIZICA
1.2.1 EC UATII DIRECT INTEGRABILE

Forma generala a unei ecuatii direct integrabile este urmatoarea:

( ) ( )
In care f() : I → |R este o functie continua.
Algoritm ul 1.2.1 de rezolvare a ecutiilor diferentiale ordinare direct integrabile:
Pas 1: Rescriem ecuatia (1.2.1) in felul urmator:
( ) ( )
Pas 2: integram ecuatia (1.2.2):
∫ ∫ ( ) ( )
Pas 3: Obtinem solutia:
( ) ( ) ( )

1.2.2 ECUATII CU VARIABILE SEPARATE

Fie X si Y doua functii continue, X depinde de variabi la t si Y depinde de variabila x . Atunci,
forma sa generala se poate scrie in felul urmator :

( ) ( ) ( )
Algorit ul 1.2.2 de rezolvare a ecuatiilor di ferentiale cu variabile separat e:
Pas 1: Scriem functia:
( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ( )

9
Pas 2: Calculam diferent iala dunctiei F(x,y) de la (1.2.6) :
( )

( ) ( ) ( )
Astfel, obtinem urmatoarele rezultate:
( ) ( )
Pas 3: Solutia generala a problemei (1.2.5 )este:
∫ ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) ( )

1.2.3 ECUATII DIFERENTIALE CU VARIABILE SEPARABILE
Acest tip de ecuatii cu v ariabile separabil e are forma generala:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
unde A( ), a( ) : I→ IR si B ( ), b ( ) : D →| R sunt doua functii continue.
Algoritm ul de rezolvare al ecuatiilor diferentiale cu variabile separabile :
Pas 1: Daca ( ) ( ) ( ) pe tot domeniul de definitie, atunci impartim relatia cu
μ(x,y) si obtinem:
( )
( ) ( )
( ) ( )
Pas 2: Si, solutia ecuatiei ( 1.2.10 )este:
∫ ( )
( ) ∫ ( )
( ) ( )

1.2.4 ECUATII DIFERENTIALE LINIARE SCALARE

O ecuatie diferentiala linia ra scara poate fi data sub forma:

( ) ( )
unde A ( ) : I → IR este o functie continua.
Obseservatie 1.2.4 : Ecuatia diferentiala liniara poate fi considerata un caz particular al
ecuatiei diferentiale cu variabila separab ila in care B(x)=x.
Algorit mul 1.2.4 de rezolvare a ecuatiilor diferentiale liniare scalare:

10
Pas 1: Separam variabilele:

( ) ( )
Pas 2 : Integram relatia (1.2.13) :
∫
∫ ( ) ( )
Pas 3: Scriem solutia:
( ) ∫ ( ) ( )

1.2.5 ECUATII DIFERENTIALE AFINE
O ecuatie diferentiala afina poate fi scrisa sub forma generala astfel:
( ) ( ) ( ) ( )
unde A ( ), B ( ) : I → IR sunt doua functii continue.
Algori mtul 1.2.5 de rezolvare a ecuatiilor diferentiale afine:
Pentru a putea rezolva o ecuatie diferentiala scalara ca cea de la (1.2.16), este nevoie sa
parcurgem doua etape;
Etapa 1:
In prima etapa aflam solutia ecuatiei omogene, considerand B(t)=0 si notam solutia cu x 0.
Etapa 2:
Etapa a doua presupune variatia c onstantei, adica considera c=c(t) si se determina inlocuind
in ecuatia initiala (1.2.16).
Obtinem o solutie particulara (ⱷ 0(t) ) prin inlocuirea lui c(t) in expresia lui x 0.
Etapa 1: Rezolvarea ecuatiei omogene
Pas 1: Scriem ecuatia omogena:
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) | | ∫ ( )
Pas 2: Obtinem solutia:
∫ ( ) ( )
Etapa 2: Variatia constantei
Pas 1: Variem constanta din expresia lui x 0 si obtinem:
( ) ( ) ∫ ( ) ( )
Pas 2: Inlocuind expresia (1.2.19) in expresia ecuatiei initiale (1.2.17) , obtinem:

11
( ) ∫ ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ( )
( ) ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ( )
Pas 3: Obtinem solutia:
( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ( )
Pas 4: Inlocuind expresia (1.2.20) in (1.2.19) , obtinem:
∫ ( ) [∫ ( ) ∫ ( ) ] ( )
Pas 5: Solutia generala este
( ) ( ) ( ) ( )

1.2.6 ECUATII DIFERENTIALE OMOGENE

Forma generala a unei ecuatii omogene este urmatoarea:

(
) ( )
in care functia f ( ) : I → IR este continua.
Algoritm ul 1.2.6 de rezolvare a ecuatiilor diferentiale omogene:
Pas 1: Folosim schimbarea de variabila:
din care obtinem , de unde
(1.2.24 )
Pas 2: Inlocuind relatia 1. 2.24 in relatia 1.2.2 3, ajungem la urmatorl rezultat:
( ) ( )
| ( ) |
Pas 3: Scriem relatia:

| ( ) |
| ( ) |
( )
Pas 4: Integram relatia (1.2.25) :
∫
| ( ) | ∫
( ) | | ( )
Pas 5: Solutia generala, data in forma implicita, este
( ) | | ( ) ( )
Pas 6: Revenim la schimbarea de varia bila si il inlocuim pe u cu x/t.
Pas 7: Obtinem solutia genrala sub forma implici ta pentru ecuatia initiala (1.2.2 3):

12
(
) ( )

13
CAPITOLUL 2: ECUATII DIFERENTIALE ORDINARE LINIARE DE ORDIN SUPEROR

Ecuatiile diferentiale liniare pot fi intalnite sub forma generala:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Ecuatia omogena se poate scrie in felul urmator:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Observatia 2.1: Daca ecuatia omogena (2.2) admite solutia complexa , atunci
cele doua functii u si v, care sunt functii reale, sunt chiar solutii ale ecuatiei (2.2).
Observatia 2.2: Daca p ϵ N si sunt solutii ale ecuatiei omogene (2.2) si
, atunci
( )
Observatia 2.3: Pentru a determina solutia generala a ecuatiei omogene (2.2), e necar sa se
determin e n solutii liniar independente independente.
Teorema 2.1: Solutiile sunt liniar independente daca si numai daca
exista un x0 ϵ I astfel incat urmatoru ldeterminant e nenul in punctul x 0:
( )( ) | ( )
( )

( ) ( )
( )

( ) ( )
( )

( )| ( )
Determinantul (2.4) se numeste wronskianul sistemului .
Ca si algoritm de rezolvare a ecuatiilor liniare de ordin superior , gasim urmatorii pasi:
Pas 1: Se rezolva ecuatia omogena (2.2) si se obtine o solutie xA;
Pas 2: Sa gaseste o solutie xB a ecuatiei neomogene;
Pas 3: Se afla solutia generala a ecuatiei omogene du pa regula :
( )
Ecuatiile diferentiale oridnare liniare de ordin superior, tntalnite in fiza, sunt cele cu
coeficienti constanti si cele cu coeficienti neconstanti sau variabili.
2.1.1 ECUATII DIFERENTIALE LINIARE CU COEFICIENTI CONSTANTI
Forma generala a unei ecuatii liniare cu coeficienti constanti este:
( ) ( ) ( )

14
In rezolvarea ecuatiilor diferentiale liniare cu coeficienti constanti ne vom folosi de
algoritmul de rezolvare al ecuatiilor diferentiale omogene, care este compus din doua parti:
– rezolvarea ecuatiei omogene;
– determinarea unei solutii particulare a ecuatiei neomogene.
o Algoritmul 2.1.1 de rezolvare a ecuatii difere ntiale ordinare liniare de ordin superior
cu coeficienti constanti:
Partea I: Rezolvarea ecuatiei omogene
Pas 1: Se scrie ecuatia omogena cu coeficienti constanti:
( ) ( ) ( )
Pas 2: Se scrie polinomul caracteristic:
( )
Pas 3: Se incearca rezolvarea polinomului (2.1.3) pentru a gasi radacinile .
Pas 4: Se cauta solutiile sub forma:

Observatia 2.1.1: Daca radacina λ e complexa, adica si are ordinul de
multiplicitate p, atunci solutiile cautate vor fi de forma:
( ) ( ) ( )
Observati a 2.1.2: In cazul ecua tiilor diferen tiale ordinare cu coeficien ti constan ti se poate
determina un sistem fundamental de solu tii, exprimat prin func tii elementare.
o Algoritmul 2.1.2 de determinare a solutiei particulare a ecuatiei neomogene:
O ecuatie neomogena cu coeficienti are urmatoarea forma generala:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
In cazul ecuatiilor diferentiale ordinare liniare de ordin superior neomogene nu exista un
anumit algori tm de rezolvare, dar se pot afla sloutiile dupa regulile ce urmeaza a fi
prezentate mai jos.
Daca solutia f(t)=P(t) este un polinom de grad m, atunci solutia particulara este tot un
polinom de grad m. Coeficientii polinomului respectiv se determina dupa inlocuirea in
ecuatia initiala.
Daca ( ) ( ), atunci:

15
(a) Daca a e radacina de ordin k a polinomului caracteristic, atunci solutia e
de forma:
( )
cu coeficientii lui Q(t) necunoscuti;
(b) In cazul in care a nu e radacina a polinomului caracteristic, , atunci solutia
e de forma:
( )
In cazul in care f(t) are urmatoarea reprezentare:
( ) ( ( ) ( ) )
atunci:
(a) Una din radacinile polinomului caracteristic este este solutie de ordin k,
atunci solutia particulara cautata este de forma:
( ) ( ( ) ( ) )
unde S(t) si T(t) sunt polinoame cu gradul= ( )
(b) Daca z=a+bi nu este radacina a polinomului caracteristic, atunci sol utia particulara
cautata va fi de forma:
( ) ( ( ) ( ) )

2.1.2 ECUATII DIFERENTIALE LINIARE CU COEFICIENTI NECONSTANTI SAU VARIABILI
Ecuatiile diferentiale ordinare liniare de ordin superior cu coeficienti variabili sunt un ca z
aparte al ecuatiilor diferentiale de ordin superior. Pentru rezolvarea lor nu exista un
algoritm specific de rezolvare pentru aflarea solutiei generale. Dar, in cazul in care solutia
generala este cunoscuta, putem folosi acest rezultat pentru a determina solutia
particulara, aplicand metoda variatiei constantelor.
Pentru determinarea solutiei avem nevoie de urmatoarea teorema:
Teorema 2.1.2: Fie solutia generala a ecuatiei omogene
( ) ( ) ( ) ( )
Daca ( ) ( ) ( ) verifica relatiile urmatorului sistem:

16
{ ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )
atunci ( ) ( ) ( ) ( ) este solutie a ecuatiei
( ) ( ) ( ) ( )
Pentru ecuatia
( )
Solutia se determina in felul urmator:
Pas 1: Se face notatia: si se scrie ecuatia omogena:
( )
Pas 2: Se afla z:

( )
Pas 3: Revenind la notatia de la Pasul 1 , obtinem ca:

( )
Pas 4: Integram ecuatia (2.1.10):
∫ ∫
( ) ( )
Pas 5: Aplicam metoda variatiei constantelor, luand urmatoarele valori:
( )
( )
Pas 6: Sistemul se poate scrie in felul urmator:
{ ( ) ( ) ( )
( )
( ) { ( )
( ) ( )
Pas 7: Integram ecuatiA (2.1.12):

17
{ ( ) ∫
( ) ∫
{ ( )

( )

Pas 8: Scriem solutia generala a ecuatiei:
( )

unde k si p sunt doua constante reale.
Observatia 2.1.2: Chiar daca functia f(x) Nu este sub forma de mai sus, solutia ei se poate
determina tot cu metoda variatiei constantelor.
Exemplu: Daca

( )
Sa se determine solutia generala a ecuatiei (2.1.13).
Pas 1: Se scrie ecuatia omogena:
( )
Pas 2: Scriem polinomul caracteristic pentru ecuatia (2.1.14) si aflam radacinile lui:
( )
Pas 3: Scriem solutia ecuatei omogene (2.1.14):
( ) ( )
Pas 4: Consideram urmatoarele valori pentru a putea aplica metoda variatiei constantelor:
( )
( )
Pas 5: Scriem sistemul pentru variatia constantelor:
{ ( ) ( )
( ) ( )( ) { ( )
( ) ( )
Pas 6: Scriem solu tia generala a ecuatiei (2.1.13):
( ) ( ) ( )
unde k si p sunt doua constante reale.

18
CAP. 3: SISTEME DE ECUATII DIFERENTIALE ORDINARE DE ORDINUL I
Forma generala ( explicita) sub care putem intalni un sistem de ecuatii diferentiale d e ordiul
intai este:
{ ( )
( )

( ) ( )
unde .
Daca am nota
( )
( ) ( ) ( ( ) ( ))
atunci, sistemul (3.1) se poate rescrie astfel;

( ) ( )
Problema Cauchy specifica sistemelor de ecutii diferentiale de ord inul intai este formata din
sistemul de ecuatii diferentiale si conditii initiale si se poate scrie astfel:
{ ( )
( )

( ) ( )
Observatia 3.1: Orice sistemul de ecuatii diferentiale ordinare de ordinul I poate fi redus la o
ecuatie diferentiala ordinara de ordinul I. Reciproca este si ea valabila: orice ecuatie
diferentiala de oridnul I poate fi redusa la un sistemul de ecuatii diferentiale de o rdinul I.

3.1 SISTEME DE ECUATII DIFERENTIALE ORDINARE DE ORDINUL I, LINIARE SI OMOGENE CU
COEFICIENTI CONSTANTI
Un sistem de ecuatii diferentiale de ordinul I, omogen se poate reprezenta in forma sa
canonica astfel:
{

( )
Pentru rezolvarea sistemului (3.1.1) este necesara scrierea matricei asociate:

19
(

) ( )
Facem urmatoarele notatii:
( ) ( ( ) ( ))
( ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) ( ))
Forma matriceala a sistemului omogen (3.1.1) este:
( )
Forma matriceala a sistemului neomogen este:
( )
Solutia generala a sistemului (3.1.1) arata in felul urmator:
( ) ( )
unde sunt constane reale si valoriil e proprii, aflate pentru matricea A.
Valorile pr0prii se afla in felul urmator:
( ) |

| ( )
Teorema 3.1.1: Daca ( ) ( ) sunt solutiile sistemului o mogen (3.1.1), atunci o alta
solutie a sistemului e de felul urmator:
( ) ( ) ( )
unde c 1 si c 2 sunt constante reale.
Teorema 3.1.2: Fie x p o slutie particulara a sistemului nemogen (3 .1). Atunci x(t) este solutie
a sistemului (3.1) daca si numai daca
( ) ( ) ( ) ( )
Demonstratie:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ( ) ( )) ( )
Definitia 3.1.1: Fie A o matrice patratica. Vectorul V i se numeste vector propriu daca si
numai daca astfel incat are loc relatia:

20

In cazul in care ecuatia caracteristica are valorile reale λ1,λ2 ,…, λn și V1,V2 ,…, Vn sunt
vectorii corespunzãtori valorilor, soluția sistemului este
( )
In cazul in care ecuatia caracteristica are solutii reale sau complexe, si fiecare λ are ordinul
de multiplicitate p, atunci
{
(
)

si solutia se poate scrie astfel:
(
( )
( )
)

Putem observa ca aflarea solutiilor unui sistem de ecuatii diferentiale oridnare, liniar, se face
dupa urmatorul a lgoritm:
Algoritmul (3.1.1)
Pas 1: Se scrie matricea A asociata sistemului de ecuatii diferentiale;
(

)
Pas 2: Aflam valorile proprii, folosind ecuatia (3.1.14);
|

|
Pas 3 : Se determin vectorii proprii (3.1.3) pentru fiecare valoare proprie aflata;
Pas 4 : Scrierea sistemului fundamental de solutii;
( ) ( )
Pas 5: Se afla solutia generala a sistemului de ecuatii diferentiale.
( ) ( ) ( )

3.2 SISTEME DE ECUATII DIFERENTIALE ORIDNARE, LINIARE SI NEOMOGENE CU
COEFICIENTI CONSTANTI
Sistemele de ecuatii diferetiale oridnare de ordnul I, liniare si neomogene sunt intalnite, cel
mai des, in forma lor generala:
( ) ( ) ( ) ( )

21
Determinarea solutiei unui sistem de forma (3.2.1) este asemanatoare Algoritmului de
rezolvare al ecuatii diferentiale ordinare de ordinul i neomogene: solutia generala este
formata din solutia generala ecuati ei omogene si solutia particulara a ecuatiei neomogene.
Forte utila, in aflarea solutiei particulare, este metoda variatiei constantelor.
Teorema 3.2.1: Daca este solutia sistemului omogen asociat
sistemului (3.2.1), atunci o solutie particulara a sa este:
( ) ( ) ( )
cu conditia ca
( ) ( ) ( ) ( )
Aplicand metoda variatei constantelor, se obtin si, prin integrare directa, se
obitn constantele .
Algoritmul (3.2.1) de rezolvare al sistemelor de ecuatii diferentiale ordinare de ordinul I,
linia re si neomogene:
Pas 1: Se scrie sistemul omogen asociat;
Pas 2: Se scrie matricea A a coeficentilor;
Pas 3: Se calculeaza valorile proprii dupa formula
( )
Pas 4: Se scriu vectorii corespunzatorii valorilor proprii V i;
Pas 5: Se scrie solutia generala a sistemului omogen:
∑

Pas 6: Se aplica metoda variatiei constantelor pentru aflarea lui C i;
Pas 7: Se scrie solutia particulara x p a sistemului neomogen;
Pas 8: Se scrie solutia generala a sistemului neomogen:

22
CAP. 4: APLICATII PRACTICE ALE ECUATIILOR DIFERENTIALE DE ORDINUL I IN
FIZICA
4.1 Aplicatii ale ecuatiilor diferentiale direct integrabile
4.1.1 Suprafata de echilibru a unui lichid in rotatie
Propozitia [4.1.1]: Un tub vertical in forma de cilindru ( raza r ) se invarte rapid cu viteza
unghiulara constanta ⱷ in jurul propriei axe. Aratati ca ecuatia determinata de intersectia
suprafetei de rotatie a lichidului cu un plan care contine axa tubului este data de
urma toarea ecutie diferentiala ordinara :
( )
( )
Demonstratie
Identificam datele problemei:
– necunoscuta este functie x=x(t)
– variabila independenta este t;
– x : {-r,r} – e inaltimea lichidului dintre axa cilindrului si si o distanta t

( )
Lichidul se ridica pe peretii tubului datorita actiunii fortei de inertie.
Observam ca in problema aceasta intervin doua forte: greutatea (G) si forta centrifuga (F c),
cu formulele:
⃗ ⃗
⃗⃗⃗⃗ ⃗ ( )
In care m reprezinta punctul de masa.
Forta ⃗ este perpendiculara pe planul tangent la suprafata lichidului datorita vitezei de
rotatie, care este con stanta. Ceea ce conduce la faptul ca unghiurile α si β sunt congruente.
Astfel,

Deducem ecuatia ecuatie care descrie curba de rotatie de forma urmatoare:
( )

Prin integrare directa se obtine:

23
( ) ∫

( )
care este o ecutie diferentiala d eoridul intai direct integrabila.
Observam ca relatia (4.1.3) este o ecuatie de gradul 2 in t, deci graficul ei va fi reprezentat de
o pa rabola.

4.2. Aplicatii ale e cuatii lor diferentiale liniare
4.2.1 Descarcarea unui condensator intr -o rezistenta
Este importanta studierea descarcarii condensatorului, deoarece este un fenomen foarte des
intalnit, mai ales in circuitele folosite in transmisiunile din televiziune si radio.
Propozitia [4.2.1]: Fie un circuit electric, alcatuit dintr -un condensator cu capacitatea C si
rezistenta R. Sa se descrie intensitatea curentului, ( i(t) ) si si diferenta de potential ( v(t) )
la bornele conden satorului, tinand cont de un moment de timp t si de sarcina initiala Q
prin urmatoarea problema Cauchy: .
{ ( ) ( )

( )
Demonstratie
Consideram urmatorele functii: [ ) .
– I (t) reprezinta intensitatea;
– q (t) reprezinta sarcin electrica;
– v(t) reprezinta diferential de potential la bornele condensatorului in functie de un
anumit timp.
( ) ( ) ( )
Formula intensitatii eletrice la descarcare:
( ) ( )
( )
La bornele rezistentei, putem aplica Legea lui Ohm pentru intensitatea electrica:

( )
Relatiile (4.2.1 ), (4.2.2), (4.2.3) ne conduc la urmatoarea problema Cauchy:

24
{ ( ) ( )

( ) ( )
Asadar, problema Cauchy (4.2.4) ne conduce la o ecuatie liniara si omogena de ordinul I sau,
mai poate fi considerata, si euatie diferentiala cu variabile separabile.

( )

( )
Integram ecuatia (4.2.5):
∫
∫
( )
( )
( )
Tinem cont de relatia ( ) obtinem din relatia (4.2.6):
( )
( )
Mai departe, se afla intensintatea curentului la descarcare, folos ind rezultatul (4.2.7):
( ) ( ) ( )
( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

Se considera β ca fiind momentul de la care descarcarea este terminata, astfel incat
( )

Inlocuind in rezultatul obtinut pentru i(t) , rezulta ca

4.3 Aplicatii ale ecuatiilor cu variabile separabile
4.3.1 Variatia presiunii atmosferice in raport cu altitutinea
Propozitia [4.3.1]: Presiunea atmosferica p=p(h) a unei mase volumice de aer ρ la o
temperatura T in raport cu inaltimea h, care a fost masurata incepand cu nivelul marii,
unde presiunea este p(0)=p. Atunci, presiunea atmosferica este data de problema Cauchy
{ ( )
( ) ( )
( ) ( )
Demonstratie:

25
Identificam datele problemei:

( )

Putem porni rezolvarea problemei, pornind de la ecuatia fundamentala a hidrostaticii:
( )
Consideram aerul la un gaz perfect si, atunci

In care stim ca n reprezinta numarul de moli de aer din volumul v si R e o constanta.

Ecuatia folosita pentru descrierea presiunii va fi:

( )
Pentru a putea arata ca presiunea atmosferica este data de problema Cauchy (4.3.1),
distingem 2 cazuri:
– Cazul 1: consideram temperatura constanta si ecuatia devine:

Care este o ecuatie cu variabile separabile.
Separam variabilele:

( )

( )
Trecem totul in membrul stang si integram ecuatia (4.3.4):
∫
∫
( ) ( ) ( ) ( )
Folosim conditia initiala din problema Cauchy si solutia devine:
( )
Presiunea scade exponential in raport cu altitudinea.

26
– Cazul 2 : Consideram ca temperatura nu ar fi constanta, caz in care aerul respecta
legea transformarilor abatice:

Se obtine rezultatul urmator:
(
) ⁄
( )
Folosind relatiile (4.3.6) si se ajunge la urmato area relatie:

(
) ⁄

⁄

( )
Rezultatul problemei se reduce la scrierea si rezolvarea urmatoarei probleme Cauchy:
{ ( )
⁄ ⁄( )
( ) ( )
Folosind, in ecuatia (4.3.8), urmatoarea notatie:
⁄ si, problema Cauchy (4.3.8), se
poate rescrie astfel:
, ( ) ⁄( )
( ) ( )
Se rezolva ecuatia ( ) ⁄( ) prin separarea variabilelor si integrare:

⁄( )

∫
∫
( ) (
)( )
( ) [(
)( )]

( )
Folosind condtia initiala ( ) din (4.3.1) si, inlocuind in (4.3.10), se obtine:
( ) * ( )
⁄
+

( )
Ecuatia (4.3.11) ne arata ca presiunea este invers proportionala cu altitudinea,adica, atunci
cand altitudinea cres te, presiunea scade.
Altitudinea maxima la care exista atmosfera este:

27
( )
⁄

Propozitia [4.3.1.1]: Viteza de racire a unui corp, aflat intr -un mediu cu o anumita
temperatura, este proportionala cu diferenta dintre temperatura corpului respectiv si
temperatura mediului in care se afla.
Exemplu de Problema : O tava de prajituri tocmai a fost scoasa din cu ptor si s -a constat ca
temperatura ei este de 1000C si scade pana la temperatura de 600C in doar 20 de minute .
Stiind ca temperatura din interiorul bucatariei este de 200C, aflati peste cat timp tava va
ajunge la temperatura de 250C.
Rezolvare
Identificam datele problemei:
– x(t) – temperatura tavii masurata la timpul t;
– t – momentul la care se face masuratoarea;
– x0 – temperatura din interiorul bucatariei;.
Propozitia[4.3.1.1] de mai sus se poate scrie in felul urmator:
( ) ( ( ) )
Unde k este o constanta.
Notam ( ) si rezulta ca:

Separam variabilele si rezolvam ecuatia:

∫
∫

Revenind la notatia lui y, rezulta ca:
( ) ( )
Putem dete rmina x(t) tinand cont de datele problemei:
( ) ( )
( )
( )

28

( )

(
)

4.3.2 Caderea libera
Se presupune existenta unui obiect care se deplaseaza pe verticala sub actiunea greutatii
sale si a unei viteze initiale nenule v0.Miscarea ar fi uniform accelerata, dar e incetinita de
rezistenta aerului R=R(). Variabila independenta este timpul t si parametrul care intereseaza
este evolutia vitezei in functie de timp.
Propozitia [4.3.2]: Viteza unui corp in miscare verticala sub act iunea greutatii sale si a
rezistentei aerului este solutia problemei Cauchy
{ ( ) ( )
( ) ( )
In care viteza de pornire este chiar v 0.
Demonstratie :
Identificam datele problemei:
– t – variabila independenta;
– R=R() – rezistenta aerului;
– a(t)=v’(t) – acceleratia corpului;
– v(0)=v 0 – conditia initiala;
– v=v(t) – functia necunoscuta.
Legea fundamentala a dinamicii poate fi scrisa in felul urmator:
( ) ( )
Se vor studia doua cazuri posibile:
– cand rezistenta este proportionala cu viteza (dependenta liniara) (R(t)=kv(t))
– cand rezistenta e proportionala cu viteza printr -o dependenta neliniara ( in particular,
patratica: R(t)=kv2(t)).

29
Fenomenul fizic este modelat cu urmatoarea ecuatie:
( ) ( )
Legea scrisa la (4.3.13) ne conduce la doua posibile situatii:
– Cazul 1 : Rezistenta aerului R(t) este direct proportionala cu viteza corpului v(t). In
acest caz, legea de deplasare a corpului
( )
Devine:
( ) ( ) ( )
Inlocuind relatia (4.3.14) in relatia (4.3.13), se obtine:
( ) ( ) ( )
Folosim notatia
si problema Cauchy (2.3.12) se poate rescrie in felul urmator:
{ ( ) ( )
( ) ( )
Deplasarea e accelerata si se poate determina o valoare maxim posibila cand derivata e
nula, adica v’(t)=0.
Se observa ca ecuatia ( ) ( ) este o ecuatie diferentiala cu variabile
separabile si se incearca rezolvar ea ei prin algoritmul prezentat in Capitolul 1:
Se separa variabilele si se integreaza:

Cu solutia singulara: ( )

Se determina solutia generala a ecuatiei (4.3.16):
( )
( ) ( )
Inegrand ecuatia( 2.3.17), se ajunge la:
∫ ( )
( ) ∫ ( )
( )
( ( ))
( )
( ) ( )

30
Folosind conditia initiala
( ) in relatia (4.3.18) obtinem:

Viteza creste proportional cu trecerea timpului si tinde sa atinga valoarea maxima
posibila:

– Cazul 2: In cazul unor deplasari cu viteze foarte mari, influenta aerului are un efect
puternic neliniar asupra viezei si se modeleaza cu relatia:
( ) ( )
Problema se reduce la a rezolva urmatoarea problema Cauchy:
{ (
( ))
( ) ( )
Notand
si problema Cauchy de la (4.3.19) se poate rescrie:
{ ( ( ))
( ) ( )
Prima ecuatie a problem ei Cauchy (4.3.20) este o ecuatie diferentiala cu variabile separabile.
Ca urmare:
( ( ))

( )

Folosind conditia initiala ca v(0)=v 0 , se obtine ca

Se determina solutia generala a pro blemei Cauchy (4.3.20):
( )
( ) ( )
Integrand ecuatia (2.3.21) rezulta ca:

∫
∫

31

(
)
( )
( )
( ) ( )
Se determina C din conditia initiala v(0)=v 0:

Viteza e o functie de timp si putem determina valoarea extrema (maxima) in punctul de
anulare al derivatei: v’(t)=0 .
, ( ) ( ( ))
( ) ( ( ))

√

Pe masura ce timpul creste, viteza creste si ea si tinda sa atinga val oarea maxima

√

Exemplu l 1: Sa se determine viteza limita pe care o poate atinge un corp, stiind ca rezistenta
aerului exercita asupra corpului lansat cu o parasuta este direct proportionala cu patratul
vitezei de miscare.
Rezolvare
Se observa ca problema este un caz particular de cadere libera, mai exact cazul 2.
Ecuatia problemei se poate scrie in felul urmator:

( )
( )

∫
∫
(
)
Logaritmand, se obtine urmatoarea relatie:

( )
( )

32
Revenind la notatia
√
se obtine ca:
( ) √
√
( )
√
( )
( ) √
√

√

Analizand cele doua valori pentru v(t) si v(0)=v 0 se poate observa ca viteza creste pe masura
ce timpul creste si isi atinge viteza maxima in valoarea

√

Exemplul 2: Sa se determine timpul in care se goleste un rezervor printr -o deschizatura de la
baza sa de jos, stiind ca el are forma de cub cu latura l=1m si viteza de scurgere are formula
√
Se dau: c ≈0.6 , g=9.81 g/s2, h e distanta.
Rezolvare
h=h(t) este inaltimea lichidului care a curs in timpul t.
( ) ( ) √ ( ( ))
Se ajunge la urmatoarea problema Cauchy:
, √ ( )
( )
√ ( ( ))
√ ( ) ⁄
( ) ⁄ √
∫
√ √ ∫ √ ( √
)
Stiind ca h(0)=0 rezulta ca:
( ) √

33
Golirea rezervorului se va produce atunci cand ( ) si

√

4.3.3 Miscarea corpurilor pe verticala
La aruncarea pe verticala, corpului i se imprima o anumita viteza initiala, implicit o energie
cinetica
Pe masura ce corpul se deplaseaza pe verticala, acesta este atras de
Pamant si isi micsoreaza vit eza pana cand devina egala cu 0. In acest moment, corpul are
energie cinetica nula si inaltimea h fata de Pamant. Urmeaza un proces invers, de cadere
libera, sustinut de energia potentiala Cee doua energii sunt egale daca
deplasarea se face fara pierderi (frecari cu aerul).
Propozitia [4.3.3]: Variatia impulsului este egala cu forta rezultata ce actioneaza asupra
punctului material.
Se considera corpurile ca fiind puncte materiale de masa m. Ele se misca in apropierea
suprafetei tereste, asa ca asupra lor actioneaza greutatea ⃗ si forta de frecare cu aerul ⃗⃗⃗⃗.
Punctul material este aruncat de la sol pe verticala cu viteza v0.
Miscarea corpului sub actiunea greutatii ⃗⃗⃗
Se neglijeaza frec area corpului cu aerul si se identifica datele problemei:
– v – componenta vitezei pe axa de miscare;
– g – acceleratia gravitationala ( ≈9.81 g/s2)
Solutionarea problemei se reduce la rezlvarea urmatoarei probleme Cauchy:
{
( ) ( )
Ose observa ca ecuatia (4.3.23) este o ecuatie diferentiala cu variabile separabile si se
incearca rezolvarea ei:

Integrand:
∫ ∫ ( )

34
Folosind condtia initiala a problemei Cauchy (4.3.23), se obtine:
( ) ( )
Relatia (4 .3.25 ) arata o miscare uniform incetinita. Acceleratia v’ este negativa si egala cu g.
Viteza scade de la valoarea initiala v0 pana la valoarea 0. In acest moment, corpul isi
inceteaza miscarea ascensionala si urmeaza o miscare uniform accelerata, in care el se
deplaseaza inapoi catre Pamant ca urmare a atractiei acestuia cu forta gravitationaa
⃗⃗⃗⃗⃗
Deplasarea de la sol pe verticala isi schimba legea de variatie daca asupra corpului
actioneaza forta de frecare cu aerul ⃗⃗⃗⃗ Ca urmare, relatiile 2.3.23 devin:
{
( ) ( )
Unde μ este coeficientul de frecare.

4.4 Aplicatii ale ecuatii diferentiale afine
4.4.1 Incarcarea unui condensator printr -o rezistenta in prezenta unei surse de
curent continuu
Propozita [4.4.1]: Se da un circuit format dintr -un condensator, o rezistenta si o sursa de
curent continuu cu o anumita forta electromotoare constanta . Intensitatea curentului si
diferenta de potential la borne in functie de un anumit moment de timp la care se fa ce
masuratoarea, este solutia problemei Cauchy:
{ ( ) ( )

( ) ( )
Demonstratie
Se fac urmatoarele notatii identificate in textul problemei:
– C- capacitatea condensatorului;
– R – rezistenta;
– E – forta electromotoare;
– t – variabila independenta;
– T – momentul la care condensatorul e incarcat;
– i : *0,ꝏ) → intensitatea curentului;

35
– q : *0,ꝏ) → sarcina condensatorului;
– v : *0,ꝏ) → diferenta d epotential la borne.
Fiind vorba de un circuit electric, se poate scrie Legea lui Kirchhoff:
( ) ( )
( )
Relatiile valabile la incarcarea condensatorului sunt urmatoarele:
( ) ( )
( ) ( )
( )
Pentru a afla intensitatea curentului si diferenta de potential la bornele condensatorului
trebuie sa se rezolve problema Cauchy (4.4.1), tinand cont de relatiile (4.4.2) si (4.4.3).
( ) ( )
( )
( )| ( ) ( )

( )
( )
Stiind ca q(0)=0 se obtine:
( ) ( )
Deci, slutia q(t) este:
( )
(
)
Stiind ca ( ) ( )
rezulta ca:
( ) (
)
( ) (
) ( )
( ) ( )
(
) ( )
Momentul de timp la care condensatorul va fi incarcat este
( )
(
)

36
4.4.2 Formula fundamentala a curentului alternativ
Fenomenul de inductie magnetica conduce la curent alternativ, de aceea este nevoie ca
spatiul in care se lucreaza si se studiaza fenomenul fizic sa fie o spira, care, in timp ce se
roteste, atinge polii magnetici Nord si Sud cu o tensiune electromotoare.
Propozitia [ 4.4.2]: Intensitatea curentului electric dintr -un circuit in care actioneaza o forta
electromotoare datorata unei variatii de flux si avand o rezistenta si o bobina montate in
serie, este data de solutia ecutiei diferentiale afine de mai jos:
( ) ( ) ( )
Demonstratie
Identficam datele problemei:
– R=R() – rezistenta curentului electric;
– L – inductia bobinei;
– ϕ(t) – variatia fluxului electric;
– n – numarul de spire dintr -un cadru c onsiderat;
– S – aria spirelor;
– B – inductia campului magnetic;
– E – forta electromotoare;
– ω – viteza unghiulara;
– i() : *0,ꝏ)→IR intensitatea curentului electric.
– t – variabila independenta.
Axa polilor Nord si Sud este taiata de o alta perpendicualra pe ea si formeaza un anumit
unghi cu spira, de aceea fluxul electric poate fi imaprtit in:
– Fluxul nordic ( )
– Fluxul dat de curentul electric in timp ce parcurge cadrul ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
Folosind rezultatul obtinut in (4.4.10) si, inlocuind in (4.4.9), se obtine:
( ) ( )

( ) ( )
Ecuatia (2.4.11) se poate rescrie, folosind notatia , astfel:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )

37
( )

( )

∫
∫

( )
Aflam pe C=C(t):
Stim ca
( )

( ) ( )

( )
( )

(

)

( )

( )
Relatia (4.4.14) se pote rescrie in felul urmator:

( )
|

( )

( )
( )
Se integreaza ecuatia (3.4.15) si obtinem;

( )

∫ ∫ ( )

( )
∫
( ) ( )
Rezolvam ecuatia (4.4.16) prin Integrare prin parti:
( )
∫
(
)
( )
( )
(

( ))
∫

( )
( )
( )

Deci, solutia generala a ecuatiei lui C(t) este:
( )
( )
( )

38
4.4.3 Transformarea energiei electrice in caldura
Propozitia [4.4.3]: Modificarea tem peraturii unui corpin functie de mediul inconjurator
atunci cand , pentru incalzire se foloseste energie electrica, este solutia urmatoarei cuatii
diferentiale ordinare afine:

( )
Demonstratie
Se folosesc urmatorele notatii:
– t – variabila independenta (secunde);
– θ=θ(t) – temperatura corpului;
– W – puterea electrica (watti);
– m – masa corpului (grame);
– c – caldura masica;
– S – suprafata de racire;
– Α – coeficientul de imprastiere.
Scriem ecuatia omogena:

( )
In ecuatia (4.4.19) facme urmatoarea notatie:

Rezolvam ecuati a omogena (4.4.19):

( )
Integrand ecuatia (4.4.20) se ajunge la:
∫
∫ | | ( )
Soluti a ecuatiei omogene (4.4.19) este:
( ) ( )
Aplicam metoda variatiei constantei:
( ) ( ) ( )
( )
Reducand termenii asemenea in relatia (4.4.23), se obtine:

39
( )
( )
( )
∫
( )
( )
In relatia (4.4.24) revenim la notatia anterioara cu k si obtinem urmatorul rezultat:
( )

( )

Deci, solutia particulara este:

(

)
Solutia generala este data de relatia:

(

) (

)

4.5 ECUATII OMOGENE
4.5.1 Oglinda parabolica
Propozitia [4.5.1]:Forma unei oglinzi, care reflecta raza r pe o directie paralela cu axa
Ox si porneste din origine este data de ecuatia diferentiala ordinara:

( )
( )
Demonstratie

40

Figura 4.5.1 Oglinda parabolica
identficam datele problemei, folosindu -ne de Figura 4.5.1:
– x=x(t) reprezinta oglinda (necunoscuta problemei);
– t – variabila independenta;
– OM- raza reflectata;
– MA – directia pe care este reflectata raza luminoasa;
– BM tangenta la graficul functiei x(t).
Unghiul de incidenta este congruent cu unghiul de reflexie si, atunci:
( ) ( ) ( )

( )
( ) ( )
( ( ))
( )
( )
Facem urmaoarea notatie: si obtinem:

( )
Derivam ecuatia (4.5.3) si obtinem:

( )
( )

41
Observam ca ecuaia (4.5.4) este o ecuatie cu variabile separabile si separam variabilele:

( )

( )
∫
( ) ∫

(
)

( )
Stiind ca
, folosind rezultatul (4.5.5), rezulta ca:

( )
Stiind ca
, revenim la ecuatia (4.5.2) si rezulta ca:
(
)

(
)

(
)
(
) ( )
Observam ca rezultatul (4.5.7) este o ecuatie de gradul al doilea in x, ceea ce arata ca graficul
ecuatiei x=x(t) este o parabola, deci oglinda are forma parabolica.

4.6 APLICATII ALE ECUATII LOR DIFERENTIALE ORDINARE DE ORDINUL II CU
COEFICENTI CONSTANTI
4.6.1 Miscarea unui pendul
Un pendul matematic poate fi un corp cu masa proprie m, care sta suspen dat de un fir cu
lungimea l (fir inextensibil si cu masa neglijabila), dar cu lungimea mai mare decat
dimensiunile corpului. Daca am devina, chiar si putin, corpul din pozitia sa de echilibru, se
observa ca asupra lui va actiona o forta care sa il aduca in apoi in starea de echilibru. Se va
tine cont de faptul ca fortele de frecare se neglijeaza.
Problema [4.6.1]: O aplicatie e ecuatiilor diferentiale de ordin superior o preprezinta
descrierea miscarii unui pendul, care este legat cu un fir de lungime l de un punct O, tinand
cont ca pendulul este deviat de la verticala cu un unghi θ0 si ca viteza lui initiala este v0.

42

Figura 4.6 .1 Miscarea unui pendul
Rezolvare
Identificam datele problemei:
– x=x(θ) – functia necunoscuta;
– Θ- variabila independenta;
– ⃗ greutatea corpului;
– masa corpului;
– acceleratia gravitationala;
– ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ tensiunea in fir;
– ⃗ tangenta la plan;
– ⃗⃗ normala la plan.
Stiind ca asupra corpului actioneaza greutatea si tensiunea in fir, putem scrie ca forta
rezultanta este:
⃗⃗⃗⃗ ⃗ ( ) ⃗⃗ ( )
Dar, conform legii fundamentale a termodinamicii:
⃗ ⃗
unde acceleratia ⃗ este a doua derivata a spatiului. In acest caz, rezulta ca:
( ) ( )
Consideram . Atunci, se obtine ca
( )
( )

43
Revenind in ecuatia (4.6.2) cu rezultatul obtinut in ecuatia (4.6.3), rezulta ca:

( )
Polinomul caracteristic al ecuatiei (4.6.4) este:

( )
Calculam radicile polinomului (4.6.5):
( )

√ √

√

√

√

√
( )
Solutia generala a lui x este:
( )
Folosind valorile lui λ obtinute la (4.6.6), rezult a ca:
( ) √
√
( )
Folosind formula: rezulta ca ecuatia (4.6.7) poate fi rescrisa in felul
urmator:
( ) ( √
) ( √
)
( ) √ ( ( √
) ( √
))
( ) ( ( √
)) ( )
In care ( ) si
√
√ √
Daca am considera ca √
, atunci ecuatia problemei noastre poate fi o oscilatie
neamortizata.

44
De asemenea, ea este si o miscare periodica, adica o miscare armonica, in care perioada ei
este

√

Se observa ca perioada pendului nu depinde deloc de masa lui.
Pentru a determina folosim urmatorele conditii din datele initiale:
( )

( ) ( )
( )

( ) √
( √
)

4.7 ECUATII DIFERENT IALE DE ORDINUL II OMOGENE CU COEFICIENTI
CONSTANTI
4.7.1 Calculul perioadei unui circuit oscilant

Un circuit oscilant este un circuit inchis, alcatuit din cel putin o bobina si un condensator,
legate intre ele si in care se inje cteaza energie electrica.
Fenomenul oscilatoriu al acestui tip de circuit este caracterizat de faptul ca intre
condensator si bobina se face un schimb continuu de energie. Acest schimb de nergie tine de
la momentul in care energia primita la inceput este c onsumata. Astfel, apar oscilatiile libere
in circuitul oscilant.

45

Figura 4.7 .1 Circuit pentru generarea oscilatiilor libere

Figura 4.7.2 Forma de unda a tensiunilor din circuitul oscilant
Problema [4.7.1]: Perioada unui circuit os cilant, stiind ca el este format dintr -o bobina cu
inductia L , lengata de un condensator cu capacitatea C si ca condensatorul se descarca in
bobina , este descrisa de ecuatia diferentiala de ordinul II:
( )
( )
( )
Demonstratie
Identifam datele problemei:

46
– t – variabila independenta (timpul);
– i(t) – intensitatea curentului;
– q(t) – sarcina condensatorului;
– v(t)=q(t)/C – diferenta de potential masurata al bornele condensatorului;
– E – forta electromotoare.
Fiind vorba de un circuit electric, putem scrie si apli ca Legea lui Kirchhoff:
( ) ( ) ( )
( )
Dar stim ca
( ) ( ) ( )
Inlocuim E(t) si v(t) in i(t) si obtinem:
( ) ( )
( )
( )
Relatia (4.7.3) este echivalenta cu urmatoarea relatie:
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
Folosim urmatorele notati i:

In acest caz, ecuatia (4.7.4) se poate scrie:
( ) ( ) ( )
Polinomul caracteristic al ecuatiei (4.7.5) este:
( )
Solutiile polinomului caracteristic sunt:
√
√
√
√
Tunci, solutia generala a ecuatiei (3.2.5) este:
( ) ( ) ( √ ) ( √ ) ( )

47
Stiind ca:
( )
( )
Rezulta ca:
,
( √ ) ( √ )

{
√
√

√
√
Daca am considera , atunci solutia generala a ecuatiei (4.7.5) ar fi de forma:
( ) ( ) ( )
Determinam cei doi coeficienti c1 si c2:
{
{

Asadar, solutia ecuatiei (4.7.6) este:
( ) ( )
In studierea perioadei circuitului oscilant, mai putem gasi un caz de inegalitate, care merita
studiat: √
.
√

si solutia generala poate fi scrisa sub forma:
( ) ( ( √ ) ( √ )) ( )
Stiind ca
{ ( )
( ) {

√
Facem urmatoarea schimbare de variabila:

48
√

si rezulta ca:

{

√
( )
Inlocuind valorile de la (4.7.8) in form ulele lui i(t) si v(t) obtinem:
( )

√ (√ ) ( )
( )
√ (√ ) ( )
Se observa ca ecuatiile (4.7.9) si (4.7.10) reprezinta o miscare oscilanta amortizata,
neperiodica cu distanta intre punctele de extrem mentinandu -se constanta:

√

4.7.2. Propagarea caldurii intr -o bara
Propozitia [4.7.2]: Consi deram ca avem o bara infinita d e lungime l foarte mare, infinita,
care e f ixata cu unul dintre capete intr -un mediu cu temperatura mai mare decat cea a
mediului inconjurator. Distributia temperaturii atun ci cand aceasta nu se modifica in timp ,
este descrisa prin urmatoarea ecuatie diferentiala de oridul II omogena cu coeficien ti
constanti:
( ) ( )
Rezolvare
Identificam datele problemei:
– l – lungimea barei;
– x – variabila independenta;
– T=T(x) –temperatura ( parametrul de iesire);
– S – sectiunea barei.
Cantitatea de caldura ce trece prin sectiunea barei in decurs de o se cunda este:

49
( ) ( )
unde K reprezinta conductibilitatea termica si negativitatea formulei arata ca
temperatura scade atunci cand punctul de fixare este departat.
Pierderea cald urii pe distanta Δx este data de relatia:
( ) ( )
In care cunoastem ca p este aria laterala a barei si α e coeficientul de imprastiere a
caldurii.
Caldura care se pierde pe distanta Δx este:
( ) ( )
Pentru a ajunge la ecuatia diferentiala de ordinul II, primul pas in reprezinta egalea
relatiilor (4.7.12) si (4.7.13):
( ) ( ) ( )
( ) ( )
Notand, in relatia (4.7.14),
, rezulta ca:
( ) ( ) ( )
Incercam sa determinam solutia generala a ecuatiei (4.7 .15):
Polinomul caracteristic este:
( )
Radacinile ecuatiei (4.7.16) sunt:
√

√

Solutia generala a ecuatiei (4.7.15) este data de formula:
( ) ( )
Inlocuind valorile lui si in ecuatia (4.7.17), obtinem:
( )
Din conditia la limita

( )

50
Rezulta ca A=0.
Stiind ca T(0)=T 0 rezulta ca
( )

BIBLIOGRAFIE :

CASU I, COMSA S., CERNEA A., COSOVICI G., TOMA I., COMANESCU D., POPESCU E. – Ecuatii
diferentiale si cu derivate partiale, Vol. 1, Ed. Studis, 2013
CONSTANTINESCU D. – Ecuatii diferentiale – Elemente de teorie si aplicatii, Ed.
Universitaria,2010
STOICA C., Ecuatii diferentiale si cu derivate partiale prin exercitii si probleme, Ed. Mirton,
2004
RADU C., PREPELITA V., GAVRILA M., DRAGUSIN C., CASLARU C. – Ecuatii difere ntiale si
ecuatii cu derivate partiale. Teorie si aplicatii , Ed. Matrixrom, 2015
OLARIU V., STANASILA T. – Ecuatii diferentiale si cu derivate partiale, Ed. Tehnica, 1982
[4.1.1], [4.2.1], [4.3.1], [4.3.2], [4.4.1], [4.4.2],[4.5.1], [4.6.1], [4.7.1], [4. 7.2] –
CONSTANTINESCU D. – Ecuatii diferentiale – Elemente de teorie si aplicatii, Ed.
Universitaria,2010
[4.3.3] – CASU I, COMSA S., CERNEA A., COSOVICI G., TOMA I., COMANESCU D., POPESCU E. –
Ecuatii diferentiale si cu derivate partiale, Vol. 1, Ed. Stud is, 2013