Rezolvarea Unor Ecuatii cu Derivate Partiale

INTRODUCERE

Importanța ecuațiilor diferențiale și a ecuațiilor cu derivate parțiale în știință și în tehnică

Ecuațiile diferențiale au aparut în matematică prin probleme de fizică, mecanică, astronomie și geometrie care preocupau fizicienii și matematicienii de la sfârșitul secolului al XVII-lea în momentul în care I. Newton (1642-1727) și G. W. Leibniz (1646-1716) au formulat noțiunile fundamentale ale calcului diferențial și integral.

Încă de la începuturile lor, ecuațiile diferențiale s-au impus ca un instrument puternic de cercetare în științele naturii, ceea ce a făcut ca încă din secolul al XVIII-lea ele să se constitue într-o disciplină aparte, de sine stătătoare, lucru evidențiat și de faptul că denumirile de ’’ecuație diferențială’’ și ’’soluție a unei ecuații diferențiale’’ introduse de Leibniz și Lagrange, se păstrează și astăzi.

Multe probleme practice din domeniul tehnicii, biologiei, economiei se modelează matematic prin ecuații cu derivate parțiale cu condiții inițiale și la limită. Rezolvarea acestor probleme cu ajutorul calculatoarelor electonice necesită înlocuirea lor prin scheme cu diferențe.

Cu ajutorul schemelor cu diferențe finite, tehnici moderne de calcul și experiență acumulată permit să se calculeze aproximativ soluțiile acelor probleme foarte complexe și care sunt dificil de abordat prin alte metode. Convingerea că soluția, din punct de vedere al calculelor este corectă se obține prin adoptarea aceleași scheme de calcul pentru rezolvarea câtorva probleme ale căror soluții exacte sunt cunoscute anticipat și prin compararea rezultatelor calculelor.

Pentru rezolvarea ecuațiilor cu derivate parțiale se introduce o prezentare condensată a teoremelor de existență și unicitate a soluției, metoda aproximațiilor succesive, metode numerice și scheme cu diferențe.

Evoluând continuu de-a lungul timpului ecuațiile diferențiale și cu derivate parțiale au devenit un instrument indispensabil de cercetare din fizică, tehnică și din alte domenii ale științelor naturii.

În lucrarea de față ne propunem să prezentăm câteva aspecte legate de ecuațiile cu derivate parțiale de ordinul întâî și ordinul doi.

În (Capitolul I) sunt date câteva teoreme de existență și unicitate pentru ecuații cu derivate parțiale de tip hiperbolic, împreună cu câteva noțiuni de bază din teoria punctului fix.

Ecuațiile cu derivate parțiale de ordinul întâi prezentate în (Capitolul II) sunt rezolvate prin metode clasice. Numărul ecuațiilor care se pot rezolva prin metode clasice este destul de restrâns, de aceea cea mai mare parte a acestor ecuații se rezolva prin metode cu diferențe prezentate tot în acest capitol.

În (Capitolul III) sunt prezentate ecuațiile cu derivate parțiale de ordinul doi rezolvate prin metoda diferențelor finite. La finele acestui capitol este prezentat un program de calcul pentru ecuația propagării călduri într-o bară.

CAPITOLUL I

1. Teoreme de existență și unicitate pentru ecuații cu derivate parțiale de tip hiperbolic

Noțiuni din teoria punctului fix

Definiție. Fiind dată mulțimea și cu următoarele proprietăți:

(m1) și ;

(m2) ;

(m3) ;

se numește distanță sau metrică pe mulțimea .

Perechea se numește spațiu metric.

1.1.2. Definiție. Fie spațiu metric și o aplicație. se numește punct fix a funcției dacă și se notează cu .

Definiție. Se spune că un șir este convergent și are limita dacă este un șir convergent către zero și se notează cu .

Definiție. Se spune că un șir este fundamental (Cauchy) dacă astfel încât .

Propoziție. Într-un spațiu metric orice șir convergent este șir fundamental.

1.1.5. Definiție. Un spațiu metric în care orice șir fundamental este șir convergent se numește spațiu metric complet.

Definiție. Fie un spațiu liniar și cu următoarele proprietăți:

(n1) și ;

(n2) ;

(n3)

se numește normă pe spațiul liniar X.

Perechea se numește spațiu normat.

Propoziție. Fie un spațiu normat, atunci este o distanță sau o metrică.

Observație. Orice spațiu normat este în particular un spațiu metric.

1.1.7. Definiție. Un spațiu normat se numește spațiu Banach dacă el este un spațiu metric complet în raport cu metrica indusă de normă.

Principiul contracției

1.2.1. Definiție. Fie spațiu metric și o aplicație, se spune că este:

i) Lipschitziană, dacă astfel încât ;

ii) Contracție, dacă este Lipschitziană cu adică astfel încât ; (1.2.1.)

iii) Este de tip contractiv (contractivă), dacă ;

iv) Neexpansivă, dacă ;

v) Expansivă, dacă .

1.2.1. Teoremă. (Principiul contracției sau teorema de punct fix a lui Banach)

Fie un spațiu metric complet și o contracție cu coeficientul de contrație atunci au loc:

i) (T are un punct fix unic);

ii) Șirul aproximațiilor succesive asociat operatorului notat cu este convergent, și ;

iii) Are loc estimarea a priorii ;

iv) Are loc estimarea a posteriorii ;

v) Ordinul de convergență .

Demonstrație.

Se demonstrează că este șir fundamental cu ajutorul condiției de contracție: (1.2.1.) în care se fac notațiile:

…

; (1.2.2.)

(1.2.3.)

;

(1.2.4)

astfel încât deci este șir fundamental.

Se demonstrează că este șir convergent:

este spatiu metric complet orice șir fundamental este șir convergent.

Fie .

Se demonstrează că este un punct fix a lui adică :

din condiția (1.1.2) este un operator continuu .

Se demonstrează că este un punct fix unic:

Se presupune că

Se face notația în relația (1.1.2)

(F) Presupunerea este falsă

este unicul punct fix a lui .

Se demonstrează estimarea a priorii folosind inegalitatea (1.2.4.)

în care luăm

.

Se demonstrează estimarea a posteriorii:

(1.2.5.)

se trece la limită în relația (1.2.5.) și se obține:

pentru că și

.

Se demonstrează ordinul de convergență folosind relația (1.2.1.) în care facem notația:

.

1.2.2. Teoremă. (Varianta locală a principiului contracției)

Fie spațiu metric complet , o contracție de coeficient pe și este o sferă închisă de centru și rază cu atunci au loc:

are cel puțin un punct fix ;

Șirul aproximațiilor succesive este convergent și ;

Demonstrație.

Se demonstrează că

din

Deci mulțime închisă, împreună cu distanța formează un spațiu metric complet .

Rezultă că are un punct fix care este limita șirului aproximațiilor succesive.

1.2.1. Observație. În general punctul fix determinat la terorema 1.2.2. (Varianta locală a principiului contracției) nu este unic.

1.3. Teoremă de existență și unicitate pentru o ecuație cu derivate

parțiale de tip hiperbolic cu argument modificat

În stabilirea unor rezultate de existență și unicitate se folosește de obicei principiul contracției în forma dată de teorema 1.2.1. și teorema 1.2.2., (Varianta locală a principiului contracției).

În anumite situații este mai convenabil să utilizăm extinderi ale acestor teoreme în spații metrice mai generale. Un astfel de rezultat este dat în cele ce urmează.

1.3.1. Definiție. Fie spațiu Banach real. O mulțime se numește con dacă:

i) este închisă;

ii) ;

iii) unde este elementul nul din .

Conul determină relația de ordine (reflexivă, tranzitivă și antisimetrică) pe dată de: .

1.3.2. Definiție. Dacă spațiul este înzestrat cu relația de ordine, atunci el se numește spațiu Banach ordonat și se numește con pozitiv.

1.3.3. Definiție. Se spune că norma pe este monotonă dacă implică .

1.3.4. Definiție. Conul se numește normal dacă astfel încât pentru și să rezulte .

1.3.1. Propoziție. este un con normal, dacă norma din spațiul Banach real este monotonă.

1.3.5. Definiție. O aplicație este funcție de comparație dacă:

i) este monoton crescătoare;

ii) Șirul converge la zero, ;

1.3.6. Definiție. O aplicație se numește c-funcție de comparație dacă:

i) este monoton crescătoare;

ii) îndeplinește următoarea condiție de convergență: două numere și seria convergentă cu termenii reali nenegativi astfel încât pentru .

1.3.7. Definiție. Fie spațiu metric și o funcție de comparație. O aplicație se numește contracție dacă:

.

1.3.1. Teoremă. Fie spațiu metric complet, unde este un con normal și o contracție cu c-funcție de comparație.

Atunci:

i) f are un punct fix unic;

ii) Șirul converge la pentru ;

iii) Avem unde este suma și respectiv suma parțială de rang n-1, a seriei

Dacă în plus, este subaditivă și aplicația astfel încât atunci unde .

1.3.1. Observație. În cazul particular când teorema se reduce la principiul contracției în spații metrice obișnuite.

Ecuații diferențiale cu argument modificat

Se consideră următoarea problemă a lui Darboux

(1.3.1.)

(1.3.2.)

unde .

Problema (1.3.1.) + (1.3.2) este echivalentă cu următoarea ecuație de tip Volterra:

(1.3.3.)

Fie și fie spațiul înzestrat cu norma obișnuită.

Se consideră conul funcțiilor pozitive pe și se definește aplicația: dată de .

Este evident că este o normă generalizată pe :

i) ;

ii) ;

iii) ;

Pe de altă parte, este un con pozitiv pe înzestrat cu norma Cebâșev, care este monotonă. De aici, rezultă că, este un con normal. Relația de ordine parțială determinată de pe este dată de: .

Se consideră aplicația definită de:

(1.3.4.)

Orice soluție a ecuației (1.3.3.) este soluție și pentru problema (1.3.1.) + (1.3.2.), de aici rezultă că soluția este punctul fix a lui T și vice versa.

1.3.2. Teoremă. Se presupune că:

i) și

ii) o funcție integrabilă în raport cu primul argument și monotonă în raport cu al doilea argument, astfel încât este integrabilă pe pentru fixat și (1.3.5.)

a. î. (1.3.6.)

iii) Pentru funcția definită de:

(1.3.7.)

și o serie convergentă cu termenii nenegativi, începând cu un rang fix a următoarei inegalități:

(1.3.8.)

Atunci problema (1.3.1.) + (1.3.2.) are soluție unică care poate fi obținută cu metoda aproximațiilor succesive, începând cu un element arbitrar .

Șirul aproximațiilor succesive este dat de:

și se obține următoarea estimare:

.

Demonstrație.

Din relația (1.3.5.), se deduce că este monoton crescătoare și din iii) rezultă că este c-funcție de comparație.

Avem:

Folosind relația (1.3.6.) se obține:

T este – contracție.

Teoremă de existență și unicitate pentru ecuații cu derivate parțiale de tip hiperbolic de ordin superior

1.4.1. Definiție. O aplicație este funcție de comparație dacă:

i) este monoton crescătoare;

ii) Șirul converge la zero, ;

1.4.2. Definiție. O aplicație se numește c-funcție de comparație dacă:

i) este monoton crescătoare;

ii) îndeplinește următoarea condiție de convergență: două numere și seria convergentă cu termenii reali nenegativi astfel încât pentru .

1.4.3. Definiție. Fie spațiu metric și o funcție de comparație. O aplicație se numește contracție dacă:

.

1.4.1. Lemă. Fie o c-funcție de comparație. Dacă este dată de: atunci este o funcție continuă în zero și monoton crescătoare.

Lemă. Dacă este o funcție de comparație subaditivă, atunci este continuă.

1.4.1. Teoremă. Fie spațiu metric complet, unde este un con normal și fie o contracție, cu c-funcție de comparație. Atunci:

i)

ii) Șirul converge la

iii) Avem

Dacă, în plus, este subaditivă și și aplicația astfel încât atunci unde .

1.4.2.Teoremă. Fie spatiu metric complet. Fie și Dacă și o c-funcție de comparație astfel încât:

este o contracție în ;

ii) .

Atunci are punct fix unic în și șirul definit de converge la cu .

Teoreme de existență și unicitate

Fie două numere pozitive și fie notația și .

Vom considera ecuația neliniară cu derivate parțiale de tip hiperbolic:

(1.4.1.)

împreună cu condițiile pe frontieră periodice,

(1.4.2.)

(1.4.3.)

unde este vectorul:

și .

Lemă. Ca funcția să fie soluție pentru problema (1.4.1.) + (1.4.2.) este necesar ca:

. (1.4.4.)

1.4.4. Lemă. Ca funcția să fie soluție pentru problema (1.4.1.) +

(1.4.3) este necesar ca:

. (1.4.5.)

Fie . Se definește, pentru :

; (1.4.6.)

Pentru

; (1.4.7.) Pentru

; (1.4.8.)

Este ușor de văzut că dacă este soluție pentru problema (1.4.1.) + (1.4.2.) pe atunci:

satisface ecuația funcțională:

. (1.4.9.)

Dacă atunci se face notația:

(1.4.10.) unde este soluție pentru problema (1.4.1.) + (1.4.3.), atunci

(1.4.11.)

și este un punct fix pe a operatorului dat de

(1.4.12.)

Să presupunem că au loc următoarele ipoteze pentru problema (1.4.1.) + (1.4.3.):

A1) este continuă pentru și și periodică în cu perioada respectiv ;

B1) este uniformă, dacă ;

C1) unde este crescătoare în raport cu al treilea argument, atunci dacă:

;

D1) sunt periodice în cu perioada respectiv și

. (1.4.13.)

1.4.4. Definiție. Funcțiile sunt soluții aproximative a problemelor (1.4.9.) și (1.4.11.) dacă există astfel încât

(1.4.14.)

(1.4.15.)

1.4.1. Observație. Dacă și sunt soluții aproximative a problemelor (1.4.9.) și (1.4.11.), atunci există funcțiile continue astfel încât

și

cu

.

Fie spațiu Banach înzestrat cu norma .

Se notează cu conul functiilor pozitive din și se definește aplicația:

dată de

.

Este evident că este normă pe .

Spațiul înzestrat cu normă este spatiu normat, notat cu .

Altfel, este con pozitiv pe înzestrat cu norma Cebâșev, monotonă.

Aceasta înseamnă că, este un con normal și rezultă este spațiul Banach. Ordinea parțială indusă de pe este dată de :

.

Se definește dată de

, (1.4.16.)

unde este un vector dimensional corespunzător la construit în următorul mod:

dacă este notat cu unde corespunde pentru .

Atunci rezultă că pentru

Pentru

Pentru

Teoremă. Se consideră problema (1.4.1.) + (1.4.3.). Se presupune că este o soluție aproximativă în și au loc ipotezele A1) – D1). Dacă în plus dat de relația (1.4.16.) satisface relația (1.4.17.) și atunci au loc următoarele:

i) soluție unică pentru problema (1.4.1.) + (1.4.3.) în ;

ii) Șirul aproximațiilor succesive definit prin

converge la cu proprietatea că unde este suma seriei .

Demonstrație. Este suficient să se demonstreze că operatorul definit de relația (1.4.12.) satisface condițiile din teorema (1.4.2.).

Fie .

Atunci,

și pe baza lui C1) avem

.

Pentru avem

.

Pentru avem

Pentru avem

De aici pe baza relației (1.4.16.) reiese

care arată că este contracție.

Atunci sunt îndeplinite toate condițiile din teorema (1.4.2.).

Demonstrația este completă.

CAPITOLUL II

2. Rezolvarea numerică a unor ecuații cu derivate parțiale de ordinul întâi

2.1. Prezentarea generală a ecuațiilor cu derivate parțiale de ordinul I

Forma generală a ecuațiilor cu derivate parțiale de ordinul întâi este

(2.1.1.)

unde este o funcție dată, iar este funcția necunoscută.

2.1.1. Definiție. Se numește soluție pe a ecuație cu derivate parțiale (2.1.1.) o funcție unde care are derivatele parțiale de ordinul întâi continue pe și verifică ecuația (2.1.1.) pentru orice .

2.1.2. Definiție. O soluție a ecuației cu derivate parțiale (2.1.1.) unde mai poartă și denumirea de suprafață integrală a acestei ecuații.

2.1.1. Observație. În cazul ecuațiilor cu derivate parțiale de ordinul întâi

întâlnim:

Ecuații cu derivate parțiale de ordinul întâi liniare

1.a) Definiție. O ecuație de forma

(2.1.2.)

unde iar funcțiile sunt continue pe se numește ecuație cu derivate parțiale de ordinul întâi liniară și omogenă.

2.a) Definiție. Se numește problemă Cauchy pentru ecuația cu derivate parțiale de ordinul întâi liniară și omogenă (2.1.2.), problema care, fiind dat un număr și o funcție se cere să se determine acea soluție a ecuației, care satisface condiția

pentru orice din domeniul de definiție al funcției domeniu care va avea proprietatea că

.

3.a) Definiție. O soluție a ecuației (2.1.2.) care are proprietatea că orice problemă Cauchy poate fi rezolvată în mod unic, se numește soluție generală a acestei ecuații.

4.a) Definiție. Fie ecuația cu derivate parțiale de ordinul întâi liniară și omogenă (2.1.2.), cu coeficienții funcții care nu se anulează simultan pe . Sistemul simetric

(2.1.3.)

definit pe , se numește sistem caracteristic al ecuației (2.1.2.), iar curbele integrale ale sistemului caracteristic se numesc curbe caracteristice ale ecuatiei (2.1.2.).

1.a) Exemplu. Să se rezolve ecuația cu derivate parțiale de ordinul întâi liniară și omogenă:

Rezolvare. Sistemul caracteristic atașat ecuației cu derivate parțiale este

Considerăm și obținem

de unde se obține combinație integrală

.

Prima integrală primă este

.

Considerăm și obținem

de unde se obține combinația integrală

.

Rezultă a doua integrală primă

.

Soluția generală a ecuației cu derivate parțiale este

unde este o funcție arbitrară, derivabilă.

Ecuații cu derivate parțiale de ordinul întâi cvasiliniare

1.b) Definiție. O ecuație cu derivate parțiale de ordinul întâi de forma

(2.1.4.) unde sunt funcții continue, având derivatele parțiale de ordinul întâi continue pe domeniul iar funcțiile nu se anulează simultan în se numește ecuație diferențială de ordinul întâi cvasiliniară.

1.b) Observație. Față de ecuațiile cu derivate parțiale liniare, pentru ecuațiile cu derivate parțiale cvasiliniare funcțiile depind și de funcția necunoscută u, iar ecuația este în general neomogenă.

2.b) Observație. Rezolvarea unei ecuații cu derivate parțiale cvasiliniară (2.1.4.) se reduce la rezolvarea unei ecuații cu derivate parțiale liniară și omogenă.

1.b) Exemplu. Să se rezolve ecuația cu derivate parțiale de ordinul întâi cvasiliniară.

Rezolvare. Sistemul caracteristic atașat este

.

Există combinația integrabilă

de unde se obține integrala primă

.

Considerăm și se obține

Rezultă a doua integrală primă

.

Soluția generală a ecuației cu derivate parțiale de ordinul întâi cvasiliniare este

unde este o funcție arbitrară, derivabilă.

2.1.2. Observație. Numărul ecuațiilor cu derivate parțiale de ordinul întâi care se pot rezolva cu metoda prezentată mai sus este restrâns. De aceea cele mai multe ecuații se rezolvă prin metode cu diferențe finite.

Metodele cu diferențe folosite în aproximarea soluțiilor ecuațiilor cu derivate parțiale sunt cele mai vechi și cele mai simple. Acestea constau în considerarea unei rețele rectangulare, din domeniul de definiție a soluției, la intersecțiile cărora se aproximează ecuația cu derivate parțiale și condițiile la limită, folosind formule de derivare numerică. Neglijându-se resturile din formulele de derivare numerică, se obține un sistem de ecuații liniare sau neliniare, după cum ecuația cu derivate parțiale este liniară sau neliniară.

Soluția acestui sistem de ecuații, numit sistem aproximant, este aproximarea numerică a soluției problemei cu condiții la limită în punctele rețelei.

Un studiu complet al rezolvării numerice a ecuațiilor cu derivate parțiale ar necesita parcurgerea următoarelor etape:

a) existența și unicitatea soluției sistemului aproximant;

b) estimarea erorii soluției aproximative, adică diferența dintre valoarea soluției exactă în punctele rețelei și valoarea aproximativă;

c) convergența metodei, adică convergența la zero a erorii într-un punct, atunci când distanța maximă dintre punctele rețelei tinde la zero.

De asemenea, în ideea implementării acestor metode pe calculator, este important de analizat stabilitatea numerică a algoritmului, adică propagarea erorilor de rotunjire, trunchiere și influența lor asupra rezultatului.

Metoda cu diferențe are avantajul că este mai simplu de aplicat, comparativ cu metodele Ritz-Galerkin sau cu metodele de tip element finit, dar are dezavantajul că este aplicabilă doar în cazul unor soluții cu un mare grad de regularitate, minim de clasă iar condițiile la limită și ecuația sunt aproximante distinct, ceea ce duce la estimări diferite ale erorilor din interiorul domeniului față de cele situate în vecinătatea frontierei.

2.2. Scheme cu diferențe

2.2.1. Definiția convergenței. Se cere calculul aproximativ al soluției a problemei diferențiale la limită

(2.2.1.)

formulate într-un domeniu cu frontiera . Pentru aceasta se alege o mulțime discretă de puncte o rețea, care aparține lui se introduce un spațiu normat de funcții definite pe rețeaua se stabilește o corespondență între soluția și funcția care va denumi tabelul căutat al soluției . Pentru determinarea aproximativă a tabelului trebuie să formăm un sistem de ecuații

(2.2.2.)

în raport cu funcția din încât să fie asigurată convergența

cu . (2.2.3.)

Dacă soluția problemei la limită cu diferențe finite (2.2.2.) verifică inegalitatea

atunci spunem că avem o convergență de ordinul în raport cu .

Construirea unei scheme de calcul convergente pentru problema (2.2.2.) se realizează în doua etape: construirea schemei de calcul cu diferențe care aproximează soluția și verificarea stabilității schemei de calcul.

2.2.2. Definiția aproximării. Pentru această noțiune trebuie introdusă o normă în spațiul din care face parte membrul al doilea al ecuației (2.2.2.). Prin definiție, problema cu diferențe (2.2.2.) aproximează problema (2.2.1.) pe soluția dacă în egalitatea

abaterea care apare la introducerea lui în problema cu diferențe (2.2.2.), tinde catre zero în normă cu :

.

Dacă unde nu depinde de atunci aproximarea are ordinul în raport cu .

2.2.3. Definiția stabilitătii. Problema la limită cu diferențe finite (2.2.2.) este stabilă, prin definiție, dacă există numerele și astfel ca pentru orice și orice din care verifică inegalitatea problema la limită cu diferențe finite

are o singură soluție și numai una, care verifică inegalitatea

unde este o constantă care nu depinde de .

2.3. Rezolvarea efectivă a unei ecuații cu derivate parțiale de ordinul întâi

Se construiește pentru problema Cauchy

(2.3.1.)

una din schemele de calcul cu diferențe finite care o aproximează.

Problema (2.3.1.) se reduce la forma (2.2.1.) dacă se notează

.

Drept rețea folosim mulțimea punctelor de intersecție a dreptelor

unde sunt numere, iar este partea întreagă a raportului .

Se considera că pasul este corelat cu pasul prin egalitatea astfel că rețeaua depinde numai de un parametru .

Funcția de rețea căutată este tabelul al valorilor soluției a problemei (2.3.1.) în nodurile rețelei .

Se trece la construcția problemei de aproximare cu diferențe finite (2.2.2.) pentru problema (2.3.1.). Valorile funcției de rețea în nodul al rețelei se notează cu .

Fig. 2.3.1.

Schema (2.2.2.) se obține aproximând dderivatele cu relațiile în diferențe finite:

(2.3.2.)

Această schemă de calcul are forma

(2.3.3.)

Operatorul și membrul al doilea pentru schema de calcul (2.3.3.) se obțin sub forma

În acest fel, reprezintă o pereche de funcții de rețea și dintre care una este definită pe o rețea bidimensională

iar alta pe o rețea unidimensională

Ecuația cu diferențe finite (2.3.1.) se poate rezolva în raport cu și rezultă

. (2.3.4.)

Prin urmare, cunoscând valorile ale soluției în nodurile rețelei se pot calcula valorile în nodurile rețelei . Deoarece valorile pentru sunt date de egalitățile se pot calcula, pas cu pas, valorile soluției în nodurile rețelei pe dreptele adică peste tot în .

Se trece la aprecierea ordinului de aproximare al schemei de calcul (2.3.3.). Ca spațiu putem lua spațiul liniar al tuturor perechilor de funcții marginite cu norma

.

Norma în care se construiește aproximarea poate fi aleasă în diverse moduri. Pentru început este suficient să se ia ca normă marginea superioară a moduleleor tuturor componentelor care formează elementul al spațiului .

Presupunem că soluția a problemei (2.3.1.) are derivate de ordinul al doilea mărginite. Atunci, după formula lui Taylor:

(2.3.5.)

unde și sunt numere care depind de și și verifică inegalitățile .

Cu ajutorul formulelor (2.3.5.) expresia

se poate transcrie sub forma

sau

unde

Prin urmare

.

Rezultă astfel că schema de calcul cu diferențe finite (2.3.3.) realizează ordinul întâi de aproximare în raport cu pe soluția cu derivate de ordinul al doilea mărginite.

CAPITOLUL III

3. Rezolvarea numerică a unor ecuații cu derivate parțiale de ordinul doi

3.1. Prezentarea ecuațiilor cu derivate parțiale de ordinul doi

O ecuație cu derivate parțiale cu funcția necunoscută este o ecuație de ordinul al doilea, de forma

unde este o funcție dată.

Fie o ecuație cu derivate parțiale de ordinul doi în care funcția necunoscută depinde de două variabile independente și de forma:

. (3.1.1.)

Se observă că această ecuație este liniară în termenii de ordinul doi, dar ultimul termen poate fi liniar sau neliniar. Dacă ultimul termen este liniar în raport cu și ecuația de mai sus se numește liniară, în caz contrar se numește cvasiliniară.

Ecuațiile cu derivate parțiale de ordinul doi se clasifică în trei tipuri: eliptic, parabolic, hiperbolic, în domeniul lor de definiție, după cum semnul expresiei este negativ, nul sau pozitiv. Coeficienții și fiind în general funcții de și ecuațiile cu derivate parțiale pot fi de tipuri diferite în diverse regiuni ale domeniului lor de definiție.

3.2. Scheme cu diferențe

a) Metoda diferențelor finite pentru ecuații cu derivate parțiale de tip eliptic

Cea mai întâlnită problemă este aceea în care se cere să se determine soluția ecuației:

(3.2.1.)

Într-un domeniu mărginit de curba stiind că pe frontieră:

(3.2.2.)

cu continuă. Această problemă se numește problema lui Dirichlet. Pentru o astfel de problemă cu domeniul particular (dreptunghi, interior sau exterior de cerc, coroană circulară și semiplan) se gasesc soluții care de regulă se exprimă printr-o serie sau o integrală. Pentru alte domenii nu se poate gasi o soluție analitică și atunci prin alte metode de calcul aproximativ al soluției se utilizează metoda diferențelor finite.

În continuare vom considera ecuația cu derivate parțiale de ordinul doi:

(3.2.3.)

unde: sunt funcții continue pe domeniul frontiera lui fiind o curbă netedă, iar și oricare ar fi care cuprinde ca un caz particular ecuatia (3.1.1.).

Vom rezolva prin metode diferențelor finite problema (3.2.1.) și (3.2.2.).

Pentru aceasta vom parcurge următorii pasi.

Pas 1. Se discretizează domeniul printr-o rețea de drepte perpendiculare cu distanța între ele, obținând punctele cu:

. (3.2.4.)

Fig. 3.2.1.

Se notează cu domeniul format din acele pătrate complet interioare lui și cu linia frântă care mărginește domeniul . Evident, distanța de la orice punct nodal al curbei la curba nu depășește (lungimea diagonalei unui pătrat).

Dacă notăm:

(3.2.5.)

Atunci ecuațiile (3.2.1.) și (3.2.2.) în punctele nodale se scriu:

(3.2.6.)

(3.2.7.)

unde este egală cu în punctele lui care coincide cu cele ale lui iar în punctele care nu aparțin lui este valoarea lui calculată în cel mai apropiat punct de pe frontiera .

Pas 2. Se înlocuiesc derivatele de ordinul întâi și doi prin diferențele finite centrate:

unde sunt funcții .

Prin s-a notat funcția care are proprietățile:

Pas 3. Se renunță la erorile de trunchiere, se notează cu valorile aproximative ale lui .

(3.2.8.)

Se obține schema cu diferențe finite:

(3.2.9.)

și

. (3.2.10.)

Observații:

Schema cu diferențe finite (3.2.9.) se mai poate scrie sub forma:

(3.2.11.)

care arată o legătură între patru noduri vecine după regula din figură.

Fig. 3.2.2. Rețea de noduri pentru calculul lui .

Sistemul (3.2.9.) este liniar neomogen având atâtea ecuații și necunoscute câte noduri interioare are .

Pentru se obține schema:

(3.2.12.) și

(3.2.13.) pentru problema Dirichlet (3.2.1.), (3.2.2.).

4) Deoarece erorile de trunchiere sunt funcții rezultă că schema (3.2.9.) reprezintă o aproximare de ordinul doi.

b) Metoda diferențelor finite pentru ecuații de tip hiperbolic

Vom prezenta această metodă pentru problema la limită a propagării undelor:

(3.2.14.)

cu conditiile inițiale:

(3.2.15.) și condițiile la limită:

(3.2.16.) cu funcțiile și continue și satisfăcând condițiile:

.

Pas 1. Se consideră rețeaua de puncte numite noduri cu:

(3.2.17.) și scriem ecuația (3.2.14.) și condițiile (3.2.15.) și (3.2.16.) în aceste noduri:

(3.2.18.)

(3.2.19.)

Pas 2. Se notează:

și se utilizează legătura dintre derivate și diferențele finite centrate și se obtine:

(3.2.20.)

. (3.2.21.)

Pas 3. Se elimină erorile de trunchiere și se notează cu valoarea aproximativă a lui . După înlocuirea diferențelor finite centrate, relația (3.2.21.) devine:

adică:

(3.2.22.)

cu:

. (3.2.23.)

Pentru avem:

.

De aici se vede că pentru calculul lui este nevoie să se cunoască valorile și deoarece și sunt cunoscute din relația (3.2.20.). Pentru calculul lui se utilizează dezvoltarea în serie Taylor, ecuația (3.2.14.) și condițiile (3.2.19.):

.

Din (3.2.18.) rezultă că:

.

Dacă se ține seama de relația (3.2.19.) se obține:

.

Deoarece și se obține:

.

În final, problemei (3.2.14.), (3.2.15.), (3.2.16.) îi asociem schema:

(3.2.24.)

Pas 4. Se rezolvă schema (3.2.24.) și se obțin valorile care aproximează pe .

Observații:

Schema (3.2.24.) reprezintă o aproximare de ordinul doi și este explicită.

Schema este stabilă dacă (este condiționat stabilă).

Valorile depind de valorile lui la momentele și ca în figura următoare:

Fig. 3.2.3. Rețea de noduri pentru calcului valorii .

c) Metoda diferențelor finite pentru ecuații de tip parabolice

Fie problema mixtă:

(3.2.25.)

cu condiția inițială:

(3.2.26.) și condițiile la limită:

(3.2.27.) unde funcțiile și sunt continue, iar . Rezolvarea acestei probleme prin metoda diferențelor finite este la fel ca cea de mai înainte.

Pas 1. Se construiește rețeaua de puncte alegând pașii și .

(3.2.28.)

și se scrie ecuația și condițiile în modul :

(3.2.29.)

(3.2.30.)

Pas 2. Se utilizează formulele de legătură dintre derivate și diferențe finite, pentru și numai diferența finită centrată pentru și se obține:

(3.2.31.)

(3.2.32.)

(3.2.33.) S-au făcut notațiile .

Observație. Dacă punctele sunt echidistante de pas și adică valorile funcției în aceste noduri sunt cunoscute, atunci:

Pas 3. Se înlocuiesc diferențele finite și se elimină erorile de trunchiere, punând:

și adăugând condițiile (3.2.30.) se obțin următoarele scheme:

Schema explicită

(3.2.34.)

Această schemă este explicită și stabilă dacă:

(3.2.35.)

Observație. Pentru (constantă) stabilitatea schemei (3.2.34.) este asigurată pentru:

. (3.2.36.)

Pas 4. Se rezolvă schema (3.2.34.).

Schema implicită

(3.2.37.)

Observații:

Schema (3.2.37.) este implicită și necondiționat stabilă (nu impune restricții asupra pașilor și ).

Dând valori lui de la obținem pentru un sistem liniar care, matriceal, se scrie sub forma:

.

Este un sistem tridiagonal care se poate rezolva prin metoda eliminării.

Schemele a) și b) sunt aproximări de ordinul întâi.

Schema explicită de ordinul doi

(3.2.38.)

Pentru se obține:

.

Pentru obținerea lui este nevoie de cunoașterea lui .

Pentru a calcula vom folosi dezvoltarea în serie Taylor, ecuația (3.2.25.) și condiția (3.2.26.).

Dacă se elimină erorile de trunchiere, rezultă:

.
În final se obține schema de aproximare de ordinul doi:

(3.2.39.)

Observatie generală. În probleme concrete aprecieri asupra erorilor date de o schemă se obțin de regulă nu din raționamente teoretice, ci din compararea rezultatelor calculelor pe rețele de puncte cu valori diferite ale pasului . De aceea este bine ca schema cu diferențe asociată să nu fie prea complicat de rezolvat deoarece pentru un pas mic se obține un sistem de ecuații de ordin foarte mare.

3.3. Exemplu numeric

Se prezintă în continuare un program de calcul pentru ecuația propagării caldurii într-o bară, cu temperaturi fixate la capete.

Ecuația are forma:

cu condiția inițială:

și condițiile la limită:

program ECC;

uses crt;

const Ndiv = 1000;

ap = 10.0;

type vector = array[0..Ndiv] of real;

var u0, u1, a,b,c,d:vector;

i, j, nec, n, npa, nx, nrvaf:Integer;

h,r,l,tau, tmax:real;

af:char;

{$m,32000,0,1000}

function f(x,t:real):real;

begin f:=x*t;

end;

function fi0(t:real):real;

begin fi0:=1/(1+t*t);

end;

function fi1(t:real):real;

begin fi1:=0;

end;

function uinit(x:real):real;

begin uinit:=1 – x/2;

end;

procedure sltd(nec:integer;var a,b,c,y,x:vector);

var l,z,d:vector;

i:integer;

begin

a[1]:=0;

c[nec]:=0;

d[1]:=b[1];

for i:=2 to nec do

begin

l[i]:=a[i]/d[i-1];

d[i]:=b[i]-c[i-1]*l[i];

end;

z[1]:=y[1];

for i:=2 to nec do

z[i]:=y[i] – l[i]*z[i-1];

x[nec]:=z[nec]-d[nec];

for i:=nec-1 downto 1 do

x[i]:=(z[i]-c[i]*x[i+1])/d[i];

end;

begin {incepe programul principal}

clrscr;

writeln;

write('0<x<1= '); readln(l);

write('numarul de diviziuni dupa x este: ');

readln(n);

h:=l/n;

writeln('Pasul de discretizare dupa x este: ', h:8:5);

write('Pasul de discretizare dupa t este: ');

readln(tau);

write('T maxim pana la care se cauta solutia: ');

readln(tmax);

write('Afisarea se face din npa in npa pasi temporali! npa=');

readln(npa);

write('Afisarea se face dupa nx pasi in x! nx='); readln(nx);

r:=tau/(h*h); nec:=n-1; j:=0;

for i:=0 to n do

u0[i]:=uinit(i*h);

j:=0;

clrscr;

repeat

if (j mod npa =0) then

begin

writeln('––––––––');

writeln('t:', j*tau:10:4);

nrvaf:=0;

for i:=0 to n do

begin

if (i mod nx =0) then

begin

write(' (x=', h*i:6:3, ',u=', u0[i]:7:3,')');

nrvaf := nrvaf+1;

if (nrvaf mod 3 = 0) then

writeln;

end;

end;

writeln;

write('Apasati o tasta…');

af:=readkey;

delline;

end;

j:=j+1;

for i:=1 to nec do

begin

a[i]:=-ap*r;

b[i]:=2*ap*r+1;

c[i]:=-ap*r;

d[i]:=tau*f(i*h, j*tau)+u0[i];

end;

d[1]:=tau*f(h, j*tau)+u0[1]+ap*r*fi0(j*tau);

d[nec]:=tau*f(l-h, j*tau)+u0[nec]+ap*r*fi1(j*tau);

sltd(nec, a, b, c, d, u1);

for i:=1 to nec do

u0[i]:=u1[i];

u0[0]:=fi0(tau*j);

u0[n]:=fi1(tau*j);

until (tau*j > tmax);

writeln('Gata distractia!');

af:=readkey;

end. {Sfarsitul programului}