Rezolvarea problemelor de teoria probabilităților în [608885]

UNIVERSITATEA „OVIDIUS ” CONSTANȚA
FACULTATEA DE MATEMATICĂ ȘI INFORMATICĂ

LUCRARE METODICO -ȘTIINȚIFICĂ
PENTRU OBȚINEREA GRADULUI
DIDACTIC I

COORDONATOR ȘTIINȚIFIC:
CONF. UNIV. DR. VERNIC RALUCA -ILEANA

CANDIDAT: [anonimizat]

2018

1

UNIVERSITATEA „OVIDIUS ” CONSTANȚA
DEPARTAMENTUL PENTRU PREGĂTIREA PERSONALULUI
DIDACTIC

Rezolvarea problemelor de teoria probabilităților în
gimnaziu și liceu: aspecte didactice și metodice

COORDONATOR ȘTIINȚIFIC:
CONF. UNIV. DR. VERNIC RALUCA -ILEANA

CANDIDAT: [anonimizat]

2018

2
CUPRINS

Introducere ……………………………………………………………………………………………. . 4
Capitolul 1: Noțiuni introductive ………………………………………………………………… . 5
1.1. Noțiuni de combinatorică ……………………………………….. ………………………… 5
1.2. Permutări ……………………………………………………………. ………………………….. 6
1.3. Aranjamente ………………………………………………………… ………………………….. 8
1.4. Combi nări ……………………………………………………………………………………….. ……… . 10
Capitolul 2: Câmp finit de evenimente ………………………………………………………………… 14
2.1. Evenimente. Operații cu evenimente …………………………………………………….. 14
2.2. Probabilitate …………………………………………………………………………………….. 16
2.2.1. Defin iția clasică a probabilității ……………………………………………………… 16
2.2.2. Definiția axiomatică a probabilității ………………………………………………… 17
2.3. Probleme …………………………………………………………………………………………. 17
Capitolul 3: Probabilități condiționate ………………………………………………………….. 23
3.1. Probabilitate condiționată ………………………………………. ……………………… 23
3.2. Evenimente independente …………………………………………………………………… 25
3.3. Probleme ………………………………………………………………………………………… 26
Capitolul 4: Scheme de probabilitate …………………………………………………………….. 32
4.1. Schema binomială generalizată (Schema lui Poisson) ……………………………… 32
4.2. Schema binomială (Schema lui Bernoulli ) …………………………………………….. 33
4.3. Schema lui Bernoulli cu mai multe stări …………. ……………………………………. 34
4.4. Schema hipergeometrică ……………………………………………………………………. 34
4.5. Probleme ………………………………………………………………………………………… 36
Capitolul 5: Variabile aleatoare. Valor i medii ……………………. ………………………………. 43
5.1. Definiția variabilei aleatoare. Exemple ……………………… ……………………….. 43
5.2. Operații cu variabile aleatoare ………………………………………………………………. . 44
5.3. Valori medii …………………….. ………………………………….. ………………………….. 46
5.4. Probleme ……………………………………………………………… ……………………………. 49
Capitolul 6: Probleme pentru copii performanți și pentru olimpiadă ……………….. 56

3
Capitolul 7: Considerații metodice și metodologice ……………………………………….. 67
7.1. Scurt istoric al probabilităților ………………………………………. ……………….. 67
7.2. Considerații de ordin metodologic privind “ Elemente de teoria probabilităților”
în matematica de gimnaziu ……………………….. …………………. ………………. 69
7.3. Considerații de ordin metodologic privind “ Elemente de teoria probabilităților”
în matematica de liceu ………………………………………….. ……………………… 74
7.4. Metode folosite în predarea -învățarea noțiunilor de teoria probabilităților …… 83
7.5. Forme de evaluare a noțiunilor de teoria probabilităților ………………………….. 96
7.6. Pr ograma pentru cursul opțional “ Elemente de teoria probabilităților” ……….. 104
Anexe …………………………………………………………………………….. …………………………. 110
Bibliogr afie ………………….. ………………………………………………… ……………………………. 134

4
INTRODUCERE

Calculul probabilităților este o ramură deosebit de importantă și de actuală a
matematicii. Contactul permanent cu alte științe a dus la o îmbogățire impresionantă a acestei
discipline.
Pornind de la experiențe concrete, teoria probabilităților a dat conceptelor sale o
formă riguros matematică, fiind capabilă să se întoarcă din nou la experiență pentru a
interpreta întinse categorii de fenomene.
Modelele probabilistice oferă procedee de investigație științifică în sectoare de
activitate dintre cele mai diferite.
Aceasta explică importanța deosebită care se acordă teoriei probabilit ăților în țara
noastră. Introducerea în cadrul învățământului obligatoriu a unor elemente de teoria
probabilităților a corespuns unor cerințe st ringente ale unui învățământ modern și eficient.
Ca orice disciplină matematică, teoria probabilităților cere ca însușirea noțiunilor
teoretice să fie însoțită de efectuarea unui număr mare de exerciții și probleme cu grade
diferite de dificultate . Cu ajutorul lor se aprofundează și se îmbogățește conținutul teoretic, se
dau sugestii de aplic are în practică a noțiunilor, se formează tehnica de rezolvare a
problemelor.
Lucrarea acoperă programa actuală de liceu din punct de vedere a l teoriei
probabilităților, dar conține și un capitol dedicat în întregime problemelor pentru concurs urile
școlare.
Formarea de competenț e generale de matematică presupune crearea de abilități de
care fiecare individ are nevoie pentru dezvoltarea personală, incluziune socială și inserție pe
piața muncii. Se poate const ata însă că programele disciplinelor de matematică nu au
întotdeauna în vedere identificarea și sprijinirea elevilor potențial talentați la matematică.
Totuși, studiul matematicii a evoluat în exigențe până la a ajunge să accepte provocarea de a
folosi noi le tehnologii în procesul de predare – învățare – evaluare pentru a face matematica
mai atractivă .
În acest context, analiza flexibilității curriculei, însoțită de analiza metodelor și
instrumentelor folosite pentru identificarea și motivarea elevilor talentați la matematică ar
putea răspunde deopotrivă cerințelor de masă, cât și celor de elită .

5
CAPITOLUL 1
NOȚIUNI INTRODUCTIVE

1.1. NOȚIUNI DE COMBINATORICĂ

Ȋn practică se ajunge adesea la problema de a alege dintr -o mulțime oarecare de
obiecte submulțimi de elemente care posedă anumite proprietăți, de a dispune elementele
uneia sau ale mai multor mulțimi într -o anumită ordine. De asemenea, poat e apărea
problema determinării numărului tuturor submulțimilor unei mulțimi , constituite după
anumite reguli.
Pentru că în astfel de probleme este vorba de anumite combinații de obiecte, ele se
numesc probleme combinatorii. Domeniul matematicii în care se studiază astfel de
probleme se numește combinatorică. Combinatorica poate fi considerată ca parte a teoriei
mulțimilor, orice problemă de combinatorică poate fi redusă la o problemă de mulțimi
finite ș i aplicații.
Această ramură a ma tematicii are mare importanță pentru teoria probabilităților ,
cibernetică, logică matematică, teoria numerelor, precum și pentru alte ramuri ale științei
și tehnicii.
Se consideră adesea mulțimi ale căror elemente sunt aranjate într -o ordine
determinată. De exemplu, alfabetul este o mulțime ale cărei elemente (litere) sunt date
într-o anumită ordine. Astfel cele 27 de litere ale alfabetului românesc sunt aranjate, de
obicei, în următoarea ordine: a este prima (nu urmează după altă literă), ă este a doua
(urmează după prima), b este a treia (urmează după a doua) ș.a.m.d. până la z care este
ultima (după care nu mai urmează nici o literă). Elementele aceleași mulțimi se pot da și
într-o altă ordine. De exemplu, este posibil ca literele alfabetului să fie așezate într -o
ordine inversă celei dintâi, astfel : prima literă să fie socotită z, a doua să fie x, ș.a.m.d.
până la ultima, a 27 -a literă. Sunt evident și alte moduri de aranjare a literelor alfabetului.
Spunem că o mulțime împreună cu o ordine bine determinată de dispunere a
elementelor sale este o mulțime ordonată . Mai precis:
Fie A o mulțime finită care are n elemente. Mulțimea A se numește ordonată dacă
fiecărui element al său i se asociază un anumit număr de la 1 la n, numit rangul
elementului , astfel încât la elemente diferite ale lui A corespund numere diferite.

6
Această asociere exprimă, mai exact, tocmai ordinea elementelor mulțimii A.
Astfel, ord inea este următoarea: elementul căruia i se asociază numărul 1, elementul
căruia i se asociază numărul 2, … , elementul căruia i se asociază numărul n .
Observăm că orice mulțime finită poate deveni o mulțime ordonată, adică se poate
ordona. Acea stă ordine se poate da, pur și simplu, numerotând elementele mulțimii.
Mulțimea ordonată obținută o notăm cu (a1, a2, …, a n) unde ordinea elementelor este dată
de indici.
O mulțime ordonată este caracterizată prin elementele din care este formată și prin
ordinea în care sunt considerate acestea .
Ȋn consecință, două mulțimi ordonate sunt diferite dacă ele se deosebesc fie prin
elementele din care sunt formate, fie prin ordinea lor.
Ȋn exemplul de mai sus am considerat , așadar, două mulțimi ordonate diferite.
Un alt exemplu de mulțimi ordonate diferite este următorul: (1,2,3) și (2,1,3) .
Mulțimile au aceleași elemente, dar ordinea în care elementele sunt dispuse este diferită în
cele două mulțimi . Astfel, în prima mulțime 1 este pe primul loc, 2 pe locul al doilea, iar 3
pe locul al treilea, în timp ce, în a doua mulțime 2 este pe primul loc, 1 pe al doilea loc, iar
3 pe al treilea loc.

1.2. PERMUTĂRI

Fie A o mulțime finită cu n elemente. Această mulțime se poate ordona în mai
multe moduri. Se obțin, astfel, mulțimi ordonate diferite, care se deosebesc între ele numai
prin ordinea elementelor. Fiecare din mulțimile ordonate care se formează cu cele n
elemente ale mulțim ii A se nu mește permutare a acestei mulțimi . Se mai spune că este o
permutare a elementelor sale sau o pemutare de n elemente.
Numărul permutărilor de n elemente se notează cu Pn și se citește “permutări de
n”. Avem:
1. O mulțime cu un singur element poate fi ordonată într -un singur mod, deci
P1 = 1.
2. O mulțime cu două elemente A = {a, b} poate fi ordonată în două moduri. Se
obțin două permutări: (a, b) și (b, a) . Deci P2 = 2= 1 ∙ 2.
3. Fie o mulțime cu trei elemente A = {a, b, c }. Permutările acestei mulțimi sunt :
(a, b, c) , (a, c, b) , (b, a, c) , (b, c, a) , (c, a, b) , (c, b, a). Rezultă P3 = 6 = 1 ∙ 2 ∙ 3.

7
Deci, pentru produsul primelor n numere naturale nenule se folosește, de obicei,
notația n! care se citește “ n factorial “ :
1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ n = n! .
Ȋn ceeea c e privește numărul permutărilor , avem :
Teorema 1.1.1. Oricare ar fi n ≥ 1, număr natural ,
𝑷𝒏=𝒏!. ( 1 )
Demonstraț ie. Vom demostra teorema prin metoda inducției matematice. Să notăm
cu P(n) egalitatea ( 1 ).
10 P(1) este adevărată, deoarece am observat mai înainte că P1 = 1 = 1!.
20 Să arătăm că P(k) ⟹ P(k + 1 ).
Să ordonăm în toate modurile posible o mulțime cu k+1 elemente . Oricare din cele
k+1 elemente ale mulțimi poate ocupa ultimul loc , al (k+1) -lea. Se obțin astfel k+1
moduri diferite de a ocupa ultimul loc. Să considerăm unul din ele, în care un element ales
al mulțimi va avea rangul k+1. Elementele rămase, care sunt în numă r de k, trebuie să
ocupe primele k locuri, iar aceasta se poate face în Pk moduri diferite. Se obțin astfel,
(k+1)P k moduri de a ordona o mulțime care are k+1 elemente. Deci Pk+1 = (k + 1)P k. Dar
cum P(k) este adevărată, avem Pk = k!, de unde Pk+ 1 = (k + 1)k! = (k + 1)! . Conform
metodei inducției matematice teorema este demonstrată. □
Convenim să considerăm că mulțimea vidă poate fi ordonată într -un singur mod
adică P0 = 1. Deci , defin in 0! = 1 .
Exemple .
1) Câte numere diferite se pot forma cu cifrele : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 astfel
încât orice număr să conțină toate cifrele și doar o singură dată fiecare cifră?
Soluție. Din numărul mulțimilor ordonate care au ca elemente c ele 10 cifre trebuie
să scădem numărul celor care au pe primul loc cifra 0. Deci obținem:
10! − 9! = 9 ∙ 9! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9 ∙ 9 = 3 265 920 numere.
2) Ȋn câte moduri poate fi ordonată mulți mea {1, 2, 3, … , 2n} astfel încât fiecare
număr par să aibă rang par?
Soluție . Fiind n locuri de rang par, rezultă că numerele pare de la 1 la 2n, care sunt
tot în număr de n, se pot așeza pe locuri de rang par în n! moduri. Fiecărui astfel de mod
de aranjare a numerelor pare îi corespund n! moduri de aranjare a numerelor impare pe
locuri de rang impar . De aceea numărul total al permutărilor de tipul cerut este egal cu
n! ∙ n! = (n!) 2.

8
1.3. ARANJAMENTE

Fie dată o mulțime A cu n elemente. Dacă m ≤ n, atunci se pot forma diferite
mulțimi ordonate cu câte m elemente fiecare, în care intră numai elemente ale mulțimii A.
De ex emplu, din elementele mulțimii {a, b, c, d} se pot constitui 12 mulțimi ordonate,
avân d câte două elemente fiecare, anume :
(a, b), (a, c), (a, d)
(b, a), (b, c), (b, d)
(c, a), (c, b), (c, d)
(d, a), (d, b), (d, c) .
Mulțimile ordonate care se formează cu elementele unei submulțimi oareca re a
unei mulțimi finite A, se numesc submulțimi ordonate ale lui A sau aranjamente . Mai
precis:
Dacă A este o mulț ime cu n elemente, atunci submulțimile ordonate ale lui A ,
având fiecare câte k elemente, unde 0 ≤ k ≤ n, se numesc aranjamente de n elemente
luate câte k .
Observăm că două aranjamente de n elemente luate câte k se deosebesc prin natura
elementelor ori prin ordinea lor. Numărul aranjamentelor de n elemente luate câte k se
notează 𝐴𝑛𝑘 și se citește “aranjamente de n luate câte k” .
Observăm că 𝐴𝑛1 = n. Ȋntr -adevăr, un element din cele n elemente poate fi ales în n
moduri, iar cu acest element se formează o singură mulțime ordonată.
Teorema 1.3.1. Dacă k și n sunt numere naturale astfel încât 0 < k < n , atunci :
𝑨𝒏𝒌 = n(n – 1)(n – 2) … (n – k + 1). (2)
Demonstrație. Se consideră mai întâi 0 < k < n și să arătăm că
𝐴𝑛𝑘+1 = ( n – k) 𝐴𝑛𝑘.
Ȋntr-adevăr , ca să repartizăm oricare k + 1 elemente, luate din n elemente date pe
k +1 locuri, se pot lua mai întâi oricare k elemente și aranja pe primele k locuri. Aceasta se
poate face în 𝐴𝑛𝑘 moduri. Ȋn fiecare din aceste cazuri rămân (n – k) element e. Oricare din
aceste elemente se poate pune pe al (k + 1) -lea loc. Astfel , în fiecare din cele 𝐴𝑛𝑘 moduri de
aranjare a elementelor pe cele k locuri , obținem (n – k) posibilități prin care al (k + 1) -lea loc
este ocupat de unul din cele (n – k) elemente rămase. Prin urmare , avem
𝐴𝑛𝑘+1 = (n – k) 𝐴𝑛𝑘.
Având în vedere că 𝐴𝑛1 = n, deducem succesiv:

9
𝐴𝑛2 = n(n – 1) , 𝐴𝑛3 = n(n – 1)(n – 2),
𝐴𝑛𝑘 = n(n – 1)(n – 2) … (n – k + 1) .□
Să dăm o altă formă formulei (2 ). Produsul n(n – 1)(n – 2) … (n – k + 1) se poate
scrie sub forma:
𝑛(𝑛 – 1)(𝑛 – 2) …(𝑛 – 𝑘 + 1)(𝑛 – 𝑘)… ·2·1
(𝑛 – 𝑘)… ·2·1,
adică sub forma 𝑛!
(𝑛−𝑘)! . Deci
𝐴𝑛𝑘 = 𝑛!
(𝑛−𝑘)! . (3)
Pentru k = 0 formula ( 3) dă
𝐴𝑛0 = 1.
Acest lucru este adevărat deoarece orice mulțime conține mulțimea vidă, care este
ordonată într -un singur mod.
Pentru k = n formula (3 ) dă
𝐴𝑛𝑛 = n! = Pn .
Așadar formulele (2) și (3 ) sunt adevărate pentru orice k, astfel încât 0 ≤ k ≤ n.
Exemple.
1) Ȋn câte moduri pot fi așezați 4 elevi pe 25 de locuri?
Soluție. Numărul căutat este egal cu
𝐴254 = 25 ∙ 24 ∙ 23 ∙ 22 = 303 600.
2) Câte numere naturale nenule diferite se pot forma cu cifrele 0, 1, 2, 3, 4, dacă în
fiecare astfel de număr, orice cifră intră cel mult o dată.
Soluție. Cu 5 cifre se pot forma 𝐴55 = 5! aranjamente diferite. Dar aranjamentele
care încep cu 0, în număr de 𝐴44 = 4!, dau numere de câte 4 cifre, așadar sunt
𝐴55 − 𝐴44 = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 − 4 · 3 · 2 · 1 = 96
numere cu 5 cifre. Numărul numerelor cu 4 cifre care se pot forma cu cifrele 0, 1, 2, 3, 4,
este egal cu 𝐴54, din care scădem numărul aranjamentelor care încep cu 0, care este egal
cu 𝐴43. Deci numere cu 4 cifre sunt în număr de
𝐴54 − 𝐴43 = 5 · 4 · 3 · 2 − 4 · 3 · 2 = 96 .
Ȋn mod analog , numărul numerelor diferite de 3 cifre, 2 cifre și o cifră va fi
respectiv:
𝐴53 − 𝐴42 = 48, 𝐴52 − 𝐴41 = 16 și 4.
Deci se pot forma 260 numere.

10
1.4. COMBINĂRI

Fie mulțimea A = {a, b, c} și să considerăm toate submulțimile sale. Acestea sunt:
1) mulțimea vidă : ∅;
2) submulțimi având fiecare câte un element: {a}, {b}, {c};
3) submulțimi având fiecare câte două elemente: {a, b}, {a, c}, {b, c};
4) mulțimea totală: {a, b, c}
Așadar mulțimea A = {a, b, c} are opt submulțimi , dintre care : trei submulțimi cu
câte un element, trei submulțimi cu câte două elemente, o submulțime cu trei elemente și
mulțimea vidă .
Problema rezolvată mai sus se generalizează astfel : Fiind dată o mulțime finită cu
n elemente, să se calculeze numărul submulțimilor sale având fiecare câte k elemente.
Dacă A este o mulțime cu n elemente , atunci submulțimile lui A având fiecare câte k
elemente, unde 0 ≤ k ≤ n, se numesc combinări de n elemente luate câte k. Numărul
combinărilor de n elemente luate câte k se notează 𝐶𝑛𝑘 și se citește ” combinări de n elemente
luate câte k” .
Din exemplul de mai sus rezultă:
𝐶30 = 1, 𝐶31 = 3, 𝐶32 = 3, 𝐶33 = 1,
iar 𝐶30 + 𝐶31 + 𝐶32 + 𝐶33 = 1+ 3 + 3 + 1 = 8 = 23 (acesta este numărul tuturor submulțimilor
mulțimii {a, b, c} ) .
Observăm că 𝐶𝑛0 = 1 deoarece fiecare mulțime A are numai o submulțime fară nici un
element și anume mulțimea vidă. Apoi 𝐶𝑛1 = n deoarece o mulțime cu n elemente fie ea
A = {a 1, a2, … , an } are exact n submulțimi cu un singur element, adică submulțimile de forma
{a1}, {a2}, … , {an }. Formula care exprimă 𝐶𝑛𝑘 în funcție de n și k este dată de următoarea
teoremă.
Teorema 1.4. 1. Dacă k și n sunt numere naturale astfel încât 0 ≤ k ≤ n, atunci
𝑪𝒏 𝒌 = 𝒏!
𝒌!(𝒏 –𝒌)! = 𝐧(𝐧 – 𝟏)(𝐧 – 𝟐) · ⋯ · (𝐧 – 𝐤 + 𝟏)
𝐤! . (4)
Demonstrație . Fie A o mulțime cu n elemente. Să considerăm toate submulțimile
mulțimii A care au k elemente. Ordonăm fiecare dintre aceste submulțimi în toate
modurile posibile. Obținem astfel toate submulțimil e ordonate ale lui A care au k
elemente. Numărul lor , după cum știm este 𝐴𝑛𝑘 . Dar cum numărul tuturor submulțimilor

11
lui A având k elemente este egal cu 𝐶𝑛𝑘, iar fiecare dintre acestea se poate ordona în Pk
moduri, rezultă 𝐴𝑛𝑘 = 𝐶𝑛𝑘 ∙ Pk . Din această egalitate rezultă că
𝐶𝑛𝑘 = 𝐴𝑛𝑘
𝑃𝑘 .
Ȋnlocuind în aceeastă formulă expresiile : 𝐴𝑛𝑘 = 𝑛!
(𝑛−𝑘)! și Pk = k!, obținem
𝐶𝑛𝑘 = 𝑛!
𝑘!(𝑛 –𝑘)!
ceea ce se mai poate scrie:
𝐶𝑛 𝑘 = n(n – 1)(n – 2)· ⋯ ∙ (n – k + 1)
k! .□
De exemplu,
𝐶254 = 25∙24∙23∙22
1∙2∙3∙4 = 25∙ 23 ∙22 = 12 650.
Exemple.
1) Ȋn câte moduri se poate alcătui din 9 persoane o comisie formată din 5 membrii?
Soluție . Pentru a avea toate cazurile posibile trebuie să considerăm toate submulțimile
formate din câte 5 elemente, ale unei mulțimi formate din 9 elemente. Numărul căutat este
𝐶95 = 9∙8∙7∙6∙5
1∙2∙3∙4∙5 = 126.
2) La un turneu sunt n șahiști și fiecare 2 șahiști s-au întâlnit o singură dată. Câte
partide s -au jucat în turneu?
Soluție . Numărul partidelor este egal cu numărul submulțimilor formate din câte 2
elemente ale unei mulțimi formate din n elemente, adică
𝐶𝑛2 = 𝑛(𝑛 – 1)
2.
3) Să se găsească numărul diagonalelor unui poligon convex cu n laturi.
Soluție . Vârfurile poligonului formează o mulțime de n puncte în plan, necoliniare câte
3. Numărul diagonalelor ș i al laturilor poligonului este egal cu numărul submulțimilor formate
din două elemente ale unei muțimi cu n elemente, adică
𝐶𝑛2 = 𝑛(𝑛 – 1)
2 .
Scăzând cele n laturi din acest număr, obținem:
𝑛(𝑛 – 1)
2 – n = 𝑛( 𝑛 – 3)
2
care reprezintă numărul diagonalelor unui poligon convex cu n laturi.

12
Proprietăți ale numerelor 𝑪𝒏𝒌
Numerele 𝐶𝑛𝑘 au o serie de proprietăți importante. Ele exprimă diferite relații între
submulțimile unei mulțimi. Aceste proprietăți se pot demonstra direct din formula pentru 𝐶𝑛𝑘.
1) Formula combinărilor complementare . Dacă 0 ≤ k ≤ n, atunci este adevărată
egalitatea:
𝐶𝑛𝑘 = 𝐶𝑛𝑛−𝑘.
Demostrație. Cu ajutorul formulei 𝐶𝑛𝑘 avem
𝐶𝑛𝑘 = 𝑛!
𝑘!(𝑛 –𝑘)! = 𝑛!
(𝑛 –𝑘)![𝑛 – (𝑛 – 𝑘)]! = 𝐶𝑛𝑛−𝑘.
2) Pentru orice număr natural n ≥ 0 ete adevărată egalitatea
𝐶𝑛0 + 𝐶𝑛1 + 𝐶𝑛2 + … + 𝐶𝑛𝑛 = 2n. (5)
Demostrație. Suma din me mbrul stâng al egalități i reprezintă tocmai numărul tuturor
submulțimilor unei mulțimi cu n elemente. Egal itatea ( 5) rezultă din următoarea teoremă :
Teorema 1.4.2. Numărul tuturor submulțimilor unei mulțimi formate din n elemente
este egal cu 2n.
3) Formula de recurență pentru calculul numărului de combinări. Pentru orice k și n
astfel încât 0 ≤ k ≤ n , este adevărată egalitatea ;
𝐶𝑛𝑘 = 𝐶𝑛 − 1𝑘 + 𝐶𝑛 −1𝑘− 1 (6)
Demostrație . Cu ajutorul formulei pentru 𝐶𝑛𝑘 , avem
𝐶𝑛 −1 𝑘 = (𝑛 − 1)!
𝑘!(𝑛 –𝑘 − 1)! = (𝑛 − 1)!(𝑛 – 𝑘)
𝑘!(𝑛 –𝑘)!,
𝐶𝑛 −1 𝑘 − 1 = (𝑛 − 1)!
(𝑘 – 1)!(𝑛 –𝑘)! = (𝑛 − 1)!𝑘
𝑘!(𝑛 –𝑘)! .
Ȋnlocuind aceste valori în partea din dreapta a formulei ( 6), obținem
𝐶𝑛 − 1𝑘 + 𝐶𝑛 −1𝑘− 1 = (𝑛 − 1)!(𝑛 – 𝑘)
𝑘!(𝑛 –𝑘)! + (𝑛 − 1)!𝑘
𝑘!(𝑛 –𝑘)! = (𝑛 − 1)!(𝑛 – 𝑘 + 𝑘)
𝑘!(𝑛 –𝑘)! =
= 𝑛!
𝑘!(𝑛 –𝑘)! = 𝐶𝑛𝑘.
4) Triunghiul lui Pascal 1. Formula ( 6) a punctului precedent permite să calculăm 𝐶𝑛𝑘
știind 𝐶𝑛 −1 𝑘 și 𝐶𝑛 −1𝑘− 1. Cu ajutorul ei se pot calcula succesiv numerele 𝐶𝑛𝑘, mai întâi pentru
n = 0 , apoi pentru n = 1 , pentru n = 2 ș.am.d. Valorile numerelor 𝐶𝑛𝑘 le scriem sub forma unui
tabel triunghiular care se numește triunghiul lui Pascal:

1 Blaise Pascal ( 1623 – 1662) , matematician francez

13
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1

Ȋn linia (n + 1) a tabelului sunt așezate în orine numerele 𝐶𝑛0 , 𝐶𝑛1 , 𝐶𝑛2 , … , 𝐶𝑛𝑛.
Avem 𝐶𝑛0 = 𝐶𝑛𝑛 = 1, iar numerele rămase se calculează cu ajutorul formulei de recurență.
Ȋntrucât numerele 𝐶𝑛 −1𝑘− 1 și 𝐶𝑛 −1 𝑘 sunt dispuse în acest tabel în linia precedentă celei
în care se găsește 𝐶𝑛𝑘, la stânga și la dreapta ac estuia , atunci pentru a obține 𝐶𝑛𝑘 adunăm
numerele din linia precedentă care se găsesc la stân ga și la dreapta sa. De exemplu , numărul
10 din linia a șasea se obține adunând numerele 4 și 6 din linia precedentă.

14
CAPITOTUL 2
CÂMP FINIT DE EVENIMENTE

2. 1. EVENIMENTE. OPERAȚII CU EVENIMENTE

Să considerăm experiența aruncării unui zar. Este evident vorba de o experiență
aleatoare2, adică de o experiență al cărui rezultat nu poate fi anticipat cu certitudine, el
depinzând de o serie de factori întâmplători.
Această experiență se poate repeta de un număr oarecare de ori. Fiecare repetare a
experienței se numește probă .
Experiența considerată are o mulțime E de cazuri sau de rezultate posibile:
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} .
Legate de această experiență, putem considera diverse evenimente :
A : apariția unui număr par
B : apariția unui număr impar
C : apariția unui numă r mai mic sau egal cu 3
D : aparițiai numă rului 5 etc.
Fiecare probă atrage după sine fie realizarea, fie nerealizarea oricărui eveniment.
Astfel, dacă la o aruncare a zarului apare fața 4, atunci evenimentul A s-a realizat , iar
evenimentele B, C, D nu s-au realizat .
Este clar că fiecărui eveniment îi corespunde o mulțime de cazuri favorabile , care este
o submulțime a lui E. Aceasta este mulțimea de cazuri care realizează evenimentul considerat.
Astfel: evenimentului A îi corespunde submulțimea {2, 4, 6} a lui E;
evenimentului B îi corespunde submulțimea {1, 3, 5 } a lui E;
evenimentului C îi corespunde submulțimea {1, 2, 3 } a lui E;
evenimentului D îi corespunde submulțimea {5} .
Se observă că un eveniment oarecare și submulțimea lui E, asociată evenimentului, se
determină reciproc și de aceea nu vom face distincție între ele.
Vom considera fiecare eveniment legat de experiența considerată ca fiind submul țime
a lui E. Astfel, vom scrie:
A = {2, 4, 6}; B = {1, 3, 5}; C = {1, 2, 3}; D = {5} .

2 Cuvântul “aleator” are sens de întâmplător și provine din latinescul “alea” (zar)

15
Reținem, deci, că orice eveniment este o submulțime a lui E și reciproc, orice
submulțime a lui E este un eveniment.
Dar, print re submulțimile lui E se gasește mulțimea vidă ∅ și întreaga mulțime E
(mulțimea totală). Acestea corespund evenimentului imposibil și respectiv, evenimentului
sigur .
Evenimentul sigur este acela care se realizează, cu certitudine, la orice probă.
Astfel, la aruncarea unu i zar, evenimentul sigur este “apariția uneia din fețele 1, 2, 3,
4, 5, 6” . Toate cazurile posibile ale experienței sunt cazuri favorabile acestui eveniment.
Evenimentul imposibil nu se poate realiza în ni ci o efectuare a experienței. El nu are
nici un caz favorabil (spunem că mulțimea cazurilor sale favorabile este vidă).
Evenimentele care au un singur caz favorabil se numesc evenimente elementare .
Fiind date două evenimente A, B, legate de o experiență, “A sau B” este evenimentul a
cărui realizare înseamnă realizarea a cel puțin unuia dintre ele.
La aruncarea unui zar, dacă A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4} , atunci
“A sau B” = {1, 2, 3, 4} = A ∪ B.
Se poate vorbi de “A sau B sau C”, “A sau B sau C sau D” etc. Respectiv de A ∪ B ∪
C, A ∪ B ∪ C ∪ D etc.
“A și B“ este evenimentul a cărui realizare înseamnă realizarea ambelor evenimente
A, B. La aruncarea zarului , dacă A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4} , atunci ambele evenimente se
realizează dacă apare una din fețele 2 sau 3, adică:
“A și B” = {2, 3 } = A ∩ B.
Ā = “non A” este evenimentul a cărui realizare constă în nerealizarea evenimentului
A. Mulțimea cazurilor favorabile lui “non A” este formată din cazurile nefavorabile lui A.
La aruncarea unui zar , dacă A = {1, 2, 3} , atunci
Ā = “non A” = {4, 5, 6}.
Ȋn loc de “non A” sau “A nu se realizează” vom scrie Ā.
Evenimentele A, B sunt incompatibile dacă nu se pot realiza împreună în nici o
efectuare a experienței . Aceasta înseamnă că realizarea unuia din cele două evenimente
atrage după sine nerealizarea celuilalt, adică A implică “non B ” și B implică “non A”.
Conform celor de mai sus , vom scrie 𝐴⊂ 𝐵 , B ⊂ 𝐴 .
Se observă că A și B sunt incompatibile atunci când nu au nici un caz favorabil comun.
De asemenea, este clar că A și B sunt evenimente incompatibile dacă și numai dacă realizarea
lui “A și B“ este imposibilă .

16
Evenimentele A, B sunt compatibile dacă se pot realiza împreună în aceeași probă,
deci dacă au c el puțin un caz favorabil comun . Pe scurt, A și B sunt compatibile dacă nu sunt
incompatibile . La aruncarea zarului , dacă;
A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4} , C = {4, 5},
atunci:
– A, B sunt compatibile;
– A, C sunt incompatibile . Oricare ar fi rezultatul experienței, ele nu se realizează simultan.
Fie E = {E 1, E2, … , E n} mulțimea tuturor evenimentelor elementare corespunzătoare
unei experiențe.
Definiție . Se numește câmp de evenimente finit, mulțimea tuturor submulțimilor lui E ,
la care se adaugă mulțimea E î nsăși și mulțimea vidă.
Un câmp de evenimente se notează cu {E, K} .
Se observă că un câmp de evenimente , odată cu două evenimente A și B conține și
evenimentele A ∪ B, A ∩ B, iar o dată cu evenimentul A îl conține și pe Ā; se mai spune că
un câmp de evenimente este închis față de operațiile respective.

2. 2. PROBABILITATE

2.2.1. Definiția clasică a probabilității
Să considerăm o experiență cu n evenimente elementare (deci cu n probe) egal
posibile , și fie A un eveniment oarecare (atașat experienței), care se poate realiza prin m
probe, m ≤ n.
Definiție . Se numește probabilitatea evenimentului A , numărul
P(A) = 𝑚
𝑛 ,
adică raportul dintre numărul cazurilor favorabile realizării lui A și numărul cazurilor egal
posibile.
Definiția clasică a probabilității se poate folosi deci numai pentru experiențele cu
eveniment e elementare egal posibile. Pentru calcularea probabilității unui eveniment oarecare
A, trebuie să determinăm numerele de:
– cazuri favorabile, adică numărul de elemente din mulțimea de probe ce se atașează
evenimentului A,

17
– cazuri posibile, adică numărul de elemente din mulțimea totală de probe ce se atașează
evenimentului sigur E,
– probabilitatea P(A) va fi raportul acestor două numere.
Probabilitatea unui eveniment elementar al unei astfel de experiențe este 1
𝑛 (n fiind
numărul probelor) și este aceeași pentr u toate evenimentele elementare, deoarece pentru orice
eveniment elementar numărul cazurilor favorabile este 1.
Probabilitatea unui eveniment are următoarele proprietăți:
1. 0 ≤ P (A) ≤ 1; într-adevăr , 0 ≤ m ≤ n.
2. P (E) = 1; m = n.
3. P(A ∪ B) = P(A)+P( B) dacă evenimentele A și B sunt incompatibile, adică
A ∩ B = ∅.
4. P (Ā) = 1 – P (A).
5. P (∅) = 0.
6. P (A) ≤ P (B) , dacă A ⊂ B.

2.2.2. Definiția axiomatică3 a probabilității
Definiție . O probabilitate P definită pe câmpul de evenimente {E, K} este o funcție
care asociază fiecărui eveniment A ∈{𝐸,𝐾} un număr real P(A) care satisface următoarele
axiome:
1. P (A) ≥ 0 pentru orice eveniment A ∈{𝐸,𝐾},
2. P (E) = 1, E fiind evenimentul sigur,
3. P (A ∪ B) = P (A) + P (B) pentru orice A, B ∈{𝐸,𝐾} cu A ∩ B = ∅ .
Axioma 3 se extinde prin recurență la orice număr finit de evenimente incompatibile
două câte două . Definiția clasică a probabilității se obține ca un caz particular al acestei
definiții atunci când evenimentele elementare sunt echiprobabile și în număr finit.

2. 3. PROBLEME

1. Care sunt probele următoarei experiențe: se scrie un număr de două cifre distincte
alese la întamplare dintre cifrele 1, 3, 4.

3 Aceast ă defini ție axiomatic ă a probabilit ății a fost dat ă în anul 1929 de matematicianul sovietic N. A.
Kolmogorov (1903 – 1987)

18
Rezolvare. Numerele căutate sunt : 13, 14, 31, 34, 41, 43. Numărul probelor este
A32 = 6.

2. Care sunt probele următoarei experiențe: extragerea simultană a două bile dintr -o
urnă cu 3 bile albe și 2 bile negre?
Rezolvare. Să notăm cu a1, a 2, a 3 bilele albe și cu n1, n 2 bilele negre. Probele
(evenimentele elementare) ale experienței sunt: extragerea bilelor a1 și a2 pe care o notăm
simbolic cu (a1 , a2) și (a 1 , a3); (a 1 , n1); (a 1 , n2); (a 2 , a3); (a 2 , n1); (a 2 , n2); (a 3, n1); (a 3 , n2);
(n1 , n2). Numărul probelor este C52 = 10.

3. Dintr -o urnă cu 3 bile albe și 2 bile negre se extrag , la întâmplare, două bile.
a) Se consideră evenimentele :
A1 – obținerea a două bile negre,
A2 – obținerea cel puțin a unei bile albe,
A3 – obținerea unei singure bile albe,
A4 – obținerea unei singure bile negre,
A5 – obținerea a două bile roșii.
Folosind definițiile precizați pentru fiecare eveniment dacă este pe de o parte
aleator, sigur, imposibil, iar pe de altă parte dacă este elementar sau compus.
b) Să se regăsească rezultatele de la punctul a) folosind mulțimile de probe atașate
evenimentelor.
Rezolvare. a) A1, A2, A 3, A 4 sunt evenimente aleatoare deoarece la o efectuare a
experienței (o extragere) oricare dintre ele se poate sau nu se poate realiza.
Evenimentul A5 este eveniment imposibil, deoarece oricare ar fi rezultatul experienței ,
A5 nu se realizează.
A1 este eveniment elementar deoarece se realizează numai printr -o probă: (n1 , n2).
A2 este eveniment compus pentru că se realizează prin mai multe probe: (a1 , a2) și
(a2 , a3); (a2 , n2) ș.a.m.d.
A3, A4 sunt de asemenea evenimente compuse.
A5 nu este nici elementar, nici compus.
b) Avem: A1 = {(n 1, n2)}, evenimen t aleator elementar
A2 = {(a1, a2), (a1 , a3), (a 1 , n1), (a 1 , n2), (a 2 , a3), (a 2 , n1), (a 2 , n2),
(a3, n1),(a 3 , n2), (n 1 , n2)} evenimen t aleator compus.

19
A3 = { (a 1 , n1), (a 1 , n2), (a 2 , n1), (a 2 , n2), (a 3, n1), (a 3 , n2)} eveniment aleator
compus.
A4 = {(n 1, a1), (n1 , a2), (n 1 , a3), (n 2 , a1), (n 2 , a2), (n 2 , a3)} eveniment aleator compus.
A5 = ∅ .

4. Din șirul primelor 1 000 de numere naturale se alege la întâmplare un număr.
Fie A evenimentul ca numărul ales să fie par. Ce înseamnă evenimentul Ā?
Rezolvare. Ā înseamnă că numărul ales este impar.

5. Se consideră calitatea a cinci produse. Fie A evenimentul ca cel puțin unul din tre
produse s ă fie defect și B evenimentul ca cel mult două din produse să fie defecte. Ce
înseamnă evenimentele Ā și 𝐵 ?
Rezolvare. Ā este evenimentul ca toate produsele controlate să fie bune, iar 𝐵 este
evenimentul ca cel puțin trei produse să fie defecte.

6. Din șirul primelor 1 000 de numere naturale se alege la întâmplare un număr. Fie A
evenimentul ca numărul ales să înceapă cu cifra 1; B evenimentul ca numărul ales să se
termine cu cifra 2. Ce înseamnă A − B.
Rezolvare. A – B = A ∩ 𝐵 , deci numărul natural ales trebuie să înceapă cu cifra 1 și să
se termine cu orice cifră diferită de 2.

7. Se consideră experiența de extragere a unei bile dintr -o urnă care conține patru bile
albe numerotate 1, 2, 3, 4 și o bilă neagră numerotată cu numărul 5.
a) Să se scrie câmpul de evenimente atașat acestei experiențe.
b) Câte evenimente sunt în câmp?
c) Să se scrie evenimentele elementare.
Rezolvare . a) {E, K} = { ∅, {k}, {i, j}, {i, j, k}, {i, j, k, l}, {i, j, k, l, m}, unde i, j, k, l,
m iau independent valori de la 1 la 5, dar cu restricția că în cadrul unei grupe toți indicii să fie
diferiți, iar două grupe cu același număr de indici să difere prin cel puțin un indice. Am notat
cu {k} extragerea bilei cu numărul k; evenimentele de forma {i, j}, {i, j, k}, {i, j, k, l} , arată că
am extras sau bila i sau bila j (i ≠ j) etc., iar {i, j, k, l, m} = E reprezintă evenimentul sigur.
b) Câmpul de evenimente se compune din:
1 + C51 + C52 + C53 + C54 + C55 = (1 + 1)5 = 25 = 32 evenimente .

20
c) Evenimentele elementare sunt:
{1}, {2}, {3}, {4}, {5}.

8. Dintr -o urnă cu 15 bile numerotate de a 1 la 15 se extrage la întâmplare o bilă.
Se cere probabilitate ca numărul înscris pe bila extrasă să fie;
a) un număr prim,
b) un număr par,
c) un număr divizibil cu 3.
Rezolvare. Numărul cazurilor posibile pentru fiecare punct din problemă este același
și anume 15.
a) cazuri favorabile: 6; numerele 2, 3, 5, 7, 11, 13 , deci P = 6
15 = 2
5 .
b) cazuri favorabile: 7; numerele 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 , deci P = 7
15 .
c) cazuri favorabile: 5; numerele 3, 6, 9, 12, 15 , deci P = 5
15 = 1
3 .

9. O urn ă conține 20 de bile identice , numerotate cu 1, 2, … , 20. Care este
probabilitatea ca printr -o extracție să obținem o bilă numerotată cu un pătrat perfect?
Rezolvare. Să notăm cu A evenimentul căruia vrem să -i calculăm probabilitatea.
Numărul c azurilor egal posibile este 20. Numărul cazurilor favorabile realizării evenimentul ui
A este 4. Aceste patru cazuri sunt: extragerea bilei 1, a bilei 4, a bilei 9, a bilei 16. Avem deci
P (A) = 4
20 = 1
5 .

10. Ȋn rucsacul unui geolog se găsesc 7 săculețe identice cu probe, 3 cu granit, 2 cu
gresie și 2 cu calcar. Care este probabilitatea ca un săculeț ales la întâmplare să conțină o
probă de granit?
Rezolvare. Să notăm cu A evenimentul ca un săculeț ales la întâmplare să conțină o
probă de granit. Numărul cazurilor egal posibile este 7. Numărul cazurilor favorabile rea lizării
evenimentul ui A este 2. Avem deci
P (A) = 2
7 .

21
11. Ȋn șase borcănașe de porțelan se intoduc bucățele de germaniu, zinc, staniu, fier,
aluminiu și plumb. Care este probabilitatea ca alegân d la întâmplare un borcănaș el s ă conțină
bucăț ele dintr -un metal din grupa a IV -a a sistemului periodic?
Rezolvare. Avem 6 cazuri posibile și 3 cazuri favorabile: germaniu, staniu, plumb.
Deci P = 3
6 = 1
2 .

12. Cele 12 numere dintr -un an al unei reviste cu apariție lunară sunt așezate la
întâmplare pe un raft. Să se găsească probabilitatea ca revistele să nu fie așezate în ordinea
apariției.
Rezolvare. Dacă A este evenimentul căruia ni se cere probabili tatea, este mai ușor de
calculat probabilitatea evenimentului contrar Ā pentru care avem cazuri posibile 12!, iar
cazuri favorabile: 1. Atunci
𝑃 𝐴 =1−𝑃 Ā =1−1
12! .

13. Dintr -o urnă cu n bile din care a albe, b negre, c roșii și d verzi se extrage la
întâmplare o bilă. Care este probabilitatea ca bil a extrasă să fie albă sau roșie?
Rezolvare . Fie A1, A2 evenimentul ca bila extrasă să fie albă , respectiv roșie. A1 și A2
sunt evenimente incompatibile .
P (A 1 ∪ A2) = P (A 1) + P (A 2) = 𝑎
𝑛 + 𝑐
𝑛 = 𝑎 + 𝑐
𝑛 .

14. Care este probabilitatea ca aruncând două zaruri să obținem o “dublă”, adică să
obținem la fiecare din tre cele două zaruri același număr de puncte?
Rezolvare . Notând cu A unul din tre zaruri și cu B pe celălalt, avem 36 cazuri posibile:

AB AB AB AB AB AB
11 21 31 41 51 61
12 22 32 42 52 62
13 23 33 43 53 63
14 24 34 44 54 64
15 25 35 45 55 6 5
16 26 36 46 56 66
Cazurile favorabile sunt în număr de 6. Deci, probabilitatea căutată este 6
36 = 1
6 .

22
15. Care este probabilita tea ca aruncând două zaruri să obținem două fețe însumând
7 puncte?
Rezolvare . Cazurile favorabile sunt: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) . Deci
probabilitatea este 6
36 = 1
6 .

16. Se dă un pachet de 10 cărți numerotate 1, 2, ⋯ , 10. Care este probabilitatea ca
primele două cărți să poarte numerele 1 și 2 în această ordine?
Rezolvare . Numărul cazurilo r egal posibile este numărul de feluri în care pot fi
aranjate cele 10 cărți, adică P 10 = 10! = 1 ∙ 2 ∙ ⋯ ∙ 10. Dacă dou ă cărți ocupă în pachet locuri
determinate, rămâm 8 cărți care pot fi aranjate în toate felurile posibile.
Rezultă că numărul cazurilor favorabile este egal cu P8 = 8! = 1 ∙ 2 ∙ ⋯ ∙ 8 și
probabilitatea căutată este 1∙ 2 ∙ ⋯ ∙ 8
1∙ 2 ∙ ⋯ ∙ 10= 1
9 · 10 = 1
90 .

17. O urnă conține 5 bile albe și 5 bile negre . Din această urnă se fac două extrageri
succe sive, punându -se după fiecare extragere bila înapoi în urnă. Care este probabilitatea ca
cele două bile extrase să fie albe?
Rezolvare . Presupunem că cele 10 bile sunt n umerotate 1, 2, … , 10, astfel ca bilele
albe să poarte numerele 1, 2, … , 5, iar bilele negre 6, 7, … , 10 . Numărul cazurilor egal
posibile este 100, după cum reiese din tabloul:
(1, 1) (1, 2) ⋯ (1, 10)
(2, 1) (2, 2) ⋯ (2, 10)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(10, 1) (10, 2) ⋯ (10, 10)
care are 10 linii și 10 coloane. Numărul cazurilor favorabile este 25:
(1, 1) (1, 2) ⋯ (1, 5)
(2, 1) (2, 2) ⋯ (2, 5)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(5, 1) (5, 2) ⋯ (5, 5) .
Probabilitatea căutată este deci 25
100 = 1
4.

23
CAPITOLUL 3
PROBABILITĂȚI CONDIȚIONATE

3. 1. PROBABILITATE A CONDIȚIONATĂ

Să presupunem că avem două urme: U1, conținând 5 bile albe și 6 bile negre, și U2,
conținân d 6 bile albe și 7 bile negre . Din una din tre aceste urne (nu știm din care) se extrage o
bilă. Care ete pro babilitatea ca bila să fie albă ? Nu putem răspunde dintr -o dată la această
întrebare. Dar dacă obținem informația: “extragerea s -a făcut din urna U1 “, atunci putem
spune că probabilitatea ca b ila să fie albă este 5
11. Să reținem deci că 5
11 nu este
probabilitatea ca bila să fie albă, ci probabilitatea ca bila să fie albă, știind că “extragerea s -a
făcut din urna U1“.
Dacă notăm evenimentele:
A: bila extrasă să fie albă,
B: extragerea se face din urna U1,
C: extragerea se face din urna U2,
vom scrie :
PB(A) = 5
11 .
La fel:
PC(A) = 6
13 .
Spunem că probabilitatea evenimentului A condiționată de evenimentul B este
egală cu 5
11 , iar cea condiționată de evenimentul C, cu 6
13 .
Să considerăm experiența aruncării unui zar. Aceasta are 6 cazuri posibile. Dacă
A = {1, 2, 3} ; B = {2, 3, 4, 5, 6} , atunci P(A) = 1
2 , P(B) = 5
6 .
Să presupunem acum că acoperim fețele 2, 3, 4, 5, 6 cu un strat subțire de vosea
roșie. Dacă în urma aruncării zarului s -a obținut o față roșie, atunci știm că s -a realizat B,
dar nu știm ce fa ță a apărut. Ne putem întreba care este probabilitatea ca A să se realizeze
după ce am aflat informația: B este realizat.

24
Ȋn acest mooment nu mai avem 6 cazuri posibile, ci numai 5 (cazurile favorabile
lui B au devenit cazuri posibile). Din aceste 5 cazuri posibile, 2 sunt favorabile lui A.
Rezultă PB(A) = 2
5 .
Să repetăm acest raționament pentru o experiență având n cazuri posibile
echiprobabile. Dacă B este un eveniment cu m cazuri favorabile, atunci P(B) = 𝑚
𝑛 . Dacă
dintre cele m cazuri favorabile ale lui B, p sunt favorabile unui eveniment A, atunci
P(A ∩ B) = 𝑝
𝑛 .
Ȋn momentul când știm că B s-a realizat, mai avem m cazuri posibile. Dintre
acestea p sunt favorabile lui A :
PB (A) = 𝑝
𝑚 = 𝑝
𝑛
𝑚
𝑛 = 𝑃 (𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃 (𝐵).
Egalitatea PB(A) = 𝑃 (𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃 (𝐵) (P(B)≠ 0) este considerată definiția probabilității
condiționate ( valabilă și în cazul în care A și B nu sunt legate de o experiență cu un număr
finit de cazuri echiprobabile).
Putem determina și probabilitatea intersecției a n evenimente. Pentru aceasta vom
scrie din nou relația de definiție a probabilității evenimentului A2 condiționată de
evenimentul A1 (P(A 1)≠ 0) :
𝑃𝐴1 𝐴2 = 𝑃 (𝐴1 ∩ 𝐴2)
𝑃 (𝐴1),
care se mai poate scrie :
𝑃 𝐴1∩ 𝐴2 =𝑃(𝐴1)𝑃𝐴1 𝐴2 .
Această relație se poate generaliza astfel :
𝑃(𝐴1∩𝐴2 ∩ … ∩ 𝐴𝑛= 𝑃(𝐴1) ∙𝑃𝐴1(𝐴2) ∙ 𝑃𝐴1 ∩ 𝐴2(𝐴3) ∙ ⋯ ∙ 𝑃𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩⋯ ∩ 𝐴𝑛−1(𝐴𝑛).
Această relație rezultă înmulțind membru cu membru relațiile:
P (A 1) = P (A 1)
PA1(A2) = 𝑃 (𝐴1 ∩ 𝐴2)
𝑃 (𝐴1)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
𝑃𝐴1 ∩ 𝐴2(𝐴3) ∙ ⋯ ∙ 𝑃𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩⋯ ∩ 𝐴𝑛−1(𝐴𝑛) = 𝑃 (𝐴1 ∩𝐴2 ∩ ⋯ ∩ 𝐴𝑛 )
𝑃 (𝐴1 ∩𝐴2 ∩ ⋯ ∩ 𝐴𝑛−1 ) .
Formula demonstrată este utilă în calcularea unei intersecții de evenimen te, atunci
când probabilitățile condiționate care apar se calculează cu ușurință fără a folosi definiția.

25
3. 2. EVENIMENTE INDEPENDENTE

Să considerăm experiența aruncării unui zar. Mulțimea cazurilor posibile este
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} . Dacă A = {1, 2, 3}; B = {2, 3, 4, 5, 6} , atunci P (A) = 1
2 , P (B) = 5
6 ,
P (𝐴 ) = 1
2 , P (𝐵 ) = 1
6 , PB (A) = 2
5 , 𝑃𝐵 (A) = 1, PA (B )= 2
3 etc.
Probabilitatea lui A este 1
2 . Ȋn momentul în care știm că s -a realizat B, pro babilitatea
lui A se modifică, devenind 2
5, iar dacă B nu s-a realizat, devine 1.
La fel, probabilitatea lui B este 5
6, iar dacă A s-a realizat, devine 2
3 etc.
Ȋn concluzie , fiecare dintre evenimentele A, B își modifică probabilitatea în funcție de
realizarea sau nerealizarea celuilalt. Este natural să spunem că A și B sunt evenimente
dependente .
Să considerăm acum un nou eveniment: D = {2, 3, 4, 5} . Avem:
PD(A) = 2
4 = 1
2 ; 𝑃𝐷 (A) = 1
2 ; P(D) = 4
6 = 2
3 ; PA (D )= 2
3 ; 𝑃𝐴 (D) = 2
3 .
Evenimentele A și D sunt astfel că nici unul din ele nu își modifică probabilitatea de a
se realiza sau de a nu se realiza, în funcție de realizarea sau nerealizarea celuilalt. Este natural
să numim evenimentele A, D independente.
S-ar părea că, pentru a fi asigu rată independența a două evenimente, este nevoie să fie
satisfăc ute multe relații. Ȋn realitate , pentru ca două evenimente A, B să fie independente, este
necesar și suficient ca
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = P (A) ∙ P (B).
Deci, v om spune că evenimentele A și B legate de o experiență oarecare sunt
independente, dacă sunt sati sfăcute realațiile:
PA (B) = P (B); P Ā (B) = P (B) ;
PB (A) = P (A); 𝑃 𝐵 (A) = P (A ).
De fapt, cele patru relații sunt echivalente, astfel că, pentru a verifica
independența, este suficient să verificăm una din tre aceste patru relații. Pentru a
demonstra echivalența lor, vom arăta că ele sunt echivalente cu relația :
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = P (A) ∙ P (B).
Să presupunem că este satisfăcută prima din tre cele patru egalități. Atunci pe baza
relației: PA(B) = 𝑃 (𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃 (𝐴) , putem scrie :

26
𝑃 (𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃 (𝐴) =𝑃(𝐵)
sau
𝑃(𝐴∩𝐵) = P(A) ∙ P(B).
Reciproc, dacă avem relația 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = P (A) ∙ P (B), atunci :
PA(B) = 𝑃 (𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃 (𝐴) = 𝑃 (𝐴) ∙ 𝑃 (𝐵)
𝑃(𝐴)∙𝑃(𝐵).
Deci egalitatea PA(B) = P (B) este adevărată , dacă și numai dacă avem
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = P( A) ∙ P(B).
Deoarece această ultimă relație este simetrică în A și B, rezultă că egalitățile
PA(B) = P (B), PA(A) = P (A) sunt echivalente.
Din cele spuse rezultă că relațiile
PĀ (B) = P (B) ; 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = P (𝐴 ) ∙ P (B)
sunt echivalente, atunci avem :
P (B – A) = P (𝐴 ) ∙ P (B),
P (B) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = (1 – P(A)) ∙ P (B)
sau
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = P (A) ∙ P (B).
Definiție . Vom spune deci, că două evenimente sunt independente, dacă
probabilitate a realizării ambelor evenimente este egală cu produsul probabilităților
evenimentelor considerate.
Această definiție se poate generaliza și pentru n evenimente. Vom spune că
evenimente le A1, A2 , ⋯ , An sunt independente , dacă probabilitatea oricărei intersecții de
aceste evenimente este egală cu produsul probabilităților evenimentelor intersectate, adică
dacă
𝑃(𝐴𝑖1∩ 𝐴𝑖2∩ ⋯∩ 𝐴𝑖𝑘) = 𝑃(𝐴𝑖1)∙𝑃(𝐴𝑖2)∙⋯∙ 𝑃(𝐴𝑖𝑘),
oricare ar fi 1 ≤ i1 < i2 < ⋯ < ik ≤ n .

3. 3. PROBLEME

1. Se aruncă o monedă de trei ori. Care este probabilitatea ca la primele două
aruncări să obținem fața, iar la a treia aruncare să obținem stema?

27
Rezolvare. Dacă A este evenimentul ca la prima aruncare să obținem fața, B
evenimentul ca la a dua aruncare să obținem fața și C evenimentul ca la a treia aruncare să
obținem stema, atunci
P (A) = P (B) = P (C) = 1
2
și probabilitatea de a s e realiza toate trei evenimente, atunci când se aruncă moneda de trei
ori, este
1
2 ∙ 1
2 ∙ 1
2 = 1
8 .

2. Urna U conține 7 bile albe și 3 roșii, iar urna V conține 3 bile albe și 7 roșii.
Extragem o bilă din urna U și indiferent de culoarea ei, o punem în urna V. Extragem apoi din
urna V o bilă. Care este probabilitatea să obținem două bile albe?
Rezolvare . Avem de -a face cu două experiențe: extragerea unei bile din prima urnă și
extrag erea unei bile din a doua urnă. Cele două experiențe sunt legate între ele. Rezultatele de
la a doua experiență depind evident de cele de la prima experiență.
Pentru rezolvarea problemei evaluăm numărul cazurilor posibile și numărul cazurilor
favorabile. Pentru a gasi numărul cazurilor posibile, să observăm că după ce am introdus o
bilă în urna V, putem scoate o bilă din această urnă in 11 moduri. Dar conform en unțului bila
introdusă poate fi scoasă din urna U în 10 moduri și deci numărul căutat este 10 · 11 = 110 .
O bilă albă poate f i scoasă din urna U în 7 moduri , iar după introducerea ei în urna V
putem scoate din această urnă o bilă albă în 4 mod uri. Deci numărul cazurilor favorabile este
7 · 4 = 28 .
Probabilitatea căutată este:
P = 28
110 = 14
55 .

3. Se aruncă un ban și un zar. Care este probabilitatea să obținem stema și fața cu un
punct?
Rezolvare . Experiența constă în efectuarea a două experimente independente:
aruncarea banului și aruncarea zarului. La prima experiență probabilitatea obținerii stemei
este 1
2, iar la cea de -a doua probabilitatea obținerii feței 1 este 1
6. Probabilita tea realizării
ambelor evenimente este
1
2 · 1
6 = 1
12 .

28
4. Se arunc ă o monedă până se obține stema. Care este probabilitatea să facem cel mult
3 aruncări?
Rezolvare . Pentru a obține deasupra stema după cel mult 3 aruncări, trebuie să se
realizeze unul din evenimentele A, B, C, unde A este apariția stemei la prima aruncare, B este
apariția feței la prima aruncare și a stemei la a doua aruncare, C apariția feței la prima și a
doua aruncare și a stemei la cea de -a treia aruncare. Avem deci de calculat probabilitatea
evenimentului A ∪ B ∪ C.
Ȋntrucât A, B, C sunt evenimente incompatibile două câte două, avem
P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C).
Avem că P (A) = 1
2 .
Pentru a se realiza B, trebuie să apară fața la prima aruncare (probabilitatea acestui
evenimenet este 1
2 ) și stema la a doua aruncare (probabilitatea este 1
2 ). Pe baza regulii de
înmulțire a probabilităților,
P (B) = 1
2 · 1
2 = 1
4 .
Pe baza aceleiași reguli, rezultă
P (C) = 1
2 · 1
2 · 1
2 = 1
8
și deci
P (A ∪ B ∪ C) = = 1
2 + 1
4 + 1
8 = 7
8 .

5. Se aruncă o monedă având fețele a și b de 3 ori. Care este probabilitatea obținerii
feței a de două ori și a feței b o dată?
Rezolvare. Pentru a obține fața a de două ori și fața b o dată, trebuie ca în cele 3
aruncări să obținem una din succesiunile:
aab, aba , baa .
Dacă notăm cu
A – evenimentul obținerii succesiunii aab,
B – evenimentul obținerii succesiunii aba,
C – evenimentul obținerii succesiunii baa,
avem de calculat P (A ∪ B ∪ C). Evenimente A, B, C fiind incompatibile două câte două,
putem scrie:
P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C).

29
Pe baza regulii de înmulțire a probabilităților, rezultă
P (A) = P (B) = P (C) = 1
2 ∙ 1
2 ∙ 1
2 = 1
8 .
Deci,
P (A ∪ B ∪ C) = 1
8 + 1
48 + 1
8 = 3
8 .

6. O urnă conține 2 bile albe și 3 bile negre, iar o altă urnă conține 3 bile albe și 4 bile
negre. Din fiecare urnă se extrage câte o bilă și se cere:
a) probabilitatea obținerii a două bile albe;
b) probabilitatea obținerii a două bile negre;
c) probabilitatea obținerii a două bile de culori diferite;
d) probabilitatea obținerii a două bile de aceeași culore.
Rezolvare . a) Experiența considerată constă în efectuarea a două experiențe
independente: extragerea din prima urnă și extragerea din a doua urnă. Pe baza regulii de
înmulțire a probabilităților, obținem direct rezultatul
2
5 ∙ 3
7 = 6
35 .
b) Analog punctului a), obținem că probabilitatea obținerii a două bile negre este
3
5 ∙ 4
7 = 12
35 .
c) Dacă A este evenimentul obținerii unei bile albe din prima urnă și a unei bile negre
din a doua urnă, iar B este evenimentul obținerii unei bile negre din prima urnă și a unei bile
albe din a doua urnă, avem de calculat P (A ∪ B ), observând că A ∩ B = ∅ . Pe baza regulii
de înmulțire a probabilităților rezultă
P (A) = 2
5 ∙ 4
7 = 8
35 ; P (B) = 3
5 ∙ 3
7 = 9
35.
Iar
P (A ∪ B ) = 8
35 + 9
35 = 17
35 .
d) Pentru ca bilele să fie de aceeași culoare, trebuie ca ambele să fie albe sau ambele
să fie negre. Deci, avem de calculat probabilitatea reuniun ii evenimentelor de la punctele a) și
b) ale problemei. Răspunul este
6
35 + 12
35 = 18
35 .

30
Acest rezultat mai poate fi obținut și observând că evenimentele de la punctele c) și d)
ale problemei sunt evenimene contrare. Cum probabilitatea primului dintre aceste evenimente
este 17
35 , probabilitatea celui de -al doilea este 1 − 17
35 = 18
35

7. O urnă conține 4 bile albe și 5 bile negre. Din această urnă se extrag succesiv două
bile, fără a pune bil a extrasă înapoi în urnă. Care este probabilitatea ca cele două bile extrase
să fie negre?
Rezolvare. Dacă A, respectiv B este evenimentul ca prim a, respectiv a doua bilă să fie
neagră, atunci avem de calculat P (A ∩ B). Este ușor de observat că
P (A) = 5
9 ; PA(B) = 4
8 = 1
2
și știind că PB(A) = 𝑃 (𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃 (𝐵), rezultă
P (A ∩ B) = 5
9 · 1
2 = 5
18 .

8. O urnă conține 4 bil e albe și 6 bile negre. Calculați probabilitatea ca extrăgând de 3
ori câte o bilă, fără a pune bila înapoi după fiecare extragere, să obținem la prima extragere o
bilă albă și la următoarele extrageri să obținem câte o bilă neagră.
Rezolvare. Să notăm cu A1 evenimentul ca la prima extragere să obținem bila albă și cu
A2, A3 evenimentele ca la extragerea a doua, respectiv a treia, să obținem o bilă neagră. Avem:
P 𝐴1 = 2
5 ; 𝑃𝐴1(𝐴2)=2
3;
Astfel, dacă s-a realizat 𝐴1∩𝐴2 , deci dacă prima bilă este albă și a doua este
neagră, atunci în urnă au rămas 8 bile, dintre care 5 negre. Deci probabilitatea ca o nouă bilă
extrasă să fie neagră este :
𝑃𝐴1∩𝐴2 𝐴3 =5
8 .
Prin urmare avem :
𝑃(𝐴1∩ 𝐴2∩𝐴3) = 2
5 ∙ 2
3 ∙ 5
8 = 1
6 .

9. Se aruncă două zaruri. Ca re este probabilitatea ca suma fețelor să fie 6, ști ind că
suma acestor fețe a dat un număr par?
Rezolvare. Cu ajutorul definiției probabilității ca fiind raportul dintre numărul
cazurilor favorabile supra numărul cazurilor posibile avem:

31
PA(B) = 5
18 ,
unde am notat cu A evenimentul ca la aruncarea celor două zaruri suma fețelor să fie număr
par, iar prin B evenimentul ca suma fețelor să fie 6.
Același rezultat îl găsim și folosind definiția probabilităților condiționate:
PA(B) = 𝑃 (𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃 (𝐴)
unde P (A) = 18
36 ; P(A ∩ B) = 5
36 , iar
PA(B) = 5
36
18
36 = 5
18.

10. Cuvântul “vectorial” este format din litere izolate scrise pe cartonașe.
Amestecăm aceste cartonașe, apoi extragem din ele pe rând patru, pe care le așezăm unul
după altul. Să se afle probabilitatea de a obține cuvântul “voce” .
Rezolvare. Să notăm cu A1 evenimentul care constă în faptul că prima literă
extrasă este v, cu A2 evenimentul că a doua literă extrasă este o, cu A3 evenimentul că a
treia literă extrasă este c și cu A4 evenimentul că a patra literă extrasă este e.
Evenimentul care ne interesează este 𝐴1∩ 𝐴2∩ 𝐴3∩𝐴4.
Atunci avem egalitatea:
𝑃(𝐴1∩𝐴2 ∩𝐴3∩ 𝐴4) = P 𝐴1 ∙ 𝑃𝐴1 𝐴2 ∙ 𝑃𝐴1∩𝐴2 𝐴3 ∙ 𝑃𝐴1∩𝐴2 ∩ 𝐴3 𝐴4 .
Ȋnsă
P (A 1) = 1
9 ;
𝑃𝐴1 𝐴2 = 1
8;
𝑃𝐴1∩𝐴2 𝐴3 = 1
7;
𝑃𝐴1∩𝐴2 ∩𝐴3 𝐴4 = 1
6 .
Rezultă deci că
𝑃 𝐴1∩𝐴2 ∩𝐴3∩ 𝐴4 = 1
9 ∙ 1
8 ∙ 1
7 ∙ 1
6 = 1
6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9 .

32
CAPITOL UL 4
SCHEME DE PROBABILITATE

4. 1. SCHEMA BINOMIALĀ GENERALIZATĂ (SCHEMA LUI POISSON4)

Dacă A1 , A 2 , ⋯ , A n sunt evenimente independente, atunci probabilitatea să se
realizeze k dintre cele n evenimente (și să nu se realizeze n – k) este coeficientul lui xk din
polinomul: (p1x + q1) (p 2x + q2) ⋯ (pnx + qn) , unde probabilitatea P (A i) = p i ; qi = 1 – pi ; i=
1, 2, ⋯ , n.
Pentru a se realiza evenimentul A, trebuie să se realizeze k dintre evenimentele Ai (fie
𝐴𝑖1 ,𝐴𝑖2 ,⋯ ,𝐴𝑖𝑘 aceste evenimente) și să nu se realizeze celelalte n – k: 𝐴𝑖𝑘+1 ,⋯ ,𝐴𝑖𝑛 , adică
trebuie să se realizeze unul din tre evenimentele de forma
𝐴𝑖1 ∩ 𝐴𝑖2 ∩ ⋯ ∩𝐴𝑖𝑘 ∩𝐴𝑖𝑘+1 ∩ ⋯ ∩𝐴𝑖𝑛 .
Rezultă că A este reuniunea evenimentelor incompatibile de această formă:
𝐴= 𝐴𝑖1∩𝐴𝑖2∩ ⋯ ∩𝐴𝑖𝑘 ∩ 𝐴𝑖𝑘+1 ∩ ⋯ ∩𝐴𝑖𝑛
unde {i1, i2, ⋯ , ik} parcurge familia submulțimilor de k elemente ale mulțimii de indici
{1, 2, ⋯ , n}. Rezultă
P (A) = 𝑝𝑖1∙𝑝𝑖2∙⋯∙𝑝𝑖𝑘∙𝑞𝑖𝑘+1∙⋯∙𝑞𝑖𝑛.
Se observă că suma din membrul drept al acestei egalități este egală cu coeficientul lui
xk din po linomul de mai sus.
Schema lui Poisson se poate realiza printr -un șir de n urne cu bile de două culori (albe
și negre) cu compoziții diferite. Se extrage pe rând câte o bilă din fiecare urnă.
Exemplu. Se dau trei urne: prima conține 2 bile albe și 3 bile negre, a doua conține 4
bile albe și o bilă neagră, iar a treia conține 3 bile albe și 2 bile negre. Din fiecare urnă se
extrage câte o bilă. Care este probabilitatea ca două bile să fie albe și una neagră?
Rezolvare. Considerăm evenimentele independente:
A1: bila extrasă din prima urnă este albă,
A2: bila extrasă din a doua urnă este albă,
A3: bila extrasă din a treia urnă este albă.
Problema cere probabilitatea realizării a două din tre cele 3 evenimente. Suntem în
cazul schemei lui Poisson cu

4 Denis Poisson (1781 – 1840) celebru matematici an francez

33
n = 3 ; k = 2 ; p 1 = P (A 1) = 2
5 ; p2 = P (A 2) = 4
5 .
Probabilitatea căutată este coeficientul lui xk din polinomul
2
5𝑥+3
5 4
5𝑥+1
5 1
5𝑥+2
5 .
Adică 58
125 .

4. 2. SCHEMA BINOMIALĀ (SCHEMA LUI BERNOULLI5)

Dacă evenimentele independente A1 , A2 , ⋯ , An au aceeași probablitate pi = p
qi = q = 1− p ( i= 1, 2, ⋯ , n), atunci probabilitatea să se relizeze k dintre cele n evenimente
este coeficientul lui xk din polinomul (px + q)n, adică este egală cu 𝐶𝑛𝑘pkqn-k.
Aruncarea unei monede de n ori este o experiență E care constă în prima aruncare
(E1), a doua aruncare ( E2) etc.
Dacă A1 : “apare stema la prima aruncare” ,
A2 : “apare stema la a doua aruncare” etc.,
atunci A1, A 2, ⋯ , A n sunt respectiv legate de evenimentele E1, E2, ⋯ , En, deci sunt
independente și p = P(A 1) = P(A 2) = ⋯ = P(A n) = 1
2 , 𝑞 = 1
2 .
Ȋn acest caz probabilitatea ca in cele n aruncări să obținem de k ori stema este
𝐶𝑛𝑘 1
2 𝑘
∙ 1
2 𝑛−𝑘 .
Ȋn general, dac ă A este un eveniment legat de o experiență P(A) = p și dacă repetăm
experiența de n ori, atunci probabilitatea ca A să se realizeze de k ori este 𝐶𝑛𝑘pkqn-k(q = 1− p).
Schema lui Bernoulli poate fi realiz ată printr -o urnă cu bile de două culori (albe și
negre), se extrage pe rând câte o bilă din urnă, dar de fiecare dată bila extrasă se pune înapoi
în urnă, motiv pentru care aceeași schemă este cunoscută și sub numele schema bile întoarse .
Schema lui Bernoulli se poate obț ine ca un caz particular al schemei lui Poisson, când
p1 = p 2 = ⋯ = p n.
Exemplu . Se aruncă două zaruri de 10 ori . Care este probabilitatea să apară de 4 ori
suma 7?

5 Jacob( Jacques) Bernoulli (1654 -1705) primul matematician din cunpscuta familie de matematicieni elve țieni
Bernoulli

34
Rezolvare. La o efecuare a experienței , evenimentul “apariția sumei 7” are
probabilitatea 1
6 (6 cazuri favorabile din 36 posibile). Deci:
p = 1
6 ; q= 5
6 ; 𝑛 = 10 ; k = 4 ,
iar probabiliatea căutată este egală cu
𝐶104 1
6 4
∙ 5
6 6 .

4.3. SCHEMA LUI BERNOULLI CU MAI MULTE STĂRI

Ȋn urma unor experiențe pot apărea unul și numai unul din tre evenimentele Ak ,
k = 1, 2, ⋯ , s.
Fie pk = P (A k), k = 1, 2, ⋯ , s, atunci 𝑝𝑘𝑠
𝑘=1 = 1.
Se repetă experiența de n ori, în condiții identice. Probabiltatea P (n ; m 1, ⋯ , m s) că
în cele n experiențe evenimentul Ak să apară de mk ori, k = 1, 2, ⋯ , s este
P (n ; m 1, ⋯ , ms) = 𝑛!
𝑚1 !∙⋯∙𝑚𝑠! 𝑝1𝑚1∙ ⋯ ∙ 𝑝𝑠𝑚𝑠 ; 𝑚𝑘𝑠
𝑘=1 = n.
Această schemă mai este cunoscută și sub numele de schemă multinomială.
Exemplu . Se aruncă un zar de 5 ori. Care este probabilitatea ca de două ori să
obținem fața cu un punct, de două ori fața cu două puncte și o dată nici una din tre aceste
două fețe?
Rezolvare. Avem
n = 5 ; n 1 = 2 ; n 2 = 2; n 3 = 1 ; p 1 = 1
6 ; p2 = 1
6 ; p3 = 4
6 = 2
3
și
P (n ; n1, n2 , n3) = 5!
2! ∙ 2 !∙ 1! ∙ 1
6 2
∙ 1
6 2
∙ 2
3 1
=5
324 ∙

4.4. SCHEMA HIPERGEOMETRICĂ

Dintr -o urnă în care sunt a bile albe și b bile negre (a + b = N ), se extrag n bile,
n ≤ N, fără ca să se pune înapoi în urnă, după fiecare extragere, bila extrasă.

35
Fie 𝛼 numărul de bile albe obținut în n extrageri. Evident, 𝛼 ≤ n și 𝛼 ≤ a. Prin
urmare:
𝛼 ≤ min(a, n)
La fel, numărul de bile negre, obținut în n extrageri, este egal cu n – 𝛼, deci trebuie să
îndeplinească condiția:
n – 𝛼 ≤ b sau 𝛼 ≥ n – b.
Cum 𝛼 ≥ 0, rezultă 𝛼≥ max (0 , n – b).
Deci:
max (0 , n – b) ≤𝛼≤ min(a, n).
Probabilitatea ca din n extrageri să obținem 𝛼 bile albe este
PB(𝛼) = 𝐶𝑎𝛼 · 𝐶𝑏𝑛 −𝛼
𝐶𝑁𝑛 .
Ȋntr-adevăr, numărul cazurilor posibile este dat de numărul de combinări făcute cu
numărul N de bile din urnă, luat în raport cu numărul n de bile extrase.
Să calculăm acum numărul cazurilor favorabile, adică numărul grupurilor de 𝛼 bile
albe și ( n – 𝛼) bile negre.
Avem 𝐶𝑎𝛼 grupuri de 𝛼 bile pe care le putem forma cu cele 𝛼 bile albe din urnă și
𝐶𝑏𝑛 −𝛼 grupuri de (n – 𝛼) bile negre, pe care le putem forma cu cele b bile negre existente în
urnă. Avem deci:
𝐶𝑎𝛼 · 𝐶𝑏𝑛 −𝛼
cazuri favorabile. Rezultă formula de mai sus.
Deoarece extragerea a n bile din urnă revine la a extrage de n ori câte o bilă, fără a se
repune bila extrasă înapoi în urnă, această sc hemă se mai numește schema bile neîntoarse .
Exemplu. Un cumpărător trebuie să plătească suma de 4 lei. El are în buzu nar 10
hârtii a câte 1 leu, dintre care 4 deterioarate. Care este probabilitatea ca în suma plătită să
intre două hârtii deteriorate?
Rezolvare. Suntem în cadrul shemei bilei neîntoarse:
a = 4, b = 6, 𝛼 = 2, N = 10
Probabilitatea căutată este
𝐶42 · 𝐶62
𝐶104 = 3
7 .

36
4. 5. PROBLEME

1. O urn ă conține 5 bile albe și 3 bile negre, o altă urnă conține 6 bile albe și 2 negre
și o a treia, 7 albe și una neagră. Se extrage câte o bilă din fiecare urnă. Să se determine
probabilitatea ca două bile să fie albe și una să fie neagră.
Rezolvare . Considerăm evenimentele independente:
A1 : bila extrasă din prima urnă este albă,
A2 : bila extrasă din a doua urnă este albă,
A3 : bila extrasă din a treia urnă este albă.
Aplicând schema lui Poisson găsim că probabilitatea de a extrage două bile albe și una
neagră este dată de coeficientul lui x2 din produsul:
5
8𝑥+3
8 6
8𝑥+2
8 7
8𝑥+1
8 .
Așadar
P = 30
83 + 70
83 + 126
83 = 226
83 = 226
512 = 113
256 .

2. Se aruncă un ban, un zar și se extrage o bilă dintr -o urnă care conține 2 bile albe și
3 bile negre. Legat de aceste experiențe considerăm respectiv evenimentele:
A1 − apariția stemei ,
A2 − apariția feței 1 ,
A3 – extragerea unei bile albe.
Care este probabilitatea ca din ace ste trei evenimente două să se realizeze și unul nu?
Rezolvare . Suntem, evident, în cazul schemei Poisson, cu parametrii:
k = 2 ; n = 3 ; p1 = 1
2 ; p2 = 1
6 ; p3 = 4
6 = 2
5 ; q1 = 1
2 ; q2 = 5
6 ; q3 = 3
5.
Probabilitatea căutată este coeficientul lui x2 din polinomul
1
2𝑥+1
2 1
6𝑥+5
6 2
5𝑥+3
5 .
Deci,
P = 1
2∙1
6∙3
5+1
2∙5
6∙2
5+1
6∙2
5∙1
2=3
60+10
60+2
60=15
60=1
12 .

3. Ȋntr-un atelier sunt 3 mașini. Prima dă 0,9% rebut uri, a doua dă 1% rebuturi și a
treia 1,3% . Se ia la întâmplare câte o piesă de la fiecare mașină și se cere probabilitatea ca 2
din piesele luate să fie bune și una să fie rebut.

37
Rezolvare . Suntem în cazul schemei Poisson. Probabilitatea căutată va fi coeficientul
lui x2 din produsu l
(p1x + q1) (p 2x + q2) (p3x + q3),
unde
p1 = 0,991 ; p2 = 0,99 ; p3 = 0,987 ;
q1 = 0,009 ; p2 = 0,01 ; p3 = 0,013.

4. Patru trăgători trag asupra unei ținte. Primul nimerește cu probabilitatea 4
5 , al
doilea cu probabilitatea 5
6 , al treilea cu probabilitatea 6
7 și al patrulea cu probabilitatea 7
8.
Dacă fiecare trage câte un foc asupra țintei, care este probabilitatea ca trei să nimerească ținta
și unul nu?
Rezolvare . Suntem în cazul schemei Poisson . Probabilitatea căutată este coeficientul
lui x3 din polinomul
4
5𝑥+1
5 5
6𝑥+1
6 6
7𝑥+1
7 7
8𝑥+1
8 .

5. Considerăm trei urne cu urmă toarea compoziție :

Urna Nr. bile albe Nr. bile negre
U1 10 4
U2 5 3
U3 2 6

Care este probabilitatea ca luând la întâmplare o bilă din fiecare urnă să obținem
două bile albe și una neagră?
Rezolvare. Se aplică schema lui Poisson, trebuie să calculăm coeficientul lui x2 din
polinomul
P(x) = (p1x + q1) (p 2x + q2) (p3x + q3),
unde
p1 = 5
7 ; p2 = 5
8 ; p3 = 1
4 ; q1 = 2
7 ; q2 = 3
8 ; q3 = 3
4.
deci
P = 5
7· ·5
8 · ·3
4 + 5
7· ·1
4 ∙ ·3
8 + 5
8 ∙ 1
4 ∙2
7 = 25
56 .

38
6. Se experimentează 4 prototipuri de aparate câte unul din fiecare prototip.
Probabilitatea ca un prototip să corespundă este 0,8; 0,7; 0,9 și respectiv 0,85. Se cere
probabilitatea ca toate 4 aparate experimentat e să corespundă.
Rezolvare. Se aplică schema lui Poisson, probabilitatea cerută este coeficientul lui x4
din polinomul
P(x) = (0,8x + 0,2)(0,7x + 0,3)(0,9x + 0,1) (0,85x + 0,15) ,
deci
P = 0,8 · 0,7 · 0,9 · 0,85 = 0,4284 .

7. Se aruncă o monedă de 10 ori. Să se calculeze probabilitatea de a obține de 6
ori stema.
Rezolvare . Aplicând schema lui Bernoulii, găsim că
P10 (6, 4) = 𝐶106 1
2 6
∙ 1
2 4 = 𝐶106 1
210 .

8. Un țintaș nimerește de 7 ori din 9 trageri. Să se calculeze probabilitatea ca el să
nimerească ținta de 8 ori consecutiv.
Rezolvare . Probabilitatea să nimerească ținta într -o singură tragere este 7
9 . De aici
urmează că probabilitatea ca țintașul să nimerească de 8 ori consecutiv este
P8 (8, 0) = 7
29 8
.

9. Se aruncă 7 monede. Cre este probabilitatea ca să apară de 5 ori stema și de 2
ori fața?
Rezolvare . Observăm că a arunca 7 monede este același lucru cu a arunca de 7 ori
o monedă. Cum la fiecare aruncare probabilitatea de a ap ărea stema este egală cu
probabilitatea de a ap ărea fața și este egală cu 1
2, rezultă din schema lui Bernoulli
P7 (5, 2) = 𝐶75 1
2 5
∙ 1
2 2 = 𝐶75 1
27 .

10. Ȋn urma unei experiențe un eveniment A poate apăre a cu probabilitatea 0,01.
Care este probabilitatea ca efectuând 10 experiențe evenimentul a să apa ră de 4 ori?
Rezolvare . Se aplică schema lui Bernoul li pentru
n = 10, k = 4, p = 0,01 iar q = 0,99

39
deci
P (10, 4) = 𝐶104 0,01 4∙ 0,99 6 .

11. Se aruncă o monedă de 6 ori. Care este probabilita tea să apară de 4 ori stema
și de 2 ori fața?
Rezolvare . Suntem, evident, în cadrul schemei lui Bernoulii, unde
n = 6, k = 4, p = 1
2 , q = 1
2 .
Probabilitatea căutată este egală cu
P = 𝐶64 1
2 4
∙ 1
2 2 = 15
64.

12. O urnă conține 4 bie albe și 5 bile negre. Din această urnă se extrag de 5 ori
câte 3 bile deodată, punându -se de fiecare dată bilele extrase înapoi în urnă . Care este
probabilitatea ca de 2 ori să obținem toate bilele albe?
Rezolvare. Experiența care se repetă este extragerea a trei bile deodată.
Evenimentul considerat este extragerea a trei bile albe. Când facem o si ngură extragere,
probabilitatea acestui eveniment este egală cu
p = 4
9 ∙ 3
8 ∙2
7 = 1
21.
Probabilitatea ca acest eveniment să se realizeze de două ori când facem de 5 ori
experiența este:
𝐶52 1
21 2∙ 20
21 5.

13. Se aruncă un zar de 14 ori. Să se calculeze probabilitatea ca fața 1 să apară de
3 ori, fața 2 o dată, fața 3 de 4 ori, fața 4 de 2 ori, fața 5 de 3 ori și fața 6 o singură dată.

Rezolvare . Aplicâd schema multinomială găsim că
P14 (3, 1, 4, 2, 3, 1 ) = 14!
3! ∙ 1 !∙ 4!· 2! · 3! ∙ 1 ! ∙ 1
614 .

14. Se aruncă de 8 ori o monedă. Se cere probabilitatea de a obține stema de 4 ori.
Rezolvare . Aplicăm ca zul particular al schemei multinomial e când m = 2 , adică
legea binomială

40
Pk;;n-k (n) = 𝑛!
𝑘!(𝑛 – 𝑘)! 𝑝𝑘∙ 𝑞𝑛−𝑘
Avem n = 8 , k = 4, p = q = 1
2,
P4;4 (8) = 8!
4! ∙ 4! 1
2 4
∙ 1
2 4
= 35
128 .

15. Se aruncă de 12 ori un zar. Să se calculeze probabilitatea de a obține de două
ori fiecare dintre cele 6 fețe.
Rezolvare. Aplic ând schema multinomială
𝑃𝑛1;𝑛2; ⋯;𝑛𝑚 𝑛 = 𝑛!
𝑛1!∙⋯∙𝑛𝑚! 𝑝1𝑛1∙ ⋯ ∙ 𝑝𝑚𝑛𝑚,
unde m = 6; n = 1; 𝑛1= 𝑛2 = ⋯ = 𝑛6 = 2 ; 𝑝1 = 𝑝2 = ⋯ = 𝑝6 = 1
6 .
Așadar
P2;2; ⋯ ;2 (12)= 12!
2! ∙ 2 !∙ ⋯ ∙ 2! 1
12 16
= 12!
26 ∙ 612 = 1 925
559 872 .

16. Dintr -o urnă cu 20 bile dintre care 8 albe, 6 negre și 6 roșii se extrag pe rând
5 bile, punându -se de fiecare dată bila extrasă înapoi în urnă. Care este probabilitatea ca
între cele 5 bile să fie 2 albe, 1 neagră și 2 ro șii?
Rezolvare. Se aplică schema lui Bernoulli cu mai mlte stări, adică formula
P (n ; 𝑚1, ⋯ ,𝑚𝑠) = 𝑛!
𝑚1! ∙⋯∙𝑚𝑠! 𝑝1𝑚1∙ ⋯ ∙ 𝑝𝑠𝑚𝑠.
Ȋn cazul nostru s = 3, n = 5; 𝑚1= 2, 𝑚2= 1, 𝑚3= 2 , 𝑝1= 2
5 , 𝑝2= 3
10 , 𝑝3= 3
10.
Deci
P(5,2, 1, 2 ) = 5!
2! ∙ 1 !· 2! ∙ 2
25 2
∙3
10 ∙ 3
10 2 = 0,129 .

17. Ȋntr-un lot sunt 200 de pi ese fabricate la o mașină. Se scot la întâmplre 20
piese. Care este probabilitatea ca între cele 20 pi ese extrase să se afle pi ese cu defecte?
Rezolvare . Observăm că evenimentele A “ toate cele 20 piese extrase sunt fără
defecte ” și B “ între cele 20 piese extrase cel puțin una ete cu defect ” sunt
complementare.
Atunci avem
P (B) = 1 − P(A).

41
Din
P (A) = 𝐶19020 · 𝐶100
𝐶20020 = 𝐶19020
𝐶20020
calculată după schema bilei neîntoarse , aflăm
P (B) = 1 − 𝐶19020
𝐶20020 .

18. O urnă conține 8 bile albe, 8 bile negre și 8 bile roșii. Se extrag 3 bile la
întâmplare. Car e este probabilitatea ca bilele extrase să fie de culori diferite ?
Rezolvare. Aplicăm schema bilei neîntoarse pentru cazul unei urne cu mai multe
culori și aflăm
P = 𝐶81 · 𝐶8 1 · 𝐶8 1
𝐶243 = (𝐶81) 3
𝐶243 .

19. Ȋntr-o cutie de chibrituri conținând 41 bețe, 3 sunt fără gămălie. Scoțând 16 bețe la
întâmplare, să se determine probabilitatea ca printre acestea să se gassească cele 3 bețe
defecte.
Rezolvare . Se foloseste schema bilei neîntoarse
PB(𝛼) = 𝐶𝑎𝛼 · 𝐶𝑏𝑛 −𝛼
𝐶𝑁𝑛 ,
unde a = 38, b = 3, 𝛼=13 , N = 41, n = 16 .
Deci
P16 (13,3) = 𝐶3813 · 𝐶33
𝐶4116 .

20. O urnă conține 20 de bile albe și 8 bile negre. Care este probabilitatea de a extrage
deodată 7 bile albe și 3 bile negre?
Rezolvare. Folosind schema bilei neîntoarse
PB(𝛼) = 𝐶𝑎𝛼 · 𝐶𝑏𝑛 −𝛼
𝐶𝑁𝑛
aflăm că probabilitatea căutată este
P10 (7,3) = 𝐶207 · 𝐶83
𝐶2810 .

42
21. O urnă conține 8 de bile albe și 8 bile negre. Să se determine probabilitatea
ca extrăgând 5 bile, fără a pune bila înapoi, să obținem
a) 5 bile albe ;
b) 3 bile albe și 2 negre.
Rezolvare . a) Folosind schema bilei neîntoarse și notând cu A evenimentul ca cele
5 bile să fie albe avem
P (A) = 𝐶85 · 𝐶80
𝐶165 .
b) Fie B evenimentul ca să avem 3 bile albe și 2 negre. Atunci
P (B) = 𝐶83 · 𝐶82
𝐶165 .

22. Avem 52 obiecte dintre care 4 poartă semn distinctiv. Ȋmpărțindu -se aceste 52
obiecte în patru grupe egale, care este probabilitatea ca în fiecare grupă să se găsească un
obiect cu semnul distinctiv?
Rezolvare . Probabilitatea ca în prima grupă să se găsească un obiect cu semnul
distinctiv este
𝐶4812 · 𝐶41
𝐶5213 .
Probabilitatea ca în a doua grupă să se găsească un obiect cu semnul distinctiv
este
𝐶3612 · 𝐶31
𝐶3913 ,
iar probabilitatea ca în a treia grupă să se găsească un obiect cu semnul distinctiv este
𝐶2412 · 𝐶21
𝐶2613
și deci în grupa a patra se află un obiect cu semnul distinctiv.
Prin urmare probabilitatea ca în fiecare grupă să se afle un obiect cu semn
distinctiv, este produsul acestor probabilități adică
P = 𝐶4812 · 𝐶41
𝐶5213 · 𝐶3612 · 𝐶31
𝐶3913 · 𝐶2412 · 𝐶21
𝐶2613 .

43
CAPITOLUL 5
VARIABILE ALEATOARE. VALORII MEDII

5. 1. DEFINIȚIA VARIABILEI ALEATOARE. EXEMPLE

Ȋn viața de toate zilele întâlnim la tot pasul mărimi care iau valori ce se schimbă sub
influența unor factori întâmplători. Așa sunt, de exemplu, numărul de zile dintr -un an în care
cade ploaia pe o anumită regiune, număru l băieților din 100 de nou -născuți, numărul de
puncte care apar la aruncarea unui zar, numărul de bile albe care apar în n extrageri dintr -o
urnă care conține bile de diferite culori, printre care și bile albe, masa unu i bob de mazăre luat
dintr -o anumită recoltă, rezultatul obținut în urma măsurării unei mărimi fizice, viteza unei
molecule de gaz etc. Ȋn acest capitol ne interesează dintre aceste mărimi numai acelea care iau
un număr finit de valori. Fiecare din tre mărimile de mai sus poate lua diferite valori în
diversele efectuări ale experienței, chiar dacă toate condițiile rămân neschimbate la fiecare
efectuare a experienței. Modificarea valorilor are la bază factori întâmplători. De aceea vom
numi aceste mărimi variabile aleatoare (întâmplătoare ).
Pentru cunoașterea unei variabile aleatoare trebuie să cunoaștem, în primul rând,
valorile pe care le poate lua. Dar cunoașterea acestor valori este departe de a fi suficientă.
Fiecare valoare este luată sub influența unor factori întâmplători. Deci, unele valori pot apărea
mult mai des decât celelalte. Variabila aleatoare va fi mult mai bine precizată dacă vom
cunoaște și probabilitatea cu care este luată fiecare valoare.
O variabilă aleatoare X o vom nota schematic:
X 𝑥1𝑥2
𝑝1𝑝2 ⋯𝑥𝑛
⋯𝑝𝑛 ,
unde în primul rând al tabloului sunt scriae valorile posibile ale variabilei și sub fiecare
valoare probabilitatea cu care X ia această valoare. Tabloul de mai sus definește distribuția
sau repartiția variabilei X .
O variabilă aleatoare este o aplicație a mulțimii 𝔼 în ℝ ( mulțimea numerelor reale).
Variabilele X și Y sunt egale dacă X(e) = Y(e) pentru orice e ∈ 𝔼 .
Egalitățile de forma X = x i sunt evenimente . Deoarece egalitățile X = x 1 ; X = x 2 ; ⋯;
X = x n sunt incompatibile două câte două și una din ele se realizează neapărat, avem
P (X = x 1) + P (X = x 2) + ⋯ + P (X = x n) = 1 ,
p1 + p 2 + ⋯ + p n = 1.

44
5. 2. OPERAȚII CU VARIABILEI ALEATOARE

1. Produsul și suma dintre o constantă și o variabilă aleatoare
Dacă X este o variabilă și a o constantă, aX este variabila care ia valoarea axi atunci
când X ia valoarea xi, iar a + X este variabila care ia valoarea a + x i , cân d X ia valoarea xi.
Dacă X are distribuția
X 𝑥1𝑥2
𝑝1𝑝2 ⋯𝑥𝑛
⋯𝑝𝑛 .
aX are distribuția
aX 𝑎𝑥1𝑎𝑥2
𝑝1𝑝2 ⋯𝑎𝑥𝑛
⋯𝑝𝑛 ,
iar
a + X 𝑎 +𝑥1𝑎 +𝑥2
𝑝1𝑝2 ⋯𝑎 +𝑥𝑛
⋯𝑝𝑛 .

2. Adunarea variabil elor aleatoare
Fiind date două variabile aleatoare X și Y, vom numi suma lor variabila Z = X + Y ,
care ia valoarea xi + y i , dacă X ia valoarea xi , iar Y ia valoarea yj.
Dacă X și Y au distribuțiile
X 𝑥1𝑥2
𝑝1𝑝2 ⋯𝑥𝑚
⋯𝑝𝑚 ;
Y 𝑦1𝑦2
𝑞1𝑞 ⋯𝑦𝑛
⋯𝑞𝑛 ,
X + Y are distribuția
X + 𝑌 𝑥1 + 𝑦1𝑥2 + 𝑦2
𝑝11𝑝12 ⋯ 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 ⋯𝑥𝑚 + 𝑦𝑛
⋯ 𝑝𝑖𝑗 ⋯𝑝𝑚𝑛 ,
unde pij ( i = 1, 2, ⋯ , m ; j = 1, 2, ⋯ , n) este probabilitatea realizării simultane a egalităților
X = x i ; Y = yi .
Fiind date mai multe variabile aleatoare X, Y, ⋯ , V , suma lor se definește asemănător:
X + Y + ⋯ + V este variabila care ia valoarea xi + y i + ⋯ + vk , dacă
X, Y, ⋯ , V iau respectiv valorile xi , yi , ⋯ , vk .
Când scriem tabelul de distibuție al unei variabile aleatoare, este bine să avem în
vedere ca valorile din primul rând să fie diferite două câte două.
Exemplu. Probabilitatea extragerii unei bile albe dintr -o urnă este p. Din această
urnă se fac 2 extrageri, punându -se înapoi bila după prima extragere. Se consideră
variabilele X 1 și X 2, prima reprezentând numărul de bile albe ieșite la prima extragere și a

45
doua numărul de bile albe ieșite la a doua extragere. Să se scrie distribuția sumei cel or două
variabile aleatoare.
Rezolvare. Evident, cele două variabile au distribuțiile:
X1 01
𝑞𝑝 ; X 2 01
𝑞𝑝 ,
unde q = 1 – p. Conform definiției sumei variabilelor aleatoare, putem scrie
X1 + X2 1 + 11 + 0
𝑝2𝑝𝑞 0 + 1 0 + 0
𝑞𝑝 𝑞2 .
Vom scrie
X1 + X2 0 1 2
𝑞22𝑝𝑞 𝑝2 .
Variabila sumă reprezină numărul de bile albe ieșite în 2 extrageri cu revenire din urnă.

3. Ȋnmulțirea variabil elor aleatoare
Fiind date două variabile aleatoare X și Y, vom numi produsul lor variabila XY, care ia
valoarea xi yi, când X ia valoarea xi, iar Y ia valoarea yj.
Dacă X și Y au distribuțiile
X 𝑥1𝑥2
𝑝1𝑝2 ⋯𝑥𝑚
⋯𝑝𝑚 ;
Y 𝑦1𝑦2
𝑞1𝑞 ⋯𝑦𝑛
⋯𝑞𝑛 ,
XY are distribuția
X𝑌 𝑥1 𝑦1𝑥2 𝑦2
𝑝11𝑝12 ⋯ 𝑥𝑖 𝑦𝑗 ⋯𝑥𝑚 𝑦𝑛
⋯ 𝑝𝑖𝑗 ⋯𝑝𝑚𝑛 ,
unde pij ( i = 1, 2, ⋯ , m ; j = 1, 2, ⋯ , n) este probabilitatea realizării simultane a egalităților
X = x i ; Y = yi .
Fiind date mai multe variabile aleatoare X, Y, ⋯ ,V , suma lor se definește asemănător:
X ∙ Y ∙ ⋯ ∙ V este variabila care ia valoarea xi yi ⋯ vk , dacă X, Y, ⋯ ,V iau respectiv
valorile xi , yi , ⋯ , vk .
Exemplu. Folosind exemplul anterior, s ă se scrie distribuția prod usului celor două
variabile aleatoare.
Rezolvare. Evident, cele două variabile au distribuțiile:
X1 01
𝑞𝑝 ; X 2 01
𝑞𝑝 ,
unde q = 1 – p. Folosind direct definiția produsului variabilelor aleatoare, putem scrie
X1 X2 1 ∙ 11 ∙ 0
𝑝2𝑝𝑞 0 ∙ 1 0 ∙ 0
𝑞𝑝 𝑞2 .

46
Vom scrie deci
X1 X2 0 1
2𝑝𝑞+𝑞2𝑝2 .

4. Ridicarea la putere a unei variabil e aleatoare
Fiind dat ă o variabilă aleatoare X, vom numi puterea r a variabilelei X variabila 𝑋𝑟,
care ia valoarea 𝑥𝑖𝑟 dacă X ia valoarea xi .
Dacă distribuția lui X este
X 𝑥1𝑥2
𝑝1𝑝2 ⋯𝑥𝑚
⋯𝑝𝑚 .
Distribuția variabilei 𝑋𝑟este
Xr 𝑥1𝑟𝑥2𝑟
𝑝1𝑝2 ⋯𝑥𝑚𝑟
⋯𝑝𝑚 .

5. Variabile aleatoare independente
Am văzut că, de câte ori avem de efectuat o operație cu două variabile aleatoare X și
Y, ne interesează probabilitatea realizării simultane a egalităților de forma X = x i , Y = yi. Am
notat această probbilitate cu pij. Dacă evenimentele (X = x i ) și ( Y = yi ) sunt independente
pentru toate valorile indicilor i și j, vom spune că variabilele X și Y sunt independente .
Ȋn acest caz, putem scrie
p ij = P (X = x i , Y = y j) = P((X = x i ) ∩𝑃(Y = yj)) = P (X = x i) ∙ P(Y = y j),
sau dacă
P (X = x i) = x i și 𝑃(Y = yj) = q j,
atunci
p ij = p i ∙ qj .
Dacă avem mai multe variabile aleatoare X, Y, ⋯ ,V, vom spune că ele sunt
independente dacă toate evenimentele de forma:
𝑋 = 𝑥𝑖 , 𝑌 = 𝑦𝑖 , ⋯ , 𝑉 = 𝑣𝑘 ,
sunt independente în totalitatea lor.
Exemplu. Folosind exemplul inițial, s ă se verifice independența celor două variabile
aleatoare.
Rezolvare. Cele două variabile au distribuțiile:
X1 01
𝑞𝑝 ; X 2 01
𝑞𝑝 .

47
Evenimentul {X 1 = 1} este evenimentul obținerii unei bile albe la prima extragere, iar
{X2 = 1} este eveniment ul obținerii unei bile albe la a doua extragere și sunt două evenimente
independente.
La fel deducem că evenimentele {X 1 = 1}, {X 2 = 0} sunt independente etc.
Rezultă că, v ariabilele 𝑋1 și 𝑋2 sunt independente .

5.3 VALORI MEDII

Fie X o variabilă aleatoare legată de o experiență, care ia valorile x1, x2, ⋯ , xm . Dacă
facem de n ori experiența și valoarea xi a apărut de ni ori (n1 + n 2 + ⋯ + n m = n), atunci,
punând într -o ordine convențională valorile obținute, putem spune că aceste valori sunt:
𝑥1, 𝑥1, ⋯,𝑥1
𝑎1 , 𝑥2, 𝑥2, ⋯,𝑥2
𝑎2 , ⋯ , 𝑥𝑚, 𝑥𝑚, ⋯,𝑥𝑚
𝑎𝑚
Media a ritmetică a acestor numere este:
𝑎1 𝑥1 +𝑎2 𝑥2 + ⋯ +𝑎𝑚 𝑥𝑚
𝑛 = 𝑛1
𝑛 𝑥1 + 𝑛2
𝑛 𝑥2 + ⋯ + 𝑛𝑚
𝑛 𝑥𝑚 =
= 𝑓1𝑥1 + 𝑓2𝑥2 + ⋯ +𝑓𝑚𝑥𝑚,
unde fi este frecvența relativă corespunzătoare valorii xi ( i = 1, 2, ⋯ , m).
Această observație ne conduc e în mod natural la următoarea definiție.
Definiție . Fiind dată o variabilă aleatoare
X 𝑥1𝑥2
𝑝1𝑝2 ⋯𝑥𝑛
⋯𝑝𝑛 ,
vom numi valoare medie a acestei variabile numărul
M (X) = 𝑝1𝑥1 + 𝑝2𝑥2 + ⋯ +𝑝𝑛𝑥𝑛.
Exemple . Variabilele X1 și X2 din aplicațiile anterioare cu distribuțiile :
X1 01
𝑞𝑝 ; X 2 01
𝑞𝑝 .
au valoarea medie
1∙ p + 0 ∙ q = p.
X1 + X2 , având distribuția :
X1 + X2 0 1 2
𝑞22𝑝𝑞 𝑝2 ,
are valoarea medie
2∙ p2 +1 ∙ 2pq + 0 ∙ q2 = 2p(p + q) = 2p .

48
Dacă luăm ca variabilă X numărul de puncte ieșite la aruncarea unui zar, atunci
distribuția acestei variabile este
X 12
1
61
6 3 4 56
1
6 1
6 1
61
6 ,
iar valoarea sa medie este
M (X) = 1∙1
6 + 2 ∙1
6 + 3 ∙1
6 + 4 ∙1
6 + 5 ∙1
6 +6 ∙1
6 = 7
2 .

Valoarea medie a unei variabile aleatoare are următoarele proprietăți:
a) Valoarea medie a uni constante este egală cu constanta .
Distribuția unei variabile aleatoare care ia o singură valoare este de forma a
1 și deci
valoarea ei medie va fi egală cu a ∙ 1 = a .
b) Dacă X este o variabilă aleatoare și a o constantă , atunci sunt adevărate relațiile:
M(a + X) = a + M(X) ,
M(aX) = aM(X) .
Ȋntr-adevăr, fie distribuția variabilei X
X 𝑥1𝑥2
𝑝1𝑝2 ⋯𝑥𝑛
⋯𝑝𝑛 ,
și distribuția variabilei a + X
a + X 𝑎 +𝑥1𝑎 +𝑥2
𝑝1𝑝2 ⋯𝑎 +𝑥𝑛
⋯𝑝𝑛 ,
iar media
M( a + X) = (a + x 1) p1 + (a + x 2) p2 + ⋯ + (a + x n) pn = a(p 1 + p2 + ⋯ + p n) +
(p1x1 + p 2×2 + ⋯ + p nxn) = a + M(X).
Distribuția variabilei aX este:
aX 𝑎𝑥1𝑎𝑥2
𝑝1𝑝2 ⋯𝑎𝑥𝑛
⋯𝑝𝑛 ,
iar media
p1(ax 1) + p 2(ax 2) + ⋯ + p n(ax n) = a (p1x1 + p 2×2 + ⋯ + p nxn) = a M(X).
c) Valoarea medie a unei variabile aleatoare X
X 𝑥1𝑥2
𝑝1𝑝2 ⋯𝑥𝑛
⋯𝑝𝑛
este cuprinsă între cea mai mică și cea mai mare dintre valorile posibile ale variabilei.
Ȋntr-adevăr, fie a cea mai mică dintre valorile x1, x2, ⋯ , xn și A cea mai mare dintre
aceste valori. Ȋn relația
M (X) = 𝑝1𝑥1 + 𝑝2𝑥2 + ⋯ +𝑝𝑛𝑥𝑛

49
membrul drept se micșorează dacă înlocuim toate valorile xi ( i= 1, 2, ⋯ , n) cu a:
M(X) > 𝑝1𝑎 + 𝑝2𝑎 + ⋯ +𝑝𝑛𝑎 = (𝑝1 + 𝑝2 + ⋯ +𝑝𝑛)a = a.
Dacă înlocuim toate valorile xi ( i= 1, 2, ⋯ , n) cu A , membrul drept se mărește
M(X) < 𝑝1𝐴 + 𝑝2𝐴 + ⋯ +𝑝𝑛𝐴 = ( 𝑝1 + 𝑝2 + ⋯ +𝑝𝑛)A = A.
Deci
a < M(X) < A .
d) Valoarea medie a unei sume finite de variabile aleatoare este egală cu suma
valorilor medii ale variabilelor aleatoare respective.
Fie
X 𝑥1𝑥2
𝑝1𝑝2 ⋯𝑥𝑚
⋯𝑝𝑚 ; Y 𝑦1𝑦2
𝑞1𝑞 ⋯𝑦𝑛
⋯𝑞𝑛 ,
două variabile aleatoare, atuci variabila X + Y are distribuția
X + 𝑌 𝑥1 + 𝑦1𝑥2 + 𝑦2
𝑝11𝑝12 ⋯ 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 ⋯𝑥𝑚 + 𝑦𝑛
⋯ 𝑝𝑖𝑗 ⋯𝑝𝑚𝑛 ,
iar valoarea medie
M (X + Y) = 𝑥𝑖 𝑚
𝑖=1𝑝𝑖 + 𝑦𝑖 𝑛
𝑗=1𝑞𝑗 = M(X) + M(Y ).
Proprietatea este valabilă pentru suma unui număr finit orecare de variabile aleatoare.
Demonstrația acestei afirmații se face prin recurență.
e) Valoarea medie a unui produs finit de variabile aleatoare independente este egală
cu produsul valorilor medii ale variabilelor considerate .
Fie două variabile aleatoare independente
X 𝑥1𝑥2
𝑝1𝑝2 ⋯𝑥𝑚
⋯𝑝𝑚 ; Y 𝑦1𝑦2
𝑞1𝑞 ⋯𝑦𝑛
⋯𝑞𝑛 ,
valoarea medie a variabilei
X 𝑌 𝑥1 𝑦1𝑥2 𝑦2
𝑝11𝑝12 ⋯ 𝑥𝑖 𝑦𝑗 ⋯𝑥𝑚 𝑦𝑛
⋯ 𝑝𝑖𝑗 ⋯𝑝𝑚𝑛
este
M(XY) = M(X) ∙ M(Y) .

5. 4. PROBLEME

1. Se aruncă un zar. Să se scrie distribuția variabilei aleatoare care ia ca valori
numărul de puncte apărut.

50
Rezolvare . Variabila aleatoare X poate lua valorile 1, 2, 3, 4, 5, 6 și fiecare valoare cu
probabilitatea 1
6, deci distribuția sa este
X 12
1
61
6 3 4 56
1
6 1
6 1
61
6 .

2. Se face controlul de calitate al unui lot de piese în felul următor: se extrage la
întâmplare, pe rând, câte o piesă din lot și se cercetează dacă este sau nu admisibilă. Numărul
maxim de piese cercetate este 5, iar dacă pies a din extracția de rang k, k = 1, 2, 3, 4 , nu
corespunde, atunci lotul se respinge ș i nu se mai continuă extracțiile. Să se scrie distribuția
variabilei aleatoare care reprezintă numărul de piese cercetate, presupunând că probabilitatea
ca o piesă luată la întâmplare din lot să fie admisibilă este 0,9.
Rezolvare. Variabila X poate lua valorile:
1 când prima piesă extrasă este un rebut,
2 când prima piesă extrasă este bună și a doua un rebut,
3 când primele două piese extrase sunt bune, iar a treia un rebut,
4 când primele trei piese extrase sunt bune, iar a patra un rebut,
5 când primele patru piese extrase sunt bune,
iar
P (X = 1) = q, P (X = 2) = pq , P(X = 3) = p2q , P(X = 4) = p3q , P(x = 5) = p4,
unde p = 0,9 iar q = 1 – p = 0,1.
Se obține
X 1 2
0,10,09 3 4 5
0,081 0,0729 0,6561 .
Dacă X = k , k = 1, 2, 3, 4 lotul se respinge, iar dacă X = 5 lotul se respinge sau nu,
după cum a cincea piesă cercetată este bună sau rebut.

3. Se arunc ă de 3 ori o monedă. Să se scrie distribuția variabilei aleatoare care ia ca
valori numărul de apariții ale stemei.
Rezolvare . Variabila aleatoare poate lua valorile 0, 1, 2, 3 .
Probabilitătile le găsim aplicând schema lui Bernoulli:
P(X = k) = 𝐶𝑛𝑘pkqn-k ,
Obținem
P (X = 0) = 1
2 2;

51
P (X = 1) = 𝐶31 1
2 3;
P (X = 2 ) = 𝐶32 1
2 3;
P (X = 3) = 1
2 3.
Deci
X 0 1
0,125 0,375 2 3
0,375 0,125 .

4. Se experimentează 3 prototipuri de aparate. Probabilitățile ca prototipurile să
corespundă sunt respectiv 𝑝1 = 0,9; 𝑝2= 0,8; 𝑝3 = 0,85. Să se scrie distribuția variabilei
aleatoare care ia ca valori numărul de prototipuri care corespund.
Rezolvare. Variabila aleatoare X poate lua valorile 0, 1, 2, 3 . Pentru aflarea
probabilităților folosim schema lui Poisson; deci trebuie să calculăm coeficienții lui x0, x1, x2,
x3 din polinomul
P(x) = (0,8x + 0,2)(0,7x + 0,3)(0,9x + 0,1) (0,85x + 0 ,15).
Se obține
X 0 1
0,003 0,56 2 3
0,329 0,612 .

5. Fie 3 urne Ui (i = 1, 2, 3) cu următoare compoziție :

Urna Nr. bile albe Nr. bile negre
U1 2 3
U2 3 2
U3 2 2

Se extrage din fiecare urnă câte o bilă. Să se scrie distribuția variabilei aleatoare care
reprezintă numărul de bile albe extrase .
Rezolvare . Variabila aleatoare X poate lua valorile 0, 1, 2, 3 , iar probabilitățile
respective
sunt coeficienții lui x0, x1, x2, x3 din produsul
2
5𝑥+3
5 3
5𝑥+2
5 1
2𝑥+1
2 , deoarece se aplică schema lui Poisson,

52
se obține
X 0 1
3
25 19
50 2 3
19
50 3
25 .

6. Ȋntr-un lot de 100 de piese prelucrate la un str ung, 10 sunt rebuturi. Pentru un
control de calitate se extrag la întâmplare 5 piese din lot. Să se scrie distribuția variabilei
aleatoare care ia ca valori numărul de piese rebut din cele 5 piese extrase.
Rezolvare. Variabila aleatoare X poate lua valorile 0, 1, 2, 3, 4, 5 . Pentru aflarea
probabilităților folosim schema bilei neîntoarse :
P( X = k) = 𝐶10𝑘 · 𝐶905− 𝑘
𝐶1005 ,
Obținem :
P( X = 0 ) = 𝐶100 · 𝐶905
𝐶1005 = 0,583 ;
P( X = 1 ) = 𝐶101 · 𝐶904
𝐶1005 = 0,340 ;
P( X = 2 ) = 𝐶102 · 𝐶903
𝐶1005 = 0,070 ;
P( X = 3 ) = 𝐶103 · 𝐶902
𝐶1005 = 0,007 ;
P( X = 4 ) = 𝐶104 · 𝐶901
𝐶1005 = 0;
P( X = 5 ) = 𝐶105 · 𝐶900
𝐶1005 = 0
(s-au calculat probabilit ățile cu trei zecimale exacte) .
Deci
X 0 1
0,583 0,340 2 3 4 5
0,070 0,007 0 0 .

7. Variabila aleatoare X are distribuția
X 1 2
0,20,5 3
0,3 .
Aflați distribuția variabilelor X2 și 3X.
Rezolvare. Folosind operațile cu variabile aleatoare, avem
X2 1 4
0,20,5 9
0,3 și 3X 3 6
0,20,5 9
0,3 .

53
8. Două variabile aleatoare independente X și Y au distribuțiile
X 2 3
0,2 0,3 5
0,5 , Y 1 4
0,60,2 6
0,2 .
Să se afle:
a) distribuția sumei X + Y ;
b) distribuția produsului XY.
Rezolvare. a) Valorile pe care le ia variabila aleatoare X + Y sunt: 2 + 1, 2 + 4, 2 + 6,
3 + 1, 3 + 4, 3 + 6, 5 + 1, 5 + 4, 5+ 6 , adică
3, 6, 8, 4, 7, 9, 6, 9, 11 .
Se calculează pe rând probabilitățile de obținere a fiecărei valor i; vom ține cont că
variabilele aleatoare sunt independente.
Distribuția variabilei aleatoare X + Y este
X + Y 3 4
0,12 0,18 6 7 8 9
0,34 0,06 0,04 0,16 11
0,10 .
b) Valorile pe care le ia variabila aleatoare XY sunt:
2 ∙ 1, 2 ∙ 4, 2 ∙ 6, 3 ∙ 1, 3 ∙ 4, 3 ∙ 6, 5 ∙ 1, 5 ∙ 4, 5 ∙ 6, adică
2, 8, 12, 3, 12, 18, 5, 20, 30 .
Se calculează pe rând probabilitățile de obținere a fiecărei v alori; vom ține cont că
variabilele aleatoare sunt independente.
Distribuția variabilei aleatoare XY este
XY 2 3
0,12 0,18 5 8 12 18
0,30 0,04 0,10 0,06 20
0,10 30
0,10 .

9. Variabila aleatoare X are distribuția
X 1 2
0,20,4 3
0,4 .
Să se calculeze media variabilei aleatoare X .
Rezolvare. M(X) = 1 ∙ 0,2 + 2 ∙ 0,4 + 3 ∙ 0,4 = 2,2 .

10. Se consideră variabilele aleatore independente
X 1 2
0,70,1 4
0,2 și Y 1 4
0,2 0,4 6 7
0,1 0,3 .
Să se calculeze M(2X + 4Y).
Rezolvare. M(2X+ 4Y) = 2M(X) + 4M(Y) = 2(1 ∙ 0,7 + 2 ∙ 0,1 + 4 ∙ 0,2) + 4(1 ∙ 0,2 +
4 ∙ 0,4+ 6 ∙ 0,1 + 7 ∙ 0,3) = 2 ∙ 1,7 + 4 ∙ 4,5 = 21,4 .

54
11. Să se calculeze valoarea medie a produsului numerelor de puncte care apar la
aruncarea două zaruri.
Rezolvare. Fie X numărul de puncte care apar la primul zar și Y numărul de puuncte
care apar la al doilea zar. Dacă Z este produsul căruia vrem să -i calculăm valoarea medie,
atunci
Z = X ∙ Y.
Deoarece variabilele X și Y sunt independente
M(Z) = M(X) ∙ M(Y)
Știm că M(x) = M(Y) = 7
2 . Deci
M(Z) = 7
2 ∙ 7
2 = 49
4.

12. Se aruncă 4 zaruri. Să se calculeze valoarea medie a numărului de puncte
obținute.
Rezolvare. Dacă X1, X2, X3, X4 sunt respectiv numărul de puncte obținute la primul , la
al doilea, al treilea și al patrulea zar, atunci fiecare din aceste patru variabil e are distribuția
12
1
61
6 3 4 56
1
6 1
6 1
61
6 .
Și deci
M( X i) = 7
2 , (i = 1, 2, 3,4) .
Dacă observăm că
X = X 1 + X2 + X3 + X4,
rezultă
M(X) = M( X 1 ) + M(X 2 ) + M( X 3) + M (X 4) = 7
2 + 7
2 + 7
2 + 7
2 = 14.

13. Se aruncă 4 zaruri. Să se calculeze valoare a medie a produsului numerelor de
puncte care apar pe cele 4 zaruri.
Rezolvare. Dacă Xi este numărul de puncte care apar pe zarul i ( i = 1, 2, 3, 4) , atunci
variabilele X1, X2, X3, X4 sunt independente și cu distribuția
12
1
61
6 3 4 56
1
6 1
6 1
61
6 ,

55
și cu valoarea medie
M( X i) = 7
2 , (i = 1, 2, 3,4) .
Observăm că
X = X 1 ∙ X2 ∙ X3 ∙ X4,
rezultă
M(X) = M( X 1 ) ∙ M(X 2 ) ∙ M( X 3) ∙M (X 4) = 7
2 ∙ 7
2 ∙ 7
2 ∙ 7
2 = 2401
16.

56
CAPITOLUL 6
PROBLEME PENTRU COPII PERFORMANȚI ȘI PENTRU OLIMPIADĂ

În acest capitol prezentăm o serie de probleme rezolvate de probabilități de dificultate
sporită, care sunt dedicate copiilor performanți, cercurilor de matematică, precum și pregătirii
pentru olimpiadele de matematică. Selecția lor este cu atât mai importantă cu cât astfel de
probleme nu se prea întâlnesc î n manualele școlare, unde se alocă puțin spațiu teoriei
probabilităților. Problemele prezentate au în general un caracter practic și pornind de la ele se
pot formula alte probleme care ne pot încânta atât prin enunț cât și prin rezolvare.

1. Ȋntr-un oraș sunt 10 000 de mașini numerotate cu numere de la 1 la 10 000. Care este
probabilitatea ca numărul primei mașini întâlnite să conțină cifra 5?
Rezolvare . Avem 10 000 de cazuri egal posibile. Dacă A este evenimentul căruia ni se
cere probabilitatea, să calculăm mai întâi probabilitatea evenimentului complementar 𝐴 . Deci
calculăm probabilitatea ca numărul primei mașini întâlnite să nu conțină cifra 5. Considerăm
că toate numerele mașinilor sunt scris e cu patru cifre. Astfel, numerele 1 sau 17 sunt scrise
0001, respectiv 0017. Putem conveni că numărul 10 000 să fie înlocuit prin 0000. (Am
considera că mașinile sunt numerotate de la 0 la 9999, ceea ce nu ar schimba numărul
cazurilor posibile, nici număr ul cazurilor favorabile). Numărul cazurilor favorabile
evenimentului A este egal cu numărul sistemelor ordonate de 4 cifre ce se pot forma cu 0, 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . Acest număr este 94. Deci
P(𝐴 ) = 94
104 ; P(A) = 1 − 94
104 = 3 439
10 000 .

2. Ȋntr-o urnă sunt N bile de m culori diferite și anume N1 bile de culoarea întâi, N2
bile de culoarea a doua etc. , Nm bile de culoarea m. Se fac n extracții succesive fără a pune
bila extrasă înapoi în urnă. Să se determine probabilitatea ca printre bilele extrase să avem 𝑛1
bile de de culoarea întâi, 𝑛2 bile de culoarea a doua etc. , 𝑛𝑚 bile de culoarea m (schema
hipergeometrică generalizată).
Rezolvare. Numărul cazurilor posibile este dat de numărul de combinări ce se pot face
cu numărul total de bile din urnă, luate în raport cu numărul de bile extrase din urnă, adică
numărul cazurilor posibile = 𝐶𝑁𝑛 ,
unde N = N 1 + N 2 + ⋯ + N m , iar n = 𝑛1+𝑛2 + ⋯ + 𝑛𝑚.

57
Numărul cazurilor favorabile este dat de numărul grupelor din 𝐶𝑁𝑛 care conțin 𝑛1bile
de de culoarea întâi, 𝑛2 bile de culoarea a doua etc. , 𝑛𝑚 bile de culoarea m.
Acest număr îl putem afla astfel: luăm numărul de grupuri ce se pot forma cu cele N1
bile de culoarea întâi , fiecare grup având bile 𝑛1. Acest număr este dat de 𝐶𝑁1𝑛1. Lui îi
asociem cele 𝐶𝑁2𝑛2 grupuri de n2 bile de culoarea a doua din totalul de N2 bile. Obținem
𝐶𝑁1𝑛1 ∙ 𝐶𝑁2𝑛2 grupe.
Cu acest număr de grupe procedăm analog și obținem numărul cazurilor favorabile
𝐶𝑁1𝑛1 ∙ 𝐶𝑁2𝑛2 ∙ ⋯ ∙ 𝐶𝑁𝑚𝑛𝑚 .
Probabilitatea cerută este:
P = 𝐶𝑁1𝑛1 ∙ 𝐶𝑁2𝑛2 ∙ ⋯ ∙ 𝐶𝑁𝑚𝑛𝑚
𝐶𝑁𝑛 .

3. Se consideră șirul numerelor naturale ℕ* = {1, 2, 3, ⋯ } și n ∈ ℕ*. Se cere:
a) să se afle probabilitatea p1 ca alegând un număr natural la întâmplare, el să fie
prim cu n.
b) să se afle probabilitatea q1 ca alegând două numere naturale la întâmplare, cel
mult unul să fie prim cu n.
Rezolvare. a) Față de numărul natural n ∈ ℕ*, toate numerele naturale se împart în
clasele de resturi
0, 1, 2, ⋯ , n – 1.
Dacă notăm cu 𝜑(n) numărul numerelor prime cu n din șirul claselor de resturi de mai
sus, atunci
p1 = 𝜑(𝑛)
𝑛.
b) Să presupunem că alegerile pe care le facem sunt independente. Atunci
probabilitatea ca ambele numere să fie prime cu n este
p2 = 𝜑(𝑛)
𝑛 2
.
De aici rezultă că
q1 = 1 – p2 = 1 − 𝜑(𝑛)
𝑛 2
.

58
4. Numerele 1, 2, 3, ⋯ , n se așează la întâmplare.
a) Care este probabilitatea ca numerele 1 și 2 să fie așezate în șir în o rdine
crescătoare și consecutiv ?
b) Care este probabilitatea ca numerele k, k + 1 și k + 2 să fie așezate în ordine
crescătoar e și consecutiv? ( k ∈ (1, 2, 3, ⋯ , n) astfel încât k ≥ 1, k + 2 ≤ n).
Rezolvare. a) Determinăm probabilitatea ca fiind raportul dintre numărul cazurilor
favorabile pe numărul cazurilor posibile.
Numărul cazurilor posibile este dat de numărul de moduri în care putem scrie
numerele 1, 2, 3, ⋯ , n, adică n!.
Pentru a determina numărul cazurilor favorabile procedăm în felul următor: numerele
3, 4, ⋯ , n le putem scrie în (n – 2)! moduri . Cu numerele 1, 2 scrise grupat în felul acesta,
din fiec are mod de scriere mai obținem n – 1 moduri, deci în total
(n – 2)!(n – 1) = (n – 1)! moduri.
Așadar
P = (𝑛 – 1)!
𝑛! = 1
𝑛 .
b) Dacă din numerele 1, 2, 3, ⋯ , n scoatem cele trei num ere determinate de k, k + 1 și
k + 2, atunci pe cele rămase le putem grupa în (n – 3)! moduri . Cu ajutorul grupului k, k + 1,
k + 2 din fiecare mod de scriere se mai obțin n – 2 moduri, deci în total
(n – 3)!(n – 2) = (n – 2)! moduri.
Deci probabilitatea cerută este
P = (𝑛 – 2)!
𝑛! = 1
𝑛(𝑛 – 1) .

5. Problema lui Banach.6 Un fumător își cumpără de odată două cutii de chibrituri și
le bagă în buzunar. După aceea de fiecare dată când folosește un chibrit, îl scoate la
întâmplare dintr -o cutie. După câtva timp scoate o cutie și constată că este goală. Care este
probabilitatea ca în a doua cutie să fie în acel moment k chibrituri, dacă la început ambele
cutii aveau câte n chibrituri ?
Folosind rezultatul problemei, să se deducă valoarea sumei
𝐶2𝑛𝑛 + 2 𝐶2𝑛 − 1𝑛 + 22 𝐶2𝑛 − 2𝑛 + ⋯ + 2n 𝐶𝑛 𝑛.

6 Stefan Banach (1892 – 1945) matematician polonez

59
Rezolvare . Ȋn momentul în care persoana constată că o cutie este goală, în a doua cutie
pot fi h chibrituri, h = 0, 1, 2, ⋯ , n. Convenim să înlocuim cutia care s -a golit cu una plină și
că vom continua experiența până ce am efectuat a (2n + 1) -a extracție, deoarece atunci cel
puțin una din cutii va fi goală, inițial ele având 2n chibrituri. La un moment dat fumă torul a
scos prima dată al (n + 1) -lea chibrit dintr -o cutie și deci trebuie să aflăm probabilitatea ca din
ceea de a doua cutie să se fi extras n – k chibrituri. Ȋntrucât fiecare chibrit poate fi extras
dintr -o cutie sau din alta și în total se fac 2n + 1 extrac ții succesive, atunci numărul cazurilor
posibile este dat de mulțimea aplicațiilor lui 1, 2, ⋯ , 2n + 1 în mulțimea cu două elemente
este deci 22n+1.
Favorabile sunt cazurile în care din primele 2n – k chibrituri extrase avem n chibrit uri
din prima cutie, n – k din a doua cutie și al (2n – k + 1) -lea chibrit scos tot din prima cutie.
Numărul acestor cazuri este 𝐶2𝑛 − 𝑘𝑛 .
Cum rolul primei cutii îl poate juca oricare din tre cele două cutii , rezultă că avem
2𝐶2𝑛 − 𝑘𝑛 cazuri. Asociind aceste cazuri cu cele 2k posibilități de extracție, în celelate k
extracții ce se mai pot face până la numărul 2n + 1 când ne oprim, găsim că numărul cazurilor
favorabile este dat de
2k+1 𝐶2𝑛 − 𝑘𝑛.
Așadar probabilitatea cerută este
𝑃𝑘 = 2k+1 𝐶2𝑛 − 𝑘𝑛
22𝑛+1 .
Cum k poate lua valorile 0 , 1, 2, ⋯ , n și Pk n
k=0= 1 rezultă că
𝐶2𝑛𝑛 + 2 𝐶2𝑛 − 1𝑛 + 22 𝐶2𝑛 − 2𝑛 + ⋯ + 2n 𝐶𝑛 𝑛= 22n+1,
care răspunde la a doua parte a problemei.

6. La o casă de bilete stau la rând m + n cumpărători, m dintre ei având bancnote de
10 lei iar restul prezentând bancnote de 5 lei. Știind că un bilet costă 5 lei și că înainte de
vânzare nu există nici un ban în casă, se cere să se determine probabilitatea ca nici unul dintre
cumpărători să nu aștepte restul.
Rezolvare . Numărul cazurilor posibile este determinat de numărul de posibilități de
așezare a celor m cumpărători ce posedă bancnote de 10 lei, întrucât e i sunt cei care așteaptă
restul.
Numărul total al acestor cazuri este 𝐶𝑚 + 𝑛𝑚.

60
Se reprezintă în plan aceste posibilități în felul următor: din punctul 𝐴0 așezat în
originea axelor xOy, se duce un segment de lungime egală cu unu spre dreapta, dacă primul
cumpărător are bancnotă de 5 lei, sau un se gment de lungime egală cu unu vertical în sus,
dacă primul cumpărător are bancnote de 10 lei , și așa mai departe vom duce segmente
orizontale sau vertic ale din punctul unde am rămas, după cum cumpărătorul respectiv are
bancnote de 5 lei sau de 10 lei.
Ȋn felul acesta , fiecăruia din cele 𝐶𝑚 + 𝑛𝑚 moduri posibile de așezare ale celor m + n
cumpărători îi corespunde o linie poligonală 𝐴0𝐴1𝐴2⋯𝐴𝑚+𝑛 formată din n segmente
orizontale și m segmente verticale, toate începând cu 𝐴0 și sfârșin d cu 𝐴𝑚+𝑛.
Geometric asta înseamnă că fiecare drum care reprezintă un caz favorabil trebuie să se
afle sub bisectoarea sistemul ui de coordonate, în caz particular primul segment ce pleacă din
𝐴0 trebuie să fie orizontal.
Rezultă că orice drum car e reprezintă un caz nefavorabil trebuie să întâlnească
bisectoarea sistemului xOy .
Ȋn cazul în care m > n, orice drum ce ajunge la 𝐴𝑚+𝑛 are vârfuri pe bisectoarea
sistemului de axe, căci 𝐴𝑚+𝑛 este situat deasupra bisectoarei și probabilitatea cerută este în
acest caz nulă.
Fie cazul m ≤ n. Numărăm drumurile care îl unesc pe 𝐴0 cu 𝐴𝑚+𝑛 și au vâ rfuri pe
bisectoarea sistemului de axe. Acestea sunt în număr de 𝐶𝑚 + 𝑛𝑚 − 1, deoarece sunt toate drumurile
care au n + 1 orizontale și m – 1 verticale.
Probabilitatea cerută este
P = 1 − 𝐶𝑚 + 𝑛𝑚 − 1
𝐶𝑚 + 𝑛𝑚 = 1 − 𝑚
𝑚 + 1 = 𝑛 – 𝑚 + 1
𝑚 + 1 .

7. O urnă conține n bile numerotatede la 1 la n; se extrag sucesiv bilele până ce urna
rămâne go ală. Spunem că avem coincidență dacă la a k-a extracție bila extrasă poartă pe ea
numărul k. Care este probabilitatea ca să nu avem coincidență?
Rezolvare. Numărul de cazuri posibile este n!.
Numărul de cazuri în care o bilă determinată nu apare la rangul respectiv este
n! – 𝑛 – 1 ! .
Pentru a obține numărul de cazuri în care două bile determinate nu apar la rangurile
respective, scădem din expresia de mai înainte numărul de cazuri în care două bile apar la
rangul lor, adică scădem

61
𝑛 – 1 ! – 𝑛 – 2 ! .
Așadar numărul de cazuri în care două bile determinate nu sunt nici una nici alta la
rangul lor este
n! – 2 𝑛 – 1 ! + 𝑛 – 2 ! .
Analog găsim numărul de cazuri în care trei bile determinate nu apar la rangul lor ca
fiind
n! – 2 𝑛 – 1 ! + 𝑛 – 2 ! – (𝑛 – 1)! – 2(𝑛 – 2)! + (𝑛 – 3)! =
= n! – 3(𝑛 – 1)! + 3(𝑛 – 2)! − (𝑛 – 3)! .
Continuând raționamentul se vede imediat că numărul cazurilor în care h bile
determinate nu apar la rangul lor este
n! – h 𝑛 – 1 ! + ℎ(ℎ − 1)
2! 𝑛 – 2 ! + ⋯ +(−1)ℎ 𝑛 – ℎ !.
Rezultă că probabilitatea ca nici o bilă să nu apară la rangul ei este
Pn = 𝑛! – 𝐶𝑛1(𝑛 – 1)! + 𝐶𝑛2(𝑛 – 2)! + ⋯ +(−1)𝑛 𝐶𝑛𝑛(𝑛 – 𝑛)!
𝑛! =
= 1 − 1
1! + 1
2! − 1
3!+ ⋯ + (−1)𝑛
𝑛!.
Se observă că
𝑙𝑖𝑚𝑛→∞𝑃𝑛= 𝑒−1.
Pentru n = 9 obținem
P9 = 0,3678792
în care
𝑒−1 = 0,36787944…
deci 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞𝑃𝑛 diferă de P9 cu mai puțin de 10-6.
Acest lucru ne permite să afirmăm că pentru valori ale lui n > 9, probabilitatea Pn este
sensibil independentă de n.

8. Un număr este ales la întâmplare din intervalul [0, 1] de un mecanism aleator, care
urmează o lege uniformă în acest interval. Care este probabilitatea ca cea de -a doua zecimală
a numărului ales să fie egală cu 𝑘 ? Dar cu 3 ?
Rezolvare. Să notăm cu Bk mulțimea numerelor din intervalul [0, 1] care au a doua
zecimală egală cu 𝑘. Atunci un număr x ∈ Bk dacă și numai dacă 𝑥 stisface pentru orice m
= 0, 1, ⋯ , 9 următoarea inegalitate:
m + 𝑘
10 ≤ 10 𝑥 < m + 𝑘 + 1
10

62
sau
1
100 𝑚+𝑘
10 2
≤ x ≤1
100 𝑚+𝑘 + 1
10 2
.
Lungimea intervalului de mai înainte este egală cu
1
100 𝑚 + 𝑘 + 1
10 2
− 1
100 𝑚+ 𝑘
10 2
= 1
10 000 20𝑚 + 2𝑘 + 1 ,
atunci
P (B k) = 1
10 000 (20𝑚 + 2𝑘 + 1)9
𝑚=0 = 0,091 + 0,002k
Ȋn particular ,
P (B 3) = 1
10 000 (20𝑚 + 7)9
𝑚=0 = 0,097 .

9. Ȋntr-o urnă se află l bile numerotate 1, 2, ⋯ , l. Din urnă se fac extracții punându -se
de fiecare dată bila extrasă la loc în urnă. Care este probabililitatea ca după n extracții suma
numerelor extrase să fie egală cu k ?
Rezolvare. Numărul tuturor cazurilor posibile este 𝑙𝑛, pentru că la fiecare extracție
avem l posibilități.
Numărul cazurilor favorabile este dat de numărul modurilor de a forma o sumă egală
cu k din n numere mai mici decât l + 1 . Această sumă este dată de coeficientul lui 𝑥𝑘din
dezvoltarea lui
𝑥 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑙 𝑛.
Cum însă
𝑥 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑙 = 𝑥(1 − 𝑥𝑙 )
1 − 𝑥
putem să scriem
𝑥 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑙 𝑛=𝑥𝑛 1−𝑥𝑙 𝑛 1−𝑥 −𝑛 (7)
Dar
1−𝑥𝑙 𝑛 = 1 − 𝑛
1! 𝑥𝑙 + 𝑛(𝑛 −1)
2! 𝑥2𝑙 − 𝑛(𝑛 −1)(𝑛 −2)
3!𝑥3𝑙+ ⋯
și
1−𝑥 −𝑛 = 1 + 𝑛
1! x + 𝑛(𝑛 + 1)
2! 𝑥2 + 𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)
3!𝑥3+ ⋯
Trebuie să aflăm suma coeficienților lui 𝑥𝑘 din dezvoltarea (7 ) sau aceea a
coeficienților lui 𝑥𝑘−𝑛 în produsul celor două serii scrise mai înainte.

63
Primul ui coeficient din prima serie îi corespunde coeficientului lui 𝑥𝑘−𝑛 din a doua
serie , celui de al do ilea coeficient din prima serie îi corespunde coeficientul lui 𝑥𝑘−𝑛−1 din a
doua serie etc.
Coeficientul care ne interesează are valoarea:
𝑛(𝑛 + 1)⋯(𝑘 −1)
(𝑘− 𝑛)! − 𝑛
1! ∙ 𝑛(𝑛 + 1)⋯(𝑘 – 𝑙 − 1)
(𝑘− 𝑛 − 𝑙)! + 𝑛(𝑛 – 1)
2! ∙ 𝑛(𝑛 + 1)⋯(𝑘 – 2𝑙 − 1)
(𝑘− 𝑛 − 2𝑙)! .
Seria se continuă atâta timp cât factorii ce intervin în rapoartele de mai înainte rămân
pozitivi.
Ca să aflăm probabilitatea se împarte suma obținută la 𝑙𝑛 .
P = 𝑛(𝑛 + 1)⋯(𝑘 −1)
(𝑘− 𝑛)! − 𝑛
1! ∙ 𝑛(𝑛 + 1)⋯(𝑘 – 𝑙 − 1)
(𝑘− 𝑛 − 𝑙)! + 𝑛(𝑛 – 1)
2! ∙ 𝑛(𝑛 + 1)⋯(𝑘 – 2𝑙 − 1)
(𝑘− 𝑛 − 2𝑙)! ∙ 𝑙−𝑛.

10. Doi candidați A și B au obținut corespunzător a și b (b < a) voturi. Să se afle
probabilitatea P ca în procesul de numărare a voturilor A să fie întotdeauna înaintea lui B.
Rezolvare. Considerăm un sistem rectangular de axe de coordonate. Numărului x de
voturi obținute de A la un moment dat și numărul y de voturi obținute de B la același moment
facem să -i corespundă punctul de coordonate 𝑥,𝑦 .
Numărul de traiectorii care ne duce de la punctul O 0,0 la punctul M 𝑎,𝑏 este egal
cu (𝑎 +𝑏)!
𝑎!𝑏! = 𝐶𝑎 + 𝑏𝑎 .
Probabilitatea ca în procesul de numărare A să fie totdeauna înaintea lui B este egală
cu probabilitatea ca punctul corespunzător să se afle mereu sub prima bisectoare.
Pentru a afla această probabilitate, aflăm mai întâi probabilitatea evenime ntului
complementar, care este egală cu raportul dintre numărul de traiectorii ce duc de la O 0,0 la
M 𝑎,𝑏 și care taie prima bisectoare , pe numărul total de traiectorii ce duc de la O 0,0 la
M 𝑎,𝑏 .
Traiectoriile ce duc de la O 0,0 la M 𝑎,𝑏 și taie bisectoarea, trec neapărat sau prin
(1, 0) sau prin (0, 1).
Din cauza simetriei, numărul traiectoriilor ce trec prin (1, 0) și taie bisectoarea este
egal cu cel al traiectoriilor ce trec prin (0, 1) și taie bisectoarea și este eg al cu
(𝑎 +𝑏 − 1)!
𝑎!(𝑏 – 1)! .
Așadar probabilitatea ca cel puțin o dată B să fie înaintea lui A este
2(𝑎 +𝑏 − 1)!
𝑎!(𝑏 – 1)! ∶ (𝑎 +𝑏)!
𝑎!𝑏! = 2𝑏
𝑎 + 𝑏.

64
Deci probabilitatea ca A să fie mereu înaintea lui B este:
1 − 2𝑏
𝑎 + 𝑏 = 𝑎 − 𝑏
𝑎 + 𝑏 .

11. Doi jucători aruncă pe rând cu moneda. Să se arate că probabilitatea ca jucătorul
ce și-a ales stema și având la dispoziția sa m unități de miză să -și piardă toate unitățile după
2n + m aruncări este egală cu
𝑚(𝑚 +𝑛 + 1)⋯(𝑚 +2𝑛 −1)
2𝑚+2𝑛 𝑛!.
Rezolvare. Din problemă reiese că jucătorul cu stema câștigă de n ori, iar cel cu fața
opusă de n + m ori .
Vom avea de determinat numărul traiectoriilor ce duc din (0, 0) în (n + m, n) și
acestea sunt astfel încât în orice punct abscisa este mai mică decât ordonata plus m.
Dacă luăm originea în (n + m, n) și mergem în jos spre stân ga, problema se reduce la
a găs i numărul de traiectorii care nu taie bisectoarea și ajung în (0, 0) . Acest număr este
conform problemei anterioare:
(2𝑛 + 𝑚)!
𝑛!(𝑛 +𝑚)! − 2(2𝑛 + 𝑚 −1)!
(𝑛 +𝑚)!!(𝑛 − 1)! = (2𝑛 + 𝑚 − 1)!𝑚
𝑛!(𝑛 +𝑚)! .
Numărul total de traiectorii ce corespund celor 2n + m aruncări este 2𝑚+2𝑛.
Deci probabilitatea căutată este
(2𝑛 + 𝑚 − 1)!𝑚
𝑛!(𝑛 +𝑚)!2𝑚+2𝑛 = 𝑚(𝑚 +𝑛 + 1)⋯(𝑚 +2𝑛 −1)
2𝑚+2𝑛 𝑛!.

12. Se aruncă o monedă de m ai multe ori și fie p probabilitatea ca la un anumit
moment numărul ce dă apariția feței să depășească de două ori numărul ce ne dă apariția
stemei. Să se arate că
P = 1
2 ( 5 − 1).
Rezolvare. Considerăm o particulă care se deplasează în acord cu rezultatul obținut în
urma aruncării unei monede, particula mișcându -se două unități la dreapta pentru apariția
stemei și o unitate la stânga pentru apariția unei fețe. Dacă pornim din poziția +1, aju ngem
sau mergem la stânga originii când numărul ce indică apariția feței depășește de două ori
numărul de apariții ale stemei. Pentru o soluție fie 𝑞𝑥 probabilitatea ultimei reveniri în origine
dacă particula pornește dintr -o poziție x > 0.
Atunci, cu convenția 𝑞0= 1, avem 𝑞𝑥= 1
2 𝑞𝑥+2+ 1
2𝑞𝑥−1, x = 1, 2, ⋯.

65
O soluție probabilă 𝑞𝑥=𝜆𝑥 conduce la 𝜆 = 1 sau 1
2 ± 5 – 1 .
Condițiile evidente ale soluției sunt: 𝑞0= 1 și qx → 0 când x → ∞, care dau
qx = 2−𝑥∙ ( 5 −1)𝑥,
iar soluția problemei date este
P = 1
2 ( 5 − 1).

13. Fie segmentul [0, 1] divizat în n + 1 segmente cu ajutorul a n puncte P1, P2, ⋯ ,
Pn. . Presupun em că 𝑃𝑖 sunt variabile aleatoare independente fiecare uniform distribuite în
[0, 1]. Care este probabilitatea ca folosind cele n + 1 segmente să formăm un poligon cu
𝑛+1 laturi?
Rezolvare. Se observă că nu se poate forma un poligon cu 𝑛+1 laturi dacă există
un subinterval de lungime 1
2 care să nu conțină nici un punc t 𝑃𝑖. Dacă acest subinterval este
0,1
2 , probabilitatea corespunzătoare este 1
2𝑛. Ȋn cazul în care acest subinterval este situat
între cele mi mici valori 𝑃𝑖, probabilitatea este de asemenea 1
2𝑛.
Există 𝑛+1 cazuri disjuncte și egal probabile, având o probabilitate
complementară (n + 1)
2𝑛.
Prin urmare, probabilitatea cerută este:
P = 1 − (n + 1)
2𝑛.

14. Să se arate c ă
(M(XY))2 ≤ M 𝑋2 ∙𝑀 𝑌2 . 7
Rezolvare. Fie t un paramentru real, atunci variabila aleatoare (X + tY)2 ia numai
valori nenegative, deci, M ((X + tY)2) ≥ 0.
Pe de altă parte, folosind proprietățile mediei (media unei sume de variabile aleatoare
este suma mediilor și o constantă poate fi sc oasă în fața mediei) rezultă că
0 ≤ M ((X + tY)2) = M (𝑋2+ 2tXY + 𝑡2𝑌2) = M(X2) + 2tM(XY) + 𝑡2M(Y2) ,

7 Inegalitatea lui Schwarz Karl Hermann Amandus (1854 – 1928) matematician german.

66
Deci
𝑡2𝑀 𝑌2 + 2tM(XY) + M 𝑋2 ≥ 0.
Deoarece coeficientul lui t2 este M 𝑌2 ≥ 0, trinomul va fi nenegativ pentru orice t
real dacă are discriminantul nepozitiv, deci
(M(XY))2 − M 𝑋2 ∙ 𝑀 𝑌2 ≤ 0
De unde rezultă inegalitatea cerută.

67
CAPITOTUL 7
CONSIDERAȚII METODICE ȘI METODOLOGICE

7. 1. SCURT ISTORIC AL PROBABILITĂȚILOR

Bazele teoriei probabilităților au fost puse în secolul al XVII -lea de matematicienii
Blaise Pascal (1623 −1662) și Pierre Fermat (1601 −1665). Un pasiona t jucător de zaruri,
cavalerul de Me re (1607−1685), susținea în discu țiile sale cu Pascal că jocurile de noroc
uneori conduc la rezultate c are contrazic matematica. Astfel, afirma el, a arunca un zar de 4
ori pentru a obține o dată fața șase este același lucru cu a arunca de 24 de ori câte două zaruri
pentru a obține o dublă de șase. Cu toate acestea, cavalerul de Me re a observat că, jucând î n
modul al doilea, pierde față de adversarul său, dacă acesta alege primul mod, ceea ce, credea
el, contrazicea regulile matematice. Pascal și Fermat au arătat însă că probabilitatea de câștig
la jocul cu un singur zar este de 0,518 , iar la jocul cu două zaruri este de 0,492. Deși diferența
la cele două probabilități este mică, totuși, la un număr mare de partide, jucătorul cu
probabilitatea de câștig 0,518 câștigă în fața jucătorului cu probabilitatea de câștig 0,492. Deci
practica jocului confirmă justețea raționamentului matematic.
O altă problemă, devenită, de asemenea, celebră prin faptul că a condus la nașterea
unei noi discipline matematice, a constat în împărțirea mizei la un joc care este întrerupt
înainte de a fi desemnat un câștigător. La un joc la care participă doi parteneri în condiții
egale este învingător cel care câștigă trei partide. După trei partide jucate jocul se întrerupe,
primul jucător având două partide câștigate, iar al doilea numai una. Cum trebu ie să se
împartă miza? Cavalerul de Me re susținea că trebuie să se împartă proporțional cu numărul
partidelor câștigate de fiecare jucător, adică cu numerele 2 și 1. Pascal, Fermat și Cristian
Huygens (1629 −1695), care a contribuit și el la apariția teorie i probabilităților, au demonstrat,
pe căi diferite, că miza trebuie împărțită proporțional cu numerele 3 și 1. Pare curios că niște
savanți , cărora șt iința le datorează descoperiri fundamentale, se ocupau de rezolvarea unor
probleme neînsemnate puse de pr actica jocurilor de noroc, dar ei erau convinși de importanța
descoperii lor din punct de vedere filozofic. Ȋn scrisoarea în limba latină adresată Academiei
de Științe a Franței, prin care Pascal anunța rezultatul cercetărilor sale, el arată că a reușit să
concilieze incertitudinea hazardului cu demonstrațiile matematice.
Mai târziu, în opera postumă, “ Ars conjectandi” (1713), a unui alt mare matematician,
Jacob Bernoulli (1654 −1705), se stabilește, pentru prima oară, că noua teorie matematică este

68
fundamentată pentru studiul fenomenelor de masă. Printr -o teor emă celebră, intitulată de el
“Teorema numerelor mari” , J. Bernoulli stabilește relația matematică dintre frecvență și
probabilitate după un număr mare de probe. Această teoremă constituie fundamentul statisticii
matematice și justifică aplicarea teoriei probabilităților în alte domenii. N. Bernoulli
(1687−1759), editorul operei “Ars conjectandi” , a aplicat cu succes teoria p robabilităților în
ștințele moral -politice și în demografie, iar Daniel Bernoulli (1700 −1782) a fost primul care a
aplicat -o la studiul teoriei cinetice a gazelor și a studiat probleme premergătore teoriei deciziei
de astăzi. N. Bernoulli și D. Bernoulli a u fost nepoții lui J. Bernoulli.
Un alt matematician care adus contribuții importante în teoria probabilităților a fost
Abraham de Moivre (1667−1731). El a găsit normală legea de probabilități, atribuită mai
târziu, pe nedrept, altor oameni de știință.
Dar cel care pe drept cuvânt trebuie să fie considerat ca fondator al teoriei moderne a
probabilități lor este Pierre Simon Laplace ( 1749−1827). În tratatul său “ Teoria analitică a
probabilităților” (1813), el expune în mod riguros propozițiile de bază ale teoriei
probabilităților, enunță și rezolvă în anumite cazuri teorema limită centrală, fundamentală în
teoria erorilor și aplică în mod științific calculul probabilităților în demografie, astronomie și
în alte domenii.
Printre marii matematicieni, care au adus contribuții în teoria probabilităților în secolul
al XIX -lea, cităm pe Karl Frederich Gauss (1777 −1855), Joseph Bertrand (1822 −1900), Jules
Henri Poincar e (1851−1912). Trebuie semnalat și aportul școlii ruse de p robabilități,
întemeiate de P. L. Cebîșev (1821 −1891), având ca reprezentanți străluciți pe Alexandru
Mihailovici Liapunov (1857 −1918) și Andrei Andreevici Markov (1850 −1922), autorul unor
procese stochastice de mare importanță în știința de astăzi.
În secolul XX s -a realizat axiomatizarea teoriei probabilităților. Au adus contribuții în
această direcție, în ordinea vechimii: E. Borel, F. P. Cantelli, R. Mises , A. N. Kolmogorov,
O. Onicescu, Bruno de Finetti, V. I. Glivenko, A. Renyi și alți matematicieni de seamă.
Fundamentarea riguros științifică a acestei teorii s -a făcut însă de -abia în anul 1933 de
matematicianul A. N. Kolmogorov (1903 – 1987) , care a dat o definiție axiomatică și a legat
noțiunea de probabilitate de teoria mul țimilor și a măsurii, de matematica modernă.
Epoca noastră cunoaște o dezvoltatre considerabilă a acestei teorii, care este aplicată,
aproape fără excepție, în toate domeniile de activitate (fizică, chimie, biologie, tehnică,
astronomie, medici nă, economie, sociologie, istorie, aheologie, psihologie, lingvistică ș.a.).
De altminteri, aplicțiile teoriei probabilităților au mers mână în mână cu dezvoltarea ei
teoretică. Încă de la sfârșitul secolului al XVII -lea au apărut primele calcu le de asigurări, iar

69
astronomul Edmond Halley (1656−1742), a contruit prima tabelă de mortalitate a unei
populații umane. Statistica a căpătat o mare dezvoltare teoretică și practică. Întemeitorii
statisticii ca știință trebuie să fie considerați Francis G alton (1822 −1911 ), K. Pearson
(1857−1936), R. Fisher (1890 −1962).
Din teoria probabilităților s -au desprins, în ultimele decenii, noi discipline științifice,
importante prin aplicațiile lor: teoria informației, teoria fiabilității, programarea matematică,
teoria deciziei etc.
De asemenea, școala r omânească de probabilități, fondată de Octav Onicescu, și
reprezentată de nume precum Gheorghe Mihoc și Marius Iosifescu, a adus contribuții
semnificative în dezvoltarea acestui domeniu , a introdus în știință teoria proceselor cu legături
complete, aplicat e în psihologie și economie.

7. 2. CONSIDERAȚII DE ORDIN METODOLOGIC PRIVIND “ELEMENTE DE
TEORIA PROB ABILITĂȚILOR ” ÎN MATEMATICA DE GIMNAZIU

Studiul matematicii în înv ățământul gimnazial î și propune s ă asigure formarea unor
competen țe legate de folosirea calculelor, algoritmilor sau a ra ționamentelor matematice
pentru to ți elevii .
Totodat ă, se urm ărește înțelegerea f aptului c ă matematica este o activitate de
descriere și de rezolvare de problemele , folosind un limbaj unitar, aceasta f ăcând ca ea s ă fie
o disciplin ă dinamic ă, strâns legat ă de societate prin relevan ța sa în cotidian și prin rolul s ău
în științele naturii, în științele economice, în tehnologii, în științele sociale .
Programa școlară de matematic ă este concepută astfel încât s ă nu îngr ădeasc ă, prin
concep ție sau mod de redactare, libertatea profesorului în proiectarea activit ăților didactice. În
condi țiile realiz ării a competen țelor generale, competen țelor specifice dar și a parcurgerii
integrale a conținuturilor programelor, profesorul are posibilitatea:
– să aleag ă ordinea parcurgerii elementelor de con ținut ( ținând îns ă cont de logica
intern ă a științei);
– să grupeze în diverse moduri elementele de con ținut în unit ăți de înv ățare, cu
respectarea conceptelor matematice;
– să aleag ă sau s ă organizeze activit ăți de înv ățare adecvate condi țiilor concrete din
clasă.

70
Competențele cheie sunt definite ca ansambluri de cuno ștințe, deprinderi și atitudini
care trebuie dobândite, respectiv formate elevilor în cadrul acestui proces și de care elev ii au
nevoie pentru împlinirea și dezvoltarea personal ă, pentru cet ățenia activ ă, pentru incluziune a
social ă și pentru angajare a pe piața muncii. Structurarea acestor competen țe cheie vizeaz ă atât
unele domenii științifice, precum și aspecte interdisciplinare și transdiscip linare, realizabile
prin contopirea mai multor arii curriculare.
Dintre competen țele cheie europene, programa școlar ă pentru matematic ă vizeaz ă
direct Competențe matematice și competențe de bază în științe și tehnologii și indirect asigur ă
transferabilitatea tuturor celorlalte competen țe cheie, prin deschiderea c ătre abord ări
interdisciplinare și transdisciplinare .
Competențele genera le vizate de actuala programă de matematică pentru clasele
V-VIII și IX-X în număr de șase și anume :
1. Identificarea unor date și rela ții matematice și corelarea lor în func ție de contextul
în care au fost definite ;
2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în
enun țuri matematice ;
3. Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea local ă
sau global ă a unei situa ții concrete ;
4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situa ții
concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora ;
5. Analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situa ții-problem ă;
6. Modelarea matematic ă a unor contexte problematice variate, prin integrarea
cuno ștințelor din diferite domenii .
Aceste competențe au ca scop:
– Dezvoltarea gândiri i deschise, creative, a independenței în gândire și acțiune.
– Manifestarea inițiativei, a disponibilității de a aborda diferite sarcini , a tenacității , a
perseverenței și a capacității de concentrare.
– Dezvoltar ea simțului estetic și critic, dezvoltarea capacității de a aprecia rigoarea,
ordinea și eleganța în arhite ctura rezolvării unei probleme sau a constituirii unei teorii.
– Formarea obișnuinței de a apela la concepte și metode matematice în abordarea unor
situații cotidiene sau pentru rezolvarea unor probleme cu caracter practic .
– Formarea motivației pentru studier ea matematicii ca dome niu important pentru viața
socială și profesională.

71
Abordarea referin țelor actuale în predarea, învățarea, evaluarea matematicii const ă în
muta rea accentului de la predarea informa țiilor la formarea competen țelor de aplicare a
cuno ștințelor dobândite în vederea dezvolt ării creativit ății elevilor, prin:
– dezvoltarea strategii lor didactice pornind de la competen țele specifice din programele
școlare;
– asigurarea continuit ății și a progresului de la o clas ă la alta, urm ărind centrarea pe elev,
ca subiect al activit ății instructiv -educative;
– asigurarea corel ărilor între competen țele specifice și con ținuturile înv ățării, ținând seama
de nevoile de înv ățare, de nivelul de vârst ă al elevului și de timpul de studiu de care
dispune acesta;
– asigurarea coeren ței la nivelul matematicii și a corel ării la nivelul ariei curriculare;
– accentuare a caracterului practic al demersului didactic prin eliminarea unor aspecte care
îl plasau la un nivel prea teoretic.
Competențele specifice și conținuturile legate de teoria probabilităților se regăsesc în
programa de gimnaziu la clasa a VI -a, în capitolul 3 de a lgebră intitulat “Rapoarte și
proporții” și la clasa a VII -a, în capitolul 5 de a lgebră “Elemente de organizare a datelor”.

Clasa a VI -a
Competențe specifice Conținuturi
1. Identificarea rapoartelor, propor țiilor și a
mărimilor direct sau invers propor ționale
în enun țuri diverse .
2. Reprezentarea unor date sub form ă de
tabele sau de diagrame statistice în vederea
înregistr ării, prelucr ării și prezent ării
acestora .
3. Alegerea metodei adecvate de rezolvare
a problemelor în care intervin rapoarte,
propor ții și m ărimi direct sau invers
propor ționale .
4. Caracterizarea și descrierea m ărimilor
care aparîn rezolvarea unor probleme prin
regula de trei simpl ă. Rapoarte și proporții
– Rapoarte, procente; probleme în care
intervin procente .
– Propor ții; proprietatea fundamental ă a
propor țiilor; aflarea unui termen
necunoscut dintr -o propor ție.
– Propor ții derivate .
– Mărimi direct propor ționale; regula de
trei simpl ă.
– Mărimi invers propor ționale; regula de
trei simpl ă.
– Elemente de organizare a datelor;
reprezentarea datelor prin grafice;
probabilit ăți.

72
5. Analizarea unor situa ții practice cu
ajutorul rapoartelor, procentelor sau
propor țiilor.
6. Rezolvarea cu ajutorul rapoartelor și
propor țiilor a unor situa ții-problem ă și
interpretarea rezultatelor .

Pentru clasa a VI -a manualele aprobate de Ministeru l Educației Naționale pentru anul
școlar 2017 -2018 sunt:
1. Matematică, clasa a VI -a, Editura Didactică și Pedagogică, autori: T. Udrea,
D. Nițescu;
2. Matematică, clasa a VI -a, Editura Radical, autori: G. Turcitu, I. Rizea, I. Chiriac,
C. Basarab, M. Duncea, P. Ciungu;
3. Matematică, clasa a VI -a, Editura Petrion, autori: I. Petrică, V. Bălșneanu,
I. Chebici.
Nici unul din cele trei manuale nu respectă programa în vigoare pentru disciplina
matematică, abrobată în anul 2009, primul manual este conform cu programa din 1996, iar
celelalte două manuale respectă programa din anul 2001. Din acest motiv, noțiunile legate de
probabilități apar, în primul manual ca o aplicație a lecției “Raportul” , dar sunt explicate
noțiunile de eveniment, eveniment sigur, eveniment imposibil, probabilitate și sunt date
câteva exemple.
Cel de -al doilea manual, nu are prezentată decât definiția probalilității ca fiind raportul
dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile, iar această definiție este dată
în rezolvarea unui exercițiu -model în cadrul lecției “ Raport. Raport procentual” .
Cel de -al treilea manual prezintă, la fel ca și primul manual, în cadrul lecției “Raport.
Raport procentual. Probabilitate ”, definiția probabilității, a evenimentului sigur și a
evenimentului imposibil, împreună cu exemple pentru fiecare noțiune defin ită. Acest manual
al Editurii Petrion, pare a fi și cel mai ofertant în ceea ce privește exercițiile propuse spre
rezolvare referitoare la probabili tăți.

73
Clasa a VII -a

Competențe specifice Conținuturi
1. Identificarea unor coresponden țe între
diferite reprezent ări ale acelora și date .
2. Reprezentarea unor date sub form ă de
grafice, tabele sau diagrame statistice în
vederea înregistr ării, prelucr ării și
prezent ării acestora .
3. Alegerea metodei adecvate de rezolvare
a problemelor în care intervin dependen țe
funcționale sau calculul probabilit ăților.
4. Caracterizarea și descrierea unor
elemente geometrice într -un sistem de axe
ortogonale .
5. Analizarea unor situa ții practice cu
ajutorul elementelor de organizare a
datelor .
6. Transpunerea unei rela ții dintr -o form ă
în alta (text, formul ă, diagram ă, grafic ). Elemente de organizare a datelor
– Produsul cartezian a dou ă mulțimi
nevide.
– Reprezentarea într -un sistem de axe
ortogonale a unor perechi de numere
întregi .
– Reprezentarea punctelor în plan cu
ajutorul sistemului de axe ortogonale;
distan ța dintre dou ă puncte din plan .
– Reprezentarea și interpretarea unor
dependen țe funcționale prin tabele,
diagrame și grafice .
– Probabilitatea realiz ării unor
evenimente .

Pentru clasa a VII -a manualele aprobate de Ministerul Educației Naț ionale, pentru
anul școlar 2017 -2018 sunt:
1. Matematică, clasa a VII -a, Editura Radical, autori: G. Turcitu, I. Rizea, D. Mic,
N. Ghiciu, C. Basarab;
2. Matematică, clas a a VII -a, Editura Teora, autori: G. Caba, I. Chesca;
3. Matematică, clasa a VII -a, Editura Teora, autori: D. Radu, E . Radu.
Cele trei manuale sunt conforme cu programa de matematică pentru gimnaziu din
2003 și nu cu programa din 2 009, după care se studiază matematica în acest moment. În
primul manual lecția în care apar probabilitățile este “Elemente de organizare a datelor și
probabilități “. În celelalte două manuale de la Editura Teora nu este prezentată partea
teoretică a probab ilităților, ci se fac referiri la cunoștințele din clasa a VI -a. Exerciții care se
rezolvă folosind probabilitățile apar în cele trei manuale nu doar la o singură lecție ci în mai
multe lecții.

74
Pentru că probabilitătile se studiază de puțin timp în gimnaziu, manualele nu sunt bine
puse la punct nici din punct de vedere al teoriei, nici din punct de vedere al aplicațiilor, din
acest motiv profesorul e ste nevoit să folosescă la clasă auxiliare școlare .

7. 3. CONSIDERAȚII DE ORDIN METODOLOGIC PRIVIND “ELEMENTE DE
TEORIA PROBABILITĂȚILOR” ÎN MATEMATICA DE LICEU

În structura învățământului obligatoriu, nivelul ridicat de complexitate al finalităților
este deter minat de necesitatea asigurării educației de bază pentru toți cetățenii prin
dezvoltarea echilibrată a tuturor competențelor cheie și prin formarea pentru învățare a pe
parcursul întregii vieți și a inițierii în trasee de formare specializate. Pe baza studiilor
efectuate , la nivelul Comi siei Europene s -au stabilit opt domenii de competențe -cheie, fiind
precizate pentru fiecare domeniu cunoștințele, deprinderile și atitudinile care trebuie
dobândite, respectiv formate la elevi în procesul educațional.
Aceste domenii de compet ențe-cheie răspund obiectivelor asumate pentru dezv oltarea
sistemelor educaționale de formare profesională în Europa și stau la baza stabilirii
curriculumului p entru clasele a IX -a și a X -a, ani finali pentru educația de bază.
Studiul matematicii în ciclul inferior al liceului urmărește formarea și dezvoltarea
capacității elev ilor de a reflecta asupra lumii și oferă individului (elevului) cunoștințele
necesare p entru a acționa asupra acesteia în funcție de nevoi le și dorințe le proprii , de a
formula și de a rezolva probleme pe baza relaționării cunoștințelor din diferite domenii,
precum și la înzestrarea cu competențe, valori și atitudini menite să contribuie la formarea
unei culturi comune pentru toți elevii și determinând, pe de altă p arte, trasee individuale de
învățare.
Astfel, planurile cadru pentru clasele a IX -a și a X-a ciclu inferior de liceu sunt
structurate pe trei componente: trunchi comun (TC), curriculum diferențiat (CD) și curriculum
la decizia școlii (CDȘ).
În elaborarea programei de matematic ă s-au avut în vedere schimbările intervenite în
structura învățământulu i: pe de o parte prelungirea duratei învățământului obligatoriu la 10
clase, iar p e de altă parte apartenența claselor a IX -a și a X -a la învățământul liceal sau la
învățământul profesional – școala de arte și meserii. De asemenea, s -a ținut cont de
modificarea structurii liceului prin noile planuri -cadru de învățământ.

75
Curriculum de matematică propune organizarea activității didactice pe baza corelării
domeniilor de studiu, precum și utilizarea în practică în diferite contexte a competențelor
dobândite prin învățare.
În mod concret s-a urmărit: esențializarea conținuturilor în scopul accentuării laturii
formative; compatibilizarea cunoștințelor cu vârsta elevului și cu experiența anterioară a
acestuia; continuitatea și coerența intradisciplinară; realizarea legăturilor interdisciplinare prin
crearea de modele matematice ale unor fenomene abordate în cadrul altor di scipline;
prezentarea conținuturilor într -o formă accesibilă, în scopul stimulării motivație i pentru
studiul matematicii și nu în ultimul rând asigurarea unei continuități la nivelul experienței
didactice acumulate în predarea matematicii în sistemul nostru de învățământ.
Programa de m atematică este structurată pe un același ansamblu de șase competențe
generale, indiferent de special izarea urmată. Programa de matematică pentru curriculum
diferențiat include și programa de trunchi comun, diferențiindu -se de aceasta atât prin unele
competențe specifice cât și prin conținuturi noi.
Programele au în vedere să nu îngrădească l ibertatea profesor ului în proiectarea
activității didactice. Pentru realizarea competențelor generale și specifice precum și a
parcurgerii integrale a conținutului obligatoriu, profesorul poate:
– să schimbe ordinea parcurgerii elementelor de conținut;
– să grupeze în diverse moduri conținut urile în unități de învățare, cu respectarea logicii
de dezvoltare a conceptelor matematice;
– să aleagă sau să organizeze act ivități de învățare specifice condițiilor concrete din
clasă.
Reconsiderarea finalităților și conținuturilor învățământului determinată de nevoia de
adaptare a curriculumului național la schimbările intervenite în structura învățământulu i
preuniversitar: pe de o parte prelungirea duratei învățământului obligatoriu la 10 clase, iar pe
de altă parte apartenența claselor a IX -a și a X -a la învățământul liceal sau la învățământul
profesional – școala de arte și meserii – este însoțită de reevaluarea și înnoirea metodelor
folosite în practica instructiv -educativă.
Acestea vi zează următoarele aspecte:
– aplicarea metodelor centrate pe elev, pe activizarea structurilor cognitive și operatorii
ale elevilor, pe exersarea potențialului acestora, pe transformarea elevului în coparticipant la
propria instruire și educație;
– folosire a unor metode care să favorizeze relația elevului cu obiectele cunoașterii, prin
recurgere la modele concrete;

76
– accentuarea caracterului formativ al metodelor utilizate în activitatea de predare –
învățare, acest ea asumându -și o intervenție activă și eficientă în cultivarea potențialului
individual al fiecărui elev , în dezvoltarea capacităților de a opera cu informațiile asimilate, de
a aplica și evalua cunoștințele dobândite, de a investiga ipoteze și de a căuta soluții potrivite
de rezolvare a probleme lor;
– îmbinare și alternanța sistematică a activităților bazate pe efortul individual al elevului
(docume ntarea din diverse surse de informație, observația proprie, exercițiul personal,
instruirea programată de calculator , experimentul și lucrul individua l, tehnica muncii cu fișe
etc.) cu activitățile ce solicită efortul colectiv (de echipă, de grup) de genul discuțiilor,
asaltului de idei etc.;
– însușirea unor metode de informare și de documentare, care oferă deschiderea spre
autoinstruire, spre învă țare continuă .
Acest curriculum are drept obiectiv crearea condițiilor favorabile fiecărui elev de a -și
forma și dezvolta competențele în ritmul propriu , de a -și transfera cunoștințele acumulate
dintr -o zonă de studiu în alta.
Cadrele didactice își pot alege metodele și tehnicile de predare și își pot adapta lecțiile
în funcție de ritmul de învățare și de particularitățile elevilor. Pr ezentul curriculum își propune
să formeze competențe, valori și atitudini prin deme rsuri didac tice care să indice apropierea
conținuturilor învățării de practica învățării eficiente .
Criteriul de asigurare a calit ății actului de predare, învățare, evaluare este reprezentat
de formarea competen țelor specifice la sfâr șitul fiec ărui an de studiu, precum și de formarea
competen țelor generale la sfârșitul înv ățământului obligatoriu și/ sau liceal .
Competențele specifice și conținuturile legate de teoria probabilităților se regăsesc în
programa de liceu , la clasa a X -a astfel:

Trunchi comun – 2 ore
Competențe specifice Conținuturi
1. Recunoașterea unor date de tip
probabilistic sau statistic în situații
concrete .
2. Interpretarea primară a datelor statistice
sau probabilistice cu ajutorul calculului
financi ar, a graficelor și diagramelor. Matematici financiare
– Probleme de numă rare: pe rmutări,
aranjamente, combinări.
– Elemente de calcul financiar: procente,
dobânzi, TVA .
– Culegerea, clasificarea și prelucrarea

77
3. Utilizarea unor algoritmi specifici
calculului financiar, statisticii sau
probabi lităților pentru analiza de caz.
4. Transpunerea în limbaj matematic prin
mijloace statistice sau probabilistice a unor
probleme practice .
5. An aliza și interpretarea unor situații
practice cu ajutorul conceptelor statistice
sau probabilistice .
6. Corelarea datelor statistice sau
probabilistice în scopul predicției
comportării unui sistem prin analogie cu
modul de comportare în situații studiate . datelor statistice: date statistice,
reprezentarea grafică a datelor statistice.
– Interpretarea datelor statistice prin
parametrii de poziție: medii, dispersia,
abateri de la medie.
– Evenimente aleatoare egal probabile,
operații cu evenimente, probabil itatea
unui eveniment compus din evenimente
egal probabile. Probabilități condiționate.

Trunchi comun și curriculum diferențiat – 3 ore
Competențe specifice Conținuturi
1. Diferențierea problemelor în funcție de
numărul de soluții admise.
2. Identificarea tipului de formulă de
numărare adecvată unei situații – problemă
date.
3. Utilizarea unor formule combinatoriale
în raționamente de tip inductiv.
4. Exprimarea caracteristicilor unor
probleme în scopul simplificării modului
de numărare.
5. Interpretarea unor situații problemă cu
conținut practic cu ajutorul elementelor de
combinatorică.
6. Alegerea strategiilor de rezolvare a unor
situații practice în scopul optimizării
rezultatelor. Metode de numărare
– Metoda inducției matematice .
– Mulțimi finite ordonate .
– Permutări –numărul de mulțimi ordonate
cu n elemente care se obțin prin
ordonarea unei mulțimi finite cu n
elemente .
– Aranjamente –numărul submulțimilor
ordonate cu câte m elemente fiecare, m≤n
care se pot forma cu cele n elemente ale
unei mulțimi finite .
– Combinări –numărul submulțimilor cu
câte k elemente, unde 0 ≤k ≤ n ale unei
mulțimi finite cu n elemente, proprietăți:
formula combinărilor complementare,
numărul tuturor submulțimilor unei

78
mulțimi cu n elemente.
– Binomul lui Newton .

1.Recunoașterea unor date de tip
probabilistic sau statistic în situații
concrete .
2. Interpretarea primară a datelor statistice
sau probabilistice cu ajutorul calculului
financiar, a graficelor și diagramelor .
3. Utilizarea unor algoritmi specifici
calculului financiar, statisticii sau
probabilităților pentru analiza de caz .
4. Transpunerea în limbaj matematic prin
mijloace statistice sau probabilistice a unor
probleme practice .
5. Analiza și interpretarea unor situații
practice cu ajutorul conceptelor statistice
sau probabilistice .
6. Corelarea datelor statistice sau
probabilistice în scopul predicției
comportării unui sistem prin analogie cu
modul de comportare în situații studiate . Matematici financiare
– Elemente de calcul f inanciar: procente,
dobânzi, TVA.
– Culegerea, clasificarea și prelucrarea
datelor statistice: date statistice,
reprezentarea grafică a datelor statistice.
– Interpretarea datelor statistice prin
parametrii de poziție: medii, dispersia,
abateri de la med ie.
– Evenimente aleatoare egal probabile,
operații cu evenimente, probabilitatea
unui eveniment compus din evenimente
egal probabile.
– Variabile aleatoare. Probabilități
condiționate. Dependența și independența
evenimentelor, scheme clasice de
probabilitate : schema lui Poisson și
schema lui Bernoulli.

Trunchi comun și curriculum diferențiat – 4 ore
Competențe specifice Conținuturi
1. Diferențierea problemelor în funcție de
numărul de soluții admise.
2. Identificarea tipului de formulă de
numărare adecvată unei situații –problemă
date.
3. Utilizarea unor formule combinatoriale
în raționamente de tip inductiv. Metode de numărare
– Mulțimi finite ordonate. Numărul
funcțiilor f: A→B unde A și B sunt
mulțimi finite.
– Permutări
– numărul de mulțimi ordonate cu n
elemente care se obțin prin ordonarea

79
4. Exprimarea caracteristicilor unor
probleme în scopul simplificării modului
de numărare.
5. Interpretarea unor situații problemă cu
conținut practic cu ajutorul elementelor de
combinatorică.
6. Alegerea strategiilor de rezolvare a unor
situații practice în scopul optimizării
rezultatelor. unei mulțimi finite cu n elemente;
– numărul funcțiilor bijective f: A→B
unde A și B sunt mulțimi finite.
– Aranjamente
– numărul s ubmulțimilor ordonate cu
câte m elemente fiecare, m≤n care se pot
forma cu cele n elemente ale unei mulțimi
finite;
– numărul funcțiilor injective f: A→B
unde A și B sunt mulțimi finite.
– Combinări – numărul submulțimilor cu
câte k elemente, unde 0 ≤k ≤ n ale unei
mulțimi finite cu n elemente. Proprietăți:
formula combinărilor complementare,
numărul tuturor submulțimilor unei
mulțimi cu n elemente.
– Binomul lui Newton .

1.Recunoașterea unor date de tip
probabilistic sau statistic în situații
concr ete.
2. Interpretarea primară a datelor statistice
sau probabilistice cu ajutorul calculului
financiar, a graficelor și diagramelor .
3. Utilizarea unor algoritmi specifici
calculului financiar, statisticii sau
probabilităților pentru analiza de caz .
4. Transpunerea în limbaj matematic prin
mijloace statistice sau probabilistice a unor
probleme practice .
5. Analiza și interpretarea unor situații
practice cu ajutorul conceptelor statistice
sau probabilistice . Matematici financiare
– Elemente de calcul financiar: procente,
dobânzi, TVA.
– Culegerea, clasificarea și prelucrarea
datelor statisti ce: date statistice,
reprezentarea grafică a datelor statistice.
– Interpretarea datelor statistice prin
parametrii de poziție: medii, dispersia,
abateri de la medie.
– Evenimente aleatoare egal probabile,
operații cu evenimente, probabilitatea
unui even iment compus din evenimente
egal probabile.
– Variabile aleatoare. Probabilități
condiționate. Dependența și independența

80
6. Corelarea datelor statistice sau
probabilistice în scopul predicției
comportării unui sistem prin analogie cu
modul de comportare în situații studiate . evenimentelor, scheme clasice de
probabilitate : schema lui Poisson și
schema lui Bernoulli.

Pentru clasa a X -a manuale le aprobate de Ministerul Educației Naționale, pentru anul
școlar 2017 -2018 sunt în număr de opt pentru trunchi comun și opt pentru tru nchi comun și
curriculum diferențiat :
1. Matematică (TC) , clasa a X-a, Editura Bic All, autori: E. Turcitu, O . Șontea ;
2. Matematică (TC) , clasa a X-a, Editura Dacia, autori: A. Blaga, M . Farcaș,
G. Miclăuș, O. T. Pop ;
3. Matematică (TC) , clasa a X-a, Editura Sigma, autori: P. Năchilă, C. Năchilă,
A. Foransbergher ;
4. Matematică (TC) , clasa a X-a, Editura Sigma, autori: G. Streinu Cercel ,
G. Constantinescu , C. Chite ș, I. Marinescu, B. Singer ;
5. Matematică (TC) , clasa a X-a, Editura Didactică și Pedagogică, autori:
C. Năstăsecu, C . Niță, I. Chițescu, D. M ihalca, M. Dumitrescu ;
6. Matematică (TC) , clasa a X-a, Editura Fair Partners, autori: M. Postolache,
G. Necșuleu, I. Necșuleu, A. Crăciun, S. Bercu ;
7. Matematică (TC) , clasa a X-a, Editura Mathpress, autori: M. Ganga ;
8. Matematică (TC) , clasa a X-a, Editura Carminis, autori: M. Burtea, G . Burtea ;
9. Matematică (TC+CD), clasa a X-a, Editura SC Aramis Print, autori: I. P. Iambor,
A. Pădureanu ;
10. Matematică (TC+CD) , clasa a X-a, Editu ra Dacia, autori: A. Blaga, M . Farcaș,
G. Miclăuș,O. T. Pop ;
11. Matematică (TC+CD) , clasa a X-a, Editura Didactică și Pedagogică, autori:
C. Năstăsecu, C . Niță, I. Chițescu, D. Mihalca, M. Dumitrescu ;
12. Matematică (TC+CD) , clasa a X-a, Editura Fair Partners, autori: C. Udriște,
I. Țevy, G . Necșuleu, I. Necșuleu,M. Gușatu, M. Crăciun, T. Saulea,V. Nicula ;
13. Matematică (TC+CD) , clasa a X-a, Editura LVS Crepuscul, autori: P. Năchilă,
I. Cheșcă, C. Năchilă, A . Foransbergher ;
14. Matematică (TC+CD) , clasa a X-a, Editura Mathpress, autori: M. Ganga ;
15. Matematică (TC+CD) , clasa a X-a, Editura Sigma, autori: G. Streinu Cercel,
G. Constantinescu , C. Chiteș, I. Marinescu, B. Singer ;

81
16. Matematică (TC+CD) , clasa a X-a, Editura Carminis, autori: M. Burtea,
G. Burtea.
Toate manualele respectă programa de matematică pentru clasa a X -a, aprobată în anul
2004, tratând teoria probabilităților destul de bine. Vom prezenta ma i jos câteva din aceste
manuale din punct de vedere al modului cum sunt prezentate noțiunile legate de probabilităti.
În manualul de Manualul de "Matematică pentru clasa a X -a. Trunchi comun" de la
Editura Carminis, se remarcă o bu nă organizare a conț inutului. Abordarea metodică a
conținutului este permanentă , folosindu -se tehnici diverse de studiu, de rezolvare a
problemelor abordate. Elevilor li se ara tă modalități diferite pentru solu ționarea unei sarcini
didactice și li se cere să abordez e rezolvarea problemelor prin câ t mai multe metode.
Manualul trateaz ă studierea diferitelor metode de n umărare, câteva principii de numă rare cu
numeroase exemplificări ș i problem e specifice combinatoricii: mulțimi finite, mulț imi
ordonate, permutări, aranjamente și combină ri; elemente de calcul f inanciar, elemente de
statistică matematică ș i de teoria proba bilităț ilor. Manualul se parcurge uș or deoarece pag inile
sunt echilibrate ca text ș i imagini .
Manualul de “Matematică TC, cl asa a X -a”, autori C. Chite ș și G. Constantinescu de
la Editura Sigm a urmă reste consecvent nu numai acumularea de noi cunoștinț e de
probabilități, ci, mai ales, formarea ș i dezvoltarea unor mecanisme de gâ ndire, realizar ea unor
conexiuni între matematică și alte zone ale cunoaș terii. Pentru a asigura partic iparea elevilor,
fiecare secvență de teorie este însoțită de exemple și teme de verificare. Se întâlnesc
numeroase probleme – structurate pe diverse grade de dificultate , teste de evaluare, teste grilă,
probleme date la concursuri și examene ș colare, toate aceste a contribuind la un parcurs de
învățare antrenant ș i eficient.
Din ce în ce mai mulți elevi nu mai consideră matematica un scop î n sine, ci un
instrument pentru î ntelegere a lumii inconju ratoare. Venind în î ntampinarea lor, manualul
de “Matematică . Trunchi comun , clasa a X -a”, Editura Sigma, autori: P. Năchilă, C. Năchilă,
A. Foransbergher , urmăreș te nu numai acumularea unor cunoștinț e de teoria probabilităților,
dar și dezvoltarea unor abilități de a realiza conexiuni între matematică ș i divers e alte
domenii. Partea teoretică este prezentată într -o manieră accesibilă elevilor și este însoțită de
exemple, observații și multe exerciții ș i probleme rezolvate. Numărul mare de exemple și
aplicaț ii conduce la o rezolvare mult mai ușoară a problemelor propuse, iar modelel e de teste
cu caracter sumativ și testele grilă pentru examenul de bacalaureat asigură o aprofundare a
elementelor de teorie a probabilităților și o corectă evaluare a elevilor.

82
Matematica este știința care se adresează gândirii. Un ii vor să înve țe la matematică
cum să rezolve probleme, jongland cu reguli, axiome, teoreme. Alții vor să învețe să
gândeasca și să se exprime ordonat, logic, alț ii își dezvoltă capacitatea de a percepe diverse
dimensiuni ale lumii, de la cele invizibile pîna la cele cosmice, iar alții vor să învețe să creeze
și să aplice modele de calcul în cele mai variate activităț i practice. Manual ul de “ Matematică.
Trunchi comun + curriculum diferențiat , clasa a X -a”, Editura Sigma se adresează celor care
vor și celor care trebuie să învețe să gândească, indiferent ce latură a gîndirii vor adopta.
Îmbinarea istoriei ma tematice cu elemente de teorie ș i probleme a căror tematică vizează
diverse alte domenii (economie, fizica, medicina etc.) face ca temele prezen tate să poată fi
asimilate cu ușurință de către elevi, iar exemplele și exercițiile rezolvate și propuse sunt atent
alese, urmărind î ntelegerea materialului teoretic. Problemele propuse sunt structurate p e
diverse grade de dificultate și contribuie la î nsușirea elementelor teoretice. La sfârșitul
capitol elor sunt propuse teste de evaluare și probleme date la concursuri și examene școlare,
iar la sfârsitul manualului există o secțiune de evaluare finală, oferind modalități de fixare a
cunoștinț elor acumulate în teoria probabilităților și nu numai .
Manualu l de „Matematică clasa a X -a. Tru nchi comun + curriculum diferenț iat“ de la
Editura Carminis, este conceput pe baza noului cur riculum ș colar. Este structurat în
conformitate cu cerințele programei și după necesită tile pedagogice. Capitolele sunt clar
delimitate, dar tot uși legate între ele într -o construcție solidă și armonioasă. Manualul prezintă
conținuturile înt r-un mod original și ușor de înț eles. Introducerea noț iunilor de teoria
probabilităților, a relațiilor se face logic, ușor, având ca bază cunoștinț ele acumulate în
capitolele anterioare, iar demonstraț iile contr ibuie la s timularea gândirii relaționale ș i a
judecății de valoare a elevului. Aplicaț iile sunt gr adate, pornind de la cele mai ușoare până la
cele care surprind rezultate importante ș i care au un grad sporit de dificultate. Prin numărul
mare de aplicaț ii, manualul devine un instrument extrem de util atât elevilor, cât și
profesorilor de matematică .

83
7.4. METODE FOLOSITE ÎN PREDAREA – ÎNVĂȚAREA NOȚIUNILOR DE
TEORIA PROBABILITĂȚILOR

Cuvântul “metoda” vine din limba greacă “methodos” (odos = cale, drum; metha =
spre, către ).
O metodă de învățământ reprezintă o cale de organizare și dirijare a învățării în
vederea atingerii obiectivelor specifice disciplinei; un ansamblu organizat de procedee.
Metoda cons tituie m odalitatea prin care se transmite și se face însușirea conținutului
activităților matematice.
Specificitatea conținutului, aspectul logic al cunoștințelor matematice, impune un
caracter obiectiv metodelor de învățământ .
Eficiența unei metode depinde de modul în care declanșează la copil actele de gândire
și de învățare prin acțiune, de măsura în care determină și favorizea ză reprezentările specifice
unor anumite etape de formare a noțiunii.
Exist a mai multe modalit ăți de clasificare a metodelor, dintre acestea prezent ăm
metodele tradiț ionale, clasice și cele moderne.
La metodele tradi ționale centrul ac țiunii este pus pe profesor: centrate pe activitate
(exerci țiul, instruirea programat ă, algoritmi zarea) sau centrate pe conținutul învățării
(prelegerea, explica ția , povestirea).
La metodele moderne, centrul ac țiunii este pus pe elev: centrate pe activitate (lucr ări
practice, înv ățare prin descoperire, înv ățare prin experiment, jocuri did actice, simulare) sau
centrate pe con ținutul înv ățării (dezbatere, conversa ție, dialog).
Noile programe analitice încurajeaz ă utilizarea metodelor moderne, dar nu trebuie
lăsate deoparte nici metodele tradi ționale. Este recomandat îmbinarea celor dou ă metode.
Opțiunea pentru o metodă sau alta este în strânsă relaț ie și cu personalitatea profesorului și
gradul de pregatire, predispoziție și stilurile de învăț are ale grupului cu care se lucreaz ă.
În cele ce urmeaz ă vom detalia cât eva metode didactice pe care le consider ăm
importante în predarea și învătarea noțiunilor referitoare la probabilități.

Explicația
Este o formă de expunere orală prin care se urmărește clasificarea unor noțiuni,
dezvăluirea unor date noi pe b aza unei argumentări raționale. La nivelul activităților
matematice, explicați a este folosită atât de profesor, cât și de elevi. Profesorul explică
procedeul de lucru, termenii matematici , modul de utilizare a mijloacelor didactice, explică

84
reguli de calcul și sarcini de lucru. Elevul explică modul în care a rezolvat, soluțiile găsite î n
rezolvarea sarcinii didactice folosind limbajul matematic. Explicația se bazează pe un conținut
științific, profesorul trebuie să se pregătească pentru a nu fi pus în dificultate de elevi.
În funcție de raționamentul utilizat, explicația poate fi: deductivă, ind uctivă,
analogică .
Prin explicația deductivă, profesorul îi învață pe elevi cum să gândească, cum să
rezolve problema respectivă pornind de la o noțiune generală (necunoscută, abstractă) și
ajungând la situații particulare (cunoscute, concrete). Este important ca profesorul să
gândească prin prisma cunoștințelor elevilor și a modului acestora de gândire. De exemplu
cunoscând noțiun ile legate de permutări, aranjamente și combinări, se pot explica noțiunil e
referitoare la probabilitățile condiționate.
Explicația inductivă pornește de la situații particulare la general sau esențial, de la
fapte concrete la concepte . De exe mplu introducerea noțiunilor de probabilitate se poate face
pornind de la una sau mai multe exe mple practic e, pe baza cărora de poate dedu ce formula
generală de calcul a acestora.
Prin explicația analogică se pornește de la elementul comun sau asemănarea a două
probleme de teoria probabilităților prin comparare și se are în vedere apartenența unor date ale
primei probleme deja rezolvate, la a doua problemă, pe care dorim să o rezolvăm.
Profesorul poate utiliza materialul didactic și pe parcursul ex plicației trebuie să stea în
fața clasei, lângă materialul didactic, să nu se plimbe printre bănci dist răgând atenția elevilor.
Activitatea profesorului este dominantă față de cea a elevilor, el folosind dialogul
retoric sau înt rebări cum sunt: de ce?, cum?, din ce cauză? sau întrebări ipotetice: ce s-ar
întâmpla dacă … ? Poate folosi explicația lacunară lăsând elevilor posibilitatea completării
răspunsului.
Această metodă este într -o interdependență permanentă cu alte metode de învățământ,
mai ales cu observația , conversația și demonstrația ce pot fi utilizate în procesul ins tructiv –
educativ pentr u atingerea competențelor specif ice teoriei probabilităților.
Metoda explicației se regăsește în secvențele didactice ale diverselor tipuri de
activități.

Demonstrația
Demo nstrația înseamnă a dovedi, a convinge, a prezenta o realitate pe baza unui
material concret, intuitiv sau în urma unor exemple, acțiuni practice, argumente logice care
favorizează cunoșterea. Este o metodă de explorare care se face în fața elevilor de către

85
profesor cu ajutorul mijloacelor didactice. Este o metodă des întâlnită în predarea noțiunilor
de teoria probabilităților și nu numai.
Demonstrația este una din metodele de bază în activitățile matematice și valorifică
noutatea cunoștințelor și a situațiilor de învățare. Ca metodă intuitivă, ea este dominantă în
activitățile de dobândire de cunoștințe și valorifică caracterul concret .
O situație matematică nouă, un procedeu nou de lucru vor fi demonstrate și explicate
de profesor . Nivelul de cunoștinț e al elevilor și vârsta acestora determină raportul potrivit
dintre demonstrație și explicație. Eficiența demons trației, ca metodă, este mărită dacă sunt
respectate anumite cerințe de ordin psihopedagogic : demonstrația trebuie să se sprijine pe
diferite materiale didactice demonstrative ca substitute ale realității, în măsură să reprezinte o
susținere figurativă, in dispensabilă gâ ndirii concrete a elevului , noțiunile fiind prezentate în
mod intuitiv prin experienț e concrete ; demonstrația trebuie să respecte succesiunea logică a
etapelor de învățare a unei noțiuni; demonstrația trebuie să păstreze proporția corectă în raport
cu explicația , în funcție de scopul urmărit; demonstrația trebuie să favorizeze învățarea prin
crearea motivației specifice.
Metodologia demonstrației este variată și cuprinde: pregătirea demonstrației,
demonstrația propriu -zisă a profe sorului și participarea elevilo r la demonstrație.

Conversația
Este o metodă care constă în dialogul dintre profesor și elevi sau între elevi, pe baza
întrebărilor și răspunsurilor. Are o mare valoare formativă și este des utilizată de profesori.
Conve rsația cunoaște mai multe forme :
a) conversația cateheică (reproductivă) ce se desfășoară prin întrebare și răspuns, fără
interpretarea sau modificarea informațiilor din manu al sau transmise de profesor. Este o
metodă folosită mai ales la verificarea cunoștințelor sau pentru consolidarea acestora. De
exemplu : „Care este formula probabilității unui eveniment aleator ?”.
b) conversația euristică (socratică) derivă din grecescul „euriskein ” = a descoperi , are
rolul de a -i dirija pe elevi spre descoperirea adevărului, de a dobândi noi cunoștințe. Acest tip
de conversație se bazează pe întrebări deschise, ipotetice cum ar fi : „De ce se modifică
formula probabilități la extragerea unei a doua bile dintr -o urnă da că bila este sau nu este
introdusă în urnă după o primă etragere?”.

86
c) dezbaterea este o metodă prin care se verifică o problemă teoretică sau practică, cu
argumente pro și contra. Această metodă are un caracte r formativ pentru că dezvoltă
capacitatea de analiză, dezvoltă gândirea critică, analitică, îi stimulează pe elevi să emită
judecăți de valoare corecte .
O variantă modernă a dezbaterii este dezbaterea după procedeul Phillips 6 -6. Elevii
sunt împărțiți în două s au mai multe grupe (dacă este posibil în 6 grupe a 6 elevi), fiecare
grupă alegând un lider. Profesorul propune un subiect: „Rezolvarea unei probleme de teoria
probabilităților ”, membrii grupelor analizează, discută, rezolvă problema (dacă se poate în 6
minute) și apoi liderii grupelor expun în fața clasei soluțiile obținute. Profesorul nu participă
la discuții, el doar anunță concluziile generale și face aprecieri la sfârșitul activității. Este o
metodă care favorizează lucrul în echipă, dar și competiti vitatea cu celela lte grupe de elevi.
Această metodă poate aduce mai multe soluții pentru aceeași problemă, prin stimularea
creativității elevilor.
Ca metodă verbală, conversația contribuie operațional la realizarea obiectivelor
urmărite, iar în trebările constituie instrumentul metodei ce trebuie să satisfacă următoarele
cerințe : să respecte succesiunea logică a sarcinilor de învățare; să stimuleze gândirea logică a
elevului orientând atenția spre elementele importante ale unei problem e; să ajute elevii în a-și
valorifica și reorganiza propriile cunoștințe, pentru a ajunge la noi structuri cognitive prin
întrebări ajutătoare, necesare rezolvării unor probleme ; să fie clare, corecte, precise; să nu
sugereze răspunsurile; să nu supraestime ze capacitatea de explorare a copiilor, respectând
principiul „pașilor mici”.
Răspunsurile el evilor trebuie să fie: complete; să satisfacă cerințele cuprinse în
întrebare; să dovedească înțelegerea cunoștințelor matematice, să fie motivate; să fie
formulate independent.
Conversația profesor -elevi este considerată una dintre cele mai active și mai eficiente
modalități de predare – învățare. Ea este prezentă în toate lecțiile de teoria probabilităților ,
chiar dacă nu este o metodă pre dominantă, ci este folosită alături de alte metode.
Profesorii caută să îmbunătățească această metodă prin perfecționarea întrebărilor.
Tipuri diferite de întrebări, sub raportul conținutului și al formulării lor, orientează diferențiat
și soli cită la diferite nivele activitățile mintale. Întrebărilor cu funcție reproduc tivă sau
reproductiv -cognitive trebuie să le ia locul întrebările productiv -cognitive de tipul: de ce?,
cum?.

87
Didactica actuală preconizează o mai frecventă utilizare a problemelor (întrebărilor)
convergente (care îndeamnă la analize, comparații), divergente (care exersează gândirea pe
căi originale), precum și a întrebărilor de evaluare (care solicită elevilor judecăți proprii).

Observația
Observația constă în urmărirea sistematică de către elev a obiecte lor și fenomenelor
ce reprezintă conținutul învățării, în scopul înțelegerii însușirilor semnificative ale acestora.
Ion Cerghit apreciază observația ca una dintre metodele de învățare p rin cercetare și
descoperire. Este practicată de elevi în forme mai simple sau complexe, în raport cu vârsta .
Funcția metodei nu este doar una informativă, ci mai accentuată apare cea formativă,
adică de introducere a elevului în cercetarea științifică pe o cale simplă.
Dacă întâi e levul doar recunoaște, descrie, analizează, progresiv, el trebuie învățat să
explice cauzele, să i nterpreteze datele observate, să reprezinte grafic rezultatele, să arate dacă
corespund sau nu cu unele idei, să le aplice și în alte situații, create prin analogie. Elevul
trebuie să -și noteze, să -și formuleze întrebări, deci să aibă un caiet de observați e, putând face
ușor transferul la caietul de studiu.
Observația științifică însoțită de experiment atinge cote maxime în învățarea
matematicii.
Formularea unui scop în observație impune sarcina de a dirija atenț ia elevului spre
sesizarea unor elemente esențiale, astfel încât, treptat, reprezentările să se structureze, să se
clarifice și să se fixeze. Prin scop este concentrată atenția elevului spre observarea unor
anumite elemente și sunt activizate mecanisme discriminative .
Calitatea observației se poate sporii prin respectarea următoarelor câteva condiții :
organizarea unor condiții materiale propice observației; acordarea timpului necesar pentru
observație; dirijarea prin explicație, conversaț ie; acordarea libertății de a pune întrebări în
timpul observației; valorificarea cunoștințelor obținute prin observație; reluarea observării
însoțite de explicații, de câte ori se impune .
Observația apare însoțită de explicație, ultima fiind elementul de dirijare a observației
spre scopul propus.

88
Exercițiul
Exercițiul reprezintă metoda de învățământ, în c are predomină acțiunea practică .
Această metodă implică automatizarea acțiunii didactice prin consolidarea și perfecționarea
operațiilor de bază care asigură realizarea unei sarcini didactice la niveluri de performanță
eficiente în condiții de organiz are pedagogică relativ identice.
Exercițiile sunt acțiuni efectuate în mo d conștient și repetat de elevi cu scopul
dobândirii unor priceperi, deprinderi și a unor cunoștințe noi, pentru a ușura alte activități ș i a
contribui la dezvoltarea unor aptitudini noi.
Când exercițiul permite mai multe căi de rezolvare, cadrul didactic le analizează pe
toate și le selectează pe cele mai impo rtante, propunându -le spre rezolvare pe grupe,
comparând rezultatele obținute , avantajele și dezavantajele fiecărei metode în parte. Se vor
evidenția în mod obligatoriu cele mai bune soluții .
Valoarea pedagogică a exercițiu lui reflectă gradul de insușire al deprinderii dobândite
în structura de proiectare și realizare a activității de învățare. Aceasta permite intervenția
permanentă a exercițiului în secvențe de instruire care solicită aplicarea, stăpânirea,
recuperarea, analiza materiei în termenii unor obiective clare care vizează nu numai
consolidarea deprinderilor ci și dezvoltarea unor capacității operatorii ale cunoșt ințelor și
capacităților reactualizate/aprofundate în diferite contexte didactice, în vederea eliminării sau
prevenirii ui tării noțiunilor, regulilor, formulelor, principiilor, legilor, teoriilor studiate în
cadrul matematicii .
Exercițiile didactice se pot clasifica în funcție de gradul de complexitate: exerciții
simple, semicomplexe, complexe sau de di rijare a acți unii automatizate: exerciții dirijate,
exerciții semid irijate, exerciții autodirijate .
Utilizarea frecvent ă a acestei metode în matematică a condus la o clasificare a
exercițiilor ce are la bază rolul capacităților intelectuale necesare rezolvării lor:
– exerciții de recunoaștere a unor noțiuni, formule, metode ;
– exerciții aplicative ale unor formule sau algoritmi cunoscuți;
– exerciții care permit însușirea unor noțiuni.
Această metodă nu contribuie numai la formarea de priceperi și deprinderi de lucru, ci
aduce un aport substanțial la dezvoltarea unui raționament flexibil. Treptat, prin intermediul
metodei exercițiului, elevii trebuie să treacă de la o activitate imitati vă spre o activitate
creatoare și inovatoare .
În cadrul matematicii, metoda exercițiului se folosește în fiecare oră (și în cadrul
lecțiilor referitoare la teoria probabilităților) . Indiferent de tipul lecției abordat, exercițiul se

89
regăsește atât într -o lecție de predare, cât și în una de consolidare sau de evaluare a a
cunoștințelor . Pe parcursul utilizării acestei metode, cadrul didactic folosește și alte metode
ca: explicația, demonstrația, conversația, problematizarea, observația .

Algorit mizarea
Algoritmizarea este metoda care utilizează algoritmi în învățare. Algoritmul este un
sistem de operații și raționamente care se desfășoară într -o anumită succesiune care, fiind
respectată riguros, conduce în mod aproape sigur la recunoa șterea și rezolvarea problemelor
de același tip.
Algoritmii oferă elevilor cheia sistemului de operații mintale pe care trebuie să le
efectueze pentru a recunoaște într -un context nou, noțiun ea sau teorema învățată înainte și a
putea opera cu aceasta . În plan didactic aceste operații mintale se exteriorizează prin
rezolvarea unor exerciții și probleme de același tip. Pentru ca algoritmii să devină instrumente
ale gândirii elevilor, este necesar să nu fie dați ci să -i punem pe elevi în situația de a parcurge
toate etapele elaborării lor, pentru a putea conștientiza fiecare element. Fol osirea metodei
algoritmizării ajută la înzestrarea elevilor cu modalități mai economice de gândire și acțiune.
În cazul rezolvării unui anumit tip de p roble me, elevul își însușește o serie de operații
pe care le aplică în rezolvarea problemelor ce se încadrează î n acest tip .
Un algoritm este o suită, un șir finit sau un sistem de operații structurate și efectuate,
într-o anumită ordine stabi lită, de secvențe care conduc întotdeauna spre același rezultat.
Metoda algoritmizării constă în elaborarea și aplicarea unor scheme constituite dintr -o
succesiune de secvențe sau operații, în vederea rezolvării unor probleme de același fel și a
asimilării pe această cale a cunoștințelor, în același timp cu formarea capacităților
operaționale corespunză toare. În acest sens, metoda algoritmizării prevede două nivele
compleme ntare elaborarea algoritmilor și aplicarea algoritmilor în vederea rezolvării de
situații tipice.
Dacă se ia în considerare predarea și învățarea, algoritmii pot fi de două categorii:
algoritmi didactici și algoritmi ai învățării.
Algoritmii didactici caract erizează activitatea profesorului la clasă putând fi realizați
dintr -o succesiune de etape, parcurgerea acestora având loc ori de câte ori urmează să se
desfășoare diverse sarcini de lucru.
Algoritmii învățării sunt secvențe ale înlănțuirii și ordonării cunoștințelor după criterii
logice.

90
Problematizarea
Problematizarea mai este numită ș i predare prin rezolvare de probleme sau predare
prin rezolvare productiva de probleme . Această metodă cultivă curiozitatea elevilor față de
conținuturi, noțiuni, concepte și -i stimulează prin rezolvarea situațiilor -problemă să descopere
adevărul. Elevii au p osibilitatea de a găsi relații între cunoștințele anterioare și cele noi, prin
acțiuni de comparare, explicare, anticipare a rezultatelor .
Această metodă constă în crearea unor dificultăți teoretice sau practice , a căror
rezolvare să fie rezultatul activităț ii proprii de cercetare, efectuată de elev, este o activitate de
predare -învăț are pe baza unor structu ri cu date puține .
Problematizarea presupune și crearea de situații problematice. O situație problematică
este o situaț ie contradictorie care exprimă un dezacord între experiența cognitivă a elevului și
situaț ia ce trebuie r ezolvată . De zacordul, conflictul, cont radicția, ca forme ale situației
problematice incită la căutarea și descoperirea soluției .
Specificul acestei metode constă în faptul că profe sorul nu oferă elevilor o cunoaștere
"de-a gata", informaț ii pe care elevii doar le asimilează și le r eproduc, ci creează în mod
situații conflictuale, din depășirea cărora rezultă un progres cognitiv; elevii c ontribuie la
descoperirea cunoașterii . Din acest motiv, problematizarea este considerată o metodă activă
cu mare valoare formativă .
Utilizarea acestei metode prezintă câ teva avantaje importante pentru elev i printre care
enumerăm următoarele : formarea spiritului critic; dezvoltarea caracterului probabi listic al
gândirii; dezvoltarea capacității de a identifica ș i rezolva probleme .

Brainstorming (furtuna sau asaltul de idei)

Aceast ă metod ă înseamn ă formularea mai multor idei – oricât de fanteziste ar putea
părea acestea – ca un răspuns la o sit uație enun țată, dup ă principul “cantitatea generează
calitatea ”. Conform acestui principiu, pentru a se ajunge la idei viabile și inedite este
necesar ă o productivitate cât mai mare. Elevii pot formula chiar și idei trăznite, fiind
încurajați să argumenteze, să compare, să dea soluții, stimulându -se astfel motivația învățării.
La matematic ă aceast ă metod ă poate fi aplicat ă astfel: se alege o sarcin ă de lucru
(rezolvarea unei probleme de teoria probabilităților ) și se solicit ă exprimarea tutu ror ideilor
legate de rezolvarea problemei. To ți elevii trebuie s ă formuleze o idee referitoare la subiectul
propus și toate aceste idei se scriu pe tabl ă. Se face o pauz ă pentru a șezarea ideilor, dup ă care

91
se reiau ideile emise, pe rând și se grupeaz ă pe categorii, simboluri etc. Se selecteaz ă ideile
originale sau cele mai apropiate de solu ții și se pune accent pe acestea.
Avantajul acestei metode const ă în faptul c ă toți elevii sunt implica ți în sarcina de
lucru ș i se ob țin ideile noi și solu țiile rezolvitoare.
Dezavantajele brainstormigului constau în faptul c ă oferă soluții posibile și nu
realizarea efectiv ă a rezolvarii , uneori poate fi prea obositor sau prea solicitant pentru unii
participan ți.
Scopul acestei m etode este evidențiat de faptul că fiecare are dreptul la o opinie
personală, nu se fac critici, sunt încurajați elevii timizi și se evită blocajele intelectuale prin
întrebări ajutătoare. Această activitate sporește încrederea elev ilor în propria persoană,
încurajează expunerea de opinii și judecăți.

Mozaicul (Jigsaw)
Metoda ,,mozaic” este o metodă de învățare prin colaborare care are la bază împărț irea
grupului de elevi în mai multe grupe de lucru, coordonate de profesor . Timpu l de lucru poate
fi de o ora sau de două ore. Mozaicul presupune următoarele etap e:
– constituirea grupurilor și preluarea sarcinilor : împărțirea clasei în grupuri de câte 4
elevi, fiecare elev din grup primind un număr de la 1 la 4; profesorul anunță tema : “Scheme de
probabilitae” . Toți cei cu numărul 1 se vor documenta despre “Schema l ui Poisson” . Cei cu
numărul 2 vor avea ca temă “Schema lui Bernoulii ”. Cei cu numărul 3 vor pregătii informații
despre “Schem a multinomială ”, iar cei cu numărul 4 vor prezenta informații despre “Schema
hipergeometrică ”. Elevii vor primi f ișele cu informațiile potrivite, le vor studiaza pentru a
deveni experți în problemele respective;
– activitatea pe g rupe de experți – toți elevii care au același număr vor forma câte un
grup și vor rezulta astfel 4 grupuri din elevi cu același număr. Fiecare elev va studia
informațiile primite, va extrage ideile esențiale și formulele de calcul, va clarifica noțiunile
noi și va deveni expert în subiectul discutat ;
– activitatea în grupurile inițiale – fiecare elev revine în grupul inițial și prezintă
grupului conținutul studiat. Expertul poate adresa întrebări colegilor pentru a s e asigura că
aceștia au înteles;
– evaluarea elevilor prin fișe, întrebări sau alte metode scurte.
Profesorul su pravegheaz ă activitatea elevilor și poate interveni pentru a se a sigur a
că aceștia au înțeles corect noțiunile legate de schemele de probabilitate studiate. Este foarte
important ca profesorul să monitorizeze predarea în mod continuu , pentru a fi sigur că

92
informația se transmite corect și că poate servi ca punct de plec are pentru diverse întrebări;
stimulează cooperarea, asigură implicarea, participarea tuturor membrilor.
Metoda mozaicului are avantajul c ă implic ă toți elevii în activitate și că fiecare dintre
ei devine responsabil atât pentru înv ățarea proprie , cât și pentru învățarea celorlal ți. De aceea,
această metodă este foarte util ă în motivarea elevilor cu rămâneri în urm ă: faptul c ă se
transform ă, pentru scurt timp, în profesori le confer ă un ascendent moral asupra colegilor.

Turul galeriei
“Turul Galeriei” este o metodă de învățare prin cooperare ce încurajează elevi i să își
exprime propriile opinii . Produsele realizate de elevi se expun ca într -o galerie, sunt
prezentate și susținute de secretarul grupului, urmând să fie evalu ate și discutate de către toți
elevii, indiferent de grupul din care fac parte. Turul galeriei presupune evaluarea interactivă și
profund formativă a produselor realizate de grupuri de elevi .
Etapele acestei metode sunt : se împart elevii în grupuri de câte 4 -5 membri, în funcție
de numărul elevilor din clasă; profesorul prezintă elevilo r tema și sarcinile de lucru; fiecare
grup va realiza un produs pe tema stabilită de la începutul activității; produsele se expun pe
pereții clasei; secretarul grupului prezintă în fața tuturor elevilor produsul realizat; în final se
analizează toate lucră rile. Elevii vor face turul galeriei, vor examina posterele realizate de
fiecare grupă, examinează conținutul, soluțiile propuse de colegii lor și notează pe lucrările
acestora comentarii critice, întrebări, observații acolo unde este cazul . După ce se termină
turul galeriei, grupurile revin la locul inițial și citesc comentariile, observațiile de pe lucrarea
lor, reeexaminându -și produsul prin comparație cu ce lelalte produse.
,,Turul Galeriei” urmărește exprimarea unor puncte de vedere personale referitoare la
tema pusă în discuție. Elevii trebuie învățați să asculte, să înțeleagă și să accepte sau să
respingă ideile celorlalți prin demonstrarea cel or susținute. P rin utilizarea ei se stimulează
creativitatea participanților, gândirea individuală și colectivă , se dezvoltă capacitățile sociale
ale participanților, de comunicare și toleranță reciprocă, de respect pentru opinia celuilalt .
De obicei , la matematică , se poate folosi și ca o metod ă de verificare a cunoștințelor ,
la finalul altor metode moderne de lucru cu elevii.

93
Cubul
Metoda “cubului” este folosită atunci c ând se dorește explorarea unui subi ect, a unei
situații din mai multe perspective. Se oferă în acest mod elevilor posibilitatea de a -și dezvolta
competențele necesare unor abordări complexe și integratoare. Este o metodă ce poate fi
folosită cu orice tip de subiect. Poate fi folosită și în lecțiil e de probabilități.
Sunt recomandate următoarele etape în aplicarea corectă a acestei metode :
– realizarea unui cub pe ale c ărui fețe sunt scrise cerințele : descrie, compară,
analizează, asociază, aplică, argumentează. Se realizează fișe cu ite mi pentru cele șase cerințe
(de exemplu) : descrie (formula probabilității unui eveniment), compară (formula probabilități
bilei întoarse cu formula probabilității bilei neîntoarse) , analizează (legătura dintre
probabilitățile condiționate), asociază ( prob lemele cu soluțiile date), aplică (rezolvarea unei
probleme mai complicate), argumentează (importanța folosirii probabilităț ilor în alte materii
de studiu);
– elevii sunt împărțiți în șase grupe. Un membru din fiecare grup învârte cubul( zarul ) și
ia câte o fișă corespunzătoare numărului apărut pe fața superioară . Aceștia vor rezolva itemii
împreună cu restul grupului și le vor prezenta în fața clasei.
Activitatea va fi dirijată de către profesor, care trebuie să încurjeze implicarea tuturor
elevi lor. La finalul exercițiului se vor face aprecieri le.

Știu-Vreau să știu -Am învățat (S-V-A)
Este o metodă prin care elevii înțeleg ceea ce știu sau cred că știu despre un subiect.
Elevii trebuie să completeze câte o fișă individual sau pe gru pe, cu ceeea ce știu despre tema
ce urmează a fi discutată ( de exemplu : probabilități) . Se realizează pe tablă un tabel :
S
ȘTIM/
CREDEM CĂ ȘTIM V
VREM SĂ ȘTIM A
AM ÎNVĂȚAT

Profesorul cere elevilor să spună ce știu despre această temă. Se vor nota în prima
coloană cele mai bune idei. Se cere elevilor să adreseze întrebări despre ceea ce nu știu în
legătură cu acest subiect sau problemele despre care doresc să afle mai multe informații și se
notează toate acestea în coloana din mijloc. Elevii sunt atenți la lecție, își notează toate
informațiile predate de profesor și la finalul lecției formulează răspunsuri pentru întrebările

94
din coloana din mijloc. Aceste răspunsu ri se notează în coloana “Am învățat“. Dacă rămân
întrebări fără răspuns profesorul poate să le sugereze răspunsul sau le poate indica sursele de
unde le pot afla. În încheiere elevii decid ce au învățat nou în această lecție.

Ciorchinele
Este o metodă care se aseam ănă destul de mult cu brainstorming ul și care stimulează
gândirea l iberă a elevilor, formându -le la final o imagine de ansamblu asupra subiectului.
Participarea întregii clase la realizarea “ciorchinelui” este lansată ca o provocare și
determină o întrecere de a descoperi noi legături pentru tema propusă . Această tehnică de
predare –învățare are rolul de a încuraja elevii să gândească în mod liber și de a stimula
conexiunile de idei.
Elevii își notează individual sau pe grupe, în mijlocul unei pagini, tema ( de exemplu Ș
probabilit ăți condiționate) și scriu în jurul acesteia informațiile pe care le știu, trăgând linii
între acestea și titlul din mijloc. Dacă ideile au legătură una cu cealaltă se trag linii și între ele.
Din aceste idei pot pleca altele, elevii oprindu -se când nu mai știu. După finalizare, elevii se
confruntă între ei. Profesorul realizează pe tablă ciorchinele cu ideile culese de la elevi.
Această metodă se poate utiliza și în etapa fixăr ii noilor cunoștințe predate , elevii
notând în jurul titlului ceea ce au învățat și în final se creează o imagine de ansamblu asupra
lecției învățate .

Proiectul
Metoda proiectului înseamn ă realizarea unui produs, ca urmare a colect ării și
prelucr ării unor date referitoare la o tem ă, noțiune etc .
Proiectul este o activitate centrat ă pe elev, el încurajeaz ă cel mai bine abordarea
integrat ă a înv ățării elevilor , li se creeaz ă ocazia de a folosi cuno ștințe și tehnici de lucru
dobând ite la mai multe discipline.
Proiectul este considerat ca fiind cea mai bună procedură de evaluare a eficienței și
efectivității formării. Elevii vor fi solicitați (individual sau în grupuri) să conceapă, să
realizeze și să evalueze un proiect personal sau de grup utilizând competențele formate sau
dezvoltate în cadrul proiectului de formare. Prin proiect se pot evalua competențe diverse: de
la cele de analiză a nevoilor sau de planificare până la cele de negociere sau formare a
echip elor. Un proiect înseamnă mai mult decât un exercițiu, întrucât elevii au posibilități
sporite da a -și folosi inițiativa și creativitatea în situații simulate dar, mai ales, reale, chiar
dacă forma finală a proiectului este rezultatul negocierii între prof esor și elevi .

95
Proiectul este o metodă interactivă de predare –învățare, care presupune o micro –
cercetare sau o investigație sistematică a unui subiect care prezintă interes pentru elevi.
Metoda proiectului presupune implicarea act ivă a elevilor pe tot parcursul activităților
desfășurate; de regulă, aceste activități se finalizează cu un “produs” concret: un dosar
tematic, un ghid, o carte scrisă de elevi, realizarea unei colecții, a unei expoziții etc. În urma
investigării sau micr o-cercetării, elevii pot găsi răspunsuri la diferite întrebă ri, semnificative
pentru ei, legate de ceea ce se petrece în școală sau în afara școlii .
Învățarea bazată pe proiecte presupune selectarea de informații, prelucrarea lor și
sintetizarea acestora, formularea de întrebări care să călăuzească ivestigația, interacțiuni în
cadrul grupului, comunicarea rezultatelor, corelarea lor, realizarea unui produs final .

Instruirea asistat ă de calculator (IAC)
Instruirea asistat ă de ca lculator reprezintă o metod ă didactic ă care folose ște
calculatorul și soft -urile educa țional e ca principal material didactic.
Instruirea asistată de calculator se poate definii ca o aplicație a unor sisteme de calcul
în procesul de instruire, în care cei ce învață comunică interactiv cu sistemul de calcul, în baza
unor programe destinate învățării și instruirii . Folosir ea instruirii asistate de calculator ca
metodă de învățare va stimula în rândul elevilor receptarea noului, dezvoltarea imaginației și
a gândirii logice, o înv ățare rapidă și eficientă, și va sporii șansele de reușită în acțiunea de
integrare socio -profesională .
În realizarea instruirii asistate de calculato r la matematică, prin folosirea programelor
specifice acestui obiect de studiu , sunt implicați următorii factori: cadrul didactic –
coordonează elevii în procesului de instruire; elevul – își formează competențe de utilizare și
exploatare a calculatorului în urma procesului de instruire; calculatorul – folosit ca mijloc
didactic de instruire; lecțiile – forme de bază în organizarea instruirii prin care elevii își
formează competențele fixate de programa școlară .
Instruirea asistată de calculator reprezintă o metodă modernă de învățământ, care
valorifică tehnicile de analiză și modelare cibernetică în contextul tehnologilor noi
informatice și de comunicații, asigurând organizarea, gestionarea, documentarea și inte grarea
informațiilor în procesul de cunoaștere.

96
7.5. FORME DE EVALUARE A NOȚIUNILOR DE TEORIA PROBABILITĂȚILOR

Pe parcursul actului educa țional profesorul de matematică trebuie să transforme
competențele legate de probabilități în finalități. Competențele devin obiecte ale evaluării.
Evaluarea este o componentă a actului didactic prin care se stabilește dacă competențele au
fost atinse sau dacă modul de abordare pentru antingerea acestora este cel corect.
Evaluarea con stă în operații de măsurare, de apreciere și de judecată pentru
diagnosticarea activității și pentru dete rminarea felului în care se realizează obiectivele și
competențele. Este un act didactic foarte complex, continuu și de durată ca re asigură calitatea
și cantitatea conținutului învățat , eficiența me todelor și mijloacelor folosite și motivarea
elevilor.
Se evaluează cuno ștințele și capacitatea de a lucra cu ele în diferite exerciții și
probleme.
După perioada de studiu, evaluarea este:
a) inițială – urmărește nivelul cunoștințelor, aptitudinilor și valorilor la începutul ciclului
de învățământ , la începutul anului școlar, la începutul semestrului . Print re exercițiile din testul
inițial de la clasa a VII -a sau a X -a pot fi introduse exerciții referitoare la probabilități, pentru
a verifica modul de înțelegere a acestora.
Evaluarea inițială oferă profesorului și elevilor posibilitatea de a avea o reprezentare
cât mai exactă a situației existente (potențialul de învățare al elevilor , lacunele ce trebuiesc
completate și remediate) și de a formula cerin țele următoare. P e baza informațiilor evaluării
inițiale se planifică demersul pedagogic următor și eventual se pot realiza programe de
recuperare.
b) continuă , care se efectuează pe tot parcursul desfășurării procesului de învățământ,
cu rol de a identifica din timp lacunele sau greșelile elevilor . Acest tip de evaluarea este foarte
util și important în evaluarea cunoștințelor matematice, pentru a se stabili strateg ia de predare
a lecțiilor ce urmează a fi predate după această evaluare.
Evaluarea continuă permite elevului să -și remedieze greșelile și lacunele imediat după
apariția lor și înainte de declanșarea unui proces cumulativ; oferă un f eed-back rapid, reglând
din timp procesul de învățare ; este orientată spre ajutorul pedagogic imediat; oferă
posibilitatea tratării diferențiate a elevilor ; dezvoltă capacitatea de autoevaluare la elevi;
reduce timpul alocat evaluărilor ample, sporindu -l pe cel des tinat învățării; sesizează punctele
critice în învățare.

97
Aplicarea acestei metode de evaluare, foarte pretențioasă, necesită o organizare
riguroasă a predării, competență în precizarea obiectivelor, în stabilirea sarcinilor și în
aleger ea tehnicilor de evaluare.
Evaluarea continuă nu se exprimă prin note, nu realizeară ierarhii și clasificări între
elevi , dar oferă premise pentru notare.
c) formativă (cumulativă, sumativă, globală) – la sfârșit , de capitol, de an școlar , de ciclu
de învățământ oferind posibilitatea aprecierii modului în care au fost atinse competențele
generale și specifice . Evaluarea sumativă se finalizează cu o notă (punctaj). Evaluarea
formativă constată performanțele și clasifică (ierarhizează) elevii în funcț ie de acestea.
Rezultatele constatate pot fi folosite pentru preîntâmpinarea greșelilor la alte clase de elevi
sau la alte generații de elevi ; permite aprecieri cu privire la prestația profesorilor, a calității
proceselor de instruire utilizate , a programelor de studii; oferă o recunoaștere socială a
meritelor .
Acest tip de evaluare nu oferă suficiente informații sistematice și complete despre
modul în care elevii și -au însușit conținutul predat și nici dacă un elev stăpânește to ate
conținuturile esențiale predate; are e fecte reduse pentru ameliorarea sau reglerea și remedierea
lacunelor, efectele resimțindu -se după o perioadă mai îndelu ngată ; deplasează motivația
elevilor către obținerea unui rang mai înalt în ierarhia grupului, punând accent pe competiție;
nu favorizează dezvoltarea capacității de autoevaluare la elevi; nu oferă o radiografie a
dificultăților în învățare; generează stres, teamă, anxietate.
Învățământul gimnazial , dar și cel liceeal se finalizează printr -o evaluarea for mativă la
matematică, intitulate “Evaluare N ațională ”, respectiv “Bacalaureat” în care pot apărea
exerciții sau probleme care se rezolvă cu ajutorul teoriei probabilităților.
După modul de efectuare a evaluării acestea se calsifică astfel :
A. Evaluare prin probe scrise neanunțate, în cazul verificărilor curente, și anunțate, în
cadrul verificării semestriale la final de unitate de învățare, de ciclu de învățământ.
Rolul principal al acestor probe este de a face posibilă o evaluare periodică obiectivă
și operativă pe baza unui cuantum de cunoștințe relevant și cu scopul de a regla și perfecționa
procesul instructi v-educativ. Probele scrise au dublu rol: de evaluare a randamentului elevilor
la matematică și de dezv oltare a capacităților de exprimare în scris a elevilor.
Metoda aceasta apelează la anumite suporturi scrise, concretizate în extemporale
(lucrări scrise neanunțate), lucrări de control (anunțate), fișe de muncă independentă în
diferite etape ale lecției, teme pentru acasă , teste de cunoștințe (docimologice) .

98
a) Extemporalul (lucrarea scrisă neanunțată) este instrumentul de evaluare scrisă cel mai
des folosit pentru a verifica dacă elevii învață la matematică cu regularitate . El durează
aproximativ 5-10 minute și se va concentra asupra unor sarcini obiectiv e din lecția anterioară.
Rezolvarea imediată a problemelor din lucrare va permite corectarea rapidă a greșelilor și va
fi o modalitate de autoevaluare foarte utilă (li se poate cere elevilor să -și noteze lucrarea).
b) Lucrarea de control (anunțată) se folosește după parcurgerea unei unități de învățare
sau după un număr de lecții predate anterior. Ea poate urma unor lecții de recapitulare și
sistematizare și are mari valențe formative. Ea îndeplinește, în general, o funcție diagnostică.
Itemii de evaluare trebuie să fie variați pentru a permite evidențierea capacităților superioare
de lucru ale elevilor. Este de dorit ca lucrarea de control să fie corectată imediat, apoi să fie
rezolvată și discutată cu întreaga clasă și s ă se motiveze notele acordate .
c) Activitatea de muncă independentă în clasă se desfășoară sub supravegherea
profesorului . Se realizează fie la începutul lecției (pentru a permite cadrului d idactic să
verifice temele pentru acasă din punct de vedere cantitativ), fie în timpul verificării lecției
anterioare, fie pentru a fixa cunoștințele noi predate. Ele se pot rezolva individual sau pe
grupe de elevi. Sarcinile trebuie analizate frontal dup ă ce elevii le -au rezolvat, notarea se
poate face prin autoevaluare, prin evaluare în perechi (colegii de bancă își corectează reciproc
modul de rezolvare). Un avantaj important îl constituie supravegherea cadrului didactic, care
poate realiza un feed -back imediat.
d) Tema pentru acasă este o formă de activitate independentă, asemănătoare cu cea
efectuată în clasă, dar are în vedere obiective de mare amploare și se desfășoară în condițiile
de acasă ale elevilor . Pregătirea temei începe chiar în clasă , unde profesorii trebuie să le dea
indicații elevilor în legătură cu modul de rezolvare a problemelor . Se pot da teme pentru acasă
în funcție de particularitățile elevilor, de în clinațiile lor pentru matematică . Se poate acorda o
notă pentru modul de efec tuare a temelor.
e) Testul este o probă complexă cu ajutorul căreia se verifică și se evaluează nivelul
cunoștințelor și al capacităților de a opera cu ele, prin raportarea răspunsurilor la o scară
etalon, elabora tă în prealabil. Testul este o probă standardizată, care asigură o obiectivitate
mai mare în procesul de evaluare .
Itemul reprezintă cea mai mică componentă a unui instrument de evaluare și care
cuprinde o sarcină de rezolvat în concordanță cu un obiectiv operațional . Între obiectivele de
evaluare și itemi există o strânsă legătură . De aceea, trebuie formulat foarte bine obiectivul pe
care îl testează itemul, înainte de construirea itemului.

99
Teoria și practica ev aluării evidențiază mai multe criterii pe baza cărora se clasifică
itemii. Unul dintre criteriile cel mai des utilizate este acela al gradului de obiectivitate oferit în
corectare itemului . În funcție de acest criteriu, itemii pot fi clas ificați în trei mari categorii:
itemi obiectivi, itemi semiobiectivi, itemi subiectivi .
Itemii obiectivi sau itemi cu răspuns închis testează un număr mare de elemente de
conținut într -un interval relativ scurt, asigurând un grad de obiectivita te ridicat în măsurarea
rezultatelor școlare. Din categoria acestor itemi obiectivi fac parte : itemii cu alegere duală,
itemii de tip pereche, itemii cu alegere multiplă .
Itemii cu alegere duală pun elevul în situația de a alege răspunsul core ct din doar două
variante posibile: adevărat / fals, da / nu, corect / incorect etc. Itemii de tip da / nu, adevărat /
fals sunt cel mai frecvent folosiți. Un dezavantaj al acestui tip de item este acela că nu implică
cunoașterea de către elev a alternativ ei adevărate. Eliminarea acestui dezavantaj se poate face
prin solicitarea elevului de a modifica varianta falsă sau prin argumentarea variantei alese.
Itemii de tip pereche pun e levul în situația de a efectua corespondența corectă între
valori numerice, semnificații, litere, simboluri, informații etc. Elementele între care trebuie
stabilită corespondența sunt distribuite pe două coloane: prima coloană conține elementele ce
constituie, de fapt, enunțul itemului și care sunt denumite pre mise; iar a doua coloană conține
elementele care reprezintă răspunsurile. Instrucțiunile care preced cele două coloane se referă
la criteriul sau criteriile în baza cărora trebuie realizată asocierea între cele două coloane .
Itemii de tip perec he permit abordarea u nui volum mare de informații într -un interval de timp
relativ redus, precum și rapiditatea corectării și evaluării. Ei n u sunt recomandați atunci când
profesorul dorește evaluarea unor rezultate ale învățării cu caracter complex și creativ.
Itemii cu alegere multiplă se mai numesc și itemi cu răspuns selectat deoarece elevul
nu generează un răspuns, ci alege unul dintre răspunsurile alternative listate în item. Itemul cu
alegere multiplă este alcătuit dintr -o cerință și mai multe variante de răspuns care reprezentă
soluțiile itemului. Lista de variante conține răspunsul corect, unul singur, pe care elevul
trebuie să îl identifice, și un număr oarecare de alte variante de răspuns, i ncorecte sau
plauzibile .
Itemii semiobiectivi sunt acea categorie de itemi care solicită elevului scrierea parțială
sau totală a unui răspuns la sarcina definită în enunțul itemului. Utilizarea acestui tip de itemi
încurajează elevul în aprofundarea noțiunilor învățate, creșterea vitezei de operare cu aces tea,
a clarității, conciziei și acurateței exprimării. Itemii semiobiectivi au un grad mai mic de
obiectivitate, dar elevul este pus să-și construi ască răspunsul și nu să îl alegă .

100
Din categori a itemilor subiectivi fac parte: itemii cu răspuns scurt, itemii de
completare, întrebările structurate .
Itemii cu răspuns scurt exprimă cerința astfel încât elevii să formuleze răspu nsul sub
forma unui cuvânt, număr, simbol. Ei sunt folosiți în general pentru cunoașterea
terminologiei , a unor fapte specifice, pentru aplicarea unor cunoștințe .
Itemii de completare sunt asemănători cu cei cu răspuns scurt, dar se diferențiază de
prin faptul că elevul trebuie să completeze o afirmație incompletă. În acest caz, se recomandă
ca numărul spațiilor punctate să sugereze elemente corespunzătoare privind răspunsurile care
se așteaptă de la elevi și spațiile libere să nu fie dispuse la începutul afirmațiilor .
Întrebările structurate sunt alcătuite din mai multe subîntrebări d e tip obiectiv,
semiobiectiv legate între e le printr -un element comun (temă ). Ele umplu golul dintre
instrumentele cu răspuns deschis și cele cu răspuns închis. Prezentarea unei întrebări
structurate include: un element stimul (tex te, date, diagrame, grafice ); subîntrebările; anumite
date suplimentare; alte subîntrebări. Întrebările trebuie să aibă un grad de dificultate crescător,
fiecare subîntrebare fiind independentă de celelalte .
Itemii subiectivi sau itemi cu răspuns deschis sunt rela tiv ușor de realizat , principala
problemă constituind -o modul de elaborare a schemei de notare a acestora, cu atât mai mult
cu cât această categorie de itemi vizează demonstrarea în cadrul răspuns ului de către elevi a
originalității și creativității , a ca pacității de personalizare a cunoștințelor acumulate . Din
această categorie de itemi fac parte: itemii de tip rezolvare de probleme .
Rezolvarea de probleme individuală sau în grup, constituie o modalitate prin care
profesorul po ate crea situaț ii de învățare care dezvoltă creativitatea, gândirea divergentă,
imaginația, capacitatea de transfer, de generalizare sau / și de concretizare a informațiilor și
procedurilor.
B. Evaluarea prin probe orale const ă în observarea și aprecierea verbală, urmărirea
modului în care elevii și -au însușit cunoștințele despre teoria probabilităților, precum și
capacitatea de a opera cu aceste cunoștințe . Poate fi sub formă de chestionare orală după
însușirea cunoștințelor dintr -o lecție , sau de evaluare finală la sfârșit de capitol, semestru, an
școlar. Evaluarea orală se realizează mai ales prin întrebări – răspunsuri și prin îndeplinirea
unor sarcini de lucru, oral sau în scris (de obicei la tablă), sub directa supravegh ere a
profesorului. Prezintă avantaje cum ar fi acela că profesorul poate interveni prin întrebări
ajutătoare dar și dezavantaje, deoarece profesorul poate fi subiectiv, starea de moment a
profesorului poate influența notarea și este un dezavantaj mai ale s pentru elevii emotivi.

101

C. Evaluarea prin probe practice . Probele practice sunt utilizate în vederea evaluării
capacității elevilor de a aplica anumite cunoștințe teoretice, precum și a nivelului de a
stăpânire a priceperilor și deprinderilor de ordin practic. Pentru a realiza cu succes o
activitate practică , este normal ca încă de la începutul anul ui școlar, elev ii să fie anunțați
asupra: tematicii lucrărilor practice, timpului alocat, modului în care ele vor fi ev aluate
(baremele de notare) .
O altă formă de evaluare este evaluarea cu ajutorul calculatorulu i, o metodă de
evaluare modernă . Calculatorul oferă, atât profesorilor cât și elevilor, o mare diversitate de
modalități de evaluare a cunoștințelor de teoria probabilităților . Spre deosebire de metodele de
evaluare tradiționale, evaluarea cu ajutorul calculatorului este lipsită de orice elemente de
subiectivism, ca și de emoțiile care-i însoțesc pe mulți dintre elevi la verificările curente și la
examene. Se schimbă și raportul profesor -elev, prin creșterea încrederii elevilor în
obiectivitatea profesorilor. Mai mult, elevii înșiși se pot autoevalua pe parcursul muncii
independente pe care o depun zilnic, beneficiind de feed -back -ul atât de necesar unei învățări
eficiente și performa nte.
Combinarea instrumentelor de evaluare scrisă cu cele de evaluare orală, cu metodele
complementare de ev aluare vor asigura realizarea unei imagini globale a capacităților elevilor.
Voi prezenta în continuare structura unui test pe care l -am aplicat la clasa a VII -a, la
finalul capitolului “Elemente de organizare a datelor” , în care apar diferite tipuri de itemi,
unii dintre ei referindu -se la noțiuni le de teoria propabilităților studiate în acest capitol.

102

TEST
Capitolul “Elemente de organizare a datelor”
Clasa a VII -a

Din oficiu se acordă 2 0 puncte. Timpul de lucru efectiv este de 50 minute.
I. LA URMĂTOARELE EXERCIȚII SCRIEȚI NUMAI REZULTATELE .
5p 1) Rezultatul calculului {1, 2} X{a} este egal cu …..
5p 2) Reprezentați în sistemul ortogonal alăturat xOy,
punctul A(5; 3) .
5p 3) Coordonatele punctului B din sistemul ortogonal alăturat
xOy sunt (… ; …).
5p 4) Tabelul de mai jos ne arată statistica notelor obținute de
elevii clasei a VII -a la un test de verificare.
Numărul de elevi din clasă este egal cu ……
5p 5) Probabilitatea ca la aruncarea unui zar să se obțină un număr par este egală cu …..
10p 6) Tabelul de mai jos ne arată statistica notelor obținute de elevi i clasei a VII -a la un test
de verificare. Luăm la întâmplare o lucrare a unui elev. Probabilitatea ca nota elevului
să fie între 9 și 9,99 este egală cu ….
Note Sub 5 Între 5 și 6,99 Între 7 și 8,99 Între 9 și 9,99 10
Numărul de note 5 6 8 4 2

II. LA URMĂTOARELE EXERCIȚII ALEGEȚI REZULTATUL CORECT.
Diagrama din figu ra alăturată reprezintă în cote
procentuale numărul de turiști din diferite țări cazați
la un hotel de pe litoral.
5p 1) Numărul de turiști din Republica Moldova
este în procent de:
A.20% B.15% C.12% D.10%
5p 2) Dacă din România sunt 36 de turiști, atunci
numărul turiștilor din Bulgaria este egal cu:
A.20 B.24 C.28 D.32

103
5p 3) Aleg em la întâmplare un turist. Probabilitatea ca turistul să fie din România sau
Moldova este egală cu:
A.40% B.45% C.55% D.60%
5p 4) Minim (cel puțin) câți turiști trebuie să alegem la întâmplare din tot hotel pentru ca să
fim siguri că printre cei aleși să fie cel puțin unul din România?
A.37 B.72 C.85 D.96
III. LA URMĂTOARELE PROBLEME SE CER REZOLVĂRILE COMPLETE .
10p 1. Aflați distanța dintre punctele A(2; 7) și B( 3; 5) reprezentate într -un sistem
ortogonal xOy.
2. Într -un bol sunt 3 bile albe, 4 bile negre și 9 bile roșii.
5p a) Se extrage la întâmplare o bilă. Aflați probabilitatea ca bila extrasă să fie de culoare
albă.
5p b) Se extrage la întâmplare o bilă. Aflați probabilitatea ca bila extrasă să fie de culoare
neagră sau roșie.
5p c) Se extrage la întâmplare o bilă. Aflați probabilitatea ca bila extrasă să nu fie de culoare
neagră sau albă.

104
7.6 PROGRAMA PENTRU CURSUL OPȚIONAL “ELEMENTE DE TEORIA
PROBABILI TĂȚILOR ”

PROGRAMA PENTRU CURSUL OP ȚIONAL
“ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂȚILOR
CLASA A VIII -A

ARGUMENT

Se vorbește mereu despre rolul matematicii în dezvoltarea societății și științei, de
importanța pe care o are și o va avea în viață. Cu toții conștientizăm acest lucru fară însă a
vedea în matematică decât ceva abstract, conținuturi seci, greu de asimilat, fară o frumusețe
care să atragă.
Fiecare dintre noi folosește cuvântul “probabil” în limbajul curent de câteva ori pe
zi, atunci când se referă la posibil itatea ca un anumit eveniment să se î ntample. Indiferent
dacă avem sau nu cunoștințele matematice necesare, estimăm și compară m frecve nt
probabilități, uneori fără să ne dăm seama, în special atunci când luăm decizii. Dar
probabilitățile nu sunt numai niște simple numere ataș ate obiectiv sau subiectiv
evenimentelor, așa cum ar pă rea la prima vedere, iar calculul ș i utilizarea lor sunt foarte
predispuse la er ori calitative sau cantitative, în absenta unor cunoștințe adecvate.
Acest opțional este o scurtă introducere în fundamentele teoriei probabilitatilor și a
calculului probabilistic, avâ nd scopul de a ajuta elevii clasei a VIII -a cu sau fără o formaț ie
mate matică avansată să efectueze și să aplice calculul probabilistic și să îi stimuleze în a
aprofunda noțiunile întâlnite.
Am ales să elaborez acest opțional pentru cop iii care îndrăgesc matematica câ t și
pentru cei care văd în matematică un domeniu arid, de nepătruns și care nu au știut până acum
că se pot “juca“ prin intermediul matematicii. Consider că încercând să arăt cum se poate
“juca” cu ajutorul matematicii nu fac altceva decât să pun în valoare potențialul ascuns al
multor copii. Opționalul îi pregătește pe elevi pentru rezolvarea unor probleme de liceu,
cultivându -le perseverența, încrederea în sine, voința de a duce la bun sfârșit un lucru
început. Legarea teoriei de practică este esențială pentru o mai bună aprofundare a
formulelor . Totodată legarea teoriei de practică duce la stimularea elevilor și creșterea

105
interesului elevilor să studi eze mai mult la matematică . Utilizarea softului Excel în rezolvarea
problemelor de probabilități va face materia mai atractivă, captând interesul și atenția elevilor,
care în plus, își pot verifica o serie de calcule.

COMPETENȚE GENERALE

1. Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul
în care au fost definite .
2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în
enunțuri matematice .
3. Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau
globală a unei situații concrete .
4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situații
concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora .
5. Analiza și interpretarea caracteristicilor matemat ice ale unei situații -problemă .
6. Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea
cunoștințelor din diferite domenii .

COMPETENȚE SPECIFICE ȘI EXEMPLE DE ACTIVITĂȚI DE ÎNVĂȚARE

1. Identificarea unor date și rela ții matematice și corelarea lor în func ție de contextul în
care au fost definite.
Competenț e specifice Activități de învăț are
Identificare a noțiunilor legate de
probabilități și stabilirea legăturii cu viața
cotidiană . Identificare a unor probleme de teoria
probabilităților în viața cotidiană .
Găsirea ră spunsului pe baza unor
raționamente algoritmice. Exerciții de determinare a probabilității
unui eveniment ;
Ghicirea răpunsului unor exer ciții simple
de combinatorică și probabilități .

106
Aplicarea tehnicilor de calcul însușite în
combinatorică . Rezolvarea problemelor de combinatorică ;
Rezolvarea problemelor cu ajutorul
schemelor de probabilitate .

2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în
enun țuri matematice.
Competențe specifice Activități de învățare
Gasirea mai multor soluții pentru un
exercițiu sau o problemă. Identificarea și aplicarea unor reguli ș i
scheme de rezolvare a problemelor .
Dobândirea antrenamentului în rezolvarea
problemelor. Alegerea unei situații concrete și
înțelegerea corectă a mesajelor;
Sintetizarea datelor într -o reprezentare
grafică sugestivă pentru întocmirea
planului de rezolvare.

3. Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea local ă sau
global ă a unei situa ții concrete.
Competențe specifice Activități de învățare
Crearea în scris sau oral a unor scurte
probleme pe baza unui suport verbal. Exerciții de compun ere, prin analogie, a
unei probleme , a unui joc matematic.
Prelucrarea datelor practice obținute prin
evidențierea și corelarea lor cu teoria .
Construirea și interpretarea unor
diagrame, tabele, scheme grafice ilustrând
situații cotidiene .

4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situa ții
concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora.
Competențe specifice Activități de învăț are
Manifestarea interesului pentru analiza și
rezolvarea unor probleme practice. Exerciții de calcul rapid.
Exprimarea și discutarea rezultatelor
obținute prin calcul . Explicarea modurilor de rezolvarea a
unor probleme interesante .

107
5. Analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situa ții-problem ă.
Competențe specifice Activități de învățare
Interpretarea unor contexte uzuale și/ sau
matematice utilizând limbajul matematic . Deducerea unor consecin țe care decurg
dintr -un set de ipoteze sau dintr -o
estimare.
Interpretarea matematic ă a unor probleme
practice prin utilizarea noțiunilor de
combinatorică și probabilități. Analizarea unor scheme, modele sau
algoritmi pentru rezolvarea unor probleme
practice.

6. Modelarea matematic ă a unor contexte problematice variate, prin integrarea
cuno ștințelor din diferite domenii.
Competențe specifice Activități de învățare
Dezvoltarea capacității de a utiliza softul
Excel în rezolvarea problemelor de
combinatoric ă și probabilități .. Verificarea rezultatelor cu ajutorul
softului Excel .
Exerciții de calcul folosind funcțiile
Fact(n), Combin(n;k), Binom.Dist,
Hypergeom.Dist etc.
Dezvol tarea capacității de a selecta
informații . Realizare de referate cu privire la
aplicarea probabilitătilor în diferite
domenii.

VALORI ȘI ATITUDINI

 Manifestarea interesului pentru cunoașterea matematicii .
 Atitudinea deschisă față de ceilalți, respectul față de sine și față de ceilalți,
disponibilitatea de a lucra în echipă și de a colabora cu colegii, atitudinea degajată în
rezolvarea problemelor matematice din viața cotidiană.
 Dezvoltarea unei gândiri deschise și creative, dezvoltarea inițiativei, independenței în
gând ire și în acțiune pentru a avea disponibilit ate de a aborda sarcini variate.
 Manifestarea tenacității, perseverenței, capacității de concent rare și a atenției
distributive.
 Dezvo ltarea spiritului de observație.

108
 Dezvoltarea simțului estetic și critic, a cap acității de a aprecia rigoarea, ordinea și
eleganța în arhitectura rezolvării unei problem e sau a construirii unei teorii.
 Formarea obișnuinței de a recurge la concepte și metode matematice în abordarea unor
situații cotidiene sau pentru re zolvarea unor pr obleme practice.
 Formarea motivației pentru studierea matematicii ca domeniu relevant pentru viața
socială și profesională.

CONȚINUTURI
1. Noțiuni de combinatorică : permutări, aranjamente și combinări.
2. Probabilităti simple și probabilități condiționate .
3. Scheme de probabilitate : schema lui Poisson, schema lui Bernoulli, schema
multinomial ă, schema hipergeometrică.
4. Probleme practice de combinatorică și probabilități .
5. Utilizarea softului Excel în rezolv area problemelor de probabilițăți.
6. Aplicarea probabilităților în diferite domenii .

MODALITĂȚI DE EVALUARE

Se va face o evaluare “corectă” dar stimulativă a elevilor, dorindu -se punerea în
valoare a potențialului lor creativ și urmărindu -se interesul și participarea lor efectivă la
realizarea activităților de învățare. Se va evalua capacitatea elevului de sintetizare,
comportamentul lui în învățare, priceperile și capacitățile intelectuale .
Ca modalități de evaluare se vor folosi atât cele clasice cât și cele moderne prin
îmbinarea lor :
– observarea sistematica;
– prezentare de referate la alegerea elevilor;
– realizarea fișelor de aplicaț ii propuse de elevi;
– ritmicitatea participarii active a elevilor la orele de curs ;
– autoevaluarea.

109
BIBLIOGRAFIE

1. Ciucu G., Craiu V., S ăcuiu I., 1967, Culegere de probleme de teoria probabilităților,
Editura Tehnică, București
2. Reischer C., Sâmboan A., 1972, Culegere de probleme de teoria probabilităților și
statistică matematică, Editura Didactică și Pedagogică, București
3. Reischer C., Sâmboan A., Theororescu R., 1966, Teoria probabilităților, Editura Didactică
și Pedagogică, București
4. Manual de matematică clasa a XII -a, 1988, Elemente de teoria probabilităților și statistică
matematică, Editura Didactică și Pedagogică, București
5. Manual de matematică clasa a X -a, 1989, Algebră, Editura Didactică și Pedagogică,
București
6. Manuale alternative pentru clasa a X -a
7. www.didactic.ro

110
ANEXE

PROIECT DE LECȚIE 1

Clasa : a VI-a
Disciplina : Matematică -Algebră
Unitatea de învățare: Rapoarte și proporții
Subiectul : Probabilități
Durata: 50ˊ
Tipul lecției : Lecție de predare de noi cunoștințe
Competențe specifice :
– Reprezentarea unor date sub formă de tabele sau de diagrame statis tice în vederea
înregistrării, prelucrării și prezentării acestora.
Competențe de evaluat :
– Utilizarea formulei probabilității de realizare a unui eveniment.
Obiectivele lecției:
a) cognitive:
– să își însușească termenii: „experiență (experiment)”, „aleator”, „probă”,
„eveniment”, „probabilitate”;
– să calculeze probabilitatea realizării unor evenimente.
b) afective:
– dezvoltarea spiritului de observație și a concentrării în rezolvare;
– concentrarea afectivă și efectivă la lecție;
– să manifeste satisfacție la obținere a rezultatelor corecte și regret pentru eșec.
Metode : explica ția, conversația, experimentul, exercițiul, observația.
Mijloace de învățământ : fișe de lucru, cretă, tablă , manualul .

111
Desfășurarea lecției
Nr.
Crt. Etapele
lecției Activitatea
profesorului Activitatea
elevilor Strategii
didactice Evaluare
1. Moment
organiza –
toric Se notează absenții, se
verifică tema pentru
acasă, se captează
atenția clasei prin
anunțarea temei lecției
și a obiectivelor.

Elevii se
pregătesc cu
cele necesare
bunei
desfășurări a
lecției: caiete,
manual. Conversația Aprecieri
orale
2.
Predarea
noilor
cunoștințe
Solicit elevilor să dea
exemple de folosire a
noțiunii de „șansă” în
viața de zi cu zi
precum și sinonime
ale cuvântului
șansă = posibilitate,
reușită, circumstanță
favorabilă.
Ex: „Nu am nicio
șansă să plec la Paris.”
„Există/nu există șanse
să plouă astăzi.”
Dacă aruncăm un zar
acum știm dinainte
rezultatul?
Aceasta înseamnă că
rezultatul acestei
experiențe este
întâmplător, adică nu
poate fi anticipat cu
certitudine, deci o vom Elevii
iau notițe și
sunt atenți la
explicațiile
profesorului.
Răspund la
întrebările
profesorului.

Conversația
Experimentul

Explicația
Analiza
răspunsu –
rilor

Observa –
rea
sistemati –
că

112
numi experiență
(experiment)
aleatoare (aleator) .
Probă = fiecare
repetare a experienței.
Alte experiențe:
aruncarea unei
monede care are două
rezultate posibile,
extragerea unei bile
dintr -o urnă care
conține bile albe și
negre, aruncarea la
țintă etc.
Evenimentul este
rezultatul pe care
dorim să -l obținem.
Prob abilitatea ca un
anumit eveniment să
se producă este egală
cu raportul dintre
numărul cazurilor
favorabile
evenimentului și
numărul cazurilor
posibile
experimentului.
Exemplu: Într -o urnă
sunt 8 bile albe și 9
bile negre.
A= extragerea unei
bile albe;
N= e xtragerea unei

113
bile negre.
8()17PA
;
9()17PN
.
Eveniment sigur când
1P
.
Ex: probabilitatea ca
extrăgând o bilă
aceasta să nu fie roșie;
Eveniment imposibil
când
0P .
Ex: probabilitatea ca
extrăgând o bilă
aceasta să fie albastră.

3. Fixarea
cunoștințe
lor Propun spre rezolvare
2 fișe de lucru Calculează
probabilitățile
de pe fișe Exercițiul
Frontal
Individual
Aprecieri
orale

4. Tema
pentru
acasă
Ce a rămas nerezolvat
de pe fișe .
Își notează
tema

5. Aprecieri Se fac aprecieri asupra
modului de
desfășurare a lecției.
Aprecieri
verbale
Note

114
Fișa nr. 1

Probabilitatea cu un singur zar
Se aruncă un zar:
1) Aflați probabilitatea ca pe fața de sus a zarului să apară un multiplu de 3.
2) Aflați probabilitatea ca pe fața de sus a zarului să apară un număr mai mare decât 4.
3) Aflați probabilitatea ca pe fața de sus a zarului să apară un număr par.
4) Aflați probabilitatea ca pe fața de sus a zarului să apară un număr im par.
5) Aflați probabilitatea ca pe fața de sus a zarului să apară un număr divizibil cu 3.
6) Aflați probabilitatea ca pe fața de sus a zarului să apară un divizor al lui 12.
7) Aflați probabilitatea ca pe fața de sus a zarului să apară un număr mai mic decât 4.
8) Aflați probabilitatea ca pe fața de sus a zarului să apară cifra 2.
9) Aflați probabilitatea ca pe fața de sus a zarului să apară cifra 6.
10) Aflați probabilitatea ca pe fața de sus a zarului să apară un număr prim.

Probabilitatea c u o pereche de zaruri
Se aruncă două zaruri:
1) Aflați probabilitatea ca pe ambele fețe să apară 5.
2) Aflați probabilitatea ca pe o singură față să apară 5.
3) Aflați probabilitatea ca pe ambele fețe să apară 6.
4) Aflați probabilitatea ca pe ambele feț e să apară 4.
5) Aflați probabilitatea ca pe o singură față să apară 6.
6) Aflați probabilitatea ca suma punctelor să fie 10.
7) Aflați probabilitatea ca pe o față să apară un număr impar.
8) Aflați probabilitatea ca pe ambele fețe să fie numere prime .
9) Aflați probabilitatea ca produsul punctelor să fie 4.
10) Aflați probabilitatea ca pe ambele fețe să fie numere pare.

115
Fișa nr. 2

Probabilitatea cu numere
1) Care este probabilitatea ca alegând la întâmplare un număr de la 1 la 50 acesta să fie prim?
2) Care este probabilitatea ca alegând la întâmplare un număr de la 1 la 25 acesta să fie
multiplu de 5?
3) Care este probabilitatea ca alegând la întâmplare un număr de la 1 la 50 acesta să fie un
divizor al lui 36?
4) Ca re este probabilitatea ca alegând la întâmplare un număr de la 1 la 10 acesta să fie mai
mic decât 9?
5) Care este probabilitatea ca alegând la întâmplare un număr de la 1 la 25 acesta să nu fie
prim?
6) Care este probabilitatea ca alegând la întâmp lare un număr de la 1 la 10 acesta să fie mai
mare sau egal cu 3?

Probabilitatea cu notele obținute de elevii unei clase la un test

Nota 4 5 6 7 8 9 10
Număr
de
elevi 2 4 3 2 5 3 2

a) Determinați probabilitatea ca alegând la întâmplare un elev din clasă aces ta să fi obținut
nota 8 la test.
b) Determinați probabilitatea ca alegând la întâmplare un elev din clasă acesta să fi obținut o
notă mai mare decât 7 la test.
c ) Determinați probabilitatea ca alegând la întâmplare un elev din cl asă acesta să fi obținut o
notă între 5 și 9 la test.
d) Determinați probabilitatea ca alegând la întâmplare un elev din clasă acesta să fi obținut o
notă divizibilă cu 2 la test.
e ) Determinați probabilitatea ca alegând la întâmplare un elev din clasă acesta să nu fi obținut
nota 10 la test.

116

PROIECT DE LECȚIE 2

Clasa : a X -a, Matematică -informatică
Disciplina : Matematică -Algebră
Unitatea de învățare: Probabilități
Subiectul : Introducere în probabilități
Durata: 50ˊ
Tipul lecției : Lecție de predare de noi cunoștințe
Competenț e specifice:
1: Recunoaș terea unor d ate de tip probabilistic în situaț ii concrete
2: Interpretarea primară a datelor probabi listice cu ajutorul graficelor ș i diagramelor .
3: Utilizarea unor algoritmi specifici probabilităț ilor pentru analiza de caz .
4: Transpunerea în limbaj matematic prin mijloace probabilistice a unor probleme
practice .
5: Analiza ș i interpretarea unor situaț ii practice cu ajutorul conceptelor probabilistice .
6: Corelarea datelor probabilistice în scopul predicției comportă rii unui sistem prin
analogie cu modul de comportare î n situaț ii studiate.
Competenț e derivate:
1: Cunoașterea și întelegerea definițiilor utilizate în probabilităț i.
2: Întelegerea noț iunilor: experiment, prob abilitate , eveniment .
3: Calcularea probabilității unui eveniment în diverse situaț ii practice .
4: Ap licarea proprietăților funcției probabilitate î n rezolvarea unor problem e.
Metode : explica ția, conversația, S−V− A, exercițiul, turul galeriei, observația, ciorchinele.
Mijloace de învățământ : videoproiector, fișe de lucru, cretă , markere, cub (zar), tablă ,
magneți, cărți de joc, cronometru .

117
Desfășurarea lecției
Nr.
Crt. Etapele
lecției Activitatea
profesorului Activitatea
elevilor Strategii
didactice Evaluare
1. Moment
Organiza –
toric Se notează absenții, se
verifică tema pentru
acasă, prin sondaj ,
prin confruntarea
rezultatelor, ofer
indicații de rezolvare
pentru problemele
apărute.

Elevii se
pregătesc cu
cele necesare
bunei
desfășurări a
lecției .
Comunică
rezultatele și
problemele
întâmpinate .
Conversația

Explicația Aprecieri
orale
2. Anunțarea
titlului
lecției și a
obiective –
lor și
captarea
atenției În cadrul orei vom
vorbi despre
“ Probabilit ăți”.
Notez titlul lecției pe
tablă .
Scot din cutie Cubul −
Zar și îl prezint . Elevii notează
titlul lecției
“Probabilități” .

Observă
Cubul− Zar .
Conversația
Aprecieri
orale

3. Reactuali –
zarea
cunoștin –
țelor
acumulate
anerior Citiți și studiați
definițiile scrise pe
Fișa 1 sau
videoproiector .
Profesorul adresează
întrebări.
Elevii citesc
materialul și
răspund la
întrebările
profesorului .
Conversația
Explicația

Aprecieri
orale

118
4.
Predarea
noilor
cunoștințe
Se propune spre
completare Fișa 2
S−V−A.
Profesorul desenează
pe tablă tabelul
următor și
completează împreună
cu elevii primele două
coloane de pe Fișa 2 .

Profesorul predă
noțiunile de
probabilitate prezente
în Fișa Conținut . Elevii
completează
primele două
coloane de pe
Fișa 2 .

Elevii notează
în caiete
noțiunile
predate
Conversația
S−V−A

Conversația
Explicația
Observa –
rea
sistemati –
că

5. Fixarea
cunoștințe
lor Propun spre rezolvare
Fișa Aplicație .

Împart Fișa 3 –
Exerciții și le spun
elevilor să se grupeze
cîte 4 -5 elevi în 6
grupe .
Iau 6 cărți de joc
numerotate de la 1 la
6.
Fiecare grupă primește
unul din cele 6
numere . Elevii rezolvă
în caiete
Fișa Aplicație ,
adresând
întrebări
ajutătoare .
Elevii se
grupează în 6
grupe a câte 4 –
5 elevi.
Fiecare grupă
va extrage o
carte, care va
indica numărul
grupei.
Fiecare grupă
primește Exercițiul
Explicația
Conversația
Aprecieri
orale
Observa –
rea
sistemati –
că

119
Împart fiecărei grupe
câte o proble mă pe
care elevii trebuie să o
rezolve în 5 minute.
Dacă apar probleme le
dau indicații.
După expirarea
timpului, invit, pe
rând, fiecare grupă să
prezinte sarcina pe
care a avut -o de
rezolvat, prin afișarea
pe tablă sau pe pereții
clasei.
problema și
încep e să
lucreze.
Rezolvă pe
grupe
problemele
propuse.
Fiecare grupă
prezintă
produsul
realizat.
6. Evaluarea
cunoștin –
țelor Invit pe rând, fiecare
grupă să treacă prin
fața fișelor celorlalte
grupe, ca într -o galerie
de artă și să examineze
produsele afișate,
putând să facă
observații scrise pe
planșele grupelor.
Profesorul apreciază
verbal activitatea
elevilor.

Grupele se
rotesc prin
clasă,
examinează și
notează
planșele.
Grupele revin
la propriile
planșe p entru a
citi
comentariile
colegilor și a
reexamina
propriile
produse.

Turul
galeriei
Conversația Aprecieri
verbale

120
7. Feed -back
și sinteză Profesorul întreabă
elevii ce au învă țat
astăzi.
Schematizează pe
tablă Ciorchinele și
împarte elevilor
Fișa 4 – Ciorchine
Elevii raspund
la întrebare.
După primirea
Fișei 4
completează
Ciorchinele.
Conversația
Ciorchinele Aprecieri
orale

8. Anunțarea
temei Profesorul propune ca
temă exercițiile
rămase de pe Fișa 3,
dându -le indicații de
rezolvare .
Elevii ascultă
indicațiile și își
notează tema
în caiete. Conversația
Explicația Aprecieri
orale

121
Fișa 1
PROBABILITĂȚ I

Teoria probabilităț ilor = științ a care mode lează și studiază fenomenele aleatoare
Experiență aleatoare = activitate ale că rei rezultate nu pot fi anticipate cu certitudine ( E )
Proba = fiecare repetare a unui experiment aleator
Eveniment = orice situație legată de o experien ță despre care se poate spune cu certitudine
dacă s-a realizat sau nu . Se reprezintă din mulțimi for mate din probele care îl realizează.
Este rezultatul unei acțiuni.
Notație: litere mari: A, B, C…
Spunem că evenimentul s-a realizat , dacă rezultatul este î n muțtimea care îl defineș te
Mulț imea cazurilor posibile = mulț imea tuturor rezultatelor posibile
Notație: E (mulțimea totală / domeniul de posibilităț i)
Observație: Evenimentele sunt submulțimi ale domeniului de posibilităț i
Mulț imea cazurilor favorabile = mulț imea rezultatelor care realizează un eveniment
Observație: Evenimentele se identifică cu mulțimile cazurilor favorabile
Eveniment elementar = evenimentul car e poate fi realizat de o singură probă
Evenimente compuse = evenimentele care pot fi realizate de cel puț in două probe
Eveniment sigur = evenimentul care se realizează la fiecare efectu are a experienț ei (E)
Evenimentul imposibil = evenimentul care nu se realizează la nicio efectuare a
experienț ei (∅)
Mulț imea tuturor evenimentelor = submulțimile mulț imii totale = familia tuturor
evenimentelor asociate unui eveniment
Notație : 𝒫 ( E )
Câmp de evenimente: : (E, 𝒫 ( E )) .

Fișa 2
S
ȘTIM V
VREM SĂ ȘTIM A
AM ÎNVĂȚAT

Fișă de conținut

122

PROBABILITĂȚI

Fie 𝐸 = {𝑒1, 𝑒2, … , 𝑒𝑛}={𝑒1}∪…∪ {𝑒𝑛 }
𝐴 ∈ 𝒫(𝐸)
Evenimente echiprobabile / egal posibile = evenimente cu aceeași șansă de realizare =
{𝑒1},…,{𝑒𝑛 }
Probabilitatea evenimentului A
𝑃(𝐴) = 𝑛𝑢𝑚ă𝑟𝑢𝑙 𝑐𝑎𝑧𝑢𝑟𝑖𝑙𝑜𝑟 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑖𝑙𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧ă𝑟𝑖𝑖 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑢𝑙𝑢𝑖 𝐴
𝑛𝑢𝑚ă𝑟𝑢𝑙 𝑐𝑎𝑧𝑢𝑟𝑖𝑙𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑒 ∈ [0,1]
Se numește probabilitate o funcție 𝑃: 𝒫(𝐸) → [0,1] astfel încât :
a) 𝑃(𝐸) = 1 ,
b) 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵), dacă 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅.
Tripletul ( 𝐸, 𝒫(𝐸), 𝑃) – se numește câmp de probabilitate
Proprietăț i:
1) 𝑃(𝐴 ) = 1 − 𝑃(𝐴);
2) 𝑃(∅) = 0 ;
3) 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵), ∀ 𝐴,𝐵∈𝒫(𝐸);
4) 𝑃(𝐴\𝐵) = 𝑃(𝐴) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵);
5) 𝐴 ⊂ 𝐵 ⇒ 𝑃(𝐴) ≤ 𝑃(𝐵).
Dem onstra ție:
1) A∪𝐴 = E ⇒P(A∪𝐴 ) = P(E)
Dar, P( A∪𝐴 ) = P(A)+P(𝐴 ) − P(A∩𝐴 ) și P(E) = 1, iar A∩𝐴 = ∅ , adică P(A∩𝐴 ) )= 0
⇒ P(A)+P(𝐴 ) = 1 ⇒𝑃(𝐴 ) = 1 − 𝑃(𝐴).
Observație: se dă ca temă pentru acasă și se dau indicaț ii de rezolvare
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) + P(C) − P(A ∩ B) − P(B ∩ C) − P(C ∩ A) + P (A ∩ B ∩ C).

Fișa – Aplicaț ie

123

Dintre 100 consumatori de înghețată, 60 preferă înghețata cu ciocolată, 50 înghețata cu
vanilie și 30 înghețata cu ciocolată și vanilie.
a. Aflați numărul celor care nu consumă înghețată cu ciocolată sau vanilie.
b. Aflați probabilitatea ca ei:
i. să prefere înghețata cu ciocolată, dar nu și cu vanilie,
ii. să prefere înghețata cu ciocolată sau cu vanilie,
iii. să nu consume înghețată c u ciocolată și vanilie .

Fișa 3 – EXERCIȚII
1) Fie mulț imea primelor 100 de numere naturale n enule. Aflați probabilitatea ca
alegâ nd, la întâmplare un număr din mulțime, acesta să fie prim.
2) O urnă conț ine 100 de bile numerotate de la 1 la 1 00. Din urnă se extrage o bilă.
Aflați probabilitatea ca bila să fie numerotată cu un pă trat perfect sau cu un cub perfect .
3) Să se calculeze probabilitatea ca, alegând un elem ent al mulțimii {0,1,2,3,4,5},
acesta să verifice inegalitatea n!< 50 .
4) Să se calculeze probabilit atea ca, alegând un număr natural de două cifre, acesta să fie
pătrat perfect.
5) Să se calculeze probabilitatea ca, alegând un element n din mulțimea {1, 2,3, 4,5}
acesta să verifice inegalitatea n2 ≤ 2n.
6) Să se calculeze probabilitatea ca, alegând un element al mulțimii {3,4,5,6} , acesta să
verifice inegalitatea n(n -1) ≥ 20.
7) Să se calculeze probabilitatea ca, alegând un element n al mulțimii {2,3,4,5}, acesta
să verifice inegalitatea n2 + n > n!.
8) Să se determine probabilitatea ca, alegând un element din mulțimea A = {sin300 ,
sin 450 , sin 600}, acesta să fie număr rațional.
9) Să se calculeze probabilitatea ca, alegând un element n al mulțimii {1,2,3,4}, acesta
să verifice inegalitatea 3n > n3 .
10) Să se calculeze probabilitatea ca, alegând un element n al mulțimii {1,2,3,4}, acesta
să verifice inegalitatea 2n < n!.

124
Fișa 4 – Ciorchine

PROBABILITĂȚI

125
PROIECT DE LECȚIE 3

Clasa : a X-a
Disciplina : Matematică – Algebră
Tipul lecției : Recapitulare finală
Tema : Calculul probabilităț ilor
Durata : 50 minute
Competențe specifice :
1. Recunoașterea unor date de tip probabilistic sau statistic în situații concrete.
2. Interpretarea primară a datelor statistice sau probabilistice cu ajutorul calculului financiar,
a graficelor și diagramelor.
3. Utilizarea unor algoritmi specifici calculului financiar, statisticii sau probabilităților
pentru analiza de caz.
4. Transpunerea în limbaj matematic prin mijloace statistice sau probabilistice a unor
probleme practice.
5. Analiza și interpretarea unor situații practic cu ajutorul conceptelor statistice sau probabilistice.
6. Corelarea datelor statistice sau probabilistice în scopul predicției comportării unui si stem
prin analogie cu modul de comportare în situatii studiate.
Competențe derivat e:
1. Utilizarea noțiunilor de șansă , eveniment , eveniment sigur , eveniment imposibil ,
probabilitate .
2. Selectarea din mulț imea datelor d e care dispun informaț ii relevante pentru rezolvarea
unei probleme .
3. Calcularea probabilității realiză rii unui eveniment.
4. Să-și dezvolte interesul pentru studiul matematicii.
Metode și procedee didactice : conversația euristică , expunerea, explicația, observaț ia.
Mijloace de învățământ : fișe de lucru, cretă , manualul .

126
Desfășurarea lecției

Nr.
Crt. Etapele
lecției Activitatea
profesorului Activitatea
elevilor Strategii
didactice Evaluare
1. Moment
Organiza –
toric Se asigură condițiile
optime pentru
desfășurarea lecției: se
notează absenții, se
verifică dacă există
cretă și burete la tablă
și dacă toți elevii au pe
bancă cele necesare .
Se pregătesc
cu cele
necesare
pentru lecție.
Se asigură
ordinea și
disciplina . Conversația Observare
sistemati –
că a
atenției
2.
Captarea
atenției și
verificarea
temei
Verificarea temei
elevilor prin sondaj,
utilizâ nd dialogul
profesor –elev, elev-
elev, prin confruntarea
rezultatelor. Î n cazul
în care nu s -au putut
rezolva exercițiile
acasă, se rezolvă la
tablă.
Elevii citesc
tema cu
atenție,
corectează
unde au greșit
sau
completează . Conversația
Explicația

Aprecieri
verbale

3. Reactuali
zarea
cunoștin –
țelor
anterioare
Profesorul informează
elevii cu privire la
lecție și anume
“Calculul probabilită –
ților” .
Elevii sunt informați
că exercițiile propuse
sunt extrase din Elevii notează
titlul lecției și
formula de
calcul a
probabilității .
Probabilitatea
eveniment ului
A este Explicația
Conversația
Observa –
rea
Sistemati –
că

Analiza
răspunsu –
rilor

127
variantele de
Bacalaureat din anii
anteriori.
Se propune elevilor o
activitate interactivă
frontal în care elevii
vor scrie la tablă și în
caiete formula de
calcul a probabilității
realizării un ui
eveniment. raportul
dintre
numărul
cazurilor
favorabile si
numă rul
cazurilor
posibile ale
experienț ei.
Mulțimea
rezultatelor
experienței
care
realizează un
eveniment se
numește
mulțimea
cazurilor
favorabile.

4. Consoli –
darea
cunoști n-
țelor
Profesorul distribuie
elevilor o fișă de lucru
ce cuprinde exerciții
cu grade diferite de
dificultate.
Profesorul precizează
că se vor lucra
exercițiile mai întâi
individual și apoi la
tablă.
Fișa 1
Elevii rezolvă
exercițiile din
fișa de lucru,
individual ș i
apoi la tabl ă. Conversaț ia
Explicaț ia
Exerciț iul
Observa –
rea
Sistemati –
că

Analiza
răspunsu –
rilor

128
5. Retenția și
transferul
cunoștin –
telor Profesorul propune
elevilor o fișă de
evaluare î n care
fiecare e lev va rezolva
individual cerinț ele.
Profesorul precizează
cî corectarea lucrărilor
va fii reciprocă : elevii
sunt puși în situaț ia de
a-și nota colegii.
Fișa de evaluare.
Elevii rezolvă
fișa. La
semnul
profeso rului
aceștia vor
face schimb
de lucrări cu
colegul de
bancă și vor
desface plicul
în care se află
baremul de
corectare ș i
notare.
Conversaț ia
Explicaț ia Observa –
rea
Sistemati –
că

Analiza
răspunsu –
rilor

6. Tema
pentru
acasă
Exerci țiile rămase
nerezolvate din fiș a de
lucru vor fii rezolvate
acasă .
Elevii își
notează tema. Conversația

129
FIȘA 1
CALCULUL PROBABILITĂȚILOR

I. Indicați valoarea de adevăr a următoarelor propoziț ii:
a) Probabilitatea ca alegând un element al mulț imii {1,2,3,4,5} acesta să verifice
inegalitatea n2 ≤2n este 0,8 .
b) Probabilitatea ca alegâ nd unul din numerele 𝐶42 , 𝐶52, 𝐶62 acesta să fie divizibil cu 3
este 0,(6).
c) Probabilitatea ca alegâ nd un element n al mulț imii A={2,3,4,5} acesta să verifice
inegalitatea n2+n ≥ n! este 0,3.
d) Probabilitate a ca alegand unul din numerele 𝐴50, 𝐴51, 𝐴52, 𝐴53, 𝐴54, 𝐴55, acesta să fie numar
impar este 1/3.

II. Completați spațiile punct ate:
a) Se aruncă un zar. Probabilitatea ca numărul obținut să fie divizibil cu 2 este . ..
b) Se aruncă un zar. Probabilitatea ca numărul obținut să fie multiplu de trei este …
c) Într-o cutie sunt 30 de jetoane numerotate de la 1 la 30. Probabilitatea să extragem un
jeton pe care sa fie scris un numă r par divizibil cu 5 este …
d) O urnă conț ine 4 bile albe, 5 bile roșii ș i 10 bile galbene. Probabilitatea să extragem o
bilă albă este …
III. Alegeț i variant a corectă . O singură afirma ție este adevarată .
a) Probabilitatea ca alegând un element din mulțimea
{7,10,13,16,…,28}A acesta să
fie
divizibil cu 5 este:
a) 3/8 b) 1 /4 c)2/4 d)3/4
b) Probabilitatea ca alegând un număr din mulț imea numerelor natural e de trei cifre, el să
fie cubul unui nu măr prim este:
a) 1 /450 b) 1/900 c) 2/450 d)3/900
c) Probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor de două cifre acesta să fie
pătrat perfect este:
a) 6/15 b)3/90 c) 1 /15 d)4 /90

130

IV.1. Să se calculeze probabilitatea ca alegând unul dintre numerele
2 5 7log 2,log 25,log 1
acesta să fie supraunitar.
2. Să se calculeze probabilitatea ca alegând un element x al mulțim i
 28 7 0 A x x x     N
acesta să fie număr prim.
3. Să se determine probabilitatea ca alegând un numă r k din mulț imea {0, 1, 2….., 6} el să
îndeplinească condiț ia: 𝐶7𝑘 < 𝐶7𝑘+1 .
4. Determinați probabilitatea ca alegând un element al mulțimii {2, 3, 4, 5, 6} acesta să
verifice inegalitatea: 2(n-2)! ≤ (n-1)!.
5. Calculați probabilitatea ca alegâ nd o pereche (a, b) din mulț imea {1, 2, 3}X{1, 2, 3}, să
avem a+b=5.
6. Să se determine probabilitatea ca alegâ nd unul din numerele P 3, 𝐴31, 𝐶43 acesta să fie
divizibil cu 3.
7. Să se calculeze probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea {1, 2, 3, …., 91}acesta
să fie divizibil cu 13.
8. Determinați probabilitatea ca alegând un numă r din primele 40 de numere naturale
nenule, acesta să nu conțină cifra 7.
9. Să se determine probabilitatea ca alegând un număr din mulț imea numerelo r naturale de
3 cifre, acesta să aibă toate cifrele pare.
10. Se dă mulț imea A={1, 2, 3, 4, 5}.Care este probabilitatea ca alegand un numar n din A,
numarul 𝐶5𝑛 să fie numar impar.

131

FIȘĂ DE EVALUARE
NR. 1

1. Completați spațiile punctate astfel încât să obțineți o afirmaț ie adevarat ă:
Se aruncă un zar. Probabilitatea să apară faț a cu trei puncte este …
2. Încercuiți ră spunsul corect. O singură variantă este adevarată :
Într-o urnă sunt 100 de bile numerotate de la 1 la 100. Se extrage o bilă . Probabilitatea
ca numărul obținut să fie pă trat perfect este:
a) 0,1 b) 0,2 c) 0,4 d) 0,5
3. Să se determine probabilitatea ca alegând unul din numerele : 5!, 𝐴62, 𝐶73, acesta să fie
divizibil cu 6.
4. Fie mulț imea A = {1, 2, 3, 4, 5}. Să se calculeze proba bilitatea ca alegâ nd o pereche
(a,b)∈𝐴𝑋𝐴 produsul numerelor să fie impar.
NOTĂ : Se acordă 20 p din oficiu. Timp de lucru : 15 minute.

FIȘĂ DE EVALUARE
NR. 2

1. Completați spaț iile punctate astfel încât să obțineți o afirmație adevarată :
Se aruncă un zar. Probabilitatea să apară o față multiplu de 2 este …
2. Încer cuiți ră spunsul corect. O singură variant ă este adevarat ă:
Într-o urnă sunt 100 de bile numerotate de la 1 la 100. Se extrage o bilă . Probabilitatea
ca numărul obținut să fie divizibil cu 9 este:
a) 0,11 b) 0,2 c) 0,14 d) 0,5
3. Să se determine probabilitatea ca alegând unul din numerele : 4!, 𝐴42, 𝐶62, acesta să fie
divizibil cu 6.
4. Fie mulțimea A = {1, 2, 3, 4, 5}. Să se calculeze probabilitatea ca alegâ nd o pereche
(a,b)∈𝐴𝑋𝐴 produsul numerelor să fie par.
NOTĂ : Se acordă 20 p din oficiu. Timp de lucru : 15 minute.

132

BAREM DE CORECTARE ȘI NOTARE
NR. 1

SUBIECT REZOVLARE PUNCTAJ
1. P(A) = 1/6 20p
2. Numere posibile 100
Patrate perfecte: {12, 22, …, 102}
= 10 numere
P(A) = 10 /100 = 0,1
Raspunsul corect: a
20 p
3. 5! = 120
𝐴62 = 30
𝐴73 = 25
P(A) = 2/ 3 5p
5p
5p
5p
4.
ab impar ↔ a ,b ∊ {1, 3, 5}
32 = 9 cazuri favorabile
5∙5 = 25 cazuri posibile
P(A) = 9 /25 5p
5p
5p
5p

133

BAREM DE CORECTARE ȘI NOTARE
NR. 2

SUBIECT REZOVLARE PUNCTAJ
1. P(A) = 3/6 20p
2. Numere posibile 100
Divizibile cu 9: {9, 18, 27, …, 99}
= 11 numere
P(A) = 11 /100 = 0,1 1
Raspunsul corect: a
20 p
3. 4! = 24
𝐴42 = 12
𝐴62 = 15
P(A) = 2/ 3 5p
5p
5p
5p
4.
ab par ↔ a, b ∊ {2, 4 }
42 = 16 cazuri favorabile
5∙5 = 25 cazuri posibile
P(A) = 16 /25 5p
5p
5p
5p

134
BIBLIOGRAFIE

1. Brânzei D., Brânzei R., 2005, Metodica predării matematicii , Editura Paralela 45
2. Cerghit I., 2006, Metode de învățământ , Editura Polirom, Iași
3. Cerghit I. , 2008, Sisteme de instruire alternative și complementare. Structuri, stiluri și
strategii , Editura Polirom, I ași
4. Ciucu G., 1963, Elemente de teoria probabilităților și statistică matematică , Editura
Didactică și Pedagogică, București
5. Ciucu G., Craiu V.,1971, Intro ducere în teoria probabilităților și statistică matematică ,
Editura D idactică și Pedagogică, Bucu rești
6. Ciucu G., Craiu V., S ăcuiu I., 1967, Culegere de probleme de teoria probabilităților,
Editura Tehnică, București
7. Ciucu G., Sâmboan G., 1962, Teoria probabilităților și statistică matematică , Editura
Tehnică, București
8. Cîrjan F., 2007, Didactica matematicii , Editura Corint, București
9. Cucoș C. , 2001, Pedagogie , Editura Polirom, Iași
10. Cucoș , C., 2008, Teoria și metodologia evaluării , Editura Polirom , Iași
11. Dăncilă I., 1996, Matematica gimnaziului între profesor și elev , Editura Corint, București
12. Iosifescu M., Mihoc Gh., Theodorescu R., 1966, Teoria probabilităților și statistică
matematică , Editura Tehnică, București
13. Mihoc Gh., Micu N., 1970, Introducere în teoria probabilităților, Editura Tehnică ,
București
14. Mihoc Gh., Micu N., 1980, Teoria probabilităților și statistică matematică , Editura
Didactică și Pedagogică, București
15. Mihoc I., Fătu C.I., 2003, Calculul probabilităților și statistică matematică , Editur a
Transilvania Press, Cluj – Napoca
16. Onicescu O., 1963, Teoria probabilităților și aplicații, Editura Didactică și Pedagogică,
București
17. Oprea C.L., 2006, Strategii didactice interactive , Editura Didactică și Pedagogică,
Bucureș ti
18. Reischer C., Sâmboan A., 1972, Culegere de probleme de teoria probabilităților și
statistică matematică, Editura Didactică și Pedagogică, București

135
19. Reischer C., Sâmboan G., Teodorescu T., 1967, Teoria probabilităților , Editura Didactică
și Pedagogică, Bucureș ti
20. Singer M., Voica C., 2005, Recuperarea rămânerii în urmă la matematică , Editura
Educația 2000+, București
21. Trandafir R., 1979, Introducere în teoria probabilităților , Editura A lbatros
*** Gazeta Matematică, Seria B
*** Manual de matematică clasa a XII -a, 1988, Elemente de teoria probabilităților și
statistică matematică, Editura Didactică și Pedagogică, București
*** Manual de matematică clasa a X -a, 1989, Algebră, Editura Didactică și Pedagogică,
București
*** Manuale alternative de matematică pentru gimnaziu și liceu
*** Programa de matematică pentru gimnaziu și liceu
*** www.didactic.ro
*** www.edumanager.ro/co mmunity/documente/probabilitatisi statis tica
*** www.edu.ro
*** www.wikipedia.org