Rezolvarea ecuat iilor ^n mult imea numerelor ^ntregi Conduc ator  stiint i c: Prof. Dr. Radu Precup Autor: V alean Ionela-Florina… [615424]

Universitatea Babes -Boloyai
Facultatea de Matematic a-Informatic a
Proiect Didactic
Rezolvarea ecuat iilor ^n mult imea
numerelor ^ntregi
Conduc ator  stiint ic:
Prof. Dr. Radu Precup
Autor:
V alean Ionela-Florina
"Matematica este limba cu care
Dumnezeu a scris universul "
Galileo Galilei
Cluj-Napoca 2018

Cuprins
1 Introducere 1
1.1 Scopul lucr arii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Competent e generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Competent e specice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.4 Obiective operat ionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.5 Metode  si procedee utilizate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Preliminarii 3
2.1 Mult mea numerelor ^ ntregi Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.1 Adunarea numerelor ^ ntregi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.2 ^Inmult irea numerelor ^ ntregi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Divizibilitatea in Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.1 Cel mai mare divizor comun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.2 Cel mai mic multiplu comun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.3 Algoritmul lui Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.4 Teorema ^ mpart irii cu rest ^ n Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Congruent e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4 Teorema lui Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5 Teorema fundamentala a aritmeticii in Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.6 Ecuat ii diofantice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Metode de rezolvare a ecuatiilor in numere ^ ntregi 17
3.1 Metoda descompunerii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 Metoda inegalit at ilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Metoda aritmetici modulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.4 Metoda parametrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.5 Metoda divizorilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.6 Metoda inductiei matematice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4 Exercit ii propuse : 45
5 Rezolvare ercit ii propuse : 47
6 Modalit at i de evaluare 51
7 Bibloiograe 52
1

1 Introducere
1.1 Scopul lucr arii
Scopul acestei lucr ari este aprofundarea cuno stint elor referitoare la rezolvarea ecuat iilor
dob^ andite ^ n ciclu gimnazial  si liceal  si ^ nsu sirea de noi cuno stint e cu grad ridicat de apli-
cabilitate  si a tehnicii de lucru special a, necesar a rezolv arii problemelor . ^Int elegerea
cuprinsului prezentat ^ n cadrul acestei lucr ari presupune ca cititorul s a e familiar cu
not iunile de num ar natural,divizibilitate, ecuai e,etc. Lucrarea se adreseaz a astfel se adre-
seaz a atat elevilor ,student ilor din primii ani ai ^ nv at am antului superior  si de asemenea
este ultil ade asemenea pentru orice persoan a interesat a de aceast a lucrare.
1.2 Competent e generale
Aprofundarea not iunilor matematice introduse ^ n ciclul superior al liceului, la clas a.
Dezvoltarea capacit at ii de utilizare a terminologiei matematice precum  si a simbolu-
rilor matematice, adecvate ^ n exprimarea clar a  si riguroas a, oral sau ^ n scris, ^ n formularea
enunt urilor  si a demonstrat iilor problemelor, prin organizarea logic a a ideilor.
Analiza unei situat ii problematice  si determinarea ipotezelor necesare pentru obt inerea
concluziei.
Utilizarea corect a a algoritmilor matematici ^ n rezolvarea de probleme cu diferite
grade de dicultate.
Dezvoltarea capacit at ilor de explorare  si investigare.
1.3 Competent e specice
Identicarea not iunii de model
Exprimarea axiomelor  si a propriet at ilor denitorii ale modelelor ^ n limbaj riguros
matematic.
Identicarea tipului unui model ^ n cadrul unei probleme.
Transpunerea ^ n limbaj specic matematic a datelor din enunt urile problemelor.
Rezolvarea de probleme  si exercit ii de ecuat ii precum  si interpretarea rezultatelor
obt inute.
Dezvoltarea g^ andirii abstracte a elevilor prin familiarizarea cu axiomele specice ,
prin formularea  si rezolvarea de probleme abstracte.
Dezvoltarea capacit at ii elevilor de a ^ nt elege  si de a pune ^ n evident  a conexiunile
existente sau posibile ^ ntre diferitele tipuri de modele.
1

1.4 Obiective operat ionale
La sf^ ar situl cursului, elevul va  capabil:
S a deneasc a urm atoarele not iuni matematice: ecuat ie, etc
S a determine solut iile ecuat iilor
S a recunoasc a metodele de rezolvare.
S a opereze cu aceste metode ^ n contextul rezolv arii unor exercit ii  si probleme.
S a prezinte^ ntr -un mod clar  si concis, folosind limbajul matematic, etapele rezolv arii
 si solut iile problemelor, at^ at ^ n oral c^ at  si ^ n scris.
S a propun a solut ii sau metode alternative de rezolvare a problemelor.
1.5 Metode  si procedee utilizate
Metodele moderne din^ nv at  am^ antul matematic sunt determinate de progresele^ nregistrate
^ n  stiint  a, unele dintre acestea apropiindu-se de metodele de cercetare  stiint ic a pun^ andu-
l pe elev ^ n situat ia de a dob^ andi prin eforturi personale experient e benece de ^ nv at are,
altele dezvolt^ andu-i anumite abilit at i(de exemplu instruirea asistat a de calculator).
Metodele de predare-^ nv at are ale matematicii trebuie s a aib a la baz a caracterul lor
activ, adic a m asura ^ n care sunt capabile s a ^ l angajeze pe elev ^ n activitatea de ^ nv at are,
s a ^ i stimuleze motivat ia, dar  si capacit at ile cognitive  si creatoare. Un criteriu de apreciere
a ecient ei metodelor ^ l reprezintua impactul pe care ^ l au asupra dezvolt arii personalit at ii
elevilor. ^In aceast a lucrare am folosit urm atoarele metode:
Expunerea
Exemplul
Demonstrat ia
Explicat ia
Conversat ia
Exercit iul
^In prima parte a lucr arii am folosit ca metode expunerea, pentru a reaminti not iunile
necesare construirii not iunii elementare  si de a deni not iunile noi introduse precum  si
exemplul pentru xarea cuno stint elor. Propriet at ile,respectiv teoremele care ne ajuta s a
rezolv am aceste ecuat  sunt descrise folosind metoda demonstrat iei ^ mbinat a cu expunerea
 si explicat ia,^ n timp ce pentru aplicabilitatea noilor concepte introduse de-a lungul lucr arii
am ^ ncercat sa folosesc folsesc ca metod a exercit iul, ^ ntr-o gam a variat a  si reprezentativ a
celor expuse.
2

2 Preliminarii
2.1 Mult mea numerelor ^ ntregi Z
FieNmult imea numerelor naturale .Pe mult imea numerelor NNdenim relat ia "
"prin(m;n)(p;q)dac a
m+q=n+p
Demonstr am ca " "esre o relat ie de echivalent a pe mult imea Nn
Clasa de echivalent a corespunz atoare perechii (m,n)se noteaz a :
(m;n) = (p;q)2NNNj(m;n)(p;q)
 si se nume ste numar ^ ntreg
2.1.1 Adunarea numerelor ^ ntregi
Pe mult imea numerelor ^ ntregi se dene ste operat ia binar a
+ :ZZ!Z
astfel pentru dou a numere ^ ntregi (m;m ) si(p;q)suma lor este dat a de :
(m;n) +(p;q) :=(m+p;n+q)
Propriet at i ale numerelor ^ ntregi :
asociativitatea:
x+ (y+z) = (x+y) +z;8x;y;z2Z
comutativitatea:
x+y=y+x;8x;y2Z
element neutru:
elementul (0;0) = (n;n)jn2N
are proprietatea
(0;0) + (m;n) =(m;n);8(m;n)2Z
element simetrizabil:
8(m;n)2Z;9(n;m)2Zastfel ^ nc^ at (m;n) +(n;m) =(0;0)
3

are proprietatea
(0;0) + (m;n) =(m;n);8(m;n)2Z
Vom folosi notat ia
(m;n) := (n;m(n;m)
Aceste proprietat i ale adun arii numerelor intregi exprim a faptul c a ( Z;+)este un grup
abelian
2.1.2 ^Inmult irea numerelor ^ ntregi
Pe mult imea numerelor ^ ntregi se dene ste operat ia binar a

:ZZ!Z
astfel pentru dou a numere ^ ntregi (m;m ) si(p;q)produsul lor este dat a de :
(m;n)
(p;q) :=(mp+nq;mq +np)
Propriet at i ale numerelor ^ ntregi :
asociativitatea
x
(y
z) = (x
y)
z8x;y;z2Z
comutativitatea:
x
y=y
x;8x;y2Z
element neutru:
elementul (1;0) = (n+ 1;n)jn2N
are proprietatea
(1;0)(m;n) =(m;n);8(m;n)2Z
distributivitatea la dreapta si la st^ anga fat  ade adunare
x
(y+z) =x
y+x
zsi(x+y)
z=x
z+y
z8x;y;z2Z
f ar adivizori ai lui zero:
(m;n)

(p;q) =(0;0)!(m;n) =(0;0)
Aceste propriet at i exprim a faptul c a( Z;+;
)este un domeniu de integritate
4

2.2 Divizibilitatea in Z
Notat iebja
Denit ia 2.1. Dac aa;b2Z;b6= 0;vom spune c a b divide a dac a
9c2Zastfel ^ nc^ at a=bc:
Evident , dac a
a2Zatunci 1ja;1ja siaj0:
Numerele prime ^ n Zse denesc ca ind acele numere ^ ntregi p cu proprietatea c a
p6=1;0;1;iar singurii divizori ai lui p sunt 1;p:
Evident, numerele prime din 2Zsunt numerele de forma p, cup>2num ar prim2N:
Se veric a imediat c a dac a a;b;c2Z, atunci :
1)aja(a6= 0)
2) Dacajb sibja, atuncia=b( deci2Zrelat ia de divizibilitate nu mai este antisime-
tric a).
3) Dacajb sibjc, atunciajc:
2.2.1 Cel mai mare divizor comun
Notat ie: d=c.m.m.d.c sau d=(a,b)
Denit ia 2.2. Fiea;b2Z;a6= 0saub6= 0.Spunem c a num arul natural d este ce mai
mare divizor comun al numerelor a  si b dac a:
dja;djb;dacad02Zeste divizor comun al numerelor a  si b ,atunci d'|d
Dac a a=b=0,denim(a,b)=0.
Observat ia 2.3. Oricare ar  a;b2Z;(a;b) = (jaj;jbj) Fiea;b2Z si d=(a,b)
Fie2Zastfel ^ ncat urm atoarele propriet at i sunt vericate:
este divizor comun al numerelor a  si b;
dac a d'2Zeste divizor comun al numerelor a  si b,atunci d0
Atuncid=
Teorema 2.4. Oricare ar  a;b2Z,cel mai mare divizor comun al lor exist a  si este unic.
Teorema 2.5. Fie a,b2Z si d=(a,b).Atunci exist a u,v astfel ^ ncat
d=au+bv
Denit ia 2.6. Numerele ^ ntregi a  si b se numesc numere prime ^ ntre ele dac a (a,b)=1.
5

Fie a,b,c2Z
(a,b)=1 dac a  si numai dac a exist a u ,v 2Zastfel ^ nc^ at : au+bv=1.
Dac a (a,b)=d atunci(a
d;b
d)=1
(Lema lui Euclid )Dac a a|bc  si (a,b)=1 atunci a|c.
Dac a a|c , b|c  si (a,b)=1 atunci ab|c.
2.2.2 Cel mai mic multiplu comun
Notat ie:m = c.m.m.m.c(a, b) sau m = [a, b]
Denit ia 2.7. Spunem c anu arul natural m este cel mai mic multiplu comun al numerelor
a;b2Zdac a:
ajm;bjm;
dacam02Zare proprietatea c a ajm0 sibjm0atuncimjm0
Teorema 2.8. (Teorema de existent a  si unicitate a celui mai mic multiplu
comun)
Pentru orice dou a numere ^ ntregi a  si b exist a  si este unic cel mai mic multiplu comun al
lor.
Teorema 2.9. Pentru orice a;b2Z;(a;b)
[a;b] =jabj.
Propriet at i
[a, a] = a (idempotent a), [a, b] = [b, a] (simetria) 8a;b2N;
. [a, b] = m)[ac, bc] = mc,8a;b;c2N;
[a, [b, c]] = [[a, b], c], (asociativitatea); aceasta permite s a denim c.m.m.m.c. pentru
mai mult de dou a numere, astfel putem deni [a, b, c] := [a, [b, c]] 8a;b;c2N
(a, [a, b]) = a  si [a,(a, b)] = a, 8a;b2N(absorbt ie);
(a, [b, c]) = [(a, b),(a, c)]  si [a,(b, c)] = ([a, b], [a, c]) , 8a;b;c2N(distributivitate)
2.2.3 Algoritmul lui Euclid
Algoritmul lui Euclid determin a cel mai mare divizor comun al numerelor naturale a
 si b.
Dac a a = 0 sau b = 0 atunci d = b, rspectiv d = a.Presupunem a 6= 0  si b 6= 0.Conform
Teoremei mpartirii cu rest, exist a q0;r02Zastfel ^nc|at
a=bq0+r0; 0r0<b:
6

Dac ar0= 0 atunci a=bq0 si d = (a, b)= b. Dac a r06= 0 aplic am din nou Teorema
^ mp art irii cu rest pentru b  si r0. Continu am procedeul p^ an a obt inem un rest nul:
b=r0q1+r1; 0<r 1<r 0
:::
rn2=rn1qn+rn; 0<rn<rn1
rn1=rnqn+1
Mult imeab;r 0;:::;rn;:::\Neste m arginit a, deci este nit a. Deoarece  sirul de numere
naturaleb > r 0> ::: > r neste strict descresc ator, ajungem la restul egal cu 0 dup a un
num ar nit de ^mp art iri, deci algoritmul prezentat are un num ar nit de pa si.
Lema urm atoare implic a faptul c a rn= (a;b)
Lema 2.10. Fiea;b;q;r2Z;b6= 0, astfel ^ nc^ at a=b
q+r:Atunci (a;b) = (b;r)Atunci
(a,b)=(b,r).
Demonstract ie
Fied= (a;b);d0= (b;r). Deoarece dja sidjb, rezult adjr, decid!d0. La fel , deoarece
d0jr  sid0jb, rezult ad0ja, decid0jd. Rezult a deci c a d = d'.
Cu notat iile din Algoritmul lui Euclid, prezentat mai sus, avem:
rk+2<rk
2;8k20;:::n2
2.2.4 Teorema ^ mpart irii cu rest ^ n Z
Dac a
a;b2Zb>0;atunci9c;r2Zastfel ^ nc^ at a=cb+r;cu 0r<b:
Demonstrat ie
FieP=faxb=x2Zg; evident ^ n P avem  si numere naturale.
Fie r=a-cb cel mai mic num ar natural din P ( cuc2Z) . Avem 0r < b c aci dac a
r=acbbam 0a(c+ 1)b<r; ceea ce contrazice minimalitatea lui r.
Observat ia 2.11. Putem formula teorema ^ mp art irii cu rest din ZS i sub forma
Dac a
a;b2Z;b6= 0;atunci9c;r2Zastfel ^ nc^ at a=cb+r;iar 0r<jbj:
Observat ia 2.12. Numerele c  si r cu proprietatea de mai sus poart a numele de c^ atul,
respectiv restul ^ mp art irii lui a la b,  si sunt unice cu proprietatea respectiv a, c aci dac a
7

am mai avea
c0 sir02Zastfel ^ nc^ ata=c0b+r0;cu0r<jbj;
atunci
cb+r=c0b+r0(cc0)b=r0r;
adic
bjr0r:
Cum 0r;r0<jbj, dac a am presupune , de exemplu , c a r0>r, atunci
r0r<jbj;
iar condit ia
bjr0r
implic a
r0r= 0,r0=r
 si cum (c-c')b=r'-r=0, deducem imediat c c=c'.
2.3 Congruent e
Notat ie :ab(modn)
Denit ia 2.13. Fie n un num ar natural  si a;b2Z. Spunem c a a este congruent cu b
modulo n dac a njab.
Observat ia 2.14. Pentru n = 0 relat ia de congruent  a modulo 0 este relat ia de egalitate:
ab(mod 0),a=b
.Pentru n = 1 relat a de congruent  a modulo 1 este relat ia universal a:
ab(mod 1);8a;b2Z
. In continuare vom presupune n2 .
Propriet at i ale relat iei de congruent  a modulo n
Congruent a modulo n este o relat ie de echivalent  a pe Z(este re
exiv a, simetric a  si
tranzitiv a)
Congruent a modulo n este compatibil a cu operat iile de adunare  si ^ nmult ire pe Zdac a:
xysix 0y0(modn)
8

atunci
x+x0y+y0(modn);x
x0y
y0(modn)
ab(modn),a
cb
c(modn);8a;b;c2Z
ab(modn))ambm(modn);8m2N.
ab(modn)  simjn)ab(modm).
a
c=b
c(modn);(c;n) = 1)ab(modn)
a
cb
c(modn);(c;n) =d)ab(modn=d).
ab(modmi)), i = 1 ,2. . . , k )ab(modm);m= [m1;m 2;:::;mk]
Criteriu de congruent  a mod n
Dou a numere ^ ntregi a  si b sunt congruente mod n dac a  si numai dac a au acela si rest la
^ mp art irea cu n.
Clasa de echivalent  a a modulo n a num arului ^ ntreg a se noteaz a
ba=fb2Z;abg=a+nZ:
Denit ia 2.15. Fie p prim m par , a un num ar ^ ntreg prim cu p  si congruent a x2a
(modp)):Dac a aceast a congruent a nu are solut ii , atunci a se nume ste rest p atratic
modulo p , iar ^ n caz contratr rest p atratic .
Notat ie :
a
p
=8
<
:1;dac a a este rest p atratic
1dac a a nu este rest p atratic
Num arul
a
p
se nume ste simbolul lui Legendre.
1
p
= 1
1
p
= (1)p1
2
2
p
= (1)p21
8
2
p
=1
p2
p
9

Lema 2.16. Dac a n > 1 este ^ ntreg  si a prim cu n , atunci exist a numerele ^ ntregi  si
y cu 0< x;y <pnastfel ^ nc^ at nj(axy)pentru orice alegere convenabil a a semnului
" + " sau " – ".
Demonstrat ie :
Fie e cel mai mic ^ ntreg mai mare dec^ atpn;e= [pn] + 1
Consider am toate cele e2numere de forma ax + y , unde x;y2f0;1;:::;e1g:Deoarece
e2>n, conform principiului lui Dirichlet , exist a dou a numere ax1+y16=ax2+y2care
s a dea acela si rest la ^ mp art irea prin n , adic a a(x1x2)(y2y1) (modn):
Not amx=x1x2 siy=y2y1
Deciaxy(modn):
2.4 Teorema lui Fermat
Teorema 2.17. (Mica teorem a a lui Fermat):
Dac a p este prim ^ ntreg prim cu p ,atunci
ap1 (modp)
Lema 2.18. Dac a p este prim a , b ^ ntreg , atunci
pjanbndac a  si numai dac a pjadbd;
unde d=(p-1 , n).
Demonstrat ie : Implicat iapjadbd)pjanbneste evident a ( indc a djn).
Fiepjanbn:
Dac apja sipjb, implicat ia evident a .Altfel , ap11 (modp)  sibp11 (modp) ,
conform teoremei lui Fermat .Din d = (p-1 , n) rezult a c a exist a ;^ ntregi astfel ^ nc^ at
d=(p1) +nceea ce implic a
ad=a(p1)+nbnb(p1)+nbd(modp)
deci
pjadbd
2.5 Teorema fundamentala a aritmeticii in Z
Fiea2Z sip2N;p2;un num a r prim. ^In mod evident
9k2Zastfel ^ nc^ apkja sipk+1-a
10

(altfel zis k este cel mai mare numr natural cu proprietatea pkja):
Convenim s notm k=op(a)  si s a-l numim ordinul sau exponentul lui p ^ n a .
Dac a=0 vom lua op(0) =1 , iarop(a) = 0,p-a:
Propozit ie: Orice num ar natural nenul se scrie ca un produs de numere naturale prime.
Demonstrat ie :
Fie A=mult imea numerelor naturale nenule ce nu se scriu ca produs de numere naturale
prime. Dac a prin absurd propozit ia nu ar  adev arat a , atunci A6=?. Deci mulimea A
va conine un element minimal x . ^In particular, x > 1 i cum x nu este prim putem scrie
x=mn cu1 < m;n < x . Cum m ,n < x , iar x = inf(A), deducem c a m;n =2A, deci m
 si n se scriu ca produse de numere prime. Atunci  si x=mn se scrie ca produs de numere
prime – absurd .
DeciA=? si cu aceasta propozit ia este demonstrat a.
Corolarul 2.19. Pentru orice n2Zexist a numerele ^ ntregi prime p1;:::;pmastfel ^ nc^ at
n=pk1
1:::pkmmcuk1;:::;km2N:
Putem folosi  si notat ia :
n= (1)"(n)Y
p prim
p2pe(p);
unde"(n)2f0;1g(dup a cum n este pozitiv sau negativ) iar exponent ii e(p) sunt numere
naturale nenule numai pentru un num ar nit de p-uri.
Lema 2.20. Dac a
a;b;c2Zastfel ^ nc^ at (a;b) = 1  siajbc;
atunci
ajc:
Demonstrat ie:
^Intr-adev ar, cum (a, b)=1 exist a r;s2Zastfel ^ nc^ at ra+sb=1 , de unde c=rac+sbc.
Cumajbcdeducem c a ajrac+sbc=c, adic aajc
Observat ia 2.21. Dac a (a;b)6= 1 , atunci lema de mai nainte nu mai este adev arat a tot
timpul c aci , de exemplu ,
6j3
8 = 24;dar6-3  si6-8:
Corolarul 2.22. Dac a
p;a;b2Za.^ . p este prim  si pjab;
atunci
pjasaupjb:
11

Observat ia 2.23. Putem utiliza corolarul de mai ^ nainte  si sub forma :
Dac a
p;a;b2Za.^ . p este prim iar p-a;p-b;
atunci
p-ab:
Corolarul 2.24. Presupunem c a p;a;b2Ziar p este prim.
Atunci
op(ab) =op(a) +op(b):
Demonstrat ie :
Dac a=op(a);=op(b) , atuncia=pc sib=pd;cup-c sip-d:Atunciab=p+cd
 si cump-cd, deducem c a op(ab) =+=op(a) +op(b):
Teorema 2.25. (Teorema fundamental a aritmeticii)
Pentru orice num ar ^ ntreg nenul n, exist a o descompunere a lui ^ n factori primi
n= (1)"(n)Y
pprim
p2pe(n)
ecu exponent ii e(p) ^ n mod unic determinat i de n (de fapt e(p) =op(n)).
Demonstrat ie :
Scrierea lui n sub forma din enunt  rezult din Corolarul 2.19 . S a prob am acum unicitatea
acestei scrieri.
Aplic^ nd pentru un prim q , oqn ambii membrii ai egalit at ii
n= (1)"(n)Y
pprim
p2pe(n)
obt inem :
op(n) ="(n)0p(1) +X
pe(p)op(p):
^Ins a
op(p) =(
0;pentrup6=q;
1;pentru p = q
de unde deducem c a e(q) =oq(n)  si astfel teorema este demonstrat a.
Corolarul 2.26. Pentru orice n2Nexist a  si sunt unice numerele prime distincte
p1;p2;;pm si numerele naturale k1;k2;;kma..
n=pk1
1:::pkm
m
12

(spunem c aceast scriere a lui n este descompunerea lui n n factori primi)
.
Corolarul 2.27. Fiea;b;c;n2Na.. (a,b)=1  si ab=cn
Atunci
9x;y2Na.^ .a=xn sib=yn:
Demonstrat ie :
Fiea=pk1
1:::pkssb=ql1
1:::qlt
tdescompunerea numerelor a  si b ^ n factori primi (deci ki1
ilj1pentru i=1, 2,,s  si j=1,2,,t). Din (a,b)=1 deducem c a p1;;psTq1;;qt=?.
Obt inem deci c a
cn=pk1
1:::pks
sql1
1:::qlt
t;
egalitate ce d a descompunerea lui cn^ n factori primi.
^Ins a , conform Teoremei 2.25, descompunerea unui num ar natural ^ n produs de puteri de
numere prime distincte este unic a (abstract ie f ac^ and de ordinea factorilor).
Astfel, dac a
c=pn1
1:::pns
sqm1
1:::qmt
t;
atunci
cn=pnn1
1:::pnns
sqnm1
1:::qnmt
t;
de unde deducem c a nni=ki sinmj=lj,1is1jt:Atunci putem considera
x=pn1
1:::pns
s siy=qm1
1:::qmt
t
2.6 Ecuat ii diofantice
O ecuat ie diofantic a este o ecuat ie polinomial a
F(x1;x2;:::;xn) = 0;
unde F este o funct ie polinomial a cu coecient i^ ntregi  si indeterminatele x1;x2;:::;xn,pentru
care c aut am solut ii ^ n Zn
Ecuat ie solvabil a este o ecuat ie cu una sau mai multe solut ii.Se urm aresc urm atoarele:
1.Este ecuatia solvabila a ?.
2.In caz de solvabilitate este num arul solut iilor nit sau innit?.
3.In caz de solvabilitate, s a se g aseasc a toate solut iile ecuat iei
Ecuat ii diofantice de gradul I cu dou a necunoscute O ecuat ie diofantic a de gradul
13

I cu dou a necunoscute are forma:
ax+by=cundea;b;c2Z
Exemplul 2.28. Ecuat ia
3x+ 6y= 18
are solut iile:
(4;1);(6;6);(10;2):
Ecuat ia
2x+ 10y= 17
nu are solut ii deoarece membrul drept este impar, pe c^ and cel st^ ang este par 8x;y2Z.
Propozit ie
(ii)Ecuat ia diofantic a ax+by=c;(a;b;c2Z) are solut ii dac a  si numai dac a d= (a;b)jc
(ii) Dac a (x0;y0)28Z2este o solut ie particular a a ecuat iei diofantice
ax+by=c
, atunci orice alt a solut ie (x, y) veric a
x=x0+b
dt;t2Z
y=y0a
dt;t2Z:
Demonstrat ie :
(i)")" : Dac a (x0;y0)2Z2este o solut ie a ecuat iei
ax+by=c
atunci
d= (a;b)j(ax0+by0)
, decidjc:
"(" : Deoarece d = (a, b) , exist a u , v 2Zastfel ^ nc^ at d = au + bv . Cum djc, exist a
c12Zastfel ^ nc^ at c=dc1. Atunci
c=dc1=c1(au+bv) =a(c1u) +b(c1v);
deci perechea ( c1u;c 1v) este o solut ie a ecuat iei ax+by=c.
14

(ii) Dac a (x0;y0);(x1;y1)2Z2sunt solut ii ale ecuat iei ax+by=c , atunci
x0a+y0b=x1a+y1b)a(x1x0) =b(y0y1):
Pe de alt a parte , deoarece d= (a;b) , exist ar;s2Zastfel ^ nc^ at
a=rd;b =sd;(r;s) = 1:
Obt inem deci
r(x1x0) =s(y0y1)sj(x1x0))9t2Z;x1x0=st
deci
x1=x0+st=x0 +b
dt
 si
y1=y0rt=y0a
dt:
^ n plus , perechea ( x0+b
dt;y0a
dt) satisface ecuat ia ax+by=c , 8t2Z:
Peopozit ie
Fien2N;n > 1sia;b2Z:O solut ie a congruent ei liniare axb(modn) determin a o
solut ie a ecuat iei diofantice ax + ny = b  si reciproc
Teorema 2.29. (1) Congruent a axb(modn)are solut ie dac a  si numai dac a d=
(a;n)jb:
(2) Dac aaxb(modn)are solut ia x0, atunci exist a exact d = (a, n) solut ii distincte
, modulo n , ale acestei congruent e:
x0;x0+n+ 1;x0+ 2n1;:::;x 0+ (d1)n1;
unden=dn1:
Corolarul 2.30. Dac a (n, a) = 1, atunci congruent a liniar a axb(modn)are solut ie
unic a
Observat ia 2.31. Dac a
(a;n) =djb;a=da1;b=db1;n=dn1;(a1;n1= 1)
atunci oricare dintre cele d solut ii ale congruent ei axb(modn) furnizeaz a, prin redu-
15

cere modulo n1, unica solut ie a congruent ei liniare a1xb1(modn)1. Ne propunem
acum s a rezolv am sistemul de congruent e liniare:
8
>>>><
>>>>:a1xb1(modm)1
a2xb2(modm)2
:::
arxbr(modm)r;(2.1)
unde (mi;mj) = 18i;j2f1;:::;rg;i6=j:
Pentru ca sistemul s a aib a solut ii, este necesar ca ecare ecuat ie s a aib a solut ii deci ,
8i;j2
lbrace 1;:::;rg;di= (ai;mi)jbi:
Dac a
a0
i;b0
i;nisunt astfel ^ nc^ at ai=dia0
i;bi=dib0
i;mi=dini
atunci
(a0
i;ni) = 1
 si ecuat ia respectiv a se reduce succesiv
a0
ixb0
i(modn)i(x(a0
i1;b0
i) =ci(modn)i:
Am redus deci sistemul init ial la sistemul:
8
>>>><
>>>>:xc1(modn)1
xc2(modn)2
:::
xcr(modn)r
unde
(ni;nj) = 18i;j2f1;:::;rg;i6=j:
Teorema 2.32. (Lema chinez a a resturilor) Fien1;n2;:::;nr2N;(ni;nj) =
18i;j2f1;:::;rg;i6=j:Atunci sistemul
8
>>>><
>>>>:xc1(modn)1
xc2(modn)2
:::
xcr(modn)r
are solut ie, iar aceasta este unic a modulo N=n1n2:::nr:
16

Demonstrat ie
Pentru ecare i2f1;:::;rgeNi=N=niAtunci
(Ni;ni) = 1
, deci
9ui;vi2Zastfel ^ nc^ atuiNi+vini= 1:
Rezult a c a
uiNi1 (modn)i;uiNi0 (modn)j;j6=i:
Atunci
x=rX
i=1ciuiNi
este solutt ie a sistemului. Dac a x  si y sunt dou a solut ii ale sistemului, atunci
8i2f1;:::;rrbrace;n ij(xy);
deci
Nj(xy)
deoarece numerele nisunt prime ^ ntre ele dou a c^ ate dou a.
Altfel spus , xy(modN)
3 Metode de rezolvare a ecuatiilor in numere ^ ntregi
17

3.1 Metoda descompunerii
Aceast a metod a const a ^ n scrierea ecuat iei
f(x1;x2;:::;xn) = 0 (3.1)
sub forma
f1= (x1;x2;:::;xn)f2(x1;x2;:::;xn):::fk(x1;x2;:::;xn) =a (3.2)
unde
f1;f2;:::;fk2Z[X1;X2;::;;Xn]
 si
a2Z
Folosind aceast a descompunere in factori primi a lui a ,obt inem un numar nit de descom-
puneri in k factori primi a lui a ( a1;a2;:::;ak). Fiecare astfel de descompunere conduce la
un sistem de ecuat ii de forma :
8
>>>><
>>>>:f1(x1;x2;:::;xn) =a1
f2(x1;x2;:::;xn) =a2
:::
fk(x1;x2;:::;xn) =ak(3.3)
Rezolv^ and aceste sisteme de ecuat ii obt inem mult imea solut iilor pentru ecuatia conside-
rata .
Observat ia 3.1. Ecuat ia:
1
x+1
y=1
n(3.4)
unden=p1
1:::pk
kare (1 + 21):::(1 + 2k)solut ii in numere intregi pozitive Ecuat ia 3.4
este echivalent a cu ecuat ia :
(xn)(yn) =n2
unden2=p21
1:::p2k
kare (1 + 21):::(1 + 2k) divizori pozitvi
Exemplul 3.2. Determinat i toate solut iile ^ ntregi pentru ecuat ia
(x2+ 1)(y2+ 1) + 2(xy)(1xy) = 4(1 +xy)
Solut ie:
18

Scriem ecuat ia sub forma
x2y22xy+ 1 +x2+y22xy+ 2(xy)(1xy) = 4
sau
(xy1)2+ (xy)22(xy)(xy1) = 4
Aplic and formulele de calcul prescurtat vom obt inem ecuat ia
[xy1(xy)]2
de unde se obt ine
(x+ 1)(y1) =2
Daca (x+ 1)(y1) = 2 rezult a sistemele :
(
x+ 1 = 2
y1 = 1(
x+ 1 =2
y1 =1(
x+ 1 = 1
y1 = 2(
x+ 1 =1
y1 =2
Rezolv^ and aceste sisteme obt inem solut iile :
(1,2) (-3,0) (0,3) (-2,-1)
Dac a(x+ 1)(y1) =2 ,se obt in sistemele:
(
x+ 1 = 2
y1 =1(
x+ 1 =2
y1 = 1(
x+ 1 = 1
y1 =2(
x+ 1 =1
y1 = 2
Solut iile acestor sisieme sunt:
(1,0) (-3,2) (0,-1) (-2,3)
Putem u sor observa c a toate cele opt perechi determinate satisfac ecuat ia considerat a
19

Exemplul 3.3. Rezolvat i ^ n numere ^ ntregi urm atoarea ecuat ie
x2(y1) +y2(x1) = 1
Solut ie Cu substitut iile x=u+1 ,y =v+1,ecuat ia devine
(u+ 1)2v+ (v+ 1)2u= 1
, care este echivalent a cu :
uv(u+v) + 4uv+ (u+v) = 1
Scriem aceast a ultim a ecuat ie sub forma
uv(u+v+ 4) + (u+v+ 4) = 5
adic a
(u+v+ 4)(uv+ 1) = 5
Unul dintre factori trebuie sa e egal cu 5 sau -5 iar cel alalt cu 1 sau -1.Astfel rezult a
sistemele:
(
u+v= 1
uv= 0(
u+v=9
uv=2(
u+v=3
uv= 4(
u+v=5
uv=6
Observ am c a numai primul si ultimul dintre aceste sisteme au solut ii ^ ntregi Solut iile
sunt
(0,1) (1,0) (-6,1) (1,-6).
Prin urmare (x,y)=(u+1,v+1) trebuie s a e
(1,2) (-5,2) (2,1) (2,-5).
20

Exemplul 3.4. G asit i toate tripletele ( x , y , z )de numere naturale astfel ^ nc^ at
x3+y3+z33xyz=p;
unde p este un num ar prim mai mare dec^ at 3 .
Solut ie
Ecuat ia este echivalent a cu
(x+y+z)(x3+y3+z3xyyzzx) =p
Deoarece x + y + z > 1 , rezult a c a x + y + z = p  si x2+y2+z2xyyzzx= 1
Ultima ecuat ie este echivalent a cu
(xy)2+ (yz)2+ (zx)2= 2
F ar a a restr^ ange generalitatea putem presupune c a xyz
Dac ax>y>z , avemxy1yz1  sixz2 ,ceea ce implic a
(xy)2+ (yz)2+ (zx)26>2
Prin urmare x = y = z + 1 sau x – 1 = y = z . Num arul prim p este de forma 3k+1 sau
3k+2 .
^In primul caz solut iile suntp1
3;p1
3;p+ 2
3
 si permut arile corespunz atoare .
^In cel de-al doilea caz solut iile sunt
p2
3;p+ 1
3;p+ 1
3
 si permut arile corespunz atoare .
21

3.2 Metoda inegalit at ilor
Aceast a metoda const a in determinarea unor intervale in care se alfa necunoscutele
,prin utilizarea unor indegalit at i adecvate . ^In general ,acest proces conduce numai la un
num ar nit de posibilitat i pentru toate necunoscutele sau pentru o parte din acestea
Exemplul 3.5. s a se determine toate perechile (x,y)de numere ^ ntregi astfel ^ ncat :
x3+y3= (x+y)2(3.5)
Solut ie:
^In primul rand observ am c a perechile de forma (-k,k), k2Zsunt solut ii pentru ecuat ia
dat a
Dac ax+y6= 0 ecuat ia devine
x2xy+y2=x+y
care este echivalenta cu:
(xy)2+ (x1)2+ (y1)2= 2
Rezult a ca:
(x1)21(y1)21
Aceste inegalit at i restr^ ang intervalul in care se a
 a necunoscutele x  si y la [0 ;2].Astfel
obt inem solut iile:
(0,1)(1,0)(2,1)(1,2)(2,2)
Exemplul 3.6. Rezolvat i ^ n numere naturale nenule x ,y ,z ecuat ia
1
x+1
y+1
z=3
5
Solut ie : T  in^ and cont de simetria ecuat iei , putem presupune c a 2 xyzAtunci
3
x3
5;decix2f2;3;4;5g:
Dac a x = 2 , obt inem
1
y+1
z=1
10;cuy2f11;12;:::;20g
22

Rezult a astfel c a
z= 10 +100
y10 si (y1)j100
G asim solut iile ( 2 , 11 ,110 ) , ( 2 , 12 , 60 ) , ( 2 ,14 , 35 ) , (2 , 15 , 30 ) , ( 2 , 20 , 20 ) .
Dac a x = 3 , obt inem
1
y+1
z=1
15;cuy2f3;4;5;6;7g
Obt inem solut iile ( 3 , 4 , 60 ) , ( 3 , 5 , 15 ) , ( 3 , 6 , 10 ).
Dac a x = 4 , deducem
1
y+1
z=7
20cuy2f4;5g
 si singura solut ie este ( 4 , 4 , 10 ).
Dac a x = 5 , rezult a
1
y+1
z=2
5 siy=z= 5
ceea ce conduce la solut ia ( 5 , 5 , 5).
Exemplul 3.7. G asit i toate solut iile ^ ntregi ale ecuat iei
x3+ (x+ 1)3+:::+ (x+ 7)3=y3
Solut ie :
Vom ar ata c a solut iile c autate sunt
(2;6);(3;4);(4;4);(5;6)
Fie polinomul
P(x) =x3+ (x+ 1)3+:::+ (x+ 7)3= 8×3+ 84×2+ 420x+ 784
Dac ax0 , atunci putem scrie
(2x+ 7)3= 8×3+ 84×2+ 294x+ 343<P(x)<8×3+ 120×2+ 600x+ 100 = (2x+ 10)3
deci
2x+ 7<y< 2x+ 10;
prin urmare y = 2x + 8 sau y = 2x + 9 .Dar nici una din ecuat iile
P(x)(2x+ 8)3=12×2+ 36x+ 272 = 0
P(x)(2x+ 9)3=24×266x+ 55 = 0
23

nu au r ad acini ^ ntregi , deci nu exizt a solut ii cu x0:
^In continuare ar at am c a polinomul P satisface relat ia
P(x7) =P(x);
deci (x ,y) este solut ie pentru ecuat ia noastr a dac a  si numai dac a (-x-7 , -y) este solut ie .
Rezult a c a nu exist a solut ii(x , y) cu x7:
Deci dac a (x , y) este solut ie , atunci ^ n mod necesar 6x1 .
Pentru3x1 , avem
P(1) = 440 (care nu e cub perfect )
P(2) = 216 = 63
 si
P(3) = 64 = 43;
deci
(2;6)  si (3;4)
sunt singurele solut ii pentru care veric a relat iile 3x1:
Prin urmare (-4 , -4)  si (-5 , -6) sunt singurele solut ii pentru care 6x4
Rezult a c a solut iile ecuat iei sunt
(2;6);(3;4);(4;4)  si (5;6):
Exemplul 3.8. Determinat i toate tripletele ( x , y , z) de numere naturale astfel ^ nc^ at

1 +1
x
1 +1
y
1 +1
z
= 2
Solut ie :
F ar a a restr^ ange generalitatea problemei putem presupune c a xyz:Observ am c a
are loc inegalitatea
2
1 +1
z3
;
care implic a z3:
Dac a z = 1 , atunci
1 +1
x
1 +1
y
= 1;
relat ie care este imposibil a .
24

Cazul z =2 conduce la 
1 +1
x
1 +1
y
=4
3:
Prin urmare
4
3
1 +1
y2
;
deci in mod necesar y < 7 .
Deoarece 1 +1
x>1 se obt ine y > 3  si prin ^ nlocuire ^ n ecuat ie g asim solut iile
(7;6;2);(9;5;2);(15;4;2):
Dac a z = 3 , atunci
1 +1
x
1 +1
y
=3
2
O analiz a similar a conduce la y < 5  si yz= 3.Aceste valori ne dau solut iile
(8;3;3)  si (5;4;3):
^In concluuzie , solut iile ecuat iei sunt date de toate permut arile
(7;6;2);(9;5;2);(15;4;2);(8;3;3)  si (5;4;3):
Exemplul 3.9. Ecuat iile
x6+ax4+bx2+c=y3;
undea2f3;4;5g;b2f4;5;:::;12g;c2f1;2;:::;8g;nu are solut ii ^ n numere ^ ntregi .
Solut ie :
Condit iile date implic a :
x6+ 3×4+ 2×2+ 1<y3<x6+ 6×4+ 12×2+ 8;
adic a
(x2+ 1)3<y3<(x2+ 2)3;
ceea ce arat a c a ecare din ecuat iile considerate nu au solut ii.
Uneori , pentru a determina valorile variabilelor pentru care o expresie este p atrat perfect
( adic a p atratul unui num ar ^ ntreg ) , o ^ ncadr am pe aceasta ^ ntre dou a p atrate apropiate
.
25

3.3 Metoda aritmetici modulare
^In unele situat ii considerat ii simple de aritmetic a modlar a se dovedesc a i extrem
de utile ^ n demonstrat ia faptului ca anumite ecuact ii nu sunt solvabile sau ^ n reducerea
posibilit at ilor de alegere a solut iilor acestora.
Aceasta const a ^ n considerarea resturilor celor doi membrii ai unei ecuat ii prin ^ mp art irea
acesora la acela si num ar m> 0 numit modul .
Aceast a metod a are rolul de a restr^ ange domeniul ^ n care sunt c autate solut iile ecuat iei
 si uneori chiar de a conduce la rezolvarea ei . Aceast a metoda este pusa ^ n evidenta prin
urm atoarele exemple :
Exemplul 3.10. Ar atat i c a ecuat ia
(x+ 1)2+ (x+ 2)2+:::+ (x+ 2001)2=y2
nu este sovabil a
Solut ie :
Fie x=z-1001.Ecuat ia devine
(z1000)2+:::+ (z1)2+z2+ (z+ 1)2+:::+ (z+ 1000)2=y2
sau
2001z2+ 2(12+ 22+:::+ 10002) =y2
Urmeaz a c a
2001z2+ 21000
1001
2001
6=y2
sau
2001z2+ 1000
1001
667 =y2
Prtea st^ anga a ultimei relat i este congruent a cu 2(mod3),deci nu poate  un p atrat perfect
rezult a c a nu este solvabil a.
Exemplul 3.11. Determinat i toate perechile de numere prime (x,y) astfel ^ nc^ at
x3y5= (x+y)2
Solut ie: Singura solut ie este(7,3).
S a presupunem pentru ^ nceput c a nici unul dintre numerele x  si y nu este egal cu 3.In
acest cazx1 sau 2(mod3)  si y1sau 2(mod3)// Dac a am avea xy(mod3),atunci
26

partea st^ anga a ecuat iei este divizibila cu 3,iar partea dreapt a nu are acesat a proprietate
.
Acela si luctu se^ nt^ ampl a dac a x6=y(mod3) Dac a x=3,atunci y3<27,ceea ce este imposibil
Dac a y=3,se obt ine y3243 = (p+ 3)2,ecuat ia cu unica solut ie intreag a x=7.
Exemplul 3.12. Determinat i toate numerele prime p pentru care sisitemul de ecuat ii
(
p+ 1 = 2×2
p2+ 1 = 2y2
are solut ii in numere ^ ntregi Solut ie: Ar ata am ca singurul num ar prim cu aceast a pro-
prietate este p=7
F ar a a restr^ ange generalitatea putem presupune c a x;y0.
Dinp+ 1 = 2x2rezult ap6= 2 .De asemenea , 2 x1y2(mod p), implic a xy(mod
p),deoarece p este impar .Cum x<y<p ,avemx+y=p si deci
p2+ 1 = 2(px)2= 2p24px+p+ 1
,adicap= 4x1,2×2= 4x.Rezult a x=0 sau x=2 ,ceea ce conduce la p=-1 sau p=7 .Se
obt ine p=7 iar solut ia sistemului este ( x;y) = (2;5)
Exemplul 3.13. Demonstrat i c a dac a n este un num a natural nenul cu proprietatea c a
ecuat ia
x33xy3=n
are o solut ie (x,y) ^ n numere intregi ,atunci ea are cel put in trei solut ii ^ n numere ^ ntregi
.Ar atat i c a ecuat ia nu este solvabil a dac a n=2891
Solut ie: Partea st^ anga a ecuat iei poate  scris a sub forma
x33xy2+y3= 2×33x2yx3+ 3x2y3xy2+y3
Aplic^ and formulele de calcul prescurtat ajunge la ecuat ia
x33xy2+y3= (xy)33(yx)(x)2+ (x)3
Aceasta arat a c a dac a (x,y)este o solut ie a ecuat iei ,atunci ceea s proprietate o are  si
perechea (y-x,-x).Aceste dou a solut ii sunt distincte deoarece relat iile y-x=x  si -x=y conduc
la x=y=0.
^In mod analog,
x33xy2+y3=x33x2y+ 3xy2y3+ 2y3+ 3x2y3xy2
27

Aplic^ and formulele de calcul prescurtat ajunge la ecuat ia
x33xy2+y3= (y)33(y)(xy)2+ (xy)3
,deci (-y,x-y)este cea de-a treia soluct ie din enunt .
Vom utiliza transform arile:
(x;y)!(yx;x)
(x;y)!(y;xy)
pentru a rezolva a doua parte a problemei .
S a presupunem c a ecuat ia sete solvabil a  si s a consideram (x,y) o solut ie a acesteia
Deoarece 2891 nu este divizibil cu 3,rezul a c a x3+y3nu este deasemenea divizibl cu 3.Deci
ambele numere x  si y dau acela si rest 6= 0la ^ mp art irea cu 3,sau exact unul dintre numere
este divizibil cu 3
Ambele situat i implic a faptul c a unul dintre numerele -x , y ,x-y este divizibil cu 3.
Folosind transform arile anterioare ,rezult a c a putem presupunem ca y este divizibil cu
3.Decix32891 (mod 9),ceea ce este imposibil deoarece orice cub este congruent cu 0,1,
sau 8 (mod 9).
Exemplul 3.14. Ecuat ia
x2+y2+z22xy2x2z2yz= 2006
nu are solut ii ^ n numere ^ ntregi . Solut ie :
Evident , nu toate necunoscutele pot  impare .Dac a dou a dintre ele sunt pare , atunci  si
a treia este par a  si ecuat ia este imposibil a modulo 4
Dac a una singur a este par a , de exemplu z , tot imposibil a modulo 4.
Exemplul 3.15. Ecuat ia
5×2+ 9y= 7
nu are solut ii ^ n numere ^ ntregi .
Solut ie :
Avem 5×27 (mod 8)  si deci x25 (mod 9):
Resturile minime^ n valoare absolut a ale^ mp art irii unui num ar^ ntreg prin 9 sunt 0 ;1;2;3;4
 si , prin urmare , ale lui x2sunt 0 , 1 ,4 -2 , deci nu 5  si atunci x26= 5 (mod 9) :
Exemplul 3.16. Ecuat ia
5×2+ 9y= 8
are o innitate de solut ii ^ n numere ^ ntregi .
Solut ie :
28

Avem 5×28 (mod 9)  si deci x22 (mod 9) , de unde x=9k+4 , k2Z si rezult a y
^ ntreg .
Exemplul 3.17. Determinat i cel mai mic num ar natural a pentru care
7 + 7a+ 7a2
este bip atrat perfect .
Solut ie :
Trebuie mai ^ nt^ ai ca 1 + a+a2s a se divid a cu 7 .
Resturile minime ^ n valoare absolut a ale ^ mp art irii lui a la 7 sunt 0 ;1;2;3 , iar ale
luia2sunt 0 ,1 , 2 , -3
Din 7j(1 +a+a2) rezult aa= 7k+ 2 saua= 7k3:
Pentru a =7k-3 avem:
a2+a+ 1 = 7(7k25k+ 1)
 si cel mai mic k pentru care  si num arul din parantez a se divide cu 7 este 3 .
a2+a+ 1 = 73:
Deci a=18
Pentru a=7k+2 avem :
a2+a+ 1 = 7(7k2+ 5k+ 1)
 si cel mai mic k pentru care  si num arul din parantez a se divide cu 7 este 4 , deci a=30
Dintre 18  si 30 , cel mai mic este 18 , deci solut ia este a =18.
Exemplul 3.18. S a se rezolve ^ n numere prime ecuat ia
p3q5= (p+q)2:
Solut ie :
Singura solut ie a ecuat iei este p=7 , q=3.
^Intr adev ar , s a presupunem c a cici unul din numerele p  si q nu este 3 . Atunci p1
sau 2 (mod 3) si la fel q
Dac apq(mod 3) , atunci partea st^ ang a a ecuat iei se divide cu 3 , iar partea dreapt a
nu , deci ecuat ia este imposibil a modulo 3 .
Tot imposibil a mod 3 este  si pentru p6q(mod 3):
Pentru p=3 avem q5<27;imposibil .
Pentru q=3 , avem p3243 = (p+ 3)3, cu solut ia p=7.
29

3.4 Metoda parametrica
^In unele situat ii solut iile ^ ntregi ale unei ecuat ii :
f(x1;x2;:::;xn) = 0 (3.6)
se pot reprezenta parametric sub forma :
x1=g1(k1;:::;kl);x2=g2(k1;:::;kl);:::;xn=gn(k1;:::;kl) (3.7)
undeg1;g2;:::;gnsunt funct ii de l-variabile ,cu valori ^ ntregi  si k1;:::;kl2(Z) Pentru unele
ecuat ii diofantiene mult imea solut iilor poate avea mai multe reprezent ari parametrice . ^In
multe cazuri ,nu este posibil s a g asim toate solut iile .Acesata metod a este o cale util a de a
pune ^ n evident  a familii innite de solut ii. Pentru o rezolvare ecient a la unele probleme
ne vom folosi de urrmatorul rezultat.
Lema 3.19. Dac a A,B sunt numere naturale prime ^ ntre ele ,atunci exist a numere natu-
rale a,b astfel ^ ncat
AaBb= 1
Demonstrat ie Consider am numerele naturale
1A;2A;:::; (B1)A
 si resturile acestora la impart irea cu B.Aceste resturi sunt distincte dou a c^ ate dou a
Dac a am avea:
k1A=q1B+r sik2A=q2B+r
pentru dou a numere k1;k221;2;:::;B1, atunci
(k1k2)A= (q1q2)B0(modB )
Deoarece (A,B)=1,rezult a c a jk1k2j0(modB ) T  in^ and seama c a, k1;k221;2;:::;B1urmeaz a
c ajk1k2j<B.
Deci ^ n mod necesar k1k2= 0
Se observ a c a are loc relat ia kA6= 0(modB ) ,8k21;2;:::;B1.
30

Prin urmare cel put in unul din numerele 1 A;2A;:::; (B1)Ad a restul 1 la ^ mpart irea
cu B, adic a exist a a2f1;2;:::;(B1)g sib2(Z+) astfel ^ ncat
Aa=Bb+ 1
Observat ia 3.20. Fie (a0;b0) solut ia minima a ^ n numere naturale a ecuat iei AaBb= 1
adic a splut ia in care a0( sib0) este minim .Atunci taoate solut iile in numere naturale ale
ecuat ieiAaBb= 1 sunt date de
am=a0+Bm;bm=b0+Am;8m2(N)
Exemplul 3.21. Ar atat i c a exist a o innitate de triplete (x,y,z) de numere ^ ntregi astfel
^ ncat
x3+y3+z3=x2+y2+z2
Solut ia Aleg^ and z=-y,ecuatia  devine
x3=x2+ 2y2
Dac ay=mx;m2Z,atuncix= 1 + 2m2 si obt inem urm atoarea familie innit a de solut ii
x= 2m2+ 1,y=m(2m2+ 1),z=m(2m2+ 1) ,m2Z
31

3.5 Metoda divizorilor
Este vorba despre expresii de forma
a2+b2 sia22b2;a;b2Z
despre divizorii lor posibili sI  despre rolul acestora ^ n rezolvarea unor ecuat ii diofantice .
Divizori ai expresiilor a2+b2
Teorema 3.22. Orice factor prim impar al lui a2+ 1 este de forma 4m+1(  si deci nu
poate  de forma 4m+3)
Demonstrat ie :
Prin absurd presupunem p = 4m + 3  si pj(a2+ 1) decia2 1 (modp)  si atunci
an1=a22m+11 (modp) , contrat teoremei lui Fermat
Teorema 3.23. DaC apj(a2+b2)p prim impar  si (a , b) = 1 , atunci p = 4m + 1 .
Demonstrat ie :
Presupunem prin absurd p = 4m + 3  si pj(a2+b2) . Decia2b(modp) ceea ce implic a
a22m+1b22m+1(modp)  si cum (a , b) = 1 ne rezult a c a p-a sip-b si din teorema
lui Fermat avem an11;bn11 (modp) , deci 11 (modp) , fals .
Lema 3.24. Dac a p = 4m + 3  si pj(a2+b2), atuncipja sipjb.
Demonstrat ie :
Dac a (a , p) = 1, atunci (b , p)=1  si din teorema lui Fermat avem an11 (modp)  si
bn11 (modp) , iarpj(a2+b2);adic aa2b2(modp) ,rezult a u sor c a an1bn1
(modp) , adic a 11 (modp) , fals .Deci pja sipjb.
^In rezolvarea unor ecuat ii se folosesc aceste teoreme astfel :
Observat ia 3.25. Dac a unul dintre membrii ecuat iei se poate scrie sub forma x2+a2,
cu (x , a) = 1 ,iar cealalt are un divizor de forma 4m +3 , atunci ecuat ia nu are solut  ii
^ ntregi .
32

Exemplul 3.26. Ecuat ia :
x3+ 7 =y2
nu are solut ii ^ n numere ^ ntregi . Solut ie :
ntr-adev ar, cum evident x este impar , x=2m+1 , si cum ecuat ia se mai scrie :
y2+ 1 =x3+ 23= (x+ 2)[(x1)2+ 3];
ar trebui c a 4 m2+ 3 s a divid a pe y2+ 1.Dar 4m2+ 3 are un divizor prim de forma 4k+3 .
Exemplul 3.27. ^In numere naturale impare , ecuat ia
xn+ 2n1=y2;n> 1
nu are solut ii .
Solut ie :
Se observ a c a ecuat ia se mai poate scrie sub forma :
xn+ 2n=y2+ 2n1:
Membru st^ ang al acestei ecuat ii are un divizor de forma 4m+3 , indc a
dac a x este de aceast a form a, atunci divizorul prim este de aceast a form a ,
dac a x este de forma 4m+1 , atunci x+2 ,care divide xn+ 2n, este de forma 4m+3.
Dar un divizor de forma 4m+3 nu poate divide o sum a de dou a p atrate y2+ 2n1prime
^ ntre ele.
Observat ia 3.28. Orice num ar de forma 4m+3 are cel put in un factor prim de aceea  si
form a.
Resturile minime ^ n valoare absolut a la ^ mp art irea prin 8 ale oric arui ^ ntreg impar , n ,
sunt1  si3. Deci, el are una din formele:
n= 8m3;n= 8m1;n= 8m+ 1;n= 8m+ 3:
Dac a n=4k+1,atunci
n= 8m+ 1 saun= 8m+ 3
33

Dac a n=4k+1 , atunci
n= 8m1 saun= 8m+ 3
Divizori ai expresiilor a2+ 2b2
Teorema 3.29. Mum arul prim impar p se scrie sub forma p=a2+ 2b2;a;b2Zdac a  si
numai dac a p este de forma p =8m+1 sau 8m+3
Demonstrat ie :
^Intradev ar , dac a p=a2+ 2b2,atuncia22b2(modp)
Fie b' a.^ .bb01 (modp), deci (ab0)22 (modp) si deci
2
p
= 1. Deducem c a
2
p
=1
p2
p
= (1)p1
2(1)p21
8;
ceea ce este echivalent cu :
p1
2+p21
8= 2k,p1 (mod 8) saup3 (mod 8) :
Reciproc , dac a p1 (mod 8) saup3 (mod 8) , atunci
2
p
= 1  si deci exist a a
^ ntreg a.^ .a22 (modp)rezult a c a exist a numere ^ ntregi x  si y , cu 0<x<pn,a.^ 
pja2x2y2;
adic a
pj(a2+ 2)x2(2×2+y2)
 si cumpja2+ 2, rezult a c a :
2×2+yy2=pk;0<2×2+y2<3p sik2f1;2g
Pentru k=1 rezult a p= 2×2+y2:
Pentru k=2 rezult a 2p= 2×2+y2, deciy= 2y1 sip= 2×2+y2
1:
Lema 3.30. Dac a num arul prim p este de forma p=8m-1 sau p=8m-3  si pja2+ 2b2,
atuncipja sipjbDemonstrat ie :
Prin absurd ,dac a , p-a,atuncip-b si exist a b' ^ ntreg astfel ^ nc^ at bb01 (modp).
Cuma22b2(modp)rezult a (ab0)22 (modp),  si cum (ab' , p)=1 rezult a
2
p
=
1ceea ce implic a p1sau 3 (modp), contradict ie .
34

^In rezolvarea unor ecuat ii ^ n numere ^ ntregi acestea se folosesc astfel :
Observat ia 3.31. Dac a unul dintre membri ecuat iei se poate scrie sub forma x2+ 2y2
cu (x , y) = 1 ,iar cel aalalt membru are un factor prim de forma 8m-1 sau 8m-3 ,atunci
ecuat ia nu are solut ii ^ ntregi .
Exemplul 3.32. Ecuat ia
x33 = 2y2
nu are solut ii ^ n numere ^ ntregi .
Solut ie :
Scriem ecuat ia sub formele echivalente :
x31 = 2(y2+ 1)
x3+ 1 = 2(y2+ 2)
 si observ am c a membrul drept al lor se divide cel mult cu 4
( si nu cu o putere mai mare a lui 2 )
Dac a x impar are una din formele x= 8m1saux= 8m3.
Pentru x = 8m+1 membrul st^ ang al primei forme se divide cel put in cu 8
Pentru x=8m-1 se ^ nt^ ampl a acela si lucru cu cea dea doua forma
Pentru 8m3 , observ am c a x2x+ 1 nu poate divide pe y2+ 2
Divizori ai expresiei a22b2
Teorema 3.33. Num arul prim p impar se scrie sub forma p=a22b2;a;b ^ ntregi ,dac a
 si numai dac a p este de forma p=8m+1 sau p=8m-1
(deci nu poate  de forma p=3).
Demonstrat ie : ^Intr-adev ar , dac a p=a22b2, atuncia22b2(modp) . Fie b'
a.^ .bb01 (modp) , deci (ab0)22 (modp)  si deci
2
p
) = 1 , unde
2
p
este simbolul
lui Legendre . Dar
2
p
= (1)p21
8= 1 dac a  si numai dac a p1 (mod 8) sau p1
(mod 8)
Reciproc ,dac a p1 (mod 8) sau p1 (mod 8) , atunci
2
p
= 1  si deci exist a a ^ ntreg
astfel ^ nc^ at a22 (modp). Rezult a c a exist a numere ^ ntregi x  si y , cu 0 <x;y <pn:
a.^ pja2x2y2, de undepj(a22)x2+ 2×2y2 si cumpja22;rezult a c apj2x2y2,
deci 0<2×2y2<2p;2×2y2<2p, decip= 2×2y2.
35

Lema 3.34. Dac a num arul prim p este de forma p=8m-3 sau p=8m+3  si atunci
pja sipjb
Demonstrat ie :
Prin absurd , dac a p-a, atuncip-b si exist a b' ^ ntreg a.^ . bb01 (modp) Cuma22b2
(modp) rezult a (ab0)22 (modp)  si cum (ab' , p)=1 rezult a
2
p
= 1 , deci p=8m+1
sau p=8m-1 ,contradict ie
Observat ia 3.35. dac a unul dintre membrii ecuat iei se poate scrie sub forma x22a2
cu (x , a) = 1 , iar cel alalt un factor prim de forma 8m-3 sau 8m+3 , atunci ecua tia nu
are solut ii ^ ntregi .
Exemplul 3.36. Ecuat ia
xn22n1=y2;n> 2
nu are solut ii ^ n numere ^ ntregi . Demonstrat ie : Cazul n par este banal , av^ and de
considerat o diferent  a de p atrate .
Fie n impar . Mai ^ nt^ ai , x impar .
Pentru x = 8m-1 sau x= 8m3 ecuat ia este imposibil a modulo 8 .
Pentru x =8m+1 , o scriem sub forma xn4n=y24n1 si x-4=8m+3 are divizor prim
de forma 8k-3 care nu poate ^ ns a divide membrul drept al ecuat iei
Pentru x par ecuat ia revine la 2 xn
11 = 2y2
1;evident f ar a solut ii.
Lema 3.37. Fie a  si x dou a numere ^ ntregi prime ^ ntre ele , x+a6= 0p prim impar.Atunci
x+axp+ap
x+a= 1 saup:
Demonstrat ie :
Fie x+a=dq  sixp+ap
x+a=dQ, cud=x+axp+ap
x+aAvem
xp+ap
x+a=xp1axp2+:::ap1=a(dqa)p1a(dqa)p2+:::+ap1= d+pdp1=dQ
iar de aici djpdp1.Dar (d , a)=1 ,indc a ^ n caz contrar , din x+a=dq  si (a , x)=1 ,ar
rezulta o contradict ie .
Decidjp si atunci d=1 sau d=p .
36

Exemplul 3.38. Ecuat ia
x7+ 2 =y2
nu are solut ii ^ n numere ^ ntregi . Solut ie :
Observ am c a y trebuie s a e par  si apoi ca x6= 4k1:
Pentru x = 4k+1 scriem ecuat ia sub forma
x7+ 27=y2+ 112
 si observ am c a dac a 11 -y, atunci x+2 care divide membrul st^ ang este de forma 4k+3  si
nu poate divide suma de p atrate y2+ 112, prime ^ ntre ele .
Dac a 11jy, atunciy= 11y1, scriem ecuat ia sub forma :
(x+ 2)x7+ 27
x+ 2= 112(y2
1+ 1)
 si cum (x+ 2)x7+27
x+2= 1 sau 7 , unul dintre cei doi factori ai membrului st^ ang nu se divide
cu 11  si cum ambii membrii sunt de forma 4k+3 , unul dintre ei nu divide pe y2
1+ 1:
Exemplul 3.39. Ecuat ia
4xyxy=z2
nu are solut ii ^ n numere ^ ntregi pozitive , dar are o innitate de solut ii ^ n numere ^ ntregi
negative .
Solut ie :
Ecuat ia se mai scrie
(4x1)(4y1) = (2x)2+ 1
 si ^ ntregul pozitiv 4 x13 are un factor prim de forma 4k-3 , ce nu poate divide suma
de p atrate din membrul drept .Pe de alt a parte , numerele ^ ntregi negative :
x=1;y=5n22n;z=5n1;
] cu n natural arbitrar , veric a ecuat ia .
Exemplul 3.40. Ecuat ia
x3+ 16 =y2
are , ^In numere ^ ntregi , numai solut ia x=0.
Solut ie :
Fie x impar
Rezult ax6= 4m1 , adic ax6= 8k1 six6= 8k3.
37

Scriem ecuat ia sub forma :
x3+ 23=y2+ 8
sau
(x+ 2)(x22x+ 4) =y22
22
 si din prima parantez a rezult a x6= 8k+ 1 , iar din a doua x6= 8k3
Pentru x par trebuie ca x=4u , y=4v  si ecuat ia devine
4u3+ 1 =v2;
de unde rezult a
v+ 1 = 2m3;v1 = 2n3;mn =u;
ceea ce implic a
m3n3= 1;
de unde
mn= 1  sim2+mn+n2= 1
sau
m2+m(m1) + (n1) = 0
 si rezult a c a
m2m= 0;
de unde
u= 0;v2= 0
deci x=0.
38

3.6 Metoda inductiei matematice
Induct ia matematic a este o metod a util a ^ n demonstrarea unor armat ii
Fie (P(n))n0 de  sir de propozit ii. Metoda induct iei matematice ne ajut a s a demon-
str am c a propozit ia P(n) este adevarat a pentru 8nn0,unden0este un num ar natural
xat.
Induct ie matematic a (forma slab a) :
Presupunem c a
P(n0)este adev arat a ;
Pentru8kn0,din faptul ca P(k) este adev arat a rezult a c a P(k+1) este adev arat a;
Atunci propozit ia P(n) este adev arat a pentru 8nn0
Induct ie matematic a (cu pasul s) :
Presupunem c a
P(n0),P(n0+ 1),…,P(n0+s1) sunt adev arate ;
Pentru8kn0,din faptul ca P(k) este adev arat a rezult a c a P(k+s) este adev arat a;
Atunci propozit ia P(n) este adev arat a pentru 8nn0
Induct ie matematic a (forma tare) :
Presupunem c a
P(n0)este adev arat a ;
Pentru8kn0,din faptul ca P(m) este adev arat a 8nomk,rezult a c a P(k+1) este
adev arat a;
Atunci propozit ia P(n) este adev arat a pentru 8nn0
Exemplul 3.41. Ar atat i c apentru orice num ar natural urm atoarea ecuat ie este solvabil a
in mult imea numerelor ^ ntregi
x2+y2+z2= 59n
Solut ie: Vom utiliza induct ia matematica cu pasul s = 2  si n0= 1
Observ am c a pentru ( x1;y1;z1) = (1;3;7)  si (x2;y2;z2) = (14;39;42) avem
x2
1+y2
1+z2
1= 59  six2
2+y2
2+z2
2= 592
Denim (xn;yn;zn);n3 , prin
xn+2= 592xn yn+2= 592yn zn+2= 592zn
39

pentru8n1:Atunci
x2
n+2+y2
n+2+z2
n+2= 592(x2
k+y2
k+z2
k);
decix2
k+y2
k+z2
k= 592implic ax2
k+2+y2
k+2+z2
k+2= 59k+2
Exemplul 3.42. S a se arate c a pentru orice n3, ecuat ia
1
x1+1
x2+:::+1
xn= 1
este solvabil a in numere naturale distincte. Solut ie :
^In cazul n = 3 avdem
1
2+1
3+1
6= 1
Presupunem c a pentru k3are loc relat ia
1
x1+1
x2+:::+1
xk= 1
undex1;x2;:::;xksunt numere naturale distincte si obt inem
1
2×1+1
2×2+:::+1
2xk=1
2
prin urmare
1
2+1
2×1+1
2×2+:::+1
2xk= 1
unde numerele naturale 2 ;2×1;2×2;:::;2xksunt distincte dou a c^ ate dou a .
Observat ia 3.43. Observ am c a
n1X
i=1k
k+ 1!=n1X
i=1(k+ 1)1
k+ 1!=n1X
i=1(1
k!)1
k+ 1!= 11
n!
deci
1
2!
1+1
3!
2+1
n!
n1+1
n!= 1
adica
(2!
1;3!
2;:::;n!
n1;n!)
este o slut ie a ecuatiei
1
x1+1
x2+:::+1
xn= 1
av^ and componentele distincte dou a c^ ate dou a .
40

Observat ia 3.44. Alt a solut ie a ecuat iei1
x1+1
x2+:::+1
xn= 1 cu componentele distincte
dou a c^ ate dou a este dat a de
(2;22;:::;2n2;2n2+ 1;2n2(2n2+ 1))
^Intr-adev ar
1
2+1
22+:::+1
2n2+1
2n2+ 1+1
2n2(2n2+ 1)=
= 11
2n2+1
2n2+ 1+2n2
2n2(2n2+ 1)+1
2n2(2n2+ 1)
= 11
2n2+1
2n2
= 1
Observat ia 3.45. Alt a cale de a construi solut ii pentru ecuact ia1
x1+1
x2+:::+1
xn= 1
este s a consider am  sirul
a1= 2; am+1=a1+:::+am+ 1; m1:
Atunci , pentru8n3 , are loc relat ia
1
a1+1
a2+:::+1
an1+1
an1= 1
^Intr-adev ar , din relat ia de recutent  a rezult a c a
ak+11 =ak(ak1); k1;
deci putem scrie
1
ak+11=1
ak11
adic a
1
a1+1
a2+:::+1
an1=1
a111
an1= 11
an1
Obt inem astfel c a relat ia1
a1+1
a2+:::+1
an1+1
an1= 1 este vericat a , adic a
(a1;a2;:::;an1;an1)
este solut ie a ecuat iei1
x1+1
x2+:::+1
xn= 1
Observat ia 3.46. Nu se cunoa ste dac a exist a o innitae de numere naturale pentru care
ecuat ia1
x1+1
x2+:::+1
xn= 1 adimite solut io ( x1;x2;:::;xn) undex1;X2;:::;xnsunt numere
41

naturale impare distincte dou a c^ ate dou a .
Un singur argument de paritate arat a c a ^ n acest caz n trebuie s a e impar .
Sunt cunoscute c^ ateva exemple de astfel de numere naturale n .
Astfel , dac a n= 9 ,avem
1
3+1
5+1
7+1
9+1
11+1
15+1
33+1
45+1
385= 1
dac a n =11,
1
3+1
5+1
7+1
9+1
15+1
21+1
27+1
35+1
63+1
105+1
135= 1
Exemplul 3.47. Demonstrai  c a tentru orice n412exist a numerele naturale x1;:::;xn
a.^ .
1
x3
1+1
x3
2+:::+1
x3
n= 1
Solut ie :
Avem
1
a3=1
(2a)3+:::+1
(2a)3;
unde suma din partea dreapt a cont ine opt termeni .Rezul a ca dac a ecuat ia
1
x3
1+1
x3
2+:::+1
x3
n= 1
este solvabila ^ n numere naturale , atunci  si ecuat ia urmatoare are aceast a ecuat ia
urm atoare are aceast a prioritate :
1
x3
1+1
x3
2+:::+1
x3
n+7
Folosind metoda induct iei matematice cu pasul 7 ,este sucient s a demonstr am solvabili-
tatea ecuat iei pentru n = 412 , 413 , . . . , 418 .
Idea principal a const a ^ n construct ia unei solut ii ^ n ecare din aceste cazuri pornind de
la valori mai mici  si f ac^ and extinderi modulo 7 .
Observ am c a
27
33= 1  si 27412 (mod 7) ;
4
23+9
33+36
63= 1  si 4 + 9 + 36 = 49 413 (mod 7)
4
23+32
43= 1  si 4 + 32 = 36 414 (mod 7)
42

18
33+243
93= 1  si 18 + 243 = 216 415 (mod 7)
18
33+16
43+144
123= 1  si 4 + 16 + 144 = 178 416 (mod 7)
4
23+16
43+36
63+144
123= 1  si 4 + 16 + 36 + 144 = 200 417 (mod 7)
^In nal
[4
23+9
33+81
93+324
183= 1  si 4 + 9 + 81 + 324 = 200 417 (mod 7)
Exemplul 3.48. Demonstrat i in mumere naturale distincte ecuat ia
x3
1+x3
2+:::+x3
m= (x1+x2+:::+xm)2
Solut ie :
Lema 3.49. Dac aa1;a2;:::este un  sir de numere naturale distincte atunci pentru 8n1
are loc inegalitatea :
a3
1+:::+a3
n(a1+:::+an)2
Demonstrat ie : Presupunem f ar a a restr^ ange generalitatea , c a a1< a 2< ::: < a n.
Pentru n = 1 , a11implic aa3
1a2
1
Presupunem c a armat ia este adev arat a pentru n = k  si consider am a1<a 2<:::<a k<
ak+1cu k+1 numere naturale distincte .Atunci ak+1ak+ 1.
Un calcul simplu arat a c a
(ak+11)ak+1
2ak(ak+ 1)
2= 1 + 2 +:::+ak
Observ am c a suma 1 + 2 +:::+akcont ine toate numere naturale de la 1 la ak, deci ea
este mai mare sau egal a dec^ at a1+a2+:::+ak
Prin urmare
(ak+11)ak+1
2a1+a2+:::+ak
adic a , prin ^ nmult ire cu 2ak+1, rezult a
(a2
k+1ak+1)ak+12(a1+a2+:::+ak)ak+1:
Ultima inegalitate se poate scrie sub form a echivalent a
a3
k+12(a1+a2+:::+ak)ak+1+a2
k+1:
43

Pe de alt a parte , din ipoteza de induct ie avem
a3
1+a3
2+:::+a3
k(a1+a2+:::+ak)2:
Prin adunarea ultimelor dou a inegalit at i se obt ine
a3
1+a3
2+:::+a3
k+a3
k+1(a1+a2+:::+ak+ak+1)2;
deci inegalitatea are loc pentru n = k+1 .
F ar a a restr^ ange generalitatea , putem presupune  a x11;x22;:::;xmm:Vom
demonstra c a x1= 1;x2= 2;:::;xm=m
Avem
xm1xm1;xm2xm2;:::;x 1xm(m1);
deci
x1+x2+:::+xm1(m1)xm(m1)m
2
Folosind rezultatul din lem a obt inem inegalitatea
x3
1+x3
2+:::+x3
m1= (x1+x2+:::+xm1)2
Pe de alt a parte ecuat ia din enunnt  poate  scris a sub forma
x3
1+x3
2+:::+x3
m1+x3
m= (x1+x2+:::+xm1)2+ 2(x1+x2+:::+xm1)xm+x2
m:
deci deducem c a
x3
m2(x1+x2+:::+xm1)xm+x2
m
adic a
x2
m2(x1+x2+:::+xm1) +xm
se obt ine
x2
m2(m1)xm(m1)m+xm:
Aceast a inegalitate este echivalent a cu
x2
m(2m1)xm+ (m1)m0
sau
(xmm)(xm(m1))0
44

Deoarecexm>m1 ,rezult a c a xmm,deci ^ n mod necesar xm=m
T  in^ and din nou seama c a numerele x1;x2;:::;xmsunt distincte dou a c^ ate dou a obt inem
x1= 1;x2= 2;:::;xm=m:^In concluzie ,toate solut iile distincte ale ecuat iei
x3
1+x3
2+:::+x3
m= (x1+x2+:::+xm)2
sunt date de cele m! permut ari ale mult imi 1 ,2, . . . ,m.
Observat ia 3.50. Ipoteza ca solut iile s a e distincte este necesar a pentru a obt ine
x1= 1;x2= 2;:::;xm=mDac a se renunt  a la ea , ecuact ia x3
1+x3
2+:::+x3
m=
(x1+x2+:::+xm)2poate avea  si alte solut ii .
De exemplu , pentru m = 6 ,
13+ 23+ 23+ 33+ 43+ 63= (1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 6)2
4 Exercit ii propuse :
1. S a se rezolve ^ n numere ^ ntregi pozitive ecuat ia
x2y+y2z+z2x= 3xyz
2. Fie a , b ,c lungimile laturilor unui triunghi exprimate prin numere ^ ntregi .
Dac a ecuat ia
x2(a2+b2+c2+ 1)x+ab+bc+ca= 0;
are rad acini ^ ntregi , atunci triunghiul este echilateral.
3. Ecuat ia
x3+ 19 =y2
are solut ia unica 53+ 19 = 122
4. Ecuat ia
x3+ 7 =y2
nu are solut ii ^ n numere ^ ntregi .
45

5. Ecuaia
x3+y3+z3=mxyz
nu are solut ii ^ n numere ^ ntregi pozitive, pentru m=1  si m=2, iar pentru m=3 are solut iile:
x=y=z=n, cu n natural arbitrar.
6. Rezolvat i ^ n numere ^ ntregi ecuat ia
3x+ 4y+ 5z= 6:
7. Suma cuburilor a opt numere naturale consecutive nu poate  cub perfect.
8.Dac a ar exista numerele naturale x, y, z, n care s a verice ecuat ia:
xn+yn=zn;
atuncix>n;y>n;z >n
8. S a se rezolve ecuat ia:
2x+ 3y= 5z
.
46

5 Rezolvare ercit ii propuse :
1.Din inegalitatea mediilor avem :
x2y+y2z+z2x>3xyz;
iar din ecuat ie rezult a c a :
x2y=y2z=z2x;
ceea ce implic a:
x2=yz; y2=xz; z2=xy
sau
(xy)2+ (yz)2+ (zx)2= 0;
deci x=y=z=n , cu n natural arbitrar .
2. Dac a ecuat ia are r adacini ^ ntregi , atunci :
(a2+b2+c2+ 1)24(ab+bc+ca)
este p atrat perfect mai mic dec^ at ( a2+b2+c2+ 1)2 si de aceea si paritate cu ( a2+b2+
c2+ 1). Deci :
(a2+b2+c2+ 1)24(ab+bc+ca)(a2+b2+c2+ 1)2
de unde (a2+b2+c2+ 1)ab+bc+caiar de aici rezult a c a a=b=c , deci triunghiul are
toate laturile egale .
3. Evident x6= 2k six6= 4k1
Fie Fie x=4k+1, adic a x=8m+1 sau x=8m3. Pentru x=8k+1 scriem ecuat ia sub forma
x3+ 33=y2+ 2
22
 si se observ a c a x23x+ 9, care divide membrul st^ ang, este de forma 8M1  si nu poate
divide membrul drept, care are numai divizori impari de forma 8M+1 sau 8M+3.Deci
47

x6= 8M+ 1
Fie x=8m3.
Pentru m par, X3+ 19 = 8(2M1)6=y2:
Pentru m impar, m=2q+1, iar x=16q+5 scriem ecuat ia astfel
x3+ 1 =y22
32
 si x+1=2(8q+3) nu poate divide membrul drept, dac a (y,3)=1, acesta av^ and factorii im-
pari numai de forma 8M1.
Deci 3jy;x= 3v si avemx3+ 1 = 9(v22) Deoarece trebuie ca x+1=2(8q+3) s a divid a
membrul drept, iar (8 q+ 3)-(v22), rezult a (8 q+ 3)-9, de unde rezult a q=0  si x=5.
4. Rezult a din
(x+ 2)(x22x+ 4) =y2+ 1:
5. Din inegalitatea mediilor rezult a
x3+y3+z33xyz;
cu egalitate numai pentru x=y=z, de unde armat ia din enunt .
6. Lucr^ and modulo 5 obt inem:
3x+ 4y1 (mod 5) ;
deci
3x+ 4y= 1 + 5s;s2Z:
O solut ie a ecuat iei este:
x= 1 + 3s;y= 1s:
obt inem:
x= 1 + 3s+ 4t;y= 1s3t;t2Z;
48

iar prin ^ nlocuire ^ n ecuat ia iniial a rezult a z=1s. Prin urmare toate solut iile ^ ntregi ale
ecuat iei noastre sunt date de:
(x;y;z ) = (1 + 3s+ 4t;1s3t;1t);s;t2Z:
7. Fie a3, a2, a1, a , a+1, a+2, a+3, a +4,( a>3)  si S suma cuburilor lor, pe care o
presupunem cub perfect.
AvemS= 8a3+ 12a2+ 132a+ 64:
Se veric a u sor c a S <(2a+ 4)3:
Cum S este cubul unui num a r par rezult a c a
S(2a+ 2)3:
Dar
S >(2a+ 1)3)S(2a+ 2)3:
Deci ar trebui ca S= (2a+ 2)3;care ^ ns a nu se veric a.
8.^Intr-adev ar, e z=x+a, a1 , atunci:
xn+yn=x+nxn1a+ +nxan1+an;
 si deci
yn>nxn1a>nxn1:
Analog se arat a c a
xn>nxn1:
Prin urmare:
(yn)n>nnxn(n1)>nnnn1(yn1)n1
adic a:
y2n1>n2n1:
de undey>n . Datorit a simetriei x>n  si deciz >n
49

8. Scriind ecuat ia sub forma:
(31)x+ 3y= (61)z
deducem c a x  si z trebuie s a aib a aceea si paritate.
Dac a x  si z sunt pare, ecuat ia se reduce  si avem solut ia x=4, y=2, z=2.
50

6 Modalit at i de evaluare
Adesea evaluarea rezultatelor este redus a la act iuni cum sunt: "a verica", "a nota",
"a aprecia", "a clasica". Evaluarea este o component a important a a procesului de
^ nv at  am^ ant, o act iune complex a, un ansamblu de operat ii mintale  si act ionale, intelectu-
ale, atitudinale, afective care precizeaz a:
obiectivele  si cont inuturile ce trebuie evaluate;
scopul  si perspectiva deciziei;
momentul evalu arii (la ^ nceput, pe parcurs, la sf^ ar sit);
cum se evalueaz a;
cum se prelucreaz a datele  si cum sunt valorizate informat iile;
criteriile pe baza c arora se evalueaz a.
Metodele de evaluare pe care le vom utiliza ^ n testarea cuno stint elor prezentate ^ n
aceast a lucrare sunt:
Evaluarea oral a pentru vericarea not iunilor teoretice  si a ^ nt elegerii conceptelor pre-
cum  si aplicarea acestora ^ n rezolvarea de exercit ii  si probleme la tabl a sau individual ^ n
caiete.
Extemporalul pentru vericare periodic a a cuno stint elor.
Testul de evaluare pentru evaluarea cuno stint elor la sf^ ar situl activit at ilor de predare
^ nv at are.
51

7 Bibloiograe
Bibliograe
[1] Andreescu T., Andrica D., O introducere ^ n studiul ecuat iilor diofantiene. Editura
GIL, Zal au , 2002.
[2] Andrica D., Duca I. D., Pop I., Purdea I., Matematica de baz a , Editura Studium,
ClujNapoca, 2004.
[3] Buneag D., Boboc Fl., Piciu D., Elemente de aritmetic a  si teoria numerelor , Editura
Universitaria, Craiova, 1999.
[4] Cucurezeanu, I., Ecuat ii ^ n numere ^ ntregi , Editura Aramis, Bucureti, 2006.
[5] Ionescu M., Radu I., Didactica modern a , Editura Dacia, Cluj-Napoca, 2001
[6] Beju A. E. Beju I., Compendiu de matematic a, Editura  stiint ic a  si Enciclopedic a,
Bucure sti, 1983.
52