Revue Scientifique des Ingénieurs Industriels n30, 2016. [614582]

Revue Scientifique des Ingénieurs Industriels n°30, 2016.

Etude de la propulsion d’un drone

Ing. T. CRUL
PIERRARD – Virton

Cet article traite de la façon dont on peut dimensi onner la propulsion d’un drone.
Ce dimensionnement s’est fait avec les méthodes de Froude et Glau Glauert en ce
qui concerne les hélices.
Mots-clefs : propulsion, hélices, Froude, Glauert.

This article discusses how you can size the propuls ion of a drone. This dimensio-
ning is done with the methods of Froude and Glauert and as regards the dimen-
sions of the propellers.
Keywords : propulsion, propeller, Froude, Glauert.

182

1. Introduction

Cet article traite de plusieurs méthodes pour estim er les dimensions nécessaires à la
propulsion d’un drone dans l’air.
Ces méthodes sont notamment :
– la théorie de Froude pour une hélice simple,
– la théorie de Glauert pour des hélices contrarotati ves.

2. Étude de la propulsion

Pour estimer un dimensionnement correct de la propu lsion d’un moteur en fonction
de ses hélices, il faut évaluer la puissance mécani que nécessaire à la sustentation du
drone dans l’air. Pour effectuer cette première est imation, on part de la théorie de
Froude qui donne une puissance en fonction du rayon de l’hélice et de la masse à
sustenter.

2.1. Théorie de Froude [1]

La théorie de Froude applique les lois de base de l a mécanique des fluides (conser-
vation de la masse, de la quantité de mouvement et de l’énergie) pour estimer les
performances d’une hélice. C’est une analyse global e de l’hélice qui relie les vi-
tesses d’écoulement à la poussée et à la puissance de celle-ci.

Cette théorie se base sur plusieurs hypothèses :
– L’hélice est considérée comme un disque composé d’u ne infinité de pales,
accélérant uniformément l’air à travers lui sans pe rte de poussée sur les
bords.
– L’énergie cinétique communiquée à l’air qui compose le sillage représente
la puissance requise pour produire la poussée.
– Pour éviter les discontinuités de chaque côté du di sque, on considère le
disque comme infiniment fin.
– On suppose le fluide parfait et incompressible. Dan s l’aéronautique, on
peut considérer le fluide comme étant incompressibl e, mais seulement pour
des vitesses inférieures à Mach 0,3 (Mach 1 ≈ 340 m/s). Seulement, la vi-
tesse en bout de pale peut aller jusqu’à 290 m/s. C e phénomène doit être
pris en compte si on veut effectuer une étude plus approfondie.
– On ne tient pas compte des pertes dues au profil et aux pales (pas de trai-
née).

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Figure 1 : Vitesses prises en compte dans la théori e de Froude

Lorsque l’hélice est en phase ascensionnelle, la vi tesse axiale V 1 de l’air accéléré à
travers le disque de l’hélice est plus grande que l a vitesse V 0. Si V 0 devait atteindre
la même vitesse que V 1, cela voudrait dire que l’hélice aurait atteint sa limite
d’ascension, car elle ne parviendrait plus à accélé rer l’air.

La conservation du flux d’air à travers la veine d’ air donne (fig. 1):

2 2 1 0 1 VS SV V S = = (1)

Comme les vitesses 2 2 1 0 V VV << varient, il en résulte une variation des sections
avec 2 1 SSS >> . Il est à noter que pour le vol stationnaire, on c onsidère 0V avec
une vitesse nulle.

Calcul de la vitesse induite et de la poussée en vo l stationnaire
L’hélice est conçue pour transmettre à l’aéronef un e vitesse de déplacement en
créant une force propulsive par variation de la qua ntité de mouvement de l’air qui
la traverse.

On peut obtenir cette poussée (« thrust » en anglai s) T (en Newton) à l’aide du
débit massique m& [kg/s] de l’air traversant l’hélice et de l’écart de vitesse entre
amont infini et aval infini du disque hélice (c’est la variation de quantité de mou-
vement) :

( )0 2V VmT − =& (2)

184

On peut aussi calculer le débit massique à travers l’hélice :

12VR mair πρ =& (3)

Comme l’air traversant une hélice en rotation se fa it aspirer par la partie supérieure
de l’hélice, et repousser lorsqu’il se trouve dans la partie inférieure de l’hélice, on
admet comme hypothèse que l’augmentation de vitesse à travers l’hélice se fait à
moitié avant le disque hélice, et pour l’autre moit ié après :

22 0
1VVV+= (4)

On obtient une poussée, qui est :

( )0 1 122 2 V VVR Tair − =πρ (5)

Pour le vol stationnaire, comme 00=V , la formule se simplifier pour donner la
vitesse dans le disque hélice :

2 12 RTV
air πρ = (6)

Par contre, lorsque l’hélice est en phase ascendant e, il faut considérer une vitesse
0V. L’équation (5) permettant de déterminer 1V peut se réécrire sous la forme d’un
polynôme de degré 2 :

0 2 21 02 2
12=− − TVVR VRair air πρ πρ (7)

On calcule le discriminant :

( ) TR VR ac bair air 22
02 28 2 4 πρ πρ + = − =∆ (8)

On obtient 1V :

( )
222
02
02
148 2 2
2 RTR VR VR
abV
air air air air
πρ πρ πρ πρ + +=∆±−= (9)

185

Charge alaire
La charge alaire ( CA ) est le rapport entre le poids de l’aéronef et la surface por-
tante S. Plus on augmente cette charge alaire, et plus on augmente la vitesse in-
duite 1V nécessaire à la sustentation ainsi que la puissanc e idéale requise 1TV .

Il est donc fort intéressant de diminuer le plus po ssible CA et ainsi obtenir de
bonnes performances de l’hélice en vol stationnaire . Pour diminuer CA , avec une
charge donnée, cela revient à augmenter le rayon de l’hélice (voir figure 2).
Figure 2 : Rapport entre la masse à sustenter et le rayon de l'hélice

Calcul du facteur de mérite de l’hélice
Avec les hypothèses posées pour l’utilisation de Fr oude, on néglige beaucoup de
facteurs qui peuvent provoquer des pertes de puissa nce en bout de pales (comme
les pertes de trainées dues au profil, pertes de si llage, etc.). Ces pertes sont reprises,
pour la plupart, sous le nom de « downwash » en ter me anglais. La méthode utili-
sée ici est idéalisée. Pour se rapprocher du réel, un facteur de mérite est utilisé. Ce
facteur de mérite représente le rendement d’une hél ice.

On définit la puissance induite comme la puissance idéale requise pour produire
une poussée :

1TV P= (10)

Le facteur de mérite de l’hélice est le rapport de la puissance induite sur la puis-
sance réellement consommée par l’hélice pour avoir une telle poussée en vol sta-
tionnaire :

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méca PTV M1= (11)

M est compris entre 0 et 1, avec 1 pour l’hélice idé ale. Mais en général, les meil-
leures hélices ne dépassent pas 0,8. Ce facteur dép end du rayon du pas et du profil
de l’hélice.

Pour les hélicoptères, le facteur de mérite varie e ntre 0,6 et 0,7. Avec ce facteur de
mérite, on peut s’approcher de la puissance mécaniq ue nécessaire. La figure 3
montre cette variation.
Figure 3 : Variation de la taille de l'hélice néces saire en fonction du facteur de
mérite

Calcul de la puissance mécanique à fournir pour pou voir sustenter la
masse du drone
Pour le vol stationnaire, on utilise la poussée uni quement pour maintenir l’aéronef
en équilibre dans l’air ; elle compense donc unique ment son poids :

mg T= (12)

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Pour le vol ascensionnel, il faut poser une accélér ation que l’on veut obtenir au
décollage. Cette accélération s’additionne à l’accé lération gravitationnelle (qui est
de 9,81 m/s²) pour obtenir l’accélération ascension nelle voulue.

En regroupant tous les termes, la puissance fournie à l’hélice par l’arbre moteur
pour obtenir cette accélération s’exprime sous la f orme :

23 3
21
Rgm
MP
air méca πρ = (13)

Il ne faut pas oublier que la puissance mécanique c alculée ici est la puissance à
l’axe de l’hélice, et non la puissance du moteur. P our calculer la puissance du mo-
teur, il faut ajouter les pertes entre le moteur et l’hélice.
Figure 4 : Downwash sur des ailes d'avion [3]

Calcul des turbulences en bout de pale
Il est possible de tenir compte des turbulences en bout de pale en considérant
qu’une partie de l’hélice proche du bord ne produit pas de traction. Ce phénomène
appelé « downwash » est connu sur les ailes d’avion s (figure 4), mais est aussi
applicable pour des hélices (figure 5), qui sont en quelque sorte des ailes en rota-
tion. Les calculs tiennent ainsi compte d’un rayon d’hélice plus petit dû à la réduc-
tion de portance de celles-ci, par un facteur corre ctif déterminé à l’aide de :

bCBT21−= (14)

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Avec b = nombre de pales.

Le rayon de la pale considérée devient :

réel théorique BR R = (15)

Figure 5 : Turbulences en bout de pales (downwash) [2]

Figure 6 : Variation du rayon de l’hélice en foncti on de la puissance nécessaire à
la sustentation.

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On obtient une nouvelle équation pour la puissance absorbée qui devient alors :

23 3
211
Rgm
BMP
air méca πρ = (16)

On peut considérer cette puissance comme la puissan ce réelle nécessaire au bon
fonctionnement de l’hélice. Cette puissance est en rapport direct avec le rayon de
l’hélice, comme le montre la figure 6, pour un poid s donné.

2.2. Théorie de Glauert [4]

La théorie de Glauert permet d’étudier des hélices en configuration contrarotative.

Améliorations apportées par un système contrarotati f [5]
On obtient plusieurs avantages de cette configurati on comparée à un rotor seul :
– diminution du diamètre pour un même point de foncti onnement,
– diminution de la vitesse de rotation pour un même p oint de fonctionnement
pour un diamètre donné,
– augmentation des performances pour un débit, un dia mètre et une vitesse
de rotation donnés.
Le principal inconvénient d’une configuration comme celle-ci se trouve du point de
vue mécanique au niveau de la complexité de la réal isation du mouvement contra-
rotatif. On observe aussi une augmentation du bruit due à la vibration engendrée
par l’interaction des deux rotors.

La théorie de Glauert est basée sur les lois de la dynamique des fluides. Les lois de
conservation de l’énergie sont appliquées à un volu me de contrôle qui englobe la
limite supérieure du premier rotor jusqu’à la limit e inférieure du second rotor. La
théorie de Glauert est une approche simple, donc on ne considère pas les pertes
dues à la viscosité du fluide, le fluide est consid éré comme incompressible. Les
résultats sont tout à fait théoriques et les pertes sont considérées comme minimes.
Lors du dimensionnement d’un hélicoptère, on utilis e la théorie de la quantité de
mouvement simplifiée comme point de référence pour définir l’efficacité de fonc-
tionnement d’un système rotor, et ainsi définir son coefficient de mérite. Dans le
cas considéré, on pose un coefficient de mérite fai ble et on en déduit le diamètre
des rotors nécessaire.

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Cas à prendre en compte dans l’étude

Deux rotors coaxiaux contrarotatifs et coplanaires [4]

Cette étude se fait pour un cas purement théorique. En effet, elle considère deux
hélices se trouvant dans un même plan et sur un mêm e axe, ce qui est impossible à
réaliser en réalité.
Figure 7 : Déplacement de la veine fluide dans un r otor

On considère les rotors étant suffisamment proches l’un de l’autre tel que chacun
d’entre eux ait une force de traction équivalente ( fig. 7) de telle sorte que :

2WTTTl u === (17)

Avec uT = thrust upper rotor (poussée du rotor supérieur),
lT = thrust lower rotor (poussée du rotor inférieur), et
W = poussée totale.

191

On considère les rotors du système fonctionnant ind ividuellement, et donc isolés
l’un de l’autre.

La vitesse induite efficace du double système rotor est donnée par :

( )SWveiρ2= (18)
Avec ()eiv = vitesse induite efficace,
ρ = masse volumique de l’air, et
S= section du disque du rotor.

On peut désormais calculer la puissance induite tot ale :

( )( )
ST
STT vT Pei iρ ρ 22
222 223
= = = (19)

En pratique, les deux rotors coaxiaux n’auront pas la même poussée. Cette poussée
est fonction de la puissance de couple nécessaire p our que celle-ci soit égale et
opposée pour chaque rotor du système. Cependant, da ns le cas où les rotors sont
suffisamment proches pour tourner dans le même plan avec une même puissance
de couple, la poussée qu’exerce chaque rotor est ég ale. Voici les formules pour
exprimer les puissances de chaque rotor :

( ) ( )STT vT vT Pei ei u uρ22= ≡ = (20)

( ) ( )STT vT vTPei ei l lρ22= ≡ = (21)

On remarque que i l u P P P21== , ce qui montre bien que deux rotors coaxiaux et
coplanaires agissant avec une même poussée et un co uple égal et opposé absorbent
la même puissance. A noter que lorsque deux rotors agissent dans le même plan,
alors un équilibre de couple peut être réalisé seul ement si l uTT=. L’équilibre de
couple est gêné par les variations de poussée des r otors.

Deux rotors coaxiaux contrarotatifs [5]
En pratique, deux rotors contrarotatifs seront suff isamment éloignés pour que le
rotor inférieur tourne dans la veine fluide contrac tée (« vena contracta » ) du rotor

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supérieur. On suppose ici que le rotor inférieur n’ influence en rien le sillage du
fluide provenant du rotor supérieur. Si l’on veut ê tre proche du réel, il faudrait tenir
compte de l’influence du rotor inférieur sur le rot or supérieur, mais on entre alors
dans des calculs complexes, car il faut tenir compt e des interactions entre les lames
de sillage, ainsi que des effets visqueux locaux du fluide. Le modèle du flux de
base est représenté en figure 8.
Figure 8 : Modèle du flux pour un système rotors co axial avec le rotor inférieur
évoluant dans le flux produit par le rotor supérieu r

On suppose d’abord que les rotors ont les mêmes pou ssées TTTl u == . La vitesse
induite transmise au fluide par le rotor supérieur est égale à :

STvuρ2= (22)

193

La veine fluide provenant du rotor supérieur est ég ale à 2S avec une vitesse de
uv2. Cela représente le cas idéal pour des hélices non carénées. En réalité, la con-
traction de la veine n’est pas aussi large. Néanmoi ns, lorsqu’il y a un carénage, la
veine fluide est beaucoup plus large, ce qui a un e ffet positif sur le rotor inférieur.
Sans carénage, la vitesse induite du fluide est de l uvv+2 sur la moitié intérieure
du disque rotor inférieur (fig. 8). Sur la moitié d e la surface extérieure, la vitesse
induite est égale à lv. On suppose que la vitesse induite de la veine flu ide produite
par le rotor inférieur est égale à lw. Le débit massique de l’air au-dessus du rotor
supérieur est égal à uSv ρ et la poussée du rotor supérieur obtenue est de
( )22 2u u u Sv v Sv ρ ρ = . Cela représente la quantité de mouvement du fluide qui tra-
verse le rotor inférieur. Les débits massiques dans les parties internes et externes de
la section du rotor inférieur seront respectivement égaux à ( )l uvvS+

22ρ et
lvS


2ρ . Ceci permet de calculer le débit massique total q ui traverse le rotor infé-
rieur :

( ) ( )l u l l u vv S vSvvSm + =

+ +

= ρ ρ ρ222& (23)

Le débit massique sortant de la section 3 (fig. 8) est égal à lwm& ; on suppose que la
vitesse est uniforme, ce qui permet de calculer la poussée du rotor inférieur :

( )22u l l u l Sv wvv S T ρ ρ − + = (24)
La puissance du rotor inférieur est donnée par :

( )l ul l vvTP + = (25)

La Théorie de Glauert permet un gain de 25% de puis sance par rapport à un rotor
simple, pour le même diamètre. Néanmoins, cette mét hode étant considérée pour
un environnement parfait, dans la réalité et avec l es expériences menées par la
NASA [6], on approche plutôt les 5% de gain en puis sance.

194

3. En pratique

3.1. Vitesse en bout de pale [7]

Selon la littérature [7], il faut limiter la vitess e en bout de pale pour des questions
de bruit et de rendement de l’hélice. Cette limite est fixée à 85% de la vitesse du
son (Mach 1, soit 340 m/s dans l’air à 15°C). Cette limite se situe à 290 m/s pour
des hélices d’avion, soit des hélices conçues pour atteindre ces limites de vitesse en
bout de pales.

3.2. Étude d’un carénage [8]

Le cahier des charges impose un carénage autour des hélices pour en augmenter la
sécurité. Son inconvénient est son poids, mais il p eut aussi augmenter les perfor-
mances de l’hélice.

Lorsqu’une hélice est carénée, on peut considérer l es pertes en bout de pale (voir
section 2.1) comme étant nulles. On peut ainsi négl iger le coefficient B, coefficient
calculé avec la méthode de Froude.

Cette méthode n’est pas tout à fait réaliste, car d es frottements entre le bout de la
pale et le fluide stationnant dans la couche limite du carénage apparaissent et
s’ajoutent, donc nuisent, au couple de rotation. Le rendement en est affecté. De
plus, en pratique, on garde un jeu supérieur à la c ouche limite du carénage, ce qui
entraîne parfois des fuites.

Néanmoins, l’ajout d’un carénage a toujours un effe t positif sur le rendement des
hélices. Le flux d’air à la sortie occupe une secti on plus large que s’il n’est pas
muni d’un carénage (fig. 9).

195

Figure 9 : Répartition du flux d'air dans une hélic e libre (a) et dans une hélice
carénée (b)

4. Conclusion

La méthode de Froude est une méthode simple et rapi de pour obtenir un ordre de
grandeur de la puissance requise. La théorie de la quantité de mouvement pourrait
être intéressante pour obtenir plus de précision, m ais pour pouvoir l’utiliser, il faut
sélectionner un profil de pale, et avoir les donnée s aérodynamiques de celle-ci,
disponibles seulement après un test en soufflerie. En outre, selon la littérature, ce
procédé ne produit pas beaucoup plus de gain en pré cision.

La théorie de Glauert a été utilisée pour modéliser l'écoulement d'air à travers des
hélices coaxiales. C’est une méthode plus précise p our modéliser le flux d'air qui
traverse les hélices que la méthode de Froude.

5. Sources

[1] ACHOTTE, N., Conception, optimisation et dimensionnement d’un mi cromo-
teur planaires à aimants permanents pour drones min iatures en vol station-
naire, PhD thesis, Université Joseph Fourier- Grenoble I, 2005.

[2] Fluxo induzido (downwash) em helicopteros (mis en ligne en septembre 2013)
Adresse URL : www.bloggoair.blogspot.be

[3] V-formation flight of birds (mis en ligne en juillet 2005)
Adresse URL : www.aerospaceweb.org