Reprezentarea Timp Frecvenţă de Tip Transformare Fourier Scurtădoc

=== Reprezentarea timp-frecvenţă de tip transformare fourier scurtă ===

I. Introducere

Prelucrarea unui semnal are ca scop principal o modelare matematică a fenomenului utilizat în tehnică. Garanția evoluției în acest domeniu de cercetare reprezintă permanenta îmbunătățire a preciziei prin care modelele create descriu fenomenul modelat. Totodată este necesar să folosim metode matematice cât mai evoluate. Chiar dacă fenomenele staționare sunt ușor de modelat, în prezent se insistă tot mai mult pe analiza fenomenelor nestaționare.

I.1 Conceptul reprezentării timp-frecvență

Cel mai des utilizat semnal staționar este semnalul sinusoidal. Matematic semnalul este descris in funcția de mai jos:

(1)

Funcția fiind parametrizată după constantele – amplitudine și – pulsație. Pentru a cunoaște acest semnal este suficient să cunoaștem legea ei de variație în timp (relația 1) și parametri săi și . Impulsul este alt exemplu de semnal staționar care se descrie relația de mai jos:

(2)

Parametri semnalului de mai sus sunt (amplitudine), (durata) și (momentul declanșării).

Pe baza a celor două relații putem spune că semnalele staționare au parametrii constanți. Aceste observații sunt valabile și în cazul semnalelor aleatoare staționare, luând în considerare faptul că în acest caz parametrii semnalului sunt momentele sale statice cum ar fi dispersia, media etc.

În acest caz se poate afirma că semnalele deterministe (nestaționare) au parametrii variabili în timp. Astfel dacă:

(3) sau (4), semnalul descris de (1) va fi unul nestaționar.

În primă instanță semnalul descris în relația (1) descrie funcționarea unui oscilator, ce poate fi folosit pentru proiectarea acestui circuit. În schimb, variația tensiunii de alimentare a oscilatorului se reflectă asupra amplitudinii semnalului de la ieșire, iar variația de temperatură influențează frecvența de oscilație. Totodată relația (1) nu este recomandat pentru a descrie regimul de pornire al unui oscilator. Tocmai din această cauză semnalul de la ieșirea unui oscilator trebuie tratat ca fiind nestaționar. Acest lucru este valabil și în cazul semnalelor aleatoare, unde ipoteza de staționaritate trebuie evitată tot mai frecvent.

Fenomenele nestaționare se împart în două categorii: adaptive și evolutive.

Fenomenele nestaționare adaptive, au nestaționaritatea destul de lentă. În acest caz putem presupune pentru intervale scurte de timp că parametrii sunt constanți.

În cazul fenomenelor nestaționare evolutive sunt necesare metode de descriere globală a variațiilor parametrilor lor. În acest caz aceste variații pot fi rapide.

Pentru analiza semnalelor nestaționare adaptive este nevoie de o prelucrare localizată în timp și din această cauză nu se poate folosi transformata Fourier.

Acest lucru a dus la necesitatea de a introduce noi transformări. Reprezentările de tip timp-frecvență sunt instrumentele de care avem nevoie pentru a analiza semnalele nestaționare. Analiza respectivă necesită recunoașterea parametrilor acestor semnale. Pentru identificarea acestor parametri trebuie incluși: momente de timp de începere și terminare a semnalului, banda de frecvență instantanee a semnalului, amplitudinea și frecvența instantanee.

În acest caz reamintim definiția frecvenței instantanee a unui semnal, considerând în acest scop semnalul real .

În cele ce urmează mai jos se definesc:

Transformata Hilbert a semnalului

Semnalul analitic asociat semnalului

Anvelopa semnalului

Pulsația instantanee a semnalului

În funcție de aplicație este important să estimăm unul sau mai mulți parametri a semnalului nestaționar. În figura 1.1 se reprezintă un semnal ideal nestaționar.

Figura I.1. Reprezentare timp-frecvență ideală

Semnalul asociat acestui tip de semnal arată în felul următor:

Frecvența instantanee a semnalului va fi:

Putem observa că linia îngroșată din figura 1.1 reprezintă tocmai graficul funcției. Dacă analizăm reprezentarea 3D din figura 1.1 se poate observa că semnalul se declanșează la momentul , reprezentând o sinusoidă de frecvență , până la momentul , unde semnalul încetează și se redeclanșează la momentul cu frecvența de tip sinusoidă până în momentul unde încetează pentru a doua oară, după care se declanșează din nou la momentul cu frecvența de tip sinusoidă până în momentul unde încetează definitiv.

Din cele spuse mai sus constatăm că proiecția „reprezentării timp frecvență” din figura 1.1 pe planul este oscilograma semnalului , proiecția pe planul este spectrul „ideal” semnalului si proiecția pe planul este frecvența instantanee a aceluiași semnal. Proiecția pe planul ne permite să analizăm semnalul în domeniul timp, proiecția pe planul permite analiza semnalului în domeniul frecvență, iar proiecția pe planul ne permite analiza în domeniul modulației.

Analiza în domeniul modulației afișează legea de variație temporală a frecvenței instantanee a semnalului de analizat. Figura 1.1 este reprezentarea timp-frecvență a semnalului . Putem remarca faptul că acest tip de reprezentare face o localizare foarte corectă în domeniile timp și frecvență a semnalului . Cu ajutorul acestei reprezentări momentele și frecvențele pot fi exact localizate. Această reprezentare poate fi utilizată ca model pentru a optimiza reprezentările timp-frecvență, deoarece practic acestea nu pot fi obținute.

În realitate există o limitare a concentrării unui semnal în planul timp-frecvență, dată de principiul lui Heisenberg.

I.2. Localizarea semnalelor în planul timp-frecvență

Pe baza dualității Transformatei Fourier semnalele care au o durată limitată sunt de banda nelimitată (nu se pot localiza în domeniul frecvență), iar semnalele de bandă limitată au durata nelimitată și pentru a măsura aceste cantități se utilizează noțiunile de „durată efectivă” și „bandă de frecvențe efectivă”, și care se definesc asfel:

Următoarea inegalitate se presupune a fi adevărată datorită principiului lui Heisenberg:

Dacă durata efectivă a unui semnal este scurtă banda sa efectivă de frecvențe este largă. De aici rezultă că nici un semnal nu poate fi localizat oricât s-ar dori de bine în domeniul timp și frecvență.

Cea mai bună localizare în planul timp-frecvență a unui semnal este acela pentru care este valabil semnul egal, acesta fiind semnalul Gaussian:

Pentru toate celelalte tipuri de semnale localizarea în planul timp-frecvență se fac în intervale și mai lungi. Câteva dintre acestea se prezintă în tabelul de mai jos:

Tabelul I.1. Localizarea în planul timp frecvență a unor semnale uzuale

I.3. Proprietăți necesare unei reprezentări timp-frecvență

Proprietățile trebuie să răspundă unor cerințe legate de:

interpretarea fizică a reprezentării considerate

potrivirea reprezentării considerate cu celelalte reprezentări folosite în prelucrarea semnalelor

accentuarea nestaționarităților din structura semnalului analizat

În cele ce urmează se prezintă câteva proprietăți ale reprezentărilor timp-frecvență care se fac capabile a corespunde cerințelor de mai sus. După cum s-a arătat semnificația fizică a unei reprezentări de tip timp frecvență este cea de densitate spectro-temporală de energie. În cazul acesta este necesar ca energia semnalului pe care l-am analizat să reprezinte integrala densității spectro-temporale de energie.

Ca urmare au loc următoarele proprietăți:

P1.

(1)

Energia semnalului se poate calcula pe baza următoarelor relații:

(2)

sau

(3)

Făcând o comparație între relațiile (1) și (2), respectiv (1) și (3) rezultă utilitatea proprietăților marginale descrise de P2.

P2.

(4)

(5)

Aceste proprietăți marginale indică necesitatea ca densitățile energetice de o singură variabilă și pentru a se putea calcula pe baza reprezentării timp-frecvență .

Relatțiile (4) și (5) indică faptul că densitățile energetice de o singură variabilă sunt funcții reale și pozitive.

P3.

, (6)

Transformata Fourier rămâne cea mai utilizată reprezentare în domeniul prelucrării semnalelor.

P4. Proprietatea de translație în timp a transformării Fourier.

Fie semnalul obținut prin translatare in planul timp-frecvență a semnalului .

Legătura între și este:

(7)

P5. Proprietatea de dilatare a transformării Fourier.

Fie semnal obținut prin dilatarea semnalului .

Legătura între și este:

(8)

P6. Proprietatea de filtraj a transformării Fourier, fiind una dintre cele mai importante proprietăți. Este descrisă prin operația de convoluție în domeniul timp.

Fie obținut prin filtrarea semnalului cu un filtru cu răspunsul la impuls .

Legătura dintre reprezentările timp-frecvență ale semnalelor , și este:

(9)

P7. Proprietatea de modulație a transformării Fourier.

Fie obținut prin modularea de produs semnalului cu semnalul .

Legătura dintre reprezentările timp-frecvență ale semnalelor , și este:

(10)

Reprezentarea izometriei între spațiile și a transformării Fourier a semnalelor de energie finită. De aici se conservă produsul scalar:

Conservarea produsului scalar în domeniul timp-frecvență se poate exprima și prin proprietatea de unitaritate P8:

P8.

Oricare ar fi și de energie finită rezultă relația:

(11)

Relația de mai sus (11) poartă numele lui Moyal.

Următoarele proprietăți vor fi utile pentru evidențierea nestaționarităților semnalului de analizat.

P9. Proprietatea de conservare a suporturilor (temporale și/sau frecvențiale):

(12)

(13)

P10. Proprietatea de staționaritate a semnalului de analizat.

Fie semnalul staționar determinist având forma:

(14)

P11. Reprezentarea timp-frecvență a unui semnal concentrat în jurul curbei din planul timp-frecvență care descrie frecvența instantanee a acestui semnal.

Fie semnalul analitic asociat lui cu frecvența instantanee .

(15), – impulsul Dirac.

II. Reprezentarea timp-frecvență de tip Transformare Fourier Scurtă

În anul 1890 s-a folosit pentru prima dată noțiunea de spectru instantaneu de către Smmerfeld. S-a dorit înlocuirea analizei Fourier „globală”, care pierdea noțiunea de cronologie, cu o succesiune de analize „locale”raportat la o fereastră de observare alunecătoare. Acest lucru s-a concretizat în anul 1945 când s-a inventat sonograful. Acest aparat lucrează în domeniul frecvență și măsoară succesiv puterea de la ieșirile filtrelor trece-bandă conectate în paralel. Sonograma reprezintă rezultatul analizei făcute cu sonograful, acesta reprezentând pătratul modulului reprezentării timp-frecvență de tip Transformare Fourier Scurtă (TFS). Acest tip de reprezentare se descrie în relația de mai jos:

(16)

– fereastra de observare. Fereastra de observare se consideră de obicei fiind un semnal de energie unitară și anume:

Relația (16) descrie faptul că la momentul , funcția reprezintă spectrul semnalului , obținut prin localizarea în timp, în jurul momentului considerat, a semnalului de analizat . Modificând timpul de la la fereastra temporală „matură” forma de undă a întregului semnal de analizat și este responsabil pentru localizarea temporală a acesteia. După cum s-a demonstrat deja cea mai bună localizare în planul timp-frecvență o reprezintă semnalul de tip Gaussian. În concluzie, o reprezentare timp-frecvență de tip TFS cu cele mai bune proprietăți de localizare în planul timp-frecvență ar trebui să folosească fereastra temporală Gaussiană.

II.1. Exprimarea reprezentării timp-frecvență de tip TFS ca și produs de convoluție

Considerăm grupul de funcții:

(17)

Relația (16) se poate rescrie ca produs scalar dintre semnalul de analizat și fiecare element al acestei mulțimi.

(18)

Această exprimare oferă avantajul că transferă proprietățile produsului scalar asupra reprezentării timp-frecvență de tip TFS. Valoarea reprezentării timp-frecvență de tip TFS în punctul de coordonate depinde de următoarea funcție:

Iar, transformata Fourier a acestei ferestre temporale:

(19)