Repere metodice privind studierea noțiunilor matematice în gimnaziu CUPRINS Partea I… [302798]
Smaranda Mureșan
Repere metodice privind studierea noțiunilor matematice în gimnaziu
CUPRINS
Partea I
Cuprins……………………………………………………………………………………………………………………..2
Introducere………………………………………………………………………………………………………………..4
Capitolul 1. Importanța studierii matematicii în gimnaziu………………………………………….5
1.1. Competențele în învățarea matematicii în gimnaziu……………………………………6
1.2. Conținutul matematicii în gimnaziu…………………………………………………………….8
Capitolul 2. Noțiunea de metodică……………………………………………………………………………16
2.1 Principiile didacticii în predarea matematicii……………………………………………..17
Capitolul 3. Elemente orientative în proiectarea didactică…………………………………………23
3.1. Planificarea calendaristică…………………………………………………………………………25
3.2. Proiectarea didactică a unei unități de învățare………………………………………….25
3.3. Proiectarea lecțiilor de matematică…………………………………………………………….26
Capitolul 4. Strategia didactică și dimensiunea formativă a predării-învățării matematicii………………………………………………………………………………………………………………29
4.1. Metode didactice……………………………………………………………………………………….29
4.2. Mijloace didactice……………………………………………………………………………………..38
4.3. Forme de organizare a activității didactice…………………………………………………39
Partea a II-a
Tratarea metodică a noțiunilor matematice studiate în gimnaziu
Capitolul 1. Tratarea metodică a noțiunilor de aritmetică studiate în gimnaziu…………41
1.1. Noțiunea de număr……………………………………………………………………………………41
1.2. Numere întregi………………………………………………………………………………………….42
1.3. Numere raționale………………………………………………………………………………………45
1.4. Divizibilitatea……………………………………………………………………………………………53
1.5. Rădăcina pătrată……………………………………………………………………………………..55
1.6. Rapoarte și proporții. Mărimi direct și invers proporționale………………………56
Capitolul 2. Tratarea metodică a noțiunilor de geometrie studiate în gimnaziu…………59
2.1. Considerații asupra studiului geometriei…………………………………………………….59
Geometria plană:
2.2. Noțiunile de bază: punctul, dreapta, planul………………………………………………..60
2.3. Segmentul. Operații cu segmente……………………………………………………………….61
2.4. Unghiul…………………………………………………………………………………………………….62
2.5. Triunghiul………………………………………………………………………………………………..63
2.6. Patrulatere……………………………………………………………………………………………….75
2.7. Cercul………………………………………………………………………………………………………76
2.8. Poligoane regulate…………………………………………………………………………………….79
2.9. Arii…………………………………………………………………………………………………………..79
Geometria în spațiu:
2.10. Corpuri geometrice………………………………………………………………………………….82
2.11. Arii. Volume……………………………………………………………………………………………83
Capitolul 3. Tratarea metodică a noțiunilor de algebră studiate în gimnaziu……………..84
3.1. Calcul algebric…………………………………………………………………………………………..84
3.2. Expresii algebrice………………………………………………………………………………………86
3.3. Ecuații………………………………………………………………………………………………………91
3.4. Inecuații……………………………………………………………………………………………………97
3.5. Sisteme de ecuații………………………………………………………………………………………98
3.6. Rezolvarea problemelor prin ecuații…………………………………………………………100
3.7. Funcții…………………………………………………………………………………………………….101
Partea a III-a
Anexe……………………………………………………………………………………………………………………..104
Bibliografie…………………………………………………………………………………………………………….135
Introducere
„Ca toate celelalte științe, matematica s-a născut din necesitățile practice ale oamenilor: din măsurarea pământului și a volumului vaselor, din calcularea timpului și din mecanică. Dar ca în toate domeniile gândirii pe o anumită treaptă de dezvoltare, legile abstracte din lumea reală sunt separate de lumea reală și îi sunt opuse ca ceva de sine stătător, ca niște legi venind din afară, cărora lumea trebuie să li se conformeze.” F. Engels
Legătura matematicii cu realitatea este – în unele capitole – mai ascunsă, mai puțin directă, tocmai din cauză că matematica se ocupă de adevăruri mai abstracte, mei generale.
Dar această legătură există. Matematica nu este o „creație” a minții omului, nu este ceva de sine stătător. Chiar în problemele artificiale, inventate de om, intervin noțiuni care nu s-ar fi putut naște sau construi, fără sugestia realității. În astfel de probleme, numai anumite situații, anumite condiții puse sunt imaginate de om și nu copiate direct din realitate, pe când fondul de noțiuni și legile raționamentului sunt formate printr-o îndelungă practică.
Organizarea procesului de învățare a matematicii în școala noastră generală trebuie făcută în mod științific, ieșind din făgașul săpat de școala veche, întrerupând anumite obișnuințe și inerții neanalizate critic, ținând seama de rolul școlii în societatea nouă, de aspectele esențiale ale matematicii ca știință.
Programarea procesului de învățământ nu trebuie să se mărginească la întocmirea programei unui obiect de învățământ (ce anume trebuie predat). Ea trebuie neapărat să cuprindă și modalități prin care acest material urmează să fie însușit precum și programarea activității instructive însăși.
În lucrarea de față se vor găsi indicații asupra acestor probleme, pe care profesorul însuși în activitatea lui practică trebuie să le întregească, să le dea viață.
Scopul acestei lucrări este acela de a trata în linii mari cele mai importante teme din matematica de gimnaziu, precum și aspecte metodice importante pentru a prezenta matematica pe înțelesul elevilor.
Omul societății actuale are continuu preocuparea de a dezvălui noul, ascuns în condițiile rutinei; inovațiile în muncă sunt tocmai rodul unei astfel de preocupări; ceea ce rămâne ascuns celui care merge pe calea obișnuinței și a rutinei, se dezvăluie în fața celui învățat să caute implicațiile nepuse încă lumină.
Matematica are un rol important în educarea acestui spirit cercetător, trăsătura majoră a omului nou.
Trebuie să căutăm ca în toată activitatea de învățare a matematicii, în exercițiile cele mai simple, în probleme care vizează însușirea de metode sigure, în înțelegerea demonstrațiilor, în repetarea și sistematizarea cunoștințelor, în aplicarea lor în realitate, elevul să aibă pasiunea de gândi personal, de a descoperi calea cea mai simplă și cea mai rațională, de a-șimanifesta inițiativa creatoare, de a prinde gustul și aptitudinile pentru munca intelectuală și pentru aplicațiile ei.
Rolurile instructive și educative al matematicii sunt aspecte ale aceleiași realități inseparabile.
Profesorul chemat a da viață și sens major învățării matematicii are deschisă în față, în mod permanent, problema metodicii predării.
Soluția nu e niciodată închisă într-o singură formulă, universală și infailibilă. Soluția cea mai bună trebuie căutată. Ea necesită atenție, gândire, reflecție, folosirea sugestiilor altor pedagogi, a principiilor metodicii, dar, mai ales, ea izvorește din dragostea pentru copilul în dezvoltare, din dragostea pentru profesia de dascăl.
Partea I
Capitolul 1
Importanța studierii matematicii în gimnaziu
Motto: „Matematica este cheia de înțelegere a Universului”.
În epoca contemporană este nevoie de un om nou, cu o gândire creatoare, inovatoare, un explorator îndrăzneț. Apare deci necesitatea modernizării învățământului prin așezarea pe primul loc a dezvoltării capacităților intelectuale ale elevilor și priceperii de a le utiliza în mod creator.
Dacă în învățământul tradițional se punea accent pe predare de informații în cel contemporan se pune accentul pe funcția formativă a învățământului.
Matematica dispune de bogate valențe formative. Specificul activității matematice constă în faptul că ea reprezintă o tensiune, o încordare, o mobilizare a spiritului care înseamnă antrenarea intelectului, a gândirii pe prim plan.
Un învățământ matematic bine conceput oferă atât o cunoaștere activă a noțiunilor de bază ale matematicii necesare dezvoltării altor concepte matematice, cât și practica aplicării ei în activitatea ulterioară în școală dar și în viața cotidiană.
Matematica își dovedește importanța deosebită participând cu mijloace proprii la dezvoltarea personalității nu numai sub aspect intelectual ci și sub aspect estetic și moral.
Din punct de vedere al dezvoltării intelectuale învățarea matematicii exersează judecata, îl ajută pe elev să distingă adevărul științific de neadevăr, să-l demonstreze; antrenează organizarea logică a gândirii, ordonarea ideilor, recunoașterea ipotezelor și consecințelor, îl învață pe elev să distingă diversele aspecte ale unei situații, să degajeze esențialul de neesențial, formează capacitățile atenției, antrenează memoria logică, exersează analiza și sinteza, favorizează dezvoltarea imaginației creatoare, îl ajută să-și formeze simț critic constructiv, îi formează spiritul științific exprimat prin obiectivitate, precizie, gustul cercetării.
Sub aspect estetic trezește gustul față de frumusețea matematicii exprimată prin relații, formule, figuri, demonstrații, cultivă unele calități ale exprimării gândirii, cum ar fi claritatea, ordinea, conciziunea, eleganța îl face pe elev capabil să recunoască și să aprecieze legătura formală a creației artistice relevată în echilibrul arhitectural, compoziția artelor plastice, ritmuri și structuri muzicale, îl face sensibil față de frumusețea naturii și tehnicii.
Din perspectiva dezvoltării morale, matematica formează gustul pentru adevăr, obiectivitate și echitate, creează nevoia de rigoare, discernământ și probarea ipotezelor, creează nevoia de a cunoaște, a înțelege, formează deprinderi de cercetare și investigație, stimulează voința de a duce la capăt un lucru început. Ea preîntâmpină adoptarea unor atitudini nemotivate și întâmplătoare.
În ciclul gimnazial matematica este și va rămâne una din disciplinele de bază. Elevii își însușesc în această etapă noțiuni elementare cu care operează pe tot parcursul vieții.
Însușirea de către elevi a sistemului de noțiuni și cunoștințe pe care le cuprinde matematica reclamă o gândire științifică, educativă și deductivă capabilă să preia rolul conducător în desfășurarea proceselor de abstractizare și generalizare.
Matematica lucrând în prima fază cu obiecte și noțiuni concrete orientează mintea elevilor spre înțelegerea noțiunilor, spre stabilirea a ceea ce este esențial în lucruri, contribuind în felul acesta la formarea începuturilor gândirii abstracte și dezvoltarea în continuare a acesteia.
Pe plan practic se urmărește formarea capacității de a utiliza cunoștințele de matematică în rezolvarea problemelor pe care le pune viața de toate zilele, de a întrebuința aceste cunoștințe în cazuri noi, de a contribui în mod creator la soluționarea laturilor matematice ale problemelor care se ivesc la tot pasul.
Întregul randament al muncii în educare și al celei de autoeducare pe linia culturii generale și a culturii matematice este substanțial mărit cantitativ și calitativ printr-un permanent efort de autoperfecționare a cadrelor didactice.
În perioada actuală, omenirea traversează o revoluție științifico-tehnică, ca urmare a exploziei științei și tehnicii, care modifică vertiginos modul și mijloacele noastre de viață cotidiană, punându-ne în fața unei multitudini de obiecte și instrumente, mașini, instalații tehnice, de mijloace și forme de energie și de transmitere de energie și a informației.
În această postură societatea nu se mai poate dispensa de învățământ, nu mai poate funcționa fără a folosi pregătirea tuturor membrilor ei prin învățământ la diverse nivele, tendința fiind vizibil, de a se ridica întreaga masă a popoarelor la un nivel de instruire cât mai ridicat.
În ceea ce privește matematica, ramură venerabilă prin apariția ei timpurie în viața omenirii, tulburătoare prin rădăcinile ei concreteăn necesități străvechi ale vieții sociale, aceasta a știut să se înalțe printr-un proces natural și intim legat de actul cunoașterii științifice, prin clasificare, de la particular la general, de la concret la abstract, atingând chiar în antichitate culmi la care nicio altă ramură nu putea aspira.
Actualmente, necesitatea învățământului matematic a devenit atât de necesară încât aproape că nu există profesie în care aceasta să nu figureze ca un factor important în pregătirea viitorilor specialiști.
Aria acoperită de aplicațiile matematice s-a lărgit continuu ca o irigație fertilă terenuri nebănuite până în prezent, că ar putea primi fluxul fertilizat al gândirii matematice.
Prin problematica diversă și complexă care-i formează obiectul, prin solicitările la care obligă peelev, prin metodologia extrem de bogată pe care o propune, prin antrenarea și stimularea tuturor forțelor intelectuale, psihice și fizice ale elevilor, matematica contribuie la dezvoltarea personalității umane și la perfecționarea structurilor cognitive și a metodelor de cunoaștere a lumii precum și la diversificarea căilor de acțiune a omului în natură și societate.
Este obiectul de învățământ care acționează asupra tuturor trăsăturilor definitorii ale gândirii moderne: practică, globală, modelatoare operatoare, pluridisciplinară, prospectivă, etc. De aceea matematica are un rol deosebit în dezvoltarea intelectuală a omului.
Școala are obligația, așadar, să facă din studiul matematicii, nu un scop în sine, ci un instrument de acțiune eficientă, constructivă și modelatoare asupra personalității elevului. Prin intermediul matematicii, elevul trebuie să ajungă la descoperirea existentului, dar și să formuleze și să prefigureze stări esențiale în perspectiva devenirii universale și eterne a lumii.
Competențele în învățarea matematicii în gimnaziu
Studierea matematicii are o importanță deosebită prin competențele urmărite.
Prin aplicarea programelor școlare la disciplina matematică se urmărește formarea de competențe înțelese ca ansambluri structurate de cunoștințe, deprinderi și atitudini dobândite prin învățare. Aceste competențe permit identificarea și rezolvarea unor probleme specifice domeniilor de studiu, în contexte variate.
Curriculumul centrat pe competențe induce o proiectare curriculară care are în vedere focalizarea pe achizițiile finale ale învățării, accentuarea dimensiunii acționale a învățării în formarea personalității elevului și corelarea finalităților cu așteptările societății.
Competențele generale reprezintă un ansamblu structurat de cunoștințe și deprinderi pe care și-l propune să-l creeze și să-l dezvolte fiecare disciplină de studiu, pe întreaga perioadă de școlarizare.
Competențele specifice se formează pe parcursul unui an de studiu, sunt deduse din competențele generale și sunt etape în formarea acestora. Conținuturile învățării sunt mijloace prin care se urmărește formarea competențelor specifice și, implicit, a competențelor generale propuse. Ele sunt organizate tematic, în unități de conținut.
COMPETENȚE GENERALE
Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost definite
Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunțuri matematice
Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situații concrete
Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situații concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora
Analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situații-problemă
Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoștințelor din diferite domenii
Competențele cheie sunt definite ca ansambluri de cunoștințe, deprinderi și atitudini care trebuie dobândite în cadrul procesului educațional și de care fiecare elev are nevoie pentru împlinire și dezvoltare personală, manifestarea unor comportamente specifice pentru cetățenie activă, incluziune socială și pentru angajare pe piața muncii.
Structurarea acestor competențe-cheie vizează atât unele domenii științifice, precum și aspecte interdisciplinare și transdisciplinare, realizabile prin efortul mai multor arii curriculare. Aceste competențe cheie răspund obiectivelor asumate pentru dezvoltarea sistemelor educaționale și de formare profesională în Uniunea Europeană și, ca urmare, stau la baza stabilirii curriculumului pentru educația de bază. În tabelul de mai jos sunt menționate competențele-cheie europene vizate direct prin studiul matematicii.
Contribuția matematicii la formarea și dezvoltarea competențelor-cheie europene este nuanțată și diversificată, incluzând atât contribuția directă la formarea și dezvoltarea unei competențe-cheie, cât și contribuția indirectă/ transversală la formarea și dezvoltarea altor competențe-cheie. Programa școlară pentru matematică a urmărit valorizarea cadrului european al competențelorcheie la următoarele niveluri:
– formularea competențelor generale și selectarea seturilor de valori și atitudini;
– organizarea elementelor de conținut și corelarea acestora cu competențele specifice;
– elaborarea sugestiilor metodologice.
1.2. Conținutul matematicii în gimnaziu
Elementele de conținut prezentate în programă, în corelație cu competențele specifice, sunt cele din programele școlare. Proiectarea demersului didactic trebuie să aibă în vedere faptul că elementele de conținut sunt mijloace pentru realizarea competențelor specifice.
Conținuturi ale învățării – CLASA a V-a
1. Numere naturale
Scrierea i citirea numerelor naturale în sistemul de numerație zecimal; șirul numerelor naturale.
Reprezentarea numerelor naturale pe axă. Compararea, aproximarea și ordonarea numerelor naturale; probleme de estimare
Adunarea numerelor naturale; proprietăți. Scăderea numerelor naturale
Înmulțirea numerelor naturale; proprietăți. Factor comun. Ordinea efectuării operațiilor; utilizarea parantezelor: rotunde, pătrate și acolade
Ridicarea la putere cu exponent natural a unui număr natural; compararea puterilor care au aceeași bază sau același exponent
Împărțirea, cu rest zero, a numerelor naturale când împărțitorul are mai mult de o cifră
Împărțirea cu rest a numerelor naturale
Ordinea efectuării operațiilor
Noțiunea de divizor; noțiunea de multiplu. Divizibilitatea cu 10, 2, 5
Media aritmetică a două numere naturale
Ecuații și inecuații în mulțimea numerelor naturale
Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor și al inecuațiilor și probleme de organizare a datelor
2. Mulțimi
Mulțimi: descriere și notații; element, relația dintre element și mulțime (relația de apartenență)
Relația între două mulțimi (relația de incluziune); submulțime
Mulțimile și .
Operații cu mulțimi: intersecție, reuniune, diferență
Exemple de mulțimi finite; exemple de mulțimi infinite
3. Numere raționale
Fracții ordinare
Fracții echiunitare, subunitare, supraunitare
Aflarea unei fracții dintr-un număr natural; procent
Fracții echivalente. Amplificarea și simplificarea fracțiilor
Reprezentarea pe axa numerelor a unei fracții ordinare
Fracții zecimale
Scrierea fracțiilor ordinare cu numitori puteri ale lui 10 sub formă de fracții zecimale. Transformarea unei fracții zecimale, cu un număr finit de zecimale nenule, într-o fracție ordinară
Aproximări la ordinul zecimilor/sutimilor. Compararea, ordonarea și reprezentarea pe axa numerelor a fracțiilor zecimale.
Adunarea și scăderea fracțiilor zecimale care au un număr finit de zecimale nenule
Înmulțirea fracțiilor zecimale care au un număr finit de zecimale nenule
Ridicarea la putere cu exponent natural a unei fracții zecimale care are un număr finit de zecimale nenule
Ordinea efectuării operațiilor cu fracții zecimale finite
Împărțirea a două numere naturale cu rezultat fracție zecimală. Transformarea unei fracții ordinare într-o fracție zecimală. Periodicitate
Împărțirea unei fracții zecimale finite la un număr natural nenul. Împărțirea unui număr natural la o fracție zecimală finită. Împărțirea a două fracții zecimale finite
Transformarea unei fracții zecimale într-o fracție ordinară.
Ordinea efectuării operațiilor
Media aritmetică a două fracții zecimale finite
Ecuații și inecuații; probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor
4. Elemente de geometrie și unități de măsură
Dreapta, segmentul de dreaptă, măsurarea unui segment de dreaptă
Unghiul, triunghiul, patrulaterul, cercul: prezentare prin descriere și desen; recunoașterea elementelor lor: laturi, unghiuri, diagonale, centru și raza cercului
Simetria, axa de simetrie și translația: prezentare intuitivă, exemplificare în triunghi, cerc, patrulater
Cubul, paralelipipedul dreptunghic: prezentare prin desen și desfășurare; recunoașterea elementelor lor: vârfuri, muchii, fețe
Unități de măsură pentru lungime; perimetre; transformări
Unități de măsură pentru arie; aria pătratului și a dreptunghiului; transformări
Unități de măsură pentru volum; volumul cubului și al paralelipipedului dreptunghic; transformări
Unități de măsură pentru capacitate; transformări
Unități de măsură pentru masă; transformări
Unități de măsură pentru timp; transformări
Unități monetare; transformări
CONȚINUTURI – CLASA a VI-a
ALGEBRĂ
Mulțimea numerelor naturale
Operații cu numere naturale; reguli de calcul cu puteri
Divizor, multiplu. Criteriile de divizibilitate cu 10, 2, 5, 3, 9
Numere prime și numere compuse
Descompunerea numerelor naturale în produs de puteri de numere prime
Proprietăți ale relației de divizibilitate în
Divizori comuni a două sau mai multor numere naturale; c.m.m.d.c.; numere prime între ele
Multipli comuni a două sau mai multor numere naturale; c.m.m.m.c.; relația dintre c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.
Probleme simple care se rezolvă folosind divizibilitatea
Mulțimea numerelor raționale pozitive.
Fracții echivalente; fracție ireductibilă; noțiunea de număr rațional; forme de scriere a unui număr rațional
Adunarea numerelor raționale pozitive; scăderea numerelor raționale pozitive
Înmulțirea numerelor raționale pozitive
Ridicarea la putere cu exponent natural a unui număr rațional pozitiv; reguli de calcul cu puteri
Împărțirea numerelor raționale pozitive
Ordinea efectuării operațiilor cu numere raționale pozitive
Media aritmetică ponderată a unor numere raționale pozitive
Ecuații în mulțimea numerelor raționale pozitive
Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor
Rapoarte și proporții
Rapoarte; procente; probleme în care intervin procente
Proporții; proprietatea fundamentală a proporțiilor, aflarea unui termen necunoscut dintr-o proporție
Proporții derivate
Mărimi direct proporționale; regula de trei simplă
Mărimi invers proporționale; regula de trei simplă
Elemente de organizare a datelor; reprezentarea datelor prin grafice; probabilități
Numere întregi
Mulțimea numerelor întregi; opusul unui număr întreg; reprezentarea pe axa numerelor; valoare absolută (modulul); compararea și ordonarea numerelor întregi
Adunarea numerelor întregi; proprietăți
Scăderea numerelor întregi
Înmulțirea numerelor întregi; proprietăți; mulțimea multiplilor unui număr întreg
Împărțirea numerelor întregi când deîmpărțitul este multiplu al împărțitorului; mulțimea divizorilor unui număr întreg
Puterea unui număr întreg cu exponent număr natural; reguli de calcul cu puteri
Ordinea efectuării operațiilor și folosirea parantezelor
Ecuații în ; inecuații în
Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor
GEOMETRIE
Dreapta
Punct, dreaptă, plan, semiplan, semidreaptă, segment (descriere, reprezentare, notații)
Pozițiile relative ale unui punct față de o dreaptă; puncte coliniare; “prin două puncte distincte trece o dreaptă și numai una”
Pozițiile relative a două drepte: drepte concurente, drepte paralele
Distanța dintre două puncte; lungimea unui segment
Segmente congruente; mijlocul unui segment; simetricul unui punct față de un punct; construcția unui segment congruent cu un segment dat
Unghiuri
Definiție, notații, elemente; interiorul unui unghi, exteriorul unui unghi; unghi nul, unghi cu laturile în prelungire
Măsurarea unghiurilor cu raportorul; unghiuri congruente; unghi drept, unghi ascuțit, unghi obtuz
Calcule cu măsuri de unghiuri exprimate în grade și minute sexagesimale. Unghiuri suplementare, unghiuri complementare
Unghiuri adiacente; bisectoarea unui unghi
Unghiuri opuse la vârf, congruența lor; unghiuri formate în jurul unui punct, suma măsurilor lor
Congruența triunghiurilor
Triunghi: definiție, elemente; clasificarea triunghiurilor; perimetrul triunghiului
Construcția triunghiurilor: cazurile LUL, ULU, LLL. Congruența triunghiurilor oarecare: criterii de congruență a triunghiurilor: LUL, ULU, LLL
Metoda triunghiurilor congruente (introducerea noțiunilor de: axiomă, teoremă directă, ipoteză, concluzie, demonstrație, teoremă reciprocă)
Perpendicularitate
Drepte perpendiculare (definiție, notație, construcție cu echerul); oblice; distanța de la un punct la o dreaptă. Înălțimea în triunghi (definiție, desen). Concurența înălțimilor într-un triunghi (fără demonstrație)
Criteriile de congruență ale triunghiurilor dreptunghice: IC, IU, CC, CU
Aria triunghiului (intuitiv pe rețele de pătrate)
Mediatoarea unui segment; proprietatea punctelor de pe mediatoarea unui segment; construcția mediatoarei unui segment cu rigla și compasul; concurența mediatoarelor laturilor unui triunghi; simetria față de o dreaptă
Proprietatea punctelor de pe bisectoarea unui unghi; construcția bisectoarei unui unghi cu rigla și compasul; concurența bisectoarelor unghiurilor unui triunghi
5. Paralelism
Drepte paralele (definiție, notație); construirea dreptelor paralele (prin translație); axioma paralelelor
Criterii de paralelism (unghiuri formate de două drepte paralele cu o secantă)
6. Proprietăți ale triunghiurilor
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi; unghi exterior unui triunghi, teorema unghiului exterior
Mediana în triunghi; concurența medianelor unui triunghi (fără demonstrație)
Proprietăți ale triunghiului isoscel (unghiuri, linii importante, simetrie)
Proprietăți ale triunghiului echilateral (unghiuri, linii importante, simetrie)
Proprietăți ale triunghiului dreptunghic (cateta opusă unghiului de , mediana corespunzătoare ipotenuzei – teoreme directe și reciproce)
CONȚINUTURI – clasa A vii-A
ALGEBRĂ
Mulțimea numerelor raționale
Mulțimea numerelor raționale; reprezentarea numerelor raționale pe axa numerelor, opusul unui număr rațional; valoarea absolută (modulul);
Operații cu numere raționale, proprietăți
Compararea și ordonarea numerelor raționale
Ordinea efectuării operațiilor și folosirea parantezelor
Ecuația de forma
Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor
Mulțimea numerelor reale
Rădăcina pătrată a unui număr natural pătrat perfect
Algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate dintr-un număr natural; aproximări
Exemple de numere iraționale; mulțimea numerelor reale; modulul unui număr real: definiție, proprietăți; compararea și ordonarea numerelor reale; reprezentarea numerelor reale pe axa numerelor prin aproximări;
Reguli de calcul cu radicali: scoaterea factorilor de sub radical, introducerea factorilor sub radical,
Operații cu numere reale (adunare, scădere, înmulțire, împărțire, ridicare la putere, raționalizarea numitorului)
Media geometrică a două numere reale pozitive
Calcul algebric
Calcule cu numere reale reprezentate prin litere: adunare/scădere, înmulțire, împărțire, ridicare la putere, reducerea termenilor asemenea
Formule de calcul prescurtat;
Descompuneri în factori utilizând reguli de calcul
Ecuația de forma .
Ecuații și inecuații
Proprietăți ale relației de egalitate în mulțimea numerelor reale
Ecuații de forma ; mulțimea soluțiilor unei ecuații; ecuații echivalente
Proprietăți ale relației de inegalitate „” pe mulțimea numerelor reale
Inecuații de forma
Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor și inecuațiilor
Elemente de organizare a datelor
Produsul cartezian a două mulțimi nevide. Reprezentarea într-un sistem de axe perpendiculare (ortogonale) a unor perechi de numere întregi
Reprezentarea punctelor în plan cu ajutorul sistemului de axe ortogonale; distanța dintre două puncte din plan
Reprezentarea și interpretarea unor dependențe funcționale prin tabele, diagrame și grafice
Probabilitatea realizării unor evenimente
GEOMETRIE
1. Patrulatere
Patrulater convex(definiție, desen)
Suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex
Paralelogram; proprietăți
Paralelograme particulare: dreptunghi, romb și pătrat; proprietăți
Trapez, clasificare; trapez isoscel, proprietăți
Arii(triunghiuri, patrulatere)
2. Asemănarea triunghiurilor
Segmente proporționale
Teorema paralelelor echidistante. Împărțirea unui segment în părți proporționale cu numere (segmente) date. Teorema lui Thales. Teorema reciprocă a teoremei lui Thales
Linia mijlocie în triunghi; proprietăți. Centrul de greutate al unui triunghi
Linia mijlocie în trapez; proprietăți
Triunghiuri asemenea
Criterii de asemănare a triunghiurilor
Teorema fundamentală a asemănării
3. Relații metrice în triunghiul dreptunghic
Proiecții ortogonale pe o dreaptă
Teorema înălțimii
Teorema catetei
Teorema lui Pitagora; teorema reciprocă a teoremei lui Pitagora
Noțiuni de trigonometrie în triunghiul dreptunghic: sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi ascuțit
Rezolvarea triunghiului dreptunghic
4. Cercul
Cercul: definiție; elemente în cerc: centru, rază, coardă, diametru, arc; interior, exterior; discul
Unghi la centru; măsura arcelor; arce congruente
Coarde și arce în cerc (la arce congruente corespund coarde congruente, și reciproc; proprietatea diametrului perpendicular pe o coardă; proprietatea arcelor cuprinse între coarde paralele; proprietatea coardelor egal depărtate de centru)
Unghi înscris în cerc; triunghi înscris în cerc
Pozițiile relative ale unei drepte față de un cerc; tangente dintr-un punct exterior la un cerc; triunghi circumscris unui cerc
Poligoane regulate: definiție, desen
Calculul elementelor (latură, apotemă, arie, perimetru) în următoarele poligoane regulate: triunghi echilateral, pătrat, hexagon regulat
Lungimea cercului și aria discului
CONȚINUTURI – CLASA A viii-A
ALGEBRĂ
Numere reale
Reprezentare numerelor reale pe axa numerelor prin aproximări.
Modulul unui număr real.
Intervale de numere reale
Operații cu numere reale; raționalizarea numitorului de forma sau ,
,
Calcule cu numere reale reprezentate prin litere;
Formule de calcul prescurtat:
Descompuneri în factori (factor comun, grupare de termeni, formule de calcul)
Rapoarte de numere reale reprezentate prin litere; operații cu acestea (adunare, scădere, înmulțire, împărțire, ridicare la putere)
Funcții
Noțiunea de funcție
Funcții definite pe mulțimi finite exprimate cu ajutorul unor diagrame, tabele, formule; graficul unei funcții, reprezentarea geometrică a graficului
Funcții de tipul unde sau o mulțime finită; reprezentarea geometrică a graficului funcției f ; interpretare geometrică
Ecuații, inecuații și sisteme de ecuații
Ecuații de forma unde a și b sunt numere reale
Ecuații de forma, unde a, b, c sunt numere reale,
Sisteme de ecuații de forma
unde sunt numere reale; rezolvare prin metoda substituției și/sau prin
metoda reducerii; interpretare geometrică
Ecuația de forma , unde
Inecuații de forma
Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor, inecuațiilor și a sistemelor de ecuații
GEOMETRIE
Relații între puncte, drepte și plane
Puncte, drepte, plane: convenții de desen și de notație
Determinarea dreptei; determinarea planului
Piramida: descriere și reprezentare; tetraedrul
Prisma: descriere și reprezentare; paralelipipedul dreptunghic; cubul
Poziții relative a două drepte în spațiu; relația de paralelism în spațiu
Unghiuri cu laturile respectiv paralele (fără demonstrație); unghiul a două drepte în spațiu; drepte perpendiculare
Poziții relative ale unei drepte față de un plan; dreapta perpendiculară pe un plan; distanța de la un punct la un plan (descriere și reprezentare); înălțimea piramidei (descriere și reprezentare)
Poziții relative a două plane; plane paralele; distanța dintre două plane paralele (descriere și reprezentare); înălțimea prismei (descriere și reprezentare); secțiuni paralele cu baza în corpurile geometrice studiate
Trunchiul de piramidă: descriere și reprezentare
Proiecții ortogonale pe un plan
Proiecții de puncte, de segmente de dreaptă și de drepte pe un plan
Unghiul dintre o dreaptă și un plan; lungimea proiecției unui segment
Teorema celor trei perpendiculare; calculul distanței de la un punct la o dreaptă; calculul distanței de la un punct la un plan; calculul distanței dintre două plane paralele
Unghi diedru; unghi plan corespunzător diedrului; unghiul dintre două plane; plane perpendiculare
Calcul de arii și volume
Paralelipipedul dreptunghic, cubul: descriere, desfășurare, aria laterală, aria totală și volum
Prisma dreaptă cu baza: triunghi echilateral, pătrat, dreptunghi, hexagon regulat: descriere, desfășurare, aria laterală, aria totală și volum
Piramida triunghiulară regulată, tetraedrul regulat, piramida patrulateră regulată, piramida hexagonală regulată: descriere, desfășurare, aria laterală, aria totală și volum
Trunchiul de piramidă triunghiulară regulată, trunchiul de piramidă patrulateră regulată: descriere, desfășurare, aria laterală, aria totală, volum
Cilindrul circular drept, conul circular drept, trunchiul de con circular drept: descriere, desfășurare, secțiuni paralele cu baza și secțiuni axiale; aria laterală, aria totală și volumul.
Sfera: descriere, aria, volumul.
Capitolul 2. Noțiunea de metodică
Prin metodică se înțelege acea parte a didacticii generale care tratează despre principiile și regulile de predare proprii fiecărui obiect de studiu.
Metodica predării matematicii este o disciplină de graniță între matematică, pedagogie și psihologie. Obiectul ei de studiu se conturează din analiza relațiilorbei cu matematica și pedagogia.
Metodica predării matematicii studiază învățământul matematic sub toate aspectele: conținut, metode, forme de organizare, etc.
Metodica predării matematicii pentru învățământul gimnazial trebuie să indice cum să se organizeze predarea-învățarea eficientă a noțiunilor de aritmetică, algebră și geometrie.
Matematica constituie conținutul asupra căruia metodica predării își exersează metodele. Ea se adaptează și devine specifică acestui conținut. Prin acest fapt devine o disciplină matematică.
Metodica predării matematicii are ca obiect analizarea legităților procesului studierii matematicii în școală , cu toate implicațiile informative și formative ale acestei activități.
Ea are o triplă valență: teoretică, de fundamantare prin cercetare și explicare logico-științifică și didactică a procesului învățării matematicii; practică-aplicativă, de fundamantare a bazelor elaborării normelor privind organizarea și conducerea științifică a activității de învățare a matematicii: de dezvoltare, creare și ameliorare continuă a demersurilor și soluțiilor metodice specifice acestei activități, în vederea obținerii unei eficiențe tot mai înalte.
Pe baza cunoașterii celor doi factori principali, matematica și elevul, metodica predării învățării matematicii analizează în spiritul logicii științelor moderne: competențele, conținuturile, strategiile didactice, mijloacele de învățământ folosite , formele de activitate și de organizare a elevilor, modalitățile de evaluare a randamentului și progresului școlar, bazele cultivării unor repertorii motivaționale favorabile învățării matematicii. Ea își propune totodată să ofere alternative teoretico-metodologice, norme și modele posibile de lucru care să asigure optimizarea învățământului matematic în ciclul gimnazial.
Principalele sarcini ale metodicii predării matematicii sunt:
– selectarea din matematica-știință a conceptelor, rezultatelor și ideilor fundamentale care vor fi predate elevilor, urmată de organizarea lor pe anumite trepte de atractivitate și prin anumite grade de rigoareși complexitate;
– identificarea principalelor trăsături, instrumente, metode și aplicații, caracteristice diferitelor discipline matematice și indicarea tiparelor de gândire matematică accesibile elevilor la diferite vârste;
– investigarea modului în care cunoștințele matematice devin utile altor discipline;
– detalierea metodologică a fiecărei teme de studiu indicând căile potrivite pentru explicarea ei cât mai accesibilă;
– stabilirea mijloacelor specifice de control a activității matematice a elevilor, a mijloacelor specifice de evaluare a progresului de învățare;
– indicarea modului de organizare a studiului individual cu referire la folosirea manualelor, a revistelor de matematică, a culegerilor de probleme, a unor activități din afara clasei, cercuri de matematică, olimpiade;
– stabilirea liniilor directoare în organizarea procesului predării-învățării matematicii;
– oferirea de răspunsuri adecvate varietății de situații educaționale întâlnite în practică.
2.1. Principiile didacticii în predarea matematicii
Principiile procesului de învățământ sau principiile didacticii sunt norme generale care stau la baza proiectării, organizării și desfășurării activităților de predare – învățare, în vederea realizării optime a obiectivelor educaționale.
Principiile didacticii utilizate în predarea matematicii sunt următoarele:
Principiul participării conștiente și active a elevilor în activitatea de predare-învățare –evaluare.
Principiul caracterului intuitiv al învățământului.
Principiul legării teoriei de practică.
Principiul învățământului sistematic și continuu.
Principiul însușirii temeinice a cunoștințelor.
Principiul respectării particularităților de vârstă și individuale.
Principiul accesibilității cunoștințelor, priceperilor și deprinderilor.
Principiul conexiunii inverse.
Principiul caracterului științific al învățământului matematic.
Principiul motivației optime.
Principiul problematizării.
Principiul educației permanente și continue.
Principiul participării conștiente și active a elevilor în activitatea
de predare-învățare-evaluare
Premisa de la care se pleacă în acest principiu este că elevul trebuie considerat un subiect al învățării, implicat și cointeresat activ în a cunoaște și a face. Cunoașterea prezintă mai multe niveluri:
• mecanică – receptează, reține și folosește informația în mod brut (de exemplu o regulă).
• inductivă – folosește regula de mai multe ori și vede că funcționează corect, inclusiv în circumstanțe mult schimbate.
• rațională – înțelege mecanismul și poate să aplice regula cu oarecare variații.
• integrativă – înglobează regula într-un sistem și poate să o folosească adaptând-o creativ.
Învățarea conștientă se bazează în primul rând pe structura cognitivă preexistentă a elevului și pe natura materialului de învățat. Trebuie descurajată însușirea mecanică a cunoștințelor. De aceea, în procesul de predare–învățare-evaluare, profesorul trebuie să parcurgă următoarele etape principale:
• să reactualizeze atent cunoștințele anterioare ale elevilor care îi sunt necesare;
• să marcheze, când este cazul, că aceste cunoștințe pot fi completate într-o anumită direcție;
• să prezinte cunoștințele noi pe pași: itemi ușor de învățat succesiv, dar cu semnificația lor logică;
• să se asigure că fiecare secvență este urmărită atent și conștient, realizându-se reconexarea logică a secvențelor;
• să verifice prin exerciții sau întrebări nivelul de înțelegere;
• să fixeze noile cunoștințe în structura cognitivă a elevului.
Principiul caracterului intuitiv al învățământului
Conceptul de intuiție în pedagogie are sensul de cunoaștere directă, prin intermediul analizatorilor, al obiectelor și fenomenelor. Intuiția se concretizează într-o imagine care este totdeauna concretă, individualizată. Ca urmare, concretețea poate fi de ordin obiectural (un obiect poate fi atins, văzut, manipulat), dar și de ordin logic (unele cuvinte sunt mai concrete sau mai abstracte, de exemplu conceptul de caiet este mai concret decât cel de relație).
Elevii trebuie să treacă prin etapa operării directe cu obiecte sau imagini ale acestora pentru a ajunge la nivelul gândirii abstracte.
De exemplu, în clasa a VI-a, se introduce în mod intuitiv simetria în raport cu un punct sau o dreaptă. Pentru a diversifica activitatea, se pot studia axele și centrele de simetrie pentru figuri simple: litere, panouri rutiere.
Rolul axelor și centrelor de simetrie poate fi evidențiat reconstituind figuri care au fost parțial șterse, dar la care se cunosc centrele/ axele de simetrie, realizând frize sau modele obținute prin construcția simetricului figurii alese în raport cu un punct și/sau o dreaptă dată. Cu aceste exerciții se evaluează nivelul de înțelegere al noțiunilor predate, elevul fiind nevoit să aplice practic cele învățate.
De asemenea, rezolvând în clasa a VIII-a sisteme de inecuații liniare (cu 2 necunoscute) mai întâi pe cale grafică, se intuiește mai ușor modul de determinare a soluțiilor (dacă ele există).
La descrierea corpurilor geometrice se pot folosi exemple atractive, care fac legătura cu alte discipline și care oferă și informații noi. De exemplu, la piramidele patrulatere regulate putem considera două piramide celebre, precizând și dimensiunile lor: piramida lui Keops ( h =138 m, b = 230 m) și cea de la Luvru ( h = 21 m, b = 34 m). Pentru acestea, cerem:
• să se calculeze volumele și să se compare (de câte ori este mai mic volumul piramidei Luvrului decât cel al piramidei lui Keops);
• să se afle aria totală a plăcilor de sticlă care acoperă piramida de la Luvru.
La prezentarea conului putem folosi exerciții de tipul:
• Pălăriile chinezești au forma unui con în care înălțimea este egală cu raza cercului de bază. Aflați unghiul de la vârful conului;
• Vulcanul Orono din Chile are forma unui con aproape perfect de înălțime h = 266 m. Știind că măsura unghiului de la vârf este de aproximativ 130°, calculați raza cercului de bază;
• Zona de protecție a unui paratrăznet este un con a cărui înălțime este jumătate din lungimea razei cercului de bază. Presupunem că un paratrăznet este situat la 30 m de sol, pe o clădire aflată la 24 m distanță de o casă. Dacă considerăm că terenul este orizontal, putem preciza dacă acea casă este situată în totalitate în conul de protecție al paratrăznetului? Ce mai trebuie să determinăm pentru a putea da un răspuns la problema propusă?
Considerăm că la corpuri geometrice cum sunt piramidele și prismele, foarte importante sunt desfășurările plane ale acestora.
Elevii își pot dezvolta reprezentarea spațială, imaginația, încercând ca din anumite desfășurări plane să vadă dacă se pot reconstitui piramide și prisme.
În enunțarea definițiilor sau teoremelor putem folosi exemple și reprezentări intuitive, iar în demonstrații și în rezolvarea problemelor anumite analogii utilizate pot crea un sprijin intuitiv pentru elevi.
O latură importantă a principiului enunțat este analiza raporturilor dintre general și particular. Prin anumite particularizări putem intui cerința unei probleme. De asemenea, unele probleme admit generalizări.
Principiul legării teoriei de practică
Spre deosebire de alte științe cum ar fi biologia, fizica, chimia, legăturile matematicii cu realitatea nu sunt atât de ușor de remarcat. Conexiunile bilaterale existente între aceasta și multe alte științe, l-au determinat pe academicianul Solomon Marcus să denumească matematica „o punte de legătură între toate disciplinele”.
Sublinierea caracterului puternic interdisciplinar al matematicii crează motivații puternice pentru învățarea acesteia. Elevii vor realiza că domeniile de aplicabilitate sunt foarte numeroase și că profesia de matematician oferă variate posibilități, dacă nu în prezent, mai mult ca sigur, în viitor.
Noțiunile matematice predate în școală asigură bagajul necesar frecventării cursurilor unei facultăți care studiază discipline ce aplică aparatul matematic în teorie și practică. Aici, studenții vor întâlni aplicații complexe ce modelează matematic procese tehnologice din diverse domenii (tehnic, informațional, economic, lingvistic, medical, etc.).
Principiul corelației dintre teorie și practică subliniază faptul că tot ceea ce se însușește în activitatea didactică trebuie valorificat în activitățile ulterioare, fie că acestea sunt activități de învățare sau activități materiale.
În cazul matematicii școlare, latura practică este considerată a fi alcătuită din algoritmi ce se obțin în urma unei teorii prezentate, din seturi de exerciții și probleme, etc.
Este indicat să se sublinieze aplicații ale matematicii în viața curentă (calcule, măsuri, dobânzi, ecuații, etc.). De exemplu, în clasa a VI-a, elevii încep să studieze despre „rapoarte și proporții”. Această temă presupune multe aplicații practice. Este evident că toți vor lega noțiunea de procent de exercițiile cu conținut economic. Mai putem considera următorul exercițiu (la nivelul clasei a VII-a):
Mergând cu mașina, întâlnim la un moment dat un panou de semnalizare rutieră care avertizează că urmează o coborâre periculoasă (panta specificată este de 10%). Determinați măsura unghiului α al pantei.
Procentul din enunț reprezintă raportul dintre diferența de altitudine a două puncte (unul pe planul înclinat și celălalt la baza acestuia) și distanța orizontală dintre acestea. Astfel, tg α = 0,1. Folosind tabelele trigonometrice, obținem o valoare aproximativă α = 5°42'. Problema poate fi pusă și invers: știind măsura unghiului, să se determine panta corespunzătoare.
Mărimile direct și invers proporționale sunt întâlnite și ele în situații variate. Astfel, se pot rezolva multe exerciții și probleme care modelează situații cotidiene (probleme de tipul „la cumpărături”, „echipe de muncitori”, de deplasare, de transport).
Elevii au folosit deja hărți la istorie, geografie, au văzut în manualul și atlasul de biologie imagini realizate cu ajutorul microscopului electronic. Putem defini scara de realizare a unei hărți ca fiind raportul dintre unitatea de distanță de pe hartă și distanța corespunzătoare în realitate. Ca aplicații practice, putem propune: calcularea distanței minime dintre două orașe având la dispoziție o hartă rutieră, citirea și realizarea planului unui apartament (sunt activități pe care, în mod sigur, le vor efectua la un moment dat).
În clasa a VII-a, rapoartele și proporțiile sunt formate cu lungimi de segmente. Trebuie subliniate aici aplicații ale teoremei lui Thales și ale reciprocei sale: determinarea înălțimii unui copac, turn (se poate aminti modul în care Thales calcula înălțimea unei piramide folosind un băț); împărțirea unui segment într-un raport număr rațional dat; găsirea lungimii unui segment; demonstrarea paralelismului unor drepte.
Reprezentarea datelor prin grafice (cu bare) și elementele de organizarea datelor predate în clasa a VI-a, se continuă în clasa următoare folosind tabele, diagrame și grafice pentru reprezentarea anumitor dependențe funcționale. Elevii au întâlnit deja astfel de reprezentări la alte materii (istorie, geografie, biologie, fizică). Considerăm că este important ca ei să poată „citi” și realiza grafice, histograme, diagrame circulare, piramide de populație; să înțeleagă semnificația matematică a acestora; să știe domeniile în care este recomandată folosirea fiecărui tip de reprezentare prezentat. Prin aceste activități, elevii se vor familiariza cu câteva noțiuni introductive de statistică.
Matematica trebuie să fie astfel învățată încât elevul să o poată folosi în viața de zi cu zi, adică să o învețe astfel încât să poată realiza legătura dintre abstracțiile matematice și ceea ce în mod curent se numesc aplicațiile practice ale matematicii.
Legarea teoriei matematice de aplicațiile ei practice se poate realiza mai ales în două forme: prin aplicarea cunoștințelor în probleme practice și prin folosirea experienței de viață a elevilor în predarea cunoștințelor, pentru desprinderea faptelor matematice.
Ambele aspecte se pot urmări cu ușurință și aproape permanent la aritmetică, ceva mai greu la algebră sau geometrie, unde sunt și capitole la care aplicațiile practice direct sunt puține.
Capacitatea elevilor de a aplica în practică, în viața cotidiană, cunoștințele matematice este condiționată de nivelul de cunoștințe dobândite precum și de formarea deprinderilor de calcul formate în gimnaziu astfel încât să poată calcula cu ușurință atât mintal cât și în scris.
Prin predarea matematicii se pot însă forma și alte deprinderi utile pentru activitatea practică de mai târziu a elevilor, ca deprinderea de a măsura și a aprecia din ochi măsurile, deprinderea de a mânui instrumentele și a construi figuri geometrice, pe hârtie sau pe teren.
Principiul legării teoriei de practică trebuie însă respectat în toată activitatea didactică, nu numai la aplicarea cunoștințelor, ci și la predarea lor. Materialul didactic, exemplele folosite, trebuie să fie luate din experiența de zi cu zi a elevilor și treptat din practica economică și socială accesibilă înțelegerii lor.
La final am anexat o poză cu o planșă pe care am realizat-o împreună cu elevii cu domeniile în care se aplică matematica în viața de zi cu zi. (Anexa 1)
Principiul învățământului sistematic și continuu
Învățământul sistematic și continuu este realizat de planurile de învățământ, la nivelul ansamblului mai multor discipline; de programa analitică, pentru structurarea disciplinei și a capitolelor acesteia; de planurile de lecții realizate de fiecare profesor.
Cunoștințele noi trebuie să aibă legătură cu ceea ce s-a însușit până la momentul respectiv (realizându-se continuitatea învățării). Deoarece acestea se integrează treptat, în sisteme din ce în ce mai complexe, se ajunge la sistematizare.
Predarea sistematică poate fi asigurată prin însăși logica de constituire a disciplinei. Ordonarea unei discipline poate fi liniară – se predau cunoștințele fără a se reveni și a îmbogăți fondul inițial; concentrică sau în spirală – se revine la fondul inițial de informații care se amplifică cu noi date ce pot fi asimilate la vârste diferite; genetică sau istorică – se prezintă procesele și fenomenele în raport cu temporalitatea istorică.
Sistematizarea în spirală este preferată în predarea matematicii. Cunoștințele de algebră și de geometrie dobândite în clasele de gimnaziu asigură formarea unei structuri cognitive operaționale și a unei baze acceptabile de modelare intuitivă. Aceste discipline sunt continuate și sistematizate apoi în liceu.
Principiul însușirii temeinice a cunoștințelor
Îndeplinirea acestui principiu presupune că elevul poate folosi cunoștințele dobândite în activități ulterioare aplicative cât și la autoinstruire. Pentru a asigura o învățare temeinică și durabilă se cere:
• o atentă dimensionare a cantității și calității informației date și a cerințelor;
• informația trebuie introdusă graduat, valorificându-se de fiecare dată vechile date, prin
corelare cu cele noi;
• reanalizarea noțiunilor dobândite prin recapitulare;
• stimularea motivației și creșterea capacității de autoevaluare.
În concluzie, acest principiu se opune superficialității în învățare: învățare în salturi, cu lacune, învățare formală.
Principiul respectării particularităților de vârstă și individuale
Actul de comunicare între profesor și elev se face pornind de la niveluri diferite de dezvoltare a gândirii. Astfel, profesorul trebuie să își conceapă lecția în vocabularul și în formele de gândire specifice elevului de diferite vârste.
Pentru aceasta trebuie să se țină cont de reperele psihogenetice relevante pentru dezvoltarea intelectuală:
• până la 6-7 ani domină gândirea în imagini, cantonată în concret și în actual, care acumulează informații prin percepție, dar acestea rămân disparate.
• între 6-7 ani și 11 ani copilul are o gândire concretă: percepția lucrurilor rămâne globală, domină operațiile concrete (de exemplu, verificarea proprietății de tranzitivitate a unei relații o poate face pe elemente concrete, nu pe un material pur verbal); anumite raționamente deductive de genul „dacă… atunci” pot fi realizate pe exemple; clasificările se realizează pe baza unui singur criteriu, raționamentul este progresiv, de la cauză la efect.
• gândirea formală, abstractă începe să se contureze pe la 10-11 ani și devine sistematică pe la 14-15 ani: se dezvoltă demersul analitico-sintetic; se multiplică punctele de vedere; stăpânește instrumentele deductive; se instituie demersul ipotetico-deductiv; clasificările se realizează pe mai multe criterii; alternează raționamentele directe cu cele inverse; demersul progresiv cu cel regresiv.
• în perioada adolescenței, între 14-15 ani și 18-19 ani, gândirea devine din ce în ce mai independentă și creativă. Inteligența teoretică permite elevului să elaboreze judecăți de valoare, să-și pună probleme și să le rezolve; poate efectua raționamente de toate categoriile: ipotetico-inductive și combinatorii, generalizând operațiile de clasificare și seriere.
De exemplu:
1. Noțiunea de ecuație poate fi introdusă ca o egalitate valabilă pentru anumite valori date literelor.
2. Formulele de calcul prescurtat nu reprezintă doar formule ce trebuie memorate, ci ele rezultă în urma unui raționament care poate fi oricând refăcut. Dacă lucrăm în planul simbolurilor sau al semnelor într-o etapă mai timpurie de dezvoltare intelectuală (înainte de vârsta de 10 ani) riscăm să pierdem semnificația acestora.
Mai mult, există ritmuri diferite de asimilare în clasă, niveluri diferite de inteligență școlară și de motivație de care trebuie să se țină cont. Fiecare profesor are obligația de a trata diferențiat, în funcție de calitățile psihice individuale, fiecare elev. În acest scop se pot folosi mai multe procedee, cum ar fi:
1. acțiuni individualizate subordonate activităților frontale – profesorul are în atenție câțiva elevi, în timp ce ceilalți continuă să-și realizeze sarcinile;
2. acțiuni individualizate în cadrul procesului de învățământ, dar realizate în afara acestuia – teme diferențiate pentru acasă, recomandarea unei bibliografii suplimentare;
3. activități pe grupe de nivel – împărțirea clasei în grupe relativ apropiate sub aspectul potențialului intelectual, fiecare cu sarcini diferite, pe măsura grupelor respective;
4. activități în clase speciale – pentru elevi cu abilități deosebite sau pentru elevi cu handicapuri.
Principiul accesibilității cunoștințelor, priceperilor și deprinderilor
Principiul accesibilității este o consecință a principiului precedent și presupune ca materialul prezentat să poată fi asimilat la vârsta respectivă, pe baza cunoștințelor anterioare, în timpul prevăzut, iar activitățile cerute elevilor să se poată realiza fără a diminua timpul necesar pentru odihnă, divertisment, alte activități desfășurate de către elev.
Ca urmare, profesorul trebuie să capteze atenția elevului prin explicații, conversație euristică; definirea oricărei noțiuni să fie însoțită de exemple, de reprezentări intuitive.
Principiul conexiunii inverse
Pentru a putea controla activitatea de învățare-predare și a o optimiza, este necesară evaluarea sa. Aceasta se realizează prin: stimularea elevilor la autoevaluare, verificarea continuă a temei și prin valorificarea „greșelilor.” Profesorul trebuie să sublinieze erorile tipice ce pot apărea într-o secvență de cunoștințe pentru a preveni apariția lor.
Principiul caracterului științific al învățământului matematic
Acest principiu este asigurat în primul rând de corectitudinea informațiilor matematice ce provin, în special, prin manuale, de nivelul de rigoare adoptat în predarea matematicii și de însușirea unui limbaj științific, cel specific disciplinei.
Principiul motivației optime
Orice acțiune de învățare școlară prezintă două aspecte: aspectul motivațional și aspectul procesual al învățării.
Există o lege a optimului motivațional. Cum orice act de învățare este plurimotivat, din compunerea motivelor și imboldurilor apare un grad de motivație față de sarcina respectivă, care capătă expresie concretă într-o anumită mobilizare energetică numită nivel de activare cerebrală. Sub un nivel minim de activare învățarea nu are loc; randamentul crește paralel cu nivelul activării până la un nivel critic, după care, un plus de activare conduce la un declin al prestației. Există astfel un optim motivațional, situat între nivelul minim și cel maxim al activării, care diferă de la o persoană la alta în funcție de gradul de dificultate al sarcinii, de aptitudini, de echilibrul emotiv, temperamental.
Practic, învățarea are la bază motive externe, cum ar fi lauda, nota, pedeapsa, cât și motive interioare (enumerate mai sus). Nivelul de motivare este întreținut și de conștiința unui spor de cunoștințe, de nevoia de deprinderi de tehnici, de crearea unor situații problemă, de demonstrații.
Principiul problematizării
Acest principiu este introdus de metodiștii de specialitate fiind caracteristic predării matematicii, el neregăsindu-se în sistemul principiilor didacticii.
În matematică, un exercițiu presupune în general o abordare algoritmică (operații de recunoaștere, transfer specific, aplicare simplă de proprietăți), pe când o problemă presupune o abordare euristică (operații de analiză, sinteză, evaluarea unor variante). Problemele sunt considerate în matematica școlară concretul.
Principiul problematizării presupune realizarea unei corelații între teoria matematică și probleme. De obicei, procesul de predare trebuie să înceapă cu crearea unei situații problematice care să justifice demersul rezolutiv, activizează și conștientizează elevii. Aceste situații problematice se transformă pe parcursul predării și învățării teoriei în probleme care necesită de multe ori anumite aprofundări teoretice și, astfel, ciclul inițial se reia.
Acest principiu își afirmă importanța prin faptul că ușurează dezvoltarea la elevi a unor strategii de rezolvare care se cristalizează în strategii cognitive, un pas de început într-o activitate de cercetare.
Principiul educației permanente și continue
Dacă ținem cont de varietatea situațiilor de învățare și de gradul diferit de intenționalitate acțională, putem evidenția mai multe forme de educație:
• educația formală, care cuprinde totalitatea influențelor intenționate și sistematice, elaborate în cadrul unor instituții instituționalizate (școală, universitate), în vederea formării personalității umane.
• educația nonformală, care se referă la toate influențele educative derulate în afara clasei sau prin intermediul unor activități opționale sau facultative.
• educația informală, care include totalitatea informațiilor neintenționate, difuze, eterogene, cu care este confruntat orice individ în practica de toate zilele, dar care nu sunt selectate din punct de vedere pedagogic.
Studiul matematicii se concentrează în cea mai mare parte a sa în educația formală. O pondere mai mică se încadrează în educația nonformală și informală, cum anumite influențe educaționale se exercită prin intermediul cercurilor, olimpiadelor școlare, concursurilor, massmedia.
Capitolul 3. Elemente orientative în proiectarea didactică
Proiectarea didactică este procesul de anticipare a obiectivelor, conținuturilor, metodelor și mijloacelor de învățare, a instrumentelor de evaluare și a relațiilor ce se stabilesc între toate aceste elemente în contextul unei modalități specifice de organizare a activității didactice(lecție, excursie didactică).
În activitatea de proiectare a activităților didactice profesorul este obligat să-și proiecteze, prin gândire și imaginație anticipative, scopul(finalitatea) și obiectivele pe care le urmărește în predarea disciplinei de studiu pentru a obține din partea elevilor performanțe concret, observabile și măsurabile.
Scopul îi indică profesorului ce trebuie să învețe elevul și direcția tuturor acțiunilor întreprinse în procesul de învățare.
Obiectivele desemnează ce modificare a comportamentului elevului se va produce prin învățarea unui anumit conținut științific. Dacă scopul arată direcția instruirii, obiectivele exprimă rezultatul ce se dorește a fi obținut prin proiectare și realizarea unei activități didactice. În funcție de nivelul de la care privim procesul educațional, distingem și obiectivele acestuia, ierarhizate de la general la particular și care ne ajută în buna organizare a lecțiilor.
La primul nivel, cel mai general și cel mai sintetic, se situează competențele generale care se stabilesc și se urmăresc prin întregul proces de învățământ pe o lungă perioadă de timp(ciclu de școlarizare).
La al doilea nivel- intermediar- se află competențele specifice disciplinei școlare, enunțate de obicei în programa fiecărei discipline.
La al treilea nivel, care are caracter aplicativ, se realizează operaționalizarea obiectivelor sau derivarea competențelor urmărite de către profesor pe parcursul unui capitol din programă, al unei lecții sau, uneori, chiar al unei secvențe dintr-o lecție.
Tipuri fundamentale de proiectare didactică
În funcție de perioada de timp luată ca referință, se pot distinge două tipuri de proiectare:
proiectare globală
proiectare eșalonată
Proiectarea globală are ca referință o perioadă mai mare de instruire – ciclu sau an de
studii – și operează cu obiective, conținuturi și criterii de evaluare mai largi, ce au în vedere activitățile din instituțiile școlare. Concretizarea acestui tip de proiectare se realizează prin dimensionarea planurilor de învățământ și a programelor analitice.
Proiectarea globală are drept rezultate:
Curriculum Național
planurile cadru de învățământ
programele școlare
Proiectarea eșalonată se materializează prin elaborarea programelor de instruire specifice unei discipline și apoi unei lecții, aplicabilă la o anumită clasă de elevi.
Proiectarea globală creează cadrul, limitele și posibilitățile proiectării eșalonate. Cadrul didactic realizează o proiectare eșalonată, prin vizarea unei discipline sau a unui grup de discipline, relaționându-se în trei planuri temporale:
anul școlar
semestrul școlar
ora școlară.
Proiectarea eșalonată are drept rezultate:
planificarea anuală și semestrială
proiectarea unităților de învățare
proiectarea lecțiilor.
Proiectarea unei discipline pentru un an școlar se realizează prin planificarea eșalonată pe lecții și date temporale exacte, de predare a materiei respective.
Documentul orientativ în realizarea acestei operații este programa școlară, ce indică în mod riguros capitolele, temele și subtemele cu numărul corespunzător de ore pentru tratarea acestora.
3.1. Planificarea calendaristică
Planificarea calendaristică este un document administrativ ce cuprinde succesiunea unităților de învățare și asociază, într-un mod personalizat, elemente ale programei (competențe specifice și conținuturi) cu alocarea de timp considerată optimă de către cadrul didactic pe parcursul unui semestru, respectiv an școlar.
Pentru realizarea planificărilor calendaristice(semestriale și anuale) este necesară selectarea competențelor specifice pe care urmează să le realizeze și să aleagă din programă acele conținuturi care permit atingerea obiectivelor propuse. Modalitatea de asociere este la latitudinea cadrului didactic, dar trebuie avut în vedere faptul că, pentru o competență să fie dobândit trebuie să se ofere elevului cât mai multe contexte noționale de exersare.
Modul diferit în care competențele specifice pot fi asociate cu conținuturile în diferite unități de învățare, cu durată diferită și cu activități de învățare diferite se traduce prin lectura personalizată a programei școlare.
Datorită acestei libertăți pe care profesorul o are în procesul de asociere a competențelor specifice – conținuturi, demersul de proiectare se focalizează pe beneficiarul acțiunii educaționale, dobândește unicitate și amprenta personală a fiecărui cadru didactic.
Planificărea calendaristică poate fi întocmită pornind de la următoarea structură:
Unitatea de învățare se indică prin titluri(teme, capitole) stabilite de către profesor.
Competențele specifice se indică prin numerele de ordine din programa școlară.
Conținuturile sunt selectate din lista de conținuturi a programei.
Numărul de ore alocate se stabilește de către profesor în funcție de experiența sa și de nivelul de achiziții a elevilor clasei.
Rubrica observații poate cuprinde eventualele modificări determinate de aplicarea efectivă.
În Anexă am prezentat una dintre planificările calendaristice „reale” pe care le-am realizat de-a lungul timpului (Anexa 2).
3.2. Proiectarea didactică a unei unități de învățare
Unitatea de învățare reprezintă o structură didactică deschisă și flexibilă formată din competențe generale, conținuturi, activități de învățare și resurse educaționale care are
următoarele caracteristici:
– determină formarea unui comportament specific prin integrarea unor competențe specifice
– este unitară din punct de vedere tematic
– se desfășoară în mod continuu pe o perioadă de timp și se finalizează prin evaluare.
Ca sistem de lecții, unitatea de învățare a fost concepută de B.S. Bloom pentru a putea compensa diferențele de ritm de învățare dintre elevi și diferențele de timp necesar învățării pentru fiecare elev.
Metodologia de proiectare a unei unități de învățare este centrată pe un proces de asociere a competențelor specifice cu conținuturile și alegerea resurselor adecvate în vederea atingerii setului de competențe.
Etapele proiectării sunt aceleași oricare ar fi unitatea de învățare vizată și presupune structurarea proiectării în modul următor:
Rubrica conținuturi cuprinde detalieri de conținuturi necesare în explicitarea anumitor parcursuri.
Competențele specifice se indică prin numerele de ordine din programa școlară.
Activitățile de învățare pot fi cele din programa școlară, completate, modificate sau chiar înlocuite cu altele adecvate pentru atingerea obiectivelor propuse.
Rubrica resurse cuprinde specificări de timp, de loc, forme de organizare a clasei, etc.
În rubrica evaluare se menționează instrumentele aplicate la clasă.
În Anexă am prezentat una dintre proiectările pe unități de învățare pe care le-am realizat de-a lungul timpului (Anexa 3).
Proiectarea lecțiilor de matematică
Proiectarea unei lecții este operația de identificare a secvențelor instrucționale ce se derulează în cadrul unui timp determinat, de obicei o oră școlară. Documentul care ordonează momentele lecției cu funcțiile adiacente are un caracter tehnic și normativ și se numește proiect de lecție, proiect de tehnologie didactică, plan de lecție, proiect didactic, scenariu didactic, etc.
Întrebările esențiale implicate în elaborarea oricărui proiect de lecție, cu conținut matematic, sunt următoarele:
1. Ce este de realizat? Ce obiective sunt formulate și în corelație cu ce finalitate generală?
2. Cu cine se va lucra? Care este specificul psihologic al „publicului” vizat de proiect?
3. Care este specificul/calitatea resurselor umane implicate în (punerea în practică) realizarea practică a proiectului?
4. Care sunt resursele naturale și financiare de care dispune aplicarea proiectului?
5. Care este strategia abordată de proiect: metodele, procedeele, mijloacele implicate?
6. Care vor fi modalitățile de evaluare a eficienței și eficacității proiectului?
Aceste întrebări, prin răspunsurile oferite, conturează etapele proiectării activității didactice.
Proiectul de lecție se compune dintr-o parte introductivă, care fixează un număr de elemente comune oricărei lecții, și anume :
Data:
Clasa:
Obiectul:
Subiectul lecției:
Scopul (obiectivul fundamental):
Tipul de lecție:
Competențe specifice:
Obiective operaționale :
Metode și procedee didactice
Mijloace de învățământ:
Material bibliografic:
Partea a doua a proiectului cuprinde desfășurarea propriu-zisă a lecției, în care se indică momentele (evenimentele) lecției, se prezintă detaliat secvențele de conținut, se descriu acțiunile intreprinse de profesor și elevi, se precizează mai atent metodele, procedeele și mijloacele care intră succesiv în scenă și se stabilesc elementele de feed-back care intervin pe parcursul lecției. Aceasta a doua parte a proiectului se poate prezenta sub forma unui tabel cu următoarele rubrici:
Principalele tipuri de lecții
I. Lecția mixtă
1. Moment organizatoric
2. Verificarea temei pentru acasă și a cunoștințelor dobândite anterior
3. Pregătirea psihologică
4. Anunțarea subiectului și a obiectivelor
5. Transmiterea/însușirea noilor cunoștințe
6. Fixarea cunoștințelor
7. Evaluarea
8. Anunțarea temei pentru acasă
II. Lecția de comunicare a noilor cunoștințe
1. Moment organizatoric
2. Pregătirea psihologică
3. Anunțarea subiectului și a obiectivelor
4. Transmiterea/însușirea noilor cunoștințe
5. Fixarea cunoștințelor
III. Lecția de recapitulare și sistematizare
1. Moment organizatoric
2. Pregătirea psihologică
3. Reamintirea temei și a planului
4. Recapitularea propriu-zisă
5. Evaluare
6. Anunțarea temei pentru acasă/Indicații pentru studiul individual
IV. Lecția de formare de priceperi și deprinderi
1. Moment organizatoric
2. Pregătirea psihologică
3. Anunțarea temei și a obiectivelor
4. Reactualizarea cunoștințelor teoretice necesare
5. Explicarea și demonstrarea modelului
6. Exersarea propriu-zisă
7. Evaluarea
8. Anunțarea temei pentru acasă
V. Lecția de verificare
verificare orală
1. Moment organizatoric
2. Anunțarea temei și a obiectivelor
3. Chestionarea frontală sau individuală
4. Aprecierea și notarea elevilor
5. Concluzii și recomandări
verificare scrisă
1. Moment organizatoric
2. Prezentarea și explicarea cerințelor
3. Rezolvarea independentă
4. Comunicarea selectivă a răspunsurilor
5. Concluzii și recomandări
În Anexă am prezentat două dintre proiectele mele de lecție „reale” pe care le-am realizat de-a lungul timpului (Anexa 4).
Capitolul 4. Strategia didactică și dimensiunea formativă a predării-învățării matematicii
Strategia didactică este modalitatea prin care profesorul alege, combină și organizează ansamblul de metode, materiale didactice și formele de organizare într-o succesiune ce asigură atingerea obiectivelor propuse.
4.1. Metode didactice
În învățarea matematicii în ciclul gimnazial, ansamblul metodelor de învățământ constituie modalitatea prin care este organizat procesul didactic. Strategia didactică încorporează astfel o suită de metode și procedee ordonate logic și selectate pe criteriul eficienței pedagogice.
Strategia didactică specifică învățării matematicii presupune adaptarea metodelor la specificul vârstei și la specificul disciplinei.
Metodele de învățământ capătă în predarea fiecărui obiect o nuanță specifică, fiind într-o anumită măsură influențate de metodologia științei respective.
Dintre toate științele, ale căror elemente sunt predate în școli, matematica folosește în cea mai mare măsură raționamentul ca metodă de cercetare. Observația științifică este îndreptată și ea spre desprinderea esenței abstracțiilor spre desprinderea relațiilor, a dependenței dintre faptele matematice.
Modul în care profesorul predă, iar elevii învață matematică, este în mod esențial bazat tot pe judecată, afectivul intervenind doar ca stimulent, ca motivație psihologică pentru desfășurarea acțiunii de gândire. Pentru a preveni anumite confuzii este necesar să se aibă în vedere faptul că, în matematică, raționamentul are atât rol de metodă de cercetare cât și rolul de a argumenta rezultatele cercetării, adică e necesar să se deosebească natura raționamentelor care intervin în timp ce se caută, se descoperă matematica, de cele care intervin când se expun, argumentându-se rezultatele obținute. În procesul descoperirii matematicii intervin raționamente inductive, deductive, analogii, raționamente analitice sau sintetice; în expunerea rezultatelor apar aproape exclusiv demonstrații deductive. În procesul descoperirii se fac ipoteze de lucru și apoi se caută demonstrații deductive pentru orice propoziție, oricât ar fi ea de plauzibilă(în afară de axiome). Demonstrația în matematică este așadar rezultatul cunoașterii, ea fiind descoperită, ca și faptele matematice, printr-o activitate de gândire și prin împletirea unor raționamente diferite de cele ce apar în expunerea demonstrației.
Metodele pe care le folosim în predare trebuie să se adapteze acestui specific. Să nu transmitem elevilor rezultate, să-i determinăm să le caute, să le descopere, să-i învățăm cum să-și conducă judecata pentru a le putea descoperi prin efort propriu, sau cel puțin să-i ajutăm să înțeleagă cum au gândit cei care le-au descoperit. În tot cursul activității desfășurate în procesul de învățare a matematicii se împletesc strâns două aspecte: elevii învață fapte matematice, dar în același timp ei învață să gândească matematic. În primele clase, elevii sunt îndrumați spre dezvoltarea capacității lor de gândire fără ca ei să-și dea seama de aceasta. Mai târziu însă elevii trebuie să urmărească ei înșiși, în mod conștient, perfecționarea propriilor lor mijloace de gândire.
În continuare vom prezenta cele mai eficiente și utilizate metode pedagogice utilizate în cadrul orelor de matematică.
Expunerea asigură prezentarea orală, directă și rapidă a cunoștințelor noi, într-o organizare logică, fluentă, clară; optimizarea metodei solicită cadrului didactic proiectarea unui mijloc didactic, îmbinarea cu procedee didactice(explicația, conversația, problematizarea, etc.).
Expunerea este înțeleasă ca „activitatea cadrului didactic de a comunica elevilor cunoștințe noi, sistematic, în forma unei prezentări orale închegată și susținută”, are o pondere relativ redusă în predarea matematicii.
Metoda expunerii este folosită cu precădere pentru predarea cunoștințelor, uneori pentru aprofundarea și sistematizarea lor și pentru a explica elevilor baza rațională a unei deprinderi sau priceperi. Expunerea sub formă de povestire apare când se prezintă unele fapte și date din istoria matematicii, fie că este vorba de istoria unei probleme a unei descoperiri, fie că se prezintă viața și opera unui mare matematician. Asemenea povestiri trebuie să fie scurte, să facă referiri numai la aspecte matematice cunoscute elevilor, să fie metaforice, pătrunse de un fior capabil să inducă elevilor o stare emoțională plăcută și instructivă.
Folosind această metodă, profesorul explică, iar elevii ascultă, urmăresc gândirea profesorului. Trebuie de aceea mare atenție pentru ca elevii să nu urmărească cu o atitudine pasivă. Pentru a stimula atitudinea loe creatoare, explicația profesorului trebuie să fie de așa natură încât să-i antreneze pe elevi să gândească o dată cu el.
Explicația este una din metodele cu cea mai frecventă utilizare la toate obiectele de învățământ și în toate ciclurile școlare. Ea constă în expunerea continuă și sistematică a cunoștințelor bazate pe demonstrarea logică și argumentarea rațională.
Explicarea intervine în toate formele de instruire tehnică. Ea este folosită în descrierea structurii și a modului de funcționare a mașinilor, aparatelor și instalațiilor atât în instruirea teoretică cât și în instruirea practică (în cadrul lecțiilor și activităților din atelier).
În desfășurarea explicației este necesară exprimarea îngrijită, clară și concisă a cadrului didactic, utilizarea unei terminologii accesibile elevilor și explicarea termenilor tehnici noi pentru elevi.
Folosirea explicației nu poate fi ruptă de respectarea principiului intuiției și, ca urmare, ea este însoțită de instruirea demonstrarea cu obiecte și materiale didactice.
În cadrul orelor de matematică, explicația este nelipsită, deoarece profesorul este cel care le explică elevilor noile cunoștințe, problemele de lămurit, teoremele, regulile, etc.
Conversația se bazează pe întrebări și răspunsuri pe verticală, între profesor și elevi, și pe orizontală, între elevi. Propoziția interogativă se află la granița dintre cunoaștere și necunoaștere, dintre incertitudine și certitudine. De aceea, aceasta funcționează activ în orice situație de învățare, îmbrăcând, din acest punct de vedere, mai multe forme: conversația introductivă, folosită ca mijloc de pregătire a elevilor pentru începerea unei activități didactice, conversația folosită ca mijloc de aprofundare a cunoștințelor, conversația pentru fixarea și sistematizarea cunoștințelor, conversația de verificare a cunoștințelor, toate acestea având caracteristicile conversației catehetice.
Conversația catehetică(examinatoare) vizează simpla reproducere a cunoștințelor asimilate în etapele anterioare, rolul ei de bază fiind cel de examinare a elevilor. Întrebările și răspunsurile nu se mai constituie în lanțuri sau serii, ci fiecare întrebare și rîăspuns constituie un întreg de sine stătător, care poate avea sau nu legătură cu întrebarea ce urmează. Conversația examinatoare nu se limitează doar la „constatarea nivelului la care se află cunoștințele elevului la un moment dat ”. Întrebări specifice conversației catehetice apar și în reactualizarea conținuturilor (Cum se numesc termenii operației de înmulțire? Dar rezultatul înmulțirii?), în etapa da discuții pregătitoare, pe parcursul transmiterii noilor conținuturi, în momentul ce vizează intensificarea retenției și transferului( Ce înseamnă că înmulțirea este distributivă față de adunare și scădere?), pentru fixare, consolidare și aplicare(Ce proprietăți are înmulțirea?) etc.
Pentru redescoperirea unor cunoștințe se folosește conversația euristică, care sporește caracterul formativ al învățării, dezvoltând spiritul de observare, capacitatea de analiză și sinteză, interesul cognitiv și motivația intrinsecă, mobilizând energiile creatoare pentru rezolvarea de probleme și situații problematice. E vorba de un lanț de întrebări care orientează, în mod unidirecțional, spre un răspuns pe care profesorul îl presupune și-l așteaptă în toate detaliile lui. Întrebările acestuia dirijează în permanență gândirea elevilor prin felul și ordinea în care sunt formulate, astfel ca ”din aproape în aproape” să ajungă la finalitatea preconizată. Seria de întrebări este compactă, fiecare nouă întrebare depinzând de răspunsul obținut la întrebarea precedentă.
În matematica școlară, aplicarea teoriei în practică, trecerea de la general la particular au o importanță mult mai mare decât la alte obiecte de învățământ. Conversația prin care profesorul vrea să provoace avansarea în teorie, prin răspunsurile elevilor, este dirijată pe calea bătătorită a demonstrațiilor pe care le expune; în rezolvarea problemelor apare un coeficient mai mare de inedit, de noutate, de prospețime, varietatea părerilor emise de elevi este mai mare, iar importanța rolului de dirijor al profesorului crește.
Conversația euristică(socratică) constă într-o înlănțuire de întrebări și răspunsuri prin intermediul căreia elevii sunt dirijați să valorifice experiența cognitivă de care dispun și să facă asociații care să faciliteze dezvăluirea de aspecte noi. Printr-un demers inductiv, elevii sunt dirijați către sesizarea relațiilor cauzale, formularea unor concluzii, desprinderea unor reguli, elaborarea unei definiții, etc. Esențial este faptul că profesorul orientează permanent gândirea elevilor ”din aproape în aproape”, în mod unidirecțional, spre noutatea propusă. Utilizarea ei este condiționată de experiența de cunoaștere de până atunci a elevului.
Este folosită mai ales în analiza sau în explicarea metodei de lucru în rezolvarea unei probleme matematice.
Conversația poate fi folosită în predarea noilor cunoștințe, în verificarea cunoștințelor asimilate, în pregătirea lecției noi, în sistematizarea lecției și fixarea cunoștințelor predate, în activitatea de rezolvare a problemelor. Aceasta poate aveea caracter individual, îndeosebi când se folosește în verificare, sau frontal, atunci când se antrenează toată clasa la elaborarea răspunsurilor.
Instrumentul de lucru – întrebarea – trebuie stăpânit și perfecționat continuu de fiecare profesor. Întrebările adresate memoriei , dacă nu pot fi evitate, trebuie complementate de întrebări care solicită gândirea și care pot lămuri calitatea răspunsului respectiv. La matematică trebuie să predomine întrebările care încep prin „de ce?” cu rol de incitare la gândirea productivă.
În literatura de specialitate sunt prezentate mai multe tipuri de conversație, precum:
conversația de fixare și consolidare, utilizată pe parcursul transmiterii noilor conținuturi, în etapa ce vizează intensificarea retenției și a transferului cunoștințelor.
conversația de reactualizare și sistematizare, folosită în special în lecțiile de recapitulare și sistematizare sau în momentele de reactualizare a „cunoștințelor-ancoră” pentru a-i pregăti pe elevi în asimilarea noilor informații (Ce proprietăți are operașia de adunarea?)
conversația de verificare(convergentă-divergentă), utilizată pe parcursul transmiterii noilor conținuturi, în momentele de verificare a gradului de înțelegere a cunoștințelor de către elevi (De ce spunem că adunarea este comutativă?)
conversația introductivă, folosită în etapa discuțiilor pregătitoare pentru a capta atenția și amplifica interesul și motivația elevilor (Ce este un patrulater? Ce patrulatere cunoașteți?)
conversația finală, la sfârșitul unei secvențe de învățare cu scopul realizării feed-back-ului sau verificării nivelului de însușire a conținuturilor (În ce ordine vom efectua calculele într-un exercițiu care conține toate operațiile?)
conversația de comunicare, utilă în partea de încheiere a unei experiențe/de rezolvare a unei probleme sau în paralel cu aceasta, în comentarea exemplelor concrete ori contemplarea materialului didactic, pentru dirijarea observașiei elevilor și sublinierea aspectelor esențiale, etc.
Metoda conversației are o mare valoare formativă și datorită introducerii și exersării
limbajului specializat al matematicii, contribuin astfel la dezvoltarea personalității elevului.
Brainstormingul – ”Furtună în creier” – ”asaltul de idei”
Este cea mai răspândită metodă de stimulare a creativității în condițiile activității în grup.
Principii ”Cantitatea determină calitatea” – asociația liberă, spontană de idei, cât mai multe, conduce la apariția unor idei viabile și inedite.
”Amânarea evaluării judecării ideilor celorlați” metoda care nu tolerează nici un fel de critică.
Brainstormingul se poate realiza în perechi sau în grupe.
Etape:
1. Se alege tema și se anunță sarcina de lucru.
2. Toate ideile propuse se notează. În fața emiterii – producerii de idei trebuie încurajată participarea tuturor membrilor grupului. Se solicită exprimarea în fraze scurte, concrete. Se pot face asociații în legătură cu afirmațiile celorlalți. Se suspendă orice gen de criticism.
3. Se reiau pe rând ideile emise iar grupul găsește criterii de grupare a lor categorii-simboluri, cuvinte cheie, imagini care reprezintă posibile criterii.
4. Se analizează și se selectează ideile originale sau cele mai aproape de soluții posibile pentru problema pusă în discuție. Se discută liber, spontan.
5. Se afișează ideile rezultate în forme cât mai variate și originale: cuvinte, propoziții, colaje, imagini, desene, cântece, joc de rol, pentru a fi cunoscute de ceilalți.
Mânuită cu profesionalism, flexibilitate și inspirație este o metodă care stimulează creativitatea și dezvoltarea gândirii critice.
Mozaicul este o metodă pentru învățarea prin cooperare la nivelul unui grup și predarea achizițiilor dobândite de către fiecare membru al grupului, unui alt grup. Printre avantajele utilizării metodei se numără stimularea încrederii în sine, dezvoltarea abilităților de comunicare/argumentare, dezvoltarea răspunderii individuale și de grup, optimizarea învățării. Elevul este implicat activ fiind cu siguranță solicitat să-și spună părerea, să participe la procesul de învățare.
Organizarea activităților pe grupe este cea mai eficientă formă de organizare a elevilor în vederea formării de deprinderi și a abilităților, deoarece permite creșterea responsabilităților fiecărui elev în propriul proces de formare și de implicare a acestuia în activitățile de predare. În cadrul acestei forme de organizare elevii se ajută între ei, dezvoltându-se astfel abilitățile de cooperare, iar cei cu dificultăți de învățare sau mai timizi prin curajul de a întreba și implicit de a se implica.
Utilizarea fișelor de lucru facilitează distribuirea sarcinilor de învățare adecvate abilităților individuale și adaptate nivelului de deprinderi a fiecărui elev în parte. Fișele de lucru permit precizarea foarte clară și concisă, fără a lăsa să se formeze ambiguități, în procesul de învățare a sarcinilor pe care le va îndeplini fiecare elev individual în cadrul grupului. Aceste mijloace didactice pot lua cele mai diverse forme astfel încât să faciliteze formarea / dezvolatrea cât mai optimă a competențelor vizate.
Metoda cubului presupune explorarea unui subiect, a unei situații din mai multe perspective, permițând abordarea complexă și integratoare a unei teme.
Sunt recomandate următoarele etape:
-Realizarea unui cub pe ale cărui fețe sunt scrise cuvintele: descrie, compară, analizează,
asociază, aplică, argumentează.
-Anunțarea temei, subiectului pus în discuție.
-Împărțirea clasei în 6 grupe, fiecare dintre ele examinând tema din perspectiva cerinței de pe una din fețele cubului.
Descrie: culorile, formele, mărimile, etc.
Compară: ce este asemănător? Ce este diferit?
Analizează: spune din ce este făcut, din ce se compune.
Asociază: la ce te îndeamnă să te gândești?
Aplică: ce poți face cu aceasta? La ce poate fi folosită?
Argumentează: pro sau contra și enumeră o serie de motive care vin în sprijinul afirmației tale.
-Redactarea finală și împărtășirea ei celorlalte grupe.
-Afișarea formei finale pe tablă sau pe pereții clasei.
Metoda ciorchinelui funcționează după următoarele etape:
-Se scrie un cuvânt / temă (care urmează a fi cercetat) în mijlocul tablei sau a unei foi de hârtie.
-Elevii vor fi solicitați să-și noteze toate ideile, sintagmele sau cunoștințele pe care le au în minte în legătură cu tema respectivă, în jurul cuvântului din centru, trăgându-se linii între acestea și cuvântul inițial.
-În timp ce le vin în minte idei noi și le notează prin cuvintele respective, elevii vor trage linii
între toate ideile care par a fi conectate.
-Activitatea se oprește când se epuizează toate ideile sau când s-a atins limita de timp acordată.
Există câteva reguli ce trebuie respectate în utilizarea tehnicii ciorchinelui:
Scrieți tot ce vă trece prin minte referitor la tema / problema pusă în discuție.
Nu judecați / evaluați ideile produse, ci doar notațiile.
Nu vă opriți până nu epuizați toate ideile care vă vin în minte sau până nu expiră timpul alocat; dacă ideile refuză să vină insistați și zăboviți asupra temei până ce vor apărea unele idei.
Lăsați să apară cât mai multe și mai variate conexiuni între idei; nu limitați nici numărul ideilor, nici fluxul legăturilor dintre acestea.
Avantajele acestei tehnici de învățare sunt:
În etapa de reflecție vom utiliza “ciorchinele revizuit” în care elevii vor fi ghidați prin intermediul unor întrebări, în gruparea informațiilor în funcție de anumite criterii.
Prin această metodă se fixează mai bine ideile și se structurează informațiile facilizându-se reținerea și înțelegerea acestora.
Învățarea prin descoperire se referă la o situație în care materialul de învățat nu este
prezentat într-o formă finală celui care învață (așa cum se petrece în învățarea prin receptare), ci reclamă o anumită activitate mentală (rearanjare, reorganizare sau transformare a materialului dat), anterioară încorporării rezultatului final în structura cognitivă.
Descoperirea poate fi definită „ca o tehnică de lucru, la care elevul este antrenat și se angajează în activitatea didactică, cu scopul aflării adevărului”. Prin această metodă elevii, redescoperă relații, formule, algoritmi de calcul.
Această atitudine a elevului nu poate subzista decât pe o pregătire anterioară solidă, pe o exersare ce a creat deprinderi corespunzătoare. Întreaga activitate de (re)descoperire este dirijată de profesor, astfel că problema centrală ridicată de metodă este unde și cât să-l ajute profesorul pe elev.
Eficiența metodei depinde esențial de răspunsul corect la această întrebare. Aceasta cere profesorului tact pedagogic și o cunoaștere a problemei în toate articulațiile ei, inclusivîn locul în care elevii pot întâmpina greutăți. Tactica folosită de profesor este aceea de a plasa sugestii „ușoare” în momentele de dezorientare ale elevilor, momente ce pot fi citite pe fețele lor.
Învățarea prin descoperire poate fi de tip inductiv, deductiv sau analogic, după natura raționamentelor utilizate. Descoperirea este inductivă când elevii, analizând o serie de cazuri particulare, inferează o regulă generală care apoi este demonstrată. Acest lucru poate fi folosit la predarea proprietăților adunării numerelor naturale (comutativitatea, asociativitatea, zero ca element neutru) sau de înmulțire.
În descoperirea de tip deductiv elevii obțin rezultate noi(pentru ei) aplicând raționamente asupra cunoștințelor anterioare, combinându-le între ele sau cu noi infoemații. Acest tip de descoperire poate fi utilizat când de exemplu cunoaștem aria pătratului iar apoi descoperim aria dreptunghiului, apoi aria paralelogramului, a triunghiului, a rombului, a trapezului.
Formulele de calcul prescurtat pot fi descoperite cu mare ușurință în modul acesta. Tot deductiv pot fi descoperiți algoritmii de calcul mintal prin aplicarea proprietăților operațiilor cu numere naturale.
Descoperirea prin analogie constă în transpunerea unor relații, algoritmi etc., la contextediferite, dar analoage într-un sens bine precizat. Algoritmii de rezolvare a problemelor de un anumit tip pot fi un exemplu de descoperire prin analogie. Analogiile în matematică pot fi de conținut sau raționament. Analogii mari în matematică sunt cele dintre aritmetică și algebră, geometria plană și geometria în spațiu.
Analogiile locale sunt foarte des folosite în rezolvarea problemelor când după ce profesorul rezolvă model o problemă cere rezolvarea altor probleme analoage.
Problematizarea reprezintă una dintre cele mai utile metode, prin potențialul ei euristic și activizator. Această metodă didactică constă în punerea în fața elevului a unor dificultăți create în mod deliberat, din depășirea cărora prin efort propriu elevul învață ceva nou.
Se face distincție între conceptul de problemă și conceptul de situație problemă implicată în metoda problematizării.Primul concept vizează problema și rezolvarea acesteia din punctul de vedere al aplicării, verificării unor reguli învățate, al unor algoritmi ce pot fi implicați în rezolvare.
O situație problemă desemnează o situație contradictorie, conflictuală, ce rezultă din trăirea simultană a două realități: experiența anterioară și elementul de noutate, de surpriză, necunoscutul cu care se confruntă elevul. Acest conflict incită la căutare și descoperire, la intuirea unor soluții noi, a unor relații aparent inexistente între ceea ce este cunoscut și ceea ce este nou pentru subiect.
O întrebare devine situație problemă atunci când declanșează curiozitatea, tendința de căutare, de depășire a obstacolelor. În problematizare cea mai importantă este crearea situațiilor problematice și mai puțin punerea unor întrebări.
Etapele metodei:
– definirea punctului de plecare și a scopului urmărit;
– punerea problemei prin cunoașterea profundă a situației de plecare și selectarea informației;
– organizarea informației;
– transformarea informației pe calea raționamentului, inducției și deducției, a intuiției și analogiei, inclusiv a utilizării altor procedee logice în vederea identificării soluțiilor posibile;
– luarea deciziei- opțiunea pentru soluția optimă;
– verificarea soluției alese și a rezultatelor.
Problematizarea are o deosebită valoare formativă: se consolidează structuri cognitive, se stimulează spiritul de explorare, se formează un stil activ de muncă, se cultivă autonomia și curajul în afișarea unor poziții proprii. Utilizarea acestei metode presupune o antrenare a personalității elevului, a componentelor sale afective, intelecuale și volioționale.
Condiții de aplicare a metodei:
– existența unui fond perceptiv suficient de bine dezvoltat la elev;
– dozarea dificultăților în funcție de o anumită gradație;
– alegerea momentului cel mai potrivit de plasare a problemei în lecție;
– manifestarea unui interes real pentru rezolvarea problemei.
Printre avantajele utilizării acestei metode se numără lărgirea orizontului gândirii elevului, favorizarea aspectului formativ al învățământului prin stimularea participării efective a elevului și prin dezvoltarea intereselor lui de cunoaștere, generarea pentru elev a unei mari posibilități de transfer a diverselor reguli, însușite în multitudinea de situații problematice.
Unul dintre dezavantaje ar fi faptul că presupune omogenitatea clasei și un număr mic de elevi.
Modelarea reprezintă procedeul de a cerceta și desprinde realitatea unor obiecte sau fenomene cu ajutorul unor modele izomorfe. Modelul este un înlocuitor al unui sistem obiectual care îngăduie o descriere și o prezentare esențială a unui ansamblu existențial, dificil de sesizat și cercetat în mod direct, este analogul unui sistem de referință;
Există mai multe tipuri de modele:
modele obiectuale: figurile geometrice – prezintă un grad înalt de fidelitate;
modele iconice: mulaje, machete, scheme grafice – seamănă structural sau funcțional cu obiectele sau fenomenele de referință;
modele simbolice: formule, scheme cinematice – bazate pe simboluri convenționale care structural trimit la o anumită realitate.
Modelele pot comporta două funcții:
– funcția ilustrativă: pentru că prezintă un anumit fragment din realitate;
– funcția cognitivă: pentru că induc direct informații privitoare la structura și funcționarea
unui sistem existențial.
În felul acesta matematica reprezintă cel mai răspândit limbaj pe care omul și l-a creat,
oferindu-ne formulele și modelele cu ajutorul cărora înțelegem regularitățile din natură.
Modelarea reprezintă forma cea mai riguroasă analogiei prin transcrierea simbolică
matematică a unui mod de desfășurare a unei structuri, alcătuirea unui sistem.
Demonstrația se poate defini ca metodă de predare – învățare în cadrul căreia mesajul de transmis către elev se cuprinde într-un obiect concret, o acțiune concretă sau substitutele lor, pe care profesorul le prezintă, (le „arată”) și le explică.
Demonstrația cu obiecte: se caracterizează prin faptul că sursa principală a informației elevului constă într-un obiect natural.
Demonstrația cu acțiuni: constă în faptul că sursa cunoașterii pentru elev este o acțiune pe care profesorul i-o arată (i-o demonstrează, executând-o) iar ținta de realizat este transformarea acțiunii respective într-o deprindere pentru elev.
Demonstrația cu substitute: se folosește curent, făcând apel la planșe, scheme, liste, tabele, reprezentări grafice, etc.
Demonstrația de tip combinat: îmbină celelalte forme de demonstrație.
La matematică se folosește pentru căpătarea deprinderilor de calcul, de alcătuire a raționamentului specific domeniului.
Demersul matematic trebuie mai întâi „arătat”, deci demonstrat de profesor, pentru a putea fi însușit treptat apoi de elev, prin exercițiu.
În concluzie, demonstrația, ca metodă intuitivă, este dominantă în activitățile de dobândire de noi cunoștințe. Metoda, fără a fi folosită exagerat, are efect favorabil asupra înțelegerii și reținerii cunoștințelor și dezvoltă capacitatea de a observa ordonat, sistematic și de a exprima coerent datele observației.
Exercițiul este o metodă fără de care matematica nu ar putea fi aprofundată.
Executarea repetată și conștientă a unei acțiuni, în vederea însușirii practice a unui model dat de acțiune sau a îmbunătățirii unei performanțe.
Exercițiul nu se limitează la formarea deprinderilor, ci vizează în același timp consolidarea unor cunoștințe.
Tipuri de exerciții:
– exerciții introductive: elevilor li se explică pentru prima dată o activitate, pe care ei o aplică în paralel cu explicațiile profesorului;
– exerciții de însușire (consolidare) a modelului dat: elevul reia în întregime și în mod repetat acțiunea ce i s-a explicat;
– exerciții de legare a cunoștințelor și deprinderilor mai vechi cu cele noi: au scopul de a integra deprinderile în sisteme
– exerciții de creație: elevul încearcă să introducă în model, elemente personale.
Elevul trebuie să fie conștient de scopul exercițiului și să înțeleagă bine modelul acțiunii de învățat.
Exercițiile trebuie să respecte o anumită gradare a dificultății în aplicarea lor. Deprinderile mai complicate se formează prin integrarea succesivă a unor deprinderi mai simple. Spre exemplu, nu i se poate cere elevului să găsească noi căi de rezolvare a unei problemematematice, până nu i s-a format deprinderea de a o rezolva printr-o metodă consacrată, care este, în același timp, mai simplă.
Exersarea trebuie să fie permanent însoțită de corectură (inițial) și de autocorectură (pe măsură ce elevul începe să stăpânească acțiunea). Această regulă reiese din însăși teoria formării deprinderilor, altfel apărând posibilitatea însușirii mecanice și fără durabilitate.
Exercițiul este metoda care poate fi împletită cu toate celelalte metode de predare și învățare.
Algoritmizarea se bazează pe folosirea algoritmilor în actul predării.
Algoritmul este un grupaj de scheme procedurale, o suită de operații standard, prin parcurgerea cărora se rezolvă o serie mai largă de probleme asemănătoare.
În faze de început a învățării se recurge la algoritmi care prin repetare și conștientizare pot duce la descoperirea altor scheme algoritmice, ajungându-se astfel la o nouă fază de învățare.
Algoritmizarea este o metodă cate ține de dimensiunea mecanică a învățării (asimilarea unor reguli fixe, rigide, dar importante mai ales în rezolvarea mai rapidă și mai eficientă a unor probleme de matematică). Ea trebuie alternată cu o metodă euristică deoarece elevul trebuie să descopere și singur sau să probeze noi scheme de procedură.
Observația este o activitate perceptivă, intenționată, orientată spre un scop, reglată prin cunoștințe, organizată și condusă sistematic, conștient și voluntar. Aceasto metodă asigură baza intuitivă a cunoașterii, permite o percepție polimodală, asigură formarea de reprezentări clare despre obiecte devenite material didactic și însușirile caracteristice ale acestora, asigură investigarea directă a unor relații, corelații. Ca metodă, observația este însoțită de explicație- elementul de dirijare a observației. Utilizarea unui limbaj adaptat vârstei elevului, dar corect totodată, în cadrul explicației care însoțește observația trebuie avut în vedere permanent de profesor.
Perfecționarea metodei vizează asigurarea saltului de la observația sistematică dirijată, la observația sistematică realizată independent de elev.
Investigația
Investigația la matematică implică, pe de o parte, rezolvarea unor probleme întâlnite în cotidian, și pe de altă parte, explorarea unor concepte matematice necunoscute utilizând metode, tehnici, concepte cunoscute. Investigația presupune atât rezolvarea de probleme cât și crearea de probleme.
Etapele investigației variază după diferiți autori. Iată mai jos pașii propuși în National Standards for Science Education, 1996: observare, formulare de întrebări, examinarea surselor de informare, proiectarea investigației, colectarea, analizarea și interpretarea răspunsurilor și a explicațiilor, comunicarea rezultatelor.
La matematică, investigația presupune alegerea unor teme întâlnite în cotidian și construirea, de către elevi, a modelului care permite rezolvarea acestora.
Proiectul
Metoda proiectului înseamnă realizarea unui produs, ca urmare a colectării și prelucrării unor date referitoare la o temă anterior fixată.
Un proiect este un produs al imaginației persoanelor care îl realizează, menit să permită folosirea liberă a capacităților și a cunoștințelor însușite, într-un context nou și relevant. Proiectul este o activitate personalizată: cei implicați pot decide nu numai asupra conținutului proiectului, dar și asupra modului de realizare, a calendarului activităților și formei de prezentare. În plus, proiectul desfășurat cu elevii încurajează cel mai bine abordarea integrată a învățării: acestora li se creează ocazia de a folosi în mod unitar cunoștințe și tehnici de lucru dobândite la mai multe discipline.
Fiind o activitate centrată pe elev, proiectul îi dă acestuia posibilitatea de a asambla într-o viziune personală cunoștințele pe care le are, răspunzând astfel unei întrebări esențiale: Ce pot face cu ceea ce am învățat la școală?
Activitatea în cadrul unui proiect oferă oportunități de învățare ce permit contribuții individualizate la un produs final ce reflectă munca tuturor. În acest context, elevii își mobilizează capacitățile, iar diferențele sunt valorificate benefic.
De aceea, metoda proiectului este utilă mai ales pentru clasele în care elevii manifestă tipuri de inteligență foarte diferite.
În urma derulării unor proiecte, se pot realiza: broșuri, pliante, postere, pagini de revistă sau ziar, etc. Proiectul prezintă avantajul antrenării copiilor în activități complexe, ce presupun identificare și colectare de date, precum și prelucrarea și organizarea acestora într-un mod original.
În propunerea și îndrumarea proiectelor, este bine să aveți în vedere:
– tema – alegeți un titlu incitant, pentru a determina elevii să deruleze un set de activități care să promoveze valori și atitudini semnificative.
– justificarea – reflectați asupra importanței temei pentru formarea elevilor.
– obiective – identificați cel puțin un obiectiv care să reprezinte ținta proiectului.
– plan de acțiune – reflectați asupra unor activități pe care le-ar putea derula elevii, plasați-le în timp, ca să vedeți dacă termenul de realizare a proiectului este realist și reflectați asupra resurselor materiale de care ar avea nevoie elevii.
În Anexă am să prezint câteva secvențe în care am aplicat unele dintre metodele didactice prezentate. (Anexa 5)
Mijloace didactice
Mijloacele de învățământ reprezintă ansamblul de auxiliare didactice cu utilitate
pedagogică potențială pentru integrarea în proiecte didactice, valorificabilă eficient în anumite condiții și situații.
Manifestând inițiativă în crearea și folosirea unor metode și materiale didactice care să sprijine înțelegerea noțiunilor matematice, cadrul didactic va ține seama de câteva cerințe pentru a oferi posibilitatea elevilor de a învăța matematica gândind mai întâi la nivelul concret și pentru a se ridica treptat la înțelegerea și operarea cu abstracțiunile matematice.
În primul rând, se impune drept cerință analiza și utilizarea materialelor didactice în funcție de gradul lor de intuitivitate, ținând seama de faptul că interacțiunea dintre analogie și inducție, pe de o parte, și temeiul lor intuitiv, pe de alta, asigură progresiv evoluția spre abstract.
În al doilea rând, se impune selecționarea atentă a materialelor intuitive în raport cu obiectivele urmărite în lecție, în funcție de etapa de formare a noțiunilor respective, de experiența de care dispun elevii, de măsura în care materialul respectiv servește la înțelegerea principiului, a relației, etc. ce urmează a fi asimilate, aplicate și apoi transferate.
În al treilea rând, se impune dozarea judicioasă a intuiției, ca suport material, până la nivelul necesar producerii saltului în abstract, cu reținerea pe plan logic („interiorizare”) a adevărului matematic respectiv în limbaj matematic (noțiuni.)
Integrarea mijloacelor de învățământ este înțeleasă ca o acțiune prin care: devin parte
integrantă a lecției practicate, manifestă funcții pedagogice precise atât în raport cu elevul participant, cât și cu profesorul care conduce procesul de învățământ al disciplinei școlare, formează o unitate organică cu celelalte componente ale proiectului didactic (obiective operaționale care transpun în intenție o competență specifică sau o competență generală, conținutul de instruire aferent fiecărui obiectiv operațional în parte, situația de învățare al cărui fond de problematizare îl sprijină direct, formele de organizare și participare a elevilor, mediul de instruire, metodele și procedeele de învățământ, timpul alocat), influențându-se reciproc.
În raport cu caracteristicile lor și rolul jucat în realizarea sarcinilor instruirii și
evaluării mijloacele de învățământ îndeplinesc următoarele funcții:
-de comunicare și informare
-de ilustrare și de formare
-de investigare experimentală și de formare a priceperilor și deprinderilor practice
-ergonomică
-de evaluare
-estetică
-de motivare.
Clasificarea mijloacelor de învățământ:
Tipărituri și litografii: manuale, cărți, fișe;
Modele obiectuale: machete, mulaje, corpuri geometrice;
Mijloace de transmitere și receptare vizuală: diapozitive, planșe, imagini;
Mijloace de transmitere și receptare auditivă: emisiuni radio în direct, cd-uri;
Mijloace de comunicare audiovizuală: filme, înregistrări multimedia;
Mijloace bazate pe dialogul elev mașină: programe pedagogice;
Am anexat la sfârșit câteva din planșele pe care le-am realizat cu elevii cu ajutorul programului Geonext, precum și secvențe din video-urile pe care le-am vizionat în cadrul orelor de matematică (Anexa 6).
4.3. Forme de organizare a activității didactice
Organizarea învățământului pe clase și lecții, experiență tradițională și în vigoare, a instituit un mod apreciat și astăzi ca fiind pertinent în multe situații, anume modul frontal de lucru cu elevii.
Practica educațională a cunoscut și cunoaște și alte moduri de organizare a procesului instructiv-educativ privit din punctul de vedere al agenților educaționali. Avem în vedere activitatea de grup (grupuri omogene, grupuri eterogene, grupuri competitive, grupuri cooperante, etc.) precum și forma de organizare individuală, care capătă, în unele situații, o semnificație aparte în logica desfășurării învățământului matematic.
Toate aceste moduri de organizare au funcționalitate în variate forme de organizare a întregii activități, cea mai cunoscută fiind lecția.
În condițiile unui învățământ modern, optimul organizatoric nu poate fi dictat printr-o normă didactică, ci el este rezultatul deciziei cadrului didactic pentru fiecare situație în parte.
Oricum, alternativele și ordonarea modurilor de grupare sunt în principal cele sus-amintite, și anume: frontal, pe grupe și individual.
În cadrul ultimelor două categorii (grupal și individual), nivelul cel mai înalt de activitate matematică îl reprezintă activitățile în care se lasă elevilor independență deplină pentru rezolvarea exercițiilor și problemelor.
La toate aceste niveluri, activitatea matematică a elevilor trebuie stimulată și susținută de către profesor, prin repartizarea unor fișe cu sarcini diferențiate, prin controlul și evaluarea sistematică a rezultatelor.
Rezultă de aici că în realizarea unui învățământ activ, formativ al matematicii, un rol important îl are munca independentă a elevilor. Construirea unui sistem de exerciții și probleme judicios gradate sub aspectul efortului mintal pe care-l solicită de la elevi și rațional programate atât în suita de lecții, cât și în cadrul secvențelor fiecărei lecții, conduce la formarea și consolidarea deprinderilor de calcul și de rezolvare de probleme, concomitent cu dezvoltarea psihică a elevilor.
Îmbinarea formelor de activitate: frontală, pe grupe și individuală creează posibilități largi pentru mobilizări multiple și variate ale elevilor la procesul învățării matematicii.
Nu se poate vorbi de activizarea elevilor, fără a se avea în vedere individualizarea procesului de predare-învățare. De fapt, este vorba de o activizare diferențiată pe fondul unei individualizări corect practicate. Individualizarea și tratarea diferențiată a elevilor constituie două dintre strategiile principale de ameliorare a randamentului școlar și de înlăturare a insucceselor.
Individualizarea și abordarea diferențiată a procesului de instruire la matematică presupune, pe de o parte, cunoașterea elevilor, investigarea lor permanenta și urmărirea evoluției lor, pentru a le putea adresa în orice moment sarcini corespunzătoare nivelului lor real de dezvoltare. Pe de altă parte, individualizarea și tratarea diferențiată presupun o bună cunoaștere a conținutului disciplinei ce se predă și respectarea cerințelor unitare pe care le exprimă programele școlare.
Activitățile matematice, în concepția individualizării în învățământul matematic, necesită o profundă și competentă analiză a conținutului noțional al matematicii, o raționalizare și o programare secvențială a acestuia din care să rezulte solicitările (întrebări, activități, sarcini) pe care profesorul le adresează elevilor și care trebuie gradate în raport cu capacitățile și ritmurile fiecărui elev, ale grupurilor și ale clasei, ca unitate socială.
Rămâne ca o sarcină permanentă a fiecărui cadru didactic să facă eforturi sistematice pe linia unei cunoașteri atente a elevilor și pe această bază, să proiecteze și să aplice creator, potrivit cu cel mai bun efect așteptat, acele soluții individualizatoare pentru asigurarea dezvoltării personalității integrale a elevilor.
Strategia individualizării și diferențierii învățământului matematic conduce la o gamă foarte variată de forme de lucru și modalități de organizare a activității de învățare. Se impune ca profesorul să gândească asupra modalităților de îmbinare a celor trei forme de activitate (frontală, în grup și individuală), iar în cadrul fiecăreia dintre acestea asupra unor sarcini unitare, gradate însă prin conținut și mod de realizare. În raport cu capacitățile fiecărui elev, de cerințele unice programei școlare se pot formula solicitări implicând niveluri de efort diferite (recunoaștere, reproducere, integrare, transfer, creativitate). Important este ca în toate formele de activitate matematică pe care le desfășoară elevii (la tablă, pe caiete, în grup, pe fișe individuale), profesorul să urmărească aplicarea întregului sistem diferențiat al variabilelor acestor activități: obiective, conținuturi, moduri de realizare a sarcinilor, forme de evaluare, etc.
Sunt situații când la tablă, pe caiete sau pe fișe se dau exerciții presupunând toate gradele de dificultate, lăsând însă elevilor libertatea de a rezolva numai pe acelea pe care le pot rezolva. Similară este situația în ceea ce privește rezolvarea unei probleme unde se pot formula sarcini multiple: de a o rezolva, apoi de a o rezolva prin alt procedeu, de a o pune în ecuație, de a compune o problemă asemănătoare etc., și apoi fiecare elev parcurge atât cât poate, în ritmul său propriu sau depășindu-l progresiv.
Problema diferențierii învățământului creează un spațiu întins pentru creativitatea profesorului. Important este ca el să realizeze cerințele programei printr-o gamă cât mai bogată de modalități de diferențiere metodică a predării-învățării matematicii.
Am anexat la final fișe de lucru cu muncă diferențiată (Anexa 7).
Partea a II-a
Tratarea metodică a noțiunilor matematice studiate în gimnaziu
Capitolul 1. Tratarea metodică a noțiunilor de aritmetică studiate în gimnaziu
Noțiunea de număr
Primul contact cu matematica al unui copil constă în acțiunea de a număra obiectele din jurul său. Intrat în școala generală, noțiunea fundamentală matematică ce se însușește este noțiunea de număr natural. Manualele actuale de matematică, din primele clase, dau mai întâi noțiunea de mulțime, apoi prin exemple, noțiunea de corespondență biunivocă, din care elevul desprinde proprietatea că între elementele anumitor mulțimi finite se poate stabili o corespondență biunivocă. Își însușesc deci proprietatea: fiind date două mulțimi finite, dacă între elementele lor se stabilește o corespondență biunivocă (practic, în sensul formării de perechi cu un element din prima mulțime și al doilea element, din a doua mulțime), se spune că cele două mulțimi au același număr de elemente, numit număr natural.
Evident, învățătorul claselor mici sau profesorul de la clasa a V-a știe că introducerea noțiunii de număr natural are la bază conceptul de mulțimi echivalente. Două mulțimi E și F se numesc echivalente sau de aceeași putere și se notează , dacă există o bijecție de la E la F. Oricare ar fi mulțimile A, B, C, avem proprietățile: a) ; B) ; c) .
Relația de echivalență împarte mulțimile în clase de echivalență, fiecare clasă cuprinzând mulțimile care au același număr de elemente. Această proprietate a mulțimilor dintr-o clasă de elemente se numește puterea clasei și este reprezentată printr-un număr, numit număr natural. Clasa tuturor mulțimilor echivalente cu o mulțime A se numește cardinalul mulțimii A. Deci numărul natural este cardinalul mulțimilor finite de aceeași putere.
În clasa a V-a, după definirea numărului natural urmează notarea șirului numerelor naturale, cu observația că nu putem scrie toate numerele naturale, deoarece după orice număr natural mai putem scrie un altul și că acest fapt se exprimă spunând că șirul numerelor naturale este infinit.
Pentru definirea relației de egalitate în , profesorul trebuie să pornească de la un exemplu de două mulțimi finite, echivalente. Elevul își imaginează, în acest caz, că numărul elementelor din prima mulțime, notat cu a, este egal cu numărul elementelor din a doua mulțime, notat cu b.
Se exprimă apoi de către profesor, proprietățile relației de egalitate în mulțimea numerelor naturale, care trebuie „intuite” la acest nivel tot pe exemple de mulțimi de obiecte concrete, de exemplu, mulțimea elevilor din clasa a V-a și mulțimea locurilor din bănci (când toate băncile sunt ocupate și pe un loc stă un singur elev), mulțimea penarelor (fiecare elev are un singur penar), etc.
Se trece apoi la definirea operațiilor de adunare și înmulțire în , a proprietăților de asociativitate, comutativitate a acestor operații precum și a proprietății de distributivitate a înmulțirii față de adunare.
În continuare se definește relația de inegalitate în și se arată că operațiile de scădere și împărțire nu se definesc pentru orice două numere naturale, astfel, ca rezultatul să fie tot un număr natural. Apare necesitatea definirii altor mulțimi de numere.
Mulțimea numerelor întregi este o mulțime în care scăderea este întotdeauna posibilă.
Se pornește astfel:
Numărului natural cunoscut, n, îi atribuim un semn „+” (plus) și prin definiție numim număr opus, numărul (minus n). Împreună, aceste numere „” și „” formează o nouă mulțime, notată , numită mulțimea numerelor întregi. Legăm definirea opuselor numerelor naturale de reprezentarea pa axă, adică, adică mai înainte se definește axa ca o dreaptă pe care fixăm o origine, un sens pozitiv și o unitate de măsură. Imediat se dau exemple de mărimi din viața cotidiană, care se măsoară cu aceste numere notate cu „minus”, adică cu numere negative, etc.
Mulțimea numerelor raționale se introduce în clasa a V-a, după definirea noțiunilor de fracție și fracții echivalente.
Obiectivul, ce trebuie realizat în această clasă, este acela ca elevul să-și formeze deprinderi de calcul cu fracții. Elevul trebuie să-și însușească faptul matematic că un număr rațional este reprezentat printr-o fracție, iar fracțiile ce se obțin prin amplificarea sau simplificarea unei fracții date sunt toate echivalente, deci fiecare reprezintă același număr rațional.
În clasa a VII-a se definește noțiunea de număr irațional, acum, ca rezultat al extragerii rădăcinii pătrate dintr-un număr pozitiv, care nu este pătrat perfect. Se exprimă apoi numărul irațional sub formă de fracție zecimală infinită neperiodică.
Apare necesitatea introducerii unei noi mulțimi, mai largi, mulțimea numerelor reale, .
Astfel, prin definiție orice număr rațional sau irațional, pozitiv, negativ sau zero se numește număr real. Se dă relația .
În mulțimea numerelor reale se definesc operații și proprietăți ale acestora.
Numere întregi
Cele mai multe mărimi întâlnite în viața cotidiană sunt mărimi scalare. Aproximativ 90 % din problemele care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor din matematica de gimnaziu conțin tot mărimi scalare: prețuri, greutăți, viteze cu sens de mișcare dat, concentrații, arii, volume, etc.
Exemplele pe care le putem da pentru a arăta necesitatea introducerii numerelor negative sunt destul de puține: timpul, temperatura, iar datoria era interpretată încă din cele mai vechi timpuri ca o avere negativă.
Determinarea poziției unui punct pe dreaptă este în primul rând o situație care îl pune pe elev în fața necesității de a se introduce numere cu semn. Putem să enunțăm următoarea problemă. Să considerăm o dreaptă și pe ea fixăm un punct O. Găsiți pe dreaptă un punct A, astfel încât Elevii singuri vor răspunde sunt două posibilități: În ce parte să luăm punctul A? Cu întrebarea „în ce parte”, problema a fost deschisă. De aici pornind, se introduce în mod natural sensul pozitiv al axei, precum și notații ca: sau , deci numere cu semn.
Procedând în felul acesta, legăm încă de la început introducerea numerelor de reprezentarea lor pe axă, această reprezentare fiind esențială pentru studiul operațiilor cu numere.
Numerele întregi nu s-au născut ca o teorie matematică închegată de la început sau ca opera unui matematicia, ele s-au născut în practica vieții. Să considerăm de exemplu mărimea scalară cantitatea de făină dintr-un depozit. Vânzătorul va nota cantitățile noi primite prin numere cu + ( +250 kg, +600 kg, etc.) cu gândul: la ce aveam mai adăugăm 250 kg, 600 kg, etc., iar cantitățile pe care le vinde le va nota cu -150 kg, -300 kg, etc., cu gîndul: am de scăzut 150 kg, 300 kg, etc.
Adunarea numerelor întregi apare ca un proces natural. De exemplu, dacă într-o zi am primit 300 kg și am vândut 400 kg, la stocul inițial am de adăugat 300 și am de scăzut 400, sau mai simplu: am de scăzut 100.
Apoi ecuația , unde literele reprezintă numere naturale, nu are soluție întotdeauna în . Din această cauză s-a impus crearea unei noi mulțimi, în care ecuația dată să se poată rezolva. Așa s-au introdus numerele negative, care alături de numerele naturale formează mulțimea numerelor întregi. Așadar această mulțime s-a creat dintr-o necesitate.
Numerele fără semn sunt pproprii pentru exprimarea mărimilor scalare, pe când numerele cu semn exprimă mărimi orientate. Punctul A nu este bine determinat prin condiția , dar este bine determinat prin condiția .
Operații cu numere întregi
Adunarea
Se începe prin a se reaminti ce este adunarea, insistând asupra ideii de punere la un loc a unităților numerelor care se adună. Se anunță proprietățile de bază: comutativitatea și asociativitatea care apar cu claritate dacă adunarea este gândită ca reuniunea mulțimilor separate.
Aplicarea adunării în probleme variate fac elevul să simtă cât de întinsă este gama aspectelor concrete care se încadrează unei aceleiași scheme abstracte.
Scăderea
Scăderea are ca imagine de bază operația de scoatere dintr-o mulțime sau mărime dată a unei părți din ea. Proba scăderii – tratată teoretic și pe exemple concrete – ajută la înțelegerea scîderii ca operație inversă adunării.
O relație importantă din cadrul acestui capitol privind operațiile cu numere întregi este relația . Această relație poate fi explicată în două moduri elevilor: în primul rând o putem gândi din prisma ordinii efectuării operațiilor, deci efectuăm adunarea din paranteză și în final scădem rezultatul din a. La a doua variantă putem să spunem că este același lucru să scădem dintr-un număr o sumă sau să scădem pe rând fiecare termen al sumei.
Bineînțeles că pentru înțelegerea acestui lucru vom da câteva exemple.
Trebuie făcută observația asupra faptului că este vorba de o identitate algebrică, două metode diferite de calcul care conduc la același rezultat, oricare ar fi numerele respective.
Înmulțirea
Prin natura ei, predarea înmulțirii pune mai multe probleme decât cea a adunării.
Vom începe, imediat după definiție, cu stabilirea proprietăților de bază, acestea fiind necesare la justificarea procedeului de calcul. Pe când la adunare, proprietățile de bază pot fi considerate evidente, la înmulțire ele trebuie justificate rațional, urmate apoi de probleme.
De exemplu, pentru distributivitate, tratăm problema: un metru de pânză costă 12 lei; s-a cumparat o dată 3 m, altă dată 5 m, altă dată 4 m. Cât s-a plătit în total? – rezolvând-o în două moduri. Putem să calculăm câți metri de stofă s-au cumparat în total și apoi să înmulțim cu prețul unui metru de stofă, obținând astfel că prețul total este 144 lei. A doua modalitate este să aflăm pe rând cât costă 3 m de stofa, adică , apoi aflăm că 5 m costă 60 de lei, iar 4 m costă 48 de lei, iar în final adunând rezultatele obținem același preț total de 144 lei.
Considerăm că problemele de înmulțire merită cel puțin o lecție specială, nu trebuie să ne limităm la 3-4 probleme date pentru acasă.
Scopurile acestei lecții sunt:
Stabilirea legăturii între înmulțirea a două numere și înmulțirea din probleme
abstracte, unde trebuie să se facă distincție cu claritate între cei doi factori.
2. Preocuparea corespondenței între unități; formarea primelor noțiuni asupra unităților derivate, cum ar fi km/h, g/, etc.
3. Introducerea noțiunii de formulă împreună cu formarea gândirii elevului în acest sens (a gândi o relație generală, care sintetizează diverse probleme concrete cu o schemă comună).
4. Punerea bazelor pentru noțiunea de mărimi direct proporționale.
Se începe evident cu probleme simple, particulare, în care calculul se poate face mintal, atenția rămânând disponibilă pentru relația însăși.
Exemplu: Un tren merge cu viteza de . Ce distanță parcurge în 3 ore?
Deși răspunsul îl putem obține imediat, totuși insistăm asupra soluției. Desenăm o dreaptă, luăm pe ea un segment pe care scriem 40 km; în continuare luăm un segment egal, apoi încă unul.
Arătăm pe figură că distanța parcursă este de , adică .
Acum variem datele problemei. Dar în 8 ore, ce distanță parcurge? Dar dacă ar fi mers tot 3 ore cu viteza de 60 km/h?, etc.
Ce ni se dă și ce ni se cere în aceaste probleme? (Viteza, timpul și distanța). Cum procedăm pentru rezolvarea acestor probleme?
Faptul că cerem un răspuns asupra mai multor probleme deodată, dirijează gândirea elevului spre relația generală: distața parcursă = viteza timpul.
Analog, procedăm pentru stabilirea altor formile.
Toate noțiunile care se întâlnesc în aceste probleme: viteza, densitatea, norma, rația, etc. sunt noțiuni de o mare importanță practică; a preciza aceste noțiuni, a-i face pe elevi să conceapă just sensul lor propriu este extrem de utolpentru că ei se vor întâlni efectiv cu ele de foarte multe ori, pe de altă parte, pentru că familiarizarea elevilor cu astfel de noțiuni generale le dezvoltă gândirea științifică, capacitatea de a cunoaște realitatea cu sprijinul unor scheme generale.
Subliniem și precizăm acum un lucru pe care ei l-au gândit deja: viteza ni se dă în km/h sau în m/min sau în m/s etc.; avem nevoie și de unități de lungime și de unități de timp. Nu se poate spune viteza este 7 km fără să se precizeze dacă 7 km se parcurg într-o oră sau într-un minut sau într-o secundă.
Împărțirea
Este desigur operația cea mai „grea”, nu numai în privința calculului, ci și în privința înțelesului și imaginilor legate de ea.
Dăm definiția împărțirii ca operație inversă înmulțirii (în exprimarea: căutăm ce număr înmulțit cu împărțitorul ne dă pe deîmpărțit, ceea ce constituie proba). Aici trebuie să facem distincție între îmărțirea exactă și împărțirea cu rest, pregătind astfel terenul pentru noțiunea de divizibilitate.
Împărțirea exactă are, atunci când lucrăm cu numere concrete – deci în probleme aplicative – două moduri de a judeca, pe care elevul trebuie să le înțeleagă pentru a nu se limita la un calcul formal: este vorba de împărțirea în părți egale și împărțirea prin cuprindere – noțiuni învățate în clasele anterioare, dar care trebuie reactualizate. E bine să tratăm două probleme cu același calcul formal, de exemplu:
a) Se împart 65 de mere la 5 copii; aici e vorba de împărțirea în părți egale ; avem 5 grupe de câte 13 mere.
b) 65 de mere se vând 5 la 1 leu. Câți lei costă? aici formăm grupe de câte 5; vom avea 13 grupe de câte 5 mere.
Și asupra problemelor se insistă mai mult decât la operațiile precedente, pentru a se înțelege bine de ce se face împărțirea pentru a analiza corespondența între unități, tipurile de împărțire.
În toate problemele trebuie făcută proba, nu numai pentru a verifica rezultatul, ci și pentru că ea fixează mai bine noțiunea de împărțire.
Numere raționale
Studiul numerelor raționale începe în clasa a V-a cu studiul fracțiilor zecimale urmat de studiul fracțiilor ordinare.
Numerele raționale (ca submulțime a mulțimii numerelor reale) și deci fracțiile zecimale servesc pentru caracterizarea mărimilor continui: lungimi, durate de timp, volume, etc.
Împletirea în clasa a V-a între studiul numerelor naturale și al celor zecimale este dictată de considerente de ordin didactic. Cele mai multe aplicații ale operațiilor au loc în probleme în care în care intervin mărimi, deci numere – măsuri (lungimi, mase, viteze, etc.). Elementele de geometrie incluse în programa de aritmetică nu constituie geometrie propriu-zisă (de exemplu nu se referă la proprietăți de poziție); ele se axează pe aspectul cantitativ (lungimi, arii, volume), având rolul de a oferi un câmp vast de aplicații operațiilor aritmetice. Toate aceste probleme în care se dezvăluie multiplele aplicații ale operațiilor necesită cunoașterea fracțiilor zecimale.
Adoptând tratarea împletită, se realizează o continuitate între clasele I-IV și clasa a V-a.
Aici trebuie subliniată deosebirea esențială între fracțiile zecimale și numerele naturale, unde nu este posibilă întotdeauna împărțirea, ceea ce pune problema divizibilității.
În continuare vom trata cele două tipuri de fracții: ordinare și zecimale.
Fracții ordinare
Introducerea fracțiilor constituie prima lărgire a noțiunii de număr, lărgire care va continua treptat în clasele următoare prin introducerea numerelor negative, apoi a numărului real.
La fiecare treaptă a acestui proces, elevul trebuie să înțeleagă în primul rând principiile lui de bază și anume:
– ce necesitate impune această lărgire;
– că noua mulțime de numere ce se formează o include pe cea precedent cunoscută;
– că o dată cu definiția care se dă noilor numere, trebuie să se dea noi definiții și pentru operații; aceste noi definiții se dau în așa fel încât să lărgească, fără a le contrazice pe cele date anterior; trebuie arătat de asemenea că proprietățile operațiilor se păstrează.
Pe lângă respectarea acestor principii generale, cu o bază științifică teoretică, trebuie insistat asupra legăturii cu aplicațiile și problemele practice.
Problema fundamentală care face necesară introducerea noțiunii de fracție derivă din faptul că în mulțimea numerelor naturale împărțirea (nu împărțirea cu rest) nu este întotdeauna posibilă. Adăugarea fracțiilor la mulțimea numerelor naturale dă o mulțime de numere în care putem face întotdeauna împărțirea (printr-un număr diferit de zero). O problemă importantă, legată de aceasta, măsurarea unei mărimi când unitatea nu se cuprinde de un număr întreg de ori în ea, însă această problemă nu va fi rezolvată complet decât prin introducerea mai târziu a numărului real.
La nivel elementar, această problemă se expune, după cum se știe, într-o formă accesibilă copiilor. Dacă împărțim (în părți egale) 16 mere la 4 copii, fiecare copil va lua câte 3 mere. Dar dacă avem 17 mere, mărul care este în plus trebuie și el împărțit la cei 4 copii și de aceea îl împărțim în 4 părți egale; acum fiecare elev va lua 3 mere și o bucată din cele 4 obținute.
Faptul că noua mulțime de numere include pe cea anterior cunoscută este legată și de un aspect care creaza o dificultate oarecum specifică acestui capitol: faptul că un același număr poate fi scris într-o într-o infinitate de moduri.
Noțiunea de egalitate capătă astfel un aspect nou; pe când în mulțimea numerelor naturale, egalitatea a două numere înseamnă identitatea lor (5=5; 9=9; etc.), în mulțimea numerelor raționale, avem egalități de felul , adică moduri diferite de a scrie același număr.
În cazul în care numărătorul este divizibil cu numitorul, fracția este egală cu un număr întreg, de exemplu . Deci acum și numerele întregi pot fi scrise într-o infinitate de moduri, ele fiind acum cazuri particulare ale numerelor raționale. Apoi în cazul în care consideră o fracție cu numitorul 1, arătăm că printr-o fracție , înțelegem numărul egal cu numărul întreg 5.
Lărgirea definițiilor operațiilor privește operațiile directe ( adunarea și înmulțirea); scăderea și împărțirea sunt definite întotdeauna ca operații inverse. Dacă adunarea fracțiilor poate fi adusă la o imagine familiară (reuniunea unor mulțimi de unități de același fel), înmulțirea în cazul în care înmulțitorul este o fracție, ia un înțeles nou și constituie una din problemele de metodică cele mai importante.
În cadrul capitolului fracții ordinare, legarea de practică se face prin probleme în care intervin fracții concrete, adică mărimi fracționare și măsuri.
Noțiunea de fracție
Noțiunea de fracție, număr fracționar, se formează treptat la elevii școlii generale. Încă din clasa I, pe baza experienței anterioare și cu ajutorul materialului didactic, atunci când învață împărțirea în părți egale, ei sunt familiarizați cu noțiunea de jumătate. Apoi în clasa următoare învață și noțiunea de sfert, aceasta constituind doar familiarizarea lor cu primele elemente despre fracții.
În clasele următoare, elevii cunosc fracțiile elementare , , , , , ajungând să înțeleagă că toate acestea sunt fracții, părți dintr-un întreg care a fost împărțit în părți egale. Elevii fac cunoștință cu scrierea fracțiilor ordinare, cu noțiunea de numărător și numitor și semnificația lor.
În această perioadă nu este vorba despre un studiu asupra fracțiilor, ci doar de cunoașterea pe cale intuitivă a acestora. De aceea, predarea lecțiilor (doimea, pătrimea, optimea, etc.) se face pe baza unui bogat material didactic. De asemenea, specific acestor lecții este intuiția activă, adică profesorul și elevii să lucreze, să împartă materialul didactic, să compare jumătățile, sferturile.
În clasa a V-a se introduc fracții cu un numitor oarecare, deci sub forma cea mai generală. Pentru a se înțelege bine de la început rolul numitorului, este bine ca el să fie scris și în cuvinte, de exemplu se scrie 2 cincimi.
Fiind vorba de noțiunea de fracție, lecția de introducere a noțiunii trebuie urmată de numeroase exerciții în care întregul din care se ia fracția să varieze cât mai mult posibil.
Amplificarea și simplificarea
În cadrul acestor lecții, ideea principalăeste aceea că o aceeași mărime fracționară poate fi scrisă într-o infinitate de moduri. Se va începe cu un exemplu de fracție cu termeni mici, care poate fi gândită, vizualizată cu ușurință. Pentru a face ca elevii să aibă o imagine concretă, vom desena un întreg și-i vom pune să construiască din el. Întregul trebuie ales astfel încât să aibă o formă relativ regulată pentru a putea fi împărțit din ochi. Este bine să să luăm la început și întregi din viața cotidiană, cum ar fi o pâine, un măr, un vas, pentru a nu suprapune două procese abstracte, în același timp.
Să presupunem că am luat ca întreg o pizza rotundă. Le cerem elevilor să ne arate care este bucata din ea. Repetăm operațiunea pentru a găsi bucata care reprezintă din ea. Se vede cu claritate că din pizza reprezintă aceeași bucatănca și din aceeași pizza. Avantajul acestui mod de expunere constă în faptul că egalitatea apare printr-o identitate de bucăți fizice.
Procedeul expus, cu ajutorul desenului, creează o imagine clară, convingătoare, sintetică, ideea rămâne întipărită în minte mai bine.
Așadar, raționamentele în legătură cu fracțiile trebuie să se sprijine la nivel elementar pe imagini.
După expunerea celui mai simplu exemplu, în legătură cu amplificarea se vor trata și alte exemple ( de către elevi ), în primul rând exemple în care ermenii sunt relativ mici și care se tratează analog, tot cu ajutorul desenului, iar apoi exemple în care nu mai folosim desenul, ci numai îl imaginăm și cu care putem trece și spre raționament.
Numai după examinarea unui număr suficient de exemple scoatem regula.
În predarea simplificării fracției trebuie urmărit în primul rând să se vadă legătura cu amplificarea, iar apoi trebuie subliniate aspectele specifice simplificării. Putem amplifica fracția cu un număr oarecare, însă nu o putem simplifica decât cu un număr cu care se împarte exact numărătorul și numitorul, adică cu un divizor comun al termenilor ei.
Aducerea fracțiilor la același numitor
În primul rând, trebuie să arătăm elevilor utilitatea, rostul aducerii la același numitor. O putem face amintindu-le că două fracții cu același numitor pot fi comparate între ele.
Putem de asemenea anunța că aceasta ne va fi util când vom învăța adunarea și scăderea fracțiilor. În acest fel, elevii își vor da seama de importanța studierii noțiunilor învățate și deci vor participa cu mai mult interes la lecție.
Vom începe și aici cu un exemplu reprezentativ, care să îndeplinească condițiile:
1. numere nu prea mari pentru ca anumite calcule să poată fi efectuate ușor și atenția să rămână disponibilă pentru judecată, pentru a observa schema rațională;
2. numitorii să nu fie primi între ei, pentru a avea un caz particular, la sfârșit;
3. fracțiile să nu poată fi ușor comparate direct, pentru ca să ne punem și problema comparării, deci să reiasă și utilitatea aducerii lor la același numitor.
Luăm de exemplu fracțiile: și . Remarcăm întâi că fracțiile sunt ireductibile. Toate fracțiile egale cu le vom găsi prin amplificări succesive cu 2, 3, 4, …, apoi formăm șirul: al fracțiilor egale cu . Provocăm pe elevi să facă observația că aceste fracții au la numitor multiplii numitorului dat.
Analog pentru a doua fracție, obținem șirul
Acum putem pune pe elevi să compare primul șir cu al doilea pentru a observa dacă găsim o fracție în primul șir, având același numitor cu o fracție din al doilea șir. Elevii vor observa că putem găsi astfel de perechi de fracții în mai multe moduri.
Această observație a comparării a două șiruri de numere pentru a vedea care numere aparțin și unuia și celuilalt este instructivă în sine, reflectând o noțiune generală importantă, și anume intersecția a două mulțimi de numere. În cazul de față, ea ajută în plus să se revadă, adâncindu-se noțiunea de multiplu comun, precum și faptul că există o mulțime infinită de multipli comuni, că unul din ei este cel mai mic și ceilalți sunt multipli ai acestuia.
Momentul cel mai important al lecției este acesta când facem pe elevi să înțeleagă că numitor comun nu poate fi decât un multiplu comun al numitorilor. Arătăm apoi, că pentru a lucra cu numere mai mici, ne fixăm ca numitor pe cel mai mic dintre multiplii comuni.
Partea a doua a regulii, cu cât trebuie amplificată fiecare fracție pentru a obține numitorul comun fixat, este mai ușoară. În primele exemple, nici nu degajăm regula în această privință, ci lăsăm ca exercițiu pentru elevi să găsească amplificările, să ducă operația până la capăt.
După ce am aflat care este numitorul comun al celor două fracții date, putem spune care dintre fracții este mai mare.
La următorul exemplu pe care-l propunem, tot cu numere mici, îi vom lăsa pe elevi să judece singuri.
Numai după un număr suficient de exemple, cerem elevilor să enunțe regula, și să o noteze în caiete.
Regula urmează să fie fixată prin exerciții de aplicare a ei, date acasă.
După însușirea regulii generale urmează ca o observație separată studiul cazului când numitorii sunt primi între ei doi câte doi și deci numitorul comun cel mai mic este chiar produsul numitorilor.
Exercițiile trebuie făcute până când elevii au înțeles corect regula și procedeul de calcul. Deprinderi de calcul rapid se vor forma în cadrul lecțiilor privind adunarea și scăderea fracțiilor, acolo aducerea fracțiilor la același numitor fiind o acțiune cu rost vizibil și nu un simplu exercițiu.
Adunarea și scăderea fracțiilor
Pentru înțelegerea acestei teme, este esențial să se fi înțeles bine înainte, și să se actualizeze și acum, rolul numitorului: acela de a arăta ce fel de unități fracționare avem.
În cazul când fracțiile date nu au același numitor, să se înțeleagă că le aducem la același numitor tocmai pentru a avea același fel de unități fracționare.
După ce elevii au înțeles bine necesitatea aducerii la același numitor – pentru a avea unități de același fel – urmează ca să se fixeze prin probleme atât înțelesul concret al celor două operații cât și prin procedeele de calcul.
Problemele cu conținut practic trebuie să fie variate pentru a deschide perspective cât ma complete aplicațiilor. Exercițiile pentru fixarea procedeelor de calcul conțin numere abstracte și se situează pe linia pregătirii calculului algebric, a calculului în general. Deși problemele presupun o judecată simplă, nu ridică dificultăți, nu trebuie să ne limităm la exerciții care au rol formal.
Unii metodiști propun chiar să se înceapă cu problemele, căci ele sunt mai ușor de înțeles, având fracții concrete, exercițiile să vină după probleme, deci după ce înțelesul adunării și scăderii este bine fixat, deoarece exercițiile se plasează într-un domeniu mai formal, mai abstract, de vreme ce întregul fracției este subînțeles. Exercițiile permit totodată propunerea unor calcule mai lungi, mai complexe, care încadrate într-o problemă ar conduce la un text prea lung.
În alegerea exercițiilor trebuie să avem grijă și de reflectarea proprietăților de bază, de crearea preocupării pentru un calcul rațional, astfel încât să se solicite și gândirea elevului nu numai atenția necesă aplicării unui algoritm.
Înmulțirea fracțiilor
Cazul celmai general la înmulțire îl reprezintă cel în care ambii factori sunt fracții. În cazul în care unul dintre factori este număr întreg revine la mărirea fracției de acel număr de ori.
Exemplu: .
Cu o atenție sporită trebuie tratat cazul în care unul dintre facoti este fracționar, căci o dată cu lărgirea sistemului de numere, și definițiile operațiilor primesc sens mai larg.
Trebuie tratate următoarele aspecte:
– definiția înmulțirii unui număr cu o fracție;
– cum se calculează produsul;
– proprietățile operațiilor;
– legătura cu problemele practice.
A înmulți un număr cu o fracție înseamnă a afla cât reprezintă acea fracție din numărul dat, considerat a fi întreg.
Ca pregătire a înțelegerii definiției se poate începe cu probleme de aflare a fracției dintr-un număr.
Exemplu: O bucată de stofă are 20 de metri. Ce lungime are din această bucată? (să se facă și un desen corespunzător).
Rezolvare: .
După rezolvarea în clasă a vreo 3-4 de probleme de acest fel, se dă definiția înmulțirii și se fac exerciții de scriere pentru fixarea definiției.
Etapa următoare este învățarea regulii de efectuare a înmulțirii.
Nu este nevoie să se facă prea multe exerciții de înmulțire a fracțiilor, pentru că aplicarea regulii nu oferă nici o dificultate. Exercițiile au rostul nu atât să fixeze regula cât să învețe pe elevi cu simplificarea rezultatului.
Exercițiile de genul au rolul să repete proprietăți ale produsului de mai mulți factori și să pregătească exerciții analoage de calcul algebric.
După stabilirea definiției și regulii de calcul, urmează să se stabilească proprietățile de bază, comutativitatea, asociativitatea, distributivitatea. Pentru aceste proprietăți trebuie să insistăm și asupra justificării.
Aplicarea înmulțirii în probleme trebuie să înceapă cu probleme simple, dar tipice, urmărindu-se o dată cu reluarea și adâncirea definiției, stabilirea unor formule de ordin general, cum ar fi:
– prețul total = prețul unitar cantitatea
– drumul total = viteza timpul
– lucrul planificat = norma timpul, etc.
În cadrul acestor probleme trebuie revenit și asupra corespondenței între unități.
Exemplu: Un biciclist merge cu viteza . Ce distanță parcurge în 3 ore?
Rezolvare: În 3 ore face de 3 ori cât într-o oră, adică .
Împărțirea fracțiilor
Împărțirea este operația inversă înmulțirii. Definiția este generală, valabilă în orice mulțime de numere. O dată cu lărgirea definiției înmulțirii se schimbă și înțelesul împărțirii, dar numai ca o reflectare a schimbării survenite în definiția operației directe.
Este bine să păstrăm acest punct de vedere și în școala generală. A împărți pe a la b înseamnă a găsi un număr care înmulțit cu b să ne dea pe a.
Problema la care răspunde împărțirea trebuie enunțată și în cuvinte: cunoaștem produsul și unul din factori și trebuie să aflăm celălalt factor.
Regula de împărțire a două fracții trebuie să apară ca o consecință a acestei definiții:
pentru că .
Pentru deschiderea orizontului științific trebuie făcută observația, că dacă lucrăm numai cu numere întregi, împărțirea (exactă) nu este întotdeauna posibilă, pe când dacă lucrăm cu fracții, împărțirea a două fracții (împărțitorul diferit de zero) este întotdeauna posibilă, în particular și împărțirea a două numere întregi (câtul lor putând fi o fracție).
Problema întâlnită adesea în manuale sub forma „aflarea unui număr când se cunoaște o fracție din el” nu este cu nimic deosebită de problema împărțirii. Rolul unei astfel de enunțări este numai reamintirea definiției înmulțirii.
Pentru plicarea împărțirii în probleme – unde intervin mărimi, numere concrete – este bine să se analizeze separat, pe exemple, cele două categorii de probleme de împărțire:
1. cunoaștem câtul și deîmpărțitul și aflăm împărțitorul;
2. cunoaștem câtul și împărțitorul și aflăm deîmpărțitul.
Când lucrăm numai cu numere abstracte, cele două probleme se confundă, dar când lucrăm cu mărimi, cele două categorii devin distincte. Înțelegerea acestei deosebiri dezvoltă gândirea legată de realitatea materială, mai complexă decât forma matematică.
Fracții zecimale
Fracțiile zecimale se studiază după ce elevii și-au însușit câteva noțiuni elementare despre fracții.
Fracțiile zecimale constituie un caz particular al fracțiilor ordinare când numitorul este 10, 100, 1000, adică o putere a lui 10.
Zecimea o putem defini ca fiind unitatea fracționară zecimală care se obține prin împărțirea întregului în 10 părți egale și se scrie, la dreapta virgulei pe locul I;
Sutimea o putem defini ca fiind unitatea fracționară zecimală care se obține prin împărțirea întregului în 100 de părți egale și se scrie, la dreapta virgulei pe locul al II-lea;
Miimea o putem defini ca fiind unitatea fracționară zecimală care se obține prin împărțirea întregului în 1000 de părți egale și se scrie, la dreapta virgulei pe locul al III-lea;
Programa de matematică prevede ca imediat după formarea noțiunii de zecime să se formeze noțiunea de fracție zecimală.
Prin fracție zecimală se înțelege numărul format din una sau mai multe unități fracționare zecimale.
De exemplu: ; ; ; ; etc.
Pentru ca elevii să scrie și să citească în mod conștient fracțiile zecimale este necesar să învețe și să folosească toate modalitățile de citire pentru a putea să li se formeze capacitatea de a trece cu ușurință de la un tip de citire la altul, realizând astfel unitatea cunoștințelor asimilate.
Se va prezenta faptul că orice fracție zecimală are o parte întreagă și o parte zecimală.
Adăugarea la sfârșitul fracției zecimale a zerourilor sau ștergerea lor după ultima cifră semnificativă a părții zecimale este o problemă nouă pentru elevi, care trebuie abordată cu multă grijă de profesor. Acesta trebuie să-i facă pe elevi să conștientizeze diferența dintre adăugarea sau ștergerea zerourilor de la sfârșitul unui număr natural.
Pentru a înțelege acest lucru putem să începem cu o aplicație practică.
Trei elevi măsoară lungimea unei bănci, și găsesc următoarele rezultate:
primul elev obține 1m și 7 dm; al doilea elev obține 1 m și 70 cm; iar al treilea elev obține 1 m și 700 mm. Întrebarea care se pune este dacă cei trei elevi au măsurat corect sau au greșit?
Cei trei elevi nu au greșit, deoarece .
Așadar .
Apoi putem concluziona că putem adăuga sau șterge oricâte cifre de zero de la sfârșitul părții zecimale a unei fracții zecimale, fără ca prin aceasta să se schimbe valoarea ei.
Compararea fracțiilor zecimale
Fracțiile zecimale se pot compara ca și fracțiile care au același numitor, dacă sunt scrise sub formă de fracții ordinare.
Dacă fracțiile sunt scrise cu virgulă, se compară mai întîi partea întreagă, iar dacă părțile întregi sunt egale, se comparăpărțile zecimale (întâi zecimile, apoi sutimile, apoi miimile).
După realizarea mai multor exerciții de comparare, se pot deduce cu elevii următoarele reguli:
a) dintre două fracții zecimale, mai mare este aceea care are partea întreagă mai mare;
b) dintre două fracții zecimale, care au părțile întregi egale, mai mare este aceea care are numărul zecimilor mai mare;
c) dintre două fracții zecimale, care au părțile întregi și numărul zecimile egale, mai mare este aceea care are numărul sutimilor mai mare;
d) dintre două fracții zecimale care au părțile întregi, numărul zecimilor și numărul sutimilor egale, mai mare este aceea care are numărul miimilor mai mare, etc.
Adunarea și scăderea fracțiilor zecimale
Pentru adunarea și scăderea fracțiilor zecimale putem să abordăm două cazuri:
– primul, în care ambii termeni sunt fracții zecimale, și
– al doilea, când numai unul din termeni este fracție zecimală, iar celălalt este număr natural.
La adunarea și scăderea fracțiilor zecimale trebuie avută în vedere și situația în care termenii nu au același număr de zecimale. La început operația se realizează prin completarea cu zerouri a ordinelor unităților zecimale care lipsesc, completare la care se renunță pe măsură ce elevii reușesc să-și formeze deprinderile de calcul necesare.
Studiul operațiilor aritmetice cu fracții zecimale și formarea deprinderilor de calcul cu acestea se realizează prin transferul, aplicarea sau extinderea asupra acestor numere a proprietăților, regulilor teoretice și a procedeelor tehnice dobândite în studiul operațiilor cu numere naturale.
Așadar regulile învățate la numerele naturale se aplică și la fracțiile zecimale, ținându-se cont doar de particularitățile pe care le impune prezența virgulei.
Exercițiile trebuie să asigure o doză progresivă în ceea ce privește nivelul de dificultate: întâi se rezolvă exerciții cu fracții care au câte o singură zecimală, apoi cele care au două zecimale și apoi exerciții cu numere care au trei sau mai multe zecimale.
Justificarea regulilor de adunare și scădere a fracțiilor zecimale se bazează pe adunarea și scăderea fracțiilor cu același numitor și pe faptul că sistemul de formare și scriere a numerelor naturale și a fracțiilor zecimale este pozițional.
Trebuie să precizăm că toate proprietățile de la adunarea și scăderea numerelor naturale (comutativitatea, asociativitatea, elementul neutru) se păstrează și la fracțiile zecimale.
Trebuie să avem în vedere să formăm la elevi deprinderea de a scrie corect, de a așeza corect fracțiile zecimale, partea întreagă sub parte întreagă, virgula sub virgulă, zecimile sub zecimi, sutimile sub sutimi, etc.
Înmulțirea fracțiilor zecimale
Înmulțirea fracțiilor zecimale cu 10, 100, 1000
Înmulțirea unei fracții zecimale cu 10, 100, 1000 se introduce prin intermediul exercițiilor, elevii fiind conduși să observe că prin înmulțirea cu 10 ordinele fracției zecimale se transformă în ordine de 10 ori mai mari, adică zecimile devin unități întregi, sutimile devin zecimi, miimile devin sutimi. Această observație ne conduce la regula: o fracție zecimală se înmulțește cu 10 mutându-i virgula peste o zecimală spre dreapta.
Exemplu: .
Procedând analog se va desprinde și regula înmulțirii unei fracții zecimale cu 100, 1000. Aceasta constă în mutarea virgulei peste două, respectiv trei cifre spre dreapta.
Un alt procedeu cu ajutorul căruia desprindem regulile de mai sus este cel bazat pe algoritmul de înmulțire al unei fracții zecimale cu un număr natural, pe care elevii îl cunosc.
De exemplu pentru a înmulți fracția zecimală 3,124 cu 100 așezăm numerele unul sub altul ca în cazul general. Înmulțim în mod obișnuit, obținând produsele parțiale și apoi pe cel total însumând produsele parțiale. La început înmulțim și cu zero.
Deoarece primele două produse parțiale sunt egale cu zero observăm că putem omite înmulțirile cu zero.
Înmulțim numai cu 1, iar la produs coborâm cele două zerouri, apoi despărțim prin virgulă de la dreapta spre stânga cele trei zecimale ale deîmulțitului. Obținem fracția zecimală 312,400 ale cărei zerouri de la sfârșit pot fi omise fără a modifica valoarea fracției zecimale. Deci rezultatul înmulțirii este 312,4.
Pentru a înmulți două fracții zecimale finite se înmulțesc cele două numere fără a ține cont de virgulă, iar la rezultat se pune virgula, de la dreapta spre stânga, după atâtea cifre câte zecimale sunt la cele două numere împreună.
Exemplu: .
Împărțirea fracțiilor zecimale
Împărțirea fracțiilor zecimale la 10, 100, 1000
Justificarea împărțirii unei fracții zecimale la 10, 100, 1000 se poate face prin intermediul unor exemple ca în cazul înmulțirii. De această dată observăm că unitățile de un ordin oarecare ale deîmpărțitului ocupă, în urma operației de împărțire descrisă, locul unui ordin de 10 ori mai mic, de 100 de ori mai mic, respectiv de 1000 de ori mai mic.
De exemplu: .
O fracție zecimală se împarte la 10 mutându-i virgula peste o zecimală, spre stânga. Procedând analog putem formula următoarea regulă: o fracție zecimală se împarte la 10, 100, 1000 mutându-i virgula respectiv peste una, două sau trei zecimale, spre stânga.
Pentru a împărți două fracții zecimale se înmulțesc mai întâi cele două numere cu o putere a lui 10 astfel încât împărțitorul să devină număr natural, după care se aplică algoritmul împărțirii a două numere naturale, trecând virgula la rezultat în momentul în care se ajunge la ea la deîmpărțit.
Exemplu:
Dacă numitorul unei fracții ireductibile conține numai factori de forma sau , atunci fracția este zecimală finită.
Exemplu: .
Dacă numitorul unei fracții ireductibile conține și alți factori decât sau , atunci fracția se transformă în fracție periodică.
Dacă numitorul unei fracții ireductibile are numai factori primi diferițibde 2 și 5, atunci ea se transformă în fracție zecimală periodică simplă.
Exemplu: fracție periodică simplă
Dacă numitorul unei fracții ireductibile are, pe lângă alți factori primi, și cel puțin unul dintre factorii 2 și 5, atunci fracția se transformă în fracție zecimală periodică mixtă.
Exemplu: fracție periodică mixtă.
Divizibilitatea
Rolul noțiunii de divizibilitate este acela de a da semnificație noțiunile de divizor comun
și multiplu comun, necesare în studiul fracțiilor, la simplificare și la aducerea fracțiilor la același numitor.
Referitor la noțiunea de divizibilitate putem discuta doar despre numere naturale abstracte – probleme cu mărimi sunt foarte puține. Este primul contact al elevilor cu o noșiune de știință „pură” (teoretică): principalele proprietăți ale numerelor naturale.
Să ne ferim însă a ne bizui, în introducerea noțiunilor de divizor și multiplu, numai pe împărțirea exactă privită formal, prin imaginea calculului respectiv. Noțiunile trebuie sprijinite pe înțelesul de fond al împărțirii și imaginile concrete potrivite ei.
Imaginea cea mai protrivită pentru introducerea noțiunilor de multiplu și divizor este cea dată de gruparea unităților.
Vom pune pe elevi să deseneze mai multe sau mai puține grupe pentru a fixa faptul că noțiunea nu este legată de numărul grupelor, ci de însăși posibilitatea grupării. Unitățile negrupate dau imaginea restului, în cazul unui număr care nu este multiplu.
Exerciții de înșirarea verbală a multiplilor lui 5, ai lui 4, etc. fixează noțiunea și totodată fac să se vadă existența numerelor intermediare, nemultiplii, succesiunea la intervale regulate și faptul că șirul multiplilor unui număr este infinit.
Invers, fiind dat un număr anumit, de exemplu 34, pentru a vedea dacă este multiplu de 7, căutăm să formăm cu unitățile lui grupe de câte 7 și să vedem dacă rămân unități negrupate sau nu.
Orice împărțire exactă, de exemplu ne dă posibilitatea să fixăm terminologia – relativ complexă: 28 este multiplu al lui 7, 7 este divizor al lui 28, 28 este divizibil cu 7, 7 divide pe 28.
Criteriile de divizibilitate
Pe lângă utilitatea lor directă, în ușurarea unor calcule, criteriile dau prilejul fixării și aprofundării noțiunilor de bază, de aceea nu trebuie să urmărim numai ca elevii să cunoască regulile, ci trebuie să le demonstrăm. Aceasta dă și prilejul reluării și a folosirii imaginii numărului cu unități grupate în zeci, sute, etc.
Exemplu:
Criteriul de divizibilitate cu 4: o sută este divizibilă cu 4 (100 = 25 grupe de câte 4). Un număr oarecare este compus dintr-un număr de sute și numărul dat de ultimele două cifre, de exemplu 473. Întrucât fiecare sută se desface în grupe de câte 4 rămâne să vedem ce se întâmplă dacă din 73 formăm grupe de câte 4. (Cu alte cuvinte nu demonstrăm numai regula propriu-zisă a divizibilității, ci regula care ne dă restul).
Numere prime
Trebuie să-i familiarizăm pe elevi cu noțiunea de număr prim, cu cunoașterea numerelor prime cel pușin până la 50 și cu procedeul prin care se stabilește că un număr este prim: împărțirea cu numerele prime crescătoare până ce obținem un cât mai mic decât împărțitorul. Justificarea completă a acestui procedeu este greu accesibilă. Încercăm numai cu numere prime, este ceva mai ușor de înțeles. Un număr divizibil cu 4 este și cu 2 (desfacem fiecare grupă de 4 în grupe de două); dacă un număr nu este divizibil cu 2, sigur nu este nici cu 4. Repetând raționamentul și pe alte exemple, se poate intui regula generală: un număr care nu are niciun divizor prim, sigur nu are nici divizor compus. Vom urmări mai mult înțelegerea faptului decât exprimarea lui în forma generală, mulțumindu-ne cu exprimarea prin exemple.
Partea a doua a regulii este mai grea. De ce până când câtul devine mai mic decât împărțitorul? Raționamentul direct: dacă ar exista un divizor mai mare ca ultimul împărțitor încercat, câtul ar fi și el divizor, și anume un divizor mai mic, etc. este greu accesibil, chiar dacă îl expunem cu exemple numerice, pentru că e vorba de o reducere la absurd și de un raționament ipotetic (dacă ar exista, atunci…).
Descompunerea în factori primi
Aici, prin exerciții, se ajunge la stăpânirea procedeului formal (cu bară trasă lângă număr). Să nu ne mulțumim cu procedeul mecanic. Pentru a avea și prezența înțelesului este necesar să facem exerciții care ies din șablon. De exemplu: numerele mici să se descompună din minte.
Divizori și multipli comuni
Noțiunea însăși se dă cu ajutorul unui exemplu foarte simplu (pentru ca atenția să nu fie obosită de considerarea unor numere mari). Astfel considerăm numerele 10 și 15. Să scriem șirurile multiplilor:
0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, …
0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, …
Există un număr scris și într-un șir și în celălalt? (ca fond, avem aici intersecția a două mulțimi). Un astfel de număr va fi și multiplu de 10 și de 15 și se numește multiplu comun al acestor numere.
Analog, pentru definirea unui divizor comun.
Se pune apoi problema: cum aflăm un divizor comun când numerele sunt descompuse în produs de factori primi? Aici avem un caz tipic de necesitatea atenției concentrate. După ce amintim încă o dată cum se află diferiți divizori ai unui număr, vom cere elevilor să spună divizori comuni pentru următoarele numere: și . Elevii vor observa cu ușurință că 2, și 5 sunt divizori comuni ai celor două numere. Apoi om cere elevilor să găsească cel mai mare divizor comun pentru cele două numere.
Se fac apoi exerciții asemănătoare, pe alte exemple, cu numere care conțin mai mulți factori primi, ca să fie mai greu de căutat dacă un factor e și la unul și la celălalt. Nu urmărim numai pătrunderea problemei, foarte importantă în sine, ci și aspectul ei educativ: plasarea elevului în procesul cercetării, în tensiunea unei atenții foarte ascuțite, în atmosfera psihică proprie adevăratelor probleme.
Să nu ne grăbim să enunțăm regula în cuvinte, și mai neindicat este procedeul unor profesori de a pleca de la regulă și a face exerciții prin aplicarea ei. Trăirea faptului direct este aspectul esențial. Enunțarea regulii urmează oarecum ca o problemă separată, cu alt conținut: a exprima în cuvinte, cât mai sistematic, ceea ce știu să fac. E clar deci, că enunțul trebuie să-l dea elevii și să facă aceasta cu un exemplu în față, străduindu-se să-l analizeze, să desprindă esențialul, să exprime prin cuvinte un enunț valabil în cazul general.
Chiar după ce regula a fost notată în caiete și în învățată ca atare, în diversele exerciții de aflare a divizorului comun să nu urmărim numai rezultatul, ci să fim atenți și asupra modului în care elevul gândește: ce face el? aplică regula? sau reface pe scurt procesul care l-a condus la regulă? Unii profesori se mulțumesc cu aplicarea corectă a regulii și o aplică de atâtea ori până ea devine mecanică, pe care o aplică fără să o discute.Fără a neglija cunoașterea regulii generale, pentru a asigura o însușire conștientă a ei, este bine să avem grijă ca cel puțin în unele exerciții să punem întrebări care să provoace pe elevi să gândească din nou procedeul prin care ei au descoperit regula.
Analog, procedăm în cazul multiplilor comuni.
Scopul final, programa în sens strict, se referă la cel mai mare divizor comun, respectiv cel mai mic multiplu comun.
Subliniem că se pot înțelege cum trebuie aceste noțiuni, dacă nu tratăm sau amintim destul și faptul că există și divizori comuni mai mici sau și multipli comuni mai mari. Oricât ar părea de subînțeles că vorbind de c.m.m.d.c., presupunem mai mulți divizori comuni, acest lucru trebuie și explicat. Exercițiile mecanice vor șterge din minte înțelesurile, cu atât mai mult cele subînțelese. De aceea este foarte indicat ca, cel puțin la unele exerciții, să cerem elevilor pe lângă a afla c.m.m.d.c. să găsească și un alt divizor care nu este cel mai mare. De asemenea, este bine să nu folosim numai termenul de c.m.m.d.c., ci uneori și divizorul comun cel mai mare sau mai mare ca toți ceilalți.
Un foarte bun exercițiu de judecată, care ajută înțelegerea conștientă a noțiunii este și stabilirea propozițiilor: un divizor comun divide pe c.m.m.d.c.; un multiplu comun este multiplu al c.m.m.m.c. – teoreme pe deplin accesibile unui elev care a fost învățat să judece și care a prins fondul problemei, teoreme utile din punct de vedere pedagogic, pentru a sili atenția să se îndrepte spre fondul problemei.
Un alt aspect important atât direct cât și pentru înțelegerea adâncă a lucrurilor este cel legat de numerele prime între ele. Două numere prime între ele (sau mai multe numere prime două câte două) au ca c.m.m.m.c., chiar produsul lor.
Explicația cu ajutorul descompunerii în facori, este foarte ușoară. Se poate da și relația mai generală: produsul dintre c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. a două numere este egal cu produsul numerelor.
Problemele „practice” cu aceste noțiuni sunt foarte puține și într-o oarecare măsură superficiale. Interesul principal al acestor noțiuni este cel teoretic ( deci cu aplicații indirecte, de ordin științific). Este cum spuneam, primul contact al elevului cu „știința pură”.
De aceea accentul nu trebuie pus doar pe mecanismele de calculare, ci și pe procesul gândirii, pe o înțelegere justă, în fond, a problemelor.
Rădăcina pătrată
Rădăcina pătrată este pusă în programă în primul rând pentru folosirea ei în alte probleme: aflarea mediei proporționale, aflarea laturii pătratului când se dă aria, etc.
Trebuie să remarcăm că ea constituie și primul contact cu noțiunea de funcție inversă. Pe când suma (produsul) apare ca o funcție de două cantități, este o funcție de o singură variabilă.
Problema inversării operației este mai ușoară, deci ideea se înțelege mai bine să-l aflăm pe cunoscând valoarea lui .
Regula aflării rădăcinii se dă fără demonstrație. Aceasta nu înseamnă că trebuie să neglijăm complet elementele justificative. Astfel dându-se problema aflării lui , elevul trebuie să-și dea seama nu numai prin regula mecanică, ci și prin gândire că rădăcina are două cifre și că aflarea primei cifre revine la aflarea lui ().
Nejustificarea completă a regulii poate fi compensată prin probleme de gândire în legătură cu problema.
Calcularea rădăcinii cu una, două, etc. zecimale exacte permite revederea și aprofundarea unor noțiuni legate de noțiunea de valoare aproximativă a unui număr și implicit, introducerea unor noi elemente necesare pentru înțelegerea noțiunii de număr real.
Rapoarte și proporții.
Mărimi direct și invers proporționale.
Importanța acestei teme este fundamentală nu numai pentru înțelegerea altor noțiuni de matematică, ci și, în primul rând, pentru înțelegerea corectă a unei serii foarte întinse de fenomene ale naturii studiate în cadrul altor discipline.
Mărimi proporționale
O mărime care depinde proporțional de alta sau de alte mărimi. Este aici canavaua în care se înscriu cele mai multe legi ale fizicii. Și trebuie să remarcăm că chiar atunci când este vorba de legi fizice mai complicate, prima aproximare în procesul de cunoaștere a lor, ideea simplă, familiară intelectului omenesc, care ajută studierea fenomenului, este tot ideeade dependență proporțională.
Ținând seama de scop – cunoașterea problemelor legate de dependența proporțională a mărimilor – ținând seama de importanța acestor probleme atât pentru aplicațiile practice directe cât și pentru înțelegerea temeinică a științelor naturii, rezultă, ca un principiu de ordin general în predarea aritmeticii, că trebuie să familiarizăm pe elevi cu cunoașterea, aprecierea, mânuirea noțiunii de mărime și numai cu operații cu numere. Ei trebuie să știe să lucreze și cu mărimi în sine, și cu mărimi măsurate, cu numere concrete, cu numere abstracte, adică cu schema relațiilor între mărimi nespecificate; trebuie să vadă, să înțeleagă, să simtă legătura între calcule cu numere și calcule cu mărimi. Această linie trebuie impregnată întregului curs de aritmetică elementară.
O bună pregătire a noțiunii se face în cadrul predării problemelor de înmulțire și de împărțire – întâi cu numere întregi, apoi cu fracții – și mai ales, prin tipizarea acestor probleme, prin explicitarea și împărțirea pe categorii a cazurilorfrecvente în care se aplică înmulțirea. Iar în discutarea tipurilor de probleme de înmulțire trebuie insistat asupra înțelegerii clare a unităților de măsură, a legăturii între unitatea cu care este măsurat produsul și aceea cu care este măsurat deînmulțitul.
Un metru de pânză costă 10 lei. Cât costă 4 metri? De patru ori costul unui metru, adică 10 lei 4 = 40 lei.
Dând și alte exemple, trebuie să ajungem să degajăm tipul; costul unui metru îl înmulțim cu un număr care arată câți metri au fost și obținem costul total și, luând ca bază și elte exemple, să ajungem la tipul general: prețul unitar câte unități au fost = prețul total.
Este clar că prin expresia: 40 lei este de 4 ori câte 10lei, pregătim noțiunea de raport, și anume în fond de raporta două mărimi (40 lei, 10 lei) și nu numai a două numere (40; 10).
Printr-o formulă de genul: viteza timpul = drumul parcurs,
pregătim noțiunea de mărimi proporționale (de exemplu, dînd o succesiune de două – trei probleme în în care viteza rămâne aceeași, iar timpul – și deci drumul – se schimbă).
Tot pentru pregătirea unei noțiuni clare a proporționalității este bine să precizăm în ce condiții putem folosi înmulțirea; de exemplu numai dacă în fiecare oră s-a parcurs același drum (viteză constantă, mișcare uniformă), găsim drumul prin înmulțire. Pregătim astfel ideea că spațiul este proporțional cu timpul de parcurs numai în mișcarea uniformă.
Noțiunea de raport
Ținând seama de indicația de ordin general, rezultă că trebuie să urmărim formarea noțiunii de raport a două mărimi de același fel (adică a două valori ale aceleiași mărimi).
În lumina scopului aplicării aritmeticii la studiul naturii, nu numai că nu trebuie să neglijăm, ci dimpotrivă trebuie să tratăm cu deosebită grijă noțiunea de raport între mărimi.
Raportul a două mărimi (de același fel) poate fi luat în considerare chiar dacă mărimile nu sunt măsurate; pot să-mi pun problema de câte ori o distanță între două puncte este mai mare ca o altă distanță sau, mai general, care este raportul acestor două lungimi.
Trebuie făcută distincția între raport care are doi termeni reprezentând mărimile care se compară și valoarea raportului, care este un număr abstract, cu atât mai multcu cât în vorbirea simplificată se folosește uneori cuvântul raport pentru valoarea raportului, înțelegându-se den context că despre aceasta este vorba (de exemplu, raportul între diametrul unui cerc și raza acestuia este 2 în loc de „are valoarea 2”).
Fără această distincție nu putem spune: proporția este egalitatea a două rapoarte și proporția are patru termeni.
Noțiunea de raport trebuie introdusă cu ajutorul unor probleme din care să se vadă necesitatea acestei noțiuni, luându-se la început rapoarte a căror valoare poate fi ușor apreciată sau calculată din minte.
Încă de la introducerea noțiunii se dau probleme variate în care se urmărește pe lângă punerea în evidență a necesității și familiarizarea elevului cu procesul aprecierii rapide a valorii raportului.
Problemele în care se dă valoarea raportului și unul din termeni pentru a-l afla pe celălalt trebuie să realizeze de asemenea nu numai însușirea procedeului de calcul, ci, mai ales cu ajutorul cazurilor când raportul are o valoare simplă, să ajute și să consolideze înțelegerea profundă a noțiunii.
În continuare vom trata noțiunile de rapoarte și proporții numerice. Aici trebuie să se asigure pe lângă însușirea procedeelor de calcul, și obișnuirea elevului cu evaluarea, aprecierea din ochi a rapoartelor care au o importanță deosebită.
În cadrul noțiunii „Proporții derivate” – cu aceiași termeni sau cu termeni schimbați – trebuie date, pe lângă demonstrații generale, și exemple numerice în care se calculează efectiv valoarea celor două rapoarte care formează proporția.
Mărimi direct și invers proporționale
Aici este foarte important ca elevii să înțeleagă definiția, să-și însușească noțiunea precum și legarea ei de practică.
Dependența proporțională este un caz particular al noțiunii mai largi de dependență. Este vorba de dependența unei mărimi de o altă mărime sau de dependența unei mărimi de mai multe alte mărimi care pot varia independent una de alta. Astfel elevul își fixează noțiunile, este provocat să gândească direct asupra realității, își dezvoltă gândirea dialectică și apiritul practic.
Specificarea unor condiții, găsirea lor de către elevi ajută nu numai aprofundarea noțiunii, ci și trecerea de la dependența de o mărime la dependența de mai multe măimi. În mișcarea uniformă, drumul depinde direct proporțional și de timp și de viteză. Înțelegem prin aceasta că atunci când viteza rămâne constantă, drumul este proporțional cu timpul, iar dacă timpul rămâne același, drumul este proporțional cu viteza. Volumul paralelipipedului dreptunghic depinde direct proporțional de fiecare din cele trei dimensiuni ale sale: lățime, lungime și înălțime. Astfel că dacă lungimea și lățimea rămân neschimbate, iar înălțimea crește de un număr de ori, și volumul crește de același număr de ori.
În stabilirea exemplelor de dependență proporțională, elevul trebuie lăsat să gândească cu ajutorul creșterilor sau descreșterilor de un număr întreg de ori.
Numai după însușirea temeinică a noțiunii, trebuie să se treacă la reguli de calcul.
Două mărimi sunt direct proporționale dacă atunci când una crește (scade) de un anumit număr de ori atunci și cealaltă va crește (scădea) e același număr de ori.
Două mărimi sunt invers proporționale dacă atunci când una crește (scade) de un anumit număr de ori, atunci cealaltă va scădea (crește) de același număr de ori.
Regula de trei simplă constă în faptul că unul dintre termeni este necunoscut, iar ceilalți trei sunt dați.
Se va începe și aici cu exemple în care valoarea raportului să fie ușor apreciată din minte, fără însă a ne mărgini la cazul valorilor întregi.
Numai după un număr suficient de exemple tratate direct (cu date special alese ca să poate fi gândite și tratate direct) degajăm regula generală: dacă avem două mărimi direct proporționale, raportul a două valori a uneia din ele este egal cu raportul valorilor corespunzătoare ale celeilalte.
După însușirea temeinică a acestei reguli putem trece la aplicarea ei în probleme, în care mărimile și rapoartele au valori care nu mai pot fi imaginate ușor.
Probleme de genul acesta se întâlnesc atât de frecvent în practică, încât este potrivit să dotăm elevii cu mijloace rapide de găsire a modului de calcul.
Regula de trei compusă se referă la o mărime care depinde proporțional (direct sau invers) de mai multe mărimi date. Ele presupun un proces al gândirii mai complex.
Să presupunem că începem cu problema:
5 cai în 30 de zile consumă 900 kg de ovăz.
Cât consumă 12 cai în 18 zile?
Mai întâi analizăm care sunt mărimile în problemă (consumul, timpul, mulțimea cailor).
Analizăm dacă cantitatea „ovăzul consumat” depinde (deocamdată fără referire la proporționalitate) de timp și de numărul cailor. Apoi, în ce fel depinde; presupunând că am avea același număr de cai, când timpul ar crește de 2 ori ce s-ar întâmpla cu cantitatea de ovăz consumat? Dar dacă am avea același număr de zile, de exemplu o zi, și s-ar schimba numărul cailor? 5 cai într-o zi ar consuma o cantitate; 10 cai tot într-o zi cât ar consuma? Dar 15 cai? Numai după ce noțiunea a fost bine gândită din nou, trecem la rezolvarea problemei prin metoda proporțiilor.
Rezolvarea a cel puțin 3-4 probleme (incluzând și cazul când dependența de o mărime este invers proporțională) oferă materialulnecesar pentru a trece la o altă treaptă spre generalitate, pentru a înțelege regula în al cărei enunț nu intră mărimi specificate. Această treaptă poate fi realizată numai dacă problemele concrete rezolvate au fost atât de bine înțelese încât, privind din nou rezolvarea, elevul să vadă schema, principiul rezolvării și nu rezolvarea de detaliu, calculul.
Dacă rezolvarea problemelor concrete a durat două lecții, în lecția următoare, profesorul trebuie să revadă pe scurt soluțiile date și să le sintetizeze în scheme scrise ordonat pe tablă.Numai după rezolvarea celor 3-4 scheme de pe tablă, cu sublinierea esențialului la fiecare rezolvare, se poate trece la comparația între ele (la prima problemă, cum depindea mărimea x de celelalte? Cum am scris rapoartele? Dar la a doua problemă? Dar la a treia? Ce regulă putem desprinde aceste exemple?).
Numărul de ore alocat prin programă acestei teme este suficient pentru a se asigura o însușire temeinică a noțiunii, a modului de judecare, a deprinderilor de calcul. Nu este admis ca aceste ore să fie consumate numai pentru deprinderi de calculși nu putem fi mulțumiți cu rezultatul aparent bun, că elevii știu să rezolve orice problemă cu regula de 3 simplă, dacă nu am asigurat o înțelegere profundă a ideii de dependență proporțională, fundamentală pentru întreaga pregătire științifică ulterioară.
Capitolul 2. Tratarea metodică a noțiunilor de geometrie studiate în gimnaziu
2.1. Considerații asupra studiului geometriei
Cu o serie de noțiuni geometrice elevul se întâlnește în clasele II-IV. Dintre aceste noțiuni fac parte punctul, dreapta, unghiul, poligonul (triunghi, pătrat, dreptunghi, paralelogram, trapez), cercul, cubul, paralelipipedul.
Aceste noțiuni sunt tratate în clasele mici intuitiv, pe bază de observații și măsurători.
În clasa a V-a sunt prevăzute noțiuni de geometrie. Unele dintre ele au fost învățate în clasele anterioare, dar sunt reluate în această clasă pentru că se pot formula cu ele maimulte probleme de calcul ca aplicații ale unităților de măsură pentru lungimi, arii, volume.
Studiul sistematic al geometriei, începe în clasa a VI-a. Primele noțiuni sunt noțiuni de bază care se introduc intuitiv, prin descrieri (punct, dreaptă, plan), noțiuni date prin definiții (unghi, triunghi). În această clasă se introduce noțiunea de teoremă și demonstrație logică a unei teoreme.
Facem sublinierea că cel mai important lucru este acela, ca după enunțarea și demonstrarea logică a primelor teoreme, să se rezolve probleme în care se aplică aceste teoreme. Sublinierea este valabilă și în clasele următoare, de altfel pentru întreg studiul geometriei.
În clasa a VII-a se continuă introducerea a noi noțiuni geometrice, ca o continuare a celor studiate în clasa anterioară.
Predarea geometriei plane păstrează și în clasele a VI-a și a VII-a preocuparea ca observarea și activitatea practică directă să fie izvorul cunoașterii figurilor geometrice și a proprietăților lor.
Se urmărește ca în mod treptat, elevii să se desprindă de contactul permanent cu realitatea obiectivă și să poată studia figuri fără ca ele să fie legate nemijlocit de exemple concrete.
În clasa a VIII-a începe studiul geometriei în spațiu. Noțiunile de bază se dau acum prin axiome și definiții, dar se consideră cunoscut, evident, conținutul geometriei plane din anii anteriori.
Dintre obiectivele generale care se pot formula prin studiul geometriei în spațiu, evidențiem pe acela de a dezvolta la elevi imaginația spațială și de a aplica noțiunile teoretice la rezolvări de probleme. De aceea, prima problemă ce se ridică este realizarea imaginii în plan a unui corp din spațiu, prin desen. Acest desen trebuie să dea elevului impresia că vede direct acel corp.
Cu desene cât mai bine executate și raționamente logice corecte studiul geometriei în spațiu, la clasa a VIII-a, își aduce aportul său la realizarea obiectivelor învățământului matematic formulate pentru clasele ciclului gimnazial.
În acest context, se impune faptul că asimilarea cunoștințelor de geometrie se bazează pe procese de intuiție activă, pe un dezvoltat spirit de observație care, la rândul lui, stimulează plăcerea de a cerceta, angajând operațiile gândirii, singurele în măsură să permită accesul la surprinderea esențialului matematic din realitatea cercetată.
Activitatea de observare și de cercetare experimentală a realității desfășurate de profesor cu elevii în vederea descoperirii (redescoperirii) propozițiilor geometriei determină la aceștia formarea de reprezentări active, de suporturi imaginative în plan spațial, foarte necesare în însușirea ulterioară a cunoștințelor de geometrie și în aplicarea acestora. În plus, prin însuși specificul lor, lecțiile de geometrie angajează elevii într-o activitate intensă prin care li se cere să construiască și să folosească instrumentele de geometrie, să utilizeze corect „planul” foii de hârtie, să facă măsurători, să facă și calcule, să rezolve probleme, etc. Totodată, are loc în mod evident și o accentuare a unor trăsături psihice pozitive legate de sfera voinței, a responsabilității față de acțiunile proprii, față de muncă, dezvoltând gustul pentru ordine și frumos.
Geometria plană:
2.2. Noțiunile de bază: punctul, dreapta, planul
În geometrie, ca în orice disciplină științifică, se lucrează cu anumite noțiuni. Cele mai simple noțiuni sunt: PUNCTUL, DREAPTA, PLANUL.
Punctele, dreptele, planele sunt noțiuni create de mintea omului (noțiuni abstracte) având proprietățile unor obiecte reale. Nu vom defini noțiunile geometrice de punct, dreaptă, plan. Pentru a putea lucra mai ușor cu aceste noțiuni abstracte este suficient să asociem, adică să avem în minte, unele obiecte bine cunoscute din spațiul înconjurător, obiecte ale căror proprietăți au condus la stabilirea proprietăților punctelor, dreptelor și planelor geometrice.
Noțiunii de punct geometric putem să-i asociem, de exemplu, urma lăsată pe hârtie de înțepătura unui creion bine ascuțit, semnul ce notează un sat pe o hartă, semnul ce notează pe hartă intersecția a două șosele, colțul unei încăperi, etc.
Noțiunii de dreaptă putem să-i asociem un fir de ață foarte bine întins, muchia unei mese, muchia unei încăperi, toate aceste obiecte gândite fărăr capete (prelungite la nesfârșit în ambele sensuri).
Noțiunii de plan putem să-i asociem fața perfect netedă a unei mese, a unei oglinzi, fețe gândite fără margini (prelungite la nesfârșit în toate direcțiile).
În geometrie punctele se notează cu litere mari de tipar: A, B, C, D,…, dreptele cu litere mici: a, b, c, d,…, iar planele cu litere grecești: . Uneori aceste litere conțin câte un indice inferior (de exemplu , , , , , , etc.) sau de câte un indice superior (de exemplu , etc.).
Ca mijloc principal de reprezentare a puctelor, dreptelor și planelor prin obiecte concrete vom folosi desenul caietului sau tabla clasei în care învățăm.
Desenul are un rol foarte însemnat în geometrie; el contribuie la dezvoltarea intuiției spațiale, a imaginației, creativității, inventivității. Prin urmare un desen trebuie făcut cu foarte mare grijă. Pentru întocmirea unui desen în condiții optime este necesar să se cunoască bine instrumentele de desen și modul lor de folosire. Principalele instrumente folosite pentru executarea desenului sunt: creionul, rigla, echerul, raportorul și compasul.
Vom privi dreptele și planele ca mulțimi de puncte.
Orice mulțime de puncte dintr-un plan o vom numi figură geometrică plană.
Figurile geometrice fiind mulțimi de puncte putem face cu ele toate operațiile cu mulțimi învățate la aritmetică: reuniunea, intersecția, diferența, etc.
Se prezintă elevilor mișcări care generează figuri și corpuri geometrice astfel:
a) mișcarea unui punct dă naștere unei drepte (dreapta fiind mulțimea tuturor punctelor ce o formează);
b) prin mișcarea unei drepte ia naștere o suprafață (suprafața având o infinitate de puncte), se marchează punct lângă punct, pe tablă, cu creta, aproape prin coincidența punctelor, astfel încât să se formeze o linie. Cu o sfoară umezită – întinsă ca un fir – prin mișcarea de translație se va defini o suprafață, deci se va forma o parte dintr-un plan.
c) prin mișcarea unei suprafețe se formează un plan. Demonstrația o facem într-o ladă cu nisip, prin rotirea unui carton dreptunghiular se va forma un cilindru „săpat în nisip”. Figura geometrică studiată în cadrul geometriei este forma întâlnită în realitate. Figurile sunt alcătuite din puncte și drepte, care dau naștere la suprafețe – părți din plan. Unele figuri se pot așeza într-un plan cu toate punctele lor și acestea sunt figurile plane, altele nu îndeplinesc această condiție și acestea sunt corpurile în spațiu sau formele spațiale
Pozițiile relative a două puncte: două puncte se numesc distincte dacă ocupă locuri diferite în plan, și notăm , sau pot să ocupe același loc, situație în care ele se numesc puncte identice .
Prin două puncte distincte trece o singură dreaptă și numai una.
Pozițiile relative ale unui punct față de o dreaptă: un punct poate să se găsească pe o dreaptă și spunem „punctul A aparține dreptei d” , sau poate să fie în afara dreptei și spunem „punctul A nu aparține dreptei d” .
Pozițiile relative ale două drepte: dacă două drepte au un punct comun se numesc drepte concurente, dacă au două au mai multe puncte comune se numesc drepte identice, iar dacă nu au puncte comune ele se numesc drepte paralele.
Rezolvarea problemelor care urmează introducerii punctului și dreptei trebuie să-i deprindă pe elevi să stabilească relația de apartenență sau nonapartenență a unui punct la o dreaptă (deci implicit dreapta conține o mulțime de puncte) precum și să transcrie această relație folosind simbolistica matematică. De asemenea, fiind date mai multe puncte, diferite două câte două, elevii să poată forma toate grupele de câte două puncte, astfel încât două grupe să difere printr-un punct și să poată preciza toate dreptele determinate de ele.
O dreaptă mărginită la un capăt se numește semidreaptă.
Privind semidreapta este bine să nu fie trecută cu vederea observația că originea poate sau nu să-i aparțină.
2.3. Segmentul. Operații cu segmente
O dreaptă mărginită la ambele capete se numește segment.
Compararea segmentelor și operațiilor cu ele se ilustrează cu ajutorul materialului didactic și apoi se trece la exprimarea lor în scris și la desen.
Ca material didactic este util să se folosească două benzi de carton alăturate – cel mai bine glisante – cu care operațiile să se efectueze ca la rigla de calcul. Se pot face numeroase exerciții și se formează deprinderi pentru folosirea riglei de calcul.
Pentru formarea unor deprinderi corecte de construcție, profesorul va acorda atenție mânuirii compasului pe care elevii îl folosesc pentru prima dată.
În afară de construcțiile cu compasul trebuie să se formeze și deprinderi de construcție cu mâna liberă.
Măsurarea segmentelor și a unghiurilor are rolul de a pregăti introducerea relației de congruență. Elevii au învățat în clasele I-V despre modul practic în care, cu ajutorul riglei, se măsoară segmentele.
Acum li se va cere elevilor să măsoare mai multe segmente date, să compare lungimile lor. Între segmentele date vor fi și unele care vor avea aceeași lungime. Pe baza celor învățate în clasele I-IV, mulți elevi vor fi tentați să le numească egale. Având în vedere că ei cunosc la această etapă egalitatea mulțimilor, vor fi dirijați să desprindă concluzia că „cele două mulțimi de puncte, din care sunt formate cele două segmente care au aceeași lungime, nu coincid, deci cele două mulțimi nu sunt egale”.
Astfel de segmente, care au aceeași lungime, le vom numi segmente congruente. Imediat după definiție, se va introduce și scrierea corespunzătoare, .
Noțiunea de mijlocul unui segment, se poate introduce prin probleme. Aceasta se poate realiza însă și în finalul lecției în care se introduce relația de congruență.
Punctul M, situat între A și B îl numim mijloc al lui AB dacă . Vom insista ca elevii să deprindă scrierea relației corespunzătoare ori de câte ori afirmăm despre un anume punct că este mijlocul unui segment (situații de utilizare a relației sunt frecvente, mediane, mediatoare, linii mijlocii, puncte egal depărtate de… etc.).
Pentru a-i determina pe elevi să realizeze deosebirea între relațiile de congruență și egalitate este bine să se compare segmentele AB și BA. Sunt segmentele AB și BA formate din aceleași puncte? Răspunsul afirmativ conduce la . Dar segmentele AB și BA au și aceeași lungime, deci . Putem conchide că, oricare două segmente egale sunt și congruente. Reciproca însă nu este adevărată. Două segmente congruente nu sunt întotdeauna egale (ci doar în cazul când sunt formate din aceleași puncte). În general, două segmente congruente nu sunt formate din aceleași puncte.,
2.4. Unghiul
Unghiul se definește ca fiind reuniunea a două semidrepte închise, cu aceeași origine.
Cele două semidrepte se numesc laturile unghiului, iar originea comună se numește vârful unghiului. El are proprietatea de a împărți planul în două regiuni, interioară și exterioară unghiului.
Notarea cunoscută de elevi este aceea cu trei litere. Pentru a evita greșelile de citire a unghiului este bine ca elevii să fie obișnuiți să plimbe creionul sau creta în aer de-a lungul laturilor: ordinea literelor în citire coincide cu ordinea în care creta trece peste litere. Celelalte moduri de a nota unghiurile vor fi introduse pe figuri care să justifice utilitatea lor.
Compararea și operațiile cu unghiuri se fac la început cu ajutorul unghiurilor de carton.
La compararea unghiurilor e bine să se precizeze că între măsurile a două unghiuri, ca și între două segmente, există întotdeauna una și numai una din relațiile: ; ; .
Pentru a măsura unghiurile ne vom folosi de raportor. Deci raportorul este un instrument cu ajutorul căruia măsurăm unghiurile.
Una din unitățile de măsură ale unghiurilor este gradul sexagesimal, pe care îl vom numi scurt grad. Numărul de grade ale unui unghi se numește măsura sa. Submultiplii gradului sunt: minutul și secunda. și .
Dacă cele două semidrepte care formează unghiul sunt semidrepte opuse atunci unghiul se numește alungit, iar dacă cele două semidrepte coincid atunci unghiul se numește nul.
Introducerea relației de congruență pentru unghiuri comportă unele probleme asemănătoare cu cea pentru segmente. Vom începe ca și la segmente să-i învățăm pe elevi să măsoare unghiuri. Deosebirea constă în faptul că, în clasele I-IV, elevii au mai măsurat segmente, dar nu au mai măsurat unghiuri, nu au mai mânuit raportorul.
Este necesar ca lecția să înceapă cu recapitularea unghiului alungit, cu un comentariu care să indice modul în care acesta ar putea fi împărțit în 180 de unghiuri cu aceeași deschidere, și apoi, să se schițeze unghiul pe care îl numim grad.
Se vor prezenta elevilor mai multe raportoare de mărimi diferite și li se va motiva că, așa cum deschiderea unui unghi nu depinde de lungimea laturilor, nici măsura unui unghi nu depinde de mărimea raportorului cu care o măsurăm. Din modul în care am definit unghiul de un grad, rezultă că putem măsura unghiuri a căror deschidere nu o depășește pe cea a unghiului alungit.
Legat de suma măsurilor a două unghiuri, elevii trebuie să înțeleagă că efectuând suma măsurilor a două unghiuri adiacente (de subliniat adiacente), obținem un număr de grade, care, dacă este mai mic sau egal cu , reprezintă măsura unghiului care are ca laturi laturile necomune ale celor două unghiuri adiacente, iar ca vârf, vârful lor comun.
Pentru ca elevii să înțeleagă deosebirea dintre relațiile de congruență și egalitate se pot compara unghiurile și care sunt egale, pentru că sunt formate de aceleași semidrepte și au același vârf, deci dar care au și aceeași măsură și deci putem scrie: . Pentru a adânci deosebirea între relațiile de congruență și egalitate, să considerăm:
și .
Unghiurile și au aceeași măsură, deci dar nu sunt egale pentru că, deși au același vârf, nu sunt formate din aceleași semidrepte. Primul este format de semidreptele AO și OB și cel de-al doilea de OB și OC.
Folosind raportorul putem foarte ușor să construim un unghi drept. Însă instrumentul cu ajutorul căruia putem să trasăm dintr-o dată unghiul drept este echerul.
La predarea unghiurilor complementare și suplementare sunt indicate exerciții de decupare și însumare a unor unghiuri decupate (pentru a construi, respectiv a verifica dacă două unghiuri sunt complementare sau suplementare), exercițiile de construcție a complementului sau suplementului unui unghi dat și exerciții de notare a lui. De asemenea se cere elevilor să recunoască sau să exemplifice cazuri practice în care se întâlnesc astfel de unghiuri.
Pe baza acestor activități se va ajunge și la propoziția: două unghiuri care au același suplement sau același complement sunt congruente.
La unghiurile opuse la vârf se va insista – de exemplu prin construcție – ca elevii să deosebească definiția (unghiuri cu vârful și laturile în prelungire) de proprietatea lor de a fi congruente. Se va evidenția prin exerciții de construcție consecința importantă: dacă unul din unghiurile, formate de două drepte concurente, este drept, atunci toate cele patru unghiuri sunt drepte.
Exercițiile de calcul trebuie să fie însoțite de construcția unghiurilor și efectuarea grafică a operațiilor. Confruntarea rezultatelor oferă elevilor un mijloc pentru autocontrol și le atrage atenția asupra gradului de precizie al măsurărilor cu raportorul sau îi obișnuiește cu aprecierile din ochi.
2.5. Triunghiul.
Triunghiul se definește ca fiind poligonul cu trei laturi. După recunoaștere și identificarea diferitelor figuri în formă de triunghi se vor reprezenta prin desen, definindu-se elementele constitutive.
Triunghiul ABC are:
trei laturi: segmentele , ,
trei vârfuri: A, B, C
trei unghiuri: , , .
Se vor prezenta elevilor diferite triunghiuri confecționate, realizându-se clasificarea lor în funcție de laturile sale și în funcție de unghiuri. În același timp, profesorul trebuie să deseneze la tablă și elevii pe caiete un tablou sinoptic care prezintă reprezentarea prin desen a felurilor triunghiurilor – notate corespunzător, scriindu-se sub fiecare triunghi felul acestuia precum și precizarea elementelor caracteristice specifice.
Schema poate arăta astfel:
Clasificarea triunghiurilor după lungimile laturilor
triunghi oarecare triunghi isoscel triunghi echilateral
Se poate sugera modul de construcție corectă a triunghiului isoscel folosind rețeaua cu pătrățele și proprietatea acestuia de a avea înălțimea coborâtă pe bază ca axă de simetrie.
Se construiește baza prin trasarea cu rigla a unei linii orizontale, se marchează mijlocul laturii de bază apoi ridicând o perpendiculară pe mijlocul bazei din orice punct de pe aceasta se pot duce celelalte două laturi de lungimi egale, unind acel punct cu capetele segmentului ce reprezintă baza.
Pentru construirea corectă a triunghiului echilateral se va utiliza rigla și compasul, având în vedere proprietatea egalității lungimilor laturilor acestui triunghi. Se trasează un segment de dreaptă folosind rigla. Apoi cu ajutorul compasului, fixând pe rând vârful acestuia în capetele segmentului de bază, luând în deschiderea compasului lungimea segmentului se vor marca câte un arc de cerc, de o parte a segmentului pornind succesiv din fiecare capăt al segmentului de bază. Punctul în care se intersectează cele două arce de cerc va fi al treilea vârf al triunghiului echilateral. Unindu-l cu capetele segmentului de bază vom obține triunghiul dorit.
Clasificarea triunghiurilor după măsurile unghiurilor
triunghi ascuțitunghic triunghi dreptunghic triunghi obtuzunghic
Triunghiul dreptunghic isoscel construit cu ajutorul rețelei de pătrățele. Se construiește un unghi drept, apoi pe laturile unghiului se marchează segmente de lungimi egale, unind punctele găsite se va obține un triunghi dreptunghic isoscel. Desenul se va face pornind de la unghiul drept așezat în diferite poziții.
Congruența triunghiurilor
Construcția triunghiurilor are rolul, pe de o parte, de a consolida definiția dată triunghiului, iar pe de altă parte, de a pregăti introducerea relației de congruență a triunghiurilor precum și cazurile de congruență.
Consolidează definiția prin aceea că fiind date un număr dintre elementele definite (două laturi și unghiul cuprins între ele, o latură și unghiurile alăturate ei, toate laturile) putem convinge elevii că folosind instrumentele geometrice, se poate construi un triunghi ale cărui laturi sau unghiuri au măsurile date. Abia după ce au deprins modul practic de a executa construcțiile respective, vom putea discuta despre cazurile în care, cu segmentele și unghiurile de măsuri date, putem construi un triunghi și numai unul, mai mult de unul sau nici unul.
Primul caz de construcție va trebui să evidențieze faptul că oricum ar fi date un unghi nealungit și două segmente, întotdeauna putem construi un triunghi cu unul din unghiuri congruent cu unghiul dat și laturile alăturate lui de lungimi egale cu lungimile segmentelor date.
În cel de-al doilea caz când se dă lungimea unei laturi și măsurile unghiurilor alăturate, vom arăta că, dacă suma măsurilor unghiurilor date este mai mică decât cea a unui unghi alungit, problema are întotdeauna o soluție.
Exemplu 1: , , figura 1.
Figura 1 figura 2
Exemplu 2: , , figura 2.
Fără a demonstra, va trebui admis că semidreptele și , respectiv și se întâlnesc într-un punct, deci triunghiul căutat există.
Spre exemplu, , , dreptele și se intersectează, dar triunghiul ACB găsit nu este triunghiul căutat, pentru că măsurile unghiurilor lui, alăturate laturii AC, sunt de și respectiv . Deci nu putem construi nici un triunghi ale cărui elemente să aibă măsurile date.
În cel de-al treilea caz (să se construiască un triunghi cunoscând lungimile laturilor sale) vom arăta că problema are întotdeauna două soluții sau nici una.
Dacă , , , a, b, c, fiind date și cercurile cu centrele în A și B de raze a respectiv b se intersectează, atunci problema are 2 soluții (figura 3, figura 4).
În plan se pot construi două triunghiuri ABC și ale căror laturi au lungimile egale cu numerele date a, b, c. Compararea celor două triunghiuri (prin suprapunere coincid) în această etapă este nesemnificativă deoarece relația de congruență, ca relație între triunghiuri încă nu a fost studiată, pe de o parte, iar pe de altă parte, ar putea favoriza confuzia că problema are o singură soluție. Cele două triplete de puncte și definesc în plan două triunghiuri distincte.
Figura 3 figura 4
Atât definirea relației de congruență cât și o parte din cazurile de congruență pot constitui subiectul unei singure lecții. Conceperea netă, de către elevi, a definirii acestei relații de cazurile de congruență.
Numai enunțarea cazurilor de congruență, fără a comenta, intuitiv, ce exprimă fiecare dintre ele poate duce la o reținere mecanică a acestora.
Criteriile de congruență ale triunghiurilor
Criteriile de congruență sunt cele mai importante cunoștințe dobândite de elevi în geometria de clasa a VI-a. Aplicarea criteriilor de congruență oferă o metodă de demonstrație foarte mult aplicată în geometrie, deoarece din trei elemente despre care se știe că sunt congruente, rezultă egalitatea altor trei elemente. Pe de altă parte, triunghiurile fiind cele mai simple poligoane, ele se pot ușor forma în figurile geometrice.
Din punct de vedere didactic, metoda triunghiurilor congruente este o metodă de demonstrație mai ușor de însușit de către elevi, mai ales de către începători, datorită structurii, în mare măsură tipice, a raționamentelor care intervin.
Prin suprapunerea unor triunghiuri de carton decupate (atât perechi de triunghiuri congruente, cât și perechi de triunghiuri care nu sunt congruente) se dă definiția triunghiurilor congruente și se precizează că în două triunghiuri congruente toate elementele sunt respectiv congruente, adică fiecare element dintr-un triunghi este congruent cu un element corespunzător lui din celălalt triunghi.
Predarea criteriilor se poate face sprijinindu-se pe faptul admis cu ușurință de elevi, ca de la sine înțeles, că o construcție nu depinde de locul din plan în care ea a fost făcută. Se cere elevilor să construiască un triunghi care să aibă trei elemente date și așezate după un criteriu de congruență. Se constată că cele trei elemente determină triunghiul, dar că mai puțin de trei elemente nu-l determină. Dacă alături se mai construiește încă un triunghi cu aceleași elemente, elevii admit cu ușurință că cele două triunghiuri sunt congruente. Dificultatea procesului constă în găsirea ordinii în care trebuie făcute construcțiile, iar critica ce i se poate aduce este că nu dezvoltă gândirea geometrică a elevilor.
Apoi se cere elevilor să construiască un triunghi congruent cu unul dat. Datorită precizărilor făcute – că în triunghiuri congruente, toate elementele sunt respectiv congruente, elevii se așteaptă în mod natural să fie necesar să construiască toate elemtele congruente. Ordinea construcțiilor poate fi lăsată la alegerea elevilor, ea rezultă din necesitatea copierii triunghiului dat. Apare în mod natural întrebarea dacă triunghiul construit (cu numai trei elemente congruente) este congruent cu cel dat, ceea ce permite trecerea la demonstrația prin suprapunere.
La demonstrarea criteriului III nu se mai poate folosi metoda suprapunerii, pentru că nu se cunoaște nici un unghi. Demonstrația prin reducere la absurd este contraindicată. Elevii fac cunoștință în acest capitol cu metoda triunghiurilor congruente și cu metoda suprapunerii, nu mai pot asimila și metoda reducerii la absurd, care este mai dificilă decât celelalte. Demonstrația indicată este aceea care folosește reducerea la criteriul „două laturi și unghiul cuprins” (triunghiurile se așează de o parte și de alta a unei laturi egale prin răsturnarea unuia din triunghiuri).
În cursul demonstrațiilor se va insista și asupra așezării elementelor congruente care rezultă și se va fixa pentru aplicații: în două triunghiuri congruente la laturi congruente se opun unghiuri congruente.
Metoda triunghiurilor congruente
Primele aplicații ale triunghiurilor congruente este bine să ceară numai demonstrarea congruenței unor triunghiuri, la început așezate separat și apoi parțial suprapuse. După ce aplicarea directă a criteriilor a fost însușită, se trag concluzii, se enunță proprietățile care au rezultat prin demonstrarea egalității. De exemplu, se duc bisectoarele unghiurilor de la baza triunghiului isoscel și se cere întâi demonstrarea congruenței triunghiurilor care s-au forma. Elevii vor fi conduși să observe că din congruența triunghiurilor rezultă congruența bisectoarelor. Pe baza unor astfel de probleme, elevii pot sesiza ei înșiși în ce constă metoda triunghiurilor congruente: se demonstrează prin această metodă congruența a două unghiuri, sau a două segmente; unghiurile sau segmentele respective trebuie să fie elemente în două triunghiuri diferite; congruența celor două triunghiuri trebuie demonstrată prin aflarea altor trei elemente care să fie congruente din ipoteză; în cele două triunghiuri congruente, unghiurile sau laturile a căror egalitate se demonstrează trebuie să se opună la elemente congruente.
figura 5 figura 6
Pentru a ajuta pe elevi să selecteze triunghiurile din figurile mai complicate, se întrebuințează uneori triunghiuri decupate. Ele sunt indicate dacă stimulează dezvoltarea capacității elevilor de a selecta și contraindicate în caz contrar. De exemplu, în figura 5 este indicat să se așeze pe tablă un triunghi decupat din carton peste triunghiul BEC când acesta trebuie selectat, dar să se ia jos îndată ce atenția se îndreaptă spre altă figură, de exemplu către triunghiul DBC, așezându-se eventual peste acesta, dacă mai e necesar ca elevii să fie ajutați, un alt triunghi de carton, etc. Este contraindicat să se răstoarne triunghiurile pe tablă ca în figura 6. În acest caz elevii trebuie să facă efortul –lateral rezolvării și fără nici o perspectivă de dezvoltare – de a urmări elementele triunghiurilor răsturnate. În loc să ajute elevii, le distrage atenția. Nu trebuie să se uite că nu urmărim să-i învățăm pe elevi oricum rezolvarea problemei respective, ci trebuie să-i învățăm prin exercițiul rezolvării acestei probleme, cum să rezolve alte probleme, cum să gândească.
Liniile importante în triunghi
Mediana (la triunghi)
Definiție: Mediana unește un vârf al triunghiului cu mijlocul laturii opuse.
Proprietăți:
Orice triunghi are trei mediane.
Ele sunt concurente.
Punctul lor de concurență se notează cu G și se numește centrul de greutate.
Centrul de greutate se află la o treime de bază și două treimi de vârf.
În orice triunghi G este un punct interior triunghiului.
Mediatoarea (la segment și triunghi)
Definiție: Locul geometric al punctelor egal depărtate de capetele unui segment se numește mediatoare.
Proprietăți la segment:
Mediatoarea unui segment este perpendiculară pe segmentul față de care a fost construită și trece prin mijlocul acestuia.
Orice punct de pe mediatoare este egal depărtat de capetele segmentului.
Proprietăți la triunghi:
Orice triunghi are trei mediatoare.
Ele sunt concurente.
Punctul lor de concurență se notează cu O și reprezintă centrul cercului circumscris triunghiului.
4. Centrul cercului circumscris se află în:
– interiorul triunghiului, dacă triunghiul este ascuțitunghic;
– la mijlocul ipotenuzei, dacă triunghiul este dreptunghic;
– în exteriorul triunghiului, dacă triunghiul este obtuzunghic;
Înălțimea (la triunghi)
Definiție: Perpendiculara din vârful unui triunghi pe latura opusă, se numește înălțime.
Proprietăți :
Orice triunghi are trei înălțimi.
Ele sunt concurente.
Punctul lor de concurență se notează cu H și se numește ortocentrul triunghiului.
Ortocentrul se află în:
interiorul triunghiului, dacă triunghiul este ascuțitunghic;
în vârful unghiului drept, dacă triunghiul este dreptunghic;
în exteriorul triunghiului dacă triunghiul este obtuzunghic;
Bisectoarea (la unghi și triunghi)
Definiție: Semidreapta cu originea în vârful unghiului, care împarte unghiul în două unghiuri congruente, se numește bisectoare.
Proprietăți (la unghi):
Bisectoarea împarte unghiul în două unghiuri mai mici congruente.
Orice punct de pe bisectoare se află situat la egală distanță de laturile unghiului.
Proprietăți (la triunghi):
Orice triunghi are trei bisectoare.
Ele sunt concurente.
Punctul lor de concurență se notează cu I și reprezintă centrul cercului înscris în triunghi.
În orice triunghi centrul cercului înscris se află în interiorul triunghiului.
Pentru a determina raza cercului înscris se duce o perpendiculară din I pe una din laturi.
Linia mijlocie
Definiție: Segmentul care unește mijloacele a două laturi ale unui triunghi se numește linie mijlocie.
Proprietăți:
Unește mijloacele a două laturi ale unui triunghi.
Este paralelă cu cea de a treia latură a triunghiului.
Este egală cu jumătate din lungimea laturii cu care este paralelă.
Orice triunghi are trei linii mijlocii.
Observații:
– Într-un triunghi isoscel bisectoarea unghiului cu laturile congruente este și mediană, mediatoare, înălțime.
– Într-un triunghi echilateral mediana, mediatoarea, înălțimea și bisectoarea coincid.
Asemănarea triunghiurilor
Segmente proporționale
Pentru însușirea capitolului asemănarea triunghiurilor este esențială înțelegerea noțiunii de raport. Elevii trebuie să fie deprinși să și aprecieze valoarea raportului a două segmente, pentru a putea face verificările intuitive rapide, atât de importante pentru deplina înțelegere și pentru memorarea proprietăților. Ei trebuie să fie conștienți de importanța ordinii termenilor (raportul este diferit de raportul ), de faptul că valoarea arată ce parte fracționară reprezintă numărătorul din numitor (dacă numitorul nu se cuprinde exact în numărător, elevii să caute și „din ochi” ce parte a numitorului s-ar cuprinde exact în numărător). De aceea profesorul trebuie să reactualizeze ceea ce elevii știu de la aritmetică și să aducă completări unde este cazul. Tot sprijinindu-se pe aritmetică, este bine să se definească segmentele proporționale, înainte de a se începe predarea proprietăților, formând prin exerciții și exemple imagini intuitive.
Împărțirea unui segment într-un raport dat se însușește mai bine dacă elevii înainte de introducerea definiției fac exerciții de exprimare a valorii raportului în cazul în care M este luat în diverse poziții pe segmentul AB, împărțit în părți egale, precum și exerciții în care ei află în câte părți trebuie împărțit AB pentru ca raportul să aibă o valoare dată.
Apare astfel necesitatea de a împărți un segment în mai multe părți egale, ceea ce poate folosi pentru a motiva predarea teoremei paralelelor echidistante, mai ales că nu totdeauna se poate explica înainte de predare, pentru ce se învață o teoremă. În fixarea acestei teoreme sunt indicate exemple în care cele două secante să fie concurente într-un punct situat pe una din paralele: construcția pentru împărțirea unui segment în părți egale apare astfel imediat.
Theorema lui Thales
Fiind prima teoremă în care în locul relațiilor de congruență sau poziție din capitolele
anterioare, apar segmentele proporționale, elevii întâmpină oarecare dificultăți la înțelegerea enunțului, la cuprinderea proprietății exprimate de teoremă. De aceea sunt indicate exerciții de apreciere a rapoartelor de pe cele două laturi și eventual de aflare a lor prin măsurare. Elevii ajung astfel inductiv la observația că rapoartele par să fie egale. Dacă au fost învățați să caute ce parte fracționară a numitorului se cuprinde exact în numărător, atunci apar în mod natural în mintea lor imaginile punctelor de diviziune și ideea ducerii paralelelor auxiliare pentru a dovedi că și celălalt raport are aceeași valoare. Până când elevii nu au o oarecare experiență în studiul proprietăților de proporționalitate, estecontraindicată predarea în felul următor: enunțul teoremei, construcția figurii, demonstrația.
Printre aplicațiile importante ale teoremei lui Thales, sunt și construcțiile grafice. Este important ca ele să fie căutate cu clasa și nu expuse de-a gata. Pe o figură ajutătoare este indicat să se scrie rapoartele egale din teorema lui Thales în toate formele și să se compare, pentru a găsi astfel soluția problemei de construcție. Trebuie să se atragă atenția elevilor că, dându-se trei segmente, al patrulea proporțional nu este unic determinat, ci depinde de felul cum se scrie proporția. Pentru ca exercițiile de construcții să nu capete un aspect prea abstract pentru elevii clasei a VII-a, din când în când rezultatele obținute se vor verifica prin măsurare și calcul.
Reciproca teoremei lui Thales oferă un nou criteriu de paralelism. În demonstrația prin reducere la absurd, unicitatea punctului care împarte un segment într-un raport dat, poate fi înlocuită prin compararea directă a celor două rapoarte, de pe aceeași latură.
Asemănarea triunghiurilor
Relația de asemănare este una din relațiile fructuoase ale geometriei. Asemănarea servește la demonstrarea multor proprietăți geometrice importante. Din acest punct de vedere ea poate fi comparată cu congruența. Deosebirea constă în faptul că egalitatea este o relație fundamentală.
Din punct de vedere practic, asemănarea are și mai multe aplicații directe decât congruența, multe din ele fiind accesibile elevilor, ca de exemplu: ridicarea planului, desenul la scară, aflarea unei distanțe inaccesibile măsurării directe, etc.
Atât importanța teoretică cât și cea practică pot fi ilustrate în predare. Elevii trebuie să observe importanța mijlocului de demonstrație câștigat prin însușirea cazurilor de asemănare (le permite de exemplu, să demonstreze relațiile metrice). Pe de altă parte, aplicațiile trebuie să cuprindă neapărat lucrări practice pe teren, precum și probleme cu conținut practic. Rezolvarea va fi urmată de comentarii care să evidențieze rolul și importanța cunoștințelor de geometrie în rezolvarea acestor probleme.
Noțiunea de asemănare, trebuie să fie percepută de elevi prin observarea unor exemple din viața de toate zilele și a figurilor geometrice. Printr-o primă încercare de definiție, corespunzătoare etapei experimental practice, se precizează că figurile asemenea au aceeași formă, dar nu aceeași mărime.
Trecerea de la observarea directă la definiția matematică oferă ilustrarea în mic și la nivel accesibil elevilor, a unuia din modurile în care în matematică se trece de la observarea inductivă la deducție: proprietățile observate se iau ca definiție. Într-adevăr se caută cu elevii proprietățile triunghiurilor asemenea, se constată că triunghiurile prezentate ca material didactic au laturile proporționale și unghiurile congruente și se definesc triunghiurile asemenea prin aceste proprietăți. Trecerea de la observare la definiție reprezintă momentul dificil, dar plin de semnificație pentru metoda de cercetare matematică. Verificările făcute conduc la ipoteza că triunghiurile asemenea au unghiurile respectiv congruente și laturile proporționale. Matematicienii au definit astfel triunghiurile asemenea și din această definiție rezultă o seamă de proprietăți verificate în practică, ceea ce confirmă justețea ei.
Pentru observarea triunghiurilor asemenea este indicată folosirea unor triunghiuri decupate. Se vor prezenta elevilor perechi de triunghiuri asemenea de formă diferită și cu raport de asemănare diferit, precum și două triunghiuri care nu sunt asemenea. Se compară mai întâi unghiurile prin suprapunere, iar pentru laturi este indicat ca raportul de asemănare să fie întreg și să se afle prin măsurarea laturii mai mari prin cea mai mică, luată ca unitate de măsură (figura 7).
Figura 7
După ce s-au însușit definiția e bine să se precizeze că elementele corespunzătoare din două triunghiuri asemenea se numesc omoloage. Este indicat să se atragă atenția elevilor asupra modului în care se scrie proporționalitatea laturilor; în șirul de rapoarte egale, numărătorii sunt laturile unui triunghi, iar numitorii sunt laturile omoloage din celălalt triunghi.
Teorema fundamentală a asemănării
Teorema fundamentală a asemănării este teorema de existență a triunghiurilor asemenea. Importanța teoremei poate fi explicată pe înțelesul elevilor, observându-se că demonstrarea teoremei dă siguranța că sunt triunghiuri cu laturi proporționale și unghiuri respectiv congruente. Importanța aplicativă a teoremei – mijloc de a stabili asemănarea triunghiurilor – este mai accesibilă elevilor, mai ales că se folosește la demonstrarea cazurilor de asemănare.
În demonstrarea teoremei, elevii pot fi îndrumați să se găsească, sau cel puțin li se poate explica „cum ne vine în minte” să ducem paralele ajutătoare, dacă se precizează, printr-un raționament analitic, că este necesar să se demonstreze egalitatea unor rapoarte, iar singurul mijloc învățat pentru aceasta este teorema lui Thales. Aplicarea ei este însă condiționată de existența unei paralele; dacă nu este dusă, se caută să se ducă o paralelă convenabilă. Introducerea în mod natural a liniilor ajutătoare în demonstrație este o preocupare metodică permanentă.
Criteriile de asemănare
Importanța cazurilor de asemănare este analoagă acelora a cazurilor de congruență: din cunoașterea a două unghiuri, de exemplu, rezultă proporționalitatea celor trei laturi ale unui triunghi cu laturile omoloage din celălalt triunghi. Cazul de asemănare va fi folosit pentru a demonstra egalitatea unor rapoarte. Până acum în demonstrarea egalității rapoartelor se aplica numai teorema lui Thales.
Aplicațiile se încep cu aplicații numerice care dau conținut concret și aprofundează pe această bază – neapărat necesară gândirii copiilor – înțelegerea faptelor matematice exprimate în criteriile de asemănare. Numai după aceea se va trece la demonstrații. În cadrul primelor aplicații se poate ilustra importanța practică a asemănării, în cadrul celorlalte importanța ei teoretică.
Relații metrice în triunghiul dreptunghic
Capitolul trebuie să ilustreze importanța asemănării ca mijloc de demonstrație. Pentru predare, profesorul are de ales dintr-o varietate mult mai mare de mijloace. Se poate merge tot pe linia descoperirii enunțurilor, pe cale inductivă, după care să urmeze căutarea demonstrației, dar datorită experienței câștigate de elevi în studiul geometriei și în studiul proprietăților de proporționalitate, lecțiile pot conduce pe elevi și la descoperiri pe cale deductivă, cale mai puțin folosită anterior.
Oricare dintre mijloace s-ar alege, trebuie neapărat ca profesorul să se asigure că elevii au înțeles când un segment este medie proporțională între alte două segmente date, că ei știu să scrie și să recunoască relația respectivă atât sub formă de proporție, cât și sub formă de produs. Pentru aprofundarea înțelegerii noțiunii, precum și pentru pregătirea lecțiilor care urmează, este bine să se dea și interpretarea geometrică a mediei proporționale.
Exemplele care urmează au rolul să ilustreze varietatea de mijloace amintită mai sus în cazul teoremelor catetei și înălțimii.
Elevii trebuie să măsoare segmentele din triunghiurile dreptunghice convenabil construite și observând rezultatele să ajungă la ipoteza că, de exemplu, o catetă este medie proporțională între ipotenuză și proiecția ei pe ipotenuză. Ca verificare inductivă, elevii pot fi îndrumați să construiască fiecare un triunghi dreptunghic oarecare, să măsoare și să verifice proprietatea.
Elevii trebuie să caute pe figură (triunghiul dreptunghic în care s-a dus înălțimea) triunghiuri asemenea, să demonstreze asemănarea lor și să scrie ca o consecință a asemănării proporționalitatea laturilor. Prin observarea rapoartelor pot fi conduși să descopere relația a cărei interpretare să conducă la enunțul teoremei. Intuiția are rolul de a sugera care triunghiuri sunt asemenea și ea poate fi ajutată de material didactic (triunghiuri decupate).
Teorema apare pe cale deductivă ca o consecință a asemănării.
Exerciții convenabil alese conduc pe elevi la observarea unghiurilor din triunghiul dreprunghic în care s-a dus înălțimea. Asemănarea trebuie să rezulte ca o consecință a congruenței unghiurilor.
La predarea teoremei lui Pitagora – ca și a altor teoreme importante – este indicat să se introducă date istorice care câștigă întotdeauna interesul elevilor. În limita timpului disponibil este bine să se prezinte încă una din multele demonstrații pe bază de arii, care s-au dat pentru teorema lui Pitagora.
Aplicațiile se încep cu probleme în care triunghiul dreptunghic este construit, subliniindu-se că se poate afla o latură când se cunosc celelalte două, pentru a trece apoi la probleme în care pentru a afla lungimea unui segment elevii trebuie să observe că ar fi util să formeze un triunghi dreptunghic, ducându-se o linie ajutătoare convenabilă.
Funcțiile trigonometrice ale unui unghi ascuțit
Predarea funcțiilor trigonometrice trebuie să determine pe elevi să înțeleagă necesitatea care a determinat introducerea acestora. Desigur că importanța actuală a funcțiilor trigonometrice nu se reduce la rezolvarea triunghiului dreptunghic, la legătura pe care o realizează între unghiuri și laturi.
Ca mijloc, se poate folosi în acest sens o problemă practică a cărei rezolvare face necesară rezolvarea unui triunghi dreptunghic. Este bine să se facă și construcția triunghiului cu datele problemei, ceea ce subliniază determinarea triunghiului pein aceste date, precum și insuficiența mijloacelor de calcul cunoscute. Construcțiile sunt întotdeauna indicate în problemele de calcul, ele subliniază suficiența datelor pentru determinarea problemei și oferă posibilitatea de autocontrol fie prin măsurare, fie numai prin aprecieri comparative.
Esențială pentru învățarea funcțiilor trigonometrice este înțelegerea faptului că raportul a două laturi, cu o anumită așezare față de un unghi, este același în orice triunghi dreptunghic, care cuprinde acel unghi. Pentru aceasta, consecința asemănării triunghiurilor folosită în demonstrație – raportul a două laturi dintr-un triunghi este egal cu raportul laturilor omoloage din celălalt triunghi – nu este suficient să fie dedusă și enunțată. Ea trebuie concretizată prin verificări numerice. Exercițiile de acest fel, în triunghiuri dreptunghice convenabil alese, pot fi organizate astfel încât elevii să aibă impresia că au descoperit ei înșiși constanta raportului care definește o funcție trigonometrică.
În orice caz, definiția unei funcții trigonometrice trebuie să fie însoțită de exerciții în care se dă unghiul și se cere aflarea funcției trigonometrice prin măsurare, precum și de exerciții în care se dă funcția trigonometrică și se cere să se construiască unghiul.
Printre avantajele acestor exerciții se numără și faptul că elevii întâlnesc astfel de mai multe ori numărul care reprezintă funcția trigonometrică a unui anumit unghi, ceea ce concretizează – ducând la o mai bună înțelegere –afirmația că fiecărui unghi îi corespunde un anumit număr ca funcție trigonometrică.
În predarea funcțiilor trigonometrice, profesorul are prilejul să contribuie la formarea noțiunii de funcție. Modul în care expune, accentele pe care le pune, precum și precizările pe care le face, depind de modul în care el și-a planificat să formeze această noțiune.
Patrulatere
În definirea patrulaterelor, începătorii fac uneori greșeala de a da foarte multe definiții. Este așadar momentul să se insiste asupra înțelegerii condițiilor unei definiții corecte, mai ales că insistența asupra definițiilor corecte contribuie și ea la dezvoltarea gândirii logice sub aspectul precizat mai înainte.
Prin demonstrațiile care se fac, elevii trebuie să-și desăvârșească însușirea metodei triunghiurilor congruente.
Pentru însușirea definițiilor corecte se subliniază condițiile care sunt respectate în construcția patrulaterului respectiv. Modul în care se face construcția în clasă trebuie să evidențieze în mod pregnant aceste condiții (paralelogramul se construiește prin mișcare de translație și se precizează mereu: am construit două drepte paralele și încă două drepte paralele).
În aplicarea metodei triunghiurilor congruente, elevii trebuie conduși să descopere linii ajutătoare care să permită încadrarea în triunghiuri (cum am demonstrat că două segmente sunt congruente? pe figură nu sunt triunghiuri… am putea să construim noi niște triunghiuri convenabile? etc.).
Întrucât proprietățile patrulaterelor sunt evidente intuitiv – atât de evidente încât învățarea lor fără demonstrații ar fi mai ușoară – este bine ca demonstrațiile să fie introduse pe cât posibil ca explicații.
Este bine ca axele de simetrie să fie găsite de elevi prin plieri sau imaginea plierilor, după care să urmeze demonstrația.
Dintre patrulatere, o atenția deosebită se va da definirii și studierii paralelogramului, datorită faptului că proprietățile lui vor fi și proprietăți ale dreptunghiului, rombului, pătratului. Însușirea paragrafului „ Paralelograme particulare” va depinde în mod hotărâtor de modul în care elevii stăpânesc proprietățile paralelogramului, îndeosebi, a acelora ce constituie condiții necesare și specifice ca un patrulater să fie paralelogram.
Pe parcursul predării se vor urmări permanent relațiile de incluziune dintre mulțimile romburilor, dreptunghiurilor, pătratelor și mulțimea paralelogramelor.
Relațiile de incluziune dintre aceste mulțimi nu vor fi stabilite la sfârșitul capitolului patrulatere, ci treptat, pe măsura predării paralelogramelor particulare.
În rezolvarea unor probleme vom folosi proprietăți ale rombului care nu s-au demonstrat ca proprietăți ale lui ci sunt proprietăți dobândite prin faptul că este paralelogram.
Pentru a deprinde pe elevi atât cu construcția reciprocelor unor teoreme date cât și cu semnificația exprimării „condiție necesară și suficientă” putem demonstra după fiecare teoremă, imediat, și reciproca sa. Pe de altă parte, demonstrând proprietățile reciproce ale unor propoziții ce privesc paralelogramul contribuim la consolidarea celor din urmă. Prin construcția propoziției reciproce, și prin demonstrarea ei, propoziția directă devine mai clară.
Exemplu: Într-un paralelogram laturile opuse sunt congruente.
Ipoteză: ABCD paralelogram
Concluzie:
Pentru teorema reciprocă se inversează ipoteza și concluzia toremei directe.
Ipoteză: :
Concluzie: ABCD paralelogram
Demonstrație:
Considerăm triunghiurile și :
.
La demonstrația tuturor reciprocelor vom solicita elevilor să construiască câte un patrulater care să îndeplinească condițiile din ipoteză.
Deprinderea de către elevi a sensului echivalenței nu se realizează dintr-o dată, ci treptat pe măsură ce demonstrează separat propoziția directă, apoi pe cea reciprocă și apoi le reunește cu ajutorul grupărilor „condiție necesară și suficientă” sau „dacă și numai dacă” într-un singur enunț. La clasele cu nivel mai scăzut de pregătire se va demonstra fiecare implicație separat și apoi se va trece la condiții echivalente.
Paralelograme particulare
În predarea paralelogramelor particulare se urmăresc relațiile dintre sferele noțiunilor și se subliniază importanța lor: dreptunghiurile sunt tot paralelograme, atunci trebuie să aibă proprietățile paralelogramului; se verifică particularizând proprietățile: deoarece are încă o însușire, unghiul drept, el are și proprietăți determinate de acesta, proprietăți pe care nu le avea paralelogramul; pătratul fiind în același timp dreptunghi și romb are atât proprietățile unuia cât și proprietățile celuilalt, etc.
Proprietățile diagonalelor rombului se demonstrează mai ușor prin aplicarea proprietăților triunghiului isoscel: diagonala este în triunghiul isoscel mediană (rombul este paralelogram), atunci ea este și înălțime și bisectoare.
Printre aplicații se vor exemplifica și aplicațiile practice ale patrulaterelor, cerând elevilor să explice ce proprietăți determină întrebuințarea lui și cărei necesități practice răspunde acea proprietate.
Cercul
Elevilor li se prezintă definiția împreună cu demonstrația executării la tablă a cercului: „linia curbă închisă care are toate punctele la distanță egală de un punct fix, numit centrul cercului” sau „cercul este mulțimea punctelor din plan la distanța r de centrul cercului O”.
Pentru a dovedi acest lucru se va construi practic cu elevii pe teren sau pe tablă un cerc astfel:
– se fixează un punct – centrul cercului pe tablă, pe care-l notăm cu O;
– se prinde în acest punct o sfoară la capătul căreia se află o cretă (lungimea sforii va rămâne deci constantă și egală cu raza r a cercului);
– se trasează cu creta o curbă, în jurul punctului fix, păstrând în continuu sfoara perfect întinsă, obținându-se astfel un cerc;
– se construiește apoi un cerc cu aceeași rază (luând în deschiderea compasului ca măsură lungimea sforii);
Elevii vor fi atenționați că în utilizarea compasului se fixează vârful acestuia în centru, ținându-l cu mâna stângă, trasarea arcului de cerc sau a cercului făcându-se cu celălalt braț al compasului fără a-l sprijini cu mîna dreaptă pentru a nu-i modifica deschiderea (raza). Mâna dreaptă susține locul unde se îmbină cele două brațe ale compasului.
Este necesar să se insiste pe formarea unor deprinderi corecte de folosire a compasului pentru a realiza construcții exacte.
Elevii vor dobândi apoi cunoștințe despre:
raza cercului ca fiind segmentul care unește un punct de pe cerc cu centrul cercului;
diametrul cercului ca fiind segmentul care unește două puncte de pe cerc și trece prin centrul cercului (lungimea diametrului este egală cu dublul unei raze);
arcul de cerc este mulțimea punctelor de pe cerc dintre două puncte de pe cerc;
coarda de cerc este segmentul care unește două puncte de pe cerc; diametrul fiind cea mai mare coardă;
sectorul de cerc este porțiunea din interiorul cercului cuprinsă între două raze.
Considerăm că aceste noțiuni sunt necesare a fi precizate, deoarece elevii le întâlnesc în cadrul unor probleme aplicative la geometrie sau la alte discipline: educație plastică, educație tehnologică și să știe să opereze cu ele.
Sub formă de joc pot exersa construirea hexagonului în interiorul cercului, marcând pe cerc raze și unind punctele obținute se va forma această figură geometrică. Sau triunghiul echilateral înscris în cerc se formează unind din două în două puncte, marcate anterior; un triunghi isoscel (ducând o coardă, aflându-i mijlocul, apoi construind diametrul ce trece prin mijlocul coardei vor determina vârfurile a două triunghiuri isoscele cu baza coarda dată); un pătrat (construind diametre perpendiculare, capetele diametrelor fiind vârfurile pătratului).
Construcții grafice
Problemele de construcție din școala generală sunt în mare parte aplicații directe ale teoremelor. În câteva cazuri ele se rezolvă, totuși prin metoda intersecției locurilor geometrice. Fără a introduce denumirea, prin predarea proprietăților mediatoarei și bisectoarei, prin insistențele asupra definiției cercului, elevii trebuie să-și formeze o idee despre locurile geometrice.
În problemele care se rezolvă prin intersecția locurilor geometrice, ei pot fi conduși să facă raționamentele specifice metodei de construcție respective. Elevii vor fi astfel pregătiți pentru a transforma mai târziu raționamente pe care le-au repetat de mai multe ori, în metode de rezolvare.
Construcția cercului care trece prin două puncte este aplicația directă a cunoștințelor despre mediatoare, centrul cercului trebuie situat la aceeași depărtare față de cele două puncte, deci pe mediatoare; orice punct l mediatoarei este centrul unui carc care răspunde problemei.
Contrucția cercului care trece prin trei puncte este un prilej pentru a determina pe elevi să parcurgă raționamentele metodei de construcție prin intersecția locurilor geometrice, orice cerc care trece printr-o pereche de puncte are centrul pe mediatoarea segmentului determinat de ele; orice cerc ce trece prin altă pereche are centrul pe mediatoarea segmentului respectiv.
Cercul care trece prin cele două perechi de puncte are centrul și pe prima și pe a doua mediatoare, adică la intersecția lor. Problema poate fi folosită și ca prilej pentru a adânci rigoarea raționamentelor elevilor.
Înainte de predarea construcției tangentei dintr-un punct exterior la cerc este indicat să se ceară elevilor să construiască un unghi drept ale cărui laturi să treacă prin două puncte fixe.
Ei trebuie să observe că problema are o infinitate de soluții și că vârfurile unghiurilor drepte sunt așezate pe un cerc. În acest fel, pentru construcția tangentei dintr-un punct la un cerc, elevii parcurg din nou raționamente specific construcțiilor prin metoda intersecției locurilor geometrice: trebuie găsit un punct care să se afle pe cercul dat și care trebuie să fie vârful unui unghi drept ale cărui laturi să treacă prin centrul cercului și prin punctul dat.
Pozițiile relative
Predarea poziției unei drepte față de un cerc sau a pozițiilor a două cercuri trebuie să asigure în primul rând recunoașterea pozițiilor și denumirea lor. Folosirea materialului didactic permite o mai bogată exemplificare și concentrează atenția elevilor asupra pozițiilor, care vor fi apoi fixate prin desen. În clasa a VII-a nu se dau definițiile corespunzătoare, se poate însă aminti ca proprietăți că, de exemplu, în cazul dreptei exterioare, toate punctele ei sunt exterioare cercului, sau în cazul cercurilor tangente interior toate punctele unui cerc sunt interioare celuilalt cu excepția unuia, care este comun celor două cercuri.
Propozițiile care stabilesc relațiile dintre distanța centrului la dreaptă, respectiv distanța centrelor și raze, este preferabil să se prezinte mai întâi implicarea relației de poziție: dacă cercurile sunt exterioare, atunci .
Arce și coarde
Teorema diametrului perpendicular pe coardă este una dintre cele mai importante teoreme relative la proprietățile arcelor și coardelor. Pentru predarea ei se pot folosi procedee variate, alegerea putând ține seama de natura cunoștințelor însușite de elevi, de natura lipsurilor, de raționamentele a căror parcurgere este mai indicată, pentru elevii respectivi în momentul predării. Prezentăm mai jos câteva modalități de predare a acestei teoreme.
1. Teorema se poate demonstra prin simetrie. Procedeul este indicat dacă se urmărește o justificare intuitivă a teoremei cu ajutorul materialului didactic. Transformarea suprapunerii în demonstrație este ceva mai dificilă; prin îndoirea după diametru toate punctele unui semiplan se suprapun peste punctele celuilalt semiplan; punctele unui semicerc fiind față de centru la distanță egală cu raza, nu pot fi nici interioare, nici exterioare celuilalt semicerc, trebuie să coincidă cu punctele lui; pe de altă parte parte, dacă diametrul este perpendicular pe coardă, prin îndoire unghiul drept trebuie să coincidă; cele două părți ale coardei coincid ca direcție, extremitățile fiind pe cerc, ele coincid.
Aspectul intuitiv al simetriei poate fi însă folosit pentru ca elevii să descopere enunțul teoremei, sau încă pentru confirmarea intuitivă a demonstrației făcută pe altă cale.
Demonstrația prin metoda triunghiurilor congruente se poate alege în cazul în care elevii
nu și-au însușit destul de bine metoda respectivă și profesorul vrea să folosească prilejul pentru a consolida această cunoștință, sau dimpotrivă în cazul în care elevii cunosc foarte bine această metodă, ceea ce va face ca demonstrația să meargă repede și să rămână timp pentru altceva.
O altă demonstrație este aceea care folosește triunghiul isoscel format prin unirea cen-
trului cu extremitîțile coardei: diametrul este în acest triunghi înălțime, el este atunci și mediatoare.
Unghiul înscris în cerc
Pentru a preda unghiul înscris în cerc trebuie să se reia unghiul la centru pentru a se preciza încă o dată unitățile de măsură pentru unghiuri și pentru arce, precum și faptul că egalitatea se referă numai la măsură, la număr. Unghiul înscris în cerc este o temă potrivită pentru a îmbina raționamentul inductiv cu cel deductiv. Se poate da o temă care să ducă la descoperirea inductivă a relației dintre măsura unghiului și a arcului, după care să urmeze demonstrația. De exemplu se cere să măsoare diverse unghiuri înscrise și arcele cuprinse între laturi. Exercițiile sugerează astfel și deducerea razei ajutătoare necesare demonstrației.
În fixarea teoremei sunt potrivite exerciții numerice cu date simple pentru calculul mintal: se dă măsura arcului, se cere măsura unghiului și invers.
Congruența unghiurilor înscrise în același arc poate fi predată deductiv ca o consecință a măsurării unghiului înscris sau tot inductiv, contribuind și la punerea bazelor pentru formarea ideii de loc geometric. Ca activitate care să stimuleze observațiile elevilor poate fi folosită de exemplu construcția următoare: unul din unghiurile echerului să se așeze astfel încât laturile lui să treacă prin două puncte fixe; în câte poziții poate fi așezat? Cum sunt așezate vârfurile? De ce? Se recunoaște aici metoda de rezolvare a problemelor de loc geometric, care folosește construcția unor anumite poziții, pentru ca inductiv să se descopere forma locului și să se obțină eventual și alte indicații pentru descoperirea demonstrației.
Poligoane regulate
Se urmărește ca elevii să înțeleagă că orice poligon regulat se poate înscrie într-un cerc și circumscrie lui și că pentru aceasta este necesar să se construiască atâtea unghiuri la centru egale câte laturi are poligonul, sau este același lucru să se împartă cercul în numărul corespunzător de arce egale.
Se subliniază faptul că fiind dată raza cercului, rezultă latura poligonului regulat și invers. Prin probleme practice se ilustrează necesitatea de a afla lungimea laturii poligonului când se cunoaște raza.
Calculul laturii și apotemei cu ajutorul teoremei lui Pitagora se predă valorificând pregătirea elevilor în ceea ce privește aplicarea acestei teoreme. Apotemele se pot afla însă mai simplu, aplicând proprietatea liniei mijlocii, ceea ce duce și la sistematizarea cunoștințelor și deci la memorarea lor mai ușoară (apotema triunghiului echilateral este jumătate din latura hexagonului, etc.).
În aplicații trebuie să se insiste asupra așa-numitelor transformări de formule, învățând pe elevi cum să le transforme, nu încurcându-i cu încă un număr de formule de memorat.
Arii
Aria unei suprafețe poligonale nu este o noțiune complet nouă pentru elevi. În clasele a IV-a și a V-a au calculat, pe baza unor formule date, aria unui dreptunghi, pătrat, romb, trapez, triunghi. Este posibil ca unii elevi nici să nu-și fi pus problema demonstrării unor formule utilizate. Au observat, însă, că unui dreptunghi cu dimensiunile mai mari decât ale altui dreptunghi îi corespunde o arie mai mare.
Când vrem să introducem aria, trebuie să plecăm de la această observație, adică de la necesitatea de a compara „întinderile” unor suprafețe poligonale. În clasele primare elevii au învățat că suprafețele poligonale se pot compara prin suprapunere. Acum le putem demonstra că această comparare prin suprapunere nu este întotdeauna posibilă. Pentru aceasta, vom considera două dreptunghiuri: unul cu dimensiunile de 6 cm și 8 cm și altul cu dimensiunile de 4 cm și 12 cm, despre care elevii știu că au aceeași arie, deși compararea lor prin suprapunere nu ne poate spune nimic.
Pentru a pregăti definirea ariei unui poligon este necesar:
Să reamintim elevilor ce este poligonul.
Vom urmări, nu atât reproducerea definiției poligonului cât formarea deprinderii elevilor de a recunoaște și de a desena o linie poligonală convexă.
2. Să introducem apoi noțiunea de interior al unui poligon convex sau concav.
3. Să insistăm mai mult asupra poligoanelor convexe. Noțiunea de suprafață poligonală convexă va fi introdusă ca fiind reuniunea mulțimilor punctelor unei linii poligonale convexe și a celor interioare ei.
Vom efectua apoi mai multe exerciții în care se cere elevilor să descompună anumite suprafețe poligonale neconvexe, desenate pe tablă, în suprafețe poligonale convexe disjuncte.
Un accent deosebit va fi pus pe descompunerea unei suprafețe poligonale în triunghiuri. Pentru o aceeași suprafață poligonală convexă, vom cere elevilor să găsească mai multe descompuneri în suprafețe triunghiulare. Pentru a putea compara întinderile unor suprafețe poligonale este necesar să atașăm fiecărei suprafețe câte un număr real, numere care ulterior pot fi comparate.
Acum, problema principală este aceea de a stabili un procedeu prin care, fiecărei suprafețe poligonale considerate să-i corespundă un număr real care să îndeplinească anumite condiții.
În clasele anterioare, la baza justificărilor intuitive asupra formulelor ariilor a stat presupunerea că aria unui pătrat de latură 1 este 1. Acoperind apoi un pătrat de latura a cu pătrate de latură 1 putem demonstra că aria acestuia este .
Demonstrarea ultimei propoziții ridică probleme deosebit de dificile în cazul în care a este număr irațional.
Deci, pe de altă parte, pornind de la pătrat și ținând cont de gradul de cunoaștere a numărului irațional (clasa a VI-a) ne confruntăm cu unele dificultăți, iar pe de altă parte, toate poligoanele particulare pe care le studiem se pot descompune nu în pătrate, ci în triunghiuri.
Cele spuse mai sus ne conduc la ideea că pentru a calcula ariile poligoanelor particulare ar trebui să pornim, nu de la aria pătratului, ci de la cea a triunghiului.
Într-adevăr, în clasa a VII-a, demonstrând că produsul dintre o latură a unui triunghi și înălțimea corespunzătoare este același pentru oricare dintre laturi și înălțimea corespunzătoare ei, înseamnă că putem face ca fiecărui triunghi din plan să-i corespundă un număr real și numai unul egal cu jumătate din produsul dintre lungimea unei laturi și înălțimea corespunzătoare ei.
La baza noțiunii de arie trebuie să stea o funcție care să asocieze unei figuri geometrice simple, un număr. În acest sens Edwin E. Moise susține: „Trebuie să începem prin a defini ariile unor figuri simple și apoi să încercăm să tratăm figurile mai complicate utilizând pe cele simple. În acest caz dreptunghiurile nu sunt promițătoare, deoarece ele nu pot fi utilizate ca blocuri de construcție, cu excepția unor figuri particulare. De exemplu, o suprafață triunghiulară nu poate fi exprimată ca reuniunea unui număr finit de suprafețe dreptunghiulare. Aceste considerente arată că „punctul nostru de pornire” trebuie să fie triunghiurile și nu dreptunghiurile”.
Am arătat că putem defini o funcție astfel încât fiecărui triunghi din plan să-i corespundă un număr real și numai unul. Deci putem defini o funcție care să aibă ca domeniu de definiție mulțimea triunghiurilor dintr-un plan iar mulțimea valorilor ei să fie inclusă în mulțimea numerelor reale .
Sub aspect metodic, poate fi discutată ordinea demonstrării proprietății triunghiului de a avea produsul dintre o latură și înălțimea corespunzătoare ei constant, pe de o parte și definiția ariei unui triunghi, pe de altă parte.
La clasă se poate adopta următoarea ordine:
1. Demonstrăm că produsul dintre lungimea unei laturi a unui triunghi și înălțimea corespunzătoare ei este același oricare ar fi latura și înălțimea corespunzătoare ei.
2. Definim aria triunghiului.
Demonstrăm mai întâi teorema respectivă, arătăm elevilor că putem face ca fiecărui triunghi să-i corespundă un număr real și numai unul.
În aceste condiții, ei înțeleg mai bine rostul definiției.
Prezentăm un exemplu concret cu ajutorul căruia putem consolida teorema dată.
Fie ABC un triunghi dreptunghic cu catetele și . Arătați că produsul dintre o latură și înălțimea corespunzătoare este constant.
Înălțimea corespunzătoare lui AB este AC și cea corespunzătoare lui AC este AB. (Există mulți elevi, care nu recunosc catetele drept înălțimi, iar vârful unghiului drept ortocentrul triunghiului). Dacă AH este înălțimea corespunzătoare lui BC, atunci , , , .
Elevii vor fi puși să verifice proprietatea și în cazul unor triunghiuri obtuzunghice, deoarece ei nu desenează cu ușurință înălțimile corespunzătoare laturilor ce formează unghiul obtuz. De multe ori, elevii desenează ortocentrul unui triunghi obtuzunghic în interiorul său. Este necesar să se facă exerciții de desen în care să se ceară elevilor să ducă înălțimile diferitelor triunghiuri.
După ce definim aria triunghiului, pornind de la definiția dată, putem defini aria unui patrulater oarecare și demonstra formulele pentru ariile dreptunghiului, pătratului, paralelogramului, trapezului, etc.
Pentru a defini ariile unor suprafețe poligonale convexe ca sumă a ariilor triunghiurilor cu interioarele disjuncte în care ele se descompun, este necesar să demonstrăm că această sumă este aceeași oricare ar fi această descompunere. O astfel de propoziție poate fi formulată la clasă, fără a fi însă demonstrată. Fără a formula această propoziție elevii nu vor înțelege că, pentru a putea defini aria unui patrulater, este necesar să demonstrăm că, oricare ar fi „triangularea” acestuia, suma ariilor respective este aceeași.
Putem defini aria oricărui patrulater convex ca fiind suma ariilor triunghiurilor cu interioarele disjuncte în care el se descompune.
Utilizând teorema obținem următoaele consecințe:
1. Aria paralelogramului este egală cu produsul dintre lungimea unei laturi și lungimea înălțimii corespunzătoare acesteia.
2. Aria dreptunghiului este egală cu produsul dintre lungime și lățime.
3. Aria pătratului este egală cu pătratul lungimii laturii sale.
4. Aria rombului este semiprodusul diagonalelor sale.
5. Aria trapezului este semiprodusul dintre suma bazelor și înălțimea sa.
Aplicațiile în cadrul acestui capitol oferă posibilități largi de legare a cunoștințelor de practică, de viața cotidiană. Se vor rezolva la acest captol neapărat probleme legate de viața cotidiană precum cele de a calcula suprafața unui teren de footbal sau suprafața sălii de clasă, etc. Problemele vor fi rezolvate prin măsurări directe.
Geometria în spațiu:
2.10. Corpuri geometrice
Acest capitol are mare importanță în studiul noțiunilor de geometrie. Elevii au luat cunoștință cu noțiunea de corp geometric încă din clasele mici, când s-au prezentat principalele corpuri geometrice în scopul dezvoltării la elevi a reprezentărilor spațiale, a formelor și treptat să se ajungă la dezvoltarea puterii de abstractizare și generalizare, observând în jurul lor diferite obiecte ce se aseamănă cu aceste corpuri sau pipăindu-le cu mâna: un penar, o minge, o bilă, un coif, un pahar, o cutie de conserve, un dulap, privind o casă, turnul unei biserici, copiii asociază forma unor asemenea corpuri, făcând abstracție de unele proprietăți fizice specifice, grupându-le după caracteristicile lor comune – corpuri drepte – prisma, corpuri rotunde: sfera, cilindrul, conul.
Elevii vor constata că fiecare din aceste corpuri ocupă un loc în spațiu care nu poate fi ocupat de alt corp (ca și locul fiecărui elev în clasă). Astfel se va stabili că fiecare obiect din jurul nostru ocupă un loc în spațiu, că orice obiect care ocupă un loc în spațiu se numește corp (indiferent de starea lui de agregare); că mărimea locului ocupat de un corp în spațiu se numește volum.
Fiind solicitați elevii să intuiască unele corpuri care au fețele figuri geometrice studiate (dreptunghiuri, pătrate, triunghiuri, cercuri) se va stabili că toate corpurile mărginite de suprafețe în formă de figuri geometrice se numesc corpuri geometrice.
Pentru a-și însuși conștient aceste noțiuni se va face apel și la activitățile desfășurate în cadrul orelor de educație plastică sau educație tehnologică.
Astfel în cadrul acestor activități precum și în cadrul orelor de geometrie se va acorda o grijă deosebită pentru a-i deprinde pe elevi cu executarea unor desene corecte, efectuând construcții și măsurători de precizie.
Vor fi solicitați să realizeze reprezentări grafice în spațiu. Apoi elevii sunt puși în situația de a desena la orele de educație plastică o casă, un bloc – reprezentarea corpurilor se face prin desenarea în exclusivitate a fețelor care se văd.
Prezentând elevilor machete de corpuri geometrice realizate din material plastic transparent, se observă cu atenție, spre exemplu, că un cub, o prismă (paralelipiped) au 6 fețe, 12 muchii și 8 vârfuri, dintre care unele se văd, altele nu, depinde din ce parte privim corpul.
E bine să le cerem elevilor să reprezinte prin desen, cu vedere în spațiu, toate muchiile corpului. Muchiile care nu se văd direct, dar elevii știu că există, li se va cere să le reprezinte prin linii punctate. Pentru a li se consolida deprinderea de a desena corpuri geometrice în spațiu se va formula cerința ca să reprezinte corpurile în diferite poziții.
Prin dezasamblarea unui cub, a unei cutii de chibrituri, se va observa modalitatea de desfășurare a unor suprafețe, pentru ca apoi, prin realizarea schiței de desfășurare a unor corpuri, prin decupare și apoi asamblare (folosind tehnica îndoitului și lipitului) să confecționeze din diferite materiale corpuri geometrice.
În procesul confecționării corpurilor geometrice se fixează noțiunile teoretice ale elevilor, aplicându-se în activități practice de măsurare, trasare, desenare cunoștințele dobândite.
În partea introductivă, orice lecție trebuie să urmărească bine sistematizat următoarele scopuri: intuirea proprietăților pe baza construcției figurii geometrice; construirea în plan a unei fețe din corpul geometric; urmărirea demonstrației pe figură și realizarea demonstrației.
2.11. Arii. Volume.
La predarea fiecărui corp geometric se urmărește recunoașterea și numirea lui, definiția, deosebirea elementelor sale importante, a figurilor plane importante (triunghiuri în piramidă sau con, trapeze isoscele în trunchiul de piramidă, etc.) și apoi învățarea formulelor pentru calculul ariilor și volumelor. Pentru buna intuire a elementelor și figurilor plane, care se formează în interiorul corpurilor, se utilizează ca material didactic corpuri din material plastic transparent, care permit să se vadă în interior, sau corpuri cu suprafețe incomplete, care să permită același lucru.
Sunt indicate exerciții care să fixeze aceste figuri plane și să pregătească folosirea lor în probleme cu arii și volume. (De exemplu se dă înălțimea piramidei și latura bazei, și se cere să se afle celelalte elemente).
La poliedre, formulele pentru calcularea ariilor se pot deduce fie însumând ariile fețelor, fie desfășurând corpul. Pentru corpurile rotunde, formulele se deduc ușor prin desfășurare (cilindru, con).
În ceea ce privește volumul corpurilor putem distinge două modalități de prezentare generate de puncte de plecare distincte: volumul tetraedrului și respectiv volumul cubului (paralelipipedului dreptunghic). Fiecare din acestea poate căpăta mai multe variante în funcție de rigoarea dorită și de timpul disponibil.
În continuare, descriem cele două modalități importante de derulare a temei.
Punct de plecare: volumul tetraedrului
– Se demonstrează că produsul dintre aria unei fețe a unui tetraedru și înălțimea corespunzătoare este același, oricare ar fi latura și înălțimea corespunzătoare.
– Se definește volumul tetraedrului ca produsul de mai sus împărțit la 3. Definiția este corectă.
– Se face observația că două tetraedre congruente au același volum și că două tetraedre cu ariile a două fețe respectiv egale și înălțimile corespunzătoare egale au același volum.
– Se demonstrează că volumul unei prisme triunghiulare este dat de produsul între aria bazei și înălțime prin descompunerea ei în tetraedre de același volum. Această descompunere este punctul cel mai delicat al temei și se impune tratarea lui cu atenție, însoțită de desene, și eventual, de un model concret din lemn sau plastic, care, de obicei, se găsește în trusa cu material didactic.
– Se deduce formula volumului unei prisme oarecare prin descompunerea în prisme triunghiulare. În particular, se dă formula uzuală pentru volumul unui paralelipiped oblic, apoi pentru volumul unui paralelipiped dreptunghic și apoi pentru cub, introducându-se astfel unitatea de volum.
– Se stabilesc formule de calcul pentru volumul piramidei și trunchiului de piramidă.
– Se evidențiază pe unele corpuri particulare că raportul volumelor a două corpuri poliedrale asemenea este egal cu cubul raportului de asemănare.
În această modalitate de predare elevii sunt puși în situația de a demonstra suficient de mult fără a întâlni dificultăți conceptuale semnificative. Demonstrațiile țin efectiv de domeniul geometriei în spațiu.
Punct de plecare: volumul cubului
– Se arată că vilumul unui cub de latură a este prin descompunerea lui în cuburi de latură 1
– Se demonstrează că volumul paralelipipedului dreptunghic este egal cu produsul dimensiunilor sale.
– Volumul paralelipipedului oblic se reduce la calculul volumului unuia dreptughic prin decupare și completare convenabilă.
– Volumul prismei triunghiulare se găsește prin completare la un paralelipiped dreptunghic , iar al prismei oarecare prin descompunere în prisme triunghiulare.
– Se deduc formulele de calcul pentru volumul piramidei și trunchiului de piramidă.
Remarcăm că la un moment dat modalitățile a) și b) devin identice.
În sfârșit, menționăm că există numeroase probleme de geometrie în spațiu care se rezolvă prin considerații de volume. Cele mai multe se referă la relații metrice.
Capitolul 3. Tratarea metodică a noțiunilor de algebră studiate în gimnaziu
Calcul algebric
Obiectivele urmărite în predarea acestui capitol sunt următoarele:
1) elevii să-și însușească regulile de calcul cu expresii raționale și să poată efectua rapid și sigur aceste calcule;
2) elevii să înțeleagă cât mai bine sensul acestor calcule.
În predarea tradițională se urmărește cu precădere primul obiectiv, adică formarea tehnicii de calcul. Atunci acest capitol se parcurge destul de ușor într-un timp relativ scurt. Aceasta se datorează faptului că se cere de la elevi o formă de muncă care corespunde înclinărilor pe care le au la această vârstă (14-15 ani): multe calcule și puțină judecată.
În cazul celui de-al doilea obiectiv, învățământul tradițional este deficitar, din această cauză vom insista mai mult asupra acestui obiectiv.
Nu am fixat și obiectivul de a-i face pe elevi să cunoască și demonstrațiile regulilor de calcul.
La începutul capitolului în care se tratează calculul algebric se introduc o serie de termeni noi, precum: monom, polinom, coeficient, etc. și se face o clasificare a expresiilor algebrice.
Considerăm că este mai bine ca termenii să fie introduși pe parcurs, pe măsură ce devin necesari. De exemplu, după ce s-au făcut primele calcule cu expresii ca , , etc. este momentul să se spună elevilor ce este un monom. Trebuie să se adauge că factorul numeric se numește coeficient, dar nu sub formă de definiție solemnă, care se scrie pe tablă. Când se trece la polinoame, se spune elevilor definiția.
Noțiunea de polinom.
Prin polinom se înțelege o expresie de forma:
,
în care coeficienții sunt numere reale date, iar x este o variabilă reală.
Cu alte cuvinte, polinomul ne dă un mijloc de calcul prin care putem afla valoarea funcției care corespunde valorii x. Studiază funcția generată de această expresie, una dintre cele mai importante probleme este rezolvarea ecuației .
Suma și produsul a două polinoame se definesc la fel ca în algebra elementară, polinomul generează o funcție care este suma funcțiilor generate de polinoamele și , analog produsul.
Polinoamele în mai multe nedeterminate se definesc prin recurență: un polinom în două nedeterminate x, y este un polinom în y, ai cărui coeficienți sunt polinoame în x; un polinom în trei nedeterminate x, y, z este un polinom în z, ai cărui coeficienți sunt polinoame în x și y, etc.
În predarea calculului algebric se face mereu apel la proprietățile fundamentale ale operațiilor. Aceste lucruri se învață la aritmetică, dar elevii nu și le însușesc destul de bine pentru că au prea puține ocazii să le aplice. Ar fi indicat ca, înainte de a începe calculul algebric, să se facă o lecție consacrată proprietățile operațiilor. Este vorba de următoarele proprietăți:
1. Comutativitatea și asociativitatea adunării. Aceste proprietăți intervin la adunarea și scăderea polinoamelor (reducerea termenilor asemenea). De exemplu, pentru a reduce termenii asemenea din expresia , schimbăm întâi ordinea termenilor, astfel încât termenii asemenea să cadă unul lângă altul (comutativitatea),
,
apoi înlocuim câte doi sau mai mulți termeni asemenea prin suma lor ( și prin ), etc. (asociativitatea) și obținem rezultatul: . În practică se sare peste prima etapă, se aleg termenii asemenea și se face în același timp și adunarea.
Comutativitatea și asociativitatea înmulțirii, care intervin la înmulțirea monoamelor. De exemplu, pentru a face înmulțirea , se înlocuiește fiecare dintre cele două monoame prin factorii săi (asociativitatea), în practică această operație se consideră ca și făcută, prin faptul că monoamele se scriu fără paranteze – ar trebui să se scrie
apoi se schimbă ordinea factorilor (comutativitatea): și se efectuează înmulțirile care se pot efectua (asociativitatea).
3. Distributivitatea înmulțirii față de adunare, care se folosește la: reducerea termenilor asemenea, înmulțirea unui polinom cu un monom și înmulțirea polinoamelor.
4. Distributivitatea împărțirii față de adunare, care intervine la împărțirea unui polinom printr-un monom.
Este important ca aceste proprietăți să se recapituleze în acest moment, deoarece elevii văd unde se aplică.
În cadrul acestui capitol, elevii vor învăța multe reguli de calcul și se vor face multe exerciții pentru a-și forma deprinderile de calcul. Pentru ca aceste cunoștințe să nu fie formale, este foarte important ca elevii să aibă din primul moment o idee clară despre noțiunea de identitate; ei trebuie să știe că prin orice calcul algebric o expresie dată se transformă într-o altă expresie, care ia aceeași valoare numerică pentru toate valorile literelor (expresia dată și cea obținută definesc aceeași funcție).
Cel mai simplu calcul algebric cu care s-ar putea începe este de forma sau .
Se cere apoi elevilor să efectueaze adunarea . Se obțin fel de fel de răspunsuri greșite, iar profesorul le respinge pe toate și arată că această operație nu se poate efectua, deoarece dacă se obține ; dacă se obține , etc.
Apoi se trece la o altă sumă, de exemplu . Aici se pot da mai multe explicații.
Se poate recurge la o interpretare concretă, de exemplu: numărul x reprezintă valoarea unei bancnote ( sau 5, sau 7,…). Atunci reprezintă valoarea a 6 bancnote, reprezintă valoarea a 3 bancnote, iar arată cât valorează toate bancnotele acestea împreună. Avem în total bancnote. Dacă bancnotele sunt de 4 lei, avem lei; dacă bancnotele sunt de 5 lei avem lei, etc. Dacă bancnotele sunt de x lei, avem lei. Deci .
Această abordare poate fi interpretată greșit de unii elevi. Ei au tendința de a apropria expresia de 6 mere + 3 mere = 9 mere, ca și cum x nu ar reprezenta un număr, ci un obiect concret. Pentru a evita această greșeală, trebuie să se sublinieze bine ideea de înmulțire, scriind și , în loc de și , și acceptând cuvântul „ori” sau „înmulțit”: „ 6 bancnote de câte x lei reprezintă 6 ori x lei, adică , etc”.
Subliniind bine faptul că în algebră scrierea unul după altul a simbolurilor respective exprimă o înmulțire, se vor evita și greșeli ca , care au loc uneori. Elevului care face această greșeală i se pare că, dacă spune xy, a adunat pe x cu y.
Se arată că, dacă înmulțim un număr oarecare cu 6, apoi cu 3 și adunăm rezultatele, obținem un număr de 9 ori mai mare decât acel număr. De exemplu . Deci .
Se poate face apel la ceea ce elevii știu deja de la aritmetică despre factorul comun:
. Deci .
Această variantă are puține șanse de succes, căci, de obicei, elevii nu sunt obișnuiți cu scoaterea factorului comun.
Apoi urmează câteva exerciții, precum: , , etc.
Acum se poate arăta deosebirea dintre calculul algebric și cel aritmetic. În aritmetică se fac operații cu numere determinate și se obțin rezultate determinate; în calculele algebrice, atât expresiile date cât și cele obținute conțin numere nedeterminate, reprezentate prin litere. Rezultatele ar fi adevărate oricare ar fi valorile literelor.
După aceste explicații se poate da noțiunea de identitate. Se arată că , (se reiau calculele care s-au făcut în cadrul exercițiilor de la tablă), este o identitate.
Nu este necesar dacă se spune, de exemplu, că o identitate arată că expresia din stânga semnului egal are aceeași valoare numerică cu cea din dreapta, oricare ar fi valoarea numerică a literelor.
Numai după ce ne-am asigurat că elevii au înțeles care este sensul calculului algebric, ce este o identitate, se poate trece la diferite calcule algebrice.
Expresii algebrice
Ideea de a introduce un număr oarecare printr-o literă este introdusă treptat și formată încă din clasele primare. Primul contact cu această idee se face prin prescurtarea cuvintelor, care rezumă modul re rezolvare a unor probleme de același tip. De exemplu, formula „distanța parcursă este egală cu produsul dintre viteză și timp” se va scrie distanța=viteza timpul, iar mai apoi apare relația .
După ce această idee a fost însușită, putem ajunge la convenția de a reprezenta numerele prin litere, chiar dacă nu mai este vorba de prescurtarea unor cuvinte. În aritmetică vor fi exprimate sub formă „algebrică” unele proprietăți ale operațiilor De exemplu, proprietatea de comutativitate o putem reda sub forma: .
Folosirea unei litere pentru a nota necunoscuta unei ecuații se cunoaște încă din clasa I.
În primele lecții de algebră, unde se introduc literele în calcul, se reaiau vechile cunoștințe legate de această temă și se sistematizează. Aceasta pentru a-l ajuta pe elev de la început să facă distincție între cele trei forme de folosire a literelor:
în formule
în identități
în ecuații.
Deoarece formulele au o largă aplicabilitate în domenii precum fizică, tehnică, se va
reaminti ideea corespondenței între unitățile de măsură, de exemplu: dacă timpul este în ore, trebuie să avem viteza exprimată sub forma lungimii parcurse pe oră (km/h sau m/h, etc.).
În identități și ecuații se lucrează cu numere abstracte. Dar dacă ecuația traduce o problemă, necunoscuta reprezintă în general un număr concret și la punerea problemei în ecuație trebuie avută în vedere corespondența între unități. În lecțiile de introducere de care vorbim, o atenție deosebită trebuie dată formulelor de rezolvare a problemelor cu date literale. Este bine ca ele să fie împletite strâns cu probleme numerice.
Exemplu: un caiet costă 5 lei și un pix costă 3 lei. Cât costă 4 caiete și 7 pixuri?
După cum se vede, ele constituie o pregătire pentru partea centrală a algebrei, punerea problemelor în ecuații.
În cadrul expresiilor algebrice se studiază succesiv monoame, polinoame cu una sau mai multe litere, fracții algebrice.
În algebra elementară, polinomul este privit ca un număr. Aici operațiile cu polinoame se deduc din regulile de calcul cu numere oarecare.
Tot calculul cu expresii algebrice trebuie fundamentat pe o însușire conștientă a regulilor de calcul cu numere exprimate într-o formă generală prin litere.
Trebuie să se facă resimțită și ideea că un polinom poate fi privit ca o entitate în sine, de exemplu, fiind date două polinoame, există un polinom bine determinat, numit produsul lor.
Regulile fundamentale de calcul cu expresii algebrice se dau în cadrul capitolului cu numere întregi, în capitolul expresii doar vom aplica aceste calcule în forme mai complexe.
De exemplu, înmulțirea monoamelor nu este decât aplicarea asociativității înmulțirii, iar înmulțirea polinoamelor poate fi privită ca o aplicare a distributivității înmulțirii numerelor, etc.
Fracția algebrică trebuie privită tot timpul ca un cât neefectuat, împărțitorul îl presupunem diferit de 0, iar de aici decurg în mod natural regulile de calcul.
Exercițiile trebuie alese în așa fel încât să conțină proprietățile operațiilor cu numere, și trebuie avut în vedere permanent dacă elevul nu a alunecat spre o însușire mecanică a calculului, împiedicându-l să gândească.
Un exercițiu de calcul, pentru a fi util și antrenant, trebuie să conțină și un aspect problematic, un aspect care să solicite gândirea.
Calculele algebrice mai lungi și mai complexe sunt de două categorii:
a) calcule lungi, dar lipsite de neprevăzut; ele au rostul de a educa răbdarea, spiritul de ordine în gândire și în scris, lucrul sistematic. Ele se dau după ce elevii cunosc bine calculele simple, care constituie elemente în care se descompune calculul dat;
b) calcule în care este necesară o anumită perspicacitate pentru a le aduce la forme simple; Găsim astfel de exerciții în culegerile de excelență, în „Gazeta matematică”.
Putem să privim monomul ca un produs de factori, în care nu mai sunt factori care pot fi asociați (doi factori numerici sau două puteri ale aceleiași litere).
Definiția polinomului apare în unele cărți sub forma: polinomul este o sumă de monoame. Pentru a fi corect din punct de vedere științific trebuie să spunem: o sumă de monoame, în care nu mai există termeni asemenea.
La polinoamele cu mai multe litere este bine să se aibă în vedere ordonarea lexicografică și chiar să se pună în evidență explicit posibilitatea unei astfel de ordonări.
Identitățile (două forme diferite de a scrie un același număr) în special identitățile fundamentale trebuie astfel predate și înțelese încât să se vadă că cei doi membri au o egală importanță. Exemplu: regula citită de la stânga la dreapta reprezintă distributivitatea; citită invers ea reprezintă regula factorului comun.
Identitățile , trebuie folosite și în cadrul aplicațiilor la calcul mintal; de exemplu poate fi efectuat mintal sub forma .
Prin aceasta elevii își reactualizează ideea că o identitate este valabilă pentru orice valori și, totdată, văd un real folos pentru unele lucruri a căror utilitate mai înaltă apare numai mai târziu, într-o perspectivă mai amplă.
Mulți elevi știu să rezolve calculele din cadrul acestui capitol, dar le vine foarte greu să și gândească; îi obișnuim să efectueze calculele în neștire, pentru ei rezultatul oricărui calcul este o anumită expresie și nimic mai mult.
Pentru mulți elevi, ansamblul de reguli care stau la baza calculului algebric apare ca un lucru impus. „Ca să înmulțim două monoame procedăm astfel…”. „Ca să înmulțim două polinoame procedăm astfel…”. Uneori aceste reguli apar ca articole ale unui regulament în care se spune ce este permis și ce este interzis: în fracția avem voie să-l simplificăm pe x, în fracția nu avem voie să-l simplificăm pe x; în expresia avem voie să suprimăm radicalul și pătratele, în expresia nu. Numai în puține cazuri elevii știu de unde vin aceste reguli. Avem aici un aspect al formalismului, care constă în faptul că elevii, deși cunosc regulile de calcul algebric, nu știu care este originea lor.
În predarea calculului prescurtat, se procedează astfel: se face înmulțirea și se obține , rezultatul se exprimă în cuvinte, apoi se arată că în locul literelor a și b se pot afla diferite expresii precum: , , etc. în aceste calcule elevii se conduc după formulă. În felul acesta, elevii își însușesc regula și știu să o aplice; totuși, rămâne o lipsă care trece de cele mai multe ori neobservată, și anume: elevii nu înțeleg prea bine demonstația formulei pe care o folosesc. Pentru a calcula se face de fapt o substituție: și obținem identitatea .
Descompunerea în factori
Această temă nu are o imoprtanță foarte mare în școala generală, deoarece în practica curentă intervine numai scoaterea factorului comun. În culegerile de probleme se găsesc numeroase exerciții care presupun că elevii sunt foarte familiarizați cu expresiile algebrice. Aceste exerciții necesită uneori o pricepere deosebită, care se poate atinge cu greu în școala generală. Acestea contribuie puțin la cultura matematică a elevilor, ele având mai mult caracter tehnic.
Vin în considerație descompunerile în factori, bazate pe scoaterea factorului comun și formulele de calcul prescurtat.
În unele manuale se dă o clasificare foarte bună a procedeelor care se folosesc pentru a descompune în factori o expresie dată, și anume:
a) scoaterea factorului comun
b) gruparea termenilor
c) formulele de calcul prescurtat.
Acest procedeu revine tot la scoaterea factorului comun, dar sub o formă mai complicată. Când se trece la exerciții mai complicate, trebuie să se dea elevilor următoarea regulă: întâi se scoate factorul comun, apoi se examinează expresia dintre paranteze pentru a vedea dacă nu se poate aplica una dintre formulele de calcul prescurtat.
De exemplu, în cazul expresiei , se scoate mai întâi factorul comun și se obține , apoi se restrânge pătratul: .
Ar fi poate indicat ca unele din aceste descompuneri să se facă îndată după ce s-a predat regula sau formula respectivă: scoaterea factorului comun îndată după ce s-a predat înmulțirea, eventual și împărțirea unui polinom cu un monom, restrângerea și completarea pătratului perfect îndată ce s-au predat formulele de calcul prescurtat pentru , etc. În acest caz urmează ca pe urmă să se consacre câteva lecții speciale acestei teme. În acest fel, elevii și-ar putea însuși mai bine atât calculul prescurtat, cât și descompunerea în factori.
Foarte mulți elevi stăpânesc tehnica descompunerii, însă sunt puțini aceia care știu ce urmăresc.
Trebuie arătat în primul rând că a descompune o expresie în factori înseamnă a pune acea expresie sub formă de produs. Aici trebuie amintit că o expresie algebrică poartă numele după ultima operație pe care o conține, faptul că expresia conține și alte semne de operație nu are importanță. Astfel este un produs, chiar dacă conține semnul „+”.
Este util să se amintească descompunerile în factori primi care se fac la aritmetică.
La aceste transformări, trebuie să se înceapă cu expresii simple, ca elevii să recunoască în ele rezultatul unei transformări anterioare. În continuare dăm ca exemplu un sistem de exerciții pentru factorul comun:
Factorul comun este un coeficient: , .
Factorul comun este o singură literă: , .
Factorul comun este numeric, dar diferit de toți coeficienții: .
Factorul comun este un produs de doi factori, dintre care unul este numeric:
Factorul comun este o putere a unei litere: .
Factorul comun este un produs de două puteri: .
Factorul comun este un monom care are un coeficient numeric diferit de 1:
O atenție deosebită trebuie acordată cazului când factorul comun este chiar unul dintre termenii expresiei date, de exemplu . De fapt, elevii nu împart termenii expresiei date prin factorul comun. Ei scriu între paranteze ce rămâne după ce dau la o parte factorul comun; În cazul exemplului de mai sus ei scriu între paranteze doar pe x. Acest lucru trebuie explicat cu de-amănuntul: între paranteze trebuie să scriem o expresie care înmulțită cu 2 să dea .
Această explicație trebuie dată la primele exerciții de descompunere în factori, iar la exercițiile ulterioare trebuie intercalat câte un exemplu în care între paranteze apare +1.
Cele mai grele descompuneri sunt cele în care termenii trebuie grupați convenabil, de tipul: .
Ele necesită un grad sporit de dificultate în citirea expresiilor algebrice. Elevul trebuie să cuprindă cu privirea toată expresiași să recunoască termenii care au un factor comun, apoi să prevadă rezultatele: ce rămâne în prima paranteză și ce rămâne în a doua paranteză.
Este util ca înainte de a trece la descompunerea în factori precum cele de mai sus, să se facă înainte câteva exerciții de descompunere ca , în care factorul care se repetă este un binom sau o expresie mai lungă.
Noțiunea de raport algebric.
Raportul algebric de o singură variabilă reală este o funcție R generată de o expresie de forma în care și sunt polinoame în x, iar linia de fracție arată că valoarea funcției R pentru o valoare oarecare a variabilei este fracția care are numărărtorul și numitorul , adică .
Funcția R este definită pentru toate valorile reale ale variabilei x pentru care .
Literele care se folosesc reprezintă numere variabile, iar toate regulile de calcul algebric nu sunt altceva decât reguli care arată cum o expresie dată E poate fi transformată într-o altă expresie F, astfel ca E și F să genereze aceeași funcție. De exemplu, în cazul când expresiile E și F conțin o singură variabilă, să avem , oricare ar fi valoarea lui x.
Totuși noțiunea de funcție nu apare cu destulă claritate, pentru că se fac prea puține calcule numerice: se știe că, în principiu, literele pot lua diferite valori, dar nu se scoate în evidență faptul că o expresie algebrică în x, de exemplu, stabilește o corespondență între valorile lui x, și valorile ei. În multe manuale noi, pentru a-i face pe elevi să-și dea seama că o expresie algebrică generează o funcție, se propun exerciții de tipul următor: se consideră o expresie oarecare, de exemplu , și se cere să se dea lui x diferite valori, care se indică, să se afle valorile corespunzătoare ale expresiei și se înscriu rezultatele într-un tabel, precum cel următor:
Aceste exerciții își ating numai în mică măsură scopul, deoarece atenția elevilor este absorbită de calculele pe care le fac, faptul că acest tabel stabilește o corespondență între numerele din rândul întâi și cele din rândul al doilea nu face asupra lor o impresie deosebită.
În școala generală se predau numai rapoartele algebrice în care expresiile de la numitor și numărător sunt polinoame de una sau mai multe variabile.
Valorile pentru care un raport are sens. Trebuie explicat că un raport algebric are sens pentru acele valori ale literelor pentru care numitorul nu se anulează, căci nu există rapoarte cu numitorul zero.
Acest lucru trece neobservat la aritmetică, pentru că se lucrează numai cu fracții ai căror numitori sunt diferiți de zero. Trebuie arătat clar că împărțirea nu are sens, căci nici un număr înmulțit cu zero nu dă produsul 3 (orice număr înmulțit cu 0 dă 0 nu 3), nici împărțirea nu are sens.
Elevii trebuie să știe că un raport algebric are sens (există) numai pentru acele valori ale literelor pentru care numitorul nu se anulează. Pentru aceasta sunt necesare câteva exerciții precum cele următoare:
1. Pentru ce valori ale lui x raportul nu are sens? Pentru .
2. Ce relație există între a și b pentru ca raportul să nu aibă sens? Răspuns: .
Amplificarea și simplificarea rapoartelor
La aritmetică se învață că dacă înmulțim sau împărțim cu același număr ambii membri ai unei fracții, obținem o fracție egală cu cea dată. Această propoziție se păstrează și în cazul amplificării și simplificării rapoartelor algebrice. Deosebirea constă în faptul că în aritmetică amplificăm și simplificăm cu numere naturale, pe când la rapoarte amplificăm și simplificăm prin expresii.
La simplificarea rapoartelor trebuie să atragem atenția că putem să împărțim printr-un factor, dar nu putem împărți prin termeni ai unei sume. Apoi înainte de a simplifica se descompun în factori atât numărătorul cât și numitorul, iar datorită acestui fapt elevii învață mai bine descompunerile în factori. Acest lucru îi ajută să vadă care este importanța descompunerilor în factori.
Operații cu rapoarte
Când trecem la adunarea rapoartelor, se poate aminti cum s-a definit adunarea polinoamelor prin întrebări precum: Ce formă are rezultatul când adunăm două polinoame? (Forma de polinom). În cazul rapoartelor ce formă trebuie să aibă rezultatul? Se ajunge astfel la formularea următoare: A aduna două fracții înseamnă a găsi o fracție care să aibă însușirea următoare: dacă înlocuim literele prin valori numerice oarecare admise, suma valorilor numerice ale fracțiilor date trebuie să fie egală cu valoarea numerică a rezultatului.
Se subînțelege că este vorba de fracții raționale. În mod analog se procedează la celelalte operații.
Această exprimare poate fi grea pentru elevi, însă important este ca elevii să rețină că:
rezultatul operațiilor cu fracții raționale trebuie să fie tot o fracție rațională;
operațiile duc la identități.
În rest se aplică întocmai regulile după care se fac operațiile cu fracții ordinare, cunoscute
de la aritmetică, de aceea nu se pun probleme teoretice. Este necesar să se facă un număr sufucient de exerciții ușoare și de greutate mijlocie, astfel încât elevii să parvină să calculeze corect, sigur și cât mai rapid. Totodată trebuie să avem în vedere ca exercițiile să nu conțină expresii fracționare prea complicate sau fracții în care numitorul comun se găsește greu, fiindcă sunt necesare artificii pentru a descompune în factori numitorii fracțiilor date sau fracții etajate prea complicate.
În cazul operației de scădere trebuie făcute numeroase exerciții în care intervin fracții care au semnul „” în față, iar ca numitori binoame, pentru ca elevii să se obișnuiască să schimbe semnul la toți termenii numărătorului.
Înmulțirea fracțiilor nu prezintă dificultăți. Trebuie să-i obișnuim pe elevi să facă toate simplificările înainte de a efectua înmulțirea, ca să nu fim puși în situația de a descompune în factori expresiile obținute.
Împărțirea se reduce la înmulțire. Vom face numai o observație legată de fracțiile etajate.
De obicei, se efectuează întâi calculele de la numărător și cele de la numitor, apoi se înmulțește prima fracție cu a doua răsturnată.
Ecuații
Ecuațiile joacă un rol central în algebră. În școala generală, se începe cum este firesc, cu cu ecuațiile cele mai simple – ecuațiile de gradul I cu o necunoscută. Apoi mai tărziu elevii vor învăța să rezolve și ecuații de grad mai mare și sisteme de ecuații, dar în privința noțiunilor de bază și celor mai simple transformări ei rămân cu ceea ce au învățat la primul contact cu această noțiune. Din acest motiv trebuie să se insiste mai mult asupra ecuației de gradul I cu o necunoscută.
În predarea acestui capitol trebuie urmărite următoarele obiective:
1. Elevii să știe să rezolve ecuații;
2. Să înțeleagă cât mai bine regulile pe care le aplică, în sensul să nu le aplice mecanic.
Procedeul cel mai răspândit de a introduce noțiunea de ecuație este de a porni de la o problemă și de a o pune în ecuație. Acest procedeu este bun, deoarece în felul acesta elevii văd de la început care este rostul ecuațiilor.
Exemplu: Un elev are o sumă de bani și se duce să cumpere caiete. Dacă cere 8 caiete, îi mai trebuie 3 lei ca să le poată plăti, iar dacă cere 6 caiete, îi rămân 5 lei. Cât costă un caiet?
Se obține ecuația: .
Această problemă se rezolvă destul de greu aritmetic, de aceea ea va stârni interesul elevilor.
După ce problema s-a pus în ecuație și s-a scris pe tablă, profesorul e spune elevilor că „ceea ce s-a scris pe tablă reprezintă o ecuație”. Ea exprimă faptul că dacă numărul x se înmulțește cu 8 și din rezultat scădem 3 obținem același rezultat ca și atunci când înmulțim numărul cu 6 și rezultatul îl adunăm cu 5. Rămâne să aflăm cât este x, adică să rezolvăm ecuația. Profesorul le spune elevilor că , și se face proba. Apoi se dă lui x altă valoare, de exemplu , și se constată că ea „nu este bună”. Urmează alte câteva exemple de ecuații, cum ar fi:
; , etc. Eventual se cere elevilor să dea și ei exemple de ecuații.
Abia după ce elevii și-au dat seama, pe baza exemplelor, ce este o ecuație, se explică originea cuvântului ecuație (din cuvântul latin aequus – egal, care se regăsește în cuvintele echilibru, echidistant), se arată că fiecare ecuație este formată din două părți sau doi membri și se explică sensul cuvintelor rădăcină sau soluție, a satisface, a rezolva.
Explicația se face pe exemple, fără a insista asupra definițiilor. Pentru ca elevii să înțeleagă bine ce este o rădăcină a unei ecuații, sunt necesare câteva exerciții precum următorul: profesorul scrie pe tablă o ecuație, de exemplu, , și cere elevilor să cerceteze dacă o satisface, apoi , , etc. Aceste exemple trebuie alese astfel încât calculele să fie ușoare, să nu acoperim ideea cu calcule greoaie.
După ce elevii și-au însușit aceste noțiuni, profesorul anunță trecerea la rezolvarea ecuațiilor.
Pentru rezolvarea ecuațiilor nu vom folosi regulile obișnuite, ci aplicând câteva proprietăți noi. În acest sens vom enunța următoarele teoreme, care în unele cărți poartă denumirea de proprietățile egalităților.
Teoremele de echivalență ale ecuațiilor
Două ecuații se numesc echivalente dacă au aceeași soluție, adică orice soluție a uneia dintre ele satisface și cealaltă ecuație. Dacă una din ele este imposibilă, cealaltă este de asemenea imposibilă.
Noțiunea de ecuații echivalente joacă un rol important, fiindcă cele mai multe ecuații se rezolvă după procedeul următor: ecuația dată E se transformă într-o ecuație echivalentă cu ea, cu ecuația se procedează la fel ș.a.m.d., până când se ajunge la o ecuație care se poate rezolva ușor.
În școală, teoremele despre echivalența ecuațiilor se predau de obicei superficial, nu se arată cu destulă precizie în ce condiție o ecuație se poate transforma într-o ecuație echivalentă cu ea și din cauza aceasta apar surprize: se introduc „rădăcini străine” sau „se pierd” rădăcini. Această deficiență este un rezultat al modului tradițional de predare a matematicii, în care se acordă prea multă atenție calculelor în dauna conținutului.
O ecuație trebuie totdeauna considerată pe o mulțime M, căci existența și numărul soluțiilor depind de acea mulțime. De exemplu, ecuația , considerată pe mulțimea numerelor întregi, nu are nicio soluție, dar pe mulțimea numerelor raționale ea are o singură soluție: Ecuația , considerată pe mulțimea numerelor întregi, are o singură soluție: , dar pe mulțimea numerelor raționale, ea are două soluții: și
Bineînțeles, mulțimea M poate să conțină numai valori pentru care atât expresia f, cât și g au sens.
De exemplu, ecuația poate fi considerată cel mult pe intervalul , căci pentru expresia nu are sens – câtă vreme se lucrează în mulțimea numerelor reale. De asemenea, ecuția
Poate fi considerată cel mult pentru acele valori ale literelor x și y pentru care și , căci, dacă , prima fracție nu are sens, iar dacă a doua ecuație nu are sens.
Când nu se face nici o mențiune, se înțelege că ecuația se consideră pe mulțimea maximă pe care expresiile f și g au sens.
Teorema 1. Fiind dată ecuația:
, (E)
considerată pe o mulțime M, și o expresie care are sens pentru orice valoare a lui x din M, ecuația:
considerată pe această mulțime M, este echivalentă cu (E).
Fie o rădăcină a ecuației (E), adică . Adunând la numerele egale numărul , care este binedeterminat, căci are sens pentru orice x din M,
obținem , ceea ce înseamnă că satisface ecuația .
Reciproc, fie o rădăcină a ecuației , adică . Adunând
în ambii membri , obținem , deci satisface ecuația (E).
Pe această teoremă se bazează trecerea unui termen dintr-un membru în altul. De exemplu, în cazul unei ecuații de forma , luând , se obține .
Pentru o bună înțelegere a acestei teoreme este bine să continuăm cu un exemplu.
Fie ecuația . Ea are soluția , căci pentru , obținem , adică Dacă adunăm în ambii membri pe , obținem ecuația
și tot pentru vom obține în membrul stâng 29 și în membrul drept tot 29.
Unele manuale și unii profesori folosesc în predarea acestei chestiuni așa-zisa metodă a cântarului. Dacă un cântar este în echilibru și adăugăm în ambele talere câte o greutate de , el rămâne în echilibru.
Teorema 2: Fiind dată ecuația:
, (E)
considerată pe o mulțime M, și o expresie care are sens și este diferită de zero pentru orice valoare a lui x din M, ecuația
considerată pe mulțimea M, este echivalentă cu (E).
Fie o rădăcină a ecuației (E), adică .
Înmulțind numerele egale cu același număr ,
obținem , ceea ce înseamnă că satisface ecuația .
Reciproc, fie o rădăcină a ecuației , adică . Înmulțind
ambii membri cu (acest număr există, căci ) obținem , deci satisface ecuația (E).
Această teroremă se aplică în special la ecuațiile care conțin fracții. Atâta timp cât numitorii nu conțin necunoscuta, ecuația (E) se consideră pe toată axa reală, expresia este o constantă diferită de zero, ecuația se consideră de asemenea pe toată axa reală și nu apare nicio complicație. Lucrurile se complică atunci când ecuația conține necunoscuta la numitor sau când se simplifică printr-o expresie care conține necunoscuta.
Exemplu:
Considerăm ecuația:
Această ecuație se consideră pe mulțimea și se ia
, ceea ce este permis, deoarece acest produs are sens pentru orice valoare a lui x și se anulează numai pentru valorile , care nu aparțin mulțimii M.
După toate simplificările, se obține ecuația
,
care trebuie considerată tot pe mulțimea . Această ecuație se transformă fără restricții în , care are pe mulțimea M o singură rădăcină, ; cealaltă rădăcină , nu aparține lui M.
Dacă se lucrează fără precauții, apare soluția . De altfel, dacă nu se exclud valorile , nici simplificările care duc la ecuația dată nu sunt permise. Pentru , de exemplu, ar însemna că prima fracție se simplifică cu zero.
În unele manuale, teoremele de echivalență se stabilesc prin verificări. De exemplu, pentru a demonstra prima teoremă de echivalență a ecuațiilor, se ia o ecuație, de exemplu , se constată că ea admite rădăcina , apoi se adaugă la ambii termeni aceeași expresie, de exemplu și se constată că ecuația obținută admite și ea rădăcina .
Ecuațiile de gradul I cu o necunoscută
Pentru a preda această noțiune trebuie parcurse mai multe etape:
a) Pentru început se introduce noțiunea de ecuație, și se arată ce se înțelege prin rădăcina unei ecuații și ce înseamnă a rezolva o ecuație; apoi se dau câteva exemple de ecuații.
b) Se dă noțiunea de ecuații echivalente și se ilustrează prin mai multe exemple, precum: și ; și , etc. Aceste exemple arată numai că există valori ale lui x care satisfac ambele ecuații, dar nu se poate arăta că orice rădăcină a uneia dintre ecuații este și o rădăcină a celeilalte.
c) Se predau cele patru teoreme de echivalență a ecuațiilor, astfel:
1) Dacă adunăm în ambii membri ai unei ecuații același număr sau aceeași expresie, obținem o ecuație echivalentă cu cea dată.
2) Dacă scădem din ambii membri ai unei ecuații același număr sau aceeași expresie, obținem o ecuație echivalentă cu cea dată.
3) Dacă înmulțim ambii membri ai unei ecuații cu același număr, diferit de zero, obținem o ecuație echivalentă cu cea dată.
4) Dacă împărțim ambii membri ai unei ecuații cu același număr, diferit de zero, obținem o ecuație echivalentă cu cea dată.
d) Se arată, pe exemple simple, cum se trec termenii care conțin necunoscute în partea stângă a ecuației și cei care nu conțin necunoscute în partea dreaptă, apoi se scoate valoarea lui x.
În continuare urmează o conversație recapitulativă a profesorului cu clasa, în care profesorul pune cam următoarele întrebări:
1. Cum rezolvăm o ecuație de forma: ? (Trecem termenul cunoscut în membrul stâng).
2. Cum procedăm în cazul unei ecuații ca ? (Împărțim ambii membri ai ecuației cu coeficientul necunoscutei).
3. Dar la o ecuație de forma cum procedăm? (Trecem termenii necunoscuți în membrul stâng, cei cunoscuți în membrul drept, reducem termenii asemenea și împărțim prin coeficientul necunoscutei).
4. Cum procedăm în cazul unei ecuații de forma
?
(Efectuăm toate calculele, reducem termenii asemenea apoi procedăm ca la exemplul precedent).
Când ecuația conține fracții, de exemplu:
(Înmulțim ambii membri ai ecuației cu c.m.m.m.c. al numitorilor, ca să scăpăm de numitori, apoi procedăm ca în cazul precedent).
După această recapitulare, elevii capătă o privire de ansamblu asupra celor învățate până acum despre ecuații. Această conversație cu clasa este utilă și prin faptul că elevii învață să se exprime în cuvinte ceea ce fac.
Ecuații care conțin necunoscuta la numitor
De cele mai multe ori, pentru a elimina numitorii, se aplică fără precauții teorema cu privire la înmulțirea ambilor membri cu aceeași expresie.
Din cauza aceasta apar surprize: se obțin rădăcini „străine” – ceea ce provoacă oarecare nedumerire, căci de obicei regulile pe care le învață elevii la matematică duc în mod sigur la rezultat.
De exemplu, se spune că, dacă o rădăcină a înmulțitorului (este vorba de o valoare a lui x care anulează expresia h(x) cu care se înmulțesc ambii membri ai unei ecuații) verifică ecuația obținută, ea este străină ecuației date.
Pentru elevii de gimnaziu se recomandă următoarele procedee:
Procedeul 1: Când o ecuație conține necunoscuta x la numitor se exclud de la început toate valorile lui x care anulează numitorii, se înmulțește ecuația cu c.m.m.m.c. al numitorilor, se rezolvă ecuația obținută și se rețin numai valorile lui x care n-au fost excluse.
Se consideră următorul exemplu:
și se arată elevilor că s-a obținut un rezultat greșit pentru că s-a înmulțit, nu cu un număr, ci cu o expresie care conține necunoscuta. Apoi se explică următoarele aspecte:
1. În regule cu privire la înmulțirea ambilor membri ai unei ecuații s-a înțeles de la sine că numărul cu care se înmulțește nu este zero. De exemplu, dacă înmulțim ambii membri ai ecuației cu 0, obținem , care nu folosește la nimic.
2. Valorile și nu pot fi rădăcini ale acestei ecuații, deoarece pentru aceste valori ale lui x ecuația nu are sens; de aceea aceste valori ale lui x se exclud, adică se știe sigur că și .
3. În aceste condiții, expresia este sigur diferită de zero, deci avem dreptul să înmulțim cu ea.
4. Se efectuează calculele și se obține . Deoarece s-a obținut o valoare exclusă, ecuația nu are nici o rădăcină.
Procedeul 2: Se folosește faptul că o fracție are sens numai când numitorul ei este diferit de zero și o fracție este egală cu zero dacă și numai dacă numărătorul ei este egal cu zero. După ce se amintesc aceste lucruri , se consideră , de exemplu, ecuația de mai sus. Se pune condiția și , se aduc toți termenii în membrul stâng și se aduc fracțiile la același numitor. Se obține:
Deoarece , se poate simplifica cu și se obține ecuația , care nu are nicio rădăcină. Într-un caz mai complicat, s-ar putea ca elevii să nu observe că fracția se poate simplifica, dar atunci se obține ca rădăcină o valoare a lui x care anulează numitorul, deci inacceptabilă.
Ecuațiile constituie o parte foarte importantă a algebrei care se predă în școala generală. Este necesar ca elevii să facă un număr suficient de exerciții ca să-și însușească bine metodele și tehnica rezolvării.
Ecuația de gradul al II-lea
O dată ce elevii sunt familiarizați cu noțiunea de ecuație, predarea acestei teme nu prezintă greutăți deosebite, în schimb elevii își lărgesc orizontul matematic și dobândesc la timp cunoștințele necesare la fizică, la studiul mișcării uniform accelerate.
Planul clasic după care se tratează această temă este următorul: se tratează întâi cele două forme incomplete, apoi forma completa.
Formele incomplete sunt: sau .
Forma . Elevii știu încă din clasa a VII-a să rezolve ecuații de forma , unde a este un număr dat. Ei au rezolvat astfel de ecuații ori de câte ori au aplicat teorema lui Pitagora – numai că acolo lucrurile apăreau într-o altă lumină: necunoscuta se nota cu AB și MN și reprezenta lungimea unui segment. Este bine să se pornească de aici și să se pună problema sub forma generală: să se rezolve, de exemplu, ecuația .
Elevii găsesc ușor rădăcina ; iar cu oarecare ajutor ei înțeleg și faptul că ecuația mai admite o rădăcină, . Pentru rezolvarea ecuației, se scrie ecuația dată sub forma unui produs . Acest produs este egal cu zero, dacă și numai dacă , adică sau , adică . Deci ecuația admite rădăcinile și .
După ce s-a dat o primă idee despre ecuația de gradul II și elevii au înțeles că ecuația are două rădăcini, se trece la exemple din ce în ce mai complicate. Se recomandă ordinea următoare:
();
()
().
Cazul ecuațiilor care nu au rădăcini trebuie lăsat la urmă, când elevii vor fi familiarizați cu această temă. Se pornește, de exemplu, de la ecuația și se arată că ea nu poate avea nicio soluție. Indiferent, dacă x este număr pozitiv sau negativ, este de asemenea pozitiv, deci nu poate fi egal cu numărul negativ .
Forma . Acest caz nu prezintă niciun fel de greutate, dacă s-a stabilit înainte care este condiția ca un produs să fie egal cu zero. Pentru a rezolva ecuația, se scoate x factor comun în fața parantezei, , de unde se deduce și .
După cum am spus, în clasă nu se poate începe cu forma literală. Procedeul se arată pe exemple ca: , , etc.
Ecuația de gradul II – forma completă
Se explică că acuațiile pe care le-au rezolvat până acum în cadrul acestei teme sunt ecuații de gradul II deoarece conțin , dar aceste ecuații nu erau complete. Apoi se dau câteva exemple de ecuații complete.
După aceea se arată că o ecuație de gradul II nu poate conține mai mult decât trei termeni: un termen fără x (termen liber), un termen de gradul I și unul de gradul II, și se dă forma generală: . Urmează câteva exerciții de încadrare a unor ecuații cu coeficienți numerici în forma generală. Se scrie pe tablă, și se cere elevilor să spună ce valori au coeficienții a, b și c.
Atenție la coeficienții negativi și la cei care nu se scriu: de exemplu, în ultima ecuație avem , nu 8. O oarecare ezitare apare în cazul ecuațiilor incomplete: termenul care lipsește există, dar are coeficientul zero.
De exemplu ecuația are coeficienții . Sunt utile și câteva exerciții inverse, precum cele în care se cere să se scrie ecuația când se cunosc coeficienții. Cu acest prilej trebuie subliniat că primul coeficient nu are voie să fie zero, căci în acest caz ecuația nu mai este de gradul II.
Apoi în continuare se prezintă modul de rezolvare al ecuației. Se calculează discriminantul . În funcție de valoarea obținută pentru vom avea numărul de rădăcini.
Astfel dacă atunci ecuația va avea două soluții reale și distincte. Dacă atunci ecuația are două soluții reale egale, iar dacă atunci ecuația nu are soluții reale.
Pentru ca elevii să-și însușească algoritmul de rezolvare, este indicat să se rezolve un număr cât mai mare de ecuații.
Este util să se arate elevilor că formula se poate aplica și în cazul ecuațiilor incomplete, că ea este generală.
Inecuații
Rezolvarea inecuațiilor se bazează pe patru propoziții analoage celor patru reguli date la ecuații, cu deosebirea că la înmulțirea și împărțirea cu un număr negativ se obține o inegalitate de sens contrar. Propozițiile corespunzătoare nu mai sunt evidente pentru că operațiile nu mai au o semnificație concretă. Ele trebuie lămurite prin exemple, ca următorul . Dacă înmulțim ambii membri cu , obținem și , iar între aceste numere trebuie să punem semnul , adică : deci s-a obținut o inegalitate de sens contrar față de cea inițială. Același lucru se întâmplă dacă împărțim ambii membri printr-un număr negativ, de exemplu, cu .
Teoremele de echivalență se pot formula astfel:
Dacă într-o inegalitate adunăm în ambii membri același număr, sau scădem din ambii membri același număr, sau înmulțim sau împarțim ambii membri cu același număr pozitiv, obținem o inegalitate de același sens cu cea inițială; dacă, însă, înmulțim sau împărțim ambii membri cu același număr negativ, obținem o inegalitate de sens contrar.
Pe primele două propozițiise bazează trecerea termenilor dintr-un membru în altul a unei inegalități, deci la rezolvarea inecuațiilor se procedează exact ca la rezolvarea ecuațiilor. În practică nu apare niciodată necesitatea de a înmulți cu un număr negativ, căci această transformare se face numai pentru a scăpa de numitori, care sunt numerici, deci pozitivi.
O deosebire față de ecuații apare numai când se ajunge la o inecuație de forma sau , unde a este număr negativ. Aici se împarte cu a și sensul inegalității se inversează. De exemplu, din rezultă .
Rezultatele inecuațiilor se exprimă în limbajul teoriei mulțimilor. De exemplu, se scrie , iar dubla inegalitate se scrie .
După prezentarea celor patru propoziții cu privire la echivalența inecuațiilor, se trece la rezolvarea de inecuații.
Vom începe cu inecuații simple, precum: , , etc. apoi vom continua cu inecuații în care trebuie efectuate în prealabil unele calcule, precum:
, , etc.
Apoi trebuie tratate inecuațiile duble, precum: . Aici sunt necesare explicații cu privire la modul în care se scrie o inegalitate dublă. Pentru a rezolva o inecuație dublă, se rezolvă fiecare din cele două inecuații în parte și se ia intersecția intervalelor obținute. În exemplul de mai sus se obține:
, , adică
, , adică .
Intersecția acestor intervale este . Dubla inecuație este satisfăcută când , adică .
Un material util pentru exerciții sunt inecuațiile cu modul. Dăm un exemplu: .
Trebuie să deosebim două cazuri: când și când .
În primul caz, , deci inecuația se scrie , de unde . Deci, când , el trebuie să fie mai mic decât 4, ceea ce înseamnă că și , adică sau .
În al doilea caz, când , avem ; inecuația se scrie și se obține . Deci, când , el trebuie să fie mai mare decât 2, adică sau .
Cele două rezultate, și , dau .
Sisteme de ecuații
Trebuie început prin a studia cu toată atenția o ecuație cu două necunoscute. Vom începe și aici cu un exemplu, fie el . Pentru a face să se înțeleagă că ecuația are o infinitate de soluții, vom da lui y succesiv diferite valori () și vom rezolva ecuația în x obținută. De aici se trece la stabilirea formulei de rezolvare; rezolvăm ecuația, presupunând pe y cunoscut, dar fără a-i fixa o anumită valoare. Aici, este un salt calitativ în gândire, este o contopire a diverselor exemple tratate, precum și a celor netratate, într-un singur exemplu. Este bine să păstrăm într-o formă ordonată exemplele tratate pe tablă și când facem rezolvarea
, , s-o comparăm cu cazurile tratate. Insistăm încă, făcând în formula de rezolvare, , pe y egal cu etc. și verificând că obținem același rezultat ca și mai înainte; vom da și alte valori lui y și vom verifica în ecuație, soluția găsită cu ajutorul formulei de rezolvare.
Deoarece lui y putem să-i dăm o valoare la întâmplare, obținem oricât de multe soluții dorim; putem folosi și expresia o infinitate de soluții. Trebuie însă atras atenția că nu orice pereche de valori x, y constituie o soluție; vom face probe cu soluții luate la întâmplare.
Este timpul să subliniem și faptul că formula ni-l dă pe x ca funcție de y.
Apoi, vom folosi același procedeu, însă luând ca necunoscută pe y; formula de rezolvare
ne va da pe y ca funcție de x. Vom realiza acest lucru mai ușor dacă, în lecțiile precedente, vom fi rezolvat și ecuații în care necunoscuta este notată cu y, eventual și ecuații cu o necunoscută în care intervine și un număr cunoscut notat cu o literă, de exemplu a.
Două ecuații cu două necunoscute formează un sistem când urmărim să găsim o soluție care să verifice și o ecuație și pe cealaltă (intersecția celor două mulțimi de soluții ale ecuațiilor separate). Pentru a face să se înțeleagă bine definiția, vom lua un sistem, de exemplu
și vom face proba:
cu perechi de valori care constituie o soluție a primei ecuații, dar nu și a celei de-a doua, precum și invers;
cu perechi de valori care nu constituie soluție pentru niciuna din ecuații;
cu perechea de valori care este soluție a sistemului.
Apoi se pune problema rezolvării. Cum procedăm pentru a găsi o soluție? Îi vom lăsa pe elevi să se gândească singuri. Apoi îi putem ajuta eventual, cu întrebarea: dacă ar numai prima ecuație, cum am proceda?
Toate soluțiile primei ecuații sunt date de formula de rezolvare ; ale ecuației a doua de formula . Dăm lui x o valoare la întâmplare, de exemplu . Din prima ecuație obținem și din a doua ecuație obținem . Așadar, este o soluție a primei ecuații, iar este o soluție a celei de-a doua ecuații. Niciuna nu este o soluție a sistemului. Ce valoare ar trebui să-i dăm lui x astfel încât cele două ecuații să dea aceeași valoare pentru y?
Suntem conduși în mod normal la ecuația: .
Rezolvând ecuația obținem , iar apoi înlocuind în oricare ecuație obținem .
Așadar soluția sistemului este . În final îi vom informa pe elevi că în orele următoare vom învăța și alte metode de rezolvare a sistemelor.
Metoda substituției. Vom considera același sistem. Soluțiile primei ecuații sunt date de formula , unde x poate lua orice valoare. Să-l căutăm pe x astfel încât soluția primei ecuații să verifice și pe a doua, adică astfel încât .
Apoi se face proba, se tratează un alt exemplu, se enunță regula, se aplică regula altor exemple, se face varianta regulii (scoatem pe y din a doua ecuație, scoatem pe x din prima, etc.) se face observația care variantă este mai ușor de aplicat, se aplică în exemple noi.
Metoda reducerii. Este mai ușor de aplicat și elevii se deprind ușor cu ea. Vom desface problema în două cazuri:
cazul când una din necunoscute are același coeficient în ambele ecuații
reducerea cazului general la precedentul.
Pentru primul caz, se pot scădea cele două ecuații și vom obține o ecuație în necunoscuta x, de exemplu, apoi îl vom înlocui în oricare din cele două ecuații și îl vom afla pe y.
Reducerea cazului general la acesta se face înmulțind ambele ecuații cu numere astfel încât cele două ecuații să aibă una dintre necunoscute cu același coeficient. Și apoi procedăm la fel ca în primul caz.
Ambele metode trebuie tratate, în unele exemple și comparativ, pentru a da elevilor posibilități mai largi de lucru.
După tratarea celor trei metode, se vor da exerciții care să se trateze prin fiecare din metode, fiecare în 2-3 variante.
La toate metodele de mai sus s-a presupus că soluția sistemului există, iar noi căutăm prin ce procedeu o putem găsi. Preocupați fiind de această problemă, nu putem încărca de la început atenția elevilor și cu problema existenței sau unicității soluției. Această ultimă problemă o tratăm într-o lecție separată și după aceea sintetizăm într-un tot problema discuției și rezolvarea sistemelor.
Fie de exemplu sistemul
.
Înmulțim ecuația a doua cu 2, pentru a face ca x să aibă același coeficient; obținem o ecuație echivalentă și sistemul devine:
.
Orice valori am încerca să dăm lui x și y, nu putem obține și și tot cu aceleași valori, . Sistemul nu are soluție. (El este imposibil sau incompatibil).
Analog, tratăm un sistem nedeterminat, precum
.
Cu astfel de exemple, putem ajunge la regula:
Înmulțim una din ecuații cu un număr astfel ales încât x să aibă același coeficient;
Dacă obținem și pentru y același coeficient, avem un sistem imposibil (când membri stângi sunt diferiți) sau sistem nedeterminat (când membri stângi sunt identici).
Dacă y nu are același coeficient, sistemul are o soluție și anume una singură – așa cum am arătat la celelalte metode.
Rezolvarea problemelor prin ecuații
Rezolvarea problemelor prin ecuații constituie o parte foarte utilă pentru practică pentru dezvoltarea inteligenței.
Capitolele premergătoare (numere, expresii, ecuații) constituie instrumentul; problemele constituie scopul.
Ideea rezolvării problemelor prin ecuații se pregătește din timp. Așa cum am văzut, încă în clasa a V-a întâlnim probleme rezolvate – în fond – prin ecuații; introducem noțiunea de ecuație, cu ajutorul unor probleme. După ce amintim rezolvarea ecuațiilor pe baza înțelesului operației inverse, este bine să dăm și probleme – simple în care în esență este vorba de un număr necunoscut supus succesiv unor operații al căror rezultat final se dă.
Rezolvarea problemelor prin ecuații se face sistematic și complet după studiul ecuațiilor, după studiul ecuațiilor cu o necunoscută. Apoi după studiul sistemelor de ecuații.
Pentru familiarizarea elevilor cu ideea, vom începe cu probleme simple, în care necunoscutele sunt numere abstracte, iar fiecare ecuație rezultă din propoziții distincte.
Pentru a ajuta pe elevi să lucreze sistematic, punem în evidență cu ajutorul exemplelor tratate încă de la problemele simple cele patru etape în rezolvarea problemei:
fixarea necunoscutelor
punerea problemei în ecuație
rezolvarea ecuației
proba soluției găsite.
1)La fixarea necunoscutelor, atragem atenția că prin x, y sau alte litere notăm numere mecunoscute, numere abstracte sau concrete (mărimi). Când necunoscuta este un număr concret, trebuie de la început fixată și unitatea de măsură, pentru a asigura în ecuații o justă corespondență între unități.
2)Punerea problemei în ecuație înseamnă trecerea de la enunțul ei în cuvinte la un enunț transcris cu semne matematice.
Este etapa în care elevul gândește foarte activ, caută să înțeleagă bine enunțul, caută să prindă legăturile între ce se dă și ce se cere, concentrează enunțul și îl gândește sintetic, în limbaj simbolic.
În cazul în care totuși un elev întâmpină dificultăți la punerea problemei în ecuație, o metodă de a-l ajuta – indicată în mai multe articole metodice – este următoarea: dăm elevului „să facă proba” luând ca soluții numere la întâmplare. Exemplu: Triplul unui număr este cu 25 mai mare decât jumătatea lui. Care este numărul?
Să facem proba, să vedem dacă numărul căutat nu este 20. Triplul lui 30 este 90; jumătatea lui 30 este 15. Cu cât este mai mare 90 decât 15? Nu ne dă 25 cum spune problema. În general un număr luat la întâmplare nu va verifica. Dar calculele făcute asupra lui 30 pentru a-l proba sunt aceleași cu calculele care trebuie făcute asupra lui x pentru a pune problema în ecuație.
Metoda este eficientă pentru că ceea ce stânjenește gândirea copilului este tocmai faptul că lucrează cu x ca și cum l-ar cunoaște, deoarece el e obișnuit să facă operații cu numere date.
Când problema are mai multe necunoscute, trebuie să-i obișnuim pe elevi să citească în enunț atâtea condiții independente câte necunoscute sunt (condiții care se traduc în ecuații
3)Rezolvarea ecuației trebuie făcută efectiv, la fiecare problemă. Exercițiile de fixare a deprinderilor pentru rezolvarea ecuațiilor trebuie făcute în cadrul problemelor, unde elevul le simte utilitatea.
4)Proba soluției găsite trebuie făcută în enunțul problemei. În acest fel se verifică dacă transcrierea enunțului în ecuații a fost bine făcută. Pe de altă parte, proba ajută la o mai profundă înțelegere a enunțului și a modului de rezolvare.
Este o etapă importantă și nu trebuie neglijată, mai ales la primele probleme.
Discuția și interpretarea rezultatului au un rol important în dezvoltarea gândirii și în justa corelare a gândirii cu realitatea.
În alegerea problemelor pe care le dăm elevilor în clasă sau pentru acasă, trebuie să ținem cont de o serie de considerente.
Problemele care trezesc mai mult interes, care pun în evidență rostul învățării algebrei, mulțumesc și răsplătesc pe elev pentru efortul depus timp de un an, sunt problemele legate de realitate.
Problemele cu conținut real trebuie alese din domenii cât mai variate, eventual grupate pe categorii cum ar fi: probleme cu conținut geometric, probleme de aliaje, probleme asupra pârghiilor, etc.
Deși schema matematică este aceeași, atenția elevului este îndreptată succesiv asupra diverselor aspecte ale realității; rezolvarea acestor probleme nu întărește numai priceperea matematică, ea ajută elevul să-și reamintească o serie de cunoștințe, să le mânuiască personal, să se orienteze în realitate.
Funcții
Studiul funcțiilor. Este știut că datorită folosirii variabilelor și funcțiilor a pătruns dialectica în matematică. Datorită acestor noțiuni matematica devine capabilă să studieze fenomenele în dezvoltarea lor și dependențele dintre ele. Variabila este expresia mișcării – în sens general– iar funcția a dependenței dintre fenomene.
În cadrul algebrei se face un pas înainte în conturarea noțiunii de funcție. Și în cadrul aritmeticii se studiază unele dependențe funcționale, în special la mărimile direct și invers proporționale. Dar acolo această dependență se exprimă indirect, nu printr-o lege.
În clasa a VII-a, elevul întâlnește pentru prima dată funcții definite prin expresii. Legătura dintre mărimi, care înainte se descoperea sub o formă mai greoaie, devine astfel mai clară și se exprimă sub o formă mai pregnantă.
Procedeul modern de a introduce noțiunea de funcție caută să pună pe primul plan ideea de corespondență dintre elementele a două mulțimi (aplicația unei mulțimi într-o altă mulțime) sub forma cea mai generală. Se începe cu exemple de mulțimi de obiecte din viața cotidiană, cum ar fi: locurile dintr-o sală de cinema și spectatorii; disciplinele de învățământ care se predau într-o clasă și profesorii, etc. După ce elevii și-au format astfel noțiunea de corespondență între elementele a două mulțimi, se trece la cazul când cele două mulțimi sunt mulțimi de numere, iar legea de corespondență este dată de o expresie algebrică. Căutăm să urmăm calea de mijloc. Am pornit de la exemplu concret, care duce imediat la mulțimi numerice, funcția fiind generată de o expresie algebrică, dar am căutat să scoatem în relief idea de corespondență.
Nu este neapărat să se dea o definiție a noțiunii de funcție. Considerăm că pentru școala generală este suficient dacă elevii cunosc bine câteva exemple de funcții – cele prevăzute în programă. Lucrul cel mai important în această etapă, este ca elevii să-și formeze idei juste; mai târziu după ce ei vor cunoaște mai multe exemple de funcții, noțiunile se vor contura mai bine și se va putea introduce terminologia corespunzătoare.
Un aspect important legat de capitolul funcții îl reprezintă graficul unei funcții. Elevii trebuie să învețe în primul rând să folosească graficele pentru a afla valoarea lui y care corespunde unei valori date lui x și invers.
În clasă trebuie făcute numeroase exerciții de citire a graficului în ambele sensuri, ca elevii să se familiarizeze cu ele, să-și dea seama că rezultatele se obțin pe această cale mai ușor decât prin calcul.
În cadrul aplicațiilor, un material vast de exerciții îl reprezintă formulele pentru arii și volume, care urmează a fi privite nu ca reguli care arată cum se află diferite arii și volume, ci ca expresii ale unor dependențe. Ca tranziție de la aceste formule la forma , ca elevii să deosebească constantele de variabile, sunt utile exerciții de forma: Să se afle aria y a unui triunghi cu baza de 12 cm și înălțimea de x cm. Cum se află volumul y al unui con cu raza de 3 cm și înălțimea de x cm? etc. Din expresiile obținute se deduce apoi că aceste mărimi sunt direct proporționale, în sensul în care se folosește acest termen la aritmetică: dacă înălțimea se înmulțește (împarte) cu un număr oarecare, aria sau volumul se înmulțește (împarte) cu acel număr. Pe urmă se trec în revistă toate formulele cunoscute de elevi de la geometrie și se reconsideră din acest punct de vedere. Elevii trebuie să alungă să-și dea seama că, dacă o anumită mărime figurează ca factor în formula care dă o arie sau un volum, acea arie sau acel volum este direct proporțional cu mărimea respectivă.
În sfârșit, vin considerație probleme de felul celor care se dau în legătură cu teorema lui Thales și asemănarea triunghiurilor.
Exemplu: Într-un triunghi ABC, se dă (în cm): , , . Printr-un punct M de pe AB se duce o paralelă la BC și se notează cu N punctul ei de intersecție cu AC. Fie , . Să se exprime y ca funcție de x. Cum variază y când x variază?
Funcția de gradul I poate fi introdusă direct prin expresia ei , fără exemplu concret, deoarece elevii au văzut pe exemplele anterioare care este importanța funcțiilor. Se ia de exemplu, ecuația , se întocmește un tabel precum cel de mai jos:
Elevii înțeleg ușor că și această relație face ca fiecărei valori a lui x să-i corespundă o valoare a lui y, deci y este funcție de x. Apoi se figurează punctele , ,… și se constată că ele se înșiră pe o dreaptă.
Rezolvarea grafică a sistemului de două ecuații liniare cu două necunoscute.
Elevii trebuie să înțeleagă că soluția sistemului este dată de coordonatele punctului de intersecție a dreptelor corespunzătoare.
Se consideră, de exemplu, sistemul: .
Se construiesc dreptele care reprezintă graficele celor două funcții, apoi se pun clasei întrebările? „Coordonatele punctului satisfac vreuna dintre aceste ecuații?” (Nu, căci el nu este situat pe nici una dintre cele două drepte.) „Dar coordonatele punctului ?” (El satisface prima ecuație, dar nu și pe cea de-a doua). Întrebare analoagă și răspuns analog cu privire la punctul . Se verifică de fiecare dată prin calcul răspunsul obținut pe cale grafică. Urmează: „Găsiți un punct din plan ale cărui coordonate satisfac ambele ecuații!”. După ce se stabilește că punctul M, în care se taie cele două drepte, se citește pe grafic soluția , se face verificarea rezolvând sistemul și se anunță propoziția corespunzătoare.
Este interesant să se arate elevilor că determinarea unui punct din plan cu ajutorul celor două coordonate revine tot la intersecția a două drepte.
Să menționăm în sfârșit că, dacă elevii s-au obișnuit cu limbajul din teoria mulțimilor, ei văd aici originea termenului intersecție. Fiind dat un sistem de ecuații, soluțiile primei ecuații formează o mulțime M, soluțiile ecuației a doua formează o mulțime , iar soluția sistemului este intersecția acestor mulțimi, . Mulțimii de soluții M îi corespunde o mulțime de puncte care formează o dreaptă D, iar mulțimii de soluții îi corespunde o mulțime de puncte care formează o dreaptă . Mulțimii S îi corespunde punctul de intersecție a celor două drepte.
Partea a III-a
Anexă
Anexa 1
Anexa 2
Planificare calendaristică clasa a VI-a
Algebrã – SEMESTRUL I
Algebrã – SEMESTRUL al II- lea
Geometrie– SEMESTRUL I
Geometrie– SEMESTRUL al II- lea
Anexa 3
Școala Gimnazială Finteușu Mic Clasa: a VII-a / 2 ore săpt.
Disciplina: Geometrie An școlar 2016-2017
Unitatea de învățare: Poligoane regulate Prof. Mureșan Smaranda
Nr. ore alocate: 6
Proiectul unității de învățare
Anexa 4
Proiect didactic
Clasa: a VI-a A
Unitatea de învățământ: Școala Gimnazială „Nichita Stănescu” Baia Mare
Profesor: Mureșan Smaranda
Disciplina: Matematică
Unitatea de învățare: Proprietățile triunghiurilor
Titlul lecției: Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi. Unghi exterior unui triunghi.
Tipul lecției: Lecție de dobândire de noi cunoștințe
Durata: 50 min
Competențe specifice:
CG1-7. Recunoașterea și descrierea elementelor unor proprietăți ale triunghiurilor în configurații geometrice date;
CG2-8. Calcularea unor măsuri de unghiuri utilizând metode adecvate;
CG6-8. Interpretarea informațiilor conținute în probleme legate de proprietăți ale triunghiurilor.
Obiective operaționale: La sfârșitul activității, elevii vor fi capabili:
O1 – să definească noțiunea de unghi exterior unui triunghi;
O2 – să utilizeze teorema privind suma măsurilor unghiurilor unui triunghi și teorema unghiului rxterior unui triunghi în rezolvări de probleme;;
O3 – să mânuiască corect instrumentele geometrice;
O4 – să reprezinte corect desenul confom cerinței problemei;
O5 – să interpreteze rezultatele obținute.
Strategii didactice:
Metode și procedee: conversația, explicația, exercițiul, problematizarea;
Forme de organizare: individual, frontal;
Mijloace de învățământ: culegere, fișe de lucru,
Resurse materiale: tablă, cretă, cretă colorată, burete, caiete, foi, trusă de geometrie.
Bibliografie:
Culegere matematică clasa a VI-a „Mate2000+ consolidare” – Ed. Paralela 45;
Matematică- jurnal de clasa a VI-a , V.Baicu, M. Muorar – Ed. Delfin 2015;
Matematică, clasa a VI-a, Șerban Smărăndoiu – Esențial, Ed. Clubul Matematicienilor.
Desfășurarea lecției
PROIECT DIDACTIC
Clasa: a VI-a A
Unitatea de învățământ: Școala Gimnazială „Nichita Stănescu” Baia Mare
Profesor: Mureșan Smaranda
Disciplina: Matematică
Unitatea de învățare: Rapoarte și proporții
Titlul lecției: Regula de trei simplă. Aplicații.
Tipul lecției: Lecție de consolidare
Durata: 50 min
Competențe specifice:
CG1-3. Identificarea rapoartelor, proporțiilor și a mărimilor direct și invers proporționale în enunțuri diverse;
CG3-3. Alegerea metodei adecvate de rezolvare a problemelor în care intervin rapoarte, proporții și mărimi direct sau invers proporționale;
CG4-3. Caracterizarea și descrierea mărimilor care apar în rezolvarea unor probleme prin regula de trei simplă;
Obiective operaționale: La sfârșitul activității, elevii vor fi capabili:
O1 – să definească regula de trei simplă;
O2 – să recunoască mărimile direct sau invers proporționale în probleme;
O3 – să utilizeze regula de trei simplă în rezolvare de probleme;
O4 – să interpreteze rezultatele obținute în probleme;
Strategii didactice:
Metode și procedee: conversația, explicația, exercițiul, problematizarea;
Forme de organizare: individual, frontal;
Mijloace de învățământ: culegere, fișe de lucru;
Resurse materiale: tablă, cretă, burete, caiete, foi.
Bibliografie:
Culegere matematică clasa a VI-a Clubul Matematicienilor, Șerban Smărăndoiu – Ed.Art Educațional;
Matematică- jurnal de clasa a VI-a, V.Baicu, M. Muorar – Ed. Delfin 2015;
Culegere matematică clasa a VI-a, Dan Zaharia – Ed. Paralela 45;
Desfășurarea lecției
Regula de trei simplă
– Fișă de lucru-
Din 15 kg de lămâi se obțin 9 l de suc. Din câte kilograme de lămâi se obțin 15 l de suc?
Din 15 m de stofă se confecționează 6 costume. Câți metri de stofă sunt necesari pentru a confecționa 19 costume?
Din 100 kg de porumb se obțin 75 kg de mălai. Câte kg de mălai se obțin din 940 kg de porumb?
3 robinete umplu un rezervor în 7 ore. În cât timp vor umple 14 robinete același rezervor?
6 muncitori termină o lucrare în 8 ore. În cât timp termină lucrarea 4 muncitori?
24 m de pânză costă 168 de lei. Cât costă 56 m de pânză de același fel?
Pentru 4 eșarfe se plătesc 84 de lei. Cât vor costa 6 eșarfe de același fel?
O roată face 100 de rotații în 4 minute. Câte rotații face roata în 6 minute?
3 tractoare ară o suprafață agricolă în 210 h. În cât timp ară aceeași suprafață 7 tractoare?
Pentru a realiza 50 de caiete s-au consumat 4 kg de hârtie. Câtă hârtie se va consuma pentru a realiza 80 de caiete de același fel?
Pentru a realiza o lucrare într-o singură zi, e nevoie de 12 muncitori. De câți muncitori este nevoie pentru a termina lucrarea în trei zile?
Din 12 kg de semințe se obțin 2,7 l de ulei. Din câte kilograme de semințe se obțin 8,1 l de ulei?
Din 10 m de material se pot confecționa 4 rochii și 2 bluze. Din câți metri de material se pot confecționa 200 de rochii și 100 de bluze?
Dacă 20 muncitori lucrând 7 ore/zi termină o lucrare în 22 zile, aflați câte are/zi trebuie să lucreze o echipă cu 14 muncitori pentru a termina acea lucrare în 55 zile.
Prin 36 robinete se scurg 84 hl apă în 12 ore. Câte robinete sunt necesare pentru a obține 77 hl de apă în 3 ore?
Anexa 5
Parcurgerea etapelor specifice metodei brainstorming:
1. Alegerea sarcinii de lucru. Problema este scrisă pe tablă.
În triunghiul ABC cu și , , se cunosc și Aflați: .
2. Solicitarea exprimării într-un mod cât mai rapid, a tuturor ideilor legate de rezolvarea problemei. Sub nici un motiv nu se vor admite referiri critice.
Vom cere elevilor să propună strategii de rezolvare a problemei. Pot apărea, de exemplu, sugestii legate de realizarea unei figuri cât mai corecte. Vom lăsa elevii să propună orice metodă le trece prin minte.
3. Înregistrarea tuturor ideilor în scris. Anunțarea unei pauze pentru așezarea ideilor.
Profesorul va nota la tablă toate propunerile elevilor. La sfârșitul orei, elevii vor transcrie toate ideile iar pe timpul pauzei vor mai reflecta asupra lor.
4. Reluarea ideilor emise pe rând și gruparea lor pe categorii, simboluri, cuvinte, cheie, etc.
Pentru problema analizată, cuvintele cheie ar putea fi: teoremele învățate la Relații metrice în triunghiul dreptunghic precum și funcțiile trigonometrice.
5. Analiza critică, evaluarea, argumentarea și contraargumentarea ideilor emise anterior.
Selectarea ideilor originale sau a celor mai apropiate de soluții favorabile pentru problema supusă atenției.
Profesorul va pune întrebări de tipul: Cine este BD, dar BC pentru triunghiul ABC? Cum putem afla cateta AB? Dar proiecția AB?
6. Afișarea ideilor rezultate în forme cât mai variate și originale: cuvinte, propoziții, colaje, imagini, desene, etc.
Ca urmare a discuțiilor avute cu elevii, trebuie să rezulte strategia de rezolvare a problemei.
Aceasta poate fi sintetizată sub forma unor indicații de rezolvare de tipul:
construim triunghiul dreptunghic
aplicăm teorema catetei, teorema înălțimii și teorema lui Pitagora.
aplicăm funcțiile trigonometrice sinus și cosinus.
Fișe de experți în cadrul metodei didactice „Mozaicul”
Secvență – Metoda Ciorchinelui
Algoritmizarea – în cadrul lecției „Ecuația de gradul al II-lea”
Pentru a aplica metoda algoritmizarea, elevii vor primi niște fișe de lucru care conțin câteva ecuații de gradul II, precum cele de mai jos:
;
;
.
Pentru a rezolva ecuațiile primite, elevii trebuie să parcurgă următorul algoritm, care constă de fapt în parcurgerea următorilor pași:
-să identifice necunoscuta x;
-să identifice coeficienții ecuației:;
-să calculeze discriminantul ecuației .
În funcție de valorile pe care le are , avem trei cazuri:
Dacă , ecuația nu admite soluție reală.
Dacă , ecuația are două soluții reale și egale.
Soluțiile se calculează prin formula: .
Dacă , ecuația admite două soluții reale distincte.
În acest caz soluțiile se calculează după formula: .
Exemplu de investigație la matematică
În cele ce urmează, detaliem un demers investigativ pentru studiul pătratelor perfecte la nivelul claselor a V-a – VI-a. Activitatea a avut ca pretext alcătuirea tuturor dreptunghiurilor posibile din mai multe pătrățele identice date, decupate din carton.
Elevii au observat că, folosind două, trei patru, respectiv cinci pătrățele, pot forma maxim două, două, trei respectiv două dreptunghiuri. În acest moment al activității, profesorul intervine, cerând elevilor să facă predicții în cazul utilizării a 6 pătrățele. În încercarea de a răspunde, elevii avansează ipoteze de lucru. De exemplu: Cu cât avem mai multe pătrățele, cu atât putem forma mai multe dreptunghiuri. În toate cazurile, obținem fie două, fie trei dreptunghiuri. Am obținut două, două, trei, urmează două, două.
În mod firesc, urmează faza testării ipotezelor: elevii construiesc dreptunghiuri folosind șase, apoi șapte pătrățele. Curiozitatea elevilor a fost trezită de faptul că nici una dintre ipotezele avansate nu s-a verificat. Ei s-au adresat profesorului cu întrebarea: care este regula?
În loc să dea o regulă generală, profesorul le-a cerut să formuleze noi ipoteze de lucru. Pentru a verifica aceste ipoteze, elevii s-au împărțit în grupe, fiecare grupă lucrând cu un număr diferit de pătrățele. În grupele de lucru, elevii colectează date, apoi organizează datele și decid care dintre acestea sunt relevante.
În final s-a obținut următoarea concluzie: Se obține un număr impar de dreptunghiuri doar pentru acele numere pentru care se obține și un pătrat. În acest mod, ei au dat sens unui enunț matematic care, astfel, nu este accesibil oricărui elev: Un număr natural are un număr impar de divizori dacă el este pătrat perfect.
Exemplu de proiect la matematică
Proiectul următor permite abordarea unității de învățare „ Funcții de forma: ” – clasa a VIII-a, într-o manieră coerentă și atractivă.
Titlul proiectului: Consumul casnic de energie electrică: ce tip de abonament este mai eficient?
Pași în derularea proiectului:
-familiarizare: investigarea ofertei de abonamente pentru consumul casnic de energie electrică (abonament uzual sau abonament social).
– structurare: obținerea de informații cu privire la facilitățile oferite de fiecare tip de abonament; înregistrarea consumului casnic pe o perioadă de timp și extrapolarea acestuia la o lună; modelarea situațiilor înregistrate prin intermediul funcțiilor afine; compararea graficelor unor astfel de funcții în scopul alegerii contractului optim.
– aplicare: identificarea modalităților de încadrare în consumul preconizat prin utilizarea conceptului de funcție afină .
Anexa 6
Lecția „Bisectoarea unui unghi” utilizând Programul Geonext
Lecția „Medianele triunghiului” utilizând Programul Geonext
Secvențe din cadrul video-urilor vizionate în cadrul orelor de matematică
Video cu măsurarea înclinației turnului din Pisa
Anexa 7
muncă diferențiată- pe grupe în cadrul lecției de recapitulare a capitolului
„Relații metrice în triunghiul dreptunghic”
FIȘǍ DE LUCRU
Relații metrice în triunghiul dreptunghic.
GRUPA I
1. Rezolvați triunghiul dreptunghic ABC știind că m(A) = 90, ADBC, m(B) = 30 și AD = 8 cm.
2. Un trapez isoscel ABCD are diagonal AC BC. Știind că baza mare AB= 24 cm și m, să se afle latura neparalelă BC.
FIȘǍ DE LUCRU
Relații metrice în triunghiul dreptunghic.
GRUPA II
1. În triunghiul ABC, m , AC = 8 cm, și AB = cm. Se cere să se calculeze înățimea AE BC, E (BC) și latura BC.
2. Un triunghi isoscel MNP are MN = MP = 18 cm ș m . Să se afle lungimea laturii NP și a înălțimii MD, D (NP).
FIȘǍ DE LUCRU
Relații metrice în triunghiul dreptunghic.
GRUPA III
1. În triunghiul dreptunghic ABC, m, AD BC, D (BC) se cunoaște
BD = 9cm și și m. Să se afle perimetrul triunghiului.
2. Trapezul dreptunghic ABCD are AB CD, AC BC, m și AD = 18cm.
Să se afle perimetrul trapezului.
Bibliografie
Brânzei D., Brânzei R., Metodica predării matematicii, Editura Paralela 45, Pitești, 2007.
Berinde V., Explorare, investigare și descoperire în matematică, Editura Efemeride, Baia Mare, 2001.
Bocoș Mușata, Didactica disciplinelor pedagogice, Editura Paralela 45, Pitești, 2008.
Bocoș Mușata, Management curricular, Editura Paralela 45, Pitești, 2013.
Cucoș C. Psihopedagogie pentru examenele de definitivare și grade didactice, Editura Polirom, 2009.
Fianu M., Matematică pentru clasa a 8 a, Grup Editorial Art, București, 2015.
Gheorghe A., Metodica predării matematicii în ciclul primar, Editura Sitech, Craiova, 2011.
Gugiuman Ana, Introducere în cercetarea pedagogică, Editura Tehnică, Chișinău, 1993.
Lupu C., Săvulescu D., Metodica predării geometriei, Editura Paralela 45, Pitești, 2000.
Mirică Ștefan, Manual matematică, Editura Aramis, București 2003.
Perianu M., Matematică pentru clasa a 7- a, Grup Editorial Art, București, 2015.
Pirău M., Prelegeri de didactică generală, Editura Universității de Nord, Baia Mare, 2010.
Popescu O., Radu V., Metodica predării geometriei în gimnaziu, Editura didactică și pedagogică, București, 1983.
Rus I. Varna D., Metodica predării matematicii, Editura didactică și pedagogică, București.
Rusu E., Opreanu E., Metodica predării matematicii, Editura didactică și pedagogică, București, 1965.
Rusu E. Metodica predării geometriei în școala generală, Editura Didactică și pedagogică, București, 1968.
Smărăndoiu Ștefan, Matematică pentru clasa a 6 -a, Grup Editorial Art, București, 2015.
Stănică C., Matematică pentru clasa a 5- a, Grup Editorial Art, București, 2
www.google.com
www.wikipedia.org
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Repere metodice privind studierea noțiunilor matematice în gimnaziu CUPRINS Partea I… [302798] (ID: 302798)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.