Relații metrice în triunghi dreptunghic.Teorema înălțimii. [309374]
CAPITOLUL I
TRIUNGHIURI
I.1. DEFINIȚIE ȘI NOTAȚII LA TRIUNGHI
Definiție I.1.1. Figura geometrică obținută prin reuniunea a trei segmente cu A, B, C [anonimizat].
[anonimizat]:
Laturile :
Vârfurile A, B, C
Unghiurile Figura 1.1
Pentru a nota laturile mai putem folosi literele mici a, b, c. Astfel latura care se opune unghiului se notează cu a; latura care se opune unghiului se notează cu b ; latura care se opune unghiului se notează cu c.
Deci AB=c; AC=b; BC=a
Interiorul triunghiului este format din punctele aflate în interiorul fiecărui unghi al triunghiului (porțiunea hașurată cu negru din figura 1.2).
Figura 1.2
Exteriorul triunghiului este format din punctele care nu se află nici în interior și nici pe laturile triunghiului (porțiunea hașurată cu roșu din figura 1.2).
Perimetrul unui triunghi este suma laturilor acelui triunghi și se notează cu
P = a + b + c
Semiperimetrul este o jumătate din perimetru și se notează cu
I.2. CLASIFICAREA TRIUNGHIURILOR
I.2.1.După laturi:
Triunghi scalen sau oarecare în care laturile au lungimi diferite:
Triunghiul isoscel care are doua laturi congruente:
Figura 1.3
[anonimizat] A,vârful triunghiului isoscel.( Denumirea lui A ca vârful triunghiului este improprie deoarece triunghiul are trei vârfuri și deci B si C sunt tot vârfuri.)
Triunghiul echilateral care are toate laturile congruente.
Figura1.4
I.2.2.După unghiuri:
Triunghiul ascuțitunghic cu toate
unghiurile ascuțite
Figura 1.5
Triunghiul obtuzunghic care are un unghi obtuz.
m( Figura 1.6
[anonimizat] 90 de grade
adica un unghi drept, m
Figura 1.7
[anonimizat].
[anonimizat].
[anonimizat].
Figura 1.8
I.3. [anonimizat], mediatoare și înălțime.
I.3.1.Mediana
DefinițieI.3.1.1. Mediana unește un vârf al triunghiului cu mijlocul laturii opuse.
Proprietăți I.3.1.2.
Orice triunghi are trei mediane.
Punctul lor de concurență se notează cu G și se numește centrul de greutate.
În orice triunghi G este un punct interior triunghiului.Figura1.9
Teoremă I.3.1.3 Medianele unui triunghi sunt concurente
Demonstrație Fie triunghiul ABC din figura 1.10 și punctele M și P mijloacele laturilor [BC] și respectiv [AB]. Fie D, G∈[AM] astfel încât [AD][DG][GM] și F∈[CG] astfel încât [CF] [FG] ca în figura 1.10. Trebuie să arătăm că punctele C, G, P sunt coliniare.
Figura 1.10
În ∆AGB, [DP] [anonimizat]=. (1)
[anonimizat] ∆CGB, [FM] [anonimizat]=. (2)
Din (1) și (2) rezultă că DP FM și DP=FM. (3)
Din (3) deducem că∢PDG∢FMG(alterne interne) și cum [DP][FM] și [DG][GM], obținem ∆DPG∆MFG (U.L.U.)⇒ ∢DGP∢MGF ceea ce sigură coliniaritatea punctelor C, G, P
Am demonstrat astfel că mediana din C trece prin punctul G. În mod asemănător, se poate arăta că și mediana din B trece prin punctul G.
Observație. Din teorema precedentă, reiese că centrul de greutate se află pe fiecare mediană la de bază și de vârf .
Astfel, putem scrie ===
sau ===
Figura 1.11
I.3.2. Mediatoarea
Definiție I.3.2.1. Locul geometric al punctelor egal depărtate de capetele unui segment se numește mediatoare.
Proprietăți I.3.2.2.(la segment):
Mediatoarea unui segment este perpendiculară pe segmentul față de care a fost construită și trece prin mijlocul acestuia.
Figura 1.12
Orice punct de pe mediatoare este egal depărtat de capetele segmentului.
Figura 1.13
Problema 1.1 : Pe mediatoarea laturii [BC]a triunghiului ABC se ia un punct M, interior triunghiului, astfel încât m( . Știind că m( este cu 730 mai mică decât m( și cu 400 mai mică decât m( , să se calculeze măsurile unfgiurilor triunghiului ABC.
Soluție: A
M
Figura 1.14
B C
M mediatoarei [BC] [BM] [MC] , deci BMC este isoscel cu
m( )= m( ). Dar m( , de unde rezultă că m( )= m( )= [1800 – m( : 2 , deci m( = 230.
Din ipoteza problemei avem m( = m( – 730
m( = m( – 400
m( = m( +330
Dar m( = 1800 – m( – m( de unde rezultă
m( = 1740 -2 m( .
Egalând cele două relații obținem m( = 700, m( = 300 , m( = 800.
Proprietăți I.3.2.3.(la triunghi):
Orice triunghi are trei mediatoare.Figura 1.15
Ele sunt concurente.
Punctul lor de concurență se notează cu O și reprezintă centrul cercului circumscris. Figura 1.16
4. Centrul cercului circumscris se află în:
interiorul triunghiului, dacă triunghiul este ascuțit-unghic
la mijlocul ipotenuzei, dacă triunghiul este dreptunghic
în exteriorul triunghiului, dacă triunghiul este obtuz-unghic
Figura 1.17
I.3.3.Înălțimea
Definiție I.3.3.1. Perpendiculara din vârful unui triunghi pe latura opusă, se numește înălțime.
Proprietăți I.3.3.2.
Orice triunghi are trei înălțimi.
Ele sunt concurente.
Punctul lor de concurență se notează cu H și se numește ortocentrul triunghiului.
Ortocentrul se află în:
interiorul triunghiului, dacă triunghiul este ascuțit-unghic
în vârful unghiului drept, dacă triunghiul este dreptunghic
în exteriorul triunghiului dacă triunghiul este obtuz-unghic
Figura 1.18
I.3.4.Bisectoarea
Definiție I.3.4.1. Semidreapta cu originea în vârful unghiului situată la egală distanță de laturile unghiului, se numește bisectoare.
Proprietăți I.3.4.2.(la unghi):
Bisectoarea împarte unghiul în două unghiuri mai mici congruente.
Figura 1.19
Orice punct de pe bisectoare se află situat la egală distanță de laturile unghiului.
Figura 1.20
Proprietăți I.3.4.3.(la triunghi):
Orice triunghi are trei bisectoare.
Figura 1.21
Ele sunt concurente.
Figura 1.22
Punctul lor de concurență se notează cu I și reprezintă centrul cercului înscris.
În orice triunghi centrul cercului înscris se află în interiorul triunghiului.
Pentru a determina raza cercului înscris se duce o perpendiculară din I pe una din laturi.
Figura 1.23
I.3.5.Linia Mijlocie
Definiție I.3.5.1.. Segmentul care unește mijloacele a două laturi ale unui triunghi se numește linie mijlocie.
Proprietăți I.3.5.2.
Unește mijloacele a două laturi ale unui triunghi.
Este paralelă cu cea de a treia latură a triunghiului.
Este jumătate din latura față de care este paralelă.
Orice triunghi are trei linii mijlocii.
Figura 1.24
I.4. CONGRUENȚA TRIUNGHIURILOR
Fie ABC și MNP două triunghiuri oarecare. Notația: ∆ABC ≡ ∆MNP se citește:”triunghiul ABC este congruent cu triunghiul MNP și înțelegem prin aceasta șase congruențe și anume:
[AB] ≡[MN], [BC] ≡ [NP], [CA] ≡[MP];
∢A ≡ ∢M, ∢B ≡ ∢N, ∢C ≡ ∢P.
Teoremele (cazurile) de congruență ale triunghiurilor dau condiții necesare și suficiente ca două triunghiuri să fie congruente.
Teoremă( cazul L.U.L): Dacă ABC și MNP sunt două triunghiuri pentru care au loc relațiile: [ AB] BC] atunci triunghiurile sunt congruente conform cazului latură-unghi-latură.
A M
B C N P Figura 1.25
Teoremă ( cazul U.L.U): Dacă triunghiurile ABC și MNP sunt două triunghiuri pentru care au loc relațiile: atunci triunghiurile sunt congruente conform cazului unghi-latură-unghi.
A M
B C N P
Figura 1.26
Teoremă ( cazul L.L.L): Dacă triunghiurile ABC și MNP sunt două triunghiuri pentru care au loc relațiile:[AB][MN];[BC][NP];[AC][MP]atunci triunghiurile sunt congruente conform cazului latră-latură-latură.
A M
B C N P Figura 1.27
Teoremă ( cazul L.U.U): Dacă triunghiurile ABC și MNP sunt două triunghiuri pentru care au loc relațiile:atunci triunghiurile sunt congruente conform cazului latură-unghi-unghi.
Problema 1.2: Pe laturile (AB) și (AC) ale triunghiului echilateral ABC se consideră punctele M, respectiv N, astfel încât AB = 3 AN și BM = AC. Fie Q punctul de intersecție a dreptelor BN și CM.
a) Demonstați că MN AC;
b) Calculați măsura unghiului BQC.
Soluție:
Figura 1.28
a) Din relațiile AB = 3 AN și BM = AC rezultă că AM = AB, adică AM = 2 AN și cum m( ) = 600⇒∆MAN – dreptunghic ⇒ MN AC.
b) În ∆ABN și ∆BMC cunoaștem:
[AN][BM] (din ipoteză);
A∢B(din ipoteză) ⇒Conform cazului (L.U.L) ∆ABN≡∆BMC
[AB][BC] (ipoteză). ⇒∢ABN ∢MCB ∢ANB ∢BMC
∢BQC este unghi exterior triunghiului MQB ⇒ m( ) = m( ) + m( )
m( ) = m( ) + m(
= 1800 – m( = 1800 – 600 = 1200 .
Problema 1.3: Fie E un punct pe latura ( AB) a pătratului ABCD. Perpendiculara în C pe CE intersectează dreapta AD în F, iar bisectoarea unghiului ECF intersectează dreapta AB în M. Demonstrați că :
a) ( MC este bisectoarea BMF;
b) MFC și BEC sunt unghiuri suplementare.
Soluție:
Figura1.29
a) Din CE CF și ( CM bisectoarea ECF m( ) = m( )= 450
Dar m( ) = 90 0 – m( ) și m( ) = 90 0 – m( ) ∢BCE ∢DCF
Alegem triunghiurile dreptunghice EBC și DCE ∆EBC ≡ ∆DCE
Dar în ∆EMC ≡ ∆FMC ∢EMC ∢CMF ( MC este bisectoarea unghiului ∢EMF.
b) Din congruența ∆EMC ≡ ∆FMC mai rezultă că ∢MFC ∢MEC și cum m( ) + m( ) = 1800 MFC și BEC sunt unghiuri suplementare.
I.5. PROPRIETĂȚILE TRIUNGHIULUI ISOSCEL
Definiție I.5.1. Triunghiul isoscel este triunghiul cu două laturi congruente.
Teoremă I.5.2. Dacă un triunghi este isoscel, atunci unghiurile opuse laturilor congruente sunt congruente.
Scriem teorema sub formă de ipoteză, concluzie și demonstrație, astfel:
Ipoteză: ∆ABC, [AB][AC]. A
Concluzie:∢B∢C
B D C Figura 1.30
Demonstrație:
Construim în triunghiul isoscel ABC figura 1.30, bisectoarea [AD a unghiului A,unde D∈(BC). Prin construcția făcută resultă că D∈(BC) și BAD∢CAD.
Vom folosi metoda triunghiurilor congruente.
[AB][AC] (din ipoteză);
BAD∢CAD(din construcție); ⇒Conform cazului (L.U.L) ∆ADB≡∆ADC
[AD][AD] (latură comună). ⇒∢B ∢C
Teorema 1.5.3.(Reciproca teoremei 1.5.2.) Dacă un triunghi are două unghiuri congruente, atunci laturile opuse unghiurilor congruente sunt congruente, adică triunghiul este isoscel.
Ipoteză: ∢ABC ∢ACB. Concluzie: [AC] [AB].
Demonstrație:
∢ABC ∢ACB (ipoteză)
[BC] [CB] (latură comună) ⇒ conform cazului (U.L.U) că∆ABC∆ACB
∢ACB ∢ABC (ipoteză) ⇒[AC][AB]
Teorema 1.5.4. Dacă un triunghi este isoscel și se consideră bisectoarea unghiului de la vârf, atunci această bisectoare este și înălțimea corespunzătoare bazei.
Folosind triunghiul isoscel din figura 1.30, ipoteza și concluzia acestei teoreme se scriu:
Ipoteza: ∆ABC, [AB] [AC], Concluzia:AD⊥BC.
D∈ (BC), BAD∢CAD .
Demonstrația:
Am arătat că triunghiurile ADC și ADB sunt congruente ⇒∢ADC ∢ ADB. Cum cele două unghiuri congruente sunt în același timp adiacente și suplementare⇒ m(∢ADC)=m(∢ ADB)= 90°⇒ AD⊥BC
Teorema 1.5.5. Dacă un triunghi este isoscel, atunci bisectoarea unghiului de la vârf include și mediana corespunzătoare bazei.
Folosind triunghiul isoscel din figura 1.30, ipoteza și concluzia acestei teoreme pot fi scrise:
Ipoteza: ∆ABC, [AB] [AC], Concluzia:[BD][CD].
D∈ (BC), BAD∢CAD .
Demonstrația:
Am arătat că triunghiurile ADC și ADB sunt congruente ⇒[BD][CD].
Teorema 1.5.6. Dacă un triunghi este isoscel, atunci bisectoarea unghiului de la vârf este inclusă în mediatoarea bazei.
Folosind triunghiul isoscel din figura 1.30, ipoteza și concluzia acestei teoreme se scriu:
Ipoteza: ∆ABC, [AB] [AC], Concluzia:[BD][CD]
D∈ (BC), BAD∢CAD . AD⊥BC.
Demonstrația a fost făcută!
Teorema 1.5.7. (Reciproca Teoremei 1.5.5.) Dacă un triunghi este isoscel, atunci mediana corespunzătoare bazei este și bisectoarea unghiului de la vârf.
Folosind triunghiul isoscel din figura 1.30, ipoteza și concluzia acestei teoreme se scriu astfel:
Ipoteza: ∆ABC, [AB] [AC], Concluzia:BAD∢CAD .
D∈ (BC), [BD] [DC].
Demonstrația:
[AB] [AC] (din ipoteză)
[BD][DC] (din ipoteză) ⇒conform cazului(L.L.L) ∆ABD∆ACD⇒ [AD] [AD] (latură comună) ⇒ BAD∢CAD
Teorema 1.5.8. Dacă un triunghi este isoscel, atunci mediana corespunzătoare bazei lui este și înălțimea corespunzătoare bazei triunghiului.
Folosind triunghiul isoscel din figura 1.30, ipoteza și concluzia acestei teoreme se scriu astfel:
Ipoteza: ∆ABC, [AB] [AC], Concluzia: AD⊥BC.
D∈ (BC), [BD] [DC].
Demonstrația:
[AB] [AC] (din ipoteză)
[BD][DC] (din ipoteză) ⇒conform cazului (L.L.L) ∆ABD ∆ACD⇒ [AD] [AD] (latură comună)
⇒∢ADC∢ADB.Cum aceste unghiuri congruente sunt în același timp adiacente și suplementare⇒m(∢ADC)=m(∢ ADB)= 90°⇒ AD⊥BC
Teorema 1.5.9. (Reciproca Teoremei 1.5.4.) Dacă un triunghi este isoscel, atunci înălțimea corespunzătoare bazei lui este și bisectoarea unghiului de la vârf.
Folosind triunghiul isoscel din figura 1.30, ipoteza și concluzia acestei teoreme se scriu astfel:
Ipoteza: ∆ABC, [AB] [AC], Concluzia: BAD∢CAD.
D∈ (BC), AD⊥BC.
Demonstrația:
AD⊥BC⇒ m(∢ADC)=m(∢ ADB)= 90°⇒∆ABD și ∆ACD dreptunghice cu
[AD] [AD] (latură comună) și [AB] [AC] (din ipoteză) rezultă conform cazului (C.C) că ∆ABD ∆ACD ⇒BAD∢CAD
Problema 1.4: În exteriorul triunghiului ABC construim triunghiurile isoscele AFB (AF = BF) și AEC (AE = CE). Înălțimea din F a triunghiului AFB și înălțimea din E a triunghiului AEC se întâlnesc în I. Demonstrați că .
Soluție:
Figura 1.31
Din ∆FAB – triunghi isoscel și FM AB, M (AB) ⇒ FM este înălțime, mediană, mediatoarea (AB);
Din ∆AEC – triunghi isoscel și EN AC, N (AC) ⇒ EN este înălțime, mediană, mediatoarea (AC);
Dar FM EN = ⇒ I este intersecția mediatoarelor ∆ABC, deci .
Problema 1.5: Fie ABC un triunghi isoscel cu și m(∢ BAC)= 72°. Pe latura AB se iau punctele D și E, astfel încât ACD∢DCE∢ECB, iar F (BC) astfel încât EF este bisectoarea unghiului BEC.
a) Arătați că ∆AFB∆CFE;
b) Demonstrați că AF CE.
Soluție:
Figura 1.32
a) ABC un triunghi isoscel , m(∢ BAC)= 72° m(∢ ACB)= m(∢ ABC)= 54°
Din ACD∢DCE∢ECB m(∢ ECB)= 18°. În triunghiul BEC, m(∢ BEC)= 108°.
Dar (EF este bisectoarea ∢ BEC m(∢ CEF)= m(∢ FEB)= 54°, deci ∆BEF este isoscel cu
În triunghiul AEC, m(∢ CEA)= m(∢ CAE)=72°, deci ∆CAE este isoscel cu dar , deci .
Alegem triunghiurile AFB și CFE ∆AFB∆CFE.
b) Din faptul că ∆AFB∆CFE BAF∢ECB, adică m(∢ BAF)= 18°. Fie AF CE = , în triunghiul AEH, m(∢ AHE)= 90° AF CE.
Problema 1.6: Pe latura AC a triunghiului ABC ascuțitunghic se consideră P, Q (AC) astfel încât (AQ) (CP). Dacă P aparține mediatoarei segmentului (BC) și Q aparține mediatoarei segmentului (AB), să se demonstreze că :
a) ∆ BPQ este isoscel;
b) ∆ ABC este isoscel;
c) m( )= 200 dacă și numai dacă m( )= 500.
Soluție :
Figura 1.33
a)Cum P aparține mediatoarei (BC)
Cum Q aparține mediatoarei (AB) și rezultă că , adică ∆ BPQ este isoscel.
b) Alegem ∆ ABP ∆ BQC ∆ ABC este isoscel;
c) ” ” Dacă m( )= 200 , atunci m( )= = 800
Dar ∆ PBC este isoscel și m( )= = 500 m( )= m( )=500.
”” m( )=500
∆ ABC este isoscel m( )=500 și cum ∆ CPB este isoscel rezultă că
m( )=800. Dar și ∆ PBQ este isoscel m( )=200.
I.6 PROPIETĂȚILE TRIUNGHIULUI ECHILATERAL
Definiție I.6.1.Triunghiul care are cele trei laturi congruente se numește echilateral.
[AB][AC][BC] echilateral
Observații:
Triunghiul echilateral este de trei ori isocel, deci toate proprietățile triunghiului isoscel pot fi enunțate referitor la oricare din vârfurile triunghiului echilateral;
Liniile importante duse din același vârf sunt identice, deci înt-un triunghi echilateral sunt numai trei linii importante.
Problema 1.7: Arătați că dacă într-un triunghi fiecare latură este media aritmetică a celorlalte două atunci triunghiul este echilateral.
Soluție: Pentru simplitate vom nota laturile cu a, b, c. Conform ipotezei problemei avem relațiile: 2a = b+c; 2b= a+c; 2c= a+b. Scăzând primele două relații și ultimele două obținem: 2( a-b) = b-a și 2( b-c) = c-b. Mutând termenii într-o parte vom afla că a=b și b=c, de unde rezultă ca a=b=c adica triunghiul este echilateral.
Teorema 1.6.2. Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente, având măsurile egale cu 60°.
Demonstrație Fie ABC din figura 1.34, un triunghi echilateral ([AB] ≡ [BC] ≡ [CA]). Din [AB] ≡ [BC] rezultă din teorema 1.6.1.2 a triunghiului isoscel, că: ∢A≡∢C. Din [BC]≡[CA]⇒∢A≡∢B. Conform proprietății de tranzitivitate a relației de congruență
A
B C Figura 1.34
rezultă: ∢C≡∢A≡∢B și cum m(∢A) + m(∢B) + m(∢C) = 180°⇒ m(∢A)=m(∢B)= =m(∢C) = 60°
Teorema reciprocă 1.6.3. Dacă într-un triunghi unghiurile sunt congruente, atunci triunghiul este echilateral.
Demonstrația Fie ABC un triunghi în care ∢C≡∢A≡∢B. Din ∢A ≡ ∢B conform teoremei 1.5.3 a triunghiului isoscel, rezultă că: [BC] ≡ [CA] (1). Din ∢B ≡ ∢C, conform aceleiași teoreme, rezultă că: [CA] ≡ [AB] (2). Conform proprietății de tranzitivitate a relației de congruență, din congruențele (1) și (2) rezultă: [AB] ≡ [BC] ≡ [CA]
Teorema 1.6.4. Într-un triunghi echilateral, toate liniile importante ce pornesc din același vârf coincid.
Demonstrație Fie triunghiul echilateral ABC din figura 1.32, pe care-l considerăm isoscel, astfel: [AB] ≡ [AC].
Construim în triunghiul isoscel ABC din figura 1.35, bisectoarea [AD a unghiului A. D∈(BC). Prin construcția avem că D∈(BC) și BAD∢CAD.
În continuare vom folosi metoda triunghiurilor congruente.
[AB][AC] (din ipoteză);
BAD∢CAD(din construcție); ⇒Conform cazului (L.U.L) ∆ADB≡∆ADC
[AD][AD] (latură comună). ⇒ [BD] ≡ [DC] (1) deci [AD] este mediană și mai rezultă că ∢ADC ∢ADB. Cum aceste unghiuri congruente sunt și adiacente și suplementare⇒m(∢ADC)=m(∢ ADB)= 90°⇒ AD⊥BC (2) și din relațiile (1) și (2) rezultă că AD este și mediatoarea corespunzătoare laturii BC.
A
B D C
Figura 1.35
Apoi, considerăm triunghiul ca fiind isoscel astfel: [BA] ≡ [BC] și deducem la fel și apoi, considerând triunghiul ca fiind isoscel astfel: [BC] ≡ [AC] se deduce la fel ca mai sus. În acest fel teorema este demonstrată.
Problem 1.8 : Fie triunghiul ABC având lungimile laturilor a, b, respective c. Arătați că triunghiul ABC este echilateral dacă și numai dacă a3 + b3 + c3 = 3 .
Soluție: ” ∆ABC – echilateral a = b = c a3 + b3 + c3 = 3 a3= 3 .
”” a3 + b3 + c3 = 3 a3 + b3 + c3 – 3 = 0 ( a + b + c) =0, a, b, c
Cum a, b, c sunt lungimile laturilor unui triunghi, rezultă că a + b + c , deci =0 a – b = a – c = b – c =0 a = b = c ∆ABC – echilateral.
I.7. SUMA MĂSURILOR UNGHIURILOR ÎNTR-UN TRIUNGHI
Teorema 1.7.1. Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este de 180°.
Demonstrație Fie triunghiul oarecare ABC, în care construim o paralelă DE la latura opusă lui, de exemplu prin vârful A ca în figura 1.36.
D A E
B C
Figura 1.36
Observăm că ∢B ∢BAD (alterne interne formate de dreptele paralele DE și BC cu secanta AB). Tot astfel, ∢C ∢CAE (alterne interne formate de dreptele paralele cu secanta AC).
Vom putea deci scrie: m(∢A)+m(∢B)+m(∢C)=m(∢BAC)+m(∢BAD)+
+m(∢CAE). Constatăm că suma acestor trei unghiuri adiacente două câte două cu vârful în A este unghiul alungit DAE, a cărui măsură este de 180°.
Deci: m(∢A)+m(∢B)+m(∢C)= 180°
Consecința 1.7.2. Într-un triunghi echilateral măsura fiecărui unghi este de 60°.
Consecința 1.7.3. Într-un triunghi dreptunghic ABC (m(∢A)=90°), unghiurile B și C sunt complementare și ambele sunt unghiuri ascuțite. Unghiurile ascuțite ale unui triunghi dreptunghic isoscel au măsura de 45°.
Consecința 1.7.4. Într-un triunghi isoscel, unghiurile de la bază sunt ascuțite.
Consecința 1.7.5. Un triunghi isoscel, în care măsura unuia dintre unghiuri este de 60°, este triunghi echilateral.
Definiția 1.7.6. Unghiul care este adiacent și suplementar cu un unghi al unui triunghi se numește unghi exterior acelui triunghi.
De exemplu, în triunghiul ABC din figura 1.37, unghiul ACD este un unghi exterior al triunghiului ABC, fiind adiacent și suplementar cu unghiul ACB al triunghiului. Cum în fiecare vârf al triunghiului se pot determina câte două unghiuri exterioare, rezultă că un triunghi are în total șase unghiuri exterioare.
A
B C D
Figura 1.37
Teorema 1.7.7. Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente cu el.
Demonstrație Fie ABC un triunghi și ∢ACD exterior lui ca in figura 1.37.
m(∢ACD)+m(∢ACB)= 180°⇒m(∢ACD)= 180°-m(∢ACB).
m(∢BAC)+m(∢ABC)+m(∢ACB)=180°⇒m(∢BAC)+m(∢ABC)=180°-m(∢ACB), deci: m(∢ACD)= m(∢BAC)+m(∢ABC)
Definiția 1.7.8. Bisectoarea unui unghi exterior al unui triunghi se numește bisectoare exterioară a triunghiului corespunzătoare unghiului respectiv.
Teorema 1.7.9. Bisectoarea interioară și bisectoarea exterioară duse din același vârf al unui triunghi sunt perpendiculare.
Demonstrație Fie ABC un triunghi oarecare, [BE bisectoarea unghiului ABC și [BF bisectoarea unghiului ABD ca în figura 1.38.
F A
E
D
B C
Figura 1.38
m(∢ABE) = ∙ m(∢ABC) (1).
m(∢ABF) = ∙ m(∢ABD) (2).
Unghiurile ABC și ABD sunt adiacente și suplementare, deci:
m(∢ABC) + m(∢ABD) = 180° (3).
Dar și unghiurile ABE și ABF sunt adiacente. Putem scrie:
m(∢EBF) = m(∢ABE) + m(∢ABF) (4).
Ținând seama de relațiile (1) și (2), relația (4) devine:
m(∢EBF)= ∙ m(∢ABC) + ∙ m(∢ABD) sau m(∢EBF)= ∙[ m(∢ABC) + m(∢ABD)], care, pe baza relației (3), devine:
m(∢EBF)= ∙ 180°.
Deci m(∢EBF)= 90° sau BE⊥BF
Problema 1.9: Găsiți un triunghi ABC astfel încât măsurile unghiurilor sale să fie proporționale cu trei numere consecutive. Pentru acest triunghi găsiți măsura unghiului AIC, unde I este intersecția bisectoarelor unghiurilor triunghiului.
Soluție: Din proporționalitatea unghiurilor A, B,C cu trei numere consecutive rezultă . De aici vom găsi m(= 600.
Deoarece (AI și (CI sunt bisectoarele unghiurilor A și C m( = 1800- (.
m( = 1800- ( m( = 1200.
I.8. ARIA TRIUNGHIULUI
Definiție I.8.1. Aria unui triunghi este egală cu produsul dintre lungimea unei laturi (numită bază) și jumătate din lungimea înălțimii corespunzătoare laturii.
Figura 1.39
=
Lemă I.8.2. Înt-un triunghi, produsul dintre lungimea unei laturi și lungimea înăltimii corespunzătoare ei este aceeași pentru toate cele trei laturi.
Figura 1.40
BC AD = AC BF = AB CE
Observații:
Aria unui triunghi se poate calcula cu ajutorul lungimilor a două laturi și a sinusului unghiului cuprins între ele :
= b c
Dacă se cunosc lungimile tuturor laturilor unui triunghi (AB = c, BC = a, AC = b), atunci aria triunghiului se poate exprima prin formula:
= , unde p= ( a+b+c) cunoscută sub numele de formula lui Heron ( sec.I î.e.n.)- ea ne-a fost transmisă prin lucrările acestuia, dându-i o altă demonstrație, dar descoperitorul ei este Arhimede care a publicat-o în lucrarea “ Kyklu metrisis”. Acest lucru a fost semnalat de M. Abdul-Vafa și M. Al- Biruni (sec.X), ceea ce a fost cunoscut pentru prima oară in anul 1910.
Forma actuală a cestei formule a fost dată de I. Newton în „Arithmetica universalis” (1707);
Dacă r este raza cercului înscris în triunghi , aria triunghiului este dată de = rp
Dacă R este raza cercului circumscris în triunghi, aria triunghiului este data de formula = ;
Aria triunghiului echilateral cu latura l este = ;
Aria unui triunghi dreptunghic cu m(= 900, este egală cu = = , unde AD BC, D ( BC) , deci AD = .
Teorema I.8.3. Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este egal cu pătratul raportului de asemănare: 2, .
Problema 1.10: Fie A un punct pe mediatoarea segmentului BC astfel ca 2 AM BC (M fiind mijlocul lui BC). Să se arate că dacă D este punctul de intersecție al cercului circumscris triunghiului ABM cu segmental AC, atunci
Soluție:
Figura 1.41
Cercul circumscris intersectează AC în D înscris în semicerc , deci este dreptunghic și BD AC.
= .
Cum AM este mediatoarea [ BC] [ AB] [ AC]
Problema 1.11: În triunghiul ABC, O este punctul de intersecție al bisectoarelor unghiurilor B și C. Prin O se duc MN BC , OP AB, OQ AC ( M AB, N AC, P BC, Q BC). Dacă AB = 20 cm, AC = 24 cm și BC = 26 cm, să se afle perimetrul triunghiului AMN și perimetrul triunghiuluio OPQ.
Soluție:
Figura 1.42
Cum MO BC MOPB este paralelogram, dar [ BO este bisectoarea ,
OP AB rezultă că MOPB este romb.
Cum ON BC NCQO este paralelogram, dar [ CO este bisectoarea ,
OQ AC rezultă că NCQO este romb.
O fiind punctul de intersecție al bisectoarelor , rezultă că O este centrul cercului înscris în triunghi, deci d( O, AC) = d( O, BC) = d( O, AB) = r
Aplicând formula lui Heron în triunghiul ABC , aflăm că aria acestuia este 15 cm2. Dar, tot aria triunghiului ABC este egală cu suma ariilor triunghiurilor AOB, AOC și BOC. Egalând cele două arii obținem raza cercului înscris în triunghi r = .
Tot cu ajutorul ariei triunghiului se află înălțimea triunghiului ABC ca fiind egală cu
h= cm și apoi h= cm.
Deoarece MN BC și atunci
De unde aflăm că P = 44 cm.
Folosind asemănarea acelorași triunghiuri rezultă că și aria
= , iar MN = cm.
Tot din asemănarea triunghiurilor AMN și ABC aflăm lungimile segmentelor OQ, OP și PQ, iar P= 26 cm.
Problema 1.12: În triunghiul ABC avem AB = 20 cm și lungimile medianelor AA’ respectiv BB’ sunt 24 cm respectiv 18 cm. Să se calculeze aria triunghiului ABC.
Soluție:
Figura 1.43
Fie BC= a , AB = c și AC = b.
Folosind formula medianei duse din A și din B
ma = și mb = obținem sistemul
a= 8 cm și b= 4cm.
Pentru aflarea ariei triunghiului , vom folosi formula lui Heron
= și obținem ABC= 288 cm2.
CAPITOLUL II
TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC
II.1. Definiție.Cazuri de congruență
II.1.1. Definiție: Un triunghi care are un unghi drept se numește triunghi dreptunghic.Laturile care formează unghiul drept se numesc catete, iar latura opusă unghiului drept se numește ipotenuză.
Figura 2.1
II.1.2.Cazurile de congruență a triunghiurilor dreptunghice
Cazul C.C. (catetă-catetă): Dacă două triunghiuri dreptunghice au catetele respectiv congruente, atunci ele sunt congruente.
Dacă triunghiurile ABC și MNP dreptunghice cu m(∢A)= m(∢M)= 90° din figura 2.2 au [AB] ≡[MN] și [AC] ≡[MP] atunci ∆ABC ≡ ∆MNP.
Figura 2.2
Cazul C.U. (catetă- unghi): Dacă două triunghiuri dreptunghice au câte o catetă și un unghi ascuțit respectiv congruente, atunci ele sunt congruente.
Dacă triunghiurile ABC și DEF dreptunghice cu m(∢A)= m(∢D)= 90° din figura 2.3 au [AB] ≡[DE] și ∢B ≡ ∢E atunci ∆ABC ≡ ∆DEF.
C F
A B D E Figura 2.3
Cazul I.U. (ipotenuză- unghi): Dacă două triunghiuri dreptunghice au ipotenuza și câte un unghi ascuțit respectiv congruente, atunci ele sunt congruente.
Dacă triunghiurile ABC și DEF dreptunghice cu m(∢A)= m(∢D)= 90° din figura 2.4 au [BC] ≡[EF] și ∢B ≡ ∢E atunci ∆ABC ≡ ∆DEF.
C F
A B D E
Figura 2.4
Cazul I.C. (ipotenuză, catetă): Dacă două triunghiuri dreptunghice au ipotenuza și o catetă respectiv congruente, atunci ele sunt congruente.
Dacă triunghiurile ABC și DEF dreptunghice cu m(∢A)= m(∢D)= 90° din figura 2.5 au [BC] ≡[EF] și [AB] ≡ [DE] atunci ∆ABC ≡ ∆DEF.
C F
A B D E
Figura 2.5
Observație: Dacă două triunghiuri dreptunghice sunt congruente, atunci unghiurile lor sunt respectiv congruente și laturile lor sunt respectiv congruente.
Dacă ∆ABC ≡ ∆DEF, atunci avem relațiile: ∢A ≡ ∢D, ∢B ≡ ∢E, ∢C ≡ ∢F; [AB] ≡ [DE], [BC] ≡ [EF], [AC] ≡ [DF].
Problem 2.1: Se consideră dreptunghiul ABCD și se notează cu M mijlocul laturii CD. Pe laturile AD și BC se iau punctele E și F, astfel încât . Fie MF = și ME= . Demonstrați că:
. b) HMG este isoscel c) .
Soluție:
Figura 2.6
Deoarece ABCD este dreptunghi, M este mijlocul lui DC și , rezultă că . Triunghiurile DME CMF conform cazului C.C și deci ,
Din construcția triunghiurilor AHE și BGF rezultă că acestea sunt dreptunghice și conform cazului C.U. avem AHE BGF HMG- este isoscel.
Dacă alegem triunghiurile EAG FBH rezultă conform cazului C.C că ele sunt congruente , de unde concluzia .
Problem2.2: Segmentele congruente AC și BD sunt perpendiculare și AC BD = . Se știe că și se notează cu M, respectiv N, mijloacele segmentelor AB, respectiv CD. Dacă OE, ( punctul E se află pe BC) și OF ( punctul F se află pe AD) sunt înălțimile triunghiurilor BOC și AOD, demonstrați că:
b) c) punctele M-O-N sunt coliniare
Soluție:
Figura 2.7
Din și reultă că . Cum BD AC rezultă conform cazului C.C că BOC AOD și implicit , Alegând triunghiurile BOE și AOF se observă că și acestea sunt triunghiuri dreptunghice și conform cazului I.U. avem BOE AOF și în concluzie .
Pentru triunghiurile BCN( sumă de unghiuri congruente)
ADN
Conform cazului L.U.L. rezultă că BCN ADN și .
DOC – dreptunghic- isoscel m( )= 450
AOB – dreptunghic- isoscel m( )= 450, deci
( alterne-interne) AB DC (1). Mai mult, ADCB devine trapez isoscel ortodiagonal.
DOC – dreptunghic- isoscel
N- mijlocul lui DC ON DC (2)
AOB – dreptunghic- isoscel
M – mijlocul lui AB OM AB (3)
Din (1), (2) și (3) rezultă că M-O-N sunt coliniare.
Problema 2.3: Fie O mijlocul segmentului și d o dreaptă care conține punctul O și intersectează perpendicularele în A și B pe dreapta AB în C, respectiv D. Dacă CE d, E AB, DF d, F AB, demonstrați că ACE BDF.
Soluție:
Figura 2.8
Triunghiurile ACO și BDO sunt dreptunghice și conform cazului C.U ele sunt congruente ACO BDO, de unde rezultă că , .
Cum CE d și DF d,rezultă că triunghiurileOCE șiODF sunt dreptunghice și conform cazului C.U avem OCE ODF .
Din (1) și (2) rezultă conform cazului C.I. că ACE BDF.
Problema 2.4: Triunghiul ABC este isoscel (AB) (AC), iar perpendicularele în B și C pe AB, respectiv AC se intersectează în D. Fie E (BD astfel încât ( DE) (BD) și F punctul în care perpendiculara în E pe BE intersectează dreapta AC. Demonstrați că (CF) ( EF).
Soluție:
Figura 2.9
Cum ABC este isoscel și AB BD, AC DC și (CD) ( BD). Dar cum ( BD) (DE) rezultă că (DC) ( DE).
Unind pe D cu F se obțin două triunghiuri dreptunghice DCF și DEF care sunt și congruente conform cazului I.C., deci DCF DEF ( CF) ( FE).
II.2. Proprietățile triunghiului dreptunghic
Definiția II.2.1. Un triunghi dreptunghic cu catetele congruente se numește triunghi dreptunghic isoscel.
Teorema II.2.2. Unghiurile ascuțite ale unui triunghi dreptunghic isoscel au măsura de 450 fiecare.
Ipoteză: ∆ABC dreptunghic, m(∢A)= 90°,
[AB] ≡ [AC].
Concluzie: m( ABC) = m( ACB)= 450
Demonstrație: Cum suma măsurilor unghiurilor triunghiului ABC este 1800 și
m(∢A)= 90°, rezulta că m( ABC) + m( ACB)= 900. Triunghiul ABC fiind isoscel cu ABC= ACB m( ABC) = m( ACB)= 450
Teorema II.2.3. Într-un triunghi dreptunghic, lungimea medianei corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din lungimea ipotenuzei.
Ipoteză: ∆ABC dreptunghic, m(∢A)= 90°,
[CO] ≡ [OB], O ∈ (BC), [AO] –mediană.
Concluzie: AO = .
Demonstrație: Notăm cu M mijlocul ipotenuzei [BC] a triunghiului ABC din figura 2.10.
Figura 2.10
Prelungim segmentul AM cu un segment MD astfel incât [MD] ≡ [AM].
[MD] ≡ [AM] (prin construcție)
m(∢AMB)=m(∢CMD) ⇒ ∆AMB ≡ ∆CMD ⇒ [AB] ≡ [CD]
[BM] ≡ [CM] (din ipoteză) și ∢MAB ≡ ∢MDC
Cum ∢AMB ≡ ∢MDC (alterne interne), rezultă CD AB. Dar AB⊥AC ⇒ CD⊥AC.
[AC] ≡ [AC] (latură comună) și [AB] ≡ [CD] (am demonstrat) rezultă conform cazului C.C că ∆ABC ≡ ∆CDA ⇒ [AD]≡ [BC] și cum AM= ⇒ AM =
Teorema II.2.3. Dacă mediana unui triunghi are lungimea egală cu jumătate din lungimea laturii corespunzătoare, atunci triunghiul este dreptunghic și are ca ipotenuză latura corespunzătoare medianei.
Ipoteză: ∆ABC, AM- mediană; AM= BC
Concluzie: m(∢A)= 90°.
Demonstrație:
Figura 2.11
Din ipoteză rezultă că (AM) (MB) ( MC). Deci, ∆AMB și ∆AMC sunt triunghiuri isoscele cu ∢MAB ≡ ∢MBA și ∢MAC ≡ ∢MCA.
m( ∢BAC)= m(∢MAB)+ m( ∢MAC)= m(∢MBA)+ m( ∢MCA).
Din m(∢A)+ m(∢B)+ m(∢C)= 1800 rezultă 2 m(∢A)= 1800 , adică m(∢A)= 900
Teorema II.2.4. Dacă într-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi este de 30°, atunci lungimea catetei opuse acestuia este jumătate din lungimea ipotenuzei.
Ipoteză: ∆ABC dreptunghic, m(∢A)= 90°, m(∢B)= 30°.
Concluzie: AC = .
Demonstrație: Fie triunghiul dreptunghic ABC din figura 2.12, cu m(∢A)= 90°, în care m( ∢C)= 300.
Fie D simetricul lui B față de AC.Prin urmare AD = . Din (AB)≡( AD) și (AC) ≡(AC)⇒∆CAB≡∆CAD conform cazului (C.C). Vom avea m(∢DCB)=60° și m(∢CBD)= m(∢CDB)=600⇒ ∆CBD echilateral ⇒ [BC] ≡ [DB] ⇒ AB=
Teorema II.2.5. Dacă o catetă a unui triunghi dreptunghic are lungimea egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei, atunci unghiul ce se opune catetei are măsura de 300.
Ipoteză: ∆ABC, m(∢A)= 90°; AB= BC
Concluzie: m(∢C)= 30°.
Demonstrație: Fie ∆ABC cu m (∢BAC)= 900 și AB = BC . Ca în teorema precedentă, construim simetricul D al lui B față de dreapta AC. (Vezi figura 2.12.) Avem BD=2AB = BC. În plus, triunghiul CBD este isoscel de bază (BD), deoarece (AC) este înălțime și mediană. Prin urmare, DC = BC si am obținut astfel că DB =BC = DC, adică triunghiul DBC este echilateral. În final, m(∢DBC)=600, deci m (∢ACB)= 300
Teorema II.2.6. Dacă un triunghi dreptunghic are un unghi de 150 , atunci înălțimea corespunzătoare ipotenuzei are lungimea egală cu un sfert din lungimea ipotenuzei.
Ipoteză: ∆ABC, m(∢A)= 90°; m(∢C)= 15°.
AD BC, D ( BC)
Concluzie: AD= BC
Demonstrație:
Figura 2.13
În figura 2.13, construind mediana ( AM) a triunghiul dreptunghic ABC, rezultă conform teoremei II.2.3 că AM= BM= CM, adică AM= BC. Prin urmare ∆AMC este isoscel cu m(∢MCA)= m(∢MAC)=150.
Dar ∢AMD este unghi exterior ∆AMC, deci
m(∢AMD)= m(∢MCA)+ m(∢MAC)= 150 + 150= 300.
În triunghiul ∆ADM- dreptunghic cu un unghi de 300 , aplicând teorema II.2.4.rezultă că AD= AM. Dar cum AM= BC, rezultă AD= BC.
Observații:
Unghiurile ascuțite ale triunghiului dreptunghic sunt complementare.
Centrul cercului circumscris triunghiului dreptunghic se află în mijlocul ipotenuzei.
Figura 2.14
Ortocentrul triunghiului dreptunghic se află în vârful unghiului drept.
Figura 2.15
Problema 2.5: Se consideră triunghiurile dreptunghice ABC ( AB BC) și ADC astfel încât m( ABC) = 900 , m( ADC) = 900, B și D de o parte și de alta a dreptei AC și . Dacă BM AC, M AC și m( ABD) = 600, demonstrați că este bisectoarea ABD.
Soluție:
Figura 2.16
Triunghiurile ABC ADC conform cazului ( C.I.) , deci ABCD este dreptunghi.
În ABD- dreptunghic, cu m( BAD) = 900 și m( ABD) = 600 m( ABD) = 300 și conform teoremei 300 avem că AB = (1).
Fie BD AC = . Alegând ABT și DTC ABT TDC (2)
Din (1) și (2) rezultă că ABT este isoscel cu m( ABD) = 600, deci ABT este echilateral . Cum BM AT, rezultă conform proprietăților triunghiului echilateral că ( BM este bisectoarea ABD.
Problema 2.6 : În triunghiul ascuțitunghic ABC, notăm cu M, N și P mijloacele laturilor și respectiv . Fie AA’ și BB’ înălțimi. Demonstrați că triunghiurile A’MN, B’MP și MNP sunt congruente.
Soluție:
Figura 2.17
Cum M și N sunt mijloacele laturilor rezultă că MN este linie mijlocie și MN = . Din AA’ BC și M- mijlocul lui A’M este mediană în triunghi dreptunghic, deci A’M = . Analog A’N= și B’P= , de unde , . Conform cazului L.L.L triunghiurile A’MN, B’MP și MNP sunt congruente
Problem2.7: Fie ABC în care AB= 10 cm, m( B) = 900, m( C) = 150. Fie BD AC. Calculați distanța de la punctul D la dreapta AB.
Soluție:
Figura 2.18
În figura 2.18, cum m( C) = 150, rezultă că m( BAC) = 750.
Din BD AC BAD – este dreptunghic și m( DBA) = 150. Fie DE AB DE = = = 2,5 (cm)
Problema 2.8: Triunghiul ABC este dreptunghic, m( A) = 900, m( C) = 300, iar (BD este bisectoarea ABC. Fie M mijlocul segmentului . Arătați că:
DC = 2 AM;
AM BC.
Soluție:
Figura 2.19
Din faptul că ABC este dreptunghic și m( C) = 300 m( B) = 600 . Cum (BD este bisectoarea B vom avea DBC- triunghi isoscel cu .
Dar și ABD este dreptunghic și m( ABD) = 300 AD = AD=DM(1)
Tot în acest triunghi AM este mediană AM= DM=MB(2) DC = 2 AM.
Din (1) și (2) rezultă că ABM este echilateral m( MAB) = 300 și cum m( ABC) = 600 rezultă concluzia AM BC .
CAPITOLUL III
RELAȚII METRICE ÎN TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC
III.1. Proiecții ortogonale pe o dreaptă
Proiecția ortogonală a unui punct pe o dreaptă este piciorul perpendicularei din acel punct pe dreaptă;
Proiecția ortogonală a unei mulțimi pe o dreaptă a este mulțimea ’ a tuturor proiecțiilor punctelor mulțimii pe acea dreaptă;
Proiecția unui segment pe o dreaptă este un segment sau un punct.
Figura 3.1
III.2. Teorema Înălțimii
Teorema III.2.1. Într-un triunghi dreptunghic, lungimea înălțimii din vârful unghiului drept este media geometrică a lungimilor proiecțiilor ortogonale ale catetelor pe ipotenuză.
Pe scurt, dacă în ABC, m( A)= 900, AD BC, D (BC), atunci
AD2 = BDCD
Demonstrație:
Figura 3.2
Din ABC ABD rezultă .
Din ADC ABC rezultă .
Înmulțind rapoartele între ele obținem: și concluzia AD2 = BDCD
Corolar: Într-un cerc, perpendiculara coborâtă dintr-un punct oarecare pe diametru este medie proporțională între segmentele determinate de ea pe acest diametru.
Teorema III.2.2 Într-un triunghi dreptunghic, lungimea înălțimii duse din unghiul drept este egală cu raportul dintre produsul lungimilor catetelor și lungimea ipotenuzei.
Pe scurt, dacă în ABC, m( A)= 900, AD BC, D (BC), atunci
AD =.
Demonstrație:
În figura 3.2 aplicăm formula ariei triunghiului în două moduri:
. De aici rezultă AD = .
Teorema III.2.3 Fie triunghiul ABC și D (BC),astfel încât AD BC și
AD2 = BDCD. Atunci m( BAC)= 900.
Demonstație: Din AD2 = BDCD rezultă că , iar cum
ADC, rezultă că ADC BDA, deci DCA. Dar cum
m( BAD)+ m( ABD)= 900, atunci rezultă că m( DCA )+ m( ABD)= 900, adică m( BAC)= 900
III.3. Teorema Catetei
Teorema III.3.1. Într-un triunghi dreptunghic, lungimea unei catete este media geometrică a lungimii ipotenuzei și lungimii proiecției ei ortogonale pe ipotenuză.
Pe scurt, dacă în ABC, m( A)= 900, AD BC, D (BC), atunci
AC2 = CDBC și AB2 = BDBC.
Demonstrație:
Figura 3.3
Din ABC ABD rezultă .
Din ADC ABC rezultă .
Alegând primul și ultimul raport din fiecare șir de mai sus și aplicând proprietatea fundamentală a unei proporții rezultă AB2 = BDBC și AC2 = DCBC.
Corolar: Orice coardă a unui cerc este medie proporțională între diametrul care trece printr-o extremitate a ei și proiecția ei pe acest diametru.
Figura 3.4
Observație: Diametrul și coarda sunt tocmai ipotenuza și o catetă a triunghiului dreptunghic.
Teorema III.3.2 Dacă înt-un triunghi ABC, proiecția punctului A pe BC este D (BC) și AB2 = BDBC, atunci triunghiul este dreptunghic în A.
Demonstație: Din AB2 = BDBC rezultă că , iar cum
, rezultă că ABD ABC, deci BAC, deci m(BAC)= 900.
Teorema III.3.3 Dacă înt-un triunghi ABC cu m(A)= 900 și D (BC) are loc relația AB2 = BDBC, atunci AD BC.
Demonstație: Din AB2 = BDBC rezultă că , iar cum
, rezultă că ABD ABC, deci BAC. Cum m(BAC)= 900, rezultă că și m( , deci AD BC
III.4 Teorema lui Pitagora
Teorema III.4.1 Într-un triunghi dreptunghic, pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimilor catetelor.
Pe scurt, dacă în ABC, m( A)= 900 atunci AB2 + AC2 = BC2.
Demonstația 1 : Aplicând teorema catetei în cele două variante și însumând relațiile rezultă teorema lui Pitagora:
AC2 = CDBC
AB2 = BDBC
+
AC2 + AB2= BC ( CD + BD) , adică AB2 + AC2 = BC2.
Demonstrația 2( Demonstrație dată de Leonardo da Vinci):
Figura 3.5
Se consideră un pătrat ABCD. Pe laturile sale se iau punctele M, N, P, Q astfel încât AM=BN=CP=QD=a și MB=NC=PD=QA=b. Triunghiurile AMQ, BNM, CPN, DQP sunt congruente (C.C) de unde deducemși iar pe baza sumei unghiurilor într-un triunghi, rezultă că MNPQ este un dreptunghi, iar din congruența triunghiurilor deducem că MNPQ este pătrat, MN = c.. Aria pătratului ABCD o exprimăm ca suma ariilor pătratului MNPQ și a celor patru triunghiuri dreptunghice: S ABCD = SMNPQ + 4SMBN ⇒ (a + b)2 = c2 + 4⇒ a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab ⇒ a2 + b2= c2.
Demonstrația 3( folosind descompunerea unui trapez dreptunghic):
Figura 3.6
Construim trapezul dreptunghic A1B1CA în care m( ) = m( 1) = 900; AB = A1B1=c ; AC = BA1= b; AA1= BA1+ AB = b+c.
Se constată că S A1B1CA = ( A1B1 + AC) AA1= ( b+ c) ( b+ c) = ,
S A1B1CA = S A1B1B + S BCB1 + S ABC = ( 2bc + a2) .
De unde rezultă că = 2bc + a2 sau b2+ c2 = a2 .
Demonstrația 5 ( vectorială):
Figura 3.7
înmulțind scalar cu BC obținem:.
Dar și , ; cum ⊥ rezultă.
Teorema III.4.2 Dacă într-un triunghi suma pătratelor lungimilor a două laturi este egală cu pătratul lungimii celei de-a treia laturi, atunci triunghiul este dreptunghic.
Pe scurt, dacă AB2 + AC2 = BC2, atunci m( A)= 900.
Demonstație: Dată de Euclid în Elemente, cartea I-a , teorema 48
Figura 3.8
Ducem AE AC, luăm AD = AB și unim pe C cu D.
Cum AD = AB, avem AD2 = AB2 și AD2 + AC2 = AB2 + AC2.
Dar AB2 + AC2 = BC2 din ipoteză,
AD2 + AC2 = CD2 prin construcție m( 900.
Rezultă că CD2 = BC2 , deci CD = BC și atunci ADC ABC având toate laturile egale.Triunghiurile fiind congruente, rezultă că și unghiurile ce se opun laturilor congruente vor fi congruente, ( = 900)
Teorema III 4.3. Fie ABC și D = Pr BC A.
Dacă m(900 , atunci AB2 = AC2 + BC2 – 2 BCCD
Dacă m(900 , atunci AB2 = AC2 + BC2 + 2 BCCD.
Demonstație: Cazul 1
Figura 3.9
Dacă m(900, figura 3.9 , atunci BD = . În ABD, m(900 aplicând teorema lui Pitagora vom avea AB2 = AD2 + BD2 = AD2 + 2, adică AB2 = AD2 + BC2 + CD2 – 2 BCCD. Dar AD2 + DC2 = AC2, de unde concluzia AB2 = AC2 + BC2 – 2 BCCD.
Cazul 2
Figura 3.10
Dacă m(900, figura 3.10 , atunci BD = BD + CD. În ABD, m(900 aplicând teorema lui Pitagora vom avea AB2 = AD2 + BD2 = AD2 + ( BC+ CD)2, adică AB2 = AD2 + BC2 + CD2 + 2 BCCD. Dar AD2 + CD2 = AC2, de unde concluzia AB2 = AC2 + BC2 + 2 BCCD.
Corolar: Un unghi al unui triunghi este ascuțit, drept sau obtuz, după cum pătratul laturii opuse acestui unghi este mai mic, egal sau mai mare decât suma pătratelor celorlalte două.
Exemplu(Lema lui Carnot): Fie ABC un triunghi și P un punct interior. Notăm cu S, T, U proiecțiile sale pe laturile (AB) , (BC) respectiv (CA).
Demonstrați că AS2 + BT2 + CU2 = AU2 + CT2 + BS2.
Demonstație:
Figura 3.11
Cum triunghiurile ASP, PSB, AUP, PUC,PTC și PTB sunt dreptunghice, prin aplicarea teoremei lui Pitagora vom obține AS2 + BT2 + CU2= PA2 – SP2 + BP2 – PT2 + PC2 – PU2 =PA2 – PU2 + BP2 – SP2 + PC2 – PT2=AU2 + CT2 + BS2.
Exemplu(Relația lui Stewart): Fie M un punct pe latura ( BC) a unui triunghi ABC. Are loc relația AM2 BC = AB2 MC+ AC2 MB – BC BM CM.
Demonstrație:
Figura 3.12
Fie L= PrBC A. Prin aplicarea teoremei generalizate a lui Pitagora în triunghiurile AMC și AMB se obține:
Înmulțind prima relație cu BM și a doua cu MC, iar apoi le adunăm membru cu membru, obținem:
AC2 BM+ AB2 MC = AM2 BM + MC2 BM – + AM2 MC + BM2 MC – AC2 BM+ AB2 MC = AM2(BM + MC) + MC2 BM + BM2 MC AC2 BM+ AB2 MC = AM2BC + MC BM ( MC+ BM) AC2 BM+ AB2 MC = AM2BC + MC BM BC
AM2 BC = AB2 MC+ AC2 MB – BC BM CM, adică ceea ce trebuia demonstrate.
Exemplu( Teorema cosinusului): Dacă ABC este un triunghi ascuțitunghic,atunci BC2 = AB2 + AC2 – 2 AB AC cos A.
Demonstrație:
Figura 3.13
Fie BD AC, D (AC)
În ∆ BDC -triunghi dreptunghic, m( (= 900 avem BC2= BD2 + DC2,
În ∆ ABD -triunghi dreptunghic, m( (= 900,
BD= ABsin A și AD= ABcos A, dar DC= AC- AD,
Atunci BC2= AB2 sin2A + (AC – AB cos A)2= AB2 sin 2A + AC2 – 2 ACAB cos A+AB2 cos2A= AB2( sin 2A+ cos2A)+ AC2 – 2 ACAB cos A= AB2 + AC2 – 2 AB AC cos A.
Problema 3.1: Arătați că într-un paralelogram suma pătratelor diagonalelor este egală cu suma pătratelor laturilor.
Soluție:
Figura 3.14
Fie D’ = PrAB D și C’= PrAB C AD’ = BC’.
Aplicăm teorema lui Pitagora generalizată în ∆ ABD și ∆ ABC, obținem
BD2 = AD2 + AB2 – 2 AB AD’
AC2 = BC2 + AB2 + 2 AB BC’;
Însumând relațiile , obținem BD2 + AC2 = AD2 + 2AB2 +BC2 + 2 AB BC’– 2 AB AD’, dar AB= DC și AD’ = BC’, de unde rezultă
BD2 + AC2 = AD2 + AB2 +BC2 + DC2.
Exemplu ( Teorema sinusurilor)Dacă ABC este un triunghi ascuțitunghic, atunci .
Soluție:
Figura 3.15
Fie AM BC, M(BC)
În ∆ ABM ,AM = AB sin B
În ∆ AMC, AM = AC sin C. Din cele două obținem AB sin B = AC sin C , de unde (1)
Fie BN AC, N( AC)
În ∆ ABN, BN= AB sin A
În ∆ BNC, BN= BC sin C. Din cele două obținem AB sin A = BC sin C, de unde (2)
Din (1) și (2) rezultă că .
Problema 3.2: O dreaptă intersectează laturile [AB], [AC] precum și o ceviană [AD] ale unui triunghi ABC în punctele M, N,O.Să se arate că = .
Soluție:
Figura 3.16
Fie m( = x și m(= y
Aplicăm teorema sinusului în triunghiurile ABD și ADC. Se obține și . Prin împărțirea acestora rezultă = (1)
În mod similar se aplică teorema sinusului și în triunghiurile AMO și AON. Se obține și . Prin împărțirea acestora rezultă = (2).
Înmulțind relațiile (1) și (2) obținem = ,
Dar O1 + O2 =1800 și D1 + D2= 1800, de unde sin O2= sin (1800 – O1)= sin O1 și sin D2= sin( 1800 – D1)= sin D1;
Atunci = .
Problema 3.3: În orice triunghi ABC avem la = , unde la reprezintă lungimea bisectoarei unghiului A.
Figura 3.17
Fie [AD bisectoarea unghiului A. Din teorema bisectoarei avem = sau .
În triunghiul ABD aplicând teorema sinusului obținem de unde , dar BD = ;
Aplicând teorema sinusului în triunghiul ABC, obținem sin B=
Rezultă că , dar sin A= 2 sin cos deci la = .
Exemplu (Teorema medianei):Într-un triunghi ABC are loc relația :
, unde BC= a,CA=b, AB= c, ma =AA’, A’ este mijlocul lui [BC].
Soluție:
Figura 3.18
În triunghiul ABC scriind relația Stewart obținem
A’A2BC= AB2A’C + AC2A’B – BCBA’CA’
ma2 a= c2 + b2 – a .
Problema 3.4 Fie ABC un triunghi ascuțitunghic.Determinați M (BC) astfel încât suma AM2 + CM2 să fie minimă.
Soluție:
Figura 3. 19
Fie N mijlocul lui (BC). Cum (MN) este mediană,aplicând teorema medianei în triunghiul ACM rezultă , de unde 4 MN2= 2( AM2+ CM2) -AC2. Din faptul că AM2 + CM2 să fie minimă, rezultă MN să fie minim, adică M este proiecția lui N pe BC.
Problema 3.5 Considerăm patrulaterul ABCD . Demonstrați că AB2 + BC2 +CD2 +DA2 = AC2 +BD2 +4EF2, unde [AC] și [BD] sunt diagonalele patrulaterului ABCD, iar E este mijlocul lui [AC] și F este mijlocul lui [BD].
Soluție:
Figura 3.20
Cum E este mijlocul lui [AC], [DE] mediană în triunghiul ADC și [BE] mediană în triunghiul ABC.Aplicând teorema medianei, rezultă că
;;
Cum F este mijlocul lui [BD], [EF] mediană în triunghiul EBD, de unde rezultă că .
Înlocuind relațiile de mai sus obținem
4EF2= + – , adică AB2 + BC2 +CD2 +DA2 = AC2 +BD2 +4EF2 .
Problema 3.6 Fie triunghiul ABC, AB = c, BC = a, CA = b și ma , mb , mc lungimile medianelor corespunzătoare laturilor [BC], [AC], respectiv [AB]. Arătați că triunghiul ABC este dreptunghic dacă și numai dacă .
Soluție:” ” Dacă triunghiul ABC este dreptunghic, atunci a2 = b2 + c2 și = = = = ;
”” Dacă , obținem + + – =0 =0
a2 = b2 + c2 adică este dreptunghic cu m( = 900.
Problema 3.7 Fie triunghiul ABC , AB = c, BC = a, AC = b și ha, hb, hc lungimile înălțimilor corespunzătoare laturilor [BC], [AC], respectiv [AB]. Arătați că următoarele afirmații sunt echivalente:
m( 0;
;
.
Soluție:
Figura 3.21
(1)(2)
Dacă m( 0 și ADBC, atunci AD= ha și ha = ; = ;
(2)(1)
Fie ADBC, în triunghiurile dreptunghice ABD și ADC conform teoremei lui Pitagora vom avea c2 = ha2 + BD2 și b2= ha2 +DC2;
Atunci rezultă conform reciprocei teoremei înălțimii că triunghiul ABC este dreptunghic cu m( 0.
(3)
Dacă m( 0 atunci hb = c și hc =b și relația (3) devine relația (2)
(1)
Exprimăm aria triunghiul ABC în funcție de toate înalțimile și obținem:
hb = și . Atunci de unde rezultă că triunghiul ABC este dreptunghic cu m( 0.
Din (2)(1) și (3) rezultă că (3)
Din (1) și (1)(2) rezultă că (3)(2)
În concluzie (1),(2) și (3) sunt echivalente.
Problema 3.8: Se consideră pătratul ABCD, cercul (O) înscris în acest pătrat și un punct M mobil pe cercul (O). Să se arate că suma S = MA2 + MB2 + MC2 +MD2 este constantă și să se exprime cu ajutorul laturii pătratului.
Soluție:
Figura 3.22
În ∆ MBD , MO – mediană MO 2 =
4 MO2 + BD2 = 2( DM2 +BM2) (1)
În ∆ AMC , MO – mediană MO 2 =
4 MO2 + AC2 = 2( MA2 +MC2) (2)
Prin adunarea relațiilor (1) și (2) rezultă 4 MO2 + BD2 = MA2 + MB2 + MC2 +MD2, adică S = 4 R2 +BD2 (3).
Fie ON BC, cum DC BC ON BC și O mijlocul lui BD rezultă că ON este linie mijlocie în ∆ BDC, adică ON = DC:2, unde DC = 2R.
În ∆ BDC dreptunghic BD2 = 2∙ DC2 = 8 ∙ R2 (4)
Din (3) și (4) găsim S = 12 ∙ R2 = 3∙DC2.
Problema 3.9: Fie ABC un triunghi ascuțitunghic în care M și N sunt mijloacele laturilor AB, respectiv AC, iar S este un punct mobil pe latura (BC). Arătați că ( MB – MS)(NC – NS) 0.
Soluție:
Figura 3.23
Cazul 10 În cazul în care S este mijlocul lui ( BC), cum M și N sunt mijloacele lui ( AB) și (AC) rezultă că SM = AC :2 și SN = AB :2.
Atunci MB – MS = AB : 2 – AC : 2= ( AB – AC ) :2
NC – NS = AC : 2 – AB : 2 = ( AC – AB ):2
Din cele două relații rezultă că ( MB – MS)(NC – NS)= -.
Cazul 20 Fie AD BC , DM, DN -mediane în triunghi dreptunghic MD = MB=
Și DN = NC =
Dacă S (BD) MS MD și NS ND de unde rezultă că ( MB – MS)(NC – NS).
Cazul 30 Dacă S (DC) NS ND și MS MD de unde rezultă că ( MB – MS)(NC – NS).
Problema 3.10: Fie AD înălțimea corespunzătoare ipotenuzei a unui triunghi dreptunghic ABC și M, N proiecțiile lui D pe ( AB), respectiv ( AC).
Demonstrați că AD3 = BC ∙ BM∙ CN.
Soluție:
Figura 3.24
În triunghiul dreptunghic ABC aplicând cele două teoreme ale înălțimii obținem
AD2 = BD ∙DC, respectiv AD = .
În triunghiurile dreptunghice ADB și ADC aplicând teorema catetei obținem
BD2 = BM ∙ AB și DC2 = CN ∙ AC
Deci AD4 = BD2 ∙ DC2 = BM ∙ AB∙ CN ∙ AC = BM ∙ CN ∙ AD ∙ BC
AD3 = BC ∙ BM∙ CN.
Probema 3.11: Triunghiul ABC este ascuțitunghic și A1 ( BC), B1 ( AC), C1 ( AB) sunt picioarele înălțimilor. Fie P1 și Q1 proiecțiile lui A1 pe AB, respectiv AC, P2 și Q2 proiecțiile lui B1 pe BC, respectiv AB și P3, Q3 proiecțiile lui C1 pe AC, respectiv BC. Arătați că P1A∙ P2B ∙ P3C = Q1A∙ Q2B ∙ Q3C.
Soluție:
Figura 3.25
În triunghiul dreptunghic ABA1 , A1P1 AB AA 12 = P1A ∙ AB (1)
În triunghiul dreptunghic BB1C , B1P2 BC BB 12 = P2B ∙ BC (2)
În triunghiul dreptunghic ACC1 , C1P3 AC CC 12 = P3A ∙ AC (3)
În triunghiul dreptunghic AA1C , A1Q1 AC AA 12 = Q1A ∙ AC (4)
În triunghiul dreptunghic ABB1 , B1Q1 AB BB 12 = Q2B ∙ AB (5)
În triunghiul dreptunghic BCC1 , C1Q1 BC CC 12 = Q3C ∙ BC (6)
Din (1) și (4) rezultă că P1A ∙ AB = Q1A ∙ AC;
Din (2) și (5) rezultă că P2B ∙ BC = Q2B ∙ AB;
Din (3) și (6) rezultă că P3A ∙ AC = Q3C ∙ BC; ”∙”
P1A∙ P2B ∙ P3C∙ AB ∙AC∙BC = Q1A∙ Q2B ∙ Q3C∙ AB ∙AC∙BC / : AB ∙AC∙BC
P1A∙ P2B ∙ P3C = Q1A∙ Q2B ∙ Q3C.
CAPITOLUL IV
METODE CLASICE DE PREDARE-ÎNVĂȚARE-EVALUARE ÎN MATEMATICĂ
4.1.Semnificația conceptului de metodă în sistemul activității didactice
Metodica predării matematicii se situează la granița între psihologie, pedagogie, didactică și matematică. Ea studiază conținutul învățământului matematic elementar, structura acestuia și metodele adecvate de predare-învățare-evaluare. Pe scurt, MPM încearcă să ofere un răspuns la întrebările:
Ce? Cât? Cum?
Un termen din ce în ce mai des utilizat este cel de didactica matematicii, care include, pe lângă metodică, si aspecte privind organizarea învățământului matematic. Având în vedere afinitatea cu pedagogia generală, metodica trebuie să indice cum să se organizeze predarea-învățarea(-evaluarea) fiecărei discipline: aritmetica, algebra, geometria, analiza matematică, etc. Metodica predării matematicii selectează din matematică-știință conceptele, rezultatele și ideile fundamentale care vor fi predate elevilor. Această selecție se face în funcție de stadiul de dezvoltare a matematicii și perspectivele ei, de comenzile sociale pe termen scurt și lung, de legile învățării, stabilite de psihologie.
Matematica predată în școală, numită și elementară, trebuie corelată cu celelalte discipline studiate în școală, care folosesc elemente de matematică: fizica, chimia, geografia, desenul tehnic, arta (geometria proiectivă).
Metodele de predare sunt variate, iar alegerea uneia sau alteia dintre ele depinde de inspirația dar si de cultura ”metodică” a profesorului. De preferat ar fi o combinație a mai multor metode didactice, deoarece modul în care învață elevii nu este uniform. Sumar exprimat, metodele, dezvoltă capacitatea de abstractizare, generalizare, dar folosesc și intuiția. Ele sporesc creativitatea, educă perseverența și voința elevului. Învățarea matematicii se face în spirală, noțiunile introduse se reiau periodic, dar li se studiază proprietăți noi, crescând gradul de dificultate sau schimbând metoda de predare. După ce elevii ating un anumit grad de maturitate cognitivă, se folosește și învățarea liniară, ca în cazul structurilor algebrice și a analizei matematice.
Cuvântul metodă provine din grecescul methodos (odos = cale, drum și metha = către, spre) și înseamnă „cale care duce spre” aflarea adevărului, „cale de urmat” în vederea descoperirii adevărului. În didactică, metoda se referă la drumul ce conduce la atingerea obiectivelor educaționale.
Pentru profesor, metoda reprezintă, „o cale de organizare și conducere a activității de învățare a elevului, un instrument didactic cu ajutorul căruia îi determină pe elevi la asimilarea activă a cunoștințelor și formelor comportamentale, de stimulare, în același timp, a dezvoltării forțelor lor cognitive, intelectuale” (Ioan Cerghit,2006,p.17).
Pentru elev, metoda înseamnă „drumul pe care acesta îl parcurge de la necunoaștere la cunoaștere. Metoda apare ca un instrument de muncă care îl conduce de la o conoaștere mai puțin aprofundată spre una mai adâncă, de redescoperire a unor adevăruri noi pentru el, o modalitate de asimilare activă a noilor cunoștințe, priceperi și deprinderi, de dezvoltare a potențialului său de cunoaștere și de acțiune”(Ioan Cerghit,2006,p.18).
În învățământul tradițional, metodele folosite puneau în prim plan pe profesor, el fiind cel care avea cel mai important loc în cadrul activității didactice, predând, prezentând elevilor cunoștințele de cele mai multe ori cu ajutorul prelegerii, ca un discurs, elevii având un rol pasiv în procesul instructiv – educative. În cazul predării centrate pe elev rolul cel mai important îl au elevii, care alături de profesor, sunt activi, responsabili, implicați în propriul proces de instruire.
4.2.Clasificarea metodelor de învățământ
Metodele utilizate în practica pedagogică actuală se pot clasifica după mai multe criterii, unul dintre acestea ar fi după (L. Ardelean, N. Secelean,2007) :
Metodele tradiționale de predare-învățare specifice matematicii:
expunerea sistematică a cunoștințelor;
metoda conversației;
demonstrația matematică;
metoda exercițiului;
metoda muncii cu manualul și cu alte auxiliare matematice.
4.2.1.Expunerea sistematică a cunoștințelor
Dintre metodele expozitive( după H. Banea, 1998): ”povestirea, descrierea, explicația, prelegerea școlară, cursul magistral, conferința, două dintre acestea pot fi unificate sub denumirea de expunere explicativă. Fără a avea pretenția stabilirii unor reguli fixe propunem ca astfel de ore să fie cam cele de la începutul unor capitole noi, dar nu prima dintre ele. Această primă (uneori primele două) oră, bine realizată, pregătește psihologic pe elev pentru a afla răspunsul la întrebările sugerate de problemele care au servit la motivație. Dialogul cu clasa, trebuie să aibă o bază de plecare și în cunoștințele elevilor, care nu prea există la început de capitol”.
În predarea matematicii, dintre cele trei forme pe care le poate îmbrăca această metodă( povestire, prelegere și explicație) mai mult se folosește explicația.
Prin explicație, profesorul expune în mod logic și argumentat modul său de gândire, în timp ce elevii îl urmăresc și încearcă să-l înțeleagă. Deși se adresează gândirii logice, accentul cade mai mult pe receptarea adevărului, pe însușirea logicii, cultivând o atitudine pasivă în rândul elevilor. Pentru mărirea eficienței metodei explicației, accentul trebuie pus pe modul de gândire, pe argumentare, pe evidențierea unor căi ce nu trebuie urmate.
În matematică recurgem la această metodă când:
tema este complet nouă și este nevoie de înțelegerea unor anumite noțiuni matematice date prin definiție;
dorim înțelegerea unor raționamente matematice ce conduc la demonstrarea unor relații, legi.
Celelalte două forme de expunere sunt mai puțin folosite în matematică.
Povestirea o folosim pentru trezirea interesului asupra unei teme, prin elemente de istorie matematică, prin rezolvări de probleme celebre sau prin elemente de biografie a unor matematicieni celebri. De exemplu, cu ocazia predării teoremei lui Pitagora, se pot da alte demonstrații ale teoremei la chinezi, egipteni, etc. Deoarece utilizarea acestei metode în exces duce la pasivitate, este recomandat alternarea ei cu conversația, pentru ca elevii să poată urmări un timp mai îndelungat cuvântul profesorului.
4.2.2. Conversația
Conversația este o metodă didactică de dialog între professor și elevi, precum și între elevi, cu scopul atingerii obiectivelor operaționale prestabilite. Metoda conversației ajută la formarea raționamentului matematic la elevi, la realizarea obiectivelor formative ale învățării matematicii( Ileana Rus, Metodica predării matematicii, p 19)
Conversația ( după Mușata- Dacia Bocoș, 2013, p 222) are o mare flexibilitate metodică, ceea ce îi permite profesorului modelarea mesajului educațional în funcție de specificul temei abordate, tipul de experiență de învățare vizat, tipul activității didactice și etapa în care ea este aplicată, profilul de inteligență al elevilor, nivelul de pregătire la disciplina matematică, etc.
Criteriile care stau la baza clasificării formelor de conversație sunt:
după numărul de persoane cărora li se adresează întrebarea:
individuală: profesor- elev;
frontală: profesor – clasă.
după obiectivele urmărite:
introductivă: captarea atenției, reactualizare;
în timpul prezentării temei;
pentru fixarea noilor cunoștințe;
pentru recapitulare;
pentru evaluare.
Conversația mai poate fi clasificată ca:
euristică: care constă în dialogul în care întrebările sunt adresate judecății, raționamentului;
catihetică: care face apel la memorie cerându-se răspunsuri de reproducere a unor definiții, formule, reguli.
Întrebările care solicită doar memoria, ajută la exersarea memoriei și la fixarea achizițiilor anterioare. Dar a învăța, nu înseamnă a memora. Întrebările care sunt adresate judecății, raționamentului, sunt cele care cer argumentări, evaluări, rezolvări de probleme.
Conversația euristică reprezintă o modalitate de învățare prin descoperire.Prin șirul de întrebări, profesorul instruiește nu ”prin a transmite” sau ”a prezenta” noi cunoștințe, ci realizează o activitate cu elevii săi care sunt invitați să efectueze o incursiune în propriul univers informațional și să descopere prin conexiuni, tranferuri, extrapolări, analogii care să înlesnească dezvăluirea de noi adevăruri.
Rolul principal în demersul euristic îl au întrebarea și structura acesteia. Întrebarea se situează la granița dintre cunoaștere și necunoaștere, este o invitație la acțiune. W.Okon califică întrebarea drept o ”judecată incompletă” sau o ”structură cu date insuficiente”( Stroe Marcus și colab., 1999, p 50).
Aspectele ce trebuie urmărite la utilizarea întrebărilor ca instrument de predare ce vizează dezvoltarea gândirii elevilor, a învățării active, interactive și logice sunt (după Mușata- Dacia Bocoș):
Stabilirea scopului didactic: testarea memoriei sau crearea unui context favorabil reflecției cognitive și achiziției de cunoștințe;
Asigurarea unui climat favorabil conversației: atmosfera de lucru să fie relaxantă, stimulativă, tolerantă;
Atitudine deschisă față de elevi și încurajarea atitudinii deschise și interogative a acestora: încurajarea elevilor să adreseze întrebări, pe care să le utilizeze ca autentice instrumente în învățare și în cunoaștere;
Pericolul pseudodialogului: încurajarea elevilor să aibă inițiativă, să colaboreze cu profesorul și cu ceilalți colegi, să fie argumentativi, responsabili și empatici;
Acceptarea tuturor punctelor de vedere: răspunsurile valide ale elevilor nu se evaluează și nu se judecă pe loc, ci se analizează cu toată clasa;
Realizarea unui dialog veritabil și plurirelațional în clasă: atât profesorul cât și cei mai timizi elevi să fie emițători, receptori și evaluatori de mesaje educaționale;
Folosirea întrebărilor stimulatoare: care încurajează elevul să caute răspuns, să formuleze răspunsuri explicative, ample;
Verificarea bagajului minimal de cunoștințe al elevilor care poate conduce la derularea unor schimburi intelectuale reciproc profitabile;
Analiza conținutului întrebărilor: se iau în considerare și întrebările necorespunzătoare calitativ și se încurajează la elevi analiza acestora activ, interactiv și critic;
Stimularea elevilor în valorificarea cunoștințelor declarative;
Întrebările trebuie să fie concrete, coerente, clare, precise, cu logică;
Gradul de complexitate al nivelurilor cognitive pe care le vizează întrebările trebuie să fie crescător;
Accentul trebuie pus pe întrebările- problemă/ problematice;
Alternarea întrebărilor directe cu cele retorice pentru activizarea clasei;
Timpul de așteptare a răspunsurilor trebuie să fie suficient;
Adresare de întrebări ajutătoare/ auxiliare clare în cazul neînțelegerii întrebării inițiale;
Observarea comportamentelor de ascultare ale elevilor: acceptarea argumentelor colegilor, comportamente verbale, nonverbale și paraverbale.
Întrebările adresate trebuie să îndeplinească anumite condiții:
să fie precise: să vizeze un singur răspuns;
să nu ceară răspuns prin ” da” sau ” nu” sau să conțină răspunsul;
Să fie instructive: să contribuie la dezvoltarea gândirii.
O importanță deosebită a metodei conversației este aceea că ea ajută la dezvoltarea limbajului matematic. Dificultățile întâmpinate de elev se răsfrâng atât asupra inteligenței cât si pe plan afectiv motivațional. Aceste dificultăți sunt analizate pe mai multe planuri:
Limbajul scris și oral:
Există cuvinte în limbajul obișnuit care au același înțeles cu cel matematic;
Există cuvinte folosite în matematică al căror înțeles diferă de cel uzual( ex. înălțime, sau – în matematică nu e exclusiv);
Exista și cuvinte proprii matematicii, care nu se regăsesc în limbajul uzual și care trebuie introduse ca și cuvintele unei limbi străine. Pentru învățarea lor, Mialaret propune mai multe etape:
Prezentarea cuvântului și a proprietăților corespunzătoare;
Exerciții ce permit trecerea de la cuvânt la proprietate( figură) și invers;
Exerciții ce vizează folosirea cuvântului înt-un context;
Fixarea lui prin aplicații frecvente.
Pot apărea confuzii între realități vecine ( înălțime, mediană, mediatoare) sau denumiri asemănătoare ( mediană, mediatoare); profesorului îi revine sarcina să atragă atenția la aceste diferențe și a noțiunii pe care o definesc.
Reprezentări schematice : ușurează demersul matematic în însușirea unor noțiuni și în rezolvarea problemelor;
Utilizarea simbolismului matematic : simbolurile matematice sunt ușor asimilate de elevi, prin exersare, și utilizarea lor se face cu ușurință( .
Odată cu formarea noțiunilor matematice se formează și un limbaj adecvat. Prin învățarea cuvintelor matematice, a importanței lor, profesorul nu face altceva decât să-i învețe pe elevi, spiritul matematic, dar în același timp contribuie și la formarea lor intelectuală.
4.2.3. Demonstrația matematică
Demonstrația ( după Mușata- Dacia Bocos, 2013, p 247) este metoda de învățământ prin utilizarea căreia cunoașterea lumii obiective dobândește un caracter mediat, analiza realității bazându-se pe experimentarea artificială a situațiilor originale, a fenomenelor reale.
Așa cum o indică și latinescul demonstro, a demonstra înseamnă a arăta, a prezenta elevilor obiecte, procese, acțiuni reale sau artificiale, din perceperea și analiza cărora să se desprindă elementele fundamentale ale cunoașterii. Așa cum atrăgea atenția I. Cerghit, demonstrația bazată pe intuiție (demonstrație inductivă) trebuie diferențiată de demonstrația deductivă, teoretică, utilizată la matematică.
Corelația între cuvânt și imagine se poate realiza în funcție de necesitățile instrucției, în mai multe moduri:
Intuiția – sursă de cunoaștere;
Intuiția – sursă de generalizare;
Intuiția – mijloc de verificare.
Convertirea principiului intuiției în metoda demonstrației ( dupa Doina Varna , p. 29) îmbracă forme foarte diferite, datorită diversității materialului inductive:
Demonstrarea cu ajutorul obiectelor în starea lor naturală;
Demonstrarea cu ajutorul materialelor didactice intuitive;
Demonstrarea cu ajutorul materialului grafic( desene, scheme, tabele, grafice, planșe, etc.);
Demonstrarea cu ajutorul machetelor;
Demonstrarea cu ajutorul desenului la tablă;
Demonstrarea cu ajutorul mijloacelor audio- vizuale;
Demonstrarea cu ajutorul computerului.
În matematică se folosește foarte mult demonstrarea cu ajutorul materialului grafic:
Desenul la tablă cu ajutorul instrumentelor geometrice este esențial în clasele a VI- a și a VII- a. Corectitudinea unei schițe făcute la tablă poate duce la fixarea și clarificarea noțiunilor teoretice. De exemplu: construcția bisectoarei unui unghi, prin evidențierea etapelor de construcție, profesorul scoate în evidență etapele de raționament;
Schițele reprezintă ilustrări ale unor teoreme sau probleme. Ele au rolul de a ușura înțelegerea raționamentului matematic conținut în teoremă și sunt deasemenea suport de notație pentru demonstrație. De exemplu: pentru a demonstra suma măsurilor unghiurilor unui triunghi se construește o paralelă la una din laturi prin vârful triunghiului, ceea ce îl duce pe elev cu gândul la unghiuri formate de două paralele tăiate de o secantă;
Machetele se folosesc pentru dezvoltarea imaginii spațiale, se utilizează foarte mult în clasa a VIII- a. Dacă aceste machete sunt confecționate de elevi, atunci aceștia se familiarizează cu trăsăturile esențiale ale corpurilor respective;
Utilizarea mijloacelor tehnice are următoarele avantaje: Mijloacele tehnice redau cu mare fidelitate, atât în plan sonor, cât și vizual; pot surprinde aspecte care pe alta cale ar fi imposibil sau cel puțin foarte greu de redat; permit reluarea rapidă, ori de câte ori este nevoie, așadar nu este consumatoare de timp; mijloacele tehnice sunt mai atractive pentru elevi și mai productive, dar cu condiția să nu fie utilizate mai mult de 5 minute.
Îmbinarea și folosirea atât a intuiției cât și a demonstrației matematice duce la o înțelegere deplină.
4.2.4. Metoda exercițiului
Prin exercițiu întelegem o acțiune efectuată în mod conștient și repetat, cu scopul dobândirii unor priceperi și deprinderi (uneori a unor cunoștinte noi), pentru a ușura unele activități și a contribui la dezvoltarea unor aptitudini (Varna Doina, p 32). Așadar, exercițiul face parte din categorie tehnicilor de antrenament, dar nu în sensul de repetare mecanică, ci de refolosire intensivă și excesivă a unor elemente și structuri globale semnificative, proprii sarcinii de învățare, în contexte semnificative și în situații normale de viață și de comunicare (Renzo Titone).
Ca metodă fundamentală în activitatea didactică ( I. Cerghit,1997,p. 198-199), funcția exercițiului nu se reduce doar la formarea de deprinderi, ci implicit contribuie și la realizarea altor sarcini precum:
Adâncirea înțelegerii noțiunilor, regulilor, principiilor și teoriilor învățate;
Consolidarea cunoștințelor și deprinderilor însușite;
Dezvoltarea operațiilor mintale;
Sporirea capacității operatorii a cunoștințelor, priceperilor și deprinderilor;
Prevenirea uitării și evitarea confuziilor;
Dezvoltarea unor capacități și aptitudini intelectuale în timpul proceselor de învățare;
Învingerea rezistenței opuse de deprinderile și obișnuințele incorecte, dăunătoare, ineficiente.
Clasificarea exercițiilor se face în funcție de aportul capacităților intelectuale necesare efectuării lor:
exerciții de recunoaștere a unor noțiuni matematice:
Recunoașterea unor figuri: Ce corpuri geometrice recunoașteți în sala de clasă?
Recunoașterea unei noțiuni abstracte pe baza unei definiții: Care dintre diagramele de pe tablă reprezintă funcții?
Figura 4.1
Recunoașterea unor formule: recunoașterea formulei elipsei dintre mai multe formule: ; ; ; .
exerciții aplicative ale unor formule sau algoritmi: acestea sunt exerciții de fixare a noțiunilor nou predate și sunt primele care se dau elevilor spre rezolvare, fie pe parcursul etapei de predare a noii lecții, fie în etapa de fixare a cunoștințelor noi. Pentru acest tip de exerciții se recomandă urmatoarele etape:
reținerea formulei;
utilizarea unor valori numerice simple pentru a asigura reținerea formulei;
complicarea progresivă a acestor valori numerice.
( x + 1)2 , ( 2x – 1)2, (5x +3y)2, ( 2, 2;
aplicarea unor algoritmi de calcul pentru cazuri particulare: Determinați c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. al următoarelor perechi de numere naturale:….
exerciții de calcul mental: calculul mental reprezintă o gimnastică a minții extrem de utilă elevilor din gimnaziu, iar prin exersarea lui grăbește și ordonează dezvoltarea gîndirii; cel ce stăpânește un calcul mental rapid își poate îndrepta atenția spre raționament în timpul rezolvării unei probleme, și nu asupra calculării corecte a unor operații aritmetice;
exerciții grafice:
figurarea datelor unor teoreme sau probleme se întalnește mai ales la geometrie; profesorul nu efectuează el desenul geometric pe tablă, ci lasă timp elevilor sa îl facă singuri, le corectează eventualele erori, apoi un elev va trasa desenul pe tablă;
ex. Fie A și B două puncte ce aparțin unui plan , O un punct ce nu aparține planului , iar M și N mijloacele segmentelor . Două drepte paralele din punctele M și N intersectează planul în P și respectiv Q. Segmentele și sunt congruente?
construcțiile grafice reprezintă exerciții cu grad sporit de dificultate;
exerciții ce permit însușirea unor noțiuni noi:
anumite teoreme mai ușor de demonstrat, sunt date sub formă de exerciții, elevii le demonstrează singuri, apoi se precizează numele teoremei și se încadrează pentru a spori importanța ei;
ex. Lungimea medianei corespunzătoare ipotenuzei unui triunghi dreptunghic este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei.
exercițiile ce pregătesc noua lecție, ce conțin cerințe ce depășesc cunoștințele elevilor (acest tip de exerciții a fost discutat la metoda problematizării și a învățării prin descoperire);
exerciții complexe: un exemplu ar fi exercițiile recapitulative, ce combină noțiuni și rezultate dintr-un întreg capitol.
Pentru a forma la elevi priceperi și deprinderi de rezolvare a exercițiilor trebuie respectate următoarele etape ( Mușata -Dacia Bocoș, 2013,p.260-261):
Înțelegerea enunțului problemei: citirea de mai multe ori a enunțului și scoaterea datelor problemei grupate pe ce se dă și ce se cere;
Întocmirea unui plan de rezolvare : elevii sunt solicitați să formuleze modele de rezolvăre individuale, iar profesorul îi va conduce spre varianta optimă de rezolvare;
Realizarea/ aplicarea efectivă a planului de rezolvare prin implicarea întregii clase;
Discutarea soluției obținute și evidențierea aplicabilității teoretică și practică a noțiunilor aplicate și a rezultatelor obținute, acolo unde este cazul;
Verificarea imediată a rezultatului.
4.2.5. Metoda muncii cu manualul și cu alte auxiliare matematice
Metoda muncii cu manualul( după Doina Varna, p. 47) ajută elevul să-și creeze priceperea, apoi deprinderea de a se orienta în textul citit, de a-l analiza și extrage esențialul și de a reține definițiile, regulile de calcul și teoremele cuprinse în text. Dacă în clasele I-IV manualul este principala resursă de cunoștințe noi, începând cu clasa a V-a sursa principală devine cuvântul profesorului. Elevii preferă să învețe după notițele luate în clasă, care sunt mai succinte, necitind lecția din manual. Acesta este consultat doar pentru a rezolva exercițiile propuse ca temă, fără a se uita la teorie. Profesorul are obligația de a învăța elevii să lucreze cu manualul. Neglijarea acestei metode are influență negativă asupra caracterului formativ al învățării. Capacitatea de raționament a unui copil se formează în mai mare măsură prin activitate proprie, prin eforturi proprii de căutare a adevărului. Metoda aceasta nu oferă doar posibilitatea însușirii temeinice a unor cunoștințe noi, ci mai ales formarea unor deprinderi de activitate intelectuală. Metoda este introdusă treptat, sub îndrumarea profesorului. De exemplu, înainte de predarea unei teoreme, se cere citirea enunțului din manual, apoi acesta este scris pe tablă și teorema este demonstrată. Aceasta e o primă familiarizare cu manualul. Metoda muncii cu manualul presupune ca elevul să învețe independent unele cunoștințe din manual, dar mai întâi, profesorul atrage atenția asupra aspectelor ce trebuie urmărite. O altă variantă este demonstrarea unei teoreme la tablă, apoi studierea de către elevi a unei alte demonstrații diferite din manual, pentru aceeași teoremă. Cele doua soluții se compară, evidențiindu-se punctele tari și slabe ale fiecăreia. Dacă o serie de propoziții matematice au demonstrații similare, doar una dintre ele se demonstrează în clasă, iar celelate sunt date ca temă (elevii încerca să le rezolve singuri acasă, iar dacă au nelămuriri vor găsi demonstrațiile în manual). După ce elevii și-au însușit deprinderea lucrului cu manualul, ei își pot conspecta individual o lecție întreagă, dar sub supravegherea profesorului. Acesta urmărește fiecare elev în parte, corectează eventualele greșeli, descoperă lacunele din cunoștințele elevilor. Învață despre stilul și ritmul de lucru al acestora. În timpul studiului individual, elevii trebuie să alcătuiască planul lecției. După ce fiecare elev a conspectat lecția, profesorul discută cu toată clasa pentru a se convinge că toți elevii au înțeles materia corect. El evidențiază cu ajutorul elevilor problemele esențiale, le sistematizează. Apoi face fixarea cunoștințelor noi cu ajutorul rezolvării de exerciții și probleme. Bineînțeles, nu orice lecție din manual este potrivită studiului individual, doar cele relativ scurte, redactate clar și bine sistematizate, care conțin exemple și mici aplicații rezolvate.
4.3.Metode, tehnici, probe de evaluare
Metodele tradiționale de evaluare, sunt etichetate ca principale metode de evaluare ce domină încă învățământul preuniversitar.
Didactica modernă, studiile și cercetările întreprinse în domeniul evaluării, atrag atenția că strategiile tradiționale de evaluare au un caracter limitat, iar aprecierea rezultatelor este utilizată adesea ca “mijloc de constrângere” a elevilor. Accentul se pune, prea mult, pe volumul cunoștințelor asimilate și mai rar pe capacități, aptitudini, competențe, descurajând dezvoltarea unor abilități și aptitudini creative la elevi.
Metodele de evaluare tradițională nu reprezintă ceva vechi, perimat; ele rămân metodele de evaluare cele mai des întâlnite, ce trebuie utilizate de profesori și promovate în raport cu „fidelitatea” lor.
Tehnicile de evaluare la matematică urmăresc să măsoare și să aprecieze progresele elevilor în materie de cunoștințe, priceperi și deprinderi matematice, ca rezultate ale procesului de predare – învățare.
4.3.1. Evaluarea orală
Evaluarea orală ( după Bocoș M., Jucan D., 2019, p. 178) constituie o formă particulară a conversației, prin care se verifică gradul de însușire al cunoștințelor, corectitudinea acestora, gradul de formare al abilităților, a priceperii de a interpreta și prelucra date, operaționalitatea achiziițiilor, aplicabilitatea conținuturilor învățate.
Evaluarea orală poate fi curentă (realizată în timpul lecțiilor) și finală, la sfârșitul capitolelor sau semestrelor. Nivelul real de pregătire al elevilor nu poate fi cunoscut prin aplicarea unei singure metode de evaluare.
În folosirea chestionărilor orale este necesar să fie avute în vedere unele limite ale acestora: întrebările adresate nu pot avea același grad de dificulate, unii elevi sunt mai emotivi și ” se pierd”, profesorul poate fi mai indulgent sau mai exigent, fapt care conduce la caracterul subiectiv al notării. Studiile arată că în timpul evaluării orale, 60% din elevi trăiesc o tensiune emoțională, în timp ce alții percep acest tip de evaluare ca un prilej de ”evadare”. Din acest motiv, evaluarea orală cere mult tact pedagogic, crearea unui climat de încredere reciprocă și echitate, oferirea sistematică de aprecieri pozitive, echilibrarea modului de a oferi recompense sau sancțiuni, justificarea notelor, încurajarea autoevaluării.
4.3.2. Evaluarea scrisă
Cele mai răspândite forme de evaluare scrisă sunt:
Probele scrise curente;
Lucrări scrise la final de capitol;
Lucrările scrise semestriale;
Fișele de lucru.
Avantajele evaluării scrise sunt: gradul de obiectivitate al notării, elevii mai emotivi pot să-și prezinte în această formă cunoștințele, numărul mare de elevi evaluați în același timp, este verificat același conținut, gradul de dificultate al întrebărilor este același pentru toți elevii.
Comparativ cu evaluarea orală, verificarea cunoștințelor în scris nu permite ca unele erori ale elevilor în formularea răspunsurilor să fie lămurite și corectate pe loc de profesor. De asemenea, nu este posibilă nici orientarea elevilor, prin întrebări suplimentare, către un răspuns corect și complet, fapt care conduce la creșterea erorilor în notare.
Probele scrise curente durează 15-20 minute și se administrează fără anunțarea în prealabil a elevilor, urmărind verificarea cunoștințelor din lecția de zi.
Lucrările scrise la final de capitol sunt folosite mai ales în condițiile aplicării unui sistem de evaluare continuă.
Lucrările scrise semestriale durează între 1 și 2 ore și sunt administrate în urma unor lecții de recapitulare. Rolul lor este de a verifica, capacitatea de selecție și sistematizare a esențialului dintr-un volum mare de cunoștințe, capacitatea de a aplica aceste cunoștințe în rezolvări de probleme.
Fișele de lucru pot fi date în orice moment al lecției, în funcție de ce se urmărește prin ele. Eficiența lor în stimularea gândirii și a imaginației matematice la elevi, justifică efortul de elaborare a conținuturilor.
CAPITOLUL V
METODE MODERNE DE PREDARE-ÎNVĂȚARE-EVALUARE A RELAȚIILOR METRICE ÎN TRIUNGHI
Metodele interactive stimulează învățarea, promovează interacțiunea dintre elevi, schimbul de idei, activitatea didactică fiind interactivă.
Metodele interactive respectă particularitățile de vârstă, îmbină multe forme de activitate, se folosesc toate cele trei moduri de evaluare a clasei, cea frontală, cea individual și cea pe grupe, insistându-se pe ultimele două, iar relația dintre profesor și elev este de comunicare și cooperare. Metodele de învățare activă implică elevii în propriul proces de formare în sensul participării active.
Prin aplicarea acestor metode în procesul de instruire, elevii depun efort intelectual, exersând procesele psihice, abordând căi de învățare noi, în care își asumă responsabilități, formulează și verifică soluții, ei fiind personajul principal. Aceste metode fac ca toți elevii să participe activ și le dezvoltă comunicarea, creativitatea, independența în gândire și acțiune, îi ajută să ia decizii corecte și să argumenteze deciziile luate.
Prin aceste metode elevii învață să își argumenteze ideile, cunoștințele, dar învață să și aplice ceea ce au învățat, în situații din viața de zi cu zi.
Apariția metodelor activ-participative a stârnit diverse controverse, fiind considerate doar o îmbuntățire a metodelor tradiționale dar adaptate condițiilor moderne. Astfel sau conturat diverse definiții și păreri legate de aceste „noi” metode dar niciuna care să vizeze clasificarea sau gruparea acestor metode. Unii autori le clasifică în funcție de criteriile metodelor tradiționale, dar nimeni nu poate spune cu precizie care este cea mai bună clasificare.
5.1. DESCRIEREA UNOR METODE MODERNE, ACTIV-PARTICIPATIVE UTILIZATE ÎN PREDAREA-ÎNVĂȚAREA-EVALUAREA NOȚIUNILOR DESPRE RELAȚII METRICE ÎN TRIUNGHI
5.1.1. Metoda instruirii problematizante
Problematizarea și descoperirea constituie după (Mușata-Dacia Bocoș,2013) „două orientări didactice inovatoare, pentru practica instruirii interactive, două forme didactice particulare ale euristicii care recomandă ca materia de învățat să nu fie dată elevilor într-o formă prelucrată, finală, ci, să necesite reorganizare și transformare și să devină pretext pentru căutările, investigațiile și cercetările elevilor, aceștia devenind cunoscători activi, care își construiesc singuri cunoașterea curioși să descopere noul, să reelaboreze cunoștințele cu propriul lor potențial pentru a obține produsul dorit”.
În didactica modernă „problematizarea depășește statutul de simplă metodă didactică și dobândește unul mai complex și anume o orientare didactică și chiar un principiu metodologic fundamental și dinamizator pentru activitatea elevilor” (Ionescu Bocoș, 2001).
Învățarea prin problematizare reprezintă după(Mușata-Dacia Bocoș,2013,p.293) „o metodă de învățământ , în care elevii participă activ și interactiv în procesul didactic, care constă în proiectarea și efectuarea de activități de căutare independentă (individuală sau colectivă) a răspunsului/soluției la o problemă tensională, contradictorie”.
Problematizarea coexistă cu metoda conversației euristice. Întrebările frontale, ce se adresează raționamentului (și nu memoriei), folosite în pregătirea introducerii unei notiuni noi sau în prezentarea noilor cunoștințe determină situații confictuale. Prezența profesorului este discrete, iar ajutorul său-minimal.
Învățarea prin problematizare este o metodă didactică activă după (Mușata-Dacia Bocoș,2013,p.294) pentru că:
asigură un suport motivațional intern/intrisec superior pentru învățare și determină o participare activă și interactivă în procesul de dobândire a noului, întrucât angajează elevii interactiv cu conținuturile-stimul, cu colegii și cu profesorul în rezolvarea unor situații-problemă care le trezește interesul și curiozitatea activă și le orientează activitatea în găsirea soluțiilor și a descoperirii noului;
îi determină pe elevi, ca, în rezolvarea problemelor, să desfășoare activități individuale sau colective în care să reflecteze, să acționeze, să efectueze raționamente, să caute, să formuleze ipoteze, să experimenteze, să cerceteze, să inventeze, să argumenteze, să conceptualizeze, valorificându-și și imbogățindu-și sistemul de cunoștințe și competențe.
determină o activitate intelectuală intensă a elevilor prin implicarea cognitivă, afectivă și motrică, prin investigare personală;
determină elevii să exprime prin mijloace de expresie științifică (definiții, taxonomii, tabele, desene, scheme, diagrame etc.) cunoștințele noi și să le integreze în sistemul cognitiv propriu;
elevii depun eforturi intelectuale și/sau motrice considerabile pentru a depăși dificultatea-obstacol și pentru a soluționa problema, dezvoltându-și capacități intelectuale și motrice, precum și unele competențe transversale, inteligența, imaginația, creativitatea, inventivitatea etc.
dezvoltă structurile cognitive și imaginative ale elevilor, o serie de atitudini intelectuale și un comportament cognitiv/intelectual valoroase pentru derularea proceselor de cercetare teoretică și practică;
dezvoltă strategiile metacognitive utilizate de elevi și ameliorează atitudinea metacognitivă;
dezvoltă la elevi spiritul de observație, de explorare, descoperirea, invenția, creația, atitudinea cognitivă și interactivă;
antrenează și dezvoltă toate componentele personalității elevilor – intelectuală, psihomotorie, afectiv-atitudinală și volițională;
accentuează participarea afectivă a elevilor în procesul formării lor, încurajează bucuria cunoștințelor descoperite.
Matematicianul G. Polya consideră că scopul predării matematicii este de a face pe tineri să gândească și mijlocul îl reprezintă rezolvarea de către elevi a unor probleme care cer un anumit grad de creație, de nerutinare. Prin rezolvare de probleme nu se înțelege aplicarea unor algoritmi deja învățați ci găsirea unor soluții la probleme noi. Problemele adresate elevilor trebuie să aibă sens, să țină seama de cunoștințele însușite deja de elevi, să fie clar enunțate, să trezească interesul și să solicite efort din partea elevului.
Etapele învățării prin problematizare:
Etapa de sesizare a problemei/situației-problemă de către elevi, de conștientizare și de confruntare cu ea, de percepere a ei, de formulare, de enunțare/transpunere în cuvinte, în limbaj extern, și de inducere la elevi a disponibilității și a dorinței de a o rezolva;
Etapa de analiză atentă și aprofundată a problemei/situației-problemă, în vederea înțelegerii ei complete;
Etapa de căutare independentă a soluțiilor la problema pusă, în care elevii au inițiativa să aleagă drumul rezolvării și a metodologiei de lucru;
Etapa de obținere a rezultatului final și de evaluare a acestuia din toate punctele de vedere;
Etapa de personalizare a noilor achiziții, de integrare a lor în sistemul cognitiv propriu.
Figura5.1. Etapele învățării prin problematizare
Exemplu:
Tema: Relații metrice în triunghi dreptunghic.Teorema înălțimii.
Tipul lecției: Lecție de transmitere de noi cunoștințe
Etapa lecției: Dirijarea învățării
Activitatea profesorului:
– formulează verbal problema, și cere unui elev să scrie ipoteza și să realizeaze figura 5.2. corespunzătoare la tablă; lasă elevilor 5 minute pentru redactare și cercetarea figurii.
– Prezintă materialul-stimul: Fie ABC un triunghi dreptunghic cu m(∢A) = 90° și AD perpendiculara din A pe BC. Ar putea avea loc relația:
= și dacă da, de ce?
Figura 5.2.
– sprijină elevii în sesizarea situației-problemă și urmărește dezvoltarea spiritului de observație al elevilor, puterea de a sintetiza, de a raționa deductiv, de a-și sistematiza concluziile;
– organizează și conduce dezbaterile care precedă rezolvarea problemei și a situației-problemă;
– coordonează procesul de rezolvare a problemei și a situației-problemă, de găsire și validare a soluției;
– acordă ajutor minim necesar elevilor în demersurile rezolutive prin întrebări cum ar fi:
„La ce metodă se apelează, de obicei, când trebuie să demonstrăm egalități de două rapoarte sau de produse de câte două lungimi de segmente?”
„Sunt oare în figura obținută triunghiuri asemenea și de ce?”
„Cum v-ați dat seama?”
– coordonează procesul de fixare, sistematizare, operaționalizare și aplicare a noilor achiziții;
– stimulează și sprijină elevii în demersurile și eforturile lor de reflecție personală, de gândire, de acțiune intelectuală și fizică.
Activitatea elevilor:
Elevii observă în figura 5.2. perechi de triunghiuri dreptunghice formate din segmentele ce formează proporția dată și încearcă dirijat să arate că sunt asemenea astfel:
-se transcrie de către elevi, pe tablă, raționamentul deductiv:
Se arată că triunghiurile ABD și CAD sunt asemenea.
, rezultă conform cazului U.U de asemănare că ∆ABD ~ ∆CAD ⇒ = = .
Se aleg rapoartele care intră în relația de demonstrat.
= .
5.1.2.Strategia învățării prin descoperire
După (Mușata-Dacia Bocoș,2013,p.308) între descoperire și problematizare există o legătură foarte strânsă, astfel:
ambele sunt integrate și integrabile în demersuri euristice;
ele au o bază comună de evoluție, în sensul că descoperirea este dependentă de existența problemei/situației-problematice și se desfășoară într-un cadru problematizant (activitatea de descoperire a elevului implică o activitate prealabilă de cercetare, care are ca punct de plecare o problemă);
problematizarea, respectiv punerea unei probleme/situații-problemă și rezolvarea ei, se finalizează cu o descoperire, astfel că problematizarea ar putea fi considerată în instruirea interactivă un punct de plecare, iar descoperirea un punct de sosire;
problematizarea se referă la întregul proces de sesizare, punere și rezolvare a problemei, la întregul demers rezolutiv desfășurat de elevi: analize, formulare de ipoteze, verificarea lor, încercări, experimentări etc.;
descoperirea se referă strict la momentul rezolutiv, de soluționare a problemei, este considerată o continuare și o întregire a problematizării, momentul final al acestuia;
problematizarea îi învață pe elevi strategiile euristice ale descoperirii, iar descoperirea presupune aplicarea acestora în înlăturarea unor dificultăți-obstacol și în rezolvarea unor probleme, deci în problematizare;
ele pot fi considerate două etape ale demersului euristic a căror succesiune permanentă asigură o învățare activă și interactivă, prin descoperire,creatoare.
„Învățarea prin descoperire reprezintă acea modalitate de participare activă și interactivă a elevilor în procesul didactic care constă în efectuarea de activități și investigații proprii, independente (individuale sau colective), orientate în direcția cercetării, reconstrucției și redescoperirii adevărurilor științifice și a metodelor de elaborare a acestora” (Mușata-Dacia Bocoș,2013,p.308) .
De aceea învățarea prin descoperire o considerăm ca și învățarea prin problematizare o metodă de învățământ, iar descoperirea ca și problematizarea le considerăm concepții didactice, strategii.
Predarea prin descoperire reprezintă după (Mușata-Dacia Bocoș,2013,p.309) „ansamblul demersurilor întreprinse de profesor în scopul organizării și conducerii activității de învățare prin descoperire a elevilor și al generării unor experiențe de învățare dezirabile ca urmare a implicării elevilor în situații de învățare euristică”. Predarea prin descoperire poate include:
punerea elevilor în situații de instruire interactivă, în care ei să redescopere cunoștințe și adevăruri, crearea, organizarea și descrierea de probleme și situații-problemă;
acordarea unui ajutor minim elevilor pentru însușirea noilor achiziții prin propriile lor eforturi;
coordonarea procesului de fixare, sistematizare și aplicare a noilor achiziții;
stimularea și sprijinirea elevilor în demersurile și eforturile lor de reflecție personală, de gândire, acțiune etc.
Descoperirile didactice realizate în procesul instruirii interactive sunt de fapt semidescoperiri deoarece este extrem de puțin probabil ca un elev prin propriile sale eforturi, prin propriile sale forțe intelectuale și motrice să reușească singur să-și propună investigații, strategii de lucru și să realizeze descoperiri. Este necesară o îndrumare exterioară minimă realizată de profesor în procesul descoperirii (formulări de probleme/situații-problemă, de întrebări-problemă, de întrebări cu rol ajutător, oferire de sugestii, puncte de sprijin, conducerea discretă a demersurilor elevilor, validarea soluțiilor). De aceea se consideră învățarea prin descoperire că este dirijată și ele constituie de fapt redescoperiri întrucât rezultatele descoperirilor realizate de elev, adevărurile la care acesta ajunge sunt noi doar pentru el, de fapt ele au fost descoperite, analizate și verificate de oamenii de știință.
Tipuri de descoperiri după (Mușata-Dacia Bocoș,2013,p.310-311):
Descoperiri inductive-bazate pe raționamente de tip inductiv, în care gândirea parcurge drumul de la particular la general, trecând de la fapte concrete la generalizări sub forma noțiunilor, definițiilor, legilor, principiilor etc. În descoperirile inductive, elevii efectuează analize, sistematizări, clasificări, ordonări, ierarhizări. Interpretări de date și informații obținute prin investigații directe etc.
Descoperiri deductive-bazate pe raționamente de tip deductiv, în care gândirea parcurge drumul de la general la particular, trecând de la cauză la efect, de la generalizări la fapte concrete, la situații particulare. În descoperirile deductive, elevii, combinând anumite idei generale, ajung la judecăți particulare și confruntă situațiile particulare cu principiul general.
Descoperiri transductive-bazate pe raționamente transductive, care sunt asociate cu gândirea artistică sau imaginativă. În aceste tipuri de descoperiri, gândirea parcurge drumul de la particular la particular sau de la general la general, elevii organizează date și elemente care pot fi concrete sau abstracte și elaborează produse materiale.
Descoperiri analogice/prin analogie-bazate pe raționamente analogice, în care gândirea parcurge drumul de la particular la particular sau de la general la general, stabilindu-se relații logice tranzitive între date, respectiv transferându-se o proprietate a unui obiect, fenomen, proces, la altul, aflat în relație cu primul.
Etapele învățării prin descoperire:
Etapa de sesizare a problemei/situației-problemă de către elevi, de conștientizare și confruntare cu ea, de analiză a ei, de inducere la elevi a disponibilității și a dorinței de a o rezolva. Precum și a comportamentului de căutare, investigare, explorare, experimentare, cercetare, descoperire, invenție etc.
Etapa de căutare independentă a soluțiilor la problema pusă și de realizare a actului descoperirii.
Formalizarea rezultatelor descoperirii, respectiv formularea, verbalizarea, abstractizarea și generalizarea concluziilor, pe baza unor idei, principii, generalizări fundamentale.
Etapa de personalizare a noilor achiziții, de integrare a lor în sistemul cognitiv propriu al elevilor în viziune sistematică și de aplicare creatoare a rezultatelor descoperirii în contexte situaționale diferite, în vederea integrării și fixării lor eficiente în repertoriul lor de achiziții.
Activitatea profesorului în etapele învățării prin descoperire este de a-i sprijinii pe elevi să formuleze problema, de a le induce dorința de a o rezolva, de a conduce învățarea, de a-i ghida și obține feedback formativ și sumativ, de a valida soluția.
Figura 5.3.Etapele învățării prin descoperire
Exemplul prezentat la 5.1.1. s-ar putea finaliza prin descoperirea de către elevi a teoremelor înălțimii astfel:
Cum se mai poate scrie relația: = .
Elevii deduc aplicând proprietatea fundamentală a proporțiilor că:
= BD ∙ DC.
Profesorul trage concluzia că împreună au descoperit una dintre cele mai importante teoreme din geometria plană. Se încearcă formularea și notarea în caiete de către elevi a enunțului:
„Teorema înălțimii: Într-un triunghi dreptunghic, lungimea înălțimii corespunzătoaare ipotenuzei este media geometrică a lungimilor proiecțiilor catetelor pe ipotenuză”.
Sau un alt exemplu:
Tema: Teorema lui Pitagora.
Tipul lecției: Lecție de transmitere de noi cunoștințe
Etapa lecției: Dirijarea învățării
Profesorul împarte elevii în trei grupe eterogene, apoi le prezintă sarcina pe care trebuie să o realizeze cu ajutorul materialului pe care îl au la dispoziție: coli de carton, foarfecă, riglă gradată.
Elevii au ca sarcină să decupeze trei pătrate cu lungimile laturilor diferite astfel:
Prima grupă va decupa pătrate cu lungimile laturilor de: 3cm, 4cm și 5cm;
A doua grupă va decupa pătrate cu lungimile laturilor de: 6cm, 8cm și 10cm;
A treia grupă va decupa pătrate cu lungimile laturilor de: 5cm, 12cm și 13cm.
Apoi li se cere să așeze cele trei pătrate obținute ca în figura 5.4.
Figura 5.4.
Elevii vor descoperi că cele trei pătrate formează în interior un triunghi dreptunghic cu catetele având lungimi egale cu lungimile laturilor pătratelor mic și mijlociu, iar ipotenuza având lungimea laturii egală cu lungimea laturii pătratului mai mare.
Apoi se cere elevilor să calculeze aria fiecărui pătrat și apoi să completeze pe rând fiecare grupă tabelul de pe tablă astfel:
Elevii enunță verbal ce au descoperit, și anume că: Suma pătratelor lungimilor catetelor unui triunghi dreptunghic este egal cu pătratul lungimii ipotenuzei.
Profesorul le spune că au descoperit o teoremă importantă și anume „Teorema lui Pitagora”.
Sau un alt exemplu:
Tema: Reciproca teoremei lui Pitagora.
Tipul lecției: Lecție de transmitere de noi cunoștințe
Etapa lecției: Dirijarea învățării
Profesorul împarte elevii în două grupe eterogene, apoi le prezintă sarcina pe care trebuie să o realizeze cu ajutorul materialului pe care îl au la dispoziție: coli de carton, foarfecă, riglă gradată.
Elevii au de decupat pătrate cu lungimile laturilor diferite astfel:
Prima gupă va decupa pătrate cu lungimile laturile de:a) 4cm, 5cm și 6cm; b) 3cm, 4cm și 5cm; c)2cm, 3cm și 4cm.
A doua grupă va decupa pătrate cu lungimile laturile de: a)5cm, 6cm și 7cm; b)5cm, 12cm și 13cm; c) 3cm, 4cm și 6cm.
Apoi li se cere elevilor să așeze cele trei pătrate obținute ca în figura 5.4.
Elevii vor descoperi că cele trei pătrate formează în interior un triunghi: a) obtuzunghic, b) dreptunghic și c) ascuțitunghic.
Apoi li se cere elevilor să calculeze aria fiecărui pătrat și apoi să completeze pe rând fiecare grupă tabelul de pe tablă astfel:
Elevii enunță verbal ce au descoperit din tabel:
Într-un triunghi:
Dacă pătratul lungimii celei mai lungi laturi este mai mare decât suma pătratelor lungimilor celorlalte două laturi, atunci triunghiul este obtuzunghic.
Dacă pătratul lungimii celei mai lungi laturi este egal cu suma pătratelor lungimilor celorlalte două laturi atunci triunghiul este dreptunghic.
Dacă pătratul lungimii celei mai lungi laturi este mai mic decât suma pătratelor lungimilor celorlalte două laturi, atunci triunghiul este ascuțitunghic.
Profesorul le spune că au descoperit o teoremă importantă numită „Reciproca teoremei lui Pitagora” pe care elevii și-o notează în caiete: „ Dacă într-un triunghi pătratul lungimii celei mai lungi laturi este egal cu suma pătratelor lungimilor celorlalte două laturi, atunci triunghiul este dreptunghic”.
5.1.3 Modelarea matematică
Modelarea ca metodă pedagogică este definită ca un mod de lucru prin care gândirea elevului este condusă la descoperirea adevărului cu ajutorul modelului, grație raționamentului prin analogie.( Doina Varna,Metodica predării matematicii p 25). S-a constatat existența a două categorii de modelare: similară și analogică.
Modelarea similară se aplică în mai mica măsură la matematică și constă în realizarea unui model de aceeași natură cu originalul, care să permit observarea trăsăturilor esențiale ale originalului;
Modelarea analogică nu presupune o asemănare perfectă cu originalul, ci numai o analogie după cum este și denumirea.
Momentele cunoașterii în procesul modelării sunt:
Trecerea de la original la model;
Experimentarea pe model;
Transferul rezultatelor obținute pe original;
Verficarea existenței la original a proprietăților obținute pe model.
Trecerea de la original la model se face prin simplificare, dar aceasta nu trebuie să fie exagerată și să nu omită unele trăsături esențiale.Modelul este purtătorul unei informații, care poate fi exprimată prinr-un suport material sau ideal.
Clasificarea modelelor:
Modele materiale( machete, corpuri geometrice, circuite, scheme, grafice)
Modele ideale: modele grafice, modele logice, modele matematice.
În învățarea matematicii se conferă modelului o valoare euristică, deoarece prin utilizarea lui se dezvoltă capacitatea de analiză, sinteză, spiritul de observație, creativitatea și flexibilitatea raționamentului. Prin crearea de modele, matematica nu va mai părea o știință gata făcută ci ajută elevul să o descopere.
5.1.4. Metoda învățării prin cooperare
Metoda învățarii prin cooperare este o metodă didactică bazată pe organizarea, în funcție de obiective operaționale bine stabilite, a unei munci colective fondate pe complementaritate și convergență teleologică, orientate spre asigurarea aspectului social al învățării și care vizează dezvoltarea deprinderilor de comunicare interpersonală, a interacțiunilor, a competențelor și comportamentelor sociale, de tip interactionist și comunicativ ale elevilor( Ionescu, Bocoș,2001; Bocoș, 2002; Popa, 2010).
Învățarea prin cooperare este o strategie de instruire structurată și sistematizată a grupurilor mici de elevi, astfel încât aceștia să poată lucra împreună urmând ca fiecare membru al grupului să-și îmbunătățească performanțele proprii și să contribuie la creșterea performanțelor celorlalți membrii ai grupului. ( Johnson R., Johnson D., Holubec E., 1994)
J.M.Monteil( 1997,p. 89) arată că cercetările au demonstrate că ”situațiile de învățare structurate cooperative sunt mai eficiente decât situațiile de învățare structurate competitive. Ele au un efect pozitiv în privința mai multor dimensiuni ale comportamentului: motivație, strategii de raționament, percepția celuilalt etc.” În învățarea prin cooperare, comunicarea active presupune interacțiuni și schimbări intelectuale, verbal, social-emoționale și afective: professor- elev, elev- profesori, elev- elev, elev- echipă, echipă- echipă mediate de conținuturile curriculare( Mușata- Dacia Bosoș, 2013, p.320).
Etapele învățării prin cooperare:
Realizarea de destructurări cognitive, etapă în care membrii grupului se confruntă cu sarcinile cooperative, acceptă formularea diferitelor idei, descompunerea, disocierea, fragmentarea și confruntarea lor, dezbaterea, pentru a face posibilă circulația ți confruntarea valorilor;
Reflecția și tatonarea, etapă care constă în luarea inițiativei de către membrii grupului, care se angajează într-un proces de reflecție, căutare comună, tatonare, cercetare și învățare;
Realizarea de interacțiuni și schimburi verbale între membrii grupului și între aceștia și profesor pentru sedimentarea ideilor, în cadrul unei dezbateri colective;
Structurarea/ construcția colectivă a noii cunoașteri în cadrul unei dezbateri colective și a unui bilanț colectiv, susceptibile de a contribui la introducerea de noi achiziții- cunoștințe, competențe, comportamente, asupra cărora se va putea purta un dialog plurirelațional și rațional, în vederea organizării, sistematizării și consolidării noului.
Avantajele metodei:
Metodele de învățare prin cooperare consolidează atitudinile pozitive față de învățare, pot îmbunătăți performanțele, rezultatele școlare și stima de sine ale elevilor, putând promova interacțiunea pozitivă și sprijinul reciproc între elevi.
5.1.5. Algoritmizarea
Un algoritm este ” o suită ordonată de operații necesare atingerii unui scop, rezolvării unei probleme”( G. Nuntziati, 1990) sau ” O schema logică sau activitate schematic prinsă într-un sistem” (ST. Stoian, Cercetarea pedagogică, E.D.P., 1969).
Caracteristicile unui algoritm sunt:
Precizie;
Măsură;
Generalitate;
Rezolubilitate.
L.N.Landa, părintele algoritmizării, spunea că :” algoritmul are propritatea de a direcționa univoc acțiunile individului în rezolvarea problemelor” ( L.N.Landa, 1973,p 228-229).
Folosită initial în matematică, noțiunea de algoritm a dobândit în ultima vreme o circulație largă, o data cu dezvoltarea ciberneticii și cu folosirea calculatoarelor, care funcționează pe bază de algoritmi.
După modul de utilizare, algoritmii se clasifică în:
Algoritmi pentru descrierea obiectivelor;
Algoritmi de conținut;
Algoritmi de identificare;
Algoritmi de rezolvare;
Algoritmi motrici;
Algoritmi de instruire;
Algoritmi de predare;
Algoritmi de învățare;
Algoritmi pentru descrierea evaluării;
Algoritmi pentru descrierea reglării prin feed-back.
5.1.6. Metoda mozaicul
Metoda mozaicul (Jigsaw puzzle) sau metoda grupurilor interdependente presupune învățarea în echipă sau invățarea prin cooperare la nivelul unui grup si predarea achizițiilor dobandite de către fiecare membru al grupului, unui alt grup. Fiecare elev are o sarcină de studiu în care trebuie să devină expert. El are în același timp și responsabilitatea transmiterii informațiilor asimilate, celorlalți colegi.
În cadrul acestei metode rolul profesorului este mult diminuat, el intervine la începutul lecției când împarte elevii în grupurile de lucru și trasează sarcinile și la sfârșitul activității când va prezenta concluziile activității.
Etapele realizării metodei mozaicului :
1)Pregătirea materialului de studiu, a conținutului-stimul al învățării
Profesorul stabilește tema de studiu și o împarte în 4 sau 5 subteme. Opțional, poate stabili pentru fiecare subtemă, elementele principale pe care trebuie să pună accentual elevul, atunci când studiază materialul în mod independent.Acestea pot fi formulate fie sub formă de întrebări, fie afirmativ, fie un text eliptic care va putea fi completat numai atunci când elevul studiază materialul.
Realizează o fișă-expert în care trece cele 4 sau 5 subteme propuse și care va fi oferită fiecărui grup.
2)Organizarea clasei în echipe/grupe de învățare de câte 4-5 elevi (în funcție de numărul lor în clasă) numite „grupuri-casă”.
Fiecare elev din echipă, primește o literă (A, B, C, D) și are ca sarcină să studieze în mod independent, subtema corespunzătoare literei sale.
El trebuie să devină expert în problema dată.
În faza independentă fiecare elev studiază subtema lui, citește textul corespunzător; studiu independent poate fi realizat și ca team pentru acasă.
3)Constituirea grupului de experți
După ce au parcurs faza de lucru independent, experții cu aceeași literă se reunesc, constituind grupe de experți pentru a dezbate problema împreună. Astfel, elevii cu litera A, părăsesc echipele de învățare inițiale și se adună la o masă pentru a aprofunda subtema din Fișa „A”. La fel procedează și ceilalți elevi cu literele B, C, și D. Dacă grupul de experți are mai mult de 6 membri, acesta se divizează în două grupe mai mici.
În faza discuțiilor în grupul de experți elevii prezintă un raport individual asupra a ceea ce au studiat independent. Au loc discuții pe baza datelor și a materialelor avute la dispoziție, se adaugă elemente noi și se stabilește modalitatea operațională în care noile cunoștințe vor fi transmise și celorlați colegi din echipa inițială(grupul-casă).
Fiecare elev este membru într-un grup de experți și face parte dintr-o echipă de învățare.
Scopul fiecărui grup de experți este să se instruiască cât mai bine, având responsabilitatea propriei învățări și a predării realizate în echipele inițiale.
4)Reîntoarcerea în echipa inițială de învățare
Elevii revin în grupurile-casă și predau conținutul în care sunt experți celorlalți colegi (predare reciprocă), care pot pune întrebări suplimentare experților, în același timp, experții asimilează cunoștințele transmise de colegii lor,experți în alte subteme. Modalitățile de predare trebuie să fie coerente, concise, atractive. Specialiștii într-o subtemă pot demonstra o idee, citi un raport, folosi computerul, pot ilustra ideile cu ajutorul diagramelor, desenelor, fotografiilor. Important este ca, la sfârșitul lecției, fiecare elev să cunoască întregul text de studiat. Este recomandabil ca fiecare elev sa-și întocmească propriul plan de idei.
5)Evaluarea
Grupele prezintă rezultatele întregii clase. În acest moment elevii demonstrează ce au învățat. Profesorul poate adresa întrebări, poate cere un raport sau un eseu ori poate da spre rezolvare fiecărui elev o fișă de evaluare.
6)Realizarea de aprecieri, comentarii, completări, în colectivul clasei
Fiind o metodă de învățare prin cooperare are următoarele:
– stimularea încrederii în sine a elevilor;
– dezvoltarea abilităților de comunicare argumentativă și de relaționare în cadrul grupului;
– dezvoltarea gândirii logice, critice și independente;
– dezvoltarea răspunderii individuale și de grup;
– optimizarea învățării prin predarea achizițiilor altcuiva.
Organizarea activităților pe grupe este cea mai eficientă formă de organizare a elevilor deoarece permite creșterea responsabilităților fiecărui elev în propriul proces de formare și de implicare a acestuia în activitățile de predare. În cadrul acestei forme de organizare elevii se ajută între ei, dezvoltându-se astfel abilitățile de cooperare, iar cei cu dificultăți de învățare sau mai timizi prind curajul de a întreba si implicit de a se implica. Cadrul didactic are posibilitatea să observe comportamentele verbal și nonverbale ale elevilor și să ofere feedback cognitiv și afectiv permanent.
Exemplu:
Tema: Relații metrice în triunghiul dreptunghic.
Tipul lecției: Lecție de transmitere de noi cunoștințe
Etapa lecției: Dirijarea învățării
Tema „Relații metrice în triunghiul dreptunghic” este împărțită de către profesor în patru subteme astfel se elaborează patru fișe:
Fișa A: Teorema înălțimii
Enunț: Într-un triunghi dreptunghic, lungimea înălțimii corespunzătoaare ipotenuzei este media geometrică/proporțională a lungimilor proiecțiilor catetelor pe ipotenuză.
AD= = BD ∙ DC
Figura 5.5
Exemplu: În figura 5.5, dacă BD= 9 cm și DC= 16cm atunci rezultă din teorema înălțimii că
= 9∙ 16= 144(cm) ⇒AD= = 12 (cm).
Fișa B: Teorema catetei
Enunț: Într-un triunghi dreptunghic, lungimea unei catete este media geometrică/ proporțională a lungimii proiecției sale pe ipotenuză și a lungimii ipotenuzei.
= BC ∙ BD și = BC ∙ CD sau
AB= și AC=
Exemplu: În figura 5.5 ,dacă BC=18 cm și BD= 6 cm atunci rezultă din teorema catetei că
= BC ∙ BD = 18 ∙ 6 = 108 (cm) ⇒ AB = = 6 (cm).
DC = BC- BD = 18 – 6 = 12 (cm) atunci rezultă din teorema catetei că
= BC ∙ CD =18 ∙ 12 = 21 (cm)v ⇒ AC = = 6 (cm).
Fișa C: Teorema lui Pitagora
Enunț: Într-un triunghi dreptunghic, pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimilor catetelor.
+ = .
Exemplu:În figura 5.5, dacă AB =5 cm și AC = 12 cm atunci rezultă din teorema lui Pitagora că = + =+ = 25+144=169 (cm) ⇒ BC= = 13 (cm).
Fișa D: Reciproca Teoremei lui Pitagora
Enunț: Dacă într-un triunghi suma pătratelor lungimilor a două laturi este egală cu pătratul lungimii laturii a treia, atunci triunghiul este dreptunghic.
Exemplu: Un triunghi are lungimile laturilor de 3 cm, 4 cm și 5 cm.
Deoarece + = 9 + 16 = 25 =⇒ din reciproca teoremei lui Pitagora că triunghiul este dreptunghic.
Se împarte clasa în patru grupe eterogene. În fiecare grup, elevii își vor alege una din literele A, B, C sau D. Se vor forma alte 4 grupe de experți astfel fiecare elev care are litera A vor forma o nouă grupă, la fel cei cu litera B, C sau D. Li se explică elevilor că vor deveni experți în grupă, și vor primi câte o fișă de lucru pe care după 15 minute vor trebui să o explice colegilor din grupele inițiale. Se împart fișele de experți numerotate cu literele A, B, C sau D astfel încât toți elevii din grupa A să primească fișa A și celelelte grupe fișele B, C sau D. Elevii le discută în grup, profesorul dirijează/ monitorizează activitatea fiecărei grupe.
După 15 minute, se refac grupele inițiale, în care vor exista experți în fiecare teoremă. Fiecare expert, explică celorlalți colegi, teorema învățată, colegii notând pe caiete. După 15 minute, fiecare elev, va avea toate teoremele explicate. Profesorul intervine ori de câte ori simte că este nevoie.
Metoda mozaicului are avantajul că implică toți elevii în activitate și că fiecare dintre ei devine responsabil, atât pentru propria învățare, cât și pentru învățarea celorlalți.
5.1.7. Brainstormingul/Asaltul de ideei
Metoda brainstorming/a asaltului de ideei ( după Mușata-Dacia Bocoș,2013,p 430) este o metodă interactivă care presupune generare de idei într-o situație de grup pentru a găsi cea mai potrivită soluție a unei probleme de rezolvat. Pentru un brainstorming eficient, inhibițiile și criticile vor fi lăsate de-o parte. Este cea mai răspândită metodă de stimulare a creativității în condițiile activității în grup. Se expune un concept, o idee sau o problemă și fiecare își spune părerea despre cele expuse și absolut tot ceea ce le trece prin minte. Principiile pe care se bazează sunt „cantitatea determină calitatea” și „evaluarea ideilor este amânată”.
Aceeastă metodă dacă este dirijată de profesor oferă posibilitatea tuturor elevilor de a participa la dezbateri cu idei dar trebuie respectate câteva reguli:
1. Nu judecați ideile celorlalți – cea mai importantă regulă.
2. Încurajați ideile neconvenționale sau exagerate.
3. Puneți accentul pe cantitate, nu calitate în acest punct.
4. Notați tot.
5. Fiecare elev este la fel de important.
6. Ideile nasc idei.
7. Evitați blocajul de exprimare.
Etapele unui brainstorming eficient( după Mușata- Dacia Bocoș, 2013,p 431) sunt următoarele:
1) anunțarea temei și a obiectivelor urmărite în care se prezintă scopul acesteia și se discută regulile de bază care vor fi utilizate;
2) faza de divergență în care participanții emit numeroase idei, soluții, fără nici o restricție, Se încurajează cursul liber al ideilor, care poate da naștere la asociații inedite, care să ducă la intuirea unor soluții inspirate și deosebite pentru rezolvarea problemei;
3) faza de realizare a criticii și a evaluării în care profesorul examinează critic toate părerile care au fost notate și puse în discuție, prin exersarea operațiilor logice ale gândirii, a raționamentului inductive, deductive și analogic, prin organizare de dezbateri. Se face și o evaluare a sesiunii de brainstorming și a contribuției fiecărui participant la derularea sesiunii. Pot fi luate în considerare pentru evaluare: talentele și aptitudinile grupului, repartiția timpului și punctele care au reușit să fie atinse. Ideile emise pot fi: strălucite- cele care servesc rezolvării temei discutate; valoroase – cele care mai necesită prelucrare; utilizabile pentru alte teme; neutilizabile;
4) faza de convergență în care evaluarea este realizată de profesor împreună cu elevii selectând și notând ideile mai importante.
5) faza de stabilire a concluziilor reuniunii brainstorming
Pe timpul desfășurării brainstormingului se evită orice spirit critic, autocritic, evaluator și se încurajează emiterea de idei originale și manifestarea liberă a imaginației.
Exemplu:
Tema: Noțiuni de trigonometrie în triunghiul dreptunghic.
Tipul lecției: Lecție de fixare și sitematizare a cunoștințelor
Etapa lecției: Dirijarea învățării
Profesorul scrie pe tablă următoarea problemă:
„ Trapezul dreptunghic ABCD cu AB CD, m( ∢ A) = m( ∢D)= 900, are m(∢B)= 450 și diagonala AC BC. Știind că BC = 16 cm, calculați perimetrul trapezului și lungimile diagonalelor.”
Profesorul solicită elevilor să-și exprime toate ideile legate de rezolvarea problemei fără a critica părerile colegilor.
Se propun strategii de rezolvare a problemei.
Se înregistrează toate ideile în scris pe tablă. Profesorul notează toate propunerile elevilor.
Se analizează toate ideile propuse pe rând și gruparea lor pe categorii, cuvinte cheie: rapoarte trigonometrice si teoreme învățate la capitolul relații metrice în triunghiul dreptunghic și nu numai.
Se analizează critic, evaluează, argumentează, contraargumentează ideile emise anterior și apoi se selectează ideile cele mai apropiate de soluțiile corecte pentru rezolvarea problemei .
Se pot pune întrebări ajutătoare cum ar fi: Ce triunghiuri dreptunghice observați în figură?, Ce fel de triunghi este ABC? Cum se poate afla lungimea segmentului AB? Dar AD?
Se notează ideile rezultate cele mai concludente pentru rezolvarea problemei.
În urma discuțiilor avute cu elevii, trebuie să rezulte strategia de rezolvare a problemei. Aceasta poate fi dată sub forma unor indicații de rezolvare de tipul: alegeți triunghiul ABC și aplicați rapoarte trigonometrice, apoi fie alegeți triunghiul ADC dreptunghic isoscel și aplicați tot rapoarte trigonometrice sau teorema lui Pitagora.
5.1.8. Tehnica ciorchinelui
Tehnica ciorchinelui presupune stabilirea unor conexiuni logice între idei, care stimulează gândirea divergentă. Poate fi folosită cu succes atât la începutul unei lecții pentru reactualizarea cunoștințelor predate anterior, cât și în cazul lecțiilor de sinteză, de recapitulare, de sistematizare a cunoștințelor. Ciorchinele poate fi realizat individual sau pe grupe, depinzând de caracterul activității sau de performanțele dorite.
Etapele parcurgerii metodei ciorchinelui:
1) Se scrie un cuvânt / sintagmă (care urmează a fi cercetat) în mijlocul tablei sau a unei coli de flipchart sau al unei pagini.
2) Elevii vor fi solicitați să-și noteze toate ideile, sintagmele sau cunoștințele pe care le trec prin minte în legătură cu tema respectivă, în jurul cuvântului nucleu, trăgându-se linii între acestea și cuvântul inițial. Nu se judecă și evaluează ideile.
3) Activitatea se oprește când se epuizează toate ideile sau când expiră timpul alocat.
Avantajele acestei tehnici de învățare sunt:
dobândirea cunoștințelor într-o formă atractivă;
învățarea este eficentă și de durată deoarece elevii participă activ și conștient în cadrul activității;
dezvoltă gândirea, imaginația și capacitățile creatoare ale elevilor;
vizează rezolvarea sarcinilor propuse cu ajutor colegiilor, dezvoltând spiritul de cooperare, colegialitatea.
Exemplu:
Tema: Relații metrice în triunghiul dreptunghic.
Tipul lecției: Lecție de fixare și sitematizare a cunoștințelor
Etapa lecției: Reactualizarea cunoștințelor predate anterior
Profesorul cere unui elev să deseneze în mijlocul tablei „triunghiul ABC dreptunghic în A ”, apoi cere elevilor să emită toate ideile învățate anterior despre tema dată și să noteze în jurul ei cu ajutorul trasării unor linii aceste idei.
Figura 5.6
Elevii pot fi sprijiniți și dirijați cu ajutorul unor întrebări adresate de către profesori, cum ar fi:
-Trasați înălțimea AD perpendiculară pe BC.
-Cum se numesc laturile unui triunghi dreptunghic?
-Care sunt relațiile metrice învățate referitor la acest triunghi?
-Scrieți relațiile metrice pentru triunghiul dreptunghic ABC desenat pe tablă.
– Care sunt teoremele specifice triunghiului dreptunghic învățate anterior?
– Cum sunt unghiurile ascuțite ale unui triunghi dreptunghic?
– Care este aria triunghiului dreptunghic?
După epuizarea tuturor ideilor ciorchinele este finalizat.
5.1.9 .Metoda piramidei sau bulgărele de zăpadă
Metoda piramidei sau bulgărele de zăpadă este o metodă de învățare-evaluare, interactivă centrată pe elev, fiind, de fapt, o combinare a activității individuale cu cea pe grupe. Această metodă presupune mai întâi activitatea individuală a fiecărui elev, rezultatele acestei activități fiind discutate mai departe în grupe de elevi, pentru a ajunge la sfârșit la rezolvarea problemei propuse frontal.
Etapele organizării unei activități prin metoda piramidei:
1)Etapa individuală – elevilor li se acordă de obicei 5 minute, pentru a rezolva fiecare o anumită problemă, un anumit exercițiu.
2)Etapa pe perechi – elevii se grupează câte doi, în pereche, verificându-și reciproc rezultatul obținut la problema pusă inițial, dar și răspunzându-și reciproc la întrebările care apar în interiorul perechii.
3)Etapa de grupuri de patru elevi – se formează grupe de către patru elevi, grupându-se, de fapt, perechile anterioare câte două. Elevii verifică rezultatele obținute, formează un nou răspuns la problema pusă, la formularea lui aducându-și aportul fiecare elev din grup, răspunzând la toate întrebările ivite între membrii grupului.
4)Etapa pe întreaga clasă – grupurile își aleg un căpitan, un reprezentant, acesta prezentând în fața întregii clase rezultatele finale la care au ajuns membrii grupului reprezentat de el. Acestea sunt notate de către profesor pe tablă, pentru celelalte grupe acționându-se la fel. În acest fel se vor reliefa răspunsurile care se aseamănă și cele care sunt diferite, la sfârșit trăgându-se concluziile asupra problemei propuse inițial.
Avantajele acestei metodei sunt:
Se îmbină foarte frumos organizarea clasei individual, pe perechi, pe grupe și apoi frontal, această metodă obișnuind elevii cu toate aceste moduri de organizare.
Se folosește foarte mult comunicarea între elevi, atât în pereche, în grupe sau frontal, dând posibilitatea elevilor să-și susțină punctul de vedere avut.
Se apelează la învățarea prin cooperare, fiecare aducându-și aportul la rezultatele obținute.
Creșterea progresivă a numărului de membri, de la individual, în perechi, pe grupe și apoi frontal are ca rezultat emiterea de idei noi, dar și verificarea concluziilor trase în fiecare etapă a aplicării metodei.
Dezavantajele înregistrate sunt de ordin evaluativ, deoarece se poate stabili mai greu care și cât de însemnată a fost contribuția fiecărui participant.
Exemplu:
Tema: Rezolvarea triunghiului dreptunghic.
Tipul lecției: Lecție de fixare și sitematizare a cunoștințelor
Etapa lecției: Consolidarea cunoștințelor si asigurarea feed-back-ului
Elevii primesc fiecare câte o fișă cu o problemă dată de profesor de exemplu:
„Rezolvați triunghiul dreptunghic ABC cu m( ∢A)= 900, știind că AD BC, D BC, BD = 8 cm și CD = 18 cm.”
Profesorul anunță că au 5 minute să redacteze singuri pe foaie idei de rezolvare a problemei date. Apoi se grupează în perechi de doi elevi, verificându-și notațiile și discutând între ei modul de rezolvare a problemei. După încă 5 minute perechile se grupează câte două și verifică rezultatele obținute, formulând un răspuns la problema propusă. După cele zece minute elevii își aleg un câte un reprezentant al grupului care să prezinte soluția problemei. Reprezentantul grupului argumentează verbal modul de rezolvare se discută frontal soluția finală corectă și se notează pe tablă și în caiete de toți elevii. Profesorul analizează, și evaluează apoi calitativ soluțiile grupurilor și modul în care au lucrat.
5.1.10. Învățarea bazată pe jocuri didactice
Învățarea bazată pe jocuri didactice ( după Mușata- Dacia Bocoș, 2013, p 372) este o metodă didactică care presupune participarea activă și interactivă a elevilor în procesul de asimilare a noului, în contexte care îmbină elementele instructive și formative cu elemente distractive. Este o metodă care se aplică în momentele când e nevoie de relaxare, de înviorare sau pentru captarea atenției la început de oră. Ed. Claparede afirmă că principala nevoie a elevului este redată de joc. Prin intermediul jocul elevul manifestă activism, reușind să înțeleagă, să dobândescă și să-și formeze o serie de deprinderi și priceperi practice. Acesta își va crea propriul univers în care el se va simți sigur de sine, stâpân pe cunoștințele sale și va încerca să exceleze în raport cu ceilalți. Ȋn opinia lui Vîgoțki „jocul este manifestarea primară a atitudini creative a copiilor față de ceea ce îi înconjoară. Jocul trezește imaginația, crează buna dispoziție, activizează gândirea”.
Există mai multe tipuri de jocuri didactice:
În funcție de scopul urmărit, jocurile didactice pot fi:
De sensibilizare;
De pregătire pentru înțelegerea unor noțiuni noi;
De exersare a achizițiilor;
De aplicare a achizițiilor;
De memorie;
Simbolice;
Pentru formarea reprezentărilor matematice și a gândirii logice.
În funcție de materialul utilizat, jocurile didactice pot fi:
bazate pe modele naturale;
bazate pe modele materiale construite special;
bazate pe modele grafice;
bazate pe completare de rebusuri;
bazate pe utilizare de software etc.
În funcție de modul de organizare a participanților, jocurile didactice pot fi:
Colective;
În perechi;
Pe grupe
Exemplu:
Tema: Noțiuni de trigonometrie în triunghiul dreptunghic.
Tipul lecției: Lecție de transmitere de noi cunoștințe
Etapa lecției: Captarea atenției și descoperirea temei lecției
Elevii primesc o fișă în care au de completat următorul rebus și vor descoperii, în urma rezolvării pe coloana evidențiată, titlul unei noi ramuri a geometriei: trigonometrie
Figura 5.7
5.1.11. Tehnica știu-vreau să știu-am învățat
Tehnica Știu-Vreau să știu-Am învățat este o metodă activ-participativă elaborată de către Donna M. Ogle în anul 1986, care vizează implicarea directă a elevilor în predare-învățarea activității. Spre deosebire de alte metode, ea pune accentul pe ceea ce cunoaște elevul până la momentul respectiv, ceea ce vrea să cunoască și mai ales care este rezultatul final după aplicarea sa, adică ce a învățat elevul după folosirea metodei. Metoda se folosește în dobândirea unor cunoștinte noi, acumularea unor noi experiențe și crearea unor legături între cunoștințele vechi și cunoștințele noi.
Etapele tehnicii știu-vreau să știu-am învățat:
1) Realizarea unui tabel cu următoarele coloane:
Știu – ceea ce elevii știu deja despre tema abordată;
Vreau să știu – ceea ce doresc să știe;
Am învățat – ceea ce au învățat.
2) Prezentarea temei ce urmează a fi studiată;
3) Completarea primei rubrici (coloana ”știu”).Elevii vor trece informațiile pe care le cunosc deja despre tema care urmează a fi studiată:
fiecare elev va spune ce crede și ce știe despre subiectul respectiv;
realizarea unei discuții pentru fixarea ideiilor prezentate.
4) Formularea de întrebări de către elevi referitoare la tema abordată, cu scopul identificării a ceea ce nu se cunoaște încă despre tema respectivă (coloana „vreau să știu”)
identificarea neclaritățiilor elevilor legate de tema abordată;
profesorul îi va ajuta pe elev să-și formuleze întrebările;
5) Abordarea ultimei coloane („am învățat”):
corelarea răspunsurilor obținute cu întrebările adresate;
profesorul verifică dacă au rămas întrebări fără răspuns.
6) Prezentarea concluziilor finale și realizarea unei corelații între toate rubricile tabelului.
Figura 5.8
Avantajele acestei tehnici sunt:
participarea activă a fiecărui elev la derularea activității;
dezvoltarea gândirii critice, vocabularului, creativității;
crearea unei legături între cunoștințele pe care le dețin deja și cunoștințele pe care le vor dobândii pe parcursul activității;
Exemplu:
Tema: Teorema lui Pitagora.
Tipul lecției: Lecție de transmitere de noi cunoștințe
Etapa lecției: Dirijarea învățării
Figura 5.9
5.1.12. Tehnica turul galeriei
Tehnica turul galeriei ( după Mușata – Dacia Bocoș) este o tehnică de învățare prin cooperare, care promovează gândirea și învățarea eficientă, încurajând elevii să își exprime opiniile cu privire la soluțiile propuse de colegi și care permite evaluarea interactivă, formativă și formatoare a produselor realizate de elevi organizați in grupuri mici.
Etapele care trebuie urmate în aplicarea acestei tehnici sunt:
1)Anunțarea sarcinilor de lucru care permite mai multe perspective de abordare sau soluții;
2) Gruparea elevilor câte 3 sau 4;
3) Grupurile lucrează independent, elevii din grup cooperând pentru rezolvarea sarcinii de lucru;
4) Produsele activității sunt valorificate, alcătuindu-se un poster;
5) Posterele se expun pe pereții clasei, care se transformă într-o galerie expozițională;
6) La semnalul profesorului, grupurile trec, pe rând, pe la fiecare poster, le examinează și le discută pe fiecare, își iau notițe și pot face comentarii pe ele;
7) După ce se încheie turul galeriei, fiecare grup își reexaminează propriul poster, citesc și discută observațiile realizate de colegi pe posterul grupului.
Avantajele aceste metode sunt:
formarea și consolidarea deprinderii de ascultare activă;
formarea și dezvoltarea capacității reflective;
dezvoltarea gândirii critice;
stimularea creativității;
dezvoltarea competențelor de relaționare și comunicare;
participarea activă, implicarea tuturor elevilor în realizarea sarcinilor de învățare;
formarea și dezvoltarea competențelor de evaluare și autoevaluare.
PROIECT DIDACTIC
Data:
Unitatea școlară: Școala Gimnazială Cristian
Clasa: a VII-a
Profesor: Tănase Marina Laura
Aria curriculară: Matematică și Științe
Disciplina : Matematică
Unitatea tematică: Relații metrice în triunghi dreptunghic
Subiectul lecției: Teorema lui Pitagora
Tipul lecției: Lecția de transmitere de noi cunoștințe
Competențe specifice:
1. Recunoașterea elementelor unui triunghi dreptunghic într-o configurație geometrică dată
2. Aplicarea relațiilor metrice într- un triunghi dreptunghic pentru determinarea unor elemente ale acestuia
3. Deducerea relațiilor metrice într-un triunghi dreptunghic
4. Exprimarea în limbaj matematic a relațiilor dintre elementele unui triunghi dreptunghic
5. Interpretarea unor relații metrice între elementele unui triunghi dreptunghic
6.Implementarea unei strategii pentru rezolvarea unor situații date, utilizând relații metrice în triunghiul dreptunghic
Obiective operaționale
A.Cognitive:
O1 – să definească teorema înălțimii, a catetei, teorema lui Pitagora;
O2 – să utilizeze teoremele triunghiului dreptunghic pentru a calcula lungimile unor segmente;
O3 – să recunoască elementele triunghiului dreptunghic în diverse probleme;
O4 – să dovedească interes pentru studiul matematicii.
B.Psiho-motorii:
să păstreze ordinea, disciplina și liniștea în clasă pentru buna desfășurare a lecției;
să scrie corect, frumos și îngrijit problemele propuse;
să reprezinte prin desen, în plan, figurile geometrice;
să mânuiască corect instrumentele geometrice.
C.Afective:
să dovedească interes pentru informațiile prezentate, prin participarea activǎ;
dezvoltarea spiritului de observație și a concentrării în rezolvare;
să se conformeze cerințelor profesorului îmbunătățindu-și continuu performanțele;
stimularea curiozității și dezvoltarea simțului critic;
să fie încrezători în capacitatea de a aplica algoritmi de calcul matematic.
Strategii didactice:
Metode și procedee: brainstormingul, turul galeriei, conversația euristică, explicația, exercițiul;
Forme de organizare: individual, frontal, pe grupe;
Mijloace de învățământ: culegere, fișe de lucru.
Resurse
a)materiale: – markere, tablă, caiete de notițe, coli flipchart, trusă de geometrie.
-culegere Matematică pentru cls. a VII-a , ed.Art educațional.
b) umane: clasa de elevi
c) temporale: 50 min
BIBLIOGARAFIE
-Metodica predării matematicii-Dan Brânzei, Roxana Brânzei
-manual matematica clasa a VII, ed. Intuitex, Ion Cicu, Silvia Mareș, Ioana Iacob, Răzvan Ceucă, Andrei Băleanu
-culegere Matematică pentru cls. a VII-a , ed. Litera, ed.Art educațional
Anexa 1
PROBLEMĂ:” Arătați că în triunghiul dreptunghic ABC cu m(∢A) = 90° și AD ⊥ BC are loc relația + =
Grupa 1: Arătați practic că relația este adevărată prin măsurare cu rigla gradată a lungimilor catetelor și ipotenuzeiAveți de desenat cinci triunghiuri dreptunghice diferite . Vă notați măsurătorile făcute și calculul.
PROBLEMĂ:” Arătați că în triunghiul dreptunghic ABC cu m(∢A) = 90° și AD ⊥ BC are loc relația + =
Grupa 2: Veți demonstra relația pe baza ariilor de pătrate.
ROBLEMĂ:” Arătați că în triunghiul dreptunghic ABC cu m(∢A) = 90° și AD ⊥ BC are loc relația + =
Grupa 3: Veși demonstra relația pe baza triunghiurilor asemenea.
PROBLEMĂ:” Arătați că în triunghiul dreptunghic ABC cu m(∢A) = 90° și AD ⊥ BC are loc relația + =
Grupa 4: Veți demonstra relația cu ajutorul teoremei catetei.
Anexa 2
Fișa de lucru
1.Pentru fiecare dintre triunghiurile de mai jos, calculați lungimea laturii necunoscute:
2. Se consideră pătratul ABCD cu latura de 3 cm. Determinați lungimea diagonalei acestui pătrat.
3. În triunghiul isoscel ABC, avem AB = AC = 13 cm și BC = 10 cm. Determinați aria triunghiului ABC .
4. Diagonalele unui romb au 30 cm și 16 cm. Aflați perimetrul rombului.
5. Determinați lungimea înălțimii unui triunghi echilateral cu latura de 10 cm.
5.1.13. Metoda cubului
Este o metodă activ-participativă, care a apărut în anul 1980, având ca scop explorarea unui subiect sau a unei teme prin intermediu celor șase sarcini. Metoda cubului( după Mușata – Dacia Bocoș, 2013, p.405) poate fi aplicată individual, în perechi sau în grupuri mici, pentru abordarea și tratarea complexă, din perspective multiple sau integratoare a unei anumite situații. Prin folosirea acestei metode, tema abordată este analizată din toate punctele de vedere.
Această metodă implică confecționarea și utilizarea unui cub, drept suport al activității didactice.
Figura 5.10 Metoda cubului – sarcinile de pe fețele cubului
Etapele metodei
1) Confecționarea cubului și scrierea sarcinilor de baze pe fiecare față a cubului;
2) Prezentarea temei care urmează a fi dezbătută;
3) Alcătuirea a 6 grupuri eterogene de 4-5 elevi;
4) Prezentarea unor aspecte cheie referitoare la tema propusă;
5) Trecerea temei prin toate sarcinile cubului, adică fiecare elev din fiecare grupă va rezolva individual o sarcină de pe o față a cubului;
6) Prezentarea soluțiilor și informațiilor în fața grupelor de elevi;
7) Discuții și completări referitoare la tema propusă.;
8) Profesorul poate administra elevilor o probă de evaluare cu șase itemi, pentru a stabili în ce măsură tema abordată a fost înțeleasă de aceștia.
Avantajele metodei:
implicarea tuturor elevilor în activitatea de predare-învățare;
aprofundarea și sistematizarea cunoștințelor într-o formă distractivă;
cultivarea spiritului de echipă și al competitivității;
dezvoltă creativitatea, gândirea critică și inteligențele multiple;
dezvoltă capacitățiile de comunicare individuale dar și în cadrul grupului;
oferă elevilor libertatea de a-și exprima propriile păreri, deoarece tema este abordată din toate punctele de vedere;
5.1.14. Metoda R.A.I. (răspunde-aruncă-interoghează)
Metoda R.A.I. vizează „stimularea și dezvoltarea capacităților elevilor de a comunica (prin întrebări și răspunsuri) ceea ce tocmai au învățat.” (Oprea, 2006, 269).Denumirea metodei provine de la inițialele cuvintelor “Răspunde – Aruncă –Interoghează” și poate fi folosită la sfârșitul lecției, pe parcursul ei sau la începutul activității, când se verifică noțiunile anterioare, în scopul descoperirii, de către profesor care asistă la joc, a eventualelor lacune în cunoștințele elevilor și a reactualizării noțiunilor învățate, printr-un joc de aruncarea unei mingi ușoare de la un elev la altul.
Etapele acestei metode sunt:
1) Cel care aruncă mingea trebuie să adreseze o întrebare al cărui răspuns îl cunoaște, celui care o prinde.
2) Cel care prinde mingea răspunde la întrebare și apoi aruncă mai departe altui coleg, adresând o nouă întrebare.
3) Elevul care nu cunoaște răspunsul iese din joc, iar răspunsul va veni din partea celui care a adresat întrebarea. Acesta mai aruncă încă o dată mingea, și mai adresează o întrebare.
Pe parcursul activității, profesorul-observator identifică eventualele carențe în pregătirea elevilor și poate adopta astfel deciziile necesare pentru îmbunătățirea performanțelor acestora, precum și pentru optimizarea procesului de predare-învățare.
Exemplu:
Tema: Rezolvarea triunghiului dreptunghic.
Tipul lecției: Lecție de fixare și sitematizare a cunoștințelor
Etapa lecției: Reactualizarea cunoștințelor predate anterior
Se folosește la începutul lecției pentru verificarea noțiunilor învățate despre triunghiul dreptunghic și reluarea sau clarificarea noțiunilor pe care le-au uitat elevii.
Elevii se vor organiza în cerc și vor adresa întrebări din lecțiile anterioare cum ar fi:
Cum se numește latura opusă unghiului drept?
Ce sunt numerele pitagoreice?
Cu cine este egal sinusul unui unghi?
Cum arătăm că un triunghi este dreptunghic?
Care este relația lui Pitagora ?
Care este teorema catetei?
Cu cât este egal cos 600?
Elevii care au răspuns corect vor fi recompensați.
PROIECT DE LECȚIE
Data:
Clasa: a – VII-a
Obiectul: Matematică-geometrie
Profesor: Tănase Marina Laura
Unitatea de învătământ: Școala Gimnazială Cristian
Unitatea de învățare: Relații metrice în triunghiul dreptunghic
Tema lecției: Rezolvarea triunghiului dreptunghic: Probleme aplicate în viața cotidiană
Tipul lecției: Lecție de recapitulare și sistematizare a cunoștințelor
Durata lecției: 50 minute
Competențe specifice:
1. Recunoașterea elementelor unui triunghi dreptunghic într-o configurație geometrică dată
2. Aplicarea relațiilor metrice într- un triunghi dreptunghic pentru determinarea unor elemente ale acestuia
3. Deducerea relațiilor metrice într-un triunghi dreptunghic
4. Exprimarea în limbaj matematic a relațiilor dintre elementele unui triunghi dreptunghic
5. Interpretarea unor relații metrice între elementele unui triunghi dreptunghic
6.Implementarea unei strategii pentru rezolvarea unor situații date, utilizând relații metrice în triunghiul dreptunghic
Obiective operaționale
A.Cognitive:
O1 – să utilizeze rapoartele trigonometrice în triunghiuri dreptunghice, pentru aflarea unghiurilor;
O2 – să utilizeze teoremele triunghiului dreptunghic pentru a calcula lungimile unor segmente;
O3 – să recunoască elementele triunghiului dreptunghic în diverse probleme aplicate în viața cotidiană;
O4 – analizarea unor situații practice cu ajutorul rapoartelor trigonometrice
O5 – să dovedească interes pentru studiul matematicii.
B.Psiho-motorii:
să păstreze ordinea, disciplina și liniștea în clasă pentru buna desfășurare a lecției;
să redacteze în mod logic rezolvările problemelor propuse;
să reprezinte prin desen, în plan, figurile geometrice;
C.Afective:
să dovedească interes pentru informațiile prezentate, prin participarea activǎ;
dezvoltarea spiritului de observație și a concentrării în rezolvare;
să se conformeze cerințelor profesorului îmbunătățindu-și continuu performanțele;
stimularea curiozității și dezvoltarea simțului critic;
să fie încrezători în capacitatea de a aplica algoritmi de calcul matematic.
Strategii didactice:
Metode și procedee: metoada R.A.I., problematizarea, conversația euristică, explicația, exercițiul;
Forme de organizare: individual, frontal;
Mijloace de învățământ: culegere, fișe de lucru.
Resurse
a)materiale: – markere, tablă, caiete de notițe, trusă de geometrie.
-culegere Matematică 2000+, consolidare pentru clasa a VII-a , ed.Paralela 45,Anton Negrilă, Maria Negrilă,2018
– culegere Matematica 2000+, standard pentru clasa a VII- a,ed. Paralela 45,Gheorghe Iurea, Adrian Zanoschi, 2012
b) umane: clasa de elevi
c) temporale: 50 min
BIBLIOGARAFIE
-culegere Matematică 2000+, consolidare pentru clasa a VII-a , ed.Paralela 45,Anton Negrilă, Maria Negrilă,2018
– culegere Matematica 2000+, standard pentru clasa a VII- a,ed. Paralela 45,Gheorghe Iurea, Adrian Zanoschi, 2012
Anexa 1
1. Un elicopter este la 300 de metri deasupra unei insule mici, din vecinătatea coastei. Dintr-un punct situat pe țărm, la marginea apei, elicopterul se vede sub un unghi de 300. Calculați la ce distanță se află insula față de coastă.
2. Un zmeu de hârtie se înalță în văzduh, legat de un fir de 50 m, care face cu pământul un unghi de 450. Aflați la ce înălțime se află zmeul, dacă firul este bine întins.
3. Folosind datele din figura de mai jos, aflați distanța de la punctul A, situate pe uscat, la copacul C, inaccesibil, situat într-o zonă mlăștinoasă.
4. Un observator, aflat în punctul P, privește din O într-o fântână și vede suprafața apei în A. Aflați adâncimea fântânii până la nivelul apei, știind că punctele O, C și A sunt coliniare.
5. Un funicular coboară buștenii de pe un deal cu înălțimea de 75 m față de orizontală. Lungimea firului funicularului MN = 150 m. Sub ce unghi este întins firul funicularului?
6. Acoperișul unei case este în secțiune un triunghi dreptunghic. Știind că lungimea grinzii AB este de 6 cm și înălțimea AD a acoperișului este de 3,6 m, aflați:
a) sub ce unghi sunt amplasate grinzile AB și AC?
b) lungimea grinzii BC.
7. Alin ( A) și Bogdan ( B) vor să măsoare înălțimea unui turn, dar nu pot să se apropie de baza acestuia și deci nu pot măsura distanța de unde se află până la turn. B plasează un apparat ( teodolit) la 1,5 m de sol și, vizând vârful turnului, măsoară un unghi de 600 cu orizontala. A, situate la distanța de 48 m de B, vizează vârful turnului și măsoară un unghi de 300 cu orizontala. Calculați:
a) lungimile BM și AM;
b) înălțimea turnului.
5.1.15. Metoda predării-învățării reciproce
Aceasta este o strategie de învățare reciprocă în grup care are ca obiective: dezvoltarea comunicării, a cooperării și relaționării in grup, cultivarea respectului față de opiniile celorlalți, exersarea gândirii, creativității, imaginației și vorbirii, exprimarea părerilor, opiniilor, ideeilor cu privire la o problemă, text dat.
Rolul profesorului este luat de către elev care este încurajat să dialogheze cu membrii grupului.
Exemplu:
Tema: Rezolvarea triunghiului dreptunghic
Tipul lecției: Lecție de transmitere de noi cunoștințe
Etapa lecției: Dirijarea învățării
Profesorul scrie pe tablă următoarea problemă: „ În triunghiul dreptunghic ABC, cu m( ∢A) = 900 se cunosc BC = 10 cm și m( ∢C) = 600 ”.
Elevii sunt împărțiți în grupe de 4 elevi, fiecare având câte un rol. Grupele sunt organizate în funcție de nivelul lor de cunoștințe.
Un elev va realiza desenul conform textului dat pe o foaie de flip-chat ;
Alt elev va adresa întrebări ajutătoare rezolvării cerinței date, colegilor din grup ;
Un alt elev clarifică răspunsurile date de membrii grupului și notează ideile emise ;
Un alt elev prezice colegilor printr-un enunț ceea ce au demonstrat.
Profesorul observă și îndrumă elevii pe tot parcursul activității.
Fișele realizate de către elevi sunt expuse in clasă, iar unul dintre membrii grupului prezintă în fața tuturor rezolvarea problemei date, ceilalți elevi și profesorul adresează întrebări și corectează dacă este necesar ideeile notate pe fișă. La final elevii își vor nota în caiete rezolvarea corectă, iar profesorul va nota și aprecia modul de colaborare, prezentare și corectitudine a ideeilor prezentate.
Avantajele metodei predării/învățării reciproce sunt:
este o strategie de învățare în grup, care stimulează și motivează;
dezvoltă capacitatea de exprimare, atenția, gândirea cu operațiile ei (analiza, sinteza, concretizarea, generalizarea, abstractizarea) și capacitatea de ascultare activă;
stimulează capacitatea de concentrare asupra problemei și priceperea de a selecționa și a aplica metodele potrivite.
5.2. Învățarea online
5.2.1. Platforme utilizate
5.2.1.1 Platforma whatsapp
Platforma whatsapp este una gratuită, ce poate fi descărcată și folosită dacă dispui de un smartphone și conexiune la internet. Știind că cei mai mulți dintre elevi au telefoane inteligente, pentru început am format câte un grup de whatsapp cu părinții și elevii fiecărei clase, unde le transmiteam lecțiile ce urmau în programă, și în același timp primeam feedback, fie tot pe whatsapp, fie pe e-mail. Am implicat și părinții în dorința de a-i face părtași la actul educațional, de a putea să urmărească activitatea copiilor și de ce nu a profesorilor. Comunicarea lecțiilor, temelor, sugestiilor pe whatsapp s-a realizat în mai multe moduri: poză cu materialul ce urma a fi predate/ tema, lecții prezentate cu ajutorul sliduri-lor Power Point, lecții video de pe diferite site-uri sau pe youtube. Un alt mod de transmitere a unei lecții a fost înregistrarea lecției în timp ce era explicată pentru a nu simți așa de mult lipsa explicațiilor profesorului de la clasă.
5.2.1.2. Platforma Google Classroom
De la sfârșitul lunii martie am început să folosesc și platforma G Suite for Education, aplicația Google classroom. Pentru acestă aplicație fiecare profesor și elev a primit un cod de activare cu care s-a făcut o adresă de e-mail pe domeniul școlii. Fiecare profesor și-a creat clase cu numele disciplinei predate, clase pentru care s-a generat automat câte un cod ce a fost transmis elevilor pentru a se conecta la acestea. În clasele create, profesorul poate posta anunțuri, poate transmite lecții, teste, chestionare. Tot aici elevii pot posta temele efectuate, pentru a fi verificate de profesor și făcute observații și note. Deoarece o parte dintre elevi și-au făcut foarte greu cont, iar unii nu au vrut să-și facă din diferite motive, am continuat să trimit materiale didactice și pe whatsapp pentru a nu limita accesul la noile lecții. În cadrul acestei platforme s-a putut folosi și aplicația Google Meet pentru lecții video și audio. Participarea la aceste lecții prin aplicația Meet este foarte ușoară pentru elevii care aveau cont pe google classroom deoarece ei trebuiau să acceseze linkul generat. Elevii care nu aveau cont trebuiau să primească invitația cu linkul de la fiecare profesor. Dintre instrumentele ce pot fi folosite pe Google Meet amintesc: tabla virtuală și chat-ul.
5.2.1.3 Platforma Zoom
Zoom este platforma de întalniri video pe care am folosit-o cel mai mult. Ea permite crearea gratuită a unor întalniri online prin intermediul unui link. Elevii nu au nevoie de nici un cont, ci trebuie doar să acceseze linkul primit, să descarce aplicatia Zoom pe calculator sau mobil și să se conecteze cu un microfon si/sau cameră web. În cadrul întâlnirii online ei pot comunica prin mesaje pe chat cu profesorul sau colegii, pot vedea ce le distribuie profesorul de pe ecranul său (opțiunea share screen), se pot vedea și auzi reciproc dacă au microfoane și camere web instalate pe aparatul folosit.. Elevii au fost încântați să folosească această platformă, deoarece invitațiile pentru oră se accesau foarte ușor, în sectiunea de whiteboard, se pot scrie și rezolva în timp real exerciții, cadrul didactic poate transfera controlul mousului unui elev pentru a completa un item distribuit pe ecran sau pentru realizarea unui desen. Tot această platformă oferă posibilitatea grupării elevilor în camere separate, dacă se dorește a se lucra pe grupe.
5.2.1.4 Platforma ASQ.RO
ASQ (Another Smart Question) este o platformă de evaluare pe care elevii o pot folosi independent, pentru a aprofunda și a lucra individual teste și exerciții create în prealabil de profesor. Acesta poate adăuga clipuri video cu explicații, exercitii și teste. La final de săptămână se poate cere un raport al activității elevilor. Pe această platformă mi-am creat clase, le-am cerut elevilor să-și facă cont și să se asocieze acestora. În cadrul acestora am postat diferite teme cu termen limită și am urmărit gradul de rezolvare al exercițiilor, observând la ce nu se descurcă elevii. Elevii pot fi testați direct din aplicație, nota fiind calculată automat pe baza baremului.
5.2.1.5 Platforma Kahoot
Aceasta este o platformă gratuită cu ajutorul căreia se pot crea teste interactive, în care elevii răspund într-un timp limită, folosind un dispozitiv mobil. Odată creat un test, se trimite un cod de acces (PIN) elevilor care îl pot accesa din aplicatia Kahoot instalată pe mobil, tabletă, laptop sau pe site-ul Kahoot. Rezultatele răspunsurilor apar la finalul testului, pe un ecran vizibil tuturor. Este recomandat de folosit ca instrument de verificare a cunoștințelor sau feedback pentru a vedea ce au înteles, cât de implicați au fost și cum se simt elevii.
5.2.1.6 Platforma Quizizz
Platforma Quizizz reprezintă un instrument de lucru util pentru profesori și pentru elevi, o metoda modernă, interactivă de evaluare a elevilor atât în clasă cât și de acasă, încurajând autoevaluarea si studiul individual. Pe Quizizz se pot crea teste în care întrebările pot avea un singur răspuns, răspunsuri multiple sau se pot insera imagini și clipuri video, dar totodată platforma oferă o bibliotecă virtuală cu zeci de mii de sarcini clasificate pe teme și discipline cât și teste create de alți utilizatori.
5.2.2 Exemple de lecții și teste în online
5.2.2.1. Exemple de lecții
Ridicarea la putere cu exponent întreg a unui număr rațional
Clasa a VI a
Vă propun să completați mai întâi rubrica știu și vreau să știu a acestui tabel
Calculati :
Marchează acele segmente ale corpului omiduței pe care sunt rezolvate corect operațiile:
Rezolvări :
CALCULE CU MĂSURI DE UNGHIURI
Clasa a V a
La finalul orei trebuie să știți să adunați și să scădeți măsuri de unghiuri exprimate în grade, minute și secunde.
De asemenea mai trebuie să știți să înmulțiți și să împărțiți măsura unui unghi la un număr natural
Urmăriți filmulețul
Aplicații:
ELEMENTE DE TRIGONOMETRIE ÎN TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC
Clasa a VII a
Urmăriți lecția video și apoi notați-vă în caiet cele de mai jos
Pentru lămuriri suplimentare vă propun următoarele clipuri
5.2.2.2 Exemple de teste
Cele mai multe teste au fost trimise în format google forms. Pentru clasa supusă studiului, la capitolul relații metrice în triunghi dreptunghic, pentru feedback am administrat câte un test de 10-15 minute la finalul lecției după cum urmează:
Rezultatele înregistrate sunt următoarele:
Notele obținute sunt trecute în următorul tabel:
Media clasei la acest test a fost: ( 4×1 + 5×2 + 6×3 +7×1 +8×5 +9×4 +10×7) :23 =8,04
Observație: La stabilirea proiecției ortogonale pe o dreaptă ( problema 1), elevii au întâmpinat dificultăți în proiectarea unei catete pe cealaltă catetă, respectiv a înălțimii pe ipotenuză. La problema 2, fie s-a aplicat greșit formula, fie au fost greșeli de calcul. La ultima problemă, care a necesitat o rezolvare mai elaborată și aplicarea unor cunoștințe dobândite anterior, gradul de rezolvabilitate a fost mai scăzut.
Rezultatele înregistrate au fost următoarele:
Situația notelor obținute este:
Media clasei este: (3×0 +4×2 +5×3 +6×5 +7×2 +8×6 +9×1 +10×3):22= 7
Observație: Dificultățile întâmpinate de elevi la acest test au fost: formularea corectă a teoremei catetei, neatenție la citirea cerinței problemei, recunoașterea aplicabilității teoremei în alte contexte. La problema 4, elevii trebuiau să realizeze desenul corespunzător, să aplice teorema catetei și apoi teorema înălțimii pentru a răspunde cerinței. Cei mai mulți nu s-au încadrat în timp și nu au mai ajuns la acest item, ceilalalți au rezolvat parțial și nu au găsit răspunsul corect. Un dezavantaj al acestui tip de test este lipsa rezolvărilor complete, unde elevul este notat parțial.
Rezultatele înregistrate au fost următoarele:
Situația notelor obținute este:
Media clasei este: (3×0 +4×2 +5×5 +6×3 +7×2 +8×4 +9×2 +10×4): 22= 7,04
Observație: Rezultatele confirmă faptul că formula fiind cunoscută din anul anterior și folosită atât la matematică cît și la fizică până la momentul testului, șansele de a o aplica greșit scad. Procentaj mai mic se întâlnește la problemele care solicită și alte noțiuni învățate anterior, dar și un grad de atenție mai mare. Elevii au tendința să citească superficial problemele, fără a-și scoate datele esențiale și se opresc din rezolvare înainte de finalizarea ei. În cazul problemelor cu răspunsuri multiple, punctajul este obținut în totalitate sau deloc. Avantajul acestor teste îl reprezintă colectarea ușoară a rezultatelor, dar marele dezavantaj este acela că nu se poate verifica raționamentul matematic și nu se poate nota parțial.
5.2.2.3 Exemple de lecții video
O parte din lecțiile video utilizate la ore le-am creat personal, dar cele mai multe le-am căutat pe situri de specialitate, unde colegi profesori au postat diferite materiale. Neavând experiență în folosirea diferitelor programe pentru a crea animație și a scrie rezolvările problemelor în timp ce le explic, am lăsat această formă pentru întâlnirile online pe zoom, unde puteam pe baza unei fișe teoretice sau de lucru să exemplific și să reprezint ceea ce se impunea. O altă metodă de a trimite lecții video, a fost scrierea etapelor unei lecții și apoi să mă înregistrez explicând partea teoretică și exemplele prezentate. Sursele folosite pentru lecții video au fost site-urile: Math-PDR, Matera, didactic.ro, Youtube, asq.ro, manuale.edu.ro, library.livresq.com, sorinborodi.ro, matepescurt.ro, lecții virtuale.ro.
5.2.3 Rezultate înregistrate în online
În perioada martie -iunie 2020 dintre elevii clasei a VII a supuși studiului, având un efectiv de 27 de elevi, 22% locuind într-o zonă mai retrasă, împădurită ,nu au avut acces la internet sau la mijloace tehnice din diferite motive( ex.familie numeroasă și singurul telefon din familie este al unui părinte), 14% au fost dezinteresați( părinții nu s-au implicat în verificarea activităților copiilor), iar restul de 64% au participat activ atât la lecțiile desfășurate pe Zoom.us de două ori pe săptămână cât și la fișele de lucru/temele trimise pe google classroom la care au răspuns fie pe platformă fie pe adresa de e-mail pusă la dispoziție.
Elevilor li s-a făcut un orar în online, cu câte trei ore pe zi începând de la ora nouă care le era comunicat la finalul fiecărei săptămâni pentru următoarea săptămână. Invitațiile le postam cu jumătate de oră înainte pe grupul de whatsapp. Încă de la primele întâlniri, am stabilit cu ei o regulă în ceea ce privește comunicarea. Ei aveau voie să stea cu microfoanele deschise, dacă în camera lor e liniște, sau să țină microfoanele închise și să le deschidă cînd sunt întrebați. Atunci când doreau să spună ceva, aveau posibilitatea să folosească un emoticon disponibil pe bara de lucru, simbolizînd o mânuță sau să ridice efectiv mâna. O parte din elevi participau la oră cu camerele închise, fapt ce-mi îngreuna sarcina de a-i observa dacă urmăresc materialul prezentat sau dacă lucrează exercițiile propuse. În această perioadă am dedicat mai multe ore rezolvării de exerciții pentru a le forma această deprindere și ai învăța să folosească materialele de studiu transmise. Am căutat să le întocmesc fișe cu materiale atractive, cu exemple multiple și cu exerciții practice care să le stimuleze atenția și interesul. În aplicația Zoom, am folosit opțiunea share screen cu care expuneam elevilor lecția/ fișa de lucru pregătită pentru ei, iar cu ajutorul instrumentelor făceam adnotări pe material sau le dădeam lor controlul mousului pentru a rezolva anumite exerciții și probleme.
Temele rezolvate au fost trimise în proporție de 95% pe e-mail, doar 5% folosind aplicația Google Classroom pentru a-și încărca rezolvările. Cu ajutorul profesorului diriginte, am reușit să iau legătura și cu acei elevi care nu puteau să participe online la ore, le-am trimis materiale de studiu în format tipărit și le-am cerut ca parte a evaluării să realizeze diferite proiecte. Având în vedere criza sanitară pe care o traversăm, mediile elevilor au putut fi încheiate în mai multe condiții, chiar dacă nu au participat la ore. Astfel, toți elevii clasei a VII a au promovat, având următoare situație școlară:
Media generală pe semestrul I a fost: 6,07
Media generală pe semestrul al II lea a fost: 7,25
În primul semestru când evaluarea s-a făcut în sala de clasă prin teste ce cuprindeau aproape toată paleta de itiemi și în plus au susținut lucrarea scrisă semestrială, unde elevii au întâmpinat dificultăți la problemele ce presupun rezolvări complete, demonstrații, justificări, notele înregistrate reflectă cu mai mare acuratețe cunoștințele elevilor.
În semestrul al II-lea, mediile au fost simțitor mai mari din mai multe motive. Dintre acestea amintesc:
unii elevi aveau suficiente note până la data de 10.03.2020 și chiar de nu au intrat la orele susținute online, media s-a putut încheia;
lipsa unei verificări generale a cunoștințelor prin intermediul lucrării scrise semestriale a contribuit la creșterea mediilor;
teste online cu itemi de alegere duală, multiplă sau cu răspuns scurt care au avantajat elevii, aceștia nefiind nevoiți să realizeze demonstrații matematice.
.
5.3 Avantaje și dezavantaje
Ca la orice nouă formă de predare-învățare-evaluare și la învățarea online întâlnim avantaje și dezavantaje în procente mai mari sau mai mici.
Dintre avantajele acestei forme de învățare amintesc:
Program flexibil, orar redus, ore mai scurte;
Materialul didactic poate fi încărcat repede și oricând pe diferite platforme;
Profesorul poate transmite material de lucru diferențiat adecvat nevoilor fiecărui elev fără costuri suplimentare;
Elevii pot accesa oriunde, oricând și de câte ori doresc aceste materiale;
Elevii pot învăța în ritmul propriu, nefiind supuși constrângerii temporare;
Corectarea și actualizarea materialelor se poate face foarte ușor, nefiind consumatoare de timp;
Posibilitatea de a înregistra lecțiile online și accesul la acestea ori de câte ori este necesar;
Oportunitate de învățare pentru profesori, prin utilizarea unor platforme noi;
Dezavantaje:
Există elevi care nu au acces la mijloace tehnice/ internet pentru a intra în posesia materialelor trimise;
Lipsa motivației și senzația de vacanță a unora dintre elevi duce la amânarea începerii rezolvării sarcinilor de lucru, urmată de supraaglomerare;
Grad scăzut de participare a elevilor la orele online;
Deficiențele de comunicare între profesori duc la o supraîncărcare cu teme a elevilor;
Contactul fizic limitat conduce la o lipsă a socializării, care se acutizeză în această perioadă;
Unele teme de matematică sunt greu de explicat prin intermediul platformelor online.
.
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Relații metrice în triunghi dreptunghic.Teorema înălțimii. [309374] (ID: 309374)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.