Relatii de Echivalenta
C a p i t o l u l I
Notiuni introductive
1.1 Relatii de echivalenta
Fie A si B doua multimi; o submultime A×B se numeste relatie binara intre A si B. Daca elemental (a,b) ,unde aA si bB spunem ca a este in relatia cu b si
notam a b.Cand scriem a b inseamna ca elementele aA si b B nu sunt in relatia
.De exemplu daca f: A→B este o functie,atunci multimea (f) =(a,b) aA, bB si b=f(a) este reletia binara intre A si B.Multimea (f) se numeste graficul functiei f.
Invers,daca G AB este o relatie A si B cu proprietatea ca oricare ar fi aA exista un unic bB astfel incat (a,b) G,atunci putem defini functia f:A→B asa incat f(a)=b.Se observa imediat ca (f)= G.
Cand B=A o relatie binara intre A si A se numeste simplu relatie binara pe multimea A.Relatia binara pe o multime se noteaza de regula cu unul din simbolurile : , , , , etc.
E x e m p l e. 1) Fie A o multime oarecare; multimea =( a, a ) a A se numeste diagonala multimii A si este o relatie binara pe A.
2) Daca A este o multime de numere naturale, atunci multimea:
= (m,n ) A A m n
este o relatie binara pe A.In particular, daca A=1,2,3,4, atunci = (1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)
D e f i n i t i a 1.1.1 O relatie binara notata ,, “ pe A se numeste relatie de echivalenta daca urmatoarele conditii sunt verificate pentru orice a,b,c A :
i) a a (reflexivitatea);
ii) a b b a (simetria);
iii) a b si b c a c (tranzitivitatea)
De exemplu , daca consideram Z si n0 un numar natural , atunci relatia binara notata ,, “ (mod n )( congruenta modulo n):
a b (mod n) n a b
este o relatie de echivalenta pe Z.
Sau daca consideram multimea R a numerelor reale relatia ,, “ :
a b a b Z
este o relatie de echivalenta pe R.
Data o relatie de echivalenta ,, “ pe A atunci pentru orice a A definim multimea:
â = b A b a
care se numeste clasa de echivalenta a elementului a .
Clasa de echivalenta a elementului a se mai noteaza , de la caz la caz, si astfel :
a , â ,á ,Ca , [ a] etc.
T e o r e m a 1.1.2. Fie A o multime nevida si ,,~ “ o relatie de echivalenta pe A. Atunci clasele de echivalenta determinate de ,,~” pe A au proprietatile :
1) a â oricare ar fi a A.In particular â ≠ .
2) â = b a b
3) Daca â si b sunt doua clase de echivalenta, atunci
á = b sau â b=
4) Reuniunea tuturor claselor de echivalenta este egala cu A.
D e m o n s t r a t i e . 1) Deoarece a a rezulta ca a â
2) Daca â = b cum a â, atunci a b si deci a b. Invers,presupunem ca a→b.
Fie x â ;deci x a si ,, “ este tranzitiva; obtinem ca x b adica xb. Deci
âb. Similar, rezulta incluziunea b â si deci avem egalitatea â=b.
3) Presupunem ca â b ≠ . Deci exista un x â b. Atunci x a si x b.
Cum ,, “ este simetrica avem a x si deci a b. Din afirmatia 2) rezulta ca â=b.
Rezulta din 1).
Data relatia de echivalenta ,, “ pe A, atunci multimea claselor de echivalenta determinate de ,, “ se noteza cu A/ si se numeste multimea factor ( sau cat ) a lui A prin relatia ,, “. Functia p:A→ A/ , p (a) = â este o functie surjectiva si se numeste surjectia canonica.
D e f i n i t i a 1.1.3 . Fie A o multime nevida si ,, “ o relatie de echivalenta pe
A. Familia de elemente din A, (ai )i I , se numeste un sistem de reprezentanti relative la relatia de echivalenta ~ , daca are urmatoarele proprietati :
i) Oricare ar fi i ≠ j, ai ~ aj .
ii) Oricare ar fi a A, exista i I astfel incat a ~ ai .
Se observa ca i) si ii) pot fi formulate concentrate astfel : oricare ar fi a A exista un unic iI astfel incat a~ai .
Fiind data o relatie de echivalenta ,,~” pe multimea nevida A exista intotdeauna un system de reprezentanti asociat relatiei ,,~” .
Intr-adevar , fie (Ci )iI multimea tuturor claselor de echivalenta associate relatiei ,,~”. Cum Ci≠ oricare ar fi iI, conform axiomei alegerii, exista o familie de elemente (ai )i I astfel incat aiCi oricare ar fi i I. Evident ca (ai )iI este un sistem de reprezentanti pentru relatia ,,~”. Trebuie sa observam ca acest system de reprezentanti nu este unic.
Daca (ai)iI este un sistem de reprezentanti relative la relatia ,,~” din teorema 1.1.2 rezulta ca :
A= âi iar multimile ai , i I , sunt disjuncte doua cate doua.
E x e m p l u. Pe multimea Z a numerelor intregi consideram relatia,,~”:a ba=b.
Se observa imediat ca ~ este o relatie de echivalenta pe Z. Daca aZ avem
â= a, – a daca a≠ 0 si â=0 daca a=0 .
Un sistem de reprezentanti poate fi considerat sistemul de numere:0,1,2,3,… adica
multimea numerelor naturale N.
Un alt sistem de reprezentanti poate fi considerat si sistemul de numere :0,-1,-2,
-3,…., adica multimea numerelor intregi negative.
1.2 Legi de compozitie. Monoizi.
D e f i n i t i a 1.2.1. Fie A o multime nevida si n un numar natural. Se numeste lege de compozitie n- ara pe A o aplicatie : An→ A.
Pentru n = 0 avem A0 = , o multime cu un singur element, astfel ca, a da o lege de compozitie o- ara pe un A revine la a da un element e A.
Pentru n= 1, avem A1= A si o lege de compozitie unara pe A este o aplicatie
: A→ A. Pentru n=2, avem legi de compozitie binare : A2→ A.
O lege de compozitie binara : A2→ A se numeste asociativa daca :
(a, (b,c) ) =( (a,b),c) oricare ar fi a,b,c A
Legea de compozitie se noteaza de regula multiplicativ : (a,b) = ab sau
(a,b)= a b sau aditiv: (a,b) = a+ b, a,b A. Evident, in notatie multiplicativa
conditia de asociativitate se scrie: a(bc) = (ab)c, iar, in notatie aditiva, a+(b+c)=
(a+b)+c.
Un element e A se numeste element neutru pentru legea de compozitie :
: A2→ A daca
(a,e)= (e,a)=a pentru orice a A .
Un element neutru pentru daca exista este unic. Intr-adevar, daca e si e amandoua element neutru pentru ,atunci ( e, e)= e deoarece e este element neutru si (e, e)= e deoarece e este element neutru si, in concluzie, e= e.
Notatia multiplicativa pentru elementul neutru este 1, in care caz spunem ca 1 este
elementul unitate pentru (sau identitatea lui ) ; notatia aditiva este 0 si spunem ca 0 este elementul nul pentru (sau zeroul lui ).
O pereche M=(A, ), unde A este o multime si o lege de compozitie binara pe A se numeste monoid daca sunt satisfacute urmatoarele conditii:
1) este asociativa, 2) are element neutru.
Multimea A se numeste multimea subiacenta a monoidului M (sau multimea elementelor lui M ).De regula multimea subiacenta a unui monoid se noteaza cu aceeasi litera ca si monoidul. se numeste legea de compozitie a monoidului M (in notatie multiplicativa se numeste inmultire iar in notatie aditiva, adunare). In loc de a spune ca ( A, ) este monoid, spunem adesea ca A este monoid in raport cu legea de compozitie .
De regula, cand vorbim despre legi de compozitie sau monoizi la modul general, folosim notatia multiplicativa; notatia aditiva se foloseste numai in unele cazuri concrete, unde ea apare in mod natural.
Fie M un monoid. Un element a M se numeste inversabil daca exista un element a M, astfel incat aa = aa= 1. In aceasta situatie a se numeste un invers al lui a . Daca elementele a, a M sunt inverse ale lui a, deci aa= aa= 1 si aa=aa = 1, atunci :
a= 1a= (aa) a=a( aa)=a1=a
Astfel, daca un element a M este inversabil, inversul sau este unic.
Notatia multiplicativa a inversului unui element a M este a-1 , iar notatia aditiva este – a ; in al doilea caz -a se numeste si opusul lui a.
Se numeste grup un monoid G in care orice element a G este inversabil. Din cele de mai sus rezulta ca putem defini un grup ca fiind o multime nevida G impreuna cu o lege de compozitie binara pe G satisfacand urmatoarele conditii
( numite axiomele grupului):
legea de asociativitate: a(bc)=(ab)c oricare ar fi a,b,c G;
legea elementului neutru: exista un element 1 G, astfel ca, a1=1a=a
oricare ar fi a G.
3) legea inversului : pentru orice aG exista un element a-1 G, astfel ca
aa-1= a-1a =1.
E x e m p l e : ( N,+ ) unde N este multimea numerelor naturale si ,,+ “ este adunarea numerelor naturale este un monoid. Elementul neutru al acestui monoid este numarul natural 0 ; 0 este de asemenea singurul element inversabil al monoidului ( N, + ) ; (N* , . ) unde N* este multimea numerelor naturale nenule si ,, . “ este inmultirea numerelor naturale este un monoid al carui element neutru este numarul natural 1 .
( Z, + ) unde Z este multimea numerelor intregi si ,,+ “ este adunarea numerelor intregi este grup. (Z, . ) este monoid, singurele elemente inversabile ale acestui monoid fiind 1 si -1.
( Q, + ), unde Q este multimea numerelor rationale este grup.
(Q, . ) este monoid, in care 0 este singurul element neinversabil. (Q* , . ) , unde Q* este multimea numerelor rationale nenule este grup.
P r o p o z i t i a 1.2.2. Fie G un grup. Pentru orice doua elemente a, b G ecuatia
ax= b (respectiv xa= b )
are o unica solutie x G. In particular, pentru x , y G,
ax= ay x= y (respectiv , xa= ya x = y )
D e m o n s t r a t i e . Daca x G si ax= b, atunci :
x= 1x = ( a-1 a ) x = a-1 (a x ) = a-1 b,
deci solutia ecuatiei ax = b daca exista este unica. Pe de alta parte ,
x= a-1 b este o solutie a ecuatiei ax = b deoarece :
ax=a(a-1 b) =(a a-1) b = 1b =b .
Pentru ecuatia xa = b se lucreaza, in mod analog, cu x=b a-1 .
De f i n i t i a 1.2.3. Fie A o multime nevida si o lege de compozitie binara pe A. Pentru orice numar intreg pozitiv n, definim recursive o lege de compozitie
n- ara : An → A prin :
1= 1A , aplicatia identica a lui A,
n +1 ( a1 , a2 , …, an+1 ) = ( n ( a1 , a 2 , … ,a n ) , a n+1 ) , unde
a 1 , a 2 , … , a n+1 A ,
P r o p o z i t i a 1.2.4. ( Legea de asociativitate generalizata ). Presupunem ca legea de compozitie este asociativa . Atunci pentru orice doua numere intregi pozitive m si n si orice m+n elemente a 1 , a 2 , …, a m+n A avem :
( m ( a 1 , a 2 , … ,a m ) , n ( a m+1 , a m+2 , … ,a m+n )) = m+n ( a 1 , a 2 , …, a m+n ):
D e m o n s t r a t i e . Inductie dupa n. Pentru n=1 , egalitatea are loc in virtutea definitiei lui m+1 . Presupunem egalitatea adevarata pentru n si avem :
( m ( a 1 , a 2 , … ,a m ) , n +1 ( a m+1 , a m+2 , … ,a m+n+1 ) ) = ( m ( a 1 , a 2 , … ,a m),
( n ( a m+1 , a m+2 , … ,a m+n ), a m+n+1 ) = ( prin definitia lui n +1) = ( ( m ( a 1 , a 2 , … ,a m ) , n ( a m+1 , a m+2 , … ,a m+n )) , a m+n+1 ) ( deoarece este asociativa ) =
( m+n ( a 1 , a 2 , …, a m+n ) , a m+n+1 ) prin ipoteza de inductie )= m+n+1 ( a 1 , a 2 , …, a m+n+1 ) ( prin definitia lui m+n+1 ) .
O b s e r v a t i e . Presupunem ca legea de compozitie binara este notata multiplicativ. Atunci vom nota , pentru orice numar intreg pozitiv n si orice n elemente a 1 , a 2 , … , a n A ,
a1 a 2 … a n = n ( a1 , a 2 , … ,a n ) .
Avem , prin definitie :
a1 a 2 … a n = ( a1 a 2 … a n -1 ) a n = ( a1 a 2 … a n-2) a n -1 ) a n =
….=(….(( a1 a 2 ) a3 )…. a n -1 ) a n .
In acest fel , avem posibilitatea de a forma un ,, produs “ a n elemente
a 1 , a 2 , … , a n A dispunand in modul indicat parantezele in sirul a 1 , a 2 , … , a n si folosind ,, produsul “ binar . Evident exista mai multe posibilitati de a dispune parantezele pentru a forma un produs n-ar. Legea de asociativitate generalizata nu spune altceva decat ca toate aceste produse n-are coincide.
Daca legea de compozitie binara are element neutru atunci definim 0:A0 → A ca fiind acest element neutru . In aceasta situatie este evident ca legea de asociativitate generalizata are loc pentru orice doua numere naturale m si n.
D e f i n i t i a 1.2.5. Fie A o multime si o lege de compozitie binara pe A notata multiplicativ. Doua elemente a, b A se numesc permutabile ( in raport cu ) daca ab= ba , iar legea de compozitie se numeste comutativa daca orice doua elemente a,b A sunt permutabile .
Un monoid se numeste comutativ daca legea sa de compozitie este comutativa. Un grup comutativ se numeste de obicei grup abelian .
P r o p o z i t i a 1.2.6. ( Legea de comutativitate generalizata ). Fie A o multime si o lege de compozitie binara pe A , asociativa , notata multiplicativ. Fie n un numar intreg pozitiv si a 1 , a 2 , … , a n A , n elemente permutabile doua cate doua . Atunci, pentru orice aplicatie bijectiva : 1 , 2 , …, n →1,2,…,n avem :
a 1 a 2 … a n = a(1) a(2) … a(n)
altfel spus , produsul a 1 a 2 … a n nu depinde de ordinea factorilor ).
D e m o n s t r a t i e. Afirmatia este evidenta pentru n=1 si n=2 . Presupunem n 2 si ca produsul a oricaror m elemente din A permutabile doua cate doua nu depinde de ordinea factorilor pentru orice m n .
Fie (k) = n . Atunci
a(1) a(2) … a(n) = ( a(1) ….a(k-1) ) ( a n a(k+1) … a(n) ) = ( a(1) ….a(k-1) ) ( a(k+1)…. a(n) a n ) = ( a(1) ….a(k-1) a(k+1) … a(n) ) a n .
Deoarece aplicatia : 1,2,…, n-1 → 1,2,…, n-1 definite prin
(i) daca i 1,2,…,k-1
(i) =
(i+1) daca i k,…, n
este evident bijectiva , avem a(1) ….a(k-1) a(k+1) … a(n) = a (1) a (2) … a (n-1) =
= a1 a2 … an – 1 deci
a(1) a(2) … a(n) = ( a 1 a 2 … a n-1 ) a n = a 1 a 2 … a n .
P r o p o z i t i a 1.2.7. Fie M un monoid , n un numar natural si
x1 , x2 ,…,xn M . Daca x1 , x2 ,…,xn sunt elemente inversabile, atunci x1 , x2 ,…,xn este element inversabil si (x1x2…xn ) este element inversabil si (x1x2…xn ) -1 = xn-1 …. x2-1 x1-1 .
D e m o n s t r a t i e . Pentru n = 0 si n = 1 afirmatia este evidenta ( in cazul n = 0 ar trebui demonstrate ca 1 este element inversabil si 1-1 = 1 ; acest lucru rezulta imediat deoarece 1 1 = 1 ). Pentru n = 2 avem :
(x1x2) ( x2-1 x1-1 ) = x1 ( x2 x2-1) x1-1 = x1x1-1 = 1
si
(x2-1 x1-1) (x1 x2) = x2-1 ( x1-1 x1) x2 = x2-1 x2 = 1
Deci x1x2 este inversabil si (x1x2 )-1 = x2-1×1-1 . Presupunand ca enuntul este adevarat pentru n-1 elemente avem :
x1x2…xn = (x1x2…xn-1 ) xn
deci x1x2…xn este inversabil , fiind produsul a doua elemente inversabile si
(x1x2…xn ) -1 = (x1x2…xn-1 ) xn -1 = xn-1 (x1x2…xn-1 ) -1 =
= xn-1 ( xn-1-1 ….x2-1 x2-1 ) = xn-1 …x2-1 x2-1 ) .
D e f i n i t i a 1.2.8. Fie A o multime si o lege de compozitie binara pe A, asociativa , notata multiplicativ. Pentru un element a A si n un numar intreg pozitiv, se numeste puterea n –a a lui a ( in raport cu ) elemental
an = a1a2 …an , unde a1=a2= …..=an =a .
Avem a1 = a , an+1 = an a. Daca are element neutru , putem defini a0 = 1.
Pentru orice doua numere intregi pozitive m si n (numere naturale , daca are element neutru ) , avem , conform legii de asociativitate generalizata : am an =
= am+n . De asemenea (am )n = amn ; aceasta se demonstreaza prin inductie dupa n , astfel :
(am)n+1 = (am)n am = amn am = amn+m = am(n+1) .
Daca a,b A si ab= ba , legea de comutativitate generalizata arata ca pentru orice numar intreg pozitiv n ( numar natural daca are element neutru ) , avem : (ab )n = an bn .
Egalitatile :
aman = am+n
( 1.2. 8.1 ) ( a b )n = an bn daca ab=ba
( am )n = amn
se numesc legile puterii. Ele au loc pentru orice doua numere intregi pozitive m si n ( numere naturale daca are element neutru ) .
Fie M un monoid si a M un element inversabil . Propozitia 1.2.6 arata ca , pentru orice numar natural n , an este inversabil si (an )-1 = (a-1)n.
In aceasta situatie putem defini puterile negative ale lui a luand a-n = (an)-1=
= (a-1)n , n fiind numarul intreg pozitiv. Daca a,b M sunt inversabile si ab=ba , putem demonstra ca legile puterii (1.2.8.1 ) sunt valabile pentru orice doua numere intregi m si n . Intr-adevar, daca m si n sunt numere intregi pozitive , avem :
– pentru m n , aman = am-nan (a-1)n = am-n(aa-1)n = am-n ;
– pentru m n , ama-n = am(a-1)m(a-1)n-m = (a-1)n-m = am-n.
a-ma-n = (a-1)m(a-1)n = (a-1)m+n = a-m+(-n) ;
(ab)-n = (( ba)n)-1 = (bnan)-1 = a-nb-n ;
(am)-n = (( am)n)-1 = (amn ) -1 = a-mn ;
(a-m)-n = (((am)-1)-1)n = (am )n = (am )n = amn = a(-m)(-n) ;
(a-m)n = ((am)-1)n = ((am)n)-1 = (amn)-1 =a-mn .
In notatie aditiva , scriem na in loc de an si spunem ca na este al n-lea multiplu al lui a. Avem 0a=0 (0 din membrul stang este numarul natural 0 si 0 din membrul drept este elementul neutru al monoidului in care lucram ),
1a =a, ( n+1)a = na+a si , in general , legile puterii se scriu sub forma :
ma+na = (m+n )a ,
( 1.2.8.2) n(a+b) = na+nb daca a+b = b+a ,
m(na) = (mn)a.
P r o p o z i t i a 1.2.9. Fie M si M doi monoizi . O aplicatie f:M M se numeste morfism de monoizi daca sunt satisfacute urmatoarele conditii :
(1) f(ab) = f(a)f(b) pentru orice a,b M
(2) f(1) = 1 (aici 1 din membrul stang este elementul unitate pentru M iar 1 din membrul drept este elementul unitar pentru M )
Daca in plus M si M sunt grupuri , f se numeste morfism de grupuri daca este satisfacuta conditia (1) de mai sus. De fapt , conform propozitiei ce urmeaza , un morfism de grupuri satisface in mod automat si conditia (2) astfel incat orice morfism de grupuri este si morfism de monoizi.
P r o p o z i t i a 1.2.10. Fie f:G G un morfism de grupuri .Atunci
f(1) =1;
f(a-1) = f(a)-1 pentru orice a G
f(an) = f(a)n pentru orice a G si n Z
D e m o n s t r a t i e . Avem
f(1) =f(1)1 = f(1)f(1)f(1)-1 =f(11)f(1)-1 =f(1)f(1)-1 =1
f(a-1) =f(a-1)1 =f(a-1)f(a)f(a)-1 =f(a-1a)f(a)-1 =f(1)f(a)-1 =1f(a)-1 =f(a)-1
Afirmatia este adevarata pentru n=0 in virtutea lui (i). Presupunand f(an) = f(a)n, rezulta
f(an+1) =f(ana) =f(an)f(a) =f(a)nf(a) =f(a)n+1
ceea ce demonstreaza ca afirmatia este adevarata pentru orice numar natural n. Presupunem acum ca n este un numar intreg pozitiv. Atunci :
f(a-n) = f((an)-1 = (f(a)n)-1 = f(a)-n
P r o p o z i t i a 1.2.11. Compunerea a doua morfisme de monoizi (respective grupuri ) este un morfism de monoizi (respectiv grupuri )
D e m o n s t r a t i e. Fie f:M M si g: M M si prntru a,b M avem :
( gof)(ab) =g(f(ab)) =g(f(a)f(b)) =g(f(a)) g(f(b)) =(gof)(a)(gof)(b).
In plus ,(gof)(1) =g(f(1)) =g(1) =1. Deci gof este morfism de monoizi.
Pentru cazul grupurilor afirmatia este evidenta din cele de mai sus .
P r o p o z i t i a 1.2.12. Fie f:MM un morfism de monoizi ( respective de grupuri ) si presupunem in plus ca f este aplicatie bijectiva . Atunci, aplicatia inversa f -1 : M M este de asemenea un morfism de monoizi ( respectiv de grupuri ).
D e m o n s t r a t i e . Pentru a,b M avem :
f -1 (ab) =f -1(f(f -1(a))f(f -1(b))) ( deoarece fof -1 =1M )= f -1(f(f -1(a)f -1(b))) deoarece f este morfism )= f -1(a)f -1(b) (deoarece f -1o f =1M).
In cazul monoizilor mai trebuie remarcat faptul ca, deoarece
F(1)=1 avem f -1 (1)=f -1(f(1))=1.
D e f i n i t i a 1.2.13. Un morfism f:MM de monoizi ( respectiv de grupuri ) se numeste izomorfism daca exista un morfism g: M M de monoizi ( respectiv de grupuri ) astfel ca gof = 1M si fog = 1M .
Conform propozitiei precedente un morfism f:MM este izomorfism daca si numai daca f este aplicatie bijectiva.
Doi monoizi M si M ( respectiv doua grupuri ) se numesc izomorfi daca exista un izomorfism de monoizi ( respectiv de grupuri ) MM caz in care scriem M M . Relatia de izomorfism este o relatie de echivalenta pe clasa tuturor monoizilor (respectiv grupurilor ). Intr-adevar , pentru orice monoid (respective grup ) M avem M M deoarece aplicatia identica 1M :MM este evident un izomorfism. Daca, M M, atunci propozitia 1.2.12 arata ca si
M M, iar daca M M si M M , atunci propozitia 1.2.11 arata ca si M M.
In cazul grupurilor , clasa de echivalenta a unui grup G modulo relatia de izomorfism se numeste tipul grupului G . In teoria grupurilor se studiaza numai acele proprietati ale grupurilor care fiind adevarate pentru un grup , sunt adevarate pentru orice grup izomorf G. Deci, practic , in teoria grupurilor nu se face distinctie intre doua grupuri izomorfe. Problemele fundamentale in teoria grupurilor sunt:
1) descrierea tuturor tipurilor posibile de grupuri;
2) obtinerea unui procedeu prin care date doua grupuri G si G sa se poata decide daca ele au acelasi tip sau nu.
1.3. Grupuri si subgrupuri
D e f i n i t i a 1.3.1. Fie A o multime nevida si : A2 A o lege de compozitie binara pe A. O submultime nevida B a lui A se numeste parte stabila a lui A in raport cu daca pentru orice doua elemente x,y B avem ( x,y ) B.
In aceasta situatie putem defini legea de compozitie : B2 B prin (x,y) =
= (x,y), x , y B. se numeste legea de compozitie indusa de pe B.
Fie A un monoid. O submultime B a lui A se numeste submonoid (respectiv subgrup) al lui A daca sunt satisfacute urmatoarele conditii :
1) B este parte stabila a lui A in raport cu legea de compozitie a lui A ;
2) B este monoid ( respectiv grup ) in raport cu legea de compozitie indusa.
Din aceasta definitie se observa ca daca B este un submonoid al monoidului A , atunci sunt satisfacute urmatoarele conditii :
1 ) B este monoid ;
2 ) multimea elementelor lui B este inclusa in multimea elementelor lui A
3 ) aplicatia i: B A definite prin i(x) = x, x B, este morfism de monoizi (i se numeste incluziunea canonica a lui B in A).
Reciproc , daca B satisface conditiile 1),2) si 3), atunci B este un submonoid al lui A. Intr-adevar, B este monoid , B este submultime a lui A iar conditia 3) arata ca B este parte stabila a lui A si legea de compozitie a lui B coincide cu legea de compozitie indusa pe B de legea de compozitie a lui A. Daca A este grup , B este subgrup a lui A daca si numai daca sunt satisfacute conditiile 1) 2) si 3) in care cuvantul monoid se inlocuieste cu grup.
P r o p o z i t i a 1.3.2. Fie M un monoid. Atunci multimea U(M) a tuturor elementelor inversibile ale monoidului M este un subgrup al lui M.
D e m o n s t r a t i e. Trebuie sa verificam conditiile 1) si 2) din 1.3.1 pentru submultimea U (M) a lui M . Daca x,y U(M) , atunci xy U(M) conform propozitiei 1.2.6. Prin urmare U(M) este parte stabila a lui M in raport cu legea de compozitie a lui M. Legea de compozitie indusa pe U(M) satisface atunci axiomele grupului : legea de asociativitate este satisfacuta deoarece legea de compozitie a lui M este asociativa ; elementul unitar 1 al lui M apartine luiU(M) (1-1=1) si evident este element neutru pentru legea de compozitie indusa pe U(M) ; daca xU(M) , atunci x -1 U(M) (( x -1) = x ) si x -1 este inversul lui x in U(M) in raport cu legea de compozitie indusa.
P r o p o z i t i a 1.3.3. Fie G un grup si H o submultime a lui G. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente :
a) H este subgrup al lui G;
b) sunt satisfacute conditiile:
1) x,yHxyH ; 2) 1H; 3) xH x -1H ;
c) H este o submultime nevida a lui G si
x,yH xy -1H
D e m o n s t r a t i e. a) b). Conditia 1) este satisfacuta deoarece H este parte stabila a lui G in raport cu legea de compozitie a lui G. Considerand ca H este grup in raport cu legea de compozitie indusa; incluziunea canonica i:HG, i(x)=x, xH, este morfism de grupuri.
Aplicand propozitia 1.2.9 vedem ca daca e este elementul unitate a lui H avem i(e) =1, deci 1=eH. De asemenea , daca xH si x este inversul lui x in H, avem i(x )= x -1, deci x -1=xH.
b) c). H este nevida deoarece 1H. pentru orice x,yH, avem y -1H prin conditia 3) si xy -1H prin conditia 1).
c)b). Deoarece H este nevida exista un element xoH. Atunci 1=xoxo-1H. Pentru orice x,yH vom avea x -1=1x -1H si xy=x(y -1)-1H.
b)a). Conditia 1) arata ca H este parte stabila a lui G in raport cu legea de compozitie a lui G. Legea de compozitie indusa este asociativa (deoarece legea de compozitie a lui G este asociativa ), are element neutru deoarece 1H si orice element xH are invers in H deoarece x -1H.
Observatie. Daca H este un subgrup al unui grup G vom scrie H G. Notatia HG va indica faptul ca H este o submultime a lui G (care poate fi subgrup a lui G sau nu).
Pentru orice grup G, submultimile 1 si G ale lui G sunt evident subgrupuri ale lui G. 1 se numeste subgrupul trivial al lui G si, de regula , se noteaza cu 1 (sau in notatie aditiva cu 0 , caz in care il numim subgrupul nul al lui G). Subgrupul G al lui G se numeste subgrupul impropriu al lui G.
Daca H G, pentru orice submultime K a lui H avem evident
K H K G.
D e f i n i t i a 1.3.4. Fie G si G doua grupuri si f:GG un morfism de grupuri. Pentru fiecare submultime H a lui G avem o submultime
f (H)= f(h) hHG ,
si, pentru orice submultime K a lui G , avem o submultime :
f -1(K)= xGf (x)K G.
P r o p o z i t i a 1.3.5. Fie f:GG un morfism de grupuri, HG si KG.
Atunci, daca H G avem f(H) G si , daca K G avem f -1(K)G.
D e m o n s t r a t i e. Presupunem H G . Atunci daca x,xf(H), avem x=f(h), x=f(h) cu h,hH si xy=f(h)f(h)=f(hh) cu hhH deci xyf(H). Deoarece 1H avem 1=f(1) f(H). In fine, daca x=f(h) f (H),hH, avem
x -1 =f(h)-1=f(h-1) si h-1H, deci x -1f(H). Rezulta f(H) ≤G in virtutea propozitiei 1.3.3 (b). Presupunem acum K≤G. Daca x,yf -1(K) rezulta f(x) K,
f(y) K si f(xy)=f(x)f(y) K, deci xyf -1(K). Avem f(1)=1K deci 1f -1(K) si daca xf -1(K), f(x) K, f(x -1)=f(x)-1K, deci x -1f -1(K). prin urmare si
f -1(K) ≤ G.
D e f i n i t i a 1.3.6. Fie f:G→G un morfism de grupuri. Conform propozitiei precedente f(G) este un subgrup al lui G ( G este subgrupul impropriu al lui G) si f -1(1) este un subgrup al lui G ( 1 este subgrupul trivial al lui G). Subgrupul f(G) al lui G se numeste imaginea lui f si se noteaza Im f :
Im f = f(x) x G,
Subgrupul f -1(1) al lui G se numeste nucleul lui f si se noteaza Ker f :
Ker f= xG f(x)=1.
P r o p o z i t i a 1.3.7. Fie f:G→G un morfism de grupuri. Au loc urmatoarele afirmatii:
i) f este aplicatie surjectiva Im f=G ;
ii) f este aplicatie injectiva Ker f=1 ;
iii) f este izomorfism Im f=G si Ker f=1.
D e m o n s t r a t i e. i) rezulta imediat din definitia aplicatiei surjective.
ii) Daca f este aplicatie injectiva si xKer f, avem f(x) =1 =f(1) deci x=1; astfel Ker f =1. Reciproc, presupunem ca Ker f =1 si fie x,y G astfel ca f(x) =f(y). Avem :
f(x y -1) =f(x)f(y) -1=f(x)f(x) -1 =1
deci xy -1 Ker f =1, xy -1=1, y =1, y =xy -1y = x. Prin urmare f este injectiva.
iii) Rezulta din i) si ii) aplicand propozitia 1.2.12.
O b s e r v a t i e. Fie G un grup si H G. Conform definitiei 1.3.1 , incluziunea canonica i : H G este un morfism de grupuri . Pentru acest morfism avem evident Ker i =1 si Im i = H.
Daca f: G G este un morfism de grupuri si H G, atunci aplicatia
f : H f(H) indusa de f (adica definita prin f (h) =f(h), hH), este tot un morfism
de grupuri.Avem Im f = f (H) deci f este aplicatie surjectiva si Ker f =H Ker f
deci, daca f este aplicatie injectiva, rezulta si f injectiva si astfel f este izomorfism de grupuri: H f(H). In particular, daca f este un morfism de grupuri injectiv, f: G G, avem G Im f G, avem G Im f G. Reciproc , daca avem
G K ≤ G, considerand un izomorfism f:G → K si incluziunea canonica i: K → G,compunerea i of: G G este un morfism de grupuri injectiv .
Spunem ca un grup G se poate scufunda intr-un grup G daca exista un morfism de grupuri injectiv f: G G ; conform celor de mai sus acest lucru este echivalent cu faptul ca grupul G este izomorf cu un subgrup al lui G.
P r o p o z i t i a 1.3.8. (Teorema de corespondenta ). Fie f: G G un morfism de grupuri surjectiv. Atunci pentru orice subgrup K ≤ G exista un unic subgrup
H ≤ G astfel incat Ker f ≤ H si f (H) = K. (Cu alte cuvinte aplicatia H~ f(H) de la multimea subgrupurilor lui G care contin Ker f in multimea subgrupurilor lui G este bijectiva).
D e m o n s t r a t i e . Fie K ≤ G . Presupunem ca H ≤ G , Ker f ≤ H si f (H) = K.
Pentru h H avem f(h) f(H) = K, deci hf -1(K) ; astfel H ≤ f -1 (K). Reciproc, fie x f -1(K), deci f(x) K =f(H) ; exista un h H cu f(x) =f(h) deci xh-1 Ker f H si x= (xh-1)h H. In concluzie H= f -1(K). Prin urmare daca exista un H G cu
Ker f H si f(H) =K, acesta este unic si anume, trebuie sa avem H=f -1(K). Luam acum H=f -1(K). Stim ca H G si, daca x Ker f, avem f(x) =1 K, deci
x f -1(K)=H, adica Ker f H. In fine, daca x H avem f(x) K, deci f(H) K. Reciproc daca y K, avem y=f(x) cu x G deoarece f este aplicatie surjectiva ; dar f(x) = yK implica x f -1(K), deci y =f (x) f(H). Astfel f(H)=K.
P r o p o z i t i a 1.3.9. Pentru orice familie H i iI de subgrupuri ale unui grup
G, intersectia Hi este de asemenea un subgrup al lui G.
iI
D e m o n s t r a t i e . Avem 1Hi pentru orice i I, deci 1 Hi .Pentru x,y Hi
iI iI
avem, pentru orice iI, x,y Hi , deci x,y -1Hi si rezulta xy -1 Hi . Prin
iI
urmare Hi G conform propozitiei 1.3.3 ( c ).
iI
D e f i n i t i a 1.3.10. Fie G un grup si S o multime a lui G. Notam cu < S > intersectia tuturor subgrupurilor lui G care contin pe S. Evident sunt satisfacute urmatoarele conditii :
(1) S < S > G;
(2) daca S H G, atunci <S> H.
<S> se numeste subgrupul lui G generat de S ( sau subgrupul generat de S in G).
Daca <S> =G spunem ca S este o multime de generatori pentru G ( sau ca G este generat de submultimea S ). Grupul G se numeste finit generat daca exista o submultime finita S a lui G astfel ca <S>=G. Daca S= x1, x2 ,…., xn scriem
x1 , x2 ,…, xn in loc de S. Grupul G se numeste ciclic daca exista un element x G astfel ca x = G; un astfel de element x G cu x = G se numeste un generator al grupului G .
Avem evident =1 si H = H pentru orice subgrup H al lui G.
Notam cu L (G) multimea tuturor subgrupurilor lui G. Multimea L (G) este o latice completa, infimumul oricarei familii Hi iI de elemente din L (G) fiind intersectia Hi .
iI
Multimea L (G) este o multime ordonata, relatia de ordine fiind incluziunea, sau mai précis relatia .
Supremumul familiei Hi iI este , conform conditiilor (1) si (2) de mai sus, exact subgrupul Hi generat in G de reuniunea Hi .
iI iI
In cazul unei familii H, K formata din doua subgrupuri notam acest supremum cu H K: H K = H K .
P r o p o z i t i a 1.3.11. Fie G un grup si S o submultime a lui G. Avem :
S = x 1, x 2 ,…, x n n N, xi S sau xi-1 S pentru orice i1,2,…,n.
D e m o n s t r a t i e . Fie
H = x1x2…xn nN, xi S sau xi-1S pentru orice i1,2,…,n.
H este un subgrup al lui G. Intr-adevar ,1 H (vezi definitia produsului 0-ar data in 1.2.3). In plus, daca x,y H avem:
x = x1x2…xm cu xiS sau xi-1S pentru orice i1,2,..,m,
y = y1y2…yn cu yiS sau yi-1S pentru orice i1,2,..,n.
Rezulta
x y = x1x2…xmy1y2…ynH si x -1=xm-1…x2-1×1-1 H.
Evident avem S H, deci S H. Pe de alta parte, pentru orice x H,
x = x1x2…xn , avem, oricare ar fi i1,2,…,n, xiS S sau
x-1S S si in ultimul caz xi = (xi-1)-1 S , deoarece S este subgrup;din acelasi motiv x = x1x2…xn S . Deci S =H.
Observatie. Daca elementele x1, x 2,…,xm sunt permutabile doua cate doua, avem :
x1,x2,…,xm = x1k1 x2k2 ,…,xmkm k1, k2 ,…km Z .
Acest lucru rezulta din propozitia precedenta grupand insa intr-un produs n-ar ,
x1 x2….xn , intai toti factorii care coincid cu x1 sau cu x1-1, apoi toti factorii care coincid cu x2 sau x2-1 etc. Rezulta de asemenea ca x1,x2,…,xm este un grup abelian. In particular, pentru orice xG, x = xm m Z si x
este abelian. Deci orice grup ciclic este abelian.
In notatie aditiva avem :
x1,x2,…,xm = k1x1+k2x2+…+kmxm k1,k2,…,km Z
x = mx mZ .
D e f i n i t i a 1.3.12. Fie G un grup. Pe multimea P(G) a tuturor submultimilor lui G definim o lege de compozitie binara astfel : daca A,BP(G), atunci AB= ab a A, bB. Aceasta lege de compozitie este asociativa :
(AB)C = A(BC) = abc a A , bB, c C,
si are ca element neutru subgrupul trivial 1=1 . Prin urmare P(G) este monoid. Pentru orice a G, a P(G) este element inversabil in monoidul P(G), inversul sau in P(G) fiind a-1 . Se constata usor ca aplicatia :GU(P(G)) definita prin (a) = a este un morfism de grupuri injective. este chiar un izomorfism. Intr-adevar, fiind dat AU(P(G)) avem AB=1 pentru un BP(G) A si B sunt evident nevide si luand aA, bB,avem,pentru orice aA, ab=ab=1, deci a=a. Astfel A=a=(a).
Pentru orice AP(G) vom nota A-1=a-1aA, desi , conform celor de mai sus, A-1 nu este in general inversul lui A in P(G). Pentru orice A,BP(G), avem
(AB)-1=(ab)-1 aA, bB=b-1a-1aA, bB= B-1A-1.
Daca A=a, aG, vom scrie aB si Ba in loc de AB si BA : aB=abbB, Ba=ba bB. In notatie aditiva vom scrie A+B si a+B in loc de AB si aB :
A+B=a+baA, bB, a+B a+bbB.
P r o p o z i t i a 1.3.13. Fie G un grup si H o submultime nevida a lui G. Atunci H este subgrup al lui G daca si numai daca HH=H si H-1=H. Presupunand in plus ca H este o submultime finita, H este subgrup al lui G daca si numai daca HH H.
D em o n s t r a t i e. Presupunem ca H este subgrup. Atunci in virtutea lui 1) si 3) din 1.3.2 (b), avem HH H si H-1 H. In plus, IH, deci pentru orice
xH, avem x=x 1HH; rezulta HH=H. De asemenea, pentru xH, avem x-1H
deci x= (x-1)-1H-1 ; astfel HH-1, deci H-1=H. Reciproc, presupunem ca HH=H si H-1=H. Atunci, pentru x,yH rezulta x,yHH=H, si x -1H-1=H, deci xyH si
x -1H. Rezulta ca H G conform propozitiei 1.3.3 ( c ). Presupunem acum ca H
este o multime finita si HHH. Atunci, pentru un xH , aplicatia x: HH definita prin x(h)= xh , hH este injectiva conform propozitiei 1.2.2. Deoarece H este multime finita , x este si aplicatie surjectiva. Rezulta x=
= x(h) = xh pentru un hH , deci 1=hH . In plus , 1= x(h)= xh pentru un hH , deci x -1=hH .
P r o p o z i t i a 1.3.14. Fie H , K subgrupuri ale unui grup G. Atunci H K este un subgrup al lui G daca si numai daca H K = K H .
D e m o n s t r a t i e . Daca H K este subgrup al lui G , atunci , conform propozitiei precedente , avem H K= (HK)-1=K-1H-1=KH . Reciproc , presupunem
HK=KH . Deoarece 1=11 HK , HK este o multime nevida. Avem
(HK)(HK)=H(KH)K=H(HK)K=(HH)(KK)=HK
Si (HK)-1= K-1H-1= KH=HK, ceea ce arata , conform aceleiasi propozitii, ca
HK G .
D e f i n i t i a 1.3.15. Fie G un grup si H un subgrup al lui G . Pe multimea elementelor lui G consideram relatia s (mod H) definita prin :
x sy (mod H) x -1yH
si numita relatia de congruenta la stanga modulo H .
Se constata ca aceasta este o relatie de echivalenta : pentru x,y,zG avem
x -1x =1H , deci x sx(mod H); daca x sy (mod H) , atunci x -1yH ,deci y -1x=
(x-1y)-1H si rezulta ys x(mod H); daca xsy(mod H) si ysz(mod H), atunci x-1ysi rezulta x-1z=(x-1y)(y-1z)H, deci xsz(mod H).
Multimea factor G s(mod H) se noteaza simplificat (G H)s , iar elementele sale se numesc clase de congruenta la stanga modulo H. Clasa de congruenta la stanga modulo H a unui element xG este yG x -1yH=
= yG yxH= xH . Daca M(G H)s , un element xM se numeste reprezentant al clasei de congruenta M . Evident , elementul x G este reprezentant al clasei de congruenta la stanga M daca si numai daca M=xH.
In plus, pentru doua elemente x,yG avem
xH = yH x sy (mod H) x -1yH
Reamintim de asemenea ca (G H)s este o partitie a lui G , adica o submultime a lui P(G) ale carei elemente sunt multimi nevide , disjuncte doua cate doua a caror reuniune este G.
In mod asemanator se defineste relatia de congruenta la dreapta modulo H :
x d y(mod H) xy -1 H.
Clasa de congruenta la dreapta modulo H a unui element xG este Hx, iar multimea factor G d (mod H) se noteaza (G H)d .
P r o p o z i t i a 1.3.16. Multimile (G H)s si (G H)d sunt cardinal echivalente.
D e m o n s t r a t i e . Daca M (G / H)s avem M= xH , x G si M -1=(xH) -1=
= H -1 x -1 =H x -1 (G/H)d . In mod analog, daca N (G/H)d avem N -1 (G/H)s .
Prin urmare putem defini aplicatiile : (G/H)s (G/H)d , (M)=M -1 si
: (G/H)d (G/H)s , (N)=N -1. Aplicatiile si sunt evident inverse una alteia . Prin urmare, oricare din ele este o aplicatie bijectiva.
D e f i n i t i a 1.3.17. Numarul cardinal (G/H)s = (G/H)d se noteaza G:H si se numeste indicele subgrupului H in G. De obicei spunem ca H este un subgrup de indice finit in G daca G: H este un numar natural ; in caz contrar spunem ca H este de indice infinit in G si scriem G: H = .
D e f i n i t i a 1.3.18. Un grup G se numeste grup finit daca multimea G a elementelor sale este finita. In acest caz numarul natural G se numeste ordinul lui G. Problemele fundamentale ale teoriei grupurilor se refera in special la grupuri finite .
Daca G este un grup infinit , numarul cardinal G se numeste de asemenea ordinul lui G. De obicei insa, in acest caz, vom scrie G = si vom spune ca ordinul lui G este infinit.
Exemple. Fie G un grup. Considerand subgrupul trivial 1 al lui G avem
x sy (mod 1) x -1y 1 x = y.
Prin urmare relatia de congruenta la stanga modulo 1 (ca si relatia de congruenta la dreapta dealtfel), coincide cu relatia de egalitate pe G. Clasa de congruenta la stanga modulo 1 a unui element x G este x , iar
(G/ 1)s = x x G
este multimea tuturor submultimilor cu un singur element ale lui G.
Rezulta G :1 = G .
Putem considera si subgrupul impropriu G al lui G. In acest caz , pentru orice doua elemente x,y G avem xsy(mod G ). Prin urmare orice clasa de congruenta la stanga modulo G coincide cu G deci
(G/G)s = G si G : G = 1.
P r o p o z i t i a 1.3.19. ( Teorema lui Lagrange). Pentru orice subgrup H al unui grup G avem:
G = H G:H .
D e m o n s t r a t i e . Multimea factor (G/H)s fiind o partitie a lui G avem G = M . Daca aratam ca pentru orice M (G/H)s avem M = H , va
M(G/H)s
rezulta G = H ( G/H )s = H G:H . Fie atunci M(G/H)s , deci M= xH cu x G . Aplicatia : H x H = M definita prin (h) = xh , h H este evident bijectiva si deci M = H .
Observatie. Daca G este un grup finit , teorema lui Lagrange arata ca ordinul oricarui subgrup al lui G este un divizor al ordinului lui G. De exemplu un grup de ordinul 6 nu poate avea subgrupuri de ordinul 4.
Exemple de grupuri. Retinem urmatoarele exemple de grupuri :
Z=(Z, + ) care se numeste grupul aditiv al numerelor intregi ;
Q = (Q, + ), grupul aditiv al numerelor rationale;
Q*= (Q*, ), grupul multiplicativ al numerelor rationale.
Analog avem :
R = (R, + ), grupul aditiv al numerelor reale ;
R* = (R*, ), grupul multiplicativ al numerelor reale.
Foarte multe exemple de grupuri se obtin insa pe baza propozitiei 1.3.2.
Grupuri de permutari . Fie A o multime si E(A) multimea tuturor aplicatiilor : A A. Compunerea aplicatiilor defineste in mod evident o lege de compozitie pe multimea E(A) :
: E (A)2E(A)
(,) = o , , E(A) .
Multimea E(A) este monoid in raport cu legea de compozitie . Intr-adevar,
se stie ca compunerea aplicatiilor este asociativa, iar aplicatia identica 1A este elementul neutru. Elementele inversabile ale monoidului E(A) sunt exact aplicatiile bijective : AA; acestea se mai numesc si perputari ale multimii A. Grupul U(E(A)) al elementelor inversabile ale monoidului E(A) se noteaza cu S(A) sau SA si se numeste grupul simetric pe multimea A , sau grupul permutarilor lui A. Un grup de permutari pe multimea A este un subgrup al grupului S(A).
P r o p o z i t i a 1.3.20. Daca doua multimi A si B sunt cardinal echivalente atunci grupurile simetrice S(A) si S(B) sunt izomorfe.
D e m o n s t r a t i e. Multimile A si B fiind cardinal echivalente exista aplicatiile f: A B si g : BA astfel ca f og =1B si g o f =1A . Definim aplicatiile :
: S(A) S(B) :
() = f oog , S(A)
g f
B A A B ; f o o g S(A) deoarece compunerea f o og fiind compunerea a trei aplicatii bijective este de asemenea o aplicatie bijectiva.
Analog definim
: S(B) S(A) .
( ) = g o o f , S(B) .
Aplicatia este morfism de grupuri :
( o ) = f o( o ) o g = (f o o g)o(f o o g) = ()o() , , S(A).
In plus, pentru S(B),
(o)() = (()) = (g o o f) = fo(goof)og = (fog)oo(gof) = ,
deci o = 1S(B) . Analog o =1S(A) . Aceasta arata ca este un izomorfism de grupuri .
Importanta grupurilor de permutari rezulta din faptul ca orice grup este izomorf cu nu grup de permutari . Intr-adevar , avem :
P r o p o z i t i a 1.3.21. ( Teorema lui Cayley ). Orice grup este izomorf cu un grup de permutari pe multimea G .
D e m o n s t r a t i e . Este sufficient sa definim un morfism de grupuri injectiv : G S(G). Fie x G si fie x : GG aplicatia definite prin
x(g) = xg . Pentru x,y G avem
(xoy)(g) = x(y(g)) = x(yg) =x(yg )=(xy)g= xy(g)
deci xoy = xy . De asemenea
1(g) = 1g = g = 1G(g) ,
deci 1= 1G , aplicatia identica a multimii G. Prin urmare, pentru xG avem
xo x -1 = x x-1 = 1= 1G ,
x-1o x = x-1x = 1 = 1G .
Aceasta arata ca pentru orice xG avem x S(G). Putem deci defini aplicatia :GS(G) luand (x) = x , xG . este morfism de grupuri deoarece
(xy) = xy = xoy = (x) o (y).
In fine , este morfism injectiv deoarece pentru xKer avem x=1G
deci 1 = 1G(1)=x(1) = x, adica Ker =1.
Grupuri de automorfisme. Fie G un grup. Morfismele f: GG se numesc si endomorfisme ale lui G. Multimea End (G) a tuturor endomorfismelor grupului G este evident un submonoid al monoidului E(G). Elementele inversabile ale monoidului End (G) sunt exact izomorfismele f:GG; acestea se numesc si automorfisme ale lui G iar grupul U(End(G)) se noteaza cu Aut (G) si se numeste grupul automorfismelor lui G. Bineinteles Aut (G) este un subgrup al lui S(G), deci Aut (G) este un grup de permutari pe multimea G.
Un subgrup al lui Aut (G) se numeste grup de automorfisme ale grupului G.
Grupuri de izometrii. Reamintim ca un spatiu metric este o multime nevida X impreuna cu o functie distanta, adica o functie d:X2 R satisfacand urmatoarele conditii :
d(a,b)0 si d(a,b) a=b pentru orice a,b X;
d(a,b)= d(b,a) pentru orice a,b X;
d(a,b) d(a,c) +d(c,b) pentru orice a,b,c X.
Fiind dat un spatiu metric X cu functia distanta d, o aplicatie bijectiva : XX se numeste izometrie a lui X daca d((a),(b))=d(a,b) pentru orice a,bX. Multimea Izom (X) a tuturor izometriilor lui X este subgrup in grupul simetric S(X). Intr-adevar, se verifica conditiile 1),2) si 3) ale propozitiei 1.3.3(b) astfel:
1) daca , Izom (X) avem:
d((o)(a),(o)(b)=d(((a)),
((b))= d((a), (b))= d(a,b)
astfel ca o Izom (X);
2) 1 Izomorf (X) evident:
daca Izom (X), avem
d( -1(a), -1(b))=d(( -1(a)),( -1(b))=d(a,b).
Acum daca Y este o submultime a spatiului metric X, notam (Y) = (y) yY. Notam de asemenea Sx(Y) =Izom (X) (Y) =Y si se verifica imediat ( tot pe baza propozitiei 1.3.3 (b)) ca Sx(Y) este un subgrup al lui Izom(X). Grupul Sx(Y) se numeste grupul de simetrie al lui Y in X. In cazul cand X este planul euclidian E2 ( sau spatiul E3 ) cu functia distanta uzuala, Sx(Y) masoara simetria lui Y ca figura geometrica in plan (in spatiu).
Exemple de grupuri finite . Fie G un grup finit de ordinul n (sau, mai general , o multime finita cu n elemente impreuna cu o lege de compozitie binara pe G). Legea de compozitie a grupului G(respectiv legea de compozitie ) se poate descrie explicit printr-un tablou cu n linii si n coloane, aceste linii si coloane fiind indexate cu elementele x1,x2,…,xn ale lui G,
luate intr-o ordine arbitrara si la intersectia liniei xi cu coloana xj se afla elementul xixjG (sau (xi,xj)G).
Acest tablou se numeste tabla de inmultire a grupului G (sau Tabla legii de compozitie ).
Grupul Cn . Multimea C* a numerelor complexe nenule este evident grup in raport cu inmultirea numerelor complexe. Pentru fiecare numar intreg pozitiv n, notam Cn=zC zn=1. Evident Cn este un subgrup al lui C*. Elementele lui Cn se numesc n-radacini complexe ale unitatii. Avem C1= 1 , C2 = 1, -1 . In general, pentru orice numar intreg pozitiv n, avem
Cn= zo,z1,…,zn-1,
unde
2k 2k
zk=cos + i sin , k0,1,2,…,n-1.
n n
Prin urmare, Cn este un grup finit de ordin n. De exemplu
C3= 1,z,z2,
unde ____
2 2 -1 + i 3
z = cos + i sin = .
3 3 2
Avem z3 = 1 , de unde se poate construi imediat tabla de inmultire a lui C3.
Grupul simetric Sn . Fie A o multime finita cu n elemente, sa zicem A= =x1,x2,…,xn . O aplicatie : AA se poate descrie printr-un tablou cu doua linii, in linia de sus aparand elementele lui A intr-o ordine arbitrara, iar , in linia de jos imaginile lor prin :
x1 x2,……..,xn
= (x1 (x2),…..,(xn )
este o permutare a lui A ( adica o aplicatie bijectiva) daca si numai daca este aplicatie injectiva( adica, in linia de jos, pe locuri distincte apar elemente distincte) sau daca si numai daca este aplicatie surjectiva (adica, in linia de jos apar toate elementele lui A). Putem descrie acum operatiile in grupul simetric S(A) astfel :
x1x2…xn y1y2…yn
daca , S(A), = , = , atunci
y1y2…yn z1z2…zn
x1x2…xn
o = ,
z1z2 …zn
x1 x2 …xn y1y2…yn
1= , -1 = .
x1x2…xn x1x2…xn
Conform propozitiei 1.3.20. tipul grupului S(A) nu depinde de natura elementelor lui A ci numai de numarul de elemente ale lui A.
De obicei se ia A =1,2,…,n, multimea primelor n numere naturale si Sn=S(A).
Grupul Sn este un grup finit si Sn = n ! .
Pentru a demonstra aceasta , sa observam ca putem defini o permutare Sn luand imaginea primului element 1 A = 1,2,…,n in mod arbitrar; deci sunt n posibilitati de a defini pe (1). Daca (1) a fost definit, (2) poate fi orice element din A diferit de (1); deci sunt n(n-1) posibilitati de a defini perechea ((1), (2)). Daca (1) si (2) au fost definite , (3) poate fi orice element din A diferit si de (1) si de (2); deci sunt n(n-1)(n-2) posibilitati de a defini tripletul ( (1),(2),(3)). Continuand in acest mod vedem ca numarul tuturor permutarilor Sn este n(n-1)…3,2,1 = n!
Avem S1=1, deoarece S1 = 1. Avem S2 = 2!=2, si anume S2 = 1, cu
1 2
= . Avem evident 2 =1 .
2 1
Se observa , examinand tablele de inmultire ale grupurilor S2 si C2 ca avem S2 C2 .
1 2 3
Avem S3 =3! =6 . Considerand permutarile , S3, =
2 3 1
1 2 3
si = avem :
1 3 2
1 2 3
2 = . 3 = 1 , 2 = 1 ,
3 1 2
1 2 3 1 2 3
o = , 2o = , o = 2o .
2 1 3 3 2 1
Rezulta S3= 1,, 2 , , o , 2o . In plus, relatiile 3= 1, 2 =1 , o = =2o ne permit sa construim imediat tabla de inmultire a lui S3.
Grupul diedral Dn . Reamintim ca printre izometriile planului euclidian E2 sunt: translatiile, rotatiile in jurul unui punct, simetriile in raport cu o dreapta. De asemenea este clar ca o izometrie Izom (E2) este unic determinate de imaginile a trei puncte necoliniare; mai precis, daca , Izom (E2) si x1, x2,x3E2 sunt trei puncte necoliniare astfel ca (xi)=(xi), i 1,2,3, atunci
= .
Acum fie n un numar natural, n 3 si Pn un polygon regulat cu n laturi in E2 . Grupul de simetrie Dn = SE2 (Pn) se numeste grupul diedral de grad n . Fie O centrul poligonului Pn , A1 , A2 ,…., An varfurile sale si
r = d(O,A1) =….=d (O, An) raza cercului circumscris poligonului Pn .
Pentru orice A Pn , avem d(O,A) r si punctul O este unic determinat de aceasta proprietate; in plus, pentru A Pn , d(O,A) = r daca si numai daca
A A1 , A 2 , …,A n . Pentru Dn si orice A = (A) Pn , avem d((O),A)=d((O),(A))=d(O,A) r , ceea ce arata ca (O) =O ; in plus d(O,(A))=
d ((O),(A))=d(O,A), deci A A1 , A2 ,…,An daca si numai daca (A)
A1 ,A2 ,…,An . Astfel, orice izometrie Dn induce o permutare a multimii A1 , A2 ,…., An si aplicatia : Dn Sn, ()= este un morfism de grupuri injectiv ( este aplicatie injectiva deoarece exista cel putin trei varfuri A1 , A2 , A3 si acestea sunt necoliniare).
Prin urmare grupul Dn se poate scufunda in Sn .
Pentru a defini o izometrie Dn , (A1) poate fi oricare din cele n varfuri A1 , A2 ,…, An dar, daca (A1) a fost definit, (A2) nu poate fi decat unul din cele doua varfuri alaturate lui (A1) ( deoarece d((A1),(A2))= d(A1,A2) si distanta intre doua varfuri nealaturate este d(A1,A2)). Daca (A1) si (A2) sunt definite, izometria este perfect determinata (((O)=O, si este unic determinata de imaginile a trei puncte necoliniare ). Rezulta ca exista cel mult 2n posibilitati de a defini o izometrie Dn; altfel spus Dn 2n. Pe de alta parte , rotatiile de unghi
2k
, k 0, 1 ,…., n-1 , in jurul lui O si simetrie in cele n axe de simetrie
n
ale poligonului Pn sunt izometrii apartinand lui Dn. Prin urmare 2n Dn si deci Dn = 2n. Daca este rotatia de unghi
2
in jurul lui O si este simetria intr-una din axele de simetrie ale
n
lui Pn , avem n= 1, 2 = 1 , o= n-1o si
Dn = 1,,2,…,n-1,,o,2o,….,n-1o .
Deoarece D3 se poate scufunda in S3 si D3 = S3 = 6, rezulta D3 S3. Pentru a descrie grupul diedral D4, observam ca D4 = 1, , 2 ,3 , , o, 2o, 3o si 4 = 1 , 2 = 1 , o = 3o
si se poate obtine imediat tabla de inmultire a grupului D4 .
Putem defini grupul diedral Dn si pentru numere naturale n 2. Astfel D2 se defineste ca grupul de simetrie al unui dreptunghi care nu este patrat. Notand cu si simetriile in raport cu cele doua axe de simetrie ale dreptunghiului , o = o este simetria in raport cu centrul dreptunghiului. Avem
D2 = 1 , , , o cu 2 =1 , 2 = 1 , o = o .
Grupul D2 se numeste de obicei grupul lui Klein.
Grupul D1 se defineste ca fiind grupul de simetrie al unui segment.
Notand cu simetria in raport cu mijlocul segmentului avem D1=1 , cu 2 = 1. Se vede imediat ca grupurile D1 si C2 sunt izomorfe.
Grupul Do se poate defini ca fiind grupul trivial Do = 1 . i 0
Grupul cauternionilor . Considerand matricele complexe j = ,
0 -i
1 0
k= se observa imediat ca avem j4= 1 (aici 1 este matricea identica
0 1
1 0
1 = , j2 = k2 , kj = j3 k
0 1
Datorita relatiilor de mai sus, multimea Q = 1 , j , j2 , j3 ,k , jk , j2k , j3k este parte stabila in raport cu inmultirea matricilor. Inmultirea matricilor , in general , este asociativa si are ca element neutru matricea identica
1 0
1 = .
0 1
Examinand tabla de inmultire a legii de compozitie induse de inmultirea matricilor pe Q, se constata imediat ca Q este grup in raport cu aceasta lege de compozitie indusa. Grupul Q se numeste grupul cuaternionilor.
Grupul aditiv al numerelor intregi. Dupa cum am mai remarcat (Z,+), unde Z este multimea numerelor intregi si + este adunarea numerelor intregi, este un grup. Acest grup se numeste grupul aditiv al numerelor intregi si, pentru comoditate , il vom nota tot cu Z , ca si multimea numerelor intregi.
Grupul Z este un grup ciclic, un generator al sau fiind numarul intreg 1:
1 = m1 m Z = Z
Evident, avem si -1 = Z. 1 si -1 sunt singurii generatori ai lui Z. Intr-adevar, daca n Z si n = Z, avem 1 n , deci 1 =mn cu m Z de unde rezulta n = 1 . In general , pentru un numar n Z subgrupul lui Z generat de n este : n = nk k Z . Notam acest subgrup cu nZ.
P r o p o z i t i a 1.3.22. i) Pentru orice subgrup H al lui Z exista un unic numar natural n, astfel ca H = nZ.
ii) Pentru m , nZ avem: mZ nZ n m
iii) Pentru m, nZ avem :
mZ + nZ = (m,n ) Z si mZ nZ = m,n Z
(unde ( m,n) este cel mai mare divizor comun al lui m si n iar m,n este cel mai mic multiplu comun al lor).
D e m o n s t r a t i e. Fie H Z. Daca H este subgrupul trivial avem H = =0= 0Z. Presupunem ca H este netrivial. Atunci exista un n H, n 0.
Avem n 0 sau n 0 si , in ultimul caz, avem -n H, -n 0. Deci, exista un n H, n 0. Putem considera atunci cel mai mic numar intreg pozitiv n care apartine lui H. Deoarece n H avem nZ = n H. Fie m H.
Aplicand teorema impartirii cu rest avem m= nq + r cu q, r Z si 0 r n .
Deoarece m H si nqnZ H , avem r = m- nq H . Astfel H nZ, deci H = nZ. Unicitatea numarului natural n cu H = nZ rezulta dupa ce demonstram (ii).
Pentru m, n Z avem :
mZ nZ m nZ m nZ n m
ceea ce demonstreaza (ii). Acum daca H = mZ = nZ cu m si n numere naturale, rezulta m n si n m, deci m=n .
Deoarece Z este grup abelian, mZ+nZ este subgrup al lui Z conform propozitiei 1.3.14. Prin urmare mZ+ nZ = dZ , cu d numar natural.
Avem mZ mZ + nZ = dZ, deci d m ; analog d n. Pentru orice numar intreg d cu d m si d n , rezulta mZ d Z si nZ dZ , deci
dZ = mZ + nZ = mZ nZ dZ, de unde d d.
Astfel d= (m, n) si mZ + nZ = (m,n)Z. Egalitatea mZ nZ = m, n Z se demonstreaza intr-un mod analog .
Observatie. Propozitia precedenta ne permite sa demonstram unele fapte de aritmetica elementara . Astfel, date doua numere intregi m si n, m si n sunt prime intre ele (adica (m,n)=1), daca si numai daca exista doua numere intregi m si n astfel ca mm+ nn =1:
(m,n) = 1 mZ =nZ = Z 1mZ +nZ m , n Z 1= mm +nn.
P r o p o z i t i a 1.3.23. Pentru orice numar natural n, avem:
n daca n 1,
Z:nZ =
daca n=0.
D e m o n s t r a t i e. Pentru n=0, 0Z este subgrupul trivial deci Z:0Z=
= Z = . Presupunem n 1. Pentru orice x Z avem x= nq + r cu q , r Z si
0 r n ; deoarece x – r = nq nZ, avem x d r (mod nZ) deci x+ nZ = r+ nZ. Astfel
(Z/nZ)d = x+ nZ xZ=r + nZ 0 r n .
Este sufficient sa demonstram ca multimea r+nZ 0 r n are exact n elemente.
Pentru aceasta observam ca daca i, j 0,1,…, n-1 si i j, atunci i+ nZ j+ nZ; intr-adevar, egalitatea i+ nZ =j+ nZ ar implica j- i nZ, deci 0 j-i n si totodata
n j – i , ceea ce este absurd.
Observatie. De obicei, pentru x, yZ scriem x y (mod n) in loc de x dy (mod nZ) ( de fapt, in acest caz, relatia de congruenta la stanga modul nZ coincide cu relatia de congruenta la dreapta ).
Notand pe scurt clasa de congruenta x + nZ cu x , avem : (Z/nZ)d =
= 0, 1, …, n-1 si aceasta multime are n elemente.
Numarul tipurilor de grupuri de ordinul n. Pentru orice numar intreg pozitiv n se noteaza cu (n) numarul tipurilor de grupuri de ordin n. Nuse cunoaste nici o ,,formula” generala pentru functia . Se cunosc insa diferite majorari ale sale si una din aceste majorari rezulta imediat din teorema lui Cayly (vezi propozitia 1.3.21). : (n) 2n ! . Deoarece pentru orice n exista cel putin un grup de ordinul n, avem 1 (n) . Evident, (1)=1.
Pentru orice numar prim p , avem (p) =1. Aceasta rezulta imediat folosind urmatoarele doua propozitii:
P r o p o z i t i a 1.3.24. Orice grup finit G de ordin p, unde p este numar prim, este cyclic.
D e m o n s t r a t i e . Fie 1 gG si H = g , subgrupul ciclic al lui G generat de g. Deoarece H G = p si 1 H avem H = G , astfel ca G=
= H = g .
P r o p o z i t i a 1.3.25. Orice doua grupuri ciclice avand acelasi ordin sunt izomorfe.
D e m o n s t r a t i e . O demonstratie clara a acestei propozitiii se obtine in paragraful urmator, pe baza teoremei fundamentale de izomorfism (vezi propozitia 1.4.15.). Cele doua grupuri ciclice au ordinul n, unde n=2,3,4,5 etc.
Grupuri de ordinul 4. Fie G un grup de ordinul 4 . Presupunem ca exista un element x G cu x2 1. Nu putem avea x3 = 1 deoarece in acest caz 1,x,x2 ar fi un subgrup de ordinul 3 al lui G, contrar teoremei lui Lagrange. Prin urmare
x3 1 si evident x3 x , x3 x2 . Aceasta arata ca G= 1,x,x2,x3 = x , deci G este un grup ciclic. Presupunem acum ca pentru orice element x G , avem
x 2 = 1. Fie x,y G cu x1,y 1, x y. Deoarece xy = x implica y=1, xy =y
implica x=1 iar xy=1 implica x= x1= xy2 =xyy= 1y =y, rezulta G= 1,x,y,xy. In plus, avem yx = y-1x -1 = (xy) -1 = xy ( ultima egalitate are loc deoarece ( xy )2 =1.
Relatiile x2 =1 , y2 =1 si xy =yx arata ca tabla de inmultire a lui G coincide cu tabla de inmultire a grupului D2, de unde rezulta G D2. Prin urmare G este ciclic sau G D2. Deoarece orice doua grupuri ciclice avand acelasi ordin sunt izomorfe, avem G C4 sau G D2. Pe de alta parte, este evident ca C4 D2. Astfel (4)=2.
Grupuri de ordinul 6. Fie G un grup de ordinul 6. Atunci exista un element
x G cu x2 1. Intr-adevar , daca pentru orice x G avem x2 = 1 , atunci, alegand doua elemente x,y G cu x 1, y 1 , x y, se constata, ca mai sus, ca xy = yx si relatiile x2 =1, y2 =1, xy = yx arata ca 1 , x , y , xy este un subgrup de ordinul 4 al lui G, contrar teoremei lui Lagrange.
Fie deci x G cu x2 1 si fie H = x , subgrupul ciclic al lui G generat de x. Daca x3 1, atunci 1,x, x2, x3 sunt patru elemente distincte, doua cate doua, din H, deci 3 H 6. Aceasta arata ca H = 6 = G , deci H =G si G este ciclic . Noi vom presupune ca G nu este ciclic. Atunci x3 = 1 si H =1,x,x2.
G 6
Alegem un element y G H si avem, deoarece G : H = = = 2 ,
H 3
(G/H)d = H ,Hy si G = H Hy = 1, x, x2 , y , xy , x2y .
Nu putem avea y2 = xy sau y2 = x2 y (y2 =xy implica y = x H , iar y2= x2y implica y = x2 H ). De asemenea nu putem avea y2 = x sau y2= x2 (daca y2=
= x , atunci G = 1 ,y2,y4,y ,y3,y5 = y si daca y2= x2 , atunci 1=x3=x2x=y2x,
Deci x=y-2 si iarasi , rezulta G = y ) . Prin urmare y2 = 1 . Nu putem avea
yx=1, yx=x , yx=x2 , yx=y(yx=1 y = x -1 H , yx = x y = 1 , yx = x2 y=x , yx=
= y x = 1). De asemenea nu putem avea yx=xy. ( Daca yx = xy, atunci (xy)2=x2y2
= x2 , (xy)3 = x3 y3 = y , (xy )4= x4 y4 = x, (xy)5 = x5y5 = x2y si rezulta G = xy ).
Prin urmare yx = x2y. Relatiile x3 = 1, y2 = 1, yx = x2 y arata imediat ca tabla de inmultire a lui G este identical cu tabla de inmultire a grupului S3 . Astfel GS3.
Prin urmare , pentru orice grup G de ordin 6 , avem GC6 sau GS3 .
Deoarece evident C6 S3 , rezulta (6) = 2 .
Dupa cum se stie, orice latice cu un numar finit de elemente se poate reprezenta printr-o diagrama in care liniile unesc doua elemente alaturate. In continuare vom descrie laticea subgrupurilor L ( G ) pentru unele din grupurile finite care au aparut pana acum.
1.4. Subgrup normal.Grup factor
P r o p o z i t i a 1.4.1. Fie G un grup si H un subgrup al lui G. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente :
a) pentru orice x G avem xHx -1 H,
a) pentru orice x G avem xHx -1 H,
b) pentru orice x G avem xH = Hx,
c) (G/H)s = (G/H)d .
D e m o n s t r a t i e. a) a). Pentru orice x G avem, prin ipoteza, atat
xHx -1 H cat si x -1Hx H; din ultima incluziune rezulta H = x(x -1Hx)x -1 xHx-1
deci xHx -1 = H.
a) a) este evident.
a) b) Daca xHx -1 = H , atunci xH = (xHx -1)x =Hx.
b) a) Daca xH = Hx , atunci xHx -1= (Hx)x -1=H.
b) c) este evident.
c) b). Fie x G . Atunci xH ( G/H)s = (G/H)d , deci xH = Hy pentru un y G. Deoarece x = x1 xH = Hy, avem Hx = Hy, deci xH = Hx.
D e f i n i t i a 1.4.2. Un subgrup H al unui grup G se numeste subgrup normal al lui G ( sau subgrup normal in G) daca este satisfacuta una din afirmatiile echivalente ale propozitiei precedente. Pentru a indica faptul ca H este un subgrup normal al lui G, vom scrie H G.
P r o p o z i t i a 1.4.3. Orice subgrup H al unui grup G cu G:H =2 este normal in G.
D e m o n s t r a t i e . Avem H=1 H(G/H)s si deoarece (G/H)s = G:H =2, rezulta (G/H)s = H, G H . De asemenea, H = H1 (G/H)d si deoarece (G/H)d= G:H =2, avem (G/H)d = H, G H.
Prin urmare (G/H)s=(G/H)d si H G conform punctului c) al propozitiei 1.3.1.
P r o p o z i t i a 1.4.4. Pentru orice familie Hi iI de subgrupuri normale ale unui grup G, intersectia Hi este de asemenea un subgrup normal in G.
iI
D e m o n s t r a t i e. Stim deja ca Hi G. Vom verifica ca Hi satisface
iI iI
conditia a) a propozitiei 1.4.1. astfel : pentru h Hi si x G, avem, oricare ar
iI
fi i I, h Hi si deoarece Hi G , xhx -1 xHix -1 Hi , deci xhx -1 Hi .
iI
Observatie. Multimea Ln (G) a tuturor subgrupurilor normale ale unui grup G este o multime ordonata, relatia de ordine fiind incluziunea. Propozitia 1.4.4 arata ca Ln (G) este o latice completa, infimumul oricarei familii Hi iI de elemente din Ln (G) fiind intersectia Hi . Cel mai mic element al laticii Ln (G)
iI
este grupul trivial 1 iar cel mai mare element este subgrupul impropriu G.
P r o p o z i t i a 1.4.5 (Teorema de corespondenta pentru subgrupuri normale) Fie f:GG un morfism de grupuri. Au loc urmatoarele afirmatii:
i) Daca K G, atunci f -1 (K) G.
ii) Daca f este surjectiv si H G, atunci f(H) G .
iii) Daca f este surjectiv, aplicatia H f(H) , de la multimea subgrupurilor normale ale lui G care contin Ker f in multimea subgrupurilor normale ale lui G , este bijectiva.
D e m o n s t r a t i e . i) Avem f -1(K) G, conform propozitiei 1.3.5. Pentru x G si h f -1 (K) avem f(h) K si f(xhx -1)= f(x)f(h)f(x) -1 K deoarece
K G , deci xhx -1 f -1 (K). Aceasta arata ca f -1 (K) G .
ii) Avem f(H) G conform propozitiei 1.3.5. Pentru y G si k f(H) avem y=f(x) , x G, deoarece f este aplicatie surjectiva si k=f(h) ,h H, conform definitiei lui f(H).. Prin urmare yky -1 = f(x) f(h) f(x)-1= f(xhx -1) f(H) deoarece xhx -1 H. Aceasta arata ca f(H) G .
iii) Rezulta imediat din cele doua puncte precedente si teorema de corespondenta
1.3.8 .
P r o p o z i t i a 1.4.6. Fie f:G G un morfism de grupuri. Atunci Ker fG.
D e m o n s t r a t i e . Avem Ker f= f -1(1) si 1 G , deci Ker f G conform punctului i) al propozitiei de mai sus .
Definitia 1.4.6 . Fie G un grup, g G si consideram aplicatia g :GG definita prin g(x) = gxg-1 , pentru g, g G. Avem :
( g g )(x) = g (gxg-1) = ggxg-1g-1 = gg(x) .
In plus, este clar ca 1= 1G . Rezulta g o g-1= 1= 1G. g-1 g = 1= 1G , deci g este o permutare a lui G cu g-1 = g-1 . g este de fapt un automorfism al lui G:
g (xy) = g(xy)g -1 = (gxy-1)(gyg-1) = g(x) g(y) .
g se numeste automorfismul interior al lui G definit de elementul gG.
Deoarece g o g = gg , pentru orice g , gG, aplicatia :GAut (G), definita prin (g) = g , este un morfism de grupuri . Prin urmare, multimea Inn (G)=Im
a tuturor automorfismelor interioare ale lui G este un subgrup al lui Aut (G). Deoarece, pentru orice Aut (G) si orice g G, avem
( g -1)(x) =( g -1(x)g -1) = (g) x (g)-1= (g) (x) ,
rezulta g -1 = (g)I nn (G) , ceea ce arata ca I nn (G) Aut (G) .
Fie H un subgrup al lui G. Pentru orice element x G avem x (H) =xHx -1.
Aceasta arata ca, pentru orice xG, xHx-1 este de asemenea un subgrup al lui G si, in plus, H G daca si numai daca x(H) = H pentru orice automorfism interior x al lui G.
Un subgrup H al lui G se numeste caracteristic in G daca pentru orice
Aut (G) avem (H) = H. Conform celor de mai sus, orice subgrup caracteristic in G este normal in G.
P r o p o z i t i a 1.4.7. Fie K H G . Presupunem ca K este caracteristic in H
si H este normal in G . Atunci K este normal in G.
D e m o n s t r a t i e. Fie g G. Avem g (H) =H deci putem defini aplicatia :HH prin (h) = g (h). Deoarece g este un automorfism al lui G, rezulta Aut (H) . Avem K= (K)= g (K), deci K G.
P r o p o z i t i a 1.4.8. Fie H un subgrup finit al unui grup. Presupunem ca H= n si ca H este unicul subgrup de ordin n al lui G. Atunci H este caracteristic in G si, in particular , H G.
D e m o n s t r a t i e. Fie Aut (G) . Atunci, conform propozitiei 1.3.5., (H)G. In plus, (H)=H= n si in virtutea ipotezei, (H) = H .
Alte exemple de subgrupuri normale. Daca G este un grup abelian, orice subgrup H al lui G este normal in G. Aceasta este evident, egalitatea xH= Hx rezultand din comutativitatea legii de compozitie a lui G.
Subgrupurile normale ale lui S3. Subgrupul 1, , 2 al lui S3 este normal in S3 deoarece are indicele 2 in S3 . Subgrupurile 1, ; 1, , 1 ,2 ale lui S3 nu sunt normale in S3 :
1, nu este normal deoarece -1= 2 1, ; 1, nu este normal deoarece () -1 = 1, ; 1 ,2 nu este normal deoarece (2) -1=
1, 2 . Laticea subgrupurilor normale ale lui S3 este :
S3
1 , , 2
1
Subgrupurile normale ale lui Q. Subgrupurile de ordinul 4 ale lui Q sunt normale deoarece au indicele 2. Unicul subgrup 1, j2 de ordinul 2 este de asemenea normal in virtutea propozitiei 1.4.8. Rezulta ca, desi Q nu este grup abelian , orice subgrup al lui Q este normal.
Fie G un grup si H un subgrup al lui G. Multimea (G/H) , este o submultime a monoidului P(G) .
P r o p o z i t i a 1.4.9. H este subgrup normal al lui G daca si numai daca (G/H)s este subgrup al monoidului P(G) .
D e m o n s t r a t i e. Presupunem H G. Luand doua elemente xH, yH (G/H)s , x , y G si aplicand propozitia 1.4.1. c) avem :
(xH)(yH) =x(Hy)H = x(yH) H = (xy) HH =xyH.
Aceasta arata ca (G/H)s este parte stabila a lui P(G). Legea de compozitie indusa pe (G/H)s este asociativa deoarece legea de compozitie a lui P(G) este asociativa. Avem H=1H (G/H)s si H este element unitate pentru legea de compozitie indusa pe P(G) :
(1H)(xH) =(1x)H =xH pentru orice xH (G/H)s.
In fine, orice element xH (G/H)s are un invers in (G/H)s in raport cu legea de compozitie indusa, anume x -1H (G/H)s :
(xH)(x -1H) = (xx -1)H =1H =H
(x -1H(xH) = (x -1x)H =1H =H .
Prin urmare (G/H)s este subgrup al monoidului P(G) . Reciproc, presupunem ca (G/H)s este subgrup al monoidului P(G). Pentru xH (G/H)s avem (xH)H=xHH=
= xH ceea ce arata ca 1H=H este elementul unitate al grupului (G/H)s. In plus, exista un element yH (L/H)s astfel ca (xH)(yH)=(yH)(xH)=H . Atunci yH HyH =x-1(xH)(yH)=x -1H , deci yH = x -1H.
Doarece(x -1H)(xH) =H, avem Hx HxH=x(x -1H)(xH)=xH. Analog,deoarece(xH)(x -1H)=H avem Hx -1 Hx -1H=x -1(xH)(x -1H)=x -1H, deci xH=
=x(Hx -1)x x(x -1H)x=Hx. Rezulta Hx = xH pentru orice xG deci HG conform propozitiei 1.4.1.b).
Definitia 1.4.10. Fie H un subgrup normal al grupului G. Subgrupul (G/H)s =
(G/H)d al monoidului P(G) definit in propozitia precedenta se numeste grupul factor al lui G prin H si se noteaza G/H. Retinem din demonstratia acestei propozitii ca elementele lui G/H sunt clase de congruenta xH, x G si avem xH=
yH daca si numai daca x -1y H iar legea de compozitie in G/H este definita prin (xH)(yH)= xyH ; elementul unitate in G/H este 1H=H iar inversul lui xH este (xH)-1= xH.
Aplicatia :G → G/H definita prin (x) = xH , x G, se numeste proiectia canonica a lui G pe G/H . este evident un morfism de grupuri surjective, deci Im =G/H. In plus, pentru x G, x Ker xH=H x H, deci Ker =H.
Astfel are loc o reciproca a propozitiei 1.4.6 : Orice subgrup normal H ≤ G este nucleul unui morfism de grupuri.
Exemple. 1) Dupa cum am vazut, subgrupul trivial 1 si subgrupul impropriu G sunt subgrupuri normale ale lui G. Avem G/1 = x xG, si proiectia canonica : GG/1, (x) =x este un izomorfism:G/1 G; de asemenea G/G este grupul trivial : G/G =1.
2) Dupa cum am vazut in 1.4.6. , avem Inn(G) Aut (G). Grupul factor Aut (G)/Inn (G) se numeste grupul automorfismelor exterioare ale lui G. Aceasta denumire este insa abuziva deoarece elementele grupului factor Aut (G)/
/Inn (G) nu sunt automorfisme ale lui G.
3) Pentru orice H G avem evident G/H= G:H . In particular, pentru orice numar intreg pozitiv n, subgrupul nZ al lui Z (vezi 1.3.22) este normal in Z( deoarece Z este abelian) si, conform propozitiei 1.3.23, grupul factor
Z/nZ are ordinul n. Grupul factor Z/nZ se noteaza de obicei cu Zn si se numeste grupul claselor de resturi modulo n. In general, orice grup factor al unui grup ciclic este ciclic : daca H G=x , atunci G/H = xH . In particular, Zn este un grup ciclic , un generator al sau fiind 1=1+nZ.
P r o p o z i t i a 1.4.11. (Teorema fundamentala de izomorfism ). Fie f:GG un morfism de grupuri. Atunci G/Ker f Im f. Mai précis, exista un unic omomorfism de grupuri f: G/Ker fIm f, astfel ca f=iofo, unde i:Im fG este incluziunea canonica, :GG/Ker f este proiectia canonica si f este izomorfism.
D e m o n s t r a t i e . Pentru simplificare, sa notam N= Ker f. Sa presupunem ca f : G/N Im f si f= iofo. Atunci, pentru orice xG, avem
f(x)= i(f((x))= f(xN)
Aceasta demonstreaza ca daca exista un omomorfism f:G/NIm f cu proprietatea f=iofo, atunci acesta este unic. Acum fie x ,yG. Avem
xN= yN y -1xN=Ker f f(y -1x)=1 f(y)-1f(x)=1f(x)=f(y).
Aceasta arata ca putem defini aplicatia f:G/NIm f prin f(xN)=f(x), x G. Aceasta aplicatie satisface evident egalitatea f=iofo . Aplicatia f este injectiva:
f(xN)= f(yN) f(x)=f(y)xN=yN
(conform sirului de echivalente de mai sus) si este surjectiva deoarece orice element din Im f este de forma f(x) ,xdeci de forma f(x)=f(xN).
In fine, f este morfism de grupuri deoarece:
f((xN)(yN))=f((xy)N) =f(xy)=f(x)f(y)=f(xN)f(yN).
Aceasta arata ca f este izomorfism si teorema este demonstrate.
Exemple: 1) Consideram grupul aditiv R al numerelor reale (adica multimea numerelor reale R considerate ca grup in raport cu adunarea numerelor reale) si grupul multiplicativ C* al numerelor complexe nenule. Din regula de inmultire a numerelor complexe, scrise sub forma trigonometrica, rezulta ca aplicatia f:RC* definita prin : f(x)= cos 2x+ i sin 2x ,x R, este un morfism de grupuri. Im f se noteaza de obicei cu D; D este,deci, subgrupul lui C*, format din toate numerele complexe de modul 1. Se constata imediat ca Ker f = Z. Aplicand teorema fundamentala de izomorfism, rezulta R/Z D.
Putem considera si grupul aditiv Q al numerelor rationale si restrictia
m 2m 2m
g:QC* a lui f la Q:g ( ) = cos + i sin pentru orice numar
n n n
m
rational . Se constata imediat ca
n
Im g = zC* exista n N* : zn = 1= Cn ,
n>o
adica Im g este multimea tuturor radacinilor complexe ale unitatii. Notam Im g = =C . Evident, Ker g = Z si, in virtutea teoremei fundamentale de izomorfism, rezulta Q/Z C .
2) Fie n un numar intreg pozitiv si consideram aplicatia f:Z C* definita
2x 2x
prin f(x) = cos + i sin . Evident f este un morfism de grupuri si
n n
Ker f = nZ, Im f = Cn . Aplicand teorema fundamentala de izomorfism rezulta
Zn Cn .
3) Fie G un grup. Consideram morfismul de grupuri : G Aut (G) definit in 1.4.6. Avem Im =Inn (G) , grupul automorfismelor interioare ale lui G. Ker se noteaza de obicei cu Z(G) si se numeste centrul grupului G. Din definitia lui rezulta imediat ca
Z(G) = gG gx = xg pentru orice xG .
Elementele lui Z(G) se numesc elemente centrale ale lui G iar subgrupurile lui Z(G) se numesc subgrupuri centrale ale lui G. Aplicand teorema fundamentala de izomorfism, obtinem G/Z(G) Inn (G) . Remarcam ca grupul G este abelian daca si numai daca Z(G) =1.
P r o p o z i t i a 1.4.12. Fie N un grup central al unui grup G. Au loc urmatoarele afirmatii :
i) N G.
ii) Daca G/N este ciclic, atunci G este abelian .
D e m o n s t r a t i e . Daca g N si x G avem gx=xg , deci xgx -1 =gN. Aceasta arata ca N G.
ii) Presupunem G/N < x N > , x G . Atunci pentru orice element g G , avem gN=(xN)n = xn N , deci g=xn u cu n Z, u N.
Considerand doua elemente g,g G , vom avea: y=xn u , g = xn u cu n,nZ,
u,uN, deci gg=xnuxnu=xn xnuu=xn+nuu si gg = xnuxnu = xnxnuu = xn+nuu ; prin urmare gg=gg si G este abelian.
Definitia 1.4.13 . Fie G un grup , xG si x: Z G aplicatia definita prin x(m) = xm, mZ. Conform lui (1.2.8.1) , x este morfism de grupuri. Avem
Ker x = mZ xm = 1 si , conform propozitiei 1.3.22 (i), exista un unic numar natural n astfel incat Ker x = nZ ; acest unic numar natural se numeste ordinul elementului x si se noteaza n = o(x).
Deoarece pentru mZ avem mnZ daca si numai daca nm , numarul natural n =o(x) este caracterizat de urmatoarea proprietate :
pentru mZ , xm =1 nm.
P r o p o z i t i a 1.4.14. Fie G un grup, xG si o(x) =n. Atunci
n daca n 0,
<x>=
daca n =0.
D e m o n s t r a t i e . Avem evident Im x=<x>. Pe de alta parte , conform teoremei fundamentale de izomorfism , avem
n daca n0
z/Ker x Im x , adica Z/nZ <x>. Rezulta <x>=Z:nZ=
daca n=0,
conform propozitiei 1.3.23.
P r o p o z i t i a 1.4.15. Pentru orice grup ciclic G avem G Zn daca G este finit si n = G si G Z daca G este infinit.
D e m o n s t r a t i e. Exista un element xG cu G = <x>, si , ca si in demonstratia propozitiei precedente, avem G Z/nZ, unde n = o(x).
Daca n0, avem G= n si Z/nZ Zn si, daca n = 0 , G este infinit si Z/0Z Z.
P r o p o z i t i a 1.4.15 . Fie G un grup finit de ordin m. Atunci, pentru orice element xG , avem xm = 1 .
D e m o n s t r a t i e. Fie H=<x> G si n = o(x) . Deoarece H este finit, avem n>0 si n=HG=m, conform teoremei lui Lagrange.
Rezulta xm= 1, din definitia lui a(x).
Definitia 1.4.16. Fie n un numar intreg pozitiv. Multimea Zn=0,1,…,n-1 a claselor de resturi modulo n este grup in raport cu adunarea claselor de resturi : x +y = x +y . (acesta este grupul factor Zn=Z/nZ). Pe multimea Zn definim si o inmultire (adica o lege de compozitie binara notata multiplicativ) , astfel : xy =xy. Aceasta inmultire este bine definita deoarece x=x si y=y implica x-x nZ si y-ynZ deci x-x= np si y-y=nq cu p,qZ; rezulta xy=
= (x+np)(y+nq) =xn+n(py+qx+npq), deci xy-xynZ, xy= xy Zn impreuna cu inmultirea astfel definite este un monoid : legea de asociativitate se verifica imediat , iar elementul unitate este 1; grupul elementelor inversabile ale acestui monoid se noteaza cu U(Zn) (in capitolul urmator Zn va fi inelul claselor de resturi modulo n, grupul aditiv Zn se va nota cu Z+n iar monoidul multiplicativ Zn cu Z*n ).
Definitia 1.4.17 Conform propozitiei precedente, ordinul grupului U(Zn) este numarul numerelor intregi positive mai mici ca n si prime cu n. Ordinul
U(Zn) se numeste indicatorul Euler al lui n si se noteaza cu (n). Avem (1)=1 si, evident, pentru orice numar prim p, (p)= p – 1. Conform propozitiei
1.4.15, avem, pentru orice x U(Zn), x (n) = 1 , adica, pentru orice numar intreg x, prim cu n, x (n) 1 (mod n).
Acest rezultat se numeste , in teoria numerelor, teorema lui Euler.
Daca p este numar prim si xZ este prim cu p(ceea ce revine la faptul ca (px), rezulta, in particular, x p-11 (mod p), rezultat ce se numeste teorema lui Fermat.
P r o p o z i t i a 1.4.19. (Prima teorema de izomorfism prntru grupuri).
Fie f:GG un morfism de grupuri surjectiv si H G . Atunci f(H)G si G/H
G/f(H) .
D e m o n s t r a t i e . Avem f(H) G conform lui 1.4.5. Fie :GG/f(H) proiectia canonica si f = of:GG/f(H). Fiind compunerea a doua morfisme, ambele surjective, f este un morfism surjectiv, deci Im f=G/f(H). Pentru xG avem:
xKer ff(x) =1(f(x))=1f(x)Ker =f(H).
Rezulta f(Ker f) =f(H) si conform punctului iii) al lui 1.4.5, rezulta Ker f =H. Obtinem G/H G/f(H) in virtutea teoremei fundamentale de izomorfism.
Observatie. Fie G un grup si H G, H K G. Consideram proiectia canonica : GG/H si incluziunea canonica i: KG si fie f=oi:KG/H. Avem evident.
Ker f=H si Im f=f(K) astfel ca, exista un izomorfism canonic f : K/H (K)
definit prin f (xH) =f(x)= (x), xK; xH este clasa de congruenta la stanga modulo H a elementului x K, iar (x) este clasa de congruenta la stanga modulo H a aceluiasi element x dar, privim, x G ; izomorfismul de mai sus ne permite sa identificam aceste doua clase, deci, sa identificam K/H cu (K).
Deoarece este un morfism de grupuri surjective, teorema de corespondenta 1.3.8 arata ca aplicatia K~ K/H de la multimea subgrupurilor lui G care contin
Ker =H in multimea subgrupurilor lui G/H este bijectiva.
Conform lui 1.4.5 pentru un subgrup K cu H K G avem K G daca si numai daca K/H G/H si, conform teoremei de izomorfism de mai sus, (G/H)/
(K/H) G/K.
Subgrupurile lui Zn. Fie n un numar intreg pozitiv. Zn fiind abelian orice subgrup in Zn este normal in Zn. Deoarece Zn=Z/nZ avem, conform teoremei de corespondenta, ca orice subgrup al lui Zn este de forma H/nZ unde H este un subgrup al lui Z care contine pe nZ. Conform lui 1.3.22 avem H=dZ unde d este un numar natural cu dn. Deci, orice subgrup al lui Zn este de forma dZ/nZ, unde d este un divisor natural al lui n. Conform primei teoreme de izomorfism avem :
Zn/(dZ/nZ)=(Z/nZ)/(dZ/nZ) Z/dZ
si deci d=Z/dZ= Zn/dZ/nZ=ndZ/nZ, deci dZ/nZ=nd.
Spre exemplificare sa consideram subgrupurile lui Z6= 0 ,1 ,2 , 3 ,4 ,5 . Divizori naturali ai lui 6 fiind 1,2,3,6, aceste subgruupri sunt 1Z/6Z= Z6. 2Z/6Z=0 , 2 ,4 , 3Z/6Z = 0,3 , 6Z/6Z =0 astfel laticea subgrupurilor lui Z6 este :
Z6
0 , 2 ,4 0,3
0
Subgrupurile unui grup ciclic. Structura grupurilor ciclice este data de propozitia 1.4.15. Daca G este un grup ciclic infinit avem G Z..
In virtutea propozitiei 1.3.22 rezulta ca orice subgrup al lui G netrivial este un grup ciclic infinit si orice grup factor al lui G este ciclic (finit, daca factorizarea se face printr-un subgrup netrivial). Mai précis, daca fixam un generator x al lui G:G= <x> avem un izomorfism canonic x : ZG cu x(n)=xn, nZ si rezulta ca orice subgrup al lui G eate de forma <xd> , unde d este un numar natural.
Presupunem acum ca G este un grup ciclic finit de ordin n. Avem G Zn si cunoscand subgrupurile lui Zn, deducem ca orice subgrup al lui G este ciclic (subgrupul dZ/nZ al lui Zn este evident ciclic generat de d). Mai mult, pentru fiecare divizor natural d al lui n, exista un unic subgrup Gd al lui G de ordin d(in cazul G=Zn , avem Gd= dZ/nZ, unde d= nd). Putem descrie acest subgrup Gd astfel : Gd=xGxd=1. Intr-adevar, deoarece Gd are ordinul d , avem, conform lui 1.4.15, GdxGxd=1. Deoarece G este grup abelian, este clar ca xGxd =1 este un grup al lui G, deci x Gxd=1=Gd , unde d este un divizor natural al lui n. Incluziunea Gd Gd implica dd si, pe de alta parte, considerand un generator x al lui Gd avem o(x)= d si xd =1, deci dd . Astfel d=d si Gd=
= Gd = xGxd=1.
P r o p o z i t i a 1.4.19. 1) Pentru orice numar intreg pozitiv n avem
n= (d).
d/n
ii) Fie G un grup finit de ordin n cu proprietatea ca , pentru orice divizor natural d al lui n , exista cel mult un subgrup G al lui G de ordin d. Atunci G este ciclic.
D e m o n s t r a t i e. Fie G un grup finit de ordin n si, pentru fiecare divizor natural d al lui n, fie Md= xGo(x)=d. Evident multimile Md sunt disjuncte.
doua cate doua si reuniunea lor este G astfel ca avem G=Md . Presupunem
d/n
acum ca grupul satisface proprietatea din enunt si fie d un divizor natural al lui n. Daca multimea Md este nevida si xMd , <x> este unicul subgrup de ordin d al lui G, astfel ca Md=yG<y>=<x> si, conform propozitiei 1.4.17., Md=(d).
Prin urmare:
1) n = Md cu Md (d) pentru orice d.
d/n
Un grup ciclic de ordin n, de exemplu Zn , satisface proprietatea din enunt si, in plus, pentru orice divizor natural d al lui n exista un subgrup de ordin n al lui G si acesta este ciclic, deci multimea Md este nevida si Md = (d). Prin urmare :
2) n=(d).
d/n
Din (1) si (2) rezulta Md=(d) pentru orice d si, in particular, multimea Md este nevida. Considerand un element xMn avem <x> G si <x>=G=n, deci <x>=G si G este un grup ciclic.
P r o p o z i t i a 1.4.20. ( A doua teorema de izomorfism pentru grupuri .)
Fie G un grup si H,K subgrupuri ale lui G. Presupunem ca H HK.Atunci:
i) HK=HK si HK K.
ii)HK/ H K/ HK
D e m o n s t r a t i e . Deoarece K HK, avem , pentru orice kK, Hk=kH, deci HK= Hk= kH= KH.
kK kK
Conform propozitiei 1.3.14 avem HK G. Considerand incluziunea canonica i:KHK si proiectia canonica :HKHK/H obtinem un morfism de grupuri f=oi: KHK/H. Pentru orice xHK avem x=hk, hH, kK si, deoarece H=Ker , avem (x)=(hk)=(h)(k)=(i(k))=f(k). Deoarece este surjectiv, rezulta f surjectiv. Pe de alta parte, este evident ca Ker f= KKer = H K si prin urmare H K K; in virtutea teoremei fundamentale de izomorfism Im f K/Ker f, adica HK/H K/H K.
Aplicatie. Fie m si n doua numere intregi pozitive. Conform propozitiei 1.3.22 avem mZ+nZ=(m,n)Z si mZnZ= m ,n Z. Aplicand a doua teorema de izomorfism, obtinem (m,n)Z/nZ mZ/m , n Z. Pe de alta parte avem (m,n)Z/nZ=n/(m,n) si mZ/m,nZ=m,n/m; rezulta deci n/(m,n)=m/m,n, adica mn=(m,n)m,n, relatie bine cunoscuta in aritmetica elementara.
P r o p o z i t i a 1.4.21. Daca H si K sunt doua subgrupuri normale ale unui grup G, atunci HK este de asemenea un subgrup normal al lui G.
D e m o n s t r a t i e . Deoarece H G, avem H HK , deci conform lui 1.4.20 (i), HK G. Faptul ca HK G rezulta usor: pentru orice xG, xHK=HxK=HKx.
Definitia 1.4.22. Un grup se numeste grup simplu daca G 1 si 1 si G sunt singurele subgrupuri normale ale lui G.
Stadiul grupurilor simple este fundamental in teoria grupurilor finite, existand posibilitatea ca orice grup finit sa se obtina dupa anumite procedee (care nu sunt inca clare ) din grupuri finite simple.
Un subgrup normal H al unui grup G se numeste subgrup normal maximal al lui G daca H G si H K G implica H=K sau K=G; analog, H se numeste subgrup normal minimal al lui G daca H 1 si N H cu NG implica N=1 sau N=H. Altfel spus, subgrupurile normale maximale ale lui G sunt elementele maximale in multimea subgrupurilor proprii ale lui G ordonata prin incluziune, iar subgrupurile normale minimale sunt elementele minimale in multimea subgrupurilor normale netriviale ale lui G, ordonata prin incluziune.
Exemple. Fie H un grup normal al unui grup G. Considerand proiectia canonica :GG/H si aplicand teorema de corespondenta pentru subgrupuri normale, (propozitia 1.4.5), vedem ca H este subgrup normal maximal al lui G daca si numai daca G/H este grup simplu.
Fie p un numar intreg pozitiv. Deoarece, in grupul aditiv Z al numerelor intregi, avem pZ nZ pn , vedem ca pZ este un subgrup normal maximal al lui Z daca si numai daca p este numar prim. In particular, pentru p numar prim, grupul Zp=Z/pZ este grup simplu. Reciproc, fie G un grup simplu abelian. Deoarece, pentru 1 x G, avem 1 <x> G, rezulta <x>=G si G este grup ciclic. Prin urmare, G Z sau G Zn, unde n este un numar intreg pozitiv; deoarece Z nu este grup simplu, avem G Zn, unde n este un numar intreg pozitiv; conform celor de mai sus, n=p, un numar prim. Prin urmare, structura grupurilor simple abelene este clara:un grup abelian G este simplu daca si numai daca G Zp , unde p este un numar prim.
Rezulta imediat ca grupul Z nu are subgrupuri (normale) minimale. Intr-adevar, orice subgrup netrivial al lui Z este de forma nZ , unde n este un numar intreg , n 1 ; atunci 2nZ nZ deci nZ nu este un subgrup normal minimal.
D e f i n i t i a 1.4.23. Fie G un grup. O multime H= H0 , H1 , …,Hn de subgrupuri ale lui G se numeste serie a lui G daca 1=Hn Hn-1 … H1 H0=
= G si pentru fiecare i1,2,…,n , Hi Hi-1. n se numeste lungimea seriei H, H0 , H1 ,…, Hn se numesc termenii sai, iar grupurile factor H0/H1 , H1/H2 ,…..,
Hn-1/Hn se numesc factorii seriei H. Seria H se numeste serie de compozitie a lui G daca toti factorii sai sunt grupuri simple.
Doua serii H= H0 , H1 ,…, Hm si K= K1 , K0 ,…, Kn ale unui grup G se numesc echivalente daca m=n si exista o aplicatie bijectiva f de la multimea factorilor lui H pe multimea factorilor lui K, astfel ca pentru orice factor Hi-1/Hi al lui H , i 1,2,…,n, sa avem Hi-1/ Hi f(Hi-1/ Hi ).
Legatura intre doua serii de compozitie ale unui grup G este data de celebra teorema a lui Jordan-Hölder, , teorema care se poate formula si demonstra in situatii mult mai generale decat cea pe care o vom considera mai jos.
Exemple. Grupul Z nu are nici o serie de compozitie; intr-adevar, daca
H0 , H1 ,…, Hn ar fi o serie de compozitie a lui Z, neaparat n 0 si Hn-1/
/Hn= Hn-1/1=Hn-1 este grup simplu ; dar orice subgrup netrivial al lui Z este izomorf cu Z si nu este grup simplu.
Pe de alta parte, se vede usor ca orice grup finit are cel putin o serie de compozitie. Intr-adevar, fie G un grup finit. Putem presupune ca G este netrivial (grupul trivial are o serie de compozitie de lungime 0).
Construim subgrupurile H0, H1,…,Hn ,… ale lui G inductiv, astfel: H0= G; presupunem ca Hn a fost construit;daca Hn 1, definim Hn+1 ca un subgrup normal maximal al lui Hn (un astfel de subgrup exista deoarece Hn este finit ); daca Hn =1, luam Hn+1=1. Deoarece Hn 1 implica Hn+1 Hn , exista un numar natural n cu Hn =1 si daca n este cel mai mic numar natural cu aceasta proprietate, atunci H0 , H1 ,…,Hn este o serie de compozitie a lui G.
Lema 1.4.24. Fie G un grup, H = H0 , H1 ,…,Hn o serie de compozitie a lui G de lungime n si K1 un subgrup normal maximal al lui G. Atunci, exista o serie de compozitie a lui G de forma K0 , K1 ,K2, …, Km si orice astfel de serie de compozitie este echivalenta cu H.
D e m o n s t r a t i e . Facem inductie dupa n. Pentru n=1, G este un grup simplu si afirmatia din enunt este evidenta.
Presupunem ca afirmatia este adevarata pentru grupuri care au o serie de compozitie de lungime i, unde i n. Daca K1 = H1, atunci H1,H2 ,…,Hn este o serie de compozitie a lui H1 , de lungime n-1 si afirmatia lemei rezulta imediat aplicand ipoteza de inductie. Presupunem acum K1 H1. Atunci H1 H1K1 G , deci H1K1=G deoarece H1 este subgrup normal maximal. Fie L2 = H1K1 . Avem
H1/L2 = H1/H1K1 H1K1/K1 = G/K1,
K1/L2 = K1/H1 K1 H1K1/H1= G/H1.
G/K1 si G/H1 fiind grupuri simple, rezulta H1/ L2 si K1/L2 grupuri simple. In particular L2 este subgrup normal maximal al lui H1. In virtutea ipotezei de inductie exista o serie de compozitie a lui H1 de forma H1 ,L2 ,…, Lt si orice asemenea serie de compozitie este echivalenta cu H1,H2 ,…,Hn . In particular avem n= t . Rezulta ca H0 , H1 , L2,…,Ln este o serie de compozitie a lui G echivalenta cu H. In mod evident K1, L2,…,Ln este o serie de compozitie a lui K,deci K0,K1, L2 ,…, Ln este o serie de compozitie a lui G. Izomorfismele H1/L2 G/K1 si K1/L2 G/H1 arata ca seriile H0 , H1 , L2,…,Ln si K0,K1, L2 ,…, Ln ale lui G sunt echivalente. Daca K0 , K1 ,K2, …, Km este o serie de compozitie a lui G, ipoteza de inductie aplicata lui K1 (care are seria de compozitie K1 , L2,…,Ln de lungime n-1 n ) arata ca seriile K1 ,K2,…, Km si K1 , L2,…,Ln ale lui K1 sunt echivalente. In particular m=n si seriile K0, K1 ,…, Km si G, K1 , L2,…,Ln ale lui G sunt echivalente; seria G, K1 , L2,…,Ln este echivalenta cu G, H1 , L2,…,Ln la randul ei echivalenta cu H. Deoarece echivalenta seriilor este evident o relatie de echivalenta, rezulta seria K0 , K1 ,K2, …, Km echivalenta cu H.
P r o p o z i t i a 1.4.25. (Teorema Jordan- Hölder). Orice doua serii de compozitie H= H0 , H1 ,…,Hn si K= K0, K1 ,…, Km ale unui grup G sunt echivalente.
D e m o n s t r a t i e . Se aplica lema 1.4.24 seriei H si subgrupului normal maximal K1 .
Aplicatie. Ca aplicatie la teorema Jordan-Hölder vom demonstra teorema fundamentala a aritmeticii: orice numar natural n1 are o descompunere in factori primi unica, abstractie facand de ordinea factorilor.
Fie n un numar natural n 1 si consideram grupul Zn=Z/nZ. Orice subgrup al lui Zn este de forma dZ/nZ, unde d este un divizor natural al lui n ; in plus, pentru alt divizor natural d al lui n, avem:
dZ/nZ dZ/nZ dZ dZ dd .
Fie k si d divizori naturali ai lui n astfel ca dk, deci kZ/nZ dZ/nZ; conform celor de mai sus, kZ/nZ este un subgrup maximal al lui dZ/nZ daca si numai daca k/d este un numar prim. Acum fie H0,H1,…,Hm o serie de compozitie a lui Zn; avem Hi = diZ/nZ cu di divizor natural al lui n, 1=d0d1…dn-1 dn= n si, pentru fiecare i 1,2,…,n, di/di-1 = pi este un numar prim; in plus
dn d2 d1
n = … = p1p2….pn .
dn-1 d1 do
Consideram acum o alta descompunere in factori primi ai lui n : n= q1q2…qr , qj numere prime pentru orice j 1,2,…,r . Pentru fiecare j 0,1,…,r-1, luam dj=
= qj+1….qr si dr = 1. Atunci, pentru fiecare j0 ,1 ,…, r, Kj = djZ/nZ Zn si
K0 , K1,…,Kr este o serie de compozitie a lui Zn. Conform teoremei Jordan- Hölder, seriile H0 , H1 ,…,Hm si K0 , K1 ,K2, …, Kr sunt echivalente. Rezulta m=r si, fiecare factor Hi-1/Hi , i 1,…,m , este izomorf cu un factor
Kj-1/Kj , j1,…,m; deoarece Hi-1/Hi = di-1Z/diZ= di/di-1 = pi si, analog, Kj-1/
Kj= q j , rezulta ca fiecare pi , i1,…,m este egal cu un q j, j1,…,m.
Definitia 1.4.26. Fie G un grup si H= H0 , H1 ,….Hn o serie de compozitie a lui G. Din teorema Jordan- Hölder rezulta ca numarul natural n nu depinde de seria de compozitie H, ci numai de grupul G, motiv pentru care n se numeste lungimea de compozitie a lui G. De asemenea factorii seriei H, Hj-1/Hi,
i 1 , 2,…., n sunt unic determinati pana la un izomorfism de grupul G . Ei se numesc factorii de compozitie ai grupului G
Evident nu putem vorbi despre lungimea de compozitie a lui G sau despre factorii de compozitie ai lui G decat daca grupul G are cel putin o serie de compozitie. In particular, putem vorbi despre lungimea de compozitie sau despre factorii de compozitie ai unui grup finit.
C a p i t o l u l II
Actiuni ale grupurilor pe multimi
2.1 Actiuni ale grupurilor pe multimi
Definitia 2.1.1 . Fie G un grup si M o multime. Se numeste actiune a lui G pe M o aplicatie : G MM astfel ca :
a) pentru g, gG si xM avem :
(gg,x) = (g, (g , x );
b) pentru x M avem
(1 , x ) = x .
De regula, pentru gG si x M folosim notatia multiplicativa ,(g,x)=gx, iar conditiile a) si b) de mai sus se scriu respectiv astfel :
a) (gg)x = g(gx), b) 1x = x .
Spunem de asemenea ca grupul G actioneaza pe multimea M cu actiunea , iar actiunea elementului g G pe elementul xM este (g , x ).
Definitia 2.1.2. Fie G un grup si M o multime. Se numeste reprezentare a lui G prin permutari ale multimii M un morfism de grupuri : G S(M) , unde S(M) este grupul simetric pe multimea M.
Propozitia 2.1.3. Fie o actiune a grupului G pe multimea M notata multiplicativ. Atunci pentru fiecare element gG, aplicatia g : MM definita prin g (x) =g x , x M, este o permutare a multimii M iar aplicatia : G S(M)
definita prin (g) = g , gG , este un morfism de grupuri ( se numeste reprezentarea lui G prin permutari ale multimii M asociata actiunii ).
Demonstratie . Fie g, gG. Avem gg (x) = (gg) x=g(gx)=g(g(x)) pentru orice xM , deci gg = g o g.In plus 1(x) =1x = x pentru orice xM, deci 1=1M-
aplicatia identica a multimii M. Prin urmare, pentru gG, g og-1=gg-1=1=
1M si g-1=g-1g=1 . Aceasta demonstreaza ca g este aplicatie bijectiva si inversa sa este g-1 . In particular g S(M) pentru orice gG si putem deci considera aplicatia : GS(M) din enunt. Avem (gg)=gg= g og , pentru orice g, gG, ceea ce demonstreaza ca este un morfism de grupuri ( deci o reprezentare a lui G prin permutari ale multimii M).
Propozitia 2.1.4. Fie :GS(M) o reprezentare a grupului G prin permutari ale multimii G. Pentru fiecare gG notam g =(g) si definim : G M M prin
(g,x) = g(x) . Atunci este o actiune a lui G pe M ( se numeste actiunea lui G pe M asociata reprezentarii prin permutari ).
Demonstratie. Pentru g , gG si xM avem (gg ,x)=gg(x) = (gog)(x)=
g(g(x))= (g , (g , x)) si (1,x) =1(x) =x , ceea ce demonstreaza ca este o actiune a lui G pe M.
Observatie. Fie G un grup si M o multime. Se poate demonstra imediat faptul ca aplicatia care duce o actiune a lui G pe M in reprezentarea prin permutari asociata ei (propozitia 2.1.3) si aplicatia care duce o reprezentare a lui G prin permutari ale multimii M in actiunea asociata ei (propozitia 2.1.4. ) sunt aplicatii inverse una alteia intre multimea actiunilor lui G pe M si multimea reprezentarilor lui G prin permutari ale lui M.
Definitia 2.1.5. Consideram grupul G care actioneaza pe multimea M cu actiunea si fie :GS(M) reprezentarea prin permutari asociata actiunii.
Deoarece este un morfism de grupuri, nucleul sau Ker este un subgrup normal al lui G care se va numi si nucleul actiunii si se va nota cu Ker . Folosind notatiile standard din (2.1.1) avem :
Ker =gG g = 1M=gGgx=x pentru orice xM.
Actiunea se numeste fidela daca reprezentarea prin permutari este un morfism injectiv, adica, daca nucleul Ker este trivial. Prin urmare actiunea este fidela daca si numai daca :
gx = x oricare ar fi xG implica g = 1.
Definitia 2.1.6. Consideram o actiune a lui G pe M ca mai sus. Atunci, pentru fiecare element xM, notam
StabG(x)= gGgx = xG.
Multimea StabG(x) care se numeste stabilizatorul lui x in G ( relativ la actiunea data ) este un subgrup al lui G. Intr-adevar , daca g1, g2 StabG(x), atunci(g1,g2)x =
= g1(g2x)=g1x=x, deci g1,g2StabG(x) ; avem 1x=x, deci 1StabG(x) si daca
gStabG(x) , atunci g -1x =g -1(gx)=(g -1g)x=1x=x, deci g -1StabG(x).
Avem
gKer gx=x pentru orice xG
gStabG(x) pentru orice xG g StabG(x).
xM
Prin urmare Ker = StabG(x)
xM
Definitia 2.1.7. consideram o actiune a grupului G pe multimea M notata multiplicative si definim o relatie pe M luand pentru x1 ,x2 M, x1 x2 daca si numai daca exista un gG astfel ca gx1=x2. Relatia este o relatie de echivalenta pe M. Intr-adevar, pentru orice xM avem x = 1x, deci x~x ; daca x1,
x2 M si x1~x2 avem gx1=x2 pentru un gG si atunci g -1×2=g -1(gx1)=(g-1g)x1=
=1×1=x1 , deci x2x1 ; daca x1 , x2 , x3 M si x1 ~ x 2 si x2 ~ x3 , atunci gx1=x2
si gx2 = x3 pentru g,gG, de unde rezulta (g g)x1 =g(gx1)=gx2=x3, deci x1x3.
Clasa de echivalenta a unui element xG relativ la relatia se numeste orbita lui x relativ la actiunea si se noteaza cu Gx. Avem:
Gx = yMx~y=yMexista gG :gx=y=gxgG.
Multimea factor M / ~ este o partitie a multimii M si prin urmare, avem
M= Gx ,
GxM /~
Aceasta este forma originara a ceea ce se numeste ecuatia claselor pentru actiunea . Vom vedea ca aceasta ecuatie a claselor capata in unele cazuri particulare o semnificatie deosebita in teoria grupurilor.
Propozitia 2.1.8. Pentru orice element xM avem:
Gx= G: StabG(x) .
Demonstratie. Pentru doua elemente g1,g2G , avem g1 StabG(x) =g2 StabG(x)
g1 -1g2 StabG(x)g1 -1g2x =xg1x=g2x .
Rezulta ca putem defini o aplicatie
: (G / StabGx)sGx
prin (g / StabGx)=gx si ca, aceasta aplicatie este bijectiva.
Observatie. Ecuatia claselor pentru actiunea capata , in virtutea propozitiei precedente, forma
M = G : StabG x.
GxM / ~
Pentru fiecare element xG , numarul cardinal Gx se numeste si lungimea orbitei Gx. Orbitele de lungime 1 se numesc orbite triviale.Evident orbita Gx este triviala daca si numai daca Gx =x, adica, daca si numai daca gx = x pentru orice element gG. Un element xM a carui orbita Gx este triviala se va numi element fixat de actiunea si vom nota cu
FixG(M) = xMGx =x
Multimea elementelor fixate de actiunea . Ecuatia claselor pentru actiunea devine atunci
M= FixG(M) + Gx
Gx orbita netriviala
sau
M = FixG(M) + G:StabG(x)
Gx orbita netriviala
Definitia 2.1.9. Consideram ca grupul G actioneaza pe o multime M cu actiunea si fie H un subgrup al lui G. Atunci induce o actiune a lui H pe M definita prin
: HMM, (h,x) = (h,x) =hx, hH, xM.
Daca :GS(M) este reprezentarea prin permutari asociata lui , atunci reprezentarea prin permutari asociata actiunii induse este restrictia : HS(M)
a lui la H. se numeste si restrictia actiunii la H.
Pentru fiecare element xM avem evident
StabB(x) = H StabG(x)
Si, de asemenea, Ker = H Ker .
Presupunem acum ca H este un subgrup normal in G si ca H Ker adica, ca hx = x pentru orice h H si xM ( se spune si ca H actioneaza trivial pe M). Considerand proiectia canonica :GG /H si reprezentarea prin permutari
:GS(M) asociata actiunii avem Ker = H Ker = Ker si atunci exista un morfism :G/HS(M) astfel ca o =, adica (gH)=(g) pentru orice element gG. Morfismul este o reprezentare a grupului G /H prin permutari ale multimii M si actiunea corespunzatoare : G/H MM este evident definita prin (gH,x) = (g,x), pentru orice gG si xM . Spunem ca este actiunea lui G /H pe multimea M, indusa de actiunea .
Pentru fiecare element x M avem H Ker StabG(x) si evident
StabG/H(x) = StabG(x) /H.
In particular, Ker = Ker /H.
Definitia 2.1.10. Fie o actiune a grupului G pe o multime M. O submultime M’ a lui M se numeste – stabila daca pentru orice x M si orice gG avem gx = (g , x ) M . In aceasta situatie putem defini
: G M M
prin (g , x) = (g ,x) (gG , xM) si este evident o actiune a grupului G pe multimea M. Spunem ca actiunea este indusa de actiunea .
In particular, o orbita, sa zicem orbita O = Gx, relative la actiunea este -stabila : pentru orice element y O avem y = x pentru un G si atunci, pentru orice g G , gy = g(x) = (g)x Gx = 0 .
Definitia 2.1.11. O actiune a grupului G pe M se numeste tranzitiva daca pentru orice doua elemente x , xM exista un element gG astfel incat x =gx=
= (g,x) . In particular rezulta ca pentru orice element xG avem Gx =M , astfel incat o actiune tranzitiva are o unica orbita .
Daca este o actiune oarecare a lui G pe M si O este o orbita a acestei actiuni, actiunea indusa de pe O este tranzitiva .
Definitia 2.1.12. Fie si doua actiuni ale grupului G pe multimile M si
respectiv M . Spunem ca actiunile si sunt echivalente daca exista o aplicatie bijectiva f:MM astfel incat
(g,f(x)) =f((g,x))
pentru orice gG si xM , sau in notatia standard :
gf (x ) = f(gx)
pentru orice gG , xM.
Daca actiunile si sunt echivalemte, pentru fiecare element xG avem :
StabG(x) = StabG(f(x)) si in particular Ker =Ker , f(gx) = Gf(x)
si , in general , cele doua actiuni si au aceleasi proprietati. In particular, daca actiunea este tranzitiva , atunci si este tranzitiva si reciproc .
2.2 Actiuni prin multiplicare la dreapta .
Fie G un grup si definim o actiune a grupului G pe multimea G a elementelor lui G , : GGG ca fiind exact legea de compozitie binara a grupului G. Conditiile a) si b) din definitia actiunii sunt verificate datorita faptului ca legea de compozitie a grupului este asociativa si are element unitate.
Actiunea se numeste actiunea lui G pe el insusi prin multiplicare la dreapta.
Relativ la actiunea , avem, pentru fiecare element xG, StabG(x) =gGgx= = x=1 , astfel ca stabG(x) =1 si Ker =1 deci actiunea este fidela. Rezulta ca reprezentarea prin permutari :G S(G) asociata actiunii este un morfism injectiv si regasim astfel teorema lui Cayley (vezi 1.3.21).
O alta actiune a grupului G pe multimea elementelor lui G se defineste prin
: G G G. (g,x) =xg -1 . Verificarea conditiilor a) si b) di definitia unei actiuni se face astfel :
(gg,x)= x(gg) -1 = x(g -1g -1) = (xg -1)g -1= (g,xg -1) = (g,(g,x)),
(1,x) = x1-1= x 1= x.
Spunem ca este actiunea lui G pe el insusi prin multiplicare la stanga .
Acum fie actiunea lui G pe el insusi prin multiplicare la dreapta si actiunea lui G pe el insusi prin multiplicare la stanga. Putem defini aplicatia f:GG prin f(x) =x -1 si evident f este o aplicatie bijectiva.
Deoarece
(g,f(x)) = (g,x -1) = x -1g -1 =(gx) -1= f(gx) =f((g,x)),
Rezulta ca actiunile si sunt echivalente.
Fie G un grup si H un subgrup al lui G. Consider actiunea lui G pe el insusi prin multiplicare la dreapta si apoi restrictia acestei actiuni la H ( vezi definitia 2.1.9 ). Orbita unui element xG relativ la aceasta restrictie este exact clasa de congruenta la dreapta Hx. Conform propozitiei 2.1.8 avem :
H x= H: StabH(x)
si conform definitiei 2.1.9.
StabH(x) = H StabG(x) = H 1 = 1
astfel incat rezulta Hx= H pentru orice x G . In plus ecuatia claselor pentru actiunea noastra devine: G Hx=(G/H)dH=G:HH
Hx(G/H)d
si reobtinem astfel teorema lui Lagrange 1.3.19.
Fie G un grup, H un subgrup al lui G si consideram actiunea a lui G pe multimea (G/H)s definite prin (g,xH)=gxH. Conditiile din definitia unei actiuni sunt evident satisfacute. se numeste actiunea lui G pe multimea (G/H)s prin multiplicare la dreapta.
Avem, pentru un element gG,
gKer gxH = xH pentru orice x G x -1gxH pentru orice
xGgxHx -1 pentru orice xG.
Prin urmare
Ker = xHx -1.
xG
Ker este un subgrup normal al lui G care se noteaza de obicei cu HG si se numeste interiorul normal al lui H in G. Daca K este un subgrup normal al lui G inclus in H avem , pentru orice xG ,
K = xKx -1 xHx -1,
Deci K xHx -1 =HG. Astfel HG este cel mai mare subgrup normal al lui G inclus
xG
in H.
Consideram acum reprezentarea prin permutari :GS((G/H)s) asociata actiunii , si proiectia canonica :GG/HG. Deoarece Ker = Ker =HG,exista un morfism ’ :G/HGS((G/Hs) astfel ca o = si in plus este un morfism injectiv. Prin urmare grupul G/HG se poate scufunda in S((G/H)s . In particular daca indicele lui H in G este finit si G : H = n , atunci G/HG se poate scufunda in Sn .
Propozitia 2.2.1. Fie G un grup finit si p cel mai mic numar prim prin care divide ordinul lui G . Atunci orice subgrup H al lui G de indice p este normal in G.
Demonstratie. Rezultatele precedente arata ca grupul G/HG se poate scufunda in Sp si, prin teorema lui Lagrange , obtinem G :HG p! . Deoarece HGHG
Tot prin teorema lui Lagrange avem G:HG= G:H H:HG= pH:HG si rezulta H:HG (p-1)! . Daca H:HG 1 , exista un numar prim q care divide
H:HG, deci q (p-1)! , de unde rezulta q p ; pe de alta parte, H:HG G,
deci q divide G ceea ce contrazice faptul ca p este cel mai mic numar prin care divide ordinul lui G . Prin urmare H:HG= 1, adica H = HG si astfel H este normal in G.
Fie G un grup si H, K subgrupuri ale lui G. Consideram actiunea a lui G pe (G/H)s prin multiplicare la dreapta si fie restrictia acestei actiuni la K.
Orbita unui element xH (G/H)s relativ la actiunea este multimea
K(xH) =kxH kK
si reuniunea tuturor claselor din (G/H)s apartinand acestei multimi se noteaza cu KxH:
KxH = kxH = k xh kK , h H
kK
si se numeste clasa dubla a lui x relative la K si H . Deoarece clasele la stanga din multimea K(xH) sunt disjuncte doua cate doua si au toate cardinalul egal cu H, rezulta
KxH=H K(xH)
Pentru a calcula K(xH) vom folosi propozitia 2.1.8. Mai intai avem,pentru un element gG,
gStabG(xH) gxH = xH x -1gxHgxHx -1 ,
deci StabG(xH) = xHx -1 si rezulta :
StabK (xH) = K StabG (xH) = K xHx -1 .
Prin urmare orbita K(xH) are lungimea
K(xH) = K : StabK (xH) = K:K xHx -1
Si astfel :
KxH = H K:K xHx -1 .
In particular , pentru x=1 , obtinem
KH = H K:K H,
Iar in cazul cand H si K sunt finite , putem scrie egalitatile de mai sus sub forma
K H KH
KxH= respectiv KH= .
K xHx -1 K H
Propozitia 2.2.2 . O actiune a grupului G pe o multime M este tranzitiva daca si numai daca este echivalenta cu actiunea lui G pe o multime de forma (G/H)s , H G , prin multiplicare la dreapta.
Demonstratie . Fie H G si actiunea lui G pe (G/H)s prin multiplicare la dreapta. este o actiune tranzitiva deoarece pentru orice doua elemente xH, yH(G/H)s , avem g = yx -1G si (g , xH) = g(xH) = y x -1xH = yH. Evident , orice actiune a lui G echivalenta cu este de asemenea tranzitiva. Reciproc, sa presupunem ca este o actiune a grupului G pe multimea M, tranzitiva. Atunci, fixam un element 0 M si fie H = StabG(a0), astfel ca , pentru doua elemente x,yG, avem (presupunand actiunea notata multiplicativ):
x a0=ya0 (x -1y)a0= a0x -1yHxH=yH.
Rezulta ca putem defini aplicatia f:M(G/H)s prin f(xa0) = xH si aceasta aplicatie este bijectiva. In plus, este clar ca
f(g(xa0)) = f((gx)a0) = (gx)H = g(xH) =gf(xa0)
adica
f( (g,xa0)) = (g, f(xa0)),
ceea ce demonstreaza ca actiunile si , fiind actiunea lui G pe (G/H)s prin multiplicare la dreapta, sunt echivalente.
2.3. Structura elementelor din grupul Sn
Fie M o multime si G un grup de permutari pe multimea M, adica G este un subgrup al grupului simetric S(M). Aplicatia :G M M definite prin (,x)= (x) este atunci o actiune a grupului G pe multimea M . Intr-adevar,
avem, pentru , G, (o)(x) =((x)) si 1(x) =x . Actiunea se numeste actiunea canonica a lui G pe multimea M. Vom nota adesea, pentru G si xM, x=(x).
In particular, sa consideram actiunea canonica a grupului Sn pe multimea M=1 , 2,…,n a primelor n numere naturale. Presupunand n 2, se vede usor ca
StabSn(n) = Sn n=n Sn -1
si deoarece evident aceasta actiune este tranzitiva, avem
Sn
n =M= Sn: StabSn (n) = ,
Sn-1
adica Sn= nSn -1 .
Deoarece evident S1=1, din relatia de mai sus, rezulta, prin inductie dupa n , Sn= n!
Definitia 2.3.1. Fie n un numar natural. Sn si G = , subgrupul lui Sn generat de . Consideram actiunea canonica a grupului G pe multimea M=1,2,…,n . Orbitele acestei actiuni le vom numi si – orbite.
Permutarea este permutarea identica , =1, daca si numai daca toate -orbitele sunt triviale. Daca exista o singura -orbita netriviala, permutarea se numeste ciclu ; -orbita netriviala se numeste orbita de definitie a ciclului , iar lungimea sa se numeste lungimea ciclului .
Daca i1 , i2 ,….,imeste o submultime a lui M, permutarea notata = (i1, i2,..im) si definita prin (i1)= i2,…, (im-1)= im, (im)= im , (i)=i pentru ii1,i2,…,im este evident un ciclu de lungime m a carui orbita de definitie este i1,i2,…,im.
Permutarea identica se considera uneori ca fiind ciclu de lungime 1 si oricare din submultimile cu un singur element ale lui M se poate considera ca orbita de definitie pentru ea.
Doua cicluri 1 si 2 se numesc disjuncte daca orbitele lor de definitie sunt submultimi disjuncte ale lui M.
Propozitia 2.3.2. Fie Sn si iM= 1,2,…,n. Atunci exista un cel mai mic numar intreg pozitiv K astfel incat ki = i ; acest k este egal cu lungimea -orbitei lui i si avem
< > i = m i m Z = i , i, 2i, ….,k-1i.
Demonstratie. Multimea mimZ fiind o submultime a lui M, este finita deci exista numere intregi m si m;mm si mi = mi. Atunci i =(-mm)i=
= -m(mi) = ( -mm)i=m-m i si m-m 0. Prin urmare exista cel mai mic intreg pozitiv k astfel incat ki=i . Pentru orice m Z, fie m= kq + r cu 0 r k. Deoarece ki= i si -ki= -k( k i )= 0 i=i , rezulta ( k)qi=i pentru orice qZ, si deci
mi = (ro(k)q)i = r((k)qi)=ri .
Aceasta demonstreaza ca -orbita < > i este
< > i = r i 0 r k.
Daca avem 0 r r k si r i = r i , atunci r-r i =i si 0 r – r rk , ceea ce contrazice alegerea facuta asupra lui k. Aceasta demonstreaza ca multimeari 0 r k are k elemente si deci ca – orbita < > i are lungimea k.
Propozitia 2.3.3. Daca 1 , 2Sn sunt doua cicluri disjuncte, atunci 12=21.
Demonstratie. Fie O1 si O2 orbitele de definitie pentru ciclurile 1 si respectiv 2 . Daca iO1 avem iO2 deci (12)i = 1(2i)= 1i; in plus, 1iO1, deci 1iO2 si (21)i= 2(1i )=1i. Analog pentru iO2 vom avea (12)i=(21)i. In fine pentru iO1 O2 avem 1i = 2i= i, deci (12)i= (21)i=i.
Propozitia 2.3.4. Fie 1,2,…,mSn cicluri disjuncte doua cate doua, orbitele lor de definitie fiind O1,O2,…,Om si fie = 1 2…m . Atunci ciclurile 1,2,…,m sunt permutabile doua cate doua si pentru un i1,2,…,n -orbita
< >i este triviala daca iO1 O2 … Om si egala cu Ok daca iOk pentru un k1,2,…,m.
Demonstratie. Faptul ca ciclurile 1,2,…,m sunt permutabile doua cate doua rezulta din propozitia 2.3.3. Daca iO1 O2 … Om , atunci 1i= 2i=
….m i = i , deci i =1 si < > i=i. Acum fie iOk , k1,2,…,m. Deoarece ciclurile 1,2,…,m sunt permutabile doua cate doua, este suficient sa consideram cazul k=m. Atunci jm iOm si jm iO1 …. Om-1 pentru orice jZ si in plus j = j1 , j2 ,…,jm , deci j i= ( j1…jm-1) = jm i, astfel ca
< > i= < m > i=Om .
Propozitia 2.3.5. Pentru orice permutare Sn exista un numar natural m si ciclurile 1,2,…,m Sn disjuncte doua cate doua astfel ca = 1,2,…,m . In plus ciclurile 1,2,…,m sunt unic determinate (abstractie facand de ordinea lor) de .
Demonstratie. Fie O1 ,O2 ,…,Om toate – orbitele netriviale si fie lk lungimea orbitei Ok ,k1,2,…,m. Pentru fiecare k1,2,…,n alegem un element
iOk si propozitia 2.3.2 arata ca
Ok = i, i, …, lk-1i }.
Consideram atunci ciclul
k = (i, i,…, lk-1)
a carui orbita de definitie este exact Ok . Pentru orice iOk avem i = j i=jk i pentru un j cu 0 j lk si i= j+1 i = = k jk i= k i , ceea ce arata in particular ca k nu depinde de alegerea elementului iOk. Ciclurile 1,2,…,m sunt disjuncte doua cate doua . Pentru i O1 O2 … Om avem 1i= 2i= ….m i = i
si i=i , deci i =( 1,2,…,m )i. Acum sa presupunem iOk pentru un k1,2,..,m. Trebuie sa demonstram egalitatea i = ( 1,2,…,m)i. Deoarece conform propozitiei 2.3.4. ciclurile 1,2,…,m sunt permutabile doua cate doua este suficient sa facem demonstratia in cazul k=m . Avem i = m i si deoarece
m i O1 O2 … Om-1 , ( 1,2,…,m) i = (1,2,…,m-1)( m i)= i . Avem astfel = 1,2,…,m . Pentru a demonstra afirmatia de unicitate sa consideram ca
= 1,2,…,m , unde 1,2,…,m sunt cicluri disjuncte doua cate doua , ale caror orbite de definitie sunt O1 ,O2 ,…,Om . Conform propozitiei 2.3.4. O1 ,O2 ,…,Om sunt toate -orbitele netriviale, astfel ca m=m si abstractie facand de ordinea ciclurilor 1,2,…,m , putem presupune Ok = Ok pentru orice
k1,2,…,m . Din demonstratia propozitiei 2.3.4 se vede ca pentru orice iOk=Ok avem k i = i = k i , si deci avem k = k pentru orice k1,2,…,m.
Definitia 2.3.6 . Fie Sn si fie O1 ,O2 ,…,Om toate – orbitele (triviale si netriviale) si pentru fiecare k 1,2,…,m definim ciclul k ca in demonstratia propozitiei 2.3.5. Atunci 1,2,…,m sunt cicluri disjuncte doua cate doua si avem
= 1,2,…,m
Numim aceasta descompunere a lui ca produs de cicluri disjuncte. Evident putem presupune ca primele k1 cicluri din aceasta descompunere sunt de lungime 1,urmatoarele k2 sunt de lungime 2 etc., deci pentru fiecare j1,2,…,n , kj este numarul ciclurilor de lungime j care apar in descompunerea lui . k1 , k2 ,…,kn sunt numere naturale si avem k1 + 2k2 ….nkn = n . Sistemul ordonat ( k1 , k2 ,…,kn ) se numeste atunci tipul de descompunere a lui . Evident orice sistem ordonat de numere naturale ( k1 , k2 ,…,kn ) astfel incat k1 + 2k2 ….nkn = n , este tipul de descompunere al unei permutari Sn .
De exemplu, pentru permutarea
1 2 3 4 5 6 7 8
= S8
3 2 1 5 6 4 8 7
avem descompunerea
=(2) (1,3) (7,8) (4,5,6)= (1,3) (7,8) (4,5,6)
(se neglijeaza , ca de obicei, ciclurile de lungime 1 din descompunere), deci, tipul de descompunere al lui este (1,2,1,0,0,0,0,0).
Signatura unei permutari. Grupul altern An . Fie n un numar natural si consideram o permutare Sn . O pereche ordonata (i,j) cu 1 i j n si (i) ( j) se numeste inversiune a lui . Notam cu Inv () numarul de inversiuni ale permutarii . Permutarea se numeste permutare para daca Inv () este un numar par si impara daca Inv() este un numar impar .
Numarul :
( j ) – ( i )
sgn () =
1 i j n j – i
se numeste signatura permutarii . Putem scrie acest numar sub forma
(( j ) – ( j ) ( i , j ) (j – i)
1 i j n 1 i j n
sgn( ) = =
( j – i) ( j – i)
1 i j n 1 i j n
unde
-1 daca ( i , j ) este o inversiune a lui ,
( i , j ) =
1 daca ( i , j ) nu este o inversiune a lui ,
si gasim sgn () = ( i , j) = (-1)Inv () . Prin urmare
1 i j n
1 daca este permutare para ,
sgn ( ) =
-1 daca este permutare impara .
Propozitia 2.3.7. Pentru orice doua permutari , Sn avem sgn( ) =
sgn () sgn () .
Demonstratie. Avem
( ) ( j ) – ( ) ( i )
sgn ( ) = =
1 i j n ( j – i )
( ( j )) – ((i )) ( j ) – ( i )
= .
1 i j n ( j ) – ( i ) 1 i j n j – i
Deoarece ,
( ( j )) – ((i )) ( ( i )) – ((j ))
= .
( j ) – ( i ) ( i ) – ( j )
evident avem
( ( j )) – ((i )) ( j ) – ( i )
= = sgn ( )
1 i j n ( j ) – ( i ) 1 i j n j – i
Rezulta sgn ( ) = sgn ( ) sgn ( ) .
Definitia 2.3.8 . Propozitia precedenta arata ca aplicatia sgn : SnC2= -1, 1, este un morfism de grupuri. Nucleul acestui morfism de grupuri se noteaza cu An si se numeste grupul altern pe n elemente. Explicit avem
An = Ker (sgn ) = Sn este permutare para .
Daca n = 1 , avem A1 = S1 =1 . Dac n 2 , morfismul sgn : Sn C2 = -1,1, este surjectiv. Intr-adevar , 1= sgn (1) si , deoarece n 2 , putem considera cicluri de lungime 2 , ( i , j ) , i j . Ciclurile de lungime 2 se numesc transpozitii si , vom demonstra mai jos, ca orice transpozitie este o permutare impara. In particular, vom avea -1 = sgn ((i ,j )), ceea ce arata ca intr-adevar sgn este un morfism surjectiv . Aplicand teorema fundamentala de izomorfism , avem ca An este subgrup normal al lui Sn si
Sn / An C2
Aplicand teorema lui Lagrange , rezulta ca
n! = Sn = An Sn/An= 2 An .
n!
deci An= ( pentru n 2 ) .
2
Propozitia 2.3.9. Orice transpozitie ( i , j), i , j 1,2,…,n , ij este o permutare impara .
Demonstratie . Deoarece = (i, j ) = ( j, i ), putem presupune i j .
Vom considera toate perechile ordonate (k,l) cu k , l 1,2,…,n , k l . Daca k,li , j , avem (k)= k, (l) = l si (k,l) nu este inversiune a lui ; daca l = i , avem (k) = k l = i j = ( l ) : deci nici in acest caz perechea (k,l) nu este inversiune ; daca k i j = l , avem (k) = k i = (l) si perechea (k,l) nu este inversiune ,daca ikl=j, avem (l)=ik=(k) si perechea(k,l) este inversiune, numarul inversiunilor de acest tip fiind j – i -1 ; daca i= k l = j avem (l) = i j = (k) si perechea (i ,j) este inversiune; daca i = k jl avem (k) = j l = (l) si perechea (k,l) nu este inversiune. Rezulta ca numarul total de inversiuni ale permutarii = (i , j) este 2(j-i )+1, deci este o permutare impara .
Observatie . Pentru orice ciclu ( i1, i2,…, ,im ) Sn avem evident
( i1, i2,…,im) = ( i1, i2) ( i2, i3) (im-1,im)
De unde rezulta , folosind propozitiile 2.3.7 si 2.3.8 , ca
sng ( i1, i2,…,im) = (-1 )m-1.
In particular, daca permutarea Sn are tipul de descompunere
n
( i – 1)ki
i=1
(k1 , k2, …,kn) atunci sgn () = (-1) = (-1)k2+2k2+….+(n-1)kn
Rezulta de asemenea ca , orice permutare Sn este un produs de transpozitii si anume este o permutare para daca si numai daca este produsul unui numar par de transpozitii.
2.4 Actiuni prin conjugare
Fie G un grup. Definim actiunea a grupului G pe multimea G a elementelor lui G prin (g,x) =gxg-1 , g ,x G.
Conditiile din definitia unei actiuni se verifica astfel :
(gg,x) = (gg)x(gg)-1 = g(gxg -1)g -1=
= (g,(gx)), (1, x) = 1×1-1 = x.
Actiunea se numeste actiunea lui G pe el insusi prin conjugare si se foloseste de obicei, pentru aceasta actiune, o notatie exponentiala :
(g)x = (g,x) = gxg -1.
Nucleul actiunii prin conjugare este :
Ker = gG gx = x pentru orice x G = g G gxg -1= x pentru orice xG= gG gx = xg pentru orice xG = Z(G), centrul grupului G.
Pentru fiecare xG , stabilizatorul lui x in G relative la actiunea prin conjugare se numeste centralizatorul lui x in G si se noteaza CG(x).
Avem
CG(x) = gG gx =x = gG gx =xg
si Z(G) = CG(x).
xG
Relatia de echivalenta , introdusa in 2.1.7 pentru o actiune oarecare a grupului G, devine, in cazul actiunii prin conjugare , o relatie de echivalenta intre elementele lui G , care se numeste relatia de conjugare pe G:
x ~ y g G:gx = y gG: gxg -1 = y .
Orbita unui element xG relativ la actiunea prin conjugare :
Gx = gx g G = gxg -1gG
se numeste si clasa de conjugare a lui x. Conform lui 2.1.8 avem :
Gx = G :CG (x)
iar ecuatia claselor pentru actiunea prin conjugare devine :
G= Z(G)+ G :CG (x)
Gx netriviala
Relatia de mai sus se numeste si ecuatia claselor pentru grupul G.
Propozitia 2.4.1. Fie G un grup finit si presupunem ca G = pm , unde p este un numar prim si m un numar intreg pozitiv. Atunci centrul Z(G) al lui G este netrivial .
Demonstratie . Pentru orice element xG, G :CG (x) este un divizor al lui
G = pm si daca G :CG (x) 1 , rezulta G :CG (x) = pk pentru un numar intreg pozitiv k.
Ecuatia claselor pentru grupul G devine atunci
Pm = G= Z(G) + pk1 + …+ pkn
unde n este numarul claselor de conjugare netriviale, iar k1, k2 ,…,kn sunt numere intregi pozitive. Deoarece p(pk1 + pk2 +…+ pkm) , ecuatia de mai sus arata ca p(Z(G) deci Z(G) 1.
Corolarul 2.4.2 . Fie p un numar prim. Atunci orice grup G de ordin p2 este abelian.
Demonstratie . Conform propozitiei precedente avem Z(G) 1 si deoarece
Z(G) G = p2 , rezulta Z(G) = p sau Z(G) = p2. Nu putem avea insa
p2
Z(G) = p, deoarece in acest caz G/Z(G) = = p , deci grupul factor
p
G / Z(G) este ciclic (aceasta rezulta de exemplu din faptul ca orice grup de ordin prim p este, conform teoremei lui Lagrange, grup simplu) ; aplicam apoi propozitia 1.4.12 si rezulta G abelian, deci Z(G) =G, ceeea ce nu se poate. Prin urmare singura posibilitate este Z(G) = p2 = G , de unde rezulta Z(G) = G , deci G abelian.
Propozitia 2.4.3 (Teorema lui Cauchy). Fie G un grup finit si p un numar prim astfel ca p G. Atunci exista un element x G cu o(x) = p.
Demonstratie. Vom face demonstratia prin inductie dupa ordinul G al lui G . Presupunem intai ca G este abelian. Daca G este simplu, atunci G este grup ciclic de ordin prim si pentru un generator x al lui G avem o(x) = p . Daca G nu este simplu, atunci exista un subgrup propriu si netrivial H al lui G si deoarece G = HG/H avem p H sau pG/H. Daca pH, atunci, conform ipotezei de inductie, exista un element xH cu o(x) = p. Daca pH,
atunci pG/H si notand m =H avem (p,m) = 1, deci exista numere intregi k si n astfel incat pk + mn =1. Pe de alta parte, conform ipotezei de inductie, exista un element x G astfel ca o(xH) = p(xH ca element in grup factor G/H), deci (xH)p = H si xpH. Luam y = xmn si deoarece p mn avem xmn H, deci
y 1. Pe de alta parte, deoarece xpH si m = H avem (xp)m = 1, deci yp =1. Astfel o(y) = p . Acum presupunem G neabelian si consideram ecuatia claselor pentru grupul G :
r
G = Z(G)+ G : CG (xi)
i=1
unde x1 , x2 ,…, xr sunt elemente din G necentrale. Daca pZ(G) atunci, deoarece Z(G) este abelian, exista un element xZ(G) cu o(x) = p. Daca pZ(G), atunci exista un i1,2,…,r astfel ca pG :C(xi) . Deoarece pG= CG ( xi) / G: CG (xi) , rezulta p CG (xi) G si, conform ipotezei de inductie, exista un element xCG(xi) cu (x) =p.
Definitia 2.4.4. Fie G un grup gG si U o submultime a lui G.
Definim
gU = gUg -1 = gxg -1 xU.
Atunci aplicatia
: GP(G)P(G)
(unde P(G) este multimea tuturor submultimilor lui G) definita prin
( g , U ) = gU
este o actiune. Conditiile din definitia unei actiuni :
g (gU) = ggU si 1U = U .
se verifica in mod evident. Actiunea se numeste actiunea lui G pe multimea submultimilor lui G prin conjugare .
Pentru fiecare submultime U a lui G, stabilizatorul lui U relativ la aceasta actiune se numeste normalizatorul lui U in G si se noteaza NG (U). Avem
NG(U) = gGgU =U = gGgUg -1 =U = gG gU = Ug.
In cazul unui subgrup H al lui G avem H NG(H) si pentru orice subgrup K al lui G, H KNG (H) K, sau altfel spus , NG(H) este cel mai mic subgrup al lui G care contine pe H ca subgrup normal.
Pentru fiecare submultime U a lui G orbita lui U relativ la actiunea prin conjugare GU = GU gG se numeste si clasa de conjugare a lui U, iar doua submultimi U si U care au aceeasi clasa de conjugare se numesc conjugate. Conform lui 2.1.8 avem
GU = G: NG(U).
Pentru o submultime U a lui G in afara normalizatorului NG(U), putem considera un alt subgrup important anume
CG(U) = CG(x) = gGgx =xg pentru orice xU
xU
Evident avem CG(U) NG(U). Remarcam faptul ca pentru un subgrup H al lui G avem :
NG(H) = G H G (H este subgrup normal ) ;
CG(H) = G H Z(G) (H este subgrup central ).
Propozitia 2.4.5 . Fie G un grup finit si H un subgrup al lui G. Atunci
g H 1+ G G :H
gG
si g H = G daca si numai daca H = G.
g G Demonstratie . Numarul de termeni distincti ai reuniunii g H este r = GH=
gG
= G :NG(H). Pentru fiecare g = G , notam gH* = gH 1si avem gH= gHg -1 = H, gH*= H – 1, g H = 1 + g H* 1+ r( H -1)
gG gG
Pe de alta parte, avem H NG(H) , deci
r = G : NG(H) G :H si G :HH= G .
Prin urmare
g H 1 + r(H-1) 1 + G :H (H-1)1 + G – G :H .
gG
Daca g H = G din inegalitatea de mai sus rezulta
gG
G 1+G-G : H
deci G : H 1, ceea ce implica G : H = 1, G=H .
2.5. Clasele de conjugare ale grupurilor Sn si An .
Propozitia 2.5.1 . Doua permutari ,Sn sunt conjugate daca si numai daca au acelasi tip de descompunere .
Demonstratie . Presupunem ca permutarile si au acelasi tip de descompunere. Atunci considerand descompunerile lui si ca produse de cicluri disjuncte , putem scrie :
= (a11,….,.a1n1)(a21, ….,a2n2)…(as1,…,asns)
= (b11,…,b1n1)(b21 ,…,b2n2 )…(bs1,…,bsns)
Unde n1 , n2 … ns sunt numere intregi positive si n1 + n2 +…+ ns = n
Daca luam permutarea
a11,….,.a1n1… a21, ….,a2n2… as1,…,asns
(3) =
b11,…,b1n1… b21 ,…,b2n2… bs1,…,bsns
se verifica prin calcul direct ca -1 = , deci rezulta ca si sunt conjugate. Reciproc, sa presupunem ca si sunt conjugate, deci ca exista o permutare Sn astfel ca -1= . Sa zicem ca descompunerea in cicluri disjuncte a lui este (1) , unde n1 , n2 … ns sunt numere intregi pozitive si
n1 + n2 +…+ ns = n . Atunci permutarea se poate pune sub forma (3) . Atunci
(bi j) = ( -1) (bi j) = ()(aij+1)= ( aij+1)= bij+1
Pentru 1 i s si 1 j ni si analog
(bini) = (ai1 ) = bi1
Aceasta demonstreaza ca descompunerea in cicluri disjuncte a lui este exact (2) si deci, ca si au acelasi tip de descompunere .
Partitiile unui numar natural. Numarul claselor de conjugare ale grupului simetric Sn . Propozitia precedenta arata ca numarul claselor de conjugare ale grupului simetric Sn este egal cu numarul tipurilor de descompunere posibile ale permutarilor din Sn adica egal cu numarul solutiilor (k1,k2,…,kn) in numere naturale ale ecuatiei
k1+2k2+…+nkn = n.
La fiecare solutie (k1,k2,…,kn) in numere naturale, asociem sistemul ordonat
(m1 , m2 ,…,mn) definit prin
m1 = kn
m2 =kn +kn-1
…………………….
mn = kn +…..+k2 +k1 .
Atunci m1, m2 ,…, mn sunt numere naturale si avem m1 m2 … mn si
m1+ m2 +…+ mn = n .
Un sistem ordonat de numere naturale ( m1, m2 ,…, mn) astfel ca m1 m2 … mn si m1+ m2 +…+ mn = n se numeste partitie a lui n . Am asociat astfel ca fiecare solutie in numere naturale a ecuatiei (1) o partitie a lui n. Reciproc, daca ( m1, m2 ,…, mn) este o partitie a lui n, atunci (k1,k2,…,kn), unde
k1= mn-mn-1
k2 = mn-1-mn-2
………………
kn-1 = m2 – m1
kn = m1
este o solutie in numere naturale a ecuatiei (1). Deducem astfel ca numarul solutiilor in numere naturale ale ecuatiei (1), deci si numarul claselor de conjugare ale grupului simetric Sn , este egal cu numarul partitiilor lui n.
De regula in scrierea unei partitii ( m1, m2 ,…, mn) se omit eventualele m-uri care sunt egale cu 0 . Numarul partitiilor lui n il notam cu (n). Avem
(1) = 1 ; (2) = 2
(3), partitiile lui 3 fiind (3), (1,2), (1,1,1) ;
(4)= 5, partitiile lui 4 fiind (4), (2,2), (1,3), (1,1,2), (1,1,1,1);
(5) = 7, partitiile lui 5 fiind (5), (2,3), (1,4), (1,2,2), (1,1,3), (1,1,1,2)
(1,1,1,1,1);
(6) = 11, partitiile lui 6 fiind (6), (3,3), (2,4) (2,2,2), (1,5), (1,2,3),
(1,1,4), (1,1,2,2) , (1,1,1,3), (1,1,1,1,2), (1,1,1,1,1,1)
Exemple. Formula pentru numarul elementelor unei clase de conjugare. Vom determina clasele de conjugare ale grupurilor S3 si S4 astfel :
Corespunzator partitiilor (3), (1,2), (1,1,1) ale lui 3 avem, pentru permutarile lui S3, urmatoarele tipuri de descompunere : (3,0,0), (1,1,0), (0,0,1), astfel ca S3 are exact trei clase de conjugare :
C1 formata din permutarea identica C1 = 1 ;
C2 formata din toate transpozitiile : C2 = (12), (13), (23);
C3 formata din toate ciclurile de lungime 3 ;
C3 = (123, (132)
Corespunzator partitiilor (4), (2,2), (1,3), (1,1,2), (1,1,1,1) ale lui 4, avem pentru permutarile lui S4 urmatoarele tipuri de descompunere : (4,0,0,0), (0,2,0,0),
(2,1,0,0), (1,0,1,0), (0,0,0,1), astfel ca S4 are urmatoarele clase de conjugare :
C1 formata din permutarea identical : C1= 1 ;
C2 formata din toate produsele de doua transpozitii disjuncte :
C2= (12)(34), (13)(24),(14)(23) ;
C3 formata din toate transpozitiile: C3= (12),(13), (14), (23), (24), (34);
C4 formata din ciclurile de lungime 3 : C4=(123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243).
C5 formata din ciclurile de lungime 4: C5 = (1234), (1243), (1324), (1342), (1423), (1432).
Se observa ca pentru a forma o permutare care are tipul de descompunere
(k1,k2,…,kn) trebuie sa luam k1 dintre numerele 1,2,…,n cu care sa formam k1
cicluri de lungime 1,2 k2 dintre numerele ramase cu care sa formam k2 cicluri de lngime 2 etc. Insa cele k1 cicluri de lungime i pot fi schimbate intre ele fara ca prin aceasta permutarea sa se schimbe. De asemenea acelasi ciclu de lungime i poate fi scris in i moduri diferite in functie de litera cu care incepem scrierea sa ;
de exemplu
(1234) = (2341) = (3412) = (4123)
In concluzie numarul permutarilor care au tipul (k1 , k2 ,…,kn) este
n!
k1! , k2! ,…,kn! 1k1 2k2 3k3…… nkn
Corespunzator partitiilor (5), (2,3) , (1,4), (1,2,2), (1,1,3), (1,1,1,2), (1,1,1,1,1) ale lui 5 avem, pentru permutarile lui S5, urmatoarele tipuri de descompunere :
(5,0,0,0,0), (1,2,0,0,0), ( 3,1,0,0,0), (0,1,1,0,0) , (2,0,1,0,0), (1,0,0,1,0), (0,0,0,0,1),carora le corespund clase de conjugare :
C1 formata numai din permutarea identica : C1 = 1 ;
C2 formata din toate produsele de doua transpozitii disjuncte :
5!
C2= = 15;
2! 22 5!
C3 Formata din toate transpozitiile : C3 = = 10;
3! 2
C4 formata din produsele de doua cicluri disjuncte, unul de
5!
lungime 2 si unul de lungime 3 : C4 = = 20;
2 3
5!
C5 formata din toate ciclurile de lungime 3 : C5= = 20;
2! 3
5!
C6 formata din toate iclurile de lungime 4 : C6= = 30;
4
5!
C7 formata din toate ciclurile de lungime 5 : C7= = 24.
5
Rezulta ca ecuatia claselor pentru grupul simetric S5 este :
120 = 1+15 +10 +20+ 20 + 30 + 24.
Propozitia 2.5.2. Fie C o clasa de conjugare a grupului simetric Sn , corespunzatoare tipului de descompunere (k1 , k2 , … , kn).
n
a) Avem C An sau C Sn-An dupa cum (i-1) ki este un numar par sau
i=1
impar.
b) Presupunem ca C An . Atunci C nu este o clasa de conjugare a grupului altern An daca si numai daca ki 1 pentru orice i1,2,…,n si ki= 0 pentru orice i par , i1,2,…,n in care caz C = C1 C2 , unde C1 si C2 sunt clase de
1
conjugare ale lui An avand C1= C2= C .
2
Demonstratie . a) Este evident deoarece signatura unei permutari Sn nu depinde decat de tipul sau de descompunere si anume , o permutare C este
n
para daca si numai daca (i-1)ki este numar par.
i=1
a) Fie C si fie H= CSn( ). Evident avem An H = CAn ().
Fie C1= An , clasa de conjugare a lui in An . Avem
Sn :An H Sn :HH:An H
C1 = An: An H = = =
Sn : An 2
C H : AnH
= .
2
Deoarece An H An Sn si Sn : An = 2, avem HAn = An sau H An = Sn
si deoarece H/An H H An/An rezulta H : An H = H An : An = 1 sau 2, dupa cum H An sau H An .
C
In cazul cand H An, rezulta C1= . Alegand o permutare C- C1
2 C
si notand clasa sa de conjugare in An cu C2 rezulta analog C2= .
2
Clasele C1 si C2 fiind disjuncte avem C1 C2= C1+C2= C, deci C1C2= C . In cazul cand HAn avem C1= C, deci C=C1 .
Ramane sa aratan ca H An daca si numai daca ki 1 pentru orice i=1,2,..,n si ki = 0 pentru orice i par, i1,2,…,n sau, echivalent, in descompunerea in cicluri disjuncte a lui :=1 2 …p, apar numai cicluri i de lungime impara si nu exista doua dintre ciclurile 1, 2, …,p care sa aiba aceeasi
lungime.
Presupunem mai intai ca in descompunerea in cicluri disjuncte a lui apar numai cicluri de lungime impara li , i1,2,…,p si oricare doua din aceste
n!
cicluri au lungimi distincte. Atunci Sn : H = , deci H = l1 l2 …lp
l1 l2 …lp
ceea ce arata ca H este impar. Dar atunci nu putem avea H An deoarece in acest caz H : An H = 2, deci H=2 An H este numar par. Prin urmare H An .
Reciproc, sa presupunem ca H An . Presupunem ca descompunerea in cicluri disjuncte a lui este = 1 2 …p , fiecare ciclu i avand lungimea li. Cum orice doua cicluri disjuncte permuta intre ele, avem i = i ; deci i H An pentru orice i1,2,…,p. Deoarece sgn (i)=(-1)li -1 , rezulta ca l4 este impar pentru toti i1,2,…,p. Ramane sa aratam ca l1,l2,…,lp sunt distincte doua cate doua. Presupunem, prin absurd, ca avem, de exemplu, l1=l2= 2m +1. Putem presupune evident ca :
1= (1,2,…,2m+1), 2= (2m+2,…,4m+2) si fie = (1,2m+2)(2,2m+3)…(2m+1,4m+2). Atunci , =1-1=2 si 2=2-1=1.
In plus comuta cu ciclurile 3,…,p ceea ce arata ca = si deci H An.
Dar sgn()=(-1)2m+1= -1, si nu putem avea An . Contradictia obtinuta arata ca l1,l2,…,lp sunt distincte doua cate doua.
Grupul altern A4 . Avem A4= 12 si dintre clasele de conjugare ale lui S4 sunt incluse in A4 numai :
clasa de conjugare corespunzatoare tipului (4,0,0,0) : C1= 1
clasa de conjugare corespunzatoare tipului (0,2,0,0): C2 = =:(12)(34),(13)(24),(14)(23);
clasa de conjugare corespunzatoare tipului (1,0,1,0) : C4 = (123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243) .
Conform propozitiei precedente, C1 si C2 sunt clase de conjugare in A4 in timp ce C4 este reuniunea disjuncta a doua clase de conjugare
C4
In A4 : C4= C4 C4 cu C4= C4= = 4. Rezulta ca ecuatia claselor
2
pentru grupul altern A4 este
12=1+3+4+4
Vom determina acum toate subgrupurile normale ale lui A4 . Pentru aceasta observam ca, in general, un grup H al unui grup G este normal daca si numai daca pentru orice H avem G H astfel ca un subgrup H este normal daca si numai daca este o reuniune de clase de conjugare. In plus, un subgrup H care contine obligatoriu clasa de conjugare a elementului unitate C1= 1 , iar ordinul H divide G .
Ecuatia claselor pentru grupul A4 arata ca toate reuniunile de clase de conjugare care contin elementul unitate au cardinalele :
1, 1+3, 1+4, 1+3+4, 1+3+4+4
Si singura reuniune de acest fel care poate fi un subgrup propriu si netrivial H este cea care are 1+3 = 4 elemente, respectiv H=C1 C2 .
Facand tabla de inmultire a elementelor din H=C1 C2 = 1,(12)(34),(13)(24),(14)(23) se constata ca H este un subgrup al lui A4. In concluzie H este unicul subgrup normal propriu si netrivial al lui A4. De obicei acest subgrup se noteaza cu B4 .
In particular rezulta ca A4 nu are subgrupuri de ordinul 6. Intr-adevar , un subgrup de ordinul 6 al lui A4 ar avea indicele 2 deci ar fi normal , or singurul
subgrup normal propriu si netrivial al lui A4 are ordinul 4. Astfel, reciproca teoremei lui Lagrange : daca G este un grup finit si d este un divizor al ordinului lui G , atunci exista un subgrup H al lui G de ordin d nu este in general adevarata . Pe de alta parte, exista evident si grupuri G care satisfac reciproca teoremei lui Lagrange.
Grupul altern A5 . Avem A5 = 60 si dintre clasele de conjugare ale lui S5 sunt incluse in A5 numai :
clasa de conjugare corespunzatoare tipului (5,0,0,0,0) ; C1 cu C1=1;
clasa de conjugare corespunzatoare tipului (1,2,0,0,0) : C2 cu C2 = 15;
clasa de conjugare corespunzator tipului (2,0,1,0,0): C5 cu C5 = 20;
clasa de conjugare corespunzatoare tipului (0,0,0,0,1) : C7 cu C7= 24.
Conform propozitiei 2.5.2. C1 , C2 , si C5 sunt clase de conjugare in A5 in timp ce C7 este reuniunea a doua clase de conjugare ale lui A5:C7 = C7 C7 cu
C7
C7= C7= = 12. prin urmare ecuatia claselor pentru grupul altern
2
A5 este
60 = 1+15+20+12+12
Reuniunile de clase de conjugare ale lui A5 care contin elementul unitate au deci cardinalele :
1,1+15=16, 1+20=21, 1+12=13 ;
1+15+20=36, 1+15+12=28; 1+20+12=33; 1+12+12=25;
1+15+20+12=48 , 1+15+12+12=40 , 1+20+12+12=45, 1+15+20+12+12=60.
Deoarece , in afara de primul si ultimul dintre aceste numere, nici unul nu divide pe 60= A5, rezulta ca A5 nu are nici un subgrup normal propriu si netrivial. Prin urmare A5 este un grup simplu.
C a p i t o l u l III
p- Grupuri si teoremele lui Sylow
3.1 p- grupuri si p-subgrupuri Sylow
Definitia 3.1.1 Dat un numar prim p , un grup finit G se numeste p-grup, daca ordinul G este o putere a lui p . In virtutea teoremei lui Cauchy (vezi 2.1.3), un grup finit G este p-grup daca si numai daca orice element xG are ca ordin o putere a lui p. Aceasta observatie permite generalizarea notiunii de p-grup si la cazul grupurilor infinite : un grup oarecare G este p-grup daca orice element xG are ordinul o putere a lui p. Un subgrup H al unui grup G se numeste p-subgrup al lui G daca H este p-grup.
Studiul p-grupurilor finite se bazeaza in esenta pe considerarea unor actiuni, iar rezultatele ce se obtin sunt de mare importanta in studiul grupurilor in general.
Propozitia 3.1.2. Pentru orice p-grup finit G care actioneaza pe o multime finite M avem
FixG(X) M (mod p).
Demonstratie . Consideram ecuatia claselor pentru actiunea data :
M= FixG(X) + G : StabG(x).
Gx orbita
netriviala
Deoarece pentru fiecare orbita netriviala Gx , avem 1 G : StabG(x)G
si cum ordinul luiG este o putere a lui p, rezulta ca pG : StabG(x) deci ca p divide suma care apare in membrul drept al egalitatii de mai sus, adica
M FixG(x)(mod p).
Propozitia 3.1.3. Fie G un grup, H si K subgrupuri ale lui G si presupunem ca H este de indice finit in G, sa zicem G : H= n iar K este un p-grup finit, unde p este un numar prim care nu divide pe n.
Atunci exista un element gG, astfel incat K gHg -1 .
Demonstratie. Consideram actiunea lui G pe multimea M=(G/H)s prin multiplicare la dreapta si apoi rrestrictia acestei actiuni la K. In virtutea propozitiei precedente avem
FixK(M) M = G :H = n(mod p),
astfel ca, deoarece p n , avem FixK(M) . Exista deci un element gHM,astfel ca xgH = gH pentru orice x K. Dar
xgH = gH xg gHx gHg -1,
astfel ca K gHg -1.
Propozitia 3.1.4. Fie G un grup finit si H un p-subgrup al lui G astfel incat p G : H. Atunci pNG(H) : H .
Demonstratie. Consideram actiunea lui G pe multimea M=(G / H)s prin multiplicare la dreapta si apoi restrictia acestei actiuni la H. Conform propozitiei 3.1.2. avem FixH(M)G : H (mod p ), astfel ca avem pFixH(M). Pentru un element gh M avem gH FixH(M) daca si numai daca xgH=gH pentru orice xH. Deoarece
xgH = gH x gHg -1
rezulta ca
gHFixH(M)H gHg -1 H = gHg -1gNG(H) ;
ceea ce arata ca
FixH(M) = NG(H) / H (G /H)s =M.
Prin urmare
pNG(H) /H =NG (H) : H.
Corolarul 3.1.5. Fie G un p-grup finit si H un subgrup al lui G. Atunci, daca H G, avem H NG(H) .
Demonstratie . Deoarece G : H 1 si G :HG, avem p /G:H astfel ca putem aplica propozitia precedenta. Conform acestei propozitii rezulta pNG(H):H, deci NG(H):H 1, adica H NG(H).
Propozitia 3.1.6. Fie G un grup finit, H un subgrup normal al lui G si K un p-subgrup al lui G. Atunci, daca H 1 (mod p), acem H CG(K) 1.
Demonstratie. Deoarece H este normal in G, G actioneaza pe multimea elementelor lui H prin conjugare. Restrictia acestei actiuni la K este o actiune a lui K pe H, pentru care avem
hFixK(H) khk -1 = h pentru orice k K kh = hk pentru orice kK hH CG(K),
astfel ca
FixK(H) = H CG(K).
Deoarece K este p-grup, rezulta din 3.1.2
H CG(K) H(mod p)
si deoarece prin ipoteza H 1 (mod p) , obtinem H CG(K) 1 (mod p) si, in particular H CG (K) 1.
Corolarul 3.1.7. Fie G un p-grup si H un subgrup normal netrivial al lui G. Atunci intersectia H Z(G) 1(este netriviala).
Demonstratie. Luam in propozitia precedenta K = G si rezultatul este imediat.
Definitia 3.1.8. Fie un grup finit si p un numar prim. Presupunem ca G= = pmr si pr. Atunci un subgrup al lui G de ordin pm se numeste p-subgrup Sylow al lui G. Existenta p-subgrupurilor Sylow ale unui grup G pentru orice numar prim p si proprietatile acestor p-subgrupuri sunt de importanta fundamentala in teoria grupurilor.
3.2 Teoremele lui Sylow
Propozitia 3.2.1. (Prima teorema a lui Sylow) . Fie G un grup finit si p un numar prim. Atunci exista un p-subgrup Sylow al lui G.
Demonstratie. Printre p-subgrupurile lui G, alegem unul H de ordin maxim si fie H= pm. Evident H este un p-subgrup Sylow al lui G daca si numai daca pG : H. Presupunem, prin absurd, ca pG :H. Atunci, conform propozitiei 3.1.4, avem si pNG(H):H. In plus, putem forma grupul factor NG(H) / H si ordinul acestui grup este divizibil cu p. Conform teoremei lui Cauchy, grupul NG(H) /H are un element de ordin p si aceasta genereaza evident un subgrup de ordin p. Prin urmare, NG(H) are un subgrup de ordin p, si acesta este de forma K/H, unde H K NG(H). Avem K=HK/H=
= pmp = pm+1, si aceasta contrazice alegerea lui H ca p-subgrup al lui G de ordin maxim.
Alta demonstratie a teoremei lui Sylow. Vom demonstra acum prima teorema a lui Sylow fara a folosi teorema lui Cauchy. Pentru aceasta fie G =
= pm r, cu pr si fie X multimea tuturor submultimilor U ale lui G care au pm elemente . Numarul acestor submultimi U este
m pm r pm r – 1 pm r – 2 pm r – pm + 1
X = C m = ….
p r pm pm -1 pm – 2 1
( unde Cnk inseamna numarul combinarilor de n obiecte luate cate k)
pm r – j
Daca intr-unul din factorii produsului de mai sus, sa zicem ,
pm – j
j0,1,…,pm-1, facem toate simplificarile posibile cu divizorii comuni ai numaratorului si numitorului, numaratorul astfel obtinut nu se divide cu p. Aceasta este clar pentru j = 0 :
pm r r
= si pr ;
pm i
daca j 0, luam j = pn s cu ps si avem
pm r- j pm r – pn s pm n r – s
= =
Pm – j pm – pn s pm-n – s
si deoarece n m avem p(pm-n r – s). Deoarece p este prim, rezulta ca p nu divide produsul numaratorilor obtinuti dupa aceste simplificari si, in concluzie, pX. Deoarece pentru un gG si UX avem gU=U= pm, putem considera aplicatia
: G X X
definita prin (g,U) = gU si aceasta aplicatie este evident o actiune. Deoarece X este o multime finita, actiunea noastra are un numar finit de orbite, sa zicem X1 ,X2 ,…., Xr si avem X= X1+X2+…+Xr. Deoarece pX, exista o asemenea orbita, sa zicem X1, cu pX1. Alegem un element VX1 si fie H = StabG(V) = gG gV =V. Atunci H este un subgrup al lui G si vom demonstra ca H este un p- subgrup Sylow. Avem (vezi 3.1.8.), X1=G : H,deci
pm r = G= HX1 si deoarece pX1, rezulta pmH. Pentru orice hH avem hV = V, astfel ca alegand un element x1V, putem defini aplicatia :HV prin (h)=hx1, hH. Aplicatia este evident injectiva si prin urmare HV=pm . De aici si din faptul ca pmH, rezulta H= pm.
Propozitia 3.2.2. ( A doua teorema a lui Sylow ). Fie G un grup finit, p un numar prim, K un p-subgrup al lui G si H un p-subgrup Sylow al lui G. Atunci, exista un gG, astfel incat KgHg -1. in plus, p-subgrupurile Sylow ale lui G formeaza o clasa de conjugare de subgrupuri.
Demonstratie. Prima parte a teoremei rezulta evident din propozitia 1.3. Pentru a doua parte, observam ca, pentru orice element gG, avem gHg -1=
=H, astfel ca gHg -1 este si el un p-subgrup Sylow pentru orice gG. Reciproc, daca K este un p-subgrup Sylow, avem K gHg -1, pentru un gG si deoarece K=H=gHg -1, rezulta K = gHg -1.
Propozitia 3.2.3. ( A treia teorema a lui Sylow ). Fie G un grup finit, p un numar prim, H un p-subgrup Sylow al lui G si np numarul p-subgrupurilor Sylow ale lui G. Atunci
np = G : NG(H), np G : H si np 1 (mod p ).
Demonstratie. Fie Sp multimea p-subgrupurilor Sylow ale lui G. Conform lui 3.2.2, Sp este orbita lui H relative la actiunea prin conjugare a lui G pe multimea submultimilor lui G motiv pentru care
np = Sp = G : NG(H).
Deoarece
G : H = G : NG(H)NG(H) : H= np NG(H) : H,
avem npG:H. Putem defini aplicatia : H SpSp prin (g,K)= gKg -1, KSp , si aceasta aplicatie este evident o actiune a lui H pe multimea Sp . Conform lui 3.1.2 avem
FixH(Sp) Sp(mod p).
Pentru un KSp avem
KFixH(Sp)gKg -1= K g HH NG(K)
in aceasta situatie H si K sunt p-subgrupuri Sylow ale lui NG(K) si conform lui 3.2.2 , avem H = gKg -1 pentru un gNG(K) adica H=K. Prin urmare FixH(Sp) = H si congruenta de mai sus devine np 1(mod p).
Observatie. A doua demonstratie a teoremei lui Sylow nu foloseste teorema lui Cauchy ca prima demonstratie. Mai mult, putem deduce teorema lui Cauchy din prima teorema a lui Sylow, astfel :
Fie G un grup finit, p un numar prim si pG. Din prima teorema a lui Sylow exista un p-subgrup Sylow H al lui G si deoarece pG, avem H1,
Deci exista un element xH, x 1. Deoarece ordinul lui x divide H, ordinul
s s-1
lui x este o putere a lui p: o(x) = ps . Atunci xp = 1 si xp 1. Atunci , pentru
s-1 s
y = xp , avem yp = xp = 1 si y 1, ceea ce arata ca o(y) = p .
Porpozitia 3.2.4. (Lema lui Frattini). Fie G un grup oarecare, K un subgrup normal finit al lui G si H un p-subgrup Sylow al lui K, unde p este un numar prim. Atunci G = NG(H) K.
Demonstratie. Pentru orice element gG , avem
gHg -1 gKg -1 = K
si deoarece gHg -1 = H, gHg -1 este un p-subgrup Sylow al lui K ca si H.
Prin teorema a doua a lui Sylow, exista un element k K astfel incat gHg -1 = = kHk -1 ceea ce implica (k -1g) H (h-1g ) = H, adica k -1gNG(H) sau gNG(H)k NG(H)K. Aceasta arata ca G = NG(H)K.
Corolarul 3.2.5. Fie G un grup finit, p un numar prim si H un p-subgrup Sylow al lui G. Atunci, pentru orice subgrup K al lui G cu NG(H)K K, avem NG(K) =K.
Demonstratie. Avem H NG(H)K, ceea ce arata ca H este si un p- subgrup
Sylow al lui K. Luam L = NG(K) si aplicam lema lui Frattini grupului L. Rezulta L = NL(H)K .Dar NL NG(H),astfel ca L=NL(H)KKK=K,deci L=K,adica NG(K)=K.
3.3. Exemple si unele aplicatii ale teoremelor lui Sylow.
Teoremele lui Sylow au aplicatii numeroase si imortante in teoria grupurilor.
Exemplele si aplicatiile pe care le vom indica mai jos sunt dintre cele mai concrete, ele ilustrand insa foarte bine importanta teoremelor lui Sylow si modul in care se folosesc ele. O modalitate des utilizata consta in a folosi teoremele lui Sylow pentru a identifica un subgrup normal propriu si netrivial al unui grup G.
Fie p un divizor al lui G si H un p-subgrup Sylow al lui G. Deoarece pG, avem H 1 , iar daca G nu este p-grup avem H G deci H este un subgrup propriu si netrivial. Fie np numarul p-subgrupurilor Sylow ale lui G. Daca aratam, folosind teorema a treia a lui Sylow sau alte mijloace, ca np=1, atunci din teorema a doua a lui Sylow rezulta ca H este un subgrup normal al lui G.
3.3.1. Subgrupurile Sylow ale lui S4 .
Avem : S4 = 4! = 24 = 233.
Prin urmare 2-subgrupurile Sylow ale lui S4 sunt exact subgrupurile de ordinul 8, iar 3-subgrupurile Sylow sunt exact subgrupurile de ordinul 3. Subgrupurile de ordinul 3 ale lui S4 se descopera imediat: ele sunt generate de elemente de ordinul 3. Gasim n3 = 4 si 3-subgrupurile Sylow ale lui S4 sunt : 1,(123),(132), 1,(124), (142), 1,(134), (143), 1,(234), (243). Pentru a descrie 2-subgrupurile Sylow ale lui S4 , observam ca daca luam =(1 2 3 4) si =(1 2)(3 4) , avem 4=1, 2=1, =3 = (2 4).
Rezulta ca
H = , = 1, ,2 ,3 ,, ,2, 3
este un subgrup de ordinul 8 al lui S4 , izomorf cu grupul diedral D4. Orice 2-subgrup Sylow al lui S4 este conjugat cu H, deci, de asemenea, izomorf cu D4.
In virtutea celei de-a treia teoreme a lui Sylow, numarul n2 al 2-subgrupurilor Sylow satisface conditia n23, deci n2 = 1 sau n2 = 3 . In cazul n2 =1, H ar fi normal in S4, ceea ce nu este adevarat. Intr-adevar, avem:
H= 1,(1234), (13) (24), (1 4 3 2), (1 2) (3 4), (1 3),(2 4)
deci , de exemplu, (2 4) H si
(1 4) (2 4) (1 4) -1 = (1 2 ) H.
Prin urmare avem n2 = 3, iar cele 3 subgrupuri ale lui S4 de ordinul 8 sunt H
(1 4)H(1 4)-1 = 1, (1423), (1 2)(3 4), (1324), (1 3)(2 4), (3 4), (1 2)
si
(1 2)H(1 2)-1 = 1, (1342), (1 4)(2 3), (1243), (1 2)(3 4), (2 3), (1 4).
3.3.2 . Grupuri de ordin pq.
Fie p si q numere prime distincte si fie G un grup de ordin pq. Fie P un p-subgrup Sylow al lui G si Q un q-subgrup Sylow al lui G. Avem P = p si Q = q, astfel ca P si Q sunt grupuri ciclice, sa zicem P = x si Q = y , unde o(x) = p, o(y) = q . Fie np numarul p-subgrupurilor Sylow ale lui G. Avem npq si np 1(mod p); rezulta np =1 sau np = q , iar egalitatea np = q poate avea loc numai in cazul cand q 1(mod p).
Analog np =1 sau nq = p, iar egalitatea nq = p poate avea loc numai in cazul cand p 1 (mod q). Deoarece p q, nu putem avea simultan si q 1 (mod p) si p1(mod q). Prin urmare np = 1 sau ng =1, ceea ce arata ca P G sau Q G. Aceasta arata ca G nu este grup simplu.
In plus, in cazul p 1 (mod q) si q 1 (mod p) avem np = 1 si nq = 1, deci P G si Q G. Atunci
x P, x -1P, yx -1y -1P,
deci
xyx -1y -1 = x(yx -1y -1) P.
Analog
xyx -1y -1 = (xyx -1)y -1Q
astfel ca
xyx -1y -1P Q = 1, deci xy = yx.
Fie n un numar intreg si presupunem (xy)n = 1. Din legea de comutativitate generalizata rezulta
1= (xy)n = xn yn.
deci xn = y –n P Q =1, deci xn = yn = 1.
Aceasta demonstreaza ca pn , qn , deci pqn si astfel o(xy) = pq = G.
Prin urmare G = xy si G este ciclic. Astfel, orice grup de ordin pq, unde p si q sunt numere prime, p 1 (mod q) si q 1(mod p) este ciclic. De exemplu orice grup de ordin 15, 33, 35 etc. este ciclic.
3.3.3 Grupuri de ordin p2q .
Fie p si q numere prime distincte si G un grup de ordin p2q . Fie P un p-subgrup Sylow al lui G si Q un q-subgrup Sylow al lui G. Avem P= p2 si Q= q. Fie np numarul p-subgrupurilor Sylow ale lui G. Sa presupunem ca np 1 si nq 1. Deoarece npq si q este numar prim, rezulta np = q si deoarece q = np 1 (mod p), rezulta q p. Deoarece npp2, avem nq = p sau nq= p2 si deoarece nq 1(mod q) si q p, nu putem avea nq = p. Prin urmare nq = p2. Orice element de ordinul q al lui G genereaza un subgrup de ordinul q al lui G, deci un q-subgrup Sylow al lui G si orice doua asemenea subgrupuri au intersectia triviala de unde rezulta ca numarul elementelor de ordin q ale lui G este
nq(q – 1) = p2(q -1)
iar numarul elementelor lui G care nu sunt de ordin q este
p2q – p2(q – 1) = p2.
Deoarece P= p2, orice element din P nu este de ordin q, de unde rezulta ca P coincide cu multimea tuturor elementelor lui G, care nu au ordinul q. Acest lucru se va intampla de fapt pentru orice p-subgruop Sylow al lui G, astfel ca rezulta np = 1, o contradictie. Prin urmare np = 1 sau nq = 1 , adica PG sau Q G. Astfel, orice grup de ordin p2q nu este grup simplu.
Presupunem acum ca p2 1 (mod q) si q 1 (mod p). Conform celor de mai sus vom avea np =1 si nq = 1, deci P G si Q G. Avem P= p2, Q= q si PQ divide atat pe P= p2 cat si pe Q=q , astfel ca P Q=1, PQ=1. Avem
PQ
PQ= = p2q
P Q
Astfel ca G = PQ. Fie acum x P si gQ. Atunci xyx -1y -1P Q =1, astfel xy= = yx. De aici rezulta ca G este abelian. Intr-adevar, pentru orice doua elemente z1,z2 G avem zi = xiyi , xi P, yi Q. Atunci, deoarece P si Q sunt abeliene,
z1z2 = (x1y1)(x2y2)= x1(y1x2)y2 = x1(x2y1)y2 =
= (x1x2)(y1y2) = (x2x1)(y2y1) = x2(x1y2)y1 =
= x2(y2x1)y1 = (x2y2)(x1y1) = z2z1.
Prin urmare, daca G= p2q si p2 1 (mod q), q 1 (mod p), atunci G este abelian. Astfel, orice grup de ordin 45, 99, 175 etc., este grup abelian.
3.3.4 Grupuri de ordin 255
Vom demonstra acum ca orice grup de ordin 255 este ciclic. Fie G un astfel de grup. Deoarece G=255 = 3 5 17, un 17- subgrup Sylow H al lui G are ordinul 17. In plus, daca n17 este numarul 17 – subgrupurilor Sylow ale lui G, avem: n173 5 = 15 si n171(mod 17). Evident rezulta n17 = 1, astfel ca H G . Grupul factor G/H va avea
255 ordinul G / H= = 15. Grupul H este ciclic deoarece ordinul sau este un
17
numar prim, iar G/H este de asemenea ciclic. Sa consideram elementele a,bG astfel ca H = a si G/H = bH . Fie n = o(b). Deoarece bn = 1, avem (bH)n =1 si cum o(bH) =15, rezulta 15n . In plus nG= 255=15.17, astfel ca n=15 sau n=255. Daca n =255, avem G = b si G este ciclic. In continuare vom presupune o(b) = 15. Avem a H G, deci bab -1 H = a , astfel ca bab -1=ar,
unde r este un numar intreg si 0 r o(a) = 17. Presupunand ca are loc
m
egalitatea bmab-m = ar pentru un m Z rezulta
m m m m+1
bm+1ab-(m+1) = b(bmab-m)b-1=bar b-1 = (bab-1)r = (ar)r = ar .
m
Aceasta arata ca bmab-m = ar pentru orice numar natural m. Deoarece
15 15
o(b) =15 avem ar = b15ab-15 = a, astfel ca r 1 (mod 17). Deoarece r16 1(mod 17), rezulta r 1 (mod 17), deci r = 1. Am demonstrat astfel ca bab-1=a,
deci ab = ba . De aici dezulta usor ca o(ab) = o(a)o(b) =15 17 = 255, deci G =ab.
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Relatii de Echivalenta (ID: 163366)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.