Regulatorul de Ordin Fractionar

Diverse2

Regulatorul de Ordin Fractionar

Byadmin ianuarie 1, 2024

Cuprins

Introducere

În această lucrare se urmărește demonstrarea performanțelor mai bune ale unui regulator PI fracționar față de un regulator PI clasic, iar apoi implementarea acestuia pe un microcontroler. Ca o primă întrebare simplă, ar fi, de ce regulator de ordin – fracționar? Răspunsul este: deoarece avem un grad de libertate suplimentar față de regulatorul de ordin întreg, ceea ce permite impunerea unei performanțe suplimentare, de exemplu robustețea sistemului la variația amplificării procesului. Toate aceste performanțe le putem obține cu ajutorul speficițiilor de proiectare pe care le impune proiectantul. Regulatorul se calculează în domeniul frecvențial, iar apoi determinând parametrii acestuia se obține funcția de transfer în timp continuu ca apoi pentru implementarea regulatorlui pe microcontroler, funcția de transfer se discretizează. Această lucrare este structurată pe cinci capitole, după cum urmează:

După o scurtă prezentare a noțiunii de ordin – fracționar, în capitolul doi se continuă cu elemente matematice de bază pentru demonstrarea integralei de ordin – fracționar și a derivatei de ordin – fracționar în vederea lui Riemann – Louville. Partea a treia a lucrării conține descrierea detaliată a regulatorului de ordin – fracționar, unde este prezentat ca efectul integrator reduce stabilitatea relativă și elimină eroarea staționară, iar cu ajutorul efectului derivativ obținem o stabilitate mai bună a sistemului, o descreștere a suprareglajului și un timp mai bun de stabilizare. Din forma generală a regulatorului PID, egalând cu 1 sau 0 ordinul efectului integrator sau derivative, putem obține regulator de forma P, PI sau PD.

Metodele de proiectare ale regulatorului fracționar sunt descrise în capitolul al patrulea. Dintre numeroasele metode din literatură sunt prezentate trei, dintre care una este aleasă pentru calcularea regulatorului PI fracționar. La calcularea funcției de transfer în timp discret se aplică metoda Euler Grünwald – Letnikov, iar apoi se obține ecuația recursivă pentru a fi implementată pe microcontroler.

Ca și demonstrație a conceptelor prezentate în lucrare, se va prezenta aplicarea pe un process descries printr-o funcție de transfer de ordinul trei, pentru care se proiectează un regulator PI fracționar pentru a obține performanțe cât mai bune. Pentru validarea rezulatatelor proiectării regulatorului se simulează procesul în buclă deschisă în domeniul frecvențial, iar dacă de pe grafic se obțin specificațiile corecte de proiectare a marginii de fază și a pulsației de tăiere impuse, se poate spune că regulatorul a fost calculate corect. Se simulează rezultatele și în domeniul timp pentru diferite scenarii de funcționare. Regulatorul fracționar se va aproxima cu funcții de transfer de ordin întreg de diferite valori. Cele mai bun regulator rezultat se va implementa pe un microcontroler arduino.

Scopul acestei lucrării este de a demonstra că pentru unele sisteme cu funcția de transfer de ordin întreg sau fracționar cu ajutorul acestuia se obțin performanțe mai bune chiar dacă implică niște metode de calcul matematice mai complicate. Tipul de regulator folosit este întotdeauna la alegerea proiectantului.

Capitolul 1 Introducere

De ce ordin – fracționar?

Raspunsurile de control pentru a introduce acțiunile de bază și a efectelor acestora în comportamentul sistemului de control, în domeniul frecvențial. Deci, știm că aceste acțiuni sunt proporționale, derivative și integrative, iar principalele efecte asupra comportamentului sistemelui de control sunt[1]:

Pentru a crește viteza raspunsului și pentru a scădea eroarea staționară și stabilitatea relativă pentru efectul proporțional;

Pentru a crește stabilitatea relativă și sensibilitatea la zgomote pentru cel derivativ;

Pentru a elimina eroarea staționară și a scădea stabilitatea relativă pentru efectul integrator;

Efectul pozitiv la derivativ (crește stabilitatea relativă), putem observa în domeniul frecvențial că faza introdusă este π/2, iar efectul negativ(crește sensibilitatea zgomotului la frecvențe mari) este creșterea amplificării cu o pantă de 20dB/dec. Pentru efectul integrator, efecetul positiv (elimirea erorii staționare) ar fi amplificarea infinită la frecvență zero, iar cel negativ este decalajul de π/2 a fazei introduse. Avănd în vedere aceste lucru, este destul de natural pentru a concluziona prin introducerea unor acțiuni de control generale de forma ,, , putem obține mai multe beneficii între efectele negative și cele pozitive, iar combinând toate acțiunile putem dezvolta mai multă putere și flexibilitate pentru a satisface specificațiile sistemului controlat.

Dacă ne îndreptăm atenția de la răspunsul controlat la modelarea sistemelor, putem observa din cercetările în electrochimie, sistemele biologice, știința materialelor, vâscoelasticitatea și alte domenii in legatură cu electrochimia[2-4] care de obicei apar în domeniul frecvențial în scopul obținerii circuitelor electrice echivalente si obținerea comportamentului dinamic al sistemelor aflate în studiu. În aceste domenii este destul de frecvent gasirea comportamentului care este destul de departe de cele așteptate de elementele comune cum ar fi rezistențele, inductivitațiile, condensatoarele precum și pentru a defini în scopuri operaționale impedanțele speciale, cum ar fii impedanța Warburg, elemente de fază constantă (CPE-uri) și altele. Toate aceste impedanțe speciale au în comun comportamentul în domentiul frecvențial de forma k/(), , iar de aici rezultă că transformata Laplace pentru condiții inițiale nule este domeniul potrivit pentru ca aceste elemente să fie modelate și să aibă forma k/, . Aceste operații în domeniile frecvențiale și Laplace rezultă operatorii corespunzători în domeniul timp.

În cele ce urmează prin utilizarea unei definiții standard ale integralei si derivatei repetate, se demonstrează că acești operatori care apar într-un mod destul de natural din domeniul frecvențial, ne conduc la definirea operatorilor integrali și derivativi de ordin arbitrar, operatorii fundamentali la calculul fracționar.

Presupunând pentru moment condiții inițiale nule, dacă se defineșteca transformată Laplace a funcției :

F(s) (1.1)

în ecuație se poate recunoaște domeniul Laplace echivalent pentru domeniul integrator cu un ordin a funcției . Se aplică o antiderivată sau o primitivă a funcției , , atunci

= (1.2)

În următorul pas se repetă performanța aplicată operatorului. De exemplu,

(1.3)

Ecuația (1.3) se consideră integrală dublă, iar ținând cont de plantul x-y pe care este desenată această integrală (Figura 1.1), se inversezează secvența de integrare așa încât să se modifice corespunzator limitele lor, obținând

(1.4)

Figura 1.1 x – y plan pentru integrare

Cum este o constantă în raport cu, integrala din interior trebuie să fie simplă, adică și se obține:

= (1.5)

Similar, se obține

= (1.6)

iar mai departe, folosind formula

= = (1.7)

Ultima ecuație, se poate vedea că o parte integrată poate fi exprimată ca o parte integrată simplă ponderată cu o funcție de ponderă simplă și este cunoscută ca formula Cauchy pentru ingrală repetată. Dacă generalizez (1.7) pentru cazul , se obține

= (1.8)

unde, corespunzător definiției Riemann-Leouville’s pentru integrala de ordin – fracționar are ordinul [2,3].

Putem obține același rezultat urmărindu-se căi diferite. Folosind inversa transformatei Laplace, funcția corespunzătoare 1/, este

[] = (1.9)

Deci, dacă se consideră (1.1) ca produsul funcției 1/ și în domeniul Laplace, aceasta corespunde produsului de convoluție în domeniul timp, rezultând:

= * = (1.10)

Intorcând atenția spre intgrală și derivată, operatorul , în domeniul Laplace, rezultă obținerea unui operator de forma / în domeniul timp. Aplicând definiția pe care o cunoștem, primul ordin derivativ al funcției , notat cu este definit ca

= = (1.11)

adică, ca limita unei diferențe înapoi. Similar:

= (1.12)

și

= . (1.13)

Repetând de n – ori, se poate obține

= = , (1.14)

unde (1.15)

acestea sunt notațiile obișnuite a coeficenților binomiali. Ecuația (1.14) pentru determină definiția Grunwald–Letnikov’s pentru derivate de ordin – fracționar cu ordinul n. [2, 3]

Capitolul 2 Elemente matematice de bază

2.1 Introducere

Esențial, problema matematică pentru definirea ordinului fracționar derivativ și integral constă în următoarele: stabilire pentru fiecare funcție de o clasă generală și pentru fiecare număr α (rațional, irațional sau complex), corespunzător cu o funcție g(z) = f(z) care îndeplinesc următoare condiții:[3,5]

dacă este o funție analitică cu variabila , derivata g(z) = f(z) este o funcție analitică cu și α

operația și derivativata care are de obicei ordinul n ϵ , α = n, rezultă același rezultat

operația și care de obiecei integral de ordin cu n ϵ , α = – n rezultă același rezultat

f(z) prima derivată de oridnul (n – 1) trebuie să intindă la zero ca z = c

operatorul cu ordinul α = 0 este operator indentitate

operatorul trebuie să fie liniar:

pentru integrala de ordin – fracționar cu un ordin arbitrar R(α) > 0, R() > 0, menține legea exponenților aditivi :

2.2 Integrala de ordin – fracționar

În concepția lui Riemann–Liouville’s, notația integralei cu ordin – fracționar având ordinul R(α) > 0 este o formulare naturală a formulelor Cauchy’s pentru integrale repetate, care reduc calculul primitivelor de n-ori a integralei cu functia într-o simplă convoluție.

Formula poate fi exprimată ca

, t>c, n ϵ (2.1)

În ecuația (2.1) putem vedea că este o derivată cu ordinii 1,2,3, . . . , n-1 întinzând la 0 pentru t = c.

Într-o direcție naturală, se poate extinde valabilitatea ecuației (2.1) la un ordin n ϵ . Luând în considerare ca (n-1)! = și introducând numărul real pozitiv α, integrala de ordin – fracționar Riemann – Liouville este definită ca

, t>c, α ϵ (2.2)

Când avem de a face cu sisteme dinamice se obișnuiește casă fie o funcție de cauzalitate și în cele ce urmează definiția integralei de oridin – fracționar care urmează a fi utilizată este:

, t>0, α ϵ (2.3)

În ecuația (2.3) putem observa că integral de ordin – fracționar poate fi exprimată ca o convoluție de forma

(2.4)

cu

, (2.5)

iar nucleul cauzal al convoluției fiind:

, pentru t < 0; pentru t (2.6)

2.3 Derivata de ordin – fracționar

Definiția ecuației (2.3) nu poate fi utilizată pentru derivatele de ordin – fracționar cu substituiție directă de la la –, deoarece trebuie să procedăm corect pentru a garanta convergența integralei implicate în definiție și pentru a păstra proprietățile derivatei de ordin întreg.

Notând operatorul derivatei de ordinul cu și indentitatea operatorului cu , putem determina ca

(2.7)

În alte cuvinte, operatorul este o inversă a operatorului . În fapt, din ecuația (2.1) putem deduce

(2.8)

unde este derivata de ordin a funcție . Prin urmare trebuie verificat dacă este inversa lui sau nu. Pentru această presupunere, introducem un număr întreg pozitiv m atunci m – 1 < < m, definiția Riemann – Liouville pentru derivata de ordin – fracționar cu ordar cu ordinul are următoarea formă:

(2.9)

unde m – 1 < < m, m N.

O definiție alternativă pentru derivata de ordin – fracționar a fost introdusă de Caputo ca

, (2.10)

unde m – 1 < < m, m N.

Această definiție este mult mai restrictivă decât cea Riemann – Liouville, deoarece necesită integrabilitate absolută a derivatei de ordin m a funcției . Este clar că în general, rezultă ecuația:

(2.11)

cu excepția că în acest caz ca fiind nulă la t = pentru funcția și este prima derivată de ordin (m – 1). În fapt între cele două definiții există următoarea relație:

+ , (2.12)

( ) = . (2.13)

Aceste două relații sunt importante în aplicații, ele sunt considerate ca fiind definițiile Grunwald – Letnikov’s, bazată pe inversa definției generalizate. Această ecuație fiind de forma

(2.14)

O definiție alternativă a derivatei lui Grunwald – Letnikov’s în formă integrală este[3]:

(2.15)

unde m > .

Capitolul 3 Control PID Fracționar

3.1 De Ce Control cu Ordin – Fracționar?

Istoric

Posibilă ca o primă apariție a FOC, chiar dacă nu este utilizat termenul “ Fracționar “, a apărut cu ajutorul diaramei Bode [6,7]. O problemă cheie în proiectarea unui amplificator cu răspuns, a fost de a elabora o buclă de feedback astfel încât performanțele buclei închise să fie invariante la schimbări în amplificarea amplificatorului.Diagrama Bode prenzintă o soluție elegantă la proiectarea problemei robusteței, unde este denumită ca caracteristica ideală și cunoscută ca bucla ideală a funției de transfer a lui Bode, cu ajutorul diagramei Nyquist unde este o linie dreaptă care trece prin origine obținând o margine de fază invariantă. Acest sistem ideal, el din punct de vedere este un integrator cu ordin – fracționar având funcția de transfer , cunoscută ca funcția de transfer ideală a lui Bode, unde este pulsația de taiere a frecvenței, iar constanta marginii de fază este . Caracteristicile acestei frecvențe sunt foarte interesante în termenii sistemelor robuști la schimbarea parametrilor și problemele metodelor de proiectare folosite. În fapt integratorul cu ordin – fracționar poate fi folosit ca o legătură alternativă pentru controlul sistemului[8].

Primul pas spre aplicarea controlului cu calcul fracționar a dus la adaptarea conceptelor control – fracționar cu metode bazate pe frecvență. Răspunsul în frecvență si răspunsul tranzitoriu a integratorului cu ordin – neîntreg și aplicarea sistemului de control a fost introdus de Manabe[9], iar mai recent în[10].

În ceea ce privește controlul automat, studiile lui Oustaloup [11] legate de algoritmul ordinului – fracționar pentru controlul sistemelor dinamice și demonstrează performanțele superioare de CRONE (Commande Robuste d’Ordre Non Entier, meaning Non-integer-order Robust Control) metodă îmbunatățită a regulatorului PID. Propunerea lui Podlubny [12] de generealizare a regulatorului PID, numindul regulator , implicând integratorului ordinul și derivatorului ordinul . El, astfel demonstrează un răspuns mai bun la cest tip de controller în comparație cu regulatorul PID clasic atunci când este folosit pentru sistemele de ordin – fracționar. O abordare de utilizare a regulatoarelor PID cu ordin – fracționar în domeniul frecvenței a fost studiată în [12].

Activitățile cercetătoare viitoare definesc noi tehnici eficiente de tuning pentru regulatoare de ordin – neîntreg folosite la extensia teoriei de control. În acest sens, în [13,14] extensia ordinului derivator și integrator de la numere întregi la neîntregi oferă o strategie de tunare mai flexibilă și prin urmare o cale mai ușoară de a atinge cerințele de control cu privire la regulatoarele clasice. Pentru [15] a avea un regulator PID de ordin – fracționar cu control optim avem nevoie de impunerea specificațiilor a marginii de fază și a marginii de câstig care au în criteriul de proiectare o eroare minimă pătratică (ISE). O altă lucrare [16,17] profită de avantajele ordinului fracționar introdus pentru a controla, fiind proiectat un regulator mai eficient pentru a fi utilizat la modelele reale. Tunarea regulatorului PID cu ordin – întreg este adresat [18-20] la minimizarea unei funcții obiective care reflectă cât de departe comportamentul PID este de fapt o funcție de transfer de ordin – fracționar (FTOF) și în [21] cu o strategie asemănătoare.

Calculele fracționare se extind de asemenea la alte tipuri de strategii de control diferit de cele PID. Pentru regulatoare de ordinul 2 ( și infinit (, de exemplu [22] discuțiile regulii calcului ordnului 2 pentru sistemele SISO de ordin – fracționar (fără a aplica rezultatele sintezelor regulatoarelor) și [23] sugerând tunarea regulatoarelor infinit pentru sisteme SISO de ordin – fracționar.

3.2 Generalitățile regulatorului de ordin – fracționar

Pornind de la diagrama bloc din Figura 4.1, eflectele de bază a acțiunilor de control a tipurilor K pentru fiind examinate în această secțiune. Acțiunile de bază a controlului tradițional sunt considerate cazuri particulare față de cazurile generale, în care:

efect proporțional

efect integrator

efect derivativ.

Figura 3.1 Diagrama bloc cu reacție negativă a sistemelor cu ordin – fracționar

3.2.1 Efect integrator

După cum se știe, principalele efecte ale efectului integrator sunt cele care fac sistemul mai lent, reduce stabilitatea relativă, și elimină eroarea la starea de echilibru pentru intrările la care sistemul a avut o eroare finită.

Aceste efecte pot fi observate în domenii diferite. În domeniul timp, efectele asupra răspunsului tranzitoriu constă în reducerea rise time, creșterea timpului de stabilizare și suprareglaj. În planul complex, efectele integratorului constau într-o deplasare a stabilității sistemului spre semi-planul drept. În domeniul frecvențial efectele constau într-o creștere de -20dB/dec la diagrama de modul și o scădere de rad la diagram de fază.

Dacă semnalul de eroare are forma

(3.1)

unde este semnal unitar, iar transformata Laplace este

. (3.2)

deci, efectul controlat așa cum s-a văzut în diagrama bloc din Figura 3.1, va fi dat de

(3.3)

=

Figura 3.2 reprezintă funcția pentru valorile lui . Așa cum putem observa, efectele controlului asupra semnalului de eroare variază între efectul proporțional () și efectul integrator (). Pentru valori intermediare ale lui efectul controlului crește pentru o eroare constantă, ceea ce duce la eliminarea erorii staționare de echilibru și scade atunci când eroare este zero, ceea ce face sistemul mai stabil.

În plan complex, locul rădăcinilor al controlul sistemului este reglementat de:

(3.4)

sau prin următoarele condiții echivalente pentru modul și fază:

(3.5)

(3.6)

Având în vedere că

(3.7)

Figura 3.2 Efectul integrator cu

condițiile pentru modul si fază pot fi exprimate ca

(3.8)

(3.9)

Selectarea valorilor lui afectează deplasarea sistemului spre jumateatea dreaptă în planul locul rădăcinilor și valori lui ‘K’ fac ca condițiile modulului să fie atinse.

În domeniul frecvențial, diagrama de modul este obținută din

(3.10)

iar diagram fazei din

. (3.11)

Prin varierea valoarea lui între -1 și 0, este posibil:

introducerea unei creșteri constante la panta modulului care variază între 20dB/dec și 0dB/dec.

introducerea unei întârzieri constante în curba fazei care variază între 2rad și 0rad.

3.2.2 Efect derivativ

Așa cum se cunoaște, efectul derivativ crește stabilitatea sistemului și tinde să atenueze efectele zgomotoase la frecvențe mari. În domeniul timp se poate observa descreșterea supraregralujui și a timpului de stabilizare. În planul complex, efectul derivativ plasează sistemul spre parte stânga în planul locul rădăcinilor. În domeniul frecvențial, acest efect produce o determinare constantă a fazei cu /2 și o creștere a pantei cu 20dB/dec la diagrama de modul.

Urmărind producedura similară de la efectul integrator este ușor de dovedit că toate aceste efecte pot îngreuna selectarea ordinului efectului derivativ, care este .

În domeniul frecvențial, efectele controlului derivativ poate fi studiat considerând efectele unui semnal de eroare trapezoidal dat de:

,

unde transformata Laplace a funcției este

(3.12)

Prin urmare și în conformitate cu Figura 3.1, efectul controlat va fi dat de ecuația

(3.13)

Efectele controlului asupra semnalului de eroare sunt afișate în Figura 3.3 care variază între efectele proporționalului ( = 0, semnal trapeizodal) și efectul derivative ( = 1, semnal pătratic).

În domeniul fecvențial, modulul este dat de (3.10), iar faza de (3.11). Așa cum se poate observa, prin varierea valorii lui între 0 și 1, este posibil:

introducerea unei creșteri constante la panta modului care să varieze între 0dB/dec și 20 dB/dec

introducerea unei întârzieri constant în curba fazei care să varieze între 0 rad și /2 rad.

Figura 3.3 Controlul efectului derivative pentru eroarea

semnalului trapezoidal cu 0, 0.2, 0.5, 1.

3.3 Generalitățile Regulatorului PID

Această secțiune prezintă o structură mai generalizată pentru regulatorul clasic PID păstrând simplititatea formulării sale și de a face uz de control a efectelor derivative și integratoare generale descrise mai sus. În scopul de a demonstra caracteristicele și posibilitățile de aplicare a regulatoarelor PID cu ordin – fracționar, o comparație cu PID-ul standard va fi dat în domeniul frecvențial.

3.3.1 Regulatorul PID Clasic

Regulatorul PID clasic poate fi considerat ca o formă particulară care duce la o compensare în domeniul frecvențial. Funția lui de transfer poate fi exprimată ca:

(3.14)

sau

, (3.15)

cu , , . O altă formă poate fi

. (3.16)

Prin urmare, contribuțiile regulatorului depind de:

factorii de amplificare ;

factorul de amplificare și parametrii ;

factorul de amplificare și zerourile și .

În diagramele bode ale regulatorului, selecția aceștiori factori de amplificare sau paramaetrii este echivalentă cu selectarea poziției și valoarii minime a pantei din diagrama de modul, iar curba diagramei de fază la frecvență minimă. Însă, la frecvențe mari sau mici, valorile pantei din diagram de modul și a curbei din diagram de fază sunt fixe. Acestea sunt ilustrate în Figura 3.4(linie continuă) pentru și Figura 3.4(linie punctată) pentru , , . Comparând cele două figuri, putem observa că ambele valori și poziția minimă a diagramei de modul și punctul de inflecțiune a fazei sunt modificate de valoarea lui în timp ce panta diagramei de modul și valoarea asimtotică a fazei ramân la fel.

Figura 3.4 Diagrama bode a Regulatorului PID clasic

3.3.2 Regulator PID cu ordin – fracționar

Definiția ecuației integro – diferențială pentru controlul efectului PID este dată de

(3.17)

Aplicând ecuației transformata Laplace în condiții inițiale nule, transformata funcției regulatorului poate fi exprimată ca:

(3.18)

Figura 3.5 Răspunsul în frecvență a regulatorului PID cu ordin – fracționar cu

Figura 3.6 Răspunsul în frecvență a regulatorului PID cu ordin – fracționar cu

Așa cum se poate observa, acest regulator de ordin – fracționar ne permite să selectăm atât panta modului cât și faza la frecvențe joase și înalte.

Într-un mod grafic, posibilitățile de control cu ajutorul unui regulator PID de ordin – fracționar sunt afișate în Figura 3.7, extizând cele patru puncte de control ale unui PID clasic în intervalul definit de valorile lui și

Figura 3.7 PID ordin – fracționar vs PID clasic: (a) ordin – întreg și (b) ordin – fracționar

Capitolul 4 Metode de Proiectare a Regulatoarelor Fracționare

4.1 Metode de proiecatere în domeniul continuu

La proiectarea unui regulator fracționar se impune niște specificații pentru a obține performanțele dorite. În literatură există numeroase metode de proiectare a regulatorului, iar aici sunt descrise trei metode:

Algoritm pentru tunarea regulatoarelor fracționare PID

În funcție [56] de marginea de câștig și marginea de fază a proiectării, determinarea regulatorului PID de ordin – fracționar trebuie să îndeplinească stabilitatea de robustețe a buclei de control. Din definițiile de bază a marginii de fază respective câștig, procesul și regulatorul trebuie să satisfacă următoarele:

(4.1)

(4.2)

unde este determinat din

(4.3)

iar satisface

(4.4)

Dacă am avea procesul de ordin – fraționar, atunci vom avea o funcție de transfer de forma:

(4.5)

unde și pot fi orice număr real sau la fel cu coeficienții .

Folosind ca în relația (3.18) și ca în (4.15), următoarele relații pot fi stabilite:

(4.6)

(4.7)

(4.8)

(4.9)

Problema proiectării regulatorului cu modelul procesului și impunerea marginii de fază și a marginii de câștig este că avem doar patru ecuații dar cu șapte necunoscute . Vestea bună ar fii că variabilele necunoscute trebuie să satisfacă următoarele relații:

(4.10)

unde

(4.11)

(4.12)

În urma relațiilor anterioare, parametrii pot fi obținuți folosind algoritmi de optimizare potriviți. Dacă acei parametrii sunt obținuți corect, parametrii regulatorului pot fi determinați din următoarele relații:

(4.13)

(4.14)

(4.15)

Proiectarea regulatoarelor PID de ordin – fracțional utilizănd algoritmul PSO(Particular Swarm Optimization)

Această metodă [57] este bazată pe locul rădăcinilor, dar utilizată în special la regulatoarele PID clasice. Ca și în metoda de bază a locul rădăciniilor, bazată pe cerințele suprareglajului și a timpului de răspuns, putem determina factorul de amplificare și frecvența naturală , iar cu valorile acestora putem afla poziția polilor dominanți ai sistemului în buclă închisă.

(4.16)

Având funcția de transfer a sistemului în buclă închisă:

unde ,iar este funcția de transfer a procesului, iar este funția de transfer a regulatorului proiectat care are forma ca în (3.18).

Dacă poli dominați ai buclei închise se află în:

, atunci și trebuie să obținem

(4.17)

din relația (4.17) obținem:

(4.18)

presupunând și cunoscând , din ecuația (4.18) rezultă:

(4.19)

În această formă complexă, ecuația (4.19) are cinci necunoscute , acestea pot avea o infinitate de soluții pentru , deci ecuația nu poate avea rezolvare echivocă.

Pentru rezolvarea problemei ne ajutăm de algorimul PSO pentru gasirea soluției optimale pentru ecuația complexă.

Notând: R = partea reală

I = partea imaginară

P = faza

Definim și minimizăm folosind tehnica PSO. Scopul acestui algoritm este de a găsi o soluție optimală pentru parametrii respectănd ca .

Avem un spațiu dimensional 5-D, din cauză ca avem acei 5 parametrii necunoscuți. Deci fiecare particulă are cinci poziții dimensionale și vectori de viteză.

Ca o presupunere practică, putem permite ca să varieze între 1 și 1000, între 1 și 500 , iar între 0 și 2. De altfel impunem factorii de inerție și .

După rularea algoritmului PSO, obținem vectorul de poziție a celei mai bune particule optimizând valorile celor cinci parametrii ai regulatorului.

Proiectarea regulatorului cu metoda grafică a ecuațiilor neliniare

Proiectarea metodelor [58] generale ale regulatorului cu ordin – fracționar sunt bazate pe :

marginea de fază și pulsația de tăiere

variația robusteței

Dacă este funcția de transfer a procesului și este funcția de transfer a regulatorului, metodele de proiectare speficicate pot fi scrise matematic ca

(4.20)

(4.20’)

(4.21)

Presupunând modelul matematic a procesului descries în cazul general de funcția de transfer a ordinului – fracționar :

(4.22)

și funcția de transfer a regulatorului PI

(4.23)

Faza și modulul în domeniu frecvențial sunt date de:

(4.24)

(4.25)

(4.26)

(4.27)

unde

(4.28)

(4.29)

folosind ecuațiile anterioare(4.20-4.21), rezultă:

(4.30)

(4.31)

(4.32)

(4.33)

unde

(4.34)

Pentru utilizarea metodei de proiectare propusă pot fi propuse trei ecuații din specificațiile proiectării(4.214.23) pentru determinarea parametrilor regulatorului sau aplicând metodă de optimizare pentru a satisface – într-o gamă de frecvență specificată – toate cele 5 criterii.

Pentru procesele industriale de obicei cele trei specificații ale proiectării(marginea de fază, pulsația de tăiere și variația robusteței în amplificare) sunt cele mai importante. Mai departe sunt descrise ecuațiile analitice pentru determinarea parametriilor regulatorului folosid cele trei criterii.

Rezolvând ecuația (4.32) , rezultă parametrul ca o funcție de ordin – fracționar

(4.35)

unde

Din ecuația (4.31), rezultă a doua ecuație pentru ca o funcție de ordin – fracționar :

(4.36)

Rezolvând ecuațiile (4.35) și (4.36) – iar din intersecția liniilor din grafic pentru , rezultă parametrii (), utilizând ecuția (4.30) este determinat paramentrul ca

(4.37)

4.2 Metode de discretizare a regulatorului fracționar

Aria calcului fracțional este asemănătoare cu calculul deferențialelor clasice, iar ele se pot obține cu ajutorul derivatelor și a integralelor la un ordin arbitrar(real sau chiar complex) [24,25,26,27]. În prezent, teoria calcului fracțional este aplicată în cam toate domeniile științei și a ingineriei fiind recunoscute de abilitatea de a produce o modelare superioară și control asupra multor sisteme dinamice [24,27,28,29,30,31].

În literatura de specialitate, putem găsi mai multe definiții diferite pentru integrala fracțională și diferențierea de ordin arbitrar [24,25,27]. Una din definițiile cele mai cunoscute este dat de abordarea Grünwald – Letnikov:

(4.38)

(4.39)

unde f(t) este funcția aplicată, este funcția Gamma, h este timpul incrementat și [x] semnifică partea întreagă a lui x. O proprietate importantă se releviază din ecuația (4.38) că, în timp ce coeficienții cu ordin întreg implică serie finit, echivalentul oridului – fracțional este că sunt definite ca serie infinită.

Din punct de vedere al controlului și de prelucrare al semnalului , metoda Grünwald – Latnikov pare a fi cea mai folositoare și intuitivă în special pentru o implementare în timp discret [27,32]. Mai mult decât atât, în analiza și proiectarea sistemelor de control de obicei se adoptă metoda transformata Laplace. Definiția ordinului fracțional în domeniul Laplace pentru condiții inițiale nule este dat de relația :

(4.40)

unde . Notând expresia (4.40) ca o generalizare directă a schemei clasice de ordin – întreg cu multiplicarea semnalului transformatei a lui Laplace, variabila ‘s’ având ordinul o valoare neîntreagă.

În prezent există mai multe tipuri de regulatoare cu ordin – fracționar, strategii unde ordinul – fracțional al integratorului sau al derivatorului, , reprezintă elementul fundamental. De exemplu metoda de aproximare a regulatorului, CRONE [29,28] și regulatorul PID fracțional posedă performanțe mai bune în comparație cu regulatorul PID clasic, în special când este utilizat la controlul sitemelor cu ordin – fracționar. Rezultatele aproximării sunt pentru implementarea la un sistem cu control de oridin – fracționar. Algoritmul de determinare poate fi sitetizat urmând pașii:

Discretizarea operatorului de ordin – fracționar ulitizând generarea funcției ;

Obținerea răspunsului la aplicarea unui semnal de tip impuls , echivalând timpul discret fracționar aplicând o expansiune a seriei în putere(PSE – power series expansion) (sau seria Taylor) peste ;

Aplicând tehnica modelării semnalului a lui Pade, Prony sau Shanks pentru în scopul de a obține aproximarea filtrului dorit.

4.2.1 Discretizarea integratorului și derivatorului continuu cu ordin – fracționar

În general, discretizarea operatorului de ordin – fracționar continuu poate să fie exprimat ca generarea funcției [33, 34]. Cele mai ultizate conversii este metoda Euler, Tustin și Simpson [32]. Recent, noile formule de descritetizare apărute sunt interpolarea între Euler – Tustin [35, 36] sau Tustin – Simpson [37, 38].

Așa cum se poate vedean în Tabelul 1, conversia ordinului – fracționar ne conduce la o formulă ‘z’ non – rațională. Prin urmare, în scopul de a obține expresii raționale s-ar putea obține expansiunea seriei în putere(PSE), iar la final se obține o aproximare polinomială – z (FIR filter).

4.2.2 Răspunsul la impuls pentru discretizarea integratorului și derivatorului cu ordin – fracționar

Acest subcapitol este pentru derivarea raspunsului la impuls pentru metodele de discretizare prezentate în Tabelul 1. Se impune ca , corespunzând unui sistem cauzal.

Extinzând operatorul Euler într-o serie la puterea , obținem:

(4.41)

unde: (4.42)

Tabelul 1. Metode de discretizare

Metoda Al – Alaoui se obține din interpolarea de ¾ operatorul Euler și ¼ operatorul Tustin [36].

Folosind PSE pentru metodele Tustin și Al –Alaoui, funcțiile de transfer și sunt exprimate astfel:

(4.43)

(4.44)

4.3 Proiectarea filtrului IIR bazat pe metoda LS

Considerat raspunsul la impuls pentru , filtrul IIR pentru a fii proiectat, are forma:

(4.45)

unde .

4.3.1 Aproximarea Padé

Apriximarea Padé se poate obține cu ajutorul filtrului IIR acesta fiind exact , pentru primeele valori ale lui k, rezultând ecuația:

(4.46)

Pentru rezolvarea coeficiențiilor și e nevoie de doi pași. În primul pas pentru rezolvara lui folosim ultimele n equații din sistemul (4.46), iar după mai multe calcule simple, acestea se pot scrie sub formă de matrice:

(4.47)

unde,

unde este o matrice Tieplitz nonsimetrică [39]. Dacă este nonsingulară, coeficinții sunt unic determinați de:

(4.48)

În al doilea pas, coeficienții sunt obținuți folosind primele ecuații din sistemul (4.46), iar acestea se pot scrie sub formă de matrice:

(4.49)

Așadar, în acest fel se obține o potrivire perfectă între și răspunsul impulsului dorit pentru primele valori ale lui . În aplicații practice, această metodă este limitată doarece rezulatele aproximării trebuie să conțină un număr mare de poli și zerouri [40].

Se poate arăta că aproximările obținute prin metdoda CFE sunt identice cu cele rezlultate prin aplicarea aproximării expansiunii în serii la puteri ale metodei lui Padé [41]. Cu toate acestea, abordarea CFE este mai puțin costisitoare decât tehnica Padé.

4.3.2 Metoda Prony’s

Metoda Prony’s diferă fața de aproximarea lui Padé pentru determinarea coeficiențiilor numitori . Acești coeficenți sunt determinați cu ajutorul minimizării LS a erorii (unde ‘*’ semnifică convoluție):

(4.50)

Setând eroarea în sistemul (4.50) și transformând ecuațiile în formă matriceală:

(4.51)

–

+

Figura 4.1 Metoda Prony’s

unde,

În acest caz se poate observa că sistemul (4.51) nu se poate rezolva exact. Prin urmare obținerea soluțiilor LS este rezolvarea ecuațiilor normale:

(4.52)

Dacă este nonsingular, unica soluție a lui (4.52) și a coeficiențiilor care pot fi determinați din:

(4.53)

unde, este inversa lui .

Cu parametrii determinați ai lui , coeficienții sunt determinați folosind metoda Padé, forțând (se poate observa în subcapitolul 4.3.1):

(4.54)

4.3.3 Metoda Shanks’

Metoda Shanks’ provine dintr-o alternativă a metodei lui Prony’s determinând coeficienții numărătorului . Astfel, în loc să impun o potrivire exactă pentru primele valori ale răspunsului la impuls, acesta exercită o minimizare LS a erorii în intervalul :

(4.55)

+

–

Figura 4.2 Metoda Shanks’

În prima etapă, coeficienții sunt determinați în același mod ca în metoda Prony’s(descrisă în subcapitolul 4.3.2). Cu determinați, coeficienții sunt obținuți cu ajutorul schemei din Figura 4.3:

Se calculează răspunsul impulsului al filtrului folosind, de exemplu recursivitatea:

(4.56)

cu

Rezolvând ecuațiile coeficiențiilor setând eroarea în sistemul (4.55) și traslatând ecuațiile în formă matriceală:

(4.57)

Soluția LS este determinată rezolvând ecuațiile liniare:

(4.58)

Dacă este nonsingulară, coeficienții pot fi unic determinați din:

(4.59)

unde, ese inversa lui .

Capitolul 5 Implementarea regulatorului și rezultatele

5.1 Tipuri de regulatoare fracționale

Implementarea unui regulator este ușoară, funția lui de transfer se aproximează la un ordin ‘n’, , iar cu ajutorul formei aproximate se poate face conversia în timp discret. De obicei se folosesc patru tipuri de regulatoare de ordin – fracționar, acestea sunt descrise în următoarele rânduri:

Regulator Titled Proportional and Integral(TID)

Primul tip, ar fi regulatorul TID, acesta are aceași structură ca un regulator PID clasic, dar factorul de amplificare este înlocuit cu care permite opțiuni de tuning mai bune și un comportament mai bun de control în comparație cu regulatorul PID clasic întreg[42].

Regulatoare PID cu ordin – fraționar

Așa cum a mai fost prezentat în lucrare, acesta are forma:

(5.1)

unde, și sunt numere reale positive, iar parametrii sunt constantele de proporționalitate, integrare și derivare. Acest algorithm de control oferă o selecție mult mai largă de parametrii de reglare cum se poate vedea și în figură [43]:

PD PID

P PI

0

Figura 5.1 Patru tipuri de regulatoare

Regulator fracționar Lead – Lag

Acest tip de regulator [44] este extensia celor clasice de tip lead – lag pentru versiunea fracționară. În plus această metodă de auto – tuning pentru acest tip de regulator se poate regăsii în [45].

CRONE

Următorul tip de regulator popular este CRONE [46 – 52]. Abrevierea CRONE vine din limba franceză “Commande Robuste d’Ordre Non Entier”, câteva caracteristici ai metodei CRONE [49] sunt:

metodologia domeniului frecvențial este bazat pe proiectarea parametrilor derivativi de ordin – fracționar de nivel – înalt.

controlul în domeniul continuu sau discret este distribuit pentru sistemele SISO și MIMO.

folosește configurare comună pentru feedback.

stabilitatea robusteței descrește odată cu disturbanța parametrilor

Metoda CRONE are trei generații, iar aceastea sunt:

Prima generație de regulatoare CRONE

Această generație este foarte potrivită pentru modelele cu perturbații și pentru diagrama de fază în jurul frecvenței impuse. Funcția de transfer este:

, (5.2)

Diagrama bode este prezentată în Figura 5.2. Regulatorul este definit cu ajutorul frecvenței de tăiere din bucla deschisă. Acest tip de regulator este folositor atunci când procesul care trebuie controlat are deja o fază constantă, cel puțin în jurul pulsației frecvenței de tăiere. În acest caz, bucla va fi robustă până când se va schimba pulsația de frecvenței de tăiere, dar marginea de fază nu se va schimba.

Figura 5.2 Diagrama bode a primei generații de regulatoare CRONE

A doua generație de regulatoare CRONE

Dacă prima generație nu este folositoare, adică procesul nu are o fază constantă și nu există robustețe, atunci ce aplică a doua generație. Când este într-o bandă de frecvența în care incertitudinile procesului sunt proaste, metoda CRONE definește funcția de transfer în buclă deschisă într-o bandă de frecvența dată de integratorul de ordin – fracționar:

(5.3)

În Figura 5.3 putem observa bucla deschisă Nicholas pentru a doua generație de aproximare CRONE. Linia dreaptă verticală unde este dorită ca bucla deschisă Nicholas sa fie în cercul desenat.

Figura 5.3 Bucla deschisă Nicholas pentru a doua generație de aproximare CRONE

La momentul perturbației aplicată procesului, deplasarea verticală asigură robustețe:

marginea de fază,

marginea de câștig,

vârful rezonant,

factorul de amortizare, care rezultă din polii buclei închise,

Odată ce bucla deschisă Nichols este obținută și graficul este obținut, funcția de transfer a regulatorului cu ordin – fracționar este:

(5.4)

A treia generație de regulatoare CRONE

Înaintea indentificării obiectivelor pentru a treia generație, trebuie să introducem două seturi de curbe importante în graficul lui Nichols [53,54,55]: curbe pentru amplificare constantă la bucla închisă și curbe pentru aproximarea factorului de amplificare.

Se consideră bucla deschisă a sistemului unde frecvența este dată de:

(5.5)

(5.6)

Bucla deschisă este dată de:

(5.7)

iar după câteva calcule,

(5.8)

În Figura 5.4 este reprezentat valoarea curbelor cosntante din din graficul Nichols. Ele au o peridoadă de rad pentru fază și este simetrică pentru toate liniile drepte obținute din [52] . Factorul de amplificare este aproximat în următoarea relație:

(5.9)

În Figura 5.5 este reprezentat curbele valorilor constante pentru din graficul Nichols. Ele au o perioadă de rad pentru fază și este simetrică pentru toate liniile drepte obținute din .

Acum după ce au fost explicate aceste două concept, se poate prezenta obiectivele regulatoarelor CRONE a treia generație, care sunt pentru a asigura că amplificarea buclei închise. Acesta nu va obține o altă valoare decăt cea dorită, chiar dacă unii parametrii ai procesului variază în intervalul cunoscut. În alte cuvinte, obiectivele sunt prezente în graficul Nichols al sistemului în buclă deschisă pentru apropierea zonei unde amplificarea buclei închise este mare, iar factorul de amplificare este mic, aceste zone sunt în zona punctelor .

Odată comportamentul frecvenței în buclă deschisă este cunoscut, comportamentul controlerului este obținut similar ca și în cazul controllerului CRONE de generație a doua în (5.4).

Figura 5.4 Graficul Nichols cu valori constante ale curbelor pentru

amplificarea buclei închise

Figura 5.5 Graficul Nichols cu valori constante ale curbelor pentru determinarea factorul de amplificare în buclă închisă

5.2 Studiu de caz

Pornind de la un proces care are funcția de transfer de ordinul trei și conținând un zerou:

5.2.1 Calculul unui regulator clasic

Metoda de calcul al unui regulator PI clasic este metoda frecvențială cu asigurarea unei margini de fază impuse, un avantaj al acestei metode este ca nu sunt necesare simplificări.

Funcția de transfer a unui regulator PI clasic este de forma:

(5.10)

Pentru determinarea parametrilor regulatorului respective se impune și se utilizeaza diagrama de bode. Din diagram de modul și fază se determină pulsația:

Figura 5.6 Diagrama bode a procesului

unde

pentru care

avem o fază de deoarece regulatorul PI introduce o fază de aproximativ .

De asemenea modulul procesului este:

Determinând valoarea modului se pot obține parametrii regulatorului:

Forma finală a regulatorului este:

Pentru a verifica daca regulatorul a fost prociectat corect se simulează diagrama bode în buclă deschisă pentru a verifica marginea de fază impusă:

Figura 5.7 Diagrama bode a buclei deschise

Din diagarama bode se poate observa că avem aproximativ marginea de fază impusă, adica , dar se mai observă că sistemul devine pentru un moment instabil, iar apoi se stabilizează din nou.

La simularea procesului în buclă închisă aplicând pe intrare o treaptă unitară obținem următoarele performanțe:

timpul de răspuns :

suprareglajul:

Figura 5.8 Simularea procesului cu regulator PI clasic în buclă închisă

5.2.2 Calculul unui regulator PI cu ordin fracționar

Metoda aleasă este descrisă în Capitolul 4 subcapitolul 4.1/C. Proiectarea regulatorului se începe cu impunerea performanțelor:

marginea de fază și pulsația de tăiere

variația robusteței

Pentru a determina partea reală și partea imaginară la calcularea parametriilor regulatorului, cu ajutorul funcției de transfer a procesului, se transformă aceasta în domeniul frecvențial, se înlocuește :

conform calculelor în domeniul frecvențial, rezultă:

partea reală:

partea imaginară:

din cauza zeroului din funcția de transfer a procesului trebuie sa facem unele calcule și simplificări pentru a calcula o nouă parte reală și imaginară:

notând :

partea reală:

partea imaginară:

(5.11)

în urma calculeltor rezultă:

partea imaginară:

(5.12)

partea reală:

(5.13)

din relația (5.13), se calculează noua parte reală a procesului:

(5.14)

iar din relația (5.12), se calculează noua parte imaginară a procesului:

(5.15)

pentru a determina parametrii regulatorului avem nevoie si de derivatele parțiilor reale respective imaginare:

derivata părții reale este:

(5.16)

derivata părții imaginare este:

(5.17)

În urma specificațiior de proiectare impuse, și , utilizând relațiile (5.14) respective (5.15), se obține:

valoarea părții reale:

valoarea părții imaginare:

Folosind relațiile (5.16) și (5.17) care aparțin derivatelor parțiilor reale respective imaginare, rezultă valorile:

valoarea derivatei părții reale:

valoarea derivate părții imaginare:

Obținând aceste rezultate putem determina parametru simulând două curbe cu ajutorul relațiilor (4.35) și (4.36) pentru :

Figura 5.9 Simulare curbe pentru determinarea parametrilor și

din grafic se poate observa valorile obținute are parametriilor regulatorului:

valoarea constantei de integrare este:

valoarea ordinului fracționar este:

Utilizănd relația (4.37), valoarea parametrului de proporționalitate a regulatorului este:

În urma valorilor obținute pentru parametrii regulatorului cu ordin – fracționar, rezultă funcția de transfer a regulatorului:

Pentru a valida valorile obținute simulăm procesul în buclă deschisă în raport cu regulatorul și se verifică specificațiile impuse:

Figura 5.10 Diagama bode a procesului în buclă deschisă

5.2.3 Performanțele procesului cu regulator fracționar

Din diagrama bode se observă că paramertrii regulatorului au fost calculați corect, iar funcția de transfer aproximată la ordinul trei cu metoda CRONE care a fost descrisă anterior, este:

Funcția de transfer în buclă deschisă se poate obține din următoarea formulă:

(5.18)

Utilizând relația (5.18), conform calculetelor, rezultă:

Formula pentru determinarea funcției de transfer în bulcă inchisă este:

(5.19)

În urma calculelor din relația (5.19), rezultă funcția de transfer:

Din simularea buclei închise se observă performanțele regulatorului:

supreareglajul:

timpul de răspuns:

eroarea staționară la poziție:

Figura 5.11 Răspunsul la treaptă a bulcei închise

Figura 5.12 Răspunsul la rampă a buclei închise

Pentru a demosntra că aproximarea cu metoda CRONE a regulatorului la un ordin superior este mai avantajoasa, se obțin performanțe mai bune. Se aproximează regulatorul la ordinul sașe pentru a compara cu ordinul trei.

Funcția de transfer a regulatorului fracționar aproximată la ordinul sașe este:

Funcția de transfer în buclă inchisă este:

Figura 5.13 Răspunsul la treaptă în buclă inchisă cu regulatoare

aproximate ordinul trei și sașe

Din simulare se observă ca avem un timp de răspuns puțin mai mic, dar nesemnificativ. La un proces mai complicat si real se va vedea o diferentă mai mare.

O altă diferentă de simulare este variația amplificării funcției de transfer cu 50%. O metodă este inmulțirea număratorului cu o constantă. Funcția de transfer a procesului, este următoarea:

Se folosește același regulator, iar funcția de transfer în buclă închisă este:

Figura 5.13 Răspunsul la treaptă cu o variație de +50% față de cea nominală

O altă diferență de variație ar fi cea de 25%, iar funcția de transfer rezultată este:

Funcția de transfer a buclei închise calculată cu același regulator este:

Figura 5.14 Răspunsul la treaptă cu o variație de 25% față de cea nominală

În urma acestor simulări se observă că dacă avem o variație de 25% suprareglajul și timpul de răspuns este crește semnificativ, iar la o variație de 50% nu avem o așa mare creșterede, ci de doar 10%.

5.2.4 Performanțe ale procesului cu regulator în discret

Pentru a implementa un regulator pe microcontroler avem nevoie ca funcția de transfer a regulatorului să fie în timp discret, iar apoi se calculează ecuația recursivă a acestuia. Perioada de eșantionare se alege ca fiind aproximativ de 10 ori mai mică decât cea mai mică constantă de timp.

perioada de eșantionare aleasă este:

Funcția de transfer în domeniul discret obținută este:

Figura 5.15 Schema bloc a buclelor închise

În schema de sus este o buclă inchisă pentru reglarea procesului în domeniul discret. Avem funcția de transfer în discret, iar apoi avem blocul “Zero – Order – Hold”, adică blocul de întarziere. Aceste blocuri conțin toate, perioada de eșantionare . În schema bloc din partea de jos este reglarea procesului în domeniul continuu în raport cu regulatorul cu ordin – fracționar. Blocul din simulink se numește “NIPID”, iar el conține urmâtoarele:

Figura 5.16 Blocul NIPID din simulink

Figura 5.17 Răspunsul la treaptă cu regulator în discret

Pentru a vedea că regulatoarele din domeniul continuu respective discret lucrează la fel, se poate vedea din următoarea simulare:

Figura 5.18 Răspul la treaptă pentru domeniul continuu si discret

Simulând aceste două scheme bloc se poate observa că sunt aproape identice avem aceleași performanțe pentru suprareglaj și timp de răspuns.

5.2.5 Performanțe ale procesului cu regulator implementat pe microcontroler

Placa cu microcontroller care am utilizat pentru a testa implementarea regulatorului este Arduino Leonardo. Arduino este un instrument prin care poți realize sisteme informatice potrivit pentru a controla. Am ales arduino, chiar dacă pe piață există o gamă variată de microcontrollere, deoarece are un cost de achiziție redus, poate fi folosit pe orice sistem de operare(Linux, Windows, MacOS), un mediu de programare simplu și ușor de învățat și mai ales este open – source atât pe placa de dezvoltare cât și mediul de programare [59].

Plăcile de dezvoltare arduino seamănă foarte mult între ele(intrările/ieșirile digitale, intrările analogice, microcontrelerul, etc. ), din acest motiv se descrie în continuare doar placa de dezvoltare Arduino Leonardo:

Figura 5.19 Placa de dezvoltare Arduino Leonardo

intrările analogice sunt folosite pentru citirea semnalelor nondigitale, de exemplu senzori de temperatură, de lumină, de presiune, umiditate, etc;

intrare/ieșire digital, de exemplu un întrerupător pentru un bec, acesta poate avea 2 stări, închis sau deschis adică 0 sau 1;

PWM (pulse with modulation) adică modulația în durată a impulsurilor, se utilizează la o varietate mare de sarcini, de la iluminarea unu LED până la controlul vitezei motoarelor electrice.

La implementarea regulatorului pe microcontroller avem nevoie de ecuația recursivă a acestuia pentru a comanda procesul:

(5.20)

Utilizând relația (5.20), ecuația recursivă se obține din:

rezultând:

Schema bloc de mai sus este una de conexiune între PC si placa de dezvoltare arduino. Conexiunea se face cu un cablu USB.

Figura 5.20 Răspunsul la treaptă al procesului folosind microcontroller

Din simulare se poate observa că sunt mici diferențe între performanțele regulatorui simulat și implementarea lui pe un microcontroler.

Concluzii și dezvoltări ulterioare

Proiectul de implementare al unui regulator fracționar pe un microcontroler a fost ales în privința demonstrării faptului că este posibil și că performanțele obținute sunt asemănătoare cu cele simulate. Această cercetare este realizată folosind un microcontroler arduino. Folosind microcontrolere mai puternice se pot obține rezultate mai spectaculoase. În viitor va fi dezvoltat pentru procese reale și îmbunătățit, dezvoltat și pentru alte tipuri de regulatoare.

Pentru determinarea parametrilor regulatorului fracționar este necesară o matematică complicată cu integrale si derivate, dar cu ajutorul metodelor de optimizare, acestea devin mai simple și putem obține un calcul eficient. Valorile parametrilor regulatorului fracționar PI au fost calculate cu ajutorul specificațiilor de proiectare impuse. În literatură se gasesc mai multe metode de proiectare a regulatorului fracționar, iar metoda aleasă îmi pare a fi cea mai potrivită pentru cazul meu, dar de obicei metoda este aleasă de proiectant.

Studiul de caz a fost aplicat pe o funcție de transfer de ordinul trei. În această lucrare a fost demonstrat că regulatorul fracționar este mai eficient decât un regulator clasic. În studiul de caz analizat se poate observa că performanțele obținute au fost mai bune în vederea timpului de răspuns al procesului, a suprareglajului respectiv a robusteții. După ce s-a obținut un regulator de ordin fracționar, acesta se aproximează cu metoda CRONE la un ordin întreg pentru a putea calcula în Matlab mai ușor funcția de transfer în timp discret. Aproximarea regulatorului fracționar se poate face la un ordin ‘n’, iar cu cât ordinul este mai mare, cu atât performanțele sunt mai bune, dar nu întotdeauna putem lucra cu un ordin mare deoarece s-ar putea ca microcontrelerul să nu permită implementarea mai multor parametrii. La implementarea pe microcontroler este nevoie de ecuația recursivă care se obține din funcția de transfer în timp discret.

Din rezultatele prezentate în lucrare se poate observa că cercetarae a fost cu success. Graficul obținut prin simularea regulatorului în Matlab și graficul obținut prin implementarea hardware a regulatorului sunt aproape suprapuse.

În viitor se dorește o simplificare a ecuațiilor matematice pentru determinarea parametrilor, aplicarea metodelor pe un proces real din industrie. Pentru a demonstra că regulatorul fracționar este mai bun decât cel clasic, e nevoie și de un microcontroler mai puternic fața de cel Arduino folosit în lucrare. O altă direcție de cercetare în viitor ar fi proiectarea unui regulator PID de ordin fracționar și crearea unui bloc de acordare în Matlab – Simulink.

Bibliografie

[1] K.J. Astrom, R.M. Murray. Feedback Systems: An Introduction for Scientists and Engineers. Princeton University Press, 2008

[2] K.S. Miller, B. Ross. An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations. New York: John Wiley and Sons, 1993

[3] I. Podlubny. Fractional Differential Equations, Mathematics in Science and Engineering, volume 198. San Diego: Academic Press, 1999

[4] R.L. Magin. Fractional Calculus in Bioengineering. Begell House, 2006

[5] H. Bode. Network Analysis and Feedback Amplifier Design. Van Nostrand, 1945

[6] B.M. Vinagre, C.A. Monje, A.J. Calder´on, et al. The fractional integrator as a reference function. Proceedings of the First IFAC Workshop on Fractional Differentiation and Its Applications. ENSEIRB, Bordeaux, France, 2004, 150–155

[7] S. Manabe. The non-integer integral and its application to control systems. Japanese Institute of Electrical Engineers Journal, 1961, 6(3-4):83–87

[8] R.S. Barbosa, J.A. Tenreiro, I.M. Ferreira. A fractional calculus perspective of PID

tuning. Proceedings of the ASME 2003 Design Engineering Technical Conferences

and Computers and Information in Engineering Conference, Chicago, USA, 2003

[9] A. Oustaloup. La Commade CRONE: Commande Robuste d’Ordre Non Entier. Hermes, Paris, 1991

[10] I. Podlubny. Fractional-order systems and PIλDμ controllers. IEEE Transactions on

Automatic Control, 1999, 44:208–214

[11] B.M. Vinagre, I. Podlubny, L. Dorˇc´ak, et al. On fractional PID controllers: a

frequency domain approach. Proceedings of the IFAC Workshop on Digital Control.

Past, Present and Future of PID Control. Terrasa, Spain, 2000, 53–58

[12] R. Caponetto, L. Fortuna, D. Porto. Parameter tuning of a non integer order PID

controller. 15th International Symposium on Mathematical Theory of Networks and

Systems, Notre Dame, Indiana, 2002

[13] R. Caponetto, L. Fortuna, D. Porto. A new tuning strategy for a non integer order

PID controller. Proceedings of the First IFACWorkshop on Fractional Differentiation

and Its Application. ENSEIRB, Bordeaux, France, 2004, 168–173

[14] J.F. Leu, S.Y. Tsay, C. Hwang. Design of optimal fractional-order PID controllers.

Journal of the Chinese Institute of Chemical Engineers, 2002, 33(2):193–202

[15] B.M. Vinagre. Modelado y Control de Sistemas Din´amicos Caracterizados por

Ecuaciones ´Integro-Diferenciales de Orden Fraccional. PhD Thesis, Universidad de

Educaci´on a Distancia (UNED), Madrid, Spain, 2001

[16] B. M. Vinagre, Y. Q. Chen. Lecture Notes on Fractional Calculus Applications in

Automatic Control and Robotics. The 41st IEEE CDC2002 Tutorial Workshop # 2.

Las Vegas, Nevada, USA, 2002, 1–310. [Online] http://mechatronics.ece.usu.edu /foc/cdc02 tw2 ln.pdf

[17] R.S. Barbosa, J.A. Tenreiro Machado. Describing function analysis of systems with

impacts and backlash. Nonlinear Dynamics, 2002, 29(1-4):235–250

[18] R. Barbosa, J.A. Tenreiro, I.M. Ferreira. Tuning of PID controllers based on Bode’s

ideal transfer function. Nonlinear Dynamics, 2004, 38:305–321

[19] R. Barbosa, J.A. Tenreiro, I.M. Ferreira. PID controller tuning using fractional

calculus concepts. Fractional Calculus and Applied Analysis, 2004, 7(2):119–134

[20] Y.Q. Chen, K.L. Moore, B.M. Vinagre, et al. Robust PID controller autotuning with a phase shaper. Proceedings of the First IFACWorkshop on Fractional Differentiation

and Its Application. ENSEIRB, Bordeaux, France, 2004, 162–167

[21] R. Malti, M. Aoun, O. Cois, et al. Norm of fractional differential systems. Proceedings of the ASME 2003 Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference, Chicago, USA, 2003

[22] I. Petr´aˇs, M. Hypiusova. Design of fractional-order controllers via H∞ norm

minimisation. Selected Topics in Modelling and Control, 2002, 3:50–54

[23] K. B. Oldham, J. Spanier: The Fractional Calculus, Academic Press, New York,1974

[24] K. S. Miller, B. Ross: An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations, Wiley & Sons, New York, 1993

[25] S. G. Samko, A. A. Kilbas, O. I. Marichev: Fractional Integrals and Derivatives: Theory and Applications, Gordon and Breach Science, Amsterdan, 1993

[26] I. Podlubny: Fractional Differential Equations, Academic Press, San Diego, 1999

[27] R. Hilfer: Applications of Fractional Calculus in Physics, World Scientific, Singapore, 2000

[28] A. Oustaloup: La Commande CRONE: Commande Robuste d'Ordre Non Entier, Editions Hermès, Paris, 1991

[29] A. Oustaloup: La Dérivation Non Entière: Théorie, Synthèse et Applications, Editions Hermès, Paris, 1995

[30] Imre J. Rudas, Jozsef K. Tar, Béla Pátkai, Compensation of Dynamic Friction by a Fractional Order Robust Controller, pp. 15-20, ICCC 2006 – 2006 IEEE International Conference on Computational Cybernetics, pp. 9- 14, Tallinn, Estonia, August 20-22, 2006, ISBN 1-4244-0072-4, IEEE Catalog Number 06EX1270C

[31] J. A. Tenreiro Machado: Analysis and Design of Fractional-Order Digital Control Systems, SAMS Journal of Systems Analysis, Modelling and Simulation 27(1997), 107-122

[32] B. M. Vinagre, I. Podlubny, A. Hernández, V. Feliu: Some Approximations of Fractional Order Operators Used in Control Theory and Applications, FCAA Fractional Calculus and Applied Analysis 3(2000), 231-248

[33] Y. Q. Chen, K. L. Moore: Discretization Schemes for Fractional-Order Differentiators and Integrators, IEEE Transactions on Circuits and Systems-I: Fundamental Theory and Applications 49(2002), 363-367

[34] M. A. Al-Alaoui: Novel Digital Integrator and Differentiator, Electronics Letters 29(1993), 376 378

[35] M. A. Al-Alaoui: Filling the Gap Between the Bilinear and the Backward-Difference Transforms: An Interactive Design Approach, International Journal of Electrical Engineering Education 34(1997), 331- 337

[37] M. A. Al-Alaoui: A Class of Second-Order Integrators and Low-Pass Differentiators, IEEE Transactions on Circuits and Systems-I: Fundamental Theory and Applications 42(1995), 220-223

[38] M. A. Al-Alaoui: Novel Stable Higher Order s-to-z Transforms, IEEE Transactions on Circuits and Systems-I: Fundamental Theory and Applications 48(2001), 1326-1329

[39] A. D. Poularikas: The Handbook of Formulas and Tables for Signal Processing, CRC Press, Boca Raton, 1999

[40] J. G. Proakis, D. G. Manolakis: Digital Signal Processing: Principles, Algorithms and Applications, Prentice-Hall, 3rd edition, Upper Saddle River, 1996

[41] L. Lorentzen, H. Waadeland: Continued Fractions with Applications, Addison-Wesley, North-Holland, Amsterdam, 1992

[42] B. J. Lurie, “Three-parameter tunable tilt-integral-derivative (TID) controller” US Patent US5371670, 1994.

[43] I. Podlubný, “Derivácie neceločíselného rádu: história, teória, aplikácie (Fractional-order derivatives: History, theory, and applications)” plenary lecture presented at the Conference of the Slovak Mathematical Society, Jasná, Slovakia, 2002 (In Slovak), Available from: http://people.tuke.sk/igor.podlubny/pspdf/jasna.pdf.

[44] H.-F. Raynaud, and A. Zergaïnoh, “State-space representation for fractional order controllers” Automatica, vol. 36, no. 7, pp. 1017–1021, 2000, DOI: 10.1016/S0005-1098(00)00011-X.

[45] C. A. Monje, B. M. Vinagre, A. J. Calderón, V. Feliu, and Y. Chen, “Self-tuning of Fractional Lead-Lag Compensators” presented at the 16th IFAC World Congress, Prague, Czech Republic, 2005.

[46] A. Oustaloup, B. Mathieu, and P. Lanusse, “The CRONE control of resonant plants: application to a flexible transmission” European Journal of Control, vol. 1, no. 2, pp. 113-121, 1995.

[47] A. Oustaloup, X. Moreau, and M. Nouillant, “The CRONE suspension” Control Engineering Practice, vol. 4, no. 8, pp. 1101–1108, 1996.

[48] A. Oustaloup, J. Sabatier, and X. Moreau, “From fractal robustness to the CRONE approach” ESAIM: Proc., vol. 5, pp. 177-192, 1998, DOI: 10.1051/proc:1998006.

[49] P. Lanusse, J. Sabatier, X. Moreau, and A. Oustaloup, “Robust Control” presented as a Lecture 5 at the Tutorial Workshop on Fractional

[50] Calculus Applications in Automatic Control and Robotics at the 41st IEEE Conference on Decision and Control, Las Vegas, Nevada, USA, 2002. Available from: http://mechatronics.ece.usu.edu/foc/cdc02tw/cdrom/Slides/Lecture5/Tutorial_Workshop_CC.pdf.

[51] CRONE Toolbox – Official Website, Available from: www.ims-bordeaux.fr/CRONE/toolbox/.

[52] A. Oustaloup, P. Melchior, P. Lanusse, O. Cois, and F. Dancla, “The CRONE toolbox for Matlab” presented at the 2000 IEEE International Symposium on Computer-Aided Control System Design, Anchorage, Alaska, USA, 2000.

[53] A. Oustaloup. La Commade CRONE: Commande Robuste d’Ordre Non Entier.

Hermes, Paris, 1991

[54] A. Oustaloup, F. Levron, F. Nanot, et al. Frequency band complex non integer

differentiator : characterization and synthesis. IEEE Transactions on Circuits and

Systems I: Fundamental Theory and Applications, 2000, 47(1):25–40

[55] D. Val´erio. Fractional Robust System Control. Ph.D. thesis, Instituto Superior

T´ecnico, Universidade T´ecnica de Lisboa, 2005

[56] Chunna Zhao and Dingy¨u Xue, YangQuan Chen. A Fractional Order PID Tuning Algorithm for A Class of Fractional Order Plants, Proceedings of the IEEE International Conference on Mechatronics & Automation Niagara Falls, Canada, July 2005

[57] Deepyaman Maiti, Sagnik Biswas, Amit Konar. Design of a Fractional Order PID Controller Using Particle Swarm Optimization Technique. 2nd National Conference on Recent Trends in Information Systems

[58] Eva H.Dulf, Cristina I.Mureșan, Roxana Both. Fractional order controller design method for a large class of process models. Technical University of Cluj – Napoca, Departament of Automation

[59] http://www.roroid.ro/