Raport de cercetare științifică num ărul 1 i Studiul fenomenelor de condensare pe suprafețe plane Ilie Viorel –Martie 2016 ii CUPRINS 1 INTRODUCERE… [631476]

STUDIUL FENOMENELOR D E
CONDENSARE PE SUPRAF EȚE PLANE

Ilie Viorel

FACULTATEA DE INGINERIE A INSTALAȚIILOR
DEPARTAMENTUL SISTEME TERMO -HIDRAULICE ȘI DE PROTECȚ IA
ATMOSFEREI
UNIVERSITATEA TEHNICĂ DE CONSTRUCȚII BUCUREȘTI

Raport de cercetare științifică num ărul 1

i

Studiul fenomenelor de condensare pe suprafețe plane

Ilie Viorel –Martie 2016 ii CUPRINS

1 INTRODUCERE ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………. 1
2 MODELE TEORETICE PRI VIND CONDENSAREA VAP ORILOR ……………… 5
2.1 FILM LAMINAR PE SUPRA FEȚE VERTICALE ………………………….. ………………………. 5
2.2 FILM TURBULENT PE SUP RAFE ȚE VERTICALE ………………………….. …………………. 13
2.3 CONDENSARE SUB FORMĂ DE PIC ĂTURI ………………………….. …………………………. 16
3 MODELE NUMERICE PENTRU CONDENSAREA V APORILOR ……………… 21
3.1 ASPECTE GENERALE ………………………….. ………………………….. ……………………….. 21
3.2 MODELUL PROPUS DE AGENȚIA INTERNAȚIONALĂ A ENERGIEI …………………… 22
3.3 MODEL DE EVAPORARE CO NDENSARE ………………………….. ………………………….. . 26
4 CONCLUZII ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………… 29
5 BIBLIOGRAFIE ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……… 32

iii Introducere
LISTA FIGURILOR
FIGUR A 2.1: REGIMURI DE CURGERE A LE UNUI FILM DE CONDENS PE O SUPRAFA ȚĂ
VERTICALĂ (BEJ.2013)
FIGUR A 2.2: LICHIDUL FILMULUI LAM INAR PROVENIT DE LA UN REZERVOR CU VAPOR I
SATURAȚI [BEJ.2013] 7
FIGUR A 2.3: NUMĂRUL PRANDTL ȘI EFECTELE S UBRĂCIRII (JA) ASUPRA FILMULUI DE
CONDENS LAMINAR PE O SUPRAFAȚĂ VERTICALĂ DE PERETE ȘI PE O S UPRAFAȚĂ
ORIZONTALĂ DE CILIND RU ([BEJ.1984] ȘI [CHEN.1961]) 12
FIGUR A 2.4: TRANZIȚIA , DE LA LIM ITELE IMPUSE DE INER ȚIE LA CELE IMPUSE D E
FRECARE , CONDENSĂRII UNUI FI LM LAMINAR DE CONDEN S PE UN PERETE VERTI CAL ȘI
PE O SUPRAFAȚĂ CILIN DRICĂ ORIZONTALĂ ([BEJ.1984] ȘI [CHEN.1961]) 12
FIGUR A 2.5: COEFICIENTUL DE TRANS FER DE CĂLDURĂ PENTR U REGIMUL LAMINAR ,
TRANZITORIU ȘI TURBU LENT DE CURGERE PENT RU UN FILM DE CONDEN S PE O
SUPRAFAȚĂ VERTICALĂ .
FIGUR A 2.6: FIGURA 2.6. PELICULĂ DE CONDENS P E O SUPRAFAȚĂ VERTIC ALĂ: RATA
TOTALĂ DE CONDENSARE CA O FUNCȚIE A PARA METRULUI DE CONDESAR E
[BEJ.2013].
FIGURA 2.7: REPREZENTAREA FIZICĂ A RELATIILOR MATEMAT ICE:A.MODELUL WENZEL ;
B.MODELUL CASSIE BAXTER [MENG.2010] 18
FIGURA 3.1: DISCRETIZAREA STRATULUI LIMITĂ ȘI A SUPRAFEȚELOR 23
FIGURA 3.2: DIAGRAMA STABILITĂȚII FAZEI [Ans.2013] 26

Ilie Viorel – Martie 2016 1
Introducere
1 INTRODUCERE

Fenomenul de condensare a unui fluid (în stare gazoasă) pe suprafețe solide este
asociat mecanismelor de transfer de căldură și masă care intervin în curgeri le fluide lor din
numeroase domenii și aplicații inginerești și au un rol important în soluționarea a două mari
provocări ale secolului curent: economia de energie și prezervarea mediului înconjurător.
Studiile și analizele fenomenelor de transfer de căldură pot fi încadrate în două
categorii. Prima coincide studiilor dedicate domeniului industrial (industria nuc leară,
industria aerospa țială) unde s -a dorit mărirea cantității de energie pe care o suprafaț ă o poate
primi sau ceda către mediul exterior. În acest sens p e lângă transferul de căldură , studiul
transferului de masă a devenit indispensabil î n astfel de aplic ații. Mai mult decât atâ t ulterior
s-a demonstrat că nu numai transferul de masă influenț ează fluxul termic dar și mecanismele
și fenomene le asociate tran sferului de masă aduc o influență îndeajuns de importantă pentru a
fi luate în calcul. A doua direcț ie a av ut drept scop determinarea influențelor pe care
transferul de masă îl are asupra mișcă rii fluidul ui studiat dar mai importantă este influența
acestuia asupra transferului de căldură . Referitor la această direcție un subiect interesant îl
reprezintă studiile ce au ca obiect principal anal izele aeraulice din interiorul încă perilor sau
din apropierea fro ntierelor solide. Controlul curgerii aerului cu transfer de c ăldură și masă
este esenț ial pentru crearea și optimizarea unor sisteme eficiente din punct de vedere al
consumului de energie conform cerințelor standardelor î n vigoare.

Studiul fenomenelor de condensare pe suprafețe plane

Ilie Viorel –Martie 2016 2 În cazul domeniului t ermotehnicii construcțiilor și instalațiilor aferente clădirilor
importanța studiului fenomenului de condensare a crescut odată cu cerințele din ce în ce mai
exigente ale standardelor de calitate a aerului și a economiei de energie. Principala cauză a
apariției condensului se datorează dificultății de a obține un bun control al umidității aerului
interior cu un consum minim de energie păstrând în același timp parametrii de calitate ai
aerului interior.
Prezenta condensului pe sau în interiorul elementel or de construcții poate conduce
la degradări timpurii ale clădirilor dar un prim efect negativ îl reprenzintă calitatea aerului
interior în sensul creșterii riscului de apariție a bacteriilor . Aceste efecte au fost remarcate în
timpul utilizării sau adopta rii diverselor sisteme de încălzire. Pentru a le combate în perioada
1950 – 1980 s -a renunțat la utilizarea sistemelor de climatizare cu răcire radiativă și toată
„atenția” s -a indreptat asupra sistemelor numai aer. Practic condensarea vaporilor avea loc p e
suprafața bateriei de răcire a sistemului de climatizare astfel era redusă umiditatea aerului
introdus în spa țul climatizat. Această tendință nu s -a menținut întrucât au fost remarcate
primele aspecte negative ale utilizării acestui tip de răcire. Una di n ele este senzația de
disconfort termic dată ocupanților datorită prezenței curenților reci de aer. Al doilea
incovenient era reprezentat de consumul crescut de energie datorită vehicularii unor debite
mari de aer dar și datorit ă energiei absorbite de vap orii de apă la schimbarea st ării de
agregare. Cu alte cuvinte se rezolvaseră vechile probleme (degradarea elementelor de
construcție și calitatea aerului interior) datorită condensării în zonele nedorite ale clădirilor cu
un preț mult prea mare: disconfort ul ocupanților și creșterea consumului de energie.
La începutul anilor 1980 avansul tehnologic a permis controlul umidit ății interioare
și sistemele de răcire de tip radiativ au început să atragă din nou atenția inginerilor în
domeniu prin impunerea un or temperaturi pe suprafețele răcite mai mari decât temperatura
punctului de rouă. Astfel rămâne a de rezolvat doar problema obținerii unui consum cât mai
redus de energie. În vederea realizării acestui obiectiv s -au efectuat atât studii numerice cât și
expe rimentale. Totuși d atorită complexității geometriei cl ădirilor, costului ridicat de
construcție dar și datorită numeroșilor factori aleatorii(modul de exploatare al clădirii,
variația surselor interioare de umiditate și căldură, condițiile climatice) studi ile experimentale
s-au dovedit a fi greu de efectuat in -situ. În plus rezultatele obținute în cadrul modelelor
numerice în vederea studiului transferului de căldură și masă dar și a fenomenelor asociate
acestora (tensiune superficială, absorbție, desorbție) a devenit indispensabil în situația în care

Ilie Viorel – Martie 2016 3
Introducere
se dorește o analiză aprofundată a fenomenelor întâlni te la interiorul clădirilor . Totodată
diversitatea fenomenelor a creat necesitatea de a împarți analizele în dou ă categorii:
transportul vaporilor în domeniul de calcul și evolu ția cantit ății de condens pe suprafa țele
răcite. Aceast ă clasificare a permis și o optimizare a modelelor numerice pentru reducerea
timpilor de calcul în func ție de scopul studiului. De exemplu p entru analiza calit ății aerului
interior din punct de vedere al umidit ății și al confortului termic al ocupan ților este absolut
necesar util izarea unui model numeric care s ă surprind ă și dezvoltarea stratului de condens pe
suprafa ța studiată . Un prim argument ar fi faptul c ă pentru o încăpere locuit ă din motive
igienic e și sanitare dar și din motive de protec ție a cl ădirii se impun o serie de condi ții pentru
a elimina posibilitatea de apari ție a condensului pe suprafe țe.
Pentru studierea fenomenelor fizice precizate anterior, se pot utiliza următoarele
categorii de modele numer ice: modele monozona, modele multizon ă, modele zonale și
modele CFD (Computational Fluid Dynamics) .
Astfel este deajuns s ă se defineasc ă termeni surs ă de mas ă și energie pentru a fi ad ăugați în
ecuația de conservare a masei respectiv a ecua ției de bilan ț energetic din cadrul modelelor
CFD. Rezultatul acestui proces pe rmite determinarea valorilor de vitez ă, temperatur ă si
conținut de umiditate în orice punct al domeniului de calcul [Teo.2015] . Pe l ângă aceste
condi ții așa cum a fost menționat anterior intervine și problema consumului de energie c ât
mai redus pentru realizarea parametrilor doriți. În acest sens modele numerice “au evoluat”
pentru identificarea zonelor cu risc ridicat de apari ție a condensului ([Liu.2003], [Hoh.2003],
[Lon .2005]) în cadrul simul ărilor astfel încât prin impunerea unor noi condi ții la limit ă
(temperaturi mai mari ale peretilor, m ărirea debitului de ventilare sau uscarea aerului
recirculat/proasp ăt) să se poat ă evita apari ția condensului pe suprafe țele interioare ale
pereților cu consumuri minime de energie. Pe de alt ă parte modelele numeri ce construite
pentru aplica ții din industrie (automobile, aeronautic ă, procese cu transfer de mas ă și căldură)
au fost dezvoltate înaintea celor din domeniul cl ădirilor de locuit în mare m ăsură datorit ă
factorilor de ordin economic.
În realizarea modele lor numerice au fost deseori adoptate modele CFD de tip multi –
fază. Un bun exemplu ar fi modelul prezentat de [Chi .1998] care utilizeaz ă ecuațiile stratului
limit ă pentru condensarea sub forma unui film a vaporilor de abur pe o suprafa ță înclinat ă în
preze nța unor gaze noncondensabile. Sub diferite conditii (convec ție mixt ă, liber ă si for țată)
autorii au ar ătat că forțele iner țiale joac ă un rol important pentru numere Prandtl reduse ale
lichidului. Alte modele numerice de tip CFD multi -fază au fost adoptate pentru simul ări cu

Studiul fenomenelor de condensare pe suprafețe plane

Ilie Viorel –Martie 2016 4 posibile aplica ții în industria nuclear ă ([Drz. 2012], [Yad], [Yiz.2011], [Fra .2008]) industria
aeronautic ă ([Kar .2012], [Spa.1999]), industria chimic ă [Dja.2013] dar și în analiza
curgerilor convective î n scopul îmbun ătățirii coeficien ților de transfer de c ăldură
([Moh.2007], [Sha .2014]).
Dorința de a produce sisteme din ce în ce mai competitive a condus la necesitatea
dezvoltării unor modele numerice care să surprindă cât mai multe fenomene din cadrul
procesului tehn ologic studiat. Un interes considerabil rămâne analiza curgerii condensului pe
suprafețe verticale. Cu toate acestea dacă ne îndreptam aten ția asupra domeniului
termotehnicii construcțiilor , literatura de specialitate ofer ă foarte pu ține studii care s ă
utilizeze modele numerice de tip CFD pentru analiza simultan ă a ambelor curgeri. Mai mult
decât atât ele vizeaz ă doar cl ădiri caracterizate de suprafe țe libere de ap ă cum ar fi : piscine
acoperite sau b ăi.
În ace st sens obiectivul acestei lucră ri este de a prelua ele mente teoretice din
literatura științifică de bază și care pot fi utilizate pentru devoltarea unor modele numerice
pentru studiul fenomenelor cu schimbare de fază (condensare), asociate mecanismelor de
transfer de masă și căldură, întâlnite la in teriorul clă dirilor

Ilie Viorel – Martie 2016 5
Modele teoretice privind condensarea vaporilor
2 MODELE TEORETICE PRIVIND
CONDENSAREA V APORILO R
Când temperatura fluidului scade sub temperatura punctului de rouă (caracteristică
fluidului studiat) ne confrutăm cu fenomenul de s chimbare de fază (condensarea).
Circumstanțele în c are transferul de masă are loc sunt diverse iar tratarea acestora nu
reprezint ă obiectivul acestui ca pitol. Scopul este de a arăta cum ap licarea unor principii de
bază și a unor ipoteze simplificatoare pot conduce la rezolvarea unor probleme legate de
transferul de masă. Punctul de pornire în jurul căruia este construită întrega solu ție a
problemei expuse de Bejan [Bej.2013] const ă în analiza unei configurații simple de curgere a
condensului pe o suprafață verticală luând în considerare observații care pot fi făcute cu
ochiul liber fenomenului. Astfel prin această analiză se dorește evaluarea transferului de
căldură și masă dintre fluid și perete.
2.1 Film laminar pe suprafeț e verticale

O configurație simplă pentru o situație cu schimbare de fază poate fi cond ensarea
vaporilor pe o suprafață rece verticală (Fig.2.1). Str atul de condens care se formează pe
suprafața răcită poate avea trei regiuni distincte. O regiune lamin ară în partea superioară a
suprafeței unde întâlnim un strat subț ire de conde ns. Pe măsură ce ne îndreptăm către partea
inferioară a suprafeț ei stratul de c ondens devine mai gros datorită fluidului care condensează
pe suprafaț a filmului de condens deja existent. Astfel putem distinge o regiune unde filmul de

Studiul fenomenelor de condensare pe suprafețe plane

Ilie Viorel –Martie 2016 6 condens devine î ndeaju ns de gros pentru a dezvolta u n regim de curgere tranzitoriu cu valori
ale numarului Reynolds situate în jurul valorii de 100. În această regiune suprafața vizibilă a
filmului de condens prezintă mici ondu lații uniforme. În cazul în care peretele se extind e
îndeajuns de mult c urgerea condensului pe suprafață devine turbulentă iar suprafața vizibilă a
filmulu i de condens va prezenta ondulaț ii (“valuri“ ) neuniforme.
În partea dreaptă a figurii 2.1 putem o bserva că și în cazul curgerii lami nare curgerea
fluid ului interacționează cu stratul limită descendend al vaporilor reci. Temperatura de la
interfaț a lichid -vapori este temperatura de saturaț ie care corespunde presiunii locale din
apropierea peretelui., Tsat. în această situaț ie putem spune că temperatura de saturație poate fi
înțeleasă ca o temperatură intermediară care face legătura î ntre temperatura vapor ilor din
rezervor ș i temperatura peretelui. Astfel curgerea filmului de condens va antrena un strat de
aer care va avea o temperatură mai mare decâ t a per etelui rece dar mai sc ăzută decât a
temperaturii vaporilor din rezervor.

Figura 2.1. Regimuri de curgere al e unui film de condens pe o suprafa ță vertical ă
(Bej.2013)
Când regimul de curgere trece din laminar în tranzitoriu și apoi devine turbulent
situația devine complicată din punct de vedere al transferului de căldură și implicit a cantităț ii
de vapori care condenseaza pe peretele răcit. Atât transferul de căldură cât și cel de masă se
vor intensifica odată cu creșterea gradului de turbulență a curgerii filmului de condens.
Să consideram filmul laminar de condens reprezentat î n figura 2 .1 în care distanța y
măsoară lungim ea stratului de condens. Această reprezentare este mult mai simplă decât cea
prezentată î n figura 2. 1 deoarece în acest ca z se consideră fluidul din rezervor izoterm la
presiunea de saturaț ie Tsat. Avantajul prin cipal al acestei ipoteze este că permite neglijarea
miscă rii vapor ilor din rezervor și acordarea întregii atenț ii asupra curgerii condensului.

Ilie Viorel – Martie 2016 7
Modele teoretice privind condensarea vaporilor

Figura 2.2. Lichidul filmului laminar provenit de la un rezervor cu vapori
satura ți[Bej.2013 ]

Analiza curgerii lichidului începe cu ecuațiiile conservarii cantității de mișcare
pentru regimul staț ionar care pent ru cazul curgerii unui film subț ire de con dens se reduce la o
singura ecuaț ie:
𝝆𝒍(𝒖𝝏𝒗
𝝏𝒙+𝒗𝝏𝒗
𝝏𝒚)=−𝒅𝑷
𝒅𝒚+𝝁𝒍𝝏𝟐𝒗
𝝏𝒙𝟐+𝝆𝒍𝒈 (2.1)
Ultimul termen din partea dreaptă reprezintă forța masicșă exercitată asupra fiecărei particule
de fluid. Datorită grosimii reduse a stratului de condens, gradientul de presiune din interiorul
lichididului este egal cu gradientul presiunii hidrostatice al vaporilor din rezervor. dP/dy =
𝝆𝒗𝒈. Ecuația 2.1 poate fi rescrisă arătâ nd că forței gravitaționale care acțio nează asupra
lichidului i se opune o combinație de forț e datorate frec ării și inerției:
𝝆𝒍(𝒖𝝏𝒗
𝝏𝒙+𝒗𝝏𝒗
𝝏𝒚)=𝝁𝒍𝝏𝟐𝒗
𝝏𝒙𝟐+𝒈(𝝆𝒍−𝝆𝒗) (2.2)
Unde în partea st ângă a ecua ției avem un singur termen iner țial iar în partea dreapt ă avem un
prim termen datorat for țelor de frecare respectiv al doilea datorat for țelor gravita ționale.
Vom continua analiza presupun ând c ă efectul iner ției este mic încompara ție cu
efectul datorat for țelor de frecare și putem egala astfel partea dreapt ă a ecuației (2.2) cu zero.
Validitatea acestei presupuneri va fi discutat ă la sf ârsitul acestui capitol. F ără termenul
inerțial ecua ția 2.2 poate fi integrat ă de dou ă ori pe x iar viteza la perete poate fi considerat ă
zero atunci cand variabila x este egal ă cu zero ( v=0 la x=0). În plus vom considera c ă și
forfecarea va fi egal ă cu zero la interfa ța lichid -vapori (𝝏𝒗
𝝏𝒙=𝟎 𝒑𝒆𝒏𝒕𝒓𝒖 𝒙=𝜹). Solu ția
pentru profilul de vitez ă vertical al lichidului este dat ă de ecua ția:

Studiul fenomenelor de condensare pe suprafețe plane

Ilie Viorel –Martie 2016 8 𝒗(𝒙,𝒚)=𝒈
𝝁𝒍(𝝆𝒍−𝝆𝒗)𝜹𝟐[𝒙
𝜹−𝟏
𝟐(𝒙
𝜹)𝟐
] (2.3)
Unde grosimea filmului este o func ție necunoscut ă care depinde de pozi ția longitudinal ă,
𝜹(𝒚). Debitul masic printr -o sec țiune transversal ă a filmului de condens este :
𝜞(𝒚)=∫𝝆𝒍𝜹
𝟎𝒗𝒅𝒙=𝒈𝝆𝒍
𝟑𝝁𝒍(𝝆𝒍−𝝆𝒗)𝜹𝟑 (2.4)
Debitul masic 𝜞( 𝒌𝒈/𝒔∗𝒎)este exprimat pe unitatea de lungime î n direc ția normal ă la
planul din figura 2.2. Viteza și debitul masic pe vertical ă sunt propor ționale cu efectul dat de
forțele gravita ționale :𝒈(𝝆𝒍−𝝆𝒗); și sunt invers propor ționale cu inversul v âscozit ății
fluidului.
Grosimea filmului de condens δ(y) poate fi determinat ă luând în considerare prima
lege a termodinamicii pentru volumul de control δ x dy prezentat în partea inferioar ă a figurii
2.2a. Observ ăm că în partea dreapt ă a vol umului de control consider at avem fluxul de vapori
saturaț i 𝒅𝜞 a cărui entalpie este 𝒉𝒈𝒅𝜞. Entalpia asociat ă debitului masic vertical 𝜞 (𝑾/
𝒎)este :
𝑯=∫𝝆𝒍𝜹
𝟎𝒗[𝒉𝒇−𝒄𝑷,𝒍(𝑻𝒔𝒂𝒕−𝑻)]𝒅𝒙 (2.5)
Termenul delimitat de parantezele p ătrate reprezint ă entalpia specific ă (kj/kg) a fluidului în
punctul de coordonate (x,y). Deoarece lichidul sufer ă o ușoară răcire (T<T sat), entalpia sa
specific ă va fi mai mic ă decât entalpia specific ă a lichidului saturat h f . În continuare
consider ăm că temper atura local ă T este distribuit ă aproximativ liniar î n lungul filmului de
condens [NUS.1916] :
𝑻𝒔𝒂𝒕−𝑻
𝑻𝒔𝒂𝒕−𝑻𝒘~𝟏−𝒙
𝜹 (2.6)
Utiliz ând ecua țiile (2.3) și (2.6) în integrala (2.5), obținem:
𝑯=[𝒉𝒇−𝟑
𝟖𝒄𝑷,𝒍(𝑻𝒔𝒂𝒕−𝑻𝒘)]𝜞 (2.7)
Revenind la ipoteza profilului liniar de temperatur ă (2.6), fluxul de c ăldura absorbit ă de
perete este :
𝒒𝒘"~𝒌𝒍𝑻𝒔𝒂𝒕−𝑻𝒘
𝜹 (2.8)
Prima lege a termodinamicii pentru sistemul δ x dy impune urm ătoarea condi ție în regimul
staționar:
𝟎=𝑯−(𝒉+𝒅𝑯)+𝒉𝒈𝒅𝜞−𝒒𝒘"𝒅𝒚 (2.9)
Sau utiliz ând ecuatiile (2.7) și (2.8):

Ilie Viorel – Martie 2016 9
Modele teoretice privind condensarea vaporilor
𝒌𝒍
𝜹(𝑻𝒔𝒂𝒕−𝑻𝒘)𝒅𝒚=[𝒉𝒇𝒈+𝟑
𝟖𝒄𝑷,𝒍(𝑻𝒔𝒂𝒕−𝑻𝒘)]𝒅𝜞 (2.10)
Putem denumi termenul din cadrul parantezelor p ătrate ca fiind o c ăldură latent ă de
condensare care cuprinde și componenta sensibil ă responsabil ă pentru r ăcirea condensului la
temperaturi mai mici dec ât temperatura de condensa ție T sat. Combin ând acest termen cu
expresia 𝜞 ecuația (2.4), ecua ția (2.10) devine:
𝒌𝒍𝒗𝒍(𝑻𝒔𝒂𝒕−𝑻𝒘)
𝒉𝒇𝒈′𝒈(𝝆𝒍−𝝆𝒗)𝒅𝒚=𝜹𝟑𝒅𝜹 (2.11)
Și integr ând de la y=0 unde 𝜹=𝟎,
𝜹(𝒚)=[𝒚𝟒𝒌𝒍𝒗𝒍(𝑻𝒔𝒂𝒕−𝑻𝒘)
𝒉𝒇𝒈′𝒈(𝝆𝒍−𝝆𝒗)]𝟏/𝟒
(2.12)
În concluzie, grosimea filmului laminar cre ște propor țional cu lungimea acestuia la
puterea ¼. Cunosc ând 𝜹(𝒚), putem calcula coeficientul local de transfer de c ăldură:
𝒉𝒚=𝒒𝒘"
𝑻𝒔𝒂𝒕−𝑻𝒘=𝒌𝒍
𝜹=[𝒌𝒍𝟑𝒉𝒇𝒈′𝒈(𝝆𝒍−𝝆𝒗)
𝟒𝒚𝒗𝒍(𝑻𝒔𝒂𝒕−𝑻𝒘)]𝟏/𝟒
(2.13)
Valoarea medie a coeficientului de transfer de c ăldură pentru un film de condens de înălțime
L ,
𝒉𝑳̅̅̅=𝟒
𝟑𝒉𝒚=𝑳 (2.14)
și num ărul Nusselt mediu av ând la baz ă un coeficient de transfer de c ăldură mediat pe o
lungime L :
𝑵𝒖𝑳̅̅̅̅̅̅=𝒉𝑳̅̅̅̅𝑳
𝒌𝒍=𝟎.𝟗𝟒𝟑[𝑳𝟑𝒉𝒇𝒈′𝒈(𝝆𝒍−𝝆𝒗)
𝒌𝒍𝒗𝒍(𝑻𝒔𝒂𝒕−𝑻𝒘)]𝟏/𝟒
(2.15)
Se poate observa c ă termenul adimensional din partea dreapt ă a ecua ției (2.15) este aproape
egal cu raportul geometric dintre lungimea și grosimea stratului de condens:
𝑳
𝜹(𝑳)=𝟎.𝟗𝟒𝟑[𝑳𝟑𝒉𝒇𝒈′𝒈(𝝆𝒍−𝝆𝒗)
𝒌𝒍𝒗𝒍(𝑻𝒔𝒂𝒕−𝑻𝒘)]𝟏/𝟒
(2.16)
În calcule numeri ce cu aceste formule, proprietăț ile lichidului sunt cel mai bine
evaluate pentru o temperatur ă medie a filmului de condens egal ă cu (T w+Tsat)/2. C ăldură
latent ă de condensare h fg poate fi reg ăsită în tabele termodinamice de satura ție iar valoarea
acesteia coresp unde cu temperatura de schimbare de faz ă Tsat. Rohsenow [Roh.1956] a rafinat
analiza anterioar ă prin eliminarea ipotez ei profilului liniar și prin integrarea distribu ției de
temperatur ă în lungul filmului. A g ăsit un profil de temperatur ă a cărui curbur ă crește odat ă
cu gradul de subr ăcire al lichidului, 𝒄𝒑,𝒍=(𝑻𝒔𝒂𝒕−𝑻𝒘). În locul modific ării căldurii latente
𝒉𝒇𝒈′ definite de ecua ția (2.10), Rohsenow a recomandat:

Studiul fenomenelor de condensare pe suprafețe plane

Ilie Viorel –Martie 2016 10 𝒉𝒇𝒈′=𝒉𝒇𝒈+𝟎.𝟔𝟖𝒄𝒑,𝒍(𝑻𝒔𝒂𝒕−𝑻𝒘) (2.17)
Expresia este recomandat ă și pentru calcule care implic ă atât regimul tranzitoriu c ât
și regimul turbulent de curgere al filmului de condens. Poate fi rescris ă sub urm ătoarea
form ă:
𝒉𝒇𝒈′=𝒉𝒇𝒈(𝟏+𝟎.𝟔𝟖𝑱𝒂) (2.18)
Unde num ărul Jakob Ja este o m ăsură relativ ă a gradului de subr ăcire suportat de filmul de
lichid,
𝑱𝒂=𝒄𝒑,𝒍(𝑻𝒔𝒂𝒕−𝑻𝒘)
𝒉𝒇𝒈 (2.19)
Transferul total de c ăldură absorbit de perete pe unitatea de lungime pe direc ția
normal ă la plan din figura 2.2 este:
𝒒′=𝒉𝑳̅̅̅𝑳(𝑻𝒔𝒂𝒕−𝑻𝒘)=𝒌𝒍(𝑻𝒔𝒂𝒕−𝑻𝒘)𝑵𝒖𝑳̅̅̅̅̅̅ (2.20)
Debitul masic total colectat la partea inferioar ă a peretelui 𝜞(𝑳) poate fi calculat
substituind y=L în ceea ce rezult ă din combinarea e cuațiilor (2.4) și (2.12). Este u șor de ar ătat
că rata total ă de condensare 𝜞(𝑳)este propor țional ă cu rata de r ăcire dat ă de peretele vertical,
𝜞(𝑳)=𝒒′
𝒉𝒇𝒈′=𝒌𝒍
𝒉𝒇𝒈′(𝑻𝒔𝒂𝒕−𝑻𝒘)𝑵𝒖𝑳̅̅̅̅̅̅ (2.21)
Ecua țiile (2.20) și (2.21) sunt globale și valabile pentru întregul film de condens nu
doar pentru sec țiunea laminar ă. Rescrisa sub forma 𝒒′=𝜞(𝑳)𝒉𝒇𝒈(𝟏+𝟎.𝟔𝟖𝑱𝒂), ecua ția
(2.21) arată că rata de r ăcire 𝒒′ crește odată cu căldură latentă 𝒉𝒇𝒈 și cu gradul de subră cire al
lichidului Ja. Această tendință este de așteptat întrucât răcirea cauzată de perete determină
condensarea vaporilor la distanța x=δ dar și ră cirea lichidului nou for mat la temperaturi mai
mici decât cele de saturaț ie T sat. Filmul laminar rezultat din discu țiile anterioare derivate de
Nusselt [Nus.1916] lu ând în considerare presupunerea c ă efectele iner ției sunt neglijabile în
ecuația de moment (2.2). Ecua ția de moment în form a complet ă a fost utilizat ă de Sparrow și
Gregg [Spar.1959] într-o formulare similar ă a aceleea și probleme. Solu ția lor pentru 𝑵𝒖𝑳̅̅̅̅̅̅ are
o valoare mai mic ă decât cea dată de ecua ția (2.15) când num ărul Prandtl este mai mic dec ât
0.03 și numărul Jakob este mai mare dec ât 0.01. Într-o analiz ă asemănă toare, Chen
[Che .1961], a renun țat la ideea de a neglija mi șcarea relativ ă dintre lichid și vapori (figura
2.2), în timp ce s-a păstrat efectul iner ției în ecuația de moment. Vaporii satura ți au fost
considera ți sta ționari p ână la o distan ță suficient de mare fa ță de interfa ța. În apropierea
interfe ței vaporii de lichid sunt “trasi în jos” de curentul de lichid format și formeaz ă o
condi ție la limit ă care face leg ătura între viteza filmului de condens și vaporii sta ționari din

Ilie Viorel – Martie 2016 11
Modele teoretice privind condensarea vaporilor
interiorul rezervorului (vezi figura 2.3). Graficul lui Chen pentru calculul num ărului Nusselt
global este reprodus în figura 2. 4 în special pentru numere Prandtl reduse valorile 𝑵𝒖𝑳̅̅̅̅̅̅ din
figura 2.4 sunt mai mici dec ât cele din solu ția furnizat ă de Sparrow și Gregg’s [Spa.1959 a]
dar mai apropiate de datele experimentale. Consider ând că vaporii au accelera ție descendent ă
identic ă cu cea a stratului de condens au rezultat valori mai mici pentru 𝑵𝒖𝑳̅̅̅̅̅̅. În analiza
dimensional ă a filmului laminar de condens expus ă de Bejan [B ej.1984] a fost ar ătat c ă
mișcarea filmului de condens este limitat ă de frecare c ând Pr l>Ja și de iner ție când Pr l<Ja.
Grupul care marcheaz ă tranzi ția de la un mod de curgere la altul este raportul Pr l/Ja.
Întradev ăr, dac ă utiliz ăm raportul Pr l/Ja pe abscis a figurii 2.4, informa țiile aferente numerelor
Prandtl reduse din figura 2.3 sunt corelate de curba con ținută și prezentată î n cadrul figurii
2.2.:

Figura 2. 3. Numărul Prandtl și efectele subr ăcirii(Ja) asupra filmului de condens
laminar pe o suprafa ță vertical ă de perete și pe o suprafa ță orizontal ă de cilindru
([Bej.1984] și [Che .1961])

Studiul fenomenelor de condensare pe suprafețe plane

Ilie Viorel –Martie 2016 12 Figura 2. 4. Tranziț ia, de la limitele i mpuse de inerț ie la cele impuse de frecare,
condens ării unui film laminar de condens pe un perete vertical și pe o suprafa ță
cilindric ă orizontal ă ([Bej.1984] și [Che .1961])

Ilie Viorel – Martie 2016 13 Modele teoretice privind condensarea vaporilor
2.2 Film turbulent pe suprafețe verticale

Pentru curgeri cu numere Reynolds de valori mari suprafața filmului de
condens de la interfața cu aerul nu mai este netedă iar regimul de curgere trece din
laminar în tranzitoriu și apoi în turbulent. Numărul Reynolds local al filmului de
condens este grup ul 𝝆𝒍𝒖̅𝜹/𝝁𝒍[Bej.1993] unde δ este grosimea locală iar 𝒖̅ scara
reprezentativă a vitezelor verticale descendente. Deoarece produsul 𝝆𝒍𝒖̅𝜹 are același
ordin de mărime cu rata debitului masic 𝜞, numărul Reynolds local mai poate fi scris
și sub forma 𝜞/𝝁𝒍. Din această cauză în domeniul condensării cu transfer de căldură,
numărul local Reynolds al filmului de lichid este cunoscut sub forma,
𝑹𝒆𝒚=𝟒
𝝁𝒍𝜞(𝒚) (2.22)
Rata debitului masic 𝜞(𝒚) și numărul Reynolds Re y, cresc in direcția curgerii
condensului. Observații experimentale ale condensului indică o dispariție a filmului
laminar pentru numere Re~30. Regimul tranzitoriu este caracterizat de un număr
Reynolds ale cărui valori se încadrează în intervalul (30; 1800). Cu cât ne îndrept ăm
mai jos filmul devine turbulent. Succesiunea de curgeri prezentat ă poate fi observat ă
în figura 2.5.
Datele experimentale au mai aratat că transferul de c ăldură în regimul
tranzitoriu și turbulent de curgere are o valoare mai mare dec ât în cazul unei curgeri
laminare (ecua ția 2.15 și figura 2.3). O analiz ă experimental ă care sa con țină corela ții
între transferul de c ăldură și regimul de curgere a fost f ăcută de Chen [Che .1987],
care a dezvoltat urm ătoarea corela țe între coeficientul transferului de c ăldură mediu
pentru un film de înălțime L care poate avea regiuni cu curgeri tranzitorii și
turbulente:
𝒉𝑳̅̅̅̅
𝒌𝒍(𝒗𝒍𝟐
𝒈)𝟏/𝟑
=(𝑹𝒆𝑳−𝟎.𝟒𝟒+𝟓.𝟖𝟐∗𝟏𝟎−𝟔𝑹𝒆𝑳𝟎.𝟖𝑷𝒓𝒍𝟏.𝟑)𝟏/𝟐 (2.23)

Studiul fenomenelor de condensare pe suprafețe plane
Ilie Viorel – Martie 2016 14
Figura 2.5. Coeficientul de transfer de c ăldură pentru regimul laminar,
tranzitoriu și turbulent de curgere pentru un film de condens pe o suprafa ță
vertical ă([Bej.2013] ).

Conform figurii 2.5 corela ția mai sus amintit ă este valabil ă pentru numere
Reynolds mai mari dec ât 30. Ecua ția (2.23) oferă rezultate asem ănătoare cu
experimentele în care efectul de forfecare între condens și vapori este neglijabil.
Pentru valori Reynolds mai mici dec ât 30, formula recomandat ă pentru transferul
mediu de c ădură este dat ă de ecua ția (2.15), care în situa ția când impunem condi ția
𝝆𝒍≫ 𝝆𝒗 poate fi reprezentat ă în figura 2.5 ca linia :
𝒉𝑳̅̅̅̅
𝒌𝒍(𝒗𝒍𝟐
𝒈)𝟏/𝟑
=𝟏.𝟒𝟔𝟖𝑹𝒆𝑳−𝟏/𝟑 (2.24)
Principala necunoscut ă în analiza filmului vertical de condens este rata total ă
de condensare 𝜞(𝑳), sau alternativ, Re L. Aceast ă necunoscut ă influen țează ambele
părți ale ecua ției (2.23) și se poate observ ă în figura 2.5 at ât pe abscis ă cât și pe
ordonat ă. În locul procedurii de a face încerc ări și apoi a calcula eroarea ob ținută
necesar ă pentru rezolvarea ecua ției (2.23) sau figura 2. 5, este mai convenabil să
rescriem parametrul ordonatei din figura 2.5 sub forma [Bej.1984]:
𝒉𝑳̅̅̅̅
𝒌𝒍(𝒗𝒍𝟐
𝒈)𝟏/𝟑
=𝑹𝒆𝒚
𝑩 (2.25)

Ilie Viorel – Martie 2016 15 Modele teoretice privind condensarea vaporilor
unde B este un nou grup adimensional propor țional cu cantit ățile fizice L si (Tsat -Tw)
care, atunci când cresc, tind să mărească rata condensă rii:
𝑩=𝑳(𝑻𝒔𝒂𝒕−𝑻𝒘)𝟒𝒌𝒍
𝝁𝒍𝒉𝒇𝒈′(𝒈
𝒗𝒍𝟐)𝟏/𝟑
(2.26)
Ecua ția 2.26 este o consecin ță a rela țiilor globale (2.20) și (2.21) și ne permite s ă
rescriem ecua țiile (2.23) și (2.24) sub formă :
𝑩=𝑹𝒆𝑳(𝑹𝒆𝑳−𝟎.𝟒𝟒+𝟓.𝟖𝟐∗𝟏𝟎−𝟔𝑹𝒆𝑳𝟎.𝟖𝑷𝒓𝒍𝟏.𝟑)−𝟏/𝟐 (2.27)
𝑩=𝟎.𝟔𝟖𝟏𝑹𝒆𝑳𝟒/𝟑 (2.28)
Figura 2. 6 expune această informaț ie utiliz ând Re L pe abscis ă și parametrul B pe
ordonat ă. Putem observa ca rata condens ării cre ște mai repede atunci c ând predomin ă
regimul turbulent.

Figura 2.6. Pelicul ă de condens pe o suprafa ță vertical ă: rata total ă de
condensare (sau 𝑹𝒆𝑳) ca o func ție a parametrului de condesare B [Bej.2013] .

Studiul fenomenelor de condensare pe suprafețe plane
Ilie Viorel – Martie 2016 16 2.3 Condensarea sub formă de picături

Studiile experimentale au arătat că rata transferului de căldură și masă este
mai mult mai mare în cazul condensării sub fomă de picături decât în cazul
condensării sub forma unui film continuu de condens pentru aceleași condiții
experimentale [Gar.1969] [Gri.1965] . În acest sens au fost dezvoltate mai multe teorii
începând cu secolul trecut.
Prima te orie a fost expusă de Jakob [Jak.1955]. Pornind de la un caz simplu:
condensarea vaporilor de ap ă pe o suprafață răcită. Valorile ridicate ale coeficienților
de transfer d e căldură sunt explicat e prin faptul că în astfel de cazuri vaporii de apă
intră în contact direct cu suprafața răcită , formează un strat continuu de vapori în
apropierea suprafeței răcite, condensează și apoi formează un strat subți re de apă pe
suprafață. În timp stratul de condens devine din ce în ce mai gros, se rupe pentru a lua
forma unor picături . Dacă asupra picăturilor formate acționează forțe exterioare atunci
ele sunt puse în mișcare lăsând în urma lor o suprafață uscată care permite ulterior
formarea de noi picături. Totodată există posibilitatea ca în drumul lor picăturile aflate
în mișcare să antreneze alte picături mai mici. Din moment ce rata condensării este
maximă în absența condesului pe suprafața (sub formă de peliculă sau picături),
curățarea periodică este realizată de picăturile care reînoiesc regiuni finite ale
suprafeței creând astfel un process repetitiv de condensa re. Procesul de “reînoire” a
suprafeței reprezintă principalul motiv pentru care condensarea sub formă de picături
este un mecanism eficient care poate fi conceput constructiv pentru a intensifica
transferul de masă [Bej.1999].
Față de analiza dezvoltată de Bejan [Bej.1993] a filmului de condens pe
suprafețe verticale (Capitolul 2) pornind de la elementele de baz ă expuse de Nusselt
[Nus.1916], Jakob păstrează ideea formării unui strat continuu de condens până în
momentul în care acesta se îngroașă. Practic în loc de un film stabil definit de diferite
regimuri de curgere și grosime variabilă vom avea un film a cărui grosime este
limit ată superior de instabilitatea datorată mecanismului de formare a picăturilor. Cu
alte cuvinte dacă grosimea filmului de conde ns al lui Nusselt depinde de rata de
condensare și înălțimea peretelui, filmul lui Jakob, răspunzător formării picăturilor,
depinde de puritatea vaporilor de apă și proprietățile suprafeței răcite. În leg ătură cu
grosimea stratului continuu de condens acesta este caracterizată de diferențe foarte

Ilie Viorel – Martie 2016 17 Modele teoretice privind condensarea vaporilor
mici. Valori maxime ale stratului au fost determinate pe cale experimentală ca fiind de
ordinul micronilor. Chiar dacă teoria lui Jakob a obținut suport în urma studiilor
realizate la nivel microscopic de Welch și Westwater [Wel .1961] aplicarea pe modele
numerice reprezentate la scar ă 1:1 este la ora actuală aproape imposibil de realizat.
Practic necesitatea de a crea o rețea de discretizare spațială fină pentru a s urprinde
apariția microfilmului lui Jakob, conduce la creșterea exponențială a timpului de
calcul pentru efectuarea eventualelor simulări numerice.
Altă teorie a condensării sub forma unor picături a fost propusă de Emmons
[Emm.1939] . El a sugerat că procesele moleculare ale evaporării, condensării și
reflexiei moleculelor la suprafață, studiate în legătură cu fenomenul catalitic de
emisie al electronilor, pot fi aplicate din punct de vedere calitativ mecanismului de
condensare sub for mă de picături [Gar.1969]. El definește filmul laminar de condens
al lui Nusselt ca fiind compus din mai multe straturi. Primul strat de condens apare
când rata de sosire a moleculelor de vapori de apă este mai mare decât rata celor care
părăsesc suprafața . În acest fel molecule le de vapori se vor acumula în apropierea
frontierei solide de temperatură mai mică dar înainte ca întreaga suprafață să fie
acoperită, o parte din moleculele de vapori vor sosi deasupra primului strat deja fixat
pe suprafață repreze ntând primele elemente ale celui de al doilea strat. Procesul poate
contin ua în două moduri în funcție balanța dintre forțele intermoleculare din interiorul
lichidului și forțele dintre lichid și suprafață. Dacă forțele de adeziune sunt îndeajuns
de mari, lichidul va uda suprafața răcită formând un film laminar de condens având în
componența sa mai multe straturi caracterizate de viteze diferite de curgere. În cazul
în care predomină forțele intermoleculare va ap ărea un prim strat de condens pe o
mică porț iune a suprafeței iar apariția urmatoarelor straturi vor conduce de data
aceasta la formarea primelor picături de condens. Conform Emmos picăturile apar
doar atunci când pe suprafață există un strat subțire de vapori suprasaturați. Când
picăturile își înce p mișcarea descendentă vor interacționa cu stratul de vapori saturați
rezultând într -o condensare rapidă în jurul picăturii . Presiunea locală este redusă în
zona picăturilor astfel se nasc curenți locali de vapori în jurul pică turilor. În acest fel
se expl ică mecanismul responsabil pentru valorile ridicate ale coeficienților de
transfer de căldură.
În acest sens putem spune că pentru o analiză în detaliu a fenomenului de
condensare este necesar ă pentru a determin a în prealabil forma pe care vaporii de apă
o vor lua în urma condensării: peliculă sau picăt uri. Analiza numerică a fenomenului

Studiul fenomenelor de condensare pe suprafețe plane
Ilie Viorel – Martie 2016 18 de condensare sub formă de picături este complicat datorită componenței temporale,
efectului dominant al tensiunii superficiale (forma si mărimea picăturii de condens) și
de incertitudinea legată de poziția exactă unde vor apărea picăturile de condens dar și
momentul în care picăturile mari vor începe mișcarea descendentă. O teorie a
condensarii sub formă de picături pe o suprafață care să vină cu soluții de rezolvare a
problemelor menționate mai sus nu a fost încă complet dezvoltată.
În literatura științ ifică putem regăsi câteva modele numerice care pot
reprezenta sau oferi o idee de ans amblu c are poate conduce la dezvoltarea unui model
numeric care s ă țină cont de efectele condensării sub formă de picături asupra
transferului de căldură și masă. Putem am inti două modele reprezentative care
corelează valoarea unghiului de contact al lui Young cu forma geometrică a
picăturilor în contact cu suprafața: modelul Wenzel și modelul Cassie -Baxter. Ambele
modele definesc gradul de “udare” al suprafețelor în funcți e de textura acestora.
Modelul Wenzel propus de Robert N. Wenzel[Wen.1936] descrie modul în
care lichidul udă suprafața solidă (figura 3.1 a) și este definit în funcție de unghiul de
contact pe o suprafață rugoasă prin ecuația [Mar.2003] :
𝐜𝐨𝐬𝛉𝒙=𝒓𝐜𝐨𝐬𝛉 (2.29)
Unde θ* reprezintă unghiul de contact aparent care corespunde stării de echilibru; r –
este definit ca fiind raportul dintre suprafața solidă reală a interfeței solid/lichid și
proiecția suprafeței normale; θ – este unghiul de contact c u suprafața solidă plană.
Practic ecuația lui Wenzel demonstrează că unghiul de contact al unei suprafețe
rugoase este diferit de cel al unei suprafețe netede dar nu oferă informații despre
fenomenul de histereză al unghiului de contact așa cum este defini t în referință
[Man.2012]. Când întâlnim suprafețe eterogene, modelul Wenzel nu mai este
suficient. Este necesar un model mai complex care să estimeze variațiile unghiului de
contact în funcție de natura materialelor întâlnite. Aceste suprafețe eterogene,
asemănătoare cu cea din figura 2.7-b, sunt explicate u tilizând ecuația Cassie -Baxter
[Mar.2012] :
𝐜𝐨𝐬𝛉𝒙=𝒓𝒇𝐟 𝐜𝐨𝐬𝛉𝒀+ 𝒇−𝟏 (2.30)
În modelul Cassie -Baxter față de modelul lui Wenzel aerul rămâne blocat
între texturile suprafeței și formează două interfețe (solid/aer si solid/lichid) și le vom
identifica sub o singură suprafață compozită. Termenul notat cu litera f reprezintă
fracția de suprafață a interfeței lichid/solid din întreaga suprafață compozită situată

Ilie Viorel – Martie 2016 19 Modele teoretice privind condensarea vaporil or
sub lichid. Se poate observa cu usurință că atunci când f=1, ecuația Cassie -Baxter
devine identică cu ecuația lui Wenzel. Pe de altă parte când întâlnim o suprafață cu
diferit e rugozități fiecare rugozitate este caracterizată de o fracție f. Suma fracțiilor f
va fi egală cu unitatea sau suprafața totală. Deasemenea trebuie menționat că ecuațiile
celor două modele pot fi aplicate doar în cazul în care mărimea picăturii este mult mai
mare decât rugozitatea suprafeței.

Figura 2.7: Reprezentarea fizică a relatiilor matematice:
a.Modelul Wenzel;b.Modelul Cassie Baxter
[Meng.2010]

Ecuația propusă de Wenzel a condus la o clasificare a suprafețelor rugoase în
funcție de mărimea unghiului de contact al lui Young . Pentru unghiuri de contact mai
mici 90ș suprafe țele sunt încadrate în categoria suprafețelor hidrofile. În caz contrar
suprafețele sunt numite hidrofobe. Dacă luăm în considerare teoriile propuse de Jakob
[Jak.1955] și Emmons [Emm.1939] putem spune că pentru unghiuri Young reduse
vom avea condesare sub forma unui film sau sub forma picăturilor pentru unghiuri de
peste 90ș. Totuși trebuie menționat că în același timp o suprafață poate fi și hidrofilă
și hidrofobă. Practic în funcție dimensiunea picăturilor dar și modul de formare
unghiul de contact poate varia [Cun.20 13]. De exemplu se pot forma picături atunci
când condensul se formează în volum iar picăturile sunt “colectate” pe suprafața
solidă sau film atunci când conde nsul apare prima dată pe suprafață. Astfel s -a
constatat că unele suprafețe își pierd proprietatea de hidrofobicitate. Această problemă
a fost semnalată în domeniul industrial al schimbătoarel or de căldură unde s -au
adoptat adoptat soluții de modificare a texturii suprafețelor pentru îmbunătățirea
transferului de căldură. În general două soluții au fost adoptate pentru modificarea
texturii materialului : prima constă în prelucrarea efectivă a materialului (adăugare sau
debitare) la nivel microscopic iar a do ua metodă constă în învelirea completă a

Studiul fenomenelor de condensare pe suprafețe plane
Ilie Viorel – Martie 2016 20 suprafeței cu un alt material care sa aibă rugozitatea dorită. Un interes deosebit l -a
cunoscut prima metodă întrucât permite aplicarea și în cazul sistemelor deja existente.
Odată cu avansul tehnologic metodele de modificare a rugozității
suprafețelor avansat astfel au fost definite suprafețele super hidrofobe. Trebuie
menționat că mențineri ea acestei proprietăți de superhidrofobicitate reprezintă o
problemă pentru care încă se caută soluții . Practic datorită fact orilor exteriori
determinați în principal de procesele ciclice, determină deteriorarea texturii suprafeței
și implicit a proprietății de hidrofobicitate .

Ilie Viorel – Martie 2016 21 Modele numerice aplicate pe clădiri
3 MODELE NUMERICE
APLICATE PE CLĂDIRI

3.1 Aspecte generale
Modelarea numerică a fenomennului de condensare și studierea evoluției
cantită ții de condens pe suprafețe răcite a reprezentat un interes sporit și pentru
domeniul termotehnicii construcțiilor. Ultimele două d ecenii au reprezentat o perioadă
de schimbări m ajore în ceea ce privește proiectarea instalațiilor aferente unei clădiri
de locuit. Dacă în trecut se dorea construcția a cât mai multe clădiri punându -se
accent pe cantitate, acum nu putem concepe o clădire nouă fără să luăm în considerare
trei criterii: calitatea aerului interior, confortul termic al ocupanților și eficiența
energetică. Mai mult decât atât aceste criterii stau la baza dimensionării și alegerii
instalațiilor aferente clădirilor. În același timp umiditatea aerului interior poate avea
efect e negative asupra ocupanțil or dar și a clădirii [Lon .2005] . Deși efectele negative
ale umidității sunt foarte bine cunoscute, un model numeric care să trateze cuplarea
dintre umiditate, transfer de căldură, curgerea aerului dar și analiza coeficientului de
transfer de căldură în funcție de forma geometrică a vaporilor condensați pe suprafețe
pentru clădiri nu a fost încă complet dezvoltat. Totuși numărul studiilor privind
această direcție a cunoscut un progres considerabil în ultimii ani ( [Teo.2013 ],
[Gon.2011]).

Studiul fenomenelor de condensare pe suprafețe plane
Ilie Viorel – Martie 2016 22 3.2 Modelul propus de Agenția Internațională a Energiei
[IEA.1991]

Un model numeric care să ia în considerare umiditatea, curgerea aerului și
transferul de căldură se poate baza pe tehnica CFD , adăugând o ecuație pentru
conservarea fracției masice a vaporilor de apă ecuațiilor care descriu curgerea non –
izotermă și turbulentă a aerului umed. Aerul umed este considerat un amestec format
din aer uscat și vapori de apă. Ecuația nou adăugată poate fi scrisă sub următoarea
formă:
(3.1)

Unde termeni i din partea stâng ă a ecuației sunt termeni datorați convecției (ρ –
densitate , xi – coordonată spațială , ui – componenta vitezei pe direcția i , mi’ – fracția
masică a vaporilor de apă ) și respectiv termenii datorați difuziei (Ji,i’ – fluxul difuziv
al vaporilor de apă ). Termenul din partea stângă a ecuați ei reprezintă termenii sursă.
Termenul difuziv din ecuația (4.1) conține atât componenta moleculară cât și
componenta turbulentă. Difuzia molecul ară este rezolvată prin intermediul legii lui
Fick (fluxul difuziv ai vaporilor de apă este proporțional cu gradientul concentrației).
Pe de altă parte difuzia turbulentă a vaporilor de apă este rezolvată de modelul de
turbulență ales pentru descrierea cur gerii aerului umed în simularea CFD.
În ceea ce privește model area fenomenului de condensare în clădiri, Agenția
Internațională a Energiei propune un model specific [IEA.1991 ]. În cadrul acestui
model densitatea fluxului vaporilor de apă condensați este calculat considerând că
transportul vaporilor de apă în aer este realizat în mare măsur ă doar datorită
convecției. Pe de altă parte, în apropierea frontierelor solide, a pereților, difuzia
devine compon enta principală :
(3.2)
Unde β (s/m) – este coeficient de proporționalitate care descrie difuzia vaporilor de
apă dintre mediul interior și suprafața pereților, pvap.air – presiunea vaporilor în aer, și
pvap.surface , presiunea vaporilor pe supr afața pereților. În plus coeficientul β din ecuația
4.2 poate fi corelat cu coeficientul de transfer de căldură pentru aplicații care includ
transferul de căldură în clădiri [IEA.1991 ]. Astfel, coeficientul β din ecuaț ia (4.2)
variază cu odată cu coeficientul de transfer de cădură, rezultând din calculul
'i i',i i'i
iiρ um J Sxx
. . . ()vap cond vap air vap surface PP  

Ilie Viorel – Martie 2016 23 Modele numerice aplicate pe clădiri
schimburilor de căldură dintre fluid și suprafețele solide (în cadrul unor simulări
CFD).
Coeficientul de transfer de căldură convectiv este calculat luând în
considerare fiecare fețele triunghiulare, ale rețelei de discretizare, conținute de pereți
și centrele de greutate a pr imului rând de celule din vecină tatea pereților (stratul
vâscos – Figura 3.1). În acest mod, pentru zona stratului vâscos, schimbul de căldură
convectiv poate lua următoarea formă :
Φ=ℎ𝑐(𝑇𝑤−𝑇𝑎𝒆𝑟)𝑆=ℎ𝑐(𝑇𝐹−𝑇𝐶0)𝑆𝐹 (3.3)
Unde termeni din ecuația (4.5) au următoarele semnificație : T w – temperatura pe
suprafa ța pereților, T aer – temperatura mediului ambiant, S – suprafața unei fețe, T co –
temperatura în centrul de greutate al stratului de celule adiacent peretelui (Figura 3.1).

Figura 3.1: Discretizarea stratului limit ă și a suprafețelor [Teo.2013]

Pe de al tă parte, regiunea vâscoasă din apropierea pereților este caracterizată în
termeni de schimburi de căldură datorate în principal conducției. În acest caz
convecția poate fi neglijată. În consecință, densitatea fluxului termic este luată în
calcul prin inte rmediul legii lui Fourier astfel coeficientul de transfer de căldură este
determinat după cum urmează :

(3.4)

0
0()()air
air air c F C c
FCTTgradT n h T T hn T T n                   

Studiul fenomenelor de condensare pe suprafețe plane
Ilie Viorel – Martie 2016 24 unde λair – conductivitatea termic ă a aerului umed și gradientul de temperatura este
calculat cu următoarea formulă :
(3.5)

Unde S F reprezint ă aria unui triunghi α:

cu s0 = (coord F – coord C0).
Din ecu ația (3.4) valoarea coeficientului de transfer de căldură convectiv este
determinată pentru o celulă din rețeaua de discretizare care are o față comună cu una
din suprafețele solide ale domeniului de calcul luând în considerare următoarele date:
– Diferența de temperatură dintre centru de greutate al feței triunghiulare
comune (celulă de discretizare – suprafață solidă) și centrul de greutate al
celulei.
– Distanța dintre triunghi și centrul de greutate al celulei care conține
triunghiul.
– Conductivitatea termică a aerului umed în centrul celulei [Teo.2013] .
Odată cu rezolva rea coeficientului β rata transferului de masă (rata de condensare) pe
suprafață mvap.cond este calculată pentru fiecare celulă a domeniului discretizat care are
o față comună cu suprafețele solide astfel [Teo.2013] :

(3.6)

Unde mliq.surface – fluxul de vapori condensa ți, în baza ecuației (3.2), pvap.sat – presiunea
de saturație a vaporilor de apă și pvap. – presiunea parțială a vaporilor de apă.
Ultilizând rata de condensare a vaporilor de apă pe suprafață, legătura cu volumul de
calcul este realizată prin intermediul ecuațiilor de bilanț de masă și energie
[Teo.2013] .
Ecua ția bilanțului de masă este luată în calcul astfel : acumularea condensului
pe suprafa ță este introdusă prin intermediul unui termen sursă care este adăugat în
0 ()FC
FTT T
nS 
0*
*FF
FSS
Ss
.
9
. . .
.0
7,4×10 ( )
0ivap vap sat
liq surface c F vap vap sat
liq surfacesi
PP
m h S P P
else
m


if
.
.liq surface
vap conddmmdt

Ilie Viorel – Martie 2016 25 Modele numerice aplicate pe clădiri
ecuația de conservare a vaporilor de apă în cadrul modelului CFD (ecuatia 3.1). În
același timp ecuația bilanțului de energie este caracterizată de prezenta unor termeni
care îndepărtează excesul de condens. Termenii sunt în strânsă legatură cu căldura
latentă de vaporizare și căldura sensibilă a vaporilor de apă condensați și înd epărtați
din domeniul de calcul [Teo.2013] .

Studiul fenomenelor de condensare pe suprafețe plane
Ilie Viorel – Martie 2016 26 3.3 Model de evaporare condensare

Modelul de evaporare condensare propus de [Lee.1979] este un model care
poate fi folosit în cadrul modelelor CFD . Utilizarea sa este strâns legată de termenul
de multifază permițând analiza simultană a mai multor curgeri . În cazul studiului
aerului umed și a condensării p e lângă def inirea amestecului aer -vapori de apă, se
definește și apa ca fază secundară. Separarea dintre cele două faze este realizată prin
intermediul une i interfețe situată la granița dintre fluidul în stare gazoasă (aerul umed)
și vaporii de apă condensați pe suprafața răcită . Transportul de masă la interfaț a fluid –
lichid este guvernat de următoarea ecuație de transport :
𝜕
𝜕𝑡(𝛼𝜌𝑣)+∇(𝛼𝜌𝑣𝑉⃗ 𝑣)=𝑚̇𝑙→𝑣−𝑚̇𝑣→𝑙 (3.7)
Unde:
v – stare de vapori; α – fracția volumică de vapori; 𝜌𝑣 – densitatea vaporilor; 𝑉⃗ 𝑣- viteza
vaporilor; 𝑚̇𝑙→𝑣,𝑚̇𝑣→𝑙 – ratele de transfer de mas ă datorate evapor ării respectiv
condens ării av ând ca unitate de m ăsură kg/s/m3;
Se observ ă că în ecuaț ia de transport a vaporilor de apă (3.7) transferul de
masă este considerat pozitiv atunci când are loc procesul de evaporare. Î n func ție de
regimul de temperatur ă, transferul de mas ă poate fi descris astfel:
– Daca T l>Tsat atunci 𝑚̇𝑙→𝑣=𝑐𝑜𝑒𝑓𝑓∗ 𝛼𝑙𝜌𝑙𝑇𝑙−𝑇𝑠𝑎𝑡
𝑇𝑠𝑎𝑡 (3.8)
– Daca Tv>Tsat atunci 𝑚̇𝑙→𝑣=𝑐𝑜𝑒𝑓𝑓∗ 𝛼𝑣𝜌𝑣𝑇𝑙−𝑇𝑠𝑎𝑡
𝑇𝑠𝑎𝑡 (3.9)
Unde termenul coeff – este un coe ficient ce poate fi inter pretat ca un factor de
relaxare. Termenul sursă pentru ecuați a energiei poate fi obț inut ca rezultatul
produsului dintre rata transferului de masă și căldură latentă a apei la schimbare fazei
din lichid în vapori sau din vapori în lichid .
Considerâ nd formula Hertz Knudsen [Her.1881] [Knu.1915] , se poate
determina fluxul de evaporare -condensare în funcț ie de teoria cinetică pentru o
interfață plană :
𝐹=𝛽√𝑀
2𝜋𝑅𝑇𝑠𝑎𝑡(𝑃∗−𝑃𝑠𝑎𝑡) (3.10)
Unde: F – fluxul este exprimat in kg/s/m2; P – presiunea; T – temperatura ; R –
consta nta universal ă a gazelor;

Ilie Viorel – Martie 2016 27 Modele numerice aplicate pe clădiri
Coeficientul 𝛽 reprezintă cantitatea de molecule de vapor i de apă care sunt
transferate suprafeței lichide ș i vor fi abs orbite de aceasta. P* reprezintă presiunea
parțială a vaporilor de apă la interfaț a gaz -lichid pe partea gazoasă. Ecuaț ia
Clapeyr on-Clausius face legătura între presiune ș i temp eratură pentru condiția de
saturaț ie (se obține prin echivalarea potențialelor chimice ale vaporilor ș i lichidului):
𝑑𝑃
𝑑𝑇=𝐿
𝑇(𝑣𝑔−𝑣𝑙) (3.11)
Unde : 𝑣𝑔 𝑠𝑖 𝑣𝑙 reprezintă volumul r aportat la unitatea de suprafață pentru gaz ș i
lichid;
L – căldura latent ă de vaporizare (J/kg);
Pe baza expresiei diferențiale, putem obține variația temperaturii din variația presiunii
apropiate condiției de saturaț ie.

Figura 3.2 Diagrama stabilităț ii fazei [Ans.2013]

Ecuaț ia Clausius -Clapeyron conduce la următoarea formulă atât timp câ t P*
si T* sunt aproape de condiția de saturaț ie:
𝑃∗−𝑃𝑠𝑎𝑡=−𝐿
𝑇(𝑣𝑔−𝑣𝑙)(𝑇∗−𝑇𝑠𝑎𝑡) (3.12)
Utilizând această relație î n ecuația Hertz Knudsen ( 3.10) rezultă :
𝐹=𝛽√𝑀
2𝜋𝑅𝑇𝑠𝑎𝑡𝐿(𝜌𝑔𝜌𝑙
𝜌𝑔−𝜌𝑙)(𝑇∗−𝑇𝑠𝑎𝑡)
𝑇𝑠𝑎𝑡 (3.13)
Factorul 𝛽 este definit de proprietățile fluidului (vaporilor de apă). Se apropie de
valoarea 1 în preajma condiț iilor de echilibru.
În modelele multifază specifice curgerilor de tipul amestecurilor și de tipul celor
Euleriene, regimul de curgere s e presupune a fi dispersat. Dacă presupunem că toate

Studiul fenomenelor de condensare pe suprafețe plane
Ilie Viorel – Martie 2016 28 bulele de vapori au acelaș i diametru a tunci densitatea ariei este dată de următoarea
relație de calcul:
𝐴𝑙
𝑉𝑐𝑒𝑙=6𝑎𝑣
𝑑 (3.14)
Unde : V cel reprezi ntă volumul celulei iar termen ul sursă al fazei (kg/s/m3) devine :
𝐹𝐴𝑙
𝑉𝑐𝑒𝑙𝑙=6
𝑑𝛽√𝑀
2𝜋𝑅𝑇𝑠𝑎𝑡𝐿(𝜌𝑙
𝜌𝑙−𝜌𝑔)[𝜌𝑔𝛼𝑣(𝑇∗−𝑇𝑠𝑎𝑡)
𝑇𝑠𝑎𝑡] (3.15)
Din ecuaț ia (3.15), coeficientul coeff , este inversul timpului de relaxare (1/s) și poate
fi definit astfel:
𝑐𝑜𝑒𝑓𝑓=6
𝑑𝛽√𝑀
2𝜋𝑅𝑇𝑠𝑎𝑡𝐿(𝜌𝑙
𝜌𝑙−𝜌𝑔) (3.16)
Această relație conduce către expresia finală pentru vaporizarea lichidului, definit ă
prin ecuaț ia (3.9). O expresie similară poate fi obținută pentru con densare. În acest
caz, se consideră picături mici într -o fază continuă de vapori de apă chiar dacă faza
primar ă este un lichid. De notat faptul c ă coeficientul coeff , din punct de vedere
teoretic, ar trebui să fie di ferit pentru expresiile condensării și e vaporării. Mai mult
decât atât, expresia teoretică are la baz ă următoarele ipoteze simplificatoare :
– Interfaț a plană ;
– Regim dispersat cu diametru constant;
– Coeficientul β este cunoscut;
Principalul incon venient este legat de stabilirea valorilor pentru diametrul
bulelor și coeficientul β întrucât în cele mai multe situaț ii nu sunt cunoscute. Din acest
motiv coeficientul c oeff este ales arbitrar sau în funcț ie de datele experimentale
disponibile.

Ilie Viorel – Martie 2016 29 Concluzii
4 CONCLUZII
În literatura de specialitate sunt propuse difer ite abordări teoretice și
numerice privind studiul fenomenului de condensare pe suprafețe solide.
O abordare interesantă a modelării stratului de condens constă în definirea
stratului limită ca fiind un strat adiacent peliculei de condens și care se afl ă în repaus
față de acesta. Practic se neglijează mișcarea relativă dintre pelicula de condens și
vapori obtin ând rezultate apropiate fa ță de datele experimentale [Che .1961]. Pe de
altă parte a fost demonstrat c ă mișcarea peliculei de condens este în leg ătură direct ă
cu for țele de iner ție și limitat ă de for țele de frecare [Bej.2013].
Pe baza datelor experimentale luate în calcul în cadrul modelelor [Bej. 1984],
[Bej.1993], [Bej.2013 ] s-a arătat c ă rata transferul ui de c ăldură pentru curgerea
condensului p e suprafețe verticale caracterizate de regim uri de curgere tranzitorii și
turbulent e înregistreaz ă valori mai mari dec ât în cazul regimului laminar. Astfel este
afectat ă și rata de condensare. Formarea regimului de curgere tranzitoriu sau turbulent
este posibil ă atunci c ând înălțimea peretelui sau suprafe ței verticale permite acest
lucru. Practic for țele masice trebuie s ă fie mai mari dec ât for țele de frecare și să
acționeze asupra fluidului îndeajuns de mult timp astfel încât “surplusul” de energie
cinet ică să poată fi transformat î n energie turbulent ă.
De asemenea, se o bserv ă că literatura de specialitate este destul de generoas ă
în ceea ce prive ște dezvoltarea condensului pe suprafe țe sub forma de pelicul ă (
[Spa.1959 a], [Che .1961], [Bej.1984 ], [Bej.19 93], [Bej.2013], [Che.1987], [Chi .1998],

Studiul fenomenelor de condensare pe suprafețe plane
Ilie Viorel – Martie 2016 30 Mic.09], [S un.2012]) ceea ce a condus la crearea și dezvoltarea de noi modele
numerice .
Pe de alt ă parte fenomenul de condensare sub form ă de pic ături pe suprafe țe
răcite a fost studiat în aplica ții din domeniul industrial (ex: schimb ătoare de c ăldură)
și foarte pu țin în domeniul termotehnicii construc țiilor. Astfel un model numeric
complet care s ă transpun ă fenomenul fizic în ecuații matematice nu a fost încă
dezvoltat.
Problemele model ării transferului de ma să în aceasta situa ție sunt complex e
întruc ât nu se poate determina cu exactitate pozi țiile, dimensiunile și momentul în
care vor apărea primele pică turi de condens pe suprafa ța răcită. Până în momentul de
față doar studiile experimentale au putut furniza date realiste pentru calibrarea
anumitor modele numerice. Cel mai bun exemplu este cazul modelului [ Lee.1979 ]
unde pentru stabilirea ratei de evaporare condensare se utilizeaz ă un coeficient care
trebuie setat de c ătre utilizator și care ține seama și de dimensiunea pic ăturilor. Practic
validitatea rezultatelor depinde foarte mult de datele experimentale pentru fiecare
configura ție studiat ă. O alt ă problem ă a cărei solu ție numeric ă întârzie s ă apară este
determinarea momentului în care pic ăturile de conden s își vor începe mi șcarea
descendent ă pe peretele vertical .
În ceea ce privește model elele de condensare sub formă de picături , un
obiectiv important îl reprezintă determinarea ratei de transfer de c ăldură. În acest sens
studiile experimentale arat ă că rata transferului termic poate cre ște substanțial față de
cazul în care condensul apare sub forma unui film ne întrerupt. Un alt aspect important
al condensarii sub forma unor pic ături este c ă acest mod de transfer de mas ă nu
depinde doar de gradul de umectabilitate al suprafe ței dar și de morfologia acesteia.
Astfel în ultimul timp condensarea sub form ă de pic ături (“dropwise condensation”)
poate fi aplicat ă și în aplica ții inginere ști pentru autocur ățarea suprafe țelor (ex:
vizorul c ăstilor pilo ților de formula 1). Efectul de autocur ățire a fost studiat analiz ând
modul în care fru nzele plantei lotus “resping ” picăturile de ap ă ([Bar.1997] ).
Pe baza trecerii în revistă a modelelor propuse în literatura de specialitate se
poate concluzio na că plecând de la modelul [IEA.1991] , se poate dezvolta o
metodologie prin care să se simuleze apariția condensului pe suprafețe reci în
domeniul construcțiilor. Modelul are la bază definirea unor termeni sursă de energie
și masă adăugați în ecuația de conservare (3.1) a vaporilor de apă pentru modelarea
transportului vaporilor de apă în interiorul domeniului de calcul. Pentru modelarea

Ilie Viorel – Martie 2016 31 Concluzii
fenomenului de condensare pe suprafețe răcite se determin ă coeficientul de transfer de
căldură pentru fiecare celulă utilizată în rețeaua de discretizare, care are în comun cu
supra fața răcită o față . Fluxul masic se stabilește odată cu rezolvarea coeficientului de
proporționalitate β (ecuația 3.2).
Astfel, acest model va permite abordarea completă a fenomenelor fizice leg ate de
umiditate în clădiri: transportul umidit ății datorită curgerii aerului, difuzia vaporilor
de apă în aer, condensarea vaporilor de apă pe suprafețe răcite și în volumul de aer,
fenomenul de absorpție desorbție a vaporilor de apă. În plus metodologia integrată în
cadrul unui model CFD permite determinarea valorilor de viteză a aerului, umiditate
și temperatură în orice punct al domeniului de calcul.

Studiul fenomenelor de condensare pe suprafețe plane
Ilie Viorel – Martie 2016 32 5 BIBLIOGRAFIE
[Ans.2013] ANSYS Fluent Theory Guide ANSYS, Inc. Release 15.0, Southpointe
November 2013, 275 Technology Drive, Canonsburg, PA 15317
[Bar.1997] Barthlott, W. & C. Neinhuis (1997): Purity of the sacred lotus, or
escape from contamination in biological surfaces. Planta 202: 1 -8
[Bej.1984] A. Bejan, Convection Heat Transfer, Wiley, New York, 1983.
[Bej.1993] A. Bejan, Heat Transfer, Wiley, New York, 1993
[Bej.1999] J. V. C. Vargas and A. Bejan, Optimization of film condensation with
periodic wall cleaning, Int. J. Thermal Sci., Vol. 38, 1999, pp. 113 –120.
[Bej.2006] A. Bejan, Advanced Engineer ing Thermodynamics, 3rd edition, Wiley,
Hoboken, 2006.
[Bej.2013] Adrian Bejan, Convection Heat Transfer, Fourth Edition. 2013 John
Wiley & Sons, Inc. Published 2013 by John Wiley & Sons, Inc., 428p.
[Che .1961] M. M. Chen, An analytical study of laminar f ilm condensation: 1. Flat
plates, J. Heat Transfer, Vol. 83, 1961, pp. 48 –53.
[Che .1987] S. L. Chen, F. M. Gerner, and C. L. Tien, General film condensation
correlations, Exp. Heat Transfer, Vol. 1, 1987, pp. 93 –107.

Ilie Viorel – Martie 2016 33 Bibliografie
[Che .1964 a] P. Cheng. "Two -Dimensional Radiating Gas Flow by a Moment
Method". AIAA Journal. 2. 1662 –1664, 1964.
[Chi.1998] Chin YS, Ormiston SJ, Soliman HM (1998) A two -phase boundary –
layer model for laminar mixed convection condensation with a noncondensable gas
on inclined plates. Heat Mass Transf 34:271 –277
[Chu .1988] G. D. Raithby and E. H. Chui, A Finite -Volume Method for Predicting
a Radiant Heat Transfer in Enclosures With Participating Media, J. Heat Transfer
112(2), 415 -423 (May 01, 1990) (9 pages), doi:10.1115/1.2910394.
[Cun.2013] Cunjing Lv, Pengfei Hao, Zhaohui Yao, Yu Song, Xiwen Zhang, Feng
He, Condensation and jumping relay of droplets on lotus leaf , Department of
Engineering Mechanics, Tsinghua University, Beijing 100084, China , submitted
2013, DOI: 10.1063/1.4812976
[Dja.2013] Djamel Lakehal ADVANCED SIMULATION OF TRANSIENT
MULTIPHASE FLOW & FLOW ASSURANCE IN THE OIL & GAS INDUSTRY;
THE CANADIAN JOURNAL OF CHEMICAL ENGINEERING, VOLUME 9999,
2013
[Drz.2012] Timothy J. Drzewiecki, Isaac M. Asher, Timothy P. Grunloh, Victor E.
Petrov, Krzysztof J. Fidkowski, Annalisa Manera and Thomas J. DownarParameter
Sensitivity Study of Boiling and Two -Phase Flow Models in CFD;The Journal of
Computational Multiphase Flows Volume 4 · Number 4 · 2012
[Edd.1959] Eddington, A. S.: “The Internal Cons titution of Stars,” Dover, New
York, 1959.
[Emm.1939] Emonsi H., "The Mechanism of Dropwise Condensation," American
Institute of Chemical Engineers, Trans., Vol. 35, 1939, pp, 109 -125.
[Fra.2008] Th. Frank1, P.J. Zwart2, E. Krepper3, H. -M. Prasser3, D. Lucas3;
VALIDATION OF CFD MODELS FOR MONO – AND POLYDISPERSE AIR –
WATER TWO -PHASE FLOWS IN PIPES;Nuclear Engineering and Design 238
(2008) 647 –659

Studiul fenomenelor de condensar e pe suprafețe plane
Ilie Viorel – Martie 2016 34 [Gar.1969] S. C. Garg, “THE EFFECT OF COATINGS AND SURFACES ON
DROPWISE CONDENSATION”, Technical Note N -1041, N AVAL CIVIL
ENGINEERING LABORATOY Port Hueneme, California 93041, 1969.
[Gon .2013] Guangcai Gong*, Chunwen Xu, Junjun Jiao, Yuankun Liu, Sainan Xie,
Investigation of moisture condensation on papermaking plant envelopes in high,
humidity environment by ortho gonal analysis and CFD simulation, Chemical
Engineering Research Center, State Key Laboratory of Chemical Engineering, School
of Chemical Engineering and Technology, Tianjin University, Tianjin, 300072,
China, Building and Environment Journal 2011 .
[Gri.1965] Umur, A. and -Griffith, P., "Mechanism of Dropwise Condensation,"
Trans. of ASME, Journal of Heat Transfer, Series C, No. 2, 1965, pp. 275 -282.
[Her.1882] H. Hertz. “On the Evaporation of Liquids, Especially Mercury, in Vacuo”.
Annalen der Physik (Leipz ig).17. 177. 1882.
[Hoh .2003] Hohota R., Modelisation de l’humidite dans un code CFD (basses vitesses
en grand cavite). Compairasonavec l’experimental. Teza doct.:Institut National des
Sciences Appliquees de Lyon, 2003
[IEA.1991] International Energy Agenc y (IEA). Energy conservation in buildings
and community systems programme. IEA – Report Annex 14, vol 1;1991.
[Jak.1955] Jakob, M., “Heat Tansfer in Evaporation and Condensation – II”,
Mechanical Engineering, Vol. 58, 1936, pag. 729 -739
[JUN.2012] Jun-De Li, CFD simulation of water vapour condensation in the
presence of non -condensable gas in vertical cylindrical condensers, International
Journal of Heat and Mass Transfer 57 (2013) 708 -721
[Kar.2012] S.J. Karabelas ∗, N.C. Markatos Water vapor condensation in forced
convection flow over an airfoil, International Journal of Heat and Mass Transfer 55
(2012) 5479 –5494
[Knu.1915 ] M. Knudsen. “Maximum Rate of Vaporization of Mercury”. Annalen der
Physik (Leipzig). 47. 697. 1915.

Ilie Viorel – Martie 2016 35 Bibliografie
[Kun .1997] Kunal Mitra, Ming -Sing Lai, and Sunil Kumar. "Transient Radiation
Transport in Participating Media Within a Rectangular Enclosure", Journal of
Thermophysics and Heat Transfer, Vol. 11, No. 3 (1997), pp. 409 -414./doi:
10.2514/2.6255
[Lee.1979] W. H. Lee. "A Pressure Iteration S cheme for Two -Phase Modeling".
Technical Report LA -UR 79 -975. Los Alamos Scientific Laboratory, Los Alamos,
New Mexico. 1979
[Liu.2003] Liu Jing, Yoshihiro Aizawa, Hiroshi Yoshino, EXPERIMENTAL
AND CFD STUDIES ON SURFACE CONDENSATION; Eighth international
IBPSA Conference Eindhoven, Netherlands, August 11 -14, 2003;
[Lon .2005] Lone Hedegaard Mortensen, Monika Woloszyn, Raluca Hohota and
Gilles Rusaouën; MODELLING OF MOISTURE INTERACTIONS BETWEEN AIR
AND CONSTRUCTIONS, Ninth International IBPSA Conference Mo ntréal, Canada
August 15 -18, 2005;
[Mar.2003] Abraham Marmur (2003). "Wetting of Hydrophobic Rough Surfaces:
To be heterogeneous or not to be". Langmuir 19 (20): 8343 –8348.
[Mar .2004 a] Shigenao Maruyama, , Yusuke Mori, Seigo Sakai, Nongray radiative
heat transfer analysis in the anisotropic scattering fog layer subjected to solar
irradiation, Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer, Volume 83,
Issues 3 –4, 1 February 2004, Pages 361 –375.
[Man.2012] H. B. Eral, D. J. C. M. ’t Mannetje, J. M. Oh, Contact angle hysteresis:
a review of fundamentals and applications, Colloid and Polymer Science February
2013, Volume 291, Issue 2, pp 247 -260 Date: 14 Sep 2012
[Men .2010] Mengnan Qu, Jinmei He and Junyan Zhang (2010).
Superhydrophobicity, Learn f rom the Lotus Leaf, Biomimetics Learning from Nature,
Amitava Mukherjee (Ed.), ISBN: 978 -953-307-025-4, InTech, DOI: 10.5772/8789.
Available from: http://www.intechopen.com/books/biomimetics -learning -from –
nature/superhydrophobicity -learn -from -the-lotus -leaf

Studiul fenomenelor de condensare pe suprafețe plane
Ilie Viorel – Martie 2016 36 [Mil.1930] Milne, F. A.: Thermodynamics of the Stars, “Handbuch der
Astrophysik.” Vol. 3, pp. 65 -255, Springer -Verlag, OHG, Berlin, 1930.
[Mic .2009] Michael Favre -Marinet, Sedat Tardu, Convective Heat transfer Solved
Problems, ISTE Ltd and John Wiley&So ns, Inc , 2009.
[Mod.1993] M. F. Modest. Radiative Heat Transfer. Series in Mechanical
EngineeringMcGraw -Hill. 1993.
[Moh.2007] A. Belhadj Mohamed, J. Orfi*, C. Debissi, S. Ben Nasrallah
Condensation of water vapor in a vertical channel by mixed convectio n of humid air
in the presence of a liquid film flowing down; Desalination 204 (2007) 471 –481
[Nus .1916] W. Nusselt, Die Oberfl¨achenkondensation der Wasserdampfes, Z.
Ver. Dtsch.Ing.,Vol. 60, 1916, 541p –569p
[Roh.1956] W. M. Rohsenow, Heat transfer and te mperature distribution in
laminar -film condensation, Trans. ASME, Vol. 78, 1956, pp. 1645 –1648.
[Sha.2014] Ali Shahmohammadi, Arezou Jafari, Application of different CFD
multiphase models to investigate effects of baffles and nanoparticles on heat transfer
enhancement; Chemical engineering Departament, Tarbiat Modares University,
Tehran 114 -14115, Iran; Higher Education Press and Springer -Verlag Berlin
Heidelberg 2014;
[Sig. 1992] Robert Siegel, John R. Howell, Thermal Radiation Heat
transfer, Third edition, Hemisphere Publishing Corporation ( a member of the Taylor
& Francis Group) 1992.
[Spa.1999] P.R. Spalart, S.R. Allmaras, A One Equation Turbulence Model for
Aerodynamic Flows, AIAA, 1999.
[Spa.1959 a] E. M. Sparrow and J. L. Gregg, A boundary -layer treatment of
laminar -film condensation, J. Heat Transfer, Vol. 81, 1959, pp. 13 –18
[Spa.1966 b] W.J. Minkowycz and E.M. Sparrow, Int. J. Heat Mass Transfer, 9
(1966) 1125.

Ilie Viorel – Martie 2016 37 Bibliografie
[SUN.2012] H. Sun, G. Lauriat, X. Nicolas, Natural convection and wall
condensation or evaporation in humid air filled cavities subjected to wall temperature
variations, 2012
[Tan.1991] I. Tanasawa, Advances in condensation heat transfer, Adv. Heat
Transfer, Vol. 21, 1991, pp. 55 –139.
[Tay .2013] Taylor Oetelaara, Clifton Johnstona, David Wooda, Lisa Hughesc,
John Humphreyc, A computational investigation of a room heated by subcutaneous
convection —A case study of a replica Roman bath;Energy and Buildings 63 (2013)
59–66
[Teo.2013] Teodosiu R. Integrated moisture (including condensation) – energy –
airflow model within enclosures. Experimental validation. Build. Environ.
2013; 61:197-209
[Teo.2014] Raluca Teodosiu, Lidia Niculita, Catalin Teodosiu, Computational
Fluid Dynamics Based Modeling of a Linear Heat Source, Enviromental Engineering
Management Journa l, Vol. 13, No. 8, August 2014
[TEO.2015] Cătălin Teodosiu, Viorel Ilie, and Raluca Teodosiu, Condensation
Model for Application of Computational Fluid Dynamics in Buildings, International
Journal of Materials, Mechanics and Manufacturing , Vol. 3, No. 2, May 2
[Yad] G. Yadigaroglu Swiss Federal Institute of Technology (ETH), Nuclear
Engineering Laboratory, Zurich (CH)COMPUTATIONAL FLUID DYNAMICS
FOR NUCLEAR APPLICATIONS: FROM CFD TO MULTI -SCALE CMFD;
[Yiz.2011] DISSERTATION by YIZHOU YAN, DEVELOPMENT OF A
COUPLED CFD SYSTEM -CODE CAPABILITY (WITH A MODIFIED POROUS
MEDIA MODEL) AND ITS APPLICATIONS TO SIMULATE CURRENT AND
NEXT GENERATION REACTORS;Submitted in partial fulfillment of the
requirements for the degree of Doctor of Philosophy in N uclear Engineering in the
Graduate College of the University of Illinois at Urbana -Champaign, 2011;

Studiul fenomenelor de condensare pe suprafețe plane
Ilie Viorel – Martie 2016 38 [Wan .2014] Yi Wang, Xiaojing Meng, Xiaoni Yang, Jiaping Liu, Influence of
convection and radiation on the thermal environment in an industrial building with
buoyancy -driven natural ventilation, Energy and Buildings 75 (2014) 394 -401
[Wel .1961] 5. Welch, J. F. and Westwater, J. W., "Microscopic Study of Dropwise
Condensation," Proceedings of the Second International Heat Transfer Conference,
Vol. II, 1961, pp. 302-309.
[Wen.1936] R.N. Wenzel, Resistance of solid surfaces to wetting by water, Ind Eng.
Chem. 28 (8) (1936) 988 -994.
[Why.2008] Whyman, G.; Bormashenko, Edward; Stein, Tamir (2008). "The
rigirious derivation of Young, Cassie –Baxter and Wenzel equatio ns and the analysis
of the contact angle hysteresis phenomenon". Chemical Physics Letters 450 (4 –6):
355–359

Ilie Viorel – Martie 2016 39