,,Rapoarte constante în triunghiul dreptunghic. Apoi [307470]

Capitolul I. [anonimizat], precum și proprietăți ale punctelor situate pe acestea. În partea a [anonimizat], de o importanță deosebită în rezolvarea unor probleme de geometrie. La elaborarea acestui capitol s-au folosit titlurile bibliografice [7], [8], [10], [13], [14], [15] și [19].

Linii importante în triunghi

Bisectoarea

Definiția 1.1 [anonimizat].

În figura 1.1 este reprezentată construcția bisectoarei unghiului A, adică semidreapta [AP.

Figura 1.1

Teorema 1.2 (Proprietatea bisectoarei) [anonimizat].

Demonstrație: Se consideră și punctul P situat pe bisectoarea lui. [anonimizat], [anonimizat] 1.2.

Figura 1.2

[anonimizat] a triunghiurilor dreptunghice I.U, [anonimizat] P este egal depărtat de laturile unghiului.

Definiția 1.3 [anonimizat].

Teorema 1.4 (Concurența bisectoarelor interioare) Bisectoarele unui triunghi sunt concurente.

Demonstrație: Fieși I punctul de intersecție a bisectoarelor unghiurilor ABC și ACB. Trebuie să arătăm este bisectoarea Notăm cu M, N și P picioarele perpendicularelor duse din punctul I [anonimizat], ca în figura 1.3.

Figura 1.3

Conform teoremei 1.2, [anonimizat] ,

[anonimizat] . [anonimizat] 1.2, înseamnă că este bisectoarea unghiului BAC. [anonimizat] I.

Observația 1.5 Punctul de intersecție a [anonimizat], cu I,ca în figura 1.4.

Figura 1.4

Distanța de la I la oricare dintre laturile acestui triunghi se notează cu și se numește raza cercului înscris în triunghi.

Exemple:

Fie ABC un triunghi oarecare și BM bisectoarea unghiului B (MAC). Paralela

dusă prin M la BC intersectează latura AB în N (figura 1.5).

a) Să se arate că [BN]≡[MN].

b) Dacă [BM]≡[MC], să se arate că MN este bisectoarea AMB.

A

N M

B C

Figura 1.5

Demonstrație:

a) [anonimizat] (ca unghiuri alterne interne). Dar MBC≡NMB, deci BMN≡MBN, [anonimizat] [BN]≡[MN].

b) [anonimizat] [BM]≡[MC]. Dar AMN ≡ACB (unghiuri corespondente), MCB≡CBM și CBM≡MBN, deci AMN ≡MBN.Ținînd cont că MBN≡NMB, rezultă că BMN≡AMN, deci MN este bisectoarea AMB.

Fie triunghiul oarecare ABC. Pe prelungirile laturii BC se construiesc

segmentele [BD]≡[AB], BDC și [CE]≡[CA], CBE. În triunghiurile isoscele ABD și ACE ducem înălțimile BF și CG și notăm cu Y intersecția lor (figura 1.6).Să se arate că AY este bisectoarea unghiului BAC. (cf. [12])

A

F G

D B C E

Y

Figura 1.6

Demonstrație:

[anonimizat] este și bisectoarea unghiului ABD. Deci Y este egal depărtat de AB și DB. Analog CG este bisectoarea ACE, deci Y este egal depărtat de AC și DE. Cum Y este egal depărtat de AB și AC, înseamnă că este situat și pe bisectoarea unghiului BAC.

Mediatoarea

Definiția 1.6 Mediatoarea este perpendiculara dusă pe acesta prin mijlocul lui.

Ea mai poate fi definită și ca locul geometric al punctelor (dintr-un plan ce conține segmentul) egal depărtate de extremitățile acestui segment.

Mediatoarea laturii BC a este reprezentată în figura 1.7.

Figura 1.7

Proprietatea 1.7 Mediatoarele laturilor unui triunghi sunt concurente într-un punct notat cu O și numit centrul cercului circumscris triunghiului. Acest lucru este evidențiat în figura 1.8. R este raza cercului circumscris triunghiului.

Figura 1.8

Demonstrație: Dacă O este punctul de intersecție a mediatoarelor laturilor AB și BC ale triunghiului, din definiția mediatoarei rezultă că OA=OB=OC, ceea ce înseamnă că O aparține mediatoarei laturii AC.

Exemple:

În triunghiul ABC, MP este mediatoarea laturii BC, M ∈[BC], P∈ [AC]. Dacă

AB = 7cm și AC = 13cm , calculați perimetrul triunghiului ABP.

A

P

B M C

Figura 1.9

Demonstrație:

Deoarece MP este mediatoarea laturii BC a ABC, rezultă că punctul P este egal depărtat de extremitățile segmentului [BC], deci PB=PC. Perimetrul ABP se calculează cu relația =AB+BP+PA. Dar BP+PA=PC+PA=AC, deci =AB+AC.

=7cm+13cm

=20cm.

Fie un triunghi dreptunghic ABC, cu m(A)=90o. Notăm cu O mijlocul laturii

BC, prin care ducem o dreaptă d perpendiculară pe BC. Dreapta d intersectează laturile AC și AB ale triunghiului în punctele M, respectiv N. Fie P punctul de intersecție a lui BM cu CN. Dacă AM=AN, arătați că BP este mediatoarea segmentului CN.

N

d

A P

M

B O C

Figura 1.10

Demonstrație:

Deoarece AB=AN și CABN, rezultă că CA este mediatoarea segmentului BN. Dar NO este mediatoarea laturii BC și NOCA={M}, deci BM este mediatoarea segmentului NC. Prin urmare, BM este și mediatoarea segmentului NC, deci BPNC.

Înălțimea

Definiția 1.8. Înălțimea unui triunghi reprezintă segmentul ce unește un vârf al

triunghiului cu piciorul perpendicularei duse din vârf pe latura opusă acestuia.

Figura 1.11

Cele trei înălțimi ale triunghiului se intersectează într-un punct notat cu H, numit ortocentrul triunghiului.

Exemple:

Fie triunghiul ABC cu măsura unghiului A mai mică de 90o (figura 1.12). Pe

latura (AC) se ia un punct D astfel încât [BA] ≡ [BD] și pe latura (AB) se ia un punct E astfel încât [CA] ≡ [CE]. Notăm cu M mijlocul lui [AE] și cu N mijlocul lui [AD] și fie {P}= CM ∩ BN. Arătați că APBC.

Demonstrație:

Din datele problemei avem [BA] ≡ [BD], rezultă ABD este isoscel (are două laturi congruente și prin urmare are și unghiurile alăturate bazei tot congruente). În acest triunghi isoscel se construiește punctul N la jumătatea lui AD. De aici rezultă că [AN] ≡ [ND].

Figura 1.12

În triunghiul isoscel ABD avem segmentul BN care unește vârful B al triunghiului cu punctul de mijloc al laturii opuse vârfului B. Rezultă că BN este mediana dusă din vârful B al ABD. Cunoaștem de la proprietățile liniilor importante ale triunghiului isoscel că mediana dusă din vârful triunghiului isoscel (vârful din care pleacă laturile congruente) este, totodată, înălțime, mediatoare și bisectoare deoarece triunghiurile ABN și BND sunt congruente (cazul de congruență LUL, deoarece [BA] ≡ [BD], din ipoteză, BAN ≡BDN în triunghiul isoscel ABD și [ND] ≡ [BD], din ipoteză).   Din congruența triunghiurilor ABN și BND rezultă că unghiurile BNA și BND sunt congruente. Deoarece suma acestor unghiuri BNA și BND este un unghi alungit, cu măsura de 180o, rezultă că BNA=BND=90o. În concluzie BNAD și este înălțimea dusă din vârful B pe latura opusă în ABD. De asemenea BN este înălțime și în triunghiul ABC, fiind perpendiculara din vârful triunghiului dusă pe latura opusă AC, deoarece punctele A, D și C sunt coliniare.

În ACE, avem  [CA] ≡ [CE], din datele problemei, rezultă că ACE este isoscel. Putem afirma astfel că unghiurile formate de bază cu laturile congruente sunt, la rândul lor, congruente: CAM = CEM . Punctul M este la mijlocul bazei triunghiului ACE, deci CM este mediană. Mediana dusă din vârful triunghiului isoscel  (vârful din care pleacă laturile congruente) are proprietatea de a fi mediatoare, înălțime și bisectoare, deoarece triunghiul CME este congruent cu triunghiul CMA (cazul de congruență a triunghiurilor LUL : CA și CE sunt conguente, conform ipotezei,  unghiurile CEM și CAM sunt congruente în triunghiul isoscel CAE și AM = ME, conform ipotezei). Rezultă că și celelalte elemente ale triunghiurilor CME și CAM sunt la rândul lor congruente două câte două, cum sunt  CMA și CME. Suma acestor două unghiuri este de 180o, deci fiecare dintre ele va avea măsura de 90o. Rezultă că CMAE, sau în triunghiul ACE, CM este înălținea dusă din vârful C pe latura opusă AE. Dar CM este înălțime și în ABC, fiind prependiculara dusă din vârful C pe latura opusă AC (punctele A, C și E sunt coliniare).

În ABC observăm acum că BNAD sau BNAC (deoarece A, D și C sunt coliniare). BN este o înălțime în triunghi, deci CMAE sau CMAB (deoarece A, B și E sunt coliniare). CM este astfel cea de-a doua înălțime a triunghiului. Punctul de intersecție al înălțimilor unui triunghi este un punct unic. Acest punct se numește ortocentru. {P}= CM ∩ BN, P aparține segmentului AR, rezultă că AP este tot înălțime, deci APBC.

Fie triunghiul isoscel ABC (AB=AC) și AD înălțimea dusă din A pe BC. Ducem

DEAC (EAC) și notăm cu F mijlocul lui DE. Să se arate că AF este perpendiculară pe BE.

A

Figura 1.13

Demonstrație:

Ducem FG || DC, GEC (figura 1.13). FG este linie mijlocie în EDC. Deoarece ADBC, rezultă că ADFG. Dar G este mijlocul lui EC și D mijlocul lui BC, rezultă că DG este linie mijlocie în triunghiul CBE, deci DG || BE.

În ADG avem FG și DE înălțimi (unde F este ortocentrulADG), deci AF este înălțime în ADG, adică AFDG, deci AFBE.

Mediana

Definiția 1.9. Mediana într-un triunghi reprezintă segmentul care unește un

vârf al triunghiului cu mijlocul laturii opuse acelui vârf.

Figura 1.14

Medianele unui triunghi sunt concurente în punctul G. Acest punct se numește

centrul de greutate al triunghiului și este situat, pe fiecare mediană, la o treime de

bază și două treimi de vârf.

Pentru , cu medianele și avem:

și

și

și

Proprietatea 1.10: Mediana împarte triunghiul în două triunghiuri echivalente, adică de arii egale.

Figura 1.15

După cum se observă în figura 1.15, mediana corespunzătoare laturii BC împarte în două triunghiuri: și . , ,

și , se observă astfel că , deci cele două triunghiuri sunt echivalente.

Exemple:

În triunghiul ABC medianele AE, BF și CD sunt concurente în G.

Aflați AE știind că GE=7cm.

Calculați știind că =105cm2.

Fie I punctul de intersecție al diagonalelor trapezului ABCD, E și F mijloacele

bazelor [AB] și [CD] ale trapezului, iar G și H mijloacele diagonalelor [AC] și [BD]. Se iau punctele și simetricele punctului I în raport cu G, respectiv cu H. Să se arate că dreptele EF, H și G sunt concurente și 2GK =K, unde K este punctul de intersecție al dreptelor Gși H.

Figura 1.17

Demonstrație:

Cum este simetricul lui I față de G, iar este simetricul lui I față de H, rezultă IG=G și HI=H Prin urmare, Gși Hsunt mediane în . Deci EF, H și G sunt concurente, iar 2·GK = K.

Linii importante în cerc

Definiția 1.11 Mulțimea punctelor egal depărtate de un punct fix se numește cerc.

Cercul se notează C(O,r), unde O este centrul cercului, iar r este raza. Deci segmentul ce unește centrul cercului cu orice punct de pe cerc se numește rază.

Segmentul ce unește două puncte distincte siuate pe cerc se numește coardă. Coarda care trece prin centrul cercului se numește diametru. În figura 1.18 segmentul este coardă, iar segmentul este diametru.

P M

N

Q

Figura 1.18

Diametrul cercului se notează cu D și este egal cu dublul razei:

Teorema 1.12 Într-un cerc sau în cercuri congruente, coardelor congruente le corespund arce de cerc congruente.

Figura 1.19

Demonstrație:

Teorema 1.25 Într-un cerc sau în cercuri congruente, arcelor de cerc congruente le corespund coarde congruente.

Demonstrație: Urmărim desenul din figura 1.19.

Teorema 1.13 Într-un cerc, un diametru perpendicular pe o coardă trece prin mijlocul acesteia și determină, pe fiecare din arcele subîntinse de această coardă, arce congruente.

Figura 1.20

Demonstrație:

Fie cercul C(O,r), ca în figura 1.20. Punctele A și B situate pe cerc determină coarda Construim diametrul . Fie E punctul de intersecție al diametrului cu coarda AB.

Se consideră triunghiurile dreptunghice AOE și BOE.

Deci, E este mijlocul coardei AB.

Din congruența triunghiurilor AOE și BOE rezultă că

Teorema 1.14 Dacă două coarde ale unui cerc sunt congruente, atunci distanțele de la centru la coarde sunt egale.

Figura 1.21

Demonstrație:

În figura 1.21 avem un cerc C(O,r) și două coarde AB și CD. Construim înălțimile ON și OM ale triunghiurilor AOB și COD, unde Se observă că , și . Conform cazului de congruență LLL rezultă că triunghiurile AOB și COD sunt congruente, deci și înălțimile lor sunt congruente.

Proprietatea 1.15 Coardele egal depărtate de centru sunt congruente.

Teorema 1.16 O dreaptă d este tangentă la cercul C(O, r), în punctul A, dacă și numai dacă d ⊥OA.

d

B

A

Figura 1.22

Demonstrație:

Se consideră dreapta d tangentă la cercul C(O, r) în punctul A. Vom demonstra că d ⊥OA.

Presupunem, prin reducere la absurd, că dreapta d nu este perpendiculară pe OA. Fie atunci OB ⊥d, B ∈d. În triunghiul OAB, cu ∢OBA = 90°, avem ∢OBA >∢OAB, deci OA >OB. Deoarece punctul A este pe cerc, rezultă că punctul B este în interiorul cercului și atunci dreapta d ar mai avea un punct, diferit de A, comun cu cercul. Se ajunge astfel la o contradicție. Presupunerea făcută este falsă, prin urmare d ⊥OA. Dar, știm că într-un punct A, al unei drepte OA, se poate construi o singură perpendiculară d, ceea ce ne spune că singura dreaptă perpendiculară pe OA în punctul A este tangenta la cerc, în acest punct.

Exemple:

1. Prin punctul C al diametrului AB al unui cerc, se duc coardele DE și FG, astfel încât DCB =GCB. Să se arate că:

a) Coardele DE și FG sunt egal depărtate de centru.

b) Patrulaterul EFDG este trapez isoscel.

Demonstrație:

a) Deoarece DCB =GCB, atunci CB este bisectoarea unghiului DCG. și Cum OCB, rezultă că centrul cercului este egal depărtat de laturile unghiului DCG, adică de CD și CG. Altfel spus, coardele DE și FG sunt egal depărtate de centru.

D

F

C

A B

E

G

Figura 1.23

b) Coardele DE și FG, fiind egal depărtate de centru, sunt congruente, de unde deducem că și arcele subîntinse de ele sunt congruente, adicăși rezultă că , deci EFDG.

În concluzie, patrulaterul EDFG este trapez care are vârfurile pe cerc, deci este un trapez isoscel.

Prin mijlocul E al arcului al cercului circumscris triunghiului ABC, se duce

coarda EF paralelă cu AB, F fiind un punct pe cercul circumscris triunghiului. Demonstrați că arcele șisunt congruente.

Demonstrație:

Știind că EFAB și AE secantă, rezultă că BAEFEA. Dar , deci CAEEAB. Prin urmare CAEFEA, deci . Deoarece =,

= și , rezultă că .

A

F B

C

E

Figura 1.24

Teorema ciocului de cioară: Prin orice punct A, exterior unui cerc C(O, r), se pot

construi două tangente AM și AN, la cerc. Segmentele determinate de punctul A și punctele de tangență sunt congruente.

Demonstrație:

Se consideră punctul A care aparține exteriorului cercului C(O, r), deci OA >r.

A găsi punctul de contact al unei tangente din A la cerc înseamnă a construi un triunghi dreptunghic cu ipotenuza AO și cu vârful unghiului drept pe cercul dat.

Știm că un unghi drept este înscris într-un semicerc, deci vom construi cercul de diametru AO.

Notăm centrul său cu Q, iar raza va fi r = .

Notăm cu M, respectiv N, punctele de intersecție a celor două cercuri, unghiurile ∢OMA și ∢ONA fiind unghiuri drepte. Dreptele AM și AN sunt tangente la cerc.

Considerăm triunghiurile OAM și OAN, dreptunghice și congruente (OA latură comună și [OM ]≡ [ON], ca raze ale cercului); deci catetele corespunzătoare, MA și NA sunt congruente.

Figura 1.25

Congruența triunghiurilor OAM și OAN ne oferă încă un rezultat remarcabil, foarte util în rezolvarea problemelor:

Semidreapta determinată de un punct exterior unui cerc și centrul cercului este bisectoarea unghiului format de tangentele la cerc din acel punct.

În figura 1.25 semidreapta AO este este bisectoarea unghiului ∢MAN.

Capitolul II. RELAȚII METRICE ÎN TRIUNGHI ȘI CERC ÎN MATEMATICA DE GIMNAZIU

În acest capitol sunt prezentate noțiuni teoretice despre relațiile metrice în triunghiul oarecare. S-a pus accent pe teorema lui Thales și teorema fundamentală a asemănării, teoreme ce stau la baza mai multor aplicații cu caracter practic. Apoi sunt prezentate relațiile metrice în triunghiul dreptunghic și în cerc, adică teorema înălțimii, teorema catetei, teorema lui Pitagora și funcțiile trigonometrice.La elaborarea acestui capitol s-au folosit titlurile bibliografice [7], [11], [13], [14],[16].[24]și [26].

Relații metrice în triunghiul oarecare

Definiția 2.1 Raportul a două segmente este raportul lungimilor acestora, exprimate în aceeași unitate de măsură.

Propoziția 2.2 Pentru orice număr real pozitiv k există un punct unic C pe segmentul AB, astfel încât .

A C B

Figura 2.1

Spunem astfel că punctul C împarte segmentul AB în raportul k.

Propoziția 2.3 Pentru orice număr real pozitiv k ≠ 1 există un unic punct C, exterior segmentului AB, astfel încât.

ABC

Figura 2.2

În cazul în care k=1, punctul C este mijlocul segmentului

A B C

Figura 2.3

Teorema 2.4 (Teorema paralelelor echidistante) Mai multe drepte paralele și echidistante determină, pe orice secantă, segmente congruente.

d1

d2

d3

d4

d5

dn-1

dn

Figura 2.4

Teorema 2.5. (Teorema paralelelor neechidistante) Mai multe drepte paralele determină pe două secante segmente proporționale.

d1

d2

d3

d4

dn-1

dn

Figura 2.5

Exemplu: Împărțirea unui segment de dreaptă într-un raport dat.

Fiind dat un segment de dreaptă AB de lungime oarecare, să se găsească un

punct M pe acest segment, astfel încât .

Prin punctul A se trasează o semidreaptă AC cu o înclinație oarecare față de AB.

Pe această semidreaptă se trasează cu compasul, sau se măsoară cu o riglă gradată, începând din punctul A, cinci segmente egale și se notează ca în figura 2.6. Se unește punctul C5 cu punctul B. Prin celelalte puncte, de la C1 la C4, trasăm paralele la BC5, paralele care intersectează segmentul AB în punctele notate cu 1, 2, 3 și 4. Am împărțit astfel segmentul AB în 5 părți egale. Punctul M cerut corspunde punctului 2.

Avem astfel .

1 2 3 4

A M B

C1

C2

C3

C4

C5

Figura 2.6 C

Această problemă poate fi generalizată, folosind același procedeu.Se împarte segmental AB în q părți egale și se numără apoi p segmente, găsindu-se astfel poziția punctului M.

Fiind dat un segment AB de lungime oarecare, se cere să se găsească un punct

M pe acest segment astfel încât .

1 2 3 4 5 6

A M B

C1

C2

C3

C4

C5

C6

Figura 2.7 C7 C

Problema seamănă cu problema de la punctul (a), dar trebuie să fim atenți, pentru că acum, cerința reformulată este: să se găsească pe segmentul AB un punct M care să formeze pe acesta două segmente AM și MB al căror raport să fie . Procedeul este analog ca la punctul (a), dar de data aceasta, segmentul AB trebuie împărțit în 7 părți egale (2+5).

În general, dacă se împarte segmentul dat în p+q părți egale, numărăm p segmente de la A spre B și găsim poziția punctului cerut.

2.1.1 Teorema lui Thales

O paralelă la una din laturile unui triunghi determină pe celelalte două laturi segmente proporționale.

A

M N

B C

Figura 2.8

Cu notațiile din figura 2.8 putem scrie teorema lui Thales în

M∈AB, N∈AC și MN∥BC, atunci .

Teorema rămâne valabilă și în cazul în care paralela la una din laturi intersectează prelungirile acestora.

În situația în care MN∥BC, B∈AM și C∈AN, dar punctele M și N nu se află pe segmentele AB și AC, obținem figura 2.9.

A

B C

M N

Figura 2.9

Aplicând teorema lui Thales în obținem . Folosind proporțiile derivate vom avea , adică .

În situația în care MN∥BC, B∈AM și C∈AN, dar punctul A se află atât pe segmentul BM , cât și pe CN, obținem figura 2.10.

N M

A

D E

B C

Figura 2.10

Știm că MN∥BC. Construim DE∥BC, D∈AB și E∈AC, astfel încât punctele D și E să fie simetricele punctelor M, respective N față de punctul A. Putem spune astfel că AM=AD și AN=AE. În aplicăm teorema lui Thales, deci . Folosind proporțiile derivate vom avea , adică , rezultând astfel că . O altă proporție derivată este , adică .

Exemplu:

Teorema bisectoarei:

Se consideră un triunghi oarecare ABC și AD bisectoarea , D∈BC. Demonstrați că .

A

E

B D C

Figura 2.11

Demonstrație:

Construim CE || AD, E ∈AB. Aplicând teorema lui Thales în EBC obținem . Dar (corespondente) și (alterne interne). Deoarece rezultă că , deci AEC este isoscel și AE=AC. Prin urmare, relația devine .

Observație: Pentru cazul AB ≡ AC, triunghiul ABC este isoscel, deci bisectoarea AD este și mediană, ceea ce arată că 1.

2.1.2 Teorema fundamentală a asemănării

Definiția 2.6. Două triunghiuri se numesc asemenea dacă au unghiurile respectiv congruente și laturile opuse acestora respectiv proporționale.

Fie două triunghiuri, ABC și  A1B1C1.

Figura 2.12

Dacă , și , spunem că ABC  A1B1C1, unde k se numește coeficient de asemănare.

Teorema fundamentală a asemănării: O paralelă dusă la una din laturile unui triunghi determină cu celelalte două laturi sau cu prelungirile acestora un triunghi asemenea cu triunghiul dat.

Cazul I: Fie un triunghi ABC. Ducem o paralelă DE la latura BC a triunghiului, ca în figura 2.13. Vrem să demonstrăm că ABCADE. Pentru aceasta construim o paralelă prin punctul E la latura AB, paralelă ce intersectează latura BC în punctul F.

A

D E

B F C

Figura 2.13

Deoarece DEBC, rezultă că (alterne interne) și (alterne interne). Dar este unghi comun celor două triunghiuri, deci putem afirma că cele două triunghiuri au unghiurile repectiv congruente.

Având în vedere că DEBC, putem aplica teorema lui Thales în ABC, deci putem spune că . Deoarece DEBC și EFAB putem afirma că DEFB este paralelogram, prin urmare DE=BF. Aplicând teorema lui Thales tot în ABC, dar luând în considerare relația EFAB, obținem . Înlocuim pe BF cu DE și ajungem la relația . Dacă și , rezultă că , ceea ce reprezintă chiar proporționalitatea laturilor. În concluzie, putem afirma că ABCADE.

Teorema fundamentală a asemănării rămâne valabilă și dacă o paralelă la una din laturile unui triunghi intersectează prelungirile celorlalte două laturi. Mai avem astfel două situații:

Cazul II: A

B C

D F E

Figura 2.14

În figura 2.14 se vede că punctul B este situat pe segmentul AD, punctul C este situat pe segmentul AE și DEBC. Considerând triunghiul ADE și dreapta BC paralelă cu latura DE a triunghiului ADE, ne regăsim în condițiile date de cazul I. Aplicând rezultatul demonstrat, se obține congruența unghiurilor și proporționalitatea laturilor, deci putem spune că ABCADE.

Cazul III: De această dată punctul A este situat pe segmentele BD și CE, iar DEBC, așa cum se observă în figura 2.15. Pentru DE ∥BC și secanta BD, avem

∢ADE ≡ ∢ABC(alterne interne), iar pentru DE ∥BCși secanta CE, avem ∢AED ≡ ∢ACB (alterne interne). Pe de altă parte, ∢DAE ≡ ∢BAC (opuse la vârf), deci am demonstrat congruența unghiurilor celor două triunghiuri, ABC și ADE.

Construim apoi CF ∥AD, F ∈DE și AG ∥BC, G ∈CF, deci BC ∥AG ∥DF. Atunci BCFD, AGFD și BCGA sunt paralelograme și au loc relațiile DF =BC, GF =AD și

GC =AB. În triunghiul CEF, avem AG ∥EF. Aplicând teorema lui Thales, obținem sau . În triunghiul CEF, avem AD ∥CF. Aplicând teorema lui Thales, obținem sau . În concluzie,

Am demonstrat astfel și proportionalitatea laturilor celor două triunghiuri. Fiind îndeplinite toate condițiile cerute de asemănarea a două triunghiuri putem spune că și în acest caz ABCADE. E D F

A G

B C

Figura 2.15

Măsurarea obiectelor, chiar și cu ajutorul instrumentelor geometrice, poate conduce la valori aproximative, ceea ce nu ne satisface întotdeauna. De multe ori, măsurarea directă este imposibilă, fie din cauza distanțelor foarte mari, fie din cauza unor obstacole care nu permit accesul în apropierea obiectelor.

Thales a aplicat teorema fundamentală a asemănării în rezolvarea unor probleme practice de această natură. Este celebră problema aproximării înălțimii unei piramide folosind umbrele. Thales a folosit proprietățile triunghiurilor asemenea pentru a afla distanța de la țărm la o corabie sau distanța dintre două corăbii, el aflându-se pe țărm.

Trebuie menționat faptul că, în aceste situații, valorile obținute sunt totuși aproximative, nu din cauza calculelor, ci din cauza erorilor care pot interveni în stabilirea unor direcții și în măsurarea unor distanțe sau a unor măsuri de unghiuri. De-a lungul timpului au fost create instrumente performante, care apropie foarte mult rezultatele obținute de cele reale. Cu toate acestea, folosirea tehnicilor practice, intuitive, sunt foarte interesante și sunt de mare folos în anumite situații.

Exemple:

Se consideră trapezul ABCD, cu ABCD, AB=b, CD=a, ab și M(AD)

Astfel încât Calculați lungimea segmentului [MN], unde MNAB și N(BC).

Demonstrație:

Conform teoremei paralelelor neechidistante avem deci .

D a C

M a P N

A b Q B

Figura 2.16

Construim CQAD, unde Q(AB). Avem MN=MP+PN. Deoarece MPCD este paralelogram, rezultă MP=CD=a. Pentru a calcula lungimea segmentului [PN] vom aplica teorema fundamentală a asemănării în CQB, unde NPQB.

Obținem . Rezultă PN=QB=(b-a).

Calculăm MN=NP+PN=a+(b-a)=a+b.

Cazuri particulare:

k=1 ( M este mijlocul segmentului [AB] și MN este linie mijlocie)

Obținem MN= (MN este media aritmetică a lungimilor bazelor).

k=

În acest caz k== .

MN= = (MN este media armonică a lungimilor bazelor).

Pentru ce valoare a lui k MN este media geometrică a lungimilor bazelor

trapezului. Trebuie ca MN=.

Din a+b= obținem a+kb=(k+1), deci k(b-)=-a.

k(-)=(-)k=.

Teorema lui Menelaus: Fie triunghiul ABC și punctele A (BC), B (CA)

și C (AB). Dacă punctele A`, B`, C` sunt coliniare, atunci are loc egalitatea :

A

C`

B`

D

B C A`

Figura 2.17

Fiind vorba de rapoarte și legăturile ce trebuiesc stabilite între ele, apare necesitatea de a utiliza asemănarea triunghiurilor. Nefiind triunghiuri asemenea, trebuie să le construim.

În acest sens ducem CD║ AB, unde D CA.

ABC ACD

BCD BAC

Înmulțind cele două relații, obținem că:

de unde:

Fie un triunghi și trei puncte coliniare astfel ca ,

și . Să se arate că: .

Demonstrație

Figura 2.18

Se duce prin o paralelă la care intersectează dreapta în . Din teorema fundamentală a asemănării rezultă:

și deci sau .

, de unde se obține și .

Așadar , de unde rezultă .

Teorema lui Ceva: Fie un triunghi ABC și D, E, F trei puncte situate pe

laturile [BC], [CA], [AB] ale triunghiului. Dacă dreptele AD, BE și CF sunt concurente, atunci:

1.

A

F E

M

B D C

Figura 2.19

Demonstrație:

Fie M punctul de intersecție al dreptelor AD, BE și CF. Aplicăm teorema lui Menelaus astfel:

în ABD cu secanta CF: 1, de unde obținem .

în ADC cu secanta BE: 1.

În final obținem 1, deci 1.

Observație: Într-un triunghi, dreapta care unește un vârf al acestuia cu un

punct de pe latura opusă se numește ceviană.

2.1.3 Aplicații practice ale asemănării triunghiurilor

Aproximarea distanțelor, în situații practice, folosind asemănarea triunghiurilor

1) Aproximarea înălțimii unor obiecte

Ne propunem să calculăm înălțimea Turnului Eiffel din Paris.

A

B D C

Figura 2.20

Măsurăm distanța de la centrul bazei turnului la punctul din exterior unde ne aflăm, adică distanța BC. Plasăm între raza vizuală care merge spre vârf și cea care merge spre punctul de la baza turnului, pe verticală, o mărime cunoscută DE și măsurăm distanța DC. Avem acum date suficiente pentru a determina înălțimea turnului.

Dreptele AB și DE sunt paralele (ambele au direcția verticală) și atunci triunghiurile

ΔABC și ΔEDC sunt asemenea. Scriem relația de proporționalitate a laturilor, adică Din egalitatea următoarelor rapoarte, , rezultă că .

2) Aproximarea distanței până la un punct fix

Figura 2.21

Dacă suntem într-un punct B pe plajă și vrem să estimăm distanța până la un vapor aflat în larg, în punctul A, ne deplasăm din punctul B până în punctul C, măsurând distanța BC. Marcăm pe nisip direcțiile BA și CA. Pe direcția BA considerăm punctul D, prin care ducem o paralelă la BC. Aceasta intersectează dreapta AC în E. Măsurăm lungimile BD și CE. În triunghiul ABC, cu DE ∥BC, aplicăm teorema fundamentală a asemănării și rezultă următoarea relație de proporționalitate între laturi:

Vom realiza o proporție derivată de forma , de unde rezultă că Dacă luăm doar o egalitate de două rapoarte, adică , obținem.

3) Aproximarea distanței dintre două puncte

D E

C

Figura 2.22

Ne aflăm într-un punct A și dorim să calculăm distanța până la punctul B.

Observăm că măsurarea directă este imposibilă din cauza prezenței unui lac, așa cum apare în figura 2.22. Pentru a afla distanța dintre punctele A și B vom găsi un punct C din care putem măsura distanțele AC și BC. Trasăm apoi direcțiile CA și CB. Dorim să fixăm un segment DE cu capetele pe CA, respectiv CB, astfel încât DE și AB să fie paralele. Trebuie ca între punctele D și E să nu fie alte obstacole. Vom proceda astfel:

Alegem punctul D, pe segmentul CA.

Măsurăm lungimile CD, AC și BC.

Luăm punctul E pe segmentul CB astfel încât .

Măsurăm segmentul DE.

Aplicăm reciproca teoremei lui Thales și rezultă DE ∥AB.

În ΔABC aplicăm teorema fundamental a asemănării și obținem

Rezultă astfel că , deci am aflat distanța AB.

B. Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea

Teorema 2.7 Dacă două triunghiuri sunt asemenea, cu raportul de asemănare k, atunci:

a) raportul medianelor corespunzătoare este egal cu k;

b) raportul înălțimilor corespunzătoare este egal cu k;

c) raportul bisectoarelor corespunzătoare este egal cu k.

Demonstrație: Fie două triunghiuri asemenea, ΔABC și ΔDEF, cu raportul de asemănare k. Atunci:

, și .

Fie M și N mijloacele laturilor BC și EF ale triunghiurilor reprezentate în figura

2.23. A

D

B M C E N F

Figura 2.23

Atunci și. Știm că ∢E ≡ ∢B și, conform criteriului de asemănare L.U.L. ABMDEN, deci . Am demonstrat astfel că raportul medianelor corespunzătoare a douătriunghiuri asemenea este egal cu raportul de asemănare a triunghiurilor.

Fie M și N picioarele perpendicularelor duse din A și D pe laturile BC, respectiv

EF, reprezentate în figura 2.24.

Din ∢AMB≡ ∢DNE, ∢B≡ ∢E și cazul de asemănare U.U., rezultă că ABMDEN, deci . Am demonstrat astfel că raportul înălțimilor corespunzătoare a două triunghiuri asemenea este egal cu raportul de asemănare a triunghiurilor.

A

D

B M C E N F

Figura 2.24

Fie AM și DN bisectoarele unghiurilor ∢BAC și ∢EDF, reprezentate în figura 2.25.

A

D

B M C E N F

Figura 2.25

Deoarece ∢B≡ ∢E, ∢BAM===∢EDN, conform cazului de asemănare U.U., rezultă că ABMDEN, deci . Am demonstrat astfel că raportul bisectoarelor corespunzătoare a două triunghiuri asemenea este egal cu raportul de asemănare a triunghiurilor.

Teorema 2.8 Dacă două triunghiuri sunt asemenea, cu raportul de asemănare k, atunci raportul ariilor acestora este egal cu k2.

Demonstrație:Fie două triunghiuri asemenea, ΔABC și ΔDEF, cu raportul de asemănare k. Atunci:

, și .

Vom folosi figura de la teorema 2.11, punctul b.

Aflarea punctului de aplicație al rezultantei a două forțe paralele

În cazul a două forțe paralele și de același sens F1, F2, cu punctele de aplicație în

A și B, (figura 2.26.a), se știe de la fizică, că rezultanta lor este o altă forță de mărime R= F1+F2, al cărei punct de aplicați O se află pe segmentul AB, astfel încât F1OA= F2OB. Pentru a determina poziția punctului O scriem relația sub forma . Apoi construim AC=F2 în sens contrar lui F1 și BD=F1 în același sens cu F2. Dreapta CD intersectează dreapta AB în punctul O. Pentru a calcula distanța punctului O față de punctele de aplicație ale celor două forțe, aplicăm teorema fundamentală a asemănării pentru triunghiurile asemenea AOC și BOD.

C O

B

O B F1 D

A A F2

F1 D

F2 C

a b

Figura 2.26

Dacă forțele paralele sunt de sens contrar, atunci rezultanta are mărimea R= F1-F2, iar

punctul O de aplicație al ei este exterior, astfel încât F1OA= F2OB (figura 2.26.b). Și în acest caz AC=F2 și BD=F1. În același mod se găsește poziția punctului O pe dreapta AB și distanța acestuia față de punctele de aplicație ale forțelor.

În cazul mai multor forțe paralele, cu punctele de aplicație coliniare, se compun

mai întâi primele două forțe, apoi rezultanta se compune cu cea de a treia forță, procedeul continuând până la ultima forță.

Relații metrice în triunghiul dreptunghic

2.2.1 Teorema înălțimii

Într-un triunghi dreptunghic, lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este egală cu media geometrică a lungimilor proiecțiilor catetelor pe ipotenuză.

Demonstrație:

C

D

A B

Figura 2.27

Deoarece ∢CAD și ∢ABD sunt unghiuri cu laturile respective perpendiculare, spunem că ele sunt congruente. Dar ∢ADC∢ADB, deci ACDADB. Rezultă că

, deci AD2=BDDC.

Această egalitate este echivalentă cu AD=.

2.2.2 Teorema catetei

Într-un triunghi dreptunghic, pătratul lungimii unei catete este egal cu produsul dintre lungimea ipotenuzei și lungimea proiecției acelei catete pe ipotenuză.

C

D

A B

Figura 2.28

Demonstrație:

Deoarece ∢ABC∢ABD (unghi comun) și ∢BAC∢ADB, rezultă că ABCDBA. Scriem proporționalitatea laturilor astfel: Din această relație rezultă că AB2=BDBC.

Această teoremă se poate aplica și pentru cealaltă catetă, adică AC2=CDCB.

Aceste egalități sunt echivalente cu relațiile AD= și AC=, ceea ce duce la o nouă formulare a teoremei catetei: într-un triunghi dreptunghic, lungimea unei catete este media geometrică între lungimea ipotenuzei și lungimea proiecției acelei catete pe ipotenuză.

2.2.3 Teorema lui Pitagora

Într-un triunghi dreptunghic, pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma

pătratelor lungimilor catetelor.

C BC2=AB2+AC2

D

A B

Figura 2.29

Demonstrație:

Vom demonstra această teoremă utilizând teoria proporțiilor.

Deoarece m(∢ADC)= m(∢BAC)=90o și m(∢ACD)= m(∢ACB), rezultă că ADCABC. Scriem proporționalitatea laturilor astfel: Din această relație rezultă că AC2=CDBC.

Deoarece m(∢ADB)= m(∢BAC)=90o și m(∢ABC)= m(∢ABD), rezultă că ABDABC. Scriem proporționalitatea laturilor astfel: Din această relație rezultă că AB2=BDBC.

Prin adunarea celor două relații se obține:

AB2+ AC2= BDBC+ CDBC=BC(BD+CD)=BCBC=BC2.

Tripletul pitagoreic:

Un triplet pitagoreic este format din trei numere naturale nenule a, b și c, cu proprietatea că a2 + b2 = c2. Acest triplet este de obicei notat (a, b, c), iar printre exemplele cele mai întâlnite se numără tripletul (3, 4, 5).

Dacă (a, b, c) este un triplet pitagoreic, atunci (ka, kb, kc) este tot un triplet pitagoreic pentru oricare număr întreg pozitiv k.

Exemplu: Pentru k=2, tripletul este(6, 8, 10).

62+82=10236+64=100

Un triplet pitagoreic primitiv este un triplet format din a, b și c astfel încât numerele să fie prime între ele. Un astfel de triplet este (3, 4, 5). Numele este derivat din denumirea teoremei lui Pitagora; astfel, tripletele pitagoreice descriu trei laturi de lungime numere naturale ale unui triunghi dreptunghic.

Forma generală a unui triplet pitagoreic este dată de relațiile:

a=m2-n2, b=2mn, c=m2+n2, unde m și n sunt numere prime între ele și m>n.

Exemplu: Fie m=7și n=5.

a=72-52=49-25=24

b=275=70

c=72+52=49+25=74

Verificăm dacă a2 + b2 = c2.

242+702=742 576+4900=5476, relație care este adevărată.

Teorema lui Pitagora stabilește echivalența între o proprietate geometrică (a fi un triunghi dreptunghic) și o proprietate numerică (suma pătratelor a două numere este pătratul altui număr), trasând o legătură între geometrie și aritmetică. Putem astfel reprezenta pe axa numerelor reale, cu exactitate, un număr irațional de forma . Reprezentarea se face utilizând teorema lui Pitagora, rigla și compasul.

Figura 2.30

În figura 2.30 este descris modul de reprezentare pe axă a lui Se construiește un segment cu lungimea egală cu , adică lungimea ipotenuzei unui triunghi dreptunghic isoscel cu catetele egale cu 1. Apoi, cu ajutorul compasului trasăm un arc de cerc cu raza egală cu găsind astfel poziția pe axă a numărului

Figura 2.31

În figura 2.31 este prezentat modul de construcție a unor segmente de lungime . Construcția acestora poate continua, obținându-se astfel o spirală, numită spirala lui Arhimede.

Exemple:

Să se construiască un segment cu lungimea egală cu .

Figura 2.32

34=25+9=52+32

Să se construiască un segment cu lungimea egală cu .

Figura 2.33

15=9+4+1+1=32+22+12+12

O altă variantă este următoarea:

Figura 2.34

15=151=(8+7)(8-7)=82-72

Exemple:

Să se calculeze înălțimile într-un triunghi isoscel ABC în care AB=AC=10cm și

BC=12cm. A

E

B C

D

Figura 2.35

Demonstrație:

ÎnABC construim ADBC și BEAC.

În ACD aplicăm teorema lui Pitagora: AC2=AD2+DC2. De aici rezultă că

AD2=AC2-DC2=102-62=100-36=64

AD==8cm.

Cealaltă înălțime a triunghiului isoscel se obține din egalitatea ariilor, adică

=. Din această relație determinăm înălțimea===9,6cm.

Să se calculeze înălțimea corespunzătoare laturii BC a unui triunghi oarecare cu

laturile AB=5cm, AC=6cm și BC=7cm.

Demonstrație:

ÎnABC construim ADBC. Notăm BD= x și DC=7-x. Aplicăm Teorema lui Pitagora în cele două triunghiuri dreptunghice formate: ADB și ADC.

AD2=AB2-BD2=52-x2=25-x2

AD2=AC2-CD2=62-(7-x)2=36-49+14x-x2 = -13+14x-x2

Din cele două relații rezultă că 25-x2 = -13+14x-x2x =, deci BD= .

AD=cm.

A

B x 7-x C

D

Figura 2.36

Fie triunghiul dreptunghic ABC, cu m(∢A)= 90°, ADBC, DBC.

Demonstrați relațiile: (1) ADBC=ABAC

(2)

A

B D C

Figura 2.37

Demonstrație:

Pentru a demonstra această relație se folosește egalitatea ariilor. Deoarece

ABC este dreptunghic, vom calcula aria acestuia în două moduri:

Egalând aceste două relații obținem:

Pentru a demonstra a doua relație vom porni de la relația (1), pe care o vom

ridica la pătrat. Vom obține:

Observație:

Relațiile (1) și (2) au numeroase aplicații și mai sunt cunoscute și sub denumirea de a doua, respectiv a treia teoremă a înălțimii.

2.2.4 Noțiuni de trigonometrie în triunghiul dreptunghic

Trigonometria se referă la legăturile dintre unghiurile și laturile unui

triunghi. În limba greacă, trigonon înseamnă triunghi, iar metron înseamnă măsurare.

Fie ABC un triunghi dreptunghic, cu m(∢A)= 90° și m(∢B)= .

C

A B

Figura 2.38

În acest triunghi dreptunghic se definesc următoarele rapoarte constante:

Sinusul unui unghi ascuțit este raportul dintre lungimea catetei opuse acestui unghi și

lungimea ipotenuzei.

Cosinusul unui unghi ascuțit este raportul dintre lungimea catetei alăturate acestui unghi și lungimea ipotenuzei.

Tangenta unui unghi ascuțit este raportul dintre lungimea catetei opuse și lungimea catetei alăturate acestui unghi.

Cotangenta unui unghi ascuțit este raportul dintre lungimea catetei alăturate și lungimea catetei opuse acestui unghi.

Deoarece unghiurile ascutțite ale unui triunghi dreptunghic sunt unghiuri complementare putem spune:

Sinusul unui unghi este egal cu cosinusul complementului său.

sin = cos(90◦ − )

Cosinusul unui unghi este egal cu sinusul complementului său.

cos = sin(90◦ − )

Tangenta unui unghi este egală cu cotangenta complementului său.

tg = ctg(90◦ − )

Cotangenta unui unghi este egală cu tangenta complementului său.

ctg = tg(90◦ − )

Aplicând teorema lui Pitagora in triunghiul dreptunghic ABC, putem demonstra

formula fundamentală a trigonometriei: (sin )2+( cos )2=1.

AB2+AC2=BC21 (sin )2+( cos )2=1

2.2.5 Aplicații ale funcțiilor trigonometrice în determinarea ariilor unor poligoane

Aria triunghiului

A

ha

B D C

Figura 2.39

Fie și ha înălțimea corespunzătoare laturii BC. Aria acestui triunghi se determină astfel:

Aria paralelogramului

D C

A B

E Figura 2.40

Fie ABCD un paralelogram și h înălțimea acestuia.

Aria rombului

A

B D

C

Figura 2.41

Fie ABCD un romb și h înălțimea acestuia. Calculăm aria acestuia ca dublul ariei triunghiului ABD.

Relații metrice în cerc

Un poligon regulat este un poligon cu toate laturile și toate unghiurile congruente. Când vorbim de un poligon regulat, ne referim la: latura poligonului, un unghi al poligonului, raza cercului circumscris poligonului, diagonalele poligonului, apotema poligonului, perimetrul și aria acestuia.

Vom studia, în acest sens, poligoanele regulate cu 3, 4 respectiv 6 laturi. Notăm ln latura poligonului regulat cu nlaturi, n ∈{3, 4, 6} și R raza cercului circumscris acestui poligon.

Se numește apotemă a unui poligon regulat perpendiculara dusă din centrul poligonului pe una dintre laturi și se notează cu an.

Triunghiul echilateral

Dacă notăm l3, a3, S3 lungimea laturii, lungimea apotemei, respectiv aria unui triunghi echilateral și R raza cercului circumscris, atunci:

Figura 2.42

Pătratul

Dacă notăm l4, a4, S4 lungimea laturii, lungimea apotemei, respectiv aria unui pătrat și R raza cercului circumscris, atunci:

Figura 2.43

Hexagonul regulat

Dacă notăm l6, a6, S6 lungimea laturii, lungimea apotemei, respectiv aria unui

hexagon regulat și R raza cercului circumscris, atunci:

Figura 2.44

Capitolul III. PRINCIPIUL ÎNVĂȚĂRII CONȘTIENTE ȘI ACTIVE FOLOSIT ÎN PREDAREA-ÎNVĂȚAREA MATEMATICII

Principiile didacticii matematicii exprimă concepția de bază asupra învățării matematicii, un fel de reguli directoare, ce dirijează activitatea didactică. La baza acestora stau legitățile psihologiei și teoria cunoașterii, dar și rezultatele activității practice și experiența pedagogică. În acest capitol sunt prezentate principiul învățării conștiente și active, factorii ce influențează învățarea, cerințele principiului și conștientizarea învățării. La elaborarea acestui capitol s-au folosit titlurile bibliografice [1], [2], [4], [5], [7], [17], [18], [21] și [26].

Didactica predării matematicii se situează la granița dintre psihologie, pedagogie, didactică și matematică și studiază conținutul învățământului matematic, structura acestuia și metodele de predare-învățare și evaluare corespunzătoare.
Matematica este disciplina care, prin însăși existența ei, are menirea de a forma o gândire investigatoare. Este știința cea mai operativă, care are cele mai multe și mai complexe legături de viață. De aceea, se impune o permanentă preocupare în perfecționarea continuă a metodelor și mijloacelor de învățământ pentru a realiza o educație matematică, cu implicații serioase în dezvoltarea elevului și formarea lui ca om util societății din care face parte.

Principiul învățării conștiente și active se manifestă prin stimularea activității elevului în toate etapele învățării, înțelegerea conținutului materiei de învățământ, dezvoltarea la elevi a conștientizării participării lor la propria instruire. Notațiile, simbolurile, figurile, graficele se constituie în niște intermediari între activitatea fizică propriu-zisă și cea abstractă, reprezentând materialul cel mai potrivit pentru realizarea multor experimente matematice. Învățământul problematizat pretinde ca un pas obligatoriu în predarea unor cunoștințe noi, crearea unor situații problemă.

S-a vehiculat ideea că memoria nu ar avea un rol important în matematică, fapt care nu este adevărat. Nu este vorba despre memorarea deliberată a unor definiții, formule, teoreme, la pimul contact cu acestea. Se pune problema reținerii acestora ca o consecință a utilizării lor repetate și îndelungate. Cunoștințele și descoperirile omenirii au evoluat mult, presând asupra modului de transmitere a informației didactice, care trebuie să fie din ce în ce mai rapid și mai condensat.

Pentru a învăța, elevii recurg de obicei la memorarea mecanică. Ei au receptat informația, au reținut-o și o pot aplica în mod brut. Dar această memorare duce la o fixare slabă a cunoștințelor, puțin stabilă în timp, necesitând o reîmprospătare permanentă a acestor cunoștințe. De aceea este necesară utilizarea unei noțiuni noi în mod repetat, în exemple simple, pentru a putea fi reținută.

În cazul teoremei lui Pitagora se pot aplica următoarele tipuri de probleme, până când elevul se familiarizează cu acestea:

Alați ipotenuza unui triunghi dreptunghic ABC, cu m(, știind că

AB=3cm și AC=4cm.

Demonstrație: Se aplică teorema lui Pitagora:

BC2=AB2+AC2 BC2=32+42 BC2=9+16=25 BC5cm

Aflați o catetă a unui triunghi dreptunghic ABC, cu m(, știind că

AB=6cm și BC=10cm.

Demonstrație:

Se aplică teorema lui Pitagora:

BC2=AB2+AC2 102=62+AC2 100=36+ AC2 AC2=100-36=64AC==8cm.

Memorarea poate fi și inductivă, adică elevul folosește o regulă de mai multe ori și se convinge că funcționează corect, chiar dacă în circumstanțe mult schimbate.

Exemplu:

Elevul primește ca sarcină să deseneze, cu ajutorul echerului, mai multe triunghiuri dreptunghice. Pentru fiecare caz în parte trebuie să măsoare, cu ajutorul raportorului, unghiurile ascuțite și să afle suma acestora. Acesta va constata că, de fiecare dată, suma este egală cu , deci unghiurile ascuțite ale unui triunghi dreptunghic sunt complementare. Elevul va putea folosi astfel informația descoperită chiar de el în rezolvarea mai multor probleme, în contexte diferite.

Însă memorarea rațională, logică, presupune înțelegerea mecanismului, iar elevul poate aplica regula cu oarecare variații.

Exemplu:

În cazul teoremei lui Pitagora, elevul știe deja să recunoască catetele și ipotenuza triunghiului dreptunghic, cunoaște și înțelege teorema, deci o poate aplica în diverse probleme.

Memorarea integrativă, în schimb, include regula într-un sistem, elevul putând-o folosi și adapta în mod creativ.

Factorii care influențează învățarea conștientă sunt următorii:

Cantitatea, calitatea, claritatea și organizarea cunoștințelor celui care învață,

acesta fiind factorul cel mai important care influențează învățarea și pe care se bazează învățarea conștientă.

Natura mediului de învățat, care se referă la sistematizarea informației, a

materialului de învățat, prin structurarea acestuia în itemi succesivi, ușor de învățat, dar fiecare cu semnificația sa logică. După aceasta este necesară o reconexare logică a secvențelor, urmată de o activitate de sinteză.

Una dintre problemele care apar frecvent la geometrie este dificultatea înțelegerii demonstrațiilor. Aceasta apare ca urmare a necunoașterii unor termeni sau a numărului prea mare de pași ce trebuie parcurși pentru a efectua demonstrația. E posibil ca unele demonstrații indirecte, de exemplu cele care folosesc metoda reducerii la absurd sau construcții ajutătoare, deși sunt echivalente logic cu demonstrații directe de la ipoteză la concluzie, să prvoace unele neclarități legate de argumentare.

Nu trebuie neglijat nici limbajul specific și nici notațiile utilizate, deoarece o alegere corespunzătoare a acestora ușurează mult înțelegerea și utilizarea termenilor respectivi.

În cazul expunerii orale un factor foarte important al învățării este și ritmul în care profesorul vorbește, el trebuind să fie în permanență atent la ritmul de scriere al elevului, la rămânerile lui în urmă. În concluzie, optimizarea acțiunii se face doar cu participarea celor două componente: profesor și elev.

Cerințele principiului învățării conștiente și active sunt următoarele:

stimularea activității elevului în toate etapele învățării;

înțelegerea conținutului materiei de învățat;

dezvoltarea la elevi a conștientizării participarii lor la propria instruire.

Elevul trebuie să partcipe activ la propria instruire, să fie implicat cât mai mult

posibil în această activitate, pentru a nu interveni plictiseala. Starea de spirit a profesorului se transmite și elevului, deci, chiar dacă profesorul a făcut o demonstrație de nenumărate ori, el trebuie să manifeste interes și entuziasm, ca și când ar face acest lucru pentru prima dată.

Înțelegerea noțiunilor noi introduse, a noii lecții are un rol decisiv în învățarea matematicii. Elevul nu trebuie doar să-și însușească elementele predate în secvența de lecție, ci trebuie să le și înțeleagă. Matematica, prin structura sa logico-deductivă, este ca un lanț din care, dacă lipsește o verigă, devine fragil, se rupe. Factorii care influențează înțelegerea sunt ritmul, intonația, utilizarea tablei și a altor mijloace audio-vizuale, repetarea variată, stimularea elevului să ia notițe în mod regulat, să utilizeze notațiile corespunzătoare, să scrie ordonat.

Învățarea conștientă a matematicii trebuie privită ca o modalitate de convingere a elevului că nu trebuie să învețe din obligativitate, nu trebuie vazută ca o „pedeapsă”. Matematica nu se învață pentru că reprezintă o disciplină necesară trecerii unor examene, ea este o necesitate obiectivă pentru cultura generală a oricărui individ și un instrument de cunoaștere și studiere a mai multor domenii științifice.

Specifice matematicii sunt logica și raționamentul, care duc la disciplinarea gândirii. Marele matematician Solomon Marcus spunea sugestiv că „matematica este o gimnastică a minții”.

Pentru menținerea activă a interesului elevilor pentru matematică trebuie acționat permanent. Se vor dezvolta astfel două componente: una interioară matematicii, care trebuie predată în așa fel încât elevul să găsească permanent satisfacția în efortul lui de a învăța, iar cealaltă exterioară, ce motiverază prin aplicațiile ei valoarea socială și științifică a matematicii.

Capitolul IV. METODE TRADIȚIONALE ȘI MODERNE ACTIV-PARTICIPATIVE FOLOSITE ÎN MATEMATICA DE GIMNAZIU

Metodele de predare-învățare, modurile și formele de organizare a lecției, situațiile de învățare sunt tot mai diversificate, constituind cheia schimbărilor pe care le preconizează noul curriculum. Se urmărește asigurarea unor situații de învățare multiple, care să creeze premise pentru ca elevii să poată valorifica propriile abilități în învățare.

În acest capitol sunt prezentate metode de predare-învățare specifice matematicii, ca forme ale comunicării didactice. Sunt enumerate și descrise metodele tradiționale de predare-învățare, metodele moderne și cele active participative, menite să îmbunătățească activitatea profesorului, dar mai mult de atât să ajute și să stimuleze activitatea de învățare conștientă și activă a elevului. La elaborarea acestui capitol s-au folosit titlurile bibliografice [1], [2], [3], [4], [5] și [6].

Metode tradiționale

Metoda conversației

Acestă metodă este una dintre cele mai utilizate, deoarece fără conversație, fără

dialogul profesor-elev nu s-ar putea face transferul de informații și cunoștințe. Metoda se bazează pe întrebări și răspunsuri: profesorul adresează întrebări elevilor și răspunde întrebărilor acestora, stimulând astfel gândirea lor în vederea însușirii de noi cunoștințe. În acest mod se realizează fixarea și sistematizarea cunoștințelor și deprinderilor. Coversația influențează pozitiv formarea raționamentului matematic la elevi.

Se pot face mai multe clasificări ale conversației:

După numărul elevilor cărora li se adresează întrebarea:

individuală, care se realizează între profesor și un singur elev;

frontală, care presupune adresarea întrebărilor întregii clase,

răspunsurile venind de la elevi diferiți).

După momentul lecției:

introductivă, utilizată la începutul lecției pentru captarea atenției și

reactualizarea cunoștințelor anterioare;

utilizată în scopul transmiterii noilor cunoștințe, necesară dirijării

învățării;

folosită pentru a fixa cunoștințele;

folosită pentru recapitulare;

folosită pentru evaluare.

După tipul raționamentului:

euristică, atunci când întrebările pun în funcțiune gândirea, care

generează raționamente și judecăți;

catehetică, atunci când întrebările apelează la memorie, iar răspunsurile

reproduc definiții, formule, teoreme.

Este foarte important ca întrebările formulate să fie precise, să vizeze un singur răspuns și să nu conțină răspunsul, să fie instructive, să contribuie la dezvoltarea gândirii. De aceea, în literatura pedagogică se recomandă înlocuirea întrebărilor care încep cu „ce“, „cine“, „când“ etc., cu unele de forma „explicați de ce…“, „ce s-ar întâmpla dacă…“ sau „interpretați…“, „comparați…“ etc. Desigur întrebările formulate de profesor vor avea în vedere cunoștințele anterioare și experiențele elevilor. În caz contrar, răspunsurile așteptate vor veni doar de la elevii care beneficiază acasă de îndrumare sau de cei interesați de tema discutată, pe care au studiat-o pe cont propriu în prealabil.

Această metodă contribuie la dezvoltarea limbajului, exprimarea realizându-se printr-un limbaj natural, cu terminologie matematică și simbolistică scrisă sau desenată. Se va acorda o atenție deosebită limbajului matematic utilizat în conversație, astfel încât să nu se treacă peste o idee fără a fi bine definită, conturată. Răspunsurile greșite vor fi corectate imediat prin discuții mai detaliate din care profesorul va identifica cauzele greșelii. Terminoligia folosită cuprinde cuvinte care se întâlnesc în limbajul uzual și care în matematică au înțeles asemănător, dar vor apărea și termeni specifici doar matematicii, aceștia necesitând explicații.

În concluzie, metoda conversației asigură implicarea elevilor în procesul de predare-învățare, favorizând învățarea și dezvoltarea gândirii raționale, logice. Ea este utilizată în etapa de asiguare a feed-back-ului învățării, când informația circulă de la elev la profesor, pentru ca acesta să se edifice asupra modului în care elevii au înțeles. Profesorul pune întrebări sau dă spre rezolvare exerciții și probleme.

În general, conversația se utilizează în combinații cu alte metode, cum ar fi: demonstrația, observația, problematizarea, de aceea metoda conversației are o largă aplicabilitate.

În exemplul următor, cu ajutorul metodei conversației, s-a prezentat construcția bisectoarei unui unghi.

Fiind dat un unghi cu vârful în punctul A, vom parcurge următoarele etape:

Cu ajutorul compasului se desenează un arc de cerc cu centrul în A. Acesta

intersectează laturile unghiului în punctele B și C. Este evident faptul că , deoarece sunt raze.

Cu aceeași deschizătură a compasului se desenează un arc de cerc cu centrul în

punctul B.

Tot cu aceeași deschizătură se mai desenează un arc de cerc cu centrul în punctul

C. Cele două arce de cerc se vor intersecta într-un punct P, care se află în partea opusă a lui 𝐴 față de segmentul [𝐵𝐶].

Unim punctele A și P, obținând astfel bisectoarea unghiului A.

În figura 4.1 este reprezentată construcția bisectoarei unghiului A.

Figura 4.1

Metoda exercițiului

Această metodă constă în efectuarea conștientă și repetată a unor exerciții și

probleme cu scopul formării de priceperi și deprinderi. Toate aceste acțiuni duc la dezvoltarea unor capacități intelectuale.

În toate lecțiile de matematică și în orice moment al acestora se rezolvă, cel puțin mintal, exerciții. Ele pot fi utilizate în următoarele situații:

la reactualizarea cunoștințelor, unde ușurează învățarea noilor cunoștințe;

la predarea lecției noi, stimulând elevul să descopere noțiuni, proprietăți,

algoritmi noi;

la fixarea cunoștințelor, asigurând reținerea acestora, transferul lor și obținerea

performanțelor;

la evaluarea perfomanței, prin intermediul problemelor teoretice, de calcul sau

de demonstrat.

Etapele rezolvării unui exercițiu sunt următoarele:

citirea cu atenție a enunțului exercițiului – profesorul trebuie să se asigure că

fiecare elev a citit enunțul din manual sau culegere și a notat textul sau datele problemei;

înțelegerea exercițiului de către elevi – se analizează exercițiul, se stabilesc

datele cunoscute și cele necunoscute; elevii pot formula modalități de rezolvare, pot veni cu idei;

rezolvarea exercițiului – se fac calcule, demonstrații, în vederea obținerii

rezultatului;

verificarea rezultatului – se fac verificări în exercițiu, se interpretează rezultatul,

eventual se face o generalizare a acestuia.

Prin metoda exercițiului elevul urmărește modelele de rezolvări prezentate,

după care rezolvă singur alte exerciții și descoperă uneori alte metode de rezolvare sau algoritmi diferiți.

Exercițiile propuse la clasă pot fi:

exerciții de recunoaștere a unor noțiuni, formule, proprietăți, figuri

geometrice. De exemplu, dacă într-un triunghi se spune despre un punct că este mijlocul unei laturi, atunci elevul trebuie să recunoască faptul că segmentul ce unește mijlocul laturii cu vârful opus laturii respective este mediană. De aici va putea folosi proprietățiile medianei pentru a rezolva cerința respectivă.

exerciții de aplicare imediată a unor formula sau algoritmi, care vin

în sprijinul elevului pentru a forma priceperi și deprinderi asigurând conexiunea inversă. Putem lua ca exemplu funcțiile trigonometrice: fiind dat un triunghi dreptunghic și lungimile laturilor acestuia, putem calcula valorile funcțiilor trigonometrice pentru unghiurile ascuțite ale triunghiului.

exerciții grafice, unde se folosește figurarea datelor unor teorem sau

probleme. Putem lua ca exemplu construcția înălțimii unui triunghi: se așează

echerul cu o latură pe una din laturile triunghiului și se deplasează pe latură, menținându-ne tot timpul pe aceasta, până când cealaltă latură a echerului trece prin vârful opus laturii triunghiului. Trasăm apoi înălțimea triunghiului, așa cum se vede în figura 4.2.

Figura 4.2

Aceste exerciții se pretează foarte bine a fi realizate în laboratorul de informatică folosind mediul AEL sau aplicații matematice cum ar fi GeoGebra sau Euler 3D pentru geometrie în spațiu. În figura 4.3 este prezentată construcția înălțimilor unui triunghi utilizând GeoGebra. Astfel elevii pot vedea cum pot determina ortocentrul triunghiului, poziția acestuia fiind în funcție de tipul triunghiului: ascuțitunghic (a), obtuzunghic (b) sau dreptunghic (c).

a b c

Figura 4.3

exerciții de autoinstruie, prin care se urmărește însușirea de cunoștințe

noi pornind de la cele dobândite anterior.

exerciții de calcul mintal, care au aplicabilitate în toate domeniile,

înlesnind formarea deprinderilor și însușirea cunoștințelor. Calculul mintal este o adevărată gimnastică a minții, exersarea lui grăbind și ordonând dezvoltarea gândirii, astfel încât atenția să fie îndreptată spre raționamente logice și nu spre calcule.

exerciții commentate, care constituie premisa muncii independente a

elevului. Exerciții commentate se pot găsi în culegeri, dar importante sunt cele prezentate ca model în clasă. Acestea pot fi rezolvate și explicate de profesor sau de elevi. Elevii pot rezolva la tablă astfel de probleme, dirijați de profesor și ajutați de acesta sau chiar de colegi. Profesorul explică cu voce tare ceea ce se lucrează, iar elevii urmăresc explicațiile notând pe caiete ceea ce se scrie pe tablă sau chiar comentariile făcute de profesor dacă este cazul.

Formele de organizare a activității bazate pe metoda exercițiului variază. Astfel se poate lucra independent, dar individual sau pe grupe, folosind fișe de lucru. Se poate lucra și frontal, cu întreaga clasă. În acest caz un elev lucrează la tablă și cei din bancă pot lucra individual, urmărind tabla și comparând rezultatele parțiale sau finale. Se va ține cont și de nivelul clasei, astfel încât se poate lucra diferențiat.

Metoda muncii cu manualul și cu alte auxiliare matematice

Această metodă este o formă de muncă independentă utilizată în scopul studierii

și asimilării de cunoștințe noi din texte scrise de matematică.

Cel mai utilizat este manualul, reprezentând material bibliografic pentru elev și ghid pentru pregătirea profesorului pentru lecție. Pentru elev manualul detaliază în mod sistemic temele recomandate de programele școlare și contribuie la organizarea procesului de învățare. Elevii trebuie îndrumați de profesor cum să folosescă manualul, mai ales că învățarea din manual presupune un efort propriu din partea acestora în a înțelege anumite metode prezentate și a aborda subiecte complementare celor folosite de preofesor la clasă. Utilizarea manualului permite elevului să se acomodeze cu limbajul matematic, cu simbolurile matematice și înțelegerea enunțurilor matematice.

Pe lângă manualul școlar elevii folosesc și auxiliare matematice, care pot fi culegeri de exerciții și probleme sau reviste matematice. În urma studiilor efectuate în școli, indiferent de nivel, s-a constatat că în jur de 80% din elevi folosesc manualul nu pentru a învăța teoria, ci pentru rezolvarea de exerciții și probleme. Se recomandă astfel schimbarea acestei situații în sensul dezvoltării caracterului formativ al învățării, a activității intelectuale cu scopul evitării eșecului în procesul de învățare ulterioară.

Studiul individual este foarte important pentru pregătirea în domeniul matematicii, accesând surse de învățare atât clasice, cât și electronice. Se acordă importanță și studiului individual din literatura de specialitate prin întocmirea unor referate sau lucrări științifice, compunerea unor probleme, utilizarea și extinderea în alte domenii a unor rezultate obținute la matematică.

Pentru utilizarea mai eficientă a manualului nse recomandă următoarele activități:

Prelucrarea de către elevi a informațiilor esențiale din lecție

Predarea unei lecții poate fi înlocuită de următoarea activitate:

elevii vor citi lecția din manual, vor întocmi un rezumat apoi vor dicuta între ei fragmentele din lecție care au prezentat dificultăți. Această acțiune presupune lucrul în grup, exersând astfel comunicarea specifică matematicii.

Minimizarea notițelor elevilor

Pentru ca lecția nouă să fie cât mai structurată astfel încât elevul să poată învăța

mult mai ușor acasă este necesar ca notițele acestuia să fie cât mai clare și mai puțin stufoase. Astfel se poate citi lecția împreună cu elevii astfel încât aceștia să se concentreze asupra esențialului. Notițele vor conține doar definiții, reguli, teoreme. Pentru fixarea noțiunilor noi putem solicita elevilor să vină cu exemple sau contraexemple, iar la demonstrații îi lăsăm pe ei să vină cu idei, soluții, metode.

Integrarea în predare a sarcinilor de lucru din manual

Pentru dezvoltarea gândirii critice elevul trebuie stimulat să-și pună întrebări și

să caute răspunsuri. Profesorul poate induce îndoiala, nesiguranța, incertitudinea în răspunsuri, cu scopul de a eficientiza învățarea. Metoda muncii cu manualul se recomandă a fi utilizată în procesul de predare-învățare a matematicii, dar trebuie combinată cu alte metode. Scopul urilizării acesteia este acela de ,,a-l învăța pe elev să învețe”.

Metode moderne

Învățarea prin descoperire dirijată

Metoda descoperirii este o altă metodă de explorare indirectă utilizată frecvent

în lecțiile de matematică. Prin intermediul acestei metode elevii, îndrumați de profesor, descoperă o noțiune, un principiu, o regulă, o formulă, o definiție sau o teoremă. Acestea sunt de fapt redescoperiri, deoarece elevii descoperă adevăruri deja cunoscute.

Contribuția profesorului e necesară în aceste situații pentru că, spre deosebire de descoperirea spontană, empirică, ce se limitează la conținuturi mai puțin importante, descoperirea realizată de elevi se reduce la găsirea acelor adevăruri științifice pe care nu le pot găsi decât persoanele specializate. Descoperirile de tip didactic trebuie realizate în timp foarte scurt și au ca scop educarea elevilor în spiritual științific, dezvoltarea lor intelectuală.

Metoda învățării prin descoperire presupune analiza unei situații-problemă la

care elevii trebuie să descopere posibile soluții. Învățarea prin descoperire se poate realiza în două moduri:

independent, atunci când elevul desfășoară întreaga activitate,

profesorul urmărind doar desfășurarea acesteia;

dirijat, atunci când profesorul coordonează întreaga activitate. Elevii vor

primi sarcini de lucru, iar profesorul îi ajută să le rezolve prin sugestii și indicații.

Această metodă este destul de utilizată în procesul de predare, dar este indicat ca

implicarea profesorului în dirijarea activității elevului să se facă într-o măsură cât mai mică, lăsându-i acestuia mai mult timp de muncă individuală astfel încât , prin efortul personal de analiză, sinteză, generalizare, analogie sau inducție, să găsească o demonstrație, un algoritm de calcul, o teoremă etc.

În funcție de relația ce se stabilește între cunoștințele dobândite anterior și cele ce urmează a fi dobândite, după tipul de raționament utilizat, întâlnim următoarele tipuri de descoperiri:

descoperirea inductivă, atunci când se pornește de la cazuri particulare sau

cunoscute și se dă apoi o regulă generală. Ca exemlu, după ce s-a predat teorema lui Pitagora, putem propune elevilor să descopere modul de construcție al unui segment de lungime , unde n este număr natural nenul. Pornind de la un triunghi dreptunghic isoscel cu catetele de lungime 1, obținem prin aplicarea teoremei lui Pitagora, ipotenuza acestuia de lungime . Construind la fiecare pas k un nou triunghi dreptunghic în care o catetă este de lungime 1 iar cealaltă de lungime egală cu cea a ipotenuzei triunghiului dreptunghic de la pasul precedent, k +1, vom obține, în n−1 pași, segmentul de lungime dorită. Această aplicație este ilustrată în paragraful 2.2.3, ca spirala lui Arhimede.

Figura 4.4

descoperirea deductivă, atunci când raționamentul logic parcurge drumul de la

general la particular. Putem lua ca exemplu teorema înălțimii, care se demonstrează cu ajutorul asemănării triunghiurilor. Elevii vor găsi și demonstra asemănarea a două triunghiuri dreptunghice, vor scrie relațiile de proporționalitate între laturi, după care vor determina relația de calcul a înălțimii corespunzătoare unghiului drept al triunghiului dreptunghic. Demontrația teoremei înălțimii este prezentată în paragraful 2.2.1.

descoperirea prin analogie, care se bazează pe principiul analogiei, care spune

că dacă un obiect are proprietățile p1, p2, p3 și p4, iar un alt obiect are proprietățile p1, p2, p3, atunci este posibil ca al doilea obiect să aibă și proprietatea p4. În raționamentul prin analogie se utilizează metoda de determinare a soluției de la o problemă deja rezolvată sau rezultatul unei probleme analoage. Se pot folosi atât metoda, cât și soluția. Un exemplu în acest sens ar fi utilizarea relației de calcul a înălțimii triunghiului echilateral de latură l, relație ce se deduce mai întâi aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic determinat de înălțimea triunghiului echilateral și o latură alăturată înălțimii. Apoi această formulă pentru înălțimea triunghiului echilateral se poate utiliza în alte demonstrații. Relația de calcul a înălțimii și deducerea acesteia se regăsesc în paragraful

Avantajele utilizării acestei metode sunt următoarele:

efortul mintal depus de elevi este mare, depășirea obstacolelor ducând la

dezvoltarea lor intelectuală și creșterea încrederii în resursele proprii;

dezvoltă la elevi capacitatea de a rezolva probleme, spiritul independent,

capacitatea de transfer, spiritul de cooperare;

prin intermediul descoperirii se realizează cunoașterea și întelegerea profundă a

noțiunilor noi, astfel că o consolidare nu necesită foarte multe reveniri;

în procesul de învățare se activează câteva funcții de creativitate, emoția și

îndoiala;

elevii dobândesc o imagine adecvată despre știință și tehnică;

stimularea interesului pentru învățare și cercetare;

posibilitatea autocontrolului și autocunoașterii.

Dezavantajele utilizării acestei metode sunt următoarele:

nivelul de conștientizare a activității e mai ridicat atunci când are loc o

simplă receptare, dar conștientizarea se reduce la construirea fiecărui pas al procesului cognitiv;

zona de acțiune și de gândire este limitată doar la elementele ei și verigile

cunoașterii sunt considerate izolate;

cunoașterea e discontinuă, segmentată;

deoarece elevul este condus pas cun pas din exterior el nu-și poate da seama de

ansamblul operațiilor pe care trebuie să le efectueze, nu poate vedea integral sarcina pe care o are de îndeplinit, nu vede structura ei. Elevul vede și înțelege fiecare pas al construcției, dar nu sesizează întregul complex operațional.

Psihologul elvețian Hans Aebli a remarcat faptul că, într-o astfel de dirijare, profesorul conduce îndeaproape gândirea elevilor, că el este acela care determină organizarea cercetării și că elevii, deși au răspuns la fiecare întrebare, nu au sesizat ,,arhitectura de ansamblu a raționamentului”.

Metoda învățării prin descoperire dirijată devine productivă și creativă doar atunci când este combinată cu alte metode active și euristice (asaltul de idei, modelarea matematică, problematizarea, algoritmizarea, experimental, studiul de caz).

Metoda învățării pe grupe

Metoda învățării pe grupe este o metodă în care elevii sunt împărțiți în grupe,

deci și sarcinile de lucru vor fi împărțite. Această metodă presupune o activitate comună în cadrul aceluiați grup. Prin munca în grup se urmărește educarea elevului în spiritul muncii sociale, precum și dezvoltarea responsabilităților individuale cu efect asupra grupului. Metoda nu este recentă, dar este folosită de tot mai mulți profesori datorită eficacității ei.

Grupele pot fi formate de către profesor sau de către elevi. Criteriile de formare a grupurilor sunt: omogenitatea, eterogenitatea și criteriul afectiv.

grupele omogene sunt formate din elevi de același nivel de pregătire;

grupele eterogene conțin elevi dintoate categoriile;

grupele feromate pe criteriul afectiv se bazează pe prietenii, vecinătăți de bancă

sau domiciliu, simpatii, preocupări comune etc.

Numărul elevilor dintr-un grup variază, fiind cuprins între 2 și 10, dar

randamentul maxim se obține în cazul în care avem 4-6 elevi.

Este indicat ca elevii să se organizeze singuri în aceste grupe, în funcție de

criteriul cerut de profesor. Sarcinile de lucru se repartizează tot pe grupe și diferă în funcție de tipul grupelor:

pentru grupurile omogene se vor distribui sarcini corespunzătoare nivelului de

omogenitate;

în celelalte cazuri se dau sarcini asemănătoare tuturor grupelor, având grijă ca

elevii cu performanțe școlare sau cei cu dificultăți în învățare să primească sarcini suplimentare, corespunzătoare nivelului lor.

Utilizarea acestei metode presupune însușirea de noi cunoștințe în cazul grupelor

eterogene, fixarea și formarea de priceperi și deprinderi prin îndeplinirea sarcinilor (rezolvare de exerciții și probleme) în cazul grupelor eterogene și obținerea de performanțe în cazul grupelor omogene.

Activitatea pe grupe se realizează parcurgând următoarele etape:

repartizarea materialului de lucru pe grupe;

munca independentă a grupului;

discutarea în comun a rezultatelor obținute.

Activitatea profesorului presupune următoarele etape:

etapa prospectivă, care constă în pregătirea materialului necesar repartizării pe

grupe și a celui suplimentar pentru elevii mai buni, respectiv a celui suplimentar pentru elevii mai puțin dotați;

etapa de îndrumare, supraveghere și stimulare a muncii în fiecare grup. Fiecare

grup va fi sprijinit, ajutat la cerere sau atunci când se constată neîncadrarea acestuia în timpul alocat sarcinii respective. În situația în care se constată o abordare greșită a sarcinilor de lucru în toate grupele, profesorul va întrerupe acest mod de activitate.

La sfârșitul activității se prezintă rezolvarea la tablă, se dau explicații, se fac

aprecieri, se poartă discuții privind corectitudinea și se compară, dacă este cazul, variantele găsite pentru rezolvare. Profesorul are sarcina de a stimula discuțiile, pentru a dezvolta raționamentul elevilor, și de a prezenta concluzii.

Este indicat a se crea un mediu competitiv între grupuri, inclusiv prin aprecieri și acordări de punctaje, sporindu-se astfel preocuparea, interesul și animozitatea grupului.

În ceea ce privește eficiența metodei părerile sunt împărțite. Se sugerează că în timpul acestor activități se rezolvă prea puține exerciții, deficiență ce poate fi îndepărtată dacă elevii ar primi sarcini diferite, în funcție de capacitățile lor, adică lucrul diferențiat pentru elevii foatre buni, buni, medii și slabi.

Pentru grupele eterogene sau a celor formate după criteriul afectiv sarcinile vor fi aproximativ egale, acestea putând fi împărțite membrilor grupului, sub coordonarea unui responsabil de grup ales de membrii grupului respectiv. Trebuie avut în vedere și faptul că unele grupe pot termina mai repede, așa că profesorul trebuie să-și pregătească din timp sarcini suplimentare pentru acești elevi astfel încât să folosească eficient timpul rămas.

Se recomandă alternarea criteriilor de formare a grupelor deoarece nu este benefic a se lucra numai cu grupuri eterogene, în care se va lucra cu elevii mai buni iar ceilalți se vor izola, dar nici numai cu grupuri omogene, tot timpul aceleași, care ar duce la o împărțire a clasei după criteriul ,,grupul celor deștepți”, descurajând astfel ceilalți elevi.

Învățarea prin cooperare

Această metodă se utilizează în cadrul unui grup mic de elevi, astfel încât aceștia

să poată lucra împreună, îmbunătățindu-și performanțele proprii și contribuind la creșterea performanțelor celorlalți membri ai grupul.

Învățarea prin cooperare presupune ca elevii să lucreze în grupuri cu abilități și cunoștințe eterogene, aceștia fiind recompensați pe baza performanțelor grupului.

La baza învățării prin cooperare stau următoarele elemente:

interdependența pozitivă, adică elevii trebuie să lucreze împreună pentru a-și

atinge scopul, sprijinindu-se reciproc, având nevoie unul de celîălalt pentru coordonare, explicații;

responsabilitatea individuală, fiecare membru al grupului fiind răspunzător de

contribuția sa la atingerea obiectivelor;

interacțiunea promotorie, adică elevii sunt plasați în clasă astfel ca interacțiunea

lor să fie față în față, nu la distanță;

analiza activității grupului, adică elevii analizează colaborarea lor și decid

asupra acțiunilor de îmbunătățire a eficienței acestei activități;

dezvoltarea deprinderilor interpersonale în cadrul grupului.

Avantajele utilizării acestei metode sunt:

interacțiunile care au loc în cadrul unui grup pot crea conflictul și dezechilibrul

ce conduc elevul la întrebări legate de înțelegerea anterioară a unor fenomene și îl stimulează să emită idei noi;

discuțiile din cadrul grupului ajută membrii acestuia să repete și să proceseze

informațiile. Prin adresarea întrebărilor și analizarea răspunsurilor se realizează conexiuni logice, se organizează cunoștințele și se activează procesarea informației și mecanismele memoriei.

Metodele de învățare prin cooperare sunt:

metode de studiu în grup, prin intermediul cărora elevii lucrează împreună,

încercând să stăpânească informații sau deprinderi bine definite;

învățarea activă sau învățarea prin proiecte instrucționale, care reprezintă un

ansamblu de metode ce implică elevii în timpul orelor la realizarea unor proiecte comune.

Această metodă implică următoarele grupuri de studiu:

grupuri de studiu formale – aceste grupuri se formează într-o oră de curs și pot

funcționa câteva săptămâni. Membrii grupei sunt implicați activ în activitatea desfășurată, cum ar fi organizarea materialului, explicarea lui și stabilirea unor conexiuni între noțiunile deja cunoscute și cele noi.

Grupuri de studiu spontane – ele se constituie foarte repede, pentru un interval

de timp ce poate dura de la câteva minute la o oră de curs. Această formă de organizare este specifică lecțiilor de predare propriu-zisă, cu scopul de a capta atenția elevilor către noile informații ce urmează a fi transmise.

Grupurile bază – se constituie pe termen lung, de cel puțin un an. Ele sunt

grupuri eterogene, formate din membrii permanenți, ce au ca scop asigurarea ajutorului reciproc între membrii săi, asistență și încurajare, ținta lor fiind înregistrarea unor progrese la nivel de instituție școlară.

Metode de învățare active

Didactica actuală este orientată spre formarea de competențe, adică un ansamblu

de cunoștințe și deprinderi formate prin învățare care permit identificarea și rezolvarea unor probleme în ciferite contexte.

Învățarea nu se mai bazează pe memorare. O învățare eficientă înseamnă asimilarea cunoștințelor, a noilor informații astfel încât elevul să poată explica și să poată susține punctul lui de vedere, să poată efectua un schimb de idei cu ceilalți.

Ne întâlnim frecvent cu pasivitatea elevilor în timpul orelor, fapt care produce învățare într-o foarte mică măsură. Se poate spune astfel că pentru elevi nu mai este suficient să asculte explicațiile profesorului, demonstrațiile. De aceea este necesar ca aceștia să participe în mod activ la procesul de învățare prin discuții, argumentări, experimente și investigații, rezultatul fiind o învățare eficientă și de durată.

Din practica didactică s-a constatat că un elev reține

10% din ceea ce citește;

20% din ceea ce aude;

30% din ceea ce vede și aude;

80% din ceea ce spune;

90% din ceea ce spune în timpul executării unei sarcini care îl interesează.

În concluzie, învățarea devine eficientă în momentul în care elevul este pus să

acționeze, este solicitat permanent în procesul de învățare. Situațiile în care elevii sunt puși să acționeze, fiind transformați în subiecți activi, partcipând la propria formare, reprezintă forme de învățare active.

La matematică metodele de învățare active necesită o pregătire foarte atentă din partea profesorului deoarece, dacă nu se respectă regulile impuse de fiecare metodă, aceasta devine ineficientă.

Dacă folosim pentru prima dată o astfel de metodă ar fi indicat să o aplicăm la o temă mai simplă deoarece, la o temă mai complexă s-ar putea ca profesorul să se concentreze mai mult pe gestionarea timpului și a rezultatelor, nu asupra problemei care trebuie să-i determine pe elevi să gândească. De aceea se recomandă folosirea unei astfel de metode de cel putin trei ori pe an astfel încât de fiecare dată profesorul să-și noteze ceea ce nu a funcționat conform planului, ce neajunsuri a întâmpinat, pentru ca la următoarea activitate în care va folosi metoda să nu mai apară astfel de situații.

Metodele de învățare activă care se pot folosi în timpul orelor de matematică sunt: brainstorming, metoda mozaicului, investigația, proiectul, experimentul, jocul de rol.

Brainstorming

Brainstormingul este o metodă ce determină realizarea unor concepte și idei

creative, inovatoare, inhibițiile și criticile fiind date de-o parte. Astfel elevii se pot exprima liber, iși vor expune ideile și părerile fără teama de a fi criticați.

Brainstormingul durează în jur de o jumătate de oră. La acesta participă în jur de 10 elevi sau grupuri de minim 10 elevi. În cadrul acestei metode se expune o idee, un concept sau o problemă, fiecare participant spunându-și părerea, absolut tot ce îi trece prin minte, chiar dacă este comic sau nu poate fi aplicat. Dacă acțiunea este bine dirijată fiecare elev are șansa de a participa le dezbateri, activitatea fiind astfel constructivă.

Etapele unui brainstorming eficient sunt următoarele:

Deschiderea sesiunii de brainstorming, unde se prezintă scopul acesteia și se

discută tehnicile și regulile de bază ce vor fi aplicate. Este de fapt o perioadă de acomodare de aproximativ 10 minute prin care se urmărește introducerea grupului în atmosfera de lucru a brainstormingului. Participanții sunt stimulați să discute idei generale, pentru ca apoi să treacă la un nivel superior.

Partea creativă a brainstormingului, care are o durată de 25-30 minute. În acest

interval de timp profesorul terbuie să amintească periodic timpul scurs și timpul rămas, respectiv să determine elevii să mai prelungească timpul cu 3-4 minute. De asemenea, participanții trebuie să-și spună părerile fără teamă, iar la sfârșitul sesiunii profesorul va pune în discuție și va clarifica dacă toată lumea a înțeles ideile dezbătute. Asfel vor fi înlăturate ideile prea îndrăznețe și care nu sunt pertinente. Se poate face și o evaluare a sesiunii de brainstorming și a contribuției fiecărui elev. Ca repere pentru evaluare se iau în considerare aptitudinile grupului, repartiția timpului și punctele care au fost atinse. Elevii vor vota cele mai bune idei și vor menționa care au fost corespunzătoare conceptului stabilit, dar nu vor da explicații pentru ideile lor.

Principiul după care funcționează brainstormingul este asigurarea calității prin cantitate și urmărește eliminarea neajunsului creat de autocritică.

Se recomandă 7 reguli pe care elevii trebuie să le respecte în timpul unei sesiuni de brainstorming, astfel încât aceasta să fie cât mai reușită:

Să nu judece ideile celorlalți

Nu trebuie judecate ideile nimănui până la finalul sesiunii, nici cele personale.

Se consideră că nu există idei proaste sau idei bune, nu se fac critici și nici nu se aduc laude. Ideile slabe sunt prețioase pentru că pot genera idei mai bune.

Trebuie încurajate ideile exagerate, nebunești

O idee exagerată poate fi ușor adaptată, ideile extreme și ciudate ducând la

rezultate care nu au fost sesizate inițial. Trebuie urmărită evoluția ideilor nebunești pentru a vedea în ce se transformă.

Contează cantitatea, nu calitatea

Ceea ce contează este numărul de idei. Trebuie notată fiecare idee, gândirea trebuie să funcționeze rapid, fără a reflecta. Cu cât sunt mai multe idei, cu atât mai mult vor crește șansele de a găsi o idee bună.

Trebuie notat tot

Se va nota fiecare idee. Dacă numărul elevilor nu este prea mare, adică nu depășește 15-20, se vor distribui carnețele pe care aceștia vor nota idei. La sfârșit se strâng aceste carnețele pentru centralizarea ideilor.

În cazul în care numărul elevilor este mai mic de 15, unul dintre ei va nota toate ideile din timpul ședinței de brainstorming.

Toți elevii sunt la fel de importanți

La această formă de activitate nu există șefi sau coordonatori, nu există elevi

,,mai puțin creativi”. Ideile generate sunt ideile întregului grup, iar fiecare elev are aceeași contribuție la nașterea ideii respective. Trebuie încurajată participarea tuturor elevilor.

Să genereze idei din idei

Ideile celor din jur trebuie ascultate cu mare atenție și dezvoltate. Ideile deja prezentate pot fi combinate pentru a da naștere altor idei, pentru a explora noi perspective.

Să nu le fie frică de exprimare

Orice idee, oricât de nebunească sau ciudată ar părea, va fi privită doar ca o idee,

deci trebuie exprimate toate ideile care trec prin mintea elevilor.

Exemplu: Aplicarea metodei brainstorming la rezolvarea unei probleme de geometrie la clasa a VII-a.

Etape:

Alegerea sarcinii de lucru:

Fie triunghiul ABC cu m(∢A)= 90o, AC<AB . Se consideră D mijlocul lui [BC], iar perpendiculara în D pe [BC] intersectează pe (AB) în M și pe (CA în N . Considerăm DM = l și MN = 3·l, l > 0.

Determinați lungimea lui [BC];

Fie CM∩BN = {Q}. Demonstrați că CQ⊥ BN;

Demonstrați că AQ ║ BC;

Determinați perimetrul triunghiului ADQ.

Solicitarea exprimării, într-un mod cât mai rapid, a tuturor ideilor legate de

rezolvarea problemei:

Elevilor li se va cere să vină cu sugestii legate de rezolvarea problemei, de exemplu de realiazare a desenului și de verificare a proprietăților cerute de problemă. Ei vor fi lăsați să vină cu orice idee și metodă de rezolvare.

Înregistrarea tuturor ideilor în scris, pe tablă:

Propunerile elevilor sunt notate. Eventual se poate face o pauză pentru așezarea

ideilor, de la 15 minute la o zi. În timpul pauzei elevii pot reflecta asupra acestor idei.

Reluarea ideilor emise pe rând și gruparea lor pe categorii, simboluri, cuvinte

cheie etc.

Pentru această problemă cuvintele cheie ar putea fi: congruență, măsurare, asemănare, paralelism.

Analiza critică, evaluarea, argumentarea, contraargumentarea ideilor emise:

Se va face o selecție a ideilor cât mai apropiate de soluția problemei. Se pot pune

întrebări elevilor legate de modul de rezolvare a problemei: dacă este necesar să se studieze un caz particular al problemei, dacă ne ajută să facem măsurători pe figură (în cazul în care aceasta este corectă), ce anume trebuie demonstrat, dacă întrebările problemei au legătură între ele.

Afișarea ideilor rezultate în forme cât mai variate și originale: cuvinte,

propoziții, imagini, desene, colaje etc.

În urma discuțiilor purtate cu elevii trebuie stabilită o strategie de rezolvare a problemei. Aceasta poate avea următoarea formă:

construcția figurii;

aplicarea unui criteriu de asemănare;

determinarea ortocentrului unui triunghi;

reciproca teoremei lui Thales;

utilizarea egalității ariilor;

aplicarea formulei perimetrului.

În concluzie, obiectivul fundamental al metodei brainstorming este exprimarea

liberă a opiniilor, fără prejudecăți. Elevii trebuie antrenați în permanență în schimbul de idei, toate ideile trebuie acceptate chiar dacă acestea conduc sau nu la rezolvarea problemei.

Mozaicul (Metoda Jigsaw)

În limba engleză jingsaw puzzle înseamnă mozaic. Metoda Jigsaw se mai

numește și metoda ,,grupurilor interdependente” (A. Neculau, 1988) și este o metodă de învățare bazată pe lucrul în echipă. Fiecare elev va primi o sarcină de lucru, în care va trebui să devină expert. Dar, în acelați timp, va trebui să transmită colegiilor informațiile primite.

În cadrul acestei metode sarcinile profesorului sunt mult reduse deoarece acesta intervine doar la începutul activității, când împarte elevii în grupe și distrubuie sarcinile, și la sfârșitul activității, când va prezenta concluziile.

Metoda mozaic are mai multe variante, dar metoda clasică presupune parcurgerea a cinci etape:

Pregătirea materialului pentru studiu

Profesorul stabilește tema ce urmează a fi studiată și o împarte în 4 sau 5

sub-teme. Dacă dorește poate stabili pentru fiecare sub-temă punctele principale pe care elevul trebuie să le atingă în timpul studiului individual. Acestea pot apărea sub formă de întrebări sau sub forma unui text evidențiat astfel încât elevul să poată completa în timpul studiului.

Profesorul realizează apoi o fișă-expert în care trece toate sub-temele propuse,

fișă ce va fi distribuită fiecărui grup.

Gruparea elevilor în echipe de învățare de câte 4-5 elevi. Numărul elevilor

dintr-o echipă depinde de numărul elevilor din clasă.

Fiecare elev din echipă va primi un număr de la 1 la 4 sau 5, apoi va trebui să

studieze individual sub-tema de pe fișă cu numărul corespunzător. El va deveni expert în sub-tema primită. Toți elevii din echipe care au numărul 1 vor studia sub-tema 1, toți elevii cu numărul 2 vor studia sub-tema 2 și așa mai departe.

Faza independentă, când fiecare elev studiază sub-tema lui, acest studiu putând

fi făcut în clasă sau putând fi efectuat acasă, ca temă, înaintea organizării mozaicului.

Constituirea grupului de experți

După efectuarea studiului individual experții cu același număr din cadrul fiecărei

grupe se reunesc formând grupele de experți, unde dezbat împreună problema propusă. Dacă un grup de experți are mai mult de 6 membrii, acesta se poate diviza în două grupe mai mici.

După etapa discuțiilor în grupul de experți, elevii prezintă un raport individual.

Apoi au loc discuții privind baza de date , informații și material strânse, se adaugă elemente noi dacă este cazul, după care se stabilește modalitatea prin care aceste informații vor fi transmise celorlalți membrii ai echipei din care face fiecare parte.

Prin această metodă fiecare elev este membru al unei echipe și membru al unui

grup de experți. Grupurile de experți trebuie plasate în clasă astfel încât să nu se deranjeze unele pe altele.

Obiectivul fiecărui grup de experți este ca instruirea să fie cât mai bună, fiind

responsabil de propia învățare și de predarea învățării colegilor din echipa inițială.

Reîntoarcerea în echipa inițială de învățare

Faza raportului de echipă

Elevii reîntorși în echipă transmit cunoștințele asimilate, fiind atenți în același

timp și învățând cunoștințele transmise de colegii lor. Acest proces de transmitere a cunoștințelor trebuie să fie cât mai scurt, concis, atractiv, putând fi utilizate și material audio-vizuale sau de altă natură.

Experții într-o sub-temă pot prezenta și demonstra ideile cu ajutorul desenelor,

diagramelor, colajelor, fotografiilor.

Evaluarea

Faza demonstrației

Acum grupele prezintă în fața clasei ceea ce au învățat. Profesorul face

evaluarea punând întrebări, cerând un raport sau un eseu, dând fiecărui elev o fișă de evaluare.

Avantajele acestei metode de învățare prin cooperare sunt următoarele:

stimularea încrederii în sine a elevilor;

dezvoltarea abilităților de comunicare, argumentare și relaționare cu membrii

grupului;

dezvoltarea răspunderii individuale, de grup;

dezvoltarea gândirii critice, logice, independente;

creșterea randamentului învățării prin transmiterea cunoștințelor altcuiva.

Exemplu: Aplicarea metodei mozaicului la predarea rapoartelor constante în triunghiul dreptunghic: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă, clasa a VII-a.

Pregătirea materialului pentru studiu

Profesorul stabilește tema: ,,Rapoarte constante în triunghiul dreptunghic”. Apoi

împarte tema în 4 sub-teme:

Sinusul unui unghi ascuțit;

Cosinusul unui unghi ascuțit;

Tangenta unui unghi ascuțit;

Cotangenta unui unghi ascuțit.

Pentru fiecare număr profesorul pregătește o fișă-expert, pe care elevul cu numărul respectiv din fiecare echipă o studiază. Fișele expert vor arăta astfel:

Fișa-expert 1

Considerăm triunghiul ABC, cu m(<A)=.

C

AB

Notați pe fiecare latură a triunghiului denumirea corespunzătoare.

Completați spațiile punctate:

Cateta care se opune unghiului B este….

Cateta care se opune unghiului C este….

Raportul dintre lungimea catetei care se opune unghiului B și lungimea ipotenuzei este…..

Raportul dintre lungimea catetei care se opune unghiului C și lungimea ipotenuzei este…..

Se defineste SINUSUL unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic, raportul dintre lungimea catetei opuse acestui unghi și lungimea ipotenuzei.

Notație sin

Deci, pentru , avem sin……

pentru , avem sin……

Fișa-expert 2

Considerăm triunghiul ABC, cu m(<A)=.

C

AB

Notați pe fiecare latură a triunghiului denumirea corespunzătoare.

Completați spațiile punctate:

Cateta alăturată unghiului B este….

Cateta alăturată unghiului C este….

Raportul dintre lungimea catetei alăturate unghiului B și lungimea ipotenuzei este…..

Raportul dintre lungimea catetei alăturate unghiului C și lungimea ipotenuzei este…..

Se definește COSINUSUL unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic, raportul dintre lungimea catetei alăturate acestui unghi și lungimea ipotenuzei.

Notație cos

Deci, pentru , avem cos……

pentru , avem cos……

Fișa-expert 3

Considerăm triunghiul ABC, cu m(<A)=.

C

AB

Notați pe fiecare latură a triunghiului denumirea corespunzătoare.

Completați spațiile punctate:

Cateta care se opune unghiului B este….

Cateta alăturată unghiului B este…

Cateta care se opune unghiului C este….

Cateta alăturată unghiului C este…

Raportul dintre lungimea catetei care se opune unghiului B și lungimea catetei alăturate unghiului B este…..

Raportul dintre lungimea catetei care se opune unghiului C și lungimea catetei alăturate unghiului C este…..

Se defineste TANGENTA unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic, raportul dintre lungimea catetei opuse acestui unghi și lungimea catetei alaturate unghiului .

Notație tg

Deci, pentru , avem tg…..

pentru , avem tg…..

Fișa-expert 4

Considerăm triunghiul ABC, cu m(<A)=.

C

AB

Notați pe fiecare latură a triunghiului denumirea corespunzătoare.

Completați spațiile punctate:

Cateta care se opune unghiului B este….

Cateta alăturată unghiului B este…

Cateta care se opune unghiului C este….

Cateta alăturată unghiului C este…

Raportul dintre lungimea catetei alăturate unghiului B și lungimea catetei opuse unghiului B este…..

Raportul dintre lungimea catetei alăturate unghiului C și lungimea catetei opuse unghiului C este…..

Se definește COTANGENTA unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic, raportul dintre lungimea catetei alăturate acestui unghi și lungimea catetei opuse unghiului .

Notație ctg

Deci, pentru , avem ctg……

pentru , avem ctg……

Gruparea elevilor în echipe de învățare

Se face împărțirea clasei în grupe de 4 elevi, fiecare primind o fișă de învățare

conform unui număr de la 1 la 4 tras la sorți. Elevilor li se explică sarcina de lucru și în ce constă activitatea, după care încep să studieze tema primită.

Constituirea grupului de experți

Se face apoi regruparea elevilor în funcție de numerele primate, constituindu-se

grupurile de experți, de la 1 la 4. Vom avea astfel 4 grupuri de experți, deci 4 fișe-expert.

Învățarea prin cooperare a secțiunii care a revenit fiecărui expert

Elevii vor citi, discuta și vor încerca să înțeleagă cât mai bine noțiunile noi.

După aceea vor stabili o strategie comună de predare a noilor cunoștințe colegilor din echipa inițială.

Reîntoarcerea în echipa inițială de învățare

Aici are loc predarea secțiunii pregătite celorlalți membrii. În fiecare grup sunt

predate cele patru secvențe ale lecției. Profesorul monitorizează această activitate pentru ca informațiile transmise să fie corecte. Dacă apar neclarități, se pun întrebări expertului.

Evaluarea

La finalul activității profesorul trece în revistă materialul dat prin prezentare

orală, cu toți participanții. El alege câteva întrebări pentru a le adresa clasei și a verifica nivelul de înțelegere a lecției predate.

Pentru consolidarea cunoștințelor se poate rezolva la tablă următoarea fișă de lucru sau, dacă se dorește evaluare, fiecare elev va lucra individual.

Fișă de lucru

1. Într-un triunghi MNP dreptunghic în M se știe că MN=6 cm și MP=8 cm. Calculați:

a) NP;

b) sin, sin, cos, cos; tg; tg; ctg; ctg

2. În triunghiul EFG dreptunghic în E se știe că EF=16 și sin=0,8. Calculați:

FG; EG; cos; tg; sin; tg; ctg; cos.

Investigația

Această metodă dă ocazia elevului să aplice în mod creativ cunoștințele

dobândite, fiind pus în situații noi și diferite. Activitatea se desfășoară pe parcursul unei ore sau mai multor ore de curs.

Profesorul trebuie să definească cu foarte mare atenție sarcina de lucru și instrucțiunile necesare, pentru ca elevii să poată trece la rezolvarea propriu-zisă. Elevul însă demonstrează și exersează o mlțime de cunoștințe și capacități în contexte diferite.

Prin intermediul acestei metode elevul are posibilitatea de a se implica activ în procesul de învățare, stimulând inițiativa acestuia de a lua decizii. Investigația oferă un nivel de înțelegere mai profund asupra fenomenelor și evenimentelor studiate, motivând elevii să participe la activitățile propuse.

Efectuarea unei investigații vizează următoarele aspect:

înțelegerea și clarificarea sarcinii de lucru;

găsirea procedeelor de obținere a informațiilor necesare;

strângerea și organizarea datelor sau informațiilor necesare investigației;

formularea și testarea unor ipoteze;

modificarea planului de acțiune sau a metodei de colectare a datelor, dacă este

cazul;

strângerea altor date, dacă este nevoie;

motivarea alegerii anumitor metode de investigație;

scrierea și prezentarea unui raport privind rezultatele investigației.

Investigația presupune parcurgerea următoarelor etape:

definirea problemei, care poate fi făcută:

în mod prescriptiv, adică activitatea elevului este dirijată. Activitatea

propusă este bine structurată, elementele investigației fiind specifice și operaționalizate;

într-un mod ce accentuează dimensiunea de explorare. În acest caz

elementele investigației nu sunt specifice, doar domeniul investigației.

alegerea metodei și a metodologiei adecvate, care poate fi realizată:

de către profesor, care arată elevilor ce trebuie să facă sau furnizează

toate informațiile necesare legate de aparatura utilizată, de instrumentele de lucru etc.

de către elev, acesta având toată libertatea de a alege metodele

corespunzătoare investigației.

identificarea soluțiilor, care presupune:

formularea unei singure soluții acceptabile;

formularea mai multor soluții acceptabile.

Sarcinile de lucru date elevilor de către profesor pentru desfășurarea unei investigații diferă în funcție de complexitatea cunoștințelor și a competențelor astfel:

descrierea simplă a însușirilor unui obiect din realitatea imediată, prin

intermediul desenelor, graficelor, tabelelor sau hărților;

utilizarea unor echipamente simple, necesare testelor și observațiilor asupra

fenomenului propus pentru investigație. Aceste constatări și observații sunt baza comparațiilor între fenomenele respective;

identificarea factorilor ce influențează fenomenul studiat, cu ajutorul aparaturii

specifice. Elevii pot repeta măsurătorile ori de câte ori doresc, putând da astfel explicații pentru diferențele care apar.

Investigația la matematică presupune rezolvare unor probleme întâlnite în cotidian sau în alte domenii în care matematica are aplicabilitate, pe de o parte, sau explorarea unor concepte matematice noi utilizând metode, tehnici și concepte cunoscute, pe de altă parte. Investigația se rezumă la rezolvarea de probleme, dar și la crearea unor problem noi.

Exemplu: Aplicarea metodei investigației pentru determinarea înălțimii casei în care locuiesc, la clasa a VII-a.

Activitatea începe în clasă, unde profesorul explică sarcinile elevilor, și se continuă extrașcolar, organizați în grupe de câte patru. Această metodă se aplică după predarea lecției ,,Teorema fundamentală a asemănării”, ca aplicație a acesteia. Modul de lucru a fost explicat în prealabil la clasă, ca aplicație a teoremei fundamentale a asemănării, și în paragraful 2.1.2. Elevilor li se mai explică încă o dată modul de lucru și se precizeză faptul că au nevoie de un coechipier pentru a putea efectua măsurători și a determina înălțimea casei. Ei vor folosi un obiect a cărui înălțime trebuie măsurată. Apoi vor plasa obiectul pe raza vizuală care merge spre baza casei și cea care merge spre vârful casei. Vor măsura distanțele până la baza casei și până la obiect. Toate aceste date vor fi trecute într-un tabel. Apoi cu teorema fundamentală a asemănarii determină înălțimea casei. Tabelul va arăta astfel:

Fiecare elev va primi un astfel de tabel, pentru a putea începe investigația. Se vor forma si echipele de lucru. Timpul alocat explicării sarcinilor este de aproximativ 15-20 minute.

Profesorul alocă investigației o perioadă de o săptămână. După ce fiecare membru al echipei completează acest tabel, se reunesc și discută rezultatele obținute. Apoi acestea se vor centraliza într-un tabel, corespunzător fiecărei echipe. Aici se pot face tot felul de comparații: care este cea mai înaltă casă, care este cea mai scundă, cu cât este mai înaltă o casă față de cealaltă, de câte ori este mai mică înălțimea uneia față de cealaltă, etc. Tabelul poate avea următoarea formă:

După o săptămână echipele se întâlnesc și discută rezultatele obținute. Se pot face statistici la nivel de clasă: care este cea mai înaltă casă, care este cea mai scundă, ce diferențe apar, câți elevi locuiesc în case cu înălțimi cuprinse între anumite limite. Această discuție durează în jur de 30 minute.

Evaluarea investigației se face holistic, pentru toți membrii unei echipe. Se ține seama de claritatea prezentării rezultatelor, de corectitudinea aplicării metodei de determinare a înălțimii și de corectitudinea calculelor, dar și de gradul de finalizare a sarcinii. Evaluarea poate dura 30 minute. Astfel, toți elevii sunt puși să acționeze și toți conștientizează importanța proprie în derularea activității.

Proiectul

Această metodă constă în realizarea unui produs pe baza colectării și prelucrării

unor date referitoare la o temă dinainte stabilită. Proiectul pune accent ridicat pe activitatea elevului și permite folosirea liberă a cunoștințelor dobândite, dar în contexte noi și diferite de alte situații întâlnite.

Metoda proiectului încurajează abordarea integrată a învățării deoarece elevii pot utiliza cunoștințele și tehnicile de lucru dobândite la mai multe discipline. Ei pot decide nu numai asupra conținutului proiectului, dar și asupra modului de prezentare.

Această activitate centrată pe elev îi oferă acestuia posibilitatea de a îmbina într-un mod personal cunoștințele pe care le are, răspunzând astfel întrebării esențiale pe care și-o pun majoritatea elevilor: ,,Ce pot face eu cu ceea ce am învățat la școală?”.

Orice proiect începe în clasă, unde sunt conturate obiectivele, sunt formulate sarcinile de lucru și sunt formate echipele de lucru. Activitatea continuă în afara orelor de curs, sub îndrumarea profesorului. Elevii stabilesc metodele de lucru și termenele pentru fiecare etapă a proiectului. După ce aceștia strâng toate datele necesare, le organizează și găsesc soluții, vor veni în clasă, unde se încheie proiectul prin prezentarea rezultatelor obținute și a concluziilor.

Pentru o bună desfășurare a unui proiect trebuie avute în vedere următoarele sugestii:

elevii trebuie ajutați să întocmească o listă cu întrebări esențiale legate de tema

proiectului astfel încât aceștia să realizeze conținutul proiectului în jurul acestor întrebări;

să se acorde levilor libertatea de a-și organiza și structura proiectul, dar dându-le

câteva elemente obligatorii, de exemplu: introducere, concluzii, bibliografie. Nu trebuie grăbită activitatea elevilor, dar trebuie stabilit de către aceștia un grafic de desfășurare a etapelor, cu termene realiste;

trebuie urmărită cu atenție activitatea elevilor, cerându-le să raporteze periodic

gradul de realizare a proiectului. În activitatea lor nu se intervine, numai dacă este strict necesar. Elevii trebuie lăsați să se descurce cât mai mult singuri.

Evaluarea proiectului se va face calitativ, făcând referire la calitatea proiectului,

adică respectarea tematicii, completitudine, structură, creativitate, cât și calitatea activității elevilor, adică documentarea, comunicarea, calitatea rezultatelor.

Exemplu: Proiectul următor este un demers practic-aplicativ al poligoanelor regulate înscrise în cerc.

Titlul proiectului: Realizarea cu costuri minime a unui loc de joacă împrejmuit cu gard, având forma unui hexagon regulat, ce include o groapă circulară cu nisip.

Pași în derularea proiectului:

Familiarizare: investigarea modului de construire a locului de joacă și a

materialelor necesare.

Structurare: determinarea dimensiunilor locului de joacă (latura

hexagonului și raza gropii de nisip, alese de fiecare); găsirea modalității de marcare pe teren a hexagonului (elevii vor trasa un cerc cu raza egală cu latura hexagonului, folosind o sfoară și un țăruș, după care, tot cu ajutorul sforii și țărușului vor trasa laturile hexagonului); trasarea cercului pentru groapa de nisip; determinarea perimetrului hexagonului, ariei hexagonului, ariei cercului gropii de nisip și înregistrarea datelor; identificarea materialelor necesare construcției gardului (plasă de sârmă sau lemn) și pavajului terenului (piatră de pavaj, pietriș, nisip) astfel încât costurile să fie minime. Aceste decizii aparțin elevilor.

Aplicare: utilizarea concluziilor obținute în luarea unor decizii.

Experimentul

Aceasta este o metodă de explorare a realității folosită în predare-învățare ce are

valoare formativă deoarece dezvoltă spiritul de observație, investigare, capacitatea de înțelegere a fenomenelor, de prelucrare și interpretare a datelor experimentului, interesul pentru cunoaștere, curizitatea, etc.

Rolul profesorului este de a dirija acțiunile elevilor cu scopul cunoașterii unor aspecte ale realității. Elevii au ocazia să studieze pe viu, să fie în contact direct cu realitatea, învățând prin descoperire.

Descoperirea didactică se poate realiza prin mai multe metode didactice: observare independentă sau dirijată, învățarea prin încercări și experiențe, studiul de caz, studiul individual, problematizarea.Astfel, relația experiment-învățare prin descoperire este de fapt relația metodă-procedeu și este o relație dinamică.

În cadrul experimentului cel mai important rol îl are observarea, care este euristică și participativă. Experimentul urmărește descrierea, explicarea și interpretarea unor fenomene cu ajutorul unor sarcini de învățare. El are și rolul de a dezvolta unele calități comportamentale ele elevului: răbdare, consecvență, perseverență, imaginație și perspicacitate, gândire, spiritul de observație și colaborarea în cadrul unui grup.

Experimentele se folosesc de obicei integrate în lecție, în anumite etape ale acesteia.

După locul pe care îl ocupă în lecție experimentele se clasifică astfel:

experimente pentru stimularea interesului față de noile informații, motivând

învățarea: se regăsesc în momentul introducerii în lecție;

experimente pentru învățarea informațiilor noi, pentru aprofundarea sau

extinderea lor: se regăsesc în lecția propriu-zisă. Ele se mai numesc și experimente demonstrative pregătite de profesor înainte de lecție și prezentate clasei cu scopul de a demonstra, explica și confirma anumite adevăruri;

experimente pentru fixarea cunoștințelor: se introduc pe parcursul lecției în

momentele de feed-back sau de recapitulare;

experimente pentru evaluare.

În funcție de durata desfășurării experimentelor acestea se clasifică astfel:

experimente imediate: desfășurarea lor nu necesită mult timp (începe, se

desfășoară și se termină în cadrul orei de curs);

experimente de durată: desfășurarea lor se întinde pe o perioadă de timp mai

îndelungată și necesită notarea pe o fișă a tuturor modificărilor produse în timpul experimentului pe întreaga perioadă de desfășurare.

Din punctul de vedere al participării și implicării elevilor în cadrul experimentului acesta se poate desfășura:

pe grupe (2-3 elevi): experimentul se desfășoară într-un timp scurt, sarcinile sunt

împărțite, asigurându-se participarea tuturor elevilor la activitate;

individual: fiecare elev lucrează independent, concomitent cu profesorul. Elevii

sunt antrenați în mod egal;

frontal (forma combinată): experimentul este efectuat de fiecare elev, în același

timp, același ritm, pe aceeași temă, sub îndrumarea profesorului. Acest mod de lucru necesită aparatură pentru fiecare elev, dar are un efect instructiv și de învățare ridicat.

Metoda experimentului este foarte eficientă la matematică deoarece poate înlocui demonstrații care de multe ori depășesc puterea de înțelegere a elevului. Însă este necesar a respecta câteva recomandări privind aplicarea metodei experimentului:

identificarea diverselor situații-problemă care pot fi modelate și confirmate prin

intermediul unui experiment;

organizarea unor situații de învățare în care elevii imaginează și desfășoară

experimente;

folosirea, dacă este necesar, a dotărilor existente în laboratorul de fizică.

Exemplu: Se propune elvilor următoarea situație-problemă: care este poziția centrului de greutate al triunghiului față de o latură și față de un vărf?

O posibilă modalitate de determinare a poziției centrului de greutate este aceea prin care elevul desenează un triunghi oarecare, apoi construiește cu ajutorul riglei cele trei mediane, făcând măsurători cât mai exacte. După ce a determinat centrul de greutate ia în considerare o mediană, măsoară lungime acesteia, apoi măsoară distanțele de la centrul de greutate la latură și la vârf. Toate măsurătorile se trec într-un tabel. Prin calcul se poate verifica valabilitatea enunțului care spune că centrul de greutate al unui triunghi este situat la o treime de latură și două treimi de vârf. Experimentul se repetă și pentru celelalte mediane.

Jocul de rol

Metoda jocului de rol pornește de la ideea că se poate învăța și din interpretarea

unei situații reale, nu numai din prelegerile susținute de profesor. Elvii sunt puși la clasă să interpreteze o situație reală sau imaginară. Tot ei trebuie să găsească soluții la problemele impuse de situațiile interpretate.

Jocul de rol este o metodă de învățare activă care se bazează pe experiența elevilor , oferindu-le un scenariu în care fiecare are un rol de interpretat. Metoda are ca element principal discuția și învățarea din experiența individuală a fiecărui elev, dar și a celorlalți.

Astfel se realizează o simulare a unei situații care pune elevul în ipostaze care nu-i sunt familiare, ajutându-l să înțeleagă acea situație, dar să înțeleagă și alte persoane care au alte puncte de vedere, interese, preocupări si motivații diferite.

Etapele metodei jocului de rol sunt următoarele:

stabilirea obiectivelor urmărite, a temei sau problemei pe care metoda trebuie să

le prezinte, dar și a personajelor care trebuie interpretate;

pregătirea fișelor în care sunt descrise rolurile;

stabilirea, împreună cu elevii, cîți dintre aceștia vor juca roluri, câți vor fi

observatori, modul de interpretare (simultan, în grupuri mici sau cu clasa);

stabilirea modului în care se va desfășura jocul de rol ( povestire, scenetă sau

proces);

pregătirea grupului în vederea începerii jocului de rol. Dacă acest lucru se

întâmplă pentru prima dată, se va alege un scenariu mai ușor;

acordarea timpului necesar elevilor pentru a-și pregăti rolurile;

interpretarea rolului de către elevi;

în timpul desfășurării scenariului este necesar a se face câte o scurtă pauză,

cerând elevilor să reflecteze asupra a ceea ce se întâmplă.

Important este ca elevii să reflecteze la activitatea desfășurată și să o privească ca pe o activitate de învățare. Evaluarea activității se face împreaună cu toți elevii.

Se recomandă următoarele lucruri cu privire la aplicarea metodei jocului de rol la orele de matematică:

identificarea unei situații care ar putea fi simulată printr-un joc de rol;

parcurgerea etapelor recomandate;

evaluarea eficienței acestui procedeu ținând cont de cunoașterea și înțelegerea

conceptelor discutate, făcând în acelși timp o comparație cu alte metode de organizare a învățării;

comunicarea colegior a concluziilor la care s-a ajuns.

Exemplu: Un joc de rol organizat în contextul întâlnirii bisectoarei și medianei triunghiului, între care are loc o discuție: oare ce își spun?

Pentru desfășurarea jocului de rol profesorul stabilește împreună cu elevii cine va juca rolul bisectoarei și rolul medianei. Restul elevilor vor fi observatori. Cei doi ,,actori” vor primi fișele cu dialogul, pregătite anterior activității de către profesor. Ambele fișe sunt identice, având grijă ca replicile unui elev să fie scrise îngroșat, pentru a le identifica mai ușor. Replicile bisectoarei au în față litera ,,B”, iar cele ale medianei au litera ,,M”. Profesorul explică elevilor cum se va desfășura jocul de rol, după care le acordă puțin timp pentru acomodarea cu rolul primit.

Dialogul se axează pe replici prin care cele două personaje se laudă, legate de proprietățiile lor (concurență, măsuri de unghiuri, mijlocul unei laturi), de deosebiri (se invocă importanța fiecăreia), dar și de asemănări (într-un triunghi echilateral coincid).

Fișa poate avea următorul format:

Bisectoarea și mediana

(joc de rol)

B: Bună! Eu sunt BISECTOAREA! Tu cine ești?

M: Eu sunt MEDIANA! Bună!

B: Vrei să fim prietene?

M: Da, dar trebuie să te cunosc mai bine. Ce poți să-mi spui despre tine?

B: Numai lucruri bune. Eu pot să împart un unghi al triunghiului în două părți egale. Tu poți să faci așa ceva?

M: Ha! Cum să nu! Eu împart o latură a triunghiului în două părți egale.

B: Aaaa! Dar eu și celelalte două bisectoare suntem concurente în același punct. Ști cum se numește punctual de intersecție?

M: Nu.

B: Centrul cercului înscris în triunghi. Deci, eu pot să țin un cerc în brațe. (elevul gesticulează ca și când ar ține o minge în brațe)

M: Ooooo, atunci eu sunt mai importantă decât tine! Și ști de ce? Dacă noi, medianele, ne intersectăm, găsim centrul de greutate al triunghiului și oricine poate ține triunghiul pe vârful unui deget. Uita așa! (elevul are pregătit un triunghi din carton pe care a trasat cele trei mediane și a marcat centrul de greutate)

B: Eu cred că amâdouă suntem la fel de importante. Ști că într-un triunghi echilateral suntem surori gemene?

M: Da, ai dreptate! Eu zic să ne dăm mâna și să fim cele mai bune prietene. (elevii își dau mâna și pleacă împreună)

După desfășurarea jocului de rol profesorul analizează împreună cu elevii această experiență de învățare. Analiza se face din perspectiva actorilor, dar și a observatorilor. Se pot pune întrebări de genul:

Ce sentimente aveți legat de rolurile interpretate?

Interpretarea a fost conform realității?

Ar fi putut fi ceva diferit în interpretare?

Ar fi fost posibil un alt final?

A fost utilă această activitate?

Ce ați învățat di această experiență?

Capitolul V. CERCETARE PEDAGOGICĂ. STUDIU DE CAZ PRIVIND EFICIENȚA METODELOR FOLOSITE LA CLASĂ

Nevoile și cerințele învățământului modern solicită cadrelor didactice o schimbare a modului de abordare a activității didactice și a strategiilor de predare-învățare. Regândirea educației formale se impune și ne obligă să schimbăm relația cu elevii și între elevi, promovând sprijinul reciproc și dialogul constructiv, prin utilizarea unor metode și tehnici cât mai atractive în activitatea didactică.

Cercetarea pedagogică este o formă a cercetării științifice care are drept

scop identificarea și optimizarea factorilor educaționali ce contribuie la îmbunătățirea activității de instruire și de educare. Aceasta este importantă atât sub aspect teoretic, deoarece asigură cunoașterea, înțelegerea și interpretarea fenomenului educațional, cât și sub aspect practic, contribuind la optimizarea practicilor educative. Cercetarea are un caracter prospectiv, în sensul că vizează dezvoltarea personalității elevilor în perspectiva cerințelor dezvoltării sociale, a exigențelor societății și un caracter ameliorativ, conducând la optimizarea activității instructive-educative, la sporirea eficienței acesteia. Realizarea unei cercetări pedagogice se bazează pe colectarea, prelucrarea și interpretarea datelor specifice fenomenelor educaționale investigate.

Metodele reprezintă o cale generală de descoperire a adevărului, însă

tehnicile sunt formele concrete pe care le îmbracă metoda. În cercetare se utilizează

numeroase metode și tehnici de investigație printre care observația, ancheta,

chestionarul, experimentul, metoda testelor, etc. [2], [3], [20], [21], [26].

5.1 Motivul și scopul cercetării

Lucrarea de față a luat naștere din dorința de a cerceta cu mare atenție metodele tradiționale și moderne activ-participative folosite în matematica de gimnaziu, ca o componentă de bază a procesului instructiv-educativ, și dorința de a-i face pe elevi să înțeleagă și să descopere caracterul aplicativ al geometriei, respectiv al matematicii în viața reală. Studiul metodelor de predare-învățare activ-participative are ca scop identificarea celor mai eficiente modalități prin care elevul să găsească în permanență motivația necesară studiului și învățării matematicii, atât pentru atingerea unor performanțe școlare, cât și pentru stabilirea unor conexiuni cu alte domenii de studiu în care matematica are aplicabilitate.

Activitatea experimentală s-a desfășurat în perioada septembrie

2018–iunie 2019 în cadrul Școlii Gimnaziale Șoarș și Școlii Gimnaziale Bărcuț, având ca obiect folosirea eficientă a metodelor și tehnicilor de predare-învățare la disciplina matematică, care să determine creșteri calitative la nivelul învățării elevilor.

Scopul cercetării l-a constituit măsurarea progresului cognitiv al elevilor în urma

utilizării unor metode de predare-învățare activ-participative, progres ce a putut fi măsurat prin administrarea unor teste.

5.2 Ipoteza și obiectivele cercetării

În prоϲеѕul dе învățarе dіn gіmnazіu trеbuіе ѕă ѕе fоlоѕеaѕϲă mеtоdе cât mai atractive, ϲarе să motiveze învățarea și să stârnească interesul pentru studiul matematicii, implicit pentru studiul geometriei. Aceste metode trebuie să stimuleze gândirea elevului și să-l implice cât mai mult în procesul de predare-învățare.

Ipoteza cercetării – aplicarea în procesul de predare-învățare a metodelor tradiționale, a celor moderne și a celor active-participative va crește eficiența activității de înțelegere a problemelor de geometrie în plan, schimbându-le elevilor conduita de învățare și formându-le valori și atitudini pozitive.

Rolul de bază al acestei lucrări este acela de a găsi cele mai potrivite și eficiente metode care să conducă la înțelegerea, asimilarea și aplicarea noțiunilor de geometrie, în general, și a relțiilor metrice în tringhi și în cerc, în particular, care să ofere elevilor posibilitatea obținerii performanței dorite, urmărite.

Obiectivele cercetării:

еvіdеnțіеrеa prіnϲіpalеlοr mοdalіtățі dе aϲtіvіzarе a еlеvіlοr іndіѕpеnѕabіlе

іntеgrărіі șі rеușіtеі șϲοlarе, ϲarе pοt fі abοrdatе în prеdarеa-învățarеa relațiilor metrice în triunghi și în cerc;

creșterii eficienței învățării elementelor de geometrie, prin utilizarea frecventă a

metodelor moderne de predare-învățare;

evidențierea avantajelor utilizării învățării prin combinarea metodelor tradiționale ;

fοrmarеa dеprіndеrіlοr dе munϲă іndеpеndеntă ѕau în еϲhіpă, de colaborare,

dеzvοltarеa gândіrіі ϲrеatοarе a еlеvіlοr;

ѕtіmularеa іntеrеѕuluі еlеvіlοr pеntru această disciplină dе învățământ;

rеalіzarеa unuі prοgrеѕ șϲοlar ϲοntіnuu, ϲrеștеrеa număruluі dе еlеvі

pеrfοrmanțі.

Obiectivele etapei constatative au fost împărțite în două mari categorii și anume:

– obiective cu caracter general

– obiective cu caracter specific.

În categoria obiectivelor cu caracter general au fost incluse:

– Stabilirea măsurii în care sunt folosite metodele de predare și învățare active;

– Stabilirea nivelului de cunoștințe ale elevilor înainte de începerea experimentului formativ.

În categoria obiectivelor cu caracter specific au fost incluse:

– Trecerea în revistă și selectarea metodelor și instrumentelor de cercetare;

– Alcătuirea eșantioanelor de subiecți;

– Alcătuirea eșantionului de conținut;

– Înregistrarea și selectarea opiniilor elevilor cu privire la modalitățile de predare și învățare a matematicii .

Legat de metodele de cercetare, nici una dintre metodele folosite, oricât ar fi fost de complexă și de elaborată, nu ar fi fost suficientă singură pentru realizarea întregului tablou de date necesar, de aceea s-a recurs la un sistem de metode care, acționând sinergic, au contribuit la construirea unei imagini clare a situației actuale.

Folosirea metodelor moderne în procesul de predare-învățare și în acord cu nivelul de pregătire și profilul de învățare al elevilor poate duce la îmbunătățirea semnificativă a rezultatelor învățării matematicii și implicit a motivației pentru studiul acestei discipline.

5.3 Organizarea cercetării. Prezentarea eșantionului

Organizarea cercetării

Tipul cercetării: aplicativă-ameliorativă

Perioada de cercetare: anul școlar 2018-2019, clase de a VII-a

Locul de desfășurare a cercetării: Școala Gimnazială Șoarș și Școala

Gimnazială Bărcuț

Disciplina de învățământ vizată: Matematică

Metode de cercetare folosite:

experimentul pedagogic

metoda observației sistematice

metoda anchetei pe bază de chestionar

matematice: de prelucrare și interpretare a datelor (numărarea, întocmirea

tabelelor de rezultate și consemnare a datelor în foile de observație după administrarea probelor și înregistrarea performanțelor, tabele analitice, tabele sintetice, reprezentări grafice etc.).

Instrumente de cercetare folosite:

grila de întrebări

fișa de observație

chestionarele

testele de cunoștințe

Etapele implicate

1. Realizarea unui studiu diagnostic referitor la rolul metodelor moderne în procesul de predare-învățare precum și a instruirii diferențiate;

2. Identificarea aspectelor relevante în vederea implicării elevilor în desfășurarea lecțiilor în urma utilizării metodelor moderne, tradiționale și a instruirii diferențiate;

3. Elaborarea de instrumente de cercetare adecvate;

4. Culegerea datelor;

5. Analiza și interpretarea datelor prin valorificarea dimensiunilor calitativă și cantitativă ale cercetării.

Stabilirea calendarului cercetării și asigurarea măsurilor de respectare a

acestuia

În funcție de planificările calendaristice elaborate la începutul anului școlar, s-a stabilit, pentru fiecare etapă, perioada necesară derulării ei.

Eșantionul de conținut

Conținuturile sunt cele din programa de matematică la clasa a VII-a, conform cu programa școlară aprobată prin Ordinul Ministrului Educației Naționale nr.5097/09.09.2009.

Stabilirea eșantionului de elevi cuprinși în cercetare

Pentru cercetare am folosit un eșantionul experimental compus din 15 elevi (clasa a VII-a) de la Școala Gimnazială Șoarș, pentru care activitatea didactică de predare-învățare s-a desfășurat utilizând metode și tehnici tradiționale îmbinate cu cele moderne. Am folosit și un eșantion de control compus din 6 elevi (clasa a VII-a) de la Școala Gimnazială Bărcuț, pentru care activitatea didactică de predare-învățare s-a desfășurat utilizândnumai metode și tehnici tradiționale.

Descrierea eșantionului de elevi

Clasa a VII-a de la Școala Gimnazială Șoarș este formată, la începutul anului școlar, din 15 elevi, dintre care 5 fete și 10 băieți, iar clasa a VII-a de la Școala Gimnazială Bărcuț este format din 6 elevi, 5 fete și un băiat, având vârste cuprinse între 12 și 14 ani.

La Școala Gimnazială Șoarș doar 6 elevi provin din familii echilibrate, cu un venit stabil și un mediu propice învățării, restul provenind din familii cu părinți despărțiți, părinți recăsătoriți, unul sau ambii părinți plecați în străinătate, locuind cu bunicii, singura lor sursă de venit fiind un ajutor social, alocația de stat pentru creșterea copilului sau banii trimiși de părinți. La Școala Gimnazială Bărcuț toți elevii provin din același mediu ce nu le oferă condiții decente de studiu, un elev neavând nici current electric. Printre aceștia există și elevi care absentează din cauza părinților care îi opresc acasă pentru a avea grijă de frații mai mici sau pentru a merge la muncă. Absenteismul ridicat influențează negativ rezultatele acestor elevi, deoarece golurile acumulate sunt foarte greu de recuperat în situația lor. Nivelul celor două clase este unul mediu.

Relațiile elevului în cadrul grupului social căruia îi aparține, adică cu ceilalți elevi, au o importanță foarte mare asupra evoluției personalității sale, dar și asupra rezultatelor învățării. Existența coeziunii grupului (gradul de unitate și integrare a

colectivului școlar) are efecte puternice asupra membrilor grupului.

5.4 Etapele cercetării

Ca tip de experiment, cercetarea n-a urmărit să modifice realitatea școlară, ci să recolteze date, fapte care să confirme sau infirme necesitatea de a alege strategiile și tehnicile optime de predare-învățare utililizând metode activ-participative.

Experimentul s-a desfășurat parcurgând trei etape:

1. Etapa inițială (constatativă) are rolul de a stabili nivelul fiecărui elev în momentul începerii experimentului; se măsoară nivelul variabilei dependente pe ambele grupuri, experimental și de control, condiția fundamentală în această fază fiind ca cele două grupuri să fie cât mai apropiate sub aspectul variabilei urmărite pentru a le considera comparabile.

Etapa inițială s-a desfășurat la începutul semestrului I. În această perioadă s-au strâns informații despre capacitatea intelectuală a elevilor, despre modul în care și-au format priceperi și deprinderi de muncă, de studiu, despre atitudinea față de profesor și disciplina studiată, adică matematica, față de trăsăturile de personalitate ale elevilor.

S-a urmărit comportamentul elevilor în timpul orelor de curs și s-au completat fișele de observație curentă.

La începutul anului școlar 2018-2019 eșantionul format din cei 21 de elevi ai claselor a VII-a a fost cercetat pe baza studierii documentelor școlare. În primele ore

ale semestrului I s-au administrat două teste de evaluare inițială identice pentru cele

două eșantioane în vederea diagnosticării. Testul inițial de evaluare a fost structurat pe itemi semiobiectivi și subiectivi, cotat ca fiind de nivel mediu. Baremul de corectare și de notare a urmărit defalcarea punctajului în funcție de tipurile de greșeli pe care le-ar putea comite elevii, iar rezultatele au fost centralizate atât pe note, cât și în procente, în acest mod putând să evidențiem nivelul cognitive al elevilor la începutul experimentului.

Matricea de specificații pe baza căreia a fost elaborat testul de evaluare inițială

pentru clasa a VII-a este următoarea:

MATRICEA DE SPECIFICAȚII – TEST DE EVALUARE INIȚIALĂ

CLASA a VII-a

TEST DE EVALUARE INIȚIALĂ

Matematică

Anul școlar 2019-2020

Clasa a VII-a

Pentru rezolvarea corectă a tuturor cerințelor din Partea I și din Partea a II-a se acordă 90 de puncte. Din oficiu se acordă 10 puncte.

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 50 minute

PARTEA I Scrieți litera corespunzătoare singurului răspuns corect (45 de puncte)

5p 1. Rezultatul calculului 2 – 3 + 5 – 9 + 6 este:

A. 9 B. 1 C. -1 D. 3

5p 2. Cel mai mare divizor comun al numerelor 180 și 168 este:

A. 36 B. 24 C. 12 D. 72

5p 3. Dacă , atunci raportul dintre x și y este egal cu:

A. B. C. D. –

5p 4. Un automobil se deplasează 2 ore cu viteza de 57 km/h și 3 ore cu viteza de 72

km/h. Viteza medie de deplasare a automobilului a fost de:

A. 64,5 km/h B. 25,8 km/h C. 66 km/h D. 68 km

5p 5. Un elev are de rezolvat un anumit număr de probleme. După ce a rezolvat 40%

din ele a constatat că mai are de rezolvat 30 probleme. Elevul a avut de

rezolvat un număr de probleme egal cu:

A. 50 B. 12 C. 18 D. 75

5p 6. Raportul a două numere este și diferența lor este 8. Suma celor două numere

este egală cu:

A. 320 B. 23 C. 64 D. 32

5p 7. Măsurile unghiurilor ascuțite ale unui triunghi dreptunghic sunt invers

proporționale cu numerele și . Cel mai mic dintre unghiuri măsoară :

A. 30o B. 60o C. 20o D. 10o

5p 8. Semiperimetrul unui triunghi echilateral este egal cu 18 cm. Lungimea

laturii triunghiului are :

A. 6 cm B. 12 cm C. 3 cm D. 36 cm

5p 9. Media aritmetică a două unghiuri ale unui triunghi este 450. Măsura celui de-al

treilea unghi este egală cu :

A. 135o B. 60o C. 45o D. 90

PARTEA a II-a La următoarele probleme se cer rezolvări complete. (45 de puncte)

9p 10. Rezolvați, în mulțimea numerelor întregi, ecuația : – 0,5 = .

9p 11. Determinați valorile întregi ale lui x, astfel încât să fie număr întreg.

9p 12. La o cantină s-au adus 320 pungi de pufuleți, 192 batoane de ciocolată și

112 portocale. Calculați numărul maxim de pungi identice ce se pot forma cu

aceste produse.

9p 13. În triunghiul ABC echilateral [AD] este înălțime, D(BC). Știind că M este

mijlocul lui [AB] arătați că MD+BD = AC.

9p 14. În triunghiul ABC isoscel de bază BC, punctul D este mijlocul lui [BC] și

M(AD). Perimetrul triunghiului BMC este 28 cm, iar BC = 12 cm. Determinați

lungimea segmentului BM.

BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE

PARTEA I (45 de puncte)

Se punctează doar rezultatul astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie punctajul maxim prevăzut în dreptul fiecărei cerințe, fie 0 puncte.

Nu se acordă punctaje intermediare.

PARTEA a II-a (45 de puncte)

Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător.

Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.

Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea punctajului obținut la 10.

COMPETENȚELE DE EVALUAT ASOCIATE TESTULUI DE EVALUARE

INIȚIALĂ PENTRU CLASA a VII-a

C1. Aplicarea regulilor de calcul și folosirea parantezelor în efectuarea operațiilor cu numere întregi/raționale pozitive;

C2. Utilizarea algoritmilor pentru determinarea c.m.m.d.c., c.m.m.m.c. a două sau mai multor numere naturale;

C3. Alegerea metodei adecvate de rezolvare a problemelor în care intervin rapoarte, proporții și mărimi direct sau invers proporționale;

C4. Transpunerea unei situații-problemă în limbaj algebric, rezolvarea problemei obținute și interpretarea rezultatului;

C5. Interpretarea informațiilor conținute în reprezentări geometrice în corelație cu determinarea unor lungimi de segmente și a unor măsuri de unghiuri;

C6. Exprimarea caracteristicilor matematice ale triunghiurilor și ale liniilor importante în triunghi prin definiții, notații și desen.

Analiza rezultatelor testului inițial

Clasa a VII-a – eșantion experimental

Număr total elevi : 15

În urma aplicării testului inițial s-au evidențiat următoarele aspecte:

media generală a clasei: 5,66 (cinci 66%)

ponderea (%) notelor sub 5 din numărul total al elevilor evaluați: 20%

ponderea(%) notelor între 5 și 6,99 din numărul total al elevilor evaluați:53,33%

ponderea (%) notelor între 7 și 10 din numărul total al elevilor evaluați: 26,67%.

Clasa a VII-a – eșantion de control

Număr total elevi : 6

În urma aplicării testului inițial s-au evidențiat următoarele aspecte:

media generală a clasei: 5,00 (cinci)

ponderea (%) notelor sub 5 din numărul total al elevilor evaluați: 33,33%

ponderea(%) notelor între 5 și 6,99 din numărul total al elevilor evaluați:50%

ponderea (%) notelor între 7 și 10 din numărul total al elevilor evaluați: 16,67%.

În urma analizei testelor inițiale și în raport cu competențele vizate s-a constatat existența unei ponderi reduse a răspunsurilor corecte în cazul competențelor:

C4. Transpunerea unei situații-problemă în limbaj algebric, rezolvarea problemei obținute și interpretarea rezultatului;

C5. Interpretarea informațiilor conținute în reprezentări geometrice în corelație cu determinarea unor lungimi de segmente și a unor măsuri de unghiuri;

C6. Exprimarea caracteristicilor matematice ale triunghiurilor și ale liniilor importante în triunghi prin definiții, notații și desen.

Însă, ponderile cele mai mari ale răspunsurilor corecte s-au obținut la competențele ce aveau în vedere:

C1. Aplicarea regulilor de calcul și folosirea parantezelor în efectuarea operațiilor cu numere întregi/raționale pozitive;

C2. Utilizarea algoritmilor pentru determinarea c.m.m.d.c., c.m.m.m.c. a două sau mai multor numere naturale.

Cele mai multe răspunsuri corecte s-au obținut la itemii care corespund competențelor C1 și C2 care s-au axat pe conținuturile referitoare la:

Operații cu numere întregi și raționale;

Descompunerea în produs de factori primi a numerelor naturale;

Aplicarea algoritmului de determinare a c.m.m.d.c.

Cele mai multe răspunsuri greșite s-au obținut la itemii care corespund competențelor C4, C5 și C6 și care s-au axat pe conținuturile referitoare la:

Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor;

Perimetru și semiperimetru;

Suma măsurilor unghiurilor ascuțite ale triunghiului dreptunghic;

Triunghi isoscel, triunghi echilateral. Proprietăți.

S-a constatat că elevii nu cunosc suficient:

– Să efectueze calculi cu numere raționale;

– Să rezolve ecuații;

– Să calculeze media aritmetică și aritmetică ponderată a diferitelor numere reale;

– Să construiască figurile geometrice cu ajutorul datelor din problemă;

– Să rezolve probleme de geometrie.

Aspecte pozitive:

Elevii știu:

-să efectueze calcule cu numere întregi, respectând ordinea efectuării operațiilor;

– să calculeze un procent dintr-un număr.

2. Etapa de progres (ameliorativă)

Această etapă s-a desfășurat pe parcursul semestrelor întâi și al doilea. În vederea demonstrării ipotezei la clasa de control s-au folosit metode de predare-învățare tradiționale, iar la clasa experimentală aceste metode au fost combinate cu cele moderne și activ-participative, menite să verifice în ce măsură elevii au realizat obiectivele prevăzute de programă și și-au însușit conținuturile preconizate.

În semestrul I au fost studiate unitățile de învățare ,,Teorema lui Thales” și ,,Teorema fundamentală a asemănării”, iar în semestrul II au fost studiate unitățile de învățare ,, Relații metrice în triunghiul dreptunghic”, ,,Elemente de trigonometrie în triunghiul dreptunghic”, ,,Cercul” și ,,Poligoane regulate”, respectând planificarea întocmită conform cu programa școlară aprobată prin Ordinul Ministrului Educației Naționale nr.5097/09.09.2009.

La clasa experimentală am utilizat metodele moderne de predare-învățare, adică învățarea prin descoperire dirijată, metoda învățării pe grupe, învățarea prin cooperare, combinate cu metodele tradiționale. Am folosit și metodele de învățare activă: brainstormingul, mozaicul (metoda Jigsaw), investigația, proiectul, experimentul și jocul de rol. Prezentarea acestora și exemplificarea prin activități la clasă a fost realizată în subcapitolele 4.2 și 4.3.

Însă nu a fost suficientă doar o altă abordare a activității la clasă prin schimbarea și îmbinarea metodelor folosite, ci a trebuit să și monitorizez efectul acestora asupra rezultatelor învățării și a motivării elevului pentru studiul la clasă și individual. În acest sens am urmărit atingerea obiectivelor propuse.

În această etapă s-au folosit la ambele eșantioane fișe de lucru, probe de evaluare tradiționale, teste formative și teste sumative. În funcție de rezultatele obținute de elevi s-a revenit cu activități diferențiate și individualizate pentru a corecta dificultățile de învățare.

Printre metodele moderne de predare am introdus la resurse materiale calculatorul. Astfel am putut utiliza prezentările power point, care sunt foarte sugestive pentru elevi și ajută la însușirea noilor cunoștințe, aceasta deoarece se spune că mai întâi vedem și după aceea citim, deci ne bazăm în parte și pe memoria vizuală.

La predarea lecției ,, Asemănarea triunghiurilor. Teorema fundamentală a asemănării”, carea s-a desfășurat pe parcursul a două ore, am folosit o prezenatare power point, pe care o putem vizualiza la Anexa. După definirea triunghiurilor asemenea am enunțat teorema fundamentală a asemănării, demonstrând-o în cele trei situații. Apoi am prezentat cazurile de asemănare a triunghiurilor, urmate de exemple și aplicații ale teoremei. După predare au urmat câteva ore de aplicații, urmate de un test de evaluare.

TEST DE EVALUARE FORMATIVĂ

Teorema fundamentală a asemănării

Clasa a VII-a

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Timpul efectiv de lucru este de 50 minute.

(20p) Pentru exercițiile 1-3 completați răspunsul corect:

(5p) 1. Două triunghiuri se numesc asemenea dacă au laturile ………………………..și unghiurile ……………………………………

(5p) 2. Cazurile de asemănare ale triunghiurilor sunt:

…………………… b) …………………………. c) ………………………………

(10p) 3. În triunghiul ABC se consideră punctele D∈ (AB) și E ∈ (AC) astfel

încât DE || BC. Dacă AD = 6 cm, DE = 2,5 cm și BC = 5 cm, atunci lungimea laturii [AB] este egală cu………cm.

II. (4x5p=20p)Pentru problema de mai jos scrieți asocierile corecte dintre fiecare cifră din coloana A și litera corespunzătoare din coloana B.

În figura alăturată triunghiurile ABC și DEF sunt asemenea. Măsura unghiului ∡BAC este egală cu 70°, măsura unghiului DEF este egală cu 60°, BC = 3 cm, FE = 6 cm și AB = 2 cm.

A D

B C E F

III. (50p) Pentru exercițiile 1-2 redactați rezolvările complete:

(20p) 1. Se dau ABC și MNP, cu datele din figură.

Arătați că ABC ~ MNP;

Dacă m(B)+m(C)=125, aflați m(M);

Calculați lungimea lui AB;

Determinați aria ABC.

(15p) 2. Se consideră triunghiurile asemenea Δ ABC ~ Δ DEF. Dacă AB = 6 cm, AC = 8 cm, EF = 5 cm și valoarea raportului de asemănare este egală cu 1/2, calculați:

Lungimile laturilor [DE] și [DF];

Perimetrul triunghiului ABC;

Raportul ariilor celor două triunghiuri.

(15p) 3. În ABC din figura dată D(AB) și E(AC), astfel încât ADEBCA și

BD = 3AD. Demonstrați că .

Analiza rezultatelor testului formativ

Clasa a VII-a – eșantion experimental

Număr total elevi : 15

În urma aplicării testului formativ s-au evidențiat următoarele aspecte:

media generală a clasei: 6,60 (șase 60%)

ponderea (%) notelor sub 5 din numărul total al elevilor evaluați: 6,66%

ponderea(%) notelor între 5 și 6,99 din numărul total al elevilor evaluați:46,67%

ponderea (%) notelor între 7 și 10 din numărul total al elevilor evaluați: 46,67%.

Prezint în continuare rezultatele comparative între evaluarea inițială și evaluarea formativă pentru eșantionul experimental:

Clasa a VII-a – eșantion de control

Număr total elevi : 6

În urma aplicării testului inițial s-au evidențiat următoarele aspecte:

media generală a clasei: 5,50 (cinci 50%)

ponderea (%) notelor sub 5 din numărul total al elevilor evaluați: 16,67%

ponderea(%) notelor între 5 și 6,99 din numărul total al elevilor evaluați:66,66%

ponderea (%) notelor între 7 și 10 din numărul total al elevilor evaluați: 16,67%.

Prezint în continuare rezultatele comparative între evaluarea inițială și evaluarea formativă pentru eșantionul de control:

Constatări și concluzii – rezultatele testului de evaluare formativă aplicat

elevilor au relevat o îmbunătățire a performanțelor atinse comparativ cu testul inițial. Itemii aleși au fost diferiți de cei din structura testului inițial de evaluare. Media clasei a crescut comparativ cu cea de la testul inițial: la eșantionul experimental a crescut de la 5,66 la 6,60, iar la eșantionul de control a crescut de la 5,00 la 5,50. Am constatat o creștere mai mare a mediei clasei la eșantionul experimental, deci aplicarea la clasă a metodelor tradiționale de predare, combinate cu cele moderne este eficientă.

Dar utilizarea calculatorului nu presupune doar realizarea unei prezentări power point, putem folosi și un software educațional. Eu am folosit aplicația GeoGebra la lecția ,,Teorema lui Pitagora. Aplicații.” Pe parcursul desfășurării orei elevii au aplicat teorema lui Pitagora pentru a determina lungimile catetelor sau ale ipotenuzelur în triunghiuri dreptunghice, dar și celelalte teoreme studiate anterior, adică teoremele înălțimii și teorema catetei.

Pentru introducerea în atmosfera lecției elevii au completat un rebus, prin rezolvarea căruia au aflat cuvântul cheie al lecției. Rebusul se găsește în anexa.

Avantajul acestui joc este acela că elevii vor observa că pot aplica teorema lui Pitagora în triunghiuri dreptunghice cu dimensiuni diferite, dar și în alte figuri geometrice unde pot afla lungimile unor laturi. Astfel ei vor conștientiza importanța acestei teoreme și utilitatea acesteia.

Pentru început i-am îndrumat să construiască triunghiuri dreptunghice. După aceea le-au construit la dimensiunile date de problemele din fișă, apoi, cu ajutorul teoremei lui Pitagora au aflat laturile necunoscute și le-au comparat cu cele date de aplicație. Fișa se regasește în anexa.

În imaginile următoare am surprins doar trei din cele cinci triunghiuri la care elevii trebuiau să calculeze laturile necunoscute.

Pe lângă metodele moderne enumerate și prezentate am folosit și metoda ciorchinelui, utilizată la o lecție de recapitulare a cunoștințelor, ,,Relații metrice în triunghiul dreptunghic”. Proiectul didactic al acestei lecții este prezentat în anexa 1., urmat de fișa de lucru. Folosesc foarte des această metodă la lecțiile de recapitulare a cunoștințelor deoarece elevilor le place să completeze fișe, care vor fi puse la portofoliul fiecăruia.

Ciorchinele arată astfel:

Pentru completarea acestuia elevii vor răspunde la următoarele întrebări:

Care este ipotenuza triunghiului dreptunghic din desen?

Care sunt catetele triunghiului dreptunghic?

Care sunt proiecțiile catetelor pe ipotenuză?

Enunțați și scrieți cele două teoreme ale înălțimii.

Enunțați și scrieți teorema catetei.

Enunțați și scrieți teorema lui Pitagora.

Dați exemple de numere pitagoreice.

Scrieți relația de calcul a diagonalei pătratului în funcție de latură.

Scrieți relația de calcul a înălțimii triunghiului edhilateral în funcție de latură.

Enunțați definitiile rapoartelor constante în triunghiul dreptunghic: sin, cos, tg, ctg și valorile acestora pentru unghiurile cu măsurile de .

3.Etapa finală a cercetării s-a desfășurat la sfârșitul semestrului al II-lea. S-a aplicat un test de evaluare sumativă atât eșantionului experimental, cât și celui de control, pentru a înregistra

progresul și evoluția elevilor pe parcursul întregului an școlar atât sub raportul

cunoștințelor însușite, cât și al dezvoltării capacităților cognitive. Etapa finala constă în

măsurarea variabilelor dependente pe ambele eșantioane, folosindu-se probe similare. Se

compară datele de start cu cele finale și se stabilește relevanța diferențelor obținute, ceea

ce conduce la confirmarea sau infirmarea ipotezei cercetarii.

Test de evaluare sumativă

Clasa a VII-a, geometrie

Conținuturi vizate:

Asemănarea triunghiurilor (teorema lui Thales, asemănarea triunghiurilor, teorema fundamentală a asemănării) și relații metrice în triunghi (teorema catetei, teoremele înălțimii, teorema lui Pitagora, funcții trigonometrice).

Competențe specifice:

C1. Utilizarea proprietăților figurilor geometrice și a unor corpuri geometrice în

probleme de demonstrație și de calcul.

C2. Reprezentarea în desen a unor figuri geometrice cunoscute.

C3. Transpunerea în limbaj matematic a enunțului unei probleme.

C4. Investigarea valorii de adevăr a unor afirmații.

C5. Redactarea coerentă și completă a soluției de problemă.

Scopuri de evaluare:

Cunoașterea și înțelegerea relațiilor metrice în triunghi;

Cunoașterea teoremelor legate de relații metrice în triunghi și a relațiilor de calcul a funcțiilor trigonometrice;

Aplicarea acestor teoreme și relații în probleme simple;

Aplicarea acestor teoreme și relații în probleme complexe, cu mai mulți pași;

Au fost utilizate mai multe tipuri de itemi cu care elevii sunt deja obișnuiți:

Itemi obiectivi: de completare; cu alegere duală;

Itemi semiobiectivi: cu alegere multiplă și întrebări structurate.

La aplicarea directă a teoremelor am folosit itemii cu mai multe subpuncte,

urmărind întregul demers al elevului în rezolvarea lor, considerând relevante:

parcurgerea tuturor pașilor, aplicarea teoremelor, realizarea desenelor, efectuarea

înlocuirilor, efectuarea calculelor, încadrarea subiectului în contextul adecvat, alegerea

strategiei optime.

MATRICEA DE SPECIFICAȚII – TEST DE EVALUARE SUMATIVĂ

CLASA a VII-a

TEST DE EVALUARE SUMATIVĂ

Clasa a VII-a

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Timpul efectiv de lucru este de 50 minute.

I.(20p) Pentru exercițiile 1-3 completați răspunsul corect:

(5p) 1. O paralelă dusă la una din laturile unui triunghi determină pe celelate două laturi…….

……………………………..

(5p) 2. O paralelă dusă la una din laturile unui triunghi determină cu celelate două laturi…….

………………………………………………………………………………………..

(5p) 3. Într-un triunghi dreptunghic pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu …….

………………………………………………………………………………………..

(5p) 4. Într-un triunghi dreptunghic lungimea înălțimii corespunzăroare unghiului drept este egală cu…………………………………………………………………………….…….

………………………………………………………………………………………..

II.(4x5p=20p)Pentru problema de mai jos scrieți asocierile corecte dintre fiecare cifră din coloana A și litera corespunzătoare din coloana B.

În figura alăturată triunghiul ABC este dreptunghic, cu m(A)= 90°. Dacă AB=4 cm și BC=5 cm și AM este înălțime, atunci:

C

M

A B

III.(50p) Pentru exercițiile 1-2 redactați rezolvările complete:

(5p) 1. Calculează: sin 30◦ + cos 60◦ − tg 45◦.

(10p) 2. Latura unui hexagon regulat este egală cu 6 cm. Calculează:

a) perimetrul hexagonului;

b) aria hexagonului.

(20p) 3. Pe laturile AB și AC ale triunghiului ABC se consideră punctele M, respectiv N, astfel încât MN BC. Folosind informații din figura dată determină lungimile segmentelor indicate:

(15p) 4. Se consideră triunghiul dreptunghic ABC cu m(A)= 90°, în care tg C = 12/ 5 . Dacă AC = 10 cm, determină AB, BC și AD.

BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE

PARTEA I (20 de puncte)

Se punctează doar rezultatul astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie punctajul maxim prevăzut în dreptul fiecărei cerințe, fie 0 puncte.

Nu se acordă punctaje intermediare.

PARTEA a II-a (20 de puncte)

PARTEA a III-a (50 de puncte)

Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător.

Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.

Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea punctajului obținut la 10.

COMPETENȚELE DE EVALUAT ASOCIATE TESTULUI DE EVALUARE

SUMATIVĂ PENTRU CLASA a VII-a

C1. Utilizarea noțiunii de paralelism pentru caracterizarea locală a unei configurații geometrice date;

C2. Stabilirea relației de asemănare între două triunghiuri prin metode diferite;

C3. Aplicarea relațiilor metrice într-un triunghi dreptunghic pentru determinarea unor elemente ale acestuia;

C4. Interpretarea asemănării triunghiurilor în corelație cu proprietăți calitative și/ sau metrice;

C5. Transpunerea rezultatelor obținute prin rezolvarea unor triunghiuri dreptunghice la situații-probleme date;

C6. Interpretarea informațiilor conținute în probleme practice legate de cerc și de poligoane

regulate.

Analiza rezultatelor testului sumativ

Clasa a VII-a – eșantion experimental

Număr total elevi : 15

În urma aplicării testului formativ s-au evidențiat următoarele aspecte:

media generală a clasei: 7,00 (șapte)

ponderea (%) notelor sub 5 din numărul total al elevilor evaluați: 0%

ponderea(%) notelor între 5 și 6,99 din numărul total al elevilor evaluați:40%

ponderea (%) notelor între 7 și 10 din numărul total al elevilor evaluați: 60%.

Prezint în continuare rezultatele comparative între evaluarea inițială și evaluarea formativă pentru eșantionul experimental:

Clasa a VII-a – eșantion de control

Număr total elevi : 6

În urma aplicării testului inițial s-au evidențiat următoarele aspecte:

media generală a clasei: 5,83 (cinci 83%)

ponderea (%) notelor sub 5 din numărul total al elevilor evaluați: 16,67%

ponderea(%) notelor între 5 și 6,99 din numărul total al elevilor evaluați:66,66%

ponderea (%) notelor între 7 și 10 din numărul total al elevilor evaluați: 16,67%.

Prezint în continuare rezultatele comparative între evaluarea inițială și evaluarea formativă pentru eșantionul de control:

Analiză evaluare sumativă

În momentul aplicării testelor inițiale s-a constatat că cele două eșantioane erau

apropiate din punctul de vedere al pregătirii și al performanțelor școlare. Însă, după aplicarea testului de evaluare finală rezultatele au evidențiat detașarea clară a elevilor din grupul

experimental față de cei din eșantionul de control. În urma discuțiilor purtate cu elevii și părinții acestora a rezultat faptul că elevii din eșantionul experimental sunt mai atrași de studiul matematicii în general, și al geometriei în mod special, comparative cu începutul anului școlar.

A crescut și motivația învățării geometriei.

Voi prezenta acum evoluția celor două eșantioane pe parcursul anului școlar:

Metodele moderne de predare-învățare introduse în timpul cercetării în eșantionul

experimental au avut scopul de a-i obișnui pe elevi și cu alte stiluri de predare și învățare, cu munca individual și în echipă, dându-i elevului posibilitatea să lucreze în ritm propriu, evidențiind capacitatea de organizare a cunoștințelor după un plan logic, expunere, disciplină în

gândire, independență, putere de sinteză și de exprimare în scris, dar și verbală. Acestea

ajută elevii să fie mai comunicativi, să capete încredere în sine și în capacitățile lor intelectuale, să aivă curaj și inițiativă, să se pregătească mai bine pentru etapele următoare

din școală și pentru viață din punct de vedere al matematicii. Nu în ultimul rând pot afirma faptul că prin utilizarea acestor metode am reușit să elimin, în proporție foarte mare, plictiseala ce intervine la o lecție clasică de predare.

Ca urmare a analizei rezultatelor celor două clase am ajuns la concluzia că acestea susțin ipoteza.

În urma rezultatelor obținute la testul sumativ și prezentate în tabelul de mai sus , s-a observat la compararea cu mediilor obținute la testul inițial că între clasa experimentală și cea de control există diferențe semnificative. Astfel, diferența dintre media de la testul inițialt față de cea de la testul sumativ pentru clasa de control nu este semnificativă, pe când pentru clasa experimentală a este semnificativă.

Prin urmare, aceste rezultate evidențiază îmbunătățirea semnificativă a rezultatelor învățării la clasele experimentale care au beneficiat de instruire diferențiată, confirmă ipoteza cercetării.

Aceste rezultate superioare se datorează proiectării și implementării :

• activităților de învățare în concordanță cu particularitățile elevilor;

• fișelor de activitate didactică ce conțineau sarcini de învățare adaptate ca și complexitate sau durată de realizare la nivelul fiecărui grup;

• fișelor de activitate experimentală ce conțineau sarcini de învățare diferențiate prin nivelul de sprijin acordat de către profesor, în funcție de nivelul grupului.

Rezultatele experimentului justifică faptul că numărul elevilor care prezentau risc de eșec școlar s-a micșorat atunci când ei au fost tratați diferențiat. Rezultatele experimentului pedagogic precum și a numeroaselor studii existente în literatura de specialitate demonstrează eficiența instruirii diferențiate, recomandând, astfel ca aceasta să devină o practică de instruire curentă. Totuși implementarea și utilizarea ei este limitată de efortul mare pe care trebuie să-l depună profesorul, de mijloacele de învățământ de care dispune, care nu sunt întotdeauna la nivelul cerințelor.

Exemplele prezentate în această lucrare constituie doar câteva sugestii didactice și modalități de creștere a eficienței predării și învățării elementelor de geometrie.

Rezultatele cercetării

S-a observat că metodele didactice utilizate în procesul de predare – învățare a elementelor de geometrie influențează semnificativ rezultatele învățării, interesul și motivația elevilor pentru studiul disciplinei.

Restructurarea procesului de învățământ generată de necesitatea creșterii calității acestuia a adus în prim plan paradigma instruirii centrate pe elev. Astfel profesorii trebuie să privească învățarea din perspectiva implicării active a elevului în construirea cunoștințelor, formării deprinderilor, dezvoltării competențelor și să-și revizuiască abordarea predării în concordanță cu aceste noi cerințe. Utilizarea cu preponderență a metodelor activ-participative stimulează incontestabil gândirea de nivel superior. Profesorul trebuie să organizeze învățarea ghidat de principii conform cărora elevii trebuie implicați în activități de cercetare, acțiune, rezolvare de probleme, reflecție etc. Rezolvarea sarcinilor de lucru, prin eforturi proprii, făcând apel la resursele de care dispun (intelectuale, fizice, emoționale) duce cu siguranță la creșterea motivației pentru învățare. Astfel, spre deosebire de metodele tradiționale în care conversațiile sunt dominate de profesor, elevul trebuie să devină un partener egal de dialog în care să fie încurajat să-și exprime propriile idei și opinii. Elevii trebuie încurajați și sprijiniți de către profesor să-și organizeze conținuturile astfel încât să le înlesnească învățarea lor.

În instruirea tradițională profesorul este suveran, iar elevii au un singur rol, de a recepta aceste conținuturi. Formele de organizare a activităților de învățare, pe grupuri mici sau individual care înlocuiesc activitatea cu clasa întreagă, utilizarea unor materiale instrucționale variate care să suplimenteze utilizarea cu preponderență a manualului, generează superioritatea acestor metode în raport cu metodele tradiționale.

În etapa actuală a învățământului un factor important îl reprezintă calitatea procesului de predare – învățare la nivelul oricărei discipline școlare. Indicatorii calității sunt performanțele elevilor, dar și dezvoltarea în sensul bun a personalității fiecărui elev.

Calitatea asigură un învățământ interactiv, care consideră că elevul este în centrul atenției, el trebuie să devină propriul său agent de perfecționare, să fie capabil să „construiască” singur noua sa cunoaștere. Deci întreaga activitate a cadrului didactic este centrată pe elev.

În această lucrare ne-am propus să verificăm dacă prin aplicarea unor metode moderne de predare-învățare, combinate bineînțeles cu cele tradiționale, vom obține rezultate mai bune ale elevilor și o fixare mai ușoară și de durată a cunoștințelor.

Lucrarea are un caracter teoretico-aplicativ, iar analizele și cercetările prezentate detaliat pe parcursul acesteia conduc la formularea următoarelor concluzii generale:

Metodele didactice utilizate în procesul de predare – învățare influențează semnificativ

rezultatele învățării, performanțele elevilor, interesul și motivația pentru studiul matematicii, scăzând semnificativ gradul de plictiseală ce se instalează pe parcursul orelor tradiționale;

Este necesară diferențierea instruirii în conținut, proces și produs în concordanță cu

nivelul de pregătire al elevilor, interesul și profilul de învățare al acestora. Această diferențiere eficientizează procesul de predare – învățare;

Utilizarea metodelor moderne de predare-învățare are o contribuție majoră la formarea și

dezvoltarea competențelor atât de necesare tinerilor pentru a se integra în societatea globală și scot în evidență potențialul creativ al cadrelor didactice.

Ca urmare a studiului făcut asupra acestor metode putem enumera câteva puncte slabe ale utilizării tehnicilor moderne de predare-învățare. Astfel se desprind următoarele:

realizarea unor asemenea activități de predare-învățare-evaluare presupune o pregătire

laborioasă a profesorului care trebuie să imagineze posibilele demersuri abordate de elevi, să pregătească activitatea în cele mai mici amănunte și să asigure oferta necesară de puncte de sprijin pentru a obține rezultatul dorit;

unele teme mai greoaie, cu un conținut nou, sunt mai greu de abordat prin tehnicile

moderne deoarece cer mai mult timp pentru a fi abordate în această manieră;

activitățile de predare-învățare-evaluare bazate pe tehnicile moderne sunt mari

consumatoare de timp și nu asigură o evaluare imediată și un control al activității elevului;

realizarea unor astfel de activități cer dotări material complexe și spațiu adecvat de

desfășurare pentru a se asigura eficiența învățării;

există conținuturi ale programei școlare care nu se pretează a fi abordate în această

manieră;

monitorizarea activităților moderne cere un efort suplimentar din parte profesorului,

existând riscul ca elevii să se supraaprecieze sau să nu se implice în mod real și la standardele cerute.

Activitățile didactice bazate pe tehnicile moderne de predare-învățare-evaluare reprezintă pentru studiul matematicii contextul cel mai favorabil familiarizării elevilor cu specificul gândirii critice și a metodei științifice de investigare a realității. Aceste activități moderne favorizează aprofundarea cunoștințelor propuse de programa școlară la matematică , de manualele școlare și asigură deschideri interdisciplinare.

Ele generează motivația intrinsecă, diminuează presiunea generată de personalitatea profesorului și îi determină chiar și pe elevii cei mai reticenți să participe la construirea propriei cunoașteri a elementelor de geometrie.

Prin deprinderile pe care le dobândesc elevii își construiesc o gândire științifică corectă, se familiarizează cu învățarea autodirijată, își formează personalitatea, manifestă o conduită civică corectă și își schimbă optica asupra învățării.

BIBLIOGRAFIE

Albulescu, I. (2009), Pragmatica predării. Activitatea profesorului între rutină și creativitate, Editura Paralela 45, Pitești

Ardelean, L., Secelean, N. (2007), Didactica matematicii-noțiuni generale; comunicare didactică specific matematicii, Editura Universității „Lucian Blaga”, Sibiu

Ardelean, L., Secelean, N. (2007), Didactica matematicii-managementul, proiectarea și evaluarea activităților didactice, Editura Universității „Lucian Blaga“, Sibiu

Banea, H. (1998), Metodica predării matematicii, Editura Paralela 45, Pitești

Barbu, M.D. (2013), Motivația învățării și reușita școlară, Editura Vladimed-Rovimed, Bacău

Brânzei, D., Brânzei, R. (2000), Metodica predării matematicii, Editura Paralela 45, Pitești

Brânzei, D., Onofraș, E., Anița, S., Isvoranu, G. (1983), Bazele raționamentului geometric, Editura Academiei, București

Buicliu, Gh. (1967), Probleme de construcții geometrice cu rigla și compasul, Editura Tineretului, București

Căliman, T. (1975), Învățământ, Inteligență, Problematizare – Studiu experimental, Editura Didactică și Pedagogică, București

Dăncilă, I. (2000), Construcții cu rigla și compasul, Editura Sigma

Dăncilă, I. (1997), Geometria de care ai nevoie, Editura Teora

G.M. nr. 7/1979

Geometriaplană. Manual unic pentru clasa a VIII-a și a IX-a medie, Editura de Stat, 1948

Simionescu, Gh.D.,Coșniță, C. (1957), Geometria. Manual pentru clasa a IX-a, Editura de Stat Didactică și Pedagogică, București

Ghiciu, N., Enea, F.A., Iancu, E., Popescu, M., Rusu, V. (2018), Matematică: manual pentruclasa a VI-a, EdituraDidacticășiPedagogică, București

Hollinger, A. (1982), Probleme de geometrie, Editura Didactică și Pedagogică, București

Ionescu, M., Chiș, V. (1992), Strategii de predare și învățare, Editura Științifică, București

Ionescu, M., Bocoș, M. (coord.) (2009), Tratat de didactică modernă, Editura Paralela 45, Pitești

Linț, D., Linț, M., Zaharia, M., Zaharia, D. (2018), Matematiă: manual pentru clasa a VI-a, Editura Didactică și Pedagogică, București

Neacșu, I. (1978), Motivație și învățare, Editura Didactică și Pedagogică, București

Neacșu, I. (1990), Metode și tehnici de învățare eficientă, Editura Militară, București

Neacșu, I. (1999), (ed. a II-a), Instruire și învățare. Teorii. Modele. Strategii, Editura Didactică ș iPedagogică, București

Nicolescu, C.P. (1986), Teste de geometrie. Probleme de matematică, Editura Albatros, București

Noaghi, S.D., Linț, D.,Linț, M., Pițu, L.N. (2019),Matematică. Manual pentru clasa a VII-a, Editura Litera, București

Petrică, I., Ștefan, C., Alexe, Ș. (1985), Editura Didactică și Pedagogică, București

Popescu, O.,Radu, V. (1983), Metodica predării geometriei în gimnaziu, Editura Didactică și Pedagogică, București

Trandafir, R.,Leonte, A. (1975), Culegere de probleme și exerciții de matematică, Editura Junimea, Iași

https://ro.wikipedia.org/wiki/Geometrie

https://www.noua-acropola.ro/arhitectura-sacra

https://www.scribd.com

https://www.wikiwand.com

https://liceunet.ro

https://www.academia.edu

https://www.didactic.ro

https://www.digitaliada.ro

ANEXE

TEST DE EVALUARE FORMATIVĂ

Teorema lui Thales

Clasa a VII-a

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Timpul efectiv de lucru este de 50 minute.

(18p) Fie segmentul AD de mai jos și punctele B și C interioare segmentului astfel încât C este mijlocul segmentului AD, iar B este mijlocul segmentului AC. Determinați rapoartele:

(12p) Fie segmentul MN de mai jos. Construiți punctul P, interior segmentului, astfel încât .

Determinați apoi rapoartele

(12p)Fie un segment DE cu lungimea de 36 cm. Împărțiți, prin calcul, segmentul în trei părți proporționale cu 2, 3, 4.

(12p) Fie segmentul ST de mai jos. Folosind o construcție geometrică, împărțiți segmentul în părți proporționale cu 1, 2, 3.

(12p) Fie triunghiul ABC de alături în care MNBC, AM=4 cm, MB=2 cm, AN=6 cm. Determinați lungimile segmentelor AB, NC, AC.

(12p) Fie triunghiul ABC și punctele D, E astfel încât A(BD), A(EC), EA=15 cm, EC=45 cm, DA=12 cm, AB=24 cm. Arătați că DEBC.

(12p) Pe latura [BC] a triunghiului ABC, luăm un punct oarecare M prin care ducem MNAB, N[AC] și MPAC, P[AB].

Demonstrați că:

ANEXA 1

Asemănarea triunghiurilor. Teorema fundamentală a asemănării

Prezentare power point

Fișă de lucru

Teorema fundamentală a asemănării

1. Fie ~. Determinati x si y.

2. Fie ~avand raportul de asemanare .

a) Daca AB=4; AC=5; BC=6, aflati lungimile laturilor .

b)Calculati .

3. Fie , M

a) Stiind ca AM=3cm; MN=6cm; AB=10cm,AN=5cm , determinati MB; AN; NC; BC.

b) Daca MN=5 cm; BC=15cm; AC=12 cm; AB=9cm, aflati AM; MB;AN;NC.

c) Daca MN=1cm; BC=4cm; NC=2cm; AM=8cm, aflati AB; AC; AN;MB.

4. In AB=20 cm; BC=25 cm; AC=30cm. Fie Dastfel incat si paralelele DE , E, iar DF , F. Aflati perimetrul patrulaterului AFDE.

5. In figura de mai jos, dreptele MN si QR sunt paralele.

a)Daca PN=3; PQ=6; MN=2, aflati QR.

b) Daca QR=8; PR=3; PM= 2 , calculati MN.

6. Fie trapezul ABCD cu AB||CD, AC{O}.Aflati AO; OB; CO; OD stiind ca :

a) AB=20; CD=10; AC=21; BD=12;

b) AB=2; CD=1; AC=15; BD=9.

7. Fei ABCD trapez cu bazele AB||CD, AB=36cm, CD=12cm, AD=10cm, BC=16cm. Daca AD{M}. Calculati perimetrul triunghiului MDC.

8. Fie ABCD paralelogram cu AB=20 cm, DC=30cm, Mastfel incat . Prin M se duc MN||AD, N si MP||DC, P. Sa se calculeze perimetrul paralelogramului MNDP.

9. Prin M a triunghiului ABC se duc Paralele si paralele intersecteaza AB si AC in P, respective N. Aratati ca

10. Fie M un punct pe diagonala AC a unui patrulater convex ABCD. Se duc MP||AB, P si MQ||CD, Q. Sa se arate ca constant.

11. Fie , se duc printr-un punct oarecare P al bazei BC o paralela la mediama ADcare intersecteaza dreptele AB si AC in N si M. Sa se arate ca PM+PN =constant.

ANEXA 2

B

Orizontal

1. Cea mai lunga latură a unui triunghi dreptunghic.

2.Poligonul cu trei laturi.

3. Matematician grec din Milet.

4. Materie de studiu în școală.

5. Ramură a matematicii.

6. Câtul neefectuat a două numere.

7. Triunghiul cu un unghi drept.

8. Altă latură a unui triunghi dreptunghic.

Vertical A-B: Numele unui matematician grec cunoscut și pentru teorema care-i poartă numele.

B

Orizontal

1. Cea mai lunga latură a unui triunghi dreptunghic.

2.Poligonul cu trei laturi.

3. Matematician grec din Milet.

4. Materie de studiu în școală.

5. Ramură a matematicii.

6. Câtul neefectuat a două numere.

7. Triunghiul cu un unghi drept.

8. Altă latură a unui triunghi dreptunghic.

Vertical A-B: Numele unui matematician grec cunoscut și pentru teorema care-i poartă numele.

Fișă de lucru

Teorema lui Pitagora

1. În următoarele triunghiuri dreptunghice, calculați lungimile laturilor necunoscute:

a) C b) E

a 12 cm 5 cm

3 cm

F

A 4 cm B D e

c) G d) J l K

i 10 cm 2 dm 2 dm

H

8 cm

I

e) M

m

x

N x O

2. Ce lungime are acea scândură, care este sprijinită de un perete, la înălțimea de 1,6 metri, iar distanța de la partea de jos a scândurii până la perete este de 3 m?

3. La proiectarea unei instituții publice a apărut următoarea problemă: intrarea în instituție se va face pe o scară, care are 4 trepte. Fiecare treaptă are înălțimea de 15 cm și lățimea de 30 cm. Lângă trepte se montează o rampă pentru cărucioare și biciclete. Rampa se va construi de la o distanță de 1,5 m de la intrare, iar înălțimea ei va fi aceeași cu înălțimea treptelor (vezi figura de mai jos). Ce lungime o să aibă rampa?

4. Determinați lungimea diagonalei unui dreptunghi cu laturile de 7 cm și 24 cm.

5. Calculați lungimea diagonalei unui pătrat cu latura de 3 dm.

6. Aflați lungimea înălțimii unui triunghi isoscel, care are laturile congruente de 17 cm, iar baza de 16 cm!

7. Aflați înălțimea unui triunghi echilateral cu latura de 8 cm.

ANEXA 1

PROIECT DIDACTIC

Data : 17.10.2018

Clasa: a VII-a

Profesor: Matei Ildiko

Domeniul / Disciplina: Matematică – Geometrie

Unitatea de învățare: Relații metrice în triunghiul dreptunghic

Titlul lecției: Relații metrice în triunghiul dreptunghic. Recapitulare

Tipul lecției: Recapitulare a cunoștințelor

Locul de desfășurare: sala de clasă

Durata: 50 minute

COMPETENȚE GENERALE:

CG1. Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost definite

CG2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunțuri matematice

CG3. Utilizarea algoritmilor și conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situații concrete

CG4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situații concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora

CG5. Analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situați problemă

CG6. Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoștințelor din diferite domenii

COMPETENȚE SPECIFICE:

CS1 Recunoașterea și descrierea elementelor unui triunghi dreptunghic într-o configurație geometrică dată;

CS2 Aplicarea relațiilor metrice într-un triunghi dreptunghic pentru determinarea unor elemente ale acestuia;

CS3 Deducerea relațiilor metrice într-un triunghi dreptunghic;

CS4 Exprimarea, în limbaj matematic, a perpendicularității a două drepte prin relații metrice;

CS5 Interpretarea perpendicularității în relație cu rezolvarea triunghiului dreptunghic;

CS6 Transpunerea rezultatelor obținute prin rezolvarea unor triunghiuri dreptunghice la situații-problemă date.

COMPETENȚE DERIVATE

A.Cognitive:

CC1 Să enunțe și să aplice corect teorema înălțimii, teorema catetei, teorema lui Pitagora și reciproca acesteia ;

CC2 Să determine, prin calcul, lungimi de segmente utilizând teoremele învățate și valorile pentru sinusul, cosinusul, tangenta, cotangenta unghiurilor cu măsurile de , dar și ariile unor figuri geometrice ;

CC3 Să deseneze corect o figură geometrică conform unei ipoteze date;

CC4 Să aplice metodele cele mai potrivite în scopul eficientizării rezolvărilor;

B: Psiho-motorii:

CP1: Așezarea corectă în pagină;

CP2: Scrierea lizibilă pe caiete și pe tablă;

CP3: Utilizarea corectă a mijloacelor auxiliare folosite.

C: Afective:

CA1: Participarea activă la lecție;

CA2: Dezvoltarea interesului pentru studiul matematicii;

CA3: Reacționarea pozitivă, dorind să lucreze și să fie apreciați;

CA4: Manifestarea spiritului de competiție,ordine și disciplină;

CA5: Manifestarea dorinței de a învăța lucruri noi;

CA6: Dezvoltarea simțul estetic și critic.

STRATEGIA DIDACTICĂ

Metode și procedee: – conversația (euristică, examinatoare)

explicația,

metoda exercițiului,

metoda ciorchinelui

problematizarea,

observația sistematizată

lucrul în echipă, demonstrația,

Resurse: a) materiale: – manual de matematica clasa a VII-a

– cretă albă, cretă colorată,

– fișă de lucru

b) umane: – clasă omogenă

– activități frontale, individuale;

Forme de organizare: frontal, individual.

MATERIAL BILIOGRAFIC:

– Programa școlară pentru clasele V-VIII. Aria curriculară : matematică și științe

– Manualul

DESFĂȘURAREA LECȚIEI

Fișă de lucru

Relații metrice în triunghiul dreptunghic

În triunghiul isoscel ABC, M este mijlocul bazei BC. Dacă ,

CE=4 cm și AE=5 cm, calculați perimetrul triunghiului ABC.

O echipă de fotografi trebuie să determine distanța dintre localitățile A și C,

între care se află un lac. Ei au determinat m()=, m()=, AB=6 km. Știind că , distanța AC este aproximativ egală cu:

3 km b) 4,2 km c) 4,8 km d) 4 km

Un parc are forma unui romb ABCD . Se consideră trei alei AC, BD și OM,

unde AC⋂BD={O} și OM, M. Știind că AM= 3,6 km și MB= 6,4 km,calculați OM.

Fie un triunghi ABC, cu , AB=15 cm, AC=20 cm și,

D(BC). Pe dreapta AB se consideră punctele M și N, astefel încât AM=BC, AN=CD și A(BM), iar B(AN). Arătați că MC

O parcare de pe marginea unei șosele are forma unui trapez isoscel, ca în

reprezentarea alăturată. Cunoscând dimensiunile precizate în reprezentare, aflați lățimea acestei parcări.

Fie triunghiul ABC, M un punct pe latura BC, astfel încât MB=8cm și MC=18

cm. Știind că AMBC și AM=12 cm, determinați C.

Fie triunghiul ascuțitunghic ABC, cu AB=5 cm, BC=7 cm,

AC=4.

Trapezul dreptunghic ABCD are bazele AB și CD ,(AB>CD),

==, și .

În triunghiul oarecare ABC se știe că m(∢B)=60ș, AB=6 cm, BC=9 cm, iar

AD⊥BC, D∈(BC). Calculați lungimile segmentelor AD, BD, respectiv AC si aria triunghiului ABC.

Calculați aria dreptunghiului ABCD, dacă AC=24 cm și m(∢AOB)= 120ș

Trapezul isoscel ABCD, ABǁCD , are lugimile bazelor de 10 cm și 20 cm, iar

. Sa se afle aria trapezului.

Sa se calculeze înălțimea într-un triunghi oarecare cu laturile AB=5; AC=6;

BC=7.

Un zid se află lângă un canal cu apă, ca în reprezentarea alăturată. Știind că

înălțimea zidului ( măsurată de la sol) este de 24 cm, iar lățimea canalului este de 10 m, să se calculeze lungimea minimă a unei scări care să permită accesul de pe teren, sus pe zid (distanța dintre punctele A și B).

O scară de acces are trei trepte cu dimensiunile egale. În figura alăturată avem

precizate dimensiunile elementelor acestei scări. Lungimea a barei de susținere aeste egală cu:

115 cm b) 117 cm c)100 cm d) 118 cm