R aducu-R azvan Gheorghe [616666]

UNIVERSITATEA "LUCIAN BLAGA" DIN SIBIU
FACULTATEA DE S TIINT E
DEPARTAMENTUL DE MATEMATIC A S I INFORMATIC A
MATEMATIC A INFORMATIC A
LUCRARE DE LICENT  A
Student:
R aducu-R azvan Gheorghe
SIBIU
2017

UNIVERSITATEA "LUCIAN BLAGA" DIN SIBIU
FACULTATEA DE S TIINT E
DEPARTAMENTUL DE MATEMATIC A S I INFORMATIC A
MATEMATIC A INFORMATIC A
Aplicat ii practice ale metodelor de
rezolvare a ecuat iilor transcendente
de ordin superior
Coordonator  stiint ic:
Conf. univ. dr. Florin Sofonea
Student:
R aducu-R azvan Gheorghe
SIBIU
2017

Cuprins
Introducere 3
1 Metode clasice de rezolvare a ecuat iilor transcendente 5
1.1 Metoda coardei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Ordin de convergent  a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Interpretare geometric a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Metoda secantei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Convergent a metodei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Ordin de convergent  a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.3 Interpretare geometric a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Metoda lui Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.1 Construct ia metodei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2 Ordin de convergent  a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.3 Interpretare geometric a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Metoda ^ njum at at irii intervalului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.1 Interpretare geometric a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Construct ia metodelor de ordin superior 20
2.1 Teorema de punct x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Metode cu mai mult i pa si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Metoda lui Ceb^  sev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.1 Cazuri particulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4 Metoda lui Steensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4.1 Cazuri particulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5 Metoda lui Traub . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5.1 C^ ateva funct ii iterative cu un singur punct de start . . . . . . . . . 33
2.6 ^Imbun at at irea ordinului de convergent  a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.7 Aplicat ie(Metoda lui Romberg) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3 Aplicat ii software ^ n C++ 37
3.1 Metoda coardei-Implementarea metodei ^ n limbajul C++ . . . . . . . . . . 37
1

3.2 Metoda secantei-Implementarea metodei ^ n limbajul C++ . . . . . . . . . 39
3.3 Metoda Newton-Implementarea metodei ^ n limbajul C++ . . . . . . . . . 41
3.4 Metoda ^ njum at at irii intervalului-Implementarea metodei ^ n limbajul C++ 44
3.5 Comparat ii ^ ntre metode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.5.1 Comparat ii ^ ntre metoda coardei si metoda Newton . . . . . . . . . 47
3.5.2 Comparat ii ^ ntre metoda coardei si metoda secantei . . . . . . . . . 50
3.5.3 Comparat ii ^ ntre metoda secantei si metoda Newton . . . . . . . . . 53
3.5.4 Comparat ii ^ ntre metoda coardei si metoda ^ njum at at irii intervalului 57
3.6 Metoda lui Ceb^  sev-Implementarea c^ atorva cazuri particulare ^ n limbajul
C++ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.7 Metoda lui Romberg-Implementarea unui caz particular ^ n limbajul C++ . 63
4 Aplicat ii software ^ n Mathematica 66
4.1 Metoda secantei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2 Metoda Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3 Metoda bisect iei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Bibliograe 73
2

Introducere
S. Stailow spunea:"Analiza matematic a, aceast a ramur a fundamental a a  stiint ei, s-a dez-
voltat din nevoile directe ale studiului fenomenelor naturii; not iunea de funct ie ocup a un
loc central ^ n analiz a  si constituie substratul general abstract al oric arei legi a naturii."
Aceasta este ^ mp art it a ^ n mai multe subdomenii, printre care  si analiza numeric a,
aceasta ind acea ramur a care se ocup a cu studiul algoritmilor pentru rezolvarea prob-
lemelor matematicii continue.
Cuv^ antul cheie ^ n acest subdomeniu este acela de algoritm, ^ n centrul atent iei analizei
numerice st^ and proiectarea  si analiza algoritmilor de rezolvare a unei anumite clase de
probleme.
Problemele respective sunt cele din matematica continu a, adic a din matematica ^ n
care variabilele ce intervin sunt reale sau complexe.
Deoarece numerele reale  si cele complexe nu pot  reprezentate exact ^ n calculator, ele
trebuie s a e aproximate printr-o reprezentare nit a. Intervin deci erorile de rotunjire,
studiul acestora ind unul dintre obiectivele importante ale analizei numerice.
Cele mai multe probleme ale matematicii continue nu pot  rezolvate prin algoritmi
cu un num ar de pa si nit, chiar presupun^ and c a am lucra ^ n aritmetic a cu precizie exact a.
Un exemplu care se poate da aici este problema rezolv arii unei ecuat ii polinomiale.
Un obiectiv mai profund al analizei numerice este aproximarea necunoscutelor, nu a
cantit at iilor cunoscute. Scopul este convergent a rapid a a  sirului de aproxim ari.
Printre aspectele importante reg asim  si faptul c a ace sti algoritmi sunt implementat i
pe calculatoare, a c aror arhitectur a poate  o parte important a a problemei; c a abili-
tatea  si ecient a sunt obiective supreme; c a anumit i speciali sti ^ n analiz a numeric a scriu
programe  si alt ii demonstreaz a teoreme;  si lucrul cel mai important, c a toat a munca este
aplicat a, aplicat a cu succes la mii de aplicat ii, pe milioane de computere din toat a lumea.
"Problemele matematicii continue" sunt problemele pe care  stiint a  si ingineria sunt con-
struite; f ar a metode numerice,  stiint a  si ingineria, a sa cum sunt ele practicate ast azi ar
ajunge repede ^ n impas. Acesta a fost de altfel motivul pentru care mi-am ales aceast a
tem a, dorind s a combim partea teoretic a a matematicii cu partea aplicativ a a acesteia.
Lucrarea de fat  a ^  si propune s a prezinte c^ ateva elemente teoretice  si aplicabilitatea
acestora prin implementarea ^ n limbajul C++.
Primul capitol ^  si propune s a prezinte c^ ateva dintre metodele numerice clasice de re-
3

zolvare a ecuat iilor, precum: metoda coardei, metoda secatei, metoda tangentei(Newton)
 si metoda ^ njum at at irii intervalului.
^In cel de-al doilea capitol mi-am propus s a prezint construct ia c^ atorva metode numerice
de ordin superior. ^In acela si capitol am ar atat cum, cu ajutorul calculelor matematice,
putem ^ mbun at at ii ordinul de convergent a al metodei tangentei, pentru rezolvarea radi-
calului.
Ultimele dou a capitole sunt cele de aplicat ii practice  si^ n acela si timp reprezint a partea
original a a lucr arii. ^In acestea am introdus implementarea ^ n limbajul C++ a metode-
lor din primul capitol,implemtarea acestora ^ n Mathematica  si comparat ii ^ ntre metodele
respective prin compararea num arului de pa si necesari pentru atingerea rezultatului, cu
eroarea de aproximare stabilit a. ^In acela si capitol ^ nt^ alnim  si implementarea c^ atorva
cazuri particulare din cadrul metodei lui Ceb^  sev, precum  si implementarea metodei tan-
gentei ^ mbun at at ite, pentru calcularea radicalului, cu ajutorul metodei lui Romberg.
"Exactitatea matematicii este dat a prin aproximat ie"
4

Capitolul 1
Metode clasice de rezolvare a
ecuat iilor transcendente
1.1 Metoda coardei
^In elaborarea acestui subcapitol s-au utilizat [1]  si [5] ^ n proport ie de 10%, respectiv 90%.
Metoda coardei, numit a  si metoda falsei pozit ii sau metoda p art ilor proport ionale,
se num ar a printre cele mai vechi metode numerice de rezolvare a ecuat iilor, convergent a
metodei ind stabilit a ^ nc a de Fourier, acesta introduc^ and condit ia:
f(x0)f00>0;
(condit ia lui Fourier).
Consider am n=1, deci ecuat ia f(x) = 0 se^ nlocuie ste cu P1(x) = 0, unde P1este polinomul
de interpolare de gradul ^ ntai al funct iei f pe nodurile x0=asix1=sse obt ine metoda
coardei.
Solut ia ecuat iei P1(x) = 0 este
(1.1) x2=x0f(x1)x1f(x0)
f(x1)f(x0)
Forma general a a metodei se obt ine pun^ and in (1.1) x1=xn six2=xn+1.
Rezult a:
(1.2) xk+1=x0f(xk)x1f(x0)
f(xn)f(x0);
punctul de "plecare", x0, este utilizat pe parcursul ^ ntregului proces de calcul.
5

1.1.1 Ordin de convergent  a
Convergent a metodei este legat a de alegerea optim a a acestui punct.
Lema 1.1.1 [5] Fief2c2([a;b]),x0;x12[a;b]cuf(x0)6=f(x1) si ex2dat de (1.1).
Atunci are loc relat ia
f(x2) =f(x0)f(x1)f00(")
2f0("0)2;
unde";"02(x0;x1)
Demonstrat ie: Utiliz^ and (1.1)  si aplic^ and formula cre sterilor nite, obt inem
(1.3) x2x0=f(x0)
f0(0); x 2x1=f(x1)
f0(0);
unde02(x0;x1).Din formula restului de interpolare
f(x)Pn(x) =f(n+1)()
(n+ 1)!nY
i=0(xxi);
unde
Pn(x) =nX
k=0lk(x)f(xk);
cu
lk(x) =(xx0):::(xxk1)(xxk+1):::(xxn)
(xkx0):::(xkxk1)(xkxk+1):::(xkxn);
pentru n=1 rezult a
f(x)P1(x) =f00()
2(xx0)(xx1)
cu
P1(x) =xx1
x0x1f(x0) +xx0
x1x0f(x1) =1
x0x1((xx1)f(x0)(xx0)f(x1)):
Pentrux=x2, obt inem relat ia
f(x2)P1(x2) =f00()
2(x2x0)(x2x1);
cu
P1(x2) =1
x0x1((x2x1)f(x0)(x2x0)f(x1)):
Din relat ia (1.3) obt inem
P1(x2) =1
x0x1
f(x1)f(x0)
f0(0)+f(x0)f(x1)
f0(0)
= 0:
6

Din aceasta rezult a relat ia din lem a, adic a
f(x2) =f00()
2(xx0)(xx1) =f(x0)f(x1)f00()
2f0(0)2:
Lema 1.1.2 [5]
Fief2C2([a;b]);x0;x12[a;b],  si ex2dat de (1.1). Consider am c a f0(x)6= 0 pe
[a;b] si ecuat iaf(x) = 0 are solut ia x2(a;b):Are loc relat ia
(1.4) xx2=f00()f0(1)f0(2)
2f0()3(xx0)(xx1);
unde2(x;x0;x1);12(x;x0);22(x;x1):
Demonstrat ie: Deoarecef0(x)6= 0 pe[a;b], rezult a c a feste strict monoton a pe [a;b]
 si deci inversabil a, funct ia invers a 'este de dou a ori derivabil a pe [a;b]:
(1.5) '0(y) =1
f0(x); '00(y) =f00(x)
f0(x)3
Aplic am formula cre sterilor nite ^ n punctele x0;x six1;x si obt inem
y0=f(x0)f(x) = (x0x)f0(1);  12(x0;x);
y1=f(x1)f(x) = (x1x)f0(2);  22(x1;x):
Utiliz^ and formula restului de interpolare a lui Lagrange pentru funct ia invers a 'pe nodurile
y0;:::;yn si cu'(0)Qn(0), undeQneste polinomul de interpolare, se obt ine eroarea
aproxim arii
'(y)Qn(y) ='(n+1)(v)
(n+ 1)!nY
i=0(yyi);
undev2(y0;yn). Consider am y= 0;n= 1;iar'00 siy0;y1sunt dat i de relat iile de mai
sus  si t inem seama c a varphi (0) =x si c aQ1(0) =x2, rezult a
xx2='00(v)
2(x0x)(x1x)f0(1)f0(2);
adic a
xx2=f00()f0(1)f0(2)
2f0()3(xx0)(xx1):
Deoarecef2C2([a;b]) sif0(x)6= 0 pe[a;b], exist a numerele m1;m2;M1;M2astfel ^ nc^ at
0<m 1jf0(x)jM1<+1;
0<m 2jf00x)jM2<+1:
7

Obt inem relat ia
m2m2
1
2M3
1f00()f0(1)f0(2)
2f0()3M2M2
1
2m3
1:
Not amk=m2m1
(2M3
1); K =M2M1
(2m3
1):
Se obt ine relat ia
(1.6) kjxx0jjxx1jjxx2jKjxx0jjxx1j:
Teorema 1.1.1 [5] Fief2C2([a;b]) six0;x12[a;b]. Presupunem c a urm atoarele
condit ii sunt ^ ndeplinite:
1.f006= 0;8×2[a;b];
2.f(x0)f00(x0)>0;
3.f(x0)f(x1)<0:
Atunci ecuat ia f(x) = 0 are o solut ie unic a x^ n(x0;x1), iar  sirulfxkgdat de metoda
coardei (1.2) converge la x.
Demonstrat ie: Presupunem c a f00(x)>0pe[a;b] si decif(x0)>0;f(x1)<0precum
 si c ax0< x 1. Existent a solut iei rezult a din continuitatea lui f si din condit ia 3., iar
unicitatea ei rezult a din condit iile 1.  si 3.
Din lema (1.1.1) rezult a
f(x2) =f(x0)f(x1)f00()
f0(0)2
adic a
f(x2)<0)x<x 2:
Pe de alt a parte, relat ia (1.1) se poate scrie sub forma
x2=x1f(x1)
f(x1)f(x2)(x1x0);
de unde rezult a c a x2<x 1.
A sadarx<x 2<x 1:^In generalx<xk+1<xk si decixk!x;k!1:
Not am cu
Kjxx0j=;
undeKeste constanta din inegalitatea (1.6). Din aceast a inegalitate rezult a
jxx2jKjxx0jjxx1j=jxx1j
 si ^ n general
jxxk+1jjxxkj;
8

ceea ce ^ nseamn a c a metoda coardei are convergent a cel put in liniar a.
Observat ie 1.1.1 Metoda coardei poate s a aib a, ^ n cazuri particulare, ordin de convergent  a
superior lui unu.
1.1.2 Interpretare geometric a
Interpretarea general a a lui x2reprezint a abcisa punctului de intersect ie a "coardei" def-
inite de punctele ( x0;f(x0))  si (x1;f(x1)) cu axaOx.
1.2 Metoda secantei
^In elaborarea acestui subcapitol s-a utilizat [5].
1.2.1 Convergent a metodei
Metoda secantei este o metod a de interpolare (liniar a) care se obt ine ^ nlocuind ecuat ia
f(x) = 0 cu ecuat ia P1(x) = 0, unde P1este polinomul de interpolare de gradul ^ ntai al
luifpe nodurile x0 six1(^ n general pe xk1;xk). Deosebirea esent ial a fat  a de metoda
coardei const a ^ n aceea c a, dup a calculul lui x2, punctelex0;x1se ^ nlocuiesc cu x1;x2 si
se repet a procedeul. Se presupune satisf acut a condit ia
f(x0)f(x1)<0:
Formula de calcul se poate obt ine din considerat ii geometrice simple sau ^ nlocuind ^ n
relat ia (1.2) pe x0cuxk1,
(1.7) xk+1=xk1f(xk)xkf(xk1)
f(xk)f(xk1);
9

Teorema 1.2.1 [5]
Fief2C2([a;b]) six0;x12[a;b]:Consider am urm atoarele condit ii ca ind ^ ndeplinite:
1. ecuat iaf(x) = 0 are o solu  tie x2[a;b];
2.f0(x)6= 0 pe[a:b],
3.maxfKjxx0j;Kjxx1jg=d<1;undeKeste constanta din inegalitatea (1.6),
4.  sirulfxkgdat de (1.7) r am^ ane ^ n [a:b]:
Atuncixk!x;k!1:
Demonstrat ie:
Dac axk1;xk2[a;b]atunci dac a not am cu dk=Kjxxkj, obt inemdk+1dkdk1,
iar din condit ia 3:rezult a c a
(1.8) dkdpk;
undefpkgeste un  sir Fibonacci
(1.9) pk+1=pk+pk1
cu tot i termenii init iali p0=p1= 1:Este evident c a dk!0;k!1  sixk!x:
1.2.2 Ordin de convergent  a
Relat ia de recurent  a (1.9) constituie o ecuat ie cu diferent  a liniar a  si omogen a, cu coecient i
constant i. Polinomul caracteristic al acestei ecuat ii este
'(t) =t2t1
 si are r ad acinile
t1=1 +p
5
21;6; t 2=1p
5
20;6:
Solut ia general a a ecuat iei (1.9) are forma
pk=C1tk
1+C2tk
2;
undeC1 siC2sunt constante arbitrare. Determin^ and aceste constante din condit iile
init ialep0=p1= 1, rezult a
pk=tk+1
1tk+1
2p
5:
10

S-a obt inut de fapt expresia termenului general al  sirului lui Fibonacci fpkgdenit de
relat ia (1.9). De aici  si din (1.8), rezult a
(1.10) dk<d1p
5(tk+1
1tk+1
2)<
d1p
5k
:
Consider am c a cele patru condit ii din teorema (1.2.1) sunt satisf acute, f2C3([a;b])  si
f0(x)>0, undexeste solut ia ecuat iei f(x) = 0:Presupunem c a  sirul fxkggenerat de
metoda secantei (1.7), apart ine unui interval de forma ( x";x+") ^ n caref00nu ^  si
schimb a semnul.
Din faptul c a f0^  si p astreaz a semnul pe [ a;b] obt inemf0(x)f00(x)>0 pe (x";x+").
Folosim o relat ie analoag a cu (1.4)
(1.11) xxk+2=f00()f0(1)f0(2)
2f0()3(xxk)(xxk+1);
unde2(x;xk;xk+1);12(x;xk);22(x;xk+1):Not amdk=jxxkj si observ am c a
(1.12) max( jxj;jx1j;jx2j)dk+dk+1:
Not am
yk= ln1
dk
 si
bk= ln2f0()3
f00()f0(1)f0(2);
 si din relat ia (1.11) avem
yk+2yk+1yk=bk;
adic ayksatisface o ecuat ie cu diferent  a liniar a, cu coecient i constant i.
Consider am b= ln2f0(x)
f00(x) sick=bkb, adic a
ck= 3 lnf0()
f0(x)lnf0(1)
f0(x)lnf0(2)
f0(x)lnf00()
f0(x):
Not am
M2= maxf00(x); M 3= maxf000(x);
m1= minf0(x); m 2=minf00(x);
pentrux2[a;b]. Fiecare din logaritmii care intervin ^ n expresia lui ckse pot majora ^ n
funct ie deM2;M3;m1;m2 sijxj;jx1j;jx2j;utiliz^ and teorema cre sterilor nite:
lnf0()
f0(x)=jlnjf0()jlnjf0(x)jj=(x)f00(x)
f0(c)M2
m1jxj;
11

undec2(x;):Din relat iile (1.10)  si (1.12) rezult a
(1.13)jckj
5M2
m1+M3
m2
(dk+dk+1)<1
K
5M2
m1+M3
m2
(1 +d1p
5)(d1p
5)k:
Rezult a c a1X
k=0cktkeste o serie ( ) cu=d1p
5<1:Facem schimbarea de funct ie yk=vkb
 si obt inem
vk+2vk+1vk=ck:
Ecuat ia obt inut a satisface toate condit iile teoremei (1.2.1). Prima condit ie este satisf acut a
^ n conformitate cu (1.13), iar a doua condit ie rezult a din faptul c a
t1=1 +p
5
21;6; t 2=1p
5
20;6:
^In conformitate cu aceast a teorem a, exist a o constant a real a aastfel ^ nc^ at
vkatk
1=(k)!0; k!1:
Rezult a
yk+b=atk
1+(k):
Deoarece
yk= ln1
dk
; b = ln2f0(x)
f00(x);
avem
dk=2f0(x)
f00(x)eatk
1e(k):
Deoarece 1t1=t2, obt inem
dk+1
dk=2f0(x)
f00(x)t2
:
Rezult a c a metoda secantei are ordinul de convergent  a
t1=(1 +p
5)
21;6:
12

1.2.3 Interpretare geometric a
1.3 Metoda lui Newton
^In construct ia subcapitolului s-au folosit date din [4] (teorema)  si [5] (restul subcapitolu-
lui).
1.3.1 Construct ia metodei
Fief: [a;b]!R si ex02[a;b]. Dezvolt am funct ia f ^ n serie Taylor  si ret inem primii
doi termeni. Obt inem
f(x)f(x0) + (xx0)f0(x0):
^Inlocuim ecuat ia f(x) = 0 cu
(1.14) f(x0) + (xx0)f0(x0) = 0
a c arei solut ie este
x1=x0f(x0)
f0(x0):
13

Prin ^ nlocuirea lui x0cuxk, respectivx1cuxk+1, se obt ine metoda lui Newton sau metoda
Newton-Raphson
(1.15) xk+1=xkf(xk)
f0(xk):
Ecuat iaf(x0)+(xx0)f0(x0) = 0 aproximeaz a ecuat ia f(x) = 0 ^ n vecin atatea punctului
x0. Pentru a verica dac a x1aproximeaz a solut ia acestei ecuat ii este necesar a analiza
existent ei  sirului xk.^In cazul ^ n care se face ipoteza f0(x) = 0 pe intervalul [ a;b] acest
lucru nu mai este necesar.
Dac a ^ n (1.15) se ^ nlocuie ste f0(xk) cuf0(x0) rezult a metoda lui Newton simplicat a,
xk+1=xkf(xk)
f0(x0);
^ n care derivata se calculeaz a doar ^ n punctul x0. Putem considera un proces de tip
Newton ^ n care calculul derivatei se face dup a un anumit num ar de pa si:
xk+1=xkf(xk)
f0(xp(k));
unde p(k) este un num ar ^ ntreg mai mic sau egal cu k. Dac a consider am p(k)=0 obt inem
metoda lui Newton simplicat a.
Unul din procesele de tip iterativ, ce genereaz a metoda lui Newton simplicat a, este
metoda liniilor paralele:
xk+1=xkf(xk);
undeeste o constant a care aproximeaz a1
f0(x0):
Metoda lui Newton discretizat a este metoda ^ n care derivata este ^ nlocuit a cu diferent a
divizat a de ordinul ^ nt^ ai:
xk+1=xkf(xk)f(xk1)
xkxk11
f(xk):
Aceast a metod a coincide cu metoda secantei.
Teorema 1.3.1 (Ostrovski) [4]
Fief2C2([a;b]) six02[a;b]. Presupunem ca urm atoarele condit ii sunt ^ ndeplinite:
1. f0(x0)6= 0;
2.intervalulI0= [x0;x0+ 2h0], undeh0=f(x0)
f0(x0), este inclus ^ n [a;b],
3.2jh0jMjf0(x0)j, undeM=max
x2I0jf"(x)j:
Rezult a c a ecuat ia f(x) = 0 are solut ia unic a x2I0iar  sirul dat de metoda lui
Newton (1.15) este denit  si converge la x.
14

Eroarea aproximat iei este dat a de
jxxkj2M
f0(xk1)jxkxk1j2:
(vezi [4]).
Demonstrat ie:
Aplic am formula cre sterilor nite funct iei f0^ n punctele x0;x1 si t inem seama de condit ia
3. si avem
jf0(x1)f0(x0)jjx1x0jM=jh0jMjf0(x0)j
2
 si
jf0(x1)jjf0(x0)jjf0(x1)f0(x0)jjf0(x0)jjf0(x0)j
2=jf0(x0)j
2:
Deci
(1.16) jf0(x1)jjf0(x0)j
2;
de unde rezult a, t in^ and seama de condit ia 1., c af0(x1)6= 0 si decix2este denit.
Calcul am ^ n dou a moduri diferite integrala
I=Zx1
x0(x1x)f"(x)dx:
Integr^ and prin p art i rezult a
I= (x1x)f0(x)jx1
x0+Zx1
x0f0(x)dx= (x1x0)f0(x0) +f(x)jx1
x0=
=x1f0(x0)x0f0(x0) +f(x1)f(x0):
Darx1=x1f(x0)
f0(x0)deci
I=x0f0(x0) +f0(x0)f(x0)
f0(x0)x0f0(x0) +f(x1)f(x0) =f(x1):
Obt inemI=f(x1). Efectu^ and schimbarea de variabil a x=x0+h0t, avem
I=h2
0Z1
0(1t)f00(x0+h0t)dt:
Rezult a
(1.17) jf(x1)jh2
0MZ1
0j1tjdt=h2
0M
2;
15

Consider am h1=f(x1)
f0(x1). Din (1.16)  si (1.17) obt inem
(1.18) jh1jh2
0M
jf0(x0)j
Prin urmare,
2jh1jM
jf0(x1)j2M2h2
0
jf0(x0)j2
jf0(x0)j=2jh0jM
jf0(x0)j2
:
Din condit ia 3.rezult a 2jh1jMjf0(x1)j, adic ah1satisface o relat ie analoag a cu 3.. Se
observ a c a
jh1jjh0j
22jh0jM
jf0(x0j)jh0j
2
 si intervalul I1= [x1;x1+ 2h1], analog cu I0, este inclus in I0. Utiliz^ and recurent a, se
obt ine pentru orice k:
f0(xk)6= 0,jhkj1
2jhk1j, 2jhkjMjf0(xk)j,IkIk1;
undehk=f(xk)
f0(zk) siIk= [xk;xk+ 2hk]. Rezult a c a  sirul fxkgeste denit.
Consider am p un num ar ^ ntreg arbitrar. Avem Ik+pIk, decixk+p2Ik si
jxk+pxkj2hk:
Darhk!0;k!1  si prin urmare, xk!x;k!1 . Ar at am c a xeste solut ia ecuat iei
f(x) = 0 . Avemjf0(x)jM1;8x2I0 si din
hk=f(xk)
f0(xk);
rezult a
jf(xk)jhkM1:
Prin trecerea la limit a avem f(x) = 0 .
Ar at am c a xeste unic a ^ n I0. Pentru orice x2(x0;x0+ 2h0)avemjxx0j<2jh0j:
Din teorema cre sterilor nite  si din condit ia 3.obt inem
jf0(x)f0(x0)jjxx0jM < 2jh0jMjf0(x0)j;
adic af0(x)6= 0 pe(x0;x0+ 2h0):
Funct ia f este monoton a, pe (x0;x0+2h0) si, prin urmare, xeste unic a ^ n (x0;x0+2h0):
Eroarea aproximat iei se obt ine din inegalitatea
jhkjjMh2
k1j
jf0(xk1)j
16

analoag a cu (1.18). T  in and seama c a jxk+pxkj2hkprecum  si de faptul c a
hk1=xkxk1;
avem
jxk+pxkj2M
jf0(xk1)jxkxk1j2:
Consider^ and p!1 , se obt ine relat ia din enunt ul teoremei, adic a
jxxkj2M
f0(xk1)jxkxk1j2:
1.3.2 Ordin de convergent  a
Presupunem c a toate condit iile teoremei 1.3.1 sunt satisf acute. Deoarece f0(x0)6= 0 pe
(x0;x0+ 2h0) rezult a c a funct ia feste inversabil a pe I0. Fie'funct ia invers a  si s a not am
yk=f(xk),k= 0;1;:::, undefxkgeste  sirul generat de metoda Newton.
Avem
'(yk1) =xk1,'(yk1) =1
f0(xk1):
Dezvolt am funct ia '^ n serie Taylor  si not am cu P1partea liniar a
P1(y) ='(yk1) + (yyk1)'0(yk1) =xk1+ (yyk1)1
f0(xk1):
Restul formulei lui Taylor este
(1.19) '(y)P1(y) ='"()
2(yyk1)2;
unde2(y;yk1). Not am='();2('(y);'(yk1)). Consider am ^ n relat ia (1.19)
y= 0  si t inem seama c a '(0) =x;P1(0) =xkprecum c a
'00(y) =f00()
2f0()3f(xk1)2;2(x;xk1):
Din teorema cre sterilor nite rezult a
f(xk1) =f(xk1)f(x) = (xk1x)f0();02(x;xk1):
Rezult a
xxk=f00()f0(0)2
2f0()3(xxk1)2:
Pentruxk!x;k!1 avem;0!x si
lim
k!1jxxkj
jxxk1j2=f00(x)
2f0(x):
17

Din aceast a relat ie rezult a c a metoda lui Newton are convergent  a p atratic a.
1.3.3 Interpretare geometric a
1.4 Metoda ^ njum at at irii intervalului
^In construct ia acestui subcapitol s-au folosit elemente din [2].
Presupunem ca avem de rezolvat ecuat ia f(x) = 0, cu funct ia f continu a  si c a am g asit
un interval ^ nchis [a,b] cu proprietatea f(a)f(b)<0. Din teorema valorii intermediare,
obt inem existent a a cel put in o r ad acin a in intervalul [a,b]. Presupunem c a avem o singur a
r ad acin a ^ n acest interval, de exemplu atunci c^ and f este strict monoton a. Not am aceast a
r ad acin a cu l.
Aceast a metod a const a ^ n a considera mijlocul intervalului [a,b],  si apoi ^ n a localiza
r ad acina l ^ n unul din cele dou a subintervale create, [ a;a+b
2] sau [a+b
2;b].
Renot am cu [ a;b] noul interval obt inut  si aplic am din nou procedeul p^ an a c^ and lungimea
intervalului [ a;b] este sucient de mic a.
Teorema 1.4.1 [2]
Fie f2C[a;b] si presupunem c a f(a)f(b)<0.
Atunci  sirul (xn)n1denit mai sus este convergent la l, cu proprietatea:
ennot=jxn1jba
2n;n1:
18

Metoda ^ njum at at irii intervalului converge ^ n toate cazurile ^ n care s-a g asit
f(a)f(b)<0, eroarea aproxim arii reduc^ andu-se la jum atate la ecare pas.
Aceast a metod a este foarte lent a ^ n comparat ie cu celelalte metode, ind folosit a pentru
a
area unei aproximat ii init iale destul de bun a pentru alte metode( secantei, Newton,
etc.), ceea ce este esent ial pentru convergent a acestora.
Pentru valoarea maxim a admis a a erorii, ", se poate determina n-num arul necesar de
^ njum at at iri ale intervalului:
en<"=>ba
2n<"=>lg 2n+ lg(ba)<lg"=>n>lg(ba)lg"
lg 2
1.4.1 Interpretare geometric a
19

Capitolul 2
Construct ia metodelor de ordin
superior
2.1 Teorema de punct x
^In acest subcapitol s-au folosit date din [5].
Denit ia 2.1.1 Funct iaf:R!Reste o contract ie dac a (9)c2(0;1)astfel ^ nc^ at (8)
x;y2Rs a aib a loc inegalitatea:
jf(x)f(y)jcjxyj:
Teorema de punct x a lui Banach, care st a la baza unor metode iterative de rezolvare a
ecuat iilor de forma f(x) =x, presupune c a feste o contract ie pe R.
Teorema 2.1.1 [5]
Consider am f: [a;b]!R six2(a;b)un punct x al funct iei f. Presupunem c a f
este contract ie pe mult imea S(x;r) = [xr;x+r]:Atuncixeste un punct x unic ^ n
S(x;r) sifk(x0)!x;k!1 (8)x0dinS(x;r).
Demonstrat ie: Fie;0<  < 1;constanta contract iei. Presupun^ and c a fk(x)2
S(x;r), obt inem:
jfk+1(x)xjjfk(x)xj<r;
 si decifk+1(x)2S(x;r):Cumx2S(x;r);obt inem prin induct ie c a fk(x)2S(x;r);(8)k:
Rezult a
jfk(x)xjjxxj!0;k!1:
Observat ie 2.1.1 ^In teorema lui Banach s-a considerat x0arbitrar ales din domeniul de
denit ie al funct iei  si s-a format  sirul
x0;x1=f(x0);x2=f(x1) = (ff)(x0);:::;xn= (ff:::f|{z}
n ori)(x0):
20

Pentru a demonstra aceast a teorem a folosim
fk(x) = (ff:::f|{z}
k ori)(x);
adic a
jfk+1(x)f(x)j=jff:::f|{z}
k ori)(x)xjfcontrac t ie
jfk(x)xjfk(x)2S(x;r)
< r:
Corolar 2.1.1 [5]
Dac af2C([a;b]) sijf0(x)j<1, undex2(a;b)este punct x al lui f, atunci
exist a S(x;r)[a;b]astfel cafk(x)!x;(8)x2S(x;r):
Din continuitatea lui f0pe[a;b]rezult a c a exist a S(x;r)[a;b] si0< astfel ^ nc^ at
jf0(x)j;(8)x2S(x;r):
Obt inem c a feste contract ie pe S(x;r):
Teorema 2.1.2 [5]
Fiefo funct ie real a denit a pe [a;b] six02(a;b)un punct oarecare. Consider am f
o contract ie pe S(x;r)cu constanta  si c a
jf(x0)x0j(1)r:
Rezult a c a exist a un punct x unic x2S(x;r) sifk(x0)!x;k!1:
Demonstrat ie: Ar at am c a dac a x2S(x;r), atuncif(x)2S(x;r);adic a f este o
contract ie a sferei S(x;r)^ n ea ^ ns a si.
Lu amx2S(x;r). Obt inem
jf(x)x0jjf(x)f(x0)j+jf(x0)x0jjxx0j+ (1)rr+rrr;
rezult a c af(x)2S(x;r):
2.2 Metode cu mai mult i pa si
^In acest subcapitol s-au folosit date din [5].
Fie ecuat ia:
(2.1) f(x) = 0
undef:I!Reste o funct ie real a, Iind un interval al axei reale.
21

Presupunem c a ecuat iei (2.1) i se poate pune ^ n corespondent  a o funct ie ':I!R
astfel ^ nc^ at orice solut ie a ecuat iei (2.1) s a e  si solut ie a ecuat iei
(2.2) x='(x)
 si invers. Presupunem c a exist a o funct ie de kvariabile,k1;g:Ik!Rcu proprietatea
(2.3) g(x;x;:::;x ) ='(x);
pentru orice x2I:
O metod a iterativ a cu kpa si de iterat ie pentru rezolvarea numeric a a ecuat iei (2.3)
are forma general a astfel construit a
i)g:Ik!R;undeIk=II:::IRk
ii)
(2.4) xk=g(x0;x1;:::;xk1)xk+i=g(xi;xi+1;:::;xi+k1);
i= 1;2;3;:::;x 0;x1;:::;xk12I
De exemplu metoda lui Newton este o metod a cu un singur pas, iar funct ia de iterat ie
geste denit a ^ n felul urm ator:
g(x) =xf(x)
f0(x);(8)x2I:
^In schimb, metoda secantei este o metod a cu doi pa si, iar funct ia de iterat ie gare
urm atoarea form a:
g(x;y) =xf(y)yf(x)
f(y)f(x);(8)(x;y)2I2:
Pentru metodele cu un singur pas putem da urm atoarea teorem a general a asupra
convergent ei  si a ordinului de convergent  a.
Teorema 2.2.1 [5]
Fieg2C(p)([a;b]) six2(a;b)un punct x al lui g. Dac a
g0(x) =:::=g(p1)(x) = 0;g(p)(x)6= 0;
atunci oricare ar  x0dintr-o anumit a sfer a centrat a ^ n xavem c a ordinul de convergent a
al metodei este egal a cu p.
Demonstrat ie: Deoareceg0(x) = 0<1;convergent a metodei rezult a imediat din
corolarul (2.1.1). Dezvolt^ and funct ia f^ n serie Taylor obt inem
22

g(x) =g(x) +p1X
i=1g(i)(x)
i!(xx)i+g(p)()
p!(xx)p;2(x;x):
Din ipotezele teoremei  si ^ nlocuind xcuxkobt inem
jxk+1xj
jxkxjp=g(p)(k)
p!;k2(xk;x):
Rezult a
lim
k!1jxk+1xj
jxkxjp=g(p)(k)
p!
 si metoda are ordin de convergent  a p.
Mai departe, vom studia convergent a acestei metode.
Teorema 2.2.2 [5]
Dac a funct ia g veric a urm atoarele condit ii:
(i) funct ia g transform a mult imea Is^ nI;
(ii) funct ia g veric a condit ia (2.3);
(iii) pentru orice y1;y2;:::;ys;ys+12Ieste vericat a inegalitatea:
(2.5)jg(y1;y2;:::;ys)g(y2;y3;:::;ys+1)j1jy1y2j+2jy2y3j+:::+sjysys+1j;
unde10;20;:::;s0sunt numere reale care veric a condit ia
(2.6) 1+2+:::+s<1;
atunci  sirul (xn)1
n=0generat de (2.4) este convergent (8)x0;x1;:::;xs12I si dac a not am
cux= lim
n!1xn, atuncixeste unica solut ie a ecuat iei x='(x)din intervalul I.
Demonstrat ie: Demonstr am c a  sirul (xn)1
n=0generat de (2.4) este  sir Cauchy.
Din condit ia (2.5) rezult a c a au loc urm atoarele inegalit at i:
(2.7)jxn+1xnj=jg(xns+1;xns+2;:::;xn)g(xns;xns+1;:::;xn1)j
1jxns+1xnsj+2jxns+2=xns+1j+:::+jxnxn1j;
pentru ecare n=s;s+ 1;:::
C aut am o majorare pentru jxixi1j;i= 1;2;3;:::.
Consider am ecuat ia
(2.8) P(u) =ussus1+s1us2:::+2u1= 0:
23

Ecuat ia (2.8) are o singur a r ad acin a pozitiv a. F ac^ and schimbarea de variabil a u=1
t
obt inem ecuat ia echivalent a
Q(t) =1ts+2ts1+:::+st1 = 0;
pentru care Q0(t)>0dac at>0deoarecei0pentrui= 1;2;:::;s: Rezult a c a ecuat ia
Q(t) = 0 poate avea o singur a r ad acin a pozitiv a  si deci ecuat ia P(u) = 0 poate avea doar
o r ad acin a pozitiv a. Observ am c a P(1)>0deoarece este vericat a inegalitatea (2.6)  si
P(0)<0. Dac aP(0) = 0 atunci exist a un num ar natural i<s pentru care dac a not am
cuR(u) =P(u)
uiavemR(0)<0 siR(1)>0.
Rezult a c a ecuat ia P(u) = 0 are o singur a r ad acin a pozitiv a  si subunitar a.
^In rat ionamentul prezentat mai sus ne-am bazat pe faptul c a exist a cel put in un num ar
naturalispentru care i>0, ^ n caz contrar funct ia g ar coincide cu funct ia constant a
 si problema pus a nu ar avea sens.
Not am cu p r ad acina ecuat iei P(u) = 0 , care veric a relat ia 0<p< 1. Observ am c a
exist a un num ar real  si pozitiv astfel ^ nc^ at dac a not am cu i=jxixi1j;i= 1;2;:::;
atunci au loc inegalit at ile
()1; 2p;:::;sps1:
Lu am
= max
1;2
p;:::;s
ps1
Din sistemul de inegalit at i (2.7) obt inem:
8
>>>>>>>>><
>>>>>>>>>:s+1=ss+s1s1+:::+11;
s+2=ss+1+s1s+:::+12;
…
s+t=ss+t1+s1s+t2+:::+1t;
…
Din relat iile de mai sus, din (*)  si din faptul c a p este r ad acina ecuat iei
P(u) = 0 rezult a urm atoarele inegalit at i:
s+1=sps1+s1ps2+:::+1=(sps1+s1ps2+:::+1)ps:
^In mod analog ar at am c a au loc inegalit at iile
(2.9) s+tps+t1; t = 1;2;:::
24

Ar at am c a  sirul (xn)1
n=0generat de (2.4) veric a condit iile lui Cauchy  si obt inem:
(2.10)jxn+mxnj=m1X
i=0jxn+i+1xn+ij=m1X
i=0n+im1X
i=0pn+i1pn1
1p;
care ne arat a c a pentru orice " >0exist a un num ar N(")astfel ^ nc^ atjxn+mxnj< "
pentru orice n>N (") si pentru orice num ar natural m.
Din faptul c a  sirul (xn)1
n=0este  sir Cauchy rezult a c a este  si convergent. Lu am x=
lim
n!1xn si trec^ and la limit a ^ n inegalitatea (2.10) pentru m!1 obt inem:
jxxnjpn1
1p; n = 1;2;:::
Din condit ia (2.5) care asigur a continuitatea funct iei g, rezult a faptul c a xveric a
ecuat ia considerat a.
Indic am dou a moduri ^ n care se pot obt ine  si alte metode de iterat ie de tip Newton.
Fie funct ia h:I2!Rcare are proprietatea c a restrict ia ei la diagonala mult imii I2
coincide cu f, unde f este funct ia ce dene ste ecuat ia (2.1), adic a
(2.11) h(x;x) =f(x)
pentru orice x2I.
FieI= [a;b]:Presupunem c a funct ia h admite derivate part iale ^ n raport cu ecare
din variabilele sale, pentru orice (x;y)2(a;b)(a;b):
Pentru a rezolva ecuat ia (2.1) consider am urm atorul procedeu iterativ
(2.12) xn+1=xnf(xn)
h0
x(xn;xn);n= 0;1;:::;
unde prinh0
xam notat derivata part ial a a funct iei h ^ n raport cu variabila x. Aceast a
metod a este chiar o variant a a metodei lui Newton.
Presupunem c a funct ia h veric a condit ia (2.11)  si consider am pentru rezolvarea
ecuat iei (2.3) urm atorul procedeu iterativ:
(2.13) xn+1=xnh(xn;xn1) +h0
y(xn;xn1)(xnxn1)
h0
x(xn;xn1);
n= 1;2;::::
Utiliz^ and procesul iterativ de la (2.13) obt inem un  sir de numere reale (xn)1
n=0care dac a
este convergent, atunci limita sa este chiar r ad acina ecuat iei (2.3).
25

Dac ax= lim
n!1xn, atunci pentru n!1 , din (2.13) obt inem:
x=xh(x;x) +h0
y(x;x)(xx)
h0
x(x;x)
de unde rezult a h(x;x) = 0 , adic af(x) = 0:
2.3 Metoda lui Ceb^  sev
^In acest subcapitol s-au folosit date din [5].
Fief2C(p+1)([a;b])  six2(a;b) o solut ie a ecuat iei f(x) = 0. Presupunem c a
f0(x)6= 0 pe [a;b]; atunci exist a funct ia invers a 'a lui f, denit a pe [ f(a);f(b)]  si ^ n plus
'este dep+ 1 ori derivabil a. Utiliz am formula lui Taylor  si obt inem
'(z) ='(y) +pX
i=1'(i)(y)
i!(zy)i+'(p+1)()
(p+ 1)!(zy)(p+1);2(y;z):
Pentruz= 0  siy=f(x) obt inem '(0) =x, deoarece f(x) =y,x='(y)  si
2(f(x);f(x), prin urmare, exist a un 2(x;x) astfel ^ nc^ at f() =:Not amai(x) =
'(i)[f(x)]  si obt inem
(2.14) x=x+pX
i=1(1)iai(x)
i!f(x)i+ (1)p+1'(p+1)[f()]
(p+ 1)!f(x)p+1:
Not am
F(x) =x+pX
i=1(1)iai(x)
i!f(x)i;
 si lu am F ca funct ie de iterat ie. Obt inem metoda
(2.15) xk+1=F(xk);
numit a metoda lui Ceb^  sev.
Teorema 2.3.1 [5]
Dac a'(p+1)(0)6= 0 atunci metoda lui Ceb^  sev are ordinul de convergent  a p+ 1.
Demonstrat ie: Scriem funct ia F sub forma
F(x) =x'0[f(x)]f(x) +f(x)2pX
i=2(1)iai(x)
i!f(x)i2
 si not am
g(x) =pX
i=2(1)iai(x)
i!f(x)i2
26

Obt inem
F0(x) = 1'00[f(x)]f0(x)f(x)'0[f(x)]f0(x) + 2f(x)f0(x)g(x) +f(x)2g0(x):
Deoarece'0[f(x)]f0(x) = 1 , rezult a c a F0(x) = 0  si metoda lui Ceb^  sev este convergent a.
^Inlocuindxcuxk^ n relat ia (2.14) obt inem
xxk+1= (1)p+1'(p+1)[f(k)]
(p+ 1)!f(xk)p+1; k2(xk;x):
Pe de alt a parte
f(xk) =f(xk)f(x) = (xkx)f0(0
k); 0
k2(xk;x):
Rezult a
lim
k!1jxk+1xj
jxkxjp+1='(p+1)(0)
(p+ 1)!f0(x)p+1:
Deci metoda lui Ceb^  sev are ordin de convergent  a p+ 1.
Calculul coecient iilor aise poate face prin derivarea succesiv a a identit at ii '[f(x)]
x. Rezult a
'0[f(x)]f0(x) = 1;
'00[f(x)]f0(x)2+'0[f(x)]f00(x) = 0;
…………
de unde rezult a urm atoarele formule care ne dau pe ai(x)recursiv
a1(x)f0(x) = 1;
a2f0(x)2+a1(x)f00(x) = 0
……………..
Primele dou a valori sunt
a1(x) =f0(x)1; a 2(x) =f00(x)f0(x)3:
2.3.1 Cazuri particulare
(i) Pentrup= 1 formula de recurent  a (2.15) devine
xk+1=xkf(xk)
f0(xk);
aceasta ind chiar metoda lui Newton. Din teorema (2.3.1) rezult a c a metoda lui
Newton are convergent a p atratic a.
27

(ii) Pentru p= 2 se obt ine urm atoarea metod a de tip Ceb^  sev cu ordinul de convergent  a
egal cu 3.
xk+1=xkf(xk)
f0(xk)f00(xk)f(xk)2
2f0(xk)3:
(iii) Pentru p= 3 obt inem urm atoarea metod a cu ordinul de convergent  a egal cu patru
xk+1=xkf(xk)
f0(xk)f00(xk)f(xk)2
2f0(xk)3f3(xk)
3!f000(xk)f0(xk)3f00(xk)
(f0(xk))4:
2.4 Metoda lui Steensen
^In acest subcapitol s-au folosit date din [5]  si [3] ^ n proport ie de 50%, respectiv 50%.
Presupunem c a am reu sit s a punem ecuat ia:
f(x) = 0;
sub urm atoarea form a echivalent a
g(x)x'(x) = 0;
unde presupunem c a punctele xe ale funct iei 'coincid cu r ad acinile ecuat iei f(x) = 0:
Presupunem c a e intervalul I funct ia g are o funct ie invers a  si ^ n acest interval este
cont inut a o singur a r ad acin a xa acestei ecuat ii.
Not am cux0o aproximat ie init ial a a r ad acinii x si construim  sirul denit ^ n felul
urm ator:
(2.16)8
>>>>>>>>><
>>>>>>>>>:x0
0=x0;
x0
1='(x0
0)
x0
2='(x0
1)
:::::::::::::
x0
n='(x0
n1):
Folosim polinomul de interpolare invers a, iar ca noduri de interpolare consider am valorile
y0
i=g(x0
i);i= 0;1;:::;n  si obt inem aproximat ia urm atoare a r ad acinii xcu formula:
x1=!0(0)nX
i=0x0
i
y0
i!0
0(y0
i);
unde, prin!0(y) am notat polinomul
28

!0(y) =nY
j=0(yy0
j):
Presupunem c a xkeste o aproximat ie oarecare a r ad acinii xa ecuat iei ^ n cauz a, atunci
aproximat ia xk+1o vom obt ine ^ n felul urm ator:
(2.17)8
>>>>>>>>><
>>>>>>>>>:xk
0=xk;
xk
1='(xk
0)
xk
2='(xk
1)
:::::::::::::
xk
n='(xk
n1):
 si not am cu yk
i=g(xk
i);i= 0;1;:::;n  si cu!k(y) =nY
i=0(yyk
i):Rezult a:
(2.18) xk+1=!k(0)nX
i=0xk
i
yk
i!0
k(yk
i); k = 0;1;:::
Metoda iterativ a obt inut a mai sus poart a denumirea de metoda general a a lui Aitken-
Steensen.
2.4.1 Cazuri particulare
1. Pentrun= 1  six0aproximat ia init ial a a r ad acinii xa ecuat iei ^ n cauz a, avem:
8
>>>>>><
>>>>>>:x0
0=x0;
x0
1='(x0
0) ='(x0);
y0
0=g(x0
0) =x0'(x0);
y0
1=g(x0
1) ='(x0)'('(x0)):
Folosim polinomul de interpolare invers a sub forma lui Newton  si deducem pentru
x1urm atoarea expresie:
x1=x0g(x0)
[x0;'(x0);g];
adic a
x1=x0[x0'(x0)]2
x02'(x0) +'('(x0)):
29

^In form a general a avem
(2.19) xk+1=xk[xk'(xk)]2
xk2'(xk) +'('(xk)); k = 0;1;:::
2. Pentrun= 2  six0aproximat ia init ial a a r ad acinii xa ecuat iei ^ n cauz a, avem:
8
>>><
>>>:x0
0=x0;
x0
1='(x0
0) ='(x0);
x0
2='(x0
1) ='('(x0))
^Inlocuind ^ n formula
x4=x3f(x3)
[x2;x3;f][x1;x2;x3;f]f(x2)f(x3)
[x1;x2;f][x1;x3;f][x2;x3;f];
nodurile de interpolare x1=x0;x2='(x0)  six3='('(x0)),x4=x1 sif=g, vom
deduce:
(2.20) x1='('(x0))'('(x0))'('('(x0)))
['(x0);'('(x0));g]
[x0;'(x0);'('(x0));g]['(x0)'('(x0))]
[x0;'(x0);g]['(x0);'('(x0));g]


['('(x0))'('('(x0)))]
[x0;'('(x0));g]:
^In general, dac a am calculat aproximat ia xk, atunci o nou a aproximat ie se obt ine
astfel: Calcul am nodurile xk
0;xk
1;xk
2cu ajutorul formulelor
8
>>><
>>>:xk
0=xk;
xk
1='(xk
0) ='(xk);
xk
2='(xk
1) ='('(xk)):
Proced^ and ca  si ^ n cazul formulei (2.20) vom obt ine:
(2.21) xk+1='('(xk))'('(xk))'('('(xk)))
['(xk);'('(xk));g]
[xk;'(xk);'('(xk));g]['(xk)'('(xk))]
[xk;'(xk);g]['(xk);'('(xk));g]

30

['('(xk))'('('(xk)))]
[xk;'('(xk));g]:
undek= 0;1;:::
Pentru a obt ine metode iterative de tip Aitken-Steensen ^ n cazul n= 3;n= 4;::
folosim metoda iterativ a general a (2.18).
2.5 Metoda lui Traub
^In construct ia acestui subcapitol s-au folosit date din [5]  si [6] ^ n proport ie de 80%, re-
spectiv 20%.
Presupunem c a '(p)este continu a ^ n vecin atatea lui x. Fie'(x) =x;'(j)(x) =
0;j= 1;2;:::;p1;'(p)(x)6= 0:Din teorema lui Taylor rezult a
(2.22) xi+1='(xi) =x+'(p)(i)
p!(xix)p;
undemin(x;xi)<i<max (xi;x):Din aceasta rezult a urm atoarea teorem a:
Teorema 2.5.1 [5]
Fie'o funct ie iterativ a cu un singur punct de start  si e '(p)continu a ^ ntr-o vecin atate
a luix. Atunci'are ordinul pdac a  si numai dac a
'(x) =x;'(j)(x) = 0;j= 1;2;:::;p1;'(p)(x)6= 0:
^In plus
ei+1
ep
i!'(p)(x)
p!;
unde am notat ei=xix:
Aceasta este o teorem a de existent  a, deoarece este dicil s a construim o funct ie iterativ a
'() ='(f;) astfel ca'(j)(x) = 0;j= 1;2;:::;pentru orice f. Putem construi algoritmi
pentru generarea de funct ii de iterat ie de toate ordinele.
Condit iile ^ n care xi!xsunt date ^ n cele ce urmeaz a.
Teorema 2.5.2 [6]
Consider am '(p)continu a ^ n intervalul
I=fx;jxxjjx0xjg:
Fiexn+1='(xn);n2N;'2C(p)(I):Dac a
(2.23)j'(p)(x)j
p!M; (8)x2I
31

 si
(2.24) Mje0jp1<1; e 0=x0x;
atunci
i)xi2I;i= 1;2;:::;
ii)xnconverge c atre x, av^ and ordinul de convergent  a cel put in egal cu p. (vezi [6]).
Demonstrat ie: Evidentx02I. Presupunem c a xi2I. Rescriem (2.22) ca
(2.25) ei+1=Miep
i; Mi='(p)(i)
p!
Din (2.23), (2.24), (2.25)  si prin denit ia lui I, se obt ine
jei+1jMjeijMje0jp1je0jje0j
Rezult a c a xi+12I si concluzion am c a jei+1j Mjeijp;i= 0;1;:::, ceea ce implic a
jeijM1+p+:::+pi1je0jpi. De aici rezult a
(2.26) jeijM1
p1(Mje0j)pi
p1; p> 1;
(2.27) jeijMije0j; p = 1:
Din formula (2.24) rezult a c a ei!0:
Se observ a c a relat iile (2.26)  si (2.27) dau limitele de eroare dup a pasul i. Observ am c a
dac ap= 1 (cazul convergent ei de ordinul ^ ntai), condit ia de convergent  a este j'0j<1 ^ n
vecin atatea lui x. Dac ap>1(cazul convergent ei liniare) exist a ^ ntotdeauna o vecin atate
a luix, pentru care iterat ia converge.
^In metodele de ordinul doi se cere evaluarea lui f sif0, ^ n metodele de ordinul trei este
necesar a evaluarea lui f,f0,f00, etc. Aceasta sugereaz a c a funct iile iterative de ordin
pcer ^ ntotdeauna evaluarea a cel put in pfunct ii  si de fapt cer evaluarea cel put in a
f;f0;f";:::;f(p1).
Esent a teoremei fundamentale a funct iilor iterative cu un singur punct de start este
reprezentat a de faptul c a cele prezentate mai sus sunt ^ ntr-adev ar cazurile pentru funct iile
iterative cu un singur punct de start.
32

2.5.1 C^ ateva funct ii iterative cu un singur punct de start
Consider am funct ia f0nenul a ^ ntr-o vecin atate a lui x si ef(s)continu a ^ n aceast a
vecin atate. Atunci fare o invers a F siF0este continu a ^ ntr-o vecin atate a lui 0. Fie un
polinomq(t) astfel ^ ncat prima derivat a s1 s a se potriveasc a cu F^ n punctul y=f(x).
Rezult a
F(t) =q(t) +F(s)[(t)]
p!(ty)s;
q(t) =s1X
j=0F(j)(y)
j!(ty)j;
unde(t) se a
 a ^ n intervalul creat de y  s t. Denim
Es(x) =q(0) =s1X
j=0F(j)(y)(y)j
j!; y =f(x):
Am ar atat c a Eseste de ordinul s . ^In particular obt inem
E2(x) =xu(x) (NewtonRaphson );
E3=E2A2u2;
E4=E3(2A2
2A3)u3;
undeu=f
f0,Ai=f(i)
i!f0:
Exemplu:
Fief(x) =xnA, cu n ^ ntreg  si A > 0. Dac an2 aceasta conduce la o formul a
pentru r ad acin a de ordinul n; dac a n=1 aceasta conduce la o formul a pentru reciproca
lui A. Avem:
F(y) = (A+y)1
n;
F(j)(y) =x1jnj1Y
k=01
nk
:
Atunci
Es=x+xs1X
j=11
j!Axn
nxnjj1Y
k=0(1kn):
^In particular,
E2=x
n
n1 +A
xn
:
33

Dac an=1,
Es=xs1X
j=0(1Ax)j; x=x1X
j=0(1Ax)j:
Seria geometric a converge pentru j1Axj<1, adic a 0< x <2
A, av^ and suma1
A.
Exist a un num ar de metode generale pentru a deriva funct ia iterativ a cu un singur punct
de start, de orice ordin. Funct ia iterativ a E2ne furnizeaz a metoda lui Newton-Raphson.
Funct iaE3este dat a de solut ia ecuat iei ^ n t
f(x) +f0(x)(tx) +1
2f00(x)(tx)2= 0:
2.6 ^Imbun at at irea ordinului de convergent  a
^In construct ia acestui subcapitol s-au folosit date din [5].
O metod a de construct ie a funct iilor iterative de ordin p+ 1 care cer pevalu ari ale lui
f si una a lui f0este bazat a pe urm atoarea teorem a:
Teorema 2.6.1 [5] Fie'de ordinulp. Atunci
(x) ='(x)f['(x)]
f0(x)
este de ordinul p+ 1:
^In plus dac a denim
'j+1(x) ='j(x)f['(x)]
f0(x);'1(x) =x;
atunci'p(x)este de ordinul p.
^In particular,
'3(x) =xu(x)[xu(x)]
f0(x);u(x) =f(x)
f0(x);
este de ordinul trei.
Un exemplu de funct ie iterativ a de ordin superior ^ n care se folosesc mai multe puncte de
start este dat a de relat ia
'(x) =xu(x)f[xu(x)]f(x)
2f[xu(x)]f(x):
^In aceast a relat ie sunt folosite dou a evalu ari ale lui f si una a lui f0dar este de ordinul
patru. Aceast a funct ie iterativ a are urm atoarea interpretare geometric a:
Fie z=x-u(x). Consider am Pjum atatea liniei tangente ^ n [x;f(x)], aceasta a
^ andu-se
^ ntre punctele [x;f(x)] si[z;0]. Atunci'(x)este intersect ia dreptei ce trece prin Psi
[z;f(z)]cu axa x-lor.
34

2.7 Aplicat ie(Metoda lui Romberg)
^In construct ia acestui subcapitol s-au folosit date din [1].
C aut am o formul a de aproximare pentrup
A, astfel ^ nc^ at s a aib a ordinul trei de
convergent a. Pentru aceasta plec am de la urm atoarea ecuat ie
f(x) =xd(x2A) = 0; x> 0; A> 0:
S tim c a funct ia de iterat ie
'(x) =xf(x)
f0(x);
are ordinul mai mare sau egal cu doi. Ne propunem s a-l g asim pe d astfel ^ nc^ at
xn+1='(xn)
s a aib a ordinul de convergent  a trei. Calcul am derivatele funct iei f p^ an a la ordinul doi.
f(x) =x(2+d)Axd;
f0(x) = (2 +d)x1+ddAxd1;
f00(x) = (2 +d)(1 +d)xdd(d1)Axd1;
Punem condit iile
'(p
A) =p
A; '0(p
A) = 0; '00(p
A) = 0;:::;
(2.28) '(x) =x(x2A)xd
xd1[(2 +d)x2dA]=xxx2A
(2 +d)x2dA:
Obt inem
'0= 1f02ff00
f02=ff00
f02; '0(p
A) = 0
'00=f00
f0+ff00
f020
:
Pun^ and condit ia '00(p
A) = 0;g asim
f00(p
A) = 0;
deci
(2 +d)(1 +d)d(d1) = 0;
35

de unde rezult a d=1
2:^Inlocuind valoarea lui d ^ n relat ia (2.28) obt inem
'(x) =xxx2A
3
2×2+1
2A;
deci g asim funct ia iterativ a
'(x) =xx2+ 3A
3×2+A;
cu ordinul trei de convergent  a. S irul ( xn)n0, cuxn+1='(xn);x0=A+ 1
2constituie
metoda lui Romberg, pentru determinarea r ad acinii p atrate.
Observat ie 2.7.1 Deci, ^ n loc s a rezolv am cu metoda tangentei ecuat ia x2A= 0;este
mai avantajos s a aplic am metoda tangentei ecuat iei echivalente
1px(x2A) = 0; x> 0:
Interpretare geometric a
Pentru
36

Capitolul 3
Aplicat ii software ^ n C++
^In construct ia acestui capitol s-au folosit date din primele dou a capitole.
3.1 Metoda coardei-Implementarea metodei ^ n lim-
bajul C++
#include " stdafx . h"
#include <iostream>
#include<math . h>
using namespace std ;
double f ( double x , double A)
f
return ( xxA) ;
g
i n t i t e r =200;
double coarda ( double a , double b , double A, double eps )
f
i n t n r p a s i =0;
double x , x0 , x1 , y ;
x0=a ; x1=b ; x=x0 ; y=f (x ,A) ;
37

i f ( f ( x0 ,A)f ( x1 ,A)<0)
f
while ( ( nr pasi<=i t e r ) && (y <epsjjy>eps ) )
f
x=x0f ( x0 ,A)( x1x0 )/( f ( x1 ,A)f ( x0 ,A) ) ;
y=f (x ,A) ;
i f ( f ( x0 ,A)y<0) x1=x ;
e l s e x0=x ;
n rp a s i++;
g
i f ( nr pasi>i t e r )
f
cout<<"Problema nu se r e z o l v a in nr maxim de i t e r a t i i " ;
return 0 ;
g
e l s e
f
cout<<"Rezultat obtinut prin metoda coardei dupa "
cout<<nrpasi<<" pasi "<<endl ;
return x ;
g
g
e l s e cout <<"i n t e r v a l i n v a l i d " ;
g
i n t main ( )
f
double a , b ,A, eps ;
cout<<"I n t r o d u c e t i pe A: " ;
cin>>A;
cout<<"I n t r o d u c e t i a : " ; cin >>a ;
cout<<"I n t r o d u c e t i b : " ; cin >>b ;
cout<<"I n t r o d u c e t i aproximatia cu care d o r i t i sa se " ;
cout<<"c a l c u l e z e r a d i c a l u l ( ex 0 . 0 0 0 0 0 0 0 1 ) : " ; cin >>eps ;
cout . p r e c i s i o n ( 2 0 ) ;
cout<<"Radical din A r e z o l v a t prin metoda coardei e s t e : "
cout<<coarda ( a , b ,A, eps) <<endl<<"nn " ;
38

system ("PAUSE" ) ;
return 0 ;
g
Pornind de la intervalul [1 ;4](a= 1;b= 4)  si dorind s a calcul am radical din A=
3:8534245323 cu o eroare de aproximare de 1010obt inem dup a 23 de pa sip
A=1.963014
1446781526, primele 9 zecimale ind exacte.
3.2 Metoda secantei-Implementarea metodei ^ n lim-
bajul C++
#include " stdafx . h"
#include <iostream>
#include<math . h>
using namespace std ;
double f ( double x , double A)
f
39

return ( xxA);//pow(x ,(7+6.4)/2);
g
double secanta ( double a , double b , double A, double eps )
f
i n t n r p a s i =0;
double x0 , x1 , y , x ;
x0=a ; x1=b ; x=x0 ; y=f (x ,A) ;
i f ( f ( x0 ,A)f ( x1 ,A)<0)
f
while ( ( nr pasi<=i t e r ) && ( abs ( x0 x1)>eps ) )
f
x=(x0f ( x1 ,A)x1f ( x0 ,A) ) / ( f ( x1 ,A) f ( x0 ,A) ) ;
x0=x1 ;
x1=x ;
n rp a s i++;
g
i f ( nr pasi>i t e r )
f
cout<<"Problema nu se r e z o l v a in nr maxim de i t e r a t i i " ;
return 0 ;
g
e l s e
f
cout<<"Rezultat obtinut prin metoda s e c a n t e i dupa " ;
cout<<nrpasi<<" pasi "<<endl ;
return x ;
g
g
e l s e cout <<"i n t e r v a l i n v a l i d " ;
g
i n t main ( )
f
double a , b ,A, eps ;
cout<<"I n t r o d u c e t i pe A: " ;
cin>>A;
cout<<"I n t r o d u c e t i a : " ; cin >>a ;
40

cout<<"I n t r o d u c e t i b : " ; cin >>b ;
cout<<"I n t r o d u c e t i aprmatia cu care d o o x i r i t i sa se " ;
cout<<" c a l c u l e z e r a d i c a l u l ( ex 0 . 0 0 0 0 0 0 1 ) : " ; cin >>eps ;
cout . p r e c i s i o n ( 2 0 ) ;
cout<<"Radical din A r e z o l v a t prin metoda s e c a n t e i e s t e : " ;
cout<<secanta ( a , b ,A, eps) <<endl<<"nn " ;
system ("PAUSE" ) ;
return 0 ;
g
Pornind de la intervalul [1 ;8];(a= 1;b= 8)  si dorind s a calcul am radical din A=
7:738392472842743 cu o eroare de aproximare de 1010obt inem dup a 58 pa sip
A=
2:7817966267940477, primele 9 zecimale ind exacte.
3.3 Metoda Newton-Implementarea metodei ^ n lim-
bajul C++
#include " stdafx . h"
41

#include <iostream>
#include<math . h>
using namespace std ;
double f ( double x , double A)
f
return ( xxA);//pow(x ,(7+6.4)/2);
g
double f1 ( double x )
f
return 2x ;
g
double tangenta ( double a , double b , double A, double eps )
f
i n t i =0;
double x , y1 , y ;
x=b ;
y=f (x ,A) ;
y1=f1 ( x ) ;
while ( ( i<=i t e r ) && ( ( y <eps )jj(y>eps ) ) )
f
x=xy/y1 ;
y=f (x ,A) ;
y1=f1 ( x ) ;
i ++;
g
i f ( i>i t e r )
f
cout<<"problema nu se r e z o l v a in nr maxim de i t e r a t i i " ;
return 0 ;
g
e l s e
f
cout<<"Rezultat obtinut prin metoda l u i Newton dupa " ;
cout<<i<<" pasi "<<endl ;
42

return x ;
g
g
i n t main ( )
f
double a , b ,A, eps ;
cout<<"I n t r o d u c e t i pe A: " ;
cin>>A;
cout<<"I n t r o d u c e t i a : " ; cin >>a ;
cout<<"I n t r o d u c e t i b : " ; cin >>b ;
cout<<"I n t r o d u c e t i aproximatia cu care d o r i t i sa se " ;
cout<<" c a l c u l e z e r a d i c a l u l ( ex 0 . 0 0 0 0 0 0 0 1 ) : " ; cin >>eps ;
cout . p r e c i s i o n ( 2 0 ) ;
cout<<"Radical din A r e z o l v a t prin metoda l u i Newton " ;
cout<<" e s t e : " <<tangenta ( a , b ,A, eps) <<endl<<"nn " ;
system ("PAUSE" ) ;
return 0 ;
g
Pornind de la intervalul [1 ;5];(a= 1;b= 5)  si dorind s a calcul am radical din A=
4:28394028492342 cu o eroare de aproximare de 1010obt inem dup a 5 pa sip
A= 2:069768
171784772, primele 9 zecimale ind exacte.
43

3.4 Metoda^ njum at at irii intervalului-Implementarea
metodei ^ n limbajul C++
#include " stdafx . h"
#include <iostream>
#include<math . h>
using namespace std ;
double f ( double x , double A)
f
return ( xxA);//pow(x ,(7+6.4)/2);
g
i n t i t e r =200;
double b i s ( double a , double b , double A, double eps )
f
44

i n t i =0;
double y ;
i f ( f ( a ,A)f (b ,A)<0)
f
while ( fabs ( ab)>eps )
f
y=(a+b ) / 2 ;
i ++;
i f ( f (y ,A)==0)
f
a=y ;
b=y ;
g
e l s e
f
i f ( f (y ,A)f ( a ,A)<0) b=y ;
e l s e a=y ;
g
g
cout<<"nr de pasi : " <<i<<endl ;
return y ;
g
e l s e cout <<"i n t e r v a l i n v a l i d " ;
g
double b i s e c t i e ( double a , double b , double A, double eps )
f
i n t i =0;
double c ;
i f ( fabs (ba )<eps ) return ( a+b) / 2 . 0 ;
// Sa g a s i t radacina , o returnez
e l s e
f
c = ( a+b) / 2 . 0 ;
i f ( f ( a ,A)f ( c ,A)<0) return b i s e c t i e ( a , c ,A, eps ) ;
e l s e return b i s e c t i e ( c , b ,A, eps ) ;
g
g
45

i n t main ( )
f
double a , b ,A, eps ;
cout<<"I n t r o d u c e t i pe A: " ;
cin>>A;
cout<<"I n t r o d u c e t i a : " ; cin >>a ;
cout<<"I n t r o d u c e t i b : " ; cin >>b ;
cout<<"I n t r o d u c e t i aproximatia cu care d o r i t i sa se "
cout<<" c a l c u l e z e r a d i c a l u l ( ex 0 . 0 0 0 0 0 0 0 1 ) : " ; cin >>eps ;
cout . p r e c i s i o n ( 2 0 ) ;
cout<<"Radical din A r e z o l v a t prin metoda b i s e c t i e i : " ;
cout<<b i s ( a , b ,A, eps) <<endl<<"nn " ;
cout<<"Radical din A r e z o l v a t prin metoda b i s e c t i e i " ;
cout<<"r e c u r s i v : " <<b i s e c t i e ( a , b ,A, eps) <<endl<<"nn " ;
system ("PAUSE" ) ;
return 0 ;
g
Pornind de la intervalul [1 ;6](a= 1;b= 6)  si dorind s a calcul am radical din A=
5:82490245345 cu o eroare de aproximare de 1010obt inem dup a 36 de pa sip
A=
2:413483468::, primele 9 zecimale ind exacte.
46

3.5 Comparat ii ^ ntre metode
3.5.1 Comparat ii ^ ntre metoda coardei si metoda Newton
^In construct ia acestei sect iuni de subcapitol s-au folosit ^ n plus fat  a de celelalte sect iuni
date din [5](partea de teorie).
Pentru ecient a indexului metodei coardei folosit a ^ n consecint  a cu formula
x+1=x+1f(x)xf(x1)
f(x)f(x1);(= 1;2;:::)
este, ^ n practic a, 1.618… ^In aplicarea metodei Newton-Raphson este necesar s a se cal-
culezefsif0pentru ecare pas, astfel ^ nc^ at ecare pas de calcul este f acut cu mult a
greutate, atuncip
2 = 1:414:::este indexul de ecient  a al metodei Newton-Raphson.
Deci metoda coardei este mai bun a dec^ at metoda Newton-Raphson. Acest avantaj este
valabil doar pentru solut iile ecuat iilor simple, metoda coardei ind folositoare doar ^ n
acest scop, aplicat iile sale neput^ and  extinse cu u surint  a la alte teorii.
Pe de alt a parte principiul metodei Newton-Raphson se poate extinde la teoriile ecuat iilor
diferent iale, integrale, funct ionale  si multe alte p art i ale analizei.
Succesul metodei depinde ^ n mod direct de alegerea punctului de start, respectiv x0.
Comparat ie ^ ntre metode prin implementarea ^ n C++
#include " stdafx . h"
#include <iostream>
#include<math . h>
using namespace std ;
double f ( double x , double A)
f
return ( xxA);//pow(x ,(7+6.4)/2);
g
double f1 ( double x )
f
return 2x ;
g
47

double coarda ( double a , double b , double A, double eps )
f
i n t n r p a s i =0;
double x , x0 , x1 , y ;
x0=a ; x1=b ; x=x0 ; y=f (x ,A) ;
i f ( f ( x0 ,A)f ( x1 ,A)<0)
f
while ( ( nr pasi<=i t e r ) && (y <epsjjy>eps ) )
f
x=x0f ( x0 ,A)( x1x0 )/( f ( x1 ,A)f ( x0 ,A) ) ;
y=f (x ,A) ;
i f ( f ( x0 ,A)y<0) x1=x ;
e l s e x0=x ;
n rp a s i++;
g
i f ( nr pasi>i t e r )
f
cout<<"Problema nu se r e z o l v a in nr maxim de i t e r a t i i " ;
return 0 ;
g
e l s e
f
cout<<"Rezultat obtinut prin metoda coardei dupa " ;
cout<<nrpasi<<" pasi "<<endl ;
return x ;
g
g
e l s e cout <<"i n t e r v a l i n v a l i d " ;
g
double tangenta ( double a , double b , double A, double eps )
f
i n t i =0;
double x , y1 , y ;
x=b ;
y=f (x ,A) ;
48

y1=f1 ( x ) ;
while ( ( i<=i t e r ) && ( ( y <eps )jj(y>eps ) ) )
f
x=xy/y1 ;
y=f (x ,A) ;
y1=f1 ( x ) ;
i ++;
g
i f ( i>i t e r )
f
cout<<"problema nu se r e z o l v a in nr maxim de i t e r a t i i " ;
return 0 ;
g
e l s e
f
cout<<"Rezultat obtinut prin metoda l u i Newton dupa " ;
cout<<i<<" pasi "<<endl ;
return x ;
g
g
i n t main ( )
f
double a , b ,A, eps ;
cout<<"I n t r o d u c e t i pe A: " ;
cin>>A;
cout<<"I n t r o d u c e t i a : " ; cin >>a ;
cout<<"I n t r o d u c e t i b : " ; cin >>b ;
cout<<"I n t r o d u c e t i aproximatia cu care d o r i t i sa se " ;
cout<<" c a l c u l e z e r a d i c a l u l ( ex 0 . 0 0 0 0 0 0 1 ) : " ; cin >>eps ;
cout . p r e c i s i o n ( 2 0 ) ;
cout<<"Radical din A r e z o l v a t prin metoda coardei e s t e : " ;
cout<<coarda ( a , b ,A, eps) <<endl<<"nn " ;
cout<<"Radical din A r e z o l v a t prin metoda l u i Newton e s t e : " ;
cout<<tangenta ( a , b ,A, eps) <<endl<<"nn " ;
49

system ("PAUSE" ) ;
return 0 ;
g
Pornind de la intervalul [1 ;7](a= 1;b= 7)  si dorind s a calcul am radical din A=
6:3759348347243 cu o eroare de aproximare de 1010obt inemp
A= 2:5250613526 ::,
primele 10 zecimale ind exacte.
Observ am c a metoda lui Newton returneaz a rezultatul dup a un num ar de pa si mai mic
dec^ at cel din cazul metodei coardei. Deducem c a metoda lui Newton(metoda tangentei)
are convergent a mai bun a dec^ at metoda coardei.
3.5.2 Comparat ii ^ ntre metoda coardei si metoda secantei
Comparat ie ^ ntre metode prin implementarea ^ n C++
#include " stdafx . h"
#include <iostream>
#include<math . h>
using namespace std ;
double f ( double x , double A)
50

f
return ( xxA) ;
g
double secanta ( double a , double b , double A, double eps )
f
i n t n r p a s i =0;
double x0 , x1 , y , x ;
x0=a ; x1=b ; x=x0 ; y=f (x ,A) ;
i f ( f ( x0 ,A)f ( x1 ,A)<0)
f
while ( ( nr pasi<=i t e r ) && ( abs ( x0 x1)>eps ) )
f
x=(x0f ( x1 ,A)x1f ( x0 ,A) ) / ( f ( x1 ,A) f ( x0 ,A) ) ;
x0=x1 ;
x1=x ;
n rp a s i++;
g
i f ( nr pasi>i t e r )
f
cout<<"Problema nu se r e z o l v a in nr maxim de i t e r a t i i " ;
return 0 ;
g
e l s e
f
cout<<"Rezultat obtinut prin metoda s e c a n t e i dupa " ;
cout<<nrpasi<<" pasi "<<endl ;
return x ;
g
g
e l s e cout <<"i n t e r v a l i n v a l i d " ;
g
double coarda ( double a , double b , double A, double eps )
f
i n t n r p a s i =0;
double x , x0 , x1 , y ;
51

x0=a ; x1=b ; x=x0 ; y=f (x ,A) ;
i f ( f ( x0 ,A)f ( x1 ,A)<0)
f
while ( ( nr pasi<=i t e r ) && (y <epsjjy>eps ) )
f
x=x0f ( x0 ,A)( x1x0 )/( f ( x1 ,A)f ( x0 ,A) ) ;
y=f (x ,A) ;
i f ( f ( x0 ,A)y<0) x1=x ;
e l s e x0=x ;
n rp a s i++;
g
i f ( nr pasi>i t e r )
f
cout<<"Problema nu se r e z o l v a in nr maxim de i t e r a t i i " ;
return 0 ;
g
e l s e
f
cout<<"Rezultat obtinut prin metoda coardei dupa " ;
cout<<nrpasi<<" pasi "<<endl ;
return x ;
g
g
e l s e cout <<"i n t e r v a l i n v a l i d " ;
g
i n t main ( )
f
double a , b ,A, eps ;
cout<<"I n t r o d u c e t i pe A: " ;
cin>>A;
cout<<"I n t r o d u c e t i a : " ; cin >>a ;
cout<<"I n t r o d u c e t i b : " ; cin >>b ;
cout<<"I n t r o d u c e t i aproximatia cu care d o r i t i sa se " ;
cout<<" c a l c u l e z e r a d i c a l u l ( ex 0 . 0 0 0 0 0 0 1 ) : " ; cin >>eps ;
cout . p r e c i s i o n ( 2 0 ) ;
52

cout<<"Radical din A r e z o l v a t prin metoda coardei e s t e : " ;
cout<<coarda ( a , b ,A, eps) <<endl<<"nn " ;
cout<<"Radical din A r e z o l v a t prin metoda s e c a n t e i e s t e : " ;
cout<<secanta ( a , b ,A, eps) <<endl<<"nn " ;
system ("PAUSE" ) ;
return 0 ;
g
Pornind de la intervalul [1 ;7](a= 1;b= 7)  si dorind s a calcul am radical din A=
6:79374828492353 cu o eroare de aproximare de 1010obt inemp
A= 2:6064819747 ::,
primele 10 zecimale ind exacte.
Observ am c a metoda secantei returneaz a rezultatul dup a un num ar de pa si mai mic
dec^ at cel din cazul metodei coardei. Deducem c a metoda secantei are convergent a mai
bun a dec^ at metoda coardei.
3.5.3 Comparat ii ^ ntre metoda secantei si metoda Newton
Comparat ie ^ ntre metode prin implementarea ^ n C++
#include " stdafx . h"
53

#include <iostream>
#include<math . h>
using namespace std ;
double f ( double x , double A)
f
return ( xxA) ;
g
double f1 ( double x )
f
return 2x ;
g
double secanta ( double a , double b , double A, double eps )
f
i n t n r p a s i =0;
double x0 , x1 , y , x ;
x0=a ; x1=b ; x=x0 ; y=f (x ,A) ;
i f ( f ( x0 ,A)f ( x1 ,A)<0)
f
while ( ( nr pasi<=i t e r ) && ( abs ( x0 x1)>eps ) )
f
x=(x0f ( x1 ,A)x1f ( x0 ,A) ) / ( f ( x1 ,A) f ( x0 ,A) ) ;
x0=x1 ;
x1=x ;
n rp a s i++;
g
i f ( nr pasi>i t e r )
f
cout<<"Problema nu se r e z o l v a in nr maxim de i t e r a t i i " ;
return 0 ;
g
e l s e
f
cout<<"Rezultat obtinut prin metoda s e c a n t e i dupa " ;
cout<<nrpasi<<" pasi "<<endl ;
return x ;
54

g
g
e l s e cout <<"i n t e r v a l i n v a l i d " ;
g
double tangenta ( double a , double b , double A, double eps )
f
i n t i =0;
double x , y1 , y ;
x=b ;
y=f (x ,A) ;
y1=f1 ( x ) ;
while ( ( i<=i t e r ) && ( ( y <eps )jj(y>eps ) ) )
f
x=xy/y1 ;
y=f (x ,A) ;
y1=f1 ( x ) ;
i ++;
g
i f ( i>i t e r )
f
cout<<"problema nu se r e z o l v a in nr maxim de i t e r a t i i " ;
return 0 ;
g
e l s e
f
cout<<"Rezultat obtinut prin metoda l u i Newton dupa " ;
cout<<i<<" pasi "<<endl ;
return x ;
g
g
i n t main ( )
f
double a , b ,A, eps ;
cout<<"I n t r o d u c e t i pe A: " ;
55

cin>>A;
cout<<"I n t r o d u c e t i a : " ; cin >>a ;
cout<<"I n t r o d u c e t i b : " ; cin >>b ;
cout<<"I n t r o d u c e t i aproximatia cu care d o r i t i sa se " ;
cout<<" c a l c u l e z e r a d i c a l u l ( ex 0 . 0 0 0 0 0 0 1 ) : " ; cin >>eps ;
cout . p r e c i s i o n ( 2 0 ) ;
cout<<"Radical din A r e z o l v a t prin metoda s e c a n t e i e s t e : " ;
cout<<secanta ( a , b ,A, eps) <<endl<<"nn " ;
cout<<"Radical din A r e z o l v a t prin metoda l u i Newton e s t e : " ;
cout<<tangenta ( a , b ,A, eps) <<endl<<"nn " ;
system ("PAUSE" ) ;
return 0 ;
g
Pornind de la intervalul [1 ;2](a= 1;b= 42)  si dorind s a calcul am radical din A=
1:11111111114 cu o eroare de aproximare de 1010obt inemp
A= 1:0540925540316 ::,
primele 10 zecimale ind exacte.
Observ am c a metoda lui Newton returneaz a rezultatul dup a un num ar de pa si mai
mic dec^ at cel din cazul metodei secantei. Deducem c a metoda tangentei are convergent a
mai bun a dec^ at metoda secantei.
56

3.5.4 Comparat ii ^ ntre metoda coardei si metoda ^ njum at at irii
intervalului
Comparat ie ^ ntre metode prin implementarea ^ n C++
#include " stdafx . h"
#include <iostream>
#include<math . h>
using namespace std ;
double f ( double x , double A)
f
return ( xxA);//pow(x ,(7+6.4)/2);
g
double f1 ( double x )
f
return 2x ;
g
double coarda ( double a , double b , double A, double eps )
f
i n t n r p a s i =0;
double x , x0 , x1 , y ;
x0=a ; x1=b ; x=x0 ; y=f (x ,A) ;
i f ( f ( x0 ,A)f ( x1 ,A)<0)
f
while ( ( nr pasi<=i t e r ) && (y <epsjjy>eps ) )
f
x=x0f ( x0 ,A)( x1x0 )/( f ( x1 ,A)f ( x0 ,A) ) ;
y=f (x ,A) ;
i f ( f ( x0 ,A)y<0) x1=x ;
e l s e x0=x ;
n rp a s i++;
57

g
i f ( nr pasi>i t e r )
f
cout<<"Problema nu se r e z o l v a in nr maxim de i t e r a t i i " ;
return 0 ;
g
e l s e
f
cout<<"Rezultat obtinut prin metoda coardei dupa " ;
cout<<nrpasi<<" pasi "<<endl ;
return x ;
g
g
e l s e cout <<"i n t e r v a l i n v a l i d " ;
g
i n t main ( )
f
double a , b ,A, eps ;
cout<<"I n t r o d u c e t i pe A: " ;
cin>>A;
cout<<"I n t r o d u c e t i a : " ; cin >>a ;
cout<<"I n t r o d u c e t i b : " ; cin >>b ;
cout<<"I n t r o d u c e t i aproximatia cu care d o r i t i sa se " ;
cout<<" c a l c u l e z e r a d i c a l u l ( ex 0 . 0 0 0 0 0 0 1 ) : " ; cin >>eps ;
cout . p r e c i s i o n ( 2 0 ) ;
cout<<"Radical din A r e z o l v a t prin metoda b i s e c t i e i : " ;
cout<<b i s ( a , b ,A, eps) <<endl<<"nn " ;
cout<<"Radical din A r e z o l v a t prin metoda coardei e s t e : " ;
cout<<coarda ( a , b ,A, eps) <<endl<<"nn " ;
system ("PAUSE" ) ;
return 0 ;
g
Pornind de la intervalul [1 ;4](a= 1;b= 4)  si dorind s a calcul am radical din A=
3:2112347534981 cu o eroare de aproximare de 1010obt inemp
A= 1:7919918396 ::,
primele 10 zecimale ind exacte.
58

Observ am c a metoda coardei returneaz a rezultatul dup a un num ar de pa si mai mic
dec^ at cel din cazul metodei ^ njum at at irii intervalului. Deducem c a metoda coardei are
convergent a mai bun a dec^ at metoda bisect iei.
3.6 Metoda lui Ceb^  sev-Implementarea c^ atorva cazuri
particulare ^ n limbajul C++
#include " stdafx . h"
#include <iostream>
#include<math . h>
using namespace std ;
double f ( double x , double A)
f
return pow(x,3) Ax ;
g
double f1 ( double x , double A)
f
59

return 3pow(x,2)A;
g
double f2 ( double x , double A)
f
return 6x ;
g
double f3 ( double x )
f
return 6 ;
g
i n t i t e r =200;
double cebisevp1 ( double a , double b , double A, double eps )
f
i n t i =0;
double x , y1 , y ;
x=(a+b ) / 2 ;
y=f (x ,A) ;
y1=f1 (x ,A) ;
while ( ( i<=i t e r ) && ( ( y <eps )jj(y>eps ) ) )
f
x=xy/y1 ;
y=f (x ,A) ;
y1=f1 (x ,A) ;
i ++;
g
i f ( i>i t e r )
f
cout<<"problema nu se r e z o l v a in nr maxim de i t e r a t i i " ;
return 0 ;
g
60

e l s e
f
cout<<"Rezultat obtinut prin metoda Cebisev cu p=1 dupa " ;
cout<<i<<" pasi "<<endl ;
return x ;
g
g
double cebisevp2 ( double a , double b , double A, double eps )
f
i n t i =0;
double x , y1 , y ;
x=(a+b ) / 2 ;
y=f (x ,A) ;
y1=f1 (x ,A) ;
while ( ( i<=i t e r ) && ( ( y <eps )jj(y>eps ) ) )
f
x=xy/y1(f2 (x ,A)pow(y , 2 ) ) / ( 2pow( y1 , 3 ) ) ;
y=f (x ,A) ;
y1=f1 (x ,A) ;
i ++;
g
i f ( i>i t e r )
f
cout<<"problema nu se r e z o l v a in nr maxim de i t e r a t i i " ;
return 0 ;
g
e l s e
f
cout<<"Rezultat obtinut prin metoda Cebisev cu p=2 dupa " ;
cout<<i<<" pasi "<<endl ;
return x ;
g
g
double cebisevp3 ( double a , double b , double A, double eps )
f
i n t i =0;
61

double x , y1 , y , y2 , y3 ;
x=(a+b ) / 2 ;
y=f (x ,A) ;
y1=f1 (x ,A) ;
y2=f2 (x ,A) ;
y3=f3 ( x ) ;
while ( ( i<=i t e r ) && ( ( y <eps )jj(y>eps ) ) )
f
x=xy/y1(y2pow(y , 2 ) ) / ( 2pow( y1 , 3 ) ) ;
x=x((pow(y , 3 ) ) / ( 6 ) ) ( ( ( y3y1)(3y2 ) ) / ( pow ( ( y1 ) , 4 ) ) ) ;
y=f (x ,A) ;
y1=f1 (x ,A) ;
y2=f2 (x ,A) ;
y3=f3 ( x ) ;
i ++;
g
i f ( i>i t e r )
f
cout<<"problema nu se r e z o l v a in nr maxim de i t e r a t i i " ;
return 0 ;
g
e l s e
f
cout<<"Rezultat obtinut prin metoda Cebisev cu p=3 dupa " ;
cout<<i<<" pasi "<<endl ;
return x ;
g
g
i n t main ( )
f
double a , b ,A, eps ;
cout<<"I n t r o d u c e t i pe A: " ;
cin>>A;
cout<<"I n t r o d u c e t i a : " ; cin >>a ;
cout<<"I n t r o d u c e t i b : " ; cin >>b ;
cout<<"I n t r o d u c e t i aproximatia cu care d o r i t i sa se " ;
cout<<" c a l c u l e z e r a d i c a l u l ( ex 0 . 0 0 0 0 0 0 1 ) : " ; cin >>eps ;
62

cout . p r e c i s i o n ( 2 0 ) ;
cout<<"Radical din A r e z o l v a t prin metoda Cebisev cu p=1;
cout<<"e s t e : " cebisevp1 ( a , b ,A, eps) <<endl<<"nn " ;
cout<<"Radical din A r e z o l v a t prin metoda Cebisev cu p=2;
cout<<" e s t e : " <<cebisevp2 ( a , b ,A, eps) <<endl<<"nn " ;
cout<<"Radical din A r e z o l v a t prin metoda Cebisev cu p=3;
cout<<" e s t e : " <<cebisevp3 ( a , b ,A, eps) <<endl<<"nn " ;
system ("PAUSE" ) ;
return 0 ;
g
Pornind de la intervalul [1 ;4](a= 1;b= 4)  si dorind s a calcul am radical din A=
3:8473992492943842 cu o eroare de aproximare de 1012obt inemp
A= 1:96147884242843 ::,
primele 12 zecimale ind exacte.
3.7 Metoda lui Romberg-Implementarea unui caz par-
ticular ^ n limbajul C++
#include " stdafx . h"
#include <iostream>
#include<math . h>
63

using namespace std ;
double f ( double x , double A)
f
return (1/ s q r t ( x ) ) ( pow(x,2)A) ;
g
double f1 ( double x , double A)
f
return (3xx+ A)/(2xs q r t ( x ) ) ;
g
double tangenta ( double a , double b , double A, double eps )
f
i n t i =0;
double x , y1 , y ;
x=(a+b ) / 2 ;
y=f (x ,A) ;
y1=f1 (x ,A) ;
while ( ( i<=i t e r ) && ( ( y <eps )jj(y>eps ) ) )
f
x=xy/y1 ;
y=f (x ,A) ;
y1=f1 (x ,A) ;
i ++;
g
i f ( i>i t e r )
f
cout<<"problema nu se r e z o l v a in nr maxim de i t e r a t i i " ;
return 0 ;
g
e l s e
f
cout<<"Rezultat obtinut prin metoda tangentei dupa " <<i ;
cout<<" pasi "<<endl ;
return x ;
g
g
64

i n t main ( )
f
double a , b ,A, eps ;
cout<<"I n t r o d u c e t i pe A: " ;
cin>>A;
cout<<"I n t r o d u c e t i a : " ; cin >>a ;
cout<<"I n t r o d u c e t i b : " ; cin >>b ;
cout<<"I n t r o d u c e t i aproximatia cu care d o r i t i sa se " ;
cout<<" c a l c u l e z e r a d i c a l u l ( ex 0 . 0 0 0 0 0 0 1 ) : " ; cin >>eps ;
cout . p r e c i s i o n ( 2 0 ) ;
cout<<"Radical din A r e z o l v a t prin metoda tangentei " ;
cout<<" u t i l i z a n d Romberg e s t e : " ;
cout<<tangenta ( a , b ,A, eps) <<endl<<"nn " ;
system ("PAUSE" ) ;
return 0 ;
g
Pornind de la intervalul [1 ;4](a= 1;b= 4)  si dorind s a calcul am radical din A=
3:14159428592839534 cu o eroare de aproximare de 1011obt inemp
A= 1;77245431137
96742:::, primele 11 zecimale ind exacte.
65

Capitolul 4
Aplicat ii software ^ n Mathematica
^In construct ia acestui capitol s-au folosit date din primele dou a capitole  si elemente din
[7].
4.1 Metoda secantei
secantSteps[ ;fc0;c1;c2;c3g;f0;1g]:= secantSteps[ ;fc0;c1;c2;c3g;f0;1g]:= secantSteps[ ;fc0;c1;c2;c3g;f0;1g]:=
Module[fpoly;pl;x0;x1;xValuesg; Module[fpoly;pl;x0;x1;xValuesg; Module[fpoly;pl;x0;x1;xValuesg;
poly[x ] =fc0;c1;c2;c3g:x^(Range[0;3]); poly[x ] =fc0;c1;c2;c3g:x^(Range[0;3]); poly[x ] =fc0;c1;c2;c3g:x^(Range[0;3]);
pl = Plot[poly[ x];fx;2;2g;PlotStyle!fGrayg;PlotRange!ff 2;2g;f6;6gg]; pl = Plot[poly[ x];fx;2;2g;PlotStyle!fGrayg;PlotRange!ff 2;2g;f6;6gg]; pl = Plot[poly[ x];fx;2;2g;PlotStyle!fGrayg;PlotRange!ff 2;2g;f6;6gg];
fx0;x1g= Rationalize[f0;1g;10^6]; fx0;x1g= Rationalize[f0;1g;10^6]; fx0;x1g= Rationalize[f0;1g;10^6];
If[Chop[x0x1] == 0;ffx1;x0gg; If[Chop[x0x1] == 0;ffx1;x0gg; If[Chop[x0x1] == 0;ffx1;x0gg;
xValues =xValues =xValues =
NestList[f#[[1]]poly[#[[1]]](#[[1]] #[[2]])=(poly[#[[1]]]poly[#[[2]]]) ; NestList[f#[[1]]poly[#[[1]]](#[[1]] #[[2]])=(poly[#[[1]]]poly[#[[2]]]) ; NestList[f#[[1]]poly[#[[1]]](#[[1]] #[[2]])=(poly[#[[1]]]poly[#[[2]]]) ;
#[[1]]g&;fx1;x0g;] //N]//Quiet; #[[1]]g&;fx1;x0g;] //N]//Quiet; #[[1]]g&;fx1;x0g;] //N]//Quiet;
xValues = DeleteCases[xValues ;fIndeterminate ;gjf;Indeterminateg]; xValues = DeleteCases[xValues ;fIndeterminate ;gjf;Indeterminateg]; xValues = DeleteCases[xValues ;fIndeterminate ;gjf;Indeterminateg];
Show[fpl; Show[fpl; Show[fpl;
Graphics[ffPointSize[0:01];Point[f#;0g]&/@Flatten[xValues] g; Graphics[ffPointSize[0:01];Point[f#;0g]&/@Flatten[xValues] g; Graphics[ffPointSize[0:01];Point[f#;0g]&/@Flatten[xValues] g;
fThickness[0 :002];fThickness[0 :002];fThickness[0 :002];
MapIndexed[MapIndexed[MapIndexed[
fHue[0:76#2[[1]]=]; fHue[0:76#2[[1]]=]; fHue[0:76#2[[1]]=];
Line[ff#[[1]];poly[#[[1]]]g;f#[[2]];poly[#[[2]]]gg]g&;xValues]g; Line[ff#[[1]];poly[#[[1]]]g;f#[[2]];poly[#[[2]]]gg]g&;xValues]g; Line[ff#[[1]];poly[#[[1]]]g;f#[[2]];poly[#[[2]]]gg]g&;xValues]g;
fThickness[0 :002];Black;Line[ff#;0g;f#;poly[#]gg&/@Flatten[xValues]] g fThickness[0 :002];Black;Line[ff#;0g;f#;poly[#]gg&/@Flatten[xValues]] g fThickness[0 :002];Black;Line[ff#;0g;f#;poly[#]gg&/@Flatten[xValues]] g
66

g]g]g]
g;Axes!True;Frame!True;PlotRange!ff 2;2g;f4;4gg; g;Axes!True;Frame!True;PlotRange!ff 2;2g;f4;4gg; g;Axes!True;Frame!True;PlotRange!ff 2;2g;f4;4gg;
ImageSize!f500;300g]] ImageSize!f500;300g]] ImageSize!f500;300g]]
Manipulate[If[x0 == x1 ;x1 = x1 +:01]; Manipulate[If[x0 == x1 ;x1 = x1 +:01]; Manipulate[If[x0 == x1 ;x1 = x1 +:01];
secantSteps[ ;fc0;c1;c2;c3g;fx0;x1g]; secantSteps[ ;fc0;c1;c2;c3g;fx0;x1g]; secantSteps[ ;fc0;c1;c2;c3g;fx0;x1g];
ff;6;\stepsg;1;12;1g;ffx0;1;"x0"g;2;2g;ffx1;1;"x1"g;2;2g; ff;6;\stepsg;1;12;1g;ffx0;1;"x0"g;2;2g;ffx1;1;"x1"g;2;2g; ff;6;\stepsg;1;12;1g;ffx0;1;"x0"g;2;2g;ffx1;1;"x1"g;2;2g;
ffc0;0:5;"c0"g;1;1g; ffc0;0:5;"c0"g;1;1g; ffc0;0:5;"c0"g;1;1g;
ffc1;0:6;"c1"g;1;1g; ffc1;0:6;"c1"g;1;1g; ffc1;0:6;"c1"g;1;1g;
ffc2;1;"c2"g;1;1g; ffc2;1;"c2"g;1;1g; ffc2;1;"c2"g;1;1g;
ffc3;0:7;"c3"g;1;1g; ffc3;0:7;"c3"g;1;1g; ffc3;0:7;"c3"g;1;1g;
ControlPlacement !fTop;Top;Top;Bottom;Bottom;Bottom;Bottomg; ControlPlacement !fTop;Top;Top;Bottom;Bottom;Bottom;Bottomg; ControlPlacement !fTop;Top;Top;Bottom;Bottom;Bottom;Bottomg;
SaveDenitions!True] SaveDenitions!True] SaveDenitions!True]
67

4.2 Metoda Newton
Manipulate[Manipulate[Manipulate[
NewtonPlot[GetFunction[function] ;RangeToVary[GetRange[function] ;x0];10^(2); NewtonPlot[GetFunction[function] ;RangeToVary[GetRange[function] ;x0];10^(2); NewtonPlot[GetFunction[function] ;RangeToVary[GetRange[function] ;x0];10^(2);
GetRange[function] ; GetRange[function] ; GetRange[function] ;
zoom;20]; zoom;20]; zoom;20];
fffunction;functionrules[[1 ;1]]g;Dynamic[First/@functionrules ; fffunction;functionrules[[1 ;1]]g;Dynamic[First/@functionrules ; fffunction;functionrules[[1 ;1]]g;Dynamic[First/@functionrules ;
pmbSynchronousUpdating !False];
ControlType!PopupMenug; ControlType!PopupMenug; ControlType!PopupMenug;
ffx0;0;\starting pointg;0;1g; ffx0;0;\starting pointg;0;1g; ffx0;0;\starting pointg;0;1g;
ffzoom;0:9g;0:1;:9g; ffzoom;0:9g;0:1;:9g; ffzoom;0:9g;0:1;:9g;
TrackedSymbols :!ffunction;x0;zoomg; TrackedSymbols :!ffunction;x0;zoomg; TrackedSymbols :!ffunction;x0;zoomg;
SynchronousInitialization !False; SynchronousInitialization !False; SynchronousInitialization !False;
AutorunSequencing !f2;3g; AutorunSequencing !f2;3g; AutorunSequencing !f2;3g;
Initialization :!( Initialization :!( Initialization :!(
NewtonsMethod[f ;x;nz: 10^(10)]:= NewtonsMethod[f ;x;nz: 10^(10)]:= NewtonsMethod[f ;x;nz: 10^(10)]:=
If
Abs[f0[x]]>nz;N
xf[x]
f0[x]
;NewtonError
; If
Abs[f0[x]]>nz;N
xf[x]
f0[x]
;NewtonError
; If
Abs[f0[x]]>nz;N
xf[x]
f0[x]
;NewtonError
;
ConvergenceTest[f ;x;tol]:=(Abs[x]>tol&&x=!=NewtonError); ConvergenceTest[f ;x;tol]:=(Abs[x]>tol&&x=!=NewtonError); ConvergenceTest[f ;x;tol]:=(Abs[x]>tol&&x=!=NewtonError);
FindRootNewton[f ;x0;tol;maxiter :100]:= FindRootNewton[f ;x0;tol;maxiter :100]:= FindRootNewton[f ;x0;tol;maxiter :100]:=
NestWhileList[NewtonsMethod[ f;#]&;x0;ConvergenceTest[ f;#;tol]&;1;maxiter]; NestWhileList[NewtonsMethod[ f;#]&;x0;ConvergenceTest[ f;#;tol]&;1;maxiter]; NestWhileList[NewtonsMethod[ f;#]&;x0;ConvergenceTest[ f;#;tol]&;1;maxiter];
pointStyle[size ;color;pt]:=fPointSize[size] ;color;Point[pt]g; pointStyle[size ;color;pt]:=fPointSize[size] ;color;Point[pt]g; pointStyle[size ;color;pt]:=fPointSize[size] ;color;Point[pt]g;
stdopts = Sequence[ImageSize !f250;150g;PlotStyle!Black]; stdopts = Sequence[ImageSize !f250;150g;PlotStyle!Black]; stdopts = Sequence[ImageSize !f250;150g;PlotStyle!Black];
NewtonPlot[f ;x0;tol;fxmin;xmaxg;zoom;max ]:=Module[fiterates = NewtonPlot[f ;x0;tol;fxmin;xmaxg;zoom;max ]:=Module[fiterates = NewtonPlot[f ;x0;tol;fxmin;xmaxg;zoom;max ]:=Module[fiterates =
FindRootNewton[ f;x0;tol;max];fmtpts;fmtlines;fmtarrows;ip;fp;lpg; FindRootNewton[ f;x0;tol;max];fmtpts;fmtlines;fmtarrows;ip;fp;lpg; FindRootNewton[ f;x0;tol;max];fmtpts;fmtlines;fmtarrows;ip;fp;lpg;
lp = Last[iterates];lp = Last[iterates];lp = Last[iterates];
If[lp=!=NewtonError ; If[lp=!=NewtonError ; If[lp=!=NewtonError ;
fp = pointStyle[Large ;Red;f#;f[#]g&@Last[iterates]]; fp = pointStyle[Large ;Red;f#;f[#]g&@Last[iterates]]; fp = pointStyle[Large ;Red;f#;f[#]g&@Last[iterates]];
68

ip = pointStyle[Large ;Green;f#;f[#]g]&@First[iterates]; ip = pointStyle[Large ;Green;f#;f[#]g]&@First[iterates]; ip = pointStyle[Large ;Green;f#;f[#]g]&@First[iterates];
fmtpts = pointStyle[Medium ;Blue;f#;f[#]g]&/@iterates; fmtpts = pointStyle[Medium ;Blue;f#;f[#]g]&/@iterates; fmtpts = pointStyle[Medium ;Blue;f#;f[#]g]&/@iterates;
fmtlines =fmtlines =fmtlines =
ffBlue;Line[ffFirst[#];f[First[#]]g;fLast[#];0gg]g; ffBlue;Line[ffFirst[#];f[First[#]]g;fLast[#];0gg]g; ffBlue;Line[ffFirst[#];f[First[#]]g;fLast[#];0gg]g;
fOrange;Line[ffLast[#];0g;fLast[#];f[Last[#]]gg]gg&/@ fOrange;Line[ffLast[#];0g;fLast[#];f[Last[#]]gg]gg&/@ fOrange;Line[ffLast[#];0g;fLast[#];f[Last[#]]gg]gg&/@
Reverse[Partition[iterates ;2;1]]; Reverse[Partition[iterates ;2;1]]; Reverse[Partition[iterates ;2;1]];
Grid[ffPlot[f[x];fx;xmin;xmaxg;Epilog!ffmtlines;fmtpts;ip;fpg;Evaluate[stdopts]] ; Grid[ffPlot[f[x];fx;xmin;xmaxg;Epilog!ffmtlines;fmtpts;ip;fpg;Evaluate[stdopts]] ; Grid[ffPlot[f[x];fx;xmin;xmaxg;Epilog!ffmtlines;fmtpts;ip;fpg;Evaluate[stdopts]] ;
Plot[f[x];fx;lpzoom;lp + zoomg;Epilog! Plot[f[x];fx;lpzoom;lp + zoomg;Epilog! Plot[f[x];fx;lpzoom;lp + zoomg;Epilog!
!ffmtlines;fmtpts;ip;fpg;Evaluate[stdopts]] g; !ffmtlines;fmtpts;ip;fpg;Evaluate[stdopts]] g; !ffmtlines;fmtpts;ip;fpg;Evaluate[stdopts]] g;
fPlot[f[x];fx;lpzoom^2;lp + zoom^2g;Epilog! fPlot[f[x];fx;lpzoom^2;lp + zoom^2g;Epilog! fPlot[f[x];fx;lpzoom^2;lp + zoom^2g;Epilog!
!ffmtlines;fmtpts;ip;fpg;Evaluate[stdopts]] ; !ffmtlines;fmtpts;ip;fpg;Evaluate[stdopts]] ; !ffmtlines;fmtpts;ip;fpg;Evaluate[stdopts]] ;
Plot[f[x];fx;lpzoom^3;lp + zoom^3g;Epilog!ffmtlines;fmtpts;ip;fpg; Plot[f[x];fx;lpzoom^3;lp + zoom^3g;Epilog!ffmtlines;fmtpts;ip;fpg; Plot[f[x];fx;lpzoom^3;lp + zoom^3g;Epilog!ffmtlines;fmtpts;ip;fpg;
Evaluate[stdopts]] gg]; Evaluate[stdopts]] gg]; Evaluate[stdopts]] gg];
\Newton Error Divide by Zero]\Newton Error Divide by Zero]\Newton Error Divide by Zero]
];];];
functions =f functions =f functions =f
fFunction[x;35Cos[x] + 2Sin[x]];f2;2:5g;1g; fFunction[x;35Cos[x] + 2Sin[x]];f2;2:5g;1g; fFunction[x;35Cos[x] + 2Sin[x]];f2;2:5g;1g;
fFunction[x;Exp[x]x^3];f2;2g;1g; fFunction[x;Exp[x]x^3];f2;2g;1g; fFunction[x;Exp[x]x^3];f2;2g;1g;
fFunction[x;x^22];f2;2g;0g; fFunction[x;x^22];f2;2g;0g; fFunction[x;x^22];f2;2g;0g;
fFunction[x;Cos[x]x^3];f2;2g;1g; fFunction[x;Cos[x]x^3];f2;2g;1g; fFunction[x;Cos[x]x^3];f2;2g;1g;
fFunction[x;Cos[7x] + 3x1];f2;2g;1g; fFunction[x;Cos[7x] + 3x1];f2;2g;1g; fFunction[x;Cos[7x] + 3x1];f2;2g;1g;
fFunction[x;Sin[8x]x^3 + 2];f1;2g;2g fFunction[x;Sin[8x]x^3 + 2];f1;2g;2g fFunction[x;Sin[8x]x^3 + 2];f1;2g;2g
g;g;g;
functionrules = ToString[Last[First[#]] ;TraditionalForm] !#&/@functions; functionrules = ToString[Last[First[#]] ;TraditionalForm] !#&/@functions; functionrules = ToString[Last[First[#]] ;TraditionalForm] !#&/@functions;
GetFunction[str ]:=First[str/.functionrules]; GetFunction[str ]:=First[str/.functionrules]; GetFunction[str ]:=First[str/.functionrules];
GetRange[str ]:=Part[str/.functionrules ;2]; GetRange[str ]:=Part[str/.functionrules ;2]; GetRange[str ]:=Part[str/.functionrules ;2];
RangeToVary[fa;bg;x]:=a+x(ba); RangeToVary[fa;bg;x]:=a+x(ba); RangeToVary[fa;bg;x]:=a+x(ba);
)])])]
69

4.3 Metoda bisect iei
quad[x ]:=(x^22)=2; quad[x ]:=(x^22)=2; quad[x ]:=(x^22)=2;
cos[x ]:=Cos[x+ 1]; cos[x ]:=Cos[x+ 1]; cos[x ]:=Cos[x+ 1];
expo[x ]:=Exp[x]2x; expo[x ]:=Exp[x]2x; expo[x ]:=Exp[x]2x;
cube[x ]:=10(x1:1)(x0:8)(x0:6); cube[x ]:=10(x1:1)(x0:8)(x0:6); cube[x ]:=10(x1:1)(x0:8)(x0:6);
plotoptions =fPlotRange!ff 0;2:5g;f1;1gg;PlotRangePadding !0:25; plotoptions =fPlotRange!ff 0;2:5g;f1;1gg;PlotRangePadding !0:25; plotoptions =fPlotRange!ff 0;2:5g;f1;1gg;PlotRangePadding !0:25;
AspectRatio!Automatic; AspectRatio!Automatic; AspectRatio!Automatic;
ImageSize!400g; ImageSize!400g; ImageSize!400g;
bisec[f;fa;bg]:= bisec[f;fa;bg]:= bisec[f;fa;bg]:=
70

If
f[a]f[b]0;If
fa+b
2
f[a]0;
a;a+b
2
;If
fa+b
2
f[b]<0;a+b
2;b
; If
f[a]f[b]0;If
fa+b
2
f[a]0;
a;a+b
2
;If
fa+b
2
f[b]<0;a+b
2;b
; If
f[a]f[b]0;If
fa+b
2
f[a]0;
a;a+b
2
;If
fa+b
2
f[b]<0;a+b
2;b
;
fa;bg]fa;bg]fa;bg]
linie[f;fa;bg;1] =fMin[a;b];Max[a;b]g; linie[f;fa;bg;1] =fMin[a;b];Max[a;b]g; linie[f;fa;bg;1] =fMin[a;b];Max[a;b]g;
linie[f;fa;bg;n]:=If[f[a]f[b]0;bisec[f;linie[f;fa;bg;n1]];fa;bg] linie[f;fa;bg;n]:=If[f[a]f[b]0;bisec[f;linie[f;fa;bg;n1]];fa;bg] linie[f;fa;bg;n]:=If[f[a]f[b]0;bisec[f;linie[f;fa;bg;n1]];fa;bg]
intervalle[f ;fa;bg;nn]:= intervalle[f ;fa;bg;nn]:= intervalle[f ;fa;bg;nn]:=
Table[fflinie[f;fa;bg;i][[1]];i=30g;flinie[f;fa;bg;i][[2]];i=30gg;fi;1;nng]; Table[fflinie[f;fa;bg;i][[1]];i=30g;flinie[f;fa;bg;i][[2]];i=30gg;fi;1;nng]; Table[fflinie[f;fa;bg;i][[1]];i=30g;flinie[f;fa;bg;i][[2]];i=30gg;fi;1;nng];
vertline[a ]:=Line[ffa;1g;fa;1gg] vertline[a ]:=Line[ffa;1g;fa;1gg] vertline[a ]:=Line[ffa;1g;fa;1gg]
pl[f;fa;bg;n]:= pl[f;fa;bg;n]:= pl[f;fa;bg;n]:=
If[f[a]f[b]<=0; If[f[a]f[b]<=0; If[f[a]f[b]<=0;
Row[f\current interval: [ ;linie[f;fa;bg;n][[1]];\,;linie[f;fa;bg;n][[2]];\]g]; Row[f\current interval: [ ;linie[f;fa;bg;n][[1]];\,;linie[f;fa;bg;n][[2]];\]g]; Row[f\current interval: [ ;linie[f;fa;bg;n][[1]];\,;linie[f;fa;bg;n][[2]];\]g];
Row[f\no sign change in current interval g]] Row[f\no sign change in current interval g]] Row[f\no sign change in current interval g]]
Manipulate[Manipulate[Manipulate[
Show[Show[Show[
fPlot[f[x];fx;0;2:5g; fPlot[f[x];fx;0;2:5g; fPlot[f[x];fx;0;2:5g;
PlotStyle!ff Thickness[0 :005]g;fThickness[0 :001]g;fThickness[0 :001]g; PlotStyle!ff Thickness[0 :005]g;fThickness[0 :001]g;fThickness[0 :001]g; PlotStyle!ff Thickness[0 :005]g;fThickness[0 :001]g;fThickness[0 :001]g;
fThickness[0 :001]g; fThickness[0 :001]g; fThickness[0 :001]g;
fThickness[0 :001]gg;Evaluate[plotoptions] ;Filling!f1!Axisg; fThickness[0 :001]gg;Evaluate[plotoptions] ;Filling!f1!Axisg; fThickness[0 :001]gg;Evaluate[plotoptions] ;Filling!f1!Axisg;
PlotLabel!pl[f;faP[[1]];bP[[1]]g;nn]]; PlotLabel!pl[f;faP[[1]];bP[[1]]g;nn]]; PlotLabel!pl[f;faP[[1]];bP[[1]]g;nn]];
Graphics[fRed;Map[Line;intervalle[f;faP[[1]];bP[[1]]g;nn]]g]; Graphics[fRed;Map[Line;intervalle[f;faP[[1]];bP[[1]]g;nn]]g]; Graphics[fRed;Map[Line;intervalle[f;faP[[1]];bP[[1]]g;nn]]g];
Graphics[fDashed;Map[vertline ;linie[f;faP[[1]];bP[[1]]g;nn]]g]g; Graphics[fDashed;Map[vertline ;linie[f;faP[[1]];bP[[1]]g;nn]]g]g; Graphics[fDashed;Map[vertline ;linie[f;faP[[1]];bP[[1]]g;nn]]g]g;
ImageSize!f500;375g ImageSize!f500;375g ImageSize!f500;375g
];];];
ff;quad;\g;
quad!"x2
2-1";cos!\cos(x+1);cube!\9(x-1.2)(x-0.7)(x-0.3)
;
ff;quad;\g;
quad!"x2
2-1";cos!\cos(x+1);cube!\9(x-1.2)(x-0.7)(x-0.3)
;
ff;quad;\g;
quad!"x2
2-1";cos!\cos(x+1);cube!\9(x-1.2)(x-0.7)(x-0.3)
;
ControlType!RadioButtonBar ;ControlPlacement !Topg; ControlType!RadioButtonBar ;ControlPlacement !Topg; ControlType!RadioButtonBar ;ControlPlacement !Topg;
ffaP;f0:5;0gg;f0;0g;f2:5;0g;Locator;Appearance!Style[\j;20;Bold;Red]g; ffaP;f0:5;0gg;f0;0g;f2:5;0g;Locator;Appearance!Style[\j;20;Bold;Red]g; ffaP;f0:5;0gg;f0;0g;f2:5;0g;Locator;Appearance!Style[\j;20;Bold;Red]g;
ffbP;f2;0gg;f0;0g;f2:5;0g;Locator;Appearance!Style[\j;20;Bold;Red]g; ffbP;f2;0gg;f0;0g;f2:5;0g;Locator;Appearance!Style[\j;20;Bold;Red]g; ffbP;f2;0gg;f0;0g;f2:5;0g;Locator;Appearance!Style[\j;20;Bold;Red]g;
ffnn;1;\iteration stepg;1;12;1;Appearance!\Labeledg; ffnn;1;\iteration stepg;1;12;1;Appearance!\Labeledg; ffnn;1;\iteration stepg;1;12;1;Appearance!\Labeledg;
TrackedSymbols!Manipulate ; TrackedSymbols!Manipulate ; TrackedSymbols!Manipulate ;
SaveDenitions!True] SaveDenitions!True] SaveDenitions!True]
71

72

Bibliograe
[1] Blaga P. , "Analiz a Numeric a  si Teoria Aproxim arii" , Cluj, 2010.
[2] C alug aru D. , Efrem R. , Micu S. , Vraciu G. , "Analiz a numeric a-Metode numerice
^ n algebr a  si ^ n metoda elementelor nite- Culegere de exercit ii  si probleme- volumul
al II-lea" , Reprograa Universit at ii din Craiova, 1999.
[3] Lupa s A. , "Analiz a Numeric a" , Editura ULBS, 1997.
[4] Ostrowski A. M. , "Solution of equations and systems of equations" , Academic Press,
New York and London, 1966.
[5] Sofonea F. , "Analiz a Numeric a  si Teoria Aproxim arii" , Editura universit at ii din
Bucure sti, 2006.
[6] Traub J. F. , "Iterative methods for the solution of equations" , PreticeHall, Inc.
Englewood Clis, N.J., 1964.
[7] https://reference.wolfram.com/language/
73