Puncte de Extrem. Teoria Lui Fermat. Teorema Lui Lagrange. Teoria Lui Cauchy

Capitolul I

Puncte de extrem. Teorema lui Fermat.

Teorema lui Lagrange. Teorema lui Cauchy.

Fie o funcție.

Definiție: Un punct se numește punct de maxim relativ (respectiv minim relativ) al lui f dacă există o vecinătate a lui astfel încât (respectiv

Valoarea se numește maxim (respectiv minim) relativ al lui f. Punctele de maxim sau de minim relativ se numesc puncte de extrem relativ.

Are loc următorul rezultat:

Teoremă (Fermat): Fie un interval deschis și punct de extrem relativ al funcției . Dacă f este derivabilă în atunci .

Demonstrație: Presupunem că este un punct de maxim. Rezultă că . Dar , este derivabilă în atunci:

și .

Dar, este respectiv . Deci , de unde .■

Teorema lui Fermat afirmă că punctele de extrem local sunt printre punctele critice (zerourile derivatei).

Teoremă (Lagrange a creșterilor finite): Fie funcție Rolle ( f continuă și derivabilă pe . Atunci .

Demonstrație: Fie o funcție auxiliară cu k constantă reală determinată din condiția

deci

Funcția F verifică condițiile teoremei lui Rolle , deci există astfel încât

Dar, deci ■

Teorema se mai întâlnește și sub numele de prima teoremă de medie. În sine și mai ales prin consecințele sale teorema are o însemnătate deosebită în analiza matematică.

Consecințele teoremei lui Lagrange:

Intervalele de monotonie:

Teoremă: Fie o funcție derivabilă. Dacă pe atunci f este monoton crescătoare pe intervalul . Analog, pentru pe , f este monoton descrescătoare pe .

Demonstrație:

Fie și . Aplicând funcției teorema lui Lagrange pe deducem că există rezultă că adică f este monoton crescătoare pe .

Analog .

Funcții având aceeași derivată:

Teoremă: Dacă este derivabilă pe un interval și atunci f este constantă pe .

Demonstrație: Fie fixat. avem unde c este situat între a și x. Dar, rezultă că adică f este constantă pe .∎

Corolar: Fie derivabile pe . Dacă atunci este constantă pe .

Demonstrație: Fie . Evident este derivabilă și . Aplicând teorema anterioară, rezultă că este constantă pe .

Teoremă (Cauchy): Fie funcții Rolle astfel încât, atunci există un punct astfel încât

Demonstrație: Se aplică funcției teorema lui Rolle.

Din rezultă că . Așadar există echivalent cu .∎

Funcții convexe

Definiție: Fie un interval. O funcție este convexă dacă avem .

Dacă inegalitatea este strictă ( , atunci funcția este strict convexă.

Funcția este concavă (strict concavă) dacă este convexă.

Funcțiile simultan convexe și concave sunt cele afine.

Dacă este de două ori derivabilă un criteriu util de stabilire al convexității funcției este derivata a doua a funcției. Mai exact dacă pe atunci este convexă pe și evident dacă pe atunci este concavă pe I.

Exemple:

este strict convexă

este strict concavă

funcția este strict concavă pe și convexă pe

este convexă. Într-adevăr funcția este de două ori derivabilă pe și

funcția este concavă și

fie . Din tabelul de semn rezultă că derivata a doua nu are semn constant pe .

Așadar, funcția este concavă pe și convexă pe intervalul . Pe intervalul de definiție nu este nici concavă nici convexă.

Dacă este strict convexă atunci nu neapărat derivata a doua a funcției este pozitivă așa cum arată exemplul funcției , este strict convexă fără ca derivata a doua să fie pozitivă.

Luând în definiția convexității obținem o inegalitate utilă: dacă este o funcție convexă pe un interval I atunci . Funcțiile convexe au proprietatea că punctele oricărei porțiuni de pe grafic se află sub punctele corespunzătoare coardei sau pe coardă. În cazul funcțiilor concave punctele oricărei porțiuni de pe grafic se află deasupra punctelor corespunzătoare coardei sau pe coardă.

Teoremă: Fie , o funcție derivabilă. Atunci :

este convexă dacă și numai dacă

este strict convexă dacă și numai dacă

Demonstrație: i) Necesitatea: presupunem că funcția este convexă. Fie Atunci:

de unde avem:

Demonstrația se închide trecând la limită după .

Suficiența : Fie

Conform ipotezei:

Înmulțind prima relație cu și cea de a doua cu obținem:

, ceea ce ne arată că funcția f este convexă.

Necesitatea:

Procedăm ca la punctul i) și obținem

prin urmare ,

Suficiența se demonstrează asemănător ca la punctul i).■

Remarcăm faptul că o funcție convexă poate să nu fie continuă și dacă este continuă poate să nu fie derivabilă. Ca exemple avem funcțiile și funcția modul.

Funcțiile convexe sunt însă continue în toate punctele interioare ale intervalului de definiție și în aceste puncte au derivate laterale finite. Mulțimea punctelor de nederivabilitate ale unei funcții convexe este cel mult numărabilă.

Propoziția 1: Fie o funcție convexă. Pentru orice din I are loc relația:

.

Demonstrație: Considerăm ca o combinație convexă de și , adică cu . Relația de demonstrat se reduce la definiția proprietății de convexitate.■

Lemă: Fie și un interval. Atunci funcția este convexă dacă și numai dacă:

distincte.

Sau echivalent .

Demonstrație: Condiția este echivalentă cu:

Putem scrie pe ca o combinație convexă de și :

fiind convexă rezultă că ■

Funcției îi asociem o nouă funcție .

Teoremă (Galvani): Fie o funcție reală definită pe un interval . Atunci este convexă (respectiv strict convexă) dacă și numai dacă funcția asociată este crescătoare (respectiv strict crescătoare).

Adică ,.

Demonstrație teoremei rezultă din lema anterioară.

Funcțiile convexe constituie o clasă importantă de funcții ce oferă numeroase inegalități. Vom prezenta în continuare câteva proprietăți de bază ale funcțiilor convexe și concave utile în multe aplicații.

Propoziția 2:

suma a două funcții convexe (concave) este o funcție convexă (concavă)

produsul dintre o funcție convexă și o funcție constantă pozitivă este o funcție convexă.

Dacă , g convexă și f convexă și crescătoare atunci este convexă

Dacă g este inversa lui f atunci au loc următoarele afirmații:

f convexă și crescătoare g concavă și crescătoare

f convexă, descrescătoare g convexă descrescătoare

f concavă, descrescătoare g concavă descrescătoare

Demonstrație:

a) Fie două funcții convexe (se demonstrează analog pentru cele concave).

Dacă din definiția convexității avem:

prin adunarea celor două inegalități obținem:

b) fie . Fie

c) Fie

deoarece g este convexă pe iar f este crescătoare. Aplicând la inegalitatea precedentă se obține ce avem de demonstrat. ■

Propoziție 3: Dacă , un interval, este o funcție neconstantă și convexă atunci f nu-și poate atinge valoarea cea mai mare în interiorul intervalului.

Demonstrație: Presupunem prin reducere la absurd că f își atinge valoarea cea mai mare în în interiorul intervalului. Cum f nu este constantă rezultă că poate fi inclus într-un interval și cel puțin la capetele intervalului f să fie strict mai mică decât . Fie .

Punem și înmulțind prima inegalitate cu și a doua cu obținem

relație ce contrazice convexitatea funcției .∎

Formula lui Taylor.

Fie o funcție de ori derivabilă pe vecinătatea V a punctului . Polinomul Taylor asociat funcției în punctul este dat de:

observăm că

………………….

notând cu atunci .

Teoremă (formula lui Taylor 1685 – 1731) : Dacă este o funcție de ori derivabilă într-o vecinătate a punctului și este continuă în , atunci are lor formula:

Exemple:

1)

avem

atunci unde când

2) când

3) când

Am folosit notația lui Landau când dacă

Teoremă: Fie o funcție de ori derivabilă pe și de ori derivabilă pe interiorul lui . Atunci pentru orice două puncte există un punct între și astfel încât să avem:

Demonstrație: Avem de arătat că pentru situat între cele două puncte .

Observăm că și

Aplicând teorema lui Cauchy de medie se obține succesiv:

∎

Sume Darboux

Fie o funcție mărginită și o diviziune a intervalului . Atunci există numerele .

Definiție: Numerele și se numesc suma Darboux inferioară, respectiv suma Darboux superioară asociate funcției pentru diviziunea D.

Dacă funcția f este continuă atunci conform proprietății lui Weierstrass este mărginită și își atinge marginile pe un interval compact. Deci există . În acest caz sumele Darboux devin:

Definiție: Fie o funcție mărginită . Unicul număr real care satisface oricare ar fi D o diviziune a intervalului , se numește integrala definită a funcției f de la a la b și se notează .

Interpretarea geometrică a sumelor Darboux

Fie o funcție continuă. Fie o suprafață delimitată de dreptele , graficul funcției f la axa OX.

Considerăm o diviziune a intervalului .

a)

b)

c)

d)

Aria dreptunghiului di determinat la punctul b) este mai mică decât aria suprafeței Ai determinată la punctul c) care este la rândul ei mai mică decât aria dreptunghiului Di

Prin sumare se obține:

sau

Dacă funcția f este continuă pe intervalul atunci există un număr care se numește aria lui și se notează cu .

Teoremă(Criteriul lui Darbouxde integrabilitate Riemann ):

Fie . Sunt echivalente:

f este integrabilă Riemann

pentru orice astfel încât pentru orice diviziune D a intervalului cu să avem .

Așadar, pentru o funcție continuă avem două modalități de abordare a integralei definite: folosind sumele Darboux , fie folosind sumele Darboux inferioare și superioare.

Capitolul II

Inegalități / egalități demonstrate cu teorema lui Fermat

Teorema lui Fermat oferă o metodă remarcabilă de demonstrare a unor inegalități. Prin scrierea convenabilă a unei inegalități și identificarea punctului de extrem, aplicarea teoremei devine facilă.

Vom prezenta în continuare mai multe aplicații:

Dacă astfel încât atunci

Soluție:Considerăm funcția . Inegalitatea se va rescrie

deci este un punct de minim pentru funcția .

Aplicând teorema lui Fermat obținem

Inegalitatea admite următoarea generalizare.

Se consideră cu proprietatea că ∀.Să se arate că

Soluție: Fie .

Observăm că adică este punct de minim pentru funcție.

.

Să se arate că nu există să avem

Soluție: Presupunem prin reducere la absurd că

Fie funcția .

Inegalitatea se rescrie astfel: . Conform teoremei lui Fermat , deci

contradicție.

Să se arate că există astfel încât:

a)

b)

c)

Soluție:

a) Se aplică teorema lui Fermat funcției

b) Se consideră funcția . Se observă că este punct de minim global, cum funcția este derivabilă conform teoremei lui Fermat deci

c) Fie este punct de minim

Să se arate că dacă atunci

Soluție: Considerăm funcția

avem deci este punct de minim. Aplicând teorema lui Fermat se obține:

( o sumă de pătrate este zero dacă fiecare termen este zero)

În continuare vom da o caracterizare unor constante care apar în anumite inegalități. Ca o consecință, ce număr este mai mare sau ?

Arătați că

Soluție: Fie . Fie punctul de minim pentru funcția dată. Cu teorema lui Fermat . Valoarea minimă este . Minimul este mai mare decât 1 dacă și numai dacă .

Fie . Arătați că există un unic astfel încât

(inegalitatea lui Bernouli)

Soluție: Fie

Exploatarea definiției și proprietăților funcției convexe / concave

Fie un număr real astfel încât . Arătați că .

AMM, problema 10261

Soluție :Prin logaritmare inegalitatea devine

.

Fie . Funcția logaritm natural este strict concavă, aplicând definiția se obține

.

Fie un număr real astfel încât , punând inegalitatea devine

.

Observăm că iar . 2) Comparați cu . Soluție :Fie .

Fie . Din concavitatea funcției cosinus pe intervalul avem .

Ultima inegalitate rezultă din

.

Așadar, deci . Deci, funcția este crescătoare pe. Pentru a încheia demonstrația este sufficient să punctăm că

Dacă atunci și atunci .

O inegalitate deosebit de utilă și la care vom apela de multe ori este următoarea:

Fie o funcție concavă crescătoare astfel încât . Arătați că

.

Soluție: Fie . Punând și folosind definiția funcției concave obținem

.

Dacă obținem și cum este crescătoare avem . Pentru obținem ,

adică .

4) Fie numere nenegative astfel încât . Arătați că

Soluție: Folosim inegalitatea dintre media aritmetică și media geometrică:

5) Arătați că :

(inegalitatea dintre media aritmetică și media pătratică).

Soluție: Funcția este convexă. Aplicând rezultatul “ dacă f este convexă pe un interval atunci “ obținem inegalitatea dorită.

Prin inducție se ținând cont și de convexitatea funcției se poate generaliza

6) Arătați că

.

Soluție :Considerăm funcția , , , rezultă că este convexă descrescătoare

Pe de altă parte iar fiind descrescătoare

În anul 1965 profesorul Tiberiu Popovici publica următoarea inegalitate:

7) Teoremă (inegalitatea Tiberiu Popovici): Fie o funcție convexă și puncte din intervalul .Atunci

.

Deomnstrație: Știm că este o funcție convexă, atunci

.

Folosind acest resultat vom demonstra teorema. Pentru început observăm că inegalitatea este simetrică în . Presupunem că . Putem avea sau .

Dacă avem ordonările: .

Considerăm combinațiile convexe :

.

Prin adunarea celor două inegalități obținem Deci , .

Din convexitatea funcției se obține : ,,Adunând aceste relații obținem

Înmulțind acest rezultat cu se obține inegalitatea dorită.Analog,se tratează cazul cand ■

Considerând funcția convexă și aplicând inegalitatea lui Popoviciu obținem inegalitatea

Inegalitatea se obține prin aplicarea inegalității lui Popoviciu funcției pentru

8) Fie . Arătați că . Soluție: Definim funcția . Calculând derivata a doua a funcției se obține deci funcția este strict convexă.

Definim acum funcția : Deoarece rezultă că deci funcția este stricz convexă pe domeniul de definiție. Așadar, .■

Fiind date două numere reale pozitive definim:

se numește media media generalizată a lui .

se numește media logaritmică a lui și .

Observăm că este media aritmetică a lui iar ne dă media armonică a lui și .Dacă se obține media Lorentz. Următorul rezultat ne dă o legătură între și .

9) Dacă atunci pentru numere reale pozitive și distincte. Soluție: Fie . Derivata funcției este deci . Presupunem că luăm în și se obține .

10) Fie și numere reale. Arătați că .

Soluție: Funcția este convexă în timp ce funcția este convexă și crescătoare. Atunci funcția este convexă.

11) Arătați că dacă sunt numere reale pozitive atunci .

Soluție: Fără a restrânge generalitatea putem presupune că . Inegalitatea devine .

Fie numere fixate. Definim funcția deci funcția este concavă și își atinge minimul în sau în .

Astfel, minimul se atinge pentru sau . Considerăm cazul în care .

Inegalitatea devine , inegalitate provenită din inegalitatea dintre media aritmetică și media geometrică.

Analog cazul .

12) Folosind proprietățile funcțiilor concave să se arate că . Soluție: Funcția este concavă pe domeniul de definiție iar graficul său se va afla sub tangenta în orice punct al curbei. Ecuația tangentei în la graficul funcției este .

13) Să se arate că oricare ar fi și avem .

Soluție: Fie deci funcția este convexă, prin urmare restricția funcției la are graficul sub coarda determinată de punctele și .

Rezolvând sistemul se obține .

Folosind lema lui Galvani putem deduce următoarele inegalități:

14) Fie ( sau ) numerele reale. Atunci:

a)

b)

c)

d)

Soluție: Lema ne spune că pentru o funcție strict convexă pe un interval avem:

a)Se consideră funcția strict convexă . Aplicând lema avem .

După calculul determinantului se obține inegalitatea cerută.

b)Se ia .

c) Prin logaritmare inegalitatea se rescrie . Funcția logaritm natural este concavă deci

Inegalitatea lui Jensen

O consecință a definiției unei funcții convexe este următorul rezultat, datorat lui Johan Jensen (1859 – 1925). Inegalitatea lui Jensen are numeroase aplicații în stabilirea unor numeroase inegalități.

Teoremă(inegalitatea lui Jensen): Fie f o funcție convexă pe un interval (). Fie numere reale nenegative astfel încât . Atunci

(cu sens schimbat pentru funcția concavă)

Demonstrație:Demonstrăm inegalitatea prin inducție după .

Pentru obținem , chiar definiția convexității:

Presupunem că inegalitatea este adevărată pentru și o demonstrăm pentru :

Fie cu .

conform ipotezei de inducție avem:

∎

În particular pentru orice avem următoarele inegalități utile în aplicații:

dacă este convexă

dacă este concavă.

Aplicații:

Să se demonstreze că dacă și atunci

Soluție: Considerăm funcția ,deci funcția este concavă pe intervalul .

Aplicăm inegalitatea lui Jensen:

Deci, .

Arătați că

Soluție: Aplicăm teorema lui Jensen funcției .

Calculând obținem funcția este concavă

. Luăm

, inegalitatea ce trebuia demonstrată.

Fie A,B,C măsurile în radiani ale unghiurilor unui triunghi ABC. Arătați că

Soluție: Fie funcția

Făcând derivata a doua a funcției se obține ,deci funcția este concavă pe intervalul . Concavitatea funcției sinus pe . se constată ușor și pe grafic.

Aplicăm teorema lui Jensen pentru n=3 și

Avem:

Arătați că pentru orice avem: .

Soluție:Fie ,deci funcția este convexă. Cu inegalitatea lui Jensen avem:

Să se demonstreze că într-un triunghi ABC au loc inegalitățile:

a)

b)

c)

d) unde reprezintă razele cercurilor exînscrise triunghiului ABC.

Soluție: a) Se aplică inegalitatea lui Jensen funcției concave

b) Dacă un unghi al triunghiului este obtuz atunci cosinusul lui este negativ, clar inegalitatea se verifică. Presupunem că . Logaritmând inegalitatea se obține .

Se ia . Funcția este concavă fiind o compunere dintre o funcție concavă și o alta concavă crescătoare, sau se poate calcula derivata a doua

Deci ,

Observăm că este semiperimetrul triunghiului ABC.

Considerăm funcția convexă și aplicăm teorema lui Jensen pentru =3:

.

Așadar ,

Cunoaștem că . Prin urmare și inegalitatea devine:

.

Luăm ceea ce arată că funcția este convexă.

Avem: .

Fie . Arătați că

Soluție:Deoarece funcția nu este concavă nu putem aplica inegalitatea lui Jensen. În schimb, funcția este concavă pe intervalul . Punând și folosind formula inegalitatea devine . Această inegalitate a fost demonstrată la 5 a).

După cum s-a văzut în exemplul precedent, făcând substituții convenabile se poate aplica ușor Jensen. O inegalitate celebră care admite numeroase demonstrații este inegalitatea lui Nesbitt pe care o vom demonstra în următorul exemplu.

Pentru orice arătați că

Soluție: Cu substituțiile și din concavitatea funcției se obține prin aplicarea in egalității lui Jensen:

.Conform inegalității lui Jensen avem:

Dar, funcția este monoton crescătoare, deci ,

(Inegalitatea lui Holder:)Fie și .Atunci are loc inegalitatea:

Soluție :Fie deci funcția este concavă și aplicând inegalitatea lui Jensen avem:

, adică

Observații: a) Dacă obținem inegalitatea mediilor:

b) O variantă generalizată a inegalității lui Holder este următoarea:

Dacă atunci .

Soluție: Considerăm funcția . Evident că este convexă. Considerăm .Se observă că

Conform inegalității lui Jensen avem: 10) Dacă să se demonstreze că

Soluție: Fie și

Așadar, funcția este concavă pe intervalul și conform inegalității lui Jensen avem:

Egalitatea are loc dacă și numai dacă adică

11)( Inegalitatea Gȍughens): Să se demonstreze că :

Soluție: Se observă că derivata a doua a funcției este strict crescătoare deci funcția este convexă. Cu inegalitatea lui Jensen se obține:

12) Dacă sunt numere reale pozitive astfel încât atunci Soluție: Funcția este convexă.

Aplicând Jensen avem:

Desigur, inegalitatea putea fi demonstrată și înlocuind în concluzie pe .

13) Fie numere pozitive. Arătați că:

.

Soluție: Aplicăm Jensen funcției convexe și avem:

Analog ,

Prin adunarea celor trei inegalități se obține rezultatul.

14) Fie numere pozitive astfel încât . Să se demonstreze inegalitatea:

Soluție: Avem și analoagele.

Inegalitatea devine:

Fie ,deci funcția este convexă. Aplicând inegalitatea lui Jensen se obține:

15) Fie numere reale strict pozitive . Să se arate că:

Soluție: Fie Funcția este strict crescătoare și convexă.

Luam

Cu inegalitatea lui Jensen și inegalitatea mediilor obținem:

16) Fie și numere reale nenegative. Arătați că:

Soluție: Dacă inegalitatea este trivială . Presupunem că . Prin împărțirea inegalității cu și punând avem:

Acum, facem substituția . Logaritmând se obține: .

Considerăm funcția deci f este convexă.Aplicăm inegalitatea lui Jensen pentru

17) Fie numere reale. Arătați că

(M. Bencze)

Soluție: Notăm cu

Prima inegalitate se rescrie . Punem

Definim funcția . Se calculează derivata a doua a funcției și se constată că aceasta este pozitivă pentru orice .Folosind inegalitatea lui Jensen se obține: . Partea a doua a inegalității poate fi scrisă astfel:

Fie , g este concavă.

Cu inegalitatea lui Jensen avem: .

18) Fie numere reale pozitive. Arătați că:

Soluție: Presupunem că .Funcția este convexă, aplicând inegalitatea lui Jensen avem:

Avem de arătat că

inegalitate evidentă.

19) Fie numere reale pozitive. Arătați că au loc următoarele inegalități:

a)

b)

Soluție: a) Din convexitatea funcției pe și prin aplicarea inegalității lui Jensen avem:

b) Analog pentru

Următoarea inegalitate reprezintă inegalitatea lui Young demonstrată prin convexitate:

20) Fie și numere reale astfel încât . Atunci ,cu egalitate dacă și numai dacă .

Soluție: Funcția este convexă pe intervalul și punând prin aplicarea inegalității lui Jensen avem:

Cu egalitate dacă și numai dacă adică .

Media generalizată

Convexitatea este unul dintre cele mai importante concepte din analiză. Inegalitatea lui Jensen constituie cea mai importantă metodă din teoria inegalităților.

În acest paragraf vom stabili inegalități prin aplicarea inegalității lui Jensen în două moduri. Vom prezenta pentru început două leme:

Lemă1: Fie numere reale pozitive. Definim funcția . Atunci .

Demonstrație: Calculând prima derivată a funcției obținem . Clar .∎

Lemă2: Fie o funcție continuă. Dacă funcția dată este monoton crescătoare pe intervalul și monoton crescătoare pe atunci funcția este monoton crescătoare pe

Demonstrație: Vom arăta că f este monoton crescătoare pe intervalul . Din ipoteză avem că . Pentru orice avem . Cum este continuă în 0 obținem .

Analog, pentru f monoton crescătoare pe .Vom arăta ca este monoton crescătoare pe R. Fie . Dorim să arătăm că . Dacă totul rezultă din ipoteză.

Dacă avem .∎

Teoremă 1: Fie numere reale pozitive. Definim funcția

Atunci este continuă și monoton crescătoare.

Demonstrația 1: Fie . Demonstrăm că este continuă. este continuă pentru . Arătăm că .

Fie . Cum folosind prima lemă avem

Acum arătăm că este monoton crescătoare. Conform lemei precedente este suficient să arătăm că este monoton descrescătoare pe .

Fie . Dorim să arătăm că .

Făcând substituțiile inegalitatea devine:

.Considerăm funcția .

Prin normalizare avem .G este convexă și aplicând Jensen se obține:

Analog , este monoton crescătoare pe . ∎

Demonstrația 2: Fie . Folosim teorema funcției crescătoare.

Fie Deci,

Pentru a demonstra că trebuie să arătăm că:

Fie . Facem substituțiile . Deoarece funcția este convexă pe intervalul de definiție aplicând teorema lui Jensen avem:

∎

Corolar 1 (Inegalitatea mediilor pentru trei numere): Pentru numere reale pozitive are loc :

Demonstrație: Conform teoremei 1 avem ∎

Teoremă 2: Fie . Media generalizată este definită astfel:

.

Aplicația este continuă și monoton crescătoare.

Demonstrația teoremei se face folosind convexitatea funcției sau a funcției .

Corolar 2 (media geometrică scrisă ca limită): Fie . Atunci:

Teoremă 3(inegalitatea dintre media pătratică – aritmetică – geometrică – armonică):

Pentru orice avem: .

Inegalitatea lui Karamata

Spunem că vectorul majorează vectorul dacă:

Teoremă1(Karamata): Fie o funcție convexă. Dacă majorează , , atunci

.

De exemplu: Funcția este convexă pe domeniul de definiție. Fie triunghiul ascuțitunghic ABC. Atunci, vectorul majorează . Aplicând teorema anterioară se obține

Aplicații: 1) Fie număr natural , . Determinați constanta astfel încât pentru numere reale. Soluție: Prin normalizare se obține cu .

Se constată că funcția este convexă. Deoarece inegalitatea este simetrică putem presupune fără a restrânge generalitatea . Dacă vectorul majorează vectorul .

Aplicând teorema Karamata avem :

Dacă , scriind obținem vectorul care majorează și astfel . .

2) Arătați că oricare ar fi numere reale pozitive. Soluție: Presupunem că adică secvența este descrescătoare. Atunci majorează și aplicând inegalitatea lui Karamata funcției convexe pe se obține inegalitatea.

3)( Inegalitatea lui Schur): Fie numere reale pozitive. Arătati că Soluție : Inegalitatea fiind simetrică, putem presupune fără a reduce generalitatea că . Cu substituția inegalitatea devine .

Funcția este convexă pe mulțimea numerelor reale, aplicăm inegalitatea lui Karamta secvențelor. Din rezultă că și evident . Dacă (analog ) obținem

4) Fie numere reale pozitive. Arătați că . Soluție:Facem substituția . Inegalitatea se rescrie: . Considerăm secvențele și arătăm că majorează . Presupunem că

Analog verificăm și celelalte condiții. În final aplicăm inegalitatea lui Karamta funcției convexe . 5) Dacă , arătați că . Soluție:Fie strict convexă. Presupunem că și din rezultă că majorează . Prin aplicarea inegalității lui Karamta rezultă: . Egalitatea are loc când .

Inegalitatea dreptei de sprijin

În cazul funcțiilor derivabile, proprietatea de convexitate înseamnă că în orice punct este o dreaptă de sprijin pentru grafic, în sensul că punctele graficului se află în același semiplan (cel superior) determinat de tangentă. Propoziție (caracterizarea dreptelor suport) : Fie funcția o funcție reală și . Dacă: (1) (2) (3) este derivabilă în Atunci dreapta de sprijin este tangentă la graficul funcției în punctul Demonstrație: Definim . este derivabilă în și avem . Din (1) și (2) se observă că funcția are un punct de minim local în punctul . Din teorema lui Fermat avem:

Prezentăm în continuare o altă demonstrație a ineglității lui Nesbitt:

Fie numere reale pozitive. Atunci . Demonstrație : Normăm . Trebuie să arătăm că . Ecuația tangentei în la are ecuația . Afirmăm că .

Teoremă (inegalitatea dreptei de sprijin): Fie . Presupunem că pentru și avem

.

Fie . Atunci are loc inegalitatea

.

În particular . Demonstrație: . Am ținut cont de faptul că se poate scrie ca o combinație convexă de ,.

Aplicații: 1) În orice triunghi ABC avem . Soluție: Fie . Ecuația tangentei la graficul funcției în este . Se constată ușor că Aplicăm inegalitatea dreptei suport pentru .

Fie numere reale pozitive. Arătați că:

Soluție: Inegalitatea este omogenă, putem norma . Inegalitatea devine:

Considerăm funcția . Ecuația tangentei în este .

Inegalități obținute prin restricționarea unor funcții convexe la un interval

Lema 1: Fie o funcție. Dacă fixăm variabile este o funcție convexă în variabilă .

își atinge minimul în punctul dacă și numai dacă .

Demonstrație : Avem de arătat că dacă este o funcție convexă definită pe intervalul atunci: . Intervalul poate fi scris ca: . Pentru orice există . Deoarece funcția este convexă deducem că .∎

Aplicații:

1) Fie numere reale pozitive. Găsiți maximul expresiei: .

Soluție: Fie este convexă.

Conform lemei își atinge maximul dacă și numai dacă . Presupunem că , numere sunt egale cu și numere sunt egale cu .

Atunci .

2) Arătați că pentru orice numere reale nenegative avem

Soluție : Fie funcția

deci este convexă , prin urmare își atinge maximul în unul din punctele

Lema 2: Fie o funcție convexă și astfel încât . Expresia își atinge valoarea maximă dacă și numai dacă cel puțin n-1 termeni ai șirului sunt egali cu sau .

Demonstrație: Demonstrăm cazul .

Avem de arătat că dacă și atunci

Într-adevăr, dacă rezultă . Pentru scriem Din definiția funcției convexe avem: .

Prin adunarea acestor ultime două relații se obține . Analog cazul

Exemple: 1) Fie . Demonstrați că Soluție: Presupunem că . Conform lemei 2 își atinge maximul dacă și numai dacă ,contradicție. Dacă atunci maximul expresiei este egal cu

2) Fie numere reale din intervalul . Demonstrați că . Soluție : Conform lemei 2 expresia își atinge maximul dacă și numai dacă k numere sunt egale cu 1 și numere sunt egale cu -1. Nu putem avea decât k=1003 și ultimele numere egale cu 0. Astfel .

Exploatarea monotoniei

Știm că dacă f este o funcție derivabilă pe un interval și funcția este monoton crescătoare. Din această proprietate deducem câteva consecințe utile în demonstrarea multor inegalități.

Presupunem că este derivabilă pe intervalul . Au loc:

Dacă atunci este monoton descrescătoare pe .

Dacă atunci este constantă pe .

Dacă atunci .

Dacă atunci pe .

Începem cu o inegalitate elementară prezentată în multe manuale de liceu.

Să se compare cu .

Soluție: Considerăm funcția . Derivata sa este , rezultă că funcția este strict crescătoare pe domeniul de definiție. Prin urmare .

(am ținut cont de monotonia funcției logaritm natural).

(Inegalitatea lui Bernoulli) Pentru orice are loc inegalitatea . În plus egalitatea are loc dacă și numai dacă .

Soluție: Considerăm funcția fixat.

Calculând derivata sa se obține . Deoarece rezultă că și . Așadar adică . Egalitatea are loc pentru .

Analog se demonstrează:

O inegalitate celebră în analiza matematică este cea a lui Young.

Dacă cu proprietatea că pentru numere pozitive atunci au loc inegalitățile:

Soluție: Demonstrăm cazul . Fie un număr real fixat. Funcția are derivata . Punctul este punct de minim local. Astfel și ținând seama de se obține .

Aplicând inegalitatea lui Young pentru obținem o altă inegalitate clasică, inegalitatea lui Holder:

Dacă atunci .

Astfel ,

Pentru se obține o inegalitate care joacă un rol important în matematică, anume:

, inegalitatea lui Cauchy – Buniakowskz – Schwartz forma discretă.

Următoarea inegalitate este utilă în demonstrarea având o demonstrație geometrică nu tocmai plăcută de urmărit pentru elevi. Utilizând metode de analiză matematică demonstrația ei devine facilă.

4. Să se demonstreze că .

Soluție: Observăm mai întâi că funcțiile și sunt funcții pare, deci este suficient să facem demonstrația inegalității numai pentru . În plus, deoarece este suficient să studiem cazul .

Fie funcția . Deci ceea ce arată că funcția este monoton crescătoare pe domeniul de definiție, deci .

5. Arătați că .

Soluție: Pentru prima inegalitate se consideră funcția . Derivata sa este . Calculând mai departe derivata a doua se obține Atunci cu excepția unde și .

Deci crește de la 0 la un maxim în , apoi descrește la valoarea minimă în apoi crește pe intervalul . Valoarea minimă este

Observăm că și în consecință

Pentru cealaltă inegalitate considerăm funcția .

pentru

Din tabelul de variație se observă că crește de la valoarea -1,1 la un maxim . Există atunci un punct pentru care

Analog .

Avem: și

Atunci de la 0 funcția descrește la un minim în , apoi crește la o valoare maximă atinsă în și .

Deducem că .

6. Definim funcția . Găsiți maximul și miniul funcției Aplicați rezultatul găsit pentru demonstrarea inegalităților:

.

Soluție: Calculăm derivata funcției și găsim , deci este crescătoare pe intervalul . Maximul este iar minimul este .

Fără a restrânge generalitatea presupunem că . Înlocuind în relația se obține concluzia.

Folosind monotonia funcțiilor putem demonstra inegalitatea dintre media geometrică și media aritmetică.

7. Dacă să se demonstreze inegalitatea:

.

Soluție: Demonstrăm inegalitatea prin inducție matematică. Dacă inegalitatea este verificată imediat. Presupunem acum inegalitatea adevărată pentru și vom demonstra ca este adevărată pentru .

Considerăm funcția:

.

Din se obține punct de minim pentru si .

Egalitatea are loc pentru .

O inegalitate extrem de utilă, cu mai multe aplicații este inegalitatea lui Cebîșev..

8. Dacă sunt similar monotone atunci:

.

Dacă și sunt strict similar monotone, atunci egalitatea se obține pentru .

Soluție: Deoarece și sunt similar monotone avem:

inegalitate echivalentă cu:

, inegalitatea se verifică și pentru .

După desfacerea parantezelor în ultima inegalitate și sumare pentru se obține o formă echivalentă a inegalității de demonstrat.

Vom prezenta în continuare trei aplicații ale acestui rezultat .

Dacă este crescătoare, atunci:

cu egalitate pentru .

Soluție: Definim funcția astfel .

Funcția este crescătoare de unde prin aplicarea inegalității de la 8. se obține:

Este suficient să arătăm că

inegalitate obținută prin aplicarea inegalității mediilor pentru tripletele (a,b,c), (b,c,d), (c,d,a) și (d,b,a).

Dacă a,b,c sunt numere reale pozitive atunci:

cu egalitate pentru a=b=c.

Soluție: Se consideră funcțiile

.

f și g sunt crescătoare. Aplicând 8. se obține:

Folosind inegalitatea mediilor se deduce că în fiecare din cei doi factori din membrul drept al inegalității este pozitiv.

Fie . Dacă atunci

.

Dacă atunci inegalitatea are loc cu semn schimbat.

Egalitatea are loc pentru și strict convexă.

Soluție: Aplicăm inegalitatea de la 8. și pentru funcțiile crescătoare .

Arătați că .

(J. Rosenblat, A.M.M, 10604)

Soluție: Fie fixate, . Definim funcția auxiliară

Deoarece rezultă de unde avem .

Conform teoremei lui Lagrange există

și astfel

Astfel .

Pentru a putea demonstra partea stângă a inegalității observăm că.

Este suficient să considerăm . Cum este descrescătoare pe obținem

Să se arate că pentru orice avem inegalitatea:

.

(Admitere Facultatea de Matematică, 1987)

Soluție: Fie . Aplicând teorema lui Lagrange avem:

.

Notăm Funcția este strict crescătoare deoarece

Atunci

Fie și . Aplicând teorema lui Lagrange pe intervalulrezultă că există un unic astfel încât .

Am ținut cont de faptul că funcția este injectivă.

Deducem astfel inegalitățile:

a) . ( Se ia

b) .( Se consideră

c) (Iau )

15. (I.M.O. 1984/1) Fie x,y,z numere reale pozitive astfel încât . Arătați că .

Soluție: Considerăm funcția .

Putem presupune că . Cum deducem că .

Astfel ,. Aplicând inegalitatea dintre media aritmetică și media geometrică abținem .

Dar și astfel:

Trebuie să maximizăm funcția .

Calculând derivata sa obținem .

este monoton crescătoare. Deducem că .

Găsiți minimul expresiei .

Soluție: Notăm conform teoremei inegalității mediilor.

Funcția este crescătoare pe deoarece . Deci .

În concluzie minimul se atinge pentru și este 2.

(I.M.O 2002) Fie a,b,c numere reale pozitive cu . Arătați că .

Soluție: Deoarece abc=1, cel puțin unul din numerele a,b sau c este mai mare sau egal cu 1. Fie , luând inegalitatea devine:

sau

Fie . Considerăm funcția . Avem de arătat că . Funcția are zerourile și .

Fie punct de minim, atunci . Avem de demonstrat că și .

Calculăm . Rămâne de arătat că .

Scriem .

Punem și avem:

. Am ținut cont că .

Dorim să stabilim inegalitatea:

, inegalitate echivalentă cu .

Descompunând ambele expresii

și

și ridicând la pătrat ultima inegalitate avem:

După efectuarea calculelor obținem:

sau .

Considerăm funcția . După calculul derivatei se observă că G este monoton descrescătoare pe și monoton crescătoare pe .

Deducem că .

Găsiți minimul lui .

Soluție: Putem scrie . Fie .

Dacă deci este strict descrescătoare, iar pentru este strict crescătoare.

Fie numere reale. Arătați că:

Soluție : Considerăm funcția .

Prin calcul se obține:

Deci, este crescătoare pentru rezultă .

Remarcă. 1.Pentru se obține inegalitatea

2. Inegalitatea admite următoarea generalizare:

Fie numere reale pozitive, . Atunci pentru orice numere reale avem:

Arătați că unde și sunt îndeplinite condițiile:

.

Soluție: Fie . Se definește funcția

Deoarece are trei rădăcini reale afirmăm că :

Deci ceea ce implică

Dacă

Dacă

Clar ,trebuie să avem

și astfel .

Metoda iv) ne spune că dacă atunci pe . Vom ilustra câteva aplicații ale acestei metode.

Arătați că .

Soluție: Fie

Arătați că număr real.

Soluție: fixat.

adică

Cum a fost ales arbitrar rezultă că .

Inegalități integrale obținute prin aplicarea unor inegalități clasice

Prezentăm mai jos forma integrală a unor inegalități clasice (Young, Hȍlder, Jensen și Hermite-Hadamard). Aceste inegalități constituie o sursă bogată pentru obținerea de numeroase inegalități. Începem cu inegalitatea lui Young.

Teorema 1. (Young) Fie o funcție strict crescătoare cu derivata continuă astfel încât . Fie inversa funcției . Arătați că pentru și numere reale pozitive cu , avem:

Demonstrație: Integrând prin părți obținem .

Fie . Prin înlocuire se obține: (1) Punând ultima egalitate devine .

Fie . Atunci . . Aplicăm relația (1) integralei și se obține

Deoarece putem lua și obținem concluzia teoremei.

Dacă funcția este crescătoare atunci are loc și egalitatea.∎

Teorema 2. (Hȍlder) Fie . Dacă funcțiile sunt integrabile Riemann pe , atunci avem:

Demonstrație: Fie și

Dacă inegalitatea are loc.

Fie . Aplicând inegalitatea lui Young forma discretă și luând și .

cu rezultă: . Prin integrare se obține concluzia teoremei.

Teorema 3. (Cauchy – Buniakovski – Schwarz) Dacă funcțiile sunt integrabile pe atunci:

.

Demonstrație: Inegalitatea este un caz particular al teoremei 2. pentru .∎

Teorema 4 (Cebîsev): Dacă funcțiile sunt monotone pe și de monotonii diferite atunci:

.(Inegalitate cu semn schimbat dacă funcțiile au aceeași monotonie )

Demonstrație: Fie și monoton crescătoare.

Atunci:.

Adică .

Integrând în funcție de y pe se obține inegalitatea cerută. ∎

Teorema 5. (Jensen) Fie o funcție integrabilă, iar o funcție convexă și continuă. Să se demonstreze că

Demonstrație: Funcția fiind integrabilă iar continuă, conform criteriului lui Lebesgue rezultă că este integrabilă pe .

fiind convexă și ținând cont de inegalitatea lui Jensen avem:

de unde prin trecere la limită se obține in egalitatea de demonstrat. ∎

Teorema 6 .(Hermite – Hadamard) Dacă este o funcție convexă, atunci:

.

Demonstrație: Considerăm funcția auxiliară .

Aplicăm acum teorema lui Lagrange funcției pe intervalul rezultă că există astfel încât : este crescătoare pe . Deci,

Pentru cealaltă inegalitate se consideră

(Am ținut cont de faptul că este convexă)

Așadar este crescătoare. Dar este crescătoare pe .Deci ,. ∎

Prezentăm în continuare câteva aplicații ale acestor teoreme.

1. Să se arate că

Soluție: Aplicăm teorema 3 pentru .

2. Arătați că

Soluție: Aplicăm inegalitatea Cauchy – Buniakovski – Schwarz. 3. 3. Fie o funcție integrabilă. Dacă atunci Soluție: Conform inegalității lui Bernoulli avem: de unde . Am aplicat teorema 3. 4. (Inegalitatea lui Poincaré). Fie o funcție continuă cu derivata sa continuă și . Arătați că . Soluție: Fie . Aplicăm inegalitatea lui Cauchy – Schwarz astfel:

5. (Inegalitatea lui Poincaré) Fie număr real.

Fie funcția . Arătați că există o constantă care depinde numai de astfel încât pentru orice funcție .

Soluție: Aplicând inegalitatea lui Cauchy – Schwarz se obține: . Cu inegalitatea lui Hölder avem:

Alegem

6. Dacă funcția , să se demonstreze relația: . Când se realizează egalitatea?

Soluție: Integrând prin părți avem:

. Însă , putem scrie . Aplicând inegalitatea lui Cauchy – Schwarz se obține: .

Pentru egalitate vom încerca funcții polinomiale. Polinomul cu o constantă arbitrară, are derivata și se observă ușor că deci egalitatea se obține pentru .

7. Fie . Arătați că

Soluție: Funcția este bijectivă, inversa sa este . Putem aplica inegalitatea lui Young (teorema 1).

. Folosind inegalitatea cu egalitate pentru rezultă .

8. Fie o funcție continuă și . Să se arate că .

Soluție: Se aplică inegalitatea lui Jensen pentru funcțiile și

convexă

9. Fie integrabilă. Să se arate că . Soluție: Fie .

Avem Deci este convexă pe .

Deoarece este integrabilă și este convexă putem aplica teorema 5 (Inegalitatea lui Jensen):

10. Să se demonstreze că .

Soluție:

Funcțiile și sunt pozitive și strict descrescătoare pe . Aplicăm inegalitatea lui Cebîsev.

și astfel partea stângă a inegalității este demonstrată.

Pentru a demonstra inegalitatea din dreapta se consideră inegalitatea , rezultă că

de unde prin integrare rezultă:

Notăm

Deci, .

11. Fie o funcție crescătoare. Să se arate că .

Soluție: Aplicăm inegalitatea lui Cebîșev pentru crescătoare și crescătoare.

Avem

12. Arătați că (OL Brașov, 2010).

Soluție: Vom folosi inegalitatea lui Cebîșev pentru funcții de monotonii diferite:

13. Fie funcție dată prin . Să se arate că :

.

Soluție:Funcția este convexă,

. Aplicăm inegalitatea lui Hermite – Hadamard:

.

14. Fie o funcție de două ori derivabilă cu proprietatea că există două constante reale . Să se arate că:

a)

b)

Soluție: Fie convexă, deci integrabilă. Convexitatea rezultă din

Aplicăm inegalitatea lui Hermite – Hadamard:

și respectiv:

Pentru inegalitatea din dreapta se procedează analog pentru funcția convexă .

15. Demonstrați inegalitățile:

a)

b)

c)

Soluție: a) aplicând inegalitatea lui Hermite – Hadamard pentru avem:

b) În inegalitatea de la a) punem

c) Fie . Cu inegalitatea lui Hermite – Hadamard avem: .

Inegalități obținute prin dezvoltări în serie Taylor

Printre cele mai elementare situații de aplicare a dezvoltărilor în serie Taylor este următoarea inegalitate: Să se arate că oricare ar fi are loc inegalitatea:

Dezvoltăm în serie Taylor funcția și avem :

Prin dezvoltare în serie Taylor obținem și aproximația pentru . Funcția .

Cu Taylor aproximarea de ordinul întâi a funcției în jurul lui avem:

Din aproximația de ordinul doi a funcției obținem:

Următoarea

inegalitate afirmă că dacă este o funcție mărginită, cu derivata a doua mărginită atunci și prima derivată este și ea mărginită. În anul 1932 matematicienii G. Hardy (1877 – 1949) și J. Littlewood (1885 – 1977) au extins inegalitatea la o clasă largă de funcții.

1) (Inegalitatea lui Landau) Fie o funcție de clasă . Presupunem că și sunt mărginite. Fie . Arătați că este mărginită și are loc inegalitatea: .

Soluție: Observăm că dacă și numai dacă f este funcție constantă. Presupunem fără a restrânge inegalitatea că . Fie arbitrar și . În formula lui Taylor avem: .

De aici .

Prin trecere în modul obținem:. Alegem și obținem inegalitatea cerută. Remarcă. Aplicând formula lui Taylor de două ori pentru putem obține o estimare mai bună . Inegalitatea lui Landau fost extinsă de A. Kolmogorov (1903 – 1987), matematician rus cunoscut pentru contribuții majore în topologie și teoria probabilităților.

2) (Inegalitatea lui Kolmogorov) Fie o funcție de clasă . Presupunem că și sunt mărginite, fie .

a) Demonstrați că este mărginită și

b) Este mărginită?

Soluție:a) fixăm . Aplicăm formula lui Taylor:

Astfel, de unde

Am obținut .

Fie funcția . Derivata sa este punct de minim.

.Deci,. b) Conform punctului a) și sunt mărginite. Scriem . Aplicând inegalitatea lui Landau funcțiilor și deducem că și este mărginită.

3) (Inegalitatea lui Landau – Kolmogorov generalizată). Fie o funcție neconstantă de clasă astfel încât și sunt mărginite. a) Demonstrați că este mărginită. b) Deduceți că sunt mărginite, . c) d) Folosind funcțiile auxiliare demonstrați că

Soluție: a) Folosind dezvoltarea în serie Taylor avem:

.

Sumând după se obține:

, echivalent cu

.

Dar

Folosind această observație, toți termenii cu excepția celui corespunzător lui sunt zero.

b) Se demonstrează prin inducție matematică.

c) Dacă prin reducere la absurd atunci este o funcție polinomială de grad cel mult . Deoarece este mărginită rezultă că trebuie să fie obligatoriu constantă, ceea ce contravine ipotezei. Astfel

d) Din inegalitatea lui Landau se obține că .

Inegalitatea aceasta arată că de unde

Și astfel 4) Demonstrați inegalitatea . Soluție: Inegalitatea este echivalentă cu . Dar de unde rezultă că avem de demonstrat că . Acum dezvoltăm în serie Taylor funcția cosinus hiperbolic și pe :

În prima dezvoltare coeficientul lui este iar în a doua .

. Deducem că <.

Utilizând dezvoltările în serie Taylor deducem că .

Metoda integrării

Multe inegalități elementare pot fi demonstrate simplu folosind această metodă așa cum arată exemplele următoare:

Fie . Arătați că .

Soluție: Prima metodă de demonstrare constă în definirea funcției . Calculând derivata funcției se obține deci funcția f este strict crescătoare și deci .

Mai simplu:

Fie numere reale fixate astfel încât . Dacă

arătați că .

Soluție: Prin integrare se obține:

Fie arătați că .

(M.Glomb, MM, Q 887)

Soluție: Observăm că este suficient să demonstrăm inegalitatea pentru din cauza parității

astfel aplicând inegalitatea lui Cauchy Schwarz avem:.

Punem și se obține concluzia imediat

Folosind inegalitatea lui Cauchy Buniakowski în forma integrală să se arate că

Soluție:

.

Fie numere reale. Demonstrați că .

Soluție: Acest exemplu arată avantajele folosirii metodei integrării în demonstrația unor inegalități.

Considerăm funcția . Observăm că așadar .

Dacă x și y sunt numere reale pozitive atunci

Soluție: Pentru avem

Prin integrare avem relație adevărată conform inegalității lui Cebîsev.

Fie . Arătați că.

Soluție:Observăm că și analoagele. Aplicând inegalitatea lui Cauchy Schwarz avem:

Prin integrare rezultă:

.

Observăm că .

Fie . Să se arate că .

Soluție:Folosind inegalitatea lui Cauchy-Buniakowski avem :

Integrând această inegalitate de la 0 la 1 se obține:

.

Folosind faptul că rezultă:

Ținând cont de faptul că funcția logaritm natural este crescătoare și de proprietățile sale se obține concluzia.

Arătați că

.

Soluție: Fie .. Suma Darboux inferioară a acestei funcții este în timp ce .

Demonstrați că

.

Soluție: Pentru .

Fie o diviziune a intervalului .

Aria dreptunghiurilor reprezintă suma Darboux inferioară a funcției pentru diviziunea.

unde este suprafața delimitată de graficul funcției f și dreptele x=1 și x=n, respectiv axa OX.

Deci,

.

Adunând în ambii membrii 1 se obține: .

Utilizând sume Darboux inferioare și superioare să se arate că

a)

b)

Soluție:

a) Fie o diviziune a intervalului . Funcția este descrescătoare.

Astfel:

b) Ținând cont de faptul că este descrescătoare pe intervalul de definiție, fie o diviziune.

Suma Darboux inferioară este ,iar suma Darboux superioară este

Arătați că pentru orice avem .

Soluție: Fie funcția și.

Suma Darboux inferioară este:

iar suma Darboux superioară

Inegalități folosind funcția inversă

În cartea [10] apare următoarea inegalitate:

Dacă arătați că

Pornind de la această inegalitate obținem o metodă elementară dar utilă pentru deducerea multor inegalități.

Teoremă: Fie o funcție bijectivă și intervale nevide . Presupunem că funcția este strict crescătoare. Atunci pentru orice avem

unde este inversa funcției .

Dacă atunci

Demonstrație: Remarcăm faptul că funcția trebuie să fie strict crescătoare . Într-adevăr dacă atunci și .

Astfel și este strict crescătoare.

Punând și ținând cont de faptul că este strict crescătoare, pentru avem: și de aici adică relația (2) este adevărată.

Când luăm , și similar rezultând inegalitatea (3).∎

Aplicând teorema 1 pentru și ținând cont de relația (3) se obține inegalitatea din membrul stâng. Pentru cealaltă inegalitate se ține cont de relația (2).

Teorema 1 ne furnizează o metodă care poate fi aplicată pentru deducerea mai multor inegalități:

a)

b)

c)

d)

Aplicații:

Fie . Atunci .

Pentru cu avem .

Pentru avem .

Pentru orice avem

Unde este funcția sinus hiperbolic.

este funcția tangentă hiperbolică și este inversa funcției tangentă hiperbolic.

Soluție:

1) Fie . Fie funcția .

Atunci .

Vrem să arătăm că . Pentru aceasta fie . Inegalitatea devine , această ultimă inegalitate fiind cunoscută foarte bine.

Așadar , , deci funcția g este strict crescătoare.

Aplicăm teorema 1 și totul este clar.

2) Fie

deoarece

putem aplica teorema 1.

3) Fie

deoarece .

Se aplică teorema 1.

4) Fie

deoarece .

Metoda Boas

În [1] apare următoarea teoremă, ea constituie o sursă importantă pentru obținerea de numeroase inegalități.

Teoremă: Fie o funcție continuă (funcția poate avea și domeniul intervalul ) (sau ).

Fie o funcție continuă cu domeniul și . Presupunând că și sunt strict descrescătoare pe domeniile lor de definiție și

Demonstrați că

.

Demonstrație:Deoarece este descrescătoare pentru avem și în consecință .

Deoarece și ținând cont de faptul că este continuă rezultă că există .

Din crescătoare rezultă că și f este crescătoare astfel există un unic cu proprietățile date.

Vom determina șirul recursiv .

Atunci este șir de numere pozitiv descrescător, el va converge la un punct limită . Dacă atunci . (este continuă). Deoarece am presupus că deducem că .

Fie . Cum fiecare x va aparține unuia din intervalele . În acest interval avem .

Relația (1) se rescrie.

Relația (1) este aplicabilă deoarece .

Pentru și astfel , deoarece este descrescătoare.

Avem

Dacă deoarece funcția este descrescătoare se obține . Dar, și g este descrescătoare .

Cum a fost ales arbitrar concluzia este valabilă pentru orice .∎

Vom ilustra aplicabilitatea teoremei 2 pentru următoarele exemple:

Fie . Punând se obține

Pentru se obține inegalitatea .

Fie . Atunci .

Punem și se obține imediat inegalitatea .

3. Luând funcțiile se obține prin aplicarea teroremei a doua inegalitatea

Metoda multiplicatorilor Lagrange

Metoda multiplicatorilor Lagrange este folosită pentru inegalitățile condiționate. Metoda este destul de ușor de aplicat , necesită simple cunoștințe de calcul diferențial .

Teorema : Fie o funcție de variabile , continuă și diferențiabilă pe domeniul său cu legătura

Atunci maximul sau minimul funcției relativ la condițiile

pe I se atinge la capetele lui sau în punctele în care derivatele parțiale în raport cu variabilele

ale funcției sunt zero.

Aplicații:

Fie numere reale pozitive cu suma . Găsiți maximul expresiei .

Soluție : Funcția lui Lagrange este

Obținem sistemul :

Se obține Punctul este punct de maxim local , adică de fapt inegalitatea dintre media aritmetică și media geometrică .

Fie cu Demonstrați că

Soluție : Funcția lui Lagrange este

Se obține

Analog , și

Dacă obținem și astfel

Dacă rezultă și contradicție .

Dacă atunci nu putem avea sau Trebuie să avem și adică contradicție .

Minimul funcției este 0, deci

Fie cu Demonstrați ca

Soluție : Funcția lui Lagrange asociată este :

Din Analog și

Dacă din obținem și .

Dacă și se obține sau , adică sau

Astfel minimul expresiei estre -6 .

CAPITOLUL III : ASPECTE METODICE

Metoda exercițiului

Aproape că nu există lecție de matematică în care metoda exercițiului să nu fie aplicată . Însușirea noțiunilor matematice este strâns legată de rezolvarea exercițiilor și problemelor.

Exercițiile sunt acțiuni efectuate în mod conștient și repetat cu scopul dobândirii unor priceperi și deprinderi sau a unor cunoștințe noi,în scopul dezvoltării unor aptitudini.

Prin repetare se formează automatisme , algoritmi de cunoaștere care asigură învățării un randament sporit.

Avantajele metodei exercițiului :

Oferă posibilitatea unei independențe.

Formează o gândire productivă .

Activează atitudinea critică și determină elevii să aprecieze metoda de lucru cea mai bună.

Permite analiza erorilor .

Exercițiile alese spre rezolvare trebuie să îndeplinească mai multe condiții :

Să fie conforme cu programele școlare .

Să fie adaptate particularităților de vârstă ale elevilor.

Formularea lor să țină cont de limbajul manualelor școlare .

Să permită reținerea tipurilor de raționamente folosite , să deschidă calea generalizărilor.

Gradul de dificultate al exercițiilor trebuie să fie individualizat, în sensul că se pot da exerciții obligatorii , iar cele facultative să fie cu grad ridicat de dificultate și complexitate .

Efectuarea exercițiilor să îmbine îndrumarea din partea profesorului , cooperarea cu elevii și să dezvolte spiritul de independență.

Să se evite repetările greșite .

În funcție de aportul capacităților intelectuale necesare efectuării lor exercițiile se clasifică astfel:

Exerciții de recunoaștere a unor noțiuni matematice

Exerciții de aplicare a unui algoritm

Exerciții grafice

Exerciții care permit însușirea unor noțiuni complexe

Exerciții de recunoaștere a unor noțiuni matematice:

Să se cerceteze aplicabilitatea teoremei lui Lagrange funcției

.

Elevii trebuie sa cunoască enunțul teoremei lui Lagrange și noțiuni precum continuitatea și derivabilitatea unei funcții într-un punct.

Problema continuității se pune în punctul Calculănd limitele laterale se obține , deci funcția este continuă pe .

Studiem derivabilitatea funcției în , în rest funcția este derivabilă restricțiile ei fiind funcții continue .

Astfel funcția este derivabilă pe

Exerciții de aplicare a unui algoritm :

Exerciții de tipul :

Să se demonstreze inegalitățile :

oricare ar fi

, oricare ar fi

..

se bazeză pe studiul monotoniei derivatei.

Soluție:

b) Fie Fixăm . Funcția f este funcție Rolle pe [a,b] Aplicând teorema lui Lagrange pe

Exerciții grafice :Interpretarea grafică a teoremei lui Lagrange.

Exerciții care permit însușirea unei noțiuni complexe

Utilizând formula lui Lagrange pentru funcția , să se arate că

Soluție:

este funcție Rolle pe și, conform teoremei lui Lagrange, există

astfel încât .

Observație: Putem concluziona că, eroarea care se face când înlocuim este mai mică decât 0.

 După forma,exercițiile se pot grupa în:

Exerciții orale

Exerciții scrise

Exerciții practice.

 Exercițiul ne retine atenția prin câteva cerințe de respectat, in aplicarea lui [http://pshihopedagogie.blogspot.ro/]:

Elevul sa fie conștient de scopul exercițiului si sa înțeleagă bine modelul acțiunii de învățat.

Exercițiile sa aibă varietate suficienta, altfel riscând sa formăm numai parțial deprinderea propusa ca scop.

Exercițiile sa respecte o anumita gradație de dificultate in aplicarea lor. Deprinderile mai complicate se formează prin integrarea succesiva a unor deprinderi mai simple .

Exercițiile sa aibă, continuitate in timp, altfel putând să apară lacune, care împiedică elevul sa-si formeze in mod normal deprinderile vizate.

Exercițiile sa aibă ritm optim si durata optima.

Exersarea sa fie permanenta însoțită de corectura si de autocorectură . Este regula care reiese din însăși teoria formarii deprinderilor, altfel apărând posibilitatea însușirii mecanice si fără durabilitate.

Exercițiul sa fie clar scopul, performanta urmărită, sa se prevină formarea unor deprinderi eronate, sa fie urmărita corectitudinea, prezenta controlului si autocontrolului, realizarea unor exerciții variate, interesante in raport cu conținutul.

Proiectul

Proiectul face parte din categoria metodelor alternative de evaluare cel mai frecvent folosite la ora actuală în învățământul românesc cum ar fi : observarea sistematică a activității și comportamentului elevilor în timpul activităților didactice, referatul, portofoliul, autoevaluarea. Proiectul este un plan sau o lucrare cu caracter aplicativ, întocmita in baza unei teme date .Acesta oferă elevilor posibilitatea de a demonstra ce știu, dar, mai ales, ceea ce știu să facă, adică să le pună în valoare anumite capacități. Este activitatea cel mai pregnant centrată pe elev. Este un produs al imaginației acestora, menit să permită folosirea liberă a cunoștințelor însușite, într-un context nou și relevant. Este o activitate personalizată, elevii putând decide nu numai asupra conținutului său, dar și asupra formei de prezentare.

Proiectul începe în clasă, prin conturarea obiectivelor, formularea sarcinii de lucru. În afara

orelor de curs, dar sub îndrumarea profesorului, elevii stabilesc metodologiile de lucru și fixează termenele pentru diferite etape ale proiectului . După corelarea datelor și organizarea materialului, proiectul se încheie în clasă prin prezentarea rezultatelor obținute.

Această formă de evaluare este preferată în ultimii ani de elevi deoarece aceștia au posibilitatea să conceapă un proiect pe un subiect care îi interesează, astfel aceștia sunt foarte motivați să realizeze un proiect bun și nu percep această metodă ca fiind una de evaluare. Proiectul permite astfel evaluarea unor capacități superioare ale elevilor, atitudini, aptitudini, deprinderi.

Caracteristicile proiectului :

se desfășoară pe o perioadă de timp de câteva zile sau câteva săptămâni;

începe în clasă prin precizarea temei, definirea și înțelegerea sarcinilor de lucru, continuă în clasă și acasă și se încheie în clasă prin prezentarea unui raport despre rezultatul obținut și expunerea produsului realizat;

poate lua forma unei sarcini de lucru individuale sau de grup;

trebuie organizat riguros în etape, ca orice muncă de cercetare;

facilitează transferul de cunoștințe prin conexiuni interdisciplinare;

stimulează creativitatea si autonomia elevilor.

facilitează învățarea prin cooperare.

Tipologia proiectelor :

Proiect de tip problemă : – sa rezolve o situație problema .

Proiect de tip învățare:- sa-și îmbogățească o procedura de instruire sau o tehnica .

Proiect de tip constructiv :- să redacteze un articol , o revista, etc.

Etapele realizării unui proiect sunt:

Alegerea subiectului sau a temei

Planificarea activității (stabilirea obiectivelor , formarea grupelor, alegerea temei pentru fiecare elev ,stabilirea responsabilităților , identificarea surselor de informare)

Cercetarea propriu-zisa.

Realizarea materialelor.

Prezentarea materialelor .

Evaluarea .

Un dezavantaj al proiectului este faptul ca nu permite stabilirea clara a contribuției fiecărui elev, totuși evaluarea proiectului se poate face pe baza unor criterii :

Exemplificam metoda proiectului la clasa a XII a disciplina analiză matematică :

Alegerea temei proiectului

Se propune clasei spre rezolvare următoarele exerciții:

Demonstrați că:

Elevii au fost lăsați 30 de minute pentru studierea exercițiilor .

Soluțiile lor sunt:

Fie

Se consideră funcția

Desfășurarea activităților

Obiectivul proiectului : Aplicarea proprietăților de monotonie a integralei definite pentru demonstrarea unor inegalități .

Clasa a fost împărțită in cinci grupe.

Fiecare grupa are:

secretar: notează ideile membrilor din grupul sau .

moderator :facilitează participarea membrilor grupului la discuții .

timer: urmărește încadrarea in timp.

raportorul : prezintă concluziile grupului .

Bibliografie:

M . Ganga –Manual de matematică pentru clasa a XII a , Ed. Mathpress 2007

I. Petrică- Culegere de probleme de analiză matematică Vol II , Ed. Petrion 2000

Realizarea materialelor : – timp 2 săptămâni.

Prezentarea materialelor

Bibliografie:

V.Chiș, V. Șerdean , șa. –Ghidul profesorului de matematică, ed. Dacia 2001

I. Bontaș –Pedagogie, ed. ALL 1994

M. Ganga –Manual de analiză matematică clasa a XII a , ed. Mathpress 2007

CUPRINS

Capitolul I

Puncte de extrem. Teorema lui Fermat. Teorema lui Lagrange. Teorema lui Cauchy…………………………………………………………………………………………………….1

Funcții convexe……………………………………………………………………3

Formula lui Taylor………………………………………………………………..9

Sume Darboux……………………………………………………………………11

Capitolul II

Inegalități / egalități demonstrate cu teorema lui Fermat……………………..15

Exploatarea definiției și proprietăților funcției convexe / concave ………….17

Inegalitatea lui Jensen …………………………………………………………..25

Media generalizată………………………………………………………………35

Inegalitatea lui Karamata ………………………………………………………38

Inegalitatea dreptei de sprijin …………………………………………………40

Inegalități obținute prin restricționarea unor funcții convexe la un interval..

……………………………………………………………………………………42

Exploatarea monotoniei………………………………………………………….45

Inegalități integrale obținute prin aplicarea unor inegalități clasice………….59

Inegalități obținute prin dezvoltări în serie Taylor……………………………70

Metoda integrării………………………………………………………………..75

Inegalități folosind funcția inversă…………………………………………….81

Metoda Boas ……………………………………………………………………84

Metoda multiplicatorilor Lagrange………………………………………….86

CAPITOLUL III : ASPECTE METODICE

Metoda exercițiului……………………………………………………………89

Proiectul ………………………………………………………………………93

BIBLIOGRAFIE

Boas R.P: Inequalities for a collection .Math . Mag.52,28-31,1997

Becheanu M., Enescu B. : Inegalități elementare și mai puțin elementare, Editura GIL, 2002

Bușneag D., Maftei I.: Teme pentru cercurile și concursurile de matematică ale elevilor, Editura Scrisul Românesc, Craiova, 1983

  Can, Vo Quoc Ba,. Pohoață C. : Old & New Inequalities (vol 2), Editura GIL, 2008

  Drimbe M. O. : Inegalități idei și metode, Editura GIL, 2003

Ganga M. :Manual de analiză matematică clasa a XII a , Editura Mathpress ,2007

Mitrović D. S. :Analytic Inequalities , Springer, Heidelberg ,1970

Pham Kim Hung: Secrets in Inequalities volume 1+2 – advanced inequalities, GIL Publishing House,2008

Radu E. , Șontea O. : Manual de analiză matematică (clasa a XI a+ a XII a), Editura Bic ALL , 2006

Rădulescu V, T.Rădulescu : Problems in Real Analysis: Advanced Calculus on the Real Axis, Springer, New York, 2009

Rus I , Varna D.: Metodica predării matematicii , Editura Didactică și Pedagogică , București , 1983

http://pshihopedagogie.blogspot.ro