Proprietatile Aritmetice ale Inelelor

Proprietatile Aritmetice ale Inelelor

Byadmin ianuarie 1, 2024

INTRODUCERE

Lucrarea ,,Propietăți aritmetice ale inelelor: inele factoriale, inele principale și inele euclidiene” se inscrie in domeniul algebrei comutative și are ca și scop final, așa cum reiese chiar din titlu, prezentarea unor clase speciale de inele.

Lucrarea este structurata pe trei capitole.

Capitolul I, intitulat ,,Noțiuni preliminare”, prezintă binecunoscutele noțiuni de lege de compoziție, grup și inel, dar și noțiuni noi, cum ar fi: ideal, ideal prim și ideal maximal într-un inel, împreună cu proprietăți remarcabile ale acestora, proprietăți și rezultate importante ce vor fi folosite in capitolele doi și trei. Tot în acest capitol este prezentat inelul de polinoame într-o singura nedetrimitata cu coeficienți într-un inel, ca mai apoi sa fie construit inelul polinoamelor într-un număr finit de nedeterminate și demonstrate proprietățile de universalitate ale acestora.

Capitolul II, intitulat ,,Proprietăți aritmetice ale inelelor”, debutează cu divizibilitatea în inele, cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun a două elemente dint-un inel, apoi se continua cu elemente prime și elemente ireductibile într-un inel. Partea centrală a acestui capitol o reprezintă studiul unor clase speciale de inele: inelele semifactoriale, inelele factoriale, inelele prncipale și inelele euclidiene. Se demonstreayă o legătură impornată între aceste inele, și anume: orice inel euclidian este principal și orice inel principal este factorial.

Capitolul III, intitulat ,,Exemple și aplicații ale inelelor factoriale’’ prezintă pentru început o prorpietate remarcabilă a inelului de polinoame într-o singură nedeterminată R[X], aceea că dacaă inelul R este factorial, atunci și R[X] este tot inel factorial. De asemenea, tot în acest capitol se demonstreayă ca inelul de serii formale R[[X]] este factorial atunci cînd este principal. Capitolul se continuă cu diverse criterii de ireductibilitate pentru polinoame, menționăm criteriul lui Eisenstein, și cu aplicații diverse legate de aceste clase de inele.

CAPITOLUL I

NOȚIUNI PRELIMINARE

Legi de compoziție. Grupuri

Definiția 1.1.1. Fie o mulțime nevidă. Se numește operație algebrică binară (sau lege de compoziție internă sau simplu lege de compoziție) definită pe o aplicație care asociază fiecărei perechi un unic element Elementul se numește compusul lui cu

Legile de compoziție interne se notează de obicei cu unul din semnele : etc.

O lege de compoziție internă pe mulțimea notată cu semnul o vom numi adunare, iar compusul îl vom numi suma elementelor x și y. În acest caz vom spune că legea a fost notată aditiv.

O lege de compoziție internă pe mulțimea notată cu semnul o vom numi înmulțire, iar compusul il vom numi produsul elementului cu . În acest caz vom spune că legea a fost notată multiplicativ.

Dacă este o structură algebrică, iar este o submulțime nevidă a lui , atunci pentru elementul poate să fie în mulțimea sau să fie în afara ei, adică în

Definiția 1.1.2 Dacă pentru orice , compusul aparține tot lui , atunci spunem că este parte stabilă a lui în raport cu operația .

Deci este parte stabilă a lui în raport cu .

Proprietăți generale ale legilor de compoziție

În cele ce urmează vom considera structura algebrică Pentru legea notată vom folosi denumirea de legea star (sau stea).

P1.Asociativitatea.

Definiția 1.1.3 Legea se numește asociativă dacă : .

P2. Comutativitatea

Definiția 1.1.4 Legea se numește comutativă dacă

P3. Element neutru.

Definiția 1.1.5 Un element se numește element neutru pentru legea * dacă pentru orice avem

Atragem atenția că elementul neutru al unei legi * pe trebuie să aparțină mulțimii și că nu orice lege de compoziție pe o mulțime admite element neutru.

TEOREMA 1.1.6 Dacă o lege de compoziție admite element neutru, atunci acesta este unic.

Demonstrație: Vom arăta că dacă ar exista două elemente neutre pentru legea atunci acestea coincid. Avem : , (1),

, (2) .

În relația (1) facem înlocuirea și rezultă = , (3)

Iar în (2) facem și obținem (4)

Din (3) și (4) rezultă .

Definiția 1.1.7 Un element se numește element neutru la stânga pentru legea * dacă .

Un element se numește element neutru la dreapta pentru legea * dacă .

Așadar un element este neutru pentru legea * dacă și numai dacă este element neutru atât la stânga cât și la dreapta.

P4. Element simetric.

Definiția 1.1.8 Fie o structură algebrică cu element neutru . Spunem că un element este un simetric al lui în raport cu legea * dacă

TEOREMA 1.1.9 Fie o structură algebrică asociativă cu element neutru e. Dacă are un element simetric, atunci acesta este unic.

Demonstrație: Fie două elemente simetrice pentru Avem

Atunci și teorema este astfel demonstrată.

Definiția 1.1.10 Fie o operație algebrică având element neutru la stânga ( element neutru la dreapta) și Spunem că () este un simetric al lui la stânga (la dreapta) în raport cu legea dacă ().

Definiția 1.1.11 Fie și o lege de compoziție pe . Cuplul se numește grup dacă au loc următoarele axiome :

legea este asociativă, adică

;

legea are element neutru, adică

astfel încât să avem .

orice element din este simetrizabil în raport cu , adică pentru fiecare

există astfel încât .

Dacă, în plus, legea verifică și axioma

legea este comutaivă, adică

,

atunci cuplul se numește grup comutativ (abelian).

1.2. Inele

Definiția 1.2.1 Se numește inel o mulțime nevidă înzestrată cu două operații algebrice : și , una notată aditiv numită adunare, iar cealaltă multiplicativ numită înmulțire, care satisfac următoarele condiții:

este un grup abelian;

operația de înmulțire este asociativă;

pentru orice

În cazul unui inel , grupul abelian față de adunare se numește grup aditiv subiacent inelului. Elementul neutru al acestui grup se notează, de obicei, cu și se numește elementul zero al inelului, iar opusul față de adunare al unui element oarecare se notează, de obicei, cu .

Dacă înmulțirea în este comutativă, inelul se numește inel comutativ.

Dacă există în element neutru față de înmulțire, atunci inelul se numește inel cu element unitate sau inel unitar.

Pe o mulțime formată dintr-un singur element există o singură structură de inel, în care acel element este elementul nul. Acest inel va fi numit inel nul. Un inel care conține cel puțin două elemente o să-l numim inel nenul.

Exemple de inele :

Mulțimile cu operațiile obișnuite de adunare și înmulțire formează inele comutative și unitare.

Mulțimea cu adunarea și înmulțirea funcțiilor, și , definite în mod uzual: și este un inel comutativ și liniar.

(Inelul întregilor lui Gauss). Pe mulțimea se definesc operațiile obișnuite de adunare și înmulțire ale numerelor complexe. Tripletul este un inel comutativ, numit inelul întregilor lui Gauss. Elementul nul este , iar elementul unitate .

Mulțimea a claselor de resturi modulo împreună cu adunarea și înmulțirea claselor, formează un inel comutativ și unitar, numit inelul claselor de resturi modulo .

Fie un grup abelian și grupul endomorfismelor lui . Deoarece compusul a două omomorfisme de grupuri este un omomorfism de grupuri, rezultă că compunerea endomorfismelor este o lege de compoziție internă pe

Să arătam că este un inel. Am vazut că este grup abelian. este semigrup, deoarece compunerea este asociativă. Să arătăm că compunerea este distributivă față de adunare.

Fie și . Avem

și

de unde rezultă și

Deci, este un inel necomutativ, cu element unitate , numit inelul endomorfismelor grupului abelian .

Deoarece față de adunare, un inel este grup abelian rezultă că, dacă și , atunci :

.

Vom deduce unele proprietăți care rezultă imediat din axiomele inelului și în care intervin ambele operații algebrice.

Propoziția 1.2.2 Dacă este un inel, atunci :

(regula semnelor). Pentru avem :

;

, .

dacă, în plus este comutativ, atunci

(formula binumului lui Newton)

Demonstrație :

Fie . Atunci și pe baza proprietății de distributivitate, avem

și

de unde, adunînd în prima relație opusul lui și în a doua opusul lui se obține

Din definiția inelului rezultă că este grup abelian față de adunare, deci orice element are un opus .

Pe baza distributivității înmulțirii față de adunare, a punctului precedent ()

și a proprietății pentru orice avem :

de unde, elementul opus fiind unic, rezultă

Din egalitatea și din faptul că , rezultă

.

Se demonstrează prin inducție matematică după

Pentru avem rezultă din distributivitatea înmulțirii față de adunare.

Pentru avem .

Dacă presupunem că relația este adevărată pentru adică :

Atunci

și deci relația este adevărată pentru

Se demonstrează prin inducție matematică după .

Pentru , avem

Presupunem că formul este adevărată pentru :

.

Arătăm că ea este adevărată pentru .

Într-adevăr,

.

Având în vedere că și pentru , atunci

și deci formula este adevărată pentru .

1.3. Inel integru

Definiția 1.3.1 Fie un inel și . Spunem că elementul este divizor al lui zero la stânga (respectiv la dreapta) dacă există astfel încât (respectiv ).

Un element care este în același timp divizor al lui zero la stînga și la dreapta se numește simplu, divizor al lui zero.

Observăm că, dacă este un inel comutativ, noțiunile de divizor al lui zero la stânga și la dreapta coincid cu cea de divizor al lui zero.

Definiția 1.3.2 Un inel unitar nenul fără divizori ai lui zero la stânga și la dreapta nenuli se numește inel integru. Dacă, în plus, inelul este și comutativ, va fi numit domeniu de integritate.

Observăm că un inel unitar este integru dacă și numai dacă sunt adevărate regulile de simplificare, adică, pentru orice implică implică .

Într-adevăr, dacă este inel integru și atunci , de unde sau . La fel, dacă , rezultă că . Reciproc, fie inel unitar în care sunt adevărate regulile de simplificare. Atunci, din avem și deci La fel, din rezultă și deci este integru.

Definiția 1.3.3 Dacă este inel unitar, un element se numește inversabil dacă există astfel încât .

Notăm cu inversabil}.

Avem că, dacă , atunci și deci

are structură de grup față de operația de înmulțire din . Acest grup se numește grupul elementelor inversabile ale inelului .

De exemplu:

Dacă este un inel unitar, orice element inversabil al lui nu este divizor al lui zero.

Într-adevăr, fie astfel încât există cu . Atunci și dacă atunci , de unde.

La fel, dacă , atunci , adică , de unde

1.4. Subinel

Definiția 1.4.1 Fie un inel. O submulțime nevidă a lui se numește subinel al lui dacă împreună cu operațiile induse de cele două operații algebrice de pe formează la rândul său un inel.

Propoziția 1.4.2. Fie un inel și o submulțime nevidă a sa. Atunci este un subinel al lui dacă și numai dacă:

oricare ar fi rezultă ;

oricare ar fi rezultă .

Demonstrație:

Condițiile 1) și 2) arată că operațiile de pe induc pe operațiile algebrice.

Mulțimea împreună cu acestea formează un inel, ținând cont că este o submulțime a inelului .

Din condiția 1) rezultă că împreună cu adunarea este un subgrup al grupului aditiv al inelului Deci și oricare ar fi , avem că

Dacă, în plus, inelul este unitar și elementul unitate aparține subinelului , spunem că este subinel unitar.

Exemple

Dacă este un inel, atunci și sunt subinele ale sale.

sunt subinele unul în altul, cu adunarea și înmulțirea numerelor.

Fie inelul continuă }. Atunci submulțimea

derivabilă} a inelului formează un subinel al acestuia.

Propoziția 1.4.3. Fie un inel și o familie de subinele ale lui . Atunci este un subinel a lui

Demonstrație: este subgrup al grupului aditiv subiacent lui Dacă , atunci oricare ar fi . Dar fiecare este subinel și deci , oricare ar fi , de unde .

1.5. Ideale

Definiția 1.5.1. Fie un inel și o submulțime nevidă a sa. Spunem că este un ideal stâng (respecti drept) sau ideal la stânga (respectiv la dreapta) al inelului dacă:

oricare ar fi , rezultă

oricare ar fi , rezultă (respectiv yx)

Un ideal care este în același timp ideal la stânga și ideal la dreapta se numește ideal bilateral.

Dacă este inel comutativ, atunci noțiunea de ideal la stânga coincide cu cea de ideal la dreapta și cu cea de ideal bilateral. În acest caz vom folosi noțiunea de ideal al inelului

Rezultă din definiție că orice ideal la stânga (la dreapta sau bilateral) este un subinel al inelului, pe când reciproc nu este adevărat. Astfel este un subinel al lui însă nu este un ideal deoarece și , iar .

Exemple :

Fie un inel. Elementul nul al lui și inelul sunt ideale bilaterale ale lui , numite ideale improprii. Orice ideal diferit de și se numește ideal propriu.

Fie un inel unitar și un element fixat. Atunci submulțimea

este un ideal stâng al lui , iar submulțimea

este un ideal drept al inelului

Dacă este un inel comutativ, atunci este un ideal bilateral al lui

Fie un inel și , submulțimi ale lui :

și

Submulțimea este ideal bilateral al lui , numit anulatorul la stânga al inelului .

Submulțimea este ideal bilateral al lui , numit anulatorul la dreapta al inelului .

Dacă inelul este diferit de inelul nul și nu are divizori ai lui zero, atunci anulatorul la stânga și la dreapta al lui este idealul nul.

Propoziția 1.5.2 Fie un inel unitar și un ideal la stânga (respectiv la dreapta) a lui. Atunci dacă și numai dacă conține un element inversabil din .

Demonstrație. Dacă , atunci care este inversabil.

Reciproc, fie ideal la stânga, elementul inversabil și astfel încât

Dacă , atunci , și cum aparține idealului la stânga , rezultă Rezultă . Analog se demonstrează pentru cazul în care este ideal al dreapta.

Propoziția 1.5.3. Fie un inel și o familie de ideale la stânga (respectiv la dreapta) ale lui Atunci este un ideal la stânga (respectiv la dreapta, bilateral).

Demonstrație. De la grupuri rezultă că este un subgrup al grupului subiacent lui . Presupunând cî idealele familiei sunt ideale la stânga, fie și Atunci , oricare ar fi și deci , de unde Prin urmare este un ideal la stânga. La fel se demonstrează în cazul idealelor la dreapta și bilaterale.

Definiția 1.5.4. Fie un inle unitar și o submulțime a lui . Intersecția tuturor idealelor la stânga (respectiv la dreapta, bilaterale) ale lui care conțin mulțimea , se numește idealul la stânga (respectiv la dreapta, bilateral) generat de mulțimea în inelul . Se spune că este un sistem de generatori pentru (sau că generează) acest ideal.

Mulțimea vidă generează idealul .

Un ideal la stânga (respectiv la dreapta, bilateral) care are o mulțime finită de generatori se numește de tip finit sau finit generat.

Propoziția 1.5.5. Fie un inel unitar și o submulțime nevidă a sa. Idealul la stânga (respectiv la dreapta, bilateral) al lui este generat de dacă și numai dacă

(respectiv

)

Demonstrație. Demonstrăm pentru cazul în care este ideal la stânga, în celelalte două cazuri demonstrația fiind analoagă.

Observăm că este un ideal la stânga al lui care conține submulțimea . Deci . Pe de altă parte, deoarece și este ideal la stânga, avem că oricare ar fi , unde aparține în mod clar lui În concluzie rezultă că .

Observăm că este cel mai mic ideal la stânga (respectiv al dreapta, bilateral) în raport cu incluziunea care conține submulțimea.

Din propoziția 1.5.5 rezultă că idealele principale sunt ceel generate de o mulțime formată dintr-un singur element.

Definiția 1.5.6 Fie un inel și și o vom nota cu Având în vedere propoziția 1.9 rezultă că

În particular, dacă sunt ideale ale inelului , atunci

Exemple. Fie și notăm și . Atunci

;

.

Demonstrație:

Relația 1.

. Cum , există astfel încât . Dacă atunci și deci = .

Dacă , fie și atunci

Relația 2.

. .

. Fie adică și , de unde rezultă că

Cum , avem că , adică .

Definiția 1.5.7. Fie și două inele. Se numește morfism de inele de la la o funcție astfel încât să fie satisfăcute următoarele condiții :

,

2) ,

oricare ar fi

Dacă și sunt inele, iar un morfism de inele, după prima condiție din definiția morfismului rezultă că este morfism al grupurilor aditive ale celor două inele și deci avem și oricare ar fi .

Observăm că funcția , definită prin , este în mod evident un morfism de inelenumit morfism nul. Dacă și sunt inele unitare nenule, morfismul nul are proprietatea că adică nu duce pe în .

Un morfism , unde și sunt inele unitare, care satisface în plus condiția se numește morfism unitar de inele.

Vom da în continuare câteva proprietăți de bază ale morfismelor de inele.

Dacă sunt inele iar sunt morfisme de inele, atunci compunerea este un morfism al grupurilor aditive subiaccente inelelor și . În plus, oricare ar fi , avem (b)).

Pentru orice inel , funcția identică este un morfism de inele, numit moprfism idenzic al lui . Avem că orcare ar fi un morfism de inele, atunci

și

Definiția Fie și două inele. Un morfism de inele astfel încât funcția să fie injectivă (respectiv surjectivă) se numește morfism injectiv (respectiv surjectiv) de inele.

1.6. Ideale prime și maximale

Definiția 1.6.1. Fie un inel comutativ unitar. Un ideal al lui se numește ideal prim, dacă și din faptul că produsul a două elemente este in , , rezultă că cel puțin unul dintre elementele și este în , adică sau .

Exemple :

Dacă este un inel, atunci idealul este prim în inelul dacă și numai dacă este domeniu de integritate.

Dacă este ideal prim și dacă cu , atunci , deci sau adică sau .

Reciproc, dacă este domeniu de integritate, atunci oricare ar fi elementele , cu , rezultă sau , adică din rezultă sau .

În inelul întregilor , ideale prime sunt și cu număr prim.

Cum este domeniu de integritate, este ideal prim.

Dacă este număr prim, atunci idealul este prim. și dacă astfel

încât , atunci și cum este număr prim avem că sau și deci sau .

Reciproc, dacă este ideal prim, atunci estenumăr prim. Avem că și dacă , unde atunci , de unde sau , adică sau .

Propoziția 1.6.2. Dacă este un inel, atunci un ideal al său este prim dacă și numai dacă este domeniu de integritate.

Demonstrație: Dacă este ideal prim, atunci și deci este nenul. Cum este comutativ și unitar, inelul este de asemenea comutativ și unitar.

Fie astfel încât . Atunci Fie , ( și cum este prim, rezultă sau ) adică sau .

Reciproc, dacă este domeniu de integritate, atunci este nenul și deci . Dacă astfel încât , atunci sau și cum este domeniu de integritate , rezultă sau , adică sau .

Definiție 1.6.3 Fie un inel. Un ideal al lui se numește ideal maximal în dacă și oricare ar fi idealul al lui astfel ca rezultă sau sau

Din definiție rezultă că este ideal maximal în dacă și nu există alte ideale în care să conțină strict pe .

Exemple:

În orice corp idealul este maximal.

Mai mult, dacă este inel comutativ și unitary, nenul, astfel încât este ideal maximal,

atunci este corp. În acest caz, are două ideale și .

Pentru inelul idealele maximale sunt cu număr prim.

Dacă este număr prim, atunci și dacă este un ideal oarecare al lui astfel încât , rezultă de unde n= sau . Prin urmare sau

Reciproc, dacă este ideal maximal, atunci și deci . Dacă astfel încât , atunci și cum este maximal rezultă sau . De aici obținem că sau inversabil, și deci n= sau .

Propoziție 1.6.4. Fie un inle și un ideal al său, atunci următoarele afirmații sunt echivalente:

este maximal;

oricare ar fi , rezultă că ;

este corp.

Demonstrație:

Fie un ideal maximal și . Atunci este un ideal al lui , care conține idealul . Mai mul, deoarece și rezultă că și deci .

3) Fie , . Atunci și . Deci , adică este elemnt inversabil. Prin urmare este corp.

1) Fie morfismul canonic cu . Dar fiind corp, atunci

are numai două inele, și anume și .

Pe baza propoziției : Fie un morfism surjectivde inele. Atunci aplicația stabilește o bijecție între mulțimea subinelelor respectiv idealelor la stânga (la dreapta, bilaterale) ale lui care conțin și mulțimea tuturor subinelelor respectiv idealelor la stânga (la dreapta, bilaterale) ale lui , inversa acesteia fiind dată de , rezultă că singurul ideal care conține este însuși, adică este maximal în .

Corolar 1.6.5 Dacă este un inel comutativ și unitar, atunci orice ideal maximal în este ideal prim în

Demonstrație: Dacă este ideal maximal, atunci este corp și deci domeniu de integritate, adică este ideal prim.

Observație Reciproca nu este în general adevărată, de exemplu, este ideal prim în , dar nu este maximal deoarece este cuprins în orice alt ideal al lui .

Teorema 1.6.6. Fie un inel comutativ și unitar. Atunci orice ideal al său este conținut într-un ideal maximal.

Demonstrație: Să considerăm mulțimea {| ideal al lui}, parțial ordonată prin incluziune. Ea este inductiv ordonată. Deoarece este în , rezultă că este nevidă.

Fie o submulțime nevidă total ordonată a lui . Atunci este majorant al acesteia care aparține lui .

este ideal. Dacă , atunci există astfel încât . Familia fiind total ordonată să presupunem că . Atunci și cu este ideal avem , de unde .

1.7. Inele de polinoame

Fie un inel comutativ și unitar. Se dă o construcție a inelului seriilor formale peste .

Fie mulțimea funcțiilor de la în . Dacă scriem o astfel de funcție prin mulțimea ordonată a valorilor sale, atunci este mulțimea șirurilor , pentru orice .

Șirurile și sunt egale dacă și numai dacă pentru orice .

Pe mulțimea definim două operații algebrice, adunarea și înmulțirea, în raport cu care devine un inel comutativ.

Dacă ,

adunarea se definește astfel

.

Se verifică că împreună cu adunarea formeayă un grup abelian, adică adunarea este asociativă, comutativă, are element nul și orice element are un opus.

Elementul nul (zero) este:

,

iar dacă aparține lui atunci opusul său este

.

Înumlțirea pe se definește astfel:

dacă și aparțin lui , atunci

,

unde pentru orice

Înmulțirea pe este asociativă, comutativă și are element unitate

.

Demonstrația asociativității înmulțirii:

Fie , unde

și .

Trebuie să arătăm că

Dacă atunci și fie , unde .

Avem

= .

Dacă , unde .

Dar , unde .

Avem

.

Deci pentru orice , adică

Comutativitatea înmulțirii rezultă imediat.

Mai mult, înmulțirea este distributivă față de adunare. Rezultă că

unde iar

unde +.

Cum operația de înmulțire pe este distributivă față de adunare, rezultă

.

Analog are loc și relația

.

În concluzie, împreună cu adunarea și înmulțirea formează un inel comutativ și unitar.

Elementele inelului se numesc serii formale cu coeficienți în .

Fie funcția definită prin .

Avem că este un morfism injectiv de inele.

Într-adevăr, dacă , atunci

Mai mult, dacă , atunci și deci

Morfismul dă un izomorfism al lui pe subinelul al lui , ceea ce permite să se identifice elementul din cu imaginea sa prin , adică cu polinomul din . Astfel se poate considera ca un subinel al lui .

Notăm prin seria formală care se numește nedeterminata .

Înmulțirea seriilor formale ne dă și, mai general, pentru orice număr natural

(0, 0, …, 0, 1, 0,…) .

Fie o serie formală din . Folosind adunarea și înmulțirea definite pe se obține :

Inelul se numește inelul seriilor formale în nedeterminata cu coeficienți în inelul și se notează prin . Inelul se mai numește și inelul seriilor formale într-o nedeterminată.

O serie formală în nedeterminata se va scrie, condesat,

O serie formală care are doar un număr finit de coeficienți nenuli se numește polinom cu coeficinenți în . Notăm cu mulțimea polinoamelor peste .

Dacă este un polinom cu coeficienți în , , există un număr natural astfel încât pentru orice .

Definiția Fie . Dacă , numiom gradul lui cel mai mare număr natural cu proprietatea că . Dacă , numim gradul lui simbolul .

Din definiție rezultă că, pentru

Dacă , atunci polinomul se poate scrie sub forma:

, ().

Coeficientul se numește termenul liber al lu, iar coeficientul se numește coeficientul dominant al lui .

Din definiție rezultă că elementle nule ale inelului , sunt polinome de gradul zero.

Propoziția 1.7.1 Fie două polinoame din . Atunci

Mai mult, dacă și sunt nenule și coeficienții dominanți ai lui și nu sunt divizori ai lui zero, atunci avem egalitate.

Demonstrație : Dacă cel puțin unul dintre polinoamele și este nul, atunci 1) și 2) rezultă :

, , și .

Dacă și sunt nenule, afirmațiile 1) și 2) rezultă din definiția sumei și produsului a două polinoame.

Fie astfel încât și să nu fie divizori ai lui zero. Atunci coeficientul dominant al produsului este care este nenul. În acest caz,

.

Din punctul 2) al propoziției precedente rezultă

Colorar 1.7.2 Dacă este domeniu de integritate și polinoame din , atunci

.

Observație: Dacă nu este domeniu de integritate, inegalitatea 2) poate fi strictă. De exmplu, fie polinoamele și din inelul atunci și deci

Propoziție 1.7.3 Fie un inel comutativ și unitar și inelul polinoamelor . Atunci au loc afirmațiile:

Un element este inversabil în dacă și numai dacă este inversabil în ;

Dacă este domeniu de integritate, atunci este domeniu de integritate și

.

Demonstrație: Dacă este inversabil în , avem cu . Această relație, considerată în , și fiind polinoame de grad zero, spune că este inversabil în .

Reciproc, dacă este inversabil în , atunci există astfel încât .

Presupunând că , avem , de unde și deci este inversabil în .

Dacă este un domeniu de integritate, atunci și este domeniu de integritate. Din

punctul precedent rezultă că .

Pentru a demonstra incluziunea contrară, fie , , un polinom inversabil din . Deci există , astfel încât . Avem de unde sau și deci .

Astfel rezultă că , g= și cum , obținem că .

Dacă este un domeniu de integritate, putem avea . Într-adevăr, polinomul neconstant este inversabil, deoarece (.

Obseravții. Fie inelul seriilor formale de o nedeterminantă și , un element al său. Dacă , atunci se numește ordinul seriei formale și se notează . Ordinul seriei formale nule este . Dacă și , atunci , .

Au loc următoarele proprietăți:

dacă este un inel și serii formale din , atunci

,

În plus, dacă este domeniu de integritate, a doua relație devione egalitate.

Dacă este domeniu de integritate, atunci este domeniu de integritate.

Dacă aparține lui , inel comutativ, atunci este inversabil în dacă și numai dacă este inversabil în .

Dacă este un inel comutativ și unitar, inelul polinoamelor în nedeterminanta cu coeficienți în , avem morfismul unitar de inele

,

numit morfismul canonic de la la .

Proprietatea de universalitate a inelelor de polinoame de o nedeterminantă.

Teorema 1.7.4 Fie un inel comutativ și unitar, inelul polinoamelor de o nedeterminantă cu coeficienți în , morfismul canonic. Atunci, oricare ar fi inelul comutativ unitar , morfismul unitar de inele și există un unic morfism de inele astfel încât și diagrama

să fie comutativă, adică .

Demonstrație: Dacă , , atunci .

are proprietățiile din enunț . Fie este un alt polinom din și presupunem că .

Completând polinomul cu termeni ai căror coeficienți sunt zero, putem scrie

unde .

Atunci

.

Dacă notăm cu coeficienții produsului , avem și cum este morfism de inele , obținem .

Rezultă și deci este morfism de inele. Mai mult, .

și deci .

Să presupunem că este un morfism de inele astfel încât și . Atunci, pentru , avem

și deci . Astfel am demonstrat unicitatea lui .

Fie acum un inel, un subinel al său și incluziunea, adică

Aplicând teorema precedentă rezultă pentru fiecare un morfism de inele , astfel încât

Spunem că este valoarea polinomului în și o notăm cu .

Spunem că elementul anulează polinomul din sau că este rădăcină sau un zero al lui dacă , adică .

Fiind dat un polinom arbitrar din putem să definim funcția prin , oricare ar fi . Astfel fiecare polinom din și fiecărui inel care conține pe ca subinel, îi corespunde o funcție definită pe cu valori în

Orice funcție de la la care poate fi pusă sub forma pentru un anumit din se numește funcție polinomială pe sau funcție pe asociată polinomului .

În particular, dacă se obține funcția polinomială de la la pe care o vom nota și cu .

Dacă , atunci este funcția definită prin , numită funcția polinomială asociată polinomului .

Dacă , atunci funcția este constantă, pentru orice . De aceea elementele inelului , considerate ca polinoame, se vor numi polinoame constante.

Observație: Dacă este un inel și sunt polinoame din , atunci este evident că funcțiile polinomiale și sunt egale. Există însă și polinoame diferite care să aibă funcțiile polinomiale egale. De exemplu, să considerăm și polinoame din , și fie , funcțiile polinomiale asociate lui și . Avem și . Deci dar, evident, .

Am construit mai întâi inelul polinoamelor într-o nedeterminată cu coeficienți într-un inel Mai departe vom defini prin inducție matematică, inelul polinoamelor într-un număr finit de nedeterminate.

Dacă este un inel, atunci inelul polinoamelor în nedeterminatele cu coeficienți în inelul , notat prin , se definește inductiv astfel : este inelul polinoamelor în nedeterminata cu coeficienți în inelul , este inelul polinoamelor în nedeterminata cu coeficienți în inelul și, în general, este inelul polinoamelor în nedeterminata cu coeficienți în inelul

.

Analog, plecând de la , se definește inductiv inelul al seriilor formale în nedeterminatele .

Dacă este un polinom din inelul , atunci el este un polinom în nedeterminata cu coeficienți în și deci , unde , pentru orice .

,

în care elementele din se numesc coeficienții polinomului .

Propoziția 1.7.5 Orice polinom din inelul are o scriere unică sub forma

.

Demonstrație: S-a observat mai înainte că polinomul se scrie sub forma indicată. Să arătăm că o astfel de scriere este unică, ceea ce este echivalent cu faptul că dacă , atunci toți coeficienții polinomului sunt nuli.

Demonstrația se face prin inducție matematică după numărul de nedeterminate.

Pentru , afirmația este clară deoarece avem de-a face cu polinoame într-o nedeterminată. Fie acum . Avem , unde , pentru orice . Atunci fiecare are o scriere unică

pentru orice.

Observăm că, orice coeficient apare drept coeficient al unuia dintre polinoamele , . Atunci dacă , ținând seama că este un polinom în nedeterminata cu coeficienții rezultă că

Dar oricare este polinom în nedeterminate și deci conform presupunerii inductive rezultă că toți coeficienții acestora sunt nuli. Deoarece orice coeficient al polinomului este coeficient al unui dintre polinoamele , rezultă că toți coeficienții polinomului sunt nuli, adică unicitatea scrierii lui sub forma indicată.

Dacă este un polinom din inelul , gradul lui relativ la nedeterminanta , , este cel mai mare exponent la care figurează în expresia lui . Când acesta este zero înseamnă că nedeterminata nu apare în expresia lui .

Un polinom de forma , , se numește , iar prin gradul său înțelegem suma și scriem =.

Fie acum , un polinom scris ca sumă de monoame, scrierea fiind unică. Aceste monoame se numesc termenii polinomului.

Gradul polinomului , notat prin se definește astfel :

Observăm că în scrierea lui pot să apară termeni diferiți care să aibă același grad.

Dacă toți termenii unui polinom din au același grad, atunci se numește .

Fiind date două polinoame omogene, atunci este sau un polinom nul sau un polinom omogen nenul de grad egal cu .

Polinomul de grad , se scrie în mod unic sub forma

,

unde fiecare este sau nul sau un polinom omogen de grad și .

Polinoamele se numesc componentele omogene ale polinomului .

Propoziția 1.7.6 Fie un inel și polinoamele din . Atunci :

dacă, în plus este un domeniu de integritate, atunci este de asemenea domeniu de integritate, si la punctul 2) avem egalitate.

Demonstrație: Afirmațiile 1) și 2) sunt clare dacă avem în vedere scrierea polinoamelor și ca sumă de polinoame omogene. Vom detalia deminstrația afirmației 3), care va fi făcută prin inducție după .

Pentru s-a arătat în corolarul 3.

Dacă presupunem că este domeniu de integritate, atunci așa va fi și , deoarece

.

Fie acum și polinoame nenule de grad și respectiv. Scriem și , cu și , iar și sunt sau egale cu zero, sau polinoame omogene de grad și respectiv. Avem

Deoarece este domeniu de integritate, atunci =, de unde relația

Funcția definită prin este un morfism unitar de inele, pe care-l vom numi morfism canonic de la la .

Proprietatea de universalitate a inelelor de polinoame în nedeterminate,

Teorema 1.7.7 Fie un inel comutativ și unitar, inelul polinoamelor și morfismul canonic. Atunci oricare ar fi inelul comutativ , există un unic morfism de inele astfel încât , , și diagrama

să fie comutativă, adică

Demonstrație: Se demonstrează prin inducție după .

Pentru rezultă din terorema 5.

Presupunând afirmația adevărată pentru , există o diagram comutativă de forma

unde este morfism canonic, iar este unicul morfism de inele, astfel încât , și . Cum = din teorema 5 avem diagrama comutativă

unde este morfism canonic, iar este unicul morfism de inele, astfel încât și . Deoarece este morfism canonic de la la , avem că , adică diagrama

este comutativă. Mai mult, pentru , pentru orice . Având în vedere că este unic iar rezultă imediat unicitatea morfismului .

Dacă și sunt inele comutative și unitare, iar este un morfism unitar de inele,atunci există un morfism unitar de inele definit în modul următor: dacă ,

atunci .

Mai mult, fie domenii de integritate și inelele , , care sunt de asemenea domenii de integritate. Dacă respectiv sunt corpurile de fracții ale lui și , morfismul induce un morfism de corpuri definit prin .

Fie acum un inel, un subinel al său și incluziunea, adică . Teorema precedentă aplicată în acest caz ne dă pentru oricare elementele un morfism de inele , astfel încât

.

Spunem ca și în cazul unei singure nedeterminate că este valoarea polinomului în . Avem că

este un subinel al lui , pe care îl vom nota cu . Se spune că este inelul obținut prin adjuncționarea la a elementelor din .

CAPITOLUL II

PROPRIETĂȚI ARITMETICE ALE INELELOR

2.1. Divizibilitatea în inele

Fie un inel comutativ cu element unitate. Se spune că un element divide un element (sau că este un multiplu al lui ) și se scrie dacă există un element astfel încât .

Dacă se mai spune că este un divizor al lui , denumire care nu va fi folosită pentru cazul în care

Relația de divizibilitate în este o relație de preordine. Într-adevăr, avem :

pentru orice , , deoarece .

dacă și b, atunci există , astfel ca și , deci ,

adică .

Această relație nu este în general o relație de ordine, deoarece nu este în general antisimetrică. Astfel în inelul întregilor avem : și , însă .

Următoarele proprietăți rezultă imediat din definiție:

dacă și , atunci ;

dacă sunt astfel încât și atunci

dacă sunt astfel încât (sau ) și atunci (sau ), adică dacă divide suma sau diferența și unul dintre termeni, rezultă că divide și celălalt termen.

Dacă astfel încât și , spunem că este asociat cu și scriem .

Relația de asociere este o relație de echivalență. Într-adevăr, avem:

pentru orice ,

dacă , atunci b;

dacă și , atunci .

Relația de divizibilitate fiind o relație de preordine, relația de asociere este relația de

echivalență asociată relației de divizibilitate.

Dacă considerăm mulțimea factor în raport cu relația de asociere, atunci relația de divizibilitate fiind o relație de preordine, induce pe această mulțime o relație de ordine.

Fie și , . Atunci,din rezultă , și din , rezultă și . Deci și , adică

Deci din și , rezultă și atunci se constată că pe mulțimea factor putem introduce o operație dedusă din operația de înmulțire în și cu care această mulțime factor devine semigrup. Studiul multor proprietăți ale divizibilității în inelul se reduce la studiul divizibilității în acest semigrup, deoarece așa cum vom vedea în cele ce urmează, căci aproape toate noțiunile și afirmațiile rămân adevărate pentru elemente asociate. Aceasta constituie o generalizare a faptului că studiul aritmeticii în se reduce la studiul aritmeticii în .

Lema 2.1.1. Fie un inelș comutativ, unitar și . Atunci divide pe dacă și numai dacă În particular, și sunt asociate dacă și numai dacă .

Demonstrație: Dacă atunci există , astfel ca deci și deci Reciproc, fie , atunci , deci există , astfel ca adică .

În particular, dacă , atunci și , deci și , de unde rezultă .

Propoziția 2.1.2. Fie un inel comutativ, unitar și . Atunci următoarele afirmații sunt echivalente:

;

este element inversabil în ;

;

divide orice element al inelului .

Demonstrație:

2). Din , rezultă că divide pe , adică există astfel ca și deci este element inversabil în .

3). Dacă este element inversabil, atunci din faptul că rezultă că

4). Dacă , atunci și conform lemei precedente divide orice element din , atunci , rezultă că divide pe și deci.

Propoziția precedentă dă o caracterizare a elementelor inversabile dintr-un inel în legătură cu divizibilitatea. Ea arată că elementele inversabile ale inelului se comportă în raport cu divizibilitatea al fel ca și elementul unitate al inelului. Datorită acestui fapt, elementele inversabile ale inelului se numesc unități.

Propoziția 2.1.3. Fie un inel integru. Atunci, două elemente , b sunt asociate dacă și numai dacă , unde este element inversabil în .

Demonstrație: Dacă , unde este element inversabil în , atunci cu . Deci și sunt asociate. Reciproc, să presupunem că este asociat cu . Atunci există astfel ca și de unde rezultă sau ¸. Dar fiind inel integru, rezultă sau . Dacă , atunci și totul este demonstrat. Dacă , atunci , adică și sunt elemente inversabile în .

Definiția 2.1.4 Fie un inel comutativ, unitar și , b . Un element se numește divizor comun al lui și dacă divide pe și divide pe

Elementul se numește cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c) al elementelor și , dacă este un divizor comun al elementelor și și pentru orice alt divizor comun al elementelor și , avem divide pe

Cel mai mare divizor comun al elementelo și se mai notează ().

Definiția 2.1.5 Fie un inel comutativ, unitar și , b . Un element se numește multiplu comun al lui și dacă divide pe c și b divide pe

Elementul se numește cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c) al elementelor și , dacă este un multiplu comun al elementelor și și pentru orice alt multiplu comun al elementelor și , avem divide pe divide pe .

Cel mai mic multiplu comun al elementelor și se mai notează cu .

Propoziția 2.1.6. Fie un inel comutativ, unitar și , b . Atunci avem:

Dacă este cel mai mare divizor comun al elementelor și , atunci un element este cel mai mare divizor comun al elementelor și dacă și numai dacă este asociat cu ;

Dacă este cel mai mic multiplu comun al elementelor și , atunci un element este cel mai mic multiplu comun al elementelor și dacă și numai dacă este asociat cu .

Demonstrație:

Din faptul că este c.m.m.d.c. al elementelor și , iar este și el un c.m.m.d.c al

elementelor și rezultă că (pentru că este divizor comun al elementelor și ) și (pentru că este divizor comun al elementelor și ). Deci, și sunt asociate. Reciproc, dacă presupunem că este asociat cu , atunci din faptul că , și rezultă că și , adică este divisor comun al lui și

Fie un divizor comun oarecare al lui și , atunci fiind c.m.m.d.c al lui și rezultă că și cum , rezultă , adică este c.m.m.d.c. al elementelor și .

În mod analog se demonstrează 2).

Din această propoziție rezultă că cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun a două (sau mai multe) elemente dintr-un inel sunt determinate până la o asociere.

Definiția 2.1.7 . Fie un inel comutativ, unitar. Două elemente se numesc relativ prime (sau prime între ele) dacă cel mai mare divizor comun al lor este 1.

Lema 2.1.8 Fie un inel integru și și două elemente nenule din . Dacă este cel mai mare divizor comun al elementelor și și , atunci sunt prime între ele.

Demonstrație:

Fie un divizor comun al lui și . Atunci , cu și , adică este divizor comun al lui și , deci divide pe , adică , cu . Din rezultă , deoarece , adică este inversabil, deci . Din faptul că orice divizor comun al lui și este asociat cu și deci și sunt prime între ele.

Lema 2.1.9 Fie un inel integru, , două elemente nenule din și un cel mai mare divizor comun al elementelor și . Dacă pentru un element , există cel ami mare divizor comun al elementelor și , atunci acesta este asociat cu (deci și este cel mai mare divizor comun al elementelor și ).

Demonstrație: Fie cel mai mare divizor comun al elementelor și . Atunci , din faptul că divide pe și , rezultă că divide pe , deci , cu

Din ipoteză rezultă că există astfel ca :

din care deducem relațiile :

și deoarece , rezultă :

deci este divizor comun al elementelor și , iar din lema precedentă rezultă că este element inversabil în . Din , unde este inversabil, rezultă este asociat cu .

Propoziția 2.1.10 . Fie un inel integru. Dacă orice două elemente din au cel mai mare divizor comun, atunci orice două elemente din au cel mai mare multiplu comun și produsul este asociat cu , pentru .

Demonstrație: Fie un cel mai mare divizor comun al elementelor și și , . Atunci, relațiile arată că este multiplu comun al lui și . Fie un alt multiplu comun al elementelor și Deci , , cu . De aici rezultă că și , de unde rezultă că este diviyor comun al elementelor și , deci divide pe cel mai mare divizor comun al lor care este , deoarece și deci Prin urmare, este cel mai mic multiplu comun al elementelor și .

Din rezultă relația

Definiția 2.1.11 . Fie un element nenul și neinversabil dintr-un inel integru . Se spune că este ireductibil dacă orice divizor al lui este sau asociat cu sau este inversabil (adică asociat cu 1) și reductibil în caz contrar.

Din această definiție rezultă că dacă este un element ireductibil din inelul integru și un element oarecare, atunci cel mai mare divizor comun al elementelor și există și este asociat cu sau este element inversabil.

Propoziția 2.1.12 Într-un inel integru orice element asociat cu un element ireductibil este ireductibil.

Deomnstrație: Fie un element ireductibil și un element asociat cu . Atunci cu element inversabil, rezultă că este nenul și neinversabil. Fie un divizor al lui . Atunci, fiind asociat cu rezultă că este un divizor al lui , deci este inversabil, sau este asociat cu , deci și cu .

Propoziția 2.1.13. Fie un inel integru și un element nenul și neinversabil în . Atunci, următoarele afirmații sunt echivalente:

este ireductibil în ;

Dacă , atunci este asociat cu cel puțin unul dintre elementele ;

Dacă , atunci este asociat cu cel puțin unul dintre elementele , iar celălalt

este inversabil.

Demonstrație:

a)b) Fie element ireductibil. Atunci, din rezultă că este sau inversabil, sau asociat cu și la fel este sau inversabil sau asociat cu , însă și nu pot fi ambele inversabile, deoarece ar rezulta că este inversabil.

CAPITOLUL III

EXEMPLE ȘI APLICAȚII ALE INELELOR FACTORIALE

3.1. FACTORIALITATEA INELELOR DE POLINOAME

Teorema 3.1.1. Fie un inel factorial. Atunci inelul de polinoame este factorial.

Lema 3.1.2. Fie și . Dacă divide , atunci , oricare ar fi .

Demonstrație:

Cum , există astfel încât .

Dacă , atunci și deci oricare ar fi .

Presupunem că și în acest caz avem și adică .

Lema 3.1.3 Fie un domeniu de integritate. Dacă este un element prim în , atunci este un element prim în .

Demonstrație:

Presupunem că și și că și .

Conform lemei 3.1.2, din rezultă că există un astfel încât . Alegem pe cel mai mic număr cu această proprietate. Deci și .

Analog, din , există un astfel încât , dar .

Coeficientul lui din produsul este elementul

Deoarece cu și și , rezultă că și deci , contradicție.

Deci trebuie ca și .

Presupunem că inelul este factorial și fie un polinom din .

Notăm cu al elementelor .

se numește conținutul polinomului .

Dacă , atunci polinomul se numește primitiv.

Observăm că , unde este un polinom primitiv.

Lema 3.1.4 (Gauss). Dacă este un inel factorial și , atunci

Demonstrație:

Cum și , unde sunt polinoame primitive, obținem și deci

Trebuie să arătăm că . Penru asta presupunem că . Există element prim astfel încât . Deci și conform lemei 2 rezultă că sau .

Conform lemei 3.1.2 rezultă sau , contradicție deoarece polinoamele și sunt primitive.

Lema 3.1.5 Fie un inel factorialși , unde este un polinom primitive. Dacă , și , atunci .

Demonstrație:

Avem că , unde . Din lema 3 obținem .

Cum , atunci obținem și simplificând cu , avem și deci .

Lema 3.1.6 Fie un inel factorial cu corpul de fracții și fie două polinoame primitive. Atunci și sunt associate în dacă și numai dacă sunt associate în inelul K.

Demonstrație:

Dacă și sunt associate în , sunt associate și în inelul

Invers, presupunem că și sunt asociate în . Există element inversabil astfel încât . Cum , atunci putem scrie cu și . Deci . Aplicând lema 3.1.5 obținem că și , adică și sunt asociate în divizibilitate în inelul

Lema 3.1.7 Fieun inel factorial și corpul său de fracții. Fie un polinom primitiv cu . Atunci este ireductibil în dacă și numai dacă este ireductibil în .

Demonstrație:

Presupunem că este ireductibil în și fie , unde și

.

Putem scrie , unde , și .

Analog , unde c și . În plus, și Deci .

Cum și , unde sunt polinoame primitive, obținem că

, unde este un element inversabil în.

Deci și sunt asociate în . Conform lemei 5 rezultă că și sunt asociate în , adică , unde .

Cum rezultă că este ireductibil în și presupunem că cu .

Cum este ireductibil în rezultă că este inversabil sau este inversabil în .

Dacă este inversabil în , rezultă că , adică . Prin urmare .

Cum este primitiv, rezultă că este inversabil în . Deci este ireductibil în

Demonstrația teoremei 1:

Fie . Putem scrie , unde este un polinom primitiv.

Cum este un inel factorial (fiind euclidian), rezultă că unde și sunt polinoame ireductibile. Putem scrie pentru , unde și este un polinom primitiv.

Conform lemei 3.1.5, rezultă că este ireductibil în . Rezultă că se scrie sub forma , unde . Cum este primitiv și produsul este polinopm primitiv, din lema 5 rezultă că , unde .

Cum este un produs finit de elemente prime în care sunt prime și în (conform lemei 2), rezultă că este un produs finit de elemente ireductibile în .

Unicitatea scrierii lui ca produs de elemente ireductibile în .

Fie =, unde sunt elemente ireductibile în .

Dacă , atunci . Deci

=,

unde , iar sunt polinoame de gard mai mare sau egal cu 1.

Aplicând lema lui Gauss obținem că și sunt asociate în divizibilitate în . Cum este factorial rezultă că și abstracție făcând de o renumerotate avem, , oricare ar fi . Din egalitatea de maisus rezultă că

=

Din lema 3.1.5, această egalitate implică și în , oricare ar fi

Aplicând lema 3.1.6, obținem că în oricare ar fi

Corolar 3.1.8 Dacă este un inel factorial, atunci inelul de polinoame în variabile este factorial.

Demonstrație: Se procedează prin inducție după

Dacă , atunci se aplică teorema1.

Presupunem afirmația adevărată pentru . Inelul este factorial. Cum rezultă din teorema 1 că este factorial.

Corolar 3.1.9 Fie un corp, atunci inelul de polinoame în variabile este factorial.

Corolar 3.1.10 Inelul torial.

3.2. Factorialitatea inelelor de serii formale

Teorema 3.2.1 Dacă inelul este principal, atunci inelul de serii formale într-o variabilă este factorial.

Demonstrație:

Notăm cu aplicația care asociază unei serii formale

termenul , adică

Observăm că este un omomorfismsurjectiv de inele. Pentru a arăta că este un inel factorial este suficient să arătăm că dacă este un ideal prim al lui , atunci conține un element prim.

Dacă , atunci cum este un element prim în , conține un element prim.

Presupunem că și demonstrăm că este un ideal principal. Notăm cu care este un ideal al inelului .

Cum este un inel principal, atunci există astfel încât

Există astfel încât . Deci este de forma .

Vom arăta că . Cum , rezultă .

Fie g un element oarecare din . Cum atunci și deci există astfel încât . Atunci se scrie sub forma și cum , dar rezultă că Înseamnă că există un astfel încât este de forma .

Deci și de unde obținem că

Continuând procedeul cu , găsim astfel încât și deci

Recursiv găsim elementele astfel încât dacă notăm cu avem egalitatea , adică și deci este un ideal principal generat de . Cum este un ideal prim, atunci eset un element prim în . Deci orice ideal al inelului conține un element prim.

Corolar 3.2.2 Dacă este un corp, atunci inelul de serii formale în două variabile este un inel factorial.

Demonstrație:

. Cum este un inel euclidian (deci factorial) rezultă, aplicând terorema precedentă că este inel factorial.

3.3. Criterii de ireductibilitate pentru polinoame

Teorema 3.3.1 Fie un inel factorial și un polinom cu coeficienți în . Presupunem că există un element prim și un , , cu proprietățile:

Atunci are, în descompunerea sa în factori ireductibili, un polinom de grad .

Demonstrație:

Deoarece inelul este factorial, atunci , unde sunt polinoame ireductibile. Trebuie să demonstrăm că unul dintre aceste polinoame are gradul

Presupunem prin reducere la absurd că , oricare ar fi

Considerăm inelul care este un domeniu de integritate, deoarece este un ideal prim și notăm cu .

, .

Cum este morfism de inele, rezultă că avem

.

Cum , rezultă că și deci și deci , adică . Cum este un element prim în inelul , rezultă că divide în particular unul dintre factorii .

Să presupunem că În acest caz rezultă că deoarece dacă am avea , atunci notând cu termenul liber al polinomului rezultă că .

Pe de altă parte, din faptul că și rezultă că , adică și , adică , deci , contradicție. Vem că și atunci . Cum am presupus , trebuie ca , dar atunci avem și deci , adică , contradicție.

În concluzie există un , astfel încât

Corolar 3.3.2 (Criteriul de ireductibilitate al lui Eisenstein).

Fie un inel factorial, un polinom cu coeficienți în . Presupunem că există un elemnt prim cu proprietățile:

Atunci este ireductibil în , unde este corpul de fracții al lui .

Demonstrație:

Aplicând teorema precedentă, polinomul are un factor ireductibil de gradul și putem scrie , unde . Cum este ireductibil în , atunci conform lemei 6 rezultă că este ireductibil în și deci este ireductibil în .

Exemple:

Fie polinomul

este ireductibil în deoarece îndeplinește proprietățile din criteriul de ireductibilitate al lui Eisenstein.

Fie polinomul . Acest polinom este ireductibil conform criteriului de

ireductibilitate al lui Eisenstein. Acest exemplu ne arată că pentru orice număr natural , există un polinom ireductibil în având gradul .

Fie un număr prim. Polinomul este ireductibil în

. Deocamdată nu putem aplica colorarul 2.

este ireductibil dacă polinomul este ireductibil. Cum , obținem că

Deoarece este prim, avem , oricare ai fi și deci, conform criteriului lui Eisenstein, este un polinom ireductibil.

Polinomul este ireductibil în .

Arătăm că polinomul este ireductibil.

.

Arătăm că oricare ar fi .

Avem .

Fie , unde și este număr impar.

Deoarece , atunci este egal cu câtul a două numere impare.

Deci este câtul a două numere impare. Cum , atunci în apare cel puțin un factor egal cu . Deci .

Luăm și aplicăm criteriul lui Eisenstein. Obținem ireductibil, ceea ce arată că este un polinom ireductibil în

este ireductibil, unde este un număr prim.

Pentru a arăta că este ireductibil este suficient să arătăm că polinomul

este ireductibil.

+.

Arătăm că , oricare ar fi .

Dar .

Fie atunci , unde și

Deoarece se observă din condiția rezultă că în fracția , după simplificare, numărătorul și numitorul nu se mai divid cu . După simplificare, fracția este câtul a două numere naturale în care atât numărătorul cât și numitorul nu se mai divid cu .

Deoarece , atunci putem scrie , unde și . Deci și este câtul a două numere naturale în care numărătorul se divide cu și numitorul nu se divide cu .

În concluzie . Aplicând criteriul lui Eisenstein pentru numărul prim obținem polinomul este ireductibil și deci polinomul este ireductibil în .

Teorema 3.3.3 Fie și două inele factoriale, un morfism de inele cu

morfismul de inele ce extinde pe , adică dacă , atunci.

Presupunem că este un polinom primitiv în astfel încât și este ireductibil în , atunci este ireductibil.

Demonstrație:

Presupunem că nu este ireductibil în . Atunci cu și și nu sunt inversabile în .

Cum este primitiv, atunci trebuie ca și .

Din rezultă că și cum și , iar rezultă că și ceea ce arată că nu este ireductibil în .

Exemplu. Fie un număr prim și astfel încât . Arătăm că polinomul este ireductibil în

Fie inelul . este corp finit, și fie , surjecția canonică, adică

Conform teoremei precedente este suficient să arătăm că polinomul este ireductibil în .

Cum este corp, rezultă că există o extindere a lui astfel încât are toate cele rădăcini în .

Fie o rădăcină a lui . Demonstrăm că sunt toate rădăcinile lui .

Fie , , una dintre aceste rădăcini.

Cum corpul are caracteristica , avem că

Cum și ținând cont de teorema lui Fermat avem . Deci .

Presupunem că nu este ireductibil în , atunci există astfel încât și .

Cum rezultă că este de forma , unde , iar

Cum , atunci coeficientul termenului de gradul al lui este și aparține lui Deci de unde rezultă că .

Cum , atunci și cum , din teorema lui Fermat obținem că , adică , contradicție.

În concluzie rezultă că este ireductibil și conform teoremei 3 și este ireductibil în

3.4. Aplicații

Exemplul 3.4.1. Inele de întregi pătratici. Fie și fie o rădăcină complexă a ecuației

Notăm este subinel al corpului al numerelor complexe, deci este inel în raport cu adunarea și înmulțirea induse de adunarea și înmulțirea numerelor complexe.

este domeniu de integritate. Vom presupune (dacă atunci și .

Atunci reprezentarea unui element ca cu este unică. Dacă cu , atunci și dacă , atunci . Deci și

Dacă este cealaltă rădăcină a ecuației , avem ,

Egalitatea asigură că .

Pentru orice element , cu , definim conjugatul lui prin și reținem că . În plus, dacă nu este real, atunci este conjugatul complex al lui , deci este conjugatul complex al lui (pentru un număr complex, cu , conjugatul complex al lui este ). Produsul se notează și se numește norma lui .

Avem ,

.

Prin urmare .

Considerăm funcția definită prin și verificăm că satisface proprietatea (*).

Dacă , sunt elemente arbitrare în , avem:

.

Înlocuind pe cu rezultă :

De aici rezultă , deci și .

Pentru un , avem Dacă , există cu

și rezultă , deci reciproc, dacă , avem și cum , obținem

Exemplul 3.4.2. Inel semifactorial care nu este factorial :

Considerăm mulțimea un subinel al corpului .

Considerăm funcția :, . Dacă , atunci . Rezultă că

Cum , avem în descompunerea . Folosind funcția se arată că elementele sunt ireductibile dar nu sunt prime în .

este ireductibil în .

Fie , unde și . Din obținem că ( și deci sau .

Egalitatea implică și , adică este inversabil. Egalitatea este imposibilă, iar egalitatea implică adică este inversabil. Deci este ireductibil în . Similar se arată că sunt ireductibile în .

Dacă ar fi prim, atunci cum ) obținem că sau ). Adică sau cu . Deci contradicție.

Exemplul nu este singular:

Exemplul 3.4.3. Inelul întregilor lui Gauss: .

Considerăm ecuația din exemplul 1 ca fiind . Pentru , cu avem . Deci

este unitate

În această situație nu puteam avea . Prin urmare sau . Rezultă că

În există elemente având două descompuneri în factori ireductibili care nu sunt echivalente,

Ca și în exemplul 3.4.2 factorii sunt ireductibili, însă cele două descompuneri sunt echivalente.

deci Analog se arată că

Exemplul 3.4.4. Inelul . La fel ca și inelul și acesta este inel semifactorial și arătăm că nu este factorial.

Dacă cu avem că

Dificultatea determinării unităților lui constă în demonstrarea faptului că factorii celor două descompuneri, sunt ireductibili. Deoarece =presupunem că unul din acești factori nu este ireductibil. Avem că , unde și nu sunt unități. De aici rezultă că sau , unde . Astfel sau . Luând

cu rezultă sau , adică

Din ultima relație rezultă că sau . Sau echivalent

sau .

Presupunând că cele două relații ar fi echivalente, am avea că sau .

Luăm atunci cu

contradicție.

Analog se arată că .

Alte situații asemănătoare :

Exemplul 3.4.5. Inelul

Fie cu și rezultă sau , deci

Pentru cele două descompuneri nu sunt echivalente, și nici factorii lor nu sunt ireductibili. Descompunând pe și și apoi pe , am obține două descompuneri în factori ireductibili ale lui

.

Folosind teoria numerelor, de fapt, este un inel factorial.

Aplicație 3.4.6 Numărul 26, între și 27. Rezolvarea ecuației diofantice folosind inelul factorial .

Scopul este acela de a demonstra folosind inelul factorial o proprietate a numărului , și anume aceea că este singurul număr întreg care este cu mai mic decât un cub și mai mare cu decât un pătrat :. Această problemă a fost relatată de Pierre Fermat, matematician francez din secolul XVII, care afirmă că există cinci numere întregi care verifică proprietatea enunțată mai sus. S-a demonstrat ulterior că Fermat s-a înșelat și că problema are soluție unică, adică există un unic astfel de număr întreg. Nu vom insista asupra unicității numărului , ci asupra modului în care putem rezolva o ecuație diofantică folosind inele factoriale.

Problema poate fi formal expusă astfel:

Dacă alegem un întreg care verifică și , atunci obținem că

Dacă înlocuim din prima relație în a doua, obținem , adică perechea este soluție a ecuației diofantice cu . De fapt problema constă în a rezolva această ecuație. Astfel vom demonstra că:

Teorema 3.4.7 (caz particular al problemei lui Catalan) Soluția unică a ecuației diofantice în

este și

Mai întâi să studiem paritatea soluțiilor. Aceasta conduce la:

Lema 1. Dacă este o soluție a ecuației , atunci și au aceeași paritate, mai exact sunt numere impare.

Demonstrație: dacă este număr par, atunci se scrie sub forma Rezultă , deci și este număr par.

Dacă este număr impar, atunci e de forma , . Rezultă că , deci și este tot număr impar.

Teorema lui Euler spune că: , pentru , unde este indicatorullui Euler, , pentru numere prime, .

Teorema poate fi scrisă .

Rezolvând ecuația în , avem că pentru , , și deci De aici rezultă că .

Dacă presupunem că . Dar, de asemenea, avem ( și au aceeași paritate), deci , de unde rezultă că , ceea ce este o contradicție cu . Presupunerea făcută este falsă, deci nu poate fi număr par, în concluzie, atât , cât și sunt numere impare.

În cele ce urmează prezentăm câteva proprietăți interesante, dar care nu sunt totuși eficiente în rezolvarea ecuației .

Proprietate 3.4.8. Dacă este soluție a ecuației , atunci

.

Demonstrație: Fie Atunci și , . Rezultă, înlocuind îm , că . De aici avem că , adică , ceea ce înseamnă că și sunt prime între ele.

În continuare vom stiudia ecuația în Pentru , avem că , deci, conform teoremei Euler, sau . Rezultă că se reduce gradul și vom obține că . Dar , adică .

Rezolvarea este ușoară și conduce la sau în . Dar avem că (dacă ar fi fost invers, diferența dintre și nu ar fi fost niciodată egală cu ). Aceasta conduce la soluția unică și , dacă presupunem că atât cât și sunt numere prime.

În continuare ne putem întreba dacă este posibil să folosim aceste rezultate pentru a găsi demonstrația problemei noastre. Dacă vom continua totuși în această direcție, nu vom obține rezultate interesante, și este și foarte dificil. Totuși observăm că dacă folosim alt inel, mai exact inel factorial, vom obține demonstrația problemei.

Soluția problemei folosind inele factoriale.

Să reamintim că un domeniu de integritate se numește inel factorial dacă orice element nenul și neinversabil al său se poate scrie ca produs finit de elemente din .

În astfel de inele putem defini noțiunea de cel mai mare divizor, ca de exemplu în , și aceasta este proprietatea pe care o vom folosi în continuare.

Definiție 3.4.9. Fie . Un element se numește cel mai mare divizor comun (prescurtat c.m.m.d.c) al elementelor și dacă are următoarele proprietăți:

și ( este un divisor comun al lui și );

dacă astfel încât și , atunci .

Revenind la ecuația avem că , mai exact .

Apoi studiem ecuația în inelul factorial , cu norma , . Știm că aplicația normă are următoarele proprietăți:

dacă în , atunci în .

Presupunem că . Rezultă că și .

Fie , . Obținem că , deci , adică . Cum . Știm că este număr impar, deci este impar, atunci este impar și cum , rezultă că . Deci , ecuație ce are soluția și în mulțimea numerelor întregi. Obținem că , și deci .

În continuare folosim descompunerea unică în factori ireductibili în :

și (sunt numere conjugate).

Avem ca , ceea ce implică faptul că avem pentru orice , iar dacă ținem cont de obținem că fiecare apare de trei ori în descompunere. Astfel, există cu , de unde rezultă că sau altfel . Avem cazurile: sau și , sau și .

Dacă examinăm cazul al doilea, observăm că , ecuație ce nu are soluții întregi. Așadar avem și

În final, . Ridicând la putere, obținem . Ținând cont de faptul că , obținem că .

Dacă folosim ecuația în care înlocuim pe cu , avem de rezolvat ecuația , ecuație ce are soluția unică în .

Încheiem demonstrația prin a preciza că este soluția ecuației

3.4.10 Elemente ireductibile în

Lema 1. Orice element prim din e divizor al unui număr prim din .

Demonstrație: Fie element prim.

și cum rezultă că .

Pe îl mai putem scrie și ca produs de numere prime din , adică

, unde sunt numere prime din .

Cum avem și deci . Atunci există astfel încât .

Lema 2. Numărul este prim în , iar are următoarea descompunere în :

.

Demonstrație: Vom arăta că este ireductibil în .

Fie , , ,

și rezultă că .

Avem că de unde rezultă că și și și .

Deci și este ireductibil, adică este prim.

Observație: este prim în

și sunt asociate în divizibilitate .

Lema 3. Orice număr prim este de forma sau ,

Demonstrație: Numerele mai mari decât se pot scrie sub forma:

Cum este atunci și și deci numerele prime sunt de forma sau ,

Lema 4. Orice număr prim de forma este prim în

Demonstrație: Vom arăta că este ireductibil în

Presupunem că

și .

Presupunem că și atunci

și sau și .

Pentru și ar rezulta că

și ar rezulta că

În final rezultă că sau sau adică este ireductibil și deci este prim.

Observație. Numerele sunt numere prime în

Lema 5. Orice număr prim de forma este produsul a două numere prime din care nu sunt asociate în divizibilitate.

Demonstrație: Teorema lui Wilson . Avem că:

…………………………….

Cum rezultă că

Atunci,

Luând din terorema lui Wilson rezultă că și dacă ar fi prim în ar rezulta că sau

Presupunem că și deci , .

Rezultă că de unde , contradicție. (este prim ).

Analog și în cazul .

În concluzie nu este prim în , deci are o descompunere în factori primi.

prime.

de unde rezultă că , adică

Se observă că și .

Dacă atunci ar exista un astfel încât . Atunci și . Deci și , contradicție conform lemei 4.

BIBLIOGRAFIE

C.Năstăsescu, C.Niță, C.Vraciu, Bazele algebrei, volumul I, Editura Academiei Republicii Socialiste România, București, 1986

C.Năstăsescu, C.Niță, C.Grigore, D.Bulacu, Matematică, manual pentru clasa a XII-a, Editura Didactică și Pedagogică, București, 2003

C.Niță, T.Spircu, Probleme de structure algebrice, Editura Tehnică, București, 1974

Ion D.Ion, C.Niță, C.Năstăsescu, Complemente de algebră, Editura Ștințifică și Enciclopedică, București, 1984

Ion D.Ion, C.Niță, D.Popescu, N.Radu, Probleme de algebră, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1981

Ion D.Ion, N.Radu, Algebră, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1991

M.Becheanu, C.Niță, M.Ștefănescu, A.Dincă, I.Pudrea, I. D.Ion, N.Radu, C.Vraciu, Algebră, Editura All Educational, București, 1998

P.Dragomir, A.Dragomir, Structuri algebrice, Editura Falca, Timișoara, 1981

T.Spircu, Structri algebrice prin probleme, Editura Științifică, București, 1991

G.Velicu – The number 26, between 25 and 27. Resolution of the Diophantine equation using the factorial ring , Journal of Science and Arts, Year 8, No.2(9), 2008, pg.224-227