Propriet ¼atile probabilit ¼a tii, probabilitate clasic ¼a. [604572]
1
Alexei Leahu, Ion Pâr¸ tachi
STATISTICA MATEMATIC ¼A
ÎN ECONOMIE ¸ SI AF ACERI
(Prin exemple ¸ si probleme propuse)
Partea I. PROBABILIT ¼A¸ TI
Chi¸ sin ¼au
c
2018
2
CUPRINS
Prefa¸ t ¼a
1. Calculul Probabilit ¼a¸ tilor
1.1. Obiectul de studiu al Teoriei Probabilit ¼a¸ tilor ¸ si locul ei in
Statistica Matematica, probabilitate frecven¸ tial ¼a, probabilitate
subiectiv ¼a
1.2. No¸ tiuni ¸ si rezultate auxiliare din Combinatoric ¼a
1.3. Spa¸ tii de evenimente elementare, evenimente aleatoare ¸ si
opera¸ tii asupra lor, de
ni¸ tia axiomatic ¼a a probabilit ¼a¸ tii
1.4. Propriet ¼a¸ tile probabilit ¼a¸ tii drept consecint ¼a din de
ni¸ tia
axiomatic ¼a a probabilit ¼a¸ tii
1.5. Probabilit ¼a¸ ti clasice, discrete si geometrice drept cazuri
particulare ale de
ni¸ tiei axiomatice a probabilit ¼a¸ tii
1.6. Probabilitate condi¸ tionat ¼a. Formula înmul¸ tirii probabil-
it¼a¸ tilor
1.7. Independen¸ ta evenimentelor aleatoare, formula lui Pois-
son
1.8. Formulele probabilit ¼a¸ tii totale si a lui Bayes
2. Variabile aleatoare
2.1. Întroducere
2.2. Variabil ¼a aleatoare (unidimensional ¼a), func¸ tia ei de dis-
tribu¸ tie (reparti¸ tie)
2.3. Variabile aleatoare de tip discret, distribu¸ tii (reparti¸ tii)
2.4. Variabile aleatoare de tip (absolut) continue, densit ¼a¸ ti
de distribu¸ tie (reparti¸ tie)
2.5. Variabile aleatoare mixate discrete-continue
2.6. Variabil ¼a aleatoare multidimensional ¼a (vectorial ¼a), func¸ tia
ei de distribu¸ tie, func¸ tii de distribu¸ tie marginale
2.7. Tipurile de variabile aleatoare multidimensionale (bidi-
mensionale), distribu¸ tii, densit ¼a¸ ti de distribu¸ tie, independen¸ ta
v.a.
3. Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare
3
3.1. Parametri de pozi¸ tie: valoarea media, moda, mediana,
cuantile
3.2. Disperia (varian¸ ta), abaterea standard, covarian¸ ta, coe-
cientul de corela¸ tie, regresie liniar ¼a
3.3. Momente ale variabilei aleatoare (ini¸ tiale, centrale), asime-
tria, aplatizarea
4. Modele (distribu¸ tii, d.d.) probabiliste uzuale, ine-
galit¼a¸ ti, Legea Numerelor Mari, Teorema Limit ¼a Cen-
tral¼a
4.1. Distribu¸ tii probabiliste uzuale in caz discret (Uniform ¼a,
Bernoulli, Binomial ¼a, Geometric ¼a, Poisson, Multinomial ¼a, Hy-
pergeometric ¼a)
4.2. Distribu¸ tii probabiliste uzuale in caz (absolut) continuu
(Uniform ¼a, Exponen¸ tial ¼a, Normal ¼a, Hi-p ¼atrat ( 2),T-Student)
4.3. Inegalitatea Chebyshev, Legea Numerelor Mari (în formele
Cebyshev, Bernoulli, Hincin), Teorema Limit ¼a Central ¼a
BIBLIOGRAFIE
4
Prefa¸ t ¼a
5
1. Calculul Probabilit ¼a¸ tilor
1.1. Obiectul de studiu al Teoriei Probabilit ¼a¸ tilor ¸ si locul ei in
Statistica Matematica, probabilitate frecven¸ tial ¼a, probabilitate
subiectiv ¼a
No¸ tiunea de statistic ¼ase na¸ ste odat ¼a cu apari¸ tia ¸ si dezvoltarea rela¸ ti-
ilor economce, pân ¼a în secolul XIX aceasta
ind tratat ¼a ca ¸ stiin¸ t ¼a politic ¼a.
Cuvântul în cauz ¼a provine de la latinescul status , care înseamn ¼a stare.
Începând cu secolul XIX, statistica prinde conturul ¸ stiin¸ tei care, actual-
mente, are drept obiect de studiu metodele, procedeele de colectare, organizare,
prelucrare, analiz ¼a ¸ si interpretare a datelor ce vizeaz ¼a rezultatele observ ¼arilor
facute asupra fenomenelor sau experimentelor aleatoare. Statistica modern ¼a,
mai ales acea parte a ei care se nume¸ ste Statistica matematica , bazându-se
esen¸ tial pe realizarile ¸ stiin¸ telor matematice, folose¸ ste din plin Teoria proba-
bilit¼a¸ tilor .
Apari¸ tia Teoriei probabilit ¼a¸ tilor ca ramur ¼a a matematicii ce studiaz ¼a
modele matematice ale fenomenelor aleatoare dateaz ¼a din secolul XVII ¸ si
este legat ¼a de numele marilor matematicieni Blaise Pascal (1623-1662), Pierre
Fermat (1601-1665), Christian Huygens (1629-1695) ¸ si Jacob Bernoulli (1654-
1705).
Pentru a în¸ telege mai bine ce studiaz ¼a Teoria probabilit ¼a¸ tilor ca parte a
Statisticii matematice, avem nevoie de cateva explicatii suplimentare. Mul¸ timea
de fenomene care se întâlnesc în lumea înconjur ¼atoare se împarte în dou ¼a
clase: fenomene deterministe sifenomene indeterministe saualeatoare .
Astfel, spunem ca fenomenul este determinist daca observatorul poate
anticipa cu certitudine evolu¸ tia acestuia. In calitate de exemplu putem lua
fenomenul atrac¸ tiei universale. Observa¸ tiile facute asupra acestui fenomen
i-au permis marelui matematician ¸ si
zician englez Isaac Newton (1642-1727)
sa formuleze legea atrac¸ tiei universale:
F=km1m2
r2.
Acesta este un exemplu tipic de model matematic a unui fenomen (in cazul
dat) determinist. Dealtfel, a modela matematic (spre a
cercetat) un fenomen,
proces, experiment, eveniment sau obiect oarecare înseamn ¼a a-l descrie cu
ajutorul no¸ tiunilor ¸ si formulelor matematice, adic ¼a a-l descrie în limbajul
matematic. Unul ¸ si acela¸ si model matematic poate descrie dou ¼a fenomene
6
diferite în esen¸ t ¼a. De exemplu, formula de mai sus poate servi in calitate de
model matematic ¸ si pentru fenomenul atrac¸ tiei a dou ¼a particule elementare
(legea lui Coulomb).
Spunem despre un fenomen c ¼a este indeterminist (aleator) , dac ¼a ob-
servatorul fenomenului nupoate anticipa cu certitudine evolu¸ tia lui. Din
punct de vedere al observatorului, observa¸ tiile f ¼acute asupra unui fenomen
sau m ¼asur¼atorile corespunz ¼atoare echivaleaz ¼a cu o experimentare legat ¼a de
fenomenul dat. Or, prin experiment vom în¸ telege observarea unui fenomen
dat.
Acum putem spune c ¼aTeoria probabilit ¼a¸ tilor ¸ siStatistica matematic ¼a
studiaz ¼a modele matematice ale experimentelor (fenomenelor) aleatoare.
Aici se impun cateva preciz ¼ari. Experimentele aleatoare (indeterministe)
se împart, la rândul lor, în dou ¼a subclase: (a)experimente aleatoare care
posed ¼a proprietatea regularit ¼a¸ tii (stabilit ¼a¸ tii) statistice ¸ si(b)experimente
aleatoare care nu posed ¼a proprietatea regularit ¼a¸ tii statistice .
De
ni¸ tia 1. Vom spune c ¼a un experiment aleator Eposed ¼aproprietatea
regularit ¼a¸ tii (stabilit ¼a¸ tii) statistice daca acesta veri
c ¼a urmatoarele propri-
et¼a¸ ti:
1)poate
reprodus ori de câte ori dorim practic în acelea¸ si condi¸ tii;
2)pentru orice eveniment Aasociat luiEfrecven¸ ta lui relativ ¼a în n
probe
fn(A) =num arul de probe ^{n care s a produs A
num arul total de probe=n(A)
n
oscileaz ¼a în jurul unui num ¼ar notat cu P(A),P(A)2[0;1],fn(A)devenind ,
odat¼a cu cre¸ sterea lui n, tot mai aproape ¸ si mai aproape de P(A)";
3)pentru dou ¼a serii diferite, respectiv de n¸ simprobe, atunci când n¸ si
msunt foarte mari, avem c ¼afn(A)fm(A).
În concluzie, stabilitatea statistic ¼a a frecven¸ telor relative confer ¼a verosimil-
itate ipotezei, conform c ¼areia pentru orice eveniment A;posibil ca rezultat ob-
servabil al unui experiment aleator E, putem de
ni num ¼arulP(A)cu ajutorul
c¼aruia m ¼asur¼am gradul (¸ sansele) de realizare a lui Aîntr-un num ¼ar foarte
mare de probe. Astfel, în Teoria probabilit ¼a¸ tilor devine postulat a
rma¸ tia,
conform c ¼areia pentru orice eveniment Aasociat unui experiment aleator E
exist¼a (obiectiv) un num ¼arP(A)numit probabilitate a lui A. Proprietatea
reasc ¼a a acestui num ¼ar rezid ¼a în faptul c ¼a odat ¼a cu cre¸ sterea num ¼arului n
7
de probe (experimente) independentefrecven¸ ta relativ ¼afn(A)se apropie
tot mai mult de P(A):Num¼arulP(A)se nume¸ ste probabilitate statistic ¼a (sau
frecven¸ tial ¼a) a evenimentului A . Aceasta din urm ¼a a
rmatie/proprietate este
conforma cu Legea Numerelor Mari, care in Teoria probabilit ¼a¸ tilor reprezint ¼a
suportul matematic al propriet ¼a¸ tii regularit ¼a¸ tii/stabilit ¼a¸ tii statistice, ceea ce
inseamn ¼a c¼a aceasta teorie se pliaz ¼a perfect pe aplica¸ tiile ei la rezolvarea prob-
lemelor ce apar in cadru studierii modelelor matematice ale experimentelor
aleatoare ce fac parte din subclasa (a).
Exemplul 1. Consider ¼am în calitate de experiment aleator Earuncarea
unei monede simetrice (cu centrul de greutate nedeplasat) sau, cum se mai
spune, "perfecte". Fie Aevenimentul ce const ¼a în apari¸ tia stemei. Observ ¼am,
astfel, c ¼a.
f1000(A)1
2=P(A),f2000(A)1
2=P(A).
Prin urmare, putem a
rma ca probabilitatea (statistic ¼a) a apari¸ tiei stemei
la aruncarea monedei o singura dat ¼a este egal ¼a cu 1=2;ceea ce inseamn ¼a, ca
¼aruncând moneda de un num ¼ar su
cient de mare de ori, stema va apare în
aproximativ 50% de cazuri .
Putem aduce ¸ si alte exemple de fenomene aleatoare: rezultatele arunc ¼arii
unui zar, greutatea unui bob ge grâu ales la întâmplare, num ¼arul de bacterii
într-o pic ¼atur¼a de ap ¼a, durata vie¸ tii unui calculator produs de întreprinderea
dat¼a, num ¼arul de apeluri telefonice înregistrate la o sta¸ tie telefonic ¼a pe durata
unei zile, etc., etc. Enumerarea lor poate continua la nesfâr¸ sit, îns ¼a ele toate
vor avea acela¸ si caracter,
ind înso¸ tite de astfel de no¸ tiuni imprecise (deo-
camdat ¼a) ca aruncare onest ¼a , moneda perfect ¼a , probe independente ,
etc.
Interesant este faptul ca frecventa relativa, prin urmare ¸ si probabilitatea
statistic ¼a (frecven¸ tial ¼a), posed ¼a propriet ¼a¸ tile puse in anul 1934 la baza Teoriei
axiomatice a probabilit ¼a¸ tilor, teorie lansat ¼a de c ¼atre ilustrul matematician
rus A. N. Kolmogorov (1903-1987). Iata aceste propriet ¼a¸ ti care pot
veri
-
cate cu u¸ surin¸ t ¼a pe cale experimental ¼a în baza urm ¼atorului exemplu.
Exemplul 2. Consider ¼am experimentul aleator aleator Ece const ¼a în
efectuarea un sondaj printre potentialii s ¼ai clien¸ ti de c ¼atre o companie pro-
ducatoare de 3 tipuri de b ¼auturi r ¼acoritoare A; B ¸ siC, pentru ca în func¸ tie
de rezultatele sondajului sa se fac ¼a ajust ¼ari, privind cotele de produc¸ tie a
8
ecarui tip de bautura. Exprimarea preferintei presupune alegerea unui sin-
gur raspuns: A; B sauC. Considerând c ¼a in e¸ santion au fost inclu¸ si un
num¼arn;su
cient de mare. de responden¸ ti, atunci compania va putea iden-
ti
ca cotele de productie, acestea
ind direct propor¸ tional cu frecventele
relative fn(A),fn(B)¸ sifn(C). Se poate observa cu usurin¸ t ¼a c¼a:
1.0fn(A)1(rezult ¼a din de
nitia frecven¸ tei relative);
2.fn(AsauBsauC) = 1 (deoarece raspunsurile AsauBsauCse
exclud mutual, doua cate doua , iar alte raspunsuri sunt excluse, cu alte
cuvinte înregistrarea ca raspuns AsauBsauC;privit ca eveniment aleator,
este eveniment sigur );
3.fn(AsauB) =fn(A) +fn(B),fn(AsauC) =fn(A) +fn(C); fn(B
sauC) =fn(B) +fn(C):
Remarc ¼a.Probabilitatea statistic ¼a nu poate
aplicat ¼a întotdeauna,
deoarece nu orice experiment poate
repetat în condi¸ tii identice ori de câte
ori dorim.
Drept exemplu putem lua rezultatul pe care-l va obtine un student con-
cretla examenul de Probabilit ¼a¸ ti ¸ si Statistic ¼a matematic ¼a. Într-adev ¼ar, ob-
serv¼am ca acest examen (experiment aleator), raportat la un student con-
cret, nu poate
poate
reprodus ori de câte ori dorim practic în acelea¸ si
condi¸ tii. Daca, îns ¼a, vom modi
ca experimentul prin a ne referi in
ecare
proba (repetare de examen) la un student "ales la întâmplare", atunci acest
experiment va satisface rigorile 1-3 ale regularit ¼a¸ tii statistice, apelând, de
exemplu, la istoricul rezultatelor de la acest examen din anii anteriori. Or,
experimentele aleatoare care posed ¼a proprietatea regularit ¼a¸ tii statistice ¸ tin de
fenomenele de mas ¼a. Pentru studiul experimentelor care nu posed ¼a aceast ¼a
proprietate, putem folosi no¸ tiunea de probabilitate subiectiv ¼a.
De
ni¸ tia 2. Prin probabilitate subiectiv ¼avom în¸ telege acea regul ¼aP
conform c ¼areia o persoan ¼a dat ¼a îi asociaz ¼a
ec ¼arui eveniment Aun num ¼ar
P(A)2[0;1], numit probabilitatea evenimentului A.
Astfel, orice student concret î¸ si poate, bineîn¸ teles, evalua probabilitatea
subiectiv ¼a c¼a va promova din prima încercare examenul de Probabilit ¼a¸ ti ¸ si
Statistic ¼a Matematic ¼a, aceast ¼a probabilitate variind în functie de student.
La fel, putem vorbi despre probabilitatea subiectiva, evaluata, s ¼a zicem,
de un expert NASA, c ¼a pân ¼a în 2025 se va produce prima expedi¸ tie a omului
pe Marte.
Pentru studiul fenomenelor aleatoare indeterministe, în afar ¼a de probabil-
itate subiectiv ¼a¸ si probabilitate frecven¸ tial ¼a, exist ¼a ¸ si no¸ tiunile de probabili-
tateclasic ¼a, probabilitate geometric ¼a, probabilitate discret ¼a¸ si probabilitate
9
de
nit ¼a în sens axiomatic . Toate aceste no¸ tiuni au ca scop de
nirea unei
modalit ¼a¸ ti de m ¼asurare a ¸ sanselor (gradelor) de realizare, gradelor de cer-
titudine in producerea evenimentelor aleatoare date, de
ni¸ tia axiomatic ¼a a
probabilit ¼a¸ tii,
ind, într-un anumit sens, acoperitoare pentru toate no¸ tiunile
de probabilitate enumerate mai sus.
Concluzie. Dac¼a ne vom referi la domeniile economic ¸ si al afacerilor,
acestea
ind vulnerabile la factorii subiectivi, trebuie sa
m foarte aten¸ ti dac ¼a
fenomenele aleatoare cu caracter economic, puse de noi în discu¸ tie, satisfac
rigorilor impuse asupra experimentelor aleatoare Pentru ca acestea sa
e
tratate/clasi
cate ca
ind experimente ce posed ¼a proprietatea regularit ¼a¸ tii
statistice sau nu. Preciz ¼am, ca Teoria probabilit ¼a¸ tilor si Statistica Matem-
atica, expus ¼a de noi in continuare, vizeaza doar modele matematice ale ex-
perimentelor aleatoare ce posed ¼a proprietatea regularit ¼a¸ tii statistice. Cu alte
cuvinte vom vorbi doar despre probabilit ¼a¸ ti obiective .
Probleme
1.La prima lec¸ tie practic ¼a, privind calculul probabilit ¼a¸ tilor, studen¸ tilor
le-a fost propus ¼a urm ¼atoarea întrebare: "Cu ce este egal ¼a probabilitatea c ¼a,
ie¸ sind la plimbare pe bulevardul ¸ Stefan cel Mare din Chi¸ sin ¼au, întâmpl ¼ator,
v¼a va ie¸ si în cale un Dinozaur?" Unul din studen¸ ti, familiarizat cu de
ni¸ tia
clasic ¼a a probabilit ¼a¸ tii înc ¼a din liceu, a r ¼aspuns c ¼a probabilitatea în cauz ¼a
este egala cu 1=2, deoarece…"este posibil unul din dou ¼a cazuri cu ¸ sanse egale
de realizare: ori vom întâlni un Dinosaur, ori Nu". R ¼aspunsul acesta,
ind
unul ridicol, se impune întrebarea ce metod ¼a de evaluare a probabilit ¼a¸ tii se
impune în acest caz? Pe cale experimental ¼a sau subiectiv ¼a? Cu ce este egala
probabilitatea respectiv ¼a? Argumenta¸ ti.
2.Biblioteca Na¸ tional ¼a "V. Alecsandri" din Chi¸ sin ¼au a înregistrat pe
parcursul anului 2017 cititori nou veni¸ ti care, privind nivelul lor de studii,
s-au repartizat conform urm ¼atorului tabel:
Nivelul de studii Frecven¸ ta
Superioare 720
Studen¸ ti/superioare incomplete 1106
Medii (liceu, ¸ scoala medie) 502
Medii incomplete 52
F¼ar¼a studii 0
Total 2380
10
Evalua¸ ti probabilitatea c ¼a un cititor luat la întâmplare din lista celor in-
registra¸ ti la Biblioteca Na¸ tional ¼a "V. Alecsandri" va
unul cu studii. Evalu-
a¸ ti probabilit ¼a¸ tile respective pentru
ecare nivel de studii ¸ si ar ¼ata¸ ti c ¼a suma
lor este egala cu 1.
3.Multe institu¸ tii de înv ¼a¸ t¼amân preuniversitar ofer ¼a elevilor acces la
internet. Astfel, conform Anuarului Statistic din SUA publicat in 1997, în
anul 1996 acces la internet aveau 21 733 din 51 745 ¸ scoli primare, 7286 din
14 012 ¸ scoli gimnaziale si 10 682 din 17 229 licee.
Cu ce este egal ¼a probabilitatea ca:
a)Alegând la întâmplare pentru a vizita una din ¸ scolile primare , aceasta
va
conectat ¼a la Internet;
b)Alegând la întâmplare pentru a vizita una din ¸ scolile gimnaziale , aceasta
va
conectat ¼a la Internet;
c)Alegând la întâmplare pentru a vizita unul din licee , acesta va
conec-
tat¼a la Internet;
d)Alegând la întâmplare pentru a vizita una din institu¸ tiile de înv ¼a¸ t¼amânt
men¸ tionate mai sus , aceasta va
conectat ¼a la Internet.
4.O companie produc ¼atoare de past ¼a de din¸ ti a ini¸ tiat un studiu privind
gradul de preferint ¼a a cump ¼ar¼atorului în func¸ tie de unul din cele 5tipuri de
ambalaje propuse de designeri. Drept rezultat, au fost inregistrate urm ¼a-
toarele rezultate: 5cump ¼ar¼atori au preferat ambalajul nr. 1,15- ambalajul
nr.2;30- ambalajul nr. 3,40- ambalajul nr. 4¸ si10- ambalajul nr. 5.
Sunt oare aceste date su
ciente pentru a depista ambalajul cu ¸ sansele
cele mai mari de a
preferat de catre cump ¼ar¼atori? Argumenta¸ ti.
5.O companie specializat ¼a in construirea blocurilor de locuit, ce consta
din apartamente cu 1,2si3camere, a estimat c ¼a probabilit ¼a¸ tile subiective ,
privind cererea din partea unui client, în func¸ tie de tipul apartamentului
solicitat, sunt urmatoarele: 0:30pentru un apartament cu o camer ¼a,0:40
pentru un apartament cu 2camere ¸ si 0:25pentru un apartament cu 3camere.
a) Sunt oare valide aceste estimari ale probabilit ¼a¸ tilor mentionate mai
sus? De ce DA sau de ce NU?
b) Ce interventie asupra valorilor probabilit ¼a¸ tilor trebuie aplicate ca aces-
tea sa devin ¼a valide?
6.Speci
ca¸ ti care din exemplele descrise mai jos se refer ¼a la experi-
mentele aleatoare ce poseda proprietatea Regularit ¼a¸ tii Statistice si care nu:
a)Rezultatul unui meci concret in cadrul campionatului mondial la fotbal;
b)Rezultatul jocului cu o singura variant ¼a la Lotosport "6 din 49";
11
c)E¸ secul sau succesul unui businessman la sfâr¸ situl primului an de activ-
itate în cadrul unei afaceri cu caracter economic;
d)M¼arimea înc ¼al¸ t¼amintei solicitate de un cump ¼ar¼ator ales la întâmplare
dintre cei care au vizitat o sec¸ tie de înc ¼al¸ t¼aminte a unui Mall.
1.2. No¸ tiuni ¸ si rezultate auxiliare din Combinatoric ¼a
Analiza Combinatorie sau Combinatorica este acea disciplin ¼a matematic ¼a
în care sunt studiate metodele de num ¼arare a tuturor combin ¼arilor ce pot
alcatuite din elementele unei mul¸ timi
nite. Aceasta se bazeaz ¼a esen¸ tial pe
doua principii: Principiul adun ¼arii¸ siPrincipiul înmul¸ tirii expuse mai jos.
FieA¸ siBsunt dou ¼a mul¸ timi
nite, atunci distingem dou ¼a situa¸ tii, dup ¼a
cum cele dou ¼a mul¸ timi pot
disjuncte sau nu. Se veri
c ¼a cu u¸ surin¸ t ¼a c¼a are
loc
Principiul adun ¼arii (caz disjunct ) Dac ¼aA¸ siBsunt mul¸ timi
nite ¸ si
disjuncte, adic ¼aA\B=;,card (A) =n¸ sicard (B) =m, atunci
card (A[B) =n+m:
Corolar. Daca A1; A2; :::; A ksunt mul¸ timi
nite disjuncte dou ¼a câte
dou¼a, atunci
card (k[
i=1Ai) =kX
i=1card A i
Principiul adun ¼arii (caz general). Dac¼aA¸ siBsunt mul¸ timi
nite,
A; B
,card (A) =n,card (B) =m¸ sicard (A\B) =k, atunci card (A[
B) =n+m k.
Demonstra¸ tie (op¸ tional). Folosind propriet ¼a¸ tile opera¸ tiilor asupra mul¸ timilor,deducem
c¼a oricare ar
mul¸ timile A,B
avem:
A= (A\B)[(A\B),B= (A\B)[(A\B),
A[B= (A\B)[(A\B)[(A\B).
Conform principiului adun ¼arii în cazul disjunct ob¸ tinem:
cardA =card (A\B) +card (A\B);
card (B)=card (A\B) +card (A\B);
12
card (A[B) =card (A\B) +card (A\B) +card (A\B) +card (A\B)
card (A\B) =card (A) +card (B) card (A\B) =n+m k:
Remarc ¼a.Folosind induc¸ tia matematic ¼a putem deduce Principiul
adun ¼arii pentu un num ¼ar arbitrar kde mul¸ timi
nite A1; A2; :::; A k:
cardk[
i=1Ai=kX
i=1card A i X
1i<jkcard (Ai\Aj) +:::
+( 1)mX
1i1<i2<:::i mkcard (Ai1\Ai2\:::A im) +::
+( 1)kcard (A1\A2\:::A k)
Exemplul 1. Consider ¼am o grup ¼a de studen¸ ti despre care ¸ stim c ¼a20
de studen¸ ti cunosc limba englez ¼a,15limba francez ¼a,10limba german ¼a,5
limbile englez ¼a ¸ si francez ¼a,5limbile francez ¼a ¸ si german ¼a,4limbile englez ¼a
¸ si german ¼a ¸ si 1student limbile englez ¼a, francez ¼a ¸ si german ¼a. C⸠ti studen¸ ti
sunt în grup ¼a ?
Notând prin E,F¸ siGmul¸ timile de studen¸ ti care posed ¼a, respectiv, limba
englez ¼a, francez ¼a, german ¼a ¸ si ¸ tinând cont de datele problemei, deducem:
cardE = 20,cardF = 15,cardG = 10,card (E\F) = 5 ,card (E\G) = 4 ,
card (F\G) = 5 ,card (E\F\G) = 1 ¸ si atunci
card (E[F[G) =card (E) +card (F) +card (G) card (E\F)
card (E\G) card (F\G) +card (E\F\G) = 32 :
Principiul înmul¸ tirii (în limbajul produsului cartezian) .Dac¼aA
¸ siBsunt dou ¼a mul¸ timi
nite astfel încât card (A) =n¸ sicard (B) =m,
atunci
card (AB) =nm:
Demonstra¸ tie (optional). Este evident ca dac ¼a
A=fa1; a2; :::; a ng; B=fb1; b2; :::; b mg;
13
atunci mul¸ timile AB¸ sif(i; j) i=1; n,j=1; mgau acela¸ si num ¼ar de elemente.
Daca în sistemul cartezian de coordonate xOy vom plasa valorile i=1; npe axa Oxiar
valorile j=1; mpe axa Oy, atunci elementului (i; j)îi corespunde punctul (i; j)din
planul xOy , având, astfel, în planul xOy o re¸ tea de nmpuncte.
Pentru orice num ¼arkde mul¸ timi
nite, aplicând metoda induc¸ tiei matem-
atice, putem demonstra c ¼a are loc formula:
card (A1A2: : :An) =n
i=1cardA i.
Demonstra¸ tia ei se bazeaz ¼a esential pe faptul ca are loc egalitatea A1A2
: : :Ai= (A1A2: : :Ai 1)Ai,i=2; k;.
Principiul înmul¸ tirii în limbajul produsului cartezian poate
reformulat
în limbajul ac¸ tiunilor.
Principiul înmul¸ tirii (în limbajul ac¸ tiunilor) . Dac¼a o ac¸ tiune
poate
realizat ¼a înketape succesive astfel încât etapa ipoate
realizat ¼a în
nimodalit ¼a¸ ti,i=1; k,atunci aceast ¼a ac¸ tiune poate
realizat ¼a înn1n2: : :nk
modalit ¼a¸ ti.
Exemplul 2. Presupunem ca un safeu poate
deschis cunoscând un cod
de forma
i1i2i3i4i5i6;
unde ik=0;9,k=1;6. Câte coduri diferite de acest gen exist ¼a?
Mul¸ timea
a tuturor codurilor de acest gen coincide cu produsul cartezian
a mul¸ timiif0;1;2; :::;9gde6ori cu ea îns ¼a¸ si, adic ¼a
=
(i1; i2; :::; i 6)jik2f1;2; :::;9g; k=1;6
.
Acesta are, conform Principiului înmul¸ tirii în limbajul produsului cartezian, 106
elemente (coduri).
Dac¼a avem informa¸ tia ca acest cod este format din cifre diferite atunci
vom observa ca Principiul înmul¸ tirii în limbajul ac¸ tiunilor se aplic ¼a mai usor
decât Principiului înmul¸ tirii în limbajul produsului cartezian. Într-adev ¼ar, a
forma un cod din 6cifre diferite este echivalent cu a efectua o ac¸ tiune în 6
etape succesive, astfel încât prima etap ¼a poate
realizat ¼a în 10modalit ¼a¸ ti,
cea de a doua în 9modalit ¼a¸ ti,etc., ultima (a ¸ sasea) în 10 (6 1) = 5
modalit ¼a¸ ti. Conform Principiului înmul¸ tirii în limbajul ac¸ tiunilor , num ¼arul
tuturor codurilor este egal cu 1098765 =A6
10. Mai observam c ¼a
raspunsul din exemplul nostru se exprima prin formula aranjamentelor .
14
Exemplul 3. Presupunem ca avem o multime
format ¼a din nelemente.
Atunci numarul tuturor submul¸ timilor pe care le putem forma din ea este
egal cu
cardfAjA
g= 2n.
Într-adevar, pentru a forma o submul¸ time a lui
e ca ¸ si cum ai realiza o ac-
tiune in netape succesive: la etapa cu nr. idecidem ce facem cu elementul cu nr. i,
îl includem sau nu in mul¸ time, adic ¼a
ecare etapa, i=1; n;poate
realizata
in2modalit ¼a¸ ti. Apelând la Principiul înmul¸ tirii ob¸ tinem formula de mai sus.
De
ni¸ tia 1. FieAo mul¸ time format ¼a din nelemente diferite, A=fa1,
a2,,ang, atunci vom numi aranjament din nelemente luate câte korice
mul¸ time ordonat ¼a de forma (ai1; ai2;; aik)cu proprietatea c ¼ai16=i26=
6=ik,aij2A,ij=1; n,j=1; k. Evident, no¸ tiunea are sens pentru
k=1; n. Mul¸ timea tuturor aranjamentelor de nelemente luate câte kse
noteaz ¼a cuAk
n, adica
Ak
n=
(ai1; ai2;; aik)ji16=i26=6=ik; aij2A; ij=1; n,j=1; k
.
Cardinalul acestei mul¸ timi se noteaz ¼a cuAk
n¸ si este num ¼arul tuturor aran-
jamentelor din nelemente luate câte k.
Conform principiului înmul¸ tirii în limbajul ac¸ tiunilor, a construi un aran-
jament din nelemente luate câte keste echivalent cu a realiza o ac¸ tiune în k
etape succesive, astfel încât prima etap ¼a poate
realizat ¼a înnmodalit ¼a¸ ti, cea
de a doua în n 1modalit ¼a¸ ti, etc., ultima (etapa nr. k) înn (k 1) = n k+1
modalit ¼a¸ ti. Or, num ¼arul tuturor aranjamentelor din nelemente luate câte k
este egal cu
Ak
n=n(n 1)(n 2) (n k+ 1) =n!
(n k)!
Prin de
ni¸ tie, atunci când k=n;aranjamentul se nume¸ ste permutare de
nelemente . Deci mul¸ timea tutror permut ¼arilor de nelemente notat ¼a prin
Pncoincide cuAn
n, ceea ce înseamn ¼a ca num¼arul tutror permut ¼arilor de n
elemente Pneste egal cu Ak
n, adic ¼aPn=n!.
De
ni¸ tia 2. Orice submul¸ time de forma fai1; ai2;; aikg,i16=i26=
6=ik,aij2A,ij=1; n,j=1; k, se nume¸ ste combinare din nelemente
luate câte k. Evident no¸ tiunea are sens pentru k=1; n. Mul¸ timea tuturor
combin ¼arilor de nelemente luate câte kelemente o vom nota prin
Ck
n=
fai1; ai2;; aikgji16=i26=6=ik; aij2A; ij=1; n; j =1; k
.
15
Cardinalul acestei mul¸ timi îl vom nota cu Ck
n.
Observ ¼am ca dintr-o combinare din nelemente luate câte kputem forma
k!aranjamente din nelemente luate câte k. Or, a forma un aranjament din
nelemente luate câte keste echivalent cu a realiza o ac¸ tiune în dou ¼a etape
succesive:
1. alegem o combinare din nelemente luate câte k, etap ¼a pentru care
avemCk
nmodalit ¼a¸ ti de a o efectua;
2. din aceast ¼a combinare, form ¼am un aranjament din nelemente luate
câtek, etap ¼a care se poate realiza în Ak
nmodalit ¼a¸ ti.
Rezult ¼a c¼aAk
n=k!Ck
n;adic¼a
Ck
n=Ak
n
k!=n!
k!(n k)!:
Exemplul 3. Consider ¼am c¼a avem o mul¸ time de nelemente astfel încât
n1elemente sunt de tipul 1,n2elemente sunt de tipul 2,,nkelemente
sunt de tipul k,n1+n2+:::+nk=n. Alegem la întâmplare, unul câte
unul, toate elementele mul¸ timii ¸ si le aranj ¼am în ordinea extragerii lor. S ¼a se
calculeze cardinalul mul¸ timii
a tuturor rezultatelor posibile ce corespunzd
acestui experiment.
Pentru a alc ¼atui un rezultat posibil ca element a mul¸ timii
ce core-
spunzde acestui experiment este su
cient s ¼a realiz ¼am o ac¸ tiune în ketape
succesive.
Etapa 1: din nlocuri disponibile pentru a aranja elementele extrase,
alegem n1locuri pe care vom plasa elementele de tipul 1. Aceast ¼a ac¸ tiune o
putem realiza în Cn1nmodalit ¼a¸ ti;
Etapa 2: din cele n n1locuri, disponibile dupa etapa 1, alegem n2locuri
pe care vom plasa elementele de tipul 2. Aceast ¼a ac¸ tiune o putem realiza în
Cn2
n n1modalit ¼a¸ ti, etc.,
Etapa k: din cele n n1 n2 nk 1=nklocuri, disponibile dupa
etapa k, alegem nklocuri pe care vom plasa elementele de tipul k. Aceast ¼a
ac¸ tiune o putem realiza în Cnk
n n1 n2 nk 1=Cnknkmodalit ¼a¸ ti.
Conform principiului înmul¸ tirii, avem :
card (
) =Cn1
nCn2
n n1Cnk
n n1 n2 nk 1=n!
n1!n2!nk!.
16
Formula ob¸ tinut ¼a este, de fapt, formula de calcul pentru P(n1; n2; :::; n k);
num¼arul permut ¼arilor a nelemente, din care n1elemente sunt de tipul 1,n2
elemente sunt de tipul 2,,nkelemente sunt de tipul k,n1+n2+:::+nk=n:
P(n1; n2; :::; n k) =n!
n1!n2!nk!.
Ultima mai poarta denumirea de formula permutarilor cu repetare .
Exemplul 4. Presupunem c ¼a avem la dispozi¸ tie 10cartona¸ se marcate
cu litere astfel: M,M,A,A,A,T,T,I,E,C. Un copil se joac ¼a, ext ¼agând
la întâmplare câte un cartona¸ s ¸ si aranjându-l în ordinea extragerii. Care este
probabilitatea s ¼a ob¸ tinem cuvântul MATEMATICA?
Întrucât consider ¼am cartona¸ sele marcate la fel ca
ind de acela¸ si tip,
rezult ¼a c¼a avem 2cartona¸ se de tip M,3cartona¸ se de tip A,2cartona¸ se
de tip T,1cartona¸ s de tip I,1cartona¸ s de tip E¸ si1cartona¸ s de tip
C. Folosind formula dedus ¼a mai sus, cardinalul spa¸ tiului de evenimente
elementare asociat experimentului este
card (
) =10!
3!2!1!1!1!
Rezult ¼a c¼a probabilitatea ob¸ tinerii cuvântului MATEMATICA este egal ¼a cu
1
card (
)=3!2!1!1!1!
10!=1
25678910
Exemplul 5. Presupunem c ¼a dispunem de ncutii ¸ si rbile identice.
Plas¼am bilele, una câte una, la întâmplare, în una din cutii. S ¼a se calculeze
cardinalul multimii tuturor variantelor de plasare a bilelor în cutii.
Solu¸ tie. În cele ce urmeaz ¼a vom reprezenta ncutii prin intermediul a
n+ 1bare verticale, iar rbilel prin intermediul a rasteriscuri. De exemplu,
situa¸ tia când 5bile identice,
ind plasate in 3cutii astfel încât in prima
cutie nimeresc 0bile, in cutia a doua 2bile ¸ si în cutia a treia 3bile poate
reprezentat ¼a astfel:
jjjj ;
iar situa¸ tia când toate bilele nimeresc in prima cutie poate
reprezentat ¼a
astfel:
jjjj :
17
Or, pentru o astfel de reprezentare schematic ¼a avem nevoie de n+ 1locuri
pentru bare (pere¸ tii cutiilor) ¸ si rlocuri pentru asteriscuri (bile). Din exem-
plele aduse vedem c ¼a orice repartizare concret ¼a arbile identice în ncutii
este univoc determinata de pozitia a n 1bare (pere¸ ti) interioriare si a r
asteriscuri (bile) pe cele r+n 1locuri interioare, cele dou ¼a bare (pere¸ ti)
exterioare r ¼amânând de
ecare dat ¼a
xe. Drept consecin¸ t ¼a alegerea a n 1
locuri pentru bare (sau rlocuri pentru asteriscuri) din totalul de n+r 1
locuri, poate
f ¼acut¼a înCn 1
n+r 1=Cr
n+r 1modalit ¼a¸ ti,Cr
n+r 1,
nd cunoscut
ca num ¼arulcombinarilor din nelemente luate câte rcu repetare.
Exemplul 6. Intr-o cafenea sunt expuse 7tipuri de înghe¸ tat ¼a. O familie
format ¼a din 4persoane (p ¼arin¸ tii cu doi copii) a comandat la întâmplare câte
o înghe¸ tat ¼a pentru
ecare persoan ¼a. În câte modalit ¼a¸ ti poate
realizat ¼a
aceast ¼a comanda?
Solu¸ tie. Observ ¼am ca problema noastra se reduce la problema calcul ¼arii
num¼arului de combinari din n= 7 elemente luate câte r= 4 cu repetare,
tipul înghe¸ tatei
ind considerat, conven¸ tional, cutie, iar cele 4ingeh¸ tate-bile
identice. Prin urmare, comanda în cauz ¼a poate
realizat ¼a inC4
7+4 1= 210
modalit ¼a¸ ti.
Probleme propuse.
1.Un om de afaceri are de ales unul din traseele turistice pe care le
propun 2
rme turistice. Câte variante de alegere are acesta dac ¼a:
a)Prima
rm ¼a propune 10trasee turistice iar cea de a doua 20de
trasee, astfel încât in ofertele ambelor
rme nu se reg ¼ase¸ ste niciun traseu
comun;
b)Prima
rm ¼a propune 10trasee turistice iar cea de a doua 20de
trasee, astfel încât 5trasee se reg ¼asesc in ofertele ambelor
rme.
2.Produc ¼atorul de autoturisme Dacia Pite¸ sti produce mai multe versiuni
de model noul Dacia Sandero Stepway care depind de unul din 2tipuri de
alimentare combustibil (benzin ¼a/motorin ¼a),2variante de volum de motor,
2tipuri de transmisie (manual ¼a sau automat ¼a),3pachete dotari interioare
¸ si4culori vopsea pentru exterior. Cate versiuni autoturism in total trebuie
s¼a solicite de la producator un dealer autorizat care vinde acest model de
autoturism?
3.Într-un autoturism cu 5locuri, inclusiv locul ¸ soferului, se a¸ seaz ¼a5
persoane, din care numai 2 persoane posed ¼a permis de conducere,
ecare
ocupând la întâmplare unul singur loc. Cu ce este egal numarul total de
ocupare a celor 5locuri? Câte variante de ocupare a locurilor favorizeaz ¼a
18
evnimentul c ¼a la volanul autoturismului va nimeri o persoan ¼a care posed ¼a
permis de conducere.
4.Dintr-o popula¸ tie statistic ¼a, reprezentat ¼a de to¸ ti studen¸ tii care studi-
az¼a la Academia de Studii Economice a Moldovei, a fost efectuat un sondaj
bazat pe un e¸ santion de volum 500, ce vizeaza atitudinea studen¸ tilor fa¸ t ¼a
de fumat. Câte e¸ santioane diferite de volum 500sunt posibile în total daca
num¼arul total al studentilor este egal cu 11000 , prin e¸ santion in¸ telegând
orice submultime ordonat ¼a formata din 500de studen¸ ti ale¸ si la întâmplare
din aceasta popula¸ tie statistic ¼a? Câte submul¸ timi diferite de acest fel sunt
posibile daca:
a) E¸ santionarea/selec¸ tia este f ¼acut¼a f¼ar¼a repetare, adic ¼a studentul, odat ¼a
ind ales, este exclus din lista tuturor studentilor din care se face selectarea;
b) E¸ santionarea/selec¸ tia este f ¼acut¼a cu repetare, adic ¼a studentul ales
poate apare în e¸ santion în mod repetat,
ind l ¼asat de
ecare dat ¼a în list ¼a.
Care este num ¼arul total de e¸ santioane diferite de volum 500;posibile în
acest sondaj daca în e¸ santion sunt inclu¸ si nustuden¸ tii ale¸ si, ci raspunsurile
lor,DAsauNU, în func¸ tie de este sau nu fum ¼ator studentul chestionat. În
acest caz, depinde oare acest num ¼ar de tipul de e¸ santionare (cu sau fara
repetare)? Dar de num ¼arul Nde studenti care studiaz ¼a la ASEM, unde
bineîn¸ teles N500;in cazul selec¸ tiei cu repetare?
5.Registrul Auto Român (RAR) a ales, in calitate de tip de numerotare
a autoturismelor, o secven¸ t ¼a format ¼a din acronimul jude¸ tului sau a mun. Bu-
cure¸ sti, func¸ tie de viza de re¸ sedin¸ t ¼a sau adresa persoanei
zice sau juridice, ce
de¸ tine autoturismul, urmata de 2cifre ¸ si 3litere (f ¼ar¼a diacritice) al alfabetu-
lui latin. Care este num ¼arul maxim de autoturisme care pot
numerotate
astfel intr-un judet sau mun Bucure¸ sti? Dar numarul maxim de autoturisme
care pot
numerotate astfel in România, ¸ stiind c ¼a România este împ ¼ar¸ tit¼a
în 41 de jude¸ te.
6.La pizzeria Andy s au fost aduse pentru ziua curenta, ncomponente
alimentare pentru producerea Pizzei, mai pu¸ tin componente pentru turta te
pizza. Câte tipuri de Pizza pot
produse daca
ecare tip admite, cel putin,
una din aceste componente sau, cel mult, toate componentele aduse. Dar câte
tipuri de Pizza pot
produse pentru n= 6daca numarul de componente
folosite:
a)trebuie sa
e egal cu 3;
b)poate
, cel putin, egal cu 1¸ si, cel mult, egal cu 5.
7.Un reprezentant pentru vânz ¼ari din SUA urmeaz ¼a s¼a întreprind ¼a vizite
de lucru in ora¸ sele Omaha, Dallas, Wichita ¸ si Oklahoma Sity, între care exista
19
leg¼atur¼a direct ¼a cu avionul. Presupunem c ¼a ordinea vizit ¼arii lor este aleas ¼a
la întâmplare. Câte rezultate posibile corespund acestui experiment aleator?
8.În condi¸ tiile problemei anterioare reprezentantul de vânz ¼ari are sarcina
sa aleag ¼a la întâmplare si s ¼a viziteze doar trei din ora¸ sele enumerate, nu
conteaz ¼a în ce ordine. Câte rezultate posibile corespund acestui experiment
aleator?
10. Un grup de 8participan¸ tii la o Conferin¸ t ¼a Interna¸ tional ¼a, printre
care Ionescu ¸ si Petrescu, au fost caza¸ ti ¸ si repartiza¸ ti de c ¼atre organizatori, la
întâmplare, intr-un hotel particular ce are numai 4camere: una cu 3locuri,
dou¼a cu 2locuri si una cu un singur loc. Câte rezultate posibile sunt în acest
experiment aleator? Dar câte dintre aceste rezultate favorizeaz ¼a faptul ca
Ionescu ¸ si Petrescu vor nimeri in camera de 3 locuri?
11.Sec¸ tia Literatur ¼a Tehnica a Bibliotecii Na¸ tionale "Vasile Alecsandri"
din Chisin ¼au are c ¼ar¸ ti ce ¸ tin de domeniile Matematic ¼a, Fizic ¼a, Chimie, etc.,
în total 16 domenii ale ¸ Stiin¸ tei. Experimentul rezid ¼a în alegerea la întâmplare
a4comenzi de carte pentru a vedea cum se repartizeaz ¼a acestea pe domenii.
Câte rezultate posibile sunt în acest experiment aleator? Câte din aceste
rezultate favorizeaz ¼a faptul ca toate comenzile se refer ¼a la domenii de ¸ Stiin¸ ta
diferite? Dar câte din aceste rezultate favorizeaz ¼a faptul ca toate comenzile
se refer ¼a la unul si acela¸ si domeniu de ¸ Stiin¸ ta diferite?
1.3. Spa¸ tii de evenimente elementare, evenimente aleatoare ¸ si
opera¸ tii asupra lor, de
ni¸ tia axiomatic ¼a a probabilit ¼a¸ tii
A modela matematic un experiment aleator înseamn ¼a, de fapt, a descrie
matematic (a)mul¸ timea de rezultate posibile în acest experiment, (b)eveni-
mentelor aleatoare asociate acestui experiment ¸ si (c)probabilitatea , adic ¼a
aplica¸ tia sau regula conform careia
ec ¼arui eveniment aleator îi punem în
coresponden¸ t ¼a un num ¼ar ce caracterizeaza ¸ sansele (gradul) lui de realizare.
Vom începe cu dezideratul (a):
Spa¸ tii de evenimente elementare
Chiar daca intr-un experiment aleator nu putem anticipa cu certitudine
care rezultat anume se va produce, este
resc s ¼a presupunem ca multimea
tuturor rezultatelor posibile poate
descris ¼a cu exactitate. Aducem, drept
con
rmare, câteva exemple.
20
Exemplul 1. ExperimentulEconst ¼a în aruncarea unei monede o singur ¼a
dat¼a. Mul¸ timea de rezultate posibile este dat ¼a de
=fS; Bg=f0;1g=f!1; !2g;
unde prin S;0sau!1se subîn¸ telege "stema" iar prin B;1sau!2se sub-
în¸ telege "banul".
Exemplul 2. ExperimentulEconst ¼a în aruncarea unei monede de trei
ori succesiv. Mul¸ timea de rezultate posibile este dat ¼a de
=fSSS; SSB; SBS; SBB; BSS; BSB; BBS; BBB g:
Exemplul 3. ExperimentulEconst ¼a în aruncarea zarului o singur ¼a dat ¼a.
Mul¸ timea de rezultate posibile este dat ¼a de
=f1;2;3;4;5;6g=fiji=1;6g=f!iji=1;6g:
Exemplul 4. ExperimentulEconst ¼a în aruncarea unei monede pân ¼a la
prima apari¸ tie a stemei. Mul¸ timea de rezultate posibile este dat ¼a de
=fS; BS; BBS; BBBS; : : : ; BB::B|{z}
n 1oriS; :::g
care este o mul¸ time in
nit ¼a num ¼arabil ¼a, unde prin BB::B|{z}
n 1oriSse subîn¸ telege c ¼a
prima apari¸ tie a "stemei" este precedata de apari¸ tia "banului" de n 1ori
succesiv, n1.
Exemplul 5. ExperimentulEconst ¼a în alegerea unui punct la în-
tâmplare pe segmentul [0;1]. Mul¸ timea de rezultate posibile este dat ¼a de
mul¸ timea in
nit ¼a nenum ¼arabil ¼a
=fxjx2[0;1]g;
unde xeste coordonata punctului ales.
Exemplul 6. ExperimentulEconst ¼a în înregistrarea greut ¼a¸ tii unui stu-
dent ales la întâmplare de la ASEM. Mul¸ timea de rezultate posibile este dat ¼a
de
=fxjx > 0g:
Remarca 1. Deoarece multimile
nite sau in
nite, cel mult, num ¼arabile
se mai numesc mul¸ timi discrete, spunem c ¼a exemplele 1-4 se refer ¼a la cazul
21
discret , în caz contrar, cum sunt exemplele 5-6, spunem c ¼a se refer ¼a la cazul
continuu . Cu toate acestea exemplele invocate ne conduc la urm ¼atoarea
de
ni¸ tie valabil ¼a încaz general .
De
ni¸ tia 1. Vom numi spa¸ tiu de evenimente elementare orice mul¸ time
nevid ¼a
6=;, ale c ¼arei elemente reprezint ¼a (descriu) toate rezultatele posibile
într-un experiment aleator. Fiecare element al mul¸ timii
(care corespunde
unui singur rezultat posibil) se nume¸ ste eveniment elementar .
Remarca 2. De
ni¸ tia nu exclude situa¸ tia, când unuia ¸ si aceluia¸ si ex-
periment aleator îi putem asocia, în dependen¸ t ¼a de scopul urm ¼arit, spa¸ tii
de evenimente elementare diferite. Astfel, în exemplul 2 dac ¼a ne intereseaz ¼a
numai num ¼arul de steme ap ¼arute la aruncarea monedei de trei ori, atunci în
calitate de spa¸ tiu de evenimente elementare putem lua
=f0;1;2;3g:
Acum suntem preg ¼ati¸ ti sa r ¼aspundem dezideratului (b).
Evenimente aleatoare ¸ si opera¸ tii asupra lor
Pentru a introduce no¸ tiunea matematica cu ajutorul c ¼areia s ¼a descriem
evenimentele aleatoare vom pleca de la exemplul legat de aruncarea zarului o
singur ¼a dat ¼a pentru care spa¸ tiul corespunz ¼ator de evenimente elementare este
=f1;2;3;4;5;6g. Consider ¼am urm ¼atoarele evenimente aleatoare pe care
le vom nota, aici ¸ si în continuare, cu primele majuscule ale alfabetului latin:
A=fnum¼arul de puncte va
par g;B=fnum¼arul de puncte va
impar g;
C=fnum¼arul de puncte va
mai mic sau egal cu 4g;D=fnum¼arul de
puncte va
mai mic decât 13g;E=fnum¼arul de puncte va
mai mare
decât 13g;F=fnum¼arul de puncte va
divizibil cu 3g. Observam c ¼a
putem stabili urm ¼atoarea coresponden¸ t ¼a biunivoc ¼a:A !f 2;4;6g;B !
f1;3;5g;C !f 1;2;3;4g;D !f 1;2;3;4;5;6g=
;E !; ;F !
f3;6g.
În concluzie, dac ¼a experimentului aleator îi corespunde un spa¸ tiu discret
de evenimente elementare
, atunci evenimentele aleatoare pot
descrise ca
ind submul¸ timi ale lui
. A¸ sadar, având un spa¸ tiu de evenimente elementare
, exemplul nostru arata ca putem, cel pu¸ tin in caz discret, formula
De
ni¸ tia 2. Vom numi eveniment aleator (în caz discret) orice sub-
mul¸ time A
. În particular,
se va numi evenimentul sigur , iar;se
va numi eveniment imposibil . Spunem c ¼a evenimentul elementar !2
fa-
vorizeaz ¼a apari¸ tia evenimentului aleator Adac¼a ¸ si numai dac ¼a!2A.
Astfel, in exemplul de mai sus, evenimentul D=
este ¸ si se nume¸ s
eveniment sigur, iar evenimentul E- eveniment imposibil.
22
Or, opera¸ tiile care pot
aplicate asupra mul¸ timilor pot
aplicate ¸ si
asupra evenimentelor aleatoare.
De
ni¸ tia 3. Sum¼a (reuniune) a dou ¼a evenimente aleatoare A; B
vom numi evenimentul
C=A[B=f!2
j!2Asau!2Bg;
adic¼aCse produce dac ¼asause produce A,sause produce B,sause produc
A¸ siBconcomitent . Cu alte cuvinte, suma evenimentelor A¸ siBse pro-
duce atunci ¸ si numai atunci când se produce cel pu¸ tin unul din aceste dou ¼a
evenimente.
În exemplul nostru: A[F=f2;3;4;6g,A[B=
.
De
ni¸ tia 4. Produs (intersec¸ tie) a dou ¼a evenimente aleatoare A; B
vom numi evenimentul
C=A\B=f!2
j!2A¸ si!2Bg;
adic¼aCse produce dac ¼a se produce ¸ siA¸ siB. Cu alte cuvinte evenimentul
produs al evenimentelor A¸ siBare loc atunci ¸ si numai atunci când aceste
dou¼a evenimente se produc concomitent. Produsul a dou ¼a evenimente A¸ si
Bse mai noteaz ¼aABsauAB.
În exemplul nostru: A\F=f6g,A\B=;.
De
ni¸ tia 5. Pentru orice A
vom numi eveniment "non- A"sau
eveniment opus evenimentului Acomplementara acestei submul¸ timi în raport
cu
, adic ¼a evenimentul notat cu AsauAc, unde
Ac=f!2
j! =2Ag
Or, evenimentul Ase produce atunci ¸ si numai atunci când nuse produce
evenimentul A.
În exemplul nostru: A=B,B=A,D=E,E=D.
De
ni¸ tia 6. Dac¼a avem dou ¼a evenimente aleatoare A; B
spunem
c¼a evenimentul Aimplic ¼aevenimentul Bdac¼a ¸ si numai dac ¼aAB. Altfel
spus, Aimplic ¼aBatunci ¸ si numai atunci când din faptul c ¼a s-a produs
evenimentul Arezult ¼a c¼a s-a produs ¸ si evenimentul B. Dac ¼aAB¸ si
BA, atunci spunem c ¼aA=B(Aesteechivalent cuB).
Cum opera¸ tiile asupa evenimentelor aleatoare sunt, de fapt, opera¸ tii asupra
mul¸ timilor din
putem formula
23
Propozi¸ tia 1. Opera¸ tiile asupra evenimentelor aleatoare au urm ¼atoarele
propriet ¼a¸ ti:A[A=A;A[
=
;A\A=A;A\
=
;A[;=A;
A\;=;;A\(B[C) = (A\B)[(A\C);A[B=A\B;A\B=A[B.
Remarca 3. Ultimele dou ¼a propriet ¼a¸ ti se numesc formulele de dualitate
ale lui De Morgan. Prin analogie, opera¸ tiile de sum¼a¸ siprodus pot
extinse
asupra evenimentelor Ai
,i= 1,2,: : : ;adic¼a putem opera cu evenimentele
:k[
n=1An,1[
n=1An,k\
n=1An,1\
n=1An, unde k2.
De
ni¸ tia 7. Dac¼aA; B
sunt astfel încât A\B=;, adic ¼aA; B
nu se pot produce concomitent, atunci spunem c ¼aA¸ siBsunt evenimente
incompatibile (sau disjuncte ).
Se veri
c ¼a cu u¸ surin¸ t ¼a c¼a în caz discret familia F=fAjAeste eveni-
ment aleator legat de experimentul c ¼aruia îi corespunde
gcoincide cu fa-
milia tuturor submultimilor spa¸ tiului de evenimente elementare
, adica
F=fAjA
g¸ si aceasta posed ¼a urm ¼atoarele propriet ¼a¸ ti:
1. Dac ¼aAF, atunci A2F;
2. Dac ¼aA1; A2; :::; A n; :::2F, atunci1[
i=1Ai2F.
De
ni¸ tia 8. FamiliaFde submul¸ timi ale lui
care posed ¼a propriet ¼a¸ tile
de mai sus se nume¸ ste câmp (borelian) de evenimente. Elementele lui Fse
numesc evenimente aleatoare, iar spa¸ tiul de evenimente elementare
înzes-
trat cu un câmp de evenimente Fse nume¸ ste spa¸ tiu m ¼asurabil ¸ si se noteaz ¼a
prin (
;F).
Aceast ¼a din urm ¼a de
nitie a no¸ tiunii de eveniment aleator este acoper-
itoare pentru ambele cazuri, discret si continuu, adica este valabil ¼a în caz
general. Mai mult, are loc urm ¼atoarea
Propozi¸ tie 2. Dac¼a(
;F)este un spa¸ tiu m ¼asurabil atunci au loc ur-
m¼atoarele propriet ¼a¸ ti:
a)Evenimentele sigur ¸ si imposibil fac parte si ele din câmpul de eveni-
mente aleatoare, adic ¼a
2F,?2F;
b)Dac¼aA1; A2; :::; A n; :::2F,atunci ¸ si1\
i=1Ai2F.
Cu alte cuvinte, dac ¼a familiaFde submul¸ timi ale lui
este un câmp
(borelian) de evenimente, atunci garantat c ¼a evenimente aleatoare vor
mul¸ timile
¸ si?cât si complementarele tuturor submul¸ timilor din
care fac
parte dinF, dar si intersectia (produsul) tuturor submultimilor A1,A2,…,An,…
din
ce fac parte dinF, nu numai reuniunea (suma) lor. Lucrul acesta este
24
su
cient pentru a modela matematic, toate situatiile care prezint ¼a interes
din punct de vedere practic in legatura cu evenimentele aleatoare pentru
care dorim sa de
nim no¸ tiunea de probabilitate.
Acum, pentru a întregi modelarea matematica a experimentelor aleatoare,
avem la dispozitie toate datele pentru a de
ni no¸ tiunea general ¼a de proba-
bilitate, r ¼aspunzând, astfel, la dezideratul (c).
Pentru a da o de
nitie cat mai general ¼a, conform ilustrului matematician
rus A. N. Kolmogorov, p ¼arintele teoriei moderne a probabilit ¼a¸ tilor, se im-
pune o abordare axiomatic ¼a. De notat ca abordarea axiomatica la construirea
unei teorii nu este straina stiintelor economice. Astfel, Teoria Consumului se
bazeaza pe un set de supozitii comportamentale ale consumatorilor, supozitii
considerate ca
ind adev ¼aruri axiomatice. În cazul nostru, deoarece Proba-
bilitatea este privit ¼a ca masur ¼a a gradului de realizare a oricarui eveniment
aleator asociat unui experiment aleator, este
resc sa o privim ca pe o func¸ tie
de
nit ¼a pe multimea/familia tuturor evenimentelor aleatore legate de acest
experiment, adica pe multimea Fde
nit ¼a mai sus.
A¸ sadar,
e (
;F)un spa¸ tiu masurabil, aunci putem formula
De
ni¸ tia axiomatic ¼a a probabilit ¼a¸ tii. Vom numi probabilitate orice
aplica¸ tie (func¸ tie) P:F!Rdac¼a aceasta satisface
Axioma 1. Pentru orice eveniment A2Fprobabilitatea lui P(A)0;
Axioma 2. Probabilitaea evenimentului sigur P(
) = 1 ;
Axioma 3. Probabilitatea producerii a cel putin unuia din evenimentele
A1,A2, …,An,… dinF, incompatibile (disjuncte) dou ¼a câte dou ¼a,coincide
cu suma probabilit ¼a¸ tilor acestor evenimente, adica P(A1[A2[…[An[…) =
P(A1) +P(A2)+…P(An)+…, pentru8fAngn12F,Ai\Aj=?,i6=j,
i,j1.
În concluzie, probabilitatea P
ind o aplica¸ tie (func¸ tie) de
nit ¼a pe familia
Fa tuturor evenimentelor aleatoare asociate experimentului dat, este
resc
sa numim probabilitate a evenimentului Avaloarea P(A)a acestei func¸ tii.
Remarca 4. Dac¼a confrunt ¼am propriet ¼a¸ tile frecventilor relative cu De
ni¸ tia
Axiomatic ¼a a Probabilit ¼a¸ tii deducem c ¼a aceasta din urm ¼a este acoperitoare,
de fapt, pentru propriet ¼a¸ tile Probabilit ¼a¸ tii Frecven¸ tiale (Statistice).
De
ni¸ tia 9. Vom numi câmp de probabilitate sauspa¸ tiu de probabilitate
orice triplet de forma (
,F,P), unde (
,F)este un spa¸ tiu m ¼asurabil asociat
unui experiment aleator iar Peste o probabilitate de
nit ¼a peF.
Notiunea de câmp de probabilitate poate servi in calitate de model matem-
atic (model probabilist) care descrie comportamentul probabilist al eveni-
mentelor aleatoare asociate experimentului aleator în cauz ¼a. Drept con
r-
25
mare putem aduce urm ¼atoarele exemple.
Exemplul 7. Consider ¼am experimentul aleator Ece const ¼a în aruncarea
unui zar "perfect" o singura data. Atunci spatiul de evenimente elementare
corespunz ¼ator
=f1;2;3;4;5;6gdescrie toate rezultatele posibile iar familia
F=fAjA
gale tuturor submul¸ timilor din
descrie toate evenimentele
aleatoare asociate acestui experiment. Observam c ¼a aplica¸ tia P:F!Rcon-
form formulei
P(A) =Card A
Card
=1
6Card A;
este o probabilitate în sensul de
ni¸ tiei de mai sus. Prin urmare tripletul
(
,F,P)este un câmp de probabilitate ce descrie comportamentul prob-
abilist al oricarui eveniment aleator asociat experimentului E. De exem-
plu probabilitatea evenimentului A=fla aruncarea unui zar "perfect "o
singur a dat a va apare un num ar par de punctegeste egala cu P(A) =1
6Card
f2;4;6g=3
6=1
2.
Remarca 5. Finalmente, veri
carea faptului ca modelul probabilist (
,
F,P)descrie adecvat experimentukl aleator Ese poate face pe care ex-
perimental ¼a. Conform propriet ¼a¸ tii regularit ¼a¸ tii statistice, dac ¼a , odat ¼a cu
cre¸ sterea lui n, pentru orice A2F, frecven¸ tile relative fn(A)'P(A);atunci
ipoteza ca modelul in cauza este adecvat experimentului Edevine credibil ¼a,
dar validarea modelului presupune aplicarea unor metode avansate ce ¸ tin de
Statistica Matematica.
Exemplul 8. Consider ¼am urm ¼atorul joc de noroc: Ion si Petru arunc ¼a
pe rând o moned ¼a "perfecta", jocul terminandu-se deîndata ce unul din
juc¼atori va înregistra aparitia stemei. Primul arunca moneda Ion. Ne in-
tereseaza, de exemplu, cine are ¸ sanse mai mari de a c⸠stiga jocul. Con-
form Exemplului 3, spatiul de evenimente elementare
=fS,BS,BBS ,
BBBS ,. . . ,BB::B|{z}
n 1oriS,…g=f!1,!2,…,!n,…g. Se observ ¼a cu u¸ surin¸ t ¼a ca orice
eveniment aleator asociat acestui joc este submultime a lui
. Prin urmare
F=fAjA
g. De exemplu evenimentele fjocul va fi c ^astigat de Iong=
f!1; !3; :::; ! 2k+1; :::g,fjocul va fi c ^astigat de Petrug=f!2; !4; :::; ! 2k; :::g.
În continuare, asociem
ec ¼arui eveniment elementar probabilitatea Pf!ng=
1
2n,n= 1,2,… iar
ec ¼arui eveniment A2F – probabilitatea calculat ¼a dup ¼a
formula P(A) =P
n:!n2APf!ng. Evident, P(A)0. Axioma 1 a probabil-
26
it¼a¸ tii este, astfel, îndeplinit ¼a. Este îndeplinit ¼a ¸ si Axioma 2 deoarece
P(
) =X
n11
2n=1
2(1 +1
2+1
22+:::+1
2n+::) =1
21
1 1
2= 1:
Cum pentru8fAngn12F,Ai\Aj=?,i6=javem ca
P(A1[A2[:::[An[:::) =X
n:!n2A1[A2[:::[An[:::P(!n) =
X
n:!n2A1P(!n) +X
n:!n2A2P(!n) +:::=P(A1) +P(A2) +:::
rezulta ca si Axioma 3 este valabil ¼a. Prin urmare func¸ tia P:F!Rde
nit ¼a
mai sus este o probabilitate, iar (
,F,P)un model de probabilitate pentru
jocul de noroc descris anterior. Astfel,
Pfjocul va fi c ^astigat de Iong=Pf!1; !3; :::; ! 2k+1; :::g=
1
2+1
23+1
25+:::=1
21
1 1
22=2
3:
În mod similar a ¼am c ¼aPfjocul va fi c ^astigat de Petrug=1
3. Cu alte
cuvinte, Ion are de 2ori mai multe ¸ sanse de a c⸠stiga jocul decât Petru.
Exemplul 9. Consider ¼am experimentul aleator ce const ¼a în
xarea du-
ratei xde via¸ t ¼a, masurat ¼a în ore, a memoriei hard a unui laptop marca
HP. Evident, spatiul de evenimente elementare corespunz ¼ator este mul¸ timea
=fxjx0g. Lu ¼am în calitate de Forice familie de submul¸ timi ale
lui
daca aceasta este un câmp borelian de evenimente, adic ¼aFcontine
toate intervalele din
de forma (a; b],[a; b),(a; b), reuniunile, intersectiile si
complementarele unor astfel de intervale. Aceasta ne permite sa a
rm ¼am ca
aplicatia P:F!Rdupa formula P(A) =R
A10 6e 10 6xdx, privit ¼a ca func¸ tie
de multimi dinF, este o probabilitate. Intr-adev ¼ar,P(A)0, deoarece
pentru orice x2A
func¸ tia de sub integral ¼a este nenegativ ¼a, iar
P(
) =Z
10 6e 10 6xdx=+1Z
010 6e 10 6xdx= (1 e 10 6x)j+1
0= 1;
27
¸ si din propriet ¼a¸ tile integralei rezult ¼a c¼a
P(A1[A2[:::[An[:::) =Z
A1[A2[:::[An[:::10 6e 10 6xdx=
Z
A110 6e 10 6xdx+Z
A210 6e 10 6xdx+:::+Z
An10 6e 10 6xdx+:::=
P(A1)+P(A2)+:::P(An)+:::; pentru8fAngn12F; Ai\Aj=?; i6=j; i; j1:
Aceasta inseamn ¼a caPveri
ca Axiomele 1-3 din de
niia probabilit ¼a¸ tii. Or,
(
,F,P)poate
privit ca un model matematic ce descrie comportamentul
probabilist al duratei vie¸ tii memoriei hard a unui laptop marca HP. Astfel,
probabilitattea c ¼a acesta va avea o durat ¼a de via¸ t ¼a mai mare decât Teste
egala cu
Z
(T;+1)10 6e 10 6xdx=+1Z
T10 6e 10 6xdx= (1 e 10 6x)j+1
T=e 10 6T.
Astfel, pentru T= 43800 ore, adica aproximativ 5ani, aceasta probabilitate
este egala cu e 10 643800= 0:957 15 , ceea ce denot ¼a o
abilitate sporit ¼a
pentru memoria hard a unui calculator marca HP. În ce m ¼asur¼a modelul
matematic descris mai sus corespunde realit ¼a¸ tii aceasta esta o problem ¼a ce
¸ tine de Statistica Matematic ¼a.
Probleme propuse.
1.Pentru
ecare dintre experimentele aleatoare de mai jos descrie¸ ti spa¸ tiul
de evenimente elementare corespunz ¼ator.
a.La încheerea activit ¼a¸ tii zilnice, contabilitatea centrului comercial
UNIC duce eviden¸ ta numarului de tranzac¸ tii in numerar ai primilor 100 de
clien¸ ti.
b.Biroul Na¸ tional de meteorologie inregistreaz ¼a zilnic datele temper-
aturii pentru
ecare localitate. Interes prezint ¼a, de exemplu, perechea de
date ce const ¼a din temperatura minim ¼a si temperatura maxim ¼a exprimat ¼a
Celsius.
c.Compania Rompetrol asigur ¼a toate sta¸ tiile sale de alimentare cu com-
bustibil inclusiv cu benzin ¼a fara plumb. Interes prezinta cantitatea total ¼a de
benzin ¼a f¼ar¼a plumb solicitat ¼a de toate sta¸ tiile de alimentare Rompetrol din
Republica Moldova.
28
d.Managerul de birou al unei companii specializate in servicii de copiere
contorizeaz ¼a num ¼arul de copii pe care le produce o ma¸ sin ¼a de copiat inainte
de a suferi un blocaj de hârtie. Interes prezint ¼a anume acest num ¼ar de copii.
2.Pentru
ecare din exemplele aduse in problema anterioar ¼a sa se
speci
ce tipul de mul¸ time a rezultatelor posibile (multime
nit ¼a, in
nit ¼a
num¼arabil ¼a-caz discret, in
nit ¼a nenum ¼arabil ¼a-caz continuu). Argumenta¸ ti
r¼aspunsurile.
3.Pentru
ecare din exemplele a-d, aduse in problema 1, sa se descrie
multimea (famiia) Fde evenimente aleatoare (câmpul borelian de eveni-
mente) pe care-l putem asocia (în mod
resc) experimentului corespunz ¼ator.
4.O
rm ¼a din Chi¸ sin ¼au specializat ¼a în vânzarea autoturismelor noi
japoneze are urm ¼atoarea echip ¼a de comercian¸ ti:
PrenumeExperien¸ t ¼a
de vânzareVârsta Studiile C ¼as¼atorit
Ion 4 34 liceale Da
Doina 12 31 <liceale Nu
Mihai 21 56 superioare Da
Gheorghe 9 42 liceale Da
Elena 3 24 superioare Nu
Mircea 7 29 liceale Nu
Raluca 12 44 superioare Da
Nicolae 2 25 <liceale Nu
Un client venit sa discute procurarea unui autoturism nou alege la intâm-
plare un comerciant. Alegând metoda potrivita de asociere a probabilit ¼atilor,
calcula¸ ti probabilit ¼a¸ tile urm ¼atoarelor evenimente:
a.Va
aleas ¼a o persoana de sex feminin; b.Va
ales un barbat cu
vârsta sub 40 de ani; c.Va
aleas ¼a o persoan ¼a cu o vechime de activitate
în domeniul vânz ¼arilor de cel pu¸ tin 10 ani; d.Va
aleas ¼a o persoan ¼a cu
studii superioare ¸ si c ¼as¼atorit ¼a;e.Va
aleas ¼a o persoan ¼a de sex feminin ,
cu studii liceale ¸ si cu experien¸ t ¼a de activitate în domeniul vânz ¼arilor de cel
pu¸ tin 5 ani; f.Va
aleas ¼a o persoan ¼a cu o vechime de activitate în domeniul
vânz¼arilor de cel pu¸ tin 2 ani ¸ si vârsta de cel pu¸ tin 21 de ani; g.Va
aleas ¼a
o persoan ¼a cu vârsta sub 60 de ani; h.Va
aleas ¼a o persoan ¼a cu vârsta su
24 de ani.
5.Pentru
ecare din urm ¼atoarele exemple de triplete de forma (
;F; P)
determina¸ ti dac ¼a acesta reprezint ¼a un model probabilist (câmp de probabil-
itate).
29
a) Spatiul de evenimente elementare
=f1;2;3;4;5;6;7;8g, câmpul
de evenimente aleatoare F=fA:A
g, aplica¸ tia (func¸ tia) Pde
nit ¼a
peFeste dat ¼a de formula P(A) =X
k2
:k2Ak
36,8A2F; b)
= [0 ;+1),
F=fA:Aeste un subinterval a lui
sau submultime a lui
ca reuniune,
intersectie sau complementara unor astfel de intervale g,P(A) =Z
Ae xdx,
8A2F ; c)
=f1,2, …, n, …g,F=fA:A
g,P(A) =X
k2
:k2A
k2
105,8A2F; d)
= (0 ;1),F=fA:Aeste un subinterval a lui
sau
submultime a lui
ca reuniune, intersectie sau complementara unor astfel
de intervaleg,P(A) =Z
A12x(1 x)2dx,8A2F.
1.4. Propriet ¼a¸ tile probabilit ¼a¸ tii drept consecint ¼a din de
ni¸ tia
axiomatic ¼a a probabilit ¼a¸ tii
Fie(
,F,P)un spatiu de probabilitate. Din de
ni¸ tia axiomatic ¼a a
probabilit ¼a¸ tiiP, privit ¼a ca func¸ tie de submul¸ timi (evenimente) ale spa¸ ti-
ului de evenimente elementare, rezulta un set de propriet ¼a¸ ti generale ale
probabilit ¼a¸ tii ce simpli
ca procesul de calcul ale unor probabilit ¼a¸ ti ale unor
evenimente aleatoare ce se exprima prin alte evenimente aleatoare ale caror
probailitati sunt cunoscute sau se identi
c ¼a mai u¸ sor. Le vom centraliza in
urm¼atoarea
Propozi¸ tie ( Propriet ¼a¸ tile probabilit ¼a¸ tii).Orice probabilitate Pde
nit ¼a
pe campul de eveneminte aleatoare Fposed ¼a urm ¼atoarele propriet ¼a¸ ti:
a)0P(A)1pentru orice eveniment AdinF;
b)P(A) = 1 P(A)sau în form ¼a echivalent ¼a,P(A) = 1 P(A), pentru
orice eveniment AdinF;
c) Probabilitatea evenimentului imposibil este egala cu zero, cu alte cu-
vinte P(?) = 0 ;
d)(Formula adun ¼arii probabilit ¼a¸ tilor ).Dac¼aA¸ siBsunt dou ¼a
evenimente aleatoare legate de unul ¸ si acela¸ si câmp de evenimente F, atunci
P(A[B) =P(A) +P(B) P(A\B)
sau, în caz general, dac ¼aA1; A2; :::; A nsunt nevenimente aleatoare legate de
unul ¸ si acela¸ si câmp de evenimente F, atunci
30
P(n[
i=1Ai) =nX
i=1P(Ai) X
1i<jnP(Ai\Aj) +:::
+( 1)mX
1i1<i2<:::i mncard (Ai1\Ai2\:::A im) +::
+( 1)ncard (A1\A2\:::A n)
e) Dac ¼aA¸ siBsunt evenimente din F¸ siAimplic ¼aB, adic ¼aAB,
atunci P(A)P(B)¸ siP(BrA) =P(B) P(A);
d) Dac ¼aA¸ siBsunt evenimente din F, atunci
P(AB)P(A)P(A[B)P(A) +P(B);
P(AB)P(B)P(A[B)P(A) +P(B):
Urm¼atoarea teorem ¼a vine sa con
rme faptul no¸ tiunea de Probabili-
tate Clasica studiat ¼a la nivel de liceu este un caz particular al no¸ tiunii de
Probabilitate Axiomatic ¼a.
Teorem ¼a (Probabilitate Clasic ¼a).Daca spatiul de evenimente ele-
mentare
corespunz ¼ator unui experiment aleator Econst ¼a din nrezultate
posibile ce au acelea¸ si ¸ sanse de realizare (adic ¼a sunt echiprobabile) iar Aeste
un eveniment aleator ce contine kelemente, atunci probabilitatea evenimen-
tului dat ce se calculeaz ¼a dup ¼a formula probabilit ¼a¸ tii clasice
P(A) =card A
card
=k
n
este o probabilitate ¸ si în sens axiomatic.
Demonstra¸ tie. Conform condi¸ tiilor teoremei, spatiul corespunz ¼ator de
probabilitate poate
descris ca
ind tripletul (
,F,P), unde
=f!1,
!2, …. , !ng, câmpul de evenimente
iind F=fAjA
g. Atunci
putem ar ¼ata c¼a aplica¸ tia P:F !R, unde P(A)se calculeaz ¼a dup ¼a formula
clasic ¼a a probabilit ¼a¸ tii satisface axiomelor 1-3 ale probabilit ¼a¸ tii. Într-adev ¼ar,
valabilitatea Axiomei 1 este evident ¼a. Deoarece evenimente elementare sunt
echiprobabile, adic ¼aPf!1g=…=Pf!ng= 1=n, rezult ¼a c¼a
P(
) = 1 = P(n[
i=1f!ig) =P(!1) +P(!2) +:::P(!n) =n1
n= 1;
31
ceea ce con
rma valabilitatea Axiomei 2.
Pentru a ar ¼ata c ¼a este valabil ¼a Axioma 3, deoarece cardF= 2n, ne vom
referi la orice multime
nita de evenimente A1,A2, …,AkdinF, disjuncte
dou¼a câte dou ¼a. Cum
k[
j=1Aj=
!2
!2k[
j=1Aj
=k[
j=1f!2
j!2Ajg,Ai\Aj=;,8i6=j; i; j =1; k:
conform Principiului Adun ¼arii (caz disjunct), avem egaliatatea Card (k[
j=1Aj) =
kP
j=1CardA j. Prin urmare
P(k[
j=1Ajg) =Card (k[
j=1Aj)
Card
=kP
j=1CardA j
Card
=kX
j=1P(Aj).
Remarc ¼a.Teorema de mai sus arat ¼a c¼a de
ni¸ tia Axiomatic ¼a a Proba-
bilit¼a¸ tii este acoperitoare pentru De
ni¸ tia Clasic ¼a a Probabilit ¼a¸ tii. Echiprob-
abilitatea evenimentelor elementare poate
postulat ¼a, prin urmare aceasta
din urma poate
utilizat ¼a atunci când intr-o problem ¼a de calcul a proba-
bilit¼a¸ tilor avem a face cu experimente de genul aruncarii unei monede "per-
fecte"sau unui zar "perfect", de alegere "la întâmplare" a unui element
dintr-o multime
nit ¼a de elemente, etc. Validarea acestor presupuneri se
poate veri
ca doar pe cale experimental ¼a, comparând rezultatele obtinute pe
cale teoretica cu cele obtinute pe cale experimental ¼a.
Exemplul 1. Consider ¼am aruncarea unui zar perfect de nori. Cu ce
este egal ¼a probabilitatea c ¼a fa¸ ta 6va apare cel pu¸ tin o dat ¼a?
Solu¸ tie. Spa¸ tiul de evenimente elementare poate
descris ca
ind multi-
mea de seturi ordonate
=f(i1; i2; ::::; i n)gjij=1;6,j=1; ng. Observ ¼am
c¼a multimea
coincide cu produsul cartezian al multimii f1;2;3;4;5;6gcu
ea îns ¼a¸ si de nori. Prin urmare Card
= 6n, iar din faptul ca zarul e perfect
conchidem toate evenimentele elementare sunt echiprobabile, având probabil-
itatea1
6n. Pentru a calcula probabilitatea evenimentului A=fla aruncarea
unui zar perfect de n ori fa¸ ta 6va pare cel pu¸ tin o dat ¼agobserv ¼am c ¼a este
mai u¸ sor sa aplic ¼am proprietaea b)a probabilit ¼a¸ tii. Intr-adev ¼ar, evenimentul
opus Apoate
descris ca
ind A=f(i1; i2; ::::; i n)gjij=1;5,j=1; ng,
32
prin urmare Card (A) = 5n. Folosind de
ni¸ tia clasic ¼a a probabilit ¼a¸ tii, g ¼asim
c¼aP(A) =5n
6n= (5
6)n. Deci P(A) = 1 P(A) = 1 (5
6)n.
Exemplul 2. La examenul de "Probabilit ¼a¸ ti, Statistic ¼a Matematic ¼a"
sunt propuse 24de bilete de examinare din care 20de bilete "norocoase"
¸ si4 "nenorocoase". La examen s-au prezentat 24 de studen¸ ti,
ecare ex-
tr¼agând la întâmplare, f ¼ar¼a repetare, cate un bilet. Care student are, in
ordinea extragerii, probabilitatea mai mare de a extrage un bilet "norocos",
primul, al doilea,…, sau ultimul?
Solu¸ tie. Presupunem ca biletele "norocoase" sunt numerotate de la 1
pân¼a la 20iar cele "nenorocoase " de la 21pân¼a la 24. Atunci spa¸ tiul de
evenimente elementare
¸ si evenimentele Ak=fstudentul cu num ¼arul de
ordine kva extrage un bilet "norocos "gse descriu, respectiv, ca
ind
=f(i1; i2; :::; i 24)gji16=i26=:::6=i24,ij=1;24; j=1;24g;
Ak=f(i1; i2; :::; i k; :::; i 24)g2
jik=1;20;g; k=1; n:
Observ ¼am ca
con¸ tine toate permut ¼arile posibile ale numerelor de la 1
la24, prin urmare Card
= 24! . La fel, Akcontine toate permut ¼arile din
,
dar care au pe locul k,k=1;24un numar "norocos" de bilet de examinare.
cu alte cuvinte ne putem imagina c ¼a evenimentele elementare din
care
favorizeaz ¼a evenimentiul aleator Akpot
ob¸ tinute drept rezultat al unei
ac¸ tiuni realizate în 2etape succesive, astfel încât la prima etap ¼a alegem ¸ si
x¼am pe locul kun num ¼ar de bilet de la 1pân¼a la 20, iar la etapa a doua
punem pe locurile ramase orice rezultat a unei permutari din celelalte 23
numere de bilete r ¼amase. Prima etapa poate
realizat ¼a in 20de modalit ¼a¸ ti,
iar cea de a doua în 23!modalit ¼a¸ ti. In concluzie, din Principiul Înmul¸ tirii,
deducem c ¼a num ¼arul de evenimente elementare care favorizeaz ¼a extragerea
unui bilet "norocos" pentru studentul nr. k,k=1;24, este egal cu Card
(Ak) = 2023!. Or, indiferent de numarul k,
P(Ak) =2023!
24!=20
24=5
6.
Morala: nu conteaz ¼a în ce ordine te prezin¸ ti la examen, conteaza…bagajul
de cuno¸ stin¸ te.
Exemplul 3. Selec¸ tie aleatoare. În statistica, atunci când cercetarea
vizeaz ¼a opopula¸ tie statistic ¼a, privit ¼a ca o multime de elemente omogene in
raport cu o anumita caracteristic ¼a/proprietate, studiul se bazeaz ¼a, de fapt,
33
pe cercetarea unei submultimi (ordonate) de nelemente a popula¸ tiei sta-
tistice, numite e¸ sanion de volum n. Pentru ca rezultatele cercetarii facute
asupra e¸ santionului s ¼a redea, cu aproximarea dorit ¼a,
del, propriet ¼a¸ tile ace-
lea¸ si caracteristici în întreaga popula¸ tie, se cere ca e¸ santionul în cauz ¼a sa
e
reprezentativ . Aceasta inseamn ¼a, de fapt, c ¼aselec¸ tia este aleatoare , adic ¼a
ecare element inclus în e¸ santion are acelea¸ si ¸ sanse de a
selectat ¸ si
ecare
e¸ santion, adica orice submultime de elemente ordonate în ordinea select ¼arii
lor, are aceea¸ s probabilitate de a
extras. În presupunerea ca populatia
statistic ¼a
consta din Nelemente diferite vom arata c ¼a
ecare e¸ santion de
volum nare aceea¸ si probabilitate de a
selectat indiferent de tipul selectiei
f¼ar¼a repetare saucu repetare. Într-adev ¼ar:
Cazul selec¸ tiei aleatoare f ¼ar¼a repetare . Aceasta inseamn ¼a ca elementul
este extras la întâmplare ¸ si nu este returnat în popula¸ tia
=f!1,!2, …,
!Ng,
ecare e¸ santion reprezentând o submul¸ time de forma (!i1,!i2, …,!in)
:!i16=!i26=…6=!in,!ik2
,ik=1; N,k=1; n,nN. Este aplicabil ¼a
de
ni¸ tia clasic ¼a a probabilit ¼a¸ tii pentru care spa¸ tiul de evenimente elementare
coincide cu mul¸ timea An
N=f(!i1,!i2, …,!in):!i16=!i26=…6=!in,!ik2
,
ik=1; N,k=1; ng. Cum
CardAn
N=An
N=N(N 1):::(N n+ 1);
rezult ¼a c¼a
ecare rezultat posibil in cadrul unei atare e¸ santion ¼ari are aceea¸ si
probabilitate egala cu 1=An
N. Dealtfel, se poate ar ¼ata ca pentru acest tip
de selec¸ tie aleatore orice element al popula¸ tiei poate nimeri în e¸ santion cu
una ¸ si aceea¸ si probabilitate egal ¼a cu n=N, ceea ce corespunde criteriului de
reprezentativitate a e¸ santionului.
Cazul selec¸ tiei aleatoare cu repetare . Aceasta inseamn ¼a ca elementul este
extras la întâmplare ¸ si dup ¼a ce este înregistrat, acesta este returnat în pop-
ula¸ tia
=f!1,!2, …,!Ng,
ecare e¸ santion reprezentând o submul¸ time de
forma (!i1,!i2, …, !in):!ik2
,ik=1; N,k=1; n.n>1Spa¸ tiul de
evenimente elementare coincide cu multimea
:::
=
n=f(!i1,!i2,
…,!in):!ik2
,ik=1; N,k=1; ng. Conform Principiului Înmul¸ tirii Card
n=Nn;prin urmare
ecare rezultat posibil in cadrul unei atare e¸ santion ¼ari
are aceea¸ si probabilitate egala cu 1=Nn. Cât prive¸ ste probabilitatea de a
nimeri în e¸ santion pentru orice element al popula¸ tiei, ree¸ sind din caracterul
selec¸ tiei, aceasta este egala cu 1=n.
Exemplul 4. Presupunem c ¼a o familie posed ¼a dou ¼a autoturisme, starea
lor
ind de a¸ sa natur ¼a încât probabilitatea c ¼a primul autoturism va
func¸ tional,
34
este egala cu 0:8, iar pentru al doilea, aceea¸ si probabilitate, este egal ¼a cu
0:4. În plus, probabilitatea c ¼a ambele autoturisme vor
, concomitent,
func¸ tionale, este egal ¼a cu 0:3.
a) Descrie¸ ti evenimentele aleatoare despre care este vorba în problem ¼a ¸ si
asocia¸ ti-le probabilit ¼a¸ tile corespunz ¼atoare;
b) Cu ce este egal ¼a probabilitatea c ¼a va
func¸ tional cel pu¸ tin un auto-
turism?
c) Dar probabilitaea ca niciun autoturism nu va
func¸ tional?
Solu¸ tie. a) Conform condi¸ tiilor descrise în problem ¼a putem introduce
evenimentele A=fpimul autoturism va
func¸ tional g,A=fal doilea auto-
turism va
func¸ tional g. Atunci evenimentul A\B=fambele autotur-
isme vor
, concomitent, func¸ tionale g. Probabilit ¼a¸ tile corespunz ¼atoare vor
:P(A) = 0 :8,P(B) = 0 :4,P(A\B) = 0 :3;
b) Aici ne intereseaza probabilitatea evenimentului A[B=fcel putin
unul din autoturisme va
func¸ tional g. Aplicând Formula Adun ¼arii Proba-
blit¼a¸ tilor g ¼asim c ¼a
P(A[B) =P(A) +P(B) P(A\B) = 0 :8 + 0 :4 0:3 = 0 :9;
c) Observ ¼am c¼a evenimentul A[B=fniciun autoturism nu va func¸ tiona g,
prin urmare probabilitatea lui
P(A[B) = 1 P(A[B) = 1 0:9 = 0 :1:
Exemplul 5. ????????????
Probleme propuse.
Tema: Propriet ¼atile probabilit ¼a¸ tii, probabilitate clasic ¼a.
1.Intr-o grup ¼a de studen¸ ti, de la ASEM, din care face parte si studentul
Pacal ¼a,
ecare student este saude sex feminin sauare p ¼arul blond sauin-
dr¼ageste disciplina Matematica. In grup ¼a sunt 20de studente din care 12au
p¼arul blond ¸ si doar una din studentele cu p ¼arul blond au indr ¼agit Matem-
atica. Numarul total de studen¸ ti/studente cu p ¼arul blond este egal cu 24,
din care doar 12indr¼agesc Matematica. Numarul total de studen¸ ti/studente
care indr ¼agesc Matematica este egal cu 17, din care 6sunt studente. Cu ce
este egala probabilitatea ca, alegând la intamplare un student din aceasta
grupa, acesta va chiar Pacal ¼a?
2.Intr-un microbuz cu 17locuri, inclusiv locul ¸ soferului, au urcat 17
persoane, din care 4persoane posed ¼a permis de conducere al unui vehucul
35
de acest tip. Cu ce este egal ¼a probabilitatea ca microbuzul va putea pleca,
daca ¸ stim ca
ecare persoan ¼a ocup ¼a, la intamplare, unul din aceste 17locuri?
3.O grup ¼a de studen¸ ti enumara 35de studenti. Dintr-ace¸ stea, 20de
studen¸ ti s-au inscris în clubul sportiv ASEM, 10studenti s-au inscris în cercul
de dansatori al ASEM, iar 10studen¸ ti nu s-au inscris la nicio activitate. Din
aceasta grupa este ales la intamplare un student. Calculati probabbilitatea
ca:
a) acesta va
unul inscris la ambele activitati;
b) acesta va
unul inscris numai in clubul sportiv ASEM;
c) acesta va
unul inscris numai la cercul de dans al ASEM.
4.Dintr-o sut ¼a de studen¸ ti, 28de studen¸ ti cunosc limba engleza, 30-
germana, 42-franceza, 8-engleza si germana, 10-engleza si franceza, 5-germana
si franceza, 2-toate trei limbi. Este ales la intamplare un student. Cu ce este
egal¼a probabilitatea ca acesta nu cunoaste nicuna din aceste trei limbi.
5.Presupunem ca un zar "perfect" este aruncat o singura data. Calculati
probabilita¸ tile urmatoarelor evenimente: A=fnumarul de puncte aparute
va
egal cu 6g;B=fnumarul de puncte aparute va
multiplu lui 3g;C=
fnumarul de puncte va
par si ,totodata, mai mare decat 2g:
6.Consider ¼am aruncarea unui zar "perfect" de dou ¼a ori succesiv. Cal-
culati probabilita¸ tile urmatoarelor evenimente: A=fla ambele aruncari
va apare acelasi numar de puncte g;B=fnumarul de puncte aparute la
prima aruncare va
mai mare decat numarul de puncte ap ¼arute la arun-
carea a douag:C=fsuma punctelor aparute la ambele aruncari va
par ¼ag;
D=fprodusul punctelor ap ¼arute la ambele arunc ¼ari va
egal ¼a cu 6g.
7.Se alege la intamplare un num ¼ar natural format din 5cifre. Calculati
probabilit ¼a¸ tile urmatoarelor evenimente: A=fnum¼arul citit de la stanga
la dreapta sau invers, va ramâne neschimbat, ca de exemplu 13531 gB=
fnum¼arul va
multiplu lui 5g;C=fnum¼arul va
format numai din cifre
pareg:
8.Consider ¼am o mul¸ time formata din primele 10litere ale alfabetului
latin. Cate alfabete formate din 3litere putem alc ¼atui din aceasta mul¸ time
de litere. Cu ce este egala probabilitatea c ¼a un alfabet de acest fel ales la
intâmplare va con¸ tine litera A?
9.Dintr-un lot de 10calculatoare, din care 3calculatoare sunt cu defecte,
sunt alese la întamplare 3. Calcula¸ ti probabilita¸ tile urmatoarelor evenimente:
A=fdintre cele 3 calculatoare alese, cel putin unul, va avea defecte gB=
ftoate calculatoarele alese vor avea defecte g;C=fdintre cele 3calculatoare
alese exact 2vor avea defecteg.
36
10.Un cub, ale c ¼arui fe¸ te sunt vopsite, a fost t ¼aiat într-o mie de cubule¸ te
de aceea¸ si dimensiune. Cu ce este egal ¼a probabilitatea c ¼a un cubule¸ t extras
la întâmplare va avea exact dou ¼a fe¸ te vopsite?
11.Un grup de 8persoane ocupa
ecare, la intâmplare, unul din cele 8
scaune a¸ sezate in jurul unei mese rotunde. Cu ce este probabilitatea c ¼a2
persoane anume vor numeri al ¼aturi.
12.Un grup de 8persoane ocup ¼a
ecare, la intamplare, unul din cele
8scaune a¸ sezate intr-un rand de 8locuri. Cu ce este probabilitatea c ¼a2
persoane anume vor numeri al ¼aturi.
13. Pe5cartona¸ se sunt scrise cifrele de la 1pana la 5. Se aleg la
întamplare, fara intoarcere, unul dupa altul, 3cartoana¸ se, acestea
ind puse
alaturi de la stanga la dreapta in ordinea extragerii. Calculati probabilit ¼a¸ tile
urmatoarelor evenimente: A=fva apare num ¼arul 123g,B=fnu va apare
cifra 3g,C=fva apare un numar par g.
14. Numerele 1;2; :::;9sunt scrise in ordine aleatoare. Calculati prob-
abilit ¼a¸ tile urmatoarelor evenimente: A=fnumerele vor apare in ordinea
lor cresc ¼atoaregB=fnumerele 1¸ si2vor nimeri al ¼aturi in ordine cresc ¼a-
toareg;C=fpe locuri pare vor nimeri numere pare g.
15. Consideram un alfabet format din literele a; b; c; d; m .Alegem la
intamplare, succesiv, cu intoarcere ,4litere, scriindu-le in ordinea extragerii
lor. Cu ceste egal ¼a probabilitatea ca vom obtine cuvântul mama ?
16.Consider ¼am aruncarea unui zar "perfect" de 10ori succesiv. Calculati
probabilitatile urmatoarelor evenimente: A=fla nici o aruncare nu va apare
fa¸ ta 6gB=fla cel pu¸ tin o aruncare va apare fa¸ ta 6g;C=fexact la 3
aruncari va apare fa¸ ta 6g.
17. Intr-un lift al unei case cu 7nivele, la nivelul de jos, au urcat 6
pasageri. Stiind ca
ecare pasager poate iesi la intamplare la oricare din
cele 6nivele, calculati probabilitatile urmatoarelor evenimente: A=ftoti
pasagerii vor iesi la nivele diferite gB=ftoti pasagerii vor iesi la acelasi
nivelg;C=fla nivelele 4;5si6vor iesi cate 2pasagerig.
18.Un copil se joac ¼a cu 11cartona¸ se pe care sunt imprimate literele
I; N; F; O; R; M; A; T; I; C; A; aranjându-le la întamplare unul langa altul.
Cu ce este egala probabilitatea c ¼a acesta va ob¸ tine, astfel, cuvântul INFORMATICA .
19.Consideram aruncarea unui zar "perfect" de 6ori succesiv. Calculati
probabilitatile urmatoarelor evenimente: A=fde trei ori va apare fata 1,de
doua ori fata 3si o data fata 6g;B=fvor apare fete diferite g;C=fde3
ori va apare aceeasi fata g.
20.Care este probabilitatea ca, jucând cu o singura variant ¼a la LOTO-
37
SPORT " 5din35", nu vom
în pierdere, adica vom ca¸ stiga ceva?
21.Într-un tren cu 3vagoane se urc ¼a la întâmplare 7persoane. Care
este probabilitatea c ¼a în primul vagon vor urca 4persoane?
22.Problema cavalerului DeMere: De câte ori trebuie s ¼a arunc ¼am un zar
"perfect" pentru ca probabilitatea apari¸ tiei fe¸ tei 6;cel pu¸ tin o dat ¼a, s¼a
e
mai mare decât 1=2?
23.O grup ¼a este format ¼a din 23de studenti. Calculati probabilitatile ur-
matoarelor evenimente: A=ftoti studentii vor avea zile de nastere diferite g;
B=fse vor gasi, cel putin doi studenti care au aceeasi zi de nastere g:Nota.
Excludem cazul cand in grupa sunt studenti gemeni.
24.S¼a se arate c ¼a probabilitatea de a ob¸ tine în urma arunc ¼arii a 4zaruri,
cel pu¸ tin o singur ¼a dat ¼a fa¸ ta 1, este mai mare decât probabilitatea de a ob¸ tine
dup¼a24de arunc ¼ari a unei perechi de zaruri cel pu¸ tin o singur ¼a dat ¼a dou ¼a
fe¸ te1. (R¼aspunsul explic ¼aparadoxul cavalerului de Mere , care considera
aceste probabilit ¼a¸ ti egale, fapt ce nu corespunde observ ¼arilor empirice).
25. 2nechipe de fotbal, printre care echipele Dacia si Zimbru, au fost
impartite, prin tragere la sorti, in 2subgrupe a cate nechipe. Dedudeci
formulele de calcul pentru probabilitatile urmatoarelor evenimente: A=
fDacia si Zimbru vor nimeri in grupe diferite g,B=fDacia si Zimbru vor
nimeri in aceeasi grupa g. Calculati aceste probabilitati pentru n= 20.
26.O urn ¼a con¸ tine mbile albe ¸ si nbile negre. Din aceast ¼a urn ¼a f¼acându-
se extrac¸ tii cu întoarcere, s ¼a se determine formula de calcul pentru:
(a) Probabilitatea ca primele kbile extrase s ¼a
e negre.
(b) Probabilitatea ca prima bil ¼a alb ¼a s¼a apar ¼a la a k-a extrac¸ tie.
(c) Probabilitatea ca printre primele kbile extrase vor
ibile albe.
Calculati aceste probabilitati pentru m= 5,n= 4.
27. Primul rand al unei sali de Cinema are 2nlocuri. nbarbati si n
femei ocupa la intamplare,
ecare, cate un loc. Deduceti formulele de calcul
pentru probabilitatile urmatoarelor evenimente: A=fniciun barbat nu va
nimeri alaturi de barbat g; B =ftoti barbatii vor nimeri alturi g:Calculati
aceste probabilitati pentru n= 10:
28. La un turneu de tenis s-au inscris 40de sportivi. Prin tragere la
sorti acestia au fost impartiti in 4subgrupe a cate 10sportivi. Cu ce este
egala probabilitatea ca 4din cei mai puternici tenismeni vor nimeri in grupe
diferite.
29.O
rm ¼a produc ¼atoare de calculatoare accepta achizi¸ tionarea proce-
soarelor pentru calculatoare de la o alta
rma numai dac ¼a în urma veri
carii a
5%din procesoare alese la întâmplare dintr-un lot propus spre a
cumparat,
38
niciunul nu va avea defecte. Presupunem c ¼a într-un lot de 1000 de proce-
soare, propus spre achizi¸ tie, se a a cinci procesoare defecte. Cu ce este egala
probabilitatea c ¼a în urma controlului, lotul va
acceptat spre a
cump ¼arat?
1.5. Probabilit ¼a¸ ti clasice, discrete si geometrice drept cazuri
particulare ale de
ni¸ tiei axiomatice a probabilit ¼a¸ tii
Dup¼a cum am vazut, din Teorema demonstrat ¼a în paragraful anterior,
probabilitatea clasic ¼a devine un caz particular al De
ni¸ tiei Axiomatice. Folosind
limbajul acesteia din urma putem formula una mai stricta pentru prima ¸ si
anume
De
ni¸ tia probabilit ¼a¸ tii clasice. Vom spune ca avem de a face cu un
câmp de probabilitate clasic a(
;F; P)dac¼a
a) Spa¸ tiul de evenimente elementare
con¸ tine un num ¼ar
nit de eveni-
mente elementare;
b) Familia de evenimente aleatoare Feste reprezentata de toate submul-
timile posibile ale lui
;
c) probabilitatea este o aplicatie Pde
nita peFcu valori in multimea
numerelor reale calculate conform formulei:
P(A) =card A
card
;8A2F.
Remarca 1. De
ni¸ tia formulat ¼a astfel atrage dupa sine, în mod automat,
faptul ca toate evenimentele elementare sunt echiprobabile. Intr-adevar, pen-
tru orice eveniment elementar !2
gasim ca
Pf!g=cardf!g
card
=1
card
:
Îns¼a aplicabilitatea probabilit ¼a¸ tii clasice este limitat ¼a de condi¸ tia a), dar ¸ si
de faptul c ¼a, chiar dac ¼a aceast ¼a condi¸ tie este valabil ¼a, nu toate evenimentele
elementare sunt echiprobablie. Urmatoarele exemple con
rm ¼a aceast ¼a a
r-
ma¸ tie.
Exemplul 1 .(Spatiul de evenimente elementare este
nit, dar eveni-
mentele elementare nu sunt echiprobabile) . Consider ¼am aruncarea unui zar
cu centrul de greutate deformat astfel încât probabilit ¼a¸ tile aparitiei fe¸ telor
lui se raporteaz ¼a ca 1 : 2 : 3 : 4 : 5 : 6 . De
ni¸ tia clasica nu este aplicabil ¼a,
fapt ce se poate veri
ca experimental cu orice zar imperfect.
39
Exemplul 2. (Spatiul de evenimente elementare este in
nit, dar num ¼ara-
bil). Consider ¼am jocul de noroc descris in Exemplul 8din p. 1:3, cu singura
precizare ca moneda aruncat ¼a are probabilitatea aparitiei stemei egala cu
p;0< p < 1. Chiar dac ¼a moneda era perfect ¼a (vezi exemplul invocat), prob-
abilitatea clasic ¼a nu este aplicabila din cauza neîndeplinirii conditiei a) din
de
ni¸ tie.
Exemplul 3. (Evenimentele elementare sunt echiprobabile, dar spa¸ tiul de
evenimente elementare este in
nit nenumarabil). Consider ¼am experimentul
imaginar ce const ¼a in aruncarea la întâmplare a unui punct pe segmentul [0:1].
Sintagma "la întâmplare" ne sugereaz ¼a c¼a toate evenimentele elementare din
spatiului de evenimente elementare
= [0 :1]sunt echiprobabile, dar prob-
abilitatea clasic ¼a nu poate
aplicate din acela¸ s motiv ca ¸ si în exemplul
anterior.
Cum arat ¼a câmpul de probabilitate în
ecare din aceste exemple? Deoarece
spatiile de evenimente elementare din exemplele 1 ¸ si 2 sunt multimi
nite sau
cel mult num ¼arabile la ele se poate aplica
De
ni¸ tia probabilit ¼a¸ tii discrete. Vom spune ca avem de a face cu o
probabilitate discret ¼aPdac¼a
a) Spa¸ tiul de evenimente elementare
reprezinta o multime
nit ¼a sau
in
nit ¼a, cel mult, numerabila, adica
=f!1,!2, …, !ngsau
=f!1,!2,
…,!n, …g;
b) Câmpul de evenimente aleatoare Feste reprezentat de toate submulti-
mile posibile ale lui
;
c)Peste o aplicatie de
nita pe Fcu valori in multimea numerelor reale
calculate conform formulei:
P(A)=suma probabilitatilor pentru
ecare eveniment elementar ce fa-
vorizeaza evenimentul A=P
n:!n2APf!ng, unde Pveri
ca urmatoarele 2
axiome:
A1. Pf!ig0,pentru orice i1;
A2. P(
) = 1 ;
P(A), reprezentând un numar, se numeste probabilitatea evenimentului
A, iar tripletul (
,F,P)-câmp de probabilitate discret ¼a.
Remarca 2 . Se poate ar ¼ata c ¼a orice câmp de probabilitate axiomatic ¼a
aplicat la cazul discret este, de fapt un câmp de probabilitate discret ¼a¸ si
viceversa, probabilitatea discret ¼a
ind, întucâtva, mai u¸ sor de manipulat.
Exemplul 1 (Continuare ). Spa¸ tiul de evenimente elementare
ind
=
f1;2; :::;6g, câmpul de evenimente Feste reprezentat de toate submultimile
40
posibile ale lui
. Aceasta inseamna valabilitatea condi¸ tiilor a)¸ sib).Pe
deoparte, din faptul ca Pf1g:Pf2g: … : Pf6g=1:2:3 : 4 : 5 : 6 rezult ¼a
c¼aPf2g= 2Pf1g,Pf3g= 3Pf1g, …, Pf6g= 6Pf1g. Pe de alta parte
1 =P(
) = P(f1g[f 2g[:::[f6g) =Pf1g+Pf2g+ … + Pf6g. Prin ur-
mare Pf1g+Pf2g+ … + Pf6g=Pf1g+2Pf1g+ … + 6Pf1g= 21Pf1g= 1,
adica Pf1g=1
21,Pf2g=2
21, … , Pf6g=6
21. Axiomele 1,2 ale probabili-
tatii discrete
ind întrunite, rezult ¼a, de exemplu ca P(A) =Pfla o singur ¼a
aruncare a zarului va apare fa¸ ta par ¼ag=Pf2;4;6g=2+4+6
21=12
21. Vedem ca spre
deosebire de cazul zarului simetric P(A)>1
2:
Exemplul 2 (Continuare ). Deoarece experimentul const ¼a în aruncarea
unei monede pân ¼a la prima apari¸ tie a stemei, putemm considera rezultat
elementar numarul total de arunc ¼ari efectuate, adic ¼a
=f1,2, …,n, …g.
Atunci câmpul de evenimente Fva
reprezentat de toate submultimile posi-
bile ale lui
. Nu prezint ¼a greutate s ¼a se veri
ce experimental cu orice
moned ¼a ca probabilit ¼a¸ tile Pfkg=Pfpân¼a la prima apari¸ tie a stemei vor
efectuate karunc ¼arig=p(1 p)k 1,k= 1,2, … , deîndat ¼a ce probabilitatea
apari¸ tiei stemei la o singur ¼a aruncarea monedei se ¸ stie ca este egala cu p,
0< p < 1. Cum Pfkg 0, iarP(
) = Pf1,2, …,n, …g=Pf1g+Pf2g+ …
Pfng+…= p+p(1 p)1+…+ p(1 p)n 1+…= p1
1 (1 p)= 1, rezult ¼a ca putem
aplica De
ni¸ tia probabilitatii discrete. Astfel, dac ¼a în jocul de noroc de-
scris in exemplul 8, p.1.3. moneda nu este perfecta, adic ¼a are probabilitatea
aparitiei stemei egala cu p,0< p < 1,p6=1
2, atunci, s ¼a zicem, probabilitatea
P(A)=Pfjocul va fi c ^astigat de Iong=Pf1g+Pf3g+ …+ Pf2k 1g+…=
=p+p(1 p)2+…+ p(1 p)2k 2+…= p1
1 (1 p)2. De exemplu, pentru p= 1=3,
avem c ¼aP(A) =1
31
1 (1 1
3)2=3
5, adica probabilitatea P(A)e mai mic ¼a decât
atunci când moneda era simetric ¼a, dar oricum mai mare decât probabilitatea
c¼a jocul va
c⸠stigat de c ¼atre rivalulul lui Ion, Petru.
Experimentele aleatoare similare celui din Exemplul 3 pot
modelate
matematic apelând la
De
ni¸ tia probablita¸ tii geometrice. Vom spune ca avem de a face cu
oprobabilitate geometric ¼aPdac¼a
a) Spa¸ tiul de evenimente elementare
reprezint ¼a o multime in
nit ¼a nenum ¼ara-
bil¼a dinRnpentru care mes
<+1, unde mes reprezinta lungimea in R1,
aria in R2sau volumul in Rnpentru n3;
b) Câmpul de evenimente aleatoare Feste reprezentata de toate submul-
timile masurabile Aale lui
, adica pentru care mesA poate
de
nit ¼a;
c)Peste o aplicatie de
nita pe Fcu valori in multimea numerelor reale
41
calculate conform formulei :
P(A) =mesA
mes
:
Tripletul (
;F; P)poart ¼a denumirea, în acest caz, de spa¸ tiu de probabil-
itate geometric ¼a.
Astfel, in exemplul invocat, aplicând de
nitia probabilitatii geometrice
a am ca probabilitatea ca un punct aruncat la intamplare pe [0;1]va nimeri
in punctul xeste egala cu Pfxg=mesfxg=mes ([0;1]) = 0 =1 = 0 , pentru
orice xdin[0;1]. Daca ne intereseaza, de exemplu, probabilitatea ca un punct
aruncat la intamplare pe [0;1]va nimeri in prima jum ¼atate a acestui interval
este egala cu P([0;0:5]) = mes([0;0:5])=mes ([0;1]) = 0 :5=1 = 0 :5:Dealtfel,
observam ca P([0;0:5] = P([0;0:5)) = P([0:5;1]). In genere, probabilitatea
ca un punct aruncat la intamplare pe [0;1]va nimeri intr-un interval (a; b)
din[0;1]coincide cu lungimea acestui interval.
Remarca 3. Exemplul analizat arat ¼a ca proprietatea c)a probabilit ¼a¸ tii
(vezi Proprieta¸ tile Probabilit ¼a¸ tii din p.1.4.), conform careia P(?) = 0 , arat ¼a
c¼a reciproca acesteia nu are loc, adic ¼a exist ¼a exemple de evenimente aleatoare
A6=?, dar care au P(?) = 0 . Cu alte cuvinte, a
rma¸ tia ca probabilitatea
unui eveniment este egala cu zero nu atrage dupa sine a
rmatia c ¼a acest
eveniment este imposibil. Un alt exemplu, probabilitatea ca un
r de cablu
electric, situat intre doi stalpi, se va rupe, in timpul unei furtuni, exact la
mijloc este egal ¼a cu 0, dar evenimentul in cauz ¼a nu este imposibil. Aceste
exemple fac deosebirea dintre notiunea teoretic ¼a (ideal ¼a) a probabilit ¼a¸ tii ¸ si
cea empiric ¼a, cum ar
probabilitatea frecven¸ tial ¼a.
Probleme propuse.
Tema: Probabilit ¼a¸ ti discrete.
1.Consideram aruncarea o singur ¼a dat ¼a a unui tetraedru regulat, ale
c¼arui fe¸ te sunt numerotate cu numerele de la 1pân¼a la 4, iar centrul sau
de greutate este deplasat astfel încât probabilitatile apari¸ tiei
ec ¼arei fe¸ te se
raporteaz ¼a caPf1g:Pf2g: … : Pf4g= 1:2: … : 4. Calcula¸ ti probabilit ¼a¸ tile
urm¼atoarelor evenimente: Ak=fva apare fa¸ ta kg,k=1;4;B=va apare o
fata par ¼ag;C=fva apare o fa¸ t ¼a numerotat ¼a cu un numar prim g:
2.Consideram aruncarea o singur ¼a dat ¼a a unui zar al c ¼arui centru de
greutate este deplasat astfel încât, probabilitatile apari¸ tiei
ec ¼arei dintre
fe¸ tele k=1;5coincid intre ele, iar probabilitatea aparitiei fetei 6coincide
cu suma probabilitatilor anterioare. A ati probabilitatile aparitiei pentru
42
ecare fata in parte, dar si probabilitatile evenimentelor B=fva apare un
num¼ar par de puncteg;C=fva apare un numar prim de puncte g.
3.Consideram aruncarea o singur ¼a dat ¼a a unui tetraedru regulat, ale
c¼arui fe¸ te sunt numerotate cu numerele de la 1pân¼a la 4, iar centrul sau de
greutate este deplasat astfel încât probabilitatile Pfkgale apari¸ tiei
ec ¼arei
fe¸ tek,k=1;4, sunt legate intre ele astfel: Pf1g:Pf2g:Pf3g= 1 : 2 : 3 ,
iarPf4g=Pf1g+Pf2g+Pf3g. Calcula¸ ti probabilit ¼a¸ tilePfkg,k=1;4,
dar si probabilitatile urm ¼atoarelor evenimente: B=fva apare o fata par ¼ag;
C=fva apare o fa¸ t ¼a numerotat ¼a cu un numar prim g:
4.Presupunem c ¼a alegem la întâmplare câte o liter ¼a din cuvintele mama
sivama: Descrieti spatiul de evenimente elementare si calcula¸ ti probabilitatea
c¼a literele extrase vor
acelea¸ si.
5.Doi juc ¼atori, IonsiPetru , practica urm ¼atorul joc de noroc: primul
arunca moneda Ion; daca apare "stema", acesta este declarat castigator; daca
nu, arunca Petru ; daca apare "stema" , acesta este declarat castigator; daca
nu, din nou arunca moneda Ion; etc., etc., jocul se termina atunci cand unul
din jucatori inregistreaza , primul, aparitia stemei. Pentru
ecare jucator
aparte, a ati probabilitatea ca acesta va castiga jocul, stiind ca moneda este
deformata astfel, incat "stema" apare cu probabilitatea p;0< p < 1? Exista
oare vre-o valoare a lui p;0< p < 1astfel incat Ion si Petru sa aib ¼a ¸ sanse
egale de castigare a jocului?
Indicatie: Sa se considere c ¼a probabilitatea c ¼a jocul se va termina la
aruncarea k,k= 1,2, …, este egala cu p(1 p)k 1.
6.Trei juc ¼atori, Ion,Petru siMihai , practica urm ¼atorul joc de noroc:
primul arunca moneda Ion; daca ââapare "stema", acesta este declarat cas-
tigator; daca nu, arunca Petru ; daca apare "stema" , acesta este declarat
castigator; daca nu, arunca moneda Mihai ; daca apare "stema" , acesta este
declarat castigator; daca nu, atunci din nou arunca moneda Ion; etc., etc.,
jocul se termina atunci, cand unul din jucatori inregistreaza , primul, apari-
tia stemei. Pentru
ecare jucator aparte, a ati probabilitatea ca acesta va
castiga jocul, stiind ca moneda este simetrica.
Tema: Probabilitate geometric ¼a.
7.Problema întâlnirii. Doua persoane si-au
xat o intalnire intre orele
12.00 ¸ si 13.00 cu condi¸ tia c ¼a primul sosit la locul întâlnirii îl a¸ steapt ¼a pe
al doilea cel mult 15 minute ¸ si daca acesta din urma nu sose¸ ste între timp,
primul p ¼ar¼ase¸ ste locul întâlnirii . Considerând ca
ecare dintre persoane
sose¸ ste la locul întâlnirii in mod intâmpl ¼ator, sa se calculeze probabilitatea
ca întâlnirea nu va avea loc.
43
8.Presupunem ca autobusele de ruta data circul ¼a la intervale
xe de 30
de minute. Un poten¸ tial pasager sose¸ ste la una din sta¸ tiile acestei rute într-
un moment întâmpl ¼ator. Cu ce este egala probabilitatea ca acesta va astepta,
cel mult, 5 minute pana la sosirea urm ¼atorului autobus? Dar probabilitatea
ca acesta nu va
nevoit sa a¸ stepte deloc?
9.Un baston de lungimea Leste rupt la întâmplare in trei segmente. Cu
ce este egal ¼a probabilitatea ca din aceste segmente de bason se poate construi
un triunghi.
1.6. Probabilitate condi¸ tionat ¼a. Formula înmul¸ tirii
probabilit ¼a¸ tilor
FieA¸ siBdoua evenimente aleatoare legate de acela¸ si câmp de probabili-
tate (
;F; P), unde P(B)>0. Presupunem c ¼a acest spatiu de probabilitate
modeleaz ¼a comportamentul probabilist al unui experiment aleator E. Pre-
supunerea c ¼aP(B)>0înseamn ¼a c¼a într-un num ¼arnsu
cient de mare de
repet ¼ari a acestu experiment frecven¸ ta relativ ¼a a evenimentului Beste mai
mare ca zero, adic ¼afn(B)>0. Întrebarea
reasc ¼a este, în ce masur¯ a faptul
(informa¸ tia) c ¼a s-a produs evenimentul Bin uien¸ teaz ¼a probabilitatea eveni-
mentului A? Atunci putem vorbi despre probabilitatea evenimentului A
condi¸ tionat ¼a de evenimentul Bnotat ¼aP(A=B) sau despre frecven¸ ta relativ ¼a
fn(B)(A)a evenimentului Ainn(B) probeEîn care s-a produs evenimentul
B, unde, conform Principiului Regularit ¼a¸ tii Statistice, fn(B)(A)'P(A=B )
pentru n(B)su
cient de mare. Dar, din acela¸ si Principiu avem ca,
P(A=B )'fn(B)(A) =n(A\B)
n(B)=n(A\B)
n
n(B)
n'P(A\B)
P(B):
Aceasta justi
c ¼a urm ¼atoarea
De
ni¸ tie. Se nume¸ ste probabilitate a evenimentului Acondi¸ tionat ¼a de
evenimentul B,P(B)>0, m¼arimea notat ¼a cu P(A=B )¸ si calculat ¼a dup ¼a
formula
P(A=B ) =P(A\B)
P(B):
Exemplul 1. O companie specializat ¼a în comercializarea apelor minerale
a stabilit, în urma unei cercet ¼ari statistice s ¼ai, c¼a 67% din to¸ ti clien¸ tii lor
cump ¼ar¼a apa mineral ¼a plat ¼a, iar 45% prefer ¼a apa mineral ¼a carbogazos ¼a. a)
Cu ce este egal ¼a probabilitatea c ¼a un client ales la întâmplare va
unul care
44
va cump ¼ar¼a ¸ si ap ¼a mineral ¼a plat ¼a ¸ si ap ¼a mineral ¼a carbogazoas ¼a? b) Dar
probabilitatea c ¼a acest client va cump ¼ara ap ¼a mineral ¼a plat ¼a, dac ¼a ¸ stim c ¼a
acesta este unul care a cump ¼arat apa mineral ¼a carbogazoas ¼a?
Solu¸ tie. Deoarece, procentual vorbind, din numarul total de 100% cump ¼ar¼a-
tori, 67% din ei cump ¼ar¼a apa mineral ¼a plat ¼a, iar 45% – apa mineral ¼a carboga-
zoas¼a, rezult ¼a c¼a tot ce excede 100% din suma 67%+45%, adic ¼a 12% din ei,
vor
cei care prefer ¼a s¼a cumpere ambele tipuri de ap ¼a mineral ¼a (vezi Princip-
iul Adun ¼arii in caz general). Introducem evenimentele A=fun cump ¼ar¼ator
ales la întâmplare va
unul care va cump ¼ara apa mineral ¼a plat ¼ag,B=fun
cump ¼ar¼ator ales la întâmplare va
unul care va cump ¼ara apa mineral ¼a car-
bogazoas ¼ag. Atunci, folosind formula probabilit ¼a¸ tii clasice, g ¼asim :
a)Pfun client ales la întâmplare va
unul care va cump ¼ar¼a ¸ si ap ¼a min-
eral¼a plat ¼a ¸ si ap ¼a mineral ¼a carbogazoas ¼ag=P(A\B) = 12 =100 = 0 :12.
b)P(B) = 0 :45;P(A=B )=P(A\B)
P(B)=0:12
0:45= 0:266 67 .
Din de
nitie, mai exact din formula de calcul a probabilit ¼a¸ tii condi¸ tionate,
rezult ¼aformula înmul¸ tirii probabilit ¼a¸ tilor pentru dou ¼a evenimente aleatoare:
P(AB) =P(A)P(B=A ),dac¼aP(A)>0
sauP(AB) =P(B)P(A=B ),dac¼aP(B)>0.
Exemplul 2. Se ¸ stie c ¼a orice întreprindere produc ¼atoare, spre exemplu,
de calculatoare, supune produsele sale controlului calit ¼atii inainte de a
comercializate. Presupunem c ¼a, prin metode statistico-matematice speci
ce
controlului calit ¼a¸ tii se ¸ stie c ¼a ponderea calculatoarelor cu defecte ascunse
este de 2%, iar atinci când un calculator defect este supus controlului acesta
poate
admis (din gre¸ seal ¼a) spre comercializare cu probabilitatea 0:05. Cu
ce este egal ¼a probabilitatea ca un calculator ales la întâmplare va
unul cu
defecte ¸ si admis, totodat ¼a, spre comercializare.
Solu¸ tie. Întroducem evenimentele D=fun calculator ales la întâmplare
va
unul cu defecte g¸ siC=fun calculator ales la întâmplare va
admis spre
comercializareg. Conform condi¸ tiilor din problem ¼aP(D) = 0 :02,P(C=D ) =
0:05. Deoarece P(D)>0, din formula înmul¸ tirii probabilit ¼a¸ tilor avem c ¼a
probabilitatea c ¼a un calculator ales la întâmplare va
unul cu defecte ¸ si
admis, totodat ¼a, spre comercializare coincide cu
P(CD) =P(D)P(C=D ) = 0 :020:05 = 0 :001.
Formula înmul¸ tirii probabilit ¼a¸ tilor pentru dou ¼a evenimente aleatoare este
doar un caz particular a unei formule generale. Are loc urmatoarea
45
Teorem ¼a(Formula ^{nmultirii probabilit atilor ^{n caz general ).Dac¼a
(
,F,P)este un câmp de probabilitate ¸ si A1,A2, … , Ansunt eveni-
mente aleatoare legate de acest câmp de evenimente cu proprietatea P(A1A2
…An 1)>0,atunci
P(A1A2:::A n) =P(A1)P(A2= A 1)P(A3= A 1A2):::P(An= A 1A2:::A n 1).
Exemplul 3. Cu ce este egal ¼a probabilitatea c ¼a, jucând Poker ¸ si efec-
tuând patru extrageri succesive (f ¼ar¼a repetare) dintr-un butuc de c ¼ar¸ ti bine
amestecate, vom extrage patru a¸ si?
Solu¸ tie. Consider ¼am evenimentele Ak=fla extragerea cu num ¼arul de
ordine kva apare un asg,k=1;4. Aplicând Teorema anterioar ¼a, gasim c ¼a
probabilitatea în cauz ¼a este egal ¼a cu
P
4\
k=1Ak
=P(A1A2:::A 4) =
=P(A1)P(A2= A 1)P(A3= A 1A2)P(A4= A 1A2:::A 3) =
=4
523
512
501
49
=1
270 725= 3:693 810 6.
Probleme propuse.
1.Studiul statistic al vânz ¼arilor zilnice ale unui magazin specializat
în vânzarea produselor electronice audio arata c ¼a
ecare din urm ¼atoarele
evenimente A=fun client va cumpara cel pu¸ tin un CD-player g,B=f
un client va cumpara cel pu¸ tin un set de c ¼a¸ sti audiog¸ siC=fun client
va cumpara cel pu¸ tin un CD- player ¸ si un set de c ¼a¸ sti audiogsunt egale,
respectiv, cu P(A) = 0 :6,P(B) = 0 :75¸ siP(C) = 0 :5. A a¸ ti valorile
urm¼atoarelor probabilit ¼a¸ tiP(A[B),P(A=B ),P(B=A ),P(A\B),P(A[B),
P(A=B),P(B=A).
2.În leg ¼atur¼a cu aruncarea unui zar "perfect" de trei ori succesiv consid-
er¼am evenimentele A=fde
ecare dat ¼a va apare o fa¸ t ¼a diferit ¼ag,B=fcel
putin o dat ¼a va apare fa¸ ta 6g. Calcula¸ ti probabilit ¼a¸ tile P(A=B ),P(B=A ).
3.Consideram aruncarea unei monede "perfecte" sau pana cand apare
"stema" sau pana cand "banul " apare de 3 ori succesiv. Cu ce este egala
probabilitaea ca "banul" va apare de 3 ori succesiv daca se stie ca la prima
aruncare a aparut "banul".
46
4.Consider ¼am câmpul de probabilitate (
;F; P)¸ si evenimentul aleator
B2FcuP(B)>0. Arata¸ ti ca tripletul (B; B\F,PB)reprezinta un nou
câmp de probabilitate (un nou model probabilist), unde PB(A) =P(A=B ) =
P(A\B)
P(B)pentru orice eveniment A2B\F.
Tema: Formula înmul¸ tirii probabilit ¼a¸ tilor.
5.Presupunem ca un PC consta din nblocuri, calculatorul iesind din
functiune deîndata ce iese din functiune unul din blocuri, iesirea simultana
din functiune a 2sau mai multe calculatoare
ind exclusa. Depanatorul
de calculatoare veri
ca, luand la intamplare, unul dupa altul cate un bloc,
pana cand va depista blocul defectat. Cu ce este egala probabilitatea ca
depanatorul va depista blocul defectat la incercarea cu numarul de ordine k,
k= 1,2, …,n:
6.Un lot de 100de calculatoare este supus controlului calit ¼a¸ tii, selectånd
la întåmplare 5calculatoare. Dac ¼a se depisteaz ¼a ca , cel pu¸ tin, unul din
aceste calculatoare este defect, atunc întreg lotul este respins. Cu ce este
egala probabilitaea ca lotul de calculatoare supus controlului va
respins,
daca se stie ca 5%de calculatoare din lot sunt cu defecte?
1.7. Independen¸ ta evenimentelor aleatoare, formula lui Poisson
În situa¸ tia când dou ¼a evenimente aleatoare A¸ siB, legate de acela¸ si câmp
de probabilitate (
;F; P), unde P(B)>0;au proprietatea c ¼aP(A=B ) =
P(A)este
resc s ¼a spunem c ¼a evenimentul Anu depinde de Bsau pe scurt A
¸ siBsunt independente. Vom ar ¼ata c ¼a de
ni¸ tia de mai jos este acoperitoare
¸ si pentru toate situa¸ tiile de acest tip.
De
n¸ tia independen¸ tei (cazul a dou ¼a evenimente ). Vom spune c ¼a
dou¼a evenimente aleatoare A¸ siB, legate de acela¸ si câmp de probabilitate
(
;F; P),sunt independente dac¼aP(AB) =P(A)P(B). În caz contrar vom
spune c ¼aevenimentele A¸ siBsunt dependente.
Într-adev ¼ar, de aici rezult ¼a imediat c ¼a dac ¼aA¸ siBsunt independente,
unde P(B)>0, atunci P(A = B ) =P(A\B)
P(B)=P(A)P(B)
P(B)=P(A), ceea ce
con
rm ¼a a¸ stept ¼arile noastre.
Remarca 1. De
ni¸ tia independen¸ tei a dou ¼a evenimente aleatoare, cuprinde
chiar si cazurile când, cel pu¸ tin, unul din evenimentele A¸ siBare probabil-
itatea egal ¼a cu zero. De exemplu,
e P(B) = 0 . Atunci, din Axioma 1 a
probabilit ¼a¸ tii si din proprietatea P(AB)P(B) = 0 , rezult ¼a c¼aP(B) = 0 .
Dar aceasta inseamna c ¼aP(AB) =P(A)P(B), adic ¼aA¸ siBsunt indepen-
dente.
47
Mai mult, are loc urm ¼atoarea
Propozi¸ tia 1. Dac¼a evenimente aleatoare A¸ siB, legate de acela¸ si câmp
de probabilitate (
;F; P)sunt independente, atunci independente vor
si
ecare din perechile de evenimente: (A; B ),(A;B),(A;B).
Exemplul 1. Angaja¸ tii Corpora¸ tiei Excelsior sunt distribui¸ ti în func¸ tie
de gen ¸ si tipul angaj ¼arii lor în felul urm ¼ator:
Tipul de angajare
Sexul Vânzâri Conducere Produc¸ tie Total
Masculin 825 675 750 2250
Feminin 1675 825 250 2750
Total 2500 1500 1000 5000
Pentru a stimula loialitatea fa¸ t ¼a de companie, compania alege la întâm-
plare un angajat, asigurându-i lunar o scurt ¼a vacan¸ t ¼a plus cheltuielile afer-
ente.
a) Este oare evenimentul F=fva
aleas ¼a o femeiegindependent de
evenimentul C=fva
ales o persoana din conducerea corpora¸ tiei g?
b) Dar acela¸ si eveniment F;este oare independent de evenimentul D=
fva
ales o persoana din sectorul de Produc¸ tie g?
Solu¸ tie. Din tabel deducem c ¼a
P(F) =2750
5000= 0:55; P(C) =1500
5000= 0:3; P(D) =1000
5000= 0:2;
P(F\C) =825
5000= 0:165; P(F\D) =250
5000= 0:05:
a) Cum P(F\C)=0:165=P(F)P(C)=0:550:3rezult ¼a c¼a evenimentele
F¸ siCsunt independente ;
b) Dar P(F\D)=0:056=P(F)P(C)=0:550:02=0:11. În concluzie,
evenimentele F¸ siDsunt dependente.
Exemplul 2. La ora de Statistic ¼a Matematica s-au prezentat 20de
studen¸ ti din care 8sunt fum ¼atori, 12poart ¼a ochelari iar 6din cei care poart ¼a
ochelari sunt ¸ si fum ¼atori. Este scos la tabl ¼a la intâmplare unul din studen¸ ti.
A a¸ ti dac ¼a evenimentele A=fstudentul scos la tabla este unul fum ¼atorg
¸ siB=fstudentul scos la tabla este unul ochelarist gsunt independente sau
dependente.
Solu¸ tie. Din condi¸ tiile problemei, folosind de
ni¸ tia probabilit ¼a¸ tii clasice,
a¼am c ¼aP(AB) =3
106=P(A)P(B) =8
2012
20, de unde deducem c ¼a eveni-
mentele A¸ siBsunt dependente. Aceast ¼a concluzie, trebuie, însa, tratat ¼a
48
cu pruden¸ ta, aceasta
ind valabil ¼a doar pentru acest exemplu concret, dar
în care e¸ santionul nu este reprezentativ, deoarece numarul de 20 de studen¸ ti
nu este su
cient de mare pentru a lansa o cercetare statistica mai ampl ¼a.
Aceasta în po
da faptului c ¼a pare a
plauzibil ¼a ipoteza, conform c ¼areia
fumatul ar in uien¸ ta negativ acuitatea vederii. O atare cercetare, pentru
un numar nde studen¸ ti (persoane) su
cient de mare, dac ¼a ar da diferente
considerabile între frecven¸ ta relativ ¼afn(B)¸ si frecven¸ ta relativ ¼a condi¸ tionat ¼a
fn(B=A )=fn(A\B)=fn(A), atunci ipoteza în cauz ¼a ar
con
rmat ¼a statistic.
No¸ tiunea de independen¸ t ¼a a evenimentelor aleatoare poate
extins ¼a
(generalizat ¼a) asupra mai mult de dou ¼a evenimente.
De
ni¸ tia independen¸ tei evenimentelor (în totalitate ).Vom spune
ca evenimentele aleatoare A1,A2, … , An, legate de acela¸ si câmp de prob-
abilitate (
,F,P), sunt independente (in totalitate) daca P(Ai1Ai2:::A ik) =
P(Ai1)P(Ai2)P(Ai3):::P(Aik)pentru orice set de indici diferi¸ ti fi1,i2,…,ikg
din multimea de indici f1,2, …,ng,k= 2,3, …,n.
Remarca 2. Atunci când evenimentele A1,A2, … , Ansunt indepen-
dente (în totalitate) Formula Înmul¸ tirii Probabilit ¼a¸ tilor se simpli
c ¼a si are
forma
P(A1A2:::A n) =P(A1)P(A2)P(A3):::P(An).
Remarca 3. Independen¸ ta evenimentelor A1,A2, … , Andou¼a câte
dou¼a,mai exact, faptul c ¼aP(Ai1Ai2) =P(Ai1)P(Ai2)pentru orice set de
indici diferi¸ tifi1,i2gdin multimea de indici f1,2, …,ngnu garanteaz ¼a in-
dependen¸ ta lor în totalitate . Contraexemplul de mai jos con
rm ¼a aceast ¼a
a
rma¸ tie .
Contraexemplu ( Trei evenimente independente dou ¼a câte dou ¼a,
dar nu ¸ si independente în totalitate) .Consider ¼am aruncarea o singur ¼a
dat¼a a unui tetraedru regulat, cu centru de greutate simetric, fe¸ tele c ¼aruia
sunt colorate astfel: fa¸ ta-albastru, fa¸ ta 2-galben, fa¸ ta 3-ro¸ su, fa¸ ta 4-albastru,
galben, ro¸ su.
Ar¼at¼am ca evenimentele A=fva apare culoarea albastr ¼ag,G=fva apare
culoarea galben ¼ag,R=fva apare culoarea ro¸ sie gsunt independente 2 cate 2,
dar nu si in totalitate. Într-adev ¼ar,
P(A) =P(G) =P(R) =1
2; P(AG) =1
4=P(A)P(G) =1
21
2;
P(AR) =1
4=P(A)P(R) =1
21
2; P(GR) =1
4=P(G)P(R) =1
21
2;
49
dar
P(AGR ) =1
46=P(A)P(G)P(R) =1
21
21
2:
Propozi¸ tia 2. ( Formula lui Poisson ). Daca evenimentele Aksunt
independente (in totalitate) si probabilit ¼a¸ tile P(Ak)=pk,k=1,2,. . . ,nsunt
cunoscute, atunci probabilitatea
Pfse va produce cel pu¸ tin unul din evenimentele Akg=Pn[
k=1Ak
=
1 [(1 P(A1))(1 P(A2)):::(1 P(An)] = 1 [(1 p1)(1 p2): : :(1 pn)]:
Exemplul 3. Un aparat const ¼a din trei elemente care în timpul func¸ tion ¼arii
lui se pot deteriora, independent unul de altul. Not ¼am prin Ai=felementul
ise va deteriorag,i=1;2;3. S¼a se calculeze probabilitatea evenimentului
A=fse va deteriora un singur element g,B=fse va deteriora , cel pu¸ tin,
un elementg, dac¼a se ¸ stiu probabilit ¼a¸ tile: p1=P(A1)=0:13,p2=P(A2)=
0:06,p3=P(A3)=0:12.
Solu¸ tie. Vom exprima evenimentul aleator Aprin intermediul eveni-
mentelor A1; A2¸ siA3. Evenimentul Ase va produce, atunci si numai atunci
cand, se va deteriora primul element iar al doilea nu ¸ si al treilea nu, sau
se va deteriora al doilea element, iar primul – nu ¸ si al treilea nu, sause va
deteriora al treilea element, iar primul nu ¸ si al doilea nu. Prin urmare,
conform de
ni¸ tiilor opera¸ tiior asupra evenimentelor aleatoare, avem:
P(A)=P
A1A2A3[A1A2A3[A1A2A3
.
Calcul ¼am probabilitatea evenimentului Afolosind succesiv: formula de
adunare a probabilit ¼a¸ tilor pentru evenimente incompatibile (disjuncte) doua
câte dou ¼a, formula înmul¸ tirii probabilit ¼a¸ tilor evenimentelor independente (in
totalitate) ¸ si formula de calcul al probabilit ¼a¸ tii evenimentului opus.
P(A) = 0 :13(1 0:06)(1 0:12)+(1 0:13)0:06(1 0:12)+(1
0:13)(1 0:06)0:12=0:251 61 .
La calcularea valorii P(B) =P
3[
k=1Ak
se aplica Formula lui Poisson.
Deci, P(B)=1 (1 0:13)(1 0:06)(1 0:12)=0:280 34 .
Probleme propuse.
Tema: Independen¸ ta evenimentelor aleatoare.
1.Cum a¸ ti explica pe în¸ telesul unei persoane inteligente, dar care nu
cunoa¸ ste Teoria probabilit ¼a¸ tilor, care este deosebirea dintre independenta a
50
dou¼a evenimente aleatoare ¸ si proprietatea lor de a
incompatibile/disjuncte?
Pot
oare independente si incompatibile concomitent dou ¼a evenimente aleatoare
A¸ siB, legate de acela¸ si câmp de probabilitate (
;F; P)?
2.Sunt oare independente dou ¼a evenimente aleatoare A¸ siB, legate de
acela¸ si câmp de probabilitate (
;F; P)dac¼aP(A)>0,P(B)>0,AB=?
?
3.Ar¼ata¸ ti c ¼a dac ¼a un eveniment aleator Anu depinde de el însu¸ si, atunci
probabilitatea acestuia este egala cu 0 sau cu 1.
4.Juriul unui concurs consta din 3persoane care iau decizie corecta
independent unul de altul. Prima si a doua persoana iau decizie corecta cu
una si aceeasi probabilitate p;0< p < 1, iar cea de a treia, pentru a lua
decizie, arunca o moneda "perfecta". Decizia
nala se ia cu majoritate de
voturi. Cu ce este egala probabilitatea ca Juriul va lua o decizie corecta.
5.Presupunem ca un PC marca DELL produs in China este de caliate
superioara cu probabilitatea 0.7, iar acelasi calculator produs in Honkong
este de calitate superioara cu probabilitatea 0.8. Sunt luate la intamplare 3
PC-uri produse in China si 4 PC-uri produse in Honkong. Cu ce este egala
probabilitatea ca toate calculatoare vor
de calitate superioara.
6. Contraexemplu ( Trei evenimente pentru care probabilitatea
produsului lor coincide cu produsul probabilit ¼a¸ tilor lor, dar care nu
sunt independente in totalitate). Consider ¼am aruncarea unui zar "per-
fect" de dou ¼a ori succesiv. Ar ¼ata¸ ti c ¼a evenimentele A=fnum¼arul punctelor
ap¼arute la prima aruncare nu va întrece 3g,B=fnum¼arul punctelor ap ¼arute
la prima aruncare nu va
mai mic de 3¸ si, totodat ¼a, nu mai mare de 5g
¸ siC=fsuma punctelor ap ¼arute va
egal ¼a cu 9g. Ar¼ata¸ ti ca P(ABC ) =
P(A)P(B)P(C), dar A; B ¸ siCnu sunt independente dou ¼a câte dou ¼a, cu alte
cuvinte, nu sunt independente în totalitate .
Tema: Formula lui Poisson.
7.Presupunemm c ¼a3%din produc¸ tia de procesoare pentru telefoanele
mobile iPhone 6s , produse de
rma asociata, au defecte. Controlului sunt
supuse 20de procesoare luate la întâmplare. Cu ce este egala probabilitaea
c¼a printre ele se va depista, cel pu¸ tin, un procesor cu defecte?
8.Care este numarul minim de numere aleatoare din multimea de nu-
meref1;2; :::;9g, care te trebuie generate pe calculator, pentru a
siguri cu
probabilitatea nu mai mica decât 0:9, ca printre ele se va întâlni, cel putin
un num ¼ar par?
9.Presupunem cunoscut faptul ca intr-un experiment aleator Eproba-
bilitatea aparitiei, cel putin o data, a evenimentului Ain patru probe inde-
51
pendenteEeste egala cu 1=2. Cu ce este egal ¼a probabilitatea evenimentului
Adaca aceasta este aceeasi in
ecare proba E.
1.8. Formulele probabilit ¼a¸ tii totale si a lui Bayes
No¸ tiunile introduse permit calcularea probabilit ¼a¸ tilor unor evenimente
mai complicate, cunoscând unele probabilit ¼a¸ ti, inclusiv condi¸ tionate, mai
u¸ sor de identi
cat. Este vorba de urm ¼atoarea
Teorem ¼a(Formulele probabilit ¼a¸ tii totale ¸ si a lui Bayes). Dac¼a
A¸ siH1,H2, …,Hn,…sunt evenimente aleatoare legate de acela¸ si câmp de
probabilitate (
,F,P)¸ si satisfac condi¸ tiile :
a) evenimentul Aimplica producerea a cel putin unuia din eveni-
mentele H1,H2, …,Hn,…, adic ¼aAH1[H2[:::;
b) evenimentele H1,H2, …,Hn, …sunt incompatibile dou ¼a câte dou ¼a,
adic¼aHi\Hj=?,8i6=j,i; j1;
c) P(Hi)>0,
atunci au loc formula probabilit ¼a¸ tii totale (FPT)
P(A) =X
k1P(A=H k)P(Hk)
¸ si formula lui Bayes
P(Hj=A) =P(Hj)P(A=H j)P
k1P(A=H k)P(Hk),pentru orice j1.
Remarc ¼a.Probabilitatea P(A)se nume¸ ste probabilitate apriori deoarece
aceasta este calculat ¼a înainte de a se efectua experimentul aleator corespun-
z¼ator; gra¸ tie condi¸ tiei a)evenimentele H1,H2, …, Hn, … se mai numesc
ipoteze, iar probabilitatile P(Hj=A),j1se numesc probabilit ¼a¸ tiaposteri-
orideoarece acestea sunt probabilit ¼a¸ ti ale ipotezelor, probabilit ¼a¸ ti recalculate
in condi¸ tia c ¼a drept rezultat în urma experimentului s-a produs evenimentul
A.
Exemplul 1 (Problema Monty-Hall ) .Aceast ¼a problem ¼a a fost popu-
larizat ¼a în Statele Unite de o emisiune de divertisment a canalului CBS din
1963.
Concurentul este pus în fa¸ ta a trei u¸ si. În spatele a dou ¼a u¸ si este câte
o capr ¼a iar în spatele unei u¸ si este o ma¸ sin ¼a. Scopul jocului este desigur
52
c⸠stigarea ma¸ sinii. Juc ¼atorul va c⸠stiga ce se a ¼a în spatele u¸ sii alese. Par-
ticipantul trebuie s ¼a aleag ¼a o u¸ s ¼a. Apoi, prezentatorul îi deschide o alt ¼a
u¸ s¼a, din celelalte dou ¼a r¼amase, în spatele c ¼areia este o capr ¼a. Apoi îl între-
ab¼a dac ¼a vrea sau nu s ¼a î¸ si schimbe alegerea ini¸ tial ¼a în favoarea u¸ sii a treia.
Aceast ¼a întrebare genereaz ¼a, de fapt, problema calcularii a doua probabilitati
corespunz ¼atoare respect ¼arii a dou ¼a strategii de joc.
Strategia 1: Participantul nu-¸ si schimb ¼aalegerea ini¸ tial ¼a.
Strategia 2: Participantul î¸ si schimb ¼aalegerea ini¸ tial ¼a.
Care dintre strategii conduce la o probabilitate mai mare de a c⸠stiga
ma¸ sina?
Solu¸ tie. Deoarece participantul alege, la început, la întâmplare una
din cele trei u¸ si, rezulta c ¼a nu conteaza în spatele c ¼arei u¸ si se a ¼a ma¸ sina.
A¸ sa c ¼a presupunerea c ¼a ma¸ sina se a ¼a în spatele u¸ sii num ¼arul 1nu afecteaz ¼a
rezolvarea problemei. Consider ¼am evenimentul A=fparticipantul va c⸠stiga
ma¸ sinag. Observ ¼am c ¼a acest eveniment implic ¼a valabilitatea a cel pu¸ tin
uneia din ipoteze Hi=fparticipantul va alege ini¸ tial u¸ sa cu num ¼arulig,i= 1,
2,3.
În aceste nota¸ tii, evenimentele A,Hi, veri
ca condi¸ tiile aplic ¼arii FPT
P(A)=P(A=H 1)P(H1)+P(A=H 2)P(H2)+P(A=H 3)P(H3), unde P(Hi) = 1 =3,
i= 1,2,3, indiferent de strategia folosit ¼a. În cazul folosirii Strategiei 1 avem:
P(A=H 1) = 1 , iarP(A=H 2)=P(A=H 3) = 0 , prin urmare P(A)=11
3+01
3+0
1
3:În cazul folosirii Strategiei 2 avem: P(A=H 1) = 0 , iarP(A=H 2)=P(A=H 3) =
1, prin urmare P(A)=01
3+11
3+11
3=2
3. În concluzie, aplicarea Strategiei
2 este mai e
cient ¼a deoarece m ¼are¸ ste ¸ sansele c⸠stig ¼arii ma¸ sinii de dou ¼a ori
fa¸ t¼a de cazul aplic ¼arii Strategiei 1.
Exemplul 2 (Problema lui Lewis Carrol) .Într-o cutie se a ¼a o bil ¼a,
despre culoarea c ¼areia se ¸ stie c ¼a este alb ¼a sau neagr ¼a cu una ¸ si aceea¸ si prob-
abilitate. Întroducem în aceast ¼a cutie o bil ¼a alb ¼a, dup ¼a care extragem la
intâmplare o bil ¼a.
a) Cu ce este egal ¼a probabilitatea c ¼a bila extras ¼a va
de culoare alb ¼a.
b) Cu ce este egala probabilitatea ca bila initiala este de culoare alba,
dac¼a bila extras ¼a este alb ¼a.
Solu¸ tie. Întroducem evenimentul A=fbila extras ¼a va
alb ¼ag¸ si ipotezele
H1=fbila ini¸ tial a at ¼a în cutie va
alb ¼ag,H2=fbila ini¸ tial a at ¼a în cutie va
neagr ¼ag. Din condi¸ tiile problemei deducem ca: a)AH1[H2;b)H1\
H2=?;c)P(H1)=P(H2)=1
2, ceea ce înseamn ¼a c¼a sunt valabile condi¸ tiile în
care putem aplica formulele probabilit ¼a¸ tii totale ¸ si a lui Bayes. Prin urmare,
53
deoarece P(A=H 1) = 1 ,P(A=H 2) =1
2,
a)P(A)=P(A=H 1)P(H1) +P(A=H 2)P(H2)=11
2+1
21
2=3
4;
b)P(H1=A)=P(H1)P(A==H 1)
P(A)=1
21
3
4=2
3.
În concluzie, întroducerea arti
ciala a unei bile suplimentare de culoare
alb¼a mare¸ ste probablitatea evenimentului Ade la 1=2la2=3.
Probleme propuse
1.S¼a se rezolve Problema Monty-Hall din exemplul 1 anterior în pre-
supunerea c ¼a alegerea Strategiei 1sau2este una randomizat ¼acu probabili-
tatea p,0p1. Mai exact, dupa ce participantul a f ¼acut alegerea ini¸ tial ¼a,
acesta arunc ¼a o moned ¼a deformat ¼a, astfel încât Stema apare cu probabili-
tatea piar Banul cu probabilitatea 1 p. Dac ¼a apare Stema, atunci partic-
ipantul opteaz ¼a pentru Strategia 1, în caz contrar opteaz ¼a pentru Strategia
2. S¼a se arate c ¼a în cazul alegerii randomizate a strategiei probabilitatea
P(A) = (4 p)=6, prin urmare ¸ sansele maxime de c⸠stigare a ma¸ sinii core-
spund valorii p= 0, ceeea ce corespunde folosirii, numai ¸ si numai, a Strategiei
2.
2.Un lot de PC-uri, din care 10%sunt cu defecte, este supus controlului
calitatii. Schema controlului este de asa natura, incat defectul (daca acesta
exista) este depistat cu probabilitatea 0:95, iar probabilitatea ca un calcu-
lator fara defecte va
declarat defect este egala cu 0:03. Cu ce este egala
probabilitatea ca un calculator ales la intamplare din lot va
declarat de-
fect? Cu ce este egala probabilitatea ca PC-ul ales la intamplare intr-adevar
este defect daca se stie ca acest PC a fost, in urma controlului, declarat a
defect?
3.Consideram ca la un magazin de calculatoare au fost aduse un lot
de PC-uri marca HP, din care 30% sunt produse in China, 20%-in Singa-
pore si 50%-in Honkong. Cu ce este egala probabilitatea ca un PC cumparat
la intamplare are defecte ascunse daca astfel de defecte au 20% de calcula-
toare produse in China, 10%-cele produse in Singapore si 5%-cele produse
in Honkong? Cu ce este egala probabilitatea ca PC-ul cumparat la intam-
plare este produs in China , daca se stie ca acesta s-a dovedit a avea defecte
ascunse?
4.Intr-o cutie sunt 20de mingi de tenis, din care 15sunt noi noute, iar
5sunt folosite la joc. Pentru primul joc sunt alese la intamplare doua mingi,
dupa care sunt puse la loc in cutie. Pentru jocul urmator sunt alese, la fel,
doua mingi. Cu ce este egala probabilitatea ca ambele mingi alese pentru cel
de al doilea joc vor
noi noute? Cu ce este egala probabilitatea ca pentru
54
primul joc au fost extrase 2mingi noi noute daca se stie ca mingiile extrase
pentru cel de al doilea joc s-au dovedit a
noi noute?
5.Avem doua cutii, astfel incat in prima cutie se a a 6bile albe si 4bile
negre, iar intr-a doua cutie se a a 3bile albe si 2bile negre. Din prima cutie
este extrasa la intamplare o bila si pusa intr-a doua cutie. dupa care dintr-a
doua cutie este extrasa la intamplare o bila. Cu ce este egala probabilitatea
ca aceasta va
de culoare alba? Cu ce este egala probabilitatea ca din prima
cutia a fost extrasa o bila alba daca se stie ca din cutia a doua a fost extrasa
o bila alba?
6.Presupunem exact una din 10 000 000 de monede perfecte are im-
primata Stema pe ambele parti ale ei. Cu ce este egala probabilitatea ca
este aleasa moneda cu ambele fete marcate cu Stem ¼a daca se stie ca in urma
aruncarii ei de 10ori succesiv a aparut Stema?
7.Se stie ca mesajele scurte (SMS-urile) transmise prin intermediul tele-
foniei mobile sunt codi
cate cu ajutorul cifrelor/semnalelor 0sau1. Pre-
supunem ca transmiterea semnalelor este supusa bruiajelor, astfel incat sunt
deformate 2=5semnale 0si1=3semnale 1. Presupunem ca ponderea sem-
nalului 0in mesajul transmis este egala cu 5=8iar ponderea semnalului 1
este egala cu 3=8. Cu ce este egala probabilitatea receptionarii corecte a
primului semnal din mesaj daca se stie ca a fost receptionat: a) semnalul 0;
b) semnalul 1.
8.Presupunem ca avem un lot de 5PC-uri despre care se stie, doar, ca
este echiprobabila orice ipoteza Hkdespre numarul kde PC-uri defecte in
acest lot, k= 0;1;2; :::;5. Care ipoteza are probabilitatea cea mai mare daca
se stie ca, alegand la intamplare un PC, acesta s-a dovedit a
cu defecte?
9.Sa se determine probabilitatea ca intr-un lot de 1000 de calculatoare
nu exista niciunul cu defecte, daca se stie ca 100de calculatoare din acest
lot, supuse controlului, s-au dovedit a
fara defecte, presupunand ca sunt
valabile, cu una si aceeasi probabilitate, oricare din ipotezele Hk=fnumarul
de calculatoare defecte, printre cele 1000 de calculatoare din lot, este egal cu
kg,k= 0;1;2;3;4;5.
10. Intr-o cutie sunt 7bile albe si 3bile negre. Sunt extrase la in-
tamplare, fara intoarcere, doua bile, din care una s-a dovedit a
de culoare
neagra. Cu ce este egal ¼a probabilitatea ca cealalt ¼a bil¼a extras ¼a este alb ¼a.
11.O reprezentan¸ t ¼a pentru vânz ¼ari de automobile cunoa¸ ste, din expe-
rien¸ ta anterioar ¼a c¼a 10% din cei care viziteaz ¼a showroom-ul ¸ si discut ¼a cu
un vânz ¼ator vor cump ¼ara în cele din urm ¼a o ma¸ sin ¼a. Pentru a m ¼ari ¸ sansele
de succes, reprezentan¸ ta ofer ¼a o cin ¼a gratuit ¼a cu un agent de vânz ¼ari pentru
55
to¸ ti oamenii care sunt de acord s ¼a asculte o prezentare complet ¼a a vânz ¼arilor.
Aceasta ¸ stiind c ¼a unii vor face totul pentru o cin ¼a gratuit ¼a, chiar dac ¼a nu
inten¸ tioneaz ¼a s¼a cumpere o ma¸ sin ¼a, iar unii ar prefera s ¼a nu petreac ¼a o cin ¼a
cu un vânz ¼ator de ma¸ sini. Pentru a testa e
cacitatea acestui stimulent de
promovare a vânz ¼arilor proiectul este derulat pentru 6 luni, constatând c ¼a
40% dintre persoanele care au cump ¼arat ma¸ sini au avut o cin ¼a gratuit ¼a. În
plus, 10% din persoanele care nu au cump ¼arat ma¸ sini au avut o cin ¼a gratuit ¼a.
Conducerea este interesat ¼a în a a a dac ¼a:
a) Oamenii care accept ¼a cina au o probabilitate mai mare de a cump ¼ara
o ma¸ sin ¼a noua?
b) Care este probabilitatea ca o persoan ¼a care nu accept ¼a o cin ¼a gratuit ¼a
s¼a achizi¸ tioneze o ma¸ sin ¼a?
12.Pe baza unei examin ¼ari a înregistr ¼arilor anterioare ale soldurilor con-
turilor unei societ ¼a¸ ti, un auditor constat ¼a c¼a 15% au con¸ tinut erori. Din
aceste solduri în eroare, 60% au fost considerate ca
ind valori neobi¸ snuite
bazate pe istoricul activit ¼a¸ tii societ ¼a¸ tii. Din totalul tuturor soldurilor con-
tului, 20% prezentau valori neobi¸ snuite. Dac ¼a cifra pentru un anumit sold
pare neobi¸ snuit ¼a pe aceast ¼a baz ¼a, cu ce este egal ¼a probabilitatea c ¼a acesta
con¸ tine erori?
2. Variabile aleatoare
2.1. Întroducere
În leg ¼atur¼a cu modelarea matematica a experimentelor aleatoare (ce
posed ¼a proprietatea regularit ¼a¸ tii statistice) trebuie sa ¸ tinem cont c ¼a, în re-
alitate interes prezint ¼a, deseori, nu rezultatele posibile (evenimentele ele-
mentare) ca atare ci ni¸ ste m ¼arimi numerice ce depind de acestea. De exem-
plu, intr-un sondaj ce vizeaz ¼a cercetarea veniturilor salariale ale angaja¸ tilor,
sa zicem, din sfera bugetar ¼a, interes prezint ¼a venitul salarial al unui angajat
inclus în e¸ santion, nu persoana în cauz ¼a. Cu alte cuvinte vom avea de a aface
cu o marime (variabil ¼a) ce depinde de evenimentele elementare, doar salariul
variaz ¼a de la angajat la angajat. No¸ tiunea matematica corespunz ¼atoare este
cea de variabil ¼a aleatoare care in Statistic ¼a mai este cunoscuta ¸ si sub den-
umirea de caracteristic ¼a sau variabil ¼a statistic ¼a. Dar în legatur ¼a cu
ecare
eveniment elementar putem asocia una, dou ¼a sau mai multe caracteristici
statistice. Astfel, in exemplul nostru,
ec ¼arui angajat din sfera bugetara îi
56
putem asocia astfel de caracteristici ca marimea salariului, nivelul de studii,
vârsta, etc. Drept consecin¸ t ¼a, se impune introducerea no¸ tiunilor de variabile
aleatoare unidimensionale, multidimensionale.
2.2. Variabil ¼a aleatoare (unidimensional ¼a), func¸ tia ei de
distribu¸ tie (reparti¸ tie)
Pentru început vom introduce no¸ tiunea de variabil ¼a aleatoare unidimen-
sional ¼a.
De
ni¸ tia 1. Fie(
;F; P)un câmp de probabilitate, atunci vom numi
variabil ¼a aleatoare (v.a.) de
nit ¼a pe acest câmp orice aplica¸ tie (func¸ tie) X:
!Rcare veri
c ¼a condi¸ tia
f!2
:X(!)6xg2F pentru orice x2R:(1)
Remarca 1. Dac¼a suntem in cazul discret, adic ¼a, în cazul când spatiul
de evenimente elementare
este o multime
nit ¼a sau, cel mult, num ¼arabil ¼a,
atunci câmpul (familia) de evenimente aleatoare Fcoincide cu familia tu-
turor submul¸ timilor din
. Prin urmare, in acest caz, putem numi variabila
aleatoare orice aplica¸ tie X:
!R, deoarece in caz discret condi¸ tia ca
f!2
:X(!)6xg2F pentru orice x2Rare loc automat.
Evenimentul care
gureaz ¼a în condi¸ tia (1) se noteaz ¼a, pe scurt, astfel:
f!:X(!)6xg, saufX6xg. M¼arimea X(!)se nume¸ ste valoare a variabilei
aleatoare X. Din condi¸ tia (1) rezult ¼a c¼a pentru orice x2Rputem determina
probabilitatea evenimentului aleator fX6xg.
În calitate de exemple de v.a. întâlnite in practic ¼a putem lua: suma de
puncte ap ¼arute la aruncarea unui zar de dou ¼a ori, durata func¸ tion ¼arii unui
dispozitiv electronic, num ¼arul de particule alfa emise de o substan¸ t ¼a radioac-
tiv¼a într-o unitate de timp, cantitatea anual ¼a de precipita¸ tii atmosferice într-o
anumit ¼a regiune, num ¼arul de apeluri telefonice înregistrate pe parcursul a 24
de ore la o statie de ajutor medical, num ¼arul de accidente auto înregistrate pe
parcursul unui anumit interval de timp, num ¼arul desp ¼agubirilor sau valoarea
total¼a a desp ¼agubirilor platite de o Companie de Asigur ¼ari, etc., etc.
Este important sa facem deosebire dintre v.a. X¸ si multimea ei de valori
posibileX. De exemplu, daca Xreprezinta multimea de puncte ap ¼arute la
aruncarea unui zar o singura dat ¼a, atunci X2X =f1,2, …, 6gR.
57
De
ni¸ tia matematic ¼a a no¸ tiunii de v.a. este su
cient de exibil ¼a. Aceasta
se vede din
Propriet ¼a¸ tile variabilei aleatoare. a) Dac ¼aXeste o variabil ¼a aleatoare ,
atunci pentru orice a,b2R,a < b sunt evenimente aleatoare ¸ si prin urmare
sunt de
nite probabilit ¼a¸ tile lor pentru
fX > ag,fXag,fX=ag,fa < Xbg,fa < X < bg, etc.;
b) Fie (
;F; P)un câmp de probabilitate, a2R, iar X:
!R
¸ siY:
!Rsunt variabile aleatoare. Atunci sunt variabile aleatoare ¸ si
func¸ tiile: 1) aX; 2)Xk,k=1,2, …;3)X Y;4)X+Y;5)XY;6)1=Y
dac¼aY(!)6= 0,8!2
;7)X = Y dac¼aY(!)6= 0,8!2
;8)Xa.
c) În genere, daca avem un ¸ sir
nit de v.a. de
nite pe unul si acelasi
câmp de probabilitate, atunci v.a. va
si orice functie de aceste variabile,
in caz c ¼a aceasta este functie continua. Astfel suma de v.a., diferenta lor,
produsul lor, minimumul sau maximumul de aceste variabile, etc., vor
v.a.
Drept alternativ ¼a la no¸ tiunile de v.a. X¸ si de câmp de probabilitate
(
;F; P)pe care este de
nit ¼a aceasta, privite, în ansamblu ca model matem-
atic ce descrie comportamentul probabilist al v.a. X, se folose¸ ste pe larg, in-
clusiv în Statistica Matematic ¼a, no¸ tiunea de func¸ tie de distribu¸ tie (reparti¸ tie)
a v.a. X.
De
ni¸ tia 2. Fie(
;F; P)un câmp de probabilitate ¸ si X:
!Ro
variabil ¼a aleatoare de
nit ¼a pe el .Atunci func¸ tia F:R !Rde
nit ¼a prin
rela¸ tia
F(x) =P(Xx),pentru orice x2R;(2)
se nume¸ ste func¸ tie de distribu¸ tie (f.d.) sau de reparti¸ tie a v.a. X, numit ¼a
¸ sifunc¸ tie cumulativ ¼a de distribu¸ tie (f.c.d.) .
Remarca 2. Func¸ tia cumulativ ¼a de distribu¸ tie este, de fapt, imag-
inea teoretic ¼a a func¸ tiei empirice din Statistica Descriptiv ¼a, mai exact a
frecven¸ telor relative cumulate cresc ¼ator.
Exemplul 1. În legatur ¼a direct ¼a cu aruncarea unei monede "perfecte" o
singur ¼a dat ¼a vom descrie f.d. a numarului Xde "steme" ap ¼arute ¸ si vom trasa
gra
cul ei. Observ ¼am ca valorile posibile ale lui Xsunt valori dinX2f 0;1g,
unde P(X2X) = 1 . Atunci f.d. a v.a. X
F(X) =P(Xx) =8
<
:P(?), pentru orice x < 0,
Pfstema nu va apare g, pentru orice 0x < 1,
Pf
g, pentru orice 1x,
58
8
<
:0, pentru orice x < 0,
1
2, pentru orice 0x < 1,
1, pentru orice 1x.
Folosind func¸ tia indicator
IA(x) =1, pentru x2A;
0, pentru x =2A;
observ ¼am c¼a func¸ tia de distribu¸ tie F(x)poate
scris ¼a intr-o form ¼a mai com-
pacta: F(x)=1
2I[0;1)(x)+I[1;+1)(x).
Gra
cul acestei functii este urm ¼atorul
Teorem ¼a.(Propriet ¼a¸ tile caracteristice ale f.d. ).Dac¼aF(x)este o
f.d. a unei v.a., atunci au loc urm ¼atoarele propriet ¼a¸ ti:
10:F(x) este monoton nedescresc ¼atoare ,adic¼a,F(x1)F(x2)deîndat ¼a
cex1x2;
20:F(x) este continu ¼a la dreapta pentru orice x2R,adic¼a, pentru orice
¸ sir monoton descrescator de valori xncare tinde la x,atunci când ntinde
la+1,sirul corespunz ¼ator de valori F(xn)are drept limit ¼a valoarea F(x),
fapt ce se noteaza ,pe scurt ,F(x+ 0) = F(x);
30: F( 1) = 0 ¸ siF(+1) = 1 .
Remarca 3. Importanta Teoremei anterioare rezid ¼a in faptul ca propri-
et¼a¸ tile 10-30sunt caracteristice numai ¸ si numai func¸ tiilor de distribu¸ tie in
sensul c ¼a, are loc ¸ si reciproca acestei teoreme, conform c ¼areia: pentru orice
func¸ tie F:R !Rce posed ¼a aceste propriet ¼a¸ ti putem construi (neunivoc)
59
un câmp de probabilitate (
;F; P)¸ si o v.a. Xde
nit ¼a pe el, astfel încât
func¸ tia ei de distribu¸ tie coincide cu F. In concluzie, orice func¸ tie F(x)poate
privita ca un model matematic ce descrie o Legitate (distribu¸ tie, reparti¸ tie)
probabilist ¼a a unei v.a., deîndata ce a aceasta func¸ tie posed ¼a propriet ¼a¸ tile
10-30.
Propozi¸ tie (F ormule de calcul ale probabilit atilor pe baza f:d: )
FieXo v.a. cu f.d. F(x).Atunci pentru orice a < b ,a; b2R,au loc
urmatoarele formule de calcul ale probabilit ¼a¸ tilor:
a)P(a < Xb) =F(b) F(a);
b)P(X > a ) = 1 F(a);
c)P(X=a) =F(a) F(a 0),prin F(a 0)
ind notat ¼a limita la
stânga a func¸ tiei Fîn punctul a;
d)P(aXb) =F(b) F(a 0);
e)P(a < X < b ) =F(b 0) F(a);
f)P(aX < b ) =F(b 0) F(a 0).
Remarca 4. Din formula c)rezult ¼a c¼a, atunci când f.r. este continu ¼a,
P(X=a) = 0 , deorece în acest caz ¸ si F(a 0) = F(a).
Remarca 5. În continuare vom spune c ¼a gra
cele care au forma celui
din exemplul anterior sunt gra
ce de form ¼a scarat ¼a. Acestea ne permit sa
restabilim cu u¸ sirin¸ t ¼a reparti¸ tia v.a., mai exact, mul¸ timea de valori posibile
ale v.a. corespunz ¼atoare, ca
ind punctele de salt ale gra
cului, iar proba-
bilit¼a¸ tile corespunz ¼atoare coincid cu în ¼al¸ timile treptelor în cauz ¼a.
Exemplul 2. Olaf Motors, Inc. este un dealer auto într-un mic ora¸ s
sudic din SUA. Pe baza unei analize a acestuia istoriei vânz ¼arilor sale , man-
agerii ¸ stiu c ¼a în
ecare zi num ¼arul de ma¸ sini Prius vândute poate varia de la
0la5. Cum poate func¸ tia de distribu¸ tie F(x)a num ¼arului Xde ma¸ sini vân-
dute într-o zi s ¼a
e utilizat ¼a pentru plani
carea stocului zilnic daca se stie c ¼a
F(x)=0:15I[0;1)(x)+0:45I[1;2)(x)+0:65I[2;3)(x)+0:85I[3;4)(x)+0:95I[4;5)(x)+I[5;+1)(x).
Solu¸ tie. Variabila aleatoare X2X =f0;1;2;3;4;5g. Deoarece P(X
4) = F(4) = 0 :95, rezult ¼a c¼a dac ¼a Olaf Motors va tine zilnic în stoc 4
autoturisme Prius, atunci clientii vor
pe deplin satisfacu¸ ti în 95% de
cazuri, pe cand daca acest dealer va ¸ tine zilnic în stoc 2autoturisme, atunci
în35% de cazuri vor exista clien¸ ti cu solicit ¼ari de cump ¼arare nesatisfacute,
deoarece P(X > 2) = 1 F(2) = 1 0:65 = 0 :35:
Exemplul 3. Consider ¼am func¸ tia F(x) = (1 e 2x)I[0;+1)(x). Ob-
serv¼am c ¼aF(x)are toate propriet ¼a¸ tile caracteristice f.d., ceea ce se vede ¸ si
din gra
cul ei de mai jos ca este o functie monoton crescatoare, continu ¼a si
pentru care F( 1) = 0 ,F(+1) = 1 . Aceasta se vede ¸ si din gra
cul ei dat
60
mai jos
Prin urmare putem considera ca F(x)descrie comportamentul proba-
bilist al unei v.a. X, valorile c ¼areia sunt concentrate pe intervalul [0;+1),
deoarece:
P(X0) = F(0) = 1 e 20= 1 1 = 0
iar
P(X > 0) = 1 F(0) = 1 (1 e 20) = 1 0 = 1 :
Probleme propuse.
1.Considerând func¸ tia de distribu¸ tie F(x)din exemplul anterior ca
ind func¸ tia de distribu¸ tie a duratei vie¸ tii X(m¼asurat ¼a în ani) a unui corp
de iluminat pe baz ¼a de neon, a a¸ ti valorile urm ¼atoarelor probabilit ¼a¸ ti: a)
P(X1); b)P(X > 1); c)P(X= 1); d)P(X > 0). Ar¼ata¸ ti c ¼a în acest caz
P(a < Xb)=P(aXb)=P(aX < b )=F(b) F(a)=e 2a e 2b,
pentru orice ab,a,b2R.
2.Care din urmatoarele exemple reprezinta func¸ tii de distribu¸ tie, adic ¼a
sunt modele probabiliste ale unor variabile aleatoare?
a)F(x)=(1 p)I[0;1)(x)+I[1;+1)(x),p2(0;1); b)F(x)=1
4I[0;1)(x)+1
8I[1;2)(x)+I[2;+1)(x);
c)F(x)=1
4I[0;1)(x)+1
2I[1;2)(x)+I[2;+1)(x); d)F(x)=xI[0;1](x)+I(1;+1)(x); e)
F(x)=2xI[0;1](x)+I(1;+1)(x); f) Trasa¸ ti gra
cul
ecarei func¸ tii.
2.3. Variabile aleatoare de tip discret, distribu¸ tii (reparti¸ tii)
În Teoria Probabilit ¼a¸ tilor sunt studiate 3 tipuri de v.a.: discrete, (absolut)
continue si singulare, interesante din punct de vedere ale aplica¸ tiilor
ind doar
primele dou ¼a. Vom începe cu variabilele aleatoare discrete (v.a.d.).
61
FieXo v.a. de
nit ¼a pe câmpul probabilist (
,F,P).
De
ni¸ tia 1. Variabila Xse nume¸ ste variabil ¼a aleatoare de tip discret
dac¼a mul¸ timea valorilor posibile ale acesteia este
nit ¼a sau in
nit ¼a, cel mult
numerabil ¼a, mai exact, dac ¼a putem identi
ca o mul¸ time de forma X=fx1,x2,
…,xngsauX=fx1,x2, …, xn,…gcu proprietatea P(X2 X ) = 1 , unde
x1<x 2<…< x n<… .
Drept exemple de v.a. de tip discret putem lua numarul de steme ap ¼arute
la aruncarea unei monede de nori, num ¼arul de puncte ap ¼arute la aruncarea
unui zar o singur ¼a data, num ¼arul de apeluri telefonice inregistrate la Urgen¸ ta
Medical ¼a pe parcursul a 24de ore, num ¼arul de erori descoperite în urma
compil ¼arii unui soft, num ¼arul de cump ¼ar¼atori, dintr-un num ¼ar total de n
cump ¼ar¼atori,care au cump ¼arat un anume produs comercial, etc.,etc.
În paragraful anterior am vazut c ¼a orice v.a. Xde
nit ¼a pe câmpul proba-
bilist (
,F,P)poate
modelat ¼a matematic într-o manier ¼a echivalent ¼a, cu
ajutorul fun¸ tiei ei de distributie F(X)=P(XX). Dup ¼a cum vom vedea
în cazul v.a. de tip discret, mai exist ¼a înc¼a o alternativ ¼a, echivalent ¼a cu f.d.
De
ni¸ tia 2. Vom numi distribu¸ tie (reparti¸ tie) probabilist ¼a(simplu, dis-
tribu¸ tie ) a v.a. Xsetul de perechi ordonate (xi; pi)i1sau tabloul de forma
X:x1x2::: x n:::
p1p2::: p n:::
, unde pi=P(X=xi)0,i1,X
i1pi= 1:
Urm¼atoarea a
rma¸ tie arat ¼a c¼a, în caz discret, f.r. ¸ si distribu¸ tia v.a. X
sunt dou ¼a forme echivalente de modelare matematica (probabilist ¼a) a ei.
Propozi¸ tie. F.d. ¸ si distribu¸ tia unei v.a. Xde tip discret sunt legate
între ele conform urm ¼atoarelor formule:
a)F(x) =P
i:xixpi;
b) mul¸ timea de valori posibile ale v.a. Xcoincide cu mul¸ timea X=fx1,
x2, …,xn, …g=fx2R:F(x) F(x 0)>0giar probabilt ¼a¸ tile
pi=P(X=xi)=F(xi) F(xi 0),i1.
Remarc ¼a. Din aceast ¼a propozi¸ tie rezult ¼a c¼a f.d. ¸ si distribu¸ tia unei v.a.
de tip discret sunt dou ¼a forme echivalente de modelare probabilist ¼a ce descriu
legea care guverneaz ¼a comportamentul probabilist al v.a.. Mai mult, o v.a.
de tip discret este de
nit ¼a, dac ¼a se cunoa¸ ste legea ei de reparti¸ tie: sau sub
form¼a de func¸ tie de reparti¸ tie, sau sub form ¼a de reparti¸ tie. Mai observ ¼am c¼a
formula de leg ¼atur¼a dintre distribu¸ tia ¸ si f.d. a v.a X(vezi p.a) din propozidia
62
de mai sus) mai poate
scris ¼a ¸ si în forma
F(x) =X
i1piI[xi;+1)(x).
Exemplul 1. Revista The American Almanac of Jobs and Salaries, a
comunicat, în urma unui studiu statistic pe anii 1994-95, c ¼a din num ¼arul total
de absolven¸ t licencia¸ ti la specializarea Contabilitate care si-au gasit un loc de
munc ¼a 25% s-au angajat în sectorul public. Cu ce este egala probabilitatea
ca alegand la întamplare 15 astfel de absolven¸ ti vom descoperi ca cel pu¸ tin
3 dintre ei vor
angaja¸ ti din sectorul public.
Solu¸ tie. Spatiul de evenimente elementare poate
descris ca
ind
=f(a1,a2, …,a15):ak2f0,1g,k=1;15g, unde
ak=1,daca absolventul nr. kva
unul angajat din sectorul public ,
0,în caz contrar.
Câmpul de evenimente aleatoare F=fA:A
g, iar pentru
ecare
eveniment elementar f(a1,a2, …, a15)g=15\
k=1fakg, ¸ stiind ca evenimentele
aleatoarefakgsunt independente si probabilit ¼atile lor sunt egale cu
Pfakg= (0:25)ak(1 0:25)1 ak= (0:25)ak(0:75)1 ak,k=1;15,
putem determina probabilitatea lui
Pf(a1; a2; :::; a 15)g=Pfa1gPfa2g:::Pfa1g=15Y
k=1(0:25)ak(0:75)1 ak=
= (0:25)15P
k=1ak(0:75)15 15P
k=1ak:
Deci pentru orice eveniment A2F putem calcula probabilitatea lui dupa
formula:
P(A) =X
Pf(a1; a2; :::; a 15)g.
(a1;a2;:::;a 15)2
:(a1;a2;:::;a 15)2A
Not¼am prin Xnum¼arul absolven¸ tilor angaja¸ ti în sectorul public din cei
15 absolven¸ ti angaja¸ ti în câmpul muncii. Observ ¼am ca Xpoate
privit ¼a ca
ind v.a de
nit ¼a pe câmpul de probabilitate (
,F,P)mai sus, unde X2f0,
63
1, …, 15gcu probabilitatea 1, fX=kg=f(a1,a2, …,a15)2
:X(a1,a2, …,
a15) =kg=f(a1,a2, …,a15)2
:a1+a2+ …+ a15=kg,k=1;15. Prin
urmare putem spune ca
PfX=kg=X
Pf(a1; a2; :::; a 15)g
(a1;a2;:::;a 15)2
:(a1;a2;:::;a 15)2fX=kg=
=X
Pf(a1; a2; :::; a 15)g
(a1;a2;:::;a 15)2
:a1+a2+:::+a15=k=
X
(0:25)15P
k=1ak(0:75)15 15P
k=1ak
(a1;a2;:::;a 15)2
:a1+a2+:::+a15=k=
(0:25)k(0:75)15 kX
1
(a1;a2;:::;a 15)2
:a1+a2+:::+a15=k=
card (f(a1; a2; :::; a 15)2
:a1+a2+:::+a15=kg)(0:25)k(0:75)15 k=
=Ck
n(0:25)k(0:75)15 k,k=1;15:
V.a. Xare distribu¸ tia data de formula PfX=kg=Ck
n(0:25)k(0:75)15 k,k=
1;15. Atunci evenimentul A=fcel pu¸ tin 3 din 15 absolven¸ ti vor
angaja¸ ti
din sectorul public g=fX3g, iarP(A) = 1 P(A) = 1 P(X < 3). Dar,
P(X < 3) = P(fX= 0g[fX= 1g[fX= 2g) =
P(fX= 0g[fX= 1g[fX= 2g) =
PfX= 0g+PfX= 1g+PfX= 2g=3X
k=0Ck
n(0:25)k(0:75)15 k= 0:236088 :
Or,P(X3) = 1 0:236088 = 0 :763 91 .
Modelul (distribu¸ tia) probabilist ¼a dat ¼a de formula
PfX=kg=Ck
n(0:25)k(0:75)15 k; k=1;15
reprezint ¼a un caz particular al distribu¸ tiei numit ¼abinomial ¼a.
Probleme propuse.
64
1.O unitate medicala specializat ¼a trateaza 10 pacien¸ ti afecta¸ ti de o
infectie bacterial ¼a letal ¼a. Acestora li se aplica un antibiotic e
cien¸ ta c ¼aruia
este con
rmat ¼a experimental, ca
ind egala cu 95% din cazuri favorabile
raportat la numarul total de cazuri. Dac ¼a tratamentul nu este e
cient, atunci
pacientul decedeaz ¼a.
a) Identi
ca¸ ti v.a. ce descrie numarul de pacienti care au supravie¸ tuit
infectiei în urma aplicarii antibioticului. Descrieti multimea de valori posibile
a acestei variabile. Ce reprezint ¼a câmpul de evenimente aleator corespunz ¼ator
acestei v.a.
b) Prin analogie cu Exemplul 1 din p.2.3., asocia¸ ti reparti¸ tia (modelul)
ce descrie comportamentul probabilist a v.a. întroduse.
c) Calcula¸ ti probabilitatea ca vor supravie¸ tui to¸ ti cei 10 pacien¸ ti supu¸ si
tratamentului.
d) Dar cu ce este egal ¼a probabilitatea ca vor deceda, cel mult, 2 pacien¸ ti.
e) În cazul deced ¼arii, s ¼a zicem, a 5 pacien¸ ti, Ministerul Ocrotirii S ¼an¼at¼a¸ tii
declan¸ seaz ¼a o investiga¸ tie privind corectitudinea practicilor unit ¼a¸ tii medicale.
Ce argumente pot
aduse în favoarea acestei investiga¸ tii guvernamentale.
f) A a¸ ti f.d. a v.a. cercetate ¸ si trasa¸ ti gra
cul ei.
2.Magazinul "Torrent Computers" specializat în vânzarea calculatoarelor
a stabilit, în baza activi¸ tii sale de lunga durat ¼a, c¼a num ¼arulXde calculatoare
vândute zilnic este guvernat ¼a de distribu¸ tia
X:0 1 2 3 4 5 6
0:05 0 :1 0:2 0:2 0:2 0:15 0 :1
:
Calcula¸ ti urm ¼atoarele probabilit ¼a¸ ti: a) P(3X6); b)P(X > 3); c)
P(X4); d)P(2< X5).
3.V.a. Xreprezint ¼a suma punctelor aparute la aruncarea unui zar
"perfect" de doua ori succesiv. A a¸ ti distribu¸ tia probabilist ¼a a v.a. X¸ si
calcula¸ ti probabilitatea ca Xva lua valori din intervalul [ 1;4).
4.V.a. Xreprezint ¼a produsul punctelor aparute la aruncarea unui zar
"perfect" de doua ori succesiv. A a¸ ti distribu¸ tia probabilist ¼a a v.a. X¸ si
calcula¸ ti probabilitatea ca Xva lua valori din intervalul [ 1;0).
5.V.a. Xreprezint ¼a numarul minim din cele doua numere de puncte
aparute la aruncarea unui zar "perfect" de doua ori succesiv.A a¸ ti distribu¸ tia
probabilist ¼a a v.a. X¸ si calcula¸ ti probabilitatea ca Xva lua valori din inter-
valul [ 1;5).
6.V.a. Xreprezint ¼a numarul maxim din cele doua numere de puncte
aparute la aruncarea unui zar "perfect" de doua ori succesiv. A a¸ ti dis-
65
tribu¸ tia probabilist ¼a a v.a. X¸ si calcula¸ ti probabilitatea ca Xva lua valori
din intervalul [ 1;5).
7.Monet ¼aria statului utilizeaz ¼a o ma¸ sin ¼a de ¸ stan¸ tat monede. La
ecare
¸ stan¸ tare se produc 10monede. Num ¼arul de ordine a ¸ stan¸ t ¼arii de la care
ma¸ sina se defecteaz ¼a ¸ si incepe sa produca monede rebutate poate
privit
ca o v.a. Xa carei distribu¸ tie probabilist ¼a are forma P(X=k)=q(1
p)k 1If1;2;3;:::g(k), unde p2(0;1).
a)Exista vre-o restrictie la alegerea constantei q? Daca da, preciza¸ ti
care anume? b)Este oare v.a. Xde tip discret sau de tip (absolut) con-
tinuu? De ce? c)Dac¼a se ¸ stie ca probabilitatea defect ¼arii ma¸ sinii chiar de
la prima ¸ stan¸ tare este este egal ¼a cu 0:5, concretiza¸ ti cum arat ¼a ditribu¸ tia
probabbilist ¼a. Calcula¸ ti probabilitatea c ¼a ma¸ sina se va defecta la ¸ stan¸ tarea
a10-a.d)Deduce¸ ti formula de calcul pentru valorile f.d. F(x)=P(Xx)
¸ si calcula¸ ti cu ajutorul ei probabilitatea c ¼a ma¸ sina va efectua f ¼ar¼a defecte
cel pu¸ tin 10¸ stan¸ t ¼ari.e)Calcula¸ ti probablitatea c ¼a ma¸ sina va efectua f ¼ar¼a
defecte cel pu¸ tin 20¸ stan¸ t ¼ari dac ¼a se ¸ stie c ¼a aceasta a efectuat f ¼ar¼a defecte
cel pu¸ tin 10¸ stan¸ t ¼ari.
2.4. Variabile aleatoare de tip (absolut) continue, densit ¼a¸ ti de
distribu¸ tie (reparti¸ tie)
Pentru început vom relua Exemplul 3 din p.1.5 în care experimentul
aleator considerat rezid ¼a în aruncarea /alegerea la întâmplare a unui punct
din intervalul [0;1]. Din punct de vedere matematic acest experiment se
descrie, cum am vazut, de campul de probabilitate geometric ¼a(
,F,P),
unde
=[0;1],F=fA
:exist¼a mes AgiarP(A) =mesA
mes
. Daca vom
nota prin Xcoordonata unui punct aruncat la întâmplare pe intervalul [0;1];
atunci Xdevine v.a. de
nit ¼a pe câmpul de probabilitate (
,F,P), unde
X(!) = !, pentru orice !2
. Mai mult ca atât, dat
ind speci
cul
campului de probabilitatye geometric ¼a func¸ tia ei de distribu¸ tie
F(x) =P(Xx) =mes(
\( 1; x))
mes
=8
<
:0,dac¼ax < 0,
x,dac¼ax2[0;1],
1,dac¼ax > 1.
Observam c ¼a f.d. F(x)este nu numai continu ¼a, dar si derivabil ¼a cu
f(x) =dF(x)
dx=0,dac¼ax =2[0,1],
1,dac¼ax2[0;1],0,pentru orice x2R.
66
În plus,
F(x) =xZ
1f(u)du.
Faptul ca v.a. Xdin exemplul nostru ia valori dintr-o multime in
nit ¼a
nenum ¼arabil ¼a(de putere continuum) cu f.d. continu ¼a ¸ si pentru care exista
o functie nenegativa f:R ! [0;+1)cu proprietatea de mai sus face ca
toate v.a. cu propriet ¼a¸ ti similare s ¼a scoat ¼a în eviden¸ t ¼a un tip aparte de v.a.
marcat de urm ¼atoarea
De
ni¸ tie. Vom spune c ¼a v.a. Xeste o v.a. de tip (absolut) continu ¼a
dac¼a pentru func¸ tia ei de distribu¸ tie F(x) = P(Xx)exsta o func¸ tie
f(x)0,8x2R, astfel încât
F(x) =xZ
1f(u)du.
Func¸ tia f(x)cu aceste dou ¼a propriet ¼a¸ ti se nume¸ ste densitate de distribu¸ tie
(reparti¸ tie) a probabilit ¼a¸ tilor, pe scurt, (d.d).
Remarca 1. F.d., dar si d.r. analizate în exemplul de mai sus poart ¼a den-
umirea de distribu¸ tie uniform ¼a pe [0;1], iar experimentul (imaginar) descris
mai sus poate
simulat (imitat) pe calculator, folosind orice limbaj de pro-
gramare evoluat (C++, Java, etc.) in baza functiei program Random, acce-
sarea c ¼areia conduce la generarea unei valori a unei v.a. Xuniform distribuite
pe acest interval. Dealtfel aceasta func¸ tie program, împreun ¼a cu varianta ei
discret ¼a stau la baza algoritmilor de simulare (generare) a valorilor v.a. Xcu
distributia probabilista arbitrar ¼a. Cu alte cuvinte, cu ajutorul calculatoru-
lui putem simula orice fenomen aleator, deîndat ¼a ce este cunoscut ¼a legitatea
probabilist ¼a sub forma ei de distribu¸ tie.
Drept alte exemple de v.a. de tip (absolut) continue putem lua durata
vie¸ tii unui dispozitiv electronic, durata dintre doua apeluri telefonice succe-
sive inregistrate la un post telefonic, durata dintre doua despagubiri succesive
acordate de o companie de asigur ¼ari, eroarea de masurare cu ajutorul unui
indstrument de m ¼asurare, în ¼al¸ timea unui barbat (femeie) ales (aleas ¼a) la în-
tâmplare dintr-o popula¸ tie a unei ¸ t ¼ari anume, etc., toate acestea
ind exem-
ple de v.a. ale caror valori posibile formeaz ¼a o mul¸ time in
nit ¼a nenum ¼arabil ¼a.
Remarca 2. Cuvântul "absolut" din De
ni¸ tie nu este luat întâmpl ¼ator
în paranteze, deoarece in Teoria probabilt ¼a¸ tilor se reg ¼asesc exemple de v.a.
67
ale c¼aror f.d. este continu ¼a, dar care nu satisfac condi¸ tiilor suplimentare
impuse asupra f.d. pentru ca v.a. corespunz ¼atoare s ¼a
ev.a. de tip (absolut)
continu ¼a. Este vorba de v.a. de tip singular care in acest curs nu vor
abordate, datorit ¼a faptului ca aceste nu au o aplicatie practica evident ¼a.
Folosirea cuvântului "densitate" , la fel, nu apare întâmpl ¼ator în denumirea
dedensitate de reparti¸ tie a probabilit ¼a¸ tilor , deoarece acesta ne aminte¸ ste de
sensul
zic al densit ¼a¸ tii. Intr-adevar, pentru orice v.a. Xde tip absolut
continu ¼a cu f.d. F(x), are d.d. f(x)ce poseda proprietatea c ¼a pentru o
valoare4x > 0oricât de mic ¼a
P(x < Xx+4x) =F(x+4x) F(x) =x+4xZ
1f(u)du xZ
1f(u)du=
x+4xZ
xf(u)du'f(x)4x:
În plus, toate v.a. Xde tip (absolut) continuu, dat
ind faptul c ¼a acestea
au functii de distribu¸ tie continue, au proprietatea c ¼a pentru orice numar real
a
P(X=a) =F(a) F(a a) =F(a) F(a) = 0 .
Din acela¸ si motiv
P(a < Xb) =P(aXb) =P(a < X < b ) =P(aX < b ) =
=F(b) F(a) =bZ
af(u)du;
iar
P(X > a ) =P(Xa) = 1 F(a) =+1Z
af(u)du.
Similar cu cazul discret, si in cazul (absolut) continuu d.d. f(x)este
o alternativ ¼a la f.d. F(x)a v.a. privita ca model matematic ce descrie
comportamentul probabilist al v.a. X. Concluzia aceasta se poate trage din
urmatoarea
68
Propozi¸ tie (Legatura dintre d.d. ¸ si f.d., propriet ¼a¸ tile d.d) .Dac¼a
Xeste o v.a. de tip (absolut) continu ¼a , atunci f.d. F(x) =P(Xx)¸ si
d.d. corespunz ¼atoare f(x)au propriet ¼a¸ tile
1o:Cunoscând f.d. F(x) =P(Xx)a v.a. Xputem restabili d.d.
corspunz ¼atoare F(x);conform rela¸ tiei
f(x) =dF(x)
dx;
2o:Cunoscând d.d. f(x)a v.a. Xputem restabili f.d. corspunz ¼atoare
F(x);conform rela¸ tiei
F(x) =xZ
1f(u)du;
3o:Orice func¸ tie f(x)nenegativ ¼a, integrabil ¼a Riemann pe R¸ si pentru care
+1Z
1f(x)dx= 1
reprezint ¼a o d.d. probabilist ¼a a unei v.a. Xde tip (absolut) continu ¼a.
Remarca 3. MultimeaX=fx2R:d.d.f(x)a v.a. Xare proprietatea
c¼af(x)>0garat¼a c¼a valorile posibile ale v.a. Xsunt concentrate pe X.
Într-adevar:
1 =+1Z
1f(x)dx=Z
Xf(x)dx+Z
RrXf(x)dx=Z
Xf(x)dx+Z
RrX0dx=Z
Xf(x)dx.
Exemplul 1. Multe modele legate de cercetarea unor fenomene aleatoare
ce apar în domeniile tehnicii ,asigur ¼arilor, demogra
ei,
nan¸ telor, etc., vizeaza
v.a. de tip absolut continuu ale caror comportament probabilist este descris
prin intermediul densita¸ tii de distribu¸ tie de forma
f(x) =0,dac¼ax < 0,
e x,dac¼ax0:=e xI[0;+1)(x)
unde parametrul > 0.
69
Cum f(x)0¸ si
+1Z
1f(x)dx=0Z
10dx++1Z
0e xdx= (1 e x)j+1
0= (1 0) (1 1) = 1 ;
din proprietatea 3oformulat ¼a în propozitia anterioar ¼a, conchidem c ¼af(x)
reprezint ¼a un model matematic a unei v.a. Echivalentul acestui model este
f.d. corespunz ¼atoare d.d. f(x), adic ¼a
F(x) =xZ
1f(u)du=0,dac¼ax < 0,
1 e x,dac¼ax0:= (1 e x)I[0;+1)(x).
Acest model poart ¼a denumirea de distribu¸ tie probabilist ¼a exponen¸ tial ¼acu
parametrul > 0(a se vedea exemplele 9, din p.1.3 ¸ si 3, din p.2.2.).
Probleme propuse.
1.Care din urmatoarele func¸ tii pot
considerate ca
ind d.d. (modele
probabiliste) ale unor v.a.: a) f(x)=e 0:25xI[0;+1)(x); b)f(x)=0:25e 0:25xI[0;+1)(x);
c)f(x)=x, pentru orice x2R;
d)f(x)=2xI[0;1](x). În acele cazuri în care f(x)este d.d. trasa¸ ti gra
cul
ei, determina¸ tii f.d. corespunz ¼atoare ¸ si trasa¸ ti gra
cul ei.
2.Pentru
ecare din urm ¼atoarele exemple s ¼a se determine valoarea con-
stantei kastfel încât func¸ tia f(x)s¼a
e o d.d., dupa care determina¸ ti f.d.
F(x)corespunz ¼atoare d.d. f(x)¸ si trasa¸ ti gra
cele lor:
a)f(x)=k(x 1)I[1;3](x); b) f(x)=kxI [0;3](x); c)f(x)=kx3I[0;2](x); d)
f(x)=k(sinx)I[0;=2](x); e)f(x)=k(cosx)I[ =2;=2](x); f)f(x)=kpxI[0;4](x).
3.Pentru
ecare din urm ¼atoarele exemple de f.d. F(x)s¼a se deter-
mine d.d. f(x)corespunz ¼atoare: a) F(x)=[1 e x(1 + x)]I[0;+1)(x); b)
F(x)=1
2xR
1e t2
2dt; c)F(x)=(x+2)
4I[ 2;2](x).
4.Pentru estimarea cantit ¼a¸ tii zilnice Qde combustibil, solicitate unei
rme de aprovizionare cu combustibil auto,
rma în cauz ¼a folose¸ ste formula
Q=100 10p+E, unde p2[0;8].Ereprezdntând eroarea de estimare,
aceasta este o v.a. dat ¼a de d.d. f(x) =I[ 20;20](x):Cantitatea Qsolicitata se
masoar ¼a în mii de galoane, iar pre¸ tul peste exprimat în dolari per galon.
a)Cu ce este egal ¼a probabilitatea c ¼a va
solicitat ¼a o cantitate de com-
bustibil mai mare decât 70 000 de galoane, dac ¼a pre¸ tul este egal cu 3$ga-
lonul? Dar pentru pre¸ tul de 4$per galon? b)Dac¼a ¸ stim costul mediu variabil
70
de furnizare a benzinei f ¼ar¼a plumb, c ¼a este dat de formula C(Q)=pQ=2, ce
v.a. poate
utilizat ¼a pentru a reprezenta pro
tul zilnic în func¸ tie de pre¸ tul
variabil p?c)Cu ce este egal ¼a probabilitatea c ¼a pro
tul zilnic va
unul
pozitiv dac ¼a pret¸ tul de vânzare este stabilit s ¼a
e 4$per galon/ Dar daca
pre¸ tul este egal cu 5$? Dar 3$?
2.5. Variabile aleatoare mixate discrete-continue
Multitudinea de modele probabiliste ale v.a. des întâlnite in cercetarea
fenomenelor aleatore din lumea înconjur ¼atoare cuprinde, înafar ¼a de v.a. de
tip discret ¸ si de tip (absolut) continue, v.a. distribu¸ tiile probabiliste ale
c¼arora întrunesc propriet ¼a¸ ti ale ambelor tipuri de v.a. Este vorba de vari-
abilele aleatoare mixate discrete-continue.
Exemplu. Consider ¼am v.a. Xce reprezint ¼a durata vie¸ tii, masurat ¼a în
mii de ore, a memoriei hard a unui laptop marca HP. În Exemplul 9 din
p.1.3. distributia probabilista propusa corespundea unei v.a. aleatoare de
tip (absolut) continue cu f.d. F(x)=(1 e 10 6x)I[0;+1)(x). Prin urmare
probabilitatea evenimentului A=funui laptop nou nou¸ t îi va pica memoria
hard chiar la prima lui pornire g=fX= 0geste egal ¼a cu zero (a se vedea
Remarca 2 din paragraful anterior). In realitate, îns ¼a, aceasta probabilitate
chiar dac ¼a este mic ¼a este, totu¸ si, nenul ¼a. Urmatorul exemplu de f.d. a
duratei vie¸ tii memoriei hard a unui laptop marca HP ia în calcul o astfel de
posibilitate. Sa zicem, c ¼a
F(x) = 0 :05If0g(x) + 0 :95(1 e 10 6x)I(0;+1)(x).
Propriet ¼a¸ tile caracteristice f.d.
ind respectate, rezulta ca func¸ tia F(x)
poate
luat ¼a în calitate de model matematic ce descrie mai adecvat com-
portamentul probabilist al v.a. Xîn cazul c ¼a serviciul cu controlul cal-
it¼a¸ tii constat ¼a c¼a în 5% din astfel de calculatoare hardul a picat chiar de
la prima pornire. Într-adev ¼ar,P(X= 0) = 0 :25, iar probabilitattea c ¼a
memoria hard va avea o durat ¼a de via¸ t ¼a mai mare decât Teste egala cu
P(X > T ) = 1 P(XT) = 1 [0:25If0g(x) +0:75(1 e 10 6x)I(0;+1)(t)].
Astfel, pentru T= 0,P(X > 0) = 1 0:25 = 0 :75, iar pentru T= 43800
ore, adica aproximativ 5ani,P(X > 43800) = 1 P(X43800) . Dar
P(X43800) = P(X= 0)+ P(0< X43800) = 0 :05+(F(43800) F(0)) =
71
0:05 + 0 :95[0:05 + (1 e 10 643800) 0:05] =
0:05 + 0 :95(1 e 10 643800) = 9 :071 210 2.
Prin urmare, P(X > 43800) = 1 9:071 210 2= 0:909 29 :
Comparând probabilitatea P(X > 43800) = 0 :957 15 c¼a durata vie¸ tii
memoriei hardului va
mai mare de 5ani, în cazul în care nu este luat în
calcul faptul c ¼a serviciul cu controlul calit ¼a¸ tii constat ¼a c¼a în 5%din astfel de
calculatoare hardul a picat chiar de la prima pornire, cu aceea¸ si probabilitate
în caz ca informa¸ tia în cauz ¼a este surprins ¼a in model, probabilitate care este
egal¼a cu 0:909 29 ;deducem ca în ultimul caz ¸ sansele de supravie¸ tuire a unui
astfel de calculator mai mult de 5 ani s-au diminuat cu peste 4%.
Func¸ tia de distribu¸ tie anlizat ¼a în exemplul de mai sus se încadreaz ¼a în
urm¼atoarea
De
ni¸ tie. Vom numi v.a. mixat ¼a discret ¼a-continu ¼aorice v.a. Xdac¼a
functia ei de distribu¸ tie F(x)are forma
F(x) =pFd(x) + (1 p)Fc(x);
unde 0p1; Fd(x)reprezintând o f.d. de tip discret iar Fc(x)o f.d. de
tip (absolut) continu ¼a.
Astfel, în exemplul de mai sus avem c ¼ap= 0:05,
Fd(x) =If0g(x) =0,dac¼ax6= 0,
1,dac¼ax= 0;
iar
Fd(x) = (1 e 10 6x)I[0;+1)rf0g(x) =
(1 e 10 6x),dac¼ax > 0,
0,dac¼ax0:
Remarc ¼a.Apelând la forma speci
c ¼a de scriere a f.d. in cazurele discret
¸ si absolut continuu, deducem ca
Fd(x) =X
i1piI[xi+1](x);
¸ si corespunde unei v.a. discrete X1date de distribu¸ tia
X1:x1x2::: x n:::
p1p2::: p n:::
, unde pi=P(X=xi)0,i1,X
i1pi= 1;
72
iar
Fc(x) =xZ
1f(u)du
¸ si corespunde unei v.a. (absolut) continue X2d.d. f(x). În acest sens, v.a.
Xdat¼a de f.d.
F(x) =pX
i1piIfxixg(x) + (1 p)xZ
1f(u)du
prezint ¼a un amestec (mixaj) de propriet ¼a¸ ti ale v.a. discrete, dar ¸ si a v.a.
(absolut) continue.
Probleme propuse.
1.Dac¼a presupunem c ¼a autobusul de ruta dat ¼a circul ¼a la intervale de
timp egale cu T0,T0>0, atunci in calitate de model matematic ce descrie
timpul de a¸ steptare Xa unui pasager sosirea în statie a acestui autobus,
putem lua v.a. Xde tip (absolut) continue cu d.d. f(x) =1
T0I[0;T0](x). Cu
alte cuvinte f.d. a timpului Xde a¸ steptare este dat ¼a de
F(x) =P(Xx) =xZ
11
T0I[0;T0](t)dt,
adic¼a v.a. Teste uniform distribuit ¼ape intervalul închis [0; T0]. Conform
acestui model, avem c ¼a probabilit ¼a¸ tile P(X= 0)=P(X=T0)=0. În real-
itate, îns ¼a, se poate întâmpla (cei drept cu o probabilitate foarte mica) ca
pasagerul sa prinda autobusul chiar odat ¼a cu sosirea sa în statie atunci du-
rata lui de a¸ steptare X=0sau, dimpotriva, ca pasagerul sa soseasc ¼a chiar în
momentul când autobusul a inchis u¸ sile si pleac ¼a, atunci acesta va trebui sa
a¸ stepte autobusul o durat ¼a de timp X=T0. S¼a zicem c ¼a aceste probabilit ¼ati
sunt egale, respectiv cu P(X= 0)=P(X=T0)=0:025, în rest comportamen-
tul probabilist al v.a. X,
ind descris de modelul descris mai sus.
a) Ar ¼a¸ ti c¼a, în realitate, tumpul de a¸ steptare este o v.a. Xdat¼a de f.d.
F(x) = 0 :025If0;1g(x) + 0:95xZ
11
T0I(0;T0)(t)dt;
73
b) Trasa¸ ti gra
c, func¸ tiile F(x)¸ siF(x);
c) Calcula¸ ti si compara¸ ti perechile de probabilit ¼a¸ tiP(0< XT0),
P(0< XT0)¸ siP(0< XT0=2),P(0< XT0=2).
2.6. Variabil ¼a aleatoare multidimensional ¼a (vectorial ¼a), func¸ tia
ei de distribu¸ tie, func¸ tii de distribu¸ tie marginale
În paragrafele anterioare din acest capitol am introdus conceptul de vari-
abila aleatoare, ca
ind o singur ¼a func¸ tie cu valori numerice de
nit ¼a pe
mul¸ timea evenimentelor elementare ce pot
observate într-un experiment
aleator, dar problemele practice vizeaz ¼a ¸ si cazuri când interes prezint ¼a com-
portamentul probabilistic a dou ¼a sau chiar mai multe astfel de (v.a.) func¸ tii
legate de unul ¸ si acela¸ si experiment aleator (câmp de probabilitate). De
exemplu, din punctul de vedere al unei cercet ¼ari statistice, interes prezint ¼a
comportamentul probabilistic a unei perechi de variabile aleatoare (X1; X2),
unde X1reprezinta nivelul de studii iar X2venitul anual al unui angajat
în câmpul muncii ales la întâmplare din Republica Moldova. Dealtfel, orice
cercetare bazat ¼a pe un sondaj statistic, ce implica un e¸ santion (x1,x2, …,xn)
de observa¸ tii f ¼acute asupra unei v.a. X, pentru a aplica Statistica Matem-
atic¼a se admite punctul de vedere a matematicianului, conform c ¼aruia (x1,
x2, …,xn)pot
privite ca
ind nv.a. independente, identic distribuite ca ¸ si
v.a.X¸ si aceasta, spre deosebire de punctul de vedere a statisticianului, care
a înregistrat (colectat) ni¸ ste valori numerice concrete x1,x2, …,xn. Toate
aceste exemple conduc la notiunea de v.a. multidimensionale sau vectoriale.
De
ni¸ tia 1. Vom numi variabil ¼a aleatoare n dimensionala (vectorial ¼a)
orice vector X=(X1,X2, …,Xn), unde X1,X2, …,Xnsunt v.a. de
nite pe
unul ¸ si acela¸ si câmp de probabilitate (
;F; P).
Urm¼atoarea Teorem ¼a ne ofer ¼a o de
ni¸ tie echivalent ¼a a no¸ tinii de v.a.
multidimensional ¼a.
Teorema 1. Vectorul X= (X1,X2, …,Xn)este o v.a. n-dimensional ¼a
de
nit ¼a pe câmpul de probabilitate (
,F,P)dac¼a ¸ si numai dac ¼a mul¸ timea
f!2
:X1(!)x1; X2(!)x2; :::; X n(!)xng2F ,8(x1; x2; :::; x n)2Rn.
Remarca 1. Aceasta teorem ¼a garanteaz ¼a, de fapt, c ¼a pentru orice v.a.
X= (X1,X2, …,Xn)mul¸ timile invocate sunt evenimente aleatoare ¸ si prin
urmare putem calcula probabilit ¼a¸ tile lor, care pe scurt pot
scrise ca
ind
74
P(Xx) =P(X1x1; X2x2; :::; X nxn), unde x= (x1; x2; :::; x n)2Rn:
Mai mult, drept consecin¸ ta, se poate ar ¼ata c ¼a evenimente aleatoare sunt si
mul¸ timile, de exemplu, de forma
(a1< X 1b1; a2< X 2b2; :::; a n< X nbn),
(a1< X 1; a2< X 2; :::; a n< X n);
pentru orice (a1,a2, …,an),(b1,b2, …,bn)2Rn,aibi,i=1; n, etc. Dar
anume astfel de mul¸ timi ¸ si prezint ¼a interes din punct de vedere practic. Mai
observ ¼am c ¼a no¸ tiunea de v.a. multidimensional ¼ageneralizeaz ¼a no¸ tiunea de
v.a. studiat ¼a anterior ¸ si care poate
privit ¼a ca v.a. unidimensional ¼a.
Ca ¸ si pentru v.a. unidimensionale, drept alternativ ¼a la no¸ tiunile de vector
aleator X= (X1,X2, …,Xn)¸ si de câmp de probabilitate (
;F; P)pe care
este de
nit acesta, în ansamblu privite ca model matematic ce descrie com-
portamentul probabilist al v.a. X, se folose¸ ste pe larg, inclusiv în Statistica
Matematic ¼a, no¸ tiunea de func¸ tie de distribu¸ tie a unei v.a. multidimensionale
X.
De
ni¸ tia 2. Fie(
;F; P)un câmp de probabilitate ¸ si X= (X1,X2, …,
Xn) :
!Rno variabil ¼a aleatoare n-dimensional ¼a de
nit ¼a pe el .Atunci
func¸ tia F:Rn !Rde
nit ¼a prin rela¸ tia
F(x) =P(Xx) =F(x1; x2; :::; x n) =
=P(X1x1; X2x2; :::; X nxn),8x= (x1; x2; :::; x n)2Rn
se nume¸ ste func¸ tie de distribu¸ tie (f.d.) a v.a. n-dimensionale Xsaufunc¸ tie
de distribu¸ tie (în ansamblu) a v.a. X1,X2, …,Xn.
Exemplul 1. În leg ¼atur¼a cu experimentul aleator ce const ¼a în aruncarea
unei perechi de zaruri "perfecte" consider ¼am v.a. X¸ siY, ce coincid, respec-
tiv, cu indicatorul evenimentului A=fsuma punctelor ap ¼arute va
par ¼ag
¸ siB=fprodusul punctelor ap ¼arute va
par ¼ag. S¼a se determine func¸ tia de
distribu¸ tie a v.a. bidimensionale (X; Y ).
Solu¸ tie. Deoarece mul¸ timea de valori posibile al v.a. Xsau ale v.a.
Yeste mul¸ timeaf0;1g, rezult ¼a c¼a v.a. bidimensional ¼a(X; Y )ia valori din
mul¸ timeaf(0;0),(0,1),(1;0),(1;1)g. Folosind de
ni¸ tia clasic ¼a a¼am c ¼a
P(X= 0; Y= 0)=P(AB) = 0 ,P(X= 0; Y= 1)=P(A B ) = 1 =2,P(X=
75
1; Y= 0)=P(AB) = 1 =4,P(X= 1; Y= 1)=P(AB) = 1 =4. F.d. F(x; y)a
v.a. (X,Y)este o func¸ tie de
nit ¼a pentru orice (x,y)2R2. Dar, ¸ tinând cont
de probabilit ¼a¸ tile anterioare, deducem c ¼aP(Xx,Yy)=0;pentru orice
(x; y)2( 1;0)( 1;+1)[[0;1)( 1;1)[[1;+1)( 1;+0);
P(Xx; Yy) = 1 =2, pentru orice (x; y)2[0;1)[1;+1),P(Xx,
Yy)=1=4;pentru orice (x; y)2[1;+1)[0;1),P(Xx,Yy)=1;
pentru orice (x; y)2[1;+1)[1;+1). Cu alte cuvinte, am de
nit f.d.
F(x; y)pe intreg spa¸ tiul R2.
Teorema 2 (Propriet ¼a¸ tile caracteristice f.d. ale v.a. multidimen-
sionale ) Ca ¸ si în cazul func¸ tiilor de o singur ¼a variabila ,o func¸ tie de n-
variabile F(x1,x2, …,xn)de
nit ¼apeRncu valori în Rpoate
considerat ¼a
f.d. a unui vector aleator n-dimensional dac ¼a ¸ si numai dac ¼a aceasta posed ¼a
urmatoarele propriet ¼a¸ ti
10:1P
"1=01P
"2=0…1P
"n=0( 1)"1+"2+:::+"nF("1a1+ (1 "1)b1,"2a2+ (1 "2)b2,
…,"nan+ (1 "n)bn)0deîndat ¼a ce (a1,a2, …,an),(b1,b2, …,bn)2Rn,
a1b1,a2b2, …,anbn;
20: F(x1,x2, …,xn)este continu ¼a la dreapta pentru
ecare variabil ¼axi
în parte ,adic¼a,
lim
ak#xiF(x1; x2; :::; a k; :::; x n) =F(x1; x2; :::; x i; :::; x n)
pentru orice ¸ sir monoton descrescator de valori akcare tinde la xi,atunci
când ktinde la +1,fapt ce se noteaza ,pe scurt ,
F(x1; x2; :::; x i+ 0; :::; x n) =F(x1; x2; :::; x i; :::; x n);
30:lim
xi ! 1F(x1; x2; :::; x n) =F(x1; x2; :::; 1; :::; x n) = 0 pentru8i=
1; n¸ siF(+1;+1; :::;+1) = lim
xi !+1;i=1;nF(x1; x2; :::; x n) = 1 .
Remarca 2. Ca ¸ si în cazul f.d. ale v.a. unidimensionale, pentru f.d. ale
v.a. multidimensionale este valabila Remarca 3, p.2.2., ceea ce arata c ¼a orice
functie de nvariabile care satisface proprieta¸ tile 10 30de mai sus poate
considerat ¼a un model probabilist, adic ¼a f.d. a unei v.a. multidimensionale.
Mai mult, are loc urm ¼atoarea
Propozi¸ tie. Dac¼a v.a. X= (X1,X2, …,Xn)este dat ¼a de f.d. F(x1,x2,
…,xn), atunci:
76
a)
P(a1< X 1b1; a2< X 2b2; :::; a n< X nbn) =
1X
"1=01X
"2=0:::1X
"n=0( 1)"1+"2+:::+"nF("1a1+(1 "1)b1; "2a2+(1 "2)b2; :::; " nan+(1 "n)bn);
(a1,a2, …,an),2Rn,a1b1,a2b2, …,anbn;
b) f.d. Fi(x)a
ec ¼arei v.a. Xiîn parte poate
ref ¼acut¼a din f.d. în
ansamblu a v.a. (X1,X2, …,Xn)dup¼a formula
Fi(x) =F(+1;+1; :::; x; :::; +1):
Consecin¸ t ¼a.Dac¼a v.a. X= (X1,X2)este dat ¼a de f.d. F(x1,x2),
atunci:
P(a1< X 1b1; a2< X 2b2) =F(b1; b2)+F(a1; a2) F(a1; b2) F(b1; a2);
deîndat ¼a cea1b1,a2b2:
De
ni¸ tia 3. Func¸ tiile de distribu¸ tie determinate conform p.b) din propozi-
tia anterioar ¼a se numesc f.d. marginale ale v.a. Xi,i=1; n.
Exemplul 2. Consider ¼am urm ¼atoarea func¸ tie de doua variabile
F(x; y) =8
<
:0,dac¼amin(x; y)<0;
min(x; y),dac¼a0min(x; y)<1;
1,dac¼a1min(x; y):
S¼a se arate ca F(x; y)este o f.d. a unei v.a. bidimensionale (X; Y )¸ si s¼a
se a e f.d. a
ec ¼arei v.a.
Solu¸ tie. Propriet ¼a¸ tile 10 30caracteristice f.d. de mai multe variabile
se veri
c ¼a cu u¸ surin¸ ta, ¸ tinând cont ¸ si de faptul c ¼amin(x; y)este o func¸ tie
continu ¼a ca func¸ tie de dou ¼a variabile x; y, deoarece min(x; y) = ( x+y
jx yj)=2. Prin urmare F(x; y)poate
privita ca
ind o f.d. a unei v.a.
(X; Y ):Atunci, conform punctului b) din propozitia de mai sus distribu¸ tiile
(marginale) a
ecarei v.a. în parte sunt egale, respectiv, cu
FX(x) =F(x;+1) =8
<
:0,dac¼ax < 0;
x,dac¼a0x1;
1,dac¼a1< x;
FY(y) =F(+1;) =8
<
:0,dac¼ay <0;
y,dac¼a0y1;
1,dac¼a1< y:
77
Concluzie: ambele v.a. X¸ siYsunt (a se vedea remarca 1 din p.2.4.) uniform,
identic distribuite pe segmentul [0;1].
2.7. Tipurile de variabile aleatoare multidimensionale
(bidimensionale), distribu¸ tii, densit ¼a¸ ti de distribu¸ tie,
independen¸ ta v.a.
F¼ar¼a a afecta cazul general, pentru simplitate, vorbind despe variabile
aleatore vectoriale de dimensiunea n;vom considera cazul n= 2, adic ¼a vom
considera cazul v.a. bidimensionale. A¸ sadar,
e (X; Y )o v.a. bidimensional ¼a
de
nit ¼a pe câmpul de probabilitate (
;F; P)sau, ceea ce este echivalent,
dat¼a (guvernat ¼a) de func¸ tia de distribu¸ tie F(x:y), notat pe scurt (X; Y )
(
;F; P)sau(X; Y )f:d: F (x:y). Ca ¸ si în cazul v.a. unidimensionale,
din punct de vedere al aplica¸ tiilor lor practice, cele ma des sunt întâlnite
v.a. multidimensionale de tip discret ¸ si de tip (absolut) continue, inclusiv in
varianta lor mixat ¼a discert-continue.
Dac¼a o v.a. este de tip discret se poate a a folosind
De
ni¸ tia 1. Vom spune ca v.a. (X; Y )este o v.a. de tip discret dac¼a
ecare din v.a. (unidimensionale) X,Yeste v.a de tip discret.
Din de
ni¸ tie rezult ¼a c¼a v.a. (X; Y )este o v.a. de tip discret dac ¼a mul¸ tim-
ile de valori posibile X,Yale v.a. X; Y au formeleX=fx1,x2, …,xngsau
X=fx1,x2, …,xn,…g¸ si respectivY=fy1,y2, …,yngsauY=fy1,y2, …,yn,…g,
cu proprietatea P((X; Y )2 XY ) = 1 , unde x1<x 2<…< x n<… iar
y1<y2<…< y n<…,XY
ind produsul cartezian ale mul¸ timilor X,Y.
De
ni¸ tia 2. Vom numi distribu¸ tie probabilista a v.a. bidimensionale
de tip discret (X; Y )orice set de forma f(xi; yj),pijgi;j1sau orice tabel de
forma
XnY y 1y2::: y j:::
x1 p11p12::: p 1j:::
x2 p21p22::: p 2j:::
::: ::: ::: ::: ::: :::
xi pi1pi2::: p ij:::
::: ::: ::: ::: :::: :::
unde pij=P(X=xi; Y=yj)0,P
i;j1pij= 1.
Tabelul din exemplul analizat mai sus este, din cate vedem, un exemplu
de reparti¸ tie probabilista, iar scrierea f.d. F(x; y)arat¼a c¼a, ¸ stiind distribu¸ tia
78
v.a. (X; Y )putem scrie f.d., folosind formula
F(x; y) =X
i;j:xix;yjypij:
Mai mult, ¸ stiind distribu¸ tia probabilista a v.a. (X; Y ), putem a a dis-
tribu¸ tia probabilist ¼a a
ecrei dintre v.a. X,Y. Astfel,
P(X=xi) =P(fX=xig\
) = P(fX=xig\ [
j1fY=yjg) =
P([
j1(fX=xig\fY=yjg)) =P([
j1fX=xi; Y=yjg) =
=X
j1P(X=xi; Y=yj) =X
j1pij=pi, pentru orice i1:
Analogic, P(Y=yj) =P
i1pij=pj, pentru orice j1. Aceste dou ¼a dis-
tribu¸ tii poart ¼a denumirea de distribu¸ tii marginale , prin analogie cu no¸ tiunea
de f.d. marginal ¼a.
Exemplul 1 (Continuare) .În condi¸ tiile Exemplului 1 din paragraful
anterior sa se determine distribu¸ tia v.a. (X; Y ), unde X; Y reprezint ¼a in-
dicatorii parit ¼a¸ tii sumei si respectiv produsului punctelor ap ¼arute. S ¼a a e
distribu¸ tia
ec ¼arei v.a. X; Y în parte.
Solu¸ tie. A¸ sa cum am v ¼azut, v.a. (X; Y )2XY =f0;1gf0;1g=f(0,0)(0,1),(1,0),(1,1)g
¸ siP((X; Y )2XY )=1. iar valorile pij=P(X=i; Y=j),i,j=0;1, valori
care au stat la baza a ¼arii f.d. F(x; y), reprezint ¼a distribu¸ tia centralizat ¼a in
urmatorul tabel
XnY 0 1
0 0 0 :5
1 0 :25 0 :25;
dup¼a care scrierea f.d. F(x; y)a v.a. (X; Y )devine simpl ¼a
F(x; y) =P(Xx; Yy) =
8
>><
>>:0,dac¼a(x; y)2( 1;0)( 1;+1)[[0;1)( 1;1)[[1;+1)( 1;+0),
0:5,dac¼a(x; y)2[0;1)[1;+1),
0:25,dac¼a(x; y)2[1;+1)[0;1),
1,dac¼a(x; y)2[1;+1)[1;+1).
79
Acest exemplu sugereaz ¼a, c¼a ¸ si în cazul v.a. multidimensionale de tip dis-
cret, ca ¸ si în cazul v.a. unidimensionale de tip discret, o alternativ ¼a la f.d., in
calitate de model probabilist, poate servi no¸ tiunea de distribu¸ tie probabilist ¼a.
Având distribu¸ tia (în ansamblu) a v.a. X¸ siYscris¼a mai sus ¸ si folosind
formulele pentru a area distribu¸ tiilor marginale, gasim c ¼a indicatorul Xa
parit¼a¸ tii sumei punctelor ap ¼arute la aruncarea a dou ¼a zaruri perfecte are
distribu¸ tia
X:0 1
0:5 0:5
;
iar indicatorul Ya parit ¼a¸ tii produsului punctelor ap ¼arute la aruncarea a dou ¼a
zaruri perfecte are distribu¸ tia urm ¼atoare
Y:0 1
0:25 0 :75
;
fapt ce coincide si cu rezultatele calculelor directe.
Un alt experiment aleator (
e ¸ si imaginar) care conduce la identi
carea
unui nou tip de v.a. este descris ìn
Exemplul 2. Consider ¼am aruncarea (sau alegerea) unui punct la întâm-
plare în patratul de latur ¼a 1, adic ¼a în domeniul [0;1][0;1]R2.
Not¼am prin (X; Y )coordonatele acestui punct. Date
ind condi¸ tiile ex-
perimentului, acest vector este un v.a. bidimensional de
nit pe câmpul de
probabilitate geometrica (
;F; P), unde
=[0;1][0;1],F=fA
:ex-
ist¼amesAgiarP(A)=mesA
mes
=mesA , pentru orice eveniment A2F, deoarece
mes
=mes([0;1][0;1]=1. Observ ¼am c ¼a aplica¸ tia (X; Y )este o aplica¸ tie
de
nit ¼a pe
=[0;1][0;1]cu valori in (X; Y )conform regulii
(X; Y ) : (!1; !2) ! (X(!1; !2); Y(!1; !2)) = ( !1; !2)
pentru orice (!1; !2)2[0;1][0;1]. Evenimentul aleator
A=f(!1; !2)2[0;1][0;1] :X(!1; !2)x; Y(!1; !2)yg=
f(!1; !2)2[0;1][0;1] :X(!1; !2)x; Y(!1; !2)yg=
f(!1; !2)2[0;1][0;1] :!1x; ! 2yg;
iar
mesA =mes([0;1][0;1]\( 1; x]( 1; y]):
80
Putem, a¸ sadar, determina f.d. F(x; y)a v.a. bidimensionale (X; Y ):
F(x; y) =P(Xx; Yy) =mesA
mes
=8
>>>><
>>>>:0, dac¼aminfx; yg<0;
x, dac¼a0x1,y >1;
y, dac¼a,x > 1,0y1;
xy,dac¼a0x1,0y1;
1, dac¼ax > 1,y >1:
Pentru noi acest exemplu este remarcabil prin faptul ca func¸ tia de dis-
tribu¸ tie ob¸ tinut ¼a are proprietatea ca exist ¼a o func¸ tie f(x; y)0, pentriu
orice (x; y)2R2, integrabil ¼a, astfel încât
F(x; y) =xZ
1yZ
f(u; v)
1dudv,
unde
f(x; y) =I[0;1][0;1](x) =0;dac¼a(x; y)=2[0;1][0;1];
1;dac¼a(x; y)2[0;1][0;1].
Aceast ¼a proprietate este în consens cu
De
ni¸ tia 3. Vom spune ca v.a. bidimensionala (X; Y )este de tip (ab-
solut) continue daca func¸ tia ei de distribu¸ tie are proprietatea c ¼a exist ¼a o
func¸ tie f(x; y)0, pentriu orice (x; y)2R2, integrabil ¼a, astfel încât
F(x; y) =xZ
1yZ
1f(u; v)dudv.
Func¸ tia f(x; y)cu aceste propriet ¼a¸ ti se nume¸ ste densitate de distribu¸ tie (d.d.)
a v.a. (X; Y ).
Propozi¸ tia 1. Dac¼a(X; Y )este o v.a de tip (absolut) continue atunci
f.d.F(x; y)¸ si d.d f(x; y)a acestei variabile au urmatoarele propriet ¼a¸ ti:
1.f(x; y)0, pentru orice (x; y)2R2;
2.F(x; y) =xR
1yR
1f(u; v)dudv , pentru orice (x; y)2R2;
3.Cu excep¸ tia unei mul¸ timi Ade puncte din R2;aria (m ¼asura) c ¼areia
mesA = 0, exist ¼a@2F(x;y)
@x@y¸ si
@2F(x; y)
@x@y=f(x; y);
81
4.+1R
1+1R
1f(x; y)dxdy = 1;
5.P(a1< X 1b1; a2< X 2b2) =b1R
a1b2R
a2f(x; y)dxdy , pentru orice
(a1; b1),(a2; b2)2R2,a1b1,a2b2);
6.d.d. f1(x)a v.a. X¸ si d.d. f2(y)a v.a. Ypot
a ate, stiind, d.d.
f(x; y)a v.a. (X; Y )din formulele respective,
f1(x) =+1Z
1f(x; y)dy; f 2(y) =+1Z
1f(x; y)dx.
De
ni¸ tia 4. D.d. f1(x),f2(y)determinate prin formulele de la p.6. a
Propozi¸ tiei anterioare se numesc d.d. marginale.
Remarc ¼a.Din pp. 2-3 a propozi¸ tiei 1 rezult ¼a ca f.d. F(x; y)¸ si d.d.
f(x; y)a v.a. bidimensionale privite ca modele matematice ce descriu com-
portamentul probabilist al v.a. (X; Y )sunt echivalente in sens c ¼a, ¸ stiind f.d.
putem restabili d.d. ¸ si viceversa. Proprietatea 4, arat ¼a c¼a în caz (absolut)
continuu f.d. F(x; y)este continu ¼a ca func¸ tie de doua variabile. Reciproca
nu este valabila, adic ¼a se poate aduce un exemplu de f.d. F(x; y)continu ¼a
ca func¸ tie de doua variabile, dar nu si (absolut) continue ca f.d..
Intr-adev ¼ar, f.d.
F(x; y) =8
<
:0,dac¼amin(x; y)<0;
min(x; y),dac¼a0min(x; y)<1;
1,dac¼a1min(x; y);
adus¼a drept exemplu în paragraful precedent, este continu ¼a, dar nu exista
nicio func¸ tie cu propriet ¼a¸ tile 1-4 ale d.d. prezentate in propozitia anterioar ¼a.
Dealtfel acesta este un exemplu tipic de f.d. a unei v.a. (X; Y )de tip singular ,
acest tip de v.a. ne
ind abordat in cursul nostru. Mai mult, observ ¼am ca
f.d. marginale F1(x),F2(y)ce corespund acesteia reprezint ¼af.d. ale unor
v.a. uniform distribuite , mai exact
F1(x) =8
<
:0;dac¼ax < 0;
x;dac¼ax2[0;1];
1;dac¼ax > 1;; F2(y) =8
<
:0;dac¼ay <0;
y;dac¼ay2[0;1];
1;dac¼ay >1:
82
Surprinz ¼ator, dar acelea¸ si f.d. marginale corespund si f.d. F(x; y)din Exem-
plul 2 de mai sus. Mai mult, în Exemplul 2, f.d. F(x; y) =F1(x)F2(y), pe
când în exemplul precedent f.d. F(x; y)6=F1(x)F2(y). Explica¸ tia vine din
De
ni¸ tia 5. Vom spune ca v.a. X1,X2, …, Xnde
nite pe unul ¸ si
acela¸ si câmp de probabilitate sunt independente dac¼a f.d. F(x1,x2, …,xn)
a vectorului aleator ( X1,X2, …,Xn)are proprietatea c ¼a
F(x1; x2; :::; x n) =F1(x1)F2(x2):::Fn(xn);
unde F1(x1); F2(x2), …, Fn(xn)reprezint ¼a f.d. marginale ce corespund v.a.
X1,X2, …,Xn. În caz contrar vom spune c ¼aX1,X2, …,Xnsunt dependente.
Or, explica¸ tia promis ¼a rezid ¼a în faptul ca v.a. X; Y ce reprezinta coor-
donatele unui punct aruncat la întâmplare în patratul [0;1][0;1]sunt,
conform de
ni¸ tiei 5, v.a. independente. În schimb v.a. X; Y ce au f.d. in-
vocat ¼a in exemplul din paragraful anterior sunt dependente. De remarcat c ¼a
aplicarea direct ¼a a de
ni¸ tiei 5 este greoaie, deaceea, putem aplica variantele
ei echivalente ce ¸ tin cont de speci
cul tipului de v.a. ¸ si ce rezult ¼a din
Propozi¸ tia 2. V.a. (X; Y )sunt independente atunci ¸ si numai atunci
când
a) în caz discret: distribu¸ tia lor în ansamblu fP(X=xi,Y=yj)gi;j1
are proprietatea c ¼aP(X=xi,Y=yj)=P(X=x)P(Y=yj)pentru orice
i; j1;
b) în caz (absolut) continuu: densitatea ei de distribu¸ tie f(x; y)¸ si den-
sit¼a¸ tile marginale f1(x),f2(y)au proprietatea c ¼af(x; y) =f1(x)f2(y)pentru
orice x; y2R.
Exemplul 1. (Continuare). Pentru a veri
ca dac ¼a v.a. X; Y analizate
în acest exemplu sunt sau nu independente putem aplica a
rmatia a) din
Propozitia 2. Constat ¼am cu u¸ surin¸ t ¼a, de exemplu, ca P(X= 0; Y= 0) =
06=P(X= 0)P(Y= 0) = 0 :50:25, ceea ce este su
cient s ¼a a
rm ¼am c¼av.a.
X¸ siYsunt dependente .
Exemplul 3. Compania Ocean Fish are deschise in Republica Moldova
dou¼a intreprinderi de procesare a pe¸ stelui despre care se ¸ stie ca proportiile
de procesare a acestora, raportate la intreaga capacitate de procesare zilnica
a companiei, reprezint ¼a o v.a. bidimensionala (X; Y )cu d.d. f(x; y)=(x+
y)I[0;1](x)I[0;1](y). a) Sa se calculeze P(X0:5; Y0:5). b) S ¼a se a e
d.d. a propor¸ tiei capacit ¼a¸ tii de procesare zilnic ¼a la care opereaz ¼a
ecare
întreprindere în parte. c) S ¼a se calculeze P(X0:5),P(Y0:5). d) Sunt
oare propor¸ tiile X¸ siYindependente?
83
Solu¸ tie. a) Din de
ni¸ tia f.d. a v.a. de tip (absolut) continuu deducem
ca
P(X0:5; Y0:5) = F(x; y) =0:5Z
10:5Z
1f(x; y)dxdy =0:5Z
10:5Z
1(x+y)I[0;1](x)I[0;1](y)dxdy =
0:5Z
00
@0:5Z
0(x+y)dx1
Ady=0:5Z
0
(x2
2+xy)0:5
j
0
dy=0:5Z
0(1
8+y
2)dy=2
16= 0:125.
b) Folosind formula 6 din Propozi¸ tia 1 a am d.d. marginal ¼af1(x)a v.a.
X:
f1(x) =+1Z
1f(x; y)dy=1Z
0(x+y)I[0;1](x)dy=
x+1
2
I[0;1](x).
Din considerente de simetrie, observ ¼am c¼a d.d. marginal ¼af2(y)a v.a. Yeste
dat¼a de egalitatea f2(y) =
y+1
2
I[0;1](y). Prin urmare, r ¼aspunsul la p. c)
este dat de egalit ¼a¸ tile
P(X0:5) =0:5Z
0(x+1
2)dx=P(Y0:5) =0:5Z
0(y+1
2)dy=1
8+1
4= 0:375:
d) Apelând la De
ni¸ tia 3 a independen¸ tei v.a. multidimensionale, de-
ducem c ¼a v.a. X¸ siYsunt dependente deoarece
F(0:5;0:5) = P(X0:5; Y0:5) = 0 :1256=F1(0:5)F2(0:5) =
P(X0:5)P(Y0:5) = 0 :3752= 0:14063 :
Probleme propuse.
1.Care din urm ¼atoarele tabele reprezint ¼a o distribu¸ tie probabilist ¼a a
unui vector aleator?
1)XnY 1 0 1
0 1 =8 0 1 =8
1 1 =4 1=8 1=4;2)XnY 1 0 1
0 1 =8 0 1 =4
1 1 =4 1=8 1=4;3)XnY 1 0 1
0 1 =8 0 1 =8
1 1 =4 1=2 1=4:
84
În caz c ¼a avem de a face cu o distribu¸ tie probabilista a a¸ ti: a) P(X <
1; 1Y < 1); b) distribu¸ tia
ec ¼arei v.a. în parte; c) daca v.a. X,Y sunt
sau nu independente.
2.O pepinier ¼a func¸ tioneaz ¼a în baza unei echipe de 7 angaja¸ ti din care
3 raspund de sectorul vânz ¼ari iar ceilalti 4 sunt responsabili de sectorul
gr¼adin¼arit. Evident, numarul, relativ mic, de angaja¸ ti poate crea di
cult ¼a¸ t
legate de absenteism. Numarul de persoane absente în ziua dat ¼a din sectorul
vânz¼ari, dar ¸ si a acelor absente din sectorul gradin ¼arit reprezint ¼a un vector
aleator (X; Y )distribuit conform cu tabelul urmator:
X Y 0 1 2 3 4
0 0 :75 0 :025 0 :01 0 :01 0 :03
1 0 :06 0 :03 0 :01 0 :01 0 :003
2 0 :025 0 :01 0 :005 0 :005 0 :002
3 0 :005 0 :004 0 :003 0 :002 0 :001:
a) Calcula¸ ti probabilitatea c ¼a în ziua dat ¼a vor absenta mai mult de doi an-
gaja¸ ti (indiferent de pro
lul lor); b) A a¸ ti distribu¸ tia absentarii angaja¸ tilor
din sectorul gradin ¼arit. Calcula¸ ti probabilitatea c ¼a în ziua dat ¼a vor absenta
mai mult de doi angaja¸ ti din sectorul gr ¼adin¼arit. c) Sunt oare v.a. X,Y
independente?
3.Consider ¼am doua v.a. bidimensionale (X; Y )¸ si(U; V )independente.
Sunt oare v.a. Y¸ siUindependente? Argumenta¸ ti de ce sau de ce nu.
4.F.d. F(x; y)a v.a. bidimensionale (X; Y )este dat ¼a de formula
F(x; y) = (1 e x=10 e y=2+e (x+5y)=10)I[0;+1)(x)I[0;+1)(y):
A a¸ ti: a) d.d. a v.a. (X; Y ), folosind formula 3 din Propozitia 1 anterioar ¼a;
b) d.d. marginal ¼a a v.a. X; c) f.d. a v.a. X; d) dac ¼a v.a. X¸ siYsunt
independente?
85
3. Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare
3.1. Parametri de pozi¸ tie: valoarea medie, moda, mediana,
cuantile
În direct ¼a leg ¼atur¼a cu cercetarea comportamentului probabilist a unei
v.a. (caracteristici statistice) Xnu întotdeauna prezint ¼a interes modelul
matematic exhaustiv,
e sub form ¼a de camp de probabilitate (
;F; P)pe
care este de
nit ¼aX,
e sub forma de f.d. F(x)a acestei v.a.,
e sub forma
de distributie, daca Xeste o v.a. de tip discret,
e sub forma de d.d. f(x),
dac¼aXeste o v.a. de tip (absolut) continue ci doar unele caracteristici
numerice sumare, numi¸ ti ¸ si parametri. Printre ei se a ¼a ¸ si parametrii numi¸ ti
parametri de pozitie sau parametri ai tendin¸ tei centrale ¸ si care reprezinta
ni¸ ste valori numerice sumare, de referin¸ t ¼a cu care putem compara valorile
(posibile) individuale ale v.a X. Sa lu ¼am un exemplu concret de experiment
aleator care ne va conduce la no¸ tiunea de valoare medie, pe scurt, medie.
Exemplul 1. Este vorba de o loterie în care sunt emise ¸ si vândute, s ¼a
zicem, 10000 de bilete ¸ si în care un participant cu un singur bilet de loterie
poate câstiga una din sumele b ¼ane¸ sti x1,x2, …,xk, unde x1< x 2< ::: < x k
. Evident, suma total ¼a acordat ¼a biletelor c⸠stig ¼atoare nu poate
mai mare
decât costul tuturor biletelor. Dac ¼a vom considera "c⸠stig" ¸ si valoarea x0
ce coincide cu pre¸ tul unui bilet luat cu semnul minus, chiar si atunci când
acesta este nec⸠stig ¼ator, atunci c⸠stigul Xa unui jucator, ce a cump ¼arat un
singur bilet de loterie, este o v.a. de tip discret ale c ¼arei valori posibile fac
parte din mul¸ timea X=fx0,x1,x2, …,xkg. Paticipând de nori la aceast ¼a
loterie, cump ¼arând de
ecare dat ¼a un singur bilet de loterie ¸ si c⸠stigând de
niori valoarea xi,i=0,1, …,k,n0+n1+:::+nk=n, putem calcula media
c⸠stigului dup ¼a formula de calcul, cunoscut ¼a în Statistic ¼a sub denumirea de
medie de selec¸ tie:
x=1
nkX
i=1nixi=kX
i=1ni
nxi=kX
i=1fn(X=xi)xi;
unde fn(X=xi)este frecven¸ ta relativ ¼a a incas ¼arii c⸠stigului xijucând de n
ori, de
ecare dat ¼a cu un singur bilet de loterie. Dar, conform Principiului
Regularit ¼a¸ tii Statistice, frecven¸ ta relativ ¼afn(X=xi)se apropie, odat ¼a cu
86
cre¸ sterea lui n, tot mai mult ¸ si mai mult de probabilitatea (teoretic ¼a)P(X=
xi),i=1; k, ceea ce înseamn ¼a c¼a pentru nsu
cient de mare:
x=kX
i=1fn(X=xi)xi'kX
i=1P(X=xi)xi:
Dar,fP(X=xi)gi=1;nreprezint ¼a distribu¸ tia probabilist ¼a a v.a. X. Prin
urmare, dac ¼a am cunoa¸ ste, apriori, aceast ¼a distribu¸ tie, am putea evalua o
medie a c⸠stigului nostru, pentru a decide dac ¼a merit ¼a sau nu s ¼a particip ¼am
la aceast ¼a loterie. Considerentele de mai sus reprezint ¼a unul din motivele
pentru care putem da
De
ni¸ tia 1. Vom numi valoare medie a v.a. Xnum¼arulEXcalculat
dupa formula
EX=8
>><
>>:P
i1xiP(X=xi),în caz discret,
+1R
1xf(x)dx,în caz (absolut) continuu,
considerând c ¼avaloarea medie exist ¼a, dac¼a în caz discret
X
i1jxijP(X=xi)<+1;
iar în caz (absolut) continuu
+1Z
1jxjf(x)dx < +1;
cu alte cuvinte, daca suma sau integrala respectiv ¼a converge absolut.
Remarca 1. Din De
ni¸ tia 1 deducem c ¼a atunci, când v.a. (in caz discret)
ia valori dintr-o multime
nit ¼a de valori sau (in caz (absolut) continuu) d.d.
f(x)este nenula pe un numar
nit de intervale
nite din R, valoarea medie
exist¼a întotdeauna.
Exemplul 1 (Continuare) .Dac¼a se ¸ stie c ¼a v.a. Xare distribu¸ tia
f(xi,pi)gi=1;k,pi=P(X=xi)0;kP
i1pi= 1, atunci valoarea medie ex-
ista întotdeauna ¸ si este egal ¼a cu
87
EX=kX
i=1xipi.
Pe de alt ¼a parte, convergen¸ ta absolut ¼a, nu este o condi¸ tie de prisos impus ¼a
pentru a garanta existenta valorii medii. Aceasta o demonstreaz ¼a
Exemplul 2 ( O v.a. de tip discret care nu posed ¼a valoare medie ).
Consider ¼am v.a. Xdat¼a de distribu¸ tia P(X= ( 2)n+1) =1
2n,n= 1,2,… .
Observ ¼am c¼a seria (suma)
+1X
n=1xnP(X=xn) =+1X
i=1( 2)n+11
2n=+1X
i=1( 2)
asociat ¼a cu valoarea medie EX, evident, nu converge absolut, prin urmare
nu exista valoarea medie a acestei v.a.
Exemplul 3. Consider ¼am v.a. Xce corespunde coordonatei unui punct
ales la întâmplare din intervalul [0;1], adic ¼a v.a. dat ¼a de d.d. f(x) =I[0;1](x).
Atunci valoarea ei medie EXexista ¸ si
EX=+1Z
1xf(x)dx=+1Z
1xI[0;1](x)dx=0Z
10dx+1Z
0xdx++1Z
10dx=1
2.
Concluzie: Coordonata unui punct ales la întâmplare din intervalul [0;1]va
coincide, in medie, cu mijlocul acestui interval.
Propozi¸ tia 1. (Propriet ¼a¸ tile valorii medii) .Valoarea medie a unei
v.a. posed ¼a urm ¼atoarele propriet ¼a¸ ti:
a) Dac ¼a v.a. Xeste nenegativ ¼a cu probabilitatea 1¸ si exista valoarea ei
medie EX,atunci EX0¸ siEX= 0dac¼a ¸ si numai dac ¼aP(X= 0)=1;
b) Dac ¼a valoarea medie a v.a. Xexist¼a,atunci exist ¼a valoarea medie a
v.a.aX+b¸ siE(aX+b) =aEX+b,pentru orice a; b2R;
c) Dac ¼a valoarea medie a v.a. Xexist¼a,atunci exist ¼a valoarea medie a
v.a.jXj¸ sijEXjEjXj;
d) Dac ¼a valoarea medie a v.a. X¸ siYexist¼a,atunci exist ¼a ¸ si valoarea
medie a v.a. X+Y¸ siE(X+Y) =EX+EY;
e) Dac ¼a v.a. X¸ siYsunt independente ¸ si exist ¼a valorile lor medii EX,
EY,atunci exista ¸ si valoarea medie a v.a. XY¸ siE(XY)=EXEY.
88
Exemplul 4. Consider ¼am dou ¼a v.a. independente X¸ siYpentru care
EX= 1,EY= 2. S¼a se calculeze valoarea medie a v.a. 3(X+ 1)Y+ 5.
Solu¸ tie. Folosind propriet ¼a¸ tile valorii medii g ¼asim c ¼a
E[3(X+ 1)Y+ 5] = E(3XY + 3Y) + 5] = 3 EXY + 3EY+ 5 =
3EXEY+ 3EY+ 5 = 312 + 32 + 5 = 15 :
Propozi¸ tia 2. (Formula de transport) .a) Daca g:R !Reste o
func¸ tie real ¼a de o singur ¼a variabil ¼a¸ siXo v.a. astfel încât g(X)este o v.a
pentru care exista Eg(X),atunci are loc urm ¼atoarea formul ¼a de calcul
Eg(X) =8
>><
>>:P
i1g(xi)P(X=xi),în caz discret,
+1R
1g(x)f(x)dx,în caz (absolut) continuu;
b) Daca g:R2 !Reste o func¸ tie real ¼a de o dou ¼a variabile ¸ si (X; Y )
o v.a. bidimensional ¼a astfel încât g(X; Y )este o v.a. pentru care exista
Eg(X; Y ),atunci are loc urm ¼atoarea formul ¼a de calcul
Eg(X; Y ) =8
>><
>>:P
i1P
j1g(xi; yj)P(X=xi; Y=yj),în caz discret,
+1R
1+1R
1g(x; y)f(x; y)dxdy,în caz (absolut) continuu;
Remarca 2. Sensul ¸ si utilitatea formulei de transport rezid ¼a în faptul
c¼a, atunci când avem de a face cu o v.a. privit ¼a ca o func¸ tie g(X)de v.a.
X, indiferent de dimensionalitatea v.a. X, pentru calcularea valorii medii a
v.a. compuse g(X)nu este obligatorie cunoasterea distribu¸ tiei sau densita¸ tii
ei de distribu¸ tie.
Exemplul 5. Consider ¼am o v.a. Xdat¼a de distribu¸ tia P(X= 0) = 1 p,
P(x= 1) = p,0< p < 1. Atunci, folosind formula de transport pentru
g(x) =Xr,r1, gasim c ¼aEXr= 0r(1 p) + 1rp=pr. Dealtfel,
anticipând, valorile de tipul EXr, dac ¼a acestea exist ¼a, se numesc momente
de ordinul r, valoarea medie EX
ind un caz particular pentru r= 1.
Exemlpul 6. Consider ¼am v.a. bidimensional ¼a(X; Y )analizat ¼a în exem-
plul 2, p. 2.6., iar pentru g(x; y) = min( x; y), v.a. Z= min( X; Y ). Observ ¼am
c¼a v.a. (X; Y )are d.d. f(x; y)=I[0;1][0;1](x), prin urmare, folosind formula
89
de transport, g ¼asim c ¼a
Emin(X; Y ) =+1Z
1+1Z
1min(x; y)f(x; y)dxdy =
+1Z
1+1Z
1min(x; y)I[0;1][0;1](x)dxdy =1Z
01Z
0min(x; y)dxdy = 1=4:
Un alt parametru de pozi¸ tie utilizat este moda, acesta ne
ind un para-
metru care face parte din categoria parametrilor de dip momente .
De
ni¸ tia 2. Vom numi mod¼a a v.a. Xnum¼arul
mod( X) =(xi0:max
i1P(X=xi) =P(X=xi0),în caz discret,
x0:max
x2Rf(x) =f(x0),în caz (absolut) continuu .
dac¼a acesta exist ¼a, iar în cazul când mod( X)exist¼a ¸ si este unic, atunci
spunem ca distribu¸ tiafP(X=xi)gi1sau d.d. f(x)a v.a. Xeste unimodal ¼a,
altfel, dac ¼amod( X)exist¼a ¸ si nu este unic, atunci spunem ca distribu¸ tia sau
d.d. a v.a. Xeste multimodal ¼a.
Exemplul 7. ( Exemplu când moda nu exist ¼a).Consider ¼am v.a. X
dat¼a de d.d. f(x) =e 2xI[0;+1)(x). Gra
cul d.d. f(x)de mai jos arat ¼a în
mod evident c ¼af(x)nu posed ¼a o valoare a argumentului xpentru care d.d
s¼a ia valoare maximal ¼a.
1 2 3 4 5 60.050.100.150.200.250.30
Exemplul 8. ( Exemplu de d.d. unimodal ¼a).Consider ¼am v.a. X
dat¼a de d.d. f(x) =1p
2e x2=2, pentru orice x2R. Gra
cul d.d. f(x)de mai
90
jos arat ¼a în mod evident c ¼af(x)posed ¼a o singur ¼a valoare a argumentului x,
x= 0pentru care d.d s ¼a ia valoare maximal ¼a. Prin urmare mod( X) = 0 .
3 2 1 1 2 30.10.20.30.4
Exemplul 9. ( Exemplu de distribu¸ tie multimodal ¼a).Consider ¼am
v.a.Xdat¼a de distribu¸ tia P(X= 0) = P(x= 1) = 1 =2. Conform de
ni¸ tiei,
mod( X)2f0;1g, cu alte cuvinte distribu¸ tia în cauz ¼aeste bimodal ¼a.
Un al parametru de pozitie care nu face parte din categorii parametrilor
de tip momente de ordinul reste prezentat în
De
ni¸ tia 3. Vom numi median ¼a a v.a. Xnum¼arul adeterminat din
condi¸ tia c ¼aP(Xa)1=2¸ si totodat ¼aP(Xa)1=2. Mediana se
noteaz ¼aMed (X).
Remarca 3. Spre deosebire de mod¼a¸ si chiar spre deosebire de valoarea
medie, mediana exist ¼a întotdeauna ¸ si, în caz discret, Med (X)coincide cu
acea valoare real ¼aapentru care distribu¸ tia fP(X=xi)gi1a v.a. Xare
proprietatea c ¼a
X
i:x;aP(X=xi)1=2¸ siX
i:xiaP(X=xi)1=2,
iar în caz (absolut) continuu, cu valoarea apentru care d.d. f(x)a v.a. X
are proprietatea
aZ
1f(x)dx= 1=2,+1Z
af(x)dx= 1=2:
Mai mult, în caz (absolut) continuu solu¸ tia este unic ¼a, dac ¼a f.d.
F(x) =xZ
1f(u)du
91
este continu ¼a ¸ si strict monoton cresc ¼atoare. Aceast ¼a proprietate arat ¼a c¼a
valorile posibile ale v.a. X, pozi¸ tionate la stânga ¸ si la dreapta de mediana
ei, au aceea¸ s mas ¼a (pondere) probabilist ¼a. Dealtfel, folosind interpretarea
geometric ¼a a integralei si faptul c ¼a în caz (absolut) continuu d.d. f(x)a v.a.
Xposed ¼a proprietatea
+1Z
1f(x)dx= 1,
rezulta ca aria
gurii cuprinse între gra
cul d.d. f(x)¸ si axa Ox de la – 1
pân¼a la Med (X)coincide cu aria
gurii cuprinse între gra
cul d.d. f(x)
¸ si axa Ox de la Med (X)pân¼a la +1, ambele
ind egale cu 1=2. A se
vedea, in acest sens, v.a. Xdin exemplul 9 de mai sus, exemplu pentru
care Med (X) =Mod (X) = 0 , gra
cul d.d f(x) =1p
2e x2=2con
rmând
interpretarea noastr ¼a.
Exemplul 10 ( O v.a. Xpentru care mediana nu este unic ¼a).
Consider ¼am v.a. Xce coincide cu num ¼arul de puncte ap ¼arute la aruncarea
unui zar "perfect" o singur ¼a dat ¼a. Atunci distribu¸ tia v.a. X
ind P(X=
i) = 1 =6,i=1;6, rezult ¼a c¼aMed (X)nu este unic ¼a deoarece inegalitile
X
i:ia1
61=2¸ siX
i:ia1
61=2
au loc pentru orice 3a4.
Mediana reprezint ¼a, la rândul ei, un caz particular a unei no¸ tiuni mai
generale numite quantil ¼a.
De
ni¸ tia 4. Vom numi quantil ¼a de ordinul , pe scurt, quantil ¼a a
v.a.X(sau 100% procentil ¼a a distributiei/d.d. a v.a. X) acea valoare b
pentru care P(Xb) ¸ si totodat ¼aP(Xb)1 , unde 0< < 1.
Or, vedem c ¼amediana coincide cu0:5 quantila v.a. X(50% procentila
distribu¸ tiei/d.d. a v.a. X. Ca ¸ si mediana, quantila întotdeauna exist ¼a,
dar nu pentru orice v.a. este unic ¼a.
3.2. Disperia (varian¸ ta), abaterea standard, covarian¸ ta,
coe
cientul de corela¸ tie, regresie liniar ¼a
Vom începe cu un exemplu care demonstreaz ¼a necesitatea introducerii
unui parametru sau caracteristici numerice a v.a. Xpentru a masura gradul
92
de împr ¼a¸ stiere a valorilor ei individuale în jurul unui parametru de pozi¸ tie
cum ar
, de exemplu valoarea medie a v.a. X.
Exemplul 1. Din câte se ¸ stie, nu exist ¼a aparate de m ¼asurare absolut ex-
acte, rezultatele masur ¼arilor
ind in uien¸ tate de o mul¸ time de factori (tem-
peratura, umiditatea mediului înconjur ¼ator, materialul din care este produs
aparatul, cine este produc ¼atorul, etc.). Or, modelele matematice corespun-
z¼atoare sunt de natur ¼a probabilist ¼a. Consider ¼am, de pild ¼a, c¼a v.a. X;ce
reprezinta rezultatul unei masur ¼ari executate cu un aparat de m ¼asurare, este
dat¼a de distribu¸ tia
X:a " a a +"
(1 p)=2p(1 p)=2
;0< p < 1,
a
ind valoarea exact ¼a a m ¼arimii m ¼asurate iar " >0, eroarea de m ¼asurare.
Valoarea ei medie a v.a. Xeste egal ¼a cu
EX= (a ")1 p
2+ap+ (a ")1 p
2=a:
Cu alte cuvinte, un astfel de aparat ne arat ¼a "în medie" valoarea exact ¼a a
m¼arimii m ¼asurate, dar aceast ¼a constatare nu ne ajut ¼a cu nimic la caracteri-
zarea calit ¼a¸ tii aparatului nostru de m ¼asurat. No¸ tiunea urm ¼atoare vine s ¼a
compenseze aceast ¼a lacun ¼a.
De
ni¸ tia 1. Vom numi dispersie sauvarian¸ t ¼a a v.a. Xnum¼arulDX=
E(X EX)2, dac¼a aceast ¼a valoare medie exist ¼a, bineîn¸ teles.
Exemplul 1 ( Continuare ). În exemplul nostru pentru a calcula
dispersia v.a. Xputem folosi Formula de transport din p.3.1 ¸ si faptul c ¼a
DX=Eg(X), unde g(x) = (x EX)2= (x a)2. Prin urmare
DX= (a " a)21 p
2+ (a a)2p+ (a " a)21 p
2="2(1 p):
Distribu¸ tia v.a. Xarat¼a c¼a instrumentul corespunz ¼ator de masurare este
cu atât mai bun cu cât valoarea erorii de m ¼asurare "este mai mic ¼a iar
probabilitatea p=P(X=a)este mai aproape de 1, dar aceasta are loc
atunci si numai atunci când valoarea dispersiei este mai aproape de 0. Cu
alte cuvinte, cu cât dispersia este mai mic ¼a, cu atât este mai mic gradul de
împr¼a¸ stiere a valorilor individuale a v.a. Xfa¸ t¼a de valoarea ei medie EX=a:
Pentru a simpli
ca, uneori, calculul dispersiei este util ¼a
Propozi¸ tia 1. Dispersia v.a. Xpoate
calculat ¼a dup ¼a formula
DX=EX2 (EX)2:
93
Exemplul 2. Calcula¸ ti dispersia v.a. Xdate de d.d. f(x) =I[0;1](x),
adic¼aX
ind uniform distribuit ¼a pe [0;1].
Solu¸ tie. Deoarece,
EX=1Z
0xdx = 1=2;EX2=1Z
0x2dx= 1=3,
rezult ¼aDX=EX2 (EX)2= 1=3 (1=2)2= 1=12.
Remarca 1 .Din de
ni¸ tia dispersiei v.a. Xdesprindem, c ¼a dispersia nu
are aceea¸ si unitate de masur ¼a ca ¸ si v.a. Xsau valoarea ei medie. Astfel, în
exemplul 1, daca Xse masoar ¼a încmvaloarea ei medie, la fel, se masoar ¼a în
cm, dar dispersia ei se masoar ¼a încm2. Notiunea introdus ¼a în de
ni¸ tia urm ¼a-
toare p ¼astreaz ¼a calit ¼a¸ tile dispersiei ca masur ¼ator al gradului de împr ¼a¸ stiere,
dar este, în schimb, exprimat ¼a în aceea¸ si unitate de m ¼asur¼a ca ¸ si v.a. X.
De
ni¸ tia 2. Vom numi abatere standard a v.a. Xnum¼arul=DX.
La calcularea dispersiei, prin urmare si a abaterii standard, sunt utile
propriet ¼a¸ tile dispersiei centralizate in
Propozi¸ tia 2. Dispersia posed ¼a urm ¼atoarele propriet ¼a¸ ti:
a)DX0,iarDX= 0atunci ¸ si numai atunci, c ¼andP(X=EX) = 1 ;
b) Dac ¼a exist ¼a dispersia DXa v.a., atunci pentru orice a,b2Rexist¼a
dispersia v.a. aXb¸ siD(aXb) =a2DX;
c) Dac ¼a exist ¼a dispersiile DX¸ siDYale v.a. X¸ siY,atunci exist ¼a
dispersia v.a. XY¸ si
D(XY) =DX+DY2E(X EX)(Y EY);
d) Dac ¼a v.a. X¸ siYsunt independente ¸ si exist ¼a dispersiile lor DX¸ si
DY,atunci exist ¼a dispersia v.a. XY¸ si
D(XY) =DX+DY.
De
ni¸ tia 3. Vom numi covarian¸ t ¼a a dou ¼a v.a. X¸ siYnum¼arulCov(X; Y ) =
E(X EX)(Y EY). Dac ¼a aceast ¼a valoare medie exist ¼a, atunci este calculat ¼a
dupa formula
Cov(X; Y ) ==8
>>>>><
>>>>>:P
i1P
j1(xi EX)(yj EY)P(X=xi; Y=yj),in caz
discret ,fP(X=xi; Y=yj)gi;j1
ind distrib. v.a. (X; Y );
+1R
1+1R
1(xi EX)(yj EY)f(x; y)dxdu ,in caz (absolut)
continuu ,f(x; y)
ind d.d. a v.a. (X; Y ):
94
dac¼aE(X EX)(Y EY)exist¼a.
Din de
ni¸ tia covarian¸ tei, dar ¸ si din pp. c)-d) ale Propozi¸ tiei 2, deducem
urm¼atoarea
Consecin¸ t ¼a.a) Dac ¼a covarian¸ ta v.a. X¸ siYexist¼a, atunci aceasta
poate
calculat ¼a dup ¼a formula
Cov(X; Y ) =EXY EXEY;
b) Dac ¼a v.a. X¸ siYsunt independente atunci Cov(X; Y ) = 0 .
Remarca 2. Reciproca a
rma¸ tiei b)din Consecin¸ t ¼a nu are loc, a¸ sa cum
arat¼a ¸ si urm ¼atorul
Contraexemplu ( Dou¼a v.a. de covarin¸ t ¼a nula, dar dependente ).
Consider ¼am v.a. X; Y independente cu valorile medii EX=EY=0¸ si pentru
care exist ¼aEX2.
Atunci v.a. Z=XY,
ind dependent ¼a de v.a. X, va avea EZ=EXY =
EXEY= 0, dar aceste dou ¼a v.a. X¸ siZau, totu¸ si,
Cov(X; Z ) =E(X EX)(Z EZ) =EXZ =EX2Y=EX2EY=EX20 = 0 :
Concluzie. Consecin¸ ta formulat ¼a mai sus, împreun ¼a cu contraexemplul
nostru, arat ¼a, de fapt, c ¼aorice dou ¼a v.a. X; Y care au Cov(X; Y )6= 0sunt
dependente .
Propozi¸ tia 3 ( Inegalitatea Cauchy-Buniakovschi ).Dac¼a exist ¼a
dispersiile DX¸ siDYale v.a. X¸ siY,atunci exist ¼aCov(X; Y )¸ si are loc
inegalitatea
jCov(X; Y )jp
DXDY.
Exemplul 1, p.2.6 ( Continuare ).A¸ sa cum am v ¼azut, v.a. (X; Y ),
unde Xreprezint ¼a indicatorul parit ¼a¸ tii sumei punctelor ap ¼arute iar X- indi-
catorul parit ¼a¸ tii produsului punctelor ap ¼arute la aruncarea unui zar "perfect"
de dou ¼a ori succesiv, are distribu¸ tia (în ansamblu)
XnY 0 1
0 0 1 =2
1 1 =4 1=4
cu distribu¸ tiile marginale
X:0 1
1=2 1=2
; Y:0 1
1=4 3=4cu
.
95
Atunci,
EX= 1=2;DX= 1=4; X= 1=2;EY= 3=4;DY= 3=16; Y=p
3=4;
iar
EXY = 00P(X= 0; Y= 0) + 01P(X= 0; Y= 1) +
+10P(X= 1; Y= 0) + 11P(X= 1; Y= 1) = 1 =4
Cov(X; Y ) =EXY EXEY= 1=4 (1=2)(3=16) = 5 =32:
Inegalitatea Cauchy-Buniakovschi se veri
c ¼a cu u¸ surin¸ t ¼a:
jCov(X; Y )j= 5=32 = 0 :15625XY=p
3=8 = 0 :216 51 :
În alt ¼a ordine de idei, la sfâr¸ situl p.2.7, am ar ¼atat, ree¸ sind din de
ni¸ tia in-
dependen¸ tei (dependen¸ tei) v.a., ca v.a. X; Y din exemplul de mai sus sunt
dependente, dar acela¸ si lucru rezult ¼a ¸ si di faptul c ¼aCov(X; Y )6= 0. Într-
adevar, presupunem contrariul, c ¼aX; Y sunt independente. Atunci, drept
consecin¸ t ¼a,Cov(X; Y ) = 0 . Dar in exemplul nostru Cov(X; Y ) = 13 =64.
Contradic¸ tie, ce arata ca nenulitatea covarian¸ tei a dou ¼a v.a. poate
consid-
erat¼a o condi¸ tie su
cient ¼a, dar nu ¸ si necesar ¼a (vezi contraexemplul de mai
sus) ca acestea s ¼a
e dependente. Doar atat, nu putem, îns ¼a, spune nimic
despre gradul lor de dependen¸ t ¼a sau asociere. În acest scop serve¸ ste no¸ tiunea
din
De
ni¸ tia 4. Vom numi coe
cient de corela¸ tie a dou ¼a v.a. X¸ siY
num¼arul(X; Y ) =Cov(X;Y )p
DXDY=Cov(X;Y )
XY.
A¸ sa cum arat ¼a Inegalitatea Cauchy-Buniakovschi, coe
cientul de corela¸ tie
exist¼a, deîndat ¼a ce exista dispersiile DX,DY. Mai mult, din acee¸ si inegalitate
¸ si consecin¸ ta de mai sus rezult ¼a
Propozi¸ tia 4. Coe
cientul de corela¸ tie (X; Y )a dou ¼a v.a. X¸ siYare
propriet ¼a¸ tile:
a) Dac ¼a v.a. X¸ siYsunt independente, atunci (X; Y ) = 0 ;
b) 1(X; Y )1.
În exemplul de mai sus (X; Y ) =Cov(X;Y )p
DXDY=5=32p
3=8= 0:721 69 :Despre ce
fel de dependen¸ t ¼a ¸ si în ce grad putem vorbi în baza valorii acestea? Lu ¼am
pentru compara¸ tie, cazul dependen¸ tei liniare: Y=aX+b, care se mai
nume¸ ste regresie liniar ¼a, unde a; b2R,a6= 0. Cum DY=a2DX,
Cov(X; Y ) =EXY EXEY=EX(aX+b)
EX(aEX+b) = a[EX2 (EX)2] =aDX;
96
rezult ¼a c¼a
(X; Y ) =Cov(X; Y )p
DXDY=aDXp
a2(DX)2=a
jaj=1;dac¼aa >0,
1;dac¼aa <0.
A¸ sadar, dac ¼a v.a. Ydepinde liniar de v.a. X, atuncij(X; Y )j= 1. Impor-
tant e c ¼a are loc ¸ si reciproca acestei a
rma¸ tii. Ma exact are loc
Propozi¸ tia 5. Coe
cientul de corela¸ tie j(X; Y )j= 1,atunci ¸ si numai
atunci când exist ¼aa; b2R,a6= 0,astfel încât probabilitatea P(Y=aX+
b)=1.
Remarca 3. Dac¼a(X; Y ) = 1 ;atunci regresia liniar ¼a este pozitiv ¼a,
deoarece în acest caz coe
cientul a > 0, ceea ce atrage dupa sine cre¸ sterea
luiYodat¼a cu cresterea lui X¸ si invers, dac ¼a(X; Y ) = 1;atunci regresia
liniar ¼a este negativ ¼a, deoarece în acest caz coe
cientul a <0, ceea ce atrage
dupa sine descre¸ sterea lui Yodat¼a cu cresterea lui X.
În concluzie, dac ¼a revenim la exemplul nostru de mai sus, faptul ca
(X; Y ) = 0 :721 69 arat¼a c¼a regresia dintre Y¸ siXesteneliniar ¼a.
3.3. Momente ale variabilei aleatoare (ini¸ tiale, centrale),
asimetria, boltirea (aplatizarea)
Atunci când sunt puse în discu¸ tie astfel de aspecte ca tendin¸ ta central ¼a,
gradul de îmr ¼a¸ stiere a unei v.a. X, forma distribu¸ tiei sau d.d. a acestei
v.a., dar si în cadrul aplic ¼arii unor proceduri statistice, sunt utile nu numai
valoarea medie si dispersia, dar si valorile medii ale v.a. Xrsau (X EX)r,
calculate ¸ si pentru valori ale lui rdiferite de 1sau de 2. Toate aceste valori
medii poart ¼a denumirea de momente, cu ele întâlnindu-ne în exemplul 5,
p.3.1. Dup ¼a cum vom vedea, deosebim momente ini¸ tiale ¸ simomente centrale
conform cu
De
ni¸ tia 1. Vom numi moment ini¸ tial de ordinul r0a v.a. X
num¼arul r=EXr, dac¼a aceast ¼a valoare medie exist ¼a, bineîn¸ teles.
De
ni¸ tia 2. Vom numi moment central de ordinul r0a v.a. X
num¼arulr=E(X EX)r, dac¼a aceast ¼a valoare medie exist ¼a, bineîn¸ teles.
Observ ¼am ca 0=0= 1, iar 1=EX,1= 0,2=DX. În plus, atunci
când r,rexist¼a, aplicarea Formulei de transport conduce la urm ¼atoarele
formule de calcul direct, care în cazul discret, adic ¼a în cazul când v.a. este
dat¼a de distribu¸ tiafP(X=xi)gi1, sunt formulele
r=X
i1xr
iP(X=xi),r=X
i1(xi EX)rP(X=xi);
97
iar în cazul (absolut) continuu, adic ¼a în cazul când v.a. este dat ¼a de d.d.
f(x), sunt formulele
r=+1Z
1xrf(x)dx,r=+1Z
1(x EX)rf(x)dx:
Înloc de formula direct ¼a, la calcularea momentelor central ¼a, devine util ¼a
formula ce exprim ¼a leg¼atura dintre momentele ini¸ tiale si cele centrale din
Propozi¸ tia 1 ( Momentele centrale ca func¸ tie de momentele in-
i¸ tiale ).Dac¼a pentru valoarea r2f1,2, …,n, …gexist¼a momentul central
rde ordinul ral v.a. X,atunci
r=rX
i=0( 1)iCi
r i
1 r i:
Privitor la existen¸ ta momentelor este util ¼a ¸ si
Propozi¸ tia 2. Dac¼a, pentru r > 0, exist ¼a momentul ini¸ tial EXr, re-
spectiv, momentul central E(X EX)r,atunci pentru orice s2[0; r]exist¼a
momentul ini¸ tial EXs, respectiv, momentul central E(X EX)s.
Exemplul 1. Presupunem c ¼a pentru v.a. Xexist¼a momentul central de
ordinul r= 4. Atunci, din propozi¸ tiile 1,2 rezult ¼a c¼a exista si momentele
ini¸ tiale ¸ si centrale de ordinele 1;2;3¸ si
1= 1;
2= 2 2
1;
3= 3 3 1 2+ 2 3
1;
4= 4 4 1 3+ 6 2
1 2 3 4
1:
Aceste din urm ¼a formule sunt cele care se aplic ¼a cel mai des în Statistic ¼a,
mai ales în Statistica Descriptiv ¼a, pentru a calcula, în baza datelor statistice
cei doi parametri ce descriu forma distributiei sau d.d. a v.a. (caracteristicii
statistice) X: coe
cientul de Asimetrie si coe
cientul fe Aplatizare (Boltire).
De
ni¸ tia 3. Vom numi coe
cient de asimetrie a distribu¸ tiei/d.d. a v.a.
Xnum¼arulAs(X) =3=3, unde 3este momentul central de ordinul 3,
iarabaterea standard a v.a. X, dac ¼a3exist¼a, bineîn¸ teles. Vom spune
c¼adistribu¸ tia/d.d. v.a. Xeste: simetrica dac¼aAs(X) = 0 sau ( 3= 0),
98
positiv asimetric ¼adac¼aAs(X)>0sau ( 3>0),negativ asimetric ¼adac¼a
As(X)<0sau (3<0).
Exemplul 2 ( O v.a. cu d.d. simetric ¼a).Astfel, v.a. X(standard
normal distribuit ¼a) cu d.d. f(x) =1p
2e x2
2este simetric ¼a. A se vedea
gfa
cul acestei d.d. în exemplul 8, p.3.1. Mai mult, functiiile1p
2e x2
2,
1p
2x3e x2
2
ind func¸ tii impare pe domeniul ( 1;+1), rezult ¼a c¼a
EX=+1Z
1x1p
2e x2
2dx=3=+1Z
11p
2x3e x2
2dx= 0,
ceea ce înseamn ¼a caAs(X) = 0 . Apropo, în acest exemplu EX=Med (X) =
Mod (X) = 0 :
Pentru caracterizarea formei distribu¸ tii/d.d. a unei v.a., înafar ¼a de coe
-
cientul de asimetrie, se mai folose¸ ste si coe
cientul de Boltire (Aplatizare).
De
ni¸ tia 4. Vom numi coe
cient de boltire (aplatizare) a distribu¸ tiei/d.d.
a v.a. Xnum¼arulAp(X) =4=4, unde 4este momentul central de ordinul
4, iarabaterea standard a v.a. X, dac¼a4exist¼a, bineîn¸ teles.
Exemplul 2 ( Continuare ).Pentru v.a. X(standard normal dis-
tribuit ¼a), folosind formula integr ¼arii prin p ¼ar¸ ti, g ¼asim c ¼a momentele centrale
de ordinele 2 ¸ si 4 este sunt egale, respectiv, cu
2=DX=+1Z
11p
2x2e x2
2dx= 1,4=+1Z
11p
2x4e x2
2dx= 3.
Prin urmare abaterea standard a v.a. X(acum putem spune, standard nor-
mal distribuit ¼a cu media 0¸ si dispersia 1) este egal ¼a cu 1, iar coe
cientul de
aplatizare Ap(X)=4=4= 3.
Remarca 1. Comparând de
ni¸ tia coe
cientului de boltirere si faptul,
ca pentru distribu¸ tia normal ¼a cu media 0¸ si dispersia 1;acesta este egal cu
3;deacum înainte gradul de boltire a distribu¸ tiei/d.d. se va compara cu
gradul de boltire a d.d. a unei v.a. standard normal distribuite, spunând
caboltirea unei d.d. e negativ ¼a, dac ¼a4=4<3, adic ¼aboltirea ei e mai
mic¼a (gra
cul ei este mai plat) decât boltirea d.d. a v.a. standard normal
distribuite cu media 0¸ si dispersia 1;ori c¼aboltirea unei d.d. e pozitiv ¼a, dac¼a
4=4>3, adic ¼aboltirea ei e mai mare (gra
cul ei este mai ascu¸ tit) decât
boltirea d.d. a v.a. standard normal distribuite cu media 0¸ si dispersia 1.
99
Exemplul 3 ( V.a. cu d.d. pozitiv asimetric ¼a în diverse variante
de boltire (aplatizare) .Consider ¼am v.a. Xcu d.d.
f(x) =x(n 2)=2exp( x=2)
2n
2 (n
2)I[0;+1)(x);
unde (u) =+1R
0xu 1e xdxeste func¸ tia gamma.
Modelul acesta, adic ¼a d.d., coincide cu d.d. a v.a. X2
1+X2
2+:::+X2
n,
unde X1,X2, …,Xnsunt variabile aleatoare, independente, identic distribuite
(v.a.i.i.d.) normal cu media 0 ¸ si dispersia 1, d.d. ce poart ¼a denumirea de
distribu¸ tie Hi-patrat cu ngrade de libertate . Conform c ¼ar¸ tii Forbes C.,
Evans M., et alls, Statistical Distributions , Ed. John Willey&Sons, USA,
2010,EX=n,DX= 2n,Med (X)'n 2
3,Mod (X) =n 2;pentru
n2, coe
cientul de asimerie As(X)=23=2pn, coe
cientul de aplatizare Ap(X)
=3 + 12 =n. Iata cum arata pe unul si acela¸ si gra
c d.d. Hi-patrat pentru
valorile parametrului =1,2,5,10.
Or, din gra
ce se vede cum arat ¼ad.d. pozitiv asimetric ¼a. Cum 0<
As(X)=23=2pn !
n!10,Ap(X)=3+12 =n !
n!13, se vede cum gra
cul d.d. tinde
s¼a devin ¼a simetric, gradul de aplatizare apropiindu-se de cel al d.d. normale.
Cu alte cuvinte, odat ¼a cu cre¸ sterea num ¼arului gradelor de libertate d.d.
Hi-patrat se aproape de d.d. normal ¼a, lucru folosit pe larg in Statistica
Matematic ¼a.
100
In opozi¸ tie cu asimetria pozitiva ,devine clar cum arata gra
c o dis-
tribu¸ tie/d.d. negativ asimetric ¼a.
Remarca 2. Exemplele aduse mai scot in eviden¸ t ¼a urmatoarele situ-
atii:
a) daca distribu¸ tia/d.d. este simetric ¼a(As(X) = 0) ,atunci Mod (X) =
Med (X) =EX;
b) daca distribu¸ tia/d.d. este pozitiv simetric ¼a(As(X)>0),
atunci Mod (X)< Med (X)<EX;
c) daca distribu¸ tia/d.d. este negativ simetric ¼a(As(X)<0),
atunci EX < Med (X)< Mod (X).
101
4. Modele (distribu¸ tii, d.d.)) probabiliste uzuale, ine-
galit¼a¸ ti, Legea Numerelor Mari, Teorema Limit ¼a Cen-
tral¼a
4.1. Distribu¸ tii probabiliste uzuale in caz discret (Uniform ¼a,
Bernoulli, Binomial ¼a, Geometric ¼a, Poisson, Multinomial ¼a, Hy-
pergeometric ¼a)
Cum distribu¸ tia în caz discret sau d.d. a v.a. în caz (absolut) continuu
reprezint ¼a, de fapt, adev ¼arate modele matematice ale unor variabile aleatoare
ce prezint ¼a interes din punct de vedere practic noi vom scoate în eviden¸ t ¼a
câteva dintre cele mai r ¼aspândite modele probabiliste.
Distribu¸ tia Uniform ¼a (caz discret).
De
ni¸ tia 1. Vom spune c ¼av.a.Xeste distribuit ¼a uniform pe mul¸ timea
de valori posibile f0,1,2, …, Ng, pe scurt XUf0,1,2, …, Ng, dac ¼a
probabilit ¼a¸ tile
P(X=k) =1
N+ 1,k= 0;1; :::; N;
num¼arulNavând rol de parametru.
Se arat ¼a ca dac ¼aXUf0,1,2, …,Ng, atunci EX=(N+1)=2,DX=(N2
1)=12,3=0.
Analogic, XUf1,2, …, Ng, dac ¼aP(X=k) =1
N,k= 1, …, Nsau
XUfa1,a2, …, aNg,P(X=ak) =1
N,k= 1, …, N, unde a1,a2, …,
aN2R,a1< a 2<…< a N.
Remarca 1. Din punct de vedere matematic distribu¸ tia uniform ¼a mode-
leaz¼a, de exemplu, alegerea la întâmplare a unui element din multimea de N
elemente diferite. Experimentele aleatoare de acest gen pot
simulate ¸ si pe
calculator deoarece orice limbaj de programare evoluat (C++, Java, etc.) are
in biblioteca sa de functii program func¸ tia Random, corespunz ¼atoare cazu-
lui discret, accesarea c ¼areia are drept rezultat generarea unui num ¼ar ales la
întâmplare din multimea f0,1,2, …,Ng. Acest mode este utilizat ¸ si în Son-
dajele Statistice, atunci când se urm ¼are¸ ste ca valoarea aleas ¼a ¸ si inclus ¼a în
e¸ santion dintr-o Popula¸ tie Statistic ¼a s¼a
e aleas ¼a aleator.
Distribu¸ tia Bernoulli.
102
De
ni¸ tia 2. Vom spune c ¼av.a. Xeste distribuit ¼a Bernoulli cu para-
metrul p,0p1, pe scurt XBernoulli (p), dac¼amul¸ timea ei de valori
posibile estef0,1g,iar probabilit ¼a¸ tile
P(X= 0) = 1 p; P (X= 1) = p.
Caracteristicele numerice de baz ¼a ale acestei v.a. sunt EX=p,DX=p(1 p),
3=2p3 3p2+p.
Remarca 2. Din punct de vedere matematic distribu¸ tia uniform ¼a mod-
eleaz¼a comportamentul probabilist al numarului de "succese" într-o singur ¼a
prob¼a Bernoulli, aceasta din urm ¼a no¸ tiune
ind introdus ¼a în
De
ni¸ tia 3. Vom numi prob¼a Bernoulli orice experiment aleator ce
posed ¼a propriet ¼a¸ tile:
1. Spa¸ tiul de evenimente elementare
=f"succes ","insucces "g;
2. Probabilitatea p=Pf"succes "g,0p1, nu variaz ¼a de la prob ¼a la
prob¼a;
3. Rezultatele unei probe nu in uien¸ teaz ¼a rezultatele celorlalte probe
(independen¸ ta probelor).
Drept exemplu de prob ¼a Bernoulli poate servi aruncarea unei monede o
singur ¼a dat ¼a,"succes" considerândfaparitia stemeig. În genere, orice exper-
iment aleator poate
considerat prob ¼a Bernoulli deîndat ¼a ce acesta poate
repetat de
ecare dat ¼a independent de celelalte repet ¼ari, iar "succes"
ind
considerat orice eveniment Aasociat experimentului, unde p=Pf"succes"g=P(A).
Observ ¼am, astfel, c ¼a num ¼arulXde "succese" într-o singur ¼a prob ¼a Bernoulli
are distribu¸ tia Bernoulli.
Distribu¸ tia Binomial ¼a.
De
ni¸ tia 4. Vom spune c ¼av.a. Xeste distribuit ¼a Binomial cu para-
metrii n,p,n2f1,2, …g,0p1, pe scurt XBi(n;p), dac¼amul¸ timea
ei de valori posibile estef0,1,2, …,ng,iar probabilit ¼a¸ tile
Pn(k) =P(X=k) =Ck
npk(1 p)n k; k= 0;1;2; :::; n .
Caracteristicele numerice de baz ¼a ale acestei v.a. sunt EX=np,DX=np(1
p),3=np(1 p)(1 2p):
Pentru n= 1avem c ¼aBi(1;p)Bernoulli (p).
103
Remarca 3. Din punct de vedere matematic distribu¸ tia binomial ¼a mod-
eleaz¼a comportamentul probabilist al numarului total de "succese" în nprobe
Bernoulli deoarece este valabil ¼a
Propozi¸ tia 1. Num¼arul total de "succese" în nprobe Bernoulli cu
probabilitatea "succesului" pîn
ecare prob ¼a este o v.a. XBi(n;p).
Exemplul 1. În baza înregistr ¼arilor de la casele de marcaj a centrului
comercial Mall-Dova s-a constatat ca doar 30% din cump ¼ar¼atori î¸ si achit ¼a
cump ¼ar¼aturile cu cardul de credit, restul sub form ¼a de cash. Cu ce este egal ¼a
probabilitatea c ¼a din urm ¼atorii 5cumparatori 3î¸ si vor achita cump ¼ar¼aturile
cu cardul de credit.
Solu¸ tie. Modul de plata al
ecarui cump ¼ar¼ator poate
interpretat ca
rezultat al unei probe Bernoulli: plata cu cardul="succes", plata cash="insucces",
unde probabilitatea p=Pf"succes "g= 30 =100 = 0 :3:Prin urmare nu-
marul platitorilor cu cardul din num ¼arul total de n= 5cump ¼ar¼atori este
o v.a. XBi(5; 0:3):Deci Pfdin urm ¼atorii 5cumparatori 3î¸ si vor achita
cump ¼ar¼aturile cu cardul de credit g=P(X= 3)=C3
5(0:3)3(1 0:3)5 3=0:1323.
Distribu¸ tia Geometric ¼a.
De
ni¸ tia 5. Vom spune c ¼av.a.Xeste distribuit ¼a Geometric cu para-
metrul p,0< p < 1, pe scurt XGeom (p), dac ¼amul¸ timea ei de valori
posibile estef0,1,2, …, n, …g, iar probabilit ¼a¸ tile
pk=P(X=k) =p(1 p)k,k= 0;1;2; :::
sau dac ¼amul¸ timea ei de valori posibile este f1,2, …, n, …g, iar probabil-
it¼a¸ tile
P(X=k) =p(1 p)k 1,k= 1;2; :::;
ultima
ind numit ¼a ¸ sidistribu¸ tie geometric ¼a trunchiat ¼a în zero.
Caracteristicele numerice de baz ¼a ale v.a. XGeom (p)trunchiat ¼a în
zero sunt EX=1=p,DX=(1 p)=p2,3=(1 p)(2 p)=p3:
Distribu¸ tia geometric ¼a (trunchiat ¼a în zero) este unica v.a. de tip discret
ce posed ¼a proprietatea remarcabil ¼a enun¸ tat ¼a în
Propozi¸ tia 2 ( Proprietatea "lipsei memoriei" a distribu¸ tiei geo-
metrice ).V.a. Xde tip discret pentru care mul¸ timea de valori posibile este
multimea numerelor naturale este distribuit ¼a geometric trunchiat ¼a în zero,
adic¼a
P(X=k) =p(1 p)k 1,k= 1;2; :::;
104
dac¼a ¸ si numai daca aceasta posed ¼a proprietatea "lipsei memoriei":
P(X=n+k = X > n ) =P(X=k),pentru orice n; k1.
Consecin¸ t ¼a.Dac¼a v.a. XGeom (p)trunchiat ¼a în zero, atunci
P(X > n +k = X > n ) =P(X=k),pentru orice n; k1.
Remarca 4. Din punct de vedere matematic distribu¸ tia Geometric ¼a
apare în contextul experimentului aleator ce const ¼a în repetarea unei probe
Bernoulli cu probabilitatea "succesului" ppân¼a la prima apari¸ tie a "succe-
sului" a¸ sa cum se vede din
Propozi¸ tia 3. Num¼arul total de probe Bernoulli, cu probabilitatea "suc-
cesului" pîn
ecare prob ¼a, efectuate pân ¼a la prima apari¸ tie a "succesului"
este o v.a. XGeom (p)trunchiat ¼a în zero ,iar num ¼arul total de "insuccese"
înregistrate în acela¸ si experiment este o v.a. YGeom (p), unde 0< p < 1.
Exemplul 1 ( Continuare ).În condi¸ tiile enun¸ tate anterior, ne intere-
seaz¼a cu ce este egal ¼a probabilitatea c ¼a de la începutul urm ¼atoarei zile de
lucru a centrului comercial pân ¼a la prima apari¸ tie a unui cump ¼ar¼ator pl ¼atitor
cu cardul de credit va
inregistrat un num ¼ar mai mare decât 10 cumpar ¼atori
ce-¸ si vor face cump ¼ar¼aturi? Dar probabilitatea c ¼a, ¸ stiind c ¼a primii, cel pu¸ tin,
10 cump ¼atori ¸ si-au achitat cump ¼aturile cash, dup ¼a aceasta, pâna la prima
apari¸ tie a unui cump ¼ar¼ator pl ¼atitor cu cardul de credit, cel pu¸ tin, înc ¼a 10
cump ¼ar¼atori î¸ si vor achita cump ¼ar¼aturile cash?
Solu¸ tie. De aceast ¼a dat ¼a, conform Propozi¸ tiei 3, num ¼arul de cump ¼ar¼atori
înregistra¸ ti pân ¼a la apari¸ tia primului cumpar ¼ator platitor cu cardul este o v.a.
XGeom (0:3)trunchiat ¼a în zero, iar raspunsul la prima întrebare se reduce
la calcularea
P(X > 10) = P(X= 11) + P(X= 12) + :::= 0:3(0:7)10+ 0:3(0:7)11+:::=
0:30:710[1 + 0 :7 + 0 :72+:::] = 0:30:7101
1 0:7= 0:02 824 8 :
R¼aspunsul la cea de a doua întrebare vizeaz ¼a calcularea probabilit ¼a¸ tii condi¸ tion-
ateP(X > 10 + 10 /X > 10)=P(X > 20= X > 10):Dar, conform con-
secin¸ tei de mai sus P(X > 20= X > 10)=P(X > 10)=0:02 824 8 .
Distribu¸ tia Poisson.
105
De
ni¸ tia 6. Vom spune c ¼av.a.Xeste distribuit ¼a Poisson cu parametrul
, > 0, pe scurt XPoisson (), dac¼amul¸ timea ei de valori posibile este
f0,1,2, …, n, …g, iar probabilit ¼a¸ tile
pk=P(X=k) =k
k!e ,k= 0;1;2; :::
Caracteristicele numerice de baz ¼a ale v.a. XPoisson ()EX=DX=
3=. Dac ¼aeste num ¼ar întreg, atunci pkî¸ si atinge valoarea maxim ¼a pentru
k0=¸ sik0=+ 1. Dac ¼aeste frac¸ tionar, atunci Mod (X)=[] + 1.
Un context aparte în care apare distribu¸ tia Poisson este legat de no¸ tiunea
dat¼a de
De
ni¸ tia 7. Vo numi ux de evenimente un ¸ sir de evenimente aleatoare,
care se produc în momente aleatoare de timp. Un ux de evenimente se
nume¸ ste ux Poisson dac¼a el are propriet ¼a¸ tile:
a)este sta¸ tionar, adic ¼a probabilitatea c ¼a într-un anume interval de timp
se vor realiza exact kevenimente depinde numai de num ¼arulk¸ si de lungimea
(durata) intervalului de timp ¸ si nu depinde de începutul lui;
b)probabilitatea realiz ¼arii a kevenimente într-un anume interval de timp
nu depinde de num ¼arul de evenimente care s-au realizat înainte de începerea
acestui interval;
c) realizarea a dou ¼a sau mai multe evenimente într-un interval mic de
timp are, practic, probabilitate nul ¼a.
Num¼arul mediu de evenimente dintr-un ux Poisson care se realizeaz ¼a
într-o unitate de timp se nume¸ ste intensitate a uxului . Vom nota intensi-
tatea uxului cu . Atunci are loc
Propozi¸ tia 4. Num¼arul total de evenimente produse pe un interval de
timp de durat ¼atîntr-un ux Poisson de intensitate , > 0;este o v.a.
X(t)distribuit ¼a Poisson cu parametrul
pk(t) =P(X(t) =k) =(t)k
k!e t,k= 0;1;2; :::.
Remarca 5. Mul¸ timea de v.a. fX(t); t0g, unde X(t)reprezint ¼a
num¼arul total de evenimente produse pe un interval de timp de durat ¼atîntr-
un ux Poisson de intensitate , > 0este un proces aleator ce nume¸ ste
proces Poisson cu parametrul .
Drept exemple de v.a. X(t)ce apar în contextul uxului Poisson putem,
cu o anumit ¼a doz ¼a de exactitate, considera:
106
1. Num ¼arului de cutremure de p ¼amânt care au loc într-o regiune seismic ¼a
într-un interval de timp;
2. Num ¼arului de accidente rutiere produse într-un ora¸ s, într-un interval
de timp;
3. Num ¼arului de decese printre asigura¸ tii unei companii de asigurare
într-un interval de timp;
4. Num ¼arului de particule (alfa) emise de o substan¸ t ¼a radioactiv ¼a intr-un
anumit interval de timp;
5. Num ¼arului de automobile care vin la o sta¸ tie de alimentare cu benzin ¼a
într-un interval de timp;
6. Num ¼arului de clien¸ ti care se adreseaz ¼a la un o
ciu po¸ stal într-o zi;
7. Num ¼arului de apeluri la un post telefonic într-un interval de timp.
etc., etc.
Remarca 6. Din punct de vedere matematic distribu¸ tia Poisson mai
modeleaz ¼a, de exemplu, comportamentul probabilistic ale unor astfel de v.a.
ca:
1. Num ¼arului de erori de programare comise de un programator intr-un
soft de o anumit ¼a lungime;
2. Num ¼arului de bacterii descoperite intr-o pic ¼atur¼a de ap ¼a;
3. Num ¼arului de erori de tipar care se con¸ tin pe o pagin ¼a (sau un grup
de pagini) dintr-o carte;
4. Num ¼arului de 3 gemeni noi n ¼ascu¸ ti în decurs de un an într-o ¸ tar ¼a
anume;
5. Num ¼arului de oameni dintr-o anumit ¼a ¸ tar¼a care au dep ¼a¸ sit vârsta de
100 de ani, etc.
Printre exemplele enumerate sunt ¸ si exemple ce nimeresc sub inciden¸ ta
distribu¸ tiei Binomiale, dar cate poate
aproximat ¼a cu distribu¸ tia Poisson
conform
Propozi¸ tia 5 ( Teorema Limit ¼a Poisson ).Dac¼a v.a. XBi(n;p)
¸ sinp !
n!+1, > 0,deîndat ¼a cep ! 0,atunci probablit ¼a¸ tile
Pn(k) =P(X=k) =Ck
npk(1 p)n k !
n!+1(t)k
k!e t,k= 0;1;2; :::.
Exemplul 2. Conform normelor tehnologice la 1000 de cozonaci cu
sta
de sunt prev ¼azute 10000 de sta
de. Cu ce este egal ¼a probabilitatea ca
într-un cozonac ales la întâmplare nu vom descoperi nicio sta
d ¼a.
107
Solu¸ tie. Dac¼a sunt respectate normele tehnologice, atunci pentru
ecare
din cele 10000 sra
de probabilitatea de a nimeri în cozonacul ales ("suc-
ces") este egal ¼a cu p= 1=1000, astfel, avem de a face cu n= 10000 de
probe Bernoulli cu probabilitatea succesului 1/1000 în
ecare prob ¼a. prin
urmare Num ¼arul sta
delor numerite în cozonacul ales este o v.a. X
Bi(10000; 1 =1000) . Cum neste su
cient de mare, iar psu
cient de mic,
putem aplica propozitia 5, considerând c ¼a=np= 100001=1000 = 10 .
Prin urmare probabilitatea, de exemplu, c ¼a într-un cozonac ales la întâmplare
nu vom descoperi nicio sta
d ¼a este egal ¼a cu
P10000(0) = P(X= 0) = C0
10000(1=1000)0(1 1=1000)10000 0=
= (999 =1000)10000'k
k!e =100
0!e 10= 4:5410 5'0:
Or, dac ¼a în urma unui control de rutin ¼a, se constat ¼a c¼a într-un cozonac
ales la întâmplare nu a fost descoperit ¼a nicio sta
d ¼a, atunci ipoteza cea mai
verosimil ¼a e c¼a… au fost înc ¼alcate normele tehnologice anun¸ tate mai sus.
Distribu¸ tia Multinomial ¼a.
Este vorba despre distribu¸ tia unei v.a. n dimensionale, n2;dar care
pentru n= 2coincide cu distribu¸ tia Bi(n;; p):
De
ni¸ tia 8. Vom spune c ¼a v.a. X=(X1,X2, …,Xn)estemultinomial
distribuit ¼a cu parametrii m¸ sip1,p2, …,pn>0,p1+p2+ …+ pn=1, pe scurt
XMulti (m;p1,p2, …,pn), daca mul¸ timea de valori posibile a vectorului
XesteX=f(m1,m2, …,mn):mi=0; m,i=1; n,m1+m2+ …+ mn=mg,
iar
p(m1; m2; :::; m n) =P(X1=m1; X2=mn; :::; X n=mn) =
=m!
m1!m2!:::m n!pm1
1pm2
2:::pmn
n
pentru orice mi=0; m,i=1; n,m1+m2+ …+ mn=m.
Caracteristicile numerice marginale pentru
ecare v.a. Xi,i=1; n, sunt
EXi=mpi,DXi=mpi(1 pi),3;i=mpi(1 pi)(1 2pi), analogia cu cazul
distribu¸ tiei binomiale
ind concludent ¼a.
Remarca 7. Este util s ¼a ¸ stim c ¼a
ecare v.a. în parte XiBi(m:pi),
i=1; n. Mai mult, pentru orice subset de indici 1 i1<i2<…<ik, 1kn
vectorul aleator (Xi1,Xi2, …,Xik)Multi (m;pi1,pi2, …,pik). Din punct de
108
vedere matematic distribu¸ tia multinomiala descrie toate situa¸ tiile conforme
cu
Propozi¸ tia 6. FieXinumarul de înregistr ¼ari a evenimentului Aii=
1; n, în urma a mrepet¼ari independente a experimentului aleator Eîn care se
poate produce de
ecare dat ¼a doar unul din evenimentele Ai, unden[
i=1Ai=
,
Ai\Aj=?, pentru orice i6=j,i; j=1; n, iar probabilit ¼a¸ tile pi=P(Ai)>0,
p1+p2+…+ pn=1sunt cunoscute. Atunci X=(X1,X2, …, Xn)este o v.a.
n-dimensionala ¸ si XMulti (m;p1,p2, …, pn).
Exemplul 3. Presupunem ca în
nala campionatului mondial la ¸ sah au
ajuns doi ¸ sahi¸ sti, din care primul este campionul mondial en titre, despre care
se mai ¸ stie c ¼a, în baza partidelor de ¸ sah jucate anterior între ace¸ stia, 20%din
partide le-a c⸠stigat primul, 20% al doilea ¸ sahist, iar restul partidelor s-au
terminat la egalitate. Meciul pentru titlul de campion consta din 12 partide,
care, in caz de, de acumulare unui num ¼ar egal de puncte la sfâr¸ sit campionul
en titre î¸ si p ¼astreaz ¼a titlul. Cu ce ste egal ¼a probabilitatea c ¼a primul juc ¼ator
va c⸠stiga 4 partide, al doilea 5, resul partidelor terminându-se la egalitate?
Dar probabilitatea c ¼a cel de al doilea juc ¼ator va deveni campion mondial?
Solu¸ tie. Putem considera
ecare partid ¼a de ¸ sah un experiment aleator
Eîn care se poate produce de
ecare dat ¼a doar unul din evenimentele A1=
fpartida dat ¼a va
c⸠stigat ¼a de primul juc ¼atorg,A2=fpartida dat ¼a va
c⸠stigat ¼a de al doilea juc ¼atorg,A1=fpartida dat ¼a se va termina la egali-
tateg,unde3[
i=1Ai=
,Ai\Aj=?, pentru orice i6=j,i; j=1;3, iar proba-
bilit¼a¸ tile p1=P(A1)=p2=P(A2)=0:2,p2=P(A2)=0:6:Atunci,
ind aplicabil ¼a
propozitia 6, deducem: probabilitatea c ¼a primul juc ¼ator va c⸠stiga 4 partide,
al doilea 5, resul partidelor terminându-se la egalitate este egal ¼a cu
p(4;5;3) =12!
4!5!3!0:240:240:63= 0:015328 :
Ambii juc ¼atori, având aceea¸ si putere de joc, pentru a-¸ si p ¼astra titlul de cam-
pion mondial, primul juc ¼ator este avantajat, totu¸ si, de un meci terminat la
egalitate. Dar probabilitatea ca meciul se va termina la egalitate este egal ¼a
cu
p(6;6;0)+p(5;5;2)+p(4;4;4)+p(3;3;6)+p(2;2;8)+p(1;1;10)+ p(0;0;12) =
12!
6!6!0!0:260:260:60+12!
5!5!2!0:250:250:62+12!
4!4!4!0:240:240:64+12!
3!3!6!0:230:230:66+
109
12!
2!2!8!0:220:220:68+12!
1!1!10!0:210:210:610+12!
0!0!12!0:200:200:612= 0:18121 .
Or, probabilitatea ca cel de al doilea jucator va deveni noul campion mondial
este egala cu (1 0:18121) =2 = 0 :409 40 , fapt ce i-a determinat pe organiza-
torii campionatelor mondiale la ¸ sah s ¼a renun¸ te la condi¸ tia enun¸ tat ¼a în prob-
lem¼a, înlocuind-o cu condi¸ tia c ¼a in caz c ¼a cele 12 partide nu vor desemna
un c⸠stig ¼ator net, atunci meciul continu ¼a pâna la prima partid ¼a c⸠stigat ¼a de
unul din juc ¼atori, acesta ¸ si
ind declarat înving ¼ator.
Distribu¸ tia Hipergeometric ¼a.
De
ni¸ tia 9. Vom spune c ¼a v.a. Xestehipergeometric distribuit ¼a cu para-
metrii N; M; n , pe scurt XHypergeom (N; M; n ),(N; M; n )2f(N; M; n ):
N=1,2,…;M=0,1,…,N;n=1,2, …,Mg, daca mul¸ timea de valori posibile
a v.a. XesteX=fk:min[0 ; n (N M)]kmin(n; M )g, iar
PN;M;n (k) =Ck
MCn k
N M
Cn
N,min[0 ; n (N M)]kmin(n; M ).
Caracteristicile numerice de baz ¼a ale v.a. Xsunt:EX=nM
N,DX=nM
NN M
N
N n
N 1,3=nM
NNM
NN 2M
NN n
N 1N 2n
N 2.
Remarca 8. Din punct de vedere matematic distribu¸ tia hipergeomet-
ric¼a descrie extragerea la întãmplare, f ¼ar¼a întoarcere/repetare a nelemente
dintr-o mul¸ time de Nelemente, din care Melemente sunt de tipul 1, restul
N Melemente
ind de tipul 2. Atunci, folosind de
ni¸ tia clasic ¼a a proba-
bilit¼a¸ tii, se arat ¼a c¼a num ¼arul de elemente de tipul 1 care se vor reg ¼asi printre
celenelemente extrase este o v.a. XHypergeom (N; M; n ),(N; M; n )2
f(N; M; n ):N=1,2,…;M=0,1,…,N;n=1,2, …, Mg. Men¸ tion ¼am c ¼a
modul de extragere, far ¼a întoarcere sau cu întoarcere, este principial. Astfel,
dac¼a extragerea succesiv ¼a anbile este cu întoarcere, atunci, folosind de
ni¸ tia
clasic ¼a a probabilit ¼a¸ tii, se demonstreaz ¼a c¼a num ¼arul de elemente de tipul 1
care se vor reg ¼asi printre cele nelemente extrase este o v.a. XBi(n;p),
unde p=Pf"succes "g=Pfelementul extras la extragerea iva
unul de
tipul 1g=M=N; pentru orice i=1; n. Aceasta este esential, de exemplu,
la modelarea matematica a e¸ santion ¼arii aleatoare în func¸ tie de tipul de se-
lectare/extragere (cu întoarcere sau f ¼ar¼a întoarcere) a elementelor din popu-
la¸ tia statistic ¼a.
Exemplul 4 ( Loto 6 din 49 ).În România se bucur ¼a de populari-
tate printre amatorii de jocuri de noroc Loteria Na¸ tional ¼a 6 din 49. Interes
110
prezint ¼a probabilitatea c ¼a, jucând cu o singur ¼a variant ¼a, vom incasa c⸠stigul
maxim, adic ¼a vom ghici X= 6numere c⸠stig ¼atoare. Deoarece ne a ¼am în
situa¸ tia aplic ¼arii distribu¸ tiei XHypergeom (N; M; n ), unde N=49,M=6,
n=6, deducem ca
P(X= 6) = P49;6;6(6) =C6k
6C6 6
49 6
C6
49=1
C6
49=1
13 983 816:
4.2. Distribu¸ tii probabiliste uzuale in caz (absolut) continuu
(Uniform ¼a, Exponen¸ tial ¼a, Normal ¼a, Hi-p ¼atrat ( 2),T-Student)
Distribu¸ tia Uniform ¼a (caz (absolut) continuu).
De
ni¸ tia 1. Vom spune c ¼a v.a. Xeste distribuit ¼a uniform pe segmentul
[a; b], pe scurt XU[a; b],a,b2R,a < b , dac¼a densitatea ei de distribu¸ tie
f(x) =1
b aI[a;b](x).
Caracteristicile numerice de baz ¼a ale v.a. Xsunt:EX=a+b
2,DX=(b a)2
12,
3=0.
Remarca 1. Din punct de vedere matematic distribu¸ tia uniform ¼a mode-
leaz¼a, de exemplu, alegerea la întâmplare a unui punct de pe segmentul [a; b].
Experimentele aleatoare de acest gen pot
simulate ¸ si pe calculator deoarece
orice limbaj de programare evoluat (C++, Java, etc.) are in biblioteca sa de
functii program func¸ tia Random, corespunz ¼atoare cazului absolut , accesarea
c¼areia are drept rezultat generarea unui num ¼ar ales la întâmplare din multi-
mea [0;1]. Dat
ind faptul c ¼a in memoria calculatorului numerele ira¸ tionale,
de exemplu, sunt, din cauza lungimii limitate a cuvântului de calculator
(32 sau 64 bi¸ ti), aproximate de numere ra¸ tionale, generatorul corespunz ¼ator
poart ¼a denumirea de Generator de Numere Pseudoaleatoare. Acest genera-
tor in ambele sale ipostaze (discret ¼a ¸ si (absolut0 continue) se a a la baza
simularii pe calculator a oric ¼arei legit ¼a¸ ti probabiliste. De exempu, având la
baz¼a generatorul de valori ale v.a. XU[0;1], putem simula valori ale v.a.
YU[a; b]¸ si viceversa. Algoritmul se desprinde din
Propozi¸ tia 1. Daca v.a. XU[0;1], atunci v.a. Y=(b a)X+a
U[a; b]pentru orice a,b2R,a < b . Dimpotriva, dac ¼a v.a. YU[a; b],
atunci v.a. X= (Y a)=(b a)U[0;1].
Are loc ¸ si
Propozi¸ tia 2. Daca v.a. XU[a; b], atunci ¸ si v.a. Y=b XU[a; b].
111
Exemplul 1. Un troleibus sose¸ ste in sta¸ tie din 5 în 5 minute. Care este
probabilitatea c ¼a un pasager, care vine in sta¸ tie într-un moment aleator de
timp, va a¸ stepta troleibuzul cel mult 2 minute?
Solu¸ tie. Din faptul c ¼a momentul de sosire în sta¸ tie este unul aleator,
rezult ¼a ca acest moment Xeste, de fapt, rezultatul alegerii la întâmplare a
unui punct de pe un segment de lungime 5, cu alte cuvinte, XU[0;5].
Timpul de a¸ steptare a urm ¼atorului troleibus coincide cu v.a. Y=b X, prin
urmare, conform propozi¸ tiei 2, YU[0;5], ceea ce înseamn ¼a c¼a probabili-
tatea c ¼a un pasager, care vine in sta¸ tie într-un moment aleator de timp, va
a¸ stepta troleibuzul cel mult 2 minute coincide cu
P(0Y2) =2Z
01
5dx=2
5= 0:4:
Distribu¸ tia exponen¸ tial ¼a.
De
ni¸ tia 2. Vom spune c ¼a v.a. Xeste distribuit ¼a exponen¸ tial cu para-
metrul , > 0, pe scurt Xexpfg, dac ¼a mul¸ timea ei de valori posibile
coincide cu [0;+1);iarf(x)=e xI[0;+1)(x).
Caracteristicile numerice de baz ¼a ale v.a. Xsunt: EX=1
,DX=1
2,
3=2
3. ¸ Tinând cont de leg ¼atura dintre f.d. si d.d. a v.a. X, g¼asim ca
f.r. a unei v.a. Xexpfgeste egal ¼a cuF(x)=(1 e x)I[0;+1)(x).
Aceast ¼a distribu¸ tie apare în direct ¼a legatur ¼a cu uxurile (procesele Pois-
son), legatur ¼a eviden¸ tiat ¼a în
Propozi¸ tia 3. Durata intervalului de timp dintre dou ¼a momente succe-
sive în care se produc dou ¼a evenimente într-un ux Poisson cu intensitatea
> 0este o v.a. Xexpfg.
Prin urmare, în toate exemplele de ux Poisson enum ¼arate în paragraful
anterior putem invoca ¸ si distribu¸ tia exponen¸ tial ¼a.
Remarca 2. Dac¼a în caz discret singura distribu¸ tie care posed ¼a pro-
prietatea "lipsei memoriei" este distribu¸ tia geometric ¼a, apoi în caz (absolut)
continuu singura v.a. ce posed ¼a aceasta proprietate este v.a. Xexpfg.
Într-adev ¼ar, are loc
Propozi¸ tia 4 ( Proprietatea "lipsei memoriei" a distribu¸ tiei ex-
ponen¸ tiale ).V.a. Xde tip (absolut) continuu, pentru care mul¸ timea de
valori posibile coincide [0;+1);este o v.a. distribuit ¼a exponen¸ tial, adic ¼a
F(x) = (1 e x)I[0;+1)(x);
112
dac¼a ¸ si numai daca aceasta posed ¼a proprietatea "lipsei memoriei":
P(Xx+h = X > x ) =P(Xh),pentru orice h0.
Consecin¸ t ¼a.Dac¼a v.a. Xexpfg, atunci
P(X > x +h = X > x ) =P(X > h ),pentru orice h0.
Proprietatea "lipsei memoriei" numit ¼a si "proprietate markovian ¼a" face
ca aceast ¼a distribu¸ tie sa
e folosit ¼a pe larg acolo unde apare no¸ tiunea de
durat ¼a (a vie¸ tii): în Demogragie, Teoria Fiabilit ¼a¸ tii, Teoria A¸ stept ¼arii, Ac-
tuariat, etc. A se vedea, în acest sens, exemplele 9 din p.1.3 ¸ si 2 din p.2.2.
Exemplul 2. Timpul de asteptare la o sta¸ tie de alimentare cu carburan¸ ti
este o v.a. Xcu o durat ¼a medie de a¸ steptare egal ¼a cu T0. S¼a se a e proba-
bilit¼a¸ tile urm ¼atoarelor evenimente: A=f1
2T0< X3
2T0g,B=fX > 2T0g.
Solu¸ tie. Cum XexpfgiarEX=1
=T0, rezult ¼a c¼aXexpf1
T0g.
Prin urmare
P(A) = (1 expf 1
T03
2T0g) (1 expf 1
T01
2T0g) =
expf 1
2g expf 3
2g= 0:383 4;
P(B) = 1 (1 expf 1
T02T0g) = expf 2g= 0:135 34 .
Distribu¸ tia normal ¼a.
De
ni¸ tia 3. Vom spune c ¼a v.a. Xeste distribuit ¼a normal cu parametrul
m¸ si,m2R, > 0, pe scurt XN(m;), dac ¼a mul¸ timea ei de valori
posibile coincide cu ( 1;+1)iarf(x)=1
p
2e (x m)2
22. Atunci când m=0,
=1vom spune c ¼aXeste standard normal distribuit ¼a sau Gauss distribuit ¼a,
pe scurt, XN(0; 1) (vezi exemplul 8, p.3.1.)
Caracteristicile numerice de baz ¼a ale v.a. Xsunt: EX=m,DX=2,
3=0. Putem, astfel, vorbi c ¼aXN(m;)este o v.a. normal distribuit ¼a
cu media m¸ si abaterea standard .
F.d. a v.a. XN(m;)este func¸ tia F(x) =1
p
2xR
1e (u m)2
22duiar în
cazul când Xeste standard normal distribuit ¼a f.d. este (x)=1p
2xR
1e u2
2du
113
¸ si d.d. '(x) =1p
2e x2
2. De remarcat faptul, ca valorile f.d. (x), deci
siF(x)nu pot
determinate decât prin metode numerice aproximative
deoarece integrala1p
2xR
1e u2
2dunu se calculeaz ¼a exact, dar în cadrul apli-
ca¸ tiilor concrete putem utiliza Tabelul valorilor f.d. (x)(Vezi Anexa 1) sau
calculatorul online pentru distribu¸ tia normala cu media si abaterea standard
cunoscute, ce poate
accesat la adresa, de exemplu,
http :==onlinestatbook :com=2=calculators =normal _dist:html :
Important e c ¼a Tabelul valorilor f.d. (x)poate
utilizat ¸ si la calcularea
valorilor f.d. F(x), conform formulei F(x)=(x m
), daca F(x)corespunde
distributiei N(m;). Aceasta din urm ¼a rezulta din
Propozi¸ tia 5. Dac¼a v.a. XN(0; 1) , atunci v.a. Y=X+m
N(m;). Invers, dac ¼a v.a. YN(m;), atunci v.a. X=Y m
.
Transformarea v.a. YN(m;)în v.a.Y m
se nume¸ ste standardizare.
Propozi¸ tia 6. F.d. (x)a v.a. XN(0; 1) posed ¼a urm ¼atoarele propri-
et¼a¸ ti: a) ( x) + ( x)=1pentru orice x2R; b)P( 3X3)=(3)
( 3)=0:9973; c) P( Y )=P( m
Y m
m
)=( m
)
( m
)pentru orice , 2R, .
Proprietatea a) arat ¼a c¼a Tabelul valorilor f.d. (x)poate
de
nit doar
pentru valorile argumentului x0, iar proprietatea b) justi
c ¼a de ce Tabelul
din Anexa 1 este dat doar pentru valorile 3:99< x < 3:99. Mai mult, din
proprietatea c) deducem urm ¼atoarea
Consecin¸ t ¼a (Regula "3").Pentru orice v.a. YN(m;);indiferent
de valoarea ei medie m¸ si abaterea ei standard , probabilitatea
P(m 3Ym+ 3) = 0 :9973:
Cu alte cuvinte, în peste 99% din cazuri, valorile v.a. YN(m;)se
vor situa în jurul valorii ei medii la o distan¸ t ¼a de 3.
Remarca 3. Exemple de v.a. distribuite normal sunt: cantitatea anual ¼a
de precipita¸ tii atmosferice dintr-o anumita regiune, eroarea care se ob¸ tine în
urma m ¼asurarii unei m ¼arimi cu un aparat de m ¼asurat, în ¼al¸ timea unui b ¼arbat
luat la intamplare, etc. Mai mult, în anumite condi¸ tii, sume de v.a. într-un
num¼ar su
cient de mare pot
considerate, cu o anumit ¼a doz ¼a de aproximare,
ca
ind v.a. normal distribuite, ceea ce simpli
c ¼a esen¸ tial analiza statistica
a datelor.
114
Exemplul 1. În cadrul plani
carii produc¸ tiei de costume pentru b ¼arba¸ ti
destinate comercializ ¼arii în Republica Moldova, Fabrica de Confec¸ tii "Ionel"
din Chi¸ sin ¼au urmeaz ¼a s¼a determine cota parte de costume produse pentru
b¼arba¸ tii ce au în ¼al¸ timea ce variaz ¼a între 164 ¸ si 170 cm., ¸ stiind doar faptul
c¼a în¼al¸ timea unui b ¼arbat ales la întâmplare din regiunea dat ¼a este o v.a.
Xnormal distribuit ¼a cu media m=170cm¸ si abaterea standard = 5cm.
Evident c ¼a aceast ¼a cot ¼a exprimat ¼a în procente este egal ¼a cu P(164X
170)100% :Dar
P(164X170) = (170 170
5) (164 170
5) =
(0) ( 1:2) = 0 :5 0:11505 = 0 :38495 :
Prin urmare, cota parte în cauz ¼a este egal ¼a cu aproximativ 38:5%.
Distribu¸ tia Hi-p ¼atrat ( 2).
De
ni¸ tia 4. Vom spune c ¼a variabila v.a. 2(n)este repartizat ¼a hi-p ¼atrat
cungrade de libertate daca aceasta are aceea¸ si d.r. ca ¸ si v.a. X2
1+X2
2+…+ X2
n,
unde X1,X2, …,Xnsunt variabile aleatoare independente, identic standart
normal distribuite, sau ceea ce este echivalent, dac ¼a aceasta are d.d.
f(x) =x(n 2)=2exp( x=2)
2n
2 (n
2)I[0;+1)(x);
(u) =+1R
0xu 1e xdx
ind (u) =+1R
0xu 1e xdx:Distribu¸ tia hi-patrat este
tabelata si in functie de nsix, ¸ si astfel putem a a valoarea probabilitatii
P( 2(n)x). Aceasta din urma poate
calculat ¼a ¸ si online la adresa
http :==onlinestatbook :com=2=calculators =normal _dist:html :
Din exemplul 3, p. 3.3. putem vedea cum variaz ¼a gra
c forma d.r. a v.a. 2(n)
in functie de valoarea parametrului n:
Caracteristicile numerice de baz ¼a ale v.a. 2(n)sunt:E 2(n)=n,D 2(n)=2n,
3=8n.
Remarca 4. Aceast ¼a distribu¸ tie este utilizat ¼a in calitate de model
matematic pentru diverse proceduri de estimare de interval sau de veri
care
a ipotezelor în Statistica Matematic ¼a.
115
Distribu¸ tia T-Student.
De
ni¸ tia 5. Vom spune c ¼a variabila v.a. T(n)este Student repartizat ¼a
cungrade de libertate, pe scurt, T(n)Student (n), daca aceasta are d.d.
ce coincide cu d.d. a v.a.Xp
2(n)=n, unde X, 2(n)sunt variabile aleatoare
independente respectiv, standard normal distriuit ¼a ¸ si hi-p ¼atrat distribuit ¼a cu
ngrade de libertate.
Caracteristicile numerice de baz ¼a ale v.a. T(n)sunt:ET(n)=0,DT(n)=n=(n
2)pentru n > 2,3=0
La fel, aceasta distribu¸ tie se foloseste pe larg in Statistica Matematica
la construirea unor estimatori de interval, dar ¸ si la veri
carea ipotezelor
statistice.
Pentru calculul probabilit ¼a¸ tilor de forma P(T(n)x)se folosesc tabele
care iau in calcul doar cazurile cand numarul de grade de libertate nu intrece
120, deoarece odata cu cresterea lui naceasta distribu¸ tie se apropie de cea
normala standart, ceea ce se vede ¸ si din gra
cele densit ¼a¸ tii de distribu¸ tie
Student in functie de n(gra
cul cu valoarea maximal ¼a cea mai mic ¼a pentru
n=1, apoi n= 2;5;1, ultimul
ind trasat cu linie ingro¸ sat ¼a) :
4.3. Inegalitatea Chebyshev, Legea Numerelor Mari (în formele
Cebyshev, Bernoulli, Hincin), Teorema Limit ¼a Central ¼a
116
Modelele matematice ce-¸ si gasesc aplicare în Statistica Matematic ¼a vizeaz ¼a,
de fapt, v. a. n-dimensionale X=(X1,X2, …,Xn)sau func¸ tii de forma g(X1,
X2, …,Xn)privite ca v.a., interes prezentând comportamentul lor probabilist
atunci când n !1 . În acest scop sunt utile inegalit ¼a¸ ti de tip Inegalitatea
Chebyshev, care scot în eviden¸ ta faptul c ¼a, în anumite condi¸ tii, cunoa¸ sterea
doar a unor caracteristici sumare ale v.a. X, cum ar
valoarea medie, mo-
mentul central de ordinul 2 sau dispersia, sunt su
ciente pentru a evalua
probabilit ¼a¸ ti legate de aceast ¼a v.a.
Propzi¸ tia 1 ( Inegalitatea Markov ).Dac¼a pentru v.a. Xexist¼a
EjXj, atunci are loc inegalitatea
P(jXj")EjXj
",8" >0:
Consecin¸ ta 1. Dac¼a v.a. X0¸ si exist ¼aEX, atunci are loc inegali-
tatea
P(X")EX
",8" >0:
Consecin¸ ta 2 ( Inegalitatea Chebyshev ).Dac¼a pentru v.a. Xexist¼a
momentul ini¸ tial EX2, atunci are loc inegalitatea Chebyshev în formele
P(jXj")EX2
"2,8" >0:
¸ si
P(jX EXj")DX
"2,8" >0:
Consecin¸ ta 2 ( Regula "k ").Dac¼a pentru v.a. Xexist¼a momentul
ini¸ tial EX2, atunci pentru k=2,3,4
P(EX k < X < EX+k)>1 1
k2,:
Aceast ¼a consecin¸ t ¼a arat ¼a, de exemplu, pentru k= 3, c¼a în cel pu¸ tin
(1 1
32)100%'89% din cazuri, valorile v.a. Xse vor situa în intervalul
(EX 3;EX+ 3). A¸ sa cum arat ¼a regula 3 , formulat ¼a drept consecin¸ t ¼a
din propozi¸ tia 6 pentru distribu¸ tia normal ¼a cu media m¸ si abaterea standard
, aceea¸ si regul ¼a dedus ¼a din inegalitatea Chebyshev este mai pu¸ tin exacta
117
decât prima, dar aceasta din urm ¼a având avantajul de a
aplicabil ¼a pentru
toate v.a. pentru care exist ¼a media si dispersia.
Exemplul 1. În presupunerea c ¼a v.a. Xare valoarea medie EX= 1¸ si
abaterea standard = 0:2putem evalua probabilit ¼a¸ tile (grani¸ tele lor de jos)
evenimentelor
A=f0:5< X < 1:5g; B=f0:75< X < 1:35g; C=fX < 2g:
Într-adev ¼ar,A=f1 0:5< X < 1 + 0 :5g=fjX EXj<0:5g. Dar
P(A) =P(jX EXj0:5)2
0:52=0:22
0:52= 0:16.
Prin urmare P(A) = 1 P(A)1 0:16 = 0 :84. Analogic, deoarece
Bf0:75< X < 1:25g=fjX EXj<0:25g, avem
P(B) = 1 P(B)1 P(jX EXj<0:250:22
0:252= 0:64:
Cum Cf0< X < 2g=fjX EXj<1g, avem c ¼a
P(C) = 1 P(C)1 P(jX EXj<1)1 0:22
12= 1 0:04 = 0 :96.
Exemplul 2. Viteza vântului în km=or aîn orice punct al P ¼amântului
este o v.a. X. S¼a se evalueze grani¸ ta de sus a probabilit ¼a¸ tii evenimentului
fX80km=oragîn
ecare din urm ¼atoarele cazuri: a)în urma unor m ¼a-
sur¼ari facute mai mul¸ ti ani la rând s-a stabilit c ¼aEX= 16 km=or a;b)în
urma unor m ¼asur¼ari facute suplimentar s-a stabilit c ¼a abaterea standard a
v.a.Xeste egal ¼a cu= 4km=or a.
Solu¸ tie. a)Deoarece Xeste o v.a. nenegativa, putem aplica Inegaliattea
Markov:
PfX80km=orag16km=ora
80km=ora= 0:2:
b)În acest caz, înainte s ¼a aplic ¼am Inegalitatea Cebyshev, observ ¼am c¼a
fX80g=fX EX80 EXg=fX EX64gfj X EXj64g.
Prin urmare
PfX80gPfjX EXj64gDX
642=42
642'0:004.
118
De
ni¸ tia 1. Vom spune c ¼a ¸ sirul de v.a. X1,X2, …,Xn, …este guvernat
de Legea Numerelor Mari (LNM) dac¼a
lim
n !1P0
@ n
1
nX
k=1Xk n
1
nX
k=1EXk < "1
A= 1,8" >0:
Teorema 1 ( LNM în forma Cebyshev ).Dac¼aX1,X2, …, Xn, …
este un ¸ sir de v.a. necorelate dou ¼a câte douâ pentru care exist ¼a dispersia
ec¼arei v.a. ¸ si o constant ¼acastfel încât dispersiile DXkc,k= 0,1,2, …,
atunci ¸ sirul acesta este guvernat de Legea Numerelor Mari.
Consecin¸ ta 1. Dac¼aX1,X2, …, Xn, … este un ¸ sir de v.a. indepen-
dente pentru care exist ¼a dispersia
ec ¼arei v.a. ¸ si o constant ¼acastfel încât
dispersiile DXkc,k= 0,1,2, …,atunci ¸ sirul acesta este guvernat de Legea
Numerelor Mari.
Consecin¸ ta 2 ( LNM în forma Bernoulli ).Dac¼aX1,X2, …,Xn, …
este un ¸ sir de v.a. i.i.d. Bernoulli cu parametrul p;0< p < 1,atunci ¸ sirul
acesta este guvernat de Legea Numerelor Mari, care în acest caz ia forma
lim
n !1P0
@ n
1
nX
k=1Xk p < "1
A= 1,8" >0:
Remarca 1. LNM în forma Bernoulli serve¸ ste în calitate de funda-
ment matematic pentru Principiul Regularit ¼a¸ tii (Stabilit ¼a¸ tii) Statistice. Într-
adev¼ar, cum orice experiment aleator Ece poate
repetat independent unul
de altul în acelea¸ si condi¸ tii, pentru
ecare eveniment aleator Ade probabili-
tate nenul ¼ap=P(A);poate
transformat în prob ¼a Bernoulli cu probabili-
taea "succesului" p, rezult ¼a c¼a v.a.
Xk=1,dac¼a în proba cu nr. kse produce A,
0, în caz contrar,k=;1;2; :::
sunt guvernate de LNM în forma Bernoulli. Dar frecven¸ ta relativ ¼a
fn(A) =n
1
nX
k=1Xk.
Prin urmare pentru astfel de experimente aleatoare LNM ia forma
lim
n !1P(jfn(A) P(A)j< ") = 1 ,8" >0;
119
care devine, din punct de vedere matematic, o expresie riguroas ¼a a Principiul
Regularit ¼a¸ tii Statistice.
De remarcat ca LNM expus ¼a mai sus în diverse forme este, totu¸ si, condi¸ tion-
at¼a de existen¸ ta valorii medii ¸ si a dispersiei, dar în anumite condi¸ tii existen¸ ta
dispersiei nu este obligatorie, a¸ sa cum se vede din
Teorema 2 ( LNM în forma Hincin ).Dac¼aX1,X2, …,Xn, …este
un ¸ sir de v.a.i.i.d. ¸ si pentru care exist ¼a valoarea medie EXk=m,k=1,2, …,
atunci ¸ sirul acesta este guvernat de Legea Numerelor Mari, care în acest caz
ia forma
lim
n !1P 1
nnX
k=1Xk m < "!
= 1,8" >0:
Exemplul 3. În Statistic ¼a, atunci când avem de a face cu valorile (X1,
X2, …, Xn)unei v.a. X, valori ob¸ tinute în urma unor observa¸ tii indepen-
dente asupra acestei v.a., media aritmetica X=1
nnP
k=1Xkserve¸ ste în calitate
de estimator pentru valoarea medie (teoretic ¼a)EX=m,m
nd necunoscut.
LNM în forma Hincin garanteaz ¼a c¼a, odat ¼a cu cresterea lui n, aceast aprox-
imare devine tot mai bun ¼a pentru m. Din p ¼acate, îns ¼a, LNM nu ne spune
nimic despre viteza cu care acest estimator se apropie de valoarea estimat ¼a
m. Aceasta lacun ¼a vine s ¼a o înl ¼ature
Teorema 3 ( Teorema Limit ¼a Central ¼a pentru v.a.i.i.d. ).Dac¼a
X1,X2, …, Xn, … este un ¸ sir de v.a.i.i.d. ¸ si pentru care exist ¼a valoarea
medie EXk=m¸ si dispersia DXk=2,k=1,2, …,atunci
lim
n !1P0
BB@nP
k=1Xk nm
pnx1
CCA= (x) =1p
2xZ
1e u2
2du,8x2R:
Consecin¸ ta 1. ( Teorema Limit ¼a Central ¼a în forma Moivre-Laplace) .
Dac¼aX1,X2, …,Xn, …este un ¸ sir de v.a. i.i.d. Bernoulli cu parametrul
p;0< p < 1,atunci
lim
n !1P0
BB@nP
k=1Xk np
p
np(1 p)x1
CCA= (x) =1p
2xZ
1e u2
2du,8x2R:
120
Urm¼atoarea a
rma¸ tie vine sa ilustreze modul în care1
nnP
k=1Xkconverge
c¼atre valoarea medie.
Consecin¸ ta 2. Dac¼aX1,X2, …, Xn, … este un ¸ sir de v.a.i.i.d. ¸ si
pentru care exist ¼a valoarea medie EXk=m¸ si dispersia DXk=2,k=1,2,
…,atunci:
a)pentru " >0dat ¸ si nsu
cient de mare probabilitatea
P 1
nnX
k=1Xk m "!
'2("pn
) 1.
b)pentru orice " >0¸ si0< < 1probabilitatea
P 1
nnX
k=1Xk m "!
1
deîndat ¼a ce nn0=h x1 =2
"2i
+ 1, unde [a]este partea întreag ¼a a
num¼arului a, iar x1 =2este 1 =2- quantil ¼a a v.a. standard distribuit ¼a,
adic¼a
x1 =2: (x1 =2) = 1 =2:
Remarca 2. Importan¸ ta Teoremi Limit ¼a Central ¼a rezid ¼a, mai ales,
în faptul c ¼a aceasta arat ¼a c¼a, în anumite condi¸ tii, o sum ¼aSn=nP
k=1Xkde
v.a.independente, luate într-un num ¼ar su
cient de mare, indiferent care este
distribu¸ tia lor, se comport ¼a din punct de vedere probabilist ca ¸ si cum aceasta
ar
o v.a. normal distribuit ¼a. Mai exact, avem
Consecin¸ ta 3. Dac¼aX1,X2, …,Xn, …este un ¸ sir de v.a.i.i.d. ¸ si pentru
care exist ¼a valoarea medie EXk=m¸ si dispersia DXk=2,k=1,2, …,atunci
pentru nsu
cient de mare
P nX
k=1Xkx!
(x nm
pn);
sau cu alte cuvinte Sn=nP
k=1Xk'N(nm;pn).
Exemplul 4. O Companie de asigur ¼ari are asigurate 10000 de automo-
bile. probabilitatea unei avarieri ce intr ¼a sub inciden¸ ta poli¸ tei de asigurare
121
ind egal ¼a cu p=0:006. Fiecare proprietar de automobil asigurat pl ¼ate¸ ste
o poli¸ t ¼a de asigurare anual ¼a de 50de euro, primind, în caz de avariere o
sum¼a de 4000 de euro. S ¼a se calculeze probabilit ¼a¸ tile urm ¼atoarelor eveni-
mente: A=fla sfâr¸ sit de an Compania fa
în pierdere g,Bm=fla sfâr¸ sit de
an Compania va avea un pro
t de meurog,m=160000 ,240000 ,320000 .
Solu¸ tie. Consider ¼am v.a.
Xk=1;dac¼a automobilul cu nr. kva
avariat ,
0;în caz contrar,
k= 1;2; :::;10000 . Atunci evenimentul
A f 400010000X
k=1Xk500000g=f10000X
k=1Xk125g:
Deoarece v.a. XkBernoulli (0:006),k=1,2, …, 10000 ,n=10000
ind
su
cient de mare, putem aplica Teorema limit ¼a Central ¼a în forma Moivre-
Laplace ¸ si Consecin¸ ta 3:
P(A) =P 10000X
k=1Xk125g!
1
125 100000:006p
100000:006(1 0:006)!
=
= 1 (8:416 8) = 1 1 = 0 .
Analogic,
B160000 f 400010000X
k=1Xk500000 160000g=f10000X
k=1Xk85g;
prin urmare
P(B160000 ) =Pf10000X
k=1Xk85g
85 100000:006p
100000:006(1 0:006)!
=
= (3 :237 2) = 0 :9987.
Cititorul poate veri
ca desinest ¼ator c ¼aP(B240000 )0:7413 ¸ siP(B320000 )
0:1587.
122
BIBLIOGRAFIE
1. Kolmogorov A.N., No¸ tiunile de baz ¼a ale teoriei probabilit ¼a¸ tilor, M.,
Ed. Nauka, 1974 (l. rus ¼a).
2. Feller W., An Introduction to Probability Theory and its Applications ,
Volume I, 3rd edition, N.-Y., London, John Wiley & Sons Inc., 1968.
3. Feller W., An Introduction to Probability Theory and its Applications ,
Volume II, 2nd edition, N.-Y., London, John Wiley & Sons Inc.1971.
4. Iosifescu M., Mihoc Gh., Theodorescu R., Teoria probabilit ¼a¸ tilor si
statistica matematic ¼a,Ed. Tehnic ¼a, Bucure¸ sti, 1966.
5. Mittelhammer R. C., Mathematical statistics for economics and bussi-
ness, Ed. Springer-Verlag, N.-Y. Inc., 1996.
123
ANEXA 1
Tabelul de valori a distribu¸ tiei normale
standard: (x) =1p
2xR
1e u2
2du
x.00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09
-3.9 .00005 .00005 .00004 .00004 .00004 .00004 .00004 .00004 .00003 .00003
-3.8 .00007 .00007 .00007 .00006 .00006 .00006 .00006 .00005 .00005 .00005
-3.7 .00011 .00010 .00010 .00010 .00009 .00009 .00008 .00008 .00008 .00008
-3.6 .00016 .00015 .00015 .00014 .00014 .00013 .00013 .00012 .00012 .00011
-3.5 .00023 .00022 .00022 .00021 .00020 .00019 .00019 .00018 .00017 .00017
-3.4 .00034 .00032 .00031 .00030 .00029 .00028 .00027 .00026 .00025 .00024
-3.3 .00048 .00047 .00045 .00043 .00042 .00040 .00039 .00038 .00036 .00035
-3.2 .00069 .00066 .00064 .00062 .00060 .00058 .00056 .00054 .00052 .00050
-3.1 .00097 .00094 .00090 .00087 .00084 .00082 .00079 .00076 .00074 .00071
-3.0 .00135 .00131 .00126 .00122 .00118 .00114 .00111 .00107 .00104 .00100
-2.9 .00187 .00181 .00175 .00169 .00164 .00159 .00154 .00149 .00144 .00139
-2.8 .00256 .00248 .00240 .00233 .00226 .00219 .00212 .00205 .00199 .00193
-2.7 .00347 .00336 .00326 .00317 .00307 .00298 .00289 .00280 .00272 .00264
-2.6 .00466 .00453 .00440 .00427 .00415 .00402 .00391 .00379 .00368 .00357
-2.5 .00621 .00604 .00587 .00570 .00554 .00539 .00523 .00508 .00494 .00480
-2.4 .00820 .00798 .00776 .00755 .00734 .00714 .00695 .00676 .00657 .00639
-2.3 .01072 .01044 .01017 .00990 .00964 .00939 .00914 .00889 .00866 .00842
-2.2 .01390 .01355 .01321 .01287 .01255 .01222 .01191 .01160 .01130 .01101
-2.1 .01786 .01743 .01700 .01659 .01618 .01578 .01539 .01500 .01463 .01426
-2.0 .02275 .02222 .02169 .02118 .02068 .02018 .01970 .01923 .01876 .01831
-1.9 .02872 .02807 .02743 .02680 .02619 .02559 .02500 .02442 .02385 .02330
-1.8 .03593 .03515 .03438 .03362 .03288 .03216 .03144 .03074 .03005 .02938
-1.7 .04457 .04363 .04272 .04182 .04093 .04006 .03920 .03836 .03754 .03673
-1.6 .05480 .05370 .05262 .05155 .05050 .04947 .04846 .04746 .04648 .04551
-1.5 .06681 .06552 .06426 .06301 .06178 .06057 .05938 .05821 .05705 .05592
-1.4 .08076 .07927 .07780 .07636 .07493 .07353 .07215 .07078 .06944 .06811
-1.3 .09680 .09510 .09342 .09176 .09012 .08851 .08691 .08534 .08379 .08226
-1.2 .11507 .11314 .11123 .10935 .10749 .10565 .10383 .10204 .10027 .09853
-1.1 .13567 .13350 .13136 .12924 .12714 .12507 .12302 .12100 .11900 .11702
-1.0 .15866 .15625 .15386 .15151 .14917 .14686 .14457 .14231 .14007 .13786
-0.9 .18406 .18141 .17879 .17619 .17361 .17106 .16853 .16602 .16354 .16109
-0.8 .21186 .20897 .20611 .20327 .20045 .19766 .19489 .19215 .18943 .18673
-0.7 .24196 .23885 .23576 .23270 .22965 .22663 .22363 .22065 .21770 .21476
124
-0.6 .27425 .27093 .26763 .26435 .26109 .25785 .25463 .25143 .24825 .24510
-0.5 .30854 .30503 .30153 .29806 .29460 .29116 .28774 .28434 .28096 .27760
-0.4 .34458 .34090 .33724 .33360 .32997 .32636 .32276 .31918 .31561 .31207
-0.3 .38209 .37828 .37448 .37070 .36693 .36317 .35942 .35569 .35197 .34827
-0.2 .42074 .41683 .41294 .40905 .40517 .40129 .39743 .39358 .38974 .38591
-0.1 .46017 .45620 .45224 .44828 .44433 .44038 .43644 .43251 .42858 .42465
-0.0 .50000 .49601 .49202 .48803 .48405 .48006 .47608 .47210 .46812 .46414
0.0 .50000 .50399 .50798 .51197 .51595 .51994 .52392 .52790 .53188 .53586
0.1 .53983 .54380 .54776 .55172 .55567 .55962 .56356 .56749 .57142 .57535
0.2 .57926 .58317 .58706 .59095 .59483 .59871 .60257 .60642 .61026 .61409
0.3 .61791 .62172 .62552 .62930 .63307 .63683 .64058 .64431 .64803 .65173
0.4 .65542 .65910 .66276 .66640 .67003 .67364 .67724 .68082 .68439 .68793
0.5 .69146 .69497 .69847 .70194 .70540 .70884 .71226 .71566 .71904 .72240
0.6 .72575 .72907 .73237 .73565 .73891 .74215 .74537 .74857 .75175 .75490
0.7 .75804 .76115 .76424 .76730 .77035 .77337 .77637 .77935 .78230 .78524
0.8 .78814 .79103 .79389 .79673 .79955 .80234 .80511 .80785 .81057 .81327
0.9 .81594 .81859 .82121 .82381 .82639 .82894 .83147 .83398 .83646 .83891
1.0 .84134 .84375 .84614 .84849 .85083 .85314 .85543 .85769 .85993 .86214
1.1 .86433 .86650 .86864 .87076 .87286 .87493 .87698 .87900 .88100 .88298
1.2 .88493 .88686 .88877 .89065 .89251 .89435 .89617 .89796 .89973 .90147
1.3 .90320 .90490 .90658 .90824 .90988 .91149 .91309 .91466 .91621 .91774
1.4 .91924 .92073 .92220 .92364 .92507 .92647 .92785 .92922 .93056 .93189
1.5 .93319 .93448 .93574 .93699 .93822 .93943 .94062 .94179 .94295 .94408
1.6 .94520 .94630 .94738 .94845 .94950 .95053 .95154 .95254 .95352 .95449
1.7 .95543 .95637 .95728 .95818 .95907 .95994 .96080 .96164 .96246 .96327
1.8 .96407 .96485 .96562 .96638 .96712 .96784 .96856 .96926 .96995 .97062
1.9 .97128 .97193 .97257 .97320 .97381 .97441 .97500 .97558 .97615 .97670
2.0 .97725 .97778 .97831 .97882 .97932 .97982 .98030 .98077 .98124 .98169
2.1 .98214 .98257 .98300 .98341 .98382 .98422 .98461 .98500 .98537 .98574
2.2 .98610 .98645 .98679 .98713 .98745 .98778 .98809 .98840 .98870 .98899
2.3 .98928 .98956 .98983 .99010 .99036 .99061 .99086 .99111 .99134 .99158
2.4 .99180 .99202 .99224 .99245 .99266 .99286 .99305 .99324 .99343 .99361
2.5 .99379 .99396 .99413 .99430 .99446 .99461 .99477 .99492 .99506 .99520
2.6 .99534 .99547 .99560 .99573 .99585 .99598 .99609 .99621 .99632 .99643
2.7 .99653 .99664 .99674 .99683 .99693 .99702 .99711 .99720 .99728 .99736
2.8 .99744 .99752 .99760 .99767 .99774 .99781 .99788 .99795 .99801 .99807
2.9 .99813 .99819 .99825 .99831 .99836 .99841 .99846 .99851 .99856 .99861
3.0 .99865 .99869 .99874 .99878 .99882 .99886 .99889 .99893 .99896 .99900
125
3.1 .99903 .99906 .99910 .99913 .99916 .99918 .99921 .99924 .99926 .99929
3.2 .99931 .99934 .99936 .99938 .99940 .99942 .99944 .99946 .99948 .99950
3.3 .99952 .99953 .99955 .99957 .99958 .99960 .99961 .99962 .99964 .99965
3.4 .99966 .99968 .99969 .99970 .99971 .99972 .99973 .99974 .99975 .99976
3.5 .99977 .99978 .99978 .99979 .99980 .99981 .99981 .99982 .99983 .99983
3.6 .99984 .99985 .99985 .99986 .99986 .99987 .99987 .99988 .99988 .99989
3.7 .99989 .99990 .99990 .99990 .99991 .99991 .99992 .99992 .99992 .99992
3.8 .99993 .99993 .99993 .99994 .99994 .99994 .99994 .99995 .99995 .99995
3.9 .99995 .99995 .99996 .99996 .99996 .99996 .99996 .99996 .99997 .99997
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Propriet ¼atile probabilit ¼a tii, probabilitate clasic ¼a. [604572] (ID: 604572)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.