Propozitii Logice

INTRODUCERE

Știință al cărei obiect de studiu îl constituie “formele spațiale și relațiile cantitative ale lumii reale”, matematica s-a născut din necesitățile practice ale oamenilor și constituie un instrument de cercetare a lumii materiale. Matematica operează cu noțiuni specifice, dar “faptul că acest material apare într-o formă extrem de abstractă nu poate să ascundă dec=t superficial proveniența lui din lumea exterioară. Pentru a putea studia aceste forme și relații în puritatea lor este necesar ca ele să fie complet despărțite de conținutul lor, care trebuie neglijat ca fiind ceva indiferent; astfel se obțin punctele fără dimensiuni, liniile fără grosime și lățime, “a” și “b”, “x” și “y”, constantele și variabilele…”

Noțiunile matematice, obținute prin abstractizarea proprietăților calitative specifice ale fenomenelor și obiectelor din lumea reală, nu depind de conținutul concret al acestor fenomene. Astfel, proprietățile geometrice ale unei sfere sunt aceleași, oricare ar fi materialul din care este construită sfera; numărul “5” poate să se refere la “5” cărți, “5” mere și, la fel de bine, la multe alte obiecte. Aceeași ecuație diferențială poate fi folosită la cercetarea fenomenelor naturii, a proceselor tehnologice sau la studiul fenomenelor economice și sociale.

Conținutul și caracterul matematicii s-au dezvoltat în decursul timpului, iar acest proces continuă și în zilele noastre sub impulsul necesităților științei și tehnicii. Se lărgește necontenit înțelesul noțiunilor sale de bază. Astăzi, formele spațiale ale spațiului tridimensional, cu obiectele sale geometrice (planul, dreapta, cercul, sfera, triunghiul, dreptunghiul etc.), au fost extinse la spații multidimensionale sau chiar cu o infinitate de dimensiuni. La fel, relațiile cantitative sunt exprimate nu numai între numere întregi pozitive sau raționale, ci și folosind numere complexe și hipercomlexe, matrice, funcții etc. Modul de obținere a rezultatelor în matematică se caracterizează prin raționamentul logic.

~n matematică nici un rezultat nu este valabil at=t timp c=t nu a fost demonstrat, chiar dacă experiența a dat unui anumit rezultat.

Constituită ca știință de sine stătătoare în Grecia antică, matematica cu cele două ramuri ale sale : geometria și aritmetica, în prima sa școală, au fost studiate divizibilitatea numerelor, numerele perfecte, media aritmetică și media geometrică, numerele pitagorice și altele; au fost însumate unele progresii simple și au fost date primele exemple de numere iraționale. De pildă, Euclid a supus prelucrării logice realizările geometriei, construind un sistem de postulate și axiome ale geometriei. Arhimede a determinat diferite arii și volume printr-o metodă care anticipează calculul integral. Matematicienilor chinezi le era proprie o tehnică înaltă a calculelor; ei au ajuns la o adevărată măiestrie în rezolvarea numerică a ecuațiilor. Matematica indiană are meritul de a fi folosit cea dint=i sistemul de numerație trigonometrice. Europenii, după ce și-au însușit descoperirile matematicienilor antici, au găsit metodele generale pentru rezolvarea ecuațiilor de gradul trei și patru, au descoperit relațiile dintre coeficienții unei ecuații algebrice zecimal, au introdus cifra “0” (zero).

La arabi, Horezmi a tratat pentru prima dată algebra ca disciplină independentă, iar Al-Battani a introdus funcțiile. Descartes a reușit să dea o metodă generală de transpunere a problemelor geometriei în limbajul algebrei, cre=nd astfel geometria analitică. Studiul mărimilor variabile și al legăturilor dintre ele au condus la apariția analizei matematice.

~n cadrul cercetărilor matematice sunt tratate numeroase elemente de calcul diferențial și integral. Un mare număr de matematicieni au adus importante contribuții la dezvoltarea analizei matematice. A fost precizată noțiunea de limită, au fost create noile domenii ale matematicii : teoria mulțimilor, teoria funcțiilor de variabilă reală.

Apariția calculatoarelor și ordinatoarelor complexe au mărit sfera de aplicare practică a matematicii, contribuind la dezvoltarea sau la apariția unor discipline matematice, ca teoria informației, programarea matematică, lingvistica matematică ș.a.

Obiectul de studiu al teoriei – logică matematică – ocupă un loc aparte în matematică. Teoriile obișnuite, așa cum sunt algebra, analiza, geometria precum și ramuri ale lor au fiecare în vedere noțiuni și idei mai mult sau mai puțin delimitate, proprii. Toate aceste teorii se construiesc într-o manieră comună : după precizarea noțiunilor de bază și a proprietăților lor fundamentale (a axiomelor), se dezvoltă o “aborescență” de noțiuni, teoreme, leme, consecințe, corolarii etc., deduse unele din altele prin raționamente logice. Logica matematică studiază tocmai aceste noțiuni. Matematicienii construiesc demonstrații, teorii etc., în timp ce, în logica matematică, acestea sunt noțiuni ca obiecte de cercetare.

Această carte încearcă să ajute la formarea primelor noțiuni de logică matematică (să cunoască și să înțeleagă conceptele, terminologia și procedurile de calcul specifice acesteia), să dezvolte capacitatea de explorare a elevilor (investigare și rezolvarea de exerciții și probleme), să dezvolte capacitatea de a comunica utiliz=nd limbajul logic-matematic și, nu în ultimul r=nd, să dezvolte interesul și motivația tinerilor pentru studiul și aplicarea logicii matematice în contexte variate.

A. Propoziții logice

1. Propoziția logică și valoare de adevăr

Observație : Acest enunț poate fi un enunț matematic (egalități, inegalități etc.) sau un enunț în sens literar.

Vom nota propozițiile logice cu litere mici ale alfabetului.

Exemple :

1). p : “1 # 2” ; q : “ 3 < -2” ; r : “7 / 21” ; s : “Orice număr prim este impar” – acestea sunt propoziții logice

2). p : “Mergi acasă !” ; q : “Unde mergi ?” ; r : “ Spunem că două segmente șABț și șCDț sunt congruente dacă au lungimile egale” – acestea nu sunt propoziții logice.

Observații : 1. Nici o propoziție logică nu poate avea valoare de adevăr “1” și “0” (ea nu poate fi și adevărată și falsă).

2. Numerele “1” și “0” nu au înțeles numeric.

Exemple :

1). p : “9 ^ 3 # 12” – este o propoziție logică cu valoarea de adevăr “1”.

q : “12 < 10” – este o propoziție logică cu valoarea de adevăr falsă “0”.

r : “7 / 21” – este o propoziție logică cu valoarea de adevăr “1”.

s : “Orice număr prim este impar” – este o propoziție logică cu valoarea de adevăr falsă “0” (deoarece numărul 2 este număr prim dar nu este număr impar).

2). P : “Mergi acasă !” – nu este o propoziție logică (este o propoziție exclamativă).

q : “Unde mergi ?” – nu este o propoziție logică (este o propoziție interogativă).

r : “Figura geometrică formată din trei segmente determinate de trei puncte necoliniare se numește triunghi”– nu este o propoziție logică (este o definiție).

Exerciții :

1. Precizați care din următoarele enunțuri sunt propoziții logice și apoi stabiliți valoarea de adevăr în caz afirmativ :

a). “ (5 ^ 2) 3 # 21 “

b). “ ( 4 8 ) : 3 4 (18 : 3 ) “

c). “ 7 / x , x – număr natural”

d). “9 / 15”

e). “Deschide cartea !”

f). “Apa are culoare“

2. Operatori logici

Cu ajutorul operatorilor logici (conectori) vom face “calcule” cu propoziții logice simple.

!! Valoarea de adevăr a propozițiilor compuse depind de valorile de adevăr a propozițiilor simple inițiale.

~n continuare vom vedea anumite noțiuni ce se definesc cu ajutorul acestori operatori.

3. Negarea propozițiilor logice

Fie p – o propoziție logică simplă.

Valoarea de adevăr a propoziției “ p “ este indicată în tabela de adevăr :

Exemple :

1). p : “ 5 # 4” ( “A” ) atunci p : “ 5# 4” ( “F” ) .

2). p : “ 5< 4” ( “F” ) atunci p : “5 > 4” ( “A” ).

3). p : “ 7 / 21” ( “A” ) atunci p : “ 7 / 21” ( “F” ).

!! Cuv=ntul “oricare”, prin negare, se schimbă în cuv=ntul “există”.

Cuv=ntul “există”, prin negare, se schimbă în cuv=ntul “oricare”.

4). p : “ Orice număr par se împarte la 2” ( “A” )

p : “ Există un număr par care nu se împarte la 2” ( “F” ).

5). p : “ Există un număr impar care se împarte la 2” ( “F” )

p : “Orice număr impar nu se împarte la 2” ( “A” ).

4. Conjuncția propozițiilor logice

Fie propozițiile logice simple : p, q.

Valoarea de adevăr a propoziției “p q” este indicată în tabela de adevăr :

Exemple rezolvate :

1). p : “5 / 15” ( “A” ) și q : “5 8” ( “A” )

Atunci propoziția p q : “ 5 / 15 și 5 18” ( “A” ).

2). p : “5 ^ 3 8 ” ( “F” ) și q : “4 / 12” ( “A” )

Atunci propoziția p q : “5 ^ 3 8 și 4 / 12” ( “F” ).

3). Să se afle valoarea de adevăr a propoziției p ( p) .

Valoarea de adevăr a acestei propoziții o putem afla cu ajutorul tabelei de adevăr :

Din tabela de adevăr se observă că indiferent ce valoare de adevăr ar avea p, propoziția p ( p) are valoarea de adevăr, tot timpul, falsă.

4). Aflați valoarea de adevăr a propozițiilor logice p ( q) ; p q și p q.

Valoarea de adevăr a acestor propoziții le putem afla cu ajutorul tabelei de adevăr :

Exerciții :

1. Aflați valoarea de adevăr a următoarelor propoziții :

a). (p q) r ; b). (p q) r .

2. Scrieți negația propozițiilor de mai jos și valoarea de adevăr a fiecărei propoziții logice :

p : “10 ^3 # 13” ; q : “17 : 2 9” ; r : “5 > 8“

3. ~ntocmiți tabelele de adevăr a următoarelor propoziții logice :

a). p ( (p q)) ; b). (p p) ; c). ( p q)

4. Fie propozițiile logice :

p : “Orice număr natural care are cifra unităților 4, este divizibil cu 4”

q : “Orice număr prim este par”.

r : “Orice triunghi cu toate laturile congruente este echilateral”

s : “Orice triunghi cu două unghiuri congruente este isoscel”

Să se formuleze propozițiile p, q, r și s și să se precizeze valorile lor de adevăr.

5. Fie propozițiile :

p : “Există un triunghi dreptunghic cu unghirile ascuțite congruente”

q : “Există două numere prime consecutive”

r : “Există un număr natural negativ”.

s : “Există două unghiuri opuse la v=rf care nu sunt congruente”

Să se formuleze negațiile propozițiilor de mai sus și să se precizeze valoarea lor de adevăr.

5. Disjuncția propozițiilor logice

Fie propozițiile logice p, q.

Valoarea de adevăr a propoziției “p q” este indicată în tabela de adevăr :

Exemple rezolvate :

1). p : “Apa are gust” – “F”

q : “Apa are culoare” – “F”

p q : “Apa are gust și culoare” – “F” .

2). p : “Calul este un animal” – “A”

q : “Calul este omnivor” – “F”

p q : “Calul este un animal omnivor” – “A” ( este o propoziție parțial adevărată din punct de vedere logic deoarece calul este un animal ierbivor și nu omnivor ) .

3). Care este valoarea de adevăr a propoziției p ( p) .

Pentru a afla valoarea de adevăr a propoziției p ( p), este necesar să alcătuim tabela de adevăr :

Din tabela de adevăr se observă că indiferent de valoarea de adevăr a propoziției p, atunci propoziția p ( p) este tot timpul adevărată .

Exerciții :

1. Completați tabelul :

2. ~ntocmiți tabelele de adevăr a următoarelor propoziții logice :

a). p ( (p q)) ; b). ( p ( p)) ; c). (( p) ( q)) ; d). (p q) .

3. Completați tabelul de adevăr :

6. Implicația propozițiilor logice

Fie propozițiile logice p, q.

Valoarea de adevăr a propoziției “p q” este indicată în tabela de adevăr :

Observații : 1. Propoziția “p q” se citește : “din p rezultă q”

2. Propoziția “p” se numește ipoteză ; propoziția “q” se numește concluzie .

Exemple rezolvate :

1. Fie propozițiile logice :

p : “10 este număr natural” – “A”

q : “10 este o cifră” – “F”

Atunci propoziția p q : “Dacă 10 este număr natural atunci 10 este cifră” – “F” (singurele numere naturale care sunt formate dintr-o singură cifră : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

2. Fie propozițiile logice :

p : “5 / 101” – “F”

q : “1 / 105” – “A”

Atunci propoziția p q : “Dacă 5 / 101 atunci 5 / 105” – “A”

3. Fie propozițiile logice :

p : “Un triunghi echilp q) .

3. Completați tabelul de adevăr :

6. Implicația propozițiilor logice

Fie propozițiile logice p, q.

Valoarea de adevăr a propoziției “p q” este indicată în tabela de adevăr :

Observații : 1. Propoziția “p q” se citește : “din p rezultă q”

2. Propoziția “p” se numește ipoteză ; propoziția “q” se numește concluzie .

Exemple rezolvate :

1. Fie propozițiile logice :

p : “10 este număr natural” – “A”

q : “10 este o cifră” – “F”

Atunci propoziția p q : “Dacă 10 este număr natural atunci 10 este cifră” – “F” (singurele numere naturale care sunt formate dintr-o singură cifră : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

2. Fie propozițiile logice :

p : “5 / 101” – “F”

q : “1 / 105” – “A”

Atunci propoziția p q : “Dacă 5 / 101 atunci 5 / 105” – “A”

3. Fie propozițiile logice :

p : “Un triunghi echilateral are toate laturile congruente” – “A”

q : “Un triunghi echilateral are toate unghiurile congruente” – “A”

Atunci propoziția p q : “Dacă un triunghi echilateral are toate laturile congruente atunci el are toate unghiurile congruente” – “A”

Exerciții rezolvate :

1. Să se arate că următoarele propoziții logice au valoarea de adevăr “1” :

a). p ( p q ) ; b). ( p q ) p .

2. ~ntocmiți tabelele de adevăr a următoarelor propoziții logice compuse :

a). ( p q ) ( q p ) ; b). ( p q ) ( q p ) c). ( p q ) ( p q ) ; d). ( p q ) ( p q ) e). șp ( p q ) ț q ; f). ș q ( p q ) ț p .

7. Echivalența propozițiilor logice

Valoarea de adevăr a propoziției “p q” se află în tabela de adevăr :

Exemple :

1. Fie propozițiile logice simple :

p : “– 5 < 3” – “A”

q : “ (– 5 )2 < 32 “ – “F”

Atunci propoziția logică compusă p q : ” – 5 < 3 dacă și numai dacă (– 5 )2 < 32 “ – “F”

2. Fie propozițiile logice simple :

p : “54 este multiplul lui 6 ” – “A”

q : “ 54 este divizibil cu 2 și 3“ – “A”

Atunci propoziția logică compusă p q : ” 54 este multiplul lui 6 dacă și numai dacă 54 este divizibil cu 2 și 3“ – “A”

3. Fie propozițiile logice simple :

p : “Există un triunghi cu două laturi congruente” – “A”

q : “Există un triunghi cu două unghiuri congruente” – “A”

Atunci propoziția logică compusă p q : ”Un triunghi are două laturi congruente dacă și numai dacă are două unghiuri congruente” – “A”.

Exerciții rezolvate :

1. Să se afle valoarea de adevăr a propoziției ( p q ) ( p q ).

Valoarea de adevăr a acestei propoziții o vom afla cu ajutorul tabelei de adevăr :

Observăm că, din tabela de adevăr, indiferent de valoarea de adevăr a propozițiilor p și q, valoarea de adevăr a propoziției logice compuse ( p q ) ( p q ) este tot timpul “A”.

Metoda reducerii la absurd :

Datorită tautologiei (vom învăța mai t=rziu definiția tautologiei) pq q p atunci propoziția pq este adevărată dacă și numai dacă q p este adevărată . (sau cele două propoziții logice compuse au aceeași valoare de adevăr – “A”).

Exemplu :

Stabiliți valoarea de adevăr a propoziției “p q” folosind metoda reducerii la absurd , pentru următoarele propoziții logice :

p : “n N” – “A”

q : “2n N, pentru orice număr n N” – “A”

Avem :

Deoarece, din tabel, se observă că valoarea de adevăr a propoziției q p – “A” vom avea p q – “A”.

Exerciții rezolvate :

1. Să se afle valoarea de adevăr a următoarelor propoziții logice :

a). ( p ( p q ) ) p ; b). ( p ( p q ) ) p .

c). p q q p .

2. Stabiliția valoarea de adevăr a propoziției “p q” folosind metoda reducerii la absurd , pentru următoarele propoziții logice :

p : “Există un triunghi echilateral”

q : “Există un triunghi cu unghiurile congruente”.

8. Formule echivalente în calculul propozițional

Exemple : # p q

# (p q) r, etc.

Exerciții :

1. Arătați că propoziția p ( p q ) este o tautologie.

2. Arătați că propoziția ( p q ) p este identic falsă.

3. Verificați echivalența formulei : p q q p .

4. Folosind tabelele de adevăr, verificați următoarele formule :

a). p q ( p q ) ; b). p q p q .

c). p q ( p q ) ; d). p q ( p q ) .

9. Proprietăți fundamentale ale operatorilor logici

Proprietățile fundamentale ale operatorilor logici sunt :

Negarea negației : ( p ) p .

Comutativitatea conjuncției : p q q p .

Asociativitatea conjuncției : ( p q ) r q ( p r ) .

Comutativitatea disjuncției : p q q p .

Asociativitatea disjuncției : ( p q ) r q ( p r ) .

Tranzitivitatea implicației : ( p q ) (q r ) p r .

Legile lui De Morgan : ( p q ) ( p ) ( q ) .

( p q ) ( p ) ( q ) .

Distributivitatea conjuncției față de disjuncție :

p ( q r ) ( p q ) (p r ) .

Distributivitatea disjuncției față de conjuncție :

p ( q r ) ( p q ) (p r ) .

Negarea implicației : ( p q ) p ( q ) .

Exercițiu : Verificați aceste proprietăți cu ajutorul tabelelor de adevăr.

10. Exerciții recapitulative

1. Precizați dacă următoarele propoziții sunt logice și în caz afirmativ indicați valoarea lor de adevăr :

p: “ 2716 23 34 : 24 (23)4 : 33 # 242 311 “

q : “ Șș(24)2 + 211 11ț : (3 22) + 22 52 } : 53 + (132 – 25 5) (112 – 1) : 23 15) = 210 32 “

r : “Toate numerele naturale de forma , divizibile cu 2, formate din cifre diferite, sunt : 520, 524, 526, 528 “

s : “Toate numerele de forma , divizibile cu 2, sunt divizibile și cu 4”

t : “Cel mai mare divizor comun al numerele naturale a și b, este cel mai mare număr care divide numerele date “

v : “ ”

2. Negați propozițiile de la exercițiul 1). Ce valori de adevăr obțineți ?

3. Fie propozițiile logice :

p : “Orice număr natural de forma este divizibil cu 2”

q : “Există un număr natural de forma divizibil cu 4”.

Se cere :

a). Scrieți valorile de adevăr a propozițiilor p, q .

b). Negați propozițiile p, q scriindu-le și preciz=ndu-le valorile lor de adevăr.

c). Scrieți propozițiile logice “p q”; “p q”; “ p q”; “ p q”; “p q”; “p q” și precizați valorile fiecărei propoziții logice compuse obținute.

4. Știm că într-un enunț de forma : “demonstrați că … …” se cere de fapt să demonstrăm două lucruri : că propoziția directă este adevărată dacă și numai dacă (“”) reciproca este adevărată (sau propoziția directă este falsă dacă și numai dacă reciproca este falsă).

Scrieți ipoteza p și concluzia q a fiecărei propoziții date mai jos și stabiliți valorile de adevăr pentru propoziția compusă “pq”.

a). “Dacă numerele a și b sunt impare atunci suma a^b este număr impar”.

b). “Dacă 0 / n atunci n # 0”.

c). “Dacă două unghiuri au același complement atunci ele sunt congruente”.

d). “Dacă A B atunci A B # A”. (unde A și B sunt mulțimi)

e). “Dacă sunt unghiuri în jurul unui punct atunci ”.

5. Formulați reciprocele propozițiilor de la exercițiul 4. și stabiliți dacă sunt adevărate .

6. Fie teorema : “un triunghi este isoscel dacă și numai dacă are două unghiuri congruente”.

Formați ipoteza și concluzia și stabiliți valoarea de adevăr a implicațiilor “pq” , “qp”, precum și valoarea de adevăr a propoziției logice “pq”.

7. Stabiliți valoarea de adevăr a propoziției “p q” folosind metoda reducerii la absurd pentru următoarele exemple :

a). p : “Dacă n2 4 atunci n 2, n N”

b). “Dacă bisectoarele a două unghiuri av=nd același v=rf au drepte suport diferite, atunci nu sunt opuse la v=rf ”

c). “Dacă n N atunci numerele n ^ 3 și 2n ^ 5 sunt prime între ele”

d). “Dacă d1 // d2 și d2 // d3 atunci d1 // d3 “

8. a). Demonstrați teorema lui Pitagora prin metoda reducerii la absurd .

“~ntr-un triunghi dreptunghic pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimilor catetelor”.

b). Demonstrați prin metoda reducerii la absurd reciproca teoremei lui Pitagora .

“Dacă într-un triunghi pătratul lungimii unei laturi este egal cu suma pătratelor lungimilor celorlalte două laturi atunci triunghiul este dreptunghic”.

c). Enunțați teorema catetei și a înălțimei și precizați valoarea lor de adevăr folosind metoda reducerii la absurd .

B. Probleme de logică

1. Probleme de logică generală

1. După efectuarea acelorași calcule fiecare dintre cei trei elevi g=ndește :

Andrei : Dacă am același rezultat cu

Bianca,înseamnă că nu am greșit.

Bianca : Dacă am un rezultat diferit de

Andrei, atunci este posibil să fi greșit

am=ndoi.

Cornel : Dacă am un rezultat diferit de

Bianca, atunci în mod sigur cel puțin

unul dintre noi a greșit.

Care dintre cei trei copii g=ndește corect ?

2. Un drum se bifurcă în drumul A spre hotel și B un drum înfundat. ~n singura casă de la bifurcație, locuiesc doi frați gemeni; unul care spune numai adevărul și celălalt care întotdeauna minte. Ajuns la această bifurcație, un călător obosit și care cunoștea comportamentul celor doi frați, se vede nevoit să afle de a cel care a ieșit la poartă (mincinosul au cinstitul – asta nu putea ști), care este drumul spre hotel. Se g=ndește o clipă și pune o singură întrebare.

Care a fost întrebarea ?

3. O altă problemă de logică simplă distractivă care se găsește și în cartea lui Constantin Chiriță – “Cireșarii” –

este următoarea :

<< – Bună ziua, șopti Tic, însoțindu-și

spusele cu un gest exagerat de

politețe. Nu știți dumneavoastră

ce drum duce la Peștera Neagră ?

– Nu cumva vrei să mergi acolo ?

îl întrebă moșneagu ș…ț

– Nu, dar am pus pariu cu fonfăitul de văru-meu, pe trei kile de caise de vie și pe doi pumni. Eu am zis că-i drumul din dreapta, el zice că-i ălă din st=nga, iar…

– Ai c=știgat, spuse moșul mirat de amănuntele pariului, care i se păreau lui cam colorate. ș…ț

– Vas’ că o iau prin dreapta . ~ți mulțumesc. ș…ț

– Du-te sănătos, pușlama ce ești ! îl afurisi moșul, rîz=nd în sinea lui.

– Dar o iau pe drumul din st=nga, îi mai spuse puștiul și-i scoase limba.

Nu limba îl supără pe moșneag, ci faptul că puștiul îi mirosise minciuna.

– Da’ cin’ te-a făcut, bre, așa de isteț ? Ia uite dom’le !

– Apoi abia acum am aflat drumul adevărat, se crezu dator Tic să-i răspundă moșului și-o luă pe drumul din st=nga. >>

4. Altă problemă de logică fermecătoare

ne propune Lewis Carroll (autorul

nemuritoarei fantezii “Alice în țara minunilor” ).

Iepurele Alb spune că Pisica minte. Pisica

spune că Alice minte. Alice spune că

Iepurele Alb și Pisica mint.

Cine minte și cine spune adevărul ?

5. Profit=nd de aglomerație, agre- sorul a reușit să fugă cu poșeta unei tinere. Iată declarațiile martorilor :

O doamnă în v=rstă : Agresorul era înalt, cu mustață, purta canadiană și pălărie.

Un t=năr emoționat : Purta canadiană, și pălărie, dar era mic de statură și avea barbă.

Un domn respectabil : Avea pălărie, dar era îmbrăcat într-un impermeabil. Era de talie mijlocie și avea doar favoriți.

Victima : Era înalt, purta canadiană, avea barbă și avea capul descoperit.

~n realitate, fiecare martor a descris corect doar un detaliu dintre cele patru. Știți să spuneți care erau de fapt semnalmentele agresorului ?

6. Avem afirmațiile :

Eu apreciez toate cadourile

făcute de Jean.

Numai acest os ar satisface

c=inele meu.

Eu îngrijesc atent tot ceea

ce apreciez.

Acest os este un cadou primit

de Jean.

Lucrurile pe care le îngrijesc

atent nu le dau cadou c=inelui.

Ce putem înțelege ?

C=inele meu este nesatisfăcut.

Datele sunt contradictorii.

Eu sunt un c=ine.

Eu îmi îngrijesc cu mare atenție c=inele.

7. Cinci echipe naționale :

Anglia, Brazilia, Columbia, Dane-

marca și Elveția participă la un

turneu. După turneu se putea citi în

cronicile sportive :

Una dintre echipe a c=știgat toate

meciurile.

Brazilia a c=știgat cu o partidă mai

mult dec=t Elveția.

A fost un singur meci egal, între

Anglia și Danemarca. Columbia și Danemarca au pierdut fiecare c=te trei meciuri. Utiliz=nd aceste informații, puteți face clasamentul turneului ? Se acordă două puncte pentru victorie și c=te un punct pentru meci egal.

8. Unul dintre cei patru frați: Alina, Bianca, Cornel și Daniel a spart o vază. ~ntrebați de mama cine este vinovatul, ei au răspuns :

Alina : Bianca a spart vaza !

Bianca : Daniel a spart-o !

Cornel : Eu nu sunt vinovat !

Daniel : Bianca minte !

Stabiliți cine a spart vaza, știind că numai un copil minte.

9. Andrei este printre cei mai buni 19 elevi din clasă și printre

cei mai slabi 19 elevi ai clasei. C=ți elevi are clasa ?

10.Un v=nzător își trimite ajutorul

la magazie să aducă deodată

numai doi pepeni. De c=te ori

trebuie să meargă la magazie

ajutorul ca să transporte 9 pepeni ?

11. Leontin este mai înalt dec=t Radu, Adrian este mai mic dec=t Leontin. Care din afirmațiile de mai jos este corectă ?

Adrian este mai înalt dec=t Radu.

Adrian este mai mic dec=t Radu.

Adrian este la fel de înalt dec=t Radu.

Din datele problemei nu putem stabili dacă Adrian sau Radu este mai înalt.

12. Un cetățean elvețian, care trăiește în

Italia, poate fi înmorm=ntat în Franța cu

funeralii naționale ?

13. Umbl=nd prin munți, un turist, ajuns la o st=nă, îl întreabă pe cioban c=te oi are, la care acesta îi răspunde : “- Apoi, domnule dragă, prea exact nu știu, dar, dacă, le grupez c=te 2,3,4,5 și 6, de fiecare dată răm=ne c=te o oaie în plus, însă dacă le grupez c=te 7 nu mai răm=ne nici o oaie desperecheată”.

14. O t=nără îi spune unei prietene : “–Alaltăieri aveam 19 ani, iar la anul voi avea 22 de ani !”

Este posibil acest lucru ?

15. Cele patru atlete favorite ale unei curse de

alergare pe distanța de 20 km, av=nd numerele

de concurs 11,24,43 și 60, au ocupat primele

patru locuri la sosire. ~ncercați să stabiliți ordinea exactă a sosirii lor știind că :

a). numărul 60 a ocupat nici primul nici ultimul loc.

b). numărul 11 a sosit înaintea numărlui 43.

c). numărul 24 a sosit după numărul 60.

d). între numerele 11 și 24 a sosit o singură atletă.

16. Ce concluzii rezultă din următoarele afirmații :

Nimeni nu este primit într-un club de înot dacă nu știe să c=nte la vioară.

Radu nu știe să c=nte la vioară.

Nimeni nu are voie să poarte în bazinul clubului slip în dungi, dacă nu este membru al clubului.

Andrei poartă întotdeauna slip în dungi în bazinul clubului.

17. Ce concluzie putem trage din următoarele afirmații :

Oricine studiază geometria este bine educat.

Nici o maimuță nu știe să citească .

Cine nu știe să citească nu este bine educat.

Eu studiez geometria.

18. Aveți pe masă zece bețe de chibrituri așezate ca în figura de mai jos. Mutați c=te un chibrit, spre dreapta sau spre st=nga, dar numai peste c=te două bețe, pentru a-l aduce în formă de “^” peste al treilea. Se cere numai 5 mutări să realizați de cinci ori semnul “^”. (Observație : odată realizat semnul “^” în mod automat se consideră a fi “două bețe”).

19. ~n timpul celui de al doilea război mondial un grănicer, la un punct de control al frontierei, reușește să depisteze un infractor doar după date înscrise în pașaport.

Numele : Armando Fontanelli.

Data nașterii : 12 octombrie 1910, Milano, Italia.

Călătorește în : Elveția, Franța, Spania, Portugalia, Anglia.

Care a fost nepotrivirea din pașaport care i-a atras atenția grănicerului ?

20. Proiectanții unui bloc turn cu 25 de etaje plus parter s-au g=ndit că, dacă fiecare nivel ar avea înălțimea cu 1 dm mai mică, blocul respectiv ar putea avea 26 de etaje plus parter.

Ce înălțimea are blocul ?

2. Probleme de logică matematică

1. La examenul de diplomă

unui bucătar i s-a cerut să facă

un tort de formă pătrată și din

numai 4 tăieturi să obțină 5

porții egale că formă și mărime.

Cum a procedat ?

2. ~n cele 20 de căsuțe libere ale grilei alăturate, încercați să introduceți toate numerele de la 1 la 20 în așa fel înc=t pe fiecare r=nd, coloană și diagonală să obțineți suma de 42.

3. Există un oarecare număr, și numai unul, format din 6 cifre, toate diferite între ele. Dacă înmulțim acest număr cu 2,3,4,5 și 6 produsele obținute vor avea întotdeauna aceleași cifre cu ale numărului inițial. Dacă înmulțim cu 7, produsul obținut va fi format tot din 6 cifre, dar de fapt una și aceeași. Care este numărul căutat ?

4. Responsabilul cu împărțitul

rechizitelor în centru unei instituții,

ajuns la ultimul birou, după ce

dădu fiecăruia caiete, plicuri, pixuri,

gume și ascuțitori, se pomeni pus în dilemă în privința creioanelor :

dacă dădea fiecărui salariat c=te 5 creioane, mai avea nevoie de 3 creioane; dacă dădea c=te 4 creioane, îi mai răm=ne un creion. C=te rechizite avea și c=ți salariați erau în acel birou ?

5. Un sătean convine cu un zidar să-i

construiască o magazie în 30 de zile.

Pentru fiecare zi lucrată zidarul urma

să primească c=te 5 găini, iar pentru

o zi nelucrată să dea înapoi altele 6.

C=te zile a lucrat zidarul și c=te nu,

dacă la sf=rșit a primit 18 găini .

6. Să considerăm că există un număr de 6 cifre, toate diferite. Dacă înmulțim acest număr cu 2,3,4,5 și 6, obținem alte 5 numere, formate din aceleași 6 cifre inițiale, dar în ordine schimbată. Știm că suma celor 5 produse este un număr de 7 cifre, cele 6 inițiale și zero.

Care este numărul solicitat ?

7. Folosind toate numerele de la 1 la 9, luate o singură dată, încercați să obțineți numărul 99, folosind operația de “^”.(Observație : Nu contează dacă sunt folosite numere de o cifră sau două cifre) .

8. Există un anume număr format

din 5 cifre. Dacă se pune cifra 1

în fața numărului se va forma un

număr a de 6 cifre care este de trei

ori mai mic dec=t un alt număr de

6 cifre b, format prin plasarea cifrei

1 după numărul inițial. Care este numărul ?

9. Numerele scrise pe fiecare cărămidă este suma numerelor scrise pe cele două cărămizi peste care este așezată cărămida respectivă.

Aflați numerele scrise pe fiecare cărămidă.

10. ”~ncurcătura ciobanului”

Cum poate un cioban să separe

11 litri de lapte dintr-un vas de

12 litri plin cu lapte , av=nd la

dispoziție numai două căldări

goale de 9l și 7 l ?

11.”Oamenii de știință”

La o reuniune științifică toți

participanții și-au schimbat

între ei cărțile de vizită.

Numărul lor a depășit cu

120 pe cel al oamenilor de știință.

C=ți participanți au fost ?

12.”Secretul v=rstei”

Ion este mai înv=rstă dec=t Vasile. El are de 2 ori

mai mulți ani dec=t diferența care îl separă de

Vasile. La r=ndul lui, Vasile are un număr

dublu de ani dec=t vărsta lui Ion, micșorată

cu 30 de ani. C=ți ani au cei doi prieteni ?

13. Anca a primit cadou o pungă de bomboane. După ce a m=ncat una, a dat jumătate din ce a rămas surorii sale. Aceasta a mai m=ncat o bomboană și restul a împărțit în mod egal cu fratele ei. Au mai rămas 5 bomboane. C=te bomboane a avut Anca inițial ?

14. Radu are 12 ani, de trei ori mai mult dec=t fratele său. C=ți ani va avea Radu c=nd va fi numai de două ori mai în v=rstă dec=t fratele său ?

15. Capul unui pește are 9 cm lungime.

Coada este egală cu lungimea capului

plus ½ din lungimea corpului.

Lungimea corpului este egală cu

suma lungimii capului și a cozii. Care

este lungimea peștelui ?

16. Urmăriți acest dialog :

A: Gălăgia de afară este făcută de cei trei copii ai familiei Voinescu.

B: Dar ce v=rste au ei ?

A: Produsul v=rstei este 36.

B: Te-am întrebat v=rsta fiecăruia.

A: Poți s-o claculezi și singur, știind că suma v=rstelor celor trei copii este egală cu numărul casei în care locuiesc și pe care tu îl știi.

B(după c=teva minute de g=ndire) : ~mi este imposibil, mai dă-mi un indiciu !

A : Cel mai mare dintre copii are ochi verzi.

B(sur=zător) : Acum, într-adevăr pot calcula v=rsta fiecărui copil.

Utiliz=nd informațiile din acest dialog, puteți preciza v=rsta copiilor familiei Voinescu ?

17.Virgil, matematicianul clasei, a primit la interval de c=teva săptăm=ni două pachete de paralelipiped dreptunghic. Meticulos, înainte de a le desface a măsurat

dimensiunile fiecărui pachet. La primul

pachet, a constatat că toate dimensiunile

măsurate în centimetri erau exprimate prin

numere întregi, dar că lățimea era cu 3 cm

mai mare dec=t înălțimea, iar lungimea

era cu 3 cm mai mare dec=t lățimea.

La al doilea pachet, a constatat că și acesta avea lățimea măsurată în centimetri exprimată printr-un număr întreg, dar lățimea pachetului era cu 3,5 cm mai mare dec=t înălțimea și cu 4 cm mai mică dec=t lungimea. Iar c=nd a calculat volumele celor două pachete, a avut o surpriză.

Ambele aveau același volum. Puteți spune ce volum aveau pachetele ?

18. Există două numere naturale cu care, dacă se efectuează între ele operațiile aritmetice (adunare, scădere, înmulțire, împărțire), vom obține patru rezultate a căror sumă este 300. Care sunt cele două numere ?

19. Există un număr de patru cifre

de forma ABCD, egal cu AB x CD.

Să se afle numărul (ABCD).

20. Să se găsească două numere

cuburi perfect, a căror diferență

este un pătrat perfect de forma

a3 – b3 # c2.

21. Se dau opt bile din metal nobil, cu aceeași mărime și culoare. ~nsă una din ele este falsă (diferă greutatea). Cum putem stabili numai prin două c=ntăriri, pe o balanță, care este falsă ?

3. Probleme de logică – geometrie distractivă

Piramida lui Keops

1.”… La Gizeh, într-o după amiază

t=rzie a unei zile noroase de iarnă,

poate fi văzut uneori un spectacol

remarcabil. Dacă te afli pe drumul

ce duce spre Saqqarah și privești

către apus, spre platoul piramidelor,

se înt=mplă să vezi razele soarelui

strălucind în jos, printr-o spărtură

de nori, sub un unghi aproape identic

cu latura Marii Piramide (l#233 m, h#148 m). Impresia pe care această scenă o face asupra minții omenești este că prototipul imaterial și replica lui materială stau unul l=ngă celălalt …”

(Șapte monumente celebre ale antichității)

Care este mărimea acestui unghi (despre care vorbește cercetătorul I.E.S. Edwards) ?

2.”…Vechiul nume egiptean dat Marii Piramide era Yekhet-Khufu, ceea ce însemna “orizontul (adică morm=ntul) lui Khufu” sau “locul splendorii lui Khufu”. Fiind placată cu piatră albă, perfect șlefuită, piramida strălucea în razele soarelui; din această privință de la o distanță de c=țiva kilometri, Piramida cea Mare are aspectul unui corp geometric perfect cu fețe plane, muchii drepte și v=rful ascuțit ; dar pe măsură ce privitorul se apro-

pie de ea, constată cu surprindere că în realitate fețele sunt formate din trepte foarte mari, că muchiile nu sunt drepte, iar în locul v=rfului ascuțit este o platformă …

Astăzi, c=nd îmbrăcămintea lucioasă de piatră nu mai există, se pot număra ușor asizele (r=ndurile); ele sunt în număr de 203 (fără cele de la v=rf, care lipsesc)…” (Șapte monumente celebre ale antichității)

Cunosc=nd latura bazei l # 233 m și înălțimea piramidei de h # 148 m și consider=nd numărul total de n # 206 (șase ar avea înălțimi egale) să se calculeze înălțimea unei trepte.

3.”Intrarea originală (dar mascată) în piramidă, descoperită indirect de arabi, se găsea (deci) pe fața de nord, în ax, la 15 m înălțime deasupra bazei”.

(Șapte monumente celebre ale antichității)

C=te trepte trebuiau să fie urcate pentru a se ajunge la intrare (aproximativ) ?

4.”… Cercetări arheologice recente au scos la lumină trei bărci situate la est de Piramidă și două, de o construcție specială, la sud. Acestea ar fi fost necesare călătoriei faraonului (și familiei sale), după moarte, pe canalul care, primind apele Nilului, înconjura insula din interiorul sibteran al piramidei…

Textul piramidelor reprezintă sugestiv această călătorie :

<< Cobori cu el (zeul soarelui)

Răsari și deschizi un drum prin

Oasele lui Su (zeul aerului)

Răsari și apui : cobor=nd în

Beznă cu barca înserării soarelui,

Răsari și apui : răsari odată cu

Isis, înălț=ndu-te cu

Barca dimineții a soarelui >>

(Șapte monumente celebre ale antichității)

Găsiți, pe baza acestor versuri, o denumire sau destinație a fiecăreia dintre cele cinci bărci .

5.”… Punctul de plecare a acestui curent de cercetări matematice îl constituie un pasaj din “Istoriile lui Herodot“ … Iată, într-adevăr, ce spune Herodot :

<< Preoții egipteni m-au învățat că proporțiile stabilite pentru Marea Piramidă între latura bazei și înălțime erau astfel înc=t pătratul construit pe înălțime (av=nd înălțimea drept latură) egala exact suprafața fiecărei fețe triunghiulare …>> (Șapte monumente celebre ale antichității)

Să se verifice prin calcul direct valabilitatea afirmației de mai sus.

6. ”… ~n anul 1850, John Taylor, publicist londonez și matematician totodată, a publicat o carte în care și-a expus părerea că raportul dintre înălțimea Piramidei Mari de la Gizeh și perimetrul bazei este egal cu raportul dintre

diametrul cercului și lungimea circumferinței sale și că unitatea de măsură era dedusă din diametrul Polar al Păm=ntului…”

(Șapte monumente celebre ale antichității)

Să se arate că într-adevăr acest raport este egal cu , respectiv 3,14.

Pentru a ține minte mai ușor valoarea aproximativă a lui , nu este necesar dec=t să memorați fraza : “Dar, e bine a vedea lucrările de foarte multe ori”.

Numărul se va afla număr=nd literele dintr-un cuv=nt, ceea ce reprezintă o cifră din valoarea lui :

# 3,141592653 3,14.

4. Probleme de logică

Spațiul cosmic

1. ” La steaua care-a răsărit

E-o cale at=t de lungă

Că mii de ani i-a trebuit

Luminii ca s-ajungă.”

(M. Eminescu – “La steaua” )

Să se evalueze, în miliarde kilometrii, distanța minimă p=nă la

această stea.

2.Galaxia noastră are circa 100 miliarde stele. Metagalaxia are sute de sute de miliarde de stele. C=te galaxii cuprinde această Metagalaxie ?

3.” V=rsta oceanelor”. Oamenii de

știință au elaborat o nouă hartă consemn=nd

v=rsta oceanelor și diferite fenomene geologice

legate de aceasta. Pe ea se poate citi că Atlanti-

cul de Sud este mult mai vechi dec=t partea

nordică. Falia ce desparte Africa de America

de Sud a luat naștere acum aproximativ 140

milioane de ani. Harta arată că Europa și America de Nord s-au despărțit abia acum 80 milioane de ani. Ea este alcătuită pe bază de date paleomagnetice privind v=rsta rocilor sedimentare, potrivit dispunerii c=mpurilor magnetice și a anomaliilor acestora, deoarece rocile, grație proprietăților lor magnetice, “țin minte” timpul și locul în care au luat naștere.”

(Rom=nia liberă – 3 septembrie 1982)

De c=te ori este mai vechi Atlanticul de Sud față de cel de Nord ?

4. Constelația Fecioarei : 12,4 miliarde ani – lumină distanță de Terra. Aceasta este distanța la care se află cel mai îndepărtat corp ceresc descoperit p=nă acum. Este vorba de un quasar descoperit de o echipă de astronomi britanici și americani. De la descoperirea primului quasar, în 1963, și p=nă în prezent, au fost identificate circa 3.500 de asemenea corpuri situate la periferia Universului, ele reprezent=nd surse radio care furnizează o energie mai mare dec=t cea produsă de 100 miliarde de stele.

Noul quasar, a declarat dr. Wiliam Sargent de la Institutul tehnologic din Pasadena, se află în constelația Fecioarei, iar lumina furnizată de el este de 50.000 ori mai mică dec=t nivelul de intensitate necesar pentru a fi percepută cu ochiul liber.

(articol – Rom=nia liberă – 7 iulie 1985)

Care este depărtarea aproximativă între constelația Fecioarei și Terra .

5. Probleme de logică

Din basmele rom=nilor

1. ”Amu, ci-că era

odată un om, care

avea o iapă ( și )

într-o zi vroia omul

să bage iapa în ocol

și ea nu vrea nici în ruptul capului, și înciud=ndu-se omul pe d=nsa, începu a o bate; atunci iapa a sărit peste gardul de răzlogi și a fugit într-o pădure depărtată.

Iapa era a făta și peste noapte a fătat un

băiat , în loc de m=nz , care băiat s-a

chemat Făt-Frumos , Fiul Iepei. Și băiat

ca acela nici că mai era altul prin

meleagurile acelea și era frumos și

creștea ca din apă; c=t creștea el într-o

zi , altul creștea într-un an. Și c=nd a

împlinit anul, socotind băiatul, în g=ndul său, că-i destul de voinic, s-a dus prin codru și a chitit un stejar care era mai gros, pe care a vrut să-l smulgă din păm=nt …”

(Ion Creangă – “Făt-Frumos, Fiul Iepei” )

C=t crescuse Făt-Frumos într-un an, știind că media de creștere

a unui copil este în medie de 0,5 cm pe an ?

2.”… Ivan atunci se duce de-a dreptul înaintea lui Dumnezeu și zice :

– Doamne, nu știu dacă ai știință au ba, dar eu slujesc la poarta raiului de multă vreme. Și cum vine Moartea și întreabă ce mai poroncești !

– Spune-i, Ivane, din partea mea, că poroncesc să moară trei ani de zile de-a r=ndul numai oameni bătr=ni, așa ca tine … zise Dumnezeu, z=mbind cu bunătate.

– Bine, Doamne, zise Ivan, uit=ndu-se cam lung la Dumnezeu. Mă duc să-i spun, cum ai poroncit.

Și duc=ndu-se el, scoate Moartea din închisoare (din turbincă) și-i zice :

– Dumnezeu a poroncit ca să măn=nci trei ani de zile de-a r=ndul numai pădure bătr=nă; dar în primul an, numărul copacilor pe care-i vei m=nca să nu fie nici cu soț, nici fără soț, în anul următor să măn=nci de trei ori mai mulți copaci dec=t ai m=ncat în primul an, iar în al treilea an să măn=nci cu o sută mai puțin … ~nțeles-ai ? Hai, pornește și-ți fă datoria ! …“

(Ion Creangă – ”Ivan Turbincă” )

C=ți copaci a m=ncat Moartea în trei ani de zile ?

3.”… – Ba mai puneți pofta-n cui ! Mai bine să ne întrecem din tr=ntă .

-Din tr=ntă ? Doar de

ți-e greu de viață.

Mă !eu am auzit din

bătr=ni că dracii

nu-s proști; d-apoi

cum văd eu, tu numai nu dai prin gropi, de prost

ce ești. Ascultă. Eu am un unchi (moș Ursilă) bătr=n de 999 de ani și 52 de săptăm=ni; și de-l vei pute tr=nti pe d=nsul, atunci să te întreci și cu mine, dar cred că și-a da pe nas ! …”

(Ion Creangă – “Dănilă Prepeleac” )

Dacă ¼ din v=rsta lui moș Ursilă întrece cu 220 de ani ⅝ din

v=rsta nepotului (Dănilă), ce v=rstă avea acesta ?

4.”… Ci-că era odată o babă și un moșneag;

moșneagul de-o sută de ani și baba de

nouăzeci ; și am=ndoi bătr=nii aceștia

erau albi ca iarna și posomor=ți că

vremea ca cea rea , din pricină că

n-aveau copii…”

(Ion Creangă – “Povestea porcului” )

Basmul nu ne spune, dar zice-se că ar fi avut un copil pe c=nd v=rsta babei era jumătate din jumătatea celei de-acum a moșneagului și că ar fi murit c=nd v=rsta moșneagului era de două ori c=t v=rsta aceea a babei.

C=t a trăit acel prunc ?

5.”Povestea lui Ion Creangă”. Doi

călători se opresc l=ngă un izvor , să se

ospăteze și să se răcorească. Unul avea în

desagă trei p=ini , iar celălalt două. Abia

s-au apucat să măn=nce că sosește al

treilea drumeț, flăm=nd și ostenit. Fiindcă

ultimul nu avea nimic de m=ncare , primii

doi îl poftesc să ospăteze împreună.

Mulțumindu-le, acesta se așază la masă și, după ce se îndestulează, le dă celor doi binevoitori 5 lei, apoi pleacă la drum. Călătorul care avusese trei p=ini îi întinde tovarășului de drum 2 lei, zic=nd :

– Drumețul ne-a dat 5 lei. Tu ai avut două p=ini, iar eu trei. Deci ție ți se cuvin 2 lei și mie trei lei.

Dar al doilea drumeț zice :

– Ba să am iertare, mi se cuvine pe din două, pentru că noi nu am cerut nimic drumețului. Iar dacă ne-a dat cinci lei, se cuvine să-i împărțim pe din două. Așa g=ndesc eu că a vrut el dreptate.

Neînțeleg=ndu-se, cei doi se decid să meargă la judecată.

Ascult=nd cu atenție, judecătorul se g=ndi și hotărî ca drumețul care a avut trei p=ini să primească 4 lei, iar cel cu două p=ini numai 1 leu.

Poți să spui cum a judecat ?

C. Matematică distractivă

1. ”Săritura calului“

Urm=nd săritura calului de

la jocul de șah, veți descoperi

trei proverbe rom=nești.

Porniți din st=nga jos în care

este înscrisă silaba “De”.

Proverbele găsite sunt :

De nu era nasul o pățea obrazul.

A scos luna din f=nt=nă .

Banul e o mică roată ce-nvîrtește lumea toată.

Urm=nd săritura calului de la jocul de șah încercați să înlocuiți următoarele figuri cu numerele naturale propuse la fiecare punct :

a). de la 1 la10. b). de la 1 la 10.

c). de la 1 la 13. d). de la 1 la 35.

f). de la 1 la 14. e). de la 1 la 12.

g). de la 1 la 24.

2. Pătrate magice

Pătratele magice i-au intrigat pe

matematicieni de peste 2000 de ani.

Este considerat magic un pătrat în care

suma numerelor de pe fiecare lini, ficare

coloană și fiecare diagonală este aceeași.

1. Celebrul matematician Euler a reușit să realizeze un pătrat magic de 5×5 pătrățele utiliz=nd toate numerele naturale de la 1 la 25, în care suma numerelor de pe fiecare linie, coloană și diagonală este 65.

2. Vi se propune următorul pătrat magic :

Se observă că pentru valoarea a # 0 și b # 1 se obține pătratul magic de 5×5 al lui Euler.

Pentru valoarile a # 1 și b # 1 obținem pătratul magic cu suma numerelor de pe fiecare linie, fiecare diagonală și fiecare coloană de 70 .

~ncercați să obțineți și voi alte pătrate magice d=nd valori diferite lui a și b.

3. Se propune următorul pătrat magic de 5×5 de forma :

Se observă că suma de pe fiecare linie, coloană și diagonală este S # 65b – 5a.

Dacă dăm valorile a # 0 și b # 1 obținem pătratul magic de 5×5 a lui Euler. Verificați această afirmație.

Pentru valorile a # 1 și b # 1, se obține un pătrat magic de 5×5, în care apar toate numerele naturale de la 0 la 24, iar suma de pe fiecare linie, fiecare coloană și fiecare diagonală este de S # 60 .

~ncercați și voi să obțineți alte pătrate magice, d=nd valori diferite lui a și b.

4. Cel mai simplu pătrat magic este cel alăturat, alcătuit cu numere de la 1 la 9.

Vi se propune următorul pătrat magic :

Se cere să se obțină alte patrate magice d=nd valorile :

a). a # 1, b # 0 .

b). a # 1, b # 1 . (care va fi suma de pe fiecare linie, coloană, diagonală a pătratelor magice obținute ?).

Veți observa că la punctul a). se va obține pătratul magic inițial cu suma de pe fiecare linie, coloană, diagonală de S # 15.

La punctul b). se va obține un pătrat magic de 3×3, cu numere de la 0 la 8, iar suma de pe fiecare linie, diagonală, coloană este de S # 12.

5. Iată la ce soluție a ajuns Albert Dürer, în gravura sa Melancolia :

Mai mult, în cele două căsuțe centrale ale ultimului r=nd el a reușit să marcheze și anul realizării lucrării (1514).

Pentru pătratul magic de mai jos, d=nd valori diferite lui a și b, încercați și voi să obțineți alte pătrate magice.

Ce sumă are fiecare linie, fiecare diagonală și fiecare coloană, la fiecare dintre pătratele obținute ?

6. Matematicianul rus V.A.Kordenski vă propune să înlocuiți literele a și b cu orice pereche de numere alese înt=mplător și veți obține de fiecare dată un pătrat magic.

Pentru ce pereche (a,b) veți obține patratele magice de 4×4 de la 0 la 15 sau de la 1 la 25.

Ați observat (nu-i așa ?) că suma numerelor de pe fiecare coloană sau diagonală sau linie este 4a ^ 30b.

7. Ați observat că pătratele magice :

3×3 (cu numerele naturale de la 1 la 9), suma S # 15;

4×4 (cu numerele naturale de la 1 la 16), suma S # 30;

5×5 (cu numerele naturale de la 1 la 25), suma S # 60;

C=t va fi suma S, în cazul unui pătrat magic de 6×6 ? Dar în cazul unuia de 7×7?

Pătrate semimagice :

Pătratul următor are o

proprietate curioasă : numerele de pe două linii, două coloane și cele două diagonale au suma 2, iar numerele de pe două linii și două coloane au suma –2. Verificați afirmația.

8. Pătratul semimagice au o proprietate curioasă : numerele negative și pozitive pe care le conține, însumate, dau același total pe fiecare linie sau coloană sau diagonală. Completați numerele din pătratul semimagic :

3. Exerciții amuzante cu numere

Rebusuri matematice.

1.Ordonați numerele din figura de mai jos (a) astfel înc=t at=t pe verticală c=t și pe orizontală să se găsească cinci numere diferite . Luați ca exemplu figura b.

a). b).

C=te variante de astfel de tabele putem găsi ?

2.Plasați următoarele numere : 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 0, 11, 12, 16, 20, 27, 29, 30 în v=rful unghiurilor, precum și la mijlocul laturilor unui triunghi și a unui pătrat așa înc=t suma de pe fiecare latură a acestora să fie aceeași (numerele nu trebuie să se repete).

3. ~n fiecare v=rf din octogonul de mai jos plasați c=te un număr de la 0 la 15 așa înc=t suma numerelor unghiurilor fiecăruia din cele 6 dreptunghiuri, ca și suma din cerculețele fiecăruia din

cele patru triunghiuri să fie egală cu 30 .

4. Puneți semnul operațiilor aritmetice corespunzătoare între cifrele din fiecare căsuță, astfel ca rezultatele însumate pe fiecare coloană și fiecare r=nd să fie 10 .

5. ”Litere și cifre” :

Fiecărei litere din figura următoare îi corespunde o cifră de la 0 la 9. ~nlocuiți literele cu cifrele corespunzătoare literelor astfel ca egalitățile să fie corecte. Știm că cifra 5 lipsește .

abc ^ geb # feg

: # – #

gb ah

^ # ^ #

ghj – kf # gac

6. Steaua din figura de mai jos are brațele egale : numerele înscrise în cercuri, prin însumarea a două c=te două, dau sume egale. Cum plasați numerele naturale de la 1 la 10 așa înc=t egalitățile să fie corecte ?

7. ~nscrieți în cercurile din figura de mai jos numerele de la 0 la 15, așa înc=t fiecare lanț de numere să dea prin adunare suma de treizeci.

8. Plasați în cercurile din figura de mai jos numere de la 0 la 11 astfel ca suma numerelor din colțurile pătratului din centrul figurii și de pe laturile dreptunghiurilor să fie 25.

9. Care este numărul care, în baza unui raționament logic, ar trebui scris în pătratul din dreapta jos ?

10. Găsiți regula de completare a tablourilor următoare :

11. Completați următorul rebus :

Orizontal :

1). Cel mai mare număr astfel înc=t, scriindu-l cu litere, utilizăm o singură dată cuvintele : două, treizeci, cinsprezece, șase, mii, sute, și, de.

2). Numărul de secunde din două minute ; pătratul lui 5.

3). Cel mai mic număr natural scris cu cifrele : 9,3,8,7.

4). Lipsesc cinci din cincizeci ; nouă la puterea a doua.

5). Cel mai mare număr scris cu trei cifre ; cel mai mic număr scris cu două cifre.

Vertical :

1). 3524 ^ 52 · 22 ^ 576 : 12 – (2 ^ 3 · 2)0 ^ 58278

2). 25 : 32 ; 7 · 23 ^ 3100 : 399

3). 152 – 11 · 2

4). 2100 : 294 ^ 13 ^ 35020

5). 27 · (2 · 5)2 ^ 10 ^ 1500 .

6). 3 · 23 · 52 – 23 · 52 – 170 .

12. Găsiți cuv=ntul ascuns !

Dispuneți de următoarele informații :

Numărul de zeci din 132,7

– Numărul natural care este divizor al oricărui număr natural

– Numărul de sutimi din 5,208

– Suma a două numere naturale prime diferite, cele mai mici posibile.

– Cel mai mare număr natural mai mic dec=t 10

– Cel mai mic număr natural prim mai mare dec=t doi

Trebuie să înlocuiți fiecare număr găsit cu litera corespunzătoare respect=nd regula :

1 – A; 2 – B ;3 – C ,……

(Nu se vor considera literele : ă, î, ș, ț )

13. Găsiți proverbul ascuns !

Dispuneți de următoarele informații :

divizorul comun al tuturor numerelor naturale.

cel mai mare număr prim, mai mic dec=t 5.

puterea a doua a numărului natural 2.

suma a două numere prime (cele mai mici posibile, diferite de 1).

cel mai mic număr prim mai mare dec=t 5.

Multiplul lui trei mai mare dec=t “ “ și mai mic dec=t zece.

baza naturală.

suma dintre “ “ și “ “

succesorul lui “ “

54 : “ “

“ “ · “ “

( “ “ )2

( “ “ ^ “ “ ) · “ “

“ “ ^ “ “

“ “ · “ “

“ “ · “ “

( “ “ )2 – “ “

Trebuie să înlocuiți fiecare număr găsit cu litera corespunzătoare respect=nd regula :

1 – A; 2 – B ;3 – C ,……

(Nu se vor considera literele : ă, î, ș, ț )

14. Dezlegați rebusurile :

a).

Pe coloana hașurată veți găsi o noțiune importantă în geometria plană – figură geometrică formată din trei segmente determinată de trei puncte coliniare.

Pe orizontală veți găsi noțiuni importante legate de acestă figură geometrică

b).

Pe coloana hașurată veți găsi una dintre operațiile aritmetice a numerelor naturale , iar pe orizontală trei proprietăți ale acestei noțiuni.

c).

Pe coloana hașurată veți găsi noțiunea ce reprezintă o pereche de numere naturale a, bN, cu b0 scrisă sub de forma , iar pe orizontală veți descoperi c=teva dintre proprietățile și operațiile acestei noțiuni.

d).

Pe coloana hașurată veți găsi noțiunea ce reprezintă mulțimea punctelor din plan situate la o distanță fixă față de un punct fix, iar pe orizontală c=teva dintre elementele ei .

Răspunsuri

A. Propoziții logice

3. Negarea propozițiilor

4). p – “A” ; p – “F”

5). p – “F”; p – “A”

Conjuncția propozițiilor logice

1). a). (p q) r ; b). (p q) r .

2). Valoarea de adevăr a propozițiilor p, q , r sunt “A”, “A”, respectiv “F” .

Negarea propozițiilor p, q , r și valorile lor de adevăr sunt :

p : “10 ^ 3 13” – “F”.

q : “17 : 2 # 9” – “F”.

r : “5 < 8” – “A”.

3). a). b).

c).

8). p : “Există un număr natural care are cifra unităților 4 și nu este divizibil cu 4” – “A”

Această propoziție logică este adevărată deoarece există numărul 1094 ce nu este divizibil cu 4 . Deci propoziția p va avea valoarea de adevăr “A”.

q : “Există un număr prim ce nu este par” – “A”

Această propoziție logică este adevărată deoarece știm că, except=nd cazul numărului 2 care este număr prim și par, restul numerelor prime nu sunt pare . Deci propoziția q va avea valoarea de adevăr “A”.

r : “Există un triunghi cu toate laturile congruente ce nu este echilateral” – “F”.

Această propoziție logică este falsă deoarece știm că oricare ar fi un triunghi echilateral , el are toate laturile (unghiurile) congruente . Deci propoziția r va avea valoarea de adevăr “F”.

s : “Există un triunghi cu două unghiuri congruente ce nu este isoscel” – “F”.

Această propoziție logică este falsă deoarece știm că oricare ar fi un triunghi isoscel , el are două laturi (unghiuri) congruente . Deci propoziția s va avea valoarea de adevăr “F”.

9).

p : “Orice triunghi dreptunghic are unghiurile ascuțite necongruente” – “F” ( cazul triunghiului dreptunghic isoscel)

q : “Orice două numere prime nu sunt consecutive” – “F” (cazul 2,3)

r : “Orice număr natural este pozitiv” – “A”.

s : “Orice două unghiuri opuse la v=rf sunt congruente” – “A”.

5. Disjuncția propozițiilor

1).

4). a). b).

c). d).

5).

6. Implicația propozițiilor

1. a). b).

Din aceste tabele de adevăr observăm că indiferent de valoarea de adevăr care le au propozițiile logice simple p și q, propozițiile logice compuse p ( p q ) și ( p q ) p au tot timpul valoarea de adevăr “A” .

2). a).

b).

c).

d).

e).

f).

7. Echivalența propozițiilor

1. Valoarea de adevăr a acestei propoziții o vom afla cu ajutorul tabelei de adevăr :

Observăm că, din tabela de adevăr, indiferent de valoarea de adevăr a propozițiilor p și q, valoarea de adevăr a propoziției logice compuse ( p q ) ( p q ) este tot timpul “A”.

2. Să se afle valoarea de adevăr a următoarelor propoziții logice :

a).

b).

8. Formule echivalente în calculul propozițional

1. Pentru a vedea dacă această propoziție este tautologie trebuie să întocmim tabela de adevăr .

Se va observa că, din tabela de adevăr, valoarea de adevăr a acestei propoziții este tot timpul “A” . Deci propoziția p ( p q ) este o tautologie .

2. Pentru aceasta vom întocmi tabela de adevăr .

Se va observa că, din tabela de adevăr, valoarea de adevăr a acestei propoziții este tot timpul “F” . Deci propoziția ( p q ) p este identic falsă.

3.

Se observă că, din tabela de adevăr, coloana III și coloana VI sunt la fel ceea ce ne arată echivalența formulei p q p q .

4. a).

b).

c).

d).

9. Proprietăți fundamentale ale operatorilor logici

Negarea negației : ( p ) p .

Comutativitatea conjuncției : p q q p

Asociativitatea conjuncției : ( p q ) r p ( q r )

Comutativitatea disjuncției : p q q p

Asociativitatea disjuncției : ( p q ) r p ( q r )

Tranzitivitatea implicației : ( p q ) (q r ) p r

Legile lui De Morgan : a). ( p q ) ( p ) ( q )

b). ( p q ) ( p ) ( q )

a).

b).

Distributivitatea conjuncției față de disjuncție :

p ( q r ) ( p q ) (p r )

Distributivitatea disjuncției față de conjuncție :

p ( q r ) ( p q ) (p r )

Negarea implicației : ( p q ) p ( q )

10. Exerciții recapitulative

1).

p – “A”; q – “F” ; r – “A”; s – “F”; t – nu este propoziție logică (ea este o definiție); v – “F”

3).

a). p – “F” ; q – “A”

b). p : “Există un număr natural de forma divizibil cu 2” – “A”

q : “Orice număr natural de forma este divizibil cu 4” – “F”

c). p q : “Orice număr natural de forma este divizibil cu 2 și există un număr natural de forma divizibil cu 4 “ – “F”

p q : “Orice număr natural de forma este divizibil cu 2 și orice un număr natural de forma divizibil cu 4 “ – “F”

p q : “Există un număr natural de forma divizibil cu 2 și există un număr natural de forma divizibil cu 4” – “A”

p q : “Există un număr natural de forma divizibil cu 2 și orice număr natural de forma este divizibil cu 4 “ – “F”

p q : “Orice număr natural de forma este divizibil cu 2 sau există un număr natural de forma divizibil cu 4” – “A”

p q : “Orice număr natural de forma este divizibil cu 2 sau orice un număr natural de forma divizibil cu 4” – “F”

4).

a). p : “numerele a și b sunt impare” – “A”

q : “suma a două numere este impară” – “F”

p q : “Dacă numerele a și b sunt impare atunci suma a^b este număr impar”.

Cum p și q au valoarea de adevăr – adevăr, respectiv fals, atunci propoziția compusă va avea valoarea de adevăr – falsă .

Exemplu : fie a # 11 și b # 13 – două numere impare .

Atunci a ^ b # 26 – număr par .

b). p : “0 / n” – “A”

q :”n # 0” – “A”

c). p : “două unghiuri sunt complementare” – “A“

q : ”două unghiuri sunt congruente” – “F”

d). p : “A B, unde A și B sunt două mulțimi” – “A”

q : “A B # A, unde A și B sunt două mulțimi” – “A”

e). p : “ sunt unghiuri în jurul unui punct” – “A”

q : “” – “A”

5. b),d) – sunt adevărate, restul false.

6.

p :”Există untriunghi isoscel” – “A”

q : “Există un triunghi cu două unghiuri egale” – “A”

7.

a). “Dacă n2 4 atunci n 2, n N”

p : “n2 4, n N ” – “A”

q : “n 2, n N “ – “A”

Avem : p : “ n2 / 4, n N” – “F”

q : “ n / 2, n N” – “F”

Pentru a stabili valoarea de adevăr a propoziției “p q” folosind metoda reducerii la absurd, vom afla mai înt=i valoarea de adevăr a propoziției “ q p”. Și vom aplica exercițiul 3 de la paragraful 8.

(p q q p – adică, cele două propoziții logice compuse au aceeași valoare de adevăr).

Deoarece valoarea de adevăr a propoziției “ q p” este “A”, atunci valoarea de adevăr a propoziției “p q” este “A”.

b). “Dacă bisectoarele a două unghiuri av=nd același v=rf au drepte suport diferite, atunci nu sunt opuse la v=rf ”

p : “Bisectoarele a două unghiuri av=nd același v=rf au drepte suport diferite” – “F”

q : “Două unghiuri nu sunt opuse la v=rf” – “F”

Se va face același raționament ca la punctul a).

Deci valoarea de adevăr a propoziției “p q” este “A”.

c). “Dacă n N atunci numărul n ^ 3 și 2n ^ 5 sunt prime între ele”

p : “Numărul n este natural” – “F”

q : “Numerele n ^ 3 și 2n ^ 5 sunt prime între ele” – “F”

Se va face același raționament ca la punctul a).

Deci valoarea de adevăr a propoziției “p q” este “A”.

d). “Dacă d1 // d2 și d2 // d3 atunci d1 // d3 “

p : “d1 // d2” – “A”

q : “d2 // d3” – “A”

r : “d1 // d3” – “A”

Vom proceda analog ca la punctul a).

Conform formulei echivalente “ (p q) r (p q) r “ (puteți s-o demonstrați singuri) vom avea că valoarea de adevăr a propoziției logice compuse “ (p q) r ” – “A”.

Puteți să demonstrați adevărul propoziției folosind și formula de echivalență “ ( p q ) r (p q) r “ (încercați să demonstrați singuri această formulă de echivalență ) .

8.

p : “Există un triunghi cu un unghi drept” – “A”

q : “Există un triunghi în care pătratul lungimii unei laturi este egal cu suma pătratelor lungimilor celorlalte două laturi” – “A”

Pentru a stabili valoarea de adevăr a propoziției “p q” folosind metoda reducerii la absurd, vom afla mai înt=i valoarea de adevăr a propoziției “ q p”. Și vom aplica exercițiul 3 de la paragraful 8.

(p q q p).

Deoarece valoarea de adevăr a propoziției “ q p” este “A”, atunci valoarea de adevăr a propoziției “p q” este “A”. Și reciproc, deoarece valoarea de adevăr a propoziției “p q” este “A”atunci valoarea de adevăr a propoziției “ q p” este “A”.

Am notat “ p q “ enunțul teoremei lui Pitagora și “ q p” enunțul reciprocei teoremei lui Pitagora .

B. PROBLEME DE LOGIC|

1. Probleme de logică generală

1. Pentru că at=t Andrei c=t și Bianca pot avea același rezultat greșit sau rezultate diferite, dar ambele greșite, at=t a lui Andrei c=t și Biancăi, sunt evident false

Numai Cornel g=ndește corect. Din două rezultate diferite, unul, dacă nu cumva am=ndouă, sunt greșite.

2. Evident, dacă întrebarea ar fi fost : “Care este drumul spre hotel ?”, fratele cinstit i-ar fi arătat drumul corect, dar dacă la poartă era fratele mincinos, acesta i-ar fi indicat drumul care se înfunda.

Nici întrebarea : “Care nu este drumul spre hotel ?” nu l-ar fi ajutat pe călător să se orienteze.

“Trebuie pusă o astfel de întrebare, înc=t at=t mincinosul c=t și fratele cinstit să indice același drum (nu neapărat cel corect)“, s-a g=ndit călătorul. Cea mai simplă întrebare i s-a părut a fi :

“Dacă l-aș fi întrebat pe fratele tău care este drumul spre hotel, ce mi-ar fi răspuns ?”

– “V-ar fi arătat drumul B, ar răspunde fratele cinstit, prezent=nd corect minciuna fratelui său.

– “V-ar fi arătat drumul B, ar fi răspuns de aemenea fratele mincinos, mințind despre ce ar spune fratele cinstit.

Aceasta-i întrebarea pe care o puse, iar după ce fratele ieșit la poartă i-a arătat un drum, el a plecat pe celălalt, spre hotel.

4. Dacă Iepurele Alb spune adevărul, înseamnă că Pisica minte, deci și Alice ar spune adevărul c=nd afirmă că Iepurele Alb minte (ca și Pisica), deci este o contradicție cu ipoteza.

Dacă Pisica spune adevărul, înseamnă că Iepurele Alb minte, minte și Alice, c=nd spune că Pisica (ca și Iepurele Alb) minte.

Dacă Alice spune adevărul, înseamnă că Pisica minte, iar Iepurele Alb minte și el afirm=nd că Pisica minte. Contradicție.

Așadar Pisica spune adevărul, iar Iepurele Alb și Alice mint .

5. Așadar, cele patru detalii au fost descrise corect, fiecare de către un martor.

Avea sau nu agresorul pălărie ? Răspunde favorabil doamna în v=rstă, t=nărul emoționat și domnul respectabil, deci trei martori și-ar fi putut aminti detaliu. Conform ipotezei, așa cum corect și-a amintit victima .

Agresorul nu putea fi înalt, deoarece atunci doamna în v=rstă și victima și-ar fi amintit corect acest detaliu.

Agresorul nu purta nici canadiană, deoarece două persoane, doamna în v=rstă și victima și-ar fi amintit corect acest detaliu.

Deoarece doamna în v=rstă s-a înșelat atunci c=nd și-a amintit că agresorul era înalt, purta canadiană și pălărie, înseamnă că și-a adus aminte corect detaliu : că avea mustață.

~ntre mărturiile t=nărului emoționat răm=ne singura corectă : agresorul era mic de statură.

~ntre mărturiile domnului respectabil răm=ne singura corectă : agresorul purta impermeabil.

Așadar agresorul era mic de statură, cu musteață, cu capul descopșerit și în permeabil .

6. Aparent, cele cinci propoziții enunțate nu ne permit obținerea unei concluzii.

– Nu pot ajunge la concluzia D, deoarece eu îngrijesc atent tot ceea ce apreciez, dar nu rezultă din vreo propoziție că eu apreciez c=inele meu, astfel înc=t să-l îngrijesc cu mare atenție.

– Nu pot ajunge la concluzia C, deoarece conform propozițiilor 2 și 5 eu am (nu sunt !) un c=ine.

La concluzia A se poate ajunge, c=inele meu este nesatisfăcut, deoarece numai osul primit de la Jean (care nu-i c=inele meu – primesc cadouri de la el !) ar satisface c=inele meu. Deci aparent contradictorii, propozițiile 1–5 ne permit să tragem totuși o concluzie, concluzia A.

7. Pentru a stabili clasamentul turneului ne vom ajuta de următorul tabel :

Știm că fiecare echipă a jucat c=te 4 meciuri, în total au fost 10 partide, dintre care numai una, cea dintre Anglia și Danemarca, s-a încheiat la egalitate.

Deoarece Danemarca a pierdut 3 meciuri și a avut un meci egal atunci ea nu va avea nici un meci c=știgat. La fel și Danemarca, are 3 meciuri pierdute, deci ea va avea un meci egal și unul c=știgat.

~n acestă fază a complectării tabelului putem afirma că numai Brazilia și Elvația ar fi putut c=știga toate partidele. Deoarece Brazilia are un meci c=știgat, mai mult dec=t Elveția, atunci Brazilia are toate meciurile c=știgate. Deci Elveția are numai 3 meciuri c=știgate și unul pierdut în fața Braziliei.

Deoarece au fost în total numai 9 victorii și un meci egal, Anglia a obținut : 9 – (4^1^3) # 1 victorii. Deci Anglia va avea 2 înfr=ngeri.

8. Dacă numai Alina minte, înseamnă că Bianca nu a spart vaza, Bianca spune adevărul; Daniel este vinovat, dar și Daniel spune adevărul c=nd spune că Bianca minte. Contradicție.

Dacă numai Bianca minte, înseamnă că nu Daniel este vinovatul, Alina spune adevărul, c=nd afirmă că Bianca a spart vaza, Cornel spune adevărul că este nevinovat, ca și Daniel care afirmă că Bianca minte.

Dacă numai Cornel minte, înseamnă că el este vinovatul, în contradicție cu ceea ce spune adevărat Alina, despre Bianca, că ea ar fi vinovată, ca și cu ceea ce spune adevărat Bianca. Contradicție.

Dacă numai Daniel minte, înseamnă că Bianca nu minte c=nd spune că Daniel e vinovatul, dar spune adevărul și Alina c=nd afirmă că Bianca a spart vaza. Din nou contradicție.

Așadar, dacă numai unul dintre copii minte, acela este Bianca, care de fapt a și spart vaza.

9. Adun=nd cei 19 elevi buni ai clasei și cei 19 elevi slabi avem 38 de elevi. Dar cum Andrei este și elev slab și elev buni (la mijloc), înseamnă că clasa are 38–1 # 37 elevi.

10. Ajutorul se duce de 4 ori la magazie să aducă, în total, 8 pepeni și încă odată un pepene. Deci, în total, se duce la magazie de 5 ori.

11. Afirmația corectă este 4, deoarece nu putem stabili dacă Adrian sau Radu este mai înalt.

12. Nu poate fi înmorm=ntat pentru că el trăiește !

13. Cel mai mic multiplu comun a numerelor 2,3,4,5 și 6 este 60.

Deci, numărul căutat trebuie săfie 60 sau un multiplu al acestuia, plus 1, adică 61, 121, 181, 241, 301 …

Primul multiplu al lui 7 care se termină cu 1 este 21. Deci, în afară de prima condiție, numărul căutat va fi de forma 7x10n^21. Adică : 91, 161, 231, 301 ….

Observăm că 301 este primul număr care îndeplinește cele două condiții, deci numărul oilor este de 301.

Problema admite și alte soluții, cu cifre de ordinul zecilor de mii. ~nsă trebuie să ținem cont de faptul că la o st=nă nu există un număr de oi așa de mare .

14. Nu : Dacă se află într-o zi oarecare a anului (diferită de 30-31 decembrie) peste un an va avea 20 de ani.

Da : Dacă a împlinit 19 ani în ziua de 30-31 decembrie, deoarece pe 1-2 ianuarie va avea 20, la anul va avea 21 de ani.

15. Știind că, numărul 60 nu a ocupat nici primul nici ultimul loc, înseamnă că 60 a ocupat locul II sau III. Dar numărul 60 a sosit înaintea lui 24 înseamnă că, numărul 60 a ocupat locul II și numărul 24 a ocupat locul III. Deoarece numărul 11 a sosit înaintea numărului 43 atunci numărul 11 a ocupat locul I, iar numărul 43 a ocupat locul IV.

16. Andrei știe să c=nte la vioară. Radu nu este membru al clubului.

17. Eu sunt bine educat; maimuțele nu sunt bine educate.

18. Prima mutare : 7 pe 10. A doua mutare : 5 pe 2. A treia mutare : 3 pe 8. A patra mutare : 4 pe 1. A cincea mutare : 9 pe 6.

19. Trecerea de la calendarul iulian la cel gregorian s-a făcut la 1 octombrie 1910. Atunci, ziua de 1 octombrie a devenit 14 octombrie, zilele cuprinse în acest interval nemaifiind consemnate undeva. Ca atare, ziua de 12 octombrie este un fals. Lucrul de care nu a ținut cont infractorul, dar pe care l-a sesizat vigilentul grănicer.

Fie x – înălțimea unui nivel.

Atunci problema se reduce la rezolvarea unei ecuații : 25 x # 26 (x – 1).

De unde se va obține x # 26 dm, iar înălțimea H # 26 x 25 dm # 65 m.

2. Probleme de logică matematică

2.

3. E clar că produsul cu 7 nu poate fi dec=t 888.888 sau 999.999 . Dintre acestea numai 999.999 este corect .

999.999 : 7 # 142857 .

7. 1^23^45^6^7^8^9#99

9^8^7^65^4^3^2^1#99

9^8^7^6^5^43^21#99

12^3^4^56^7^8^9#99

9.

10. Acest lucru îl putem face cu ajutorul următoarului tabel :

11. Fie n- numărul participanților. ( nN*)

Fiecare om de știință a oferit n–1 cărți de vizită.

Deci n(n-1) # n ^ 120

n2-2n-120 # 0.

(n^10)(n-12) # 0

Deci vom avea : n # -10 ( fals)

n # 12 (adevărat)

Deci la reuniune au fost 12 oameni de știință .

12. Fie x- v=rsta lui Ion și y- v=rsta lui Vasile

Din datele problemei avem : x #2(x-y)

y # 2(x-30)

Rezolv=nd acest sistem de ecuații vom obține : x # 30 și y # 20.

13. Rezolvarea acestei probleme se reduce la rezolvarea ecuației :

ș(x-1) : 2–1ț : 2 = 5.

Unde x – numărul de bomboane aflate inițial în pungă.

Rezolv=nd această ecuație se va obține 23 de bomboane.

14. C=nd Radu are 12 ani, fratele său are 4 ani . C=nd fratele lui Radu are 8 ani, atunci acesta va avea 16 ani.

15 . Fie x- lungimea cozii și y- lungimea corpului .

Din datele problemei vom obține :

x#9^½ y

y#9^x.

Rezolv=nd acest sistem vom obține :

x#27 și y#36

Deci peștele are lungimea de 72 cm.

16. Dacă descompunem numărul 36, observăm că el este rezultatul înmulțirii a trei numere naturale (ce reprezintă v=rstele celor trei copii ai familiei Voinescu) conform tripletelor de mai jos :

(1,1,36) (1,6,6) (1,2,18) (2,3,6)

(1,3,12) (2,2,9) (1,4,9) (3,3,4)

Știm că suma v=rstelor celor trei copii este egală cu numărul casei la care locuiesc. Se pune întrebarea : care dintre triplete nu elimină dilema persoanei B ? (Ea nu poate să răspundă)

Bințeles, aceea sumă este aceeași pentru mai multe triplete (1,6,6) și (2,2,9) cu suma de 13.

Deși surprinzător, răspunsul lui A : “Cel mai mare are ochii verzi” conține în el elementele necesare alegerii tripletului convenabil, deoarece se precizează că există printre copii un “cel mai mare” deci nu este cazul gemenilor de c=te șase ani, ci al combinației 2,2,9.

Așadar, v=rstele celor trei copii ai familiei Voinescu sunt : 2 ani, 2 ani și 9 ani.

17. Fie x-lățimea primului pachet și y-lățimea celui de-al doilea pachet

Aunci : înălțimea primului pachet este x-3

Lungimea primului pachet este x^3

înălțimea celui de-al doilea pachet este y-3,5

lungimea celui de-al doilea pachet este y^4

Din egalitatea celor două volume obținem :

(x-3) x (x^3) # (y-3,5) y (y^4)

Dacă x<y, atunci x și y sunt numere întregi diferite. Evident, nu putem avea inegalitatea de mai sus.

La fel, dacă x>y, atunci avem inegalitatea x-3>y-3,5 și x^3y^4, deci :

(x-3) x (x^3) > (y-3,5) y (y^4).

~n concluzie nu putem avea dec=t x#y.

Dacă x#y, atunci avem egalitatea (x-3) x (x^3) # (x-3,5) x (x^4) de unde obținem imediat x#10 cm.

Volumul este 71013 #910 cm3.

18. a). 75 și 1 ; b). 27 și 3 ; c). 48 și 4 .

19. Testul corect trebuia să fie ABCD # AB x CD .

20. 23 – (-1)3 # 32 ( 8 ^1 # 9 )

3. Probleme de logică – geometrie distractivă

Piramida lui Keops

1. Afirmația trebuie înțeleasă în sensul că raza Soarelui avea aceeași înclinație ca și latura (muchia) oblică a piramidei .

2.

3.

4. Răsunsul ne dă chiar autorul :

“… Bărcile descoperite l=ngă Marea Piramidă ș…ț simbolizează bărcile cosmice cu care faraonul – identificat cu Ra – călătorea după moarte. Aceste plimbări aveau un sens profund. Cele două bărci ale Soarelui serveau lui Ra pentru călătoria sa nocturnă de la vest la est – barca amurgului – și cea zilnică, de la est spre vest – barca răsăritului”.

Cele trei bărci găsite la est de Piramidă serveau pentru călătoria faraonului după moarte, după cum ne spune textul.

5. Vom nota aria suprafeței triunghiulare cu A3 .

Și astfel am verificat numeric valoarea lui h .

6.

Din datele acestui text, avem :

4. 12,4 109 8 109 992 1017 km.

4. Probleme de logică

Spațiul cosmic

1. Consider=nd timpul t – minim (tnim) de 2000 de ani (pentru a vorbi de “mii”) și știind că viteza luminii este de 300.000 km/s, avem :

dmin# 2 103 365 24 36 102 3 105 # 29.921.600 miliarde km.

2.

Știim că : 100 miliarde # 100 1011 # 1013 stele

sute de sute de miliarde # 100 100 1011 # 100 1013 stele

Deci Metagalaxia cuprinde 100 de galaxii .

3.

5. Probleme de logică – Din basmelor rom=nilor

1. 365 0,5 # 182,5 cm # 1,82 m.

2. Fie mulțimea copacilor cu soț : Ș 2n / nN }

Fie mulțimea copacilor fără soț Ș 2n + 1 / nN }

Deoarece în primul an Moartea trebuie să măn=nce copaci a căror număr trebuie să fie fără soț și cu soț, acest număr va fi dat de cardinalul mulțimii formate din intersecția celor două mulțimi : Ș 2n / nN } Ș 2n + 1 / nN } =

card # 0.

Deci numărul copacilor m=ncați de Moarte în primul an va fi 0.

~n final, Moartea nu va m=nca nici un copac în cei trei ani.

3. Se poate afla ușor v=rsta rezolv=nd ecuația :

4. V=rsta copilului c=nd a murit este ușor de aflat rezolv=nd următoarea ecuație :

5. Iată cum s-a g=ndit judecătorul :

Dacă împărțim cele cinci p=ini, c=te ați avut împreună, în c=te

trei părți fiecare, vor fi șase părți din cele două p=ini ale unuia și nouă părți din cele trei p=ini ale celui de al doilea.

Așa-i, fură de acord drumeții.

Fiecare dintre voi, cei trei călători, continuă judecătorul, ați

m=ncat c=te cinci părți din totalul de 15. ~nseamnă că tu, i-ai dat celui de al treilea 1 parte (6–5#1) se adresă el călătorului care a avut 2 p=ini, iar tu, se întoarse judecătorul spre celălalt, i-ai dat 4 părți (9–5#4). Se cuvine, deci ca fiecare să primească plata precum a dăruit .

C. Matematică distractivă

“Săritura calului “

a). b).

c). d).

f). e).

g).

2. Pătrate magice. Pătrate semimagice

3. Exerciții amuzante cu numere. Rebusuri matematice.

2.

3. 4.

5. Se găsește a # 4, b # 9, c # 3, e # 8, f # 7, g # 2, h # 6, j # 0, k # 1 .

6. 7.

8.

9.

10.

11.

12. Se va obține cuv=ntul : MATEMATIC|

13. Se va găsi proverbul : “ Cine se scoală devreme, departe ajunge ! “

14. a) 1 – T, 2 – R, 3 – I, 4 – U, 5 – N, 6 – G, 7 – H, 8 – A, 9 – E, 10 – M, 11 – O, 12 – L, 13 – C, 14 – S, 15 – D.

b). 1 – O, 2 – R, 3 – I, 4 – A, 5 – T, 6 – V, 7 – C, 8 – M, 9 – U,10 – D, 11 – S, 12 – B.

c). 1 – F, 2 – R, 3 – A, 4 – C, 5 – T, 6 – I, 7 – O, 8 – M, 9 – P, 10 – L, 11 – N, 12 – E, 13 – S, 14 – U, 15 – V, 16 – D, 17 – B.

d). 1 – C, 2 – E, 3 – R, 4 – A, 5 – N, 6 – Z, 7 – D, 8 – I, 9 – U, 10 – T, 11 – M.

Bibliografie

Caba, Gina Matematica – Algebră – manual clasa aIX-a,

Editura Teora, București, 1998.

Chițulescu, Georgeta Șapte monumente celebre ale antichității Chițulescu, Traian Editura Tehnică, București, 1963

Dăncilă, Ioan Matematica distractivă , Editura Teora,

București, 1999

Ispirescu, Petre Basme , Ed. Tineretului, București, 1956

Mitea, Mariona Matematica – clasa aV-a – Caietul elevului Birta, Alina

Moise, Edwin Geometrie , Ed. Didactică și Pedagogică, Downs, Floyd București,1983

Popescu, Titus Matematica de vacanță, Ed. Sport – Turism,

București, 1986

Soc. “Știință & Tehnică” – S.A. Psihoteste

CUPRINS

A. PROPOZI}II LOGICE

1. Propoziția logică și valoare de adevăr

2. Operatori logici

3. Negarea propozițiilor logice

4. Conjucția propozițiilor logice

5. Disjuncția propozițiilor logice

6. Implicația propozițiilor logice

7. Echivalența propozițiilor logice

8. Formule echivalente în calcul propozițional

9. Proprietăți fundamentale ale operatorilor logici

10. Exerciții recapitulative

B. PROBLEME DE LOGIC|

1. Probleme de logică generală

2. Probleme de logică matematică

3. Probleme de logică – geometrie distractivă. Piramida lui Keops

4. Probleme de logică. Spațiul cosmic

5. Probleme de logică. Din basmele rom=nilor

C. MATEMATIC| DISTRACTIV|

1. “Săritura calului”

2. Pătrate magice

3. Exerciții amuzante cu numere. Rebusuri matematice

Indicații și răspunsuri

Bibliografie

Bibliografie

Caba, Gina Matematica – Algebr\ – manual clasa aIX-a,

Editura Teora, Bucure[ti, 1998.

Chi]ulescu, Georgeta {apte monumente celebre ale antichit\]ii Chi]ulescu, Traian Editura Tehnic\, Bucure[ti, 1963

D\ncil\, Ioan Matematica distractiv\ , Editura Teora,

Bucure[ti, 1999

Ispirescu, Petre Basme , Ed. Tineretului, Bucure[ti, 1956

Mitea, Mariona Matematica – clasa aV-a – Caietul elevului Birta, Alina

Moise, Edwin Geometrie , Ed. Didactic\ [i Pedagogic\, Downs, Floyd Bucure[ti,1983

Popescu, Titus Matematica de vacan]\, Ed. Sport – Turism,

Bucure[ti, 1986

Soc. “{tiin]\ & Tehnic\” – S.A. Psihoteste