Proiectarea Unui Ajutaj Supersonic Folosind Metoda Caracteristicilor

Capitolul I. Introducere

Scopul lucrării

În cadrul acestei lucrări se va prezenta o metodă de proiectare bi-dimensională (2D) a unui ajutaj de reacție supersonic bazată pe teoria caracteristicilor. În acest scop se va calcula lungimea minimă a ajutajului pentru obținerea unui număr Mach impus la ieșirea din ajutaj având în același timp o curgere uniformă în secțiunea divergentă a acestuia, folosind un program scris în limbajul de programare FORTRAN. Presupunem că în secțiunea minimă curgerea este critică și uniformă.

Obiectivele de bază ale acestei lucrări sunt:

1. proiectarea folosind un solver rapid și eficient pentru obținerea formei divergente a unui ajutaj Laval de lungime minimă ;

2. implementarea cunoștințelor din teoria caracteristicilor;

3. implementarea anumitor metode numerice cum ar rezolvarea unui sistem de ecuații neliniare;

3. testarea geometriei anterior obținute folosind un solver comercial (ANSYS FLUENT 15) în proiectarea și studiul performanțelor ajutajului supersonic.

Conținutul lucrării

Capitolul 1 oferă o introducere asupra subiectului lucrării și obiectivele acesteia.

Capitolul 2 prezintă considerații teoretice asupra regimului de curgere supersonic.

Capitolul 3 detaliază obținerea ecuațiilor ce stau la baza metodei caracteristicilor pornind de la ecuațiile de conservare urmată de analizarea cazurilor particulare întâlnite.

Capitolul 4 cuprinde analiza codului FOTRAN dezvoltat și detalierea metodelor numerice folosite.

Capitolul 5 ilustrează etapele de calcul și prezentarea și analiza rezultatelor obținute.

Capitolul II. Noțiuni fundamentale. Scurt Istoric

2.1 State of Art

Prima implementare cu succes a metodei caracteristicilor în proiectarea unui ajutaj supersonic a fost realizată de Ludwig Prandtl și Adolf Busemann în anul 1929. După implementarea celor doi, metoda caracteristicilor a devenit o bază fundamentală în proiectarea ajutajului supersonic, deoarece metoda permitea localizarea frontierelor fizice. Prandtl și Busemann au implementat grafic această metodă spre rezolvarea problemelor ajutajului bi-dimensional.

Foelsch (1949) a propus o metodă pentru dezvoltarea unei soluții pentru un curent supersonic axial-simetric folosind o abordare prin metoda caracteristicilor, iar Antonio Ferri a extins abordarea curgerilor axial-simetrice în 1954 printr-o adaptare matematică.

Guerntert și Netmann (1959) au implementat o abordare analitică pentru calculul tunelurilor supersonice cu debite prestabilite, implementare ce a dezvoltat o soluție bazată pe condițiile inițiale din lungul liniei centrale a ajutajului. Guerntert și Netmann au considerat că această abordare pentru proiectarea tunelurilor aerodinamice nu are cerințe din punct de vedere al lungimii dar necesita o curgere uniformă la ieșire. Soluția lor a condus însă la dificultăți în proiectarea de ajutaje scurte dar cu raport de expansiune mare. G. V. R. Rao a utilizat metoda caracteristicilor ca parte din soluția sa în proiectarea conturului ajutajului. Rao a dezvoltat o metodă de proiectare a unui ajutaj de reacție pentru o forță de propulsie optimă în cazul unui ajutaj de o lungime fixă, folosind o combinație de multiplicatori Lagrange și metoda caracteristicilor.

2.2 Considerații teoretice asupra curgerilor supersonice

2.2.1 Regimul supersonic

Regimul supersonic presupune curgerea unui fluid pe suprafața unui corp la viteze mai mari decât viteza locală a sunetului. Acest raport dintre viteza fluidului și viteza sunetului locală poartă numele de număr Mach, o mărime adimensională care descrie regimurile de curgere. Spre deosebire de regimul subsonic, regimul supersonic al unui fluid ideal supune corpul la rezistență la înaintare, rezistență la înaintare ce apare datorită apariției undelor e șoc și creșterii de entropie asociate traversării undei de șoc. Cu cât mai mari sunt perturbațiile create în fluid de către corpul respectiv, cu atât mai intense undele de șoc devin, crescând astfel și rezistența la înaintare întâlnită.

O particulă aflată în mișcare într-un mediu compresibil, precum aerul, emite perturbații acustice sub formă de unde sferice, unde care se propagă cu viteza sunetului (M=1). Dacă particula se deplasează la o viteză supersonică, undele generate nu se pot propaga în amontele particulei, așadar undele de tip sferic se vor încadra într-un con de tip circular, așa numitul con Mach. Generatoarele acestui con Mach poartă numele de linii Mach sau unde Mach.

Fig 1.1 Conul Mach

2.2.2 Apariția undelor de șoc

Undele de șoc sunt regiuni mici în fluid unde proprietățile se schimbă dramatic. Curgerea prin unda de șoc este adiabatică dar nu izentropică, fiind un fenomen ireversibil. Atunci când un fluid care se deplasează cu o viteză supersonică se apropie de un profil, sau o regiune cu presiune mare, nicio informație nu se va propaga înaintea profilului, iar curgerea se adaptează condițiilor din aval prin intermediul unei unde de șoc. De-a lungul unei unde de șoc, presiunea statică, temperatura, și densitatea fluidului se schimbă aproape instantaneu. Curgerea fiind neizentropică, presiunea totală din avalul undei este întotdeauna mai mică decât cea din amonte. Așadar, o pierdere de presiune totală este asociată undelor de șoc. Undele de șoc scad de asemenea viteza și numărul Mach. Unda Mach este considerată o undă de șoc de putere minimă.

Atunci când unda de șoc este perpendiculară pe direcția de curgere, unda poartă numele de undă de șoc normală, caracterizată de ecuații ce descriu schimbările rezultate din modificarea curgerii, ecuații rezultate din conservarea masei, impulsului și energiei.

Raporturile de presiuni, densități și temperaturi se obțin din relațiile Hugoniot-Rankine, presupunând cunoscute mărimile dinaintea undei:

Iar din ecuația de stare:

Se va obține raportul temperaturilor:

Legătura între numerele Mach înainte și după undă este dată de relația:

Atunci când unda de șoc este înclinată față de direcția curgerii, aceasta poartă numele de undă de șoc oblică. Această undă este mai slabă decât unda de șoc normală. Pot apărea două tipuri: undă “tare” și “undă slabă”. În general apar doar unde slabe,însă unele tari apar numai în circumstanțe deosebite cum ar fi în vecinătatea punctului de stagnare a undelor de șoc detașate.

Relațiile geometrice descompun viteza fluidului înaintea traversării undei de șoc raportată la unghiul obstacolului și poziția undei de șoc , obținându-se două direcții, una normală și una tangențială :

Figura 2.1 Descopunerea pe direcție normală și tangențială a vitezei la unda de șoc oblică

Relațiile termodinamice din care se obțin mărimile ce caracterizează fluidul după traversarea undei de șoc sunt:

Figura 2.2 Unde de șoc: unda normală, unda oblică, unda Mach

2.2.3 Expansiunea supersonică

Expansiunea unui curent supersonic presupune o accelerarea acestuia pe direcția mișcării, atunci când curgerea care loc de-a lungul unui perete evazat în aval, evazare ce va produce un evantai de expansiune care destinde gazul și provoacă o accelerare a particulelor sale. Undele de expansiune sunt considerate opusul undelor de șoc datorită apariției destinderii spre deosebire de comprimarea caracteristică undelor de șoc.

Figura 2.3 Evantaiul de expansiune

Evantaiul de expansiune ce apare la devierea curentului se consideră format dintr-o infinitate de unde Mach, deoarece expansiunea printr-o singură undă este imposibilă, întrucât ar rezulta o diferență de entropie , ceea ce contravine principiului al-II-lea al termodinamicii. De menționat este că expansiunea este un proces izentropic.

Funcția Prandtl-Meyer poate determina unghiul de deviere pentru care curgerea cu viteza inițială va crește la viteza .

Iar unghiul de deviere se obține din:

Prin convenție, . Așadar, pornind de la viteza inițială se poate calcula , iar folosind unghiul de deviere , rezultă . Din valoarea lui se poate obține într-un final iar de aici, celelalte proprietăți ale curgerii.

2.2.4 Ajutajul Laval

Ajutajul de tip convergent-divergent (Laval) face obiectul studiului acestei lucrări. El reprezintă un tub cu forma unei clepsidre asimetrice, prevăzut cu o “gâtuire” în partea de mijloc, folosit la accelerarea fluidului care îl străbate. A fost gândit de inventatorul suedez Gustaf de Laval în secolul XIX, iar conceptul a fost folosit pentru prima data pe o rachetă de către Robert Goddard. În prezent acesta este o componentă esențială a sistemului de propulsie supersonic, atât pentru rachete cât și pentru avioane.

Principiul ajutajului se bazează pe diferența dintre proprietățile fluidului la viteze subsonice și supersonice. În ipoteza unui flux constant de fluid și a unei curgeri subsonice, o îngustare a secțiunii ajutajului va duce la o creștere a vitezei fluidului. Curgerea fluidului în ajutajul Laval este izentropică (nu au loc schimbări de entalpie) și adiabatică (fără schimb de căldură). În locul unde secțiunea transversală este minimă (“gâtul” tubului), viteza fluidului va atinge local viteza sunetului (M=1), iar curgerea va deveni blocată. Fenomenul de blocare a curgerii se poate amâna prin mărirea gâtului, însă eventual fenomenul va apare chiar și în ipoteza în care gâtul este eliminat complet, făcând ajutajul complet convergent.

Figura 2.4 Diagrama unui ajutaj Laval, ce arată variația vitezei fluidului(v) împreună cu temperatura (T) și presiunea (p) la traversare

Partea convergentă a ajutajului realizează destinderea fluidului până la presiunea critică. Datorită apariției regimului critic în secțiunea minimă a curgerii, debitul de fluid vehiculat de ajutaj va fi egal cu debitul maxim.

Vom deduce expresia debitului masic maxim, pornind de la expresia debitului:

Sau scrisă într-o secțiune oarecare x, va deveni:

Expresie echivalentă cu:

Vom introduce temperatura totală și presiunea totală :

Dar viteza V(x) se poate scrie în funcție de viteza Mach și viteza sunetului:

unde

Introducând și în , expresia va deveni:

Relația dintre mărimile statice și cele totale este:

Înlocuind în , expresia debitului este:

Egalând ecuația cu 0 și prin impărțire la dM:

va rezulta că debitul este maxim atunci când se atinge viteza M=1. Expresia debitului maxim este:

Valoarea acestuia poate fi modificată prin variația parametrilor frânați ai curgerii sau a secțiunii critice a ajutajului.

Pornind de la următoarele relații:

se pot determina parametrii critici ai curgerii dacă se vor considera . Așadar, după înlocuire se va obține:

O lege generală de determinare a ariei într-o secțiune oarecare x a ajutajui cu raportare la aria critică se poate scrie sub forma:

În continuare se vor studia regimurile posibile de curgere prin ajutajul Laval (figura 2.5), notate în ordine cu litere de la A până la G, având în vedere distribuția presiunii în diferite situații.

Figura 2.5 Distribuția presiunii prin ajutajul convergent-divergent în diferite regimuri de curgere

Starea A:nu există curgere, presiunea e constantă.

Starea B: presiunea de-a lungul ajutajului scade. Curgerea rămâne subsonică. Partea divergentă se comportă ca un difuzor.

Starea C: , curgerea devine sonică în secțiunea minimă; se obține maximul de debit, iar curgerea devine blocată.

Starea D: fluidul este accelerat în secțiunea divergentă iar presiunea scade, accelerare ce ia sfârșit la apariția undei de șoc normale. La ieșire, fluidul este subsonic, și nu va mai suferi nicio schimbare indiferent de cât scade presiunea la ieșire. Pe măsură ce scade, unda de șoc se apropie de ieșire.

Starea E: în divergent curgerea este supersonică fără nicio undă. Curgerea este izentropică. Unda de șoc în acest caz este fie la ieșire, fie apare în jetul de la ieșire, ca un sistem complex de unde de șoc și unde de expansiune.

Capitolul III. Deducerea teoriei metodei caracteristicilor

Pentru obținerea ecuațiilor celor două caracteristici, se va porni de la setul celor 3 ecuații de conservare de:

-masă

-impuls

-energie

În aceste 3 ecuații, se fac următoarele ipoteze:

-mișcare staționară ()

-fluid nevâscos ()

-fără flux de căldură()

-în absența forțelor exterioare ()

Ecuațiile devin:

Relația este echivalentă cu:

Adăugând relația:

sau

Vom obține ecuația lui Crocco:

Se va face o dezvoltare în serie Taylor:

Ecuația (3.11) poartă numele de ecuația potențialului.

Ecuația potențialului se poate scrie in coordonate:

carteziene

cilindrice(pentru cazul axial simetric)

cazul general

Unde:

pentru cazul plan și

pentru cazul axial simetric.

În (3.16) se fac notațiile:

La ecuația

Se adaugă

Și se obține sistemul scris sub formă matriceală:

Sau sub formă simplificată:

unde

Așadar:

unde

iar

În continuare se pune problema determinării vectorilor proprii ai matricei D. Pentru aceasta vom calcula:

Așadar

Rezultă

Din relațiile lui Viète rezultă:

iar

Dar

Pentru ca informația să se propage în aval trebuie ca

de unde rezultă o curgere supersonică.

Folosind unghiul Mach din expresia:

Și înlocuind în rezultă:

Termenii se vor scrie ca:

Calculul vectorilor proprii la stânga:

adică

Sau folosind relațiile lui Viète  , deducem:

De unde rezultă vectorii proprii corespunzători:

În consecință, multiplicând ecuația vectorială cu:

sau

Și utilizând proprietatea :

Folosind derivarea prin părți:

Și notând:

Deducem:

Analog se obține

Unde:

Dacă presupunerea că se consideră acele perechi de (x,y) pentru care

presupunem că ne deplasăm pe o dreaptă de pantă constantă și egală cu

Această presupunere o facem însă numai într-o mică vecinătate a punctului considerat.

Figura 3.1 Direcțiile liniilor caracteristice

Deci

Rezultă că are sens să se scrie

Dar cum:

Rezultă

Relația devine:

Adică

Sau rescrisă:

Deci pentru caracteristica :

Iar pentru

unde

Deci:

sau

Înmulțind relația cu:

Rezultă:

Rezultă:

Pe caracteristica pozitivă :

Iar pe caracteristica negativă :

Pe de altă parte, din ecuația lui Crocco, înmulțită cu normala :

va rezulta:

Rescrisă, devine:

Știind că:

Expresia rotorului se rescrie ca:

Și va rezulta:

Figura 3.2 Trasarea normalei la direcția vitezei

Pe baza figurii 3.2 de mai sus se poate scrie:

Rezultă că:

Dar ultimul termen al relației, , este echivalent cu:

Știind că pe o linie de curent, relația devine:

Iar înlocuind în (3.82), relația devine:

sau, în ipoteza unei curgeri izentropice:

Relația se poate scrie:

-pentru caracteristicile pozitive:

-pentru caracteristicile negative:

3.1 Cazurile particulare întâlnite la aplicarea teoriei caracteristicilor:

Determinarea caracteristicilor mișcării la intersecția a două caracteristici de familii opuse

Dacă se cunosc caracteristicile mișcării pe o curbă oarecare (diferită de o curbă caracteristică), se pot determina parametrii curgerii pe tot câmpul. După ce curba este împărțită în puncte suficient de apropiate, se va duce o caracteristică pozitivă din punctul și una negativă din punctul , obținându-se un punct de intersecție (cum este ilustrat în figura 3.1)

Figura 3. 1 determinarea unui punct prin trasarea caracteristicilor

din punctele învecinate și

Între punctele și respectiv și se vor folosi ecuațiile următoare pentru determinarea vitezei în punctul (notată cu ) și unghiul .

Tot în punctul se va afla viteza Mach și unghiul din ecuația:

unde

În acest fel se obțin punctele de intersecție etc, care vor forma o nouă curbă, și astfel, urmărind algorimul de mai sus se poate determina mișcarea în tot câmpul din aproape în aproape.

Determinarea caracteristicilor mișcării în apropierea unui perete

Dacă se cunosc parametrii pe o curbă caracteristică, se poate determina câmpul de mișcare din apropierea unui perete (figura 3.2)

Figura 3.2 Reprezentarea intersecției punctelor în apropierea peretelui

Se va duce o tangentă la caracteristica negativă a punctului A, care întâlnește peretele în punctul A1. În punctul A1 se cunoaște direcția vitezei, care este tangentă la perete. Din punctul A1 se va duce o direcție sub un unghi care va întâlni caracteristica negativă a punctului B în punctul notat B1. În ipoteza unei curgeri izentropice, între punctele A1 și A se va scrie ecuația:

În ecuația de mai sus se cunoaște deci se poate determina viteza . Cunosând toți parametrii în punctele B și A1, se pot determina cei din punctul B1, și așa mai departe.

Determinarea mărimilor în penultimul punct al undei de expansiune

Se va pune problema determinării mărimilor penultimului punct al undei Mach generate, denumit generic “C” în figura 3.3:

Figura 3.3 Discretizarea primei unde de expansiune generate și

ilustrarea penultimului punct C

Pentru determinarea mărimilor în punctul denumit generic “C” în

figura 3.3 de mai sus, se aplică ecuația , ecuație obținută urmând algorimul descris la cazul particular numărul 1.

Aici însă întrucât “B” este punct fixat pe axă, iar axa fiind considerată orizontală, unghiul , ceea ce conduce la . Acești doi termeni conduc la o nedeterminare de tipul “”, ceea ce face aplicarea mecanismului standard de aflare a mărimilor imposibil de aplicat.

Capitolul IV. Analiza programului FORTRAN. Etapele de calcul

În capitolul de față se va prezenta programul dezvoltat în limbajul de programare FORTRAN care are drept scop proiectarea porțiunii divergente de lungime minimă a unui ajutaj Laval, pe baza teoriei caracteristicilor.

Figura 4.1 Obiectivele programului dezvoltat

4.1 Datele inițiale ale programului

Programul începe cu citirea:

Razei secțiunii critice

Numărului Mach la ieșire

Temperaturii în secțiunea critică a ajutajului

Se va calcula apoi presiunea la intrarea în ajutaj, pe care o vom considera:

Densitatea:

Apoi densitatea totală, cu formula:

Știind densitatea totală în secțiunea critică , se poate calcula densitatea în secțiunea de ieșire din ajutaj, cu formula:

Din condiția de conservare de masă se poate scrie:

De unde se poate determina aria în secțiunea de ieșire din ajutaj:

Și implicit raza , cu formula:

4.2 Generarea primei unde de expansiune

4.3 Procedura pentru calculul penultimului punct

Pentru evitarea nedeterminării de tipul “”, s-a văzut necesară o regândire a mecanismului de găsire a coordonatelor și a mărimilor cinematice și termodinamice în penultimul punct al undelor generate. Acest lucru s-a realizat prin rezolvarea unui sistem de trei ecuații, în care prima ecuație rezultă din caracteristica pozitivă văzută din punctul “C” în punctul “B” al undei generate anterior, a doua din caracteristica negativă a punctului “C” văzută spre punctul anterior determinat lui, denumit generic “A”, iar a treia rezultă din relația unghiului Mach :

Figura 4.2 Determinarea penultimului punct denumit “C”

Se ajunge astfel la următorul sistem de ecuații:

unde necunoscutele sunt .

Pentru rezolvarea acestui sistem, s-au testat metode de tip:

neoptimizate: metoda Newton pentru rezolvarea de sisteme neliniare

optimizate: metoda gradientului conjugat

Programul a fost gândit astfel:

Alegem

Iar

Se calculează în continare:

Din condiția Armijo, se verifică dacă:

Dacă se verifică, atunci:

Dacă nu se verifică:

Cu noul :

Se verifică apoi condiția Armijo pentru , iar dacă trece atunci . Dacă nu, se refac pașii anteriori.

4.4 Îndesirea de la penultimul punct al undei generate la ultimul punct

Pe măsură ce unghiul crește și undele de expansiune sunt generate, distanța dintre penultimul punct și ultimul punct se mărește, iar pentru asta s-a văzut necesară implementarea unei subrutine care să facă o indesire a grilei în acea zonă.

Figura 4.3 Îndesirea segmentului AC

Îndesirea rețelei pe caracteristica negativă ce pleacă din punctul A se face calculând mai întâi numărul de intervale cu formula:

Iar ținând cont de numărul de intervale rezultate, coordonatele punctelor dintre punctul A și punctul C (exemplu punctul din figura 4.3) se calculează cu formulele:

Unde

Unghiul corespunzător punctului se calculează cu formula:

4.5 Generarea punctelor pentru restul grilei

Primul pas pentru discretizarea zonei dintre ultima undă de expansiune și unda Mach corespunzătoare este impărțirea ultimei unde Mach în segmente echidistante.

Figura 4.4 Discretizarea zonei de deasupra undei Mach

Pentru determinarea abscsei extremității ajutajului la ieșire, se calculează mai întâi:

Știind că:

Întrucât A este punct pe axă (figura 4.4), din ecuația dreptei se află:

Și în final se poate determina :

4.6 Determinarea formei peretelui ajutajului. Cazuri posibile

Determinarea formei porțiunii divergente a ajutajului s-a realizat urmând pas cu pas direcția vitezei. Pentru determinarea acestei forme s-au considerat două cazuri de calcul posibile, care se vor exemplifica cu ajutorul imaginilor următoare, în care punctul se află pe caracteristica pozitivă care pleacă din punctul iar punctul, pe caracteristica negativă dusă din punctul .

Figura 4.5 Exemplu de grilă de calcul

Din ecuația unei drepte de forma:

Se va calcula termenul în punctele A,B și O cu formulele:

Apoi se calculează pentru fiecare din cele 3 puncte:

Și în final se determină coordonatele pe „x” ale punctelor și ( și ) prin formulele:

Cazuri posibile:

Cazul 1

Figura 4.6 Determinarea punctului în primul caz

Dacă , atunci punctul C1 se consideră noul punct O, iar viteza punctului A se translatează punctului .

Atunci când direcția vitezei calculată prin unghiul intersectează în punctul C1 caracteristica pozitivă dusă din A , se va considera noul , ceea ce se traduce prin:

Iar viteza V se va considera ca:

Unghiul va fi:

Etapa finală în obținerea formei este egalarea punctelor de deasupra direcției vitezei cu zero, după cum este arătat în figura ????

Cazul 2

Figura 4.7 Reprezentarea cazului 2

Dacă (figura 4.3), atunci când direcția vitezei calculată prin unghiul intersectează în punctul C2 caracteristica negativă dusă din B, atunci punctul va fi considerat punctul O, iar coordonatele sale vor fi:

Detalierea subrutinei programului:

Capitolul V. Rezultate și concluzii

Vom începe acest capitol prin prezentarea principalelor etape de calcul ale programului FORTRAN.

Etapa 1.

Generarea coordonatelor punctelor de pe prima undă de expansiune și a mărimilor termodinamice și cinematice, calculul parametrilor din penultimul punct, precum și Îndesirea rețelei de la penultimul punct pâna la intersecția cu axa, până se atinge pe axă numărul Mach

Figura 4.1 Ilustrarea etapei de calcul numărul 1

Etapa 2

Obținerea lungimii minime a ajutajului, care se face punând condiția ca unda Mach care pleacă de pe ultimul punct de pe axă (unde s-a atins în prealabil numărul Mach ) să intersecteze secțiunea de ieșire.

Figura 4.2 Intersecția undei Mach a ultimului punct de pe axă cu secțiunea de ieșire

Etapa 3

Etapa numărul 2 este urmată de o discretizare a zonei dintre ultima undă de expansiune și unda Mach corespunzătoare.

Figura 4.3 Discretizarea zonei dintre ultima undă de expansiune și unda Mach

Etapa 4

Punând condiția ca viteza să fie tangentă la perete și urmând pas cu pas direcția sa, se obține frontiera solidă a ajutajului.

Figura 4.4 Frontiera solidă a ajutajului

Etapa 5

Etapa finală de calcul presupune renunțarea la punctele generate în afara frontierei solide, pentru a obține forma finală a ajutajului.

Figura 4.5 Forma finală a porțiunii divergente

După cum reiese din programul de calcul, pentru a obține un număr Mach de la ieșirea din porțiunea divergentă a ajutajului, raza secțiunii de ieșire a ajutajului trebuie să fie de .

Pentru verificarea acestui rezultat s-a dezvoltat un nou program în FORTRAN bazat pe rezolvarea ecuației cu ajutorul metodei secantei, în care se urmărește determinarea numărului Mach la ieșirea din ajutaj.

Formula de recurență în cazul metodei secantei este:

Aria critică s-a calculat după formula:

Unde s-a ales 0.1 m.

s-a considerat aria secțiunii de ieșire din ajutaj, unde raza are valoarea de dată de programul de calcul, și se calculează în mod similar cu aria critică.

Rezultatul obținut după rularea programului a fost un număr Mach de .

Figura 4.6 Distribuția numărului Mach de-a lungul ajutajului divergent

Figura 4.7 Vectorii numărului Mach de-a lungul ajutajului divergent

Figura 4.8 Distribuția temperaturii de-a lungul ajutajului divergent

Capitolul VI. Anexa

6.1 Metoda Newton

Prima metodă implementată spre rezolvarea sistemului a fost metoda Newton.

Considerând un sistem de ecuații neliniare de forma:

Unde funcțiile sunt funcții neliniare care depind de variabilele care la rândul lor reprezintă necunoscutele sistemului. Cele funcții și variabile se pot pune sub forma matriceală:

Metoda Newton apelează la o serie de aproximări care duc la liniarizarea problemei. Dacă admitem că la iterația s-a determinat o aproximație:

Care se abate de la soluția exactă a sistemului de forma:

Cu vectorul , astfel încât are sens să se scrie:

În ipoteza în care abaterile sunt suficient de mici, funcțiile ale sistemului se pot dezvolta în serii Taylor în jurul punctului :

Expresie care poate fi scrisă sub formă matriceală:

Unde este matricea Jacobian formată din derivatele parțiale ale funcțiilor:

Întrucât reprezintă soluția exactă a problemei, se va anula, și se obține:

Care reprezintă un sistem de ecuații liniare ce are ca necunoscute corecțiile .

Din relația rezultă:

Sau, știind că:

Relația se poate scrie ca:

De unde rezultă:

Dezvoltarea acestei relații conduce în final la relația de aproximare a metodei Newton:

6.2 Metoda gradientului conjugat

Metoda gradienților conjugați este o metodă optimizată de rezolvare a sistemelor de ecuații neliniare. Dacă se consideră un sistem de forma:

Se construiește o funcție:

unde

Se formează un șir descrescător de forma:

O metodă neliniară de gradient conjugat generează o secvență pornind de la o valoare inițială , folosind relația de recurență:

Unde mărimea pasului se găsește prin “line search”, iar direcțiile sunt generate de formula:

La iterația 0,

este un scalar, factor de actualizare al gradientului conjugat, iar

unde gradientul este un vector-rând, iar este un vector-coloană.

Știind că:

iar reprezintă norma euclidiană, se vor prezenta câteva alegeri pentru factorul de actualizare:

Fletcher & Reeves:

Polak & Ribiere:

Hestenes-Strefel:

6.3 Metoda secantei

Bibliografie

George P. Sutton, Oscar Biblarz Rocket Propulsion Elements Wiley-Interscience Publication, 7th Edition, 2001

Y. D. Dwivedi, B. Parvathavadhani, K. Nirmith, and Kumar Mishra, Design of Supersonic Wind Tunnel Using Method of Characteristics, Int. J. Adv. Transport Phen., Jan-Dec 2012

Md. Hasan Ali, Mohammad Mashud, Abdullah Al Bari and Muhammad Misbah-Ul Islam, Numerical Solution For The Design Of Minimum Length Supersonic Nozzle, ARPN Journal of Engineering and Applied Sciences, 7(5), May 2012

Reid Britton Young Automated Nozzle Design through Axis-Symmetric Method of Characteristics Coupled with Chemical Kinetics, August 4, 2012

Alina Bogoi Curs Ecuații generale în dinamica gazelor, 2014

C. Berbente, N.V. Constantinescu, Dinamica Gazelor, 1985