PROIECTAREA ȘI SIMULAREA FILTRELOR ACTIVE VARIABILE DE STARE ȘI DE TIP BIQUAD Conducător Științific S.l.dr.ing. Silviu Ursache Absolvent Antălucă… [628621]

UNIVERSITATEA TEHNIC Ă ”GHEORGHE ASACHI” DIN IA ȘI
FACULTATEA DE IN GINERIE ELECTRIC Ă, ENERGETIC Ă ȘI
INFORMATIC Ă APLICAT Ă

PROIECTAREA ȘI SIMULAREA FILTRELOR ACTIVE
VARIABILE DE STARE ȘI DE TIP BIQUAD

Conducător Științific
S.l.dr.ing. Silviu Ursache
Absolvent: [anonimizat]
2019

Cuprins
Capitolul 1. Aspecte generale privind filtrele active 1
1.1. Introducere 1
1.2. Tipuri de filtre active 2
1.2.1. Filtru trece jos 2
1.2.2. Filtrul trece sus 3
1.2.3. Filtrul trece band ă 3
1.2.4. Filtrul opre ște bandă 4
1.3. Modelul matematic al filtrelor active 4
1.3.1. Filtre de tip Butterworth 6
1.3.2. Filtre de tip Chebyshev 7

Capitolul 2.Filtre variabile de stare 11
2.1. Normalizarea r ăspunsului în frecven ță 13
2.2. Filtrul trece jos 14
2.2.1. Exemplu de filtru tr ece jos (Butterworth) 15
2.2.2. Exemplu de filtru tr ece jos (Chebyshev) 17
2.3. Filtrul trece sus 20
2.3.1. Exemplu de filtru tr ece sus (Butterworth) 21
2.3.2. Exemplu de filtru tr ece sus (Chebyshev) 24
2.3.3. Exemplu de filtru trece band ă 27
2.3.4. Exemplu de filtru opre ște bandă 30
2.4. Filtrul trece band ă de bandă îngustă 33
2.4.1. Exemplu de filtru trece band ă de bandă îngustă 35
2.4.2. Exemplu de filtru trece band ă de bandă îngustă 37

Capitolul 3.Filtre biquad 40
3.1. Filtrul trece band ă de bandă îngustă 41
3.1.1. Exemplu de filtru trece band ă de bandă îngustă 43
3.2. Filtrul trece jos 45
3.2.1. Exemplu de filtru tr ece jos (Butterworth) 47
3.2.2. Exemplu de filtru tr ece jos (Chebyshev) 49
Concluzii 52
Bibliografie 53

1 

Aspecte generale privind filtrele active
1.1 Introducere
Un filtru este un circuit electronic proiectat astfel încât s ă permită trecerea unor semnale
doar într-o anumit ă bandă de frecven ță, numită bandă de trecere a filtrului. Filtrele pot fi pasive,
realizate pe baza unor component e pasive de circuit (rezisten țe, bobine, condensatori), dar și
active, care utilizeaz ă în plus și o component ă activă, de regulă un amplificator opera țional.
Comportarea unui filtru ac tiv în domeniul frecven ță este descris în limbaj matematic pe
baza func ției de transfer. Aceasta reprezint ă raportul dintre m ărimea de ie șire și cea de intrare a
filtrului, exprimat în termeni ai transformatei Laplace:
ܪሺݏሻൌ௏బሺ௦ሻ
௏೔ሺ௦ሻ (1.1)
unde s este o variabil ă complexă.
Funcția de transfer define ște răspunsul filtrului la diferite semnale arbitrare aplicate la
intrarea acestuia, dar în special la cele sinusoidale.
Reprezentarea grafic ă a modulului func ției de transfer în func ție de frecven ță este
cunoscută sub numele de caracteri stica amplitudine-frecven ță sau răspunsul în frecven ță al
filtrului, în cazul aplica țiilor din domeniul de audiofrecven ță.
În mod similar, se poate trasa caracteristica faz ă-frecvență a filtrului care arat ă măsura în
care se modific ă faza semnalului în func ție de frecven ță.
Înlocuind în rela ția (1.1) variabila s cu j ߱ ,unde ݆ൌ √െ1, iar ߱ൌ2 ݂ߨ este pulsa ția
semnalului , exprimată în rad/s , putem identifica efectul filtrului asupra nivelului și fazei
semnalului de intrare. Nivelul semnalului se poate determina calculând valoarea absolut ă a
ecuației (1.1) :
|ܪሺ݆߱ሻ|ൌቚ௏బሺ௝ఠሻ
௏೔ሺ௝ఠሻቚ (1.2)
sau
ܣ ൌ 20݃݋݈ |ܪሺ݆߱ሻ |, exprimat ă în decibeli (dB). (1.3) 1

2 
 Faza semnalului se poate determina pe baza rela ției (1.3):
ܪ݃ݎܽ ሺ݆߱ሻൌ݃ݎܽ ௏బሺ௝ఠሻ
௏೔ሺ௝ఠሻ (1.4)
1.2 Tipuri de filtre active
1.2.1 Filtrul trece-jos
Este proiectat astfel încât las ă să treacă semnalele ale c ăror frecven țe sunt mai mici decât
frecvența de tăiereși rejecteaz ă semnalele cu frecven țe mai mari decât aceasta :

Fig. 1.1 : R ăspunsul în frecven ță al unui filtru trece-jos
Filtrul trece jos ideal are o caracteristic ă de transfer rectangular ă, ceea ce înseamn ă că
frontiera dintre banda de trecere și cea de oprire este abrupt ă, adică are pantă infinită. Din pacate,
această carateristic ă nu poate fi realizat ă și în cazul unui filtru real. În acest sens va trebui s ă
facem anumite compromisuri cu priv ire la unii parametri ai filtrului.
™ Ordinul filtrului : este direct legat de num ărul componentelor pasive ale filtrului și,prin
urmare, de complexitatea proiect ării acestuia. Filtrele de ordin superior sunt mult mai
scumpe, ocup ă mai mult spa țiu și sunt mai dificil de proiectat . Principalul avantaj al unui
filtru de ordin superior este c ă are o pant ă mult mai abrupt ă decât cele de ordin inferior.
™ Rata de c ădere : se exprim ă ca valoare a atenu ării pentru un raport de frecven țe dat,
exprimată în dB. Adesea este exprimat ă în dB/decad ă.
™ ࢞ࢇ࢓࡭:reprezint ă modificarea maxim ă admisibil ă a câștigului în banda de trecere . Mai
este cunoscut ă și sub denumirea de riplu în banda de trecere.
™ ࢔࢏࢓࡭ :reprezint ă atenuarea minim ă admisibil ă în banda de oprire.
™ ࢌ૚:este frecven ța de tăiere
™ ࢙ࢌ:reprezint ă frecvența la care începe banda de oprire.

1.
Es
frecvenț
1.
Es
bandă d
Fi
frecvenț
axa fre c.2.2 Filtr u
ste proiect a
ța de tăiere
.2.3 Filtr u
ste proiect a
de trecere s p
iltrele trece
ță a caract e
cvențelor arul trece-s u
at astfel înc
:
Fi
ul trece-b
at astfel înc â
pecificată :
Fig
bandă sun
eristicilor f i
e format lo g
us
ât lasă să tr
ig. 1.2 : Răspu
andă
ât lasă să tr
g. 1.3 : Răspun
nt simetrice
iltrului sun t
garitmic. F r
3 reacă sem n
unsul în frecv
reacă semn a
nsul în frecve n
din punct d
t simetrice
recvența cen
nalele ale c ă
ență al unui f i
alele ale că
nță al unui fil t
de vedere g
în jurul fr e
ntrală a filt r
ăror freven ț

iltru trece-sus
ăror frecve n
tru trece- band
geometric, d
ecvenței ce n
rului este d a
țe sunt mai
nțe sunt cu p

dă
dar și repr e
ntrale, în c a
ată de relația
mari decâ t
prinse înt r-o
ezentarea î n
azul în car e
a : t
o
n
e

4 
 ݂଴ൌඥ݂ଵ݂ଶ (1.5)
unde ݂ଵ și ݂ଶ sunt frecven țele de tăiere ale filtrului (inferioar ă, respectiv superioar ă).
Pentru filtrele de band ă îngustă, la care raportul ݂ଶ/݂ଵ este mai mic de 1,1, frecven ța
centrală poate fi calculat ă ca fiind media aritmetic ă a celor frecven țe de tăiere, ݂ଵ și ݂ଶ :
݂଴ൌ௙భା௙మ
ଶ (1.6)
Factorul de calitate Q este egal cu raportul dintre frecven ța centrală a filtrului ݂଴și lățimea
benzii de trecere BW :
ܳൌ௙బ
஻ௐൌ௙బ
௙మି௙భ (1.7)
1.2.4 Filtrul opre ște-bandă
Este proiectat astfel încât s ă rejecteze semnalele dintr-o band ă de frecven țe specificat ă și să
lase să treacă semnalele ale c ăror frecven țe se găsesc în afara acesteia :

Fig. 1.4 : R ăspunsul în frecven ță al unui filtru opre ște-bandă
1.3 Modelul matematic al filtrelor active
Funcția de transfer a unui filtru depinde de variabila complex ă s și este de forma:
ܪሺݏሻൌேሺ௦ሻ
஽ሺ௦ሻ (1.8)
Numărătorul și numitorul pot fi întotdeauna scrise sub form ă polinomial ă de variabil ă s. La
modul general, func ția de transfer pentru un filt ru de ordin n poate fi scris ă sub forma:

5 
 ܪሺݏሻൌ௄௕బ
௦೙ା௕೙షభ ௦೙షభାڮା௕ భ௦ା௕ బ (1.9)
Unde ܾ଴,ܾଵ,…,ܾ ௡ିଵ și K sunt calculate în fun ție de ordinul func ției de transfer, n.
O altă modalitate de a scrie func ția de transfer a unui filtru este scrierea numitorului ca
produs de factori:
ܪሺݏሻൌ௄௕బ
ሺ௦ି௣ బሻሺ௦ି௣ భሻ…ሺ௦ି௣ ೙ሻ (1.10)
Rădăcinile numitorului ݌଴,݌ଵ,…,݌ ௡sunt numite polii func ției de transfer, care pot fi
numere reale sau complexe.
Filtrele de tip Butterworth și Chebyshev difer ă doar prin alegerea coeficien ților ܾ௜din
tabelele 1.1 și 1.2, care genereaz ă caracteristici de transfer u șor diferite :

6 
 1.3.1 Filtre de tip Butterworth
Sunt cunsocute pentru r ăspunsul plat pe care îl genereaz ă, rata de c ădere fiind de 20
dB/decad ă pentru fiecare pol. R ăspunsul în frecven ță a unui filtru de tip Butterworth este dat de
relația :
|ܪሺ݆߱ሻ|ൌ௄
൤ଵାቀೞ
ഘభቁమ೙
൨భ
మ (1.11)
Unde n este ordinul filtrului (num ăr întreg), ߱ଵeste pulsa ția corespunz ătoare frecven ței
filtrului la -3 dB, iar K este amplificarea filtrului.
Se boserv ă că |ܪሺ0ሻ|ൌܭ și |ܪሺ݆߱ሻ | este monoton descresc ătoare cu ߱ .În plus, valoarea
lui |ܪሺ݆߱ሻ | la -3 dB, adic ă punctul în care amp lificarea scade de 0,707 ori, este definit ă pentru
߱=1, oricare ar fi n ordinul filtrului :
|ܪሺ݆߱ሻ |ൌ௄
√ଶ (1.12)
Aproximarea în amplitudine a rela ției (1.11) este de tip Butterworth cu r ăspuns plat în
frecvență.
Descompunând |ܪሺ݆߱ሻ | în serii de puteri de la ߱=0, se obține :
|ܪሺ݆߱ሻ |ൌܭቀ 1െଵ
ଶ߱ଶ௡൅ଷ଼߱ସ௡൅ହ
ଵ଺߱଺௡൅ଷହ
ଵଶ଼଼߱௡൅ڮቁ (1.13)
Observăm că primele 2n-1 derivate ale lui |ܪሺ݆߱ሻ | se anuleaz ă pentru ߱=0. Pentru ߱>>1,
răspunsul amplitudine-frecven ță de tip Butterworth, pentru K=1 poate fi scris:
|ܪሺ݆߱ሻ |؆ଵ
ఠ೙ ,ب߱ 1 (1.14)
Se observ ă că pentru răspunsul de tip Butterworth |ܪሺ݆߱ሻ | scade asimptotic cu ߱ି௡.
Exprimată în dB, panta se define ște altfel:
ܣ ൌ 20݃݋݈ |ܪሺ݆߱ሻ |ൌ െ20߱݃݋݈݊( 1.15)
Așadar, răspunsul în amplitudine scade asimptotic în frecven ță cu -20n dB/decad ă.

7 
 
Fig. 1.5 : R ăspunsul în frecven ță de tip Butterworthpentru filtre trece jos de diferite ordine

Fig. 1.6 : R ăspunsul la semnal treapt ă pentru filtre trece jos de tip Butterworth de diferite ordine
1.3.2 Filtre de tip Chebyshev
Un alt filtru important care se apropie de cel ideal este cel de tip Chebyshev sau cu riplu
constant. Dup ă cum sugereaz ă si numele, acest tip de filtru va avea un riplu în banda de trecere a
răspunsului în frecven ță. Mărimea riplului din banda de trec ere este unul dintre parametri
specifici acestor tipuri de filtre. Cara cteristica de tip Chebyshev are o rat ă de cădere mai abrupt ă
în zona frecven ței de -3 dB comparativ cu filtrul de tip Butterworth, dar în schimbul unui r ăspuns
în frecven ță mai puțin plat în zona benzii de trecere și un răspuns tranzitoriu mai slab.
Răspunsul în frecven ță a unui filtru de tip Ch ebyshev este dat de rela ția :

8 
 |ܪሺ݆߱ሻ |ൌ௄
ൣଵାఌమ஼೙మሺఠሻ൧భ
మ (1.16)
Unde :
ܥ௡ሺ߱ሻൌ൜cos ሺݏ݋ܿכ݊ ିଵ , ߱ |߱|൑1
cosh ሺ݄ݏ݋ܿכ݊ ିଵ , ߱ |߱|൐1 (1.17)
Pentru n=0 avem :
ܥ଴ሺ߱ሻൌ1 (1.18)
iar pentru n=1 avem :
ܥଵሺ߱ሻൌ߱( 1.19)
Polinomialele de tip Chebyshev de ordin mai mare sunt ob ținute prin utilizarea formulei
recursive :
ܥ௡ሺ߱ሻൌ2 ܥ߱ ௡ିଵሺ߱ሻെܥ ௡ିଶሺ߱ሻ (1.20)
Deci, pentru n=2, se ob ține ܥଶሺ߱ሻastfel :
ܥଶሺ߱ሻൌ2 ߱ ሺ߱ሻെ1ൌ2 ߱ଶെ1 (1.21)
În tabelul 1.3 sunt date polinomiale le de tip Chebyshev de un ordin pân ă la n=8 :

În cadrul intervalului |߱|൑1, |ܪሺ݆߱ሻ | oscilează aproximativ unitar deoarece valoarea
maximă este 1 iar cea minim ă 1/ሺ1 ൅ ߝଶሻ. Înafara acestui interval, cre ște foarte mult valoarea lui
ܥଶ௡ሺ߱ሻ până va fi atins un punct în care ߝଶܥଶ௡ሺ߱ሻب1 iar |ܪሺ݆߱ሻ | se va apropia mai rapid de

9 
 valoarea 0 cu cât valoarea lui ߱crește. Deci, observ ăm că |ܪሺ݆߱ሻ | în ecuația (1.16) este
întradevăr potrivit pentru a aproxima caracteristicile unui filtru trece-jos ideal.
În figura 1.7 se vede aproximarea caracter isticii unui filtru tr ece-jos ideal. Observ ăm că în
banda de trecere cuprins ă între 0 ≤ ߱≤ 1, |ܪሺ݆߱ሻ | are un riplu între valoarea de 1 și 1/ሺ1 ൅ ߝଶሻ.
Înălțimea riplului, sau distan ța dintre maxim și minim în banda de trecere, este dat ă de relația :
ݑ݈݌ܴ݅ ൌ 1 െଵ
ሺଵାఌమሻభ
మ (1.22)

Fig. 1.7 : Riplul unui filtru trece-jos de tip Chebyshev
Pentru ߱ =1, rezult ă :
|ܪሺ݆1ሻ|ൌଵ
ሺଵାఌమሻభ
మ (1.23)
deoarece ܥଶ௡ሺ1ሻൌ1.
În banda de oprire, pentru |߱൒1 |, ߱ crește până la un punct ߱௣, rezultând :
|ܪሺ݆߱ሻ |؆ଵ
ఌ஼೙ሺఠሻ ,߱ ൐ ߱ ௣ (1.24)
Exprimată în decibeli, func ția de transfer se define ște :
ܣ ൌ 20݃݋݈ |ܪሺ݆߱ሻ |؆െ ሾ20ߝ݃݋݈ ൅ 20ܥ݃݋݈ ௡ሺ߱ሻሿ (1.25)

10 
  Prezen ța riplului în banda de trecere ca și parametru face procesul de recunoa ștere mult
mai complicat pentru un filtru de tip Chebyshev decât pentru un filtru de tip Butterworth, dar
totodată crește flexibilitatea filtrului.
În figura 1.8 este expus r ăspunsul la semnalul trapt ă al unor filtre de tip Chebyshev de
diferite ordine. Ca și în cazul filtrelor de tip Butterworth, r ăspunsul filtrelor de ordin mai mare
oscilează mai mult.

Fig. 1.8 : R ăspunsul la semnal trapt ă al unor filtre de tip Chebyshev de diferite ordine

11 
 

Filtre variabile de stare
Filtrul variabil de stare a fost ini țial conceput pentru dispozitive analogice. Cu toate c ă
acest tip de filtru utilizeaz ă cel puțin trei amplificatoare opera ționale, suntem capabili s ă avem
răspunsuri simultane la ie șire de tip trece-jos, trece-sus și trece-banda. Când es te utilizat un
amplificator opera țional suplimentar, putem folosi filtrul variabil de stare pentru a forma un filru
oprește-bandă.
 
Fig. 2.1 Configura ția de bază a unui filtru variabil de stare
În figura 2.1 putem vedea c ă filtrul variabil de stare, numit uneori și filtru universal, este de
obicei format dintr-un amplificator sumator, doi integratori identici și un circuit de amortizare.
Din cauza felului în care func țiile sunt interconectate, putem avea simultan urm ătoarele
răspunsuri ale filtrului :
1. Filtru trece-jos de orinul II
2. Filtru trece-sus de ordinul II
3. Filtru trece-band ă unipolar
Frecvențele de tăiere ale r ăspunsurilor trece-jos și trece-sus sunt identice cu frecven ța
centrală a răspunsului trece-band ă. În plus, factorul de amortizar e este egal cu 1/Q pentru un
filtru trece-band ă, și este acela și pentru toate cele trei r ăspunsuri.
În acest capitol se va prezenta o altfel de a bordare privind proiectarea filtrelor active, și
anume, folosirea întregii re țele pasive RC pentru a furniza un feedback în cadrul amplificatorului
operațional. O configura ție în cazul unui filtru de ordin II este prezentat ă în figura 2.2. Este
numit filtru amplificator multifeedback cu câ știg infinit. Func ția de transfer rezultant ă este una
2

12 
 inversoare, astfel încat, câ știgul continuu este negativ. Cu aceast ă configura ție putem avea
caracteristici de tip trece-jos, trece-sus, și trece-band ă de bandă îngustă.

Fig 2.2 Configura ția general ă a unui filtru amplificator multifeedback cu câ știg infinit
 
Fig. 2.3 Filtru variabil de stare cu intrare inversoare
Din figura 2.3 reies formulele :
ܸு௉ൌെோమ
ோయܸ௅௉െோమ
ோ೒ܸ௜൅ோ೜
ோ೜ାோభ൬1൅ோమ
ோయ൅ோమ
ோ೒൰ܸ஻௉ (2.1)  
ܸ஻௉ൌെଵ
௦ோ஼ܸு௉ (2.2)
ܸ௅௉ൌെଵ
௦ோ஼ܸ஻௉ (2.3)
2.1 Normalizarea r ăspunsului în frecven ță
Performan țele unui filtru activ sunt caracterizate pe baza unor parametri, dintre care
răspunsul în frecven ță este cel mai important. Fiind date specifica țiile răspunsului în frecven ță,

13 
 proiectantul trebuie s ă aleagă o arhitectur ă a filtrului care s ă respecte aceste cerin țe. Acest lucru
este realizat raportând r ăspunsul dorit la frecven ță de tăiere normalizat ă de 1 rad/s.
Normalizarea filtrului const ă efectiv în scalarea sau deplasarea r ăspunsului în frecven ță dat
al unui filtru într-un alt domeniu de frecven ță prin împărțirea elementelor reative printr-un factor
de scalare în frecven ță (FSF-Frequency scaling factor ). Factorul de sc alare în frecven ță se
definește ca fiind raportul dintre frecven ța de tăiere dorit ă a filtrului și frecven ța de tăiere
normalizat ă:
ܨܵܨ ൌ߱ଵ
߱௡ൌ2݂ߨ ଵ
1ൌ2 ݂ߨ ଵ
Scalarea în frecven ță a unui filtru are ca efect multiplicar ea tuturor punctelor de pe axa
frecvențelor cu FSF. Prin urmare, curba normalizat ă a răspunsului în frecven ță poate fi direct
utilizată pentru a determina atenuarea filtrului denormalizat.
Orice circuit liniar activ sau pasiv î și păstrează caracteristica de transfer dac ă toate valorile
rezistențelor sunt multiplicate cu un factor de scalare a impedan ței (ISF-Impedance scaling
factor ), iar toate valorile condensatoa relor sunt divizate prin acela și factor :
ܴൌܴכܨܵܫ ௡ 
ܥൌܥ௡
ܨܵܫ 
Unde ܴ௡ și ܥ௡ sunt valorile normalizate ale rezisten țelor si condensatoarelor.
Ținând cont de scalarea în frecven ță și impedan ță, valorile denormalizate ale rezisten țelor
și condensatoarelor sunt date de:
ܴൌܴכܨܵܫ ௡
ܥൌܥ௡
ܨܵܨכܨܵܫ
2.2 Filtrul Trece-Jos
Din ecuațiile (2.2) și (2.3) , putem scrie :
ܸு௉ൌെ ܸܥܴݏ ஻௉ (2.4)
ܸ஻௉ൌെ ܸܥܴݏ ௅௉ (2.5)
Din ecuațiile (2.4) și (2.5) rezult ă:
ܸ஻௉ൌെ ܸܥܴݏ ௅௉ (2.6)
Din ecuațiile (2.1), (2.5) și (2.6), avem:

14 
 ݏଶܴଶܥଶܸ௅௉ൌെܴଶ
ܴଷܸ௅௉െܴଶ
ܴ௚ܸ௜െܴ௤
ܴ௤൅ܴ ଵቆ1 ൅ܴଶ
ܴଷ൅ܴଶ
ܴ௚ቇܸܥܴݏ ௅௉
ቈݏଶܴଶܥଶ൅ܴ௤
ܴ௤൅ܴ ଵቆ1 ൅ܴଶ
ܴଷ൅ܴଶ
ܴ௚ቇܥܴݏ ൅ܴଶ
ܴଷ቉ܸ௅௉ൌെܴଶ
ܴ௚ܸ௜
ܪ௅௉ൌ௏ಽು
௏೔ൌെೃమ
ೃ೒
௦మோమ஼మାೃ೜
ೃ೜శೃభ൬ଵାೃమ
ೃయାೃమ
ೃ೒൰௦ோ஼ାೃమ
ೃయ (2.7)
ܪ௅௉ൌെ௄
௦మା௔௦ା௕ (2.8)
Unde :
ܭൌோయ
ோ೒ ሺݏ ݑݎݐ݊݁݌ ൌ 0ሻ (2.9)
ܾൌ߱ଵଶൌோమ
ோయଵ
ோమ஼మ (2.10)
ߙൌோ೜
ோ೜ାோభ൬1൅ோమ
ோయ൅ோమ
ோ೒൰ଵ
ோ஼ (2.11)
Proiectarea filtrului :
Pentru un filtru normalizat, avem :
ܴൌܴ ௚ൌܴ ௤ൌ1 Ω (2.12)
ܥൌ1 ܨ( 2.13)
Din ecuațiile (2.9) și (2.12) , rezult ă :
ܴଷൌܭ( 2.14)
Din ecuațiile (2.10), (2.12), (2.13) și (2.14), rezult ă :
ܾൌܴଶ
ܭ
ܴଶൌܭܾ ( 2.15)
Din ecuațiile (2.11), (2.12), (2.13), (2.14) și (2.15) :
ܽൌ1
1൅ܴ ଵ൬1൅ܭܾ
ܭ൅ܭܾ
1൰1
1
ܴଵൌଵା௕ሺଵା௄ሻ
ఈെ1 (2.16)

15 
 2.2.1 Exemplu de filtru trece-jos
Se va proiecta un filtru trece-jos de tip Butterwor th cu câstig unitar pentru care se cunosc :
ܣ௠௔௫ ൌ3 ܤ݀ ,ܣ௠௜௡ ൌ 40 ܤ݀ , ݂௦ൌ3 , 5 ݖܪ݇ ,݂ଵൌ1 ݊,ݖܪ݇ ൌ4
Alegem:
ܴ௡ൌܴ ௚௡ൌܴ ௤௡ൌ1 Ω
ܥ௡ൌ1 ܨ
ܴଷ௡ൌܭൌ1 Ω
ܴଷ௡ൌܭܾ ൌ1כ1ൌ1 Ω
Primul etaj de amplificare:
ܽ ൌ 1,848
ܾ ൌ 1,000
ܴଵ௡ൌ1൅ ሺ1൅ܭ ሻܾ
ܽെ1ൌ3
ܽെ1ൌ3
1,848െ 1 ൌ 0,623 Ω
Al doilea etaj de amplificare:
ܽ ൌ 0,765
ܾ ൌ 1,000
ܴଵ௡ൌ3
ܽെ1ൌ3
0,765െ 1 ൌ 2,922 Ω
Denormalizarea:
Este acceptat ISF = 10ସ
ܨܵܨ ൌ߱ଵ
߱௡ൌ2 כߨ1 0ଷ
ܴൌܴ ௚ൌܴ ௤ൌܴ ଶൌܴ ଷൌܴכܨܵܫ ௡ൌ1 0ସכ 1 Ω ൌ 10 ݇Ω
ܥൌܥ௡
ܨܵܨכܨܵܫ ൌ1
2כߨ 10଻ൌ 15,92 ܨ݊
Primul etaj:
ܴଵൌܴכܨܵܫ ଵ௡ൌ1 0ସכ 0,623 Ω ൌ 6,23 Ω
Al doilea etaj:

16 
 ܴଵൌܴכܨܵܫ ଵ௡ൌ1 0ସכ 2,922 Ω ൌ 29,22 ݇Ω
În figurile2.4.a), 2.4.b) și 2.4.c)sunt prezentate schema electric ă a filtrului trece-jos,
răspunsul în frecven ță al filtrului reprezantat prin caracteristicile amplitudine-frecven ță și fază-
frecvență, respectiv stabilitatea filtrulu i, realizate în software-ul de simulare TINA, produs de
Texas Instruments.

Fig 2.4 : a) Schema electric ă a unui filtru trece-jos de tip Butterworth cu câ știg unitar; J2 J1J1
J1
J1J1
J1
J1J2
J2
J2J2
J2
J2Rg 10k
Rq 10kR 10kR2 10k
Rg 10kR3 10k
R1 6.23kR 10kC 16n C 16n
R2' 10kRq 10kR1' 29.2kC' 16n C' 16n
R' 10k
R' 10kR3' 10k 15
15+
5
V – TJ-
++ 32
674 LM741 –
++ 32
674 LM741 –
++ 32
674 LM741
–
++ 32
674 LM741 –
++ 32
674 LM741 –
++ 32
674 LM741

17 
 
b) Răspunsul în frecven ță;

c) Stabilitatea filtrului
2.2.2 Exemplu de filtru trece-jos
Se va proiecta un filtru trece-jos de tip Chebyshev cu un câ știg de 5 pentru care se cunosc :
ܣ௠௔௫ ൌ3 ܤ݀ ,ܣ௠௜௡ ൌ 35 ܤ݀ , ݂௦ൌ2 ݖܪ݇ ,݂ଵൌ1 ݊,ݖܪ݇ ൌ4
Alegem:

18 
 ܴ௡ൌܴ ௚௡ൌܴ ௤௡ൌ1 Ω
ܥ௡ൌ1 ܨ
ܭଵൌܭ ଶൌ√ܭൌ√5ൌ 2,236
ܴଷ௡ൌܭ ଵൌ 2,236 Ω
Primul etaj de amplificare :
ܽ ൌ 0,411
ܾ ൌ 0,196
ܴଶ௡ൌ ܭܾ ൌ 0,196 כ 2,236 ൌ 0,438 Ω
ܴଵ௡ൌ1൅ ሺ1൅ܭ ሻܾ
ܽെ1ൌ1,634
0,411െ 1 ൌ 2,976 Ω
Al doilea etaj de amplificare :
ܽ ൌ 0,170
ܾ ൌ 0,903
ܴଶ௡ൌ ܭܾ ൌ 0,903 כ 2,236 ൌ 2,019 Ω
ܴଵ௡ൌ1൅ ሺ1൅ܭ ሻܾ
ܽെ1ൌ3,922
0,170െ 1 ൌ 22,071 Ω
Denormalizarea :
ܨܵܫ ൌ 10ସ
ܨܵܨ ൌ߱ଵ
߱௡ൌ2 כߨ1 0ଷ
ܴൌܴ ௚ൌܴ ௤ൌܴכܨܵܫ ௡ൌ1 0ସכ 1 Ω ൌ 10 ݇Ω
ܥൌܥ௡
ܨܵܨכܨܵܫ ൌ1
2כߨ 10଻ൌ 15,92 ܨ݊
ܴଷൌܴכܨܵܫ ଷ௡ൌ1 0ସכ 2,236 Ω ൌ 22,36 ݇Ω
Primul etaj :
ܴଵൌܴכܨܵܫ ଵ௡ൌ1 0ସכ 2,976 Ω ൌ 29,76 ݇Ω
ܴଶൌܴכܨܵܫ ଶ௡ൌ1 0ସכ 0,438 Ω ൌ 4,38 ݇Ω
Al doilea etaj :

19 
 ܴଵൌܴכܨܵܫ ଵ௡ൌ1 0ସכ 22,071 Ω ൌ 220,71 ݇Ω
ܴଶൌܴכܨܵܫ ଶ௡ൌ1 0ସכ 2,019 Ω ൌ 20,2 ݇Ω

Fig. 2.5 : a) Schema electric ă a unui filtru trece-jos de tip Chebyshev cu câ știg de 5;

b) Răspunsul în frecven ță; J2 J1J1
J1
J1J1
J1
J1J2
J2
J2J2
J2
J2Rg 10k
Rq 10kR 10kR2 4.38k
Rg 10kR3 22.4k
R1 29.8kR 10kC 16n C 16n
R2' 20.2kRq 10kR1' 220.7kC' 16nC' 16n
R' 10k
R' 10kR3' 22.4k 15
15+
1
V – TJ 2-
++ 32
674 LM741 –
++ 32
674 LM741 –
++ 32
674 LM741
–
++ 32
674 LM741 –
++ 32
674 LM741 –
++ 32
674 LM741
T Gain (dB)
-200.00-100.000.00100.00
Frequency (Hz)10 100 1k 10k 100kPhase [deg]
-400.00-300.00-200.00-100.000.00

20 
 
c) Stabilitatea filtrului
2.3 Filtrul Trece-Sus
Din ecuațiile (2.2) și (2.3), rezult ă :
ܸ௅௉ൌെଵ
௦ோ஼ቀെଵ
௦ோ஼ܸு௉ቁൌଵ
௦మோమ஼మܸு௉ (2.17)
Iar din ecua țiile (2.1), (2.2) și (2.17), avem :
ܸு௉ൌെܴଶ
ܴଷכ1
ݏଶܴଶܥଶܸு௉െܴଶ
ܴ௚ܸ௜െܴ௤
ܴ௤൅ܴ ଵቆ1 ൅ܴଶ
ܴଷ൅ܴଶ
ܴ௚ቇ1
ܥܴݏܸு௉
ܸு௉ቈ1൅ܴଶ
ܴଷכ1
ݏଶܴଶܥଶ൅ܴ௤
ܴ௤൅ܴ ଵቆ1 ൅ܴଶ
ܴଷ൅ܴଶ
ܴ௚ቇ1
ܥܴݏ቉ൌെܴଶ
ܴ௚ܸ௜
ܸு௉ൌቈݏଶܴଶܥଶ൅ܴ௤
ܴ௤൅ܴ ଵቆ1 ൅ܴଶ
ܴଷ൅ܴଶ
ܴ௚ቇܥܴݏ ൅ܴଶ
ܴଷ቉ൌെܴଶ
ܴ௚ݏଶܴଶܥଶܸ௜
ܪு௉ൌܸு௉
ܸ௜ൌെோమ
ோ೒ݏଶܴଶܥଶ
ݏଶܴଶܥଶ൅ோ೜
ோ೜ାோభ൬1൅ோమ
ோయ൅ோమ
ோ೒൰ܥܴݏ ൅ோమ
ோయ
ܪு௉ൌെோమ
ோ೒ݏଶ
ݏଶ൅ோ೜
ோ೜ାோ భ൬1൅ோమ
ோయ൅ோమ
ோ೒൰ଵ
ோ஼ݏ൅ோమ
ோయଵ
ோమ஼మ

21 
 ܪு௉ൌെ௄௦మ
௦మା௔௦ା௕ (2.18)
Unde :
ܾൌ߱ଶଶൌோమ
ோయଵ
ோమ஼మ (2.19)
ܽൌோ೜
ோ೜ାோభ൬1൅ோమ
ோయ൅ோమ
ோ೒൰ଵ
ோ஼ (2.20)
Pentru s → ∞, avem :
ܭൌܪ ு௉ሺ∞ሻൌோమ
ோ೒ (2.21)
Proiectarea filtrului :
Pentru normalizarea filtrului, avem :
ܴ௡ൌܴ ௚௡ൌܴ ௤௡ൌ1 Ω (2.22)
Putem demonstra u șor că :
ܴଶ௡ൌܭ( 2.23)
ܴଷ௡ൌܭܾ ( 2.24)
ܴଵ௡ൌଵା௕ሺ௄ାଵሻ
௔െ1 (2.25)
2.3.1 Exemplu de filtru trece-sus
Se va proiecta un filtru trece-sus de tip Butterworth cu câ știg unitar pentru care se cunosc :
ܣ௠௔௫ ൌ3 ܤ݀ , ݂ଶൌ 100 ݖܪ  
ܣ௠௜௡ ൌ 40 ܤ݀,  ݂௦ൌ 28, 6 ݖܪ  
Pentru aceste date, ordinul filtrului este n=4
Alegem :
ܴ௤௡ൌܴ ௚௡ൌܴ ௡ൌ1 Ω 
ܥ௡ൌ1 ܨ 
ܴଶ௡ൌ√ܭൌ1 Ω 
Primul etaj de amplificare :
ܽ ൌ 1,848  
ܾ ൌ 1,000

22 
 ܴଵ௡ൌ1൅ܾ ሺܭ൅1 ሻ
ܽെ1ൌ1൅2
1,848െ 1 ൌ 0,623 Ω  
ܴଷ௡ൌܭܾ ൌ1 Ω  
Al doilea etaj de amplificare :
ܽ ൌ 0,765  
ܾ ൌ 1,000  
ܴଵ௡ൌ1൅ܾ ሺܭ൅1 ሻ
ܽെ1ൌ3
0,765െ 1 ൌ 2,922 Ω  
ܴଷ௡ൌܭܾ ൌ1 Ω  
Denormalizarea :
ܨܵܫ ൌ 10ସ 
ܨܵܨ ൌ߱ଶ
߱௡ൌ2 ݂ߨ ଶൌ 2כߨ 100 ൌ 200ߨ  
ܥൌܥ௡
ܨܵܫ ൈ ܨܵܨൌ1
2כߨ 10଺ൌ 0,159 μܨ  
ܴଶൌܨܵܫ ൈܴ ଶ௡ൌ 10 ݇Ω 
Primul etaj :
ܴଵൌܨܵܫ ൈܴ ଵ௡ൌ1 0ସכ 0,623 ݇Ω ൌ 6,23 ݇Ω  
ܴଷൌܨܵܫ ൈܴ ଷ௡ൌ1 0ସכ 1 Ω ൌ 10 ݇Ω  
Al doilea etaj :
ܴଵൌܨܵܫ ൈܴ ଵ௡ൌ1 0ସכ 2,292 ݇Ω ൌ 29,22 ݇Ω  
ܴଷൌܨܵܫ ൈܴ ଷ௡ൌ1 0ସכ 1 Ω ൌ 10 ݇Ω

23 
  
Fig. 2.6 : a) Schema electric ă a unui filtru trece-sus de tip Butterworth cu câ știg unitar;
 
b) Răspunsul în frecven ță; J2 J1J1
J1
J1J1
J1
J1J2
J2
J2J2
J2
J2Rg 10k
Rq 10kR 10kR2 10k
Rg 10kR3 10k
R1 6.2kR 10kC 160n C 160n
R2' 10kRq 10kR1' 29.2kC' 160n C' 160n
R' 10k
R' 10kR3' 10k
15
15+
5
V – TS-
++ 32
674 LM741 –
++ 32
674 LM741 –
++ 32
674 LM741
–
++ 32
674 LM741 –
++ 32
674 LM741 –
++ 32
674 LM741

24 
  
 
c) Stabilitatea filtrului
2.3.2 Exemplu de filtru trece-sus
Se va proiecta un filtru trece-sus de tip Chebyshev cu câ știg de 5 pentru care se cunosc :
ܣ௠௔௫ ൌ3 ܤ݀ ,ܣ௠௜௡ ൌ 40 ܤ݀ , ݂ଶൌ 100 ݖܪ , ݂௦ൌ 40 ݖܪ
Pentru aceste valori or idinul filtrului n = 4
Alegem :
ܭൌ √5
ܴ௡ൌܴ ௚௡ൌܴ ௤௡ൌ1 Ω
ܥ௡ൌ1 ܨ
Primul etaj de amplificare :
ܽ ൌ 0,411
ܾ ൌ 0,196
ܴଵ௡ൌ1൅ܾ ሺ 1൅ܭ ሻ
ܽെ1ൌ1 ൅ 0,196 כ 3,236
0,411െ 1 ൌ 2,976 Ω
ܴଶ௡ൌ ܭ ൌ 2,236 Ω
ܴଷ௡ൌ ܭܾ ൌ 0,196 כ 0,2,236 ൌ 0,438 Ω
Al doilea etaj de amplificare : T
Real part-1.00 0.00 1.00 2.00Imaginary part
-400.00m-200.00m0.00200.00m400.00m600.00m800.00m1.00

25 
 ܽ ൌ 0,170
ܾ ൌ 0,903
ܴଵ௡ൌ1 ൅ 0,903 כ 3,236
0,170െ 1 ൌ 22,071 Ω
ܴଶ௡ൌ 2,236 Ω
ܴଷ௡ൌ 0,903 כ 2,236 ൌ 2,019 Ω
Denormalizarea :
ܨܵܫ ൌ 10ସ
ܨܵܨ ൌ߱ଶ
߱௡ൌ2 ݂ߨ ଶൌ 2כߨ 100
ܴൌܴ ௚ൌܴ ௤ൌ 10 ݇Ω
ܥൌܥ௡
ܨܵܨכܨܵܫ ൌ1
2כߨ 10଺ൌ 0,16 μF
ܴଶൌܴכܨܵܫ ଶ௡ൌ1 0ସכ 2,236 Ω ൌ 22,4 ݇Ω
Primul etaj :
ܴଵൌܴכܨܵܫ ଵ௡ൌ1 0ସכ 2,976 Ω ൌ 29,8 ݇Ω
ܴଷൌܴכܨܵܫ ଷ௡ൌ1 0ସכ 0,438 Ω ൌ 4,38 ݇Ω
Al doilea etaj :
ܴଵൌܴכܨܵܫ ଵ௡ൌ1 0ସכ 22,071 Ω ൌ 220,7 ݇Ω
ܴଷൌܴכܨܵܫ ଷ௡ൌ1 0ସכ 2,019 Ω ൌ 20,2 ݇Ω

26 
 
Fig. 2.7 : a) Schema electric ă a unui filtru trece-sus de tip Chebyshev cu câ știg de 5;

b) Răspunsul în frecven ță; J2 J1J1
J1
J1J1
J1
J1J2
J2
J2J2
J2
J2Rg 10k
Rq 10kR 10kR2 22.4k
Rg 10kR3 4.38k
R1 29.8kR 10kC 160n C 160n
R2' 22.4kRq 10kR1' 220.7kC' 160n C' 160n
R' 10k
R' 10kR3' 20.2k
15
15+
5
V – TS 2-
++ 32
674 LM741 –
++ 32
674 LM741 –
++ 32
674 LM741
–
++ 32
674 LM741 –
++ 32
674 LM741 –
++ 32
674 LM741
T Gain (dB)
-90.00-75.00-60.00-45.00-30.00-15.000.0015.0030.00
Frequency (Hz)10 100 1k 10kPhase [deg]
-400.00-300.00-200.00-100.000.00

27 
 
c) Stabilitatea filtrului
2.3.3 Exemplu de filtru trece-band ă
Se va proiecta un filtru trece-band ă de tip Butterworth cu câ știg unitar pentru care se cunosc :
ܣ௠௔௫ ൌ3 ܤ݀ de la o frecventa de 300 pana la 3 kHz
ܣ௠௜௡ ൌ 30 ܤ݀ de la frecvente sub 50 Hz si peste 18 kHz
Prima oar ă separăm în 2 filtre individuale specifice, unul trece-jos și unul trece-sus :
(a) Filtrul trece-jos unde :
ܣ௠௔௫ ൌ 3 ܣ ,ܤ݀ ௠௜௡ ൌ 30 ܤ݀ , ݂௦ൌ 18 ݖܪ݇ , ݂ଵൌ3 ݖܪ݇ ,݊ൌ2
Alegem :
ܽ ൌ 1,414
ܾ ൌ 1,000
ܴ௡ൌܴ ௚௡ൌܴ ௤௡ൌܴ ଷ௡ൌ1 Ω
ܴଶ௡ൌܭܾ ൌ1כ1ൌ1 Ω
ܴଵ௡ൌ1൅ܾ൅ܭܾ
ܽെ1ൌ3
ܽെ1ൌ3
1,414െ 1 ൌ 1,122 Ω

T
Real part-8.00 -6.00 -4.00 -2.00 0.00 2.00 4.00 6.00 8.00Imaginary part
-6.00-4.00-2.000.002.004.006.008.00

28 
 Denormalizare :
ܨܵܫ ൌ 10ସ
ܨܵܨ ൌ߱ଵ
߱௡ൌ2 ݂ߨ ଵൌ 2כߨ 3000 ൌ 6כߨ 10ଷ
ܴൌܴ ௚ൌܴ ௤ൌܴ ଶൌܴ ଷൌܴכܨܵܫ ௡ൌ1 0ସכ 1 Ω ൌ 10 ݇Ω
ܴଵൌܴכܨܵܫ ଵ௡ൌ1 0ସכ 1,122 Ω ൌ 11,2 Ω
(b) Filtrul trece-sus unde :
ܣ௠௔௫ ൌ3 ܤ݀ ,ܣ௠௜௡ ൌ 30 ܤ݀ , ݂ଶൌ 300 ݖܪ , ݂௦ൌ 50 ݖܪ , ݊ൌ2
Denormalizare :
ܨܵܫ ൌ 10ସ
ܨܵܨ ൌ߱ଶ
߱௡ൌ2݂ߨ ଶ
1ൌ 2כߨ 300 ൌ 6כߨ 10ଶ
ܥൌܥ௡
ܨܵܨכܨܵܫ ൌ1
6כߨ 10ଶൌ 5,31 ܨ݊

Fig. 2.8 : a) Schema electric ă a unui filtru trece-band ă de tip Butterworth cu câ știg unitar; J2 J1J1
J1
J1J1
J1
J1J2
J2
J2J2
J2
J2Rg 10k
Rq 10kR 10kR2 10k
Rg 10kR3 10k
R1 11.2kR 10kC 5.3n C 5.3n
R2' 10kRq 10kR1' 11.2kC' 53.1n C' 53.1n
R' 10k
R' 10kR3' 10k
15
15+
5
V – TB-
++ 32
674 LM741 –
++ 32
674 LM741 –
++ 32
674 LM741
–
++ 32
674 LM741 –
++ 32
674 LM741 –
++ 32
674 LM741

29 
 
b) Răspunsul în frecven ță;

c) Stabilitatea filtrului
T
Real part-200.00m 0.00 200.00m 400.00m 600.00m 800.00m 1.00Imaginary part
-800.00m-600.00m-400.00m-200.00m0.00200.00m400.00m600.00m800.00m

30 
 2.3.4 Exemplu de filtru opre ște-bandă
Se va proiecta un filtru opreste-banda de band ă largă de tip Butterworth cu un câ știg de 5
pentru care se cunosc :
ܣ௠௔௫ ൌ3 ܤ݀ la o frecventa de 100 si la 1 kHz
ܣ௠௜௡ ൏ 20 ܤ݀ de la frecvente sub 500 Hz si peste 360 Hz
Prima oar ă separăm în 2 filtre individuale specifice, unul trece-jos și unul trece-sus :
(a) Filtrul trece-jos unde :
ܣ௠௔௫ ൌ3 ܤ݀ ,ܣ௠௜௡ ൌ 20 ܤ݀ , ݂ଶൌ 500 ݖܪ , ݂௦ൌ 100 ݖܪ , ݊ൌ2
Alegem :
ܽ ൌ 1,414
ܾ ൌ 1,000
Pentru K = 1, avem :
ܴଷ௡ൌ ܭ ൌ 1 Ω , ܴ ଶ௡ൌܭܾ ൌ1 Ω
ܴଵ௡ൌ1൅ܾ൅ܭܾ
ܽെ1ൌ3
ܽെ1ൌ3
1,414െ 1 ൌ 1,122 Ω
Denormalizare :
ܨܵܫ ൌ 10ସ
ܨܵܨ ൌ߱ଵ
߱௡ൌ2 ݂ߨ ଵൌ 2כߨ 100
ܥൌܥ௡
ܨܵܨכܨܵܫ ൌ1
2כߨ 10଺ൌ 0,159 μܨ
ܴൌܴ ௚ൌܴ ௤ൌܴ ଷൌܴ ଶൌܴכܨܵܫ ௡ൌ1 0ସכ 1 Ω ൌ 10 ݇Ω
ܴଵൌܴכܨܵܫ ଵ௡ൌ1 0ସכ 1,122 Ω ൌ 11,22 ݇Ω
(b) Filtrul trece-sus :
Denormalizare :
ܨܵܫ ൌ 10ସ, ܨܵܨ ൌ߱ଶ
߱௡ൌ2 ݂ߨ ଶൌ2 כߨ1 0ଷ

31 
 ܥൌ௖೙
ூௌிכிௌிൌଵ
ଶగכଵ଴ళൌ 15,9 ܨ݊

Fig. 2.9 : a) Schema electric ă a unui filtru opre ște-bandă de bandă largă tip Butterworth cu câ știg de 5
J1
J2
J1
J2
J1
J2J1
J2
J1
J2
J1
J2
J1
J2
J2 J1R2 10kR3 10k
C 160n
R 10kC 160n
R 10k
R1 11.2kRq 10k
R1' 11.2kRq 10kR' 10kR2' 10kC' 16n
R' 10kC' 16nR3' 10kRg 10k
Rg 10k+
5R 10kR 50k
R 10kV – OB-
++ 32
674 LM741 –
++ 32
674 LM741 –
++ 32
674 LM741 –
++ 32
674 LM741
–
++ 32
674 LM741 –
++ 32
674 LM741 –
++ 32
674 LM741
15
15

32 
 
b) Răspunsul în frecven ță;

c) Stabilitatea filtrului
2.4 Filtrul Trece-Band ă de bandă îngustă
Din ecuațiile (2.1), (2.2) și (2.3), rezult ă :
െܸܥܴݏ ஻௉ൌെܴଶ
ܴଷ൬െ1
ܥܴݏ்ܸ஻൰െܴଶ
ܴ௚ܸ௜െܴ௤
ܴ௤൅ܴ ଵቆ1 ൅ܴଶ
ܴଷ൅ܴଶ
ܴ௚ቇܸ ஻௉
ቈܥܴݏ ൅ܴଶ
ܴଷ1
ܥܴݏ൅ܴ௤
ܴ௤൅ܴ ଵቆ1 ൅ܴଶ
ܴଷ൅ܴଶ
ܴ௚ቇ቉ܸ஻௉ൌܴଶ
ܴ௚ܸ௜
T
Real part-1.00m -800.00u -600.00u -400.00u -200.00u 0.00 200.00u 400.00uImaginary part
-800.00u-600.00u-400.00u-200.00u0.00200.00u400.00u600.00u800.00u

33 
 ቈݏଶܴଶܥଶ൅ܴ௤
ܴ௤൅ܴ ଵቆ1 ൅ܴଶ
ܴଷ൅ܴଶ
ܴ௚ቇܥܴݏ ൅ܴଶ
ܴଷ቉ܸ஻௉ൌܴଶ
ܴ௚ܸܥܴݏ ௜
ܪ஻௉ሺݏሻൌܸ஻௉
ܸ௜ൌோమ
ோ೒ܥܴݏ
ݏଶܴଶܥଶ൅ோ೜
ோ೜ାோభ൬1൅ோమ
ோయ൅ோమ
ோ೒൰ܥܴݏ ൅ோమ
ோయ
ܪ஻௉ൌோమ
ோ೒ܥܴݏ
ܴଶܥଶ൤ݏଶ൅ோ೜
ோ೜ାோభ൬1൅ோమ
ோయ൅ோమ
ோ೒൰ଵ
ோ஼ݏ൅ோమ
ோయଵ
ோమ஼మ൨
ܪ஻௉ൌೃమ
ೃ೒భ
ೃ಴௦
௦మାೃ೜
ೃ೜శೃభ൬ଵାೃమ
ೃయାೃమ
ೃ೒൰భ
ೃ಴௦ାೃమ
ೃయభ
ೃమ಴మ (2.26)
Dacăînlocuim :
߱଴ଶൌܴଶ
ܴଷ1
ܴଶܥଶ
߱଴ൌටೃమ
ೃయ
ோ஼ (2.27)
Alegem :
ܪ஻௉ൌோమ
ோ೒ଵ
ோ஼ݏ
ݏଶ൅ோ೜
ோ೜ାோభ൬1൅ோమ
ோయ൅ோమ
ோ೒൰ଵ
ோ஼ݏ൅߱଴ଶ
ܪ஻௉ൌோమ
ோ೒ଵ
ఠబோ஼ቀ௦
ఠబቁ
ቀ௦
ఠబቁଶ
൅ோ೜
ோ೜ାோభ൬1൅ோమ
ோయ൅ோమ
ோ೒൰ଵ
ఠబோ஼ቀ௦
ఠబቁ൅1
Dacă punem :
ܽൌோ೜
ோ೜ାோభ൬1൅ோమ
ோయ൅ோమ
ோ೒൰ଵ
ఠబோ஼ (2.28)
Avem :
ܪ்஻ൌೃమ
ೃ೒భ
ഘబೃ಴ቀೞ
ഘబቁ
ቀೞ
ഘబቁమ
ା௔ቀೞ
ഘబቁାଵ (2.29)
Pentru ݏൌ݆߱ ଴, din ecua țiile (2.27) și (2.26), rezult ă :

34 
 ܭൌோమ
ோ೒ଵ
ఠబோ஼
ோ೜
ோ೜ାோ భ൬1൅ோమ
ோయ൅ோమ
ோ೒൰ଵ
ఠబோ஼
ܭൌೃమ
ೃ೒
ೃ೜
ೃ೜శೃభ൬ଵାೃమ
ೃయାೃమ
ೃ೒൰ (2.30)
Proiectarea filtrului :
Pentru filtrul normalizat, ߱଴ൌ 1 ݏ/݀ܽݎ iar :
ܴൌܴ ௚ൌܴ ଶൌ1 Ω (2.31)
ܥൌ1 ܨ( 2.32)
Din ecuațiile (2.25),(2.26) și (2.28), deducem :
ܴଷൌ1 Ω (2.33)
ߙൌ3ܴ ௤
ܴ௤൅ܴ ଵ
ܴ௤൅ܴ ଵൌ3ܴ ௤
ܽൌ3 ܴܳ ௤
ܴଵൌሺ 3 ܳെ1 ሻ ܴ ௤ (2.34)
Din ecuațiile (2.28) și (2.32), rezult ă :
ܭൌ1
ଷோ೜
ோ೜ାሺଷொିଵሻோ ೜ൌ1൅3 ܳെ1
3
ܭൌܳ( 2.35)
2.4.1 Exemplu de filtru Trece-Band ă de bandă îngustă
Se va proiecta un filtru trece-band ă de bandă îngustă pentru care se cunosc :
݂௖ൌ1 ݖܪ݇
ܳൌ4 0
ܴ௡ൌܴ ௚௡ൌܴ ௤௡ൌܴ ଶ௡ൌܴ ଷ௡ൌ1 Ω
ܥ௡ൌ1 ܨ
ܴଵ௡ൌሺ3ܳ െ 1 ሻܴ௤௡ൌ 119ܴ ௤௡ൌ 119 Ω

35 
 ܭൌܳൌ4 0 sau 32 dB
Denormalizarea :
ܨܵܫ ൌ 10ସ
ܨܵܨ ൌ߱଴
߱௡ൌ2 ݂ߨ ଴ൌ2 כߨ1 0ଷ
ܴൌܴ ௚ൌܴ ௤ൌܴ ଶൌܴ ଷൌܴכܨܵܫ ௡ൌ1 0ସכ 1 Ω ൌ 10 ݇Ω
ܴଵൌܴכܨܵܫ ଵ௡ൌ1 0ସכ 119 Ω ൌ 119 ݇Ω
ܥൌܥ௡
ܨܵܨכܨܵܫ ൌ1
2כߨ 10଺ൌ 0,159 μܨ

Fig. 2.10 : a) Schema electric ă a unui filtru trece-band ă de bandă îngustă pentru Q = 40;
J1
J2
J1
J2
J1
J2
J2 J1-
++ 32
674 LM741 –
++32
674 LM741 –
++ 32
674 LM741R2 10kC 16n
R 10kC 16n
R 10k
R1 119kRq 10kRg 10k+
5R3 10k 15
15V – TB

36 
 
b) Răspunsul în frecven ță;

c) Stabilitatea filtrului
2.4.2 Exemplu de filtrul Trece-Band ă de bandă îngustă
Se va proiecta un filtru Notch cu o frecven ță centrală de 100 Hz pentru care se cunosc :
ܭൌܳൌ2 5
T
Real part-1.00 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00Imaginary part
-3.00-1.500.001.503.00

37 
 ܴ௡ൌܴ ௚௡ൌܴ ௤௡ൌܴ ଶ௡ൌܴ ଷ௡ൌ1 Ω
ܥ௡ൌ1 ܨ
ܴଵ௡ൌሺ3ܳ െ 1 ሻܴ௤௡ൌ7 4ܴכ ௤௡ൌ 74 Ω
Demormalizarea :
ܨܵܫ ൌ 10ସ
ܨܵܨ ൌ߱଴
߱௡ൌ2 ݂ߨ ଴ൌ2 כߨ1 0ଶ
ܴൌܴ ௚ൌܴ ௤ൌܴ ଶൌܴ ଷൌܴכܨܵܫ ௡ൌ1 0ସכ 1 Ω ൌ 10 ݇Ω
ܴଵൌܴכܨܵܫ ଵ௡ൌ1 0ସכ 74 Ω ൌ 740 ݇Ω
ܥൌܥ௡
ܨܵܨכܨܵܫ ൌ1
2כߨ 10଺ൌ 0,159 μܨ

Fig. 2.11 : a) Schema electric ă a unui filtru Notch pentru Q = 25; J1
J2
J1
J2
J1
J2
J2 J1
J1
J2-
++ 32
674 LM741 –
++ 32
674 LM741 –
++ 32
674 LM741R2 10kC 160n
R 10kC 160n
R 10k
R1 119kRq 10kRg 10k+
5R3 10k 15
15V – TB –
++ 32
674 LM741R 10k R 10k
R4 10k

38 
 
b) Răspunsul în frecven ță;

c) Stabilitatea filtrului

T
Real part0.00 250.00m 500.00m 750.00m 1.00Imaginary part
-500.00m-250.00m0.00250.00m500.00m

39 
 

Filtre biquad
 
Filtrul ilustreaz ă o caracteristic ă particular ă important ă, lățimea de band ă constantă. Ieșirea
de tip trece-band ă a filtrului variabil de stare are o constant ă Q deoarece frecven ța centrală
variază. Aceasta face ca l ățimea de band ă să se îngusteze la frecven țe mai joase sau mai înalte.
Filtrul biquad, aparent foarte asem ănător cu filtrul variabil de stare, are o l ățime de band ă fixă
indiferent de frecven ța centrală.
Acest tip de filtru este folositor în diferite tipuri de aplica ții practice, cum ar fi :
• Analizoare de spectru (care necesit ă un filtru cu o la țime de band ă fixă);
• Aplicații în telefonie (unde este necesar un grup de canale cu l ățimi de band ă
absolut identice la diferite frecven țe centrale);
Frecvența centrală este ușor reglabil ă prin simpla modificare a valorii rezisten ței ܴ௙. De
asemenea, valoarea Q poate fi modificat ă prin schimbarea valorii rezisten ței ܴ௤, iar câștigul
filtrului poate fi modificat prin schimbarea valorii rezisten ței ܴ௚. Filtrele de tip biquad sunt
capabile s ă atingă valori mari ale lui Q, în vecin ătatea lui 100, și contruiesc o re țea mult mai
stabilă comparativ cu filtrele trece-band ă din capitolul anterior.

Fig. 3.1 : Configura ția de bază a unui filtru biquad
3

40 
 Din figura 3.1 reies formulele :
ܸ஻௉ൌെ௓
ோ೒ܸ௜െ௓
ோ೑ܸ௅௉ (3.1)
ܸଵൌെ ܸ ஻ (3.2)
ܸ௅௉ൌെଵ
௦ோ೑஼೑ܸଵ (3.3)
ܻൌଵ
௓ൌଵ
ோ೜൅ܥݏ ௙ൌଵା௦ோ ೜஼೑
ோ೜ (3.4)
3.1 Filtrul Trece-Band ă de bandă îngustă
Din ecuațiile (3.2) și (3.3), rezult ă :
ܸ௅௉ൌെଵ
௦ோ೑஼೑ሺെܸ ஻௉ሻൌଵ
௦ோ೑஼೑ܸ஻௉ (3.5)
Din ecuațiile (3.1) și (3.5), rezult ă :
ܸ஻௉ൌെܼ
ܴ௚ܸ௜െܼ
ܴ௙כ1
ܴݏ௙ܥ௙ܸ஻௉
ܸ஻௉ቆ1 ൅ܼ
ܴݏ௙ଶܥ௙ቇൌെܼ
ܴ௚ܸ௜
ܸ஻௉1൅ܴݏ ௙ଶܥ௙ܼ
ܴݏ௙ଶܥ௙ൌെܼ
ܴ௚ܸ௜
ܪ஻௉ൌܸ஻௉
ܸ௜ൌെܴݏ௙ଶܥ௙ܼ
ܴ௚ሺܴݏ௙ଶܥ௙൅ܼ ሻൌെܴݏ௙ଶܥ௙
ܴ௚൬1൅௦ோ೑మ஼೑
௓൰
ܪ஻௉ൌെ௦ோ೑మ஼೑
ோ೒
1൅ܴݏ ௙ଶܥ௙ଵା௦ோ ೜஼೑
ோ೜
ܪ஻௉ൌെ௦ோ೑మ஼೑ோ೜
ோ೒
ܴ௤൅ܴݏ ௙ଶܥ௙ሺ1 ൅ ܴݏ ௤ܥ௙ሻ
ܪ஻௉ൌെ௦ோ೑మ஼೑ோ೜
ோ೒
ݏଶܴݏ௙ଶܴ௤ܥ௙ଶ൅ܴݏ ௙ଶܥ௙൅ܴ ௤

41 
 ܪ஻௉ൌെଵ
ோ೒஼೑ݏ
ݏଶ൅ଵ
ோ೜஼೑ݏ൅߱଴ଶ
Unde avem :
߱଴ൌଵ
ோ೑஼೑ (3.6)
ܪ஻௉ൌെభ
ഘబೃ೒಴೑ቀೞ
ഘబቁ
ቀೞ
ഘబቁమ
ାభ
ೂቀೞ
ഘబቁାଵ (3.7)
Înlocuim :
ܳൌ߱ ଴ܴ௤ܥ௙ (3.8)
Pentru ݏൌ݆߱ ଴, ecuația (3.7) devine :
ܭൌܪ ஻௉ሺ߱଴ሻൌെଵ
ఠబோ೒஼೑
ଵ
ఠబோ೜஼೑
ܭൌെோ೜
ோ೒ (3.9)
Proiectarea filtrului :
Din ecuația (3.6), avem :
ܴ௙ൌଵ
ఠబ஼೑ (3.10)
Din ecuațiile (3.8) și (3.10), rezult ă :
ܴ௤ൌொ
ఠబ஼೑ൌܴܳ ௙ (3.11)
Iar din ecua ția (3.9) :
ܴ௚ൌோ೜
௄ (3.12)
Din ecuația (3.11), avem :
ܳൌோ೜
ோ೑ (3.13)
Dar :

42 
 ܹܤ ൌ߱଴
ܳ
În urma unei examin ări atente a lui Q, reiese faptul c ă la creșterea valorii rezisten ței ܴ௙
(pentru o frecven ță centrală mică, ecuația (3.9)), Q scade, p ăstrând lățimea de band ă constantă
după cum era de a șteptat. Acest tip de reglare este satisf ăcător peste dou ă până la trei decade.
Pentru filtrul normalizat :
߱଴ൌ 1 ݏ/݀ܽݎ
Și :
ܥ௙ൌ1 ܨ( 3.14)
Iar din ecua ția (3.10), avem :
ܴ௙ൌ1 Ω (3.15)
Din ecuația (3.11), reiese :
ܴ௤ൌܳ( 3.16)
Iar din ecua țiile (3.13) și (3.16) :
ܴ௚ൌொ
௄ (3.17)
3.1.1 Exemplu de filtrul Trece-Band ă de bandă îngustă
Se va proiecta un filtru trece-band ă de bandă îngustă pentru care se cunosc :
ܭൌ5
ܳൌ5 0
݂଴ൌ1 ݖܪ݇
ܴ௡ൌܴ ௙௡ൌ1 Ω
ܥ௡ൌ1 ܨ
ܴ௤௡ൌܳൌ5 0 Ω
ܴ௚௡ൌܴ௤௡
ܭൌܳ
ܭൌ50
5ൌ 10 Ω
Denormalizarea :

43 
 ܨܵܫ ൌ 10ସ
ܨܵܨ ൌ߱଴
߱௡ൌ2 ݂כߨ ଴ൌ2 כߨ1 0ଷ
ܴൌܴ ௙ൌܴכܨܵܫ ௡ൌ1 0ସכ 1 Ω ൌ 10 ݇Ω
ܴ௚ൌܴכܨܵܫ ௚௡ൌ1 0ସכ 10 Ω ൌ 100 ݇Ω
ܴ௤ൌܴכܨܵܫ ௤௡ൌ1 0ସכ 50 Ω ൌ 500 ݇Ω
ܥൌܥ௡
ܨܵܨכܨܵܫ ൌ1
2כ1 0଻ൌ 15,92 ܨ݊

Fig. 3.2 : a) Schema electric ă a unui filtru trece-band ă de bandă îngustă de tip Biquad pentru Q = 50; J1
J2
J1
J2
J1
J2
J2 J1-
++ 32
674 LM741 –
++ 32
674 LM741 –
++ 32
674 LM741Rq 500k
R 10kCf 16n
Rf 10kRg 100k+
1Rf 10k 15
15V – TBCf 16nR 10k

44 
 
b) Răspunsul în frecven ță;

c) Stabilitatea filtrului
3.2 Filtrul Trece-Jos
Din ecuația (3.5), rezult ă :
ܸ஻௉ൌܴݏ ௙ܥ௙ܸ௅௉ (3.18)
Din ecuațiile (3.1) și (3.18), avem :
ܴݏ௙ܥ௙ܸ௅௉ൌെܼ
ܴ௚ܸ௜െܼ
ܴ௙ܸ௅௉
T
Real part-4.00 -3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00Imaginary part
-1.000.001.002.003.004.00

45 
 ቆܴݏ ௙ܥ௙൅ܼ
ܴ௙ቇܸ ௅௉ൌെܼ
ܴ௚
ቈܴݏ௙ܥ௙൅ܴ௤
ܴ௙ሺ1 ൅ ܴݏ ௤ܥ௙ሻ቉ܸ௅௉ൌെܴ௤
ܴ௚ሺ1 ൅ ܴݏ ௤ܥ௙ሻܸ௜
ቈܴݏ௙ܥ௙൫1 ൅ ܴݏ ௤ܥ௙൯൅ܴ௤
ܴ௙቉ܸ௅௉ൌെܴ௤
ܴ௚ܸ௜
ቆݏଶܴ௙ܴ௤ܥ௙ଶ൅ܴݏ ௙ܥ௙൅ܴ௤
ܴ௙ቇܸ ௅௉ൌെܴ௤
ܴ௚ܸ௜
ܪ௅௉ൌܸ௅௉
ܸ௜ൌെோ೜
ோ೒
ݏଶܴ௙ܴ௤ܥ௙ଶ൅ܴݏ ௙ܥ௙൅ோ೜
ோ೑
ܪ௅௉ൌെଵ
ோ೑ோ೜஼೑మ
ݏଶ൅ଵ
ோ೜஼೑ݏ൅ଵ
ோ೑మ஼೑మ
ܪ௅௉ൌെభ
ೃ೑ೃ೒಴೑మ
௦మା௔௦ା௕ (3.19)
Unde :
ܾൌ߱ଵଶൌଵ
ோ೑మ஼೑మ (3.20)
Și :
ܽൌଵ
ோ೜஼೑ (3.21)
Pentru ݏൌ݆߱ ൌ0 , din ecua ția (3.19), reiese :
ܪ௅௉ൌܭൌെோ೑
ோ೒ (3.22)
Proiectarea filtrului :
Din ecuația (3.20), rezult ă :
ܴ௙ൌଵ
஼೑√௕ (3.23)
Din ecuația (3.21), rezult ă :
ܴ௤ൌଵ
௔஼೑ (3.24)

46 
 Iar din ecua ția (3.22) :
ܴ௚ൌோ೑
௄ (3.25)
Pentru filtrul normalizat, ߱ଵൌ 1 ݏ/݀ܽݎ , iar :
ܥ௙௡ൌ1 ܨ( 3.26)
Și :
ܴ௙௡ൌଵ
√௕ (3.27)
ܴ௤௡ൌଵ
௔ (3.28)
ܴ௤௡ൌோ೑೙
௄ൌଵ
௄√௕ (3.29)
3.2.1 Exemplu de filtru Trece-Jos
Se va proiecta un filtru trece-jos de ordinul II de tip Butterwo rth pentru care se cunosc :
݂଴ൌ1 ܼܪ݇
ܭൌ1 0
Alegem :
ܽ ൌ 1,414
ܾ ൌ 1,000
ܴ௤௡ൌ1
ܽൌ1
1,414ൌ 0,708 Ω
ܴ௚௡ൌ1
ܭ√ܾൌ1
10 כ 1ൌ0 , 1 Ω
ܴ௙௡ൌ1
√ܾൌ1
1ൌ1 Ω
Denormalizarea :
ܨܵܫ ൌ 10ସ
ܨܵܨ ൌ߱ଵ
߱௡ൌ2 ݂ߨ ଴ൌ2 כߨ1 0ଷ

47 
 ܥ௙ൌܥ௙௡
ܨܵܨכܨܵܫ ൌ1
2כߨ 10଻ൌ 15,92 ܨ݊
ܴ௤ൌܴכܨܵܫ ௤௡ൌ1 0ସכ 0,708 Ω ؆ 7,1 ݇Ω
ܴ௚ൌܴכܨܵܫ ௚௡ൌ1 0ସכ 0,1 Ω ൌ 1 ݇Ω
ܴ௙ൌܴכܨܵܫ ௙௡ൌ1 0ସכ 1 Ω ൌ 10 ݇Ω
ܴൌܴכܨܵܫ ௡ൌ1 0ସכ 1 Ω ൌ 10 ݇Ω

Fig. 3.3 : a) Schema electric ă a unui filtru trece-jos de ordinu l II de tip Butterworth cu un câ știg de 10;

b) Răspunsul în frecven ță; J1
J2
J1
J2
J1
J2
J2 J1-
++ 32
674 LM741 –
++ 32
674 LM741 –
++ 32
674 LM741Rq 7.1k
R 10kCf 16n
Rf 10kRg 1k+
1Rf 10k 15
15V – TJCf 16nR 10k
T Gain (dB)
-60.00-45.00-30.00-15.000.0015.0030.00
Frequency (Hz)10 100 1k 10k 100kPhase [deg]
-100.000.00100.00200.00

48 
 
c) Stabilitatea filtrului
3.2.2 Exemplu de filtrul Trece-Jos
Se va proiecta un filtru trece-jos de tip Chebyshev cu un câ știg de 10 pentru care se cunosc :
ܣ௠௔௫ ൌ3 ܤ݀
ܣ௠௜௡ ൌ 40 ܤ݀
݂ଵൌ1 ݖܪ݇
݂௦ൌ2 , 5 ݖܪ݇
Alegem :
݊ൌ4
ܭൌ √10ൌ 3,162
ܴ௡ൌ1 Ω
ܥ௙௡ൌ1 ܨ
Primul etaj de amplificare :
ܽ ൌ 0,411
ܾ ൌ 0,196
ܴ௤௡ൌ1
ܽൌ1
0,411ൌ 2,433 Ω T
Real part-10.00 -8.00 -6.00 -4.00 -2.00 0.00 2.00 4.00Imaginary part
-3.00-1.500.001.503.004.506.007.509.00

49 
 ܴ௚௡ൌ1
ܭ√ܾൌ1
3,162 כ √0,196ൌ 0,714 Ω
ܴ௙௡ൌ1
√ܾൌ1
√0,196ൌ 2,259 Ω
Al doilea etaj de amplificare :
ܽ ൌ 0,170
ܾ ൌ 0,903
ܴ௤௡ൌ1
ܽൌ1
0,170ൌ 5,882 Ω
ܴ௚௡ൌ1
ܭ√ܾൌ1
3,162 כ √0,903ൌ 0,333 Ω
ܴ௙௡ൌ1
√ܾൌ1
√0,903ൌ 1,052 Ω
Denormalizarea :
ܨܵܫ ൌ 10ସ
ܨܵܨ ൌ߱ଵ
߱௡ൌ2 ݂ߨ ଵൌ2 כߨ1 0ଷ
ܴൌܴכܨܵܫ ௡ൌ1 0ସכ 1 Ω ൌ 10 ݇Ω
ܥ௙ൌܥ௙௡
ܨܵܨכܨܵܫ ൌ1
2כߨ 10଻ൌ 15,92 ܨ݊
Primul etaj :
ܴ௤ൌܴכܨܵܫ ௤௡ൌ1 0ସכ 2,433 Ω ൌ 24,3 ݇Ω
ܴ௚ൌܴכܨܵܫ ௚௡ൌ1 0ସכ 0,714 Ω ൌ 7,1 ݇Ω
ܴ௙ൌܴכܨܵܫ ௙௡ൌ1 0ସכ 2,26 Ω ൌ 22,6 ݇Ω
Al doilea etaj:
ܴ௤ൌܴכܨܵܫ ௤௡ൌ1 0ସכ 5,882 Ω ൌ 58,8 ݇Ω
ܴ௚ൌܴכܨܵܫ ௚௡ൌ1 0ସכ 0,333 Ω ൌ 3,3 ݇Ω
ܴ௙ൌܴכܨܵܫ ௙௡ൌ1 0ସכ 1,052 Ω ൌ 10,5 ݇Ω

50 
 
Fig. 3.4 : a) Schema electric ă a unui filtru trece-jos de tip Chebyshev cu un câ știg de 10;

b) Răspunsul în frecven ță; J1
J2
J1
J2
J1
J2
J2 J1
J1
J2
J1
J2
J1
J2-
++ 32
674 LM741 –
++ 32
674 LM741 –
++ 32
674 LM741Rq 24.3k
R 10kCf 16n
Rf 22.6kRg 7.1k+
1Rf 22.6k 15
15V – TJ 2Cf 16nR 10k
–
++ 32
674 LM741 –
++ 32
674 LM741 –
++ 32
674 LM741Rq 58.8k
R 10kC1 16n
Rf 10.5kRg 3.3kRf 10.5k
C2 16nR 10k
T Gain (dB)
-200.00-100.000.00100.00
Frequency (Hz)1 10 100 1k 10k 100kPhase [deg]
-500.00-400.00-300.00-200.00-100.000.00

51 
 
c) Stabilitatea filtrului
T
Real part-20.00 -10.00 0.00 10.00 20.00Imaginary part
-20.00-10.000.0010.00

52 
 
Concluzii

Principalele rezultate ob ținute în cadrul cercet ărilor legate de elaborarea lucr ării de licen ță
cu titlul : Proiectarea și simularea filtrelor active variabile de stare și de tip biquad sunt :
¾ Realizarea unui studiu teoretic asupra principa lelor tipuri de filtre active, în care s-a
prezentat modelul matematic, principalii parametri de interes și răspunsul în frecven ță;
¾ Familiarizarea cu software-ul TINA TI, de simulare și proiectare a filtrelor active, produs
de Texas Instruments;
¾ Prezentarea filtrelor active variabile de star e de tip trece-jos, trece-sus, trece-band ă și
oprește-bandă, în topologie cu reac ție multipl ă, în care s-au prezentat :
o Modul de ob ținere a func ției de transfer și a răspunsului în frecven ță;
o Proiectarea și simularea unor filtre de tip Butterworth și Chebyshev, calculul
valorilor elementelor componente pentru fi ecare etaj în parte, schema electric ă,
trasarea răspunsului în frecven ță și stabilitatea filtrului plecând de la normalizarea
răspunsului în frecven ță;
¾ Proiectarea și simularea unor filtre active trece-band ă și trece-jos de tip biquad în
topologie cu reac ție multipl ă, de tip Butterworth și Chebyshev, valorile elementelor
componente fiind calculate pentru fiecare etaj în parte.

53 
 Bibliografie

1. S. A. PACTITIS, ACTIVE FILTERS Theory and Design , CRC Press is an imprint of the
Taylor & Francis Group, 2007.
2. Texas Instruments, Active Filter Design Techniques , Excerpted from Op Amps for
Everyone Literature Number: SLOD006A, 2002
3. Larry D. Paarmann, Design and Analysis of Analog Filters : A Signal Processing
Perspective, Kluwer Academic Publishers, 2001.
4. Dr. Bradley J. Bazuin, Analog and RF Filters Design Manual: A Filter Design Guide by and for 
WMU Students,  https://homepages.wmich.edu/~bazuinb/FiltersManual_RevD.pdf
5. Analog  Circuit  Design  and  Simulation   with  TINA‐TI, 
https://www.egr.msu.edu/classes/ece480/capsto ne/spring13/group03/documents/ECE480_Ap
plicationNotes_Chaoli.pdf