Proiectarea, realizarea practică și măsurarea unor incinte acustice cu [631359]

Universitatea “Politehnica” din București
Facultatea de Electronică, Telecomunicații și Tehnologia Informației

Proiectarea, realizarea practică și măsurarea unor incinte acustice cu
răspuns plat în frecvență în banda audio

Lucrare de licență
prezentat ă ca cerință parțială pentru obținerea titlului de
Inginer în domeniul Telecomunicații

Conducători științifici Absolvent: [anonimizat]. Cristian NEGRESCU Ing.Cristian SFETCU
Prof. Dr. In g. Victor POPA

BUCURE ȘTI 2018

1

2

3

Cuprins
Incinte acustice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
M asurarea r aspunsului la impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Filtre digitale. Proiectare s ,i implementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Amplicatorul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Concluzii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Bibliograe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Anexa 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Anexa 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4

Capitolul 1. Despre incinte acustice
Vom prezenta diverse congurat ,ii ale incintelor acustice.
Figura 1.1 Montarea ^ n ecran
1. Montarea ^ n ecran.
As,a cum se vede, montarea ^ n ecran este o form a simpl a de a realiza o
incint a. Panourile vor  mari ^ nc^ at s a anuleze undele directe s ,i indirecte.
Pentru redarea del a a frecvent ,elor joase, dimensiunile sunt mari av^ nd ^ n
vedere c a lungimile de und a sunt de ordinul metrilor. ^In practic a se utilizeaz a
s,i sistemul de egalizare activ a sau pasiv a pentru a se ridica nivelul frecvent ,elor
joase.
Avantajele folosirii acestui sistem:
Us,or de construit
Nu avem rezonant , a
Dezavantaje
Ecacitatea mic a pentru c a se anuleaz a und a direct a s ,i und a invers a
Obt ,inem dimensiuni mari
Nevoia unei ltr ari active s ,i pasive pentru frecvent ,ele joase
Dicil de amplasat.
Ecranul Innit
Este de dorit s a se elimine unda invers a . Prin proiectare se vrea un com-
portament de tip ecran innit pentru c a ^ n acest caz difuzorul p astreaza
propriet at ,ile s ,i dup a montarea lui ^ n incint a.Obt ,inerea acestui lucru se face
5

dac a volumul incintei este mai mare dec^ t volumul de aer echivalent V as.De
aici concluzia c a aceste solut ,ii de tip ecran innit sunt de acceptat unde avem
spat ,ii mari.
Avantaje:
Us,or de proiectat
Dezavantaje
Dicil de manevrat
E nevoie de difuzoare de putere cu membrane mari s ,i curs a X maxmare
Datorit a dimensiunilor mari trebuiesc s a e c^ t mai rigide s ,i rezistente
Figura 1.2 Incinta ^ nchis a
2. Incinta ^ nchis a
Incinta ^ nchis a este solut ,ia cea mai utilizat a s ,i se mai numes ,te s,i cu sus-
pensie acustic a. Aerul din incint a se comport a ca o rezistent ,a pentru difuzor.
Factorul de calitate este dat de dimensiunea incintei s ,i cres ,te dac a dimensi-
unea incintei scade.
Avantaje:
Sunet bun
Us,or de proiectat
In funct ,ie de destinatie se alege factorul de calitate
Impreciziile de execut ,ie afecteaz a mai put ,in performant ,ele
Dezavantaje:
Putere mai mic a dec^ t la alte tipuri Frecvent ,ele joase redate mai slab
Necesit a difuzoare cu X maxmare care sunt mai putin produse.
6

Figura 1.3 Incinta aperiodic a
3. Incinta aperiodic a
Este o varianta de incint a inchis a de unde se descarc a presiunea din inte-
rior. Prin deplasarea membrane, difuzorul creaz a o presiune ^ n incint a care
duce la ^ ntarzierea r aspunsului la semnal. Este situat ,ia incintelor cu factor
de calitate mare. Constructiv se utilizeaz a niste oricii pe placa din spate
a incintei care sunt umplute cu material absorbant s ,i astfel se elibereaz a o
parte din presiunea din interior.
Figura 1.4 Incinta cu deschidere
4. Incinta cu deschidere
Acest tip de incinte foloses ,te un tub acustic acordat in funct ,ie de unda
din spatele difuzorului, astfel incat sa o inverseze. Datorita dimensiunilor
tubului la frecvent ,e joase, unda direct a se ^ nsumeaz a cu unda invers a s ,i nu
se anuleaz a.
Avantaje:
Se coboara limita de jos a benzii
Se pot obt ,ine presiuni acustice mai mari
Se pot obtine distorsiuni mai mici prin proiectare adecvat a
Ecient ,a mai mare comparat cu incintele ^ nchise
Dezavantaje:
7

Sensibil la zgomotul de la part ,ile mecanice si poate duce la distorsiuni
si in nal deteriorarea difuzorului de jose frecvent ,e.
Proiectare laborioas a
Sensibil a la decient ,ele de execut ,ie a incintei care duc la performant ,e
slabe
Performant ,ele pot  ^ mbun at at ,ite prin folosirea in locul tuburilor acus-
tice a unui radiator pasiv
Figura 1.5 Incinta cu linie de transmisie
5. Incinta cu linie de transmisie
Se foloses ,te ca linie de transmisie o linie lung a de pan a la 3m realizat a din
lemn. Linia are1
4din lungimea de und a a frecvent ,ei de rezonant ,a a incintei.
Rolul liniei este de a inversa unda invers a.
Acest tip de incint a poate da un raspuns foarte bun la frecvent ,e joase. O
variant a de constructie a acesteia poate absorbi toat a unda din spate ceea ce
conduce la un r aspuns bun la frecvente medii si joase, dar nu la fel de bun
pentru joase.
Avantaje:
Calitate in domeniul frecvent ,elor joase
Dezavantaje:
Proiectare laborioas a
Dimensiuni mari
Puteri mici
8

Figura 1.6 Incinta trece-banda
simplu re
ex dual re
ex acordate in serie
Figura 1.7 Congurat ,ii de incinte trece-band a
6.Incinte trece-band a
Acest tip de incint a foloses ,te spat ,ii create in interiorul incintei pentru a
m ari nivelul de ies ,ire s ,i a sc adea frecvent ,a de t aiere. Are loc si o t aiere a
frecvent ,elor ^ nalte s ,i de aceea le face utilizabile in primul r^ nd pentru redarea
frecvent ,elor joase. Dimensiuni mici Printr-o proiectare adecvat a se pot t aia
frecvent ,ele ^ nalte in funct ,ie de scop. Dezavantaje Proiectare complex a si
dicil a cu folosirea tehnicii de calcul s ,i softuri speciale.
In desenele al aturate am aratat modelele cele mai r aspandite. – Incintele
trece-banda de tip simplu re
ex-dimensiuni mici s ,i r aspuns bun s ,i accept a
imprecizie de execut ,ie s,i proiectare. Utilizate in cerint ,e de ^ nalt a delitate. –
Incintele de tip dual re
ex-ecacitate mai mare s ,i r aspuns mai slab, sensibile
la erori de execut ,ie . – Incintele acordate in serie- utilizate pentru situat ,iile
cu cerint ,e de putere.
9

a) fat , a in fat , a b) cascad a c) antiparalel d) planar
Figura 1.8 Tipuri de incinte cu sarcin a izobar a
7.Incinte cu sarcin a izobar a
Acest tip de incint a foloses ,te dou a difuzoare. Acestea sunt montate unul
^ n interiorul incintei iar cel alat ^ n exterior. Difuzorul exterior radiaz a undele
sonore c atre exterior. Exist a ^ ntre cele dou a difuzoare un mic spat ,iu cu aer
^ nchis.
^In gura de mai sus avem c^ ateva congurat ,ii.
Avantaje:
Pot avea volum mai mic raportat la puterea electric a
Prin conectare antiparalel la surs a de semnal s ,i mis ,carea membranelor
^ n sensuri opuse se anuleze neliniarit at ,ile mecanice.
Dezvantaje
Folosirea a dou a difuzoare
Pret ,ridicat
Greutate mai mare
Congurat ,ia a. are dezavantajul inesteticii
Congurat ,ia b.are magnetul s ,i bobina mobil a f ar a r acire ecient , a
Congurat ,ia c. s ,i d. volum suplimentar de aer ^ ntre difuzoare
10

Proiectarea incintelor acustice se poate realiza ^ n funct ,ie de caracter-
isticile difuzoarelor folosite. Pentru lucrarea de fata de interes este r aspunsul
^ n frecvent , aal difuzoarelor si al ^ nc aperii.
^In mod ideal, presupunem difuzorul o surs a de sunet punctiform a(toate
dimensiunile sursei sunt mult mai mici dec^ at lungimea de und a minim a, core-
spunzatoare celei mai mari frecvent ,e din spectrul semnalului redat); a
at a
intr-un mediu omogen si izotrop, sursa punctual a genereaza un c^ amp de
unde sferice. Una din caracteristicile c^ ampului de unde sferice este c a nivelul
presiunii sonore scade radial cu 6dB atunci c^ and distant ,a fata de sursa se
dubleaza. O aproximare rezonabila a acestei situat ,ii se ^ n experimentele in
care obsrvatorul este plasat la o distanta sucient de mare de sursa sonor a, si
nu exist a suprafet ,e sonore re
ectorizate care sa ^ mpiedice/modice radiat ,ia
liber a a energiei sursei.
Filtrul de separare preia semnalul audio (al carui spectru este de la 20 Hz
la 20 kHz) s ,i ^ l ^ mparte ^ n dou a, trei, sau uneori mai multe benzi astfel ^ nc^ at
s a poat a  redate pe difuzoare adaptate pentru aceste frecvent ,e.^In lucrarea
de fata, frecvent ,ele centrale ale ltrelor vor  alese in functie de r aspunsul ^ n
frecvent , a al difuzoarelor.
Nevoia pentru acest ltru de separare in 3 benzi vine din imposibilitatea
realiz arii unui difuzor care poate reda ^ n mod satisf ac ator toate cele 10 octave
ale spectrului audio.
Un tweeter are o dimensiune zic a mic a (2-3 cm diametrul membranei),
s,i se apropie destul de bine de o surs a punctiforma. Aceast a tehnologie
funct ,ioneaz a foarte bine pentru frecvent ,e ^ nalte, spunet ,i p^ an a la 1 kHz, dar
este inadecvat pentru reproducerea joaselor deoarece o astfel de zon a mic a nu
poate mis ,ca prea mult aer, iar pentru a reproduce frecvent ,ele joase trebuie
deplasat a o mare masa de aer. Difuzoarele pentru frecvent ,e joase au, prin
urmare, un diametru mult mai mare, de la 20 cm pentru hi- s ,i p^ an a la 40
cm sau mai mult. ^In prezent nu este posibil din punct de vedere tehnic s a
se produc a un difuzor care sa redea cu precizie p^ an a la 20 kHz, deoarece,
pe m asur a ce cres ,te frecvent ,a, membrana ^ nceteaz a s a se mis ,te. Acest efect
este datorat rigidit at ,ii nite a membranei. Datorita frecvent ,ei ^ n cres ,tere,
membrana se ^ mparte ^ n zone separate de vibrat ,ii. Daca dorim sa folosim
acest efect in avantajul nostru, exista difuzoare pentru "^ ntreaga gam a" care
au un "tweeter parazit" sub forma unei mici membrane, atas ,ate la bobina.
La frecvent ,e mai mari, membrana principal a se rigidizeaza s ,i este de-
cuplat a ^ n mod ecient de bobina s ,i de membrana tweeterului "parazit",
permit ,^ and acestuia din urm a s a redea frecvent ,ele ^ nalte, f ar a a  restr^ ans a
11

de membrana principala; Am putea numi acest sistem un ltru mecanic. As ,a
cum at ,i putea s a v a imaginat ,i, exist a multe compromisuri implicate ^ ntr-un
astfel de aranjament simplu s ,i rezultatul este ^ n general cu mult inferior
unui difuzor bun cu doua- chiar trei c ai, dupa cum se va prezenta in cele ce
urmeaz a.
Figura 1.9 O modalitate (destul de veche, s-ar putea numi ltru mecanic)
de reda separat p art ,i ale spectrului semnalului audio
Este vorba, desigur, mult mai mult dec^ at de o ^ mp art ,ire a semnalului
audio in benzi separate de frecvent , a. Este important de retinut c a divizarea
trebuie s a e urmat a de sumare: benzile de frecvent , a trebuie reunite din
nou f ar a probleme. Acest lucru necesit a ^ nsumarea semnalelor acustice pen-
tru a  corecte nu numai ^ n amplitudine, ci s ,i ^ n faz a. Sistemul poate re-
compune exact semnalul doar intr-un anumit punct in spat ,iu, ceea ce este
nefericit, deoarece avem dou a urechi s ,i, prin urmare, ecare ascult ator are
nevoie semnalul s a e corect la dou a puncte din spat ,iu. Design-ul ltrului
si al difuzoarelor este ^ ntotdeauna o chestiune de compromis, ^ ntr-o anumit a
m asur a.
Nu este sucient s a obt ,inem un r aspuns perfect pe o anumita ax a a s alii.
Redarea sunetului de catre difuzor in afara acestei axe va insemna o auditie
nu atat de placuta pentru cei care nu au gasit un scaun bun ^ n sal a, si mai
mult de atat, va crea re
exii nedorite. Dac a exist a neregularit at ,i grave de
react ,ie, atunci acestea vor afecta experient ,a de a asculta, chiar dac a sunetul
direct pe ax a este dincolo de repros ,uri.
12

Difuzoarele, prin construct ,ia lor, nu pot reda del intreaga gam a de
frecvent ,e, ci doar o parte din aceasta. De aceea o incint a acustic a este
echipat a cu 2, 3 sau mai multe difuzoare ecare red^ and doar o parte din
semnal.
Problemele la un difuzor apar atunci c^ and acesta trebuie s a redea frecvent ,e
pentru care nu a fost proiectat, ^ n acest caz el e creaza distorsiuni (^ n cazul
difuzoarelor de frecvent ,e joase care sunt puse s a redea frecvent ,e ^ nalte), e
se pot arde (^ n cazul difuzoarelor de frecvent ,e ^ nalte (tweeter) care sunt puse
s a redea frecvent ,e joase).
Pentru a ne feri de aceste pericole trebuie s a separam banda de frecvent ,e
audio ^ n 2 sau mai multe c ai care apoi s a e redate de c atre un difuzor.
La ora actual a eu cunosc dou a modalit at ,i de implementare pentru ltre:
metoda analogic a s ,i metoda digital a, iar ^ n aceast a lucrare m a voi axa pe
partea digital a.
13

1.1 M asurarea r aspunsului la impuls
Figura 1.3 Reprezentarea montajului de m asur a
Proprietatile zice ale sunetului ne permit s a consider am sistemele
acustice ca sisteme liniare si invariante in timp. Intrarea unui astfel de sistem
este reprezentat a de sursa de sunet, iar ies ,irea va  un reprezentat a de un
receptor de sunet. Pentru a caracteriza sistemul, avem nevoie sa s ,tim funct ,ia
pondere a acestuia.
R aspunsul la impuls al unei ^ nc aperi descrie complet relat ,ia dintre sem-
nalul de intrare s ,i cel de ies ,ire.^In gura de mai jos este prezentat schematic
sistemul de m asur a s ,i este compus din:
un calculator pe care este instalat programul audio;
o plac a audio capabil a de reproducere s ,i captur a;
un difuzor cu o caracteristic a omnidirect ,ional a;
un microfon de m asur a cu o caracteristic a ^ n frecvent , a c^ at mai plat a.
Vom obt ,ine funct ,ia pondere prin introducerea la intrarea ^ n sistem a unui
impuls Dirac ideal s ,i vom inregistra ies ,irea, adic a r aspunsului la impuls al
sistemului acustic. ^In realitate nu se poate obt ,ine un impuls Dirac ideal.
In lucrarea de fat , a vom folosi metoda Exponential Sweep, care foloses ,te ca
semnal de excitat ,ie un semnal sinusoidal a c arui frecvent , a instantanee cres ,te
exponent ,ial cu timpul.
14

Forma general a a semnalului de intrare este:
s(t) =sin(t) (1)
unde
(t) =K
(et
L1)
este faza instantanee a semnalului.
Frecvent ,a instantanee se obt ,ine prin derivarea fazei:
!(t) =d(t)
dt=K
Let
L (2)
Frecvent ,a instantanee va  w 1la t=0 s ,i w2la t=T. Atunci obt ,inem semnalul
de test:
s(t) =sin[w1T
ln(w2
w2)(e1
Tln(w2
w1)1)]
Figura 1.4 Semnalul de test cu frecvent ,a baleiat a intre 1Hz si 100Hz
15

Figura 1.5 Spectrul semnalului de test
Se observ a c a amplitudinea spectrului scade liniar cu frecvent ,a s,i se poate
demonstra c a energia depinde de frecvent , a s,i spectrul este proport ,ional cu 1!^In urma aplic arii semnalului de test la intrarea sistemului la ies ,ire se va obt ,ine:
y(t) = (sh)(t) +n(t) (3)
unde n(t) este zgomotul.
Pentru a a
a r aspunsul la impuls h(t), vom face convolut ,ia lui y(t) cu un
semnal numit ltru invers, notat cu f(t). Filtrul invers are proprietatea c a prin
convolut ,ie cu semnalul de test se obt ,ine o variant a ^ nt^ arziat a a impulsului Dirac:
(fs)(t) =(tT) (4)
Prin urmare, prin convolut ,ie cu y(t) vom obt ,ine r aspunsul la impuls h(t),
^ nt^ arziat cu T s ,i cu zgomotul n(t)
(fy)(t) =h(tT) + (fn)(t) =h(tT) +nf(t) (5)
Aplic am transformata Fourier asupra ecuat ,iei (4) s ,i obt ,inem:
F(!)
S(!) =ej!T(6)
F(!) =S(!)
ej!T
jS(!)j2(7)
Dar
S(!)ej!T F-1 !s(Tt);
deci pentru a a
a f(t) trebuie s a oglindim ^ n timp semnalul s(t) s ,i s a-i aplic am o
corect ,ie de amplitudine, dependent a de frecvent , a, de forma
1
jS(!)j2
Observ am c a amplitudinea spectrului ltrului invers este invers proportional a
cu p atratul amplitudinii spectrului semnalului de test. Semnalul de test va avea o
sc adere de 3 dB/octav a (dup a cum se observ a ^ n Figura 1.2), deci pentru a obt ,ine
o caracteristic a plat a ^ n frecvent , a ltrul invers trebuie s a aibe o caracteristic a
cresc atoare cu 3 dB/octav a. Cu alte cuvinte, ltrul invers se obt ,ine din semnalul
de test, dup a oglindirea acestuia ^ n timp s ,i aplicarea unei corect ,ii de amplitudine
16

folosind o modulat ,ie cu anvelopa de 6 dB/octav a, astfel ^ nc^ at semnalul obt ,inut va
avea o amplitudine cresc atoare cu 3 dB/octav a.
Se obt ,ine ltrul invers in funct ,ie de semnalul de test :
f(t) =s(Tt)et
Tln(!2
!1)(8)
^In urma produsului ^ n frecvent , a se va obt ,ine un spectru plat, asem an ator celui
al unui impuls Dirac.
Figura 1.6 Evolut ,ia ^ n timp a ltrului invers Figura 1.7 Spectrul ltrului invers
Frecvent ,a semnalului de test variaz a dup a o lege exponent ,ial a ^ n timp, fapt
care determin a ca distant ,a temporal a ^ ntre momentul de aparit ,ie al unei frecvent ,e
^ n cadrul semnalul de test s ,i momentul de aparit ,ie al armonicei sale ks a nu depind a
de timp. Aceast a distant , a (temporal a) este:

tk=T
ln(k)
ln(!2
!1)(9)
Aceast a distant , a va determina plasarea temporal a a armonicelor ec arei frecvent ,e
^ n urma convolut ,iei r aspunsului sistemului cu ltrul invers:
(yf)(t) =b1h1(tT) +::+bNhN[t(T
tN)] + (nf)(t) (10)
17

unde h 1este r aspunsul liniar, iar h k(t), k > 1 sunt r aspunsurile neliniare de ordin
k. Ultima relat ,ie ne arat a c a ^ n urma aplic arii metodei ExpSweep rezultatul este
o sum a de r aspunsuri la impuls liniare s ,i neliniare de ordin superior. In plus mai
observ am c a r aspunsurile neliniare sunt plasate ^ naintea celui liniar. In Figura
1.7, unde este prezentat r aspunsul la impuls al unui difuzor m asurat ^ n camera
anecoid a, unde r aspunsul cel mai din dreapta reprezint a raspunsul liniar, iar ^ n
st^ anga lui sunt r aspunsurile neliniare de ordin superior, de la dreapta la st^ anga
acestea ind de ordinele 2, 3, 4,…
Figura 1.8 R aspunsul la impuls al unui difuzor ^ n camer a anecoid a
^In continuare vom prezenta pas ,ii urmat ,i folosind metoda ExpSweep pentru a de-
termina r aspunsul la impuls:
1. Se genereaz a semnalul – se setez a frecvent ,a de start s ,i de stop, ^ n funct ,ie de
domeniul de frecvent ,e ^ n care vrem s a facem m asur atoarea;
2. Se alege durata T a semnalului de test astfel ^ nc^ at armonica de ordin 2 s a
nu e prea apropiat a de r aspunsul liniar (ar trebui s a e cel put ,in jum atate
din timpul de reverberat ,ie tR)
3. Se genereaz a ltrul invers;
4. Se red a semnalul de test s ,i se ^ nregistreaz a r aspunsul;
5. Se realizeaz a convolut ,ia r aspunsului ^ nregistrat cu ltrul invers pentru a
determina r aspunsul la impuls.
6. Se selecteaz a r aspunsul liniar sau armonica de ordin superior ce se dores ,te
a se prelucra.
18

In inregistrare vom capta si re
exiile (deplasate in timp, de amplitudine mai
mic a), pe care le vom elimina prin prelucrare software. Microfonul folosit pentru
inregistrare este unul de ^ nalt a delitate, cu caracteristic a liniar a.
19

Astfel, am determinat r aspunsul la impuls s ,i r aspunsul ^ n frecvent , a ale celor
trei c ai de semnal.
Figura 1.9 R aspunsul la impuls al celor trei difuzoare
Figura 1.10 R aspunsul la impuls al celor trei difuzoare (f ar a re
exii)
20

Figura 1.11 Modulul funct ,iei de transfer al difuzorului pentru frecvent ,e joase
Figura 1.12 Faza funct ,iei de transfer al difuzorului pentru frecvent ,e joase
Figura 1.13 Modulul funct ,iei de transfer al difuzorului pentru frecvent ,e medii
21

Figura 1.14 Faza funct ,iei de transfer al difuzorului pentru frecvent ,e medii
Figura 1.15 Modulul funct ,iei de transfer al difuzorului pentru frecvent ,e ^ nalte
Figura 1.16 Faza funct ,iei de transfer al difuzorului pentru frecvent ,e ^ nalte
22

Figura 1.17 Reprezentarea fazei funct ,iilor de transfer
Figura 1.18 Amplitudinile funct ,iilor de transfer suprapuse
Urmeaz a s a construim un ltru care va ^ mp art ,i spectrul semnalul in trei benzi.
Am ales ca frecvent ,ele de t aiere s a e 400 Hz s,i2000 Hz . Pentru ^ nceput, vom
pleca de la un ltru Butterworth de ordin 2 (pe ecare band a). Funct ,iabutter
returneaza 2 vectori care cont ,in valorile coecient ,ilor num ar atorului s ,i numitorului
funct ,iei de transfer a ltrului.
Filtrul ales a fost de tip Butterworth deoarece acestea au proprietatea de a se
recompune perfect ^ n amplitudine, dac a se respect a dou a condit ,ii:
decalajul dintre frecvent ,ele de t aiere: trebuie sa e 0.17; f trece-jos trebuie
crescut a de 1.17 ori iar f trece-sus trebuie sc azut a la 1/1.17 din valoarea dorit a
faza unuia dintre semnale trebuie inversat a;
23

Prezent am rezultatele in cele ce urmeaz a:
fs=48000;
fc1=600;
fc2=2500;
order = 2;
[aLP,bLP] = butter(order,2*fc1*1.17/fs)
[aHP,bHP] = butter(order,2*fc2/1.17/fs,'high')
[aBP,bBP] = butter(order,[2*fc1/1.17/fs 2*fc2*1.17/fs])
bBP=-bBP;
fvtool (aLP,bLP,aHP,bHP,aBP,bBP);
Figura 1.19 Amplitudinile funct ,iilor de transfer proiectate in Matlab Figura
1.20 Reprezentarea fazei funct ,iilor de transfer proiectate in Matlab
24

Pornind de la aceste ltre, vom proiecta trei ltre Wiener care vor modica
aspectul funct ,iilor de transfer ale ltrelor Butterworth astfel ^ nc^ at s a obt ,inem ^ n
ansamblu o funct ,ie de transfer c^ at mai plat a. In continuare prezentam suportul
matematic cu ajutorul caruia vom implementa o categorie de ltre de interes pentru
lucrarea de fata, si anume ltre adaptive .
25

Capitolul 2. Despre ltre
^In numeroase aplicat ,ii de comunicat ,ii s,i de procesare a semnalului, suntem pus ,i
in situatia de a ne confrunta cu necesitatea elimin arii zgomotului s ,i a distorsiunilor.
Atunci cand acestea au o varitie (cunoscuta sau nu) in timp, este indicat sa folosim
ltre adaptive, pentru a imbunatati performantele sistemului.
Din analiza sistemelor liniare invariante ^ n timp (LIT), s ,tim c a ies ,irea unui sis-
tem liniar invariant ^ n timp este convolut ,ia dintre semnalul de intrare s ,i r aspunsul
acestuia la impuls.
Figura 1. Filtru adaptiv
S a presupunem ca sistemul necunoscut este liniar si invariant in timp, deci
coecient ,ii r aspunsului la impuls vor  constant ,i s,i nit ,i (ltru FIR):
d(n) =N1X
k=0hkx(nk)
Ies,irea unui ltru adaptiv FIR cu acelas ,i num ar de coecient ,i, N, este:
y(n) =N1X
k=0wkx(nk)
Pentru ca aceste doua sisteme sa e egale, e(n) = d(n) – y(n) trebuie sa e 0.
In aceste condit ,ii, cele dou a seturi de coecient ,i sunt egale. Pentru ca e(n) sa e
cat mai aproape de 0, vom folosi ltrarea adaptiv a, s ,i, astfel, w k's=hk0s:
In continuare vom proiecta un ltru Wiener. Acesta realizeaz a optimizarea ^ n
sensMS(Mean Square – medie – statistic a p atratic a).
26

Not am cu w k0*k=0;M1
s,irul coecient ,ilor funct ,iei de cost. Corespunz ator avem ies ,irea ltrului Wiener:
y0(n) =N1X
k=0wk0*x(nk)
unde
W0= [w00:::w0M-1]T
este vectorul pondere optim.
Eroarea optim a
e0(n) =d(n)y0(n) (11)
reprezint a semnalul de eroare a ltrului optim MS
Figura 2. Filtrul Wiener (ltrul optim MS)
Procesul de optimizare liniar a MS const a ^ n implementarea unui ltru care s a
realizeze o proiect ,ie pe un subspat ,iu liniar de dimensiune maxim impus a( M+1):
Pe aceast a cale se asigura minimizarea distant ,ei ^ ntre semnalul de referint , a s,i
estimatul s au. Deoarece ltrul va minimiza funct ,ia de cost
J=jje(n)jj2(12)
este important calculul gradientului lui J^ n funct ,ie de coecient ,ii pondere w k, k=
0;M1:
Not^ and
wk=ak+j
bk
si folosind relat ,ia (1) ^ n calculul derivatelor part ,iale se obt ,ine pentru ecare com-
ponent a
k=0;M1;
a gradientului complex:
rk(J) =@J
@ak+j
@J
@bk(13)
vom obt ,ine
rk(J) =2
<x k;e> (14)
Coecient ,ii optimi
fw0*kg; k=0;M1;
care minimizeaz a funct ,ia de cost, trebuie sa respecte condit ,ia de anulare a gradi-
entului:
r(J) = 0 (15)
27

de unde rezult a c a pentru ecare component a
rk(J)jw0*k= 0 (8)k=0;M1 (16)
ceea ce va duce la
<k k;e0>= 0 (8)k=0;M1 (17)
Relat ,ia 16 se numes ,teprincipiul de ortogonalitate , principiu pe care ^ l voi
explica pe scurt in cele ce urmeaz a.
Fie F n,Mxsubspat ,iul liniar complex determinat de s ,irul variabilelor aleatoare
fx(n-k)gk=0; M1:
Principiul de ortogonalitate, de baz a in teoria ltr arii optimale ^ n sensul mediei
p atratice a erorii poate  formulat prin:
Condit ,ia necesar a s ,i sucient a ca funct ,ia de cost J s a atinga minimul pentru
mult ,imeafwk0*geste ca semnalul de eroare corespunz ator e0(n), pentru orice
moment de timp n, s a e ortogonal pe subspat ,iul liniar F n,Mxdeterminat de toate
es,antioanele intr arii pe baza c arora se realizeaz a estimarea curent a.
Acest principiu este ilustrat in gura de mai jos, unde F n,Mxeste reprezentat
ca un plan.
Figura
28

Estimatul semnalului de referint , a ^ n cazul ltrului optim este
^d0=y0(n)
se poate calcula
<y0;e0>=<NX
k=0w0*k
xk;e0>=NX
k=0w0*k
<x k
e0> (18)
de unde rezult a
Pentru un ltru optim MS semnalele de ies ,ire y0(n)(estimatul sem-
nalului dorit) s ,i de eroare e0(n) sunt ortogonale.
Denim eroarea medie p atratic a minim a (minimul funct ,iei de cost)
Jmin=jje(n)jj2
Folosind relat ,iile (1) s ,i (8), J minpoate  scris in felul urm ator:
Jmin=jjd(n)jj2jjy0(n)jj2=d22
^d
unde
2
ds,i 2
^d
reprezint a puterea semnalului de referint , a s ,i respectiv puterea semnalu-
lui la ies ,irea ltrului optim.
Eroarea medie patratic a normat a
"=Jmin
2
d= 12
^d
2
d2[0;1] (19)
Prin urmare, condit ,ia pentru ca un ltru sa e optim ^ n sens MS este
echivalent a cu respectarea principiului de ortogonalitate.
^In continuare, vom reformula condit ,ia de optim ^ n termeni ai unor funct ,ii de
corelat ,ie ai semnalului de intrare s ,i de referint ,a. Pentru aceasta, pornind de la
relat ,ia (7), prin explicitarea semnalului de eroare se obt ,inesistemul de ecuat ,ii
Wiener-Hopf
R
W0=P (20)
Una dintre propriet at ,ile remarcabile ale matricei Ro constituie faptul c a
aceasta este matrice nesingular a in majoritatea cazurilor, permit ^ and astfel de-
terminarea solut iei optime
W0=R1
P (21)
29

Astfel, pentru determinarea vectorului pondere optim necesit a cunoas ,terea
statisticii semnalelor de intrare s ,i de referint , a, adic a a matricilor R s ,i P.
Construct ,ia matricilor R s ,i P necesit a numai primele M es ,antioane ale funct ,iei de
autocorelat ,ie pentru semnalul de intrare s ,i respectiv ale funct ,iei de intercorelat ,ie
^ ntre semnalul de intrare s ,i de referint , a.
Observ^ and mai ^ nt^ ai c a semnalul la ies ,irea ltrului poate  pus sub forma
y(n) =WH
X(n) =XT(n)
W(22)
funct ,ia de cost J poate  exprimat a prin:
J=Efje(n)j2g=2
d+WH
R
W2
RefWH
Pg (23)
^In punctul optim calculul funct ,iei de cost duce la
JjW=W0=Jmin=2
dPH
W0=2
dPH
R1
P (24)
unde punctul optim va  numit W0
Este de remarcat faptul c a J mineste funct ,ie numai de statisticile semnalului
de intrare s ,i de referint , a s,i independent de W.
Explicit^ and 2
d:
J=Jmin+ (WW0)H
R
(WW0) (25)
Not am cu:
Vdef=WW0(26)
diferent ,a ^ ntre vectorul pondere curent si solut ,ia optima Wiener. Atunci, (15)
devine:
JJmin=VH
R
V (27)
Suprafat ,a descris a de J-J minca funct ,ie de ponderile W ale ltrului, ^ ntr-un
spat ,iu cu 2M+1 dimensiuni reale, se numes ,te suprafat , a de cost. Propriet at ,ile
suprafet ,ei de cost sunt legate de matricea de autocorelat ,ie.^Intruc^ at R este o
matrice hermitica, suprafat ,a de cost este o form a p atratic a real a Mai mult, doarece
R este ^ n marea majoritate a cazurilor o matrice pozitiv denit a s ,i forma patratica
VH
R
V
va  pozitiv denit a, ceea ce va determina ca suprafat ,a de cost s a aib a un
minim unic s ,i distinct care este atins numai c^ and V = 0, sau, echivalent, c^ and W
= W0.
^In acest mod, orice abatere de la solut ,ia optim a Wiener este imediat penalizat a
printr-o cres ,tere a funct ,iei de cost.
30

Am notat
JkW=W0cu J min
.
Problema determin arii optimului se reduce astfel la g asirea coordonatelor punc-
tului de minim al suprafet ,ei de cost. Este de remarcat faptul c a form a s ,i plasarea
suprafet ,ei de cost sunt determinate numai de semnalul de intrare, nu s ,i de semnalul
de referint , a. Contribut ,ia celui din urm a se re
ect a numai ^ n termenul J min.
Este convenabil s a se exprime form a p atratic a
VH
R
V
^ ntr-un sistem de coordonate preferent ,ial. Matricea Reste diagonalizabil a, deci
exist a o transformare unitar a
Q= [Q0:::QM1] (28)
astfel inc^ at
R=Q

QH(29)
unde
 =diag[0:::M1];^ n care  i;i=0;M1
sunt valorile proprii pentru matricea R, s ,i Q0::QM12MM1
constituie o baz a ortonormat a de vectori proprii atas ,at,i valorilor proprii 0::M1:
Matricea Q realizeaz a o transformare c atre sistemul propriu de coordonate, iar
dac a vectorul diferent , a ^ n noul sistem de coordonate este denit ca
V=QH
V (30)
atunci, se obt ,ine relat ,ia
Jedef=JJmin=V0H

V0=M1X
i=0i
jv0
ij2(31)
care reprezint a forma canonic a a suprafet ,ei de cost ^ n exces s ,i reprezint a pe-
nalizarea datorat a abaterii de la optimul Wiener.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Relatia la care am ajuns mai sus ne evident ,iaza o dependent , a intre vectorii
s,i valorile proprii matricii R s ,i forma s ,i plasarea suprafetei de cost. Deoarece R
este pozitiv denit a aceast a suprafat  a, intr-un spat iu cu M dimensiuni complexe
(w0::wM-1);
31

 si una real a (J e)
este un paraboloid multidimensional orientat cu v^ arful in sensul negativ al axei
Je;
 si tangent la hiperplanul determinat de axele corespunz atoare vectorului pon-
dere. Acest v^ arf este chiar punctul c autat, pentru care J = J min
s,i care are drept coordonate (w0
0::w0
M1;0):
Prin sect ionarea suprafet ei de cost cu hiperplane paralele cu cel determinat de
vectorul pondere urmat a de o proiect ,ie pe acesta din urm a, se obtine reprezentarea
prin curbe de nivel. Ele sunt determinate prin ecuat ,ia
(WW0)H
R
(WW0) =const (32)
Este mai convenabil s a trecem la sistemul de coordonate al vectorului diferent , a
(V,J). Aceast a trecere se face printr-o simpl a translat ,ie (W – W0);
obt,in^ andu-se pentru curbele de nivel hiperelipsele caracterizate de ecuat ,ia
VH
R
V=const (33)
Curbele de nivel sunt centrate in originea noului sistem de coordonate si prez-
inta un numar de M axe principale complexe comune. Axele principale au propri-
etatea ca sunt perpendiculare pe toate curbele de nivel. Pe de alta parte, orice
vector normal la curbele de nivel poate  determinat considerand hiperelipsa drept
o functie
F(V) =VH
R
V
si determinandu-i gradientul in raport cu V. Dar
rV(VH
R
V) = 2
R
V (34)
Mai mult, deoarece hiperelpsele sunt centrate in origine, axele principale trec
prin 0, iar vectorii care le determina pot  pusi sub forma 
Vunde2C:
Cele doua conditii trebuie sa e satisfacute simultan, astfel ca vectorul V', care
deneste una din axele principale verica ecuatia
2
R
V0=
V; (35)
sau, sub alta forma
(R
2
I)
V0= 0; (36)
ceea ce pune in evidenta faptul ca V' este vector propriu pentru R. Se poate
formula urmatoarea teorema:
Vectorii proprii ai matricii de autocorelatie pentru semnalul de intrare denesc
axele principale ale suprafetei de cost.
Recapituland transformarile geometrice utilizate rezulta ca aceeasi suprafata
de cost poate  reprezentata in 3 sisteme de coordonate:
32


Je=JJmin= (WW0)H
R
(WW0)
sistemul de coordonate al vectorului pondere

Je=JJmin=VH
R
V
sistemul de coordonate al vectorului diferenta

Je=JJmin=V0H


V0
sistemul propriu de coordonate (al axelor principale ale suprafetei)
Alegerea sistemului de coordonate se face ^ n funct ,ie de scopul urm arit. Pentru
denirea algoritmului propriu-zis se utilizeaz a sistemul de coordonate al vectoru-
lui pondere. Pentru studiul carcateristicilor specice algoritmilor este ^ n general
preferat sistemul vectorului diferent , a, sau, mai precis, sistemul propriu de coordo-
nate, deoarece prin form a diagonal a a matricei Lambda hspace0.1cm textnormalecuat ,iile
sunt decuplate, textnormaliar linebreak textnormalsistemul poate  us ,or rezolvat.
Capitolul 3. Amplicatorul
Amplicatorul preia semnalul de la ltrele digitale, ^ l amplic a s ,i ^ l trimite c atre
difuzoare. Am realizat un montaj cu trei amplicatoare pentru cele trei benzi de
frecvent  a. Am folosit pentru realizarea acestora circuitul integrat TDA7294(de tip
mono) Pentru realizarea unui sistem de sonorizare stereo sau mai complex, vor
folosite un num ar corespunz ator de amplicatoare.
Din datele de catalog se impune ca acest circuit s a se alimenteze cu tensiune
diferent ial a la care se stabile ste ca valoare maxim a 35V. Se va alimenta deci cu
35 V atunci c^ and sarcina are 8 ohmi, dar numai cu 27V c^ and sarcina are
4 ohmi. In aceste situat ii putem s a obt inem 100 W  si puterea medie ^ n regim
sinusoidal de 70 W. Curentul absorbit de la surs a este de 1,5A sau 2A funct ie de
impedant a sarcinii: 8 ohmi sau 4 ohmi. Acest amplicator este ^ n zona montajelor
33

de ^ nalt a delitate, notat a curent HI-FI, iindca gama frecvent elor reproduse este
cuprins a ^ ntre 20 Hz  si 20 KHz cu distorsiuni sub 0,5% cu un c^ a stig mediu in
tensiune este de ordinul a 30 dB. La amplicator se reg asesc  si funct iile STAND-
BY respectiv MUTE. A sa cum apare^ n schema electric a aceste funct ii se realizeaz a
automat la conectarea aliment arii, deci practic nu se aud ^ n difuzor zgomotele de
tranzit ie indca constanta de timp decaleaz a funct ionarea amplicatorului fat  a de
ajungerea la valoarea nominal a a tensiunii de alimentare. TDA7294 este fabricat
intr-o capsul a multiwatt cu 15 pini si ofera atat protectie la scurtcircuit pe ie sire
c^ at  si protectie termic a care este activat a la o temperatur a de aproximativ 145C.
 a t,^  s,^ a
34