Proiect de licență [309111]

Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați

Facultatea de Arhitectură Navală

Proiect de licență

Anișoara Cristea

Galați

2018

Universitatea „Dunărea de Jos” [anonimizat]-o analiză FEM static a panoului de dublu bordaj pe lungimea a trei magazii la o navă tip petrolier de 100000 tdw.

Galați

2018

Cuprins

Capitolul I

Descrierea generală a navei

1.1. [anonimizat] 100000 TDW, destinată navigației maritime nelimitate și a transportului de țiței brut și a produselor petroliere.

1.2. Dimensiunile principale

1.3. Deadweight-[anonimizat] (d=1.025 t/m3) este de aproximativ 100000 tdw la pescajul de eșantionaj de 14.85 m.

Deadweight-[anonimizat], [anonimizat]:

nava goală;

inventar;

piesele de rezervă în concordanță cu societatea de clasificare și alte autorități contractuale;

combustibil, [anonimizat];

apă de peste bord în sistemele de tubulaturi de răcire.

Deadweight-ul include astfel:

combustibil, [anonimizat], apă de alimentare din tancuri;

marfă și apă de ballast;

echipaj, [anonimizat];

provizii;

piesele de rezervă suplimentare față de cerințele societății de clasificare.

Deadweight-ul precizat în contract va fi corectat corespunzător în funcție de greutățile implicate de:

utilaje auxiliare și modificări agregate după contractare;

modificări suplimentare cerute de societatea de clasificare.

1.4. [anonimizat].

Nava va trebui să respecte următoarele Reguli și regulamente inclusive protocoalele și amendamentele în vigoare:

[anonimizat] 1966 și protocolul din 1988.

[anonimizat] 1974

[anonimizat] 1978

[anonimizat] 1972

Codul internațional pentru Sistemele de prevenire a incendiilor – FSS Code

1.5. Corpul navei

Nava este costruită din table de oțel sudate în conformitate cu Regulile de Clasificare și Construcție DNV GL .

[anonimizat]. Pentru osatură se vor folosi profile platbandă cu bulb.

Sistemul de osatură este combinat. [anonimizat].

Distanțele intercostale pe lungimea navei:

C0…C17 – 600 mm.

C17…C69 – 750 mm.

C69…C261 – 900 mm.

C261…C281 – 600 mm.

1.6. Materiale

Corpul rezistent al navei proiectate ([anonimizat], [anonimizat]) va fi executată din oțel de tip A, cu o limită de curgere cu ReH = 235/mm2.

Toate elementele ce compun structura corpului navei se execută din oțel laminat sub formă de table și sub formă de profile.

1.7. Putere, viteză, autonomie

Propulsia navei este prevăzută de un motor principal cu următoarele caracteristici:

Tipul motorului: MAN-B&W 9G50ME-C9.5

Puterea: 15480 kW

Turație: 100 rpm

Consum specific: 164g/kwh

Rezervele de combustibil, ulei, apă, hrană asigură navei o autonomie de 6500 MM, la viteza de exploatare 16 Nd. Zona de navigație a navei este nelimitată.

Viteza navei în apă adâncă și calmă la o stare a mării de max. 20 Douglas, vânt nu mai mare de 30 pe scara Beaufort, este de 16 Nd.

1.8. Echipaj

Echipajul la bordul navei este alcătuit din 22 de persoane: 1 comandant, 1 ofițer punte secund, 2 ofițeri punte, 1 șef mecanic, 1 ofițer mecanic secund, 2 ofițeri mecanici, 3 motoriști, 1 șef timonier maritim, 2 timonieri, 4 marinari, 1 pompagiu, 1 ofițer electrician, 1 bucătar, 1 medic.

1.9. Compartimentare

Nava este împărțită în următoarele compartimente, delimitate de 11 pereți transversali etanși:

Pic pupa – 10.2 m (a = 0.6 m)

Compartimentul de mașini – 32.250 m (a = 0.75 m)

Tanc pentru decantare – 6.750 m (a = 0.75 m)

Magazii de mărfuri: 8 – 21.6 m (a = 0.9 m)

Pic prova – 12 m (a = 0.6)

Compartimentul de mașini este amplasat în pupa navei.

Dublul fund este extins între pereții picurilor.

Tancurile de marfă sunt separate de compartimentul de mașini printr-un tanc de decantare.

1.10. Stabilitate și asietă

Asieta și stabilitatea navei vor fi determinate de diferite condiții de încărcare, incluzând:

Nava în balast usor – plecare și sosire;

Nava în balast greu – plecare și sosire;

Nava încărcată – pescaj de eșantionaj – plecare și sosire.

1.11. Bordajul

În zona tancurilor de încărcare, bordajul va fi construit în sistem longitudinal de osatură, iar în zona CM în sistem transversal.

Coastele simple în zona CM și longitudinalele din zona tancurilor de încărcare sunt confecționate din profile platbandă cu bulb.

1.12. Puntea principală

Puntea principală în CM este construită în sistem longitudinal de osatură.

Specific acestui tip de navă este faptul că osatura este dispusă pe partea superioară a planșeului de punte și nu în partea inferioară cum este cazul altor nave, fapt ce facilitează curățarea și spălarea magaziilor de marfă.

1.13. Fund și dublu fund

Dublul fund se extinde pe toata distanța dintre peretele picului pupa și peretele picului prova.

Dublul fund la tancurile de marfă va fi construit în sistem longitudinal de osatură.

Longitudinalele fundului și dublului fund sunt confecționate din profile platbandă cu bulb.

În varange și suporți se pot prevedea găuri de acces, de scurgere a lichidelor și aerisire.

1.14. Pereți transversali etanși

Pereții transversali etanși sunt construiți în sistem vertical de osatură și se extind din bordaj în bordaj.

Pereții transverali, învelișul exterior și coferdamurile pot fi plane sau de tip grofat în funcție de spațiile disponibile.

Pereții spațiilor sanitare sau de locuit pot fi grofați iar pereții din spațiile umede, din magazii și ateliere vor fi plani.

1.15. Picul prova și picul pupa

Picul prova și picul pupa vor fi construite în sistem transversal de osatură. Se va asigura trecere graduală de la sistemul de construcție longitudinal și transversal.

1.16. Instalațiile navei

1.16.1. Instalația de balast

Instalația de balast va fi utilizată pentru umplerea și golirea tancurilor de balast.

Instalația de balast va fi prevăzută cu pompe centrifugale electrice situate în CM .

Pescajul și asieta navei poate fi facută manual sau în mod automat.

1.16.2. Instalația de santină

Nava este prevăzută cu o instalație de santină capabilă să pompeze din orice loc al compartimentului de mașini sau din alte locuri acolo unde este cazul.

Pompa instalației de santină are o capacitate minimă conform prescripțiilor de clasă ale navei.

1.16.3. Instalația de alimentare cu apă potabilă

Este prevăzut un tanc pentru apă potabilă dotat cu instalație de tratare a apei (dezinfectare, filtrare) conform regulilor.

Alimentarea tancului se face printr-o conexiune la punte în tribord. Instalația alimentează bucătăria, grupurile sanitare, spălătoria.

1.16.4. Instalația de stins incendiu cu gaz inert

Instalația de prevenire a incendiilor cu gaz inert are ca scop reducerea concentrației de oxigen și a vaporilor de combustibil din tancurile de marfă sub limita de inflamabilitate (sub 10%). Aprinderea unui amestec de gaze și aer la bordul navei este determinată de existența simultană a următoarelor elemente:

produsul petrolier care emană gaze combustibile;

oxigenul din aer care reprezintă oxidantul;

sursa de caldură care produce accidental aprinderea amestecului și care poate fi o scânteie de electricitate statică sau de o coliziune.

Dacă unul din aceste elemente lipsește sau oxigenul existent se află în anumite limite, aprinderea amestecului nu se poate produce și în felul acesta se poate evita explozia. Pe acest principiu se bazează protecția tancurilor transportatoare de produse chimice și derivate petroliere cu ajutorul gazului inert care aduce atmosfera explozibilă din tancurile de marfă la o concentrație în afara limitelor zonei de inițiere a aprinderii. Un amestec cu o concentrație de gaze inflamabile sub 2% este sărac și nu se poate aprinde; în cazul când concentrația acelorași gaze depășește 10% amestecul este prea bogat și iarași nu se poate aprinde. Dacă amestecului i se asigură o concentrație maximă de oxigen de 10%, cantitatea respectivă nu este suficientă pentru întreținerea arderii, dar pentru mai multă siguranță concentrația maximă de oxigen a mediului inert se limiteaza la 6%. Sistemul de protecție cu gaz inert urmărește reducerea concentrației de oxigen și a gazelor inflamabile din tancurile de marfă și crearea unei atmosfere inerte, adică în afara limitelor periculoase de aprindere.

Variațiile de temperatură, în timpul călătoriei tancului chimic încărcat cu produse chimice sau derivate petroliere sau pe timpul navigației în balast, produc variații mari de presiune în tancurile de marfă, care pot deveni periculoase. Pentru protecția împotriva variațiilor mari de presiune sunt prevăzute supape automate, care prin deschidere spre exterior asigură evacuarea gazelor în atmosferă când presiunea atinge valoarea de 0.0174 MPa sau, prin deschidere spre interior când presiunea este 0.007 MPa, permițând pătrunderea aerului care diluează amestecul de gaze, dar în același timp mărește procentajul de oxigen și amestecul devine explozibil. Pentru eliminarea acestui pericol, instalația de gaz inert este prevăzută cu aparate de măsură, care asigură automat completarea spațiului gol cu gaz inert, imediat ce presiunea a scăzut sub 0.005 MPa.

Pentru a elimina pericolul unei explozii, datorită formării vaporilor de combustibil

(fenomen mai pronunțat atunci când tancurile sunt goale), spațiul liber din tanc se umple cu gaz inert.

1.16.5. Ventilația compartimentului de mașini

Nava va fi prevăzută cu un sistem de conducție a aerului în compartimentul de mașini în conformitate cu debitul necesar funcționării motoarelor și răcirii acestuia.

1.16.6. Instalația de salvare

Nava va fi dotată cu două instalații de salvare:

instalația bărcii de urgență;

instalația bărcii de salvare cu lansare liberă.

1.17. Instalația de navigație, radiocomunicații și comunicări

telefon, fax, e-mail;

antenă radio și TV;

sistem de alarmă în caz de urgență;

girocompas (compas gisroscopic);

radare;

sondă ultrason;

GPS;

cursograf (înregistrator de drum);

anemometru;

alarme pentru motoare și generatoare;

tablou de comandă;

tahimetru (contor de rotații al axului elicei);

axiometru (indicator al poziției cârmei);

corn de ceață cu acționare manuală sau automatizată;

telegraf de mașini;

ștergătoare geamuri;

satelit.

Capitolul II

Compartimentajul navei

2.1. Generalități

Compartimentarea corpului navei presupune delimitarea spațiilor de sub puntea principală. Aceste spații sunt:

Picul prova

Picul pupa

Compartimentul de mașini

Alte spații sub puntea principală

Spațiile de marfă și tancurile structurale

Compartimentarea navei se realizează în vederea maximizării spațiilor de marfă și totodată reducerea celorlalte spații la minimul necesar, asigurând spații pentru instalarea echipamentelor, pentru circulație, inspecție și mentenanță.

2.2. Distanța regulamentară

Stabilirea distanței regulamentare în zona centrală:

Distanța regulamentară normală în zona centrală a navei, este valoarea determinată cu formula: R.N.R. (1.6.4)

= 0,002 * L + 0,48[m] (2.1)

= 0,002 * 234 + 0,48 = 0,948 [m]

Se admit abateri de la distanța regulamentară în zona centrală a navei până la ±25%.

Se adoptă distanța regulamentară în zona centrală a navei de : a=0,9 m

Se adoptă distanța regulamentară între longitudinale de b=0,9 m

2.3. Dispunerea pereților transversali etanși

Peretele de coliziune trebuie să existe la toate navele și se extinde de la zona fundului navei până la puntea de bord liber. Acest perete trebuie situat la o distanță față de perpendiculara prova de 0.05L sau 10 m (se alege valoarea mai mică). Există și excepții cu privire la poziționarea peretelui, însă trebuiesc acceptate de Clasă și să nu depășească valoarea de 0.08L sau 0.05L+3 m (se alege valoarea mai mare). În cazul navelor cu bulb, se alege valoarea cea mai mică din următoarele măsurători:

– de la mijlocul bulbului

– la distanța de 0.015L față de perpendiculara prova

– La o distanță de 3 m față de perpendiculara prova.

Fig 2.1 Poziionarea peretelui de coliziune

Toate navele trebuie să fie prevăzute cu un perete al picului pupa (perete de presetupă), care va fi poziționat astfel încât să se asigure spațiul necesar instalației de guvernare.

În general, ceilalți pereți etanși , în funcție de tipul navei, trebuie extinși la puntea de bord liber. Cât este posibil, trebuie să cadă în dreptul unei coaste de construcție.

2.4. Lungimile compartimentelor și numărul de coaste. (Schema de compartimentare)

Picul prova:

Tabel 2.1

Compartimentul de mașini

Tabel 2.2

Tanc de decantare

Tabel 2.3

Magazia nr.1

Tabel 2.4

Magazia nr. 2

Tabel 2.5

Magazia nr.3

Tabel 2.6

Magazia nr. 4

Tabel 2.7

Magazia nr.5

Tabel 2.8

Magazia nr.6

Tabel 2.9

Magazia nr. 7

Tabel 2.10

Magazia nr. 8

Tabel 2.11

Picul prova – se extinde de la peretele de coliziune până la punctul extrem din prova navei.

Tabel 2.12

Schema de compartimentare:

Fig 2.2

Capitolul III

Eșantionajul în zona cilindrică a navei

Pentru dimensionarea elementelor de structură ce intră în componența secțiunii maestre s-a utilizat pachetul de programe POSEIDON ND v18,0,2 aparținând societǎții de clasificare Germanischer Lloyd.

Tabel 3.1 Caracteristicile navei

3.1. Date generale

În acest modul se introduc date de identificare a proiectului curent, tipul navei, clasa navei în conformitate cu Germanischer Lloyd, dimensiunile principale ale navei, date suplimentare la navele cu întărituri pentru gheață, etc. (Fig. 3.1a și b).

Fig. 3.1a Date generale de proiect

Fig. 3.1b Dimensiuni principale ale navei

3.1.1. Materiale

În acest modul se precizează caracteristicile mecanice ale tipurilor de materiale folosite la structura navei, fiind considerate lineare izotropice (Fig. 3.2).

Fig. 3.2 Materiale

3.1.2. Profile

În modul se include baza de date a profilelor folosite în cadrul proiectului curent. Se folosesc profile cu bulb HP, cornier L, teu T și platbandă FB. Din această bază de date, programul Poseidon, în procesul de dimensionare după regulile de registru Germanischer Lloyd, va selecta automat profilele folosite pe baza modulelor de rezistență minime necesare, ce includ și fâșiile de tablă adițională (Fig. 3.3).

Fig. 3.3 Profile

3.1.3. Distanțe regulamentare în sens longitudinal

În acest modul se precizează poziția perpendicularelor pupa și prova, precum și distanțele regulamentare în sens longitudinal pentru elementele transversale de osatură (Fig. 3.4).

3.1.4. Distanțe regulamentare în sens transversal

În acest modul se precizează distanțele regulamentare în sens transversal, după direcțiile Y și Z, începând de la planul diametral, pentru elementele de osatură longitudinale (Fig. 3.5).

Fig. 3.4 Distanțe regulamentare după X

Fig. 3.5 Distanțe regulamentare după Y și Z

3.2. Elementele structurale ale corpului navei

3.2.1. Elementele longitudinale functionale

În acest modul al programului, se realizează descrierea geometrică și topologică a secțiunii transversale a navei cu ajutorul elementelor funcționale (elementele longitudinale structurale), definite și introduse în baza de date a proiectului.

Pe baza elementelor funcționale, în programul Poseidon se definesc tancurile, în secțiunile transversale ale corpului navei, celule închise ce sunt folosite la descrierea elementelor transversale.

Descrierea elementelor funcționale – longitudinale se realizează în următoarele submodule:

• descrierea topologică a elementelor funcționale;

• dispunerea plăcilor de tablă pe suprafețele elementelor funcționale;

• dispunerea elementelor de osatură simplă longitudinale, ce rigidizează elementele funcționale (planșee și osatura longitudinală întărită);

• descrierea eventualelor găuri de ușurare pe inima osaturii longitudinale întărite și învelișul elementelor funcționale;

• dispunerea de elemente transversale de rigidizare (gusee, bracheți) suplimentare, în secțiunile fără osatură transversală întărită (varange, coaste cadru, traverse întărite, etc.);

• descrierea grinzilor transversale de osatură simple și întărite în zonele secțiunii transversale deschise, cum ar fi traversele de punte, coaste și montanți simpli, rame transversale, etc.

Fig. 3.6 Elemente funcționale-longitudinale

Fig. 3.7 Grosimile elementelor funcționale dimensionate după GL

Fig. 3.8 Profilele elementelor longitudinale de rigidizare dimensionate după GL

3.2.2. Elementele de osatură transversală întărită pe zonele celulare închise

În acest modul de program, se definesc structurile celulare în sens transversal, cum ar fi: varangele, diafragmele din dublu bordaj, etc.

Descrierea elementelor de osatură transversală întărită, din zonele celulare închise, se realizează în următoarele submodule:

• descrierea geometrică a celulelor închise, asociate cu tancurile din secțiunea transversală a navei, ce sunt limitate de către elementele funcționale-longitudinale.

dispunerea plăcilor de tablă pe suprafețele elementelor transversale celulare (osatură întărită transversală);

• descrierea nervurilor de rigidizare dispuse pe elementele transversale celulare;

• dispunerea eventualelor găuri de ușurare pe inima elementelor transversale de osatură celulare;

• definirea montanților pentru elementele de osatură transversale celulare și a pontililor.

Fig. 3.9 Elemente transversale celulare

Fig. 3.10 Grosimea elementelor transversale celulare dimensionate după GL

Fig. 3.11 Profilele nervurilor de rigidizare a elementelor transversale de osatură, după GL

Fig. 3.12 Dispunerea tancurilor

Fig. 3.13 Momentele încovoietoare verticale și forțele tăietoare verticale datorate valurilor

Fig. 3.14 Momentele încovoietoare și forțele tăietoare admisibile în apă calmă

Capitolul IV

Plăci plane în stare plană de tensiune

4.1. Teoria generală a plăcilor plane

4.1.1. Ipoteze. Deplasări. Deformații specifice

În teoria tehnică a plăcilor utilizată în calcule inginerești se folosesc ipotezele clasice folosite în mecanica solidului deformabil: a) ipotezele continuității și omogenității materialului; b) deși în plăci reale aparținând structurilor sudate există tensiuni și deformații remanente (numite și inițiale), în teoria tehnică a plăcilor se face abstracție de ele; c) dacă se are în vedere numai comportarea în domeniul deformațiilor elastice, se consideră valabilă legea lui Hooke.

În afara acestor ipoteze, în teoria tehnică a plăcilor se folosește ipoteza lui Kirchhoff, numită și ipoteza normalei drepte, care se enunță astfel:

Un segment de dreaptă normal pe planul median înainte de deformație:

a) rămâne segment de dreaptă și după deformație ;

b) rămâne normal la suprafața mediană a plăcii deformate ;

c) își păstrează lungimea.

Ipoteza Kirchhoff, prezentată grafic în figura 4.1, este echivalentă ipotezei secțiunilor plane a lui Bernoulli din calculul barelor.

Fig. 4.1

Pe baza figurii 4.1, se obțin relațiile

; , (4.1)

în care u, v, w sunt deplasările pe axele x, y, z ale unui punct oarecare al plăcii iar sunt uo, vo, sunt deplasările pe axele x, y ale unui punct situat în planul median al plăcii.

Folosind relațiile între deplasări și deformații specifice (relațiile lui Cauchy generalizate),

;

; (4.2)

,

rezultă expresiile deformațiilor specifice x, y, xy în funcție de deplasările plăcii:

;

; (4.3)

.

Din ipoteza lui Kirchhoff mai rezultă

yz = zx = z = 0. (4.4)

Mărimile

,

, (4.5)

,

care nu depind de z, sunt deformații specifice de membrană (egale cu x , y , xy pentru z = 0); componentele care depind de z se numesc deformații specifice de încovoiere.

Cu notațiile (4.5), relațiile (4.3) se scriu sub forma

, , . (4.6)

Eliminând deplasările uo, vo din (4.5), se obține relația de continuitate (compatibilitate) a deformațiilor specifice din suprafața mediană a plăcii,

, (4.7)

care generalizează relația lui Saint-Vénant din elasticitatea plană.

4.1.2. Tensiuni. Eforturi. Ecuații de echilibru ale eforturilor

Deformațiilor specifice (4.6) le corespund tensiunile x , y , xy = yx . Ipoteza Kirchhoff permite introducerea noțiunii de efort, ca la bare. Eforturile sau forțele secționale sunt elementele torsorului de reducere ale tensiunilor aplicate unui element de suprafață a plăcii de dimensiuni dx = dy = 1 față de centrele de greutate O1, O2 ale secțiunilor ce delimitează elementul considerat (figura 4.2).

Fig. 4.2

Eforturile echivalente tensiunilor au următoarele denumiri și unități de măsură :

Nx , Ny – forțe (eforturi) axiale sau eforturi de membrană, < F /L > ;

Nxy , Nyx – forțe (eforturi) de lunecare, < F /L > ;

Mx , My – momente încovoietoare, < FL /L > ; (4.8)

Mxy , Myx – momente de torsiune, < FL /L > ;

Tx , Ty – forțe (eforturi) tăietoare, < F /L > .

Cu notația , relațiile de echivalență au forma :

, , ;

, ; (4.9)

, , .

Echilibrul se scrie pentru eforturile Nx , Ny , Nyx , Nxy , Tx , Ty , Mx , My , Myx , Mxy

reprezentate pe forma deformată a elementului de placă. În figura 4.3, a este reprezentat elementul deformat – cu forțe exterioare (încărcări superficiale transversale p și volumice hX, hY) și eforturile-forțe pe care restul plăcii le aplică acestuia, iar în figura 4.3, b este reprezentat elementul încărcat cu eforturile-momente aplicate de restul plăcii. Sistemul de axe putând fi oarecare, se scriu ecuațiile de echilibru pe axele xo, yo, zo.

Fig. 4.3, a

Fig. 4.3, b

Din ecuațiile de echilibru ale forțelor pe axele xo, yo se obțin relațiile

, , (4.10)

iar din ecuația de echilibru a forțelor pe axa zo rezultă

. (4.11)

Din echilibrul momentelor pe axele xo, yo (v. fig. 4.3, a, b) se obține

, . (4.12)

Echilibrul momentelor pe axa zo confirmă reciprocitatea tensiunilor tangențiale.

Neglijând forțele volumice X și Y, primele două ecuații de echilibru sunt identic satisfăcute dacă eforturile de membrană Nx, Ny, Nxy se exprimă cu ajutorul unei funcții F – numită funcția lui Airy sau funcție a tensiunilor de membrană – prin relațiile

, , . (4.13)

În celelalte trei ecuații de echilibru se elimină eforturile tăietoare și forțele de membrană, obținându-se

. (4.14)

4.1.3. Relații constitutive. Ecuațiile lui Kármán

Pentru materiale izotrope liniar-elastice, relațiile între tensiuni și deformații specifice sunt date de legea lui Hooke, scrisă sub forma

, , ; (4.15)

, , ,

unde

. (4.16)

Ipoteza lui Kirchhoff, conform căreia z = 0 și z = 0, conduce la expresia , adevărată doar în cazuri cu totul particulare. Ignorând această contradicție și ținând seama și de relațiile yz = zx = 0 care decurg tot din ipoteza lui Kirchhoff (v. (4.4)), se poate scrie legea lui Hooke la plăci izotrope sub următoarele forme – inversă și directă:

, , ; (4.17)

, , . (4.18)

Înlocuind (4.6) în (4.18), se obține

, , , (4.19)

unde , sunt tensiuni de membrană iar , , sunt tensiuni de încovoiere,

, , , (4.20)

, , . (4.21)

Forma inversă a legii lui Hooke pentru suprafața mediană are forma

, , . (4.22)

Se înlocuiesc expresiile tensiunilor în relațiile (4.9) de definiție ale eforturilor, ținând seama de (4.13) și de relațiile:

, , , (4.23)

< FL >, (4.24)

unde cu D s-a notat rigiditatea plăcii. Rezultă:

, , , (4.25)

, , , (4.26)

Înlocuind (4.25) și (4.26) în (4.14) se obține prima ecuație a lui Kármán,

. (4.27)

A doua ecuație a lui Kármán se obține din ecuația (4.7), scrisă în funcție de tensiunile de membrană (v. (4.22)),

,

în care se fac înlocuirile (4.25),

. (4.28)

Introducând operatorul dublu al lui Laplace,

, (4.29)

ecuațiile (4.27) și (4.28) se scriu sub forma

, (4.30, a)

.

4.2. Plăci în stare plană de tensiuni

4.2.1. Ecuația diferențială a plăcii în stare plană

O problemă de elasticitate se numește plană, atunci când componentele stării de tensiune și ale stării de deformație sunt date de funcțiile

x = x (x, y), y = y (x, y), xy = xy (x, y), z = z (x, y), yz = 0, zx = 0 (4. 31)

x = x (x, y), y = y (x, y), xy = xy (x, y), z = z (x, y), yz = 0, zx = 0, (4. 32)

adică nu depind de z. În problema plană a elasticității, relațiile lui Cauchy devin

, , , (4. 33)

iar ecuațiile de echilibru interior sunt:

, , . (4. 34)

Legea lui Hooke la o starea plană de tensiune are forma

, , , z = 0 . (4. 35)

Neglijând forțele volumice, din relațiile (4. 34)1,2 scrise sub forma

, , (4. 36)

rezultă că există două funcții f (x, y) și g(x, y), astfel încât

, , . (4. 37)

Din (4. 37)2 se observă că există o funcție

F = F(x, y), (4. 38)

astfel încât și . Rezultă relațiile

, , , (4.39)

similare relațiilor (4.25) folosite anterior, în care F(x, y) este funcția de tensiuni a lui Airy. Fiind o consecință a ecuațiilor de echilibru, relațiile (4.39) sunt valabile pentru orice mediu (elastic, plastic etc.). Pentru o distribuție dată de tensiuni, funcția F(x, y) se definește cu aproximația unei funcții liniare în x și y – care nu influențează distribuția dată.

Înlocuind (4.39) în relația de compatibilitate a deformațiilor specifice, se obține ecuația diferențială a plăcii în stare plană,

F = 0, (4.40)

unde operatorul biarmonic al lui Laplace. Ecuația (4.40) este o ecuație biarmonică. Ea ecuație este un caz particular al sistemului Kármán, dacă se iau valori nule pentru încărcări transversale p și săgeți w (placa nu-și pierde stabilitatea datorită încărcărilor de membrană).

Pentru rezolvarea acestei ecuații este necesar a se impune condiții la limită pe conturul plăcii. Când pe contur sunt aplicate încărcări, se spune că problema este cu condiții la limită mecanice sau naturale sau tip Neumann. Dacă pe contur sunt impuse deplasări, se spune că problema este cu condiții la limită geometrice sau esențiale sau tip Dirichlet.

4.2.2. Problema plană în variabile complexe

Pentru rezolvarea plăcilor în stare plană având decupări de diverse forme, cea mai convenabilă metodă este integrarea ecuației biarmonice scrisă în variabile complexe. Folosirea reprezentării complexe este avantajoasă nu numai pentru că permite obținerea sub formă generală a soluției ecuației biarmonice și a principalelor relației ale elasticității plane, dar mai ales datorită faptului că, folosirea transformările conforme, simplifică impunerea condițiilor la limită pe frontiere cu diferite configurații.

Introducând variabilele complexe z = x + iy, , funcția Airy se scrie sub forma

, (4.41)

unde

, . (4.42)

Se transformă ecuația biarmonică în noile variabile. Folosind regula de derivare a funcțiilor compuse, se obține:

, ; (4.43)

,

, (4.44)

;

, . (4.45)

Aplicând dublul operator al lui Laplace funcției lui Airy, ecuația biarmonică devine

. (4.46)

Integrând ecuația diferențială (4.46) de patru ori succesiv, de două ori în raport cu z și de două ori în raport cu , rezultă

, (4.47)

unde , și sunt funcții arbitrare iar factorul ½ s-a introdus pentru comoditatea dezvoltărilor ulterioare. Cu notațiile

, , (4.48)

rezultă

. (4.49)

Deoarece funcția de tensiuni a lui Airy este reală, funcțiile complexe din membrul drept al relației 4.3 trebuie să fie două câte două conjugate, adică,

; , (4.50)

unde funcțiile se obțin din prin înlocuirea lui z și a tuturor coeficienților cu conjugatele lor. Înlocuind (4.50) în 4.3, rezultă soluția reală a ecuației biarmonice sub forma obținută de Goursat,

. (4.51)

Funcția Airy și deci soluția problemei plane se reduce la găsirea a două funcții de variabilă complexă, și , regulate în domeniul D ocupat de corp și satisfăcând condițiile la limită corespunzătoare.

Tensiunile se obțin din relațiile (4.39). Se calculează mai întâi derivatele de ordinul al doilea în raport cu z și ale funcției (4.51) (derivate care intervin în (4.44)),

, ;

, , .

Înlocuind în (4.44) și apoi în (4.39), rezultă

,

.

Cu notațiile

, , (4.52)

expresiile tensiunilor devin

, (4.53)

, (4.54)

. (4.55)

În rezolvarea problemelor practice sunt utile următoarele relații:

, (4.56)

, (4.57)

, (4.58)

unde Re (z) este partea reală a funcției (z). Relațiile (4.56), (4.57), (4.58) au fost obținute pentru prima dată de G. Kolossov.

4.2.3. Câteva rezolvări obținute cu ajutorul transformărilor conforme

Dacă un punct A de afix z = x + i y dintr-un domeniu d descrie o curbă , se numește transformata curbei prin funcția = f (z), curba descrisă de punctul B de afix = + i din domeniul D. Transformarea se numește conformă atunci când unghiurile se mențin, adică unghiul dintre două curbe 1 și 2 din domeniul d care trec printr-un punct z este același ca mărime și ca sens cu unghiul dintre curbele transformate 1 și 2 care trec prin . Se poate considera și transformarea inversă z = (), prin care se realizează transformarea exteriorului sau interiorului unui cerc de rază unitară în domeniul ce interesează, variabila fiind exprimată prin coordonatele polare, = e i .

4.2.3.1. Placa infinită cu o decupare circulară întinsă uniform pe o direcție

Se consideră placa infinită având o decupare circulară de rază R, pe conturul căreia nu sunt aplicate încărcări. Placa infinită cu decupare circulară se consideră încărcată cu forțe de întindere p1 aplicate pe x (figura 4.4, a).

Deoarece transformă exteriorul cercului de rază unitară în exteriorul decupării circulare de rază R, funcția () are forma deosebit de simplă

z = () = R , (4.59)

cu ajutorul căreia se pot calcula expresiile (4.56), (4.57),

, (4.60)

. (4.61)

Fig. 4.4

Dacă se ține seama că = e i și , relațiile precedente devin

, (4.62)

. (4.63)

Folosind relațiile lui Euler e i = cos + i sin , e – i = cos – i sin , se separă în relațiile precedente partea reală de cea imaginară, obținându-se

,

, (4.64)

.

Din (4.59), se obține relația între r (modulul numărului complex z) și ,

z = r e i = R = R e i , (4.65)

astfel încât din (4.64) rezultă

,

, (4.66)

.

Pe conturul decupării (r = R), se obține două componente nule,

= = 0 , (4.67)

în acord și cu condițiile la limită, iar componenta are expresia

. (2.68)

În secțiunea slăbită ( = 0,5), tensiunile au expresia

(4.69)

și sunt reprezentate grafic în figura 4.4, b.

Din ultimele două relații rezultă că, pentru = 0,5 și r = R, = 3p, deci coeficientul de concentrare a tensiunii este egal cu 3.

În tabelul 4.1 sunt date valorile raportului ( /p) = 0,5 pentru raze relative r / R = 1…2.

Tabel 4.1

4.2.3.2. Placa infinită cu o decupare circulară întinsă uniform pe două direcții

Dacă asupra plăcii acționează și încărcări p2 paralele cu axa y, relațiile precedente devin

,

, (4.70)

.

Pe conturul decupării (r = R), se obține două componente nule,

= = 0 , (4.71)

în acord și cu condițiile la limită, iar componenta are expresia

. (4.72)

La tracțiunea pe o singură direcție (p1 = p, p2 = 0), devine (2.68).

4.2.3.3. Placa infinită cu o decupare circulară solicitată la forfecare pură

Din teoria elasticității se știe că în cazul p2 = – p1 = – p, placa este supusă unei stări de forfecare pură. În acest caz, tensiunile sunt date de expresiile

. (4.73)

Coeficientul de concentrare a tensiunii are valoarea 2, deoarece

, (4.74)

iar la infinit tensiunea tangențială este

. (4.75)

4.2.3.4. Placa infinită cu o decupare eliptică

Analiza distribuției de tensiuni pentru plăci cu decupări eliptice solicitate în planul lor a permis a se obține o serie de concluzii de importanță practică. Funcția de transformare conformă în acest caz are forma

, (4.76)

în care R și m sunt constante reale și pozitive, m având valori subunitare (0 m 1). Deoarece z = x + i y, = e i = (cos + i sin ) și – 1 = – 1 e – i = – 1 (cos – i sin ), din (4.76) rezultă ecuațiile parametrice ale curbelor din planul z,

. (4.77)

Curbele corespunzătoare liniilor de coordonate = const. și = const. se obțin prin eliminarea lui respectiv din ecuațiile parametrice :

; (4.78)

. (4.79)

Curbele = const. reprezintă o familie de hiperbole iar curbele = const. reprezintă o familie de elipse cu semiaxele

. (4.80)

Cercului de rază unitară, = 1, îi corespunde elipsa cu semiaxele

a = R(1 + m) , b = R(1 – m) , (4.81)

de unde, eliminând R, rezultă valoarea parametrului m,

. (4.82)

4.2.3.4.1. Placă cu o decupare eliptică supusă unui câmp omogen de tensiuni

Se prezintă rezultatele obținute folosind funcția (4.76) în două cazuri de condiții la limită: (A) – deplasări nule pe conturul decupării ; (B) – eforturi nule pe conturul decupării.

A. Pentru placa având decupare eliptică pe conturul căreia px = py = 0, încărcată cu forțe de întindere p1 = p formând unghiul cu axa x (p2 = 0, figura 4.5), pe conturul decupării tensiunile sunt nule iar tensiunile sunt date de relația

. (4.83)

Fig. 4.5

Se observă că, pentru m < 1, numitorul fracției din expresia (4.83) este diferit de zero. El se anulează pentru = 0 și = , dacă m = 1. Valoarea m = 1 se obține pentru b = 0, adică în cazul în care decuparea degenerează sub forma unei tăieturi longitudinale. Valorile menționate pentru corespund extremităților axei mari. Dacă 0, adică încărcările p nu au direcția tăieturii, la extremitățile axei mari tensiunile devin teoretic infinite (practic, tensiunile rămân limitate, datorită deformării tăieturii și faptului că legea lui Hooke este valabilă pentru valori limitate ale tensiunilor).

Cazuri particulare

1. Întindere în lungul axei mari ( = 0, figura 4.6).

Tensiunile la extremitățile axei mari ( = 0 / ) au valorile = – p iar la extremitățile axei mici ( = /2, 3/2) sunt date de expresia

. (4.84)

Fig. 4.6

2. Întindere în lungul axei mici ( = /2, figura 4.7).

Tensiunile care apar la extremitățile axei mici ( = /2, 3/2) au valorile = – p iar la extremitățile axei mari ( = 0 / ) sunt date de expresia

. (4.85)

Se observă că, în cazul aplicării întinderii p în lungul axei mici (elipsă dispusă cu axa mare transversal față de direcția de solicitare), tensiunile la extremitățile axei mari au valori mai mari decât 3p, ele devenind foarte mari pe măsură ce elipsa se aplatizează. Acest aspect trebuie avut în vedere la dispunerea decupărilor, atunci când acestea sunt necesare.

Fig. 4.7

3. Forfecare prin forțe de lunecare paralele cu axele elipsei (figura 4.8). O astfel de încărcare apare la solicitarea plăcii cu forțe p1 = p pe direcția = /4 și cu forțe p1 = – p pe direcția = 3/4.

Fig. 4.8

Prin suprapunerea rezultatelor care se obțin din relația (4.83) aplicată succesiv încărcărilor p1 și p2 , pentru tensiunile pe conturul decupării se obține expresia

, (4.86)

având valori extreme în puncte dispuse în poziții intermediare față de extremitățile axelor decupării. Acest fapt este confirmat de experimente efectuate la fisurarea tablelor prevăzute cu decupări eliptice supuse la forfecare. Poziția punctelor de valori maxime ale tensiunilor se obține prin anularea derivatei funcției (4.86). Efectuând aceste calcule simple, se obține:

. (4.87)

Se observă că cele mai mici valori ale () max apar la decupări circulare (m = 0) iar odată cu aplatizarea decupării (m 1), aceste tensiuni cresc foarte rapid. În cazul unei tăieturi longitudinale (m = 1), se pot produce fisuri la valori moderate p, și ele apar la extremitățile tăieturii, așa cum rezultă din relația (4.87)1.

B. Pentru placa plană având o decupare eliptică cu deplasări nule pe contur (u = v = 0), la extremitățile axei mari ( = 0, ) suma tensiunilor normale este dată de relația

, , (4.88)

în cazul în care placa este întinsă paralel cu axa mare ( = 0) de încărcările p. Dacă placa este întinsă paralel cu axa mică ( = /2) de încărcările p, suma tensiunilor normale la extremitățile axei mari ( = 0, ) are expresia

. (4.89)

Se observă că, în ambele cazuri, suma tensiunilor normale tinde către valori foarte mari (teoretic infinite) odată cu alungirea decupării (b 0, m 1). Rezultă că un miez rigid fixat pe conturul unei decupări alungite (miez care împiedică modificarea formei inițiale a decupării) introduce concentrări mari de tensiuni la extremitățile axei mari. Acest efect este o cauză a apariției fisurilor la traversarea sudată a unei plăci de un profil de rigidizare, fapt ce impune măsuri constructive speciale (cum ar fi practicare în tablă a unei decupări rotunjite, cu contur mai mare decât conturul secțiunii profilului).

4.2.3.4.2. Placă cu o decupare eliptică supusă la încovoierea în planul ei

O astfel de situație apare la inimile înalte ale grinzilor solicitate la încovoiere, prevăzute cu decupări tehnologice sau de ușurare (Fig. 4.9).

Fig. 4.9

Starea de tensiune în placa fără decupare este caracterizată de

, (4.90)

căruia îi corespunde funcția lui Airy

. (4.91)

Folosind funcția de transformare (4.76), pentru tensiunile de pe conturul decupării se obține relația

. (4.92)

Se calculează tensiunile la extremitățile axelor elipsei.

La extremitățile axei mari, unde = 0, , se obține

. (4.93)

La extremitățile axei mici ( = /2 și 3/2) se obține (se ține seama și de relația (4.81), R(1 – m) = b)),

. (4.94)

Având în vedere relația (4.90) (v. și Fig. 4.9), rezultă că multiplicatorul valorii o b/h ce apare la nivelul marginii superioare a decupării, în secțiuni suficient de depărtate, poate fi privit ca fiind coeficientul de concentrare a tensiunilor în zona decupării,

. (4.95)

Coeficientul de concentrare a tensiunilor are cea mai mare valoare, egală cu 2, pentru decupări circulare (la care m = 0). În cazul unei tăieturi longitudinale (m = 1), nu există nici un efect de concentrare a tensiunilor.

Soluția prezentată este suficient de exactă pentru h/b > 3. În astfel de cazuri efectul de concentrare nu este periculos deoarece tensiunile la nivelul extremităților axei mici, amplificate cu coeficientul de concentrare, au valori inferioare tensiunii maxime o din fâșia de tablă de grosime h. Ca o concluzie practică, rezultă că decupările de mici dimensiuni în inimile grinzilor nu sunt periculoase la încovoiere pură (în absența forțelor tăietoare). Trebuie însă evitată practicarea decupărilor în secțiunile în care apar forțe tăietoare mari, deoarece, conform relației (4.87)2 , pot apare tensiuni periculoase în zona de concentrare maximă a tensiunilor.

4.3. Rezolvarea plăcii plane prin metoda elementului finit

4.3.1. Prezentarea generală a metodei elementului finit (MEF)

Calculul prin metode analitice a plăcilor având o configurație oarecare și prezentând diverse decupări este dificil de realizat, în astfel de situații apelându-se la diverse metode numerice, cea mai frecvent utilizată fiind metoda elementului finit (MEF). Mai mult decât atât, chiar și în cazurile în care se pot obține soluții analitice, apar o serie de limitări cum ar fi considerarea plăcii decupate de dimensiuni infinite, restricționări în impunerea condițiilor la limită etc. În plus, plăcile pot avea decupări de forme diferite de cea circulară sau eliptică, ele putând fi analizate numai prin MEF.

Ideea MEF constă in modelarea domeniului studiat printr-un ansamblu de elemente cu dimensiuni finite, conectate între ele într-un număr de puncte nodale în care se caută soluția. Operația se numește discretizare în elemente finite. La plăci în stare plană de tensiune, în punctele nodale ale elementelor finite se determină în general deplasările u și v – care se numesc deplasări generalizate sau grade de libertate. Conexiunea între elemente se realizează în procesul de asamblare, care constă în scrierea ecuațiilor de echilibru ale nodurilor în care sunt aplicate forțe exterioare date și forțele de interacțiune între elemente – numite forțe generalizate. Relația între deplasările generalizate și forțele generalizate ale unui element se realizează prin intermediul matricei de rigiditate, obținută de obicei pe baza metodelor Ritz sau Galerkin.

Funcțiile fundamentale care aproximează câmpul de deplasări în interiorul fiecărui element finit se numesc funcții de formă sau de interpolare. Este recomandabil ca funcțiile de formă să prezinte izotropie geometrică (simetrie în raport cu coordonatele x, y). Ansamblul de elemente finite trebuie să satisfacă echilibrul și continuitatea atât la noduri, cât și în interiorul și pe frontierele dintre elemente. Prin însăși ideea metodei, cerințele de echilibru și de continuitate la noduri sunt întotdeauna satisfăcute. Satisfacerea integrală a cerințelor de echilibru și de continuitate în interiorul și la frontierele dintre elemente este dependentă de modul de alegere a funcțiile de formă. Când cerința de continuitate la frontierele dintre elemente nu poate fi satisfăcută integral, se recurge la îndesirea nodurilor, deci la reducerea distanțelor dintre noduri – unde cerințele de continuitate sunt satisfăcute. Dacă se efectuează mai multe rezolvări succesive a unei probleme, reducând de fiecare dată dimensiunile elementelor finite (mărind numărul de noduri) se obține o serie de soluții aproximative. Această serie converge către soluția exactă dacă: a) deplasările de rigid și deformațiile specifice rămân cu valori finite atunci când dimensiunile elementelor tind către zero; b) este asigurată continuitatea tuturor deplasărilor pe interfețele dintre elemente învecinate. Elementele care satisfac aceste condiții se numesc compatibile sau conforme. La modele de deplasare, elementele conforme asigură convergența prin valori inferioare, adică structura reală este mai rigidă decât cea reală. Aceasta se explică prin aceea că funcțiile de formă introduc condiții forțate de continuitate la interfețele dintre elemente, ceea ce face mai rigid modelul cu elemente finite. Elementele ce satisfac numai prima cerință se zice că satisfac cerința de completitudine sau complinire. Nefiind forțată continuitatea inter-elementală, aceste modele sunt mai relaxate. Prin folosirea lor se obțin frecvent rezultate acceptabile, uneori surprinzător de bune, fără însă a ști apriori sensul de convergență.

În prezentările uzuale ale MEF se urmăresc în principal următoarele etape:

– introducerea datelor generale privind geometria, materialul și interacțiunile structurii cu exteriorul – sarcini și legături; discretizarea în elemente finite;

– obținerea matricelor de rigiditate și a vectorilor sarcinilor reduse la noduri pe baza funcțiilor de formă acceptate de obicei pentru câmpul de deplasări;

– asamblarea elementelor, implementarea condiții la limită și rezolvare sistemului de ecuații;

– determinarea deplasărilor și stării de tensiune și deformație în fiecare element finit.

Aceste etape diferă de cele parcurse în analize concrete efectuate pe baza unor programe existente, când utilizatorul este interesat efectiv numai de prima și ultima etapă (etapele de pre- și post-procesare). Celelalte două etape au fost parcurse de softiștii care au elaborat programul propriu-zis de rezolvare.

În absența efectelor termice, a deformațiilor specifice și tensiunilor inițiale, ecuația de echilibru a unui element finit e, care realizează legătura între forțele nodale și deplasările nodale , se scrie sub forma

, (4.96)

unde este matricea de rigiditate a elementului finit iar este matricea coloană a sarcinilor distribuite reduse la noduri. Ele se obțin cu relațiile generale

, (4.97)

, (4.98)

unde este matricea constantelor elastice ale materialului, este matricea de legătură între deformații specifice și deplasări nodale ale elementului de placă, este matricea funcțiilor de formă iar și sunt forțe distribuite pe suprafața respectiv volumul elementului finit e.

Procesul de obținere a ecuațiilor de echilibru pentru o structură care a fost discretizată în elemente finite se numește asamblare. Asamblarea se poate realiza prin examinarea succesivă a nodurilor sau a elementelor finite. Dacă se izolează fictiv nodurile modelului discret, asupra lor acționează forțele transmise nodurilor de elementele finite, forțele exterioare , precum și forțele aplicate nodurilor de legături (care pot fi elastice sau rigide), definite într-un sistem global de referință. Ecuația de echilibru a tuturor nodurilor structurii este

, (4.99)

sau

, (4.100, a)

sau

, (4.100, b)

unde

, (4.101, a)

și

, (4.101, b)

în care prin s-a notat matricea de rigiditate a structurii (care include atât rigiditățile ale elementelor finite cât și pe cele ale legăturilor elastice). Prin matricea sunt aplicate condițiile la limită geometrice iar prin vectorii și condițiile la limită mecanice.

Prin rezolvarea ecuațiilor (4.100) se obțin deplasările nodurilor, după care se obțin eforturile și tensiunile în toate elementele finite.

4.3.2. Element dreptunghiular de placă în stare plană cu deformații specifice liniare

În funcție de forma funcțiilor de formă acceptate pentru câmpul de deplasări în interiorul elementelor de placă în stare plană, se pot obține diferite elemente finite. Cu notațiile din figura 4.10 și folosind polinoamele Lagrange de gradul întâi, deplasările u, v ale unui punct oarecare din interiorul elementului pot fi scrise sub forma

u (x, y) = N1 (, )1 + N2 (, )3 + N3 (, )5 + N4 (, )7 ; (4.102, a)

v (x, y) = N1 (, )2 + N2 (, )4 + N3 (, )6 + N4 (, )8 , (4.102, b)

unde funcțiile de formă sunt date de relațiile

N1 = (2 – )(2 – ) ; N2 = (2 – ) ; N3 = ; N4 = (2 – ) , (4.103)

în care coordonatele adimensionale și sunt date de expresiile

. (4.104)

Matriceal, relațiile (4.102) au forma

, (4.105)

unde

. (4.106)

Fig. 4.10

Se observă că funcțiile de formă satisfac relațiile :

N2 (0, 0) = 0 , N2 (2, 0) = 1 , N2 (2, 1) = 0 , N2 (0, 1) = 0 ;

N1 (0, 0) = 1 , N1 (2, 0) = 0 , N1 (2, 1) = 0 , N1 (0, 1) = 0 ;

N3 (0, 0) = 0 , N3 (2, 0) = 0 , N3 (2, 1) = 1 , N3 (0, 1) = 0 ;

N4 (0, 0) = 0 , N4 (2, 0) = 0 , N4 (2, 1) = 0 , N4 (0, 1) = 1 .

Matricele și pentru acest element au expresiile

, (4.107)

. (4.108)

Se observă că elementele matricei , deci și deformațiile specifice, depind liniar de x și y. Din acest motiv, elementul se mai numește LSR (Linear Strain Rectangle).

Introducând și în (4.97), se obține matricea de rigiditate a elementului LSR.

Matricea tensiunilor (din ) are forma

, (4.109)

unde .Tensiunile au variație liniară în interiorul elementului. În nodurile elementului,

, (4.110)

unde

(4.111)

Pentru o placă discretizată în elemente finite, tensiunile se dau de obicei în noduri. Ele se obțin prin medierea valorilor obținute pe baza relațiilor (4.110), aplicate pentru toate cele patru elemente ce conțin nodul respectiv.

4.3.3. Calculul prin MEF a plăcii în stare plană având o decupare eliptică, folosind programul COSMOS/M

În COSMOS/M ELEMENT LIBRARY sunt mai multe elemente disponibile. Elementele bidimensionale PLANE2D și TRIANG pot fi folosite pentru plăci în stări plane de tensiune și deformație, precum și pentru probleme axial simetrice (Fig. 4.11). Se pot folosi însă și elementele mai complexe Quadrilateral Thin sau Thick Shell (SHELL4, SHELL4T) ori Triangular Thin sau Thick Shell (SHELL3, SHELL3T)), cu ajutorul cărora se pot analiza nu numai plăci în stare plană dar și plăci spațiale în stare de membrană și încovoiate (Fig. 4.12).

Fig. 4.11

Fig. 4.12

În prezentarea analitică efectuată cu ajutorul funcțiilor de variabilă pentru placa având decupare eliptică, s-a arătat că în cazul tracțiunii perpendiculare pe axa mare a decupării, coeficientul de concentrare are valori 3, crescând pe măsură ce elipsa se aplatizează. Se consideră o placă cu grosimea h = 1 mm, de dimensiuni 100 100 mm, întinsă cu p = 100 MPa aplicată pe axa x și prevăzută cu o decupare eliptică de semiaxe 20 10 mm. Conform (4.85), pentru a/b = 20/10, la extremitatea axei mari a plăcii infinite apare concentratorul

. (4.112)

Pentru placa cu dimensiunile menționate, modelată ca în figura 4.13, distribuția de tensiuni este dată în figura 4.14, din care rezultă un coeficient de concentrare egal cu 6,65, mai mare față de valoarea teoretică – așa cum era de așteptat – datorită dimensiunilor finite ale plăcii.

Fig. 4.13

Fig. 4.14

Capitolul 5

Determinarea deformațiilor și stării de tensiuni a panoului de dublu bordaj la o navă de tip petrolier

5.1. Scopul studiului

Pentru structura simplificată a panoului de dublu bordaj din zona centrală, pe lungimea a trei magazii la o navă de tip petrolier de 100000 tdw, din fig. 5.1., se determină deformațiile si stările de tensiuni, printr-o analiza FEM statică.

5.2. Dimensiunile principale ale navei

Geometria și grosimile sunt corespunzătoare fiecărui element în parte conform eșantionajului și sunt reprezentate în fig. 5.2.

Fig. 5.2

5.3. Generarea și analiza modelului

Realizarea modelului s-a făcut cu ajutorul punctelor, curbelor, suprafețelor și elementelor în următoarea desfășurare:

Modelarea varangei întărite

Modelarea varangei etanșe

Modelarea stringherilor de bordaj

Modelarea longitudinalelor de pe bord

Modelarea longitudinalelor de pe dublu bord

Modelarea longitudinalelor de pe stringheri

Modelarea învelișului bord

Modelarea învelișului dublu bord

Extinderea elementelor pe lungimea a trei magazii, la o distanță de 4 intervale costale.

S-au definit un număr de 8 grupuri de elemente. Elementele de placă utilizate sunt de tipul Plate Quad, 4-noded. (Tabel 5.1)

Tabel 5.1

5.3.1. Caracteristicile materialului

Materialul folosit la realizarea modelului este un oțel de tip A având caracteristicile prezentate în fig. 5.3.

Fig. 5.3

5.3.2. Geometrie și mesh

Discretizarea a fost parametrică pentru obținerea unei scheme eficiente de integrare.

Numărul de noduri este de 139764.

Numărul de elemente este de 143520.

Fig. 5.4 Varangă întărită

Fig. 5.5 Varange etanșe și varange întărite

Fig. 5.6 Stringheri

Fig. 5.7 Elemente de osatură

Fig. 5.8 Înveliș interior și înveliș exterior

Fig. 5.9 Model FEM complet

5.3.3. Condițiile de margine

Condițiile de margine sunt următoarele (fig. 5.10):

condiția de blocare a deplasărilor longitudinale, transversale, orizontale a stringherului de la bază aflat în continuarea dublului fund (Ux,Uy,Uz=0);

condiția de blocare a deplasărilor transversale la intersecția dintre învelișul dublului bord și peretele transversal al magaziei (Ux=0);

condiția de blocare a deplasărilor transversale la intersecția dintre punte și învelișul dublului bord (Ux=0).

Fig. 5.10

5.3.4 Sarcini aplicate modelului

Se studiază cazul în care nava se află în apă calmă iar sarcinile sunt reprezentate în fig. 5.11

Pe învelișul exterior acționează presiunea hidrostatică din apă (ρ=1.025 t/m3) pentru un pescaj al navei de T=14850 mm ce corescpunde în acest caz cu înălțimea de 8550 mm pe bord. Se folosește următoarea secvență de instrucțiuni FEMAP:

− Tools / Define Variables

Variable name: !EL

Value of Equations: ACTID(9) – funcția de identificare a elementelor din baza de date

<OK>

− Model / Load / Elemental / Pressure

Direction: Normal to Element Face

Method: Variable

Advanced / Variable: EL

Value / Pressure: 0.01*(8550.-YEL(!EL))/1000. – presiunea din apă (Y-vertical)

Selection Info / Face: 1

<OK>

Pe dublul înveliș acționează presiunea hidrostatică din marfă (ρ=0.9 t/m3), pentru o cotă de referință H=15000 mm. Se folosește următoarea secvență de instrucțiuni FEMAP:

− Model / Load / Elemental / Pressure

Direction: Normal to Element Face

Method: Variable

Advanced / Variable: EL

Value / Pressure: 0.009*(15000.-YEL(!EL))/1000. – presiunea din marfă (Y-vertical)

Selection Info / Face: 1

<OK>

Fig. 5.11

5.3.5 Rezultate obținute în urma analizei prin MEF

A. Rezultatele obținute în apă calmă

Fig. 5.12 Tensiuni VonMises pe varange întărite

Fig. 5.13 Tensiuni VonMises pe varange etanșe

Fig. 5.14 Tensiuni VonMises pe stringheri

Fig. 5.15a Tensiuni VonMises pe elementele de osatură

5.15b Evidențierea tensiunilor maxime pe elementele de osatură

Fig. 5.16 Tensiuni VonMises pe bordaj

Fig. 5.17 Tensiuni VonMises pe dublu bord

Fig. 5.18a Tensiuni VonMises pe model

Fig. 5.18b Tensiuni VonMises pe model

Fig. 5.19 Deformații ale varangelor

Fig. 5.20 Deformații ale elementelor de osatură

Fig. 5.21a Deformații ale modelului

Fig. 5.21b Deformații ale modelului

B. Se studiaza diferențele de tensiuni din primele 3 varange întarite între structura cu decupări tehnologice nebordurate și structura cu decupări bordurate.

Fig. 5.22 Evidențierea bordurărilor

Fig. 5.23 Dispunerea nodurilor luate în analiză

Tabel 5.2

Variația tensiunilor în primele 3 varange întărite sunt reprezentate în graficele de mai jos:

Pe baza calculelor din Tabelul 5.1 se reprezintă grafic diferențele de variație a tensiunii intre nodurile aflate pe pozitii similare în zona decupărilor tehnologice bordurate si cele nebordurate din primele 3 varange cu inimă de la baza dublului bord (Fig. 5.1, 5.2, 5.3, 5.4).

Fig. 5.1

Fig. 5.2

Fig. 5.3

Fig. 5.4

5.4. Concluzii

În urma analizei FEM a structurii s-a constatat faptul că zonele cu concentratorii de tensiune nu depășesc tensiunea admisibilă de curgere a materialului utilizat ReH=235 N/mm2.

Din analiza datelor tabelate mai sus (Tabelul 5.2) se poate vedea că bordurarea are o influență foarte puternică, asupra variației stării de tensiune, local în zona decupărilor tehnologice.

Se recomandă folosirea bordurărilor la decupările de ușurare deoarece tensiunile scad considerabil, eliminându-se astfel riscul apariției de tensiuni periculoase. Așa cum se poate vedea din tabelele de mai sus, reducerea tensiunilor în zona decupărilor tehnologice, reduceriscul apariției și propagări fisurilor înacele zone.

Bibliografie