PROI ECT DE ACTIVITATE DIDACTIC Ă INSTRUCTIV FORMATIV [624887]

1
PROI ECT DE ACTIVITATE DIDACTIC Ă INSTRUCTIV —FORMATIV

Unitatea de învățare : INDUC ȚIA MATEMATIC Ă
Aria curricular ă : Matematic ă si Științe.
Tipul unit ății de învăț are : Dobândire de noi cunoștințe.
Timpul de lucru : 4 ore .
Scopul temei: Dezvoltarea interesului pentru învăț area inducție i
matematice si aplicarea acesteia în contexte variate . Rezolvarea
problemelor variate cu ajutorul raț ionamentului inducție i
matematice.
Competenț e generale :
C1. Identificarea datelor si rela țiilor tipului de propoziț ii matematice
si cor elarea lor în contextul defini ției.
C2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural,
contextual din enun țurile propozițiilor matematice.
C3. Utilizarea algoritmilor si conceptelor din propoziț iile matematice
pentru cara cterizarea local ă sau global ă a unei situații concrete.
C4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative
ale unei situații concrete deduse cu ajutorul raționamentului
inducției matematice.
C5. Analiza si interpretarea caracteristicilor matematice ale unei
situații – problemă.
C6. Modelarea matematic ă a unor contexte problematice variate,
prin integrarea cunoștinț elor din diferite d omenii.

2

Competen țe specifice:
C1. Diferențierea problemelor în funcție de num ărul de soluții
admise.
C2. Identificarea tipului de formul ă de numărare adecvat ă unei
situații – problemă date.
C3. Utilizarea unor formule matematice în raționamente de tip
inductiv .
C4. Exprimarea caracteristicilor unor probleme în scopul simplific ării
modului de num ărare .
C5. Interpretarea unor situații problemă cu conținut practic cu
ajutorul ra ționamentului inducție i matematice.
C6. Alegerea strategiilor de rezolvare a unor situații practice în scopul
optimizării rezultatelor.

Obiective opera ționale (acele competen țe dobândite de c ătre elevi la
sfâșitul lecției predate ):
O1- elevii vor fi capabili s ă identifice o situa ție problem ă care poate fi
transpusă intr-un limbaj matematic adecvat; să înțeleagă formularea
unei propoziț ii matematice (unui adev ăr matematic) depen dentă de
o variabilă n, număr natural 1,2,3,…,n,n+1,….

3
O2- să selecteze din mul țimea datelor culese, informa ții relevante
pentru rezolvarea de probleme;
O3 – să manifeste interes pentru folosirea tehnologiei infor mației în
studiul matematicii;
O4 – să identifice corect propoziț ia matematic ă dependent de un
număr natural oarecare n;
O5 – să realizeze valabilitatea unei propoziț ii matematice d e la
particular la general ;
O6 – aplicație practică: să folosească corect toate ipotezele
propoziț iei matematice , p ână la un moment dat pentru a trece la
pasul urm ător;

Strategii de instruire didactică :
S1 – strategie deductiv ă prin descoperire semidirijat ă frontal
combinat ă cu activitatea de grup, pe baza unui con ținut structurat
pe parcurs ;
S2 – inductiv – analogică pe baza unor procedee de tip explicativ
investigative, semidirijate frontal si combinate cu activitatea de grup
prin metoda mozaicului;
S3 – strategie algoritmic –analogică , respectiv analogic – deductivă
pentru rez olvarea independent ă și individual ă a itemilor propu și
pentru evaluarea și realizarea feed – backului pr intr -un test .

4
Forme de evaluare :
1) Observare sistematic ă – se realizeaz ă pe parcursul lec ției prin
răspunsurile pe care le dau elevii la intreb ări și în rezolvarea
problemelor propuse, an alizând volumul ș i calitatea cuno ștințelor
însușite, gândirea logic ă a elevilor ș i posibilitatea de sinteză,
abilitatea aplic ării cunoștinț elor în practică, expunerea logic ă a
ideilor, modul de participare al elevilor la lec ție.
2) Evaluare prin aplicarea unui test prin diverse forme de
activitate, evaluare formativ ă-fisă de muncă independent ă,
lucrul pe grupe .

Momentul organizatoric este realizat prin verificarea prezen ței
elevilor și condițiilor optime de desf ășurare a lec țiilor.
În una din ore trebuie să fie necesar ă prezența unui retroproiector ș i
a unui computer , sau prezen ța într-un laborator de informatic ă.
Anunțarea temei ș i a obiectivelor este foarte important ă pentru
evenimentul capt ării atenției elevilor, ș i anume profesorul subliniaz ă
scriind pe tablă, ce se propune pentru aceast ă lecție.
Pentru a capta aten ția elevilor se poate începe cu câ teva sublinieri
din partea unor mari matematicieni pentru ra ționamentul inducție i
matematice. Spre exemplu matematicianul Miron Nicolescu spunea
că “ Principiul inducție i complete constituie unul din cel mai puternic
raționament de demonstra ție în matemati că”.
Acest raționament apare pentru prima dat ă la Pascal folosindu -l în
demonstrarea formulei combin ărilor pe care -l descrie astfel:

5
“ Deși această propoziț ie conține infinit de multe cazuri, voi da o
demonstra ție foarte scurt ă care presupune dou ă Leme. Prima Lem ă
afirmă că pentru prima linie propoziț ia este adevarat ă. Lema a doua
afirmă că dacă propoziț ia se dovede ște adevarat ă pentru o linie
oarecare atunci propoziț ia este valabil ă și pentru linia urm ătoare”.
Sigur putem spune c ă este o vari antă apropiată de studiul inducție i
de astăzi.

Scurt istoric . Prima demonstra ție prin inducție matematic ă apare
pentru progresii aritmetice în cartea “al -Fakhri” scrisă de al Karaji în
jurul anului 1000 IH. Propriet ăți ale triunghiului lui Pascal sunt de
asemenea demonstrate aici.
Nici unul dintre matematicienii antichit ății nu au considerat principiul
inducție i matematice ca de sine st ătător.
Prima prezentare expli cită apare în lucrarea Arithmeticorum libri duo
(1575) a lui Francesco Maurolico care demonstreaz ă că suma
primelor n numere impare este n 2 . Formularea principiu l inducție i
matematice apare în lucrarea lui Pascal Traité du triangle
arithmétique (1665).
Apoi p rin Fermat, Jacob Bernoull i principiul inducție i este extins ,
folosit în demonstra ții. Secolul al XIX -lea aduce studiul sistema tic al
acestui principiu în logica matematic ă prin matematicienii George
Boole , Charles Sanders Peirce , Giuseppe Peano și Richard Dedekind .

6
Astăzi metoda inducție i matematice este apli cată în cele mai variate
probleme de matematic ă, devenind un instrument uzual si eficace.
Modalitatea de a ob ține cunoștinț e științifice noi, din cele deja
cunoscute o constituie ra ționamentul inducție i matematice.
Raționamentul deductiv , adic ă raționamentul demonstrativ al
inducție i face trecerea de la general la particular.
Rezultatele ob ținute sunt certe însă au un caracter particular.
Raționamentul inductiv (unul din ra ționamentele plauzibile) are
marea importan ță pentru faptul c ă ne conduce pe baza unor situații
particulare cunoscute la concluzii generale , care ar putea însă să nu
fie adevărate.

Principiul inducție i matematice const ă în a demonstra că o propoziț ie
P(n) este adev ărată pentru orice num ăr natural n dac ă se verifică
condițiile:
1) propoziț ia este adev ărată pentru n=n 0.
2) Presupun ând că propoziț ia este adev ărată pentru un n=k
oarecare se demonstreaz ă că propoziț ia este adev ărată pentru
n=k+1. Acesta fiind efectiv pasul de inducție și de alt fel cel mai
important. Pe scurt : scriem că P(k) P(k+1) .
Astfel putem face afirma ția că propoziț ia este adev ărată pentru orice
număr natural n aplicând raționamentul inducție i matematice.

Aplicație:
Celebra Sum ă a lui Gauss, care a f ăcut î nconjur ul lumii !!

7
Carl Friedrich Gauss(39 Aprilie 1777 -23 Februarie 1855),
este consi derat cel mai mare matematician , geniu, după Arhimede.
Cartea care a intemeiat teoria modern ă a numerelor este :
” Disquitiones Arithmeticae” pub licată în anul 1801. Suma Gauss este
atribuită lui Gauss, copil fiind, acest rezultat matematic fiind cunoscut
încă din antichitate în China prin numerele triunghiulare n(n+1):2.
Acest num ăr este egal cu un num ăr de puncte format din triunghiuri
echilaterale aleg ând pe laturile sale un num ăr de puncte care
formează alte triunghiuri echilaterale.

P(n): 1+2+3+…+n =
, .
Conform ra ționamentului suntem siguri c ă proprietatea poate fi
adevarată dacă verificăm primul pas al inducție i pentru n=1, anume
Dacă P(1) este adev ărată: 1 =
, astfel 1=1.
Trecem la pasul de inducție P(k) P(k+1).
Vom scrie pentru început cine este P(k), înlocuind n=k în propoziț ia
dată P(n) obținem:
P(k): 1+2+3+…+k =
, pentru orice k .
Demonstr ăm în continuare c ă pentru n=k+1 propoziț ia este
adevărată:
P(k+1): 1+2+3+…+k+(k+1)=
.
Conform presupunerii c ă P(k) este adev ărată vom studia membrul
stâng din P(k+1) : 1+2+3+…+k+(k+1) =
+(k+1) =
.

8
Astfel am demonstrat c ă P(k+1) este adev ărată. Conform metodei
inducție i matematice P(n) este adev ărată pentru orice n .

Aplicaț ie:
Pentru o mai bun ă ințelegere se lucreaz ă cu elevii suma pătratelor
numerelor naturale.
P(n): 12+22+32+…+n2 =
, .
Verificare: P(1): 12=
1=
adevărat.
Presupunem c ă P(k): 12+22+32+…+k2 =
este adev ărată.
Demonstr ăm că P(k+1) : 12+22+32+…+k2+(k+1)2 =

este adev ărată.
Vom considera membrul stâ ng al propoziț iei P(k+1) si vom ar ăta că
12+22+32+…+k2+(k+1)2 =
+ (k+1)2 =
= (k+1)
=(k+1)
=
.
Astfel am demonstrat c ă si P(k+1) este adev ărată. Conform metodei
inducție i matematice P(n) este adev ărată pentru orice n .
Exercițiu pentru elevi ar putea fi considerat exemplul sumei cuburilor
a n numere naturale , și anume
P(n): 13+23+33+…+n3 =
2 . Astfel ne asigur ăm că
elevii au in țeles cu siguran ță raționamentul inducție i matematice.
OBSERVATIE

9
Subliniem faptul c ă nu este permis ș i corect să formulăm
demonstra ția astfel: presupunem c ă pentru orice n
propoziț ia P(n) este adev ărată și să arătăm că în această ipoteză este
de asemenea adev ărată și propoziț ia P(n+1) pentru orice n ,
pentru că în acest caz presupunerea c ă oricare ar fi n , P(n) este
adevarată, este chiar concluzia.
Ca aplicații ale inducție i matematice în aritmetică putem alege câ teva
probleme de divizibilitate.
PROBLEMA 1.
Să se arate c ă numărul 2n +1 nu se divide cu 7 pentru orice n num ăr
natural.

PROBLEMA 2 .
Determina ți toate numerele naturale n care indeplinesc condi ția că
2n -1 se divide cu 7.
PROBLEMA 3 .
Arătați că +13 se divide cu 15 dac ă n este num ăr natural impar.
PROBLEMA 4 .
Arătați ca 7n-1 este multiplu de 6 pentru orice n .
PROBLEMA 5 .
Arătați ca 72n+1+1 este multiplu de 8 pentru orice n număr natural.
PROBLEMA 6 .

10
Arătați că 4n+15n -1 este multiplu de 9 pentru orice n .
Soluție:
Fie P(1): 4+15 -1=18 multiplu de 9.
Presupunem c ă P(k): 4k+15k -1 este multiplu de 9.
Demonstr ăm că P(k+1): 4k+1+15(k+1) -1 este multiplu de 9.
Fie 4k+1+15(k+1) -1 = 4·4k+15k+15 -1 = 3·4k+4k+ 15k+15 -1 =
=( 4k+15k -1)+3·4k+15 = =( 4k+15k -1)+3·(4k+5)
Demonstr ăm că (4k+5)este multiplu de 3 aplic ând to t raționamentul
inducție i matematice, si anume:
P(1): 4+5 = 9 adev ărată, adică 9 este multiplu de 3.
Arătăm că P(k) P(k+1). Adic ă dacă P(k) este adev ărată atunci si
P(k+1): 4k+1+5 e ste multiplu de 3, ceea ce arat ă că P(k+1) este
adevărată. Avem astfel 4·( 4k+5) = 4k+1+20 = (4k+1+5)+15 care este
multiplu de 3. Astfel am demonstrat c ă și P(k+1) este adev ărată.
Conform metodei inducție i matematice P(n) este adev ărată pentru
orice n .
PROBLEMA 7 .
Arătați că 3n≥n3 pentru orice num ăr natural n≥3.
PROBLEMA 8 .
Arătați că 2n≥n2 pentru orice num ăr natural n≥4.
PROBLEMA 9 .
Arătați că 2n≥n4 pentru orice num ăr natural n≥16.

11
ATENTIE Nu orice inegalitate se poate demonstra prin inducție
matematic ă datorită suficienței:
Fie P(n):

.
Avem P(k):

adevărată și studiem dac ă
P(k+1):

este adevărată.
Adunâ nd la P(k):

cu
rezultă că

+
ceea ce contrazice P(k+1).
Observăm că există situații în care ipoteza de inducție nu poate fi
construită în așa fel incât să poată fi folosită în demontra ții pentru
anumite inegalit ăți.

INDUCȚIA TARE – VARIANTE ALE INDUCȚIEI
MATEMATICE

Inducț ia tare, reprezintă o noțiune adesea folosită pentru a desemna
un raț ionament echivalent inducție i standard , în care ipoteza de
inducție pentru o singură variabilă este inlocuită cu cea în care se
presupun adevarate mai multe astfel de propoziț ii.
Astfel gândim că P(n 0) este adevarată, verificând că această
propoziț ie este adevărată pentru n=n 0. Demonstrăm apoi că dacă
propoziția este adevarată pentru orice numă r natural m mai mic sau

12
egal cu n (n 0≤m≤n). Atunci propoziția este adevărat și pentru n+1.
Rezultă că propoziț ia este adevarata pentru orice n≥n0.

EXEMPLU 1
Fie relaț ia a n+1= 3a n – 2an-1 ; a 1= 3; a 2=5
Demonstrați că an= 1+2n,pentru orice n ≥1.
SOLUȚIE Verificăm relaț iile pentru n=1: a 1=1+2 =3. a2= 1+22=5.
Presupunem că relația este adevărată pentru orice număr k≤n și
demonstrăm că pentru k=n+1 este îndeplinită relaț ia an+1= 1+2n+1;
Într-adevăr avem că an+1= 3a n – 2an-1 = 3(1+2n)-2(1+2n-1)=
= 3+3·2n-2-2·2n-1=1+2n-1(3·2-2)=1+2n-1·4=1+2n+1. Q.E.D.

EXEMPLU 2
Pentru orice num ăr natural n avem Z .
SOLUȚIE Verificăm relațiile pentru n=1:
P(1): Fie x 1=2+ si x 2=2- rezultă că x1+ x2 = 4 si x 1· x2=-1 Z .
Astfel formez ecuația de gradul al doilea cu rădă cinile x 1 și x2
X2 – 4x-1 = 0. Înmulțind aceasta cu x 1k-1 si cu x 2k-1
obținem urm ătoarele
relații: X 1k+1 – 4x1k – 1 = 0 ; X2k+1 – 4x2k – 1 = 0 ;
Arătăm că P(k) P(k+1). Adică dacă P(k) este adevărată atunci și
P(k+1) este adevărată .

13
Fie x1k+1 + x 2k+1 = 4·( x1k + x 2k)+2 dar cum am presupus că
x1k+1 + x 2k+1 Z rezultă că ș i x1k+1 + x 2k+1 Z.

INDUC ȚIA MATEMATIC Ă ÎN GEOMETRIE

1. Problemă clasică (Probleme neelementare tratate
elementar, M.Yaglom, I.Yaglom ): Planul este î mpărțit
într- un număr de regiuni prin n drept e. Să se arate că
regiunile pot fi colorate cu roșu și negru astfel încât oricare
două regiuni învecinate (având un segment sau o
semidreaptă comună sunt colorate diferit.
Rationamentul de t recere la o dreapta suplimentară în care
de o parte a ei se schimb ă culorile poate fi ușor înțeles de
către copii în inducț ia de la 2 la 3, de la 4 la 5, chiar ș i în cazul
general.
2. Problem ă
Numărul maxim de regiuni în care planul poate fi împărț it prin n
drepte este egal cu
+1.
Pentru a demonstra această afirmaț ie facem apel la metoda inducție i
matematice, considerâ nd ca propoziț ie
P(n): „ n drepte împart planul în cel puț in
+1 ”.
Verificarea primei propoziții constă în
P(1): pentru n=1 avem că o dreaptă î mparte planul în
+1=2 regiuni.

14
Presupunem că proprietatea este adevărată pentru n=k, și astfel
avem P(k): „ k drepte î mpart planul în
+1 regiuni”.
Adăugăm o dreaptă în plan,care să nu fie paralelă cu celelalte,
suficient de departe astfel încât să intersecteze to ate cele k drepte.
Astfel avem încă k+1 regiuni.
Rezultă așadar că avem în
+1 +(k+1) regiuni .
3. Problema
Să se demonstreze c ă un număr n de plane,care trec printr -un singur punct O , astfel incât
oricare trei dintre ele nu trec prin aceeași dreapt ă, împart spațiul în Rn = n(n-1)+2 regiuni .

Verificare

P(1): n=1, R1=1(1 -1)+2=2 (orice plan î mparte planul în 2 regiuni ). O P T
Q

15
Demonstratie

Presupunem c ă P(k) : R k = k(k -1)+2 este adev ărat și demonstr ăm
pentru n=k +1; adică arătăm că cele n+1 plane,care satisfac
condiția din problem ă împart spațiu l în Rk+1 = k(k+1)+ 2 regiuni.

– Notăm cu P planul al (n+1) –lea care trece prin O. Acesta va intersecta cele
n plane dup ă n drepte care trec prin O,
– rezultă că planul P va fi imp ărțit după 2n regiuni,care reprezint ă un unghi
din planul P cu vârful în O.
– primele n plane care trec prin O î mpart spațiul în unghiuri poliedre.
Pe unele dintre acestea,planul P le î mparte în două,iar fața comun ă a celor 2
regiuni astfel formate,este regiunea din P,format ă de cele 2 semidrepte
determinate de P cu fețele unghiului poliedru,deci cu unul d intre cele 2n
unghiuri formate, î n planul P
 nr. unghiurilor poliedre pe care le î mparte în
două părți P nu poate fi mai mare de 2n (relația 1)
-Fiecare din cele 2n regiuni ale lui P este faț ă comună a două unghi uri
poliedre pe care le formează planul P atunci când î mparte pe unele unghiuri
poliedre formate de primele n plane.
Deci nr.un ghiurilor poliedre pe care planul P le î mparte nu poate fi mai mic
de 2n (relația 2).
Din relațiile 1 si 2 rezultă că numă rul unghiurilor poliedre pe care le î mparte
P este 2n
Deci:
22
1 ( 1) 2 2 2 2 2 ( 1) 2nR n n n n n n n n n n             

16
Este adevarat ă
 Rn = n(n -1)+2 adev.
 n≥ 1, n
 N.
4. Problem ă
Să se demonstreze că pentru orice număr natural n, n≥6 un pătrat
poate fi împărț it în n pă trate.
Soluț ie: Se verifică ipoteza de inducție pentru n=6,7,8, adică verificăm
dacă P(6), P(7), P(8) sunt adevă rate.
Demonstră m pasul de inducție, adică implicaț ia P(n) P(n+3 ).
Presupunând făcută împărț irea în n pătrate, unul dintre ele se
împarte în patru pătrate egale și se obț in în acest fel n +3 pă trate.
Astfel implicaț ia P(n ) P(n+3) este adevărată și conform
raționamentului inducției matematice P(n) este adevărată pentru
orice num ăr natural n≥6.

INDUCTIA MATEMATICA ÎN GIMNAZIU

• Raționamentul inductiv face necesară corelarea cercetă rii prin
inducție cu raț ionamente demonstrative care probeaz ă
valabilitatea rezultatului GHICIT prin inducție matematică .
Miron Nicolescu scria : “ Principiul inducție i complete
constituie unul din cele mai pute rnice mijloace de
demonstaț ie în matematică “

17

• Pe de o parte putem obține demonstraț ii perfect corecte
pentru valori co ncrete ale lui n, iar pe de altă parte elevul
poate extrapola rezultatul ș i demonstraț ia în cazul general.
Pentru elevii di n clasele V, VI un astfel de raț ionament
dedu ctiv, folosind pasul de inducție matematică general este
greu de înț eles, dar putem folosi pentru demonstraț ii situații
particulare de trecere de la pasul n la pasul n+1 pentru n
natural mic, adică pentru valori concrete ale lui n.
Aceste raționamente sunt greu de explicat în situații algebrice
*identități, inegalităț i*,dar în anumite probleme d e combinatorică
sau aritmetică pot fi inț elese în cazuri numerice
• Inducția matematica poate fi simțită ca mod de demonstraț ie
de copii, în special în formule de numă rare și probleme ce nu
necesită cunoștinț e algebrice.
• Experiența arată că pasul de la 2 la 3, de la 3 la 4, … poate să – i
convingă pe copii că aceeași metodă funcționează pentru orice
trecere și că rezultatul devine astfel valabil.
• Numărul de permutări a u nei mulțimi cu 2,3,4,5,…elemente .
• Numărul de aranjamente de câ te 2,3,4,5 al unei mul țimi cu 6, 7
elemente.
• Numărul de combină ri de câte 2,3,4,5 al unei mulț imi cu 6, 7
elemente.

18
Concluzii referitoare la aplicarea metodei
inducție i matematice
OBSERVAȚ II METODICE :
1.Trebuie imprimată convingerea că metoda inducție i
matematice complete este o metodă puternică de
demonstraț ie aplicab ilă în toate domeniile matematicii.
2. O serie de probleme considerate cu un grad sporit de
dificultate, problem e de tip OIM, apreciate ca non -standa rd
sunt rezolvabile destul de uș or prin metoda inducție i
matematice.
3. Este necesar că propoziț ia matemat ică P(n) să fie clar
formulată , deoarece o serie de probleme fac posibilă alegerea
mai multor ipoteze de inducție optâ nd p entru cele în care
demonstrația este mai simplă .
4. Există uneori tendința ca prima etapă de verificare să fie
neglijată , fiind foarte simplă. Trebuie ca elevii să fie deprinși a
acorda aceeași importanță ambelor etape, întrucâ t P(n 0) se
pote dovedi falsă . Uneori etapa de verificare poate fi partea
dificilă a raționamentului, sau cea importantă .
5. Inducția există ș i în alte științe, nu î ntot deauna rezultatele
fiind adevă rate. Astfel trebuie dat importantă egală ambelor
etape d istincte: etapei de verificar e și etapei de d emonstraț ie
(pasul de inducție ).
6. Este necesar ca elevilor sa le fie prezentate probleme
matematice demonstrate prin raț ionamentul inducție i
matematice din câ t mai multe ramuri ale matematicii și câ t mai
variate pent ru a sesiza diversitatea aplicării raționamentului și

19
necesitatea reținerii de către elevi ș i a altor variante de
demonstrare ale metodei.
7. Se subliniază elevilor faptul că raț ionamentul inducție i
matematice este demostrabil în situaț ia în care există o situație
logică care permite tre cerea de la un pas la urmă torul, de la n la
n+1.
8. Există o serie de propoziț ii matematice care depind de
numă rul natural n, care nu pot fi demonstrate prin inducție
matematică , de exemplu:

Problema dată la concursul tip OIM –
Calăraș i 2008
• Se dau numerele raț ionale a_1, a_2,…, a_n
• Cu proprietatea că suma lor ș i produsul a oricăror două este
număr întreg. Arătați că toate numerele sunt î ntregi.
• Comentariu : pentru n=2, este un exerciț iu de divizibilitate
abordabil pentru copiii din cl asele V, VI. Trecerea de la două
numere la trei numere exemplifică cele afirmate în preambul.
• Putem considera două numere a =a_1,b=a_2+a_3. Acestea
verifică ipoteza pentru două numere. Din cazul respectiv rezultă
că a_1 si a_2 +a_3 sunt întregi. Plecâ nd analog cu numerele

20
a_1+a_2 si a_3 re zultă că acestea sunt î ntregi. Este un exerciț iu
de rutină pentru copii să deducă de aici că toate cele trei
numere sunt î ntregi.
• Se poate continua cu acest raț iona ment inductiv pentru
n=4,5,6,…Ră spunsul copiilor în astfel de situații a fost foarte
bun.

TEST (clasa a IX -a)
Subiectul Nr.1 (2 puncte)
Demonstrați că suma 1+3+5+7+…+(2n -1) este un pă trat perfect pentru
.

Subiectul Nr.2 (2 puncte)
Aratați că un poligon convex cu n laturi are
diagonale, ,

Subiectul Nr. 3 (2 puncte)
Demonstrați că pentru orice număr natural nenul n este adevărată
egalitatea: 1+5+52 +53
+…+5n

.

Subiectul Nr. 4 (2 puncte)

21
Arătați că numă rul 5·23n-2 + 33n-1 este multiplu de 19, .