Programul de studiu: MMCD [620799]

Universitatea „Aurel Vlaicu”, din Arad
Facultatea de Științe Exacte,
Programul de studiu: MMCD

Modelarea H idraulică

Profesor:
Conf.univ.dr. Codruța Simona Stoica
Studenta :
Molnar Mădălina Florina

2
Hidrauli ca

„Hidraulica este știința care se ocupă cu studiul legilor de echilibru și de mișcare ale
lichidelor – în particular a apei – din punctul de vedere al aplicațiilor tehnice .” (Wikipedia). Din
aceasta definiție rezultă doua obiective al studiilor și cercetărilor care se efectuează în domeniul
hidra ulicii: primul obiectiv îl constituie stabilirea legilor de bază, a modelelor teoretice și a
relațiilor de cal cul privind mișcarea și repausul flu idelor și caracterul aplicativ , iar al doilea, și
ultimul, îl constituie aplicarea acestor legi, modele și relații de calcul la rezolvarea problemelor
inginerești.
Principalele aplicații ale hidraulicii se referă la cur gerea în conducte, curgerea prin
orificii, curgerea peste deversoare și baraje și curgerea lichidelor în jurul profilelor
hidrodinamice. Tot de hidraulică țin și fenomenele în care apar curgeri cu suprafață liberă, cum
ar fi curgerea din râuri, estuare și canale, precum și forma su prafeței lacurilor și a mărilor. În
strânsă legătură cu hidraulica sunt mașinile hidraulice , ale căror caracteristici sunt schimburile
energetice cu fluidul sub formă de lucru mecanic, precum și hidrodinamica navală.
Scurt istoric
Denumirea hidraulicii provine din Grecia (hydor sau hidro – în românește „apă” și aulos –
„țeavă” sau „conductă”), reflectând astfel importanța pe care o aveau în antichitate problemele
transportului apei pe conducte. Primul nume legat de domeniul hidraul icii datează încă de pe
timpul Greciei antice, atunci când Arhimede se ocupa cu studiul hidrostaticii (Principiul lui
Arhimede). Remarcabilele construcții hidrotehnice ale romanilor (apeducte, diguri de protecție
împotriva inundațiilor, canalizări, băi pub lice) s -au bazat pe cunoștințe de hidraulică, având un
caracter predominant experimental.
Modelarea hidraulică
Un instrument extrem de util pentru studiul fenomenelor legate de curgerea apei sub
presiune sau cu suprafață liberă, legat de aplicațiile practi ce ale hidraulicii, îl constituie
modelarea hidraulică, concretizată prin modele fizice și modele matematice.

3
Datorită complexității fenomenelor hidraulice a apărut necesitatea utilizării pe scară largă
a metodelor experimentale de cercetare, printre care cea mai importantă este modelarea
hidraulică – studiul fenomenelor hidraulice pe modele la scară redusă, executate în laboratoare
hidraulice special amenajate. Necesitatea folosirii modelelor la scară redusă s -a ivit încă de la
începuturile hidraulicii. Galileo Galilei scria:
„M-am lovit de mai puține greutăți la descoperirea mișcării corpurilor
cerești, cu toată depărtarea lor uimitoare, decât la cercetările asupra
mișcării apei curgătoare, care se produce sub ochii noștri.”
Dar folosirea modelării hidraul ice ca metodă științifică de cercetare nu a fost posibilă
decât începând cu secolul XX, după ce au fost puse bazele teoriei similitudinii și analizei
dimensionale. La baza modelării hidraulice stă înlocuirea ecuațiilor complete ale hidrodinamicii
care desc riu cur gerea apei într -un domeniu dat și la limite cunoscute, cu relații între parametri de
tip hidraulic, relații în care se admit aprox imațiile tipice ale hidraulicii.
Principalele instrumente ale modelării hidraulice sunt modelele fizice și modelele
matematice. Modelele fizice se bazează pe criterii de similitudine, deduse din considerente
hidraulice, în timp ce modelele matematice se bazează pe rezolvarea numerică a unor ecuații
simplificate, de tip relații hidraulice.
Ecuațiile de bază ale mișcării fluidelor
Ecuațiile de bază utilizate în hidraulică sunt ecuațiile generale ale mecanicii fluidelor,
care exprimă legile de conservare a masei (ecuația de continuitate), impulsului (legea a II -a a lui
Newton) și energiei. Legea de conservare a masei poate fi exprimată matematic printr -o ecuație
cu derivate parțiale, numită ecuația de continuitate:

,unde v este viteza fluidului, ρ densitatea acestuia, iar este operatorul diferențial nabla
(în coordonat e carteziene tridimensionale, ℝ3 cu coordonatele (x, y, z), operatorul nabla se
definește ca

4
,
unde (i, j, k) este baza standard în ℝ3.)
Modelul fluidelor perfecte (ideale) se referă la fluide incompresibile și lipsite de
vâscozitate. Noțiunea de fluid perfect este o noțiune abstractă, creată cu scopul d e a ușura studiul
mișcării fluidelor reale. În natură nu există fluide perfecte, dar în multe situații fluidele reale în
mișcare au o comportare foarte apropiată de cea a fluidelor perfecte și, în aceste situații, în
limitele unor aproximații admise, se po t utiliza ecuațiile de mișcare ale fluidelor ideale în locul
celor ale fluidelor reale. Legea de conservare a impulsului este concretizată, în cazul fluidelor
perfecte, prin ecuațiile lui Euler:

,unde v este viteza fluidului, ρ densitatea acestuia, p pre siunea, iar 0 este vectorul nul.
În cazul modelului fluidelor reale și în ipoteza proporționalității tensiunilor tangențiale
ale particulelor de fluid cu gradientul vitezei (modelul de „fluid newtonian”), legea de conservare
a impulsului este concretizată prin ecuațiile Navier -Stokes . Forma generală a ecuațiilor Navier –
Stokes, într -un sistem de referință inerțial, este :

,unde v este viteza fluidului, ρ densitatea acestuia, p presiunea, tensorul tensiunilor,
iar f reprezintă forțele exterioare care acți onează asupra fluidului. Câmpul vectorial f este
reprezintat în mod obișnuit de forța de gravitație. Aceasta, la rândul ei, poate fi reprezentată drept
gradientul funcției U = -gz, z fiind coordonata verticală.
Ecuațiile Navier -Stokes sunt ecuații cu derivate par țiale de ordinul II, neliniare.
Neliniaritatea acestor ecuații face ca rezolvarea lor să fie dificilă, sau chiar imposibilă, prin

5
metodele clasice ale analizei matematice; în unele cazuri particulare (de exemplu la mișcările
unidimensionale), e cuațiile pot fi simplific ate și aduse la o formă liniară.
Similitudinea
Condițiile de asemănare a formei frontierelor modelului cu cele ale prototipului
constituie similitudinea geometrică și sunt exprimate prin relația coeficientului de scară:
,
unde este lungimea (singura mărime fundamentală în acest caz, cu ajutorul căreia se pot
exprima lungimi, suprafețe și volume), iar indicii p și mse referă la prototip, respectiv la model.
Similitudinea cinematică constă din asigurarea asemănării geometrice a s pectrelor liniilor
de curent și a proporționalității vitezelor în punctele omoloage ale modelului și prototipului; ea
înglobează similitudinea geometrică atunci când frontiera domeniului mișcării este formată chiar
din linii de curent. Poate fi exprimată î nlocuind condiția de proporționalitate a vitezelor prin
proporționalitatea timpului de pe prototip cu cel de pe model, coeficientul de scară al timpului
fiind:
.
Similitudinea dinamică cere ca forțele de același tip să se afle în raport constant, în
puncte omoloage. Coeficientul de scară pentru forțe are expresia:
.
Similitudinea dinamică include similitudinea cinematică dacă raportul densităților

în puncte omoloage este constant. Ținând cont de legătura dintre forță și mărimile fizice
fundamentale (exprimată la modul general prin legea a doua a lui Newton: ), rezultă
coeficientul de scară pentru forțe:

6
.
În general, condiția de similit itudine a două fenomene hidraulice, constă în identitatea
ecuațiilor fi zice ale prototipului și modelului.
Satisfacerea celor trei condiții de similitudine (geometrică, cinematică și dinamică) este
suficientă pentru avea coeficienți de scară constanți și pentru toate celelalte mărimi caracteristice
ale mișcării, aceștia putând fi expr imați funcție de , și :
 raportul maselor:
 raportul presiunilor:
 raportul vitezelor:
 raportul lucrului mecanic:
Trebuie făcută o precizare: expresia coeficientului de scară pentru forțe
( )
,reprezintă raportul forțelor de inerție. Similitudinea dinamică cere ca raportul tuturor
forțelor componente, indiferen t de natura lor, să fie același.
În practica modelării hidraulice se apreciază mai întâi forțele dominante ale fenomen ului
de modelat și se impune apoi condiția de similitudine dinamică numai acestor forțe. În acest fel
se obțin diferite modele („criterii de similitudine”) după categoria de forțe luate în considerare.
Criteriul de similitudine Froude
Considerând ca forțe dominante ale fenomenului de modelat forța de inerție și forța
gravitațională, pentru ultima se poate scrie:

unde este accelerația gravitațională , iar o lungime caracteristică. Rezultă:

7
În expresia coeficientului de scară pentru forțele de inerție ( )
se poate introduce coeficientul de scară al vitezelor
,
,coeficientul de scară pentru forțele de inerție pu tând fi scris sub forma:

Egalând expresiile pentru și rezultă:

sau, revenind la notațiile cu p și m (referitoare la prototip, respectiv la model):

Raportul adimensional se numește număr Froude ; cu ajutorul său, condiția de
similitudine dinamică a fenomenelor hidraulice în care sunt predominante forțele de inerție și
forțele gravitaționale ( criteriul de similitudine Froude ) se poate scrie
,
,adică numărul Froude al curgerii să fie același la model ca și în natură .
Modelarea după criter iul de similitudine Froude este utilizată în special la studiul
curenților în albii deschise, la dinamica navelor, sifoane etc.
Criteriul de similitudine Reynolds
Dacă se consideră ca forțe dominante ale fenomenului de modelat forțele de inerție și
forțele de frecare interioară datorate viscozității fluidului, din legea lui Newton

8
(unde este coeficientul de viscozitate dinamică a fluidului, secțiunea pe care
acționează forța de frecare, v viteza de curgere și y normala la direcția vectorului viteză) rezultă:

Egalând cu expresia coeficientului de s cară pentru forțele de inerție (
) se obține:
,
unde

este viscozitatea cinematică (raportul dintre viscozitatea dinamică și densitatea a
fluidului).
Deci

sau, revenind la notațiile cu p și m (referitoare la prototip, respectiv la model):

Raportul adimensional se numește număr Reynolds ; cu ajutorul său, condiția de
similitudine dinamică a fenomenelor hidraulice în care sunt predominante forțele de inerție și
forțele de frecare interioară datorate viscozității fluidului( criteriul de similitudine Reynolds ) se
poate scrie
,
adică numărul Reynolds al curgerii să fie același la model ca și în natură .

9

Bibliografie :
1. Arsenie, D., Florea, M., „Hidraulica”. Ovidius University Press, Constanța, 1998 .
2. Hâncu, S ., „Hidraulică teoretică și aplicată ”, Ed. Cartea Universitară, București, 2007 .
3. Wikipedia, https://ro.wikipedia.org/wiki/Hidraulic%C4%83 , ultima accesare 13.01.1016.