PROGRAMUL DE STUDIU: MATEMATICĂ FORMA DE ÎNVĂȚĂMÂNT: ZI Lucrare de licență COORDONATOR ȘTIINȚIFIC: lector univ. dr. CICORTAȘ GRAȚIELA ABSOLVENT:… [606202]

UNIVERSITATEA DIN ORADEA
FACULTATEA DE INFORMATICĂ ȘI ȘTIINȚE
PROGRAMUL DE STUDIU: MATEMATICĂ
FORMA DE ÎNVĂȚĂMÂNT: ZI

Lucrare de licență

COORDONATOR ȘTIINȚIFIC:
lector univ. dr. CICORTAȘ GRAȚIELA
ABSOLVENT: [anonimizat]
2020

2
UNIVERSITATEA DIN ORADEA
FACULTATEA DE INFORMATICĂ ȘI ȘTIINȚE
PROGRAMUL DE STUDIU: MATEMATICĂ
FORMA DE ÎNVĂȚĂMÂNT: ZI

SUPRAFEȚE DE ROTAȚIE ȘI ELICOIDALE

COORDONATOR ȘTIINȚIFIC:
lector univ. dr. CICORTAȘ GRAȚIELA
ABSOLVENT: [anonimizat]
2020

3
CUPRINS

INTRODUCERE ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………… 5
CAPITOL 1 ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. …… 7
1. NOȚIUNI ELEMENTARE DESPRE SUPRAFEȚE ………………………….. ……………………. 7
1.1. SUPRAFEȚE. DEFINIȚII ………………………….. ………………………….. ………………………. 7
1.2. REPREZENTĂRI ANALITICE ALE SUPRAFEȚELOR ………………………….. …… 10
1.3. CURBE PE O SUPRAFAȚĂ ………………………….. ………………………….. …………………. 14
1.4. SPAȚIU TANGENT ÎNTR -UN PUNCT AL UNEI SUPRAFEȚE …………………… 16
1.5. PLANUL TANGENT ÎNTR -UN PUNCT AL SUPRAFEȚEI. NORMA LA
SUPRAFAȚĂ. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………………… 19
CAPITOL 2 ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. … 21
2. NOȚIUNILOR ELEMENTARE ALE SUPRAFEȚELOR (PARTEA II) …………………. 21
2.1. FORMA I -A FUNDAMENTALĂ A UNEI SUPRAFEȚE ………………………….. ……. 21
2.2. APLICAȚII ALE FORMEI I -A FUNDAMENTALE ………………………….. ………….. 24
2.3. FORMULELE LUI GAUSS. FORMULELE LUI WEINGARTEN ………………….. 27
2.4. FORMA A II -A FUNDAMENTALĂ A UNEI SUPRAFEȚE ………………………….. .. 30
2.5. CURBURĂ NORMALĂ. DIRECȚII ASIMPTOTICE. LINII ASIMPTOTICE. . 32
2.6. DIRECȚIILE PRINCIPALE ÎNTR -UN PUNCT AL UNEI SUPRAFEȚE. LINII
DE CURBURĂ. ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………………… 36
2.7. CURBURI PRINCIPALE. CURBURĂ TOTALĂ. CURBURĂ MEDIE. ………….. 38
CAPI TOL 3 ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. … 42
3. CLASE REAMARCABILE DE SUPRAFEȚE ………………………….. ………………………….. . 42
3.1 SUPRAFEȚE DE ROTAȚI E ………………………….. ………………………….. …………………. 42
3.2 SUPRAFEȚE ELICOIDALE. ………………………….. ………………………….. ………………… 50
CAPITOL 4 ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. … 52
4. APLICAȚII ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………………… 52
4.1 APLICAȚII ALE SUPRAFEȚELOR DE ROTAȚIE ………………………….. ……………… 52
4.1.1 SFERA ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………. 52
4.1.2 TORUL ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………… 56
4.1.3 ELIPSOIDUL DE ROTAȚIE SAU SFEROIDUL ………………………….. ………… 61
4.1.4 CORNUL LUI GABRIEL ( GABRIEL’S HORN) ………………………….. ……….. 66
4.1.5 FUSUL T ORUS (SPINDLE TORUS) ………………………….. ………………………….. 67
4.2 APLICAȚII SUPRAFEȚE ELICOIDALE ………………………….. …………………………. 67
4.2.1 ELICOID CIRCULAR ………………………….. ………………………….. …………………… 67

4
4.2.2 ELICOID CONIC ………………………….. ………………………….. ………………………….. 68
4.2.3 ELICOID PARABOIDAL ………………………….. ………………………….. ………………. 68
4.2.4 ELICOID HIPERBOLIC ………………………….. ………………………….. ……………….. 69
4.2.5 ELICOID LITUS ………………………….. ………………………….. ………………………….. .. 69
4.2.6 ELICOID LOGARITMIC ………………………….. ………………………….. ……………… 70
4.2.7 ELICOID SFERIC ………………………….. ………………………….. …………………………. 70
4.2.8 ELICOID HIPERBOIDAL I ………………………….. ………………………….. …………… 72
4.2.9 ELICOID HIPERBOIDAL II ………………………….. ………………………….. …………. 73
4.2.10 ELICOID CATENOIDAL ………………………….. ………………………….. ……………… 73
5. BIBLIOGRAFIE ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………… 75

5
INTRODUCERE

Geometria diferențială , ramură a matematicii care studiază geometria curbelor și
suprafețelor. Teoria suprafețelor și curburilor normale principale a fost dezvoltată pe larg
de geometrii francezi conduși de Gaspard Monge (1746 -1818). Suprafețele au fost
studiate pe scară largă din diverse perspective: extrinsec , raportate la scufundarea lor în
spațiul euclidian, și intrinsec , reflectând proprietățile lor determinate numai de distanța
din suprafață măsurată de -a lungul curbelor de pe suprafață. Unul dintre conceptele
fundamentale c ercetate este curbură G aussiană, studiată mai întâi în profunzime de Carl
Friedrich Gauss care a arătat că curbură era o proprietate intrinsecă a unei supra fețe,
independentă de scufundarea să izometrică în spațiul euclidian.
Proprietățile extrinsec i care se bazează pe o scufundare a unei suprafețe în spațiul
euclidian au fost, de asemenea, studiate pe scară largă. Acest lucru este bine ilustrat de
ecuațiile neliniare Euler -Lagrange în calculul variațiilor : deși Euler a dezvoltat ecuațiile
variabile pentru a înțelege geodezicele , defin ite independent de o integrare , una dintre
principalele aplicați Lagrange ale celor două ecuații variabile a fost la suprafețe minime,
concept care poate fi de finit doar în termenii unei integrări .
Euler a studiat pentru prima dată curbură suprafețel or generale . În 1760 a dovedit
o formulă pentru curbură unei secțiuni plane a unei suprafețe, iar în 1771 a considerat
suprafețe reprezentate într -o formă parametrică. Monge a pus bazele teoriei lor în
memoria să clasică „ L'application de l'analyse à la g éometrie ” apărută în 1795.
Contribuția definitorie la teoria suprafețelor a fost realizată de Gauss în două lucrări
remarcabile scrise în 1825 și 1827.
Teorema remarcabilă a lui Gauss (1827). „ Dacă două suprafețe netede sunt
izometrice, atunci cele două su prafețe au aceeași curbură G aussiană în punctele
corespunzătoare. „
Această a marc at o nouă abordare , deoarece pentru prima dată Gauss a considerat
geometria intrinsecă a unei suprafețe, proprietățile care sunt determinate doar de
distanțele geodezice dint re punctele de pe suprafață în mod independent, a modului
particular în care suprafața este amplasată în spațiul euclidian ambiental. „Teorema
Egregium ” a lui Gauss, a stabilit că curbură gaussiană este un invariant intrinsec, adică
invariant în izometrii le locale . Acest punct de vedere a fost extins la spațiile de
dimensiuni superioare de către Riemann și a dus la ceea ce este cu noscut astăzi sub

6
denumirea de G eometrie Riemanniană. Secolul al XIX -lea a fost epoca de aur pentru
teoria suprafețelor, atât din punct de vedere topologic, cât și diferențial -geometric,
majorit atea geometrilor dedicându -se studiului lor. Darboux a colectat multe rezultate în
tratatul său de patru volume „Théorie des surfaces ” (1887 -1896).
Prima lucrare de geometrie diferențială din țara noastră este scrisă de
matematicianul E.Bacaloglu, care în 1859 a considerat o altă curbură a unei suprafețe pe
lânga curbură totală și medie. Primul geometru român, a cărei lucrări de geometrie
diferențială s -au impus atenției matematicienilor d in întreaga lume, este Gh.Țițeica (1873 –
1939). Deoarece el a introdus și studiat o clasă de curbe și una de suprafețe, care astăzi îi
poartă numele, el este considerat unul dintre creatorii geometriei centro -afine. Contribuțîi
importante la dezvoltarea geo metriei diferențiale proiective și afine a curbelor și a
suprafețelor au adus și: matematicienii Al. Myller și O. Mayer. Un alt geometru român,
Al. Pantazi (1896 -1948), format în școala geometrului francez E.J. Cârțan, a adus prin
lucrările sale contribuți i importante în domeniul geometriei diferențiale proiective a
curbelor și a suprafețelor. Un loc proeminent între geometrii români, îl ocupă
matematicianul G. Vrânceanu, creator al teoriei spațiilor neolonome și al unei teorii
unitare relativiste, care a a dus contribuții importante în aproape toate ramurile geometriei
diferențiale moderne.
În acestă lucrare vom defini riguros suprafețele în spațiul punctual euclidian și
vom studia principalele proprietăți geometrice ale acestora . Prin aplicație diferențiabi lă
vom înțelege o aplicație netedă, adică o aplicație diferențiabilă de o înfinitate de ori pe un
domeniu deschis, convenabil ales, în sensul că această să fie inclusă în domeniile de
definiție ale aplicației studiate și derivatelor ei.
În continuarea studiu lui, vom discuta desp re următoarele concepte: reprezentări
analitice ale suprafețelor, curbe pe o suprafață, spațiu tangent, plan tangent la o suprafață,
normală, prima formă fundamentală cu aplicațiile sale, formulele lui Gauss,Weingarten,
simbolii lui C hristoffel, a două formă fundamentală, curburi normale, direcțîi
asimptotice, linii asimptotice, direcții principale, curburi principale, curbură totală,
curbură medie, linii de curbură, geodezice. Sunt de asemenea prezentate câteva clase
remarcabile de su prafețe.
Clase remarcabile de suprafețe prezentate în a ceastă lucrare sunt suprafețele de
rotație și elicoidale, care reprez intă și tema acestei lucrări. În ultimul capitol vom prezenta
noțiunea generală a suprafețe lor de rotație și elicoidale, ca în final să dezvoltăm aplicații
pe baza lor.

7
CAPITOL 1

1. NOȚIUNI ELEMENTARE DESPRE SUPRAFEȚE
1.1. SUPRAFEȚE. DEFINIȚII

Fie spațiul euclidian dotat cu un reper ortonormat, pozitiv orientat
{ ⃗ ⃗ ⃗⃗ }.
Definiția 1.1.1. O submulțime se numește suprafață elementară dacă
mulțime deschisă și aplicația este o scufundare
diferen țială de clasă a lui în . Perechea se numește parametrizare
a suprafeței elementare
Vom nota prin ⃗ funcția vectorială definită de aplicația , adică dacă
pentru punem atunci,
⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗,
cu funcțiile coordonate diferențiabile de clasă
{

– ecuațiile parametrice
Amintim că h este scufundare pe U dacă este imersie pe U și homeomorfism pe
imagine. Condiția de imersie pe U este ca
(

)
pe U, cu – notăm derivatele parțiale ale funcțiilor în raport
cu variabilele indicate de indicii de jos.
Condiția poate fi scrisă ca și
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗
pe U, adică
| ⃗ ⃗ ⃗⃗

| ⃗⃗
Fie ̃ mulțime deschisă și aplicația bijectivă ̃ dată de ecuațiile
{ ̃ ̃
̃ ̃ ̃ ̃ ̃

8
Un difeomorfism de clasă . Condiția ca să fie difeomorfism implică
|
̃
̃

̃
̃| ⃗⃗ pe ̃
Reciproc, dacă aplicația bijectivă ̃ este de clasă și verifică
(1.4) atunci ea este difeomorfism de clasă
Proprietatea 1.1.1. Fie suprafață elementară cu parametrizarea și un
difeomorfism ̃ de clasă . Atunci perechea ̃ ̃ este o nouă
parametrizare a suprafeței elementare .
Demonstrație
Observăm mai întâi că pentru ̃ ̃ avem ̃( ̃) ( ̃)
̃ diferen țiabilă de clasă pentru că este compusa a două a plicații diferențiabile
de clasă
homeomorfism pe imagine pentru că este compusa a două homeomorfisme pe
imagine.
Avem de arătat că ̃ este imersie pe ̃
Notăm cu
⃗⃗ ̃ ̃ ⃗( ̃ ̃ ̃ ̃ )
Derivăm în (1.1.5) și obținem
{ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
̃ ⃗⃗⃗⃗
̃
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
̃ ⃗⃗⃗⃗
̃ ⏞

̃⃗⃗⃗⃗⃗ ̃⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ |
̃
̃

̃
̃| ̃⃗⃗⃗⃗⃗ ̃⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ pe ̃
Aplicația se numește schimbarea de parametrizare sau parametrie pe .
Definiția 1.1.2. O submulțime în se numește suprafață dacă orice punct al ei
aparține cel puțin unei suprafețe elementare conținută în
Definiția 1.1.3. se numește punct regular al suprafeței dacă
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | ⃗ ⃗ ⃗⃗

| ⃗⃗,
altfel se numește punct singular .
Definiția 1.1.4. O mulțime se numește suprafață regulară dacă
vecinătate a lui a în și deschis ă cu proprietățile:

9
i. netedă
ii. – omeomorfism
iii. (

)
Exemplu 1.1.1. Considerăm sfera centrată în origine și de rază
având ecuația

Fie aplica ția injectivă și diferențiabilă unde
definită prin √ sau
{

√
{

√

√
Prin urmare, avem condiția de imersie pe D
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ || ⃗ ⃗ ⃗⃗

√

√ ||
√ ⃗
√ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗
Sau
(

√
√ ) (A) (|
| )
imersie pe D
Deoarece inversa pe imagine a aplicației , definită prin
diferen țiabil
difeomorfism.

Figura 1.1.1.P arametrizarea emisferei nordice

10
Din simetriile sferei deducem că orice punct al sferei poate fi privit ca aparținând
unei emisfere parametrizate ca mai sus.
În concluzie – suprafață.

1.2. REPREZENTĂRI ANALITICE ALE SUPRAFEȚELOR
– deschisă,
Mulțimea {( ) }- graficul (graful) lui
Teorema 1.2.1. Fie funcție diferențiabilă de clasă . Graficul
ei este suprafață elementară în .
Demonstrație
Fie aplicația care asociaz ă unui punct , punctul de
coordonate ( )
⃗⃗ asociaz ă lui ( ), ⃗⃗ este diferențiabilă
de clasă .
– imersie pe deoarece matricea Jacobiană (

) pe D.
– homeomorfism pe imagine, asociază punctului ( ), perechea
– continuă parametrizare pentru – suprafață elementară.
Teorema 1.2.1. ne permite să spunem că ecuația

mulțime deschisă, reprezintă analitic o suprafață.
Teorema 1 .2.2. Mulțimea { ⃗ ⃗ ⃗
⃗
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ } este suprafață în .
Demonstrație :
Arătăm că orice punct din aparține cel puțin unei suprafețe elementare inclusă
în
Fie ⃗⃗⃗⃗ .
Deci ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ceea ce înseamnă că cel puțin una dintre cele trei
componente ale vectorului ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ este diferită de ze ro în punctul .

11
Presupunem că |
|
⃗⃗
Continuitatea funcțiilor ne asigură că există o mulțime deschisă care conține
punctul și este inclus în pe care |
|
⏞
{
care se rezolvă în raport
cu și și se obțin următoarele soluții diferențiabile de clasă
{
, mulțime deschisă în care conține punctul de
coordonate ( ) pe care le înlocuim în ecuația ,
atunci obținem
( ) .
funcția diferențiabilă de clasă , fiind compunerea a două funcții
diferențiabile de clasă , cu graficul .
Din Teorema 1.2.1. graficul este suprafață elementară. Punctul cu
coordonatele ( ) și având în vedere că
, atunci devine ( )
Iar este conținută în pentru că pentru orice , coordonatele
( ) se pot exprima în forma ( )
În cazul în care |
| pe , atunci cel puțin unul dintre determinanții
|
| |
| este diferit de zero în . Pe baza unui raționame nt similar vom
arăta că punctul aparține sau unei suprafețe elementare sau unei
suprafețe elementare de forma cu funcții diferențiabile din ,
suprafețe elementare conținute în
Teorema 1.2.2. ne arată că
⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗
Unde este mulțime deschisă, ne dă o reprezentare analitica a unei suprafețe din
numită și reprezentare vectorial -parametrică a suprafeței, cu parametrii de suprafață
și .
Perechea determină un unic punct de pe suprafață pe care îl vom scrie

Reprezentarea are forma scalară

12
{

|
|
|
|
|
|

Pe mul țimea deschisă .
Reprezentarea dată de ecuațiile se numește reprezentarea parametrică a
suprafeței.
Teorema 1.2.3 Mulțimea funcție
diferențiabilă de clasă pe și , dacă este nevidă, este
o suprafață în .
Demonstrație
Fie , deci .
Presupunem că , de unde rezultă că pe o mulțime deschisă ce
conține și este inclusă în . După o eventuală micșorare, mulțimea se poate scrie în
forma , unde este o mulțime deschisă în centrată în și un
interval deschis centrat în . Teorema funcțiilor implicite ne asigură că în aceste condiții
ecuația se poate rezolva în raport cu z , adică există o funcție diferențiabilă
de clasă , încât
( )
Considerăm graficul funcției notat cu . Din teorema 1.2, este suprafață
elementară. Condiția ne asigură că , iar condiția ne arată că
În cazul în care pe atunci fie și | . Printr -un
rationament analog vom obține că aparține fie unei suprafețe elementare
, fie unei suprafețe elementare , cu și
diferențiabile din , ambele incluse în
După Teorema 1.2.3. , condițiile

mulțime deschisă în , reprezintă analitic o suprafață., numită și
reprezentare implicită.
În concluzie , o suprafață din se poate reprezenta analitic în trei
moduri :explicit, parametric și implicit. Iar aceste trei reprezentări analitice sunt local
echivalente în sensul că orice punct al unei suprafețe aparține unei suprafețe
elementare c are se poate reprezenta în toate cele trei moduri posibile.

13
Dacă este pe o suprafață elementară dată explicit în forma , cu
notația , iar acestă suprafață o putem considera dată implicit
anume , pentru că Totuși aceeași
suprafață poate fi considerată parametric în forma
{

pentru că suma de determinați la pătrat din (2.2 ’) este aici

În cazul în care este pe o suprafață elementară dat ă implicit, Teorema 1.2.3. ne
arată cum să ajungem la forma implicită, iar atunci când este pe o suprafață elementară
dată parametric, Teorema 1.2.2. ne indică modul de explicitare.
În practică se folosesc toate cele trei reprezentări analitici, însă se dovedește a fi
mai utilă cea parametrică. Cu ajutorul reprezentări parametrice vom prezenta geometria
diferențială euclidiană a suprafețelor.
Prin geometria diferențială euclidiană a suprafețelor înțelegem proprietățiile
suprafețelor și mărimile, construcțiile asociate suprafețelor, care sunt invariante la
izometriile spațiului euclidian și la schimbările de parametrii pe suprafață. Spunem
despre o proprietate a suprafeței sau o mărime asociată ei că are caracter geometric sau,
simplu, că este geometrică dacă nu depinde, nu este modificată, de izometriile lui și de
nici o reparametrizare a suprafeței. În continuare vom prezenta, studia și aplica numai
proprietăți geometrice ale suprafețelor chiar dacă acest lucru nu va fi menționat
întotdeauna în mod explicit.
Fie , cu reperul ortonormat { ⃗ ⃗ ⃗⃗ } pozitiv orientat și un punct
coordonate în reperul
O izometrie a lui care păstrează orientarea, transformă într-un punct
și reperul într-un reper ortonormat la fel orientat { ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗)}
Cum sunt coordonatele lui în reperul , formulele care dau analitic
izometria sunt identice cu formulele de trecere de la reperul la reperul . Putem
substitui izometria care mut ă punctul în punctul cu o schimbare de repere
ortonormate de repere ortonormate care lasă nemișcat dar schimbă coordonatele sale
în . Atunci pentru a ne asigura că o proprietate a suprafeței exprimată
cu ajutorul unui reper ortonormat este invariantă la izometrii, este suficient să verificăm
că este invariantă la schimbarea reperului ortonormat folosit în exprimarea ei.

14
1.3. CURBE PE O SUPRAFAȚĂ
În acest subparagraf vom vorbi și studia numai proprietăți punctuale și locale ale
suprafețelor și ne vom limita la a considera numai suprafețe elementare , care mai sunt și
numite simplu suprafețe care se noteză cu .
Din subp aragrafele anterioare cunoaștem că cele trei reprezentări analitice pentru
sunt echivalente.
Fie suprafața , cu mulțimea deschisă și scufundare
diferen țiabilă de clasă .
Definiția 1.3.1 . Se numește curbă pe imaginea p rin a unui arc elementar
din .
Fie , cu interval deschis și o scufundare a lui în identificat
cu , prin considerarea unui reper ortonormat. Atunci curbură pe .

Figura 1.3.1

Arcul elementar se poate reprezenta analitic în formele echivalente :
{

funcții reale de o variabilă reală
, mulțime deschisă.
Cunoașterea acestei reprezentări este suficientă pentru a descrie curba pe suprafață
pentru că nu avem decât de efectuat o compunere cu aplicația
De aceea vom spune că sunt reprezentări analitice ale curbei
pe suprafața .
Reprezentarea analitică duce la reprezentarea curbei astfel

15
{ ( )
( )
( ) sau
⃗ ⃗( )
Formula de derivare a funcțiilor compuse ne dă
⃗
⃗⃗⃗⃗( ) ⃗⃗⃗⃗( )
Formula prezentat ă mai sus ne arată că ⃗
⃗⃗ , altfel în caz contrar, având
în vedere că derivatele și nu sunt simultan nule , result ă că ⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗ sunt vectori
coliniari, adică ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ cel puțin într -un punct din , ceea ce este fals.
În cazul în care arcul are reprezentarea curba are ecuațiile
⃗ ⃗( ) , interval deschis în .
Formula
⃗
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ne ara tă că ⃗
⃗⃗ .
Ca să obține o reprezentare a curbei , plecăm de la reprezentarea dar
înainte avem nevoie să facem o explicare de forma .
Fie , din injectivitatea aplicației rezultă că perechea este
unic determinată încât .
Fie în segmentul de dreaptă de ecuație
reprezentată parametric prin
{
interval deschis în .
Imaginea prin a acestui segment de dreptă este o curbă pe care trece prin și
care este mulțimea punctelor cu Se poate reprezenta și în forma
⃗ ⃗ .
Curba se numește linia parametrică . Similar definim curba numită linia
parametrică ca imaginea segme ntului de dreaptă(deschis) din de ecuații

{
, interval deschis în
⃗ ⃗ .
Punctul este la intersecția liniilor parametrice și , motiv pentru
care se poate spune că și sunt coordonate curbilinii ale punctului .

16
Vectorul tangent la curbă în punctul este ⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ , iar vectorul tangent la curbă în același punct este ⃗⃗⃗⃗ Însă
vectorii sunt necoliniari pentru că ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗
Dacă vom considera imaginile prin ale tuturor segmentelor din de ecuație
, obținem pe o familie de curbe numită familia curbelor sau liniilor parametrice
. La fel imaginile prin ale segmentelor din de ecuație conctituie o
familie de curbe pe , numită familia curbelor sau liniilor parametrice Prin
fiecare punct al suprafeței trece câte o linie din fiecare familie de linii parametrice,
care nu au alte puncte comune înafara lui pentru că este aplicație injectivă și vectorii
lor tangenți în sunt necoliniari. Cele două familii de linii parametrice formează o rețea
pe suprafață, numită rețeaua liniilor parametrice.

Fig1.3.2 R ețeaua liniilor parametrice
Observație : Rețeaua liniilor parametrice se construiește plecând de la o
parametrizare, reciproc dată o rețea de curbe pe suprafață cu proprietatea că prin fiecare
punct al suprafeței trece câte o curbă din fiecare familie, curbe care nu au alte puncte
comune și au v ectorii tangenți în punctul de intersecție necoliniari, se obține o
parametrizare a ei.
1.4. SPAȚIU TANGENT ÎNTR -UN PUNCT AL UNEI SUPRAFEȚE

Noțiunea de spațiu tangent este o noțiune punctuală.
Pentru a sublinia acest lucru vom considera mulțimea ⃗ ⃗
spațiu tangent în toate punctele lui , și o vom organiza ca spațiu liniar cu operațiile
⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗
Aplicația dată de ⃗ ⃗ este evident un izomorfism liniar a lui cu .

17
Definiția 1.4.1 . Numim spațiu liniar tangent la în .
Vom da o interpretare geometrică a lui , care va justifica denumirea de spațiu
tangent.
Considerăm un reper ortonormat {( ( ⃗ ⃗ ⃗⃗))} pozitiv orientat în . Iar
punctul în raport cu reperul are vectorul de poziție ⃗⃗⃗⃗. Fie dreapta prin de
direcția vectorului ⃗ și ecuație ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ . Observăm că această dreaptă are
proprietățile
i. La valoarea trece prin
ii. Vectorul tangent ei în este ⃗
⃗
Există o mulțime de curbe în cu proprietățile i. și ii.. Ele au în comun și ⃗, le
vom considera împreună prin notația ⃗ . Avem astfel o semnificație geometrică a
elementului ⃗ din , care reprezintă o mulțime de curbe care trec prin și au în
ca vector tangent pe ⃗. Prin reparametrizare se poate aranja ca fiecare curbă din mulțime
să treacă prin la valoarea zero a parametrului de pe curbă.
Cele prezentate mai sus ne sugerează o metodă de a defini o noțiune de spațiu
tangent într -un punct al unei mulțimi diferită de . Ar trebui ca acea mulțime să conțină
curbe care să admită tangente.
Fie o suprafață cu mulțime deschisă în și scufundare.
Fie definit de , adică sunt coordinatele sale curbilinii. Notăm cu ⃗
funcția vectorială asociată lui .
Fie o curbă , cu , atunci:
este o curb ă pe care trece prin la valoarea zero a
parametrului.
Definiție 1.4.2. Se numește vector tangent la în punctul , un vector din
care este tangent la o curbă prin , situată pe .
Notăm cu mulțimea vectorilor tangenți la în punctul .
Observație : Considearăm un vector tangent la suprafața în punctul ei ,
există o infinitate de curbe prin , situate pe , care să aibă ca vector tangent în
vectorul .
Vor fi gândite într -o clasă de echivaleță definită de următoarea relație de
echivalență, și anume două curbe pe care trec prin sunt echivalente dacă au același
vector tangent în .

18

Figura 1.4.1
Ecuația curbei imagine pe a curbei este
⃗ ⃗( )
Această curbă trece la valoarea totală
Vectorul tangent ei în este
⃗
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ .
Vectorul ⃗
este tangent suprafeței în .
Linia parametrică trece prin iar vectorul tangent ei în este ⃗⃗⃗⃗ ,
așadar ⃗⃗⃗⃗ este tangent suprafeței în . Deci vectorii necoliniari (adică liniar
independenți) ⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗ din sunt în este o combinație liniară de
vectorii liniar independenți ⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗ . Atunci are loc
Propoziția 1.4.1 . Mulțimea este un subspațiu l iniar de dimensiune 2 a
spațiului liniar .
Pe baza propoziției enunțate mai sus vom numi spațiu liniar tangent la în
punctul .
Noțiunea de spațiu tangent, cea punctuală, este o noțiune geometrică, intrinsec
ascociată suprafeței .
Propoziția 1.4.2 . Spațiul liniar nu depinde de reperul ales în și nici de
parametrizarea suprafeței .
Demonstrație
Am observat că ⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗ nu depind de reperul din , deci nici nu depinde
de .
La schimabarea de parametrii
{ ̃ ̃
̃ ̃ ̃ ̃ ̃ și

19
|
̃
̃

̃
̃| ⃗⃗ pe ̃
Au loc formulele
{ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
̃ ⃗⃗⃗⃗
̃
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
̃ ⃗⃗⃗⃗
̃ care ne arată că vectorii ̃⃗⃗⃗⃗⃗ , ̃⃗⃗⃗⃗⃗ generează subspațiul
vectorial

1.5. PLANUL TANGENT ÎNTR -UN PUNCT AL SUPRAFEȚEI. NORMA
LA SUPRAFAȚĂ.

Considerăm suprafața cu reprezentarea parametrică
⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ pe mulțimea deschisă și punctul
pe .
Definiția 1.5.1 . Subspațiul afin din determinat de și spațiul liniar se
numește plan tangent la în .
Am văzut este generat de ⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗ .
Atunci planul tangent la în este planul care trece prin și conți ne acești
vectori. Ecuația sa este evident
( ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) sau cu ajutorul
coordonatelor
|

|
Deci putem da planul tangent la în și prin ecuația
⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ .
Fie suprafața reprezintă explicit în forma
mulțime deschisă în .
Trecem la reprezentarea parametrică, pentru a găsi ecuația planului tangent la în
( )
{

și aplicăm (1.5.2)

20

În cazul în care suprafața este reprezenta tă implicit prin
mulțime deschisă în
, pentru a obține ecuația planului tangent la în se face o explicitare,
de exemplu în forma , dacă cu și
( ) pe o submulțime deschisă ce conține punctul .
Prin derivarea acestei identități în raport cu și se obțin identitățile
{

din care deducem
{

iar prin înlocuire în obținem ecuația planului tangent la
, dată prin în în forma

Ecuația se mai scrie sub forma
〈 ⃗ ⃗ 〉 ,unde indicele 0 arată că vectorul
se calculează în punctual .
Definiția 1.5.1 . Dreapta perpendiculară pe planul tangent la în punctul
care trece prin se numește normala la suprafață în punctul .
Vectorul care dă direcția normalei în este vectorul ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ calculat în
. Ecuația normalei la în punctul este
⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ .
Versorul ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
‖ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗‖|
se numește versorul normalei la în punctul .
Vectorii ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ )sunt liniari independenți, adică formează o
bază în . Ansamblu { ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ )} este un reper în cu
origine a în , numit reperul lui Gauss. Reperul lui Gauss se modifică atunci când
punctul variază pe . Cu alte cuvinete, el este un reper mobil pe .
Obeservație : Planul tangent și normala la suprafață sunt noțiuni punctuale,
geometrice, com vedea că la reprezentarea cu determinantul din negativ,
versorul normalei își schimbă semnul.
Concluzie, la astfel de reprezentări, reperul Gauss, își schimbă orientarea.

21
CAPITOL 2

2. NOȚIUNILOR ELEMENTARE ALE SUPRAFEȚELOR
(PARTEA II)
2.1. FORMA I -A FUNDAMENTALĂ A UNEI SUPRAFEȚE

Considerăm suprafața reprezentată parametric prin ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗.
Renotăm parametrii pe astfel și vom pune ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ .
Cu , vom nota cu vectori din . Rezultă că vectorul
este de forma
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ∑ ⃗⃗⃗⃗
, pentru că vectorii ⃗⃗⃗⃗⃗
și ⃗⃗⃗⃗⃗ formează o bază în .
Vectorii tangenți la în au caracter geometric pentru că au fost definiți ca
vectori tangenți la curbe pe care trec prin . Amintim că factorii și din (2.2 .1)
sunt

,
Unde {
(
)
(
)
, reprezintă o
curbă pe care trece prin la .
Schimbarea reperului ortonormat din nu modifică nici , și nici vectorii
⃗⃗⃗⃗⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗.
Dar schimbarea parametrilor pe suprafață modifică , și vectorii ⃗⃗⃗⃗⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗, dar
rămâne același , și anume :
Fie schimbarea de parametrii
{ ̃ ̃
̃ ̃ ̃ ̃ ̃ mulțime deschisă din cu condiția
|
̃
̃

̃
̃ | pe ̃
Sistemul în necunoscutele ̃ ̃ se poate rezolva în forma
{ ̃ ̃
̃ ̃ atunci curba are ecuațiile

22
, ̃ ̃ ( )
̃ ̃ ( ) prin derivare în raport cu t
obținem
̃ ̃
̃

̃

̃ ̃
̃

̃

unde ̃
sunt calculate în
( ) coordonate curbilinii ale lui .
Formulele acestea se pot scrie mai compact, și anume
̃ ∑ ̃

Pe de altă parte, cu noile notații, formula se scrie
̃⃗⃗⃗⃗ ∑
̃ ⃗⃗⃗⃗
unde ̃⃗⃗ ⃗⃗( ̃ ̃ ̃ ̃ ).
Ne propunem să arătăm că
∑ ̃
̃⃗⃗⃗⃗ ∑
⃗⃗⃗⃗
Avem
∑ ̃
̃⃗⃗⃗⃗ ∑ ̃

̃
⃗⃗⃗⃗ ∑ ⃗⃗⃗⃗
∑ ⃗⃗⃗⃗
unde am folosit
∑ ̃

̃
{

Mai trebuie să arătăm că are loc (2.1.10), mai exact cunoscând că ecuațiile
au fost obținute rezolvând sistemul , deci au loc
( ̃ ̃ ̃ ̃ )
Derivând compus după
Avem
∑ ̃

̃
Dar
, deci formula ne arată
că nu depinde de parametrizarea de pe suprafața .
Definiția 2.1 .1. Aplicația care asociază perechii
numărul real 〈 〉, unde 〈 〉 înseamnă produsul scalar în , se numește
forma I -a fundamentală a suprafeței în A. Aplicația se numește forma I -a
fundamentală a suprafeței .

23
Observați e: Forma I -a fundamentală are caracter geometric pentru că sunt
vectori tangenți și produsul scalar a doi vectori nu depinde de reperul din spațiu.
Aplicația este evident biliniară, simetrică și pozitiv definită

Fie dat de (2.1 .1) și ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗. Biliniaritatea și simetria aplicației
conduc la formula
∑
unde
〈 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗〉 produs scalar calculat în .
Funcțiile care depind de , iar prin intermediul coordonatelor curbilinii apar
definite pe , se numesc coeficienții formei I -a fundamentale .
Efectuăm o schimbare de parametrii de forma cu pe .
Fie ̃ 〈 ̃⃗⃗⃗⃗ ̃⃗⃗⃗⃗〉 noii coeficien ți ai formei I -a fundamentale. Folosind formula
coeficienții devin ̃ 〈∑
̃ ⃗⃗⃗⃗⃗
∑
̃ ⃗⃗⃗⃗
〉. Utilizând proprietățile
produsului scalar obținem
̃ ∑
̃

̃ .
În aceste egalități are coordonatele la stanga ̃ ̃ și în dreapta
( ̃ ̃ ̃ ̃ ), iar derivatele parțiale sunt calculate în ̃ ̃
Ecuația se poate rezolva în raport cu , luând în considerare ecuația
, și obținem
∑ ̃

̃
̃
Formulele și reprezintă legea de transformare a coeficienților
formei I -a fundamentale la o schimbare de parametrii pe suprafață.
Coeficienții formei I -a fundamentale sunt trei si anume
〈 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗〉 〈 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗〉 〈 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗〉 echivalente cu
⃗⃗⃗⃗ 〈 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗〉 ⃗⃗⃗⃗ .
Forma p ătratică asociată formei I -a fundamentale se numeș te, de obicei, tot forma
I-a fuN damentală și se notează tot prin . Avem
∑

pentru vectorul tangent dat de

24
Notăm cu (
) matricea formei pătratice . Din definiția lui
știm că este funcție pozitivă pe . Rezultat echivalent cu
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 〈 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗〉 | ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗| pe , iar coordonatele
sunt de forma . direcția sa este de forma { (

) }. Cu
particular de forma , constatăm ca direcția lui este determinată complet de
Spunem că reprezintă o direcție tangentă suprafeței. Pentru
ea se definește forma pătratică
, cu coefi cieții
calculați în . Se numește forma I -a fundamentală a suprafeței , cu notațiile
clasice
.
Dacă ecuația suprafeței este dată în forma implicită ,
mulțime deschisă pe . Considerăm și trecem la reprezentarea parametrică
⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ cu și așadar avem

Fie suprafața de ecuație
mulțime deschisă în . Cu pe o submulțime deschisă , putem explicita
și are loc ( ) pe D. Derivând în raport cu și obținem
de unde rezultă că
,

. Aplicăm și obținem
(
)

(
)
(
)
(
)

2.2. APLICAȚII ALE FORMEI I -A FUNDAMENTALE

Fie o suprafață cu mulțime deschisă din , un punct și
spațiul tangent în la .
Din Definiția 2.2 .1. perechea este spațiu vectorial euclidian de
dimensiune 2. Deci putem vorbi de lungimea unui vector

25
‖ ‖ √ √∑

Și despre unghiul a doi vectori

‖ ‖‖ ‖ ∑

√∑
√∑

Fie o curbă pe suprafața de ecuație
⃗ ⃗⃗( ) [ ] și vector tangent ⃗
care are coordonatele
(

), în baza ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗) din .
Deci ‖ ⃗
‖ √∑ ( )

atunci lungimea curbei este
∫√∑ (
)

(
)

Unde coeficienții sunt calculați în ( ), în acest caz funcția lungime
de arc este
∫√∑ (
)

(
)

cu diferența la
pătrat

De aceea, putem spune ca este o interpretare geometrică a formei I -a
fundamentale.
Considerăm două curbe pe care trec prin punctul la valoarea a
parametrului, de ecuații
⃗ ⃗⃗( )
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗( )
Prin definiție, unghiul curbelor (2.2 .6) în punctul de intersecție , este unghiul
detereminta de vectorii tangenti a celor două curbe în punctul , iar vectorii au
coordonatele (

), respectiv (

).
După unghiul lor este de forma

26
∑

√∑

√∑

Dacă simplificăm relația cu , obținem formula unghiului a două direcții pe
în
Să cal culăm unghiul al curbelor . Avem
, respectiv .
Atunci formula devine

√ √
√
√
Doi vectori t angenți în sunt ortogonali dacă unghiul lor are măsura
, la fel și
pentru două direcții tangente. În cazul a două curbe ele sunt ortogonale dacă unghiul
vectorilor tangenți are măsura
.
Formula ne oferă condiția ca liniile parametrice să fie ortogonale și anume
pe
Aria unei mulțimi , unde , iar o submulțime compactă în și
imagine sa în . O notăm cu și are următoarea formulă
∬√
, în notații clasice
∬√
∬√

Formula poate fi intuită din constr ucția următoare, și anume considerăm
pe suprafața rețeaua liniilor parametrice care împarte mulțimea în patr ulatere
curbilinii ca în fig.2.2 .1

Fig.2.2 .1

27
Aproximăm aria sa cu ajutorul ariei paralelogramului determinat de vectorii ⃗⃗⃗⃗
și ⃗⃗⃗⃗ , adică
‖ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗‖ √
Aria va fi suma ariilor acestor paralelograme infinitisime, care este dată de
∬√
.

2.3. FORMULELE LUI GAUSS. FORMULELE LUI WEINGARTEN

Fie suprafața reprezentată parametric astfel
⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ mulțime deschisă în .
Fie , reperul { ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗)} ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
| ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|, cu variabil, este un reper mobil
pe , numit reperul lui Gauss . Pentru a studia variația reperului vom exprima vectorii
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
în reperul Gauss , obținând formulele lui G auss. Exprimarea vectorilor
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
în reperul Gauss va duce la formulele lui W eingarten.
Notăm cu ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ , apoi î i descompunem în baza
( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) în forma următoare
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∑ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
Unde funcțiile și de o să le determinăm.
Înmulțim ecuația cu ⃗⃗⃗, având în vedere că 〈 ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗〉 și
⃗⃗⃗ obținem
〈 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗〉
‖ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗‖( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)
√ ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)
Unde ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 〈 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗〉 .
În notațiile lui G auss , iar dacă revenim la
parametrizarea , vom avea

√ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
√ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
√ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

28
Vom determina funcțiile în felul următor, o să înmulțime ecuația cu
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ și obținem
〈 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗〉 ∑
〈 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗〉 ∑ cu fixate, sistemul
∑
〈 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗〉
În necunoscute și are soluție unică pentru că (
)
. Așadar vom obține pe rând , și rezolvănd trei
sisteme de tipul funcție de și 〈 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗〉
Prin derivarea relației 〈 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗〉 în raport cu obținem
i.
〈 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗〉 〈 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗〉
Permutând ciclic i,j,k în i. și obținem
ii.
〈 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗〉 〈 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗〉
iii.
〈 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗〉 〈 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗〉
Înmulțind una din relațiile i., ii., iii. cu , fie de exemplu ii. Și le adunăm
membru cu membru obținând
〈 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗〉
(

) [ ]
Func țiile notate cu [ ] se numesc simbolii Christoffel de specia I -a. observând
simetria lor în indicii sistemul devine
∑
[ ]
Fie matricea inversă matricii , adică avem
∑
{

Înmulțim în cu și însumăm după m ∑

∑
[ ] sau ∑
[ ]
Așadar am obținut

∑
(

)
Funcțiile date de se numesc simbolii lui Christoffel de specia a II -a

29
Propoziția 2.3 .1. Funcțiile se exprimă numai cu funcțiile ( ) și derivatele lor
de ordinal I.
Formulele cu funcțiile date de și funcțiile date de
se numesc formulele lui Gauss .
Acum stabilim formulele lui Weingarten. Notăm ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
și
descompunem acești vectori în baza ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) astfel
⃗⃗⃗⃗ ∑ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗

Unde și de variabile urmează a fi determinate.
Înmulțim cu ⃗⃗⃗ și avem în vedere că ⃗⃗⃗ 〈 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗〉 și 〈 ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗〉 .
Obținem
Înmulțim cu ⃗⃗⃗⃗⃗ și rezultă ∑
〈 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗〉. Prin
derivarea egalității 〈 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗〉 în raport cu ( ), obținem 〈 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗〉 〈 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗〉 și
deci
∑

În avem 4 ecuații care, grupate convenabil câte două, formează două
sisteme liniare, fiecare cu matricea ( ) care este nesingulară și deci cele patru funcții
( ) sunt unic determinate. Înmulțim în cu și însumăm după , pentru aflarea
expresiilor unitare a acestor funcții, atunci avem ∑
∑ sau având
în vedere că ∑ .
∑

Formulele
⃗⃗⃗⃗ ∑ ⃗⃗⃗⃗

Cu funcțiile ( ) date de se numesc formulele lui W eingarten.
Definim operatorul liniar W eingarten prin ⃗⃗⃗⃗ ∑ ⃗⃗⃗⃗
cu alte
cuvinte ( ) este matrice operatorului în baza ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗)

30
Propoziția 2.3 .2. Operatorul W eingarten este autoadjunct în raport cu adică
are loc egalitatea

Demonstrație
Verificăm ecuația pentru ⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗.
Pe baza egalităților avem
( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗) (∑
⃗⃗⃗⃗) ∑

Însă ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗) ( ⃗⃗⃗⃗ ∑
) ∑
, în baza acelorași
egalități Cum , ecuația are loc.

2.4. FORMA A II -A FUNDAMENTAL Ă A UNEI SUPRAFEȚE

Definiția 2.4 .1 Aplicația dată prin formula

Se numește forma a II -a fundamental ă a suprafeței în punctual . Aplicația
se numește forma a II -a fundamental ă a suprafeței .
Aplicația este o formă biliniară pentru că este operator linear și este formă
biliniară. Pe baza egalităților (2.3 .10), forma biliniară este simetrică. Matricea ei în
baza ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗) este ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗) ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗) , așadar putem scrie și în forma
următoare
∑
, pentru ∑ ⃗⃗⃗⃗
∑ ⃗⃗⃗⃗

Observație: Aplicația are character geometric. M atricea formei biliniare are
determinantul |
|
Definiția 2.4 .2 Punctele suprafeței în care avem (respectiv
se numesc puncte hiperbolice (respectiv parabolice , eliptice ).
Forma pătratică asociată lui
∑
∑ ⃗⃗⃗⃗

Se numește , de asemenea, forma a II -a fundamental ă a suprafeței .
Fie este o direcție tangentă a suprafeței . Forma pătratică

31
∑

Se numește , de asemenea, forma a II -a fundamental ă a suprafeței .
În notațiile lui Ga uss, forma a II -a fundamental ă se scrie

În care sunt funcții de și .
Reprezentarea parametrică ⃗ ( ), ne -a condus la ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ Derivând încă o dată obținem ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
, unde în notațiile Monge.
În această reprezentare formulele coeficiențiilor sunt

√
√
√
Iar determinantul matricei formei a II -a este
√
În cazul în care suprafața este reprezentată implicit prin se
poate obține reprezentarea explicită și am văzut mai sus că
,

.
Derivăm și în raport cu și pentru a obține . Rezultă următoarele
expresii ale coeficiențiilor formei a II -a fundamentale

√
√
√
Fie punctul al suprafeței elementare reprezentată explicit prin ecuația
. Alegem reperul încât originea sa să fie iar axa
să coincidă cu norma în la suprafața .
Condiția ca vectorul unitar ⃗⃗⃗
√ să coincidă cu ⃗⃗ ne dă că
în punctul
Coeficienții formei a II -a fundamentale sunt dați de , dezvoltând funcția
în seria Taylor în vecinătatea punctului , obținem

Rezultă că în vecinătatea lui suprafața diferă foarte puțin de cuadrica de
ecuație

32

Cuadrica aceasta este un paraboloid eliptic dacă paraboloid
hiperbolic dacă sau . Atunci în vecinătatea unui punct eliptic
suprafață diferă foarte puțin de un paraboloid eliptic, în cazul vecinătății unui punct
hiperbolic este la fel ca la cel eliptic, adică diferă foarte puțin de un paraboloid hiperbolic,
însă la punctul paraboli c în care sau , suprafața diferă foarte puțin de un
cilindru parabolic.
Așa se explică termenii de p unct eliptic, punct hiperbolic și punct parabolic. În
vecinătați puntelor parabolice în care și deci nu se poate spune mai
nimic despr e forma suprafeței. Ea poate fi foarte complicată, deoarece este dată de
termenii de gradul 3 în dezvoltarea în serie Taylor a funcției .

2.5. CURBURĂ NORMALĂ. DIRECȚII ASIMPTOTICE. LINII
ASIMPTOTICE.

Definiția 2.5 .1 Aplicația definită prin

Se numește curbura normală a suprafeței în punctul .
Cu ∑ ⃗⃗⃗⃗, valoarea funcției curbură normală în , numită simplu curbura
normală se scrie
∑
∑
Observăm că are loc pentru orice număr real, adică
funcția depinde numai de direcția lui .
Putem considera particular direcția tangentă și avem
∑
∑
În notațiile clasice,

33
Observăm ca pe ntru un punct fix , curbura normală este funcție de direcțiile
tangente la în .
Vom studia cazurile în care curbura normală este nulă și cele pentru care ea are
valori extreme(minimă, maximă).
Definiția 2.5 .2 O direcție , tangentă în la , se numește
direcție asimptotică dacă
După direcția este direcție asiptotică

Ecuația se numește ecuația direcțiilor asimptotice . Direcția
este complet definită și de perechea (
) Cu notația

Ecuația se scrie

Ea este ecuația de grad II în . Discriminantul ei fiind , atunci avem
i) În punctele hiperbolice există două direcții asimptotice distincte
ii) În punctele parabolice există o singură direcție asimptotică(două
confundate)
iii) În punctele eliptice nu există direcții asimptotice.
Definiția 2.5 .3 O curbă pe se numește linie asiptotică sau asiptotă dacă
vectorul tangent ei are în toate punctele ei direcție asimptotică .
În cazul în care ecuațiile unei curbe sunt vectorul
tangent ei este ∑

⃗⃗⃗⃗ și condiția ca acesta să aibă direcție asimptotică este
(
)

(
)

Ecuația este ecuația diferențială a liniilor asimptotice pe .
Definiția 2.5 .3 Împreună cu rezultatele privind existența direcțiilor asimptotice ne
arată că
i) Printr -un punct hiperbolic trec două linii asimptotice distincte
ii) Printr -un punct parabolic trece o linie asimptotică
iii) Printr -un punct eliptic nu trece nici o linie asimptotică .
Determinarea liniilor asimptotice se face prin rezolvarea ecuației , căutând
linia asimptotică în forma, bineînteles dacă există, de exemplu,
ecuația devine

34
(
)

Ecuație echivalentă cu două (posibil confundate) ecuații diferențiale de ordinul
întâi, de forma
( ), integrabile prin cuadraturi.
Stabilim expresia vectorului ⃗
în reperul G auss, pentru a obține caracterizări
geometrice, pentru ⃗ ⃗⃗( ) ecuația unei curbe pe .
Știm ⃗
∑

, o să îl derivăm din nou în raport cu . Obținem
⃗
∑

⃗⃗⃗⃗ ∑( ⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

)

∑
⃗⃗⃗⃗
∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Înlocuim ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ din formulele lui G auss și rezultă
⃗
∑

⃗⃗⃗⃗ ∑

⃗⃗⃗⃗⃗ (∑

) ⃗⃗⃗
În prima sumă din dreapta schimbăm cu , grupăm după ⃗⃗⃗⃗⃗ și obținem
⃗
∑

⃗⃗⃗⃗⃗ ∑

⃗⃗⃗⃗⃗ (∑

) ⃗⃗⃗
Observăm că spre deosebire de ⃗
, vectorul ⃗
nu este, în general, conținut în
spațiul tangent . Acest vector este atâ t componentă tangențială dată de
( ⃗
)
(
∑

) ⃗⃗⃗⃗⃗ (
(∑

)) ⃗⃗⃗⃗⃗
Cât și componentă normală dată de
( ⃗
)
(∑

) ⃗⃗⃗
Din rezultă
Propoziția 2.5.1 O curbă pe de ecuație ⃗ ⃗⃗( ) este
linie asimptotică vectorul ( ⃗
)
, adică dacă și numai dacă vectorul ⃗
aparține
spațiului tangent la
Corolar 2.5.1 Orice dreaptă pe o suprafață este linie asimptotică .
Demonstrație

35
Pentru o d reaptă pe avem ⃗
, fapt care atrage ( ⃗
)
( ⃗
)
. Iar
dacă luăm în considerare Propoziția 2.5 .1, dreapta de pe este linie asimptotică.
Propoziția 2.5 .2 O curbă pe este linie asimptotică dacă și numai dacă în fiecare
punct al ei planul osculator coincide cu planul tangent suprafeței.
Demonstrație
⃗
⃗

Fie curba linie asimptotică, atunci din Propoziția 2.5 .1, ⃗
este, de
asemenea, în planul tangent suprafeței, deci planul osculator curbei coincide cu planul
tangent la suprafață.
Fie o curb ă al cărei plan osculator coincide cu planul tangent s uprafeței,
vectorul ⃗
din planul ei osculator, fiind și în planul tangent suprafeței, va avea
componenta normală zero. Din Propoziția 2.5 .1, curba este linie asimptotică.

Considerăm din nou o curbă pe suprafața , reprezentată parametric prin ⃗
⃗⃗( ) [ ], cu lungime de arc. Într -un punct fixat al ei, normala
principală ⃗⃗ și normala la suprafață ⃗⃗⃗ sunt în același plan, planul normal curbei în . Fie
( ⃗⃗ ⃗⃗⃗). Avem 〈 ⃗⃗ ⃗⃗⃗〉
〈 ⃗
⃗⃗⃗〉 unde este curbura curbei.
După 〈 ⃗
⃗⃗⃗〉 ∑

(∑
) , dar
∑
și obținem
〈 ⃗
⃗⃗⃗〉
Așadar avem

Formulele și au loc în fiecare punct al curbei cu precizarea că
funcția se calculează pentru direcția tangentei la curbă în acel punct. Formula
conduce la
Propoziția 2.5 .3 O curbă pe este linie asimptotică dacă și numai dacă normala ei
principală coinc ide cu normala la suprafață.
Observație : Propoziția 2.5 .3 este și o consecință imediată a Propoziției 2.5.2.

36
2.6. DIRECȚIILE PRINCIPALE ÎNTR -UN PUNCT AL UNEI
SUPRAFEȚE. LINII DE CURBURĂ.

Fie o direcție tangentă . Curbura normală într -un punct ,
fixat, apare ca funcție de variabile , , funcție dată de .
Definiția 2.6 .1 Direcția tangentă la , , se numește direcție principală
dacă ea este punct critic pentru curbura normală, adică

Valoarea curbei normale pentru o directie principală se numește curbură
principală și se va nota prin .
Prin derivare în condițiile după o simplificare cu 2, devine

{ (∑
) (∑
)
(∑
) (∑
)
Pentru soluție a acestui sistem, raportu (∑ )
(∑ ) este exact .
Cu această notație sistemul ia forma

Așadar direcțiile principale sunt soluții ale ecuației dată de prima egalitate din
care, după calcule, se dovedește a fi echivalentă cu

.
Aceasta este ecuația direcțiilor principale .
Ea se scrie și în forma, ușor de reținut,
|

|
Definiția 2.6 .2
1. Punctele pe în care avem se numesc puncte
planare.

37
2. Punctele pe în care are loc

se
numesc puncte ombilicale .
Rezultă că în punctele neplanare și neombilicale există două direcții principale
reale, distincte. În punctele planare și în cele ombilicale direcțiile principale sunt
nedeterminate în sensul că orice direcție tangentă în este direcție principală.
Definiția 2.6 .3 O curbă pe se numește linie de curbură dacă în toate punctele
curbei direcția tangentei la curbă este direcție principală pe suprafața .
Din rezul tă că ecuația diferențială a liniilor de curbură este
||(
)

(
)

||
Prin punctele neplanare și neombilicate trec două linii de curbură, reale și
ortogonale. În punctele planare și ombilicale liniile de curbură sunt nedeterminate.
Fie un vector tangent la , de directive principal, numit și vector
principal. Așadar componentele sale verifică ecuațiile

Unde este valoarea curburii normale pentru vectorul , adică avem

.
Ecuațiile se mai pot scrie în forma următoare
∑( )

Propoziția 2.6.1 Un vector este principal dacă și numai dacă este vector propriu
pentru operator Weingarten, corespunzător valorii proprii (curbură principală).
Demonstrație
Ecuația matricială care dă vectorii proprii ai operatorului Weingarten, se
scrie în bază ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ astfel
(∑ ⃗⃗⃗⃗
) ∑ ⃗⃗⃗⃗ ∑ ⃗⃗⃗⃗ ∑ ⃗⃗⃗⃗
∑
∑

38
Înmulțim ultima expresie cu și însumăm după . Rezultă ∑

∑
sau, după schimbări premise de indici ∑( ) , ecuație care
pentru este exact (2.6 .7).
Propoziția 2.6.2 Vectorii principali corespunzători la curburi le principale distincte
sunt ortogonali.
Demonstrație
Fie și cu și . Avem

Pentru , obținem .
Pentru , rezultă (
) Din nou .
În cazul în care și , putem scrie

2.7. CURBURI PRINCIPALE . CURBURĂ TOTALĂ. CURBURĂ
MEDIE.

Curbură principală se numește valoarea curburii normale pe o direcție principală
sau pentru un vector principal.
Vectorii principali sunt dați de ecuațiile ecuații care constit uie un sistem
liniar și omogen în , și cum știm că există direcții diferite de direcția nulă,
determinantul sist emului trebuie să fie diferit de zero. Așa dar curburile principale sunt
date de
|
| sau

Propoziția 2.7 .1 Ecuația are soluții reale.
Demonstrație
Alegem o parametrizare a suprafeței în care Discriminantul ecu ației
(2.7.1) este cu egalitate dacă și numai dacă
. Așadar soluțiile ecuației (2.7 .1) sunt reale. Ele sunt
confundate
în puncte ombilicale și în puncte planare.

39
Definiția 2.7.1 Fie și curburile principale în punctual . Numărul
real
se numește curbura totală a suprafeței în .
Numărul real

se numește curbura medie a
suprafeței în .
Fiecărui punct al suptafeței putem să -i asociem curbura totală a suprafeței în
și curbura medie a suprafeței în . Obține m astfel două funcții reale pe , numite funcția
curbură totală și funcția curbură medie.
Dacă avem în puncte hiperbolice, în puncte parabolice și în
puncte eliptice. Punctele planare sunt parabolice, iar cele ombilicale sunt puncte eliptice.
Propoziția 2.7 .2
a) Planul are toate punctele planare.
b) Dacă o suprafață conexă are toate punctele planare, atunci ea este o
regiune conexă a unui plan.
Demonstrație
a) Considerăm ecuațiile planului de forma ,

, afirmația se
demonstrază usor prin calcul.
b) Fie o suprafață convexă cu Rezultă și din
formulele lui Weingarten, urmează ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗, adică ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗(constant).
Considerăm funcția 〈 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ 〉 pe care o derivăm în raport cu și
Rezultă 〈 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗〉
〈 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗〉 . Așadar 〈 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗〉 (constanta reală). Cu ⃗⃗⃗⃗⃗
obținem .
Deci punctual ( ) de pe suprafața se află în
punctual de ecuație .

Fie suprafața sferă de centru și rază . Folosind parametrizarea de forma
{

Se consideră că punctele sferei sunt ombilicale cu
și deci curbura
totală
, este constantă.

40
Propoziția 2.7.3 O suprafață convexă cu toate punctele omblicale este o regiune
convexă pe o sferă.
Demonstrație
Fie suprafața cu toate punctele ombilicale, adică
cu funcție nicăieri zero.
Arătăm mai întâi că
〈 ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗〉 〈 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗〉 o derivăm partial în raport cu și avem 〈 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗〉
〈 ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗〉 〈 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗〉 〈 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗〉 〈 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗〉 unde
. Din rezultă
și formulele lui Weingarten devin ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗. Atunci ecuația precedent se poate
scrie astfel
〈 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗〉 〈 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗〉 〈 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗〉 〈 ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗〉
Având în vedere că ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
obținem

Înmulțim în cu și îns umăm după și , având ăn vedere că
∑ și ∑ . Obținem , adică , deci
Revenind la formulele lui Weingarten, constatăm că putem să le scriem în forma

( ⃗⃗⃗ ⃗⃗) ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗(constant).
Echivalent, ⃗⃗
⃗
⃗⃗⃗, de aici urmează ( ⃗⃗
⃗)
(
)
, atunci punctul lui
de vector de poziție ⃗⃗ este pe sfera de centru ( ⃗⃗
) și rază
.
În vecinătatea punctelor neombilicale și punctelor neplanare pu tem introduce
parametrizarea ale cărei linii parametrice sunt liniile de curbură. Cum liniile sunt
ortogonale, avem . Din ecuația rezultă . Așadar curbura normal
are expresia

Dacă liniile sunt liniile de curbură principal și liniile
sunt liniile de curbură principală , avem

Se constată că funcțiile și din sunt soluții ale ecuației Ele
permit determinarea func ției în sensul dat de

41
Teorema lui Euler : Fie un punct neplanar și neombilicat și fie și
curburile normale ale direcțiilor principale în . Curbura normală a unei direcții care
face un unghi cu direcția de curbură normală este dată de

Demonstrație
Alegem în vecinătatea lui parametrizarea cu linii de curbură au loc în formulele
și . aplicăm formula pentru direcțiile și
fac unghiul
pentru că liniile de curbură sunt ortogonale. Aceeași formlă
ne dă
. combinăm expresiile lui și cu și
pentru a verifica , de unde rezultă că dacă avem , atunci
Adică sunt valoril e extreme ale curburii normale.

42
CAPITOL 3

3. CLASE REAMARCABILE DE SUPRAFEȚE

Înainte de a p rezenta suprafețele de rotație ș i elicoidale, trebuie să introducem
noțiunea de geodezică pe scurt. Și avem
Propoziție : O curbă pe suprafața este linie de curbură pe dacă și numai dacă
în punctele curbei are loc .
În concluzie, anularea invarianților și caracterizează curbele pe studiate
anterior, linii asimptotice și respectiv linii de curbură. Invariantul va fi folosit pentru a
introduce o nouă clasă de curbe numite geodezice pe S.
Definiție :. O curbă pe suprafața , cu proprietatea că în p unctele ei are loc
egalitatea , se numește geodezică pe .
( ⃗
⃗
⃗⃗⃗)
Trecând la o parametrizare oarecare a curbei, de parametru , folosind
⃗
⃗

⃗
⃗
(
)
⃗

( ⃗
⃗
⃗⃗⃗)
‖ ⃗ ‖
Corolar : O curbă pe de ecuație [ ] cu lungime
de arc este geodezică dacă și numai dacă funcțiile ( ) sunt soluții ale sistemului
de ecuații diferențiale de ordinul 2,

∑ ( )

Ecuațiile diferențiale ale geodezicelor suprafeței .

3.1 SUPRAFEȚE DE ROTAȚIE
Intuitiv, o curbă care se deplasează în spațiu descrie o suprafață. Considerăm
deplasarea particulară care constă din rotirea unei curbe în jurul unei drepte. Suprafața
astefel obținută se numește suprafață de rotație . Puncte curbei vor descrie cercuri cu

43
centre de dreaptă, situate în plane perpendiculare pe dreaptă, numită axa de rotație. Aceste
cercuri se numesc paralele ale suprafeței de rotație .
Planele prin axa de rotație vor intersecta suprafața de rotație după curbe numite
meridiane ale suprafeței d e rotație. Paralelele și meridianele formează o rețea și ca atare
pot fi folosite pentru parametrizarea suprafeței. Este clar că suprafața de rotație poate fi
gândită ca suprafață obținută prin rotirea unui meridian în jurul axei de rotație.
Alegem un repe r în încât axa să coincidă cu axa de rotație și
considerăm meridianul din planul . Această curbă are o reprezentare parametrică de
forma
{

Cu pentru
Un punct oarecare al suprafeței obținută prin rotirea curbei de ecuații în
jurul axei are coordonatele ( ), unde este
unghiul rotației care duce punctul ( ) de pe meridian în punctul .
Conform fig 3 .1.1

Fig 3 .1.1
În particular, curba meridian pot avea reprezentarea explicită cu, de exemplu,
.
Definiția 3 .1.1 Se numește suprafață de rotație o suprafață care admite o
reprezentare de forma

44
{

Am impus condiția pentru a ne asigura că este o suprafață în sensul
considerat în capitolul 1 și 2.
Avem,
⃗⃗⃗⃗⃗( ) ⃗⃗⃗⃗⃗
Și | ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗| ( ) dacă și numai dacă
Geometric, inegalitatea revine la condiția că axa de rotație nu intersectează
meridianele suprafeței de rotație.
Vectorul normal unitar este
⃗⃗⃗ (
√
√
√ )
Ecua ția planului tangent este

Ecua țiile normei la suprafață de rotație sunt
{

Are loc
Propoziția 3 .1.1 Normala la suprafață de rotație într-un punct coincide cu
normala principală a curbei meridian prin .
Demonsrație
Curbura meridian prin are ecuația și privită ca o curbă în spațiu
are ecuațiile cu . Un calcul direct arată că normala ei principală în are
direcția dată de , unde este calculate pentru .
Se poate ra ționa și astfel. Curba meridian este plană. Ea se află în planul
determinat de și , plan osculator al ei. Normala principală prin este unica dreaptă
perpendiculară pe tangenta în la curba meridian și conținută în planul osculator
Pe de altă parte, normala la în , de ecuații trece prin , este
perpendiculară pe tangenta la meridian în și este conținută în planul pentru că
direcția ei dată de este perpendiculară pe direcția normală la
acest plan dată de . Deci ea coincide cu normala principală a curbei
meridian.

45
Coeficienții primei forme fundamentale sunt

Coeficienții celei de -a doua form e fundamentale sunt

√
√
Meridianele și paralelele formează rețeaua liniilor parametrice. Cum și
aceasta coincide cu rețeaua liniilor de curbură ale suprafeței. Deci
Propoziția 3 .1.2 Liniile de curbură ale unei suprafețe de rotație sunt meridianele
și paralelele ei.
Liniile asimptotice sunt date de soluțiile ecuației diferențiale

Rezultă
√
și ∫√
, unde c es te o constantă de
integrare.
Curbura totală este dată de

( )
Curbura medie H are expresia

√ *

+
Dacă vom considera pe meridianul generator un punct de inflexie , vom avea
în toate punctel e cercului paralel descris de și deci în aceste puncte

Așadar are loc
Propoziția 3.1.3 Curba paralel generat ă de un punct de inflexie de pe meridianul
generator este formată din pu ncte parabolice ale suprafeței.
În demonstrația Propoziției 3 .1.2 am notat că normalele unei suprafețe de rotație
în punctele unui meridian sunt conținut e în planul osculator al curbei meridian . După
Propoziția : O curbă , de ecuație ⃗ ⃗( ) [ ] cu paramtru s lungime
de arc, este geodez ică dacă și numai dacă vectorul ⃗
este coliniar cu ⃗⃗⃗ rezultă
Propoziția 3.1.4 Curbele meridian ale unei suprafețe de rotație sunt geodezice.

46
Știm că prin fiecare punct al unei suprafețe trec o infinitate de geodezice, câte una
în fiecare direcție în acel punct. Așada r meridianele nu sunt singurele geodezice ale unei
suprafețe de rotație. â
Avem, atunci
Coeficienții Christoffel de speța I sunt
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
Pentru a determina și alte geodezice trebuie să f olosim ecuațiile diferențiale
[ ] ale geodezicilor unei suprafețe.
În cazul de față avem și

, coeficienții Christoffel de speța II sunt dați de

iar ecuațiile diferențiale ale geodezicilor sunt

{

(
)

(
)

unde sunt calculate în .
Știm că meridianele sunt geodezice. Ecuația a doua din (3.1.13) este
identic ve rificată dar prima se reduce la

(
)
, ecuație care permite să
calculăm legătura între parametrii și (lungime de arc) pe meridiane.
Ecuația a doua din are o consecință interesantă.
Propoziția 3.1.5 (Clairaut). Fie mărimea unghiului dintre o linie geodezică și o
curbă paralel într -un punct . Atunci produsul este constant pe geodezică.
Demonstrație
Fie (

) direcția geodezicii. Direcția curbei paralel este iar formula
de calcul pentru dă, în acest caz, având în vedere că vectorul tangent geodezicii are
lungimea 1, √

și deci
. Rezultă

(

) .
Deci pe geodezică.

47

Teorema 3 .1.1. Fie o dreaptă arbitrară de ecuație

Orice suprafață de rotație în jurul dreptei are o ecuație de forma

Reciproc, orice ecuație de forma este ecuația unei suprafețe de rotație
având ca axă de rotație dreapta care trece prin punctul și are parametrii
directori
Demonstație
O suprafață este suprafață de rotație în jurul unei drepte dacă, oricare ar fi
punctul al suprafeței , toate punctele care se află pe cercul , cu centrul pe
dreapta , situat în planul care trece prin și perpendicular pe , aparțin suprafeței

Suprafața de rotație poate fi
generată de o familie de cercuri cu centru pe
, îndeplinind o condiție suplimentară, de
exemplu, să intersectează o curbă
Familia de cercuri va avea ecuațiile de
forma

Figura 3.1. 2
{
[ ]
Orice cerc din această familie este intersecția dintre un plan perpendicular pe și
o sferă cu centru în .
Condiția ca cercurile să intersecteze o curbă (sau o altă condiție geometrică ) se
traduce prin realație de forma

48
Ecuația suprafeței se obține eliminând și între și deci
suprafața va avea ecuația din enunț.
Reciproc, ecuația se poate obține prin eliminarea celor doi parametri și
în și deci este generată de o familie de cercuri cu proprietățile
indicate mai sus. Prin urmare, ecuația este ecuația unei suprafețe de rotație.
Observație : În cazul c ând axa de rotație este una din axele de coordonate, de
exemplu axa , ecuația suprafeței de rotație va avea o formă mai simplă.
Familia de cercuri care generează o suprafață de rotație în jurul axei va avea
ecuațiile
[
Un cerc din această familie poate fi privit ca intersecția dintre un plan
perpendicular pe și cilindrul circular care are ca axă, axa .
Cu relația dintre și

Sau când se poate explicita ,

Se obțin pentru suprafața de r otație o ecuație de forma

respectiv

Exemplu 3.1.1 Să se determine ecuația suprafeței obținută prin rotația în jurul
axei a hiperbolei , de ecuații

Figura 3.1. 3

49
Familia de cercuri care generează această suprafață are ecuațiile

Cu și [ supuși condiției care va rezulta din conția ca cercurile să
intersecteze una din ramurile și ale hiperbolei
Condiția de compatibilitate a sistemului format de cele patru ecuații este

Ecuația acestei suprafețe de rotație este

Și are două pânze și de ecuații, respectiv,

√
√
Corespunzătoare ramurilor și .
Exemplu 3 .1.2 Să studiem suprafața de ecuație . Ecuația este
omogenă de gradul , deci este un con cu vârful în origine. Dacă am scrie ecuația
dată sub forma

Se observă că este o suprafață de rotație în jurul dreptei care trece prin origine
și are parametri directori Deci, suprafața este un con de rotație în jurul dreptei de
ecuații
Intersecția conului cu planul are ecuațiile deci este formată din
axele și . Prin rotirea oricăreia dintre aceste drepte în jurul dreptei se obține conul
de rotație care are ecuația dată în

Figura 3.1. 4

50
3.2 SUPRAFEȚE ELICOIDALE.
Definiția 3 .2.1 Se numește suprafață elicoidală o suprafață care admite o
reprezentare de forma
{

Am impus condiția pentru a ne asigura că este o suprafață în sensul
considerat în capitolul 1 și 2.
Avem,
⃗⃗⃗⃗⃗( ) ⃗⃗⃗⃗⃗
și | ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗| ( )
Vectorul normal unitar este
⃗⃗⃗
(
√ ( )
√ ( )
√ ( )
)
Ecuația planului tangent este

Ecuațiile normalei la suprafața elicoidală sunt
{

Coeficienții primei forme fundamentale sunt

Coeficien ții celei de -a doua forme fundamentale sunt

√ ( )
√ ( )
√ ( )
Liniile asimptotice sunt date de soluțiile ecuației diferențiabile

Rezult ă

√
și ∫(
√
)
constantă de integrare.
Curbura totală este dată de

51

( ( ) )
Curbura medie are expresia

√ ( ) (( )
( ) )

√ ( ) (( )
( )
( ) )
Coeficienții lui Christoffel de speța I

[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
În continuare ca să determinăm geodezicele, folos im ecuațiile diferențiale ale
geodezicelor unei suprafețe
În cazul de față avem avem și

Coeficienții lui Christoffel de speța II sunt dați de

( )
( )
( )

( )
( )
( )
Iar ecuațiile diferențiale ale geodezicelor sunt

{

( ) (
)

( )

( )

( ) (
)

( )

( ) (
)

unde sunt calculate în .

52
CAPITOL 4

4. APLICAȚII
4.1 APLICAȚII ALE SUPRAFEȚELOR DE ROTAȚIE

Cele mai des utilizate suprafețe de rotaț ie sunt sfera, elipsoidul de rotaț ie si torul.
De aceea le vom prezenta și le vom calcula elementele geometrice.

4.1.1 SFERA

Figura 4.1.1 Sfera

Reprezentarea parametrică
{

⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
‖ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗‖ , vectorul normal unitar

53
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ | ⃗ ⃗ ⃗⃗

| ⃗
⃗ ⃗⃗ .
‖ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗‖ √
√ √

⃗⃗⃗ (

)
⃗⃗⃗ .
Vom calcula acum coeficienții formei I -a fundamentale
⃗⃗⃗⃗

〈 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗〉
.
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
Atunci forma I-a fundamentală este

Vom calcula acum coeficienții formei II -a fundamentale

√ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|

|
|

|

√ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|

|
|

|

54

√ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|

|
|

|

Atunci forma II -a fundamentală este

Acum vom calcula planul tangent al la sferă cu ajutorul următoarei formule
|

|
|

|
|

|
[
]

Deci ecuația planului tangent este

Acum vom calcula ecuațiile normalei la sferă cu ajutorul următoarei formule
⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ | ⃗ ⃗ ⃗⃗

|
⃗ ⃗ ⃗⃗
⃗ ⃗ ⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

55
Atunci ecuațiile normalei la sferă sunt
{

Având ecuația diferențială

Soluțiile ecuației diferențiale determină liniile asimptotice ale sferei
Rezolvăm ecuația diferențială și avem

(
)

√ ∫

Curbura totală este

Curbura medie este

Acum vom calcula simbolurile lui Cristoffel de speță I și II

Simbolurile lui Cristoffel de speță I

[ ]
(

)
[ ]
(

)

[ ]
(

)
[ ]
(

)

[ ]
(

)
[ ]
(

)

Simbolurile lui Cristoffel de speță II

( (

) (

))

56

(
)

( (

) (

))

(
)

( (

) (

))

(
)

( (

) (

))

(
)

( (

) (

))

(
)

( (

) (

))

(
)
Ecuațiile diferențiale ale geodezicelor sunt
{

(
)

4.1.2 TORUL

Figura 4.1.2 Torul

57
Reprezentarea parametrică
{

⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
‖ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗‖ , vectorul normal unitar
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ | ⃗ ⃗ ⃗⃗

|
| ⃗ ⃗ ⃗⃗

|
⃗ ⃗ ⃗⃗

‖ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗‖ √
√
√
⃗⃗⃗ (

)
⃗⃗⃗ .
Vom calcula acum coeficienții formei I -a fundamentale
⃗⃗⃗⃗
〈 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗〉

⃗⃗⃗⃗
Atunci forma I -a fundamentală este

58
Vom calcula acum coeficienții formei II -a fundamentale

√ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|

|
|

|

√ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|

|
|

|

√ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|

|
|

|

Atunci forma II -a fundamentală este

Acum vom ca lcula planul tangent al la tor cu ajutorul următoarei formule
|

|
|

|
|

|
[
]

Deci ecuația planului tangent este

59
Acum vom cal cula ecuațiile normalei la tor cu ajutorul următoarei formule
⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ | ⃗ ⃗ ⃗⃗

|
⃗ ⃗
⃗⃗
⃗ ⃗ ⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

Atunci ecuațiile normalei la tor sunt
{

Având ecuația diferențială

Soluțiile ecuației diferențiale determin ă liniile asimptotice ale torului
Rezolvăm ecuația diferențială și avem

(
)

√

∫√
√

Curbura totală este

Curbura medie este

Acum vom calcula simbolurile lui Cristoffel de speță I și II

Simbolurile lui Cristoffel de speță I

60
[ ]
(

)
[ ]
(

)
[ ]
(

)

[ ]
(

)
[ ]
(

)
[ ]
(

)

Simbolurile lui Cristoffel de speță II

( (

) (

))

(
)

( (

) (

))

(
)

( (

) (

))

(
)

( (

) (

))

(
)

( (

) (

))

(
)

( (

) (

))

(
)

61
Ecuațiile diferențiale ale geodezicelor sunt
{

(
)

(
)

4.1.3 ELIPSOIDUL DE ROTAȚIE SAU SFEROIDUL

Figura 4.1.3 Sferoid

Reprezentarea parametrică
{

⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
‖ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗‖ , vectorul normal unitar
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ | ⃗ ⃗ ⃗⃗

| ⃗
⃗ ⃗⃗ .

62
‖ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗‖ √
√
√ √
⃗⃗⃗ (
√
√
√ )
⃗⃗⃗ (
√
√
√ ).
Vom calcula acum coeficienții formei I -a fundamentale
⃗⃗⃗⃗

〈 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗〉

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

Atunci forma I -a fundamentală este

Vom calcula acum coeficienții formei II -a fundamentale

√ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

√ |

|

√ |

|

√
√

√ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

√ |

|

√ |

|

63

√ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

√ |

|

√ |

|

√

√
Atunci forma II -a fundamentală este

Acum vom ca lcula planul tangent la sferoid cu ajutorul următoarei formule
|

|
|

|
|

|
[
]

Deci ecuația planului tangent este

Acum vom cal cula ecuațiile normalei la sferoid cu ajutorul următoarei formule
⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

64
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ | ⃗ ⃗ ⃗⃗

|
⃗ ⃗ ⃗⃗
⃗ ⃗ ⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

Atunci ecuațiile normalei la sferoid sunt
{

Având ecuația diferențială

Soluțiile ecuației diferențiale reprezintă liniile asimptotice ale sferoidului
Rezolvăm ecuația diferențială și avem

(
)

√ ∫

Curbura totală este

√

Curbura medie este

√

Acum vom calcula simbolurile lui Cristoffel de speță I și II

Simbolurile lui Cristoffel de speță I

65

[ ]
(

)
[ ]
(

)

[ ]
(

)
[ ]
(

)

[ ]
(

)
[ ]
(

)

Simbolurile lui Cristoffel de speță II

( (

) (

))

(
)

( (

) (

))

(
)

( (

) (

))

(
)

( (

) (

))

(
)

( (

) (

))

(
)

( (

) (

))

(
)

66
Ecuațiile diferențiale ale geodezicelor
{

(
)

(
)

Vom prezenta example de suprafețe de rotație din cotidian

4.1.4 CORNUL LUI GABRIEL ( GABRIEL’S HORN)

Figura 4.1.4 Gabriel ’s Horn

Cornul lui Gabriel, numit și trompeta lui Torr icelli, este suprafața de rotație a
funcției
. Prin urmare, este dat de ecuațiile parametrice
{

67
4.1.5 FUSUL TORUS (SPINDLE TORUS)

Figura 4.1.5 Spindle Torus

Unul dintre cele trei tori standar d date de ecuațiile parametrice
{

cu Suprafața exterioară se numește suprafață de mere, iar interiorul unei
suprafețe de lămâie .

4.2 APLICAȚII SUPRAFEȚE ELICOIDALE
Vom prezenta cele mai cunoscute suprafețe elicoidale și ecuațiile lor parametrice .

4.2.1 ELICOID CIRCULAR

Fig 4 .2.1 Elicoid circ ular
Elicoidul circular este o suprafață stăpânită având ca elicelă cilindrică. De fapt,
spirala cilindrică este curba de intersecție dintre cilindru și elicoid.

68
Circulara elicoidul delimitat de planurile z = a și z = b este dat în formă
parametrică
,

[ ] [

]

4.2.2 ELICOID CONIC

Fig 4 .2.2 Elicoid conic
Elicoid conic are forma pătratică
{

[ ]

4.2.3 ELICOID PARABOIDAL

Fig 4 .2.3 Eli coid paraboidal

69
Elicoidul paraboidal are forma pătratică
{ √

√

[ ] [ ] [ ]
4.2.4 ELICOID HIPERBOLIC

Fig 4 .2.4 Elicoid hiperbolic
Elicoidul hiperbolic are forma pătratică
{

[ ]
4.2.5 ELICOID LITUS

Fig 4 .2.5 Elicoid litus

70
Elicoidul litus are forma pătratică
{
√

√
[ ]

4.2.6 ELICOID LOGARITMIC

Fig 4.2.6 Elicoid logaritmic

Elicoidul logaritmic are forma pătratică
{

[ ]

4.2.7 ELICOID SFERIC
Elicoidul sferic are forma pătratică
{ √

√
[ ] [ ]

71

Fig 4 .2.7.1 Elicoid sferic

{ √
√
[ ] [ ]

Fig 4 .2.7.2 Elicoid sferic (
)

{ √

√
[ ] [ ]

72

Fig 4 .2.7.3 Elicoid sferic (
)
{ √

√
[ ] [ ]
4.2.8 ELICOID HIPERBOIDAL I

Fig 4 .2.8 Elicoid hiperboidal I

Elicoidul hiperboidal I are forma pătratică
{ √

√

[ ]

73
4.2.9 ELICOID HIPERBOIDAL II

Fig 4 .2.9 Elicoid hiperboidal II

Elicoidul hiperboidal II are forma pătratică
{ √

√

[ ] ]

4.2.10 ELICOID CATENOIDAL

Fig 4 .2.10 Elicoid catenoidal

74
Elicoidul catenoidal are forma pătratică
{

[ ]

Avem pe baza lor și aplicații în inginerie: – arcuri elicoidale, – transportoare
elicoidale .

75
5. BIBLIOGRAFIE

1. Anastasiei , M.Geometrie: Curbe și Suprafețe . Editura Tehnică, Științifică
și Didactică CERMI, 2003.
2. Fetecu , D.Elemente de algebră liniară, geometrie analitică și geometrie
diferențială . Casa Editorială Demiurg, Iași, 2009.
3. Cristian Lăzureanu (2014): Spirals on surfaces of revolution, eLibrary of
Mathematical Institute of the Serbian Academy of Sciences and Arts
http://elib.mi.sanu.ac.rs/pages/quick_results.php?db=all&query=helicoid&set=title .
4. Kobayashi, S. Differential Geometry of Curves and Surfaces . Ediura
Springer Si ngapore, 2019.
5. Tapp, K. Differential Geometry of Curves and Surfaces . Editura Springer
International Publishing , Cham, Switzerland, 2016.
6. Guenther, N.E., Massignan, P., Fetter, A.L., Superfluid vortex dynamics on
a torus and other toroidal surfaces of revo lution Physical review a,; Vol.101, 2020.
7. Șabac, I.GH .Matematici Speciale Vol 1 . Editura Didactică și Pedagogică,
București, 1981.
8. Oniviuc, C. Lecții de geometrie diferențială a curbelor și suprafețelor .
Editura Casa Editorială Demiurg Plus, Iași, 2018.
9. Schlichtktull , H.Curves and Surfaces . University of Copenhagen,2011.
10. Neagu , M.Geometria Curbelor și Suprafețelor . Universitatea Transilvania
din Brașov, 2013.
11. Henderson, W.D. Differential Geometry : A Geometric Introduction .
Cornell University, Ithaca,2005.
12. Atanasi u, G., Stoica, E., Brânzei, N. Curbe și suprafețe . Editura Matrix
Rom, București.

DECLARATIE DE AUTENTICITATE
A
LUCRARII DE FINALIZARE A STUDIILOR
Titlul lucrdrii
Lucrarea de
examenului defnalizare
fnalizareAutorul lucrdrii PUEC$6, +N\R.EEA FtSl iHS
Oradea, sesiunea 1UNIF JO&O a anului universitar JUg -eO&O
Prin prezenta, subsemnatul (nume, prenume, CNP)
declar pe proprie rdspundere cd aceastd lucrare a fost scrisd de cdtre mine, ftrd nici un
ajutor neautortzat gi cd nici o parte a lucrdrii nu con{ine aplicaJii sau studii de caz
publicate de alli autori.
Declar, de asemenea, cd" in lucrare nu existi idei, tabele, grafice, hdrli sau alte
surse folosite ftrd respectarca legii romdne gi a convenliilor internalionale privind
drepturile de autor.
Oradea,
Dataa
astudiilor este elaborati in
studiilor organizat de
din cadrulvederea sus{inerir
cdtre Facultatea
Universit6lii din
,11.06. eoJoSemndtura
e#-