Programul de studiu: [620064]

Programul de studiu:
Matematic a-Informatic a
Licent  a ZI
Lucrare de licent  a
ECUAT II PARABOLICE
Autor: Lirca Vlad
Coordonator  stiint ic: Conf. Dr. Isaia Florin
Bra sov, 2020

Lirca Vlad

Cuprins
1 Ecuat ia C aldurii 2
2 Operatorul parabolic unidimensional 8
3 Operatorul General Parabolic 20
4 Teoremele unicit at ii pentru problemele de valoare a marginii 23
5 Teorem a a celor trei curbe 26
6 Princpiul Phragmen-Lindelof 30
7 Operatori nonlineari 34
8 Sistemul parabolic slab cuplat 36

Capitolul 1
Ecuat ia C aldurii
S a presupunem c a o bar a lung a, subt ire de lungime l este situat a pe
intervalul (0 ;l) de-a lungul axei x. Vom mai spune c a materialul din care-
i f acut a bara este omogen, c aldura put^ and  astfel introdus a sau extras a,
presupun^ and de asemenea c a temperatura u in orice punct al barei este ^ n
funct ie doar de x si de durata t. Scriem u=u(x;t). Sub anumite asumpt ii
asupra propiet at ilor zice ale barei, ecuat ia diferent ial a ce guverneaz a
uxul
de c aldur a (^ n unit at i adecvate) ^ n bar a este dat a de :
f(x;t) =@2u
@x2@u
@t.
Funct ia f este rata de ^ ndep artare a c aldurii din bar a, iar funct ia temperaturii
u(x;t) satisface principiul maximal ^ ntr-un mod oarecum diferit de cel care
a fost stabilit pentru ecuat iile  si inegalit at iile eliptice.
Presupunem c a u(x;t) satisface inegalitatea strict a:
L[u]@2u
@x2@u
@t>0.
^In regiunea E a planului x,t (Figura 1). Este clar c a u nu poate avea niciun
maxim (local) ^ n orice punct interior.
Un astfel de punct@2u
@x20  si@u
@t= 0 contrazice inegalitatea L[u]>0. A sa
c a nu vom extinde armat ia doar pentru solut iile u ale inegalit at ii L[u]0,
dar vom  si ar ata c a pentru operatorii de acest tip, principiul maximal va lua
o form a mai puternic a.
Pentru a ilustra o problem a tipic a, vom spune c a bara descris a mai sus are
temperatura prescris a init ial (la momentul t= 0)  si c a temperatura de la
capetele barei sunt funct ii cunoscute de timp. "Principiul cauzualit at ii"
arm a c a distribut ia de temperatur a la orice moment xat T nu este afec-
2

3
tat a de orice schimbare din bar a la un moment t>T . Astfel, este normal s a
consider am regiunea dreptunghiular a :
E: 0<x<l; 0<tT(1)^In planul x,t. Presupunem c a temperatura u(x;t)
este cunoscut a ^ n trei p art i ale regiunii E:
S1:x= 0;0tT;S 2: 0xl;t= 0;S3:x=l;0tT
Din motive zice, ne a stept am ca aceast a informat ie  si faptul c a temperatura
u satisface ecuat ia : L[u] =@2u
@x2@u
@t= 0^In E sunt suciente pentru a deter-
mina temperatura ^ n regiunea dat a (gura 2).
Unicitatea solut iei este u sor stabilit a ca  si un corolar al urm atorului prin-
cipiu maximal.
Teorem a 1. Presupunem c a u(x;t)satisface inegalitatea:
L[u]@2u
@x2@u
@t0(2) ^In regiunea dreptunghiular a E dat a de (1). Atunci
maximul lui u ^ n ^ nchiderea E[@Etrebuie s a aib a loc ^ n una din cele 3 p art i
S1,S2sauS3(gura 2).
Demonstrat ie. Presupunem c a M este maximul valorilor lui u care au loc pe
S1,S2 siS3. Vom spune c a exist a un punct P(x0;t0) pe E unde u are o
valoareM1>M  si stabile ste o contradict ie. Denim funct ia auxiliar a:
w(x) =M1M
2l2(xx0)2.
Atunci, din moment ce uMpeS1,S2 siS3, avem:
v(x;tu(x;t) +w(x)M+M1M
2<M 1)(3)

4
Pentru toate cele trei p art i. De asemenea:
v(x0;t0) =u(x0;t0) =M1(4)
 si:
L[v]L[u] +L[w]L[u] +M1M
l2>0(5)
Prin regiunea E.
Condit iile (3) si (4) arat a c a v trebuie s a- si primeasc a valoarea maxim a ^ ntr-
un punct interior ^ n E sau pe intervalul deschis S4: 0<x<l;t =T. Inegal-
itatea (5) arat a c a v nu poate avea un maxim interior. La un maxim de-a
lungul luiS4, avem@2v
@x20 suger^ and c a@v
@teste strict negativ a. Astfel, v
trebuie s a e mai mare mai devreme ca maximul ^ n E s a nu poat a  pe S4.
Vedem astfel c a asumpt ia u(x0;t0)>M duce la o contradict ie.
Observat ie 1. 1. Teorema arm a c a maximul nu doar c a nu poate s a
existe ^ n interiorul lui E, dar nu poate nici s a existe la "cel mai t^ arziu"
timp, cu except ia posibilit at ii de la capetele barei, except^ and c^ and u=const.
2. Principiul macimal al primei teoreme nu este unul de o form a puter-
nic a, din moment ce teorema permite ca maximul lui u at^ at la punctele
de interior c^ at  si la cele din margine. Mai t^ arziu vom vedea c a dac a
maximul are loc ^ n E, atunci solut ia trebuie s a e constant a ^ ntr-o
regiune anume, un rezultat ce cont ine teorema I ca  si cazul special.

5
3. Pentru solut iile lui L[u] = 0 , obt inem un principiu minim asociat c^ and
^ l ^ nlocuim pen u cu -u. Unicitatea teoremei de mai devreme are loc cu
u surint  a.
4. Pentru inegalit at iile diferent iale eliptice, maximul solut iei poate ap area
oriunde la margine. ^In cazul ecuat iei c a ldurii, avem un rezultat mai
puternic. S i anume, maximul poate ap area doar ^ ntr-o port iune spe-
cic a a marginii (^ n afara cazului ^ n care u=const.). Acest caz este
adev arat pentru ambele cazuri a dou a ecuat ii mai generale pentru care
ecuat ia c aldurii este perototipul pentru ni ste domenii mai generale.
Ecuat ia propag arii de c a ldur a ^ ntr-un obiect D tridimensional, omogen
este :
L[u]4u@u
@t=f(x;y;z;t )
undeu=u(x;y;z;t ) este temperatura la punctul P(x;y;z ) a lui D la mo-
mentul t, iar f este rata de extragere a c aldurii. ^In cazul unidimensional,
funct ia u, considerat a ca funct ie de patru variabile, nu poate avea un maxim
local la un punct unde
L[u]4u@u
@t
Acest fapt are loc atunci c^ and 4u0  si@u
@t= 0. Dorim s a extindem prin-
cipiul maximal ^ n funct ii u care satisfac inegalitatea nestrict a L[u]0.
Cea mai simpl a problem a tridimensional a de interes zic este cea a unui corp
x, m arginit  si omogen ce umple un domeniu D. Presupunem c a problema
^ ncepe la momentul t= 0  si c a, init ial, temperatura u(x;y;z; 0) este o funct ie
(x;y;z ). Mai mult, temperatura de pe marginea @Da lui D este determinat a
pentru toate momentele t0. Problema
uxului de c aldur a are ca scop de-
terminarea funct iei temperaturii u(x;y;z;t ) pentru punctele P(x;y;z ) ^ n D
pentru toate momentele t>o .
Domeniul de interes ^ ntr-un spat iu cu patru dimensiuni const a ^ n cilindrul
innitDx(0;1). Totu si, principiul cauzalit at ii, cum se zice  si ^ n cazul uni-
dimensional, ne permite s a restrict ion am domeniul sub anumite condit ii.
Distribut ia temperaturii ^ n D ^ ntr-un moment pozitiv T este determinat a
de ceea ce se ^ nt^ ampl a ^ n timpul intervalului 0 tT. Astfel, regiunea nat-
ural a cu patru dimensiuni ce este luat a ^ n calcul este cilindrul nit Dx(0;T].
Temperatura u din acest cilindru este determinat a de L[u], de valorile lui u
^ n D la momentul t= 0  si de valorile lui u de pe peretele cilindric @Dx(0;T].
Denot^ and cilindrul Dx(0;T] cu E, a stept am ca principiul maximal s a arme

6
c a u ^  si prime ste valoarea maxim a pe port iunea m arginii lui E care este e
la baza lui E sau de-a lungul lateralei @Dx(0;T](gura 3).
^Intradev ar, dac a L[u]4u@u
@t>0 atunci putem vedea c a un macim
nu poate exista ^ ntr-un punct interior ^ n E. Dac a maximul lui u este obt inut
la momentul t=T^ ntr-un punct interior ^ n D, ajungem la o contradict ie.
Ca s a vedem acest lucru, not am 4u0 la acest punct maximal. Astfel,
inegalitatea L[u]>0 inplic a faptul@u
@t<0 la acela si punct. Atunci, u este
mai mare la un moment un pic mai prematur, iar maximul trebuie s a existe
de-a lungul lateralei sau la baza lui E.
Vom extinde acest principiu maximal nu doar la cazul L[u]0, ci  si pentru
ni ste ecuat ii  si domenii mai generale.
Exercit ii:

7
1. Vericat i dac a funct ia u(x;t) = (1p
t)e(x2
4t)este solut ie pentru ecuat ia
uxxut= 0, pentru t > 0. Ar atat i c a pentru un x xat, x6= 0,
limt!0u(x;t) = 0. Ar atat i c a u este nem arginit a ^ n orice vecin atate a
lui (0;0).
2. Demonstrat i inversa teoremei 1 pentru operatorul c aldurii ^ n n dimen-
siuni:
L[u]@2u
@x2
1+@2u
@x2
2+:::+@2u
@x2n@u
@t.

Capitolul 2
Operatorul parabolic
unidimensional
Operatorul diferent ial: L[u]a(x;t)@2u
@x2+b(x;t)@u
@x@u
@t(1) Se zice c a
este parabolic pentru un punct ( x;t) dacaa(x;t)>0.
Operatorul L este unifom parabolic ^ ntr-un domeniu D al planului x,t dac a
exist a o constant a pozitiv a precum cea
a(x;t)pentru toate ( x;t) ^ n D.
Operatorul c aldurii unidimensional discutat^ n sect iunea 1 este uniform parabolic
pentru^ ntreg planul x,t, din moment ce este obt inut din (1) set^ and a(x;t)1
 sib(x;t)0.
Vom l asa E s a e regiunea dreptunghiular a E: 0<x<A; 0<tT(gura4).
Este evident c a u satisface inegalitatea strict a L[u]>0 ^ nE(2).
Atunci u nu poate avea un maxim local la orice punct interior. Formulele,
la un punct maxim interior,@2u
@x2 si@u
@x=@u
@t= 0 intr a ^ n contradict ie cu (2).
Mai mult, maximul lui "u" nu poate  odat a cu segmentul deschis ce formeaz a
o margine superioar a lui E, acestea ind odat a cu 0 <x<A;t =T. Ca s a
vedem acest lucru observ am c a la acest punct maxim au loc formulele:
@u
@x= 0
@u
@t0
@2u
@x20.
Principiul maximal pentru operatorul L va  acum extins pentru solut iile
inegalit at ii diferent iale L[u]0. Demonstratia prezentat a i se datoreaz a lui
8

9
Nirenberg  si folose ste o variat ie pozitiv a pentru metoda utilizat a de Hopf
pentru operatorii eliptici. A sa cum vom vedea ^ n urm a torul capitol, aceast a
demonstrat ie este cu u surint  a modicat a pentru a include ecuat ii  si domenii
mai generale. Rezultatul fundamental depinde de urm a toarele trei leme:
Lem a 1. S a l asam u s a satisfac a inegalitatea diferent ial a:
L[u]a(x;t)@2u
@x2+b(x;t)@u
@x@u
@t0(3)
^ ntr-un domeniu E al planului x,t unde a  si b sunt m arginite, iar L este
uniform parabolic a.L as am K s a e un disc astfel ^ nc^ at acesta  si marginea
acestuia@Ksunt incluse ^ n E. Presupunem c a maximul lui u ^ n E este M,
astfel ^ nc^ at u<M ^ n interiorul lui K,  si c a u=Mla un punct P pe marginea
lui K. Atunci, tangenta lui K la P este paralel a cu axa x.(Doar dac a P este
punctul superior sau punctul de la baza discului K).
Demonstrat ie. Vom l asa discul K s a- si aib a centrul la ( x;t)  si pe R s a e
raza discului. Vom presupune c a punctul P de pe marginea discului nu este
deasupra sau la baz a, ajung^ and astfel la o contradict ie.
Am putea presupune f ar a s a pierdem generalitatea c a P este doar un punct
de margine unde u=M. S i c a argumentul poate  continuat cu K0dac a

10
este necesar.
Spunem c a P are coordonatele ( x1;t1), undex16=xj(gura5).
Construim un disc K1cu centru P si o raz a R1, at^ at de mic^ nc^ at R1<jx1xj,
 si de asemenea K1se bazeaz a^ n totalitate pe E. Marginea @K1const a^ n dou a
arce:
C0(care include punctele de la capete)  si intersect ia lui @K1cu discul ^ nchis
K[@K, iar cel alalt este C" care este complementul lui C0cu satisfacere
pentru@K1(gura5).
Din moment ce u este mai mic ca M pe arcul ^ nchis C0, o constant a pozitiv a
niu poate  g asit aastfel ^ nc^ at: uMpeC0.
Mai mult, din moment ce uM^ n E, avem: uMpeC".
Denim funt ia auxiliar a:
v(x;t) = exp([(xx)2+ (tt)2])exp(R2).
Pentru valoarea pozitiv a a lui ;veste pozitiv^ n K, zero pe marginea acestuia
 si negativ ^ n exterior. Spunem:
2exp([(xx)2+ (tt)2])[2a(xx)2ab(xx) + (t(t))]
^In disculK1 si pe marginea acestuia avem relat ia:
jxxjjx1xjR1>0
Deci este posibil ca pentru s a alegem o valoare at^ at de mare ^ nc^ at
L[v]>0 pentru (x;t) ^ nK1[@K1
.
Acum form am funct ia: w(x;t) =u(x;t) +v(x;t), undeeste o constant a

11
pozitiv a aleas a de noi. Observ am de asemenea c a:
L[w] =L[u] +L[v]>0 ^ nK1(4)
Din moment ce uMpeC0, putem decide c a s a e at^ at de mic ^ nc^ at
w=u+v<MpeC0
Mai mult, din moment ce v este negativ pe C"  si uM, avem
w=u+v<MpeC "
Astfel,w < M pe ^ ntreaga margine @K1=C0[C". Pe de alt a parte, din
moment ce v dispare pe @K, vedem c a:
w(x1;t1) =u(x1;t1) +v(x1;t1) =u(x1;t1) =M
Prin urmare, maximul lui w ^ n K1trebuie s a e ^ n interior. Acest lucru
contrazice formula (4). Observ am c a argumentul e sueaz a dac a P este la
v^ arful sau la baza lui K. Daca x1= x, nu putem alege R1<jx1xj.
Observat ie 2. Este esent ial ca inegalitatea u<=Ms a e ^ ntr-un domeniu
E ce cont ine K[@K, pentru a  valabil pe discul K1[@K1ce este part ial
^ n afara lui @K. De exemplu, funct ia u=x2+ (t2)2satisface inegalitatea
uxxut0, pentrut4 siu<1^ n disculx2+(t2)2<1, dar este nevoie
de valoarea maxim a 1 pe ^ ntreaga port iune a marginii x2+ (t2)2= 1.
Lema 1 nu se aplic a deoarece u>1^ n afara acestui cerc, iar Teorema 3 va
ar ata c a inegalitatea (3) trebuie s a aib a loc doar ^ n K.
Lem a 2. Presupunem c a ^ ntr-un domeniu E al planului x,t, u satisface ine-
galitateaL[u]0, L ind precum ^ n Lema 1. Consider am c a u<M ^ ntr-un
punct interior (x0;t0)^ n E  si c a uM^ n ^ ntreg domeniul lui E. Dac a l
este un segment de linie orizontal a ^ n auntrul lui E ce cont ine (x0;t0), atunci
u<M pe l (Figura6).

12
Demonstrat ie. Presupunem c a u=M^ ntr-un punct interior ( x1;t0) pe l  si
c au < M la punctul ( x0;t0). Vom ajunge astfel la o contradict ie. Pentru
a ne  mai us sor, com spune c a x1< x 0 si ^ l com muta pe x1mai ^ nspre
dreapta, dac a va  necesar, astfel ^ nc^ at u < M  si ^ l vom muta pe x1mai
^ nspre dreapta, dac a va  necesar, astfel ^ nc^ at u<M  six1<xx0. Vom
spune c ad0este rezultatul sc aderii x0x1sau distant a minim a dintr-un
punct  si segmentul de linie x1< xx0, undet=t0pe FORMULA, care,
este mai mic a.
Pentrux1< x < x 1+d0, denimd(x) a  distant a dintre punct ( x;t0)  si
cel mai apropiat punct ^ n E unde u=M. Din moment ce u(x1;t0) =M,
realiz am c a d(x)xx1. Dup a Lema 1, cel mai apropiat punct este dea-
supra sau sub punctul ( x0;t), deci este adev arat a una din cele dou a formule:
u(x;t0+d(x)) =Msauu(x;t0d(x)) =M. Din moment ce distant a ^ ntre
punctul (x+;t0)  si punctul ( x;t0+d(x)) estep
d(x)2+2, observ am c a
d(x+)<=p
d(x)2+2<d(x) +2
2d(x)(5).
^Inlocuindu-l pe x cu x+ si pecu, observ am de asemenea c a:
d(x+)>p
d(x)2+2(6).
Presupunem c a d(x)>0  si alegem o valoare pentru astfel ^ nc^ at 0 <  <
d(x).^Imp art ind intervalul ( x;x+) ^ n n p art i egale  si aplic^ and inegalit at ile
(5)  si (6), observ am:
d(x+j+1
n)d(x+j
n)2
2n2d(x+(j
n))2
2n2p
d(x)22
Recapitul^ and de la j=0,n-1, vedem c a:
d(x+)d(x)2
2np
d(x)22
Dac a n tinde c atre innit, rezult a c a d(x+)d(x), unde >0. Cu alte
cuvinte,d(x) este o funct ie noncresc atoare de x.
Din moment ce d(x)xx1, in o arbitrar a diferet a minim a ^ ntre x  si x1,
vedem c ad(x)0 pentrux1<x<x 1+d0. Cu alte cuvinte, u(x;t0)M
este pe acest interval, contrar ipotezei noastre ^ n care u(x0;t0)< M  si
u(x1;t0) =M.
Observat ie 3. Lema 2 sust ine c a dac a exist a un singur punct interior unde
u=m, atunciuModat a cu cel mai mare segment orizontal ce cont ine
acest punct al c arui interior este ^ n E.
^In ceea ce urmeaz a, vom avea ocazia s a consider am inegalitatea diferent ial a

13
L[u]0^ ntr-o regiune a formei ET= (x;t)2E:tTunde E este un dome-
niu. Vom presupune c a u este continuu diferent iabil ^ n x  si t de dou a ori mai
diferent iabil ^ n x prin ET, cu@u(x;t)
@Tind denit ca o derivat a pe o parte.
Lem a 3. Presupunem c a jum atatea inferioar a Kt= (x;t) : (xx1)2+ (tt1)2<R2;tt1
a discului K cu centrul ^ n P(x1;t1)satisface inegalitatea L[u]0, L ind
ca ^ n Lema 1. Spunem c a u < M ^ n port iunea lui K unde t < t 1. Atunci
u(P)<M .
Demonstrat ie. Denim funct ia v(x;t) = exp([(xx1)2+(tt1)])1.
Un simplu calcul arat a c a:
L[v] = exp([(xx1)2+(tt1)])[4a(xx1)22a2b(xx1) +].
Alegem pentru o valoare pozitiv a at^ at de mare ^ nc^ at L[v]>0 ^ n K pen-
trutt1. De asemenea ( xx1)2+(tt1) = 0(7) este tangent a liniei t=t1
la punctul P. Indic am prin C' port iunea(inclusiv punctele de la capete) lui
@Kcare se a
 a sub parabol a (7)  si prin C", port iunea parabolei localizate ^ n
interiorul discului K (Figura 7). Regiunea ^ nchis a de C'  si C" este denumit a
D. Prin ipoteza, u<M pe arcul ^ nchis C'  si exist a un  >0 astfel ^ nc^ at
uMpe C".
Form am funct ia w(x;t) =u(x;t) +v(x;t), undeeste o constant a pozitiv a
ce trebuie aleas a. Observ am c a v= 0 pe C", astfel, putem alege ca valoarea
luis a e at^ at de mic a ^ nc^ at w va avea propiet at ile:

14
1.L[w] =L[u] +L[v]>0 ^ n D.
2.W=u+v<M pe C'.
3.W=u+vMpe C".
Condit ia (1) arat a c a w nu- si poate obt ine valoarea maxim a ^ n D, astfel,
maximul lui w este ^ n M  si are loc la punctul P. Concluzion am cu
@w
@t0 la P.
Un calcul simplu arat a c a la punctul P
@v
@t=<0 .
Astfel, prin (8)  si (9) gasim c a
@u
@te@v
@tla punctul P.(10)
Pe de alt a parte, din moment ce maximul lui u pe t=t1are loc la punctul
P,
@u
@x= 0,@2u
@x20 .
Aceste inegalit at i contrazic ipoteza ^ n care L[u]0, iar lema este demon-
strat a.
Dup a demonstrarea acestor leme, putem stabilii urm atorul rezultat.
Teorem a 2. E este un domeniu  si presupunem ^ n Et1= (x;t)2E:tt1
inegalitatea:
L[u]a@2u
@x2+b@u
@x@u
@t0
Unde a  si b sunt m arginit i, iar L este uniform parabolic pe Et1. Dac auM
^ nEt1 siu(x1;t1) =M, atunciu=M^ n orice punct (x;t)^ nEt1care poate
 conectat cu (x1;t1)printr-un segment de linie orizontal a  si una vertical a,
am^ andou a ind ^ n Et1.
Demonstrat ie. Presupunem c a u(x1;t0)< M  si c a segmentul de linie l=
(x;t) :x=t1;t0<=tt1este ^ n E. gama este cea mai mic a limit a supe-
rioar a a valorilor lui u pe I astfel ^ nc^ at u(x1;gama ) =M^ n timp ce Lema 2
arat a c a exist a un R> 0 astfel ^ nc^ at u<M pentrujxx1j<R,t0t< .
Acest lucru duce la o contradict ie ^ n Lema 3.
Observat ie 4. 1. Este posibil pentru o solut ie u din (3)s a- si obt in a max-
imul ^ ntr-o regiune E f ar a a  constant a identic a. De exemplu, acest
lucru va avea loc ^ ntr-o problem a a
uxului de c aldur a de-a lungul unei

15
bare, dac a aceasta este init ial o temperatur a M  si dac a acea si temper-
atur a este ^ ntret inut a la capete p^ an a la momentul t1=t. Atunci, dac a
temperatura de la capete scade, solut ia nu va mai  constant a. Ob-
serv am c a rezultatul teoremei 2 nu este contrazis, princopiul macimal
av^ and o form a diferit a fat  a de cea pentru ecuat iile eliptice.
2. Teorema 2 poate  combinat a cu Lema 2 pentru a identica ^ ntreaga
regiune ^ n care solut ia care obt ine o valoare maxim a interioar a tre-
buie s a e constant a. Odat a ce obt inem un punct Q ^ n care u=M,
macimul,  stim c a aceast a egalitate ^ l cont ine pe Q pe cel mai mare seg-
ment orizontal ^ n E. Atunci, teorema 2 arat a c a toate punctele ^ n E
care se a
 a sub segment trebuie s a aib a egalitatea u=M. Lema 2
arat a c auMpe ecare segment orizontal cont ine un astfel de punct.
Daca P este un punct ^ n E care poate  conectat cu Q printr-o cale
ce const a numai ^ n segmente orizontale ^ n E  si segmente verticale care
"au direct ia ^ n sus", atunci u(P) =M(Figura 8).
Port iunea lui E ^ n gura 8 unde u trebuie s a aib a valoarea M dac a
u=Mla punctul Q este indicat a de c atre ha surare. Prot iunile denu-
mite A,B  si C sunt ^ n afara lui E.
3. Din moment ce toate lemele se ocup a doar cu vecin at at ile punctelor de
interior, este sucient s a presupunem c a a  si b sunt m arginite, iar L
este uniform parabolic ^ n orice subgrup al lui E.
Tocmai am v azut c a o solut ie necunoscut a u a unei inegalit at i parabolice
L[u]0 poate s a- si obt in a valoarea maxim a doar pe anumite port iuni ale

16
marginii. ^In studiul inegalit at ilor eliptice am descoperit c a derivata normal a
la margine nu ar putea s a dispar a la un punct maxim. Acest fapt important
a fost folosit ^ n c^ ateva aplicat ii, ^ n special ^ n demonstrat iile teoremelor de
uniciate ale solut iilor inegalit at ilor eliptice.
^In anumite condit ii, solut ia u a unei inegalit at i parabolice ca derivata ei nor-
mal a la margine nu poate disp area acolo unde este atins a valoarea maxim a.
Armat ia precis a a rezultatului este oferit a de urm atoarea teorem a care, la
fel ca echivalent a ei eliptic a, are un num ar de aplicat ii.
Teorem a 3. Fie E este o regiune,  si Et0= (x;t)2E:t<=t0.
Spunem c a u satisface ^ n E inegalitatea parabolic a uniform a:
a@2u
@x2+b@u
@x@u
@t0
unde a  si b sunt m arginite. Spunem c a u este continuu diferent iabil la punctul
de margine P(x0;t0), undeu(P) =M,(x;t)<M pentru (x;t)2Et0, P ind
la marginea discului K tangent pe @K, cu centrul la (x1;t1)cux1=!x0 si c a
port iunea lui K sub t=t0, numit aKt0, este ^ nEt0. Dac a@
@vnume ste orice
derivat a esterioar a direct ional a din Et0la P, atunci@u
@vla P.
Demonstrat ie. Construim un disc K1cu centrul P  si de raz a mai mic a dec^ at
jx1x0j(Figura 9). Numim C' port iunea lui @K1cont inut a ^ n Kt0^ mpreun a
cu punctele de la capete.
Implic^ and prin C" arcul lui @K1care este ^ n K1\Et0, observ am c a arcele
C', C"  si segmentul de linie t=t0formeaz a marginea unei regiuni D ar atat a
^ n Figura 9. Aleg^ and un disc un pic mai mic dec^ at K, daca este necesar,
putem face ca u s a e mai mic ca M pe C", cu except ia lui P. Din moment
ceu<M pe C', putem arma urm atoarele trei lucruri:
1.u<M pe C" cu except ia lui P.
2.u=Mla P.
3. Exist a un niu>0 sucient de mic ^ nc^ at u<=Mpe C'.
Introducem funct ia auxiliar a
v(x;t) = exp([(xx1)2+ (tt0)2])exp(R2)

17
S i not am
L[v] = 2exp([(xx1)2+(tt1)2])[2a(xx1)2ab(xx1)+(tt1)].
Pentru o valoare sucient de mare, avem L[v]>0 pentru (x;t) peD[@D.
Construim funct ia w=u+ v  si observ am c a pentru orice pozitiv, L[w]=L[u]+ L[v]>0
^ n D. Datorit a relat iei (iii) de mai sus, putem alege pentru o valoare at^ at
de mic a ^ nc^ at w<M pe C'.
Din moment ce v= 0 pe@K, avem, datorit a relat iei (i) de mai sus w <M
pe C" cu except ia lui P  si c a w(p) =M.
^Indrept^ andu-ne atent ia spre regiunea lui D, aplic am principiul maximal  si
concluzion am c a maximul lui w pe D[@Dare loc doar la punctul P. Astfel,
la acest punct, se aplic a formula
@w
@v=@u
@v+@v
@v0.
Totu si, un calcul arat a c a
@v
@v=vn@v
@r=2vnR exp(2)<0.
Concluzion am cu@u
@v>0 , iar demonstrat ia este complet a.
Observat ie 5. Rezultatul teoremei 3 ar putea  invalid dac a normala lui
@Eeste paralel a cu axa t la un punct maxim. Solut iile u ale inegalit at iilor
parabolice pot avea regiuni ^ n care u este constant. Marginea unei astfel de

18
regiuni este perpendicular a spre direct ia t si din moment ce u este continuu
diferent iabil, acesta va avea derivata normal a ce dispare de-a lungul dome-
niului ^ n care u. De exemplu, dac a maximul lui u are loc la orice punct
al regiunii ha surate, precum ^ n gura 10, atunci@u
@tva  zero de-a lungul
lungimii liniei l. Acum solut ia u, restrict ionat a la regiunea E* ce const a
^ n puncte care sunt deasupra liniei l, va avea maximul de-a lungul lui l  si
derivata ei normal a va disp area acolo.
Consider am principiul maximal pentru inegalit at ile de forma ( L+h)[u]
0,
Unde L este uniform parabolic iar h este o funct ie de x  si t.
Teorem a 4. Presupunem c a ipoteza teoremei 2 se a
 a ^ ntr-o regiune E  si
c ah0^ n E. Dac a maximul M al lui u este obt inut ^ ntr-un punct interior
(x1;t1) si dac aM0, atunciuMpe toate segmentele de linie t=constant
ale lui E care sunt x sub segmentul orizontal al lui E ce cont ine (x1;t1). Dac a
concluzia Teoremei 3 are loc ^ n P.
Demonstrat ie. Urm am exact procedura folosit a ^ n demonstrat ia teoremelor 2
 si 3. ^In leme alegem parametrul ^ n funct iile auxiliare v cu o valoare at^ at de

19
mare ^ nc^ at ( L+h)[v]>0. Deoarece h0, observ am c a ( L+h)[w]0 la un
maxim al lui w ce nu este negativ. Restul argumentului r am^ ane neschimbat
^ n teoremele 2  si 3.
Pentru solut iile lui ( L+h)[u]0 exist a un principiu minim asociat dac a
minimul m nu este pozitiv. Rezultatul urmeaz a dup a aplicarea teoremei 4
pentruu.

Capitolul 3
Operatorul General Parabolic
Operatorul
LPn
i;j=1aij(x;t)@2
@xi@xj+Pn
i=1bi(x;t)@
@xi@
@t
Spunem c a este parabolic la ( x;t)(x1;x2;:::;xn;t) dac a pentru un t xat,
operatorul ce const a ^ n prima sum a este eliptic la ( x;t). Asta dac a L este
parabolic dac a exist a un numar >0 astfel ^ nc^ at:Pn
i;j=1aij(x;t)ijPn
i=12
i(1)
Pentru toate numerele reale ( 1;2;:::;n) amplicate de n ori. Operatorul
L este uniform parabolic ^ ntr-o regiune ETdac a (1) are acel si num ar >0
pentru toate punctele (x,t) ^ n ET.
Rezultatele capitolului sunt extinse pentru operatori uniform parabolici ^ ntr-
o manier a direct a.
Teorem a 5. Spunem c a u satisface inegalitatea diferent ial a uniform parabolic a
L[u]Pn
i;j=1aij(x;t)@2u
@xi@xj+Pn
i=1bi(x;t)@u
@xi@u
@t0(2)
^Intr-o regiune ET= (x1;x2;:::;xn;t)2E:ttunde E este domeniul  si pre-
supunem c a, coecient ii lui L sunt m arginit i. Spunem c a maximul lui u ^ n Ei
este M  si c a este obt inut ^ n P printr-o cale ^ n E ce const a numai ^ n segmente
orizontale  si segmente verticale ce au direct ia ^ n sus, atunci u(Q) =M.
Demonstrat ie. Rezultatul este derivat ^ n acela si fel precum ^ n teorema 2.
Din moment ce primul termen ^ n operatorul L este un operator eliptic ^ ntr-
un spat iu cu n dimensiuni, o transformare a coordonatelor reduce aceast a
port iune a operatorului la operator Laplace ^ ntr-un singur punct. Urmeaz a
20

21
ca o solut ie a lui L[u]>0 nu poate avea un maxim ^ n Et. Pentru a extinde
acest rezultat al solut iilor L[u]>0, stabilim analog Lemelor 1,2  si 3 ale capi-
tolului 2. ^Inlocuim funct ia auxiliar a v ^ n demonstrat ia Lemei 1 prin
v(x;t) = exp([Pn
i=1(xixi)2+ (tt)2])exp(R2)
Funct ia auxiliar a care corespunde cu cea din Lema 3 este
v(x;t) = exp([Pn
i=1(xixi)2+(tt)])1.
^ nlocuid discursurile cu mingi de (n+1) dimensiuni, iar parabola (7) capi-
tolului prin hiperparaboloidulPn
i=1(xixi)2+(tt) = 0.
Observat ie 6. Teorema 5 este valid a dac a punctul P(x;t)este pe o compo-
nent a orizontal a E(t)a marginii@Ea lui E, dac a u  si derivatele@u
@xi,@2u
@xi@xj
 si@u
@tsunt toate continue pe E[E(t).
Urm atoarea teorem a este o extensie direct a pentru (n+1) dimensiuni a teo-
remei 3.
Teorem a 6. Spunem c a u satisface inegalitatea uniform parabolic a (2) cu
coecient i m arginit i ^ ntr-un domeniu E,  si denim
Et= (x;t)2E:tt.
Presupunem c a maximul M al lui u este obt inut la un punct P(x;t)pe
marginea@E. Spunem c a o sfer a prin P poate  construit a care este tan-
gent a pentru @E si partea interiorului s au unde ttesteEt, iaru<M ^ n
Et. De asemenea, presupunem c a direct ia radical a din centrul sferei spre P
nu este paralel a cu axa t. Atunci, dac a@
@vindic a orice derivat a direct ional a
^ ntr-o direct ie superioar a fat  a de Et, avem
@u
@v>0^ n P.
Precum ^ n teorema 4, putem aplica demonstrat iile teoremei 5  si 6 pentru o
solut ie a inegalit at ii diferent iale (L+h)[u]0cuh0c^ andM0. Putem
obt ine urm atoarea teorem a.
Teorem a 7. Concluziile Teoremelor 5  si 6 r am^ an valide dac a u este o solut ie
pentru (L+h)[u]0, dat indh0 siM0.
Observat ie 7. 1. Dac au(x)satisface inegalitatea eliptic a
(L+h)[u]Pn
i;j=1aij(x)@2u
@xi@xj+Pn
i=1bi(x)@u
@xi+h(x)u0,h0.
^ ntr-un domeniu D a spat iului x, e evident c a de asemenea satisface

22
inegalitatea parabolic a L[u]@u
@t+hu0^ n setulDx(0;T]a spat iului
(x;t).
Dac a u ^ t i atinge maximul M la un punct interior x0^ n D sau pe @D, ^  si
atinge maximul la punctul (x0;1
2T)^ nDx(0;T]sau pe@Dx(0;T]. Prin
urmare teoremele 5,6  si 7 implic a principiile maximale corespondente
pentru inegalit at ile eliptice.
2. Schimbarea variabilei v=uexp(t)^ nlocuie ste inegalitatea (L+h)[u]
0cu(L+h)[v]0. Dac a h este m arginit deasupra, putem alege
o valoare pentru at^ at de mare ^ nc^ at h0,  si astfel principiul
maximal se aplic a pentru v. ^In special, urmeaz a teorema 7 cu M= 0
f ar a restrict ia h0.

Capitolul 4
Teoremele unicit at ii pentru
problemele de valoare a
marginii
Spunem c a E este domeniul dreptunghic ^ n planul ( x;t) determinat de
inegalit at iile c<x<d , 0<t<T .
(Vezi gura 11) Reprezent am problema determin arii funct iei v(x;t) care sat-
isface ecuat ia parabolic a uniform a
a@2v
@x2+b@v
@x@v
partialt^ n E (1)
 si condit iile de margine:
SISTEM pg 184
Funct ia f este descris a prin E cu funct iile gi, i=1,2,3 date de respectivele
domenii de denit ie.
^In cazul ecuat iilor eliptice, nu vom analiza condit iile coecient ilor ^ n ecuat ia
(1)  si de pe marginea condit iilor (2) care garanteaz a existent a solut iei v(x;t),
vom ar ata c a este posibil s a stabilim unicitatea unei solut ii doar prin metode
ale principiului maximal. Cu asta vom demonstra c a poate exista maxim
doar o solut ie a ecuat iei (1)care satisface condit iile marginii (2).
Pentru a stabili acest rezultat, presupunem c a v1 siv2sunt dou a funct ii care
satisfac (1)  si (2) cu acelea si funct ii f  si gi, i=1,2,3. Denim u=v1v2
 si abserv am c a a@2u
@x2+b@u
@x@u
@t= 0 ^ n E  si u(x;0) pentrucxd,
u(c;t) =u(d;t) = 0 pentru 0t<T .
Conform principiului maximal armat ^ n Teorema 2, u nu poate avea un
23

24
maxim pozitiv ^ n E, astfel u0 pentr tot. Aplic^ and acela si lucru  si pentru
u, obt inemu0 ^ n E. Astfel u=v1v20 ^ n E.
Rezultatul tocmai stabilit^ n cazul cu o dimensiune acum va  extins^ n solut ii
pentru ecuat ii parabolice generale cu condit ii de margine mai putt in restric-
tive.
Consider am un domeniu m arginit D ^ ntr-un spat iu euclidian cu n dimensiuni
 si un interval [0 ;T] al axei t. Spunem c a ETindic a regiunea (n+1) dimen-
sional aDx(0;T]. Port iunea marginii lui E const a ^ n @Dx(0;T] ^ nc^ at prin .
Teorem a 8. Spunem c a u este solut ia ecuat iei uniform parabolice
(L+h)[u]Pn
i;j=1ai;j(x;t)@2u
@xi@xj+Pn
i=1bi(x;t)@u
@xi+h(x;t)u@u
@t=f(x;t)
(3)
^ n E,  si zicem c a coecient ii lui L sunt m arginit i. Presupunem c a u(x;t)
(x1;x2;:::;xn;t)satisfac condit iile de margine
u(x;0) =g1(x)^ n D (4) si(x;t)u(x;t) +(x;t)formula =g2(x;t)(5)
pentru toate punctele (x,t) pe gama, unde@
@veste orice derivat a direct ional a
^ ntr-o direct ie ^ n afara de gama. Zicem c a 0,0pe, c a2+2>0
la ecare punct  si c a h(x;t)este m arginit deasupra. Dac a v este o alt a solut ie
pentru (3)satisf ac^ and acela si condit ii (4) si(5), atuncivu^ n E.

25
Demonstrat ie. Rezultatul urm ator urmeaz a o aplicat ie simpl a a principiului
maximal. Denim w=uv. Atunci w satisface ( L+h)[w] = 0  si condit iile
init iale de margine w(x;0) = 0 ^ n D  si w(x;0) = 0 ^ n D  si w+@w
@v= 0(6)
^ n .
Prin observat ia 2 de la nalul capitolului 3, putem presupune, f ar a pierdere
de generalitate, c a h(x;t)0. Conform teoremei 7, maximul lui u trebuie
s a aiba loc la t= 0 sau pe gama. Totu si, teorema 7 arm a c a un asemenea
punct maxim@w
@v>0. Din moment ce @ sinu pot disp area simultan,
condit iaw+@w
@v= 0 este contrazis a la un maxim pozitiv. Astfel, w0
prin E.
Aplic^ and acela si lucru  si pentru w, g asim c aw0. Astfelw=uv0
^ n E.
Observat ie 8. 1. Dac a1,0, atunci problema (3),(4),(5) este
o generalizare direct a a problemei valorii marginii minidimensionale
pentru un dreptunghi.
2. Teorema 8 se refer a la domenii E mai generale. ^In special, domeniul
D se poate mi sca cu timpul dac a punctele sale de margine se mi sc a cu
o vitez a nit a.
3. Faptul c a unicitatea solut iilor au indiferent ^ nsemn atatea pentru semnul
lui h este o discrepant  a pentru problemele valorii de margine pentru
ecuat iile eliptice unde pot ap area valori proprii.

Capitolul 5
Teorem a a celor trei curbe
Teorema celor trei cercuri Hadamard pentru funii subarmonice nu are un
analog exact pentru funt ii ce satisfac inegalitatea parabolic a. Totu si, prin
metode ale principiului maximal, este posibil s a obt inem o teorem a a celor
trei curbe care este asem an atoare cu inegalitatea Hadamard.
Rezultatul dat aici are un num ar de aplicat ii. De exemplu, ^ l folosim pentru
a stabili unicitatea solut iei a unei probleme a valorii init iale pentru ecuat ia
c aldurii.
Spunem c a t0este o constant a pozitiv a xat a  si consider am familia unui
singur parametru al parabolei
x2
t0t=',
unde constanta p prime ste toate valorile pozitive. Cu except ia punctelor de
pe axa t, ecare punct de pe banda 0 <t<t 0;1<x<1este exact pe
un singur parametru al acestei familii.
Putem considera '^ n funct ie de x  si t. Un calcul arat a c a
@2'
@x2@'
@t=2(t0t)x2
(t0t)2.
C aut am o funct ie doar a lui p, precum ('), care e solut ie pentru ecuat ia
c aldurii. Pentru a determina , scriem
@2
@x2@
@t"(')'2
x+0(')('xx't)
Atuncitrebuie s a satisfac a
"
0='xx't
'2x=1
41
2',  si prin,
log0=1
4'1
2log'
Astfel
26

27
0=1p'exp('
4),
iar o a doua integrare ofer a
(') =Rchi
01p'exp('1
4)d'1(1).
Funct ia
(') oferit a ca ^ n (1) satisface ecuat ia c aldurii pentru t < t 0cu
except ia cazului ^ n care x= 0.
Consider am funct ia u(x;t) care satisface uxxut0^ ntr-o regiune D descris a
mai departe: D este m arginit a dedesupt de linia t= 0  si deasupra de linia
t=t, unde t<t 0; D este m arginit a pe lateral de arcele parabolei '='1 si
'='2situate ^ n primul cadran. Pentru '1''2, denim funt iile
M1(') = max x2='(t0t);0ttu(x;t)
M2= maxp'1t0xp'2t0
 siM1(') =max(M1(');M2).
Funct ia(') =a+b
(') satisface ecuat ia c aldurii.
Acum determin am a  si b prin relat iile a+b
('1) =M('1),a+b
('2) =

28
M('2)  si decoperim c a
(') =M('1)[('2)(')]+M('2)[(')('1)]
('2)('1).
Funct iav=u(') satisface inegalitatea
@2v
@x2@v
@t0 ^ n D.
Mai mult, din moment ce u(x;0)M2 si
u(x;t)M('1) pentrux2='1(t0t)
u(x;t)M('2) pentrux2='2(t0t)
g asim c av0 pe ^ ntreaga margine a lui D dub linia t=t. Aplic^ and prin-
cipiul maximal pentru v, deriv am formula
M(')M('1)[('2)(')]+M('2)[(')('1)]
('2)('1)(2)
Cu acest lucru, ar at am c a M(p) este o funt ie convex a al (p). Cu ajutorul
lui (2) putem stabili urm atorul rezultat al unicit at ii, acesta ind prima oar a
dovedit de A.N.Tikhonov.
Teorem a 9. Spunem c a u(x;t) siv(x;t)sunt solut iile pentru uxxut=
f(x;t)^ n bandaD:1<x<1;0<t<T  si presupunem c a u  si v sunt
continue pe D[@D. Dac au(x;0) =v(x;0) =g(x), unde g este o funt ie
predenit a,  si dac a exist a constante A  si c precum
ju(x;t)j;jv(x;t)jAexpcx2(3)
uniform ^ n t pentru 0yT, atunciu(x;t)v(x;t)^ n D.
Demonstrat ie. Folosim convexitatea inegalit at ii (2). Select am t0<1=4c si
consider am funct ia w(x;t)u(x;t)v(x;t)^ n domeniul D1:1<x<1;0tt0=2.
Atunci w satisface ecuat ia c aldurii  si w(x;0)0. Aplic am inegalitatea (2)
pentru w  si presupunem c a '2!1 . Din moment ce w este m arginit de
un multiplu de expcx2, iar(') cre ste la fel de rapid precum expx2
4t0, a
 am c a
M('2)
('2)!0 ^ n timp ce '2!1 . AstfelM(')m('1).
L as^ and'1!0, vedem c a w ^  si prime ste valoarea maxim a pe jum a tatea de
band ax0;0t1
2t0lax= 0. Aplic^ and acela si lucru  si pentru valorile
negative ale lui x, concluzion am c a w ^  si prime ste maximul ^ n D1lax= 0.
Atunci, prin teorema 2, acest maxim trebuie s a e egal cu 0,  si astfel w0
^ nD1.
Putem repeta ^ ntregul proces folosind limita t=1
2t0ca linie init ial a  si g asim
c aw0 ^ nD2:1<x<1;t0
2tt0. Dup a un num ar nit de pa si,
concluzion am c a w0 ^ n D.

29
Observat ie 9. 1.^In n dimensiuni, putem folosi acea si metod a pentru a
deriva o inegalitate precum (2)aplicabil a funct iilor care satisfac 4u
ut0cu valoarea maxim a luat a pentr paraboloizii de forma(x2
1+:::+x2
n)
t0t)=
'. Atunci obt inem o teorem a a unicit at ii pentru solut iile din ecuat ia
c aldurii care nu cre ste mai rapid dec^ at Aexpc(x2
1+x2
2+:::+n2
n)
2. Condit ia c aldurii (3)este necesar a, din moment ce pot  g asite exemple
a nonunicit at ii solut iilor dac a este permis a o cre stere mai rapid a dec^ at
^ n(3).
3. Precum ^ n cazul ecuat iilor eliptice, o teorem a general a a celor trei
suprafet e poate  obt inut a, aceasta ind aplicabil a ecuat iilor parabolice
lineare. O teorem a a unicit at ii pentru ecuat iile parabolice ce are condit ii
precum ^ n teorema 9 poate  obt inut a  si ea. Totu si, este de asemenea
posibil s a deriv am o teorem a a unicit at ii pentru domenii nem arginite
printr-o aplicare direct a a principiului macimal. ^In acela si timp, un
principiu Phragmen-Lindelof pentru ecuat iile parabolice poate  stabilit.
Vom dezvolta aceast a metod a ^ n Capitolul 6.

Capitolul 6
Princpiul Phragmen-Lindelof
Descoperim c a problemele valorii de margine au o rezolvare unic a numai
c^ and solut iile sunt necesare pentru a satisface anumite condit ii ale innit at ii.
O situat ie similar a predomin a pentru solut iile ecuat iilor parabolice.
^In capitolul 5, am v azut c a unicitatea solut iei pentru problema valorii init iale
pentru ecuat ia c aldurii poate di stabilit a prin metode ale teoremei a celor trei
parabole. Rezultatul oferit acolo este valid pentru funct iile care satisfac o
condit ie de cre stere specic a precum jxj!1 .^In acest capitol stabilim
un principiu maximal pentru funct iile care satisfac o inegalitate parabolic a
^ ntr-un domeniu nem arginit. Acest principiu este apoi aplicat pentru a
extins ^ n ecuat iile parabolice generale pe care le rezult a unicitatea armat a
^ n teorema 9 pentru ecuat ia c aldurii.
Spunem c a D este un domeniu nem arginit ^ ntr-un spat iu euclidian cu n di-
mensiuni. Consider am funct ia u(x;t)congu (x1;x2;:::;xn;t) denit a^ n regiunea
E=Dx(0;T). Presupunem c a ^ n E funct ia satisface inegalitatea diferent ial a
(L+h)[u]0(1) cuh=h(x;t)0  si L un operator uniform parabolic dat
de
LPn
i;j=1aij(x;t)@2
@xi@xj+Pn
i=1bi@
@xi@
@t. (2)
Principiul maximal a sa cum este dat ^ n teorema 7 este aplicabil pentru
funct ia u. Totu si din moment ce E este nem arginit, nu putem concluziona
^ ntotdeauna c a maximul lui u are loc la t= 0 sau pe @Dx(0;T), ca ^ n cazul
domeniilor m arginite. Am v azut exemple de asemenea situat ii ^ n studiul uni-
form ^ n t pentru 0 tT,  si dacau0 pentrut= 0  si pe@Dx(0;T),
atunci este o consecint  a u soar a a teoremei 7 ^ n care u0 ^ n E. Astfel putem
30

31
localiza valoarea maxim a pentru acele funct ii care tind spre o limit a precum
x!1 . A sa cum ar at am ^ n urmatoarea teorem a, acest tip de principiu
maximal este valid pentru o clas a de funct ii mult mai ^ ntins a.
Teorem a 10. Spunem c a D este domeniul nem arginit ^ ntr-un spat iu cu n
dimensiuni  si E ete domeniul Dx(0;T). Presupunem c a u satisface (L+
h)[h]0^ n E cu L un operator uniform parabolic de forma (2)cu coecient i
m arginit i  si cu h(x;t)m arginit ^ n E. Zicem c a u satisface condit ia de cre stere
limR!1 inf expcR2[maxx2
1+::+x2n=R2;0tTu(x;t)]0 (3)
pentru o constant a pozitiv a c. Dac a u0pentrut= 0 siu0pe@Dx(0;T),
atunciu0^ n E.
Demonstrat ie. Fier2=x2
1+x2
2+:::+x2
n si denim funct ia v(x;t) =u(x;t) expc
r2
(
ct)t,
unde c este constant a ^ n (3), iar ,
sunt constante ce trebuie determinate.
A
 am printr-un calcul simplu c a
expc
r2
(L+h)[u] =L[v] +4c

ctPn
i;j=1ai;jxi@v
@xj+H(x;t)v0
unde
H(x;t) =4c

(
ct)2Pn
i;j=1ai;jxixj+2c

ctPn
i=1(aii+bixi) +h(x;t)c2
r2
(
ct)2.
Din moment ce coecient ii operatorului L sunt m arginit i, exist a o constant a
M astfel ^ nc^ atPn
i;j=1ai;jxixjMr2.
Astfel
H(x;t)c2
r2
(
ct)2(14
M) + [2c

ctPn
i=1(aii+bixi) +h(x;t)]
. Acum denim constantele
A= sup0r1jPn
i=1bixij,B= supr1jPn
i=1bixi
r2j.
C^ at timp (
ct)>0, funct iaH(x;t) satisface inegalitatea
H(x;t)c2
r2
(
ct)2[14
M2(
ct)
c][2c

ct(A+Pn
i=1aiih)]
. Acum select am o valoare pentru
at^ at de mic ^ nc^ at expresia din prima
parantez a din dreapta este mereu pozitiv a pentru t ^ n intervalul [0 ;

2c]. Apoi
select amat^ at de mare ^ nc^ at expresia din a doua parantez a este mereu poz-
itiv a. Dup a aceste alegeri de  si
, vedem c a H(x;t)0 ^ n FORMULA.
Indic am prin DRport iunea lui D ^ n auntru bilei x2
1+x2
2+::+x2
n<R2. Prin
teorema 7, funct ia v(x;t) nu poate avea un maxim pozitiv ^ ntr-un punct inte-
riorDRx[0;

2c]. Pentru orice >0, condit ia (3) arat a c a v< pe@DRx[0;

2c]
pentru R cu valoare arbitrar a; de asemenea v0 pentrut= 0. Astfel v<
^ nDRx[0;

2c].^In particular, v(x;

2c)0 pentruxapD . Acum ^ ntregul al-
goritm de mai sus poate  repetat cu t=

2cca suprafat  a init ial a ^ n loc de

32
t= 0. ^In acest fel obt inem v0 ^ nDx[

2c;2

2c].^Intr-un num ar nit de pa si
obt inemv0 ^ n E,  si de asemenea u0 ^ n E.
Observat ie 10. PAGINA 192
1. De la detaliile demonstrat iei, vedem c a e sucient s a arm am c aceste
cantit at i
r2Pn
i;j=1ai;jxixj,(1 +r2)1Pn
i=1bixi
 si c a demonstrat ia ^ nc a mai poate  dus a p^ an a la cap at.
2. Dac ah(x;t)echiv 0, atunci putem sustrage orice constant a din u  si s a
aplic am teorema 10 pentru a concluziona c a u trebuie s a- si obt in a max-
imul indiferent dac a e pozitiv sau negativ la t= 0 sau pe FORMULA.
Dac ah(x;t)0, acela si lucru poate  f acut  si cu un maxim ce nu este
negativ.
3. Pentru funct iile ce satisfac (L+h)[u]0, avem un principiu minim
corespunz ator. ^In analog cu rezultatul operatorilor eliptici, numim teo-
rema 10 un principiu Phragmen-Lindelof.
Urm atorul rezultat al unicit at ii este o consecint  a direct a a teoremei 10.
Teorem a 11. Fieu(x;t),v(x;t)solut ii pentru
(L+h)[u] =f(x;t)^ nDx(0;T)
(D nem arginit)  si presupunem c a u  si v sunt continue pe FORMULA.
Spunem c a:
u(x;0) =v(x;0) =g1(x)^ n D
u(x;t) =v(x;t) =g2(x;t)pe FORMULA,
 si mai mult, at^ at juj sijvjsatisfac condit ia (3)pentru constanta c > 0.
Atunciuechivv ^ nDx[0;T].
Demonstrat ie. Denimw=uv si observ am c a teorema 10 este aplicabil a
pentru w. Astfel w0 ^ nDx[0;T]. Acela si argument se aplic a  si pentru
w,  si pentruwechiv 0.
Observat ie 11. Am presupus ^ n teoremele 8  si 9 c a valorile init iale
de margine sunt luate pe continuitate. Nu este sucient doar s a pre-
supunem, de exemplu, c a funct ia u este continu a ^ n t pentru ecare x.
A sadar, rezultatul este fals doar daca spunem c a

33
FORMULA, pentru ecare punct xat x ^ n D.
Ca s a vedem acest lucru, am l asat ca FORMULA  si alegem FOR-
MULA.
Atunci u satisface L[u] = 0 pentrut>0 si1<x<1. De aseme-
nea, vedem c a FORMULA pentru orice num ar real xat x. Totu si, u
nu este identic zero. Funct ia de mai sus u este de fapt nem arginit a ^ n
orice vecin atate a lui (0;0).
Principiul Phragmen-Lindelof  si rezultatul unicit at ii pot  extinse ^ ntr-
o solut ie a inegalit at iilor  si ecuat iilor parabolice care satisfac condit ia
mai general a de margine FORMULA pe Dx(0;T].
Demonstrat iile  si rezultatele de mai sus sunt analoguri pentru cele folosite
^ n stabilirea principiului Phragmen-Lindelof pentru operatorii eliptici.
De fapt, putem duce ^ ntreaga teorie eliptic a f ar a vreo schimbare  si s a
g asim acele seturi except ionale unde marginea, sub condit ii potrivite,
r am^ ane neschimbat a. ^In aceast a conexiune este interesant s a not am
c a dac a funct ia u(x)satisface o inegalitate eliptic a (L+h)[u]0,
din moment ce u este independent de t, evident satisface inegalitatea
parabolic a FORMULA.
Presupunem c a avem o teorem a Phragmen-Lindelof care arm a c o solut ie
ce nu e constant a v a lui FORMULA ^ n Dx(0;T)este, ^ n acest caz,
mai mic dec^ at maximul ^ n t= 0 sau pe subsetul Sx(0;T)a marginii
laterale FORMULA. Atunci clar u(x)este mai mic ^ n D dec^ at max-
imul s au ^ n S. Astfel, dac a FORMULA este un set except ional pentru
operatorul eliptic L.
Pe de alt a parte, dac a avem o secvent  a de funct ii wkcare pot  folosite
pentru a stabili un principiu Phragmen-Lindelof pentru operatorul elip-
ticL+hcu setul except ional FORMULA, acelea si funct ii stabilesc un
principiu Phragmen-Lindelof pentru FORMULA cu setul except ional
FORMULA.
O teorem a a singularit at ii ^ ndep artabile poate  obt inut a pentru ecuat iile
parabolice ^ n acela si mod ca  si pentru ecuat iile eliptice, a oferit o teo-
rem a Phragmen-Lindelof ce pot rezolva o problem a valorii marginii,
Mai multe teoreme ale singularit at ii ^ ndep artabile au fost obt inute de
c atre D.G.Aronson.

Capitolul 7
Operatori nonlineari
Consider am vectorii x= (x1;x2;:::;xn)  sip= (p1;p2;:::;pn)  si matricea
R= (rij);i;j= 1;n.
FieF(x;t;u;p;R ) o funct ie diferent iabil a pentru cele n2+ 2n+ 2 variabile.
Vom folosi notat iile F(x;t;u;pi;rij) pentru a indica funct ia de mai sus pi si
rijdenot^ and argumentele generice ale lui F. Zicem c a F este eliptic lu^ and ^ n
considerare funct ia u(x;t) la un punct ( x;t) dac a, pentru tot i vectorii FOR-
MULA, avem :
FORMULA
c^ and valorile FORMULA  si FORMULA sunt substituite ^ n argumentele
derivatei part iale lui F ^ n (1). Funct ia F este eliptic a ^ ntr-un domeniu E
^ n spat iul ( x;t) dac a este eliptic a la ecare punct a lui E. Operatorul nonlin-
ear FORMULA se zice c a este parabolic atunci c^ and F este eliptic.
Putem folosi principiul maximal, pentru a compara solut iile ecuat iilor parabo-
lice nonlineare. Spunem c a u este solut ie pentru L[u] =f(x;t), cu L dat de
(2) ^ ntr-un domeniu E ^ n spat iu ( x;t),  si presupunem c a w=w(x;t) satisface
L[w]<f^ n E.
Form am funct ia v(x;t) =u(x;t)w(x;t)  si consider am inegalitatea
FORMULA
Aplic am teorema caculului multi-dimensional. Zic^ and c a teta este cuprins ^ n
intervalul (0 ;1)  si evalu^ and derivatele lui F la argumentele
FORMULA
vedem c a
FORMULA
34

35
Presupunem c a F este eliptic^ n E pentru toate funct iile de forma FORMULA.
Sub aceast a asumpt ie, partea st^ ang a a lui (3) este operator parabolic linear
pentru funct ia v. Putem aplica principiul maximal (observat ia (3) dup a teo-
rema 7) pentru a concluziona c a dac a v este nonpozitiv init ial  si pe margine,
atunci v este non-pozitiv ^ n E.
Discut ia aceasta stabile ste urm atorul rezultat de aproximare.
Teorem a 12. Spunem c a D este un domeniu m arginit ^ ntr-un spat iu n-
dimensional  si E=Dx(0;T]. Presupunem c a u este o solut ie a lui L[u] =
f(x;t)^ n E cu L dat de (2),  si c a u satisface condi tiile init iale de margine
FORMuLA.
Presupunem c a z  si Z satisfac inegalit at iile L[Z]f(x;t)L[z]^ n E,  si
c a L este parabolic lu^ and ^ n considerare funct iile FORMULA  si FORMULA
pentru 01. Dac a:
FORMULA
atunci
FORMULA
Exemplu Fluxul de c aldur a monodimensional prin mediul omogen este
guvernat de ecuat ia non-linear a
FORMULA
Unde k este o funct ie pozitiv a cu o derivat a ^ nt^ ai m arginit a. Veric am cu
u surint  a c a (4) este parabolic pentru toate funct iile u. Din moment ce orice
constant a satisface (4), putem aplica teorema 12 pentru a concluziona c a pen-
tru orice solut ie u, valorile masime  si minime trebuie s a aib a loc la momentul
init ial sau pe margine.

Capitolul 8
Sistemul parabolic slab cuplat
Principiul maximal pentru funct iile ce satisfac o inegalitate parabolic a de
ordinul al doilea pot  extinse ^ n sisteme specice de inegalit at i parabolice.
Consider am setul de k funct ii u1(x;t),u2(x;t),…,uk(x;t) care va  tratat ca
 si un vector k u(x;t). Vectorul x este un element ^ n spat iul euclidian cu n
dimensiuni cu componentele x1;x2;:::;xn.^In conjunct ie cu vectorul u, ni se
ofer a k operatori uniform parabolici
FORMULA
De asemenea introducem o matrice H=H(x;t) de tipkxk de funct ii cu
elemente FORMULA.
Sistemul de inegalit at i parabolice pentru care vom stabili un principiu max-
imal are forma
FORMULA
Observ am c a ecare inegalitate de la (1) conct ine derivate de o singur a com-
ponent a. Sistemul este cuplat doar ^ n termenii care nu sunt diferent iat i; un
sistem de forma aceasta se zice c a este slab cuplat. Astfel de sisteme apar ^ n
studiul difuziunii a c^ ateva substant e care se descompun spontan.
Facem o ipotez a suplimentar a ^ n care termenii ce sunt diagonali ai matricii
H sunt non-negativi:
FORMULA
Vom folosi notat ia u < 0 pentru a ^ nsemna c a ecare component a FOR-
MULA este negativ a. Asem an ator, u0 ^ nseamn a c a ecare component a
este non-pozitiv a.
Un principiu maximal este u sor de dovedit pentru funct ii cu valoare de vec-
36

37
tori u care satisfac sistemul de inegalit at i stricte
FORMULA
^Intr-un domeniu de forma E=Dx(0;T) ^ ntr-un spat iu ( n+ 1)-dimensional.
Presupunem prin tot i coecient ii FORMULA  si FORMULA sunt m arginit i
^ n E. Acum ar at am c a dac a u<0 lat= 0  si pe FORMULA, atunci u<0 ^ n
E. Pentru a face acest lucru, presupunem c a inegalitatea u<0 este contrazis a
la punctul ( x;t) ^ n E. Atunci prin continuitate vedem c a u(x;tbar )0  si, la
un punct (xbar;tbar ) ^ n E, unul din componentele lui u trebuie s a dispar a.
Asta dac a, pentru cel put in o component a, FORMULA, avem FORMULA.
Din moment ce u0 pentru FORMULA la FORMULA (4)  si, dup a ipotez a
(2):
FORMULA
Inegalit at iile (4)  si (5) ^ mpreun a contrazic FORMULA ^ n (3)  si concluzion am
c au<0 ^ n E.
Cu scopul de a obt ine un principiu macimal pentru funct iile non-pozitive u
care satisfac (1),  si nu (3), mai ^ nt^ ai alegem o constant a astfel ^ nc^ at:
FORMULA
prin E, aceast a sect iune este ^ ntotdeauna posibil a din moment ce elementele
lui H sunt presupus m arginite ^ n E. Atunci dac a u satisface inegalitatea (1)
^ n E, vedem c a pentru orice >0,
FORMULA
Introducem vectorul de funct ii v(x;t) cu componentele FORMULA,  si not am
c a inegalitatea u0 lat= 0, iar pe FORMULA implic a v <0 pe acela si
set de puncte. Principiul maximal stabilit mai sus pentru funct iile ce sat-
isfac sistemul de inegalit at i stricte este valid pentru v pentru ecare  >0.
Spun^ and c a !0, concluzion am c a u0 ^ n E. Deducem din inegalit at iile
FORMULA pentru FORMULA c a ecare component a FORMULA satisface
inegalitatea FORMULA ^ n E.
Pentru orice constant a putem rescrie aceast a inegalitate ca
FORMULA
Alegem o valoare pentru at^ at de mare ^ nc^ at FORMULA ^ n E. Din moment
ce FORMULA ^ n E, vedem c a FORMULA ^ n E i  FORMULA la t= 0  si pe
FORMULA. (6)
Concluzion am din teorema 5 c a dac a FORMULA ^ ntr-un punct interior
(x0;t0), atunci FORMULA pentru tt0.^In acest fel obt inem urm atorul
principiu maximal:

38
Teorem a 13. Presupunem c a u satisface sistemul parabolic uniform de ine-
galit at i (1)^ ntr-un domeniu E=Dx(0;T). Dac au0lat= 0 si pe FOR-
MULA  si dac a H satisface condit iile (2), atunciu0^ n E. Mai mult, dac a
FORMULA la un punct interior (x0;t0), atunci FORMULA pentru tt0.
Aplic^ and teorema 6 a inegalit at iilor (6), a
 am urm atorul rezultat.
Teorem a 14. Presupunem c a ^ ntr-un domeniu E=Dx(0;T), u satisface
inegalit at ile (1), c a H satisface (2) si c au0. Dac a o component a FOR-
MULA dispare la un punct de margine P a lui FORMULA  si dac a exist a
o margine K ^ n E av^ and P pe margine, iar FORMULA ^ n K, atunci FOR-
MULA la P pentru orice derivat a direct ional a exterioar aFORMULA
Teoremele 13  si 14 arat a c a zero nu poate  macimul unei solut ii u non-
pozitive a lui (1) cu except ia unei circumstant e speciale. Acum vom extinde
teorema de mai sus ^ n funct ii u ce au un macim M non-negativ. Aplic am
simplu acelea si metode funct iei vectorului av^ and FORMULA la fel  si com-
ponentelor sale. Pentru a face acest lucru, avem nevoie de ipoteza ^ n care
matricea H are propietatea
FORMULA (7)
C^ and M este constant a, denim vectorul M ca toare cele k componente egale
cu M.
Teorem a 15. Presupunem c a u satisface inegalit at iile (1), c a H satisface (2)
 si(7) si c auM0^ nE=Dx(0;T). Dac a FORMULA la un punct de
margine P cu propiet at iile descrise ^ n teorema 14  si FORMULA ^ n mingea
potrivit a K, atunci FORMULA la P unde FORMULA v este orice derivat a
exterioar a direct ional a.
Observat ie 12. 1. Dac a introducem schimbarea de variabil a
FORMULA
vedem c a
FORMULA
De ecare dat a c^ and u satisface un sitem (1), vectorulubar satisface
un sistem de acea si form a, dar cu FORMULA ^ n ecare inegalitatea.

39
Aleg^ and o valoare pentru c sucient de mare este mereu posibil s a
^ ndeplinim condit iile (7)(presupun^ and c a ^ ntotdeauna, c a elementele
lui H sunt m arginite).
2. Presupunem FORMULA la un punct interior (x0;t0). Atunci FOR-
MULA pentru tt0 si FORMULA inegalitatea (1)devine FORMULA.
Prin (2) si(7), faptul c auMarat a c a
FORMULA
Astfel, toate aceste inegalit at i trebuie s a e egalit at i. ^In special FOR-
MULA pentru tt0. Mai mult, FORMULA pentru tt0odat a cu
FORMULA la un punct (x;t0). Chiar dac a FORMULA  si FORMULA,
concluzion am c a FORMULA  si astfel FORMULA. S i a sa, cu except ia
unor circumstant e foarte speciale, putem concluziona c a dac a FOR-
MULA, atunci FORMULA pentru tt0 si c^ and r^ andurile de sume ale
lui H dispar.
Teorema 15 indic a teoremele unicit at ii  si marginile pentru solut iile prob-
lemei
FORMULA
Unde D este un domeniu ^ n spat iul Euclidian cu n dimensiuni  si FORMULA.
Fiecare FORMULA este o derivat a direct ional a exterioar a. Cantit at ile FOR-
MULA sunt funct ii prescrise, H satisface condit ia (2), iar matricea S cu ele-
mentele FORMULA are propietatea
FORMULA
Dac a funct ia acestor independent e de timp u(x) satisfac sistemul eliptic slab
cuplat de inegalit at i
FORMULA
^ ntr-un domeniu D, atunci u de asemenea satisface (1) ^ n Dx[0;T]. Dac a H
satisface condit iile (2)  si (7), putem aplica teorema 15 pentru a stabili prin-
cipiul macimal: Dac a uMcuM0 pe FORMULA, atunci uM^ n
D.^In acest mod obt inem principiul maximal pentru sistemele eliptice. Ob-
serv am c a schimbarea de variabil a (8) nu mai este potrivit a, atunci condit iile
(7) sunt o restrict ie pentru sistemul eliptice.
Observat ie 13. 1. Rezultatele de mai sus pot  generalizate pentru a
oferi teoreme de comrat ie pentru sisteme parabolice non-lineare slab
cuplate de forma:
FORMULA

40
2. Principiul maximal d a gre s dac a o cuplare mai puternic a are loc, s a
zicem, ^ n primii termeni derivabili. De xemplu, sistemul:
FORMULA
este satisf acut ^ n
E: 0x1;0t1de funct iile
FORMULA
Totu si,u1 siu2sunt non-pozitive pe marginea lui E sub t=1, ^ n timp
ceu2este pozitiv pe x=1
2. Astfel cuplarea slab a nu poate  ^ nt arit a
dac a trebuie ment inut principiul maximal.
3. Un principiu maximal diferit pentru o alt a clas a de sisteme parabolice
cu slab a cuplare a fost oferit a de c atre Szepticky  si Stys.
4. O plicare a unui sistem parabolic cuplat slab  si unele propiet at i de ale
sale sunt discutate de c atre Habetler  si Martino.

Note biograce
Principiul maximal slab pentru ecuat ia de c aldur a a fost descoperit de
c atre E.E.Levi. Un astfel de principiu pentru ecuat ii parabolice generale a
fost oferit de M.Picone. Principiul solid maximal i se datoreaz a lui L.Nirenberg.
Pozitivitatea derivatei exterioare direct ionale a fost g asit a de R.Vyborny  si
independent de c atre A.Friedman  si C.Pucci. A.Friedman a extins rezultatul
pentru solut iile slabe ale inegalit at ilor parabolice. Teorema celor trei cilindri
pentru ecuat iile parabolice care este un analog a teoremei celor trei sfere a
lui Landis a fost oferit a de A. Ya Glagelova.
Unicitatea teoremei pentru domenii nem arginite pe care am armat-o se da-
toreaz a lui A.N.Tikhonov. Un rezultat oarecum mai puternic a fost oferit de
c atre S.Tacklind. Extensii ale principiului maximal pentru domenii nem arginite
 si teoremele unicit at ii corespunz atoare sub diferite asumpt ii despre coecient i
au fost derivate de c atre M.Picone, M.Krzyzanski, W.Mlak, R.Vyborny,
P.Besala, I.Lojckzyk-Krolikiewicz, W.Bodanko, D.G.Aronson, D.G.Aronson
 si P.Besala. O teorem a diferit a a unicit at ii pentru solut iile pozitive a fost
oferit a pentru ecuat ia c aldurii de c atre D.V.Widder  si extins a pentru ecuat iile
parabolice generale de c atre G.Aronson  si P.Besala.
O teorem a de tipul Phagmen-Lindelof a fost obt inut a de c atre A.Friedman.
Teoremele singularit at ii^ ndep artabile au fost oferite de D.G.Aronson  si B.Pini.
Extensii ale principiilor maximale pentru ecuat iile parabolice non-lineare au
fost create de M.Nagumo  si S.Simoda, H.Westphal, O.A.Oleinik  si T.D.Wentzel,
P.Besala, J.Kadlec  si R.Vyborny, S.Kaplan, J.Szarski, R.M.Redheer,  si
I.I.Kolodner  si R.N.Pederson.
Rezultate ale aproxim arii solut iilor  si erorilor legate de metodele principiului
maximal au fost oferite de c atre L.Collatz, C.Pucci, H.Westphal, K.Nokel,
J.Schroder, R.M.Redheer,  si W.Walter.
Principiile maximale pentru sistemele slab cuplate de ecuat ii parabolice non-
41

42
lineare au fost oferite de J.Szarski, W.Mlak, J.Schroder, P.Besala  si A.McNabb.
Un tip diferit de principiu maximal ^ n care lungimea euclidian a a vectorului
de solut ii este m arginit a ^ n loc de maximul componentelor sale a fost de-
scoperit de c atre P.Szeptycki  si T.Stys.
R.K.Juberg a ar atat c a aceast a lungime euclidian a poate  m arginit a de o
constant a de at^ atea ori c^ at maximul valoriilor sale marginale  si init iale pen-
tru o solut ie a sistemului de ecuat ii nonlineare parabolice care sunt cuplate
^ n prima derivat a a unei funct ii necunoscute.
J. Hadamard  si B.Pini au dovedit o inegalitate Harnack pentru ecuat ia
c aldurii. O inegalitate Harnack pentru o clas a foarte general a de ecuat ii
parabolice lineare de ordinul al doilea a fost oferit a de c atre J.Moser.
Extensii pentru ecuat ii non-lineare au fost obt inute de D.G.Aronson  si J.B.Serrin
 si de c atre N.S.Trudinger.
Inegalit at iile Harnack  si teoremele Liouville pentru sistemele parabolice au
fost oferite de c atre S.D.Eidelman.
K.Nickel, O.A.Oleinik,  si W.Velte au aplicat principiul maximal ^ n studiul
stratului m arginal ^ n curgerea unui lichid v^ ascos.
O aplicat ie ^ n studiul comportamentului asimptotic a-l solut iei unei probleme
a perturb arii singulare a fost g asit de c atre D.G.Aronon.
M.Picone, G.Fichera, P. Hartmn  si R.Sacksteder,  si O.A.Oleinik au obt inut
 si folosit principiile maximale pentru solut iile ecuat iilor eliptic-parabolice de
forma
FORMULA
Unde matricea FORMULA este cunoscut a ca ind doar pozitiv a semidenit a,
astfel ^ nc^ at FORMULA pentru orice vector FORMULA.
Alte prezent ari ale principiului maximal pot  g asite ^ n c art ile lui L.Bers,
F.John,  si M.Schechter, P.Garabedian, G.Hellwig, I.G.Petrovsky  si H.F.Weinberger.
Studii extinse ale rezultatelor ecuat iilor parabolice part ial diferent iale pot
 g asite ^ n c art ile lui A.Friedman, W.Walter,  si J.Szrski, iar ^ n articolele
de studiu ale lui E.M.Landis, A.M.Il'in, A.S.Kalashnikov,  si O.A.Oleinik,  si
O.A.Oleinik  si S.N.Kruzkov.