Programul de studii: IMPM [609167]

UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN BUCUREȘTI
FACULTATEA DE INGINERIA SISTEMELOR BIOTEHNICE
Programul de studii: IMPM

Modelarea și simularea transferului de
căldură în procese de condensare

Coordonator Științific: Masterand
Ș.l. dr. ing. Ipate George Ing. Budescu Lavinia Elena

– 2018 –

CUPRINS

Capitolul I Introducere în modelare și simulare ………………………….. ………………………….. …….. 1
1.1 Simularea ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………………….. 1
1.2 Modelul matematic ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……….. 4
1.3 Programe de simulare ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……. 6
1.4. Simularea sistemelor electromecanice ………………………….. ………………………….. ………… 6
Capitolul II Aspecte teoretice cu privire la transferul de căldură ………………………….. ………….. 8
2.1. Conducția termică ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……….. 9
2.2. Radiația termică ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………. 10
2.3. C onvecția termică: ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……… 11
2.4. Conductivitatea termic ă ………………………….. ………………………….. ………………………….. . 13
2.5. Ecuația generală diferențială a conducției ………………………….. ………………………….. ….. 15
2.6 Convecția termică ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……….. 16
Capitolul III Modele matematice utilizate la transferul de c ăldură la condensare ……………… 18
3.1 Condensare și regimuri de curgere ………………………….. ………………………….. …………….. 18
3.2. Condensarea peliculară ………………………….. ………………………….. ………………………….. . 19
3.3. Condensatoare r ăcite cu aer ………………………….. ………………………….. ……………………… 24
3.4. Condensatoare răcite cu apă ………………………….. ………………………….. …………………….. 28
Capitolul IV Algoritmi numerici de rezolvare a ecuațiilor și sistemelor de ecuații diferențiale
ordinare ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. …. 36
4.1 Introducere ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………… 36
4.2 Ecuații diferențiale de ordinul 1 ………………………….. ………………………….. ………………… 38
4.3. Metode monopas pentru ecuații diferențiale ………………………….. ………………………….. . 39
4.4. Aspecte privind stabilitatea numerică și al egerea metodelor de rezolvare numerică a
ecuațiilor diferențiale ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………… 41
Capitolul V Simularea numeric ă a transferului de căldură î n procese de condensare …………. 42
5.1. Introducere ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………….. 42
5.2. Cele trei abordă ri de luare a deciziilor ………………………….. ………………………….. ………. 43
5.3.Modelul dezvoltării procesului cu verificare ș i validare ………………………….. ……………. 44
5.3.1. Paradigma grafică ………………………….. ………………………….. ………………………….. … 45
5.4. Validitatea datelor ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……… 47

5.5. Validarea modelului conceptual ………………………….. ………………………….. ……………….. 48
5.6. Analiza schimbătorului de căldură î n procese de condesare folosind un model numeric
3D. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. …….. 48
5.6.1 Rezultate ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………… 49
Anexa 1 ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. …. 59
Bibliografie ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………… 65

1
CAPITOLUL I
INTRODUCERE ÎN MODELARE ȘI SIMULARE

Majoritatea sistemelor din cele mai diverse ramuri ale științei (fizică, chimie,
inginerie,economie, sociologie, etc.) prezintă un grad mare de complexitate, fiind descrise de
un număr mare de variabile și interacțiuni.
În numeroase situații încercările s au măsurătorile directe asupra fenomenelor din
sisteme sunt anevoioase sau chiar imposibile.
Cauzele sunt cele mai diverse ar fi: este prea periculos, prea scump, prea lent, prea
rapid, prea complicat, nu se pot realiza condițiile studiului, influența med iului este prea
puternică, nu există mijloacele necesare, sunt restricții etice, trebuie repetat de foarte multe
ori sau obiectul studiat există doar într -un singur exemplar.

1.1 Simularea

Etimologic cuvântul simulare provine din latinescul simulatio , însemnând capacitatea
de a reproduce, a reprezenta sau a imita ceva. Simularea este un domeniu de investigare
eficientă multidisciplinar. Se bazează pe matematică, teoria sistemelor, informatic ă, etc.
Simularea conferă un instrument cu caracter științific profund și exact, oferind totodată
posibilitatea studierii stărilor reale ale sistemelor fără alcătuirea lor fizică.
Tehnica simulării este frecvent utilizată și în domeniul mașinilor și acțio nărilor
electrice. Nevoia de a simula diversele sisteme electromecanice a apărut datorită necesității
reducerii costurilor de proiectare și de confecționare a prototipurilor, precum și scurtării
intervalului de timp de la faza de concepție până la realizar ea produsului finit. Proiectantul
poate opera și manipula sistemul cu ajutorul tehnicilor de simulare în toate fazele ale
activității de proiectare.
Definiție. Simularea este o tehnic ă de realizare a experimentelor cu calculatorul, care
implic ă utilizarea unor modele matematice si logice care descriu comportarea unui sistem real
(sau a unor componente ale sale) de -a lungul unor perioade mari de timp .
Simularea se realizează pe baza unui model special, numit model de simulare , cu ajutorul
căruia se realizeaz ă experimentele prin intermediul calculatorului. Modelul de simulare se
construieste pe scheletul unui model matematic si se finalizează într-un algoritm.
Simularea este o tehnică de realizare a experiențelor cu ajutorul calculatorului
electronic, implicân d utilizarea unor modele matematice sau logice ce descriu comportarea
sistemului real pe durata unui interval de timp, mic sau mare.
Tehnicile de simulare se utilizează, de regulă, în acele cazuri în care găsirea unei
soluții analitice este imposibilă, ia r experimentarea nemijlocită pe sistemul real este, dintr -un
motiv sau altul, neoperațională. La baza procesului de simulare stau metodele de descriere,
modelare și analiză a unor sisteme reale (existente) ori în curs de realizare (proiectare).
Simularea permite, în general:
– structurarea mai bună a problemei investigată;
– testarea diferitelor căi de acțiune care nu pot fi formulate explicit în cadrul
modelului;
– determinarea formei funcționale de exprimare a legăturilor dintre fenomenele
cercetate și estimarea valorilor parametrilor modelului.
Realitatea este reprezent ată prin modele , iar simularea le folosește pentru studiul
realității.

2
Simularea presupune întotdeauna utilizarea modelului, ea reprezentând – în esență – o
manipulare a modelului.
În activitatea de simulare sunt implicate trei elemente importante și anume: sistemul
real, modelul, calculatorul și două relații: relația de modelare și relația de simulare.
În figura 1.1 se prezintă sintetic procesul de trecere de la “sistemul real” la modelul de
simulare “modelul real”.

Fig1.1 Trecerea de la sistemul real la modelul de simulare
Modelul este un sistem material sau abstract, care, fiind pus în corespondență cu un alt
sistem dat anterior, va putea servi indirect studiului proprietăților acestui sistem mai complex
(original) și cu care modelul prezintă o anumită analogie.
În general, modelul M al sistemului S este un alt sistem S’, din anumite puncte de
vedere echivalent cu S (S’ ≈ S) și care poate fi studiat mai ușor decât S.
Din determ inarea pe S’ a unor relații se deduc relații corespunzătoare pentru S. De
obicei, echivalența lui S’ cu S este mai mult aproximativă decât exactă!
Prin model se înțelege deci o imagine condensată a unui fenomen, o machetă a unei
realități complexe care ex istă sau care urmează să fie construită.
Prin model de sistem se înțelege o reprezentare condensată și simplificată a unui
sistem real sau imaginar în scopul de a prezice unele comportări din funcționarea sa.
În descrierea sintetică a conceptului de mode l, este necesar să punem în evidență
următoarele trei laturi:
– modelul este o imagine incompletă a unui sistem existent sau care urmează să fie
construit;
– modelul trebuie validat prin criteriul practicii în vederea determinării gradului său de
utilita te și a aplicării sale;
– modelul este manipulat în vederea prezicerii comportării în diferite situații a
sistemului studiat.
Modelarea înseamnă trecerea de la fenomenul real la modelul matematic, prin luarea
în considerare a aspectelor esențiale și prin neglijarea unor aspecte și elemente, uneori destul
de importante, în scopul realizării unui studiu pe un model matematic mai simplu.

3
Trecerea de la un sistem real la modelul matematic corespunzător, iar de aici –
eventual – la un model fizic, este posibi lă și ca urmare a faptului că există diferite fenomene
care sunt descrise de aceleași tipuri de relații matematice, doar variabilele și funcțiile având
semnificații diferite.
Acest aspect poate fi reprezentat prin schema din figura 1.2

Fig 1.2 Trecerea de la un sistem real la modelul matematic corespunzător
Se pleacă de la un anumit obiect notat cu O 1. De la el se trece la un model matematic M 1,
descriese prin ecuațiile E 1.
Uneori se aproximează E 1 prin ecuațiile liniare EL 1. Există apoi un alt obiect O 2 pentru care
se imaginează modelul M 2, care conduce la ecuația E 2 respectiv EL 2.
Există posibilitatea ca ecuațiile (EL sau E), corespunzând la două modele diferite, să
coincidă.
În acest caz, O 2 modelează pe O 1 și invers
De exemplu, micile oscil ații ale unei mase suspendate de un resort elastic, mișcarea
pendulului și oscilațiile electrice dintr -un circuit acordat, reprezintă trei fenomene total
diferite între ele, care pot fi descrise prin relațiile matematice (1.1), (1.2) și (1.3), prezentate
în continuare:
md2z
dt2+kz=0 (1.1)
ld2Ѳ
dt2+gΘ=0 (1.2)
Ld2q
dt2+1
cq=0 (1.3)

4
Se poate observa că ecuațiile de mai sus pot fi scrise sub forma gene rală, în care termenii sunt
cei prezentați în tabelul 1.1:
ax”+bx=0 (1.4)
Tabelul 1.1
Termenii ecuației Resort Pendul Circuit elect ric
A M L L
B K G 1
c
X Z Θ Q

Pentru ecuațiile diferențiale (1.1), (1.2) și (1.3), termenii prezentați în tabelul 1.1 au
următoarele semnificații:

– Pentru resort:
m – masa;
k – constanta elastică;
z – coordonata, în sensul mișcării;
– Pentru pendul:
l – lungimea;
g – accelerația gravitațională;
Θ – unghiul de deviație;
– Pentru oscilații electrice:
L – inductanța;
C – capacitatea;
q – sarcina electrică.
În concluzie, pentru exemplul de mai sus, având în vedere faptul că cele trei
fenomene pot f i descrise de aceeași relație matematică, rezultă că unele pot fi studiate cu
ajutorul celorlalte.[2]

1.2 Modelul matematic

Modelul matematic este descrierea unor fenomene, sociale sau naturale, sau obiecte
naturale în care elementele fizice sunt înlocu ite cu elemente logice, de matematica formală în
vederea studierii fenomenului respectiv.
Modelul în general trebuie să oglindească proprietățile principale ale fenomenului sau
obiectului într -o formă simplificată. Un model concret general este foarte comp licat și chiar
imposibil de elaborat. Din acest motiv se folosesc modele simplificate, care reproduc doar
anumite aspecte ale realității. În acest fel în locul sistemelor, fenomenelor și obiectelor reale
se analizează un model mai mult sau mai puțin asemăn ător cu cel real și din comportarea
modelului se trag concluzii asupra funcționării întregului sistem real.
Modelul matematic trebuie să descrie în mod riguros sub forma unor reprezentări matematice
a relațiilor existente în sistemul respectiv, practic for malizând legile de comportare ale
sistemului. [1]

5
Modelul alcătuit trebuie să satisfacă două cerințe aflate mereu în conflict: să fie cât
mai complet și fidel. Alegerea corectă este posibilă doar prin aplicarea unor metode de
cuantificare, observații stati stice, teste, tehnici de măsurare, etc. La alegerea modelului
trebuie luate în considerare limitele calculelor de efectuat pe platforma de calcul dat (viteză
de calcul și memorie disponibilă).
Procedeul de simulare al unui sistem cuprinde mai multe etape:
1. Identificarea problemei. Formularea corectă și completă a problemei de rezolvat
trebuie făcută în termenii disciplinei date. Se face analiza sistemului de studiat: sistemul se
descompune în părți componente pentru a putea fi analizat în vederea înțelege rii naturii lui și
a trăsăturilor sale esențiale. În această etapă trebuie precizate ipotezele acceptate asupra
fenomenului și estimate mărimile și variabilele dominante ale sistemului, precum și
parametrii de intrare. Este o etapă foarte importantă, deoar ece aici se determină scopul
activității și precizările făcute aici influențează în mod hotărâtor rezultatele obținute în urma
simulării.
2. Formularea matematică a problemei (modelarea propriu -zisă). În cadrul acestei
etape se stabilesc relațiile de depen dență între diferitele mărimi determinate la punctul
precedent.
În marea majoritate a cazurilor se obțin ecuații diferențiale ordinare sau cu derivate parțiale,
asupra cărora se impun condiții suplimentare (inițiale, la limită, etc.)
3. Rezolvarea probleme i matematice. Este cea mai importantă etapă a procesului de
simulare. Numai prin alegerea corectă a metodei de rezolvare și prin aplicarea corectă a
acesteia se pot obține rezultatele cerute și utile. În această etapă se alege limbajul de
programare utiliz at și se elaborează programul de simulare propriu -zis. Tot în această etapă se
testează și se verifică programul de simulare conceput. Ultima fază a acestei etape o
constituie efectuarea practică a simulării (rularea programului de simulare).
4. Validarea programului de simulare. În această etapă se confruntă rezultatele
obținute cu ajutorul programului de simulare cu cele obținute experimental, luând în
considerare atât erorile de măsurare, cât și precizia metodelor de rezolvare matematice
utilizate. Cea m ai simplă și sigură cale de validare este testarea programului pe un caz
particular, la care soluția este cunoscută. Testarea este eficientă dacă se parcurg toate
ramurile și se solicit toate sub rutinele programului.
5. Analiza și interpretarea rezultatelor. Această etapă constă în colecționarea datelor
simulate și prelucrarea lor. Rezultatele simulării pot fi obținute sub formă de tabele,
histograme,
reprezentări grafice, etc. Datele obținute pot fi prelucrate și statistic (de exem plu se pot
efectua teste de semnificație, etc.). Elaborarea programelor de simulare a sistemelor
electromecanice este de fapt faza de implementare a modelului matematic pe calculator.
Principalele cerințe impuse programelor de simulare sunt:
• să aibă o in terfață prietenoasă cu utilizatorul.
• să aibă posibilități de modelare multi -nivel (de exemplu mașina electrica și sarcina
sa sunt caracterizate cu ajutorul ecuațiilor diferențiale formulate în termenii variabilelor de
stare, iar sistemele lor de control sunt descrise prin funcții de transfer sau funcții logice). Un
program de simulare bun trebuie să permită fiecărui bloc să fie descris în modul cel mai
avantajos.
• să poată acoperi un larg domeniu de timpi de simulare, având în vedere că în general
în sis temele modelate sunt atât variabile cu variații rapide, cât și variabile cu modificare lentă,
datorate unor constante mari de timp.
• să permită utilizatorului să stabilească ușor condițiile inițiale.
• parametrii sistemului să fie cât mai ușor de modifica t, eventual chiar în timpul
simulărilor, conferind astfel o trăsătură generală programului

6
Precum s -a mai precizat, la baza simulărilor stau ecuațiile diferențiale și algebrice,
care descriu funcționarea sistemului. Programele de simulare se deosebesc în p rimul rând
prin modul în care rezolva aceste ecuațiile care descriu sistemul studiat. Astfel programele
moderne de simulare se împart în două mari categorii la nivelul interfeței cu utilizatorul:
programe de rezolvare de ecuații și programe orientate spre circuit.Programele de rezolvare
de ecuații sunt foarte utile în multe probleme de simulare, atât în electronica de putere, cât și
în domeniul mașinilor electrice. Sistemul simplificat poate fi descris prin variabile de stare.
Ecuațiile de stare se pot rezo lva fie folosind un limbaj de nivel înalt (Fortran, C sau
Pascal), fie cu ajutorul unor medii avansate de calcul (matlab, labview, simnon, acsl sau
matrixx).
În cazul în care s -a optat pentru utilizarea unui limbaj general de programe de nivel
înalt trebu ie alcătuită o schemă logică detaliată, explicată, care să conțină toate ecuațiile
matematice într -o formă extinsă [3].

1.3 Programe de simulare

Există programe speciale destinate simulării. În zilele noastre cel mai răspândit dintre
acestea, atât în me diile academice, cât și în cele industriale, este SIMULINK. Această
interfață grafică a mediului MATLAB este destinată în mod special simulării sistemelor
dinamice.
Programele orientate spre circuit dezvoltă chiar ele ecuațiile sistemului din
informațiile primite de la utilizator. Utilizatorul în acest caz trebuie să furnizeze programului
doar interconectările dintre modelele elementelor de circuit. Condițiile inițiale se stabilesc de
asemenea foarte rapid. Există posibilitatea de a putea face foarte ușor s chimbări în topologia
circuitului.
Programele bune orientate spre circuit sunt multi -nivel, ceea ce înseamnă că pe lângă
descrierea orientată spre circuit a controlerelor, permit încorporarea modelelor sistemelor,
definite de utilizator pe baza ecuațiilor diferențiale. Există multe programe orientate spre
circuit. O parte dintre acestea sunt dedicate simulării circuitelor electronice (cel mai răspândit
fiind SPICE), sau a rețelelor electrice (EMPT).
Pe lângă acestea au apărut pe piață programe orientate sp re circuit destinate în special
simulărilor din domeniul electronicii de putere și al acționărilor electrice (SIMPLORER sau
CASPOC).
Aceste programe se deosebesc între ele prin calitatea interfeței cu utilizatorul,
metodele de integrare numerică oferite p entru rezolvarea ecuațiilor diferențiale, modul de
tratare a neliniarităților, alegerea pasului de integrare, ușurința cu care se pot încorpora
controlerele și
modelele externe pentru simulările avansate de tip multi -nivel sau modul de tratare al
comutatoa relor electronice. [4]

1.4. Simularea sistemelor electromecanice

Sistemele electromecanice prezintă o serie de particularități care trebuie luate în
considerare pe timpul simulării.
În sistemele electromecanice, formate din sisteme electrice de acționare și sistemul
acționat propriu -zis, energia care este preluată de la sursă și transferată procesului tehnologic
poate suferi trei tipuri de conversie:

7
A parametrilor energiei electrice, în convertoarele cu elemente semiconductoare
plasate între reț eaua industrială (sursă) și mașina electrică. Convertoarele electronice nu
schimbă natura energiei, ci doar parametrii ei (formă, frecvență , valoare medie, valoare
efectivă, etc.).
Electromecanică, efectuată de mașina electrică de acționare. Mașinile elec trice din
sistemele electromecanice funcționează cu preponderență în regim de motor, absorbind
energie electrică și furnizând energie mecanică mașinii de lucru.
A parametrilor energiei mecanice, în transmisia situată între motorul electric și mașina
de luc ru acționată. Acolo unde procesul tehnologic reclamă parametri ai energiei mecanice
diferiți de cei pe care mașina electrică poate să -i asigure în mod economic, conversia
parametrilor mecanici este efectuată de transmisia plasată între motor și mașina de l ucru.
Această transmisie poate lipsi în cazul cuplării directe, dar poate fi și foarte complexă,
când se modifică felul mișcării (conversie rotație – translație, etc.).
În ciuda marii diversități a proceselor tehnologice care consumă energie mecanică
furni zată de motorul de acționare, caracterizarea mașinilor de lucru la nivelul arborelui
motorului (sau a părții mobile în mișcare de translație la mașinile liniare) se face satisfăcător
printr -un set restrâns de parametri: cuplu, viteză unghiulară, poziție un ghiulară, moment de
inerție echivalent, diagrame de drum, etc.
Studiul sistemelor electromecanice are o vechime de aproape un secol, ceea ce a
permis maturizarea metodelor de analiză și a influențat procedeele de lucru și în domeniile
adiacente. Din acea stă perspectivă istorică, modelarea sistemelor electromecanice prezintă un
interes deosebit pentru toți specialiștii care lucrează în acest domeniu. [8]

8

CAPITOLUL II
ASPECTE TEORETICE CU PRIVIRE LA TRANSFERUL DE CĂLDURĂ

Transferul de căldură, unul din cele mai comune schimburi energetice, intervine în
mod natural între două sisteme aflate în contact direct sau indirect, caracterizate de
temperaturi diferite.
La baza studiului transferului de căldură se găsesc conceptele de „cantitate de
căldură” și „diferență de temperatură”, acestea fiind definite în Principiile Termodinamicii, și
anume:
– echivalența căldurii și a lucrului mecanic ca forme particulare de energie (primul
principiu al Termodinamicii);
– măsura dezechili brului termic relativ la douăsisteme prin diferența lor de
temperatură, valoarea acestei diferențe caracterizând sensul și intensitatea energiei calorice
transferate (principiul al doilea al Termodinamicii).
Se dezvoltă astfel o nouă disciplină, independe ntă, „Transferul Termic”, ce vine în
completarea Termodinamicii în forma clasică, prin neglijarea mecanismelor de schimb,
limitându -se doar la studiul stărilor de echilibru.
Multe operatii din ingineria chimica si din alte domenii cum ar fi: incalzirea, racirea,
evaporarea, condensarea, uscarea, distilarea, rectificarea, cristalizarea si altele presupun
asigurarea unui anumit regim termic in utilajele in care se realizeaza aceste operatii si care
necesita introducerea , evacuarea sau pastrarea caldurii in aceste utilaje.
Fenomenele legate de caldura pot fi procesele de transformare a energiei – obiectul
termodinamicii sau procesele de schimb de caldura – obiectul transferului de caldura sau al
termocineticii.
Transferul de caldura este un capitol al ing ineriei proceselor care cuprinde ansamblul
de consideratii fizice (teoretice si experimentale) si tehnice care au ca obiectiv explicarea
mecanismelor prin care se realizeaza transportul caldurii, cat si determinarea cantitativa a
caldurii transportate.
Transferul de caldura in interiorul unui corp sau de la un corp la altul este conditionat
de o diferenta de temperatura care reprezinta forta motoare sau potentialul procesului .
Conform principiului I al termodinamicii doua corpuri pot schimba intre ele ca ldura
pana la atingerea echilibrului termic, adica pana la egalarea temperaturilor corpurilor .
Principiul II al termodinamicii arata ca transformarile spontane in sisteme finite se
desfasoara in sensul cresterii entropiei sistemului (dS>0), ceea ce insea mna ca in astfel de
sisteme caldura trece spontan de la corpul mai cald la cel mai rece.

Se cunosc trei mecanisme de transmitere a caldurii:
• Transmiterea prin conducție , caracterizată prin lipsa mișcărilor macroscopice. Este
modul curent de transmitere a căldurii în corpurile solide și se bazează pe mișcările
moleculare.
• Transmiterea prin convecție , caracterizată prin existența mișcărilor macroscopice de
curgere. Este modul curent de transmitere a căldurii în corpurile lichide și gazoase,
inclusiv la limitele lor, la contactul cu alte faze. În funcție de natura mișcărilor
macroscopice convecția poate fi:

9
o Convecție liberă , caracterizată prin faptul că mișcările se fac sub acțiunea
forțelor arhime dice, determinate de diferențe de densitate.
o Convecție forțată , caracterizată prin faptul că mișcările se fac sub acțiunea
altor forțe.
• Transmiterea prin radiați e, caracterizată prin transferul termic prin radiație
electromagnetică din gama infraroșu. Acest transfer se poate face in vid sau în medii
optice transparente la radiația infraroșie.[7]
2.1. Conducția termică

Conducția termică poate fi văzută ca transferul de energie de la particulele cu energie mai
ridicată,aparținând corpului sau regiunii cu temperatură mai ridicată, către particulele cu
energie mai coborâtă, aparținând corpului sau regiunii cu temperatură mai scăzută.
Transf erul propriu zis se realizează prin interacțiunea dintre particule.
Mecanismul fizic al procesului de conducție termică a fost redat considerându -se
modelul gazului macroscopic staționar, prezentând un gradient de temperatură, situat între
două plăci de te mperaturi diferite. [5]

Fig. 2.1. Mecanismul de conducție termică sau transferul de energie prin difuzie
moleculară

Temperatura în orice punct din spațiu este asociată cu energia cinetică a mișcării
haotice de translație, precum și a mișcărilor de rotație internă și de vibrație a moleculelor de
gaz. Prin ciocnirile elastice între moleculele vecine se transferă energie cinetică din aproape
în aproape, de la moleculele cu energie mai mare la moleculele cu energie mai mică, în
modul acest a, macroscopic, transferul net de energie apărând în direcția descreșterii
temperaturii.
La lichide – mecanismul fizic este mult asemănător – moleculele fiind mai apropiate
în spațiu iar interacțiunile moleculare mai puternice și mai frecvente.
La solide – conducția este atribuită activității moleculare sub forma vibrației termice a
rețelei cristaline; ea este singurul mecanism de transfer de căldură caracteristic corpurilor
solide opace.
Legea fundamentală a transferului de energie termică prin conducție a fost propusă în
1822 de FOURIER, fapt pentru care -i poartă numele. Există o relație liniară între densitatea
fluxului termic și gradientul de temperatură: „în toate punctele unui mediu izotrop, densitatea
fluxului termic instantaneu este proporțională cu conductivitatea termică, λ, a mediului și cu
gradientul de temperatură”. [5]
q = −λ∙ gradt ( 2.1)

10

Fig. 2.2. Legea lui Fourier

Forma cea mai simplă a legii lui Fourier este cea scrisă pentru cazul unui corp solid plan cu
proprietăți constante,

qs=λ∆t
δ=λt1−t2
δ (2.2)

ea putând fi frecvent utilizată în aprecierea transferului global de energie termică prin
conducție, atunci când se cunosc diferența de temperatură dintre granițele corpului studiat și
dimensiunea corpului pe direcția fluxului de căldură.

2.2. Radiația termică

Fie spontan, fie în cursul interacțiunilor mutuale, atomii, moleculele și electroni i liberi
ai corpurilor pot pierde o parte din energia lor cinetică prin emisie de radiație
electromagnetică. Reciproc, atunci când o anumită radiație este primită la suprafața unui
corp, o parte este absorbită de corp și se regăsește în energie cinetică a componentelor sale,
adică sub formă de căldură.
Radiația termică este modul de transfer de căldură în care energia este emisă de
corpuri având o temperatură finită, particularitatea principală fiind aceea că nu necesită
prezența unui mediu intermediar de transport – cel mai eficient transfer radiativ
desfășurându -se în vid.
Fenomenul are dublu sens: un corp radiază energie, dar totodată absoarbe energia
emisă sau reflectată de corpurile înconjurătoare. La corpurile solide și lichide, transformarea
energiei electromagnetice în energie termică are loc în straturile superf iciale, iar la corpurile
gazoase în volum.
Energia câmpului de radiație este transportată sub formă de unde electromagnetice și
provine din energia internă a materiei emițătoare. Radiațiile termice, cu lungime de undă
cuprinsă între 0,1 și 100 μm, respectă aceleași legi ca și radiațiile luminoase: se propagă în
linie dreaptă, se reflectă, se refractă și se absorb.
Legea de bază a transferului de căldură prin radiație a fost stabilită experimental de
Stefan în 1879 și teoretic de Boltzmann în 1884, purtând a stfel numele de „legea Stefan –
Boltzmann”.
Ea exprimă densitatea de flux termic maximă ce poate fi emisă de o suprafață,
suprafață numită corp negru :

qs=σ0T4 (2.3)

11

„densitatea de flux emisă pe unitatea de suprafață a unui corp negru este direct proporțională
cu puterea a patra a temp eraturii absolute ”.
Se introduce astfel constanta lui Stefan -Boltzmann, ca fiind σ0=5,67·10 -8 [W/m2K4].
Este convenabil, uneori, să se exprime transferul de energie radiantă într -un mod
similar convecției:

qs,r = α r(Ts-Text) (2.4)
cu α r= ε σ0 (Ts+Text) (T4s+T4ext) – coeficient de transfer de căldură prin radiație, [W/m2K].
Coeficientul „ ε” care intervine în relația de definiție a coeficientului de transfer de
căldură prin radiație este numit emisivitate sau factor de emisie , acesta reprezentând cât de
eficientă este emisia suprafeței comparativ cu un corp negru absolut, luând valori cuprin se
între 0 și 1.

2.3. Convecția termică:

Atunci când un fluid izoterm este în mișcare, el antrenează forțe de presiune și de
frecare ce se pot percepe, parțial, vizual sau senzitiv. În curgerea anizotermă, mișcarea este
însoțită de transfer de căldură – fenomen numit convecție termică sau termoconvecție .
Pentru curgerile clasice se face o diferențiere care are la bază cauza generatoare a curgerii și
care are repercusiuni în întreaga structură:
– dacă mișcarea fluidului are origine mecanică – fenomenul este denumit „ convecție
forțată ”;
– se poate întâmpla ca gradienții de densitate generați în fluid de către gradientul de
temperatură să fie suficienți de mari pentru ca acțiunea câmpului de gravitație să dea
naștere unei mișcări; originea fenomenu lui este de natură termică, putându -se vorbi de
„convecție liberă ” sau „ naturală ”;
– coexistența cauzelor mecanice și termice conduc la apariția regimului de „ convecție
mixtă ”.
Legea de bază a transferului prin convecție, propusă de NEWTON în 1701, permite
calculul densității de flux de căldură între un fluid și o suprafață, de temperaturi tf, respectiv,
ts:

qs =α|ts − tf |=α |Ts –Tf| (2.5)
intro ducând un parametru de proporționalitate, similar unei conductanțe termice, numit
„coeficient de convecție ” sau „ conductanță de film ”.
Convecția căldurii reprezintă mișcarea naturală a căldurii; acest tip de transfer se
aplică gazelor ori fluidelor. După c um sigur ați observat în propria locuință, aerul cald, mai
puțin dens, are tendința de a se ridica, iar cel rece de a coborî. Acest principiu este ilustrat,
bunăoară, de funcționarea unui cuptor, unde aerul este încălzit de arzător, pentru a urca apoi
în partea superioară a cuptorului, unde se răcește, coboară iarăși, iar ciclul continuă până când
mâncarea este gata.

12

Fig. 2.3. Mi șcarea aerului

Convecția este cea care coordonează mișcarea unui lichid într -un ibric, de pildă. În
timp ce flacăra aragazului acționează asupra fundului ibricului, apa se încălzește, agitația
internă devine vizibilă cu ochiul liber și crește în volum, în timp ce apa mai rece și mai densă
de la suprafață coboară, urmând același ciclu pe care l -am descris mai sus în cazu l aerului din
interiorul unui cuptor. [6]

Fig.2.4. Apa într -un vas încălzit

În convecția forțată deplasarea și amestecarea fluidului este rezultatul unei forțe
exterioare transmisă fluidului printr -un mijloc mecanic cum ar fi o pompă, un ventilator, un
agitator, etc.
În convecția liberă căldură este transferată cu fluidul care se deplasează că rezultat al
unei diferențe de densitate în masă fluidului, care apare că o consecință a unei diferențe de
temperatură.
În funcție de cauza care determină deplasarea fluidului, convecția poate fi liberă
(naturală) sau forțată. Altfel spus un fluid în mișcare transporta cu șine o cantitate de căldură.
Convecția este mecanismul de transfer în interiorul aceleiași faze sau între fază
diferite, care se realizează că efect al deplasării și amestecării macroscopice a fluidului
Convecția forța tă asigurând viteze mai mari de deplasare a fluidului este mult mai
intensă decât convecția liberă. [6]

13

Tabelul 2.1. Sinteza proceselor de transfer de căldură

Mod transfer Mecanism fizic Ecuație caracteristică Proprietate de
transport introdusă
Conducție Difuzie de energie prin
mișcarea haotică a
particulelor
𝑞⃗=−𝜆∙𝑔𝑟𝑎𝑑𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Conductivitatea
termică, 𝜆[w/mK]
Convecție Difuzie de energie prin
mișcarea haotică a
particulelor si miscarea
de ansamblu q =α |Ts – Tf| ‚coeficient de
convecție” sau
„conductanță de film”
α, [W/m 2K]

Radia ție

Energie transportata
sub forma de unde
electromagnetice
Qs=𝜎0T4 constanta lui Stefan –
Boltzmann
σ0=5,67⋅10-8
[W/m 2K4]

Qs,r=αr(Ts-Text) coeficient de transfer
de căldură prin radiație
αr= ε σ0 (Ts+Text)
(T4s+T4ext)

2.4. Conductivitatea termic ă
În transferul de căldură, un rol important îl au proprietățile termofizice ale materiei, ce pot
fi proprietăți de transport (conductivitatea termică, λ, viscozitatea cinematică, ν, coeficientul
de difuziune, D) sau proprietăți termodinamice (densitatea, ρ, căldura specifică, c).
Conductivitatea termică – este definită ca proprietate de transport ce indică eficiența
transferului de energie prin procesul de conducție (difuzie termică), ce depinde de structura
fizică a materiei și, implicit, de starea de agreg are a materiei.
Legea generală a lui Fourier formulată scalar sub forma:

𝑞𝑛=−𝜆∂t
∂n (2.6)

definește conductivitatea termică ca fiind:

𝜆=𝑞𝑛
∂t∂n⁄ (2.7)

cu valoare mai mare la un solid decât la un lichid și mai mare la un lichid decât la un gaz,
afirmație motivată în mare măsură de diferențele în spațiul intermolecular de la o stare de
agregare la alta.

– starea solidă

Un corp solid fiind format din electroni liberi și din atomi legați într -un aranjament
periodic numit rețea , transferul de energie termică se realizează atât prin migrația electronilor
liberi cât și prin undele de vibrație ale rețelei.

14
Conductivitatea termică poate fi astfel scrisă ca fiind suma a două componente: una
electronică λe și o componentă de rețea, λr:

λ=λe+λr (2.8)

De regulă, pentru corpurile solide se preferă o relație liniară pentru λ ca fiind funcție
de temperatură:

λ=λ0[1+ β(t-t0)] [W/m·K] (2.9)

β fiind un coeficient de temperatură, caracteristic fiecărui material. [5]

Materialele refractare sunt rezistente la temperaturi ridicate, peste 500oC, putând fi
metalice sau nemetalice.
În cazul materialelor de construcție, coeficientul de conductivitate termică λ depinde
destructura materialului, de densitate și de modul de prelucrare.

– starea lichidă

Conductivitatea termică descrește brusc la punctul de topire datorită degradării
struc turii corpului solid și a transferului fononic al căldurii prin oscilațiile rețelei cristaline.
Explicarea procesului fizic al conducției termice prin lichide este mai puțin clară,
apreciindu -se o oarecare legătură între conductivitatea termică și viteza s unetului în faza
lichidă ( λ=f(clich)).
Una din formulele propuse pentru calculul conductivității termice în lichide este:

λ=Acpρr4/3
M1/3 (2.10)

unde:

cp – căldura specifică a lichidului la presiune constantă, kJ/kg·K;
ρr – densitatea relativă a lichidului (față de apă), kg/m 3;
M – masa moleculară, kg/mol;
A – factor proporțional cu viteza de deplasare a undelor elastice în lichid.

– starea gazoasă

Pe baza teoriei cinetice a gazelor, pentru condiții izentropice, de echilibru, conductivitatea
termică a gazelor este:

λ=1
3ρw̅̅̅̅l̅cv=ηcv (2.11)

unde:

cv – căldura specifică la volum constant, kJ/kg·K;
η – viscozitatea dinamică, N·s/m2.
În realitate, gazele sunt tratate ca medii cu o comportare care diferă de condițiile la
echilibru. [5]

15

Pentru a particulariza ecuațiile diferențiale ce descriu categorii largi de fenomene, se
procedează la alipirea de acestea a unui set de elemente descriptive specifice procesului
analizat – elemente numite condiții de determinare univocă a procesului . Aces te condiții pot
fi:
Condiții geometrice – reprezentate de forma geometrică și dimensiunile corpului în care
are loc procesul;
Condiții fizice – stabilesc valorile proprietăților termofizice ale corpului precum și
variația acestora în spațiu sau funcție de alt parametru. Acest tip de condiții precizează, de
asemenea, variația în timp și spațiu a surselor interioare de căldură.
Condiții inițiale – se referă la distribuția temperaturii în interiorul corpului la momentul
inițial, τ=0.
Condițiile la limită sau d e contur – definesc legătura corpului considerat cu mediul
înconjurător.Determinarea univocă a distribuției de temperatură din corp implică precizarea a
două condiții la limită, fapt impus de prezența derivatelor spațiale de ordinul doi în ecuația
diferenț ială a conducției.
– Condiția la limită de primul tip (condiția Dirichlet) – precizează distribuția
temperaturii la suprafața corpului în fiecare moment de timp, τ .Caracteristică:
condiție greu de realizat experimental dar, în general, cea mai implu de util izat în
calculele teoretice.
– Condiția la limită de al doilea tip (condiția Neumann) – stabilește valoarea fluxului
termic la suprafața corpului pentru orice moment de timp, τ.
– Condiția la limită de al treilea tip (condiția Fourier) – leagă transferul conve ctiv în
perete cu transferul convectiv în fluid printr -un coeficient de schimb. Ea se exprimă
prin egalitatea fluxurilor la interfață coeficientul de schimb fiind considerat cunoscut.
– Condiția la limită de al patrulea tip (cuplajul conducție -convecție) . Denumirea de
„condiție de al patrulea tip” specifică simultan o generalizare și o formulare fizică a
condiției de tipul al treilea, ceea ce conduce, firesc, la noțiunea de cuplaj între
conducție și convecție. Față de condiția la limit ă precedentă, când coeficientul de
schimb este fixat iar temperaturile t s și t 0 sunt considerate uniforme, în acest caz se
admite că temperatura t s și coeficientul α sunt guvernate de structura curgerii, ceea ce
indică în particular dependența de coordonat ă. [5]

2.5. Ecuația generală diferențială a conducției

Unul dintre obiectivele analizei transferului de căldură și deci și al studiului
conducției termice îl reprezintă determinarea câmpului de temperatură, fluxurile de căldură
putându -se mai apoi calcula aplicând legea lui Fourier.
Algoritmul de determinare a ecuației diferențiale a conducției se bazează pe aplicarea
legii conservării energiei pentru un element de volum infinitezimal. Mediul se consideră
solid, cu proprietăți constante pe toate dir ecțiile, sursele interne de căldură fiind uniform
distribuite. Prin suprafețele elementului de volum dV=dx·dy·dz are loc transfer de căldură
prin conducție. Fluxurile termice normale pe suprafețe au expresiile matematice date de legea
lui Fourier:

δQx=−λx∂t
∂x𝑑𝑦𝑑𝑧 [W] δQy=−λy∂t
∂y𝑑𝑥𝑑𝑧 [W] δQz=−λz∂t
∂z𝑑𝑥𝑑𝑦 [W]
(2.12)

16

cu λx, λy, λz coeficienții de conductivitate termică pe direcțiile x, y, z, în [W/m·K]. [5]

Fig. 2.6. Conducția termică printr -un element de volum elementar dV în coordonate
carteziene

Căldura primită de elementul de volum este:

δQ′=δQ′x+δQ′y+δQ′z=−( λx∂t
∂x𝑑𝑦𝑑𝑧+ λy∂t
∂y𝑑𝑥𝑑𝑧 + λz∂t
∂z𝑑𝑥𝑑𝑦 )
(2.13)

Căldura cedată:

δQ′′=δQ′′x+δQ′′y+δQ′′z
(2.14)

2.6 Convecția termică

Convecția reprezintă modul de transfer de căldură sau masă între o suprafață și un
fluid aflat în mișcare peste suprafața respectivă. Cel mai adesea interfața este între fluid și
solid, existând însă și situații când interfața este situată între două fluide.
Fluxul termic unitar de suprafață qs se exprimă prin legea de răcire a lui Newton sub
forma produsului între o propriet ate a sistemului ( α) și forța care generează procesul
(diferență de temperatură ↔ diferență de potențial termic):
Definirea în acest mod simplist a unui mecanism de transfer în esență complicat
conferă coeficientului de transfer de căldură prin convecție, α, proprietatea de a îngloba toți
factorii care determină procesul.
Analog convecției termice, pentru convecția masică fluxul masic unitar n A,s se
exprimă prin produsul dintre un coeficient și forța generatoare de transfer (diferență de
concentrație):

nA,s= α m(CA,s-CA,f) (2.15)
↓

17
coeficient de transfer de masă prin convecție ce caracterizează sistemul din punct de vedere
dinamic.
Scopul studiului proceselor de convecție → furnizarea de metode și expresii de calcul
pentru fluxurile termice și de masă, ceea ce implică cunoașterea valorilor coeficienților de
convecție α și αm.
De obicei, se face distincția a două forme ale fenomenului de convecție:
– convecție liberă (naturală) – mișcarea fluidului este datorată acțiunii simultane a
diferențelor de temperatură care există în fluid și a unui câmp de forțe masice;
– convecție forțată – fluidul este pus în mișcare prin mijloace ex terne (pompe,
ventilatoare, vânt, etc.)
Transferul convectiv de energie termică se numește convecție termică iar cel de masă,
convecție masică. [5]

18

CAPITOLUL III
MODELE MATEMATICE UTILIZATE LA TRANSFERUL DE C ĂLDURĂ LA
CONDENSARE

3.1 Condensare și regimuri de curgere

Transferul de căldură pe o suprafață are loc prin condensare atunci când
temperatura suprafeței este mai mică decât temperatura de saturație a unui vapor
adiacent. Condensarea este procesul termodinamic prin care agentul frigorific își schimbă
starea de agregare din vapori în lichid, cedând căldură sursei calde, reprezentate de aerul sau
apa de răcire a condensatorului. Condensarea realizează efectul util în pompele de căldură.
Uneori răcirea condensatorului este realizată mixt, de aer și apă împreună. .[10]
Condensarea este procesul prin care vaporii saturați sunt transfor mați în lichid
saturat. Procesul, ca și cel de fierbere, este izobar și izoterm. În tehnică condensarea se
realizează prin contactul vaporilor cu o suprafață rece (figura 3.1a, b). Acest tip de
condensare poartă numele de condensare pe suprafață . Condensarea se poate realiza și î n
volumul vaporilor prin scăderea presiunii acestora, formându -se o ceață (figura 3.1c). Se
poate obține de asemenea condensarea vaporilor prin contactul acestora cu picături reci de
fluid sau barbotarea vaporilor printr -o masă de lichid rece (figura 3.1d) . [11]

Fig. 3.1. Moduri de realizare a condensării
a) peliculară pe suprafață; b) nucleică pe
suprafață; c) omogenă prin scăderea presiunii;
d) prin contact direct

19
Condensarea de suprafață poate fi: peliculară sau nucleică. La condens area peliculară
pe suprafața de schimb de căldură se formează o peliculă de condensat care curge laminar sau
turbulent sub acțiunea forței gravitației. În cazul condensării nucleice pe suprafața de schimb
de căldură se formează picături de condensat. Condensarea pelicular ă apare la fluidele care
udă suprafața de schimb de căldură, iar cea nucleică la fluidele care nu udă suprafață de
schimb de căldură.[11]

3.2. Condensarea peliculară

La condensarea peliculară pe un perete vertical curgerea condensatului în peliculă
poate fi (fig. 3.2) :
– laminară cu suprafața plană a peliculei;
– laminară cu suprafață ondulată a peliculei;
– turbulentă.
Elementul care caracterizează tipul curgerii este criteriul Reynolds:

Fig. 3.2. Curgerea fluidului prin peliculă

Valorile limită ale lui Reynolds, cel mai des întâlnite în literatură sunt:

– Re  30 pentru limita între curgerea laminară plană și ondulată;
– Re  (1600…1800) pentru curgerea turbulentă.

Una dintre primele relații propuse prin tratarea ecuațiilor stratului limită este datorată lui
Nusselt , care a făcut următoarele ipoteze simplificatoare:

– temperatura la suprafața peliculei este constantă și egală cu temperatura de saturație Ts;
– temperatura peretelui este constantă în lungul peretelui, Tp;
– curgerea lichidului în peliculă este laminară;
– frecarea între faza lichidă și gazoasă se neglij ează, pelicula având o suprafață plană;
– caracteristicile fizice ale condensatului nu depind de temperatură;

20
– forțele de inerție în peliculă sunt neglijabile față de forțele de frecare și de greutate;
– densitatea vaporilor este mică față de densitatea c ondensatului;
– se neglijează transferul de căldură convectiv în peliculă și conductiv în lungul ei, luându -se
în considerare numai schimbul de căldură conductiv transversal (perpendicular pe perete).
[11]

Fig.3.3. Stratul de condensat în ipoteza lui Nu sselt

În ipotezele făcute ecuațiile diferențiale pentru pelicula de condensat sunt:

• ecuația conducției unidirecționale : d2T/dy2=0 (3.1)
• ecuația mișcării: l=d2wx/dy2(g+ρl -ρv)=0 (3.2)

Condițiile la limită vor fi:

– la y = 0 , T = Tp și wx = 0
– la y =  , T = Ts și dy/dwx = 0 (din ipoteza că frecarea cu faza lichidă este neglijabilă s =
 (dwx /dy ) = 0)

Din ecuația conducției, prin integrare rezultă:

dt/dy = C 1 si T=C 1y+C 2 (3.3)

Punând condițiile la limită obținem: C 2=Tp; C1= (T s-Tp)/ρ (3.4)

Atunci: dT/dy =(T s-Tp)/ρ (3.5)

Coeficientul de convecție va fi: α=qs
Ts−Tp=λldT
dy
Ts−Tp=λlTs−Tp
δ
Ts−Tp (3.6)

21
Deci: α=λl
δ
(3.7)

Studiile lui Sparow, Chen și Labunțov au evidențiat că ecuația lui Nusselt dă
rezultate bune (eroare sub 3%) pentru valori a le criteriului Jakob Ja≤0,1(Ja=Cp∆T/r)
1≤Pr≤100.
Pentru a ține seama de variația proprietăților fizice ale fluidului cu temperatura în
pelicula de condensat și de ondularea peliculei, Miheev recomandă relația:

 =  ()

unde: t este corecția pentru variația temperaturii în pelicula de condensat; 0 – corecția pentru
ondularea pelicul ei.

Se recomandă:

εt=[(λp
λs)3ηs
ηp]1/8 (3.9)

𝜀0=(𝑅𝑒𝑠
4)0,04 (3.10)

În cazul țevilor înclinate cu unghiul  față de orizontală se va introduce o corecție
suplimentară : 𝜀𝜓=(𝑠𝑖𝑛𝜓)1/4 (3.11)
Pentru condensarea pe țevi oriz ontale Nusselt propune relația: α=
0,725[λ3lρlg(ρl−ρv)
DηlΔT]1/4 (3.12)
unde D este diametrul țevii.

În cazul curgerii turbulente a peliculei de condensat pe un perete vertical, cu Re >
1600 sau Z > 2300, Labunțov recoman dă relația:

Re=𝛼Δ𝑇ℎ𝐵=[253+0.069(𝑃𝑟𝑠
𝑃𝑟𝑝)0,25𝑃𝑟𝑠0,5(𝑍−2300)]4/3 (3.13)
Notațiile sunt aceleași ca la curgerea laminară a peliculei de condensat.

Relațiile prezentate în paragrafele anterioare sunt valabile pentru condensarea
vaporilor în repaus sau pentru viteze mici ale vaporilor. La viteze mari ale aburului apare o
interacțiune dinamică între abur și pelicula de condensat. Dacă aburul are aceeași direcție de
curgere cu pelicula acesta produce o mărire a vitezei de curgere în peliculă, o micșorare a
grosimii acesteia și o intensificare în consecința a transferului de căldură.
La o curgere a vaporilor de jos în sus, viteza de curgere în peliculă es te frânată și
coeficientul de convecție scade. La viteze mai mari însă se rup picături din peliculă și
grosimea acesteia scăzând, coeficientul de convecție crește. Pentru luarea în considerare a
vitezei vaporilor la condensarea pe țevi și suprafețe vertica le, se poate utiliza relația:

𝑁𝑢=𝛼ℎ
𝜆=√2
3(𝜌𝑤𝑣ℎ
𝜂)0,52+(1+𝑀)0,5
[1+(1+𝑀)0,5]0,5 (3.14)

22
Unde: M = 16gh𝜂𝑟
𝑊𝑤𝜆(𝑇𝑠−𝑇𝑝) (3.15)
în care: , ,  sunt densitate, viscozitatea dinamică și conductivitatea condensatului, ww –
viteza vaporilor; h – înălțimea țevii.
Dacă vaporii condensează în prezența unor gaze necondensabile, moleculele de vapori
antrenează și pe cele de gaz în mișcarea lor spre pelicu la de condensat.
Gazele necondensabile se acumulează la suprafața peliculei de condensat formând un
film de gaz. Se creează o barieră prin care vaporii trebuie să treacă pentru a ajunge la
peliculă.

Fig.3.4. Condensarea în prezența gazelor necondensabil e

Filmul de gaz incondensabil creează o rezistență termică suplimentară importantă,
înrăutățind transferul de căldură. Așa cum rezultă din figura 3.4, 10% gaz necondensabil (aer)
în vaporii de apă reduc coeficientul de convecție la condensare cu mai mult de 50%.
Din aceste motive în toate condensatoarele de vapori trebuiesc luate măsuri speciale
pentru eliminarea aerului sau altor gaze necondensabile din aparat.
În cazul în care vaporii curg prin țevi verticale de sus în jos se calculează:
𝜓=𝜌𝑣
𝜌𝑙(𝜐𝑣
𝜐𝑙)2𝑅𝑒𝜐2
𝐺𝑎𝑙2/3𝑅𝑒𝑙𝑥−0.28 (3.16)

Unde:

𝑅𝑒𝜐=𝑤𝑣𝑑
𝜐𝑣;𝐺𝑎𝑙=𝑔𝑑3
𝑣𝑙2;𝑅𝑒𝑙𝑥=𝑞𝑠𝑥
𝑟𝜂𝑙 (3.17)

23
Dacă   35 influența vitezei aburului este neglijabilă. În caz contrar raportul între
coeficienții locali de convecție cu luarea și fără luarea în considerare a vitezei aburului este:

𝛼𝑥
𝛼𝑥𝑟=√0.005𝜓+√(0,005𝜓)2+1 (3.18)
În cazul condensării prin țevi orizontale, structura curgerii și transferul de căldură depind de
viteza vaporilor. Pentru valori limitate ale acesteia:

𝑅𝑒𝑣=𝜌𝑣𝑤𝑣𝑑𝑖
𝜂𝑣<3500 (3.19)
Pelicula de vapori se îngroașa la partea inferioară umplând o mare parte din partea inferioară
a țevii . La viteze ma ri a vaporilor curgerea devine inelară, grosimea peliculei fiind uniformă
pe periferia țevii.

Fig. 3.5. Efectul prezenței aerului asupra transferului de căldură la condensare

Dacă într -o țeavă răcită intră un debit G” de vapori cu viteza w,,, pe măsura
condensării unei părți a vaporilor debitul de vapori scade în lungul țevii și corespunzător se
micșorează și viteza sa, în schimb debitul de condensat G’ se mărește.
Particularit atea condensării în țevi o constituie interacțiunea dinamică între vapori și
pelicula de condensat. În țevile verticale la curgerea vaporilor de sus în jos, interacțiunea
dinamică a vaporilor și forța de greutate acționează în același sens. La țevile scurt e și pentru

24
viteze limitate ale vaporilor, pelicula se deplasează în special datorită forței de greutate,
influența vaporilor fiind neglijabilă.
În acest caz pentru determinarea coeficientului de convecție pot fi utilizate relațiile la
condensarea pe pere ți verticali. În cazul țevilor lungi, atunci când viteza vaporilor este
importantă, viteza condensatului în peliculă crește, grosimea peliculei se micșorează și
coeficientul de convecție crește. [11]
3.3. Condensatoare r ăcite cu aer

Procesul de condensare este reprezentat în figura 3.6 , unde se observă că în interiorul
țevilor are loc întâi răcirea vaporilor până la saturație, urmată apoi de transformarea vaporilor
în lichid, cantitatea de lichid crescând treptat spre ieșirea agentul ui frigorific din aparat.
Ultima porțiune a serpentinei este integral umplută de lichid.

Fig. 3.6. Procesul de condensare
Schema de principiu a unui condensator răcit cu aer, este prezentată în figurile 3.6 și
3.7. Agentul frigorific intră în aparat sub formă de vapori supraîncălziți (refulați de
compresor), și iese din acesta sub formă de lichid subrăcit.
Aerul la intrarea în condensator este rece, iar la ieșirea din acesta ( a.e.) devine cald,
deoarece în aparat preia căldura cedată de agentul frigorific. Presiunea agentului frigorific în
condensator, este considerată constantă și are valoarea presiunii de condensare pk. Această
ipoteză este corectă în condițiile în care se ne glijează pierderile de presiune din condensator,
datorate curgerii agentului frigorific, în condiții reale.

25

Fig. 3.7. Schema condensatorului racit cu aer

Evoluția procesului de condensare, în interiorul țevii din care este construită serpentina
condensatorului, este prezentată în figura 3.8.

Fig. 3.8 Evoluția procesului de condensare în țevi
1-vapori supraîncălziți; 2 -primele picături de lichid; 2’,2” -amestec de lichid și vapori saturați;
3-ultimele bule de vapori; 4 -lichid subrăcit

26
La intrarea în condensator (1), vaporii sunt supraîncălziți. Această stare, poate fi
considerată cea de refulare a vaporilor din compresor. În contact termic cu aerul rece,
temperatura vaporilor se reduce, așa cum se poate observa pe diagrama din figura 3 .8 , care
prezintă variația temperaturii celor doi agenți de lucru, în lungul suprafeței de transfer termic.
Procesul de răcire a vaporilor supraîncălziți, până la atingerea stării de saturație 1 -2,
este numit desupraîncălzire și pentru realizarea acestuia este necesară o suprafață de schimb
de căldură care reprezintă cca. 10 -20% din suprafața totală a condensatorului.
Condensarea propriu -zisă începe în momentul în care vaporii ajung la temperatura de
condensare tk, iar în țeavă apare prima picătură de lich id saturat (2). Din acest moment,
cantitatea de lichid din interiorul țevii crește continuu (2’, 2”), până când la sfârșitul
condensării, ultima bulă de vapori își schimbă și aceasta starea de agregare (3).
Pe toată durata procesului de condensare 2 -3, tem peratura rămâne constantă, iar
vaporii de agent frigorific sunt saturați și se găsesc în echilibru cu lichidul, care de asemenea
este saturat.
Pentru condensarea propriu -zisă, este utilizată aproximativ 60 -80% din suprafața
totală a condensatorului.
În ultima parte a condensatorului, lichidul obținut continuă să rămână în contact
termic cu aerul rece și astfel condensul va continua să cedeze căldură, ajungând ca la ieșirea
din aparat să fie ușor subrăcit. Pentru realizarea subrăcirii, procesul 3 -4, este utilizată cca. 10 –
20% din suprafața totală a condensatorului. [12]

Fig. 3.9. Regimul termic al condensatorului răcit cu aer

La intrarea în condensator, vaporii supraîncălziți (1) au temperatura de refulare tref,
iar la ieșire, condensul are o temperatură ceva mai redusă decât temperatura de condensare,
denumită temperatură de subrăcire tsr.
Regimul termic al condensatorului răcit cu aer este determinat de caracteristicile
constructive ale aparatului (materiale, dimensiuni geometrice, starea suprafețelor, etc.), de
regimul de curgere (debite, respectiv viteze de curgere), de amplasarea ventilatoarelor care
asigură circulația aerului, etc.

27
Calculul regimului termic al condensatorului răcit cu aer constă în determinarea
tuturor temperaturilor caracteristice. La proiectarea condensatoarelor, un obiectiv important
al calculului regimului termic, este determinarea temperaturii de condensare tk, care
reprezintă unul din parametrii interni de lucru ai instalaț iei.
Temperatura aerului la intrarea în condensator tai, este cunoscută, reprezentând cea
mai ridicată temperatură a aerului, pe timp de vară, în zona geografică în care va funcționa
condensatorul.
Temperatura aerului la ieșirea din condensator a fost nota tă, cu tae, iar variația
temperaturii aerului în condensator, sau gradul de încălzire a aerului, a fost notată cu Δtak.

Δtak = tae – tai [°C] (3.20)

Variația temperaturii aerului în condensator, are în cazul unor construcții uzuale și
condiții de lucru normale, valori în intervalul:

Δtak = 5…10°C (3.21)

Temperatura aerului, la ieșirea din condensator se poate determina cu relația:

tae = tai + Δtak [°C] (3.23)
tae = tai + 5…10 [°C] (3.24)

Diferența dintre temperatura de condensare și temperatura aerului la ieșirea din aparat,
este pentru construcții uzuale și condiții normale :

tk – tae = 5…10°C (3. 25)

Diferența totală de temperatură din condensator, este diferența dintre temperatura de
condensare și cea a aerului la i ntrare în acesta, iar în condițiile prezentate, se poate constata
că valorile normale pentru aceasta sunt:

Δttotk = tk – tai = 10…20°C (3.26)

Temperatura de cond ensare, se poate determina direct în funcție de temperatura la
intrarea în condensator și diferența totală de temperatură în condensator:

tk = tai + Δttotk [°C] (3.27)

tk = tai + 10…20 [°C] (3.28)

Presiunea de condensare pk, poate fi determinată ușor, dacă se cunoaște temperatura
de condensare, cu ajutorul diagramelor sau tabelelor termodinamice, corespunzătoare
agentului de lucru din instalație:

tk → pk (3.29)

Gradul de su brăcire a condensului Δtsr, reprezintă diferența dintre temperatura de
condensare și temperatura lichidului la ieșirea din condensator:

28

Δtsr = tk – tsr [°C] (3.30)

Valorile normale ale gradului de subrăcire, se încadrează în intervalul:

Δtsr = 4…7°C (3.31)

Temperatura de subrăcire, cea la care iese agentul frigorific lichid din condensator, se
poate calcula cu relația:

tsr = tk – Δtsr [°C] (3.32)

tsr = tk – 4…7 [° C] (3.33)

În figura 3.9 este prezentat un exemplu de regim termic normal, pentru un condensator răcit
cu aer, având o construcție uzuală și condiți i de lucru medii.

Fig. 3.10. Exemplu de regim termic al unui condensator răcit cu aer

3.4. Condensatoare răcite cu apă

Construcția unui condensator răcit cu apă este prezentată în figura 3.11, iar schema de
principiu a unui condensator răcit cu apă este prezentată în figura 3.12.
Agentul frigorific intră în aparat sub formă de vapori supraîncălziți (refulați de
compresor), și iese din acesta sub formă de lichid subrăcit .
Apa la intrarea în condensator este rece, iar la ieșirea din acesta devine caldă,
deoarece în aparat preia căldura cedată de agentul frigorific.
Presiunea agentului frigorific în condensator, este constantă și are valoarea presiunii
de condensare pk. [12]

29

Fig. 3.11 Construcția condensatorului răcit cu apă

Fig. 3.12 Schema condensatorului răcit cu apă

Evoluția procesului de condensare este prezentată în figura 3.13, de la intrarea
vaporilor supraîncălziți în condensator (1), până la ieșirea condensului ușor subrăcit (4) din
acesta.

30

Fig. 3.13. Evoluția procesului de condensare pe țevi

Spre deosebire de condensatoarele răcite cu aer, în cele răcite cu apă, condensarea se
realizează pelicular, pe suprafețele exterioare, reci, ale țevilor schimbătoare de căldură.
Pelicula de condens se formează pe primele rânduri de țevi și condensul curge de pe
țevile superioare pe cele inferioare, grosimea peliculei crescând treptat de sus în jos.
În figura 3.14 este redată o imagine 3D a modului în care se formează condensul, pe
suprafața exterioară a țevilor co ndensatoarelor răcite cu apă.

31

Fig. 3.14 Formarea condensului la exteriorul țevilor răcite cu apă
După intrarea în aparat, în contact termic cu apa rece, temperatura vaporilor
supraîncălziți se reduce, așa cum se poate observa pe diagrama din figura 3.14, care prezintă
variația temperaturii celor doi agenți de lucru, în lungul suprafeței de transfer termic.
Desupraîncălzirea 1 -2 se realizează pe primele țevi, din partea superioară a
condensatorului, pe o suprafață de schimb de căldură de cca. 1 0% din suprafața totală a
condensatorului.
Condensarea propriu -zisă începe în momentul în care vaporii ajung la temperatura de
condensare tk, moment în care apare pe țeavă prima picătură de lichid saturat (2). Din acest
moment, cantitatea de lichid formată la exteriorul țevii crește continuu (2’, 2”, 2’”), până
când la sfârșitul condensării, pe țevile din partea inferioară a condensatorului, vaporii își
schimbă integral starea de agregare (3).
Pe toată durata procesului de condensare 2 -3, temperatura rămâne constantă la
valoarea tk, iar vaporii de agent frigorific sunt saturați și se găsesc în echilibru cu lichidul,
care de asemenea este saturat.
Pentru condensarea propriu -zisă este utilizată aproximativ 80% din suprafața totală a
condensatorului.
Pe ultimel e țevi din partea inferioară a condensatorului, lichidul continuă să se
găsească în contact termic cu apa rece din interiorul țevilor și astfel lichidul va continua să
cedeze căldură, ajungând ca la ieșirea din aparat să fie ușor subrăcit. Subrăcirea este realizată
pe cca. 10% din suprafața totală a condensatorului.[12]

32
Fig. 3.15.Regimul termic al condesatorului răcit cu apă

Regimul termic al condensatorului răcit cu apă este determinat de caracteristicile
constructive ale aparatului (materiale, dimensiun i geometrice, starea suprafețelor, etc.), de
regimul de curgere (debite, respectiv viteze de curgere), etc.

Temperatura apei la intrarea în condensator twi, este determinantă pentru condițiile în
care se realizează condensarea.

Temperatura apei la ieșirea din condensator a fost notată, cu twe, iar variația
temperaturii aerului în condensator, sau gradul de încălzire a aerului, a fost notată cu Δtwk.

Δtwk = twe – twi [°C] (3.34)

Variația temperaturii aerului în condensator, pentru construcții uzuale și condiții de
lucru normale, are valori în intervalul:

Δtwk = 3…5°C (3.35 )
Temperatura apei, la ieșirea din condensator se poate determina cu relația:

twe = twi + Δtwk [°C] (3.36)
twe = twi + 3…5 [°C] (3.37)

Diferența dintre temperatura de condensare și temperatura apei la ieșirea din aparat,
este pentru construcții uzuale și condiții normale:

tk – twe = 3…5°C (3. 38)

33

Diferența totală de temperatură din condensator, are în condițiile prezentate valori normale
situate în interv alul:

Δttotk = tk – twi = 6…10°C (3.39)

Temperatura de condensare se poate determina direct în funcție de temperatura apei și
diferența totală de temperatură di n condensator:

tk = twi + Δttotk [°C] (3.40)

tk = twi + 6…10 [°C] (3.41)

Presiunea de condensare pk, poate fi determinată în funcție de temperatura de condensare, cu
ajutorul diagramelor sau tabelelor termodinamice, corespunzătoare agentului de lucru din
instalație:

tk → pk (3.42)

Gradul de subrăcire a condensului Δtsr, reprezintă diferența dintre temperatura de condensare
și temperatura lichidului la ieșirea din condensato r:

Δtsr = tk – tsr [°C] (3.43)

Valorile normale ale gradului de subrăcire, se încadrează în intervalul:

Δtsr = 4…7°C (3.44)

Temperatura de subrăcire , cea la care iese agentul frigorific lichid din condensator, se poate
calcula cu relația:

tsr = tk – Δtsr [°C] (3.45)

tsr = tk – 4…7 [°C] (3.46)

În figura 3.15 este pre zentat un exemplu de regim termic normal, pentru un
condensator răcit cu apă, având o construcție uzuală și condiții de lucru medii.
În instalațiile frigorifice de puteri medii și mari, în schema instalațiilor, după
condensator urmează o butelie de lichid (cazul instalațiilor având condensator răcit cu aer, de
puteri frigorifice medii), sau un rezervor de lichid (cazul instalațiilor având condensator răcit
cu aer sau apă, de puteri frigorifice mari).
În instalațiile de puteri frigorifice mari, răcite cu apă , subrăcirea condensului, se
realizează uneori în schimbătoare de căldură independente, denumite subrăcitoare, în care
agentul frigorific lichid saturat, este subrăcit utilizându -se tot apă de răcire. Din punct de
vedere constructiv, aceste schimbătoare de căldură sunt de tip țeavă în țeavă.
Procesele termodinamice care au loc în condensator pe partea agentului frigorific,
desupraîncălzrea, condensarea și subrăcirea, pot fi reprezentate în diagramele termodinamice
T-s și lgp -h, ca în figurile 3.16, respecti v 3.17.

34

Fig. 3.16. Reprezentarea proceselor termodinamice din condensator, în diagrama T -s

Fig. 3.17. Reprezentarea proceselor termodinamice din condensator, în diagrama lgp -h
Notațiile de pe cele două diagrame au aceeași semnificație, ca și în celelalte figuri:
1 – starea vaporilor la ieșirea din compresor;
2 – începutul procesului de condensare;
3 – sfârșitul procesului de condensare;
4 – ieșirea lichidului subrăcit din condensator
Pentru condensatoarele răcite cu apă, reprezentarea regimului t ermic, în diagrama
temperatură (t) – suprafață de transfer termic (S), oferă toate informațiile necesare pentru
determinarea parametrilor termodinamici ai apei.
În cazul condensatoarelor răcite cu aer, datorită prezenței umidității în aerul care preia
căldura degajată de agentul frigorific, în vederea studierii procesului termodinamic suferit de

35
aer, este necesară reprezentarea acestuia în diagrama entalpie (h) – umiditate (x) a aerului
umed.

Fig. 3.18. Reprezentarea procesului de încălzire în condensator a aerului umed, în diagrama
h-x

Notațiile au aceeași semnificație ca și cele utilizate anterior:
ai – starea aerului la intrarea în condensator;
ae – starea aerului la ieșirea din condensator.
Analizând procesul reprezentat în figura 3.18 se observă că temperatura aerului umed,
crește, în condițiile în care umiditatea absolută rămâne constantă (cantitatea de vapori de apă
din aerul umed, rămâne constantă). În aceste condiții, umiditatea relativă scade în timpul
procesului de încălzire a aerulu i (φ ai > φ ae). [12]

36
CAPITOLUL IV
ALGORITMI NUMERICI DE REZOLVARE A ECUAȚIILOR ȘI SISTEMELOR DE
ECUAȚII DIFERENȚIALE ORDINARE
4.1 Introducere

O ecuație diferențială poate să nu posede soluție sau, chiar dacă are soluție, nu
totdeauna aceasta se poate explicita. În multe situații, mai ales în cazul ecuațiilor diferențiale
neliniare, trebuie să ne considerăm mulțumiți dacă obținem o aproximație a soluției ecuației
diferențiale. În cele ce urmează, utilizând metode numerice, se vor obține seturi de puncte
care, atunci când se utilizează discretizări suficient de fine se poate aproxima soluția ecuației
diferențiale considerate, așa cum se prezintă în fig. 4.1.
Acest tip de probleme provine din cadrul vast al analizei funcțional e. Ecuațiile
diferențiale sau cu derivate parțiale constituie modelele matematice pentru majoritatea
problemelor inginerești: studiul eforturilor la care sunt supuse elementele de rezistență: bare,
grinzi, plăci subțiri, groase, conducte; studiul problemel or de câmp electric în dielectrici,
câmp magnetic, câmp termic, propagarea undelor, curgerea fluidelor etc.
Odată stabilit fenomenul fizico -tehnic și ecuațiile diferențiale care îl guvernează, ca
formă, coeficienți, condiții la limită (pe frontieră) rămân e de rezolvat ultima problemă:
rezolvarea acestui model matematic. Din diverse motive: neomogenitățile fizice, frontiere cu
geometrie dificilă, număr de necunoscute, etc., rezolvarea o vom face căutând o soluție
aproximativă cu ajutorul unui cod numeric, f olosind calculatorul.
O ecuație diferențială este o ecuație în care necunoscuta este o funcțîe și în care
intervine funcția necunoscută, derivatele ei de diverse ordine și variabile independente de
care depind aceste funcții.
In cazul în care funcția nec unoscută depinde de o singură variabilă independentă,
ecuația se numește ecuație diferențială ordinară, iar în situația în care funcția necunoscută
depinde de mai multe variabile independente, ecuația se numește cu derivate parțiale.
Ordinul unei ecuații diferențiale este cel mai înalt ordin a derivatei funcției
necunoscute ce figurează în ecuația respectivă. [13]
Expresia generală a unei ecuații diferențiale, sub formă implicită este:

Privitor la condițiile la limită există două tipuri:

(i). Condiții Cauchy: se cunosc într -un punct atât valoarea funcției necunoscute cât și
valorile derivatelor, până la ordinul cel mai mare ce figurează în ecuație; 0 x
(ii). Condiții la limită: se cunosc valorile funcției necunoscută î n puncte diferite.
Rezolvarea numerică a unei probleme asociate unei ecuații diferențiale poate fi privită sub
două aspecte:

37
(a). determinarea unei funcții, aparținând unei anumite clase de funcții (în general
polinoame, dată fiind importanța lor teoreti că fundamentală), și care aproximează „suficient
de bine” soluția exactă
(b). determinarea valorilor aproximative ale soluției exacte, într -o mulțime de puncte
date. [1]

Se expun în continuare principalele metode numerice al căror algoritm are un cost de
calcul redus și se pretează la implementarea pe calculator pentru rezolvarea numerică a
ecuațiilor diferențiale.
Pentru ecuații diferențiale ordinare acestea se pot clasifica în două mari tipuri:
Evident este vorba de soluții aproximative pe care nu ave m cum să le comparăm cu o soluție
exactă, deoarece practic aceasta este imposibil de găsit.
De aceea în practică trebuie să procedăm cu atenție pentru alegerea algoritmilor cei
mai potriviți pentru problema concretă de rezolvat.

Fig. 4.1 Soluț ia ecuatiei diferențiale

38
4.2 Ecuații diferențiale de ordinul 1

Forma generală a acestei ecuații este: 𝑑𝑦
𝑑𝑥=𝑓(𝑥,𝑦)

Exemple:
1. Ecuația de mișcare a unei particule de masă m într -un câmp de forțe F(x):
𝑚𝑑2𝑥
𝑑𝑡2=𝐹(𝑥)=>𝑑𝑝
𝑑𝑡=𝐹(𝑥)
(4.1)
2. Ecuația diferențială a fibrei medii deformate:
El𝑑2𝑤
𝑑𝑥2=−𝑀(𝑥) ș𝑖 𝜑= 𝑑𝑤
𝑑𝑥 (4.2)
Considerând ecuația diferențială dny
dtn=a0
any−a1
any′−…−an−1
any(n−1)+f(t), și introducând
variabilele y=x 1, y’=x 2,…, y(n-1)(x)=x n , rezultă că: y’=x 1=x2, y’’=x 2=x3,…,y(n-1) =xn-1=xn
În acest fel ecuația diferențială de ordinul n se poate echivala cu următorul sistem de n ecuații
diferențiale de ordinul 1:

{ x1=x2
x2=x3
x3=x4
.
.
.
xn−1=xn
xn=−a0
anx1−a1
anx2−⋯−an−1
anxn+f(t)

Problema de rezolvare a unei ecua ții diferen țiale de ordinul întâi:

𝑑𝑦
𝑑𝑥=𝑓(𝑥,𝑦),𝑓:[𝑎,𝑏]𝑥𝐼→𝑅[𝑎,𝑏],𝐼⊂𝑅 𝑎=𝑥0 (4.3)

(se noteaz ă y’ = dy/dx , I – interval) , cu condi ția ini țială:
y0=y(x 0) . (4.4)

Se cere s ă se determine expresia functiei y(x) care verific ă relațiile (4.3) si (4.4)

Forma implicit ă a ecua ției diferen țiale ordinare ( 4.3):

39

F(x, y, y’) = 0, F:[ a b]x I1 x I2 → R,[a b], I1 I2 ⊂ R (4.5)
cu I 1 și I2 – intervale.
Se presupune c ă s-a efectuat în prealabil un studiu al problemei enun țate, constatându –
se existența și unicitatea soluției . În continuare, pentru determinarea aproximativă a soluției
se poate proceda în dou ă moduri :

a) se caut ă o func ție z(x) care s ă aproximeze cât mai bine pe y(x) pentru x ∈[a,b] =
rezolvare aproximativă analitică ;
b) metodă numerică propriu -zisă – se determin ă valorile y 1, y2, …, yn care s ă
aproximeze cât mai bine valorile exacte y(x 1), y(x2), …, y(xn), ale lui y(x) pentru x ∈[a,b]
dacă punctele x 1, x2, …, xn ∈[a,b] sunt considerate echidistante:

xi+1 – xi = h , i = 0 … n –1 , (4.6)

cu h – pasul de discretizare (de integrare ) și capetele intervalului c ăruia îi apar ține variabila
independent ă x sunt: x0 = a, xn = b.

Categorii de metode de integrare numerică după numărul de puncte utilizat e anterior
punctului curent (xi,yi):

1) metode monopas (cu pași separați ) – la determinarea lui yi utilizeaz ă informa țiile
referitoare numai la un singur punct anterior, corespunz ător lui xi -1;
2) metodele multipas (cu pași legați ) – la determinarea lui yi utilizeaz ă informa țiile
referitoare la mai multe puncte anterioare, corespunz ătoare lui xi -1, xi-2, … .

Ambele categorii pot utiliza:
– algoritmi explici ți (direc ți) – punctul curent nu apare în expresia func ției g;
– algoritmi implici ți (iterativi , de tip predictor -corector ) – punctul curent apare în
expresia lui g. [14]

4.3. Metode monopas pentru ecua ții diferen țiale

Trăsătură caracteristică: la calculul valorilor aproximative yi, i = 1 … n se folosesc
numai informa țiile din punctul anterior (xi -1, yi-1), cu formula particularizat ă:

yi = yi -1 + h·g(xi -1, yi-1, h) , i = 1 … n . (4.6)
Metodele se diferen țiază între ele prin forma func ției g, dar toate s unt bazate pe
dezvoltarea în serie Taylor în vecin ătatea lui xi −1:
Algoritmii predictor -corector determin ă valorile yi, i= 1…n printr -un proces de calcul
iterativ cu convergen ță teoretic infinit ă, dar practic finit ă – etape :
a) se ini țializeaz ă valoarea lui yi:

40
b) la un pas oarecare k = 1, 2, 3, … al procesului iterativ de calcul se determin ă noua
valoare a lui yi
c) calculul este terminat când yi a fost determinat cu o precizie impus ă / dorit ă
Metodele de tip Euler:

Trăsătură caracteristic ă: metode monopas cu algoritm explicit la care din dezvoltarea
în serie Taylor se re țin numai primii doi termeni: yi = yi -1 + h·y’i -1
Pentru versiunea clasică a metodei Euler : yi = yi -1 + h·f(xi -1, yi-1)

Metodele de tip Runge -Kutta

Sunt metode monopas cu algoritm explicit .
Avantaj: asigur ă îmbun ătățirea în continuare a preciziei și a erorii de trunchiere pe un
pas de integrare.
Trăsătură caracteristică: pentru reducerea erorii, la determinarea lui yi, i = 1, 2, …, n
se calculează valorile lui f(x,y) într -un număr de puncte intermediare ale intervalului [xi -1,
xi], acest num ăr de puncte fiind legat direct de ordinul p al metodei.

Forma generală a metodelo r de tip Runge -Kutta:
k1 = h·f(xi -1, yi-1) ,
𝑘𝑗=ℎ∙𝑓(𝑥𝑖−1+ℎ∙𝑏𝑗,𝑦𝑖−1+∑𝑐𝑗𝑚𝑘𝑚𝑗−1
𝑚=1),𝑗=2…𝑝

𝑦𝑖=𝑦𝑖−1+∑𝑎𝑚𝑘𝑚𝑝
𝑚=1

Determinarea coeficien ților am, m = 1 … p, bj, j = 2 … p și cjm, m = 1 … j–1, j =
2… p se face prin dezvoltare în serie Taylor a ambilor membri ai rela ției și identificarea
coeficien ților expresiilor ob ținute.
Alte variante de metode de tip Runge -Kutta cu propriet ăți avantajoase: Runge -Kutta –
Merson, Ralston –Runge -Kutta și Butcher -Runge -Kutta.

Metode multipas pentru ecuații diferențiale

Se consider ă din nou ecua ția diferen țială de ordinul întâi cu condi ția ini țială și se cere
să se rezolve aceast ă ecuație, adic ă să se determine expresia functiei y(x) care verific ă (4.3) și
(4.4).
Se pune problema rezolv ării ecuației men ționate printr -o metod ă numeric ă propriu –
zisă, adic ă se cere s ă se determine valorile y 1, y2, …, yn care s ă aproximeze cât mai bine
valorile exacte y(x 1), y(x2), …, y(xn), ale lui y(x) pentru x ∈[a,b] dac ă punctele x 1, x2, …,
xn∈[a,b] sunt considerate echidistante cu pasul de integrare h .
Algoritmii predictor -corector determin ă valorile yi, i= 1…n printr -un proces de calcul
iterativ cu convergen ță teoretic infinit ă, dar practic finit ă – etape:
(a) se ini țializeaz ă valoarea lui yi
(b) la un pas oare care k = 1, 2, 3, … al procesului iterativ de calcul se determin ă noua
valoare a lui yi:
(c) calculul este terminat când yi a fost determinat cu o precizie impus ă / dorit ă

41
Avantaje comparativ cu metodele monopas:
– estimarea erorii de trunchiere este relativ simpl ă, eroarea de trunchiere fiind
semnificativ mai mic ă;
– propagarea erorilor este mai redus ă, fiind îmbun ătățite precizia și stabilitatea
numeric ă (se va reveni);
– nu este necesar calculul valorilor func ției f(x, y) în puncte intermediare suplim entare.

Dezavantajele metodelor multipas fa ță de cele monopas:
– nu este asigurat ă autopornirea deoarece la primii pa și nu sunt disponibile informa țiile
din punctele anterioare → se utilizeaz ă de regul ă pentru pornire metode monopas cu
eroare de trunchiere de acela și ordin de m ărime;
– modificarea pasului de integrare h (este vorba în primul rând de reducerea acestuia,
efectuat ă în vederea cre șterii preciziei) se face relativ dificil, fiind necesare reveniri la
puncte deja determinate sau reporniri cu metode monopas;
– la unele variante poate cre ște volumul de calcule.
4.4. Aspecte privind stabilitatea numerică și alegerea metodelor de rezolvare numerică
a ecuațiilor diferențiale

Pentru definirea stabilit ății numerice a unui algoritm este nevoie mai întâi s ă se
discute despre analiza condi ționării problemei asociate algoritmului. Analiza condiționării
unei probleme = proces matematic relativ complicat, strâns legat de teoria perturba țiilor. O
problem ă este bine condiționată dacă mici varia ții în datele problem ei provoac ă doar mici
varia ții în solu ție. În caz contrar → problema este rău condiționată .
De regul ă este studiat ă condi ționarea problemelor numerice din cadrul algebrei
liniare, ob ținându -se numere de condiționare , calculabile sau estimabile.
Analiza condi ționării pentru alte probleme – în particular, pentru rezolvarea numeric ă
a ecua țiilor și sistemelor de ecua ții diferen țiale ordinare – devine îns ă dificil ă și necesit ă un
efort relativ mare .
În sens restrâns, se spune c ă un algoritm este nume ric stabil dacă nu introduce o
sensibilitate mai mare în raport cu datele decât cea inerent ă problemei, adic ă nu înr ăutățește
condi ționarea problemei asociate algoritmului. Altfel spus, un algoritm este numeric stabil
dacă rezultatul calculat de acesta este – sau este apropiat de – soluția exact ă a unei mici
perturba ții a problemei ini țiale.
Dacă problema numeric ă este bine condi ționat ă → soluția calculat ă de un algoritm
numeric stabil este apropiat ă de solu ția exact ă. Pentru mul ți algoritmi – în particular, pentru
cei destina ți rezolv ării numerice a ecua țiilor și sistemelor de ecuații diferen țiale ordinare –
stabilitatea numeric ă poate fi demonstrat ă matematic și exprimat ă sub forma unor condiții de
stabilitate .

42
CAPITOLUL V
SIMULARE A NUMERICĂ A TRANSFERULUI DE CĂLDURĂ Î N PROCESE DE
CONDENSARE
5.1. Introducere

Acest capitol reprezintă o metodologie de simulare a transferului de căldură î n procese
de condensare, bazată pe modele de curgere a fluidelor și pe metoda elementelor finite, î n
care este vorba despre verificarea și validarea modelelor de simulare. Sunt descrise diferite
abordări pentru a determina validitatea modelului și este prezentată și explicată o paradigmă
grafică care corelează verificarea și validarea procesului de dezvo ltare a modelului.
Este vorba despre validitatea modelului conceptual, verificarea modelului, validitatea
operațională și valabilitatea datelor și se prezintă o procedură recomandată pentru validarea
modelului.
In aceasta lucrare este vorba despre verifi carea și validarea modelelor de simulare.
Verificarea și validarea se referă la stabilirea faptului dacă un model și rezultatele
acestuia sunt "corecte" pentru o anumită utilizare sau scop.
Verificarea modelului este definită formal ca "asigurarea faptu lui că programul
informatic al modelului computerizat și implementarea acestuia sunt corecte", iar validarea
modelului este definită ca "fundamentarea faptului că un model computerizat din domeniul
său de aplicabilitate posedă o gamă satisfăcătoare de prec izie aplicata modelului".
Discuția privind verificarea și validarea se concentreaza în primul rând pe modele
de simulare care sunt folosite pentru a prezice comportamentele sistemului, cum ar fi ieșirile
de sistem.
Două subiecte conexe sunt credibilitatea modelului și gradul de utilizare a
modelului. Credibilitatea modelului se referă la dezvoltarea în (potențialii) utilizatori a
încrederii de care au nevoie pentru a utiliza un model și a informațiilor derivate din a cel
model.
Utilizabilitatea modelului determină faptul că modelul și instrucțiunile acestuia sunt
ușor de utilizat.
Un model ar trebui dezvoltat pentru un scop specific și valabilitatea sa determinată
în acest sens. Un model dezvoltat ar trebui să fie, de obicei, un model parsimonios, ceea ce
înseamnă că modelul este cât mai simplu posibil, dar își îndeplinește scopul. De asemenea,
precizia unui model (denumită uneori fidelitate model) ar trebui să fie doar ceea ce este
necesar pentru a satisface scopul sau scopul modelului. Dacă scopul unui model este de a
răspunde la o varietate de întrebări, validitatea modelului trebuie să fie determinată în funcție
de fiecare întrebare.
Dezvoltatorii și utilizatorii de modele, factorii de decizie care utilizează in formațiile
obținute din rezultatele modelelor și persoanele afectate de deciziile bazate pe modele, se
preocupă în mod corect dacă un model și rezultatele modelului sunt "corecte" pentru fiecare
problemă abordată.
Numeroase seturi de condiții experimental e sunt de obicei necesare pentru a defini
domeniul de aplicabilitate al modelului. (Un set de condiții experimentale conține un set de

43
valori pentru setul de variabile care definesc domeniul aplicabilității.) Un model poate fi
valabil pentru un set de cond iții experimentale și este nevalid în altul. Un model este
considerat valabil pentru un set de condiții experimentale dacă precizia modelului se
încadrează în intervalul de acuratețe acceptabil, ceea ce reprezintă precizia cerută de model
pentru scopul pro pus.
Aceasta necesită, de obicei, identificarea variabilelor de ieșire ale modelului de
interes (adică variabilele de model utilizate pentru a răspunde la întrebările pe care modelul
se dezvoltă să le răspundă) și apoi se specifică intervalul de acurateț e acceptabil al acestora.
Gama acceptabilă a unui model de precizie trebuie specificată înainte de începerea
dezvoltării modelului sau foarte devreme în procesul de dezvoltare a modelului.
Dacă variabilele de interes sunt variabile aleatoare, atunci prop rietățile și funcțiile
variabilelor aleatoare, cum ar fi mijloacele și varianțele, sunt, de obicei, ceea ce este de
interes primar și sunt cele folosite în determinarea valabilității modelului. Mai multe versiuni
ale unui model sunt de obicei dezvoltate în ainte de a obține un model satisfacator valid.
Afirmația că un model este valid, adică efectuarea verificării și a validării
modelului, este în general considerată a fi un proces și este de obicei parte a procesului de
dezvoltare a modelului (total). Este adesea prea costisitor și consumator de timp pentru a
determina că un model este absolut valabil în întregul domeniu al aplicabilității sale
intenționate. În schimb, testele și evaluările sunt efectuate până când se obține suficientă
încredere că un model poate fi considerat valabil pentru aplicația dorită. Dacă un test
determină că un model nu are o precizie suficientă pentru nici unul dintre seturile de condiții
experimentale, atunci modelul este nevalid.
Cu toate acestea, determinarea faptului că un m odel are o precizie suficientă pentru
numeroase condiții experimentale nu garantează faptul că un model este valabil oriunde în
domeniul său aplicabil.
Costul validării modelului este, de obicei, destul de semnificativ, mai ales atunci
când este necesară o încredere în modelul extrem de ridicat.

5.2. Cele trei abordă ri de luare a deciziilor

Există trei abordări fundamentale de luare a deciziilor pentru a decide dacă un
model de simulare este valabil. Fiecare dintre aceste trei abordări utilizează un alt factor de
decizie. Toate abordările necesită ca echipa de dezvoltare a modelului să efectueze
verificarea și validarea ca parte a procesului de dezvoltare a modelului. O abordare
decizională și una frecvent utilizată este ca echipa de dez voltare a modelului sa ia
decizia dacă un model de simulare este valabil. Decizia se bazează pe rezultatele diferitelor
teste și evaluări efectuate ca parte a procesului de dezvoltare a modelului. Cu toate acestea,
este de obicei mai bine să se utilizeze u na dintre următoarele două abordări decizionale, în
funcție de situația în care se aplică.
O abordare mai bună a procesului de luare a deciziilor este ca utilizatorul
(utilizatorii) unui model de simulare să decidă validitatea modelului. În această aborda re
utilizatorii modelului de simulare sunt foarte implicați în echipa de dezvoltare a modelului
atunci când echipa efectuează verificarea și validarea modelului și utilizatorii determină dacă

44
modelul este satisfăcător în fiecare fază de verificare și valid are. Această abordare este
folosită, în general, cu o echipă de dezvoltare a modelului a cărei mărime nu este mare. De
asemenea, această abordare ajută la credibilitatea modelului.
O altă abordare de luare a deciziilor, denumită de obicei "verificare și v alidare
independentă" (IV & V), utilizează o terță parte pentru a decide dacă modelul de simulare
este valabil. Partea terță (echipa IV & V) este independentă atât de echipa (echipele) de
dezvoltare a simulării, cât și de sponsorul / utilizatorii modelului . Abordarea IV & V este
folosită, în general, cu dezvoltarea unor modele de simulare pe scară largă, a căror dezvoltare
implică de obicei mai multe echipe. Echipa IV & V trebuie să aibă o înțelegere aprofundată a
scopului (scopurilor) dorit(e) al modelului de simulare pentru a efectua IV & V.
Există două modalități comune pe care echipa IV & V le desfășoară în IV & V:
a) IV & V se desfășoară în paralel cu dezvoltarea modelului de simulare
b) IV & V se desfășoară după elaborarea modelului de simulare
În mod c oncomitent de realizare a IV & V, echipa de dezvoltare a modelului
furnizează echipelor IV & V modelul de verificare și validare a modelului, pe măsură ce se
dezvoltă modelul de simulare. Echipa IV & V evaluează aceste rezultate și oferă feedback
echipei d e dezvoltare a modelului cu privire la faptul dacă verificarea și validarea modelului
îndeplinesc cerințele modelului și când nu, care sunt dificultățile.
Atunci când conduce IV & V în acest fel, dezvoltarea unui model de simulare nu ar
trebui să treacă la următoarea etapă a dezvoltării până când modelul nu a îndeplinit cerințele
de verificare și validare în stadiul său actual. Este opinia autorului că aceasta este cea mai
bună dintre cele două căi de a conduce IV & V.
Atunci când IV & V se desfășoară du pă ce modelul de simulare a fost complet
dezvoltat, evaluarea efectuată de echipa IV & V poate varia de la simpla evaluare a verificării
și validării efectuate de echipa de dezvoltare a modelului până la efectuarea ei înșiși a unui
efort separat de verific are și validare. Efectuarea unui efort IV & V complet dupa ce modelul
a fost complet dezvoltat este, de obicei, extrem de costisitor si consumator de timp. Această
opinie a autorului este că dacă IV & V va fi realizat pe un model de simulare completat,
atunci este de obicei cel mai bine să se evalueze doar verificarea și validarea care au fost deja
efectuate.
Atunci când o echipă IV & V concluzionează că un model este valabil, există o
probabilitate mult mai mare ca alții să accepte modelul ca fiind valabi l și să rezulte din model
ca fiind "corect". Cazurile în care această abordare decizională este utilă sunt :
a) când problema asociată cu modelul are un cost ridicat sau implică o situație cu risc
ridicat
b) când se dorește acceptarea publică a rezultatelor pe baza modelului.

5.3.Modelul dezvoltarii procesului cu verificare si validare

În aceast subcapitol este prezentată o paradigmă grafică în subsecțiunea 5.3.1 care
corelează verificarea și validarea mod elului cu procesul de dezvoltare a modelului. Apoi, în
subsecțiunea 5.3.2 este descris procesul de dezvoltare a modelului care include verificarea și
validarea.

45

5.3.1. Paradigma grafica

Există două modalități obișnuite de a vedea modul în care verific area și validarea se
referă la procesul de dezvoltare a modelului. O modalitate utilizează o vizualizare simplă, iar
cealaltă folosește o vedere complexă. O paradigmă grafică si mplă este prezentată în figura
5.1, care a fost dezvoltată de acest autor numit ă „Vedere simplificată a procesului de
dezvoltare a modelului (Sargent 1981, 1982, 1983, 2001b, 2013)” . O paradigmă mai
complexă dezvoltată de acest autor, care include atât "Lumea simulării", cât și „Lumea reală”
, este cuprinsă în Sargent (2001b, 2013).

Fig. 5 .1. Versiune simplificată a procesului de dezvoltare a modelului.

Se consideră versiunea simplificată a procesului de dez voltare a modelului din
figura 5 .1. Entitatea problematică este sistemul (real sau propus), ideea, situația, politica sau
fenomenele care urmează a fi modelate; modelul conceptual este reprezentarea matematică /
logică / grafică (mimică) a entității problematice elaborată pentru un anumit studiu; iar
modelul computerizat este modelul conceptual implementat pe un computer. Mode lul
conceptual este dezvoltat printr -o fază de analiză și modelare, modelul computerizat este
dezvoltat printr -o fază de programare și implementare a calculatorului, iar inferențele despre

46
entitatea problemei sunt obținute prin efectuarea de experimente pe calculator pe modelul
computerizat în faza de experimentare.
Validarea modelului conceptual este definită ca determinând că teoriile și ipotezele
care stau la baza modelului conceptual sunt corecte și că reprezentarea model a entității
problematice este "rezonabilă" pentru scopul propus al modelului. Verificarea computerizată
a modelului este definită ca asigurând corectitudinea programării și implementării
calculatorului.
Validarea operațională este definită ca determinând faptul că comportamentul de
ieșire al modelului are o gamă satisfăcătoare de precizie pentru scopul propus al modelului în
domeniul aplicabilității preconizate a modelului. Valabilitatea datelor este definită astfel încât
să se asigure că datele necesare pentru construirea de modele, evaluarea și testarea modelului
și efectuarea experimentelor de model pentru a rezolva problema sunt adecvate și corecte.

5.3.2 Procesul de dezvoltare a modelului

Un model ar trebui dezvoltat pentru un anumit scop sau utilizare. Mai mult, un
model dezvoltat ar trebui să fie un model parsimonios, ceea ce înseamnă că este cât se poate
de simplu și că își îndeplinește în același timp scopul, iar precizia unui model nu trebuie să fie
mai mult decât ceea ce este necesar pentru scopul său. Un model de sim ulare este un model
structural care înseamnă că modelul conține relații logice și cauzale care apar în sisteme.
Dezvoltarea unui model de simulare valid este un proces iterativ în care mai multe
versiuni ale unui model sunt dezvoltate înainte de obținerea unui model valid.
Procesul de dezvoltare a modelului ar trebui să includă verificarea și validarea
modelului.
Urmând paradigma dată în figura 5.1, procesul iterativ prezentat în figura 5.2 poate
fi folosit pentru a dezvolta un model de simulare valabil . Dezvoltăm mai întâi un model
conceptual prin analizarea entității problematice și apoi prin dezvoltarea unui model al
entității problematice, amintindu -ne că este dorit un model parsimonios. Apoi se efectuează
validarea modelului conceptual. Acest proces se repetă până când modelul conceptual este
satisfăcător.
Apoi, se dezvoltă un model computerizat al modelului conceptual (validat) prin
dezvoltarea unui model de simulare a modelului conceptual și implementarea lui pe un
computer. Apoi se efectuează ver ificarea computerizată a modelului. Acest proces se repetă
până când modelul computerizat este satisfăcător. În sfârșit, validarea operațională este
efectuată pe modelul computerizat. Schimbările de model necesare prin realizarea valabilității
operaționale pot fi fie în modelul conceptual, fie în modelul computerizat.
Verificarea și validarea trebuie efectuate din nou atunci când se efectuează orice
modificare a modelului. Acest proces se repetă până când se obține un model de simulare
valid. După cum sa m enționat mai sus, mai multe versiuni ale unui model sunt de obicei
dezvoltate înainte de obținerea unui model de simulare valabil. Există numeroase tehnici de
validare care sunt utilizate în efectuarea verificării și validării. A se vedea, de exemplu,
Sargent (2013) și referințele sale pentru diferite tehnici de validare utilizate în validarea unui
model de simulare.

47
5.4. Validitatea datelor

Vorbim despre validitatea datelor, deși nu este adesea considerată ca făcând parte
din validarea modelului, deoare ce este dificil, consumatorul de timp și de costisitor să obțină
date adecvate, corecte și suficiente, iar problemele legate de date sunt adesea motivul pentru
care încercările validarea un model eșuează. Datele sunt necesare în trei scopuri: construirea
modelului conceptual, validarea modelului și realizarea experimentelor cu modelul validat. În
validarea modelului, suntem de obicei interesați de data pentru primele două scopuri.

Fig 5.2 Procesul de dezvoltare iterativă a modelului

Pentru a construi un model conceptual trebuie să avem suficiente date despre
entitatea problemei pentru a dezvolta teorii care pot fi folosite pentru a construi modelul, a
dezvolta relații matematice și logice pentru a fi utilizate în model care să permită modelului
să reprez inte în mod adecvat entitatea problemei pentru destinate scopului, și
testați ipotezele fundamentale ale modelului. În plus, sunt necesare date comportamentale
asupra entității problematice care trebuie utilizată în etapa de valabilitate operațională de
comparare a comportamentului entității problematice cu comportamentul modelului. (De
obicei, aceste date sunt date de intrare / ieșire de sistem.)

48
Dacă datele de comportament nu sunt disponibile, încrederea în modelul ridicat nu
poate fi obținută, deoarece nu poate fi obținută o valabilitate operațională suficientă.
Preocupările legate de date sunt că sunt disponibile date adecvate, corecte și
suficiente și toate transformările datelor, cum ar fi dezagregarea datelor, sunt făcute corect.
Din păcate, nu se poate face prea multe pentru a se asigura că datele sunt corecte. Unul ar
trebui să dezvolte proceduri bune pentru (1) colectarea și menținerea datelor, (2) testarea
datelor colectate folosind tehnici cum ar fi corectitudinea relației de date (Sargent 2013 ) și (3)
screening -ul datelor pentru valori extreme și determinarea corectitudinii. Dacă cantitatea de
date este mare, ar trebui să se dezvolte și să se mențină o bază de date a datelor.
5.5. Validarea modelului conceptual

Valoarea validă a modelului det ermină faptul că (1) teoriile și ipotezele care stau la
baza modelului conceptual sunt corecte și (2) reprezentarea modelului entității problematice
și structura, logica și relațiile matematice și cauzale ale modelului sunt "rezonabile" a
modelului.
Teor iile și ipotezele care stau la baza modelului ar trebui testate folosind analize
matematice și metode statistice privind datele entității problematice. Exemple de teorii și
ipoteze sunt liniaritatea, independența datelor și sosirile care urmează unui proce s Poisson.
Exemple de metode statistice aplicabile sunt repartizarea distribuțiilor la date,
estimarea valorilor parametrilor din date și plotarea datelor pentru a determina dacă datele
sunt staționare. În plus, toate teoriile utilizate ar trebui revizuit e pentru a se asigura că acestea
au fost aplicate corect.
Fiecare submodel și modelul general trebuie evaluate pentru a determina dacă
acestea sunt rezonabile și corecte pentru scopul propus al modelului. Aceasta ar trebui să
includă determinarea dacă det aliile și relațiile agregate adecvate au fost utilizate pentru
scopul propus al modelului și, de asemenea, dacă s -au folosit relațiile structurale, logice și
matematice și de cauzalitate. Principalele tehnici de validare utilizate pentru aceste evaluări
sunt validarea față și urmări.
Validarea feței are experți pe entitatea problematică, evaluând modelul conceptual
pentru a determina dacă este corect și rezonabil pentru scopul său. Aceasta necesită, de
obicei, examinarea schemelor de evoluție sau a modelului grafic (Sargent 1986) sau a setului
de ecuații model. Utilizarea urmelor este urmărirea entităților prin fiecare submodel și
modelul general pentru a determina dacă logica este corectă și dacă se menține precizia
necesară.
În cazul în care se constată erori în modelul conceptual, acesta trebuie revizuit și
validarea modelului conceptual efectuată din nou.[1 ]
5.6. Analiza schimbătorului de căldură î n procese de condesare folosind un model
numeric 3D.

Analiza 3D a implicat modelarea configurației geometrice a schimbătorului și
solului înconjurător într -un mediu de programare CAD, discretizarea modelului solid rezultat

49
și simularea numerică a proceselor de curgere și transfer de căldură. În acest sens, s -a apelat
la SolidWorks [2] și ANSYS Workbench [3]. Procedura de discretizare s -a bazat pe utilizarea
unui element cu 3 fețe și 2 margini. Elementele respective furnizează informațiile necesare
despre viteză, presiune și temperatură pe baza conservării imp ulsului, masei și energiei.
Algoritmul de discretizare include tranziție lentă și netezire între diferitele regiuni
ale modelului solid. În vecinătatea pereților solizi grila este îndesită pentru a putea surprinde
variațiile rapide ale parametrilor de -a lungul stratului limită. Algoritmul de rezolvare a
problemei combinate se bazează pe o schemă numerică segregată, nestaționară, cu diferențe
înainte. Aceasta înseamnă că matricea sistemului derivată din discretizarea cu elemente finite
a ecuațiilor fundamen tale de conservare este rezolvată separat pentru fiecare grad de libertate.
S-a analizat o configurație ale cărei caracteristici sunt prezentate în tabelul 5.1.

Tabel 5.1 . Caracteristicile configuratiei
Corpuri 1
Volum 0,003927 m3
Suprafata 0,31715 m2
Fete 3
Margini 2

1.6.1 Rezultate

Această analiză investighează simularea unui jet de abur de mare viteză dintr -o
țeavă. Aburul la 373 K părăsește conducta la 341 m s-1 și conține puțină apă lichidă.
Temperatura aerului din jur este de 25 ° C dupa cum se poate observa in figura 5.3.
Condensarea a pei este modelată folosind surse de masă aplicate la două
subdomenii; unul este folosit pentru evaporare, iar celălalt este utilizat pentru condensare.
Rata transferului de masă este modelată utilizând difuzia de masă bazată pe numere
Sherwood la suprafaț a picăturilor de lichid.
Pentru a profita de natura simetrică a domeniului, este modelată o fasie subțire a
câmpului de curgere și limitele de simetrie sunt folosite pentru a reprezenta restul câmpului
de curgere. O limită de deschidere este folosită în j urul marginilor exterioare ale domeniului;
direcția fluxului este limitată să fie normală la această limită pentru a furniza suficiente
constrângeri asupra soluției de curgere.

50

Fig 5 .3. Simularea unui jet de abur de mare viteză dintr -o conductă

Fig 5 .4. Program de simulare Ansys cfx , componenta programului de realizare a modelului
Pentru a crea un suport de lucru, ANSYS CFX folosește un director de lucru ca
locație implicită pentru încărcarea și salvarea fișierelor pentr u o anumită sesiune sau
proiect(vezi fig 5.4)

51
S-a realizat o simulare tranzitorie a transferului de caldura în procese de condensare
și curgerii apei prin conductă, având caracteristicile din tabelul 5.1.

În continuare s -a construit geometria dorită in Solidworks apoi a fost importat in Ans ys (vezi
fig 5.5) si modul de realizare al rețelei de elemente finite ( vezi fig 5.6)
Menționez că modelul utilizat are o formă cilindrica pentru a fi ușor de construit, dar și pentru a
economisi resurse si timp, deoarece comportamentul e simetric .

Fig 5.5. Modulul geometric creat în Solidworks importat în Ansys

Fig 5 .6 Modul de reali zare al rețelei de elemente finite

52
Preprocesarea reprezintă construcția modelului de calcul al curgerii, a fost realizată cu
soft-ul Ansa V14, inițierea parametrilor precum metoda ce caracterizeaza curgerea și
interpretarea rezultatelor a fost efectuată cu soft-ul Ansys .
Partea de preprocesare, cuprinde simplificarea geometriei, generarea discretizării, condiții la
limită ,generarea discretizării volumului de fluid (tetraedre, pentaedre .Condițiile la limită
legate de schimbul de căldură sunt ilustrate în figurile 5.7a,b si figura 5.8.

Fig 5 .7.a Definirea condițiilor de experimentare în modulul CFX -Pre ( Preprocesare)

Fig 5.7.b Definirea condițiilor de experimentare în modulul CFX -Pre ( Preprocesare)

53

Fig. 5 .8. Procesarea și rezolvarea numerică a ecuațiilor

Fig 5 .9. Fracția de volum lichid

54

Fig 5 .10. Fluxul de lichid

Fig 5 .11 Fracția vaporilor de ap ă
Fig 5 .11 arată variația fracțiunii de masă a vaporilor de apă din centrul condensatorului și cea
de la interfața dintre amestecul de gaz și filmul de condensat.

55

Fig 5 .12. Fracția gazului molar

Fig 5 .13. Viteza superficială a gazului

56

Fig 5 .14. Viteza gazului
Figura 5.14 prezintă viteza gazului in interiorul tubului condensatorului si arată că
viteza axială a amestecului de gaze la linia centrală a tubului condensatorului scade rapid, în
timp ce viteza axială a condensului la interfață crește.

Fig 5. 15 Viteza lichidului

57
.

Fig. 5 .16. Viteza superficial ă a lichidului

Fig 5 .17. Gradientul densită ții gazului

58
Figura 5.17 prezintă variația densității amestecului de gaz în tubul condensatorului
la intrare și ieșire
La intrare, densitatea este constantă, dar la ieșirea condensatorului, densitatea
amestecului de gaz crește pe măsură ce se apropie peretele condensatorului. Această creștere
a densității se datorează scăderii temperaturii și creșterii fracțiunii de masă a aerului. De
asemenea, densitatea a mestecului mediu de gaz pe tub crește de la intrare la ieșire, din nou
datorită atât scăderii temperaturii medii, cât și fr acției medii de masă a vaporilor de apă.

Fig 5 .18. Gradientul vitezei lichidului

Condițiile de simulare numerică sunt prezentate în detaliu în Anexa 1 .

59
CONCLUZI I :

Lucrarea cuprinde un studiu preliminar al temei de disertatie.
Sunt incluse informațiile necesare construirii unui model preliminar: geometrie,
caracteristici de
material, condiții de simulare.
Au fost sistematizate datele referitoare la experimentele care se pot realiza, necesare
pentru validarea simulăr ilor.
S-au analizat capabilitatile programului și modulele care vor fi utilizate ȋn simulare.
În condensatoarele răcite cu apă, condensarea se real izează pelicular, pe suprafața
exterioara a conductei schimbătoare de căldură , grosimea peliculei crescând t reptat de sus în
jos.
După intrarea în conducta , în contact termic cu apa rece, temperatura vaporilor
supraîncălziți se reduce, așa cum se poate observa pe diagrama din figura 5.10 .
S-a folosit doar o bucata din conductă pentru a economisi resurse si timp, deoarece
comportamentul e simetric.
În cazul condensării în țevi orizontale structura curgerii și transferul de căldura depind
de viteza vaporilor pentru valori limitate ale acesteia ( Re < 35.000 ) , pelicula de vapori se
îngroașă la partea inferioa ra umplând o mare parte din partea inferioară conductei
Rezultatele simulării CFX pentru densitatea amestecului de gaz, viteza axială și
fracțiunea de masă a vaporilor de apă de -a lungul orificiului de intrare, ieșire și de -a lungul
tubului condensatorului sunt prezentate în figurile de mai sus.
Rezultatele a rată că viteza medie axială scade rapid, deoarece vaporii de apă sunt
condensați, densitatea amestecului de gaz crește pe tubul condensatorului și de -a lungul
condensatorului și viteza axială a amestecului de gaz la interfața dintre amestecul de gaz și
filmul condensat nu este mic.
Pentru nr Re reduse de amestec de gaze la intrare sau cu tub de condensare suficient
de lung, cu debit masic ridicat al lichidului de răcire, viteza axială a amestecului de gaz la
interfață poate fi mai mare decât viteza medie axială a amestecului de gaze.

60
ANEXA 1
! $UrfRate = 1.0 ; # Under relaxation factor for mass transfer rates.
LIBRARY:
ADDITIONAL VARIABLE: PCoef # Pressure linearisation coef.
Option = Definition
Tensor Type = SCALAR
Units = [ kg m^-3 s^-1 Pa^ -1]
Variable Type = Unspecified
END
ADDITIONAL VARIABLE: WaFluxLG # Water IPMT flux liquid -> gas
Option = Definition
Tensor Type = SCALAR
Units = [kg m^ -3 s^-1]
Variable Type = Unspecified
Under Relaxation Factor = $UrfRate
END
ADDITIONAL VARIABLE: WaFluxGL # Water IPMT flux gas -> Liquid
Option = Definition
Tensor Type = SCALAR
Units = [kg m^ -3 s^-1]
Variable Type = Unspecified
Under Relaxation Factor = $UrfRate
END
ADDITIONAL VARIABLE: FalseDt # Local IPMT False timestep
Option = Def inition
Tensor Type = SCALAR
Units = [ s ]

61
Variable Type = Unspecified
END
ADDITIONAL VARIABLE: SatTemp # Saturation temp. for post.
Option = Definition
Tensor Type = SCALAR
Units = [ K ]
Variable Type = Unspecified
END
ADDITIONAL VARIABLE: SatPres # Saturation pressure for post.
Option = Definition
Tensor Type = SCALAR
Units = [ Pa ]
Variable Type = Unspecified
END
ADDITIONAL VARIABLE: SatLheat # Latent heat at sturation for post.
Option = Definition
Tensor Type = SCALAR
Units = [ J kg ^-1 ]
Variable Type = Unspecified
END
COMMAND FILE:
Version = 11.0
END
FLOW:
OUTPUT CONTROL:
RESULTS:
File Compression Level = Default

62
Option = Standard
END
END

SOLUTION UNITS:
Angle Units = [rad]
Length Units = [m]
Mass Units = [kg]
Solid Angle Units = [sr]
Temperature Units = [K]
Time Units = [s]
END
END
! $Lqx = "Liquid" ; # Liquid fluid
! $Gsx = "Gas" ; # Gas fluid
! $Cliq = "Steam3l" ; # A liquid component
! $Cvap = "Steam3v" ; # A vapour component
Basic data for liquid/gas inte rface.
srfTenCoef = 0.05 [N m^ -1] # Surface tension coefficient
KinDiff = 1.0e -6 [m^2 s^ -1] # Component kinematic diffusivity.
liqLength = 1.0e -5 [m] # Length scale for liquid droplets
Interfacial area density: It is assumed that the disp erse 'particle'
phase is the liquid and is everywhere dilute.
Area density MUST go to zero as conservative volume fractions go to one or
zero, note conservative vf not guaranteed to sum to one (PWG).
swg = step($Gsx.vfc)*step(1.0 -$Gsx.vfc)
swl = step($Lqx. vfc)*step(1.0 -$Lqx.vfc)

63
AreaDensity = swg*swl*( 6*$Lqx.vfc/liqLength )
Interphase diffusive transport coef.
Fluid slip speed.
SlipSpd = sqrt (($Lqx.u -$Gsx.u)^2 + ($Lqx.v -$Gsx.v)^2 + ($Lqx.w -$Gsx.w)^2 )
Slip Reynolds number.
ReNo = SlipSpd * liqLength / $Gsx.visckin
Sherwood number and mass transfer coefficient for water.
ShNowa = 2.0+0.0187*ReNo^0.77924 # Need a proper correlation here.
CoefMTwa = ShNowa * KinDiff / liqLength
Heats of vaporisation.
This is exact for evaporation but is not quite right for condensation as this should really be
computed at the temperature used for mass transfer. Hopefully the latent heat does not vary
too much wit h temperature and pressure at about 1 bar.
HtVapwa = $Gsx.$Cvap.enthsaturation – $Lqx.$Cliq.enths aturation
# Liquid < -> gas mass transfer for water.
# Mdot_l_to_g = Sh*Di,g*rho_g/d_l*(Xi,g – Xsati,g)
SatT = $Lqx.Tsaturation # Saturation temperature
VpWat = $Lqx.psaturation # Saturation pressure based on liquid temp.
CMwa = CoefMTwa*AreaDensity* $Gsx.density*($Gsx.$Cvap.mw/$Gsx.mw)
XGwa = $Gsx.$Cvap.Molar Fraction # Water mole fraction in gas
XGSwa = VpWat / Absolute Pressure # Saturation gas mole fraction.
dXwa = XGwa – XGSwa
FLUXwa = CM wa * dXwa
Net IPMT mass flux.
FLUXwa1 = m ax(0.0 [kg m^ -3 s^-1],FLUXwa) # Gas to Liquid.
FLUXwa2 = -min(0.0 [kg m^ -3 s^-1],FLUXwa) # Liquid to Gas.
Mass fraction rate derivative.
dFLwadYG = -CMwa*XGwa*(1.0 -XGwa)

64
Continuity linearisation with respect to P.
dXRwadp = – XGSwa / Absolute Pressure
dFLUXwadp = CMwa*dXRwadp
Local False step linearisation of the IPMT
The algorithm is that the transfer is bounded to ensure that you cannot take more than is
available and you cannot give more than there is room for. A minimum false time step is
applied t o avoid completely freezing the mass fraction – this should be set to a sensible value
based on the physics. To avoid a divide by zero the mass transfer also has a minimum
absolute value – this should be set to a sensible value based on the physics.
DtFalseMi n = 1.0e -8 [s] Is this a sensible value ?
absFluxMin = 1.0e -10 [kg s^ -1 m^ -3 Is this a sensible value ?
DtFac = 1.0
SwitchFWa = step( FLUXwa / 1.0 [kg s^ -1 m^ -3] )
#massLiqWa = max( $Lqx.density * ( SwitchFWa*$Lqx.$Cliq.mfc + (1.0 -SwitchFWa) ) ,
0.0 [kg m^ -3] )
massLiqWa = $Lqx.density
massGasWa = max( $Gsx.density * ( SwitchFWa + (1.0 -SwitchFWa)*$Gsx.$Cvap.mfc ) ,
0.0 [kg m^ -3])
DtFalseWa = max( DtFalseMin , \
min( $Lqx.vf*massLiqWa , $Gsx.vf*massGasWa ) \ max( abs(FLUXwa) , absFluxMin ) )
DtFals eMf = DtFac*DtFalseWa
END

65
BIBLIOGRAFIE :

[1] FOWLER, A.C.: Mathematical Models in the Applied Sciences , Cambridge Texts in
Applied Mathematics Series, Cambridge University Press, Cambridge, 1997.
[2]http://biblioteca.regielive.ro/cursuri/grafica -computerizata/modelarea -si-simularea –
modulul -1-91188.html
[3] DODESCU, GH. – SCHIANU, Ș. – OGĂDESCU, I. – NĂSTASE, P.: Simularea
sistemelor , Ed. Militară, București, 1886.
[4] SORAN, I.F. – KISCH, D.O. – SÎRBU, G.M.: Modelarea sistemelor de conversie a
energiei , Ed. ICPE, București, 1998.
[5] Duinea Adelaida Mihaela – Transfer de caldura de masa – suport de curs
[6]-http://www.scientia.ro/fizica/termodinamica/74 -transfer -caldura.html
[7]- https://ro.wikipedia.org/wiki/Transmiterea_c%C4%83ldurii#cite_note -M282 -1
[8]- SORAN, I.F. – KISCH, D.O. – SÎRBU, G.M.: Modelarea sistemelor de conversie a
energiei , Ed. ICPE, București, 1998.
[9]http://ltcm.epfl.ch/files/content/sites/ltcm/files/shared/import/migration/COUR SES/TwoPhaseFl
owsAndHeatTransfer/lectures/Chapter_7.pdf
[10]- http://www.termo.utcluj.ro/pcif/03curs.pdf
[11]- http://dpue.energ.pub.ro/files/carte/bazele_tcm.pdf
[12]-DODESCU, GH. – SCHIANU, Ș. – OGĂDESCU, I. – NĂSTASE, P.: Simularea
sistemelor , Ed. Militară, București, 1886.
[13] http://aparate.elth.ucv.ro/MILITARU/Cursuri/Metode%20numerice%20ec%20deriv%20partiale/
met_num%20ec%20deriv%20part_1.pdf
[14]- Rezolvarea ecuatiilor diferentiale
[15]-Verificarea si validarea modelelor de simulare – Departamentul de inginerie electrica si
stiinta calculatoarelor , colegiul de inginerie L. C. Smith Unversitatea Syracuse