Programul de studii de masterat: Controlul Zgomotelor și Vibrațiilor [305033]

UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN BUCUREȘTI

Facultatea de Ingineria Sistemelor Biotehnice

Programul de studii de masterat: Controlul Zgomotelor și Vibrațiilor

LUCRARE DE DISERTAȚIE

Vibrațiile neliniare ale ciocanului unei prese acționate cu aer comprimat

Conducător științific Absolvent: [anonimizat]. Cristian DRAGOMIRESCU Ing. Ștefan DUMITRU

UPB

2018

1. [anonimizat]. [anonimizat], [anonimizat], sau în apropierea acesteia.

1.1. [anonimizat] a afla soluții din ce în ce mai exacte pentru problemele apărute în industrie. [anonimizat], ceea ce poate conduce la probleme ulterioare.

[anonimizat], și verificarea necesității aflării cu exactitate a soluțiilor, pentru problema aleasă. [anonimizat] o comparație și se poate ajunge la o concluzie, [anonimizat].

1.2. [anonimizat]. [anonimizat], [anonimizat], necesitând cunoștințe avansate ale conceptelor fizice apărute și un aparat matematic complex.

[anonimizat] a [anonimizat], și nu furnizează întotdeauna precizia dorită. [anonimizat].

1.3. Scopul lucrării

În această lucrare doresc să fac o [anonimizat] a vibrațiilor unei prese acționate cu aer comprimat.

De asemenea doresc să realizez o [anonimizat].

2. Aplicații tehnice ale ciocanului unei prese acționate cu aer comprimat

Una dintre funcțiile principale ale unei prese este aceea de a produce o deformare plastică asupra unui material.

O aplicație a ciocanului presei acționate cu aer comprimat are loc în cadrul procedeul de forjare al metalului.

În figura 2.1 [anonimizat]:

Ciocanul presei

Semifabricatul

Nicovala presei

Cilindrul de acționare cu aer comprimat

Fig. 2.1: Schema presei folosite pentru forjare[9]

În afară de această aplicație, o [anonimizat]. Unul dintre cele mai vechi locuri unde acestea au fost folosite a fost în mine. [anonimizat]ează aproape de rezonanță iar frecvența de lucru este apropiată de frecvența de rezonanță a rocii.

În figura 2.2 se poate observa un astfel de ciocan pneumatic.

Fig. 2.2: Ciocan pneumatic folosit în mină [7]

Un alt domeniu de utilizare al ciocanului pneumatic, și deci o aplicație tehnică este în domeniul construcțiilor, unde se folosește același principiu ca în cazul forajelor miniere pentru mărunțirea resturilor de beton.

În figura 3 se poate observa un astfel de ciocan pneumatic utilizat în demolarea unei structuri de beton.

Fig. 2.3: Ciocan pneumatic folosit în construcții [6]

3. Vibrații

Vibrațiile sunt caracterizate prin variația în funcție de timp a mărimilor de stare ale sistemului. [2]

Mărimile de stare pot provenii din domenii diferite, așa cum se poate observa din tabelul 3.1.

Tabelul 3.1: Domeniu fizic și mărimile de stare corespunzătoare (după [2])

Așa cum am menționat anterior, mărimile de stare sunt dependente de timp și au forma:

(3.1)

Elementele unui sistem vibratoriu sunt masa m, arcul având constanta elastică k, amortizorul, având constanta de amortizare d, și forța perturbatoare Fp.

Vibrațiile pot fi clasificate după existența amortizării și a forței perturbatoare, așa cum se poate observa din tabelul 3.2.

Tabelul 3.2: Tipuri de vibrații

3.1. Vibrațiile liniare

În figura 3.1 se poate observa un sistem liniar cu un grad de libertate ce conține o masă în mișcare m, pe care acționează forța elastică Fe, a arcului cu constanta elastică k, forța disipativă Fd, a amortizorului cu constanta de amortizare d, și forța perturbatoare Fp.

Fig. 3.1: Sistem vibratoriu format pentru vibrații forțate amortizate(după [5])

Pentru acest sistem, ecuația mișcării este:

(3.3)

Dacă se ține cont că:

(3.4)

(3.5)

(3.6)

Ecuația (3.3) se poate scrie:

(3.7)

sau:

(3.8)

Soluția acestei ecuații este:

(3.9)

Amplitudinea A poate fi scrisă ca:

(3.10)

Unde:

xst – deformarea statică

V1 – funcția de amplificare[2]

Folosind prescurtările și, se poate scrie funcția de amplificare:

(3.11)

Rezonanța apare atunci când frecvența forței perturbatoare este aceeași cu cea a sistemului, cazul η=1, așa cum se poate observa din figura 3.2.

Fig. 3.2: Funcția de amplificare pentru diferite grade de amortizare(după [2])

Se observă că, pentru cazul fără amortizare, atunci când frecvența forței perturbatoare este aceeași cu frecvența proprie a sistemului, valoarea amplitudinii tinde către infinit, lucru ce poate dăuna sistemului.

3.2. Vibrații neliniare

Deoarece sistemele vibrațiile nu prezintă întotdeauna o caracteristică liniară, este necesar să fie studiat în mod amănunțit și cazul vibrațiilor neliniare. Acest lucru este întărit de faptul că în natură nu există sisteme cu adevărat liniare, ci doar sisteme ce sunt aproximate prin ecuații sau funcții liniare. Totuși rezolvarea acestor sisteme diferențiale neliniare este mult mai complicată decât cea a sistemelor liniare, și în cele mai multe cazuri în care este posibil, se preferă aproximarea prin sisteme liniare.

În figura 3.3, se pot observa exemple de sisteme neliniare, unde f(x) și f(θ) reprezintă funcțiile neliniare caracteristice forțelor elastice neliniare.

În cazul a) este prezentat un pendul matematic unde dependența față de unghiul θ a forței elastice este regresivă.

În cazul b) este prezentat un punct material prins prin două fire elastice unde dependența față de unghiul θ a forței elastice este progresivă.

În cazul c) este prezentat un punct material ce are legat la un capăt un arc cu formă conică unde dependența față de unghiul θ a forței elastice este progresivă.

În cazurile d) și e) sunt reprezentate două sisteme vibratorii în care curba ce determină legătura dintre forțele elastice și deformările corespunzătoare sunt întrerupte din cauza geometriei sistemului.

O altă posibilitate pentru a avea un sistem vibrator neliniar, în afară de considerentele geometrice prezentate în figura 3.3, este aceea ca arcul să fie realizat din cauciuc și deci să nu respecte legea lui Hook.

O a treia posibilitate este ca forța de amortizare să nu fie proporțională cu viteza.

Pentru sistemele vibratorii neliniare, ecuația de mișcare este de forma:

(3.12)

Sau

(3.13)

Unde funcțiile sunt neliniare și continue.

Fig. 3.3: Exemple de sisteme neliniare[2]

Pentru sistemele vibratorii neliniare, curba caracteristică a arcului este de asemenea neliniară. În figura 5 se pot observa curbele caracteristice progresivă (cazul a) și cea regresivă (cazul b)

Fig. 3.4: Curbele caracteristice ale sistemelor vibratorii neliniare [2]

Ce trebuie avut în vedere în cazul sistemelor vibratorii neliniare este faptul că nu se mai poate utiliza principiul superpoziției, iar perioada T se găsește ca fiind o funcție de amplitudinea A.

Dacă în cazul vibrațiilor liniare, indiferent de amplitudinea vibrației, maximul acesteia se afla la frecvența de rezonanță a sistemului, pe când pentru vibrațiile cu caracteristică regresivă sau progresivă, aceasta diferă, așa cum se poate observa din figura 3.4.

Fig. 3.5: Curbele schelet ale vibrațiilor liniare, regresive și progresive(după [4])

Luând în considerație figurile 3.2 și 3.5, rezultă curbele caracteristice în cazul frecvențelor neliniare, pentru cazul regresiv, respectiv progresiv, așa cum se poate observa din figura 3.6.

Fig. 3.6: Curbele caracteristice ale sistemelor neliniare(după [4])

4. Model de studiu propus în literatura de specialitate

Modelul de studiu propus în literatură pentru rezolvarea problemei este acela al unui sistem vibratoriu cu o curbă caracteristica a arcului regresivă. Acest sistem apare în cazul sistemelor mecanice ce au arcuri pretensionate.

În figura 4.1. este prezentat modelul propus de Holzweißig pentru ciocanul unei prese acționate cu aer comprimat.

Figura 4.1: Model teoretic pentru ciocanul unei prese acționate cu aer comprimat(după [3])

Așa cum se poate observa, la echilibru și în cazul micilor oscilații, sistemul poate fi considerat liniar, deoarece arcurile pretensionate acționează asupra corpului. Arcurile pretensionate au constanta arcului c1, diferită față de cea a legate de masa M.

Excitarea sistemului are loc printr-o funcție armonică F(t). Sub acțiunea acestei forțe, sistemul iese din echilibru și în momentul în care amplitudinea sistemului depășește de pretensionare arcul de constantă c1 aflat în direcția opusă direcției mișcării nu mai acționează asupra corpului de masă M, iar sistemul este transformat într-unul cu o caracteristică regresivă.

Această nouă caracteristică poate fi observată în figura 4.2.

Figura 4.2: Curba caracteristică a sistemului(după [3])

Această curbă a fost aflată folosind următoarele date de intrare:

M=20 kg Masa corpului vibrator

c/2=0.6*104 N/m Constanta arcului comprimat în echilibru

c1=0.6*104 N/m Constanta arcului pretensionat

a=2*10-3 m Distanța de pretensionare

F=40N Amplitudinea forței perturbatoare

Pentru a rezolva problema se aplică o simplificare a sistemului, așa cum se observă în figura 4.3. a).

a)

b)

c)

Figura 4.3: Analiza sistemului vibratoriu(după [3])

Aplicând legea lui Newton și presupunând sensul mișcării spre dreapta rezultă:

(4.1)

, unde:

Având în vedere figura 4.3 a), la echilibru și pentru valori ale deplasării mai mici decât distanța de pretensionare a, ecuația de mișcare rezultă din ecuația 4.1 și poate fi scrisă cu sub forma:

(4.2)

Mișcarea corpului de masă M în intervalul [-a,a] se poate observa în figura 4.3. b) unde sensul mișcării este spre dreapta.

Pentru valori mai mari decât |a|, apare în ecuația mișcării încă un termen care transformă mișcarea totală a sistemului într-una neliniară prin modificarea ei într-una regresivă.

Ecuațiile pentru x≤-a și x≥a sunt următoarele:

(4.3)

(4.4)

Mișcarea corpului de masă M pentru x≤-a și x≥a se poate observa în figura 4.3. c) unde sensul mișcării este spre dreapta.

5. Studiul sistemului liniar

Pentru orice sistem neliniar, se începe prin studiul sistemului liniar. Acesta apare pentru oscilații cu amplitudinea mai mică decât a și poate fi descris prin ecuația 4.2.

5.1. Studiul teoretic

Considerând F(t) o funcție periodică:

(5.1)

, ecuația 4.2. se poate scrie:

(5.2)

Folosind notațiile:

(5.3)

,ecuația mișcării devine:

(5.4)

Această ecuație are o soluție formată dintr-o soluție generală și una particulară:

(5.5)

Soluția generală este de forma:

(5.6)

Soluția particulară se caută de forma termenului liber:

(5.7)

Luând în considerare că:

(5.8)

și înlocuind această soluție în ecuația mișcării, rezultă prin identificare:

(5.9)

De unde rezultă:

(5.10)

Și deci:

(5.11)

Plecând de la premisa că sistemul pornește din repaus doar sub acțiunea forței perturbatoare, se determină constantele C1 și C2:

(5.12)

Soluția problemei devine:

(5.13)

Ignorând soluția generală, se poate scrie:

(5.14)

Rezonanța apare în momentul în care numărătorul se anulează. Dacă se utilizează notațiile:

(5.14)

Rezultă:

(5.15)

și:

(5.16)

Se observă că pentru η=1, A0 tinde la infinit.

În acest punct așa cum se poate observa din figura 5.1. are loc fenomenul de rezonanță care trebuie pe cât posibil evitat.

Fig. 5.1: Exemplificarea fenomenului de rezonanță [1]

5.2. Studiul numeric

Folosind programul Matlab din Anexa 1 se obțin următoarele grafice pentru vibrațiile sistemului liniar.

Fig. 5.1: Vibrația forțată a sistemului liniar pentru Ω=0.01*ω

Așa cum se poate observa din figura 5.1, frecvența proprie a sistemului și frecvența forței perturbatoare se suprapun, obținându-se astfel vibrația sistemului pentru Ω=0.01*ω.

În realitate, sistemul nu poate porni direct cu frecvența maximă a forței perturbatoare, de aceea 1% din frecvența proprie a sistemului este o valoare peste care se trece pentru a ajunge la frecvența de funcționare a mașinii.

În acest caz, se observă că amplitudinea vibrațiilor este mai mare de 2 mm, distanța de pretensionare a arcurilor, ceea ce înseamnă că masa va suporta și vibrații neliniare.

Fig. 5.2: Fenomenul de rezonanță pentru vibrațiile liniare

Precum era de așteptat, atunci când raportul apare fenomenul de rezonanță, iar din cauză că sistemul nu are amortizare, amplitudinea A, tinde către infinit.

6. Studiul sistemului neliniar

6.1. Studiul teoretic

Sistemul este totuși neliniar iar combinând ecuațiile 4.2-4.4 se poate scrie următoarea ecuație de mișcare scrisă pe intervale:

(6.1)

Se disting în continuare 2 cazuri:

Amplitudinea oscilației este mai mare decât a, caz în care se pot face notațiile:

(6.2)

(6.3)

și se obține ecuația:

(6.4)

Se caută o soluție aproximativă folosind metoda liniarizării echivalente. Soluția vibrației liniare cu aceeași pulsație ca cea a forței de excitație este:

(6.5)

În locuind x în (6.4) rezultă

(6.6)

Înmulțind expresia (6.6) cu și integrând pe 0, 2π, rezultă:

(6.7)

Având în vedere că:

(6.8)

Ecuația (6.7) se poate scrie:

(6.9)

Din ecuația (6.5), pentru x=a, rezultă:

(6.10)

În noua coordonată Ψ se poate reîmpărți domeniul:

(6.11)

(6.12)

Atunci

(6.13)

Înlocuind expresia (6.13) în ecuația (6.9), și ținând cont de paritatea funcției cosinus se obține:

(6.14)

Unde:

Cu aceste rezultate intermediare, (6.14) devine

(6.15)

Folosind notațiile:

(6.16)

Se poate scrie

(6.17)

Deoarece nu există amortizare se disting două situații:

ϕ=0, când oscilația și forța excitatoare sunt în fază. η<1

ϕ=π, când oscilația și forța excitatoare sunt în antifază. η>1

Amplitudinea oscilației nu depășește lungimea e. Condiția este echivalentă cu A<1, iar mișcarea este descrisă de o ecuație liniară neomogenă:

(6.18)

Această ecuație are soluția particulară (5.13) și se rezolvă liniar.

Trebuie luat totuși în considerație faptul că, la rezonanță, amplitudinea trece de valoarea a a distanței de pretensionare, deci:

(6.19)

De unde rezultă:

(6.20)

6.2. Studiul numeric

Folosind programul Matlab din anexa 2 au rezultat următoarele grafice pentru cazul vibrațiilor neliniare cu amplitudinea mai mică decât distanța de pretensionare a arcurilor cu constanta elastică c1, precum și pentru cazul celor cu valori ale amplitudinii mai mari decât distanța de pretensionare.

Fig. 6.1: Pulsația sistemului pentru vibrații cu amplitudinea mai mică de 2mm

Așa cum se poate observa din figura 6.1, pulsația proprie a sistemului pentru amplitudini ale vibrațiilor mai mici decât 2mm este 1.155*ω0, pulsația proprie a sistemului liniar.

Faptul că aceasta este mai mare decât pulsația proprie a sistemului liniar, confirmă faptul că, sistemul este unul regresiv.

Cel de-al doilea grafic rezultat este cel al variației amplitudinii sistemului în funcție de frecvența de excitare a sistemului, pentru amplitudini mai mari decât distanța de pretensionare a arcurilor.

Fig. 6.2: Pulsația sistemului pentru vibrații cu amplitudinea mai mare de 2mm

Așa cum se poate observa din figura 6.2, deși la valori mari ale amplitudinii, răspunsul în frecvență al vibrațiilor neliniare corespunde cu cel al vibrațiilor liniare, pentru valori mai mici, acest lucru nu mai este valabil, spectrul amplitudinilor mutându-se ușor către dreapta.

Fig. 6.3: Caracteristica arcului și aproximarea făcută pentru calcul

Utilizând programul Matlab din anexa 3, se realizează figura 6.3, unde cu linie neagră este reprezentată caracteristica arcului din problema studiată, iar cu albastru este reprezentată funcția de ordinul 3 care este folosită pentru aproximarea variației caracteristicii forței elastice, funcție de alungire:

(6.21)

În figura 6.4, se pot observa, cu negru, variația în timp a amplitudinii sistemului pentru cazul neliniar și cu albastru variația în timp a amplitudinii pentru cazul liniar.

Fig. 6.4: Variația amplitudinii pentru caracteristică neliniară, respectiv liniară

Așa cum se poate observa, perioada de oscilație a sistemului neliniar este mai mare decât cea a celui liniar, acest lucru se datorează dependenței amplitudinii de frecvență

7. Modificarea constantei arcurilor

Așa cum s-a arătat anterior, vibrațiile liniare și cele neliniare nu coincid. Totuși, este de interes compararea a 6 cazuri pentru constantele arcurilor:

Utilizarea unui arc atașat cu constanta elastică înjumătățită

Utilizarea unui arc atașat cu constanta elastică dublată

Utilizarea unui arc atașat cu constanta elastică de 4 ori mai mică

Utilizarea unui arc atașat cu constanta elastică de 4 ori mai mare

Eliminarea arcului

Constanta elastică rămâne aceeași

Datele de intrare pentru aceste 3 cazuri pot fi observare în tabelul 7.1.

Tabelul 7.1: Datele de intrare pentru simulare

Utilizând programul Matlab din anexa 4, se obțin spectrele de amplitudine pentru toate cele 6 cazuri.

Fig. 7.1: Vibrațiile neliniare pentru cele 6 cazuri studiate

Așa cum se poate observa din figura 7.1, modificarea constantei arcului fixat pe corpul de masă M nu influențează caracteristica neliniară, ci doar modifică pantele curbelor ce tind către infinit pentru η.

8. Măsurători

Deoarece nu a fost posibil să se facă măsurători propriu-zise pe ciocanul unei prese acționate cu aer comprimat sau pe un ciocan pneumatic, a fost nevoie de o simplificare a modelului.

Pentru aceasta s-a ales realizarea măsurătorilor pe ciocanul rotopercutor acționat electric, din figura 8.1, deoarece mișcarea pe care acesta o execută este aceeași cu cea a unei prese acționate cu aer comprimat.

Fig. 8.1: Ciocan rotopercutor Einhell BT-RH 1500 utilizat pentru măsurători

Încercările au fost realizate utilizând blocuri de lemn și de beton, putându-se astfel trage concluzii și despre comportarea diferită a materialelor.

Încercările au fost realizate la ICECON.SA, utilizându-se instrumentele de măsurare din dotarea laboratorului.

8.1. Instrumente de măsurare

Pentru măsurarea vibrațiilor ciocanului rotopercutor s-a utilizat accelerometrul Miniature Triaxial Deltatron de tipul 4520 de la Brüel & Kjær din figura 8.2.

Fig. 8.2: Accelerometrul Miniature Triaxial Deltatron de tipul 4520[8]

Motivul alegerii acestui tip de accelerometru este acela că poate măsura accelerații de până la 500g, așa cum se poate vedea din anexa 5, ceea ce este foarte util pentru a capta accelerațiile unui ciocan rotopercutor.

Achiziția datelor s-a efectuat cu placa de achiziție NI 9233, de la National Instruments din figura 8.2, pe 3 canale, pentru vibrațiile în cele 3 direcții principale: x, y și z.

Fig. 8.3: Placa de achiziție NI 9233

8.2. Pregătirea modelului de studiu

Măsurătorile au fost realizate urmărind diagrama de proces din figura 8.4.

Fig. 8.4: Diagrama de proces a principiului de măsurare

Măsurătorile au fost realizate utilizând rotopercutorul perpendicular pe sol, iar accelerometrul a fost plasat pe mâner pentru a lua în considerare și influența vibrațiilor asupra corpului, așa cum se poate observa din figura 8.5 a).

a) b)

Fig. 8.5: Metoda de utilizare a rotopercutorului

În figura 8.5 b) se pot observa direcțiile de măsurare:

x – înspre față

y – înspre stânga

z – în sus

Pentru experiment s-a utilizat atât funcția de percutor, folosind o daltă, cât și cea de rotopercutor, utilizând un burghiu

În anexa 6 se pot observa modul de măsurare pentru cazurile propuse spre analiză

8.3. Date obținute

Utilizând programul Matlab din anexa 7, am obținut următoarele grafice pentru vibrațiile ciocanului rotopercutor.

Fig. 8.6: Semnal inițial pentru vibrații pe lemn și transmitere prin daltă

Fig. 8.7: Semnal inițial pentru vibrații pe beton și transmitere prin daltă

Fig. 8.8: Semnal inițial pentru vibrații pe lemn și transmitere prin burghiu

Fig. 8.9: Semnal inițial pentru vibrații pe beton și transmitere prin burghiu

În figurile 8.6 – 8.9 se pot observa valorile obținute în urma măsurătorilor realizate. Este de remarcat faptul că nu toată perioada măsurată este posibilă analiza deoarece apar variații ale amplitudinilor. Din acest motiv, graficele trebuie modificate pentru a avea un semnal de analizat cât mai curat.

În cazul utilizării burghiului, perioada de măsurare este mai mică deoarece acesta a trecut mai ușor prin material.

Mai multe măsurători apar în anexa 8.

8.4. Prelucrarea datelor

Așa cum am menționat, din cauza neliniarităților și a variațiilor în amplitudine ale vibrațiilor a fost necesară decuparea semnalelor primare măsurate pentru a putea realiza o analiză spectrală cât mai concludentă.

Decuparea semnalelor se face manual de către utilizatorul programului din anexa 7, prin selectarea timpului la care se începe decuparea semnalului și durata ferestrei.

Rezultatele obținute în urma modificării pot fi observate în figurile următoare.

Fig. 8.10: Semnal modificat pentru vibrații pe lemn și transmitere prin daltă

Fig. 8.11: Semnal modificat pentru vibrații pe beton și transmitere prin daltă

Fig. 8.12: Semnal modificat pentru vibrații pe lemn și transmitere prin burghiu

Fig. 8.13: Semnal modificat pentru vibrații pe beton și transmitere prin burghiu

Așa cum se poate observa din figurile 8.10 – 8.13, după aplicarea ferăstruirii dreptunghiulare, amplitudinea vibrației pe segmentele alese sunt mult mai constante, rezultând mai puțin zgomot în analiza spectrală

Mai multe măsurători apar în anexa 8.

8.5. Rezultate și concluzii

Utilizând programul din anexa 7 se obțin spectrele de amplitudini ale vibrațiilor produse de ciocanul rotopercutor asupra materialelor testate.

Acestea pot fi observate în figurile următoare.

Fig. 8.14: Analiza FFT a vibrațiilor pe lemn și transmitere prin daltă

Fig. 8.15: Analiza FFT a vibrațiilor pe beton și transmitere prin daltă

Fig. 8.16: Analiza FFT a vibrațiilor pe lemn și transmitere prin burghiu

Fig. 8.17: Analiza FFT a vibrațiilor pe beton și transmitere prin burghiu

În figurile 8.14 – 8.17 se poate observa analizele FFT pentru cele 4 cazuri menționate. Frecvența fundamentală a sistemului este în jurul valorii de 56 Hz pentru transmiterea prin daltă și 59 Hz pentru transmiterea prin burghiu. În cazul analizei cazurilor în care se realizează transmiterea prin daltă, se observă că frecvențele predominante sunt primele 3 frecvențe, cu observația că în figura 8.14, frecvența predominantă pe direcția Y nu este frecvența fundamentală.

În cazul analizei cazurilor în care se realizează transmiterea prin burghiu, doar primele 2 frecvențe sunt dominante, dar apare zgomot pe o plajă largă de frecvențe între 1000 și 2000 Hz, și chiar un vârf pentru cazul găuririi lemnului la 1572 Hz

Mai multe rezultate apar în anexa 8

9. Efectul vibrațiilor asupra omului

Pentru a evalua efectul vibrațiilor asupra corpului uman, se poate utiliza coeficientul de percepere K, introdus de Dieckmann. Acesta poate fi calculat pentru reprezentări în funcție de accelerație, viteză și deplasare folosind formulele 9.1 – 9.3.

(9.1)

(9.2)

(9.3)

, unde:

– Accelerația eficace

– Viteza eficace

– Deplasarea eficace

– Frecvență

– Constantă = 10 Hz

– Constantă = 18.0

– Constantă = 0.112

– Constantă = 0.71

Valorile eficace ale accelerației, vitezei sau deplasării pot fi calculate cu formulele 9.4 – 9.6.

(9.4)

(9.5)

(9.6)

Valoarea coeficientului de percepție poate fi comparată cu valoarea standard din standardul german: VDI-Richtlinien 2057. În tabelul 9.1, pot fi observate treptele și modul de percepție, în funcție de valoarea coeficientului de percepție.

Tabelul 9.1: Treptele de percepție ale vibrațiilor(după [1])

Cu ajutorul tabelului 3.1 și utilizând relațiile 9.1, 9.2 și 9.3, se pot afla treapta și modul de percepție fără calcul, pentru domeniul 0.5 până la 100 Hz și pentru o valoare cunoscută a accelerației, vitezei sau deplasării. În figura 9.1 sunt reprezentate treptele de percepție față de amplitudinea accelerației și frecvență

Fig. 9.1: Treptele de percepție față de amplitudinea accelerației efective (după [1])

În figura 9.2 sunt reprezentate treptele de percepție față de amplitudinea vitezei și frecvență

Fig. 9.2: Treptele de percepție față de amplitudinea vitezei efective(după [1])

În figura 9.3 sunt reprezentate treptele de percepție față de amplitudinea deplasării și frecvență

Fig. 9.3: Treptele de percepție față de amplitudinea deplasării efective(după [1])

Utilizând programul din anexa 7, se obțin accelerațiile eficace pentru cele 4 cazuri luate în considerare la capitolul precedent. Rezultatele pot fi observate în tabelul 9.2.

Tabelul 9.2: Calculul coeficientul de percepție K

Așa cum se poate observa din tabelul 9.2, coeficientul de percepție K este mai mare de 63, deci vibrațiile se află în treapta I, fiind foarte puternic perceptibil.

10. Concluzii

Studiul vibrațiilor este foarte important din cauza posibilității apariției rezonanței și a distrugerii instalațiilor sau a vătămării persoanelor.

Studiul vibrațiilor neliniare este mult mai complicat decât cel al celor liniare, necesită cunoștințe aprofundate de mecanică și matematică. Din acest motiv, în studiul oricărei probleme trebuie să se înceapă cu studiul liniarității sau al micilor oscilații, pentru care majoritatea sistemelor cu caracteristică neliniară pot fi aproximate ca fiind liniare. Dacă totuși se dorește o aprofundare a studiului, pentru anumite probleme, cum ar fi și cea de față, se pot găsi soluții teoretice aproximative. Pentru rezolvarea acestei probleme s-a utilizat metoda liniarizării echivalente pentru rezolvarea teoretică și a fost rezolvată numeric folosind programe realizate în Matlab.

Vibrațiile neliniare ale modelului studiat sunt apropiate de cele liniare, diferența apărând doar printr-o ușoară mutare a frecvenței de rezonanță. Cu toate acestea, având în vedere că domeniul rezonanței care trebuie evitat în practică este de obicei 0.7…1.4 din pulsația proprie, iar frecvența de rezonanță a sistemului neliniar este de 1.15 ori pulsația proprie, studiul sistemului neliniar nu este util decât pentru asigurarea faptului că noua frecvența de rezonanță nu iese din acest interval.

Modelul testat ce aproximează modelul teoretic a fost bine ales, deoarece vibrațiile rezultate au o formă asemănătoare. Diferența se realizează prin faptul că masa aparatului testat este relativ mică față de cea a modelului teoretic, ceea ce conduce la diferențe în calculul matematic. Cu toate acestea, principiul celor două este același

Bibliografie

Buzdugan, Gh., Fetcu, L., Radeș, M., Vibrații mecanice, Ediția a 2-a, Editura didactică și pedagogică, București, 1982;

Deciu, E., Dragomirescu, C., Maschienendynamik, Editura Printech, București, 2001;

Dresig, H., Fischer, U., Holzweißig, F., Stephan, W., Arbeitsbuch Maschienendynamik/Schwingungslehre, Editura VEB Fachbuchverlag, Leipzig, 1983

Harris, C., Piersol, A., Harris´ shock and vibration handbook; Ediția a 5-a; Editura R. R. Donnelley & Sons Company, New York, 2002;

Radeș, Mircea(Vibrații mecanice, 2008): Vibrații mecanice, Editura Printech, București, 2008;

Ciocan pneumatic folosit în construcții,

https://www.bosch-professional.com/de/de/community/category/schlaghammer-gsh-11-e-professional_testbericht/254361-t, accesat la 02.05.2018

Ciocan pneumatic folosit în mină,

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9d/Schauinsland_1040378.jpg, accesat la 02.05.2018

Fișa tehnică a accelerometrului, www.bksv.com/media/doc/Bp2072.pdf, accesat la 25.06.2018

Schema presei folosite pentru forjare, https://ipm.utcluj.ro/Files/Curs_PPDP.pdf, accesat la: 02.05.2018

Anexa 1 – Program pentru rezolvarea teoretică și numerică a vibrațiilor liniare

function xp = ecdiff(t,x)

M=20;

c=12000;

c1=6000;

F0=40;

Omega=0.01*(c+2*c1)/M;

xp = [x(2);(((F0/M)*cos(Omega*t))-(((c+2*c1)/M)*x(1)))];

M=20;

c=12000;

c1=6000;

F0=40;

Omega=(c+2*c1)/2;

durata=0:0.0001:10;

x0=[0;0];

[t,x]=ode45('ecdiff',durata,x0);

figure

plot(t,x(:,1),'k');

xlabel('Timpul t[s]')

ylabel('Deplasarea x[m]')

title('Vibrația forțată')

hold on;

hold off;

etha=linspace(0,10,100);

x_st=F0/(c+2*c1);

A=abs(1./(1-etha.^2));

figure

plot(etha,A,'k')

title('A(etha)');

xlabel('etha');

ylabel('A');

hold on;

hold off;

Anexa 2 – Program pentru rezolvarea teoretică a vibrațiilor neliniare

clear all

m=20;

c=12000;

c1=6000;

a=0.002;

F0=40;

phi=0;

figure

title('A(etha), Vibrații neliniare pentru A>a')

xlabel('etha')

ylabel('A')

hold on

A=linspace(1,1000,100000);

etha=sqrt(1-F0./((c+c1).*a.*A).*cos(phi)+2.*c1./((c+c1).*pi).*(asin(1./A)+1./A.*sqrt(1-(1./A).^2)));

plot(etha,A,'k')

phi=pi;

A=linspace(1,1000,100000);

etha=sqrt(1-F0./((c+c1).*a.*A).*cos(phi)+2.*c1./((c+c1).*pi).*(asin(1./A)+1./A.*sqrt(1-(1./A).^2)));

plot(etha,A,'k')

etha=linspace(0,10,10000);

A=abs(1./(1-etha.^2));

plot(etha,A)

hold off

figure

title('A(etha), Vibrații neliniare pentru A<a')

xlabel('etha')

ylabel('A')

hold on

etha=linspace(0,10,10000);

A=abs(1./((c+2*c1)/(c+c1)-etha.^2));

plot(etha,A,'k')

hold off;

Anexa 3 – Program pentru compararea modelului liniar cu cel neliniar

function xp = ecdiffneliniara(t,x)

M=20;

c=12000;

c1=6000;

F0=40;

Omega=0.01*(c+2*c1)/M;

xp = [x(2);(((F0/M)*cos(Omega*t))-((c+2*c1)/M*x(1)-0.125*10^9/M*x(1)^3))];

figure;

x=linspace(-0.006,-0.002);

y=-12+18000*x;

plot(x,y,'k');

hold on

x=linspace(-0.002,0.002);

y=24000*x;

plot(x,y,'k');

hold on

x=linspace(0.002,0.006);

y=12+18000*x;

plot(x,y,'k');

hold on

x=linspace(-0.006,0.006);

y=24000*x-0.125*10^9*x.^3;

plot(x,y);

grid on

xlabel('x[m]')

ylabel('Fe(x)[N]')

title('Forta elastica')

hold off

durata=0:0.0001:10;

x0=[0;0];

[t,x]=ode45('ecdiffneliniara',durata,x0);

figure;

plot(t,x(:,1));

xlabel('Timpul t[s]')

ylabel('Deplasarea x[m]')

title('Vibrația forțată neliniară?')

hold on

[t,x]=ode45('ecdiff',durata,x0);

plot(t,x(:,1));

hold off;

Anexa 4 – Program pentru verificarea influenței constantei elastice

clear all

m=20;

c1=6000;

a=0.002;

F0=40;

figure

title('A(etha), Vibrațiile neliniare pentru cele 6 cazuri')

xlabel('etha')

ylabel('A')

hold on

% Cazul 1

c=6000;

phi=0;

A=linspace(1,1000,100000);

etha=sqrt(1-F0./((c+c1).*a.*A).*cos(phi)+2.*c1./((c+c1).*pi).*(asin(1./A)+1./A.*sqrt(1-(1./A).^2)));

plot(etha,A,'b')

phi=pi;

A=linspace(1,1000,100000);

etha=sqrt(1-F0./((c+c1).*a.*A).*cos(phi)+2.*c1./((c+c1).*pi).*(asin(1./A)+1./A.*sqrt(1-(1./A).^2)));

plot(etha,A,'b')

% Cazul 2

c=24000;

phi=0;

A=linspace(1,1000,100000);

etha=sqrt(1-F0./((c+c1).*a.*A).*cos(phi)+2.*c1./((c+c1).*pi).*(asin(1./A)+1./A.*sqrt(1-(1./A).^2)));

plot(etha,A,'r')

phi=pi;

A=linspace(1,1000,100000);

etha=sqrt(1-F0./((c+c1).*a.*A).*cos(phi)+2.*c1./((c+c1).*pi).*(asin(1./A)+1./A.*sqrt(1-(1./A).^2)));

plot(etha,A,'r')

% Cazul 3

c=3000;

phi=0;

A=linspace(1,1000,100000);

etha=sqrt(1-F0./((c+c1).*a.*A).*cos(phi)+2.*c1./((c+c1).*pi).*(asin(1./A)+1./A.*sqrt(1-(1./A).^2)));

plot(etha,A,'g')

phi=pi;

A=linspace(1,1000,100000);

etha=sqrt(1-F0./((c+c1).*a.*A).*cos(phi)+2.*c1./((c+c1).*pi).*(asin(1./A)+1./A.*sqrt(1-(1./A).^2)));

plot(etha,A,'g')

% Cazul 4

c=48000;

phi=0;

A=linspace(1,1000,100000);

etha=sqrt(1-F0./((c+c1).*a.*A).*cos(phi)+2.*c1./((c+c1).*pi).*(asin(1./A)+1./A.*sqrt(1-(1./A).^2)));

plot(etha,A,'m')

phi=pi;

A=linspace(1,1000,100000);

etha=sqrt(1-F0./((c+c1).*a.*A).*cos(phi)+2.*c1./((c+c1).*pi).*(asin(1./A)+1./A.*sqrt(1-(1./A).^2)));

plot(etha,A,'m')

% Cazul 5

c=0;

phi=0;

A=linspace(1,1000,100000);

etha=sqrt(1-F0./((c+c1).*a.*A).*cos(phi)+2.*c1./((c+c1).*pi).*(asin(1./A)+1./A.*sqrt(1-(1./A).^2)));

plot(etha,A,'c')

phi=pi;

A=linspace(1,1000,100000);

etha=sqrt(1-F0./((c+c1).*a.*A).*cos(phi)+2.*c1./((c+c1).*pi).*(asin(1./A)+1./A.*sqrt(1-(1./A).^2)));

plot(etha,A,'c')

% Cazul 6

c=12000;

phi=0;

A=linspace(1,1000,100000);

etha=sqrt(1-F0./((c+c1).*a.*A).*cos(phi)+2.*c1./((c+c1).*pi).*(asin(1./A)+1./A.*sqrt(1-(1./A).^2)));

plot(etha,A,'k')

phi=pi;

A=linspace(1,1000,100000);

etha=sqrt(1-F0./((c+c1).*a.*A).*cos(phi)+2.*c1./((c+c1).*pi).*(asin(1./A)+1./A.*sqrt(1-(1./A).^2)));

plot(etha,A,'k')

hold off

Anexa 5 – Fișă tehnică accelerometru utilizat pentru măsurători

Anexa 6 – Fotografii din timpul măsurătorilor

Fig. A6.1: Măsurători pentru vibrații transmise lemnului folosind burghiul

Fig. A6.2: Măsurători pentru vibrații transmise lemnului folosind dalta

Fig. A6.3: Măsurători pentru vibrații transmise betonului folosind dalta

Anexa 7 – Program utilizat pentru prelucrarea datelor experimentale

x = load('numele_fisierului_X.lvm'); %Citirea fisierului

y = load('numele_fisierului_Y.lvm'); %Citirea fisierului

z = load('numele_fisierului_Z.lvm'); %Citirea fisierului

f_esantionare=(length(x(:,1))-1)/max(x(:,1));

t=x(:,1);

x=x(:,2);

y=y(:,2);

z=z(:,2);

figure

subplot(3,1,1)

plot(t,x) %Afisarea semnalunui initial

xlabel('Timpul t[s]')

ylabel('a[m/s^2]')

title('Semnal inițial pe axa X')

subplot(3,1,2)

plot(t,y) %Afisarea semnalunui initial

xlabel('Timpul t[s]')

ylabel('a[m/s^2]')

title('Semnal inițial pe axa Y')

subplot(3,1,3)

plot(t,z) %Afisarea semnalunui initial

xlabel('Timpul t[s]')

ylabel('a[m/s^2]')

title('Semnal inițial pe axa Z')

t0=input('Valoarea de timp de la care se taie semnalul: '); %Timul de la care se incepe analiza

delta_t=input('Durata semnalului: '); %Durata analizei

index1 = find(t==t0); % Gaseste indexul valorii t0

index2 = find(t==t0+delta_t); % Gaseste indexul valorii t0+delta_t

t=t(index1:index2);

x=x(index1:index2);

y=y(index1:index2);

z=z(index1:index2);

acceleratia_rms_x=rms(x);

acceleratia_rms_y=rms(y);

acceleratia_rms_z=rms(z);

figure

subplot(3,1,1)

plot(t,x) %Afisarea semnalunui taiat

xlabel('Timpul t[s]')

ylabel('a[m/s^2]')

title('Semnal modificat pe axa X')

subplot(3,1,2)

plot(t,y) %Afisarea semnalunui taiat

xlabel('Timpul t[s]')

ylabel('a[m/s^2]')

title('Semnal modificat pe axa Y')

subplot(3,1,3)

plot(t,z) %Afisarea semnalunui taiat

xlabel('Timpul t[s]')

ylabel('a[m/s^2]')

title('Semnal modificat pe axa Z')

X=fft(x);

Y=fft(y);

Z=fft(z);

f = f_esantionare*(0:(delta_t*f_esantionare/2))/(delta_t*f_esantionare);

P2 = abs(X/(delta_t*f_esantionare));

P1 = P2(1:delta_t*f_esantionare/2+1);

P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1);

figure

subplot(3,1,1)

plot(f,P1)

title('Spectrul amplitudinilor vibratiilor pe axa X')

xlabel('f(Hz)')

ylabel('Amplitudinea')

P2 = abs(Y/(delta_t*f_esantionare));

P1 = P2(1:delta_t*f_esantionare/2+1);

P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1);

subplot(3,1,2)

plot(f,P1)

title('Spectrul amplitudinilor vibratiilor pe axa Y')

xlabel('f(Hz)');

ylabel('Amplitudinea');

P2 = abs(Z/(delta_t*f_esantionare));

P1 = P2(1:delta_t*f_esantionare/2+1);

P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1);

subplot(3,1,3)

plot(f,P1)

title('Spectrul amplitudinilor vibratiilor pe axa Z');

xlabel('f(Hz)');

ylabel('Amplitudinea');

Anexa 8 – Măsurători, prelucrare și rezultate

Fig. A8.1: Semnalul inițial pentru vibrațiile libere ale ciocanului rotopercutor

Fig. A8.2: Semnal inițial pentru vibrații pe lemn și transmitere prin daltă

Fig. A8.3: Semnal inițial pentru vibrații pe lemn și transmitere prin daltă paralel cu fibra

Fig. A8.3: Semnal inițial pentru vibrații pe lemn și transmitere prin daltă paralel cu fibra

Fig. A8.5: Semnal inițial pentru vibrații pe beton și transmitere prin daltă

Fig. A8.6: Semnalul modificat pentru vibrațiile libere ale ciocanului rotopercutor

Fig. A8.7: Semnal modificat pentru vibrații pe lemn și transmitere prin daltă

Fig. A8.8: Semnal modificat pentru vibrații pe lemn și transmitere prin daltă paralel cu fibra

Fig. A8.9: Semnal modificat pentru vibrații pe lemn și transmitere prin daltă paralel cu fibra

Fig. A8.10: Semnal modificat pentru vibrații pe beton și transmitere prin daltă

Fig. A8.11: Analiza FFT a vibrațiilor libere ale ciocanului rotopercutor

Fig. A8.12: Analiza FFT a vibrațiilor pe lemn și transmitere prin daltă

Fig. A8.13: Analiza FFT a vibrațiilor pe lemn și transmitere prin daltă paralel cu fibra

Fig. A8.14: Analiza FFT a vibrațiilor pe lemn și transmitere prin daltă paralel cu fibra

Fig. A8.15: Analiza FFT a vibrațiilor pe beton și transmitere prin daltă