PROGRAMUL DE STUDII DE LICENT A: MATEMATIC A [628955]

UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIS OARA
FACULTATEA DE MATEMATIC A S I INFORMATIC A
PROGRAMUL DE STUDII DE LICENT  A: MATEMATIC A
– INFORMATIC A
LUCRARE DE LICENT  A
COORDONATOR: ABSOLVENT: [anonimizat].Dr. Dorel Mihet  Silaghi Paul-Adrian
TIMIS OARA
2017

UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIS OARA
FACULTATEA DE MATEMATIC A S I INFORMATIC A
PROGRAMUL DE STUDII DE LICENT  A: MATEMATIC A
– INFORMATIC A
TEOREMA FUNDAMENTAL A A
ARITMETICII
COORDONATOR: ABSOLVENT: [anonimizat].Dr. Dorel Mihet  Silaghi Paul-Adrian
TIMIS OARA
2017

Abstract
abstractul in limba engleza
3

Cuprins
Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1 Tipuri de probleme 6
1.1 Congruent e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Divizibilitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Numere prime.Descompunerea unic a ^ n factori primi. . . . . . . . . . . 9
2 Teorema fundamental a a aritmeticii 11
2.1 Nott iuni elementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Exemple de inele semifactoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Teorema fundamental a a aritmeticii ^ n aplicat ii 12
3.1 Inegalitat ile lui Ceb sev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2 Ecuat ia lui Pitagora  si ecuat ia lui Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4 Congruent e  si resturi p atratice 13
4.1 Congruent e de gradul I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.2 Congruent e de gradul II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5 Legea reprocit at ii cubice 14
5.1 Simbolul rezidual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.2 Sume de tip Gauss si Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4

Introducere
Dezvoltarea istoric a a matematicii cuprinde, ^ n linii mari, trei perioade.
Perioada ^ nt^ ai dureaz a p^ an a ^ n secolul al XVII-lea; ea cuprinde ^ n esent   a geo-
metria, aritmetica  si algebra elementar a. La ^ nceput oamenii foloseau matematica
^ n probleme practice ind legat a de ocupat iile acestora.Cu timpul pe m asur a ce ne-
cesitatea de a studia mai ad^ anc  si mai sitematic determin a o trecere treptat a spre
abstractizare, aritmetica se distinge de geometrie  si de zic a, devenind o disciplin a cu
oarecare independent  a.
Perioada a doua cuprinde secolul XVII, XVIII  si XIX.Aceast a perioad a are ^ n centru
studiul mi sc arii, m arimile variabile, interdependent a ^ ntre marimi(funct iile)  si trans-
form arile geometrice.Pentru aprofundarea not iuniunilor de vitez a  si tangent a se intro-
duce derivata funct iei.
Perioada a treia o constituie matematica modern a.Matematica modern a se caracte-
rizeaz a printr-un grad ^ nalt de abstractizare  si generalitate; la baza ei st a not iunea de
element nedenit, cu ajutorul c aruia se creaz a o baz a riguroas a a matematicii clasice
 si ^ n acela si timp o generalizare a ei.
^In trecut aritmetica se mai numea  si "Regina Matematicii", dar ^ n prezent nu i se
mai recunoa ste aceast a calitate ^ n t ara noastr a. ^Intr-adev ar, ^ n afara unor not iuni
relative la numere prime  si divizibilitate, care se predau ^ n gimnaziu , ^ n liceu exist a
un singur capitol relativ la aritmetica numerelor ^ ntregi, al c arui cont inut nici nu se
cere la examenele de admitere ^ n facultate,  si c^ ateva referiri la aritmetica polinoamelor,
care sunt de fapt de natur a algebric a.
Acesta e motivul pentru care am introdus ^ n lucrare capitolul 1 cu exercit ii cu grad
mediu de dicultate, care se pot utiliza oric^ and ^ n activitatea de predare la clas a at^ at
in gimnaziu c^ at  si ^ n liceu.Exercit iile respective nu sunt originale; ele vor numai s a
demonstreze c a problemele de aritmetic a sunt necesare pentru o ^ nsu sire complet a a
metematicii ^ n gimnaziu  si ^ n liceu.
^In capitolul 2 generaliz am ceea ce ^ n aritmetica numerelor ^ ntregi se nume ste "teo-
rema fundamental a a aritmeticii" scopul s au ind de a pune ^ n evident  a  si alte domenii
de integritate(^ n afar a de domeniul Zal numerelor ^ ntregi) ^ n care funct ioneaz a o ast-
fel de teorem a. De asemenea, sunt generalizate  si discutate ^ ntreaga gam a a not iunilor
uzuale ale aritmeticii.
^In capitolul 3, teorema fundamental a a aritmeticii este aplicat a pentru a obt ine di-
verse teoreme celebre de aritmetic a.Teorema fundamental a a aritmeticii se folose ste
mai mult ^ n cazul clasic al domeniului Zal numerelor ^ ntregi dar  si ^ n alte domenii:
Z[i];Z[!]
!=1 +ip
3
2
;Z[ip
2];Z1 +ip
7
2
^In capitolul 4 reg asim generalit at i despre congruent e, legea reciprocit at ii p atratice("teorema
de aur a aritmeticii").De asemenea capitolul prezint a mai multe demonstrat ii  si aplicat ii
importante ale ei.
^In capitolul 5 avem generalit at i despre caractere, sume Gauss  si sume Jacobi care
se aplic a pentru a demonstra legea reciprocit at ii cubice.Tot aici reg asim alte aplicat ii
interesante ale sumelor Gauss si sumelor Jacobi.
5

Capitolul 1
Tipuri de probleme
1.1 Congruent e
Problema 1. S a se demonstreze c a pentru orice num ar natural n,
3
52n+3
72n3n+1
4
5nse divide cu 11.
Rezolvare: FieE(n) = 3
52n+3
72n3n+1
4
5n.
Avem: E(n) = 3
(52n+3
72n4
15n) = 3
(125
25n
49n4
15n).
Deoarece 1254( mod 11) ,253( mod 11),495( mod 11)  si
154( mod 11), rezult a:
E(n)3
(4
3n
5n4
4n)12
(15n4n)( mod 11).
Dar 15n4n= (154)(15n1+ 15n2
4 +:::+ 4n1)0( mod 11)  si astfel,
E(n)0( mod 11) pentru orice num ar natural n.
Problema 2. S a se determine toate numerele naturale n care satisfac condt iile:
a) n este multiplu de 5;
b) restul ^ mp art irii lui n la 6 este 2;
c) restul ^ mp art irii lui n la 7 este 2;
Care este cel mai mic dintre aceste numere?
Rezolvare: Condit iile b)  si c) ne dau 6 jn2  si 7jn2 adic a, 6  si 7 sunt prime ^ ntre
ele: 42 = 6
7jn2. Astfel avem n= 42k+ 2 k num ar natural.
Condit ia a) se scrie n= 42k+ 20( mod 5), 2 k+ 20( mod 5), 2 k3( mod 5),
k4( mod 5).Astfel avem k= 5l+4, l num ar natural. ^In concluzie numerele naturale
n care satisfac condit iile din enunt  sunt exact numerele de forma:
n= 42(5 l+ 4) + 2 = 210 l+ 170, cu l num ar natural.Cel mai mic dintre aceste numere
se obt ine pentru l=0  si este n=170.
6

Problema 3. Fie n un num ar natural.S a se determine^ n funct ie de n, restul^ mp art irii
lui 222:::2
prin 17, unde numarul de 2 este n+1.
Rezolvare: Fiean= 222:::2
.Avem a0= 2  si pentru n1,an= 2a
n1.^In particular
a1= 22= 4,a2= 16. Pentru n3 avem n12, deci an10( mod 8).
Fiean1= 8k. Avem an= 2an1= 28k= 162k(1)2k= 1( mod 17).
Astfel restul ^ mp art irii lui anla 17 este:
8
>>><
>>>:2 dac a n = 0 ;
1 dac a x <0;
16 dac a n = 2 ;
1 dac a n3:
Problema 4. S a se determine ultima cifr a a num arului 7777
.
Rezolvare: Deoarece 741( mod 10), este necesar s a determin am restul ^ mp art irii
lui 777la 4.
Deoarece 721( mod 4) este necesar s a determin am restul ^ mp art irii lui 77la 2.
Avem 771( mod 2), deci 77= 2k+ 1 , k2N si 777= 72k+173( mod 4).
Astfel 777= 4l+ 3,l2N si 7777
= 74l+3739
73( mod 10).
Deci, ultima cifr a a lui 7777
este 3.
1.2 Divizibilitate
Problema 1. S a se demonstreze c a pentru orice num ar natural n:
9n+18n9
se divide cu 64.
Rezolvare: FieE(n) = 9n+18n9.Avem E(0) = 0, deci 64jE(0).Presupunem
acum c a 64jE(0); n0. Atunci: E(n+ 1) = 9n+28(n+ 1)9 = 9
9n+18n17 =
9(E(n) + 8n+ 9)8n17 = 9 E(n) + 64( n1).Relat ia obi snuit a  si ipoteza 64 jE(n)
implic a deci 64jE(n+ 1).Rezult a 64jE(n), pentru orice n0, conform principiului
induct iei matematice.
7

Problema 2. S a se determine numerele naturale n pentru care 6 divide pe
1n+ 2n+ 3n.
Rezolvare: Avem 221( mod 3).Rezult a c a dac a n este par avem 2n1( mod 3)
 si 1n+ 2n+ 3n1 + 1 = 2( mod 3). Astfel ^ n acest caz 3 nu divide pe 1n+ 2n+ 3n.
Presupunem c a n este impar. Atunci n= 2k+ 1, deci 2n= (22)k
22( mod 3).
Astfel ^ n acest caz 1n+ 2n+ 3n1 + 2 = 0( mod 3)  si deci 3 divide pe 1n+ 2n+ 3n.
Este clar c a 1n+ 2n+ 3neste impar (1n si 3nsunt impare  si 2neste par), deci 2 se
divide pe 1n+ 2n+ 3n.
Rezult a, ^ n acest caz c a 2  si 3 divid pe 1n+2n+3n, deci 6 = 2
3 divide pe 1n+2n+3n.
Deci numerele naturale n care satisfac condit ia din enunt  sunt exact numerele naturale
impare.
Problema 3. S a se rezolve ^ n numere ^ ntregi ecuat ia: x33y= 2.
Rezolvare: Ecuat ia se poate scrie x33y2( mod 3). Deoarece, conform teore-
mei lui Fermat, x3x( mod 3), rezult a x2( mod 3).Astfel x= 3k+ 2, unde k
este num ar ^ ntreg. Atunci:
y=x32
3=(3k+ 2)32
3=27k3+ 56k2+ 18k+ 82
3= 9k3+ 18k2+ 6k+ 2
Astfel solut iile ecuat iei sunt:8
<
:x= 3k+ 2
y= 9k3+ 18k2+ 6k+ 2,k2Z.
Problema 4. S a se determine numerele ^ ntregi n astfel ^ nc^ at 5 n2 divide pe 7 n+8.
Rezolvare: Deoarece 5 n2  si 5 sunt prime ^ ntre ele condit ia 5 n2j7n+ 8 este
echivalent a cu 5 n2j5(7n+ 8) = 35 n+ 40. Avem35n+ 40
5n2=35n14
5n2= 7 +54
5n2
astfel condit ia noastr a este echivalent a cu 5 n2j54. Avem 54 = 3
33.Putem a sa
imediat tot i divizorii ^ ntregi ai lui 42 :
5n22f 54;27;18;9;6;3;2;1;1;1;2;3;6;9;18;27;54g
. sau
5n2f 52;25;16;7;4;1;0;1;3;5;8;11;20;29;26g
. Evident ret inem numai 5 n2f 25;0;5;20g.Deci solut iile sunt n2f 5;0;1;4g
8

1.3 Numere prime.Descompunerea unic a ^ n factori
primi.
Problema 1. Fie p un num ar prim. S a se determine num a rul perechilor (x,y) de
numere ^ ntregi pozitive astfel ^ nc^ at:
x2pxpy= 0
Rezolvare: Ecuat ia din enunt  se pune sub forma: ( xp)(yp) =p2. Datorit a
unicit at ii descompunerii ^ n factori primi sunt evident patru solut ii distincte care se
obt in evident din:
8
<
:xp= 1
yp=p2;8
<
:xp=p
yp=p1;8
<
:xp=1
yp=p;8
<
:xp=p
yp=p
Problema 2. S a se arate c a numerele 2 k+ 1  si 9 k+ 4 sunt prime ^ ntre ele pentru
orice k2Z.
Rezolvare: Fiex= 2k+ 1  si y= 9k+ 4. Prin eliminarea lui k^ n aceste dou a relat ii
rezult a 9 x2y= 1. Astfel, orice divizor comun al lui x  si y divide pe 1 deci, x  si y
sunt prime ^ ntre ele.
Problema 3. S a se determine numerele naturale nastfel ^ nc^ at n  si n+2 sunt numere
prime  si n+ 4 nu se divide cu 3.
Rezolvare: Numerele n; n+ 1  si n+ 2 ind trei numere ^ ntregi consecutive unul
dintre ele se divide cu 3. Analiz am ecare din posibilit at i.
-daca nse divide cu 3 avem, deoarece neste num ar prim, n= 3;
-daca n+ 1 se divide cu 3 atunci  si n+ 4 se divide cu 3 ceea ce contrazice ipoteza;
-daca n+ 2 se divide cu 3 avem, deoarece n+ 2 este num ar prim, n+ 2 = 3, n= 1 ceea
ce contrazice faptul c a neste num ar prim.
Rezult a c a ipoteza din enunt  implic a n= 3; reciproc, pentru n= 3 ipoteza este
statisf acut a deoarece n= 3; n+ 2 = 5 ; n+ 4 = 7 ;7;3  si 5 sunt numere prime  si 7 nu
se divide cu 3.
Problema 3. S a se determine numerele naturale care satisfac urm atoarele condit ii:
a) se divid cu 2  si cu 3;
b) nu se divid cu nici un num ar prim diferit de 2  si 3;
c) se divid exact cu 15 numere naturale distincte.
9

Rezolvare: Numerele naturale care satisfac condit iile a)  si b) sunt numerele na-
turale de forma 2k1
11k2, unde k1 sik2sunt numere ^ ntregi pozitive. Un astfel de
num ar natural se divide exact cu ( k1+ 1)(k2+ 1) numere naturale. Condit ia c) devine
(k1+1)(k2+1) = 15. Singurele perechi ( k1; k2) de numere ^ ntregi pozitive care satisfac
condit ia ( k1+ 1)( k2+ 1) = 15 sunt evident (2 ;4)  si (4 ;2), astfel c a singurele numere
naturale care satisfac condit iile din enunt  sunt:
n= 23
34= 8
81 = 648  si n= 24
33= 16
9 = 144.
10

Capitolul 2
Teorema fundamental a a aritmeticii
2.1 Nott iuni elementare
2.2 Exemple de inele semifactoriale
11

Capitolul 3
Teorema fundamental a a aritmeticii
^ n aplicat ii
3.1 Inegalitat ile lui Ceb sev
3.2 Ecuat ia lui Pitagora  si ecuat ia lui Fermat
12

Capitolul 4
Congruent e  si resturi p atratice
4.1 Congruent e de gradul I
4.2 Congruent e de gradul II
13

Capitolul 5
Legea reprocit at ii cubice
5.1 Simbolul rezidual
5.2 Sume de tip Gauss si Jacobi
14

Bibliograe
[1] Autori, Titlu carte, Editura, An aparit ie.
[2] Autori, Titlu articol, Nume jurnal Num ar (An aparit ie), pag. start – pag. nal.
[3] Descriere resurs a online, URL: https://www.google.com
15