PROGRAMUL DE STUDII DE LICENT A: MATEMATIC A [628954]

UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIS OARA
FACULTATEA DE MATEMATIC A S I INFORMATIC A
PROGRAMUL DE STUDII DE LICENT  A: MATEMATIC A
– INFORMATIC A
LUCRARE DE LICENT  A
COORDONATOR: ABSOLVENT: [anonimizat].Dr. Dorel Mihet  Silaghi Paul-Adrian
TIMIS OARA
2017

UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIS OARA
FACULTATEA DE MATEMATIC A S I INFORMATIC A
PROGRAMUL DE STUDII DE LICENT  A: MATEMATIC A
– INFORMATIC A
TEOREMA FUNDAMENTAL A A
ARITMETICII
COORDONATOR: ABSOLVENT: [anonimizat].Dr. Dorel Mihet  Silaghi Paul-Adrian
TIMIS OARA
2017

Abstract
abstractul in limba engleza
3

Cuprins
Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1 Divizibilitate 6
1.1 Divizibilitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Cel mai mare divizor comun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Cel mai mic multiplu comun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Teorema fundamental a a aritmeticii 12
2.1 Nott iuni elementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Inele factoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Teorema fundamental a a aritmeticii ^ n aplicat ii 18
4 Congruent e 19
4.1 Congruent e de gradul I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2 Congruent e de gradul II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4

Introducere
Dezvoltarea istoric a a matematicii cuprinde, ^ n linii mari, trei perioade.
Perioada ^ nt^ ai dureaz a p^ an a ^ n secolul al XVII-lea; ea cuprinde ^ n esent   a geo-
metria, aritmetica  si algebra elementar a. La ^ nceput oamenii foloseau matematica
^ n probleme practice ind legat a de ocupat iile acestora.Cu timpul pe m asur a ce ne-
cesitatea de a studia mai ad^ anc  si mai sitematic determin a o trecere treptat a spre
abstractizare, aritmetica se distinge de geometrie  si de zic a, devenind o disciplin a cu
oarecare independent  a.
Perioada a doua cuprinde secolul XVII, XVIII  si XIX.Aceast a perioad a are ^ n centru
studiul mi sc arii, m arimile variabile, interdependent a ^ ntre marimi(funct iile)  si trans-
form arile geometrice.Pentru aprofundarea not iuniunilor de vitez a  si tangent a se intro-
duce derivata funct iei.
Perioada a treia o constituie matematica modern a.Matematica modern a se caracte-
rizeaz a printr-un grad ^ nalt de abstractizare  si generalitate; la baza ei st a not iunea de
element nedenit, cu ajutorul c aruia se creaz a o baz a riguroas a a matematicii clasice
 si ^ n acela si timp o generalizare a ei.
^In trecut aritmetica se mai numea  si "Regina Matematicii", dar ^ n prezent nu i se
mai recunoa ste aceast a calitate ^ n t ara noastr a. ^Intr-adev ar, ^ n afara unor not iuni
relative la numere prime  si divizibilitate, care se predau ^ n gimnaziu , ^ n liceu exist a
un singur capitol relativ la aritmetica numerelor ^ ntregi, al c arui cont inut nici nu se
cere la examenele de admitere ^ n facultate,  si c^ ateva referiri la aritmetica polinoamelor,
care sunt de fapt de natur a algebric a.
Acesta e motivul pentru care am introdus ^ n lucrare capitolul 1 cu exercit ii cu grad
mediu de dicultate, care se pot utiliza oric^ and ^ n activitatea de predare la clas a at^ at
in gimnaziu c^ at  si ^ n liceu.Exercit iile respective nu sunt originale; ele vor numai s a
demonstreze c a problemele de aritmetic a sunt necesare pentru o ^ nsu sire complet a a
metematicii ^ n gimnaziu  si ^ n liceu.
^In capitolul 2 generaliz am ceea ce ^ n aritmetica numerelor ^ ntregi se nume ste "teo-
rema fundamental a a aritmeticii" scopul s au ind de a pune ^ n evident  a  si alte domenii
de integritate(^ n afar a de domeniul Zal numerelor ^ ntregi) ^ n care funct ioneaz a o ast-
fel de teorem a. De asemenea, sunt generalizate  si discutate ^ ntreaga gam a a not iunilor
uzuale ale aritmeticii.
^In capitolul 3, teorema fundamental a a aritmeticii este aplicat a pentru a obt ine di-
verse teoreme celebre de aritmetic a.Teorema fundamental a a aritmeticii se folose ste
mai mult ^ n cazul clasic al domeniului Zal numerelor ^ ntregi dar  si ^ n alte domenii:
Z[i];Z[!]
!=1 +ip
3
2
;Z[ip
2];Z1 +ip
7
2
^In capitolul 4 reg asim generalit at i despre congruent e, legea reciprocit at ii p atratice("teorema
de aur a aritmeticii").De asemenea capitolul prezint a mai multe demonstrat ii  si aplicat ii
importante ale ei.
^In capitolul 5 avem generalit at i despre caractere, sume Gauss  si sume Jacobi care
se aplic a pentru a demonstra legea reciprocit at ii cubice.Tot aici reg asim alte aplicat ii
interesante ale sumelor Gauss si sumelor Jacobi.
5

Capitolul 1
Divizibilitate
1.1 Divizibilitate
Prin numere naturale ^ ntelegem 1 ;2;:::; iar prin numere ^ ntregi ne referim la numerele
naturale, num arul zero  si numerele negative 1;2;3;:::
Denit ia 1.1.1. Spunem c a un num ar intreg aeste divizibil cu un num ar ^ ntreg b
dac a  si numai dac a exist a un num ar ^ ntreg castfel ^ nc^ at a=b
c si not ambja.
Numimbdivizor a lui a si a multiplu lui b.
Scriemb-adacabnu dividea.
Pentru orice num ar ^ ntreg b avem 0 = 0
b, orice num ar ^ ntreg este divizor al lui
zero. Pentru orice num ar ^ ntreg aavema=a
1, observ am c a 1 este divizor pentru
orice num ar ^ ntreg.
Presupunem c a x;y;z; sunt numere ^ ntregi astfel ^ nc^ at
xjy siyjz
.Atunci exist a t;u2Zastfel ^ nc^ at y=x
t siz=y
u. Num arul v=t
ueste num ar
^ ntreg (ca produs a dou a numere ^ ntregi). Atunci , z=x
v, obt inemxjz. Asta
demonstreaz a c a relat ia de mai sus implic a relat ia xjzcare ^ nseamn a c a divizorul
unui divizor al unui num ar ^ ntreg este divizorul acelui num ar ^ ntreg.
De aici rezult a c a relat ia de divizibilitate a numerelor ^ ntregi este tranzitiv a. Asta
^ nseamn a c a dac a xjy, atuncixjk
ypentru orice num ar ^ ntreg k.
Este u sor s a demonstr am c a divizorul a dou a numere ^ ntregi date este divizorul su-
mei  si diferent ei sale. ^In plus, dac a dja sidjb, atunci ,dja
x+b
y,8x;y2Z.
De fapt, relat iile dja sidjbimplic a faptul c a exist a numerele ^ ntregi k silastfel
^ nc^ ata=k
d,b=l
d, de undea
x+b
y= (k
x+l
y)
d si prin urmare, deoarece
k
x+l
yeste un num ar ^ ntreg, dja
x+b
y.
Oricare doua din formulele a=b
c,a=b
(c),a= (b)
(c),a= (b)
c
sunt echivalente. De asemenea oricare dou a din formulele
bja; bja;bja;bja
sunt echivalente.
6

Rezult a din denit ia relat iei bjaasta dac a 0ja, atuncia= 0. Dac aa6= 0, atunci
ecare divizor ba num arului ^ ntreg aeste diferit de 0  si , ^ n consecint  a, beste de
asemenea divizor pentru a. Prin urmare pentru un num ar ^ ntreg a,a6= 0 , divizorul
b a lui a poate  aranjat ^ n perechi ( b;b). A sadar pentru a gasi toti divizorii unui
num ar ^ ntreg, este sucient sa gasim num arul natural  si s a se adauge la ecare dintre
ei divizorul negativ a aceleia si valori absolute.
La prima vedere not iunile de divizor  si multiplu sunt intr-un fel duble. Est mult
mai usor s a g asim multiplii unui num ar ^ ntreg dec at divizorii s ai. Defapt, multii unui
num ar ^ ntreg asunt , evident, tot i ^ ntregii formei ka, undekeste un ^ ntreg arbitrat.
^In consecint  a, multiplii lui aformeaz a urm atorul  sir
:::;2a;a;0;a;2a;:::;
care tinde la innit ^ n ambele direct ii. Pe de alt a parte, pentru a g asii divizorii lui a
nu este asa simplu. Asta poate p area ciudat, dar setul de divizori este nit, iar setul
de multiplii este innit.
Dac aajdcua;d2N, atuncida. A sadar pentru a gasi tot i divizorii pozitivi a
unui num ar ^ ntreg a, este sucient s- a dividem pe acu numerele naturale 1 ;2;:::;a
pe r^ and  si s a select am numerele cu coecient i ^ ntregi . Pentru ecare num ar natural a
num arul coecient ilor este nit, exist a o metod a , teoretic a m acar, pentru a g asi tot i
divizorii unui num ar ^ ntreg dat. Problema este de natur a practic a ,  si ^ ntr-adev ar
pentru unele numere naturale nu putem g asi tot i divizorii. De exemplu, nu putem
face asta pentru num arul a= 21011, care are 31 de cifre. Asta complic a prea mult
problema chiar  si pentru un program software.
Problema 1. S a se demonstreze c a pentru orice num ar natural n:
9n+18n9
se divide cu 64.
Rezolvare: FieE(n) = 9n+18n9.AvemE(0) = 0, deci 64jE(0).Presupunem
acum c a 64jE(0);n0. Atunci:E(n+ 1) = 9n+28(n+ 1)9 = 9
9n+18n17 =
9(E(n) + 8n+ 9)8n17 = 9E(n) + 64(n1).Relat ia obi snuit a  si ipoteza 64 jE(n)
implic a deci 64jE(n+ 1).Rezult a 64jE(n), pentru orice n0, conform principiului
induct iei matematice.
Problema 2. S a se determine numerele naturale n pentru care 6 divide pe
1n+ 2n+ 3n.
7

Rezolvare: Avem 221( mod 3).Rezult a c a dac a n este par avem 2n1( mod 3)
 si 1n+ 2n+ 3n1 + 1 = 2( mod 3). Astfel ^ n acest caz 3 nu divide pe 1n+ 2n+ 3n.
Presupunem c a n este impar. Atunci n= 2k+ 1, deci 2n= (22)k
22( mod 3).
Astfel ^ n acest caz 1n+ 2n+ 3n1 + 2 = 0( mod 3)  si deci 3 divide pe 1n+ 2n+ 3n.
Este clar c a 1n+ 2n+ 3neste impar (1n si 3nsunt impare  si 2neste par), deci 2 se
divide pe 1n+ 2n+ 3n.
Rezult a, ^ n acest caz c a 2  si 3 divid pe 1n+2n+3n, deci 6 = 2
3 divide pe 1n+2n+3n.
Deci numerele naturale n care satisfac condit ia din enunt  sunt exact numerele naturale
impare.
Problema 3. S a se rezolve ^ n numere ^ ntregi ecuat ia: x33y= 2.
Rezolvare: Ecuat ia se poate scrie x33y2( mod 3). Deoarece, conform teore-
mei lui Fermat, x3x( mod 3), rezult a x2( mod 3).Astfel x= 3k+ 2, undek
este num ar ^ ntreg. Atunci:
y=x32
3=(3k+ 2)32
3=27k3+ 56k2+ 18k+ 82
3= 9k3+ 18k2+ 6k+ 2
Astfel solut iile ecuat iei sunt:8
<
:x= 3k+ 2
y= 9k3+ 18k2+ 6k+ 2,k2Z.
Problema 4. S a se determine numerele ^ ntregi n astfel ^ nc^ at 5 n2 divide pe 7 n+8.
Rezolvare: Deoarece 5n2  si 5 sunt prime ^ ntre ele condit ia 5 n2j7n+ 8 este
echivalent a cu 5 n2j5(7n+ 8) = 35n+ 40. Avem35n+ 40
5n2=35n14
5n2= 7 +54
5n2
astfel condit ia noastr a este echivalent a cu 5 n2j54. Avem 54 = 3
33.Putem a sa
imediat tot i divizorii ^ ntregi ai lui 42 :
5n22f 54;27;18;9;6;3;2;1;1;1;2;3;6;9;18;27;54g
. sau
5n2f 52;25;16;7;4;1;0;1;3;5;8;11;20;29;26g
. Evident ret inem numai 5 n2f 25;0;5;20g.Deci solut iile sunt n2f 5;0;1;4g
1.2 Cel mai mare divizor comun
Denit ia 1.2.1. FieRun domeniu de integritate, iar a;b2R. Un element d2Rse
nume ste cel mai mare divizor comun (cmmdc) al elementelor a sibdac a satisface
8

urmatoarele condit ii:
a)dja sidjb(adic adeste un divizor comun al elementelor a sib);
b) (8d12R) (d1ja sid1jb)!d1jd.
Dac adeste un cmmdc al elementelor a sib, iard0d, atunci  sid0este un cmmdc
al acestor elemente. De asemenea, dac a d sid0sunt un cmmdc al elementelor a sib,
atuncidjd0 sid0jd, decid sid0sunt asociate ^ n divizibilitate.
Prin urmare, dac a exist a, cmmdc al elementelor a sibeste unic dac a facem abstract ie
de asocierea ^ n divizibilitate. Se folose ste notat ia ( a;b) pentru oricare dintre ace sti
divizori.
Doua elemente a;bpentru care ( a;b)2U(R) se numesc relativ prime sau coprime.
Denit ia 1.2.2. Un domeniu de integritate ^ n care oricare dou a elemente au un cm-
mdc se nume ste domeniu GCD. Inelul numerelor ^ ntregi este un exemplu de domeniu
GCD.
Propozit ia 1.2.1. FieRun domeniu de integritate  si a;b;c2R.
i) Dac a (a;b) =d, iara=da1,b=db1, atunci (a1;b1)1.
ii) Dac adeste un cel mai mare divizor comun al elementelor a sib, iarac sibcau
un cmmdc, atunci (ac;bc )este asociat ^ n divizibilitate cu dc.
Demonstrat ie. i) Fied1= (a1;b1). Cumd1ja1, rezult a c a d1dja1d=a si analog
d1djb, decid1dj(a;b) =d. Deoarece d6= 0, rezult a c a d1j1, decid11:
ii) Fied1= (ac;bc ). Deoarece dcdivide peac si pebc, rezult a c a dcdivide ped1, deci
9u2Rastfel ^ nc^ at
d1=dcu:
Din ipotez a rezult a c a exist a a1;b1;a2;b22Rastfel ^ nc^ at ac=d1a1;bc=d1b1;a=
da2;b=db2. Atunci
d1a1=dcua 1;
d1a1=ac=da2c;
deci (deoarece dc6= 0),a2=a1u si analogb2=b1u.
Rezult a c a u este un divizor comun al elementelor a2 sib2, deci u divide cel mai
mare divizor comun al elementelor a2;b2.^Ins a dina=da2;b=db2,  si i) rezult a c a
(a2;b2)1, decu y este inversabil ^ n R. Prin urmare d1= (dc)ueste asociat ^ n
divizibilitate cu dc.
Propozit ia 1.2.2. Dac aReste un domeniu de integritate, iar a;b;c2Rsunt astfel
^ nc^ atajbc si(a;b) = 1 . Dac a exist a d= (ac;bc )atunciajc.
9

Demonstrat ie. Din propozit ia anterioar a rezult a c a ( ac;bc ) =c.
Apoi, dinajac siajbc, rezult a c a aj(ac;bc ) =c.
Propozit ia 1.2.3. FieRun domeniu GCD. Atunci orice element ireductibil ^ n Reste
prim ^ nR.
Demonstrat ie. Fiequn element ireductibil al lui R sia;b2Rastfel ^ nc^ at qjab:
Fiedun cel mai mare divizor comun al lui q sia. Deoarece djq siqeste ireductibil
d1 saudq.
Dac ad1, putem lua ( q;a) = 1  si atunci b= (q;a)b= (qb;ab ). Cumqj
(qb;ab )(deoareceqjqb siqjab), deducem c a qjb. Dac adq, putem lua ( q;a) =q,
ceea ce implic a qja.
Remarca 1.2.1 .Din propozit ia 1.2.3 rezult a c a un domeniu GCD este domeniu Euclid.
^In inelul numerelor ^ ntregi oricare dou a elemente nenule au un cmmdc  si un cmmmc.
Situat ia nu este aceea si ^ n orice domeniu de integritate: am v azut c a exist a inele ^ n
care nu oricare dou a elemente au un cmmdc. De asemenea exist a inele ^ n care dou a
elemente au un cel mai mare divizor comun, dar nu au un cel mai mic multiplu comun.
Dac a ^ ntr-un domeniu de integritate dou a elemente au un cel mai mic multiplu comun,
atunci ele au  si un cel mai mare divizor comun. Aceast a proprietate rezult a imediat
din propozit ia urm atoare.
Propozit ia 1.2.4. Fiea;b2R. Atunci [a,b] exist a dac a  si numai dac a pentru orice
r2R,9(ra;rb ).
Corolarul 1.2.5. Fiea;b2R. Dac a9[a;b], atunci9 si(a;b), iar (a;b)[a;b]ab.
Denit ia 1.2.3. Un domeniu GCD Rcu proprietatea c a 8a;b2R,9u;v2Rastfel
^ nc^ at (a;b) =au+bvse nume ste domeniu B ezout.
Un exemplu de domeniu B ezout este inelul numerelor ^ ntregi.
1.3 Cel mai mic multiplu comun
Fiea1;a2;:::;anun  sir de numere nite ^ ntregi. Fiecare ^ ntreg care este divizibil
cuai(i= 1;2;:::;n ) este denumit multiplu comun al ^ ntregilor a1;:::;an. Dac a cel
put in un num ar ^ ntreg a1;a2;:::;aneste zero, atunci evident numai num arul ^ ntreg
0 este multiplu comun. Dac a totu si, niciunul din ^ ntregii ai(i= 1;2;:::;n ) nu este
zero, exist a o innitate de multiplii comuni a acestor numere ^ ntregi, de exemplu toate
numerele intregi din  sirul ka1;a2;:::;an, k devine ^ ntreg. ^In acest caz exist a multiplii
comuni care sunt numere naturale, de exemplu ja1a2:::anj, undejxjeste modulul
numarului x. ^In ecare mult ime a numerelor naturale exist a un cel mai mic num ar
, prin urmare, mult imea multiplilor comuni a numerelor ^ ntregi a1;a2;:::;an, care
10

sunt numere naturale , cont in un cel mai mic num ar; este numit cel mai mic multiplu
comun a numerelor ^ ntregi a1;a2;:::;an si se noteaz a [ a1;a2;:::;an].
Teorema 1.3.1. Fiecare multiplu comun a numerelor naturale a1;a2;:::;aneste di-
vizibil cu cel mai mic multiplu comun.
Demonstrat ie. Presupunem, contrarul teoremei 2.1.1, c a exist a un multiplu comun M
a numerelor ^ ntregi a1;a2;:::;an, care nu este divizibil cu cel mai mic multiplu comun
N.
FieM=qN+r, undereste un num ar natural <N. Prin urmare r=MqN. Fie
iunul dintre numerele 1 ;2;:::;n . Deoarece M siNsunt multiplii a num arului ^ ntreg
ai, atunci exist a numerele ^ ntregi xi siyiastfel ^ nc^ at M=xiai siN=yiai. A sadar
r=MqN= (xiqyi)ai, de undeaijr8i= 1;2;:::;n , ceea ce implic a faptul c a
num arul natural reste multiplu comun a numerelor ^ ntregi a1;a2;:::;an si este mai
mic dec^ at cel mai mic multiplu comun N, asta este evident imposibil.
11

Capitolul 2
Teorema fundamental a a aritmeticii
2.1 Nott iuni elementare
Aritmetica sau teoria numerelor, are ca obiect studiul numerelor naturale: 1 ;2;3;4:::.
Se consider a c a ^ n matematic a, singurul lucru creat de Dumnezeu este mult imea nu-
merelor naturale. Pentru a studia aceste numere naturale, matematicienii au creat
tot ce se ^ ntelege prin matematic a la ora actual a. Printre primele lucruri create de
matematicieni au fost num arul 0  si numerele ^ ntregi negative. Teoria mult imilor , ca
 si alte ramuri ale matematicii, au ajuns la concluzia c a, este mai comod ca  si 0 s a e
considerat ca num ar natural. Adopt am  si noi acest punct de vedere  si vom nota cu N
mult imea numerelor naturale, adic a mult imea:
N=f1;2;3;:::g
Mult imea tuturor numerelor ^ ntregi, adic a, numerele naturale (numerele ^ ntregi po-
zitive  si num arul 0)  si numerele ^ ntregi negative ^ mpreun a cu adunarea  si ^ nmult irea
numerelor ^ ntregi este un inel, notat cu Z, care se nume ste inelul numerelor ^ ntregi.
Un inel comutativ R, cu unitate 1 6= 0  si f ar a divizori ai lui zero (adic a, dac a a;b2R
 siab= 0 rezult a a= 0 saub= 0) se nume ste domeniul de integritate.
Vom considera binecunoscut faptul c a inelul Zal numerelor ^ ntregi este domeniu de
integritate.
Primul fenomen care apare ^ n studiul numerelor naturale este cel de factorizare
(sau descompunere ^ n factori). De exemplu, num arul 180 se poate descompune ca
180 = 18
10; factorii acestei descompuneri, 18  si respectiv 10, se pot ^ ns a la r^ andul
lor descompune, ceea ce produce pentru 180 diverse factoriz ari (sau descompuneri):
180 = 18
10 = 2
9
2
5 = 2
3
3
2
5:
12

Ultima descompunere obt inut a cont ine ^ ns a numai factori care nu se mai pot des-
compune dec^ at prin introducerea factorului 1( de exemplu 2 = 1
2):Dac a se lu-
creaz a ^ n mult imea numerelor ^ ntregi factorii pot   si negativi (de exemplu 180 =
(2)
(3)
3
2
5 = 2
3
(3)
(2)
5 =:::). Propriet at ile factoriz arilor numerelor
^ ntregi se pot formula pe baza unor not iuni clasice: relat ia de divizibilitate, numere
prime etc. Prefer am din motive ce vor deveni evidente, s a introducem aceste not iuni
^ n domenii de integritate oarecare.
Denit ia 2.1.1. FieRun domeniu de integritate. Dac a a;b2R, spunem c a adivide
peb si scriemajbdac a exist a un c2Rastfel ^ nc^ at b=ac. Dac aajbspunem de
asemenea c a aeste un divizor al lui bsau c abeste un multiplu al lui asau c aaeste
un factor al lui b.
Relat ia de divizibilitate are urm atoarele propriet at i:
(1)aj0,8a2R(deoarece 0 = a
0).
(2) 1ja,8a2R(deoarecea= 1
a).
(3)aja,8a2R(deoarecea=a
1).
(4) Dac aajb sibjc, atunciajc(dac ab=ax sic=bycux;y2R, atunci
c=a(xy)  sixy2R).
Proprietatea (1) arat a c a orice element a2Reste factor ^ ntr-o descompunere a lui
0 (0 ind elementul nul al inelului)  si deci, 0 nu poate avea factoriz ari interesante.
Din acest motiv se studiaz a numai factorizarea elementelor nenule a2R(se noteaz a
^ ntodeaunaR=Rf0g). Proprietatea (2) arat a c a elementul unitate 1 nu are valoare
^ ntr-o factorizare a unui element a2R. Mai mult, pentru orice u2Rcuuj1, rezul a
din (2)  si (4) c a ujapentru orice a2R, deci  si un asemenea unu va avea valoare ^ n
vreo factorizare a lui a. Elementele u2Rcuuj1 se numesc unit at ile sau, elementele
inversabile ale lui R, iar mult imea unit at ilor lui Rse va nota cu U(R). Deoarece orice
factor al unei unit at i este tot o unitate (rezult a din (4)), unit at ile se vor considera ca
elemente care au "factorizarea trivial a" sau "de lungime zero". Remarc am c a pentru
inelulZal numerelor ^ ntregi, U(Z) =f1;1giar pentru numere ^ ntregi este intuitiv
clar ce ^ nseamn a 1  si -1 nu au valoare ^ ntr-o factorizare. Faptul c a unit at ile nu au
valoarea ^ ntr-o factorizare se va explica ^ n general prin introducerea relat iei de asociere
 si prin denirea precis a a not iunilor de factorizare  si echivalent  a a dou a factoriz ari.
Denit ia 2.1.2. Dou a elemente a;b2Rse numesc asociate (sau asociate ^ n divizibi-
litate)  si scriem abdac aajb sibja.
13

Din propriet at ile (3)  si (4) ale relat iei de divizibilitate rezult a c a relat ia de asociere
este o relat ie de echivalent  a, adic a este re
exiv a: aa8a2R, este simetric a: dac a
abatunciba si este tranzitiv a: dac a ab sibcatunciac.
Ca orice relat ie de echivalent  a,  si relat ia de asociere ^ mparte elementele lui R^ n clase
de asociere. Clasa de asociere a lui 0 este f0g, clasa de asociere a lui 1 este mult imea
U(R) a unit at ilor lui R si, ^ n general, clasa de asociere a unui element a2Reste
mult imeafx2Rjaxg.
Lema 2.1.1. Dou a elemente a;b2Rsunt asociate dac a  si numai dac a exist a o unitate
uastfel ^ nc^ at b=au.
Demonstrat ie. Dac aabavemb=aa0 sia=bb0pentru ni ste elemente d0;b02R si
rezult aa=bb0=a(a0b0).^In cazula= 0 rezult a b= 0  si putem lua u= 1. Dac aa6= 0,
rezult a deoarece Reste domeniu de integritate, 1 = a0b0, deciu=a0este unitate  si
b=au. Reciproc, dac a b=au siuj1, avem 1 = uvpentru unv2R si atunci
a=a
1 =auv=bv,deci avem bja siajb(adic aab.).Q.E.D.
Deoarece am convenit c a unit at ile nu au nici o valoare ^ ntr-o factorizare, rezult a, din
lema precedent a, c a dou a elemente asociate au "aceea si valoare" ^ n orice factorizare.
Vom formaliza acest fenomen mai jos. Momentam s a d am un exemplu. ^In inelulZ
al numerelor ^ ntregi, deoarece U(Z) =f1;1g, rezult a c a clasa de asociere a unui
element nenul a2Zare dou a elemente: a sia. Se observ a c a putem alege ^ n orice
clas a de asociere un unic element pozitiv.
Denit ia 2.1.3. Spunem c a un element a2Rare factorizarea ( p1;p2;:::;pn) dac a
pi2RnU(R) pentru orice i2f1;2;:::;ng sia=p1
p2
;:::;
pn. Prin abuz de
limbaj, ^ n loc s a spunem c a ( p1
p2
;:::;
pn) este o factorizare a lui a2R, scriem pur
 si simplua=p1
p2
;:::;
pn. Elementele p1
p2
;:::;
pnse numesc factorii factoriz arii,
num arul natural nse nume ste lungimea factoriz arii  si adesea ^ n loc de factorizare vom
spune descompunere.
Denit ia 2.1.4. Dou a factoriz ari ( p1
p2
;:::;
pn)  si (q1
q2
;:::;
qn) ale unui elemnt
a2Rse numesc echivalente dac a n=m si exist a o permutare 2Snastfel ^ nc^ at
piq(i)pentru orice i2f1;2;:::;ng.
Relat ia introdus a prin aceast a denit ie ^ ntre factoriz arile unui element a2Reste,
evident o relat ie de echivalent  a.
Conform denit iei, elementul nul a= 0 nu are factorizare. De asemenea, este clar
c a elementele u2Rcare au o factorizare de lungime n= 0 sunt exact unit at ile lui R.
Evident, orice dou a factoriz ari ale unei unit at i sunt echivalente. ^In ne, orice element
a2RnU(R) are o factorizare de lungime n= 1.
14

Denit ia 2.1.5. Elementele a2RnU(R) pentru care orice factorizare are lungimea
1 se numesc elemente ireductibile.
Din denit ie rezult a imediat c a un element p2RnU(R) este ireductibil dac a  si
numai dac a pentru orice a;b2Rcup=abavema2U(R) saub2U(R) sau, echiva-
lent, pentru orice divizor aal luip, avema1 sauap.
Este evident c a, dac a p;q2RnU(R)  sipq, atuncipeste ireductibil dac a  si numai
dac aqeste ireductibil (sau astfel spus, dac a o clas a de asociere cont ine un element
ireductibil, atunci toate elementele sale sunt ireductibile)
^In inelulZal numerelor ^ ntregi, elementele ireductibile pozitive se numesc numere
prime  si orice element ireductibil este asociat cu un unic num ar prim.
Teorema fundamental a a aritmeticii este armat ia:
"Orice element a2Rare o factorizare ^ n care tot i factorii sunt elemente ireductibile
 si orice dou a asemenea factoriz ari sunt echivalente".
Denit ia 2.1.6. Acele domenii de integritate pentru care teorema fundamental a a
aritmeticii este adev arat a se numesc inele factoriale.
Putem distinge ^ n formularea teoremei fundamentale a aritmeticii dou a p art i dife-
rite. O parte de existent  a: orice element a2Rare o factorizare ^ n care tot i factorii
sunt ireductibili (vom numi o astfel de factorizare descompunere ^ n factori ireductibili)
 si o parte de unicitate: orice dou a asemenea descompuneri sunt echivalente. Con-
sider^ and dou a descompuneri echivalente ca ind identice, teorema se poate formula
astfel: "Orice element a2Rare o unic a descompunere ^ n factori ireductibili".
Armat ia de existent  a a teoremei fundamentale a aritmeticii este satisf acut a de
foarte multe domenii de integritate uzuale. P^ an a la ^ nceputul secolului trecut, ma-
tematicieni ca Euclid, Fermat, Euler, au considerat armat ia de unicitate ca ind
evident a  si au folosit-o pentru a "demonstra" multe rezultate de teoria numerelor  si ^ n
cazuri c^ and ea este fals a. Gauss  si Eisenstein au fost primii care au relevat necesitatea
demonstr arii riguroase a armat iei de unicitate. Kummer  si precursorii s ai au ^ ncercat
s a studieze ce se poate face ^ n absent a armat iei de unicitate, fapt ce a dus la crearea
teoriei algebrice a numerelor.
Exemplul 2.1.1 .Un prim exemplu de inel factorial este un corp (comutativ) K.
^Intr-adev ar, orice element a2Keste o unitate  si deci are o unic a descompunere ^ n
factori ireductibili.
Pentru o prim a analiz a a inelelor factoriale, s a facem urm atoarea observat ie:
Fie R un inel factorial, p2Run element ireductibil  si a;b2Rastfel ^ nc^ at pjab.
Atunci exist a un element c2Rastfel ^ nc^ at ab=pc. Consider^ and pentru ecare din
elementelea;b;c c^ ate o descompunere ^ n factori ireductibili:
a=p1
p2
:::
pm; b =q1
q2
:::
qn; c =r1
r2
:::
rs;
15

avem:
p
r1
r2
:::
rs=p
c=a
b=p1
p2
:::
pm
q1
q2
:::
qn;
 si decip
r1
r2
:::
rs sip1
p2
:::
pm
q1
q2
:::
qnsunt descompuneri ^ n factori
ireductibili ale lui ab. Rezult a c a aceste dou a descompuneri sunt echivalente, ceea ce
implic a existent a unui i2f1;2;:::;mgcuppi, sau , a unui j2f1;2;:::;ngcu
pqj. Dac appiavempja, iar dac apqj, avempjb.^In concluzie dac a R este
inel factorial, un element ireductibil p2Rare urm atoarea proprietate:
() \pentru orice a;b2R, dac apja
batuncipjasaupjb".
Denit ia 2.1.7. Dac a R este un domeniu de integritate, un element p2RnU(R) se
nume ste element prim dac a psatisface proprietatea ( ) de mai sus.
Propozit ia 2.1.2. Fie R un domeniu de integritate.Atunci:
a) orice element p2Reste ireductibil.
b) dac a R este factorial, un element p2Reste ireductibil dac a  si numai dac a este
prim.
Demonstrat ie. a) Dac ap2RnU(R) este prim  si p=a
batuncipja
b, decipja
saupjb; ^ n situat ia pja, exist a un a02Rcua=p
a0 si atuncip=a
b=p
a0
b;
cump6= 0, rezult a a0
b= 1, decib2U(R). Astfelpeste ireductibil.
b) Am v azut deja c a, dac a R este un inel factorial, atunci un element ireductibil p2R
este prim. Reciproca rezult a din punctul a) Q.E.D.
2.2 Inele factoriale
Un inel integru R se nume ste inel factorial dac a ^ n R are loc "teorema fundamental a
a aritmeticii" : orice element nenul  si neinversabil al s au se exprim a ^ n mod unic ca
un produs (nit) de elemente ireductibile.
Denit ia 2.2.1. Un domeniu de integritate R se nume ste inel factorial (sau UFD) dac a
veric a condit iile (E) (existent a descompunerii ^ n factori ireductibili)  si (U) (unicitatea
descompunerii ^ n factori ireductibili) de mai jos:
(E) Oricea2R, neinversabil, se scrie a=p1:::pr; under1; iarpi-urile sunt
elemente ireductibile (nu neap arat distincte) ale lui R;
(U) Descompunerea de la (E) este unic a ^ n sensul urm ator: dac a a=p1:::pr=
q1:::qs; sunt dou a descompuneri ^ n factori ireductibili, atunci s = r  si exist a o
permutare2Srastfel ^ nc^ at piq(i)pentru orice i=1;r(altfel spus, descom-
punerea este unic a dac a facem abstract ie de ordinea factorilor  si de ^ nmultt irea
factorilor cu unit at i).
16

Un domeniu de integritate care satisface (E) se nume ste inel semifactorial .
Inelul numerelor ^ ntregi este un exemplu de inel factorial. Deoarece elementele inver-
sabile ale inelului numerelor ^ ntregi sunt 1  si -1, descompunerile 2
3;3
2;2
(3);(3)

2;(2)
3;3
(2);(2)
(3);(3)
(2) ale lui 6 ^ n Zse consider a identice.
Propozit ia urm atoare d a o condit ie sucient a pentru ca un inel sa e semifactorial.
Propozit ia 2.2.1. Fie R un domeniu de integritate. Dac a exist a o funct ie :RN
cu proprietatea: (8a;b2RnU(R))ajb siab!(a)< (b);atunci R este
inel semifactorial.
Demonstrat ie. Presupunem prin reducere la absurd c a R nu este semifactorial. Atunci
exist a cel put in un element din RnU(R) care nu are nicio descompunere ^ n factori
ireductibili. Not^ and cu D mult imea acestor elemente, rezult a c a mult imea f()j2
Dgeste o submult ime nevid a a lui N si deci ea are un cel mai mic element. Exist a
a sadar un element nenul  si inversabil a, care nu se descompune ^ n factori ireductibili
 si ^ n plus(a)()82D.
Evidentanu este ireductibil, deci exist a b;c2Rastfel ^ nc^ at a=b
c, iarb sicnu
sunt unit at i. Rezult a c a b sicdivida si nu sunt asociate ^ n divizibilitate cu a, deci
(b)<(a)  si(c)<(a). Din denit ia lui adeducem c a b sicnu apart in lui D, adic a
b sicse descompun ^ n factori ireductibili. ^Ins a atunci  si a=b
care o descompunere
^ n factori ireductibili, ^ n contradict ie cu alegerea lui a.
O alt a condit ie sucient a pentru ca un domeniu de integritate s a e semifactorial
este descris a ^ n propozit ia urm atoare.
Propozit ia 2.2.2. Dac a un domeniu de integritate R nu cont ine niciun  sir fangn2N
de elemente nenule astfel ^ nc^ at ar+1este un divizor propriu al lui arpentru orice
r= 1;2;:::; atunci R este un inel semifactorial.
17

Capitolul 3
Teorema fundamental a a aritmeticii
^ n aplicat ii
18

Capitolul 4
Congruent e
4.1 Congruent e de gradul I
Fief2Z[X1;X 2;:::;Xn] un polinom ^ n nnedeterminate cu coecient i ^ ntregi  si m
un num ar ^ ntreg cu , m2.
Pentru a rezolva congruent a
f(X1;X 2;:::;Xn)0( modm)
determin am toate sistemele ordonate ( a1;a2;:::;an) dennumere ^ ntregi astfel ^ nc^ at
f(a1;a2;:::;an)( modm).Consider am inelul Zmal claselor de resturi mod m
 si not am cu fpolinomul din Zm[X1;X 2;:::;Xn] care rezult a din fprin ^ nlocuirea
coecient ilor lui fcu clasele lor de resturi mod m, atunci rezolvarea congruent ei de
mai sus se face prin rezolvarea ecuat iei
f(x1;x2;:::;xn) = 0
^ nZmadic a , determin am toate sistemele ordonate ( a1;a2;:::; an) denelemente din
Zmpentru care f(a1;a2;:::; an) = 0.
E evident c a
f(a1;a2;:::;an)0( modm)() f(a1;a2;:::; an) = 0:
Dac a (a1;a2;:::;an) este o solut ie a congruent ei date  si ( b1;b2;:::;bn) este un alt sistem
dennumere ^ ntregi astfel ^ nc^ at biai( modm) ,8i2f1;2;:::;ng, atunci , ^ nZm
avem bi= ai,8i2f1;2;:::;ng si deci (b1;b2;:::;bn) este tot o solut ie a congruent ei
date. Solut iile ( a1;a2;:::;an)  si (b1;b2;:::;bn) de mai sus sunt echivalente.Rezult a c a
19

num arul de solut ii ale congruent ei este defapt num arul de solut ii ale ecuat iei.
f(x1;x2;:::;xm)0( modm)() f(x1;x2;:::;xm) = 0:
^ nZm
Congruent a de gradul I este cea mai simpl a congruent  a.
ax+b0( modm);
undea;b2Z:
Propozit ia 4.1.1. Fiea;b2Z;a6= 0  sid > 0;d= (a;m)(cel mai mare divizor
comun a lui a si m ^ n Z).Atunci
a) Congruent a ax+b0( modm)are cel put in o solut ie dac a  si numai dac a djb.
b) Dac a,bjd, congruent a ax+b0( modm)are exactdsolut ii diferite.
Teorema 4.1.2. (Teorema chinezeasc a a resturilor) : Fiem1;m 2;:::;mnnu-
mere ^ ntregi pozitive astfel ^ nc^ at pentru orice i6=js a avem (mi;mj) = 1 .Atunci,
pentru orice numere ^ ntregi a1;a2;:::;am, congruent ele
xa1( modm1);xa2( modm2);:::;xan( modmn)
au o solut ie comun a. ^In plus, orice dou a asemenea solut ii sunt congruente modm1;m 2;:::;mn:
Demonstrat ie. Fiem=m1m2:::mn,8i2f1;2;:::;ng, eni=m
ni, astfel ^ nc^ at
ni2Z. Deoarece prin ipotez a  m1;:::; mi1;mi+1;:::; mnsunt unit at i ^ n Zm, produsul
lor nieste tot o unitate ^ n Zm, astfel ^ nc^ at ( ni;mi) = 1  si ^ n particular, exist a numere
^ ntregiri,siastfel ^ nc^ at rimi+sini= 1.Lu amei=sini. Atunciei0( modmj),8
j6=i siei1( modmi)(deoareceei= 1rimi).Lu am
x0=nX
i=1aiei=a1e1+a2e2+:::+anen:
Atunci8i2f1;2;:::;ngavemx0aieia( modmi), decix0este o solut ie comun a
a congruent elor din enunt .
Presupunem acum c a x1este o alt a solut ie comun a a acetor congruent e.
Atuncix1x00( modmi), decimijx1x0,8i2f1;2;:::;ng, ceea ce implic a
m=m1m2:::mnjx1x0:Q.E.D.
20

Exemplul 4.1.1 .: Cerem s a se determine toate numerele^ ntregi xcare satisfac simultan
condit iile:x2( mod 3);x3( mod 5);x5( mod 7):
Cu notat iile din demonstrat ia teoremei 3.1.2 avem
m1= 3; m 2= 5; m 3= 7; m=m1m2m3= 105; n 1= 35; n 2= 21; n 3= 15:
Deoarece
12
3 + (1)
35 = 1;(4)
5 + 1
21 = 1;(2)
7 + 1
15 = 1;
avem
e1=35; e 2= 21; e 3= 15:
Rezult a
x0=a1e1+a2e2+a3e3=70 + 63 + 75 = 68 :
Deci numerele ^ ntregi xcare satisfac condit iile cerute sunt exact cele care sunt 68(
mod 105), adic a, sunt exact toate numerele ^ ntregi de forma 68 + 105 k;k2Z.
Putem interpreta teorema 3.1.2.  si din punct de vedere algebric.
Denit ia 4.1.1. FieR1; R 2;:::;Rninele comutative. Atunci produsul cartezian
R1R2:::Rn^ mpreun a cu operat iile de adunare  si ^ nmult ire denite prin:
(x1;x2;:::;xn) + (y1;y2;:::;yn) = (x1+y2;x2+y2;:::;xn+yn);
(x1;x2;:::;xn)(y1;y2;:::;yn) = (x1y1;x2y2;:::;xnyn)
este evident tot un inel comutativ care se nume ste produsul direct al inelelor R1;R2;:::;Rn.
^In mod analog, dac a G1;G2;:::;Gnsunt grupuri, produsul cartezian G1G2:::Gn
^ mpreun a cu operat ia
(x1;x2;:::;xn)(y1;y2;:::;yn) = (x1y1;x2y2;:::;xnyn)
este de asemenea un grup numit produsul direct al grupurilor G1;G2;:::;Gn.
Remarc am c a ^ n ambele situat ii elementul unitate (elementul neutru relativ la
^ nmult ire) este
1 = (1;1;:::; 1)
(unde simbolul 1 de pe componenta i^ nseamn a elementul unitate al lui Ri,respectiv
Gi).
Lema 4.1.3. FieR siSinele comutative  si f:R!Sun morsm de inele.
Atunci, dac a u2U(R)avemf(u)2U(S) si funct ia f:U(R)!U(S)denit a prin
21

f(u) =f(u);u2U(R)este un morsm de grupuri. ^In plus, dac a feste izomorsm
de inele, atunci feste izomorsm de grupuri.
Demonstrat ie. Dac au2U(R),9v2Ra.^ uv= 1. Atunci f(u)f(v) =f(uv) =
f(1) = 1, deci f(u)2U(R). Q.E.D.
Propozit ia 4.1.4. Fiem1;m 2;:::;mnnumere ^ ntregi pozitive astfel ^ nc^ at 8i6=js a
avem (mi;mj) = 1 . Atunci exist a un izomorsm de inele
Zm=Zm1Zm2:::U(Zmn)
 si un izomorsm de grupuri
U(Zm)=U(Zm1)U(Zm2):::U(Zmn)
undem=m1m2:::mn.
Demonstrat ie. Pentru ecare num ar ^ ntreg x, not am cu  xclasa de resturi a lui x
modm;x2Zm. Clasele de resturi ale lui xmodmile not am cu fi(x) (decifi(x)
2Zmi),8i2f1;2;:::;ng. Deoarece pentru x;y2Zavemxy( modm) dac a  si
numai dac a xy( modmi),8i2f1;2;:::;ng,putem deni o aplicat ie
f:Zm!Zm1Zm2:::Zmn
prin
f(x) =
f1(x);f2(x);:::;fn(x)

 si, aceast a aplicat ie este injectiv a. Deoarece mult imile Zm siZm1Zm2:::Zmnau
acela si num ar de elemente, aplicat ia injectiv a feste  si surjectiv a, deci este bijectiv a.
Clarfeste un izomorsm de inele. Al doilea izomorsm rezult a din partea a doua a
lemei 3.1.5  si din observat ia evident a c a
U(R1R2:::Rn) =U(R1)U(R2):::U(Rn)
oricare ar  inelele comutative R1;R2;:::;Rn. Q.E.D.
4.2 Congruent e de gradul II
O congruent  a de gradul II este de forma
ax2+bx+c0( modm)
22

undea;b;c sunt numere ^ ntregi  si m-a, sau , altfel spus, polinomul
aX2+bX+ c2Zm[X]
este de gradul II. Singura metod a de a rezolva aceast a congruent  a este a sarea tuturor
elementelor din Zm si ^ nlocuirea nedeterminatei Xcu aceste elemente ^ n polinomul de
mai sus. Se poate de asemenea face o discut ie complet a a congruent ei  si se poate
determina num arul de solut ii.
Congruent a ax2+bx+c0( modm) este echivalent a cu
4ax2+ 4bx+ 4c0( mod 4m)
deci  si cu
(2ax+b)2b24ac( mod 4m)
Subliniem faptul c a, ^ n cazul ^ n care meste un num ar ^ ntreg impar, congruent a este
echivalent a chiar  si cu
4ax2+ 4bx+ 4c0( modm):
^Inlocuind 4 m=m0; k=b24ac si f ac^ and substitut ia y= 2ax+b, rezult a c a,
congruent a dat a este echivalent a cu sitemul
8
<
:y2k( modm0);
2ax+by( modm0)
(unde, putem lua m0=mdac ameste impar). Deoarece congruent a de gradul I a fost
deja studiat a, r am^ ane s a studiem congruent ele de forma
y2k( modm):
Pentru aceasta consider am hcel mai mare divizor comun al lui k sim^ nZ.
Atuncik=k0h sim=m1hunde (k0;m 1) = 1. Num arul ^ ntreg hse poate pune sub
forma
h=e2r;
undereste un num ar ^ ntreg liber de p a trate.
Diny2k( modm) rezult am1hjy2k0h,decie2r=hjy2. Pentru orice num ar
primp, vom avea
2vp(e) +vp(r) =vp(e2r)vp(y2) = 2vp(y);
23

deoarecee2rjy2 sivp(r)2f0;1g, deoarecereste liber de p a trate. Dac a vp(r) = 1
rezult a c a 2( vp(y)vp(e))1;vp(y)vp(e)1  si ^ n nal vp(er) =vp(e) + 1vp(y):
Dac avp(r) = 0)vp(e)vp(y) sivp(er) =vp(e)vp(y):
Am ar atat astfel c a erjydeci, ^ n congruent a dat a putem face substitut ia y=
erz.Congruent a devine
e2r2z2k0e2r( modm1e2r)
 si este echivalent a cu
rz2k0( modm1):
Acum escel mai mare divizor comun al lui r sim1^ nZ. Dinrz2k0( modm1)
rezult asjk0. Dar, deoarece ( k0;m 1) = 1, rezult a c a s= 1. Astfel ( r;m 1) = 1, deci , r
este unitate in Zm1. Aceasta implic a faptul c a exist a un d2Zcudr=1 ^ nZm1, deci
dr1( modm1). Astfel, congruent a rz2k0( modm1) este echivalent a cu
drz2dk0( modm1); deci z2dk0( modm1):
Not amdk0=k1 si observ am c a, deoarece d sik0sunt prime cu m1,  sik1este prim cu
m1. Astfel congruent a y2k( modm) este echivalent a cu
z2k1( modm1); unde (k1;m 1) = 1
Denit ia 4.2.1. Fiem siknumere ^ ntregi, m2. Num arul kse nume ste rest
p atratic mod mdac a:
a)(k;m) = 1
b)9z2Za.^ z2k( modm):
Dac a not am cu "  " clasele de resturi ( mod m), denit ia se poate reformula astfel:
a)0k2U(Zm);
b)09z2Zma.^  z2=k:
Altfel spus, keste rest p atratic mod mdaca keste unitate ^ n Zm si este  si p atratul
unui element din Zm.
Observat ie: Problema congruent elor de gradul II se reduce la problema determin arii
resturilor p atratice.
Denit ia 4.2.2. Fie numerele ^ ntregi m;n2. Un num ar ^ ntreg kse nume ste rest
n-putere mod mdac a:
a)(k;m) = 1
24

b)9z2Za.^ znk( modm):
sau, echivalent
a)0k2U(Zm);
b)09z2Zma.^  zn=k:
25

Bibliograe
[1] Autori, Titlu carte, Editura, An aparit ie.
[2] Autori, Titlu articol, Nume jurnal Num ar (An aparit ie), pag. start – pag. nal.
[3] Descriere resurs a online, URL: https://www.google.com
26