PROGRAMUL DE STUDII DE LICENT A: MATEMATIC A [628951]

UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIS OARA
FACULTATEA DE MATEMATIC A S I INFORMATIC A
PROGRAMUL DE STUDII DE LICENT  A: MATEMATIC A
LUCRARE DE LICENT  A
COORDONATOR: ABSOLVENT: [anonimizat].univ.dr. Radu Moleriu Popovici Alexandra-Patricia
TIMIS OARA
2017

UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIS OARA
FACULTATEA DE MATEMATIC A S I INFORMATIC A
PROGRAMUL DE STUDII DE LICENT  A: MATEMATIC A
POLINOAME CU COEFICIENT I
^INTR-UN INEL
COORDONATOR: ABSOLVENT: [anonimizat].univ.dr. Radu Moleriu Popovici Alexandra-Patricia
TIMIS OARA
2017

Abstract
abstractul in limba engleza
3

Cuprins
Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1 Structuri algebrice 6
1.1 Legi de compozit ie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Structuri algebrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Semigrupuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Grupuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Inele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5.1 Morsme de inele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5.2 Aritmetica ^ ntr-un inel integru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Inelul polinoamelor 15
2.1 Inelul polinoamelor de o nedeterminat a . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Derivata formal a a unui polinom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Construct ia inelului R[X1;X 2;:::;Xn]. Propriet at i generale . . . . . . 20
3 Factorizarea polinoamelor 21
3.1 Propriet at i aritmetice ale inelelor de polinoame . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 R ad acinile polinoamelor cu coecient i ^ ntr-un corp . . . . . . . . . . . . 24
3.2.1 Funct ii polinomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.2 R ad acini ale polinoamelor cu coecient i ^ ntr-un inel
integru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.3 R ad acini multiple ale polinoamelor cu coecient i ^ ntr-un inel in-
tegru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3 Divizibilitatea ^ n inelul polinoamelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.4 Polinoame ireductibile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.5 Polinoame ireductibile ^ n Zp[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.6 Factorizarea polinoamelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.6.1 Factorizarea polinoamelor din C[X] . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.6.2 Factorizarea polinoamelor din R[X] . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.6.3 Factorizarea polinoamelor din Q[X] . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4

Introducere
Matematica ca  stiint  a abstract a ^  si aduce un substant ial aport la formarea intelec-
tual a a omului constituind o verig a de baz a ^ n cultura uman a. Ea ne deschide c ai
de acces spre valorile  stiint ei  si culturii. De-a lungul timpului dezvoltarea matema-
ticii a urmat o direct ie ascendent a, pornind de la nevoile practice ale oamenilor  si
^ mbog at indu-se continuu prin p atrunderea ei ^ n toate compartimentele viet ii umane.
Algebra, o parte integrant a a matematicii se caracterizeaz a se caracterizeaz a prin
folosirea literelor  si a expresiilor literale cu care se opereaz a dup a reguli bine determi-
nate. ^In ultimul timp metodele algebrice au devenit extrem de utile  si importante ^ n
matematica modern a  si ^ n aplicat iile ei. Termenul "algebr a" provine de la titlul trata-
tului Al-jabr al-mukabala al matematicianului Muhammed ibnb al-Horezmi. Cuv^ antul
arab al-jabr este sinonim cu operat ia de completare  si restabilire a egalit at ii. ^In anul
1074, ^ n lucrarea sa, matematicianul Omar al-Khayyami dene ste algebra ca teorie a
ecuat iilor algebrice. ^In secolele XVI-XIX, algebra cunoa ste o larg a dezvoltare datorit a
luiVi ete Descartes, Newton, Euler, Abel, Gauss, Galois, Cauchy, Jordan .
Ecuat iile matematice,^ n special cele algebrice sunt un domeniu care exprim a leg atura
^ ntre fenomenele lumii reale  si matematic. P^ an a ^ n jurul anului 1900 algebra avea ^ n
centru ca obiect de studiu polinoamele cu coecient i reali sau complec si ecuat iile al-
gebrice. ^Incep^ and cu prima jum atate a secolului al XVII-lea problema determin arii
r a d acinilor ^ n ecuat ii algebrice este pus a ^ n leg atur a cu problema descompunerii unui
polinom cu coecient i reali ^ n factori liniari.
5

Capitolul 1
Structuri algebrice
1.1 Legi de compozit ie
Denit ia 1.1.1. Fie M o mult ime nevid a. Se nume ste lege de compozit ie intern a
sauoperat ie algebric a intern a pe mult imea M, orice aplicat ie
f:MM!M
. Pentrux;y2M, elementul f(x;y) este compusul elementelor x si y prin legea f.
Fie \" o lege de compozit ie denit a pe M6=? siAM;A6=?. Spunem
c a A este parte stabil a a lui M ^ n raport cu legea dac a oricare ar  x, y din A avem
xy2A.
Propriet at i ale legilor de compozit ie :
Fie mult imea M6=?pe care s-a denit legea de compozit ie intern a \ "
Asociativitatea :
Spunem c a legea de compozit ie \ " este asociativ a dac a8x,y,z2M, avem
(xy)z=x(yx)
Comutativitatea :
Spunem c a legea de compozit ie \ " este comutativ a dac a8x,y2M, avem
xy=yx
.
Elementul neutru :
Spunem c a un element e2Meste element neutru al legii de compozit ie \ ",
avem
xe=ex=x
Elementul simetric :
Spunem c a un element x02Meste un element simetric al luixdac a8x2M
avem
xx0=x0x=e
6

1.2 Structuri algebrice
Denit ia 1.2.1. FieMo mult ime nevid a. Se numet e structur a algebric a pe
mult imeaM, orice structur a determinat a pe Mde una sau mai multe legi de compozit ie
interne  si de una sau mai multe legi de compozit ie externe, aceste legi ind supuse
unor condit ii sau ind legate una de alta prin anumite relat ii.
Structurile de semigrup, monoid, grup, inel, corp, spatiu vectorial sunt exemple de
structuri algebrice.
1.3 Semigrupuri
Denit ia 1.3.1. O mult ime M^ nzestrat a cu o lege de compozit ie intern a asociativ a
se numet e semigrup .
Dac a legea de compozit ie intern a admite element neutru, atunci spunem c a semi-
grupul este semigrup unitar. Un semigrup unitar se nume ste monoid .
Dac a legea de compozit ie intern a este comutativ a, atunci spunem c a semigrupul este
comutativ sau abelian.
Exemple:
1) Mult imea numerelor naturale Ncu operat ia de adunare, respectiv cu operat ia
de ^ nmult ire este monoid comutativ, 0 ind elementul nul pentru adunare, iar 1
elementul unitate pentru ^ nmult ire.
2) Mult irea numerelor ^ ntregi Zcu operat ia de adunare, respectiv ^ nmult ire este
monoid comutativ.
3) Mult imea numerelor ^ ntregi pare cu operat ia de ^ nmult ire este semigrup comu-
tativ fara element unitate.
4) FieMo mult ime nevid a. Mult imea p art ilor lui M,P(M) cu reuniunea, respec-
tiv intersect ia este semigrup comutativ, cu element unitate, adica este monoid
comutativ.
5) Pe o mult ime Mformat a dintr-un singur element, exist a o singur a lege de
compozit ie intern a, ^ mpreun a cu care Meste monoid comutativ, elementul res-
pectiv ind elementul unitate.
1.4 Grupuri
Denit ia 1.4.1. O mult ime nevid a G, ^ nzestrat a cu o lege de compozit ie intern a " ",
se numet e grup dac a legea de compozit ie ^ ndepline ste urm atoarele condit ii, numite
axiomele grupului :
(G1)8x;y;z2G;(xy)z=x(yx) ; legea este asociativ a ;
7

(G2)9e2G, a.^ 8x2G,xe=ex=x; legea admite element neutru;
(G3)8x2G,9x02G,xx0=x0x=e; orice element din G este simetrizabil.
Dac a legea "" este comutativ a, atunci grupul se nume ste grup comutativ sau
abelian .
Exemple:
1) (Z;+);(Q;+);(R;+);(C;+) sunt grupuri abeliene aditive.
2) Mult imea M=f1;1g^ nzestrat a cu operat ia de ^ nmult ire este grup.
3) (Q;
);(R;
);(C;
) sunt grupuri multiplicative abeliene .
4) FieM=fzjz2C;zn= 1gmult imea r ad acinilor de ordinul n al unit at ii.
Se  stie ca acestea sunt date de relat ia :
zk=cos2k
n+i sin2k
n;k= 0;1;2; ;:::;n1:
Oricare ar  zi;zj2Mavem (zizj)n= 1, adic a zizj2M:Deci, ^ nmult irea
numerelor complexe induce o lege de compozit ie intern a pe M. Aceast a lege este
asociativ a  si comutativ a.
Pentru orice zi2Mavem (z1
i)n= (zn
i)1= 1;adic az1
i2M.
Rezult a c a ( M;
) formeaz a grup, grupul r ad acinilor de ordinul n al unit at ii.
De exemplu, pentru n=4, M=f1;igeste grup.
5) Fie (S;
) un monoid. Mult imea tuturor elementelor inversabile din S ^ mpreun a
cu operat ia indus a este grup. Not am aceast a mult ime cu S0;S06=;, deoarece
12S0.
Denit ia 1.4.2. Fie G un grup, o submult ime M6=?,MGse nume ste subgrup
al lui G dac a operat ia lui G induce pe M o operat ie algebric a ^ mpreun a cu care M
formeaz a grup.
Denit ia 1.4.3. Fie (G1;?)  si (G2;>) dou a grupuri. Se nume ste morsm de la grupul
(G1;?) l a grupul ( G2;>) o funct ie f:G1!G2astfel ^ nc^ at f(x?y) =f(x)>f(y)
pentru orice x;y2G1.
Dac a f este morsm bijectiv, atunci f se nume ste izomorsm.
Un izomorsm denit pe acela si grup se nume ste automorsm.
1.5 Inele
Denit ia 1.5.1. Consideram o mult ime A6=?^ nzestrat a cu dou a legi de compozit ie
intern a notate cu \+", \
".
(A;+;
) este un inel dac a:
(A1) (A;+) este grup abelian;
(A2) (A;
) este semigrup;
(A3)^Inmult irea este distributiv a bilateral fat  a de adunare, adic a:
x
(y+z) =x
y+x
z
(y+z)
x=y
x+z
x.
8

Dac a legea \
" este comutativ a spune c a ( A;+;
) este inel abelian saucomu-
tativ.
Dac a exist a ^ n A element neutru fat a de ^ nmult ire, atunci inelul A se nume ste
inel cu element unitate sau inel unitar .
Un inel care cont ine cel put in dou a elemente se nume ste inel nenul .
Dac aAeste un inel unitar, atunci elementele lui Asimetrizabile ^ n raport cu
operat ia multiplicativ a se numesc elemente inversabile .
Not am cuU(A) mult imea elementelor inversabile ale inelului unitar A, adic a:
U(A) =fu2Aj9v2A; u
v=v
u= 1g
Propozit ia 1.5.1. ^Intr-un inel (A;+;
)au loc urm atoarele propriet at i :
(1).a
0 = 0
a= 0;8a2A;
(2).a
(b) = (a)
b=(a
b) si(a)
(b) =a
b ;8a;b2A;
(3).a
(bc) =a
ba
c si(ab)
c=a
cb
c8a;b;c2A;
(4). Dac aa;b2A^ nc^ ata
b=b
a sin2N;atunci are loc formula binomului
lui Newton :
(a+b)n=nX
i=0Ci
n
an1
bi
Un element a2A;se nume ste divizor la st^ anga (la dreapta) al lui zero dac a exist a
b2A;b6= 0 astfel ^ nc^ at ab= 0 (respectiv ba= 0). Un inel Acare nu are divizori
nenuli ai lui zero, se nume ste inel f ar a divizori ai lui zero .
Denit ia 1.5.2. Un inel nenul A, comutativ, cu element unitate  si f ar a divizori ai lui
zero se nume ste inel integru sau domeniu de integritate.
Exemple de inele
1) (Z;+;
) este un inel comutativ , cu element unitate, inelul numerelor ^ ntregi.
Unit at ile acestui inel sunt 1  si 1; deciU(Z) =f1;1g
2) (Q;+;
) este un inel comutativ , unitar, inelul numerelor rat ionale.
3) (R;+;
) este un inel comutativ , unitar, inelul numerelor reale.
4) (C;+;
) este un inel comutativ , unitar, inelul numerelor complexe.
5)Z[i] =fzjz2C;z=a+bi;a;b2Zg, (Z[i];+;
) este inelul ^ ntregilor lui Gauss.
9

6)Zn^ mpreun a cu adunararea  si ^ nmult irea claselor de resturi este un inel unitar
comutativ, numit inelul claselor de resturi module n
7) (Z;+;
), (Q;+;
), (R;+;
), (C;+;
), (Z[i];+;
) sunt domenii de integritate.
1.5.1 Morsme de inele
Denit ia 1.5.3. Fie A  si B dou a inele. O aplicat ie f:A!Bse nume ste morsm
de inele dac a satisface urm atoarele condit ii:
i)f(x+y) =f(x) +f(y);8x;y2A
ii)f(x
y) =f(x)
f(y);8x;y2A
Dac af:A!B sig:B!Csunt morsme de inele, atunci ( gf)(x) =
g(f(x));8x2A:Din denit ie rezult a c a orice morsm de inele f:A!Beste un
morsm al grupurilor aditive ( A;+)  si (B;+).Prin urmare, f(0) = 0  si f(x) =
f(x);8x2A:
Un morsm de inele unitare care satisfac condit ia f(1) = 1;se nume ste morsm
unitar de inele .
Dac af:A!Beste un morsm de inele, atunci Kerf =fa2Ajf(a) = 0gse
nume ste nucleul morsmului f.
Un morsm bijectiv de inele f:A!Bse nume ste izomorsm .
Dou a inele A siBse numesc izomorfe  si not amA=B;dac a exist a un izomorsm
de inelef:A!B:
Denit ia 1.5.4. O submult ime nevid a S a unui inel A, se nume ste subinel al lui A
dac a S ^ mpreun a cu operat iile induse pe S de operat iile denite pe A are o structur a
de inel.
Propozit ia 1.5.2. FieSAo submult ime nevid a a unui inel A. Atunci S este un
subinel dac a  si numai dac a pentru orice x;y2S, avemxy2S six
y2S
Denit ia 1.5.5. O submult ime nevid a I a unui inel se nume ste ideal la st^ anga
(respectiv la dreapta) al lui A  si not am IEA;dac a :
(1).8x;y2I;rezult axy2I
(2).8a2A six2I;rezult aa
x2I(respectivx
a2I)
Un ideal care este ^ n acela si timp ideal la st^ anga  si ideal la dreapta se nume ste ideal.
Exemplu.
(1).nZ=fn
kjk2Zgeste un subinel  si ideal al inelului Z:Reciproc, orice
ideal al lui Zeste un subgrup al grupului ( Z;+);deci este de forma nZ;pentru un
anumit num ar natural.
10

(2). Orice ideal (la st^ anga, respectiv la dreapta) al unui inel este subinel al lui
A. Reciproca nu este adevarat a .
De exemplu, Zeste subinel al lui Q si nu este ideal al lui Q;deoarece 32Z;1
22
Q; iar 3
1
2=3
2=2Z:
Dac af:A!Beste un morsm de inele, atunci Ker(f) =fx2Ajf(x) = 0geste
un ideal al lui A  si Imf =f(A) este un subinel al lui B.
FieAun inel  six2Aun element xat. Atunci Ax=faxj8a2Ageste un
ideal la st^ anga al inelului A  si xA=fxaj8a2Ageste un ideal la dreapta a inelului
A. Idealul Ax, respectiv xA se nume ste ideal principal la st^ nga, respectiv la dreapta
generat de x.
Dac a R este inel comutativ  si x2R, atuncixR=Rx:Idealul xR se nume ste ideal
principal generat de x al inelului R  si se noteaz a <x>:
Un inel integru R cu proprietatea c a orice ideal al s au este principal, adic a dac a
J este un ideal al lui R, atunci exist a x2Rastfel ^ nc^ at J=xR;se nume ste inel
principal .
1.5.2 Aritmetica ^ ntr-un inel integru
Denit ia clasic a a relatt iei de divizibilitate in inelul numerelor ^ ntregi se poate ex-
tinde ^ n mod natural la un domeniu de integritate oarecare.
Denit ia 1.5.6. Fie R un domeniu de integritate. Relat ia " j" denit a pe R astfel :
xjy,9z2R y =x
zse nume ste relat ia de divizibilitate ^ n R, iar dac a xjyse
spune c a x divide pe y sau x este divizor al lui y sau y este multiplu al lui x.
Denit ia 1.5.7. Elementele x;y2Rse numesc asociate ^ n divizibilitate sau mai
simplu asociate dac axjy siyjx. Vom folosi notat ia ypentru a indica c a
elementele x  si y sunt asociate ^ n divizibilitate.
Din propriet at iile inelului integru  si din denit ia relat iilor de divizibilitate, respectiv
de asociere ^ n divizibilitate, deducem urm atoarele propriet at i :
i)ajb,bRaR;
ii)ajb sibjc)ajc;
iii)ab,b=ua;cuu2U(R);
iv)ab,aR=bR;
v)a1,a2U(R),aR=R;
11

Un element x2Rare ca divizor orice element asociat ^ n divizibilitate cu x, precum
 si orice element inversabil al lui R. Din acest motiv unit at iile lui R si elementele
asociate cu x se numesc divizori improprii ai luix.
Denit ia 1.5.8. Spunem c a d este un divizor propriu al lui x dac a a2Rdac adjx
 si d nu este nici unitate, nici asociat ^ n divizibilitate cu x.
Denit ia 1.5.9. (i). Un element p2R, nenul  si neinversabil se nume ste prim dac a
8a;b2R; pja
b)pjasaupjb:
(ii). Un element p2R, nenul  si inversabil se nume ste ireductibil dac a p nu are divizori
proprii; adic a8d2R ; djp)d2U(R) saudp.^In caz contrar se nume ste
reductibil.
Propozit ia 1.5.3. Fie R un inel integru. Atunci:
(a). Orice element asociat cu un element prim, respectiv ireductubil este prim, res-
pectiv ireductibil.
(b). Dac a p este prim  si p divide produsul a1
a2
:::
an;atunci p divide cel put in
unul din factorii a1;a2;:::;an:
(c).p2Reste ireductibil,8x;y2Rastfel ^ nc^ at p=x
yrezult a c a unul din
elementex;y este inversabil, iar cel alalt este asociat cu p; adic a : x2U(R) si
yp sau xp siy2U(R):
Propozit ia 1.5.4. Fie R un domeniu de integritate. Orice element prim p2Reste
ireductibil ^ n R.
Demonstrat ie. Fie p un element prim al lui R  si p=ab;a;b2R:Atuncipja
b;deci
pja sau pjb:^In prima situat ie a=pa1cu a 12R si atuncip=ab=p(a1b):Cum
p6= 0;rezult a c aa1b= 1; deci b2U(R):Astfel, p este ireductibil.
Exist a  si domenii de integritate^ n care reciproca acestei propozit ii nu este adev arat a.
De exemplu, ^ n inelul Z[p3], elementul 2 este ireductibil dar nu este prim.
Denit ia 1.5.10. Un inel integru R ^ n care orice element ireductibil este prim(adic a
^ n care este adev arat a reciproca Propozit iei 1.5.4) se nume ste domeniu Euclid.
Denit ia 1.5.11. Un element d2Rse nume ste cel mai mare divizor comun(c.m.m.d.c)
al elementelor a sibdac a satisface urm atoarele condit ii:
a)dja sidjb(adic a d este un divizor comun al elementelor a  si b)
b) (8d12R) (d1ja sid1jb))d1jd:
Dou a elemente a;b2Rpentru care ( a;b)2U(R) se numesc relativ prime sau
coprime .
Denit ia 1.5.12. Fiea;b2R. Un element m2Rse nume ste un cel mai mic
multiplu comun (cmmmc) al lui a  si b dac a ajm;bjm simjm1pentru orice
multiplu comun m1 al lui a  si b. Vom nota cu [ a;b] orice element care este cel mai mic
multiplu comun al elementelor a  si b.
12

^In inelul numerelor ^ ntregi oricare dou a elemente nenule au un cmmmdc  si un cm-
mmc. Situat ia nu este aceea si ^ n orice domeniu de integritate. De exemplu, ^ n inelul
Z[p5] =fa+bip
5ja;b2Zgelementele 6  si (1 + ip
5)2nu au un cel mai mare
divizor comun.
Denit ia 1.5.13. Un domeniu de integritate ^ n care oricare dou a elemente au un
cmmdc se nume ste domeniu GCD .
Inelul numerelor ^ ntregi este un exemplu de domeniu GCD.
Denit ia 1.5.14. Dac a ^ n R orice dou a elementele au un cel mai mare divizor comun,
atunci exist a un cel mai mic multiplu comun al oric aror dou a elemente  si avem :
a
b= (a;b)
[a;b]
Un inel integru R se nume ste inel factorial dac a ^ n R are loc "teorema fundamental a
a aritmeticii" : orice element nenul  si neinversabil al s au se exprim a ^ n mod unic ca
un produs (nit) de elemente ireductibile.
Denit ia 1.5.15. Un domeniu de integritate R se nume ste inel factorial (sau UFD)
dac a veric a condit iile (E) (existent a descompunerii ^ n factori ireductibili)  si (U) (uni-
citatea descompunerii ^ n factori ireductibili) de mai jos:
(E) Oricea2R, neinversabil, se scrie a=p1:::pr; under1; iarpi-urile sunt
elemente ireductibile (nu neap arat distincte) ale lui R;
(U) Descompunerea de la (E) este unic a ^ n sensul urm ator: dac a a=p1:::pr=
q1:::qs; sunt dou a descompuneri ^ n factori ireductibili, atunci s = r  si exist a o
permutare2Srastfel ^ nc^ at piq(i)pentru orice i=1;r(altfel spus, descom-
punerea este unic a dac a facem abstract ie de ordinea factorilor  si de ^ nmultt irea
factorilor cu unit at i).
Un domeniu de integritate care satisface (E) se nume ste inel semifactorial .
Inelul numerelor ^ ntregi este un exemplu de inel factorial. Deoarece elementele
inversabile ale inelului numerelor ^ ntregi sunt 1  si -1, descompunerile 2
3;3
2;2

(3);(3)
2;(2)
3;3
(2);(2)
(3);(3)
(2) ale lui 6 ^ n Zse consider a
identice.
Corolarul 1.5.5. ^Intr-un inel factorial orice element ireductibil este prim.
Denit ia 1.5.16. Un inel euclidian este un domeniu de integritate ^ n care are loc
"teorema ^ mp art irii cu rest", care se formuleaz a cu ajutorul unei funct ii cu valori ^ n
mult imea numerelor naturale, numit a funct ie euclidian a. Exemplul reprezentativ de
inel euclidian este inelul Zal numerelor ^ ntregi.
Ca  si ^ n inelul numerelor ^ ntregi, ^ ntr-un inel euclidian oricare dou a elemente nenule
au un cel mai mare divizor comun  si are loc relat ia lui B ezout. Drept consecint a,
^ ntr-un inel euclidian orice element ireductibil este prim.
Denit ia 1.5.17. Un domeniu de integritate R se nume ste inel euclidian dac a exist a o
funct ie':R!N(numit a funct ie euclidian a ) care satisface urm atoarele propriet at i:
('1) (8a b2R)ajb)'(a)'(b);
('2) (8a2R);(b2R) (9q;r2R) :a=bq+r; unde r = 0sau ' (r)<'(b):
13

Proprietatea ( '2), care i si are originea ^ n teorema ^ mp art irii cu rest, se nume ste
formula ^ mp art irii cu rest ^ n R, iar q  si r se numesc c^ atul  si restul ^ mp art irii lui a la b.
Inelele euclidiene sunt domenii GCD: axioma ^ mp art irii cu rest permite aplicarea
algoritmului lui Euclid pentru a
area celui mai mare divizor comun al oric aror dou a
elemente ale inelului.
Algoritmul lui Euclid se bazeaz a pe urm atoarele dou a observatt ii (u  si v sunt ele-
mente ale unui inel euclidian R):
1)Dac au6= 0;atunci (u; 0) =a;
2)Dac av6= 0, atunci ( u;v) = (v;r), unde r este restul ^ mp art irii lui u la v.
Fiea;b2R;a6= 0. Punem r0=a;r1=b. Prin ^ mp art irii succesive rezult a:
r0=r1
q2+r2(1)
r1=r2
q3+r3(2)
:
rn1=rn
qn+1+rn+1 (n)
rn=rn+1
qn+2 (n+ 1)
undern+1este ultimul rest nenul, adic a rk6= 08kn+ 1  sirn+2= 0
Cmmdc al elementelor a  si b este rn+1(ultimul rest nenul). ^Intr-adev ar, relat ia
(n+1) arat a c a rn+1jrn. Apoi, relat ia (n) implic a rn+1jrn1:Folosind relat iile
(n1);:::; (2);(1) obt inem prin induct ie c a rn+1ja sirn+1jb:Pe de alt a parte, dac a
d este un divizor comun al lui a  si b; atunci d divide  si r2=r0r1
q2 si folosind (2)
deducem c a d divide r3=r1r2
q3:Prin induct ie, djripentru orice i<n + 2, deci
djrn+1:Astfel,rn+1= (a;b):
Ca  si ^ n cazul numerelor ^ ntregi, exist a,  si se pot determina cu ajutorul algoritmului
lui Saunderson prezentat mai jos, elementele u;v2Rastfel ^ nc^ at
(a;b) =a
u+b
v(B ezout):
14

Capitolul 2
Inelul polinoamelor
Cuv^ antul polinom ^  si are originea ^ n cartea Elemente a lui Euclid. El denumet e o
expresie ca a+p
2 format a din dou a nume. Cuv^ antul din limba greac a onoma (nume)
a fost tradus ^ n limba latin a  si astfel s-a format cuv^ antul binomium , care  si-a extins
sensul asupra expresiilor de forma aXm+bXn. Ulterior, prexul bia fost ^ nlocuit prin
poli, astfel form^ andu-se termenul de polinom cu sensul folosit ast azi.
^In acest capitol voi construi prin metode algebrice :
inelul polinoamelor de o nedeterminat a cu coecient i ^ ntr-un inel unitar comu-
tativ;
inelul polinoamelor de n nedeterminate cu coecient i ^ ntr-un inel unitar comu-
tativ;
2.1 Inelul polinoamelor de o nedeterminat a
FieAun inel comutativ  si unitar  si Nmult imea numerelor naturale.
Not am cuA0mult imea tuturor funct iilor de la NlaA, adic a
A0=ffjf:N!Ag
.Un element f2Ao funct ie repezentat a cu ajutorul valorilor sale de forma
f= (a0;a1;:::;ai;:::) = (ai)i2N
Dac af;g2A0,f= (ai)i2N,g= (bi)i2N, atuncif=g,ai=bi,8i2N
Pe mult imea A0denim dou a legi de compozit ie interne, adunarea  si ^ nmult irea.
Adunarea  si ^ nmult irea celor dou a polinoame se denesc ^ n felul urm ator : dac a
f;g2A0,f= (a0;a1;:::;ai;:::);g= (b0;b1;:::;bi;:::), atunci
f+g= (a0+b0;a1+b1;:::;ai+bi;:::) se nume ste suma polinoamelor f  si g
 si
fg= (c0;c1;:::;ck;:::);produsul celor dou a polinoamele
15

unde
ck=X
i+j=kaibj; k= 0;1;:::
Fief;g;h2A0f= (ai)i2N; g= (bi)i2N; h= (ci)i2N. Atunci pentru orice i2N
avem
ai+bi=bi+ai
 si
(ai+bi) +ci=ai+ (bi+ci);
deoarece adunarea ^ n A este comutativ a  si asociativ a
Rezult a c a
f+g=g+f si(f+g) +h=f+ (g+h)
adic a adunarea ^ n A0este comutativ a  si asociativ a.
Exist a ^ n A' element neutru fat  a de adunare, care este funct ia 0 : N!A;0(i) = 0,
8i2N.
Pentru orice f2A0;f= (ai)i2N;opusul s au estef= (ai)i2N;f2A0 si
f+ (f) = (f) +f= 0:
^Inmult irea ^ n A ind comutativ a, rezult a c a
X
i+j=kaibj=X
j+i=kbjai;8i;j;k2N; k=i+j:
Deci
fg=gf;
adic a ^ nmult irea ^ n A' este comutativ a. S a demonstr am c a ^ nmult irea ^ n A0este aso-
ciativ a  si pentru asta ar at am c a ( f
g)
h=f
(g
h)
Dac a
fg= (dk)k2N; dk=X
i+j=kai
bjsi(f
g)
h= (em)m2N;
unde
em=X
k+p=mdk
ep;avem :
em=X
k+p=mdk
ep=X
k+p=m X
i+j=kai
bk!
ep=X
k+p=m;i+j=kai
bj
cp=X
i+j+p=mai
bj
cp
Dac a
g
h=
d0
k
k2N; unde d0
k=X
j+p=kbj
cp
16

, iar
(f
g)
h=
e0
m
m2N; unde e0
m=X
i+k=mai
d0
k;avem :
e0
m=X
i+k=mai
d0
k=X
i+k=mai
X
j+p=kbj
cp!
=X
i+k=m;j+p=kai
bj
cp=X
i+j+p=mai
bj
cp
Deciem=e0
m, pentru orice m2Nadic a (f
g)
h=f
(g
h)
Celelalte axiome ale inelului se veric a analog. Prin urmare ( A0;+;
) este un inel
comutativ si unitar.
Denit ia 2.1.1. InelulA0se nume ste inelul seriilor formale de o nedeterminat a cu
coecient i ^ n inelul A( sauA-algebra seriilor formale de o nedeterminat a ).
Un element din A0se nume ste serie formal a cu coecient i ^ n A
Fief2A0;f= (ai)i2N. Mult imea
supp(f) =fi2Njai6= 0g
se nume ste suportul  sirului f.
Dac a mult imea supp(f) este nit a, atunci spunem c a  sirul f este cu suport nit.
InelulA[X] se nume ste inelul polinoamelor de o nedeterminat a cu coecient i ^ n
inelul A.
Deci, un polinom de o nedeterminat a este o serie formal a cu un num ar nit de
coecient i nenuli. Atunci, orice polinom f2A[X]; f= (ai)i2Ncu ai= 0;8i>n; se
scrie ^ n mod unic sub forma:
f=a0+a1X+:::+an1Xn1+anXn:
Denit ia 2.1.2. Fief2A[X]. Dac af= (ai)i2Neste un polinom nenul, atunci
n=maxfi2Njai6= 0gse nume ste gradul polinomului f  si se noteaz a cu grad(f):
Din denit ie rezult a c a pentru f=a0+a1X+:::+an1Xn1+anXn;
grad(f) =(
maxfi2Njai6= 0g;dac af6= 0
1 ;dac af= 0
Dacan=grad(f), atuncia0;a1;a2;:::;anse numesc coecient ii polinomului f; an
se nume ste coecientul dominant al polinomului f. Un polinom f de gradul n a.^  an= 1
se nume ste polinom monic .
Propozit ia 2.1.1. Fie f,g dou a polinoame din A[X]. Atunci
grad(f+g)max(grad(f);grad (g))
17

Demonstrat ie Fief= (ai)i2N; g= (bi)i2N; grad (f) =m sigrad(g) =n:Atunci
ai= 0;8i>m  sibi= 0;8i>n: Dac a consider am k=max(m;n);atunci
ai=bi= 0;8i>k ;deci ai+bi= 0;8i>k  si deci gradul lui f+geste cel mult egal
cuk.
Propozit ia 2.1.2. Fief;gdou a polinoame din A[X]
f=mX
i=0aiXi; g=nX
i=0biXi
cuam6= 0  sibn6= 0:Dac a unul dintre elementele am sibnnu este divizor al lui zero
^ n inelul A, atunci
grad(f
g) =grad(f) +grad(g):
Demonstrat ie Fiefg= (ci)i2N:Atunci coecientul cm+nal luiXm+n
cm+n=a0bm+n+a1bm+n1+:::+ambn+:::+am+nb0=ambn:
Daram sibnind nondivizori ai lui zero, rezult a c a cm+n6= 0:Atunci avem cm+n6= 0
 sici= 0;8i>m +n:Deci,
grad(f
g) =m+n=grad(f) +grad(g):
Corolarul 2.1.3. Dac aAeste domeniu de integritate, atunci A[X]este domeniu de
integritate.
Observat ie. Dac aKcorp comutativ, atunci inelul polinoamelor de o nedeterminat a
cu coecient i ^ n corpul K;K [X] este un domeniu de integritate.
Lema 2.1.4. Un element din inelul Aeste inversabil ^ n A[X]dac a  si numai dac a este
inversabil ^ n A.
Demonstrat ie. Fiea2A, un element inversabil ^ n A, adic a exist a a12A, astfel
^ nc^ at
aa1=a1a= 1:
Atunci,':A!A[X]; '(a) = (a;0; :::; 0;:::) ind omomorsm unitar de inele
avem
'(a)'(a1) ='(a1)'(a) = (1;0; :::; 0; :::);
de unde rezult a c a
'(a1) = ['(a)]1:
Dar,'ind injectiv se identic a a='(a)  sia1= ['(a)]1:Deci,aeste inversabil
^ nA[X]:
Reciproc, s a presupunem c a a2Aeste inversabil ^ n A[X], adic a exist a un polinom
f2A[X] astfel caaf=fa= (1;0; :::; 0; :::). Dac af= (a0;a1;:::;an;:::);atunciaa 0=
a0a= 1;undea0este termenul de grad zero, al lui f. Deci, a este inversabil ^ n A
Propozit ia 2.1.5. FieAun inel integru  si A[X]inelul polinoamelor de o nedetermi-
nat a cu coecient i ^ n A. Atunci elementele inversabile din A[X]coincid cu elementele
inversabile din A
18

Demonstrat ie. Fief2A[X] un polinom inversabil. Atunci exist a un polinom
f02A[X], astfel ca ff0= 1. Dar Aind inel integru, rezult a c a A[X] este inel
integru. Atunci avem
grad(f) +grad(f0) = 0
de unde rezult a c a grad(f) =grad(f0) = 0, adic a f;f02A:
2.2 Derivata formal a a unui polinom
Fie aplicat ia D:K[X]!K[X] denit a astfel :
(1)dac aa2K;atunciD(a) = 0;
(2)dac af=nX
i=0aj
Xi;grad (f) =n1; atunci D (f) =nX
k=1k
ak
Xk1:
Tin^ and seama de denit ia aplicat iei D, avem:
(3)D
Xi

=i
Xi1;pentru orice i1:
Atunci :D
Xi
Xj

=D
Xi+j

= (i+j)
Xi+j1
=
i
Xi1


Xj+Xi

j
Xj1

=D
Xi


Xj+Xi
D
Xj

adic a:
(4)D
Xi
Xj

=D
Xi


Xj+Xi
D
Xj

;(8)i;j1:
Funct iaDo vom numi derivare , iar dac af2K
X
, polinomul D(f)2K
X
se
nume stederivata (formal a ) a luif si se va nota cu f(1).Prin recurent a denim
f(n)=D(n)(f) =D(Dn1(f)), pentru orice n1  si o vom numi derivata (formal a )deordinn
a luif. Pentrun= 0, not am f(0)=D(0)(f) =f.
Operat ia de derivare D are urm atoarele propriet at i:
i)D(f+g) =D(f) +D(g);(8)f;g2K
X
;
ii)D(a
f) =a
D(f);(8)a2K;f2K
X
;
iii)D(f
g) =D(f)
g+f
D(g);(8)f;g2K
X
;
iv)D(fr) =r
fr1
D(f);(8)f2K
X
;r2N;r2;
v)D(n)(f+g) =D(n)(f) +D(n)(g);(8)n1;f;g2K
X
;
vi)D(n)(a
f) =a
D(n)(f);(8)a2K;n1;f2K
X
;
Propozit ia 2.2.1. Dac aKeste un corp de caracteristic a zero  si f2K
X
astfel
^ nc^ atgrad(f)1, atunciD(f)6= 0.
19

Observat ie: Dac a corpul Kare caracteristic a p sif2K
X
, atunci nu ^ ntodeauna
D(f)6= 0. De exemplu, dac a f=X6+^2
X3+^12Z3
X
, atunci derivata D(f)a
luifeste polinomul nul, indc a D(f) =^6
X5+^3
^2
X2=^0.
2.3 Construct ia inelului R[X1;X2;:::;Xn]. Propriet at i
generale
Se construie ste prin induct ie matematic a, inelul polinoamelor de un num ar nit de
nedeterminate.
Inelul polinoamelor ^ n nedeterminatele X1;X 2;:::;Xncu coecient i ^ n R, notat prin
R[X1;X 2;:::;Xn] se dene ste inductiv astfel:
(1).R[X1] este inelul polinoamelor^ n nedeterminata X1cu coecient i^ n R. Orice
element din R[X1] este un polinom de forma:
f=nX
i=0ai
Xi
1; ai2R; i = 0;1;2;:::;n; n2N;
(2).R[X1;X 2] este inelul polinoamelor ^ n nedeterminata X2cu coecient i ^ n ine-
lulR[X1], adic a :R[X1;X 2] =R[X1]R[X2]:Orice element din R[X1;X 2] este de forma
:
g=mX
j=0aj(X1)
Xj
2; aj(X1)2R[X1]; j= 0;1;2;:::;m; m2N:
(3).R[X1;X 2;:::;Xn] este inelul polinoamelor^ n nedeterminata Xncu coecient i
^ nR[X1;X 2;:::;Xn1], adic a :R[X1;X 2;:::;Xn] =R[X1;X 2;:::;Xn1][Xn]:A sadar,
dac a f este un polinom din inelul R[X1;X 2;:::;Xn];atunci:f=f0+f1Xn+:::+
fknXknn;undefi2R[X1;X 2;:::;Xn1];8i= 0;1;:::;kn:
Este clar c a f se scrie ca o sum a nit a de termeni, numit i monoame, de forma
ai1i2:::in
Xi1
1
Xi2
2
:::
Xinn;undeai1i2:::in2Rse numesc coecient ii polinomului f. Deci :
f=k1;k2;:::;k nX
i1;i2;:::;i n=0ai1i2:::in
Xi1
1
Xi2
2
:::
Xin
n:
Prin gradul monomului =a
Xi1
1
Xi2
2
:::
Xinn;a6= 0 ^ n raport cu ansamblul
nedeterminatelor, ^ nt elegem suma i1+i2+:::+in si scriemgrad() =i1+i2+:::+in:
Gradul polinomului f^ n raport cu ansamblul nedeterminatelor, notat grad(f) se
dene ste astfel :
grad(f) =1;dac af= 0
grad(f) = maximul gradelor monoamelor sale, dac a f6= 0
20

Capitolul 3
Factorizarea polinoamelor
3.1 Propriet at i aritmetice ale inelelor de polinoame
Fie R un inel comutativ  si unitar. Vom ar ata c a inelul R[X] satisface propriet at i
similare cu propriet at ile inelului Z.
Reamintim c a Zare urm atoarele propriet at i:
(i) (^ mp art irea cu rest ) dac aa;b2Z, atunci9q;r2Zastfel ^ nc^ at a=b
q+r,
unde 0r<jbj;
(ii) Dac aa;b2Z si d=c.m.m.d.c.(a,b), atunci 9u;v2Zastfel^ nc^ at a
u+b
v=d;
(iii) (factorizarea unic a ) orice num ar ^ ntreg n2Zse scrie ca un produs nit de
puteri naturale ale unor numere prime distincte dou a c^ ate dou a.
Teorema 3.1.1. (teorema ^ mp art irii cu rest pentru polinoame ).
Fief;g2K[X], cug6= 0. Atunci9q;r2K[X]a.^ :
(3.1)f=g
q+r, under= 0 saugrad(r)<grad (g).
Polinoamele q sircare veric a (3.1) sunt unice  si se numesc c^ at respectiv rest.
Demonstrat ie. Dac agrad(f)<grad (g), lu^ andq= 0  sir=fse obt inef=g
0 +f
 si deci teorema este adev arat a.
Presupunem c a grad(f)grad(g).^In acest caz, stabilim armat ia teoremei prin
indict ie dup a grad(f)grad(g).
Fief=am
Xm+:::+a1
X+a0;am6= 0  sig=bn
Xn+:::+b1
X+b0;bn6= 0
(decigrad(f) =m sigrad(g) =n).
Dac agrad(f)grad(g) = 0, atunci m=n sifse poate scrie sub forma:
f=g
an
b1
n+(an1an
b1
n
bn1)
Xn1+:::+(a1an
b1
n
b1)
X+(a0an
b1
n
b0).
^In acest caz, relat ia (3.1) are loc cu g=an
b1
n(polinom de grad zero)  si
r= (an1an
b1
n
bn1)
Xn1+:::+ (a0an
b1
n
b0)
Presupunem c a armat ia teoremei are loc pentru orice polinoame f1;g12K[X] a.^ 
0<grad (f1)grad(g1)<grad (f)grad(g).
21

Fieh=fam
b1
n
Xmn
g si avemf=g(am
b1
n
Xmn) +h, unde :
h= (am1am
b1
n
bn1)
Xm1+ (am2am
b1
n
bn2)
Xm2+:::+a0
grad(h)m1<m =grad(f).
Dac agrad(h)< grad (g), atunci armat ia teoremei este adev arat a lu^ and q=
am
b1
n
Xmn sir=h.
Dac agrad(h)grad(g), atunci 0grad(h)grad(g)<grad (f)grad(g)  si astfel
din ipoteza induct iei, pentru polinoamele h siq9q1;r12K[X] a.^ h=g
q1+r1,
under1= 0 saugrad(r1)<grad (g).
^In consecint  a, f=g(am
b1
n
Xmn)+g
q1+r1avemgrad(r) =grad(r1)<grad (g)
 si armat ia teoremei este adev arat a.
Demonstr am acum unicitatea polinoamelor q sircare veric a (1.1).
Presupunem c a exist a q0 sir0astfel ^ nc^ at f=g
q0+r0, under0= 0 sau
grad(r0)<grad (g). Atuncif=g
q+r=g
q0+r0, de undeg(qq0) =r0r.
Dac a am avea qq06= 0, atunci
grad(r0r) =grad(g
(qq0)) =grad(g) +grad(qq0)>grad (g).
Pe de alt a parte, cum grad(r0r)< grad (g), obt inem o contradict ie. Deci este
necesar caqq0= 0 adic aq=q0 si decir0r= 0, adic ar=r0.
Corolarul 3.1.2. K[X]este inel euclidian.
Teorema 3.1.3. Fieg=bnXn+:::2R[X]cubn2U(R). Atunci, pentru orice
f2R[X]exist a ^ n mod unic polinoamele q;r2R[X]astfel ^ nc^ at:
(3.2)f=g
q+r, under= 0 saugrad(r)<grad (g).
Corolarul 3.1.4. Pentru orice f;g2R[X]cu proprietatea c a geste monic, exist a ^ n
mod unicq;r2R[X]^ nc^ atf=g
q+runder= 0 saugrad(r)<grad (g).
Dac af;g2R[X],g6= 0  si restul ^ mp art irii lui flageste 0, spunem c a geste un
divizor al lui fsau c afeste un multiplu al lui gsau se mai spune c a gdividef si
scriemgjf. Astfel spus, gjfdac a  si numai dac a exist a q2R[X]a.^ f=g
q.
Teorema 3.1.5. Fief2R[X],f6= 0  sia2R. Restul ^ mp art irii polinomului fla
binomulXaeste egal cu valoarea f(a)a polinomului f^ na.
Demonstrat ie. Aplic^ and teorema (3.2) pentru polinoamele f sig=Xaobt inem
f= (Xa)
q+r, under= 0 saugrad(r)<grad (Xa) = 1. Rezult a grad(r) = 0.
Aplic^ and morsmul substitut ie a:R[X]!R, avem:
a(f) =a((Xa)
q+r) =a(Xa)
a(q) +a(r) = (aa)
q(a) +r=r.
Decir=f(a).
Exemplul 3.1.1 .Fief=X23X52Z[X]  sig=X3. Restul ^ mp art irii lui
fprinX3 estef(3) = 323
35 =5.
Teorema 3.1.5 nu ne ofer a  si c^ atul ^ mp art irii lui fprinXa.
Acest inconvenient este evitat prin utilizarea unui alt procedeu, numit schema lui
Horner , ce va  prezentat mai jos.
Fief=anXn+an1Xn1+:::+a02R[X];an6= 0. Dac a scriem teorema ^ mp art irii
cu rest pentru polinoamele f siXa, avem:
22

(i)f= (Xa)
q+r:
Cumgrad(f) =n, rezult a c a grad(q) =n1. Deciqeste un polinom de forma:
q=bn1
Xn1+:::+b1
X+b0;bn16= 0. Egalitatea (i) devine ^ n acest caz:
(ii)an
Xn+:::+a1
X+a0= (Xa)
(bn1
Xn1+:::+b1
X+b0) +r.
Efectu^ and calculele ^ n membrul drept  si t in^ and seama de egalitatea a doua polinoame,
obt inem:
(iii)8
>>>>>>>><
>>>>>>>>:an=bn1
an1=bn2a
bn2
an2=bn3a
bn2
:::
a1=b0a
b1
a0=ra
b0.
Din (iii), obt inem coecient ii c^ atului q si restulrastfel:
(iv)8
>>>>>><
>>>>>>:bn1=an
bn2=a
bn1+an1
:::
b0=a
b1+a1
r=a
b0+a0.
Egalit at ile (iv) pot  scrise ^ n tabelul, numit schema lui Horner , astfel:
XnXn1Xn2:::X1X0
anan1 an2:::a1a0
aana
bn1+an1a
bn2+an2:::a
b1+a1a
b0+a0
bn1bn2 bn3:::b0 r
Exemplul 3.1.2 ..
A
 am c^ atul  si restul ^ mp art irii lui f=^2X3+^3X2+X+^12Z6[X] laX^2:
X3X2X1X0
^2 ^3 ^1 ^1
^2^2 ^1 ^3 ^1
Rezult aq=^2X2+X+^3  sir=^1.
Propozit ia 3.1.6. Pentru orice dou a polinoame f;g2K[X]exist a un c.m.m.d.c  si
un c.m.m.m.c al polinoamelor f  si g.
Remarca 3.1.1 .Cel mai mare divizor comun a dou a polinoame f  si g din K[X] se
determin a aplic^ and algoritmul lui Euclid.
23

Exemplul 3.1.3 .Determin am c.m.m.d.c al polinoamelor f;g2Q[X];undef= 2X4+
5X2+3  sig= 2X3+2X2+3X+3:Aplic^ and algoritmul lui Euclid, mai exact ^ mp art ind
pe f la g obt inem c^ atul X1  si restul 4 X2+6,f=g
(X1)+(4X2+6):Apoi vom
obt ine :g= (4X2+ 6)(1
2X+1
2) + 0. Ultimul rest nenul este 4 X2+ 6 = 4(X2+3
2).
Rezult ad=X2+3
2.
Denit ia 3.1.1. Un polinom f2R[X] se nume ste ireductibil ^ nR[X], dac agrad(f)
1  si f nu are divizori proprii; adic a dac a g2R[X] are proprietatea c a gjf, atunci
g=a2U(R) saug=a
fcua2U(R):
Un polinom f2R[X] se nume ste reductibil ^ n R[X], dac a f nu este ireductibil ^ n R[X].
Teorema 3.1.7. Orice polinom f2K[X]cugrad(f)1se scrie ca un produs nit
de factori monici ireductibili sub forma : f=an
g1
g2
:::
gm;mn;undean
reprezint a coecientul dominant al lui f, iar gi;i=1;mind polinom monic ireductibil.
Denit ia 3.1.2. Un polinom f2R[X] se nume ste prim ^ n inelul R[X], dac a pentru
oriceg;h2R[X];fjg
h, rezult afjgsaufjh^ n inelul R[X].
Propozit ia 3.1.8. Fie R un inel integru  si a;p2R. Au loc urm atoarele armat ii:
a) Dac af=anXn+:::+a1X+a02R[X];an6= 0 siajf;atunciajai;8i=0;n.
b) Dac a p este element prim ^ n R, atunci p este polinom prim ^ n R[X].
3.2 R ad acinile polinoamelor cu coecient i ^ ntr-un
corp
3.2.1 Funct ii polinomiale
Denit ia 3.2.1.
Fief=nX
i=0aiXian6= 0:
Se nume ste funct ie polinomial a asociat a polinomului f;aplicat ia ~f(x) =x(f) =nX
i=0aixi
8x2R, undex:R[X]!Reste morsmul substitut ie de la inelul R[X] la inelulR
,determinat de x2R:
Fief;g2R[X] si~f;~gfunct iile polinomiale asociate. Observ am c a: dac a f=g, atunci
~f= ~g, adic a ~f(x) = ~g(x);8x2R.
Propozit ia 3.2.1. Dac af;g2R[X] si~f;~gsunt funct iile polinomiale asociate, atunci
funct iile polinomiale asociate polinoamelor f+g sif gsunt ~f+ ~g, respectiv ~f
~g.
Dac aa0;a1;:::;an2Rsuntn+ 1 elemente date  si an6= 0, atunci funct ia u:R!R
dat a prinu(x) =nX
i=0aixi, se nume ste funct ie polinomial a de grad n(n0):
24

Not am cuFP(R) =fuju:R!R;a.^  (9)f2R[X];u(x) = ~f(x) (8)x2Rg
mult imea funct iilor polinomiale asociate polinoamelor din R[X].
AvemFP(R)F(R), undeF(R) este inelul funct iilor denite pe Rcu valori ^ n R.
Propozit ia 3.2.2. FP(R)este un inel unitar comutativ ^ n raport cu adunarea  si
^ nmult irea a funct iilor. Aplicat ia ':R[X]!FP(R);f!'(f) =~feste un morsm
unitar surjectiv de inele.
3.2.2 R ad acini ale polinoamelor cu coecient i ^ ntr-un inel
integru
Denit ia 3.2.2. Elementula2Rse numeste r ad acin a ^ n Ra polinomului f2R[X],
dac a ~f(a) = 0, adic a valoarea funct iei polinomiale ~f^ naeste zero.
Teorema 3.2.3. (teorema lui B ezout).
Fief2R[X],f6= 0. Un element 2Reste r ad acin a a polinomului f^ n inelulR
dac a  si numai dac a polinomul Xdividef^ n inelulR[X].
Demonstrat ie.
Fief=nX
i=0aiXi2R[X]  si2Ro r ad acin a a lui f, adic anX
i=0aii= 0:Avem:
f=nX
i=0aiXi=nX
i=0aiXinX
i=0aii=nX
i=0ai(Xii) =a1(X)+a2(X22)+:::+an(Xnn) =
= (X)
a1+a2(X+)+:::+an(Xn1+Xn2+:::+Xn2+n1)
= (X)g;
undeg=a1+a2(X+) +:::+an(Xn1+Xn2+:::+Xn2+n1)2R[X]:
Prin urmare , ( X)jf^ n inelulR[X]. Reciproc, dac a ( X)jf^ n inelulR[X],
atunci exist a g2R(X), a.^ f= (X)'(g), de unde rezult a c a ~f() = 0
~g() = 0 .
Decieste r ad acin a a lui f^ nR.
Corolarul 3.2.4. FieRun inel integru si f2R[X]un polinom cu grad(f)>1.
Dac afare o r ad acin a ^ n R, atuncifeste reductibil ^ n inelul R[X].
Demonstrat ie. Rezult a imediat din teorema lui B ezout , deoarece dac a este r ad acin a
a luif^ nR, atunciXjf si decif= (X)gcug2R[X]. T  in^ and seama c a
inelulR[X] este integru  si de faptul c a grad(f)>1, rezult a c a grad(g)>1. Decif
este reductibil ^ n R[X].
3.2.3 R ad acini multiple ale polinoamelor cu coecient i ^ ntr-
un inel integru
Denit ia 3.2.3. Fie R un inel integru  si f2R[X];f6= 0:Spunem c a elementul a2R
este r ad acin a multipl a de ordinul m1 al polinomului f, dac a exist a q2R[X] astfel
^ nc^ atf= (Xa)m
q(x):Dac am= 2, respectiv m= 3, atunci a se nume ste r ad acin a
dubl a, respectiv tripl a.
25

Propozit ia 3.2.5. Fie R un inel integru  si dou a polinoame nenule f;g2R[X]. Dac a
02Reste o r ad acin a multipl a de ordinul m al lui f  si respectiv r ad acin a multipl a de
ordinul n al lui g, atunci 0este r ad acin a multipl a de ordinul m+nal polinomului f g.
Teorema 3.2.6. Fie K un corp de caracteristic a zero, f2K[X];f6= 0:Elementul
02Keste r ad acin a multipl a de ordinul m1a polinomului f dac a  si numai dac a :
~f(0) = 0;~f0(0) = 0;:::; ~f(m1)(0) = 0  si~f(m)6= 0;
adic a 0 este r ad acin a a polinoamelor f  si f(i)=Di(f);i=1;m1 si nu e r ad acin a a
polinomului f(m) =Dm(f).
Exemplul 3.2.1 .Fief=X5+ 3X4+ 5X3+ 7X2+ 6X+ 22Q[X]:Avem
D(f) = 5X4+ 12X3+ 15X2+ 14X+ 6,
D2(f) = 2(10X3+ 18X2+ 15X+ 7);
D3(f) = 6(10X2+ 12X+ 5):
Din ~f(1) = 0;~f0(1) = 0;~f00(1) = 0;~f000(1) = 66= 0 rezult a c a x=1 este o
r ad acin a tripl a  si avem f= (X+ 1)3(X2+ 2)2Q[X]
Teorema 3.2.7. Fief2K[X];f6= 0. Elementul 02Keste r ad acin a simpl a a
polinomului f dac a  si numai dac a ~f(0) = 0  si~f06= 0;undef0=D(f)este derivata lui
f.
3.3 Divizibilitatea ^ n inelul polinoamelor
Teorema 3.3.1. (Teorema de transfer al lui Gauss)
Fief2R[x]un polinom nenul  si neinversabil. ^In conformitate cu denit ia elemen-
telor ireductibile ^ ntr-un inel integru, f este ireductibil ^ n R[X] dac a are doar divizori
ireductibili, adic a are loc implicat ia :
8g2R[X]; gjf)g1sau gf:
f este reductibil ^ n R[X] dac a nu este ireductibil, adic a dac a are divizori proprii.
Astfel spus, f este reductibil ^ n R[X] dac a exist a g;h2R[X], neinversabile, astfel ^ nc^ at
f=g
h:
Exemplul 3.3.1 .^InZexist a polinoame reductibile de grad 1. De exemplu, polinomul f
= 2X + 4 este reductibil ^ n Z, deoarece f = 2
(X+2);iar 2  si X+2 nu sunt inversabile
^ nZ[X].
^In inelul Q[X] numerele rat ionale nenule sunt polinoame inversabile (de grad 0), iar
polinoamele de grad 1 sunt ireductibile ^ n Q[X].
Prima etap a ^ n factorizarea polinoamelor din Z[X] const a ^ n factorizarea constran-
telor. Pentru a descrie aceast a etap a se introduce urm atoarea denit ie.
Denit ia 3.3.1. Dac af=anXn+:::+a1X+a02Z[X];an6= 0 num arul ( a0;a1;:::;an)(cel
mai mare divizor comun al coecint ilor lui f ) se nume ste continutul polinomului f  si
se noteaz a cu c(f). Polinomul f se nume ste primitiv, dac a c(f)=1.
26

Un polinom care are coecientul dominant egal cu 1 (numit polinom unitar sau
monic) este un polinom primitiv.
Remarca 3.3.1 .Not iunile de cont inut al unui polinom  si polinom primitv se denesc
la fel pentru polinoamele cu coecient i ^ ntr-un inel factorial oarecare.
Exemplul 3.3.2 .Dac af= 2X36X2+ 18X82Z[X], atunci c(f) = 2  si avem
f= 2(X33X2+ 9X4) = 2
g, unde g este polinom primitiv.
Propozit ia 3.3.2. i)Dac af=anXn+:::+a1X+a02Z[X]atuncig=f=c(f)2
Z[X]este un polinom primitiv.
ii) Dac af2Z[X] si f= rg, unde r2Q, iarg2Z[X]este un polinom primitiv,
atuncir2Z:
iii) Dac af2Q[X];atunci f poate  scris ^ n mod unic sub forma f = r g, unde
r2Q, iarg inZ[X]este un polinom primitiv.
Lema 3.3.3. (Gauss)
Dac af;g2Z[X]sunt primitive, atunci f
geste primitiv.
Demonstrat ie. Fief;g2Z[X];
f=a0+a1X+:::; g =b0+b1X+:::
dou a polinoame primitive.
Presupunem prin reducere la absurd c a h=f
g=c0+c1X+c2X2+:::nu este
primitiv. Atunci exist a un num ar prim p2Zcare divide c(f
g), deci p divide tot i
coecient ii
c0=a0b0;c1=a1b1;:::
ai polinomului f
g:
Deoarece f este primitiv, cel put in unul dintre coecient ii a0;a1;:::nu este divizibil
cu p. Fiearcoecientul lui f de ranf minim, nedivizibil cu p:
pja0;:::;pjar1;p-ar:
La fel, ebscoecientul lui g de rang minim, nedivizibil cu p.
Consider am coecientul
cr+s=a0br+s+:::+ar1bs+1+arbs+ar+1bs1+:::+ar+sb0:
S tim c acr+s sia0;:::;ar1;bs1;:::;b 0se divid cu p.
Rezult a c a arbs=cr+s(a0br+s+:::+ar1bs+1+ar+1bs1+:::+ar+sb0) se divide
cu p, ceea ce este absurd, deoarece p nu divide nici pe ar, nici pebs:
Prin urmare h este primitiv, Q.E.D.
27

Din demonstrat ia lemei anterioare putem observa c a dac a un num ar prim pdivide
produsul a dou a polinoame f;g2Z[X], atuncipdivide sau tot i coecient ii lui fsau
tot i coecient ii lui g. Putem a sadar enunt a :
Propozit ia 3.3.4. Dac ap2Zeste un num ar prim, atunci p este prim ^ n Z[X].
Propozit ia 3.3.5. Fief;g2Z[X]:Dac a f este primitiv  si f divide g ^ n Q[X], atunci
f divide g ^ n Z[X].
Teorema 3.3.6. (Teorema de ireductibilitate a lui Gauss)
Fief2Z[X]un polinom neconstant. Dac a f este ireductibil ^ n inelul Z[X], atunci
f este ireductibil  si ^ n inelul Q[X].
Demonstrat ie. Fief2Z[X]. Presupunem prin reducere la absurd c a f este reductibil
^ nQ[X]. Deoarece f are gradul cel put in 1, exist a g;h2Q[X] astfel ^ nc^ at f=g
h
 si 0< grad (g)< grad (f);0< grad (h)< grad (f). Polinoamele g, h ind scrise sub
formag=r
g1;h=s
h1;unde r, s sunt numere rat ionale, iar g1;h12Z[X] sunt
polinoame primitive, din care obt inem f= (rs)(g1h1). Din lema lui Gauss, reiese c a
g1h1este polinom primitiv, deci rseste un num ar ^ ntreg.
Vom rescrie egalitatea f=g
hsub formaf= (rsg 1)
h1; rsg 1 sih1ind polinoame cu
coecient i ^ ntregi. Rezult a c a f este reductibil ^ n Z[X], ^ n contradict ie cu ipoteza.
Teorema 3.3.7. Inelul Z[X]este inel factorial.
Teorema 3.3.8. (Teorema de ireductibilitate a lui Gauss ^ n inele factoriale)
Fie R un UFD(inel factorial), F corpul s au de fract ii  si f2R[X]. Dac afeste
reductibil ^ n F[X], atunci el este reductibil  si ^ n R[X].
Corolarul 3.3.9. Fief2R[X]este un polinom primitiv. Atunci f este ireductibil ^ n
R[X]dac a  si numai dac a este ireductibil ^ n F[X].
Teorema 3.3.10. (Teorema de transfer a lui Gauss)
Dac a R este un inel factorial, atunci  si R[X]este inel factorial.
3.4 Polinoame ireductibile
^In aceast a sect iune vom presupune c a inelul R este integru  si vom nota cu K(R)
corpul s au de fract ii.
Unit at iile lui R[X] sunt polinoame nenule de gradul zero, rezult a c a un polinom
f2R[X] este ireductibil, dac a f nu se poate descompune ca un produs f=g
h.
Se  stie c a orice polinom f2R[X] de gradul unu este ireductibil. Not iunea de
polinom ireductibil este st^ ans legat a de inelul coecient ilor polinomului. Spre exemplu,
polinomulf=X23 este ireductibil ^ n Z[X]  siQ[X], dar ^ n R[X] este reductibil,
deoarece putem scrie f=X23 = (Xp
3)(X+p
3).
28

Polinoamele ireductibile au un rol important ^ n studiul inelului polinoamelor precum
 si ^ n rezolvarea ecuat iilor algebrice.
^In algebr a nu dispunem de metode generale care s a ne permit a s a decidem dac a un
polinom arbitrar este sau nu ireductibil. Exist a totu si cazuri speciale  si anume unele
criterii care ne dau condit ii suciente pentru ca un polinom s a e ireductibil, precum:
criteriul lui Eisenstein, criteriul de ireductibilitate modulo pe a unui polinom din Z[X].
Teorema 3.4.1. Fief2K[X], astfel ^ nc^ at grad(f) = 2 sau3. Polinomul f este
reductibil ^ n K[X] ,f are cel put in o r ad acin a ^ n K.
Teorema 3.4.2. Fief2K[X]astfel ^ nc^ at grad(f) = 2 sau3. Polinomul f este
ireductibil ^ n K[X] ,f nu are r ad acini ^ n K.
Exemplul 3.4.1 .Trebuie s a determin am care dintre unrm atoarele polinoame sunt
ireductibile .
Remarca 3.4.1 .Teorema lui B ezout este util a c^ and dorim s a veric am dac a un polinom
f2K[X] admite un factor de gradul 1 de forma Xa, cua2K. Aceasta ne ajut a
s a test am ireductibilitatea lui polinom f2K[X], c^ andgrad(f) = 2sau3.
Teorema 3.4.3. (Criteriul lui Eisenstein) Fie R un inel factorial  si f=a0+
a1X+:::+anXn2R[X]. Dac a exist a un element prim p2Rastfel ^ nc^ at:
(a)pjai; i = 0;1;2;:::;n1;
(b)p-an sip2-a0, atunci f este ireductibil ^ n R[X].
Remarca 3.4.2 .De si criteriul lui Eisenstein este restrictiv prin ipotezele sale, totu si
acesta ne permite s a punem ^ n evident  a o clas a larg a de polinoame ireductibile din
Z[X]  siQ[X] (deoarece un polinom f este ireductibil ^ n Q[X],feste ireductibil ^ n
Z[X]).
Exemplul 3.4.2 .(1).f= 7X425X2+15X10 este ireductibil ^ n Q[X]. Num arul p
= 5 divide tot i coecient ii lui f, cu except ia lui a4= 7  si 52nu dividea0=10. Deci
f este ireductibil.
(2).f=X3Y31 este ireductibil ^ n Q[X;Y ].^Intr-adev ar, consider am f ca ind
un polinom ^ n nedeterminat a X cu coecient ii ^ n Q[Y]  si rezult a a3= 1;a2= 0;
a1= 0;a0=Y31:Alegem elementul prim (ireductibil) Y12Q[Y]  si rezult a c a
(Y1)jai; i= 0;1;2 , (Y1) nu divide a3 si (Y1)2nu dividea0. Deci f este
ireductubil ^ n Q[X][Y] =Q[X;Y ]:
Propozit ia 3.4.4. Fie R un inel integru  si 2Rxat. Polinomul f2R[X]este
ireductibil ^ n R[X]dac a  si numai dac a polinomul g= (X+)este ireductibil ^ n R[X].
Exemplul 3.4.3 .Ar at am c a f=X33X2+12X7 este ireductubil ^ n Z[X]. Conform
proprozit iei de mai sus, f este ireductibil ^ n Z[X] dac a  si numai dac a g=f(X+ 1) este
ireductibil^ n Z[X]. Avem g= (X+1)33(X+1)2+12(X+1)7 =X3+9X+32Z[X].
29

Pentru p=3, avem 3 ja2;3ja1;3ja0;3-a3 si 32-a0. Deci g este ireductibil.
A sadar f este ireductibil.
Teorema 3.4.5. (Criteriul de ireductibilitate modulo p)
Fief2Z[X]de graduln1. Dac a exist a un num ar prim p astfel ^ nc^ at ……
Exemplul 3.4.4 .f=X33X2+12X7 este ireductibil^ n Z[X]. Pentru aceasta aplic am
criteriul de ireductibilitate modulo p. Polinomul g=X3X21 =x3+x2+12Z2[X]
nu are r ad acini ^ n Z2, indc a ^g^(0) = ^g^(1) = ^1  si conform teoremei predecente g este
ireductibil ^ n Z2[X]:Deci f este ireductibil ^ n Z[X]:
Remarca 3.4.3 .(1). Utilizarea criteriului de ireductibilitate modulo p pentru a a
a
dac a un polinom f2Z[X] este ireductibil este avantajoas a atunci c^ and se cunoa ste o
clas a sucient de larg a de polinoame ireductibile ^ n Zp[X], cu p num ar prim.
(2). Morsmul de inele '
p:Z[X]!Zp[X] are proprietatea c a, dac a f este
un polinom monic reductibil ^ n Z[X], atunci'
p(f) este un polinom monic reductibil
Zp[X] pentru orice num ar prim. De exemplu f= 3X4+ 6X3+ 2X2+X+ 82Z[X]
are gradul 4, iar '
3(f) =^2X2+X+^22Z3[X] are gradul 2.
(3). Determinarea polinoamelor monice ireductibile ^ n Q[X] se reduce la determi-
narea polinoamelor monice ireductibile ^ n Z[X]:Conform criteriului de ireductibilitate
modulo p determinarea polinoamelor monice ireductibile ^ n Z[X] se reduce la a
area
polinoamelor monice ireductibile ^ n Zp[X], cu p prim.
Teorema 3.4.6. (Criteriul de ireductibilitate al lui Cohn) Fie p un num ar
prim astfel ^ nc^ at :
p=an10n+an110n1+


+a110 +a0:
Atunci polinomul f=anXn+an1Xn1+


+a1X+a0este ireductibil peste Q:
Teorema 3.4.7. (Criteriul de ireductibilitate al lui Perron) Fief2Z[X]
f=anXn+an1Xn1+


+a1X+a0; an6= 0:
Dac a
jan1j>1+jan2j+:::+ja1j+ja0j
atunci f este ireductibil ^ n Z[X].
De exemplu, f=Xn+ 5Xn1+ 3 (n2);este ireductibil ^ n Z[X], deoarece
jan1j>1+jan2j+:::+ja1j+ja0j.
3.5 Polinoame ireductibile ^ n Zp[X]
3.6 Factorizarea polinoamelor
Exist a polinoame ireductibile de orice grad ^ n Q[X].Sunt de metode de natur a al-
gebric a care ne permit s a descompunem un polinom dat din Q[X] ^ n produs nit
de factori ireductibili. Un procedeu clasic de descompunere ^ n factori ireductibili a
polinoamelor din Q[X] este metoda lui Schubert-Kronecker.
30

Factorizarea polinoamelor din Q[X] se reduce a factorizarea polinoamelor monice
^ nZ[X], iar aceasta din urm a se reduce la factorizarea polinoamelor ^ n Zp[X], cu p-
num ar prim.
Polinoamele monice ireductibile peste corpul R, al numerelor reale sunt cele de forma
Xa; X2+bX+c; cu a;b;c2R; b24c<0  si orice polinom din R[X] se scrie ^ n
mod unic ca produs nit de polinoame monice ireductibile peste R.
Algebra nu ne ofer a metode efective de factorizare a unui din R[X] ^ n produs de
polinoame ireductibile. ^Ins a analiza numeric a ne ajut a s a determin am cu aproximat ie
r ad acina unui polinom din R[X]  si de asemenea, ne permite s a obt inem factoriz ari
aproximative ale polinoamelor cu coecient i reali ca produse de polinoame ireductibile.
Polinoamele monice ireductibile peste corpul Cal numerelor complexe sunt cele de
formaXa; cu a2C si orice polinom din C[X] se scrie ^ n mod unic ca produs nit
de polinoame de forma Xa; a2C.
3.6.1 Factorizarea polinoamelor din C[X]
Orice polinom f=aX+b2C[X] de gradul 1 cu a6= 0 are p r ad acin a ^ n C si anume
x=a
b2C.
Propozit ia 3.6.1. Orice polinom f2C[X]de gradul 2 are dou a r ad acini complexe.
Teorema 3.6.2. (Teorema fundamental a a algebrei ) Orice polinom de grad
n1cu coecient i ^ n Care cel o r ad acin a ^ n C.
Demonstrat ie. Presupunem cunoscute urm atoarele rezultate din analiz a:
1)Dac af2C[X] este un polinom neconstant, atunci jfj:C!Reste o funct ie
continu a.
2)Orice funct ie continu a g:K!R, undeKCeste compact ^  si atinge
minimul.
Demonstrat ia se bazeaz a pe urm atoarele dou a propozit ii:
I.Teorema de minim a lui Cauchy: Dac a f2C[X] este un polinom neconstant,
atunci exist a c2Castfel ^ nc^ at f(c) =inff (C). Cu alte cuvinte, ar at am c a exist a
z02Castfel ^ nc^ atjf(x0)jjf(x)jpentru orice z2C.
II. Inegalitatea lui Argand: Dac a f2C[X] este un polinom neconstant, atunci
pentru orice c2Ccuf(c)6= 0 exist ac02Castfel ^ nc^ atjf(c0)j<jf(c)j.
TFA rezult a imediat din I  si II : Din teorema de minim a lui Cauchy rezult a c a
exist az0astfel ^ nc^ atjf(x0)jjf(x)jpentru orice z2C, iar din inegalitatea lui
Argand reiese c ajp(z0)jnu poate  strict pozitiv.
31

Demonstr am cele dou a propozit ii:
Lema 3.6.3. Fief2C[X], de grad1. Pentru orice num ar pozitiv M exist a R> 0
astfel ^ nc^ atjf(z)j>M;8z2C;jzj>R.
Demonstrat ie. Induct ie dup a n: Dac a n = 1, adic a f=aX+b, pentruM > 0 dat
alegemR=M+jbj
jaj, pentru orice z2C;jzj<R
jf(z)j=jaz+bjjazjjbj=jajjzjjbj>M:
Presupunem proprietatea adev arat a pentru polinoamele de grad n1  si e f un
polinom de grad n. Atunci f(z) =c+zf1(z), undef1este un polinom de gradul n1.
Din ipoteza de induct ie, pentru M > 0 dat, exist a R1 astfel ^ nc^ at
jf1(z)j>M +jcj;8z2C;jzj>R . Atunci pentru orice jzj>R avem
jf(z)j=jc+zf1(z)jjzjjf1(z)jjcjjf1(z)jjcj>M
 si cu aceasta lema este demonstrat a.
Demonstrat ia teoremei de minim . Fiep=Xn+an1Xn1+:::+a1X+a0:
Alegem un R> 0 astfel ^ nc^ atjp(z)j1+ja0j;8z2C;jzj>R  si eD=fz2C;j
zjRg.
S tim c a exist a z02Dastfel ^ nc^ atjp(z0)jjp(z)j. Vom ar ata c a inegalitatea
jp(z0)jjp(z)jare loc  si pentru numerele complexe z cu jzj> R.^Intr-adev ar,
pentru un astfel de z, jp(z)j1+ja0j= 1+jp(0)j>jp(0)j:^Ins ajp(0)jjp(z0)j;
deoarece 02D:Decijp(z)jjp(z0)j;8z2C.
Lema 3.6.4. Fieh2C[X]un polinom neconstant cu proprietatea c a h(0) = 1 . Atunci
exist au2Castfel ^ nc^ atjh(u)j<1.
Demonstrat ie. Scriem polinomul h sub forma h= 1 +bXk+Xkg, undek2N;k1,
iarg2C[X];g(0) = 0. Fie r o r adacin a de ordinul k a lui b1. Atuncirkb=1,
deci pentru orice num ar real pozitiv t,
jh(rt)j=j1tk+ (rt)kg(rt)jj1tkj+tkjg1(t)j
undeg12C[X] are proprietatea g1(0) = 0:
Deoarece lim
t!0g1(t) = 0;exist a 0< t < 1 astfel ^ nc^ atjg1(t)j<1;decijh(rt)j<
1tk+tk= 1:
Demonstrat ia inegalit  at ii lui Argand . Fiec2Castfel ^ nc^ at f(c)6= 0  si
h(z) =f(c+z)
f(c).
Deoarece h este neconstant  si h(0) = 1;exist au2Castfel ^ nc^ atjh(u)j<1. Pentru
c0=c+uobt inemjf(c0)j=jh(u)jjf(c)j<jf(c)j.
32

Consecint e din TFA:
1). Un polinom de gradul n1 din C[X] are n r ad acini complexe (nu neap arat
distincte).
Demonstrat ie. Induct ie dup a n = deg(f). Proprietatea este evident a pentru n = 1.
Presupunem c a ea este adev arat a pentru polinoamele de grad n1(n2) . Dac a f
este un polinom de gradul n, din TFA el are o r ad acin a complex a z1;decif= (Xz1)g;
undeg2C[X] are gradul n1. Conform ipotezei de induct ie, g are n1 r ad acini,
deci f arenr ad acini complexe.
Din aceast a propozit ie rezult a c a orice polinom neconstant
f=anXn+an1Xn1+:::+a02C[X]
se scrie sub forma :
f=an(Xz1)k1:::(Xzp)kp;
undez1;:::;zpsunt r ad acini distincte ale lui f, iar k1+:::+kp=n.
2). Fie
f=a0Xn+a1Xn1+:::+an=an(Xz1)(Xz2):::(Xzn):
Egal^ and coecient ii acelora si puteri rezult a :
a1=a0(z1+z2+:::+zn)
a2=a0(z1z2+z1z3+:::+zn1zn)
:::
an= (1)na0z1:::zn:
Obt inem astfel formulele lui Viete:
z1+z2+:::+zn=a1
a0
z1z2+z1z3+:::+zn1zn=a2
a0:::
z1z2:::zn= (1)nan
a0:
3.6.2 Factorizarea polinoamelor din R[X]
Propozit ia 3.6.5. Fie
f=nX
i=0aiXi2R[X]
de graduln > 0. Dac az2Ceste o r ad acin a complex a a lui f, atunci z2Ceste
r ad acin a complex a a lui f.
Demonstrat ie. Fief=anXn+an1Xn1+:::+a1X+a02R[X]  siz2Castfel ^ nc^ at
f(z) = 0:Atunci
f(z) =anzn+an1zn1+:::+a1z+a0
anzn+an1zn1+:::+a1z+a0= 0;
decizeste r ad acin a a lui f.
33

Aceast a propozot ie ne arat a r ad acinile nereale a unui polinom cu coecient i reali
se pot grupa ^ n perechi de numere complex conjugate. Dac a z1;z1;:::;zs;zs, unde
zk=xk+iyk; k21;ssunt cele 2s r ad acini nereale ale lui f, iar r2s+1;:::;rnsunt
r ad acinile sale reale, atunci
f= (X22x1X+x2
1+y2
1):::(X22xsX+x2
s+y2
s)(Xr2s+1):::(Xrn);
deci orice polinom de gradul n1 se descompune^ n R[X]^ ntr-un produs de polinoame
de gradul ^ nt^ ai sau de gradul doi cu discriminantul negativ.
Teorema 3.6.6. Un polinom f2R[X]este ireductibil ^ n R[X]dac a  si numai dac a
f=a1X+a0; cu a 16= 0 sauf=a2X2+a1X+a0cu a 26= 0 sia2
14a2a0<0:
Conform T.3.6.6 rezult a c a polinoamele ireductibile din R[X] sunt deci polinoamele
de gradul ^ nt^ ai  si cele de gradul doi cu discriminantul negativ.
Fief2R[X]; f=anXn+an1Xn1+:::+a1X+a0; an6= 0;n1:CumReste
un subcorp al lui C;rezult a c af2C[X]. Aplic^ and TFA rezult a c a f are o r ad acin a
z0=a+bi:Dac ab= 0 spunem c a z0=aeste r ad acina din R(r ad acin a real a) a lui f,
iar dac ab6= 0 spunem c a z0=a+b0ieste r ad acin a complex a a polinomului f. T  in^ and
seama c a num arul r ad acinilor complexe ale unui polinom f2R[X] este ^ ntotdeauna
par, ex1;x2;:::;xnr ad acinile reale ale lui f  si z1;z2;:::;zt;z1;z2;:::;ztr ad acinile
complexe ale lui f cu ordinele de multiplicitate m1;m 2;:::;mr,n1;n2;:::;nt, unde
m1+m2+:::+mr+ 2(n1+n2+:::+nt) =n; zj=aj+bji;aj;bj2R; j= 1;2;:::;t:
Atunci cum ( Xzj)(Xzj) =X22ajbjX+a2
j+b2
j, rezult a c a f se scrie ca produs
nit de polinoame ireductibile din Rsub forma :
f=an(Xx1)m1:::(Xxr)mr(X22a1b1X+a2
1+b2
1)n1:::(X22atbt+a2
t+b2
t)nt;
undexi;aj;bj2R;bj6= 0  simi;nj2N; i=1;r; j =1;t:
3.6.3 Factorizarea polinoamelor din Q[X]
Propozit ia 3.6.7. Fief=anXn+an1Xn1+:::+a1X+a02Q[X];an6= 0;atunci
f=f, unde2Q sifeste un polinom primitiv din Z[X]:
Remarca 3.6.1 .Din propozit ia precedent a rezult a c a problema descompunerii polinoa-
melor din Q[X] ^ n produs de factori ireductibili se reduce la problema descompunerii
polinoamelor primitive din Z[X] ^ n produs de factori ireductibili.
Propozit ia 3.6.8. Fief=bnXn+bn1Xn1+:::+b1X+b02Z[X]; bn6= 0;un
polinom primitiv de gradul n>0. Atunci,
f1(X) =bn1f(X
b)2Z[X]
este un polinom monic cu coecient i ^ ntregi .
Remarca 3.6.2 .Problema descompunerii ^ n Z[X] a unui polinom primitiv f=bnXn+
bn1Xn1+:::+b1X+b02Z[X]; bn6= 0;se reduce la problema descompunerii ^ n
Z[X] a polinomului monic f1(X)2Z[X]:
Exemplul 3.6.1 .Factoriz am g= 6X47X3+ 5X2+X22Q[X]. Avemc(g) = 1
 si rezult a c a g este polinom primitiv.
34

Polinomul monic asociat polinomului primitiv g este g1(X) = 63g(X
d6) =X4
7X3+ 30X2+ 36X4322Z[X]:Descompunem g12Z[X].
C aut am r ad acini pentru g1printre divizorii termenului liber. Avem g1(3) =
0; g 1(4) = 0  si rezult a g1(X) = (X+ 3)(X4)(X26X+ 36)2Z[X]:
Atuncig(X) =1
63g1(6X):Decig= (2X+ 1)(3X2)(X2X+ 1)2Q[X]  si g are
r ad acini rat ionale x1=1
2 six2=2
3.
35

Bibliograe
[1] Gheorghe Ivan, Paul Mihai S u soi, ELEMENTE DE TEORIA POLINOAMELOR
S I A ECUAT  IILOR ALGEBRICE, Editura Ionescu, 2001
[2] Dorel Mihet , DIVIZIBILITATEA ^IN INELE S I ELEMENTE DE TEORIA COR-
PURILOR, Editura Politehnica, 2011
[3] Autori, Titlu articol, Nume jurnal Num ar (An aparit ie), pag. start – pag. nal.
[4] Descriere resurs a online, URL: https://www.google.com
36