Programul de studii: [626244]

UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN BUCURES TI
FACULTATEA DE S TIINT E APLICATE
Programul de studii:
Matematic a  si Informatic a Aplicat a ^ n Inginerie
Aprobat decan,
Prof.dr. Emil PETRESCU
PROIECT DE DIPLOM A
Teoreme de punct x  si principii
contractive
COORDONATOR S TIINT IFIC, ABSOLVENT: [anonimizat].dr. Ariana PITEA Camelia-Ramona GHEORGHE
Bucure sti
2019

Contents
Introducere 4
1 Generalit at i despre puncte xe 5
2 Principiul Contract iei 18
2.1 Prezentarea metodei contract iei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Evaluarea erorii absolute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Not iunea de contract ie ^ n R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.1 Prezentarea metodei iterat iei simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Aplicat ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Aplicat ii Kannan 26
4 Aplicat ii Chatterjea 31
5 Aplicat ii Zamrescu 38
6'-Contract ii 39
7 Fixed point results 42
Bibliograe 43

Introducere
This is written based on …
The rst chapter …..
The aim of Chapter 2 is …
Keywords: xed point, b-metric space, partial metric space, quasi-part ial metric space,
-distance, best
proximity point, three step iteration process, convergence, T-stability, variational problem, eciency,
duality.
2010 Mathematics Subject Classication: 47H05; 47H09; 47H10; 47J05; 47J25; 49J35; 58E17; 65M12.
4

Chapter 1
Generalit at i despre puncte xe
Denition 1.1. Fie aplicat ia g:X!X. Punctul2Xse nume ste punct x al aplicat iei gdac a
g() =. [?]
Not am prin Fg=f2Xj=g()gmult imea punctelor xe ale funct iei g.
Figure 1.1
Din punct de vedere geometric, punctele xe ale unei funct ii g se reg asesc la intersect ia dintre gracul
funct ieig si prima bisectoare.
A sadar, num arul punctelor xe al unei funct ii geste egal cu num arul punctelor ^ n care gracul
funct ieigintersecteaz a prima bisectoare (vezi Figura 1.1).
5

6 Gheorghe Camelia-Ramona
^In continuare, d am un exemplu de funct ie care nu are puncte xe.
Consider am funct ia g:R!R,g(x) =x2+ 2x+ 1.
Solut ie.
Metoda 1
Rezolv^ and ecuat ia g(x) =x, obt inemx2+x+1 = 0. Pentru aceast a ecuat ie, discriminantul,
<0,
ceea ce ^ nseamn a c a ecuat ia nu are solut ii reale. Rezult a, astfel c a funct ia gnu are puncte xe.
Metoda 2 (grac a)
Realiz^ and gracul funct iei g, observ am c a acesta nu se intersecteaz a cu prima bisectoare (vezi Figura
1.2). A sadar, funct ia gnu are puncte xe.

Proiect de diplom a 7
Figure 1.2: Gracul funct iei g
Vom considera aplicat ia g:R!(0;1),g(x) =ex+2 si vom ar ata c a aceasta nu are puncte xe.
Solut ie.
Pentru a verica dac a funct ia g(x) =ex+2are puncte xe, rezolv am ecuat ia g(x) =x. Obt inem
astfel, ecuat ia ex+2=x, care nu ne ofer a foarte multe informat ii. Pentru simplitate vom realiza gracul
funct ieig si vom urm ari dac a acesta intersecteaz a prima bisectoare.
g(x) =ex+2, rezult agnu e funct ie para, nici impar a;
Gg\Ox=M(x;0), rezult a g(x) = 0, ceea ce ^ nseamn a ex+2= 0, deci gracul funct iei gnu
intersecteaz a axa Ox;
Gg\Oy=N(0;y), rezult ag(0) =y, ceea ce ^ nseamn a e2=y, deci gracul funct iei gintersecteaz a
axaOy^ n punctul N(0;e2);
lim
x!1g(x) = lim
x!1ex+2=1, deci g nu are asimptot a orizontal a spre 1;
lim
x!1g(x) = lim
x!1ex+2= 0, deci dreapta y= 0 este asimptot a orizontal a spre 1 la gracului
funct ieig;
lim
x!1g(x)
x= lim
x!1ex+2
x=1, deci g nu are asimptot a oblic a c atre 1;
g0(x) =ex+2>0, rezult a c a funct ia g0nu se anuleaz a pe R, iar funct ia geste strict crescatoare
pe domeniul de denit ie;
g00(x) =ex+2>0, rezult a c a funct ia g00nu se anuleaz a pe R, iar funct ia geste convex a pe
domeniul de denit ie;

8 Gheorghe Camelia-Ramona
Realiz am tabelul de variat ie al funct iei g:
x1 1
g00(x) + + + + + + +
g0(x) + + + + + + +
g(x) 0% 1
^
Interpret^ and tabelul, concluzion am c a geste cresc atoare  si convex a pe R.
Cu ajutorul rezultatelor obt inute realiz am gracul funct iei g.
Figure 1.3
Lectur^ and gracele din Figura 1.3, observ am c a gracul funct iei gnu se intersecteaz a cu prima
bisectoare. Deducem astfel c a funct ia gnu are puncte xe.
Continu am cu un exemplu de aplicat ie care are o innitate de puncte xe.
Consideram funct ia g(x) = tg(x),g:Rnn
2+ko
!R. Vom realiza gracul funct iei g si vom
ar ata c a aceasta are o innitate de puncte xe.
Solut ie
Pentru ^ nceput calcul am valoarea pe care o ia funct ia ^ n ecare punct din domeniul de denit ie.
Pentrux02Rnn
2+ko
avem lim
x!x0tg(x) = tg(x0);

Proiect de diplom a 9
Calcul am limita la st^ anga  si la dreapta punctelor de discontinuitate.
Obt in^ and valori diferite ale limitelor, putem arma c a funct ia dat a nu este continu a. Astfel a
 am
 si valoarea funct iei ^ n vecin atatea punctelor de discontinuitate.
lim
x!
2
x<
2tg(x) =1 lim
x!
2
x<
2+ktg(x) =1
lim
x!
2
x>
2tg(x) =1 lim
x!
2
x>
2+ktg(x) =1
g(x) = tg(x) =tg(x) =g(x), rezult a c a geste funct ie impar a, deci gracul funct iei geste
simetric fat  a de origine;
Gg\Ox=M(x;0), rezult a g(x) = 0, ceea ce ^ nseamn a tg( x) = 0, deci gracul funct iei g
intersecteaz a axa Ox^ n punctele Mk(k;0);8k2N;
Gg\Oy=N(0;y), rezult ag(0) =y, ceea ce ^ nseamn a tg(0) =y, deci gracul funct iei ginter-
secteaz a axa Oy^ n punctul N(0;0);
Funct ia tangent a nu are limita la 1  si nici la1;
g0(x) =1
cos2x>0;8x2Rnn
2+ko
.
Rezult a c a funct ia g0nu se anuleaz a pe Rnn
2+ko
, iar funct ia geste strict crescatoare pe
domeniul de denit ie;
g00(x) =2tgx
cos2x;8x2Rnn
2+ko
:
Impunemg00(x) = 0, ceea ce implic a tg( x) = 0, deci x=k;8k2N.
A sadarOk(k;0) reprezint a punctele de in
exiune ale gracului funct iei g.
Cu ajutorul informat iilor de mai sus realiz am gracul funct iei g.

10 Gheorghe Camelia-Ramona
Figure 1.4
Observ am c a gracul funct iei gintersecteaz a prima bisectoare de o innitate de ori (vezi Figura
1.4). Decigare o innitate de puncte xe.
Un alt exemplu de aplicat ie care are o innitate de puncte xe este funct ia g(x) = ctg(x),g:Rn
fkg!R. Vom continua prin a demonstra cele armate mai sus.
Solut ie
Pentru ^ nceput calcul am valoarea pe care o ia funct ia ^ n ecare punct din domeniul de denit ie.
Pentrux02Rnfkgavem lim
x!x0ctg(x) = ctg(x0);
Calcul am limita la st^ anga  si la dreapta punctelor de discontinuitate.
Obt in^ and valori diferite ale limitelor, putem arma c a funct ia dat a nu este continu a. Astfel a
 am
 si valoarea funct iei ^ n vecin atatea punctelor de discontinuitate.
lim
x!0
x<0ctg(x) =1 lim
x!k
x<kctg(x) =1
lim
x!0
x>0ctg(x) =1 lim
x!k
x>kctg(x) =1
g(x) = ctg(x) =ctg(x) =g(x), rezult a c a geste funct ie impar a, deci gracul funct iei g
este simetric fat  a de origine;

Proiect de diplom a 11
Gg\Ox=M(x;0), rezult a g(x) = 0, ceea ce ^ nseamn a ctg( x) = 0, deci gracul funct iei g
intersecteaz a axa Ox^ n punctele Mk
2+k;0
;8k2N;
Funct ia cotangent a nu are limita la 1  si nici la1;
g0(x) =1
sin2x<0;8x2Rnfkg.
Rezult a c a funct ia g0nu se anuleaz a pe Rnfkg, iar funct ia geste strict descrescatoare pe
domeniul de denit ie;
g00(x) =2ctgx
sin2x;8x2Rnfkg:
Impunemg00(x) = 0, ceea ce implic a ctg( x) = 0, deci x=
2+k;8k2N.
A sadarMk
2+k;0
reprezint a punctele de in
exiune ale gracului funct iei g.
Cu ajutorul informat iilor de mai sus realiz am gracul funct iei g.
Figure 1.5
Lectur^ and gracul din Figura 1.5, concluzion am c a funct ia cotangent a are o innitate de puncte
xe deoarece gracul funct iei gse intersectez a cu prima bisectoare ^ ntr-o innitate de puncte.
^In continuare, vom da un exemplu de funct ie care are un num ar nit de puncte xe.
Consider am funct ia g:R!R,g(x) =x3. Putem detemina num arul punctelor xe ale funct iei g^ n
dou a moduri.
Solut ie.

12 Gheorghe Camelia-Ramona
Metoda 1
Rezolv am ecuat ia g(x) =x si determin am punctele xe ale funct iei date.
Ecuat iag(x) =x, implic ax3=x.
Astfel obt inem, x(x1)(x+ 1) = 0, deci x2f 1;0;1g.
A sadar mult imea punctelor xe ale funct iei gesteFg=f1;0;1g.
Metoda 2 (grac a)
Reprezent am grac funct ia g si determin am punctele ^ n care intersecteaz a prima bisectoare. Aceste
puncte vor  punctele xe ale aplicat iei g.
g(x) = (x)3=x3=g(x), ceea ce ^ nseamn a c a funct ia geste impar a, deci gracul funct iei
g este simetric fat  a de origine;
Determin am punctele ^ n care gracul funct iei gintersecteaz a axa Ox.
Gg\Ox=M(x;0),g(x) = 0, implic a x= 0  si obt inem punctul M(0;0);
Determin am punctele ^ n care gracul funct iei gintersecteaz a axa Oy.
Gg\Oy=N(0;y),g(0) =y, implic ay= 0  si obt inem punctul N(0;0);
lim
x!1g(x) = lim
x!1×3=1, deci funct ia gnu are asimptot a orizontal a la 1;
lim
x!1g(x) = lim
x!1×3=1, deci funct ia gnu are asimptot a orizontal a la 1;
lim
x!1g(x)
x= lim
x!1×2=1, decignu are asimptot a oblic a c atre 1;
lim
x!1g(x)
x= lim
x!1×2=1, decignu are asimptot a oblic a c atre 1;
g0(x) = 3×2>08x2R, deci funct ia geste strict cresc atoare pe domeniul de denit ie;
g00(x) = 6x;g00(x) = 0 pentru x= 0;
Derivata a doua a funct iei gse anuleaz a ^ n x= 0.
Observ am c a g(0) = 0. Deci x= 0 este punct de in
exiune al funct iei g, iarO(0;0) este punct de
in
exiune pentru gracul funct iei g.
Calcul am limita c atre 1 a funct iei astfel: lim
x!1g(x) =1;
Calcul am limita c atre 1a funct iei astfel: lim
x!1g(x) =1;
Realiz am tabelul de variat ie al funct iei g:

Proiect de diplom a 13
x1 01
g00(x) 0 + + +
g0(x) + + + 0 + + +
g(x)1 % 0% 1
_ ^
Figure 1.6
Lectur^ and reprezentarea grac a din Figura 1.6, observ am c a funct ia gintersecteaz a prima bisectoare
^ n 3 puncte distincte, deci funct ia gare 3 puncte xe,  si anume: 1;0;1.
Vom continua prin a demonstra c a aplicat ia asociat a ecuat iei x2+ 3x+ 2 = 0 are dou a puncte xe
 si vom scriet i mult imea punctelor xe.
Solut ie.
Putem g asi punctele xe ale unei funct ii gasociate ecuat iei date rezolv^ and ecuat ia de gradul II sau
folosind metoda grac a.
Metoda 1
Rezolv^ and ecuat ia x2+ 3x+ 2 = 0, obt inem x1=2; x 2=1.
Rezult a c a mult imea punctelor xe ale funct iei g este reprezentat a prin Fg=f2;1g.
Metoda 2
Scriem ecuat ia x2+ 3x+ 2 = 0, sub forma g(x) =x,g:R!R.
Adic ax2+ 4x+ 2 =x, decig(x) =x2+ 4x+ 2.
Reprezent am grac funct ia g.

14 Gheorghe Camelia-Ramona
Gg\Ox=M(x;0), deci avem ecuat ia g(x) = 0  si obt inem x1=2p
2;
x2=2 +p
2;
A sadar gracul funct iei gintersecteaz a axa Ox^ n punctele:
M1(2p
2;0); M 2(2 +p
2;0);
Gg\Oy=N(0;y), deci avem ecuat ia g(0) =y si obt inem y= 2.
A sadar gracul funct iei gintersecteaz a axa Oy^ n punctul N(0;2);
x=b
2a. Conform formulei obt inem c a x=2 este axa de simetrie a funct iei g;
Coordonatele v^ arfului parabolei sunt date de punctul V
b
2a;

4a
:
Obt inem astfel v^ arful parabolei V(2;2);
Cu ajutorul informat iilor de mai sus putem realiza gracul funct iei g.
Figure 1.7
Lectur^ and reprezentarea grac a, observ am c a parabola intersecteaz a prima bisectoare ^ n punctele
(-2,-1)  si (-1,-1) (vezi Figura 1.7). Conlcuzion am astfel, c a mult imea punctelor xe ale funct iei geste
reprezentat a de Fg=f2;1g.

Proiect de diplom a 15
^In continuare, vom considera aplicat ia g:R![1;1 ],g(x) = sinx si vom ar ata c a aplicat ia gare
un unic punct x.
Solut ie.
Scriind ecuat ia tangentei la gracul funct iei g^ n punctul x0= 0, observ am c a prima bisectoare este
tangent a la gracul funct iei sin x.
Mai ^ nt^ ai vom scrie ecuat ia tangentei la gracul funct iei g^ n punctul x0:
yg(x0) =g0(x0)(xx0)
D am punctului x0valoarea 0, iar ecuat ia devine:
y0 = cos(0)(x0)
A sadar, obt inem:
y=x
Gg\Ox=M(x;0), rezult a g(x) = 0, ceea ce ^ nseamn a cos x= 0, deci gracul funct iei ginter-
secteaz a axa Ox^ n punctele Mk
2+k;0
;8k2N;
Gg\Oy=N(0;y), rezult a sin(0) = y, ceea ce ^ nseamn a y= 0, deci gracul funct iei ginter-
secteaz a axa Oy^ n punctul O(0;0);
Funct ia sinus nu are limit a la 1  si nici la1;
g0(x) = cosx;8x2R.
Impunemg0(x) = 0, ceea ce implic a cos x= 0, decix=
2+k;8k2N.
A sadarPk
2+k;0
reprezint a pentru knum ar par, punctele de maxim ale gracului funct iei
g, iar pentru knum ar impar, punctele de minim ale gracului funct iei g;
g00(x) =sinx;8x2R:
Impunemg00(x) = 0, ceea ce implic a sin x= 0, decix=k;8k2N.
A sadarMk(k;0) reprezint a punctele de in
exiune ale gracului funct iei g.

16 Gheorghe Camelia-Ramona
Cu ajutorul informat iilor de mai sus realiz am gracul funct iei gca ^ n Figura 1.8.
Figure 1.8
A sadarg(x) = sinxare un unic punct x  si anume x= 0.
Vom considera funct ia g(x) = cosx, undeg:R![1;1]. Vom ar ata c a aceasta are un unic punct
x  si vom scrie intervalul caruia apart ine punctul x.
Pentru a realiza gracul funct iei g, ne folosim de urmatoarele informat ii:
Gg\Ox=M(x;0), rezult a g(x) = 0, ceea ce ^ nseamn a cos x= 0, deci gracul funct iei ginter-
secteaz a axa Ox^ n punctele Mk(k;0);8k2N;
Gg\Oy=N(0;y), rezult a cos(0) = y, ceea ce ^ nseamn a y= 1, deci gracul funct iei ginter-
secteaz a axa Oy^ n punctul N(0;1);
Funct ia cosinus nu are limit a la 1  si nici la1;
g0(x) =sinx;8x2R.
Impunemg0(x) = 0, ceea ce implic a sin x= 0, decix=k;8k2N.
A sadarPk(k;0) reprezint a pentru knum ar par, punctele de maxim ale gracului funct iei g, iar
pentruknum ar impar, punctele de minim ale gracului funct iei g;

Proiect de diplom a 17
g00(x) =cosx;8x2R:
Impunemg00(x) = 0, ceea ce implic a cos x= 0, decix=
2+k;8k2N.
A sadarMk
2+k;0
reprezint a punctele de in
exiune ale gracului funct iei g.
Interpret^ and relat iile obt inute putem realiza gracul funct iei g.
Figure 1.9
Observ^ and reprezentarea grac a din Figura 1.9, concluzion am c a funct ia cos xare un unic punct
x,2
0;
2
.
^In continuare, vom deni funct ia polinomial a, g:R!R,g(x) =x+ (xa1)(xa2)



(xan)  si vom determina num arul punctelor xe ale funct iei g.
Solut ie.
Consider am funct ia:
g(x) =x+ (xa1)(xa2)


(xan).
Egal am funct ia g(x) cux:
g(x) =x.
Rezolv^ and ecuat ia, obt inem ( xa1)(xa2)


(xan) = 0.
Dac a polinomul are n r ad acini reale distincte, atunci funct ia garenpuncte xe.

Chapter 2
Principiul Contract iei
Teorema de punct x a lui Banach, denumit a  si principiul contract iei este o not iune fundamental a ^ n
teoria spat iilor metrice. Principiul contract iei a stat la baza fomul arii metodei aproximat iilor succesive,
datorat a lui Picard  si a permis dezvoltarea f ar a precedent a calculului numeric^ n diverse arii de cercetare.
2.1 Prezentarea metodei contract iei
Denition 2.1. ([2]) Fie (X;d) un spat iu metric oarecare, Xind o mult ime nevid a. O aplicat ie
T:X!Xse nume ste contract ie a lui X, dac a exist a o constant a 2[0;1) astfel ^ nc^ at are loc
inegaliatatea:
d(Tx;Ty )d(x;y);8x; y2X: (2.1)
Theorem 2.1. Fie(X;d)un spat iu metric complet. Dac a aplicat ia T:X!Xeste o contract ie, atunci
T are un unic punct x, x2X.^In plus, dac a not am Txn=Tnx0, pentrux02X, are loc inegalitatea
d(x;xn)n
1d(x0;x1); n1: (2.2)
Demonstrat ie
Mai ^ nt^ ai vom ar ata existent a punctului x. Pentru a ar ata existent a punctului x al aplicat iei T,
vom folosi  sirul aproximat iilor succesive:
xn=Tnx0; n = 0;1;2;:::;
undex0este un punct arbitrar xat din X.
Vom proba c a  sirul astfel construit este un  sir Cauchy ^ n X.
Din relat ia (2.1), avem:
d(xn+1;xn) =d(Txn;Txn1)d(xn;xn1); n1:
Repet^ and procedeul, obt inem c a:
d(xn+1;xn)nd(x1;x0);8n= 0;1;2;:::;
18

Proiect de diplom a 19
A sadar, pentru orice n0  sip1, folosind inegalitatea triunghiului, avem:
d(xn;xn+p)d(xn;xn+1) +d(xn+1;xn+2) +


+d(xn+p2;xn+p1) +d(xn+p1;xn+p)
nd(x1;x0) +n+1d(x1;x0) +


+n+p2d(x1;x0) +n+p1d(x1;x0)
=n
1 ++


+p2+p1

d(x1;x0)
=n1p1+1
1d(x1;x0);
d(xn;xn+p)n1p
1d(x1;x0):
Deoarece2[0;1), rezult a:
1p
1<1
1:
Astfel obt inem:
d(xn;xn+p)n
1d(x0;x1);8n0; p1: (2.3)
Distingem doua cazuri:
I. Dac ad(x1;x0) = 0, avem x1=x0, iar din relat ia de recurent  a, obt inem Tx0=x0, adic ax0este
punctul x al aplicat iei T.
II. Dac ad(x1;x0)6= 0, din condit ia 2[0;1), avem c a pentru n!1 ,n!0.
Deci pentru orice ">0 exist a un rang N(") astfel ^ nc^ at oricare ar  nN("), avem relat ia:
n<"(1)
d(x1;x0):
Din relat ia (2.3) rezult a:
d(xn;xn+p)<";8nN("):
Obt inem c a d(xn;xn+p)!0, c^ andn!1 , independent de p.
A sadar, (xn)n0este  sir Cauchy. Deoarece ( X;d) este un spat iu metric complet,  sirul ( xn)n0este
convergent. Fie x= lim
n!1xn.
Trec^ and la limit a relat ia (2.3), pentru n arbitrar xat  si pentru p!1 , avem:
d(xn;x)n
1d(x0;x1);
 si relat ia (2.2) este demonstrat a.
Acum, conform relat iei (2.2)  si propriet at ilor distent ei avem:
d(x;Tx)d(x;xn+1) +d(xn+1;Tx) =d(x;xn+1) +d(Txn;Tx);
d(x;Tx)d(x;xn+1) +d(xn;x)n+1
1d(x0;x1) +n
1d(x0;x1):
A sadar
d(x;Tx)2n+1
1d(x0;x1); n2N:
Pentrun!1 , relat ia de mai sus devine d(x;Tx)0, adic ax=Tx.
Rezult a c a aplicat ia Tare un punct x, x.

20 Gheorghe Camelia-Ramona
^In continuare vom demonstra unicitatea punctului x.
Presupunem c a x siy,x6=y, sunt puncte xe ale aplicat iei T.
Din relat ia (2.1) rezult a c a
d(Tx;Ty)d(x;y):
A sadar
d(x;y)d(x;y):
Obt inem astfel
(1)d(x;y)0:
Deoarece2[0;1), avem (1)2(0;1], ceea ce impune ca d(x;y)0.
Cum distant a este pozitiv a, obt inem x=y, ceea ce contrazize prespunerea init ial a,
x6=y.
Astfel am demonstrat unicitatea punctului x.
2.2 Evaluarea erorii absolute
Gradul de apropiere a termenilor  sirului ( xn)n0de solut ia c autat a este dat a de relat ia (2.2).
Presupunem c a dorim s a calcul am valoarea punctului x, x, cu o eroare mai mic a dec^ at ", unde
">0, dat.
Astfel se caut a cel mai mic num ar natural, nmin, care satisface relat ia:
n
1d(x0;x1)<";
 si ^ n  sirul aproximat iilor succesive
xn=Tnx0; n = 0;1;2:::; x 0dat;
se efectueaz a nminiterat ii.
^In acest a situat ie spunem c a xnaproximeaz a xcu precizie ".
^In continuare ne dorim s a punem relat ian
1d(x0;x1)< "sub o form a mai prietenoas a, pentru
determinarea num arului minim de iterat ii pentru a aproxima solut ia xcu eroarea".
Logaritm^ and inecuat ia n<"(1)
d(x1;x0), obt inemn>ln"(1)
d(x1;x0)
ln. Deci:
nmin=2
664ln"(1)
d(x1;x0)
ln3
775+ 1:
2.3 Not iunea de contract ie ^ n R
Theorem 2.2. Fieg:R!R,g(x) =x. Dac ageste derivabil a pe [a;b]R si exist a o constant a
= sup
x2[a;b]jg0(x)j<1, atuncigeste o aplicat ie de tip contract ie a intervalului [a,b].

Proiect de diplom a 21
Demonstrat ie
Aplic^ and teorema lui Lagrange, rezult a c a:
jg(x)g(y)j=jg0()jjxyj; 2[a;b]:
Deoareceg2C1([a;b]), avem:
jg0()j sup
x2[a;b]jg0(x)jjxyj:
Cum= sup
x2[a;b]jg0(x)j<1, putem arma c a geste o aplicat ie de tip contrat ie pe [ a;b].
2.3.1 Prezentarea metodei iterat iei simple
Metoda clasic a a aproximat iilor succesive este una dintre cele mai importante metode numerice de
rezolvare a ecuat iilor algebrice sau transcendente.
FieXun spat iu metric complet. Presupunem c a g:X!Xeste contract ie a lui X.
Aplic^ and teorema de punct x a lui Banach, rezult a c a ecuat ia x=g(x) are o unic a solut ie x2X.
Pentru determinarea acestei solut ii vom aplica metoda clasic a aproximat iilor succesive:
se construie ste iterativ  sirul ( xn)n1dup a formula xn+1=g(xn); n= 0;1;2;:::, cux0arbitrar
xat.
se alegex0arbitrar  si se determin a x1=g(x0):
se calculeaz a nmincare satisface relat ian
1d(x0;x1)<", unde"este precizia dorit a. Rezolv^ and
inecuat ia dat a g asim nmin=2
664ln"(1)
d(x1;x0)
ln3
775+ 1.
^ n formula de iterare xn+1=g(xn); n= 0;1;2;:::;se parcurg at^ at ia pa si c^ at indic a nmin.
Obt inem astfel solut ia xcu eroarea".
2.4 Aplicat ii
Ce urmeaza se trece la capitolul de contractii. ^In continuare, vom sust ine important a Teoremei de punct
x a lui Banach aplic^ and not iunile teoretice dezvoltate ^ n contexte variate.
Example 2.1. Consider am mult imea numerelor reale ^ nzestrat a cu distant a uzual a,  si aplicat ia
T: [0;1]![0;1]; Tx =1
x+ 3:
Vom ^ ncepe prin a ar ata c a Teste contract ie pe intervalul [0 ;1].
Funct iaTeste strict descresc atoare pe domeniul de denit ie  si
g([0;1]) =1
4;1
3
[0;1]:
Deasemenea,
sup
x2[0;1]jg0(x)j=jg0(0)j=1
9<1:

22 Gheorghe Camelia-Ramona
Obt inem astfel c a Teste o contract ie a intervalului [0 ;1] cu constanta de contract ie =1
9.
Rezult a, conform teoremei de punct x a lui Banach c a Tare un unic punct x x2[0;1].
Solut ia ecuat iei x=Txse g ase ste construind  sirul iterativ Picard:
xn+1=Txn; n = 0;1;2;:::; x 0= 0:5:
Folosind formula de estimare a erorii, obt inem c a pentru a calcula solut ia xcu precizia "= 10(9)
sunt necesare 9 iterat ii. Obt inem, astfel x= 0:302775637.
Se trece la capitolul de contractii. Continu am cu ^ nc a un exemplu de aplicat ie care poate lua forma
unei contract ii. O aceea si ecuat ie poate  scris a ^ n moduri diferite, obt in^ andu-se sau nu o aplicat ie de
tip contract ie. Urmatorul exemplu, va ar ata ^ n ce condit ii se poate aplica Principiul contract iei  si ce
rezultate alte constantei de contract ie conduc c atre un rezultat rapid  si precis.
Example 2.2. Ne propunem s a calcul am singura solut ie real a a ecuat iei x3+ 6x1 = 0, cu precizia
"= 106, folosind teorema de punct x a lui Banach  si metoda iterat iei simple.
Folosind  sirul lui Rolle, obt inem c a solut ia se a
 a ^ n intervalul [0,1].
^In continuare, pentru a folosi teorema de punct x a lui Banach, vom scrie ecuat ia considerat a sub
formax=Tx.
Dac a se ia Tx=3p16x,T: [0;1]![0;1], atunciTeste strict descresc atoare pe domeniul de
denit ie,  si obt inem
T[0;1] = [T1;T0] = [p
5;1]*[0;1]:
Deci, ^ n acest caz Tnu poate  contract ie.
Dac a scriem ecuat ia ^ n forma x=1
x2+ 6=Tx, atunciT[0;1] =1
7;1
6
[0;1]. Deasemenea,
sup
x2[0;1]jT0xj=2
49<1.
Deci,Teste o contract ie a lui [0 ;1] cu constanta de contractie =2
49.
Aplic^ and procedeul iterativ
xn+1=1
x2n+ 6; x 0= 0:5;
g asimx1=Tx0= 0:16. Folosind formula de estimare a erorii,
jxn"jn
1jx1x0j;
g asim c a pentru a calcula xcu precizia "= 106, sunt necesare 4 iterat ii.
pas solutia eroarea
1 0:160000000 0 :014468085E00
2 0:165958576 5 :905340859E04
3 0:165905100 2 :410343208E05
4 0:165905588 9 :838135543E07
Dac a lu am Tx=1x3
6,T: [0;1]![0;1], obt inem c a Teste strict descresc atoare pe domeniul de
denit ie. Rezult a c a
T[0;1] = [T1;T0] =
0;1
6
[0;1]:

Proiect de diplom a 23
De asemenea,
sup
x2[0;1]jT0xj=1
2<1:
Deci,Teste o contract ie a lui [0 ;1] cu constanta de contract ie =1
2.
Aplic^ and procedeul iterativ
xn+1=1x3
n
6; x 0= 0:5;
g asimx1=Tx0= 0:125. Folosind formula de estimare a erorii,
jxn"jn
1jx1x0j;
g asim c a pentru a calcula xcu precizia "= 106, sunt necesare 20 iterat ii.
Remarc am c a, pentru constante de contract ie apropiate de 1, procesul este lent convergent.
^In continuare, ne propunem s a ar atam c a ecuat ia lui Kepler are solut ie unic a.
Fie ecuat ia lui Kepler:
xqsinx=m; x2R:
Vom ar ata c a, pentru orice q;m2Rcujqj<1, ecuat ia are solut ie unic a.
Solut ie
Scriem ecuat ia dat a sub forma:
x=qsinx+m
Consider am o aplicat ie g:R!R,g(x) =qsinx+m; q;m2R.
Avem supjg0(x)j=jqj<1, decigeste contract ie. Conform principiului contract iei, funct ia gare
punct x unic, deci ecuat ia lui Kepler are solut ie unic a.
Solut ia ecuat iei se g ase ste prin metoda iterat iei simple din:
xn+1=qsinxn+m; n = 0;1;2;:::; x 0dat:
^In anul 1965 Leonardo din Pisa, cunoscut ^ n matematic a sub numele de Fibonacci, a reu sit s a
g aseasc a solut ia real a a ecuat iei x3+ 2×2+ 10x= 20, utiliz^ and numeralele babiloniene.
Folosind principiul contract iei  si metoda iterat iei simple, ^ ncerc am s a determin am num arul iterat iilor
efectuate pentru a g asi solut ia probelmei lui Leonardo din Pisa cu 9 zecimale exacte.
Solut ie
Folosind  sirul lui Rolle, observ am c a ecuat ia are o singur a solut ie real a ^ n intervalul (1 ;2).
Punem ecuat ia dat a sub forma x=g(x), undeg: [1;2]!R,g(x) =20
x2+ 2x+ 10.
Funct iageste strict descresc atoare pe domeniul de denit ie  si
g([1;2]) =20
18;20
13
[1;2]:

24 Gheorghe Camelia-Ramona
De asemenea,
sup
x2[1;2]jg0(x)j=jg0(1)j=80
169<1:
Obt inem astfel c a geste o contract ie a intervalului [1 ;2] cu constanta de contract ie
=80
169.
Rezult a, conform teoremei de punct x a lui Banach c a gare un unic punct x x2[1;2].
Solut ia ecuat iei se g ase ste construind  sirul iterativ Picard:
xn+1=g(xn); n = 0;1;2:::; x 0= 1:5:
Folosind formula de estimare a erorii, obt inem c a pentru a calcula solut ia xcu precizia "= 10(9)
sunt necesare 27 iterat ii.
Obt inem astfel x= 1:368808107:

Proiect de diplom a 25
^In continuare, folosind pricipiul contract iei, ne propunem s a enunt  am o teorem a de existent a  si
unicitate a solut iei urm atorului sistem algebric:
xi=nX
k=1aikxk+bi; i= 1;2;:::;n; ; a ik; bi2R:
Solut ie
Fie aplicat ia f:R!R;f(x) = (f1(x);f2(x);:::;f n(x)). Consider am x=f(x)  sifi(x) =nX
k=1aikxk+
bi; i= 1;2;:::;n . Atunci perechea ( Rn;d) este un spat iu metric complet.
Norma euclidian a pentru distant a de la f(x) la f(y) este dat a de formula:
d(f(x);f(y)) =vuutnX
i=1(fi(x)fj(y))2;8f(x);f(y)2R
=vuutnX
i=1
nX
k=1aikxk+binX
k=1aikykbi!2
=vuutnX
i=1"
nX
k=1aik(xkyk)#2
=vuut2nX
i=1"nX
k=1aik(xkyk)#2
:
Din inegalitatea Cauchy-Schwarz, obt inem:
d(f(x);f(y))vuut2nX
i=1 nX
k=1a2
ik!nX
k=1(xkyk)2
d(f(x);f(y)) jjvuutnX
i=1 nX
k=1a2
ik!nX
k=1(xkyk)2
A sadar :
d(f(x);f(y)) jjsX
1i;kna2
ikd(x;y):
Concluzion am astfel c a pentru jjsX
1i;kna2
ik<1, ecuat iax=f(x) are solut ie unic a.

Chapter 3
Aplicat ii Kannan
O dat a cu aparit ia not iunii de contract ie a lui Banach, atent ia cercet atorilor s-a ^ ndreptat spre studiul
unor tipuri de inegalit at i denite cu ajutorul diverselor distant e dintre puncte din domeniul de denit ie al
unui operator  si imaginile acestora prin transformare considerat a. ^In acest sens, una dintre contribut iile
cruciale a fost cea a lui Kannan [5].
Denition 3.1. ([5]) Fie (X;d) un spat iu metric oarecare, Xind o mult ime nevid a. T:X!Xse
nume ste aplicat ie Kannan, dac a exist a o constant a 2
0;1
2
astfel ^ nc^ at are loc inegalitatea:
d(Tx;Ty )[d(x;Tx ) +d(y;Ty )];8x; y2X: (3.1)
Primul aspect pe care ^ l vom avea ^ n vedere se refer a la compararea acestei not iuni cu cea de
contract ie clasic a.
Example 3.1. FieX=R^ nzestrat a cu metric a dat a de modul. Consider am operatorul
T:X!X; Tx =8
>>><
>>>:0; x2(1;1]
1
3; x2(1;1)
Pentru ^ nceput, vom ar ata c a aplicat ia dat a este Kannan. Mai precis, pentru din intervalul1
4;1
2
, are loc inegalitatea
d(Tx;Ty )[d(x;Tx ) +d(y;Ty )];8x; y2R:
Pentrux,y2(1;1], membrul st^ ang al inegalit at ii este nul, deci relat ia este evident ^ ndeplinit a.
Pentrux,y2(1;1), suntem ^ n aceea si situat ie ca ^ n cazul anterior.
Pentrux2(1;1]  siy2(1;1),
1
34
3
jxj+y+1
3
;
mai precis
d
0;1
3

d(x;0) +d
y;1
3
:
26

Proiect de diplom a 27
Am obt inut, astfel, c a Teste un operator Kannan.
Vom demonstra, ^ n continuare, c a Tnu este aplicat ie nonexpansiv a. Este sucient s a consider am
x=9
102(1;1]  siy=11
102(1;1). Obt inem c a
d(x;y) =9
1011
10=1
5<1
3=d(Tx;Ty );
a sadar aplicat ia T nu este nonexpansiv a, de unde rezult a c a aplicat ia T nu este nici contract ie.
De altfel, faptul c a Tnu este nonexpansiv a rezult a  si din discontinuitatea operatorului. ^Intr-adev ar,
calcul^ and limita la dreapta, limita la st^ anga  si valoarea aplicat iei T^ n punctul x0= 1, observ am c a
acestea nu sunt egale, concluzion am astfel c a 1 este punct de discontinuitate al aplicat iei T.
Se observ a, astfel, o diferent  a ^ ntre operatorii contractivi clasici  si cei Kannan. Aplicat iile contrac-
tive sunt ^ n mod necesar continue, ^ n timp ce operatorii Kannan nu sunt neap arat ^ nzestrat i cu aceast a
proprietate.
Urm atorul exemplu arat a c a mult imea operatorilor contractivi nu este inclus a ^ n cea a a aplicat iilor
Kannan.
Example 3.2. Consider am mult imea numerelor reale ^ nzestrat a cu distant a uzual a,  si aplicat ia
T:X!X; Tx =9
10x:
Evident,Teste contract ie de constant a9
10. Pe de alt a parte, pentru x>0  siy<0
d(Tx;Ty ) =9
10jxyj>1
21
10jxyj>1
10(xy)
=1
10(jxj+jyj) =
d(x;Tx ) +d(y;Ty )
;
deciTnu ^ ndepline ste relat ia lui Kannan.
^In limbajul diagramelor, relat ia dintre cele dou a tipuri de operatori este simbolizat a mai jos.
Figure 3.1: Relat ia dintre contract ii  si aplicat iile Kannan

28 Gheorghe Camelia-Ramona
Urm atoarea teorem a arat a c a operatorii Kannan posed a un unic punct x, furniz^ and, ^ n plus, o
relat ie ce permite estimarea cu care  sirul iterat ilor Picard aproximeaz a acest punct x.
Theorem 3.1. Fie(X;d)un spat iu metric complet. Dac a T:X!Xeste o aplicat ie Kannan, atunci
T are un unic punct x, x2X.^In plus, dac a not am Txn=Tnx0, pentrux02X, are loc inegalitatea
d(x;xn)
12
1n1
d(x0;x1); n1: (3.2)
Demonstrat ie
Mai ^ nt^ ai vom ar ata existent a punctului x. ^In acest scop, vom folosi  sirul iterativ Picard [10],
xn=Tnx0; n = 0;1;2;:::;
undex0este un punct arbitrar xat din X.
Vom proba c a  sirul astfel construit este un  sir Cauchy ^ n X.
Din relat ia (3.1), avem:
d(xn+1;xn) =d(Txn;Txn1)[d(xn;Txn) +d(xn1;Txn1)]; n1
[d(xn;xn+1) +d(xn1;Txn)]; n1;
ceea ce conduce la inegalitatea
(1)d(xn+1;xn)d(xn1;xn); n1:
Am obt inut astfel relat ia
d(xn+1;xn)
1d(xn1;xn); n1:
Repet^ and procedeul, rezult a c a
d(xn+1;xn)
1n
d(x1;x0);8n0:
A sadar, pentru orice n0  sip1, folosind inegalitatea triunghiului, avem:
d(xn;xn+p)d(xn;xn+1) +d(xn+1;xn+2) +


+d(xn+p2;xn+p1) +d(xn+p1;xn+p)

1n
d(x1;x0) +
1n+1
d(x1;x0) +


+
+
1n+p2
d(x1;x0) +
1n+p1
d(x1;x0)
=
1n"
1 +
1
+


+
1p2
+
1p1#
d(x1;x0)
=
1n1
1p1+1
1
1d(x1;x0);
mai precis
d(xn;xn+p)
1n1
1p
1
1d(x1;x0); n1:

Proiect de diplom a 29
Cum2
01
2
, obt inem c a
12[0;1), ceea ce conduce la
1
1p
1
1<1
1
1:
Astfel obt inem
d(xn;xn+p)
12
1n1
d(x0;x1); n1; p1: (3.3)
Distingem dou a cazuri:
I. Dac ad(x1;x0) = 0, avem x1=x0, iar din  sirul iterativ Picard, obt inem Tx0=x0, adic ax0este
punctul x al aplicat iei T.
II. Dac ad(x1;x0)6= 0, din condit ia 0 
1<1,
0 <1
2
, avem
1n
!0, c^ and
n!1 . Obt inem c a d(xn;xn+p)!0, independent de p.
A sadar, (xn)n0este  sir Cauchy. Deoarece ( X;d) este un spat iu metric complet,  sirul ( xn)n0este
convergent. Fie x= lim
n!1xn.
Trec^ and la limit a relat ia (3.3), avem
d(xn;x)
12
1n1
d(x0;x1);
 si relat ia (3.2) este demonstrat a.
Acum, conform relat iei (3.1)  si propriet at ilor distent ei avem:
d(x;Tx)d(x;xn+1) +d(xn+1;Tx) =d(x;xn+1) +d(Txn;Tx);
ceea ce conduce la
d(x;Tx)d(x;xn+1) +[d(xn;Txn) +d(x;Tx)]:
Astfel se obt ine
(1)d(x;Tx)d(x;xn+1) +d(xn;Txn);
ceea ce conduce la
d(x;Tx)1
1d(x;xn+1) +
1d(xn;Txn):
Av^ and ^ n vedere relat ia (3.2), rezult a
d(x;Tx)1
1

12
1n
d(x0;x1) +
1
1n
d(x0;x1):
A sadar
d(x;Tx)1
12
1n+1
d(x0;x1) +
1n+1
d(x0;x1)
=2
12
1n
d(x0;x1); n2N:
Se observ a c a, deoarece 2
0;1
2
, avem
12[0;1), deci
1n
!0 c^ andn!1 . Pentru
n!1 , relat ia de mai sus devine d(x;Tx)0, adic ax=Tx. Rezult a c a aplicat ia Tare un punct
x,x.

30 Gheorghe Camelia-Ramona
^In continuare vom demonstra unicitatea punctului x.
Presupunem c a x siy,x6=y, sunt puncte xe ale aplicat iei T.
Din relat ia (3.1) rezult a c a
d(Tx;Ty)[d(x;Tx) +d(y;Ty)] =[d(x;x) +d(y;y)] = 0:
A sadar,d(x;y)0, mai precis obt inem x=y, ceea ce contrazice presupunerea init ial a.
Astfel am demonstrat unicitatea punctului x.

Chapter 4
Aplicat ii Chatterjea
Av^ andu-i drept precursori pe Banach  si Kannan, ^ n anul 1972 Chatterjea [7] descoper a un nou tip de
contract ie generalizat a, care ^ i va purta numele, l argind i s mai mult aria de studiu ^ n domeniul punctelor
xe.
Denit ia introdus a de el este urm atoarea.
Denition 4.1. ([7]) Fie (X;d) un spat iu metric oarecare, Xind o mult ime nevid a. T:X!Xse
nume ste aplicat ie Chatterjea, dac a exist a o constant a
2
0;1
2
astfel ^ nc^ at are loc inegaliatatea
d(Tx;Ty )
[d(x;Ty ) +d(y;Tx )];8x; y2X: (4.1)
Primul aspect pe care ^ l vom avea ^ n vedere se refer a la compararea acestei not iuni cu cea de
contract ie clasic a.
^Incepem cu un exemplu de opeartor acre este de tip Chatterjea, dar nu este contrat ie clasic a.
Example 4.1. FieX=R^ nzestrat a cu metric a dat a de modul. Consider am operatorul
T:X!X; Tx =8
>>><
>>>:0; x2(1;2];
1
2; x2(2;1):
Pentru ^ nceput, vom ar ata c a aplicat ia dat a este Chatterjea. Mai precis, pentru
2(0;1
2), are loc
inegalitatea
d(Tx;Ty )
[d(x;Ty ) +d(y;Tx )];8x; y2R:
Se observ a cu u surint  a c a
Pentrux,y2(1;2], membrul st^ ang al inegalit at ii este nul, deci relat ia este evident ^ ndeplinit a.
Pentrux,y2(2;1), suntem ^ n aceea si situat ie ca ^ n cazul anterior.
Pentrux2(1;2]  siy2(2;1),
1
22


x1
2+jyj
;
mai precis
d
0;1
2


d
x;1
2
+d(y;0)
:
31

32 Gheorghe Camelia-Ramona
Am obt inut, astfel, c a Teste un operator Chatterjea.
Vom demonstra, ^ n continuare, c a Tnu este aplicat ie nonexpansiv a. Este sucient s a consider am
x=9
52(1;2]  siy=11
52(2;1). Obt inem c a
d(x;y) =9
511
5=2
5<1
2=d(Tx;Ty );
a sadar aplicat ia Tnu este nonexpansiv a, de unde rezult a c a aplicat ia Tnu este nici contract ie.
De altfel, faptul c a Tnu este nonexpansiv a rezult a  si din discontinuitatea operatorului. ^Intr-adev ar,
calcul^ and limita la dreapta, limita la st^ anga  si valoarea aplicat iei T^ n punctul x0= 2, observ am c a
acestea nu sunt egale, concluzion am astfel c a 2 este punct de discontinuitate al aplicat iei T.
Se observ a, astfel, o diferent  a ^ ntre operatorii contractivi clasici  si cei Chatterjea. Aplicat iile con-
tractive sunt ^ n mod necesar continue, ^ n timp ce operatorii Chatterjea nu sunt neap arat ^ nzestrat i cu
aceast a proprietate.
Un alt aspect pe care ^ l vom avea ^ n vedere este faptul c a mult imea operatorilor Chatterjea nu este
inclus a ^ n mult imea operatorilor Kannan.
Example 4.2. FieX=R^ nzestrat a cu metric a dat a de modul. Consider am operatorul
T:X!X; Tx =8
>>><
>>>:0; x2(1;1);
1
3; x2[1;1):
Vom ^ ncepe prin a ar ata c a aplicat ia dat a este Chatterjea. Mai precis, pentru
din intervalul1
3;1
2
, are loc inegalitatea
d(Tx;Ty )
[d(x;Ty ) +d(y;Tx )];8x; y2R:
Pentrux,y2(1;1), membrul st^ ang al inegalit at ii este nul, deci relat ia este evident ^ ndeplinit a.
Pentrux,y2[1;1), suntem ^ n aceea si situat ie ca ^ n cazul anterior.
Pentrux2(1;1)  siy2[1;1),
1
3

x1
3+jyj
;
mai precis
d
0;1
3


d
x;1
3
+d(y;0)
:
Am obt inut, astfel, c a Teste un operator Chatterjea.
^In continuare, vom ar ata c a Tnu respect a condit iile impuse de aplicat iile Kannan. Este sucient s a
consider am x= 02(1;1)  siy= 12[1;1). Obt inem c a:
d(Tx;Ty ) =1
3>
2
3=
j00j+11
3
=[d(x;Tx ) +d(y;Ty )];82
0;1
2
;
a sadar aplicat ia Tnu este Kannan.

Proiect de diplom a 33
Vom demonstra, ^ n continuare, c a Tnu este aplicat ie nonexpansiv a. Este sucient s a consider am
x=7
82(1;1)  siy=9
82[1;1). Obt inem c a
d(x;y) =7
89
8=1
4<1
3=d(Tx;Ty );
a sadar aplicat ia T nu este nonexpansiv a, de unde rezult a c a aplicat ia T nu este nici contract ie.
De altfel, faptul c a Tnu este nonexpansiv a rezult a  si din discontinuitatea operatorului. ^Intr-adev ar,
calcul^ and limita la dreapta, limita la st^ anga  si valoarea aplicat iei T^ n punctul x0= 1, observ am c a
acestea nu sunt egale, concluzion am astfel c a 1 este punct de discontinuitate al aplicat iei T.

34 Gheorghe Camelia-Ramona
Urm atorul exemplu arat a c a nici mult imea aplicat iilor Kannan nu este inclus a ^ n cea a aplicat iilor
Chatterjea.
Example 4.3. FieX=R^ nzestrat a cu metric a dat a de modul. Consider am operatorul
T:X!X; Tx =8
>>><
>>>:0; x2(1;1);
1
2; x2[1;1):
Pentru ^ nceput, vom ar ata c a aplicat ia dat a este Kannan. Mai precis, pentru din intervalul1
3;1
2
, are loc inegalitatea
d(Tx;Ty )[d(x;Tx ) +d(y;Ty )]:
Pentrux,y2(1;1), membrul st^ ang al inegalit at ii este nul, deci relat ia este evident ^ ndeplinit a.
Pentrux,y2[1;1), suntem ^ n aceea si situat ie ca ^ n cazul anterior.
Pentrux2(1;1)  siy2[1;1),
1
23
2
jxj+y+1
2
;
mai precis
d
0;1
2

d(x;0) +d
y;1
2
:
Am obt inut, astfel, c a Teste un operator Kannan.
Vom demonstra, ^ n continuare, c a Tnu este aplicat ie Chatterjea. Este sucient s a consider am
x=1
22(1;1)  siy= 12[1;1). Obt inem c a
d(Tx;Ty ) =1
2>

1 =
1
2+1
2+j10j
=
[d(x;Ty ) +d(y;Tx )];8
2
0;1
2
;
a sadar aplicat ia Tnu este Chatterjea.
^In cele ce urmeaz a, vom arat a c a Tnu este aplicat ie nonexpansiv a. Este sucient s a consider am
x=5
62(1;1)  siy=7
62[1;1). Obt inem c a
d(x;y) =5
67
6=1
3<1
2=d(Tx;Ty );
a sadar aplicat ia T nu este nonexpansiv a, de unde rezult a c a aplicat ia T nu este nici contract ie.
De altfel, faptul c a Tnu este nonexpansiv a rezult a  si din discontinuitatea operatorului. ^Intr-adev ar,
calcul^ and limita la dreapta, limita la st^ anga  si valoarea aplicat iei T^ n punctul x0= 1, observ am c a
acestea nu sunt egale, concluzion am astfel c a 1 este punct de discontinuitate al aplicat iei T.

Proiect de diplom a 35
^In limbajul diagramelor, relat ia dintre cele trei tipuri de operatori este simbolizat a mai jos.
Figure 4.1: Relat ia dintre contract ii, aplicat iile Kannan  si aplicat iile Chatterjea
Trecem acum la studierea propriet at ilor aplicat iilor Chatterjea, din punctul de vedere al existent ei
 si unicit at ii punctului x asociat unei astfel de transform ari.
Urm atoarea teorem a arat a c a operatorii Chatterjea posed a un unic punct x, furniz^ and, ^ n plus, o
relat ie ce permite estimarea cu care  sirul iterat ilor Picard aproximeaz a acest punct x.
Theorem 4.1. Fie(X;d)un spat iu metric complet. Dac a T:X!Xeste o aplicat ie Chatterjea,
atunci T are un unic punct x, x2X.^In plus, dac a not am Txn=Tnx0, pentrux02X, are loc
inegalitatea
d(x;xn)

12


1
n1
d(x0;x1); n1: (4.2)
Demonstrat ie
Pentru ^ nceput, vom ar ata existent a punctului x. ^In acest scop, construim  sirul iterativ Picard,
xn=Tnx0; n = 0;1;2;:::;
undex0este un punct arbitrar xat din X.
Vom proba c a  sirul astfel construit este un  sir Cauchy ^ n X.
Din relat ia (4.1) avem:
d(xn+1;xn) =d(Txn;Txn1)
[d(xn;Txn1) +d(xn1;Txn)]; n1

[d(xn1;xn) +d(xn;xn+1)]; n1;
ceea ce conduce la inegalitatea
d(xn+1;xn)

1
d(xn1;xn); n1:
Proced^ and analog, se obt ine
d(xn+1;xn)

1
n
d(x1;x0);8n0:

36 Gheorghe Camelia-Ramona
A sadar, pentru orice n0  sip1, folosind inegalitatea triunghiului, avem:
d(xn;xn+p)d(xn;xn+1) +d(xn+1;xn+2) +


+d(xn+p2;xn+p1) +d(xn+p1;xn+p)


1
n
d(x1;x0) +

1
n+1
d(x1;x0) +


+
+

1
n+p2
d(x1;x0) +

1
n+p1
d(x1;x0)
=

1
n"
1 +

1

+


+

1
p2
+

1
p1#
d(x1;x0)
=

1
n1

1
p1+1
1

1
d(x1;x0); n1;
mai precis
d(xn;xn+p)

1
n1

1
p
1

1
d(x1;x0); n1:
Cum
2
0;1
2
, obt inem c a

1
2[0;1), ceea ce conduce la
1

1
p
1

1
<1
1

1
:
Astfel obt inem
d(xn;xn+p)

12


1
n1
d(x0;x1);8n0; p1: (4.3)
Distingem doua cazuri:
I. Dac ad(x1;x0) = 0, avem x1=x0, iar din  sirul iterativ Picard, obt inem Tx0=x0, adic ax0este
punctul x al aplicat iei T.
II. Dac ad(x1;x0)6= 0, din condit ia 0 

1
<1,
0
<1
2
, avem

1
n
!0, c^ and
n!1 . Obt inem c a d(xn;xn+p)!0, independent de p.
A sadar, (xn)n0este  sir Cauchy. Deoarece ( X;d) este un spat iu metric complet,  sirul ( xn)n0este
convergent. Fie x= lim
n!1xn.
Trec^ and la limit a relat ia (4.3), avem
d(xn;x)

12


1
n1
d(x0;x1);
 si relat ia (4.2) este demonstrat a.

Proiect de diplom a 37
Acum, conform relat iei (4.1)  si propriet at ilor distent ei avem:
d(x;Tx)d(x;xn+1) +d(xn+1;Tx) =d(x;xn+1) +d(Txn;Tx)
d(x;xn+1) +
[d(xn;Tx) +d(x;Txn)]
d(x;xn+1) +
[d(xn;Tx) +d(x;xn+1)]
d(x;xn+1) +
[d(xn;x) +d(x;Tx)] +
d(x;xn+1);
Astfel, se obt ine
(1
)d(x;Tx)(1 +
)d(x;xn+1) +
d(xn;x);
ceea ce conduce la
d(x;Tx)1 +

1
d(x;xn+1) +

1
d(xn;x):
Av^ and ^ n vedere relat ia (4.2), rezult a
d(x;xn+1)

12


1
n
d(x0;x1);
 si
d(x;xn)

12


1
n1
d(x0;x1):
Deci
d(x;Tx)1 +

12


1
n+1
d(x0;x1) +

12


1
n
d(x0;x1);unden2N:
Am obt inut
d(x;Tx)2
12


1n+1
d(x0;x1);unden2N:
Se observ a c a, deoarece
2
0;1
2
, avem

1
2[0;1), iar

1
n+1
!0 c^ andn!1 .
Deci, c^ and n!1 , relat ia de mai sus conduce la d(x;Tx) = 0, adic a x=Tx. Rezult a c a
aplicat iaTare un punct x, x.
^In continuare vom demonstra unicitatea punctului x.
Presupunem c a x siy,x6=y, sunt puncte xe ale aplicat iei T.
Din relat ia (4.1) rezult a c a
d(Tx;Ty)
[d(x;Ty) +d(y;Tx)];
ceea ce implic a
d(x;y)
[d(x;y) +d(y;x)];
mai precis
(12
)d(x;y)0:
T  in^ and cont c a
2
0;1
2
, obt inemd(x;y) = 0. De aici rezult a x=y, ceea ce contrazice
presupunerea init ial a. Astfel am demonstrat unicitatea punctului x.

Chapter 5
Aplicat ii Zamrescu
^In anul 1972, Zamrescu obt ine o teorem a care generalizeaz a teoremele de punct x ale lui Banach,
Kannan  si Chatterjea.
Denition 5.1. ([8]) Fie (X;d) un spat iu metric oarecare, Xind o mult ime nevid a. T:X!Xse
nume ste aplicat ie Zamrescu , dac a exist a numerele reale ,,
, satisf ac^ and 2[0;1),2
0;1
2
,

2
0;1
2
, astfel ^ nc^ at pentru orice x;y2X, are loc cel put in una dintre condit iile urm atoare:
(z1)d(Tx;Ty )d(x;y)
(z2)d(Tx;Ty )[d(x;Tx ) +d(y;Ty )]
(z3)d(Tx;Ty )
[d(x;Ty ) +d(y;Tx )](5.1)
Theorem 5.1. Fie(X;d)un spat iu metric complet, Xind o mult ime nevid a. Dac a T:X!Xeste
o aplicat ie Zamrescu, atunci T are un unic punct x, x2X.
Demonstrat ie
Reiese din teoremele de punct x ale lui Banach, Kannan  si Chatterjea c a aplicat iile Zamrescu
au punct x unic. Denit ia aplicat iilor Zamrescu reune ste condit iile impuse de cele trei clase de
contract ii. Av^ and teoremele de punct x demonstrate, nu mai e nevoie s a ar atam unicitatea punctului
x al aplicat iilor Zamrescu, aceasta ind evident adev arat a deoarece Teorema 5.1 ^ nglobeaz a teoremele
de unicitate a punctului x demonstrate pe larg ^ n capitolele precedente. Explica in doua trei randuri
de ce se intampla acest lucru.
38

Chapter 6
'-Contract ii
'-Contract iile reprezint a o clas a de contract ii generalizate, care include a sa-numitele contract ii clasice,
datorate lui Banach.
^Incepem cu denit ia (c)-compatat iei, care pe l^ ang a proprietatea de monotonie ^ ndepline ste  si o
condit iel legat a de convergent a unei serii denite cu ajutorul compunerii funct iei cu ea ^ ns a si. Te rog sa
treci punct sau punct si virgula acolo unde este cazul.
Denition 6.1. ([10]) O aplicat ie ':R+!R+se nume ste (c)-funct ie comparat ie dac a are urm atoarele
propriet at i:
(i)'este monoton cresc atoare, adic a t1t2implic a'(t1)'(t2)
(ii)1X
n=0'n(t) este convergent a, pentru orice t0
Av^ and ^ n vedere c a o condit ie necesar a de convergent  a a seriilor se refer a la convergent a termenului
general al seriei c atre zero, urm atoarea denit ie este o generalizare a celei de mai sus.
Denition 6.2. ([10]) O aplicat ie ':R+!R+se nume ste funct ie comparat ie dac a are urm atoarele
propriet at i:
(i)'este monoton cresc atoare, adic a t1t2implic a'(t1)'(t2)
(ii)  sirul ('n(t))n0converge la 0, pentru orice t0
Denition 6.3. ([10]) O aplicat ie ':R+!R+se nume ste strict funct ie comparat ie dac a are urm atoarele
propriet at i:
(i)'este monoton cresc atoare, adic a t1t2implic a'(t1)'(t2)
(ii)  sirul ('n(t))n0converge la 0, pentru orice t0
(iii)t'(t)!1 , pentrut!1
Arati ca orice contractie clasica este functie (c)-comparatie, si implicit si comparatie.
Evident, are loc urm atoarea relat ie de incluziune ^ ntre clasele de funct ii (c)-comparat ii  si comparat ii.
Lemma 6.1. ([10]) Orice (c)-funct ie comparat ie este o funct ie comparat ie.
Reciproca acestei armat ii nu este adev arat a, dup a cum arat a urm atorul exemplu.
39

40 Gheorghe Camelia-Ramona
Example 6.1. S a consider am funct ia ':R+!R+,'(t) =t
t+ 2. Arati ca este comparatie, dar nu
(c)-comparatie.
Lemma 6.2. ([10]) Orice funct ie strict-comparat ie este o funct ie comparat ie.
Exist a ^ ns a funct ii care sunt de tip comparat ie, dar nu sunt strict-comparat ii. Aici dai un exemplu.
Example 6.2. '(t) =8
>>><
>>>:1
4t; t2[0;1]
t3
4; x2(1;1)
este o (c)-funct ie comparat ie, dar nu este  si o strict funct ie comparat ie.
Denition 6.4. ([10]) Fie (X;d) un spat iu metric oarecare, Xind o mult ime nevid a. T:X!Xse
nume ste'-contract ie dac a exist a o funct ie comparat ie ':R+!R+astfel ^ nc^ at are loc inegaliatatea:
d(Tx;Ty )'(d(x;y));8x;y2X: (6.1)
^In cele ce urmeaz a vom studia propriet at ile '-contract iilor, din punctul de vedere al existent ei  si
unicit at ii punctului x asociat unei astfel de transform ari.
Intai se da varianta teoremei de punct x pentru (c)-comparatii, apoi ce ai scris tu.
Urm atoarea teorem a arat a c a '-contract iile posed a un unic punct x.
Theorem 6.1. Fie(X;d)un spat iu metric complet, Xind o mult ime nevid a. Dac a T:X!Xeste
o'-contract ie, atunci T are un unic punct x, x2X.
Demonstrat ie
Vom ^ ncepe demonstrat ia prin a ar at a existent a punctului x. Astfel, consider am  sirul iterativ
Picard asociat aplicat iei T:
xn=Tnx0; n = 0;1;2;:::;
x0este un punct arbitrar xat din X.
Vom proba c a  sirul astfel construit este un  sir Cauchy ^ n X.
Din relat ia (6.1) avem:
d(xn;xn+1) =d(Txn1;Txn)'(d(xn1;xn)); n1:
Repet^ and procedeul, obt inem c a:
d(xn;xn+1)'n(d(x0;x1));8n= 0;1;2;:::;
Din (ii), obt inem c a pentru n!1 ,d(xn;xn+1)!0, decid(Tnx0;Tn+1×0)!0, ceea ce ^ nseamn a
c ax0este asimptotic regulat la T.
De fapt, orice x02Xeste asimptotic regulat la T, ceea ce ^ nseamn a c a Teste asimptotic regulat.
Ar at am c a B(x;"), cu" >0, este o mult ime invariant a ^ n raport cu T. ^Intr-adev ar, pentru " >0,
lu am(") ="'(")  siy2B(x;"). Atunci:
d(Ty;Tx )d(Ty;Tx ) +d(Tx;x )'(d(y;x)) +d(x;Tx )'(") +d(x;Tx ):

Proiect de diplom a 41
A sadar:
d(x;Tx )<("):
Obt inem astfel:
d(Ty;x )'(") +"'(") =";
ceea ce arat a c a Ty2B(x;") este invariant ^ n raport cu T.
Din (6.1), ( Tnx0)n0este  sir Cauchy prentru orice x02X. Pentru orice ">0, exist an02Nastfel
^ nc^ at:
d(Tnx0;Tn+1×0)<(");8nn0:
Prin urmare
Tnx02B(Tnx0;");8nn0:
Cum (X;d) este un spat iu metric complet, ( Tnx0)n0este convergent.
Fiex= lim
n!1Tn(x0). Din moment ce orice funct ie comparat ie satisface
'(t)>t;8t>0;
orice'-contract ie este continu a.
A sadar
x=T( lim
n!1Txn1) =Tx;
ceea ce arat a c a xeste un punct x al aplicat iei T.
^In continuare vom ar ata unicitatea punctului x.
Presupunem ca exist a yun punct x al aplicat iei T, y6=x. Atuncid(x;y)6= 0  si din pro-
priet atile'-contract iei avem:
0<d(x;y) =d(Tx;Ty)'(d(x;y))d(x;y);
ceea ce reprezint a o contradict ie. Deci d(x;y) = 0, adic a x=y.
Observat ii
1). Teoria punctului x dezvoltat a pe spat ii metrice complete este foarte bogat a ^ n teoreme de
punct x pentru diferite clase de '-contract ii, care sunt obt inute pentru diferite propriet at i asociate ale
funct iei comparat ie '.
2). Dup a cum ilustreaz a  si Teorema 6.1, aproape toate aceste teoreme de punct x arat a doar
convergent a iterat iei Picard la un punct x unic din T. Doar c^ ateva din aceste teoreme de punct x
sunt capabile s a ofere informat ii cu privire la rata de convergent  a a iterat iei Picard.
Theorem 6.2. Fie(X;d)un spat iu metric complet, Xind o mult ime nevid a. Dac a T:X!Xeste
o'-contract ie cu 'o (c)-funct ie comparat ie, atunci T are un unic punct x, x2X.
Demonstrat ie
Reiese din Lema 6  si Teorema 6.1.

Chapter 7
Fixed point results
42

Bibliograe
1. Postolache, M, Pitea, A: Modele numerice ^ n algebra  si analiza matematic a, Editura Fair Partners,
Bucure sti, 2009
2. Mihai Postolache, Modelare Numeric a. Teorie  si Aplicat ii, Editura Fair Partners, Bucure sti, 2010.
3. Bakhtin, IA: The contraction mapping principle in almost metric spaces, Funct. Anal. Gos. Ped.
Inst. Unianowsk 30, 26-37 (1989)
4. Banach, S: Sur les op erations dans les ensembles abstraits et leur application aux  equations inte-
grales, Fund. Math. 3, 133-181 (1922)
5. Kannan, R: Some results on xed points, Bull. Calcutta Math. Soc. 60, 71-76 (1968)
6. Kannan, R: Some results on xed points II, Amer. Math. Monthly 76, 405-408 (1969)
7. Chatterjea, SK: Fixed point theorems, C. R. Acad. Bulgare Sci. 25, 727-730 (1972)
8. Zamrescu, T: Fix point theorems in metric spaces, Arch. Math. Basel 23, 292-298 (1972)
9. Rus, IA: Generalized Contractions and Applications, Transilvania Press, Cluj-Napoca, 2001
10. Berinde, V: Iterative Approximation of Fixed Points, Springer 2007
11. Shatanawi, W, Pitea, A, Lazovi c, R: Contraction conditions using comparison functions on b-metric
spaces, Fixed Point Theory Appl., 2014:135 (2014)
12. Wilson WA: On quasi-metric spaces, Amer. J. Math., 53, 675-684 (1931)
43