Prof. Univ. Dr. Rădulescu Vicențiu Candidat , Prof. Bivolaru Iulieta (căs. Poață) Liceul Tehnologic Tismana Localitatea Tismana Județul Gorj Seria… [602685]

1

UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
FACULTATEA DE MATEMATICĂ ȘI ȘTIINȚE ALE NATURII

FUNCȚII ELEMENTARE
ȘI APLICAȚII

Coordonator științific ,
Prof. Univ. Dr. Rădulescu Vicențiu

Candidat: [anonimizat]. Bivolaru Iulieta (căs. Poață)
Liceul Tehnologic Tismana
Localitatea Tismana
Județul Gorj

Seria 2014 – 2016

2

ACORD

Subsemnatul(a),_________________________________________________________,
prof./conf./lect.univ.dr.__________________, la _____________________________________,
specializarea__________________________, sunt/nu sunt de acord cu depunerea lucrării
metodico -științifice pentru obținerea gradului didactic I, elaborată de
_____________________________________________________, profesor/învățător/educator la
Școala_______________________________, localitatea_______________________________,
județul_________________ _______________, cu titlul_________________________________
_________________________________________________________________.

Profesor coordonator,
Numele și semnătura Data,

3

Declarație de autenticitate

Subsemnatul(a)…………………………………………………… ………. …având funcția
didactică de ……………………… …la unitatea școlară….. …………………… ……………………declar
pe propria răspundere că lucrarea cu titlul ……………………………………………………….
având coordonator științific………………………………………… ………………. a fost elaborată personal pe
baza studierii biblio grafiei de specialitate, a experienței personale și îmi aparține în întregime. De
asemenea nu am folosit alte surse decât cele menționate în bibliografie, nu au fost preluate texte,
date sau elemente de grafică din alte lucrări, fără a fi citate și fără a fi precizată sursa preluării,
inclusiv în cazul în care sursa o reprezintă alte lucrări ale candidat: [anonimizat].

Data, Semnătura candidat: [anonimizat],

4
CUPRINS
MOTIVAȚIA ALEGERII TEMEI ………………………….. ………………………….. ………………………….. .. 6
INTRODUCERE ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………………….. 7
REPERE ISTORICE ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………….. 8
CAPITOLUL I – NOȚIUNI GENERALE DESPRE FUNCȚII ………………………….. ……………….. 10
1.1 Definiție. Moduri de a define o funcție ………………………….. ………………………….. ………….. 10
1.2. Egalitatea funcțiilor ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………… 16
1.3. G raficul unei funcții ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……….. 17
1.4. Proprietăți ale funcțiilor ………………………….. ………………………….. ………………………….. ….. 19
1.4.1. Funcții pare, impare. ………………………….. ………………………….. ………………………….. …. 19
1.4.2. Funcții monotone ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……… 21
1.4.3. Funcții mărginite. ………………………….. ………………………….. ………………………….. …….. 23
1.4.4. Funcții injective. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………. 25
1.4.5. Funcții surjective. ………………………….. ………………………….. ………………………….. …….. 27
1.4.6. Funcții bijective ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……….. 29
1.4.7. F uncții inversabile ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……. 30
1.4.8. Funcții convexe, concave. ………………………….. ………………………….. ……………………… 32
1.4.9 . Funcții periodice. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……… 34
CAPITOLUL II – FUNC ȚII ELEMENTARE ………………………….. ………………………….. ………….. 36
2.1. Funcția polinomiala ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………… 36
2.1.1. Funcția liniară sau funcția de gradul I. ………………………….. ………………………….. …….. 36
2.1.2. Funcția de gradul al doilea ………………………….. ………………………….. …………………….. 39
2.1.3. Funcția putere cu exponent natural ………………………….. ………………………….. …………. 42
2.2. Funcția putere cu exponent număr întreg negativ. ………………………….. ……………………….. 45
2.3. Funcția radical de ordinul n. ………………………….. ………………………….. …………………………. 47
2.4. Funcția putere cu exponent rațional. ………………………….. ………………………….. ……………… 49
2.5. Funcția exponențială. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……… 50
2.6. F uncția logaritmică. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………… 51
2.7. Funcții trigonometrice directe. ………………………….. ………………………….. ……………………… 53
2.7.1. Funcția sinus. ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………… 53
2.7.2. Funcția cosinus. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……….. 55
2.7.3. F uncția tangentă. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……… 56
2.7.4. Funcția cotangentă. ………………………….. ………………………….. ………………………….. …… 58
2.8. Funcții trigonometrice inverse ………………………….. ………………………….. ……………………… 59
2.8.1. Funcția arcsinus. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………. 59

5
2.8.2. Funcția arccosinus. ………………………….. ………………………….. ………………………….. …… 61
2.8.3. Funcția arctangentă. ………………………….. ………………………….. ………………………….. …. 63
2.8.4. Funcția arccotangentă. ………………………….. ………………………….. ………………………….. . 64
2.9. Funcții speciale. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………… 66
2.9.1. Funcția modul sau valoare absolută ………………………….. ………………………….. ………… 66
2.9.2. Funcția caracteristică a unei mulțimi. ………………………….. ………………………….. ……… 68
2.9.3. Funcția parte întreagă, funcția parte fracționară. ………………………….. ……………………. 68
2.9.4. Funcția signum. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……….. 69
2.9.5. Funcția max {x, y} și funcția min {x,y} ………………………….. ………………………….. ….. 69
CAPITOLUL III – APLICA ȚII ………………………….. ………………………….. ………………………….. ….. 70
3.1. Aplicații date la olimpiade și concursuri ………………………….. ………………………….. ………… 70
3.2. Aplicații propuse pentru examenul de bacalaureat 2015 ………………………….. ………………. 76
CAPIT OLUL IV – PROIECTAREA ACTIVITĂȚII DE INSTRUIRE LA MATEMATIC Ă ….. 83
CAPITOLUL V – PROIECTAREA, DESFĂȘURA REA ȘI PREZENTAREA
REZULTATELOR CERCETĂRII PEDAGOGICE ………………………….. ………………………….. .. 103
5.1. Ipoteza și scopul cercetării ………………………….. ………………………….. …………………………. 103
5.2. Obiectivele cercetarii ………………………….. ………………………….. ………………………….. …….. 103
5.3. Eșantionul de subiecți ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……. 104
5.4. Eșantionul de conținut ………………………….. ………………………….. ………………………….. …… 104
5.5. Locul și durata cercetării ………………………….. ………………………….. ………………………….. .. 105
5.6. Etapele cercetării ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………….. 105
5.7. Organizarea și desfășurarea cercetării pedagogice ………………………….. ……………………… 106
5.8. Interpretarea re zultatelor. Concluzii. ………………………….. ………………………….. ……………. 121
BIBILIOGRAFIE ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………………… 123

6
MOTIVAȚIA ALEGERII TEMEI

În via ța de zi cu zi, în activitatea cotidian ă, noțiunea, sau cel pu țin cuvântul funcție , este
destul de des întâlnit ă, pentru a pune în eviden ță interdependen ța dintre dou ă mărimi, no țiuni,
fenomene etc. De exemplu, premian ții clasei se stabilesc în funcție de m ediile lor generale,
spațiul parcurs de un autoturism într -o oră depinde ( este în funcție ) de viteza de deplasare,
prețul unui produs cre ște sau descre ște în funcție de cursul leului fa ță de principalele valute etc.
Fiind profesor la nivel liceal, aleger ea temei m -a motivat și prin faptul că în programa
de matematică dependențele funcționale, relațiile și funcțiile ocupă mai mult de 50%. Conceptul
de func ție guverneaz ă o mare parte din matematica de liceu. Domeniul teoretic vast al funcțiilor
se suprapun e convenabil cu un domeniu vast real – fizic în care găsim aplicații. Nu de puține ori
am observat, la concursuri școlare și evaluări naționale, că exercițiile cele mai multe sunt legate
de noțiunea de funcție.
Am ales această temă având în vedere c ă, prin studiul efectuat pentru pregătirea ei și
colaborat cu experiența la clasă, să -mi îmbogățesc nivelul de pregătire profesională, să găsesc
cele mai adecvate metode și procedee pentru a -i face pe elevii cu care lucrez să -și însușească
temeinic și conștient noțiunile legate de funcții, în special de funcții elementare .
Tema aleasă a fost tratată astfel încât să acopere atât explicarea noțiunilor de bază, cât și
înțelegerea și fixarea lor prin exerciții și probleme adecvate, cu grade diferite de dificultate ( de la
ușor la mediu, spre maxim), eliminându -se elementele monotone și care nu aduc nimic nou,
prezentându -le astfel încât să antreneze interesul și fantezia elevilor.
Se știe că nu se poate înțelege, învăța și consolida matematica numai prin însușirea un or
cunoștințe teoretice, fără aplicații ale acestora. Teoria se fixează și se aprofundează numai prin
rezolvarea unui număr cât mai mare de exerciții și probleme. Aprofundarea cunoștințelor de
matematică presupune și demonstrații, folosirea teoremelor învă țate în soluționarea unor
probleme cu caracter practic.
Studiul matematicii în liceu urmărește să contribuie la formarea și dezvoltarea
capacității elevilor de a reflecta asupra lumii, de a formula și rezolva probleme pe baza
relaționării cunoștințelor din diferite domenii, precum și la înzestrarea cu un set de competențe
menite să asigure o integrare profesională optimă.
O importanță deosebit ă o au activităț ile matematice în dezvolt area gândirii copilului ca
formă a deprinderii de a gândi cu eficiență si creativitate.
Experiența demonstrează că activitatea gândirii este stimulată si aplicată în mare
măsură de matematică, de aici trăgând concluzia că matematica înseamnă gândirea organizată,
prelungită în ultimul timp prin calculatoare.

7
INTRODUCERE

Lucrarea “FUNC ȚII ELEMENTARE ȘI APLICAȚII ” este structurată în cinci capitole
și își propune să dezbată, într -o formă unitară, aspectele teoretice și practice legate de funcțiile
elementare.
În capitolul I “ Noțiuni gene rale despre funcții ” – se prezintă noțiuni legate de definiția
unei funcții, egalitatea a două funcții și graficul unei funcții. În partea a doua a capitolului sunt
prezentate proprietățile funcțiilor, ca noțiuni preliminare celor ce urmează în celelalte c apitole.
Fiecare noțiune teoretică este insoțită de exemple.
Capitolul II “Func ții elementare ”– sunt prezentate toate funcțiile elementare și câteva
funcții speciale. Pentru fiecare funcție în parte este prezentată definiția și proprietățile ei. O
atenție deosebită este acordată graficului fiecărei funcții, fiind exemplificate aici mai multe
grafice pentru fiecare funcție.
Capitolul III “Aplicații ” – este un capitol de aplicații în care sunt rezolv ate exerciții și
probleme prin diferite metode prezentate în capitolele anterio are. Sunt, în general, probleme
date la olimpiade și concursuri școlare, dar și probleme propuse pentru examenul de bacalaureat
2015.
Capitolul IV “Proiectarea activității de i nstruire la matematică ” – sunt amintite și
clasificate metodele de învățământ, m ijloacele de învățământ , metodele de evaluare, tipurile de
itemi, tipuri și variante de lecții, cele folosite în activitatea didactică. Pentru fiecare tip de item au
fost prezentate exemple, avantaje și dezavantaje. Noțiunile prezentate aici au fost folosite în
activitatea de cercetare.
Capitolul V “Proiectarea, desfășurarea și prezentare rezultate lor cercetării
pedagogice” – este capitolul în care am realizat cercetarea pedagogică. După aplicarea testului
final au fost prezentate avantajele metodelor activ -participative și mai ales ale problematiz ării
față de cele clasice. Aici sunt prezentate rezu ltatele și concluziile cercetării.
Pentru sprijinul și recomandările primite în realizarea acestei lucrări, aduc mulțumirile
mele domnului profesor universitar doctor Vicențiu Rădulescu (Universitatea din Craiova,
Facult atea de Matematică și Științe ale N aturii ).

8
REPERE ISTORICE

Cele mai multe noțiuni din matematică au avut o evoluție îndelungată. La început ele
apăreau ca generalizare a unor reprezentări intuitive ale experințelor de toate zilele. Prin
eliminarea a tot ce era particular și întâmpl ător, treptat, din aceste reprezentări, s -au cristalizat
definiții matematice precise. În evoluția ei, noțiunea de funcție a parcurs un drum lung și
complicat. La această evoluție au contribuit semnificativ babilonienii, cu tabelele lor numerice
necesare î n astronomie, Arhimede ( 287 – 212 î. Hr. ), Ptolemeu (128 – 168 d. Hr. ) și Abul `
Wafa ( 940 – 998 ).
În pofida faptului că ideea dependenței dintre unele mărimi s -a ivit, pare -se, încă din
știința Greciei antice ( în aceea vreme, mărimile aveau numai o natură geometrică ), că funcțiile
trigonometrice, definite ca segmente orientate legate de cercul trigonometric, au fost cunoscute
din Antichitate (Ptolemeu a alcătuit prima tabelă a sinusului ) , că matematicienii indieni
cunoșteau formula „ sin x + cos x =1 “ ( Aryabhata secolul al V – lea), iar Thomas Bradwardine
( 1290 – 1349 ) a introdus noțiunea de „ funcție putere” și Nicole Oresme (1325 – 1382 ) a
dezvoltat regulile de calcul pentru funcția putere, lipsea noțiunea generală, o definiție care să
înglobeze toate cazurile cunoscute.
Chiar dacă noțiunea de funcție a fost utilizată de Decartes ( 1596 – 1650 ) și Fermat
(1601 – 1665 ), termenul de funcție a apărut abia în anul 1693, în lucrările savantului G. W.
Leibnitz ( 1646 – 1716 ). Totuși, avea un sens îngust și se referea doar la anumite segmente care
depindeau de poziția punctelor de pe o curbă: ordonată, subtang entă și subnormală, rază de
curbură etc. În anul 1718, Jean Bernoulli ( 1667 – 1748 ) a definit funcția fără a folosi
reprezentările geometrice ( „Se numește funcție de o mărime variabilă o cantitate formată într –
un mod oarecare din aceea mărime variabilă și constantă „ ) și a introdus notația f(x).
În anul 1748, L. Euler ( 1701 – 1783 ) a făcut următorul pas în dezvoltarea noțiunii de
funcție dând următoarea definiție: „ Se obișnuiește să se numească funcții mărimile dependente
de altele în așa fel, încât, ca urmare a variației ultimelor, se schimbă și cele dintâi.” Totuși, la
Euler și la ceilalți matematicieni din vremea sa, noțiunea de funcție era leg ată de posibilitatea de
a exprima funcțiile prin formule.
De exemplu, scrierea 𝑓 𝑥 = −𝑥,𝑥<0
𝑥,𝑥≥0 , după matematicienii secolului al XVIII –
lea, definea două funcții, nu una.
Problema de a exprima această dependență printr -o formulă a fost rezolvată abia în
secolul al XIX – lea, când J. Fourier ( 1768 – 1830 ) a arătat că suma unei serii infinite com puse
din funcții trigonometrice poate fi exprimată pe porțiuni prin formule diferite. Apoi a dat o nouă

9
definiție a funcției, subliniind că principalul este indicarea valorilor funcției; această indicare a
valorilor se face printr -o singură formulă sau nu este neesențial.
O formă apropiată a definiției funcției de ceea care se utilizează astăzi a fost dată de
Dirichlet (1805 – 1859 ): „ O mărime variabilă y se numește funcție de mărime variabilă x dacă
fiecărei valori a lui x îi corespunde o sing ură valo are determinată a lui y ”. Apoi, la cuvintele
„ fiecărei valori a lui x” s-au adăugat și „aparținând unei mulțimi” . În această definiție nu se
preciza dacă funcția trebuie să fie dată de una și aceeași formulă pe întreg intervalul pe care este
definită, ac eastă funcție era prea generală. Mai mult o funcție putea să nu fie deloc dată prin vreo
formulă, ci putea fi definită prin cuvinte. De exemplu, Dirichlet însuși a considerat o funcție de
felul:
f (x) = 0,𝑑𝑎𝑐ă 𝑥 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚ă𝑟 𝑖𝑟𝑎ț𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙
1,𝑑𝑎𝑐ă 𝑥 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚ă𝑟 𝑟𝑎ț𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙
În anul 1909, M. Frechet (1878 – 1973 ) a definit noțiunea de funcție în forma care este
folosită astăzi. Această definiție a fost permisă datorită apariției teoriei mulțimilor, creată de G.
Cantor ( 1875 – 1919 ). Dezvoltarea ulterioară a constat în studierea funcțiilor date de mulțimi
arbitrare și care iau valori de asemenea pe mulțimi oarecare. Într -o formulare mai generală,
noțiunea de funcție se leagă de noțiunile de corespondență, de aplicație , de transformare .

10
CAPITOLUL I

NOȚIUNI GENERALE DESPRE FUNCȚII

1.1 Definiție. Moduri de a define o funcție
Definiția 1 . Fie A și B două mulțimi nevide. Spunem că am definit o funcție pe
mulțimea A cu valori în B d acă printr -un anumit procedeu (lege, coresponden ță), notat cu f,
fiecărui element x din A î i corespundă un singur element y din B.
Notație: O funcție definită pe A cu valori în B se notează f : A  B (citim “f definită
pe A cu valori în B”). Uneori o funcție se notează simbolic A 𝑓 B, x  y = f(x) (citim: “f de
x”), unde y este imaginea elementu lui x din A prin funcția f sau valoarea funcției f în x.
Elementul x se numește argument al funcției sau variabilă independentă.
Mulțimea A pe care funcția este definită se numește domeniu l de definiție al funcției f,
iar B în care funcția ia valori se numește codomeniul sau domeniul valorilor funcției f. Procedeul
prin care fiecărui element x ∊ A îi corespunde un unic element y ∊ B se numește lege de
corespondență.
Dacă f este o funcție de la A la B, atunci se mai spune că f este o aplicație de la A la B.
Legea de corespondență a funcției se notează cu litere mici f, g, h, …, f 1, f2, f3,…, sau
alte simboluri, iar mulțimea tuturor funcțiilor definite pe mulțimea A cu valori în mulțimea B se
notează cu f(A, B).
În concluzie o corectă definire a unei funcții presupune existența a trei elemente:
A = domeniul de definiție al funcției
B = codomeniul funcției sau domeniul de valori
f = legea de corespondență ce leagă cele două mulțimi.
Observația 1.
1.1. Deși în definiția unei functii A 𝑓 B apar în mod necesar trei elemente, totuși,
uneori pentru simplificarea limbajului, se spune că ,,f este o funcție “, urmând ca celelalte două
elemente să rezulte din context.
1.2. Relativ la legea d e corespondență, notată simbolic printr -o literă, de exemplu prin
f, accentuez asupra faptului că această literă nu reprezintă întotdeauna o expresie algebrică, ea
simbolizând, în general, toate acțiunile pe care trebuie să le efectuăm, astfel încât porni nd de la
un element arb itrar x
A să obținem în final elementul corespunzător lui, y
B.
1.3. Dacă A și B sunt două multimi oarecare, atunci, în general, există mai multe funcții
definite pe A cu valori în B.

11
1.4. Dacă A ⊂ℝ și B⊂ℝ atunci vom spune că f se numeste funcție reală de variabilă
reală.
Exemplu l 1.
1.1. Fie A mulțimea țărilor de pe glob, iar B mulțimea tuturor orașelor de pe glob.
Definim funcția f : A  B după legea: fiecărei țări i se asociază capitala sa.
Vom avea f(România) = București
f(Italia) = Roma etc.
1.2. Fie ℤ mulțimea numerelor întregi.
Definim funcția f : ℤ  ℤ după legea: lui a Є ℤ i se asociază pătratul său, adică f(a)=a2.
1.3. Dependența dintre latura unui pătrat și perimetrul său definește o funcție
f : {1, 2, 5, 8, 10. 15}  {4, 8, 20, 32, 40, 60} cu ajutorul următoarei reguli: 1→4, 2→8, 5→20,
8→32, 10→40,15→60.
Această regulă poate fi exprimată cu ajutorul unei formule c are permite determinarea
elementului f(x) când se cunoaște x, anume: f(x)=4x
Exemplu l 2 (corespondențe care nu sunt funcții).
2.1. Fie A multimea orașelor din România, B mulți mea cetățenilor țării și
corespondența da la A la B: ,,x este orașul natal al lui y “
Această corespondență nu este o funcție deoarece un oraș x este locul de naștere al mai multor
cetățeni.
Așadar, unui element din mulț imea A îi corespunde cel puțin două elemente din
mulțimea B, ceea ce contrazice definiția funcției.
2.2. Fie A mulțimea cuvintelor care reprezintă nume de familie (Georgescu, Ionescu,…)
și B mulțimea oamenilor cu aceste nume.
Corespondența definită de la A la B prin care fiecărui nume îi cor espunde omul c are poartă acest
nume nu defineș te o funcție pentru că există nume de familie purtat de cel puțin două persoane.
Așadar, nu este respectat criteriul imaginii unice.
2.3. Se dau mulțimile A = {1, 2, 3}, B = {1, 8, 9, 10, 11} și corespondența x→x3.
Această cores pondență de la A la B nu defineș te o funcție deoarece nu oricărui element din A îi
corespunde un element din B.
Observăm că elementului x = 1 îi corespunde în B elementul 1, elementului x = 2 îi
corespunde în B elementul 8 și elementulu i x = 3 ar trebui să -i corespundă în B elemental 27, dar
27 nu se găsește în B.
Observația 2 . Chiar dacă se dau două mulțimi nevide nu orice relație stabilită între
elementele acestora definește o funcție.

12
Moduri de definire a unei funcții.
Indiferent de modul în care este definită o funcție trebuie precizate cele trei elemente
care o caracterizează: domeniul de definiție, codo meniul și legea de corespondență.
Definiția funcției nu precizează nimic în legătură cu mijlocul prin care se face
corespondența, ceea ce înseamnă că și din acest punct de vedere putem avea mai multe moduri
de a defini o funcție. Putem defini o funcție în mai multe moduri; esențial este să existe mijlocul
ca fiecărui x
A să îi corespundă un y
B.
Există în principal două moduri fundamentale de definire a funcțiilor: sintetic și
respectiv analitic.
I. Funcțiile definite sintetic corespund acelor func ții f : A  B pentru care se indică
fiecărui element x din A elementul y = f(x) din B sau altfel spus corespondența este precizată
“element cu element”
Acest lucru se poate face fie cu ajutorul diagramei cu săgeți, fie cu ajutorul tabelului de
valori sau printr -un tablou. Acest mod de a defini o funcție se utilizează când A , domeniul de
definiție, este o mulțime finită.
Diagramele cu săgeți. Este una din modalitățile frecvent utilizate pentru înțelegerea
conceptului de corespondență ce reprezintă o funcție. Domeniul de definiție, respectiv
codomeniul funcției sunt reprezentate grafic prin figuri geometrice cum ar fi cerc, pătrat,
dreptunghi, oval, curbe închise etc., elementele mulțimil or fiind precizate în interiorul acestora,
iar legea de corespondență este dată prin săgeți.

Figura 1.

Sau

Figura 2.

A B
m

n

p
1

2

3
f
A B
1 *
2 *
3 * * m
* n
* p f

13
Tabloul de valori. Pentru reprezentarea unei funcții se poate folosi și tabel ul de valori
astfel pe rândul de sus se trec elementele domeniului de definiție , iar pe rândul de jos se trec
elementele domeniului valorilor.
Tabelul 1 . Tabelul de valori al unei func ții
Domeniul
de
definiție 1 2 3 4 5 6 7
Domeniul
valorilor

Exemplu 3. Fie f : {1, 2, 3}  {m, n, p} definită prin f(1) = m, f(2) = n, f(3) = p .
În diagrama cu săgeți sunt reprezentate mulțimile prin diagrame, iar legea de
corespondență prin săgeți. Faptul că fiecărui element x din A îi corespunde un unic element y =
= f(x) din B înseamnă pentru diagrama cu săgeți că din fiecare element din A plea că o singură
săgeată. Cum pentru elementele codomeniului nu avem nici o exigență
înseamnă că într -un astfel de element pot ajunge una, mai multe săge ți sau chiar niciuna.

Figura 3.

Figura 4.

Observația 3 . Nu orice tabel de valori sau diagramă cu săgeți definește o funcție
Contraexemple:
1. Un contraexemplu de lege de corespondență ce nu reprezintă o funcție (ci doar o
relație) este reprezentat în diagrama de mai jos:
m

n

p 1

2

3

f
A B m

n

p 1

2

3

g
A B

14
1
2
3 m
n

Figura 5.

Elementului 2
 A nu -i corespunde nici un element din B sau din 2 nu pornește nici o
săgeată înspre un element din B.
2. Acest contraexemplu specifică o altă situație în care elementului 2
 A nu -i
corespunde nici un element din B sau din 2 nu pornește nici o săgeată înspre un element din B și
elementului 1
 A îi cores pund două elemente din B, f(1)=m și f(1)=n .

Figura 6.
Aceleași funcții definite la exemplul 3 le putem descrie și utilizând tabelele de valori,
acestea fiind formate din două linii, în prima linie se trec elementele mulțimii pe care este
definită funcția (domeniul de definiție al funcției) , iar pe linia a dou a valorile funcției în aceste
elemente.
Tabelul 2 . Tabelul de valori al funcției f : {1, 2, 3}  {m, n, p}
x 1 2 3 A
y = f(x) m n p f(A)
 B

Exemplu l 4. Funcția f : {1, 2, 3, 4}  {1, 2, 3, 4} definită prin f(1) = 2, f(2) = 4, f(3) =
= 3, f(4) = 1 poate fi reprezentată sub forma unui tablou unde în prima linie avem domeniul de
definiție , iar în linia a doua sunt valorile fu ncției în punctele domeniului (2 este valoarea lui f în
x = 1, 4 este valoarea lui f în x = 2, etc.). O astfel de funcție se numește permutare de gradul
patru. O astfel de reprezentare este f =




24311234
Observația 4. Tabelele de valori mai pot fi folosite și la tabele cu pătratele numerelor,
tabele cu multiplii numărului 𝜋, tabele cu valorile funcțiilor trigonometrice, etc.

f m

n

p 1

2

3
A B

15
II. Funcții definite analitic .
Când domeniul de definiție A este o mulțime cu un număr mar e de elemente sau este
infinită, legea de corespondență este dată indicând o regulă de asociere sau o formulă prin care
pentru orice x Є A se precizează f(x) Є B.
Dacă A și B sunt submulțimi ale lui ℝ , atunci legea de co respondență poate fi dată
printr -o formulă sau mai multe formule.
Funcțiile f : A  B (unde A, B ⊆ℝ) definite cu ajutorul unei (sau a unor) formule, sau a
unor proprietăți sunt funcții definite analitic. Corespondența f leagă între ele elementul arbitrar
x din A de imaginea sa y = f(x).
Exemplu l 5.
5.1. Fie funcția f : ℝ ℝ, f(x) = x3 + 4. Această funcție asociază fiecărui număr real x
numărul real x3 + 4.
5.2. Funcția f : ℤ  ℤ, f x = 2x,dacă x este par
2x+1,dacă x este impar
este exemplu de funcție definită prin două formule.
Funcțiile definite prin mai multe formule se numesc funcții multiforme.
Observația 5. În cazul funcțiilor multiforme, fiecare formulă este valabilă pe o anumită
submul țime a lui A și deci două formule nu pot fi folosite pentru determinarea imaginii unuia și
aceluiași element.
5.3. Fie funcția f : [ -2, 2]  ℝ, f x = 4−x2.
Această funcție asociază fiecărui număr x
[-2, 2] numărul real 4−x2.
Observația 6. Corespondența x 4−x2 de la ℝ la ℝ nu definește o funcție, deoarece
pentru x=4 expresia 4−x2 nu există în ℝ. Așadar, numărului real 4 nu -i corespunde nici un
element în ℝ.
Cea mai frecventă reprezentare a unei funcții în matematică este printr -o formul ă. În
acest caz, elementele domeniului de definiție și ale domeniului valorilor nu pot fi decât numere
sau “obiecte matematice” pentru care s -au introdus reguli de calcul corespunz ătoare. De
exemplu: y = f(x) = 3x – 1, f : ℝ
 ℝ.
Obser vația 7 .
7.1. Când asupra domeniului de definiție nu s -au făcut ipoteze speciale, se consideră ca
făcând parte din acesta toate numerele reale, cărora din formula respectivă li se pune în
corespondență o anumită valoare.
De exemplu în cazul funcției y = 3x – 1, domeniul de definiție este alcătuit din
mulțimea numerelor reale.

16
7.2. Unei expresii sau formule i se pot asocia mai multe funcții.
Exemplu l 6. Funcția f : ℝ ℝ, f(x) = x2 +1 și funcția g : ℤ  ℤ, g(x) = x2 +1
Funcțiile f și g sunt diferite deoarece domeniul de definiție al lui f este ℝ, iar al lui g este ℤ.
Observația 8. Când se definește o funcție prin mai multe formule trebuie ca mulțimile
menționate pentru acestea să fie mulțimi disjuncte, iar reuniunea lor să fie egală cu domeniul de
definiție al funcție.
Exemplu l 7 (corespondențe definite cu mai multe formule care nu sunt funcții).
7.1. Fie funcția 𝑓:ℝ ℝ,f(x)= x+1,x≤1
x2+3,x≥0 . Pe intervalul 0,1 acționează ambele
formule.
Astfel f 1
2 =3
2, respectiv f 1
2 =13
3. Așadar corespondența f nu este funcție.
7.2. Fie funcția g:ℝ ℝ, g(x)= x−2,x≤0
x−1,x≥0 . Corespondența g nu este funcție,
deoarece x−1 este definit numai pentru x≥1.

1.2. Egalitatea funcțiilor
Două funcții f : A → B și g : C →D se numesc funcții egale dacă sunt verificate
simultan condițiile:
a) A = C ( au același domeniu de definiție)
b) B = D ( au același codomeniu)
c)
xgxf
Exemplul 8 .
8.1. Fie
3 2, 1, 0, 2 1, 0, 1,:f   , dată prin tabelul
Tabelul 3 .

și
3 2, 1, 0, 2 1, 0, 1,:g   , dată prin
 1xxg .
Se observă că funcțiile f și g au același domeniu de definiție, mulțimea
2 1, 0, 1, , au
același codomeniu, mulțimea
3 2, 1, 0, și
,1g01f 
0g10f ,
1g21f ,
2g32f
, adică f(x) = g(x), oricare ar fi x din domeniul de definiție.
8.2. Fie funcțiile
 2 1, 1, 2,:f ℝ,
 ,4 5xxxf2 4 și
 2 1, 1, 2,:g ℝ,
 124x 15x 5x 3xxxg2 3 4 5
. x -1 0 1 2
f(x) 0 1 2 3

17
m

n

p 1

2

3 f
A B Domeniul de definiție al funcțiilor f și g este mulțimea
2,1,1,2 și codomeniul este
ℝ. Avem
,1g01f
,2g02f
,1g01f 
,2g02f  avem f(x) = g(x),
oricare ar fi x din domeniul de definiție.
Observația 9. Două funcții f și g nu sunt egale și se scrie
gf dacă cel puțin una din
condițiile a), b), c) din definiție nu este indeplinită.
Exemplul 9 .
9.1. Fie funcțiile f : ℝ
ℝ, prin
2xxf și g : ℝ
ℝ,
 12xxg . Evident f ≠ g,
pentru că
00f și
10g .
9.2. Fie funcțiile f : ℝ
ℝ, prin
2xxf și g: ℚ
ℝ, prin
2xxg . În acest caz f ≠ g
pentru că au domeniile de definiție diferite.
9.3. Fie funcțiile f : ℝ
ℝ, prin
2xxf și g : ℝ
 [0, ∞ ) , prin
2xxg . În acest
caz f ≠ g pentru că au codomeniile diferite.

1.3. Graficul unei funcții

O funcție atașează fiecărei valori x din domeniul de definiție, câte o valoare y din
domeniul valorilor, deci determină perechi de numere reale de forma (x, y). O astfel de pereche,
de numere reale, poate fi reprezentată în plan printr -un punct, ale cărui coordonate sunt cele două
numere (în ordinea precizată). Totalitatea punctelor din plan, care reprezintă perechile de acest
fel, determinate de o funcție f(x), f ormează graficul acelei funcții. Graficul unei funcții poate fi
format dintr -un număr finit de puncte, după cum domeniul de definiție cuprinde un număr finit
sau infinit de numere reale.
Definiția 2 . Fie o funcție f : A  B. Se numește graficul funcției f mulțimea de cupluri
Gf = {(x, f(x))  x  A} = {(x, y) x  A, y = f(x)}.
Exemplul 10 .
10.1. Fie funcția definită de diagrama de mai jos

Figura 7.

18
Atunci graficul său este mulțimea G f = {(x, f(x))  x  A} = {(x, y) x  A, y = f(x)} = {(1,m),
(2,n), (3,p )}.
10.2. În funcția f : { -4, -2, 0, 2}  {-2, 0, 2, 4 } definită cu ajutorul tabelului de valori
de mai jos:
Tabelul 4
x -4 -2 0 2 A
Y = f(x) -2 0 2 4 Imf = f(A)
 B = { -2, 0, 2, 4 }

În acest caz, graficul lui f este mulțimea G f = {(-4, -2), (-2, 0), (0, 2), (2, 4 )}.
Dacă funcția f : A  B este o funcție numerică (A, B
 ℝ), atunci la produsul cartezian
A x B  ℝ x ℝ, unui cuplu (x, y) din A x B i se poate asocia în planul în care se consideră un
reper cartezian (planul cartezian) un punct M(x, y) (punctul M având coordonatele x, y,
componentele cuplului). Cum mulțimea ℝ x ℝ se reprezintă geometric prin planul carte zian, se
poate deduce că: graficul funcției numerice se reprezintă geometric printr -o anumită submulțime
a planului.
Această submulțime a planului se numește reprezentarea geometrică a graficului
funcției. Reprezentarea grafică a unei funcții f : A  B este, în general, o curbă, numită curba
reprezentativă a funcției f și notată G f = {M (x, y) x  A, y = f(x)}.
Prin abuz de limbaj, în loc de reprezentarea geometrică a unei funcții vom spune simplu
graficul funcției f.
Exemplu l 11. Funcția f : { -2, 0, 2 }  ℝ, f(x) = x + 4 are graficul G f = {( -2, 2), (0, 4),
(2, 6)}, iar reprezentarea grafică es te formată din trei puncte: A( -2, 2), O(0, 4), B(2, 6 ).
Exemplu l 12. Funcția g : ℝ  ℝ, g(x) = x + 4 are graficul G f reprezentat de o dreaptă
iar reprezentarea sa grafică trece prin cele trei punc te: A( -2, 2), O(0, 4), B(2, 6 ) amintite la
exemplul 11.
y=g(x)= x + 4
Figura 8.

19
Exemplu l 13. Fie funcția f : ℝ
ℝ,
5×2 3m xf  , m
ℝ. Să se determine m
știind că
fG6 1,
Din condiția
fG6 1, se obține relația
1f6 , adică
3 3m6 și
1m .
Intersecția graficului cu axele de coordonate
Fie funcția f : A
 B și G f curba reprezentativă a graficului G f al funcției.
a)Intersecția curbei G f cu axa Ox
Axa Ox este caracterizată de egalitatea Ox = {M(x, y) / x
 A și y = 0} = {M(x, 0) / x
 A}.
Intersecția dintre axa Ox si curba G f poate fi Ø sau poate fi o mulțime formată din mai multe
puncte.
Dacă intersecția este nevidă, fie M(x, y) un punct al acesteia. Rezultă că M(x, y)
 Ox, adică y =
=0 și M(x, y)
 Gf adică y = f(x).
Astfel valorile lui x sunt date de soluțiile ecuației f(x) = 0, x
A.
În concluzie , Gf
 Ox = {M(x, 0) / f(x) = 0, x
A}.
b) Intersecția curbei Gf cu axa Oy
Axa Oy este caracterizată de egalitatea Oy = {N(x, y) / x = 0, y
 B} = {N(0, y) / y
 B}
Intersecția dintre axa Oy si curba G f poate fi Ø, dacă 0 ∉ A sau mulțimea formată punctul
N(0, f(0)).
Exemplul 14. Fie funcția f : ℝ
ℝ, f(x) = x2 – 6x + 8. Să se determine punctele comune
curbei G f cu axelor de coordonate.
Gf
 Ox = {M(x, 0) / f(x) = 0 }. Abscisele punctelor de intersecție se află rezolvând ecuația f(x)
= 0. Rezultă ecuația x2 – 6x + 8 = 0 cu soluțiile x 1 = 2, x 2 = 4.
Așadar Gf
 Ox = {M 1(2, 0), M 2(4, 0) }
Gf
 Oy = { N(0, f(0))} = {N(0, 8)}.

1.4. Proprietăți ale funcțiilor

1.4.1. Funcții pare, impare.
Definiția 3. Despre mulțimea D  ℝ spunem că se numește mulțime simetrică dacă și
numai dacă :  x  D  -x  D
Exemplul 15 (mulțimi simetrice).
[-1, 1], ( -2, 2), ( –
,3)
 (3, +
 ), [-2, -1]
 [1, 2], ℝ, ℤ, etc.
Mulțimile ( -1, 1], ( -4, 6), ℕ și altele nu sunt mulțimi simetrice.
Definiția 4. Fie f : D  ℝ, D simetrică. Despre funcția f spunem că este:

20
a. funcție pară dacă și numai dacă:  x  D  f(-x) = f(x) (nu -și schimbă valoarea
atunci când se schimbă semnul argumentului)
b. funcție impară dacă și numai dacă:  x  D  f(-x) = – f(x) (prin schimbarea
semnului argumentului ea își schimbă semnul, fără a -și modifica valoarea sa absolută).
Propoziți a 1. Dacă funcția f : D  R, (D simetrică) este:
a. funcție pară atunci G f este simetric față de axa Oy
b. funcție impară atunci G f este simetric față de O (originea axelor de coordonate).
Demonstrație
a) Într -adevăr, din egalitatea f( -x) = f(x),  x  D, rezul tă că punctele M(x, f(x))
 Gf,
M’(-x, f(x))
 Gf și totodată punctele M și M’ sunt simetrice fa ță de axa Ox.
b) Într -adevăr, dacă M(x, f(x))
 Gf, din egalitatea f( -x) = -f(x),  x  D, rezultă că și punctul
M’(-x, -f(x))
 Gf. Dar punctele M, O, M ’ sunt coliniare, iar O este mijlocul segmentului [MM’].
Așadar, O este centrul de simetrie pentru Gf.
Exemplul 16 .
Y1=x2
Y2=x3

Figura 9. Figura 10.

Exemplu l 17 (funcții pare).
17.1. f : ℝ → ℝ,
2nx f(x)
17.2. f : ( -1, 1) → ℝ,
2 f(x)
17.3. f : ( -2, 2) → ℝ,
2×4 f(x)

17.4. f : ℝ → ℝ
x f(x)
Exemplu l 18 (funcții impare).
18.1. f : ℝ → ℝ,
x f(x)

21
18.2. f : ℝ ⃥{0} → ℝ ,
x1f(x)
18.3. f : ℝ ⃥{-1, 1} → ℝ
x1xf(x)
Observația 10.
Pentru o funcție f : D
 R pară (impară) este suficient a trasa graficul său pe
submulțimea punctelor
0xD,x , deoarece prin simetrie față de axa Oy (respectiv prin
simetrie față de O(0,0) ) acesta se completează și pe submulțimea punctelor
0.xD,x

1.4.2.Funcții monotone
Fie f : A  ℝ, o funcție de variabilă reală și I  A.
Definiția 5. Despre funcția f spunem că este:
a. strict crescătoare pe I  A dacă: () x1, x2  I cu x 1 < x 2  f(x1) < f(x 2).
b. strict descrescătoare pe I  A dacă: () x1, x2  I cu x 1 < x 2  f(x1) > f(x2).
c. crescătoare pe I  A dacă: () x1, x2  I cu x 1 < x 2  f(x1)
 f(x2).
d. descrescătoare pe I  A dacă: () x1, x2  I cu x 1 < x 2  f(x1)
 f(x2).
Observația 11.
11.1. F uncție f este monotonă pe I dacă f este crescătoare sau descrescătoare pe I .
Funcție f este strict monotonă pe I dacă f este strict crescătoare sau strict descrescătoare pe I .
11.2. Dacă f este strict monotonă (sau monotonă) pe A (pe tot domeniul de definiție )
spunem simplu că funcția f este strict monotonă (sau monotonă) fără a mai indica mulțimea. A
studia monotonia unei funcții f : A  ℝ revine la a preciza submulțimile lui A pe c are f este
strict crescătoare (crescătoare) și submulțimile lui A pe care f este strict descrescătoare
(descrescătoare).
Intervalele din domeniul de definiție pe care o funcție este monotonă se numesc
intervale de monotonie ale funcției.
Exemplu l 19. Fie funcția f : A
 B cu f(1) = 2, f(2) = 4, f(3) = 5, f(4) = 6.
Avem 1 < 2 < 3 < 4 și f(1) < f(2) < f(3) < f(4), funcția f este strict crescătoare.
Observația 12. Pentru studiul monotoniei unei funcții numerice f : A  ℝ, se utilizează
raportul:
2 12 1
xx)f(x)f(x
 cu x 1, x2  A și x 1 x2 numit raportul de variație asociat funcției f și
numerelor x 1, x2.

22
Diferența (x 2 – x1) se numește variația argumentului, iar diferența (f(x 2) – f(x1)) se
numește variația funcției. Prin urmare raportul de variație asociat lui f și numerelor x 1, x2 este
raportul dintre variația funcției și variația argumentului.
Dacă
0xx)f(x)f(x
2 12 1 , atunci funcția f este strict crescătoare.
Dacă
0xx)f(x)f(x
2 12 1 , atunci funcția f este crescătoare.
Dacă
0xx)f(x)f(x
2 12 1 , atunci funcția f este strict descrescătoare.
Dacă
0xx)f(x)f(x
2 12 1 , atunci funcția f este descrescătoare.
Exemplul 20 . Să se studieze monotonia funcției f : ℝ
ℝ, f(x) = x3 + 4x + 4
Vom stabili monotonia func ției f folosind semnul raportului de variație ℝ.
Fie x 1, x2
 ℝ, x1
x2,
04 x43
2xx 4xx x xxx4)xx x )(xx (x
xx)f(x)f(xR2
22
2
1 212
22
1
2 1212
22
1 2 1
2 12 1
Rx,x2 1
.
Așadar funcția f este strict crescătoare pe ℝ.
Observația 13.
Variația funcției f se sintetizează într -un tabel, numit tabel de variație pe care se pun
săgeți de tipul „ ↗” dacă funcția este strict crescătoare, „ ↘” dacă funcția este strict descrescătoare
și „
 ” dacă funcția f este constantă.
Exemplul 21 .Fie funcția f : ℝ
ℝ a cărei curbă reprezentativă este G f.
Din tabel se observă că funcția f este strict descrescătoare pe intervalul ( –
,-2), este
funcție constantă pe [-2, 2] și este funcție strict crescătoare pe intervalul [2, +
 ). Aceste
informații se găsesc rezumate în următorul tabel de variație

x –
 -2 2 +

f(x) +
 ↘ 3
 3 ↗ +


Teoremă: Fie f : I
 ℝ, o funcție derivabilă pe intervalul I ⊂ ℝ. Avem:
a) f ’ ≥ 0 dac ă si numai dacă f este crescătoare.
b) f ’ ≤ 0 dac ă si numai dacă f este descrescătoare.

23
c) Dacă f ’ > 0, atunci f este stict crescătoare.
d) Dacă f ’ < 0, atunci f este descrescătoare.
Exemplu l 22. Funcția f : ℝ
ℝ, f(x) = arctg x – x este monotonă.
𝑓’ 𝑥 = 1
𝑥2+1−1= −𝑥2
𝑥2 +1 ≤0, deci funcția este descrescătoare pe ℝ.
Observația 14 Reciprocele proprietăților c) și d) nu sunt adevărate, adică dacă funcția
este strict monotonă, nu rezultă că inegalitățiile verificate de derivată nu sunt stricte.
Exemplu l 23 . Funcția f : ℝ
ℝ, f(x) = x3 este strict crescătoare pe ℝ, dar f ’ se
anulează în 0.

1.4.3. Funcții mărginite.
Definiția 6. O funcție numerică f : A  ℝ (A ℝ) se numeste mărginită inferior dacă
există numărul real m astfel încât m  f(x),  xA.
Definiția 7. O funcție numerică f : A  ℝ (A ℝ) se numeste mărginită superior dacă
există numărul real M astfel încât f(x)  M,  xA.
Definiția 8. O funcție numerică f : A  ℝ (A ℝ) se numeste mărginită dacă există
două numere reale m, M astfel încât m  f(x)  M, xA (mulțimea valorilor ei este inclusă într –
un interval marginit de numere reale ).
Observația 15 . O funcție numerică f : A  ℝ (A ℝ) este o funcție marginită dacă și
numai dacă imaginea funcției f este o mulțime mărginită.
Exemplu l 24. Funcția sin x: ℝ  [-1,1] al c ărei grafic este reprezentat mai jos.
y=sin x
Figura 11.
Exemplul 25 . Funcția cos x: ℝ  [-1,1] al cărei grafic este reprezentat mai jos.
y=cos x

24
Figura 12.
Semnificația geometrică a unei funcții mărgintite este acee a că graficul funcției este
cuprins între dreptele orizontale y = m, y = M, după cum se observă și din graficele celor două
funcții prezentate în exemple le 24 și 25 de funcții sin x și cos x unde M = 1 și m = -1.
O definiție echivalentă ar fi și următoarea:
Definiția 9. O funcție numerică f: A  ℝ (A ℝ) se numeste marginită dacă există
numărul real M astfel încât |f(x)|  M,  xA.
Observația16.
16.1. O funcție numerică f : A  ℝ (A ℝ) este nemărginită inferior dacă (
 )m
ℝ,
(
)x
A astfel încât f(x) < m, deci f poate lua valori oricât de mici.
16.2. O funcție numerică f : A  ℝ (A ℝ) este nemărginită superior dacă (
 )M
ℝ,
(
)x
A astfel încât f(x) > M, deci f poate lua valori oricât de mari.
16.3. O funcție numerică f : A  ℝ (A ℝ) este nemărginită dacă f este nemărginită
inferior sau f este nemărginită superior.
Exempl ul 26. Se dă funcția f : (0, +
 )
ℝ,
x1f(x)
a) Să se arate că f este funcție nemărginită.
b) Să se asocieze funcției f o restricție care să fie funcție mărginită.
Soluție :
a) Funcția f este nemărginită dacă (
 )M > 0, (
) x0
(0, +
 ) astfel încât
M)f(x0 .
Fie M > 0. Dacă
M)f(x0 rezultă că
Mx1
0 , deci
Mx1
0 . Alegând
2M1x0 rezultă că
f(x0) = 2M > M și astfel rezultă că f este funcție nemărginită.
b) Fie funcția g : [a, +
 )
ℝ, a > 0, g(x) = f(x) restricție a funcției f la intervalul
[a, +
 )
(0, +
 ).
Pentru oricare x
 [a, +
 ) rezultă x
 a și
a1g(x)x1 .

25
Așadar,
a1g(x) , (
)x
[a, +
 ), deci g este o restricție mărginită a funcției f.

1.4.4. Funcții injective.
Definiția 10 . O funcție f : A → B se numeste funcție injectivă ( sau simplu injecție)
dacă: x1, x2  A cu x 1 ≠ x 2
 f(x1 ) ≠ f( x 2).
Faptul că f este injectivă se mai exprimă și astfel:
x1, x2  A cu proprietatea f(x 1) = f(x 2)
 x1 = x 2.
Exemplul 27 .
27.1. Funcția f : ℝ → ℝ, a cărei lege de corespondență este dată prin formula f(x) = 3x,
este o funcție injectivă, deoarece pentru orice două valori reale, x 1 ≠ x 2, avem 3x 1 ≠ 3x 2, adică cu
f(x1) ≠ f(x 2).
27.2. Fie funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = x3 + x + 1
Fie x 1 , x2  ℝ. Din f(x 1 ) = f( x 2) rezultă x 13 + x 1 + 1 = x 23 + x 2 + 1, adică
(x1 – x2)(x12 + x 1×2 + x 22 + 1) =0
Ecuația x12 + x 1×2 + x 22 + 1 = 0 în necunoscuta x1  ℝ, are discriminantul
 = x 22 – 4(x 22 + 1) =
– 3×22 – 4 < 0. Deci, ecuația nu are soluții. Rămâne x1 – x2 = 0, adică x 1 = x 2.
Prin urmare, f este injectivă.
Altfel spus: O fu ncție f : A → B se numeste func ție injectivă ( sau simplu injecție) dacă
orice element din B este imaginea prin f a cel mult unui element din A, ceea ce -i echivalent cu
faptul ca pentru orice y  B ecuația f (x) = y are cel mult o solutie x  A.
Interpretare grafică : Funcția f este inje ctivă dacă orice paralelă la axa Ox dusă prin
punctele codomeniului intersectează graficul funcției în cel mult un punct.
Exemplul 28 .
y=x5
Figura 13.
Exemplul 29 .
Tabelul 3

26
m

n

p 1

2

3 f
A B x -3 -2 -1 0 1 2 3
y = f(x)= x5 -243 -32 -1 0 1 32 243

Exemplul 30 . Funcția definită sintetic prin diagrama de mai jos este o funcție injectivă.

Figura 14.
Un contraexemplu de funcție ce nu este injectivă este prezent în graficul de mai jos:
y = x6-12x
Figura 15.

Observăm că orice dreaptă y || Ox intersectează graficul funcției în două puncte.
Ținând seama de regulile de negație putem afirma că: o funcț ie f : A → B nu este o funcție
injectivă dacă
 x1 , x2  A cu x 1 ≠ x 2 astfel încât f(x 1) = f(x 2).
Exemplul 31 .
31.1. Fie funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = x2 + 2x
Cum x2 + 2x = x(x + 2), deducem că f(0) = f(2) = 0. Prin urmare, există x 1 = 0 și x 2 = 2,
x1 ≠ x 2 astfel încât f(x 1) = f(x2). Rezultă f nu este injectivă.
31.2. Considerând funcția definită pe mulțimea poligoanelor plane, ce atașează fiecărui
poligon un număr real și pozitiv, ce reprezintă aria sa în cm2, putem spune că aceast ă funcție nu
este injectivă, deoarece există poligoane diferite ca formă, ce au arii egale (poligoane

27
echivalente). Dacă considerăm însă restricția acestei funcții, definită pe mulțimea pătratelor,
aceasta este o funcție injectivă, deoarece orice două păt rate diferite, au arii diferite.

1.4.5. Funcții surjective.
Definiția 11 . O funcție f : A → B se numeste funcție surjectivă ( sau simplu surjecție)
  y  B,  x  A astfel incat f(x) = y.
Este valabilă și următoarea definiție echivalentă cu prima.
Definiția 12 . O funcție f : A → B se numeste funcție surjectivă ( sau simplu surjecție)
dacă orice element din B este imaginea prin f a cel puțin unui element din A, ceea ce -i echivalent
cu faptul că pentru orice y  B ecuația f (x) = y are cel puțin o sol uție x  A.
Sau f : A → B este surjectivă  f (A) = B, adică Im f = B.
Funcția surjectivă f se mai numeste și aplicație a mulțimii A pe mulțimea B, această
denumire scoțând în evidență faptul că nu rămân elemente ale mulțimii B care să nu corespundă
la ele mente din mulțimea A.
Pe diagrama cu săgeți o funcție este surjectivă dacă la fiecare element din B ajunge cel
puțin o săgeată.
Exemplu l 32.
32.1. Funcția, care atașează fiecărui dreptunghi numărul real și pozitiv, egal numeric cu
aria sa, reprezintă o surjecție, sau o aplicație a mulțimii dreptunghiurilor pe mulțimea numerelor
reale și pozitive. Într -adevăr, fiind dat orice număr real pozitiv, se poate construi cel puțin un
dreptunghi care să aibă o arie numeric egală cu acest număr.
Evident, această fu ncție nu este injectivă, deoarece prin ea unui număr real și pozitiv îi
corespund o infinitate de dreptunghiuri (dreptunghiuri echivalente).
32.2. Funcția f : ℝ → ℝ, definită prin formula f(x) = 2x + 3, este o surjecție.
Într-adevăr, con siderând un număr r eal oarecare , y0, lui îi corespunde o valoare a argumentului,
pe care o notăm cu x 0, astfel încât f(x 0) = 2x 0 + 3 = y 0.
Deci,
23yx0
0 .
Deoarece, în această formulă operațiile pot fi efectuate oricare ar fi y 0
ℝ rezultă că f este o
surjecție.
32.3. Să se afle a
 ℝ astfel încât funcția f : ℝ → ℝ,
f(x)


) (1,xx,a,1](x5,2x să fie
surjectivă.
Observăm că f((-
, 1]) = ( –
, -3], iar f((1, +
 )) = (a + 1, +
 ).
Pentru ca funcția să fie surjectivă, trebuie îndeplinită condiția f( ℝ) = ℝ, adică

28
(-
, -3]
 (a + 1, +
 ) = ℝ.
Această egalitate are loc dacă și numai dacă a + 1
 -3, adică a
 (-
, -4].
Interpretare grafică :
Graficul unei funcții poate preciza dacă funcția este surjectivă. Alt fel spus, dacă orice
paralelă la Ox dusă printr -un punct al codomeniului taie graficul în cel putin un punct atunci
funcția f este surjectivă.
Exemplu l 33. Funcția ex : ℝ → (0,
 )
y=ex
Figura 16.
Observația 17.
Ținând se ama de regulile de negație putem afirma că: o funcție f : A → B nu este
surjectivă dacă există y  B astfel încât  x  A, f (x) ≠ y.
Exemplul 34 .
34.1. Un astfel de exemplu poate fi definit în diagrama din figura 17 .

Figura 17.

Elementului p  B nu -i corespunde nici o contraimagine din A.
34.2. Funcția f : ℝ → ℝ, definită prin formula f(x) = x2 + x +1, nu este surjectivă.
Ecuația x2 + x +1 -y = 0 are soluții reale numai dacă
0 sau -3 + 4y
 0. Deci,


 ,43y
m

n

p

c 1

2

3
f
A B

29
Rezultă că există


43, y pentru care ecuația f(x) = y nu are nici o sol uție reală.
Rezultă că funcția f nu este surjectivă.

1.4.6. Funcții bijective
Definiția 13. O funcție f : A → B se numeste funcție bijectivă ( sau simplu bijecție),
dacă este atât injectivă cât și surjectivă. Altfel spus funcția f : A → B este funcție bi jectivă 
y  B, ! x  A astfel încât f(x) = y. Simbolul ! înseamnă “există în mod unic”.
Observația 18. Pe diagrama cu săgeti o funcție este bijectivă dacă în fiecare element al
codomeniului ajunge exact o săgeată. Se mai spune despre funcția bijectivă că este o
corespondență “one to one” (“unu la unu”) sau corespondență biunivocă.
Exemplul 35 .
35.1. Fie A = {x
ℝ / x
 0}. Definim funcția g : A
 A prin formula g(x) = x2.
Pentru a arăta că funcția g este bijectivă trebuie să arătăm că este injectivă și surjectivă.
Arătăm că funcția g este injectivă: fie x 1, x2
A astfel încât g(x 1) = g(x 2)
x12 = x 22

x12 – x22 = 0, atunci (x 1 – x2)( x 1 + x 2) = 0
Deci, x 1 – x2 = 0 sau x 1 + x 2 = 0.
Dacă x 1 – x2 = 0, avem x 1 = x 2; dacă x 1 + x 2 = 0, avem x 1 = – x2 și cum x 1 , x2 sunt numere reale
pozitive, trebuie ca x 1 = x 2 = 0.
Deci, din egalitatea g(x 1) = g(x 2)
 x1 = x 2
 funcția g este injectivă.
Arătăm că funcția g este surjectivă: Fie y
 A. Cum y
 0, atunci are sens
y . Cum
0y ,
atunci
Ay .Se vede că
y y yg 2)()( și deci g este surjectivă.
35.2. Funcția f : [2, 4]
 [0, 6], f(x) = 3x – 6 este bijectivă.
Pentru orice y
 [0, 6], ecuația f(x) = y, adică 3x – 6 = y are soluția unică
4] [2,36yx
Deci, f este bijectivă.
Interpretare grafică:
O funcție numerică dată prin graficul său este bijectivă dacă orice paralelă la axa Ox
dusă printr -un punct al codomeniului intersectează graficul în exact un punct.
Exemplu l 36. Funcția f: ℝ→ ℝ unde f(x) = x3 +1 este bijectivă (fiind de altfel o funcție
strict monotonă).
y= x3 +1

30
Figura 18.

1.4.7. Funcții inversabile
Definiția 14. O funcție f : A → B este inversabilă dacă există funcția g : B → A astfel
încât g ⃘ f = 1 A și f ⃘ g = 1 B.
Notație : Spunem că g este inversa funcției f, g este unică și pentru funcția g utilizăm
notația f-1 (citim “f la minus unu”).
Observația 19 . Dacă g este inversa funcției f, atunci f este inversa funcției f. Cu alte
cuvinte, f și g sunt inverse una alteia.
O funcție f care are inversă se spune ca este inversabilă.
Funcția f se numeste funcție directă, iar f-1 funcție inversă a lui f.
Teorema 1. O funcție f : A → B este inversabilă dacă și numai dacă este bijectivă.
Demonstrație.
„
” Presupunem că f este inversabilă și vom arăta că f este injectivă și f este surjectivă.
Din f este inversabilă ⇒ ∃f-1 : B → A, astfel încât:
f-1 ⃘ f = 1 A și (1)
f ⃘ f-1 = 1 B (2)
Fie x 1, x2 ∊ A și presupunem că f(x 1) = f(x 2) ⇒ (f-1 ⃘ f)(x 1) = (f-1 ⃘ f)(x 2) și din relația (1)
⇒ x1 = x 2 ⇒ f este injectivă. Fie y ∊ B și din relația (2) ⇒ y = 1 B(y) = (f ⃘ f-1)(y) = f (f-1((y). Deci
∃x ∊ A, x = f-1(y) astfel încât f(x) = y. Rezultă că funcția f este surjectivă.
„⇐” Presupunem că f este bijectivă. Rezultă că
y
B
x
A unic astfel încât f(x) = y.
Putem defini o funcție g : B → A, y = f(x), x ∈ A.
Vom atăta că g ⃘ f = 1 A și f ⃘ g = 1 B.
Fie x
A și f(x) = y
B, rezultă din definiția lui g că g(y) = x ⇒ g(f(x)) = x,
x
A ⇒ g ⃘ f =
1A.

31
Fie y ∊ B ⇒ g(y) = x, unde f(x) = y ⇒ f(g(y)) = f(x) = y ⇒ (f ⃘ g)(y) = y,
y
B ⇒ f ⃘ g = 1 B.
Deci funcția g este inversa funcției f. Rezultă că teorema este demonstrată.
Observa ția 20. Din demonstrația acestei teoreme rezultă că dacă f : A → B este o
funcție bijectivă, atunci funcția sa inversă f-1 : B → A se defineste după următorul procedeu:
dacă b ∈ B, atunci f-1(b) este unicul element a
A astfel încât f(a) = b.
Exemplu l 37.
37.1. Funcția f : ℝ ⃥ {3} → ℝ ⃥ {2}, f(x) = 2x+4
x−3 este inversabilă.
Arătăm că funcția f este bijectivă. Pentru orice y
ℝ ⃥ {2}, ecuația f(x) = y, adică 2x+4
x−3=y, are
soluție unic ă. Obținem x = 3y+4
y−2 ∈ℝ ⃥ {3} (deoarece ecuația 3y+4
y−2=3 nu are soluție ).Deci, f
este o funcție bijectivă.
Inversa sa este funcția f-1 : ℝ ⃥ {2} → ℝ ⃥ {3}, f−1(y)= 3y+4
y−2.
Revenind la notația generică pentru variabila independentă, putem scrie
f-1 : ℝ ⃥ {2} → ℝ ⃥ {3}, f−1(x)= 3x+4
x−2.
37.2. Funcția f : ℝ → ℝ, 𝑓(x) = x−2,dacă x ≤3,
2x−5,dacă x >3 este inversabilă.
Vom arăta că f este bijectivă.
Mai întâi arătăm că f este injectivă. Pentru aceasta, fie x 1, x2 ∈ℝ.
Vom avea următoarele cazuri:
a) x1, x2 ≤ 3. Dacă f(x 1) = f(x 2), atunci x 1 – 2 = x 2 – 2 ⇒ x1 = x 2.
b) x1, x2 >3. Dacă f(x 1) = f(x 2), atunci 2x 1 – 5 = 2x 2 – 5 ⇒ x1 = x 2.
c) x1≤ 3, x2 > 3. Avem x 1 ≠ x2, iar f(x 1) = x1 – 2 ≤ 1și f(x 2) = 2x 2 – 5 >1, de unde
f(x1) ≠ f(x2)
Deci f este funcție injectivă.
Arătăm că f este surjectivă. Pentru aceasta, fie y ∈ ℝ.
Vom avea următoarele cazuri:
a) y ≤1. Dacă f(x) = y, atunci x – 2 = y, de unde x = y + 2 ≤ 3.
b) y >1. Dacă f(x) = y, atunci 2x – 5 = y, de unde 𝑥= 𝑦+5
2> 3.
Deci oricare ar fi y
ℝ există x
ℝ astfel încât y = f(x): dacă y
1, atunci x = y + 2, iar dacă y
1, atunci 𝑥= 𝑦+5
2.
Deci f este funcție surjectivă. Rezultă că f este bijectivă, deci este inversabilă.
Atunci inversa funcției f este f-1 : ℝ → ℝ, f−1 y = y+2,dacă y ≤1
y+5
2,dacă y >1.

32
Interpretare geometrică : Fie o funcție f : A → B inversabilă și f-1 : B → A inversa
funcției f, atunci graficele funcțiilor f și f-1 sunt simetrice față de prima bisectoare.
Exemplul 38 . Pentru funcția f : R → R descrisă de forma analitică f(x)=2x+1 admite ca
funcție inversă f-1 (x) =
21
2x .
Din punct d e vedere grafic cele două drepte sunt simetrice față de dreapta de ecuație
y = x (ecuația primei bisectoare), după cum se observă în graficul comparativ de mai jos.

Figura 19.

1.4.8. Funcții convexe, concave.
Definiția 15. Considerăm funcția f : I
 ℝ unde I ⊂ ℝ un interval.
1) Funcția f spunem că este convexă pe intervalul I dacă :
x1, x2
I și
 t∈ [0, 1] este
satisfăcută inegalitate a: f((1 – t) x 1+ t x 2) ≤ (1 -t) f(x 1) + tf(x 2). (1)
2) Funcția f spunem că este concavă pe intervalul I dacă:
 x1, x2
I , și
 t∈ [0, 1] este
satisfăcută inegalitate a: f((1 – t) x 1+ t x 2)
(1-t) f(x 1) + tf(x 2). (2)
Observația 21. Dacă în inegalitățile (1) și (2) avem inegalitate strictă se spune că funcția
f este strict convexă respectiv strict concavă.
Teorema 2 (criteriu de convexitate).

33
Fie I ⊂ ℝ un interval și f : I
 ℝ o funcție de două ori derivabilă pe I.
Funcția f se numește convexă pe I dacă și numai dacă f ”(x) ≥ 0.
Funcția f se numește concavă pe I dacă și numai dacă f ”(x) ≤ 0.
Observația 22.
Noțiunea de funcție convexă respectiv concavă a fost introdusă J. Je nsen1 care a pornit
de la o relație mai particulară decât (1) și(2), anume:
a) despre funcția f spunem că este convexă pe intervalul I dacă:
 x1, x2
I , x1≠x2

2)f(x)f(x
2xxf2 1 2 1 


;
b) despre funcția f spunem că este convcavă pe intervalul I dacă:
 x1, x2
I , x1≠x2

2)f(x)f(x
2xxf2 1 2 1 



Demonstrație:
a) Pentru orice x 1, x2
I, avem 1−1
2 x1+ 1
2×2 .
Deoarece f este convexă pe I și pentru t = 1
2 deducem că
f x1+ x2
2 =f 1−1
2 x1+ 1
2×2 ≤ 1−1
2 f(x1)+ 1
2f(x2)= f(x1) +f(x2)
2
b) Pentru orice x 1, x2
I, avem x1+ x2
2= 1−1
2 x1+ 1
2×2.
Deoarece f este concavă pe I și pentru t = 1
2 deducem că
f x1+x2
2 =f 1−1
2 x1+ 1
2×2 ≥ 1−1
2 f(x1)+ 1
2f(x2)= f(x1) +f(x2)
2
Interpretare grafică:
1)Graficul unei funcții convexe f se deschide în sus sau, mai neriguros, dar sugestiv,
este ca un vas care ține apă.
2) Graficul unei funcții concave f se deschide în jos sau, mai neriguros, dar su gestiv,
este ca un vas care nu ține apă.
Exemplu l 39.
39.1.Funcția f : ℝ
 ℝ, f(x) = x2 este o funcție convexă.
Din punct de vedere grafic pentru o funcție convex ă avem:

1 Johan Ludwig William Valdemar Jensen , cunoscut sub numele de Johan Jensen , (Mai 8 , 1859 – Martie 5 , 1925 ),
matematician și inginer danez, celebru pentru inegalitatea ce -i poartă numele.

34

Figura 20.

39.2 Funcția f: R
 R f(x) = – x2 este o funcție concavă.
Din punct de vedere grafic pentru o funcție concavă avem :

Figura 212.

Observația 23. Funcția de gradul al II-lea de forma f(x) = ax2+bx+c unde f : ℝ
 ℝ
este:
a. convexă pe ℝ dacă a > 0;
b. concavă pe ℝ dacă a < 0.

1.4.9 . Funcții periodice.
Definiția 16. Fie T
 ℝ* și f : D
 ℝ, unde D
 ℝ o mulțime cu proprietatea
 x
 D

x+T
 D și x -T
 D. Despre f : D
 ℝ spunem că este periodică de perioada T dacă f(x+T)=
f(x). (1)

2 http://func tiiseminarxb.wikispaces.com/file/view/func tii+notiuni+generale.docx , Funcții – noțiuni generale, p 17 –
18. x1 x2 (x1+x2)/2 A B
C
A’ C’ B’ O A’’ C’’
f(x1) f(x2)
[f(x 1) + f(x 2)] /2
f [(x 1+x2)/2]
x1 x2 (x1+x2)/2 A B
C
A’ C’ B’ O A’’ C’’
f(x1) f(x2)
[f(x 1) + f(x 2)] /2 f [(x 1+x2)/2]

35
Cel mai mic întreg pozitiv T pentru care este îndeplinită relația (1) se numește perioada
principală a lui f.
Exemplul 40 .
40.1. Funcția f : ℕ* → ℕ, f(n) = u(2n) (ultima cifră a numărului 2n) este periodică.
Avem: f(1) = 2, f(2) = 4, f(3) = 8, f(4) = 6, f(5) = 2, f(6) = 4, f(7) = 8, f(8) = 6,…
Se observă că valorile funcției se repetă din 4 în 4. Într -adevăr avem:
f(4k) = u(24k) = u(16k) = 6;
f(4k + 1) = u(24k + 1) = u(2
16k) = 2;
f(4k + 2) = u(24k + 2) = u(4
16k) = 4;
f(4k + 3) = u(24k +3) = u(8
16k) = 8;
Așadar, f(n + 4) = f(n),
n
ℕ* și T = 4
2. Funcțiile trigonometrice sinx, cosx sunt periodice de perioada principală 2

3. Funcția lui Dirichlet3 : f(x)=


QRx 0Qx1 este periodică având ca perioada orice
număr rațional.
Observația 24. Dacă funcția f : D

este o funcție periodică cu perioada T, pentru
trasarea curbei G f se va efectua trasare a acesteia pe un interval de lungime T, de exemplu [0, T] ,
după care curba obșinută se repetă pe intervalele [T(k), T(k +1)], k ∈ ℤ.

3 Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet , 1805 – 1859, matematician francez

36
CAPITOLUL II

FUNC ȚII ELEMENTARE

2.1. Funcția polinomiala
Definiția 1. Funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = a nxn+ a n-1xn-1+ a n-2xn-2+……+ a 1×1+ a 0x0 se
numește funcție polinomială de gradul n de coeficienți a i
ℝ, n
 N, an
0 și variabilă x.
Numerele a 0, a1, …, a n se numesc coeficienții funcției polinomiale, a n se numeste
coeficientul dominant, iar a nxn se numește termenul dominant.
În funcție de gradul polinomul asociat, funcția are proprietăți de monotonie,
convexitate și concavitate, bijectivitate și continuita te diferite, de aceea în prezenta lucrare, la
această secțiune voi prezenta cazul funcțiiilor de gradul I , II și funcția putere cu exponent
natural ca și cazuri particulare a funcției polinomiale.

2.1.1. Funcția liniară sau funcția de gradul I.
Definiția 2. Funcția f : ℝ → ℝ , f(x) = ax+b se numește funcție afină de coeficienți
a, b
 ℝ.
Funcția afină f : ℝ → ℝ, f(x) = ax+b, a
0, a, b
 ℝ se numește funcție de gradul I.
Dacă a
0, b
0 funcția de gradul I, f : ℝ → ℝ, f(x) = ax se numește funcție liniară.
Funcția afină f : ℝ → ℝ, f(x) = b, b
 ℝ se numește funcție constantă.
Observația 1. Pentru funcția de gradul I, ax se numește termenul de gradul întâi, iar b,
termenul liber al funcției.
Exemplu l 1.
1.1. f : ℝ → ℝ, f(x) = -3x + 5 – funcție de gradul I;
1.2. f : ℝ → ℝ, f(x) = -3 2x – funcție de gradul I liniara ;
1.3. f : ℝ → ℝ, f(x) = 4 – funcție constantă.
Tabelul 1. Proprietățile funcției de gradul I
Funcția f: ℝ → ℝ,
f(x) = ax+b unde a,b
 ℝ, a
 0
Intersecția cu axele
de coordonate Ox și Oy Gf
Ox: f(x)=0
 x=
ab
 A(
ab ,0)
 Ox
Gf
Oy: x=0
 f(0)=b
 B(0,b)
 Oy
Convexitate și concavitate Și convexă și concavă în același timp.

37
Paritate Când b = 0 funcția este impară, G f fiind simetric față de
O(0,0), în rest nu se pune problema.
Monotonia funcției a< 0 x –

ab +

f(x)=ax+b +
 ↓ ↓ ↓ 0 ↓ ↓ ↓ –


a >0 x –

ab +

f(x)=ax+b –
 ↑ ↑ ↑ 0 ↑ ↑ ↑ +

Semnul funcției x –

ab +

f(x)=ax+b Semnul opus 0 același semn
lui a cu a
Continuitate Gf este o dreaptă continuă
Bijectivitate Da

Graficul funcției de gradul I este o mulțime Gf
{(x, f(x))
x
 ℝ} = {(x, ax+b)
x
 ℝ}
Exemplu l 2. Fie funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x – 4
Gf
Ox = { A(2, 0) } și Gf
Oy = { B(0, -4) }
Figura 1.
Dacă b = 0 graficul funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = ax este o dreaptă care trece prin origine.
Exemplu l 3. Fie funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x.

38
Figura 2.
Dacă a = 0 graficul funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = b este o dreaptă c are trece prin punctul P(0, b) ș i
este paralelă cu axa Ox.
Exemplu l 4. Fie funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 2
Figura 3.
Graficul funcției f(x) = 2 este o dreaptă care trece prin punctul (0, 2) si este paralelă cu axa Ox.
Exemplu l 5. Să se alcătuiască tabelul de monotonie și tabelul de semn al funcției
f : ℝ → ℝ, f(x) = -3x+9
Monotonia funcției: a = – 3 < 0 ⇒ funcția f este strict descrescătoare pe ℝ.
x -∞ +∞
f(x) = -3x+9 -∞ ↘ +∞

Semnul funcției: f(x) = 0 are soluția x = 3.
x -∞ 3 +∞
f(x) = -3x+9 + + + + 0 – – – –

39
2.1.2. Funcția de gradul al doilea
Definiția 3. Funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = ax2+bx+c se numește funcție de gradul II de
coeficienți a,b,c
 R. cu a ≠ 0.
Exemplu l 6. (funcții de gradul al doilea).
6.1. f : ℝ → ℝ, f(x) = 2×2 + 3x – 4, a = 2, b = 3, c = -4;
6.2. f : ℝ → ℝ, f(x) = – 3×2 + x , a = – 3, b = 1, c = 0;
6.3. f : ℝ → ℝ, f(x) = -x2 +
32 , a = -1, b = 0, c =
32 ;
6.4. f : ℝ → ℝ, f(x) = 3×2, a = 3, b = 0, c = 0;
Observația 2.
2.1. Funcția de gradul al doilea este o funcție numerică deoarece domeniul și
codomeniul este ℝ.
2.2. Condiția a ≠ 0 asigură faptul că nu este o funcție afină.
2.3. Funcția de gradul al doilea este bine determinată când se cunosc coeficienții a, b, c
(a ≠ 0 ) din legea de corespondență.
Forma canonică a funcției de gradul al doilea
Fie funcția f : ℝ → ℝ, f(x)= ax2+bx+c, a,b,c
 R. cu a ≠ 0.
Expresia legii de corespondența a funcției se poate scrie astfel:
f x =a x2+b
a·x+ c
a =a x2+ 2·b
2a ·x+ b2
4a2 −b2
4a2+c
a =
=




 

22 2
4a4ac b
2abxa



 

22
4a-
2abxa , unde s –a notat
= b2 – 4ac discriminantul sau realizantul ecuației ax2+bx+c = 0 asociată funcției f.
Așadar, f x =
4aΔ
2abxa2

 formulă numită forma canonică a funcției de gradul al doilea.
Exemplu l 7. f : ℝ → ℝ, f(x) = -2×2 + x + 3, a = -2, b = 1, c = 3
= b2 – 4ac = 25
Forma canonică a funcției f este:
825
41×2 f(x)2



 =
825
41×22




40
Tabelul 2. Proprietățile funcției de gradul al doilea
Funcția f : ℝ → ℝ,
f(x) = ax2+bx+c, a,b,c
 ℝ, cu a≠ 0.
Calculul
discriminantului
∆ ∆=b2-4ac
∆ >0 ∆=0 ∆<0
Vârful
parabolei V(
4aΔ,2ab )
Dacă a > 0 ⇒ V – punct
de minim
Dacă a < 0 ⇒ V – punct
de maxim V(
,02ab )
Ox
Dacă a > 0 ⇒
V – punct de
minim
Dacă a < 0 ⇒
V – punct de
maxim V(
4aΔ,2ab )
Dacă a > 0 ⇒V – punct
de minim
Dacă a < 0 ⇒V – punct
de maxim
Intersecția cu
axele de
coordonate Gf
Ox: f(x)=0
2aΔ b
2,1x

A1(x1,0) și A 2(x2,0)
 Ox
Gf
Oy: x=0
 f(0)=c

C(0,c)
 Oy Gf
Ox:
A1=A 2=
V(
,02ab )
Ox
Gf
Oy: x=0

f(0)=c

C(0,c)
 Oy Gf
Ox = ∅
Gf nu intersecteaza axa
Ox

Gf
Oy: x=0
 f(0)=c

C(0, c)
 Oy
Simetria
graficului G f x =
2ab axa de simetrie a
Gf
x =
2ab axa
de simetrie a G f x =
2ab axa de
simetrie a G f

Convexitate și
concavitate Dacă a > 0, aspectul este convex.
Dacă a < 0, aspectul este concav.
Monotonia
funcției de
gradul II a > 0 x –

2ab +

f(x) +
 ↓ ↓
4aΔ ↑ ↑ +

a < 0 x –

2ab +

f(x) +
 ↑ ↑
4aΔ ↓ ↓ +


41
Semnul funcției x –
 x1 x2 +
 x –
x1 = x 2 +
 x –
 +

f(x) sgn(a)0 –sgn(a)0 sgn(a) f(x) sgn(a) 0 sgn(a) f(x) sgn(a)
Bijectivitate NU
Continuitate Gf este o curbă continuă numită parabolă

Exemplu l 8. Reprezentați grafic funcțiile:
a) f : ℝ → ℝ, f(x) = x2 – 5x + 4
x -∞ 0 1 5
2 4 +∞
f(x) ↘ 4 ↘ 0 ↘ −9
4 ↗ 0 ↗
minim
Figura 4.
b) g : ℝ → ℝ, g(x)= – x2 + 4x – 4

x -∞ 0 2 3 +∞
f(x) ↗ -4 ↗ 0 ↘ -1 ↘
maxim

42
Figura 5.
Exemplu l 9. Stabili ți semnul funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = x2 – 3x + 2
Cum ∆ =9−8=1 atunci ecua ția x2 – 3x + 2 = 0 are rădăcini reale distinct e.
Acestea sunt x1 =1 și x2 =2
Tabelul semnului funcției este următorul:
x -∞ 1 2 +∞
f(x) ++++++++ 0 – – – – – – – – – – – – 0 +++++++++++

Relațiile lui Viéte4
Dacă x1, x2 sunt soluțiile ecuației ax2+bx+c=0, atunci notăm cu S = x 1 + x 2 = ‒
ab și
P = x 1∙ x2 =
ac
Exemplu l 10. Să se determine m ∈ R, știind că soluțiile x1, x2 ale ecuației
x2-(2m+1)x+3m =0 verifică relația x1+x2+x1·x2=11.
Din relațiile lui Viéte avem
x1 + x2 =2m +1
x1 ∙ x2 =3m ⇒ 2m + 1+ 3m = 11 ⇒ 5m = 10 ⇒ m = 2.

2.1.3. Funcția putere cu exponent natural
Definiția 4 . Fie n un număr natural nenul. Funcția f : ℝ → ℝ, f (x) = xn se numește
funcție putere cu exponent natural.
Observația 3.
3.1. Funcția putere este o funcție numerică.

4 François Viète ,1540 -1603 , a fost un matematician francez

43
3.2. Pentru n
1 se obține funcția de gradul întâi f(x) = x, iar pentru n = 2 se obține
funcția de gradul al doilea f(x) = x2.
Exemplu l 11.
11.1. Funcția f : ℝ → ℝ, f (x) = x5, este funcție putere cu exponent 5 (impar).
11.2. Funcția f : ℝ → ℝ, f (x) = x6, este funcție putere cu exponent 6 (par).
Tabelul 3. Proprietățile funcției putere cu exponent natural
Funcția
f: ℝ → ℝ, f(x)=x2k, n = 2k
n
 ℕ*(exponent par) f: ℝ → ℝ, f(x)=x2k+1,
n=2k + 1
n
 ℕ* (exponent impar)
Intersecția cu axele
de coordonate Ox și
Oy O(0,0) O(0,0)
Paritate f(-x) = f(x) funcție pară f(-x )= -f(x) funcție impară
Simetria graficului G f Gf simetric față de Oy Gf simetric față de O
Convexitate și
concavitate Convexă pe R Concavă pe ( –
,0)
Convexă pe [0,+
 )
O(0,0) punct de inflexiune
Puncte remarcabile pe
graficul funcției (-1,1), (0,0), (1,1) (-1,-1), (0,0), (1,1)
Ordonarea puterilor
pe
(0,1) și (1, +
) Pentru 0< x < 1
 xn+1 < xn
Pentru x > 1
 xn+1 > xn Pentru 0< x < 1
 xn+1 < xn
Pentru x > 1
 xn+1 > xn
Monotonia funcției x –
 -1 0 1 +
 x –
 -1 0 1 +

x2k +
↓ 1 ↓ 0 ↑ 1 ↑ +
 x2k+1 +
↑ -1 ↑ 0 ↓ 1 ↓ +

Strict descrescătoare pe ( –
,0)
Strict crescătoare pe [0,+
 )
(0,0) punct de minim Strict crescătoare pe R
(0,0) punct de inflexiune
Semnul funcției x –
 0 +
 x –
 0 +

x2k +
 + + + + 0 + + + +
 x2k+1 +
 – – – – 0 + + + +

Bijectivitate Nu Este bijectivă pe ℝ*
Continuitate Gf este o curbă continuă Gf este o curbă continuă

44
Exemplu l 12. Reprezentați grafic funcțiile:
12.1. f : ℝ → ℝ, f(x) = x4
Figura 6.
12.2. f : ℝ → ℝ, f(x) = x3
Figura 7.
Observația 4. Graficul funcției f(x)=x2k are o comportare asemănătoare cu graficul
funcției f(x) = x4 și graficul funcției f(x)=x2k+1 are are o comportare asemănătoare cu graficul
funcției f(x) = x3.

45
2.2. Funcția putere cu exponent număr întreg negativ.
Definiția 5. Funcția f: ℝ → ℝ, f(x)=x-n cu n
 ℕ* se numește funcție putere cu exponent
număr întreg negativ.
Tabelul 4. Proprietățile funcției putere cu exponent număr întreg negativ
Funcția f: ℝ* → ℝ*, f(x)=
2kx1 , n = -2k
n
 ℕ* f: ℝ* → ℝ*, f(x)=
12kx1
 ,
n = -(2k + 1), n
 ℕ*
Intersecția cu axele
de coordonate Ox și
Oy Nu taie axele de coordonate Nu taie axele de coordonate
Paritate f(-x) = f(x) funcție pară f(-x) = -f(x) funcție impară
Simetria graficului G f Gf simetric față de Oy Gf simetric față de O
Convexitate și
concavitate Convexă pe ℝ* Concavă pe ( –
,0)
Convexă pe [0,+
 )
O(0,0) punct de inflexiune
Puncte remarcabile
pe
graficul funcției (-1,1), (1,1) (-1,-1), (1,1)
Comportament
asimptotic x=0 asimptotă verticală
y=0 asimptotă orizontală x=0 asimptotă verticală
y=0 asimptotă orizontală
Ordonarea puterilor
pe
(0,1) și (1, +
) Pentru 0< x < 1
 xn+1 < xn

n 1nx1
x1
Pentru x > 1
 xn+1 > xn

n 1nx1
x1
Monotonia funcției x –
 -1 0 1 +
 x –
 -1 0 1 +

2kx1
0 ↑ 1 ↑+
│+
↓1 ↓ 0
12kx1
 0 ↓-1 ↓ –
│+
↓1 ↓ 0
Strict crescătoare pe ( –
,0)
Strict descrescătoare pe [0,+
 ) Strict descrescătoare pe ℝ*

Semnul funcției x –
 0 +
 x –
 0 +

2kx1
+
 + + │ + + +

12kx1
 +
 – – – │ + + +

Continuitate Gf este o curbă continuă pe
(-
,0) și pe (0,+
 ) Gf este o curbă continuă pe
(-
,0) și pe (0,+
 )
Bijectivitate Nu Da

46

Exemplu l 13. Reprezentați grafic funcțiile:
13.1. f : ℝ* → ℝ, f (x) = x-1
Figura 8.
Acest grafic se numește hiperbolă. El este construit din două ramuri simetrice față de
originea axelor (deoarece funcția f (x) = x-1 este o funcție impară).
13.2. f : ℝ* → ℝ, f (x) = x-2
Figura 9.
Acest grafic este construit din două ramuri simertice față de a xa Oy (deoarece funcția f
(x) = x-2 este o funcție pară) situate deasupra axei Ox.

47
2.3. Funcția radical de ordinul n.
Definiția 6.
a) Funcția f: [0,+
 ) → [0,+
 ), f(x) =
n2x n
ℕ*, se numește funcția radical de ordin
par.
b) Funcția f: ℝ → ℝ, f(x)=
12nx , n
ℕ*, se numește funcția radical de ordin impar.
Observația 5.
5.1. Nu se definește
2nx pentru x <0 deoarece x2n ≥0, ∀ x ∈ℝ . Astfel,
n2x are
sens numai pentru x ≥ 0.
Deși 22 = 4 și (-2)2 = 4, avem 4 = 2. A scrie (−2)2 = -2 este o gre șeală!
5.2.
12nx are sens pentu orice x ∈ℝ.
Exemplu l 14.
14.1. Funcția f: [0,+
 ) → [0,+
 ), f(x) = x4, se numește funcție radical de ordin par.
14.2. Funcția f: ℝ → ℝ, f(x) = 𝑥5 se numește funcție radical de ordin impar.
Tabelul 5. Proprietățile funcției radical de ordinul n
Funcția f: [0,+
 ) → [0,+
 ),
f(x)=
2nx , n
 ℕ* f: ℝ → ℝ,
f(x)=
12nx , n
 ℕ*
Intersecția cu axele
de coordonate Ox
și Oy O(0,0) O(0,0)
Paritate Nu f(-x) = -f(x) funcție impară
Simetria
graficului G f Nu Gf simetric față de O
Convexitate
și concavitate Concavă pe [0,+
 ) Convexă pe ( –
,0]
Concavă pe [0,+
 )
Puncte
remarcabile pe
graficul funcției (0,0), (1,1) (-1,-1), (0,0), (1,1)
Monotonia funcției x 0 1 +
 x –
 -1 0 1 +

2nx
0 ↑ ↑ 1 ↑ ↑ +

12nx –
↑ – 1 ↑ 0 ↑ 1 ↑ +

Strict crescătoare pe [0,+
 ) Strict crescătoare pe ℝ
Semnul funcției x 0 +
 x –
 0 +

2nx
0 + + + + + + +

12nx –
 – – – – 0 + + + +


48

Continuitate Gf este o curbă continuă Gf este o curbă continuă
Bijectivitate Da Da
Funcția inversă f-1: [0,+
 ) → [0,+
 ),
f-1(x) = x2n f: ℝ → ℝ,
f-1(x) = x2n+1

Exemplu l 15. Reprezentați grafic funcțiile:
15.1. f: [0,+
 ) → [0,+
 ), f(x) = x
Figura 10.
15.2. f: ℝ → ℝ, f(x) = x3
Figura 11.
Observa ția 6. Graficul funcției radical și graficul funcției putere cu exponent natural
(inversa sa) sunt simetrice față de prima bisectoare.

Figura12. Figura 13.

49
2.4. Funcția putere cu exponent rațional.
Definiția 7. Funcția f : (0, +
 ) → (0, +
 ), f(x) = xm
n = xmn unde m
 ℤ, n
 ℕ* cu n
≥ 2, se numește funcția putere cu exponent rațional.
Observația 7.
7.1. Dacă m, n ≥ 2 atunci are sens xm
n = xmn
 x > 0, în acest caz proprietăți
asemănătoare cu a funcției putere cu exponent natural.
7.2. Dacă m = 1 atunci se obține funcția radical de ordinul n.
7.3. Dacă m < 0 în acest caz funcția manifestă proprietăți asemănătoare cu a funcției cu
exponent întreg negativ.
7.4. Funcția f este inversabilă , inversa sa fiind f-1 : (0, +
 ) → (0, +
 ), f(x) = xn
m.
Exemplu l 16. Reprezentați grafic funcțiile:
16.1. f : (0, +
 ) → (0, +
 ), f(x) = x 3
2
Figura 14.
16.2. f : (0, +
 ) → (0, +
 ), f(x) = 𝐱−𝟑
𝟐
Figura 15
Concluzie: Dacă m
n este pozitiv, atunci funcția f este strict crescătoare și dacă m
n este
negativ, atunci funcția f este strict descrescătoare.

50
2.5. Funcția exponențială.
Fie a > 0. Fiec ărui număr real x i se asociază un unic număr ax ∈ (0, +∞).
Definiția 8. Fie a > 0, a ≠ 1. Funcția f: ℝ → (0, +
 ),definită prin formula f(x) = ax, se
numește funcție exponențială de bază a.
Observația 8. Cazul a = 1 conduce la o funcție constantă.
De aceea de regulă presupunem a ≠ 1.
Exemplu l 17.
17.1. Funcția f: ℝ → (0, +
 ), f(x) = 3x este funcție exponențială de bază supraunitară
3.
17.2. Funcția f: ℝ → (0, +
 ), f(x) = 1
3 x
este funcție exponențială de bază subunitară
1
3.
Studiul funcției se face pentru două cazuri, în func ție de baza a.
Tabelul 6. Proprietățile funcției exponențiale
Funcția f: ℝ → (0,+
 ),f(x) = ax
0 < a < 1 f: ℝ → (0,+
 ),f(x) = ax
a > 1
Intersecția cu axele de
coordonate Gf
Ox = Ø
Gf
Oy = A(0,1) Gf
Ox = Ø
Gf
Oy = A(0,1)
Semnul funcției ax > 0,
 x
 ℝ ax > 0,
 x
 ℝ
Convexitate și concavitate Convexă Convexă
Monotonie Strict descrescătoare Strict crescătoare
Comportament asimptotic y = 0 asimptotă orizontală
la
 y = 0 asimptotă orizontală
la

Continuitate Gf este o curbă continuă Gf este o curbă continuă
Bijectivitate Da Da
Funcția inversă f-1: (0, +
) → ℝ; 0 < a < 1
f-1 (x)= log a x f-1: (0, +
) → ℝ; a > 1
f-1 (x)= log a x

Exemplu l 18. Reprezentați grafic funcțiile:
18.1. Funcția f: ℝ → (0, +
 ), f(x) = 2x

51
Figura 16.
În general, dacă a > 0, graficul funcției exponențiale cu baza a este similar celui f(x) = 2x.
18.2. Funcția f: ℝ → (0, +
 ), f(x) = 1
2 𝑥

Figura 17 .
În general, dacă 0 <a < 1, graficul funcției exponențiale cu baza a este similar celui f(x) = 1
2 x
.
Observația 9. Graficul funcției exponențiale este din ce în ce mai “apropiat” de axele Ox
și Oy cu cât a este mai mare, dacă a > 0, sau cu cât a este mai mic, dacă 0 < a < 1.

2.6. Funcția logaritmică.
Fie a > 0. Noțiune de logaritm ne permite să asociem fiecărui număr real strict pozitiv x
numărul real unic log a x.
Definiția 9. Fie a > 0, a ≠ 1. Funcția f : (0, +
) → ℝ definită prin formula f(x) = log a x,
se numește funcție logaritmică în baza a.
Exemplu l 19.

52
19.1. Funcția f: (0, +
) →ℝ, f(x) = log 3 x, este funcție logaritmică de bază supraunitară
3.
19.2. Funcția f : (0, +
) → ℝ, f(x) = log 1
3 x, este funcție logaritmică de bază subunitară
1
3.
Tabelul 7. Proprietățile funcției logaritmice
Funcția f : (0, +
) → ℝ; 0 < a < 1
f(x)= log a x f : (0, +
) → ℝ; a > 1
f(x)= log a x
Intersecția cu axele de
coordonate Gf
Ox: f(x)=0
 x=1

A(1,0)
 Ox
Gf nu taie axa Oy Gf
Ox: f(x) = 0
 x=1

A(1,0)
 Ox
Gf nu taie axa Oy
Convexitate și concavitate Convexă Concavă
Monotonie Strict descrescătoare Strict crescătoare
Semnul funcției
logaritmice x 0 1
 x 0 1

log a x
 – – 0 + +
 log a x
 + + 0 – –

Bijectivitate Da Da
Funcția inversă f-1: ℝ → (0, +
)
f-1(x) = ax cu 0 < a < 1 f-1: ℝ → (0, +
)
f-1(x) = ax cu a > 1
Comportament asimptotic Axa Oy este asimptotă
verticală la
 Axa Oy este asimptotă
verticală la

Observația 10. Funcția logaritmică este inversa funcției exponențiale și graficul funcției
logaritmice este simetricul față de prima bisectoare al graficului funcției exponențiale.

Figura 18. Figura 19.
Exemplu l 20. Reprezentați grafic funcțiile:

53
20.1. Funcția f : (0, +
) → ℝ, f(x) = log 2 x.
Figura 20.
În general, dacă a > 0, graficul funcției logaritmice cu baza a este similar celui f(x) = log 2 x.
20.2. Funcția f : (0, +
) → ℝ, f(x) = log 1
2 x
Figura 21.
În general, dacă 0 < a < 1, graficul funcției logaritmice cu baza a este similar celui f(x) = log 1
2 x.
Observația 11. Graficul funcției logaritmice este din ce în ce mai “apropiat” de axele Ox
și Oy cu cât a este mai mare, dacă a > 0, sau cu c ât a este mai mic, dacă 0 < a < 1.

2.7. Funcții trigonometrice directe.

2.7.1. Funcția sinus.
Definiția 10. Funcția f: ℝ → [-1;1] desris ă de forma analitică f(x)=sin x se numește
funcția sinus. Asociaz ă oricărui număr x ∈ℝ numărul sin x ∈[−1;1] .
Tabelul 8. Proprietățile funcției sinus
Proprietăți pe ℝ
Intersecția graficului cu
axele de coordonate Gf
Ox: f(x)=0
 x=k𝜋
Bk(k𝜋,0)
 Ox

54
Gf
Oy: f(0)=0
 O(0,0)
 Oy
Paritate Impară: sin( -x) = -sin x
Periodicitate Este periodică, având perioada principală 2 𝜋:
sin(x + 2𝜋) = sin x,
x ∈ℝ
sin(x + 2𝑘𝜋) = sin x, ∀ x ∈ℝ și ∀ k ∈ℤ*
Simetria graficului Gf simetric în raport cu O(0,0)
Monotonia funcției
– f strict crescătoare
– f strict descrescătoare Nu este monotonă pe ℝ. Admite restricții strict monotone
k
∈ℤ, restricția funcției la intervalul

 k k 22,22
– este strict crescătoare.

 k k 223,22
– este strict descrescătoare.
Mărginire.
Valori extreme Funcție mărginită
-1≤ f(x) ≤ 1
Max f(x)=1=f( 𝜋
2+2k𝜋)
Min f(x)= -1= f(3𝜋
2+2k𝜋)
Convexitate și
Concavitate -concavă pe
  )12(,2k k
-convexă pe
  )1(2,)12(  k k
x=𝜋+2k𝜋 puncte de inflexiune
Continuitate Continuă
Rezolvarea ecuației x 1,k=2k𝜋 și x 2,k=𝜋+2k𝜋
Semnul funcției sinx >0 pentru x є (2k 𝜋, 𝜋+2k𝜋)
sinx <0 pentru x є (𝜋+2k𝜋,2𝜋+2k𝜋)
Bijectivitate Nu
Restricții bijective

 k k 22,22

Graficul funcției sinus este o curbă numită sinusoidă.

55
Figura 22.
2.7.2. Funcția cosinus.
Definiția 11. Funcția f : ℝ → [-1;1] desris ă de forma analitică f(x) = cos x se numește
funcția cosinus. Asociaz ă oricărui număr x ∈ℝ numărul cos x ∈[−1;1] .
Tabelul 9. Proprietățile funcției cosinus
Proprietăți pe ℝ
Intersecția graficului
cu axele de coordonate Gf
Ox: f(x) = 0
 x1 = 𝜋
2+k𝜋 și B k(𝜋
2+k𝜋,0)
Ck( 3𝜋
2+k𝜋,0)
 Ox
Gf
Oy: f(0)=1
 A(0, 1)
 Oy
Paritate Pară: cos( -x) = cos x
Periodicitate Este periodică, având perioada principală 2 𝜋:
cos(x + 2𝜋) = cos x,
x ∈ℝ
cos(x + 2𝑘𝜋) = cos x, ∀ x ∈ℝ și ∀ k ∈ℤ*
Simetria graficului Gf simetric în raport cu axa Oy
Monotonia funcției
– f strict crescătoare
– f strict descrescătoare Nu este monotonă pe ℝ. Admite restricții strict monotone
k
∈ℤ, restricția funcției la intervalul
  k k 2,2
– este strict descrescătoare .
  k k 2 2,2
– este strict crescătoare .
Mărginire.
Valori extreme Funcție mărginită
-1≤ f(x) ≤ 1
Max f(x) =1=f(2k 𝜋)
Min f(x) = -1= f(𝜋 +2k𝜋)

56
Convexitate și
Concavitate -concavă pe

 k k 22,22
-convexă pe

 k k 223,22
Continuitate Continuă
Rezolvarea ecuației x 1,k= 𝜋
2+k𝜋 și x 2,k= 3𝜋
2+k𝜋
Semnul funcției cosx >0 pentru x є


 k k 22,22
cosx <0 pentru x є


 k k 223,22
Bijectivitate Nu
Restricții bijective
  k k 2,2

Graficul funcției cosinus este:
Figura 23.

2.7.3. Funcția tangentă.
Definiție 12. Funcția f : ℝ-

 Zk k ;2)12(
 ℝ, descrisă de f(x) =
xcossin x se
numește funcția tangentă.
Asociaz ă oricărui număr x ∈ℝ−

 Zk k ;2)12( numărul tg x ∈ℝ.
Tabelul 10. Proprietățile funcției tangentă

57
Proprietăți pe D
Intersecția graficului cu
axele de coordonate Gf
Ox: f(x)=0
 x = k𝜋
Bk(k𝜋,0)
 Ox
Gf
Oy: f(0)=0
 O(0,0)
 Oy
Paritate Impară: tg( -x) = -tg x
Periodicitate Este periodică, având perioada principală 𝜋:
tg(x + 𝜋) = tg x,
x ∈ℝ-

 Zk k ;2)12(
tg(x + k′𝜋) = tg x,
∀ x ∈ℝ−

 Zk k ;2)12( și ∀ k’ ∈ℤ*
Simetria graficului Gf simetric în raport cu O(0,0)
Monotonia funcției
– f strict crescăroare
– f strict descrescătoare Nu este monotonă pe tot domeniul, dar pentru orice k ∈ℤ,
restricția funcției la intervalul


 k k2,2 este strict
crescătoare.

Mărginire.
Valori extreme Funcție nemărginită
x=
212k asimptote verticale
Convexitate și
Concavitate -concavă pe

 kk,2
-convexă pe


 k k2,
x=k𝜋 puncte de inflexiune
Continuitate Curbă discontinuă
Rezolvarea ecuației x k=k𝜋
Semnul funcției tgx < 0 pentru x

 kk,2
tgx > 0 pentru x


 k k2,
Bijectivitate Nu
Restricții bijective


 k k 22,22

58

Graficul funcției tangentă este:

Figura 24.

2.7.4. Funcția cotangentă.
Definiția 13. Funcția f: ℝ-
Zkk;(
 R, descrisă de f(x)=
sin x xcos se numește funcția
cotangentă. Asociaz ă oricărui număr x ∈ℝ−
Zkk;( numărul ctg x ∈ℝ.
Tabelul 11. Proprietățile funcției cotangentă
Proprietăți pe D
Intersecția graficului
cu axele de coordonate Gf
Ox: f(x)=0
 x= 𝜋
2+k𝜋
Bk(𝜋
2 +k𝜋,0)
 Ox
Gf
Oy: Nu avem punct de intersecție cu Oy
Paritate Impară: ctg( -x) = -ctg x
Periodicitate Este periodică, având perioada principală 𝜋:
ctg(x + 𝜋) = ctg x,
x ∈ℝ-
Zkk;(
ctg(x + k′𝜋) = ctg x,
∀ x ∈ℝ−
Zkk;( și ∀ k’ ∈ℤ*
Simetria graficului Gf simetric în raport cu O(0,0)
Monotonia funcției
– f strict crescăroare
– f strict descrescătoare Nu este monotonă pe tot domeniul, dar pentru orice k ∈ℤ,
restricția funcției la intervalul
 k k, este strict
descrescătoare.

59
Mărginire.
Valori extreme Funcție nemărginită
x= k𝜋 asimptote verticale
Convexitate și
Concavitate -concavă pe


 k k2,
-convexă pe

 k k,2
x= 𝜋
2+k𝜋 puncte de inflexiune
Continuitate Curbă discontinuă
Rezolvarea ecuației xk= 𝜋
2+k𝜋
Semnul funcției ctgx >0 pentru x



 k k2,
ctgx <0 pentru x


 k k,2
Bijectivitate Nu
Restricții bijective
 k,k

Graficul funcției cotangentă este:

Figura 25.

2.8. Funcții trigonometrice inverse

2.8.1. Funcția arcsinus.
Fie funcția f :
1,12,2
 , definită prin f(x) = sin x.
Deoarece f

2,2 = [-1, 1] atunci f este surjectiv ă și, în plus, funcția f este strict
crescătoare; în consecinț ă f este o funcție bijectivă, deci inversabilă.

60
Definiția 14. Inversa funcție sin x :
1,12π,2π
 se numește arcsinus și se notează
arcsin.
arcsin x :

2π,2π1,1
sin x = y ⇔ x = arcsin y,
x


2π,2π
sin(arcsin x) = x, ,
x
[-1, 1]
arcsin(sin x) = x,
x


2π,2π
Tabelul 12. Proprietățile funcției arcsinus
Proprietăți
1,1
Intersecția graficului cu axele
de coordonate Gf
Ox: f(x)=0
 x= 0
 O(0,0)
 Ox
Gf
Oy: f(0)=0
 arcsin 0 = 0
 O(0,0)
 Oy
Paritate Impară: arcsin( -x) = – arcsin x
Simetria graficului În raport cu O(0,0)
Monotonia funcției
– f strict crescăroare
– f strict descrescătoare
– f este strict crescătoare pe
1,1 .
Mărginire.
Valori extreme Funcție mărginită
2arcsin2  x

Min f(x)=
2 , Max f(x)=
2
Convexitate și
Concavitate -convexă pe [0,1]
-concavă pe [ -1,0]
x=0 punct de inflexiune
Continuitate Continuă
Rezolvarea ecuației arcsinx= 0
 x= 0
Semnul funcției arcsinx
 0 pentru x

0,1
arcsinx
 0 pentru x

1,0
Bijectivitate Da

61
Funcția inversă sinx:
1,12,2


Graficul funcției arcsinus este:
Figura 26.
Observația 12 . Graficele funcțiilor arcsin x și sin x sunt simetrice față de prima
bisectoare.

2.8.2. Funcția arccosinus.
Fie funcția f :
1,1 ,0 , definită prin f(x) = cos x.
Deoarece f
,0 = [-1,1] atunci f este surjectiv ă și, în plus, funcția f este str ict
descrescătoare; în consecinț ă f este o funcție bijectivă, deci inversabilă.
Definiția 15 . Inversa funcție cos x :
1,1 ,0 se numește arccosinus și se notează
arccos.
arccos x:
,0 1,1
cos x = y ⇔ x = arccos y,
x

,0
cos(arccos x) = x, ,
x
[-1,1]
arccos(cos x) = x,
x

,0
Tabelul 13. Proprietățile funcției arccosinus
Proprietăți
1,1
Intersecția graficului cu axele de
coordonate Gf
Ox: f(x) = 0
 x= 1
 A(1,0)
 Ox
Gf
Oy: f(0)=0
 arccos 0=
2
 B(0,
2)
 Oy

62
Paritate Nu, deoarece intervalul
,0 nu este simetric
Simetria graficului În raport cu B( 0,
2)
 Oy
Monotonia funcției
– f strict crescăroare
– f strict descrescătoare
– f este strict descrescătoare pe
1,1 .
Mărginire.
Valori extreme Funcție mărginită
 x arccos0

Min f(x)= 0, Max f(x)=

Convexitate și
Concavitate -concavă pe [0,1]
-convexă pe [ -1,0]
x=0 punct de inflexiune
Continuitate Continuă
Rezolvarea ecuației arccosx= 0
 x= 1
Semnul funcției arccos
 0 pentru x
 [-1,1]
Bijectivitate Da
Funcția inversă cosx:
1,1 ,0

Graficul funcției arccosinus este:
Figura 27.
Observa ția 13. Graficele funcțiilor arccosx și cosx sunt simetrice față de prima
bisectoare.

63
2.8.3. Funcția arctangentă.
Fie funcția f:


2,2 ℝ, definită prin f(x) = tg x.
Deoarece f


2,2 = ℝ atunci f este surjectiv ă și, în plus, funcția f este strict
crescătoare; în consecinț ă f este o funcție bijectivă, deci inversabilă.
Definiția 16. Inversa funcție tg x :


2π,2π ℝ se numește arctangentă și se notează
arctg.
arctg x : ℝ


2π,2π
tg x = y ⇔ x = arctg y,
x



2π,2π
tg(arctg x) = x, ,
x
ℝ
arctg(tg x) = x,
x



2π,2π
Tabelul 14. Proprietățile funcției arctangentă
Proprietăți ℝ
Intersecția graficului cu axele
de coordonate Gf
Ox: f(x) = 0
 x= 0
 O(0,0)
 Ox
Gf
Oy: f(0)=0
 arctg0= 0
 O(0,0)
 Oy
Paritate Impară: arctg( -x) = – arctg x
Simetria graficului În raport cu O(0,0)
Monotonia funcției
– f strict crescăroare
– f strict descrescătoare
– f este strict crescătoare pe ℝ
Mărginire.
Valori extreme Funcție mărginită
2 2  arctgx

x=
2 asimptotă verticală la +

x=-
2 asimptotă verticală la –


64
Convexitate și
Concavitate -convexă pe (-
,0]
-concavă pe [ 0, +
 )
x=0 punct de inflexiune
Continuitate Continuă
Rezolvarea ecuației arctgx= 0
 x= 0
Semnul funcției arctgx < 0 pentru x
 (-
,0)
arctgx > 0 pentru x
 (0,
 )
Bijectivitate Da
Funcția inversă tg x:


2π,2π ℝ

Graficul funcției arctangentă este:
Figura 28.
Observa ția 14. Graficele funcțiilor arctg x și tg x sunt simetrice față de prima
bisectoare.
2.8.4. Funcția arccotangentă.
Fie funcția f :
,0 ℝ, definită prin f(x) = ctg x.
Deoarece f
,0 = ℝ atunci f este surjectiv ă și, în plus, funcția f este str ict
descrescătoare; în consecinț ă f este o funcție bijectivă, deci inversabilă.
Definiția 17. Inversa funcție ctg:
,0 ℝ se numește arccotangentă și se notează
arcctg.

65
arcctg x : ℝ
,0
ctg x = y ⇔ x = arcctg y,
x

π0,
ctg(arcctg x) = x, ,
x
ℝ
arcctg(ctg x) = x,
x

π0,
Tabelul 15. Proprietățile funcției arccotangentă
Proprietăți ℝ
Intersecția graficului cu axele de
coordonate Gf
Ox: Graficul nu taie axa Ox
Gf
Oy: f(0)=
2
 A(0,
2 )
 Oy
Paritate Nu, deoarece intervalul
,0 nu este simetric
Simetria graficului În raport cu A(0,
2 )
 Oy
Monotonia funcției
– f strict crescăroare
– f strict descrescătoare
– f este strict descrescătoare pe ℝ
Mărginire.
Valori extreme Funcție mărginită
arcctgx0

y=0 asimptotă orizontală la +

y=
 asimptotă orizontală la –

Convexitate și
Concavitate -concavă pe (-
,0]
-convexă pe [ 0, +
 )
x=0 punct de inflexiune
Continuitate Continuă
Rezolvarea ecuației arcctgx = 0 nu are soluție
Semnul funcției arcctgx > 0 pentru x
 ℝ
Bijectivitate Da
Funcția inversă ctg x:
,0 ℝ

Graficul funcției arccotangentă este:

66
Figura 29.

Observa ția 15. Graficele funcțiilor arcctgx și ctgx sunt simetrice față de prima
bisectoare.

2.9. Funcții speciale.

2.9.1. Funcția modul sau valoare absolută
Definiția 18. Fie x ∈ ℝ. Numărul real notat x , egal cu x = x, dacă x>0
0,dacă x=0
–x, dacă x<0 se
numește modulul numărului real x sau valoarea absolută a numărului real x.
Exemplu l 21.
21.1. 9 = 9;
21.2. −9 = -(-9);
21.3. 0 = 0.
Definiția 19. Funcția f : ℝ

,0 descrisă de f(x) = x = x, dacă x>0
0,dacă x=0
–x, dacă x<0 se
numește funcție modul sau funcție valoare absolută.
Exemplu l 22. f(x) = x−2 = x−2, dacă x>2
0,dacă x=2
2 –x, dacă x<2
Proprietăți:
1.
x
0
x ∈ ℝ;

67
2.
x = 0
 x=0;
3. x = − x ,
x ∈ ℝ
4. Dacă x, y
 ℝ atunci
yxyx ;
5 Dacă x, y
 ℝ atunci
yxyx ;.
6. Dacă x,y
 ℝ atunci
y*xy*x ;
7. Dacă x,y
 ℝ atunci
yx
yx pentru
0y
Graficul funcției modul f(x) = x este:
Figura 30.
Observația 16 . Deoarece funcția modul este o funcție pară, ramura graficului pentru
x ≤ 0 este simetrică celei pentru x ≥ 0 în raport cu axa Oy.
Exemplu l 23. Graficul funcției modul f(x) = x−2 este:
Figura 31.

68
2.9.2. Funcția caracteristică a unei mulțimi.
Definiția 20 . Funcția f : A
 {0,1} descrisă de fA x =
AA
xx


01 se numește funcție
caracteristică mulțimii A.
Proprietăti:
1. A = B ⇔ fA x = fB x ;
2. fA∩B x
fA x ∙ fB x ;
3. fA∪B x
fA x + fB x – fA x ∙ fB x ;
4. fA−B x
fA x − fA x ∙ fB x ;
Amintim aici funcția lui Dirichlet f(x)=


QRxQx
01 este periodică având ca
perioada orice număr rațional (sau funcția caracteristică a mulțimii Q care este o funcție pară,
mărginită, surjectivă).

2.9.3. Funcția parte întreagă, funcția parte fracționară.
Definiția 21. Se numește funcție parte întreagă funcția f: ℝ
 ℤ, care asociază orcărui
număr real x pe cel mai mare număr întreg mai mic sau egal cu x.
Funcție parte întreagă f: ℝ
 ℤ este dată prin relația f(x)=[x] unde [x] se citeste parte
întreagă a lui x.
Definiția 22. Funcția f: ℝ
 [0, 1) dată de legea f(x)= x – [x] unde [x] reprezintă cel mai
mare întreg ma i mic decât x, se numește funcție parte fracționară și se notează {x}.
Proprietăți ale funcției parte întreagă:
1. [x]
x < [x] + 1, ∀ x ∈ ℝ;
2. x = [x] + {x}, ∀ x ∈ ℝ;
3. {x}
[0, 1), ∀ x ∈ ℝ;
4. [x + n] = [x] + n, ∀ x ∈ ℝ, n ∈ ℤ;
5. {x + n} = {x}, ∀ x ∈ ℝ, n ∈ ℤ;
6. [x + y]
[x] + [y], ∀ x,y ∈ ℝ
7. x+ 1
2 ≥ [2x] – [x], ∀ x ∈ ℝ;
Exemplu l 24.
24.1. [1,998] = 1; {1,998} = 1,998 – [1,998] = 0,998.
24.2. [-2,576] = -3; {-2,576} = -2,576 – [2,576] = – 2,576 + 3 = 0,424.

69
2.9.4. Funcția signum.
Definiția 23. Funcția f : ℝ
 {-1,0,1} descrisă de sgn x = 1, pentru x>0
0, pentru x=0
−1, pentru x<0 se
numește funcție signum (indicator de semn).
Proprietăți:
1. Funcția signum este surjectivă dar nu este injectivă;
2. Funcția signum impară: sgn( -x) = -1 = – sgn(x);
3. Pentru orice (x, y )
ℝ ⨯ ℝ avem: sgn(x ⦁ y)=sgn(x) ⦁sgn(y).

2.9.5. Funcția max {x, y} și funcția min {x,y}
Definiția 24. Funcția f : ℝ ⨯ ℝ → ℝ, definită prin f(x, y) = x, dacă x≥y
y, dacă x<𝑦 se numește
funcție maximum dintre x și y și se notează f(x, y) = max{x,y}.
Altfel spus, funcția max se mai scrie f(x, y) = x+y+ x−y
2.
Definiția 25. Funcția f : ℝ ⨯ ℝ → ℝ, definită prin f(x, y) = x, dacă x≤y
y, dacă x>𝑦 se numește
funcție minimum dintr e x și y și se notează f(x, y) = min{x,y}.
Observa ția 17.
17.1. Funcțiile max și min nu sunt injective.
Exemplu l 25. max {2, 3} = max{1, 3} dar {1, 3}
{2, 3}.
17.2. Funcțiile max și min sunt surjective.
Exemplu l 26. Pentru orice a
ℝ luăm a – 𝜀, 𝜀 >0 și avem max{(a – 𝜀, a)} = a.
De asemenea, min{(a + 𝜀, a)} = a.

70
CAPITOLUL III

APLICA ȚII

3.1. Aplicații date la olimpiade și concursuri școlare
1.Să se arate ca funcțiile f(x)
x+2 x−1 + x−2 x−1, dacă x ≥ 1
g(x) = 2,dacă 1≤x ≤2
2 x−1,dacă x>2
sunt egale.
Rezolvare :Vom scrie funcția f astfel f(x) = (1+ x−1)2 + (1− x−1 )2 =
= 1+ x−1 + 1− x−1 = 1+ x−1 + 1− x−1 .
Dacă 1≤x ≤2 atunci 1− x−1 = 1− x−1 ⇒ f(x) = 2 ⇒ f(x) = g(x).
Dacă x>2 atunci 1− x−1 = x−1−1 ⇒ f(x) = 2 x−1 ⇒ f(x) = g(x).
Deci, funcțiile f și g sunt egale.

2. Să se determine funcțiile f și g stiind că: 2 f(x + 6) + 4g(2x +15) = x +2 (1)




22xf + g(x + 5) = x + 4. (2)
(G.M. 16592)
Rezolvare : Vom nota
22x = a ⇒ x = 2a – 2.
Avem x + 5 = 2a + 3, x + 4 = 2a + 2, x + 6 = 2a + 4, 2x + 15 = 4a + 11.
Ecuația (2) devine: f(a) + g(2a + 3) = 2a + 2. (3)
Vom nota a = x + 6 și obținem x = a – 6 ⇒ 2x + 15 = 2a +3.
Ecua ția (1) din enunț devine: f(a) + 2g(2a + 3) =
24a . (4)
Scădem ecuațiile (4) – (3) ⇒ g(2a + 3) =
24a – 2a – 2 =
28 3a- .
Vom nota din nou x = 2a + 3 ⇒ a =
23x ⇒
28 3a- =
2829 3x =
4169 3x =
47 3x
⇒ g(x) =
47 3x .
Deci, f(x) =
2127x .

71
Verificarea ecua ției (1): 2f(x + 6) + 4g(2x + 15) = 7(x + 6) + 12 + [ -3(2x +15) – 7] =
x + 42 +12 – 45 -7 =x + 2.
Verificarea ecuației (2):


5xg22xf
=

475×3
21222×7


=
47153×24 147x 
=
416 4x
= x + 4.

3. Se consider ecuația x2 + 3x + 3 = 0, cu rădacinile x 1, x2. Să se arate că:
a) x 13 + x 23 = 0;
b) x 16 = x 26 = − 27;
c) x 16n+3 + x 26n+2 = 0;
d) 3(x 15 + x 25) = x 17 + x 27 = 81.
(G. M. B. 9064)
Rezolvare : Conform relațiilor între rădăcini și coeficienți avem:
x1 + x 2 =
3 și x 1
x2 = 3.
a) x13 + x 23 = (x 1 + x 2) [( x1 + x 2 )2
3 ∙ x1
x2 ] = (x 1 + x 2)(9 – 9) = 0.
b) x 16 – x26 = (x 13 – x23) (x 13 + x 23) = (x 13 – x23) ∙ 0 = 0
x16 + x 26 = (x 13 + x 23)2 – 2 ∙ (x1 + x 2)3 = 0 -2 ∙ 27 = -54 ⇒ x16 = x 26 = − 27.
c) x 16n+3 + x 26n+2 = (x 16)n
x13 + (x 26)n ∙ x23 = (-27)n
(x13 + x 23)= 0.
d) Avem: x 12 + x 22 = ( x1 + x 2 )2
2 ∙ x1
x2 = 9 – 2∙ 3 = 3;
x13 + x 23 = 0;
x14 + x 24 = – 3 ∙ (x13 + x 23) – 3 ∙ (x12 + x 22) = -9;
x15+ x 25 = – 3 ∙ (x14 + x 24) – 3 ∙ (x13 + x 23) = (- 3) ∙(- 9) = 27;
x16+ x 26 = – 54;
x17+ x 27 = – 3 ∙ (x16 + x 26) – 3 ∙ (x15 + x 25) =(- 3)
(- 54) – 3
27 = 81;
Deci, 3(x 15 + x 25) = x 17 + x 27 = 81.

72
4. a) Să se discute rădăcinile ecuației x2 – mx + 2m – 3 = 0, unde m este un parametru
real;
b) Să se exprime minimul V al trinomului f (x) = x2 + mx +2m – 3 în funcție de m;
c) Să se afle valoarea lui m penrtu c are care f (x)
0 oricare ar fi x real.
(G. M. B. 5852)
Rezolvare :
a) Calculăm discriminantul
= m2 – 4(2m -3) = m2 – 8m + 12.
= 0 ⇒ m = 2 și m = 6
m -∞ 2 6 ∞
m2 – 8m + 12 +++ 0 – – – 0 +++
Pentru m < 2 și m > 6, discriminantul este pozitiv, deci ecuația are rădăcini reale.
Pentru 2 < m < 6, discriminantul este negativ, deci ecua ția are rădăcini imaginare.
Pe intervalul în care ecuația are rădăcini reale se poate discuta semnul semnul rădăcinilor.
Calculăm suma S = m și produsul P = 2m – 3.
Deci, m < 0, rădăcinile sunt de semne contrare, cea negativă mai mare în valoare absolută;
Pentru m = 0 rădăcinile sunt egale în valoare absolută și de semne contrare;
Pentru 0 < m <
23 , rădăcinile sunt de semne contrare , cea po zitivă mai mare în valoare absolută;
Pentru m =
23 , o rădăcină este nulă;
Pentru
23 < m < 2 rădăcinile sunt pozitive;
Pentru m = 2 rădăcinile sunt confundate;
Pentru 2 < m < 6 avem rădăcini imaginare;
Pentru m = 6 rădăcinile sunt confundate;
Pentru m > 6 avem rădăcini pozitive.
b) Minimul trinomului are loc pentru x =
2ab ⇒ x =
2m .
Avem V =
412 8m m3 2m2m
4m
2mf2 2 2
c) Deoarece coeficientul lui x este pozitiv rezultă că discriminantul trebuie să fie negativ
pentru ca f (x)
0 penru orice x real. Deci, aceasta se întampă pentru 2 < m < 6.

73
5. Să se rezolve ecuația:
34 5x
614x
312x 

 ,
unde 𝑎 este parte întreagă a lui a.
Rezolvare : Notăm
312x = y⇒ x =
21 3y și ecuația devine
y +
34213y5
61213y4 





⇒
215y
21y y
 .
Deoarece
 y221y y 
 , oricare ar fi y ecuația devine 2y =
215y .
Notăm
215y =k ⇒ y =
51 2k și vom obține ecuația :
k52 4k
 , unde k ∈ ℤ. Ținând seama
de definiția părții întregi a unui număr real avem k ≤
1k52 4k sau 5 k ≤ 4k+2< 5k + 5
adică -3 < k ≤ 2 deci k
{-2, -1, 0, 1, 2}.
Ținând seama că x =
54 3k
21512k3
213y 
 obținem x


 ,227,54,51,52 .

6. a) Să se determine funcția de gradul I al cărei grafic este o dreaptă paralelă cu prima
bisectoare, care trece prin punctul A(1, 3).
b) Fie funcția g = 𝑓(𝑥) + 2x + 4. Să se determine inversa funcției g.
(G. M. 16098)
Rezolvare :
a) O funcție f are graficul paralel cu prima bisectoareI d acă f(x) este de forma f(x)=x + k,
k ∈ ℝ. Graficul ei trece prin punctual A(1, 3) dacă f(1) = 3 sau 1 + k = 3 ⇒ k = 2 ⇒
f (x) = x + 2.
b) Avem g(x) = 𝑥+2 + 2(x + 2) = x+2, dacă x < −2
3 x+2 , dacă x ≥−2.
Pentru x < −2 avem y
0 și y = x + 2 sau x = y – 2.
Pentru x ≥−2 avem y ≥ 0 și 𝑦
3 = x + 2 sau x = 𝑦
3 – 2.
Deci g-1(x) = x−2 pentru x < 0
x
3− 2 pentru y ≥ 0.

74

7. Să se afle perioada funcției f(x) = 3sin x + sin 2x.
Rezolvare : Fie T perioada.
Vom avea 3sin (x + T) + sin 2(x + T) = 3sin x + sin 2x.
Pentru x = 0 obținem 3sin T + sin 2T = 0 ⇒ 3sin T + 2sinT cosT = 0 ⇒ sin T(3 + 2cos T) = 0.
Deoarece 3 + 2cos T ≠ 0 ⇒ sin T = 0 ⇒ T = k𝜋.
Pentru x = π
2 obținem f π
2 = 3 sin 𝜋
2 + sin𝜋 = 3.
f π
2+ π = 3 sin 𝜋
2+ 𝜋 + sin 2 𝜋
2+ 𝜋 = -3
Deoarece f x+ π ≠ f(x) ⇒ k ≠ 1. Pentru k = 2 adică T =2π avem 3 sin x+2π +sin 2 x+2π
= 3sin x + sin 2x. Deci k = 2 adică T = 2π.

8. Rezolvați ecuația: x + 3x + log3x = 31.
Rezolvare : Considerăm funcțiile: g : ℝ → ℝ, g(x) = x
h : ℝ → (0, ∞), h(x) = 3x
k : (0, ∞) → ℝ, k(x) = log3.
Funcțiile g, h, k sunt monoton crescătoare.
Deci și funcția f : (0, ∞) → ℝ, f(x) = g(x) + h(x) + k(x) este monoton crescătoare, deci injectivă.
Rezultă că ecuația f(x) = 31, dacă are so luție, atunci această soluție este unică.
Deci x = 3 este acea soluție unică.

9. Să se rezolve inecuația log3(34x – 32x + 1 +3) < 2log97.
(Concurs de admitere – Facultatea de Științe Economice, 15 iulie 1983)
Rezo lvare : Știm că log39 = 2 ⇒ 2log97 = log39∙ log97 = log37.
Inecuația devine log3(34x – 32x + 1 +3) < log37
⇒ 34x – 32x + 1 + 3
7
⇒34x – 32x + 1 – 4
0.
Notăm 32x = y și vom obține y2 – y – 4
0

= 1 + 24 = 25
y1 = -1
y2 = 4.
y -∞ -1 4 +∞
y2 – y – 4 ++++++++ 0 – – – – – – – – – – – – 0 +++++++++++
Rezultă y ∈ (-1, 4), deci 32x ∈ (-1, 4) ⇒ 32x ∈ (0, 4).

75
Atunci 2x ∈ (-∞, log34), deci x ∈ (-∞, log32).

10. Fie funcția f : ℝ → ℝ, definită prin f(x) =
1x1x x
22
 . Să se studieze dacă funcția f
este surjectivă.
(Concurs de admitere – Facultatea de Matematică, 1 septembrie 1983)
Rezolvare : Funcția f este surjectivă dacă pentru orice y ∈ ℝ, există x ∈ ℝ astfel încât
f(x) = y.
Din egalitatea f(x) = y ⇒
1x1x x
22
 = y
⇒ x2− x+1 = y ( x2+ 1)
⇒ (1 – y)x2 – x + 1 – y = 0.
Avem o ecuație de gradul doi în x.
Calculăm
= 1 – 4(1 – y)2
0 ⇒ ecuația(1 – y)x2 – x + 1 – y = 0 nu are soluție reală pentru orice
valoare a lui y.
Rezultă că funcția f nu este surjectivă.

11. Să se arate că dacă f : ℝ → ℝ este o funcție polinomială de grad n, n ≥ 2, atunci
funcția g : ℝ → ℝ, g(x) = f(x + 2) – 2f(x + 1) + f(x) este o funcție polinomială de grad n – 2. Să
se determine coeficienții polinimului f în cazul particular cînd g(x) = 6x + 24, f(0) = 5, f(1) = 23.
(Concurs de admitere – Facultatea de Fizic ă și Facultățile
de Mecanică, Construcții și Electrotehnică , 15 iulie 1985)
Rezolvare : Fie f(x) = a nxn + an-1xn–1 + an-2xn-2 + an-3xn-3 + …+ a 0, an ≠ 0.
Atunci f(x+1) = a n(x+1)n + an-1(x+1)n–1 + an-2(x+1)n-2 + an-3(x+1)n-3 + …+ a 0
f(x+2) = a n(x+2)n + an-1(x+2)n–1 + an-2(x+2)n-2 + an-3(x+2)n-3 + …+ a 0.
Astfel g(x) = f(x + 2) – 2f(x + 1) + f(x)
= an(x+2)n + an-1(x+2)n–1 + an-2(x+2)n-2 + an-3(x+2)n-3 + …+ a 0 – 2[an(x+1)n + an-1(x+1)n–1 +
+ a n-2(x+1)n-2 + an-3(x+1)n-3 + …+ a 0] + a nxn + an-1xn–1 + an-2xn-2 + a n-3xn-3 + …+ a 0
= a n(xn + 2Cn1xn–1 +4Cn2xn–2 + 8Cn3xn–3 + … + 2n) + a n-1(xn-1 + 2Cn−11xn–2 +2Cn−12xn–3 +
+ … + 2n-1) + a n-2(xn-2 + 2Cn−21xn–3 + … + 2n-2) + a n-3(xn-3 +… + 2n-3)+ …+ a 0 –
– 2an(xn + Cn1xn–1 + Cn2xn–2 + Cn3xn–3 + … + 1) -2an-1(xn-1 + Cn−11xn–2 + Cn−12xn–3 +
+ … + 1) – 2an-2(xn-2 + Cn−21xn–3 + … + 1) – 2an-3(xn-3 +… + 1) – … -2a0 + anxn + an-1xn–1 +
an-2xn-2 + an-3xn-3 + …+a 0
= 2a nCn2xn–2 + (6a nCn3 + 2a n-1Cn−12) xn-3 +….

76
Deoarece a n ≠ 0, funcția polinomială g este de grad n – 2.
În cazul particular dat, cum grad g = n – 2 = 1 ⇒ grad f = n = 3.
Deci avem f(x) = a 3×3 + a 2×2 + a 1x + a 0. Astfel 2a 3C32 = 6, 6a 3C33 + 2a 2C22 = 24, de unde
a3 = 1 și a 2 = 9.
Deoarece f(0) = 5, f(1) = 23 obținem a0 = 5 și a 1 = 8.
Funcția polinomială este f(x) = x3 + 9×2 + 8x + 5.

12. Fie a un număr real strict pozitiv și diferit de 1. Să se demonstreze că pentru orice
numă r real pozitiv și pentru
n ℕ*.

1n n
a a a ax logx log…x logx log 1nn 6 2  
(Concurs de admitere – Facultatea de matematic ă – informatică, Craoiva, septembrie 1992)
Rezolvare : Notăm S =
x log…x logx log 1nn 6 2a a a =
1nnxlog…6xlog
2xloga a a

=




1nn1…61
21xloga =




1nn1…321
211xloga
=



1n1
n1…31
21
21
11xloga =



1n1
11xloga
=
1nnxloga =
1nn
axlog =
1n n
ax log .

3.2. Aplicații propuse pentru examenul de bacalaureat 2015
1. Se c onsideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = x − x 2, unde 𝑥 reprezintă partea
fracționară a lui x.
a) Arătați că x ≥ x 2, oricare ar fi x real.
b) Demonstrați că f(x) = x− x2 , ∀ x ∈[0,1).
c) Arătați că f este o funcție periodică, admițând pe 1 ca perioadă.
d) Calculați







22007f…23f21f .
Rezolvare :
a) Folosim următoarea proprietate a funcției parte întreagă, parte fracționară {x}

[0, 1), ∀ x ∈ ℝ și proprietatea de monotonie a puterilor :
“Dac ă 0 < x < 1, atunci m < n ⇔ xm > xn ”.
Avem 0
{x} < 1 și 1 < 2, rezult ă că x ≥ x 2, oricare ar fi x real.

77
b) Dacă x ∈[0,1), atunci {x} = x. Deci f(x) = x− x2 , ∀ x ∈[0,1).
c) Calcul ăm f(x + 1) = x+1 − x+1 2.
Folosid următoarea proprietate a funcției parte întreagă, parte fracționară:
{x + n} = {x}, ∀ x ∈ ℝ, n ∈ ℤ ⇒ {x + 1} = {x} .
Deci f(x + 1) = x − x 2 = f(x), oricare ar fi x real ⇒1 este perioadă a funcției f.
d) Ținând cont de punctul c) avem







21f 121f23f
…………………………








21f 100321f22007f .
Rezultă că
21
21
21
22007f…23f21f2










 .
Deci suma
50221100422007f…23f21f 





 .

2. Se consideră funcția f : (3, +∞) → ℝ, f(x) =
3x1x
 .
Arătați că funcția este strict descrescătoare și determinaț -i imaginea.
Rezolvare : Pentru a arăta că funcția este strict descrescătoare vom calcula raportul
2 1 22
11
2 12 1
xx1
3 x1x
3x1x
xx)f(x)f(x







1 2 2 11 2 2 1
x x1
3 x3x3x1x 3 x1x


1 2 2 11 2 21 2 1 21
x x1
3 x3x3x 3x xx3 x 3x xx


 3, x,x0,3 x3x4
2 1
2 1 .
Rezultă că f este strict descrescătoare.
Avem că y
 Im f dacă și numai dacă ecuația
3x1x
 = y are soluția x
3, .
Deci
3,1y13yx  de unde
014y , adică y
1, . În final, Im f =
1, .

78
3. Se consideră funcțiile fm : ℝ → ℝ, fm(x) =
3×2 2m1m , m
ℝ \ {-1}.
a) Să se determine m știind că fm este strict crescătoare.
b) Determinați m știind că A(1, 0)

mfG .
c) Determinați m știind că f m(1) > f m(2).
d) Determinați m știind că f m(1) = f m(2).
Rezolvare :
a) Funcția fm este strict crescătoare dacă
2 2m1m
 > 0.
-1 1
m – 1 – – – – – – 0 + + +
2m +2 – – – 0 + + + + + +
2 2m1m

+ + + / – – 0 + + +
Deci
) (1,1),(m  .
b) Știm că A(1, 0)

mfG ⇔ f(1) = 0. Vom avea
312 2m1m = 0 ⇒
2 2m1m
 = -3
m -1 = -3(2m +2) ⇒ m+6m = -6 +1 ⇒ 7m = -5 ⇒ m =
75 .
c) Pe intrevalul (1, 2) funcția f este descrescătoare ⇒ fm(1) > f m(2) ⇒
⇒
312 2m1m
322 2m1m ⇒
2 2m1m
 < 0.
Din tebelul de la punctua a) ⇒
,1)1(m
d) Avem
312 2m1m
322 2m1m ⇒
2 2m1m
 = 0⇒ m – 1 = 0 ⇒ m = 1, deci func ția f
este constantă.

4. Se consideră funcțiile fm : ℝ → ℝ, fm(x) = mx2 + 2(m +1)x +m + 2, unde m
 ℝ*
a) Demonstra ți că vârfurile parabolelor asociate acestor funcții se găsesc pe dreapta
d: y = x+1 .
b) Dacă A și B sunt punctele de intersecție a unei parabole cu Ox, ia r F este proiecția
vârfului V al acelei parabole pe Ox, arătați că AB = 2 FV.
c) Arătați că toate p arabolele familiei trec printr -un punct fix.
Rezolvare :

79
a) Vârful parabolei este V


4aΔ,2ab .
Deci

m1m
2m1m2xV

m1
4m2m4m 1m2y2
V 
.
Observăm că
V V y1 x ⇒ vârfurile parabolelor asociate acestor funcții se găsesc pe
dreapta d: y = x+1 .
b) Punctele de intersecție a unei parabole cu Ox se determină rezolvând ecuația f(x) = 0.
mx2 + 2(m +1)x +m + 2 =0
∆ = [2(m +1)]2 – 4m(m+2) = 4m2 + 8m + 4 – 4m2 – 8m = 4

12m21) 2(mx1 

m2m
2m21) 2(mx2
Rezultă că avem A( -1, 0), B


 ,0m2m și F


 ,0m1m .
AB =
m2
m2
m2mm
m2m1 


2FV=
m2
m12m102 

 .
Deci AB = 2 FV
m2
c) Fie M(a, b) punctul fix. Rezul tă fm(a) = b,
 m
ℝ*⇒ ma2 + 2(m +1)a +m + 2 = b
⇒ (a2 +2a + 1)
 m + (2a +2) = b ⇒
⇒ a2 +2a + 1 = 0 ⇒ (a + 1)2 = 0 ⇒ a = -1
⇒ 2a +2 = b ⇒ b = 0.
Deci toate parabolele familiei trec printr -un punct fix M( -1, 0).

5. a) Fie f : (0, +∞) → ℝ, f(x) = lg x.
Demonstra ți că
) (0, x,x,2)f(x)f(x
2xxf2 12 1 2 1

 .
b) Fie f : ℝ → ℝ, f(x) = ax, a > 0, a
 0.
Demonstra ți că



2 12 1 2 1x,x,2)f(x)f(x
2xxf ℝ.

80
Rezolvare :
a) Inegalitatea
2)f(x)f(x
2xxf2 1 2 1 

 este echivalentă cu lg
2lgx lgx
2xx2 1 2 1 
⇒ 2
lg
2 12 1lgx lgx2xx ⇒ lg
2 12
2 1x lgx2x x

 ⇒
2 12
2 1xx2x x

 ⇒
⇒
21 2 21 1 x4x x xx2x  ⇒
0)x (x2
2 1 Adevărat.
⇒ Inegalitatea
2)f(x)f(x
2xxf2 1 2 1 

 este adevărată
) (0, x,x2 1 .
b) Inegalitatea
2)f(x)f(x
2xxf2 1 2 1 

 este echivalentă cu
2a aa2 1 2 1 x x
2xx
⇒
2 12 1
x x 2xx
a a a2  ⇒
2x
2x
x x2 1
2 1aa2 a a0  ⇒
0 a a2
2x
2×2 1



 Adevărat.
⇒ Inegalitatea
2)f(x)f(x
2xxf2 1 2 1 

 este adevărată
) (0, x,x2 1 .

6. Fie f : A → B și g : B → A. Demonstra ți că:
a) dacă g
 f : A → C este injectivă, atunci f este injectivă;
b) dacă g
 f : A → C este surjectivă, atunci g este surjectivă.
Rezolvare :
a) Presupunem prin absurd că f nu este injectivă. Atunci există x 1, x2
A, x 1
 x2 astfel
încât f(x 1) = f(x 2) ⇒ g(f(x 1)) = g(f(x 2)) ⇒ (g
f)(x 1) = (g
 f)(x 2) ⇒ g
f nu este injectivă, ceea ce
contrazice ipoteza. Deci f este injectivă.
b) Presupunem prin absurd că g nu este surjectivă . Rezultă că există z
 C, astfel încât

y
 B, y = f(x), g(y)
 z. Dar
 x
A, f(x)
 B, deci g(f(x))
 z ⇒
x
A, (g
f)(x)
 z ⇒
g
f nu este surjectivă, ceea ce contrazice ipoteza. Deci g este sujectivă.

7. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = x2 – 2x – 7. Notăm x 1, x2
ℝ soluțiile
ecuației f(x) = 0 ți cu S n = x 1n + x 2n,
n
ℕ.
a) Determinați x1 și x 2.
b) Arătați S n+2 = 2S n+1 +7S n,
n
ℕ.
c) Calculați S 5.
Rezolvare :
a) Rezolvăm ecuației f(x) = 0, deci x2 – 2x – 7 = 0.
Calculăm ∆ = ( -2)2 – 4
1
(-7) = 4 + 28 = 32.

81
Determinăm soluțiile x 1 =
2212242
1232 2)(
x2 =
2212242
1232 2)( .
b) Avem x 1 soluție a ecuației x2 – 2x – 7 = 0 ⇒ x12 – 2×1 – 7 = 0
⇒ x1n+2 – 2x1n+1 – 7x1n = 0 (1)
Și x 2 soluție a ecuației x2 – 2x – 7 = 0 ⇒ x22 – 2×2 – 7 = 0
⇒ x2n+2 – 2x2n+1 – 7x2n = 0 (2)
Adunăm cele două relații (1) + (2) și avem x 1n+2 + x 2n+2 -2(x 1n+1 + x 2n+1) – 7(x 1n + x 2n) = 0
⇒ Sn+2 – 2Sn+1 – 7Sn =0 ⇒ Sn+2 = 2S n+1 +7S n,
n
ℕ.
c) Calculăm S 0 = x 10 + x 20 =1 +1 = 2 și S 1 = x 11 + x 21 =
221 +
221 = 2.
Deci S 2 = 2S 1 +7S 0 = 2
2 + 7
 2 = 18;
S3 = 2S 2 +7S 1 = 2
18 + 7
 2 = 50;
S4 = 2S 3 +7S 2 = 2
50 + 7
 18 = 226;
S5 = 2S 4 +7S 3 = 2
226 + 7
 50 = 802;

8. Calcula ți suma:
S =
lg10… lg2 lg11…10log…2log1log1
10log…2log1log1
3 3 3 2 2 2 
Rezolvare :
S =
10…32lg11…10…321log1
10…21log1
3 2 
=
lg10!1…10!log1
10!log1
3 2
=
10 log…3 log2 log10! 10! 10! 
=
10…32 log10!
=
10! log10!
= 1.

9. Dacă

23ππ, x și sin x =
135 , calculați cos x și tg x.
Rezolvare : Aplicăm formula fundamentală a trigonometriei sin2x + cos2x = 1
⇒
2
135

 + cos2x = 1 ⇒ cos2x = 1 –
16925 ⇒ cos2x =
16925 169 ⇒ cos2x =
169144

82
⇒ cos x =
169144 ⇒ cos x =
1312 .
Dar în cadranul III cos x < 0 ⇒ cos x =
1312 .
Avem
125
1213
135
1312135
cosxsinxtgx 





 .

83
CAPITOLUL IV

PROIECTAREA ACTIVITĂȚII DE INSTRUIRE
LA MATEMATICĂ

PROCESUL DE ÎNVĂȚĂMÂNT reprezintă activitatea intenționată, conștientă și
organizat ă de predare -învățare -evaluare, realizată înt r-un spațiu educațional institu ționalizat, cu o
tehnologie didactică determinată, cu anumite rezultate anticipate și realizate.
Laturile procesului de învățământ sunt : PREDAREA, ÎNVĂȚAREA, EVALUAREA.
PREDAREA este latura procesului de învățământ intenționată, programată, organizată
de transmitere de către profesor a cunoștințelor teoretice și practice care stau la baza învățării.
ÎNVĂȚAREA este latura procesului de învățământ intenționată, programată și
organizată de dobândire și asimilare a cunoștințelor teoretice și practice de către elev pe baza
predării și a studiului individual.
EVALUAREA reprezintă o succesiune de operații de apreciere, măsurare și control a
cunoștințelor teoretice și practice prin care se raportează obiectivele educației la rezultatele
obținute.
Eficiența procesului de învățământ este dată de interacțiunea dinamică între predare
învățare și evaluare. Fiecare dintre cele trei laturi ale procesului de învățămâ nt se raportează una
la cealaltă, pentru a intra î ntr-o interacțiune reală și eficientă. Profesorul operaționalizează
obiectivele didactice în funcție de vârsta elevilor, selectează conținuturile în funcți e de profilul
clasei, alege și î mbină metodele, mijloacele și formele de or ganizare a lecției în funcție de
particularitățile subiecților educaționali. Elevul se raportează la intențiile profesorului, își
reglează posibilitățile de învățare în funcție de cerințele formulate explicit, recepționează,
prelucrează și redă cunoștințel e predate într -o modalitate personală în funcție de aptitudinile.
capacitățile, interesele și aspi rațiile sale. Evaluarea tinde să devină o latură din ce î n ce mai
integrată a procesului educațional, fiind prezen tă pe întreg parcursul acestuia.
În ultimii ani, învățământul în țara noastră a cunoscut o serie de prefaceri menite să
îmbunătățească procesul de instruire și educare a tineretului școlar.
Printre sarcinile mai importante se înscriu și modernizarea metodelor de învățământ în
sensul valorificării no ului conținut al învățământului, punându -se accent mai mare pe munca
independentă a elevilor, pe formele de pregătire diferențiată a acestora, pe activitățile desfășurate
în lab orator. Principala cale de spo rire a randamentului școlar este tehnologia didac tică. Prin
tehnologie didactică se înțelege ansamblul de forme, mijloace tehnice și relații, metode cu
ajutorul cărora se vehiculeză conținuturi, în vederea atingerii obiectivelor.

84
Tehnologia didactică presupune proiectarea realizării și evaluarea activită ții didactice,
operații care în final, trebuie să concure la îmbunătățirea acestei activități.
Proiectarea didactic ă este o acțiune continuă, permanentă , care precede demersurile
instructiv -educative, indiferent de dimensiunea, complexitatea sau durata acestor a.
În proiectarea didactică se pornește de la un conținut fixat prin programele ș colare, care
cuprind obiectivele generale ale învățămâ ntului, obiecti vele-cadru și obiectivele de referință care
sunt unice la nivel național. Se finalizează cu elaborarea unor instrumente de lucru utile cadru lui
didactic: planului tematic ș i a proiectelor de activitate didactică/lecție, până la secvența
elementară de instruire.
Etapele principale ale activităț ii de proiectare didactică sunt:
– încadrarea lecție i sau a activității didactice în sistemul de lecții sau î n planul tematic;
– stabilirea obiectivelor operaț ionale;
– prelucrarea și structurarea conț inutulu i științ ific;
– elaborarea strategiei didactice;
– stabili rea structurii procesuale a lecției/activităț ii didactice;
– cunoașterea și evaluarea randamentului ș colar:
a. stabilirea modalităților de control ș i evaluare folosite de profesor
b. stabilirea modalităț ilor de autocont rol și autoevaluare folosite de elevi.
“Metodele de învățământ sunt căi sau modalități de lucru folosite de profesori și elevi
pentru informarea și formarea elevilor, pentru verificarea și aprecierea randamentului școlar ” 5.
Metoda se aplică printr -o suită de operații concrete numite procedee. Procedeul didactic
reprezintă o component ă a metodei.
Eficiența ș i valoarea unei metode este condiționată de calitatea, alegerea corectă si
corelarea procedeelor din care este compusă.
Metodele pot fi clasificate după mai multe criterii:
– din punct de vedere ist oric:
a. tradiționale (expunerea, conversația, exercițiul);
b. moderne (algoritmizarea, problematizarea, instruire a programată, brainstorming -ul).
– din punct de vedere al extensivității sferei de aplicabilitate:
a. generale – expunerea, conversația euristică, prelegerea;
b. particulare .
– prin modalitatea de prezentare:
a. verbale ;
b. intuitiv -senzoriale .

5 C. Postelnicu, Fundamentele didacticii școlare , Editura Reprografia Universității din Craiova, 2000, p. 186

85
– după gradul de angajare al elevilor:
a. active;
b. pasive .
– după funcția didactică preponderentă:
a. predare si comunicare;
b. fixare si con solidare;
c. verificare si evaluare .
– din punctul de vedere al abordării problemelor:
a. algoritmice , bazate pe secvențe operaționale, stabile;
b. euristice , bazate pe descoperirea proprie ș i rezolvarea de probleme.
– după organizarea muncii profesorulu i:
a. individuale;
b. pe grupuri;
c. frontale.
– din pu nctul de vedere al învățării (mecanică, prin receptare conș tientă, prin descoperire):
a. metode bazate pe învățarea prin receptare (expunerea, demonstrația cu caracter
expoziv);
b. metode care aparțin preponderent descoperirii dirijate (conversaț ia euristică,
observația dirijată, instruirea programată);
c. metode de descoperire propriu -zisă (observarea independentă , exercițiul euristic,
descoperirea, rezolvarea de probleme, brainstor ming -ul).
În procesul de predare – învățare a matematicii în școală se folosesc frecvent
următoarele metode didactice: observația, conversația, demonstrația, problematizarea,
algoritmizarea, modelarea , învățarea prin descoperire, rezolvarea de exerciții și probleme,
folosirea manualului și a literaturii suplimentare (culegeri de exerciții și probleme, seturi de
exerciții și probleme propuse și rezolvate, reviste de matematică), activitatea în grup,
învățământul programat și altele.
Din multitudinea metodelo r de învățământ existente fiecare cadru didactic alege și
folosește anumite metode în funcție de următoarele criterii:
– obiectivul fundamental al lecției respective;
– conținutul lecției;
– particularitățile de vârstă ale elevilor.
În marea majoritate a cazuri lor metodele de învățămân t nu sunt folosite izolate, ci
îmbinate cu alte metode, pentru a obține cele mai bune rezultate în activitatea instructivă.

86
Metodele de învățământ folosite trebuie să stimuleze spiritul de observație și gândire
logică a elevilor, să asigure o participare activă a elevilor în procesul instructiv -educativ, să
contribuie la formarea deprinderilor de a se instrui prin muncă independentă.
Deoarece în activitatea instructiv -educativă accentul trebuie să cadă pe latura formativă
a acestei a, conducerea problematizată a lecțiilor se impune ca o cerință categorică. Elevii trebuie
să fie permanent stimulați prin întrebări, să primească sarcini mai complicate spre rezolvare,
pentru a descoperi prin efort propriu laturile noi ale cunoștințelor, să fie puși în situația de a
utiliza cunoștințele dobândite în rezolvarea unor exerciții și probleme cunoscute, în explicarea
diferitelor discipline de învâțământ.
Sub acest aspect, problematizarea poate fi considerată ca o variantă a conversației
euristic e. În același timp ea constituie, poate, cea mai importantă modalitate de învățare prin
descoperire, alcătuind punctul de plecare pentru toate celelalte forme ale acestui mod de
instruire.
Învățarea prin descoperire presupune participarea activă, directă a elevilor (sub
îndrumarea profesorului) la stabilirea noțiunilor ce urmează a fi însușite. Baza acestui proces de
învățare o formeză următoarele constatări:
– participarea la descoperirea unui adevăr având ca urmare o mai deplină înțelegere a
acestuia;
– situațiile problematice, de incertitudine parțială și de co nflicte trezesc în mod deosebit
interesul elevilor.
Prin utilizarea acestei metode elevul învață să recunoască problemele și să adune
informațiile necesare pentru a le depăși; cunoștiințele astfel în sușite se fixează mult mai bine; se
dezvoltă încrederea în sine a elevului, convingerea că poate rezolva problemele cu care se
confruntă.
Realizarea unui învățământ modern, care să -și exercite funcția principală de instruire și
educație a tinerei generații este indisolubil legată de existența în școală a unui sistem de mijloace
de învățământ ca, componentă esențială pentru obținerea unei calități sporite a întregului proces
instructiv -educativ.
Mijloacele de î nvățămant se pot gru pa în două mari cat egorii:
• ce cuprind mesaj didactic (manuale, culegeri, revi ste de matematică, modele, planș e,
tabele cu formule, scheme structurale, seturi de teste, truse, folii);
• care facilitează transmiterea mesajelor didactice (computerul, internet ul, filme
didactice, emisiuni TV, aparate, instrumente de măsură).
Mijloacele de învățământ au evoluat de la materialul intuitiv confecționat pentru
demonstrație, la mijloace moderne din zilele noastre pe măsura dezvoltării științei și tehnicii și în

87
funcție de ceri nțele procesului de învățământ în diferite etape. Mijloacele de învățământ nu pot
înlocui actul predării, în care rolul principal îl joacă profesorul. Rezultatele care se obțin cu
ajutorul acestor mijloace depind mai mult de cadrul didactic care le utilize ază decât de calitatea
instrumentelor.
Având în vedere scopul principal urmărit în învățarea matematicii și anume formarea
priceperilor și deprinderilor de rezolvare a exercițiilor și problemelor, principala preocupare a
profesorului de matematică în domen iul realizării mijloacelor de învățământ rămâne algerea
celor mai potrivite exerciții și probleme din manuale, din culegeri și reviste de ma tematică,
alcătuirea de teste, seturi de exerciții, probleme propuse și rezolvate model, care să fie folosite de
elevi.
Aspectele procesului de învățământ legate de verificarea și aprecierea cunoștințelor sunt
încadrate în docimologie – știință pedagogică care are ca obiect studierea sistematică a
examenelor, în special a sistemelor de notare, a comportării examinatoril or și examinaților.
Docimologia trebuie să ofere totodată posibilitatea de a cunoaște interesul real al elevului pentru
obiect, suportul motivațional al rezultatelor obținute, factorii care au contribuit la obținerea
rezultatelor, posibilitatea de aprecier e a resurselor unui elev, de urmărire a evoluției acestuia.
Se observă astfel tendința de trecere de la o apreciere mai mult cantitativă a
cunoștințelor elevilor, la aprecierea calitativă a unui ansamblu de aspecte, urmărite prin însăși
obiectivele învățăm ântului. O evaluare corectă poate fi făcută numai în condițiile unor obiective
bine precizate, din care să se desprindă exact ceea ce trebuie să facă un elev pentru a dovedi
realizarea lor.
Sub acest aspect deosebim mai multe categorii de obiective:
– finali tățile sau scopurile generale ale educației, sintetice, globale, fixate prin decizii;
– obiective intermediare – obiectivele specifice învățământului într -o etapă dată,
obiectivele specifice fiecărei trepte de învățământ și obiectivele specifice diferitelor discipline și
teme;
– obiective educativ -operaționale
Operaționalizarea obiectivelor se face pentru a realiza mai ușor și totodată pentru a
evidenția progresul elevilor la sfârșitul unei etape de instruire și constă în specificarea
performanțelor și comporta mentelor la care trebuie să ajun gă elevii la sfâr șitul etapei respective.
Pentru formularea obiectivelor operaționale se folosesc verbe de acțiune, acțiunile raportându -se
la elevi.
Concomitent cu precizarea comportamentelor specifice, operaționalizarea tr ebuie să
precizeze condițiile în care urmeză să se manifeste acestea și performanțele minime acceptate.

88
Performanțele minime se stabilesc specificându -se numărul de răspunsuri corecte –
cunoștințe teoretice și aplicative – pe care trebuie să le dea elevul pentru a considera că posedă
cunoștințele elementare cu privire la tema respectivă.
În mod obișnuit, pentru stabilirea gradului de atingere a l unor obiective se recurge la
diferite metode sau procedee cum sunt: observarea curentă a elevilor, verificarea ac estora prin
întrebări, prin lucrări scrise de diferite tipuri, prin teste etc., care permit măsurarea și aprecierea
activității.
Ele se pot clasifica in:
– metode tradiționale : probe orale, scrise, practice;
– metode complementare : observarea sistematică a ele vilor, investigația, proiectul,
portofoliul, tema pentru acasă, tema de lucru în clasă, autoevaluarea.
Deși prezintă și unele inconveniente, avantajele atribuite testelor în raport cu metodele
obișnuite de apereciere a cunoștințelor elevilor, le impun ca p rocedee de mare valoare pentru
evaluarea randamentului școlar. Valoarea lor derivă dintr -o serie de caracteristici ale acestora,
printre care:
– eliminarea hazardului și subiectivității din notare, prin stabilirea unui punctaj de
notare, prin condițiile egal e pe care le creează în privința conținutului de rezolvare;
– oferirea posibilităților de urmărire sistematică a evoluției unei clase, a unui grup de
elevi sau a unui anumit elev, în perioade determinate de timp, cu privire la nivelul de
cunoștințe, la forma rea priceperilor, la dezvoltarea aptitudinilor etc.
După scopul urmărit, principalele categorii de teste folosite în învățământ sunt: testele
de inteligență, testele de aptitudini și testele de performanță. Dintre acestea, testele de
performanță sunt acele a care măsoară gradul de realizare a obiectivelor imediate și a celor
îndepărtate ale învățământului și conțin volumul informațiilor necesare pentru evaluarea
activității elevului și implicit a profesorului.
Alcătuirea testelor reclamă o tehnică specială, un volum mare de muncă și respectarea
unor condiții ca:
– utilizarea întregii materii supuse verificării;
– stabilirea obiectivelor de realizat;
– reducerea materiei la teme elementare (stabilirea obiectivelor operaționale) și
formularea unui număr corespunzător de cerințe;
– prezentarea cerințelor într -un mod adecvat elevilor;
– stabilirea întrebărilor la care trebuie să se răspundă obligatoriu pentru a se obține nota
de trecere (performanța minimă acceptată);

89
– folosirea unor întrebări de tipuri diferite sau în conte xte diferite, pentru a dezvălui
capacitatea elevului de a transfera cunoștințele sau de a le organiza;
– revizuirea conținutului întrebărilor de către specialiști în materie (standardizarea și
validarea testelor);
După momentul în care se aplică testele pot fi: inițiale, de progres (formative) și finale.
Testele inițale se folosesc pentru a informa profesorul asupra cunoștințelor de care
dispun elevii în vederea parcurgerii unei noi etape instructiv -educative. Rezultatele
nesatisfăcătoare obținute la aceste teste impun organizarea unor activități de completare a
lipsurilor observate.
Testele de progres informează profesorul cu privire la posibilitățile elevilor de a atinge
obiectivele urmărite și dificultățile pe care le întâmpină în atingerea acestora. Testele de progres
pot fi integrate în orice moment al unei lecții și pot fi folosite pe parcursul întregului an școlar.
Testele finale se utilizează la încheierea unei teme, capitol sau an de studiu, în scopul de
a evidenția măsura realizării obiectivelor particulare ale unei teme, a obiectivelor specifice unui
capitol sau an de studiu. Evaluarea care se realizează cu ajutorul acestor teste constată rezultatele
muncii elevului, mijloacele prin care s -au atins, calitatea muncii profesorului, permițând
îmbun ătățirea acestora.
Testele se elaborează pe baza obiectivelor particulare ale temei considerate și stabilind
pentru fiecare obiectiv o sarcină de lucru, un item, pe care elevul trebuie să o rezolve.
Un item se poate prezenta sub forma unei întrebări, a unu i exercițiu sau problemă, deci
o sarcină care corespunde unui obiectiv precis formulat. Indicele de eficiență al unui test se
stabileste pornind de la măsura în care itemii permit stabilirea unei ordonări valorice a elevilor.
Clasificare a itemilor realizat ă de Serviciul Național de Evaluare și Examinare este:
– Itemi obiectivi , care măsoară rezultatele invățării situate la nivelurile cognitive
inferioare (cunostințe, priceperi si capacități de bază).
Astfel de itemi pot fi: de tip alegere duală , de tip perec he sau împerechere , de tip alegere
multiplă . Caracteristica principală a itemilor obiectivi este g radul ridicat de obiectivitate în
măsurarea și aprecierea rezultatelor î nvățării. Folosind acest tip de itemi, se testează un nu măr
mare de elemente de conțin ut, într-un timp scurt, se asigură obținerea de informații sigure
privind nivelul de însuș ire a noțiunilor de bază.
– Itemi semiobiectivi , care cuprind î ntrebări și cerințe care presupun elaborarea
răspunsurilor de către elevi.
Ei pot fi folosiți pentru toate etapele de evaluare. Din această categorie fac parte itemii de tip
răspuns scurt , cei de completare, de întrebări structurate . În acest caz, elevul nu trebuie să aleagă
un răspuns, ci trebuie să -l construiască. Se măsoară as tfel o gamă mai largă de capacități

90
intelectuale, cu nivel de dificultate variabil. Pentru astfel de itemi este necesară o schemă de
notare detaliată (barem), punctajul acordandu -se parțial sau integral.
– Itemi subiectivi sau cu răspuns deschis , care testea ză capacitatea de tratare coerentă,
în mod personal, a unui subiect, cât ș i originalitatea, creativitatea.
Aceș ti itemi dezvoltă capacitatea elevului de a formula, a descrie, a prezenta sau explica diferite
concepte, argumente, metode le lucru. Din aceast ă categorie fac parte itemii de tip rezolvare de
probleme, investigația, proiectul, portofoliul. Trăsătura dominantă a acestor itemi este aceea de a
putea testa niveluri cognitive ridicate (aplicare, a naliză, sinteză, evaluare). Și î n acest caz este
neces ar să se realizeze un barem amănunțit după care să se facă notarea.
Exemple de itemi:
– Itemi cu alegere duală
Citește cu atenție afirmația/ afirmațiile de mai jos iar în cazul în care apreciezi că este
adevărată încercuiește litera A, în caz contrar încercu iește litera F.
1. A F f (x) = x2 − 5x + 8 > 0,∀x∈ R Răspuns: A
2. A F Numărul 3 este soluție a ecuației 4×2-3x-5=0; Răspuns: F.
Avantaje le utilizării itemilor cu alegere duală :
– permite evaluarea unui volum mare de cunoștințe într -un timp scurt;
– probabilitatea intuirii răspunsului corect este foarte mare.
Dezavantaje:
– nivelul de complexitate al itemilor este redus, cel mult mediu;
– identificarea unui enunț ca fiind F(fals), nu implică în mod necesar cunoașterea de
către elev a enunțului corect .
Recomandări în pr oiectarea itemilor cu alegere duală:
– se vor evita enunțurile cu caracter foarte general;
– se vor evita enunțurile nerelevante din punct de vedere matematic;
– se vor evita enunțurile a căror structură poate genera ambiguități sau dificultăți de
înțelegere;
– se vor evita enunțurile lungi, complexe cu date inutile;
– se vor evita introducerea a două sau mai multe idei într -un enunț (cu excepția
situațiilor în care se urmărește cunoașterea sau înțelegerea unor relații cauză -efect).

– Itemi cu aleg ere multiplă
1. Soluția ecuației ln(x+1) = 2x este……….
a) -1; b) 0; c) 1; d) 2; e) e; Răspuns: b)
2. Rezultatul calculului ( 27 − 5)(3 3 + 5) este…………..

91
a) -5; b) 3; c) 9; d)2; e) 3 3 ; Răspuns d)
Avantaje le utilizării itemilor de tip alegere multiplă:
– permite măsurarea unei game largi de cunoștințe de la nivelul simplu și până la cel
complex;
– construcția itemilor cu patru sau mai multe variante de răspuns indică o mai mare
fidelitate;
– timpul de evaluare este redus co nducând la o cuantificare rapidă.
Dezavantaje:
– construcția itemilor necesită un timp mai mare;
– testează cu precădere, nivelele cognitive inferioare;
– permite în unele situații ghicirea răspunsului;
– nu este indicată folosirea constantă a acestor tipuri de itemi întrucât modifică modul
de învățare al elevilor.
Recomandări în proiectarea itemilor de tip alegere multiplă:
– se recomandă ca enunțurile să fie clar formulate pentru a nu duce la ambiguități;
– limbajul folosit trebuie să corespundă nivelului de vârstă a l elevilor cărora se
adresează;
– enunțul trebuie să măsoare numai obiectivul propus;
– enunțul trebuie formulat în așa fel încât să nu sugereze alegerea unei a din variante;
– distractorii trebuie să fie plauzibili și paraleli; variantele de răspuns nu trebuie să fie
sinonime sau opuse ca înțeles.

– Itemi de tip pereche/ de asociere
Înscrie în spațiul din fața fiecărui număr din coloana A, litera din coloana B care indică
punctual care apa rține graficului funcției din coloana A.
A B
……… 1. f : ℝ → ℝ, f(x) = x + 1 a. A(2; -2)
……….. 2. f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x – 1 b. B( -1; 3)
……….. 3. f : ℝ → ℝ, f(x) = -0.5x + 1 c. C(3; −1
2)
……….. 4. f : ℝ → ℝ, f(x) = 7 d. D(2; 3)
e. E(1; 7)
f. F(0; -1)
Răspuns: 1→d, 2→f, 3→c, 4→e
Avantaje le utilizării itemilor de tip pereche:

92
– permite evaluarea unui volum mare de cunoștințe într -un timp scurt;
– nu necesită timp mult pentru evaluarea itemilor;
– construcția itemilor este relativ ușoară.
Dezavantaje:
– nu permite construirea unor itemi care să abordeze rezultate complexe ale învățării;
– este relativ dificil ă construirea unor liste de premise sau de răspunsuri omogene.
Recomandări în proiectare a itemilor de tip pereche:
– se recomandă ca aceștia să conțină un număr inegal de răspunsuri și premise, lista de
răspunsuri să conțină și distractori adică răspunsuri care nu trebuie asociate cu nicio premisă , iar
elevii să fie informați că fiecare răspuns poate fi folosit o dată, de mai multe ori sau niciodată.
– toate răspunsurile și premisele unui item să fie plasate pe aceeași pagină;
– răspunsurile să fie aranjate într -o ordine logică (alfabetică/crescătoare), care să nu
conducă elevul spre „ghicirea” răspunsului corect.

– Itemi cu răspuns scurt /de completare
Completează spațiile punctate astfel încât să se obțină o afirmație adevărată.
– O funcție este inversabilă dacă……………………………
– Se numește funcție logaritmică …………….
Avantaje le utilizării itemilor cu răspuns de completare:
– permite evaluarea unui număr relativ mare de cunoștințe;
– măsoară rezultatele învățării la un nivel cognitiv mai ridicat decât simpla recunoaștere
și memorare;
– solicită ca răspunsul dat să fie coerent;
– elaborarea itemilor nu necesită mult timp;
– evaluarea itemilor se face relativ ușor și obiectiv.
Dezavantaje:
– nu se recomandă a fi folosită pentru a măsura capacități intelectuale superioare
(rezolvarea de probleme, analiză, sinteză);
– itemii care cer elaborarea unui răspuns foarte scurt pot determina în timp
subdezvoltarea capacităților de exprimare complexă;
– este necesar ă construirea unui număr mare de itemi pentru a acoperi conținuturile.
Recomand ări în proiectarea itemilor cu răspuns scurt/ de completare:
– întrebările trebuie formulate clar pentru a nu genera confuzii;
– spațiul liber furnizat trebuie să sugereze dacă răspunsul conține un cuvânt sau mai
multe; a se evita folosirea mai multor sp ații libere pentru o întrebare;

93
– se va evita ca răspunsul să fie un text foarte lung pentru a nu încuraja memorarea
mecanică;
– unitățile de măsură din textul întrebării vor fi puse și la sfârșitul spațiului liber.

– Itemi cu întrebări structurate
Se consideră funcțiile fm : ℝ → ℝ, fm(x) =
3×2 2m1m , m
ℝ \ {-1}.
a) Să se determine m știind că fm este strict crescătoare.
b) Determinați m știind că A(1, 0)

mfG .
c) Determinați m știind că f m(1) > f m(2).
d) Determinați m știind că f m(1) = f m(2).
Avantaje le utilizării itemilor de tip întrebări structurate:
– permite transformarea unui item complex într -o suită de itemi obiectivi sau
semiobiectivi permițând evaluarea unor comportame nte corespunzătoare unor niveluri
taxonomice înalte;
– poate testa o gamă largă de cunoștințe;
– permite construirea progresivă a dificultății și complexității itemului;
– se pot utiliza materiale auxiliare (diagrame, hărți,grafice, etc. ), care le face astfel mai
atractive pentru elevi;
Dezavantaje:
– răspunsul la o subîntrebare depinde, uneori de răspunsul la subîntrebările precedente;
– construcția acestor tipuri de itemi nece sită mai mult timp de elaborare;
– implică costuri mai ridicate în ceea ce privește proiectarea lor;
– pot ridica probleme legate de acuratețea și claritatea imaginilor și a graficelor, etc.
– necesită o schemă de notare elaborată;
Recomandări în proiectarea itemilor cu întrebări structurate:
– întrebarea trebuie să ceară răspunsuri la început și să crească dificultatea acestora spre
sfârșit. Gradul de dificultate poate fi, în general, asociat cu lungimea itemului;
– fiecare subîntrebare nu va da răspunsul corect la subîntrebarea precedentă;
– subîntre bările trebuie să fie independente și în concordanță cu materialele;
– fiecare subîntrebare testează unul sau mai multe obiective.

– Itemi de tip rezolvare de probleme
Calcula ți suma:

94
S =
lg10… lg2 lg11…10log…2log1log1
10log…2log1log1
3 3 3 2 2 2 
Avantaje le utilizării itemilor de tip rezolvare de probleme:
– modalitatea de elaborare a acestor itemi stimulează gândirea creativă a elevilor
favorizând transferul de metode de rezolvare a unor pr obleme cu caracter interdiscipli nar;
– permite o analiză comparativă a metodelor de rezolvare a unei probleme facilitând
alegerea celei mai potrivite;
Dezavantaje:
– proiectarea acestor itemi presupune un timp mai mare de concepere decât în cazul
celorlalți itemi;
– elaborarea baremului de corectare și notare este mai dificilă lăsând loc uneori
interpretărilor din partea evaluatorilor;
– timpul de administrare și corectare este mai mare decât în cazul celorlalți itemi.
Recomandări în proiectarea itemilor de tip rezolvare de probleme:
– se recomandă ca sarcinile de lucru să permită evaluarea mai multor elemente de
conținut;
– sarcinile de lucru să corespundă obiectivelor de evaluare vizate de itemi;
– baremele de corectare trebuie elaborate în așa fel, încât să elimine și cele mai mici
acțiuni subiective ale evaluatorilor.
În România, o reo rganizare pe clase și lecții a fost introdusă prin „Legea Instrucțiunii
publice” din anul 18646. Acest mod de organizare se caracterizează prin:
– gruparea elevilor pe clase în funcție de vârstă și nivelul de pregătire;
– trecerea dintr -o clasă în alta în fiecare an pe baza promovării;
– stabilirea unei durate de școlarizare;
– existența unui început și sfârșit de an școlar; acesta era împărțit în unități de lucru:
trimestre/semestre, urmate de vacanță;
– ziua școlară se derulează după un orar în care disciplinele se succed în unități de timp
egale (de obicei 50 minute), alternând cu recreațiile;
“Lecția rămâne principala formă de organizare a activităților didactice. Etimologia
cuvântului „lecție” se află în termenul latin „lactio –onis” , care îns eamnă „a citi cu glas tare, a
audia, a lectura, a medita” . Prin lecții se realizează concomitent informare și formare, instruire
și educare în cadrul unei comunicări profesor – elev, subordonată competențelor generale și

6 Miron Ionescu, Ion Radu, Didactica modernă, Edtiura Dacia, Cluj – Napoca, 2004, p. 178

95
specifice ale procesului de învăță mânt, operaționalizate la nivelul colectivului de elevi ”7.
“Structura lecției este rezultatul asamblării complexe a mai multor componente, precum și a
relațiilor dintre acestea. Componenetele unei lecții sunt reprezentate de următoarele resurse ”8:
– umane (profesor, elev);
– materiale (mijloacele de învățământ, cabinetul de matematică , sala de clasă);
– temporale (ora)
– informaționale (conținutul lecției);
– procedurale (strategia didactică de predare – învățare –evaluare);
Prin interacțiuni le dintre componentele menționate se produce învățarea concretizată în
rezultatele obținute de elevi și profesor (cunoștințe, competențe, atitudini, valori). În actualul
context educațional, rolul celor doi factori ai procesului de educație, profesorul și elevul, are în
vedere din partea profesorului: facilitarea învățăturii, încurajarea elevilor pentru a formula
puncte de vedere personale, colaborarea cu elevii în realizarea demersului didactic, iar pentru
elev, noul rol are în vedere învățarea prin cooper are, învățătura în contexte formale și
nonformale, transferul învățăturii.
Categorii/tipuri și variante de lecții
Lecțiile pot fi grupate în mai multe categorii (numite în mod tradițional tipuri), fiecare
având anumite particularități didactice. Categoria (tipul) unei lecții este dată de modul de
organizare și desfășurare a activității de predare – învățare – evaluare, de obiectivul didactic
fundamental. În funcție de obiectivul didactic fundamental, la disciplina matematică, putem
identifica următoarele c ategorii de lecții:
– lecția de dobândire de noi cunoștințe;
– lecția mixtă sau combinată;
– lecția de formare a priceperilor și deprinderilor;
– lecția de recapitulare și sistematizare a cunoștințelor (de consolidare);
– lecția de verificare și apreciere;
Frecvența lecțiilor crește atunci când în interiorul fiecărei categorii se utilizează mai
multe variante de lecții.
Abaterile de la forma clasică de organizare a lecțiilor este o urmare firească a noilor
procedee de lucru și a noilor mijloace de activizare a elevilor folosite de profesor la lecție.
Schema tradițională a lecției, axată pe asimilare în vederea reproducerii celor învățate,
nu mai este respectată întotdeauna și întrutotul: se apelează la acel e variante care antrenează

7 Miron Ionescu, Ion Rad u, Didactica modernă, Edtiura Dacia, Cluj – Napoca, 2004, p. 191
8 Maria Luiza Dulama, Practica pedagogică: teorie și metodologie, Editura Clusium, Cluj – Napoca, 2005, p. 78

96
capacitățile de investigare, de anticipare, de soluționare teoretică sau practică a unor probleme de
către elevi. Verificarea este de multe ori inclusă în însuși activitatea elevului, pe tot parcursul
desfășurării lecției; temele și indicațiile de lucru se dau uneori pe fișe, alteori se scriu pe tablă
sau se comunică oral.
Oricare ar fi tipul de lecție și varianta la care se recurge, organizarea acesteia reclamă
respectarea unor cerințe și anume:
– stabilirea exactă a scopului instructiv și educațional urmărit (pe baza cuno așterii
conținutului temei de predare, al nivelului de dezvoltare intelectuală a elevilor și a
direcțiilor în care trebuie formată și dezvoltată personalitatea acestora;)
– alegerea materialului (vechi și nou) care poate contribui în cea mai mare măsură în
realizarea scupului propus;
– stabilirea planului după care se va desfășura lecția, în așa fel încât să se asigure o
succesiune judicioasă a materiei, o verificare maximă a timpului și un randament
maxim de la fiecare elev; să se ajungă la stabilirea unor rel ații active profesori -elevi,
elevi -documentație, elevi -elevi;
– alegerea unor metode și procedee de lucru capabile să transforme munca elevilor într –
o acțiune de cucerire a cunoștințelor sub dirijarea profesorului, într -o activitate directă
a acestora, care să răspundă cerințelor sociale de integrare a învățământului cu
cercetarea și producția.
Principalii indicatori de reușită a unei lecții sunt:
– gradul de participare, implicare a clasei în desfășurarea lecției;
– reacția elevilor pe parcursul derulării activi tății;
– antrenarea tuturor elevilor în secvențele de învățare, fixare;
– calitatea activității independente desfășurate de elevi;
– transferul cunoștințelor, abilităților în contexte noi;
Impunând obligativitatea adoptării strategiilor de lucru la caracteristic ile temei, la
particularitățile colectivului de elevi, la condițiile locale și la alți parametri, lecția a fost și
rămâne un act de creație al profesorului; acest act trebuie să asocieze atr acția cu eficacitatea,
datele solide și precise cu întrebările car e vor motiva lecțiile următoare, cunoștințele noi cu
formarea spiritului.
O lecție bună provoacă activitatea elevului și introduce o colaborare, un dialog între
profesor și elevi.
Procesul de învățare a matematicii, ca și a oricărei alte discipline din pla nul de
învățământ, cuprinde următoarele etape:
– proiectarea activității de instruire;

97
– desfășurarea instruirii;
– activitatea de învățare de către elevi;
– evaluarea rezultatelor învățării raportate la obiectivele instruirii.
Obiectivul de bază al predării matematicii în gimnaziu și liceu este formarea la elevi a
conceptelor (abstracte) matematice, deprinderea de către aceștia a metodelor specifice
matematicii, a raționamentului inductiv și deductiv, a capacității de a supune unor operații logice
conceptele matematice însușite.
Atunci când întocmim proiectul unei teme sau unei lecții vom formula obiectivele
predării ei prin derivare de la obiectivele generale ale predării matematicii. Pe lângă aceste
obiective, care arată în ce măsură tema respectivă contribu ie la realizarea obiectivelor predării
matematicii este necesar să ne formulăm și obiective oeraționale, prin care să precizăm ce anume
capacități intelectuale și deprinderi practice trebuie să posede elevii la sfârșitul unei secvențe de
instruire.
Proiect area lecțiilor de matematică trebuie astfel concepută, încât fiecare activitate
concretă să conducă spre realizarea unor obiective operaționale clar formulate.
Pentru a urmări eficiența instruirii proiectate este necesar ca să se prevadă realizarea
conexiu nii inverse, atât pentru procesul de învățare, cât și pentru reglarea unor etape ale
instruirii.

98
Proiect didactic

Profesor: Poa ță Iulieta
Unitatea de învățământ: Liceul Tehnologic Tismana
Clasa: a IX -a A
Disciplina : Matematică
Titlul lecție : Aplicații ale funcției de gradul al II -lea
Tipul lecției: Recapitulare și sistematizare a cunoștințelor
Scopul lecției: Recapitularea și sistematizare cunoștințelor elevilor prin prisma obiectivelor
operaționale, a modului în care ele vul poate opera cu aceste cunoștințe teoretice prin rezolvare de
probleme
Obiective operaționale: În cadrul acestei lecției elevii trebuie:
O1: să identifice coeficienți unei funcții de gradul al II –lea;
O2: să rezolve o ecuație de gradul al II -lea;
O3: să reprezinte grafic o funcție de gradul al II -lea;
O4: să determine un parametrul real știind că un punct aparține graficului unei funcții de de
gradul al II -lea;
O5: să determine coordonatele vârfului parabolei asociate unei funcției de gradul al II -lea;
O6: să determine punctele de intersecție ale grafic ului funcție i de gradul al II -lea cu axele
de coordo nate;
O7: să discute în funcție de un parametrul real m forma graficului funcției și intersecțiile
acestuia cu axele;
O8: să aplice relațiile lui Vie te pentru o ecuație de gradul al II -lea;
O9: să determine ecuația de gradul al doilea atunci când se cunosc soluțiile;
O10: să aplice semnul funcției de gradul al II -lea în exerciții și probleme;
O11: să găsească punctul de minimul și de maximul al unei fu ncții de gradul al II -lea.
Metode și procedee:
• conversația;
• explicația;
• exercițiul;
• problematizarea;
• munca independent;
• demonstrația;
Mijloace didactice:
• Manual clasa a IX –a (Burtea M., Burtea G., Editura Carminis ),

99
• Culegere de exerciții și probleme
• Fișe de lucru
DESFĂȘURAREA LECȚIEI

1 2 3 4 5
Etap ele
lecției Obiective Activitatea
profesorului Activitatea elevilor Metode și
procedee
1.Moment
organizatoric.
Pregatirea
clasei pentru
lecție Profesorul verifica
prezența, verifică dacă
este cretă burete și cere
elevilor să -și
pregătească materialele
necesare desfășurării
lecției în condiții
optime.
Profesorul verifică
efecuarea temei de către
elevi . Elevii de serviciu
anunță absenții.

Elevii își pregătesc
manualele, caietele și
instrumentele de
scris.

Elevii menționează
dacă au avut
dificultăți în
efectuarea temei.
Conversația
2.Captarea
atenției și
verificarea
cunoștințelor
predate
anterior O1
O2
O3
O4
O5
O6
O7
O8
O9
O10
O11

Profesorul întreabă elevi
și verifică următoarele
noțiuni teoretice :
– coeficienți funcției de
gradul al II -lea;
-rezolvarea ecuației
atașate;
– coordonatele vârfului
parabolei;
– reprezentarea grafică a
funcției de gradul al II –
lea;
– semnul funcției de
gradul al II -lea; Elevii răspund la
întrebări . Conversația
Explicația

100
– minimul și maximul
funcției de gradul al II-
lea;
– relațiile lui Viete
pentru ecuația de gradul
al II-lea;
-formarea ecuației de
gradul al II -lea atunci
când se cunosc soluțiile
acesteia;
Întrebările sunt adresate
în mod frontal.
3.Anunțarea
lecției noi și
a obiectivelor
urmărite Profesorul anunță titlul
lecției. Lecția de astăzi
se numește “Aplicații
ale uncției de gradul al
II-lea” și are ca scop
recapitularea și
consol idarea
cunoștințelor privind
proprietățile funcției de
gradul al II -lea. Elevii ascultă și își
notează titlul lecției
în caiete. Conversația
Explicația
4.Prezentarea
continutului
nou si
dirijarea
invățării O1
O2
O3
O4
O5
O6
O7
O8
O9
O10
O11 “Aplicații ale uncției
de gradul al II -lea”
Profesorul împarte fișele
de lucru elevilor.
Profesorul scoate la
tablă c âte un elev pentru
a rezolva exercițiile din
fișa de lucru.
Profesorul dă explicații
și argumente în funcție
de problema propusă
spre rezolvare și de
Elevii vor rez olva la
tablă și pe caiete
problemele (sub
îndrumarea
profesorului)
aplicând partea
teoretică reamintită la
începutul orei.

Explicatia
Exercițiul
Problematizarea
Demonstrația
Munca
independentă

101
dificultățile întâmpinate
de elevi.
5.Aprecierea
elevilor si
evaluarea
cunoștințelor Profesorul face
aprecieri, notează si
menționează elevii
(nominal) care au
participat activ la
desfășurarea lecției. Elevii sunt atenți și
se implică în
rezolvarea
exercițiilor . Conversația

6.Încheierea
lecției și
anunțarea
temei pentru
acasă Tema pentru acasă:
Profesorul dă ca temă
exercițiile nerezolvate
din fiș a de lucru
Profesorul dă indicații.
Elevii notează tema
în caiet și pun
întrebări acolo unde
consideră că vor
avea nelămuriri . Conversația
Explicația

102
Fișă de lucru
Aplicații ale funcției de gradul al II -lea

1. Se consideră f : ℝ ℝ, f(x) = x2 – 5x + 4. Să se calculeze :
f(-50) ∙ f( -49) ∙…∙ f(50 )
f(f(0)) – f(4)
2. Să se determine parametrul real nenul m, astfel încât graficul funcției f : ℝ ℝ,
f(x) = x2 +mx+1 să conțină p unctul A(3;4 ).
3. Se consideră funcția f : ℝ ℝ, f(x) = x2 + mx + m, m – nr. real. Să se determine
numărul real m astfel încât maximul funcției să fie egal cu 1.
4. Să se determine valorile reale ale lui m, astfel încât reprezentarea grafică a
funcției f : ℝ ℝ, f(x)=x2 – (m+1)x + m să fie tangentă la axa Ox.
5. Să se determine coordonatele vârfului parabolei asociate funcției f : ℝ ℝ,
f(x)=4×2 -12x+9.
6. Sa se arate ca vârful parabolei asociate funcției f : ℝ ℝ, f(x)=x2 – 2x-3 se află pe
dreapta de cuație x + y + 3=0.
7. Să se arate că oricare ar fi m ∈ ℝ, parabola asociată funcției f : ℝ ℝ,
f(x)=x2 -mx+m2+1 este situată deasupra axei Ox.
8. Fie funcția f : ℝ ℝ, f(x)=x2-7x+12 . Să se determine distanța dintre punctele de
intersecție ale graficului funcției cu axa Ox.
9. Să se determine ecuația de gradul al II -lea care admite rădăcinile: x 1= 5 și x 2= -2.
10. Se consideră funcțiile f, g : ℝ ℝ, f(x)=4×2-4x+1 și g(x)=3 x-1. Să se rezolve
ecuația f(x)+2g(x) = 5.

103
CAPITOLUL V

PROIECTAREA, DESFĂȘURAREA ȘI PREZENTAREA
REZULTATELOR CERCETĂRII PEDAGOGICE

5.1. Ipoteza și scopul cercetării
Ipoteza de bază a cercetării de față a fost formulată astfel: Utilizarea preponderentă a
problematizării în sisteme metodologice activizante determină creșterea randamentului școlar,
respectiv facilitarea asimilării și aplicării noțiunilor matematice , în special a funcțiilor
elementare, în liceu.
În cercetarea pedagogică pe care am desfășurat -o am plecat de la ideea c ă finalitatea
întergului proces prin care se învață matematica în lic eu se măsoară, mai mult sau mai puțin, prin
rezultatele obținute la examenul de bacalaureat. Numărul insuficient de ore de matematică
comparativ cu dimensiunea mare a conținuturilor face ca, de multe ori lucrurile să scape de sub
control și să fie insufici ent de bine stăpânită materia de predat. Astfel este necesară o regândire
atât a strategiilor didactice de urmat, cât și o regândire a propriilor noastre atitudini vis -a-vis de
abilitățile și competențele ce sunt necesare a le forma elevilor pentru ca ei s ă fie capabili a se
descurca în orice situație matematică. Pentru că una dintre sarcinile importante ale profesorului
de matematică este aceea de a diminua dificultățile de învățare ale elevilor, el va fi nevoit să
aleagă acele metode activ -participative c are să se potrivească cel mai bine atât lecției de
matematică, cât și nivelului clasei respective.
Scopul cercetării a fost acela de a observa dacă prin aplicarea diverselor metode de
rezolvare de probleme, în alternanță cu metoda clasică, precum și a comb inării tipurilor de itemi,
elevii claselor a IX – a pot obține rezultate mai bune la evaluări formative sau examene naționale
și pot înțelege mult mai bine noțiuna de funcție elementară.

5.2. Obiectivele cercetarii
Obiective generale :
– Conștientizarea de către partenerii actului educațional a dificultăților întâmpinate de
elevilor la exigențele specifice mediului școlar;
– Stabilirea măsurii în care sunt folosite metodele de predare, învățare și evaluare;
– Stabilirea nivelului de cunoștințe ale elevilor înain te de începerea cercetării.
Obiective specifice :
– Trecerea în revistă, selectarea metodelor și a instrumentelor de cercetare;
– Alcătuirea eșantioanelor de subiecți;

104
– Alcătuirea eșantionului de conținut;
– Stabilirea programului experimentului, a conți nutului testelor și a baremului de
corectare;
– Înregistrarea, monitorizarea și compararea rezultatelor obținute de elevii claselor IX
A și IX B în diversele etape ale cercetării și formularea de concluzii.
– Înregistrarea și selectarea opiniilor elevilor, profesorilor și părinților cu privire la
modalitățile de predare și învățare a matematicii în liceu.
Obiective operaționale:
Elevii vor fi capabili:
O1: să manifeste preocupare, interes și motivație pozitivă față de activitatea școlară;
O2: să utilizeze tehnici și strategii adecvate propriului stil de învățare, în vederea
creșterii eficienței învățării;
O3: să demonstreze comportamente de cooperare, colaborare, asumându -și roluri și
responsabilități în cadrul muncii în grup;
O5: să rezolve diverse tip uri de probleme din conți nutul ales ;

5.3. Eșantionul de subiecți
Ca eșantion de subiecți folosiți în cercetarea pedagogică am ales două clase de a IX – a.
Prima clasă, denumită IX A, în anul școlar 2013 – 2014 , iar a doua clasă, denumită IX B, în anul
școlar 2014 – 2015. Alegerea făcută a fost motivată de următoarele aspecte:
– cunosc foarte bine elevii din cele două clase, fiind singurul profesor de matematică în
liceu;
– clasele au un număr apropiat de elevi (în IX A sunt 27 elevi , iar în IX B sunt 25
elevi);
– nucleu l de elevi capabili de performanță la matematică este aproximativ egal ( IX A
are 5 – 6 elevi, IX B are 4 – 5 elevi care pot obține rezultate bune la olimpiade și
concursuri școlare);
– mediile de admi tere la liceu sunt apropiate, ceea ce denotă faptul că nu diferă mult
nivelul de pregătire.
–
5.4. Eșantionul de conținut
Eșantionul de conținut care din care s -a realizat cercetarea pedagogică a fost f ormat din
opt lecții (conținuturi) ce fac parte din capitolul ”Funcția de gradul al II -lea” – semestrul al II –
lea. Acestea sunt:
– Reprezentarea grafică a funcției de gradul al II -lea;

105
– Intersecția graficului cu axa de coordonate;
– Ecuația f(x) = 0;
– Relațiile lui Viete;
– Rezolvarea sistemelor de forma 𝑥+𝑦=𝑆
𝑥∙𝑦=𝑃 ;
– Monotonia funcției de gradul al II -lea;
– Semnul funcției de gradul al II -lea;
– Inecuații de gradul al II -lea;
Am ales aceste conținuturi deoarece am observat, din experiența anilor trecuți, că
majoritate a elev ilor reușesc cu greu să înțeleagă ș i să aplice noțiunile prezentate aici; să
realizeze corect grafice de funcții, să identifice elemente de pe grafic precum și să aplice diverse
formule pentru rezolvarea problemelor legate de noțiunile prezentate.

5.5. Locul și durata cercetării
Cercetarea s -a desfășurat în județul Gorj, localitatea Tismana, în al doilea semestru al
anului școlar 2013 – 2014 și 2014 – 2015, în cadrul Liceului Tehnologic Tismana, acolo unde
sunt profesor din anul 2011. Cercetarea s -a real izat la nivelul claselor a IX -a. Din cele opt clase
care funcționau în acel an școlar în unitatea de învățământ amintită, conform schemei de
cercetare, s -au constituit cele două eșantioane necesare desfășurării cercetării, astfel: două cla se
de a IX -a, co nstituite din 52 de subiecți. Menționez că cele două eșantioane respectă criteriile
omogeniății, din punct de vedere al rezultatelor școlare, și al reprezentativității, neoperându -se
nici un fel de selecție în constituirea claselor incluse în investigație.
Programul școlar se realizează în două schimburi. Ciclul liceal învață de la 800 – 1350 iar
ciclul gimnazial de la 1250 – 1850.
Durata cercetări i: februarie 2014 – iunie 2015.

5.6. Etapele cercetării
Etapele cercetării:
Etape Preconstatativă Constativă Experimentală Posttest
Timp de
desfășurare Februarie 2014 /
Februarie 2015 Martie 2014 /
Martie 2015 Aprilie 2014/
Aprilie 2015 Mai 2014 /
Mai 2015

106
Metode de cercetare folosite:

Metoda Etape ale cercetării
Constatativă Experimentală
Posttest

Autoobservația X X X
Observația sistematică X X X
Ancheta pe bază de chestionar
(pentru elevi) X X X
Analiza documentelor școlare X – –
Testul X X X
Interviul – – X
Experimentul – – –
Studiu de caz X – –
Metode statistice de colectare,
interpretare și corelare a datelor.
–

X

X

5.7. Organizarea și desfășurarea cercetării pedagogice
După finalizarea capitolului ”Funcția de gradul I” din algebra de clasa a IX – a și
rezultatele relativ slabe obținute la testul de evaluare formativă de la finalul capitolului am
aplicat elevilor clasei IX A, respectiv IX B un chestionar de identificare a dificultăților întâlnite
în rezolvarea de probleme.
Pentru o analiză obiectivă a noțiunilor însușite de elevi am aplicat același test de
evaluare celor două clase. Pentru clasa IX A testul a fost aplicat în data de 19.03.2014, iar pentru
clasa IX B test ul a fost aplicat în data de 24.03.2015. Testul de evaluare a cuprins probleme din
următoarele conținuturi:
– Definiția funcției de gradul I;
– Reprezentarea grafică a funcției de gradul I;
– Intersecția graficului cu axele de coordonate;
– Rezolvarea ecuației f( x) = 0;
– Interpretarea grafică a proprietăților algebrice ale funcției de gradul I: monotonie,
semn;
– Inecuații de forma ax + b > 0 (<, ≤,≥) studiate pe ℝ;

107
– Poziția relativă a două drepte. Sisteme de tipul 𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑐
𝑚𝑥+𝑛𝑦=𝑝 a, b, c, m, n, p numere
reale.

108
Test de evaluare
Clasa a IX -a

1.Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x – 10.
(1p) a) Să se calculeze f( -10) ⦁f(-9) ⦁f(-8) ⦁…⦁f(8⦁)f(9) ⦁f(10).
(1p) b) Să se reprezinte grafic funcția f.
(1p) c) Să se determine punctele de intersecție ale graficului funcțieie f cu axele de
coordonate.
(1p) d) Să se studieze semnul funcției f.
(1p) e) Să se rezolve inecuaț ia în ℝ, f(x) > -5

2. Se consideră funcțiile fm : ℝ → ℝ, fm(x) =
3×4 2m1m , m
ℝ \ {2}.
(1p) a) Să se determine m știind că fm este strict crescătoare.
(1p) b) Determinați m știind că A(1, 0)

mfG .
(1p) c) Determinați m știind că f m(1) > f m(2).
(1p) d) Determinați m știind că f m(1) = f m(2).

Notă: Toate subiectele sunt obligatorii.
Se acordă 1 punct din oficiu.
Timp de lucru efectiv de 50 de minute.

109
Rezultate obținute la testul de evaluare din capitolul ”Funcția de gradul I”
Clasa IX A
Data: 19.03.2014
Nr. elevi testați – 25
Media ponderată – 7,04% (șapte 4%)

Nota 3 4 5 6 7 8 9 10
Număr de
elevi 1 3 4 1 4 4 5 3

Clasa IX B
Data: 24.03.2015
Nr. elevi testați – 24
Media ponderată – 7,04% (șapte 4 %)

Nota 3 4 5 6 7 8 9 10
Număr de
elevi – 3 2 4 5 3 6 1

012345
3 4 5 6 7 8 9 10NUMĂR
DE ELEVI
NOTAnr.elevi
0123456
3 4 5 6 7 8 9 10NUMĂR
DE ELEVI
NOTAnr.elevi

110
Chestionar de identificare a dificultăților în rezolvarea problemelor
legate de func ția de gradul I
Chestionar aplicat elevilor ( în data de 21.03.2014 respectiv 26.03.2015 ) la finalul capitolului
”Funcția de gradul I”
Care considerați că este principala dificultate pe care ați întâlnit -o în rezolvarea problemelor din
tema de acasă sau din evaluarea formativă?
(Încercuiți o singură variantă)
R1: Înțelegerea noțiunilor din teorie;
R2: Construcția corectă a graficului u nei funcții și identificarea unor elemente de pe
grafic (determinarea punctelor, reprezentarea în sistemul de axe, trasarea graficului unei funcții,
identificarea punctelor de intersecție ale graficului cu axele de coordonate);
R3: Studierea monotoniei u nei funcții respectiv , determinarea unei necunoscute folosind
condiția ca o funcție de gradul I să fie monotonă ;
R4: Determinarea semnului unei unei funcții;
R5: Rezolvarea de ecuații și inecuații de gradul I;
R6: Alte dificultăți.
…………… ……………………………………… ………………………………………
……………………………………………………………………………………………… ……..
……………………………………………………………………………………………… ……
…………………………………………………………………………………………… ……….
Notă: Timpul de lucru este de 10 min.
Nu scrieți numele sa u prenumele pe chestionar.

Răspunsuri pentru clasa IX A:
Nr. elevi
prezenți R1 R2 R3 R4 R5 R6
25 4 7 5 2 4 3

111

Răspunsuri pentru clasa IX B:
Nr. elevi
prezenți R1 R2 R3 R4 R5 R6
25 3 10 5 3 3 1

În urma administrării acestui chestionar ambelor clase am constatat că elevii au
dificultații la aplicarea noțiun ilor teoretice, în special la construcția unui grafic precum si la
identificarea unor elemente de pe grafic. Am remarcat că elevii au probleme ș i la studierea
monotoniei, dar și la determinar ea semnului unei funcții.
16%
28%
20%8%16%12%RĂSPUNSURILE ELEVILOR CLASEI A IX -A
R1
R2
R3
R4
R5
R6
12%
40%
20%12%12%1,
4%RĂSPUNSURILE ELEVILOR CLASEI A IX -B
R1
R2
R3
R4
R5
R6

112
Ținând cont de dificultățile întâmpinate de elevi la capitolul ”Funcția de gradul I”, chiar
dacă o parte din conținuturi s -au studiat și în clasa a VIII -a, pentrul următorul capitol ”Funcția de
gradul al II -lea”, în activitatea d idactică, la una din clase, am realizat une le modificări.
În anul școlar 2013 – 2014, la clasa IX A , la capitolul ”Funcția de gradul al II -lea”
metodele de predare, învățare și evaluare precum și forma de organizare a clasei a u fost cele
clasice . Au fost implicați activ câți mai mulți elevi, atât la predarea noului conținut cât și la
rezolvarea problemelor. Cu ajutorul întrebărilor adresate frontal clasei , dar și cu indicații din
partea profesorului, am reușit să aplicăm noțiunile teoretice prezentate și s ă rezolvăm cât mai
multe probleme . Activitatea a fost centrată, în general, pe profesor.
În anul școlar 2014 – 2015, la clasa IX B , la capitolul ”Funcția de gradul al II -lea” în
activitatea didactică am folosit strategii, metode, procedee atent proiectat e și aplicate și am
realizat următoarele modificări:
– Am folosit metode activ -participative și mai ales problematizarea;
– Am combinat diverse metode de predare – învățare a noțiunilor și am mărit numărul
de ore pentru unele conținuturi;
– În planificarea ca lendaristică, am mărit numărul de ore pentru rezolvarea de
probleme de la finalul capitolului și am elabort fișe lucru;
– În fișă am introdus probleme de la simplu la complex și am utilizat diferite tipuri de
itemi;
– Am utilizat diferite metode de evaluare pentru a obține rezultatele dorite;
– Întreaga activitate didactică a fost centrată pe elev .

Problematizarea constă în:
Problematizarea sau predarea prin rezolvare de probleme este o metodă didactică ce
constă în punerea în fată a elevului a unor dificultă ți create în mod deliberat.
“Predarea și învățarea prin problematizare și descoperire presupune utilizarea unor
astfel de tehnici care să producă în mintea elevului conștientizarea conflictului dintre informația
existent ă și o nouă informație, între difer ite niveluri de cunoaștere și lichidarea acestui conflict să
ducă la descoperirea a noi proprietăți ale obiectului studiat. ” 9
Conceptul de problemă stă la baza problematizării, mai exact conceperea, construirea și
rezolvarea unei problem, asigură esența a cestei metode, ea presupune existența unui obstacol
cognitiv, care te împiedică să avansezi în cunoaștere sau devine sursă a unor idei controversate, a
unui conflict cognitiv determinat de raportul dintre cunoscut și necunoscut; care generează
contradicții , dificultăți, incertitudini.

9 Ileana Rus, Doina Varna, Metodica predării matematicii , Editura Didactică și Pedagogică, București, 1983, p. 22

113
În funcție de modalitatea în care este realizată problematizarea, se construiesc situațiile
de instruire problematizată, respectiv situațiile -problemă, situația -problemă fiind o sintagmă care
reunește situațiile de instruire.
Este important să facem diferența dintre conceptul de problemă, utilizat în sens clasic și
cel de problemă didactică, acesta din urmă fiind legat de situația -problemă și deci, specific
problematizării.
Important de menționat că nu orice problemă poate să constituie pretext de
problematizare și nu orice întrebare care pretinde o explicație se poate transforma într -o
problemă didactică, specifică problematizării.
“Pentru că problema didactică reprezintă noțiunea de bază utilizată în contextul
problematizării, problemele sau situațiile problematice se pot clasifica din punct de vedere al
dificultăților de ordin cognitiv pe care le întâmpină elevii, astfel:
– Situați i în care elevul nu cunoaște formula de rezolvare a problemei de matematică
cerută.
– Situații în care elevul știe formulele, dar nu poate decide care dintre ele îi sunt utile în
problema de matematică cerută.
– Situații în care elevul nu poate continua r ezolvarea de la un anumit nivel/stadiu al
rezolvării.
– Situații, cu precădere la problemele de geometrie, în care elevul nu știe să realizeze un
desen corect, deci nu poate demara rezolvarea.
– Situații în care, problema de matematică cerută având compo nente din două sau mai
multe subramuri matematice, elevul are nevoie de o reactualizare și mobilizare a anumitor
cunoștințe. ”10”
O situație -problemă poate fi definită ca o situație contradictorie, conflictuală, ce rezidă
din trăirea simultană a două realit ăți și anume una cognitiv -emoțională (anterioară) și una de
noutate și surpriză, pe care o oferă necunoscutul cu care se confruntă subiectul.
Aplicarea acestei metode presupune parcurgerea a trei etape:
– momentul pregătitor sau declanșator care constă în e nunțarea problemei;
– un moment tensional, de încordare care apare datorită contradicției dintre sarcina de
îndeplinit și cunoștințele insuficiente ale elevilor;
– momentul rezolutiv care constă în descoperirea soluției ș i confirmarea ei de către
profe sor.

10 Alexandrina -Ana Vlaicu, Optimizarea predării și învățării matematicii în liceu prin utilizarea predominantă a
problematizării , Cluj -Napoca, 2013, p. 22

114
În lecțiile în care se aplică această metodă profesorul alege problemele, le formulează,
dirijează învățarea, controlează și apreciază munca depusă de elev în toate etapele activității.
În funcție de modul în care este creată și rezolvată problema există patr u variante:
– Profesorul pune problema și tot el sugerează soluția prin explicațiile sa le;
– Profesorul pune problema pe care elevii trebuie să o rezolve. Profesorul îi ajută cu
întrebări, preci zări și informații suplimentare;
– Profesorul pune problema, iar el evii o rezolvă independent.
– Pe baza sugerațiilor profesorului, elevii formulează problema și tot ei o rezolvă.
Problematizarea poate fi utilizată cu success numai dacă elevii dispun de cunoștințele și
deprinderile care le permit găsirea soluției. Problemel e care depășesc cu mult posibilitățile
elevilor au efecte contrare celor dorite, ele demoralizează și inhibă elevii.
În cazul în care elevii dispun de cunoștințele și deprinderile necesare, problematizarea
solicită elevul să gândească, îi pune la încercar e voința, îi dezvoltă imaginația și -i îmbogățeste
experiența de rezolvare de diverse probleme.
Capitolul ”Funcția de gradul al II -lea” și metode activ -participative folosite:
UNITATEA
DE
ÎNVĂȚARE CONȚINUTURI NR.
ORE METODE PROCEDEE EVALUARE
Funcția de
gradul al II –
lea
Definiția
funcției –
exemple 1 oră
Coversația
Descrierea
Exemplifi –
carea
Dezbaterea Verificare
prin sondaj
Graficul funcției
f(x)=ax²
Graficul funcției
f(x)=ax²+c
Graficul funcției
f(x)=ax²+bx+c 1oră

1oră

1oră
Problematizarea

Problematizarea

Problematizarea
Conversația
Exercițiul
Algoritmi –
zarea
Algoritmi –
zarea
Coversația Verificare
orală
Autoevaluare

115
Relațiile lui
Viete
Rezolvarea
sistemelor de
forma
𝑥+𝑦=𝑆
𝑥∙𝑦=𝑃 1oră

1 oră

Problematizarea

Demonstrația

Asalt de idei

Exercițiul
Problemati –
zarea

Verificare prin
sondaj
Verificare
orală

Lecție de
exerciții 2 oră Exercițiul
Problemati –
zarea Autoevaluare
Test scris
Intervale de
monotonie ale
funcției de
gradul al doilea
Punct de extreme 1 oră

1 oră Problematizarea

Problematizarea Asaltul de idei
Problemati –
zarea

Dezbaterea Verificare
orală
Poziționarea
porabolei față de
axa Ox 1 oră Problematizarea
Descrierea Exercițiul
Dezbaterea Verificare prin
sondaj
Verificare
orală

Rezolvarea
ecuației -formule
1oră

Descrierea
Explicația
Demonstrația
Problematizarea
Demonstrația
Problemati –
zarea
Exercițiul
Modelarea
Conversația
Demonstrația
Munca în grup
Asalt de idei Verificare prin
sondaj
Verificare
orală
Test scris
Verificarea
fișelor
Stabilirea
semnului funcției
de gradul II
Aplicații ale
semnului 1 oră

1 oră Algoritmizarea
Problematizarea

Exercițiul Exercițiul
Munca în grup

Problemati –
zarea Verificare
orală
Inecuații
1 ore
Algoritmizarea
Munca în grup Problemati –
zarea Verificarea
fișelor

116
Modelarea Algoritmizarea
Sisteme cu o
ecuație de gradul
I și una de gradul
II
Interpretare
geometrică
1 oră

1 oră
Descrierea
Conversația
Problematizarea

Descrierea
Problematizarea Problemati –
zarea
Modelarea

Problemati –
zarea
Modelarea Verificare
orală

Lecție de
exerciții –
Probleme
practice în care
intervine funcția
de gradul al
doilea 2 ore Problematizarea
Proiectul Modelarea
Asalt de idei Evaluarea
proiectelor

117
Exemple de situații în care se folosește problematizarea pentu rezolvarea unor
probleme:
Tipuri de
Probleme Activitatea
profesorului Activitatea
elevului Comentarii
didactice Enunțul

Problemă
care s -ar
putea rezolva
fără
problematiza
re, dar pe
parcursul
căreia elevii
problemati –
zează
Pune întrebarea:

1.Cum aflăm suma
și produsul
rădacinilor unei
ecuații de gradul al
II-lea.
Profesorul nu
menționează că
trebui e să
calculeze suma și
produsul
rădacinilor făra a
aplica algoritmul
de rezolvare
tocmai pentru a
crea o situația –
problemă.
2.Care este
algoritmul de
rezolvare a unei
ecuații de gradul
al doilea?
3.Ce se întâmplă
dacă ∆<0. Elevii răs pund și
rezolvă:
1.Nu folosesc
relațiile lui Viete și
rezolvă ecuația de
gradul al II -lea

2.Aplică corect
algoritmul de
rezolvare și obțin
∆<0.

3. Ecuația de
gradul al doilea nu
are rădăcini.
În final, cu ajutorul
profesorului aplică
relațiile lui Viete și
rezolvă problema. Pentru a nu
întâmpina dificultăți,
elevii trebuie să știe
să rezolve corect o
ecuație de gradul al
II-lea și cond ițiile
când aceasta are
rădăcini .
Dacă profesorul îi
atenționa că nu
trebuie să aplice
algoritmul de
rezolvare, astfel le
sugera imediat ideea
de rezolvare
și aplicau relațiile
lui Viete.
Elevii sunt puși în
situați a în care nu
cunosc relațiile lui
Viete și nu pot
continua rezolvarea. Se
consideră
ecuația
x2-3x+6
=0, cu
rădăcinile
x1, x2. Să
se
calculeze
expresia
x1+x2-
5x1x2

118
Problemă
care s -ar
putea
rezolva fără
problematiza
re, dar
profesorul
formează o
situație
problematică
1.Cum calculăm
acest produs?

2.Profesorul îi lasă
să calculeze câteva
valori.

3.Îi întreabă dacă
ar exista un punct
pentru care
valoare a funcției
în punctul
respectiv ar fi 0. 1.Calculează
valoarea funcției în
punctele respective
și apoi le î nmulțim.
2.Observ ă că sunt
21 de valori și își
dau seama că nu
aceasta este metoda
de rezolvare.
3.Pe baza
sugesti ilor
profesorului, elevii
rezolvă problema. Elevii știu, în general
să rezolve o astfel de
ecuație.
Se creează situația în
care elevul știe
formulele, dar nu
poate decide care
dintre ele îi sunt utile
în problema cerută.
Profesorul îi ajută cu
întrebări și precizări
suplimentare
Se
consider
funcția
f : ℝ →
ℝ, f(x)=
x2-3x+2.
Să se
calculeze
f(-10)
⦁f(-9) ⦁f(-
8)
⦁…⦁f(8⦁)
f(9)⦁f(10)

Problemă cu
aplicarea
algoritmului 1.Care este
algoritmul de
rezolvare a unei
inecuați i de gradul
al doilea?
1. Se scrie ecuația
atașată.
2. Se rezolvă
ecuația de gradul al
doilea.
3. Se efectuează
tabelul de semn.
4. Se scrie
intervalul ce
reprezintă soluția. Pentru a nu
întâmpina dificultăți,
elevii trebuie să știe:
– să rezolve corect o
ecuație de
gradul al doilea
-să cunoască semnul
funcției de gradul al
doilea
– să construiască
tabel ul de semn. Este
situația în care
profesorul pune
problema, iar elevii o
rezolvă independent Să se
rezolve
inecuația:
x²-6x+8
≤0

După finalizarea capitolului ”Funcția de gradul al II -lea” am aplicat elevilor un test de
evaluare. Testul de evaluare a fost acela și pentru ambele clase (clasa IX A în data de 12.05.2014,
clasa IX B în data de 15.05.2015)

119
Test de evaluare
(Clasa a IX – a)
1. Valoarea lui m pentru care valoarea minimă a funcției f :ℝ→ℝ,
5 12x mx f(x)2
este egală cu 1 este:
a)-1; b) 4; c) 7; d) 0; (1p)
2. Înscrie în spațiul din fața fiecărui număr din coloana A, litera din coloana B care
indică ecuația de gradul al doilea care are soluțiile din coloana A.
A B
………… 1. x1 = -2, x 2 = 2 a. x2-3x+2 = 0
……….. .2. ∅ b.
8 2×2
……….. .3. x1 = x 2 = 1
2 c.
014x 4×2
……….. 4. x1 = 1, x 2 = 2 d.
052xx2 (2p)
3. Completează spațiile punctate astfel încât să se obțină o afirmație adevărată.
a)O ecuație de gradul al doilea are două rădăcini reale diferite dacă……………………………
b)O graficul unei funcție de gradul al doilea este tangent axei Ox dacă.. ……….. (1p)
4. Determinați coordonatele vârfului parabolei asociate funcției f : ℝ → ℝ,
 1xxxf2
. (1p)
5. Se consideră ecuația
013xx2 cu soluțiile
2 1,xx . Se notează cu
n
2n
1 n xx S
pentru
*Nn .
a)Să se rezolve ecuația.
b)Să se scrie relațiile lui Viète și să se calculeze
2S .
c) Să se calculeze expresia
1xx
1xx
12
21
 . (2,25p)
6. Se consideră funcția
1m mxx f(x)R, R:f2 unde
Rm .
a) Pentru m = 2 determina ți intersecția graficului cu axa Ox.
b) Să se determine
Rm știind că
Rx0, f(x)  . (1,75p)

Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 1 punct din oficiu.Timp de lucru
efectiv de 50 de minute

120
Testul a cuprins următoarele tipuri de itemi:
Subiectul 1 face parte din categoria itemilor obiectivi de alegere multiplă. Prin folosirea
acestui tip de item elevi i au putut să -și dezvolte capacitatea de a alege răspunsul corect din mai
multe variant e de răspuns.
Subiectul 2 face parte din categoria itemilor obiectivi de asociere. Acest tip de item
solicită elevilor stabilirea unei corespondențe între cuvinte, propoziții, fraze, date sau alte
categorii de simboluri distribuite pe două coloane. Itemii de asociere se limitează la măsurarea
informațiilor factuale, bazându -se pe asociații, pe abilitatea de a identifica relația existentă între
două no țiuni.
Subiectul 3 face parte din categoria itemilor semiobiectivi cu răspuns scurt/ de
completare . Avantaj ul formulării acestui tip de item a constat în faptul că permite evaluarea unui
număr relativ mare de cunoștințe și măsoară rezultatele învățării la un nivel cognitiv mai ridicat
decât simpla recunoaștere și memorare, permițând să -și dezvolte capacitatea d e a identifica și
selecta răspunsul corect.
Subiectele 4, 5, 6 fac parte din categoria semiobiectivi. Elevii au întâmpinat greutăți la
unele cerințe. Prin folosirea acestor tipuri de itemi s -a putut testa niveluri cognitive ridicate
(aplicare, analiză, si nteză, evaluare).

Rezultate obținute la testul de evaluare din capitolul ”Funcția de gradul al II -lea”
Clasa IX A
Data: 12.05.2014
Nr. elevi testați – 25
Media ponderată – 7,16% (șapte 16%)
Nota 3 4 5 6 7 8 9 10
Număr de
elevi – 3 4 2 4 3 7 2
Ilustrarea rezultatelor de la test la clasa a IX -a A a fost făcută în diagrama de mai jos:

02468
3 4 5 6 7 8 9 10NUMĂR
DE ELEVI
NOTAnr. elevi

121

Clasa IX B
Data: 15.05.2015
Nr. elevi testați – 25
Media ponderată – 7,44% (șapte 44%)

Nota 3 4 5 6 7 8 9 10
Număr de
elevi – 1 3 4 3 6 6 2
Ilustrarea rezultate lor de la test la clasa a IX -a B a fost făcută în diagrama de mai jos:

5.8. Interpretarea rezultatelor. Concluzii.
După aplicarea testului de evaluare din capitolului ”Funcția de gradul al II -lea” am
observat că:
– elevii clasei IX A, acolo unde metodele de predare, învățare și evaluare precum și
forma de organizare a clasei a fost cea clasică, au obținut rezultate mai slabe la evaluarea
sumativă.
– elevii clasei IX B, acolo unde am folosit metode activ -participative și mai ales
problematizarea , au obținut rezultate mai bune la evaluarea sumativă.
Se observă o creștere a randamentului școlar, respectiv facilitarea asimilării și aplicării
noțiunilor matematice.
Concluziile acestei cercetării au pus în evidență că activitățile de predare și învăț are a
matematicii în liceu sunt activități complexe, care implică strategii, metode, procedee atent
proiectate și aplicate. Specificul învățării matematicii presupune formarea și dezvoltarea de
multiple competențe ale elevilor: cele de stăpânire și folosir e corectă a formulelor de calcul, cele
de valorificare a noțiunilor teoretice, de rezolvare a exercițiilor și problemelor etc. Ori, formarea
acestor competențe necesită timp ceva mai mult decât cel stabilit în momentul de față. Pentru că,
0246
3 4 5 6 7 8 9 10NUMĂR
DE ELEVI
NOTAnr. elevi

122
din păcate număru l de ore este mic și pentru că activitatea de învățare este un proces anticipat,
proiectat, oganizat, coordonat și dirijat de profesor, iar această activitate are ca principal scop
obținerea unor achiziții, profesorul este obligat să îi formeze elevului un stil de muncă și tehnici
de activitate intelectuală, care să contribuie la realizarea obiectivelor propuse. Dacă în predarea
lecțiilor de matematică se vor folosi metode activ -participative și mai ales problematizarea, dacă
elevii vor fi învățați să stăpâ nească și să folosească la maximum această metodă, să rezolve
situații problematizate, rezultatele vor fi superioare.

123
BIBILIOGRAFIE

Lucrări de specialitate :
1. Andronache M., Șerbănescu D., Perianu M., Ciupală C., Dumitrel F., Matematică
pentru examenul de bacalaureat M1 , Editura Art, București, 2012;
2. Angola L., Angola T., Manual pentru clasa a IX -a, Editura Mathpress, Ploiești, 2004
3. Burtea M., Burtea G., Manual pentru clasa a IX -a, Editura Carminis, Pitești , 2004 ;
4. Bușneag Dumitru, Leonte Alexandru, Vladimirescu Ion, Culegere de problem pentru
admiterea în învățământul superior și perfecționarea profesorilor de matematică din
învățământul preuniversitar , Editura Sitech, Craiova, 1993;
5. Chiriță Marcel, Grigorescu D aniel, Funcții. Proprietăți și aplicații, Editura
Humanitas Educațional, București, 2003;
6. Ciungu P., Duncea M., Sichitiu I., Pătrășcoiu E., Neguleanu Gh., Constantinescu M.,
Ghidul elevului de clasa a X – a, Editura Comenius, 2001;
7. Corduneanu A., Radu Gh., Pop I., Grămadă V., Culegere de probleme de matematică
pentru admiterea în învățământul superior , Editura Junimea, 1972.
8. Dăncilă Ioan, Algebra examenenlor , Editura All, București;
9. Dinescu C., Săvulescu B., Sinteze de algebră , Editura Didactică și Pedagogică,
București, 1983;
10. Drăcea D., Niculescu L., Pătrașcu I., Seclăman D., Manual pentru clasa a X I-a,
Editura Cardinal, Craiova, 2006;
11. Ionescu – Țiu C., Mușat I. Șt., Exerciții și probleme de matematică pentru clasele IX
și X licee , Editura Didactică și Pedagogică, București, 1978;
12. Moțățeanu M ., Coandă C ., Tuț escu L., Duță Gh.,Giurgițeanu N., Curcă S. , Ilie J.,
Drăghici S. (coordonator), Probleme de concurs 1998 , Editura Paralela 45 , Pitești, 1999 ;
13. Mureșan S. Anton, Mureșan V iorica, Probleme de algebră și analiză. Concursuri de
admitere în învățământul superior 1981 – 1990 , Editura Tehnică, București, 1991;
14. Năstăsescu C., Niță C. , Brandiburu M., Joița D. , Culugere de probleme pentru liceu ,
Editura Rotech Pro, 1996;
15. Năstăsescu C., Niță C., Chițescu I., Mihalca D., Manual pentru clasa a IX -a, Editura
Didactică și Pedago gică R. A. , București , 200 4;
16. Năstăsescu C., Niță C., Chițescu I., Mihalca D., Dumitrescu M., Manual pentru
clasa a X -a, Editura Didactică și Pedago gică R. A., București, 2005 ;
17. Năstăsescu C., Niță C., Soare N., Nițescu D., Dumitrescu M., Manual pentru clasa
a X-a, Editura Didactică și Pedago gică R. A., București, 2003 ;

124

18. Postolache M., Necșuleu Gh., Necșuleu I., Crăciun A., Bercu L., Manual pe ntru
clasa a X -a, Editura Fair Partners, București, 2005 ;
19. Rizescu Gheorghe, Rizescu Eugenia, Teme pentru cercurile de matematică din
licee , vol. I , Editura Didactică și Pedao pgică , București, 1977 ;
20. Roșculeț Marcel, Analiză matematică , Editura Didactică și Pedagpgică, București,
1984;
21. Savu I ., Popovici D ., Chi teș C., Streinu -Cercel G., Prajea M., Andronache M.,
Rădulescu S. , Ghidul profesorului de matematică. Concursul pentru ocuparea posturilor
didactice -2003 , Editura Sigma, București, 2003 ;
22. Schneider V., Schneider C și colectiv, Exerciții și probleme pentru clasa a IX -a,
Editura Valeriu, Craiova , 2007;
23. Sirețchi Gheorghe, Calcul diferențial și integral , vol. I, Editura Știinșifică și
Enciclopedică, București, 1985;
24. Stan Adrian, Sinteze matematice , Editura Rafet, 2007 ;
25. Suciu Adrian Valeriu, Funcții elementare în matematica de gimnaziu și liceu, Zalău
2008;
26. Zanoschi A., Iurea Gh., Popa G., Răducanu P., Șerdean I., Bacalaureat 2015
Matematică M_mate -info, Editura Paralela 45, Pitești, 2014 ;
27. http://func tiiseminarxb.wikispaces.com/file/view/func tii+notiuni+generale.docx

Lucrări de metodică:
1. Bocsa Eva, Teoria și metodologia instruirii și teoria și metodologia evaluării ;
2. Brânzei Dan, Brânei Roxana, Metodica predării matematicii , Editura Paralela 45,
Pitești, 2007;
3. Cucoș C., Teoria și metodologia evaluării , Editura Polirom, Iași, 2008
4. Dan Christina -Theresia, Chiosa Sabina -Tatiana, Didactica matematicii , Editura
Universitaria Craiova, 2008;
5. Dulama Maria Luiza, Practica pedagogică: teorie și metodologie, Editura Clusium,
Cluj – Napoca, 2005;
6. Ionescu Miron, Radu Ion, Didactica modernă, Edtiura Dacia, Cluj – Napoca, 2004;
Postelnicu C., Fundamentele didacticii școlare , Editura Reprografia Universității din Craiova,
2000;
7. Joița E., Ilie V., Vlad M., Frăsineanu E., Pedagogie și elemente de psihologie
școlară , Editura Arves , Craiova, 2003 ;

125
8. Neacșu I ., Metode și tehnici de învățare eficientă , Editura Militară, București, 1990 ;
9. Postelnicu C., Fundamentele didacticii școlare , Editura Reprografia Universității din
Craiova, 2000;
10. Rus Ileana, Varna Doina, Metodica predării matematicii , Editura Didactică și
Pedagogică, București, 1983;
11. Stan Adrian, Metode și tehnici în asigurarea calității evaluării la matematică în
gimnaziu și liceu, Editura Rafet, Râmnicul Sărat, 2009;
12. Stoica A., Musteață S., Evaluarea re zultatelor școlare, Editura Liceum, Chișinău,
1997 ;
13. Stoica, M., Pedagogie si psihologie , Editura Gheorghe Alexandru, 2001;
14. Vlaicu Alexandrina -Ana, Optimizarea predării și învățării matematicii în liceu prin
utilizarea predominantă a problematizării , Cluj -Napoca, 2013;