PROF. UNIV. DR. PRIPOAE GABRIEL -TEODOR CAN DIDAT PROF. IACOB ( STEMATE ) ANA -MARIA ȘCOALA GIMNAZ IALĂ NR.1 ROATA DE JOS, GIURGIU 2020 UNIVERSITATEA… [618619]

UNIVERSITATEA DIN BUCUREȘTI
FACULTATEA DE MATEMATICĂ ȘI INFORMATICĂ

LUCRARE METODICO -ȘTIINȚIFICĂ
PENTRU OBȚINEREA GRADUL UI
DIDACTIC I

ÎNDRUMĂTOR
PROF. UNIV. DR. PRIPOAE GABRIEL -TEODOR
CAN DIDAT
PROF. IACOB ( STEMATE ) ANA -MARIA
ȘCOALA GIMNAZ IALĂ NR.1
ROATA DE JOS, GIURGIU

2020

UNIVERSITATEA DIN BUCUREȘTI
FACULTATEA DE MATEMATICĂ ȘI INFORMATICĂ

METODICA REZOLVĂRII
PROBLEMELOR DE GEOMETRIA
TRIUNGHIULUI

ÎNDRUMĂTOR
PROF. UNIV. DR. PRIPOAE GABRIEL -TEODOR

CANDIDAT: [anonimizat]. IACOB ( STEMATE ) ANA -MARIA
ȘCOALA GIMNAZIALĂ NR.1
ROATA DE JOS, GIURGIU

2020

Cuprins
INTRODUCERE ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………. 5
CAPITOLUL I . REZULTATE GENERALE PRIVIND GEOMETRIA TRIUNGHIULUI
………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……….. 7
I.1. DEFINIREA TRIUNGHIULUI. ELEMENTE DE BAZĂ ALE UNUI TRIUNGHI ……. 7
I.2. CLASIFICAREA TRIUNGHIURILOR ………………………….. ………………………….. …….. 8
I.3. CONGRUENȚA TRIUNGHIURILOR ………………………….. ………………………….. …….. 9
I.4. ASEMĂNAREA TRIUNGHIURILOR ………………………….. ………………………….. …….. 10
I.5. LINII IMPORTANTE ÎN TRIUNGHI ………………………….. ………………………….. …….. 12
I.5.1 MEDIANA ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………….. 12
I.5.2 BISECTOAREA ………………………….. ………………………….. ………………………….. …… 13
I.5.3 MEDIATOAREA ………………………….. ………………………….. ………………………….. ….. 13
I.5.4 ÎNĂLȚIMEA ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………… 14
I.6. COLINIARITATE, CONCURENȚĂ ȘI PARALELISM ÎN TRIUNGHI ………………… 15
CAPITOLUL II. TEOREME REMARCABILE PRIVIND GEOMETRIA TRIUNGHIULUI
………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……… 16
II.1 EGALITĂȚI ȘI INEGALITĂȚI GEOMETRICE ………………………….. …………………… 17
II.2 RELAȚII METRICE ÎN TRIUNGHI ………………………….. ………………………….. ………. 19
CAPITOLUL III. CONSIDERAȚII METODICE, PEDAGOGICE SI PSIHOLOGICE
PRIVIND PREDAREA GEOMETRIEI TRIUNGHIULUI ………………………….. ….. 30
III. 1. METODE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR DE GEOMETRIE ………………… 30
III. 2. METODE FOLOSITE ÎN GEOMETRIE PENTRU REZOLVAREA PROBLEMELOR 33
III.2.1 METODE GENERALE APLICATE ÎN DEMONSTRAREA TEOREMELOR ȘI
REZOLVAREA PROBLEMELOR ………………………….. ………………………….. ………………. 33
III.2.2 METODE SPECIFICE FOLOSITE ÎN GEOMETRIE PENTRU REZOLVAREA
PROBLEMELOR ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………… 37
III.3. PROBLEME DE CONCURENȚĂ ………………………….. ………………………….. ……….. 43
III.4. PROBLEME DE COLINIARITATE ȘI DREPTE CELEBRE ………………………….. .. 44
III.5 PROBLEME DE ARII ………………………….. ………………………….. ………………………… 46
III.6 PROB LEME DE MAXIM ȘI MINIM ………………………….. ………………………….. …….. 47
III.7 PROBLEME PENTRU CONCURSURI ȘCOLARE ………………………….. ……………. 48
III.8 PROIECTE DIDACTICE ………………………….. ………………………….. ……………………. 57
CAPITOLUL IV. PROBLEME CU CARACTER APLICATIV ………………………….. . 81

IV.1 DETERMINAREA DISTANȚEI DINTRE DOUĂ PUNCTE ACCESIBILE ȘI VIZIBILE.
………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……… 84
IV.2 DETERMINARE DISTANȚEI DINTRE DOUĂ PUNCTE VIZIBILE, DAR NUMAI UNUL
ACCESIBIL ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………… 86
IV.3 DETERMINAREA DISTANȚEI ÎNTRE DOUĂ PUNCTE VIZIBILE, DAR AMBELE
INACCESIBILE ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………… 88
IV.4 DETERMINAREA DISTANȚEI ÎNTRE DOUĂ PUNCTE ACCESIBILE, DAR DESPĂRȚITE
ÎNTRE ELE PRINTR -UN OBSTACOL CARE ÎMPIEDICĂ VIZIBILITATEA DINTR -UN PUNCT
ÎN ALTUL ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………………… 89
IV.5 DETERMINAREA ÎNĂLȚIMILOR CU BAZA ACCESIBILĂ ………………………….. … 89
IV.6 APLICAȚII PRACTICE ALE NOȚIUNILOR DE TRIGONOMETRIA TRIUNGHIULUI
………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……… 90
IV.7 TRIANGULAȚIA ………………………….. ………………………….. ………………………….. …… 94
IV. 8 APLICAȚII PRACTICE ALE GEOMETRIEI PRIN MIJLOACE DIGITALE ………. 96
Bibliografie ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………. 101
Index de notații ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………. 103
Index de noțiuni ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………… 104

Introducere

„Matematica este un mod de exprimare a legilor naturale, est e cel mai simplu și cel
mai potrivit chip de a înfățișa o lege generală sau curgerea unui fenomen, este cea mai
perfectă limbă în care se poate povesti un fenomen natural.” – Gheorghe Țițeica .

Prin predarea geometriei în gimnaziu, și mai apoi în liceu, se urmărește ca elevii să -și
însușească un număr de cunoștințe de geometrie, și în același timp să se dezvolte facultățile
psihice ale elevilor. Geometria, în mod deosebit, dezvoltă gândirea activă, complexă și dialectică
a elevilor, capacitatea de a analiza și generaliza, de a extrage esențialul, de a schematiza
realitatea. În cadrul demonstrațiilor și al rezolvării problemelor de geometrie, prin parcurgerea
raționamentelor, se urmărește dezvoltarea gândirii sub aspectul logic formal, scopul fii nd ca toate
cunoștințele dobândite să devină bunuri proprii, instrumente de lucru, nu numai să fie reținute pur
și simplu. Astfel, scopul instructiv se împletește cu cel educativ și cu activitatea concretă,
practică.
În contextul unor schimbă ri continue a învățământului românesc, în centrul
preocupărilor școlii trebuie să fie cultivarea accentuată a gândirii logice a elevilor. Fiecare lecție
necesită o evaluare temeinică , pentru a stabili nivelul de cunoștințe și deprinderi ale elevului.
Învățarea geometriei exersează gândirea, stimulează organizarea logică a ideilor, întărește atenția
și puterea de concentrare, sporește memoria, dezvoltă un ascuțit simț critic constructiv și
înclinația spre precizie și obiectivitate.
Importanța și actualitatea temei
În cadrul studiului geometriei triunghiului, elevii își formează noțiunile și cunoștințele
prin observarea obiectelor din realitatea cunoscută lor. Se face apoi o abstractizare a formelor
observate, finalizată prin desen. În gimnaziu se acumulează un număr relativ mare de cunoștințe
geometrice, principala preocupare rămânând observarea practică. Treptat se urmărește ca elevii
să se desprindă de contactul cu realitatea obiectivă și să poată studia figuri geometrice fără ca ele
să fie legate de exemple concrete. Acumularea sistematică a cunoștințelor, proces rezultat din
predarea definițiilor, teoremelor, demonstrațiilor, trecerea de la problemele practice la cele
abstracte, adaptarea nivelului de dificultate al problemelor la nivelul cla sei și la nivelul
capacităților elevului, toate necesită o măiestri didactică din partea dascălului. De aceea, o
aplicare adecvată a metodicii predării geometriei triunghiului este foarte importantă în debutul
studiului geometriei, punând bazele geometriei în spațiu, geometriei vectoriale, geometriei
analitice.
Motivarea alegerii temei
În zilele noastre matematica este un instrument esențial de lucru pentru toate
domeniile tehnice, așadar este firesc ca în centrul preocupărilor actuale ale școlii românești să se

situeze cultivarea accentuată a gândirii elevilor. Alegerea acestei teme este motivată de
importanța deosebită pe care geometria o are în cadrul matematicii. În urma activității la clasă am
avut posibilitatea să observ că unii elevi întâmpină greutăți în studiul geometriei, care îi solicită
mai mult decât o fac celelalte ramuri ale matematicii. Am constatat că trebuie să se țină seama de
etapele dezvoltării psihopedagogice ale copilului în toate formele de predare și că trebuie trezi t
interesul acestuia pentru aplicarea în practică a cunoștințelor dobândite. Scopul principal al
procesului didactic rămâne acela de a -l învăța pe elev „să învețe”. Pentru aceasta trebuie aplicat
un stil de lucru activ formativ, metodele și procedeele dida ctice alese având un rol esențial.
Alegerea temei a stat la baza răspunsului la întrebarea continuă: ”Ce metode putem
folosi pentru a ușura înțelegerea noțiunilor privind predarea -învățarea geometriei triunghiului?”.
Descrierea lucrăr ii
Primul capitol al lucrării prezintă rezultate generale privind geometria triunghiului,
începând cu definirea triunghiului, elementele acestuia, clasificarea, congruența, asemănarea
triunghiurilor, precum și linii importante în triunghi. Introducerea noțiunilor este tratată atât la
nivel de gimnaziu cât și la nivel de liceu. În capitolul al doilea sunt enunțate și demonstrate
teoreme remarcabile privind geometria triunghiului. Capitolul al treilea conține considerații
metodice, pedagogice și psihologice privind predarea geometriei triunghiului. Sunt descrise
metode generale și specifice de rezolvare a problemelor de geometrie urmărind o clasificare a
acestora: probleme de concurență, probleme de coliniaritate și drepte celebre , probleme de arii,
probleme de maxim și minim, probleme pentru concursuri școlare . La finalul capitolului sunt
atașate două proiecte didactice: ”Unghiuri în jurul unui punct. Suma măsurilor lor.” și “Cazurile
de congruență ale triunghiurilor oarecare”. Ult imul capitol al lucrării descrie metode de rezolvare
a unor probleme cu caracter aplicativ : determinarea distanței dintre două puncte accesibile și
vizibile, determinarea distanței dintre două puncte vizibile, inaccesibile, determinarea distanței
dintre două puncte accesibile, dar despărțite printr -un obstacol, determinarea înălțimilor cu baza
accesibilă, aplicații practice ale trigonometriei, triangulația, aplicații practice ale geometriei prin
mijloace digitale.

Capitolul I . Rezultate general e privind geometria triunghiului

I.1. Definirea triunghiului. Elemente de bază ale unui triunghi

În redactarea acestui paragraf, am urmărit îndeaproape lucrarea [ 3].
Definiție. Se numește mulțime convexă o mulțime M de puncte, care are următoarea propri etate:
dacă P și Q sunt puncte distincte oarecare ale mulțimii M, atunci M conține toate punctele
segmentului (PQ): P,Q M (PQ) M.
Mulțimea vidă și mulțimile formate dintr -un singur punct se consideră convexe. O mulțime
formată din două puncte nu est e convexă.

P Q P Q

Fig. I.1 Mulțime convexă Fig. I.2 Mulțime care nu este convexă

Exemple de mulțimi convexe: plan ele, semiplan ele, dreptele, semidreptele, se gmentele.
Intersecția a două mulțimi convexe este o mulțime convexă.
Definiție. O linie poligonală este o mulțime de forma L=[P 1P2] [P2P3] PnPn+1]. Punctele
P1,P2,P3,….,P n+1 se numesc vârfurile liniei, iar segmentele [P 1P2], [P 2P3], …[ P nPn+1] se numesc
laturile ei. Linia poligonală se numește închisă dacă P 1=Pn+1 și simplu închisă dacă în plus
oricare două laturi nevecine nu au punct comun și două laturi vecine au suporturi diferite. O linie
poligonală simplu închisă se numește poligon.
Definiți e. Un poligon cu trei laturi se numește triunghi .
Interiorul unui poligon convex reprezintă intersecția semi planelor deschise limitate de
suporturile laturilor poligonului și care conțin vârfurile nesituate pe laturile respective.
Reuniunea dintre un pol igon convex P 1P2P3,….,P n și interiorul său se numește suprafață
poligonală convexă și se notează cu [P 1P2P3,….,P n]. În cazul triunghiului ABC, mulțimea
[ABC] se numește suprafață triunghiulară .

A
int ABC
B C
Fig.I.3 Suprafață triunghiulară
La nivelul cuno ștințelor de clasa a VI -a, triunghiul este definit astfel:
Definiție. Fie A,B,C trei puncte necoliniare. Figura geometrică obținută prin reuniunea
[AB] [BC] [CA] se numește triunghi .
A

B Fig.I.4 C
În ABC : [AB], [BC], [AC] se numesc laturile triunghiului; A, B, C se numesc vârfurile
triunghiului.

I.2. Clasificarea triunghiurilor
În redactarea acestui paragraf, am urmărit îndeaproape lucrările [3], [7].
Clasificarea triunghiurilor se poate face după măsurile unghiurilor sau comparând măsurile
laturilor astfel:
 În funcție de măsurile unghiurilor , triunghiurile se clasifică astfel :
– Triunghi ascuțitunghic – triunghiul ca re are toate unghiurile ascuțite,
– Triunghi dreptunghic – triunghiul cu un unghi drept ,
– Triunghi obtuzunghic – triunghiul cu un unghi obtuz.

 Comparând lungimile laturilor, triunghiurile se clasifică astfel:
– Triunghi oareca re (scalen) – triunghi cu lungimile laturilor diferite,
– Triunghi isoscel – triunghi cu două laturi congruente,
– Triunghi echilateral – triunghi cu toate laturile congruente.

după măsurile

unghiurilor

comparând
lungimile laturilor Ascuțitunghic
m( A)<90o
m( B)<90o
m( C)<90o Dreptunghic
m( A)=90o
[AB], [AC] catete
[BC] ipotenuză Obtuzunghic
m( A)>90o
Oarecare
AB≠BC≠AC
A
C
B B

A C C

A C
Isoscel
AB=AC A

B C A

B C A

B C
Echila teral
AB=BC=AC A

B C

Fig. I.5 Clasificarea triunghiurilor
I.3. Congruența triunghiurilor
În redactarea acestui paragraf, am urmărit îndeaproape lucrarea [3 ].
Definiție. Fie ∆ABC și ∆A ′B′C′ două triunghiuri. Dacă (AB) (A′B′), (AC) (A′C′), (BC) (B′C′),
A A′, B ≡ B′, C C′, atunci spunem că există o congruență î ntre triunghiurile ∆ABC
și ∆A ′B′C′ și scriem ∆ABC ∆A′B′C′.
Axioma de congruență L.U.L Fie ∆ABC și ∆A ′B′C′ două triunghiuri (Fig. I.5). Dacă
(AB) (A′B′), (AC) (A′C′) și A A′ atunci ∆ABC ∆A′B′C′.

Fig. I. 6 Triunghiuri congruente (L.U.L)

Teorema de congruență U.L.U Dacă triunghiurile ∆ABC și ∆A ′B′C′ au (AB) (A′B′),
A A′, B ≡ B′ atunci ∆ABC ∆A′B′C′. P
C C ′

A B A′ B′
Fig. I. 7 Triunghiuri congruente(U.L.U)
Demonstrație. Fie punctul P (A′C′ astfel încât (AC) (A′P). Conform axiomei L.U.L rezultă
∆ABC ∆A′B′P. Cum B ≡ A′B′P, B ≡ A′B′C′ și P, C′ sunt de aceeași parte a lui A ′B′
rezultă că [B ′C′ și [B′P coincid, iar C ′=P. Prin urmare ∆ABC ∆A′B′C′.
Teorema de congruență L.L.L Dacă triunghiurile ∆ABC și ∆A ′B′C′ au (AB) (A′B′),
(AC) (A′C′), (BC) (B′C′), atunci ∆A BC ∆A′B′C′.

I.4. Asemănarea triunghiurilor
În redactarea acestui paragraf, am urmărit îndeaproape lucr ările [3], [7].
Definiție. Fie triunghiurile ABC și A ′B′C′. Dacă

spunem că există o asemănare între triunghiurile ABC și A ′B′C′ și scriem ∆ABC ∆A′B′C′.
Notația ∆ABC ∆A′B′C′ stabilește ordinea vârfurilor. În acest caz, perechile de vârfuri (A,
A′), (B, B′), (C, C′) și perechile de laturi ((BC), (B ′C′)), ((AC),(A ′C′)), ((AB), (A′B′)) se numesc
corespondente sau omoloage.
Definiție . Raportul lungimilor a două laturi corespondente se numește raportul de asemănare al
celor două triunghiuri .
Observație. Două triunghiuri congruente sunt asemenea, raportul de asemănare fiind egal cu 1.
Teorema 1. (Teorema fu ndamentală a asemănării) Fie ∆ ABC și DE BC, A D, D AB,
E AC. Atunci ∆ADE ∆ABC.
Demonstrație. În funcție de poziția punctelor A, B și D există trei situații posibile: D (AB),
B (AD) și A (BD). Demonstrăm în cele ce urmează primul caz, D (AB), celelalte două
demonstrându -se în mod analog.

Fig. I. 8
Deoarece DE BC rezultă (unghiuri corespondente), (unghiuri
corespondent e), Din teorema lui Thales rezultă că

. Construim
EF AB, F BC. Atunci

. Deoarece BDEF este paralelogram rezultă (DE) (BF) și

. Așadar

. Conform definiției rezultă ∆ADE ∆ABC.
Pe baza teoremei 1 se pot demonstra teoremele asemănării , numite și cazuri de asemănare ,
care stabilesc condițiile necesare și suficiente pentru ca două triunghiuri să fie asemenea.
Fie triunghiurile ∆ABC și ∆A ′B′C′:
Teorema 2. Dacă , atunci ∆ABC ∆A′B′C′.
Teorema 3. Dacă

, atunci ∆ABC ∆A′B′C′.
Teorema 4. Dacă

, atunci ∆ABC ∆A′B′C′.
Demonstrație . Fie D (AB astfel încât (A ′B′) (AD) și DE BC, E (AC, ∆ADE ∆ABC
conform teoremei fundamenta le a asemănării. Demonstrăm că ∆ADE ∆A′B′C′ și deci
∆ABC ∆A′B′C′.

Fig. I. 9
T2) (din ipoteză), (din construcție și din ipoteză),
(din construcție). Deci ∆ADE ∆A′B′C′.
T3)

, (din ipoteză),

(din ∆ADE ∆ABC), (din construcție)
rezultă

, deci (A ′C′) (AE), deoarece și (AD) (A′B′) rezultă că
∆ADE ∆A′B′C′.

T4)

(din ipoteză). Cum ∆ADE ∆ABC rezultă

și cum (A ′B′) (AD),
rezultă că

. În concluzie A ′C′=AE și B ′C′=DE. De aici rezultă că
∆ADE ∆A′B′C′.

I.5. Linii importante în triunghi
În redactarea acestui paragraf, am urmărit îndeaproape lucr ările [3], [7].
I.5.1 Mediana
Definiție. Segmentul care are ca extremități un vârf al triunghiului și mijlocul laturii opuse se
numește mediană.

Fig. I. 10 Mediana unui triunghi
Din D (BC) și (D B) (DC) rezultă că (AD ) este mediana corespunzăt oare laturii (BC).Punctul
D se numește piciorul medianei.
Observație. Orice triunghi are trei mediane .
Teoremă . Medianele unui triunghi sunt concurente într -un punct G, numit centrul de greutate al
triunghiului. Punctul de intersecție determină cu mijlocul fiecărei laturi un segment al cărui
lungime este ½ din lungimea segmentului pe care îl determină cu vârful opus laturii.
Demonstrație. Fie ∆ABC , D și E mijloacele laturilor (BC), respectiv (AC). Deoarece în
triunghiul BAD, (BE ), A , D , rezultă că (BE și (AD au un punct comun
G.

Fig. I. 11 Intersecția medianelor într -un triunghi
Deoa rece (AD) ) rezultă că {G}=(AD) (BE). Fie M, N mijloacele segmentelor
(AG), respectiv (BG). (MN) este linie mijlocie în ∆ABG deci MN AB și MN=
AB. În ∆ABC,
(DE) este linie mijlocie, deci DE AB și DE=
AB. Rezultă că (DE) (MN) și DE MN, deci
MNDE este paralelogram. Așadar GD=MG=AM=
AD. Fie F mijlocul laturii (AB) și

{G′}=(FC) (AD). În mod analog demonstrăm că DG ′=
AD. Deoarece G și G ′ aparțin
segmentului (DA), din teorema de construcție a unui segment rezultă că G=G ′.
I.5.2 Bisectoarea
Definiție. Bisectoarea unui unghi dintr -un triunghi se numește bisectoare interioară a unghiului
dat.
Teoremă. Bisectoarea unui unghi este locul geometric al punctelor din interiorul unghiului egal
depărtate de laturile unghiului, reunit cu vâ rful unghiului.
Din D (BC) și BAD CAD rezultă că (AD) este bisectoarea corespunzătoare unghiului A al
triunghiului ∆ABC. Punctul D se numește piciorul bisectoarei.
Observație. Orice triunghi are trei bisectoare.
Teoremă. Bisectoarele unghiurilor unui t riunghi sunt concurente într -un punct I, numit centrul
cercului înscris în triunghiul dat.
Demonstraț ie. Conform teoremei transversalei rezultă că bisectoarele unghiurilor A și B
intersectează laturile (BC) și (AC) în câte un punct D, respectiv E.
Din aceeași teoremă rezultă că există un punct I, {I}=(AD) (BE). Deci I ). Din
proprietatea punctelor bisectoarei unui unghi rezultă d(I,BC)=d(I,AB), d(I,AB)=d(I,AC) și deci
d(I,BC)=d(I,AC) și pentru că I ) rezultă că (CI este bisecto area unghiului C.

Fig. I. 12 Intersecția bisectoarelor într -un triunghi
I.5.3 Mediatoarea
Definiție. Mediatoarea unui segment este dreapta perpendiculară pe mijlocul segmentului.
Teoremă. a) Orice punct de pe mediatoarea unui segment este egal depărta t de capetele
segmentului.
b) Orice punct egal depărtat de capetele unui segment aparține mediatoarei
segmentului.
În concluzie, mediatoarea unui segment este locul g eometric al tuturor punctelor egal depărtate
de capetele segmentulu i.
Definiție. Mediatoarea unei laturi a unui triunghi se numește mediatoare a triunghiului dat.
Observ ație. Orice triunghi are trei mediatoare.

Teoremă. În orice triunghi mediatoarele laturilor sunt concurente într -un punct O, numit centrul
cercului circu mscris triunghiului.
Demonstrație. Demonstrăm mai întâi concurența a două mediatoare. Fie ∆ABC, d 1 și d 2
mediatoarele segmentelor (AB) respectiv (BC). Presupunând că d 1 și d 2 nu sunt concurente,
rezultă d 1 d2. Pentru că d 2 BC rezultă că și d 1 BC. Dar d 1 BA. Deci prin B trec două
perpendiculare distincte pe dreapta d 1, ceea ce nu este posibil. Deci d 1 și d 2 sunt concurente. Fie
d1 d2={O}.
Prin proprietatea punctelor mediatoarei rezultă că (OA) (OB) (OC) ceea ce înseamnă
că O aparține mediatoarei segmen tului (AC).

Fig. I.1 3 Intersecția mediatoarelor într -un triunghi
I.5.4 Înălțimea
Definiție. Perpendiculara prin vârful unui triunghi pe dreapta determinată de latura opusă se
numește înălțime.
Fie ∆ABC. Din D (BC) și AD BC rezultă că (AD) este înălț imea triunghiului ABC
corespunzătoare laturii (BC).

Fig. I.1 4 Înălțimea într -un triunghi
Observ ație. Orice triunghi are trei înălțimi.
Teoremă. Înălțimile unui triunghi sunt concurente într -un punct H, numit ortocentrul
triunghiului.
Demonstrație. Fie ∆ABC și A ′, B′, C′ picioarele perpendicularelor din A, B , C, respectiv pe BC,
AC, AB și ∆DEF triunghiul format de paralelele duse la laturile triunghiului ABC prin vârfurile
acestuia.
Din construcție, ABCF și BCAD sunt paralelograme deci (BC) (AF) (AD). Pentru că
BC DF și AA ′ BC rezultă că AA ′ DF. Deci AA ′ este mediatoarea segmentului (DF). În mod

analog se arată că BB ′ și CC′ sunt mediatoarele segmentelor (DE) și (EF). Prin urmare, înălțimile
triunghiului ABC sunt mediatoarele laturilor triunghiului DEF și deci rezultă, din teorema de
concurență a mediatoarelor, că sunt concurente.

Fig. I.1 5 Intersecția înălțimilor într -un triunghi
I.6. Colini aritate, con curență și paralelism în triunghi

În redactarea acestui paragraf, am urmărit îndeaproape lucrarea [13].
Teoremă. Mijloacele laturilor unui triunghi, picioarele înălțimilor și mijloacele segmentelor ce
unesc fiecare vârf cu ortocentrul triunghiului sunt situate pe un același cerc, numit cercul lui
Euler.
Demonstrație.

Fig. I.1 6 Cercu l lui Euler
Considerăm triunghiul ABC ascuțitunghic. Fie A ′, B′, C′ mijloac ele laturilor [BC], [CA], [AB] și
fie A 1= pr BCA, B 1= pr ACB, C1= pr BAC.
B C A1A A B C A1 este trapez
[A B ] este linie mijlocie în triunghiul ABC A B =
AB
În triunghiul dr eptunghic AA 1B, A 1 este mediană A1C =
AB A1C = A B A B C A1
este trapez isoscel A1 aparține cercului determinat de A ,B ,C .

Analog se demonstrează că punctele B 1 și C 1 aparțin aceluiași cerc.
Fie A 1 mijlocul segmentului [A H].
[C A 1] este lin ie mijlocie în triunghiul ABH C A 1 BH, BH AC și A C AC C A 1
A′C A′1 C′A′Bv este patrulater inscriptibil A′1 aparține cercului determinat de A ′,B′,C′.
Analog ar ătăm că mijloacele segme ntelor [BH] și [CH ], punctele B ′1 și C′1 aparțin cercului
determinat de A ′,B′,C′.
Observație. [A 1A ], [B 1B ], [C 1C ] sunt d iametre în cercul lui Euler, deci dreptele A 1A , B 1B
și C 1C sunt concurente.
Teoremă. Proiecțiile ortogonale ale unui punct M de pe cercul circumscris triunghiului ABC pe
laturile aces tuia sunt coliniare.
Demonstrație.

Fig. I.1 7 Dreapta lui Simson (reprezentare geometrică realizată cu aplicația GeoGebra)
Fie A =pr BCM, B =pr ACM, C =pr ABM.
AB MC , MB A C, ABCM sunt patrulatere inscriptibile.
m( A B C)= m( A MC)= 900- m( A′CM)= 900- m( C′AM)= m( C'MA)= m( C'B'A)⇒
C'B'A A'B'C ⇒ A', B', C′ sunt situate pe aceeași dreaptă (dreapta lui Simson).
Teoremă. În orice t riunghi ABC ortocentrul, centrul de greutate și centrul cercului circumscris
triunghiului sunt situate pe aceeași dreaptă (dreapta lui Euler ).
Demonstrație.

Fig. I.1 8 Dreapta lui Euler (reprezentare geometrică realizată cu aplicația GeoGebra)

Capitolul II. Teoreme remarcabile privind geometria triunghiului

II.1 Egalități și inegalități geometrice
În acest paragraf am preluat cu mici modificări din lucrarea [ 3].
Teorema 1 (Teorema lui Thales) O paralelă la una din laturile unui triunghi determină, pe
celelalte laturi sau pe prelungirile lor, segmente proporționale .
Demonstrație. Fie un triungh i ABC și o dreaptă s, paralelă cu BC , astfel încât A s. Notăm
s∩AB={D} și s∩AC={E} . Demonstrăm că

.
Cazul I. D (AB) și E (AC).
Fie
=
, unde m, n . Rezultă

, adică (AD, AB) și ( m,n) sunt proporționale, cu
k>0 coeficientul de proporționalitate. Deci AD=k· m și AB=k· n. Fie punctele M 1, M 2, M 3,…, M n-1
pe (AB), astfel încât segmentele formate să fie congruente și AM 1=k, AM 2=2k, …, AM n-1=(n-
1)k, AB=nk. Deoarece AD= k· m rezultă că D=M m.
Prin punctele M i, i= se duc paralele la BC care intersectează (AC) în punctele N i,
i= . Deoarece DE este una dintre aceste paralele, E=N m. Atunci (AN 1) (N1N2) …
(Nn-1C). Atunci AE= mAN 1 și AC= nAN 1 deci

și

.

Cazul II. B (AD) și C (AE).
Aplicăm rezultatul de la cazul I pentru triunghiul ADE și dreapta BC.

Fig. II.2 Teorema lui Thales
Cazul III. A (BD) și A (CE). Fie segmentele (AM) și (AN) , (AM) (AB),
(AN) (AC), astfel încât EMND este paralelogram și MN i u
triu ghiu ui i re tei MN obți em ro orți erută

Teorema 2 (Teorema bisectoarei) Fie triunghiul ABC și D (BC). AD este bisectoarea
unghiului BAC dacă și numai dacă

.
Demonstrație. „ ” Arătăm că dacă [AD este bisectoarea unghiului BAC, atunci

.
Construim prin C paralela la AD care intersectează AB în E (fig. II.4). Aplicând teorema
lui Thales rezultă că

.
Cum unghiurile AEC și BAD sunt unghiuri corespondente congruente, rezultă că triunghiul
ACE este isoscel, deci (AE) , de unde

Fig. II.4 Teorema bisectoarei
„ ” Arătăm că dacă

atunci [AD este bisectoarea unghiului BAC.

Considerăm D ′ (BC), astfel încât [AD ′ este bisectoarea unghiului BAC. Atunci

și

. Prin proporții derivate rezultă că

și deci BD=BD ′ și
D=D′.
Teorema 3 (Teorema lui Menelaus) Fie ∆ABC și A ′, B′, C′ trei puncte coliniare distincte astfel
încât A′ BC, B′ AC, C′ AB. Atunci

Demonstrație. Se duce prin C o paralelă la AB care intersectează dreapta A ′B′ în P. Din teorema
fundamentală a asemănării rezultă ∆CPA ′ ∆BC′A′ și deci

sau
CP=
. Tot din teorema fundamentală a asemănării rezultă și ∆CPB ′ ∆AC′B′, de unde se
obține

si CP=
. Așadar

de unde rezultă

Fig. II.5 Teorema lui Menelaus
II.2 Relații metrice în triunghi
În redactarea acestui paragraf, am urmărit îndeaproap e lucrările [3], [4], [11].
Teorema catetei. Lungimea catetei unui triunghi dreptunghic este medie proporțională între
lungimea ipotenuzei și a proiecției catetei pe ipotenuză.
Demonstrație. Fie triunghiul ABC, m( A)=90o și fie D=pr BCA. Cum B și C sunt ascuțite,
rezultă că D (BC) și
(BD)= pr BC(AB), (CD)= pr BC(AC).

Fig. II.6

∆BDA ∆BAC fiind dreptunghice , cu unghiul B comun. Din asemănarea triunghiurilor rezultă
că

și de aici AB2=CB·BD.
Teorema înălțimii. Într-un triunghi dreptunghic, lungimea înălțimii duse din vârful unghiului
drept este medie proporțională între lungimile proiecțiilor catetelor pe ipotenuză.
Demonstrație. Fie triunghiul ABC, m( A)=90o și fie D=pr BCA (Fig. II.5) . Cum B și C sunt
ascuțite, rezultă că D (BC) și (BD)= pr BC(AB), (CD)= pr BC(AC).
∆ADC ∆BAC , de unde rezultă că ∆BDA ∆ADC. Din asemănarea triunghiurilor rezultă că

și de aici DA2=DB·DC.
Teorema lui Pitagora . Într-un triunghi dreptunghic pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu
suma pătratelor lungimilor catetelor.
Demonstrație. Fie triunghiul ABC , m( A)=90o și fie D=pr BCA (Fig. II. 6).
AB2=BC·BD și AC2=BC·DC AB2+AC2=BC·(BD+DC)=BC2.
Teorema lui Pitagora generalizată . a) Se consideră triungh iul ABC, C este un unghi ascuțit și
D=pr BCA, atunci AB2=AC2+BC2-2BC·DC.
Demonstrație. În funcție de natura unghiului B se consideră trei cazuri:
a) B ascuțit, atunci D (BC) (Fig. II. 6). Triunghiurile ABD și A DC fiind dreptunghice au
loc egalitățile:
AB2=AD2+BD2
AD2=AC2- DC2
BD=BC – DC
Înlocuind AD2 și BD în prima egalitate se obține AB2=AC2-DC2+(BC -DC)2 de unde
AB2=AC2+BC2-2BC·DC
b) B obtuz, atunci B (DC). Atunci
AB2=AD2+BD2
AD2=AC2- DC2
BD=DC – BC
Fig. II. 7
Înlocuind AD2 și BD în prima egalitate se obține AB2=AC2 – DC2+(DC – BC)2 de unde
AB2=AC2+BC2-2BC·DC
c) m( B)=90o, atunci AB2=AC2+BC2-2BC·DC rezultă din Teorema lui Pitagora.
Teorema lui Pitagora generalizată. b) Se consideră triung hiul ABC, C este un unghi obtuz și
D=pr BCA, atunci AB2=AC2+BC2+2BC·DC.
Demonstrație. C fiind obtuz, rezultă că C (BD). Din triunghiurile dreptunghice A BD și ACD
se obține:

AB2=AD2+BD2
AD2=BC2- CD2
BD= BC + CD

Fig. II. 8
Înlocuind AD2 și BD în prima egalitate se obține AB2=AC2+BC2+2BC·DC.
Reciproca teoremei lui Pitagora . Dacă într -un triunghi suma pătratelor lungimilor a două
laturi este egală cu pătratul lungimii laturii a treia, atunci triunghiul este dreptunghic.
Demonstrație. Se consideră triunghiul ABC în care AB2=AC2+BC2. Fie D proiecția lui A pe
BC. Dacă ACB nu este u ghi re t tu i i i ote ă i i AB2=AC2+BC2-2BC·DC
sau AB2=AC2+BC2+2BC·DC (după cum este s uțit s u obtu re u tă · 0
i ă 0 ee e este î o tr i ție u Re u tă ă m 90o.
Relația lui Stewart. Dacă A,B,C sunt trei puncte coliniare cu B (AC) și O un punct exterior
dreptei AC, atunci are loc relația:
OA2·BC-OB2·AC+OC2·AB=AB·BC·AC
Demonstrație. Fie D piciorul perpendicularei din O pe AC. Pot apărea trei situații: D (BA,
D (BC sau D=B.
Fie D (BA. Deci O este s uț it.

Fig. II. 9
Aplicând teorema lui Pitagora generalizată în triunghiul OAB se obține OA2=AB2+OB2-
2AB·BD.
În triunghiul OBC, obtuzunghic,din teorema lui Pitagor a generalizată obținem
OC2=OB2+BC2+2BC·DB.
Înmulțim OA2=AB2+OB2-2AB·BD cu BC și obținem BC·OA2=BC·AB2+BC·OB2-2AB·BD·BC.
Înmulțim OC2=OB2+BC2+2BC·DB cu AB și obținem
AB·OC2=AB·OB2+AB·BC2+2BC·DB·AB.

Adunăm membru cu membru cele două relații și rezultă
BC·OA2+ AB·OC2= BC·AB2+BC·OB2-2AB·BD·BC+ AB·OB2+AB·BC2+2BC·DB·AB =
AB·BC(AB+BC)+OB2(BC+AB)= AB·BC·AC+ OB2·AC,
deci relația lui Stewart este adevărată.
Teorema medianei. Fie ABC un triunghi și A ′ mijlocul lui BC. Se notează a=BC, b=AC, c=AB.
Atunci AA′2= ( )
.
Demonstrație. Aplicând relația lui Stewart se obține
AB2·A′C – AA′2·BC+AC2·BA′=BA ′· A′C · BC
de unde rezultă că

Fig. II.10

Înlocuind AB ′= A′C =
rezultă

b

b

Formula lui Heron . Aria unui triunghi este dată de formula
A=√ unde p este semiperimetrul triungh iului.
Demonstrație. Fie triunghiul ABC și d =pr BCA.
AD= h a
Din Teorema lui Pitogora generalizată ⇒ c2=a2+b2-2a DC ⇒ DC=( a2+b2-c2): 2a
În triunghiul dreptunghic ADC avem AD2=AC2-DC2 sau ha= b2- [(a2+b2-c2): 2a]2
ha2=[(2ab -a2-b2+c2)(2ab+a2+b2-c2)]:4a2 ⇒ ha=2/a√ b
S=
⇒ A=√

Teorema lui Gergonne . Pe laturile unui triunghi ABC se consideră punctele A ′, B′, C′ (A′ (BC),
B′ (AC), C ′ (AB)), astfel încât dreptele AA ′, BB′, CC′ sunt concurente. Fie {P}= AA ′∩BB ′∩CC′.
Atunci este adevărată relația

Demonstrație.
APAB+A PAC+A PBC=A ABC

Dacă h1, h2, h3 sunt înălțimile triunghiului și d1, d2, d3 sunt distanțele de la punctul P la laturile
corespunzătoare ⇒

Deci

Fig. II.1 1
Teorema lui Euler . Mijloacele laturilor unui triunghi, picioarele înălțimilor și mijloacele
segmentelor ce unesc fiecare vârf cu ortocentrul triunghiului sunt situate pe un același cerc
numit cercul lui Euler.
Teorema lui Simson. Proiecțiile ortogonale ale unui punct M de pe cercul circumscris
triunghiului ABC pe laturile acestuia sunt coliniare. (Demonstrația în paragraful I.6)

Fig. II.12 Dreapta lui Simson (reprezentare geometrică realizată cu aplicația GeoGebra)

Demonstra ție (utilizând aplicaț ia Geogebra)
Fie triunghiul ABC și cercul circumscris acestuia.

Fig. II.13
Considerăm punctul M situat pe cercul circumscris triunghiului și construim proiecțiile acestuia
pe laturile triunghiului.

Fig. II.14
Construim dreapta care trece prin punctele A', B', C' (dreapta lui Simson).

Fig. II.15
Reciproca teoremei lui Simson. Fie M un punct exterior triu nghiului ABC și fie =pr BCM,
=pr ACM, =pr ABM. Dacă sunt coliniare, atunci M se află pe cercul circumscris
triunghi ului.
Demonstrație.

Fig. II.16 Reciproca teoremei lui Simson (reprezentare geometrică realizată cu aplicația GeoGebra)
Deoarece punctele sunt coliniare ⇒ A'B'C ABC '.
B'MC'A, MB 'A'C sunt patrulatere inscriptibile ⇒ m( A'B'C)= m( A'MC)= 900- m( MCB )
m( AB'C')= m( AMC')= 900- m( C'AM) ⇒ MCB C'AM⇒ ABCM inscriptibil ⇒ M se
află pe cercul circumscris triunghiului ABC .

Teorema lui Carnot . Tangentele la cercul circumscris unui triunghi neisoscel în vârfurile lui
taie laturile opus e în puncte situate pe o aceeași dreaptă(numită dreapta Lemoine a triunghiului
ABC).
Demonstra ție 1 (utilizând aplicația Geogebra)
Desenăm triunghiul ABC și cercul circumscris acestuia.

Fig. II.17
Construim tangentele la cercul circumscris în vârfurile t riunghiului.

Fig. II.18
Construim punctele de intersecție ale tangentelor cu laturile opuse.

Fig. II.19
Construim dreapta lui Lemoine care să conțină A1, B1, C1 , punctele de intersecție ale tangentelor
cu laturile opuse lor .

Fig. II.20
Demonstra ție 2.
Fie A 1 BC, B 1 AC, C1 AB, astfel încât A 1A, B 1B, C1C sunt tangente cercului circumscris
triunghiului ABC.
A1 , A1AB A1CA ⇒ A1AB A1CA⇒

Din

⇒

⇒

Analog,

și

. Înlocuim în produs și obținem

⇒
conform re ciprocei Teoremei lui Menelaus punctele A1, B1, C1 sunt coliniare
Teorema lui Van Aubel . Fie triunghiul ABC și punctele A ′ (BC), B ′ AC, C ′ AB, astfel încât
dreptele AA ′, BB′, CC′ sunt concurente într -un punct P. Atunci există relația

P
P
Demonstrație.

Fig. II. 21 Teorema lui Van Aubel (reprezentare geometrică realizată cu aplicația GeoGebra)
Se aplică Teorema lui Menelaus pentru triunghiul AA 'C și punctele coliniare B, P, B '.

⇒

Se aplică Teorema lui Menelaus pentru triunghiul AA 'B și punctele coliniare C, P, C '.

⇒

Adunând cele două relații obținem:

P
P
Teorema lui Ceva. Se consideră un triunghi ABC și punctele A ′ BC, B ′ AC, C ′ AB. Dacă
dreptele AA ′, BB′, CC′ sunt concurente, atunci:

Demonstrație.

Fig. II. 22 Teorema lui Ceva (reprezentare geometrică realizată cu aplicația GeoGebra)
Fie AA BB CC {P}.
Se aplică Teorema lui Menelaus pentru triunghiul AA 'B și punctele coliniare C, P, C '.

P
P

Se aplică Teorema lui Menelaus pentru triunghiul AA 'C și puncte le coliniare B, P, B '.

P
P
Inmulțind cele două relații obținem :

Capitolul III. Considerații metodice, pedagogice si psihologice privind
predarea geometriei triu nghiului

III. 1. Metode de rezolvare a problemelor de geometrie
În redactarea acestui paragraf, am urmărit îndeaproape lucrarea [ 1], [2], [10].
Studierea unor metode pedagogice de rezolvare a problemelor de geometrie este necesară,
deoarece acestea înles nesc înțelegerea demonstrațiilor , fiind mijloace de cerce tare în rezolvarea
problemelor și î l ajută pe elev să -și dea seama ce înseamnă un raționament logic . Problemele au:
 Rol informativ – matematica aplicată în viața curentă, calcul, măsură, în studiul fi zicii,
studii tehnice , matematica privită ca obiect de cultură generală.
 Rol formativ – exercițiul gândirii logice, educarea gândirii creatoare. O problemă cu rol
formativ însemnă că soluția ei are interes și în sine, ca rezultat ce trebuie reținut: ceva c e vom
folosi ulterior în alte probleme. Rolul formativ constituie un exercițiu al gândirii logice și al
gândirii inventive.
Metode de rezolvare a problemelor de geometrie
Metoda este legată de conținut, adică fiecare din cele trei moduri de a face matema tică:
euristică, logică și aplicată, își are stilul său specific.
Elementul intuitiv își are rolul lui în înțelegerea acțiunii de a construi acest sistem care
este substituit cu rigoarea raționamentului logic. Nu numai pentru legătura lui cu practica, ci și
psihologic, ca suport al investigației euristice, elementul intuitiv își are rolul lui. De aceea nu
trebuie să eliminăm complet justificările intuitive, limitându -ne la demonstrații complet
riguroase. Demonstrația riguroasă este mai bine prinsă în rostu l ei când vine după o critică a
justificării intuitive, înlocuind -o în fundamentarea logică, dar păstrând -o ca element activ în
cercetarea euristică.
Problema de a înțelege un text matematic este mai dificilă decât a rezolva o problemă
propriu -zisă. Pentr u a citi și înțelege un text matematic, cititorul trebuie să aibă o vastă experiență
în rezolvări de probleme, să -și dea seama că descifrarea textului este în fond rezolvarea unei
probleme. Deși textul este complet din punct de vedere logic el este incompl et din punct de
vedere psihologic.
Înțelegerea enunțului problemei presupune cunoașterea problemei astfel încât să distingă
clar ce se dă și ce se cere în problemă. Cunoașterea unor anumite procedee și metode pentru
rezolvarea problemelor de geometrie ca re să aibă semnificația lui „cum gândim ”, deci
semnificația strategiei punerii și rezolvării problemelor mari și mici.

Esența activității matematice este dezvăluirea implicațiilor logice ascunse, iar actul de
cunoaștere pe viu este o îmbinare între inform ații dobândite senzorial și cele care izvorăsc din
acestea pe cale logică, în ambele cazuri vizându -se cunoștințe neevidente.
Discuțiile metodice menite să ducă la descoperirea prin gândire, privită nu numai prin
prisma scopului educativ de dezvoltare a p uterii de gândire ci și a celui instructiv: nu se poate
înțelege și asimila cu adevărat un enunț matematic sau o demonstrație dacă se învață pasiv și se
recepționează gata făcută, ci numai atunci când ea se redescoperă. Cunoștințele matematice nu
sunt stat ice, un material depozitat în memorie, ci un instrument de lucru. Valențele educative ale
matematicii (prin rezolvarea de probleme) se extind în sfera personalității elevului (prezente și
ulterioare) de zvoltând și influențând pozitiv aptitudini, ingeniozit ate, flexibilitatea gândirii,
imaginație, spontaneitate, spiritul critic.
Rezolvarea de probleme în grup înlătură tendința de subordonare, frica de a domina,
dezvoltă receptivitatea, interrelații sănătoase prin lipsa unei rivalități dăunătoare.
Învățarea noțiunilor prin probleme este conștientă pentru că elevul nu poate construi un
raționament dacă nu posedă itemurile necesare în structura sa cognitivă.
Călăuzirea gândirii prin întrebări trebuie astfel făcută încât să se aibă mereu în atenție
problema în treagă și ori de câte ori se rezolvă o secvență a ei, să fie prezentată și legătura acesteia
cu întregul. După parcurgerea analitică a demonstrației, care durează mai mult pentru că trebuie
rezolvate aspectele ei parțiale, este necesar să se facă o privire sintetică a ei care să sublinieze
ideea demonstrației.
Elevul nu trebuie să rețină demonstrația în desfășurarea ei analitică; el trebuie să înțeleagă
și să rețină ideea demonstrației, și în funcție de ea s -o poată reconstitui singur în detaliu.
Principul însușirii temeinice a cunoștințelor: cunoștințele descoperite prin efort propriu
sunt fixate mai bine în memorie, sunt ușor de reprodus, identificat și utilizat.
Prin investigarea figurii, corelarea între ce știu și ce nu știu , învățarea se înscrie în c ele
trei procese ce generează temeinicia învățării:
 însușirea informației noi;
 transformarea cunoștințelor pentru a le folosi în rezolvarea sarcinilor noi;
 evaluarea (adecvarea) informației la noile sarcini.
Observația didactică constă în urmărirea atentă a figurii din problemă sub îndrumarea
profesorului, observare sistematică sau autonomă, observare independentă, în scopul depistării
unor aspecte ale realității, a unor relații între elementele ce se dau și ce se cer. Poate contribui la
operații logice co recte, exprimarea unor deosebiri de relații cu alte figuri.

Este util pentru valențele educative ale acestei metode să zăbovim și în sensul ei întrucât
este util să cultivăm calități moral – psihice precum imaginația, răbdarea, perspicacitatea, spiritul
de observație și evitarea confuziilor, mai ales la corpurile geometrice.
Exercițiul didactic este util în cadrul problemelor de geometrie, la clasele III – V, unde
este predominant caracterul intuitiv: măsurări de arii, volume și mai puțin la problemele t ip
geometrie preeuclidiană, unde totuși predomină intuiția adevărului cu mai puțin accent pe
demonstrații riguroase. Ca orice acțiune motrice are valențe formative: adâncirea înțelegerii
algoritmului de rezolvat, dezvoltarea operațiilor mintale și constitu irea lor în structuri
operaționale, sporirea capacității operatorii a cunoștințelor, priceperilor, deprinderilor, prevenirea
uitării, evitarea confuziilor, dezvoltarea unor calități morale ca voința.
Pentru a beneficia de consecințele psihologice și de o rdin mental ale metodelor intuitive,
profesorul trebuie să confrunte elevul cu materialul concret, nemijlocit exersându -i priceperea,
contemplarea, creând mutații ca intuiții superioare, subtile, ajutând și la generalizări și
abstractizări. Și aici suprali citarea riscă să transforme matematica în „ lucru manual”.
Descoperirea didactică este o metodă euristică; presupune crearea condițiilor de
reactualizare a experiențelor, capacităților individuale și deslușirea unor relații. Se pleacă cu
delimitarea a cee a ce este util, oportun să sesizeze elevul dirijat de profesor, lăsându -i acestuia să
descopere prin proprie inițiativă restul.
Raționamentele euristice sunt importante deși nu dovedesc nimic. De asemenea, este
important să ne clarificăm raționamentele eu ristice, deși în spatele fiecărui raționament clarificat
există multe altele care rămân obscure și sunt uneori poate și mai importante.
În rezolvarea problemelor se ține cont de câteva reguli elementare:
 citirea corectă a enunțului problemei , scrierea ip otezei și concluziei și construirea corectă
a figurii geometrice ;
 însușirea enunțului problemei (eventual toate noțiunile și teoremele în legătură cu
problema, ținând cont de date și relații );
 cunoașterea unor anumite procedee și metode pentru rezolvarea p roblemelor de
geometrie;
 construirea de raționamente noi bazate pe axiome, definiții și alte raționamente învățate
anterior;
 stabilirea de relații între diferite elemente ale figurilor și scrierea lor cu ajutorul
simbolurilor matematică , pe baza raționame ntelor construite, ce permit urmărirea lanțului de
judecăți ce formează demonstrația problemei;

 discutarea problemei (în unele probleme de geometrie, o soluție nu încheie rezolvarea ei,
ci trebuie examinate și condițiile care ne arată existența altor soluț ii, numărul lor, precum și
diferite cazuri particulare ce pot apărea, sau generalizarea ei);
 verificarea soluțiilor problemei (trebuie făcută mai ales în problemele de construcții
geometrice; ea constă dintr -o demonstrație care trebuie să arate că figura obținută corespunde cu
cea cerută în enunțul problemei).

III. 2. Metode folosite în geometrie pentru rezolvarea problemelor

În redactarea acestui paragraf, am urmărit îndeaproape lucr ările [1], [4], [23].
În matematică, prin metodă se înțelege calea ra țională care trebuie folosită pentru a
demonstra o teoremă sau pentru rezolvarea unei probleme. Metodele pentru rezolvarea
problemelor de geometrie se împart în două grupe principale: generale și particulare.
Metodele analizei , metoda reducerii la absurb și metoda sintezei sunt metode generale
care se aplică în demonstrarea unui număr foarte mare de teoreme și probleme.
Metodele specifice folosite în geometrie pentru rezolvarea problemelor sunt următoarele:
 metoda vectorială
 metoda analitică
 metoda trigonometrică
 metoda cu ajutorul numerelor complexe
 metoda cu transformări geometrice
 metoda de rezolvare a problemelor de coliniaritate
 metoda de rezolvare a problemelor de concurență
 metoda de rezolvare a problemelor de arii
 metoda de rezolvare a problemelor de minim și maxim

III.2.1 Metode generale aplicate în demonstrarea teoremelor și rezolvarea
problemelor
1. Metoda sintezei se dovedește a fi folositoare atât în rezolvarea unor probleme de calcul
cât și în tratarea unor probleme de demonstrație. În cazul pr oblemelor de geometrie verificăm sau
stabilim o relație, găsim proprietăți noi ale figurilor date; în general, justificăm dacă o afirmație
referitoare la o figură geometrică este adev ărată sau nu. Într -o problemă de demo nstrație se
consideră o figură geome trică F, despre care se afirmă că are proprietățile α, și se cere să se
demonstreze că, în acest caz, ea mai posedă și propriet ățile β. Propoziția care afirmă că figura F
posedă proprietățile α, notată cu I poartă numele de ipoteză, iar propoziția care afi rmă că figura F

posedă proprietățile β, notată cu C, poartă numele de concluzie. Prin urmare, într -o problemă de
demonstrație se cere să se arate că, dacă pentru o figura F este adev ărată propoziția I, atunci este
adevărată și propoziția C. Recunoa ștem cu ușurință că aici intervine implicația logică α .
Mecanismul metodei sintezei constă în a pleca de la propoziția α și a descoperi noi propoziții
r1, r2, … , rk astfel încât: α r1 r2 … rk β.
Un exemplu de aplicare a metodei sintezei o reprezint ă demonstrarea Teoremei lui Ceva.
Teorema lui Ceva. Fie un triunghi ABC și trei drept concurente AM, BM, CM care intersectează
suporturile laturilor triunghiului în punctele A′, B′, C′. Atunci

Demonstrație. Se aplică Teorema lui Menelaus în triunghiul B ′BC pentru punctele coliniare A,
M, A′ și în triunghiul ABB ′ pentru punctele coliniare C, M, C ′ și obținem relațiile

Prin înmulțirea celor două egalități se obține relația cerută.

Fig. III.1 Teorema lui Ceva
2. Metoda analizei este eficientă în abordarea unor probleme de calcul sau demonstrație. În cazul
problemelor de demonstrație se procedează a stfel: trebuie să dovedim implicația p q. Se caută o
propoziție r n care s -o implice pe q, după care trebuie găsită o propoziție r n-1 din care să deducem
rn și așa mai departe până reușim să depistăm propoziția r 1care rezultă direct din p.
Problema 1. Fie un triunghi oarecare ABC. Se notează cu D piciorul înălțimii din A și cu E
punctul diametral opus lui A în cercul circumscris. Să se arate că AD·AE=AB·AC

Fig. III .2

Demonstra ție: Notăm cu p propoziția obținută prin conjuncția ipotezelor, și cu q concluzia ,,
AD·AE=AB·AC ′′. Avem:
Propoziția r 2:

implica propozitia q
Propoziț ia r 1: ,,∆ADC~∆ABE′′ se deduce din r2
In sfârșit r1 rezultă direct din p
Schema problemei: p r1 r2 q
3. Metoda reducerii la absurd (reductio ad absurdum) este folosită de elevi încă din primele
clase de gimnaziu și la centrele de excelența, chiar din clasele primare. În ciuda aparentei
simplități, permite rezolvarea unor probleme interesante și grele, din ramu ri variate ale
matematicii (și nu numai). Este principala metodă de demonstrație în probleme de unicitate. Ne
poate ajuta să demonstrăm una dintre implicații într -o condiție necesară și suficientă.
Presupunem că vrem să demonstrăm propoziția p → q. A nu se confunda metoda de
demonstrație prin reducere la absurd cu demonstrația prin contrapoziție. Ambele sunt
demonstrații indirecte, dar demonstrația prin contrapoziție se bazează pe echivalența logică p →
q ≡ ¬q → ¬p și este o demonstrație direct a contrarei reciprocei propoziției respective, în timp ce
demonstrația prin reducere la absurd se bazează pe echivalența p ∧ ¬q ≡ ¬(p → q). Ea urmărește
să arate că din propoziția p ∧ ¬q rezultă o contradicție (adică o propoziție de forma r ∧ ¬r), ceea
ce se poate în tâmpla numai dacă propoziția ¬(p → q) este falsă sau, echivalent, dacă propoziția p
→ q este adevărată.
Cum recunoaștem o problemă care s -ar putea rezolva prin metoda reducerii la absurd?
probleme în care ni se cere să demonstrăm că nu există obiecte mat ematice cu anumite proprietăți
sau ni se cere să stabilim dacă există asemenea obiecte și bănuim că răspunsul este negativ

Fig. III.3

– probleme în enunțul cărora apare una dintre expresiile ”cel mult” sau ”cel puțin”, în
particular, probleme de unicitate
Presupunem că s -a demonstrat rezultatul:
Teoremă. Fie o dreaptă d și un punct A d. Atunci există o dreaptă perpendiculară p e d care
trece prin punctul A.
Vrem să arătăm că:

Teoremă. Printr -un punct exterior unei drepte există o singură dreaptă perpendiculară pe acea
dreaptă.
Demonstrație. Fie o dreaptă d și un punct A d. Presupunem prin reducere la absurd că din P
putem duce două perpendiculare pe d, PQ și PR, unde Q, R d, Q ≠ R.
Fie S d astfel încât R (QS). Atunci PRS este unghi exterior triunghiului PQR și, conform
teoremei unghiului exterior, PRS are măsura mai mare decât orice unghi al triunghiului PQR
neadiace nt lui. În particular, m( PRS) > m( PQR), ceea ce contrazice m( PRS) = m( PQR)=
90◦ .
Metoda reducerii la absurd poate fi folosită și la demonstrarea reciprocei Teoremei lui Ceva.
Teorema lui Ceva. Fie un triunghi ABC și trei drept concurente AM, BM, CM ca re intersectează
suporturile laturilor triunghiului în punctele A′, B′, C′. Atunci

Reciproca Teoremei lui Ceva. Fie un triunghi ABC și punctele A′ BC, B′ AC, C′ AB.
Dacă

(1)
atunci dreptele AA′, BB′, CC′ sunt concurente .
Demonstrație.
Presupunem prin reducere la absurd că d reptele nu sunt concurente. Fie {P} = BB ′ ∩ CC′ și {A′′}
= PA ∩ BC rezultă că A ′′≠A′.
Aplicăm teorema lui Ceva pentru ∆ ABC și dreptele concurente AA ′′, BB′, CC′ și obținem

(2)

Din relațiile (1) și (2) rezultă

.
Deoarece A′′ și A′ aparțin laturii (BC) are loc A ′′=A′, ceea ce contrazice A ′′≠A′.

Fig. III.4

III.2.2 Metode specifice folosite în geometrie pentru rezolvarea problemelor

1. Metoda vectorială.
În redactarea acestui paragraf, am urmărit îndeaproape lucrarea [Niculescu L., Boskoff
V., Probleme practice de geometrie, Editura Tehnică, București, 1990].
Fie A și B doua puncte din plan. Perechea ordonata (A,B) se numește segment
orientat sau vector legat în punctul A și se notează ⃗⃗⃗⃗⃗ . Ordinea punctelor A, B indică sensul de
parcurs al segmentului. Punctul A se numeș te originea lui ⃗⃗⃗⃗⃗ , iar punctul B se
numește extremitatea vectorului legat ⃗⃗⃗⃗⃗ .
Două segmente orie ntate nenule coliniare au acelaș i sens, dacă sensurile de parcurs
determinate pe dreapta suport coincid. Două segmente orientate paralele (paralelism î n sens
strict) au același sens dacă extremitățile lor se află î n acelaș i semiplan determinat de dreapta care
unește originile segmentelor. Prin modulul lui ⃗⃗⃗⃗⃗ se înț elege lungim ea segmentului neorientat
[AB] și se note ază cu | ⃗⃗⃗⃗⃗ |.
Două segmente orientat e nenule paralele ( paralelism î n sens larg) ⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗ se
numesc echipolente dacă au același sens și aceeaș i lungime. Scriem acest lucru, ⃗⃗⃗⃗⃗ ~ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Se
arată foarte ușor că relația de echipolență pentru segmen te orientate nenule este o relație de
echivalență. Clasele de echivalență ale segmente lor orientate, relative la relația de echipolență , se
numesc vectori liberi . Fiecare segment orientat din clasa numită vector liber este un reprezentant
al clasei. De exemplu, prin vectorul liber ̅̅̅̅ (aceasta este notația consacrată ) , înțelegem
mulțimea tuturor vectorilor echipolenț i cu AB . Evident că un reprezentant al vectorului
liber ̅̅̅̅ este vectorul legat ⃗⃗⃗⃗⃗ . Vectorul li ber, caracterizat p rin faptul că are lungimea zero, iar
direcția ș i sensul nedeterminate, se nume ște vectorul nul sau vectorul zero. El se notează cu 0̅ si
este reprezentat de orice segment orientat ⃗⃗⃗⃗⃗ .
În mulțimea V a tuturor vectorilor liberi din plan, se define ște adunarea dup ă regula
paralelogramului sau dup ă regula triunghiului. Este ușor de demonstrat c ă perechea ( V,+) este
grup abelian ( în contextul de fa ță, simbolul ,,+′′ semnifică adunarea vectorilor liberi , nu a
numerelor). Fiind da ți un scalar t R și un vec tor liber ̅ , se define ște în mod natural
produsul dintre vectorul ̅ și scalarul t, care este un vector notat t ̅. Daca ̅ 0̅ sau t=0,
atunci t ̅ = 0̅. Se dovede ște cu ușurință că înmulțirea vectorilor liberi cu scalari, are propriet ățile:
1) 1 ̅ ̅, ̅ ;
2) s(t ̅ ̅ , ̅ ;
3) (s+t) ̅ = s ̅ + t ̅ , ̅ ;
4) s( ̅ ̅ ̅+ s ̅, ̅ ̅
Deducem că mulț imea V a vectorilor liberi din plan este un spațiu vectorial peste corpul R .
Fie ̅ și ̅ doi vectori nenuli. Se notează cu φ [ 0, π ] unghiul dintre ̅ și ̅. Numărul real
̅ ̅ | ̅| | ̅| se numește produsul scalar al vectorilor ̅ și ̅. Produsul scalar a doi
vecto ri este nul dac ă și numai dac ă cei doi vectori sunt ortogonali.

Problemă . Să se demonstreze, cu ajutorul vectorilor, urm ătoarele teoreme:
1) Teorema lui Pitagora generalizat ă
2) Teorema medianei
Demonstra ție: 1) Fie ∆ABC . Avem ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Înmulțind scalar această relație cu ea
însăți, obț inem:
BC2=AC2+AB2-2 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
Fie B′ proiecția ortogonală a lui B pe AC. Este evident că produsul scalar ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ este pozitiv,
dacă ̅̅̅̅ și ̅̅̅̅ au același sens ( m( )< 900 ) ; el este negativ dacă ̅̅̅̅ și ̅̅̅̅ au sensuri
contrare (m( ) > 900). Se observă că demonstrația include ș i teorema lui Pitagora ( m( ) =
900 ); în acest caz, ̅̅̅̅ ̅̅̅̅=0.
2) Fie A′ mijlocul laturii [B C] a triunghiului ABC. Avem rela țiile
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ – ̅̅̅̅ .
Ridicăm scalar la p ătrat ambele rela ții și obținem :
4 AA′2 = AB2 +AC2 +2 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
BC2 = AC2 +AB2 -2 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
Adunând ultimele două egalități, obținem relaț ia medianei:
4 AA′2 = 2( AB2 +AC2) –BC2
În capitolul I am prezentat demonstrația analitico – sintetică a teoremei privind concurența
înălțimilor în triunghi ( pag. 15). Iată demonstrația acele iași teoreme folosind metoda vectorială:
Teoremă. Într-un triunghi înălțimile sunt concurente.
Demonstrație. Fie înălțimile AA′ și CC′ și H punctul lor de intersecție . Unind B cu H și
prelungind segmental (BH) până în B ′ AC. Atunci ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅, ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅.

Fig. III.5

k 1 A k  1 B

x  x  x

k 1 k 1 B

y  y  y .
 xA  xB  xC

 yA  yB  yC

Cum AA ′ BC și CC ′ AB rezultă că ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 0̅ și ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 0̅ ceea ce
implică ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 0̅, adică ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 0̅ sau HB′ CA.
2. Metoda analitică.
În redactarea acestui paragraf, am urmărit îndeaproape lucrarea [ 20].
”Geometria a fost cultivată cu un deosebit rafinament de gândire de către lumea antică, în
special de greci. Mari filozofi ca Thales, Pitagora, Platon etc., prin descoperirile lor , au pus
bazele acestei ramuri a matematicii. Dar cel care a adunat și ordonat într egul material al
predecesorilor săi, la care a adăugat contribuția sa și a prezentat geometria ca un corp închegat de
știință, logic înlănțuit, a fost Euclid. ”
Rezolvarea unor probleme de geometrie sintetică poate întâmpina anumite greutăți din
cauza numărului restrâns de metode generale. De aceea s -au căutat tot timpul metode noi care să
poată fi aplicate unui câ mp mai larg de probleme. A apărut astfel geometria analitică, creatorul
ei fiind considerat Descartes (1596 -1650), acre o folosește pentru prima dată în lucrarea
”Application de l ′Algèbre à la théorie des courbes”.
Prin geometria analitică, Descartes a legat geometria de algebră, dat fiind faptul că fiecare
ecuație cu două necunoscute reprezintă o curbă și fiecărei curbe îi corespunde o ecuație.
Problemele de geometrie devin astfel p robleme de algebră, iar rezolvarea lor se face prin metode
algebrice. De exemplu, teorema intersecției înălțimilor în triunghi, pe lângă rezolvarea prin
metoda sintetică (prezentată în capitolul I) și prin metoda vectorială (prezentată în secțiunea
III.2.2), poate avea și o demonstrație analitică: aceea de a arăta ca sistemul de trei ecuații (ale
celor trei drepte) cu două necunoscute este compatibil. Acest exemplu ilustrează avantajele
utilizării geometriei analitica. Există însă situații când rezolvarea p roblemelor pe cale analitică
duce la calcule lungi și complicate.
Iată câteva noțiuni de bază specifice geometriei analitice:
 Orice punct are doua coordonate A(x A,yA), numite abscisa xA și ordonata yA.
 Coordonatele punctului care împarte un segment într‐un raport dat. Fie
numărul k și punct ele A(xA , yA ) și B(xB , yB ) . Fie M (xM , yM ) punctul M AB
cu proprietate ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Atunci
În particular, dacă M este mijlocul segmentului [AB], avem
Coordonatele centrului de greutate al unui triunghi: fie G centrul de greutate al triu nghiului
ABC. Atunci G va avea coordonatele

• Panta unei drepte oblice sau orizontale. Panta unei drepte oblice sau orizontale d este
3
3

y  y0  m(x  x0 )
m   a

egală, prin definiție, cu tangenta unghiului ϴ 0
, format de acea dreaptă cu direcția
pozitivă a axei Ox. Panta dreptei d se notează cu md. Dreptele verticale nu au pantă, pentru ca
tangenta nu este definită în
.
• Ecuația unei drepte. Este o relație verificată de coordonatele oricărui punct M(x,y) de pe
acea dreaptă (și numai de ele).
Ecuația oricărei drepte se poate pune sub forma ax+by+c=0 (ecuația carteziană general ă a
dreptei ), cu a ≠ 0 sau b ≠ 0 .
Ecuația unei drepte oblice : y = mx + n , cu m ≠ 0 . În acest caz, m este panta dreptei, iar n
ordonata punc tului de intersecție dintre dreaptă și axa Oy.
Ecuația unei drepte orizontale : y = n (sau forma de mai sus, cu m=0 ). In acest caz, panta
dreptei este 0, iar n reprezintă, ca și in cazul anterior, ordonata punctului de intersecție dintre
dreaptă si axa Oy.
Ecuația unei drepte verticale : x =α , unde α este abscisa punctului de intersecție dintre
dreaptă și axa Ox.
Ecuația dreptei care trece printr ‐un punct dat , M0 (x0 , y0 ) , și are o panta dată, m

Ecuația dreptei care trece prin două puncte A(xA , yA ), B(xB , yB )
dacă numitorii sunt nenuli.
Ecuația primei bisectoare : y = x (panta fiind egală cu 1). Ecuația celei de‐a doua bisectoare : y
= – x (panta fi ind egală cu ‐1).
1). Aflarea pantei unei drepte. Când nu cunoaștem unghiul dintre dreaptă și Ox, panta se
poate afla astfel: Panta dreptei ce trece prin punctele A(xA , yA ), B(xB , yB ) este m AB =

2). Panta dreptei de ecuație y = mx + n este m (coeficientul lui x).
3). Panta dreptei de ecuație ax + by + c = 0 este m=
(daca b ≠ 0 ). Panta se poate obține
și
exprimându ‐l pe y în funcție de x, apoi considerând coeficientul lui x din membrul drept.
Condiții de paralelism și perpendicularitate.
Fie dreptele d: y=mx+n și d′: y=m ′x+n′. Avem:
• d ǁ d ′ m = m′ si n ≠ n′

• d = d ′ m = m′ si n = n′

• d d ′ mm′ = -1 (produsul pantelor este ‐1)

xB  xA yB  yA
x  xA  y  yA ,

• Intersecția a doua drepte. Două drepte sunt concurente dacă și numai dacă sistemul
format din ecuațiile lor are soluție unică. In acest caz, coordonatele punctului de int ersecție se
obțin rezolv ând sistemul.
• Distanța de la un punct la o dreaptă. Distanța de la punctul M 0 (x0 , y0 ) la dreapta
d : ax + by +c = 0 este dată de formula:

Aplicații ale determinanților în geometrie
Punctele A(xA , yA ), B(xB , yB ), C(xC , yC ) sunt coliniare dacă și numai dacă
|

| 0

Ecuația dreptei care trece prin două puncte diferite A(xA , yA ), B(xB , yB ) este
|

| 0

Aria triunghiului cu vârfurile în A(xA , yA ), B(xB , yB ), C(xC , yC ) este
A=
||

||

Condițiile ca trei drepte să fie concurente. Presupunem că dreptele sunt date prin ecuațiile
{ 0
0
0
Pentru ca dreptele să fie concurente trebuie să existe un punct M0(x0 , y0 ) care să verifice toate
cele trei ecuații. Aceasta înseamnă că cele trei ecuații cu două necu noscute trebuie să formeze un
sistem compatibil determin at. Pentru aceasta, condițiile necesare și suficiente sunt:
a) Să existe un determinant de ordinal II, format cu coeficienții lui x și y, diferit de zero, deci
|
| 0 sau |
| 0 sau |
| 0. (Această condiție îns eamnă din punct de
vedere analitic că două dintre drepte sunt concurente.)

b) |

| 0. (Această condiție arată că a treia dreaptă trece prin punctul de
intersecție al primelor două drepte.)
Teoremă. Într-un triunghi mediane le sunt concurente.

a  b

d (M , d )  | ax0  by0  c |

Demonstrație. Fie punctele A(x 1,y1), B(x 2,y2), C(x 3,y3), vârfurile triunghiului ABC. Mijlocul
laturii BC este A ′(

și mediana AA ′ are ecuația
|

|
|

| 0 care scrisă dezvoltat este
(AA′) (2 (2 0
Permutând circular vârfurile triunghiului, obț inem ecuațiile celorlalte două mediane.
(BB′) (2 (2 0
(CC′) (2 (2 0
Adunând cele trei ecuații obținem în prima parte zero, deci una dintre ecuații este o
combinație liniară a celorlalte două. Aceasta arată că medianele sunt concurente.
Ca urmare a rezultatelor generale privind geometria triunghiului, în scopul utilizării
teoremelor remarcabile privind geometria triunghiului, pot apărea probleme de concurență, de
coliniaritate și drepte celebre, probleme de arii, de minim și maxim, probleme de loc
geometric,etc.

43
III.3. Probleme de concurență
În redactarea acestui paragraf, am urmărit îndeaproape lucrarea [ 22].
Problema 1. Fie ABC un triunghi și o dreaptă oarecare d. Fie A ′, B′, C′ respectiv proiecțiile pe d
ale vârfurilor A, B, C. Perpendicularele duse din A ′, B′, C′ pe laturile [BC], [CA], [AB] sunt
concurente, iar punctul lor de intersecție se numește ortopolul dreptei d față de triunghiul ABC.
Soluție.

Fig. III.6
Folosind teorema lui Carnot, vom demonstra că dreptele B ′B′′, C′C′′, A′A′′ sunt
concurente. Fie un punct P interior triunghiului, care se proiectează pe laturile acestuia în
punctele A”, B”, C ′′. Conform teoremei lui Carnot există relația:
A''B2 – A''C2 +B′′C2 – B′′A2 + C′′A2 – C′′B2 = 0
Vom arăta că și perpendicularele duse din A ′, B′, C′ verifică relația de mai sus, deci sunt
concurente.
În triunghiul A ′A′′B, conform teoremei lui Pitagora, A ′A′′2=A′B2-A′′B2.
În triunghiul A ′A′′C, conform teoremei lui Pitagora, A ′A′′2=A′C2-A′′C2.
Deci A′B2-A′′B2= A′C2-A′′C2 A′′B2-A′′C2= A′B2-A′C2 .
În triunghiul A ′BB′, conform teoremei lui Pitagora, A ′B2=A′B′2+BB′2.
În triunghiul A ′CC′, conform teoremei lui Pitagora, A ′C2=A′C′2+C′C2.
Așadar A ′′B2-A′′C2= A′B′2 – A′C′2+BB′2 – C′C2 (1)
În triunghiul B ′AB′′, conform teoremei lui Pitagora, B ′B′′2=B′A2-B′′A2.
În triunghiul A ′A′′C, conform teoremei lui Pitagora, B ′B′′2=B′C2-B′′C2.
Deci B′A2-B′′A2= B′C2-B′′C2 B′′C2-B′′A2= B′C2-B′A2 .
În triunghiul B ′CC′, conform teoremei lui Pitagora, B ′C2=C′B′2+CC′2.
În triunghiul B ′AA′, conform teoremei lui Pitagora, B ′A2=B′A′2+A′A2.
Așadar B ′′C2-B′′A2= B′C′2 – B′A′2+CC′2 – AA′2 (2)
Analog C ′′A2-C′′B2= C′A′2 – C′B′2+AA′2 – BB′2 (3)

44
Adunând relațiile (1), (2), (3) rezultă A ′′B2 – A′′C2 +B′′C2 – B′′A2 + C′′A2 – C′′B2 = 0 și deci
conform teoremei lui Carnot, B ′B′′, C′C′′ , A′A′′ sunt concurente.
Problema 2. Fie A ′ mijlocul laturii [BC] a triunghiului ABC, L punctul de intersecție a
tangentei în A la cercul circumscris triunghiului ABC cu latura [BC]. Să se arate că cercul lui
Euler al triunghiului AA ′L trece prin centrul cercului lui Euler al triunghiului ABC.
Soluție:

Fig.III.7
Fie A 1 piciorul înălțimii din A pe BC, A 2 mijlocul segmentului [AH] și W centrul cercului
lui Euler al triunghiului ABC. În triunghiul AOH, [WA 2] este linie mijlocie, rezultă că WA 2
O Notăm u 3 intersecția dreptelor A′A2 și AL ⇒diametrul [A ′A3] al cercului lui Euler al
triunghiului ABC este paralel cu OA ⇒ A′A3 AL ⇒A2 este ortocentrul triunghiului AA ′L. Dar
(A′W) (WA 2), deci cercul lui Euler al triunghiului AA ′L trece prin W.

III.4. P robleme de coliniaritate și drepte celebre

În redactarea acestui paragraf, am urmărit îndeaproape lucrarea [ 13].
Problema 1. Fie ABC un triunghi neisoscel și nedreptunghic și fie A 1=pr BCA, B 1=pr ACB,
C1=pr BAC vârfurile triunghiului ortic. Fie {A ′} BC B1C1, {B ′} AC A1C1, {C′} BA B1A1.
Atunci punctele A ′, B′, C′ se găsesc pe o aceeași dreaptă (dreapta ortică a triunghiului).
Soluție 1(rezolvare prin construcție în GeoGebra) :

Construim triunghiul ABC și proiecțiile vârfurilor pe laturile opuse.

45
Fig.III.8

Construim {A′} BC B1C1, {B′} AC A1C1, {C′} BA B1A1.

Fig.III.9

Rezultă că punctele A ′, B′, C′ se găsesc pe aceeași dreaptă.

46
Fig.I II.10
Soluție 2.
Se aplică teorema lui Menelaus pentru triunghiul ABC și tripletele de puncte coliniare (A ′, C1,
B1), (B′, A1, C1), (C′, B1, A1):

Dreptele AA 1, BB 1, CC 1 sunt concurente ⇒

Înmulțind relațiile obținem :

⇒ conform reciprocei Teoremei lui Menelaus
punctele A ′, B′, C′ sunt coliniare.
III.5 P robleme de arii
În redactarea acestui paragraf, am urmărit îndeaproape lucr ările [24], [25] .
Problema 1. Să se arate că ari a S a unui triunghi dreptunghic, în funcție de lungimile m b, mc ale
medianelor corespunzătoare celor două catete, este dată de formula
S
√

47
Soluție . Din teorema medianei rezultă că:
m =

m

S

√

√
√

S=
√
√

√ m m m m .
Problema 2. Fie triunghiul ABC, r raza cercului înscris triunghiului. Arătați că S .
Soluție .

Fig.I II.11
Fie punctul I punctul de intersecție al bisectoarelor, centrul cercului înscris. Înălțimile
triunghiurilor IAB, IAC și IBC sunt egale cu r.
SIAB+SIAC+SIBC= S ABC
AB=c, AC=b, BC= a.

⇒ r
⇒ S
Problema 3. Să se arate că pentru raza R a cercului circumscris triunghiului avem formula

.
Soluție. Cum R

(teorema sinusurilor) ⇒ R
. Înmulțind
ultima relație cu obținem

48

si

III.6 P robleme de maxim și minim
În redactarea acestui paragraf am urmărit îndeaproape lucr ările [13], [21].
Problema 1. Să se demonstreze că dintre toate triunghiurile ABC, având vârfurile B și C fixe ,
iar A mobil, astfel încât AB+AC=a (const) , cel de arie maximă se realizează numai pentru
AB AC
.
Soluție.

Fig.I II.12
Se știe că locul geometric al punctelor M din plan pentru care MA+MB= (=const) este o
elipsă.
MBC are arie maximă MBC e ste isoscel, MA=MB.
Problema 2. Se consideră triunghiul ABC dat ascuțitunghic.Să se precizeze triunghiul
echilateral de arie maximă ce conține punctele A,B,C pe laturi.
Soluție.

Fig.I II.13
Observăm că vârfurile triunghiului echilateral se află pe ce rcurile circumscrise triunghiurilor cu
un unghi de 600 construite în exterior pe laturile triunghiului ABC . Fie M 1M2 conținând punctul
B, M 1M3 conținând punctul A, M 1,M2, M 3 aparținând cercurilor considerate.
Arătăm că M 2,C, M 3 sunt coliniare.

49 Notăm m( M1BA) α.
M( M1AB) 120o – α , m( CAM 3) 60o – A+α, m( ACM 3) 60o + A – α
m( CBM 2) 180o – B – α, m( BCM 2) B + α –60o
m( M2CM 3) 60o + A – α + C +B + α –60o= 180o ⇒ M2,C, M 3 sunt coliniare.
Din infinitatea de triunghiuri echilaterale M 1M2M3 care conțin A ,B,C pe laturi , va fi
selectat cel de arie maxima, deci cel de latură maxima. M1M2 este maxim dacă și numai dacă
dreapta M 1M2 este paralelă cu linia centrelor cercurilor circumscrise triunghiurilor M 1AB și
M2BC.
Triunghiul echilateral de arie maximă are laturile perpendiculare pe TA, TB, TC, unde T
este punctul lui Torricelli al triunghiului ABC.

III.7 P robleme pentru concursuri școlare

În redactarea acestui paragraf am urmărit îndeaproape lucr ările [13], [21].
Pregătirea elevilor pentru concursurile școlare presupune parcurgerea mai multor etape,
esențiale în parcursul participării la concursuri. Prime etapă presupune selecția elevilor capabili
de performanță. Selecția se face continuu, existând elevi în a căror pregătire pot apărea sincope.
O etapă importantă o constituie organizarea lucrului cu acești elevi. Lucrul se poate face în
timpul orelor de matematică, lucrând diferențiat la nivel de clasă, și prin intermediul cercurilor de
elevi, unde se poate lucra exclusiv doar pentru concursuri școlare. Pregătire participării la
concursuri presupune o bună asimilare a noțiunilor teoretice (a celor de bază, obligatorii, d ar mai
ales a celor facultative, de o dificultate superioară) și o continuă aplicare a acestora în exerciții și
probleme.
În anul școlar curent, în cadrul unor clase s -au remarcat elevi capabili de performanță.
Întrucât lucrul la clasă, datorită timpului limitat, nu a fost sufic ient pentru pregătirea acestor
elevi, am organizat un cerc de elevi care se întrunește săptămânal, în vederea preg ătirii pentru
concursurile școlare.
Iată un exemplu de problemă pregătitoare pentru concursuri școlare la gimnaziu , lucrată
cu elevii clasei a VII -a, la cercul de matematică :
Problemă. (G.M. 3/1989, pag.101) Fie un triunghi dreptunghic (m( A)=90o). Pe drea pta AB se
ia un punct M astfel încât triunghiul BMC să fie isoscel, cu (BM) (CM). Arătați că

| (
)
|.
Soluție:
Elevii vor fi îndrumați să folosească notații simplificare, să noteze laturile necunoscute
ale triunghiului cu litere mici, să determine legăturile dintre acestea și mai ales să analizeze toate

50 cazurile posibile de poziționare a punctului M, în raport cu măsurile unghiurilor ascuțite ale
triunghiului inițial.
Considerăm triunghiul dreptunghic ABC, cu unghiul drept în A ș i notă, AB=c, AC=b și deci
BC=√ .
Se observă existența a două cazuri în funcție de măsurile unghiurilor B și C.
Dacă m( B)> m( C), atunci punctul M de pe dreapta AB se află în exteriorul segmentului (AB).
Notăm AM= deci BM=BA+AM= c +
În ∆MAC, dreptunghic în A avem sau CM= √ . Deoarece BM=CM
obținem c+ =√ sau de unde rezultă că
.
Rezultă de aici că
=
deci MC=
. În concluzie,

sau

. (1)
Pe de altă parte | (
)
| |
| |
|
(2).
Din (1) și (2) rezultă egalitatea din enunț. Analog se rezolvă cazul m( C)> m( B), când punctul
M aparține segmentului (AB).

Fig.I II.14
O problemă de liceu potrivită pregătirii concursurilor școlare ar putea fi:
Problemă.( G.M. 3/1989 pag. 103) Într -un triunghi oarecare ABC se duc cevienele izogonale AD
și AB, D BC, E BC. Să se arate că

Soluție. Considerăm cercul circumscris triunghiului ABC și .
Obținem ABM DMC și BDA MDC, deci ∆ABD ∆DMC, ceea ce conduce la

sau
.

51
Analog, din asemănarea ∆AMB ∆AEC obținem
. Rezultă că

.
Din asemănarea ∆AMC ∆ABE obținem
sau

. Obținem în final

Problemă.( G.M. 5/2019 Concurs Gazeta matematică , clasa a VII -a )Fie ABC un triunghi și H
ortocentrul său. Fie D un punct pe latura (AC) și E proiecția lui D pe dreapta BC. Demonstrați
că EH BD dacă și numai dacă BD trece prin mijlocul lui [AE].
Soluție. Presupunem EH BD și demonstrăm că BD trece prin mijlocul lui [AE].
Fie BD AH={F}.
Cum AF BC și DE BC, rezultă că AF DE.
Din ipoteză știm BD EH, iar HF BE F este ortocentrul triunghiului HBE EF BH dar
BH AC EF AC. Și cum AF DE AFED este paralelogram iar AA și FD sunt diagonale și
se intersectează în punctul P punctul P este mijlocul segmentului [AE].
Presupunem BD trece prin mijlocul lui [AE ] și demonstrăm că EH BD.
Fie AE DF={P}.
AF DE FAP DEP, AP=EP, APF EPD APF EPD FP=PD ADEF
este paralelogram.
BH AC, EF AC EF BH, HF BE F este ortocentrul triunghiului HBE BF HE
EH BD.

Fig.I II.15
Problemă.( G.M. 4/2019, ediția a IX -a, Concurs Gazeta matematică, clasa a VII -a ) Fie ABCD
un dreptunghi, iar E [BC] și F [CD] două puncte care satisfac condi țiile: [BE] ≡ [DF] și
m( EAF) = 45 ◦. Arătaț i că SAEF = S ABE + S ADF.

52
Soluția 1 .

Fig.I II.16
Fie m( EAB)=α și m( DAF)=β.
sim AEB=P, sim AFD=Q, EF AP={M}
Din ipoteză știm că ABCD este dreptunghi ( DAB)=900 și cum m( EAF )=450 α+β=
m( EAB) + m( DAF) = m( DAB) – m( EAF )= 900-450= 450 α+β=450.
Cum sim AEB=P [PE] ≡ [BE] , m( PAE )= m( BAE )=α PAE≡ EAB SPAE= S EAB
Ținând cont de relațiile α+β=450, m( EAF )=450 și m( PAE )= α m( FAQ )= m( EAF )-
m( PAE )= 450 – α= β= m( DAF) FAQ≡ DAF .
FAQ≡ DAF , FD AD, pr APF=Q FAQ≡ DAF [FD] ≡ [FQ] și SFAQ= S DAF
EF PQ={M} MQ MP
Q P
Q P P} MFQ≡ MEP [MF] ≡ [ME], SAMF= S AME
și SMFQ= S MEP
SAEF = SAMF+ SAME = (SAME+ SMEP )+( SAMF- SMFQ )= SPAE+ SQAF = SADE+ SADF
SAEF = SABE+ SADF .
Soluția 2.

Fig.I II.17
Prelungim segmentul [AB] cu un segment [BN], unde N Ext(ABCD) astfel încât [BN] [AD].
N
} ADF≡ NBE m( NEA )= 1800 – m( EAN ) – m( ENA ) = 1800 –
m( EAB ) – m( FAD )= 1800 – (900 – m( EAF ))= 1350

53 SABE+ SADF = SAEN =

=
SAEF

III.8 P robleme pentru examene școlare

În anul școlar 2019 -2020, la Școala Gimnazială Nr. 1 Roata de Jos , județul Giurgiu, au
fost înscriși la clasa a VIII -a A 25 de elevi. Date fiind rezultatele la Evaluarea Națională din anul
școlar trecut, scopul principal stabilit pentru anul curent a fost creșterea procentului de
promovabilitate la acest examen. Pentru a atinge acest scop elevii participă la ore suplimentar e de
pregătire în cadrul școlii. P rin câștigarea unui concurs național și participarea în cadrul unui
proiect școala a fost dotată cu un laborator digital, permițând astfel folosirea în cadrul orelor de
matematică a resurselor digitale. Copiii au fost implicați astfel în activități integrate într -o formă
atractivă, motivantă, care să conducă activitatea spre investigare, cercetare și aplicare practică.
Rezultatele la Evaluarea Naționala (clasa a VIII -a A), an școlar 2018 -2019:

Rezultatele la Evaluarea Naționala (clasa a VIII -a A), an școlar 2019 -2020:
GRAFIC REZULTATE
Pentru o bună pregătire a participării la examenele naționale, lucrul la clasă, urmărind
programa pentru Evaluarea Națională, sistemat izat prin recapitulări ale materiei din anii anteriori
l-am suplimentat cu rezolvarea unor probleme tipice acestui examen.
Geometria triunghiului se regăsește, în cadrul subiectelor de Evaluare Națională, atât la
Subiectul I, problema 4, cât și la Subiectu l III, problema 1. Dacă în secțiunea I problema de
geometrie plană este de dificultate scăzută, în secțiunea III, problema 1 conține deseori și cer ințe
de dificultate peste medie, pentru departajarea candidaților. Există în perioada ultimilor ani
tendința de a introduce la problema de geometrie plană cerințe care să pună elevul în situația de a
face corespondențe între noțiunile teoretice învățate, subiectele îndepărtându -se în ultimii ani de
modelul subiectelor practice cu care ne obișnuisem în perioada 2010-2014. Acest lucru determină
28%
12%
8% 24% 20% 8% Evaluare Națională 2018 –
2019
Note între 1 și 4,99 Note între 5 și 5,99 Note între 6 și 6,99
Note între 7 și 7,99 Note între 8 și 8,99 Note între 9 și 9,99

54
faptul că mulți elevi rezolvă cu ușurință prima cerință a problemei de geometrie plană,
întâmpinând probleme la celelalte două cerințe. Realizând o analiză a subiectelor date în ultimii
ani la Evaluare Națională am parcurs împreună cu elevii probleme de geometrie plană după
modelul celor date la Evaluarea Națională în anii trecuți.
Voi prezenta în continuare câteva probleme tipice de geometrie a triunghiului rezolvate
în cadrul orelor de pregătire cu elevii claselor a VIII -a. Problemele sunt atât din cele date la
Evaluarea Naționale în anii precedenți, cât și probleme concepute după modelul celor date la
Evaluarea Națională.
Problema 1. În figura de mai jos este reprezentat un cerc, de diametru AB = 8cm și punctul T ,
situat pe cerc, diferit de punctele A și B . Punctul C este intersecția tangentei la cerc în punctul T
cu tangenta la cerc în punctul A și punctul D este intersecția tangentei la cerc în punctul T cu
tangenta la cerc în punctul B . Lungimea segmentului AC este d e 2 cm . (Model oficial EN, 2020)

Fig.I II.18
a) Arătați că lungimea cercului de diametru AB este egală cu 8 π cm.
b) Demonstrați că triunghiul ABD este isoscel.
c) Dreptele AT și OC se intersectează în pu nctul M și dreptele BT și OD se intersectează în
punctul N . Demonstrați că aria patrulaterului MONT este egală cu 6,4cm2 .
Soluție.
a) ℒ = 2πr ⇒ ℒ = 2π 4= 8π cm2
c) [AC] [CT], [AO] [OT] ⇒ OC AT ⇒ m( TMO)=900
[TD] [DB], [TO] [OB] ⇒ OD BT ⇒ m( TNO)=900

55
m( ATB)= ̂

90
⇒ patrulaterul MONT este dreptunghi
TCO, m( T)=900 ⇒TC2+TO2=CO2 ⇒ O √
Teorem tetei ⇒ TO √MO O ⇒MO √

Teorema înălțimii ⇒ MT √MO M √

CM √ √
√
⇒ SMONT =L l= √
√

cm2
Probl ema 2 . În figu ra de mai jos este schița unui teren în formă de dreptunghi ABCD cu AB
=10√ m și AD =10m . Punctul M este mijlocul laturii AB și punctul N este punctul de intersecție
a dreptelor CM și BD .

Fig.I II.19
a) Arătați că aria dreptunghiul ui ABCD este egală cu 2 100 √ m2 .
b) Demonstrați că măsura unghiului BNC este egală cu 90° .
c) Demonstrați că punctul A este situat pe mediatoarea segmentului ND .
Soluție.
a) 𝓐ABCD=l L= 10 10√ =100√ cm2.
b) CMB, m( B)=900 ⇒ CB2+MB2=CM2 ⇒ CM= √
ABD, m( A)=900 ⇒ AD2+AB2=DB2 ⇒ 0√ ⇒ O √
ABC, BO mediană, CM mediană ⇒ N centru de greutate
Fie N′ astfel încât BN ′ CM⇒ BN √
BN ⇒ N N ⇒ N M
b) Fie Q mijlocul [ND]. Demonstr ăm că AQ ND
Fie AN BC {P}, N centru de greutate a l triunghiului ABC ⇒AP median ă

56
APB, m( B)=900 ⇒ PB2+AB2=AP2 ⇒ P
N
AP 0 ⇒ N 0 m⇒ ADN isoscel, AQ mediană ⇒ Q me i to re
segmentului ND.
Problema 3. Figura 2 reprezintă schița unui teren în formă de trapez isoscel ABCD cu AB CD ,
CD 12√ m , AD =BC  24m și m ( BAD)  45 . Punctul M este piciorul perpendicularei din
D pe dreapta AB , O este punctul de intersecție a diagonalelor trapezului ABCD și E este punctul
de intersecție a dreptelor AD și BC .
a) Arătați că AM 12 √ m .
b) Determinați aria triunghiului AEB .
c) Punctul P este mijlocul laturii AB . Demonstrați că punctele P , O și E sunt coliniare.

Fig.I II.20
Soluție.
a) ADM, DM AB ⇒ m( M)=900
m( A)=450⇒ cos A
⇒ cos 45o
⇒ M √ cm.
b) DC AB ⇒ EDC EAB⇒

⇒ k= √
√ ⇒ k=

⇒

⇒

⇒

⇒S cm2
S √ √ √
= √ √
= m
c) P mijlocul laturii [AB]
AEB:
⇒ triu ghi isoscel, EP mediană ⇒ EP înălțime ⇒ EP AB
AOB:
O ⇒ triu ghi isoscel, OP mediană ⇒ OP înălțime ⇒ OP AB
EP AB, OP AB ⇒ dreptele EP și OP coincid ⇒E, O, P coliniare

57
Problema 4. În figura de mai jos este reprezentat un trapez isoscel ABCD cu AB CD, AB=12
cm, CD=4cm și m( ABC)60. Paralela prin B la dreapta AC intersectează dreapta CD în
punctul P.

Fig.I II.21
a) Arăta ți că măsura unghiului ADC este egală cu 1200.
b) Arătați că aria patrulaterului ABPD este egală cu 56 √ cm2.
c) Se consideră punctul M, mijlocul segmentului AB și N, punctul de intersecție a dreptelor
PM și BC. Demonstrați că lungimea segmentului BN este mai mică decât 2,7 cm.
Soluție.
a) Folosind proprietatea conform căreia unghiurile alăturate unei laturi neparalele în trapez
sunt suplementare ⇒ m( ADC) 1800 – m( BAD) 1800 – 600= 1200.
b) Fie DE AB.
În ADE, AE=
= 4 cm .
m( DAE ) 600
tg A =
⇒ tg 600 =
⇒ √ =
⇒ DE= 4√

} ⇒ ABPC paralelogram, CB diagonală ⇒ SACB = S CBP

SABPD = SABCD + S PCB =

= 32√ + 24√ = 56√ cm2 .
Problema 5 . În figura de mai jos este reprezentat un dr eptunghi ABCD cu AB  6 cm și BC  10
cm. Punctele M și N sunt situate pe laturile BC, respectiv AD, astfel încât BM  8 cm și AN  2
cm. Punctul E este proiecția punctului D pe dreapta MN.

Fig.I II.22

58
a) Arătați că perimetrul patrulaterului ABCD este eg al cu 32 cm.
b) Demonstrați că triunghiul DEN este dreptunghic isosocel.
c) Demonstrați că, dacă BF MN, F MN, atunci BEDF este paralelogram.
Soluție.
a) ABCD este dreptu nghi ⇒ PABCD= 2 L+2 l= 32 cm.
b) Punctul E este proiecția punctului D pe dreapta MN ⇒ m( DEN ) 900 ⇒ EDN este
dreptunghic.
Construim MP  AD ⇒DP=CM= 2 cm, PN=6 cm
În triunghiul MPN, m( P) 900⇒MN= 6√ cm (Teorema lui Pitagora).
DMN: DE MN= MP DN
DE 6√ = 6 8 ⇒ DE=
√ = 4√ cm.
În triunghiul DNE, EN2= DN2 – DE2 ⇒ EN=4√ cm ⇒ DE=EN ⇒ EDN este isoscel.

Fig.I II.23
c) DN BM⇒ DNE BMF și cum DN=BM ⇒ DNE BMF ⇒ DE=BF. Dar DE BF
⇒ BEDF este paralelogram.
În subiectele de Bacalaureat, problemele de geometrie a triunghiului apar la exercițiile 5 și
6 de la I. Se pune accentul p e noțiuni de trigonometrie aplicate în triunghi, Teorema sinusurilor,
Teorema cosinusurilor, operații cu vectori precum și probeleme de rezolvare a triunghiului
dreptunghic. Iată câteva exemple de probleme tipice cuprinse în subiecte de bacalaureat:
Proble ma 1 .Să se calculeze sin A, știind că în triunghiul ABC se cunosc AB= 4, BC= 2 și
m( C)=600.
Soluție.
Aplicăm teorema sinusurilor

.
BC= a = 2
AB=c = 4

59
m( C)=600 ⇒

⇒4 sinA= 2 √
⇒ sin A= √
.
Proble ma 2. Să se calculeze măsura unghiului A, știind că în triunghiul ABC se cunosc latura
BC=10 și raza cercului circumscris egală cu 10.
Soluție.
Din teorema sinusurilor
R ⇒ sinA=

⇒ m( A)=300
Problema 3. În triunghiul ABC se cunos c AB=AC=6 și BC=6 √ . Să se calculeze cosB.
Soluție.
Aplicăm teorema cosinusurilor și obținem
cosB=
=
√
√ = √
⇒ m( B)=300.
Problema 4. Să se calculeze perimetrul triunghiului MNP, știin d că MN=2, MP=3 și
m( NMP)=1200.
Soluție.

Fig.I II.24
Aplicăm teorema cosinusurilor și obținem
cosM=
⇒NP =4 + 9 – 12 cos1200
cos1200= cos(1800 – 600) = – cos600= –

NP =19⇒ NP= √ 9
PMNP= MN+NP+PM= 2+ √ 9 + 3= 5+ √ 9
Problema 5. Să se calculeze lungimile catetelor unui triunghi dreptunghic cu aria egală cu 18 și
măsura unui unghi egală cu 450.
Soluție.

60
Fie ABC, m( A)=900 și m( B)=450⇒ ABC este dreptunghic isoscel ⇒ AB=AC
SABC=

= 18 ⇒ c2= 36 ⇒ AB=AC=6.
Problema 6. Să se demonstreze că într -un triunghi dreptunghic ABC cu m( A)=900 are loc
AD2= AB AC sinA unde D este piciorul înălțimii din A.
Soluție.

Fig.III.2 5
DAB, m( ADB)=900 ⇒ sinB=

DAC , m( ADC )=900 ⇒ sinC=

Înmulțind cele două relații membru cu membru obținem AB AC sinA sinC= AD2.
Problema 7 . În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(3, -3) și B(2, -2). Deetrminați
ecuația dreptei d care trece prin A și este perpendicular pe AB.
Soluție.
mAB= – 1 și cum AB d ⇒ md = 1.
d: y – yA = m(x – xA) ⇒ y + 3= 1(x – 3)
y = x – 6

61
III.9 Proiecte didactice

PROIECT DIDACTIC
Clasa a VI -a
Matematică
UTILIZAREA APLICAȚIILOR QUIZIZZ ȘI GEOGEBRA ÎN PREDAREA
GEOMETRIEI

DISCIPLINA : Matematică
UNITA TEA DE ÎNVĂȚARE : Noțiuni geometrice fundamentale. Unghiuri
TITLUL LECȚIEI : Unghiuri în jurul unui punct. Suma măsurilor lor
TIPUL LECȚIEI : Lecție de fixare a cunoștințelor
DURATA : 50 minute
SCOPUL : Dobândirea capacității
Profesor : Stemate Ana -Maria
Clasa : a VI -a B
COMPETENȚE GENERALE :
1. Identificarea unor date, mărimi și relații matematice, în contextul în care acestea apar
2. Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în diverse
surse informaționale
3. Utilizarea conceptelor și a algoritmilor specifici în diverse contexte matematice
4. Exprimarea în limbajul specific matematicii a informațiilor, concluziilor și demersurilor de
rezolvare pentru o situație dată
5. Analizarea caracteristicilor matematice ale unei situații date
6. Modelarea matematică a unei situații date, prin integrarea achizițiilor din diferite domenii
COMPETENȚE SPECIFICE :
1.5. Recunoașterea unor figuri geometrice plane (drepte, unghiuri, cercuri, arce de cerc) în
configurații date

62 2.5. Recunoa șterea coliniarității unor puncte, a faptului că două unghiuri sunt opuse la vârf,
adiacente, complementare sau suplementare
3.5. Utilizarea unor proprietăți referitoare la distanțe, drepte, unghiuri, cerc, pentru realizarea
unor construcții geometrice
4.5. Exprimarea prin reprezentări geometrice sau în limbaj specific geometric , a noțiunilor legate
de dreaptă, unghi, cerc
5.5. Analizarea seturilor de date numerice sau a reprezentărilor geometrice în vederea optimizării
calculelor cu lungimi de segmente, di stanțe, măsuri de unghiuri și de arce de cerc
6.5. Interpretarea informațiilor conținute în reprezentări geometrice pentru determinarea unor
lungimi de segmente, distanțe și a unor măsuri de unghiuri.
OBIECTIVE OPERAȚIONALE DERIVATE DIN COMPETENȚELE SPECI FICE:
O1. Să recunoască într -o configurație geometrică unghiurile în jurul unui punct
O2. Să determine măsurile unghiurilor în jurul unui punct aplicând noțiunile cunoscute
O3. Să argumenteze corespunzător transpunând în limbaj/ notații geometrice , rezultatele obținute.
METODE ȘI PROCEDEE DIDACTICE: Conversația, povestea , explicația, jocul , exercițiul
individual .
MIJLOACE DE ÎNVĂȚĂMÂNT : Tabletele cu aplicațiile Quizizz și GeoGebra,
videoproiectorul, fișa de lucru.
FORME DE ORGANIZARE : Frontal și indivi dual
BIBLIOGRAFIE :
Dan Zaharia, Maria Zaharia, Algebră, geometrie, culegere de exerciții și probleme pentru clasa
a VI-a, Editura Paralela 45
Tatiana Udrea, Daniela Nițescu, Matematică, Manual pentru clasa a VI -a, Editura Didactică și
Pedagogică

63 Desfășurarea lecției
ETAPELE
LECȚIEI ACTIVITATEA PROFESORULUI ACTIVITATEA
ELEVULUI STRATEGII
DIDACTICE METODE DE
EVALUARE
Moment
organizatoric

Verificarea temei
(3 min.) Notează absenții, creează condițiile optime necesare
desfășurării eficiente a lecției d e matematică.
Verifică modul de efectuare al temei pentru acasă,
frontal și individual.
Se rezolvă exercițiile care i -au pus în dificultate pe
elevi. Elevii se pregătesc
cu cele necesare
bunei desfășurări a
lecției: caiete,
manual, culegere,
tablete.
Prezintă caietele
de temă la colțul
băncii. Conversația frontală și
individuală Aprecieri orale
individuale și colective
Captarea atenției
(10 min.)

Profesorul cere elevilor să încarce testul ”Noțiuni
geometrice fundamentale despre unghi” utilizând
aplicația Quizizz. Elevii vor răspunde oral la întrebările
din test, jucând ”Ștafeta”. (Primul elev care răspunde
primește un ghem de sfoară pe care îl va pasa
următorului elev, prinzând mai întâi sfoara de colțul
pupitrului și apoi înfășurând -o pe suportul așezat în
centrul clasei. Ștafeta va continua până se va forma o
rețea de fire, toate având ca punct comun suportul
central. Elevii vor descoperi astfel unghiurile în jurul Răspund la
întrebările
profesorului.

Conversația Aprecieri orale
individuale și colective

64
unui punct. )
Profesorul rulează pe laptop o prezentare ppt pentru a
introduce subiectul l ecției noi.

Anunțarea
titlului și a
obiectivelor
(2 min.)
Profesorul anunță și scrie pe tablă titlul lecției:
Unghiuri în jurul unui pu nct.
Suma măsurilor unghiurilor în jurul unui punct Notează în caiete
titlul lecției.

Conversația

65
Dirijarea
învățării (30 min.)

Profesorul le cere elevilor săi să deschidă tabletele și
apoi aplicația GeoGebra . Elevii vor realiza construcția
conform tabelului de instrucțiuni primit.
Exercițiul 1.

Profesorul urmărește elevii în rezolvarea cerințelor pe
tabletă și oferă sprijin acolo unde este necesar. Elevii
vor putea folosi caietele sau foi, dacă au nevoie să facă
calcule inte rmediare pentru a oferi răspunsul corect.
Definim astfel unghiurile în jurul unui punct și
descoperim proprietatea lor de a avea suma măsurilor de
360o.
Exercițiul 2. Fie trei unghiuri în jurul unui punct
BAB′, B′AB′′, B′′AB, cu m( BAB′)=110o și
m( B′AB′′)=150o. Calculați măsura unghiului B′′AB. Răspund
solicitărilor
profesorului.

Fiecare elev
lucrează
individual, în
ritmul propriu, sub
îndrumarea
profesorului. Explicația
Conversația

Învățarea cu ajutorul
jocului digital

Munca individuală Observarea sistematică

Aprecieri verbale
individuale

66 1.
Punct.
Construim un punct A.
2.
Semidreaptă.
Construim o semidreaptă (AB.
3.
Unghi de mărime dată.
Construim un unghi BAB′ cu măsura de 1100.
4.
Semidreaptă.
Construim o semidreaptă (AB ′.
5.
Unghi de mărime dată.
Construim un unghi B′AB′′ cu măsura de 1500.
6.
Semidreaptă.
Construim o semidreaptă (AB ′′.
6.
Unghi.
Determinăm măsura unghiului B ′′AB.
7.
Salvare construcție.

67 Asigurarea
transferului.
Tema pentru
acasă
(5 min.)

Elevii vor rezolva problema 4 de pe fișa de lucru, iar cei
mai rapizi problemele 3 și/sau 5. Profesorul verifică
rezultatele frontal și conduce o discuție de reflecție pe
baza de întrebări:
Cât de greu sau ușor v -a fost să efectuați calculele?
Unde a fost mai greu? De ce?
Ce v-a plăcut cel mai mult să faceți?
Ce diferență este între exercițiile pe tabletă și cele pe
fișă?
Ce vă ajută cel mai mult în rezolvarea exercițiilor?
Profesorul anunță tema pentru acasă, exercițiile 1, 2, 3 și
5 din fișa de lucru. Își noteză tema de
casă.

Conversația Notare

68

Anexa 1
Reactualizarea cunoștințelor: test în aplicația Quizizz
https://quizizz.com/admin/quiz/5d9cd4c5993e53001acab651/noiuni -geometrice -fundamentale –
despre -unghi

69
Anexa 2
Dirijarea în vățării: exerciții în GeoGebra
Exercițiul 1 . (preluat din Ghid clasa a VI -a Math, pag.34. )
Exercițiul 2. Fie trei unghiuri în jurul unui punct BAB′, B′AB′′, B′′AB, cu m( BAB′)=110o
și m( B′AB′′)=150o.
Calculați măsura unghiului
B′′AB. Pași:

1.
Punct.
Construim un punct A.
2.
Semidreaptă.
Construim o semidreaptă (AB.
3.
Unghi de mărime dată.
Construim un unghi BAB′ cu măsura de 1100.
4.
Semidreaptă.
Construim o semidreaptă (A B′.
5.
Unghi de mărime dată.
Construim un unghi B′AB′′ cu măsura de 1500.
6.
Semidreaptă.
Construim o semidreaptă (AB ′′.
6.
Unghi.
Determinăm măsura unghiului B ′′AB.
7.
Salva re construcție.

70

A
B
C
D
O FIȘĂ DE LUCRU
1. În figura de mai jos avem m ( AOB) = 42o, m ( DOC) = 128o și m ( AOC) = 79o.

Aflați măsurile unghiurilor BOC, AOD

2. În figura de mai jos avem m ( AOB) = 38o, m ( DOC) = 3xo , m ( BOC) = xo și
m( AOD) = 2xo. Aflați măsurile unghiurilor BOC, AOD și DOC.

3. Calculați măsurile unghiurilor formate de două drepte concurente, știind că diferența
măsurilor a două dintre unghiuri este de 40o.
4. Se consideră cinci unghiuri în jurul unui punct, având măsurile exprimate prin numere
naturale consecutive. Calculați măsurile unghiurilor.
5. În figura de mai jos avem m( AOB) = xo, m( DOC) = 2xo , m( BOC) = xo + 30o ,
m( DOE) = xo – 10o și m( AOE) = 150o. Aflați măsurile unghiurilor AOB, BOC,
COD, DOE, AOE

71
PROIECT DIDACTIC
Clasa a VI -a
Matematică

Înțelegerea matematicii utilizând jocul GeoGebra Math Calculators

Clasa a VI-a
Cazurile de congruență ale triunghiurilor oarecare

DISCIPLINA : Matematică
UNITATEA DE ÎNVĂȚARE : Triunghiul
TITLUL LECȚIEI : Cazurile de congruență ale triunghiurilor oarecare
TIPUL LECȚIEI : Lecție de însușire de noi cunoștințe
DURATA : 50 minute
SCOPUL : Dobândirea capacității de a id entifica triunghiuri congruente
COM PETENȚE GENERALE
1. Identificarea unor date, mărimi și relații matematice, în contextul în care acestea apar
2. Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în diverse
surse informaționale
3. Utilizarea conceptelor și a algoritmilor specifici în diverse situații matematice
4. Exprimarea în limbajul specif ic matematicii a informațiilor,
concluziilor și demersurilor de rezolvare pentru o situație dată
5. Analizarea caracteristicilor matematice ale unei situații date
6. Modelarea matematică a unei situații date, prin integrarea ac hizițiilor din diferite domenii
COMPETENȚE SPECIFICE:

72
1.6. Recunoașterea unor elemente de geometrie plană și a noțiunii de triunghi
2.6. Calcularea unor lungimi de segmente, măsuri de unghi uri în cadrul geometriei triunghiului
3.6. Utilizarea criteriilor de congruență și a proprietăților unor triunghiuri particulare pentru
determinarea caracteristicilor unei configurații geometrice
4.6. Exprimarea în limbaj geometric a caracteristicilor triunghiurilor și ale liniilor importante în
triunghi
5.6. Analizarea unor construcții geometrice în vederea evidențierii unor proprietăți ale
triunghiurilor
6.6. Transpunerea, în limbaj specific, a unei situații date legate de geome tria triunghiului,
rezolvarea problemei obținut e și interpretarea rezultatului
OBIECTIVE OPERAȚIONALE DERIVATE DIN COMPETENȚELE SPECIFICE:
1. Să distingă cele trei cazuri de congruență a triunghiurilor
2.Să identifice în configurații geometrice, elementel e congruente din două triunghiuri congruente.
3. Să utilizeze corect cazurile de congruență pentru stabilirea congruenței a două triunghiuri.
METODE ȘI PROCEDEE DIDACTICE : Conversația, explicația, exercițiul, munca
individuală, t abletele cu jocul GeoGebra Math Calculators , fișe de lucru pentru elevi.
MIJLOACE DE ÎNVĂȚĂMÂNT : Tabla, caietu l, manualul, fișa de lucru
FORME DE ORGANIZARE : Frontal și individual
BIBLIOGRAFIE :
I. Petrică, V. Bășeanu, I. Chebici, Manual de matematică, clasa a VI -a, Editura Petrion, 2004
Ș. Smărăndoiu, M. Perianu, D. Savulescu, Clubul matematicienilor , Editura Art, 2016
D. Brânzei, D. Zaharia, M. Zaharia, Mate 2015 , Editura Paralela 45, 2015

73
DESFĂȘURAREA LECȚIEI
ETAPELE
LECȚIEI OBIECTIVELE
OPERAȚIONA
LE DERIVATE
DIN
COMPETENȚE
-LE SPECIFICE ACTIVITATEA PROFESORULUI ACTIVITATEA
ELEVULUI STRATEGII
DIDACTICE METODE
DE
EVALUARE
Captarea
atenției elevilor
(2 minute)
O1 Profesorul va desena pe tablă diverse figuri ce
reprezintă construcții simple care vor pune în evidență
figuri congruente (identice). Inițiază o discuție pornind
de la întrebările:
 Cum sunt figurile reprezentate pe tablă?
 Ați mai întâlnit noțiunea de congruență? Unde?
 Definiții: segmente congruente, unghiuri
congruente.
Conversația
Jocul
Reactualizarea
cunoștințelor
(2 minute) O1, O2 Elevii vor primi o fișă (Anexa 1), pregătită de profesor
în prealabil și instalată pe tableta fiecărui elev până la
începerea orei, în care sunt prezentate două triunghiuri
congruente. Elevii vor trebui să identifice elementel e
corespondente congruente (3 pentru laturi și 3 pentru
unghiuri) și să pună în evidență, atât pe desen cât și
prin notații aceste relații.
Elevii răspund
întrebări lor.
Conversația Observarea
sistematică a
elevilor

74

Conversație inițiată cu ajutorul întrebărilor :

 Din cele 6 elemente corespondente congruente
ale două triunghi uri congruente de câte avem nevoie
pentru a putea construi sau demonstra că două
triunghiuri sunt congruente ?
 Le luăm la întâmplare sau într-o anumită
ordine?
 Cu ce facem corelațiile? (cazurile de construcție
ale triunghiurilor)

Anunțarea
titlului lecției și
a obiectivelor
(1 minut)

Profesorul anunță și se scrie pe tablă titlul lecției:
Cazurile de congruență ale triunghiurilor oarecare.

Elevii ascultă cu
atenție,
conștientizează
obiectivele și scriu
titlul în caiete.
Conversația
Prezentarea de
material nou și O1,O2, O3 Profesorul dorește ca elevii să descopere cele trei
cazuri de congruență ale triunghiurilor oarecare ULU, Elevii sunt atenți la
explicațiile Explicația Observarea
sistematică a

75
dirijarea
învățării
(30 minute) LUL și LLL făcând corelația cu cele trei cazuri de
construcție ale triunghiurilor. În acest sens, elevii vor
avea preinstalate pe tablete 3 fișe în care vor avea
reprezentat câte un triunghi (câte unul pentru fiecare
caz de construcție ale triunghiurilo r: ULU, LUL și
LLL).

Elevii vor folosi aplicația GeoGebra Math Calculators
pentru a construi triunghiuri identice (congruente) cu
cele inițiale, prin rotație sau prin translație. Pentru a
realiza aceste construcții, elevii vor trebui să parcurgă
următorii pași: profesorului și
participă activ la
lecție, răspunzând
întrebărilor puse de
profes or.

elevilor

76
– Vor deschide fereastra de opțiuni corespunzătoare
celui de-al nouălea instrument (-) din bara de
instrumente (de sus) și vor alege una din opțiunile
„Reflectarea după un punct”;
– Vor da click pe figura geometrică apoi pe centru;
– Vor glisa cu degetul și vor vedea că s-a obținut un
triunghi asemenea cu cel dat;
– Vor obține astfel două triunghiuri congruente.

Apoi, pe fiecare fișă, elevii vor trebui să pună în
evidență cele 3 elemente corespondente congruente
pentru fiecare caz de congruență ULU, LUL și LLL,
după care vor trebui să scrie și celelalte 3 elemente
corespondente congruente rămase și vor salva
imaginile.

Fixarea
cunoștințelor
(10 minute) O2, O3 Profesorul propune elevilor care au terminat activitatea
precedentă rezolvarea problemelor de pe fișa 3. Explicația
Exercițiul
Munca indi viduală
Observarea
sistematică a
elevilor
Analiza
răspunsurilor
Exercițiul

77

Asigurarea
feed-back -ului
O1,O2,O3
Întrebări de ghidare:
 Cât de greu sau ușor v-a fost să construiți
figurile geometrice?
 Unde a fost mai greu? De ce?
 Ce v-a plăcut cel mai mult să faceți?
 Cum puteți folosi în viața de zi cu zi aceste
cunoștințe?
Elevii răspund
întrebărilor. Conversația Aprecieri
verbale
Analiza
activității
Tema pentru
acasă O1,O2,O3
Elevii vor avea ca temă rezolvarea exercițiilor din fișa
de lucru 3.
Notează tema pentru
acasă. Conversația

78
Anexa 1
Fișa de lucru 1 – Congruența triunghiurilor

Anexa 2: Cele 3 fișe propuse spre rezolvare în clasă

.

79

80
Fișa de lucru 3

1. Dacă și , și calculați perimetrele
celor două triunghiuri.

2. Fie cu A)=65°, 0 Aflați și

3. Demostrați că dacă două triunghiuri sunt congruente, atunci perimetrele lor sunt eg ale.

4. Fie segmentul [AB] și M mijlocul său. Pe perpendiculara în M pe AB se ia un punct P.
Demonstrați că ΔPMA≡ΔPMB.

5. Se consideră triunghiul și mijlocul segmentului . Se prelungește segmentul
cu segmentul , . Să se arate că: și

81

Capitolul IV. Probleme cu caracter aplicativ

În redactarea acestui capitol am urmărit îndeaproape lucr ările [1], [13], [20], [29] .
Începutul studiului geometriei, ca orice proces de cunoaștere , este influențat de percepția
practică concretă a elevului. Copiii sunt atrași și interesați de problemele practice în care pot
aplica noțiunile geometrice studiate. De aceea, ori de câte ori este posibil, profesorul trebuie să
facă trimitere la practică. În geometrie sunt destul de numeroase temele care nu au aplicații
practice directe, ci servesc numai pentru deducerea altora sau pentru dezvoltarea unui mod util de
a gândi. De exemplu, problemele de construcție geometrică nu se întâlnesc în marea lor
majoritate în practică. Ele constituie însă un important mijloc de dezvoltare a gândirii, a
capacității de a rezolva probleme de geometrie. Aceste cunoștințe au un rol indirect în pregătirea
elevilor pentru activitatea practică. Ele dezvoltă de asemenea gând irea științifică și priceperea de
a rezolva probleme, iar pe de altă parte ele oferă posibilitatea de a dobândi conștient alte
cunoștințe de geometrie care au aplicații practice directe.
Deoarece aplicarea în practică a cunoștințelor de geometrie este dest ul de dificilă,
profesorul trebuie să urmărească cu perseverență această problemă. Pentru a rezolva probleme
practice elevii tre buie să învețe să afle unghiul a două direcții și să rezolve probleme de aflare a
unor distanțe. Aplicațiile practice încep cu a stfel de probleme pentru a ajunge la adevărate
probleme practice, care de obicei sunt mai complexe.
Dintre cunoștințele predate în ciclul gimnazial, cele mai multe aplicații practice le au
asemănarea, relațiile metrice și cunoștințele de geometrie în spaț iu.
Pentru elevi , cele mai accesibile sunt problemele de calcul: aflarea unei lungimi sau arii,
aflarea unei laturi a unui triunghi dreptunghic, calculul unei suprafețe, etc. Se rezolvă mai întâi
astfel de probleme de geometrie pentru ca elevii să câștige priceperile necesare rezolvării lor.
După aceea, profesorul trebuie să prezinte probleme practice a căror rezolvare revine, din punct
de vedere geometric, la rezolvarea problemelor de mai sus. În urma rezolvării lor, elevii
aprofundează cunoștințele, acest ea căpătând un grad de conștiență mai mare . În capitolele de
geometrie plană în care se studiază relațiile de egalitate și poziție, sunt mai puține prilejuri de
rezolvare a unor probleme practice. Legarea de practică are mai mult aspectul unei legări de
concret, de realitatea obiectivă și de activitatea elevilor. Cel mai folosit mijloc este accentul pe
construcția figurilor. Elevii intuiesc proprietățile care apar pe figurile construite. Când construcția
se face pe teren, legarea de concret este și mai evid entă. Intuirea unei proprietăți pe baza figurii
desenate reprezintă calea cea mai folosită prin care elevii iau la cunoștință noțiuni geometrice.

82
Însușirea oricărei proprietăți, a oricărei teoreme de geometrie cuprinde două aspecte: înțelegerea
conținutul ui și demonstrarea adevărului acestuia. Cel mai bun mod de înțelegere a unei
proprietăți este descoperirea ei. Atunci când elevii descoperă prin observarea figurilor o
proprietate, e clar că au și înțeles -o. Ținând cont de caracterul concret al gândirii el evilor, ei pot
desprinde proprietățile cel mai ușor prin observarea unor exemple. Intuirea pe această bază a
proprietății provoacă o satisfacție care antrenează elevii.
Observarea proprietăților geometrice, precum și aplicare celor deja asimilate se reali zează foarte
eficient prin lucrări practice și exerciții efectuate de elevi în clasă sau în afara clasei, cu ajutorul
instrumentelor de măsurat sau al unor aparate simple. Noile tendințe, precum și evoluția
tehnologiei, înlocuiesc lucrările practice în afa ra sălii de clasă cu simulări virtuale ale aplicațiilor
practice.
Formele sub care se prezintă lucrările practice la geometrie sunt multiple. Câteva exemple
ar fi:
– Mânuirea instrumentelor pentru măsurat lungimi,
– Aprecierea distanțelor și aprecierea rezulta telor unor operații efectuate pe teren,
– Măsurători pe teren,
– Confecționarea de material didactic(figuri din carton, machete)
– Realizarea unor simulări grafice prin intermediul aplicațiilor pe calculator.
Lucrările practice contribuie la consolidarea cunoști nțelor și la formarea deprinderilor de
mânuire a instrumentelor și aparatelor necesare. Pentru efectuarea lucrărilor practice la
matematică este necesar să se asigure școlii o bază materială. Este de preferat să existe un cabinet
de matematică în care să s e poată desfășura pregătirea lecțiilor de lucrări practice, folosind
aparatele și instrumentele necesare. Se impune existența materialelor necesare confecționării
planșelor, graficelor, modelelor de corpuri geometrice. Sunt necesare instrumente pentru tras area
liniilor drepte, instrumente pentru măsurat lungimi, riglă gradată, compas, șubler.
Pregătire unei lucrări practice se face amănunțit. Este necesar ca în prealabil profesorul să
execute lucrarea practică, pentru a -și da seama de materialele necesare, etapele ce trebuie
parcurse, interpretarea și verificarea rezultatelor, greutățile ce pot apărea pe parcursul lucrării,
măsurile ce pot fi luate pentru evitarea accidentelor și a rezultatelor false. Ținând cont de locul
unde se desfășoară lucrarea practică la geometrie, lucrările pot fi împă rțite în lucrări efectuate în
clasă, lucrări efectuate în cabinetul de matematică sau lucrări pe teren. Dintre toate acestea cele
mai importante sunt lucrările pe teren. Acestea înarmează elevii cu deprinderi practice și
contribuie la dezvoltarea reprezentărilor spațiale. Pe teren este îndepărtată monotonia spațiului
restrâns al clasei, iar mediul dinamic cere elevilor formarea de noi deprinderi, adaptarea la noul
mediu și la condițiile de lucru.

83
Lucrările practice de înc eput constau în deprinderea trasării unor linii drepte sau a unor
unghiuri drepte cu ajutorul echerului topografic, măsurarea unor unghiuri, a unor suprafețe.
Ca o disciplină largă, cu nenumărate aplicații, matematica este în mod inerent practic ă.
Deși nu există lipsă de matematică în viața de zi cu zi, o zonă care domină existența noastră de zi
cu zi este geometria. La urma urmei, în fiecare zi întâlnim o gamă largă de forme geometrice,
cum ar fi călătoria în metrou cilindric sau autobuzele dreptunghiulare , traversarea râurilor peste
poduri arcuite și lucrul și trăirea în clădiri dreptunghiulare.
Iar pentru cadrele didactice, presate de timp și lipsite de idei de lecți i antrenante,
geometria în arhitectură este un subiect minunat. La urma urmei, formele în design structural sunt
omniprezente (dar ușor de trecut cu vederea pentru că sunt atât de comune) și, cel mai bine, toate
sunt practice. Există nenumărate proiecte care pot fi făcute cu acest subiect.
Triunghiurile posedă o serie de avantaje cheie care le fac ideale atât pentru a rhitecți, cât și
pentru elevi curioși: aceste f orme sunt incredibil de comune și ușor de aplicat și de utilizat în
viața de zi cu zi.
Forța unui triunghi derivă din forma sa, care răspândește forțe în mod egal între cele trei
laturi ale sale. Indiferent de tipul de triung hi folosit într -o structură (iso scel, scalen sau
echilateral), triunghiurile sunt stabile, întrucât sunt în mod inerent rigide, cele trei părți întărindu –
se reciproc. După cum a explicat un gânditor Redditor, unghiur ile unui triunghi se vor deforma
înainte ca părțile să cedeze. Mai simplu spus, nu există nicio modalitate de a deforma un triunghi
fără a -l distruge în proces.
Acesta poate fi un experiment excelent pentru elevi . În t imp ce podurile gumdrop
reprezintă în mod tradițional introducerea unui elev în arhitectură, acest plan de lecție duce
conceptul cu câțiva pași mai departe, obligând echipele de elevi să se gândească atât din
perspectiva unui planificator urban cât și a unui inginer civil. O altă sugestie bună este ca aceștia
să facă structuri de testare la efort, care sunt întărite cu șuruburi triunghiulare. Acest experiment
îi determină pe elevi să formeze diverse forme și să evalueze puterea cu greutăți reale. Atunci
când efectuează acest experiment, elevii ar trebui să acorde atenție la două lucruri: în primul
rând, cât de mult poate suporta fiecare structură înainte de prăbușire și, în al doilea rând, modul în
care fiecare structură se dezintegrează . Laturile cedează mai întâi? Sau unghiurile se deformează
până când materialul nu mai poate suporta sarcina ? Această distincție va fi importantă pentru
consolidarea calităților unice ale triunghiurilor și de ce sunt mult mai puternice decât alte forme.

84

[30]

IV.1 Determinarea distanț ei dintre două puncte accesibile și vizibile.

Geometria triunghiului este folosită ca unealtă de lucru în determinarea distanței dintre
două puncte accesibile și vizibile.
Fie punctele A și B, a căror distanță trebuie determinată fără să fie măsurată dir ect.
Pentru realizarea experimentului elevii au nevoie de jaloane,ruletă, țăruși, creion, caiet pentru
măsurători. Determinarea distanței se poate face folosind mai multe metode.
a) Folosim congruența triunghiurilor
 Se alege un punct oarecare O, unde se așea ză vertical un jalon.
 Se aliniază coliniar cu O și A jalonul C, iar cu O și B jalonul D.
 Se măsoară OA și OB
 Pe direcția AOC se fixează jalonul A′, iar pe direcția BOD jalonul B′, astfel încât
OA′=OA și OB′=OB.
 Se măsoară distanța A′B′. Distanța A′B′ repre zintă distanța AB.
Explicație: Triunghiurile AOB și A′OB′ sunt congru ente.

Fig. IV.1

85

b) Folosim proprietatea liniei mijlocii
 Aliniem jalonul M cu O și A și jalonul N cu O și B, astfel încât MA=MO și NB=NO, și
măsurăm distanța MN.
 Aliniem jalonul M′ cu O și A și jalonul N′ cu O și B, astfel încât OM′= ½ OA și ON′=1/2
OB, apoi măsurăm distanța M′N′. Distanța AB va fi egală cu dublul distanței M′N′.
Explicație: MN este linie mijlocie în triunghiul AOB, și cum triung hiurile MON și M′ON′ sunt
congruente, rezultă că MN=M′N′. Deci AB=2MN=2M′N′.

Fig. IV. 2

c) Folosim asemănarea triunghiurilor
 Aliniem jaloanele A′ cu O și A și B′ cu O și B, astfel încât O A′= 1/10 ·OA și
OB′=1/10·OB.
 Măsurăm distanța A′B′ . Distanța AB= 10·A′B′.
Explicație: Triunghiurile OAB și OA′B′ sunt asemenea deci

0.
Observație: Dacă distanțele OA și OB sunt mari atunci se pot considera OA′=1/1 00·OA și
OB′=1/100·OB.

Fig. IV. 3

86

d) Folosind unghiurile de 45o, 30o, 60o și Teorema lui Pitagora.
 Din A și B trasăm direcțiile Ax și Bx care să facă unghiul de 60o și 30o cu AB. Ax și Ay
se intersectează în O.
 Măsurăm distanțele AO și BO. Distanța AB= √ .
Explicație: triunghiul AOB este dreptunghic, deci p utem aplica Teorema lui Pitagora .
Observație:
Putem folosi unghiul de 45o. Din A și B se trasează Ax și By care fac împreună cu AB
unghiuri d e 45o și se intersectează în O. Se măsoară distanța AO sau OB și atunci AB=OA √ .

Fig. IV. 4

Fig. IV. 5

IV.2 Determinare distanței dintre două puncte vizibile, dar numai unul accesibil

a) Determinarea lățimii unui râu.

Fără nici un instrument sau aparat, stând în poziție de drept, elevul situ at în punctul B
vizează punctul A pe malul opus prin marginea vizierii șepcii. Elevul face stânga împrejur și
vizează tot pe sub marginea șepcii un punct pe teren, măsurând apoi distanța BA′, care reprezintă

87
lățimea BA a râului. Este vorba aici despre cong ruența a două triunghiuri dreptunghice care au o
catetă comună (înălțimea elevului) și câte un unghi ascuțit alăturat cu măsuri egale.

Fig. IV. 6

Procedeul folosit duce la rezultate aproximativ e. Pentru obținerea rezultatelor cât mai apropiate
de realitate, elevii își vor da silința să execute lucrarea cât mai corect. Aceasta duce la întărirea
simțului de răspundere față de o anumită sarcină.
O variantă mai riguroasă de determinare o reprezintă cea în care se folosește echerul topografic.
 Se așează echerul în B și se trasează direcțiile AB′BA′ și CBD perpendicular una pe
cealaltă.
 Se consideră distanțele BC și BD egale și se măsoară unghiul ACB=α.
 În D se construiește unghiul BDA′=α. Lățimea râul ui este egală cu BA′ -BB′, distanțe care
pot fi măsurate.
Explicație: Triunghiurile dreptunghice ABC și DBA, având câte o catetă și un unghi respectiv
congruente, sunt congruente.
Observație: Cunoscând CB și α se poate calcula cateta AB folosind relația AB= BC·tgα.

b) Determinarea lungimii unui obstacol
 Se fixează jaloane în A și B și se trasează AA′ și BB′ astfel încât AA′ BB′ și unghiul
ABB′ să aibă măsura de 45o sau de 60o. Direcțiile trasate se intersectează în C.
 Se măsoară distanța AC=AB (dacă unghiul B are măsura de 45o), sau distanța BC (dacă
unghiul B are măsura de 60o)
 Folosind cunoștințele de trigonometrie, având unghiul B cu măsura α, se poate calcula
AB folosind una din relațiile:

88

AB=BC·cosα sau AB=AC·ctgα.

Fig. IV. 7

IV.3 Determinarea distanței între două puncte vizibile, dar ambele inaccesibile

Fie de determinat distanța AB între punctele A și B inaccesibile, dar vizibile (de exemplu,
două puncte pe malul unui râu).
 Se alege un punct oarecare M pe mal ul opus.
 Se trasează MC astfel încât punctele A, M, C s ă fie coliniare.
 Se trasează dreapta BD astfel încât M (BD).
 Se măsoară unghiul AMB=α.
 Se deplasează aparatul de măsurat unghiuri pe direcția MC până în B′, când distanța AB
se vede sub unghiul α/2 (mă sura unghiului MB′B să fie egală cu α/2).
 Se deplasează aparatul de măsurat unghiuri pe direcția MD până în A′, când distanța AB
se vede sub unghiul α/2 (măsura unghiului MA′A să fie egală cu α/2).
 Se măsoară distanța A′B′ , care este egală cu distanța AB c e trebuie determinată.
Explicație: Triunghiul AMA′ este isoscel, deoarece dacă unghiul MA′A=α/2 iar unghiul AMB=α
este exterior triunghiului, rezultă că și unghiul MAA′=α/2. Analog se demonstrează și că
triunghiul BMB′ este isoscel. Triunghiurile AMB și A′ MB′ sunt congruente, deci AB=A′B′.

Fig. IV. 8

89

IV.4 Determinarea distanței între două puncte accesibile , dar despărțite între ele
printr -un obstacol care împiedică vizibilitatea dintr -un punct în altul

Ne propunem să măsurăm lungimea clăd irii școlii.
 Se alege pe teren un punct O și se trasează direcțiile OA și OB
 Se consideră jaloanele N și M astfel încât OM=MA și ON=NB.
 Se trasează direcția MNM′.
 Se trasează direcțiile Ox și Oy și se determină intersecția dreptei MM′ cu aceste direcții.
Fie P și Q aceste intersecții.
 Se măsoară OP și OQ și apoi se determină punctele C și D astfel încât OP=PC și
OQ=QD.
 Se obține CD prelungirea dreptei AB.
 Folosind proprietatea liniei mijlocii în triunghi se poate determina astfel BC.

Fig. IV. 9

IV.5 Determinarea înălțimilor cu baza accesibilă

a) prin folosirea umbrei formată pe pământ de corpul a cărui înălțime trebuie
determinată

 Fie AB=h înălțimea ce trebuie determinată și AC umbra acesteia.
 Măsurăm lungimea umbrei, AC=d.
 În D fixăm un jalon d e lungime cunoscută, b și măsurăm umbra DF formată de jalon. Fie
DF=d′.
 Înălțimea AB și jalonul DE, fiind perpendiculare pe pământ, sunt paralele între ele. Se
formează astfel două triunghiuri asemenea BAC și FDE. Rezultă de aici că h/b=d/d′ și deci
h=b/d′ ·d.

90

Fig. IV. 10

Este interesant de amintit aici procedeul prin care Pitagora a determinat înălțimile piramidelor din
Egipt.

b) Prin folosirea unei oglinzi
Procedeul duce la rezultate dorite numai dacă terenul pe care se așează oglinda este perfect
orizontal. Fie h înălțimea ce trebuie determinată și l un baston înfipt în pământ.
 Se așează oglinda O între H și l, astfel încât raza incidentă BO să se reflecte după direcția
OB′.
 Se formează triunghiurile asemenea OAB și OA′B′ și deci H/l=d/d′.
 Obținem H=d/d′· l.

Fig. IV.1 1

IV.6 Aplicații practice ale noțiunilor de trigonometria triunghiului

În redactarea acestui capitol am urmărit îndeaproape lucr area [27].
Trigonometria înseamnă pur și simplu calcule cu triung hiuri (de aici provine tri). Este un
studiu al relațiilor în matematică care implică lungimi, înălțimi și unghiuri ale diferitelor
triunghiuri. Primele noțiuni au apărut în timpul secolului al III -lea î.Hr., de la aplicațiile
geometriei până la studii astr onomice. Trigonometria își răspândește aplicațiile în diferite
domenii precum arhitectură, inginerie, astrofizică, fizică și chiar criminalistică.

91
Înainte de a trece la detaliile aplicațiilor sale, să răspundem la o întrebare: ce domeniu științific a
folosit prima dată trigonometria?
Răspunsul imediat așteptat ar fi matematica, dar nu se oprește acolo. Chiar și fizica
folosește o mulțime de concepte despre trigonometrie. Un alt răspuns, conform lui Morris Kline,
în cartea sa numită „Gândirea matematică de la antichitate până în prezent”, a afirmat că
„trigonometria a fost dezvoltată pentru prima dată în legătură cu astronomia, cu aplicații pentru
navigație și construcția de calendare. Aceasta a fost în urmă cu aproximativ 2000 de ani.
Geometria este mult ma i veche, iar trigonometria este bazată pe geometrie ”. Cu toate acestea,
originile trigonometriei pot fi atribuite civilizațiilor din Egiptul Antic, Mesopotamia și India în
urmă cu mai bine de 4000 de ani.
Pornind de la elementele de bază, poate fi utiliza tă trigonometria în viața de zi cu zi?
Trigonometria poate să nu aibă aplicațiile sale directe în rezolvarea problemelor practice, dar este
folosită în diverse lucruri de care ne bucurăm atât de mult. De exemplu, muzica, după cum știți că
sunetul călătoreș te în valuri și acest model, deși nu este la fel de regulat ca o funcție sinusoidală,
este încă util în dezvoltarea muzicii pe calculator. În mod evident, un computer nu poate să
asculte și să înțeleagă muzica așa cum facem noi, astfel încât computerele o reprezintă matematic
prin undele sale sonore. Și asta înseamnă că inginerii de sunet trebuie să cunoască cel puțin
elementele de bază ale trigonometriei.
Trigonometria poate fi folosită pentru a măsura înălțimea unei clădiri sau a munților: dacă
știți distanța de unde observați clădirea și unghiul de ridicare puteți găsi cu ușurință înălțimea
clădirii. În mod similar, dacă aveți valoarea unei părți și unghiul de depresiune din partea de sus a
clădirii puteți găsi și o altă latură în triunghi, tot ce treb uie să știți este o latură și un unghi al
triunghiului.
Trigonometrie în tehnica zborului:
Inginerii de zbor trebuie să țină cont de viteza, distanța și direcția acestora, împreună cu
viteza și direcția vântului. Vântul joacă un rol important în cum și cân d va ajunge un avion acolo
unde este nevoie, acesta este rezolvat folosind vectori pentru a crea un triunghi folosind
trigonometria pentru a rezolva. De exemplu, dacă un avion călătorește la 234 mph, 45 grade N de
E și există un vânt care suflă spre sud la 20 mph. Trigonometria va ajuta să rezolvați pentru acea
a treia parte a triunghiului dvs. Care va conduce avionul în direcția corectă, avionul va călători
efectiv cu forța vântului adăugat la cursul său.
Trigonometrie în fizică:
În fizică, trigonometria e ste utilizată pentru a găsi componentele vectorilor, modelarea
mecanicii undelor (atât fizice cât și electromagnetice) și a oscilațiilor, însumează puterea

92
câmpurilor și utilizează produse punct și încrucișat. Chiar și în mișcarea proiectilului aveți multă
aplicare de trigonometrie.
Arheologii folosesc trigonometria?
Trigonometria este utilizată pentru a împărți în mod corespunzător siturile de excavare în
zone de lucru egale. Arheologii identifică diferite instrumente utilizate de civilizație, iar
trigonometria îi poate ajuta în aceste săpături. De asemenea , o pot folosi pentru a măsura distanța
față de sistemele de apă subterane.
Trigonometrie în criminologie:
În criminologie, trigonometria poate ajuta la calcularea traiectoriei unui proiectil, la
estimare a a ceea ce ar fi putut cauza o coliziune într -un accident de mașină sau cum a căzut un
obiect de undeva sau în ce unghi a fost împușcat un glonț etc.
Trigonometrie în biologia marină;
Biologii marini folosesc adesea trigonometria pentru a stabili măsurăto ri. De exemplu,
pentru a afla cum nivelurile de lumină de la diferite adâncimi afectează capacitatea algelor de a se
fotosinteza. Trigonometria este utilizată pentru a găsi distanța dintre corpurile cerești. De
asemenea, biologii marini utilizează modele m atematice pentru a măsura și înțelege animalele de
mare și comportamentul acestora. Biologii marini pot folosi trigonometria pentru a determina
mărimea animalelor sălbatice de la distanță.
Trigonometrie în inginerie marină:
În inginerie marină, trigonometr ia este utilizată pentru construirea și navigarea navelor
marine. Pentru a fi mai specifică trigonometria este utilizată pentru proiectarea rampei marine,
care este o suprafață înclinată pentru conectarea zonelor de nivel inferior și superior, poate fi o
pantă sau chiar o scară în funcție de aplicarea sa.
Alte utilizări ale trigonometriei :
Se folosește în oceanografie pentru calcularea înălțimii valurilor din oceane. Funcțiile
sinusși cosinus sunt fundamentale pentru teoria funcțiilor periodice, cele care descriu undele de
sunet și lumină.
Trigonometria poate fi folosită pentru acoperișul unei case, pentru a face acoperișul
înclinat (în cazul bungalourilor individuale) și înălțimea acoperișului în clădiri etc.Este utilizată
pentru industria navală și a avi ației. Este utilizată în cartografie (crearea hărților). De asemenea,
trigonometria are aplicațiile sale în sistemele prin satelit.
a) Problemă. Un observator măsoară un unghi vertical α la orizontul mării, dintr -un punct
A, de pe acoperișul unui bloc situat pe țărm.Cunoscând raza R a Pământului, să se calculeze
înălțimea blocului.
 Notăm înălțimea blocului AB cu x, unghiul vertical CAO cu α și complementul său cu β.

93
 Avem R=OA·cosβ= (R+x)·cosβ . De aici rezultă x=
și deci x=

.

Fig. IV.1 2
b) Problemă . Să se calculeze înălțimea unei statui așezată pe un piedestal situat într -un loc
inaccesibil.
 Fie o bază AB care se poate măsura, situată în plan orizontal și în același plan vertical cu
statui a.
 Se măsoară din A unghiurile verticale ale punctelor D și E și din B unghiul vertical al
punctului E.
 Observăm că AEB= CAE – CBE, deci AE= ̂
̂.
 Dar DAE= EAC – DAC, deci DE= ̂
̂.

Fig. IV.1 3

94

c) Problemă. Cunoscând trei puncte pe un teren, A, B, C, se cere să se găsească poziția
unui al patrulea punct M, din care se văd segmentele AB și BC sub unghiurile α și β. (Problema
hărții)
 Poziția punctului M este dată de intersecția arcelor cercurilor descrise pe AB și BC.
Problema este nedeterminată dacă M aparține cercului circumscris triunghiului ABC.
 Considerăm unghiurile MAB=x și MCB=y. Avem x+y+α+β +B= 360o, deci
x+y=360o- α – β – B.
 Măsurăm AB=a, BC=b și ABC= B.
 În ∆ABM și în ∆BCM avem M
și M
de unde

.
 Notăm
tg .
 Avem
tg , deci

, de unde
tg
tg
·tg .
 Cum
0
, deci tg
tg
.
 Obținem astfel tg

.
 Din relațiile de mai sus putem calcula x și y. Deci construind dreptele AM și CM, găsim
punctul M rezultat din inters ecția lor.

Fig. IV.1 4
IV.7 Triangulația

În redactarea acestui capitol am urmărit îndeaproape lucr area [28].
În trecut, a fost dificil să se măsoare cu exactitate distanțe foarte lungi, dar a fost posib il
să se măsoare cu exactitate unghiurile dintre puncte aflate la mulți 94ilometric distanță. Aceasta
ar putea fi oriunde de la câțiva 94ilometric , la 50 de 94ilometric sau mai mult. Triangulația este o
metodă de sondare care măsoară unghiurile dintr -un triun ghi format din trei puncte de control al
sondajului. Folosind trigonometria și lungimea măsurată dintr -o singură parte, se calculează

95
celelalte distanțe din triunghi. Forma triunghiurilor este importantă, deoarece există o mulțime de
inexactități într -un triunghi, dar ideal este unul cu unghiuri de bază de aproximativ 45 de grade.
Fiecare dintre distanțele calculate este apoi utilizată ca o parte într -un alt triunghi pentru a
calcula distanțele până la un alt punct, care la rândul său poate porni un alt tri unghi. Acest lucru
se face de câte ori este necesar pentru a forma un lanț de triunghiuri care leagă punctul de origine
la controlul sondajului în locul necesar. Unghiurile și distanțele sunt apoi utilizate cu poziția
inițială cunoscută și formulele comple xe, pentru a calcula poziția (Latitudine și Longitudine) din
toate celelalte punc te din rețeaua de triangulație. Deși calculele utilizate sunt similare cu
trigonometria predată în liceu, deoarece distanța dintre punctele de sondaj este în general lungă
(de obicei aproximativ 30 de kilometri), calculele permit, de asemenea, determinarea curburii
Pământului. Distanța măsurată în primul triunghi este cunoscută sub numele de „Linia de bază” și
este singura distanță măsurată ; toate celelalte sunt calculate din aceasta și unghiurile măsurate.
Înainte de anii „50, această distanță inițială de bază trebuia să fie foarte atent măsurată cu lungimi
succesive de tije a căror lungime era cunoscută cu exactitate. Aceasta a însemnat că distanța ar fi
relativ scurtă (poat e un kilometru sau cam așa ceva) și că ar fi într -o zonă destul de plană, cum ar
fi o vale sau o câmpie. Triunghiurile măsurate din aceasta au crescut treptat ca mărime.
Unghiurile din triunghiuri sunt măsurate folosind un teodolit, care este un instrument cu un
telescop conectat la două cercuri rotative (unul orizontal și unul vertical) pentru a măsura
unghiurile orizontale și verticale. Un teodolit de bună calitate utilizat pentru sondajele geodezice
ar fi gradat la 0,1 secunde dintr -un arc, iar un unghi rezultat din măsurători repetate ar avea de
obicei o precizie de aproximativ 1 secundă de arc, ceea ce este echivalent cu aproximativ 5 cm pe
o distanță de 10 kilometri. În triangulație nu sunt necesare unghiurile verticale, dar pot fi utilizate
pentru a m ăsura diferența de înălțime între puncte.
Sondajul triunghiular a fost introdus pentru prima dată de u n bărbat olandez pe nume Sneli.
Triangulație de supraveghere
Triangula ția este preferată pentru dealuri și zone ondulate, deoarece este ușor să stabiliți
stații la distanțe rezonabile între ele. În zonele plane și aglomerate, acesta nu este potrivit
deoarece intervisibilitatea stațiilor este afectată. Dificultatea este depășită prin construirea
turnurilor, care este destul de costisitoare.
Principalul deza vantaj al triangulării este acumularea de eroare în lungimi și direcție a
liniilor, deoarece ambele, pentru linii succesive, depind de calculele pentru cele ale liniei
precedente, ceea ce necesită bazele de verificare.
Operațiuni în triangulație :

96
Munca de teren a unei triangulații se realizează în următoarele operații bine definite :
recunoaștere, pregătirea stației , măsurarea de bază, măsurarea unghiurilor. Pe lângă munca de
teren, triangula ția constă în specificații, proiectarea stațiilor și semnalelor și reducerea și ajustarea
observațiilor.
Aplicații ale supravegherii triunghiului :
 Stabilirea punctelor de control localizate cu precizie pentru sondajele geografice și plane
ale suprafețelor mari.
 Stabilirea punctelor de control amplasate cu exactitate î n legătură cu cercetarea aeriană.
 Amplasarea exactă a proiectelor de inginerie, cum ar fi liniile de centru, punctele
terminale și arbori pentru tuneluri lungi, și liniile de centru și butoanele pentru poduri cu distanță
lungă.

Fig. IV.1 5. Un sistem form at din stații de triangulație conectate de un lanț de triunghiuri.

IV. 8 Aplicații practice ale geometriei prin mijloace digitale

Termenii și conceptele noi sunt mai ușor de înțeles prin mijloace digitale decât cu tabla
clasică și creta. Profesorii au î nțeles că există o schimbare structurală a mentalității generațiilor,
că rolul lor va deveni în curând cel al unui coach și că predarea unidirecțională nu mai este
interesantă pentru generațiile care au acces la minunile moderne ale digitalului. Folosirea
instrumentelor digitale reprezintă o metodă eficientă de combatere a absenteismului și a
abandonului școlar, în cazul copiilor cu rezultate slabe la învățătură. În cazul elevilor cu rezultate

97

medii și bune la învățătură, aceste metode sunt folosite și apre ciate pentru că oferă feedback
imediat, îi motivează să se autodepășească și să se dezvolte la nivel personal.
Avantaje ale utilizării aplicațiilor digitale și resurselor educaționale digitale în procesul
instructiv -educativ:
▪ Oferă elevilor un instrumen t modern și atractiv de exersare a noțiunilor teoretice și de formare a
competențelor specifice
▪ Elevii pot colabora, pot învăța împreună sau pot concura unii cu alții
▪ Fiecare elev poate lucra în ritm propriu, fiind esențial progresul fiecăruia raport at la nivelul
inițial
▪ Crește interesul elevilor pentru studiul prin integrarea educației digitale în demersul didactic
▪ Elevii se pot autoevalua, putând vizualiza la final soluția corectă pentru fiecare întrebare la care
au răspuns eronat
▪ Îmbină me todele didactice tradiționale cu cele moderne
▪ Stimulează capacitățile de învățare
▪ Crește motivația elevilor
▪ Instalează un climat de autodepășire, competitivitate
▪ Întreține un nivel ridicat al atenției
▪ Stimulează gândirea logică și imaginația
▪ Asigură un feedback rapid
▪ Corectarea greșelilor se face rapid
▪ Stabilirea unor măsuri de remediere bazate pe feedback -ul primit
▪ Utilizare aplicaților de către elevi se poate face utilizând diferite dispozitive IT (tabletă, telefon
mobil, PC)
În predarea matematicii folosind resursele digitale se pot folosi aplicații descărcate pe
dispozitivele IT dar și aplicații disponibile online, pe diverse site -uri de sprecialitate.

Fig. IV.1 6

98
Iată câteva site -uri în care se pot accesa aplicații utile pre dării geometriei:
 https://phet.colorado.edu/sims/vector -addition/vector -addition_en.html
Fondat în 2002 de către laureatul Nobel Carl Wieman, PhET Interactive Simulatio ns este un
proiect al Universității Colorado ce oferă simulări și experimete interactive de matematică și alte
științe. Aplicațiile PhET se bazează pe cercetări riguroase și conduc elevii către o învățare prin
explorare și descoperire.
https://www.geogebra.org/m/jfp2XqFw

Simulator pentru adunarea și descompunerea vectorilor.

Fig. IV.1 7

Fig. IV.1 8.Simulator – metoda celor mai mici pătrate

99

Fig. IV.1 9. Simultor – calculul și reprezentare grafică a funcțiilor trigonometrice
 https://www.geogebra.org/
GeoGebra este un software matematic dinamic pentru toate nivelurile de educație care combină
geometria, algebra, foile de calcul, grafic ele, statistica și analiza într -un singur pachet ușor de
utilizat. GeoGebra este o comunitate rapid crescătoare de milioane de utilizatori situați în mai
toate țările lumii. GeoGebra a devenit furnizorul principal de software matematic dinamic,
ajutând edu cția de științe, tehnologie, inginerie și matematică (STEM) și inovația în domeniul
educației în lumea întreagă.

Fig. IV. 20. Exemplu de construcție folosită în capitolul ”Asemănarea triunghiurilor”
 https://www.mathwarehouse.com/

100
Este un site dedicat lecțiilor dinamice de matematică, incluzând demonstrații și activități
interactive.

Fig. IV. 21. Joc interactiv de calcul pentru unghiul exterior unui triunghi
 https://www.mathplayground.com/TransformationWorkshop/index.html
Acest site educațional este destinat elevilor claselor 1 -6 și include spații de lucru matematice, în
predarea geometriei putând fi folosi tă tabla geometrică de lucru”geoboard”

Fig. IV.2 2. Construcția simetricelor pe tabla geometrică
Utilizarea resurselor digitale reprezintă o sursă inepuizabilă de materiale didactice,
antrenând capacitatea de concentrare a elevilor și percepția p ractică a noțiunilor geometrice
studiate. Noile tendințe în educație aduc în prim -plan digitalizarea procesului educativ folosită ca
metodă de apropiere a elevului de matematică, de transpunere a noțiunilor teoretice în practică,
dar și de înlocuire a apli cațiilor practice realizate în trecut pe teren cu simulări virtuale.

101
Bibliografie
1. Bogdanov Z., Călugărița GH., Opreanu E., Sandu M., Metodica predării geometriei,
Editura Didactică și Pedagogică, București, 1965.
2. Brânzei D., Brânzei R., Metodic a predării matematicii , Editura Paralela 45, Pitești, 2000.
3. Coța A., Rado M., Răduțiu M., Vornicescu F., Matematică – Geometrie și trigonometrie –
Manual pentru clasa a IX -a, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1997.
4. Ganga M., Matematică – Manual pe ntru clasa a IX -a, Editura MathPress, Ploiești, 2004.
5. Ganga M., Matematică – Manual pentru clasa a X -a , Editura MathPress, Ploiești, 2001.
6. Ianuș S., Soare N., Niculescu L., Tena M., Probleme de geometrie și trigonometrie pentru
clasele IX – X, Editura di dactică și pedagogică, București, 1983.
7. Ion V., Enache M., Spiță A., Geometrie plană pentru gimnaziu, Editura Univers -Mat,
Brăila, 1994.
8. Iurea Gh., Luchian D., Popa G., Zanoschi A., Matematică – Evaluarea Națională pentru
absolvenții clasei a VIII -a, Editura Paralela 45, Pitești, 2017.
9. Iurea Gh., Zanoschi A., Matematică – Algebră, Geometrie: clas a VII -a, Editura Paralela
45, Pitești, 2016.
10. Lupu C., Săvulescu D., Metodica predării geometriei, Editura Paralela 45, Pitești, 2000.
11. Negrilă A., Negrilă M., Matem atică: Algebră, Geometrie: clasa a VII -a, Editura Paralela
45, Pitești, 2014.
12. Nicolae S., Chilom I., Sas M., Matematică – exerciții și probleme pentru clasa a VII -a,
Editura Booklet, București, 2017.
13. Nicolescu L., Boskoff V., Probleme practice de geometrie , Editura Tehnică București,
1990.
14. Peligrad S., Țurcanu A., Popa Ș., Teste de evaluare standard – clasa a VII -a, Editura
Paralela 45, Pitești, 2014.
15. Perianu M., Stănică C., Balica I., Matematică pentru Evaluarea Națională, Editura Art
Educațional, București , 2017.
16. Pervain I., Baicu V., Matematică, jurnal de vacanță – clasa a VI -a, Editura Delfin,
București, 2013.
17. Petrică I., Ștefan C., Matematică – probleme pentru clasele V -VIII, Editura Petrion,
București, 1995
18. Radu D., Radu E., Matematică, manual pentru c lasa a VII -a, Editura Teora, București,
2011.
19. Săvulescu D., Sinteze teoretice pentru pregătirea Evaluării Naționale, Editura Art,
București, 2016.
20. Simionescu D. GH., Geometrie analitică, Manual pentru clasa a XI -a , Editura Didactică
și Pedagogică, Bucur ești, 1970
21. Stoka M., Raianu M., Mărgăritescu E., Culegere de probleme de trigonometrie pentru
licee, Editura didactică și pedagogică, București, 1975.
22. Teodorescu N., Societatea de Științe Matematice din România, Gazeta matematică, nr. 1 –
5, București, 1985 .
23. Tudor I., Matematică – algebră, geometrie – Modalități de lucru diferențiate, clasa a VII -a,
Editura Paralela 45, Pitești, 2017.
24. Țițeica G, Culegere de probleme de geometrie, Editura Tehnică, București, 1965.

102
25. Udriște C., Tomuleanu V., Geometrie analitică, manual pentru clasa a XI -a, Editura
Didactică și Pedagogică, București, 1995.
26. Zanoschi A., Iurea Gh., Popa G., Răducanu P., Șerdean I., Matematică – Teste pentru
Bacalaureat, Editura Paralela 45, Pitești, 2016.
27. http://ro.math.wikia.com/wiki/Axiomele_geometriei
28. https://www.embibe.com/exams/real -life-applications -of-trigonometry/
29. https://www.icsm.gov.au/education/fundamentals -mapping/surveying –
mapping/surveying -methods
30. https://medium.com/@SwunMath/geometry -in-everyday -life-architecture -458501acada7
31. https://studiousguy.com/10 -real-life-examples -of-triangle/
32. https://www.digitaliada.ro/materiale -digitaliada
33. https://www.viitoriolimpici.ro/
34. https://www.didactic.ro/pregatire -bac/aplicatii -ale-trigonometriei -in-geometrie

103
Index de notații
Notăm cu:
1. [AB] segmentul închis determinat de punctele A,B
2. (PQ) segmentul deschis determinat de punctele P,Q
3. (AB semidreapta c u originea în punctul A
4. [ABC] suprafața triunghiulară
5. H ortocentrul triunghiului
6. G centrul de greutate al triunghiului
7. O centrul cercului circumscris triunghiului
8. I centrul cercului înscris triunghiului
9. ⃗⃗⃗⃗⃗ vector legat
10. | ⃗⃗⃗⃗⃗ | lungimea vectorului ⃗⃗⃗⃗⃗
11. ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ segmente orientate echipolente
12. ̅̅̅̅ vectorul liber
13. 0̅ vectorul nul
14. φ [ 0, π ] unghiul dintre ̅ și ̅.
15. ̅x ̅ produsul scalar al vectorilor ̅ și ̅
16. A(x A, yA) punctul de coordonate x A si y A
17. mAB panta dreptei AB
18. d(M,d) distanța de la punctul M la dreapta d
19. 𝓐, S aria triunghiului
20. P semiperimetrul triunghiului
21. a latura (BC) a triunghiului ABC
22. b latura (AC) a triunghiului ABC
23. c latura (AB) a triunghiului ABC
24. r raza cercului circumscris triunghiului
25. R raza cercului ci rcumscris triunghiului
26. ℒ lungimea cercului
27. sim AEB simetricul punctului B față de dreapta AE
28. prAB P=M proiecția pe latura AB a punctului P este punctul M

104
Index de noțiuni
A
– asemănare
– axiomă
– aplicație digitală
B
– bisectoare
C
– cazuri de asemă nare
– catetă
– centru de greutate
– centrul cercului circumscris triunghiului
– centrul cercului înscris triunghiului
– cerc circumscris triunghiului
– cerc înscris triunghiului
– Cercul lui Euler
– Ceva
– ceviene
– ceviene izogonale
– coliniar
– concluzie
– concurente
– congruență
– contrapoziție
D
– demonstrație
– demonstrație analitico -sintetică
– descoperirea didactică
– dreaptă
– dreapta Lemoine
– drepte concurente
– drepte paralele
– drepte perpendiculare
– dreapta lui Simson
– dreapta lui Lemoine
– dreapta ortică
E
– echipolent
– echivalență

105
– exercițiul d idactic
G
– geometrie
– GeoGebra
I
– Implicație logică
– interiorul unui triunghi
– intersecție
– ipoteză
– ipotenuză
Î
– înălțime
J
– jalon
L
– laturile triunghiului
– linie mijlocie
– linie poligonală
– linie poligonală închisă
M
– mediană
– mediatoare
– medie proporțională
– metoda anal itică
– metoda analizei
– metoda reducerii la absurd
– metoda sintezei
– metoda vectorială
– metode de rezolvare
– minim
– maxim
– mulțime
– mulțime convexă
– mulțime vidă
O
– observația didactică

106
– ortocentru
– ortopolul dreptei față de triunghi
P
– panta dreptei
– paralel
– paralelogra m
– patrulater inscriptibil
– perpendicular
– PheT
– piciorul înălțimii
– plan
– poligon convex
– prima bisectoare
– produs scalar
– produs vectorial
– proiecție ortogonală
– punct
– puncte coliniare
– punctul lui Torricelli
Q
– Quizizz
R
– raport de asemănare
– relații metrice
– Relația lui Stewart
– reducere la absurd
S
– segment
– segment orientat
– segmente proporționale
– simulator
– suprafață triunghiulară
T
– tangenta la cerc
– teoremă
– Teorema lui Carnot
– Teorema lui Ceva
– Teorema lui Gergonne
– Teore ma lui Heron
– Teorema lui Menelaus

107
– Teorema lui Thales – pag. 16
– Triangulația
– trigonometrie
– triunghi ascuțitunghic
– triunghi dreptunghic
– triunghi echilateral
– triunghi isoscel
– triunghi oarecare(scalen)
– triunghi obtuzunghic
– triunghi ortic
V
– vârful liniei poligonale
– vârfurile triunghiului
– vector
– vector legat