PROF. UNIV. DR. PRIPOAE GABRIEL -TEODOR CAN DIDAT PROF. IACOB ( STEMATE ) ANA -MARIA ȘCOALA GIMNAZ IALĂ NR.1 ROATA DE JOS, GIURGIU 2020 UNIVERSITATEA… [618616]

UNIVERSITATEA DIN BUCUREȘTI
FACULTATEA DE MATEMATICĂ ȘI INFORMATICĂ

LUCRARE METODICO -ȘTIINȚIFICĂ
PENTRU OBȚINEREA GRADUL UI
DIDACTIC I

ÎNDRUMĂTOR
PROF. UNIV. DR. PRIPOAE GABRIEL -TEODOR
CAN DIDAT
PROF. IACOB ( STEMATE ) ANA -MARIA
ȘCOALA GIMNAZ IALĂ NR.1
ROATA DE JOS, GIURGIU

2020

UNIVERSITATEA DIN BUCUREȘTI
FACULTATEA DE MATEMATICĂ ȘI INFORMATICĂ

METODICA REZOLVĂRII
PROBLEMELOR DE GEOMETRIA
TRIUNGHIULUI

ÎNDRUMĂTOR
PROF. UNIV. DR. PRIPOAE GABRIEL -TEODOR

CANDIDAT: [anonimizat]. IACOB ( STEMATE ) ANA -MARIA
ȘCOALA GIMNAZIALĂ NR.1
ROATA DE JOS, GIURGIU

2020

Cuprins
INTRODUCERE ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………. 5
CAPITOLUL I . REZULTATE GENERALE PRIVIND GEOMETRIA TRIUNGHIULUI
………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……….. 7
I.1. DEFINIREA TRIUNGHIULUI. ELEMENTE DE BAZĂ ALE UNUI TRIUNGHI ……. 7
I.2. CLASIFICAREA TRIUNGHIURILOR ………………………….. ………………………….. …….. 8
I.3. CONGRUENȚA TRIUNGHIURILOR ………………………….. ………………………….. …….. 9
I.4. ASEMĂNAREA TRIUNGHIURILOR ………………………….. ………………………….. …….. 10
I.5. LINII IMPORTANTE ÎN TRIUNGHI ………………………….. ………………………….. …….. 12
I.5.1 MEDIANA ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………….. 12
I.5.2 BISECTOAREA ………………………….. ………………………….. ………………………….. …… 12
I.5.3 MEDIATOARE A ………………………….. ………………………….. ………………………….. ….. 13
I.5.4 ÎNĂLȚIMEA ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………… 14
I.6. COLINIARITATE, CONCURENȚĂ ȘI PARALELISM ÎN TRIUNGHI ………………… 15
CAPITOLUL II. TEOREME REMARCABILE PRIVIND GEOMETRIA TRIUNGHIULUI
………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……… 16
II.1 EGALITĂȚI ȘI INEGALITĂȚI GEOMETRICE ………………………….. …………………… 16
II.2 RELAȚII METRICE ÎN TRIUNGHI ………………………….. ………………………….. ………. 18
CAPITOLUL III. CONSIDERAȚII METODICE, PEDAGOGICE SI PSIHOLOGICE
PRIVIND PREDAREA GEOMETRIEI TRIUNGHIULUI ………………………….. ….. 23
III. 1. METODE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR DE GEOMETRIE ………………… 23
III. 2. METODE FOLOSITE ÎN GEOMETRIE PENTRU REZOLVAREA PROBLEMELOR 26
III.2.1 METODE GENERALE APLICATE ÎN DEMONSTRAREA TEOREMELOR ȘI
REZOLVAREA PROBLEMELOR ………………………….. ………………………….. ………………. 27
III.2.2 METODE SPECIFICE FOLOSITE ÎN GEOMETRIE PENTRU REZOLVAREA
PROBLEMELOR ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………… 30
III.3. PROBLEME DE CONCURENȚĂ ………………………….. ………………………….. ……….. 37
III.4. PROBLEME DE COLINIARITATE ȘI DREPTE CELEBRE ………………………….. .. 38
III.5 PROBLEME DE ARII ………………………….. ………………………….. ………………………… 38
III.6 PROB LEME DE MAXIM ȘI MINIM ………………………….. ………………………….. …….. 38
III.7 PROBLEME PENTRU CONCURSURI ȘCOLARE ………………………….. ……………. 38
III.8 PROIECTE DIDACTICE ………………………….. ………………………….. ……………………. 44
CAPITOLUL IV. PROBLEME CU CARACTER APLICATIV ………………………….. . 64
IV.1 DETERMINAREA DISTANȚEI DINTRE DOUĂ PUNCTE ACCESIBILE ȘI VIZIBILE.
………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……… 67
IV.2 DETERMINARE DISTANȚEI DINTRE DOUĂ PUNCTE VIZIBILE, DAR NUMAI UNUL
ACCESIBIL ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………… 70

IV.3 DETERMINAREA DISTANȚEI ÎNTRE DOUĂ PUNCTE VIZIBILE, DAR AMBELE
INACCESIBILE ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………… 71
IV.4 DETERMINAREA DISTANȚEI ÎNTRE DOUĂ PUNCTE ACCESIBILE, DAR DESPĂRȚITE
ÎNTRE ELE PRINTR -UN OBSTACOL CARE ÎMPIEDICĂ VIZIBILITATEA DINTR -UN PUNCT
ÎN ALTUL ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………………… 72
IV.5 DETERMINAREA ÎNĂLȚIMILOR CU BAZA ACCESIBILĂ ………………………….. … 73
IV.6 APLICAȚII PRACTICE ALE NOȚIUNILOR DE TRIGONOMETRIA TRIUNGHIULUI
………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……… 74
IV.7 TRIANGULA ȚIA ………………………….. ………………………….. ………………………….. …… 78
IV. 8 APLICAȚII PRACTICE ALE GEOMETRIEI PRIN MIJLOACE DIGITALE ………. 80
Bibliografie ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………… 86
Index de notații ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………… 88
Index de noțiuni ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………….. 89

Introducere

„Matematica este un mod de exprimare a legilor naturale, este cel mai simplu și cel
mai potrivit chip de a înfățișa o lege generală sau curgerea unui fenomen, este cea mai
perfectă limbă în care se poate povesti un fenomen natural.” – Gheorghe Țițeica .

Prin predarea geometriei în gimnaziu, și mai apoi în liceu, se urmărește ca elevii să -și
însușească un număr de cunoștințe de geometrie, și în același timp să se dezvolte facultățile
psihice ale elevilor. Geometria, în mod deosebit, dezvoltă gând irea activă, complexă și dialectică
a elevilor, capacitatea de a analiza și generaliza, de a extrage esențialul, de a schematiza
realitatea. În cadrul demonstrațiilor și al rezolvării problemelor de geometrie, prin parcurgerea
raționamentelor, se urmărește dezvoltarea gândirii sub aspectul logic formal, scopul fiind ca toate
cunoștințele dobândite să devină bunuri proprii, instrumente de lucru, nu numai să fie reținute pur
și simplu. Astfel, scopul instructiv se împletește cu cel educativ și cu activitatea concretă,
practică.
În contextul unor schimbări continue a învățământului românesc, în centrul
preocupărilor școlii trebuie să fie cultivarea accentuată a gândirii logice a elevilor. Fiecare lecție
necesită o evaluare temeinică , pentru a stabili nivelul de cunoștințe și deprinderi ale elevului.
Învățarea geometriei exersează gândirea, stimulează organizarea logică a ideilor, întărește atenția
și puterea de concentrare, sporește memoria, dezvoltă un ascuțit simț critic constructiv și
înclin ația spre precizie și obiectivitate.
Importanța și actualitatea temei
În cadrul studiului geometriei triunghiului, elevii își formează noțiunile și cunoștințele
prin observarea obiectelor din realitatea cunoscută lor. Se face apoi o abstract izare a formelor
observate, finalizată prin desen. În gimnaziu se acumulează un număr relativ mare de cunoștințe
geometrice, principala preocupare rămânând observarea practică. Treptat se urmărește ca elevii
să se desprindă de contactul cu realitatea obiec tivă și să poată studia figuri geometrice fără ca ele
să fie legate de exemple concrete. Acumularea sistematică a cunoștințelor, proces rezultat din
predarea definițiilor, teoremelor, demonstrațiilor, trecerea de la problemele practice la cele
abstracte, a daptarea nivelului de dificultate al problemelor la nivelul clasei și la nivelul
capacităților elevului, toate necesită o măiestri didactică din partea dascălului. De aceea, o
aplicare adecvată a metodicii predării geometriei triunghiului este foarte impor tantă în debutul
studiului geometriei, punând bazele geometriei în spațiu, geometriei vectoriale, geometriei
analitice.
Motivarea alegerii temei
În zilele noastre matematica este un instrument esențial de lucru pentru toate
domeniile tehn ice, așadar este firesc ca în centrul preocupărilor actuale ale școlii românești să se
situeze cultivarea accentuată a gândirii elevilor. Alegerea acestei teme este motivată de
importanța deosebită pe care geometria o are în cadrul matematicii. În urma act ivității la clasă am

avut posibilitatea să observ că unii elevi întâmpină greutăți în studiul geometriei, care îi solicită
mai mult decât o fac celelalte ramuri ale matematicii. Am constatat că trebuie să se țină seama de
etapele dezvoltării psihopedagogic e ale copilului în toate formele de predare și că trebuie trezit
interesul acestuia pentru aplicarea în practică a cunoștințelor dobândite. Scopul principal al
procesului didactic rămâne acela de a -l învăța pe elev „să învețe”. Pentru aceasta trebuie aplic at
un stil de lucru activ formativ, metodele și procedeele didactice alese având un rol esențial.
Alegerea temei a stat la baza răspunsului la întrebarea continuă: ”Ce metode putem
folosi pentru a ușura înțelegerea noțiunilor privind pr edarea -învățarea geometriei triunghiului?”.
Descrierea lucrării
Primul capitol al lucrării prezintă rezultate generale privind geometria triunghiului,
începând cu definirea triunghiului, elementele acestuia, clasificarea, congru ența, asemănarea
triunghiurilor, precum și linii importante în triunghi. Introducerea noțiunilor este tratată atât la
nivel de gimnaziu cât și la nivel de liceu. În capitolul al doilea sunt enunțate și demonstrate
teoreme remarcabile privind geometria tri unghiului. Capitolul al treilea conține considerații
metodice, pedagogice și psihologice privind predarea geometriei triunghiului. Sunt descrise
metode generale și specifice de rezolvare a problemelor de geometrie urmărind o clasificare a
acestora: prob leme de concurență, probleme de coliniaritate și drepte celebre, probleme de arii,
probleme de maxim și minim, probleme pentru concursuri școlare . La finalul capitolului sunt
atașate două proiecte didactice: ” Unghiuri în jurul unui punct. Suma măsurilor lo r.„ și “Cazurile
de congruență ale triunghiurilor oarecare”. Ultimul capitol al lucrării descrie metode de rezolvare
a unor probleme cu caracter aplicativ : determinarea distanței dintre două puncte accesibile și
vizibile, determinarea distanței dintre dou ă puncte vizibile, inaccesibile, determinarea distanței
dintre două puncte accesibile, dar despărțite printr -un obstacol, determinarea înălțimilor cu baza
accesibilă, aplicații practice ale trigonometriei, triangulația, aplicații practice ale geometriei pr in
mijloace digitale.

Capitolul I . Rezultate generale privind geometria triunghiului

I.1. Definirea triunghiului. Elemente de bază ale unui triunghi

În redactarea acestui paragraf, am urmărit îndeaproape lucrarea [ 3].
Definiție. Se numește mulțime convexă o mulțime M de puncte, care are următoarea proprietate:
dacă P și Q sunt puncte distincte oarecare ale mulțimii M, atunci M conține toate punctele
segmentului (PQ): P,Q M (PQ) M.
Mulțimea vidă și mulțimile formate dintr -un singur punct se consideră convexe. O mulțime
formată din două puncte nu este convexă.

P Q P Q

Fig. I.1 Mulțime convexă Fig. I.2 Mulțime care nu este convexă

Exemple de mulțimi convexe: plan ele, semiplan ele, dreptele, semidreptele, segmentele.
Intersecția a două mulțimi convexe este o mulțime convexă.
Definiție. O linie poligonală este o mulțime de forma L=[P 1P2] [P2P3] PnPn+1]. Punctele
P1,P2,P3,….,P n+1 se numesc vârfurile liniei, iar segmentele [P 1P2], [P 2P3], …[ P nPn+1] se numesc
laturile ei. Linia poligonală se numește închisă dacă P 1=Pn+1 și simplu închisă dacă în plus
oricare două laturi nevecine nu au punct comun și două laturi vecine au suporturi diferite. O linie
poligonală simplu închisă se numește poligon.
Definiție. Un poligon cu trei laturi se numește triunghi .
Interiorul unui poligon convex reprezintă intersecția semi planelor deschise limitate de
suporturile laturilor poligonului și care conțin vârfurile nesituate pe laturile respective.
Reuniunea dintre un poligon convex P 1P2P3,….,P n și interiorul său se numește suprafață
poligonală convexă și se notează cu [P 1P2P3,….,P n]. În cazul triunghiului ABC, mulțimea
[ABC] se numește suprafață triunghiulară .

A
int ABC
B C
Fig.I.3 Suprafață triunghiulară
La nivelul cunoștințelor de clasa a VI -a, triunghiul este definit astfel:
Definiție. Fie A,B,C trei puncte necoliniare. Figura geometrică obținută prin reuniunea
[AB] [BC] [CA] se numește triunghi .
A

B C
În ABC : [AB], [BC], [AC] se numesc laturile triunghiului; A, B, C se numesc vârfurile
triunghiului.

I.2. Clasificarea triunghiurilor
În redactarea acestui paragraf, am urmărit îndeaproape lucrările [3], [7].
Clasificarea triunghiurilor se poate face după măsurile unghiurilor sau comparând măsurile
laturilor astfel:
 În funcție de măsurile unghiurilor , triunghiurile se clasifică astfel :
– Triunghi ascuțitunghic – triunghiul ca re are toate unghiurile ascuțite,
– Triunghi dreptunghic – triunghiul cu un unghi drept ,
– Triunghi obtuzunghic – triunghiul cu un unghi obtuz.

 Comparând lungimile laturilor, triunghiurile se clasifică astfel:
– Triunghi oarecare (scalen) – triunghi cu lungimile latu rilor diferite,
– Triunghi isoscel – triunghi cu două laturi congruente,
– Triunghi echilateral – triunghi cu toate laturile congruente.

după măsurile

unghiurilor

comparând
lungimile laturilor Ascuțitunghic
m( A)<90o
m( B)<90o
m( C)<90o Dreptunghic
m( A)=90o
[AB], [AC] catete
[BC] ipotenuză Obtuzunghic
m( A)>90o
Oarecare
AB≠BC≠AC
A
C
B B

A C C

A C
Isoscel
AB=AC A

B C A

B C A

B C
Echilateral
AB=BC=AC A

B C

Fig. I.4 Clasificarea triunghiurilor
I.3. Congruența triunghiurilor
În redactarea acestui paragraf, am urmărit îndeaproape lucrarea [3 ].
Definiție. Fie ∆ABC și ∆A ′B′C′ două triunghiuri. Dacă (AB) (A′B′), (AC) (A′C′), (BC) (B′C′),
A A′, B ≡ B′, C C′, atunci spunem că există o congruență între triunghiurile ∆ABC
și ∆A ′B′C′ și scriem ∆ABC ∆A′B′C′.
Axioma de congruență L.U.L Fie ∆ABC și ∆A ′B′C′ două triunghiuri (Fig. I.5). Dacă
(AB) (A′B′), (AC) (A′C′) și A A′ atunci ∆ABC ∆A′B′C′.

Fig. I.5 Triunghiuri congruente (L.U.L)

Teorema de congruență U.L.U Dacă triunghiurile ∆ABC și ∆A ′B′C′ au (AB) (A′B′),
A A′, B ≡ B′ atunci ∆ABC ∆A′B′C′. P
C C ′

A B A ′ B′
Fig. I.6 Triunghiuri congruente(U.L.U)
Demonstrație. Fie punctul P (A′C′ astfel încât (AC) (A′P). Conform axiomei L.U.L rezultă
∆ABC ∆A′B′P. Cum B ≡ A′B′P, B ≡ A′B′C′ și P, C ′ sunt de aceeași parte a lui A ′B′
rezultă că [B ′C′ și [B ′P coincid, iar C ′=P. Prin urmare ∆ABC ∆A′B′C′.
Teorema de congruență L.L.L Dacă triunghiurile ∆ABC și ∆A ′B′C′ au (AB) (A′B′),
(AC) (A′C′), (BC) (B′C′), atunci ∆ABC ∆A′B′C′.

I.4. Asemănarea triunghiurilor
În redactarea acestui paragraf, am urmărit îndeaproape lucr ările [3], [7].
Definiție. Fie triunghiurile ABC și A ′B′C′. Dacă

spunem că există o asemănare între triunghiurile ABC și A ′B′C′ și scriem ∆ABC ∆A′B′C′.
Notația ∆ABC ∆A′B′C′ stabilește ordinea vârfurilor. În acest caz, perechile de vârfuri (A,
A′), (B, B ′), (C, C ′) și perechile de laturi ((BC), (B ′C′)), ((AC),(A ′C′)), ((AB), (A′B′)) se numesc
corespondente sau omoloage.
Definiție . Raportul lungimilor a două laturi corespondente se numește raportul de asemănare al
celor două triunghiuri .
Observație. Două triunghiuri congruente sunt asemenea, raportul de asemănare fiind egal cu 1.
Teorema 1. (Teorema fu ndamentală a asemănăr ii) Fie ∆ ABC și DE BC, A D, D AB,
E AC. Atunci ∆ADE ∆ABC.
Demonstrație. În funcție de poziția punctelor A, B și D există trei situații posibile: D (AB),
B (AD) și A (BD). Demonstrăm în cele ce urmează primul caz, D (AB), celelalte două
demonstrându -se în mod analog.

Deoarece DE BC rezultă (unghiuri corespondente), (unghiuri
corespondente), Din teorema lui Thales rezultă că

. Construim
EF AB, F BC. Atunci

. Deoarece BDEF este paralelogram rezultă (DE) (BF) și

. Așadar

. Conform definiției rezultă ∆ADE ∆ABC.
Pe baza teoremei 1 se pot demonstra teoremele asemănării , numite și cazuri de asemănare ,
care stabilesc condițiile necesare și suficiente pentru ca două triunghiuri să fie asemenea.
Fie triunghiurile ∆ABC și ∆A ′B′C′:
Teorema 2. Dacă , atunci ∆ABC ∆A′B′C′.
Teorema 3. Dacă

, atunci ∆ABC ∆A′B′C′.
Teorema 4. Dacă

, atunci ∆ABC ∆A′B′C′.
Demonstrație . Fie D (AB astfel încât (A ′B′) (AD) și DE BC, E (AC, ∆ADE ∆ABC
conform teoremei fundamenta le a asemănării. Demonstrăm că ∆ADE ∆A′B′C′ și deci
∆ABC ∆A′B′C′.

T2) (din ipoteză), (din construcție și din ipoteză),
(din construcție). Deci ∆ADE ∆A′B′C′.
T3)

, (din ipoteză),

(din ∆ADE ∆ABC), (din construcție)
rezultă

, deci (A ′C′) (AE), deoarece și (AD) (A′B′) rezultă că
∆ADE ∆A′B′C′.
T4)

(din ipoteză). Cum ∆ADE ∆ABC rezultă

și cum (A ′B′) (AD),
rezultă că

. În concluzie A ′C′=AE și B ′C′=DE. De aici rezultă că
∆ADE ∆A′B′C′.

I.5. Linii importante în triunghi
În redactarea acestui paragraf, am urmărit îndeaproape lucr ările [3], [7].
I.5.1 Mediana
Definiție. Segmentul care are ca extremități un vârf al triunghiului și mijlocul laturii opuse se
numește mediană.

Fig. I.7 Mediana unui triunghi
Din D (BC) și (D B) (DC) rezultă că (AD ) este mediana corespunzăt oare laturii (BC).Punctul
D se numește piciorul medianei.
Observație. Orice triunghi are trei mediane .
Teoremă . Medianele unui triunghi sunt concurente într -un punct G, numit centrul de greutate al
triunghiului. Punctul de intersecție determină cu mijlocul fiecărei laturi un segment al cărui
lungime este ½ din lungimea segmentului pe care îl determină cu vârful opus laturii.
Demonstrație. Fie ∆ABC , D și E mijloacele laturilor (BC), respectiv (AC). Deoarece în
triunghiul BAD, (BE ), A , D , rezultă că (BE și (AD au un punct comun
G.

Fig. I.8 Intersecția medianelor într -un triunghi
Deoarece (AD) ) rezultă că {G}=(AD) (BE). Fie M, N mijloacele segmentelor
(AG), respectiv (BG). (MN) este linie mijlocie în ∆ABG deci MN AB și MN=
AB. În ∆ABC,
(DE) este linie mijlocie, deci DE AB și DE=
AB. Rezultă că (DE) (MN) și DE MN, deci
MNDE es te paralelogram. Așadar GD=MG=AM=
AD. Fie F mijlocul laturii (AB) și
{G′}=(FC) (AD). În mod analog demonstrăm că DG ′=
AD. Deoarece G și G ′ aparțin
segmentului (DA), din teorema de construcție a unui segment rezultă că G=G ′.
I.5.2 Bisectoarea
Definiție. Bisectoarea unui unghi dintr -un triunghi se numește bisectoare interioară a unghiului
dat.

Teoremă. Bisectoarea unui unghi este locul geometric al punctelor din interiorul unghiului egal
depărtate de laturile unghiului, reunit cu vârful unghiulu i.
Din D (BC) și BAD CAD rezultă că (AD) este bisectoarea corespunzătoare unghiului A al
triunghiului ∆ABC. Punctul D se numește piciorul bisectoarei.
Observație. Orice triunghi are trei bisectoare.
Teoremă. Bisectoarele unghiurilor unui triunghi sunt concurente într -un punct I, numit centrul
cercului înscris în triunghiul dat.
Demonstraț ie. Conform teoremei transversalei rezultă că bisectoarele unghiurilor A și B
intersectează laturile (BC) și (AC) în câte un punct D, respectiv E.
Din aceeași teoremă rezultă că există un punct I, {I}=(AD) (BE). Deci I ). Din
proprietatea punctelor bisectoarei unui unghi rezultă d(I,BC)=d(I,AB), d(I,AB)=d(I,AC) și deci
d(I,BC)=d(I,AC) și pentru că I ) rezultă că (CI este bisectoarea unghiulu i C.

Fig. I.9 Intersecția bisectoarelor într -un triunghi
I.5.3 Mediatoarea
Definiție. Mediatoarea unui segment este dreapta perpendiculară pe mijlocul segmentului.
Teoremă. a) Orice punct de pe mediatoarea unui segment este egal depărtat de capetele
segmentului.
b) Orice punct egal depărtat de capetele unui segment aparține mediatoarei
segmentului.
În concluzie, mediatoarea unui segment este locul g eometric al tuturor punctelor egal depărtate
de capetele segmentului.
Definiție. Mediatoarea unei laturi a unui triunghi se numește mediatoare a triunghiului dat.
Observ ație. Orice triunghi are trei mediatoare.
Teoremă. În orice triunghi mediatoarele laturilor sunt concurente într -un punct O, numit centrul
cercului circumscris triungh iului.
Demonstrație. Demonstrăm mai întâi concurența a două mediatoare. Fie ∆ABC, d 1 și d 2
mediatoarele segmentelor (AB) respectiv (BC). Presupunând că d 1 și d 2 nu sunt concurente,
rezultă d 1 d2. Pentru că d 2 BC rezultă că și d 1 BC. Dar d 1 BA. Deci prin B trec două
perpendiculare distincte pe dreapta d 1, ceea ce nu este posibil. Deci d 1 și d 2 sunt concurente. Fie
d1 d2={O}.

Prin proprietatea punctelor mediatoarei rezultă că (OA) (OB) (OC) ceea ce înseamnă
că O aparține mediatoarei segmentului (AC).

Fig. I.10 Intersecția mediatoarelor într -un triunghi
I.5.4 Înălțimea
Definiție. Perpendiculara prin vârful unui triunghi pe dreapta determinată de latura opusă se
numește înălțime.
Fie ∆ABC. Din D (BC) și AD BC rezultă că (AD) este înălțimea triunghiul ui ABC
corespunzătoare laturii (BC).

Fig. I.11 Înălțimea într -un triunghi
Observ ație. Orice triunghi are trei înălțimi.
Teoremă. Înălțimile unui triunghi sunt concurente într -un punct H, numit ortocentrul
triunghiului.
Demonstrație. Fie ∆ABC și A ′, B′, C′ picioarele perpendicularelor din A, B , C, respectiv pe BC,
AC, AB și ∆DEF triunghiul format de paralelele duse la laturile triunghiului ABC prin vârfurile
acestuia.
Din construcție, ABCF și BCAD sunt paralelograme deci (BC) (AF) (AD). Pentru că
BC DF și AA ′ BC rezultă că AA ′ DF. Deci AA ′ este mediatoarea segmentului (DF). În mod
analog se arată că BB ′ și CC ′ sunt mediatoarele segmentelor (DE) și (EF). Prin urmare, înălțimile
triunghiului ABC sunt mediatoarele laturilor triunghiului DEF și deci rez ultă, din teorema de
concurență a mediatoarelor, că sunt concurente.

Fig. I.12 Intersecția înălțimilor într -un triunghi
I.6. Colini aritate, con curență și paralelism în triunghi

Teoremă. Mijloacele laturilor unui triunghi, picioarele înălțimilor și mijloacele segmentelor ce
unesc fiecare vârf cu ortocentrul triunghiului sunt situate pe un același cerc, numit cercul lui
Euler.
Demonstrație.

Considerăm triunghiul ABC ascuțitunghic. Fie A ’, B’, C’ mijloac ele laturilor [BC], [CA], [AB] și
fie A 1= pr BCA, B 1= pr ACB, C1= pr BAC.
B’C’ A1A’ A’B’C’A 1 este trapez
[A’B’] este linie mijlocie în triunghiul ABC A’B’=
AB
În triunghiul dreptunghic AA 1B, A 1C’ este mediană A1C’=
AB A1C’= A’B’ A’B’C’A 1
este trapez isoscel A1 aparține cercului determinat de A’,B’,C’.
Analog se demonstrează că punctele B 1 și C 1 aparțin aceluiași cerc.
Fie A ’1 mijlocul segmentului [A H].
[C’A’1] este linie mijlocie în triunghiul ABH C’A’1 BH, BH AC și A ’C’ AC C’A’1
A’C’ A’1 C’A’B’ este patrulater inscriptibil A’1 aparține cercului determinat de A’,B’,C’.
Analog ar ătăm că mijloacele segme ntelor [BH] și [CH ], punctele B ’1 și C’1 aparțin cercului
determinat de A’,B’,C’.

Observație. [A’1A’], [ B’1B’], [ C’1C’] sunt d iametre în cercul lui Euler, deci dreptele A ’1A’,
B’1B’ și C’1C’ sunt concurente.

Capitolul II. Teoreme remarcabile privind geometria triunghiului

II.1 Egalități și inegalități geometrice
În acest paragraf am preluat cu mici modificări din lucrarea [ 3].
Teorema 1 (Teorema lui Thales) O paralelă la una din laturile unui triunghi determină, pe
celelalte laturi sau pe prelungirile lor, segmente proporționale .
Demonstrație. Fie un triungh i ABC și o dreaptă s, paralelă cu BC , astfel încât A s. Notăm
s∩AB={D} și s∩AC={E} . Demonstrăm că

.
Cazul I. D (AB) și E (AC).
Fie
=
, unde m, n . Rezultă

, adică (AD, AB) și ( m,n) sunt proporționale, cu
k>0 coeficientul de proporționalitate. Deci AD=k· m și AB=k· n. Fie punctele M 1, M 2, M 3,…, M n-1
pe (AB), astfel încât segmentele formate să fie congruente și AM 1=k, AM 2=2k, …, AM n-1=(n-
1)k, AB=nk. Deoarece AD= k· m rezultă că D=M m.
Prin punctele M i, i= se duc paralele la BC care intersectează (AC) în punctele N i,
i= . Deoarece DE este una dintre aceste paralele, E=N m. Atunci (AN 1) (N1N2) …
(Nn-1C). Atunci AE= mAN 1 și AC= nAN 1 deci

și

.

Cazul II. B (AD) și C (AE).
Aplicăm rezultatul de la cazul I pentru triunghiul ADE și dreapta BC.

Fig. II.2 Teorema lui Thales
Cazul III. A (BD) și A (CE). Fie segmentele (AM) și (AN) , (AM) (AB),
(AN) (AC), astfel încât EMND este paralelogram și MN i u
triu ghiu ui i re tei MN obți em ro orți erută

Teorema 2 (Teorema bisectoarei) Fie triunghiul ABC și D (BC). AD este bisectoarea
unghiului BAC dacă și numai dacă

.
Demonstrație. „ ” Arătăm că dacă [AD este bisectoarea unghiului BAC, atunci

.
Construim prin C paralela la AD care intersectează AB în E (fig. II.4). Aplicând teorema
lui Thales rezultă că

.
Cum unghiurile AEC și BAD sunt unghiuri corespondente congruente, rezultă că triunghiul
ACE este isoscel, deci (AE) , de unde

Fig. II.4 Teorema bisectoarei

„ ” Arătăm că dacă

atunci [AD este bisectoarea unghiului BAC.
Considerăm D ′ (BC), astfel încât [AD ′ este bisectoarea unghiului BAC. Atunci

și

. Prin proporții derivate rezultă că

și deci BD=BD ′ și
D=D ′.
Teorema 3 (Teorema lui Menelaus) Fie ∆ABC și A ′, B′, C′ trei puncte coliniare distincte astfel
încât A′ BC, B ′ AC, C ′ AB. Atunci

Demonstrație. Se duce prin C o paralelă la AB care intersectează dreapta A ′B′ în P. Din teorema
fundamentală a asemănării rezultă ∆CPA ′ ∆BC ′A′ și deci

sau
CP=
. Tot din teorema fundamentală a asemănării rezultă și ∆CPB ′ ∆AC ′B′, de unde se
obține

si CP=
. Așadar

de unde r ezultă

Fig. II.5 Teorema lui Menelaus
II.2 Relații metrice în triunghi
În redactarea acestui paragraf, am urmărit îndeaproape lucr ările [3], [4], [11].
Teorema catetei. Lungimea catetei unui triunghi dreptunghic este medie proporțională între
lungimea ipotenuzei și a proiecției catetei pe ipotenuză.
Demonstrație. Fie triunghiul ABC, m( A)=90o și fie D=pr BCA. Cum B și C sunt ascuțite,
rezultă că D (BC) și (BD)= pr BC(AB), (CD)= pr BC(AC).
∆BDA ∆BAC fiind dreptunghice , cu unghiul B comun.
Din asemănarea triunghiurilor rezultă că

și de aici
AB2=CB·BD.

Fig. II. 6

Teorema înălțimii. Într-un triunghi dreptunghic, lungimea înălțimii duse din vârful unghiului
drept este medie proporțională între lungimile proiecțiilor catetelor pe ipotenuză.
Demonstrație. Fie triunghiul ABC, m( A)=90o și fie D=pr BCA (Fig. II.5) . Cum B și C sunt
ascuțite, rezultă că D (BC) și (BD)= prBC(AB), (CD)= pr BC(AC).
∆ADC ∆BAC , de unde rezultă că ∆BDA ∆ADC. Din asemănarea triunghiurilor rezultă că

și de aici DA2=DB·DC.
Teorema lui Pitagora . Într-un triunghi dreptunghic pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu
suma pătratel or lungimilor catetelor.
Demonstrație. Fie triunghiul ABC , m( A)=90o și fie D=pr BCA (Fig. II. 6).
AB2=BC·BD și AC2=BC·DC AB2+AC2=BC·(BD+DC)=BC2.
Teorema lui Pitagora generalizată . a) Se consideră triungh iul ABC, C este un unghi ascuțit și
D=pr BCA, atunci AB2=AC2+BC2-2BC·DC.
Demonstrație. În funcție de natura unghiului B se consideră trei cazuri:
a) B ascuțit, atunci D (BC) (Fig. II. 6). Triunghiurile ABD și A DC fiind dreptunghice au
loc egalitățile:
AB2=AD2+BD2
AD2=AC2- DC2
BD=BC – DC
Înlocuind AD2 și BD în prima egalitate se obține AB2=AC2-DC2+(BC -DC)2 de unde
AB2=AC2+BC2-2BC·DC
b) B obtuz, atunci B (DC). Atunci
AB2=AD2+BD2
AD2=AC2- DC2
BD=DC – BC
Fig. II. 7
Înlocuind AD2 și BD în prima egalitate se obține AB2=AC2 – DC2+(DC – BC)2 de unde
AB2=AC2+BC2-2BC·DC
c) m( B)=90o, atunci AB2=AC2+BC2-2BC·DC rezultă din Teorema lui Pitagora.
Teorema lui Pitagora generalizată. b) Se consideră triung hiul ABC, C este un unghi obtuz și
D=pr BCA, atunci AB2=AC2+BC2+2BC·DC.
Demonstrație. C fiind obtuz, rezultă că C (BD). Din triunghiurile dreptunghice ABD și ACD
se obține:
AB2=AD2+BD2
AD2=BC2- CD2

BD= BC + CD

Fig. II. 8
Înlocuind AD2 și BD în prima egalitate se obține AB2=AC2+BC2+2BC·DC.
Reciproca teoremei lui Pitagora . Dacă într -un triunghi suma pătratelor lungimilor a două
laturi este egală cu pătratul lungimii laturii a treia, atunci triunghiul este dreptunghic.
Demonstrație. Se consideră triunghiul ABC în care AB2=AC2+BC2. Fie D proiecția lui A pe
BC. Dacă u este u ghi re t tu i i i ote ă i i AB2=AC2+BC2-2BC· DC
sau AB2=AC2+BC2+2BC·DC (după cum este s uțit s u obtu re u tă · 0
i ă 0 ee e este î o tr i ție u Re u tă ă m 90o.
Relația lui Stewart. Dacă A,B,C sunt trei puncte coliniare cu B (AC) și O un punct exterior
dreptei AC, atunci are loc relația:
OA2·BC-OB2·AC+OC2·AB=AB·BC·AC
Demonstrație. Fie D piciorul perpendicularei din O pe AC. Pot apărea trei situații: D (BA,
D (BC sau D=B.
Fie D (BA. Deci O este s uțit

Fig. II. 9
Aplicând teorema lui Pitagora generalizată în triunghiul OAB se obține OA2=AB2+OB2-
2AB·BD.
În triunghiul OBC, obtuzunghic,din teorema lui Pitagora generalizată obținem
OC2=OB2+BC2+2BC·DB.
Înmulțim OA2=AB2+OB2-2AB·BD cu BC și obținem BC·OA2=BC·AB2+BC·OB2-2AB·BD·BC.
Înmulțim OC2=OB2+BC2+2BC·DB cu AB și obținem
AB·OC2=AB·OB2+AB·BC2+2BC·DB·AB.
Adunăm membru cu membru cele două relații și rezultă
BC·OA2+ AB·OC2= BC·AB2+BC·OB2-2AB·BD·BC+ AB·OB2+AB·BC2+2BC·DB· AB =
AB·BC(AB+BC)+OB2(BC+AB)= AB·BC·AC+ OB2·AC,

deci relația lui Stewart este adevărată.
Teorema medianei. Fie ABC un triunghi și A ′ mijlocul lui BC. Se notează a=BC, b=AC, c=AB.
Atunci AA′2= ( )
.
Demonstrație. Aplicând relația lui Stewart se obține
AB2·A′C – AA′2·BC+AC2·BA′=BA ′· A′C · BC
de unde rezultă că

Fig. II.10

Înlocuind AB ′= A′C =
rezultă

b

b

Formula lui Heron . Aria unui triunghi este dată de formula
A=√ unde p este semiperimetrul triunghiului.
Demonstrație. Fie triunghiul ABC și d =pr BCA.
AD= h a
Din Teorema lui Pitogora generalizată c2=a2+b2-2a DC DC=( a2+b2-c2): 2a
În triunghiul dreptunghic ADC avem AD2=AC2-DC2 sau ha= b2- [(a2+b2-c2): 2a]2
ha2=[(2ab -a2-b2+c2)(2ab+a2+b2-c2)]:4a2 ha=2/a√ b
S=
A=√
Teorema lui Gergonne . Pe laturile unui triunghi ABC se consideră punctele A ′, B′, C′ (A′ (BC),
B′ (AC), C ′ (AB)), astfel încât dreptele AA ′, BB′, CC′ sunt concurente. Fie {P}= AA ′∩BB ′∩CC ′.
Atunci este adevărată relația

Demonstrație.
APAB+A PAC+A PBC=A ABC

Dacă h1, h2, h3 sunt înălțimile triunghiului și d1, d2, d3 sunt distanțele de la punctul P la laturile
corespunzătoare

Deci

Teorema lui Euler . Mijloacele laturilor unui triunghi, picioarele înălțimilor și mijloacele
segmentelor ce unesc fiecare vârf cu ortocentrul triunghiului sunt situate pe un același cerc
numit cercul lui Euler.
Teorema lui Simson. Proiecțiile ortogonale ale unui punct M de pe cercul circumscris
triunghiului ABC pe laturile acestuia sunt coliniare.
Demonstrație. Fie
Reciproca teoremei lui Simson. Fie M un punct exterior triu nghiului ABC și fie =pr BCM,
=pr ACM, =pr ABM. Dacă sunt coliniare, atunci M se află pe cercul circumscris
triunghiului.
Demonstrație.
Teorema lui Carnot . Tangentele la cercul circumscris unui triunghi neisoscel în vârfurile lui
taie laturile opuse în puncte situate pe o ace eași dreaptă(numită dreapta Lemoine a triunghiului
ABC).
Demonstrație.
Teorema lui Van Aubel . Fie triunghiul ABC și punctele A ′ (BC), B ′ AC, C ′ AB, astfel încât
dreptele AA ′, BB′, CC′ sunt concurente într -un punct P. Atunci există relația

Demonstrație.
Teorema lui Ceva. Se consideră un triunghi ABC și punctele A ′ BC, B ′ AC, C ′ AB. Dacă
dreptele AA ′, BB′, CC′ sunt concurente, atunci:

Demonstrație.

Capitolul III. Considerații metodice, pedagogice si psihologice privind
predarea geometriei triunghiului

III. 1. Metode de rezolvare a problemelor de geometrie
În redactarea acestui paragraf, am urmărit îndeaproape lucrarea [ 1], [2], [10].
Studierea unor metode pedagogice de rezol vare a problemelor de geometrie este necesară,
deoarece acestea înlesnesc înțelegerea demonstrațiilor , fiind mijloace de cerce tare în rezolvarea
problemelor și î l ajută pe elev să -și dea seama ce înseamnă un raționament logic . Problemele au:
 Rol informativ – matematica aplicată în viața curentă, calcul, măsură, în studiul fizicii,
studii tehnice , matematica privită ca obiect de cultură generală.

 Rol formativ – exercițiul gândirii logice, educarea gândirii creatoare. O problemă cu rol
formativ însemnă că soluția ei are interes și în sine, ca rezultat ce trebuie reținut: ceva ce vom
folosi ulterior în alte probleme. Rolul formativ constituie un exercițiu al gândirii logice și al
gândirii inventive.
Metode de rezolvare a problemelor de geometrie
Metoda este legată de conținut, adică fiecare din cele trei moduri de a face matematică:
euristică, logică și aplicată, își are stilul său specific.
Elementul intuitiv își are rolul lui în înțelegerea acțiunii de a construi acest sistem care
este substitu it cu rigoarea raționamentului logic. Nu numai pentru legătura lui cu practica, ci și
psihologic, ca suport al investigației euristice, elementul intuitiv își are rolul lui. De aceea nu
trebuie să eliminăm complet justificările intuitive, limitându -ne la d emonstrații complet
riguroase. Demonstrația riguroasă este mai bine prinsă în rostul ei când vine după o critică a
justificării intuitive, înlocuind -o în fundamentarea logică, dar păstrând -o ca element activ în
cercetarea euristică.
Problema de a înțelege un text matematic este mai dificilă decât a rezolva o problemă
propriu -zisă. Pentru a citi și înțelege un text matematic, cititorul trebuie să aibă o vastă experiență
în rezolvări de probleme, să -și dea seama că descifrarea textului este în fond rezolvare a unei
probleme. Deși textul este complet din punct de vedere logic el este incomplet din punct de
vedere psihologic.
Înțelegerea enunțului problemei presupune cunoașterea problemei astfel încât să distingă
clar ce se dă și ce se cere în problemă. Cunoașterea unor anumite procedee și metode pentru
rezolvarea problemelor de geometrie care să aibă semnificația lui „cum gândim ”, deci
semnificația strategiei punerii și rezolvării problemelor mari și mici.
Esența activității matematice este dezvăluirea implicațiilor logice ascunse, iar actul de
cunoaștere pe viu este o îmbinare între informații dobândite senzorial și cele care izvorăsc din
acestea pe cale logică, în ambele cazuri vizându -se cunoștințe neevidente.
Discuțiile metodice menite să ducă la descoperirea prin gândire, privită nu numai prin
prisma scopului educativ de dezvoltare a puterii de gândire ci și a celui instructiv: nu se poate
înțelege și asimila cu adevărat un enunț matematic sau o demonstrație dacă se învață pasiv și se
recepționează gata făcută, ci numai atunci când ea se redescoperă. Cunoștințele matematice nu
sunt statice, un material depozitat în memorie, ci un instrument de lucru. Valențele educative ale
matematicii (prin rezolvarea de probleme) se extind în sfera personalității elevului (prezente și
ulterioare) de zvoltând și influențând pozitiv aptitudini, ingeniozitate, flexibilitatea gândirii,
imaginație, spontaneitate, spiritul critic.

Rezolvarea de probleme în grup înlătură tendința de subordonare, frica de a domina,
dezvolt ă receptivitatea, interrelații sănătoase prin lipsa unei rivalități dăunătoare.
Învățarea noțiunilor prin probleme este conștientă pentru că elevul nu poate construi un
raționament dacă nu posedă itemurile necesare în structura sa cognitivă.
Călăuzirea g ândirii prin întrebări trebuie astfel făcută încât să se aibă mereu în atenție
problema întreagă și ori de câte ori se rezolvă o secvență a ei, să fie prezentată și legătura acesteia
cu întregul. După parcurgerea analitică a demonstrației, care durează mai mult pentru că trebuie
rezolvate aspectele ei parțiale, este necesar să se facă o privire sintetică a ei care să sublinieze
ideea demonstrației.
Elevul nu trebuie să rețină demonstrația în desfășurarea ei analitică; el trebuie să înțeleagă
și să rețină i deea demonstrației, și în funcție de ea s -o poată reconstitui singur în detaliu.
Principul însușirii temeinice a cunoștințelor: cunoștințele descoperite prin efort propriu
sunt fixate mai bine în memorie, sunt ușor de reprodus, identificat și utilizat.
Prin investigarea figurii, corelarea între ce știu și ce nu știu , învățarea se înscrie în cele
trei procese ce generează temeinicia învățării:
 însușirea informației noi;
 transformarea cunoștințelor pentru a le folosi în rezolvarea sarcinilor noi;
 evaluarea (adecvarea) informației la noile sarcini.
Observația didactică constă în urmărirea atentă a figurii din problemă sub îndrumarea
profesorului, observare sistematică sau autonomă, observare independentă, în scopul depistării
unor aspecte ale realității, a u nor relații între elementele ce se dau și ce se cer. Poate contribui la
operații logice corecte, exprimarea unor deosebiri de relații cu alte figuri.
Este util pentru valențele educative ale acestei metode să zăbovim și în sensul ei întrucât
este util să cultivăm calități moral – psihice precum imaginația, răbdarea, perspicacitatea, spiritul
de observație și evitarea confuziilor, mai ales la corpurile geometrice.
Exercițiul didactic este util în cadrul problemelor de geometrie, la clasele III – V, unde
este predominant caracterul intuitiv: măsurări de arii, volume și mai puțin la problemele tip
geometrie preeuclidiană, unde totuși predomină intuiția adevărului cu mai puțin accent pe
demonstrații riguroase. Ca orice acțiune motrice are valențe formative: adâncirea înțelegerii
algoritmului de rezolvat, dezvoltarea operațiilor mintale și constituirea lor în structuri
operaționale, sporirea capacității operatorii a cunoștințelor, priceper ilor, deprinderilor, prevenirea
uitării, evitarea confuziilor, dezvoltarea unor calități morale ca voința.
Pentru a beneficia de consecințele psihologice și de ordin mental ale metodelor intuitive,
profesorul trebuie să confrunte elevul cu materialul con cret, nemijlocit exersându -i priceperea,

contemplarea, creând mutații ca intuiții superioare, subtile, ajutând și la generalizări și
abstractizări. Și aici supralicitarea riscă să transforme matematica în „ lucru manual ”.
Descoperirea didactică este o met odă euristică; presupune crearea condițiilor de
reactualizare a experiențelor, capacităților individuale și deslușirea unor relații. Se pleacă cu
delimitarea a ceea ce este util, oportun să sesizeze elevul dirijat de profesor, lăsându -i acestuia să
descope re prin proprie inițiativă restul.
Raționamentele euristice sunt importante deși nu dovedesc nimic. De asemenea, este
important să ne clarificăm raționamentele euristice, deși în spatele fiecărui raționament clarificat
există multe altele care rămân obscu re și sunt uneori poate și mai importante.
În rezolvarea problemelor se ține cont de câteva reguli elementare:
 citirea corectă a enunțului problemei , scrierea ipotezei și concluziei și construirea corectă
a figurii geometrice ;
 însușirea enunțului problemei (eventual toate noțiunile și teoremele în legătură cu
problema, ținând cont de date și relații );
 cunoașterea unor anumite procedee și metode pentru rezolvarea problemelor de
geometrie;
 construirea de raționamente noi bazate pe axiome, definiții și alte raționamente învățate
anterior;
 stabilirea de relații între diferite elemente ale figurilor și scrierea lor cu ajutorul
simbolurilor matematică , pe baza raționamentelor construite, ce permit urmărirea lanțului de
judecăți ce for mează demonstrația problemei;
 discutarea problemei (în unele probleme de geometrie, o soluție nu încheie rezolvarea ei,
ci trebuie examinate și condițiile care ne arată existența altor soluții, numărul lor, precum și
diferite cazuri particulare ce pot apăr ea, sau generalizarea ei);
 verificarea soluțiilor problemei (trebuie făcută mai ales în problemele de construcții
geometrice; ea constă dintr -o demonstrație care trebuie să arate că figura obținută corespunde cu
cea cerută în enunțul problemei).

III. 2. Metode folosite în geometrie pentru rezolvarea problemelor

În redactarea acestui paragraf, am urmărit îndeaproape lucr ările [1], [4], [23].
În matematică, prin metodă se înțelege calea rațională care trebuie folosită pentru a
demonstra o teoremă sau pen tru rezolvarea unei probleme. Metodele pentru rezolvarea
problemelor de geometrie se împart în două grupe principale: generale și particulare.

Metodele analizei , metoda reducerii la absurb și metoda sintezei sunt metode generale
care se aplică în demonstr area unui număr foarte mare de teoreme și probleme.
Metodele specifice folosite în geometrie pentru rezolvarea problemelor sunt următoarele:
 metoda vectorială
 metoda analitică
 metoda trigonometrică
 metoda cu ajutorul numerelor complexe
 metoda cu transformări geometrice
 metoda de rezolvare a problemelor de coliniaritate
 metoda de rezolvare a problemelor de concurență
 metoda de rezolvare a problemelor de arii
 metoda de rezolvare a problemelor de minim și maxim

III.2.1 Metode generale aplicate în de monstrarea teoremelor și rezolvarea
problemelor
1. Metoda sintezei se dovedește a fi folositoare atât în rezolvarea unor probleme de calcul
cât și în tratarea unor probleme de demonstrație. În cazul problemelor de geometrie verificăm sau
stabilim o relație, g ăsim proprietăți noi ale figurilor date; în general, justificăm dacă o afirmație
referitoare la o figură geometrică este adev ărată sau nu. Într -o problemă de demo nstrație se
consideră o figură geometrică F, despre care se afirmă că are proprietățile α, și se cere să se
demonstreze că, în acest caz, ea mai posedă și propriet ățile β. Propoziția care afirmă că figura F
posedă proprietățile α, notată cu I poartă numele de ipoteză, iar propoziția care afirmă că figura F
posedă proprietățile β, notată cu C, poart ă numele de concluzie. Prin urmare, într -o problemă de
demonstrație se cere să se arate că, dacă pentru o figura F este adev ărată propoziția I, atunci este
adev ărată și propoziția C. Recunoa ștem cu ușurință că aici intervine implicația logică α .
Mecanis mul metodei sintezei constă în a pleca de la propoziția α și a descoperi noi propoziții
r1, r2, … , rk astfel încât: α r1 r2 … rk β.
Un exemplu de aplicare a metodei sintezei o reprezintă demonstrarea Teoremei lui Ceva.
Teorema lui Ceva. Fie un triunghi ABC și trei drept concurente AM, BM, CM care intersectează
suporturile laturilor triunghiului în punctele A′, B′, C′. Atunci

Demonstrație. Se aplică Teorema lui Menelaus în triunghiul B ′BC pentru punctele coliniare A,
M, A ′ și în triunghiul ABB ′ pentru punctele coliniare C, M, C ′ și obținem relațiile

Prin înmulțirea celor două egalități se obține relația cerută.

Fig. III.1 Teorema lui Ceva
2. Metoda analizei este eficientă în abordarea unor probleme de calcul sau demonstrație. În cazul
problemelor de demonstrație se procedează astfel: trebuie să dovedim implicația p q. Se caută o
propoziție r n care s -o implice pe q, după care trebuie găsită o propoziție r n-1 din care să deducem
rn și așa mai departe până reușim să depistăm propoziția r 1care rezultă direct din p.
Problema 1. Fie un triunghi oarecare ABC. Se notează cu D piciorul înălțimii din A și cu E
punctul diametral op us lui A în cercul circumscris. Să se arate că AD·AE=AB·AC

Fig. III.2
Demonstra ție: Notăm cu p propoziția obținută prin conjuncția ipotezelor, și cu q concluzia ,,
AD·AE=AB·AC ′′. Avem:
Propoziția r 2:

implica propozitia q
Propoziț ia r 1: ,,∆ADC~ ∆ABE ′′ se deduce din r2
In sfârșit r1 rezultă direct din p

Schema problemei: p r1 r2 q
3. Metoda reducerii la absurd (reductio ad absurdum) este folosită de elevi încă din primele
clase de gimnaziu și la centrele de excelența, ch iar din clasele primare. În ciuda aparentei
simplități, permite rezolvarea unor probleme interesante și grele, din ramuri variate ale
matematicii (și nu numai). Este principala metodă de demonstrație în probleme de unicitate. Ne
poate ajuta să demonstrăm u na dintre implicații într -o condiție necesară și suficientă.
Presupunem că vrem să demonstrăm propoziția p → q. A nu se confunda metoda de demonstrație
prin reducere la absurd cu demonstrația prin contrapoziție. Ambele sunt demonstrații indirecte,
dar demo nstrația prin contrapoziție se bazează pe echivalența logică p → q ≡ ¬q → ¬p și este o
demonstrație direct a contrarei reciprocei propoziției respective, în timp ce demonstrația prin
reducere la absurd se bazează pe echivalența p ∧ ¬q ≡ ¬(p → q). Ea urmărește să arate că din
propoziția p ∧ ¬q rezultă o contradicție (adică o propoziție de forma r ∧ ¬r), ceea ce se poate
întâmpla numai dacă propoziția ¬(p → q) este falsă sau, echivalent, dacă propoziția p → q este
adevărată.
Cum recu noaștem o problemă care s -ar putea rezolva prin metoda reducerii la absurd?
probleme în care ni se cere să demonstrăm că nu există obiecte matematice cu anumite proprietăți
sau ni se cere să stabilim dacă există asemenea obiecte și bănuim că răspunsul es te negativ

Fig. III.3
– probleme în enunțul cărora apare una dintre expresiile ”cel mult”
sau ”cel puțin”, în particular, probleme de unicitate
Presupunem că s -a demonstrat rezultatul:
Teoremă. Fie o dreaptă d și un punct A d. Atunci există o dreaptă perpendiculară pe d care
trece prin punctul A.
Vrem să arătăm că:
Teoremă. Printr -un punct exterior unei drepte există o singură dreaptă perpendiculară pe acea
dreaptă.
Demonstrație. Fie o dreaptă d și un punct A d. Presupunem prin reducere la absurd că din P
putem duce două perpendiculare pe d, PQ și PR, unde Q, R d, Q ≠ R.
Fie S d astfel încât R (QS). Atunci PRS este unghi exterior triunghiului PQR și, conform
teoremei unghiului exterior, PRS are măsura mai mare decât orice unghi al triunghiului PQR
neadiacent lui. În particular, m( PRS) > m( PQR), ceea ce contrazice m( PRS) = m( PQR)=
90◦ .
Metoda reducerii la absurd poate fi folosită și la demonstrarea reciprocei Teoremei lui Ceva.

Teorema lui Ceva. Fie un triunghi ABC și trei drept concurente AM, BM, CM care intersectează
suporturile laturilor triunghiului în punctele A′, B′, C′. Atunci

Reciproca Teoremei lui Ceva. Fie un triunghi ABC și punctele A′ BC, B ′ AC, C ′ AB.
Dacă

(1)
atunci dreptele AA′, BB′, CC′ sunt concurente .
Demonstrație.
Presupunem prin reducere la absurd că d reptele nu sunt concurente. Fie {P} = BB ′ ∩ CC ′ și {A ′′}
= PA ∩ BC rezultă că A ′′≠A′.
Aplicăm teorema lui Ceva pentru ∆ ABC și dreptele concurente AA ′′, BB′, CC′ și obținem

(2)

Din relațiile (1) și (2) rezultă

.
Deoarece A′′ și A′ aparțin laturii (BC) are loc A ′′=A′, ceea ce contrazice A ′′≠A′.

Fig. III.4
III.2.2 Metode specifice folosite în geometrie pentru rezolvarea problemelor

1. Metoda vectorială.
În redactarea acestui paragraf, am urmărit îndeaproape lucrarea [Niculescu L., Boskoff V.,
Probleme practice de geometrie, Editura Tehnică, București, 1990].
Fie A și B doua puncte din plan. Perechea ordonata (A,B) se numește segment
orientat sau vector legat în punctul A și se notează ⃗⃗⃗⃗⃗ . Ordinea punctelor A, B indică sensul de
parcurs al segmentului. Punctul A se numeș te originea lui ⃗⃗⃗⃗⃗ , iar punctul B se
nume ște extremitatea vectorului legat ⃗⃗⃗⃗⃗ .

Două segmente orie ntate nenule coliniare au ace lași sen s, dacă sensurile de parcurs determinate
pe dreapta suport coincid. Două segmente orientate paralele (paralelism î n sens strict) au același
sens dacă extremitățile lor se află î n acelaș i semiplan determinat de dreapta care uneș te originile
segmente lor. Prin modulul lui ⃗⃗⃗⃗⃗ se înț elege lungim ea segmentului neorientat [AB] și se
notează cu | ⃗⃗⃗⃗⃗ |.
Două segmente orientat e nenule paralele ( paralelism î n sens larg) ⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗ se
numesc echipolente dacă au același sens și aceeaș i lungime. Scriem acest lucru, ⃗⃗⃗⃗⃗ ~ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Se
arată foarte ușor că relația de echipolență pentru segmen te orientate nenule este o relație de
echivalență. Clasele de echivalență ale segmente lor orientate, relative la relația de echipolență , se
numesc vectori liberi . Fiecare segment orientat din clasa numită vector liber este un reprezentant
al clasei. De exemplu, prin vectorul liber ̅̅̅̅ (aceasta este notația consacrată ) , înțelegem
mulțimea tuturor vectorilor echipolenț i cu AB . Evident că un reprezentant al vecto rului
liber ̅̅̅̅ este vectorul legat ⃗⃗⃗⃗⃗ . Vectorul li ber, caracterizat prin faptul că are lungimea zero, iar
direcția ș i sensul nedeterminate, se nume ște vectorul nul sau vectorul zero. El se notează cu 0̅ si
este reprezentat de orice segment orientat ⃗⃗⃗⃗⃗ .
În mul țimea V a tuturor vectorilor liberi din plan, se define ște adunarea dup ă regula
paralelogramului sau dup ă regula triunghiului. Este u șor de demonstrat c ă perechea ( V,+) este
grup abelian ( în contextul de fa ță, simbolul ,,+′′ semnific ă adunarea vectorilor liberi , nu a
numerelor). Fiind da ți un scalar t R și un vector liber ̅ , se define ște în mod natural
produsul dintre vectorul ̅ și scalarul t, care este un vector notat t ̅. Daca ̅ 0̅ sau t=0,
atunci t ̅ = 0̅. Se dovede ște cu u șurință că înmul țirea vectorilor liberi cu scalari, are propriet ățile:
1) 1 ̅ ̅, ̅ ;
2) s(t ̅ ̅ , ̅ ;
3) (s+t) ̅ = s ̅ + t ̅ , ̅ ;
4) s( ̅ ̅ ̅+ s ̅, ̅ ̅
Deducem că mulț imea V a vectorilor liberi din plan este un spațiu vectorial peste corpul R .
Fie ̅ și ̅ doi vectori nenuli. Se notează cu φ [ 0, π ] unghiul dintre ̅ și ̅. Num ărul real
̅ ̅ | ̅| | ̅| se nume ște produsul scalar al vectorilor ̅ și ̅. Produsul scalar a doi
vectori este nul dac ă și numai dac ă cei doi vectori sunt ortogonali.
Problemă . Să se demonstreze, cu ajutorul vectorilor, urm ătoarele teoreme:
1) Teorema lui Pitagora generalizat ă
2) Teorema medianei
Demonstra ție: 1) Fie ∆ABC . Avem ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Înmulțind scalar această relație cu ea
însăți, obț inem:
BC2=AC2+AB2-2 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

Fie B ′ proiecția ortogonală a lui B pe AC. Este evident că produsul scalar ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ este pozitiv,
dacă ̅̅̅̅ și ̅̅̅̅ au acela și sens ( m( )< 900 ) ; el este negativ dacă ̅̅̅̅ și ̅̅̅̅ au sensuri
contrare (m( ) > 900). Se observă că demonstrația include ș i teorema lui Pitagora ( m( ) =
900 ); în acest caz, ̅̅̅̅ ̅̅̅̅=0.
2) Fie A ′ mijlocul laturii [BC] a tr iunghiului ABC. Avem rela țiile
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ – ̅̅̅̅ .
Ridic ăm scalar la p ătrat ambele rela ții și obținem :
4 AA ′2 = AB2 +AC2 +2 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
BC2 = AC2 +AB2 -2 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
Adunând ultimele două egalități, obținem relaț ia medianei:
4 AA ′2 = 2( AB2 +AC2) –BC2
În capitolul I am prezentat demonstrația analitico – sintetică a teoremei privind concurența
înălțimilor în triunghi ( pag. 15). Iată demonstrația acele iași teoreme folosind metoda vectorială:
Teoremă. Într-un triunghi înălțimile sunt concurente.
Demonstrație. Fie înălțimile AA′ și CC ′ și H punctul lor de intersecție. Unind B cu H și
prelungind segmental (BH) până în B ′ AC. Atunci ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅, ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅.

Fig. III.5
Cum AA ′ BC și CC ′ AB rezultă că ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 0̅ și ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 0̅ ceea ce
implică ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 0̅, adică ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 0̅ sau HB ′ CA.
2. Metoda analitică.
În redactarea acestui paragraf, am urmărit îndeaproape lucrarea [ 20].
”Geometria a fost cultivată cu un deosebit rafinament de gândire de către lumea antică, în special
de greci. Mari filozofi ca Thales, Pitagora, Platon etc., prin descoperirile lor , au pus bazele
acestei ramuri a matematicii. Dar cel care a adunat și ordonat într egul material al predecesorilor

k 1 A k  1 B

x  x  x

k 1 k 1 B

y  y  y .
 xA  xB  xC

 yA  yB  yC

săi, la care a adă ugat contribuția sa și a prezentat geometria ca un corp închegat de știință, logic
înlănțuit, a fost Euclid. ”
Rezolvarea unor probleme de geometrie sintetică poate întâmpina anumite greutăți din cauza
numărului restrâns de metode generale. De aceea s -au căutat tot timpul metode noi care să poată
fi aplicate unui câ mp mai larg de probleme. A apărut astfel geometria analitică, creatorul ei fiind
considerat Descartes (1596 -1650), acre o folosește pentru prima dată în lucrarea ”Application de
l′Algèbre à la th éorie des courbes”.
Prin geometria analitică, Descartes a legat geometria de algebră, dat fiind faptul că fiecare ecuație
cu două necunoscute reprezintă o curbă și fiecărei curbe îi corespunde o ecuație. Problemele de
geometrie devin astfel probleme de alg ebră, iar rezolvarea lor se face prin metode algebrice. De
exemplu, teorema intersecției înălțimilor în triunghi, pe lângă rezolvarea prin metoda sintetică
(prezentată în capitolul I) și prin metoda vectorială (prezentată în secțiunea III.2.2), poate avea și
o demonstrație analitică: aceea de a arăta ca sistemul de trei ecuații (ale celor trei drepte) cu două
necunoscute este compatibil. Acest exemplu ilustrează avantajele utilizării geometriei analitica.
Există însă situații când rezolvarea problemelor pe cale analitică duce la calcule lungi și
complicate.
Iată câteva noțiuni de bază specifice geometriei analitice:
 Orice punct are doua coordonate A(x A,yA), numite abscisa xA și ordonata yA.
 Coordonatele punctului care împarte un segment într‐un raport dat. Fie
numărul k și punct ele A(xA , yA ) și B(xB , yB ) . Fie M (xM , yM ) punctul M AB
cu proprietate ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Atunci
În particular, dacă M este mijlocul segmentului [AB], avem
Coordonatele centrului de greutate al unui triunghi: fie G centrul de greutate al triu nghiului
ABC. Atunci G va avea coordonatele

• Panta unei drepte oblice sau orizontale. Panta unei drepte oblice sau orizontale d este
egală, prin definiție, cu tangenta unghiului ϴ 0
, format de acea dreaptă cu direcția
pozitivă a axei Ox. Panta dreptei d se notează cu md. Dreptele verticale nu au pantă, pentru ca
tangenta nu este definită în
.
• Ecuația unei drepte. Este o relație verificată de coordonatele oricărui punct M(x,y) de pe
acea dreaptă (și numai de ele).
Ecuația oricărei drepte se poate pune sub forma ax+by+c=0( ecuația carteziană general ă a
dreptei ), cu a ≠ 0 sau b ≠ 0 .
Ecuația unei drepte oblice : y = mx + n , cu m ≠ 0 . În acest caz, m este panta dreptei, iar n
3
3

y  y0  m(x  x0 ) ordonata punctului de intersecție dintre dreaptă și axa Oy.
Ecuația unei drepte orizonta le: y = n (sau forma de mai sus, cu m=0 ). In acest caz, panta
dreptei este 0, iar n reprezintă, ca și in cazul anterior, ordonata punctului de intersecție dintre
dreaptă si axa Oy.
Ecuația unei drepte verticale : x =α , unde α este abscisa punctului de intersecție dintre
dreaptă și axa Ox.
Ecuația dreptei care trece printr ‐un punct dat , M0 (x0 , y0 ) , și are o panta dată, m

Ecuația dreptei care trece prin două puncte A(xA , yA ), B(xB , yB )
dacă numitorii sunt nenuli.
Ecuația primei bisectoare : y = x (panta fiind egală cu 1). Ecuația celei de‐a doua bisectoare : y
= – x (panta fi ind egală cu ‐1).
• Aflarea pantei unei drepte. Când nu cunoaștem unghiul dintre dreaptă și Ox, panta se
poate afla astfel:
xB  xA yB  yA
x  xA  y  yA ,

m   a
1). Panta dreptei ce trece prin punctele A(xA , yA ), B(xB , yB ) este mAB =

2). Panta dreptei de ecuație y = mx + n este m (coeficientul lui x).
3). Panta dreptei de ecuație ax + by + c = 0 este m=
(daca b ≠ 0 ). Panta se poate obține
și
exprimându ‐l pe y în funcție de x, apoi considerând coeficientul lui x din membrul drept.
Condiții de paralelism și perpendicularitate.
Fie dreptele d: y=mx+n și d′: y=m ′x+n′. Avem:
• d ǁ d ′ m = m′ si n ≠ n′

• d = d ′ m = m′ si n = n′
• d d ′ mm′ = -1 (produsul pantelor este ‐1)

• Intersecția a doua drepte. Două drepte sunt concurente dacă și numai dacă sistemul
format din ecuațiile lor are soluție unică. In acest caz, coordonatele punctului de intersecție se
obțin rezolv ând sistemul.
• Distanța de la un punct la o dreaptă. Distanța de la punctul M 0 (x0 , y0 ) la dreapta
d : ax + by +c = 0 este dată de formula:

Aplicații a le determinanților în geometrie
Punctele A(xA , yA ), B(xB , yB ), C(xC , yC ) sunt coliniare dacă și numai dacă
|

| 0

Ecuația dreptei care trece prin două puncte diferite A(xA , yA ), B(xB , yB ) este
|

| 0

Aria triunghiului cu vârfurile în A(xA , yA ), B(xB , yB ), C(xC , yC ) este
A=
||

||

Condițiile ca trei drepte să fie concurente. Presupunem că dreptele sunt date prin ecuațiile

a  b

d (M , d )  | ax0  by0  c |

{ 0
0
0
Pentru ca dreptele să fie concurente trebuie să existe un punct M0(x0 , y0 ) care să verifice toate
cele trei ecuații. Aceasta înseamnă că cele trei ecuații cu două necu noscute trebuie să formeze un
sistem compatibil determinat. Pentru aceasta, condițiile necesare și suficiente sunt:
a) Să existe un determinant de ordinal II, format cu coeficienții lui x și y, diferit de zero, deci
|
| 0 sau |
| 0 sau |
| 0. (Această condiție însea mnă din punct de
vedere analitic că două dintre drepte sunt concurente.)

b) |

| 0. (Această condiție arată că a treia dreaptă trece prin punctul de
intersecție al primelor două drepte.)
Teoremă. Într-un triunghi medianele sunt concur ente.
Demonstrație. Fie punctele A(x 1,y1), B(x 2,y2), C(x 3,y3), vârfurile triunghiului ABC. Mijlocul
laturii BC este A ′(

și mediana AA ′ are ecuația
|

|
|

| 0 care scrisă dezvoltat est e
(AA′) (2 (2 0
Permutând circular vârfurile triunghiului, obținem ecuațiile celorlalte două mediane.
(BB′) (2 (2 0
(CC′) (2 (2 0
Adunând cele trei ecuații obținem în prima parte zero, deci una dintre ecuații este o combinație
liniară a celorlalte două. Aceasta arată că medianele sunt concurente.
Ca urmare a rezultatelor generale privind geometria triunghiului, în scopul utilizării
teoremelor remarcabile privind geometria triunghiului, pot apărea probleme de concurență, de
coliniaritate și drepte celebre, probleme de arii, de minim și maxim, probleme de loc
geometric,etc.

37

III.3. Probleme de concurență
În redactarea acestui paragraf, am urmărit îndeaproape lucrarea [ 22].
Problema 1. Fie ABC un triunghi și o dreaptă oarecare d. Fie A ′, B′, C′ respectiv proiecțiile pe d
ale vârfurilor A, B, C. Perpendicularele duse din A ′, B′, C′ pe laturile [BC], [CA], [AB] sunt
concurente, iar punctul lor de intersecție se numește ortopolul dreptei d față de triunghiul ABC.
Soluție.

Folosind teorema lui Carnot, vom demonstra că dreptele B ′B′′, C′C′′, A′A′′ sunt concurente. Fie
un punct P interior triunghiului, care se proiectează pe laturile acestuia în punctele A”, B”, C ′′.
Conform teoremei lui Carnot există relația:
A”B2 – A”C2 +B”C2 – B”A2 + C”A2 – C”B2 = 0
Vom arăta că și perpendicularele duse din A ′, B′, C′ verifică relația de mai sus, deci sunt
concurente.
În triunghiul A ′A”B, conform teoremei lui Pitagora, A ′A”2=A′B2-A”B2.
În triunghiul A ′A”C, conform teoremei lui Pitagora, A ′A”2=A′C2-A”C2.
Deci A′B2-A”B2= A′C2-A”C2 A”B2-A”C2= A′B2-A′C2 .
În triunghiul A ′BB′, conform teoremei lui Pitagora, A ′B2=A′B′2+BB ′2.
În triunghiul A ′CC′, conform teoremei lui Pitagora, A ′C2=A′C′2+C′C2.
Așadar A”B2-A”C2= A′B′2 – A′C′2+BB ′2 – C′C2 (1)
În triunghiul B ′AB”, conform teoremei lui Pitagora, B ′B”2=B′A2-B”A2.
În triunghiul A ′A”C, conform teoremei lui Pitagora, B ′B”2=B′C2-B”C2.
Deci B ′A2-B”A2= B′C2-B”C2 B”C2-B”A2= B′C2-B′A2 .
În triunghiul B ′CC′, conform teoremei lui Pitagora, B ′C2=C′B′2+CC ′2.
În triunghiul B ′AA′, conform teoremei lui Pitagora, B ′A2=B′A′2+A′A2.

38
Așadar B”C2-B”A2= B′C′2 – B′A′2+CC ′2 – AA′2 (2)
Analog C”A2-C”B2= C′A′2 – C′B′2+AA ′2 – BB′2 (3)
Adunând relațiile (1), (2), (3) rezultă A”B2 – A”C2 +B”C2 – B”A2 + C”A2 – C”B2 = 0 și deci
conform teoremei lui Carnot, B ′B′′, C′C′′ , A′A” sunt concurente.

Problema 2. Fie A ′ mijlocul laturii [BC] a triunghiului ABC, L punctul de intersecție a
tangentei în A la cercul circumscris triunghiului ABC cu latura [BC]. Să se arate că c ercul lui
Euler al triunghiului AA ′L trece prin centrul cercului lui Euler al triunghiului ABC.
Soluție:

Fig.IV.2
Fie A 1 piciorul înălțimii din A pe BC, A 2 mijlocul segmentului [AH] și W centrul cercului lui
Euler al triunghiului ABC. În triunghiul AOH, [WA 2] este linie mijlocie, rezultă că WA 2 OA.
Notăm u 3 intersecția dreptelor A′A2 și AL diametrul [A ′A3] al cercului lui Euler al
triunghiului ABC e ste paralel cu OA A′A3 AL A2 este ortocentrul triunghiului AA ′L.
Dar (A ′W) (WA 2), deci cercul lui Euler al triunghiului AA ′L trece prin W.
III.4. P robleme de coliniaritate și drepte celebre
III.5 P robleme de arii
III.6 P robleme de maxim și minim
III.7 P robleme pentru concursuri școlare
În redactarea acestui paragraf am urmărit îndeaproape lucr ările [13], [21].
Pregătirea elevilor pentru concursurile școlare presupune parcurgerea mai multor etape, esențiale
în parcursul participării la concursuri . Prime etapă presupune selecția elevilor capabili de
performanță. Selecția se face continuu, existând elevi în a căror pregătire pot apărea sincope. O
etapă importantă o constituie organizarea lucrului cu acești elevi. Lucrul se poate face în timpul
orelo r de matematică, lucrând diferențiat la nivel de clasă, și prin intermediul cercurilor de elevi,
unde se poate lucra exclusiv doar pentru concursuri școlare. Pregătire participării la concursuri
presupune o bună asimilare a noțiunilor teoretice (a celor de bază, obligatorii, d ar mai ales a celor
facultative, de o dificultate superioară) și o continuă aplicare a acestora în exerciții și probleme.
În anul școlar curent, în cadrul unor clase s -au remarcat elevi capabili de performanță. Întrucât
lucrul la clasă, datorită timpului limitat, nu a fost sufic ient pentru pregătirea acestor elevi, am

39 organizat un cerc de elevi care se întrunește săptămânal, în vederea pregătirii pentru concursu rile
școlare.
Iată un exemplu de problemă pregătitoare pentru concursuri școlare la gimnaziu , lucrată cu elevii
clasei a VII -a, la cercul de matematică :
Problemă. (G.M. 3/1989, pag.101) Fie un triunghi dreptunghic (m( A)=90o). Pe dreapta AB se
ia un punct M astfel încât triunghiul BMC să fie isoscel, cu (BM) (CM). Arătați că

| (
)
|.
Soluție:
Elevii vor fi îndrumați să folosească notații simplificare, să noteze laturile necunoscute ale
triunghiului cu litere mici, să determine legăturile dint re acestea și mai ales să analizeze toate
cazurile posibile de poziționare a punctului M, în raport cu măsurile unghiurilor ascuțite ale
triunghiului inițial.
Considerăm triunghiul dreptunghic ABC, cu unghiul drept în A și notă, AB=c, AC=b și deci
BC=√ .
Se observă existența a două cazuri în funcție de măsurile unghiurilor B și C.
Dacă m( B)> m( C), atunci punctul M de pe dreapta AB se află în exteriorul segmentului (AB).
Notăm AM= deci BM=BA+AM= c +
În ∆MAC, dreptunghic în A avem sau CM= √ . Deoarece BM=CM
obținem c+ =√ sau de unde rezultă că
.
Rezultă de aici că
=
deci MC=
. În concluzie,

sau

. (1)
Pe de altă parte | (
)
| |
| |
|
(2).
Din (1) și (2) rezultă egalitatea din enunț. Analog se rezolvă cazul m( C)> m( B), când punctul
M aparține segmentului (AB).

40

O problemă de liceu potrivită pregătirii concursurilor școlare ar putea fi:
Problemă.( G.M. 3/1989 pag. 103) Într -un triunghi oarecare ABC se duc cevienele izogonale AD
și AB, D BC, E BC. Să se arate că

Soluție. Considerăm cercul circumscris triunghiului ABC și .
Obținem ABM DMC și BDA MDC, deci ∆ABD ∆DMC, ceea ce conduce la

sau
.
Analog, din asemănarea ∆AMB ∆AEC obținem
. Rezultă că

.
Din asemănarea ∆AMC ∆ABE obținem
sau

. Obținem în final

III.8 P robleme pentru examene școlare
În anul școlar 2019 -2020, la Școala Gimnazială Nr. 1 Roata de Jos, județul Giurgiu, au fost
înscriși la clasa a VIII -a A 25 de elevi. Date fiind rezultatele la Evaluarea Națională din anul
școlar trecut, scopul principal stabilit pentru anul curent a fost cr eșterea procentului de
promovabilitate la acest examen. Pentru a atinge acest scop elevii participă la ore suplimentar e de
pregătire în cadrul școlii. P rin câștigarea unui concurs național și participarea în cadrul unui
proiect școala a fost dotată cu un l aborator digital, permițând astfel folosirea în cadrul orelor de
matematică a resurselor digitale. Copiii au fost implicați astfel în activități integrate într -o formă
atractivă, motivantă, care să conducă activitatea spre investigare, cercetare și aplicar e practică.
Rezultatele la Evaluarea Naționala (clasa a VIII -a A), an școlar 2018 -2019:

54%
9% 8% 8% 13% 8% Evaluare Națională 2018 –
2019
Note între 1 și 4,99 Note între 5 și 5,99 Note între 6 și 6,99
Note între 7 și 7,99 Note între 8 și 8,99 Note între 9 și 9,99

41
Rezultatele la Evaluarea Naționala (clasa a VIII -a A), an școlar 2019 -2020:
GRAFIC REZULTATE
Pentru o bună pregătire a participării la examenele naționale, lucrul la clasă, urmărind programa
pentru Evaluarea Națională, sistematizat prin recapitulări ale materiei din anii anteriori l -am
suplimentat cu rezolvarea unor probleme tipice acestui examen.
Geometria triunghiului se regăsește, în cadrul subiectelor de Evaluare Națională, atât la Subiectul
I, problema 4, cât și la Subiectul III, problema 1. Dacă în secțiunea I problema de geometrie
plană este de dificultate scăzută, în secțiunea III, problema 1 conține deseori și cer ințe de
dificultate peste medie, pentru departa jarea candidaților. Există în perioada ultimilor ani tendința
de a introduce la problema de geometrie plană cerințe care să pună elevul în situația de a face
corespondențe între noțiunile teoretice învățate, subiectele îndepărtându -se în ultimii ani de
modelul subiectelor practice cu care ne obișnuisem în perioada 2010 -2014. Acest lucru determină
faptul că mulți elevi rezolvă cu ușurință prima cerință a problemei de geometrie plană,
întâmpinând probleme la celelalte două cerințe. Realizând o analiză a subi ectelor date în ultimii
ani la Evaluare Națională am realizat o colecție de probleme tipice de geometrie plană,
disponibilă online, la care elevii să aibă acces atât la școală cât și acasă.
ADRESA BLOG
Voi prezenta în continuare câteva probleme tipice de g eometrie a triunghiului rezolvate în cadrul
orelor de pregătire cu elevii claselor a VIII -a. Problemele sunt atât din cele date la Evaluarea
Naționale în anii precedenți, cât și probleme concepute după modelul celor date la Evaluarea
Națională.
Problema 1 . În figura de mai jos este reprezentat un cerc, de diametru AB = 8cm și punctul T ,
situat pe cerc, diferit de punctele A și B . Punctul C este intersecția tangentei la cerc în punctul T
cu tangenta la cerc în punctul A și punctul D este intersecția tange ntei la cerc în punctul T cu
tangenta la cerc în punctul B . Lungimea segmentului AC este de 2 cm .

42

a) Arătați că lungimea cercului de diametru AB este egală cu 8 π cm.
b) Demonstrați că triunghiul ABD este isoscel.
c) Dreptele AT și OC se intersect ează în pu nctul M și dreptele BT și OD se intersectează în
punctul N . Demonstrați că aria patrulaterului MONT este egală cu 6,4cm2 .
Rezolvare.
Problema 2 . În figu ra de mai jos este schița unui teren în formă de dreptunghi ABCD cu AB
=10√ m și AD =10m . Punctul M este mijlocul laturii AB și punctul N este punctul de intersecție
a dreptelor CM și BD .

a) Arătați că aria dreptunghiului ABCD este egală cu 2 100 √ m2 .
b) Demonstrați că măsura unghiului BNC este egală cu 90° .
c) Demonstrați că punct ul A este situat pe mediatoarea segmentului ND .

43 Problema 3. Figura 2 reprezintă schița unui teren în formă de trapez isoscel ABCD cu AB CD ,
CD 12√ m , AD =BC  24m și m ( BAD)  45 . Punctul M este piciorul perpendicularei din
D pe dreapta AB , O e ste punctul de intersecție a diagonalelor trapezului ABCD și E este punctul
de intersecție a dreptelor AD și BC .

Figura 2 5p a) Arătați că AM 12 2 m .
b) Determinați aria triunghiului AEB .
c) Punctul P este mijlocul laturii AB . Demonstrați că punctele P , O și E sunt coliniare.

]

44
III.9 Proiecte didactice
PROIECT DIDACTIC
Clasa a VI -a
Matematică
UTILIZAREA APLICAȚIILOR QUIZIZZ ȘI GEOGEBRA ÎN PREDAREA
GEOMETRIEI

DISCIPLINA : Matematică
UNITATEA DE ÎNVĂȚARE : Noțiuni geometrice fundamentale. Unghiuri
TITLUL LECȚIEI : Unghiuri în jurul unui punct. Suma măsurilor lor
TIPUL LECȚIEI : Lecție de fixare a cunoștințelor
DURATA : 50 minute
SCOPUL : Dobândirea capacității
Profesor : Stemate Ana -Maria
Clasa : a VI -a B
COMPETENȚE GENERALE :
1. Identificarea unor date, mărimi și relații matematice, în contextul în care acestea apar
2. Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în diverse
surse informaționale
3. Utilizarea conceptelor și a algoritmilor specifici în diverse contexte matematice
4. Exprimarea în limbajul specific matematicii a informațiilor, concluziilor și demersurilor de
rezolvare pentru o situație dată
5. Analizarea caracteristicilor matematice ale unei situații date
6. Mode larea matematică a unei situații date, prin integrarea achizițiilor din diferite domenii
COMPETENȚE SPECIFICE :
1.5. Recunoașterea unor figuri geometrice plane (drepte, unghiuri, cercuri, arce de cerc) în
configurații date

45 2.5. Recunoașterea coliniarității unor puncte, a faptului că două unghiuri suntopuse la vârf,
adiacente, complementare sau suplementare
3.5. Utilizarea unor proprietăți referitoare la distanțe, drepte, unghiuri, cerc, pentru realizarea
unor construcții geometrice
4.5. Exprimarea prin repre zentări geometrice sau în limbaj specific matematic, a noțiunilor legate
de dreaptă, unghi, cerc
5.5. Analizarea seturilor de date numerice sau a reprezentărilor geometrice în vederea optimizării
calculelor cu lungimi de segmente, distanțe, măsuri de unghi uri și de arce de cerc
6.5. Interpretarea informațiilor conținute în reprezentări geometrice pentru determinarea unor
lungimi de segmente, distanțe și a unor măsuri de unghiuri.
OBIECTIVE OPERAȚIONALE DERIVATE DIN COMPETENȚELE SPECIFICE:
O1. Să recunoască într-o configurație geometrică dată unghiurile în jurul unui punct
O2. Să determine măsurile unghiurilor în jurul unui punct aplicând noțiunile cunoscute
O3. Să argumenteze corespunzător transpunând în limbaj/ notații specifice, rezultatele obținute.
MET ODE ȘI PROCEDEE DIDACTICE: Conversația, povestea , explicația, jocul , exercițiul
individual .
MIJLOACE DE ÎNVĂȚĂMÂNT : Tabletele cu aplicațiile Quizizz și GeoGebra,
videoproiectorul, fișa de lucru.
FORME DE ORGANIZARE: Frontal și individual
BIBLIOGRAFIE:
Dan Zaharia, Maria Zaharia, Algebră, geometrie, culegere de exerciții și probleme pentru clasa
a VI-a, Editura Paralela 45
Tatiana Udrea, Daniela Nițescu, Matematică, Manual pentru clasa a VI -a, Editura Didactică și
Pedagogică

46 Desfășurarea lecției
ETAPELE
LECȚIEI ACTIVITATEA PROFESORULUI ACTIVITATEA
ELEVULUI STRATEGII
DIDACTICE METODE DE
EVALUARE
Moment
organizatoric

Verificarea temei
(3 min.) Notează absenții, creează condițiile optime necesare
desfășurării eficiente a lecției de matematică.
Verifică modul de efectuare al temei pentru acasă, frontal și
individual.
Se rezolvă exercițiile care i -au pus în dificultate pe elevi. Elevii se pregătesc
cu cele necesare
bunei desfășurări a
lecției: caiete,
manual, culegere,
tablete.
Prezintă caietele de
temă la colțul
băncii. Conversația frontală și
individuală Aprecieri orale individuale
și colective
Captarea atenției
(10 min.)

Profesorul cere elevilor să încarce testul ”Noțiuni
geometrice fundamentale despre unghi” utilizând aplicația
Quizizz. Elevii vor răspunde oral la întrebările din test,
jucând ”Ștafeta”. (Primul elev care răspunde primește un
ghem de sfoară pe care îl va pasa următorului elev,
prinzând mai întâi sfoara de colțul pupitrului și apoi
înfășurând -o pe suportul așezat în centrul clasei. Ștafeta va
continua până se va forma o rețea de fire, toate având ca
punct comun suportul central. Elevii vor descoperi astfel
unghiurile în jurul unui punct. ) Răspund la
întrebările
profesorului.

Conversația Aprecieri orale individuale
și colective

47
Profesorul rulează pe laptop o prezentare ppt pentru a
introduce subiectul lecției noi.

Anunțarea titlului
și a obiectivelor
(2 min.)
Profesorul anunță și scrie pe tablă titlul lecției:
Unghiuri în jurul unui punct.
Suma măsurilor unghiurilor în jurul unui punct Notează în caiete
titlul lecției.

Conversația

48
Dirijarea învățării
(30 min.)

Profesorul le cere elevilor săi să deschidă tabletele și apoi
aplicația GeoGebra . Elevii vor realiza construcția conform
tabelului de instrucțiuni primit.
Exercițiul 1.

Profesorul urmărește elevii în rezolvarea cerințelor pe
tabletă și oferă sprijin acolo unde este necesar. Elevii vor
putea folosi caietele sau foi, dacă au nevoie să facă calcule
intermediare pentru a oferi răspunsul corect. Definim astfel
unghiurile în jurul unui punct și descoperim proprietatea lor
de a avea suma măsurilor de 360o.
Exercițiul 2. Fie trei unghiuri în jurul unui punct BAB’,
B’AB’’, B’’AB, cu m( BAB’)=110o și
m( B’AB’’)=150o. Calculați măsura unghiului B’’AB.
1.
Punct.
Construim un punct A. Răspund
solicitărilor
profesorului.

Fiecare elev
lucrează individual,
în ritmul propriu,
sub îndrumarea
profesorului. Explicația
Conversația

Învățarea cu ajutorul
jocului digital

Munca individuală Observarea sistematică

Aprecieri verbale
individuale

49 2.
Semidreaptă.
Construim o semidreaptă (AB.
3.
Unghi de mărime dată.
Construim un unghi BAB’ cu măsura de 1100.
4.
Semidreaptă.
Construim o semidreaptă (AB’.
5.
Unghi de mărime dată.
Construim un unghi B’AB’’ cu măsura de 1500.
6.
Semidreaptă.
Construim o semidreaptă (AB’’.
6.
Unghi.
Determinăm măsura unghiului B’’AB.
7.
Salvare construcție.

50 Asigurarea
transferului. Tema
pentru acasă
(5 min.)

Elevii vor rezolva problema 4 de pe fișa de lucru, iar cei
mai rapizi problemele 3 și/sau 5. Profesorul verifică
rezultatele frontal și conduce o discuție de reflecție pe baza
de întrebări:
Cât de greu sau ușor v -a fost să efectuați calculele?
Unde a fos t mai greu? De ce?
Ce v-a plăcut cel mai mult să faceți?
Ce diferență este între exercițiile pe tabletă și cele pe fișă?
Ce vă ajută cel mai mult în rezolvarea exercițiilor?
Profesorul anunță tema pentru acasă, exercițiile 1, 2, 3 și 5
din fișa de lucru. Își noteză tema de
casă.

Conversația Notare

51

Anexa 1
Reactualizarea cunoștințelor: test în aplicația Quizizz
https://quizizz.com/admin/quiz/5d9cd4c5993e53001acab651/noiuni -geometrice -fundamentale –
despre -unghi

Anexa 2

52
Dirijarea învățării: exerciții în GeoGebra
Exercițiul 1 . (preluat din Ghid clasa a VI -a Math, pag.34. )
Exercițiul 2. Fie trei unghiuri în jurul unui punct BAB’, B’AB’’, B’’AB, cu m( BAB’)=110o
și m( B’AB’’)=150o. Calculați măsura unghiului B’’AB. Pași:

1.
Punct.
Construim un punct A.
2.
Semidreaptă.
Construim o semidreaptă (AB.
3.
Unghi de mărime dată.
Construim un unghi BAB’ cu măsura de 1100.
4.
Semidreaptă.
Construim o semidreaptă (AB’.
5.
Unghi de mărime dată.
Construim un unghi B’AB’’ cu măsura de 1500.
6.
Semidreaptă.
Construim o semidreaptă (AB’’.
6.
Unghi.
Determinăm măsura unghiului B’’AB.
7.
Salvare construcție.

53

A
B
C
D
O FIȘĂ DE LUCRU
1. În figura de mai jos avem m ( AOB) = 42o, m ( DOC) = 128o și m ( AOC) = 79o.

Aflați măsurile unghiurilor BOC, AOD

2. În figura de mai jos avem m ( AOB) = 38o, m ( DOC) = 3xo , m ( BOC) = xo și
m( AOD) = 2xo. Aflați măsurile unghiurilor BOC, AOD și DOC.

3. Calculați măsurile unghiurilor formate de două drepte concurente, știind că diferența
măsurilor a două dintre unghiuri este de 40o.
4. Se consideră cinci unghiuri în jurul unui punct, având măsurile exprimate prin numere
naturale consecutive. Calculați măsurile unghiurilor.
5. În figura de mai jos avem m( AOB) = xo, m( DOC) = 2xo , m( BOC) = xo + 30o ,
m( DOE) = xo – 10o și m( AOE) = 150o. Aflați măsurile unghiurilor AOB, BOC,
COD, DOE, AOE

PROIECT DIDACTIC
Clasa a VI -a

54
Matematică

Înțelegerea matematicii utilizând jocul GeoGebra Math Calculators

Clasa a VI-a
Cazurile de congruență ale triunghiurilor oarecare

DISCIPLINA : Matematică
UNITATEA DE ÎNVĂȚARE : Triunghiul
TITLUL LECȚIEI : Cazurile de congruență ale triunghiurilor oarecare
TIPUL LECȚIEI : Lecție de însușire de noi cunoștințe
DURATA : 50 minute
SCOPUL : Dobândirea capacității de a id entifica triunghiuri congruente
COMPETENȚE GENERALE
1. Identificarea unor date, mărimi și relații matematice, în contextul în care acestea apar
2. Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în diverse
surse informaționale
3. Utilizarea conceptelor și a algoritmilor specifici în diverse contexte matematice
4. Exprimarea în limbajul specif ic matematicii a informațiilor,
concluziilor și demersurilor de rezolvare pentru o situație dată
5. Analizarea caracteristicilor matematice ale unei situații date
6. Modelarea matematică a unei situații date, prin integrarea ac hizițiilor din diferite domenii
COMPETENȚE SPECIFICE:
1.6. Recunoașterea unor elemente de geometrie plană asociate noțiunii de triunghi
2.6. Calcularea unor lungimi de segmente, măsuri de unghiuri în contextul geometriei
triunghiului

55
3.6. Utilizarea criteriilor de congruență și a proprietăților unor triunghiuri particulare pentru
determinarea caracteristicilor unei configurații g eometrice
4.6. Exprimarea în limbaj geometric simbolic și figurativ a caracteristicilor triunghiurilor și ale
liniilor importante în triunghi
5.6. Analizarea unor construcții geometrice în vederea evidențierii unor proprietăți ale
triunghiurilor
6.6. Trans punerea, în limbaj specific, a unei situații date legate de geometria triunghiului,
rezolvarea problemei obținut e și interpretarea rezultatului
OBIECTIVE OPERAȚIONALE DERIVATE DIN COMPETENȚELE SPECIFICE:
1. Să distingă cele trei cazuri de congruență a triu nghiurilor
2. Să identifice în configurații geometrice, elementele congruente din două triunghiuri
congruente.
3. Să utilizeze corect cazurile de congruență pentru stabilirea congruenței a două triunghiuri.
METODE ȘI PROCEDEE DIDACTICE : Conversația, expli cația, exercițiul, munca
individuală, t abletele cu jocul GeoGebra Math Calculators , fișe de lucru pentru elevi.
MIJLOACE DE ÎNVĂȚĂMÂNT : Tabla, caietu l, manualul, fișa de lucru
FORME DE ORGANIZARE : Frontal și individual
BIBLIOGRAFIE :
I. Petrică, V. Bășeanu, I. Chebici, Manual de matematică, clasa a VI -a, Editura Petrion,
2004
Ș. Smărăndoiu, M. Perianu, D. Savulescu, Clubul matematicienilor , Editura Art, 2016
D. Brânzei, D. Zaharia, M. Zaharia, Mate 2015 , Editura Paralela 45, 2015

56
DESFĂȘURAREA LECȚIEI
ETAPELE
LECȚIEI OBIECTIVELE
OPERAȚIONAL
E DERIVATE
DIN
COM PETENȚE –
LE SPECIFICE ACTIVITATEA PROFESORULUI ACTIVITATEA
ELEVULUI STRATEGII
DIDACTICE METODE DE
EVALUARE
Captarea
atenției elevilor
(2 minute)
O1 Profesorul va desena pe tablă diverse figuri ce reprezintă
construcții simple care vor pune în evidență figuri
congruente (identice). Inițiază o discuție pornind de la
întrebările:
 Cum sunt figurile reprezentate pe tablă?
 Ați mai în tâlnit noțiunea de congruență? Unde?
 Definiții: segmente congruente, unghiuri
congruente.
Conversația
Jocul
Reactualizarea
cunoștințelor
(2 minute) O1, O2 Elevii vor primi o fișă (Anexa 1), pregătită de profesor în
prealabil și instalată pe tableta fiecărui elev până la
începerea orei, în care sunt prezentate două triunghiuri
congruente. Elevii vor trebui să identifice elementele
corespondente congruente (3 pentru laturi și 3 pentru
unghiuri) și să pună în evidență, atât pe desen cât și prin
notații aceste relații.
Elevii răspund
întrebărilor.
Conversația Observarea
sistematică a
elevilor

57

Conversație inițiată cu ajutorul întrebărilor :

 Din cele 6 elemente corespondente congruente
ale două triunghiuri congruente de câte avem nevoie
pentru a putea construi sau demonstra că două
triunghiuri sunt congruente ?
 Le luăm la întâmplare sau într-o anumită ordine?
 Cu ce facem corelațiile? (cazurile de construcție
ale triunghiurilor)

Anunțarea
titlului lecției și
a obiectivelor
(1 minut)

Profesorul anunță și se scrie pe tablă titlul lecției:
Cazurile de congruență ale triunghiurilor oarecare.

Elevii ascultă cu
atenție, conștientizează
obiectivele și scriu
titlul în caiete.
Conversația
Prezentarea de
material nou și
dirijarea O1,O2, O3 Profesorul dorește ca elevii să descopere cele trei cazuri
de congruență ale triunghiurilor oarecare ULU, LUL și
LLL făcând corelația cu cele trei cazuri de construcție
ale triunghiurilor. În acest sens, elevii vor avea Elevii sunt atenți la
explicațiile
profesorului și Explicația
Observarea
sistematică a
elevilor

58
învățării
(30 minute) preinstalate pe tablete 3 fișe în care vor avea reprezentat
câte un triunghi (câte unul pentru fiecare caz de
construcție ale triunghiurilor: ULU, LUL și LLL).

Elevii vor folosi aplicația GeoGebra Math Calculators
pentru a construi triunghiuri identice (congruente) cu
cele inițiale, prin rotație sau prin translație. Pentru a
realiza aceste construcții, elevii vor trebui să parcurgă
următorii pași:
– Vor deschide fereastra de opțiuni corespunzătoare
celui de-al nouă lea instrument (-) din bara de
instrumente (de sus) și vor alege una din opțiunile participă activ la lecție,
răspunzând întrebărilor
puse de profesor.

59
„Reflectarea după un punct”;
– Vor da click pe figura geometrică apoi pe centru;
– Vor glisa cu degetul și vor vedea că s-a obținut un
triunghi asemenea cu cel dat;
– Vor obține astfel două triunghiuri congruente.

Apoi, pe fiecare fișă, elevii vor trebui să pună în
evidență cele 3 elemente corespondente congruente
pentru fiecare caz de congruență ULU, LUL și LLL,
după care vor trebui să scrie și celelalte 3 elemen te
corespondente congruente rămase și vor salva imaginile.

Fixarea
cunoștințelor
(10 minute) O2, O3 Profesorul propune elevilor care au terminat activitatea
precedentă rezolvarea problemelor de pe fișa 3. Explicația
Exercițiul
Munca individuală
Observarea
sistematică a
elevilor
Analiza
răspunsurilor
Exercițiul

Asigurarea Întrebări de ghidare:
 Cât de greu sau ușor v-a fost să construiți figurile
geometrice? Elevii răspund
întrebărilor. Conversația Aprecieri
verbale

60
feed-back -ului O1,O2,O3
 Unde a fost mai greu? De ce?
 Ce v-a plăcut cel mai mult să faceți?
 Cum puteți folosi în viața de zi cu zi aceste
cunoștințe?
Analiza
activității
Tema pentru
acasă O1,O2,O3
Elevii vor avea ca temă rezolvarea exercițiilor din fișa de
lucru 3.
Notează tema pentru
acasă. Conversația

61
Anexa 1
Fișa de lucru 1 – Congruența triunghiurilor

Anexa 2: Cele 3 fișe propuse spre rezolvare în clasă

.

62

63
Fișa de lucru 3

1. Dacă și , și calculați perimetrele
celor două triunghiuri.

2. Fie cu A)=65°, 0 Aflați și

3. Demostrați că dacă două triunghiuri sunt congruente, atunci perimetrele lor sunt egale.

4. Fie segmentul [AB] și M mijlocul său. Pe perpendiculara în M pe AB se ia un punct P.
Demonstrați că ΔPMA≡ΔPMB.

5. Se consideră triunghiul și mijlocul segmentului . Se prelungește segmentul
cu segmentul , . Să se arate că: și

64
Capitolul IV. Probleme cu caracter aplicativ

În redactarea acestui capitol am urmărit îndeaproape lucr ările [1], [13], [20], [29] .
Începutul studiului geometriei, ca orice proces de cunoaștere, este influențat de percepția
practică concretă a elevului. Copiii sunt atrași și interesați de problemele practice în care pot
aplica noțiunile geometrice studiate. De aceea, ori de câte ori es te posibil, profesorul trebuie să
facă trimitere la practică. În geometrie sunt destul de numeroase temele care nu au aplicații
practice directe, ci servesc numai pentru deducerea altora sau pentru dezvoltarea unui mod util de
a gândi. De exemplu, problem ele de construcție geometrică nu se întâlnesc în marea lor
majoritate în practică. Ele constituie însă un important mijloc de dezvoltare a gândirii, a
capacității de a rezolva probleme de geometrie. Aceste cunoștințe au un rol indirect în pregătirea
elevil or pentru activitatea practică. Ele dezvoltă de asemenea gândirea științifică și priceperea de
a rezolva probleme, iar pe de altă parte ele oferă posibilitatea de a dobândi conștient alte
cunoștințe de geometrie care au aplicații practice directe.
Deoarece aplicarea în practică a cunoștințelor de geometrie este destul de dificilă, profesorul
trebuie să urmărească cu perseverență această problemă. Pentru a rezolva probleme practice
elevii tre buie să învețe să afle unghiul a două direcții și să rezolve proble me de aflare a unor
distanțe. Aplicațiile practice încep cu astfel de probleme pentru a ajunge la adevărate probleme
practice, care de obicei sunt mai complexe.
Dintre cunoștințele predate în ciclul gimnazial, cele mai multe aplicații practice le au asemă narea,
relațiile metrice și cunoștințele de geometrie în spațiu.
Pentru elevi , cele mai accesibile sunt problemele de calcul: aflarea unei lungimi sau arii, aflarea
unei laturi a unui triunghi dreptunghic, calculul unei suprafețe, etc. Se rezolvă mai întâi astfel de
probleme de geometrie pentru ca elevii să câștige priceperile necesare rezolvării lor. După aceea,
profesorul trebuie să prezinte probleme practice a căror rezolvare revine, din punct de vedere
geometric, la rezolvarea problemelor de mai sus. În urma rezolvării lor, elevii aprofundează
cunoștințele, acestea căpătând un grad de conștiență mai mare . În capitolele de geometrie plană în
care se studiază relațiile de egalitate și poziție, sunt mai puține prilejuri de rezolvare a unor
probleme practice . Legarea de practică are mai mult aspectul unei legări de concret, de realitatea
obiectivă și de activitatea elevilor. Cel mai folosit mijloc este accentul pe construcția figurilor.
Elevii intuiesc proprietățile care apar pe figurile construite. Când cons trucția se face pe teren,
legarea de concret este și mai evidentă. Intuirea unei proprietăți pe baza figurii desenate
reprezintă calea cea mai folosită prin care elevii iau la cunoștință noțiuni geometrice. Însușirea
oricărei proprietăți, a oricărei teoreme de geometrie cuprinde două aspecte: înțelegerea

65
conținutului și demonstrarea adevărului acestuia. Cel mai bun mod de înțelegere a unei
proprietăți este descoperirea ei. Atunci când elevii descoperă prin o bservarea figurilor o
proprietate, e clar că au și înțeles -o. Ținând cont de caracterul concret al gândirii elevilor, ei pot
desprinde proprietățile cel mai ușor prin observarea unor exemple. Intuirea pe această bază a
proprietății provoacă o satisfacție c are antrenează elevii.
Observarea proprietăților geometrice, precum și aplicare celor deja asimilate se realizează foarte
eficient prin lucrări practice și exerciții efectuate de elevi în clasă sau în afara clasei, cu ajutorul
instrumentelor de măsurat sa u al unor aparate simple. Noile tendințe, precum și evoluția
tehnologiei, înlocuiesc lucrările practice în afara sălii de clasă cu simulări virtuale ale aplicațiilor
practice.
Formele sub care se prezintă lucrările practice la geometrie sunt multiple. Câte va exemple ar fi:
– Mânuirea instrumentelor pentru măsurat lungimi,
– Aprecierea distanțelor și aprecierea rezultatelor unor operații efectuate pe teren,
– Măsurători pe teren,
– Confecționarea de material didactic(figuri din carton, machete)
– Realizarea unor simulări grafice prin intermediul aplicațiilor pe calculator.
Lucrările practice contribuie la consolidarea cunoștințelor și la formarea deprinderilor de mânuire
a instrumentelor și aparatelor necesare. Pentru efectuarea lucrărilor practice la matematică e ste
necesar să se asigure școlii o bază materială. Este de preferat să existe un cabinet de matematică
în care să se poată desfășura pregătirea lecțiilor de lucrări practice, folosind aparatele și
instrumentele necesare. Se impune existența materialelor ne cesare confecționării planșelor,
graficelor, modelelor de corpuri geometrice. Sunt necesare instrumente pentru trasarea liniilor
drepte, instrumente pentru măsurat lungimi, riglă gradată, compas, șubler.
Pregătire unei lucrări practice se face amănunțit. E ste necesar ca în prealabil profesorul să
execute lucrarea practică, pentru a -și da seama de materialele necesare, etapele ce trebuie
parcurse, interpretarea și verificarea rezultatelor, greutățile ce pot apărea pe parcursul lucrării,
măsurile ce pot fi lu ate pentru evitarea accidentelor și a rezultatelor false. Ținând cont de locul
unde se desfășoară lucrarea practică la geometrie, lucrările pot fi împă rțite în lucrări efectuate în
clasă, lucrări efectuate în cabinetul de matematică sau lucrări pe teren. D intre toate acestea cele
mai importante sunt lucrările pe teren. Acestea înarmează elevii cu deprinderi practice și
contribuie la dezvoltarea reprezentărilor spațiale. Pe teren este îndepărtată monotonia spațiului
restrâns al clasei, iar mediul dinamic cer e elevilor formarea de noi deprinderi, adaptarea la noul
mediu și la condițiile de lucru.
Lucrările practice de început constau în deprinderea trasării unor linii drepte sau a unor unghiuri
drepte cu ajutorul echerului topografic, măsurarea unor unghiuri, a unor suprafețe.

66
Ca o disciplină largă, cu nenumărate aplicații, matematica este în mod inerent practic ă. Deși nu
există lipsă de matematică în viața de zi cu zi, o zonă care domină existența noastră de zi cu zi
este geometria. La urma urmei, în fiecare zi întâlnim o gamă largă de forme geometrice, cum ar fi
călătoria în metrou cilindric sau autobuzele dreptunghiulare, traversarea râurilor peste poduri
arcuite și lucrul și trăirea în clădiri dreptunghiulare.
Iar pentru cadrele didactice, presate de timp ș i lipsite de idei de lecți i antrenante, geometria în
arhitectură este un subiect minunat. La urma urmei, formele în design structural sunt
omniprezente (dar ușor de trecut cu vederea pentru că sunt atât de comune) și, cel mai bine, toate
sunt practice. Exi stă nenumărate proiecte care pot fi făcute cu acest subiect.
Triunghiurile posedă o serie de avantaje cheie care le fac ideale atât pentru a rhitecți, cât și pentru
elevi curioși: aceste f orme sunt incredibil de comune și ușor de aplicat și de utilizat în v iața de zi
cu zi.
Forța unui triunghi derivă din forma sa, care răspândește forțe în mod egal între cele trei laturi ale
sale. Indiferent de tipul de triung hi folosit într -o structură (iso scel, scalen sau echilateral),
triunghiurile sunt stabile, întrucât sunt în mod inerent rigide, cele trei părți întărindu -se reciproc.
După cum a explicat un gânditor Redditor, unghiurile unui triunghi se vor deforma înainte ca
părțile să cedeze. Mai simplu spus, nu există nicio modalitate de a deforma un triunghi fără a -l
distruge în proces.
Acesta poate fi un experiment excelent pentru elevi . În t imp ce podurile gumdrop reprezintă în
mod tradițional introducerea unui elev în arhitectură, acest plan de lecție duce conceptul cu câțiva
pași mai departe, obligând echipele de elevi să se gândească atât din perspectiva unui planificator
urban cât și a unui inginer civil. O altă sugestie bună este ca aceștia să facă structuri de testare la
efort, care sunt întărite cu șuruburi triunghiulare. Acest experiment îi determină pe elevi să
formeze diverse forme și să evalueze puterea cu greutăți reale. Atunci cân d efectuează acest
experiment, elevii ar trebui să acorde atenție la două lucruri: în primul rând, cât de mult poate
suporta fiecare structură înainte de prăbușire și, în al doil ea rând, modul în care fiecare structură
se dezintegrează . Laturile cedează mai întâi? Sau unghiurile se deformează până când materialul
nu mai poate suporta sarcina ? Această distincție va fi importantă pentru consolidarea calităților
unice ale triunghiuri lor și de ce sunt mult mai puternice decât alte forme.

67

[30]

IV.1 Determinarea distanței dintre două puncte accesibile și vizibile.

Geometria triunghiului este folosită ca unealtă de lucru în determinarea distanței dintre două
puncte accesibile și vizibile.
Fie punctele A și B, a căror distanță trebuie determinată fără să fie măsurată direct.
Pentru realizarea experimentului elevii a u nevoie de jaloane,ruletă, țăruși, creion, caiet pentru
măsurători. Determinarea distanței se poate face folosind mai multe metode.
a) Folosim congruența triunghiurilor
 Se alege un punct oarecare O, unde se așează vertical un jalon.
 Se aliniază coliniar cu O și A jalonul C, iar cu O și B jalonul D.
 Se măsoară OA și OB
 Pe direcția AOC se fixează jalonul A′, iar pe direcția BOD jalonul B′, astfel încât
OA′=OA și OB′=OB.
 Se măsoară distanța A′B′. Distanța A′B′ reprezintă distanța AB.
Explicație: Triunghiurile AO B și A′OB′ sunt congru ente.

68

Fig. IV.1

b) Folosim proprietatea liniei mijlocii
 Aliniem jalonul M cu O și A și jalonul N cu O și B, astfel încât MA=MO și NB=NO, și
măsurăm distanța MN.
 Aliniem jalonul M′ cu O și A și jalonul N′ cu O și B, astfel încât OM′= 1/2 OA și
ON′=1/2 OB, apoi măsurăm distanța M′N′. Distanța AB va fi egală cu dublul distanței M′N′.
Explicație: MN este linie mijlocie în triunghiul AOB, și cum triunghiurile MON și M′ON′ sunt
congruente, rezultă că MN=M′N′. Deci AB=2MN=2M′N′.

Fig. IV. 2

c) Folosim asemănarea triunghiurilor
 Aliniem jaloanele A′ cu O și A și B′ cu O și B, astfel încât OA′= 1/10 ·OA și
OB′=1/10·OB.
 Măsurăm distanța A′B′ . Distanța AB= 10·A′B′.

69

Explicație: Triunghiurile OAB și OA′B′ sunt asemenea deci

0.
Observație: Dacă distanțele OA și OB sunt mari atunci se pot considera OA′=1/100·OA și
OB′=1/100·OB.

Fig. IV. 3

d) Folosind unghiurile de 45o, 30o, 60o și Teorema lui Pitagora.
 Din A și B trasăm direcțiile Ax și Bx care să facă unghiul de 60o și 30o cu AB. Ax și Ay
se intersectează în O.
 Măsurăm distanțele AO și BO. Distanța AB= √ .
Explicație: triunghiul AOB este dreptunghic, deci p utem aplica Teorema lui Pitagora .
Observație: Putem folosi unghiul de 45o. Din A și B se trasează Ax și By care fac împreună cu
AB unghiuri de 45o și se intersectează în O. Se măsoară distanța AO sau OB și atunci
AB=OA√ .

Fig. IV. 4

70

IV.2 Determinare distanței dintre două puncte vizibile, dar numai unul accesibil

a) Determinarea lățimii unui râu.
Fără nici un instrument sau aparat, stând în poziție de drept, elevul situat în punctul B vizează
punctul A pe malul opus prin marginea vizierii șepcii. Elevul face stânga împrejur și vizează tot
pe sub marginea șepcii un punct pe teren, măsurând apoi distanța BA′, care reprezintă lățimea BA
a râului. Este vorba aici despre congruența a două triunghiuri dreptunghice care au o catetă
comună (înălțimea elevului) și câte un unghi ascuțit alăturat cu măsuri egale.

Fig. IV. 5

Procedeul folosit duce la rezultate aproximative. Pentru obținerea rezultatelor cât mai apropiate
de realitate, elevii își vor da silința să execute lucrarea cât mai corect. Aceasta duce la întărirea
simțului de răspundere față de o anumită sarcină.
O variantă mai riguroasă de determinare o reprezintă cea în care se folosește echerul topografic.
 Se așează echerul în B și se trasează direcțiile AB′BA′ și CBD perpendicular una pe
cealaltă.
 Se consideră distanțele BC și BD egale și se măsoară unghiul ACB=α.
 În D se construiește unghiul BDA′=α. L ățimea râului este egală cu BA′ -BB′, distanțe care
pot fi măsurate.
Explicație: Triunghiurile dreptunghice ABC și DBA, având câte o catetă și un unghi respectiv
congruente, sunt congruente.
Observație: Cunoscând CB și α se poate calcula cateta AB folosind relația AB=BC·tgα.

71

b) Determinarea lungimii unui obstacol
 Se fixează jaloane în A și B și se trasează AA′ și BB′ astfel încât AA′ BB′ și unghiul
ABB′ să aibă măsura de 45o sau de 60o. Direcțiile trasate se intersectează în C.
 Se măsoară distanța AC=AB (dacă unghiul B are măsura de 45o), sau distanța BC (dacă
unghiul B are măsura de 60o)
 Folosind cunoștințele de trigonometrie, având unghiul B cu măsura α, se poate calcula
AB folosind una din relațiile:
AB=BC·cosα sau AB=AC·ctgα.

Fig. IV. 6

IV.3 Determinarea distanței între două puncte vizibile, dar ambele inaccesibile

Fie de determinat distanța AB între punctele A și B inaccesibile, dar vizibile (de exemplu, două
puncte pe malul unui râu).
 Se alege un punct oarecare M pe malul opus.
 Se trasează MC astfel încât punctele A, M, C s ă fie coliniare.
 Se trasează dreapta BD astfel încât M (BD).
 Se măsoară unghiul AMB=α.
 Se deplasează aparatul de măsurat unghiuri pe direcția MC până în B′, când dista nța AB
se vede sub unghiul α/2 (măsura unghiului MB′B să fie egală cu α/2).
 Se deplasează aparatul de măsurat unghiuri pe direcția MD până în A′, când distanța AB
se vede sub unghiul α/2 (măsura unghiului MA′A să fie egală cu α/2).
 Se măsoară distanța A′B′ , care este egală cu distanța AB ce trebuie determinată.
Explicație: Triunghiul AMA′ este isoscel, deoarece dacă unghiul MA′A=α/2 iar unghiul AMB=α
este exterior triunghiului, rezultă că și unghiul MAA′=α/2. Analog se demonstrează și că
triunghiul BMB′ est e isoscel. Triunghiurile AMB și A′MB′ sunt congruente, deci AB=A′B′.

72

Fig. IV. 7

IV.4 Determinarea distanței între două puncte accesibile , dar despărțite între ele
printr -un obstacol care împiedică vizibilitatea dintr -un punct în altul

Ne propunem să măsurăm lungimea clădirii școlii.
 Se alege pe teren un punct O și se trasează direcțiile OA și OB
 Se consideră jaloanele N și M astfel încât OM=MA și ON=NB.
 Se trasează direcția MNM′.
 Se trasează direc țiile Ox și Oy și se determină intersecția dreptei MM′ cu aceste direcții.
Fie P și Q aceste intersecții.
 Se măsoară OP și OQ și apoi se determină punctele C și D astfel încât OP=PC și
OQ=QD.
 Se obține CD prelungirea dreptei AB.
 Folosind proprietatea linie i mijlocii în triunghi se poate determina astfel BC.

73

Fig. IV. 8

IV.5 Determinarea înălțimilor cu baza accesibilă

a) prin folosirea umbrei formată pe pământ de corpul a cărui înălțime trebuie
determinată

 Fie AB=h înălțimea ce trebuie determinată și AC umbra acesteia.
 Măsurăm lungimea umbrei, AC=d.
 În D fixăm un jalon de lungime cunoscută, b și măsurăm umbra DF formată de jalon. Fie
DF=d′.
 Înălțimea AB și jalonul DE, fiind perpendiculare pe pământ, sunt paralele între ele. Se
formează astfel două triunghiuri asemenea BAC și FDE. Rezultă de aici că h/b=d/d′ și deci
h=b/d′·d.

Fig. IV. 9

Este interesant de amintit aici procedeul prin care Pitagora a determinat înălțimile piramidelor din
Egipt.

b) Prin folosirea unei oglinzi
Procedeul duce la rezultate dorite numai dacă terenul pe care se așează oglinda este perfect
orizontal. Fie h înălțimea ce trebuie determinată și l un baston înfipt în pământ.
 Se așează oglinda O între H și l, astfel încât raza incidentă BO să se reflecte după direcția
OB′.
 Se formează triunghiurile asemenea OAB și OA′B′ și deci H/l=d/d′.
 Obținem H=d/d′·l.

74

Fig. IV.1 0

IV.6 Aplicații practice ale noțiunilor de trigonometria triunghiului

În redactarea acestui capitol am urmărit îndeaproape lucr area [27]. Trigonometria înseamnă pur
și simplu calcule cu triunghiuri (de aici provine tri). Este un studiu al rela țiilor în matematică care
implică lungimi, înălțimi și unghiuri ale diferitelor triunghiuri. Primele noțiuni au apărut în
timpul secolului al III -lea î.Hr., de la aplicațiile geometriei până la studii astronomice.
Trigonometria își răspândește aplicațiile în diferite domenii precum arhitectură, inginerie,
astrofizică, fizică și chiar criminalistică.
Înainte de a trece la detaliile aplicațiilor sale, să răspundem la o întrebare: ce domeniu științific a
folosit prima dată trigonometria?

Răspunsul imediat așteptat ar fi matematica, dar nu se oprește acolo. Chiar și fizica folosește o
mulțime de concepte despre trigonometrie. Un alt răspuns, conform lui Morris Kline, în cartea sa
numită „Gândirea matematică de la antichitate până în prezent”, a afirmat că „t rigonometria a
fost dezvoltată pentru prima dată în legătură cu astronomia, cu aplicații pentru navigație și
construcția de calendare. Aceasta a fost în urmă cu aproximativ 2000 de ani. Geometria este mult
mai veche, iar trigonometria este bazată pe geomet rie ”. Cu toate acestea, originile trigonometriei
pot fi atribuite civilizațiilor din Egiptul Antic, Mesopotamia și India în u rmă cu mai bine de 4000
de ani.
Pornind de la elementele de bază, poate fi utilizată trigonometria în viața de zi cu zi?
Trigonome tria poate să nu aibă aplicațiile sale directe în rezolvarea problemelor practice, dar este
folosită în diverse lucruri de care ne bucurăm atât de mult. De exemplu, muzica, după cum știți că
sunetul călătorește în valuri și acest model, deși nu este la fel de regulat ca o funcție sinusoidală,
este încă util în dezvoltarea muzicii pe calculator. În mod evident, un computer nu poate să
asculte și să înțeleagă muzica așa cum facem noi, astfel încât computerele o reprezintă matematic

75
prin undele sale sonore. Și asta înseamnă că inginerii de sunet trebuie să cunoască cel puțin
elementele de bază ale trigonometriei.
Trigonometria poate fi folosită pentru a măsura înălțimea unei clădiri sau a munților: dacă
știți distanța de unde observați clădirea și unghiul de ridicare puteți găsi cu ușurință înălțimea
clădirii. În mod similar, dacă aveți valoarea unei părți și unghiul de depresiune din partea de sus a
clădirii puteți găsi și o altă latură în triunghi, tot ce trebuie să știți este o latură și un unghi al
triung hiului.
Trigonometrie în tehnica zborului:
Inginerii de zbor trebuie să țină cont de viteza, distanța și direcția acestora, împreună cu viteza și
direcția vântului. Vântul joacă un rol important în cum și când va ajunge un avion acolo unde este
nevoie, ace sta este rezolvat folosind vectori pentru a crea un triunghi folosind trigonometria
pentru a rezolva. De exemplu, dacă un avion călătorește la 234 mph, 45 grade N de E și există un
vânt care suflă spre sud la 20 mph. Trigonometria va ajuta să rezolvați pen tru acea a treia parte a
triunghiului dvs. care va conduce avionul în direcția corectă, avionul va călători efectiv cu forța
vântului adăugat la cursul său.
Trigonometrie în fizică:
În fizică, trigonometria este utilizată pentru a găsi componentele vectori lor, modelarea mecanicii
undelor (atât fizice cât și electromagnetice) și a oscilațiilor, însumează puterea câmpurilor și
utilizează produse punct și încrucișat. Chiar și în mișcarea proiectilului aveți multă aplicare de
trigonometrie.
Arheologii folosesc trigonometria?
Trigonometria este utilizată pentru a împărți în mod corespunzător siturile de excavare în zone de
lucru egale. Arheologii identifică diferite instrumente utilizate de civilizație, iar trigonometria îi
poate ajuta în aceste săpături. De asem enea, o pot folosi pentru a măsura distanța față de
sistemele de apă subterane.
Trigonometrie în criminologie:
În criminologie, trigonometria poate ajuta la calcularea traiectoriei unui proiectil, la estimarea a
ceea ce ar fi putut cauza o coliziune într -un accident de mașină sau cum a căzut un obiect de
undeva sau în ce unghi a fost împușcat un glonț etc.
Trigonometrie în biologia marină;
Biologii marini folosesc adesea trigonometria pentru a stabili măsurători. De exemplu, pentru a
afla cum nivelurile de lumină de la diferite adâncimi afectează capacitatea algelor de a se
fotosinteza. Trigonometria este utilizată pentru a găsi distanța dintre corpurile cerești. De
asemenea, biologii marini utilizează modele matematice pentru a măsura și înțelege animalele de

76
mare și comportamentul acestora. Biologii marini pot folosi trigonometria pentru a determina
mărimea animalelor sălbatice de la distanță.
Trigonometrie în inginerie marină:
În inginerie marină, trigonometria este utilizată pentru construirea și navigare a navelor marine.
Pentru a fi mai specifică trigonometria este utilizată pentru proiectarea rampei marine, care este o
suprafață înclinată pentru conectarea zonelor de nivel inferior și superior, poate fi o pantă sau
chiar o scară în funcție de aplicarea s a.
Alte utilizări ale trigonometriei:
Se folosește în oceanografie pentru calcularea înălțimii valurilor din oceane. Funcțiile sinusși
cosinus sunt fundamentale pentru teoria funcțiilor periodice, cele care descriu undele de sunet și
lumină.
Trigonometria poate fi folosită pentru acoperișul unei case, pentru a face acoperișul înclinat (în
cazul bungalourilor individuale) și înălțimea acoperișului în clădiri etc.Este utilizată pentru
industria navală și a aviației. Este utilizată în cartografie (crearea hă rților). De asemenea,
trigonometria are aplicațiile sale în sistemele prin satelit.
a) Problemă. Un observator măsoară un unghi vertical α la orizontul mării, dintr -un punct
A, de pe acoperișul unui bloc situat pe țărm.Cunoscând raza R a Pământului, să se cal culeze
înălțimea blocului.
 Notăm înălțimea blocului AB cu x, unghiul vertical CAO cu α și complementul său cu β.
 Avem R=OA·cosβ= (R+x)·cosβ . De aici rezultă x=
și deci x=

.

Fig. IV.1 1

b) Problemă . Să se calculeze înălțimea unei statui așezată pe un piedestal situat într -un loc
inaccesibil.

77
 Fie o bază AB care se poate măsura, situată în plan orizontal și în același plan vertical cu
statuia.
 Se măsoară din A unghiurile verticale ale punctel or D și E și din B unghiul vertical al
punctului E.
 Observăm că AEB= CAE – CBE, deci AE= ̂
̂.
 Dar DAE= EAC – DAC, deci DE= ̂
̂.

Fig. IV.12
c) Problemă. Cunoscând trei puncte pe un teren, A, B, C, se cere să se găsească poziția
unui al patrulea punct M, din care se văd segmentele AB și BC sub unghiurile α și β. (Problema
hărții)
 Poziția punctului M este dată de intersecția arcelor cercurilor descrise pe AB și BC.
Proble ma este nedeterminată dacă M aparține cercului circumscris triunghiului ABC.
 Considerăm unghiurile MAB=x și MCB=y. Avem x+y+α+β +B= 360o, deci
x+y=360o- α – β – B.
 Măsurăm AB=a, BC=b și ABC=B.
 În ∆ABM și în ∆BCM avem M
și M
de unde

.
 Notăm
tg .
 Avem
tg , deci

, de unde
tg
tg
·tg .
 Cum
0
, deci tg
tg
.
 Obținem astfel tg

.
 Din relațiile de mai sus putem calcula x și y. Deci construind dreptele AM și CM, găsim
punctul M rezultat din intersecția lor.

78

Fig. IV.1 3

IV.7 Triangula ția
În redactarea acestui capitol am urmărit îndeaproape lucr area [28].
În trecut, a fost dificil să se măsoare cu exactitate distanțe foarte lungi, dar a fost posibil
să se măsoare cu exactitate unghiurile dintre puncte aflate la mulți kilometri distanță. Aceasta ar
putea fi oriunde de la câțiva kilometri, la 50 de kilometri sau mai mult. Triangulația este o
metodă de sondare care măsoară unghiurile dintr -un triunghi format din trei puncte de control al
sondajului. Folosind trigonometria și lungimea măsurată dintr -o singură parte, se calculează
celelalte distanțe din triunghi. Forma triunghiurilor este importantă, deoarece există o mulțime de
inexactități într -un triunghi, dar ideal este unul cu unghiuri de bază de aproximativ 45 de grade.
Fiecare dintre distanțele calculate este apoi utilizată ca o parte într -un alt triunghi pentru a
calcula distanțele până la un alt punct, care la rândul său poate porni un alt triunghi. Acest lucru
se face de câte ori este necesar pentru a forma un lanț de triunghiuri care leagă punctul de origine
la controlul sondajului în locul necesar. Unghiurile și distanțele sunt apoi utilizate cu poziția
inițială cunoscută și formulele complexe, pentru a calcul a poziția (Latitudine și Longitudine) din
toate celelalte punc te din rețeaua de triangulație. Deși calculele utilizate sunt similare cu
trigonometria predată în liceu, deoarece distanța dintre punctele de sondaj este în general lungă
(de obicei aproximativ 30 de kilometri), calculele permit, de asemenea, determinarea curburii
Pământului. Distanța măsurată în primul triunghi este cunoscută sub numele de „Linia de bază” și
este singura distanță măsurată; toate celelalte sunt calculate din aceasta și unghiuri le măsurate.
Înainte de anii '50, această distanță inițială de bază trebuia să fie foarte atent măsurată cu lungimi
succesive de tije a căror lungime era cunoscută cu exactitate. Aceasta a însemnat că distanța ar fi
relativ scurtă (poate un kilometru sau c am așa ceva) și că ar fi într -o zonă destul de plană, cum ar
fi o vale sau o câmpie. Triunghiurile măsurate din aceasta au crescut treptat ca mărime.
Unghiurile din triunghiuri sunt măsurate folosind un teodolit, care este un instrument cu un
telescop cone ctat la două cercuri rotative (unul orizontal și unul vertical) pentru a măsura
unghiurile orizontale și verticale. Un teodolit de bună calitate utilizat pentru sondajele geodezice
ar fi gradat la 0,1 secunde dintr -un arc, iar un unghi rezultat din măsurăt ori repetate ar avea de

79
obicei o precizie de aproximativ 1 secundă de arc, ceea ce este echivalent cu aproximativ 5 cm pe
o distanță de 10 kilometri. În triangulație nu sunt necesare unghiurile verticale, dar pot fi utilizate
pentru a măsura diferența de î nălțime între puncte.
Sondajul triunghiular a fost introdus pentru prima dată de un bărbat olandez pe nume Sneli.
Triangulație de supraveghere
Triangula ția este preferată pentru dealuri și zone ondulate, deoarece este ușor să stabiliți
stații la distanțe r ezonabile între ele. În zonele plane și aglomerate, acesta nu este potrivit
deoarece intervisibilitatea stațiilor este afectată. Dificultatea este depășită prin construirea
turnurilor, care este destul de costisitoare.
Principalul dezavantaj al triangulări i este acumularea de eroare în lungimi și direcție a
liniilor, deoarece ambele, pentru linii succesive, depind de calculele pentru cele ale liniei
precedente, ceea ce necesită bazele de verificare.
Operațiuni în triangulație :
Munca de teren a unei triang ulații se realizează în următoarele operații bine definite:
recunoaștere, pregătirea stației , măsurarea de bază, măsurarea unghiurilor. Pe lângă munca de
teren, triangula ția constă în specificații, proiectarea stațiilor și semnalelor și reducerea și ajusta rea
observațiilor.
Aplicații ale supravegherii triunghiului :
 Stabilirea punctelor de control localizate cu precizie pentru sondajele geografice și plane
ale suprafețelor mari.
 Stabilirea punctelor de control amplasate cu exactitate în legătură cu cercetar ea aeriană.
 Amplasarea exactă a proiectelor de inginerie, cum ar fi liniile de centru, punctele
terminale și arbori pentru tuneluri lungi, și liniile de centru și butoanele pentru poduri cu distanță
lungă.

80

Un sistem format din stații de triangulație conectate de un lanț de triunghiuri.
IV. 8 Aplicații practice ale geometriei prin mijloace digitale

Termenii și conceptele noi sunt mai ușor de înțeles prin mijloace digitale decât cu tabla clasică și
creta. Profesorii au înțeles că există o schimbare structurală a mentalității generațiilor, că rolul lor
va deveni în curând cel al unui coach și că predarea unidirecțională nu mai este interesantă pentru
generațiile care au acces la minunile moderne ale digitalului. Folosirea instrumentelor digitale
repre zintă o metodă eficientă de combatere a absenteismului și a abandonului școlar, în cazul
copiilor cu rezultate slabe la învățătură. În cazul elevilor cu rezultate medii și bune la învățătură,
aceste metode sunt folosite și apreciate pentru că oferă feedbac k imediat, îi motivează să se
autodepășească și să se dezvolte la nivel personal.
Avantaje ale utilizării aplicațiilor digitale și resurselor educaționale digitale în procesul
instructiv -educativ:
▪ Oferă elevilor un instrument modern și atractiv de exers are a noțiunilor teoretice și de formare a
competențelor specifice
▪ Elevii pot colabora, pot învăța împreună sau pot concura unii cu alții
▪ Fiecare elev poate lucra în ritm propriu, fiind esențial progresul fiecăruia raportat la nivelul
inițial
▪ Crește interesul elevilor pentru studiul prin integrarea educației digitale în demersul didactic
▪ Elevii se pot autoevalua, putând vizualiza la final soluția corectă pentru fiecare întrebare la care
au răspuns eronat
▪ Îmbină metodele didactice tradiționale cu cele moderne

81
▪ Stimulează capacitățile de învățare
▪ Crește motivația elevilor
▪ Instalează un climat de autodepășire, competitivitate
▪ Întreține un nivel ridicat al atenției
▪ Stimulează gândirea logică ș i imaginația
▪ Asigură un feedback rapid
▪ Corectarea greșelilor se face rapid
▪ Stabilirea unor măsuri de remediere bazate pe feedback -ul primit
▪ Utilizare aplicaților de către elevi se poate face utilizând diferite dispozitive IT (tabletă, telefon
mobil, PC)
În predarea matematicii folosind resursele digitale se pot folosi aplicații descărcate pe
dispozitivele IT dar și aplicații disponibile online, pe diverse site -uri de sprecialitate.

Iată câteva site -uri în care se pot accesa aplicații utile pr edării geometriei:
 https://phet.colorado.edu/sims/vector -addition/vector -addition_en.html
Fondat în 2002 de către laureatul Nobel Carl Wieman, PhET Interactive Simulations este un
proiect al Universității Colorado ce oferă simulări și experimete interactive de matematică și alte
științe. Aplicațiile PhET se bazează pe cercetări riguroase și conduc elevii către o învățare prin
explorare și descoperire.

82

https://www.geogebra.org/m/jfp2XqFw

Simulator pentru adunarea și descompunerea vectorilor.

Simulator – metoda celor mai mici pătrate

83

Simultor – calculul și reprezentare grafică a funcțiilor trigonometrice
 https://www.geogebra.org/
GeoGebra este un software matematic dinamic pentru toate nivelurile de educație care combină
geometria, algebra, foile de calcul, graficele, statistic a și analiza într -un singur pachet ușor de
utilizat. GeoGebra este o comunitate rapid crescătoare de milioane de utilizatori situați în mai
toate țările lumii. GeoGebra a devenit furnizorul principal de software matematic dinamic,
ajutând educția de științ e, tehnologie, inginerie și matematică (STEM) și inovația în domeniul
educației în lumea întreagă.

84
Exemplu de construcție folosită în capitolul ”Asemănarea triunghiurilor”

 https://www.mathwarehouse.com/
Este un site dedicat lecțiilor dinamice de matematică, incluzând demonstrații și activități
interactive.

Joc interactiv de calcul pentru unghiul exterior unui triunghi

 https://www.mathplayground.com/TransformationWorkshop/index.html
Acest site educațional este destinat elevilor claselor 1 -6 și include spații de lucru matematice, în
predarea geometriei putând fi folosită tabla geometrică de lucru”geoboard”

85
Construcția simetricelor pe tabla geometrică
Utilizarea resurselor digitale reprezintă o sursă inepuizabilă de materiale didactice, antrenând
capacitatea de concentrare a elevilor și percepția practică a noțiunilor geometrice studiate. Noile
tendințe în educație aduc în prim -plan digitalizarea procesului educativ folosită ca metodă de
apropiere a elevului de matematică, de transpunere a noțiunilor teoretice în practică, da r și de
înlocuire a aplicațiilor practice realizate în trecut pe teren cu simulări virtuale.

86
Bibliografie
1. Bogdanov Z., Călugărița GH., Opreanu E., Sandu M., Metodica predării geometriei,
Editura Didactică și Pedagogică, București, 1965.
2. Brânzei D., Brânzei R., Metodica predării matematicii , Editura Paralela 45, Pitești, 2000.
3. Coța A., Rado M., Răduțiu M., Vornicescu F., Matematică – Geometrie și trigonometrie –
Manual pentru clasa a IX -a, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1997.
4. Ganga M., Matematică – Manual pentru clasa a IX -a, Editura MathPress, Ploiești, 2004.
5. Ganga M., Matematică – Manual pentru clasa a X -a , Editura MathPress, Ploiești, 2001.
6. Ianuș S., Soare N., Niculescu L., Tena M., Probleme de geometrie și trigonometr ie pentru
clasele IX – X, Editura didactică și pedagogică, București, 1983.
7. Ion V., Enache M., Spiță A., Geometrie plană pentru gimnaziu, Editura Univers -Mat,
Brăila, 1994.
8. Iurea Gh., Luchian D., Popa G., Zanoschi A., Matematică – Evaluarea Națională pentru
absolvenții clasei a VIII -a, Editura Paralela 45, Pitești, 2017.
9. Iurea Gh., Zanoschi A., Matematică – Algebră, Geometrie: clas a VII -a, Editura Paralela
45, Pitești, 2016.
10. Lupu C., Săvulescu D., Metodica predării geometriei, Editura Paralela 45, Pi tești, 2000.
11. Negrilă A., Negrilă M., Matematică: Algebră, Geometrie: clasa a VII -a, Editura Paralela
45, Pitești, 2014.
12. Nicolae S., Chilom I., Sas M., Matematică – exerciții și probleme pentru clasa a VII -a,
Editura Booklet, București, 2017.
13. Nicolescu L., Boskoff V., Probleme practice de geometrie, Editura Tehnică București,
1990.
14. Peligrad S., Țurcanu A., Popa Ș., Teste de evaluare standard – clasa a VII -a, Editura
Paralela 45, Pitești, 2014.
15. Perianu M., Stănică C., Balica I., Matematică pentru Evaluarea Națională, Editura Art
Educațional, București, 2017.
16. Pervain I., Baicu V., Matematică, jurnal de vacanță – clasa a VI -a, Editura Delfin,
București, 2013.
17. Petrică I., Ștefan C., Matematică – probleme pentru clasele V -VIII, Editura Petrion,
Bucure ști, 1995
18. Radu D., Radu E., Matematică, manual pentru clasa a VII -a, Editura Teora, București,
2011.
19. Săvulescu D., Sinteze teoretice pentru pregătirea Evaluării Naționale, Editura Art,
București, 2016.
20. Simionescu D. GH., Geometrie analitică, Manual pentr u clasa a XI -a , Editura Didactică
și Pedagogică, București, 1970
21. Stoka M., Raianu M., Mărgăritescu E., Culegere de probleme de trigonometrie pentru
licee, Editura didactică și pedagogică, București, 1975.
22. Teodorescu N., Societatea de Științe Matematice d in România, Gazeta matematică, nr. 1 –
5, București, 1985.
23. Tudor I., Matematică – algebră, geometrie – Modalități de lucru diferențiate, clasa a VII -a,
Editura Paralela 45, Pitești, 2017.
24. Țițeica G, Culegere de probleme de geometrie, Editura Tehnică, Bucureșt i, 1965.

87
25. Udriște C., Tomuleanu V., Geometrie analitică, manual pentru clasa a XI -a, Editura
Didactică și Pedagogică, București, 1995.
26. Zanoschi A., Iurea Gh., Popa G., Răducanu P., Șerdean I., Matematică – Teste pentru
Bacalaureat, Editura Paralela 45, Piteș ti, 2016.
27. http://ro.math.wikia.com/wiki/Axiomele_geometriei
28. https://www.embibe.com/exams/real -life-applic ations -of-trigonometry/
29. https://www.icsm.gov.au/education/fundamentals -mapping/surveying –
mapping/surveying -methods
30. https://medium.com/@SwunMath/geometry -in-everyday -life-architecture -458501acada7
31. https://studiousguy.com/10 -real-life-examples -of-triangle/
32. https://www.digitaliada.ro/materiale -digitaliada

88

Index de notații
Notăm cu:
1. [AB] segmentul închis determinat de punctele A,B
2. (PQ) segmentul deschis determinat de punctele P,Q
3. (AB semidreapta cu originea în punctul A
4. [ABC] suprafața triunghiulară
5. H ortocentrul triunghiului
6. G centrul de greutate al triunghiului
7. O centrul cercului circumscris triunghiului
8. I centrul cercului înscris triunghiului
9. ⃗⃗⃗⃗⃗ vector legat
10. | ⃗⃗⃗⃗⃗ | lungimea vectorului ⃗⃗⃗⃗⃗
11. ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ segmente orientate echipolente
12. ̅̅̅̅ vectorul liber
13. 0̅ vectorul nul
14. φ [ 0, π ] unghiul dintre ̅ și ̅.
15. ̅x ̅ produsul scalar al vectorilor ̅ și ̅
16. A(x A, yA) punctul de coordonate x A si y A
17. mAB panta dreptei AB
18. d(M,d) distanța de la punctul M la dreapta d
19. A aria triunghiului
20. P semiperimetrul triunghiului
21. a latura (BC) a triunghiului ABC
22. b latura (AC) a triunghiului ABC
23. c latura (AB) a triunghiului ABC

89
Index de noțiuni
A
– asemănare
– axiomă
– aplicație digitală
B
– bisectoare
C
– cazuri de asemănare
– catetă
– centru de greutate
– centrul cercului circumscris triunghiului
– centrul cercului înscris triunghiului
– cerc circumscris triunghiului
– cerc înscris triunghiului
– Cercul lui Euler
– Ceva
– ceviene
– coliniar
– concluzie
– concurente
– congruență
– contrapoziție
D
– demonstrație
– descoperirea didactică
– dreaptă
– dreapta Lemoine
– drepte concurente
– drepte paralele
– drepte perpendiculare
E
– echipolent
– echivalență
– exercițiul didactic
G
– geometrie
– GeoGebra

90
I
– implicație
– interiorul unui triunghi
– intersecție
– ipoteză
– ipotenuză
Î
– înălțime
J
– jalon
L
– laturile triunghiului
– linie mijlocie
– linie poligonală
– linie poligonală închisă
M
– mediană
– mediatoare
– medie proporțională
– metoda analitică
– metoda analizei
– metoda reducerii la absurd
– metoda sintezei
– metoda vectorială
– metode de rezolvare
– minim
– maxim
– mulțime
– mulțime convexă
– mulțime vidă
O
– observația didactică
– ortocentru
– ortopolul dreptei față de triunghi
P
– panta dreptei
– paralel

91
– paralelogram
– perpendicular
– piciorul înălțimii
– plan
– poligon convex
– prima bisectoare
– produs scalar
– produs vectorial
– proiec ție ortogonală
– punct
– puncte coliniare
Q
– Quizizz
R
– raport de asemănare
– relații metrice
– Relația lui Stewart
S
– segment
– segmente proporționale
– simulator
– suprafață triunghiulară
T
– teoremă
– Teorema lui Carnot
– Teorema lui Ceva
– Teorema lui Gergonne
– Teoreema lui Heron
– Teorema lui Menelaus
– Teorema lui Thales – pag. 16
– Triangulația
– trigonometrie
– triunghi ascuțitunghic
– triunghi dreptunghic
– triunghi echilateral
– triunghi isoscel
– triunghi oarecare(scalen)
– triunghi obtuzunghic
V
– vârful liniei poligonale

92
– vârfurile triunghiului
– vector