Procedee de Reducere a Dispersiei la Fibrele Optice

Procedee de reducere a dispersiei la fibrele optice

Cuprins

Cuprins

Lista figurilor

Listă de acronime

Introducere

1. Fibra optică

1.1. Comunicații prin fibra optică

1.2. Dispersia în fibrele optice

1.3. Medii dispersive

1.4. Întârzierea și dispersia introduse de un sistem analogic, liniar și invariant în timp

1.5. Întârzierea și dispersia introduse de un sistem analogic, liniar și invariant în timp la aplicarea unor sisteme modulate

1.6. Dispersia intermodală

1.7. Dispersia intramodală sau cromatică

1.8. Dispersia de polarizare

2. Sisteme cu solitoni

2.1. Ecuația de propagare

2.2. Efectele neliniarității asupra propagării

2.3. Solitonii, ca soluție a ecuației neliniare de propagare

2.4. Solitonul luminos

2.5. Solitonul întunecat

2.6. Soliton de ordin superior

2.7. Pierderile în fibra optică

2.7.1. Amplificarea concentrată

2.7.2. Amplificarea distribuită

2.8. Solitoni cu dispersie controlată

2.9. Interacțiunea solitonilor

3. Rezultate ale simulărilor în MatLab

3.1. Solitonul fundamental

3.2. Solitonul de ordin doi

3.3. Solitonul întunecat

3.4. Interacțiunea dintre doi solitoni

Concluzii

Bibliografie

Anexe 71

Anexa 1: Solitonul fundamental

Anexa 2: Solitonul fundamental 3D

Anexa 3: Solitonul de ordin doi,

Anexa 4: Solitonul întunecat- Intensitatea solitonului

Anexa 6 Solitonul întunecat

Anexa 7 Interacțiunea dintre doi solitoni

Lista figurilor

Figura 1.1 Legatura optică 13

Figura 1.2 Lațirea pulsului la transmisia afectată de fenomenul de dispersie 15

Figura 1.3 Dispersia de mod 19

Figura 1.4 Indice de refracție pentru cuarț topit 24

Figura 1.5 Dispersia de material 25

Figura 1.6 Variațiile coeficienților pentru o fibră monomod standard 32

Figura 1.7 Variațiile coeficienților D, pentru o fibră cu dispersie nula deplasată 32

Figura 1.8 Variațiile coeficienților D, pentru o fibră cu dispersie aplatizată 33

Figura 1.9 Dispersia de polarizare 33

Figura 1.10 Direcții de polarizare 34

Figura 2.1 Forma impulsului soliton reprezentată ca putere optică, , în funcție de timpul normalizat, 41

Figura 3.1 Solitonul fundamenta pentru ξ =0 51

Figura 3.2 Solitonul fundamental pentru ξ=10 51

Figura 3.3 Solitonul fundamenta 3D 52

Figura 3.4 Solitonul de ordin doi pentru ξ=0 52

Figura 3.5 Solitonul de ordin doi 3D 53

Figura 3.6 Solitonul de ordin doi, frame=256, caz 1 53

Figura 3.7 Solitonul de ordin doi, frame=256,caz 2 54

Figura 3.8 Solitonul de ordin doi, frame=256, caz 3 54

Figura 3.9 Solitonul de ordin doi, frame=256, caz 4 54

Figura 3.10. Solitonul de ordin doi, frame=256, caz 5 55

Figura 3.11. Solitonul de ordin doi, frame=128 , caz 1 55

Figura 3.12. Solitonul de ordin doi, frame=128 , caz 2 55

Figure 3.13Solitonul de ordin doi, frame=128 , caz 3 56

Figura 3.14. Solitonul de ordin doi, frame=128 , caz 4 56

Figura 3.15. Intensitatea solitonului întunecat pentru B=[0.2, 0.6, 0.9] 57

Figura 3.16. Intensitatea solitonului întunecat pentru B=[0.5, 0.8, 1] 57

Figura 3.17. Faza solitonului întunecat pentru B=[0.2, 0.6, 0.9] 58

Figura 3.18. Intensitatea solitonului întunecat pentru B=[0.5, 0.8, 1] 58

Figura 3.19. Intensitatea solitonului întunecat pentru B=1 și η =1 59

Figura 3.20. interacțiunea dintre doi solitoni pentru θ=0, r=1 59

Figura 3.21. Interacțiunea dintre doi solitoni pentru θ=, r=1 60

Figura 3.22. Interacțiunea dintre doi solitoni pentru θ=, r=1 60

Figura 3.23. Interacțiunea dintre doi solitoni pentru θ=0, r=1.1 61

Listă de acronime

Introducere

Telecomunicațiile reprezintă un domeniu în continuă dezvoltare în care capacitatea de transmisie optică al unui mediu dielectric, în special fibra optică, este valorificat în continuu pentru a rezolva susținerea unui trafic tot mai dinamic și menținerea costurilor totale între limitele acceptabile economic.

Fibra optică este o fibră de sticlă sau plastic care transportă lumina de-a lungul său. Fibrele optice sunt folosite tot mai des în domeniul telecomunicațiilor, unde permit transmisii pe distanțe mai mari decât alte medii de transmisiune. Prin mijlocul fibrei optice lumina este dirijată cu ajutorul reflexiei interne totale, iar acest lucru face fibra să se comporte ca un ghid de undă.

Fibra optică afectează semnalele optice transmise prin ea, dar acest lucru este valabil pentru orice material prin care este transmis un semnal de orice fel. Aceste efecte degradează semnalele, iar dacă sunt suficient de mari pot împiedica receptionarea semnalelor. În fibra optică cele trei procese care afectează semnalele sunt: atenuarea, dispersia și diafonia.

În mediile liniare, lărgirea impulsului luminos, în decursul propagării pe fibra optică, nu este complet eliminată, ci doar limitată. În schimb, în cazul mediilor neliniare este posibilă propagarea unor impulsuri a căror formă să nu se modifice.

Acest tip de unde au fost numite solitoni, deoarece în mediile dispersive neliniare, anvelopele impulsurilor au proprietăți similare cu ale particulelor, propagându-se fără distorsiuni, dar putând suferi coliziuni, ca și particulele. Apariția solitonilor este o consecintă a compensării dispersiei cromatice datorită variației neliniare a indicelui de refracție al mediului.

Am ales această temă ca o curiozitate în ceea ce privește domeniu prelucrării câmpului electromagnetic și transportul semnalului electromagnetic prin fibra optică în tehnologii electronice din comunicații de bandă largă și mare viteză.

Acest proiect își propune analiza propagării undei eletromagnetice în mediul dielectric al fibrei optice în condiții de dispersie. Se va analiza teoretic diferitele cauze care conduc la apariția dispersiei( dispersia intermodală, dispersia cromatică și dispersia de polarizare). Se va studia, de asemenea, teoretic sistemele cu solitoni, rezultate ca o consecintă a dispersiei, modele ce vor implementate prin simulare.

Fibra optică

Comunicații prin fibra optică

O fibră optică este constituită dintr-un miez cilindric din sticlă sau material plastic, acoperită de un înveliș dintr-un material asemănător cu cel al miezului, dar cu un indice de refracție mult mai mic decât al acestuia. Rolul învelișului este acela de a menține lumina care se propagă prin fibră în interiorul miezului, iar în lipsa acestuia, mediul ambiant (aerul) poate avea același rol.

Sistemele prin fibră optică utilizează radiația electromagnetică ca vector suport pentru transmiterea informației

Sistemele care utilizează fibrele optice în comparație cu cele care utilizează cablurile metalice au următoarele avantaje:[1][9]

Atenuare mică, acest lucru permițând mărirea distantei dintre receptoare;

Imunitate la perturbațiile electromagnetice, inclusiv față de pulsul electromagnetic nuclear;

Nu este sursă de radiație electromagnetică;

Fibra optică are izolare galvanică, ea putând fi plasată în apropierea liniilor de înaltă tensiune sau în zone cu potențiale diferite de pământ;

Capacitate mare de transport;

Puterea optică necesară transmiterii unui volum de informație este mult mai mică;

Diafonia este nulă asta însemnând o insensibilitate la perturbațiile electromagnetice la frecvențe joase;

Fibrele optice au o bandă de trecere foarte mare deoarece se lucrează la frecvențe ridicate, lucru care permite trecerea unei cantități de informație mult mai ridicată;

Pierderi mici de transmisie, sub 0.3 dB/km;

Nu produce descărcări electrice;

Inerție termică mică;

Fibra optică ocupă un spațiu extrem de mic și poate fi dispusă într-o varietate de locuri, prin urmare ea are o masă proprie mică;

Siguranță în mediile explozive;

Capacitate mare de împachetare;

Metodele de producție a cablurilor optice si faptul că se reduce numărul de stații repetoare, se asigură legături la costuri reduse;

Securitatea fizică a rețelei este crescută prin dificultatea de a insera în linia optică dispozitive de ascultare neautorizate.

Proprietățile enumerate mai sus produc efecte directe asupra costurilor globale de utilizare a fibrei optice în rețelele de comunicații. Prin urmare, pierderile mici ale semnalelor optice economisesc amplificatoare și repetoare de linii, iar costurile surselor și receptoarelor optice sunt sub cele ale circuitelor electrice utilizate în transmisia pe cupru. Fibra optică a fost introdusă în aplicații precum transmisia imaginilor în locuri greu accesibile, iluminat, electro-alimentare din radiația optică sau în domenii ca medicina, din cauza scăderii pierderilor de transmisie a puterii optice, dar și îmbunătățirea parametrilor mecanici.[1]

O altă cerință fundamentală pentru fibra optică o constituie conservarea caracteristicilor de transmisie, atât pe durata stocării cât și în exploatare. Rezistența la defectare a fibrei optice determină fiabilitatea sistemului de comunicații și cauza cea mai probabilă de defectare a sistemului este defectarea cablului optic. Cauzele interne ce produc defectarea fibrei optice sunt puține, dar riscul economic este mare, deoarece repararea sau înlocuirea fibrei sunt operațiuni foarte costisitoare.[1]

O legătură optică este alcătuită din trei părți principale( cum se poate observa în desen) și anume:

IOE- interfața optică, care cuprinde traductorul prin intermediul căruia se realizează conversia din semnal electric în semnal optic și circuitele care realizează modularea si amplificarea;

FO- fibra optică;

IOR- interfața optică de recepție care cuprinde un traductor care realizează conversia din semnal optic în semnal electric( invers decât IOE) și un amplificator cu rolul de a compensa atenuarea introdusă de fibră.

Vom insera mai multe repetoare( R) dacă legătura este foarte lungă și dacă atenuarea devine prea mare, repetoare care pot fi alcătuite dintr-o IOR, urmată de un amplificator pentru semnalul electric și de o IOE ( vom avea o dublă tranziție, aceea de la semnalul optic la cel electric si de la semnalul electric la semnalul optic).

Performanțele sistemelor cu fibre optice sunt caracterizate de parametrii, cum ar fi, capacitatea de transmisie a informației și distanța maximă dintre două repetoare, parametri ce sunt în strânsă legătura unul cu celălalt.

Important de știut este faptul că fibra optică este un mediu de transmisiune dispersiv ( indicele de refracție depinde de lungimea de undă), fapt ce conduce la mărirea duratei impulsului optic în timpul propagării pe fibră și la apariția de distorsiuni de fază ale semnalelor analogice. Fibra optică poate fi caracterizată prin produsul dintre lărgimea benzii de frecvență și lungimea sa, acest produs are valori care pot fi sub 10Mhz ∙ km sau pot depăși 100 Ghz ∙ km.

Există două tipuri principale de fibre optice și anume: fibre cu salt de indice de refracție și fibre cu variație gradată a indicelui de refracție.

Miezul fibrelor cu salt de indice de refracție este alcătuit dintr-un material omogen și izotrop, având un indice de refracție constant . Învelișul este alcătuit dintr-un material de asemenea izotrop și omogen, cu indicele de refracție constant , unde <

Indicele de refracție al miezului la fibrele cu indice de refracție gradat este variabil după o lege de simetrie radială. Mărimea indicelui de refracție din miez poate de multe ori să scadă lent pornind din axul fibrei, unde înregistrează o valoare maximă, până la granița cu învelișul, ajungând la valoarea indicelui de refracție al învelișului. În practică se pot utiliza și alte legi de variație a indicelui de refracție.

Dispersia în fibrele optice

Principalele degradări ale semnalului optic care se propagă prin fibra optică se datoresc atenuării și dispersiei. Un puls optic transmis prin fibra optică este atenuat, întârziat și distorsionat.

La propagarea de-a lungul fibrei optice întârzierea constantă a tuturor impulsurilor nu este supărătoare dacă se află în limite rezonabile si pentru asigurarea recuperării informației este posibilă sincronizarea cu emițătorul. Atenuarea fixează o limită a lungimii fibrei între emisie și recepție sau între repetoarele sistemului. Introducerea unor amplificări în repetoare ajută la compensarea atenuării și cu cât acestea sunt mai apropiate cu atât atenuarea introdusă de fibra optică pe unitatea de lungime este mai mare.[2]

Distorsiunea se referă la creșterea duratei impulsului la recepție în raport cu durata de la emisie, astfel aceste pulsuri se pot suprapune parțial sau total, putând deveni astfel inseparabile, iar informația transmisă să fie alterată sau chiar pierdută. Pentru comunicațiile la distanță trebuie introduse repetoare, deoarece mărirea duratei impulsurilor este proporțională cu lungimea fibrei optice. Aceste receptoare recepționează semnalul optic și îl regenerează pentru a fi trimis mai departe.[2]

În telecomunicații fibra nu este foarte prețuită din cauza atenuării mici (firul din cupru poate transmite semnale electrice la atenuări rezonabil de mici, dar la viteze mult mai mici). Fibra este atractivă pentru că realizează un compromis între pierderi și lărgimea de bandă pentru a permite informației să călătorească la viteze mari pe distanțe lungi și prin urmare sistemul rezultat este un sistem de bandă largă.

Cele mai multe forme de dispersie sunt uniforme, producând o anume lățire a duratei pulsurilor pe măsura propagării. După parcurgerea unei anumite distanțe, dispersia va limita viteza de transmisie a informației. .[1]

Prin urmare, atenuarea și distorsionarea impun limitări ale performanțelor sistemelor ce funcționează pe fibra optică, iar lărgirea unui impuls este determinată de dispersia fibrei optice dar si de caracteristicile spectrale ale sursei optice.

În momentul propagării pulsului de lumina prin cablurile de fibră optică va avea întotdeauna definită o anumita viteză de propagare, însă, fiecare componentă se propagă prin fibră cu viteze diferite între ele, deci timpi diferiți de propagare dintr-o locație în alta, vor conduce la deformarea (lățirea) pulsului în timp conducând la interferența intersimbol, creșterea ratei de eroare pe bit al sistemului optic deci va afecta astfel calitatea transmisei și serviciului oferit. Acest fenomen se numește dispersie și are diferite cauze de apariție. Cu cât distanțele sunt mai mari cu atât fenomenul este mai important. Dispersia se măsoară în ps / nm/ km reprezentând timpul de întârziere diferențial (în ps ) pentru o sursă cu un spectru de 1nm parcurgând 1km de fibra optica. [5]

Figura 1.2Lațirea pulsului la transmisia afectată de fenomenul de dispersie [5]

Dispersia este responsabilă cu lărgirea impulsurilor prin propagare. La recepție pot apărea suprapuneri ale formelor de undă succesive dacă distanța pe care se propagă impulsurile este mare.

Intensităților de câmp electric și magnetic dintr-un ghid uniform fără pierderi, în regim permanent sinusoidal, le corespund fazori în complex nesimplificat, având forma:[10]

unde și sunt coodonatele din secțiunea transversală a ghidului (x, y pentru ghidul dielectric planar sau r și pentru ghidul dielectric circular), z este coordonata longitudinală, iar t este timpul. ) este fazorul în complex simplificat, având în secțiunea transversală, de ecuație z=0 expresia ) , iar constatantei de propagare îi corespunde constanta de defazare .[10]

Un sistem liniar analogic și invariant în timp, caracterizat de funcția de transfer Fourier H(), i se va aplica un semnal armonic de forma , având răspunsul .

Medii dispersive

Dispersia undei optice înseamnă creșterea duratei pulsului la trecerea printr-un mediu dispersiv. Pulsul optic caracterizat de o anumită întindere spectrală în vid, trece într-un anumit domeniu temporal la ieșirea din mediul dispersiv.[9]

Notând n ca fiind indicele de refracție al mediului, iar λ lungimea de undă, dispersia va fi caracterizată de mărimea .[9]

Un impuls care se propagă printr-un mediu dispersiv pe distanta L, se lărgește generând un alt puls caracterizat prin abaterea lărgimii spectrale [9]

unde abaterea lărgimii spectrale în domeniul lungimilor de undă este:

Dispersia într-un mediu poate fi caracterizată și prin coeficientul de dispersie al materialului definit prin: [9]

Coeficientul de dispersie adimensional al materialului este: [9]

iar între aceste mărimi există relațiile:

Cu ajutorul acestor mărimi putem exprima lărgimea benzii semnalului prin relația: [9]

Întârzierea și dispersia introduse de un sistem analogic, liniar și invariant în timp

Considerăm un sistem analogic, liniar și invariant în timp. Caracterizat de funcția pondere, h(t), funcție definită ca răspuns al sistemului la impulsul unitate (Dirac). Atunci când la intrare se aplică semnalul x(t), la ieșirea sistemului vom obține răspunsul y(t), obținut prin convoluția dintre semnal și funcția pondere:[1]

Dacă aplicăm transformata Fourier ecuației de mai sus și folosind teorema convoluției semnalelor în domeniul timp, vom obține : [1]

unde Y, X, H reprezintă transformatele Fourier ale răspunsului y(t), al semnalului x(t) și a funcției pondere h(t).

X se va scrie sub forma X= (, unde s-a notat prin ( și , modulul, respectiv argumentul transformatei Fourier X(t) : ( și =arg , care corespund spectrelor de amplitudine, respectiv, de fază ale semnalului.

Asemănător vom introduce pentru răspuns funcțiile( și =arg, iar pentru functia de transfer vom introduce A( și =arg. Cu aceste notații vom putea rescrie relația (1.9) sub forma:[1]

Pentru sisteme care oferă la ieșire răspunsuri reale, atunci când li se aplică la intrare semnale reale, cu condiția X= , răspunsul îndeplinind aceași conditie, Y= , va rezulta H= , ceea ce înseamna ca funcția pondere h(t) este reală.[1]

Dacă vom deriva în raport cu pulsația, relația (1.11), cu = 0 și ținând cont de relația și de expresia similară a centrului de greutate a răspunsului , vom obține , unde reprezintă cu cât este întârziat centru de greutate al răspunsului față de cel al semnalului. Pentru funcția pondere întârzierea introdusă de sistem poate fi exprimată sub forma [1]

Întârzierea de grup, introdusă de sistem este legată de derivata caracteristicii de fază a acestuia prin relația , va rezulta că întârzierea centrului de greutate al semnalului va fi chiar valoarea din origine a timpului de întârziere de grup, și anume

Această relație a fost obținută prin derivarea de două ori, în raport cu pulsația. Vom lua în considerare , împărțind cu și utilizând relația , va rezulta =, unde durata răspunsului se calculează asemănător cu cea a semnalului și anume , iar mărimea se va scrie , dar se poate exprima și printr-o relație de forma .[1]

Pentru cazul în care sistemul este alcătuit dintr-un număr de N subsisteme liniare și invariante în timp, montate în cascadă, vom obține relațiile:[1]

unde s-a notat timpul de întârziere și dispersia cu , respectiv cu pentru întreg sistemul, iar cu și pentru sistemul de ordin i, unde i.

Întârzierea și dispersia introduse de un sistem analogic, liniar și invariant în timp la aplicarea unor sisteme modulate

Semnalele modulate având ca purtătoare o oscilație armonică, de modulație , transmise în cazul sistemelor de comunicații mobile se pot scrie sub forma:[1]

unde f(t) și sunt funcții reale care corespund modulației liniare ( de amplitudine) , respectiv modulație exponențiale ( de fază și de frecvență).

În cea mai mare parte semnalul se scrie sub formă complexă [1]

unde am notat prin anvelopa complexă a semnalului, care prin modulul și argumentul său conține informații legate de semnalele modulate transmise prin modulație liniară și modulație complexă, deoarece: [1]

Dacă considerăm semnalul modulat, x(t), care se aplică la intrarea unui circuit liniar și invariant în timp, caracterizat de funcția pondere reală, h(t), atunci răspunsul y(t) al sistemului, obținut din relația (1.8) și înlocuind semnalul x(t) = Re {} va deveni :

y(t) = = Re {} = Re {}, unde este forma complexă a răspunsului și poate fi determinat ca răspuns al aceluiași sistem, atunci când la intrare i se aplică semnalul .[1]

Dacă vom nota (t) = vom obține (t). Această relație permite determinarea directăsemnalului modulator ce corespunde răspunsului, în funcție de semnalul modulator aplicat printr-o operație de convoluție în care funcția pondere h(t) a fost înlocuită cu o funcție pondere echivalentă de joasă frecvență h(t), numită astfel deoarece leagă între ele anvelopele complexe și (t), ale căror spectre se află într-un domeniu de frecvențe coborâte. Se notează funcția pondere echivalentă de joasă frecvență = h(t) și utilizând teorema deplasării spectrului rezultă și funcția de transfer Fourier echivalentă de joasă frecventă [1]

Dacă se va scrie (t) = g(t) ), unde g(t) și γ(t) sunt funcții reale și înlocuim succesiv și (t), atunci vom obține: [1]

formulă ce reprezintă răspunsul unui sistem liniar și invariant în timp.

Ținând cont de faptul că semnalele transmise pe fibrele optice sunt oscilații armonice modulate de o succesiune de impulsuri pozitive, impulsuri care corespund mesajelor transmise, întârzierea și mărimea duratei acestor impulsuri, vor putea fi evaluate calculând și :[1]

Cum rezultă din relația (1.9), pentru determinarea răspunsului prezintă interes, ca pentru funcția de transfer Fourier a sistemului H (ω), să considerăm doar domeniul de frecvențe în care se situează spectrul semnalului aplicat. În afara acestui domeniu de frecvențe, transformata Fourier a semnalului X(t) și a răspunsului Y(t) vor fi nule indiferent de transformata Fourier a sistemului.

Pentru semnalele de bandă îngustă, unde frecvența purtătoare, este mult mai mare decât frecvența maximă din spectru semnalului modulator, se poate scrie:[1]

Dispersia intermodală

Dispersia intermodală poate fi împărțită în:

Dispersia de mod;

Dispersia multimod;

Dispersia de mod poate fi explicată pe baza fenomenului de reflexie totală, care stă la baza propagării prin fibra optică, conform pentru diverse moduri, lumina poate fi transmisă pe diverse trasee. În cazul unei fibre multimod cu salt de indice de refracție, lumina transmisă în lungul axei miezului are un traseu mai scurt în comparație cu situația reflexiilor repetate în interiorul miezului fibrei pentru a ajunge la destinație. Viteza de propagare este aceeași în orice situație, rezultând o întârziere între diversele moduri de propagare. În cazul fibrelor optice cu profil gradat al miezului, transmisia se face tot multimod, dar lumina se va propaga la viteze diferite de la ax la suprafața de separație miez- înveliș, deoarece viteza de grup , într-un anumit mediu depinde de indicele de refracție de grup, cu , iar profilul indicelui este ales astfel încât viteza de grup să crească în raport cu distanța de la axul fibrei.[5]

Figura 1.3 Dispersia de mod [5]

Ca urmare, în acest caz, lumina care nu se propagă în lungul axului, va avea un traseu mai lung, dar se va propaga cu o viteză mai mare decât dacă s-ar propaga în lungul axului.

În concluzie, din punct de vedere al benzii de transmisie în cazuș fibrelor monomod, efectul dispersiei este minimizat sau chiar compensat și datorită acestui lucru, ele sunt mult mai eficiente în sistemele de transmisiuni pe fibra optică.[5]

Dispersia multimod apare doar în cazul fibrelor multimod și sunt caracterizate de viteze de propagare diferite. La intrarea și ieșirea fibrei optice unda va fi diferită deoarece este văzută ca o superpoziție, iar prin folosirea unui profil gradat de indice de refracție se va produce o reducere a acestui efect. Comparând astfel profilul gradat de indice de refracție cu profilul cu salt de indice de refracție se poate observa diferența între cele două tipuri de fibră și anume:[5]

– Profil gradat: 0.3 – 1.0 nm/km

– Salt de indice de refracție: 50 nm/km

Considerăm un impuls optic F(t), care modulează intensitatea unei purtătoare de frecvență , iar anvelopa complexă a semnalului aplicat sistemului liniar va fi :[5]

iar semnalul are forma complexă:

Considerăm N moduri diferite de propagare cărora le va corespunde o intensitate luminoasă de N ori mai mică decât intensitatea semnalului optic de la intrare, iar impulsul optic ce corespunde modului de propagare de ordin r, cu r={1,2 …. N}, va fi întârziat cu un interval de timp notat și utilizând relațiile și , va fi evaluat conformm relației de mai jos [10]

Impulsul optic rezultat ca însumarea impulsurilor corespunzătoare tuturor modurilor va avea forma:[10]

Vom alege originea timpului în momentul în care este situat centru de greutate, adică

vom utiliza relația rezultându-ne astfel:[10]

unde reprezintă durata impulsului de la intrare ce a fost calculată pe baza relațiilor , , și .[1]

Durata impulsului de la ieșire se poate scrie sub forma:[10]

iar momentul de timp corespunzător centrului de greutate al impulsului, va fi:[10]

unde

Dacă înlocuim relația (1.29) în relația de mai sus, vom obține:[10]

Vom face schimbarea de variabilă t la τ, prin substituția t- și ținând seama de relația , rezultă: [1]

Centru de greutate al impulsului de răspuns se calculează realizând aceeași substituție

t-, astfel se obține:

iar dacă vom ține cont și de relația atunci ne va rezulta :

Relația de mai sus ne arată faptul că poziția centrului de greutate al impulsului de ieșire este dată de media întârzierilor introduse pentru fiecare din cele N moduri de propagare.[10]

Unde ultimul termen din relația de mai sus reprezintă media pătratică a întârzierilor din cele N moduri de propagare.

La ieșirea din fibra optică, expresia pătratului duratei impulsului optic devine:[10]

unde

Obținându-se astfel expresia dispersiei intermodale :

Utilizând relația :[10]

unde :

și dacă evaluâm timpii de întârziere de grup la frecvența purtătoare, în cazul unui număr relativ mic de moduri de propagare, întârzierea devine :[10]

Expresia părții variabile în raport cu indicele r a întârzierii de grup este :

În acest caz expresia dispersiei intermodale devine :[10]

sau

Remarcăm faptul că dispersia intermodală depinde doar de caracteristicile ghidului de undă ideal, la care indicii de refracție nu depind de frecvență, deoarece, dacă aceștia ar depinde ar produce aceleași întârzieri, modificând astfel dispersia intermodală.

Pentru evaluarea timpilor de întârziere de grup în cazul ghidului dielectric circular, pentru un număr mare de moduri de propagare, se va utiliza relația :[10]

Rezultatele în acest caz a dispersiei intermodale vor fi destul de exacte, cu toate că timpii de întârziere de grup sunt evaluați aproximativ. Acest lucru se datorează faptului că avem un număr de moduri de propagare mare, iar valorile medii care intervin în relația de mai sus sunt calculate pentru un număr mare de elemente. Pentru calculul timpului de întârziere de grup, se va utiliza relația :[10]

unde am notat și . Dacă notăm cu:

și dezvoltăm în serie Taylor radicalul din relația (1.48) și avem în vedere că , atunci se obține relația din care vom păstra numai primii trei termini și astfel din relația:

ne rezultă:

unde am notat:

În situația l= , pentru un număr mare de moduri de propagare, vom putea scrie:[10]

iar dacă înlocuim expresia timpului de întârziere se va obține:

Vom introduce cele 2 relații scrise mai sus în relația (2.40), pentru un r=l și vom obține:

Relația de mai sus a fost obținută înlocuind pe ρ în relația (1.56). De asemenea putem remarca faptul că această relație este valabilă în cazul general al unui ghid dielectric circular cu indice de refracție gradat.[10]

Relația de mai sus exprimă expresia dispersiei intermodale a unui ghid dielectric circular cu salt de indice de refracție, relație ce a fost obținută prin trecerea la limită pentru g→∞ și pentru valori ale lui ; iar pentru un ghidaj slab cu Δ≪1, expresia dispersiei intermodale devine :[10]

Factorul din ecuația de mai sus semnifică faptul că dispersia intermodală corespunde unei valori medii. În cazul în care indicele de refracție al miezului nu ar varia cu frecvența, iar atunci am obține dispersia Δt= , dispersie ce reprezintă diferența între valorile extreme ale timpilor de întârziere.

În cazul ghidului dielectric circularecu indice de refracție gradat dispersia exprimată în relația (1.57) depinde de parametrul g, parametru ce caracterizează legea de variație a indicelui de refracție în miez. Pentru minimizarea dispersiei, în primă etapă, trebuie să reducem mărimea variației tipului de întârziere de grup () în raport cu parametru ξ, adică cu modul de propagare. Mai exact în aproximația de ghidaj slab se impune condiția și astfel ne va rezulta , iar dacă vom înlocui în relațiile (1.43’’) și vom obține pentru o valoare a lui expresia [10]

Dacă considerăm că atât indicele de variație din centrul miezului cât si cel din înveliș, adică n(0) și , vor avea aceeași variație cu frecvența, atunci ne va rezulta faptul că Δ este aproximativ constant cu frecvența și vom obține o valoare a lui g= pentru un δ≪1. Acest lucru corespunde unui profil parabolic de variație a indicelui de refracție în miez, obținându-se astfel pentru dispersia intermodală relația :[10]

Dispersia intermodală, în cazul unei fibre optice cu profil parabolic de variație a indicelui de refracție al miezului este de mai mică decât dispersia intermodală în cazul unei fibre optice cu salt de indice de refracție ( relația (1.59)) dacă considerăm că ambele fibre optice ar avea același indice de refracție din miez (n(0)) și același indice de refracție din înveliș ().

În a doua etapă pentru a minimiza dispersia intermodală se va porni direct de la relația (1.57) și din relațiile coeficienților, vom studia variația pătratului dispersie intermodale, ca finnd funcție de exponentul g, iar valoarea acestuia pentru o dispersie minimă fiind:[10]

În acest caz timpul de întârziere de grup va avea o dependență mai slabă în raport cu un anumit mod de propagare, adică cu parametru ξ. Astfel, timpii de propagare vor depinde de la un mod de propagare la altul, lucru ce ne va conduce la o dispersie intermodală mult mai mică.

Pentru cazul unui ghidaj slab și pentru indicii de refracție în miez (n(0)) și pentru cel din înveliș (), cu aceeași variație în raport cu frecvența, ne rezultă parametrul Δ aproximativ constant în raport cu frecvența, iar pentru δ ≪ 1 și după înlocuirea lui g =, vom obține pentru coeficienții expresiile :[10]

Înlocuind valorile coeficienților și ale exponentului g, nu va rezulta expresia dispersiei intermodale :

Se observă că în acest caz o reducere a dispersiei de 5 ori, în raport cu valoarea obținută la prima metodă de analiză.

În concluzie, se observă că fibrele optice cu profilul de variație a indicelui de refracție în miez, apropiat de profilul parabolic, au dispersii intermodale de sute de ori mai mici decât în cazul fibrelor cu salt de indice de refracție.

Dispersia intramodală sau cromatică

Dispersia intramodală:

o Dispersia datorată materialului

o Dispersia de ghid de undă

Dispersia datorată materialului se descrie pe baza indicelui de refracție în funcție de lungimea de undă. Viteza de grup depinde de indicele de refracție al materialului, , indice ce nu este constant pentru orice lungime de unda, rezultând astfel o dependență între viteza de grup, și lungimea de undă.[5]

Figura 1.4 Indice de refracție pentru cuarț topit[5]

Din figura de mai sus, în care avem reprezentată caracteristica pentru cuarțul topit, se poate observa un minim pentru , pentru această lungime de undă viteza de propagare a undelor electromagnetice este mai mare. Dacă folosim o sursă de lumină monocromatică (lumina se va transmite pe o singură lungime de undă) atunci nu vom avea dispersie de material. În schimb dacă sursa de lumină nu este perfect monocromatică atunci componentele pe diverse lungimi de undă vor avea indici de refracție diferiți iar vitezele de propagare vor fi diferite, lucru ce va duce la o lățire a pulsului la recepție și prin urmare la apariția fenomenului de dispersie.[5]

Dispersia de material este definită de relația , observându-se astfel dependența de derivata de ordinul întâi a indicelui de refracție în raport cu lungimea de undă.[5]

În figura de mai jos avem reprezentată dispersia de material, din caracteristica căreia se poate observa că pentru a doua fereastră optică valorile sunt aproape nule, iar din acest lucru lungimile de undă din jurul valorii 1300μm sunt folosite la transmisiunile pe fibra optică.[5]

Figura 1.5 Dispersia de material[5]

Pentru ca dispersia de material să fie aproximativ nulă, putem enumera următoarele tipuri de fibră optică:[5]

FO cu dispersie aplatizată (Dispersion Flattened Fiber – DFF) – operează atât la

1300nm cât și la 1550nm ;

FO cu dispersie deplasată (Dispersion Shifted Fiber – DSF) – 1550nm , fibră ce se obține prin modificarea profilului indicelui de refracție;

FO cu compensarea dispersiei (Dispersion Compensated Fiber – DCF) – folosește o

lungime de fibră cu dispersie negativă mare pentru a anula dispersia de material de la 1550nm .

Dispersia de ghid de undă reprezentă o proprietate al oricărui mod de propagare, singura diferența fiind aceea că ea nu mai este descrisă pe baza fenomenului de reflexie totală, care presupune doar propagarea în interiorul fibrei optice. În realitate distribuția spațială a intensității luminii se extinde și la regiunea din învelișul fibrei optice și prin urmare cu cât λ creste, cu atât distribuția spațială a intensității luminoase cuprinde o mai bună parte din înveliș, iar viteza de propagare va fi diferită din cauza faptului că indicele de refracție al miezului diferă de cel al învelișului.[5]

Și în acest caz din cauza formei fibrei și a profilului indicelui de refracție în lungul razei miezului și a învelișului fibrei avem o lățire a pulsului recepționat deoarece dispersia de ghid de undă depinde de lungimea de undă a unui anumit mod de propagare. Acest tip de dispersie poate lua și valori negative, rezultându-ne astfel o scădere a vitezei de propagare.[5]

Dispersia de material poate fi redus[ prin doparea sticlei, pe când cea de ghid de undă, poate fi modificată prin stabilirea anumitor profiluri de indice de refracție pentru miezul fibrei optice. În cazul fibrelor monomod, dispersia dominantă este cea intramodală, care conduce la lățirea pulsului de la recepție prin dependența de lungimea de undă, dar și dispersia de polarizare are un efect mult mai important, conducând la același rezultat de lățire a pulsului de la recepție, dar de această data prin dependența de polarizare.[5]

Dispersia intramodală sau cromatică este definită prin trei parametri și anume: [5]

Timpul de întârziere pentru o anumită lungime de undă (măsurat în ps );

Coeficientul de dispersie (măsurat în ps / km ∙ nm, iar dacă nu se face normarea

la lungimea fibrei în ps/nm). Coeficientul corespunde derivatei timpului de întârziere pentru o anumită lungime de undă;

Panta (măsurată ps/ în ) corespunde derivatei coeficientului de dispersie pentru o anumita lungime de undă.

În cazul fibrelor optice dispersia cromatică poate fi măsurată prin diferite tehnici și anume :[5]

Măsurarea întârzierii pulsului transmis – măsurăm diferența de timpi de propagare

al diferitelor pulsuri transmise pe diverse lungimi de undă, iar dispersia se obține prin diferențierea măsurătorilor realizate;

Tehnica schimbării de fază – adică se transmite un puls luminos pe diverse lungimi de undă

cu intensitatea modulată sinusoidal și apoi vom compara fazele oscilațiilor de la intrarea și de

la ieșirea din fibra optică;

Diferite tehnici de interferometrie – reprezintă interferența între diverse faze spectrale la două sau mai multe pulsuri luminoase transmise pe fibra optică.

Atunci când facem diferite măsurători pentru dispersie este bine să avem în evidență câteva condiții de lucru cum ar fi: variația temperaturii, efectul reflexiilor, efectul aproximațiilor din formula lui Sellmeier, dependența măsurătorilor de lungimea fibrei măsurate. [5]

Pentru a nu apărea modificări ale temperaturii din timpul măsurătorilor, modificări ce pot afecta rezultatele obținute, se recomandă ca înaintea începerii acestor măsurători să se ajungă la un echilibru termic. Reflexiile optice într-un sistem pot conduce la erori de măsurare prin dependența lungimii de undă de interferențe, lucru care ar conduce la deplasări de faza eronate. Pentru a preveni acest lucru, reflexiile totale trebuie menținute sub un nivel de −30dB. Din punct de vedere al acurateței maxime, lungimile optime pentru fibrele optice rezultă din compromisul făcut între întârzierile mari și intensitatea luminoasă mai mică de transmis pe măsură ce lungimea fibrei creste. [5]

În cazul în care dispersia atinge limitele impuse prin specificații, se va utiliza unități de compensare cu rolul să anuleze efectul acesteia prin introducerea de timpi de întârziere negative. [5]

În analiza prezentată în cazul dispersiei intermodale, am luat în considerare cazul ideal și anume acela în care lumina constituie o oscilație electromagnetic armonică, având o frecvență constantă cu o lungime de undă λ=. La ieșirea fibrei optice, pulsul luminos este de durată mai mare decât pulsului de la intrare, acest lucru se datoroază faptului că timpii de întârziere de grup introduși de fibră nu sunt constanți în raport cu frecvența, astfel componentele din spectrul luminii vor parcurge fibra în interval de timp cu lungimi diferite și prin urmare fenomenul de dispersie apare doar dacă lumina emisă de sursă are componente spectrale de diferite frecvențe (sau diferite culori), fiind astfel cromatică și prin urmare din acest motiv se mai numește dispersie cromatică.[2]

Forma complex a intensităților de câmp electric sau magnetic este:[1]

unde , iar X ϵ {E,H}.

Forma complexă a semnalului optic de mai sus, prin trecerea la limită este :

unde amplitudinea și lungimea de undă sunt mărimi deterministe, pe când faza inițială este o mărime aleatorie, independentă, cu distribuții uniforme în intervalul .

Media puterii semnalului este:[1]

dar știind că E {} = 0, pentru i ≠ k, atunci relația va deveni:

Din această relație observăm că puterea optică totală este suma puterilor componentelor din spectrul impulsului optic.

Această relație reprezintă densitatea de putere la lungimea , evaluată ca puterea într-o bandă de lărgime egală cu unitatea de lungime de undă. Puterea semnalului optic prin trecerea la limită în relația (1.68) poate fi scrisă sub forma:[1]

unde p(λ) reprezintă densitatea spectrală de putere unilaterală.

Pentru fibrele multimod, presupunând că sunt excitate de surse de lumină, caracterizate de relația (1.66) vom observa că fazele sunt independente între moduri, iar dacă se revine la cazul ideal, acela în care fiecare mod corespunde unei singure componente, de frecvență putem scrie: , acest semnal fiind modulat după o lege F(t). Astfel ne rezultă faptul că semnalul corespunzător intensităților de câmp magnetic sau electric este modulat după legea , rezultându-ne forma complexă a răspunsului de forma:[1]

unde reprezintă timpul de întârziere de fază, care ne rezultă dacă cunoaștem lungimea fibrei optice și viteza de fază, la frecventa [1]

unde reprezintă constanta de defazare a ghidului dielectric pentru modul de propagare de ordin r.

Expresia mediei intensității optice a răspunsului este:

Dacă vom face normarea la puterea totală, se obține . În cazul în care cele N moduri sunt egal excitate, relația noastră de mai sus va deveni:[1]

Intensitatea luminoasă a impulsului optic de la ieșirea unei fibre este rezultatul unei surse de lumină monocromatică cu faza inițială ce variază aleatoriu. Intensitatea este obținută prin însumarea intensităților luminoase de la ieșirea fibrei pentru diferite moduri de propagare, dar în practică această lumină nu este monocromatică, iar relația trebuie înlocuită cu :

, relație ce este utilizată pentru a determina expresia a formei complexe a purtătoarei pentru toate cele N moduri de propagare, rezultând

. Expresia densității spectral de putere a purtatoarei este , fomulă ce reprezintă suma densităților spectrele de putere corespunzătoare purtătoarelor tuturor modurilor de propagare.[1]

O fibră optică la intrarea căreia este aplicată o sursă de lumină necoerentă, este liniară în intensitate, astfel că pe baza principiului suprapunerii efectelor se adună pătratul amplitudinilor și nu amplitudinile. Pentru o transmisiune unimodală, pentru un model ideal al unei surse coerente, răspunsul are forma:

Pentru un sistem ce operează direct în banda de bază, adică pentru care semnalul are o singură componentă spectrală, dispersia este nulă, acest lucru rezolvându-se utilizând relația , iar pentru modulul funcției de transfer este [1]

Dispersia într-o fibră optică, care în realitate este un sistem de tip trece bandă ce lucrează cu semnale modulate, trebuie calculată pe baza formulei . Fenomenul de dispersie este nenul într-o fibră monomod excitată de o sursă de lumină coerentă, deoarece depinde de o lege de variație F(t) a formei impulsului optic. Acest lucru se explică prin faptul că semnalul modulat aplicat la intrare ocupă o anumită bandă de frecvențe situată în jurul frecvenței purtătoare . Relația reprezintă funcția de transfer a fibrei optice, relație ce ne conduce la timpi de întârziere diferiți, pentru diferite componente din spectrul semnalului modulat. Prin urmare vor apărea modificări ale semnalului modulator al răspunsului, în raport cu semnalul modulator al semnalului de la intrarea în fibra optică. Dispersia nenulă apare din cauza acestor schimbări care conduc la creșterea impulsului optic.

În banda ocupată de semnal, dacă se lucrează cu semnale de bandă îngustă, timpii de întârziere de grup sunt constanți, ceea ce conduce la o dispersie coerentă de valoare foarte redusă. În practică ea este mult mai mică decât dispersia cromatică rezultată în cazul surselor de lumină necoerentă. Pentru acest caz vom studia fibra optică monomod căreia i se aplică o sursă de lumină necoerentă modulată în intensitate de funcția F(t), iar expresia formei complexe a intensităților de câmp magnetic sau electric este dată de relația:[1]

iar pentru răspunsul de la ieșirea din fibra optică, forma complexă a intensităților de câmp magnetic sau electric este :

unde timpii de întârziere de grup și de fază sunt evaluați la frecvența unghiulară (, iar anvelopa intensității optice a răspunsului G(t) este:[1]

pătratul duratei impulsului optic de la ieșirea fibrei este:[1]

unde

Dacă folosim spectrul continuu și considerăm distanța dintre componente că tinde la zero, iar frecvența unghiulară devine frecvența unghiulara curentă ω, atunci timpii de întârziere de grup corespunzători componentei de ordin i, atunci relațiile de mai sus le pot rescrie sub forma:[1]

Timpul de întârziere de grup poate fi aproximat suficient de precis din cauza faptului că lărgimea benzii de frecvență ocupate de spectrul semnalului este redusă, rezultând:[1]

Lungimea de undă centrală este dată de o relație sub forma:

unde p(λ) reprezintă densitatea spectrală de putere unilaterală, iar expresia timpului de întârziere de grup poate fi rescrisă sub forma:[10]

unde valoarea pătratică a lărgimii spectrului sursei de lumină s-a notat cu .

Înlocuind relația (1.79) în ultimele două relații, ne rezultă

Timpul de întârziere de grup este , relație unde nu am mai înlocuit cu .

Știind că , ne rezultă faptul că și , expresia timpului de întârziere de grup devine :[10]

Dacă derivăm în raport cu lungimea de undă, vom obține:[1]

Variația în raport cu frecvența în cazul aproximației de ghidaj slab este aproximativ aceeași și anume , atunci ne rezultă:[10]

Deoarece știm că frecvența normalizată este proporțională cu constanta de defazare, putem face substituția astfel încât să putem scrie dispersia cromatică sub forma :

După cum se observă din relația de mai sus, avem doi termeni care intervin și anume primul termen care depinde de caracteristicile ghidului de undă și care se scrie sub forma și al doilea termen care depinde de caracteristicile materialului și anume . Dispersia este acum o sumă între dispersia ghidului de undă și dispersia materialului.[1]

Pentru fibrele optice utilizate frecvent, dispersia ghidului de undă este de obicei neglijabilă în funcție de cea de-a doua (), doar că în domeniul lungimilor de undă care se situează în jurul valorii 1.27 μm, se anulează având o variație rapid crescătoare în raport cu lungimea de undă. Pentru lungimi de unde apropiate de 1.31 μm, este posibilă compensarea lui de către coeficientul , obținându-se astfel valori foarte mici ale dispersiei cromatice , dar această dispersie nu este în realitate nulă, deoarece va incepe să conteze contribuția termenului următor, neglijat la început în dezvoltarea de la care s-a pornit calculul.

În figura de mai jos putem observa curbe pentru cazul fibrelor monomod standard cu a ≅ 4 μm și Δ ≅ 5∙ , pentru care minimul dispersiei nu este însoțit și de apariția unui minim al atenuării.

Figura1.6 Variațiile coeficienților pentru o fibră monomod standard[1]

Figura 1.7 Variațiile coeficienților D, pentru o fibră cu dispersie nula deplasată[1]

Dispersia ghidului depinde de raza miezului, precum și de diferența relativă dintre indicii de refracție ai miezului și învelișului, iar lungimea de undă de dispersie nulă, notată va fi deplasată în jurul valorii de 1.55 μm, așa cum este reprezentată în figura de mai sus. În acest caz fibrele sunt cunoscute sub numele de fibre cu dispersie nulă deplasată.

Fibrele cu dispersie aplatizată sunt fibrele proiectate astfel încât dispersia ghidului de undă să compenseze dispersia de material pe un domeniu relativ larg de lungimi de undă, iar parametru D are o variație foarte lentă corespunzătoare unui punct de extrem foarte larg, adică aplatizat.

Figura 1.8 Variațiile coeficienților D, pentru o fibră cu dispersie aplatizată[1]

Dispersia de polarizare

Dispersia de polarizare apare în diferite secțiuni ale fibrei optice, unde viteza de propagare a undei electromagnetice are valori diferite și prin urmare dispersia de polarizare reprezintă valoarea medie a întârzierii diferențiale de grup ( DGD) ce poate fi interpretat ca fiind separarea temporală între stările principale de polarizare la intrarea în receptor.[2]

Figura1.9 Dispersia de polarizare[2]

DGD este un parametru static, iar PMD poate fi obținut prin medierea unui număr important de DGD, acest DGD are o mărime instantanee care variază aleatoriu în funcție de lungimea de undă și de timp.[2]

Fenomenul de dispersie de polarizare a fost evidențiat la începutul anilor 90, fiind responsabil cu distorsiuni ale semnalelor optice cu flux important. Acesta fiind și unul dintre principalele probleme cu care se confruntă sistemele și rețelele de comunicații optice care lucrează la viteze mai mari de 40Gbps, dar pentru a înțelege mai bine aceste fenomene, trebuie să cunoaștem câteva noțiuni care stau la baza propagării undelor de lumină în materialele solide. [5]

Ca și undă electromagnetică, lumina este formată din cuplarea câmpurilor electric și magnetic , câmpuri ce variază periodic în timp și spatiu. Fiind perpendicular pe direcția de propagare, vectorul câmp electric poate fi proiectat într-un sistem ortogonal după două direcții.[5]

Figura 1.10 Direcții de polarizare[2]

În mediile izotrope, atât componenta orizontală cât si cea verticală au aceeași viteză de propagare, iar polarizarea originală a undei luminoase se conservă. În schimb în mediile anizotrope cele două componente nu mai au aceeași viteză de propagare și prin urmare apare o întârziere la recepție între cele două direcții de polarizare.[5]

O fibră monomod poate suporta două moduri degenerate polarizate pe două direcții ortogonale. În condiții ideale de simetrie cilindrică, indicele de refracție este izotrop în orice secțiune transversală pe direcția de propagare, astfel că cele două polarizări ortogonale nu vor cupla între ele. Combinarea între cele două polarizări se produce din cauza abaterii de la simetria cilindrică și anizotropia indusă de tensiuni interne și prin urmare constanta de propagare β diferă pentru cele două moduri de polarizare, după direcțiile x, respectiv y, considerând că propagarea se face după axa z. Această proprietate este cunoscută sub numele de birefringență.

Intensitatea fenomenului este calculată prin modulul diferenței dintre indicii de refracție efectivi ale celor două moduri ortogonale de polarizare, .[1]

Modurile de polarizare schimbă energie între ele, pe măsură ce se propagă în fibră, pe o distanță a cărei lungime , numită lungime de bătăi este:[1]

Axa în lungul căreia indicele modal de refracție este mai mic, se numește axă rapidă, deoarece viteza de grup a undei optice este mai mare pe această direcție de propagare. Similar pentru axa cu indice modal de refracție mai mare este denumită axă lentă.[9]

Datorită faptului că de-a lungul fibrei apar variații fluctuante ale formei miezului și ale anizotropei, rezultă că nu este constant, modificându-se aleator și prin urmare vor apărea variații fluctuante ale polarizării. Aceste variații nu prezintă interes din punct de vedere al purtătoarei, în schimb produc efecte nedorite în cazul transmiterii de impulsuri luminoase. Dacă impulsul luminos se va propaga prin intermediul ambelor unde ortogonal polarizate, cu viteze de grup diferite, cele două unde vor parcurge un anumit tronson de fibră optică în intervale de timp de durate diferite. Acest lucru duce la o creștere a duratei impulsului luminos transmis, ceea ce justifica denumirea de dispersie de polarizare pe care o poartă acest fenomen.[9]

Lărgirea pulsului luminos poate fi apreciată prin modulul diferenței , dintre timpii de propagare ai acestuia prin intermediul celor două unde. Dacă considerăm că birefringența ar fi constantă de-a lungul trosonului de fibră optică, vitezele de grup fiind și ele constante, va exista relația :[1]

Dacă pentru cele două unde vom scrie vitezele de grup sub forma , unde u ∈ atunci relația va deveni :

și ținând seama de relația (1.92) , atunci vom obține :

Ecuația de mai sus nu poate fi utilizată direct pentru estimarea dispersiei modului de polarizare, din cauza naturii aleatorie a birefringenței. În realitate birefringența nu este constantă, are o variație aleatoare de-a lungul tronsonului de fibră optică, iar pentru acest lucru este necesar evaluarea mediei pătratice a diferenței de timp . Pentru tronsoanele suficient de lungi (L> 100 km) există aproximația:[1]

unde este un parametru ce caracterizează dispersia de polarizare, având valori tipice între 0.1 ps∙ și 2 [1]

Dacă avem în vedere proporționalitatea și nu pe cea cu L asa cum se întampla în cazurile de dinainte, observăm că lărgirea impulsului luminos produsă de dispersia de polarizare este neglijabilă în comparație cu lărgimile produse de dispersia intermodală, respectiv de cea intramodală. Acest lucru se explică datorită faptului că de-a lungul tronsonului de fibră optică, variațiile fluctuante care conduc la birefringență se compensează parțial.[1]

În cazul transmisiunilor de bandă largă, dispersia de polarizare este importantă, dar și pentru tronsoanele de fibre optice monomod de mare lungime proiectate să lucreze în domenii în care dispersia cromatică este foarte mică.[3]

În aplicațiile care impun menținerea stării de polarizare se folosesc fibre cu păstrarea polarizării, numite si fibre optice care conservă polarizarea. În fibră se introduce o anumită birefringență astfel încât fluctuațiile naturale de birefringență sunt atenuate până la anularea dispersie modului de polarizare. Pentru acest lucru trebuie realizată alterarea simetriei cilindrice și profilarea eliptică a miezului, obținându-se astfel o birefringență de ordinul a . În schimb, birefringența obținută prin inducerea controlată a unor tensiuni interne în miezul fibrei, poate ajunge până la [3]

Utilizarea fibrei cu menținerea polarizării impune identificarea axelor rapidă și lentă înainte de lansarea semnalului optic. Pentru acest lucru se induc schimbări structurale. De exemplu, stratul din jurul miezului este aplatizat într-un plan paralel cu axa lentă, dar când direcția de polarizare a luminii linear polarizată coincide cu una din axe, atunci polarizarea rămâne neschimbată pe durata propagării. În schimb, în cazul în care direcția de propagare face un unghi cu aceste axe, atunci polarizarea se schimbă continuu în lungul fibrei în mod periodic, cu o perioada egală cu lungimea de bătăi.[3]

În multe sisteme, din cele necorelate, starea de polarizare nu este importantă, deoarece fotodetectorul folosit în receptor nu este sensibil la polarizare. Totuși este importantă lărgirea impulsului optic prin schimbări de birefringență în cursul propagării, dar în schimb în cazul sistemelor coerente, starea de polarizare a câmpului la intrarea în receptor trebuie sa fie aceeași cu a unui oscilator local generat în receptor.

Dispersia de polarizare, din punct de vedere al ordinului de mărime și pe baza caracteristicilor de bază este diferită de mecanismele clasice ale dispersiei, astfel față de cea cromatică nu se poate stabili o valoare de referință pentru PMD, dar se poate fixa un model statistic. S-a observat faptul ca PMD depinde de lungimea fibrei, nu de lungimea de undă pătratică.[3]

Sisteme cu solitoni

Termenul de soliton a fost folosit pentru prima dată în anul 1965 pentru a descrie proprietățile corpusculare ale unei unde într-un mediu neliniar dispersiv. O definiție concisă a solitonului nu putem spune că există, dar una din variante ar fi aceea că solitonul este o soluție a unei ecuații ( sistem) neliniare care reprezintă o undă având o formă permanentă ce poate interacționa puternic cu alți solitoni, păstrându-și identitatea. Existența solitonilor și utilizarea lor pentru comunicații optice a fost propusă în anul 1973, iar prin 1980 solitonii au început să fie observați experimental. Potențialul de solitoni pentru distanțe lungi de comunicare a fost demonstrat pentru prima dată în 1988 într-un experiment în care pierderile de fibră au fost compensate cu ajutorul tehnicii de amplificare Raman. Această tehnică a fost numită după Sir C.V.Raman și este o tehnică spectroscopică folosită pentru a observa modurile de vibrație de joasă frecventă și de rotație. Din acel an s-a observat un progres rapid până în anul 1990, unde solitonii optici au devenit un candidat practic pentru sistemele moderne cu unde luminoase.[2]

În optică, termenul de soliton este folosit pentru a desemna orice domeniu optic care nu se schimbă în timpul propagării din cauza unui echilibru delicat între efectele neliniare și liniare din mediu. Există două tipuri principale de solitoni:[3]

solitoni spațiali: efectul neliniar poate echilibra difracția. Câmpul electromagnetic poate schimba indicele de refracție al mediului de propagare în timp, creând astfel o structură similară cu o fibră cu indice gradat. În cazul în care câmpul este, de asemenea un mod de înmulțire a ghidului care l-a creat, atunci acesta va rămâne limitat și se va propaga, fară a-și schimba forma. [11]

solitoni temporali: dacă câmpul electromagnetic este deja limitat spațial, atunci este posibil să se trimită impulsuri care nu își vor schimba forma, deoarece efectele neliniare vor echilibra dispersia. Acești solitoni au fost descoperiți primii.[11]

Existența solitonilor în fibra optică este rezultatul echilibrului dintre dispersia vitezei de grup ( GVD- Group Velocity Dispersion) și automodulația de fază (SPM- Self Phase Modulation). Aceste două fenomene limitează performanțele sistemelor de comunicații optice, referindu-se la forma unui impuls optic ce se propagă prin fibră.[2]

GVD – lărgește temporal pulsurile prin propagare ( se face excepție în situația în care ele sunt modificate corespunzător pentru a echilibra efectul GVD)

SPM- conduce la dependența indicelui de refracție de intensitatea câmpului electric și de aceea ”chirp-ul” este dependent de puterea optică injectată în fibră.

Compensarea dispersiei nu mai este necesară în transmisiile solitonice, iar sensibilitatea solitonilor nu este prea mare la variații de polarizare și la existența unor factori de dispersie de ordin superior. În schimb dezavantajele ar fi: nivelele mari ale semnalului optic care trebuie să fie menținute permanent, limitarea superioară a spațiului dintre două amplificatoare, jiterul care apare prin efectul Gordon-Haus.[2]

Ecuația de propagare

Dacă plecăm de la relația valabilă în regim permanent sinusoidal

) = ) = ) și o gereralizăm pentru cazul unui semnal oarecare, fiecare componentă a spectrului undei plane care se propagă în fibra optică monomod, se poate scrie sub forma :[1]

Considerăm că impulsurile sunt cvasimonocromatice, adică lărgimea spectrală a impulsurilor, ∆ω, este mică în raport cu frecvența centrală ( frecvența purtătoare) , unde , distribuția transversală poate fi scrisă sub forma: [1]

din cele două relații ne rezultă:

unde și este transformata Fouriei a semnalului de la intrarea în fibra optică.

Se calculează transformata Fourier inversă pentru a obține expresia în domeniul timp a formei complexe a semnalului[1]

În timpul propagării, lărgimea impulsului optic este o consecință a variației neliniare, în raport cu frecvența constantei de defazare. Dacă notăm și păstrăm primii patru termeni din dezvoltarea în serie a constantei de defazare, vom obține: [1]

unde cu m = {0,1,2,3}

La frecvența purtătoare este chiar inversul vitezei de grup.

În urma efectuării schimbării de variabilă se obține:[1]

Observăm că intervine anvelopa complexă unde putătoarea este reprezentată de factorul , iar dacă introducem în acesta factorul atunci putem scrie

și calculând transformata Fourier, atunci obținem: [1]

unde am notat , iar pentru z=0 ecuația de mai sus devine:[1]

sau

unde expresia anvelopei complexe este :

De la această relație, vom calcula derivatele de ordin unu, doi și respectiv trei, obținând astfel:[1]

Astfel utilizând relațiile derivatelor, vom obține ecuația de propagare într-o fibră optică dispersivă, de forma:

Într-un mediu nedispersiv constanta de defazare, este proporțională cu frecvența, astfel ne rezultă , iar în acest caz ecuația de propagare devine: [1]

unde ecuația de mai sus are o soluție de forma , soluție ce ne conduce la egalitatea : , rezultându-se astfel că pentru mediile nedispersive, impulsurile nu-și schimbă forma în decursul propagării.

Efectele neliniarității asupra propagării

Pentru fenomenul de propagare din fibrele optice, proprietățile de material au intervenit prin intermediul indicilor de refracție din miez, respectiv din înveliș. Potrivit relației , constantele de defazare corespunzătoare propagării undei plane uniforme în cele 2 medii, sunt proporționale cu indicii de refracție , iar constanta de defazare în ghid este determinată de valorile constantelor de defazare , fiind posibilă aducerea sa la o relație mai generală sub forma: .[1]

Dacă scriem constanta de propagare sub forma și ținem seama de relația , atunci atenuarea în cazul ghidului cu pierderi poate fi interpretată ca fiind corespunzătoare părții imaginare a unui indice de refracție complex.[1]

Studiul fenomenului de dispersie a presupus că indicele de refracție nu depinde de puterea semnalului optic, astfel această ipoteză ne conduce la rezultate corecte doar la nivele mici de putere. În schimb în cazul valorilor ridicate ale densității de putere, trebuie sa luăm în calcul creșterea indicelui de refracție la mărirea puterii câmpului electric (efectul Kerr). [1]

Prin relația se poate arăta ca indicele de refrație este o funcție dependentă de amplitudinea intensității câmpului electric, iar reprezintă indicele de refracție în absența câmpului electric și reprezintă coeficientul Kerr.[1]

Plecând de la relațiile și se poate scrie :

unde C reprezintă o constantă de proporționalitate sub forma :

Înlocuind în relația (2.17) , expresia indicelui de refracție vom obține:

unde reprezintă constanta de defazare în absența câmpului electric.

În lipsa efectelor neliniare a fost scrisă relația

și dacă introducem în această relație expresia constantei de defazare și recalculăm anvelopa complexă , vom obține:[1]

Calculând derivata în raport cu z, vom obține:

Procedând ca mai sus, prin scrierea derivatelor de ordin unu, doi și respectiv trei, vom obține ecuația :

Relația de mai sus reprezintă ecuația neliniară de propagare, denumită și ecuația neliniară Schrdinger.

Solitonii, ca soluție a ecuației neliniare de propagare

Din relația vom păstra doar primii trei termeni, astfel ecuația neliniară de propagare devine :[1]

În locul timpului t, s-a introdus variabila normată , iar soluția ecuației de mai sus este .

Se calculează succesiv, [1]

înlocuind relațiile obținute mai sus în relația (2.23) vom obține egalitatea

Reprezintă o ecuație diferențială pentru , cu soluția , doar dacă parametrii β și au valorile :

Din ultimele două relații ne rezultă faptul că solitonii pot exista doar dacă dispersia cromatică este negativă, rezultându-ne o anvelopă complexă sub forma :[1]

Anvelopă ce corespunde unui impuls care își păstrează forma în decursul propagării de-a lungul fibrei optice.

Figura 2.1 Forma impulsului soliton reprezentată ca putere optică, , în funcție de timpul normalizat, [1]

În figura de mai sus este reprezentată puterea optică a impulsului soliton, cu soluția N=1 a parametrului N definit prin relația . Pot exista și soluții pentru alte valori întregi ale lui N, iar soluția găsită pentru ecuația (2.31) poartă numele de soliton fundamental, iar cele pentru valori întregi N>1 sunt numite solitoni de ordin N. Dacă parametrul este negativ, acest lucru ne indică o dispersie anormală a vitezei de grup, solitonul respectiv fiind numit soliton luminos. Și în cazul dispersiei normale a vitezei de grup se poate obține o soluție care va fi sub forma unei ”gropi” într-un fond de bază constant, acest tip de soliton numindu-se soliton întunecat.

Solitonul luminos

Dacă în ecuația j, considerăm cazul GVD cu s= -1 unde

, – reprezintă o măsură a impulsului; – este puterea de vârf a impulsului;

– reprezintă lungimea dispersiei, este util să introducem u=NU ca amplitudine și

scriem NLS în forma sa canonică fără parametri, obținem : [3]

Atunci când un impuls de la intrare are amplitudinea inițială : este introdus în fibră, forma rămâne neschimbată în timpul propagării când N=1, dar pentru valori intregi ale lui N>1, urmează un model periodic, iar forma sa este recuperată la , unde m este un număr întreg, iar N reprezintă ordinul solitonului. De remarcat faptul că , unde perioada solitonică reprezintă distanța de unde un soliton de ordin superior începe a-și reface forma inițială, este dată de relația :[3]

unde cele perioade solitonice și solitonii de ordin N joacă un rol important în teoria solitonilor optici.

Soluția corespunzătoare ecuației j este sub forma:[3]

În situația în care V este independent de ξ, relația de mai sus este o reprezentare a solitonului fundamental care își păstrează forma în timpul propagării, dar faza, ϕ, poate depinde de ξ. Când ecuația (2.34) este înlocuită în relația j și vom separa partea imaginară de cea reală, vom obține două ecuații reale pentru V și ϕ. Aceste relații arată că ϕ trebuie să fie de forma , unde K este o constantă. Funcția V(τ) este suficientă pentru ecuația diferențială neliniară.[3]

Ecuația de mai sus poate fi rezolvată prin multiplicarea cu și integrând-o dupa τ, iar rezultatul va fi sub forma: [3]

unde C este o constantă de integrare. Dacă utilizăm condiția la limită ca atât pentru V și , pentru impulsuri ,iar C ar fi 0. K este calculată, folosind o altă condiție la limită unde V=1 și și prin urmare se folosește K= rezultă . este obținută prin integrarea ecuației (2.36) găsind astfel pentru solitonul fundamental, prin integrarea directă a NLS soluția :[3]

Aceasta arată că pentru un puls de intrare se va produce o schimbare de fază de , deoarece se propagă în interiorul fibrei, dar în schimb amplitudinea nu se va schimba. Efectele dispersiei în fibrele optice sunt compensate de neliniaritatea fibrei.

O proprietate importantă a solitonilor este aceea că sunt extremi de sensibili la perturbații, astfel, chiar dacă solitonul fundamental necesită o anumită formă și putere de vârf, poate fi creat chiar și când forma impulsului și puterea de vârf se abat de la condițiile ideal.

Pentru a înțelege cum un puls de intrare evoluează spre un soliton trebuie să ne gândim la modurile temporale ale unui ghid de undă neliniar. Intensitățile mai mari din centrul unui puls creează un ghid de undă temporal, prin creșterea indicelui de refracție doar în partea centrală a pulsului. Atunci când un impuls de intrare nu se potrivește cu un mod temporal, dar este foarte aproape de acesta, cea mai mare parte din energia impulsului poate fi cuplată în acel mod temporal.

Solitonul întunecat

Solitonul întunecat a fost descoperit în anii 1970, dar doar după 1985 au început să fie studiați în detaliu. Ecuația NLS care descrie solitonul întunecat a fost obținută din ecuația (2.32) prin schimbarea semnului celui de-al doilea termen, soluția fiind scrisă sub forma :[4]

unde , unde reprezintă amplitudinea, iar ϕ unghiul de fază din intervalul .

O diferență importantă în ceea ce privește solitonul întunecat față de cel luminos este aceea că viteza depinde de amplitudine prin ϕ. Pentru ϕ=0 ecuația (2.38) se reduce la :

Un alt interes în ceea ce privește solitonul întunecat e referă la faza acestora. În contrast cu solitonii luminoși care au fază constantă, faza solitonului întunecat se schimba odată cu lățimea sa.

Soliton de ordin superior

Solitonii de ordin superior sunt descriși de soluția generală dată de ecuația

, unde diferitele combinații de valori proprii și de reziduri conduc la o infinitate de forme a solitonilor. Dacă solitonul este simetrie în funcție de τ=0, atunci reziduurile depind de valorile proprii prin relația:[4]

Un rol important în cazul soluției de mai sus o reprezintă solitonul la care forma inițială la ξ=0 este dată de relația :

unde N reprezintă ordinul solitonului și este un număr întreg.

Pentru solitonul de ordinul doi( N=2), distribuția de câmp este obținută plecând de la relațiile :[4]

unde

unde dacă folosim , solitonul de ordin doi este dat de relația

O proprietate interesantă a formulei de mai sus este aceea că este periodic în ξ, cu perioada . De fapt, această perioadă apare la toți solotonii de ordin superior. Utilizând definiția pentru , perioada solitonului devine :[4]

În cazul solitonului fundamental( N=1), între GVD și SPM este un echilibru reciproc astfel încât nici forma impulsului și nici spectrul impulsului nu se schimbă de-a lungul lungimii fibrei. În cazul solitonilor superiori, SPM este inițial mare, iar după un timp crește și GVD, lucru ce duce la contracția pulsului. Teoria solitonului arată ca pentru un puls cu o formă de secantă hiperbolică și cu o putere de vârf determinată de relația , cele două efecte pot coopera astfel încât pulsul urmează o evoluție puternică cu forma originală ce reapar la multiplii perioadei solitonului , data de ecuația (2.47).

Pierderile în fibra optică

Solitonii utilizează fenomenul neliniar al SPM, pentru a-și menține lățimea chiar și în cazul prezenței dispersiei în fibrele optice. Cu toate acestea, această proprietate este valabilă doar în cazul în care pierderile prin fibră ar fi neglijabile. Este ușor de observat că o scădere a energiei solitonului, datorate pierderilor prin fibră, ar produce lărgirea solitonului, deoarece puterea de vârf reduce efectul SPM necesar contracarării efectul GVD. În cazul fibrelor cu pierderi ecuația NLS devine :[7]

unde reprezintă pierderile din fibră pe lungimea unei dispersii. Când Γ≪1, ultimul termen poate fi considerat o mică perturbație și astfel formula de mai sus poate fi aproximată sub forma:

Relația anterioară demonstrează că lățimea solitonilor crește exponențial din cauza pierderilor prin fibră, ca :[7]

O astfel de creștere exponențială a lățimii solitonului nu poate fi continuă pe distanțe mari. Soluțiile numerice ale ecuației (2.48) arată o creștere mai lentă pentru ξ ≫1 . Important de notat este că lățimea solitonului este mult mai mică, comparativ cu cazul liniar. Așadar efectele neliniare pot fi benefice chiar și în cazul în care solitonii nu pot fi menținuți perfecți din cauza pierderilor.

Pentru a depăși efectul pierderilor prin fibră, solitonii trebuie amplificați folosind periodic amplificarea concentrată sau amplificarea distribuită.

Amplificarea concentrată

Un parametru de proiectare important este distanța dintre două amplificatoare. trebuie să fie cât mai mare pentru a minimiza costul total. În cazul sistemelor nesolitonice se situează undeva în plaja de valori 80-100 km, pe când în cazul sistemelor solitonice este limitată la valori mult mai mici din cauza modului în care se propagă semnalul solitonului. Din punct de vedere fizic, valorile mai mici ale solitonilor se datorează faptului că amplificatorii optici stimulează energia solitonului de la nivelul de intrare pe o lungime de câțiva metri, fără a permite recuperarea treptată a solitonului fundamental. Solitonul amplificat își ajustează lățimea dinamic în secțiunea fibrei urmărind amplificarea. Cu toate acestea, o parte din energie o pierde sub formă de unde dispersive în timpul ajustării fazei. Elementele dispersive pot acumula la nivele superioare un număr mare de etape de amplificare, ce se doresc a fi evitate. O modalitate de a reduce elementele dispersive este minimizarea distanței dintre amplificatoare, astfel încât solitonul să nu fie perturbat pe această lungime de regulă mică. [6]

Lungimea dispersiei depinde atât de lățimea pulsului cât și de parametrul GVD și poate varia de la 10 la 1000 km. Amplificarea periodică a solitonilor poate fi exprimată matematic, prin adăugarea unui termen în ecuația (2.48), astfel rezultând:[4]

unde ; reprezintă numărul total de amplificatoare, iar câștigul amplificatoarelor concentrate, situate la distanțe . Dacă presupunem că amplificatoarele sunt distanțate uniform, atunci , unde reprezintă distanța normalizată de amplificare.

Din cauza variației rapide ale energiei solitonului indusă de schimbările periodice câștig- pierdere, este utilă schimbarea următoare:[4]

unde variază rapid și variază încet în funcție de ξ. Înlocuind relația de mai sus în relația (2.31), îndeplinește condiția :[4]

unde este obținut prin rezolvarea ecuației diferențiale:

Ecuațiile precedente pot fi rezolvate analitic remarcând faptul că amplificatorul are un câștig destul de mare astfel încât să fie o funcție periodică care descrește exponențial la fiecare perioadă după legea , dar revine la valoarea inițială p(0)=1, la sfârșitul fiecărei perioade. Fizic determină variațiile puterii de vârf (sau ale energiei) unui soliton între două amplificatoare. [6]

În general schimbările energiei solitonului sunt însoțite de schimbările în lățimea solitonului. Variațiile rapide în pot distruge solitonul dacă lățimea se schimbă rapid din cauza emisiilor undelor dispersive. Atunci când , lățimea solitonului rămâne practic neschimbată, chiar dacă puterea de vârf variază considerabil în fiecare secțiune dintre două amplificatoare vecine. De fapt, putem înlocui cu valoarea medie în ecuația (3.53) când . Notând ca o nouă variabilă, această ecuație se reduce la ecuația standard NLS obținută pentru o fibră fără pierderi.

Notând câștigul amplificatorului cu și utilizând , creșterea factorului de energie pentru solitonii cu pierderi este dată de relația:[4]

unde este puterea de vârf în fibrele fară pierderi. Astfel evoluția solitonului în fibrele cu pierderi, cu amplificare periodică, este identică cu cea din fibrele fără pierderi, prevăzute cu amplificatoare care sunt situate la distanțate și putere de vârf mai mare cu un factor .

Condițiile sau sunt necesare pentru a opera în regimul mediu de soliton, pot depinde de lățime prin , folosind , rezultând astfel :

Amplificarea distribuită

Schema utilizată de amplificarea distribuită este superioară celei concentrate deoarece este utilizarea ei determină apariția unei fibre aproape fără pierderi, prin compensarea pierderilor la nivel local la fiecare punct de-a lungul unei legături la fibră. Acest tip de sistem este utilizat încă din 1985 când folosind câștigul distribuit furnizat de amplificatoarele Raman, pe fibra care transportă semnalul a fost trimisă o undă laser de o lungime de undă de circa 1.46 μm.

Avantajul amplificării distribuite se poate observa din relația (2.54), care poate fi rescrisă în unități fizice ca:[4]

Dacă g(z) este constant și egal cu α pentru orice z, puterea de vârf sau energia solitonului rămâne constantă de-a lungul fibrei. Acesta este cazul ideal când fibra este aproape lipsită de pierderi. Practic, câștigul distribuit este realizat prin injectând putere periodic într-o fibră. Deoarece injectarea nu se poate realiza constant din cauza pierderilor din fibră și epuizării puterii de injectare, g(z) nu poate fi menținută constant de-a lungul fibrei. Cu toate acestea, dacă pierderile prin fibră nu pot fi compensate la nivel local, ele pot fi compensate integral pe o distanță , cu condiția ca :[4]

unde distanța se referă la distanța dintre locul în care se face injectarea și sursă.

O întrebare importantă este aceea de a ști cât de mult variază energia solitonului în timpul fiecărui proces de câștig-pierdere. Amploare variației puterii de vârf depinde de si de schema de pompare adoptată. Pompare înapoi este des utilizată pentru amplificatoarele cu distribuție Raman deoarece o astfel de configurație oferă un câștig mare acolo unde semnalul este relativ slab. Dacă ignorăm epuizarea pompei, coeficientul câștigului din relația (3.57) este dat de , unde ține cont de lungiemea de undă pentru fibrele cu pierderi. Ecuația care rezultă poate fi integrată analitic pentru obținerea:[4]

unde a fost ales pentru a se asigura că . Energia solitonului variază în cazul concentrat cu un factor multiplu de 10, în acest caz variază cu un factor mai mic decât 2.

Gama de variații de energie poate fi redusă prin utilizarea unei scheme de injectare bidirecționale. Coeficientul câștigului în acest caz poate fi aproximat ca :

Constantele și sunt legate de puterile de injecție la ambele capete. Presupunând energiile de injectare egale și integrând ecuația (3.57), se constată că energia solitonului:

O schemă cu injectare bidirecțională este cea mai bună deoarece reduce variațiile energiei sub 15%. Gama peste care p(z) variază crește cu , dar cu toate acestea rămâne cu mult mai mică decât în cazul amplificatoarelor comprimate

Transportul energiei depinde de raportul . Când apare remodelarea solitonului. Pentru , solitonii evoluează cu emisii ale undelor de dispersie. Pentru valorile intermediare ale , apare un comportament diferit. În particular valurile de dispersi și solitonii sunt amplificați atunci când , acest lucru conducând la un comportament haotic și din acest motiv în practică se utilizează amplificarea distribuita cu .

Modelarea solitonului în sistemele de comunicații, utilizează amplificatoare distribuite, ce necesită adăugarea unui termen pentru câștig în ecuația NLS, la fel ca în ecuația (2.51). În cazul sistemelor de operare solitonice cu rata de biți B>20Gb/s , astfel că , este de asemenea necesar să se includă si efectele dispersiei de ordinul trei (TOD) și un nou fenomen neliniar cunoscut ca auto-schimbarea frecvenței solitonul (SSFS). Acest efect a fost descoperit în 1986 și poate fi înțeles în cazul împrăștierii Raman. Efectul Raman conduce la o schimbare continuă a frecvenței purtătoare a solitonului când spectrul pulsului devine atât de mare încât componentele unui puls la frecvențe înalte poate transfera energie către componentele de joasă frecvență ale aceluiași puls în cazul amplificării Raman. Schimbarea de frecvență Raman este neglijabilă pentru , dar devine de importanță considerabilă pentru solitonii scurți (. Cu includerea SSFS-ului și a TOD, ecuația (2.51) devine:[4]

unde este parametrul TOD, iar parametru Raman, ce sunt definiți sub forma:

este legată de câștigul spectrului Raman. Câștigul finit al lățimii de bandă al amplificatoarelor, reduce cantitatea de spectre schimbate și situează frecvența purtătoare a solitonului aproape de câștigul de vârf. În anumite condiții schimbarea spectrelor devine atât de mare încât nu poate fi compensată, iar solitonul iese din fereastra de câștig, pierzând astfel toată energia.

Solitoni cu dispersie controlată

Un sistem interesant propus în 1987, anulează complet restricția impusă în cazul solitonilor cu pierderi, prin scăderea GVD de-a lungul fibrei. Astfel de fibre sunt numite fibre cu scăderea dispersiei și sunt proiectate astfel încât scăderea GVD atacă reducerea SPM cu solitoni de la fibrele cu pierderi.[4]

Deoarece administrarea dispersiei este utilizată în combinație cu pierderile, evoluția solitonilor în DDF este guvernată de ecuația (2.53), cu excepția faptului ca termenul cu derivata de ordin doi, are un nou parametru d, care depinde de ξ, deoarece GVD variază de-a lungul fibrei. Astfel ecuația NLS are forma:[4]

unde , și p(ξ) ia în considerare variațiile puterii de vârf introduse de pierderi. Distanța ξ este normalizată la lungimea de dispersie, , definite folosind valoarea GVD de la intrarea în fibră.

Deoarece al doilea termen din ecuația de mai sus depinde de ξ,ecuația NLS nu este o ecuație standard, dar poate fi redusă astfel încât să fie, dacă introducem o nouă variabilă de propagare ca:

Această transformare reduce dimensiunea distanței la valoarea locală a lui GVD, astfel ecuația (2.65) devine:[4]

Dacă profilul GVD este ales astfel încât , ecuația de mai sus se reduce la ecuația NLS standard, obținută în absența pierderilor în fibră. Ca urmare, pierderile în fibră nu au niciun efect asupra solitonului, cu toate că energia lui este redusă când DDF-ul este utilizat. Amplificatoarele concentrate pot fi plasate la orice distanță și nu sunt limitate de condiția .

Analiza precedentă arată faptul că solitonul fundamental poate fi menținut într-o fibră cu pierderi cu condiția ca GVD să scadă exponențial ca:[4]

Acest rezultat poate fi înțeles calitativ prin remarcarea faptului că puterea de vârf a solitonului scade exponențial într-o fibră cu pierderi în același mod. Este ușor de observat în ecuația se cere să se mențină N=1, cu toate ca există pierderi, chiar dacă atât descresc simultan în același ritm. Solitonul fundamental își menține forma și lățimea chiar și în fibrele cu pierderi.[4]

O tehnică practică de proiectare a unor fibre GVD cu profil aproape exponențial, constă în reducerea diametrului miezului de-a lungul lungimii fibrei, într-o manieră controlată în timpul fabricării fibrei. Variațiile în diametrul fibrei se schimbă daca ghidul de undă contribuie cu și reduce mărimea acesteia. De obicei, GVD poate varia cu un factor de 10 ordine de mărime pe o lungime de la 20 la 40 km. Acuratețea obținută prin această tehnică este estimată a fi mai bună decât 0.1.

Fibrele cu variația continuă GVD nu sunt încă disponibile. Ca alternativă, profilul exponențial GVD a lui DDF poate fi aproximat cu un profil de despicare în mai multe fibre cu dispersie constantă cu valori ale lui diferite. Acest lucru a fost studiat în anii 1990 și s-a constatat că cele mai multe beneficii ale DDF pot fi realizate utilizând mai puțin de patru segmente de fibră.

Interacțiunea solitonilor

Este important să se determine cât de aproape pot ajunge doi solitoni, unul față de celălalt, fără a se afectă reciproc. Este evident faptul că structurile a doi solitoni se vor afecta reciproc, dacă sunt destul de aproape si extremitățile lor se suprapun. Astfel matematic interacțiunea dintre doi solitoni (u=u1+u2) se scrie:[4]

cu k = 1,2, iar u îndeplinește ecuația NLS atâta timp cât atât u1 cât și u2 o îndeplinesc.

Înlocuind u= u1+u2 în ecuația NLS , pentru solitonul u1 , se obține:

Asemănător și pentru solitonul doi, schimbând pe u1 cu u2 și invers:

Termenii din membrul drept se comportă ca o perturbație și sunt responsabili de interacțiunea nonliniară dintre doi solitoni vecini.

Studiem cum termenii ( cu k=1,2) sunt afectați de perturbație și pentru acest lucru vom introduce:[4]

și prin derivarea lor în raport cu ξ se obține:

Ecuațiile pentru q+ și ϕ+ sunt omise deoarece nu afectează interacțiunea dintre solitoni. În schimb η+ și δ+ rămân constante pe durata interacțiunii. Utilizând η+ pentru interacțiunea dintre doi solitoni fundamentali, atunci se obține:

unde . Ecuațiile de mai sus ne indică faptul că distanța relativă q dintre doi solitoni depinde doar de faza lor relativă. Doi solitoni se atrag sau se resping depinzând de valoarea inițiala a ψ.

În cazul în care doi solitoni au aceeași amplitudine și frecvență, soluția ecuația (2.75) devine:[4]

unde q0 și ψ0 sunt valorile inițiale ale lui q, respectiv ψ.

În cazul a doi solitoni în fază( ψ0=0) , distanța relativă q se schimbă cu propagarea, rezultând astfel:[4]

Deoarece q(ξ) ≤ q0 pentru toate valorile luate de ξ, doi solitoni în fază se atrag reciproc și prin urmare q devine zero după o distanță:

unde aproximația este valabilă pentru q> 5. La această distanță doi solitoni se ciocnesc pentru prima dată. Din cauza naturii periodice a lui q(ξ) din ecuația (2.77), cei doi solitoni se separă și se ciocnesc periodic unul de celălalt. Perioada de oscilație se numește lungimea coliziunii, fiind dată de relația:[4]

unde z0 reprezintă perioada solitonului. Această relație este valabilă pentru q0> 3, dar pentru alte valori ale lui q0 se obține:

În cazul în care ψ0=π/2, distanța relativă q se schimbă cu propagarea și este dată de relația:

Soluția numerică a ecuației NLS pentru o pereche de solitoni devine:

unde r este amplitudinea relativă, θ=2Ψ0 este diferența de fază inițială și 2q0 reprezintă distanța inițială între doi solitoni.[4]

Alterarea reciproca a doi solitoni vecini nu este de dorit din punct de vedere practic. Pentru a evita acest lucru trebuie mărită distanța solitonilor astfel încât Lcol≫LT, unde LT este distanța de transmitere. Mai multe scheme pot fi folosite pentru a reduce distanța solitonilor fără a provoca prăbușirea. Interacțiune dintre doi solitoni este destul de sensibilă la faza lor relativă θ și la amplitudinea relativă r. Dacă doi solitoni au aceeași fază (θ=0), dar amplitudini diferite, interacțiunea este periodică dar fără prăbușiri.

Rezultate ale simulărilor în MatLab

Pe baza modelului teoretic în cadrul capitolului 2, am realizat programe de simulare a propagării solitonilor, în diferite situații, observând astfel diferența între solitonul fundamental și cel de ordin superior precum și evoluția acestora.

Solitonul fundamental

Solitonul de ordinal întâi, cu N=1, corespunde cazului cu o singură valoare proprie. Se mai numește și soliton fundamental deoarece forma lui nu se schimbă în timpul propagării.

Expresia solitonului fundamental este:

Dar η nu determină doar amplitudinea solitonului, determină și lățimea acestuia. În realitate, lățimea solitonului se schimbă cu η și este invers proporțional cu amplitudinea solitonului. Inversa proporționalitate între amplitudinea și lățimea solitonului reprezintă principala proprietate a solitonului. Forma canonică a solitonului fundamental se obține alegând u(0,0)=1, rezultând astfel η=1 și prin urmare se obține:

Dacă alegem τ ∈ și ξ = 0, în formula de mai sus, din codul generat de la anexa 1, atunci ne va rezulta:

Figura 3.1 Solitonul fundamenta pentru ξ =0

Dacă păstrăm același interval pentru τ, dar mărim valoarea lui ξ= 10, ne va rezulta

Figura 3.2 Solitonul fundamental pentru ξ=10

Se poate observa o schimbare de fază cu deoarece se propagă în interiorul fibrei, dar amplitudinea rămâne neschimbată și datorită acestui lucru, solitonul este foarte util în comunicațiile cu fibră optică. Efectele dispersiei în fibră sunt compensate de neliniaritatea fibrei datorită formei, a lățimii și a puterii de vârf a pulsului de intrare pentru N=1, adică pentru solitonul fundamental. Reprezentarea în 3D a solitonului fundamental, codul regăsindu-se în anexa 2, unde τ ∈ este:

Figura 3.3 Solitonul fundamenta 3D

Solitonul de ordin doi

Utilizând , solitonul de ordin doi, cu N=2, este dat de relația:

dacă în codul de la anexa 3 alegem τ ∈ și ξ = 0, obținem:

Figura 3.4 Solitonul de ordin doi pentru ξ=0

Iar o reprezentare în 3D a solitonului de ordin doi unde τ ∈ este:

Figura 3.5 Solitonul de ordin doi 3D

Pentru a observa mai bine evoluția solitonului de ordin doi am realizat o simulare 2D în două situații. În prima situație am analizat cazul cu un frame de 256, iar în a doua situație am ales frame-ul 128.

Frame= 256

Figura 3.6 Solitonul de ordin doi, frame=256, caz 1

Figura 3.7Solitonul de ordin doi, frame=256,caz 2

Figura 3.8 Solitonul de ordin doi, frame=256, caz 3

Figura 3.9 Solitonul de ordin doi, frame=256, caz 4

Figura 3.10. Solitonul de ordin doi, frame=256, caz 5

Frame= 128

Figura 3.11. Solitonul de ordin doi, frame=128 , caz 1

Figura 3.12. Solitonul de ordin doi, frame=128 , caz 2

Figure 3.13 Solitonul de ordin doi, frame=128 , caz 3

Figura 3.14. Solitonul de ordin doi, frame=128 , caz 4

Solitonul întunecat

Intensitatea solitonului este dată de formula:

dacă alegem variabila B=[0.2, 0.6, 0.9], τ ∈, în urma rulării programului atașat anexei 4, se va obține :

Figura 3.15. Intensitatea solitonului întunecat pentru B=[0.2, 0.6, 0.9]

Pentru B==[0.5, 0.8, 1], τ ∈ se va obține:

Figura 3.16. Intensitatea solitonului întunecat pentru B=[0.5, 0.8, 1]

Faza solitonului este dată de relația:

dacă alegem variabila B=[0.2, 0.6, 0.9] , τ ∈, în urma rulării programului atașat anexei 5, se va obține :

Figura 3.17. Faza solitonului întunecat pentru B=[0.2, 0.6, 0.9]

Pentru B==[0.5, 0.8, 1], τ ∈ se va obține:

Figura 3.18. Intensitatea solitonului întunecat pentru B=[0.5, 0.8, 1]

Parametrul η și τs reprezintă amplitudinea solitonului și respectiv locul unde apare o adâncitură. Pentru a nu avea pierderi τs poate fi ales 0. Se observă prezența unui nou parametru B atât în ecuația fazei, cât și în cea a amplitudinii. În mod normal B dictează adâncimea pantei (. Pentru , mijlocul pantei în cazul intensității ajunge la zero, dar în schimb pentru alte valori ale lui zero, panta nu atinge valoarea lui zero. Solitonii întunecați pentru care se numesc defapt solitoni gri, parametrul B fiind cel care dictează cât este de întunecat solitonul, iar corespunde solitonului întunecat.

Dacă considerăm cazul solitonului întunecat, a cărui formă canonică este obținută din ecuația intensității, alegând B=1 și η=1, conform anexei 6, se obține astfel:

Figura 3.19. Intensitatea solitonului întunecat pentru B=1 și η =1

Interacțiunea dintre doi solitoni

Soluțiile numerice ale ecuației NLS sunt destul de intuitive și permit explorarea diferitelor amplitudini și diferitelor faze asociate unei perechi de solitoni, utilizând următoarea formulă:

unde r este amplitudinea relativă, θ=2Ψ0 este diferența de fază inițială și 2q0 reprezintă distanța inițială între doi solitoni.

În urma rulării programului de la anexa 7 pentru diferite valori ale fazei și amplitudinii, ne va rezulta:

θ=0, r=1

Figura 3.20 Interacțiunea dintre doi solitoni pentru θ=0, r=1

θ=, r=1

θ=, r=1

Figura 3.22 Interacțiunea dintre doi solitoni pentru θ=, r=1

θ=0, r=1.1

Figura3.23 Interacțiunea dintre doi solitoni pentru θ=0, r=1.1

Figurile de mai sus reprezintă evoluția unei perechi de solitoni cu distanța inițială între ei q0= 3.5, pentru diferite valori ale lui r și θ. În cazul solitonilor cu amplitudini egale (r=1), cei doi solitoni se atrag unul pe celălalt în cazul fazei și se ciocnesc periodic pe toată lungimea fibrei. Pentru , solitonii se separă unul de celălalt, după o etapă inițială de atracție. Pentru , solitonii se resping puternic reciproc, iar spațiul dintre ei crește monoton cu distanța. Ultimul caz arată efectul unei diferențe mici de amplitudine prin alegerea lui r=1.1. în acest caz solitonii oscilează permanent dar niciodată nu se ciocnesc, sau să se îndepărteze prea mult unul de celălalt.

Concluzii

Procesele de dispersie, fie ele de natură cromatică sau de tipul modului de polarizare, au loc în mediul dielectric ce transportă semnalele optice. Banda optică a fibrei optice reprezintă principalul argument în alegerea fibrei optice drept un mediu de transport tot mai favorizat chiar și de tehnologiile actuale de comunicații, dar cu toate acestea, înlocuirea fibrei optice este lentă în rețelele de comunicații din cauza costului.

Dispersia cromatică produce lărgirea duratelor impulsurilor optice ce se propagă prin fibră, dar acest efect poate fi și favorabil, deoarece atenuează distorsiunile introduse de procesele neliniare generate în fibră de puterea undei optice. Dispersia cromatică trebuie compensată prin introducerea în lanțul de transmisie a modulelor de compensare, pentru a reface forma semnalului. Marimea dispersiei cromatice scade raportul semnal- zgomot cu aproape 1 dB, dar în cazul dublării ratei de transmisie, dispersia cromatică poate crește până la de patru ori.

Dispersia modului de polarizare are un comportament statistic, iar o schemă de compensare este ineficientă. O anumită întârziere de grup, ce reprezintă valoarea instantanee a dispersiei modului de polarizare la o anumită lungime de undă, duce la deteriorarea raportului semnal- zgomot cu 1 dB. Pentru compensarea dispersiei modului de polarizare, se utilizează izolatoare optice cu două etaje( un izolator optic este o fibră care menține polarizarea undei optice incidente și elimină reflexia inversă și împrăștierea inversă.

Pe lângă diversele tipuri de fibră utilizate în transmisii de viteză, precum fibra standard, fibra cu dispersie deplasată, fibra cu dispersie aplatizată, există și fibre cu dispersii negative, care în combinație cu cu fibra standard realizează compresia dispersiei. Acest tip de fibră nu este favorabilă în transmisiunile de mare viteză din cauza nelinearităților, lungimea neliniară fiind mult mai mare decât lungimea dispersiei. O dispersie locală mare este mai avantajoasă transmisiei cu condiția ca dispersia medie și panta medie a dispersiei pe lungimea de transmisie să fie zero în tot domeniul lungimilor de undă.

În transmisia de mare viteză, dispersia modului de polarizare produce lărgirea pulsului. Condițiile mediului influențează dispersia modului de polarizare și prin urmare compensarea ei trebuie să fie automată și dinamică, utilizându-se astfel dispozitive optice ce refac proprietățile optice ale fibrei afectată de dispersia modului de polarizare. Dispozitivele utilizează etaje de compensare a polarizării și elemente de birefringență iar elementele de birefringență oferă întârzieri diferențiale de grup.De asemenea, dispersia modului de polarizare poate fi compensată și manual prin ajustarea polarizării semnalului de date de la intrarea în linia de transmisiuni.

Solitonul descrie o undă optică care nu iși schimbă frontul de undă și nici viteza atunci când se propagă într-un mediu neliniar dispersiv. Sistemele cu solitoni și-au demonstrat eficiența pentru legături optice de mare distanță.

Pe baza simulărilor realizate se poate observa că în cazul solitonului fundamental, faza se schimbă cu deoarece se propagă în interiorul fibrei, dar amplitudinea rămâne neschimbată și datorită acestui lucru, solitonul este foarte util în comunicațiile cu fibră optică. Efectele dispersiei în fibră sunt compensate de neliniaritatea fibrei datorită formei, a lățimii și a puterii de vârf a pulsului de intrare a solitonului fundamental.

În cazul interacțiunii dintre doi solitoni, este important să se determine cât de aproape pot ajunge unul față de celălalt, fără a se afectă reciproc. Este evident faptul că structurile a doi solitoni se vor afecta reciproc, dacă sunt destul de aproape si extremitățile lor se suprapun. Interacțiune dintre doi solitoni este destul de sensibilă la faza lor relativă θ și la amplitudinea relativă r. . În cazul solitonilor cu amplitudini egale (r=1), cei doi solitoni se atrag unul pe celălalt în cazul fazei și se ciocnesc periodic pe toată lungimea fibrei, iar dacă doi solitoni au aceeași fază (θ=0), dar amplitudini diferite, interacțiunea este periodică dar fără prăbușiri.

Bibliografie

[1] Teodor Petrescu, “ Fibre optice pentru telecomunicații”, Editura AGIR, București, 2006 ;

[2] Adrian Manea, “ Sisteme optice pentru comunicații”, Editura MATRIX ROM, București, 2006;

[3] Gowar, John, “ Optical Communication Systems”, Second Edition, Editura Prentice Hall, 1993;

[4] Govind P. Agrawal, “Fiber-Optic Communications Systems”, Third Edition, Editura John Wiley & Sons, 2002;

[5] Lucrarea de laborator Medii de Transmisiune – Dispersia în fibrele optice

[6] Govind P. Agrawal, Yuri S. Kivshar, “Optical Solitons, from fibers to photonic crystal”, Editura Elsevier Science, 2003;

[7] Gerd Keiser, “Optical Fiber Communications”, Second Edition, Editura McGraw-Hill, 1991;

[8] Dragomir Radu, “Studiul efetelor dispersiei asupra câmpului electromagnetic în fibra optică în comunicații”, 2010;

[9] Petrescu Andrei, “Contribuții la studiul propagării undelor neliniare de tip solitonic, cu aplicații”, 2012;

[10] Teodor Petrescu, Note de curs Medii de transmisiune, Universitatea Politehnica București;

[11] https://en.wikipedia.org/wiki/Soliton_%28optics%29 .

Anexe

Anexa 1: Solitonul fundamental

Pentru cazul τ∈ și ξ = 0:

clc

clear all

close all

t= -8: 0.001: 8;

xi=0;

i=1;

y= i *xi;

sol= abs( sech(t) *exp( – y)) ;

plot(t, sol);

Pentru cazul τ∈ și ξ = 10:

clc

clear all

close all

t= -8: 0.001: 8;

xi=10;

i=1;

y= i *xi;

sol= abs( sech(t) *exp( – y)) ;

plot(t, sol);

Anexa 2: Solitonul fundamental 3D cu valorile τ∈

clc

clear all

close all

t=[-8:0.3:8];

x=[0:0.3:16];

[xx,tt]=meshgrid(x,t);

i=1;

l=length(t);

k=length(x);

sol=zeros(l,k);

for j=1:l

for m=1:k

sol(j,m)= abs( sech(tt(j)) *exp(( – i.*xx(j))));

end

end

figure

surf(tt,xx,sol)

title('Soliton fundametal')

xlabel('AXA X')

ylabel('AXA Y')

zlabel('AXA Z')

shading interp

colorbar

figure

plot3(t,x,sol)

title('Soliton fundamental')

xlabel('AXA X')

ylabel('AXA Y')

grid

Anexa 3: Solitonul de ordin doi, cu valorile: τ∈ și ξ = 0,

clc

clear all

close all

t= -16: 0.001: 16;

x=0 ;

i=1;

a=3 *exp(4 *i *x)*cosh(t)+ cosh(3 *t);

b=3 *cos(4 *x)+ cosh(4*t)+ 4 *cosh(2*t);

sol3=abs( 4* exp( 0.5 *i *x) *(a./ b));

plot(t,sol3);

Pentru reprezentarea în 3D, am lucrat în programul Maple 15, iar codul generat este:

>

>

Iar pentru animație am adăugat:

>

> animate(soll2, t = -12 .. 12, x = 0 .. 12, frames = 128);

Anexa 4: Solitonul întunecat- Intensitatea solitonului

Pentru cazul B=[0.2, 0.6, 0.9], τ ∈

clc

clear all

close all

tau = -4: 0.00001: 4;

tau_s = 0;

B = [0.2 0.6 0.9];

eta = 1;

B1 = (eta * sqrt((1 – B(1).^2 * (sech(eta * B(1) * (tau – tau_s)).^2))));

B2 = eta * sqrt((1 – B(2).^2 * (sech(eta * B(2) * (tau – tau_s)).^2)));

B3 = (eta * sqrt((1 – B(3).^2 * (sech(eta * B(3) * (tau – tau_s)).^2))));

hold on

plot(tau, B1, 'red');

plot(tau, B2, 'green');

plot(tau, B3, 'blue');

hold off

Pentru cazul B=[0.5, 0.8, 1], τ∈

clc

clear all

close all

tau = -4: 0.00001: 4;

tau_s = 0;

B = [0.5 0.8 1];

eta = 1;

B1 = (eta * sqrt((1 – B(1).^2 * (sech(eta * B(1) * (tau – tau_s)).^2))));

B2 = eta * sqrt((1 – B(2).^2 * (sech(eta * B(2) * (tau – tau_s)).^2)));

B3 = (eta * sqrt((1 – B(3).^2 * (sech(eta * B(3) * (tau – tau_s)).^2))));

hold on

plot(tau, B1, 'red');

plot(tau, B2, 'green');

plot(tau, B3, 'blue');

hold off

Anexa 5: Solitonul întunecat- Faza solitonului

Pentru cazul B=[0.2, 0.6, 0.9], τ∈

clc

clear all

close all

tau = -4: 0.001 :4;

% tau_s = 0;

B = [0.2 0.6 0.9];

eta = 1;

xi=1;

phi1 = 0.5 * eta^2 * (3 – B(1)^2)* xi + eta * sqrt(1-B(1)^2).*tau + atan((((B(1)*tanh(eta*B(1)*tau)/sqrt(1-B(1)^2)))));

phi2 = 0.5 * eta^2 * (3 – B(2)^2)* xi + eta * sqrt(1-B(2)^2).*tau + atan(((B(2)*tanh(eta*B(2)*tau)/sqrt(1-B(2)^2))));

phi3 = 0.5 * eta^2 * (3 – B(3)^2)* xi + eta * sqrt(1-B(3)^2).*tau + atan(((B(3)*tanh(eta*B(3)*tau)/sqrt(1-B(3)^2))));

hold on

plot(tau, phi1, 'red');

plot(tau, phi2, 'green');

plot(tau, phi3, 'blue');

hold off

Pentru cazul B=[0.5, 0.8, 1], τ∈

clc

clear all

close all

tau = -4: 0.001 :4;

% tau_s = 0;

B = [0.5 0.8 1];

eta = 1;

xi=1;

phi1 = 0.5 * eta^2 * (3 – B(1)^2)* xi + eta * sqrt(1-B(1)^2).*tau + atan((((B(1)*tanh(eta*B(1)*tau)/sqrt(1-B(1)^2)))));

phi2 = 0.5 * eta^2 * (3 – B(2)^2)* xi + eta * sqrt(1-B(2)^2).*tau + atan(((B(2)*tanh(eta*B(2)*tau)/sqrt(1-B(2)^2))));

phi3 = 0.5 * eta^2 * (3 – B(3)^2)* xi + eta * sqrt(1-B(3)^2).*tau + atan(((B(3)*tanh(eta*B(3)*tau)/sqrt(1-B(3)^2))));

hold on

plot(tau, phi1, 'red');

plot(tau, phi2, 'green');

plot(tau, phi3, 'blue');

hold off

Anexa 6 Solitonul întunecat- Intensitatea solitonului pentru B=1 și η=1

clc

clear all

close all

tau=-4:0.001:4;

i=1;

xi=1;

u=tanh(tau)*exp(i*xi);

plot(tau,u);

Anexa 7 Interacțiunea dintre doi solitoni

Pentru valori θ=0, r=1

clc

clear all

close all

q0=3.5;

tau=-4: 0.001: 8;

gamma=0;

i=1;

r=1;

u=sech(tau-q0)+r*sech(r*(tau+q0))* exp(i*gamma);

plot(tau,u);

Pentru valori θ=, r=1

clc

clear all

close all

q0=3.5;

tau=-4: 0.001: 8;

gamma=pi/4;

i=1;

r=1;

u=sech(tau-q0)+r*sech(r*(tau+q0))* exp(i*gamma);

plot(tau,u);

Pentru valori θ=, r=1

clc

clear all

close all

q0=3.5;

tau=-4: 0.001: 8;

gamma=pi/2;

i=1;

r=1;

u=sech(tau-q0)+r*sech(r*(tau+q0))* exp(i*gamma);

plot(tau,u);

Pentru valori θ=0, r=1.1

clc

clear all

close all

q0=3.5;

tau=-4: 0.001: 8;

gamma=0;

i=1;

r=1.1;

u=sech(tau-q0)+r*sech(r*(tau+q0))* exp(i*gamma);

plot(tau,u);